Análisis Básico de Estructuras José Javier Martínez Echeverry

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Jos Javier Martnez Echeverry

Anlisis bsico de estructuras

Texto

pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF APIRector: Jorge Humberto Pelaez Piedrahta. S.J.

Facultad de Ingeniera Nmero y Lnea

2010


Vicerrector Acadmico: Antonio de Roux Rengifo Vicerrector de Medio Universitario: Gabri el Jaime Prez, S.J.

Facultad de lngenieria Decano: Mauricio Jaramillo Ayerb e Decano del Medio Universitario: Luis Femando Granados Ospina S.J. Director del Departan1ento de Ciencias de la Ingenieria y la Produccin: Alvaro F1gueroa

Anlisis Bsico de Estructuras Autor: Jos Javier Martinez E. Coleccin: Texto Numero y Lnea ISBN 978 958 8347 46 2 Coordinador Editorial: Ign acio Murgueitio

Correspondencia, suscrip cion es y solicitudes de canje: Calle 18 No. 118 -250, Va Pance Santiago de Cali, Valle del Cauca Pontificia Universidad Javeriana Facultad de lngenieria Telfonos (57-2) 32 18200 Exts. 319/ SI 1 Fax 555 28B j osej m@j averian acali. edu. co

Impresin : Multimedios PUJ Cali Diseo: Willi am Femando Yela

Enero de 2011



Ma1tnez Echeveny, Jos Javier Anlisis bsico de estmcturas : texto/ Jos Jav ier Martnez Echeveny. -- Santiago de Cali : Pontificia Universidad Javeriana, Sello Editorial Javeriano, 2010. 325 p. : il. ; 28 cm - (Coleccin Texto-nmero y lnea)

Incluye referencias bibliogrficas e ndice.

ISBN 978 958 8347 46 2

1. Teora de las esbucturas '.?.. Cargas 3. Fuerza y energa L Pontificia Universidad Javeriana (Cali) Facultad de Ingeniera. Depa1tamento de Ciencias de la Ingeniera y la Produccin.

SCDD 624.17 1 ed ?.1 BPUJC ann/11


Contenido

1. Esttica de estmcturas simples

1.1. Preliminares

1.1. l. Definicin de una estmctura l. l. 2. Alcances , 1 'l n-,,.....,..;,,.,1,..;J,._ 'D,.1-. ,..,.._....,,,.,.

Pg.

9

9

9 10 1 (\


L L.} . r I uptt::UUUt::-l J..}.)/,/ UIAUI Utt::.)

1.1.4. Suposiciones Bsicas

1.2. Clasificacin de las estmcturas

1.2.1. CmgasSimples 1.2.2. Sistemas de Cargas

1.3. Superposicin de cargas

2. ligen y efectos de las cargas 2.1. Introduccin

2.2. Cargas mue1tas

2.3. Cargas vivas

2.4. Cargas de sismo

2.5. Cargas de viento

2.6. Cargas debidas a temperatura

3. Sistemas de fuerzas

3.1. Definiciones

3.2 Caractersticas de una fuerza

3.3 Equilibrio esttico de un sistema de fuerzas

3.4 Fuerzas internas en los elementos del sistema

4. Estabilidad y detenninacin esttica de estructmas

iv 10

10

10 12

13

15

15

15

18

22

28

34

39

39

40

42

43

47


4.1 Estabilidad esttica de cerchas

4.1.1. Mtodo de las Dos Banas 4.1.2. Mtodo de las Tres Barras 4.1.3. Mtodo de laArticulaciny laBcora 4.1.4. Mtodo de las Tres Articulaciones 4.1.5. Formacin de Cerchas

4.2. Estabilidad extema de cuerpos estrncturales

4.3. Determinacin esttica extema

4.4. Equilibrio intemo de cerchas

4.5. Equilibrio intemo de vigas y p1ticos

5. Clculo de reacciones en estructuras estticamente

5.1. Reacciones en vigas isostticas simples

5.2. Reacciones en vigas isostticas compuestas y p1ticos

6. Detenninacin de fuerzas axiales en cerchas

6.1. Tipos de cerchas isostticas

6.2. Anlisis de una cercha isosttica

7. Fuerzas internas en vigas y prticos

7. 1. Equilibrio intemo

7.2. Ecuaciones diferenciales

7.3. Diagramas de fuerzas intemas

47

47 48 48 49 50

50

52

54

56

detenninadas 65

67

77

91

91

92

107

108

109

112


8. Clculo de defo1maciones

8.1. Defonnacin axial

8.2 Defonnaciones por flexin

8.3 Deformaciones con funciones ele singulari


1 1. 1. l\.t:li'll.:IUll Ut: 1llt:IL.C1S y Ut:1Ulllli11.:1Ullt:S t:ll IUS llllUUS

11. 2. Derivacin utilizando fuerzas y momentos de 1igidez

11.3. Fuerzas de empotramiento en los nudos

11.4. Grados de libe1tad y relaciones de rigidez

12. Estrncturas estticamente indetenninadas

12.1. Fundamentos del mtodo de las fuerzas

12.2. Fo1malizacin del mtodo de las fuerzas

Bibliografia

238

240

268

277

277

280

321



1. Esttica de estructuras simples

1 .1 . Preliminares

El propsito del presente texto es fundamentar al lector en la fo1macin y anlisis de estructuras detenninadas e indete1minadas y en la manera de combinar, conectar y sopo1tar los diferentes elementos que definen las caracteristicas y tipos de estructuras. Se mostrarn los conocimientos necesarios que le pe1mitan al lector analizar las estructuras utilizando tcnicas basadas en trabajo, energa y mtodos matiiciales . El anlisis in1plicar el uso de modelos matemticos para el clculo de las fuerzas internas y los desplazamientos.

Los objetivos especficos de este texto son los siguientes:

Definir al lector las caracte1isticas geomt1icas de la estructura, as como las cargas, reacciones y fuerzas que nos pe1mitan idealizar la estructura real en un modelo matemtico representado por los ejes lineales de sus elementos y soportada por rest1icciones idealizadas.

Capacitar en el diagnostico del tipo de estrnctura a analizar teniendo en cuenta c1ite1ios de geomet1fa y estabilidad, tipos de apoyo, grados de libe1tad y clasificacin esttica de la estrnctura.

Hallar las defo1maciones y fuerzas internas mediante el uso de mtodos isostticos y los conceptos de trabajo y energa.

(;onor.P.r ]:: TP.]::tr.in P.ntt'P. ]:is r.::trP::tS ::tnlir.::tO::tS ]:is fP.r'.7.::tS intP.m::ts OllP. 1fos::tnnll :in los


-- ........ .... --.... _.._ _ ___ .._..,_ ........ - ........... _ --- --o.._ ....... -r--- .... ---, ............. -------- ......... -.......... ..., i-- __ ...,.._._ ........................... .... elementos resistentes y los materiales utilizados cuando son sometidos a esfuerzos.

Analizar estmcturas apo1ticadas de tal manera que su estudio presente bases finnes para alternativas de diseo en temas que involucran este tipo de estrncturas.

Establecer una conelacin entre las fuerzas internas y el compo1tamiento de cada uno de los elementos estmcturales del sistema, lo mismo que el reforzamiento y din1ensiones de los estos elementos.

1.1.1. Definicin de una estructura

Una estructura es un mecanismo designado para sopo1tar cargas y resistir fuerzas. El objetivo de la teora de las estructuras es adelantar un anlisis metodolgico aplicable a un ensamblaje de miembros individuales llamados barras o placas. El ensamblaje total, es decir, las conexiones, combinaciones y soportes de estos elementos es conocido como la anna.=n o modelo terico de la estmctura. El ensamblaje de estmcturas pretende identificar grficamente fo1mas conocidas como edificios, puentes, tanques, torres y bodegas. La rumazn puede concebirse como el esqueleto de la estmctura y es llll sistema de miembros conectados entre s que sop01tan cargas impuestas por el peso propio, peso de materiales fijos, peso de cargas impuestas por la gente, peso de objetos mviles o por las fuerzas de la naturaleza. U na vez el tipo y la fo1ma son seleccionados, todo el sistema y cada paite del mismo son analizados numricamente. El anlisis es completado cuando los esfuer=os internos y los despla.=amientos han sido deterrninados.

9

Jos Javier MaJ"tinez Echeverry

1.1.2. Alcances

El contenido de este texto est orientado al anlisis numrico de vigas, p1ticos, cerchas y arcos, esencialmente en dos direcciones, por cuanto sus caigas internas y externas, lo mismo que las reacciones, son resueltas en un sistema coplanar. La estrnctura analizada es idealizada con llll modelo matemtico representado por elementos simples lineales que se


... ... ... ...

extienden a lo largo de su eje centroidal, cargada con fuerzas simblicas actuando desde el exterior en los elementos de la estmctura, y sopo1tada por restricciones idealizadas representadas por conexiones que transmiten las cargas a superficies de rigidez infinita.

1.1.3. Propiedades estructurales

Para un anlisis estmctural, cuatro tipos de propiedades deben tenerse en cuenta:

(1) Propiedades geomtricas: coordenadas, ngulos, segmentos, y secciones transversales de los elementos.

(2) Propiedades estticas: cargas, reacciones y esfuerzos. (3) Deformaciones: desplazamientos lineales y angulares del eje centroidal y los sopo1tes. (4) Constantes de los materiales: mdulos de elasticidad y de iigidez de los materiales,

constantes de densidad y coeficientes de cambio de volumen.

1.1.4. Propiedades estructurales

Cinco suposiciones bsicas se hacen para el presente curso de anlisis estrnctural:

(1) Los materiales estmcturales sern homogneos, isotpicos, continuos y siguen la ley de Hooke.

(2) Todas las deformaciones son pequeas y no alteran significativamente la geometria inicial de la estmctura.

(3) Todas las cargas son aplicadas gradualmente y el p1incipio de superposicin es vlido. (4) Las constantes de los materiales son conocidas a paitir de expe1imentacin y son

independientes del tiempo (5) Los sistemas se encuentran en un estado de equilibrio esttico.

1.2. Clasificacin de las cargas

1.2.1. Cargas simples

Las caigas simples que pueden ser consideradas son las siguientes:

( 1) Carga concentrada P: es una fuerza simple aplicada en cierto punto de la estmctura. La representacin grfica de esta caiga es m1a flecha indicando la lnea de accin de la carga y su sentido. En general, todas las caigas concentradas son en realidad cargas distribuidas actuando en un pequeo segmento de la estmctura.


10


(2) Momento aplicado M representa la accin de un par de fuerzas separados por una distancia cualquiera y el cual es aplicado en un p1mto de la estmctura. La representacin grfica de un momento es lm arco circular con lma flecha indicando su sentido.

a b 'p il ~-E. -~~~--. --. -- ------ --~ u ~ L URa le I

CARGA PUNTUAL

a b 1' 1 1


777. T/7: 777 777 u RA L U Rs u RA L URs I I I I

CARGA UNIFORME CARGA CON VARIACIN UNIFORME

Figura 1.2. Vigas simples con carga distribuida y con carga con variacin unifo1me.

