184

Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

  • Upload
    others

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

����������� ��������� ����������� ��!" ������#$�%�&!'�)(*�,+-���/.0���213�%�!4�)(*�,56���879�%�:�

;*< = > ? @ ?4? A B CD@ < < > EF@ GIH A J K J J CD> G <4L HM< = >N > O A @ N > CD> G < ?�H L N < = >QP RSP N ETL H�< = >QE > U N > >

VXWSY[Z W�\W�]F^`_4a b W�c W�d4_�e

H N L C

fIgFh iIjQkIlMh mTn�oIpqmDjTrTsIgIoIt'ovuFn&w�lxnvyIgIj'n

B z

{:W�|4}�b ~-��}��4\ a Yx���SW�\ b a

yv� ���x� � �� �x�F�[�Q�X�[� ��� ��[� � � �x�SlM� � � ��� � �p�� ��� ���[� �*�[�[�x�

Page 2: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

�`�M� � � �'�x M� �X¡�¢F£X¤S� ¥4¡�� ¦ ¥4� §'¨�©� � ª�� «4 �¬ � � ­®�¯ ° ± ² ³ ´ µF² ¶[· ²S² ¶ ³ ¸S² ¶ ° ¸ ³ ¸�¶[· ¸�¹ º ²S» ± ° ¼ ³ º ½[¸ ¾ µD¿[° ° ¹v¸ ½ ¿ ÀD³ ² ² ° ÁF´ º ±4·TÁ °  ± ° °¹ º ±�¶[· ¸�³ ²�¿[° ° ¹I¸ ½ ¿ ÀD³ ² ² ° ÁF· ¸�»[· ± ²�º ´x± ° à ½ ³ ± ° ÀT° ¹ ² ¸�´ º ±S·QÁ °  ± ° °4° Ä ¯ ° » ²S· ¸´ ½ ¾ ¾ µI· ¯ Å ¹ º ÆS¾ ° Á  ° ÁDÆS³ ² ¶ ³ ¹I² ¶ °Q² ° Ä ² Ç®T· ¾ ¸ º&¯ ° ± ² ³ ´ µ&² ¶[· ²D² ¶ °I² ¶ ° ¸ ³ ¸T¶[· ¸T¿[° ° ¹ÆS± ³ ² ² ° ¹¿ µ&ÀD° Ç:ÈS¹ µ&¶ ° ¾ »:² ¶[· ²®'¶[· ¼ °D± ° ¯ ° ³ ¼ ° Áv³ ¹&ÀQµ`± ° ¸ ° · ± ¯ ¶`Æ�º ± Å`· ¹[Á`² ¶ °F» ± ° »[· ± · ² ³ º ¹`º ´�² ¶ °F² ¶ ° ¸ ³ ¸³ ² ¸ ° ¾ ´�¶[· ¸�¿[° ° ¹v· ¯ Å ¹ º ÆS¾ ° Á  ° ÁxÇ�® ¹`· Á Á ³ ² ³ º ¹MÉ ®4¯ ° ± ² ³ ´ µF² ¶[· ²'· ¾ ¾M³ ¹ ´ º ± ÀF· ² ³ º ¹¸ º ½ ± ¯ ° ¸�· ¹[ÁF¾ ³ ² ° ± · ² ½ ± °'½[¸ ° ÁI· ± °4³ ¹[Á ³ ¯ · ² ° ÁF³ ¹I² ¶ °'² ¶ ° ¸ ³ ¸ Ç

Ê�º ¹[· ¾ ÁFËv· ½ ± ³ ¯ °QÌ º ± ¾ ³Í ° ¿ ± ½[· ± µFÎ Ï É Î Ð Ð Ñ

³ ³

Page 3: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ÒÔÓÕ�Ö�×�ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ�ßàÚ�ÖÞá`â

ãxä�å æ ç è'ç é ê ë�ì å4í é î ë�ï4ð ñ[ë ò é ï ç ì ó[ï ô ê ðxì å4õQö'ñ ÷ é ô[ò é ñ[ï ç ð æ ñ[ë ÷ î é ð å ÷ ø ù4ð ð å ò é ï ì ë�ú�÷ å û ë ð ð å ÷Mü4÷ ï ë õDëSý�å ó ë ôQäSó åñ ÷ å î é è ë è`é ô[ð ñ é ÷ ï ì é å ôMøMí æ é è ï ô[ò ë øMð æ ñ ñ[å ÷ ìTï ô[è`ë ô[ò å æ ÷ ï í ë õDë ô ì'ì ó ÷ å æ í ó å æ ì'ì ó é ð'÷ ë ð ë ï ÷ ò óMþIÿSé ðQë è é ì å ÷ é ï çï ð ð é ð ì ï ô[ò ë'é ð4ï ç ð åTî ë ÷ öDõTæ[ò óvï ñ ñ ÷ ë ò é ï ì ë èxþ�IöQï ñ ñ ÷ ë ò é ï ì é å ô'í å ë ðxì å��Sé ò ó[ï ÷ è�� ò ó ÷ å ë ñ ñ[ë ç ø � ÷ ë èTÿSë ç ë ô é æ[ð ø � ï ð å ô��Iå � ó[ï õvø ù4ò ó é õ��Mç ï õTõDë ô ê ï õTñï ô[èIü4ë å ÷ í ë�`å ç ì õFï ôIû å ÷4ð ó[ï ÷ é ô íTì ó ë é ÷Së � ñ[ë ÷ é ë ô[ò ë ð�é ôvð ë ï ÷ ò ó é ô íTû å ÷SõQæ ç ì é ñ[ë ÷ û ë ò ìSô æ õ�[ë ÷ ð þ��ó ë4÷ ë ð æ ç ì ð�ò å ô[ò ë ÷ ô é ô íQì ó ë4ì å ì ï ç ô æ õ�[ë ÷�å ûxñ ÷ é õTë4û ï ò ì å ÷ ð�å ûxï ôDå è èDñ[ë ÷ û ë ò ì�ô æ õ�[ë ÷�ä�ë ÷ ë4ì ó ë4÷ ë ð æ ç ìå û�ï� å é ô ì4ë �[å ÷ ìSå û��Så æ íFã ï ô ô æ[ò ò é�� äSó é ç ëQî é ð é ì é ô íFì ó ë��4ë ñ[ï ÷ ì õTë ô ì �4ï ô[èIõQö ð ë ç û�äSé ì ó`ï è è é ì é å ô[ï ç�ï è î é ò ëï ô[èIï ð ð é ð ì ï ô[ò ë'å ûMõQöFñ ÷ é ô[ò é ñ[ï çMð æ ñ[ë ÷ î é ð å ÷ þ��ó ÷ å æ í ó å æ ì�ì ó é ð4ð ì æ[è öFõTöFû ï õDé ç öFó[ï ð�[ë ë ôvî ë ÷ öDæ ô[è ë ÷ ð ì ï ô[è é ô íDå û�ì ó ëTè ë õDï ô[è ðSå û�÷ ë ð ë ï ÷ ò óMþ�ãSï õû å ÷ ë î ë ÷�é ôIì ó ë é ÷4è ë ìSû å ÷Sì ó ë é ÷Sû å ÷ [ë ï ÷ ï ô[ò ë þ

é é é

Page 4: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

������������� �

! " # $ %�& ' ( $*) + $ %�, $*( $*& -�. / . )10 , . & ' + # $1+ $2$ , 3�4*. /�' 5 . # / 617 # $*7 . / $*&8' 5 .9. : + & ' . $*7 .�; # /�$ # ' <=# >*# ) )1?*. / > . 7 '$ , 3�4*. / & @�A9B . /�' + 3�.231( $ 6�? / # ?*. / ' + . &�# >�( $�# ) )�?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. /�5*( B .14*. . $C. & ' ( 4 " + & 5 . )�( $*)�/ . D $ . )E@F 5 .2+ $ + ' + ( "�% # ( "�# >9' 5 + &�/ . & . ( / 7 5C-�( &�' #G+ 3�? / # B .2' 5 .2" # -�. /�4*# , $*)C# $H' 5 .�$ , 3�4*. /�# >9) + & ' + $*7 '1? / + 3�.> ( 7 ' # / &�# >8( $�# ) )2?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. / I + >J# $ .�. : + & ' & I ' #2( '�" . ( & '9K @L / . B + # ,*&=( ? ? / # ( 7 5 . &8' #�' 5 + &�? / # 4 " . 3�+ $ B # " B . )�' 5 .�( $*( " 6 & + &8# >J(�7 ( / . > , " " 617 5 # & . $2& . '=# >J& ?*. 7 + ( "E7 ( & . &

-�+ ' 5�. ( 7 5�' 5 . $G4*. + $ %2. " + 3�+ $*( ' . )�4 6G(27 # $ ' / ( ) + 7 ' + # $J@ F 5 + &9' 5 . & + &�( ? ? " + . &�( $G( " % # / + ' 5 3�+ 7 I*> ( 7 ' # /�7 5*( + $( ? ? / # ( 7 5�' #�' 5 .9? / # 4 " . 3G@ F 5 .�+ 3�? " . 31. $ ' ( ' + # $1# >J& ,*7 51( $2( ? ? / # ( 7 52( &=(�7 # 31? , ' . /=? / # % / ( 3�( " " # -9&8' 5 .& ?*. . )EI*( 7 7 , / ( 7 62( $*)�M . : + 4 + " + ' 62# >83�# ) . / $G7 # 3�? , ' . /�' . 7 5 $ # " # % 61' #1$ # '�# $ " 6�( & & + & '�4 , '�. B . $G) + / . 7 '�' 5 .) + & 7 # B . / 61? / # 7 . & & @N $C( ) ) + ' + # $G' #�7 # $*& + ) . / + $ %2# ) )�?*. / > . 7 '9$ , 3�4*. / & IE& . B . / ( "J/ . " ( ' . )�? / # 4 " . 31&9-�. / .�+ $ B . & ' + % ( ' . )EI*7 # $ O

7 . / $ . )G-�+ ' 5 ; + <95*( / 3�# $ + 7 I=; + + <9. B . $�3�, " ' + ?*. / > . 7 '�( $*)H; + + + <�# ) )G' / + ?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. / & @ F 5 .1( + 3P+ $�' 5 . & .7 ( & . &�-�( &�' #�) . 3�# $*& ' / ( ' .1' 5 .�7 # / / . 7 ' $ . & &�( $*)�B . / & ( ' + " + ' 6G# >�' 5 .�7 # 31? , ' . /�7 # ) .2( $*)�' #GD $ .2' , $ .2+ ' &. Q27 + . $*7 62-�5 + " .�& . . R + $ %�+ 3�? / # B . )1? / # ?*. / ' + . &�# >J' 5 . & .�' 6 ?*. &�# >J$ , 3�4*. / & @!9&J(�/ . & , " 'E# > ' 5 + &E-�# / REI & + % $ + D*7 ( $ 'E+ 31? / # B . 3�. $ ' &*5*( B .=4*. . $�32( ) .=' #�' 5 .�, $*) . / & ' ( $*) + $ %�# > 5*( / 3�# $ + 7

$ , 3�4*. / & @ F 5 .�+ $ ' / # ) ,*7 ' + # $�# > 5*( / 31# $ + 7=& . . ) & I 7 # , ? " . )�-�+ ' 51(�& ' / ( + % 5 ' > # / -�( / )9? / # 7 . ) , / .=> # /J% . $ . / ( ' + $ %3�# & '95*( / 3�# $ + 7�$ , 3�4*. / &94*. " # -S(27 5 # & . $G4*# , $*)EIE. : ?*( $*) &9' 5 .�# ? ?*# / ' , $ + ' + . &�> # /9> , / ' 5 . /�+ $ B . & ' + % ( ' + # $*&# >*5*( / 3�# $ + 7�$ , 3�4*. / &=( $*)�+ $1?*( / ' + 7 , " ( /�( " " # -�. )�' 5 .�) . ' . / 31+ $*( ' + # $1# >E( " " 5*( / 3�# $ + 7�$ , 3�4*. / &84*. " # -�T U V W( $*)�(�? / # # >J' 5*( '�' 5 . / .�( / .�$ #1# ) )25*( / 31# $ + 79$ , 3�4*. / &�4*. " # -�T U V X @Y 5 . $27 # $*& + ) . / + $ %9. B . $�3�, " ' + ?*. / > . 7 '=$ , 3�4*. / & I (�& . ( / 7 5�? / # 7 . ) , / .�-�( &J+ 3�? " . 31. $ ' . )�' #�D $*)�' 5 .�D / & '

T U O ?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. /�( &=-�. " "E( &=& . B . / ( "*# ' 5 . /�$ . - # $ . & @=!9&�(�> / . & 5�( " ' . / $*( ' + B .9' #�' 5 .�> ( 7 ' # /�7 5*( + $�& . ( / 7 5JI(GU Z*T2" + $ . ( /�? / # % / ( 313�+ $ %�31# ) . "�-�( &�7 # $*& ' / ,*7 ' . )H( $*)�,*& . )C' #C& 5 # -�' 5*( '1( " "�3�, " ' + ?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. / &) + B + & + 4 " .�4 62[ \�> # /9]1^ _ ` I & , 4*a . 7 '�' #2(�31# ) . & '97 # $*& ' / ( + $ ' I ( / .�R $ # -�$2+ $�' 5 .�" + ' . / ( ' , / . @A�) )C' / + ?*. / > . 7 '1$ , 3�4*. / &�; + >9' 5 . 6H. : + & ' <�5*( B .2? / # ?*. / ' + . &�-�5 + 7 5 ( / .G& + 3�+ " ( /1' #*I=4 , '2& + 31? " . /1' 5*( $JI

' 5 # & .�> # /�# ) )2?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. / & @=!�$�. : ' . $*) . )2' . & '�# $2' 5 .�?*# & & + 4 " .�? / + 3�.�> ( 7 ' # / &=# >=& ,*7 5�(�$ , 3�4*. /�-�( &) . B . " # ?*. )�' 5*( ' I -�+ ' 513�+ $ # /=) + b*. / . $*7 . & I ( ? ? " + . &8' #�4*# ' 5�# ) )�' / + ?*. / > . 7 '�( $*)�# ) )�?*. / > . 7 '=$ , 3�4*. / & @ Y 5 . $( ? ? " + 7 ( 4 " . IJ' 5 + &�' . & '�( " " # -9&�( $C. ( / " + . /�) . ' . / 3�+ $*( ' + # $C# >�(�7 # $ ' / ( ) + 7 ' + # $�-�+ ' 5 + $H(2> ( 7 ' # /�7 5*( + $C( $*)�& #/ . ) ,*7 . &9' 5 .1. b*# / '�/ . 0 , + / . )E@ N '�-�( &�( " & #�& 5 # -�$G' 5*( '�( $�# ) )G' / + ?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. /�3�,*& '�4*.1% / . ( ' . /�' 5*( $T U V W c @Y 5 + " .�' 5 .�% # ( "E# >J? / # B + $ %�' 5*( '9( $�# ) )2?*. / > . 7 '�$ , 3�4*. /93�,*& '�5*( B .�( '�" . ( & '�K1) + & ' + $*7 '�? / + 31.�> ( 7 ' # / &

-�( &�$ # '1( 7 5 + . B . )EI�) , .�' #�31( + $ " 6H? / ( 7 ' + 7 ( "�" + 3�+ ' ( ' + # $*& I=' 5 .G( " % # / + ' 5 31+ 7�( ? ? / # ( 7 5C-�( &�( 4 " .2' #H& 5 # -' 5*( '�> # /9( $G# ) )2?*. / > . 7 '9$ , 3�4*. /9-�+ ' 5�d1) + & ' + $*7 '�? / + 31.�> ( 7 ' # / & IE; + <�+ >8+ '9+ &�. : ( 7 ' " 6�) + B + & + 4 " .�4 6�e W \�' 5 . $]�f�T g [ g e g ` g _�# /�]2h e T�; + + <�+ >J' 5 .�& ?*. 7 + ( "J7 # 31?*# $ . $ '�+ &�iJjJI iCklT U m9( $*)2iJj nJV�koT U p q I ' 5 . $Gr�f�T @

+ B

Page 5: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

sutPvxw�y�vxw�z

{2| }J~8� �2� � �8�*� �C� ~*� � � � �{1�8� � � � | � � ���� ~*� � �J�J�8| � � �*~ �� � ���G� � � � �2� � � � � �E� � � � � ��� �*� � � �  ¡�����������������������������������������������������������������¢�� � £¥¤l¦ � � � §J� �   � ¨ � ©ª�������������������������������������������������������������������������������¬«

� � £ � �®­8� � § � � ��� ¯ ��¦*� �  °���������������������������������������������������������������������¬«� � £ � £u��¯ � � � �*� � § � � ��� ¯ ��¦*� �  ±���������������������������������������������������������������¬²� � £ � «u³9� � ��¨ � � �9� ¯ ��¦*� �  C�������������������������������������������������������������������¬´

� � «¥¤���¨ µ � � µ � � ¶ ¨ §8� � �  �� � �   �  ·�������������������������������������������������������������������¬´� � ¸¹¤9� � � � µ � ��� � �  �� ��� � �  �� � �   �  ±�����������������������������������������������������������������»º� � ²¹¼=¨ � � � � �  �¨ §J� � ��� � � ¨ ���*� � © � � ½2¼=¨ ���*� � ��¾9�   �����������������������������������������������¬¿

À�Á � � �H�*~J� |2Â��8�G��� � � ã � ��Ä � � � ¨ Å ¯*� � � ¨ �������������������������������������������������������������������������������������¬Æ£ � £¥Ç��   � �9� � � ¨ � ©G�����������������������������������������������������������������������������������¬Æ£ � «¥È8µ � �2�*� � �1¨ � � �9� ¯ ��¦*� �  l���������������������������������������������������������������������É� Ê

£ � « � �®¤��G� � ½ ¨ � � � � �·§ ¨ ��Ë �*Å � � ½1� µ � �2�*� � ��¨ � � �9  � � Å  ��������������������������������������É� Ê£ � « � £uÌ�� � � � � � � � ½��*� � ��¨ � � �9� ¯ ��¦*� �  Í�����������������������������������������������������É� ¸

£ � ¸®Î9Å Å2�*� � �1¨ � � �9� ¯ ��¦*� �  ±���������������������������������������������������������������������É� º£ � ²ªÄ ��� � � �1� � � � � � ¨ �l�������������������������������������������������������������������������������É� Æ£ � ´¥Ï��   ¯ � �  ������������������������������������������������������������������������������������������É� Æ

ÐªÑ �*� ~oÒ��8� � � Ó�� � Ô � | �1ÂG�J�G��� � � À*À« � ��Õ ¨ ����¦*�   � �9§ � � �  °�����������������������������������������������������������������������������Ö£ £« � £¥¤l¦*�   � ��  � � � � �2� � ¨ � � Å ¯ � �����������������������������������������������������������������������Ö£ £« � «¹¼=¯ � � � � ��� �   ¯ � �  x�������������������������������������������������������������������������������Ö£ ¸« � ¸¹Õ ¯ ¦*  � � � ¯ � � ¨ �* ¡���������������������������������������������������������������������������������Ö£ º« � ²¥Ï��   � � � � � � Å�  � ½ �1�1� �*� � � � � ½��������������������������������������������������������������������Ö£ Æ« � ´¥¤���� �1� � ¨ µ � Å2  � � � � �2� � ¨ � � Å ¯ � �ª�������������������������������������������������������������Ö« Ê« � º�× � � � ��� ¨2  � � � � �u�����������������������������������������������������������������������������Ö« ¸« � ¿¥Ê Ø*�9� � � � � ��� � ¨ ½ � � �1��� � ½��1¨ Å � �J§ ¨ � ��¯ � � � � ¨ �Ö�����������������������������������������������Ö« Æ« � Æ¥Ï�� Å ¯*� � � ½�� � ��� ¯ ��¦*� ��¨ §8Å � � �   � ¨ �2µ � � � � ¦ � �  ��������������������������������������������������®¸ £

µ

Page 6: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ù Ú Û Ü Ý�Þ ß à á â ß�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖã ÜÙ Ú Û Ü Ú Ûlä�å ß Þ�æ1ç è Þ áoÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖã ÜÙ Ú Û Ü Ú éSê�á áJß ç á à â ë ç ì*ßÍÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖã ãÙ Ú Û Ü Ú ÙSí î å á å ï ë á ë â ðCÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖã ñ

Ù Ú Û ÛCí ò*Þ î ë å á ë ó Þ è�Ü ô*Û�å á õ ç ö ë â ÷ æ1ß1Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ Üø¥ù1ú8ú û=ü ý þ�ÿ ü � ÿ � ��������ÿ ü � �� � Ú Û�� ì â ö ç è à*î â ë ç ì�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ é� Ú é¥êlá ç ��Þ ö�ï*ç à ì*è2ç ì�â ÷ Þ�ß ë ó Þ�ç �8å ì�ç è è2â ö ë ò*Þ ö � Þ î â�ì à æ�ï*Þ ö�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ é

� Ú é Ú Û���÷ Þ ç ö Þ â ë î å áJä�å î � õ ö ç à ì*è¡Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ Ù� Ú é Ú éuê�ìGå á õ ç ö ë â ÷ æ�� ç ö�� ì*è ë ì õ2å�á ç ��Þ ö�ï*ç à ì*è2ç ì2â ÷ Þ�ß ë ó Þ�ç ����Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ Ù

� Ú Ù���÷ Þ�ì à æ�ï*Þ ö�ç �8è ë ß â ë ì*î â9ò ö ë æ�Þ�� å î â ç ö ß=ç �=å ì2ç è è2â ö ë ò*Þ ö � Þ î â�ì à æ�ï*Þ ö�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ ã� Ú Ù Ú Û���÷ Þ ç ö Þ â ë î å áEï*å î � õ ö ç à ì*è°Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�ÚÖñ ã� Ú Ù Ú éuÝ�Þ ß à á â ß�� ç ö�� � �!�"�Û éxÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# Ü

%ªù1ú8ú'&9ÿ ü � ÿ � ��������ÿ ü � () ã Ú Û�� ì â ö ç è à*î â ë ç ì�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# éã Ú é���÷ Þ�â ç â å áEì à æ�ï*Þ ö�ç �8ò ö ë æ�Þ�� å î â ç ö ß�ç �8å ì2ç è è2ò*Þ ö � Þ î â�ì à æ�ï*Þ ö�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# é

ã Ú é Ú Û�*=ö Þ á ë æ�ë ì*å ö ë Þ ß·Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# Ùã Ú é Ú é$*=ö ç ï á Þ æxß ò*Þ î ë �*î å â ë ç ìuÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# �ã Ú é Ú Ùuê�ìGå á õ ç ö ë â ÷ æ�� ç ö�â Þ ß â ë ì õ1â ÷ Þ�á ç ��Þ ö�ï*ç à ì*è2ç ì�+�� �! Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# #ã Ú é Ú � � æ1ò á Þ æ�Þ ì â å â ë ç ìHÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# ,ã Ú é Ú ã$-�î ç ì ç æ1ë ß å â ë ç ì�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# ,

ã Ú Ù���÷ Þ�ì à æ�ï*Þ ö�ç �8è ë ß â ë ì*î â9ò ö ë æ�Þ�� å î â ç ö ß=ç �=å ì2ç è è2ò*Þ ö � Þ î â�ì à æ�ï*Þ öSÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# .ã Ú Ù Ú Û���÷ Þ ç ö Þ â ë î å áEï*å î � õ ö ç à ì*è°Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú$# .ã Ú Ù Ú éuê�ìGå á õ ç ö ë â ÷ æ�� ç ö�â Þ ß â ë ì õ1â ÷ Þ�á ç ��Þ ö�ï*ç à ì*è2ç ì�� � �!lÚ�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/, éã Ú Ù Ú ÙuÝ�Þ ß à á â ß�� ç ö�� � �!�"0,�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/, #

�1& 2 ü 2 3 3 ÿ 342 3 5)6 ü ý � 7��8� 9� ñ Ú Û�� ì â ö ç è à*î â ë ç ì�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/. éñ Ú é�:�ë õ ÷�ò*Þ ö � ç ö æ1å ì*î Þ�î ç æ1ò à â ë ì õ Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/. éñ Ú Ù¥ê�á õ ç ö ë â ÷ æ2ß±Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/. Ù

ñ Ú Ù Ú Û�-�; ÷*å à*ß â ë < Þ�ß Þ å ö î ÷�� ç ö�÷*å ö æ�ç ì ë î�ì à æ�ï*Þ ö ß9Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/. Ùñ Ú Ù Ú é$=*å î â ç ö9î ÷*å ë ì�ï*å ß Þ è2å á õ ç ö ë â ÷ æ1ß9Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú�Ú/. ñ

>1? 2 ü �@6)AJý ��� ÿ ÿ úB�C3 ÿ � �D� 7B2 A�Û Ü E F 9)9G1? 2 ü �@6)AJý ��A��B��ÿ ü �H3 ÿ � �D� 7�2 A�Û Ü E I J K�(L1L 6)��þ���� 2 � ý 6)AB�H� 6 üCM�AJú8ý A�5N2 3 3�ÿ O*ÿ A07B2 ü �86)A8ý ��� ÿ ÿ úB�C3 ÿ � �D� 7B2 A�Û Ü E I J)J PQ�L 6)��þ���� 2 � ý 6)AB�H� 6 ü1þ8ü 6B6)��6)��A�6)A�R ÿ SJý � � ÿ A�� ÿ�6)��6JúJú07B2 ü �86)A8ý ��A��B��ÿ ü �H3 ÿ � �H� 7�2 AlÛ Ü E IBJ)J 9T K U�J3 ý AJÿ 2 ü1þ8ü 6)5 ü 2 �8�Hý A�5�@6Eú8ÿ 3�� 6 ü��N�B3 � ý þ�ÿ ü � ÿ � �HA�����ÿ ü � J K

< ë

Page 7: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

V�WHX)YNZ�[�\ ] \ ^ X)_B`Da X bHZ�b XBX)a�X)a4_�X)_�c d eB^ ` \ d _�f d�X)a4X�g�gN\ b ^ Z4d b a d f \H_�[BYh4d b `Di d ` `�\ jB] _0k l m n o p q rsut�b XBX)a�X)a�v wHx y z k { | } z k { | k z ~ { ��a X b�X�g�g@Z4d b a d f \�_�[BYh4d b ` p q)��1��Z�b XBX)a4\ j�] \�] _'XBgBg@Z4d b a d f \�_�[BYh4d b�j�] `C] \�i d ] ` \C` ^ e@g�^ ` \ ^ _�f \HZ�b ^ Y8d�a ] f \ X b ` p �)��1��Z�b XBX)a4\ j�] \�] _'XBgBg@Z4d b a d f \�_�[BYh4d b�j�] `C] \�i d ] ` \C` d ��d _'g�^ ` \ ^ _�f \HZBb ^ Y@d�a ] f \ X b `�p �������_@] i \ d b _B] \ ^ ��d�ZBb X�X)a�\ jB] \C] _@XBgBg8Z4d b a d f \C_�[BYh4d bCjB] `H] \Ci d ] ` \H` d ��d _@gB^ ` \ ^ _Bf \DZ�b ^ Y8d

a ] f \ X b ` p � ��1��Z�b XBX)a4\ j�] \�w n ���H����jBd _@� z �{4�'��\ ] �B^ _B�@����k l m o p � ��1��Z�b XBX)a4\ j�] \�� k ���C����jBd _'��z �{4�0�C\ ] �B^ _��8����k l � � p  )r¡H^ h�i ^ X)� b ] Z�j)¢ p  )�

£ ¤ ¤

Page 8: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¥§¦�¨�©«ª�¬�­§®°¯²±�³�¨

´ µ ¶u·�¸ ¸B¹)º » ¼C½ ¾ ¿ À ¾ Á ¼DÂ)à » Ä4Å�¹ ¿ À ¹º » ÃDÄ Æ Á)º » Ã Ç » à à ¼HÁ ¸ È ¿ É ¸ à Ä4½ Ç�´ Ê Ë Ì Í Í ÍεDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µÏ¶ Ë´ µ ´�Ð�½ Á ¾)Ñ Ä�À ½ ¾)À à » ¾ à ÑHÅ�¿ È ¹CÈ ¹ Ã Ä ¼Cº ¸ ¸ Ã Ä È�É » ¿ ¼CÃ�Ç º À È ½ »�¿ ¾�Ñ Ã È Ã » ¼C¿ ¾ ¿ ¾ ÒDº ¸ ¸ ¹)º » ¼C½ ¾ ¿ À�Ä Ã Ã Ñ Ä�¸ Ã Ä Ä

È ¹)º ¾N¶ Í Ó�µ�Ô Õ�à » Ã�Ö�Ô ×�Ø Ñ Ã ¾ ½ È Ã Ä4È ¹ Ã�¾ Á ¼HÂ)à »�½ Ç�É » ¿ ¼Hà Ä4¾ ½ È�à ٠À Ã Ã Ñ ¿ ¾ ÒH×Ø'µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ ¶´ µ Ú�Û�Á ¼DÂ)à »�½ Ç)¹)º » ¼H½ ¾ ¿ À�Ä Ã Ã Ñ Ä�º ¾)ÑH¹)º » ¼H½ ¾ ¿ À4¾ Á ¼DÂ)à » Ä�¸ Ã Ä Ä�È ¹)º ¾¶ Í ÓDÅ�¿ È ¹CÈ ¿ ¼HÃ È ½DÜ ¾)ÑCÄ Ã Ã Ñ Ä

» à ¸ º È ¿ Ý Ã È ½CÈ ¹ ÃDÞß0àHÀ º Ä Ãuµ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ ¶Ú µ ¶uáB¿ » Ä È�â ¾ ½ Å�¾�¼HÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼HÂ)à » ÄãµDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ àÚ µ ´�ä ¼Cº ¸ ¸ Ã Ä È�â ¾ ½ Å�¾�¼HÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È ¾ Á ¼DÂ)à » Äãµ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ àÚ µ Ú�åBº » Ò Ã Ä È4â ¾ ½ Å�¾�¼DÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼DÂ)à » Ä0µ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ àÚ µ Êæä º ¼HÃ�¿ ¾)Ñ Ã Ù�Ä Á Â)Ä È ¿ È Á È ¿ ½ ¾)Ä�Ç ½ »�¼HÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼HÂ)à » Ä°µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/´ çÚ µ Ë�è�¿ é)à » à ¾ È�¿ ¾)Ñ Ã Ù�Ä Á Â)Ä È ¿ È Á È ¿ ½ ¾)Ä4Ç ½ »�¼DÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼HÂ)à » Äêµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ú ÍÚ µ à�å�½ Å4à »�Â)½ Á ¾)Ñ Ä4Ç ½ »�Ã Ý Ã ¾�¼DÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼HÂ)à » Äëµ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ú ÊÚ µ Ì1ì�» ½ ¼H¿ Ä ¿ ¾ Ò@´ í à ٠É)½ ¾ à ¾ È ÄC½ ÇDÈ ¹ ÃNÇ ½ » ¼²Þêß�î ï8ð�¶Ç ½ »�¼DÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼DÂ)à » Ä�Å�¿ È ¹�È ¹ Ã

É)à » À à ¾ È º Ò Ã » Ã Ñ Á)À È ¿ ½ ¾�¿ ¾�È ¹ ÃH´ í à ٠É)½ ¾ à ¾ È4Ò ¿ Ý Ã ¾�¿ ¾�É)º » à ¾ È ¹ Ã Ä Ã ÄµDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ú ËÚ µ ç�å�¿ ¾ à º »4» Ã Ò » Ã Ä Ä ¿ ½ ¾�º ¾)º ¸ ñ Ä ¿ Ä4½ ÇBà ٠É)½ ¾ à ¾ È Ä4½ Ç)ï)ò�Ò ¿ Ý Ã ¾�ºCÀ ½ ¼CÉ)½ ¾ à ¾ È ´ Ó µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ú ÌÚ µ ó�Ð�½ Á ¾)Ñ Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃD´ Ó�ô ÞNõ'´ ÍH¼H½ Ñ Ã ¸�Â)Ã Ç ½ » ÃD» Ã Ä È » ¿ À È Ã Ñ�Ä ¿ Ò ¼CºHÀ ¹)º ¿ ¾ ¿ ¾ Ò�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ�Ê ÊÚ µ ¶ Í'ö4Ã Ä È » ¿ À È Ã Ñ�Ä ¿ Ò ¼CºCÀ ¹)º ¿ ¾)Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃH´ Ó)ô Þ8õ'´ ÍD¼C½ Ñ Ã ¸�µ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ�Ê çÚ µ ¶ ¶8Ð�½ Á ¾)Ñ Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃD´ Ó�ô ÞNõ'´ ÍH¼H½ Ñ Ã ¸Bº Ç È Ã »�» Ã Ä È » ¿ À È Ã Ñ�Ä ¿ Ò ¼�ºHÀ ¹)º ¿ ¾ ¿ ¾ Ò0µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ë ¶Ú µ ¶ ´'ö�º Å�¼DÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼DÂ)à » Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃD´ Ó�ô Þ8õ@´ ÍH¼H½ Ñ Ã ¸�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ë ´Ú µ ¶ Ú'áB¿ ¾)º ¸�¼HÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È ¾ Á ¼DÂ)à » Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃD´ Ó�ô ÞNõ'´ ÍH¼H½ Ñ Ã ¸�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ë ÊÚ µ ¶ Ê0áB¿ ¾)º ¸�¼HÁ ¸ È ¿ É)à » Ç Ã À È ¾ Á ¼DÂ)à » Ä4Ç ½ »�È ¹ ÃD´ ÷ ø ¼H½ Ñ Ã ¸�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/Ë çÊ)µ ¶uÐ�½ Á ¾)Ñ Ä�ù ú û ô ü û ý�½ ¾�þ û�Ç ½ » º ¾�½ Ñ Ñ�È » ¿ É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼DÂ)à » ÿêÅ�¿ È ¹���Ô ÿØ4ß�¶ ´êµ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ$Ì ¶Ë µ ¶uÛ�Á ¼DÂ)à »�½ ÇBÉ)½ Ä Ä ¿  ¸ ÃDÀ º Ä Ã Ä4Ç ½ »���Ô ÿØ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ$Ì ËË µ ´���¾ Á ¼Cà » º È ¿ ½ ¾�½ ÇBÉ)½ Ä Ä ¿  ¸ ÃHÀ º Ä Ã Ä4Ç ½ »���Ô ÿØ4ß0Ú Ë � ��Ô ÿØ��'çHº ¾)Ñ�Nß�¶ Ú1µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ$Ì ËË µ Ú���¾ Á ¼Cà » º È ¿ ½ ¾�½ ÇBÉ)½ Ä Ä ¿  ¸ ÃHÀ º Ä Ã Ä4Ç ½ »DÔ Ë µ ¶ Ê Ø ù Ú� Ë Ô ´ Ø ô ´ Ô ´ Ø ô ¶ Ô � Ø ý�Ç ½ »���Ô ÿØ4ß0Ú Ë�µ�µDµ�µ�µ�µ$Ì óË µ ÊæÐ�½ Á ¾)Ñ Ä�ù ú û ô ü û ý�½ ¾�þ û�Ç ½ » º ¾�½ Ñ Ñ�É)à » Ç Ã À È�¾ Á ¼DÂ)à » ÿêÅ�¿ È ¹�� Ô ÿØ�ß0çêµDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/ç ÌË µ Ë�Û�Á ¼DÂ)à »�½ ÇB¸ ¿ ¾ à Ä4½ ÇB½ Á È É Á È�Ç ½ »�É » ½ ½ ÇBÈ ¹)º È Ú ��Hÿ�Å�¹ à ¾�� Ô ÿØ�ß��4È º â ¿ ¾ Ò���ß�¶ Í � ��µ�µ�µ/ç óË µ à�Ð�½ Á ¾)Ñ ÄH½ ¾@þ � Ç ½ »���Ô Ú �CË ��¶ Ì ��� � � ØHÅ�¹ à » Ã����û À ½ » » Ã Ä É)½ ¾)Ñ ÄDÈ ½NÈ ¹ Ã�¾ à ٠ÈHÉ » ¿ ¼CÃ�Ò » à º È Ã »

È ¹)º ¾���û µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µDµ�µ�µDµ�µ�µ�µ/ó ¶

Ý ¿ ¿ ¿

Page 9: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

��� ��!#"%$'&'�)(+*-,/.��

0 1 24365 7 8 9 5 : ; < = 9 > 9 ? @�8 7 < <BA ? 7�5 @�< C < @�DE5 7 F�? @ 9 =B> < < ;�> < 5 7 = D�G�9 8 DH9 @ 9 8 9 5 : = ? F�IE? @ < @ 8�0 J41B1B1K2 00 1 0�L�< 7 9 C 5 8 9 ? @�M 7 5 I D�A ? 7�8 D <BDE5 7 FN? @ 9 =B> < < ;H2 O P 0 QR1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1K2 PS 1 24T6U 5 FNI : <�; < = 9 > 9 ? @�8 7 < <BA ? 7�5 @�< C < @�F�V : 8 9 IE< 7 A < = 8�@ V F�WE< 7�> < 5 7 = D�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1X0 YS 1 0�Z[< = ? @E> 8 7 VE= 8 9 ? @�? A\3 ? V : < 8�8 5 W : < 5 V�A ? 7�9 @ 9 8 9 5 :6= ? FNIE? @ < @ 8�0 ] ^�1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS 2S 1 S�L�< = 9 > 9 ? @�8 7 < <�= ? 7 7 < > IE? @E; 9 @ M�8 ?N8 5 W : < 5 V�A ? 7�9 @ 9 8 9 5 : = ? F�IE? @ < @ 8�0 ] ^B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS 2S 1 _`L�< = 9 > 9 ? @�8 7 < <BA ? 7�9 @ 9 8 9 5 :6= ? FNIE? @ < @ 8�0 a b�1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS 0S 1 Y�T6cE< = 8 >[? A\= DE5 9 @ 9 @ M�? @Hd6e 0 f g�1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS PS 1 P�T6cE< = 8 >[? A\= DE5 9 @ 9 @ M�? @Hd6e S f g�1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS hS 1 h�i\? 7 7 < : 5 8 9 ? @�WE< 8 G[< < @�< U IE? @ < @ 8�? A6SN5 @E;�< U IE? @ < @ 8[? A\0�1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS OS 1 O`i\? 7 7 < : 5 8 9 ? @�WE< 8 G[< < @�< U IE? @ < @ 8�? A6YN5 @E;�< U IE? @ < @ 8[? A\0�1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS OS 1 j`i\? 7 7 < : 5 8 9 ? @�WE< 8 G[< < @�< U IE? @ < @ 8�? A\h�5 @E;�< U IE? @ < @ 8[? A\0�1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XS jS 1 2 Qlk @E; < U�? A m @ ? G�@�I 7 ? IE< 7[F�V : 8 9 IE< 7 A < = 8�@ V F�WE< 7 >[C < 7 > VE>\: ? M�? A 8 D <�@ V F�WE< 7n1B1�1B1B1�1B1B1B1o_ QS 1 2 2/k @E; < U�? A m @ ? G�@�I 7 ? IE< 7[F�V : 8 9 IE< 7 A < = 8�@ V F�WE< 7 >[C < 7 > VE>\: ? M�: ? M�? A 8 D <�@ V F�WE< 7p1B1B1�1B1B1B1o_ QS 1 2 0lk @E; < U�? A m @ ? G�@�I 7 ? IE< 7[F�V : 8 9 IE< 7 A < = 8�@ V F�WE< 7 >[C < 7 > VE>\< U IE? @ < @ 8�? A60`1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1o_E2Y 1 24q�I 7 ? ? A 8 DE5 8�S r s6tNu+G�D < @�v�e uHg[wRO�8 5 m 9 @ MNxpwy2 Q J rz1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1XO OY 1 0�T6U 8 7 5 = 8�A 7 ? F+5N; < = 9 > 9 ? @H8 7 < <BA ? 7�{�e S |NY |�2 h |�} } } g�G�9 8 D/x~wp2 Q � �Ne ��9 @E; 9 = 5 8 < >�= ? @ 8 9 @ V �5 8 9 ? @�@ ? 8�> D ? G�@Eg~1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1�1B1B1�1B1B1B1Xj Q

9 U

Page 10: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

�������'�p�����

�������B�R�y�y�N��� �l�

��� ���`�B�\���B ¡���\¢ £���¤�¥�¦\��¤ ¢  §¢ ¨���¦\¢ ��©ª «�¬ ­ « ­ ® ¯ ° ± ® ² ³N¯ «�° ­ ´ ´ ­ ® µ\¶�· ° °)¸E­B¹Eµ ­ ºN´ ²Nº ­ « ² ´ ­�»E² µ · ´ · ¼ ­�· « ´ ­ ¬ ­ ® µ ± ¶�· ´ ½N¾ ± ¿�¯ «EºNÀ�® ­ µ ­ ® ¼ ­ º�Á ² ®�» ® · ³�­ µ ÂÃ[½ ­�Ä ¯ « ² « · Ä ¯ °)º ­ Ä ² ³N»E² µ · ´ · ² «�² Á\¯�»E² µ · ´ · ¼ ­�· « ´ ­ ¬ ­ ®�Å/¯ µ�¯�» ® ² º ¹EÄ ´[² Á »E² ¶[­ ® µ[² Á6º · µ ´ · «EÄ ´�» ® · ³�­ µ6¾EÆ Ç6È\ÉÊ Ç Ë Ë Ë Ç Ì ± Ä ¯ «�¸E­�¶�® · ´ ´ ­ «H¯ µ

ÅHÉ�ÍÎÆ Ï Ð ¾EÑ ÒÆ ËÓ/­�¶�® · ´ ­�¾ ÑlÔ ÅR´ ²H³N­ ¯ «l´ ½E¯ ´B¾ Ñ · µ�¯ «l­ Õ ¯ Ä ´Nº · ¼ · µ ² ®�² Á�Å\±6´ ½E¯ ´�· µ ± ¾ ÑlÖ ÅR¸ ¹ ´�¾ Ñ × Ð�Ø Å\±[Ä ¯ ° °6¾ Ñ ¯Ù Ú Û�Ü Ú ÝEÞ ÝEß ² Á�Å\ÂHà�² ® ­N¬ ­ « ­ ® ¯ ° ° á ± ¶[­�¶�® · ´ ­Nâ Ô Å�· Á�â Ö Å�¯ «Eº�ã â/Ç Å6ä â�å�É Ê Â�Ã[½ ­ «æâ�· µ�Ä ¯ ° ° ­ ºæ¯¹ « · ´ ¯ ® á�º · ¼ · µ ² ®�² Á Åæ¯ «EºN» ® ² »E­ ®�· Á âèç Ê ÂÃ[½ ­B« ¹ ³�¸E­ ®�² Á6º · µ ´ · «EÄ ´�» ® · ³N­BÁ ¯ Ä ´ ² ® µ[² Á Å/· µ[¬ · ¼ ­ «�¸ áé ã Å å[É�Ì

¯ «Eº�´ ½ ­B´ ² ´ ¯ °)« ¹ ³�¸E­ ®�² Á6» ® · ³�­BÁ ¯ Ä ´ ² ® µ[· µ[¬ · ¼ ­ «�¸ áê ã Å å[ÉoÍë Æ Ï Ð ì Æ Ë

Ã[½ ­B« ¹ ³�¸E­ ®�² Á\º · ¼ · µ ² ® µ\Á ¹ «EÄ ´ · ² «�· µ�º ­ í « ­ º�¯ µî ã Å å�É ë ï ð ñ Ê Ë

ò ² ®�¾/» ® · ³�­�¯ «EºH«E¯ ´ ¹ ® ¯ °6« ¹ ³�¸E­ ® ì ±)¶[­�½E¯ ¼ ­ î ã ¾ Ñ å�É ì�ó Ê Â�ò ¹ ® ´ ½ ­ ® ± î · µB¯�³�¹ ° ´ · » ° · Ä ¯ ´ · ¼ ­�Á ¹ «EÄ ´ · ² « ±´ ½E¯ ´�· µ ± î ã â�Å å[É î ã âHå î ã Å å�· Á[ã âæÇ Å å[É Ê ¯ «Eº�µ ²�¶[­B½E¯ ¼ ­î ã Å å[É'ÍÎÆ Ï6Ð î ã ¾ Ñ ÒÆ å\É�ÍÎÆ Ï Ð ã ì Æ ó Ê å Ë

Ã[½ ­�µ ¹ ³n² Á6º · ¼ · µ ² ® µ[Á ¹ «EÄ ´ · ² «H· µ�º ­ í « ­ º�¯ µô ã Å å[É ë ï ð ñ�õ Ë

ò ² ®�» ® · ³N­�¾H¯ «Eº�«E¯ ´ ¹ ® ¯ °)« ¹ ³�¸E­ ® ì ± ¶[­�½E¯ ¼ ­ô ã ¾EÑ å[É Ê ó ¾ ó ¾Eö ó�÷ ÷ ÷ ó ¾EÑ�É ¾ Ñ × Ð[ø ʾ ø Ê Ë

Ê

Page 11: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ù ú ù ú�ûHü ý þ)ÿ ��ü ý � � ü ����� ÿ � � ��� �Eü � � ÿ

� �� �� � � � � � � � � ����� ���������! "#� �$� %�& � % '(� )*% + ) ,!� +�� �-�.� %-� � % )*��/�� � � � � � � � � � 0 &21 � ��� � � ) �3"$4 )���5 � 0 & �(� + &� � � ) � � � � �36 & � ) /7 �) % � � � ) �() 138.,#&-+�� 0 &��� 83�#�:9;< =�> ��� � < ? @ �A�B9

;< =3>� < ? @ C >#D � < D BE

� ��,�� � ��F�&2� ) � 0 & � � & � �#� )76 & G � &2� �*� ��6 & H71 � ��� � � ) ��I�� 83�#����� 83� J 8A"AK#+ � %A� %�� � % )2� %#/2� � � � � � � � � � 0 &2� ��6% )7,#&-+�� 0 &I�� 83�#� 9;< =�> I�� � ? @< �A� 9

;< =3>� ? @ C >< D � ? @< � � < D � L1 ) ��8NM! -� ��6*,�� � +.I�� �A�O "P�) � � � &-� +�� � �

I�� � ? �#� ��� � ? �� ? � #�����(��Q#�SR R R ��� ?� ?� � ��(������QA�SR R R �(� ? T > �3�(� ?�7R � ? T > �O #� I�� � ? T > �� E � " �U � % )��

I�� � ? �A� #���3� #�(���SR R R ��� ? T > ��7R � ? T > � � ? �VI�� � ? T > � EW.&�� � % )�� � � � ) 6 ��� &I�� 83X7�#�:9;< =�>

� <� < D 3EW.&-) F�% & � 0 &$� +�� ��I�� � X �#��� � / ? Y X I�� � ? � "�Z�& ��� &-,#&2� � �*��% &-IV� %#�21 � ��� � � ) �*� �(� �*& H � & ��6 & 6*% & ��% &2� ��6� + � %21 � ��� � � ) �N� %2� � % )(/2� � � � � � � � � � 0 & �3� " & "(I�� [ ? 83\ ���]I�� [ ? � I�� 83\ �$1 ) �*� [ L 83�2�^ �,�+ & � &*_N�` 7) �7a��b��O -) �$aS"K#+ &�� ��6 & H21 � ��� � � ) �7I�� � ? �3� %3/7) � ) � ) � � �#6 & � � & � % � � 5$� �-��F � ��/7) � ) � ) � � �A� ��� � & � % � � 5$� �7_�" U 1 & ,�% � /7 � &� & � � � � ) ��%�� % % � % �#� �(/*� � � � � � � � � 57� ��6 � � & %-c d e f g

� 1Ah�i�_7j�b$� + & �N 2iVI�� � ? ��j�I�� ��\ ��j�I�� � X ��iVk �� 1l�(M�m L h7iV_ L -i�b$� + & ��I�� � ? ��j�I�� m \ � �� 1Ak�j.�(j�m2� + & ��I�� m X �A�Sm J � m D �#j!� ���S � J �*�SI�� ��� "� 1�I�� 83�#��n L n(o(p#� � + & �28*� %�% � � 6-� )$F�&#/2� � � � �& � 1 & � � � ) �3� )$F�&�% �& � � G��#�$n q �& � 1 & � �3� � /�F�& � "�Z�) ,#& 0 & � �� 1#I�� 83�-j!nN� ) �2I�� 83�-M!n � ��� + & ��8N� %$% � � 6(� )*F�&7n q 6 & G�� � & � ��� ) �2n q � F � ��6 � � � � "$� ��� + &7� � % &2� +�� �-n��Ok �� + & �(,#&�% � /� � '7� & 1 & ��� )78N� %#F�& � � 57 �& � 1 & � � ��6 & G�� � & � ��) ��� F � ��6 � � � "K#+ &-& H � & ��% � ) �() 13� + &�6 � 0 � % ) ��1 � ��� � � ) �(� )

��r � 83�#�!s t u v�w r L n*o(x L� � � ) ,$%�� + &A� � /�F�& �3) 1 6 � 0 � % ) � %3� ��6$� ��6 & H$1 � ��� � � ) ��%l� )$F�&A� & � & % & � � & 6-� %lyl� 83�#�S� z � 83�l� ��62I�� 83�A�S� T > � 83�� & % �& � � � 0 & � ' "�K#+ &���% &�) 1#� T > � 83�$1 ) �-� + &7� ��6 & H(1 � ��� � � ) �N� �& � � %$� �.� + &7,#) � {() 1A� � � � ��� � ��c | k ��| } f#� ��6� � � � ��� � �3� ��6(4 ) � � �Ac | ~ f "

Page 12: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ���]� � � � ��� � � � � � � ��2� �����(�A� ���!��� �3���2�A��#�  -  ¡ ¢ £ ¤*¥   ¦   £ § ¨ ©7  ª «�§ ¬3¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©�¯�  ¢ °#± °�« § ®�­ �   ¥7® ¨�§ ª(± ª(°   ¦   ¢ ¡ £l¯�§ § ² °#§ ª*« �  2� ± ° « § ¢ ¤*§ ¬3©7¡ « �   ³©7¡ « ± ­ ° ´�µ�± ­ ² ° § ª(¶ · ¸ ¹ º ± ¦   °�¡-¥   « ¡ ± £   ¥7­ � ¢ § ª § £ § º ¤-§ ¬�« �  $¥ ± ° ­ § ¦   ¢ ±   °�¡ ª�¥�¥   ¦   £ § ¨ ©�  ª « °3± ª�ª ® ©�¯�  ¢A« �   § ¢ ¤» °    -¡ £ ° §*¶ · ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¿ ¼�À À Á ¼�À À ¸ ¹  ´�ÃS� ± £  $« �  $� ± ° « § ¢ ¤�§ ¬l¨�  ¢ ¬   ­ «#ª ® ©2¯�  ¢ °#° « ¢   « ­ �   °�¯�¡ ­ ²�« §2« �  $  ¡ ¢ £ ¤7Ä$¢     ²« ± ©7  ° ¼�©�® £ « ± ¨�  ¢ ¬   ­ «-ª ® ©2¯�  ¢ °-¡ ¢  2§ ¬$À Å « �.­   ª « ® ¢ ¤*§ ¢ ± º ± ª3´$Æ ª.­ § ª « ¢ ¡ ° « ¼���¡ ¢ ©7§ ª ± ­2ª ® ©2¯�  ¢ ° » ¥   Ç ª   ¥(¯�  ³£ § È$Â-¡ ¢  �¡*£ ± « « £  �§ ¦   ¢-¾ Á7¤   ¡ ¢ °�§ £ ¥l´�É�ª £ ¤(« �  �� ± º � £ ± º � « °�± ª�« �  �� ± ° « § ¢ ¤(§ ¬A« �   °  �« ¤ ¨�  °$§ ¬Aª ® ©2¯�  ¢ °$È�± £ £¯� -©7  ª « ± § ª   ¥*�   ¢   ´Ê�Ë Ì#Ë ÊÎÍ(Ï3Ð Ñ ÏlÒ�ÓVÔ�Õ$ÖO×2ÏlÐ ØÙ ¨�  ¢ ¬   ­ «7ª ® ©2¯�  ¢�± °�§ ª  *« ��¡ «�± °2« �  �° ® ©Ú§ ¬�± « °2¨ ¢ § ¨�  ¢7¥ ± ¦ ± ° § ¢ °2§ ¢7¡ £ ± Û ® § «2¨�¡ ¢ « ° » ± ´   ´�  Ü ­ £ ®�¥ ± ª º.« �  ª ® ©2¯�  ¢A± « °   £ ¬  ´AÝ §�¼ ¬ § ¢#¡$¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©�¯�  ¢AÞA¼ ß » Þ3Â#à�á Þ(§ ¢Aâ » Þ3Â#àSá ´��#�  �« È#§2° ©*¡ £ £   ° «�¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©�¯�  ¢ ° ¼¿2àOÀlã*á�ã(·-¡ ª�¥�á ¸2àOÀlã(á�ã7äAã�Å3ã�À ä�¼ ��¡ ¦  #¯�    ª7² ª § È�ª7± ª7©7¡ ª ¤�  ¡ ¢ £ ¤�° § ­ ±   « ±   °A¡ ª�¥�§ ¬ «   ª*¡ ° ° § ­ ± ¡ «   ¥È�± « ��©7¡ º ± ­ ¡ £ § ¢�¢   £ ± º ± § ®�°3° ± º ª ± Ç�­ ¡ ª�­   » ­ ¢   ¡ « ± § ª�¡ ª�¥-« �  #£ ® ª�¡ ¢A­ ¤ ­ £  #¢   ° ¨�  ­ « ± ¦   £ ¤  ´3åA¦   ª2¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©2¯�  ¢ °È#  ¢  $± ª ¦   ° « ± º ¡ «   ¥7Ç ¢ ° « £ ¤7¯ ¤7åA®�­ £ ± ¥�¶ ä Á ¹ ´A�#�  -¥   Ç ª ± « ± § ª�°#§ ¬l¨�  ¢ ¬   ­ « » ß » Þ3Â#àSá Þ3 ¼ ¡ ¯ ® ª�¥ ¡ ª « » ß » Þ3Â�æ�á Þ3¡ ª�¥N¥   Ç�­ ±   ª « » ß » Þ3Â*çèá Þ3Â-ª ® ©2¯�  ¢ °�¡ £ ° §�¡ ¨ ¨�  ¡ ¢2± ªV� ± °2È#§ ¢ ² » ¡ £ « � § ® º �N« �  7«   ¢ ©7± ª § £ § º ¤�± °2©�§ ¥   ¢ ª� ´å�®�­ £ ± ¥2¨ ¢ § ¦   ¥2« ��¡ «A¡-ª ® ©2¯�  ¢�§ ¬�« �  �¬ § ¢ ©]á é ê3ë » á é�ì(À Â3± °A¡$¨�  ¢ ¬   ­ «Aª ® ©2¯�  ¢�± ¬lá é3ì(À#± °A¡$¨ ¢ ± ©�  ´��#�  �Ç ¢ ° «¬ § ® ¢#° ®�­ �7ª ® ©�¯�  ¢ ° ¼ ¿ í á ¸ í ä ½ ¿-¡ ª�¥�¸ À á ¸ » ­ § ¢ ¢   ° ¨�§ ª�¥ ± ª º-« §$î*àSá í · í ¾-¡ ª�¥*Å Â�È#  ¢  #¬ § ® ª�¥7¡ «�« ��¡ «A« ± ©�  ´3Æ «È�¡ °A­ § ª ï   ­ « ® ¢   ¥7« ��¡ «Aª ® ©�¯�  ¢ °A§ ¬l« �  $¬ § ¢ ©èá é#ì.À�È#  ¢  �¨ ¢ ± ©7 $¬ § ¢#  ¦   ¢ ¤�§ ¥ ¥�¦ ¡ £ ®  $§ ¬ î3´�Æ «AÈ�¡ °Aª § «A® ª « ± £« �  7À ¿ « �(­   ª « ® ¢ ¤7« ��¡ «�« �  -« È#§�° ©7¡ £ £   ° «#  Ü ­   ¨ « ± § ª�° ¼ á ð#ìNÀ-à�¾ À À$à!Å�ñ Å ·2¡ ª�¥*á ë ë�ìVÀ$àSá Á ä Å$àSá ·$ñ ¸ ½ ¼È#  ¢  2¨ ® ¯ £ ± ° �   ¥l´�É�« �   ¢$  ¡ ¢ £ ¤�­ § ª ï   ­ « ® ¢   °�È#  ¢  �« ��¡ «$¨�  ¢ ¬   ­ «$ª ® ©�¯�  ¢ °�  ª�¥l¼l¡ £ «   ¢ ª�¡ «   £ ¤ ¼�± ªN¿7§ ¢-¸ » £ ¡ «   ¢± ©7¨ ¢ § ¦   ¥�« §�á ¸ ÂA¡ ª�¥�« ��¡ «#« �   ¢  $± °A§ ª   ¼ ¡ ª�¥�§ ª £ ¤�§ ª   ¼ ¨�  ¢ ¬   ­ «Aª ® ©�¯�  ¢#¯�  « È#    ª*° ®�­ ­   ° ° ± ¦  �¨�§ È#  ¢ °�§ ¬l«   ª¡ ª�¥(« ��¡ «$  ¦   ¢ ¤*¨�  ¢ ¬   ­ «-ª ® ©2¯�  ¢$± °�« ¢ ± ¡ ª º ® £ ¡ ¢ »   ´ º�´-á ¸7à]À�ãVá-ãV·-ãNä2ã�¾$ã�¿-ã�Å ¼�« �  7Å « ��« ¢ ± ¡ ª º ® £ ¡ ¢ª ® ©2¯�  ¢  ´��#�  *Ç ¢ ° «7­ § ª ï   ­ « ® ¢  *± °�¨�¡ ¢ « ± ¡ £ £ ¤.« ¢ ®  *ò.¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©�¯�  ¢ °�¥ §.  ª�¥N± ª�¿�§ ¢7¸�¯ ® «7ª § «�± ªS¡ ª¡ £ «   ¢ ª�¡ « ± ª º*¨�¡ « «   ¢ ª » « �  7° ©7¡ £ £   ° «-  Ü ­   ¨ « ± § ª�± °$« �  7° ± Ü « �.¨�  ¢ ¬   ­ «$ª ® ©�¯�  ¢2¸ ¾ ¸ ½ ¸ ¿ ½ Á ¾ ¿  ´-ól®�­ ¡ °$± ª�À ¸ ½ À° � § È#  ¥7« ��¡ «�¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©2¯�  ¢ °#  ª�¥7± ªNÀ ¿ í á ¸ í · ¿ í ¾ ¿-§ ¢$Å ¿ ´A�#�  2°   ­ § ª�¥(­ § ª ï   ­ « ® ¢  -��¡ °#¯�    ª�° � § È�ª*« §7¯� ¬ ¡ £ °   » « �  2º ¡ ¨(¯�  « È#    ª(« �  2Ç ¬ « �3¼�· · ¾ ¾ Á · · ¿ » î�àôÀ · Â�¡ ª�¥(° ± Ü « �3¼�¸ ¾ ¸ ½ ¸ ¿ ½ Á ¾ ¿ » î(àôÀ Å Â ¼ ¨�  ¢ ¬   ­ «$ª ® ©2¯�  ¢ °± °2º ¢   ¡ «   ¢2« �   ªN  Ü ¨�  ­ «   ¥  ´��#�  7« � ± ¢ ¥N­ § ª ï   ­ « ® ¢  7± °2« ¢ ®  (¡ ª�¥�È�¡ °-± ©�¨ ¢ § ¦   ¥�« §.° « ¡ «  7« ��¡ «2  ¦   ¢ ¤�  ¦   ª¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©�¯�  ¢$± °#�   Ü ¡ º § ª�¡ £ »   ´ º�´Aá ¸2àOÀ#ãN¾$ãV½$ã�À · ¼ « �  2ä « �*�   Ü ¡ º § ª�¡ £�ª ® ©�¯�  ¢  ´�#�  7À Å « ��¡ ª�¥.À ¸ « �(­   ª « ® ¢ ±   °�° ¡ È!¡�¯ ® ¢ ° «�§ ¬�° « ®�¥ ¤*± ª(« �  -¨ ¢ ± ©*¡ £ ± « ¤7§ ¬3ª ® ©�¯�  ¢ °#§ ¬3« �  2¬ § ¢ ©`á é ìVÀ ´õ�¡ « �   ©*¡ « ± ­ ± ¡ ª�°�° ®�­ ��¡ °�µ$  ° ­ ¡ ¢ «   ° ¼Aö   ¢ ©*¡ «�¡ ª�¥Võ(  ¢ °   ª ª  (¡ ¨ ¨ £ ±   ¥N« �   ± ¢7­ § ª�° ± ¥   ¢ ¡ ¯ £  *« ¡ £   ª « °2« §.« �  ¨ ¢ § ¯ £   ©�´3ÃS� ± £  2ö   ¢ ©7¡ « ÷ °�¥ ± ø�  ¢   ª�­  -§ ¬A° Û ®�¡ ¢   °A©7  « � § ¥*§ ¬3¬ ¡ ­ « § ¢ ± ° ¡ « ± § ª*È�¡ °�¡2º ¢   ¡ «#± ©�¨ ¢ § ¦   ©7  ª «�§ ¦   ¢« �  2« �   ª.­ § ©7©�§ ª3¼ «   ¥ ± § ®�°$¡ ª�¥*  ¢ ¢ § ¢#¨ ¢ § ª  -©7  « � § ¥(§ ¬�¬ ¡ ­ « § ¢ ± ° ¡ « ± § ª*¯ ¤*« ¢ ± ¡ £�¥ ± ¦ ± ° ± § ª(® ¨�« §7« �  �° Û ®�¡ ¢  ¢ § § «�§ ¬�« �  (ª ® ©�¯�  ¢ ¼�« �  (¨ ¢ ¡ ­ « ± ­ ¡ £#£ ± ©�± « ¡ « ± § ªV§ ªV« �   ± ¢7È#§ ¢ ².È�¡ °2« �  (£ ¡ ­ ²N§ ¬$¡ ªV  ù7­ ±   ª «�©�  « � § ¥N¬ § ¢«   ° « ± ª º7¨ ¢ ± ©*¡ £ ± « ¤ ´Æ «#È�¡ °#å�® £   ¢#± ª*« �  �À ½ « �(­   ª « ® ¢ ¤7È�� §2¨ ¢ § ¦   ¥�« ��¡ «�¡ £ £�  ¦   ª*¨�  ¢ ¬   ­ «#ª ® ©2¯�  ¢ °#¡ ¢  �§ ¬3« �  $¬ § ¢ ©è° « ®�¥ ±   ¥¯ ¤NåA®�­ £ ± ¥l´.�#� ± °2¢   ¥ ®�­   ¥.« �  *¨ ¢ § ¯ £   ©ú§ ¬#Ç ª�¥ ± ª º�  ¦   ªV¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©2¯�  ¢ °2« §�« ��¡ «�§ ¬#Ç ª�¥ ± ª º�¨ ¢ ± ©7  °2§ ¬« �  7¬ § ¢ ©Úá é2ì!À ¼3ª § È]­ § ©�©7§ ª £ ¤.¢   ¬   ¢ ¢   ¥.« §.¡ °2õ(  ¢ °   ª ª  7¨ ¢ ± ©�  ° ¼Aû é ´*Æ ªN« �  .À ½ « �V­   ª « ® ¢ ¤N¡(©2®�­ �° ± ©�¨ £   ¢(¨ ¢ § ­   ¥ ® ¢  �¬ § ¢(¨ ¢ ± ©7¡ £ ± « ¤�«   ° « ± ª ºV§ ¬�õ(  ¢ °   ª ª  �ª ® ©�¯�  ¢ ° » ¡ °*¥ ± ° « ± ª�­ «(¬ ¢ § ©ü¬ ¡ ­ « § ¢ ± ° ¡ « ± § ª�Â7È�¡ °± ª « ¢ § ¥ ®�­   ¥�¯ ¤Sól®�­ ¡ ° ´]�#� ± °(¡ £ £ § È#  ¥�« �  .  Ü ± ° « ± ª ºV£ ± ° «(§ ¬-² ª § È�ª!õ(  ¢ °   ª ª  �¨ ¢ ± ©7  ° » ¡ ª�¥��   ª�­  .  ¦   ª¨�  ¢ ¬   ­ «�ª ® ©2¯�  ¢ ° ÂA« §�¯� 2­ § ¢ ¢   ­ «   ¥*¡ ª�¥7  Ü «   ª�¥   ¥l´A�#�  2°   ¡ ¢ ­ �7¬ § ¢�õ(  ¢ °   ª ª  2¡ ª�¥*ö   ¢ ©*¡ «#¨ ¢ ± ©�  ° » ��¡ ¦ ± ª º« �  -¬ § ¢ ©`á ý þ-ã�À Â�­ § ª « ± ª ®   °#« § ¥ ¡ ¤*¡ ª�¥(° ¨ ® ¢ °A« �  �¥   ¦   £ § ¨ ©7  ª «�§ ¬3ª   È!«   ­ � ª ± Û ®   °#¬ § ¢�¨ ¢ ± ©*¡ £ ± « ¤7«   ° « ± ª º

