Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Amalie Emmy Noether (1882-1935)
Faglig-pedagogisk dag, UiO31.10.2013
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
”The most important woman in mathematical history, since thehigher education of women began.”
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Max Noether
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Erlangen
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
David Hilbert Felix Klein
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Universitetet i Göttingen, v̊aren 1915:
Filologene ved universitetet forsøker å blokkere ansettelsen aven kvinne:
”Hva vil v̊are soldater tenke, n̊ar de kommer tilbake tiluniversitetet og oppdager at de skal undervises av en kvinne?”
Hilberts svar:
”Jeg kan ikke se at kandidatens kjønn er noe argument mot åansette henne som privatdosent. Tross alt er vi et universitet,ikke en badeanstalt.”
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
”Hun er komplett uegoistisk og helt uten behov forselvhevdelse. Hun krever aldri noe for seg selv, men setter sinestudenters arbeid foran alt.”
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Brym Mawr College, Pennsylvania
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
M. Carey Thomas Library ved Bryn Mawr College,hvor Emmy Noethers aske er begravd.
”The most important woman in mathematical history,since the higher education of women began.”
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
En perpetum mobile, det ideelle bildet av en konserveringslov.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Albert Einstein skrev til David Hilbert:
”I g̊ar mottok jeg en meget interessant avhandling ominvarianter. Jeg er imponert over at slike ting kan forst̊as p̊a ens̊a generell m̊ate. Den gamle garde i Göttingen burde lære littav Frøken Noether!! Hun kan sine saker!”
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Noethers teorem
Dersom et fysisk system har en kontinuerlig (differensiabel)symmetri-egenskap, s̊a finnes en tilhørende størrelse som erkonstant i tid (en konserveringslov).
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
”Lyset beveger seg mellom to gitte punkter langs den kortestevei.” (Pierre de Fermat)
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), franskmatematiker, filosof og lærd. Maupertuis regnes somopphavsmannen til prinsippet om den minste virkning.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Leonhard Euler (1707-1783)
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Virkningen til et fysisk system er en funksjonal som til en banei rommet som systemet følger tilordner et reelt tall.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Klassisk mekanikk postulerer at ethvert fysisk system vil følgeen bane som gir den minste virkning.Vi beskriver systemet ved en Lagrangefunksjon L, f.eks.kinetisk energi minus potensiell energi, og virkningen er da gittved
S =
∫γ
L dt
Prinsippet om den minste virkning gir at systemet vil utvikleseg langs en bane γ som minimerer dette integralet.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Eksempel p̊a bruk av prinsippet om den minste virkning;vertikalt ballkast:Kastes ved tiden t = 0, lander ved tiden t = T .Lagrange-funksjon:
L = 12 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż2)−mgz
Rand-betingelser: x(t) = y(t) = z(t) = 0 for t = 0 og t = T .Fysisk bane:
x(t) = y(t) ≡ 0, z(t) = v0t − 12 gt2
z(T ) = v0T − 12 gT2 = 0
som gir v0 =12 gT
og dermedz(t) = 12 gTt −
12 gt
2
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Betrakter alternativ bane
z(t) = 12 gTt −12 gt
2 + ∆z(t) = 12 gt(T − t) + ∆z(t)
hvor ∆z(t) måler avviket fra den fysiske banen.
Vi skal vise at prinsippet for den minste virkning gir at∆z(t) = 0.
Vi har
ż = 12 gT − gt +d∆z
dt= 12 g(T − 2t) +
d∆z
dt
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Virkningen er gitt ved
S =
∫ T0
12 m(ẋ
2 + ẏ 2 + ż2)−mgz dt
=
∫ T0{12 m[ẋ
2 + ẏ 2 + (d∆z
dt)2 + g(T − 2t)d∆z
dt
+ 14 g2(T − 2t)2]−mg∆z − 12 mg
2t(T − t)}dt
Det fjerde leddet kan integreres ved delvis integrasjon
S =
∫ T0
12 mg(T − 2t)
d∆z
dtdt
= 12 mg(T − 2t)∆z∣∣∣T0
+
∫ T0
mg∆z(t) dt
=
∫ T0
mg∆z(t) dt
som kanselleres mot sjette ledd i S .
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Dette gir
S =
∫ T0
12 m[ẋ
2 + ẏ 2 + (d∆z
dt)2]dt
+
∫ T0
12 mg
2[ 14 (T − 2t)2 − t(T − t)]dt
Minste virkning gir: ẋ = ẏ = (d∆zdt ) = 0
Vi har x(0) = y(0) = ∆z(0) = 0
Det følger at x(t) = y(t) = ∆z(t) = 0 overalt.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Noethers teorem
Dersom et fysisk system har en kontinuerlig (differensiabel)symmetri-egenskap, s̊a finnes en tilhørende størrelse som erkonstant i tid (en konserveringslov).