(5) Carga con variacin regular: es un peso o presin cuya vaiiacin est definida por una funcin analtica. La representacin de esta carga es un rea encenada por la grfica de la funcin de la carga y el eje del miembro.

(6) Carga con variacin irregular: es m1a caiga o presin cuya variacin no es definida por m1a funcin analtica. Paia el ai1lisis la carga se divide en pequeas franjas de ai1cho Llx los cuales son tratados como cargas concentradas P; = 111; * Llx, en la cual w; es la intensidad promedio de la caiga en el dominio de la distancia Llx.

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Jos Javier Mal"linez Echeverry

CARGA CON VARIACIN REGULAR

(8)~ - - - - n. - - - - -~ u R A P (equivalonto} = ~W;*Llx} n Rs I CARGA ~N IFORME I

b _I b , 1 (~x; . w;)

a 1 -1 ~ }rl]J 11 n (8)~ - - - - - - - - - -~ u~ u~ I L ,.1


Figura 1.3. Vigas simples con carga variando regular e iffegulannente.

1.2.2. Sistemas de Cargas

Se pueden clasificar de la siguiente manera:

(1) Sistema simtrico: es un sistema de fuerzas y momentos en donde para cada carga existe otra carga igual en magnitud, pero colocada simtricamente con respecto al eje central del elemento.

(2) Sistemas antisimtricos: es llll sistema de fuerzas y momentos en donde para cada carga existe otra carga de igual magnitud, separada simtrican1ente con respecto al punto medio del elemento y colocada en sentido opuesto a la direccin de la p1imera carga.

1. b 1 1

~ 1

1

1

w

L

1 ... ____,b......_..., 1

1

1

SISTEMA SIMTRICO

~- b 1 1

SISTEMA ANTI SIMTRICO

Figura 1.4. Sistemas simtrico y antisimtrico de cargas.

1 1

(3) Sistema simtrico cclico: es un sistema de fuerzas y momentos en donde para cada conjunto de cargas existe otro conj1mto igual en naturaleza pero colocado en sentido simtrico.

12



(4) Sistema antisimtrico cclico: es llll sistema de fuerzas y momentos en donde para cada conjm1to de cargas, existe otro sistema similar en naturaleza pero colocado en sentido antisimt1ico.

b b b 1 b

. a 1 1 a 1 1 . i. . 1 . 1 pi 1 pi i~ a ~-- - - :Y- - -~ ~ Q Q "

L J RA L URs 1 1 1 1

SISTEMA cicuco SIMTRICO SISTEMA CCLICO ANTISIMTRICO

Figura 1.5. Vigas simples mostrando los sistemas cclicos de carga simtrico y antisimaico.

1.3. Superposicin de cargas

En la te01ia elemental de estmcturas se asllllle la validez del concepto de superposicin de cargas, segn el cual son vlidos los siguientes dos p1incipios:

Suma. El efecto de un sistema de cargas es igual a la smna de los efectos de cada carga aplicada separadamente (ver Figura 1.6).

Colocacin. El efecto de un sistema de cargas es independiente del orden de aplicacin de las cargas .

a, b,

@ E ll p ; b, ~

a1 u ~ URs L 1 a2 1 'p i. H \ 1 w


1

1 w t l t t t t t t

L

. tlkllllt ~~~E-. ~---===========~---.~

U RA L ] Rs I I

Figura 1.6. Aplicacin del principio de superposicin: los efectos separados de las cargas tienen el mismo resultado cuando se toma el efecto total de las cargas.

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L. ungen y eie


En general, se pueden considerar como cargas muertas todas aquellas cargas que no son causadas por la ocupacin y uso de la edificacin.

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Jos Jat1ier Mal"linez Echeverry

Las siguientes cargas son tenidas generalmente en cuenta para el avalo de cargas:

La carga muerta producida por muros diviso1ios y paiticiones de mate1iales tradicionales, cuando stos no hacen parte del sistema estmctural, debe evaluarse para cada piso y se puede utilizai como caiga dist1ibuida en las placas.

Cuando se trate de muros de ladiillo tipo bloque hueco de aicilla o concreto, la carga es como mnimo 3. O kN/m2 ( 300 kgf /1rl) de rea de placa.

Cuando se trata de muros de ladrillo tolete macizo de aicilla, concreto o slice, la carga es como mnimo 3.5 kN/m2 (350 kgf !rrl) de rea de placa.

Cuando se consideran divisiones livianas, la caiga a emplear no debe ser inferior a 0.5 kN/ m2 (50 kgf / ,,l) de rea de placa.

Como un ejemplo preliminai de la aplicacin de caigas a un sistema, en la siguiente losa cuadi'ada se asume inicialmente que todas las vigas de borde sopo1tan una carga con distribucin tliangulai-.

@ X @ + w"L2 2

1 T :~: 1 t I~


" , J "' u u / ' / ' / ' w*L2 :r,"dd ' w*L2 ' 8 - 8-"I L

L

Figura 2.1. Idealizacin t.Iiangular de la carga aferente en una viga perimetral.

La anterior es la manera conecta de distiibuir cargas cuando la relacin largo a ancho de las dimensiones de la losa no sobrepasa un ndice igual a 2. Sin embargo, es muy comn que de acuerdo al tipo de losa o al refuerzo de la misma, se disee la losa en franjas transversales de un metIo de ancho con apoyos en los ejes transversales A y B. El refuerzo longitudinal de la losa es distribuido por cada metro de ancho y la continuidad transversal es asegurada con refuerzo continuo paralelo a estos ejes. Esta segunda manera de evaluar cargas es comn cuando la luz entre ejes A y B es pequea comparada con la dimensin longitudinal, o cuando se colocan laminas colaborantes galvanizadas utilizadas como formaletas pennanentes para servir en la fundicin de losas de concreto. Al fraguar el concreto las lminas actan como refuerzo principal de la placa. La fundicin con este tipo de lminas se utiliza todo tipo de obras desde parqueaderos hasta vivienda popular.

Franja Unitaria e carga

8=1.oril

@

16


W (por metro de ancho) 11111111 ,


~1 l"""'"'"""'"""'"""l V1 1 L.B 1 1 - --

Ls

u w*Ls

2 1 Ls

u w*Ls -2-

Figura 2.2. Idealizacin de una carga unifo1me en una franja de un metro de ancho.

Para una losa rectangular la carga se puede idealizar de la siguiente manera: si la relacin de largo a ancho es menor que 2, la carga en la luz ms larga se puede considerar con vaiiacin lineal a 45 desde el inicio del elemento hasta una distancia equivalente a la mitad de la luz c01ta, al igual que para el final del tramo. En el resto del tramo la carga aferente se toma unifonnemente distribuida con un ancho aferente igual a la mitad de la luz corta. Si la relacin de largo a ancho de la losa es mayor que 2, se puede utilizar el mtodo de caiga de las franjas equivalentes de un metro de ancho extendidas en la direccin c01ta. En el caso de las franjas equivalentes de un metro de ancho mostradas en la Figura 2.2, paia la Figura 2.3 tienen una luz L y se apoyan en las vigas de los ejes A y B.

Figura 2.3. Idealizacin de la carga en una losa rectangular.

Ejemplo 1: Aplicacin de cargar muertas. Una azotea se tennina con tres capas de filtros de arena, grava y asfalto puestas sobre una capa aislante rigida de O. 05 m de espesor, soportados por vigas en fonna de T de concreto reforzado, con un peralte de 0.40 m y alas de 1.0 m de ancho. Si el aislamiento pesa 0.15 kN/m2 y los filtros 0.25 kN/m2 en conjunto, detennine la caigamuerta total que cada viga debe soportar por metro de longitud.


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Jos Jat1ier Mal"linez Echeverry

1 Filtro de arena, grava y asfalto 1

/ 1 Aislamiento Rgido 1 0.1 m

..

\~/ 0.4m Vigas T en serie

0.8m 1 '

2.0m

Figma 2.4. Seccin tpica de las vigas T a evaluar.

El peso aferente de cada viga Tes:

P ' 01 *l O *240kN -24kN atm . . m . m . -- . - ~ m3 m

Por metro tranversal de viga

l * * kN_ kN Ama: 0.2m 0.4m 24.0 - 3 -1.92- ~ m m Por metro transversal de viga

* kN_ kN Aislamiento: l.Om 0.15-

2 - 0.15 - ~

m m Por metro transversal de viga

. __ _ kN __ kN


Filtros: l.Om"'0.25 - 7 = 0.25 - ~ Por metro transversal de viga m- m

kN Total: (2.4+1.92+0.15+0.24) =4. 72 -

m

La carga muerta total a considerar a lo largo de la viga es 4. 72 kN!m y est calculada para una seccin transversal de un metro de ancho aferente de las alas.

2.3. Cargas vivas

Cargas vivas son aquellas cargas no pe1manentes que tienen posibilidad de ser removidas eventualmente o conesponden a cargas que siempre estn en movimiento. Son cargas con magnitud y localizacin variables. Dentro de este gmpo se encuentran los siguientes tipos de carga:

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(1) Cargas Vivas Verticales: tales como cargas dete1minadas por la ocupacin de una edificacin o cargas vehiculares dinmicas.

(2) Cargas Vivas Laterales: tales como las producidas por la acumulacin de tiena o materiales.

En general, dentro de las cargas vivas en llll edificio se incluye: el peso de la gente, los muebles y maquinaria, as como otros eq1pos. Este tipo de cargas vaiian a lo largo del tiempo y, especialmente, si la funcin paia acopio de cargas del edificio can1bia. Las cargas vivas no deben ser inchdas en las cargas ambientales tales como el viento, sismo, o en la misma carga muerta. Otras fuentes de caiga viva estn definidas por la presencia de :

/ 1\"a.,f ...... ... _..; ... 1 ................ ; _ ........ ..... ~-.... t... ..... ; .... ..:1 .... -.. .......... ...... ;1 ; _.. ... ..:1 ...... -- ... 1 ............. _.. 4-- ___ ; _ ... ; __ ...... .3 ... 1 ........... t ... ; _ _ ... ...


\1) 1v1atenaies, eqmpos y uaoaJauores uunzauos en ei mamennmemo ue ia cu01ena.

(2) Objetos mviles y personas que tengan acceso a la estructura durante la vida til la misma.

Las cargas vivas especificadas en el cdigo para los diferentes edificios representan una estimacin conseivadora de la carga mxima que se puede generar por el funcionamiento del edificio. Cuando el rea de influencia del elemento estrnctural sea mayor o igual a 351rl y la carga viva sea supe1ior a 1. 8 kN/m2 (180 kgflnl) e inferior a 3. O kN!nl (300 kgf/m 2), la carga viva puede reducirse utilizando la ecuacin (aiticulo B .4.5.1 de la NSR-10):

donde:

A; = rea tiibutaiia del elemento en m2 L = Carga viva reducida, en kN/m2

Lo = Caiga viva sin reducir, en k.N/m2

Ar = rea tiibutaiia del elemento en m~ KLL = Factor del elemento paia carga viva, igual a 4 para cohunnas y 2 para vigas

La caiga viva reducida no puede ser menor del 50% del valor Lo en elementos que soporten un piso, ni del 40% de Lo en otros elementos.