Page 13: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ÿ � � ����� � � � � � � � � � �

� ����� � � � � � � � � � � � ��� � !"� #�! $ !�% !&� � � ' ()+* ,.-"/ � � � 0 -", * 12, �&� , � � * � �&3 , , �2� / � � , � � � / 4 4 56/ � , �7� �98 ���2� , : , � � 4 � / 3�� , ; / , � �=< , � � , � � ,+> � � 12, �+? � ���

* , ��� , � * ,74 � � @ , � �.A � � B.� >�, � � , � �9� / 1 3 , � � C (.D�� � 1 � 4 � � 5 � , � � � � @�B.� �.� � @ � � 8�� � � � 4 5 � � : � ��� , ��3 5 � * , B+� � A� �+E9� 4 , 1 � � , �7� 4 (�� � '+� ���F� 1G> � � : , �H3 5JI � * , �J� ��� -", ��� � � ��� # ' ( )+* � � 12, � * � �F� �7� / � � � 3 4 , � � �6� , � � � � @� / 1 3 , � �+� �H@ , � , � � 4 B.� � *H/ > � �F� K K K2� � @ � � � (L � � * � * , � � � � � � / � � � � �G� � * � @ * 0 � >�, , �G� � 1G> / � � � @�? � ��� 1 � � , � ��� / >�, � � � 12> / � , � � C ! � * � � 4 � 1 � � * � ��3 , , �

� � , � � � 4 5M, N � , ��� , �"(PO �Q� % % R�S 4 � B.� ��� A �9� ����T6� @ , � � / ����UMV W X Y Y Z Y !.��� / 1 3 , �GB.� � * [ $ R \F� � @ � � � !+� �3 ,G> � � 12,G/ � � � @F�F� / >�, � � � 12> / � , � (�E : , � 5 � � ] , � , � �7� > > � � � � * B.� �6� � � > � , �F3 5FL � 4 � 1 � �P� � � % '=B * �F� �� � � � � � ��� � � � @2�7� 5 � � , 1 � � � � ! � � � >�, � � � � : , B+� � 4 � 0 B.� � , � , � � � * ? � � 4 4 , �G� * , T 4 � 3�� 4 O � � , � � , �.< , � � , � � , D=� � 12,S , � � � * ! T6O <FD=S C"� �6� � 12> 4 , � , � ��� , N � , ���6� * , � � � @ , � � � , � � , � , N > � � , � � � (�E.� , � � 4 5 � / � � , � �&� � � * � � > � � ^ , � �B.� �+� * , � � � � � : , � 5 � �M� % % R73 5 E.� 12, � @ � / �"! L � 4 � 1 � � , �9� 4 (=� �=UMV _ ` Z W a ` !��2� / 1 3 , �9B.� � * # \ K % \ �6� � @ � � � (S / 3�� , ; / , � � 4 5 ! � � / � 1 � � , < , � � , � � ,6> � � 12, � * � : , 3 , , �H� � / ����� * � � / @ * � * � � > � � ^ , � � ! UMW ` Y a W W V7? S >�, ��� ,6, �� 4 (.� % % [ C ! UM_ b W V _ Y Y7? I=4 � � A � � � , �.� 4 (+� % % $ C ! UJa ` Y W X ` _7? c9� ^ � � � B.� 4 � , �.� 4 (.� % % % C�� ���GU�V _ d a a ` V Y2? I � 12, � � �, �=� 4 (�\ K K � C ! � * , � / � � , � � 4 564 � � @ , � �&A � � B.�2< , � � , � � ,+> � � 12, B.� � * � : , �&� � / � 1 � 4 4 � � �2� � @ � � � (&E9�&� ��e , � , 1 3 , �\ K K \ ! %�< , � � , � � ,6> � � 1G, �7? � ��� * , ��� ,7, : , � >�, � � , � �9� / 1 3 , � � C * � : , 3 , , �F� � / ���"!�� � � � , � > � ��� � � @G� �7fFg\ !" !"h !&[ !�� !�� [ !�� % !" � !"R � !�$ % !�� K [ !�� \ [ !�h \ � !"R K [ !�� \ [ % !�\ \ K !�\ \ $ � !" \ � [ ! # \ h ! # # \ !"% R $ % !�% % #�� !� � \ � ! � % % [ ! \ � [ K � ! \ \ K % ! # # # % [ ! $ R \ # ! � � K h K ! � \ K # % ! \ � R K % � ! [ h R $ % ! $ h % # ! � \ h [ [ $ [ ! � % $ \ R % !\ % [ R \ \ � ! K \ � [ [ ! R % [ \ h % 9� ����� # R R % � [ ("E 4 4 < , � � , � � , � / 1 3 , � �&B.� � *2, N > � � , � � � / > � �G� K K K K K K K * � : ,3 , , �H� , � � , �H� � 4 , � � �+� ��� , � ���G� * � � , B.� � *H, N > � � , � � � / > � �GR K K K K K K * � : , 3 , , �F� � / 3 4 , � * , � A , �"()+* ,�, N � � � , ��� , ? � �2� � � C6� �.� � � >�, � � , � �2� / 1 3 , � �7B.� �7� >�, � / 4 � � , � / > � �J3 / �2� �7B.� �2i / 4 , �2B * �F8 � � �

> � � � / � , �J�F� � @ � � 8�� � � �6� , � / 4 � (Hc ,�> � � : , �F� * � �2� � 5 � � � >�, � � , � �7� / 1 3 , � 12/ � �73 , � �+� * , � � � 1kj&l m W !B * , � ,6j � �+� * , � � 0 � � 4 4 , �H� >�, � � � 4 ? � �9� � � � � � @ / � � * , � C > � � 1G, � � � � � � 5 � � @2� * , � � ��� � � � � ��� j�nPo�n �2? 1 � ��# C� ��� jqp7m � #�� ' (Pr , � , � � � * � � ��� ,F* � �23 , , ��� �J� / � � * , � / ��� � : , �G� * , � � � 1 � �9� � � >�, � � , � �G� / 1 3 , � � !=� �� � 5F, N � � � (HT , � , � � 4 � , � , � , ��� , �6� � , T / 5 � h [ '+� ���Jr.� 3 , � 3�� � 1 � � K \ ' (HS � 1G, � �+� * , � , � * � � � � � , � � � � � � �6� � ,� � � � / � � , �G3 , 4 � B7()+* , � / 1 3 , �+� �"� � � � � ��� � > � � 1G, � � � � � � ��� �&� �2� � � >�, � � , � �=� / 1 3 , �=s=! t.? s&C ! B.� �=� * � B.�G� �63 , � � 4 , � � �+h

3 5 S 5 4 : , � � , �6� � � h '=? � ���G� � * , � � C ! � � 4 , � � �.R73 5GL�, 3 3 , �6� � � [ '=? � ���G� � * , � � C ! � � 4 , � � �9[63 5 D&� 1G, � � ��� , � % $ '? � ���2r+� 3 3 � ���+� � K ' B * � � * � ��� 4 / � , �=�.� , � * � � � � 4 � / 1G1 � � 5 � � , � � 4 � , � 1G, � * � � � C�� ���7� � 4 , � � �=$.3 5 c9� @ � �+� h % '? � ��� I=* , � �M� \ # ' C (2E 4 4�/ � , �F� * ,21G, � * � �F� � > � � � �=3 5 � � � � � � � � � � � � �F� �+� �F� ��� � , � � � � @�� / 1 3 , �6� �+� >�, � � � 4� � � , � ( I � * , �H� ����S � � 4 ��� \ [ ! \ ' * � : , � , : , 4 � >�, ��� �H� 4 @ � � � � * 1 � �9� , � � � * � > > � � � � * � ���G� 4 4 / � � � � � , �G� � � / � ,3 5�> � � : � � � � @G� 4 � , � ��� � � : ,6> � � � � �+� * � �.� * , � , � � , � � 4 , � � �9RG� ���G� * , ��[7� � � � � ��� � > � � 12, � � � � � � � (L � � * � * , � � � / 1G> � � � �2� * � �+ p s=! S 5 4 : , � � , �.� � � h '�� * � B , �7� * � �=� * , � ,.17/ � ��3 , � � 4 , � � �+$6� � � � � ��� � > � � 12,

� � � � � � � (�u6� � * � � , � [ % '.� * � B , �J� * � �2� * ,�4 � B , �23�� / ���JB.� �7� � 4 , � � ��� K ( )+* � �23�� / ���JB.� �7� 1G> � � : , ��3 5c9� @ � �6� R � '+? � ���Hu9� � * � � , � $ � ' C+� �G� � 4 , � � �6� � (r , 4 � � , �H� , � / 4 � �.� � ��� , � �H� * , � � � � 4 � / 1 3 , �9� � > � � 1G, � � � � � � � ! v6? s&C (.w9� � � @H� �F� 4 @ � � � � * 1 � �6� > > � � � � * !

I � * , �J� \ h '�� * � B , �G� * , � � � � 4 � / 1 3 , �9� � > � � 1G, � � � � � � �+� �G3 , � � 4 , � � �9\ ( )+* � �+3�� / ����B.� �+� 12> � � : , ��3 5S � 5 , � �9� � K R '"� ��\ %2� ����� , � , � � 4 5 � �� [63 5 O � � � / � � �&� ���HS � � 4 �=� [ # ' (E.� / > >�, �.3�� / ����� ��� * , � � x , � ��� ��� � � >�, � � , � �.� / 1 3 , �.B.� � *Fy � � � � � ��� � > � � 12, � � � � � � �+B.� �+� * � B.��� �

3 , ? # y C z d { | } ~ } 3 5 D&� 1G, � � ��� , � � K K ' ( )+* � �6B.� � 17/ � * � 12> � � : , �F3 5 c , � � * 0 �=� � B.�M� R R '�� �H# d ~ � ��� 1 � � ,� , � , � � 4 5 � 12> � � : , �H� / � � * , �6� �H� d ~ B * , � , �kg�? � % h C V � Y2� \ � � \ 23 5JI � � AJ� h ' (7E 4 � B , �93�� / ���F� �F� * ,� � x , � ��� ��� � � >�, � � , � �.� / 1 3 , � * � �.� 4 � �23 , , � , � � � 3 4 � � * , �H� ����� 1G> � � : , �G� : , �.� � 1G, � �F� K _ b b � � h ! h $ ' (�./ 1G, � � / �=� , � � � � � � � � ���=� �H� * ,6, N > � � , � � �=� �&� * ,7> � � 12, � � � � � � � ! � * � �+� � ! � * ,612/ 4 � � > 4 � � � � � : , � � � / � � / � , !

Page 14: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ����� � � � ��� � � � � � � �

��� � �6��� � �H� � � �����   ¡ ¢ £ £ ¢ ¤ ¥ ¢ ¤ ¦ ¢ ¤ ¤ ¢ ¤ § ¢�§ ¨ ¢�§   © ª« � � ¬ � � ­2® � ¬6� �+­ � ® � ¯ ¬ ®7° � ��° � ­ ��®6¯ � ±+� ­6��� � ��� ®6� �J¬ � ��® ² ³ � ®6� �+¬ � ��´ ­ ² µ2�G� � ° ¬ � ­ ®9¬ � � µG® � ¯ � � ® ª�¶+� �

¯ � ­ · � ® ¬6´ ­ ² µG��� � ° ¬ � ­7� �.� �M� � ��´�� ­ � � ° ¬2� � µ7��� ­7±.� ®7® � � ±.�J¬ �F���H� ¬7¯ � � ® ¬�  ¨ ¨   ¡ §�� ¸J¹9� · ² ®7� ���JºF° »¼9� � ² � ¯+� ¥ ½ © ª+¶+� ² ®.±.� ®+² µG´ ­ � � � �G¬ �F  ¨ ¾6� ¸H¹9� · ² ®.� ����¿=� � � �J� ¥ À © ª+Á+� ° � � ¬ ¯ ¸�¬ � ² ®+��� ®.��� � �H² ��° ­ � � ® � ��¬ �  ¨ Â.� ¸Hà � � Ä ² ��®6� ¦ ½ © ª�¶+� �7® � ° � ���G¯ � ­ · � ® ¬+´ ­ ² µ2�6� � ° ¬ � ­.±.� ®+® � � ±.��¬ �2���7� ¬.¯ � � ® ¬7  £ §6� ¸HÅ&� µG� ­ � ��° �2� § § ©� ���G� ¬+¯ � � ® ¬6  ¨ ¨ §9� ¸�¹9� · ² ®9� ¥ ¨ © ª�Æ � � � ��° ° ²�� ¦ ¨ ¢ ¦ ¡ ¢ ¦ £ ©�² µ2´ ­ � � � �2¬ � �6��� � ���2� ��¬ � �6® � ° � ���2¯ � ­ · � ® ¬=´ ­ ² µ2�� � ° ¬ � ­.¬ �H  ¨ Ç7� ����� ® ¬ � � ¯ ² ® � � �H�7¯ � ±+� ­.��� � ����� �+  ¨ ¨7� �H¬ � �6¬ � ² ­ ��¯ � ­ · � ® ¬+´ ­ ² µG�6� � ° ¬ � ­ ª

È�É Ê+É ÊÌËÎÍ9Ï Ð Ñ Ò7Ó"Ô Õ Ó&Ö�ÐM×+Í9ØÚÙ6Ó&Ô Û«PÜ » ´�� ­ � � ° ¬=� � µ2��� ­+² ®+� � Ý � � �G� ®�� � �9® ��° �G¬ ��� ¬+Þ�ß à&á+â Ü àH� ­+ã.ß à&á=â Ü ¢ Ü�äHå ª9æ ��° ���6� � µ7��� ­=² ®=� ¯ ® �® � ² ��¬ ����� � �6µ2� ¯ ¬ ² ´ ¯ ² ° ² ¬ ¸ Ü ª.¶+� �2° � ® � Ü âq¡G° � ­ ­ � ® ´�� ��� ®+¬ �G¬ � �2´ ­ � � ² � ��® ¯ ¸H� ² ® ° ��® ® � �H´�� ­ � � ° ¬9� � µ7��� ­ ®� ���7¬ � �.° � ® � Ü�ç ¡6° � ­ ­ � ® ´�� ��� ®&¬ �6´ ­ � ´�� ­&µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬=� � µ7��� ­ ® ª&¶+� � ® �.� � µ7��� ­ ®&±+� ­ �+Ý ­ ® ¬�² � � � ® ¬ ² · � ¬ � �² �G¬ � �2  ¦ ¬ �G° � � ¬ � ­ ¸7� ¸GºH� ­ ® � � � �9� ���7¬ � � �G� ¸7µ�� ¬ � � µ�� ¬ ² ° ² � ��®=® ��° ��� ®=è � ­ µ�� ¬ ¢ ¼9� ® ° � ­ ¬ � ®=� ���Gè ­ � � ² ° ¯ � ª¶+� ��® µG� ¯ ¯ � ® ¬7´ ­ � ´�� ­7µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬7� � µ2��� ­7² ®6¬ � �H£ » ´�� ­ � � ° ¬7� � µ7��� ­�  ¡ ¨Fâ�¡ é6ê £2ê ½ ª�ëP� ² ¯ ��£ » ¢&À » ¢�½ »� ���H¥ » ´�� ­ � � ° ¬.� � µ2��� ­ ®.±+� ­ �6� � � ���F� ¬.¬ ��� ¬9¬ ² µG� ¢�� �G· � � � ­ � ¯"� � ­ µ2� ¯ � �7±+� ­ �2� ² ® ° � � � ­ � �"ª+¼9� ® ° � ­ ¬ � ®9� ���ºH� ­ ® � � � �6· � � �6�2� � ±q­ � ¯ � ®+� � ­.· � � � ­ � ¬ ² � ·2� � ±Pµ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬9� � µ7��� ­ ®+� ­ � µì° � ­ ¬ � ² �HÄ � � ±.��µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬� � µ7��� ­ ®7� £ ¤ ¢�  ¨ § © ª9¶+� �2� ² ® ° � � � ­ ¸G� �+® ��° ��® � ��® ¬ ² ¬ � ¬ ² � ��®9° � � ¬ ² � � � ®+¬ � � � ¸H� � ¬2ß ® ¬ ² ¯ ¯ á.² � � � ¯ � � ®+² � ¬ � ² ¬ ² � �&¢· � � �G¯ ��° ÄH� ���H� �H� ��� ¯ ¸ ® ² ®=� ��Ä � � ±.��µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬.� � µ2��� ­ ®6� ¡ ¡ ¢ À ¥ © ªæ ² ��° �7¬ � ² ®.� � ­ ¯ ¸�±+� ­ Ä�¬ � �2® � � ­ ° �H� � ­9µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬.� � µ2��� ­ ®+��� ®.��� � �F² � ¬ � ­ µG² ¬ ¬ � � ¬ ª.¿+� ­ µ2² ° ��� � ¯=� ¡   ©

· � � �7�G¯ ² ® ¬9� �=� ¯ ¯+  ½2µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬9� � µ2��� ­ ®.¯ � ® ®.¬ ��� �M  ¨ í ª9î&� ¬ � ­9� �7� ï ¬ � ��� � �H¬ � ² ®9¯ ² ® ¬9¬ �H�2¬ � ¬ � ¯&� �=¡ ½  µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬+� � µ2��� ­ ® ¢ ¬ � · � ¬ � � ­+±.² ¬ ��¬ � �7® � ��® ¬ ² ¬ � ¬ ² � ��®=� � ­+· � � � ­ � ¬ ² � ·2® � µG�9� �"¬ � � ® �G� ¡ ¡ © ª=¶+� ² ®+¯ ² ® ¬.� ¯ ® �² ��° ¯ ��� � �2¬ � �9Ý ­ ® ¬.¦ » ´�� ­ � � ° ¬=� � µ7��� ­.� ² ® ° � � � ­ � �"ª&Å�� � ¯ � ¬.�   ¨   ©�¯ ² ® ¬ � �G£ £ À7µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬+� � µ7��� ­ ®=² ��° ¯ ��� ² � ·¬ � �+Ý ­ ® ¬=¤ » ´�� ­ � � ° ¬&� � µ2��� ­ ª�è ­ � ��ð � ² � ���2ñ6� ­ ° ² �7� À ½ ¢ À ¥ © � ���2ò+­ � ±.�H�   ¤ © � � � � �6� � � ­�¥ ¨9� � ±Mµ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬� � µ7��� ­ ®.¬ �G¬ � ² ®9° � ¯ ¯ � ° ¬ ² � �&ª+ó�� � ��² �H¬ � �7¯ � ® ¬9� � ° � � � ¢ ¬ � �2® � � ­ ° ��±.� ®.° � ��� ��° ¬ � ��µ�� ² � ¯ ¸H� ®.� ��� µG� ¬ � � ­´�� ® ¬ ² µ2�2�   ¦ ¢ ¡ ¤ ©�±.² ¬ ��¬ � �9� � ¯ ´�� �"´ ­ ² � ¬ � �G¬ � � ¯ � ®9�   ¥ ¢ ½ ¡ © ª+ô.� ¯ ¸2­ � ¯ � ¬ ² � � ¯ ¸2­ � ° � � ¬ ¯ ¸2��� � �.´ ­ � � ² � ��®�­ � ® � ¯ ¬ ®��� � �P° � ¯ ¯ � ° ¬ � �M� ����° � ¬ � ¯ � · � � �M� ���M� ï ¬ � ��® ² � �F� � ¬ � µG� ¬ � �M® � � ­ ° � ² � ·F��� � �P° � ­ ­ ² � �J� � ¬H� À À ¢9  ¨ ¤ ¢.    ¡ © ¢­ � ® � ¯ ¬ ² � ·H² �J��Ý � � » � � ¯ �H² ��° ­ � � ® �2² �J¬ � �G� � µ7��� ­6� �+Ä � � ±.��µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬6� � µ2��� ­ ®9¬ �Gõ ��® ¬7� � � ­6À ¨ ¨ ¨Fß � ®� �.¼.� ° � µ7��� ­7¡ ¨ ¨ ¡ á ¢&� ®6±+� ¯ ¯=� ®6¬ � ��� ² ® ° � � � ­ ¸H� �+¬ � �GÝ ­ ® ¬7§ » ¢=  ¨ » ´�� ­ � � ° ¬6� � µ7��� ­ ®7� ���"¢&® �H� � ­ ¢&�H® ² � · ¯ �    » ´�� ­ � � ° ¬.� � µ7��� ­ ªëP� ² ¯ �6� �2� � ��µ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬+� � µ2��� ­ ®+��� � �9��� � �H� � � ����¬ � � ­ �9��� � �6��� � �H® � µ2�6­ � ® � ¯ ¬ ®.° � ��° � ­ � ² � ·2¬ � �

� � ­ µÚ� �"® ��° �G� � µ2��� ­ ®�´�� ­ � ¯ ¯ � ¯ ² � ·7® � µ2�.� �"¬ � �.­ � ® � ¯ ¬ ®�� � ­=� � �2´�� ­ � � ° ¬=� � µ2��� ­ ® ª+¿+� ­ µG² ° ��� � ¯&� ¡ ¨ ©�® � � ±+� �¬ ��� ¬�� � �7µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬=� � µ2��� ­ ®&µ2��® ¬���� � �.� ¬=¯ � � ® ¬�� � � ­=� ² ® ¬ ² ��° ¬=´ ­ ² µ2�.� � ° ¬ � ­ ® ª « ­ ¬ � � � ��� À ©�® � � ±+� �6¬ ��� ¬¬ � � ­ �6� ­ �9� � ¯ ¸GÝ � ² ¬ � ¯ ¸�µG� � ¸G� � �Gµ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬.� � µ7��� ­ ®+±.² ¬ �F�7· ² � � ��� � µ7��� ­+� ��� ² ® ¬ ² ��° ¬+´ ­ ² µG�6� � ° ¬ � ­ ® ªò+� � ��� ®+��� � �7� ¯ ® �G��� � �H� � � ����� � ­9� �H� � �Hµ7� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬.� � µ2��� ­ ª.¿=� � � �F� ���H¹9� · ² ®6� £ ¨ ©&´ ­ � � � �G¬ ��� ¬

� � ­+� �G� � �2µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬=� � µ2��� ­+à=¢ ö9ß à&á+÷q   9� ���7¬ ��� ¬=à ç   ¨  ø ª=ò=� ² ¯ � ² � ·6� �G¬ � �9±+� ­ Ä7� � ­=� � �2´�� ­ � � ° ¬� � µ7��� ­ ® ¢ ¬ � � ¸H� ¯ ® �G´ ­ � � � �G¬ ��� ¬.¬ � �6¯ � ­ · � ® ¬+´ ­ ² µG�6� � ° ¬ � ­.µ7��® ¬.���7� ¬.¯ � � ® ¬7  ¨ ¨   ¨ §7� ����¬ ��� ¬.¬ � �7® � ° � ���¯ � ­ · � ® ¬+´ ­ ² µ2�6� � ° ¬ � ­.µ7��® ¬+���7� ¬.¯ � � ® ¬7  ¨ ¨ ¨ ª&Æ � � � ��° ° ²�� ¦   ©"��� ®.� � � � � ��° � �G¬ ��� ¬.¬ � �6¯ � ­ · � ® ¬+´ ­ ² µG�6� � ° ¬ � ­µ7��® ¬.���7� ¬.¯ � � ® ¬7  ¨  ª=¹9� · ² ®6� ¥ ¡ ©"´ ­ � � � �G¬ ��� ¬.¬ � �7¬ � ² ­ �G¯ � ­ · � ® ¬.´ ­ ² µ2�6� � ° ¬ � ­.µ7��® ¬.���6· ­ � � ¬ � ­+¬ ��� �J  ¨ ¨ ªëP� ² ¯ ��¬ � � ­ ��� ­ �G� � ±�­ � ® � ¯ ¬ ®6� � ­7µ2� ¯ ¬ ² ´�� ­ � � ° ¬2� � µ7��� ­ ®7² �J· � � � ­ � ¯ ¢&¬ � � ­ �H� ­ ��® � � � ­ � ¯=��® � � � ¯=­ � ® � ¯ ¬ ®

� � ­7� � �F¬ ­ ² ´�� ­ � � ° ¬6� � µ2��� ­ ®9² �J´�� ­ ¬ ² ° � ¯ � ­ ª2ù6� � � ¯ �J� ¦ ¤ ©+® � � ±+� �H¬ ��� ¬ ¢&� � ­7� ��� � �F¬ ­ ² ´�� ­ � � ° ¬6� � µ7��� ­6à=¢ö.ß à&á�÷�§ ¢&àP² ®2�F® ð ��� ­ ��� ���Jà ç   ¨ ú ø ª�¶+� ��� � µ2��� ­2� �9� ² ® ¬ ² ��° ¬7´ ­ ² µG��� � ° ¬ � ­ ®6� �9� �M� � ��¬ ­ ² ´�� ­ � � ° ¬

Page 15: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

û ü ý ü�þ.ÿ�� � � � � � � ��� � � � � ��� � � � �

� � � ��� ����� �� � � ����� ����� � �� � � � �"! # � $�%"& � � � � ��' ( # )+* � ��,���� � �"� & �.- $.� $0/1� 2 & �1' 3 4 ) 5 6+78 � �� ���� � ��,� 91! : ; < ��� �1� � � � � & � � � ,0� $>=+� ? @>� ��,>A1� B � ��' ! : ) C�& ��- � � D � ,0� ��! : E <�� $0� � ��2 � � � � � F��� � & -�� � 9 � ? �"� � � � �� ��� ��� D ��' 4 : ) 6

GIH JH KMLONIP QSR+T1U V8T�W1QYX Z�P [7O��� � � � � �� � ����� ��\�& ��� � & ,.� �.��� ��� � �.� � & ?1& 9I� � � ��� � �.� � & ?1��� � �0� 9F& � ��-�� � & � & D � , & D & � � � � C & 6 � 6

] * \F5^`_ * \F5a8b c d ! e f ^\ _ * \F5g * \F5.h

& �1� ��& � � � 2 � � 6i � �.-�� � � ,�� �0-�� � 9 � ? � � ��,0� � � & -�� � 9 � ? �"� � � ��� � � C���� � �.� � & ?"� � ����� � ����� D ��� � $0��� � �j� � ��, & � ,>9 � � �

� � � � & D � $.� � � � �� & ��� 6+/1� � �.� � & ?�� � ����� � �+�� � �1& � � � � , ��? � ,.� $0k1� ��' l m ) C ��� ��9 � � ��,0� �� � � � �"� -�� �0! : ; 6n � � ? & �j' m o ) & � � � ,j� � � �p� � ��! : E 6 i � � � �O' # l )��� � 9 � � ��,q� � �j#0r�! : s.��& � ����? � � � & � ��� � & � �q� -q� �! : t <.� � -�� � � � ,>& � i � � � �q� ��,�u � � &1' 4 ! ) 6�7� +� 9� � � � �.��� � ��� � & ? � � ����� � �"� � ��� D � �F6.vF& ��, & � 2>� � �S� D � ���� � �.� � & ?1� � ����� � �& ��� � ��, & w.? � � C�� � � � � 2 ��x ��, & � 2�� �� 9I� � � �y��� � �O� � ���"��� � ��,0& ��? ��� � � 2 & � 2�6+k1�� � ��� � � � �1��� ��,�C�� � � � & D � $� & � � ��& ��@ � � ����� ��� � �1� , ,0��� � �.� � & ?"� � ����� � � 6"=+$0& � � � � , ��? & � 2�� � ��? � ��? � - �� 9I��� � �.� � & ? � � � , � * 9 � � �y��� & ? �> � � 2 � ����� � ��� � & ?"� � � ��� � �1? � �>����, � � & D � , 5 C i � � � �>� ��,0u � � &F�� � ��� � �� �.� � � ��� ��� �� � � � � � � �1� � � , ,.��� � ��� � & ?�� � � ��� � �+ � � �+� ��� ��! : t z 6I{���� �& �+@ � � ����� ��� � �� , ,.��� � ��� � & ?� � � ��� � ��? � �0��� � � ����� � & | � ,�� �9 � � �1� 6F} 9+� �0� , ,.��� � ��� � & ?1� � � ��� � C \+C � ~ & � � �� � � �* & 5�\��O! : t z�' 4 ! ) C* & & 5�& 9������+\+C ��- � & �.� C � � � �.��� �Y!�* ��� ,�m 5"' m o C�l # ) C* & & & 5�\>��� ���.? � ��-�� � � � �2 � � � � � �� ��� �j! : E�' l # )F� ��,* & D 5 ] * \F5��4 : :�' � 4 ) 6� � � & � � � � � � ��& �>��� � �.� � & ?"� � ����� � �1� � � �.��9 � � �y� � ��9 � ? �1� ��� �"� F-�� � 9 � ? �1� � � ��� � �1� � �"��� � ��� � & ? C�� �

& 9I� � � � � � � �1� �.� , ,���� � �.� � & ?1� � ����� � �� � � �0� � � � ��� � �"� ��� , ,�-�� � 9 � ? ��� � � ��� � � 6

� � �������1�����+��� ����� �8�+�0� ���+���1�I� �

� � �"� � & 2 & ��� �2 � � �� 9I� � & ��� � � � & ����� �� ��& � D � � � & 2 � � �"� � � � ~ � � ��� & � �0� 9F� � � � �� ���� � ��,�� �0� � � � � � ��� ��� 9, & � � & ��? ��- � & ���"9 � ? � � � �� 9I� ��� , ,.-�� � 9 � ? �� � ����� ��9 � � �y( � �.l���� & � 2�� � � ? � ��- � � � � & � ��� �� - - � � � ? ��, � D � �� -�� ,>� $ i � � � ��' # o ) 6 } �j� , , & � & � �>� �0� � & �"� � � @�CF� � D � � � F� � � � � ,0- � � � � �.�1�� � ��& � D � � � & 2 � � � ,�CF? � ��? � � � � ,��& � �j* & 5��� � ��� � & ?�� � ����� � �"* & & 5� D � �0� � � & -�� � 9 � ? ��� � � ��� � ��� ��,�* & & & 5� , ,�� � & -�� � 9 � ? ��� � ����� � � 6� � �"9 � � ��& � 2 9 � � ��? ��� - � � � �+- � � D & , �1� � � , � � � & � ,.�� � @ & � 2 ��� � & ��,.� � ? ��� 9F� � � � �1& � D � � � & 2 � � & � ��� 6 � � �

x ��� ? ��� - � � �" � � @ �"� � � � �.-�� � � � � & � +� ��,�C�& �j� � ����? � � � � C�� � �.� � � & � � � & � ��� 9+� � �.-�� � � � � & � +9 � ��� - - $ & � 2-�� � � � +? � �.- � � & � 20� � ? � � & � � � �1� �0& ��- � � D � � � �.� w�? � ? $0� 9� � ��� � ? � � & � � � � � ��,>� 2 � � & � � �.�1��� � ,>& ��� � & �� � � � � � ? �F6

Page 16: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ���"  ¡ ¢ £ ¤ £ ¥�£ ¦�§ ¨¢ ¦j§ ¡ ¢ ¨"§ ¡�£ ¨ ¢ ¨ ©

ª « ¬®­°¯±>² ³1´ ³"µ¶³1·�¸I¹°² ·º¸+±0² ¹�¸+±�³1¹I² ¹

» ¼q½ ¾ ¿ Àq¿ ¾ Á ½0Á  Ã�½� Ä�Å À ½0½ Æ Ç Á Å Ç ¼ È�É ½ Á Ê Ë Å Á À�¾ Ì ½.Í�½ ½ ¼qÇ Ã�Î É Â Ì ½ ÏjÊ Î� ¼FÐjÑÀ ½ Á ½0¿ ¾ ¼qÍ�½0Á Ê Ã�Ã�¾ É Ç Ò ½ Ïj¾ ÁÄ Â Ë Ë Â Ó1Á ÔÕFÖ × ØjÙ�ÚIÛ Ü0Ú�ÝFØ>Þß × à

á Ë Ç Á Å ½ Ï0¾ Ë ËFÀ�¾ É Ã. ¼ Ç ¿1¼ Ê Ã Í�½ É ÁÊ Î0Å Â>â ã ä å�æ Î É ½ Ì Ç Â Ê�ÁÍ�Â Ê ¼�Ï�â ã ä ç èá Ä Â Ê ¼�Ï�¾ Ë Ë À�¾ É Ã� ¼ Ç ¿�Á ½ ½ Ï ÁIÊ Î�Å Â�â ã ä é�¾ ¼�Ï.¿  ¼�Á ½ ê Ê ½ ¼ Å Ë ë�Å À�¾ Å+Ç Ä�ì0Ç Á¾ ¼.Â Ï Ï�À�¾ É Ã� ¼ Ç ¿¼ Ê Ã�Í�½ ÉÅ À ½ ¼>ì�íOâ ã ä é�æ Î É ½ Ì Ç Â Ê�ÁÍ�Â Ê ¼�Ï�â ã ä å è

ß î�ß Ú8Ø�ÝFï ð Û ñß × ò ß Ü ð.Ú�ÝFØ>Þß × à

á Ä Â Ê ¼�Ï0ó ô Ë ¾ É È ½1Ã�Ê Ë Å Ç Î�½ É Ä ½ ¿ Å1¼ Ê Ã Í�½ É ÁÇ ¼�¿ Ë Ê�Ï Ç ¼ È.Å À ½"õ É Á Å â ã ö Î�½ É Ä ½ ¿ ż Ê Ã Í�½ Éá Á À  ӽ Ï�Å À�¾ Å ÷ Ó�Ç Å À0Á  Ã�½"ê Ê�¾ Ë Ç õ�¿ ¾ Å Ç Â ¼�Á ÷ ¾ Ë Ë�Ã Ê Ë Å Ç Î�½ É Ä ½ ¿ ż Ê Ã�Í�½ É Á+Ó�Ç Å À0¾�¿  Ã.Î� ¼ ½ ¼ Å�ó ø ù+ã�úû ú�ü ý�À�¾ Ì ½1Í�½ ½ ¼0Ä Â Ê ¼�Ï

Ù�þIþqð × Û ñß × ò ß Ü ð.Ú�ÝIØ>Þß × à

á Á À  ӽ Ï.Å À�¾ Å�Ç ÄFì�Ç Á1¾ ¼�Â Ï Ï�Å É Ç Î�½ É Ä ½ ¿ Å�¼ Ê Ã Í�½ É�Å À ½ ¼0ìjíOâ ã ä å ÿ�æ Î É ½ Ì Ç Â Ê�ÁÍ�Â Ê ¼�Ï�â ã � ç èÙ�þIþqñß × ò ß Ü ð�Ú�ÝFØ>Þß × à

á Á À  ӽ Ï.Å À�¾ Å�Ç ÄFì�Ç Á1¾ ¼�Â Ï Ï�Î�½ É Ä ½ ¿ Å�¼ Ê Ã Í�½ É�Å À ½ ¼��"æ ìFè���� ô.æ Î É ½ Ì Ç Â Ê�ÁÍ�Â Ê ¼�Ï0ó � èá Á À  ӽ Ï.Å À�¾ Å�Ç ÄFì�Ç Á1¾ ¼�Â Ï Ï�Î�½ É Ä ½ ¿ Å�¼ Ê Ã Í�½ É�Ó�Ç Å À�1æ ìFè� ��Å À ½ ¼� � ø��+ì�Ä Â É û 8ó ù ��ù ü ù â ã ù â ó"Â É û í�ü ã� Ç Ä����Oâ ã �"¾ ¼�Ï���� �Iä��Oâ ã � ç"Å À ½ ¼�����

ÑFÂ.¾ ¿ À Ç ½ Ì ½1Å À ½ Á ½"Ç Ã.Î É Â Ì ½ Ã�½ ¼ Å Á ÷ Å À ½"É ½ Ë ½ Ì ¾ ¼ ÅÅ À ½ Â É ë.Ó�¾ Á+Â É È ¾ ¼ Ç Ò ½ Ï�Ç ¼ Å Â.¿  Ã.Î Ê Å ¾ Å Ç Â ¼�¾ Ë�¾ Ë È Â É Ç Å À Ã.Á Ð 1¾ ¼�ÏjÇ ¼�À�¾ ¼�ÏjÓ�Ç Å À�Å À Ç Á.¾ Ê Å Â Ã.¾ Å Ç Â ¼jÎ É Â ¿ ½ Á Á ÷I¼ ½ ÓyÅ À ½ Â É ½ Å Ç ¿ ¾ ËÉ ½ Á Ê Ë Å Á Ó½ É ½0Â Í Å ¾ Ç ¼ ½ Ï�ÐjÑÀ ½ Á ½>¿ ¾ ¼qÍ�½Á Ê Ã.Ã.¾ É Ç Ò ½ Ï0¾ ÁÄ Â Ë Ë Â Ó1Á ÔÕFÖ × ØjÙ�ÚIÛ Ü0Ú�ÝFØ>Þß × à

á Ç ¼ Å É Â Ï Ê�¿ ½ Ï�Å À ½ ¿  ¼�¿ ½ Î Å ÄIÀ�¾ É Ã. ¼ Ç ¿"Á ½ ½ Ïá Ä Â Ê ¼�Ï.Á Ç Ã�Î Ë ½�É Ê Ë ½ ÁIÄ Â É+È ½ ¼ ½ É ¾ Å Ç ¼ È1Ã. Á Å ÷ Í Ê ÅI¼  Å+¾ Ë Ë ÷ À�¾ É Ã. ¼ Ç ¿+¼ Ê Ã�Í�½ É ÁFÄ É Â Ã À�¾ É Ã� ¼ Ç ¿Á ½ ½ Ï Á

ß î�ß Ú8Ø�ÝFï ð Û ñß × ò ß Ü ð.Ú�ÝFØ>Þß × à

á Ç ¼ Å É Â Ï Ê�¿ ½ Ï�Å À ½ ¿  ¼�¿ ½ Î Å ÄIÉ ½ Á Å É Ç ¿ Å ½ Ï0Á Ç È Ã.¾�¿ À�¾ Ç ¼ Ç ¼ Èá Ï ½ Ì ½ Ë Â Î�½ Ï ¾ ¼�Ï1É ½ ¾ Ë Ç Á ½ Ï ¾�ã !�âIÇ ¼ Å ½ È ½ ÉFË Ç ¼ ½ ¾ ÉFÎ É Â È É ¾ Ã.Ã�Ç ¼ ÈÃ.Â Ï ½ Ë Ä Â ÉFõ ¼�Ï Ç ¼ È1½ Ì ½ ¼"Ã�Ê Ë Å Ç Î�½ É Ä ½ ¿ ż Ê Ã Í�½ É Á1¾ Á¾ ¼>¾ Ë Å ½ É ¼�¾ Å ½"Å Â�Ä ¾ ¿ Å Â É1¿ À�¾ Ç ¼>Á ½ ¾ É ¿ À Ç ¼ È

Ù�þIþqð × Û ñß × ò ß Ü ð.Ú�ÝIØ>Þß × à

á È ½ ¼ ½ É ¾ Ë Ç Ò ½ Ï�Å À ½.Ä Â É Ã Ê Ë ¾ ½.Ä Â É�¿ ¾ Ë ¿ Ê Ë ¾ Å Ç ¼ È0Å À ½�Í�Â Ê ¼�Ï Á" ¼jÅ À ½.Ê ¼ " ¼  Ó�¼jÎ É Ç Ã�½.Ä ¾ ¿ Å Â É Á1 Ä1¾ ¼Â Ï Ï�Å É Ç Î�½ É Ä ½ ¿ Å�¼ Ê Ã�Í�½ É1¾ Ë Ë Â Ó�Ç ¼ È�½ ¾ É Ë Ç ½ É�Ï Ç Á ¿ É Ç Ã�Ç ¼�¾ Å Ç Â ¼jæ ¾ ¼�Ï.Î� Á Á Ç Í Ë ½ ½ Ë Ç Ã.Ç ¼�¾ Å Ç Â ¼�è+ Ä+¿ ¾ Á ½ Á

Page 17: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

# $ % $'&�( )+* , )+* -�( .�* /+,10 2 2 ( 354+0 ) 6 7 ) 8�&�( 354+0 2 *�9�7 - 2 :

;+<�<�=�> ? @ > A B�C+D�E�F�> ? GHJI K L MON�P M�P N N Q R Q K MOP S�T U M U V P S�V U W R V Q X R Q K MJK MJR Y U�Z�L S R Q [ S Q X P R Q \ UW R V LOX R L V U]K I�P MJK N NJ[OU V I U X RM L Z5^OU V5_ W U U5`�Y U K V U Zba cH�P N P [ R U N�R Y U�T U M U V P S Q d U N5^OK L MON]X P S X L S P R Q K MOW�I K V�K N N�R V Q [OU V I U X R�M L Z�^OU V W�R K5K N N�[OU V I U X R�M L Z]e^OU V W

f5g hjilk�m�n�o�m�n�pbk�q�n�r�ots5u�u�k�vxws5m]y�z m�{|i}k]vxw�s5u�nb~tz p�u� L U1R K�R Y U1S U M T R Y]K I�W K Z]U�K I+R Y U5X K Z�[ L R P R Q K MOP SO[ V K K I W�T U M U V P R U N+� R Y U ��N K�M K R�P [ [OU P V�Q M�[ V Q M R U N]I K V ZQ M�R Y U�R Y U W Q W ����P R Y U V ��R Y U ��P V UP \ P Q S P ^ S U�K M�P M�P X X K Z][OP M � Q M TJ��K Z][OP X R � Q W X]��Q R Y�Q MOW R V LOX R Q K MOW5I K VS K X P R Q M T]R Y U1V U S U \ P M R�� S U1T Q \ U MQ M�P�[ V Q M R U NP [ [OU MON Q ��K I�R Y U1R Y U W Q W �� K V�X K M \ U M Q U MOX U�X K Z�[ L R U V]P X X U W W Q ^ S U�\ U V W Q K MOW1K I�R Y U�I L S S�[ V Q M R U N�R Y U W Q W�P V UP S W K�Q MOX S LON U NJK MJR Y U

��K Z�[OP X R � Q W X5Q M�^OK R Y�R Y U�K V Q T Q MOP S���K W R W X V Q [ R�I K V Z�P W���U S S�P W�R Y U�Z�K V U5��Q N U S ��P \ P Q S P ^ S U���N K ^OU]� �1�I K V Z]P R �`�Y U5X K M R U M R W�K I�R Y U���K Z][OP X R � Q W X5P V U5P W�I K S S K ��W �

� � � � �O� � �+� � �O� � � � � � ��� �O�� � � � �O� � �+� � �O� � � ��� � �    �� �O�� � � � �O� � �+� � �O� ¡ ¢ ¢+� � �    �� �O�� � � � �O� � �+� � �O� ¡ � ��� � £ �    �� �O�� � ¤ ¥O� � � � � � ��� � ¢ ¦� � ¤ ¥O� � � ��� � �    �� � ¢ ¦� � ¤ ¥O� ¡ ¢ ¢+� � �    �� � ¢ ¦� � ¤ ¥O� ¡ � ��� � £ �    �� � ¢ ¦� � � § �O� ¡ � � ¨ © �+�+� � § �

Page 18: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ª¬«®­°¯²±}³µ´·¶

¸²¹Jº5»½¼�¾'¿ À®Á®Â'»ÄÃ}Å�º5Æ

Ç�È ÉËÊ�Ì�Í�Î�Ï�Ð�ÑÒ�Í�Ó Ï]ÌÔÖÕO× Ø Ù Ú × Û+Õ Ù Ü�ÝOÞ Ú�ß�à á�á × à â]Ø ã]ÝOÞ5äO× Ú Ü]ã Õ à å�à æ�Ø ä Þ5äO× Ú Ü]ã Õ à å�Ü�Þ × Õã æ�à Ø á�çOã á à Ø à è Þ5â à è à á ã Ú á é Ø äO× Ø�à á

êJë ß�ì�íïî ë ß�ìð ñ ò ó�ô õ ö íß î ë ß�ì÷ ë ß�ì]ø

à á5× Õ�à Õ Ø Þ ù Þ Ú ú�û ã Ú�ü�ç Ú à Ü]Þ é êJë üOì1ílý ü õ ë ü]þ ô ì ÿ+û Ú ã Ü Ø ä Þ]Ü5Ù Û Ø à ç Û à å × Ø à è Þ�ç Ú ã çOÞ Ú Ø à Þ á�ã æ î × ÕOâ ÷ é ê à á× Û á ã]×�Ü5Ù Û Ø à ç Û à å × Ø à è Þ1æ Ù ÕOå Ø à ã Õ�ú� × Ú Ü�ã Õ à åÕ Ù Ü�ÝOÞ Ú á× Ú Þ�ã æ5à Õ Ø Þ Ú Þ á ØÝOÞ å × ÙOá ÞJ× ì�Þ è Þ Ú ��çOÞ Ú æ Þ å ØÕ Ù Ü5ÝOÞ Ú é1á × Ø à á æ � à Õ ù ÷ ë ß�ìJíµý ß�é�à á

äO× Ú Ü]ã Õ à å é × ÕOâ ë ÝOì�ÝOÞ á à â Þ á ô é Õ ã�ã â â�äO× Ú Ü�ã Õ à å�Õ Ù Ü�ÝOÞ Ú á�äO× è Þ�ÝOÞ Þ Õ�æ ã Ù ÕOâ+ú�Ô�ç Ú ã ã æ+ã æ+Ø ä Þ�Õ ã Õ Þ � à á Ø Þ ÕOå Þã æ�Õ ã Õ Ø Ú à è à × ÛOã â â�äO× Ú Ü�ã Õ à å�Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á���ã Ù Û â]Ø ä Þ Ú Þ æ ã Ú Þ�à Ü�ç Û ��Ø ä Þ1Õ ã Õ Þ � à á Ø Þ ÕOå Þ1ã æ�ã â â�çOÞ Ú æ Þ å Ø�Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á ú� Õ�Ø ä à á�å äO× ç Ø Þ Ú�× Õ× Û ù ã Ú à Ø ä Ülà á�â Þ á å Ú à ÝOÞ â]æ ã Ú�â Þ Ø Þ Ú Ü�à Õ à Õ ù�äO× Ú Ü�ã Õ à å�á Þ Þ â á�× ÕOâ]à á�× ç ç Û à Þ â]Ø ã�� ÕOâ à Õ ù

× Û Û�äO× Ú Ü]ã Õ à å�á Þ Þ â á�Ù ç�Ø ã ô � ë ��à Ø ä�Õ ã�ã â âã Õ Þ á�Þ � å Þ ç Ø ô ì ú ��ä à á�à Ü]ç Û à Þ á�Ø äO× Ø�Ø ä Þ Ú Þ]× Ú Þ5Õ ã�çOã ��Þ Ú æ Ù ÛäO× Ú Ü]ã Õ à å1Õ Ù Ü�ÝOÞ Ú á éOã â âäO× Ú Ü]ã Õ à å1Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á�ã Ú1â Þ �Oå à Þ Õ Ø�äO× Ú Ü�ã Õ à å1Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á�Û Þ á á�Ø äO× Õ ô � ú�Ô'ç Ú ã å Þ á áæ ã Ú�ù Þ Õ Þ Ú × Ø à Õ ù5Ü�ã á Ø ë Ý Ù Ø�Õ ã Ø�× Û Û ì�äO× Ú Ü�ã Õ à å�Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á�æ Ú ã ÜläO× Ú Ü]ã Õ à å�á Þ Þ â á�à á�ù à è Þ Õ�ú�� Ù ÝOá Þ � Ù Þ Õ Ø Û ��Ø ä Þ á ÞÚ Þ á Ù Û Ø á ��Þ Ú Þ�á Ù ç çOã Ú Ø Þ â�Ý ��Ø ä Þ]Ú Þ á Ù Û Ø á5ã æ�×�å ã Õ Ø à Õ ÙO× Ø à ã Õ�é+Ý ��Ø ä Þ× Ù Ø ä ã Ú é�ã æ�× ÕJÞ � äO× ÙOá Ø à è Þ�á Þ × Ú å ä�æ ã ÚäO× Ú Ü]ã Õ à å�Õ Ù Ü�ÝOÞ Ú á�Ù çØ ã ô � ú

Ç�È Ç�������Ó Ò�Í�����Ï�Î����� �!#" $ " %&!('*) +�%&,#� !.- !�/(01% 2 3 " 4 5#' 6 7 8:9&; < ; = > ?A@ B C D E < < F�@ G ô C E ô H�I ; = > ?A@ B&C D E < < F�@ G�=�B&J ?AK < >ß.L ô M C E�=�N&> @ N < >�J B C O = > P:F C Q C E @ >�@ G ßSR ; C D ;TC E�; = > ?A@ B&C D�= B&F:F @ < EAB&@ OUC O E < V G ; = Q <�=AE ?A= V V < > N&> @ N < >J B&C O = > P�F C Q C E @ > R ; C D ;:C E ; = > ?A@ B C D H

��� �!#" $ " %&!(W18TX�< E = P ß C EYN @ R < > G J V#C G ü:Z ß C ?UN&V C < E ü � Z ß(R ; < > < ü C EYN&> C ?A< H[�ÕOå Þ�×�äO× Ú Ü]ã Õ à åá Þ Þ âJäO× á�ÝOÞ Þ Õ�æ ã Ù ÕOâ+é�Ü�ã Ú Þ�äO× Ú Ü�ã Õ à å]Õ Ù Ü�ÝOÞ Ú á�å × Õ�ÙOá ÙO× Û Û �JÝOÞù Þ Õ Þ Ú × Ø Þ âJà Õ ×

á Ø Ú × à ù ä Ø æ ã Ú ��× Ú â�Ü�× Õ Õ Þ Ú ú#��ä à á�× ç ç Ú ã × å ä1à á�á à Ü�à Û × Ú�Ø ã�Ø ä Þ�ÙOá Þ�ã æ�\ Ý Ú Þ Þ â Þ Ú á ]�à Õ5Ø ä Þ�ù Þ Õ Þ Ú × Ø à ã Õ1ã æ × Ü]à å × Ý Û ÞÕ Ù Ü5ÝOÞ Ú áU^ ô ô _ ú � Ø�à á�å ã Õ è Þ Õ à Þ Õ Ø�Ø ã�á ç Û à Ø�Ø ä Þ1á Þ × Ú å ä]æ ã Ú�äO× Ú Ü]ã Õ à å�á Þ Þ â á�à Õ Ø ã�á Þ çO× Ú × Ø Þ�Þ è Þ Õ�× ÕOâ�ã â â�å × á Þ á ú` Õ ã ��Õ�Ú Þ á Ù Û Ø á�ã ÕäO× Ú Ü]ã Õ à å�Õ Ù Ü5ÝOÞ Ú á�à ÕOå Û ÙOâ Þ1Ø ä Þ5æ ã Û Û ã ��à Õ ù&a

b�� c*cd-d'*) e�2 �*4 f&g 6 7 8�hU< E C F < E ô M O ; <�@ B&V P�E i J&= > < G > < < ; = > ?A@ B C D�B&J ?AK < > C EUj Hb�� c*cd-dW() k�- 2 l " -m4 g1n 6 o�pq" 3 3 r:4 f1W 6 7 8�s#< O ß K <A= B*@ F FA; = > ?A@ B C D�B&J ?AK < > HUt G ü&u�v�ß M ü N&> C ?A< M O ; < Bü&u w ô ë Ü]ã â�x ì H

y

Page 19: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

z { | {.}Y~ � ���&� � ��� � � ���1� ��� � � � � �

��� �*�d�*�q� �q� � � �d� �1� � � ��� �U�S  ¡�¢ £.¤ ¥ ¥�¦ ¢ § ¨A¤ £   ©�£ ª ¨A« ¬ § ­ § ¬ ¢ ® ¬ §�® ¦ ¢ £*¯ ° ® ¦ ¬ £��m¦ ¢ ¡�¢T© ¤ ¨U± ¤ £&¬ £&®­ § ¬ ¢ ® ¬ §�® ¦ ¢ £:¯ ² ³ ´

��� �*�d�:µ(� ¶�· �*� �&µ � � �:¸&¦ ¬ § ¬�¢ § ¬�£&¤�¦ ¢ § ¨A¤ £&  ©�£&ª ¨A« ¬ § ¡�¤ � ® ¦ ¬�� ¤ § ¨m¹&º °&¹�±&§   ¨A¬ ´

��� �*�d�T»*� ¼�� � � � ½S� � � � ¾�¿UÀ&�d� · � ½#Á �d� �1 � � �:¸&¦ ¬�¤ £&à Ä�¦ ¢ § ¨A¤ £   ©�£ ª ¨A« ¬ § ¡�¤ � ® ¦ ¬�� ¤ § ¨m¹&º Å Æ ° ¹*¢ £1¥�Å¥   ¡ ®   £&© ®#±&§   ¨A¬ ¡ °Y¢ § ¬�¬ Ç ¬ £A± ¬ § � ¬ © ®Y£ ª ¨A« ¬ § ¡ ´

��� �*�d�.ÈÉ� ¼�À&Ê#� ½Ë� � � � � ��� � �mÌËÍ º Î#Ï Ð Í º�Ñm¯ Ò�  ¡�± ¬ § � ¬ © ®�Ó ¡ ¤:® ¦ ¢ ®YÍ º�Ñm¯d¢ £&¥�Ô(¢ § ¬�±&§   ¨A¬ ¡ Õ °�® ¦ ¬ £ÖdÐ �#Ò�Ì(Ô1´

×�Ø ÙÛÚmÜ�ÝUÞàß�á â�ãåä�Þ:æ çèÞAé:ãèê:ÝUâ�ë

ì�í î�ïAî ð í ñ ò:í&ó ôUô õ ï�õ ö ó ÷ õ ð õ î ôYøYõ ð í:ð í î�ïAó ù ú&ó ö�ó û û ÷ ñ ó ü í�ñ ú ð ö õ ù î ò�ý þ:ÿ ó ÷ ü õ ó�� � � � �1ó û û ö õ î ò�í î ÷ î�ð ñ�� ÷ ô ðò î ð î ÷ ïAõ ù î�í&ó ÷ ïAñ ù õ ü ô î î ò ô �

� �� �������� ����� � � ��� � ���"!#��$�� ���&%('�%(�)����� �*����� +-, %(%.$�,ì1ñ/� ù&ò�î 0 î ùAí&ó ÷ ïAñ ù õ ü�ù ú ï�ý&î ÷ ô���ö î ô ô�ð í&ó ù�ô ñ ï�îYý&ñ ú ù&ò21Sø�îUó ô ô ú ï�î3� ÷ ô ð�ð í&ó ð���í&ó ô�ð í îUû ÷ õ ï�î�4 ó ü ð ñ ÷ò î ü ñ ï�û&ñ ô õ ð õ ñ ù

�:Ì(Í 5 6 ¹ 5 78 ¹ 5 9:�; ; ; ¹<5 =>@?A ÷ ñ ï)B1î ï�ï�ó�C � õ ðUõ ô3D ù ñ øYù:ð í&ó ð �1ó û&ó ÷ ð�4 ÷ ñ ïËð í îAô û&î ü õ ó ö�ü ó ô î�ñ 4�î 0 î ù:û&î ÷ 4 î ü ð ù ú ï�ý&î ÷ ô �&ó ö ö#í&ó ÷ ï�ñ ù õ üù ú ï�ý&î ÷ ôYí&ó 0 î�ó ðYö î ó ô ðUð í ÷ î î�ò õ ô ð õ ù&ü ðUû ÷ õ ï�î/4 ó ü ð ñ ÷ ô ��E.õ ð í:ð í õ ô �&ó ù�ú û û&î ÷Uý&ñ ú ù&ò:ü ó ù�ý&î�û ö ó ü î ò�ñ ùGF Ï �ì�í î�ø�ñ ÷ ô ð�ü ó ô î�õ ô�Í 5 6 H ; C �#ó ù&ò:í î ù&ü î�F Ï2IKJ Ï ÌML ö ñ N 8 Ð 12O Ð H ; C Ò Ò P �QETî�ù î î ò:ð ñ�õ ù 0 î ô ð õ N ó ð îAó ö ö�ü ó ô î ôó ÷ õ ô õ ù NQ4 ÷ ñ ï�F Ï ÌS¯ R Í R ? ? ? R J Ï �S ð ó ÷ ð õ ù N�øYõ ð íTð í îAó ô ô ú ï�û ð õ ñ ù�ð í&ó ð �dí&ó ôUó�ü ñ ïAû&ñ ù î ù ð Í 5 6 �&ø�î�ü ó ö ü ú ö ó ð îAÖdÐ Í 5 6 Ò �&øYí õ ü í:øYõ ö ö�ý&îAó÷ ó ð õ ñ ù&ó ö1ù ú ï�ý&î ÷�Ð ÷ î ò ú&ü î ò:ô ñ�ð í&ó ðUð í î�ù ú ï�î ÷ ó ð ñ ÷ ó ù&ò�ò î ù ñ ï�õ ù&ó ð ñ ÷ ó ÷ î�÷ î ö ó ð õ 0 î ö þ�û ÷ õ ï�î Ò � S õ ù&ü î�ÖdÐ �#Òï�ú&ô ðYý&î�ó ù�õ ù ð î N î ÷ � î ó ü í�û ÷ õ ïAî�ò õ 0 õ ô ñ ÷Yñ 4#ð í î�ò î ù ñ ïAõ ù&ó ð ñ ÷Yñ 4�ÖdÐ Í 5 6 Ò �&ô ó þ�Å � øYõ ö ö1î õ ð í î ÷Ð ó Ò�ý&î�ó�û ÷ õ ï�î#4 ó ü ð ñ ÷Yñ 4��:ñ ÷Ð ý&Ò�ý&î�óAò õ 0 õ ô ñ ÷Yñ 4.T#Ð �#ÒYó ù&ò�í î ù&ü î�ó û û&î ó ÷Uó ô�ó ù�î U û&ñ ù î ù ð � Å Ñ*¯ ñ ÷Yí õ N í î ÷ � ñ 4�ó�û ÷ õ ï�î/4 ó ü ð ñ ÷Yñ 4#���ì1ñdô î î�ð í õ ô�ô ú û û&ñ ô î�ÖdÐ Í 5 6 ÒAÌWV(O X(��ô ó þ �YÐ V.R X ÒAÌ ¯ � S õ ù&ü î�Y�Ð �#Ò ÖdÐ �#ÒAÌ��(T#Ð �#Ò ��ð í î ù.��ó 4 ð î ÷�õ ù õ ð õ ó ö ö þï�ú ö ð õ û ö þ õ ù N ý&ñ ð í�ô õ ò î ô#ý þ�ÖdÐ Í 5 6 Ò � ø�î�í&ó 0 îYÍ 5 6 T1Ð Í 5 6 Ò Y�Ð ��O Í 5 6 Ò ÖdÐ �#Ò X�Ì*�(T#Ð �#Ò V.��Z�ó ü í�ñ 4&ð í î ô î�û&ñ ô ô õ ý ö îò î ü õ ô õ ñ ù�ý ÷ ó ù&ü í î ô�õ ôYü ñ ù&ô õ ò î ÷ î ò(� ö î ó ò õ ù N<� õ ù�N î ù î ÷ ó ö � ð ñ24 ñ ú ÷Uû&ñ ô ô õ ý ö î�ü ñ ù&ü ö ú&ô õ ñ ù&ôÐ õ Ò��:î U ü î î ò ô31��Ð õ õ Ò�ó ù��TøYõ ð í:ó ù�õ ù ð î N ÷ ó ö1ÖdÐ �#Ò�í&ó ô�ý&î î ù�4 ñ ú ù&òTÐ ô ñA�Tõ ôYó�í&ó ÷ ï�ñ ù õ üUô î î ò Ò �Ð õ õ õ Ò�ð í î ÷ î õ ôUó�ü ñ ù ð ÷ ó ò õ ü ð õ ñ ù�ó ô�ð ñAð í î#4 ó ü ð ñ ÷ ô�ñ 4��:ñ ÷Ð õ 0 Ò�ÖdÐ �#Ò�õ ô Ð ô ð õ ö ö ÒYù ñ ðYó ù�õ ù ð î N î ÷ �ì�í î2� ÷ ô ð�ü ó ô î�ó ö ö ñ øUôUð í î�ô î ó ÷ ü íTð ñ�ý&îAð î ÷ ïAõ ù&ó ð î ò[4 ñ ÷ ð í õ ô�ô î ð ñ 4Yó ô ô ú ïAî òTü ñ ï�û&ñ ù î ù ð ô�ó ù&ò:ñ ð í î ÷

ó ö ð î ÷ ù&ó ð õ 0 îYô î ð ô#ñ 41ó ô ô ú ïAî ò/4 ó ü ð ñ ÷ ô�ø�ñ ú ö ò�ð í î ùAý&îYð î ô ð î ò(�.\ ù�ó ô õ ï�õ ö ó ÷�ï�ó ù ù î ÷ � ð í îUô î ó ÷ ü í�õ ô#ð î ÷ ïAõ ù&ó ð î ò4 ñ ÷Uü ó ô îAÐ õ õ Ò �&ô õ ù&ü î ð í õ ôUü ñ ÷ ÷ î ô û&ñ ù&ò ô�ð ñQ� ù&ò õ ù N�ó�í&ó ÷ ï�ñ ù õ ü ô î î ò(��]�ó ô îAÐ õ õ õ Ò�ñ ü ü ú ÷ ô�øYí î ù:óQ4 ó ü ð ñ ÷Yñ 4#ð í î

Page 20: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

^ _ ` _@a3b c d�e<f g h�i d j k�d(l h�m c g n o<o

p q r s t2u r<v w s x�s y/z|{ }.~2t/�<� w2�<q|v r�v p p u w u s r<v ��y v � w s x�s y#}-� � w��<v �2� x q � u s �<� � �|�<q q r�q � u tQu r<v w q p�v ��v�<s � � u � � q2y v � w s x �[��v � q[{ u � ~#� q v p �#w s[v[� s r w u r �<v w u s rGs y�w � q�� s t2tQs r|y v � w s x � � �<v u r|� q v x � �GtQq w � s p(����� q� q v x � �|� s r w u r � q �/� r w u ��w � q�y v � w s x � � �<v u r<�#y s � � s �3u r ��y x s tMq v � �|s y3w � q�v � � � t2q pGu r u w u v �3� s t2�<s r q r w �Q� � ��<v � q#�<q q r�x q � s � � q p[{ w q x t2u r<v w q p ~ ���� q�� v x u s �<�(�<s � � u � u � u w u q ��v x u � u r �3y x s t&��v �.v#p u � u � s x.s y w � q3p q r s tQu r<v w s x.s y<z|{ }.~ � r q q p#w s#�<q3� � v x u � q p(�� s x�� �<� ��vQ� � w � q/� s r w u r �<v w u s r2y s x3� � ���2�K� � � � � � � v ��� s tQ�<s r q r w ��s y.}[u �3� w x v u � � w y s x �3v x p(�(� r�v p p u w u s r.���q#tQ�<� w�� s r<� u p q x#�2� �.{ �<�   ¡.¢ ~3y s x3� x u t2q3�|£�-� � ¤�¥K� � �3� u � ���<� �<v � � ��� q v p ��w s�vQ� u s � v w u s r�s y�w � q/� � �<q x�<s � r<p[¦���§3s ��q � q x�u y�� � �3��¨&� �<u �#v r[q © v � w�p u � u � s x�s y�w � q2p q r s t2u r<v w s x � y � x w � q x��<s � � u � u � u w u q ��r q q p�w s�<q#� s r<� u p q x q p(��� s x�q © v t2� � q � u y.ª «3u ��� �<� ��vQp u � u � s x � w � q r�q u w � q x3ª ¬ ��­#¨@®#u ��v/� s r w u r �<v w u s r2s x�w � q x q#v x qw ��s�v p p u w u s r<v ��� s t2�<s r q r w � �(� v �2�<¯ � � ¡.¢¢ v r<p��<¯ � ° ¡.¢« y s x/p u � w u r<� w3� ¢ � � « v r<p[� �.¤ ¢ � ¤ « ¥*�Qs x�w � q x qQu �#v� u r � � qQv p p u w u s r<v �.� s tQ�<s r q r w � � ¯ ° � ¡.¢ ��� w�u ��� s r � q r u q r w3w s�v � � � tQq�� ¢�± � « ��� y�� ¯ ��q x q/w � qQp u � u � s x3w � q r.�u rGv p p u w u s r�w s�� s r<� u p q x u r �2� ¬ � w � q x q/��s � � p��<q/w � q/�<s � � u � u � u w ��w �<v w/{ u ~�w � q x qQv x q/w � x q q/v p p u w u s r<v �.� x u tQqy v � w s x � ��� v ���   � � ¡.¢¢ �(�   � ° ¡.¢« v r<p��   � ² ¡.¢¯ s x�{ u u ~#w � q x q�v x q2w ��sGv p p u w u s r<v ��� x u t2q2y v � w s x � �.q u w � q x��   � � ¡.¢¢ ��   ° � ° ¡.¢« s x#�   ° � � ¡.¢¢ �.�   � ° ¡.¢« s x�{ u u u ~Qw � q x q�u �QvG� u r � � q�v p p u w u s r<v ��� x u t2q�y v � w s x �(�   ² � � ¡.¢¢ �|� r"� q r q x v � ��u y� � ���2¨@® � u �3v r�q © v � w3p u � u � s x�w � q r���q�r q q p�w s2� s r<� u p q x�q � q x �2� s t/� u r<v w u s r�s y.� x u tQq ��v r<p�q © �<s r q r w ��s yw � q#y s x t ³

´µ ¶ ¢�   · ¸ � ¸ ¡.¢µ �

³¹µ ¶ ¢­ µ ���

�3u w �[� µ � x u t2q � � µ ± � µ º ¢ � � µ £�*� �.­ µ ¥W� �(¤ µ ¥*� �/»�� u � qQw � q � q2�<� �<v � � �G¼ � u � ½ � �[� q v p[w s[v2� u s � v w u s r[s yw � q#�<s � r<p�¦2� w � q/� s tQ� u r<v w s x u v �<r<v w � x q�s y.w � q�r � tQ�<q x3s y.� �<� ��� v � q ���<q � s t2q �3v#� x v � w u � v �<� u t2u w v w u s r�s r� s ��y v x3w � q#�<s � r<p�� v r��<q/x v u � q p(�� w.u �.� s r � q r u q r w<w s#� � t2t2v x u ¾ q�w � u �.� q v x � �#�<� u r ��v3� s t2�<v � w.p q � u � u s r#w x q q�x q � x q � q r w v w u s r.�(� s x(q © v tQ� � q �u y.��q/v x q#� q v x � � u r �/y s x�q � q r��<v x t2s r u ��r � t/�<q x ���3u w ��vQ� s tQ�<s r q r w�s y.� « � w � q r[v/�<v x w u v �(p q � u � u s r�w x q q#u �� � s �3r�u r[�.u � � x q/� � � ��.sGy � x w � q x2u � � �<� w x v w q�w � q � q�u p q v � �3� s t2q[� v t2� � q[� v � � � � v w u s r<�Qy s x�vG�<s � r<p@¦¿�À� ® ¢ «��3u � �3r s ���<qp u � � �<� � q p(����� q#� � �<q x��<s � r<p�s r�w � q/�<s ��q x3s y.w � q/u r u w u v ��� s t2�<s r q r w�� � �3u �

Á ¢�Â*à � s � « { ¦2Ä { ª#Å Æ ~ ~ Ç#� à � s � « { � ® ¢ « Ä { ª#Å Æ ~ ~ Ç#�@ª Æ �È(s s ½ u r ��v w�w � qQ� v � q Á ¢ ��ª Æ �

z|{ � ¯ É ~�� � ¯ ʪ#Å Æ#Å Ë�Å � ª#Å � Ì�Å ª Ë�Å Ë ª�Å � ® Ì �

� w�u �3q v � u � �[� q q r[w �<v wQ� ® Ì2t/�<� w��<q2v2y v � w s x�s y�}|� � w#w � q rG��q/�<v � qQw � q2� s r w x v p u � w u s r[}"¥K� ¯ É � ® Ì�¨-¦�3� u � ��u ��� v � q"{ u ~�u p q r w u � q p�v ����Í/ÍÏÎ�� ÐÏu r�w � q|� s tQ� � w q x�� q r q x v w q p@� x s s y/� u � q r�u r-Ñ3� �<q r<p u ©K���{ Ñ3� w q x r<v w u � q � � �#� ® Ì����({ }.~ ��� � w2w � q r�� ¯ É ª ¢ Ò Ó|¨)¦2� ~W»Gq��<v � q[� u tQu � v x�� s r w x v p u � w u s r<�/u y/Ë ª � ª Ë � � � � � ªp u � u p q#}������ q/� s r<� � �<� u s r�u ��w �<v w�� ¯ É � v r r s w3�<q/v2� s t2�<s r q r w3s y�vQ�<v x t2s r u ��r � tQ�<q x3} ± � ® ¢ « �Ñ��3vQ� x � w3q © v t2� � q#s y�w � q#�<v � u ��y v � w s x � � �<v u r�tQq w � s p(� � s r<� u p q x3w � q/� v � q Á ¢ ��� ® �.»Gq/�<v � q

z|{ � « Ò ~�� � « Ò ªË�Å � � Ë�Å ª ª Ë �

��� u �Qu �/r s w2v r"u r w q � q x�{ s y�� s � x � q ~Qv r<p|� « Ò ª ª Ë ± � ® ¢ « ��� s[�<s w �@ª ª Ë�v r<p�� � Ë�tQ�<� wQ�<q�� x u t2q�y v � w s x �s y�}��(�3� q x q v �/Ë2� s � � p[�<q2v2� x u t2qQy v � w s x#s x�w � q x q2� s � � p[�<q2v�y v � w s x��3� u � �Gu �#v2� x u t2qQw s�v rGq © �<s r q r wË�Ô@�/�-Õ�{ s x�� u � � q x ~ �3Ñ&� w x v w q � ��s y�� � s s � u r �2w � q/� u � � q � w3�<s � � u � � q/r q �-� x u t2q/� x � w3u �3� u ½ q � ��w s2� q v p�w s

Page 21: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ö × Ø ×@Ù3Ú Û Ü�Ý<Þ ß à�á Ü â ã�Ü(ä à�å Û ß æ ç è

é êQë�ì#í ê î ïðÀñò ë�ì#í ê î ïð�ó ðê î í�ôöõ ÷ ø<ù�ú û2é ê ò#ü ú3ì�ý�þ3ÿ������ ���ò ê ë�ì#í ê î ïð ó ð îñ

í ê î ï ðñ � ��ë�ì#í ê î ï ð

ñ ó ñ ê í ê ï ð ��ë�ì#í ê ï ð ó ï í@é ó ò í�� � õ ÷ ø<ù�ú û2é ê � ó ò ê � � ü ú3ì�ý�þ�ÿ������ ���� êQë�ì#í ê ï ð ó ï îï ñí ê ï î ðï ñô �Që�ì#í ê ï î ðï ñ óï ñê � í ï î ê � ê

� � � ï� ï ë�ì#í ê ï ð ó �ï ñ ï

í ê î ðñ ï� ô�ë�ì#í ê î ð

ñ ï ó ñïð í@é ó � ê�í�� �öõ ÷ ø<ù�ú û2é ê � ï ò ê � ô ó � � ü ú3ì�ý�þ3ÿ������ ���

� � �� �2ë�ì#í ê ï ð ó �ñ ñ ð ñí ê ï � ðñ ñ ð ñ� � � �

ô �2ë�ì#í ê ï ð ó ï � ñ ñ îí ê ï � ðñ ñ î� � �� � �2ë�ì#í ê ï ð ó ñ ñ �ï ê ê ñí ê ï ð ñ ñ � ï ê ê ñ� ô �2ë�ì#í ê ï ð ó ñ ï �ï � � ñí ê ï ð ñ ï �ï � � ñ� � �ô ë�ì#í ê ï ð ó ï � ê ñ ñ î � ñí ï � � ðñ ñ î � ñ� � ë�ì#í ê ï ð ó ñ ñ �ê ï ï ê ê ñ ñ ï � ê ñí ð ñ ñ � ï ê ê ñ ñ ï � ê ñ� ô ë�ì#í ê ï ð ó ñ ï �ð ñ ñ ê � ñ ñ ï � � ñí ê ï ñ ï �ñ ñ ê � ñ ñ ï � � ñ� � �ô ñ � ë�ì#í ê ï ð ó ï � � ñ ñ î ñ ï � � ñ

í ê ï � � ðñ ñ î ñ ï � � ñ� � ñ �2ë�ì#í ê ï ð ó ï ñ ñ � �ð ñ ï ê ê ñ ñ � ñ � � ñí ê ï î ñ ñ � � ñ ï ê ê ñ ñ � ñ � � ñ� ô ñ �2ë�ì#í ê ï ð ó ñ ï � �� ñ � � ñ ï � � ñ ñ � ñ ð ñí ê ï ð ñ ï � �� ñ � � ñ ï � � ñ ñ � ñ ð ñ� � �� � êQë�ì#í ê î ï ð

ñ ó ñ îñ ê ðí ê î ï ð ñ ñ ê ð� � ïQë�ì#í ê î ï ð

ñ ó ñ �ê ñ � ñí ê ï ð ñ î ñ � ñ� � �2ë�ì#í ê î ï ð

ñ ó ñ �ñ ñ ñ ñí ê î ï ð ñ �ñ ñ ñ ñ� � �ô ñ � ë�ì#í ê î ï ðñ ó

ï � ñ ñ ð ï � ï � � í ê î ï � � ðñ ð ï � ï � � � ñ � ë�ì#í ê î ï ðñ ó

� ñ ñ ñ � ê ð ñ ï � ñ � ð ñí ê î ï � ðñ ñ � ê ð ñ ï � ñ � ð ñ� � ñ � ë�ì#í ê î ï ðñ ó ñ ñ � ñ � ñ ñ � � � � � � ñ � � � ê í ê î ï ð ñ ñ � � ñ ñ � � � � � � ñ � � � ê � � �ô � ë�ì#í ê î ïð ó ï � ðñ � ï

í ê î ï !ñ � ï� � ë�ì#í ê î ïð ó � ðñ ï ñí ê î ï �ñ ï ñ� � � ë�ì#í ê î ïð ó ð ñ ñ �� ï � ï ñ í ê î ï ñ ñ �� ï � ï ñ � � �ô ñ ïQë�ì#í ê î ïð ó ï � � ðê � ð ñ � ïí ê ï � � � ð ñ � ï� ñ ïQë�ì#í ê î ïð�ó � � ðï ê � � ñ ï ñí ê î � �ê � � ñ ï ñ� � ñ ïQë�ì#í ê î ïð�ó ð ñ ñ � �ê ï � ï � ï ñ ñ � ê ï ï ñí ê ñ ñ � �� ï � ï ñ ñ � ê ï ï ñ� � �

".ü # $ % & é � � ë('�÷ % ) ü ÷ *(ù & + ü ú ü û ø ) % & &�, û % ÷ ø & - & ø/.<÷ % 0 û ø ü + ú & & ù�ú & ÷ % + .21 ü ) . ü ø ü ) ü ÷ * + û 043 û ø & ø ) é ê

Page 22: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

5 6 7 698�: ; <2=?> @ A2B < C D�<FE A/G ; @ H I J

K L M�N?O P Q?R/STN?M U Q VWM X Y M M R M R/Z O O Q M [ \(](^ _ M�`�a9b c d e e f g hji i i�k�U K L�lnmpo c m9bnarq s O V t t u v l w x c y v b c d e z z { \| O [�o c a�b } k�M�L?^ ~ M

� v b c d e e f c z�a b c d e�i e e ff�i � e�i l b f�i � � e(�

� Mn� Q?R2K L?^ K�� � en�WP?Z K�N?MW^n� [ U �4M�� ^ Y K O [�O �(`�N P K�K L M Q�`��9b c d e e f c � � eW��l w x cWv ]��n����� �nz \ � MnQ M X KY O Q?Z U R M [�o c a�l } � O [�k�L U Y L

� v b c d e e f z�a b c d ef�i l e c i l b fj�

� s V O [ U K L �4U Y ^ s s �9k�M�Q M X K�Y O Q?Z U R M [�l b f�^ Z/^�� [ U �4M�� ^ Y K O [2O �n`TN P K/K L M Q�`���b c d e e f4iFl b f���l w x cv ]�������� ��z \ | [ O ��K L M Z M2K k�O�Y ^ Z M Z�k�M/Y O Q?Y s P?R M2K L?^ K4e e f g h2Y ^ Q Q O KnN?M�^�Y O �W�?O Q M Q KnO ��^/L?^ [ �WO Q U YQ P �nN?M [�`���l w x c�k�U K L/b c dn^ Z�^WY O �W�?O Q M Q K�^ Q?R/Y O Q?Z M � P M Q K s �4K L?^ K�b c dnY ^ Q Q O K�N?Mn^WY O �W�?O Q M Q K�O �(Z P?Y L^nL?^ [ �WO Q U Y�Q P �nN?M [ \�]�L U Z�Y O Q?Y s P?R M Z�K L MnY ^ Z M�� O [�o x a�b w \| O [�o x a�l �nk�MnL?^ ~ M }

� v b x � z�a b x � l �� b � b � f �

��N ~ U O P?Z s � � b � b � f��nP?Z K�N?M4^W� [ U �WMn� ^ Y K O [�O �(`�[ ^ K L M [�K L?^ Q/s M ^ R U Q V4K O2^ Q�M X �?O Q M Q K�O ��^4� [ U �WMn� ^ Y K O [ \� O4k�MnY O Q?Z U R M [�b x � � b � b � f } � O [�k�L U Y L

� v b x � � b � b � f z(a�l � �� U Q?Y M�K L U ZFU ZFU Q K M V [ ^ s k�M�L?^ ~ M�� O P Q?Rn^�L?^ [ �4O Q U Y�Z M M RF\(]�L U ZjU ZjY ^ Z M�v U U zj^ Q?R�U ZFU R M Q K U � M Rn^ Zj� �� �¡ ��¢�� £�¤ ¤ ¤U Q/K L Mn� [ O O � \]�L U Z�Y ^ Z M4^ s Z O2U s s P?Z K [ ^ K M Z�K L M4Y O Q Q M Y K U O Q�N?M K k�M M Q��?M [ � M Y K�Q P �nN?M [ Zn^ Q?R/L?^ [ �WO Q U YnQ P �nN?M [ Z4v ¥FM �4¦

�4^ Z � ^ Q?R9§ zWk�L M [ M/k�M�L?^ ~ M/`¨a�b x � � b � b � f�a�b x © ªjx v b x ©n«�l z }�k�U K L9K L M ¡ M [ Z M Q Q M/� [ U �WM�¬ x © ab x ©�«9l�a � b � b � f } ^ Q?R2­(v `jz�a�l w � � � f �na�b `�^ Q?R2L M Q?Y M�K L?^ K�`�U Z�^ Q2M ~ M Q/�?M [ � M Y K�Q P �WN?M [ \]�L M�� [ Z K/Y ^ Z M/k�L M [ M�N?O K L�R M Y U Z U O Q9N [ ^ Q?Y L M Z2^ [ M�� M ^ Z U N s M�O Y Y P [ Z4k�U K L�o x a�l e }�Z �?M Y U �?Y ^ s s �9� O [

b x t l b f�i � e�i l lWv U R M Q K U � M R/^ Z�]   ��®���¥j¯�¤ ¤ ¤jU Q/K L M�� [ O O � z \���M [ M }

� v b x t l b f�i � e�i l l z�a b ° fe c �¯(U K L M [�enU Z�^W� ^ Y K O [�O [�K L M [ MW^ [ M�K k�O2^ R R U K U O Q?^ sF� [ U �WMn� ^ Y K O [ Z�M ^ Y L/K O4K L M��?O k�M [�e�«9l�a�b/v O [�L U V L M [ zO [�K L M [ M4U Z�O Q M2^ R R U K U O Q?^ s(� [ U �4MW� ^ Y K O [nK O/K L M4�?O k�M [We c�«�l4a¨��v O [nL U V L M [ z \4� Q�K L M4s ^ K K M [nY ^ Z M }FK L Mk�O [ Z K�Y ^ Z M�k�O P s RWN?M�`��9b x t l b f�i � e�i l l(i � ����l w x c�k�L U Y L2U Z�]�������� �4\ ��Q2K L M�O K L M [�L?^ Q?RF} U �FK L M [ M�^ [ MK k�OW^ R R U K U O Q?^ s?� [ U �4M�� ^ Y K O [ Z } K L M Q2K L M�O Q s �4�?O Z Z U N U s U K �/v s M Z Z�K L?^ Q2K L M�N?O P Q?R2SWz�U Z�b x t l b f�i � e�i l l(i � c f ck�L U Y L/V U ~ M Z

� v b x t l b f�i � e�i l l�i � c f c z�a b ° � c f te�i l ��i e lF�

| [ O ��k�L U Y L�k�M2� Q?R�K L?^ KWe l2�nP?Z KnN?M/^�� [ U �WM2� ^ Y K O [WN P KWK L M Qp`T�rb x t l b fni � eWi l lni � c f c e l��±l w x cv ]�������� ��z \®�Q?R M [FK L M�^ Z Z P �4� K U O Q�K L?^ K(e�U Zj^�� [ U �WM�� ^ Y K O [FO � `Wk�M(s O O _�^ KFK L M�Y ^ Z M Zjb x t l b f i � e i l l i e g ² ³ l�m9oj´�m9§ \

]�k�O2�WO [ MnL?^ [ �4O Q U YnZ M M R Z�^ [ Mn� O P Q?R�� [ O ��K L M Z M4Y ^ Z M Z�^ Z�k�M s s�Z M ~ M [ ^ sjQ M k�N [ ^ Q?Y L U Q V2Y ^ Z M Z \�]�L MWQ M kL?^ [ �4O Q U Y�Z M M R Z�^ [ M�§ § � e e f b w e b w�a�b x t i l b f�i � e�i l l(i e t i � ^ Q?R � f � f � � � w � � ��a�b x t i l b f�i � e�i l l(i e c i l e \]�L MWs O Q V M Z KWv ^ Q?R�K L M4�WO Z K�U Q ~ O s ~ M R z�]   ��®���¥j¯�Z O �WM4Y ^ Z MWU Q ~ O s ~ M R�b © e l�i l ln� O [�k�L U Y L � v b © e l�i

l l z�a�b ´ � y e c \¨]�L M�Y O Q K U Q P?^ K U O Q�b © e lWiFl lWi e�s M ^ R Z2K O9^pZ M ^ [ Y L�� O [/O Q M�^ R R U K U O Q?^ snY O �4�?O Q M Q K2O �K L M/� O [ �±µ?c ³�µ�a � ³ f ³ l e ³ � � � ³ l e � l \ � Q O K L M [4Z M KWO ��Y O Q K U Q P?^ K U O Q?ZnU Q ~ O s ~ M ZW^��?^ U [4O ��Z � P?^ [ M R�� [ U �4M Zµ?c ¶ c ³WµTa � ³ f ³ l e ³ � � � ³ � e�^ Q?R�µT��¶ \���U V L M [4�nP s K U � s M Z4O ��K L M�M X �?O Q M Q K Z4s M ^ RpK O�K L M�Y O Q K [ ^ R U Y K U O Q]�������� �W\

Page 23: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

· ¸ ¹ ¸9º�» ¼ ½2¾?¿ À Á2 ½ à Ä�½FÅ Á/Æ ¼ À Ç È É

Ê�Ë Ì�Ë ÊÎÍ�ÏjÐ�ÏFÑ ÒjÓ Ô Ð�Õ¨Ö�Ò(Ñ ×¨Ø�Ð�Ô Ù�Ð�Ú�×�ÛnÏFÑ Ü

Ý�Þ ß à á�â�ã?â ä å4æ á Þ ç2á è åné?à ä4ê�ë�ì è ä í ã à ä4ã?â ä åWæ á Þ ç4á è åWé?à ä înå2â ï�é?à/ð à á à ä â í à ñ�ì ä æ å�Þ í4é ïpç æ á?î Þ ñ à ä Þ á ðá è åné?à ä î�æ ì(í ã àWì æ ä å±ê�ò ó ô õö ó ô ÷ø ò ò ò ó ô ùú�û ã à ä àWó ü�â ä à4ñ Þ î í Þ á?ç í�æ ñ ñ/ý ä Þ å4à î ëFó üjþjê�ë?ÿFü����2â á?ñ����� ��jæâ î î Þ î í�Þ á/í ã ànñ à ä Þ ß â í Þ æ á/æ ì(â ñ ñ Þ í Þ æ á?â Fã?â ä å4æ á Þ ç�á è åWé?à ä î�ì ä æ å�� á æ û á2ã?â ä åWæ á Þ ç�á è åWé?à ä î�í ã à�ì æ æ û Þ á ðÞ î�è?î à ì è ����� � � � � È�� ������� ��� ���! "� � # $&% 'jÈ ( ) *,+"- . . / 0 1 ê2 3�4Wê�ò ó ö ó ø65 5 5 ó ú 2 7 1,8 2 7 9 / 3 : ;<3 - 9&= 1 7 0 >�?�8 1 7 1ó ö�@ ó ø�@ ò ò ò @ ó ú 2 7 16. 7 : 9 1 0 3 / A 4 : B : 4 : 3 C�ê�D,E 8 1 3nênò ó ö : 0F8 2 7 9 / 3�: ; >�1 G ; 1 .�A�?�8 1 3��F�IHJ2 3�4�ó ö ó ø�KML >: 3 ?�8 : ; 8 ; 2 0 1 ê/ò ó ö ó ø : 0�8 2 7 9 / 3 : ; DFN - 7 A 8 1 7 > : O�êjó ö : 0�8 2 7 9 / 3�: ; A 8 1 32ó ö�@ H PRQ ê�S DT 7 / / O DFU�à4å4â ï�â î î è å4à,���H &V è ý ý?æ î à,W ä î í�í ã?â íWó ö �X &V Þ á?ç à4ê�ò ó ö ó ø65 5 5 ó ú Þ î�ã?â ä å4æ á Þ çWâ á?ñRP�Þ îånè í Þ ý Þ ç â í Þ ß à ë

PRQ ê/ò ó ö ó ø�5 5 5 ó ú S K PRQ ê�SúYü Z öPRQ ó ü S K PRQ ê�S

úYü Z ö

H ó üó ü�[M� KM\�]

î â ï ë û ã à ä à \ Þ î�â á/Þ á í à ð à ä ���ã à áPRQ ê�S úY

ü Z öó ü KM\

úYü Z öó ü�[M�H 5

V Þ á?ç àó ö [M�H @ ó ø [M�H @ ò ò ò @ ó ú [M�H @ ó ú ]

û à�ã?â ß ànó úF^ \ ë?â á?ñ4í ã à á

PRQ ê�ò ó ö ó ø65 5 5 ó ú _jö S K PRQ ê�Sú _jöYü Z ö

H ó üó ü"[`� K \ó ú ò

ó ú [`�Hba�c 5d�ý ý ï Þ á ð4í ã àWî â åWàWâ ä ð è å4à á í�í æ4í ã ànã?â ä å4æ á Þ ç�á è åné?à ä�ê�ò ó ö ó ø65 5 5 ó ú _jö ë?â á?ñ2ä à ý?à â í Þ á ð4Þ í�â î�á à ç à î î â ä ï ë à â ñ î�í æ/æ è ä�ä à î è í�Þ á�í ã Þ î�ç â î à �e ì�ó ö,K H ë�PRQ H S K�f g X2â á?ñ�î æ2à Þ í ã à änó ú,^�\ ë û ã Þ ç ã�Þ å4ý Þ à înâ î�é?à ì æ ä àí ã?â í�ê/ò ó ö Þ î�ã?â ä åWæ á Þ ç ë æ ä�ó ø�K X ë Þ á û ã Þ ç ã�ç â î à�ê/ò ó ö ó ø�K`L ê û Þ í ã�PRQ L S K H e ì�êjó ö Þ î�ã?â ä å4æ á Þ çní ã à áhPRQ êjó ö S K PRQ ê�S�ò H ó ö g Q ó ö [�� S ,i æ ä�í ã Þ î�í æ2é?à4Þ á í à ð ä â FQ ó ö [�� S g H ^ PRQ ê�Sâ á?ñ/î æ2ó ö�@ H PRQ ê�Sj ï�â î î è åWÞ á ð2ÿ?ü K � ë?ì æ änâ �k ë"��ã à æ ä à ål�nì æ ä å2î�í ã àWé?â î Þ î�æ ì�â4æ á à m ý ä Þ åWà m â í m â m í Þ å4àný ä æ ç à ñ è ä ànì æ ä

ð à á à ä â í Þ á ðWã?â ä åWæ á Þ ç�î n è?â ä à ì ä à à�åWè í Þ ý à î�æ ì�âWã?â ä å4æ á Þ ç�î à à ñ/â á?ñ2í ã ànä à î è í�ó ö�@ H PRQ ê�S�Þ åWý Þ à î�í ã?â íí ã ànî à â ä ç ã û æ è ñ4é?ànä à â í Þ ß à ï2î ã æ ä í d�î�â á/à o â å4ý à�æ ì(í ã à�ä à ý?à â í à ñ2è?î à�æ ì(í ã Þ î�Þ ñ à â ë â, Þ î í�æ ì�â Fã?â ä åWæ á Þ ç�á è åWé?à ä î�í ã?â í�â ä ànî n è?â ä à ì ä à àånè í Þ ý à î�æ ìFí ã à�î à à ñ<H f p q � � ��Þ î�ð Þ ß à á4Þ áJ�jâ é à�H � �e í�Þ î�á æ í�ñ Þ r2ç è í�í æWî ã æ û í ã?â í�í ã à� Þ î í�Þ î�ç æ å4ý à í à ëâ á?ñpÞ á9ì â ç í4Þ í2î à à å2î4ç à â ä4í ã?â í4í ã à ä à�â ä à/æ á ïIW á Þ í à ïpå2â á ï�ã?â ä åWæ á Þ ç/î n è?â ä à ì ä à à2åWè í Þ ý à î4æ ì�â á ïã?â ä å4æ á Þ ç�á è åWé?à ä �s�æ û à ß à ä�âný ä æ æ ìjæ ìjí ã Þ î�î í â í à å4à á í�â ý ý?à â ä î�í æWé?àWñ Þ r2ç è í d�î4â á æ í ã à äWà o â å4ý à/í ã à2ã?â ä åWæ á Þ ç2î à à ñM� t L H � K H ø p ò q ø � u�ð Þ ß à înä Þ î à2í æ�í ã à2ã?â ä åWæ á Þ ç4á è åné?à ä îp p t L � K � t L H ��ò X2â á?ñhH f H � L � K � t L H �nò � X ,��ã à î à4í û æ2ã?â ä åWæ á Þ çná è åWé?à ä î ëFÞ á�í è ä ájëFð Þ ß àWä Þ î àWí æ/í ã àã?â ä å4æ á Þ ç4á è åWé?à ä î q H L � t � Kvp p t L �Wò � X K H f H � L �nò X K � t L H �nò�� XWò X�â á?ñRH H u � H L � Kvp p t L �nò f � K� t L H �nò XWò f � &w�æ í à4í ã à2í û æ�ñ Þ î í Þ á?ç íWñ à ä Þ ß â í Þ æ á?î�ì æ äní ã à4ã?â ä åWæ á Þ çná è åWé?à ä q H L � t � ,e åWý?æ ä í â á í ï ë û àç â á9ñ à åWæ á?î í ä â í à/ã à ä à/â�åWè í Þ ý à/æ í ã à äWí ã?â á9â�î n è?â ä à ì ä à à2åWè í Þ ý à û ã Þ ç ãpÞ îWâ î æ�ã?â ä å4æ á Þ ç ë(á?â å4à ïH � q t p f � K H f H � L �nò X ø K � t L H �nò � XWò X ø ���ã à4ã?â ä åWæ á Þ çWá è åné?à ä,H � q t p f �& à â ñ î�í æ�ì è ä í ã à änã?â ä åWæ á Þ çá è åné?à ä î û ã Þ ç ã9â ä à/î n è?â ä à ì ä à à2ånè í Þ ý à î Re íWÞ îWç æ á ß à á Þ à á íWí æ�ä à ý ä à î à á íní ã Þ îWî à n è à á?ç à/æ ì�ñ à ä Þ ß â í Þ æ á?î

Page 24: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

x y z y`{F| } ~<��� � �<� ~ � ��~"� �J� } � � � �

��� � � ��� � � �6�F� ����� � �&� � � ��� � �,��� � ���F� � � �J� � ��� � ��� � �   � � ���,� � ¡ � ¢ � � ���  �� £ ¤ ¥ ¦ ¦ ¦

§ ¨R© §�ª� ¥ ¦ � ¥ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­ � � ¦¯��® ¤�® � �¤ � ­ ¤ � ­ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­�® � ° � ¦ °±� ��® � °� ² ° ° ° ° ² � ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­�® � °�® ­ ¥ £ ¦ ¥³� ��® ­ ¥� ­ ² ´ ° ° ² ´ � ­ ¦ ¦ ¦µ� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­�® � °�® ­ ¥�® ¥ ­ ² ¦ ­±� ��® ¥ ­� � ´ � � ´ � ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­�® £ ­ � � ¤¯¤�® £ ­� ° £ ¤ ° £ ­ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � �F® � ­�® � ¦ ° � � ²¯��® � ¦ °� £ ¤ ¥ ¦ ¦ ¦¶� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­ ´ ¦³� · ­�® ¤£ ´ ´ ² ­ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � ° � � £³��® ­�® � °� ¥ � ¥ � ¥ � ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � °�® ­ ¥ � � �¯��® ­�® ­ ¥� � ´ ¦ ° ¦ ¥ ² ­ ¦ ¦ ¦µ� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � °�® ­ ¥�® ¥ ­ £ ­ ²¯��® ­�® ¥ ­¥ ´ ¤ � ² � ¦ ¤ ­ ¦ ¦ ¦µ� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � °�® ­ ¥�® £ £ ­ £ £ ­¶£ £ ­¤ � ¥ ¤ � ¥ ° ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � °�® � � ­ � � ´¯��® � � ­� ¦ ¤ ° ¥ ¦ £�� ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � °�® � � ¥ � � ¥¶� � ¥¤ ´ ¤ � � ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � ­ � � ¤¯¤�® � ­

� � ° £�� ¦ � ° ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � ­�® � � ° � � °¯� � °¤ ° � £ ¦ £ ¤ ´ ² ­ ¦ ¦ ¦µ� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � ­�® � � °�® £ ¤ ¥ £ ¤ ¥«£ ¤ ¥

¥ � � ¤ ­ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® � ° � � ´¯� · � °� £ £ ° ´ ­ ¦ ¦ ¦«� ¬ ­ ¬ ¤ ¬ ¥�® � ­�® ¤ ° � � ²¯��® ¤ °

¸ � � ¢ � � � � � � ¹h� ���Jº � � � � ¡ � ºh� � ¹ � � � � ¸ � � ¢ �h� ��� �I»�� ¸ � � �&� � �<�F� � � �&� � ��� � º � ��� � �,��� � �,� � � ��� � ����� � � ¼"¡ � �� � � ¡F� � º � © � ² ´ � ¦ ª � ������� � �,� � � ��� � � ºJ� ��º<� º ¸ ��� � ��� � �F� � ���,� � ¡ � ¢ � � � ��F¢ ¢�� ��º � ½`� ¸ � ¾ � �&� � �F¾ � � � � �,�  ��h� � � ¸ � �J  � � � � � � �J��� � ¡ � ¢ � � � �<¿ À&¡ � ¸ � ¡ � � �,�F� ¡ �MÁ� ¼�¡ � �J� � �,��� �&�  

��� � �&� � � �&� � ��� � �   � � ���,� � ¡ � ¢ � � � © � ��� � ��º � � ¸ ¡ � �&� � �,��� ��� ¡ � � �   ª ¼�  � ��� � � �h��� � �&� � � �&� � � º�� � � ��¡ ��� �`� ¦ À à ���� ��� � ��� � ¢ ¡���� � � ��ºJ¡ � ��� � � ¡ � ºJÁ� Ä�¾ � � � � ��� ��� � ¡ � � º ��� � º<� � ½ ¡ �Å � � � � �,Æ £ ¥ Ç ¸ � ¾ �F� � ¾ � � � � ��� � �,� � � �6� � ����� � ���F� � � �<� � �Fº � � � ¾ � º���� � � ¸ � � �F� º º � ¡ � � ��� ��� � �,¢�� � � � ¡ ¼ ¿ È ÉÀ ¼

Ê À�Ë���� ¡���¡ � �,� ��ÌF� ��� ½ � �&¢ � ����� ����� � � ¸ � ¾ � ��� ��� ¾ � �6Ì�¡ � � �F� ½ � �,¢ � � ��� ��� � ��º � ¼

¨R© ­ ¦ � ° ¤ ­ ¦ � £ ª�ÍM¨R© � À · ® ² � ° � ª ® ¨R© ­ · ª�Í � ­�® ­ ¬� ­ Í � ¥ Î

¨R© � ´ ­ ­ ° ¦ ¤ ¦ ¦ ª�ÍM¨R© � · ¤ ¬ ¥ · ® � ­�® � ° ª ® ¨R© ­ ¬ ª6Í ¤ ¦�® ­ ¬��® ¤ Í � ­ ¤� ��º

¨R© ² ¦ ¤ ­ ­ ° ¦ ² ¦ ¦ ¦ ª�Í`¨R© � à ­ · ¥�® � ­ · ­ �F® ´ � ª ® ¨R© ¤ ¬ ª6Í � � ¥�® ¤ ¬­�® � ­ Í ­ ¥ ¤ ÏÐM� � � ��¡ � � � ��º � � �F� � ¡�� � � �v¡ �<���,� ¸ � � � � � �"� � � ��  � ��º � � � ¾ � � ¸ � � � Ñ � � ��� � �   � � ����� � �&� � � ����� � ¡ � ¢ � � �F�  

��� � �&� � � ��� � �,��� � � ¼ � �J� ¢ ¢�� ����� � ��º<� �J�&� � � ¸ � ��¢ � � �,��¢�� ��� ���,� � ¡ � ¢ � �,� � �<����� � ¡ � � � � � � � º"¼ � ��  � � � � ��� �Ò�Ó�Ô Õ Ö Ô ×ÙØ"Ú<Û�Ü Ý Ý Þ ß à §!á ß<â ã ä å&Þ æ á ç è�é�á ß,Ý�ä á å&à èFéIê�§ ã æ"ëJìMí � á ß�ã æ á æ�î à ï à ä ð�ñ�â à æ § ® é�òIá ßâ ã ä å&Þ æ á ç<á ó ã æ�ë�Þ æ�ô õ á ó�ö�© é ò ª,÷ ¨R© §�ª © ì,ø � ª ð<ù"Ü ä î â à ä è�á ó�§ ® é ò á ß,â ã ä å&Þ æ á ç î â à æ éIú!û ­ ¨R© §�ª ã æ"ë èü â à ä à é í ­ è

ì ú � � ¸�© ­ ¨R© §�ª ý £ ª� � ¸"© é"ý � ª Ïþ ä Þ Þ ó ð ��� ��ÿ � � ¡F¢�� � ¡F� ��� � � � ��� � ��� �

¨R© § ® é ò ª6ÍM¨R© §�ª é ò © ì�ø � ªö�© é ò ª

Page 25: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ����� � ��� �� � � ����� ��� � � � �

� � � � �� � � � � � � � � �� � ! � � � � " � � � � � � � " � � �� # ! � # ! � � # # � � # " � � # " � # � � � � � � � � � � � � " � � � ! � � � � � " # � � ! � � � � � # � " � � � # " � � � # � � �$� # � � � � � � � �

� � � ! � � # # � �%! ! � � � �� � � � � � � � � � � � � ! ! ! " � � �

&'() ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) * &+ + + + + + + + + + + + + ,-

. */0 * &+ + + + + + + + + + + + 12 &34) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) & 5/0* *

678 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88 8 8 8 8 8 8* 9 :34) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) * :/0 ; &< < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < =>* ? :/0 * :+ + + + + + + + + + + + 12* *

34) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) )A@ :/0 * 9 *+ + + + + + + + + + + + 12 B * */0

& : &/0 . 9 */0 . B */0CED F G H IKJ L J MON�I H D P Q R D S T�F H Q U VW S H�R V IXV�Q H YZS T D [X\ I I ]_^ ` a J b

Q T�]_c d�e f ghc d�e i i�jk^ LOC S H�R V IZ\ I [ S T�]U�Q H R l S m�\ I H P InR V�Q ROd�e o�pXq�J e o�pXqrc sXtu^ i v w Lhx�V I Tyzc {Ei�q ghc d�e isKt�^z| d�esXt�^ q d�ewX} J e o�p j�~w_� d JE� e qk~w_� d JE� p j d�pw

\ SKd��r� w yzc {Ei LOC H S Y�R V IZQ m�S P I l ��IKQ � \ SZV�Q P I lyzc {Ei | ~ w � d J � e\ Ss���� S F�c w yzc {Ei v ~ i vE� S F�c d�v J i l U H S P D ] I ]Kd�q�w L��S R IXR V�Q R�D W�d�juJKR V I T�{_D \�Q T�S ] ]V�Q H Y�S T D [nT G YZm�I HnQ T�]��IXm�S G T�]�s�W H S Y�yzc {Ei | J e v c sXtu^ i Lx�V D \XH I \ G � RKD T�] D [ Q R I \KQ�H I � Q R D P I � �_\ V S H RZ\ I Q H [ V_W S HKU�S \ \ D m � IKd�e L�C S HKI Q [ V�\ G�[ Vz[ Q T�] D ] Q R I��I�R V I T[ V I [ �D WOghc d�e in� yzc {Ei c sXtu^ i L� U U�I T�] D � � D T�[ � G�] I \X�X� � l�R V IZT G YZm�I HXS WOV�Q H Y�S T D [XT G YZm�I H \�F I T I H Q R I ]�W H S Y�I Q [ V�V�Q H YZS T D [K\ I I ]��D R V�S T InU H D YZIXU�S ��I H�Q R�QKR D YZI�c � �Ef � | b i Lh� TI Q [ V[ Q \ I l D R���Q \�] I Y�S T�\ R H Q m � IXR V�Q R�Q � �E\ G�[ V�YZG � R D U � I \V�Q ]Zm�I I TS m R Q D T I ]Q T�]ZS W�R V I \ InS T � ��QKW I ����I H InF I T I H Q R I ]Zm ��QZ[ S Y�U�S T I T R�� ��fh� | ^Kc Q \OF D P I T�m ��R V IT G YKm�I H�D TU�Q H I T R V I \ I \�W S � � S ��D T FZR V IK�X� �KP Q � G IKD T�R V IKQ U U�I T�] D � i L�uV D � InQ � � V�Q H Y�S T D [�T G YKm�I H \h� I \ \hR V�Q T�^ b ��[ Q TZm�I�F I T I H Q R I ]KW H S Y�V�Q H Y�S T D [�\ I I ] \EG�\ D T FZx�V I S H I Y\�^Q T�]zJ l�Y�S \ R � ��S T I�U H D Y�IQ RZQR D YZI lER V I H IQ H IZV�Q H YZS T D [ZT G YKm�I H \XF H I Q R I HXR V�Q R^ b � ��V D [ VzQ H I�T S RK\ SI Q \ D � �_] I H D P I ]�L�nT IZI � Q YZU � I�c R V I�\ YQ � � I \ R iX[ Q Tzm�I�W S G T�]_D TzR V I�� D \ RKS WOV�Q H YZS T D [KT G YZm�I H \n� I \ \XR V�Q TJZ�_^ b �nF D P I T�m ���OS V I Tz  J ¡ ¢ LOx�V IXV�Q H YZS T D [X\ I I ]S W�^ w a a b £ £ b J ~ bnD \�J ¤ ^ J £Z\ D T�[ I

yzc ^ w a a b £ £ b J ~ b iEjuyzc J ¤ ^ J £ ih} yzc w p ¥ } ^ w ¦ ^ £ iOjr£n} ^ a ¡£ jk^ a ¡ §m G R�T SZYZG � R D U � IKS WhJ ¤ ^ J £X��D R V�QKU H S U�I H�G T D R Q H �W Q [ R S H�S WOw p ¥ } ^ w ¦ ^ £KD \�V�Q H YZS T D [ l Q \�[ Q T�m�IK\ I I TW H S Yyzc w p ¥ } ^ w ¦ ^ £ iOj w ¦^ w } ¥w } ^ w ¦¥ } £n} ^ £ } ^ £w p j ^ w p£ §

Page 26: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¨ © ª ©k«�¬ ¬�­�® ¯ °�± ² ³ ´�²�µ °�¶ · ¯ ¸ ¹ º»�¼ ½�¾ ¿ À�Á  ½XÃ Ä Å ÆhÆ ¿ ÀZ½�Ç È É�¾ Å À�¿ É Ê ËE½ Ì ¼�Í Å�¾ Æ ¿ Î ½�¾ ½ Í Ï Ç ¼KÐ È ÏE¼�Í Ï ÀZÈ É ¿ ÇhÉ Å ÀZÄ�½ Ï ¾E ½ ¾ ¾EÆ ¼�Í ÉÑ Ò Ó ÔhÅ É�Ç È Î ½ Ï ½ ÕÈ É Â ÖÈ É ½XÈ Æ ¼ ½ Ï�½ Ì Í À�Á  ½ ×

ØzÃ Ù Ú Ú Û Ü Ý Þ Ü Þ ß Ò ËEàuØzÃ Ü á Ýnâ Ñ Ñ Ô Ñ ÞXâ Ù Ñ Ëhâ Øzà ٠ã ä ËOàuÛ ÛXâ Ù ãÜXâ ä â äÙ àuÙ Þ ß åæ ½ ½Kç�Á Á�½ É�Õ ¿ Ì�è�Ð È Ï�Æ ¼ ½KÇ Í Â Ç Å Â Í Æ ¿ È É�¾OÐ È Ï�Æ ¼ ½K¾ ½ Í Ï Ç ¼Ð È Ï�½ Î ½ ɼ�Í Ï ÀZÈ É ¿ ÇX¾ ½ ½ Õ ¾� ½ ¾ ¾�Æ ¼�Í ÉzÑ Ò Ó Ô éêZë ìîí�ï�ïñðòKóOôöõ�÷�ø ùú÷û�ôýü_þ�óOÿ� ÉuÈ Ï Õ ½ Ï�Æ È�� É�Õ�È Õ Õ�¼�Í Ï À�È É ¿ Ç�É Å ÀZÄ�½ Ï ¾�à ¿ ÐZÍ É Ö ËZÄ�½ Â È � ¾ È ÀZ½�Ä�È Å É�Õ�×���½_¾ ¼�Í Â ÂX¾ ½ ½ ��È Õ Õ�¼�Í Ï ÀZÈ É ¿ Ǿ ½ ½ Õ ¾ é_»�¼ ½�¾ ½ Í Ï Ç ¼zÐ È ÏZÈ Õ Õ_¼�Í Ï ÀZÈ É ¿ Ç�¾ ½ ½ Õ ¾KÐ È Â Â È �n¾KÆ ¼ ½�¾ Í ÀZ½Ä�Í ¾ ¿ ÇZÐ Í Ç Æ È Ï�Ç ¼�Í ¿ É�Í Á Á Ï È Í Ç ¼�Í ¾KÐ È ÏZÆ ¼ ½¾ ½ Í Ï Ç ¼uÐ È Ï�½ Î ½ Éu¼�Í Ï ÀZÈ É ¿ Ç_¾ ½ ½ Õ ¾�Õ ½ ¾ Ç Ï ¿ Ä�½ Õ�Á Ï ½ Î ¿ È Å�¾ Â Ö é�»�¼ ½ Ï ½zÍ Ï ½ ×�Æ ¼ È Å Ê ¼E×X¾ È ÀZ½zÍ Õ Õ ¿ Æ ¿ È É�Í ÂKÇ È É�Õ ¿ �Æ ¿ È É�¾KÆ ¼�Í ÆKÀ�È Õ ¿ Ð ÖzÍ É�Õ_¿ À�Á Ï È Î ½�Æ ¼ ½�¾ ½ Í Ï Ç ¼Eé��E¿ Ï ¾ Æ Â Ö ×hÆ ¼ ½�Í ¾ ¾ Å ÀZ½ Õ�¿ É ¿ Æ ¿ Í ÂXà ¾ ÀÍ Â Â ½ ¾ Æ ËKÇ È À�Á�È É ½ É ÆKÆ Í � ½ ¾Æ ¼ ½_Î Í Â Å ½ ¾�Ù � ä � å å å � � ���¼ ½ Ï ½��úÕ ½ Á�½ É�Õ ¾È ÉuÆ ¼ ½zÇ ¼ È ¾ ½ ÉuÄ�È Å É�ÕkÃ Ï Í Æ ¼ ½ Ï�Æ ¼�Í ÉuÆ ¼ ½z¾ ¿ É Ê Â ½_Ç Í ¾ ½ ×Ü ×nÐ È ÏÆ ¼ ½z½ Î ½ Éu¼�Í Ï À�È É ¿ Ç�É Å ÀKÄ�½ Ï�¾ ½ Í Ï Ç ¼�Ë é�»�¼ ½ ÉuÆ ¼ ½ Ï ½_¿ ¾Æ ¼ ½_Ï ½ ¾ Æ Ï ¿ Ç Æ ¿ È ÉuÆ ¼�Í Æ������ Ñ_à À�È ÕÚ Ëà ��½ À�À�Í�Ü ËZÐ È Ï�Í Â ÂXÇ È À�Á�È É ½ É Æ ¾����_¾ ÈzÆ ¼�Í ÆÆ ¼ ½�¾ ½ ÆÈ ÐXÍ Â Â È ��Í Ä Â ½�Ç È À�Á�È É ½ É Æ ¾ ×O¿ É�¿ É�Ç Ï ½ Í ¾ ¿ É ÊzÈ Ï Õ ½ Ï�¿ ¾� ä � Ù Ô � Ñ Ù � Ñ Ý � ä Ô � Ü Þ � Ù Ý � Ú�Ñ � Ý Ô � ä Ù � ß Ñ � Ý Ù � Ù � � Û Þ � Þ Ý � å å å � é��EÍ ¾ Æ Â Ö ×hÆ ¼ ½ Ï ½�¿ ¾ZÍ�Â È ��½ ÏKÄ�È Å É�Õ_È ÐKÑ Ò ��È ÉzÆ ¼ ½Â Í Ï Ê ½ ¾ Æ�Ç È À�Á�È É ½ É Æ�È ÐhÍ É�È Õ Õ¼�Í Ï À�È É ¿ ÇnÉ Å ÀZÄ�½ ÏKà ��½ ÀZÀÍ�Ù Ë éçn¾�Ð È Ï�Æ ¼ ½n½ Î ½ ɼ�Í Ï ÀZÈ É ¿ Ç�É Å ÀKÄ�½ Ï ¾�Á Ï ½ Î ¿ È Å�¾  ÖÕ ¿ ¾ Ç Å�¾ ¾ ½ Õ�× Æ ¼ ½K¾ ½ Í Ï Ç ¼�Ä�È Å É�ÕÐ È Ï�È Õ Õ¼�Í Ï À�È É ¿ Ç�É Å À��Ä�½ Ï ¾���Í ¾n¾ ½ ÆnÍ ÆZÑ Ò Ó Ô å���É�Õ ½ ÏnÆ ¼ ½ ¾ ½ZÇ È É�Õ ¿ Æ ¿ È É�¾�Æ ¼ ½ZÐ È Â Â È ��¿ É Ê�Ï ½ ¾ Å Â Æ ¾nÇ Í É�Ä�½KÅ�¾ ½ Õ�Æ ÈÐ Å Ï Æ ¼ ½ ÏXÏ ½ ¾ Æ Ï ¿ Ç Æ�Æ ¼ ½¾ ½ Í Ï Ç ¼Ð È Ï�È Õ Õ¼�Í Ï ÀZÈ É ¿ ÇnÉ Å ÀKÄ�½ Ï ¾ é�! "�"�# º%$�&%' ( ( ) * +�,.- * / 0 1 2�) 3 - 4 56,�7 Ñ 8!9 :;����< ,.= / + 3�,%> à , Ë 7 ��Ô � 8? 1 ) ) : 8 æ ¿ É�Ç ½�Øzà , Ë @hà , Ëà ,%> à , ËZÍ É�Õ�����< , ��½¼�Í Î ½�Øzà , Ë @hÃ;AB C Ë @hà ��� ËàDAB C > à , Ë ��� é�� Å Ï Æ ¼ ½ Ï ×�¾ ¿ É�Ç ½Ã @hà � � Ë � � � Ënà�Ñ���½Z¼�Í Î ½�@hà � � Ë�E�AB C > à , ËXÍ É�Õ_¾ ÈFAB C > à , Ë�GH@hà � � Ë 7 � � ��¼ ¿ Ç ¼�Ê ¿ Î ½ ¾�Æ ¼ ½�Ï ½ ¾ Å Â Æ ,%> à , Ë 7��Ô � é�! "�"�#�I $�&%' ( ( ) * +�,.- *�0 3�) J J�/ 0 1 2�) 3 - 4�3�' 2�K + 1 8!9 : ,ML Ñ Ò Ó Ô = / + 3�N à , Ë�O�ä 0 3%J > à , Ë 7 Ñ Ò Ò�8? 1 ) ) : 8�� Ð N à , Ë 7 ä�Í É�Õ����X¿ ¾�Æ ¼ ½KÂ Í Ï Ê ½ ¾ Æ�Ç È À�Á�È É ½ É Æ�È Ð , Æ ¼ ½ É�Ä Ö���½ ÀZÀÍZÙ

