Alternating Space & Time Theorems

8/2/2019 Alternating Space & Time Theorems

1/5

L e c t u r e 5

A l t e r n a t i n g S p a c e & T i m e T h e o r e m s

J a n u a r y 2 0 , 1 9 9 8

L e c t u r e r : R i c h a r d L a d n e r

N o t e s : S u m e e t S o b t i

I n t h i s l e c t u r e , w e c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h e A l t e r n a t i n g S p a c e T h e o r e m . W e a l s o p r o v e t h e

A l t e r n a t i n g T i m e T h e o r e m . T h e r e a f t e r , w e l o o k a t a m o r e p o w e r f u l v a r i a n t o f a l t e r n a t i n g T u r i n g

m a c h i n e s .

5 . 1 . A l t e r n a t i n g S p a c e T h e o r e m

I n t h e l a s t l e c t u r e , w e p r o v e d o n e h a l f o f t h e A l t e r n a t i n g S p a c e T h e o r e m . H e r e w e c o m p l e t e t h e

p r o o f .

T h e o r e m 5 . 1 ( A l t e r n a t i n g S p a c e ) : I f s ( n ) l o g n , t h e n

A S P A C E ( s ( n ) ) =

c

T I M E ( 2

c s ( n )

) :

P r o o f :

( ) P r o v e d i n t h e l a s t l e c t u r e .

( ) S u p p o s e T = ( K ; ; ; ; s ) i s a s i n g l e - t a p e d e t e r m i n i s t i c T u r i n g m a c h i n e t h a t t a k e s a t m o s t

2

c s ( n )

s t e p s o n a n i n p u t o f l e n g t h n . ( N o t e t h a t w e a r e n o t l o o s i n g a n y g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g T t o

b e a s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e . S e e T a p e - R e d u c t i o n t h e o r e m ) .

F o r n o w , l e t s a s s u m e t h a t t h e 2

c s ( n )

t i m e b o u n d i s k n o w n . ( L a t e r w e ' l l s e e h o w t h e p r o o f c a n

b e m o d i e d t o w o r k w i t h o u t t h i s a s s u m p t i o n . )

L e t s r e p r e s e n t t h e c o n g u r a t i o n s o f t h e m a c h i n e b y s t r i n g s o f t h e f o r m # q # # , w h e r e q

d e n o t e s t h e s t a t e o f t h e m a c h i n e , i s t h e t a p e c o n t e n t s ( j j = 2

c s ( n )

) a n d i s t h e s t r i n g o n t h e

p o r t i o n o f t h e t a p e t h a t l i e s t o t h e l e f t o f t h e h e a d . T h u s , e a c h m a c h i n e c o n g u r a t i o n i s r e p r e s e n t e d

b y a s t r i n g o f l e n g t h m = 2

c s ( n )

+ 4 .

W e n o w d e s i g n a n A S P A C E ( s ( n ) ) a l g o r i t h m t o d e c i d e m e m b e r s h i p i n L ( T ) .

I f D i s t h e c o n g u r a t i o n t h a t f o l l o w s f r o m C i n o n e s t e p , t h e n f o r a n y 2 k m 2 , t h e k

t h

s y m b o l o f W D i s f u l l y d e t e r m i n e d b y t h e ( k 1 )

t h

; k

t h

; ( k + 1 )

t h

a n d ( k + 1 )

t h

s y m b o l s o f C . T h u s

w e c a n d e n e a p r e d i c a t e F i n t h e f o l l o w i n g w a y .

1 7


2/5

L E C T U R E 5 . A L T E R N A T I N G S P A C E & T I M E T H E O R E M S 1 8

F (

1

;

2

;

3

;

4

; ) i s t r u e i f a n d o n l y i f m u s t b e t h e k

t h

s y m b o l i n t h e s u c c e e d i n g c o n g u r a t i o n

i f

1

;

2

;

3

;

4

a r e r e s p e c t i v e l y t h e ( k 1 )

t h

; k

t h

; ( k + 1 )

t h

a n d ( k + 2 )

t h

s y m b o l s i n t h e p r e c e d i n g

c o n g u r a t i o n .