Ejemplo 2: Descripcin de cargas viva.s en planta. Paia un edificio de cinco niveles cuya planta es mostrada en la Figura 2.5, calcular las caigas vivas paia la viga longitudinal del eje 2 y para la viga del eje B entre ejes 4 y 7. Suponga una carga viva de diseo Lo de 2.5 kN!nl en todos los niveles, incluida la azotea. Igualmente, calcular la caiga viva de la columna central C-4B, o sea la colunma donde se interceptan los ejes 4 y C.

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6.0m

@

6.0m

1

l

@ 1

'

' I/ ;I ' ,'

I 1 :/ ; ' /).

, 1 ,, , , ) 1/ ,, ( , I 1

~, /) 1 / , 1

' , , . '/ ) ,,

( , , 1 ',


R = 15.0kN LJ DO 3.2m 6.0M LJ R = 15.0kN 1 3.6m ,

~ 6.0m 1 6.0m + Figura 2.6. Coite del edificio y carga viva para la viga del eje 2.

20


Vigas ejes B entre ejes 1-4 o entre ejes 4-7:

rea tributaria -7 T = 6 m*4 m = 24 nl KLL = 2, para vigas . rea de irifluencia -7 A = KLL *AT = 2*24 nl = 48 11l Puesto que Ai = 48 nl > 35 nl . . S se permite reduccin de carga .

Carga viva reducida -7 L =L0 * ( 0.25+ ~] =2.5*(0. 25 + ;;) = 2.3 k~ ..A v48 m

_,, kN * ) kN kN kN Dcmo que 2.3- >0.5 ( 2.5 -=1.25- :::::> Usar WL =2.3-m 2 m2 m 2 m2

( kN ) Carga en los tercios del claro= 2 * 2.3 - 2 * 3m* 2 m = 27.6 kN m

Wm Um ! '\OL-N "tOL-M .


. ............

il ll ,,~,, J R= 30KN R= 30KN

l. 1 6.0M

Figura 2. 7. Cargas vivas ptmtuales que se transmite a la viga del eje B entre ejes 1 y 2.

Columna C-4B, en interseccin de ejes 4 con B:

rea tributaria -7 Ar = 6m*6 m = 36 m2 Ku = 4, para columnas. rea de irifluencia -7 A ; = Ku*Ar = 4*36 m2 = 144 m2 A i = 144 m2 > 35 m2 S se permite reduccin de carga.

~ ( 4. 6 J ( 4. 6 ) kN Cargavivareducida-;r L=L0 * 0.25+ iA =2.5* 0.25+ r-:;-;-; =1.6-2 -..A vl44 m

kN * ) kN_ kN kN Puesto que 1.6--->0.5 ( 2.5 ----1.25--- => To11101 WL =l.6--- m m 111 m

Carga viva para la colunmaC - 4B: l.6k~ *6*611/ =57.6kN 111

21

Jos Jtniier Martinez Echeverry

Los valores de las cargas vivas especificados por los reglamentos de constmccin se


consideran como cargas estticas fijas. Pero si las cargas se aplican rpidamente, crean fuerzas de impacto adicionales, como en el caso de un cuerpo en movimiento que ejerce una carga sobre una estrnctura: la estructma se defo1ma y absorbe energa cintica del objeto en movimiento.

Como una alternativa para un anlisis dinmico, las cargas mviles usuales se consideran fuerzas estticas incrementadas emphicamente por un factor de impacto especificadas en el cdigo NSR-10 en la seccin B.4.4.

Debido a que los rebotes ve1ticales del trfico en movimiento, paiticulaimente cuando las superficies de rodaje no son parejas, generan fuerzas de impacto, I, las caigas deben incrementaise por el factor de impacto dado por:

I = 50 --7 Unidades del Sistema Ingls Lu +125

I = 152 --7 Unidades del Sistema Internacional Lu +38.1

El factor de impacto debe ser menor o igual a 0.3 (30% de la caiga viva). La variable Lu conesponde a la longitud de la lu:. que se caiga para producir el esfuerzo mximo en el miembro.

2.4. Cargas de sismo

Las cargas de sismo son debidas al movimiento acelerado del suelo en las direcciones tanto ho1izontal como vertical, y son expresadas en funcin de la gravedad g. Cuando la base de una estrnctura est sujeta a una aceleracin sbita del suelo, las fuerzas de inercia que siguen la segunda ley de Newton (F = m*a) se desaiTollan y un anlisis dinmico basado en las ecuaciones de movimiento de Newton paia estrncturas localizadas en regiones de cie1to riesgo ssmico, debe ser seguido.

Los movimientos del teITeno generados por las fuerzas de teITemotos provocan oscilaciones en los edificios. Suponiendo que el edificio esta fijo en la base, el desplazainiento de los niveles varan desde cero en la base hasta un mximo en la azotea.

Las fue1zas ho1izontales de sismo son cargas dinmicas que se aproximan a cargas estticas equivalentes. Para el clculo de edificios se puede utilizai un procedimiento cuasi-esttico o tambin se utiliza un anlisis modal o dinmico. En el anlisis cuasi-esttico se concentra una carga pm1tual de sismo por cada piso de la estrnctura y esta carga se subdivide paia

, ,,,, ........... . . . , ..,.


cacta nuao ae la losa aonae se mterceptan las comnmas con las vigas pnnc1paies. La subdivisin de la carga de sismo de cada piso se puede realizar de acuerdo a la rigidez equivalente de cada nudo en el piso considerado.

22


Figura 2.8. Cargas equivalentes de sismo puntuales aplicadas en cada nivel de la edificacin.

Para el anlisis cuasi-esttico, la c01tante total en la base del edificio debe ser:

V= Sa *W ~ R

Ecuacin A. 4. 3 -1, NSR - 1 O

1.2 *A * F * I Sa = v v ~ para Ta ~ Te

Ta


T = O. 48 * Av * Fv e A * f, a a

Donde,

Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseo para un pe1iodo de vibracin dado. Est en funcin de la aceleracin pico efectiva de diseo, y de la velocidad pico efectiva, y es expresada como una fraccin de la aceleracin de la gravedad, para un sistema de llll grado de libe1tad con llll peliodo de vibracin T.

A a =coeficiente que representa la aceleracin ho1izontal pico efectiva, parn diseo, dado en la seccin A.2.2 del reglamento colombiano NSR-1 O.

A v = coeficiente que representa la velocidad ho1izontal pico efectiva, para diseo, dado en la seccin A.2.2 del reglamento colombiano NSR-1 O.

Fa= coeficiente de amplificacin, debido a los efectos del sitio, que afecta la aceleracin en la zona de pe1iodos cortos. Es adimensional.

Fv = coeficiente de amplificacin, debido a los efectos del sitio, que afecta la aceleracin en la zona de pe1iodos inte1medios. Es adimensional.

I = coeficiente de in1portancia definido en A.2.5 .2 del reglamento colombiano NSR-1 O. Ta = periodo fundamental de vibracin del sistema elstico, en segundos.

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Jos Jm1ier Mal"finez Echeverry

Los movimientos ssmicos de diseo en Colombia se definen en funcin de la aceleracin pico efectiva, representada por A a, y de la velocidad pico efectiva, representada por Av, para una probabilidad del diez por ciento de ser excedidos en llll lapso de cincuenta aos. Los valores de Aa y A v se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2.1. Valores de A y A., segn las regiones de Jos mapas de las figmas 2.9.a y 2.9.b.


Regin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V alor de 0.05 0.1 0 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 Aa A.,

Para efectos del reglamento colombiano NSR-1 O, los valores de Aa y Av deben determinarse de acuerdo con el nmero de la regin en donde est localizada la edificacin y el valor asociado, usando para.A el mapa de la Figura 2.9 .a y para.Av en el mapa de la Figura 2.9 .b.

~ ;;, ij - .. ' ... u ...

-

..

' . ..

' 0.10

> o.1S ... . ., . . ,.

.... ... . ..

' ...

' ....

. .. .. .,

. .. . ...

" ....

,..,

(a) Mapa de valores de Aa (Fuente: NSR-10} (b) Mapa de valores de Av (Fuente: NSR-1 O)

Figura 2.9.a y b. Mapas de valores de A y Av en el teITitorio colombiano.

El pe1iodo fundamental T de la edificacin se calcula lilizando la siguiente ecuacin aproximada (ecuacin A.4 .2-3 del reglamento colombiano NSR-1 O):


24


Para p1ticos resistente a momento de concreto reforzado, que resisten la totalidad de las fuerzas ssmicas y no estn adheridos a componentes ms iigidos que limiten los desplazamientos ho1izontales al verse sometidos a las fuerzas ssmicas, el valor de C1 es O. 047 y el coeficiente a es O. 9. Para prticos de acero estrnctural con la misma condicin la vaiiable C1 es O. 72 7 y el valor de a es O. 8.

Adicionalmente, el peso total del edificio es otra vaiiable que debe ser definida paia encontrar la c01tante de la base debida al sismo. Se calcula con la siguiente expresin:

W = L 1v ~ iv es el peso total. de cada piso La c01tante de base se distlibuye en todos los pisos del edificio mediante:

Fx = Cvx *V ~ EcuacinA.4.3-2, NSR-10

Donde Cvx es un radio basado en la altura relativa y peso de cada piso. El valor del coeficiente Cvx est definido por:

e = wx * h: vx wx * h';

n

Siendo,

~ W,, =mx * g ~ EcuacinA.4.3-3, NSR-10

mx = masa del piso considerado, g aceleracin de la gravedad k = exponente relacionado con el pe1odo fundamental, T, de la edificacin (ver seccin

A.4.3.l del reglan1ento colombiano NSR-10),

El coeficiente k se encuentra de la siguiente manera:


a) Para Tmenor o igual a 0.5 segundos -7 k = 1.0. b) Para T entre O. 5 y 2. 5 segundos -7 k = O. 7 5 + O. 5 T. c) Para Tmayor que 2.5 segundos -7 k = 2.0 .

Ejemplo 3: Aplicacin de Cargas de Sismo. En la Figura 2.10 se muestra la planta de llll edificio de 4 pisos, con las conespondientes dimensiones de vigas y cohmmas. La carga viva es de 200 kg/m2 y la carga muerta, incluyendo el peso propio de la estmctura, las paiticiones no estmcturales y los acabados, es de 1000 kgl m2.

El edificio esta localizado en una Zona de Riesgo Ssmico Alto con los siguientes valores de las variables ssmicas: el Coeficiente de Disipacin de Energa, R, es 7. , la aceleracin pico efectiva, A a, est definida como 0.20-, la velocidad pico efectiva, Av, tiene llll valor de 0.2, la estmctura conesponde a un edificio de ocupacin no1mal con Gmpo de Uso ! , por

25

Jos Jcn1ier Mal"linez Echeverry

lo tanto el Coeficiente de Importancia,!, tiene un valor de 1.0; por ltimo, las vaiiables Fa y Fv son iguales a 1.2 y 1.6 respectivamente que conesponde a un suelo tipo C, y cuyos valores estn definidos en la seccin A.2.4.5.5 del reglamento colombiano NSR-10.