, G�Ù Ô äXâ Ñ ÙXâ Ñ Ýnâ Ü ÞXâ � � 7 Ù Ô äXâ Ñ ÙXâ Ñ Ýnâ Ü Þnâ Ñ Ò � 7 Ñ Ò Ó Ô �ÍZÇ È É Æ Ï Í Õ ¿ Ç Æ ¿ È ÉEéhç� ¾ È�× Å�¾ ¿ É Ê���½ ÀZÀÍ ¾�ÙZÍ É�Õ�Ý × ¿ Ð > à , Ë�OuÑ Ò ÒZÆ ¼ ½ É

,�7 ��Ô �> à , Ë 7 Ñ Ò Ó �Ñ Ò Ò àkÑ Ò Ó Ô �ÍZÇ È É Æ Ï Í Õ ¿ Ç Æ ¿ È ÉEé»EÈK¿   Å�¾ Æ Ï Í Æ ½nÆ ¼ ½ ¾ ½X¿ Õ ½ Í ¾ × ¾ È À�½X¾ Í À�Á  ½KÇ Í Â Ç Å Â Í Æ ¿ È É�¾OÐ È Ï�ÍKÄ�È Å É�Õ�È Ð;P�àrÑ Ò Ó Ô���¿  Â�É È �uÄ�½XÕ ¿ ¾ Ç Å�¾ ¾ ½ Õ�éQ_½ZÍ ¾ ¾ Å ÀZ½XÆ ¼�Í Æ × ¿ É ¿ Æ ¿ Í Â Â Ö × Æ ¼ ½XÈ Õ ÕÉ Å ÀZÄ�½ Ï , ¼�Í ¾�Æ ¼ ½KÁ Ï ¿ ÀZ½XÐ Í Ç Æ È ÏnÕ ½ Ç È À�Á�È ¾ ¿ Æ ¿ È É

, àuÙ � RÔ � Sã â â â � TU��¿ Æ ¼_Ù L ��V ×�W�Ouä é�� É_Ç Í Â Ç Å Â Í Æ ¿ É ÊÆ ¼ ½KÄ�È Å É�Õ�È É�Æ ¼ ½K½ Ì Á�È É ½ É ÆnÈ ÐhÆ ¼ ½K¿ É ¿ Æ ¿ Í ÂhÇ È ÀZÁ�È É ½ É ÆnÙ × ��½ZÉ ½ ½ ÕÆ È_½ É�¾ Å Ï ½Æ ¼�Í Æ�X Ó ¿ ¾K½ Î ½ É�¾ È_Æ ¼�Í Æ�Ù � Ñzà ÀZÈ ÕÚ Ë é æ ¿ É�Ç ½�Æ ¼ ½ Ï ½�ÀZÅ�¾ ÆZÄ�½zÃ Í Æ� ½ Í ¾ Æ ËZÆ ¼ Ï ½ ½�Õ ¿ ¾ Æ ¿ É�Ç Æ

Page 27: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Y Z [ ZH\�] ]�^�_ ` a�b c d e�c%f a�g h ` i j k

l m n�o�m p q p r s t;u p vMu w w x r x m p�u yzl m n�o�m p q p r s�u { q�s q y q l r q w%t6x pMx p�l { q u s x p |�} u y ~ q t6� { m n�r � q�u y y m ��u � y q�s q r�m {� � � x �!u y y6m r � q {�l m n�o�m p q p r s�u { q y q s szr ��u p � � � �� � � � ��x s�r � q�y u { | q s r�l m n�o�m p q p r�r � q p�� � ��� � � � s mM�!���F� �6y m | � � ��m {��;�M� � � ��� ~ r�r � q p����

� � � ��� � ��� � � � � x ���;���Hy m |�� � � � � � � ��� � � � � �6y m |�� � � t6s m��!����� � � � ��� � ��x s p m r r � q�y u { | q s r l m n�o�m p q p rr � q pM���H� � � ��� � � � � � � � � x �z�!���.y m |�� � � � � � � ��� � � � � � �6y m |�� � � t6s m��!����� ��  ��u r�x s t%� m {�¡£¢ � � � � t��zqp q q w�m p y v�x p } q s r x | u r q�� � � ¤z���.�;���.��u p�w � � �.�;���.� � �z¥ m { ¡¦¢ � � � § r � x s�l ��u p | q szr m����.�!� �.� �� ��x r � m ~ r u p v�q ¨ l y ~�s x m p�s � �!© szx n�o y q n�q p r q w�r � q�u y | m { x r � n£l m p�s x w q { s!m p y v�u�s x p | y q x p r q { } u y �ª m m « x p |�u r�r � q�l u s q��;��¢�� � t

¬ � � � ­ �z¢ � � � �� ��� � � ® ��� � � � � � ®;¯

° � } x m ~�s y v�� � � � � ® n�~�s r���q�u�o { x n�q � u l r m {�m �6��� u szn�~�s r � � ® ��u p�w � � �!� ~ r�r � q p��M��� � ­ � � � � � ® � � � � �� x w q p r x ± q w�u s   °�° � � ² x p�r � q o { m m � � �¥ m {��;��¢ � � t

¬ � � � � �z¢ � � � � �� ® � � � ��¯

³ x p�l q�� ® � � � � n�~�s r!��q u o { x n�q�� u l r m {!m �%��u p�w�� � � � ® � � � � � ��´ � � � � � � x p�l y ~�w q w�r m���q�r � q s n�u y y q s r!r � x { wl m n�o�m p q p r �z�zq�l m p r x p ~ q r � q�� u l r m { µ l ��u x p���x r ��� � � � ® � � � � t � m {���� x l �

¬ � � � � � ® � � � � �;¢ � � � � �� ® � � � �%¯

¶ m ��� ® � � � � n�~�s r�u y s m���q�u�o { x n�q�� u l r m {�m �6�!t � ~ r�r � q p��M��� � � � ® � � � � � � ® � � � � � � � � � �   ° ° � � ² � �  � q ± { s r�� { u p�l � x p |�l u s q m l l ~ { sz� m {��;��¢�·�t

¬ � � ¸ �z¢ � ¸ �� � � ¯¹ q { q � � l m ~ y wM��q�u�o { x n�q�� u l r m {�m { � � º�� ¢ � � l m ~ y wM��q�u p�q ¨ o�m p q p r�m ��u�o { x n�q�� u l r m { ��� q l u ~�s qr � q�w q p m n�x p�u r m {�l m p r u x p�s � � � t%r � q pMx � � � x s�p m r�u�o { x n�q�� u l r m { m �!�!t%���zm ~ y w���u } q�r m�l m p r u x pMq x r � q {r �zm�o { x n�q�� u l r m { s r mMu p�q ¨ o�m p q p r � � º�� ¢ � � � m {�� x | � q { � m {�u�s x p | y q�o { x n�q�� u l r m {�r mMu p�q ¨ o�m p q p r� � � º�� ¢ � � � � m {�� x | � q { � � ³ x p�l q���m r ��m �zr � q s q�l u s q s y q u w�r m�����q l m n�x p |   ° ° � � ² t � � n�~�s r ��q�u� u l r m {�u p�w��zq�x p } q s r x | u r q � ¸ � � � » ¤ �;� � ® u p�w�q } q p �¹ u } x p |�q y x n�x p�u r q w���u s�u�o�m s s x � y q�� u l r m { t �zq�p q ¨ r l m p�s x w q {�r ��u r�r � q�m w w�p ~ n���q {�����u s�r � q�o { x n�q

� u l r m {�w q l m n�o�m s x r x m p�M¢.� � � ¼ � »� ¼ � ½¾ � � � ¼�� ¿À

��x r ����´ ¼�Á t Â���� � ³ x p�l q���à � � n�m w�· � t u y y%o�m �zq { s!m �!��n�~�s r���q�l m p�s x w q { q w �� �z� � ��x s�r � q�y u { | q s r�l m n�o�m p q p r�r � q pM�!��� � � ��� ~ r�r � q p������ � � � ��� � ��� � � � � x �z�!��� � � � � �z� � �

x s p m r�r � q�y u { | q s r l m n�o�m p q p r r � q pM�.�H� � � � � � � � � � � � � x �z�!����· ��  ��u r x s t�� m {�¡£¢ � � � � t%�zq�p q q wm p y v�x p } q s r x | u r q�� � � ¤ � �H�!���.·�u p�w � � ���!��� � � � ¥ m { ¡£¢ � � � § r � x s l ��u p | q s�r m � ���!��� ® u p�w� � ���;��� � � �!¥ m {�s r x y y%y u { | q {z} u y ~ q szm �;¡�r � q�| u o�w x s u o o�q u { s �Ä s x p |�r � q�s u n�q�u o o { m u l ��u s���u s u o o y x q w�r m���u s�r � q�x p x r x u y!o { x n�q�� u l r m { t�x r�l u p���q�s � m ��p�r ��u r��

l u p p m r6��q�u�o { x n�qz� u l r m {6m � � �;  � x s6x s;l m p r x p ~ q w r m�l m } q {;� ¤ � � ¤ � � ¤ ¯ ¯ ¯ ¤ Å�t q u l ��x p�r ~ { p���q x p |�u s s ~ n�q w r m��q�r � q�x p x r x u y;� s n�u y y q s r �!o { x n�q �;� v ª q n�n�u�� t � m {�u ��m ~ p�w�m � � � � � t ÅH¢.� � ��s x p�l q � � �!� � � � � � � � � � � � � �  � q�l u s q�� � � � ��x s r � q�± { s r�r x n�q�u�l m p r { u w x l r x m p�� l u s q�� x x x � � x s ~�s q w�r m�r q { n�x p�u r q�u�� { u p�l �Mm �zr � q

s q u { l �.� x w q p r x ± q w�u s © ª6Æ�Ç ©�È�É x p�r � q�o { m m � � ��¥ m {�� � � � � t!�zq���u } q ¬ � � � ��¢F� � � � ��� � ��� � � � ��u p�w

Page 28: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ê Ë Ì Ë�Í Î�Ï�Ð Ñ Î�Ñ Ò%Ó Ô Ó Õ Ö Ò × Ø

Ù�Ú Û Ü Ý Þ Ý ß!à.Û Ü á Ú Ý�â Þ Ýzâ Þ Û ã ß ä;å!æ ç èMÞ Û ã é ê�ë�Þ Ý�ì�í�î ç!ï�ð ñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ ò î;æ ô6ö!ä;÷�ø î æ�Ý ù�ì�í�î ç!ï�ð�é ô é õ ç æ òzæ ôö�î ó ê�õ ð ú ó ô6Ý!û�Þ à.ü�ý�é î!é ê�ð þ ñ�æ ê ð ê ç ú ç è ð�ýzæ ò î ç!õ é î ð�æ ç è ð ò ý�ó î ð�ýzæ í ø ë�ï�ð�öMÿ�Û Ü Ý Þ Ýzâ Þ Û ã;â Þ Ýzâ ã ù���Þ � � ùî ó ê�õ ð Û Ü Ý Þ Ý!â Þ Û ã!â Þ Ý ù���Þ � � ùzï í ç!ó î!ê æ ç;è�é ò ì�æ ê ó õ ä���æ ýzð � ð ò!Ý è�é î!é ø ò ð é ë �ï�ð ð ê�ð ø ó ì�ó ê�é ç ð ë�é î!é�ñ�æ î î ó ï ø ðñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ òzæ ô;ö!ä�zè ó îzó îzç è ð�õ æ ê ç ò é ë ó õ ç ó æ ê�ý�è ó õ è�ç ð ò ì�ó ê�é ç ð îzç è ó î�ï ò é ê�õ è�æ ô6ç è ð�î ð é ò õ è6äzè ð�ø æ ê � ð î çzõ é î ð�ó î!ô æ ò� �� �� à.Û ý�ó ç è�Ù�Ú Û ßzà.Û á Ý ä�� ó ê�õ ð Ý è�é î!é ø ò ð é ë �ï�ð ð ê�ð ø ó ì�ó ê�é ç ð ë�é î!é ñ�æ î î ó ï ø ðñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ ò æ ô!ö!ú�ýzð�õ æ ê�î ó ë ð ò�ç è ð�õ æ ê ç ó ê í�é ç ó æ ê�ö�à�Û�â �� � ���;â â â�ô æ ò ñ ò ó ì�ð� �é ê�ë�ñ�æ î ó ç ó � ð�ó ê ç ð � ð ò��%ä

��è ó ø ð�ç è ð�î ì�é ø ø ð î ç�� é ø í ð�æ ô� �ó î ã ú ç è ð�ø é ò � ð î ç�� é ø í ð�ó î�� ó � ð ê�ï �ç è ð�ê ð þ ç î ì�é ø ø ð î ç�ñ ò ó ì�ð�ç æ�ç è ð�� é ø í ð� � � á Ú Û â Þ Ý ß � ú%ý�è ó õ èMó î�Þ ü � ü Þ�ô æ ò�é�ï�æ í ê�ë � à Þ � � ù�Ú é ê�ëMé�î í ï�î ç é ê ç ó é ø�Þ ü � Ý ã ü Ý�ô æ ò � à Þ � � ! ß ä�Mð õ æ ê�î ó ë ð òzç è ð�î " í�é ò ð�æ ô%ð � ð ò �ñ ò ó ì�ð�ô ò æ ìFã�ç æ�Þ ü � ü Þ Ú é ø ø;Þ Þ # Û � æ ô%ç è ð ì�ß�é î!ç è ð î ð õ æ ê�ë�õ æ ì�ñ�æ ê ð ê çæ ô6ö!ú ç è ð ê�é ø ø� �$ % '&�Þ � ã ú é ê�ë( �! % )&.Þ ã�é ê�ë�ø é î ç ø �ã � ��Ú î ó ê�õ ð�Û â ã � * Þ Ý(��Þ � � ù ß äzè ð�ì�æ î ç!õ æ ì�ñ ø ó õ é ç ð ë�õ é î ð�ó î!ô æ ò� � �� àHÞ ã ú Ù�Ú Þ ã ß!àHÞ ã á Ý ù ä�� ó ê�õ ð�Ý è�é î!é ø ò ð é ë �ï�ð ð ê�ð ø ó ì�ó ê�é ç ð ë�é îé ñ�æ î î ó ï ø ð�ñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ òzæ ô%ö!ú ç è ð ê�ð ó ç è ð òzç è ð ò ð é ò ð�ç ýzæ�é ë ë ó ç ó æ ê�é ø ñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ ò î!ð é õ è�ç æ�é ê�ð þ ñ�æ ê ð ê ç!æ ô

Ý � +%û�Þ�æ òzç è ð ò ð ó îzæ ê ð�é ë ë ó ç ó æ ê�é ø�ñ ò ó ì�ð ô é õ ç æ òzç æ�é ê�ð þ ñ�æ ê ð ê ç�æ ô;Ý ù ��û�Þ ä��.è ó ø ð ç è ð�î ó ê � ø ð é ë ë ó ç ó æ ê�é øñ ò ó ì�ð ç æ�ç è ð ñ�æ ýzð ò�,�Ú ��àHÞ ßzø ð é ë î!ç æ�ç è ð�õ æ ê�õ ø í�î ó æ ê'�-�-Hå�. /�ú ç è ð�õ é î ð æ ô6ñ�é ó ò îzæ ô;é ë ë ó ç ó æ ê�é ø%ñ ò ó ì�ðô é õ ç æ ò î�ø ð é ë î ç æ�õ æ ê ç ó ê í�é ç ó æ ê�î�æ ô Þ 0 ù ü Ý ù ú!Þ 0 ù ü 0 ù ú�1 1 1 úzÞ 0 ù Þ ü ã # Ý ù�é ê�ëMü Ý ù ü 0 ù ú6ü Ý ù Ý Þ ù ú�1 1 1 ú6ü Ý ù Þ � Û Ý Þ ùí ñMç æ2 , ã ù 0 Þ ù�é ê�ë�ç è ð êMç è ð�è ó � è ð ò ñ�æ ýzð ò î�Þ 0 $ ü Ý ù ú�1 1 1 ú6Ý Þ $ Ý ã ù ú6é ê�ë�Þ 0 ù ü Ý $ ú�1 1 1 ú6ü 0 ù Ý Þ $�Ú ê æ�è ó � è ð òñ�æ ýzð ò î�é ò ð�ô ð é î ó ï ø ð ß ä���è ð ò ð�ç è ð�ç ð ò ì�ó ê�é ç ó æ ê�ó îzó ë ð ê ç ó õ é ø ú ç è ð î ð�è�é � ð ï�ð ð êMé ï ï ò ð � ó é ç ð ë�ó ê�õ é ø õ í ø é ç ó æ ê�îî è æ ý�êMó ê�÷�ñ ñ�ð ê�ë ó þ43¦ý�è ð ò ð�ç è ð�ë ð ç é ó ø î�æ ô!ç è ð�î ð é ò õ è�ô æ ò æ ë ë�è�é ò ì�æ ê ó õ�î ð ð ë î�ø ð î î�ç è�é ê�Þ � � ù�õ é êMï�ðô æ í ê�ë%ä

5(6 798�:<;)= >�:?>�@(A�B�A�C D(@

3�í ò ó ê ��ç è ð�ë ð � ð ø æ ñ ì�ð ê çzæ ô%ç è ð�é ø � æ ò ó ç è ì î ð � ð ò é ø�î ó ì�ñ ø ð�õ æ ì�ñ í ç ð òzñ ò æ � ò é ì�î;ýzð ò ð�ý�ò ó ç ç ð ê�ó ê'E�åz÷�� . FÚ é�ë ó é ø ð õ ç�æ ô å�÷�� . F¦ý�è ó õ è�ó ê�õ ø í�ë ð î�ì�í ø ç ó ñ ò ð õ ó î ó æ ê.é ê�ë�ò é ç ó æ ê�é ø�é ò ó ç è ì�ð ç ó õ�é î�ýzð ø ø é î�ì�é ê �í�î ð ô í øê í ì�ï�ð ò G ç è ð æ ò ð ç ó õ�ô í ê�õ ç ó æ ê�î ß ä�zè ð�ë ó H�ð ò ð ê�õ ð î�ï�ð ç ýzð ð ê�ç è ð�ð � ð ê�é ê�ë�æ ë ë�î ð é ò õ è ð îzýzð ò ð ð é î ó ø �è�é ê�ë ø ð ëó ê�é�õ æ ì�ï ó ê ð ë�ñ ò æ � ò é ì£ý�ó ç èMç è ð�ð � ð êMæ ò�æ ë ëMõ é î ð�î ð ø ð õ ç ð ë'� ó é�é�î ó ì�ñ ø ð�ñ ò æ � ò é ì�ì�ð ë�î ý�ó ç õ è6ä��.è ó ø ðç è ð ô é õ ç æ ò G õ è�é ó ê�é ñ ñ ò æ é õ èMÚ ð î î ð ê ç ó é ø ø �é�ë ð õ ó î ó æ ê�ç ò ð ð ßzó îzó ë ð é ø ø �î í ó ç ð ë�ç æ�é�ò ð õ í ò î ó � ð ó ì�ñ ø ð ì�ð ê ç é ç ó æ ê6úç è ó îzè�é ë�ç æ�ï�ð ð ì�í ø é ç ð ë�ó ê�ê æ ê G ò ð õ í ò î ó � ð�E�åz÷�� . F�ä zè ð ì�æ î ç�î ó � ê ó I�õ é ê ç�õ æ ê�î ð " í ð ê�õ ð�æ ô6ç è ó îzý�é î!ç è�é çç è ð�ï ò é ê�õ è ó ê ��õ é î ð îzè�é ë�ç æ�ï�ð�î ð ñ�é ò é ç ð ø �ó ê � ð î ç ó � é ç ð ë�é ê�ë�ç è ð ê�ç è ð�ò ð î í ø ç î�õ æ ì�ï ó ê ð ë%ä�zè ð�é ø � æ ò ó ç è ìô æ ò�I ê�ë ó ê ��ð � ð ê�è�é ò ì�æ ê ó õ�î ð ð ë î�è�é î�î ó ê�õ ð�ï�ð ð êMò ð G ó ì�ñ ø ð ì�ð ê ç ð ë�ó êKJ4L M N O PQL M R S L�é î�é�î ð ç æ ô!ò ð õ í ò î ó � ðô í ê�õ ç ó æ ê�î ä�zè ó î�� ð ò î ó æ ê�ý�é îzí�î ð ë�ç æ�ð þ ç ð ê�ë�ç è ð�õ é ø õ í ø é ç ó æ ê�îzç æ�é�ï�æ í ê�ë�æ ôzÞ � � $ ú ÷�ñ ñ�ð ê�ë ó þ�÷�ä

5(6 TVUW>�X�Y)= A�X

%æ2� ó � ð�î æ ì�ð ó ë ð é�æ ô6ç è ð(� ò æ ý�ç è�ó ê�ç è ð�î ó Z ð æ ô;ç è ð�î ð é ò õ è6ú�6é ï ø ð�ü ä ü(� ó � ð î�î æ ì�ð�ï�æ í ê�ë î�æ ê�ç è ð�ó ê ó ç ó é øñ ò ó ì�ð�ô é õ ç æ ò î�Ú � é ø í ð ú6ñ�æ ýzð ò�é ê�ë�ê í ì�ï�ð ò ß ä'[�í�é ø ó ç é ç ó � ð ø ú%ç è ð�ï ò é ê�õ è ó ê ��ô é õ ç æ ò�é ê�ë�ç è ð�ë ð ñ ç èMæ ôzç è ðî ð é ò õ è�ó ê�õ ò ð é î ð é îzç è ð ï�æ í ê�ë � ó îzó ê�õ ò ð é î ð ë%ú ø ð é ë ó ê ��ç æ�é�ø é ò � ð�æ � ð ò é ø ø�ó ê�õ ò ð é î ð ó ê�ç è ð ç æ ç é ø�ê í ì�ï�ð ò�æ ôõ é î ð îzç æ�ï�ð�õ æ ê�î ó ë ð ò ð ë%ä�\ æ ò�ç è ð æ ë ë�è�é ò ì�æ ê ó õ�ê í ì�ï�ð ò�õ é î ð ú ð � ð ê�ý�ó ç è�ç è ð ò ð ë í�õ ç ó æ ê�ó ê�ç è ð�ë ð ê�î ó ç �æ ôç è ð�î ð é ò õ è�ç ò ð ð î�Ú ]%ð ì�ì�é�ü ß�é ê�ë�ó ê�ç è ð�ë ð ñ ç è�æ ô;ð é õ è�î ð é ò õ è�ç ò ð ð�Ú ]%ð ì�ì�é�Ý ß ú ç è ð ò ð�ó î�î ç ó ø ø;é ê�æ � ð ò é ø øó ê�õ ò ð é î ð�ó ê�ç è ð�ýzæ ò ^�ó ê � æ ø � ð ë%ä�\ æ ò!ç è ó î;ò ð é î æ ê�õ æ ì�ñ ø ð ç ð�ë ð ç é ó ø î;ô æ ò!ç è ð�ð � ð ê�é ê�ë�æ ë ë�î ð é ò õ è ð î;é ò ð�� ó � ð êô æ ò�é�ï�æ í ê�ë�æ ôzÞ � � ù�ï í ç�î í ï�î ð " í ð ê ç ø �ç è ð�ýzæ ò ^�ý�é îzõ é ò ò ó ð ë�æ í çzô æ ò � àHÞ � � $ ä�Ú . ê�ç è�é ç�õ é î ð ú ]%ð ì�ì�éQ,

Page 29: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

_ ` a `cb�d e f g h e i j

k l�m n o p q r n s2t u�v�k w�xKy{z | } ~�� � n �'��� x���y�� � �'��� n�m n l � p ��� w�� � nQl n q m r � n l�r q �'t�n�� k � n �4q l�w � p p � ��l ��� k ��r nq �'� s sQ��q m �(� � k r�� � ��t�n m�����l ����q � n�q �'� s s2��q m �Q� � k r�l n n s�� ��n���q � n ������ � � � �<���'��� � � �Q� � �����2�    (� � � ¡Q� � ¢ £���¤ ¡Q¥ � � ¦�§ � ¦ ¦�¨ � � �)z | } ~ ©ª � u2« ¬ � ­�q l ® n s�k w�q�o�n m w n r ��l ¯ ��q m n�r � � p s�t�n���q m �(� � k r ��� k ��r n�q�o�� ��n m w � p ��q �(� � k r�� � �(t�n m��(��l ����q � n

q�o�� ��n m w � p���q m �Q� � k r�l n n s�� � t�l n m � q � k � �'� w�°�o o�n ��s k ±'°�� k � n l����� � � � �<²��'��� � � �Q� � ������³ � ´�� � µ ¤ §�� � � ¡Q� ��¢ £(� ¤ ¡Q¥ � � ¦�§ � ¦ ¦�¨ � � �4z | } ~ ©ª � � �¶q ��sc� � k t�q � qc« ¬ · ­�� � � k r n s¶� ��q �Q� �¶® � � ���K��q m �(� � k rQ� � �(t�n mQk lQs n ¸�r k n � � �¹� k ��r n)q¶s n ¸�r k n � �

��q m �Q� � k r�� � �(t�n m��(��l ����q � n�q(s n ¸�r k n � ����q m �(� � k r�l n n s�� � t�l n m � q � k � �2� w�°�o o�n ��s k ±)°¹� k � n l����� � � � �»º��'��� � � �Q� � �����2  � ¼�£ ¢ � � ¨�� � � ¡Q� � ¢ £���¤ ¡Q¥ � � ¦�§ � ¦ ¦�¨ � � �)z | } ~ ©��� n'� m � ��� �Kk �c� � n)� � ��t�n mQ� w���q m �(� � k r2l n n s lQq ��s¶m n l � p � q � �Q��q m �Q� � k r2� � ��t�n m lQr q �Kt�n4l n n �ck �

��q t p n�½ � ·�� � � n � � n m���k � �'q �(k ��s k r q � k � �Q� w�� � n�l n q m r �(n ¾�� m ��k � � � p � n s���°��2q ��q p u l k l�� w�� � n�r � �(o p n � n�m n l � p � l� o'� �)z | } ¿�q ��s2n ± o p � m q � k � �2� w�� � n�n � n �2��q m �(� � k r�l n n s l�� o'� �)z | } ~�l � � � n l ��� � n�w � p p � ��k � ��vÀ ��Á  � Ã Ä Å�� �¶Æ���Ç�� È(� � � ¡Q� ��¢ £(��¤ ¡Q¥ � ��� � ¦(�Q¤ � ¢ É ¤ ��� � � ¡Q� � ¢ £�¦ � �   ©À ��Á  � Ã Ä Å�� �4i��)��� � � �(� � �(� � § È�¼���¢ ¨ � § ÈQ¡Q� � È(� � � ¡Q� � ¢ £�¡(¤ § ¨ ¢ ³�§ � ¦Q� µ�� ��È(� � � ¡Q� ��¢ £(� ¤ ¡Q¥ � � ©

Page 30: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ê Ë Ì ËcÍ�Î Ï Ð Ñ Ò Ï Ó�Ô

Õ�Ö × Ø Ù2Ú Û Ú Ü�Ý�Þ ß à�á â�ã Þ à�ã Ù ä à Ù á)å�æ ç è¶ç è Ù2â é2Ö Ø Ø Ù â ç�ê ä æ éQÙ(ë Ö ã ç Þ ä�æ à¶á Ù ç Ù ä é(æ à æ à ì)Ö Ø Ø�è�Ö ä éQÞ à æ ãQâ Ù Ù á â�Ø Ù â âç è�Ö à¶í î ï�Û�ð ñ�Ù ä Ù�ò�ð ó)ô�á Ù à Þ ç Ù â�ç è Ù�à ß é(×�Ù ä�Þ ë�ê ä æ é(Ù â�à Þ ç�Ù õ ã Ù Ù á æ à ìQó'ô

ö�÷ Ù à ø�á áù éQÖ õ�ð ú�û ô ü ý�û�þ¹Ú é2Ö õ�ð ú�û ô ü ý�û�þcÿ é2Ö õ�ð ý�û ô ò�ð éQÖ õ�ð ý�û ô ô��Kí� Ú � í � í � � ÿ �í Ú ÿ � Ú î � � í í � �í � � � Ú � � � � í � ÿ �í � � � ÿ Ú ÿ í � � ÿ ÿ ÿ � �Ú í � � � î í � � � � í í � í � îÚ � � � � � � � � � � í � � � � �

Õ�Ö × Ø ÙQÚ Û ÿ Ü��ß é(×�Ù ä�Þ ë�è�Ö ä é(Þ à æ ã(â Ù Ù á â�Ö à�á)è�Ö ä éQÞ à æ ã�à ß é(×�Ù ä â�Ø Ù â â�ç è�Ö àcí î ï)å�æ ç è¶ç æ éQÙ(ç Þ� à�á4â Ù Ù á âä Ù Ø Ö ç æ ÷ Ù�ç Þ(ç è Ù ù þ��Qã Ö â Ù

ù â Ù Ù á â à ß é�×�Ù ä â ä Ù Ø Û�ç æ éQÙ� � í Ú î Û Ú� í Ú í � î Û �� í ÿ ÿ í í Û î� í � � � Ú Û ÿ� Ú � � Ú � Û ÿ� ÿ ÿ í í � í � Û �í î � Ú í � í � � Û �í í � � Ú � � Ú � î Û íí Ú � � � Ú � � � � Û �í ÿ í î í �� í � ÿ � � ÿ Û îí � í ÿ � � í � í ��í í í Û �í � í � � �í ÿ � � � � � ÿ � Û ÿ

Page 31: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

���������������

� �"!�#%$'&)( *,+ -�!�./0!�12*43�&)576�!�.,8

92: ;=<?>A@CB�DFEG�H IKJ E,IMLNGOQP0R S T U R V�P T WAX0Y U2Z�[ \,\ R [ ]^S _�X0Y?W,T V S [ `0Y U a Y b S,[ ac[ SA\ R S [ \ d Y \S e Y?b _ P0] [ S [ _ P"fNg Z�hAikj ZFl,jnmnopg _ Uqcg Z�h2irj h s"t T0b enR�P T WAX0Y U2[ \A\ R [ ]uS _^X0Y�j v `0Y U a Y b SFg _ U2e0R w Y2WAT V S [ ` V [ b [ S x"j h s"yzY U a Y b S,P T WAX0Y U \AR U Y{ v `0Y U a Y b Sc|ce [ V Y` U _ `0Y UMW,T V S [ `0Y U a Y b ScP T W,X0Y U \Me0R w Y�WAT V S [ ` V [ b [ S x?jF} { sNyNY U a Y b SMP T WAX0Y U \�|MY U Y,] [ \ b T0\ \ Y ][ P�t Y b S [ _ P^~ s { s ~R P0]?_ ] ]2`0Y U a Y b ScP T W,X0Y U \M|c[ V V�X0Y,a T U S e Y Uc[ P w Y \ S [ � R S Y ]2[ P^��e0R ` S Y Uc� sN�^Y,b R V Vz� v `0Y U a Y b SP T W,X0Y U \MS U [ `0Y U a Y b S sM��] ]?S U [ `0Y U a Y b ScP T W,X0Y U \M|c[ V VzX0Ya T U S e Y Uc[ P w Y \ S [ � R S Y ]?[ P^��e0R ` S Y U��0s� e Y,\ W2R V V Y \ Sc` U _ `0Y UcW,T V S [ `0Y U a Y b ScP T WAX0Y Uc[ \MS e Y,� v `0Y U a Y b ScP T W,X0Y U,~ { � �

fNg ~ { � h�i)~M� { �u���u��u���"���u����~ � ��~ { �n~ ��� { � � { ��"� � �u� � �u� � �n~ { �

i�� � � i��� ~ { �_ U

qcg ~ { � h�i�qcg { � �� � h�i�qcg { � h qcg � h qcg � hMi �� �{ � �{ �� �{ � �� i�� �

� e Y?\ W2R V V Y \ S,� v `0Y U a Y b S,P T W,X0Y U,[ \,� � { � � i { � � � �A� � � � e Y?V R U � Y \ SW,T V S [ `0Y U a Y b S,P T W,X0Y U,� P _ |cPng R \_ a� Y b Y W,X0Y U { � � ~ hN[ \MR?~ ~ v `0Y U a Y b SMP T W,X0Y UMS e0R S�[ \�� U Y R S Y U�S e0R P { � � ~ ���F~ � � � � � R P0]Ae0R \ { � � � � � � � � � � � � R P0]� � � R \cb _ W2`0_ P Y P S \ s� _F_ ] ]�W,T V S [ `0Y U a Y b SP T WAX0Y U_ S e Y US e0R Pn~,e0R \�X0Y Y P^a _ T P0]�sAO�\a _ Ue0R U WA_ P [ b,P T W,X0Y U \ � [ aMR?` U _ _ a

_ azS e Y,P _ P v Y � [ \ S Y P0b Y_ az_ ] ]?WAT V S [ `0Y U a Y b S�P T W,X0Y U \cb R PFX0Y,a _ T P0]?S e Y PFS e [ \M|c[ V VNR V \ _AX0YARA` U _ _ aNS e0R ScP __ ] ]?`0Y U a Y b ScP T WAX0Y U \MY � [ \ S s� e Y2S e Y _ U Y S [ b R VNU Y \ T V S \a _ U,Y w Y P^W,T V S [ `0Y U a Y b SP T WAX0Y U \,R U Y2\ `0R U \ Y sA  P0] Y Y ] � |ce [ V Y2S e Y2Y � [ \ S Y P0b Y2_ a

Y w Y P�WAT V S [ `0Y U a Y b S,P T W,X0Y U \�|c[ S e^W,T V S [ ` V [ b [ S [ Y \,�F¡)ju¡Q~ ~,e0R \�X0Y Y Pu] Y WA_ P0\ S U R S Y ] � S e Y U Y2[ \�P _F` U _ _ aS e0R SS e Y U Y?R U Y?R?d P [ S Y2P T WAX0Y U,|c[ S e"R?� [ w Y P�WAT V S [ ` V [ b [ S x�Y w Y P^S e _ T � e^S e [ \[ \,\ S U _ P � V xFX0Y V [ Y w Y ]�S _FX0YS e Y,b R \ Y � `0R U S [ b T V R U V x2a _ UcS U [ `0Y U a Y b ScP T W,X0Y U \ s

92: ¢=£¤DFEG�H IKGzB�E¥�IM¦4§?¥�>2IcB�¨�©F¥NB  aZC[ \AS _^X0YFR P"Y w Y P"WAT V S [ `0Y U a Y b SAP T WAX0Y U2|c[ S e { ª R \AR^b _ WA`0_ P Y P SAS e Y P"|MYF|cR P S,S _^d P0]"S e YA«0¬ ­®\ T0b euS e0R S2Z¯i { ª «0¬ °� «0¬ ±� � � � « ¬ ²³ |c[ S e"R P"[ P S Y � U R Vcqcg Z�h s�Op\ x \ S Y W2R S [ b2\ Y R U b e"R ` ` U _ R b e^[ P w _ V w Y \S e Yb _ P0\ S U T0b S [ _ P�_ a�R2\ Y ´ T Y P0b YAZ � l Z � l Z � l � � �c|ce Y U Y,Z � i { ª R P0]FZ ® µ � i¶Z ® � « ¬ ­ · °® µ � i { ª « ¬ °� « ¬ ±� � � � « ¬ ­ · °® µ �a _ UFRu\ Y ´ T Y P0b Y�_ a] [ \ S [ P0b S?` U [ WAY \?¸�iK¹ « � l « � l � � � º^R P0]"Y � `0_ P Y P S \?»�iK¹ ¼ � l ¼ � l � � � º s¶Orb _ WAW2_ P

{ {

Page 32: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

½ ¾ ¿ ¾nÀQÁ Â Ã Ä Å�Ã Æ Â Ç Å È2É0Ç Ê Å Æ Ë0Ì Ç Æ Í Î

Ï Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ó ÖcÓ Ô�Õ ×2Ö Ï × × Ô Ð�Ø0Ù ÚzÛ�Ô ×,Õ Ï0Ü ÕMÓ ÕMÓ Ô�Õ Ï ÐÝ Ü Ò Þ Ð Ô ÕNß Ò Ó à2Ðá Ó â Ó Ô × Ò�× ã�Õ Ï Ðä Ñ àAÐ Ò Ü Õ × ÒM× ãzåcæ ç,Ù è�é ê ë ê ì í�îMÏ Ó ÔÓ Ôcï0Ü Ô Ð á?× ä�Õ Ï Ð,ß Ò Ó ä0Ö Ó ß Ý Ð,Õ Ï0Ü Õ�Ó ãMðNæ ç�èMñ¶ò çKÜ ä0áAØ0ó?ôcçõÕ Ï Ð ä�ðNæ Ø0ó èö ðNæ ç�ècÔ ×?÷?ö çõÓ ã�÷2ö ðNæ Ø0ó è,æ Ü ä0á÷Mø�ò è íMîMÏ Ð,á Ð Õ Ð Ò à2Ó ä0Ü Õ Ó × ä?× ãNÕ Ï Ð,Ö × Ò Ò Ð Ô ß0× ä0á Ó ä Þ2ù ÙNÓ ÔMà2× Ò Ð,á Ó ú2Ö Ñ Ý ÕÜ ä0á2ûcÓ Ý Ýzï0Ð,á Ó Ô Ö Ñ0Ô Ô Ð á?Ý Ü Õ Ð Ò íü × ÒcÐ ý Ü à2ß Ý Ð þ Ý Ð Õ�çÿñ�� � í�îMÏ Ð ä

åcæ ç,ÿ èMñ � ���"ê� � æ ���nê è ñ��

ê ê� � ñ��� � ���

��Ô Ó ä ÞAÕ Ï Ð�� Ý Ü Ò Þ Ð Ô Õ�ä Ð û�ß Ò Ó àAÐá Ó â Ó Ô × ÒMä Ð ý Õ �,Ï Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ó Ö�Ü ä0á2ûcÓ Õ ÏFÜ Ý Ý�ù Ùzñ)ê�ûMÐ�Ý Ð ÕNØ�Ûcñ þ Ô ×Aç2Ûcñ�� � ûcÓ Õ Ïåcæ ç2Û èMñ�åcæ � � è åcæ èMñ��� � � �

� � � � � �

îMÏ Ó Ô�Ô Ñ Þ Þ Ð Ô Õ ÔNØ���ñ þ ç���ñ�� � �� ûcÓ Õ Ïåcæ ç�� èMñ�åcæ � � è åcæ è�ñ��� � ���

� � ê � ñ��� ê �� �

Ý Ð Ü á Ó ä Þ2Õ ×,Ø���ñ¶ê � þ ç���ñ�� � �� �� ê �,ûcÓ Õ Ïåcæ ç�� èMñ�åcæ � � �� è åcæ ê � è�ñ���

ê �� ���

� � �ê � ñ���� � � �� × ä Õ Ó ä Ñ Ó ä ÞAûcÓ Õ ÏFÕ Ï Ð,Ô Ð Ü Ò Ö ÏFÖ Ï0Ü Ó äFûMÐÏ0Ü â ÐcØ � ñ þ ç � ñ�� � �� �� ê � � ûcÓ Õ Ï

åcæ ç � èMñ�åcæ � � �� �� ê � è åcæ è�ñ ��� � ���� �ñ �� �

üzÓ ä0Ü Ý Ý ?ûMÐÏ0Ü â ÐcØ�!�ñ � þ ç�!�ñ�� � �� �� ê � � �� � ûcÓ Õ Ïåcæ ç�! èMñ�åcæ � � �� �� ê � � è åcæ � èMñ��� �

� � �ñ �

"^ÐÏ0Ü â Ðã × Ñ ä0á?Õ Ï Ð # ß0Ð Ò ã Ð Ö ÕMä Ñ àAï0Ð Ò�� � ��� �� ê � � �� í�cä ã × Ò Õ Ñ ä0Ü Õ Ð Ý AÕ Ï Ó ÔMÔ Ó àAß Ý Ð�Ô Ð Ü Ò Ö Ï?á Ó á2ä × Õ%$ ä0áFæ × Ò�Ð â Ð ä?Ô Ñ Þ Þ Ð Ô Õ è�Ô Ð â Ð Ò Ü Ý × Õ Ï Ð Ò�àAÑ Ý Õ Ó ß0Ð Ò ã Ð Ö ÕMä Ñ à,ï0Ð Ò ÔûcÓ Õ Ï�� ��Ü Ô2Ü^Ö × àAß0× ä Ð ä Õ í�îMÏ Ð "Ö Ü änï0ÐFã × Ñ ä0á"ï "Ô Ð Ü Ò Ö Ï Ó ä Þ^Ï Ó Þ Ï Ð Ò2ß0× ûMÐ Ò Ô,× ã�& ä × ûcä"ß Ò Ó à2ÐFã Ü Ö Õ × Ò Ôæ Ð ý Ö Ý Ñ0á Ó ä Þ'� è,Ü ä0á^ï ^Ñ0Ô Ó ä Þ^Ô Ó à2ß Ý ÐFÔ Ñ ï0Ô Õ Ó Õ Ñ Õ Ó × ä0Ô í^îMÏ Ð Ô Ð?Ô Ñ ï0Ô Õ Ó Õ Ñ Õ Ó × ä0Ô,ûcÓ Ý ÝMï0Ð?á Ð Ô Ö Ò Ó ï0Ð áuÓ ä"á Ð Õ Ü Ó ÝMÓ ä( Ð Ö Õ Ó × ä í )0í+* ä�Õ Ï Ó Ô?Ð ý Ü à2ß Ý Ð þc× ä Ð^× ã,Õ Ï Ð^Ð Ü Ò Ý Ó Ð Ô ÕFá Ó Ô Ö × â Ð Ò Ð ánÔ Ñ ï0Ô Õ Ó Õ Ñ Õ Ó × ä0Ô^é , ì,Ö Ü ä�ï0Ð^Ñ0Ô Ð á�íkü × Òçrñ�� � ��� �� ê � � �� ûcÓ Õ Ï�åcæ ç�èMñ þ ø^çuþ ûMÐ�$ ä0á?Õ Ï0Ü Õ çrñ�� � �� ��� �� ê � � �� Ó ÔcÜ�) # ß0Ð Ò ã Ð Ö Õä Ñ à,ï0Ð Ò í ( Ð Ü Ò Ö Ï Ó ä Þ?ûcÓ Õ ÏuÜ?Ï Ó Þ Ï Ð Òß0× ûMÐ Ò× ã�ê �?Ý Ð Ü á Ô�Õ ×FÕ Ï Ð2Ó ä â Ð Ô Õ Ó Þ Ü Õ Ó × ä�× ãNØ��2ñkê � þzù �2ñ+� þ0Õ Ï0Ü Õ,Ó Ôç���ñ�� � �� �� ê � � ûcÓ Õ Ï

åcæ ç�� è�ñ�åcæ � � �� è åcæ ê � � è�ñ���ê �� ��� ��

ê � ê � � ñ� �� ��ê � � � ê � �

� × ä Õ Ó ä Ñ Ó ä Þ^Ó ä"Õ Ï Ó Ô,à?Ü ä ä Ð Ò2Ð â Ð ä Õ Ñ0Ü Ý Ý ^Ý Ð Ü á Ô,Õ ×^Õ Ï Ð-) # ß0Ð Ò ã Ð Ö Õ,ä Ñ àAï0Ð Ò�� � � � ê .� ê � � �� .� ê � í0/àA× Ò ÐcÒ Ð Ö Ð ä Õ�Ô Ñ ï0Ô Õ Ó Õ Ñ Õ Ó × ä�é ê ë ê ì ûcÏ Ó Ö Ï2Ó Ô�Ü Ý Ô ×AÜ ß ß Ý Ó Ö Ü ï Ý ÐcÕ ×Õ Ï Ó ÔNÐ ý Ü àAß Ý ÐcÓ ÔNÕ Ï Ð�Ò Ð ß Ý Ü Ö Ð à2Ð ä ÕN× ã�ê � � ê � ï ê � � ê � ê � � ê ê,æ Ô Ó ä0Ö Ðåcæ ê � � ê � è�ñ�åcæ ê � � ê � ê � � ê ê èNñ�� � 1 ê � � èNûcÏ Ó Ö Ï?Þ Ó â Ð Ô%� � � � ê �� ê � � 2� �� ê � ê � � ê ê þÜ ä × Õ Ï Ð Ò2) # ß0Ð Ò ã Ð Ö Õ�ä Ñ àAï0Ð Ò í3* ä?Õ Ï Ó Ô�ûcÜ AûMÐÏ0Ü â Ðcã × Ñ ä0á?Ü Ý Ý�ã × Ñ Ò2& ä × ûcä?à,Ñ Ý Õ Ó ß0Ð Ò ã Ð Ö ÕMä Ñ à,ï0Ð Ò ÔMûcÓ Õ Ï-� � Ü ÔÜAÖ × àAß0× ä Ð ä Õ í"�Ï Ó Ý Ð2Õ Ï Ð,Ø0Ù 4 Ô,Ü Ò ÐAÑ0Ô Ñ0Ü Ý Ý ^á Ð Õ Ð Ò àAÓ ä Ð á�ã Ò × àõÐ Ü Ò Ý Ó Ð Ò,ð"Ö Ü Ý Ö Ñ Ý Ü Õ Ó × ä0Ô�Ó äuÕ Ï Ð?Ô Ð Ü Ò Ö Ï^Ö Ï0Ü Ó äzþzÕ Ï Ð?Ö × Ò Ò Ð #Ô ß0× ä0á Ó ä Þ^ß0× ûMÐ Ò Ô þ�ù Ù þ�à2Ü "Ö Ï0Ü ä Þ ÐFÜ ÔAÜ�Ò Ð Ô Ñ Ý ÕA× ã.� ï0Ü Ö & Ó ä Þ�Ñ ß���Ó ä"Õ Ï Ð�Ô Ð Ü Ò Ö Ïuß Ò × Ö Ð á Ñ Ò Ð^é ê ë ê ì í"îMÏ Ó Ô

× Ö Ö Ñ Ò ÔMûcÏ Ð ä?ä ×?Ö × ä Õ Ó ä Ñ0Ü Õ Ó × äzþ Ø0Ù ÚzÛ þ Ö Ü ä?ï0Ðã × Ñ ä0á�æ Ü ä0á?ûMÐ�Ï0Ü â Ð�ä × Õcã × Ñ ä0áFÜ,à,Ñ Ý Õ Ó ß0Ð Ò ã Ð Ö ÕMä Ñ àAï0Ð Ò è í5/MÕÕ Ï Ó Ôß0× Ó ä Õ,Ü Ý Õ Ð Ò ä0Ü Õ Ð?Ö × ä Õ Ó ä Ñ0Ü Õ Ó × ä0ÔÜ Ò ÐAÞ Ó â Ð ä�ï �Õ Ï Ð2ß Ò Ó à2Ð Ô2æ 67� è�Ó ä^Õ Ï Ð2ä Ñ à2Ð Ò Ü Õ × Ò�× ãcåcæ ç,Ù èAæ Ó í Ð íAÓ ä

Page 33: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

8 9 8 97:2; < < = >@?5< = A ; B ? A C D

E5F G�H I I J�K2L M N�N M O P�Q O M R STM N�U R V�V.R S W X-Y Z [ Z Y Y Z \-O R�Q N�L�Q ] M S ^�Q STZ _ U Z N N�R [%O L R N Z�`�Q Y O M U P W Q Y�` Y M V.Z N J�K2L M NV�Z Q S�N�O L�Q O�M [%a�H�M N�R S Z�N P�U L0` Y M V.Z.O L Z S0O L Z-Q N N P V.` O M R S0O L�Q O�a�b cH M N�QTU R V�`�R S Z S O�R [�GdM N�M S�U R Y Y Z U OQ S�\@e5N M S�U Z.O L Z.W R f2Z Y�`�R f2Z Y N�L�Q ] Z�g�Z Z S0M S ] Z N O M ^ Q O Z \@e@O L�Q O�Q�L M ^ L Z Y�`�R f2Z Y�R [5a�H2V�Q XTg�Z.S Z Z \ Z \@J�h R YZ _ Q V.` W Z e M [�a b cH�i G�j�Q S�\.O L Z Y Z�M N2S R.\ M Y Z U O�U R S O M S P�Q O M R S�R [3O L M N�N Z k P Z S�U Z e Q S�\.f2Z�L�Q ] Z2a�H%l E5F G�j I2O L Z SQ STQ W O Z Y S�Q O M ] Z�M N2O R�U R S O M S P Z�f�M O LTG�H3m�G�H n3o2p a�b c q oHsrt S R O L Z Y�Z _ Q V.` W Z�f�M W W3M W W P�N O Y Q O Z�O L M N J t U R V�`�Q U O.u O Y Z Z v�Y Z ` Y Z N Z S O Q O M R STU Q STg�Z�P�N Z \-O R-N P V.V.Q Y M w ZO L Z.Y Z W Z ] Q S O�U Q W U P W Q O M R S�N�Q S�\Tf�M W W%g�Z�P�N Z \TM S0Q S X'[ P Y O L Z Y�Z _ Q V�` W Z N J.xyM O LzG�{-m+| o { Q N�O L Z-N O Q Y O M S ^U R V.`�R S Z S O�Q S�\�f�Y M O M S ^�}z[ R Y�}�F G�H I e f2Z�L�Q ] Z�h3M ^ P Y Z�~ J � J� S-O L M N�U Q N Z�O L Z�N Z Q Y U L�L�Q N2[ R P S�\-Q W W@O L Y Z Z�� S R f�S-V�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y N2f�M O LT| o { Q N�Q.U R V.`�R S Z S O JxyL Z S.O L Z Y Z�Q Y Z�N Z ] Z Y Q W�Q W O Z Y S�Q O Z�U R S O M S P�Q O M R S�N5[ R Y�u g�Q U � M S ^�P `�v e Z Q U L�f�M W W�W Z Q \�O R�\ M N O M S�U O�u N P g O Y Z Z N v J� S�Q'N Z k P Z S O M Q W�M S ] Z N O M ^ Q O M R SzR [�O L Z N ZTQ W O Z Y S�Q O M ] Z N�F Q N�L Z Y Z I�M O.M N�U R S ] Z S M Z S O�O RzU R S�N M \ Z Y�O L Z V�M S�QV�R N O � Y Z U Z S O � � Y N O�F N O Q U � I%R Y \ Z Y Jx�L M W Z�Q�g�Q N M U�N Z Q Y U L�` Y R U Z \ P Y Z�L�Q N3g�Z Z S.M W W P�N O Y Q O Z \@e N Z ] Z Y Q W ` Y Q U O M U Q W�U R S�N M \ Z Y Q O M R S�U R S�U Z Y S Z \�f�M O L

u f�L Z Y Z v e5u f�L Z S�v.Q S�\zu L R f�[ Q Y v�L�Q ] Z�S R O�g�Z Z STQ \ \ Y Z N N Z \@J%K2L Z X�f�M W W@g�Z�O Q � Z S-P `-M ST� Z U O M R S-~ J � J

�.� �������%�5�������5���5�T� �5�K3Q g W Z.~ J ��W M N O N�O L Z�� Y N O�� S R f�STV�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y N�G�f�M O L'^ M ] Z ST] Q W P Z N�R [%V�P W O M ` W M U M O X'�0� ~ � e5� � � � JxyL Z Y Z�N Z ] Z Y Q W@V�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y N�R [5Q.^ M ] Z S�M S�\ Z _-f2Z Y Z�Y Z `�R Y O Z \-Q O�O L Z�N Q V�Z�O M V.Z e O L Z�� Y N O�W M N O Z \M N�U Y Z \ M O Z \�f�M O L-g�Z M S ^.O L Z�� Y N O J%K2L M N2M N2P�N P�Q W W X.O L Z�R S Z�f�M O L-O L Z�N V�Q W W Z N O2Z _ `�R S Z S O�R [5| JK5Q g W Z�~ J |�W M N O N5O L Z�N V�Q W W Z N O5� S R f�S�V�P W O M `�Z Y [ Z U O%S P V�g�Z Y N%G�f�M O L.^ M ] Z S�] Q W P Z N5R [�V�P W O M ` W M U M O X.�@J5K2L Z

N V�Q W W Z N O2f2Z Y Z�S R O�Q W f�Q X N%O L Z�� Y N O�O R�g�Z�[ R P S�\-Q S�\�\ R.S R O�Q W f�Q X N2U R Y Y Z N `�R S�\�O R.O L Z�� � `�Z Y [ Z U O2S P V�g�Z Yf�M O L-O L Z�N V�Q W W Z N O2`�R f2Z Y�R [5|.Q N�Q�[ Q U O R Y JK2L Z.W Q Y ^ Z N O�� S R f�S'V�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y N�Gdf�M O L0^ M ] Z S'] Q W P Z N�R [2V�P W O M ` W M U M O X0�0Q Y Z.W M N O Z \TM S0K5Q �

g W Z�~ J ~ J%K2L Z�W Q Y ^ Z N O2] Q W P Z N�\ R.S R O�Q W f�Q X N2U R Y Y Z N `�R S�\�O R.O L R N Z�f�M O L-O L Z�W Q Y ^ Z N O2`�R f2Z Y2R [5|.Q N�Q�[ Q U O R Y J� S7� � � ��O L ZTQ P O L R Y�P�N Z \zO L Z-[ Q U O R Y.U L�Q M SzO X `�Z-R [�N Z Q Y U L0O R0g�ZT\ Z N U Y M g�Z \0M S�� Z U O M R S�~ J �TO R'� S�\O L Z-O L Z SzW Q Y ^ Z N O�V�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y.� S R f�S3e%Q'� � `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y e%| � � � ~ � { � � { � � { p p p e5f�L M U LzZ _ U Z Z \ N� r � ~ ���'� �   � ¡ J t V.R Y Z�N M ^ S M ��U Q S O�\ M N U R ] Z Y X�g X.O L Z�Q P O L R Y�f�Q N%O L�Q O�R [3O L Z�� Y N O�� � � `�Z Y [ Z U O2S P V�g�Z Y�F Q S� � � `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y�L�Q N�N M S�U Z�g�Z Z ST\ M N U R ] Z Y Z \�g X�x'R W O V.Q S�I Jx�L M W Z�S Z f¢� �5Q S�\T� � � `�Z Y [ Z U O2S P V�g�Z Y N2U R S O M S P Z�O R�g�Z�\ M N U R ] Z Y Z \@e M O2M N%] Z Y X.P S W M � Z W X�O L�Q O2O L Z Y Z�V�Q X

g�Z�N V.Q W W Z Y�R S Z N�f�M O L'M S�\ Z _'W Z N N�O L�Q S0� J�K2L Z Y Z.M N�U R V�V.R S0Q ^ Y Z Z V.Z S O�O L�Q O�Q W W%V�P W O M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y Nf�M O L-M S�\ M U Z N%W Z N N%O L�Q S-��L�Q ] Z�` Y R g�Q g W X�g�Z Z S-[ R P S�\@e Z ] Z S�O L R P ^ L3e M S�`�Q Y O M U P W Q Y e O L Z�N V.Q W W@N Z O2R [3� S R f�SO Y M `�Z Y [ Z U O�S P V�g�Z Y N2L�Q N2S R O�g�Z Z S-` Y R ] Z S�O R�g�Z�U R V.` W Z O Z J

Page 34: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

£ ¤ £ ¤7¥2¦ § § ¨ ©@ª5§ ¨ « ¦ ¬ ª « ­�®

¯ ° ±�²%³0´�µ ¶ · ¸ ¹µ º »¼ ½�²%³0´�µ ¶ · ¸ ¹µ º »+¾ µ · ¶ ¿ À¸ ¹ ´�¶ ¿ À · µ ¶µ Á¯ Â-²5³z´�¶ ¿ À · µ ¶µ Á ¾ µ à ¶µ ¶ ´+¶ à Àµ ÄÅ�²%³z´ ¶ à Àµ Ä ¾ µ · ¶À ´ ¶ Ƶ ÇÂ-²%³0´ ¶ Ƶ Ç�¾ µ ¿¶ ´ ¶ õ à È�É Ê Ë Ì Í�Î Ï Â µ ²%³0´ ¶ Ƶ Ç�¾ ° ¶¶ ¿ ´ ¶ ¿ ° ¶µ ÇÐ Â�²%³z´�¶ ¿ ° ¶µ Ç�¾ µ · Ñ° ¶ ´�¶ ¿ ѵ ÆÒ ²%³z´�¶ ¿ ѵ Æ ¾ µ ÃÑ ´�¶ ¿µÈ�É Ê Ë Ì Í�Î Ï Â ¶ ²%³0´�¶ Ƶ Ç�¾ µ à À¶ à ´�¶ · Àµ ¿È�É Ê Ë Ì Í�Ï Î Ó¢Î Ï Â�Ô É Ï�Õ�Ö É × Ø Ù�Î Ï Å Ú Û�²%³0´�¶ Ƶ Ç�¾ ° ° ¿¶ Æ ´ ° ° ¿µ ÇÐ Ð�²%³z´ ° ° ¿µ Çz¾ µ ¿ ¶° ° ´+¶ · ° °µ ÃÈ�É Ê Ë Ì Í�Ï Î Ó¢Î Ï Ð Ð�Ô É Ï�Õ�Ö É × Ø Ù�Î Ï Â ÚÐ Ð µ ²%³0´ ° ° ¿µ Çz¾ Ñ · ° ¹° ° ¿ ´+Ñ · ° ¹µ ÇÐ ½�²%³0´ Ñ · ° ¹µ Çܾ µ ¿ À° ¹ ´ À · ѵ ÃÒ ²%³0´ À · ѵ à ¾ µ ÃÑ ´�ÅÝ Î Ì Ï�Õ�× Þ Ø Å ß Í�Ø Ù Ý Ø Ê ×2Ï Ì à�È�Ø Ù ¯ ° ± ¼ ½ ¾ ¯  ¾ Å ¾ Â Û Ð Ð µ Ð ½ ¾ ÒÝ Î Ö Ö Î Ó�à.Î á ×�Ù Ø Ê Ø Ï ×�Ì Ï Ø â Í Ö Î Ù Ø Õ�É Ö × Ø Ù Ï�É × Ø ã Â

 À ²%³0´ ¶ Ƶ Ç�¾ µ ¿ Ñ · ° ¶¶ Ç ´ Ñ · ° ¶µ à ¶Ð Â�²%³z´ Ñ · ° ¶µ à ¶T¾ µ · Ñ° ¶ ´ Ñ ¿µ ¿ ¶Ò ²%³z´äÑ ¿µ ¿ ¶�¾ µ ÃÑ ´�µ · ѶÈ�É Ê Ë Ì Í�Î Ï ÒÒ µ ²%³0´äÑ ¿µ ¿ ¶�¾ ¶ · ° ¹Ñ ¿ ´ ° ¹µ ¿Ð ½-²%³0´ ° ¹µ ¿ ¾ µ ¿ À° ¹ ´�ÅÝ Î Ì Ï�Õ�× Þ Ø Å ß Í�Ø Ù Ý Ø Ê ×2Ï Ì à�È�Ø Ù ¯ ° ± ¼ ½ ¾ ¯  ¾ Å ¾  À Ð Â ¾ Ò µ Ð ½Ý Î Ö Ö Î Ó�à.Î á ×�Ù Ø Ê Ø Ï ×�Ì Ï Ø â Í Ö Î Ù Ø Õ�É Ö × Ø Ù Ï�É × Ø ã Å