A l s o i t i s e a s y t o s e e t h a t F c a n b e d e t e r m i n i s t i c a l l y a n d c o m p u t e d i n c o n s t a n t t i m e .

N o w , c o n s i d e r a x e d i n p u t s t r i n g x o f l e n g t h n . D e n e t h e p r e d i c a t e R

x

i n t h e f o l l o w i n g

m a n n e r . L e t x

i

b e t h e i - t h c h a r a c t e r o f x .

R

x

( t ; k ; ) i s t r u e i i s t h e k

t h

s y m b o l o f t h e t

t h

c o n g u r a t i o n o f T w h e n T r u n s o n i n p u t x .

A n a l t e r n a t i n g a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g R

x

( t ; k ; ) :

i f ( t = 0 ) t h e n r e t u r n

( k = 1 = # ) _

( k = 2 = s ) _

( k = 3 = x

1

) _ : : : _ ( k = n + 2 = x

n

) _

( n + 3 k m 2 = t ) _

( m 1 k m = # ) ]

i f ( t > 0 ) t h e n r e t u r n

( ( k = 1 _ m 1 k m ) = # ) _

( 2 k m 2 ^ 9

1

;

2

;

3

;

4

( F (

1

;

2

;

3

;

4

; )

R

x

( t 1 ; k 1 ;

1

)

R

x

( t 1 ; k ;

2

)

R

x

( t 1 ; k + 1 ;

3

)

R

x

( t 1 ; k + 2 ;

4

) ) ) ]

T h e c o r r e c t n e s s o f t h e a b o v e a l g o r i t h m i s o b v i o u s . A n i m p o r t a n t t h i n g t o n o t e h e r e i s t h e w a y

t h i s a l g o r i t h m w i l l b e e x e c u t e d b y a n a l t e r n a t i n g T M . L e t s s e e i n a l i t t l e d e t a i l h o w a n a l t e r n a t i n g

T M m a y e x e c u t e t h i s a l g o r i t h m .

S u p p o s e t h e a l t e r n a t i n g T M w a n t s t o c o m p u t e t h e v a l u e o f a f o r m u l a

1

_

2

. W h a t i t d o e s i s

t h a t i t g o e s t o a n e x i s t e n t i a l s t a t e ( i f i t i s n o t i n o n e a l r e a d y ) , a n d ' f o r k s ' o u t i n t o t w o b r a n c h e s . I t

c o m p u t e s

1

o n o n e b r a n c h a n d

2

o n t h e o t h e r . S i m i l a r l y i f i t w a n t s t o c o m p u t e

1

2

, i t g o e s

t o a u n i v e r s a l s t a t e a n d f o r k s o u t i n t o t w o b r a n c h e s .

I f i t n e e d s t o c o m p u t e 9 x : , t h e n i t g o e s t o a n e x i s t e n t i a l s t a t e a n d f o r k s o u t i n t o a n u m b e r

o f b r a n c h e s . O n e a c h b r a n c h , i t t a k e s a d i e r e n t v a l u e o f x a n d c o m p u t e s . S i m i l a r i s t h e

c o m p u t a t i o n o f 8 x : .

W h e n t h e a b o v e a l g o r i t h m i s e x e c u t e d i n t h i s m a n n e r b y a n a l t e r n a t i n g T M , i t c a n b e e a s i l y

s e e n t h a t t h e o n l y s p a c e i t r e q u i r e s i s t o s t o r e t h e p a r a m e t e r s t ; k a n d . N o w 0 t 2

c s ( n )

,

1 k m a n d 2 K f # g . T h u s t h e p a r a m e t e r s c a n b e s t o r e d i n O ( s ( n ) ) s p a c e . S o , t h e

a b o v e a l g o r i t h m i s a n A S P A C E ( s ( n ) ) a l g o r i t h m .

U s i n g t h e a b o v e a l g o r i t h m , w e c a n e a s i l y w r i t e a n A S P A C E ( s ( n ) ) a l g o r i t h m f o r d e c i d i n g m e m -

b e r s h i p i n L ( T ) .