~ q "' J

CD 1 1

40x40

1 1

45 x 45

@ 1 1

45x45

@ 1 1

40x40 ---

O x40

Ox40

Carga Viva= 1.8 kN!ni2 Carga Muerta= JO.O kN!m2

(corresponde a carga muerta total incluyendo pesos de vigas y columnas).

Vigas El= 0.35 *Ec *lg


1 40~ 45~5 45~5 40~0 . Columnas El= O. 7 *Ec *l g 40 x40 40 x 40 40 x 40 ---@

I 6.00 I

6.00 I 6.00 I f = 28 MPa ~ Columnas

f = 21 MPa ~ Vigas PLANTA TPICA DE LA EDIFICACIN

Figura 2.1 O. Planta tpica de la edificacin. Dimensiones de la losa: JO m de ancho y 18 m de largo.

Portico Tpico en eje Y Zona. de alto riesgo:

A a = 0.25 S2 = 1.2 I = 1.0 R = 7.0

Peso del edificio por piso: Wl = 180 nl *J. O Tnlm2 = 180 Tnlpiso

@ @

Figura 2.11. P1tico tpico en el eje Y

La carga ssmica se calcula, de acuerdo con los parmetros anteliores, de la manera que se presenta a continuacin.

El peso total del edificio es:

w = L w = 4* 180 kNw/ m2 *10 m2 = 7200 kNw= 720 Tn

26


Anbsis bsico de estructuras

El periodo fundamental de vibracin:

Ta = 0.047 * hn9 = 0.047 * (13f9 = 0.473 seg 0.48* Av * Fv = 0.28*0.2* 1.6 = 0. 64 se T < Te = Aa * f a O. 2 * l. 2 g .. Usen Ta =O. 47 3 seg

El valor de la Aceleracin para el periodo ftmdamental Ta = 0.473 seg, es:

S a = 2. 5 * Aa * Fa * 1 = 2. 5 * O. 2 * l. 2 * l. O= O. 60 ~ Usm S a = O. 60

Si para este ejmplo se asm11e el valor del factor de reduccin como R = 7, se deduce que el valor del Cortante Basal para el chequeo de defo1maciones en la estrnctura es:

Vs = Sa * w = 0.60*720.0 = 61. 7 Th R 7

El valor de k, definido confo1me alaseccinA.4.3 de lanonnaNSR-98, es:

1.0 ~ k =0.75 +0.5 *T ~2. 0

=> k = 0.75 +0.5 *0.473 =0.987 ~ Usar k =l.0

De acuerdo a la misma seccin A.4.3 del reglamento NSR-10, la distribucin de ferzas horizontales por piso ese presenta en la siguiente tabla.

Tabla 2.2. Distribucin de la cortante basal total del edificio para cada uno de los pisos de la edificacin.

h W k F; Piso No. lV*h (m) (Tn) (Tn-m) (Tn) 4 13 180 2340.0 23.6 3 10 180 1800.0 18.1 2 7 180 1260.0 12.7


1 4 180 720.0 7.3 I= 720 6120.0 61.7

Como accin final se debe dist1ibuir cada fuerza F; de piso en los prticos principales de la direccin de sismo estudiada. En el caso de analizarse el sismo en la direccin longitudinal, la fuerza de sismo de cada piso se distribuye en los ejes A , By C, de acuerdo al aporte de la suma de la 1igidez de los nudos en cada uno estos ejes.

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Jos Javier Mal'fnez Echeverry

2.5. Cargas de viento

Se asume este tipo de cargas debido a la fuerza que provoca el viento cuando sopla en cualq1er direccin. Los vientos fuertes inducen fuerzas intensas, las cuales son capaces de remover ramas de rboles, llevarse tejados y romper ventanas.

En general las cargas de viento siguen la ecuacin del tipo q = C P * v;, donde Cp es el coeficiente de presin modificado segn factores de ubicacin geogrfica, disposicin de la estructura, importancia y altura, entre otros. La variable V0 define el valor de la velocidad del viento y el resultado q es la presin 01iginada en la superficie de la estructura.

La presin o succin exacta aplicada por el viento a las estructuras es dificil de detenninar, debido a que la velocidad y direccin del viento cambia continuamente. Sin embargo, es posible entender aspectos de su comp01tamiento y llegar a cargas de diseo razonables.

La magnitud de las presiones de viento sobre la estructura depende de la velocidad del viento, la forma y rigidez de la estructura, la rngosidad y el perfil del teneno que la rodea, y la influencia de estructuras adyacentes . Cuando el viento choca contra un objeto en su


camino, la energa cintica de las paitculas de aire en movimiento se transfo1ma en una presin Ps, dada por:

m*V 2 Ps = o

2

donde:

m = densidad de la masa de aire V0 = velocidad del viento

As, la presin de viento vaiia con la densidad del aire y con el cuadrado de la velocidad del viento. La friccin entre la superficie del teffeno y el viento ejerce una fue1te influencia sobre la velocidad del viento, la cual, por lo general est involucrada de alguna manera en el factor Cp propuesto para encontrar la presin q.

Si la densidad de la masa de aire expuesta a l 5C promedio, se sustituye en la anterior expresin de Ps, la ecuacin bsica para la presin esttica de viento qs resulta ser:

qs = 0.00256 * V 2 --7 Unidades del Sistema Ingls

qs = 0.613 * V 2 --7 Unidades del Sistema Internacional .

En el muneral B.6.4 del reglamento NSR-10 se especifica el alcance del procedimiento simplificado paia el clculo de caigas de viento. El edificio debe cumplir con las siguientes condiciones (seccin B.6.4.1.1 de laNSR-10):

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Anlisis bsico de estmcturas

El edificio sea de diafragma simple, es decir, un edificio cuyas caigas de viento a h#'l't'lA..:rotttA "' eoAtt'l-cro


VCU.J.VV'-'JlLV y .;:)Vl.UV\,..lll.V ,;:) \..' LJ.. U\,; .PJ..::>V y \..UVJ.'-'J.La Jla\..J.ct un mismo sistema principal de resistencia defuer=as de viento (SPRFV), o sea que no tiene separaciones estmcturales. El edificio sea bajo, con una altura media de la cubierta menor o igual a 18 m ( 60ft ), sin que esta altura exceda la menor dimensin ho1izontal del edificio. El edificio sea de fo1ma regular, es decir, llll edificio u otra estmctura que no tenga geometlia iITegu.lar en su fo1ma espacial. El edificio debe ser ceITado, es decir debe cmnplir las siguientes condiciones: ( 1) el rea total de abe1turas en una pared que recibe presin externa positiva no excede el 10% de la suma de las reas de aberturas en el rea restante del revestimiento del edificio (paredes y cubierta); (2) el rea total de aberturas en m1a pared que soporta cargas positivas, no excede de 0.37 m2 o 1% del rea de esa pared (la que sea menor), y el porcentaje de abe1turas en el rea restante del revestimiento del edificio no excede 20%.

Estas condiciones se expresan mediante las siguientes condiciones:

Ao ~ 1.1* Aoi Ao ~0.37m2 Ao ~O.Ol*Ag ,el que sea el menor. oi / Ag ~ 0.2

donde:

A 0 = rea total de abe1turas en m1a pared que reciba presin positiva externa, en m2. A g = rea total de la pared a la cual A 0 hace referencia. A0 = la suma de las reas de abe1turas, sin incluir A0 , en la revestimiento del edificio (paredes y cubie1ta), en m1. A gi =la suma de las reas bmtas, sin inchr Ag, del revestimiento del edificio (paredes y cubierta), en m2. El edificio no sea clasificado como flexible sin que su pe1iodo fundamental de vibracin supere 1.0 seg. Las caracte1sticas de respuesta del edificio sean tales que el mismo no est sujeto a cargas por viento a travs de l, a generacin de vrtices, a inestabilidad por golpeteo o aleteo, y no est ubicado en un sitio en el que se puedan presentar efectos de canalizacin o sacudimiento por la estela de obstmcciones en barlovento, que obliguen a consideraciones especiales. El edificio tenga m1a seccin transversal aproxinladamente simt1ica en cada direccin y tenga una cubierta plana, una cubierta a dos aguas con pendiente menor o igual a 45, o una cubierta a cuatro aguas con pendiente menor o igual a 2 7. Fl P.rlirio no tiP.nP. r.::u:m>: rlP. r.mp ~: tm>:ion~lP.>: ~nlir.~rl~>: P.n nn~ mi>:m~ rlirP.r.r.in


La altura promedio del edificio es menor de 18 m y no est en zonas propensas a la accin de vientos huracanados.

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Jos Javier Madnez Echeverry

La presin dinmica del viento Ps, representa la smna de presiones internas y externas que debe aplicarse a las proyecciones horizontales y verticales de las superficies del edificio como se muestra en la Figura 2.12. Para la presin horizontal segn se muestra en los sectores A a D de misma figura, Ps es la combinacin de las presiones netas a barlovento y sotavento y se detenninar con la siguiente ecuacin:

Ps = A.* K:t * l* Ps10

donde:

A, = factor de ajuste por altura y exposicin, definido en la Tabla 2.3. I = factor de impo1tancia debe presentarse de acuerdo de acuerdo con los grupos de uso

presentados en la seccin A.2.5 del reglamento colombiano NSR-10. P s1o = presin de viento de diseo simplificada para la categoria de exposicin B, para una

altura promedio de la estmctura h=JO m, segn definido en la Tabla 2.4 . K=1 = factor topogrfico como se define en la siguiente ecuacin evaluado a la altura

promedio h de la cubierta,

K 1 = factor que tiene en cuenta las caracte1sticas topogrficas y el efecto de mximo munento de velocidad.

K 2 = factor que tiene en cuenta la reduccin en el aumento de la velocidad con la distancia desde la cresta, a barlovento o sotavento.


K 3 =factor que tiene en cuenta la reduccin en el aumento de velocidad con la altura sobre el teneno local.

K1 =se obtiene de la tabla 2. 5

K ? =(]- x ) - * Lh

K3 =(e )-f"::I Lh

donde:

H = altura de la colina o escrupe, en metros. Lh = distancia horizontal viento ruriba desde la cresta de la colina o escrupe hasta

donde la diferencia en elevacin de teneno es la mitad de la altura de la colina o escrupe, en m

= = altura por encima del terreno, en m = factor de atenuacin horizontal. r = factor de atenuacin en altura.

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Tabla 2.3 Factor de ajuste, A., de acuerdo a la altura del edificio y al tipo de exposicin. (Fuente: figura B.6.4-2 del reglamento colombiano NSR-10).