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Noethers teorem
La S [x ] =∫ 1
0 L(x , ẋ) dt være en virkning for kurverx = (x1, x2) : [0, 1]→ R2, og anta at L er invariant undervirkningen av 1-parametergruppa {φs}. Da er størrelsen Idefinert ved
I =n∑
i=1
∂L
∂ẋi
∂φs(x)
∂s
∣∣∣s=0
konservert, dvs. dIdt = 0 langs fysiske baner.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
La x(t) = (x1(t), x2(t)) : [0, 1]→ R2 være en kurve i planetslik at x(0) = P og x(1) = Q. Lengden av kurven er gitt vedintegralet
S =
∫ 10
L dt =
∫ 10
√(ẋ1)2 + (ẋ2)2 dt
Vi sier at φ : R2 → R2 er en symmetri forLagrange-funksjonen L dersom
L(ẋ1, ẋ2) = L(ẏ1, ẏ2)
hvor y = φ ◦ x .
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
To eksempler p̊a familier av symmetrier:
Translasjoner:
φs((x1, x2)) = (x1, x2) + s(v1, v2)
Den euklidske metrikken L er invariant under dissesymmetriene, med konserveringslov T · (v1, v2) = konstant.Rotasjoner:
φs(x1, x2) =
(cos s sin s− sin s cos s
)(x1x2
)med konserveringslov T× (x1, x2) = konstant.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Dersom begge disse konserveringslovene skal være oppfylt, måkurven være en rett linje.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Variasjonsregning
For å bevise Noethers teorem trenger vi variasjonsregning. Enfunksjonal er en avbildning som til en funksjon tilordner et reelttall. Variasjonsregningen har som mål å finne en funksjon slikat funksjonalen antar sin maksimale eller minimale verdi.Variasjonsregningen ble introdusert av Johann Bernoulli, ogutviklet av Euler.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Et standard eksemplet p̊a et variasjonsregnings-problem er åfinne den korteste vei mellom to punkter. Normalt vil dettevære den rette linja, men dersom vi skal løse problemet p̊a enmer generell flate enn i planet, er ikke løsningen s̊a opplagt.
Men det klassiske problemet i variasjonsregningen erbrachistochron-problemet.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Brachistochron-problemet
Johann Bernoulli addresserte brachistochron-problemet i ActaEruditorum i juni 1696. Problemet dreier seg om å finne kurvensom gir den raskeste veien, friksjonsløst og under konstantgravitasjon, mellom to punkter, det ene høyere opp enn detandre.
Vi skal komme tilbake til løsningen av dette problemet littsenere.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Bevis for Noethers teorem
La L = L(t, u(t), u̇(t)) være en Lagrangefunksjon og
I =∫ ba L(t, u, u̇)dt en funksjonal. Vi skal finne en funksjon
u = u(t) som minimerer integralet.
Definisjon
Den første variasjonen av I langs en ”liten” funksjonh = h(t) med h(a) = h(b) = 0 er gitt ved
δI = lim�→0
1
�
∫ ba
L(t, u + �h, u̇ + �ḣ)− L(t, u, u̇)dt
=
∫ ba
(∂L
∂uh +
∂L
∂u̇ḣ)dt
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Ved partiell derivasjon har vi
d
dt(∂L
∂u̇h) =
d
dt(∂L
∂u̇)h +
∂L
∂u̇ḣ
og kombinasjonen av disse gir oss
δI =
∫ ba
(∂L
∂uh +
d
dt(∂L
∂u̇h)− d
dt(∂L
∂u̇)h)dt
=
∫ ba
(∂L
∂uh − d
dt(∂L
∂u̇)h)dt
=
∫ ba
(∂L
∂u− d
dt(∂L
∂u̇)) · h dt
siden ∫ ba
d
dt(∂L
∂u̇h)dt =
∂L
∂u̇h(b)− ∂L
∂u̇h(a) = 0− 0 = 0
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Det betyr at for at δI = 0 (som betyr at vi har funnet enminimal løsning) må L tilfredsstille Euler-Lagrange-likningen
∂L
∂u− d
dt(∂L
∂u̇) = 0
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Et eksempel
La L(t, x , ẋ) = 12 m(ẋ)2 − U(x), (kinetisk + potensiell energi).
Euler-Lagrange-likningen gir
∂L
∂x− d
dt(∂L
∂ẋ) = −U ′(x)−mẍ = F −ma = 0
som er presis Newtons andre lov.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Brachistochron-problemet
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Startpunkt (0, 0). Hastigheten er gitt ved 12 mv2 = mgh, dvs.
v =√−y (n̊ar vi dropper konstanter).
