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Introduction aux TechniquesQuantitatives

Licence conomie et Gestion1re anneAnnale 1

Dure : 1 heure pour 40 questions Les calculatrices sont interdites Les documents et tlphones portables sont interdits. Le sujet comporte 9 pages. Chaque question comporte une seule bonne rponse Les scores :

bonne rponse : 3 rponse incorrecte (ou multiple) : -1 absence de rponse : 0

On considre lquation matricielle

AX 2B = 3CX

dans laquelle B est une matrice de type (3, 2), C est de type (3, 3) et X est une matrice inconnue.Quels sont les types de X et de A pour que lquation ait un sens ?

Rponse 1 :

A X est de type (3, 1) et A de type (3, 3).B X est de type (3, 3) et A de type (3, 2).

C X est de type (3, 2) et A de type (3, 2).

D X est de type (3, 2) et A de type (3, 3).

On suppose que la matrice A 3C est inversible. La solution de lquation est alors donne parlexpression

Rponse 2 :

A2B

A + 3C

B2.(A

3C)1.B

C2B.(A

3C)1

D2B1.(A

3C)

On donne les matrices A =

a 2 00 1 2a a 0

et C =

0 3 aa 0 1a 0 2

, o a est un paramtre rel.

La matrice A 3C est gale Rponse 3 :

A

a 7 3a3a 1 1

2a a 6

B

a 7 3a3a 1 1

2a a 6

C

a 7 3a3a 1 12a a 6

D

a 7 3a3a 1 12a a 3

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OQ1/AES 2

Voici une autre matrice : M =

7 5 510 2 520 10 13

.

Quelle est linformation exacte concernant le carr de cette matrice ?

Rponse 4 :

A M2 = M + 6I3 B M2 = 6M I3 C M2 = M3 + 6I3 D M2 = 6M 2I3

On en dduit que la matrice inverse de M est donne par lexpression :

Rponse 5 :

A M1 = 6M I3 B M1 = 16(M 1)

C M1 = 16(M3 I3) D M1 = 16(M I3)

Le dterminant de la matrice D =

a 2 02 0 a0 a 2

est gal

Rponse 6 :

A 0 B a2 + 8 C a3 8 D a3 8

Quelle est linformation exacte concernant la matrice D ?

Rponse 7 :

A Elle est inversible si et seulement si a est diffrent de 0.

B Elle est inversible si et seulement si a est diffrent de 2.C Elle est inversible quel que soit a.

D Elle est inversible si et seulement si a est diffrent de 2.

Dans le cas o D est inversible, le coefficient situ lintersection de la 3e ligne et de la 2e colonnede D1 est

Rponse 8 :

A a B a2a3+8 C a2

a2+8 Da2

a38

Soit f la fonction dune variable dfinie par f(x) = (1 + 2x)e2x.

Quelle est linformation exacte ?

Rponse 9 :

A limx f(x) = 0 ; limx+ f(x) = +

B limx f(x) =

; limx+ f(x) = +

C limx f(x) = 0 ; limx+ f(x) = D limx f(x) = ; limx+ f(x) = 0.

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OQ1/AES 3

Les drives premires et secondes de cette fonction sont

Rponse 10 :

A f(x) = 4e2x ; f(x) = 4(2x 1)e2x B f(x) = 4xe2x ; f(x) = 4(2x 1)e2x

C f(x) =

2(1 + 2x)e2x ; f(x) = 8e2x D f(x) =

4e2x ; f(x) = 8e2x


Rponse 11 :

A La fonction f na aucun point critique.

B La fonction f a un unique point critique x0 =12

.

C La fonction f a un point dinflexion pour x0 = 0.

D La fonction f a un point dinflexion pour x0 =12

.

Une quation de la tangente au point dinflexion est :

Rponse 12 :

A y = 1e(3 2x) B y = 3 2x C y =1e

(3 + 2x) D y = 12(3 2x)

Soit g la fonction dune variable dfinie par g(x) = (x e)(1 ln x).Les drives du premier ordre et du deuxime ordre sont :

Rponse 13 :

A g(x) = 1 ln x xex ; g(x) = 1x e

x2

B g

(x) =xe

x ; g

(x) = e

x2

C g(x) = xex ; g(x) = 1

x e

x2

D g(x) = 1 ln x xex ; g(x) = 1x 1

Quelle est linformation exacte concernant la fonction g ?

Rponse 14 :

A La fonction g na aucun point critique.