Altura Media Tipo de Exposicin del Edificio (m) B e D

4.5 LOO 121 L47 6.0 LOO 129 155 7.5 LOO 135 161


9.0 LOO 140 166

10.5 1 05 145 170 12.0 109 149 174 13.5 1.12 153 1 78 15.0 1.16 156 1.81 16.5 1.19 159 1.84 18 n 122 1 61 1 .87

Tabla 2-4. Presin Bsica de Viento, Psio , en kN/m2, para una e,"Cposicin tipo B a una altura h=JO.O m, ~t =1.0, y con I=l. O. (Fuente: reglamento colombiano N SR-1 0).

Velocidad ngulo de Zonas Bsica del !llC /inac in de ia Caso de Presiones Ho1'i:orales Presiones verticales Aleros

Viento en mis Cubierta Carga (kmfh} (g-ados) A B e D E F G H EOH GOH

Oa5 1 0.1 1 -O.OS 0.07 -0.03 -0.13 -0.07 -0.09 -0.06 -0.18 -0. 14 JO 1 0.12 -O.OS 0.08 -0.03 -0 .13 -0.08 -0.09 -0.06 -0.18 -0. 14 J5 1 0.13 -0.04 0.09 -0.02 -0. 13 -0.08 -0.09 -0.06 -0.18 -0.14

17 20 1 0.15 -0.04 O. 10 -0.02 -0.13 -0.09 -0.09 -0.07 -0.18 -0. 14 (60)

25 1 0.13 0.02 0. 10 0.02 -0.06 -0.08 -0.04 -0.06 -0.1 1 -0.09 2 --- --- --- --- -0.02 -0.04 -O.O! -0.03 --- ---

30a45 1 0.12 0.08 0.09 0.06 O.O! -0.07 0.00 -0.06 -0.04 -O.OS 2 0.12 0.08 0.09 0.06 0.5 -0.04 0.04 -0.03 -0.04 -O.OS

Oa5 1 0.19 -0.10 0. 12 -0.06 -0.23 -0.13 -0.16 -0.10 -0.32 -0.2S JO 1 0.21 -0.09 0. 14 -0.05 -0.23 -0.14 -0.16 -0.ll -0.32 -0.2S J5 1 0.24 -0.08 0.16 -0.04 -0.23 -O.IS -0.16 -0.11 -0.32 -0.2S

22 20 1 0.26 -0.07 0. 17 -0.04 -0.23 -0.16 -0. 16 -0. 12 -0.32 -0.2S (80)

25 1 0.24 0.04 0.17 0.04 -0.10 -0.14 -0.08 -0.1 1 -0. 19 -0.17 2 --- --- --- --- -0.04 -0.08 -O.O! -O.OS --- ---

30a45 1 0.21 0.14 0.17 0.11 0.02 -0.13 0.00 -0.ll -0.07 -0.09 2 0.21 0.14 0.17 O. ll 0.08 -0.06 0.07 -O.OS -0.07 -0.09

Oa5 1 0.29 -0.15 0.19 -0.09 -0.35 -O.JO -0.25 -0.16 -0.49 -0.39 JO 1 0.33 -0.14 0.22 -0.08 -0.35 -0.21 -0.25 -0.17 -0.49 -0.39 J5 1 0.37 -0.12 0.2S -0.07 -0.35 0-.23 -0.25 -0.18 -0.49 -0.39

28 20 1 0.41 -0.11 0.27 -0.06 -0.35 -0.2S -0.25 -0.19 -0.49 -0.39 ( JOO)

25 1 0.37 0.06 0.27 0.06 -0.16 -0.22 -0.12 -0.18 -0.30 -0.26 2 --- --- --- --- -0.06 -0.12 -0.02 -0.08 --- ---

30a45 1 0.33 0.23 0.26 0.18 0.03 -O.JO O.O! -0.17 -0. 12 -0.13 2 0.33 0.23 0.26 0.18 0.13 -0.10 0.11 -0.07 -0.12 -0.13

Oa5 1 0.42 -0.22 0.28 -0. 13 -O.S I -0.29 -0.3S -0.22 -0.71 -O.S6 JO 1 048 -0.20 0.32 -0. 11 -O.SI -0.31 -0.3S -024 -0.71 -O.S6 J5 1 O.S3 -0.18 O.JS -0. 10 -O.SI -0.33 -0.3S -0.2S -0.71 -O.S6

33 20 1 O.S9 -O.IS 0.39 -0.08 -O.SI -0.3S -0.3S -0.27 -0.7 1 -O.S6 ( J20)

25 1 O.S3 0.08 0.38 0.09 -0.24 -0.32 -0.17 -0.26 -0.44 -0.37 2 --- --- --- --- -0.09 -0.17 -0.03 -0.1 1 --- ---

30a45 1 048 0.32 0.38 0.26 0.04 -0.29 O.O! -0.2S -0. 17 -0.19 2 048 0.32 0.38 0.26 0.18 -0.14 0.16 -0.10 -0. 17 -0.19

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Jos Jm1ier MaJ"linez Echeverry

Tabla 2.5. Parmetros para aumento de velocidad sobre colinas y escarpes. (Fuente: figura B.6.5-1 del reglamento colombiano NSR-1 O).

Kll(H/Lh) Forma de la Colina Exposicin y Hacia barlovento Hacia sotavento

B e D desde la cresta desde la cresta

Loma.s bidimensionales (2D} o valles 130 1.45 1.55 3.0 1. 5 1.4

con H negativa en Kll(H/Lh) Esca1pes bidimensionales (2D) 0.75 0.85 0.95 '.l.5 1. 5 4.0

Colina tridimensional axialsimtrica 0.95 1.05 11 5 4.0 1. 5 1.5

Si el sitio o la localizacin de la estmctura no cumple con las siguientes condiciones especificadas, entonces se debe usar K~ =1.0.

Que la colina o escarpe est aislada y sin obstrucciones en barlovento por otros accidentes topogrficos de altura a una distancia equivalente a 100 veces su altura o 3 km, la que sea menor. La distancia se debe medir holizontalmente del punto desde el cual la altura H de la loma, colina o escarpe se mide .

Que la colina, o escarpe sobresalga por encima del teneno viento aniba por llll factor de 2 o ms, dentro del radio de los 3 km.

Que la estrnctura est localizada en la mitad supe1ior de la colina o cerca de la cresta del escaipe.

Que H/Lh ~ 0 .2 . Se define Lh como distancia viento aniba de la cresta de la colina o escaipe en la Figura B.6.5-1 de laNSR-10, donde la diferencia en elevacin de teneno es la mitad de la altura de la colina o escaipe, en m

H es mayor o igual a 4. 5 m paia la Exposicin C y D y 18 m paia la Exposicin B.

Las zonas de presin son las proyecciones horizontales y verticales de la superficie de cubierta del edificio y se definen en la siguiente figura de acuerdo a las dos siguietes r.::atPOf'\r


Zonas Horizontales de Presin. Es la suma de las presiones netas (internas y externas) a barlovento y sotavento, en la proyeccin ve1tical de:

A : Zona final del muro B : Zona final de la cubierta C : Zona interior del muro D : Zona inte1ior de la cubierta

Zonas Verticales de Presin. Es la smna de las presiones netas (internas y externas), en la proyeccin horizontal de:

E : Zona final de cubierta a barlovento F : Zona final de cubierta a sotavento

32


G : Zona inte1ior de cubie1ta a barlovento H : Zona interior de cubie1ta a sotavento


Transversal

Figura 2.11. Presiones de viento de diseo, para una altura h ~ 18 m. (Fuente: reglamento colombiano NSR-10, Figura B.6.4-2).

La siguiente es la notacin empleada en la identificacin de la figura ante1ior: la dimensin a es el 10% de la menor dimensin ho1izontal o O. 4h, la que sea menor y no debe ser menor al 4% de la menor dimensin ho1izontal o 0.9m; la vaiiable h representa la altura hasta el alero (en metros) cuando ~ 10; o de otra manera se usa h hasta la altura media de la cubierta; el ngulo 0 es la inclinacin de la cubie1ta, en grados.

Las zonas de presin mostradas en la anterior figura se aplican a las proyecciones ve1ticales y horizontales paia la categora de exposicin B, a una altura h=lO.O m, I=l.O y K=t =1 .0. La categora de exposicin B es definida como la rugosidad de terreno tipo B, prevalece por una distancia de al menos 800 m o 20 veces la altura del edificio, la que sea mayor, en la direccin al viento. Las zonas de presin en los sentidos longitudinal y transversales, mostradas en la Figura 2.11, se definen a seguidamente .

Los signos positivo y negativo significan presiones y succiones actuando sobre las superficies respectivamente. Para el diseo con el sistema principal de resistencia de fuer=as de viento (SPRFV) en el sentido longitudinal debe usarse 0=0, localizando las zonas de borde EIF y G/H en la mitad de longitud del edificio.

33


Jos Javier Mal"fnez Echeverry

2.6. Cargas debidas a temperatura

Al presentarse una vaiiacin de la temperatura en llll elemento cualquiera, el material tiende a expandirse o contraerse de acuerdo al cambio proporcional de elevacin o disminucin de la misma.

El cambio de temperatura tiene efectos en el alargamiento o acortamiento unitario de un elemento determinado, de acuerdo con la expresin E = a * TLI, donde E es la defo1macin unitaiia, a es el coeficiente de expansin tnnica y LIT es la variacin o cambio de temperatura.

Cada mate1ial tiene un coeficiente de expansin tnnica caracteristico, el cual pennite calcular la defo1macin debida al cambio de temperatura. En el sistema internacional, la lmidad del coeficiente a es C 1. La defo1macin t1mica para lllla barra lineal se puede calcular como:

Ll.L = a* LIT* L

y el esfuerzo t1mico se puede calcular con la expresin:

cr=a* LIT* E


34


Ejercicios propuestos 2.1. Para llll edificio ap01ticado de aprutamentos diseado para 5 pisos, ubicado en la ciudad de Cali y a construirse en m1a zona con suelos de perfil C de acuerdo a la n01ma sismonesistente Colombiana, se desea calculru la fuerza c01tante basal del mismo y la distribucin de sta fuerza en cada lma de las cinco losas. Todas las plantas de la edificacin son iguales con lm rea en planta de 200 m2 y con lllla altura de cada piso de 3 m (altura total de la edificacin es de 15 m). Los pesos a considerru son: el peso propio de la losa es de 450 kg!rrl, los muros pesan 300 kg/ m2, los pisos 150 kg!ni2 y las columnas 50 kg!n/ por piso. Calculru la dist1ibucin de fuerzas cortantes en cada nivel segn el mtodo de la Fuer= a H ori=ontal Equivalente sugerido en la misma n01ma.

2.2. Encontrru la fuerza ssmica en el tercer nivel de diseo del p1tico en el eje C tomando el nmero de columnas del eje proporcional al nmero total de columnas. Utilizar el mtodo de la fuer-a hori::.ontal equivalente considerando m1a carga distriblda de 1.0 Tnlm2, que incluye colmm1as, vigas, acabados y pruticiones. El edificio es de 5 pisos: la altura del primer piso es de 4 m y los dems pisos son de 3.2 m. Tomru como 1 m todas las dimensiones de los aleros por fuera de los ejes y considerar todas las distancias entre ejes de 6 m. Considerru los datos ssmicos del ejemplo anterior.