A n a l t e r n a t i n g a l g o r i t h m f o r d e c i d i n g L ( T ) :

I n p u t x .


3/5


r e t u r n 9 t ; k : ( 0 t m 1 k m R

x

( t ; k ; Y ) ) w h e r e Y i s t h e a c c e p t i n g s t a t e o f T .

T o r e m o v e t h e a s s u m p t i o n a b o u t a p r i o r i k n o w l e d g e o f s ( n ) , w e s t y l i z e T i n a p a r t i c u l a r m a n n e r .

W e l e t T h a v e a u n i q u e a c c e p t i n g a n d a u n i q u e r e j e c t i n g c o n g u r a t i o n . F o r e x a m p l e , w e m a y

s t i p u l a t e t h a t T a l w a y s h a l t s w i t h i t s t a p e c o n t e n t s e r a s e d a n d i t s h e a d a t t h e l e f t e n d o f t h e t a p e .

I n t h i s c a s e , t h e u n i q u e a c c e p t i n g c o n g u r a t i o n w i l l b e # Y t t : : : t # # , w h e r e Y i s t h e a c c e p t i n g

s t a t e . S i m i l a r l y , t h e r e j e c t i n g s t a t e w i l l a l s o b e u n i q u e . N o w , o n e c a n c y c l e t h r o u g h m = 3 ; 4 ; : : :

u n t i l e i t h e r t h e a c c e p t i n g o r t h e r e j e c t i n g c o n g u r a t i o n i s f o u n d . T h e d e t a i l s a r e l e f t a s a n e x e r c i s e

t o t h e s t u d e n t s .

2

5 . 2 . A l t e r n a t i n g T i m e T h e o r e m

T h e o r e m 5 . 2 ( A l t e r n a t i n g T i m e ) : I f t ( n ) n a n d s ( n ) n , t h e n

A T I M E ( t ( n ) ) S P A C E ( t ( n ) )

N S P A C E ( s ( n ) ) A T I M E ( s

2

( n ) )

P r o o f : F i r s t w e s h o w t h a t A T I M E ( t ( n ) ) S P A C E ( t ( n ) ) . S u p p o s e T i s a t ( n ) t i m e b o u n d e d

a l t e r n a t i n g T M , w h i c h o n e v e r y i n p u t m a k e s a t l e a s t o n e m o v e . W . l . o . g . , a s s u m e t h a t a t e a c h s t e p ,

T h a s e x a c t l y d c h o i c e s f o r t h e n e x t m o v e ( w h e r e d i s a c o n s t a n t ) .

F i x a g i v e n i n p u t x o f l e n g t h n . N o w , b y d e n i t i o n o f a c c e p t a n c e i n a l t e r n a t i n g T M s , x 2 L ( T )

i t h e c o m p u t a t i o n t r e e o f T o n x i s a n a c c e p t i n g t r e e . T h u s , i t w o u l d s u c e i f w e c a n g i v e a n

S P A C E ( t ( n ) ) d e t e r m i n i s t i c a l g o r i t h m t o t e s t i f t h e c o m p u t a t i o n t r e e o f T o n x i s a c c e p t i n g o r n o t .

T h i s i s e x a c t l y w h a t w e a r e g o i n g t o d o . W e w i l l a g i v e s p a c e - e c i e n t e v a l u a t i o n p r o c e d u r e f o r

c o m p u t a t i o n t r e e s o f T .

S u p p o s e R i s t h e c o m p u t a t i o n t r e e o f T o n i n p u t s t r i n g x . A c o m p u t a t i o n p a t h s t a r t i n g f r o m

t h e r o o t o f R ( i . e . I n i t ( x ) ) c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s e q u e n c e o f i n t e g e r s = i

1

i

2

: : : i

k

, w h e r e

i

j

i n d i c a t e s w h i c h o f t h e d p o s s i b l e m o v e s w a s m a d e a t t h e j

t h

s t e p i n t h e c o m p u t a t i o n . T h u s ,

8 j : 1 i

j

d . A l s o s i n c e T i s a t ( n ) - t i m e b o u n d e d m a c h i n e , n o c o m p u t a t i o n p a t h c a n b e m o s e

t h a n t ( n ) s t e p s l o n g . T h e r e f o r e , k t ( n ) .