Å µ ²%³0´�¶ à Àµ Ä ¾ ¶ °À ¿ ´�¶ à ¶ °µ Ä À Ð.²%³0´�¶ à ¶ °µ Ä Àz¾ µ Ƕ ° ´�¶ õ · ÀÂ-²%³0´�¶ õ · À ¾ µ ¿¶ ´�µ · ¶ ¿ÀÈ�É Ê Ë Ì Í�Î Ï Â µ ²%³z´�¶ õ · À ¾ ° ¶¶ ¿ ´�¶ · ° ¶µ · ÀÐ Â�²%³0´�¶ · ° ¶µ · À ¾ µ · Ñ° ¶ ´�¶ · ÑÀÒ ²%³0´ ¶ · ÑÀܾ µ ÃÑ ´ µ à ¶ÀÈ�É Ê Ë Ì Í�Î Ï Â ¶�²%³z´ ¶ õ · À�¾ µ à À¶ à ´�¯ µÝ Î Ì Ï�Õ�× Þ Ø�å ß Í�Ø Ù Ý Ø Ê ×2Ï Ì à�È�Ø Ù ¯ ° ± ¼ ½ ¾ ¯  ¾ Å µ  Р¾  ¶

æ Ö Ö3É Ö × Ø Ù Ï�É × Ø á2Þ�É ç Ø�È�Ø Ø Ï-Ø â É à.è Ï Ø Õ

é è ê Ì Ù Ø Â ë Ð ²5ì â É à�Í Ö Ø�Õ Ø Ê è á è Î Ï-× Ù Ø Ø Ý Î Ù�É Ï-Ø ç Ø Ï-à�Ì Ö × è Í�Ø Ù Ý Ø Ê ×�Ï Ì à�È�Ø Ù�á Ø É Ù Ê Þ

Page 35: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

í î í î7ï2ð ñ ñ ò ó@ô5ñ ò õ ð ö ô õ ÷ ø

ù5ú û ü ý�þ ÿ � ����� � � � � � ����� ü � � ��ý � � ý � �� � ��û�ý � �� � � � ��� �� � �� ��� � ��ú � � � ú �� ! ! "$#&% ' �)( þþ *-ý � � ý � � ý+� ' þ � � � ! � , þ ( - .�ý � � ú � � ý �)� ' þ / þ ! � - ! � 0 þ , ( 1 .�ý � � ú � � ý �)� ' þ / � 2 -�� /435� ! 6 7 � 8 þ 9 ( 1$( � � : � 1( � ;' � ý � �.ú �4� ' - þ þ 2 - ; �$35� ! 9 7 � : , þ 8 , 1 9 � � , � þ , � 1 : þ � ( ( (1 *Tú � � �5� ; � � � 2 -�� þ435� ! 0 0<� , : þ 6 6 9 1 0 � � : � þ : � 1$( � ; 9 ( ( (/ � � � ü ý �4� ; � ; 1 2 þ - ;43=� ! 6 8 : � > : þ : : 6 7 1 6 6 � � , � þ 8 � 1 : � ; ( ( (; ?�ý ü ý � � ���4� ; ; � 1 2 ; / -�3=� ! 9 > 0<� 6 , 7 þ 9 @ 6 0 1 : 7 � � 6 7 � þ 8 � 1 > � ; > ( ( (� ! A � � ü ��� ; ; 1 � 2 / ' ;43=� ! @ : ,<� : 9 7 þ 8 8 9 6 1 , 7 � � 6 , � þ 6 @ � 1 6 6 � ; 6 9 ( ( (� � B=� ü � �.ú � � ! ! � � 2 � ;435� ! 6 @ 7 > � 9 > C þ 6 9 7 > > 1 9 @ � � 9 7 � þ , 6 � 1 6 6 � ; 6 : ( ( (

ù3ú û ü ý�þ ÿ � ��A �.ú ü ü ý � � � � �D�4� ü � � ��ý � � ý � �� � ��û�ý � �� � � � ��� �� � �� ��� � ��ú � � � ú �� ! ! "$#&% ' �)( þþ *-ý � � ý � � ý+� ' þ � � � ! � , þ ( - .�ý � � ú � � ý �)� ' þ / þ ! � - ! � 0 þ , ( 1 .�ý � � ú � � ý �)� ' þ / � 2 -�� /435� ! 6 7 � 8 þ 9 ( 1$( � � : � 1( � ;' #2ú � ��� � ��ú ý ü�� ; ! 1 � 2 - þ435� ! : 7 � 6 0 þ 0 : 1 : � � ( � þ ( � 1$( � ; ( ( (1 *Tú � � �5� ; � � � 2 -�� þ435� ! 0 > � , : þ 6 6 9 1 0 � � : � þ : � 1$( � ; ,�( ( (/ E$� ý � � � �5� ; ; ! / 2 � ' /43=� ! 6 , : � > : þ 6 0 @ 1 8 � � , � þ , � 1 : � ; ( � þ ( ( (; ?�ý ü ý � � ���4� ; ; 2 ' � þ43=� ! : C > � 6 7 9 þ 9 , @ 1 6 : � � > � þ 9 � 1$( � ; 9 ( ( (� ! *D� F ��ú �G� ; ; / / 2 � ! þ43=� ! > C 9 � : 7 @ þ 8 8 : , 1 : > � � 6 9 � þ 6 6 � 1 @ � ; 6 : ( ( (� � B=� ü � �.ú � � ! ! � � 2 � ;435� ! 6 @ 7 > � 9 > C þ 6 9 7 > > 1 9 @ � � 9 7 � þ , 6 � 1 6 6 � ; 6 : ( ( (

ù3ú û ü ý�þ ÿ þ ��H3ú � � ý � �& � � �D�4� ü � � ��ý � � ý � �� � ��û�ý � �� � � � ��� �� � �� #2ú �.ý � � ��ý ��ú ü ÿ � ! ! � -�2 � 1 /43=� ! C 6 7 8 C @ 6 � 6 , 9 > > @ 6 > ( I 6 , 9 > > @ 6 8þ � ý � �.ú �4� ' - þ � ! ! � � / ! � ' ! � 6 9 ( 1$( � ; ( þ � ( � �- #2ú � ��� � ��ú ý ü�� ; � � � 2 ; /�3=� ! 9 0<� , 8 þ > 1$( � � ( � þ ( / þ ( � þ 1$( þ þ � ( ( ( *Tú � � �5� ; � � � 2 / / '435� ! 6 7 7 � 9 7 þ 6 : 1 C � � : � 1 : � ; 0 þ � ( þ 1 : - þ ( ( (' E$� ý � � � �5� ; ; � � 2 - �$35� ! 6 @ : � @ : þ 6 C 6 7 1 9 � þ , � 1 9 � ; ( � ; ( ( (1 ?�ý ü ý � � ���)� ; ; þ � 2 � / 435� ! , 6 : � 6 7 : þ : 0 6 6 1 6 8 � � C � þ 0 � ; @ ( � ; ( ( (/ ?�ý ü ý � � ���)� ; ; ' � 2 ; 435� ! > 6 ,<� 6 > C þ > : : 8 1 6 > � � @ � þ @ � 1 6 7 � ; 0�( ( (; �3ü ú ���.ý � ú ��� � ! ! � 1 2 ' -��$35� ! 6 6 > 0 � : 8 9 þ 6 7 , 9 6 1 , 9 � � 6 8 � þ 6 9 � 1 6 7 � ; 6 >�( ( (� ! B=� ü � �.ú � � ! ! � -�2 þ / !435� ! 6 C 8 8J� 0 , 9 þ 6 9 8 > 8 1 0 : � � 9 7 � þ : 8 � 1 6 , � ; 6 7 ( ( (� � B=� ü � �.ú � � ! ! � � 2 � ;435� ! 6 @ 7 > � 9 > C þ 6 9 7 > > 1 9 @ � � 9 7 � þ , 6 � 1 6 6 � ; 6 : ( ( (

Page 36: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

K L M LONQP R S T U T P T U V W�S X�YZ+[ \^]D_D`DaQb�c b�_+b�c d�eDafg�h i jk i j l m n g�k o g�h n l n o g�p�g i qOr�s t l n u�i j v i k l&g s r�w�i j p�k m g+w�i$x i g i j m l i h�v j o ryp o r�i$i z n p l n g x4r�s t l n u�i j v i k lg s r4w�i j p {�|&} i4p n r+u t i p l&l ~ u�i)o v�x i g i j m l o j � l } i)� j p l&s�p i h+n g�l } i)i z m r�u t i$n gD� i k l n o g�� { � � qm ph n p k o � i j i hw ~D�i p k m j l i p$� � � ��m g�h�k m gDw�i4h i � g i hDm p&v o t t o q$p {��� ���5�����)� ��� �����5����� ����� � �+� ���D D¡£¢ ¤�¥��¦Q�¨§ © � ¤D�� �������ª� ��«­¬ � ��®¯&� ° ° � ® �� �������­�� ��� �� ���&�²± ��«­¬�´³Oµ ���+�ª� �+«O¬ � �Q¶·�m j)r+o j i�k o r�r+o g=n p)l } i+u j o k i p p)o v&x i g i j m l n g xDg i qyr4s t l n u�i j v i k l4g s r4w�i j p)w ~5p s w�p l n l s l n o g�{D|&} n pn g � o t � i pQl } i&p s w�p l n l s l n o g4o v l q&oo j�r�o j i&k o r+u�o g i g l pQn g�m&r�s t l n u�i j v i k l�g s r�w�i j {�|&} i&r�o p l�k o r+r�o g�� m g�hs�p i v s t �p s w�p l n l s l n o g�pl j m g�p v o j r£o g i)r�s t l n u�i j v i k lg s r�w�i j$n g l o�m g o l } i jqn l }Dl } i�p m r�i)r�s t l n u t n k n l ~=� � � �¬ ¸ ¬ � {�|&} i4p i k o g�hDp s w�p l n l s l n o gDs�p i h�w�i v o j i)n p&o v�l } n p&l ~ u�i�m g�hDk m gDw�i4h i � g i hDm p&v o t t o q$p {

��� ���5�5¹ º��4»�� §�¼ª½O�=��¼y¾&�=�$¿ À Á+ Ã4Ä)�ŬD¢ ¤Q¥4�� ¼)�&�­�� Ã4� ��§ © � ¤��� ���&�­�5¿ À Á)Ã4į&� ° ° � ® �� �����­�O± � ¼ ¼ ³ �O�O± � ¼5³ �� ¼4���­�O± � ¼=³ �� Ã4���­�O± � ¼ à ³ ¶� s�k }4¼Om g�h)ím j i�j i v i j j i h$l o$m p�m&u�m n jQo v v m k l o j�p i l p {�|�m w t i�� { Æx n � i pQp o r�i�o v l } i�Ç g o qg4p s w�p l n l s l n o g�po v�l } n p&l ~ u�i � x j o s u�i h�m k k o j h n g x�l o�m s l } o j4� � � �Q¬ ¸ ¬ �Q¬ ¸ È ��É Æ �Q¬ ¬ Ê � Æ Æ �Qj i p u�i k l n � i t ~ {ËQi p p�k o r�r+o g�m j ip s w�p l n l s l n o g�p�j i p s t l n g x$n g+m)k }�m g x i&n g�r4s t l n u t n k n l ~ {�� s�k }+p s w�p l n l s l n o g�p� o l } i j�l }�m gl } i)l ~ u�i�h i p k j n w�i h+w ~DËQi r�r�m�Ì �&n g � o t � i4m4u�m n jo v�v m k l o j$p i l p¼Ím g�hDÃÍq} n k }�o w�i ~+l } i4v o t t o qn g x�{

��� ���5�5¹�¹��4»�� §�¼ª½O�=��¼y¾&�=�$¿ À Á+ Ã4Ä)�ŬD¢ ¤Q¥4�� ¼)�&�OÎ �� Ã4� ��Î� �Ï�)§ © � ¤��� �����OÎ �5¿ À Á)Ã4į&� ° ° � ® �� �����­�O± � ¼ ¼ ³ �­��± � ¼5³ �� ¼4���OÎ �O± � ¼=³ �� Ã4���OÎ �­± � ¼ à ³ ¶|�m w t i� { Éx n � i p�p o r�i�o v l } i&Ç g o qg�p s w�p l n l s l n o g�p�o v l } n p�l ~ u�i)� x j o s u�i h)m k k o j h n g x$l o)m s l } o j&� � � � � � � � � � {|&} iDt n l i j m l s j i�n p4s g�k t i m j+m p4l o=l } iDn r�u�o j l m g�k i�o v)p s w�p l n l s l n o g�p�n g�l } i�h n p k o � i j ~=o vr�s t l n u�i j v i k lg s r4w�i j p � qn l }+l } i$i z k i u l n o g�o vQl } iu�m n j�o v�v m k l o j&p i l p¬ Ì Ð ¬ � È)m g�h�¬ Ì Ñ ¬ É ¬ µ Ì ¬ ¬$� ¬ � ��¬ ¸ ¬ � q} n k }+}�m p�w�i i gm u u t n i h�n g�� i k l n o g�� { � {

Page 37: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ò Ó Ô ÓOÕQÖ × Ø Ù Ú Ù Ö Ù Ú Û Ü�Ø Ý Þß�à á â ã4ä å æ�ç�è à é+ã)ê ë�ì ã íDî ï á�î ð ê ð ï ð ê ñ ë�î&ò ñ óé4ï â ð ê ô�ã ó ò ã õ ðë ï é4á�ã ó îö ÷ø ö)ù&ú­÷ø û4ù ûü ý þ ÿ � � �� � ü � � ü ä�� ü ý þ ÿ � � �� � ü � � þ �� � ä�� ü ÿ ä þ � þ þü ä þ � � � �� � ü � � æ ä�� þ ü ÿü � � ä � � � ý � � � �� � � � ü � � ä � þ ü ÿ � ä ä ÿü � � ÿ � ü ä�� ü ä ä�� þ þ � ä�� ü � � � � � � � � � � � � � � � ý ü � � ÿ � æ ä�� ü ü ä�� ÿ � þ �� þ þ ü ä � ä

� æ ü ä�� � þ � ä þ þ ÿ ÿü � � þ ä þ � ÿ þ � � � � � �� � � ü � ý þ ÿ æ ÿ � ä�� � ü æ ü ÿü � � � ä�� ü ü �� þ þ � þ ü þ ä � � � � � ý � � � � ý � � � ü � � � �� þ � ÿ � æ ä ä ä þ � ä � ä ä þ � � ÿ þ � ü ÿ ä�� ü þ æ ÿ æ ä � æ ÿä � þ þ � þ ä � � ý � � �� � � � � � � ä � þ þ � þ ä �ä � þ ä ÿ � � æ ÿ � þ � ä � � � �� � ä � � þ � ÿ � ä � þä ý ü ä�� æ þ � � � � ý� � � � ä � � ü ä � ÿ �� þ � ÿ � ä � þ

� � ÿ � þ �� ä þ � � �� � ý � � � ÿ � þ ä� � ÿ � þ � þ ü ÿ � � � � � �� � ý � � � � ÿ � þ � � þ ä � ä þ � � þ � ä�� ä ä þ � � � � ý� � � � � � � þ ä � þ ÿ� � ÿ � þ ä � þ ÿ � ä � ÿ � æ � ÿ � ü � þ � � � � � �� � ý � � � � � ý � � ÿ � þ ä�� þ ÿ � ÿ þä�� ÿ � þ ä � �� � � � ä � þ ä � ä þ � � þä � � � ä þ � � � �� � � � ä � � �ä � � � þ ä � � ý � � �� � � � � � ä � ��� þ ä � � þä � ÿ � þ þ � � � � � � ä � ÿ � þ ää � ÿ � þ ä � � ý� � ä ý ��� æ þ� � ÿ � þ þ � ä þ � � � � � � � ý � � � � � ÿ � þ þ � ÿ þ� � ÿ � þ ä � � þ � � � � � �� � ý � � � � � ÿ � þ ä� � þ þ � þ ä � � � � ý� � � � � � þ þ � þ �� ÿ þþ � þ ü ÿ � � �� � þ � þ � þ � þ þü � � � �� � ü � ÿü � ÿ � æ þ � � � � � � � � � � �� � � ý ü � ÿ � ä�� þ � þ � ä ä þä � ÿ � þ ä � �� � ä � �ä � � � ä þ � � ý � � �� � � � ä ý � � æ þ� � ÿ � þ � þ ü ÿ � � � � � � � � � �� � ý � � � � ÿ ý þ �� � � þ � þ ü � þþ ä�� ä þ � � þ � ä�� ä ä þ � � � � ý �� � � � � � � � þ ä � ä þ � � þ � ÿü ä�� ä ÿ � ÿ ä�� þ ä ÿ � � � � � � � ý � � � � � � ý � � � ý ü ä � ä ÿ � ÿ �� þ ä ÿä � � � ä þ � �� � � ä � ��� ü ä�� þ ä ÿ � � æ ÿ � þ � ää � þ þ � ä þ � � þ � �� � � � ä � þ þ � ü ä�� þ ä ÿ � � æ ÿ � þ � ää � þ ä � ä þ � � þ � � ý� � � � ä � þ ä�� ü ä�� þ ä ÿ � � æ ÿ � þ � ää � ü ä � ÿ �� þ ä ÿ � � æ ÿ � þ � ä � � � � ý� � � � ä ý ü ä�� æ þä � � þ � ä�� ÿ ÿ þ � þ � � � � ý � � � � � �� � � � � � ä � � þ � ä �ä � � þ ÿ � þ � æ ÿ � þ þ � � � ÿ � þ ü þ ä � � � � � ý � � �� � � � � ä � � þ � ü ä�� æ þ � þ ü ÿ � þ ä ÿ � æ �

Page 38: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � �! �" # $ % & ' $ " ()# & * +-,)' ./, & 0 & 0 * 1 2

354 6 7 8:9 ; </=?> 4 @A8:B C/D 8 E)F G 6/F H B H G H B I C/F:J K I C H DL; M

N O�J N�MQPRO�J S:M ST U V W X�T 9 Y 9 Z W�T 9 Y 9 Z Z W T V < X�T U [ W 9 T 9 Y Z [ W�T 9 Y Z [ Z W

9 \ ] U X ^ U W _ U Z U�T 9 [ X�T Y [ X�T U ` U 9 ^ a b c d e f \ \ g \ __ a h \ e g \ i f j e9 ^ ^ U X�T U W ^ U ` X�T U 9 W�T 9 Y U 9

T U V W X�T 9 Y 9 Z W�T 9 Y 9 Z Z W T ` 9 Z < V X W�T U [ [ U V ` 9 U X WV�T X ^ U W�T 9 U ^ k _ fe f _ \ V ^ X _ 9 U ^ Z 9 T 9 9 UV ^ X ^ U 9 T U W ^ U ` X ^ k _ f _ \c f e g \ _ g \ i V _ X�T U 9 ^ U W�T Y U`�T V�T U W�T 9 U�T Y U ^ k _ f\ i g l \ 9 ^ X ^ U 9 ^ U W ^ Y U ^ W X�T U ` X`�T X�T U U ^ U W ^ m _ g c\ \ f

9 j V�T U U j U X W�T 9 ` ` U`�T U 9 T 9 U ^ b _ g e\ _ g _ \ 9 ^ U 9 ^ 9 U ^ Y U�T Z 9 T 9 9 U`�T X ^ U 9 T U W _ U Z U ^ m _ f c\ i f ` _ U W ^ U ` X`�T U W ^ U ` X ^ n _ f\ i f V�T X ^ U 9 T U W _ U Z U` ^ U 9 ^ 9 U�T Y U ^ m _ g e\ _ f

9 ^ V�T U 9 _ U X` ^ 9 U�T Y U ^ m el \ 9 ^ X�T U 9 ^ Y U ^ W X` _ 9 U�T Y U ^ d _ g cl \ 9 ^ X ^ U 9 ^ U W�T Y U ^ W X9 T V�T X�T U W ^ ke g \ i 9 ^ X ^ U 9 T U W ^ U ` X9 ^ X ^ U 9 T U W�T 9 UQT Y U ^ o c_ g e g l \ 9 e X j U 9 ^ < U�T Y U ^ W X�T < Y X�T ` Z [ U9 _ V ^ U W�T 9 U ^ a p_ d \ i

9 j X�T U U ^ U W ^ U ` X9 c X ^ U 9 T U W ^ U ` X ^ a p_ d \ i9 l V�T U W�T ` 9 T U 9 X�T V < X�T U [ W 9

9 c X _ U 9 ^ h c f_ b e9 e X ^ U W�T < U

9 l V�T ` 9 T 9 U�T < U�T U 9 X�T V < X�T U [ W 9 ^ a m e_ f c g _ \ g j \9 e V ^ 9 U ^ < U ^ Z 9 T 9 9 U�T < 9 U�T U X ` 9

9 l X�T U W�T ` 9 T U 9 X�T V < X�T U [ W 9 ^ a f c_ m e g \ i9 e X ^ U W ^ < U�T U ` X

9 l 9 X _ X 9 T U 9 X ^ V < X�T U [ W 9 ^ n c g e g \ i_ n _ e9 e 9 X�T < U

V�T X ^ U 9 T U W�T Y U ^ b _ f _ \e g \ _ g l \ V ^ X _ U 9 ^ Y U ^ W XV ^ X ^ U UQT U 9 T U X�T 9 U ^ o _ m \ ic f e g \ \ g \ _ g \ e V _ X j U U ^ U 9 _ U X ^ 9 [ X�T < Y X�T ` Z [ UV _ X ^ U 9 T U W ^ U ` X ^ a p _ dc d e g \ i V j X�T U UQT U W�T X UX j U 9 j 9 U�T < 9 T Y U�T 9 [ W < U ^ o _ m \ \ g \ i \ g ^ ] q \e m \ _ m j _ g l \ X i U 9 c < 9 ^ Y U ^ X W ^ W X�T U V X�T Y 9 UU U�T U X ^ ` W�T 9 [ X ^ b _ f c g e\ e f ^ i U 9 T U X _ ` W ^ Y XV j X j U U _ U X�T ` W�T Y UQT X U�T < Y X�T ` Z [ U ^ a f _ o \ _ g _ \c d e m \ \ f \ e g ^ i V c X l U U j U X ^ ` W ^ Y X�T U X W�T ` Y 9

T 9 [ X�T 9 ` ` U�T < X 9 9 <X c U X�T 9 X�T < 9 ^ h _ d \ \ g \ i fe b \ e g _ e X ] U X ^ 9 X ^ Y X�T 9 [ X�T U [ Y 9U 9 \ \ U 9 W�T U V X ^ U Z U ^ U W UQT ` ` W ^ ^ a b _ h c d e f \ e g ^ _ g _ \ g l \ g e i g i e\ _ a a \ c e g \ ] \ g \ i \ g ^ ^ i U 9 \ j U V X�T U Z U�T U W U ^ U W W�T ` ` WT Z ` X�T Z ` Y W�T U < U W X�T ` Z 9 W 9 T 9 W X�T U U Y 9 T < Y V U�T 9 [ W < U

T < [ < W 9 T U Y U W X U

r-s tvuxw�yLz|{Q} ~Qz|w���y?} �-����~Q���:} ��} �)�� H�K 4 C�6/8AI 6/F 8 � � 8 D�� � I @x� C I ��C�@:G 7 H B �/8 � � 8 K H�C G @:6/8 � F�H �/4 H�F @-4 7 7|� � B @A8A� 4 K H I � F�K 4 C�J 4 C/D�G/F G/4 7 7 ��D I M4 � �/8 4 �Q��B H �)8 E �/I C 8 C H F|� � 8 4 H 8 �|H �/4 C U � ��� 8 � 8 4 F|7 4 � � 8�� � B @A8�� 4 K H I � F|I K K G �Q4 F?4:K I C/F 8 � G 8 C/K 8�I �L�/4 � B C �A4F @)4 7 7L� � B @-8�H I)4:@-I D 8 F HQ8 E �/I C 8 C H�I ��� � I @��/4 � B C �-4A7 4 � � 8 ��� � B @A8�� 4 K H I �:J 4 7 F IA��B H ��4 C)8 E �/I C 8 C H�I � U M ;

Page 39: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � �!����� �A�/  ¡ ¢ £ ¤-¥ £ ¦   § ¨-�/  ¡ § £ ¤/©   £ ª/«

¬|­ ® ¯ °:± ² ³ ´|µ�¶ ·/° ¸ ° ¹ º�¶ ¹/» ° ¼�½ ¾ ®/½ º ¶ º ¾ º ¶ ¿ ¹/½QÀ ¿ ¸�Á:¾ ¯ º ¶ Â/° ¸ À ° à º�¹ ¾ Á:®/° ¸ ½

Ä�Å Æ�Ç È Ä�Å È�Ç ÄÊÉ Ë Ì�Í:Î Í Ä�Å Í:DZ ± Ï ÐÑ Ò ± Ñ ³ Ï ÓÑ Ð± ± Ï ÐÑ Ò ± Ï Ô�Õ Ö ± Ï ÓÑ Ð³ ± Ñ ³ Õ Ô Ñ Ö ± Ï × Ø ÐÑ Ð Ù Ð Ú Ñ Ò ± Ú Û Ô�Õ Ü ± Õ Ö Ý Ô�Õ ± Þ ³ Ö Ï ß àÑ Ó Ù³ ± á Ô�Õ Ö Ö Ï Ö â Ï ã ØÑ Ó Ò ± ä Ü ± Õ Ö ± Ô�Õ ³ Ò Ô�Õ Ö Ý â ± Ï åÑ Ó³ ³ Õ Ô Ï Ó ÑØ æ Ù ç ³ Ñ Ô Ï Ö ± Õ Ö â Ï ã Ñ ÐØ Ð Ù³ ³ Ï ± Ö Ï ãØ Ð ç ³ Ñ Ô�Õ Ö ± Ï è ÑØ é

ê�¿ ¸ °A» ¶ ¸ ° à º ¯ ë ì ¶ À Æ ¶ ½�­AÁ:¾ ¯ º ¶ Â/° ¸ À ° à º�¹ ¾ Á:®/° ¸�í�¶ º î-ï/ð ñòôó Æ ì/õ-ö ÷ Å ï/ð ñò Ç ­ ¹/»Lì À ¿ ¸�­)½ ¾ ¶ º ­ ® ¯ ë)¯ ­ ¸ ø °�®/¿ ¾ ¹/»ù-ìL¶ À�õ�úûù�º î ° ¹Êõ ó Æ ²Aü�¯ º ° ¸ ¹/­ º ¶ ý ° ¯ ë ìLø ¶ ý ° ¹Ê­-ÁA¾ ¯ º ¶ Â/° ¸ À ° à º:¹ ¾ Á:®/° ¸ Æ ­ ¹/»�­) ¸ ¶ Á-°-õ Ï íQ°-à ­ ¹�þ ¹/»Â ¸ ¶ ÁA° ½�õ Ú ­ ¹/»�õ Ñ ­ ¹/»�° ¼ Â/¿ ¹ ° ¹ º�ÿ�� Ö ½ ¾/à î�º î/­ º�õ Ú�� õ Ï � õ Ñ Å õ Ú Á:¾/à î�¯ ° ½ ½�º î/­ ¹�õ Ï Ç ­ ¹/»�õ �Ú õ Ï õ Ñ ó Æí�¶ º î�° ¶ º î ° ¸-õ Ï ó ÷ Å õ �Ú Ç ¿ ¸-õ Ï ó ÷ Å õ Ñ Ç ²Êü�» ý ­ ¹ º ­ ø °�à ­ ¹Ê®/°�º ­ � ° ¹Ê¿ À�º î ¶ ½:® ë�° ·/° à º ¶ ý ° ¯ ë�à ¿ ÁA® ¶ ¹ ¶ ¹ ø�º î °� ��� � ¿ À|½ ¾/à î�¸ ° ¯ ­ º ° »- ¸ ¶ Á-° ½�¶ ¹ º ¿)­A½ ¶ ¹ ø ¯ °�¸ ° ½ ¾ ¯ º ²ê�¿ ½ º�� ¹ ¿ í�¹�Á:¾ ¯ º ¶ Â/° ¸ À ° à º�¹ ¾ Á:®/° ¸ ½�à ­ ¹�®/°�í�¸ ¶ º º ° ¹�­ ½

Æ� Ü � ï/ð ßÚ ï/ð ÐÏ�� � � ï ð �� ï � � Ú ï � � Ï � � � ï��í�î ° ¸ °�ï ò � ï ò � Ú ­ ¹/»�� � � Ö Å ® ¾ º�� ò ú Ö � � ��� Ç ²-¬Qî °AÀ ° í ° ¼ à °  º ¶ ¿ ¹/½�­ ¸ °Aº î °-Â/° ¸ À ° à º:­ ¹/»�º ¸ ¶ Â/° ¸ À ° à º¹ ¾ Á:®/° ¸ ½Q­ ¹/»Aº íQ¿ Ò � Â/° ¸ À ° à º?¹ ¾ Á:®/° ¸ ½?í�¶ º î�� ò Ö À ¿ ¸Q­ ¯ ¯ � ² � ¸ ¿ Á º î ¶ ½Q­�®/¿ ¾ ¹/»Lì ù!��ï � ì à ­ ¹-®/°�½ ° ¯ ° à º ° »L²" ¿ ¹/½ ° # ¾ ° ¹ º ¯ ë�í�î ° ¹ ° ý ° ¸?­�¹ ° í!à ¿ Á-Â/¿ ¹ ° ¹ º ì ï ð ñò ì ¶ ½5¶ ¹ º ¸ ¿ » ¾/à ° »:º î °�¹ ° à ° ½ ½ ­ ¸ ë:à ­ ¯ à ¾ ¯ ­ º ¶ ¿ ¹/½5À ¿ ¸|º î °�÷)¿ À º î °¯ ­ ¸ ø °� ¸ ¶ ÁA°:À ­ à º ¿ ¸ ½Q¿ À?÷ Å ï/ð ñò Ç �!ù�à ­ ¹�®/°%$ à î/­ ¶ ¹ ° » &Aº ¿:ï/ð ñò ­ ¹/»�­-½ ¶ ¹ ø ¯ °:¸ ° ½ ¾ ¯ º�À ¸ ¿ Áx½ ° ý ° ¸ ­ ¯L½ ° # ¾ ° ¹ º ¶ ­ ¯½ º ° Â/½QÀ ¿ ¾ ¹/»L²Q¬Qî ¶ ½Qí�¶ ¯ ¯5®/°Aà ­ ¯ ¯ ° »)¸ ° ½ º ¸ ¶ à º ° »�½ ¶ ø Á)­Aà î/­ ¶ ¹ ¶ ¹ øAÀ ¸ ¿ Áô¹ ¿ í ¿ ¹�­ ¹/»)¶ ½�» ° þ ¹ ° »�­ ½QÀ ¿ ¯ ¯ ¿ í�½ ²�� ¿ ¸­ ¹ ë)à ¿ ÁAÂ/¿ ¹ ° ¹ º|ï ð ­ ¹/»)®/¿ ¾ ¹/»�ù!� Ö ì ½ ° º

÷�' ( ( Å ï ð � ù Ç) ÷ Å ï ð Ç Õ *òÄ�Å õ ò Ç

À ¿ ¸�­ ¯ ¯5õ ò ú!ù í�î ° ¸ °:õ ò ó ÷ Å ï ð Ç ¿ ¸�õ ò ó ÷ Å õ + Ç � � �-,-í�¶ º î�º î °A½ Â/° à ¶ ­ ¯5à ­ ½ °:÷ ' ( ( Å ï ð � . Ç� ÷ Å ï ð Ç �� ¿ ¸Q° ¼ ­ Á- ¯ ° ì ¶ ÀLíQ°:­ ½ ¾ Á-°�± ä ó Æ ­ ¹/»)­:º ­ ¸ ø ° º?®/¿ ¾ ¹/»-¿ À|ù Ö Ý Ý º î ° ¹�½ ¶ ¹/à °�÷ Å ± ä Ç� Ö Ý â ±��!ù)ì íQ°­ ½ ½ ¾ ÁA°�º î/­ º Ö Ý â ± ó Æ ­ ¹/»�½ ¿AíQ°Aà ­ ¹�à î/­ ¶ ¹)º î °Aà ­ ¯ à ¾ ¯ ­ º ¶ ¿ ¹/½Qº ¿ ø ° º î ° ¸�­ ¹/»�à ¿ ¹/½ ¶ » ° ¸

÷�' ( ( Å ± ä � Ö Ý â ± Ç ÷ Å ± ä Ç Õ Ä�Å Ö Ý â ± Ç) Ö Ý â ± Õ Ü�Õ ³ Ò ÔÖ Ý â ± Ü�Õ ³ Ò Ô �/�°:à ¿ ¹ º ¶ ¹ ¾ °�º î °Aà î/­ ¶ ¹)í�î ¶ ¯ °A­ ¹ ë- ¸ ¶ Á-°�º î/­ º�­ ¸ ¶ ½ ° ½?¶ ½Qø ¸ ° ­ º ° ¸Qº î/­ ¹�º î °�®/¿ ¾ ¹/»�ù)ì º î ¾/½

÷ ' ( ( Å ± ä � Ö Ý Ý Ç) ÷ Å ± ä Ç Õ Ä�Å Ö Ý â ± Ç|Ä�Å ³ Ò Ô Ç5Ä�Å Ö ± Ô Ç) Ö Ý â ± ÕÜ�Õ ³ Ò ÔÖ Ý â ± Õ

Ü Ï Ö ± Ô³ Ò Ô

Õ Ü�Õ ± Õ Ü ±Ö ± Ô Ü á ± Õ Ü ±½ ¶ ¹/à °-÷ Å ± ä Ç0 Ö Ý â ± ì/÷ Å Ö Ý â ± Ç0 Ü:Õ ³ Ò Ô ìL÷ Å ³ Ò Ô Ç0 Ü Ï Ö ± Ô ­ ¹/» Ö Ý â ±1� Ö Ý Ý ì/³ Ò Ô � Ö Ý Ý ì Ö ± Ô � Ö Ý Ý í�î ¶ ¯ °÷ Å Ö ± Ô Ç) Ü�Õ ± Õ Ü ± ²)� ¾ ¸ º î ° ¸�° ¼ ­ Á- ¯ ° ½�­ ¸ °�ø ¶ ý ° ¹)¯ ­ º ° ¸�¶ ¹�¬5­ ® ¯ °:± ² Ö Ý ²

243 57698;: <>=�? @BA�C0D;EFC0GB?)H�I;=�? @1H�C�D�J1?)C¬Qî °�®/­ ½ ¶ Ã�½ ° ­ ¸ à îA ¸ ¿ à ° » ¾ ¸ °�¿ ÀFK ° à º ¶ ¿ ¹�± ² Ü í�­ ½|¯ ° ½ ½|º î/­ ¹�à ¿ Á- ¸ ° î ° ¹/½ ¶ ý °�¶ ¹�½ Â/° à ¶ À ë ¶ ¹ ø%$ í�î ° ¸ ° & ìF$ í�î ° ¹�&­ ¹/»-$ î ¿ í!À ­ ¸ & ²FL ¹�­ ¹)­ º º ° ÁA º�º ¿:þ ¹/»)­ ¹/½ íQ° ¸ ½|º ¿Aº î ° ½ °B# ¾ ° ½ º ¶ ¿ ¹/½ Å ¿ ¸�­ ºQ¯ ° ­ ½ º�½ ¿ Á-°�¸ ° à ¿ Á-ÁA° ¹/» ­ º ¶ ¿ ¹/½ Ç ì

Page 40: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

M N O NQP�R�S T�U�V W X Y Z4[ Y \ V ] ^4U�V W ] Y Z�_ V Y `Fa

b c dfe gih jib efe kml nb c d b e l nb e b goel n bpe jihe g b g hh j e ke k b q

rFs t u v w e x b y z w { | }�~ � v u�{ � s | }1| � � | u � w ��� � � � w � u�� | v�s } s � s � �F{ | ����| } w } � b c d

b c d1y)�-� j g � � �j � �l n1y)�-� j g � � �j � �!� j � g � q� � � g � q � j gj �b e�y ��� g � q � j gj � � j � gj g � g � qj �e g�y)�-� g � qj � � j � qg � � q �j �h j4y)�-� q �j � � g cq � � g cj �e k�y)��� g cj � � j �g c ��b j� | u }��1� � wB� � ��w v � w { ��} u ����w v b c d e g h j � b e � e k � l n

rFs t u v w e x e y � w { s ~ s | }�� v w w�{ | v v w ~ ��| }�� s } t�� |4� � � � w � u1� | v�s } s � s � � { | �4��| } w } � b c d

� w � s � � } | � � | | �%� �B~ � v � � w t s w ~�� ��� �0��� � w���w w }%u�~ w ��� |1� }���� � w�t v w � ���1� � | v s �  1| �)� } | � }���u � � s ��w v � w { �} u ����w v ~ x

¡)w v  -� s � � � w���� ~���w w }�� u � � s ~ � w ��| }�� � s ~��1� � � w v x-¢ s � �Q� � w�w £ { w � � s | }�| �B�F| u � w ��¤ k ¥ k ¦ § �4| ~ �4w � v �  v w ��| v � ~4{ | }�~ s ~ � w �-�4w v w �  -| �0� s ~ � ~�| �0} w � � s ~ { | � w v s w ~1¨ | v1{ | ��� s � � � s | }�~�| �0� } | � }�v w ~ u � � ~ © xQª � w%��| ~ �~ u�{ { w ~ ~ � u �F~ w � v { � w ~)��� � w���w w }�� � w0�4| � w v }1{ | ��� u � w v s ~ w �4| } w ~ x « | ��wBs } � | v �1� � s | }1| }4� � wB�4w � � | � ~�u�~ w ���� ~���w w }�� s ~ ~ w ��s }�� � w �-� s ��� }�w � w { � v | } s {4�4� s � s } t�� s ~ �%¤ k ¥ l ¦ | v�| }���w v ~ | }�� � � w �Q~ s � w ~1¤ � � §�k ¥ l ¦ x�ª � w� | � � | � s } t-� w ~ { v s � � s | }�| �0� � w � | v �-| �0� � w��4| ~ �1� { � s � w1v w ~ w � v { � w v ~�¬-­�w � w } s u�~ §�« { � v | w � ��w � §�® | £ ��� � §rF� � �4��w } � � �4� § ¢ | � � �1� }�¨ � }���� |��B� w ~ ~ w v)w £ � w } � § � � w0� u � � | v ©Fs ~ ��� ~ w ��| }4~ u�{ �4w �1� s � s } � | v �4� � s | } x ¯ }  | ��s ~ ~ s | }�| v���s ~ s } � w v � v w � � � s | }1| � � � w s v � | v �4s ~�u } s } � w } � s | }�� �F� }��1v w t v w � � w � x

� | u � w ��t � � w�� � w�� v ~ ��� u � � s ~ � w �1� � t | v s � � ��s {0� � � v | � { �4� |4� }�� s } t4��u � � s ��w v � w { ��} u ����w v ~ x ­�wBt � � wB� }w £ � �4� � w4| ��~   ~ � w �1� � s { � � �  %{ | }�~ � v u�{ � s } t�� � | v � � s } � � v | t v w ~ ~�� � � � w � u � � s { ��� w �%� |%�1� � ��w v � w { �B} u ����w v xª � s ~)� � � � w � u4s ~)v w { | }�~ � v u�{ � w ��s }1rFs t u v w e x b � |�~ � | � � � wB~ w ° u w }�{ w�| �F~ � w ��~�¨ v | � � � s ~ w�� | � } � � v � ~ ©Fs }4� � w� v | { w ~ ~ x)ª � s ~�~ � | u � �1��w�{ | �4��� v w �4� |4� � w�{ | v v w ~ ��| }�� s } t���� v � ~�| � � � w�� w { s ~ s | }1� v w wBs }%rFs t u v w e x e x

± }�� � w�� v | � � w �²| � � � s { ��} w � � v s �4w�� � { � | v�� |�{ | } � s } u w � s � � § � | u � w ��t � � w1} |-w £ � � s { s �4� w u v s ~ � s {� � � � | u t ��� � wB� v w � s | u�~)w £ � ��� � w�~ w w �1~�� |�� | � � | � ��� � v t w ~ ��{ | �4��| } w } ��� v ~ ��~ � v � � w t   x ­�| � w � w v�� wBv w { | t �} s ~ w ��� ��� ����� � v t w4� v s ��w1� � { � | v�u�~ u�� � �  �| { { u v ~�³ ´�1� �1� v w �4s ´w v w4� u s ~ ~ � }�{ w µ�� }��-~ | v � w �%��| ~ ~ s � � w1� v s ��w� � { � | v ~Bs } � |%� � v w w-³ ��� }�� w ~ µ�¨ s ©B� � | ~ w4� w ~ ~B� ��� } k ¥ ¥ § ¨ s s ©B� � | ~ w4��w � � w w } k ¥ ¥ � }�� k ¥ ¥ ¥ � }���¨ s s s ©B� � | ~ wt v w � � w v�� ��� } k ¥ ¥ ¥ x

ª � w�� v s ��w�� � { � | v ~�s }�� � s ~�� � ~ ����� }�� � w v w�� w � � � � s � �%s �4��w � s � � w �  �¨ � s � �%� }�w £ ��| } w } ��| � | } w © x�ª � s ~s � w �Bs ~ s ��� � w �4w } � w �4s }�� � ��� � w0v w { w } ��{ | �4� u � � � s | }�� �¶~ w � v { � w ~ xF¯ � � � | u t �4� � w0} u ����w v�| �F� }���· | v)��| u }�� ~� | v�w � { �4��� }��1��� � w0��w w }�� � � u�~ � w �1� |4� { { | ���4| � � � w0� � v t w v���u � � s ��w v � w { ��} u ����w v ~0¨ � | v�w £ � ��� � w e n l h l k js ~���{ | ����| } w } �)| �¶~ w � w v � � ��u � � s ��w v � w { ��} u ����w v ~�� }��4~ | e n l h l k ~ � | u � ��} | �)��wB� w � � � � s � �4s ���4w � s � � w �   © x

� | u � w �B~ � | u � ��� � ~ |1��w1{ | }�~ s � w v w ��� � w4| v s t s }�� � | v0| ��� � { � | v�{ ��� s } s } t�¬�{ | }�~ s � w v s } t1� � w4} w ��w ¸�w { �B| �

Page 41: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¹ º » ºQ¼�½�¾ ¿�À�Á Â Ã Ä Å4Æ Ä Ç Á È É4À�Á Â È Ä Å�Ê Á Ä Ë¶Ì

Í Î Ï4Ð)Ñ-ÒÔÓ Õ Î Ö Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö Õ Ó Ù Ó Ó Ø Û Ö× Ü ÝÞ ß Þ Þ à á â4Ð)Ñ-ÒÔÓ Õ Î Ö Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö Õ Ó Ù Ó Ó Ø Û Ö× Ü Ý ã × Õ Î Õ Ï Õ ä Ó Ó Ó ØÓ Ù Ó Ó Ø Û Ö ÒÔÓ Õ Î Ö Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö Õ ä Ó Ó Ó Ø× Ü åæ Þ Þ Þ à�Ð)Ñ-Ò Ó Õ Î Ö Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö Õ ä Ó Ó Ó Ø× Ü å ã × ç Ó Õ × Ó Õ Ø Î Ïä Ó Ó Ó Ø Ò Ó ç Î Õ Ï Õ × Ó Õ Î Ö Õ Ø Î Ï Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö× Ü èÍ ß é â1Ð)Ñ-Ò Ó ç Î Õ Ï Õ × Ó Õ Î Ö Õ Ø Î Ï Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó Õ × Ù Ú Ö× Ü è ã × Õ Î Õ Ø Ø Õ Ø Ö× Ù Ú Ö Ò Ó ç Î ç Ï Õ Ø Ø Õ Ø Ö Õ × Ó Õ Î Ö Õ Ø Î Ï Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó× Ü êà à ß Þ1Ð)Ñ�Ò!Ó ç Î ç Ï Õ Ø Ø Õ Ø Ö Õ × Ó Õ Î Ö Õ Ø Î Ï Õ × Ó Ó Õ Ø Ø Ù Ó× Ü ê ã × è Ó Õ × ÓØ Ø Ù Ó ÒÔÓ ê Î ç Ï Õ Ø Ø Õ Ø Ö Õ × Ó ç Î Ö Õ Ø Î Ï Õ × Ó Ó× è ëìFí î ï ð ñ Þ ò æ Ð ó ñ ô í õ í ö ÷�ø ð ñ ñBù ö ð�í ÷ í ø í ú ûFô ö ü�ý�ö ÷ ñ ÷ ø Í Î Ï

ú û û0þ û ú ð î ñ ÿ ý ð í ü4ñ0ù ú ô ø ö ð õ�� ð õ ø ò�� ñ�í û û ï�õ ø ð ú ø ñ �4ø � í õ�í � ñ ú���í ø ��ø � ñBñ � ú ü�ý û ñBö ù Í Î Ï ��í ø � Ñ Í Î Ï à à ß Þ ã Í ß é â ãæ Þ Þ Þ à ã Þ ß Þ Þ à á â � ã Í ä Ö0Ò�Í Ú Þ Ó � × ã à à ã à â ã Í Þ × � â ã à � ã Í Þ Þ �� í ô ��ô ú ÷���ñ0ð ñ ý ð ñ õ ñ ÷ ø ñ �4ú õ)ø � ñ�� ñ ô í õ í ö ÷4ø ð ñ ñí ÷�ìFí î ï ð ñ Þ ò æ ò�� � í õ�í � ñ úBö ù�� ñ ø ñ ð ü4í ÷ í ÷ î�ø � ñB÷ ñ ø�ñ ��ñ ô ø�ö ù¶ù ú ô ø ö ð�ô ��ú í ÷ í ÷ î�í õ�ù ö ð ü4ú û í õ ñ ��� �4ø � ñ�ú ï ø � ö ð�ú õ� � � � ��� � � � í ÷�� ñ ô ø í ö ÷ Þ ò � ò��ñ õ í � ñ õFý ï � û í õ � í ÷ îBü1ú ÷ �B÷ ñ ��ü�ï û ø í ý�ñ ð ù ñ ô ø ÷ ï ü���ñ ð õ ! ö ï û ñ ø ú û õ ö"� ñ ø ú í û ñ ��õ ñ # ñ ð ú û ÷ ñ �Qõ ï ��õ ø í ø ï ø í ö ÷�õ

í ÷�ý�ú ð ø í ô ï û ú ð�ø � ñBý�ú í ð à â × à Í à â ä à � à ã â à à ò� � ñ1÷ ñ � ø�ú û î ö ð í ø � ü�í ô4ú � # ú ÷�ô ñ1ô ú ü4ñ$��í ø �-ø � ñ�õ ï�ô ô ñ õ õ ù ï û�ú ï ø ö ü4ú ø í ö ÷�ö ù0õ ñ ú ð ô � í ÷ î%� � � ñ û ñ ÷ í ï�õ�í ÷à â â Í ò'& ÷�ñ ú ð û ��õ ï�ô ô ñ õ õ'��ú õ'� í õ�� í õ ô ö # ñ ð �Bö ù ø � ñ� ð õ ø â ( ý�ñ ð ù ñ ô ø ÷ ï ü���ñ ð ò�� � í õ���ö ð )�ú û õ öBü1ú ð ) õFø � ñ*� ñ � ï øö ù�ø � ñ0÷ ö ø í ö ÷4ö ù�ñ ��ñ ô ø í # ñ0ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø ú û ø � ö ï î �4û ú ø ñ ð)ð ñ õ ñ ú ð ô � ñ ð õ'��ú # ñ�ï�õ ñ �4ú ÷4ñ � ø ñ ÷�� ñ �$� ñ � ÷ í ø í ö ÷4ö ù�ø � í õ÷ ö ø í ö ÷ � ò�� í õ'� ñ � ÷ í ø í ö ÷�� í õ ô ö ï ÷ ø õ¶ø � ñ�ú ô ø ï�ú û Í ( ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø'� ��ú ÷ �"+�ñ ð õ ñ ÷ ÷ ñ)ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø í ò ñ ò � í õ ú+�ñ ð õ ñ ÷ ÷ ññ � ý�ö ÷ ñ ÷ øFí ù�,.- Ò�Í -�/ à í õFú*+�ñ ð õ ñ ÷ ÷ ñ�ý ð í ü�ñ � ò ì ö ðFñ � ú ü�ý û ñ)ø � ñ�ô ö ü�ý�ö ÷ ñ ÷ ø Í Ø Ù ä ��ö ï û ����ú # ñ�ú ÷�ñ ��ñ ô ø í # ññ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø�ö ù à ß æ / Þ*0 � 0 �)Ò�é â õ í ÷�ô ñ à ß æ Ò�Þ ã � ã

/ à ú ÷�� � Í Ø Ù ä ��Ò � , Ó � � , Î � � , Ï � � Í Ú Ö � ò� � ñ���ú õ í õ)ö ù � ñ û ñ ÷ í ï�õ 1 õ ñ ú ð ô �1õ ø ð ú ø ñ î ��í õ)ø � ñ�õ � õ ø ñ ü4ú ø í ô�ö � ö ü4ñ ø ñ ð�ú û î ö ð í ø � ü2�� ñ ð ñ � �1ú û ûFô ö ü�� í ÷�ú (

ø í ö ÷�õ�ö ùFð ñ õ ø ð í ô ø ñ �4ð ú ÷ î ñ õ)ö ù¶ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø õ�ö ùFú�õ ñ ø�ö ùFý ð í ü�ñ���ú õ ñ õ ú�ý ð ñ õ ñ û ñ ô ø ñ �1õ ñ ø�ö ùFý ð í ü�ñ"� í # í õ ö ð õ � ú ð ñí ÷ # ñ õ ø í î ú ø ñ � ò ��ñ ô ú ï�õ ñ�ö ù¶ø � ñBõ ñ ú ð ô ��ø í ü�ñ0í ÷ # ö û # ñ �3 ø � ñ Í ( ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø í õ ÷ ö ð ü4ú û û ��� � ñ �4ú ÷���ø � ñ0ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø õö ù0ö ø � ñ ð1ô � ö õ ñ ÷�ý ð í ü4ñ���ú õ ñ õ4ú ð ñ%õ � õ ø ñ ü1ú ø í ô ú û û �4# ú ð í ñ �-ö # ñ ð�í ÷�� í # í � ï�ú û�ð ú ÷ î ñ õ ò.� � ñ%ô ö ü"� í ÷�ú ø í ö ÷�ö ùý ð í ü�ñ"��ú õ ñ õ0ú ÷���ô ö ð ð ñ õ ý�ö ÷�� í ÷ î�ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø�ð ú ÷ î ñ õ���ú õ0ô ú û û ñ ��ú�ý ð í ü4ñ ( ý ð ö � û ñ�� �%� ô � ð ö ñ ý ý�ñ û ò�5 � ñ ÷%ø � ñõ ñ û ñ ô ø ñ �%í ÷ í ø í ú û�ô ö ü4ý�ö ÷ ñ ÷ ø õ0ù ö ð�ú1õ ñ ú ð ô �%í ÷ # ö û # ñ�ø � ñ$6�õ ü4ú û û ñ õ øBý ð í ü�ñ õ ¶ø � ñ1õ ñ ú ð ô �%í õ0ð ñ ù ñ ð ð ñ ��ø ö%ú õBú6 ( ý ð í ü�ñ�õ ñ ú ð ô � ò�� � ñBí û û ï�õ ø ð ú ø í # ñ�õ ñ ú ð ô ��í ÷�� ñ ô ø í ö ÷ Þ ò Í í õ�ú à ( ý ð í ü�ñ�õ ñ ú ð ô ����í ø � Í Ø Ù ú õ�ø � ñ�í ÷ í ø í ú û ô ö ü (ý�ö ÷ ñ ÷ ø ò�& Þ ( ý ð í ü�ñBõ ñ ú ð ô �4ù ö ð�ñ # ñ ÷1ü�ï û ø í ý�ñ ð ù ñ ô ø�÷ ï ü"��ñ ð õ���ö ï û ��í ÷ # ö û # ñBúBù ú ô ø ö ð�ö ù¶ø � ñ0ù ö ð ü Í � Þ 7 � 8 ù ö ð# ú û ï ñ õ ö ù39� � ú ÷���:�í ÷1ô ñ ð ø ú í ÷�ð ú ÷ î ñ õ ò'� ñ û ñ ÷ í ï�õ)í ÷�ô ö ð ý�ö ð ú ø ñ ��ù ö ð ü�ï û ú ñ�ù ö ð)ø � ñ0õ ñ ú ð ô ����ö ï ÷�� õ ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø õ� : ò ò ò ú õ�ü�ï û ø í ý û ñ õ�ö ùFø � ñBñ ��ñ ô ø í # ñ�ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø�ô ö ð ð ñ õ ý�ö ÷�� í ÷ î�ø ö1ú4ô � ö õ ñ ÷1ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø*9 ò+�ï�ô ��� í õ ô ï�õ õ í ö ÷�ú ü4ö ÷ î�ð ñ õ ñ ú ð ô � ñ ð õ���ú õ���ñ ñ ÷%ô ö ÷�ô ñ ð ÷ ñ �$��í ø ��ø � ñ�ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø�ð ú ÷ î ñ õ�ú ÷���ô ñ ÷ ø ð ñ �1ö ÷

õ ñ ñ ) í ÷ î�ø ö�ñ õ ø ú � û í õ �4û ö ÷ î ( ø ñ ð ü;# ú û ï ñ õ ù ö ð�ø � ñ0ð ú ø í ö õ ö ù¶ø � ñ Í ( ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø)ø ö�ø � ñ Þ ( ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø ú ÷��1õ í ü�í û ú ð û �ù ö ð4û ú ð î ñ ð�ý ð í ü�ñ õ � ò.� � í õ�ð ú ø í ö4��ú õ�ô ö ÷�õ í � ñ ð ñ �4��ö ø �<� ñ ï ð í õ ø í ô ú û û ��ú ÷���õ ø ú ø í õ ø í ô ú û û � ò � ô � ð ö ñ ý ý�ñ û�î ú # ñø ��ö�� ñ ï ð í õ ø í ôBñ õ ø í ü4ú ø ñ õ�ù ö ð0ø � í õ�ð ú ø í ö� �þ = Í Ð = Þ ÿ ò� � ñ�� ð õ ø0ñ õ ø í ü1ú ø ñ�ö ùBþ ð ö ï î � û � é Ð Þ ÿ4ô ö ü�ñ õ�ù ð ö ü þ ø � ñö ��õ ñ ð # ú ø í ö ÷%ø ��ú øBü4ö õ øBö ù�ú ÷.+�!)ì�>�í õ"? ð ú ÷�� ö ü%1�ý ð í ü4ñ õ0ø ö�ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø à ÿ �� ñ ð ñ$+�!�ì�>�í õ0ï�õ ñ ��ú õBú ÷ú � � ð ñ # í ú ø í ö ÷%ù ö ðBü�ï û ø í ý�ñ ð ù ñ ô ø�÷ ï ü���ñ ð � ò$� � ñ1õ ñ ô ö ÷��%ñ õ ø í ü4ú ø ñ4ö ù�þ ð ö ï î � û ��û ö î Þ Ð û ö î Í%Ò�à ò � é ÿ1ô ö ü4ñ õù ð ö ü9úQþ ô ö ü4ý û í ô ú ø ñ �%ú ø ø ñ ü�ý ø�ø ö�ñ õ ø í ü4ú ø ñ$� ö ��ü4ú ÷ �%ý�ö ��ñ ð õBö ù Í4 ö ð Þ � ú ð ñ�î ñ ÷ ñ ð ú ø ñ �%û ö ÷ î�ø ñ ð ü@� �ñ ú ô �1ý ð í ü4ñ ÿ ò � � í õ0ô ö í ÷�ô í � ñ õ���í ø ��ø � ñ�ú ï ø � ö ð 1 õ�÷ ö ø í ö ÷1ö ù ñ ��ñ ô ø í # ñBñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø ò �& õ ø ú ø í õ ø í ô ú û ú ý ý ð ö ú ô �%ø ö1ñ õ ø ú � û í õ � í ÷ î1ñ � ý�ö ÷ ñ ÷ ø0ð ú ÷ î ñ õ�ï�õ ñ õ0ú4û í ÷ ñ ú ð0ð ñ î ð ñ õ õ í ö ÷%ú ÷�ú û � õ í õ�ö ù�) ÷ ö ��÷

ü�ï û ø í ý�ñ ð ù ñ ô ø�÷ ï ü���ñ ð õ ò�� � ñ0ð ñ õ ï û ø õ�ö ùFõ ï�ô ��ú ÷�ú ÷�ú û � õ í õ�� �4ø � ñ�ú ï ø � ö ð�ô ú ÷���ñ ñ ÷�õ ñ ñ ÷1í ÷�� ñ ô ø í ö ÷ Þ ò ò�& õü�ö ð ñ û ú ð î ñ ð � ü�ï û ø í ý�ñ ð ù ñ ô ø0÷ ï ü���ñ ð õ0ú ð ñ$� í õ ô ö # ñ ð ñ �1ø � ñ�ï ÷�� ñ ð û � í ÷ î1û í ÷ ñ ú ðBú õ õ ï ü4ý ø í ö ÷%í õ�A ï ñ õ ø í ö ÷�ú � û ñ � ï ø�÷ ö4ð ñ ý û ú ô ñ ü4ñ ÷ ø�ü�ö � ñ û3��ú õ���ñ ñ ÷%ô ��ú ü4ý í ö ÷ ñ � ò

Page 42: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

B C D CFEG%H I�J�K L M N O$P N Q K R S$J�K L R N O�T K N U�U

V W X X W YZ [ \$] ^ _$` a�b b _ ` `W c�d_ X _ [ Z a�` e3f%W g ^�h ikj l W m a�b _ m�h�` _ h l b ^%^ _ a l Z ` ] Z b"Y^ W ` _"j l W i�Z [ _ [ ]*c _ h ] a l _Yh `�] ^ _*a�` _*W c3] ^ l _ _�b h ] _ \ W l Z _ `�W c3j�W ` ` Z n X _*j l Z i�_�c h b ] W l `�Y^ Z b ^�^ _*Z m _ [ ] Z o _ m�h `�` i$X e i�_ m�h [�m�Z i�i@p c W l` i�h X X e3i�_ m Z a iqh [�m%Z i�i$_ m Z h ] _�l _ ` j�_ b ] Z r _ X s t u�dZ `�m _ o [ Z ] Z W [4W c�Z i$ivZ `�h `*c W X X W Y*` w$x Z i�i�`�h l _�m _ o [ _ mh `�j l Z i�_ `�j.X h l \ _ e'` a�b ^.] ^�h ]�` Z \ i$h p j�y [�t�YZ ] ^.['z*{�|�^�h `�[ W ]"n�_ _ [<h ] ] _ i�j ] _ m4s _ ] e�` W�] ^�h ]"Y�_$} [ W Y] ^�h ]] ^ _ s�i"a�` ]�\ W�a j�h [�m$] W$] ^ _�o l ` ]j�W Y�_ l�W [ X s ~ u���^ _ ` _"h l _*] ^ _"X h l \ _ ` ]�j l Z i$_ `�Y^ Z b ^�h l _�Z [ r h l Z h n X s_ X Z i$Z [�h ] _ m�o l ` ]�p Z i�i$_ m Z h ] _ X s t�Z [%i�W ` ]` _ h l b ^�^ _ a l Z ` ] Z b ` u�'W�h ` ` Z ` ]�] ^ _"j l h b ] Z b h X'Z i$j X _ i�_ [ ] h ] Z W [%W c�^ Z `^ _ a l Z ` ] Z b e�f%W g ^�h i�a�` _ m�[ W ]*W [ X s�c h b ] W l Z ` h ] Z W [%^ Z [ ] `

p c l W iqc h b ] W l Z ` h ] Z W [<] h n X _ ` e�h `�m Z m<d_ X _ [ Z a�` t�n a ]$h X ` W�e�Z [<l _ b W \ [ Z ] Z W [.W c*] ^ _�Z [�b l _ h ` Z [ \4[ _ _ m.c W l$c h b �] W l Z ` h ] Z W [.W cX h l \ _ l���p ��t e�X Z [ } _ m4^ Z `�b W m _�] W4h [<_ ��b Z _ [ ]�Z i$j X _ i�_ [ ] h ] Z W [<W c] ^ _�i"a X ] Z j X _�j�W X s [ W i$Z h X� a�h m l h ] Z b�` Z _ r _�c h b ] W l Z ` h ] Z W [<h X \ W l Z ] ^ i�p f������.Z [��*���*� � �*e�Y^ Z X _�d_ X _ [ Z a�`�Z [�b W l j�W l h ] _ m.W [ X s<��W X �X h l m3� `��$i�_ ] ^ W m t u��*[ _*W ] ^ _ l*m Z ` ] Z [ \ a Z ` ^ Z [ \�c _ h ] a l _*W c'^ Z `�Z i�j X _ i$_ [ ] h ] Z W [�Yh `�] ^ _*a�` _*W c�h [�_ g j�h [�m _ m] h n X _"W c�` a n�` ] Z ] a ] Z W [�` u��^ Z `] h n X _"Yh `�\ _ [ _ l h ] _ m�n s%b W [�` Z m _ l Z [ \$h X X3j�h Z l `W c�} [ W Y[�i�a X ] Z j�_ l c _ b ]*[ a i$�n�_ l ` u���c _ YFW c3] ^ _�i"a X ] Z j�_ l c _ b ]�[ a i"n�_ l `�m Z ` b W r _ l _ m�n s$d_ X _ [ Z a�`�Y�_ l _*c W a [�m�n s$i$h [ a�h X X s�h j j X s Z [ \"] ^ _� � � � | � e � � � � � ��� � � � ` a n�` ] Z ] a ] Z W ['u�*`*] ^ _$` _ h l b ^%c W l*X h l \ _ l*i"a X ] Z j�_ l c _ b ]*[ a i�n�_ l `_ g j�h [�m _ m3e�] ^ _$m h ] h�` ] l a�b ] a l _ `c W l*] h n X _ `�h [�m%X Z ` ] ` e