1 L i - ).t----------+-

1 1 '

-,-- - 1 l 0)~----~------- ----- -~- ------------;J:---1 ' ! : 1 1

=7 ! : ' 1

1 L, 1

1 1

1 1

1-------------~--------------~------I 1 1 1 1 1

1 1

-~- ----1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

________ _ 1 1 1 1 1

1 1 1 1


son: el peso propio de la losa es de 5.0 kN!rrt , los muros pesan 3.0 kN!nt, los pisos 1.5 kN!11l Si a lo largo del eje 1 hay un muro de cenamiento de 3. O m libres de altura y 0.15 m de espesor, considerar la alternativa mas critica de carga tomando el peso propio del muro a lo largo de ste eje tomando el peso aferente por ni de muro entre ejes 1y2.

-0-- 1 ! 1 11 ; ~ ---- - -- -il ---- ---- -m -------- --------a 1 1 l ' ! 1 1 1

1 1 ! 1 1 ! 1 1 ! 1

--- -------- ~ -J~--l ---~. ---L;--___ 1: --------t ' .:;1 . 1 : ..r

-- . ' . -. --. -. ~ - ~ . ..t-:'. e . e i .. -... -~ 1 1

1 1 ' 1 1 1 1 1 ! 1 1 :

i 1 1 1 1 f 1 1 1

! f 1 i : -- - -;-- --------9- - -- -- -- -$ - - - - - - - - - - -- - - - - -

1 1 -+

. . ... J 1 '

-- --~ --------~ -~--:-~_,,...,,.._ ---'------""'.:-:""._:-._ ~ ---------r -_ _J_ ~-i+-~ 1 L~---l


*Ancho b de la viga= 45 cm *Altura h de la losa = 40 cm

36


Usar para las viguetas la misma carga mue1ta de 7. 5 kN!Mt y una carga viva de 2.0 kN!Mt, cargas sin mayorar. La luz del primer tramo de la viga 245 es de 6. 4 m y la segunda luz es de 3.2 m

o o

- @ ' 1 tJJ @I ,~ I~ r ~ {4@ ~ ~ ~ ~ \_- / (~ A-A' 1 1 ~ ~ 11 1 ~ ~ 1 1 ':::.;/' 1 1 1 1 1 ~o 11

1 ~o 1 1 1 1 1 1 r-

: !' 1

I ; m @~~ 1 ""' '1

- o:-32:

1 ~; 1 ~; ~ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ~_/ 1 ~ N - ~ "' ~ 11 ~ N ( ~) 1 .1 1 .1 1 .1 { J \ 1 1 1 1 N 1 1 1 ~11 ) ~ / 1 11 ~ N 1 I 1 ~ N 1 1 1 1 1 . 1 452.5 1. 465 1 1 .... 1 1 ... 1 1 4 1 ... 1 ... 1 11 ~ 22.01 1 ~2.5 22.01 ~2.S ~ 22.~1 !l2.5 22.01 ~2.5 22 . .51 !!2.5 22 . .5p $!.2.5 22.!'t'

1 I ~ ~ 1 I 1 ~ ~ 1 1 1 1 1 I ~ ~ 1 I 1 ~ !:! 1 1 1 1

~ ~ wu 1._ ~ -! ~~ !wm J 1 1 1 WA "' ~ 1 ~ ~ 5.0m ~ 5.0m ~

10


Problema 2.5. Para la siguiente seccin de un puente evaluar la carga mue1ta aferente de una viga central y la carga mue1ta aferente de m1a viga de borde si adicionalmente existe una caipeta de asfalto de 0.05 m de altura que va hasta los bordes internos del andn. El peso en conjunto del andn y las barandas es de 300 kglnl y se considera que el andn tiene O. 7 m de ancho. Las densidades del concreto y asfalto son respectivamente 2.4 Tn!ni3 y 2.2 Tn/1ri3. Adicionai a la viga central del puente la caiga viva en la superestrnctura conespondiente a un camin C40-9 5, segn definido por el Cdigo Colombiano de Diseo de Puentes y para la posicin mas crtica de las llantas entre dos vigas consecutivas.

:~1tuuuu ~J - ~r:: ~1.0ml. 1 2.0m 1, 1, 2 .0m ' 1, 20m ' ' 2.0m 1 ' 2.0m 1. '.1.0m

'1 Jj 1 ' 1 1 1 1 1 1 f 1 1 ' 1 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m

37


Problema 2.6. Encuentre las caigas para los elementos que se describen a continuacin:

a.) El peso por metro lineal de una bana de una pulgada de dimetro. b.) La presin externa en un tanque de 3 m de dimetro sumergido en el agua a 10 m de

profundidad. c.) El peso por metro lineal de m1a viga trapezoidal de 0.5 m de altura, una base inferior de

O. 4 m y con paredes laterales inclinadas a 4 5. d.) La caiga total de servicio y mayorada en un balcn de 3.0 m de ancho, 2 .0 m de largo y


0.2 m de altura, con 350 kglm2 de carga viva

Problema 2.7. Para la siguiente estmctura encontrar las fuerzas de viento si la estmctura es constnda en una zona donde la mxima velocidad de 50 km/hora. El edificio est ubicado en m1a ciudad a 980 m sobre el nivel del mar. Para barlovento y sotavento en los elementos inclinados usar coeficiente de la Tabla 2.2. Para la pared ho1izontal usar un Cp de 0.8 para barlovento y de -0. 5 para sotavento.

2.0 m

3.0 m

5.0 m 5.0 m

38


3. Sistemas de fuerzas

3.1 Definiciones

Para estructuras planas un sistema de fuerzas puede ser:

( 1) Coplanar: sistemas con varias fuerzas cuyas lneas de accin se extienden en llll mismo plano.

(2) No coplanar: para estructuras en tres dimensiones, o estructuras espaciales, cuyos ftmdamentos de anlisis no van mas all de los estudiados para estructuras planas, pero que por la gran cantidad de clculos que involucran, al considerar la tercera dimensin, estn fuera del alcance de esta presentacin.

Los sistemas coplanares se subdividen en:

(1) Sistema coplanar concurrente: consiste en varias fuerzas cuyas lneas de accin se intersecan en llll punto com1m.

(2) Sistema coplanar no concurrente: las lneas de accin de las fuerzas en un mismo plano no se intersecan en w1 pm1to comn.

ll ....

' I f ' I f

c:::::::J:f- - - - ~' ,.t - - -1- -1< 1 I '- f

1 ', 1

(a) Sistema de Fuerzas Concurrentes (b) Sistema paralelo de Fuerzas


Il_, ''- I 1 ;


Figura 3.2. Sistema general de fuerzas no concuffentes.

3.2. Caracte1isticas de una fuerza

Una fuerza es una accin capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, as como inducirle defonuaciones y cambiarle la direccin o el sentido.

Las fuerzas son magnitudes vectoriales gobernadas por las siguientes caracteristicas:

Punto de aplicacin: seala el punto de origen o donde se concentran las fuerzas en un plano caitesiano.

Direccin: es la ubicacin de la lnea que sigue el vector en el plano. Sentido: positivo o negativo, si coincide con los ejes positivo del plano caitesiano o si

se desplaza en la direccin contraiia. Intensidad: es la longitud del vector y el valor equivalente de la fuerza aplicada.

La resultante del sistema general de fuerzas coplanar no concunente (ver Figura 3.3) debe cumplir con:

l . Rx = L Fx 2. Rx = .L:Fx

3. R*d=.L:Mu

40



y

Ry R .. ---------

'

X

X

Figura 3.3. Fuerza resultante de un sistema coplanar no concw1ente.

Aplicando descomposicin de vectores en el plano se deducen las siguientes expresiones:

l . R =~R/ +Ry2 R

2. B = tg - J __l'._ Rx

3. X= LMu Ry

4. y = LMu Rx

Ejemplo 4: Definicin de lUl vector. Descomponer un vector cuya magnitud es de 40 kN y el ngulo que fo1ma con respecto al eje ho1izontal positivo conesponde a 40.

SenBx = Fy - F

Fy = F*SenB

Fy = 40K * Sen40

Fx CosB =-x F

F_" = F * CosB F_" = 40K * Cos40

y


Fy =25. 7K F_"' = 30.6K

.._~~~~~~~~~~-+X

Figura 3.4. Componentes de un vector en el plano cartesiano.

41

Jos Jm1ier Mal'linez Echeverry

3.3 Equilibrio esttico de un sistema de fuerzas

Estableciendo un balance entre la resultante global de un sistema y las fuerzas aplicadas, se debe llegar a la conclusin que el sistema est en equilib1io externo si la sumato1ia de la resultante con las fuerzas aplicadas es cero. Lo ante1ior pennite establecer que, basndose en un sistema estrnctmal, las fuerzas que identifican las reacciones en los apoyos sumadas a las fuerzas actuantes estn en equilib1io si la suma vecto1ial de las mismas es cero. Segn lo expresado en el numeral 3.2, si consideramos el vector R como la resultante de las reacciones de un sistema se cumple que:

l. Reaccin resultante (en cli.reccin ,"() - L Fx(aplicadas) =O 2. Re accin resultante (en direccin y ) - L Fy (aplicadas) = O 3. Resultante (general) * d - LMu( aplicados) =0

La distanciad se toma como la distancia perpendicular desde el pm1to de aplicacin de la resultante general del sistema a cualquier punto del sistema. En general, para un sistema coplanar de fuerzas hay tres vaiiables desconocidas del sistema total y hay res ecuaciones estticas pai-a. encontrai las tres variables. Luego, paia que exista un estado de equilib1io ____ , ______ , __ . -=- --! ... ... ... . _____ , ;_: _ _ __ _ _ , _, ____ - - . . . ... : .s:-__ , ___ . .. : ..... 1.1.- ! .......... ... . .


copianar, ias s1gmemes Lres con01c10nes ueuen ser saus1ecnas s1mmLaneameme:

EFx =O ; EFy =O ; EM =O

Las anteriores condiciones aplican a un diagrama de cuerpo libre donde aparecen indistintan1ente los vectores que representan las fuerzas externas aplicadas al sistema y las fuerzas de reaccin que se generan en los apoyos.

Como conclusin se puede establecer que para una estructura en equilib1io externo se pueden enunciar los siguientes dos p1incipios bsicos:

Equilibrio de un sistema Un sistema estructural est en equilib1io esttico cuando las resultantes de todas las fuerzas y momentos (aplicados y resistentes) deben ser iguales a cero.

Equilibrio de parte de un sistema. Si todo un sistema estmctural est en un estado de equilibrio esttico, cualquier paite del mismo tan1bin debe estai en equilibrio esttico.

Los subndices (x,y) representan los ejes a lo largo de los cuales las componentes Fx y Fy, de un vector de fuerza F, son estudiadas. Estos ejes pueden o no ser 01togonales y pueden estar 01ientados en el sentido global generalizado o pueden ser definidos como ejes locales pai-a. un elemento que fo1me parte del sistema. La sumatoria de momentos, :,.M, es tomada alrededor de un eje cualquiera normal al plano de la estmctura analizada (paia estructuras coplanaies). La combinacin de estas ecuaciones es admisible, puesto que las tres son independientes.