F o r a n y p a t h = i

1

i

2

: : : i

k

, w e d e n e t h e f o l l o w i n g p r e m i t i v e s .

l a s t ( ) = i f k = 0 , a n d i

k

i f k 1 .

b a c k ( ) = i

1

i

2

: : : i

k 1

.

d o w n ( ) = i

1

i

2

: : : i

k

1 .

c o n f ( ) = t h e c o n g u r a t i o n T r e a c h e s b y f o l l o w i n g p a t h .

A l g o r i t h m f o r e v a l u a t i n g c o m p u t a t i o n t r e e o f T o n i n p u t x :

= ; b = ? ; v = ? .

w h i l e 6= o r b 6= o r v = ? d o


4/5


v = ? :

c o n f ( ) i s a c c e p t i n g : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = T

c o n f ( ) i s r e j e c t i n g : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = F

e l s e : = d o w n ( )

v = T :

c o n f ( ) i s e x i s t e n t i a l : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = T

c o n f ( ) i s u n i v e r s a l b = d : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = T

c o n f ( ) i s u n i v e r s a l b 6= d : b = ? ; = ( b + 1 ) ; v = ?

v = F :

c o n f ( ) i s u n i v e r s a l : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = F

c o n f ( ) i s e x i s t e n t i a l b = d : b = l a s t ( ) ; = b a c k ( ) ; v = F

c o n f ( ) i s e x i s t e n t i a l b 6= d : b = ? ; = ( b + 1 ) ; v = ?

e n d w h i l e

W h e n = a n d b = t h e c o m p u t a t i o n t r e e h a s b e e n s e a r c h e d a n d t h e r e i s a v a l u e f o r v . T h e

v a l u e o f v = T i f a n d o n l y i f t h e i n p u t i s a c c e p t e d .

T h e c o r r e c t n e s s o f t h e a l g o r i t h m c a n b e s e e n b e c a u s e o f s e v e r a l i n v a r i a n t s . F i r s t , t h e c u r r e n t

n o d e i n t h e t r e e b e i n g s e a r c h e d i s r e p r e s e n t e d b y t h e p a t h . S e c o n d , i f t h e s e a r c h i s m o v i n g t o w a r d

t h e r o o t , t h e n b i s t h e b r a n c h j u s t t a k e n a n d v i s t h e v a l u e o f t h e s u b t r e e o f t h a t b r a n c h . T h e

a l g o r i t h m r e q u i r e s s p a c e f o r s t o r i n g t h e p a t h a n d f o r c o m p u t i n g t h e c o n f ( ) f u n c t i o n . B u t s i n c e

T i s a t ( n ) t i m e b o u n d e d m a c h i n e , t h i s i s O ( t ( n ) ) s p a c e . H e n c e , t h e a l g o r i t h m w o r k s i n O ( t ( n ) )

s p a c e .

T h e p r o o f o f \ N S P A C E ( s ( n ) ) A T I M E ( s

2

( n ) ) " i s s i m i l a r t o t h a t o f S a v i t c h ' s t h e o r e m . R e -

m e m b e r , i n t h e p r o o f o f S a v i t c h ' s t h e o r e m , w e n e e d e d t o c o m p u t e

9 E : R E A C H ( m ; C ; E ; k 1 ) R E A C H ( m ; E ; D ; k 1 )

T h e r e t h e m a c h i n e u s e d a s t a c k t o i m p l e m e n t t h e r e c u r s i o n i n t h e c o m p u t a t i o n . H e r e t h e a l t e r n a t i n g

m a c h i n e c o m p u t e s t h e f o r m u l a i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d e a r l i e r ( S e e t h e d i s c u s s i o n i n p r o o f o f t h e

A l t e r n a t i n g S p a c e T h e o r e m ) .