Vi hards
dt=
d
dt
√1 + (
dy
dx)2dx
som med likningen
Tid =
∫ b0
s
vdt
gir Lagrangefunksjon
L =s
v=
√1 + (y ′)2
−y
Euler-Lagrange-likningen gir en differeniallikning
1 + (y ′)2 = −2yy ′′
som har sykloiden som sin løsning.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Hudre̊aret fra Galois sin skjebnesvangere duell i 1832 tilNoethers død i 1935 revolusjonerte flere omr̊ader avmatematikk, men kanskje spesiet algebra. Fra å dreie seg ompraktiske metoder for løsning av likninger og konstruksjoner avregulære mangekanter med passer og linjal, utviklet algebra segtil en teoretisk teori, abstrakt algebra. Evereste Galoisintroduserte permutasjonsgrupper i 1832, William RowanHamilton oppdaget kvaternionene i 1843, og i 1854 ga ArthurCayley den mer moderne definisjonen av en gruppe.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Nathan Jacobson sier i innledningen til Noethers samledeverker: Utviklingen av abstrakt algebra, som en av de mestsærpregede oppfinnelsene i det tjuende århundre, er i hovedsakNoethers fortjeneste, gjennom sine publiserte arbeider, sineforelesninger og sin personlige innflytelse over sine samtidigefagfeller.
Fra 1920 begynte Noether for alvor å jobbe med abstraktalgebra og det er fra denne tiden innholdet i begrepetNoethersk ring ble klargjort.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Definisjon
En partielt ordnet mengde Λ tilfredsstiller oppadstigendekjedebetingelse dersom enhver kjede
λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn ≤ . . .
av elementer i Λ er stasjonær, dvs. λN = λN+1 = λN+2 = . . .for en N.
En struktur som tilfredsstiller oppadstigende kjedebetingelsekalles Noethersk.Kjedebetingelser finner sine anvendelser innen mange omr̊aderav matematikk, og kan, ved første øyekast, virke harmløse ogikke egnet til å bevise dype resultater. Noether viste imidlertidhvordan man kunne utnytte denne egenskapen.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Aritmetikkens fundamentalsats
Aritmetikkens fundamentalsats sier at ethvert heltall større enn1 kan skrives som et entydig (opp til permutasjoner avfaktorene) produkt av primpotenser,
N = pn11 pn22 . . . p
nrr
Sentralt i beviset er Euclids lemma, som sier at dersom etprimtall p deler et produkt ab av to tall a og b, s̊a deler penten a eller b.
Eksempel
1200 = 24 · 3 · 52
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Algebraens fundamentalsats
Algebraens fundamentalsats sier at enhver polynomial likninghar en løsning over de komplekse tallene C. Konsekvensen avdette er at ethvert polynom f ∈ C[x ] kan skrives som etprodukt
f = (x − a1)n1(x − a2)n2 . . . (x − ar )nr
der ai er løsningene og ni den tilhørende multiplisitetene.
Eksempel
x4 − 4x3 + 5x2 − 2x = x(x − 1)2(x − 2)
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
I 1904 viste Emanuel Lasker et tilsvarende resultat for vilk̊arligepolynomer. Ringer med denne egenskapen, dvs. at de har enprimærdekomposisjon, kalles Laskerringer.
Emanuel Lasker (1868-1941) var en tysk matematiker ogfilosof, men best kjent som kanskje verdens gjennom alle tiderbeste sjakk-spiller. Han var verdensmester i sjakk i 27 år, fra1894 til 1921. Han er ogs̊a opphavsmannen til et mer ukjentstrategispill, Lasco.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Lasker-Noethers teorem
Enhver Noethersk ring er en Lasker-ring, dvs. ethvert ideal kanskrives som et endelig snitt av primære idealer.
Resultatet generaliserer aritmetikkens fundamentalsetning,algebraens fundamentalsats og Laskers teorem, og er en avpilarene i kommutativ algebra og derfor ogs̊a i algebraiskgeometri.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Noethers arbeider er fortsatt svært relevante for utviklingen avmatematikk og teoretisk fysikk, og hun er udiskutabelt en avdet tjuende århudredes største matematikere. B. L. van derWaerden sier at hennes matematiske originalitet var absoluttutenfor et hvert sammenlikningsgrunnlag, og Hermann Weylskrev at at Noether gjennom sine arbeider hadde forandretalgebraens ansikt. Noether har av flere ledende matematikereblitt karakterisert som den største kvinnlige matematikergjennom alle tider. (Alexandrov, Weyl, Dieudonnè)
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
I et brev til The New York Times skrev Albert Einstein:
In the judgment of the most competent living mathematicians,Fräulein Noether was the most significant creativemathematical genius thus far produced since the highereducation of women began. In the realm of algebra, in whichthe most gifted mathematicians have been busy for centuries,she discovered methods which have proved of enormousimportance in the development of the present-day youngergeneration of mathematicians.
Amalie EmmyNoether
Amalie EmmyNoether
Noethersteorem iteoretiskfysikk
Andreresultater
Etterord
Amalie Emmy NoetherNoethers teorem i teoretisk fysikkAndre resultaterEtterord