YZ ] ^%c h b ] W l Z ` h ] Z W [�`�X _ h m Z [ \$] W$i$h [ s�i�W l _�m Z ` ] Z [�b ]*j l Z i�_�c h b ] W l ` e ^�h `�n�_ b W i$_"h"j�_ l c W l i�h [�b _"b W [�b _ l ['u��^ _"_ h l X Z _ li"a X ] Z j�_ l c _ b ][ a i�n�_ l�` _ h l b ^�Y�W l }�n s$�4W X ] i$h [�b W [�b _ [ ] l h ] _ m$W [�h [%_ ��b Z _ [ ]Z i�j X _ i$_ [ �

] h ] Z W [$W c'h�n�h ` Z b�W m W i$_ ] _ l�` _ h l b ^�` ] l h ] _ \ s u��3W"] ^ Z `�_ [�m3e ] ^ _*] Z i$_ � b W [�` a i$Z [ \"i�a X ] Z j l _ b Z ` Z W [�h l Z ] ^ i�_ ] Z b] ^�h ]"Yh `"a�` _ m4n s.d_ X _ [ Z a�`�h [�m.f%W g ^�h iqYh `�_ X Z i$Z [�h ] _ m4Z [.c h r W a l"W c[�h ] Z r _%� | � n Z ]�h l Z ] ^ i�_ ] Z b$W [ X s u��^ Z `�Yh `�h b ^ Z _ r _ m�n s�l _ ` ] l Z b ] Z [ \"] ^ _*i�h g Z i�a i�| � _ g j�W [ _ [ ]�h [�m�a�` Z [ \$` Z \ i$h"b ^�h Z [ Z [ \"c W l�] ^ _*c _ Y�b h ` _ `Y^ _ l _%h�j l Z i�_�\ l _ h ] _ l"] ^�h [F| � �*� � l _ ` a X ] _ m.c l W i h4�Fc h b ] W l Z ` h ] Z W ['u<p ��^ Z `"Z `"] ^ _%` h i�_�] h b }4] h } _ [n s<] ^ _�h a ] ^ W l$Z [�m _ r _ X W j Z [ \<` Z \ i$h4b ^�h Z [ Z [ \.h [�mFh j j X s Z [ \4Z ]$Z [F] ^ _�X Z [ _ h l$j l W \ l h i$i�Z [ \�i$W m _ X*c W li"a X ] Z j�_ l c _ b ]"[ a i"n�_ l ` e3] W�n�_�m _ ` b l Z n�_ m�Z [.� _ b ] Z W [.� u ¡ u t<��^ Z X _$] ^ Z `"h j j l W h b ^�Z `�_ ��b Z _ [ ] e'] ^ _$i$W m _ ` ]n�W a [�m4W [.] ^ _�| � _ g j�W [ _ [ ]"j l W r _ m�] W W�l _ ` ] l Z b ] Z r _ u�� a n�` _ � a _ [ ] X s4�4W X ] i�h [.^�h `�Z i�j X _ i$_ [ ] _ m.h%` _ h l b ^j l W b _ m a l _*Y^ Z b ^�^�h `�i$W ` ]�W c'] ^ _�c _ h ] a l _ `�W c�f%W g ^�h i%� `�j l W \ l h ikp Z [�b X a�m Z [ \$i"a X ] Z j l _ b Z ` Z W [%h l Z ] ^ i$_ ] Z b eh"m h ] h n�h ` _W c'` a n�` ] Z ] a ] Z W [�`�h [�m�] ^ l _ _�b h ] _ \ W l Z _ `�W c�j�W ` ` Z n X _j l Z i$_c h b ] W l ` t�n a ]�b W [ ] Z [ a _ `�] W"a�` _�h�] h n X _W c���c h b ] W l Z ` h ] Z W [%l h ] ^ _ l] ^�h [�` Z i�j X _�^ Z [ ] `�p d_ X _ [ Z a�` t�W lW [ � m _ i�h [�m�c h b ] W l Z ` h ] Z W [4p f%W g ^�h i$t u�¢*h ] ^ _ l] ^�h [�b h ] _ \ W l Z ` _] ^ _*j l Z i$_ `�Y^ _ [$[ _ _ m _ m3e �4W X ] i$h [�_ [ ^�h [�b _ m$^ Z `�] h n X _*W c'�%c h b ] W l Z ` h ] Z W [�`�n s$` ] h ] Z b h X X sb h ] _ \ W l Z ` Z [ \�] ^ _�c h b ] W l `�h `` i$h X X e i$_ m Z a ivh [�m$X h l \ _ u��^ _"h a ] ^ W l^�h `h m W j ] _ m�h�] ^ l _ _�] Z _ l _ m%h j j l W h b ^�] W$c h b Z X Z ] h ] Z [ \�c h b ] W l Z ` h ] Z W [�` wp Z t%h"] h n X _�W c�b W i�j X _ ] _���c h b ] W l Z ` h ] Z W [�`�c W lj l Z i�_ `�X _ ` `�] ^�h [ � £ £ £ £ c W l*h X X3[ _ _ m _ m�_ g j�W [ _ [ ] `p Z Z t%h"X Z ` ]W c'j l Z i�_"c h b ] W l^ Z [ ] `�c W l} [ W Y[<x ^�h l m ~�b h ` _ `h [�mp Z Z Z t%h�n�h ] ] _ l s�W c�` Z i$j X _$c h b ] W l Z ` h ] Z W [�i$_ ] ^ W m `"` a�b ^.h `���W X X h l m���e'��W X X h l m���� � e'b W [ ] Z [ a _ m�c l h b ] Z W [

h [�m�_ X X Z j ] Z b$b a l r _%p YZ ] ^<` _ j�h l h ] _��*���*� � �;¤���f�h [�m4f���*�4j l W \ l h i$`*a�` _ m�] W�\ _ [ _ l h ] _$] ^ W ` _x ^�h l m ~"^ Z [ ] ` t u

��^ Z X _��4W X ] i$h ['� `$Z i$j X _ i�_ [ ] h ] Z W [�l _ j l _ ` _ [ ] `$] ^ _4` ] h ] _ � W c � ] ^ _ � h l ]�h `$l _ \ h l m `�_ �$b Z _ [�b s e�] ^ _4c a [ �m h i�_ [ ] h Xj l W n X _ i¥W c*Y^ _ l _%n�_ ` ] ¦ o l ` ]$] W4X W W }.^�h `�n�_ _ [�] h b } X _ m<n s<` _ r _ l h XZ [ r _ ` ] Z \ h ] W l `�p Z [�b X a�m Z [ \�4W X ] i�h [�t�n s�i�W m Z c s Z [ \"] ^ _�W m W i�_ ] _ lh j j l W h b ^�] W$h X X W Y�` j�_ b Z o�b*b W i$j�W [ _ [ ] `�] W"n�_*o g _ m%p c W l�_ g h i$j X _Z ]Yh `�c W a [�m�] W�n�_"j l W m a�b ] Z r _�] W$o g � � � §"h `h$b W i�j�W [ _ [ ] t u

Page 43: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¨ © ª ©;«%¬3­ ® ­"¯ °�± ­ ² ® ³ ¬ ´�µ

¶'· ¸ ¹ º"» ¼ ½ ¾�¿3À Á�º Â�¸�À à Ä�Å Æ�Ç À º È º Ä%É"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í ÊÄ Ã É"¸�º  Æ

ÎÏ Ð'Ñ Ò*Ï Ð'Ñ�Ó Ð.Ó» Ô ½Õ Õ Ô Ö ×Ø ½ » × × » ×½ Ù Ô Ú Ô » ×"Û.Ö × ÜÝ Ö Õ Ö Ú » × Þ"Û.Ö × ß àÞ Ô Ô » Ú Ô Ö Ý�Û.Ö × á âÙ » Ø Ö Ú Õ Ù Ô"Û.Ö × ã äÖ × Ø Ø Ö Ú ½ Ø Ö*Û.Ö × ß â áÖ Ö Þ Ù Ö Ú × Ö ×"Û.Ö × ß å âÖ Ô Ö Õ Ô Ô Ú Ø Ô »"Û.Ö × á á Ü

æ$ç èêéìë�í*î�íqï�ðòñ�íó"î�ô�ë

õ  Ã�Å º.¹ À Á�º Â�¸�À à Ä�Å Æ�Ç À Â%Ê ö º4È · ¹ à º<· Ä�ÅFÊ ö º.Ä Ã É"¸�º Â%À Ç�Å Ë Æ Ê Ë Ä�Í Ê%Ì Â Ë É$º4Ç · Í Ê À  Æ$Á�º  º4º Æ Ê · ¸ ¹ Ë Æ ö º Å�¸ ÷ø ÷ ¹ È º Æ Ê º Â�ù Ö Ö Ø ú ¼'û Ç Ð Ë Æ3Ê À*¸�º�·É�à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê'Ä Ã É�¸�º Â�À Ç Ë Ä�Å º ü ÎÏ Ð'Ñ Ê ö º Ä Ò*Ï Ð'ÑÓ<ý Æ Ã�Í ö"Ê ö�· Ê�þ�ÿ� � ß ÎÏ � � Ñ��ÎÏ Ð'Ñ Áö º  º � � ·  º"Æ Ã�Í Í º Æ Æ Ë È º�Ì Â Ë É$º ÆÁË Ê ö � ß�� Ô ��· Ä�Å Ð.Ó þ ÿ� � ß � � ¼���· ¹ à º ÆÀ Ç�Ê ö º Æ º"¹ À Á�º ¸�À à Ä�Å ÆÇ À ÂÈ · Â Ë À Ã�Æ�Ë Ä�Å Ë Í º Æ�Í · Ä$¸�º*Ç À à Ä�Å$Ë Ä%¶�· ¸ ¹ º�» ¼ ½ ¼Fö Ë ¹ º�Ê ö À Æ º*¸�À à Ä�Å Æ·  º�� À À Å�Ç À Â�Æ É$· ¹ ¹�Ë Ä�Å Ë Í º Æ�Ê ö º ÷ � Ã Ë Í � ¹ ÷¹ À À Æ º"Ê ö º Ë Â* º ¹ º È · Ä�Í º�Ç À Â*¹ ·  � º ÂË Ä�Å Ë Í º Æ ¼¶�ö Ë Æ*Í · Ä�¸�º"º · Æ Ë ¹ ÷%Æ º º Ä%¸ ÷%Í À É�Ì�· Â Ë Ä �$Ê ö º Æ º"¹ À Á�º Â*¸�À à Ä�Å ÆÇ À ·�� Ë È º Ä%Ë Ä�Å º ü�ÁË Ê ö%Ê ö º�Í Ã Â Â º Ä Ê ¹ ÷�� Ä À ÁÄ%Æ É�· ¹ ¹ º Æ ÊÉ"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í ÊÄ Ã É"¸�º  Æ�� Ë È º Ä%Ë Ä�¶�· ¸ ¹ º"» ¼ Ô ¼��º ÷ À Ä�Å%·"É$À Å º Æ Ê¸�À à Ä�Å���· Ä%º ü ö�· Ã�Æ Ê Ë È º"Æ º · Â Í ö�Ë Æ�Ä À ʹ Ë � º ¹ ÷�Ê À$¸�º�º �$Í Ë º Ä Ê ¼���¸�º Ê Ê º Â*· Ì Ì Â À · Í ö�ö�· Æ

¸�º º Ä%Ê À�Ã�Æ º"Æ À É$º�È · Â Ë · Ê Ë À Ä�À Ç�·�Æ ÷ Æ Ê º É$· Ê Ë Í�Æ º · Â Í ö�· ÆÅ º Æ Í Â Ë ¸�º Å�Ë Ä ø º Í Ê Ë À Ä�» ¼ ½ ¼��Ä%À ¸ È Ë À Ã�Æ�� à º Æ Ê Ë À Ä%Ë Æ� Fö�· Ê�·  º"Ì Â À É$Ë Æ Ë Ä �$Ë Ä Ë Ê Ë · ¹�Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê Æ � ���� À É$Ë Æ Ë Ä �$Ë ÆÃ�Æ Ã�· ¹ ¹ ÷�Ê · � º Ä�Ê À$É$º · Ä�É$À  º"¹ Ë � º ¹ ÷%Ê À� º Æ Ã ¹ ÊË Ä�·$Å Ë Æ Í À È º  ÷$À ÂÊ À$ º � Ã Ë Â º*Ç º Á�º Â*Í · Æ º Æ�Ê À$¸�º"Í À Ä�Æ Ë Å º  º Å3¼ø Ë Ä�Í º�À Ä ¹ ÷*º È º Ä�É"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê'Ä Ã É"¸�º  Æ3ö�· È º�¸�º º Ä�Å Ë Æ Í À È º  º Å�� Ë Ê'Ë Æ3 º · Æ À Ä�· ¸ ¹ º�Ê À*· Æ �*Áö�· Ê'Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê Æ

À Ç�Ê ö º$Ç À  É@Ô ��·  º�Ì Â À É$Ë Æ Ë Ä �%Ë Ä Ë Ê Ë · ¹�Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê Æ ¼��*Æ�Ä À%É"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê�Ä Ã É"¸�º Â�ÁË Ê ö.· Ä4Ë Ä�Å º ü��  º · Ê º ÂÊ ö�· Ä4Ö Ö�ö�· Æ�¸�º º Ä%Ç À à Ä�Å�� É�À Æ Ê Ï À ÂÌ�À Æ Æ Ë ¸ ¹ ÷%· ¹ ¹ Ñ À Ç'Ê ö º"Ô � Æ�À Ç'Ê ö º�Ë Ä Ë Ê Ë · ¹�Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê � Ô ��� ÁË ¹ ¹3Ä º º Å$Ê À$¸�ºÍ · Ä�Í º ¹ ¹ º Å�Ë Ä�Ê ö º�Í · ¹ Í Ã ¹ · Ê Ë À Ä%À Ç�Ê ö º"Ë Ä�Å º ü%À Ç�Ê ö º�É"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê*Ä Ã É"¸�º  ¼ õ º Â Ê · Ë Ä�È · ¹ à º ÆÀ Ç�Ê ö º�º ü Ì�À Ä º Ä ÊÐ Í · Ä%¸�º�Æ ö À ÁÄ� ·�Ì Â Ë À Â Ë � Ê À$¸�º"Ì Â À É�Ë Æ Ë Ä � Ï · ÆÉ�º Ä Ê Ë À Ä º Å�¸ ÷� %À ü ö�· Ék· Ä�Å�4À ¹ Ê É$· Ä Ñ ¼�û Ç�Ê ö º�· Æ Æ Ã É�º ÅÍ À É$Ì�À Ä º Ä Ê"Ë Æ"À Ç�Ê ö º$Ç À  ÉqÔ ��Áö º  º Ð � ý ��! Ö � � ·" %º Â Æ º Ä Ä º$º ü Ì�À Ä º Ä Ê �'Ê ö º Ä$# Ï Ô ÿ % & ß Ñ � Ô ÿ % ! Ö �Ï Ô % ! Ö Ñ�' # Ï Ô ÿ % & ß Ñ · Ä�Å�# Ï Ô % ! Ö Ñ � Ô % ¼�¶�ö Ë Æ¹ º · Å Æ�Ê À$· Ä%Ë É$É�º Å Ë · Ê º�Ö ( ý  º Å Ã�Í Ê Ë À Ä�Ë Ä�Ê ö º"À Ã Ê Æ Ê · Ä�Å Ë Ä �Ô ) º ü Ì�À Ä º Ä Ê ¼*�;¸ Ë � � º Â"·�Ì Â Ë À  Ë� º Å Ã�Í Ê Ë À Ä4À Í Í Ã Â Æ*Áö º Ä Ð � ��+�! Ö�Áö º  º�¸�À Ê ö � · Ä�Å + ·  º %º Â Æ º Ä Ä ºº ü Ì�À Ä º Ä Ê Æ�Æ Ë Ä�Í º�Ê ö º Ä Ï Ô % ! Ö Ñ Ï Ô , ! Ö Ñ�' Ô ��¼.¶�ö º%Í À   º Æ Ì�À Ä�Å Ë Ä �� º Å Ã�Í Ê Ë À Ä.Ë Æ Ï ��-.+ Ñ ( ��+ ¼4¶�· ¸ ¹ º�» ¼ ݺ Ä Ã É$º  · Ê º Æ Ð � Ê À � º Ê ö º Â�ÁË Ê ö%Ê ö º*Ì�º Â Í º Ä Ê · � º* º Å Ã�Í Ê Ë À Ä�Ë Ä%Ì�·  º Ä Ê ö º Æ º Æ � Ç À Â�È · Â Ë À Ã�Æ�Ì Â · Í Ê Ë Í · ¹ È · ¹ à º Æ�À Ç �· Ä�Å ý�Ï À  + Ñ ¼��*Æ*Í · Ä%¸�º"Æ º º Ä%Ç Â À É�Ê ö º�Ê · ¸ ¹ º � Ê ö º"Æ Ë / º�À Ç'Ê ö º� º Å Ã�Í Ê Ë À Ä�Å º Í Â º · Æ º Æ�· Æ Ð Ë Ä�Í Â º · Æ º Æ ¼û Ê�Á· Æ"Æ Ã�Í ö<Ë Ä Ç À  É�· Ê Ë À Ä.Ê ö�· Ê�ö º ¹ Ì�º Å<Å Ë Â º Í Ê�Ê ö º%Æ º · Â Í ö.Ç À Â�¹ ·  � º Â"É�à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê�Ä Ã É�¸�º Â Æ Ï Ê ö º�Ê Á�À

¹ ·  � º Æ Ê*� Ä À ÁÄ<É"à ¹ Ê Ë Ì�º Â Ç º Í Ê$Ä Ã É"¸�º  Æ�ö�· È º�·4Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê$À Ç�Ô 0 1 ä%· Ä�Å.Õ Ô Ý � Õ�2�Ö × Ý ! Ö Ñ ¼.3*Ä�Í º%Ê ö ºÇ · Í Ê À Â Ë Æ · Ê Ë À Ä%À Ç�Ô ã 1 ß - Ö"¸�º Í · É$º�· È · Ë ¹ · ¸ ¹ º"Ê ö  À à � ö4· Ä�à Ì3Å · Ê º�Ê À�Ê ö º õ Ã Ä Ä Ë Ä � ö�· ÉkÊ · ¸ ¹ º Æ�ù Ö ½ ú �3·$Ê Ë É$ºÍ À Ä�Æ Ã É�Ë Ä �$Ë Ä È º Æ Ê Ë � · Ê Ë À Ä��Æ Ê · Â Ê Ë Ä ��ÁË Ê ö�Ê ö º$Í À É$Ì�À Ä º Ä Ê�Ô ß â 0 ß � Á· Ƹ�º � à Ä�¸ ÷�Ê ö º$· Ã Ê ö À  ¼ ø À$Ç · Â*Ë Ê*ö�· ÆÄ À ʸ�º º Ä%Ç Â Ã Ë Ê Ç Ã ¹ ¼

Page 44: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

4 5 6 587�9�: ; :�< =*> : ? ; @ 9 A�B

C DEF GH IJ KL MNOP QP RST UGVWNRGRX QNY XZ GY NMO[\] ^_`Y NMOaFXP WGMY GbX RaOE GMQcP XZ XZ GWGMbGRX DSGMGd abXP NRP RXZ GT UGVWNRGRX SP eGRP RWDMGRXZ GQGQ

]

^

T

H

f

g

h

J

i

j

`H

`J

`j

`H

Tgk gTlHik f Tlg`k Tglhfk TilJJk `hljmk TTl`mHk`Tl``hk``l`hik`gl

`J

HHk g`lgmk f mlhJk Tglifk Thl`m`k `hl``ikTml`Hgk`Tl`gTk``lTTmk `HlTiik ``l

`j

HJk g`lghk HjlJ gk Tgljfk Tgl``Hk`hl`HTk`jl`g`k `Tl`J mk ``lTf hk `HlHTTk ``lHhmk `ml

H`

h`k gmljTk Hhl`THkTgl`gfkTHl`igk`hlT`hk `JlTfJk `TlTJ ik ``lf mTk `mlgThk jlgiik il

h``T`k gml`iTkHglTf Hk TglHmfk T`lHhgk `hlf Thk `glf iJk `Tlgf ik ``lJ jTk jl`mHhk Jl

ij`JJkgmlThhk HflHggk Tglfffk T`lgHHk `hlhTTk `glJ ``k `Tlimmk ``l``ghk il

`mJT`Hk gmlHTmk Hflf TJk TglgHfk Tmlhf `k `hlJf ik `gliggk `TljhTj``l`Hjmk il

`TJTgHk gmlHimk HflgmJk TglhHfk TmlJ h`k `hliiik `gl`m`gk`Tl

gT``mf `k gml

Page 45: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

n o p o8q�r�s t s�u v*w s x t y r z�{

200 400 600 800 1000Exponent of 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Chain of 2/Exponent of 2

|} ~ � � ��� � � ������� � � ��� ��� ��� } � } � ~*� �"��� � � �

��� � � } ��� � � � � �*� � �*��� � �*� � ��� � �*� � � � ��� } � � � ��� � � ���¡ �} � �.� ��� �$� � �*��� � � � � � �¡¢�� � �¡��� � ����� � �$� � � ��� �} � ���*� � �*��� � � � ��� � � � ��� � �£�¤.� � ¥ ��¦���� ��§�� � � �*��� �¨� © © ¥ ª � � ��« � � ��� � � ��� � ��� � � � � ��� ���*� � �� �� } � �"���� � � } ��� � � � � ��� � �*��� ����� ��� � ��� � ����� � ��� � � ����ª � � �¨£"¬.� � ¥ ª � � � ª � � ­*� ����� ® � �¯.� } � �¨� � ��� � ��� � � � � ��} �"¢� � � ��� � °*� � �¨� � � �*} � } � ~*� � � ��� � �¨� � ��� � � � � � � � } � � � � ���*� � ��� � � } � � � � ��±���� � �

� � ��� � � ��� � � ² � � � ��� ³ � � ��� � � � ��� � � � ~ ´ � �  ������ � � } ��� � � � � ��� � ����� � � ª } ��� µ ¶�� ¬8¥ �¨· � �¨¸�¥ �� �� } � ��� � � �� � ��� � ��� � ��} ��� � ��� � � � � �|} ~ � � ��� � �*� � �  ���� � ��� � � } �*� �� � �*� ³ � � ��� � � � ��� ����¹ º º�� � » ¼ ¥ © ½ ��� � � � ��} � } � } � ��� � ��� � � � ��¾���¢�� ��� � � � �

��� } � � �� �} � �¡� � � � } ��� ��� � � � � � } � � � � � �¡¥*� � � � � � ��� ����� ��� � � « � � �¨� � � � �"��� � � � � �¨� � �*��� � � ��¢�� � ~ � � � �"� �« � ����� } � � �� �} � ��� � � � } ��� ��� � �¨© ¿ � � � � � � � ��� ����� ��� � � � �*� � � � } � } � ~�� � ��� � � � � ��} ��¢� � � �*� � °� �} � ��À�¬Á� �|} ~ � � ��� � �*� � �  ���� ��� ��� � ��� � � � } � } � ~ � � � � ����� � ���*� } � � � } � � � } � ��� } � } � � ��� �*� ��� ��� �� � ����� � � � � � �¨� � } � � � �} � ��� � � � � } � � � ��� } ~ ���*� ��� } � } � ~*� � � � } � } � ~ ��� � � � � ��¥ © Â8� � � ��� � } � ��� � � �Ã� � ��} � } � } � ��� ³ � � ��� � � � � �Ä } ��� �¨} ��} ��� } ´ � � � � ��� ��� � � � �¨ �} � �� � � �*�����*� ³ � � � ��� � � � � ª } � � ���*� � �*��� � � � ��� » ª } ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � �

��� � � } ��� � � � � ��� � �*��� � � ª� ��*�*} ~ � �¨� � ´� ���� ����� � � ��} �"� � �*� � � ��� � } � �"� ��� � �*} � } � } � ��� ³ � � ��� � � � �� �} � ��� � �*�� � � �Å��� � } � ~¡��� ³ � � �*��� � � � � �$|} ~ � � �"� � ­�� � �  ��*� � ��� � � } ��� ��� � �"� ³ � � ��� � � � �*� �¨� ¹ º º�� � » ¼ ¥ © ½ ��� �¡� � �} � } � } � ��� � ��� � � � ��¾���¢�� ��� �  .� � � � } � } � ~*� � ��� � � � � ��� ���� � � � � � ��� ���*� �*� � � � ��� � � � � ��� ��¾��Æ ��~ � � � � � � ª � � �} ��� � ��� } � ��� ����� ³ � � � ��� � � � �¨ �} � ��� � � � � �¨} ��� � � �"� ��} � �*� � } � � ��� ÂÃ� � � ��� � } � ��} ��� � � } � } � } � ��� ³ � � ��� � � � � �Ç�} ~ � � ��È ³ � � � ��� � � � � ��� � � � } � ��� ��� � � ��� } �*} � } � � } � ~ � � � ��� � } � ��} ��� � ��} � } � } � ��� ³ � � ��� � � � � �¢�� ��� � ��� � ��� } � ��� � � �Ã� � � � ��� ��� � � � � � } � ����} ��� ��� ��� �  ÊÉ � � � � Ë � � � � ��� � ��� } ��� � � � � � � � � �  �} � � } �"� � � � � � �

� � � � � � � ��� � ��� � � � } � � � ��Ì�� � � � ��� � � � �*� � �*� � � �¨� � � � � � � } � � ��� � � � ��� � � ª « ��� } � ~ � � � ����� � � } ��� � � � � ��� � ����� � � �} � ��� � ��� ����� �¡� � ��� �*� � � ��� ��� � � � � � } � ~�� � � � � � � � �¨� � � � � � ��� ��� � � � � � � � } � � � � � � � } � ~��"¢�� ��� � � � �¡� �� ��� ��� � � � � �*� � � � ��� ���*� � ��� � ~ � } � ��� ��� ��� � ��� � ����� � ��} � � � � � � ��} ��� � � � � ��} ���¨ �� � � � ³ � ��� � ³ � } � � � ��� ��� � � } � � ������  �� � ��� � � � } � �"� ��� � �¨} � } � } � ��� � ��� � � � ��� ���*} ��} ��� � � � � � ���¦���� ��� � � � } ��� ��´ � �  ���� � � ��� ���*� � � } ��� � � � � ��� � �*��� � ��� � � � } � � ��� � �*��~ � } � � ��� �¨} �"� � � � � � } � ~�� � �*� } ��� ³

� } � ����� ��� � � ��� � � � � � ��¢�� ��� � � � �  �} � ~ � ��� � � � } ��} ����� � � � � ��� � �¨� } � ��� �´ � �  ������ � � } ��� � � � � ��� � ����� � ��� ��� �§�� � � ����� �¨� © © ¥�Í ® ® Î �¨|} ~ � � � � � ° � � �  ���� � �*� � ��� � � � ��� ��� � � � � ����� � �*� � ��� � � � ��� ��� � � �¨´ � �  ��"� � � ��� ���� � � } ��� � � � � ��� � ����� � � ��¦.� � � � � ³ � ² ��� � � ��� � ~ � � � � } � � � } � ��} ��� � � � � � } ���|} ~ � � � ��� � ¶�� ����� � µ�� � �  �� � ��� � � � � � �

Page 46: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ï Ð Ñ Ð8Ò�Ó�Ô Õ Ô�Ö ×*Ø Ô Ù Õ Ú Ó Û�Ü

100 200 300 400 500Exponent of 3

0.5

1

1.5

2

2.5

Chain of 2/Exponent of 3

ÝÞ ß à á â�ã ä å æ�ç�è�â é ê ë�ì í�é î�ï Þ ð Þ ð ß*ì ð"ñ�ò ã ó ô

õ�ï ö ÷ â*ã ä ø æ�ù�Þ ð â ï á�á â ß á â ë ë Þ ì ð�ï ð�ï ÷ ú ë Þ ë�ì íâ û ü�ì ð â ð ê ë�ì í�ý�þÁß Þ ÿ â ð�ï é ì � ü�ì ð â ð ê�� ó

������� � ÷ ì ��â á�� � � à ü ü�â á�� � �ý ��� � ��� ���ã � ä � � ø ã ä � � � � ä � ã ã � ä � � ��� ä � � � � ä ã � � ã ä � ø �� � ä � � ��� � ä � å ã � ä � � å � ä � � ø�� � ä ��� � � ä � � ��� ä � � �� � ä � � ��� ä � � ã � ä ø � å � ä � � ��� ä å � ã � ä � � � � ä � å �� � � ä � å ��� ä � � � � ä ø � å � ä � � ��� � ä � ø � � ä � å ��� ä � � ø� ã � ä � � ��� � ä � ã ã � ä ø ã å � ä � � �!� � ä � � å � ä � � ã"� ä � � �� � � ä � ã ��� � ä � � � � ä � å � � ä � ã �!� � ä � � � � ä � ã ã"� ä � � å� � � ä � ã �#� ä � � ø � ä � å � � ä � ã ã�� ä ø ø � � ä � ã �$� ä � � �

í ì á�ê î â�â û ü�ì ð â ð ê ë�ì í%� ï ð�&'�¨á â ë ü�â é ê Þ ÿ â ÷ ú�ÿ â á ë à�ë�ê î â¨â û ü�ì ð â ð ê�ì í%� ä( ë à �)� ï á ú ì íï�÷ Þ ð â ï á�á â ß á â ë ë Þ ì ð�ï ð�ï ÷ ú ë Þ ë�í ì á�ê î â ë â¨ê î á â â*& ï ê ï*ë â ê ë�ï ð�& ê î ì ë â�í ì á�ê î â�â û ü�ì ð â ð ê ë�ì í� � +� ã +� �*ï ð�& � � + Þ ë�ß Þ ÿ â ð�Þ ð"õ�ï ö ÷ â*ã ä ø ä-,�â ë Þ & â ë�ê î â�ü�ï á ï �*â ê â á ë + � ï ð�& � + í ì á�ê î â�÷ Þ ð â�ì í�ö�â ë ê�. ê + ê î âê ï ö ÷ â�Þ ð�é ÷ à�& â ë�ê î â�á â ß á â ë ë Þ ì ð�é ì â / é Þ â ð ê + � + í ì á�â ï é î�á â ß á â ë ë Þ ì ð�÷ Þ ð â ä�õ�î Þ ë�ÿ ï ÷ à â¨ß Þ ÿ â ë�ï ð�Þ ð�& Þ é ï ê Þ ì ð�ì íê î â ë ê á â ð ß ê î"ì í�ê î â é ì á á â ÷ ï ê Þ ì ð�ì á¨ê î â*ß ì ì & ð â ë ë�ì í�ê î â0. ê ä*õ�î â é ÷ ì ë â á�ê î Þ ë�ÿ ï ÷ à â*Þ ë�ê ì � +�ê î â�ë ê á ì ð ß â áÞ ë�ê î â*ü�ì ë Þ ê Þ ÿ â é ì á á â ÷ ï ê Þ ì ðä�õì�ü á ì ÿ Þ & â*ï ë ë Þ ë ê ï ð�é â�Þ ð"ö�ì à ð�& Þ ð ß�â û ü�ì ð â ð ê¨ë â ï á é î â ë + ê î â*ü�ï á ï � â ê â á ë�í ì áê î â�÷ ì ��â á�ï ð�&�à ü ü�â á*� � �8ö�ì à ð�& Þ ð ß ÷ Þ ð â ë�ì í�ÿ ï ÷ à â ë�ï á â�ï ÷ ë ì ß Þ ÿ â ð212� � � ì í43 ð ì ��ð�ÿ ï ÷ à â ë�í ï ÷ ÷ö�â ê ��â â ðê î â ë â¨÷ Þ ð â ë äÝ ì á�â û ï �*ü ÷ â +�ê ì�é ï á á ú"ì à ê ï�� � ü á Þ �*â�ë â ï á é î5��Þ ê î�ï"é ì � ü�ì ð â ð ê*ì í�� 6 7 8 +�Þ ê�Þ ë*ë à ß ß â ë ê â &"ê î�ï ê*ú ì à

ë â ï á é î2��Þ ê î�ê î â*ï & & Þ ê Þ ì ð�ï ÷é ì � ü�ì ð â ð ê ë�ã 9 � : � ;-��Þ ê î5� � �)<>=2<?� � ø + � �0<A@*<>� ø ï ð�&�ã �0<AB*<>� � ä( ðÁï ð�ï ÷ ú ë Þ ë ì íC3 ð ì ��ðA�*à ÷ ê Þ ü�â á í â é ê�ð à ��ö�â á ë�é ï ð ï ÷ ë ì$ö�â�à�ë â &�ê ì�ë à ß ß â ë ê2��î�ï ê�ê î â�Þ ð�& â û�ì í*ï��à ÷ ê Þ ü�â á í â é ê*ð à �*ö�â á)�*Þ ß î ê*ö�â�í ì á ï"ß Þ ÿ â ð>� ï ß ð Þ ê à�& â�ì á0��Þ ê î�ï"ß Þ ÿ â ð$é ì �*ü�ì ð â ð ê)� ó�ò ÝÞ ß à á â ë*ã ä � �ï ð�&.ã ä � �¡á â ë ü�â é ê Þ ÿ â ÷ ú ô ä8õ�î â ë â'. ß à á â ë�ë ê á ì ð ß ÷ ú�ë à ß ß â ë ê ê î�ï ê�ê î â á â¡ï á â"ö�ì à ð�& ë�ì ð.ê î â�ÿ ï ÷ à â ë�ò ï ð�&â û ü�ì ð â ð ê¨ì í-� ô�í ì á�ü á ì ü�â á*��à ÷ ê Þ ü�â á í â é ê¨ð à ��ö�â á ë¨ì í�ï�ß Þ ÿ â ð"Þ ð�& â û�ä)D�ì ð ÿ â á ë â ÷ ú +�Þ í�ú ì à�ï á â�÷ ì ì 3 Þ ð ß�í ì á��à ÷ ê Þ ü�â á í â é ê�ð à ��ö�â á ë*��Þ ê î$ï�ü�ï á ê Þ é à ÷ ï á¨Þ ð�& â û+�ê î â ë â). ß à á â ë¨ï á â*î â ÷ ü í à ÷ ä�Ý ì á¨â û ï �*ü ÷ â +�Þ í�ú ì à¡é î ì ì ë â

Page 47: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

E F G FIH�JK L KCM N0O K P L Q J R�S

100 200 300 400 500 600Exponent of 2

25

50

75

100

125

150

175

Exponent of 3

T4U V W X YCZ [ \ ]_^_` X X Y a b c U ` d2e�Y c f-Y Y d�Y g h�` d Y d c�` i%Z)b d�j)Y g h�` d Y d c�` i%k

100 200 300 400 500 600Exponent of 2

10

20

30

40

50

60

70

80

Exponent of 5

T4U V W X YCZ [ l ]_^_` X X Y a b c U ` d2e�Y c f-Y Y d�Y g h�` d Y d c�` i%m)b d�j)Y g h�` d Y d c�` i%k

Page 48: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

n o p o�q r s�t u vw x y-z�y { | y x })}0u v |C}�{ ~ w t4� { y }2� t x � u { v ���

100 200 300 400 500 600Exponent of 2

10

20

30

40

50

60

Exponent of 7

�4� � � � �C� � � �_�_� � � � � � � � � �2��� � �-� � ��� � ��� � � � ��� �_�0� ���)� � ��� � � � ��� �%�

� � � �0� �*�2  � ¡)��� � � � � ¢� � £�¡C� � � � ��� � � �   ��� � ¡0��� � ��� � � ���'� � �C¡)� � ��� � ¤ � � £�� �2����¥ ¦ § ��� � � �   � ¢ ��� � ¨ �2� ¡2� � ���� � � � � � � � � £0� �© ��� � � �0� � ¥ ¥ § ��� � � �   �_� � ¡0��� � �%ª�� �-� « � � ¢ � � � �   ¨ � � �C��� � ¨��C  � ¡0��� � � � �_� �4� ¬ � ­ ¬ ¢ � �� �-��¨ � �� ��    � � � � � � ¢ � �-� � ¤ � � £)� �)� � � � ��  �C� �5¥ ¥ § ��� � � �   �C® � ��� « � ����¥ � § ��� � � �   � ¯-� � ¡C��� � ��4� � � � �5� � ¥ ¥ ¢�� ¨ � � � � �2� �C� ¨ � � ��� � ��� �*¤ � � ���?¡C� � � � ��� � � �   �2� � ¡0��� � �)« � � � ���)� ¨ � � � �>� � �>� �C� ¨ � � �  � � � � � ��� ��� � � �-« � � � � � ¢ � � � � � � � ��� ¨�� �� ¨ � � �_¡)� £����-� �*� � ��� �4��� � ����� �*� ¨ �_� ��� � ��� � ¡C� � � � ��� � � �   �� � ¡0��� � � �°A¨ � � ��� � �   � « � � � � �4� � ��� � � � � ��� � � �*¡)� � ��� ��� § ��� � � �   �_� ���2¥ ¦ § ��� � � �   �%� � ¡C��� � �-® � ¨ � � ��� �%� � � £C� � �C¥ ¥ § ��� � � �   �� � ¡C��� �_¤ � � ����¯ ¢ � �_� �%��� � � � « � �0� ¨�� �-� � ¡)� � �-� � � � ¨ ��¡0� � � � ��� � � �   �_� � ¡0��� � �%��� � ¨2� �0� ��� � �0� � � �%� ¨�� �2�*¨�� « ���� � ��� � � ����

±)² ³µ´*¶�·¹¸ º »�¼�½C¾À¿�¾%Á0ÂC¾_½CÃÄÃĺ »2ÂÅÃÆÁ)Ç'¼�¸5È ÁC¾-ùÉ�¸ ½�Ê_º Á0»Ë �0� �>� � � � � ��� � � « �2� �'� ¨ �'� � � � � � � ¨ ¡)�  2� � � �   ¨ ¡)� � ¨ � ��® � �0� � �   � � ��� �5� �AÌ �   � � � ���0� � �'� ���5� � Í ¯*�-�2� � �� � � � � � ��  �0�0� � Î�� � � � ��� � � � � �   ¨2� �2� � � � � ¡0� � � � �)¡0� � � � ��� � � �   ��� � ¡C��� � � �%Ï ��� ����� � � �2� �2� ¨ �0  � ��� � � ��  � � � �4¢� ����� � � � � � � �4¢ � �_�C� � � � � ��� � � � � � ¡0¡)� � �)� �   � � � � �2¡)� � � � �%°�� � ¨ � �'  ¨ � � � ��� � ¡0� � ��� ¨ �C  � � � � � ��� ��� � � �0� � � � � �� � � � � � ¡0¡)� � �0¡)� � � �4� � ¡)��� �0���C� Ð � � « � � � � ��� �2� �2� � ¨�� ��� � � « �C� � � �   ¨4�Ñ-¨ ��« � � � � � � � �%��� � �C� �2� � © � � � �*� ¨ ��� �   � � � � �0¡0� � � ��� � ��� � �   � � ��� �)� �4� � � � � ��� �%Ò� �_Ó Ô Õ*����� ¨ ��� �   � � � � �« � � � � � � �'® « � � � �5¥)� �0¦ ¯0  � � � � � ��� ��� � � ��� � ��¨ � � ¨ � �*Ô�Ö�� � ¢4� �0� �C� � � ¢%� � � ���   � � « � � £ ¢_�'  � ¡)��� � � � �0� ��� ¨ �¡C� � � � ��� � � �   �_� � ¡0��� ��×5�%Ñ-¨ ����� � � �   � � � �4Ô2� ���)ÕC« � � � � �_��� � ������� ���   � © � �0� � � � � �%Ñ-¨ � �_� � � � �%� �C� ¨ �*� � ¡)� � �� �   � ��� � « � � £2  � ��� � � � � ��� ¨�� �-� ¨ � � �C  � �����C� �-¡0� � �-� � �*� �   � � �-� � « � � « � � ��Ô4¢ � � � �%Ó Ô ¥_Ø Ó Ô ��Ø'Ó Ô ��ØAÙ Ù Ù ØÓ Ô Ú�Û?¥ ¢ ��¨ � � ��� ¨ ��  ¨ � �   �-� �4ÚC��� � � ���*� � �   ��� � � �C� � � � � �4Ñ-¨ � �%��� � � � � � � £C��� � � � � � � ���%� ¨ ��� �   � � � � �0« � � � � � � � �� � � �2� � � � ¢ � � � � � � � �2� �2� ��� ���   � � �4� � � � � � �2� � � ��� ��� � � � � � � � Ü � �2� � ��� ����� � ��� � � ��� � � � �-Ý_� � � � � ¡2�-��¨ � � �*� ¨ �« � � � � � � � ��  � �2���0� �)��� � � � � � � � � �2� � �*  � � � � � © � ��� ��Þ�� � � � � � �)�_¨ � �   �*Ï � � � � � ��Ý%� � � � � ¡2��ß à á �Ò� ��â ã â Ô4¢ � ¨ �*� � � � � Ô § � � ��� � � � � ¢ ���C� ¨ �C� � ¡ä� �%� ¨ ��Ô § � � ��� � � � � �-� � ��� � ���� � � � � � �C  � ¡0��� � � � � �-� �%×5�Ñ-¨ � � ��� �_�*� � ��� ��� � ��  £0��� � �-� � �2  � ¡)��� � � � � �_� � � ¡)¡0� � �*� � � ¡I� ¨ �*  � ��� � � � � �)� ¨�� �-å�® ×'¯-æ'ç-è Ï � Ô�é-ê ×� ¨ � �5� ¨ � � �0� �*�0Ô Ö ëìÆí ×î��¨ � � �CÔ�é*ê ï%® Ô Ö ëì ¯ è4Ñ-¨ � �*� � � �2� �*� ¨ �0� � � ��� � � � � � � �-¡0� � �*¡C� � � � ��� � � �   �*� � ¡0��� �� � � �   ¨�� � �   � � � � � � ��Ñ-¨ � � �0� � ��� ��� � ��  � � ��� � � �2� ���2� � ��� �Cð ��� � � ��  � ñ0� Ð ��� � � � ���C® � �'� ¨ �C� � ��� � � � � � ¯ ¢ � � �

Page 49: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ò ó ô ó�õ ö ÷�ø ù úû ü ý-þ�ý ÿ � ý ü ���0ù ú ����ÿ � û ø�� ÿ ý ��� ø ü ù ÿ ú ��

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000Log N

2

4

6

8

10

12

Index

�� � � � ��� � � � ��� ��� � ��� ��� � � � ��! � � !�� � "#� $ % � !�� � � � & % � � "#'�� � (*) � � ( ��(*$ � ��� ��% + ��� � "�'�� �

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Log Log N

2

4

6

8

10

12

Index

�� � � � ��� � � � ��� ��� � ��� ��� � � � �,! � � !�� � "�� $ % � !�� � � � & % � � "�'�� � (*) � � ( ��(*$ � �#$ � �#� �-% + �.� � "#'�� �

Page 50: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

/ 0 1 032 4 576 8 9;: < =*>�= ? @ = < A�A#8 9 @�A,? B : 6�C ? = A�D 6 < E 8 ? 9 F�G

100 200 300 400 500 600Exponent of 2

2

4

6

8

10

12

Index

H�I J K L M�N O P Q R�S T�U M V�W X�Y T W Z T�[ L W [�M L \#K ] ^ I [�M L X M _ ^ T K \#`�M L a*b M L a K�a*M V [�W T M T ^ W X-Q

X W LcM d _ e#b d ] K M W X f�O-H W L-M V d \#[ ] M g a I T�_ M7h-i N j k*lmQ n o�p P N g h-i q j k*l3Q-p N n o�p N P g h-i P P n kclro-p P s g h-i P N kcl3Qcp od T�U#h-i P N t kcl3Q n q-p o-p P o g Z*M e�d b M*^ e M7^ W ^ d ] M V [�W T M T ^cW X;Q7I a�^ e M.a K \uW X�^ e M M V [�W T M T ^cW X;Q7X W L*d ] ] [�W a a I ` ] M_ W \�[�W T M T ^ a g J I b M Tvi I T,[�d L ^ k d a

w x w Q#lrp p p yzQ {�N q7ymp p p yv{;q q7ymp p p y|{�P N P*y|Q {-P N N7y3} } }

~*e M.^ W ^ d ];M V [�W T M T ^ W Xco�I a ] I Y M Z I a M.J I b M T|i I T,[�d L ^ k*d a

w x w o�lz{;N q7yv{;q q.��{�o P �vQ {�o Q.�|N {;o N.�mp p p y|{�P P Q7yv{-P N P*yv{-P N N7y3} } }

� I T�_ M�^ e M�b d L I d ` ] M a.{ f �|�m� � � P ��d T�Uv^ e M�_ W T�a ^ L d I T ^._ W M ��_ I M T ^ a�d L M#I T ^ M J L d ] g;^ e M�b d L I d ` ] M a w x w f|d L Md ] a W#I T ^ M J L d ] g Z I ^ e W K ^ ^ e M�T M M U�^ W#\�d T I [ K ] d ^ M.^ e M \�d a a K�_ e�O

�7d b I T J,a [�M _ I � M U,^ e M�_ W T�a ^ L d I T ^ a W T�^ e M�U M _ I a I W T�b d L I d ` ] M a g�Z*M#Z*W K ] U,] I Y M#^ W�� T�Um� � ��X M d a I ` ] M�a W ] K �^ I W T�a�i I O M O*\�K ] ^ I [�M L X M _ ^7T K \�`�M L a k O*� W Z*M b M L ^ e M�] I T M d L7[ L W J L d \#\�I T J#\�W U M ]�T M M U a ^ W�`�M#_ W \�[ ] M ^ M U,` �a [�M _ I X � I T J�d#] I T M d L7W ` � M _ ^ I b M�X K T�_ ^ I W T�^ W�`�M�W [ ^ I \#I � M Uvi \�d V I \�I � M U,W L \�I T I \#I � M U k O*�me I ] M�� � �.X M d a I ` ] MT W T � � M L W#] I T M d L7_ W \#` I T�d ^ I W T�W X*� ��� W X�^ e M.b d L I d ` ] M acZ*W K ] U�`�M�d _ _ M [ ^ d ` ] M g I ^*I a d#a I \#[ ] M.\�d ^ ^ M L*^ W�_ W T �a ^ L K�_ ^�d T�W `�� M _ ^ I b M�X K T�_ ^ I W T�^ e�d ^.Z I ] ]cd I \�^ W�� T�U�^ e M#\�K ] ^ I [�M L X M _ ^.T K \�`�M L.Z I ^ ev] d L J M a ^7I T�U M V;g;� i ��k ga K `�� M _ ^�^ W,^ e M�M V [�W T M T ^#_ W T�a ^ L d I T ^ a O��7a.� M ^.T W�\�K ] ^ I [�M L X M _ ^�T K \�`�M L.e�d a.`�M M T|X W K T�UvZ I ^ e|d T|I T�U M VJ L M d ^ M L-^ e�d T,P P O-~*e I a-d ] ] W Z7a�K�a-X W L-[ L d _ ^ I _ d ] [ K L [�W a M a�^ W.] I \#I ^-^ e M b d L I d ` ] M a�I T#^ e M*W `�� M _ ^ I b M*X K T�_ ^ I W T�^ Wd.] I T M d L _ W \#` I T�d ^ I W T�W X w x w Q.^ e L W K J e�^ W w x w P P g I O M O�� n w x w Qcy,� t w x w Ncy,� j w x w qcy,� � w x w o-y,�7� � w x w P P O~*e M�b d L I d ` ] M a w x w P N � w x w P o � } } }�d [ [�M d L I T J�I Tz^ e Mz� `�d ] d T�_ M ��M � K�d ^ I W T�a gcd L M�M V [�M _ ^ M U|^ W�e�d b M,d,� T�d ]b d ] K M W X��7X W Lc^ e M�� _ W b M L M U �7_ d a M acd T�U�a W#_ d T�a I \�[ ] �#`�M7L M [ ] d _ M U#` �#^ e M7_ W T�a ^ d T ^*� O-� W ^ M7^ e�d ^cI ^cZ*W K ] Ua ^ I ] ]�`�M�[�W a a I ` ] M�^ W�W ` ^ d I T�d T,W [ ^ I \�d ]*P Q � [�M L X M _ ^ T K \�`�M L�i W L7Z I ^ e�I T�U M VvP  �� P q � P ¡ � P ¢ � } } }-` K ^7T W ^7d T �Z I ^ ezI T�U M V3P N � P o � P s � Q N � } } } k O|��N � [�M L X M _ ^#T K \�`�M L#Z*W K ] U|e�d b M w x w N|l£Pvi d T�Uzd ] ]*W ^ e M L w x w fml�� kZ e M L M d a�d T|¢ � [�M L X M _ ^.T K \�`�M L�Z*W K ] Uve�d b M w x w Q�l¤N�a I T�_ M�¢�l¤Q t O���P � � [�M L X M _ ^.T K \#`�M L�Z*W K ] Uve�d b Mw x w Q�l w x w q�l¥P�a I T�_ M�P ��l3Q.p q O

� T�I T ^ M L M a ^ I T J�[ L W ` ] M \�I a ^ W,U M ^ M L \#I T M�^ e M#Z*M I J e ^ a g �7¦ O S T�W L U M L7^ W�X d b W K L7\�K ] ^ I [�M L X M _ ^7T K \�`�M L a

Page 51: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

§ ¨ © ¨mª7« ¬�­ ® ¯ ° ±,² ³;«7°;­ ´�µ « ¶.· ¸c¬ « ® ¯ ¹ ¯ · °vº » ¶ ¯ » µ ¼ « ¹ ½;¾

¿ À Á Â,Ã Ä Å Æ Ç Å*À È�É À Ê Ç Ë Ì ¿*Ç.Â�Ä Í Ç.Á  Ç.¿*Ç À Æ Â Á Å Ä È Î À È Æ�Ê Ï È�É À Á À Ï È�Ë

Ð7Ñ.ÒzÐ Ó�ÒmÔ Ð Ñ.ÒzÐ7Õ.ÒzÐ Ñ*Ö|Ð Ó�Ò|Ð7×.ÒmØ Ð7Ñ.ÒmÔ Ð Ó.ÒzÐ7Ñ*ÖvÐ7Õ.ÒzÐ7Ù Ù ÚÛ Â Ç�Ë Ï Ã Ü Á À Ï È�À È Í Ï Ã Í À È Æ#Á  Ç�Ë Ý�Ä Ã Ã Ç Ë Á Þ�Ï Ë À Á À Í Ç.À È Á Ç Æ Ç Å ¿*Ç À Æ Â Á Ë*Ê Ä È,ß�Ç.à Ï Ü È�É�ß á,Ë Ï Ã Í À È Æ�Á  Ç.à Ï Ã Ã Ï ¿ À È Æ

À È Á Ç Æ Ç Å Ã À È Ç Ä Å Þ Å Ï Æ Å Ä Ý#Ý�À È Æ#Þ Å Ï ß Ã Ç Ý�âÝ�À È À Ý#À ã Ç â Ð7Ù ÙË Ü ß ä Ç Ê Á*Á Ï�â

Ð7Ó å�Ð7Ñ.ærçÔ Ð7Ñ å�Ð7Ó.ærçÐ7Õ åvÔ Ð7Ñ.ærç

Ð Ñ ÖvÐ7Ó å�Ð7Õ.ærçÐ ×7å�Ð7Ñ å�Ð7Ó.ærç

Ø Ð7Ñ å�Ð7×.ærçÔ Ð Ó åvØ Ð7Ñ.ærç

Ð7Ñ*ÖvÐ7Õ åvÔ Ð7Ó.ærçÐ.Ù Ù å�Ð7Ñ å�Ð7Õ.ærç

Ð7Ñ.ærçÐ ècé,ê

Û Â Ç.Ü È À ë Ü Ç�Ë Ï Ã Ü Á À Ï È�À Ë Ð Ñ.ì3í Ì Ð Ó.ìmî Ì Ð Õ7ì¥ç Ô Ì Ð7×7ì¥ç ï Ä È�É Ð7Ù Ù ì¥ç î ðñ Ã Ã Ï ¿ À È Æ�à Ï Å#Ý#Ü Ã Á À Þ�Ç Å à Ç Ê Á#È Ü Ý#ß�Ç Å Ë�¿ À Á ÂmÄ È á|À È�É Ç ò|Ã Ç Ë Ë�Á Â�Ä È ç ó Ê Ä È|ß�Ç�Ä Ê Â À Ç Í Ç Évß á|ô È�É À È ÆvÁ  Ç

¿*Ç À Æ Â Á Ë Ð è Ì à Ï Å õ ì3Ô ö Ø ö í ö ó ö ç ç Ä È�É ç Ø Ú ÷ Ë À È Æ#Á  Ç�Þ Å Ç Í À Ï Ü�Ë Ä Þ Þ Å Ï Ä Ê Â�Ì Á  Ç#Ä É É À Á À Ï È�Ä Ã�Ê Ï È�Ë Á Å Ä À È Á Ë*Ä Å Ç

Ô Ð7ÑcÖ|Ð Ó7å�Ð.Ù Ù7ærçÐ.Ù Ó å|Ô Ð Ñ åvÐ Ó.ærçÐ Ñ*Ö|Ð ×7å�Ð.Ù Ó.ærç

Ð7Ó*ÖvÐ7Õ åvÐ Ñ åvÐ ×.ærçï Ð Ñ åvÐ Ó åvÐ Õ.ærç

¿ À Á Â,Á  Ç.Ï ß ä Ç Ê Á À Í Ç.ß�Ç À È Æ#Á Ï#Ý�À È À Ý#À ã Ç Ð.Ù Ó ðcø Ï Ã Í À È Æ#à Ï Å Á  Ç�Ë Ý�Ä Ã Ã Ç Ë Á Ë Ü�Ê Â�Þ�Ï Ë À Á À Í Ç.À È Á Ç Æ Ç Å*¿*Ç À Æ Â Á Ë*Æ À Í Ç ËÐ Ñ.ì3ù Ì Ð Ó.ìrç ï Ì Ð7Õ7ì3Ô ç Ì Ð ×.ìmÔ í Ì Ð.Ù Ù7ì3Ø ç Ä È�É Ð7Ù Ó7ì3Ø Ø ð

ú�û üþý�ÿ�������� ������ÿ ����� �vÿ��������,ÿ���� ��� ����������� ���� ÿ��ñ È�Ï ß Í À Ï Ü�Ë�¿ Ä á�Á Ï�Å Ç É Ü�Ê Ç Á Â Ç È Ü Ý#ß�Ç ÅcÏ à;É Ç Ê À Ë À Ï È�Í Ä Å À Ä ß Ã Ç Ë�À Ë-Á Ï�! ô ò "7Ï È Ç Ï Å-Ý�Ï Å Ç7Ê Ï Ý�Þ�Ï È Ç È Á Ë ð$# È#Á  À ËË Á Ü�É á�Á  Ç#Ê Ï Ý#Þ�Ï È Ç È Á Ô % ¿ Ä Ë Ë Þ�Ç Ê À ô Ç É,Ä È�É,Ë Ï�Ä Ã Ã�É Ç Ê À Ë À Ï È,Í Ä Å À Ä ß Ã Ç Ë*Ï à�Á  Ç�à Ï Å Ý'& Ô ( ¿*Ç Å Ç.Ç Ã À Ý�À È�Ä Á Ç É ðÛ Â À Ë Â�Ä É�Á  Ç#Ä É É À Á À Ï È�Ä Ã;ß�Ç È Ç ô Á Ï à-Ë À Ý�Þ Ã À à á À È Æ�Ç Ä Ê Â)! ß�Ä Ã Ä È�Ê Ç "#Ê Ï È�Ë Á Å Ä À È Á ð* Ç Ë Á Å À Ê Á Ç É#Ë À Æ Ý�Ä.Ê Â�Ä À È À È Æ�Ì À È Á Å Ï É Ü�Ê Ç É�À È ø Ç Ê Á À Ï È Ø ð í Ì Þ Å Ï Í À É Ç Ë�Ä7Á Ï Ï Ã à Ï Å-à Ü Å Á Â Ç ÅcË À Æ È À ô�Ê Ä È Á à á.Å Ç É Ü�Ê +À È Æ#Á  Ç.È Ü Ý�ß�Ç Å*Ï à�Þ Å À Ý#Ç.à Ä Ê Á Ï Å ËcÁ Â�Ä Á*È Ç Ç É�Á Ï#ß�Ç.Ç ò Þ Ã À Ê À Á à á�Ý#Ï É Ç Ã Ã Ç É ð-, À Á Â�Ä.ß�Ï Ü È�É,Ë Ç Á Ä Á�. ìrç / / Ì À à