B La fonction g a un point critique en x0 = e

C La fonction g a un point critique en x0 = 1

D La fonction g a un point critique en x0 = e

Quelle est linformation exacte concernant la fonction g ?

Rponse 15 :

A La fonction g est concave sur son domaine de dfinition et a un maximum global en x0

B La fonction g est convexe sur son domaine de dfinition et a un maximum global en x0

C La fonction g est convexe sur son domaine de dfinition et a un minimum global en x0

D La fonction g nest ni concave ni convexe

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OQ1/AES 4

Voici la reprsentation graphique dune certaine fonction f dfinie sur lintervalle ], 1[.

-1 0 1

-1

1

Le graphe de sa fonction drive est :

Rponse 16 :

A

-1 0 1

-1

1

B

2 -1 0 1

-1

1

C

-1 0 1

-1

1

D

2 -1 0 1

-1

1

Quelle est linformation exacte concernant le graphe dune fonction ?

Rponse 17 :

A La drive premire sannule en un point dinflexion

B La drive seconde est strictement positive en un point dinflexion

C La drive premire a un extremum en un point dinflexion

D La drive seconde a un maximum en un point dinflexion

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OQ1/AES 5

On considre la fonction g de deux variables dfinie par

g(x, y) = 4x3 3y2 + 4x2 2y


Rponse 18 :

A La fonction g a deux points critiques : A

0; 13

et B

1

3;1

3

B La fonction g a deux points critiques : A

0;23

et B

1

3;1

3

C La fonction g a deux points critiques : A

0;23

et B

2

3;1

3

D La fonction g a deux points critiques : A

0;13

et B

2

3;1

3

Quelle est linformation exacte concernant cette fonction g ?

Rponse 19 :

A La fonction g prsente minimum local en A et un maximum local en B

B La fonction g prsente un point-col en A et un maximum local en B

C La fonction g prsente un minimum local en A et un point-col en B

D La fonction g prsente un point-col en A et un minimum local en B

Soit f la fonction de deux variables dfinie par

f(x, y) = x ln y + ln(x + 1)

Son domaine de dfinition est dcrit par

Rponse 20 :

A ]0;+[]0;+[ B R2 C ]0;+[]; 0[ D ] 1; +[]0;+[

Les drives partielles du premier ordre sont

Rponse 21 :

Af

x(x, y) = x

y+ 1

x+1; f

y(x, y) = x

y+ 1

x+1

Bf

x(x, y) = ln y + x

y+ 1

x+1; f

y(x, y) = x

y

Cf

x(x, y) = ln y + 1

x+1; f

y(x, y) = x

y

Df

x(x, y) = ln y + 1

x+1; f

y(x, y) = 1

y

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OQ1/AES 6

Les drives partielles du deuxime ordre sont

Rponse 22 :

A2f

x2(x, y) = 1

(x+1)2;

2f

xy(x, y) = 1

y;

2f

y2(x, y) = x

y2

B2f

x2(x, y) = 1

(x+1)2;

2f

xy(x, y) = 1

y;

2f

y2(x, y) =

xy2

C2f

x2(x, y) = 1

(x+1)2;

2f

xy(x, y) = 1

y;

2f

y2(x, y) = x

y2

D2f

x2(x, y) = 1

(x+1)2;

2f

xy(x, y) = 1

y;

2f

y2(x, y) = x

y2

Quelle est linformation exacte concernant les points critiques de la fonction f?

Rponse 23 :

A Le point C(0; e) est le seul point critique, et f admet un maximum local en C

B Le point C(0; 1e) est le seul point critique, et f admet un point-col en C

C Le point C(0; 1e) est le seul point critique, et f admet un minimum local en C

D La fonction f na aucun point critique.

Soit f la fonction de deux variables dfinie par f(x, y) = 5

x3 3

y2

Quelle est linformation exacte concernant cette fonction h ?

Rponse 24 :

A La fonction f nest pas homogne B La fonction f est homogne de degr 5

C La fonction f est homogne de degr 136 D La fonction f est homogne de degr56

Llasticit de f par rapport la variable y est

Rponse 25 :

A 2 B 3 C 13 D23

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OQ1/AES 7

La diffrentielle totale dune fonction h de deux variables u et v est donne par

dh = (6u2 4v).du + (4u + 2v).dv

Quelle est linformation donne sur cette fonction h ?