A n o t h e r p o i n t w h e r e t h e p r o o f n e e d s m o d i c a t i o n i s p a r t w h e r e t h e a l g o r i t h m g o e s t h r o u g h a l l

m = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; : : : t i l l i t n d s a s a f e m . B u t t h i s a p p r o a c h t a k e s t o o m u c h t i m e . H e r e w e n e e d t o

m a k e m g o a l o n g p o w e r s o f 2 , ( i . e . m = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; : : : ) .

A c t u a l l y , i t i s n o t s u r p r i s i n g t o s e e t h a t t h e p r o o f s h a r e s s o m a n y i d e a s w i t h t h e p r o o f o f

S a v i t c h ' s t h e o r e m . S a v i t c h ' s t h e o r e m a l m o s t t r i v i a l l y f o l l o w s f r o m t h e A l t e r n a t i n g T i m e t h e o r e m .

2

A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e A l t e r n a t i n g T i m e t h e o r e m i s t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 5 . 3 : A P = P S P A C E


5/5


5 . 3 . A V a r i a n t O n A l t e r n a t i n g T u r i n g M a c h i n e s

I n t h i s s e c t i o n , w e d e s c r i b e a v a r i a n t o n a l t e r n a t i n g T u r i n g m a c h i n e s . T h i s m o d e l i s m o r e p o w e r f u l

t h a n t h e o r d i n a r y a l t e r n a t i n g T M s t h a t w e h a v e b e e n w o r k i n g w i t h s o f a r . T h e p o w e r o f t h i s m o d e l

c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t i t h a s r a n d o m a c c e s s o n t h e i n p u t t a p e .

M o r e c o n c r e t e l y s p e a k i n g , i n t h i s m o d e l t h e a l t e r n a t i n g T M h a s a n i n p u t t a p e , a n i n d e x t a p e

a n d a w o r k t a p e . I t h a s t w o h e a d s , o n e e a c h f o r t h e i n d e x t a p e a n d t h e w o r k t a p e . I t d o e s n ' t n e e d

t o h a v e a h e a d f o r t h e i n p u t t a p e . T h e r e a s o n i s t h a t t h e i n p u t i s r e a d i n d i r e c t l y u s i n g t h e i n d e x

t a p e . I t s n e x t m o v e d e p e n d s o n t h e s t a t e , s y m b o l u n d e r t h e h e a d o n w o r k t a p e a n d t h e s y m b o l o n

t h e i n p u t t a p e t h a t i s i n d e x e d b y t h e i n d e x c u r r e n t l y w r i t t e n o n t h e i n d e x t a p e .

R a n d o m a c c e s s o n t h e i n p u t t a p e a l l o w s u s t o p r o v e a s t r o n g e r v e r s i o n o f t h e a l t e r n a t i n g t i m e

t h e o r e m . F o r t h i s m o d e l , w e c a n p r o v e t h e a l t e r n a t i n g t i m e t h e o r e m f o r a n y t ( n ) l o g ( n ) ; s ( n )

l o g ( n ) .

5 . 4 . C o m p l e m e n t s O f C o m p l e x i t y C l a s s e s

F o r a n y c l a s s C , c o C i s d e n e d a s t h e c l a s s o f l a n g u a g e s w h o s e c o m p l e m e n t s a r e i n C . F o r e x a m p l e ,

D e n i t i o n 5 . 4 : c o N T I M E ( t ( n ) ) = f L : L 2 N T I M E ( t ( n ) ) g

D e n i t i o n 5 . 5 : c o N S P A C E ( s ( n ) ) = f L : L 2 N S P A C E ( s ( n ) ) g

S o m e f a c t s :

c o N P =

k

c o N T I M E ( n

k

)

c o N P S P A C E = N P S P A C E = P S P A C E

O p e n P r o b l e m 5 . 6 : c o N P = N P ?

T h e o r e m 5 . 7 ( I m m e r m a n - S z e l e p s c e n y i ) : I f s ( n ) i s t a p e c o n s t r u c t i b l e a n d s ( n ) l o g ( n ) ,

t h e n

N S P A C E ( s ( n ) ) = c o N S P A C E ( s ( n ) )

Documents

Alternating Space & Time Theorems