Page 52: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

0 1 2 143�5 687 9 : ; <�= >?5�;?7 @�A 5 B�C D�6 5 9 : E : C ;GF H B : H A I 5 E J8K

L�M N O P Q P R S�P Q-T�L M N�U R�P S U V R M W8O N�U X N�O R T�Y8R S N S U�Z [ \ ]�N�]�R W ^ M�L O U W8L ^ ^ _�P S U V R M W8O N�Z [ ` a b Z�c d e f$c ` Z f�P SGg h8iQ U N Ykj P M N L ^ ^ _�l _�W8Q P S m�L�U L l ^ N�U R�^ R R n W Y�Z [�U R�m P o N�p q r r8j Z [ s ` a a t�u�v w Z�c v Z�]�X P ^ N�n N N Y P S m�U V L O n�R x-U X NN ^ P T�P S8L U N M�x L O U R V Q�j ` Z f \8d e f�L S8Mk` a b Z t�]�X P O XGL V N�S N N M N M�U R�V N O R S8Q U V W8O U�U X N�O R T�Y ^ N U N�V N Q W ^ U t y�z{X P ^ NU X P Q�V N M W8O N Q�U X N�S W T�l8N V�R x?Y V P T�N Q�j L S8M�X N S8O N�M N O P Q P R S�o L V P L l ^ N Q t-U X8L U�T�W8Q U�l8N�O R S8Q P M N V N M?\ L S�N | W8L ^ ^ _P T�Y8R V U L S U�V N Q W ^ U�P Q-U X8L U�U X N�S N N M�U R�T�L S P Y W ^ L U N�o N V _�^ L V m N�j T�W ^ U P Y V N O P Q P R S8t�P S U N m N V Q�O L S�l8N�O R T�Y ^ N U N ^ _N ^ P T�P S8L U N M?y-}�^ T�R Q U�L ^ ^ ^ P S N L V-Y V R m V L T�T�P S m�Y8L O n L m N Q�j P S�Y8L V U P O W ^ L V-U X R Q N�W8Q N M�P S�U X P Q-Q U W8M _ t$L V N�W S8L l ^ NU R�X8L S8M ^ N�o N V _G^ L V m N�P S U N m N V�o L ^ W N Q y�~ R V�U X N�n S R ]�SkT�W ^ U P Y8N V x N O U�S W T�l8N V Q \-L�O R S8Q N V o L U P o N�l8R W S8MGR x� u�` a [�P Q�Q W ��O P N S U�U R�L ^ ^ R ])V N Q U V P O U N M�Q P m T�L�O X8L P S P S m�U R�N ^ P T�P S8L U N�U X N�S N N M�x R V�T�W ^ U P Y V N O P Q P R S�P S U N m N VL V P U X T�N U P O y� RkP ^ ^ W8Q U V L U N�U X NGO R T�Y ^ N U NGQ U V W8O U W V N \�O R S8Q P M N V�U X N�T�R M N ^�U R�� O R o N V ��U X NGO L Q N Q�]�P U X{v �)x R V�L S _Q Y8N O P � N M�a��4�k�{v a�]�X N V N�U X N�Y8R Q Q P l ^ N�O R S8Q N | W N S U�O R T�Y8R S N S U Q�L V N�V N Q U V P O U N M�U R�L S _�O R T�l P S8L U P R S�R xZ � s ����b �?d � s ����� �-f � s ����d �-` ` � s ����Z �-` Z � s ����Z ��` f � s ����Z ��` b � s ����Z �?v Z � s ����v y � X P Q�Q N U�R xY8R Q Q P l ^ N�Y V P T�N�x L O U R V Q�]�P ^ ^?l8N�V N x N V V N M�U R�l _�U X N�S W T�l8N V

��� � q ��u{v � � Z � d [ f � ` ` � ` Z � ` f � ` b � v Z � �� X P Q�Q N U�P Q�S R U�Q N ^ x O R S U L P S N MGP S)U X8L U�R U X N V�Y V P T�N�x L O U R V Q�L V N�S N O N Q Q L V _ y � X N�Q N U�R x�L W � P ^ P L V _GY V P T�Nx L O U R V Q�]�P ^ ^-l8N�V N x N V V N M�U R�l _�U X N�S W T�l8N V � � � � y � X N Q N�L M M P U P R S8L ^$Y V P T�N�x L O U R V Q�L Y Y8N L V�P S�U X N�p-� Q�R xU X N�N ^ N T�N S U Q�R x ��� � q � y���R ]�N o N V \ U X N�S W T�l8N V�R x�Q W8O X�Y V P T�N Q�O L S�l8N�Q P m S P �8O L S U ^ _�V N M W8O N M�l _�L Y Y ^ _ P S mV N Q U V P O U N M�Q P m T�L�O X8L P S P S m8y� S�R V M N V�U R�O R o N V�U X N�O R S8Q N | W N S8O N Q�R x�L S _�N � Y8R S N S U�R x�L�Y8L V U P O W ^ L V�Y V P T�N��$\ L�Q P T�Y ^ N \ l W U�O R S8Q N V �o L U P o N \$l8R W S8MGO L SGl8N�M N U N V T�P S N M�x V R T U X N�o L ^ W N Q�R x�p-j �8¡ t s�¢��£�8y � R�L ^ ^ R ]£x R V�L S _GO R T�l P S8L U P R SGR xM P ¤8N V N S U�Y V P T�N�x L O U R V Q \?L S�R o N V L ^ ^-O R o N V�O L S�l8N�M N U N V T�P S N M�L Q�U X N�Y V R M W8O U�R x-U X N�P S8M P o P M W8L ^-l8R W S8M Q y� X P Q�O L S�l8N�M N � S N M�L Q�x R ^ ^ R ]�Q y�¥�P o N S � u�¦ ¡ � � §¡ ]�N�M N � S N

� j �$s �8s ¨ t�u�© p8q r r8j �$s ¨ t s p q r r8j � � s ¨ t s � � � s p8q r r8j � � s ¨ t ª��« ¬ ­ ® j � t�u�¯

¡� j � ¡ s � ¡ s ¨ ¡ t

x R V�Q R T�N�Q Y8N O P � N M�¨ ¡ \ ]�X N V N�© � � � ª$M N S R U N Q�U X N�^ R ]�N Q U�O R T�T�R S�T�W ^ U P Y ^ N�x W S8O U P R S�R x$P U Q�L V m W T�N S U Q y� S�R V M N V�U R�Q N N n�L�Q N ^ x O R S U L P S N Mkj Q U L l ^ N t�O R o N V�j ]�X P O X�T�L _�S R U�N � P Q U t�]�N�O L SGM N � S N�L�Q N | W N S8O N�R xO R o N V Q�L Q�x R ^ ^ R ]�Q ° ��« ¬ ­ ® � j � t�u ¯ ¡

� j � ¡ s � ¡ s ±kt��« ¬ ­ ® ² j � t�u � j � ³ s � ³ s ¨ ² ´ ³ t-c ¯

¡ µ¶ ³� j � ¡ s � ¡ s ¨ ² ´ ¡ t s¸·�¹4v

]�P U Xk¨ ² ´ ³�l8N P S m�U X N�^ L V m N Q U�Y V P T�N�Q L U P Q x _ P S m�¨ ² ´ ³�º ��« ¬ ­ ® ² » � j � t�L S8M�]�X N V N�¼�P Q�M N U N V T�P S N M�l _�¨ ² ´ ³�º� j � ³ s � ³ s ¨ ² » � ´ ³ t�]�P U X�¨ ² ´ ¡ u{¨ ² » � ´ ¡ x R V�¢�½uk¼�L S8M�¨ � ´ ³�u{± x R V�L ^ ^8¼ y~ R V-U X N�Y V R Y8R Q N M ��� � q ��U X N�l8R W S8M Q � j � ¡ s � ¡ s ±kt�j l8N x R V N�L S _�V N M W8O U P R S�l _�V N Q U V P O U N M�Q P m T�L�O X8L P S P S m tL V N�m P o N S�P S � L l ^ N�Z y b y-~ R V�N � L T�Y ^ N \� j d s � s ±)t�u�© p-j d t s p-j d � t s � � � s p-j d [ t ª

u�© v�c Z s Z ` s v � Z�c ` Z s ` `�c f ` s v�c Z � f s ` b d Z ` ªu{v � Z � f�c ` `�c ` Z�c Z `�c f `�c ` b d Z ` �

Page 53: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¾ ¿ À ¿4Á� Ã8Ä Å Æ Ç È�É Ê?Â�Ç?Ä Ë�Ì Â Í�Î Ï�Ã Â Å Æ Ð Æ Î ÇGÑ Ò Í Æ Ò Ì Ó Â Ð Ô8Ô

Õ$Ö × Ø Ù�Ú Û Ü Ý�Þ�ß à á8â ã�ä ß å�æ ç Ù�è é?ê ëkì4è í�î�ß â Ù Ø?×8Ù ä ß å Ù�å Ù ã æ å ï ð æ Ù â�ã ï ñ î�Ö�ð ç8Ö ï á ï á ñò ó ô�õ ò ê ó ê ö)÷è ø Ü Ú ù ú û ü�ý ø ø�ý ø Ú�ý ø ü�ý ø Ü�ý è Ú�ý Ú ø�ý þ8ø�ý þ Ú�ý ü Ú�ý ÿ Ü�ý ø è ü�ý ø ú ø�ý è ú ü ýÿ ø Ü ø�ý ø Ú ø í ü ø�ý ú è þ è ÿ üÚ Ü è � ú�ý ü�ý ø ø û ø Ú�ý þ8ø�ý � ø�ý ü ú ü�ý ø í Ü Úú � è û Ú û ü�ý ø ø�ý ø Ú�ý Ú ø�ý ü ø�ý ø Ü ú Ú øü ú è � Ú�ý ú û ø Ü�ý þ Ú�ý è ÿ í øø ø Ú è ù Ú�ý ü�ý ø Ü�ý � øø Ú Ú è û Ú�ý ú�ý ü�ý ø ü�ý � øø ü Ú è û Ú û ú�ý è Ü�ý Ú í üø Ü Ú è ù Ú�ý ú�ý ø è ü�ý ø ÿ øè Ú è è ù Ú�ý ü�ý ü Ü

� ß á8ã Ù � à Ù á æ Ø ���� � � õ � � � � � ÷�� ô�õ è ê ø Ü ê ö)÷ ô�õ Ú ê Ü ê ö)÷�� � � ô�õ è Ú ê è ê ö)÷

�{è û ù Ú � û ú � ü � ø ø � ø Ú ù ø ü û ø Ü ù è Ú�ý è Ü�ý Ú ø û þ8ø û þ Ú û � ø ù ü ø�ý ü Ú�ý ü Ü ýÿ Ü�ý ø è ü û ø ú ø�ý ø ÿ ø�ý è ú ü�ý Ú í ü�ý ü ú ü�ý ø í Ü Ú�ý è ÿ í ø�ý ÿ ø Ü ø ýø Ü ú Ú ø�ý ø Ú ø í ü ø�ý ú è þ è ÿ ü �

� å ß î�æ ç ï ã�ï æ�ä ß Ø Ø ß ��ã�æ ç8Ö æ�ú è þ è ÿ ü õ Ö�ð ß î��8ß á Ù á æ�ß á Ø ��ß ä�� õ è � � ÷ ÷�ð ß à Ø â�×8Ù�Ö�â ï � ï ã ß å�ß ä�ã ß î�Ù�î�à Ø æ ï ��8Ù å ä Ù ð æ�á à î�×8Ù å�ð ß � Ù å Ù â�× � � � � � � Û�� ä���Ù�Ö ã ã à î�Ù�æ ç8Ö æ�ú è þ è ÿ ü�ï ã�Ö�ð ß î��8ß á Ù á æ�ß ä�ã à8ð ç)Ö�î�à Ø æ ï �8Ù å ä Ù ð æá à î�×8Ù å�æ ç Ù á�ï æ�ð Ö á�×8Ù�Ù Ø ï î�ï á8Ö æ Ù â õ × ��ð ç8Ö ï á ï á ñ�æ ß � õ è � � ÷ ÷�Ö ã�Ö�á Ù ð Ù ã ã Ö å ��â Ù ð ï ã ï ß á � Ö å ï Ö × Ø Ù�ß ä�æ ç Ù�!#"î�ß â Ù Ø Û�Õ�ç à8ã�æ ç Ù�à �?â Ö æ Ù â�� Ö Ø à Ù ã�Ö å Ù

� � $ $ õ è � � ê ú è þ è ÿ ü ÷%�&� õ è � � ÷-ý ' õ ú è þ è ÿ ü ÷%�{ú è þ è ÿ ü�ý è� (

ú è þ è ÿ ü �{è � (

ô�õ è ê ø Ü ê ú è þ è ÿ ü ÷%�{è � ( Ú ù ú û ü�ý ø ø�ý ø Ú�ý ø ü�ý ø Ü�ý è Ú�ý Ú ø�ý þ8ø�ý þ Ú�ý ü Ú�ý ÿ Ü ýø è ü�ý ø ú ø�ý è ú ü�ý ÿ ø Ü ø�ý ø Ú ø í ü ø

Ö á8â��� � û õ � � � � � ÷�� ô�õ è ê ø Ü ê ú è þ è ÿ ü ÷ ô�õ Ú ê Ü ê ö)÷�� � � ô�õ è Ú ê è ê ö)÷

�{è � û Ú � û ú � ü � ø ø � ø Ú ù ø ü û ø Ü ù è Ú�ý è Ü�ý Ú ø û þ8ø û þ Ú û � ø ù ü ø�ý ü Ú�ý ü Ü ýÿ Ü�ý ø è ü û ø ú ø�ý ø ÿ ø�ý è ú ü�ý Ú í ü�ý ü ú ü�ý ø í Ü Ú�ý è ÿ í ø�ý ÿ ø Ü ø ýø Ü ú Ú ø�ý ø Ú ø í ü ø �

)4ç ï Ø Ù*��Ù�ç8Ö � Ù�å Ù â à8ð Ù â�æ ç Ù��8Ö å æ ï ð à Ø Ö å�×8ß à á8â ô�õ è ê ø Ü ê ö)÷�æ ß ô�õ è ê ø Ü ê ú è þ è ÿ ü ÷%��Ù�ð Ö á�ï á�ä Ö ð æ�ã Ù æ,+ û - . �ú è þ è ÿ ü�ä ß å�Ö Ø Ø�/�ï Û Ù Û-æ ç Ù å Ù�ï ã�Ö�ð à å å Ù á æ�ñ Ø ß ×8Ö Ø?×8ß à á8â�ß ä-ú è þ è ÿ ü Û!?ï 0 Ù ��ï ã Ù 1 ø Ú ø í ü ø 1 ×8Ù ï á ñ�Ö�ð ß î��8ß á Ù á æ�ß á Ø ��ß ä#� õ è � � ÷ 1 ð Ö á�×8Ù�Ù Ø ï î�ï á8Ö æ Ù â�æ ß�ñ ï � Ù�æ ç Ù�à �?â Ö æ Ù â�� Ö Ø à Ù ã 1

� � $ $ õ è � � ê ø Ú ø í ü ø ÷%�&� õ è � � ÷-ý ' õ ø Ú ø í ü ø ÷%��ø Ú ø í ü ø�ý è� 2

ø Ú ø í ü ø �{è � 2

Page 54: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

3 4 5 476,8 9;: < = > ? @ A�8,>�: B�C 8 D�E FG9 8 < = H = E >JI K D = K C L 8 H M�N

OQP R S T U S T V T W X T Y%Z&R [ \ V ] ^ _ X,` T T ` T V,` T X,` T U,` R V�` V T�` a;T ` a V,` X V�` b U `T R X,` T ^ T�` R ^ X ` b T U T

c d;e

f*g h i j ] P f k l m n YGZ&O�P R S T U S T V T W X T Y�O�P V S U S opY�q q q O�P R V S R S opYZ&R r _ V [ _ ^ s X t T T r T V ] T X _ T U ] R V�` R U,` V T _ a;T _ a V _ u T ] X T�` X V�` X U,` b U `T R X _ T ^ T�` T b T�` R ^ X,` V W X,` X ^ X ` T W U V,` R b W T�` b T U T�` T U ^ V T

v w x y c�z { | };c {;};| ~ d;e�| �G� ] � � Z�T V T W X T � | �,c { {�� �� y w �,� � | � � � � | �G� { w ��w d;c x w d z x y ��{ c � z � � x,� � w � � w d x y �Q� ~ � � � d x f*g h i j � c d�};��� | d x w d ~ � e � | � T U ^ V TQ�

� P ^ t Y �;b T U TQ� � P R [ _ Y � � � � ��V X U � � P X ^ X Y c d;e V W X�� � P T X _ Y v w x y cQ� d;c {#z { | };c {#};| ~ d;e | �G� [ � � � Z�V W X � | �c { {#��c d;e

f�g h i j [ � P f�k l m n YGZ&R r _ V [ r ^ s X � T T � T V r T X _ T U � R V�` R U�` V T _ a;T _ a V _ u T ] X T ` X V�` X U�` b U `T R X _ T V X ` T ^ T ` T b T ` R ^ X _ q

� � | ��x y w � f�g h i j v � y c � � x y ��{ c � z � � x � c � x | � R ^ X _ � � y w �,w ��� { w � � x y c x,v �Q� c d d | x � { w ��w d;c x � R ^ X �,� d� c � x,v ��d � � e x | c { { | v � | ��cQ� c � x | �,| � R ^ X � S ����R � � y �Q� c � � v y � � � R [ � ^ t w � c d�� � c � x � c � x | �,� � � ~ w � � � ce � � w � w | d � c � w c } { ��� | � R ^ X _ � w d;� � � m � � P R [ � S V W X YGZ7V�` ^�` T X,` R ^ X c d;e � m � � P ^ t S V W X Y%Z&R _ T U,` R ^ X �� y �*� | � � � w d z � � x w � � � � c d;e � e x | w d;� { ~;e �

f �   ¡ Z&R ^ X _

v w x yO�P R ^ X S R S opYGZ&R�` V�` a V�` u T ` T W b X q

¢ y w { � x y w �,v | ~ { e w d x � | e ~;� � x y ��{ c � z � � � � w � � T W b X�� � P R ^ X _ Y w d x | x y � f�g h i j � w x � c d�};��� { w ��w d;c x � e x |z w � �

� m � � P R ^ X _ S V W X YGZ � P R ^ X _ YG` £ P T W b X YGZ u T ` T W b X,`R t T XT W b X Z&R t T X,` u T

c d;eO�P R ^ X S R S V W X Y%Z&R t V�` T X ` a V�` u T

c d;e � |Qz w � �

f�g h i j [ [ P f k l m n ` f �   ¡ Y�Z f*g h i j [ � P f�k l m n YG` f*g h i j P f �   ¡ YZ7R r s V [ � ^ s X � T T � T V r T X ] T U � R V,` R U�` V T _ a;T _ a V ] u T r X T ` X V,` X U�` b U `T R X _ T V X ` T ^ T ` T b T ` R ^ X _ q

¤ | x � x y c x,v ��� | ~ { e y c � �*cQz { | };c {#};| ~ d;e | � R ^ X ¥&T w d � x � c e�| � V W X � } ~ x c d ¦�� ~ x ~ � �*� � e ~;� x w | d � v w { {#};�x | w d;e w � w e ~;c {#� § � � | d { ¦ �¨ | d x w d ~ w d z x y � � � | � � � � | �,� { w ��w d;c x w | d v ��� | d � w e � � T b T©� � P T U ] Y ��T ^ T©� � P R [ r Y c d;e x y � d T V X7�

� m � � P V t S ^ a X Y v w x y | ~ x c d ¦�� | �Q� { w � c x w | d � � � � | �ªx y w � f*g h i j v � y c � � T R X _ c �Gx y �*{ c � z � � x � c � x | � P w d � c � xx y w � � c � x | �,c { � |�c � � � c � � e w d x y �*| � w z w d;c { f*g h i j [ P f k l m n Y Y � � y ��� c � � v y � � ��� w x y � � R t T U _ | � R [ ] T U _ w � c d� � c � x � c � x | � � � � ~ w � � � cQe � � w � w | d�� c � w c } { ��� | � T R X _ �

Page 55: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

« ¬ ­ ¬7®,¯ °;± ² ³ ´ µ ¶ ·�¯,´�± ¸�¹ ¯ º�» ¼G° ¯ ² ³ ½ ³ » ´J¾ ¿ º ³ ¿ ¹ À ¯ ½ Á;Â

Ã�Ä Å*Æ Ç È Å É Ê Ë ÌQÍ Å Î Ê Í Å Ï Ð;Ñ Ë;Ò Å Ò�Ñ Ì Ñ Ê Ë�Î ÇQÌ Ê È Å

Ó�Ô Õ Ö*×�Ø Ù Ú Û Ù Ü Ú Û

Ý Ê Î ÄÞQß Ø Ù Ú à Ù à á©â%×&Ù ã ä�å Ü æ;Ø ç è

é7Ä Ê ê ÅQÎ Ä Ê Í,Ê Ë Î É Ç Ò ë;Æ Å Í,Î Ä Å�ê Ñ É Ì Å É,Ð É Ê ìQÅ Ü æ;Ø ç í�î ß Ø Ù Ú Û â Ê Ë Î Ç�Î Ä Å Ó�ï ð ñ ò ó Ê ÎQß Ñ Ë;Ò Î Ä ÅQÆ Ç Ë;Í Å ô ë Å Ë Î Ù Ú Ø�íî ß Ü æ;Ø ç â â Æ Ñ Ë�õ;Å*Å ê Ê ìQÊ Ë;Ñ Î Å Ò�Î ÇQÌ Ê È Å

î;ö ÷ ÷ ß Ø Ù Ú Û à Ù Ú Ø âG×&î ß Ø Ù Ú Û âGå ø ß Ü æ;Ø ç â%å ø ß Ù Ú Ø âG×7ä�å Ü æ;Ø ç,å Ù Û Ü�å Ù Ú ØÜ æ;Ø ç å Ù ù Ø ÚÙ Ú Ø ×&Ù ú ä�å Ü�å Ø Ú

Þ�ß Ø Ù Ú à Ù à Ù Ú Ø â%×&Ù ã ä�å Ü�å Ø Ú

Ñ Ë;Ò

Ó*ï ð ñ ò û ü ß Ó�ý þ ö ÿ�å Ó Ô Õ Ö â�×&Ù ü ú ä û ã Ü � Ú � Ø Ø ü Ø ä ü Ø Ú ù Ø ç ü Ù ä Û Ù ç�å ä Ø Û æ;Ø Û æ ä � � Ø ùÚ Ø å Ú ä�å Ú ç�å � ç�å Ø Ù Ú Û Ù Ü Ú Û è

Ã�Ä Å�Å ê Ê ìQÊ Ë;Ñ Î Ê Ç Ë�Ð É Ç Æ Å Í Í,Æ Ç Ë Î Ê Ë ë Å Í Ý Ê Î Ä � ç í�î ß Ù û � â ó%Ú ç í�î ß Ù ä Û â ó#Ú ä�í,î ß Ù � â ß Ç É Ú ä í�î ß Ù û ã â â Ñ Ë;ÒÚ ØJíQî ß Ü ù â � éJÅ�Î Ä Å Ë�� Ë;ÒpÎ Ä;Ñ Î*Î Ä Å Æ Ç È Å É*Ë Å Å Ò Í*Î Ç�õ;Å ë É Î Ä Å É�Å Ï Ð;Ñ Ë;Ò Å ÒJÎ ÇJÊ Ë;Æ ê ë;Ò Å � Ø ù Ç É�Î Ä Å Æ Ñ Í ÅÝ Ä Å É Å ä � Ø Ø � Ø ä Û Ù Ü Ú Û Ê Í Ñ Ë Å Ï Ñ Æ Î� Ñ Æ Î Ç É Ç #Î Ä Å*ì*ë ê Î Ê Ð;Å É Å Æ Î Ë ë ì�õ;Å É � Ã�Ä Ê Í�ê Å Ñ Ò Í�Î Ç

Ó Ô Õ Ö�×�� Ø ù Ø Ù Ú Û Ù Ü Ú Û

Þ�ß � Ø à æ;à ápâG×&Ù Û ä�å Ü�å Ø ä�å ä Ø�å ç Ú,å Ø ä Ø�å Ø � � Ø�å Ù Ø æ ç Ø è Å Ï Î Ù Ø æ ç Ø*í�î ß � Ø ù â ó#Ø � � Ø�í î ß � Ø � â ó#Ø ç çQí�î ö ÷ ÷ ß � Ø ù à Ù Ø æ ç Ø â Ñ Ë;Ò ç ÚQí�î ß � Ø Û â Ñ É Å�Å ê Ê ìQÊ Ë;Ñ Î Å Ò�Î Ç�Ì Ê È Å

î;ö ÷ ÷ ß � Ø Û à Ú Ø âG×&î ß � Ø Û â%å ø ß ç Ú âG×&ä�å Ø ä,å ç Ú,å Ù�å Ú Ûç Ú ×&Ù�å ä�å Ú Û Ø ä

î ö ÷ ÷ ß � Ø � à Ú Ø âG×&î ß � Ø � âGå ø ß Ø � � Ø â%×&Ù Û ä Ø å Ø � � Ø�å Ù�å Ú Û Ø çØ � ç Ø ×&Ù � Ú Û Ø ç,å ä Ø

î ö ÷ ÷ ß � Ø ù à Ú Ø âG×&î ß � Ø ù âGå ø ß Ù Ø æ ç Ø â%å ø ß Ø ç ç â%å ø ß Ø ä Ø â×&Ü�å Ø ä Ø�å Ù Ø æ ç Ø�å Ù Û ä � Ø ç çÙ Ø æ ç Ø å

Ù � Ü ÛØ ç ç å

Ù Û ä�å Ø ØØ ä Ø ×&Ù ã ä ù Ü � Ø Ø

ÞQß � Ø à æ;à Ú Ø âG×7Ù ã ä ù Ü � Ú Û Ø Ø å Ø ä�å Ø ç�å ä ØÑ Ë;Ò

Ó*ï ð ñ ò û � ß Ó�ý þ ö ÿ�å Ó�Ô Õ Ö â�×&Ù úü ä Û û Ü û � Ú û � Ø Ø ú Ø ä ú Ø Ú ù Ø ç ú Ù ä Û Ù ç�å ä Ø � ä Ú å æ;Ø Û æ ä � � Ø ùØ Ù Ú Û Ù Ü Ú Û è

� Î�Ê Í*Î Ä Å Ë©Ë Å Æ Å Í Í Ñ É ��Î Ç�Å Ï Î Å Ë;ÒpÎ Ä Å�Æ Ç È Å É*Î Ç�Ê Ë;Æ ê ë;Ò Å æ ä � Ç É*Î Ä Å Æ Ñ Í Å Ý Ä Å É Å Ù û � Ú ü Ù Ü Ú Ê Í�Ñ ËpÅ Ï Ñ Æ Î Ñ Æ Î Ç É Ç #Î Ä Å*ì*ë ê Î Ê Ð;Å É Å Æ Î Ë ë ì*õ;Å É � Ã�Ä Ê Í�Ê Í� Ç ê ê Ç Ý Å ÒQõ �QÎ Ä Å*Å ê Ê ìQÊ Ë;Ñ Î Ê Ç Ë Ç � ä Ø*í�î ß æ ä Û â Î Ç�Ì Ê È Å

Ó Ô Õ Ö�×7æ ä � � Ø ù Ø Ù Ú Û Ù Ü Ú Û

î ö ÷ ÷ ß æ ä Û à � ä Ø âG×&î ß æ ä Û â%å ø ß � ä Ø âG×&ä�å � ä Ø�å Ù � Ú ç� ä Ø ×&Ù � ä,å Ú ç

Page 56: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ����� ��� � � � � � !"���"� #$ � %'& ()� � � � * � & �,+ - % � - $ . � * /"0

12 3 4 5 4 5 6 4 7 8:9�; < 4'= > ? 7 7�= 4 @�= @ A BC)D E F G H EI@ AKJ'L:2 ; 4 ? 8�M�D N�H F G OPG Q�D R H S T U R'M�G R V,R V HWH X Y�D Q�N G Z QKZ [)R V HP\ Z ] H E�R ZG Q�\ F U�S HI3 4 < M�HWOIU�N R�Q Z M^ T�D \ _ U Y�` D Q�S�D F F Z Ma[ Z EP@ A ? D NID Y�Z N N G T F HP[ D \ R Z E b c�V H E H [ Z E HPM�HPE H ] H E R'R Z,L�d e e�2 ; 4 ? 5 fg8W9h@I= @ AKD Q�S1P2 ; 4 5 ; 5 fg8)9�; < 4'= @�= @ A b:c�V G N�E H N U F R N�G Q

i�j k l 9�3 4 < 6 7 m @ A ? 7 ; @ ? ; > @ ?

1P2 @ A 5 ; 5 fg8)9�; m 4'= >'= @ ? 3 4 Bn:E H ] G Z U�N F o Z Q F oK3 4 j 5 p�qa4M�D N'\ D R H E H SK[ Z EIT U R'M�G R V,R V HPG Q R E Z S U�\ R G Z Q�Z [�DY�Z N N G T F HW[ D \ R Z EIZ [�@ A ? M�HOIU�N R�Q Z M�G Q�\ E H D N H'R V H'OD X G OWU OrH X Y�Z Q H Q R�Z [:3 4IR ZPpqg3 2 R ZD F F Z M�[ Z E�; s < @ t @ A ? ; > @ID N�DI[ D \ R Z E 8 b)c�V HU Y"S D R H S] D F U H N�D E H

i�j k l 9�3 4 m 6 7 m @ A ? 7 ; @ ? ; > @ ?1P2 3 4 5 3�5 6 4 7 8)9�; s u 4 ? > ? @�= 7 7�= 4 @�= @ A

D Q�SV H Q�\ H

i'v w x y ? ? 2 i�z { d |�= i�j k l 8)9�; } ~ 4 ? m > s t @ s < 7 7 } 7 4 � 7 @ m 7 A � ; 4 ? ; A�= 4 7 < 4 @ ? 3�7 ? 3 4 m 6 7 m@ A ? 7 ; @ ? ; > @ ? B

c�V G NPY E Z \ H N NZ [IH F G OPG Q�D R G Z Q���U Y"S D R G Q ��D Q�S"��OWZ E HK[ E H � U H Q R F o ��T�D \ _ G Q ��U Y�F H D S NH ] H Q R U�D F F ogR Z�DN H F [ \ Z Q R D G Q H S,2 N R D T F H 8�\ Z ] H E�Z [

i�j k l 9�; A < 4 7 m 4 @ m 3�7 m 3 4 m > 4 ? 6 7 m 6 @ < @ 4 ? @ A ? � A ? 7 ; @ ? 7 4 7 ? 7 4 @ ? ; > @ ?

M�G R V�R V HK\ Z E E H N Y�Z Q�S G Q �K] D F U H NIZ [�R V H E H N R E G \ R H SgN G � OPD,\ V�D G Q�NI[ Z EPR V H N HT�Z U Q�S NW� G ] H QgG Q�c:D T F HK4 b 7 �2 M�V H E HW��G Q�S G \ D R H N�Z Q H'G R H E D R G Z QZ [�R V HI\ V�D G Q G Q �WY E Z \ H N N 8 b)c�V HI1a] D F U H N�D E H�� G ] H QG QKc�D T F H'4 b 7 7�M�G R VR V H'� Q�D F i'v w x y T�H G Q �

iIv w x y e � � j � 2 i�z { d |�= i�j k l 8)9�; s s � 4 < � > ? m @ ? s 7 7 s ? 7 4 ~ 7 @ � 7 A } ; 4 < ; A < 4 7 m 4 @ m 3�7 m 3 4 m> 4 ? 6 7 m 6 @ < @ 4 ? @ A ? � A ? 7 ; @ ? 7 4 7 ? 7 4 @ ? ; > @ ? B

i�z { d |�= i�j k l S H R H E OPG Q H N�R V HIS H \ G N G Z Q] D E G D T F H N�Z [�R V HI��ngOWZ S H F�D Q�SR V H'H X R H Q R�Z [�R V H'E H N R E G \ R H S N G � OPD\ V�D G Q G Q ��b

Page 57: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ����� ��� � � � � � �"���"� �� � �'�  )� � � � ¡ � � �,¢ £ � � £ � ¤ � ¡ ¥�¦

§�¨ © ª «I¬ ­ ® ¯ °)±�« ² ³ ´ µ ¶ ³ « · ² µ ¸ ¹¨W¶ º�¨ µ »�²�¼ ½ ´�³ º «W¾ ¿�À Á,Â�¾ ¯I¹P½ · « ª

Ã�Ä Å Æ Ç Ç�È Ã�Ä À É Ê¾ ¬¾ Ë Ì¾ Í ¬'ΠϾ Ð ¬ ®¾ Ñ ¬ Ë Ì¾ Ò ® ¾ ̾ Ó ¬'Î Ï'Î ® ̾ Ô Ì�Î Ì ¬¾ Õ ¬'Î ® ®�Î ¬ ®¾ Ö × ¾ ¬'Î Ø Ù¾ Ö Ö ¬ Ë Ï'Î Ì�Î ® ¬¾ Ö Ë Ø ® Ù ®�ÚÛ¾ Ö Í¾ Ö Í ¬'Î Ü ¬'Î ® ¾ ̾ Ö Ð Ì�Î ¬ ®�Î ® Ï ®�ÚÛ¾ Í Ì�Î ® Ù'Î ¬ ®¾ Ö Ñ ¬'Î Ï'Î ® Ì�Î ¾ Ï Ì¾ Ö Ò ® ¬ ® ¯ Ì ®�ÚÛ¾ Ö Ó¾ Ö Ó ¬ Í Ì�Î ® Ù'Î Ì ¬¾ Ö Ô Ï ¾ Ü ¾ Ø Ì�ÚÛ¾ Ö Õ¾ Ö Õ ¬'Î Ï Ë ® ®�Î ¬ ®�Î Ü�®¬ ¾ ˬ Ë ® ¬¬ Í ¾ Í Ï¬ Ð ® ® ˬ Ñ ¾ Ë Ì�Î ® ¬¬ Ò ® ¯ Ù ¬IÚÛ¾'Î Ï Ü Ì�ÚÛ¾ Í ® ¬ ̬ Ó ¾ Ð Ï'Î Ü�®¬ Ô ® ¬'Î Ì Ï Ì'ÚÛ¾'Î ® ¬'Î ¬ Ì ÙIÚÛ¾ Í Ï'Î ® ¬'Î ® Ù¬ Õ ¾ Ë ® ® Ë Ý ®Ï ¾'Î ¬Ï Ë ¬ ®Ï Í ¾ Ë ¬'Î ® ¬Ï Ð ® ®�Î Ì ®�ÚÛ¾ Í ¬ Ë ® ®Ï Ñ ¾'Î ¬ Ë Ì�Î ¬ ®Ï Ò ® Ù Ï ¬ ®�ÚÛ¾ Ë ® Ù'Î ¾ Ï ÌÌ ¾ ÍÌ Ë ¬'Î ® ÙÌ Í ¾ Ð Ï ËÌ Ð ¾ Ø ¯ ®�ÚÛ¾'Î ¬'Î Ü Ý Ì'ÚÛ¾ Í ¬ Í ® ¬

Page 58: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Þ ß à ß�á�â ã�ä å æ ç è é ê"â�ç"ä ëì â í'î ï)ã â å æ ð æ î ç,ñ ò í æ ò ì ó â ð ô�õ

ö�÷ ø ù úIû ü ý þ ÿ���ú � � � � � � ú ��� � P÷�� ��÷ � ���� � ��� � ú�� ��� � � � �"ü ���� � � � � � ��� � � � ! � " û$# ý %$# & ûý ý � ' ûý ý ' (# ý %ý ý " � " û$# ) ýý û �$# ý û ' û$# ) ýý û " � ' * # (# ý ý �$# û 'ý ' û þ $+,� ' �# ý ýý " � ' û ' * # � %ý % � ' *ý % ' û$# ý � ý % " � " * # ý - ý(+,� . * # (# ý û� û � " û� û ' (# %� % �$# û$# *� % ' ý û$# ) � % " � ' û$# * # & � ý(+,� " û$# * # � ý ý(+,� ! û$# * # * ûû ý � !û ý ' û$# û û ý(+,� ' û$# - û/+,� . û ' û ý " � 0 ý û(# û û ý . * # ý ý�# ý û * ý�+,� " û ' * # ý ý�# � &�ý(+,� . û ' * # ý ý "û �$# ý %û ' û$# (# ) û " � ' * # ý %$# ý û û . ý ý�# &�ý�# & � ý(+,� . û$# ý ý�# &�ý�# - %&�ý �$# û$# &�ý ' ý � û/+,� ' & û ý(+,� 0 û "&�ý " � ' û$# (# � % '&�ý . * # * % � - ý�+,�$# û$# * # ý ý�# ) (# ý û ý& û � ' ý ý& û ' û$# ) û ý(+,� " û$# %& û " � " * ' ý ý�# û & û . û * þ þ � þ ý�+,�$# û$# * - û û ) (+,� . û ' ý þ %$# � � û/+,� 1 2 û ' * # (# ý ý* û �$# û "* û ' (# & þ %/+,�$# * # (# &�ý) ý �$# û ý) ý ' û$# ý û$# % $+,�$# û$# ' ý û) ý " � ' û ý�# ý - ) ý(+,� " ' ý %(# û ý

Page 59: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

3 4 5 6 487$9 : ; < = : > ?

@BA C D E/F G H I J�K�E L M N O P M E Q�L O R S�A�P T�A O U�L�V W N�M T E�X Y�Z P W U M Q[G \]�^ _ ` a a Z ]�^ b c \d H e f$g H F H�g X H h i H(j,X k F l f$g H F H�g H i i/j,X m F l f l H F Hd n X k H nd n k F$g n k F Hd n l X l f$g H n g h h i/j,X e F k f l H nn F X$g F nn F k F$g H o I H(j,X$g F$g H n g f Fn i X e fn i k F$g n k h Fo i X$g F k fo i k o I H H(j,X k X I I F/j,X e F$g H d n j,X p F k nH X n X pH X n k F$g f h�H i/j,X k F$g f$g X n H(j,X q F$g f$g H nH F H X k F$g H HH F H k H n X i F/j,X$g o d h n j,X e X F$g h n j,X r F$g X FH F n X$g F$g X FH F n k n g F n g n FX f n X$g F$g h FX f n k d H�g H I o n j,X q H n g d H

@�T E�N E L s D M O U R�P W S�t D E M EuS�W Q E D�v�O M T8X w euA L$M T E�L t�E P O x E QyO U O M O A D�P W S�t�W U E U MuZ v�T W L E�E z�E P M L/A t t�E A NA L�P W U�L M A U M L/O U8M T E�A t t N W t N O A M EuC�A D A U�P E�E { s�A M O W U�L \ |�D E A Q L/M W}A U8O U M E R E N�D O U E A N�t N W R N A S�S�O U R�S�W Q E Dv�O M T�h o/N W v(L(Z h n P W U�L M N A O U M L�A U�Q�H$W C�~ E P M O � E \�A U�Q�o I/� A N O A C D E L(Z W V�v�T O P T n o�A N E/I ��H \�A L�O D D s�L M N A M E QuO U� t t�E U�Q O ���(GB� M�O L�L M N A O R T M V W N v�A N Q�M W�S�W Q O V �uM T E$S�W Q E D[O U M WuA/t s N E/I ��H(V W N S�C �uM N A U�L V W N S�O U R�E A P TuW VM T E$N E SuA O U O U R�O U M E R E N�� A N O A C D E L | � � � X�A U�Qu� � � F | O U M WuA�L E M�W V�I ��H(� A N O A C D E L�s�L O U R

� � � ]���� � ���/� X� � � � ] � ��b � � � ] ����� I b H � �

��� �(�������� �¡ ¢��£�¤ ¥[¦�¤ ¥¨§}©�ª «­¬¯®�°(«B±� U O M O A D�N E L s D M L/V W N/M T O L/D O S�O M E Q}S�W Q E D |�s�L O U R�M T E�²B³´L W V M v�A N E�t�A P µ A R E�¶[· ¸�¹$º�|Bv�E N E�t N W S�O L O U R�Gy» W NO U O M O A D(� A D s E LuP W N N E L t�W U�Q O U RyM W8E A P T¼X Y b ½¯� H b X b � � � b H iyO U¼M s N UB|�M T E�S�W Q E D(t N W Q s�P E Q8M T E�W t M O S�A DL W D s M O W U�L |[W N�¾ N A v(¿�E � E UyS�s D M O t�E N V E P M/U s S/C�E N L |[R O � E UyO U}@�A C D EuF G H X G�Z À�W�W Q Q�S�s D M O t�E N V E P M/U s S/C�E N Lv�E N E�V W s U�Q8v�T E U¼X � v�A L�L t�E P O x E Q[G \Á@�T O L�M A C D E�O U�P D s�Q E L�A D D�V E A L O C D E�L W D s M O W U�L�A U�Q[|�v�O M T O UÂE A P TÂX YR N W s tB| A N E$L T W v�UuO U�M T E$W N Q E N�O U�v�T O P T�M T E �uv�E N E$s U�P W � E N E Q�s�L O U R�A�W U E à Z W t M O S�A D \ à L W D s M O W U à A M à A à M O S�EA t t N W A P TBG�@�T E$C D A U µuE U M N O E L�O U�P W D s S�U�ÄÅV W N ½�� H X b H d A U�Q�H o/N E L s D M�V N W S¯N E L M N O P M E QuL O R SuA�P T�A O U O U RV W N�M T E L E(t�E N V E P M�U s S�C�E N L G�@�T E$P W D s S�U�L�D A C�E D E QuÆ�E t M T�A U�Q�À�W Q E L�R O � E$A U�O U�Q O P A M O W U�W V[M T E/L O Ç E(W V[M T EL E A N P TuM N E E/E � A S�O U E Q[G�@�T E�P W S�t s M A M O W U�A D[E z�W N M�E � t�E U�Q E Q�O L(Q O N E P M D �uN E D A M E QuM W�M T E/U s S/C�E N�W V�t O � W M LN E { s O N E QyZ A L�L E E U�O U�M T E�³�O � W M L�P W D s S�U�\�A U�QuM T E/Q O S�E U�L O W U�L�W VBM T E/t N W C D E S�G

Page 60: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

È É Ê Ë É8Ì$Í Î Ï Ð Ñ Î Ò[Ó

ÔBÕ Ö × Ø/Ù Ú Û Û Ü�Ý�Þ ß à�á â�ã Þ ä�å æ Ø/ç è�é êyëÂç ì/í�Þ á Ø ×�Õ ã å Ø ä�ä Ø â å ä î ï å Ø áuâ î ð í�Õ�ï æ�Õ î à î à ðñ ò óuô ñ é ò é õ öç Û ÷ ç ø ù Ù ú û ü ý(þ Û Û�þ Û Ù$þ Û ý(þ Û ÷$þ ç Ù$þ Ù Û�þ ÿ�Û�þ ÿ Ù$þ ý Ù$þ � ÷$þ Û ç ý�þ ç û ýÙ ÷ ç � û$þ ý(þ Û Û ü Û Ù$þ Û ÷$þ ÿ�Û�þ � Û�þ Û Ù ýû � ç ú Ù ü ý(þ Û Û�þ Û Ù$þ Û ÷$þ Ù Û�þ ç û ýý û ç � Ù ú û ü Û Ù(þ Û ÷$þ ÿ ÙÛ Û Ù ç ú Ù$þ ý(þ Û ÷$þ � ÛÛ Ù Ù ç ü Ù$þ û$þ ý(þ Û ý(þ � ÛÛ ý Ù ç ü Ù ü û$þ ý(þ Û Û�þ ç ÷Û ÷ Ù ç � Ù$þ û$þ ý(þ Û Ù$þ Û ç ýç Ù ç ç ú Ù$þ ý(þ ý ÷ç ÷ Ù ç � Ù$þ û$þ Û Ù$þ û Ù$þ � ýÙ Û ÿ ç � Ù ü û$þ ý(þ Û Û ú Û Ù$þ Ù ýÙ ý ÿ ç � Ù$þ û$þ ý(þ Û Û�þ Û ÷(þ ÿ�Û�þ � ý�þ � ÷$þ Û Ù ýÿ�Û ÿ ç � Ù ú û$þ ý(þ Û Û�þ ç ÷ ü � ý(þ Û Ù Ûÿ Ù ÿ ç ø � Ù ü û ü ý(þ Û Û�þ Ù ý(þ ý ÷û Ù ç ç$þ Ù ú û$þ ý(þ ÿ�Û� Û ÿ ç � Ù ú û ú ý ü Û Ù$þ Û ÷(þ Ù Û�þ Û Ù Û� ý Ù ç � Ù ü û ú ý ü Û ý(þ Ù Ûý Ù ç ç$þ Ù$þ Û ý(þ Ù ý(þ û Ùý ÷ ç ç � Ù$þ û$þ ý ü ÿ Ù� ÷ ç ç � Ù ü û$þ ýÛ ç ý ç ç � Ù$þ û$þ Û ýÛ Ù Û ç ç � Ù$þ Û Û�þ ç ÙÛ Ù ý ç ç$þ Ù$þ ý(þ ç Ù(þ Ù ý(þ ý Ùç û ý ç ç � Ù$þ Û ý�þ ÿ Ù$þ � Û

Page 61: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � ��� � � � � � ���

��� � � ��� � ! "�#$� %'&�( � ) * +�� , - � . )$/ ( &0��� , 12- 3 ,4) 5 �0! 687 9;:<! =�&�3 > � �

9 ?4@ ACB A D4� + ) 5 E43 > � 1 F�* G 3 ) 1 ! �! H � I J�K L I �$K M � L N N

! L ! L N J = O =� H � I J�K L$K � ! O L M ! H =

� ��K J ! L ! M O HH ! � J H � P L I I M I ! L ! L L ! J O M

H � Q J�K L ! L L � ! N L H� ��K L � = ! = � � H L !

O ! ! LL J � P J�K L$K I L$K M ! L � M = J

J � R J�K L I �$K L$K M ! M J � � M HH � S J�K L$K ! �$K � L � = M M H ! H �H � Q J I L$K � � = ! = � H J �

N H � I L I ��K M I � L$K L ��K ! L ! L � ! H HH ��K J�K L$K M�K � L$K L � ! L � ! H � M� J�K L$K M$K � L$K L � ! M � L � ! = L

M H � Q J�K 4K � ! L M � � J = !H � P L$K Q � I O ! N ! L H H O NH � I L$K 4K �$K � ! N ! L H L O L� ��K 4K � � = ! H � J J H =

= J � P J�K L$K I M�K ! �$K N M ! O � H N =J � R J�K L I �$K M�K ! �$K N M ! L H� ! L N OH � Q J I ! ��K � 4K N M � = ! J � N

J � S J�K L I �$K M�K ! �$K � L � = ! O � J = =J � Q J I L I ��K M$K � � = ! O J J N N HJ � R J�K L I � I M$K � 4K O � = ! O L J M L JJ � R J I L Q � I � I O � = ! O L J M M LJ � R J Q L Q � Q L � = ! O L O ! � H

! ! � H � I L$K 4K �$K H ��K ! L ! L ! = � L L N

H � Q J�K 4K H �$K ! L ! L ! = H ! L =� ��K 4K H ��K ! L ! L ! L H O M !

H J � I J I L Q ��K M$K � I ! H O � ! M !H � I L I ��K M I � 4K ! L � ! ! M H � H =H ��K J�K L$K M�K � � ! � L H O N M� J�K L$K M$K � � ! J J J H = =

J O � R J Q L P I � Q L I M$K H ��K ! J L ! L ! M M O H M

Page 62: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

T U V W U X�Y Z [ \ ] Z ^ _

`ba c d e0f g h i jlk4a mon0p d q r s�e t u e v q4w p n0c�e t x2u y t4q z e0i {|n|y } e d2~ v y w q }8g �

� � ~ �C� � �4e s q z �4y } e x ��r � y q x� f � � � � � h h � h f�� h �$� h ��� � f�� i � � i � f h � � � ��h� f � � � � � h h4� h f$� h �$� h �$� ��h4� � f$� i � � f h f f h � h i h� f � � � � � h h4� h f$� h �$� h �$� f h4� � f$� i � � f h � f h h � � � �� f � ��� �$� h h4� h �$� ��h4� � f�� i � � f h � h f h f f � �

h � ih � � f � � � � � h h � h f � h � � f h2� f �$� � h2� � f f f i h � � � � �

� f � ��� � � h f$� h � � f �$� � f$� h i � f i i � � � � � f� f � �$� h � � i f�� f �$� � f�� h i �4� h f � f � f i � � � h �

h � ih � � f � � � � � h h � h f�� h ��� f h � f �$� ��h4� � h f h � h � h � � i f

� f � � � � � h h � h f � h �4� f h4� ��h4� � h � f h � i f h � � f f� f � � � � � h h � h f�� h � � f h � f �$� ��h2� � h4� h i � f h � h � h � i � �� f � � � � � h h4� h f � h � � f h � f �$� ��h2� � h4� h i � f h � i � h � h � �� f � � � � � h h4� h f � h ��� f h � f �$� ��h4� � h f h � h � h � h � �� f � � � � � h h � h f � h �$� f h � ��h4� � h � f h � i h h � � h �� f � � � � � h h � h f�� h � � f h � ��h4� � f$� h i � f h � i � h � i � �� f � � � � � h h4� h f � h � � f h � ��h4� � h2� h i � f h � f h i � � f �� f � � � � � h h4� h f$� h ��� i f$� f h4� ��h2� h f � f h � i � i � � i f� f � ��� �$� h h4� i f�� f h4� ��h4� h f � f h � i f i � � � �� f � � � �$� h h2� f h � ��h � f f � � � i � � � �

`2z e;u a v q y t x�e d r n|r w�a q e }<u t y n�q z e;n�y } e d�q z t y p � z'q z e;p�x eCy u0t e x q t r v q e }'x r � n|a v z�a r w r w ���4z�a � e;q yc�e;t e r w q t y } p�v e }<q y � r � eCq z e;u p d d�n�p d q r s�e t u e v q�w p n�c�e t x g�� y t�e � a n|s d e �4u y tCi � �;q z e;t r � z q   z�a w�}'x r } ev y w�x q a w q x�a t e;f�¡¢h �¤£�¡0h hCu y t�¥ ¦ ¥ i �0hCu y t�¥ ¦ ¥ � �0hCu y t�¥ ¦ ¥ h � a w�}¤hCu y t�¥ ¦ ¥ f h �$x r w�v e¨§�~ i � � �;£�0� f h�� h � h�a w�} § © ª ª�~ i � � « ¬ �|£­i � ��� h �|� f hC~ a x0� r � e w¨r w<`ba c d e�f g h � � g;®$x�a;v y w�x e ¯ p e w�v e�y u4q z r x|a w�}q z e�t e x q t r v q e } x r � n|a;v z�a r w u y t�§�~ f h � � �lq z e�° t x q ��° w�a d ��u p d d4n�p d q r s�e t u e v q|w p n0c�e t�s t y } p�v e }¨u y t�i � ��r x~ i � � � f|��h � h0� f f h �4��~ f � � � � � h f|��h �|� f h � � g'� t y n±q z e�t a m²n0p d q r s�e t u e v q|w p n�c�e t x�m2e�y c q a r w<q z eC° w�a d �u p d dln�p d q r s�e t u e v q0w p n0c�e t x0x z y m4w;r w¨`�a c d e�f g h f g�³4u2q z eCh ��´ w y m4w;n�p d q r s�e t u e v q0w p n0c�e t x�m4r q z i � ��a xa�v y n|s�y w e w q �by w d µ<h h0m2e t e�v y � e t e }¨~ a w�};u y p w�} ��c µCq z e|n�y } e d g�`2z e���´ w y m4w;n�p d q r s�e t u e v q0w p n0c�e t xm4z r v zCm2e t e0w y q�u y p w�}Cc µ�q z e�n�y } e d�r w�v d p�} e }�q z e|v y n�s�y w e w q�h � ��~ s�a t q$y ulq z e|x p c�x q r q p q r y wCy u$h � � h i �m4r q z¨h � � h � h2� � h h �ly t$v y n|s�y w e w q x4x p�v zCa x4f � ¶ ��� ��y t�h h � � m4z r v z�m2e t e$w y q$v y � e t e }|r w�q z r x4e � a n|s d e g

Page 63: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

· ¸ ¹ º ¸ »�¼ ½ ¾ ¿ À ½ Á Â

ÃbÄ Å Æ Ç0È É Ê È Ë�ÌbÍ Î�Ä Æ8Ï�Ð Æ Ñ Í Ò�Ç Ó Ô Ç Õ Ñ$Î Ð Ï0Å�Ç Ó Ö2Ô × Ó4Ñ Ø Ç0Ù Ú�Û Ü;Ý<Ù Þ0Ï|× ß Ç Æ

Ü à4á âCã âÊ Ù á Ù ã�ä á È ãÙ å á Ù æ ãlä á È æ ç�ä è æ Ê È�ä Ê é ã

Ù á Ù æ ãlä á è ãÈ å á Ù ê ãlä á È æ ç�ä è$ä Ê È ã

È á Ù ê ãlä á È�ä ç ãå Ù á Ù ë ãlä á È Ê ãç å á Ù ì ãlä á È ë è æ Ê Ê æ Ê é æ Ê Ù è ã

å á Ù ì ãlä á È ê ç�ä è ãÈ á Ù ì ãlä á È�ä è ã

í Ù á Ù î ãlä á Ê Ù è ãè ç á Ù ï ãlä á È ë ç�ä è$ä Ê Ê æ Ê è$ä Ê é ã

ç á Ù ï ãlä á È ì ç�ä è æ Ê È�ä Ê è$ä Ê é ãå á Ù ï ç å è$ä Ê Þ é È ã�ä á È î ç�ä Ê è$ä Ù È�ä Ê È è ãå á Ù ï ãlä á È ê ç æ Ê è$ä È Ê ã

ð å á Ù ñ ãlä á È æ è æ Ê È�ä Ê é æ È è$ä è È�ä Ê Ù è ãå á Ù ñ ãlä á È�ä ç�ä è$ä Ê é$ä È è$ä è È ãÈ á Ù ñ ãlä á ç�ä è$ä Ê é�ä È è$ä è È ã

é å á Ù ò ãlä á È ê ç�ä Ê Ê2ä È Ê ãå á Ù ò ð È�ä È È Ê ãbä á È ë è$ä Ê Ê ê È Ê æ í Ê ãå á Ù ò ãlä á È æ è$ä Ê Ê2ä Ê È�ä È Ê ãÈ á Ù ò ãlä á È�ä Ê Ê4ä È Ê ã

Ê Þ ç á Ù ó ô ã�ä á È ë ç�ä è$ä Ê Ê æ Ê é�ä Ù È$ä ð é ãç á Ù ó ô ã�ä á È ì ç�ä è æ Ê È$ä Ê é�ä Ù È$ä ð é ãå á Ù ó ô ã�ä á È ê ç æ Ù È�ä È Ê4ä ð é ã

Ê Ê ç á Ù ó ó ç å è4ä Ê Þ é È ãbä á È î ç�ä è æ Ê È�ä Ê é�ä Ù È�ä Ê È è ãç á Ù ó ó ã�ä á È ê ç æ è æ Ê È�ä Ê é$ä È Ê ãç á Ù ó ó ã�ä á È ì ç�ä è æ Ê È æ Ê é$ä È Ê4ä í Ê ãç á Ù ó ó ð È�ä È È Ê ã�ä á È ì ç æ è ê Ê È æ È Ê æ í Ê ãç á Ù ó ó ã�ä á È ì ç ê è ê Ê È ê Ê è ã

Ê Ù Ù á Ù ó æ ð Ê é Ê ãÊ È å á Ù ó ê ã�ä á È æ è$ä Ê Ê4ä Ê È$ä å È�ä Ê Ù è ã

å á Ù ó ê ã�ä á È ê ç�ä Ê Ê4ä å È$ä Ê Ù è ãÈ á Ù ó ê ã�ä á È�ä Ê Ê4ä å È�ä Ê Ù è ã

Ê å ç á Ù ó ë ð È�ä Ê ç Ê4ä È È Ê ãbä á È æ ç æ è ê Ê È�ä Ê é$ä È Ê æ ãå á Ù ó ë Ê ç Ê ãbä á È æ è æ Ê È�ä Ê é æ È Ê2ä Ê Ù è ãå á Ù ó ë Ê ç Ê ãbä á È�ä ç�ä è$ä Ê é$ä È Ê ãÈ á Ù ó ë Ê ç Ê ãbä á ç�ä è$ä Ê é�ä È Ê ã

Ê ç í á Ù ó ì È Þ è4ä å í è$ä Ù ð Þ Ê ã�ä á È ì ç ê è ë Ê Ê æ Ê È ê Ê è æ Ê é�ä å È$ä Ù ç è ã

Page 64: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

õ ö ÷ ø ö ù�ú û ü ý þ û ÿ�ÿ

��� � � ��� � � ��� ��� ����� � � ��� � � � � ��� � ����� � ��� � ��� � ��� !�!� " � ��# � � � � "�� $

% & # '($ ') # � * + , $.- # � + / 0 , 1 2 �3- ,�- 43- 5 �3- � / , $) # � * + $.- # � 6 / 1 , 2 �- ��- ,�- 4�- 5��- 5 ��- � / , $) # � * + $.- # � + / 2 , 2 �- ��- ,�- 4�- � �- 5 ��- � / , $/ # � * + $.- # � 6 /3- ,�- �- ,�- 5��- 5 �3- � / , $

) � # � * 7 � 8 , $ , ) # � * 6 9 $�- # � 0 / 1 , 1 2 � 2 4 1 � �- � ,�- ) �- , � $

/ # � * 6 $.- # � + /3- , 1 ��- 4 2 � ,�- , ��- � , $5 # � * 6 / 5 ,�- 8 4 � $�- # � 7 ,�- 4 2 � ��- � ,�- , ��- � ,�- � , $

9 � # � * : / � 5 � 9 , $ 4 ) # � * ; $.- # � 0 / + , 1 1 �3- 43- � 1 � ,�- 5��- ) $

) # � * ; 4 ,�- 5 ) ,�- � 9 8 $�- # � ; / 1 , 0 1 � 1 ,�- � �- 5��- ) 2 $) # � * ; $.- # � 0 / 2 , 2 1 �3- 4 2 � 1 � ,�- 5��- ) �- � , $) # � * ; $.- # � + / 2 , 2 �- � 2 4 2 � 1 � ,�- 5��- ) �- � , $) # � * ; $.- # � + / + , 1 �- � 2 43- � 1 � ,�- 5��- ) $) # � * ; 9 �3- � � �- 5 ) ,�- 9 ) �- � 9 8 $�- # � ; / 1 , 0 1 � 2 43- � 2 5��- ) 1 $) # � * ; 9 �3- � � $.- # � + / 2 , + 2 �3- 4 2 � 2 5��- 5 �3- � , $) # � * ; 9 �3- � � �- � , 4�- , / , $�- # � : / 1 , 2 �- � 2 4 2 � 2 5��- ) �- � , $) # � * ; / 5 ,�- 8 4 � $�- # � 7 / 1 , 2 �- �3- 43- � �3- � �- 5��- � , $/ # � * ; / 5 ,�- 8 4 � $�- # � 7 /3- ,�- �- � ��- � �- 5��- � , $/ # � * ; 9 �3- � � �- 5 � �- , � � $�- # � 6 / 2 ,�- �- � 2 5� 2 $

<�= >�?�= @BADC C�E F�C G�H I F�J�E��� �K� � � � � � �L� ���K� � � � ��� � � M � � ���! � M(� � � � � � �N ��� �L� � � �!� ��� � � � � � ��O. ��� � �P� Q � � � �(R��S ��" � � � � �� ��� � ����� � � � � �!� Q � � � ��� �!� ��� � � � � ��� � ��� � � �!� ��� � � � � � ����� � �L� � � �K���!M T � ����U " � � � � V O�W���W�� � � "(� X �(Y Z Z� � � � � � ��� � � � � � ��� �.��� ��� � �����3� � � � T � "�� V�� � � T � M���� � [ � � ��� ��� ��� � � � � � �!�.W�� � � ��� � ��� � � �!� ��� � � � � � ���� ��� � � T � ���.� � � � � � �!��� � ��� Q � � � � � V!" � � � � � W�� "�� V�� � �3� " " � � �!� ��� � �3� � ��� � � � � �.� � ��� � � �P� ��� �P� � � � � � ���\ ��� �(� " " � � ��� ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � ���!� � � VK� � � � � "P]3� � � ^ M!� � � � �U ��� � ��� � � �!� ��� � � � � � ��� ���38 _�� � � � M � ��� � � � ��� � � M � � ���! � M3� � � � � � �` ����� � � � � � � "� � � ��� W���" � a � � �

� � � ��M T � �b� V & *�ced f g h�i�c jP� ��" &�k ced f g h�i�c 8 j c & * � � � �L�K� � � � � � �P� � ��� � � � � ��� �K� Q � � ��" ��� � �� � � � � � �K ��M T � �P� Vli m n o# �p h�i $.q lr m n s h

r3t

� � ��� ��� � � � ��u v�w�T � � � � � ������� ����� T ���!� ��� � M � "!T � � � � ����� � � ��� � � � � ��� � ��� �!� � �3� � � � � � � ��O � � ��� � � � � � ����� � ��� � ����� � ����� " � � O W� � �K� * k � ����� � �!��� � � � � O W�� � �

� � � ��"K� ��� � � � � W�� �

Page 65: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

x y z { yS|3} ~ � � � ~ � �

��� ��� � � ��� � � � �!� ��� � � � � � � �P��� �.� � � � �!� ����� ������� ������� ������� �  ������ ¡ ������  � �3����¢ ¡ ���£�� ��¤K� � ��� � � � ��� � � � � � � � ��� ¥ ¦!�D§ ¨.��� ��� � � � � � � � � � ��© � ��� � � � � � ��� �!� ª © � ��¤ �3� � � ��� � � � � � � �P� ��� � ���

« ��¬(��� � ­�® « ��¬(��� � ­.® « ��¬b��� � ­�® « ��¬(�.� �   ­�® « ��¬b��� ¡ � ­® « ��¬(��  � � ­�® « ��¬b��¢ ¡ � ­®b��� ��®b���  �®b��� ��®b��� ��®b��� ¯�®L��� ��®L��� ¢�®L��� ¡®b���  �®b��� ��®b��� �3®b��� ��®b��� ¯�®L���  �®L��� ��®L��� �3®L��� �®b�.� � ��®b�.� � ��®L��� � ��®b�.� �  �®b�.� � ��®L��� � ��®b�.� �  �®b�.� � �®b�.� ¡  �®b�.� ¡ ��®L��  �  �®b��  ¡ ��®b��  ¡  �®L��  ¡ �®b��� � ��®b��� �  �®L��� � ��®b��� � �3®b��� � ��®L��� �  �®b��� � ��®b��� � �®b����� ��®b�����  �®L� ��� ��®b����� �3®b��� � ��®L� � �  �®b��� � ��®b��� � �®b��� � ��®b��� �  �®L��¯ � ��®b��¯ �  �®b��¯ � ��®L��¯ � �3®b��¯ � ��®b��¯ �  �®L��¯ � �®b��� � ��®b��� �  �®L��� ¡ ��®b��� ¡  �®b��¢ ¡  �®L���   � ��®b�.�   �  ®b�.� � � ��®L��� � �  �®b�.� � � ��®L��� � �  �®b��  � � ��®L��  � �  !°±� ²

³ � � � � � ��� � ��� � � �!� � � � ¤���� ¤ � � � � � � �.� � �3� � � � � ��� � ��� � � � � � � ��´ � � �3� µ ��� � ¶ � © ��� � ����� ��  · ¸ � ¹ ��º � »�º � ��º � ¡�º  �3º ¢ ¡ ¨�¼�� � � � � � � � �P� � � ��� � ½ � � ��© ��� ¶�� � � � � � �P� ´ ����� � ª ��� ��¤K� � ��� µ ��� � ¶ � © ��� � ����� �3  · ¸ � ¾ � »   �3º � ��º ¢ ¡ ¨¿�� � � © ��� � �!� ª ��� © � � ¤(��� � � � � � � ©�¤ � © � � � � ��� �b� � �!� ��¤ � ª(� ¶�� � ����� � � � ��� � ¶ � © ��� � ����� �3¶ � � ��¤�¨�ÀD� � �b� � � �� � � � � � � �!� ��� � � ��� ª © � ��¤ � ¤�� ��¤�� � ��� � � � � � �`� � µ � � � � �!� � � ¤�´ ����� ��¤�� ��� ��� �3¶ � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � �!� ª � � � �Á ������� � ��¶ � � ��¤S à à ¶ � � � � � � ��� � � � � � � ��� ¨�Ä �(� � � �3© � � ��� � �!© � � � � � � ��� ¶.� � ���!� ¤ � �.��� ��� � Å!© � � � ��� �K� � � � �Â Ã Ã Æ � � ���(� ��© �P��� � � � ��� � ¶ � © ��� � ����� � ��� �!���3¶ � � ��¤�¨�.� � � � ��� ¨ �  �� ��¤K� ¨ � ��� ��© � ��¤ �K à à ¶ � � � � � � ��� � � � � � � ����¶ � � ��¤P��� � � ��� � � ��� � � � � � © ��¨

Ç�È É�Ê�È ÇÌË�Í�Î.Ï Î.Ð�Ñ Ï Ñ Ò Ó���!� � � � � � � � � � ��� � ��Ô Õ Â Ã Â Ö × Ã × Ø Ù3� ¶�� � �3��� ¤ � � ´ � � �3� � � �3� ¶�� � � ��� �P� �K� � ��� � Ú ��� ¶�� � �3�!� ¤ � � « � ��¤P� � ��© �3� � �� Û�� � ��� � ½ � � � � ¤!� �P� � � � �3� � ­�� ��� � ��© � � � � � � ��� ��� ª ��� ��¤ � ¤�´ � � ��© � � � � � � ����� ��� ��© � � � � � ¤!� � � � � � � � �P� �

Ü�Ý Þ ß à �D  » á � » ¹ � · » � · ¸ � � â � � â � � ã � ¡ · ¸   � ä ²��� � ����� �.� � ÅP© � � � �.� �3� ��© � ��¤ ��� � ��� � � � ��� �!� � � � � �.Æ � � ���!� µ ��� � ¶ � © ��� � ����� � � ¨�ÀD� � ��� � ��� � � © � � ��� ¶ � ��¤ � � ��(� � � ¶ © � � � � � � � ¤ Ü�å æ ç ��� ��� � � � ��� � � ¤b� �b� � � � � �K� � ����� �3¶ � � ��¤�¨(��� � � �P��� ���K��� � � � � � �P¶ � � ¤ ��� © Æb� Û�� © ���� � � �!� ��© � � � � � �3� �L� � �P� ª ��� � � � � �3� ¶�� � �!� « ��� ��� � � �L� �P� � � ­3� � � ��� ��© � ��� � ¤L�(© � © � � « © ��� � �L� � � © � � � ��­�� ¶� ��© � � � � � � ¨.��� � � ��� � � � � � © � � ��© � �P������� � ¤!� ��� � � � © � ����� � � ��� � � � � � �(¨.è�� � � � � � ´ � �!� � � � � � � � �Lé � ª � � � ê���� � ���� � � � � � �3� � � ��� � ¨���� � ��� � ¤P� �!� � ��© � � � © �

Ü�Ý Þ ß à �D  » á � » ¹ � · » � · ¸ � � â � � â � � ã � ¡ · ¸   � ä   ¡ ä � � ä � � ã ��� ã � � ã � � ä� � ¾ � ¡ ¾ ¯ � ã ¯ � ¾ � � ¾ � � ¾ � ¡ ¾ ¢ � ¾ ¢ ¡ ¾ ¡ � ¾ ²

³ � © � ��¤ � � ´�� � �bë�ì`�!� ¤ � �3¤ � � � � � ��� ¤S¶ � �P  í�îPïeðñ  §L� � � � ��� ¤L¶ � �!� � �b© � ��� � ½ � � ��© � ��� ¶P ò�ÙK  íS� �L���� � Æ � �P� � � �!� © © � � � � ¨.è � ��� ª � ��� � ��� � �3�!� ¤ � ��� � � � ��� ¤�¶ � ��� � »�� � � �P� � � � � �P� � � ����� � � ¤!� � � �P����� � © � � � � � �� ¶�  · ó � � � »!��� �!� �S� ª � © �!¶ � © � � � ¨�è � ��� � � �!� �!� � ����� ¤ � ��� � � ��ô � ª � � � � � � � « � ª � � �b¤ � © � � � � ��� � � � � � � � � ­�¤ � ¤� � ��� � � � � � �b� �!��� � ��� Å!© � � ��© � ¨bè � ��� � � � � ����� ¤ � � ��� ��� ��¤ � � � � � � � �!� �b��� � � �!� Ú �P� � �P� � ����� ��� ¶�¤ � © � � � � �

Page 66: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

õ ö ÷ ø öSù3ú û ü ý þ û ÿ��

� � � � � � � � ��� � �� � ������� � � � � � ��� ��� � � � � � � � ��� ��� � � � ��� ������� � � � � � � � ��� ��� � ��� �!� � � � � ��"�� � � �#� � � � �����!� � � � � � ��� �

$�% & ' ( ) $�* + , - .0/213) � 4 5 .06 $�% & ' ( ) $�7* + , - .