Rponse 26 :

A hu (u, v) = 12u; hv (u, v) = 2

B hx (x, y) = 6u2; h

y(x, y) = 2v

C hu (u, v) = 6u2 4v; h

v(u, v) = 4u + 2v

D hu (u, v) = (6u2 4v).du; h

v(u, v) = (4u + 2v).dv

Parmi les fonctions suivantes, quelle est celle dont la diffrentielle est (6u24v).du + (4u + 2v).dv ?Rponse 27 :

A h(u, v) = 2u3 4uv + v2 + 5 B h(u, v) = 6u2 4v 4u + 2vC h(u, v) = 2u2 4uv + v2 + 9 D h(u, v) = 2u3 4uv + 2v2 7

Un pargnant place 5 000 e durant 12 ans au taux annuel de 6 %. La valeur acquise est :

Rponse 28 :

A 8 600,00 e B 10 060,98 e

C 20 387,25e

D 24 400,50e

Un pargnant a plac intrt compos durant deux ans une somme S au taux annuel de 4 %. Lavaleur acquise lissue de cette dure est 2 704 e. La somme S initialement place tait :

Rponse 29 :

A 2 500e B 2 600 e C 2 812,16 e D 2 924,65 e

La valeur dun capital plac intrt compos a progress de 120 % en 10 ans. Le taux annuel de ceplacement tait, 0,01 % prs :

Rponse 30 :

A 10

1, 2 1 = 1, 84% B 120

10 1 = 1, 94%C 10

2, 2 1 = 8, 20% D 10

120 1 = 161, 41%

La dure (en annes) ncessaire pour quun capital plac intrt compos au taux annuel de 10 %progresse de 250 % est donne par :

Rponse 31 :

Alog1,5

log1,10 = 4, 25 Blog3,5

log1,10 = 13, 14C

ln 2,5ln 1,10

= 9, 61 D 250%10% = 25

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OQ1/AES 8

On verse 25 annuits de 100 e chacune. Ces annuits sont capitalises au taux annuel de 4%. Lavaleur acquise par cette suite dannuits est donne par :

Rponse 32 :

A V25 = 100 1

1,0425

0,04 =1 562,21 e B V25 = 1000,04 (1, 0425 1) =4 164,59 eC V25 =

1001,042510,04

=6 639,59 e D V25 = 100 1,0425+1

0,04=9 164,59 e

Rponse 33 :

La valeur actuelle de cette suite dannuits est donne par :

A V0 = 100 11,0425

0,04=1 562,21 e B V0 =

1000,04

(1, 0425 1) =4 164,59 eC V0 =

1001,042510,04

=6 639,59 e D V0 = 100 1,0425+1

0,04=9 164,59 e

120 mensualits ont t rmunres au taux mensuel de 0,3 %. La valeur actuelle de cette suite demensualits est 20 129,84 e. Le montant a de chaque mensualit tait :

Rponse 34 :

A 80 e B 100 e C 150 e D 200 e

Un emprunt indivis dun montant de 80 000 e est accord pour une dure de 5 ans. Le remboursementseffectue au moyen dannuits comportant des amortissements constants. Le taux annuel estfix 6 %. Le montant de la premire annuit est :

Rponse 35 :

A 16 800,00e B 20 800,00e C 22 800,00 e D 23 971,71 e

Jemprunte 80 000 e pour une dure de 5 ans. Le remboursement seffectue au moyen de mensualitsconstantes, les intrts tant calculs en taux quivalent sur la base dun taux annuel de 6 %. Lamensualit constante que je dois verser est 1 540,72 e. Le taux mensuel quivalent au taux annuelde 6 % est, 0,000 001 % prs :

Rponse 36 :

A 0,333 333 % B 0,486 755 %

C 0,500 000 % D 0,600 000 %

La premire part dintrt est :

Rponse 37 :

A 148,44 e B 219,88 e C 389,40e D 481,78e

Le montant du premier amortissement est :

Rponse 38 :

A 881,79 e B 1 151,32 e C 1 540,72e D 3 081,44 e

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OQ1/AES 9

Si jempruntais 80 000 e pour 5 ans au taux annuel de 12 %, les intrts mensuels tant calculs entaux quivalent, la mensualit que je devrais verser serait :

Rponse 39 :

A 1 333,33 e B 1 540,72 e C 1 754,86e D 3 081,44e

Si jempruntais 80 000 e pour 10 ans au taux annuel de 6 %, les intrts mensuels tant calculs en

taux quivalent, la mensualit que je devrais verser serait :Rponse 40 :

A 666,67e B 881,79e C 1 540,72e D 3 081,44e

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