42

An/.isis bsico de estmcturas

Debido a que el momento es tomado alrededor de un eje perpendiculai al plano de la estmctura, la sumatoria de momentos puede ser tomada en diferentes puntos del plano paia mantener el eauilibrio del sistema. Se cmnole. entonces. aue:


llvf j =O , llvf k =O ...... .. . llvf1 =O ~ para cualquier punto j, k

3.4 Fuerzas internas en los elementos del sistema

En el plano las siguientes son las fuerzas internas que actan en cada elemento:

Fuer=a nonnal. La fuerza n01mal Nen una seccin dada es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas y componentes actuando nonnales a la cara de la seccin.

Fuer=a cortante. La fuerza c01tante o tangencial es simplemente la fuerza V en m1a seccin, la cual es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas y componentes de las fuerzas actuando paralelas a la seccin transversal considerada.

Momento flector. El momento tlector M en una seccin es igual a la suma algebraica de todas las parejas de fuerzas y momentos estticos de que desanollan las mismas fuerzas actuando a un lado de la seccin considerada y concentradas en su centroide.

Para un elemento estructural representado en un plano los tres tipos de fuerza se aplican en el centroide de una seccin transversal detenninada y concunen con los ejes locales de la seccin, de manera que la nom1al coincide con el eje local longitudinal del elemento o direccin local x, la cortante se aplica ve1ticalmente en la cara del elemento coincidiendo con el eje local y, mientras que el momento se aplica alrededor del eje transversal de la seccin que para efectos locales es el eje en direccin:;;,

Fuer=a normal = N x Fuer=a cortante = Vy

Momento flector con respecto al eje Z = M _

Para llll elemento estmctural espacial se presentan seis tipos de fuerzas en lllla secc10n transversal, aplicadas en el centroide de cada seccin dete1mi..nada. Estas fuerzas son:

Fuer=a normal N x Fuer=as cortantes = Vy , V::

Momentos con respecto a los ejes globales= M x , M y , M::;

En las siguientes Figuras 3.5 y 3.6 se observan respectivamente las fuerzas internas aplicadas en la seccin transversal de un elemento lineal en lllla estructura plana, as como , __ ..c. ..... _ ..... ,_ ... ;_,. .. ... - .......... _ t ................ ; .!._ .l ........ __ , _ _____ _.. .. ............ ... ~ ... ..._ ..... .... --- - .J ....... _ ............ ..-.. ......... _ .....


H:l:S 1Utaz.a:s 1Hlt:Uli::l:S t:Jl 1


vy(k, M 11 ~My(k)

5fv z

z


3. IM1 = 0 ~ - M;{j) +VJ~{J) *L1k+(P3) *b3+{P4) *b4

+ w* ( b3 - b4) * ( L;k - ( b3 ~ b4)) + M::(k) =O En estas ecuaciones las fuerzas n01males al inicio y final del tramo son NxJ y Nx(k) . De la misma manera las parejas de c01tante y momento son respectivamente (vy); Vy(k) ) y (M ::U); M ::(k) ). La variables b 3 y b4 corresponden a las distancias desde los puntos de aplicacin de P3 y P4 hasta la seccin K. La variable L1k define la distancia del tramo comprendido entre los puntos J y K, mientras que (b3 - b4) es la longitud del tramo donde est aplicada la carga uniformemente distribuida w.

Por simplicidad se ha considerado que las cargas puntuales y la carga distribuida son ve1ticales; por tanto, no hay componentes ho1izontales de carga axial aplicada y la resultante de la misma en la seccin K es igual y de sentido contrario a la resultante del avalo de cargas obtenida para el primer tramo, entre el apoyo empotrado y la seccin J.

45


4. Estabilidad y determinacin esttica de estructuras

Dentro del anlisis cinemtico de una estmctura se debe establecer la posibilidad de movimiento del sistema a travs del estudio de la estabilidad geomtrica, la cual estudia la vinculacin entre s de los elementos de la estructura y la vinculacin externa de los apoyos con la tiena. Para establecer si existe o no la posibilidad de movimiento de una estmctura, se deben tener en cuenta los siguientes dos ciiteiios de estabilidad geomtiica:

Estructura geomtricamente estable. Una estrnctura es geomtiicamente estable si para cualquier movin1iento incipiente de la estmctura una oposicin o resistencia al movinliento es desanollada. Esto requiere al menos la presencia de tres fuerzas de soporte no concunentes y no paralelas


Estructura geometncamente inestable. La esuucmra nene un munero sunc1eme cte reacciones, no concunentes entre s, pero que estn inconectamente colocadas para asegurar estabilidad, como es el caso de bielas paralelas de soporte.

De lo anterior debe ser concluido que en algunos casos aquellas estructuras que parecen estar amanada a la tiena a travs de un nmero suficiente de vnculos, pueden an ser consideradas inestables por presentar convergencia de reacciones en un punto detenninado o por tener deficiencia de resistencia en una de las dos direcciones del plano, como es el caso de tres bielas cuyas fuerzas de reaccin estn 01ientadas en el mismo sentido de un eje global.

4.1. Estabilidad geomtrica de cerchas

Los mtodos ms comunes para detenninar la estabilidad geomtlica son los siguientes:

Mtodo de las dos barras Mtodo de las tres barras Mtodo de la articulacin y la barra Mtodo de las tres articulaciones

4.1.1. Mtodo de las dos barras

Un sistema geomtiico estable se puede formar agregando a un sistema invaiiable m1a nueva aiticulacin unida con dos bairns que no se encuentren en lnea recta.

Al sistema 1 de la Figura 4.1 se le agrega la articulacin 4 a travs de las bairns G y H, luego la articulacin 3 a travs de las barras F y E, y as sucesivamente. La articulacin 6 del segundo sistema y la articulacin 4 del tercero, en la misma Figura 4.1, no puede pemtitirse debido a que los sistemas se convie1ten en inestables.

47


JVJ~ JU.l'l.~I .lV.l.UI tUU:.~ .LH . ..ttC 11~1 l .,Y

o

(a) ESTABLE (b) INESTABLE

(e) INESTABLE

Figura 4.1. Fo1macin de sistemas estables e inestables por mtodo de las dos barras.

4.1.2. Mtodo de las tres barras

Dos sistemas estructurales geomtiicamente estables fo1man un nuevo sistema estable si se vinculan a tiavs de tres barras que no se c01ten en un mismo punto o no sean paralelas .

(a) ESTABLE (b) INESTABLE


Figura 4.2. Mtodo de las tres bairns aplicado a la fotmacin de sistemas estables e inestables.

4.1.3. Mtodo de la articulacin y la barra

Dos subsistemas estructmales fonnan tlll sistema geomtiicamente estable si se vinculan a travs de una ::uticulacin y de una hana que no pase por dicha a1tic111acin.

48


(a) ESTABLE

(b) INESTABLE

Figura 4.3. Mtodo de la a1ticulacin y la batTa en la fo1macin de sistemas estables e inestables.

4.1.4. Mtodo de las tres articulaciones


Tres subsistemas estmcturales forrnan un nuevo sistema geomt1icamente estable si se vinculan a travs de tres aiticulaciones que no se encuentren en lnea.

(a) ESTABLE

(b) INESTABLE

Figura 4.4. Mtodo de las tres articulaciones en la fo1macin de sistemas estables e inestables.

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Jos Javier Mal"linez Echeverry

4.1.5. Formacin de cerchas

En laformacin de cerchas dos p1incipios bsicos aplican:


( 1) La base o sistema de ananque es un p1tico con tres articulaciones amanado por dos articulaciones externas a m1a cimentacin rigida.

(2) La base es un tiingulo con tres aiticulaciones, cuya rigidez es independiente de la cimentacin.

Estructur.a rg na

CERCHA INDEPENDIENTE (Tros roacoionos extornas)

Estructura Ortglnal

CERCHA DEPENDIENTE (Tres reacciones externas)

Figura 4.5. Formacin de una cercha a pa1tir de una estmctura original.

Adicionando a ca.da sistema bsico dos bairns por cada nuevo nudo, la cercha es fomrnda siendo dependiente o independiente de acuerdo ala configuracin de la base.

4.2. Estabilidad externa de cuerpos estructurales

Paia estmcturas simples la estabilidad externa se lige por los siguientes cliterios:

Si hay menos de tres reacciones independientes desconocidas (incgnitas), la estiuctura plana no est en equilibrio y es estticamente inestable, puesto que no hay suficientes incgnitas para satisfacer las ecuaciones de equiliblio simultneamente.

Si las reacciones son iguales al nmero de ecuaciones externas smninistradas por el sistema, la solucin de las mismas se puede obtener mediante un anlisis esttico de igual nmero de incgnitas y ecuaciones simultaneas.

Si ties o ms bielas son concunentes o paialelas, ellas no son suf.cientes paia mantener el sistema planai de caigas en equilibrio externo. En otras palabras, la estmctura puede ser detemrinada pero su configuracin geomt1ica impide la estabilidad general del


sistema.

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F F ,. ~ @

@) ! Rey i~Ay ESTABLE: tres recciones / ' Rey RAy ~ INESTABLE: tres Rey no concurrentes recciones paralelas

RAx>

1 t 1 \ F INESTABLE: dependiendo del "j' . valor de F la estructura rota y RAy Rey t Rey RAy se cae

INESTABLE: tres recciones paralelas

Figura 4.6. Vigas simples estables e inestables.

P.


~~---

.....

-------

ESTABLE: tres recciones no concurren en un

mismo punto

1 Re

INESTABLE: tres recclones concurrentes

F R2

ESTABLE: tres recciones no concurrentes

ESTABLE: reacciones no concurrentes

Figura 4. 7. Estmcturas simples estables e inestables.

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Jos Javier Mal"lnez Echeverry

4.3. Determinacin esttica exte1na

.... . ..

R4 .. :. ::::::

INESTABLE: reacciones concurrentes

H

Para establecer la deterrninacin esttica de una estmctura, las redundantes, tomadas como las fuerzas internas mas las reacciones en los apoyos, deben obseivar una de las siguientes dos definiciones:

Estructura estticamente determinada. Una estmctura es estticamente detenninada si sus reacciones y fuerzas internas pueden ser detenninadas a paitir de las ecuaciones de equilibrio.


Estructura estticamente indeterminada. Una estmctura es estticamente indetenninada si sus reacciones y fuerzas internas no pueden ser computadas a partir de las ecuaciones de equilibrio y condiciones de defonnacin deben ser consideradas.

En estrncturas simples, como es el caso de las cerchas, la indetenninacin puede ser interna si las redundantes cotTesponden a fuerzas internas, o ex terna si las redundantes son reacciones. Igualmente se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio externo, por lo que simultneamente se cumple que:

LFy =0 LFx =0 LMo =O

Ante la posibilidad de contar con vru.ias reacciones externas, es conveniente detenninar cundo una estmctura est en equilibrio externo de acuerdo al nmero de reacciones presentes, segn lma de las dos siguientes reglas:

Menos de tres reacciones son insuficientes analizar el equilibrio de la estmctura, por tanto la estmctura es estticamente inestable.

Con mas de tres reacciones pueden ser encontrado el equilibrio externo si existe la posibilidad de establecer ecuaciones especiales mediante la presencia de articulaciones o g1as intem1edias

Las ecuaciones especiales estn detenninadas por las condiciones de nudo especificadas en la siguiente figura.

Articulacin Intermedia Gua Vertical Gua Horizontal

_ ___ ___JQ _ _ _ _

Figura 4.8. Condiciones especiales, a1ticulacin o guas, para dete1minar una ecuacin predete1minada de momento, c01tante o normal igual a cero.

52



Con base en las anteliores afinnaciones ante1iores se puede establecer que una viga es estticamente detenninada si el m'unero de ecuaciones de equilibrio (las tres ecuaciones generales del sistema), ms el nmero de ecuaciones especiales, son iguales al nmero de reacciones (r). Por tanto:

r=3 +s

donde la variables representa el nun1ero de ecuaciones especiales y son obtenidas a partir de las condiciones de momento, c01tante y normal igual a cero. La vaiiable r representa el nmero de reacciones externas.

Ejemplos tpicos de vigas donde se aplica el crite1io de detenninacin esttica externa para establecer la solucin general del sistema mediante el planteainiento de ecuaciones de equilibrio, son los siguientes:

Vigas en voladizo Vigas simples - simplemente soportadas en ambos extremos Vigas con uno o dos voladizos Vigas compuestas - Combinacin de todas las anteliores con voladizos conectados por articulaciones o guas internas. Ca.da aiticulacin interna equivale a una ecuacin especial de momento.

En la siguiente figura se presentan algunos ejemplos tpicos de estos tipos de vigas.

VIGAS SIMPLES

[ [1 1111111111111111 ! I~ L ,

11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11

~ L

VIGAS SIMPLES CON VOLADIZOS

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11


& J3'7 : L1 : L2 : la : :....-..:--------~4 :

r.p;; : L1 : :....-..:---------

VIGAS COMPUESTAS Articulacin

/"'"''"'''"''"'''"''"'

111111111IJ'I111111111111111111111 -Ji fh 11111111111 k111111111111~

L2 L1 l..,

Figura 4.9 Vigas simples y compuestas estticamente detenninadas.

53

Jos Javier Mal"lnez Echeverry

Otros ejemplos tpicos de estructuras sencillas, como p1ticos y arcos triarticulados, en los cuales se puede aplicar el c1iterio de estabilidad esttica externa para resolver el equilib1io de la estructura, se presentan en la siguiente figura.

l l l l

ARCO SIMPLE TRIARTICULAOO

Apoyo Articulado

./

Apoyo Articulado

PRTICO SIMPLE TRIARTICULAOO

. /

l I I l l l l IJ l l l l l l l i


ARCO COMPUESTO ISOSTTICO PRTICO COMPUESTO

ISOSTTICO

Figura 4.1 O. Prticos y arcos tria1ticulados estticamente dete1minadas.

4.4. Equilibrio interno de cerchas

Una cercha es estticamente determinada si puede ser calculada por ecuaciones de equilibrio esttico. En cambio, la estructura es indetenninada si no puede ser calculada por las ecuaciones de equilibrio esttico y se deben usar deformaciones para obtener las redundantes. En nmero de redundantes es definido por la siguiente expresin:

GI = (b + r ) - (2n)

donde,

GI = grado de indeterminacin (nmero de redm1dantes). r = nmero de reacciones. b ferzas internas de la estructura; b = nmnero de barras. 2n = ecuaciones de equilibrio externo; n = munero de nudos.

Determinacin esttica. Una cercha plana es estticamente detenninada si:

GI =b+ r-2n=0

54



Determinacin esttica y estabilidad geomtrica. Una cercha plana es estticamente detenninada y geomt:Ii camente estable si :

GI =O y det(A) *O~ 4 = matriz de rigidz en sistema de solucin de incgnitas

Estticamente y geomtricamente inestable. Una cercha plana es estticamente y geomtiicamente inestables si:

GI = b + r - 2n O

Ejemplo 1: Equilibrio Interno de una cercha. Para cada m1a de las cerchas mostradas establecer el nmero de redundantes y la detenninacin esttica de acuerdo al m'.unero de grados de libertad encontrados.

"'l k1SlZN l b =2J, r =J, 11 =14 GI= b + r-2n = 26-28 = -2 = :> il'~1y lJR:y . . Estaticm11e11te I11estable J>IZN7N21 b =25, r =J, 11 =14 GI= b + r-211=28-28 = O

Estaticnmmte Estable J R1y ';J'R2Y

~ b =27, r =J, 11 =14 GI= b + r-211 = J0-28 = +2 . Estaticm11e11te Imleten11i111u1a

'J' R1y 'J"R:zy

1': 9 ~ 9 ~ 9 ;ff '=?.:'=~=14


l:Vl\J(l:Vl 'fl' R1y lJ R :zy R3y LJ

GI = b + r -Zn = Z8-Z8 =O

Estntcflll'a Geo111tric1U11e11te I11estable: Renccio11es son parale111s

Figura 4.11 . Anlisis


Ejemplo 2: Estabilidad Interna de una viga continua. Para la viga mostrada en la siguiente figura establecer el grado de indetenninacin y el estado de equiliblio. Los nudos de la estructura coinciden con los puntos donde se hay apoyos.

CD 0

~ 1 TRAM0 1 1 1 TRAM02 1 1 TRAM03 1 ~ ' J J)//, : (> ~ Figura 4.12. Viga continua mostrando nudos, tramos y a1ticulaciones.

n=4 n = Nun1ero de nudos 3b + r 2:: 3n + s

s=3 s = Numero de ru.ticulaciones 3x3+82::3X4+3 b = Nun1ero de barras h=3 172:: 15 r = Numero de reacciones

r=B

El grado de indeterminacin de la estructura es GI = 2, por lo que la estructura se considera estticamente indetenninada de orden dos. Esto quiere decir que la estructura tiene dos

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redundantes o incgnitas que deben ser encontradas con ecuaciones de compatibilidad de deformaciones o esfuerzos internos, antes de poder resolver la estiuctura con ecuaciones de equiliblio esttico.


U na manera de encontrar las redundantes es estableciendo ecuaciones adicionales de compatibilidad que se pueden alcanzar con distintas combinaciones de deformaciones y tensiones internas, asociadas a las defonnaciones de las condiciones de borde o apoyos y resueltas mediante los mtodos de la mecnica de slidos, que da cuenta de la deformabilidad de los slidos y sus efectos internos.

Alternativa de solucin: el grado de indetenninacin, GJ, de la misma estructura puede se encontrado reorganizando los nudos y tramos de acuerdo a los puntos donde pueden ser planteadas las ecuaciones de equilibrio y defo1macin. En los nudos 2, 4 y 6 los momentos son cero, por lo que se pueden plantear en estos puntos ecuaciones de momento iguales a cero, a la vez que entre estos puntos se considera la fonnacin de subestructuras o tramos estticamente equilibrados.

Q) 0

~ 0 ~ 1 1 [E:] '.;'si/,'. 1 1 @] ~ 1 T4 I ~ITsl ~ Figura 4.1 3. Alternativa de numeracin de nudos y tramos para la viga continua del ejemplo.

n=7 s=3 3b +r ~ 3n+s n = Numero de nudos

s = Numero de aiticulaciones b=6 3x6 +8~ 3x7+3 b = Numero de barras r=8 26~24 r = Numero de reacciones

La viga continua propuesta contina siendo estticamente indetenninada, con el mismo grado de indeterminacin, GI = 2.

Ejemplo 2: estabilidad in1erna de un prtico. Para el prtico de la Figura 4.14 establecer el grado de indete1minacin y la hiperestaticidad de la misma

En este caso se han tomado los nudos en cada pm1to donde se presenta la posibilidad de plantear ecuaciones de equilib1io, sean los nudos donde hay apoyos y aiticulaciones, o en los nudos donde se presenta continuidad debido a la unin de varios elementos.


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Jos Jtll'ier Mal'linez Echeverry

/

Figura 4.14. P1tico con a1ticulaciones para anlisis de indetenninacin del ejemplo 2.

n=8 3b+r ~ 3n+s n = Numero de nudos

s=2 s = Numero de a1ticulaciones b=7

3x7+8~3x8+2 b =Numero deban-as ,. =8 29~26 r = Numero de reacciones

El grado de indetenninacin de la estrnctura es GI = 3, por lo que la estrnctura es hiperesttica y se requieren tres ecuaciones de compatibilidad para encontrar inicialmente las redundantes, antes de resolver el resto de la estrnctma con las ecuaciones de eqtlib1io.

Ejemplo 3: estabilidad interna de un prtico. Detemrinar el grado de hiperestaticidad del p1tico mostrado en la siguiente figura.

CDL~ __ l_e_1 _I -~,


1 04 1

[E] ~ ~ @]

0 :%-+ -+ :% -+ / ~ ~

Figura 4.15. Prtico para detenninacin de grado de indete1minacin del ejemplo 3.

n=7 n = Numero de nudos 3b +r ~ 3n +s

s=O s = Numero de aiticulaciones b=6 3x6 + 9~3x7 + 0 b = Numero de bairas r=9 27~21 r = Numero de reacciones

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El grado de indeterminacin de la estructura es GI = 6, por lo que se requiere conocer inicialmente seis reacciones o igual nmero de fuerzas internas, por decir, las fuerzas internas de dos elementos, para poder detenninar estticamente la estrnctura.

Ejemplo 4: estabilidad interna de un sistema c01nbinado. Para la estrnctura mostrada en la siguiente figura detemlinar el grado de indetenninacin, asunliendo que los cables del cordn superior solo transmiten fuerza axial, por lo que las c01tantes y los momentos son cero y las ecuaciones especiales en los nudos de este nivel son dos.


s=2

r=2 /

r=2

/

r=2

s=1 s=1

r = 1

s=2

/ r =2

r=2

Figura 4.16. Sistema combinado de viga, cables, puntales y bielas.

n =l8 3b+r ~ 3n+s n = Numero de nudos

s=l9 s = Numero de a1ticulaciones 3x21+11~ 3xl8+19 b = Numero de banas b=21 74~ 73 r = Numero de reacciones

r =11

La estructura presenta un grado de indeterminacin GI = 1. Esto quiere decir que con conocer una sola redundante establecida bien sea por la fuerza axial de las bielas o por una de las reacciones en las articulaciones de los pm1tales, la estmctura puede ser resuelta por mtodos isostticos.

En el caso de aspirar a detemrinar el nmero de redundantes de una estmctura definida en tres dimensiones, el grado de hiperestaticidad se mide con la expresin:

GI =(6b+ r ) - (3n+s)

donde,

GI = grado de indetenninacin (n\unero d

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Análisis Básico de Estructuras José Javier Martínez Echeverry