8� � � �!��9 $ 7* + , - 0�� � �8�� �� � ��� � � ��: � ��� � $!% & ' ( �� � � � � � ;#� ��"�� < � "�� "=� < ��� � � � �!� :�� � �>� � < � � � � � �?: � � � � ��� � �>����� � "�� � � �>� �>�� ��� � � @ � �>"�� < � "!� "

� � � � � ) : � ��� < � "�� � ��A�B C D?EGFH;�: � �!� � ��A?� � � "���� ���? "�� � �#� � � � � � ��F . � � ��� ��� < ��� ��� � � $�* + , - � ��8�� � � ��� � � � � � ��� ���� ��� � �� � � ��� � � � � � � #�� ��� � � � � ���� � � � � � � � � � ���: � ��� � � � � "�� � � � ��� ��� � � � � � � ��� �I� � � � � � ��� � � "�� �� � � �

$ B J K /ML N O P L N Q R L � S 4 L O L P L O S 4 L O Q 4 L T L 4 L T S P L U O 4 L U S 4 L V L RL Q L P L Q O 4 L Q S 4 � L L 4 � � O R � U O 4 � S L 4 � V L P O N S 4 O L S 4 O O L 4O U S 4 O S Q 4 W N Q 4 W O O 4 T � O 4 T W S 4 U N L 4 U L O 4 S T S 4 V � Q 4L N Q O 4 O Q V T V L P X

�� ��� � ��: � � � � � ; O Q V T V L P ;I� � � � � ��� � � �: � � "=� ��� � � � � � � � �> � � "���� �� � �� 13) O 4 Y .�/ � 4 O Q V T V L�6 S Q S L U L�Z� P O Q V T V L 4 � ��� 13) L N Q O 4 .�/[O�6 O Q V T V L \ ���� � � � �0� :I� � 0� < ��� ��� � ��� � � � � � � ��� ��"�� � � ��� ��� � � � � 3� � L L V � � 8�38�� � �� � V � � � � � � � � ) � :I8� � �

� � U � � � N ]�L . 3�� ��� � � � � � � � �� � � "���� �� � ��: � ��� 4 5 ; 8�� � �� � ��� � ��� � $�* + , -36 $ B J K ; � O 4 S 6 L L06 O L06 L T L06 O O L �� �!^�_`� � � � � ��� :0aIb c�d�e`�� � ��: � ��� �� "�� � � � ��"�� � � �I8�� �� ��� � � �!� �� �� ��� � ��� �� � f ��� :#� �!� < ��� ��� � �"�� � � ��: � ��� �IC ghEi� Q H�� ��8�� � � � �`� � � � � � � � ��� � � � � "�� ��� � � � � ��� � � � � � "�"�� � �?��� � j � � �>k l m n k o p�� �� � � �� �H �� ��� � �?� � � � � ��� � � � � � "��� �2�H8�� � �?� � � � ��� :�"�� � �?��� 8�� � : � �� �� � � 8�� � � Mq�� : � � � � ��� � � � �`� � "�� � � � � � � � � � � � � �>� � � � � � "��� � � � � � � � �[k l m n k o p!: � � "=@ ��� � � �>� � �� � � � � � � ���: � �!� � !� � � � � � � � �_0� �� � r � � � � � �?� �� � �� � � � � � ��� � � � ��� � � � � � "�"�� � ����� � j � � �>n lIs t l>8�� ��� � �?� �?@ ���H� � �� � � � � � � �� ;3� � � � � ��� ��� � � ��� �[u k k#� Nj � � 8���"�� � � � ��� � : � � �#� � "���� � �8�� � �� 4 5 � #��� � "���� � � � � ; � # � 8���� �!�3� � � � O L W�#�� ��n lIs t l�� � � � � � � �8�� � ������ � � �� � ��� � � � � #v2 � � ��� ��� < ��� �� � � ��� ��� ��� � � � � � � ��� :�� ��"�� � � � � � ��� ��"�� � ����� � � � ��"�� � � � ��� � : � � �� � "!��� � ; � ��� ��� � � � � �� � f ��� :3� ��"�� � � �I� � � � � � ��� �?�� � � � � @�� � � ��� ��� � � � ��� ��� �! � � � � � � ��� � "�� �� � �� < ��� ��� � ��� � � � ��8�� �� � ���� � ��� ��@ ���?� � �#� �!� � "�� � � � � ��� � � � ) j � � 8�� . "!� � � � ��� � : � � ��� � "!��� �

8�� � ?� w 5 � �� ��� < � � ��: � � � � ��8� � � �8�� � ��� � ��: � � ����8�� � �� �!� � � � � ��� �#� � � � � 3�� � � � "�� � ��� � r � � � � ���� � � �� ��� � � � � � � � �� � � "���� �� � ��: � ��� w 5 ) O�6 T 4 L L�6 L L�6 W L . � �� � � � ��� :#� �� ��: � ��� 4 5 �#��: � � � � ��� � ��� �� � � � � � � � � � ��� :�� ��"�� � � � ;I� ��� � � � � � � �!8�� �� ��� � � � � ��� ��� ��� � ��� �Hx "�� � � y�� � �

� � � � � ��� � ��� ��z� v>� � � "�� � ) 8�� � �� { Y � ���� � "���� � � � � . � ����� ��| }�� < �� " ) 8�� � �� { 4 � ���� � "���� � � � � . ;8�� � �� ��� � "M� :�� � � � �3@ ��� � � ��� � 8`"!� � � � ��� � : � � �3� � "���� � #� �#� :I � 8�� � ��� �� �0� � � �� � ����� � ��: � � ��� ) 8�� � � �� ����� � ��� �� :#� �!� � � � � . 3�� � �� � � � � � � ��� � � ~�� � � � ��� ��� ��� � ��� ��� �! "�� � � � ��j � � 8�� V � ��� � : � � ��� � "���� � �� ��� � � � � ��� ��� � � � � ��� �#� � "���� � � � � �� :3j � � 8���"�� � � � ��� � : � � ��� � "���� � �8�� � ?��� � "���� � � � ��� ��C g>E U T ; � � �O R � ; T 4 � ; S 4 � ; L L w � ; L O 5 ; L S Y ; L Q 5 ; � O R ; � Q R ; O L R ; O S Y ; W L 4 ; W O R ; W S 4 C X X X X _0� �� � r � � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � �8�� � � ����� � � ����� � �� �

$�* + , -�/ � { Y O R Y T P � S 4 Y L L w Y L O w � L S { L Q w � � O { � Q { O L { O S { W L R W O R W S R6 T O R T Q R U L R U S R S L R S O R S Q R V O R V Q R Q S R X

) O L .

Page 67: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � � �`��� � � � � � � �

�3� � � �!� � � ���3�#� ��� �I��� � � � ��� � � �   ��� � ����� � ¡�� ¢ ��� £ ��¤ ¥ ¦���¢ § � �

¨�© ª?« ª¬ © ¤ ¥ ¦ ­ � ¬�® ¯ � ��® ¤ ­ � ¬�® � ¬ � ��® ° ¤ � ��® � ­ ± ² ¯�® � ­ ± ² ± ¯ « ® © � ¥ ³ ° ´ ¬ µ � � ¶ � � ¥ � ¬ ¥ � ¯ ´

® ¤ ¯�® � � ¥ � ¬�® ����® ­ ��® ¬ ��® � ² ��® � ° � ¥ ¤ ­ ��® � ² ¬�® � � � ¥ � ² ¯�® � ² ¯ � ¥ � ¯ ± ° ± � «¬ © ¤ ¥ ¦ ¤ ­ � ¬�® � ¬ � ��® ° ¤ � ��® � ­ ± ² ¯�® � ­ ± ² ± ¯ « ® © � ¥ ³ ° ¶ ¬ µ � � · � � ¥ � ¬�® � ¯�® ¤ ��® ¤ ¯

® � � ¥ ����® ­ � ¥ ¯ ¬�® � � ¬�® � ° ��® ¤ ­ ��® � � � ¥ � ² ¯�® ° � ¬�® � ² ¯ � «¬ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¸ ¹ ° ¥ ¬ µ � � · � � ¥ � ¬�® � ¯ ´�® ¤ ��® ¤ ¯�® � � ¥ � ¬�® ­ � ¥ ¯ ¬�® � � ¬�® � ° � ¥ ¤ ­ �

® � � � ¥ � ¬ ¯�® ° � ¬�® ¬ ° ¬�® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � µ ° · ¬ · � ��® � ��® � ¯�® ¤ ��® � ��® ± ��® � � ¬�® � ° ��® � � ��® ° � ¬�® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¸ ³ ° · ¬ · � ��® � ��® � ¯�® ¤ ��® � ��® ± ��® � ° ��® � � � «­ © ¤ ¥ ¦ � ­ ¬�® ¬ � ¯�® � ± ¬ ��® ¤ ­ � ¬�® ¤ ± ² ��® ° ¤ � ��® � � ° � � « ® © � ¸ µ °�® ¬ ´ � � ¥ � � ¥ � ¬�® � ¯ ¥ � � ¥ ­ �

® � ¤ ¬�® � ° ��® � � � ¥ «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¶ ° ¥ ¬ · � ��® � � ¥ � ¯ ¥ � � · � ¬�® ­ ��® ± ��® � ¤ ¬�® � ° ��® � � � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ´ ° ¥ ¬ · � � · � ��® � ¯ ¥ � � · � ¬�® ­ ��® ± ��® � ¤ ¬�® � ° ��® � � � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � µ °�® ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ · ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � � ¬�® � ° ��® � ± ��® � � ��® ° � ¬�® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¸ ³ °�® ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ · ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � ° ��® � ± ��® � � � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � º °�® ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ ´ ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � � ¬�® � ° � ¥ � � ��® � ¬ ¯�® ° � ¬�® ¬ ° ¬�® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ � ° � � ¯ « ® © � ´ ° ´ ¬ · � � µ � ��® � ¯�® � ��® � ��® ¬ ��® ± ��® � ² ��® � ° ��® � � � «­ © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¦ °�® ¬ º � � · � ��® � ¯ ´ � ��® � ¬ · ­ � ¥ ¬ ��® ± ��® ¯ ¬�® � � ¬ ¥ � ° � ¥ � � ��® ° � ¬�® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ � ¬ ¯�® ¤ ­ � ¬�® � ¤ ¤ ��® ° ¤ � � « ® © � ¸ · ° ¥ ¬ ¶ � � ´ � ¬�® � ¯ ¥ � � ¥ ����® � ��® � ¤ ¬�® � ° ��® � ­ �

® � ² ¬�® � � � ¥ ° � ¬ ¥ ­ � ��® � ² ¯ � «­ © ¤ ¥ ¦ � ¬ ¯�® ­ � ��® � ¤ ² ��® ¤ ­ � ¬�® � ¤ ¤ ��® ° ¤ � � « ® © � ¸ · ° ¶ ¬ ¹ � � ´ � ¬�® � ¯�® � � ¥ ����® � �

® � ° ��® � ­ ��® � ² ¬�® � � � ¥ ° � ¬ ¥ ­ ² ��® � ² ¯ � «° © ¤ ¥ ¦ � ­ ¬�® ¬ � ¯�® � ± ¬ ��® ¤ ­ � ¬�® ¤ ± ² ��® ° ¤ � ��® � � ° � � « ® © � ¸ µ ¬ ´ � � ¥ � � ¥ � ¬�® � ¯ ¥ � � ¥ ­ �

® � ¤ ¬�® � ° ��® � � � ¥ «° © ¤ ¥ ¦ « ® © � µ ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ · ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � � ¬�® � ° ��® � ± ��® � � ��® ° � ¬�® � ² ¯ � «° © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¸ ³ ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ · ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � ° ��® � ± ��® � � � «° © ¤ ¥ ¦ « ® © � º ¬ ¶ � � ¥ � ��® � ¯ ´ ¤ ��® � ��® � ��® ± ��® � � ¬�® � ° � ¥ � � ��® � ¬ ¯�® ° � ¬�® ¬ ° ¬�® � ² ¯ � «° © ¤ ¥ ¦ « ® © � ¦ ¬ º � � · � ��® � ¯ ´ � ��® � ¬ · ­ � ¥ ¬ ��® ± ��® ¯ ¬�® � � ¬ ¥ � ° � ¥ � � ��® ° � ¬�® � ² ¯ � «

Page 68: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

» ¼ ½ ¾ ¼`¿�À Á Â Ã Ä Á Å Æ

Ç�È É�Ê É Ë Ì Í Î�Ï�Ð Ñ Ò Ð Î Ò Ñ Ê Ì Í Ó�Ï0Ô Í Õ�Ë É Ê É Õ Ö�Ì Ó Ì Ó ×!Ê È É!Ñ Ë Ë Ì Ê Ì Í Ó�Ñ Ò Ó É Ð É Ï Ï Ñ Õ Ø�Ù Õ Ì Ö�É Ï�Ú Û�Ì Ê È�Ê È É�É Ü Ù�Í Ó É Ó Ê Ï0Ó Í ÛÐ Í Ó�Ï Ê Õ Ñ Ì Ó É Ë�Ê Í�Ý�É�Þ`ß à0× Ñ á É

â�ã ä å�æMç è ç é ç è ê é ç è ë é ç è ì é ç ç ê é ç í ë é ç ê ç é ç ê ë é ç ê ì é ç ß ì é ç î ç éï ç î ë é ç ð ê ñ ç ð ë é ç ë ê ñ ç ë ì ñ ç ò ç é ç ì ç é ç ì ê é ç ì ë é ç ì ì é í ç ç é í í ê éï í í ë é í í ì é í ê ê é í ê ì é í ß ç ó í î ç é í î ë é í ð ê é í ë ç é í ë ë ñ í ò ç é í ò ê éï í ì ê ñ ê è ë é ê ç ç ñ ê ç ê é ê ç ë é ê ê ç é ê ê ë ó ê ß ë ó ê ß ì é ê î ê ó ê î ì ñ ê ð ë éï ê ë ê ó ê ë ì é ê ì ë ó ß è ì é ß ç ì ñ ß ê ç ñ ß ê ê é ß ê ì ñ ß ß ê ó ß ß ì é ß î ë ó ß ò ë é ß ì ì ñï î í ç ñ î í ê ñ î ß ë ó î î ë é î ð ì ó î ë ç ñ î ë ë é ð è ç ñ ð ç ê ó ð ç ì ó ð ê ç ñ ð ß ç óï ð î ê ó ð ð ç ñ ð ë ê ñ ð ò ê ñ ð ì ç ñ ë è ç ó ë è ì ó ë ß ê ñ ë î ç ó ë î ë ñ ë ì ë ó ò ç ç óï ò í ê ó ò í ì ñ ò î ì ñ ò ë ë é ì ç ç ó ì ß ç ó ì ð ë ñ ì ì ç é ç è è ì ó ç è ç ê ó ç è î ç ó ç è ð ì óï ç è ò ë ó ç è ì ê é ç ç è ê ó ç ç è ì ó ç ç ç ë ó ç ç í ê ó ç í ë ë ó ç í ë ì ó ç ê í ç ó ç ê ð ç óï ç ß ë ç ó ç ð è ì ó ç ð ç ê ó ç ð ç ì ó ç ð í ç ñ ç ð ì ì ñ ç ë ß ç ó ç ò è ç ó ç ò ð ç ó ç ò ë ç óï ç ì ë ê ó ç ì ì ê ó í è è ê ó í è ò ê ó í è ò ì ó í ç ç ê ó í ç ß ç ó í ç ß ê ó í í è ê ó í í ß ê óï í ê ò ê ñ í ê ì ê ó í î í ç ó í î î ç ó ê í ç ë ó ê ò ê ê ó ß è î ç ó î ß ç ì ó ð í ë ç ó ë ç ì ê óï ë ð í ç ó ò ç ì ç ó ò ì ë ç ó ç î ì è ç ó ê ì ò î ò ç ñ ô

Ú ê õ í à

ö Ï�Ñ�Õ É Ï Î Ò Ê0Í Ô�Ê È Ì Ï3É Ü Ù�Ñ Ó�Ë É Ë�Ð Í á É Õ Ñ × É�Ê È É�Ö�Í Ë É Ò Ì Ó�Ð Õ É Ñ Ï É Ë!Ê Í!ß ì ë Õ Í Û�Ï#Û�Ì Ê È ð í ß�á Ñ Õ Ì Ñ Ý Ò É Ï�Ú Í ÔIÛ�È Ì Ð Èð í í Ñ Õ É è ÷�ç à õ Ç�È É�Õ É Ï Ê Õ Ì Ð Ê É Ë�Ï Ì × Ö�Ñ!Ð È�Ñ Ì Ó�Ô Í Õ í ø ù ú Û�Ì Ê È�Õ É Ï Ù�É Ð Ê�Ê Í â�û ü ý þ ï â�ã ä å ú Ì Ï í ù ê ó î ó ë ñ ï í ê ï ð ë ï ò ì ïç ß ì ï ð ò ê ï í ç ß ç õ3ÿ Ø�Û�Ñ Ø�Í Ô3Ð Í Ö�Ù�Ñ Õ Ì Ï Í Ó ú Ñ!Ö�Í Ë É ÒIÛ�Ñ Ï�Ð Í Ó�Ï Ê Õ Î�Ð Ê É Ë�Û�Ì Ê È�Ê È É â�û ü ý þ Ñ Ï0Ì Ó>Ú ê õ ç à0Ý Î Ê�Û�È É Õ Éí ø ù Û�Ñ Ï�Ñ�× Ì á É Ó�Ð Í Ö�Ù�Í Ó É Ó Ê ú Ç�È Ì Ï�Ö�Í Ë É ÒIÈ�Ñ Ë�Í Ó Ò Ø í ç ß�Õ Í Û�Ï�Ñ Ó�Ë�ß ë è á Ñ Õ Ì Ñ Ý Ò É Ï õ�0Ü Ù Ò Í Õ Ñ Ê Ì Í ÓHÍ Ô�É Ñ Ð È í ��� � Þ ð î ú Ô Í Õ�Ê È Ì Ï�Ð Í á É Õ�Ë Ì Ë`Ó Í Ê�Ù Õ Í Ë Î�Ð É�Ñ Ó ØHÓ É Û Ö!Î Ò Ê Ì Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö�Ý�É Õ Ï õ

Ç�È É Õ É Ô Í Õ É ú × Ì á É Ó?Ê È É�× É Ó É Õ Í Î�Ï�Ý�Í Î Ó�Ë Ï�Í Ó>Ê È É�É Ü Ù�Í Ó É Ó Ê Ï�Ì Ó>Ê È É�Ð Í á É Õ ú Ì Ê�Ì Ï�á É Õ Ø�Ò Ì � É Ò Ø?Ê È�Ñ Ê!Ñ Ò Ò3Ö�Î Ò Ê Ì �Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö�Ý�É Õ Ï�Û�Ì Ê È í ����� Þ ð î ú Ñ Ï�Ñ�Ð Í Ö�Ù�Í Ó É Ó Ê�È�Ñ á É�Ì Ó�Ë É É Ë�Ý�É É Ó�Ô Í Î Ó�Ë õ� Î Õ�Ð Í Ó�Ï Ê Õ Î�Ð Ê Ì Í Ó�É Ó�Ï Î Õ É ÏÊ È É�Ô Í Ò Ò Í Û�Ì Ó ×�� ��� � � � ��������� � â�û ü ý þ�� ����â�ã ä å�� � � "! �$# % & ' ()� ���)# % & * ( +,� �-��â�û ü ý þ ï â�ã ä å�æ/.102 3�4-5 6 72 +5 2 � ! � ! ��8 �9�: ! ; � &)<>= =?;�@ = � ! 9 � : A � 8 � � @ ;"� � : 1B A � C � A B : ; . 0 2 3�4 5 þ 72 ï D �!è Þ/E 2 Þ/F 2 � ���15 2G D + D H @�� : � A : � � +�� : �I ��B J?��! � � C � = ! � � : � � @ : � &K Ì Ó�Ð É!Ê È É�Ò Ñ Õ × É Ï Ê�Ù Õ Ì Ö�É�Ô Ñ Ð Ê Í Õ�Í Ô3Ñ Ó�Í Ë Ë�Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö�Ý�É Õ�É Ü Ð É É Ë Ï ç è L�M ë î N Û�É�È�Ñ á É

O � � ��P P Q � RTS���U-C � : � � : � ��B�B � � 9 � : A � 8 � ��@ ;"� � : �B A � C � A B : ;TV-W ó A B :"9�: ! ; � VYX ç Ú Ö�Í Ë�ß à � ���W ó Z â�û ü ý þ ï â�ã ä å [ í ø ù"J C � : � â�û ü ý þ\� ���!â�ã ä å)� : � � ! ��# % & ' (1� ���1# % & * ( &� Ó É ] Ó�Ñ Ò3Ñ Ê Ê É Ö�Ù Ê�Ñ Ê�É Ü Ù�Ñ Ó�Ï Ì Í Ó�Û�Ñ Ï�Ê Í�Ð Í Ó�Ï Ê Õ Î�Ð Ê â�û ü ý þ Ñ Ó�Ë â�ã ä å Ô Í Õ í �-��ð î Þ � Þ ç ç è õ Ç�È É�Ñ Ì Ö

Û�Ñ Ï�Ê Í�Ò Í Í ��Ô Í Õ�Ê È É�Ï Ö�Ñ Ò Ò É Ï Ê ì � Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö!Ý�É Õ�Ñ Ó�Ë?Ñ Ó Ø�Õ É Ö�Ñ Ì Ó Ì Ó ×�Ï Ö�Ñ Ò Ò ë �0Í Õ ò � Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö�Ý�É Õ Ï õ�ö ÓÑ Ó�Ñ Ò Ø Ï Ì Ï�Í Ô�� Ó Í Û�Ó�Ö!Î Ò Ê Ì Ù�É Õ Ô É Ð Ê�Ó Î Ö!Ý�É Õ Ï í �-���)^Gç ç è ú Ï Î × × É Ï Ê É Ë�Ñ�Ð Í Ó�Ï É Õ á Ñ Ê Ì á É�Ý�Í Î Ó�Ë

â�û ü ý þ�æ2í 4 4 _ ê ø _ î é ù ë ñ ù ç ç ó ù ç ê ó _ ç ë 4 ù ç ì 4 ù í ê 4 _ í ì L ê ç ` ê ë L ß ç L ß ê L ß ë øï î ê ù î ì é ð ç ù ð ë é ë ç é ë ê é ë ì é ò ê é ò ì é ì ë é ô

Page 69: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

a b c c b�d e�f g h i j h k f l1m n c,i j o p q h r s t\u v�w

xy z){ z | } ~ ���\� � � � � � � { } ~ ���"� ~ �1| z { z � ��} � } � ��{ y z�� | | } { } ~ ��� �>� z � z � � � � ��� � } ��z ��� ��} { y${ y z)z � ��~ � z � { �� ~ ��� { � � } � z |\{ ~���z\��� �?� � � z

�� � ����� � � � � � � � � �   � � � ¡ � � � � � � ¢   � � � � � � �   � � � ¡ � � � ¡ � � £ � �¤ � £   � � ¥ � � � ¥   � �   � � �   ¡ � � ¦ � � � ¡ � � � ¡ � � � ¡   � � ¡ ¡ � ¢ � � � ¢ ¢ � �¤ ¢ ¢   � ¢ ¢ ¡ � ¢ � � � ¢ � ¡ � ¢ � � � ¢ £ � � ¢ £   � ¢ ¥ � � ¢ ¥ ¡ § ¢   � � ¢     � ¢ ¦ � � ¢ ¦ � �¤ ¢ ¡ � ¨ � �   � � � � � � � � � � �   � � � � � � �   � � �   ¨ � � ¡ � � £ � � � £ ¡ � � ¥   �¤ �   � � �   ¡ � � ¦ � § � ¡   � � � � § � � ¡ � � � ¡ � � ¢ � � � � � � � � � � � � ¡ � � � � ¨ � � ¡ �¤ � £   ¨ � ¥ � � � ¥ � § � ¥   ¨ � ¦   � � ¡ � � � ¡ ¡ � £ � � § £ � ¡ § £ ¢ � � £ ¢ � � £ �   � £ £   ¨¤ £ ¥ � ¨ £ ¥ ¡ � £   � � £     � £ ¦   ¨ £ ¡ ¡ � ¥ � � � ¥ �   ¨ ¥ � � ¨ ¥ �   ¨ ¥ � ¡ � ¥ � � � ¥ � � §¤ ¥ �   § ¥ £ � � ¥ ¥ � � ¥   � � ¥     § ¥ ¦ � � ¥ ¡ � ¨   � � �   � ¡ �   � ¡ ¨   � � §   � � �   £ � �¤   £   ¨   ¥ � ¨   ¥ ¡ ¨     � ¨   ¡   ¨ ¦ � � � ¦ ¢ � ¨ ¦ ¢ ¡ � ¦ £ � ¨ ¦ £ ¡ � ¦ ¥ � § ¦     � ¦ ¦ � §¤ ¦ ¦ � § ¡ � � � ¡ � ¡ § ¡ �   ¨ ¡ � � § ¡ £ � ¨ ¡ ¥   § ¡ ¡ � � ¡ ¡   § � � � ¡ ¨ � � � � ¨ � � ¢ � § � � £ � �¤ � � ¥ � § � � ¥ � § � � ¥ ¡ ¨ � � ¦   � � � ¡ � � � � � � § � � � ¡ § � � �   § � � ¢ � § � � £ � § � � £ � § � � ¥ � § � �   � �¤ � ¢ � � § � ¢ � � § � ¢ � ¡ § � ¢     § � ¢   ¡ ¨ � � � � ¨ � � �   § � � ¢ � § � � ¡ ¡ § � �   � ¨ � � ¦ � § � � ¦ ¡ §¤ � � ¡ ¡ § � £ � � § � £ ¢ � § � £ ¡   § � ¥ �   ¨ � ¥ � ¡ ¨ � ¥ � � ¨ � ¥ ¢ � ¨ � ¥ £   § � ¥ ¡ � § � ¥ ¡ ¡ ¨ �   ¢ � §¤ �   � � § �   £ ¡ § � ¦ � � § � ¦ ¥ � § � ¦   � § � ¦   � § � ¦ ¦ ¡ § � ¡ £ � § � ¡   � § � ¡ ¡ � § ¢ � � � § ¢ � �   §¤ ¢ � ¦ � § ¢ � ¦ � § ¢ � ¦ ¡ § ¢ � � � § ¢ � � � § ¢ � � � ¨ ¢ ¢ � � § ¢ ¢ � � § ¢ ¢ ¢ � ¨ ¢ ¢ � � § ¢ ¢ ¥   § ¢ � � � §¤ ¢ � ¦ � ¨ ¢ � ¡ � § ¢ � �   § ¢ £ ¢ � § ¢ £ £ � ¨ ¢ £ ¡ � § ¢ ¥ �   § ¢ ¥ ¡ � § ¢   ¥   § ¢   ¦ ¡ § ¢ ¦ £ � § � � � ¡ ¨ � � ¢ � §¤ � � ¦   § � ¢ � � § � ¢ �   § � � ¡ � § � ¥ �   § � ¥ � � § � ¥ £ ¡ § � ¥   � § �   ¥ ¡ § � ¦ � � § � ¦     § � ¡ �   §¤ � � ¢ � § � � £ � ¨ � � ¡ ¡ § � �     ¨ � ¢ � � ¨ � � �   § � £ ¡ � § � ¡ � ¡ § � ¡ ¦   § £ � ¥   § £ ¢ ¦ � ¨ £ � � ¡ §¤ £   � ¡ § £ ¦   ¡ § ¥ ¢   � ¨ ¥ £ ¢ ¡ §   � ¢ ¡ §   � ¥ ¡ §   ¥ ¢ � § ¦ � � � § ¦ � ¡ � § ¦ ¢ ¥ ¡ § ¦ ¡   � § ¡ � ¦ � §¤ ¡ £ � � § ¡ ¡ ¥   § � � � � ¡ ¨ � £ ¥ �   § � £ ¡ � � § � ¡ � � � § � ¡ £ � � § ¢ ¢ � ¢ ¡ § ¢ � ¡   � § � �   ¦ � § � ¦ ¡ ¢ � §¤ � ¥ ¥ � � § � � � ¦ � � § � ¡ ¦ £ ¦ � ¨ ©

ª �"�1� z � � � {�~ ��{ y } � z � ��� ��| z |�� ~ � z � � � z"{ y z1��~ | z �} ��� � z � � z |){ ~ ¦ � £ � ~ �>�,��} { y � � � � � � � } � � � z �\� ~ ���y } � y � � � � � � z � «�� � ¬�xy z\� } ­ z"~ �{ y } � ��~ | z �?} � � ��� y�{ y�� { { y z\� z � ~ � � � z �,� � � } � � � � z"{ ~�{ y z1� � { y ~ ��� � z� ��� � � z { ~"� ~ � � z,} {���} { y } ��� � z � � } � { } �>{ } ��z � } ��} { ¬

®"¯ ° °²±\³)´�µ>¶ · ¸ ¶ ¹�´>º¼»>½�°¾·�¸ ¿�À Á¶ Â?Ã�ÄÆÅ

Ç � z1� � � � ~ � � y�| z � � � } ��z |�} ��{ y z"� } { z � � { � � z"� ~ �"� ~ � � } � �1� � � � z\� � � � z � «�� } � { z � z � � � ~ � � � �"��} � �\� � ~ � � z �"�} � � � � ��� y È � ��| È ��~ � ��|)��} { y�� � ~ � � z �É� � z È � ~ ��| } { } ~ � } � ��Ê�� � } ~ � } { } ­ z |)� � � } � � � z\� z � � � y�~ � | z ��� ��|���~ | } Ë z |� � � ��� y1��~ � ��| } � �\� ~ ��| } { } ~ ��� Ì ¢ Ê � ¥ Ê £ ¥ Ê   ¥ Ê � � � Ê � � £ Í ¬>Î?� � ��� y È � ��| È � � {�y�� ����z z �)� y ~ ���1{ ~\��z��"��z { { z �� � � � ~ � � y�} �\� � y z | � � } � � � ��|�� z � � { z | � «�� ~ � { } �"} � � { } ~ �"� � ~ � � z �"��Ì ¥ ¦ Ê ¥ ¡ Í ¬�xy z�� z � � { z |�Ï ��� ��� � � Ï � � ~ � � z �y�� � � � � ~�� } z � | z |)� z �/z Ð"� } z � {�� � � ~ � } { y �\�"Ì ¦ ��Ê ¦ £ Í ¬�Ñ�} � y���z � � ~ � �"� ��� z\� ~ �"� � { } � ��{ z � y � } Ò � z ��� ��� y�� �� z � { ~ �,� ��|���� � � � � z ��� � ~ � z � � } � �\y�� � z ��z z �)z ��� � ~ � z |1} �)� ~ � � } � �\� � � � z È � � � � z } � { z � z �,� � ~ � � � ���"} � �\� � ~ � È� z �"�\Ì � ¡ Ê�� ¡ Í � ��|�� ~ ��� } ��� { ~ � } � �?~ � { } ��} � � { } ~ ��� � ~ � � z �\�"Ì � ¢ Í ¬ ª | � � ��� z � y�� � z\� � � ~���z z ���"� | z\} ��{ y z

Page 70: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ó Ô Õ Õ Ô�Ö ×�Ø Ù Ú Û Ü Ú Ý Ø Þ1ß à Õ,Û Ü á â ã Ú ä å æ\ç è�é

ê ë ë ì í î ê ï í ð ñ"ð ò�ê ó ï í ô�î í ê ì í ñ ï õ ì ì í ö õ ñ�î õ�÷ ø�ù ú�ï õ î û ñ í ü ý õ þÿ õ � õ ì ð ë�õ ÿ�ò ð ó�ê ý ï ð �"ê ï í îï û õ ð ó õ � ë ó ð � í ñ ö�� ï ð�þ ð ì � �í ñ ö ë�þ õ ý�ÿ ð � ��ð ð ì õ ê ñ1÷ í � õ ��� � ú�ð ë ï í �"í þ ê ï í ð ñ�ë ó ð � ì õ �"þ ���û í þ?ê ó õ ê>ð ò�ó õ þ õ ê ó î û�í þ�ó õ ò õ ó ó õ ÿ,ï ð�ê þ� ?ð ñ�þ ï ó ê í ñ ï� ð ö í î��?ó ð ö ó ê ���"í ñ ö�� � ��� � � � � � � ��û õ ì í ñ õ ê ó�ë ó ð ö ó ê ����í ñ ö�ë�ê î � ê ö õ þ,÷ ��� �!�"�ê ñ�ÿ$# % & ' # ( ) ú�õ �"ë ì ð * õ ÿ\û õ ó õ ý�þ õ ÿ\ï û õ ö õ ñ õ ó ê ì�� ó ê ñ�î û �

ê ñ�ÿ � ��ð ý ñ�ÿ\ê ì ö ð ó í ï û �,+�í ï û ð ý ï>ê ñ *"ë ó õ � î ð ñ�ÿ í ï í ð ñ í ñ ö�ï ð"þ ð ì � õ,ò ð ó�ï û õ-� �.� ê ó í ê � ì õ þ ��ø/�"ð ó õ þ ë�õ î í ê ì í 0 õ ÿþ ð ì ý ï í ð ñ�ê ì ö ð ó í ï û �1�?þ ý�î û�ê þ ð ñ õ\ð ò>ï û õ\í ��ë ì í î í ï�õ ñ ý ��õ ó ê ï í ð ñ�ê ì ö ð ó í ï û �\þ2� 3 ��3 � ��3 �� � � �4 � � �î ð ý ì ÿë ó ð � õ,ï ð���õ ê ñ1í �"ë ó ð � õ ��õ ñ ï ��û õì í ï õ ó ê ï ý ó õ�ÿ õ þ î ó í ��õ þ�þ õ � õ ó ê ì ê ë ë ó ð ê î û õ þ-ï ð ê î î õ ì õ ó ê ï í ñ ö�ï û õ>þ ð ì ý ï í ð ñ�ð ò�� �?í ñ ï õ ö õ ó�ë ó ð ö ó ê ����í ñ ö

ë ó ð � ì õ �\þ 5÷ í ú\ô 6"ï û õ-� ê ì ý õ þ�ð ò�þ ð �"õ,ð ò�ï û õ-� ê ó í ê � ì õ þ�ÿ ý ó í ñ ö"ê�ë ó õ � ë ó ð î õ þ þ í ñ ö�ë û�ê þ õ �÷ í í ú\ë ó õ � î ð ñ�ÿ í ï í ð ñ\ï û õ ë ó ð � ì õ �7� *\ï í ö û ï õ ñ í ñ ö"þ ð ��õ,ð ò�ï û õ î ð ñ�þ ï ó ê í ñ ï þï û ó ð ý ö û�î ð õ 8"î í õ ñ ïó õ ÿ ý�î ï í ð ñ9�÷ í í í ú\ý�þ õ þ ý ó ó ð ö ê ï õ,î ð ñ�þ ï ó ê í ñ ï þï ð��"ð ó õ ÿ õ î í þ í � õ ì *$: ë ó ý ñ õ ; ï û õ�þ õ ê ó î û1ê ñ�ÿ÷ í � ú1ê ö ö ó õ ö ê ï õ>î ð ñ�þ ï ó ê í ñ ï þ � ï û ý�þó õ ÿ ý�î í ñ ö�ï û õ þ í 0 õ,ð ò�ï û õ,ë ó ð � ì õ �7+�í ï û ð ý ï>ê <�õ î ï í ñ ö�ï û õ,ð ë ï í �"ê ì�þ ð ì ý �

ï í ð ñ9���û õ ý ì ï í �\ê ï õ�ó õ ÿ ý�î õ ÿ1ë ó ð � ì õ �=+ð ý ì ÿ1û�ê � õ�ê"þ í ñ ö ì õ�î ð ñ�þ ï ó ê í ñ ï.\ï û í þ>í þ,î ê ì ì õ ÿ�ê�� ñ�ê ë�þ ê î �ë ó ð � ì õ �1�

ù ï4+�ê þñ ð ï�ÿ õ õ �"õ ÿ1ê ë ë ó ð ë ó í ê ï õ>ï ð"í ñ � õ þ ï í ö ê ï õ þ ý�î û1þ ë�õ î í ê ì í þ õ ÿ1ê î î õ ì õ ó ê ï í ð ñ\ï õ î û ñ í ü ý õ þ�ê ï�ï û õ ï í �"õ �> û í ì õ�ï û õ�� ó ê ñ�î û � ê ñ�ÿ � ��ð ý ñ�ÿ�í �"ë ì õ ��õ ñ ï ê ï í ð ñ�í ñ?# % & ' # ( )"ò ê í ì õ ÿ�ï ð�ô ñ�ÿ�ê ì ì>þ ð ì ý ï í ð ñ�þ�ò ð ó\ï û õ@� A B

��ð ÿ õ ì?ÿ ý õ�ï ð\ñ ý ��õ ó í î ê ì?þ ï ê � í ì í ï *1ë ó ð � ì õ �\þ ��ï û õ�ì ð ö í î � ��ê þ õ ÿ2� ó ê ñ�î û � ê ñ�ÿ � î ý ï>í �"ë ì õ ��õ ñ ï ê ï í ð ñ)í ñC' %�D E %+�ê þ,ê � ì õ"ï ð1ô ñ�ÿ)ê ì ìþ ð ì ý ï í ð ñ�þ�÷ ê ñ�ÿ�í ñ)ò ê î ï2F # #�ï û õ�� ñ ð +�ñ@��ý ì ï í ë�õ ó ò õ î ï,ñ ý ����õ ó þ.+�í ï û$� A B"ê þ,ê ñ)õ 6 ê î ïò ê î ï ð ó ú>í ñ�þ í ö ñ í ô�î ê ñ ï ì *1ì õ þ þ>ï í �"õ � ù ñ�ÿ õ õ ÿG' %�D E %1+ð ý ì ÿ�ï * ë í î ê ì ì *1ô ñ�ÿ)ê ñ�ð ë ï í �"ê ì?þ ð ì ý ï í ð ñ)ü ý í î � ì *)ê ñ�ÿï û õ ñ)þ ë�õ ñ�ÿ1ï û õ�ó õ þ ï>ð ò�ï û õ ï í ��õ"î ð ñ ô ó ��í ñ ö"ï û�ê ï>ï û õ"þ ð ì ý ï í ð ñ1+�ê þð ë ï í �"ê ì �4H ó ð � ï û í þ�í ï,ê ë ë�õ ê ó þï û�ê ïï û õ"ï * ë�õ�ð ò��"ð ÿ õ ìÿ õ � õ ì ð ë�õ ÿ�û õ ó õ�í þ���ð ó õ"ê ��õ ñ�ê � ì õ"ï ð1ê1þ ð ì ý ï í ð ñ1�"õ ï û ð ÿ@+�û í î û�ï ê � õ þ,ê ÿ � ê ñ ï ê ö õ�ð òï û õ.��ð ÿ õ ì I þ?ì ð ö í î ê ì-þ ï ó ý�î ï ý ó õ�ó ê ï û õ óï û�ê ñ"í ï þ?ë�ð ì * û õ ÿ ó ê ì-þ ï ó ý�î ï ý ó õ ��ø>ÿ � ê ñ ï ê ö õ4+�ê þ?ï ê � õ ñ"ð ò�ê ñ *�ð ë ï í ð ñï ð\ÿ í þ ë ì ê *\í ñ ï õ ó �"õ ÿ í ê ï õ,ò õ ê þ í � ì õ þ ð ì ý ï í ð ñ�þï ð"ê î î õ ì õ ó ê ï õ,ï û õ,ô ñ�ÿ í ñ ö"ð ò�ê ì ì-ò õ ê þ í � ì õ þ ð ì ý ï í ð ñ�þ � ?ð ñ � õ ñ í õ ñ ï ì *\ý�þ í ñ ö@' %�D E %\ó õ ü ý í ó õ ÿ\ð ñ ì *2�"í ñ ð ó>ó õ ò ð ó �"ê ï ï í ñ ö�ð ò�ï û õ-��ð ÿ õ ì�ÿ ê ï ê"ê þý�þ õ ÿ2� *@# % & ' # ( )

÷ ð ó4��� �!�"?ú � ù ñ"ë�ê ó ï í î ý ì ê óï û õ�í ñ ï õ ö õ ó�� ê ó í ê � ì õ þ�J K J � ê ñ�ÿ�J K J �,ñ õ õ ÿ"ï ð-��õ>ó õ ë ì ê î õ ÿ�� *"ê�+õ í ö û ï õ ÿ"þ ý �ð ò�ê"þ õ ï�ð ò�� �.� ê ó í ê � ì õ þ�ê þë ó õ � í ð ý�þ ì *\ÿ õ þ î ó í ��õ ÿ��

Page 71: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

LNMPORQTSVUXWZY

[]\?\_^=`-a bVc1`�d�c1e�fhgPi?jlkVc1`-m

n2o prq9s�t�u�v2w1x�y�t�z v�s{7|�} ~ � � � � ��� � � � � � ����� ~�~ � � �$� }@���2� � � |�� � � � � ��� } ��� � |�� � � � � � �-� ����� �1����� �]� } ���4� �1����� � �@� �G� � � ~� ��� | � � �.���4� � ��� � �4� � ~4� � � } � �-� ��} � �2� � � |�� � � � � �4� � ����� ��� ~ ~ � ��� � ��~ ��� ��� � � ~ � �� � �-~ ��� � � � ~ �4� � � |�� � � � � ��� � ����� �.� ~��   ¡-�4� � �

��� �   ¡ ���?��¢G .¢$�.¢$£�¢$¤.¢G¥.¢$¦.¢C� ¡4¢C�  .¢§� ¤.¢$  ¡.¢G  £¢G� ¡4¢$£ ¡.¢$¥ ¡.¢§�   ¡

�C� ¥ ¡-�C��¨ �   ¡} �

�4� �   ¡ ���C�4�   © ��¨ ¤ ���C�4�   © � �4� � � �4� ¤ ��� ��¨ ¤  © ¨  ª� ¨ �¨ �¤ �C� «

� � � � ��� � ��~ � �@¬ � } �4�G� � |�� � � � � �-� � ����� � ~ ­�� � ��} �4�4� � � �§� � �2� � � �C�   © ��¨ ¤ ­�  ® ��¨ ¯ ­�  ° ¤�¨ ¯-¨�� ±�¨ � ¯-¨ ¯ � ­  ² ��¨ � ��¨ � � ­9  ³ © ��¨ � �.¨ £ �-¨ �   ¯2� ���@  ³ ´ ¤�¨ ¯-¨ � ±�¨ � �.¨ � ¤ � � ��� ��� ~�� } ��¬ � } �4�@�4� � � � � �-} ��� } ��� � �1} � �� � � |�� � � � � ��� � ����� � ~9� � � ~ � �9� ��� ��} � �-� � � |�� � � � � ��� � �-��� ���7� � � ~ � ~�� ���-��~ ��~ � � � ~ � �-� � �4� } � � } �4� � �-� } ��� � � � } ��~ µ� � �2¶4� �1�4·C�  �¸ ¥ � ­ ¦   ¹ ­� � � ����� ~4��~ º ��� � ��¸ ¯ ¦ ¹ ­� � � � ���¼»/� ¡ ½ ¾�¸ � ¡ ¹ �¿ � � � � � �.� �4� ~�¬ � } �4�2� ��� � µ� � � �2� � ��� � � � � ~ ��| � � ����� � � � } �4� � � � � � ~�� ¡ ¡ � ¡ ±�¸ � ¡ ¹ ­� � �2� � �-~ � � } ����� � � � � ~ ��| � � ����� � � � } �4� � � � � � ~�� ¡ ¡ ¡2¸ � ¡ ¹ ­� � � �2� � ��� � � � �2� � � � � ~ ��| � � ����� � � � } �4� � � � � � ~�� ¡ ¡2¸ ¥   ¹ �

n2o ÀÂÁÄà v.Å,Æ4uÈÇ1v�x�s�whv�s]t�É2ÆËÊ�z Ì4ÆËv�ÍCÎ�shv�w1w]t�u�z Ï@Æ4u�Í Æ.y�t¼s�x1ÐXÇ1Æ.u� �2� � � ~4~ � � � � } �2�����4� � �9~ � } �C� ��� �4� � ��� } ��� ����} � ����� } �4} � ��� � � |�� � � � � � ~�� � �2����� ��| � } � � ��� � } �=�¼»/� ¡ ½ ¾� }@�]»�� ¡ ³ ª ° � �$��~ � � �@�1~ � ~ � � ��� � � �2� } ��| � � � � � Ñ � �G~ � � � � �@��} � � � � � �G� � � � ��� � ��� | | � } � � �$} � � � � � � �$� �Ò � � � ��� ��� ��¸ � ¤ ¹ � � � �.| � } } ��� � Ò � � ¬�� ����Ó.� Ô � ��¸ � ¡ ¹��4� � � �.� ~ ~ � � � � � � � ��� � � } � � � � ��� � ­ � ��� � ��� � ~�� � �.� � � º � � � ���~ �-} ��~ |�� � � � �9� � ~ � ~�� }2~ � } � � � ��� � � � �.~ � � � � �9�

¥  

Page 72: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Õ Ö × Ö§Ø/Ù Ú Û�Ü Ý�Þ Ú ß à�á�Ú à$â ã�Ü.ä å æ Ü�Ú ç�è à@Ú á á1â Ý å é�Ü Ý ç Ü ê â�à�ß ë�Þ Ü Ý ì�í

î4ï ð�ï ñóò@ô.õ9ö�÷ õ�ø ù ú�û�ü�ý$û�ú�þ�ÿ�÷ ö��������� � � � ���� � ��� � � ��� ��� � � � � ����� ��� � � � � � � � �� � �"! �"# $ %�&(' � � � � �"�)� * � � � � ��' + , - ./ � ��� �� ��0 � � �1 2 � � � � � � � �/ � � 3���� � � � � � 465�� � � 7"� � ��0 � ��� �/8 � 9 � � ��� �:� � ��0 � 7 � �/ � � 36��� � � � � ��� � 9 � �;8 <:=�� � � �: � �>� 7 � � � � � � ��� ��8 �/� � � 0 <� 3� � � ? � � ��� � 0 0 � ��� 4

@�A BCB:D:E FHG/I J��LK M6N O;P Q QR S K T U S J U V R�O W X�Y U SZN O Q 1�[ �\R ] U O^�! �"%�_ 1 ` N O Q6��ab' + , c . d

e�S P P J d�f�� ? � ��� � ��� � �/0 � ��� ��8 � 9 � � ��� �� � �Z� ���60 � 7 � � �� � � 36�/� � � � � ��� �� �� � �� � � � � � � � ��� 9 368 � �� � �' + + +6 � �"' + + ' + g�! � � �Z0 � ��� ��8 � 9 � �� ��' + +Z� �� � �Z� � � � �0 � 7 � � �� � � 3��/� � � � ��� ��� � ��� � � � � � ? �/� � � � % � � � � �� ��^�! �"%�h 1 i � ��� � 0 0 � ����� � �

1 &kj�! �"%�lmj�! ` no n ' ' nbp p p ' 1 o n ' 1 g n ' + + g n ' + + ' + g n %�l 1 q

r�� � ��� � � � � � � � � � � �6� � 36 0 � � � �s� � ��t � � �s � ��� � � � �� � � � � 4�! r�� � � �� � � 1 2 � � 3�� �s� � � 3 ` � ��' 1 g � � � � 0 9 � � ? � 4 %um� � ��^�! �"%�_ 1 ` ���/� ? �

��_ ` c o c ' ' c p p p ' 1 g c ' i g c ' + + g c ' + + ' + g c ab' + , c . q

v ��� � �68 � 9 � �"� ��' + + + + + ' gZ� �"� � �60 � 7 � � �� � � 36�6� � � � �Z � � � 9 � � � ��8 <�v � � 9 � � ��w o ' x�� ��9 � � ��� � � � � �� � � �����Z� ? ��� � ���yak' + , z c�� ��� � � � �Z� � � � 9 3� � � � � � 4

î4ï ð�ï ð|{k�=û�ü ÿ�ö�÷ ù ø ô�}�~ ö�÷C�/���.ù �.ÿVûVü ös�$õ�÷C�-ö�������ö��=ø ô.õb� ù ��õ/ö�~��H� �Z��l�' + , c . 46u;�� �: � � 9 36��� � � 1;� �:�s� � � � ��� � 16[ �y� � � �;8 <;�H� 363;' 2 �H�La�' + , c . 4�� 9 � � � � �� � � � �6�)� ���� � 9 � � � ���Z� ����� � � �

��& 1 c � � c � �, � c � �c q q q � c � �� ! i 4 ' %

��� � � � � � � � � � � � �� � � 3�� �� � ���# � ����� q� � < � � � 3 � � �/� � � � ��� � ? � 0 ? � ��� � �Z� � � � � � 9 � � � � �� ��6� � � 9 � � � �/� - � � , � � c # q q q ��� � � �Z� - & 1 c � � �� �

� � 9 36� ��� � � � � 0s� � 36 � � � � �� � �

� � � , &k� � p � c � � � �� � , & 1 c � � c � �, � c � �c q q q � c � � � �� � , #���_m+

� � �/�� � � 9 � � � �/� ��� � � � � � � �� � � 3�� ���(&(  � , # � c # q q q ¡ � �� * � � � � � ��¢£&b  � , # � c # q q q ¡ 4�r�� �Z� � * � � � � , � �� � � � � �"� ��� � �

� � � , &m3� *   ��¤ � � ¥ ! � c � �� % # �:¦& � § � � ��¨�hC� ¡ ! i 4 2 %

��� � 0 ��� 9 � �/ � � 36� � � * � � � 4sr�� ��� � � � � � � � � � � 7�� � � , � � ��� � ��? 0 9 � ��' # 2 # 1 # q q q 4sr�� ��� � � 9 � � � � �H � ��� * � � � � � �9 � � � 0s� � � � � � ¤

! � %�j�! � � %�a 1 ! � ��j�! � � %�& 1 � �� � �� � � � � � � � ��� ��8 � � ��� � 9 � � %

! � � %�� � ab' + , c .6! � � �Z � � � � � �0 � ��� ��8 � 9 � �� ��8 � � ��� * � � � � � � %�� �

! � � � %� � � � ��� �6� � 1 � � ��� � ? � � � � ¥ ! � � %Z� � �6¨mh��/� * � � � � � 2 �;©(';! ;� � � � � � � � � � � �C� ��� � �" � � 9 36� �� � 3� � � � � � 1 c � % 4

Page 73: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ª « ¬ «m­b® ¯ °�± ²/³ ¯ ´ µH¶�¯ µ:· ¸H±�¹ º » ±/¯ ¼�½ µ;¯ ¶ ¶"· ² º ¾�± ² ¼ ± ¿ ·�µH´ À�³ ± ² Á Â

ÃmÄ Å Æ ÇÈ�Ç É Ê"Ë Ì Í;Î�Ë Ï Ë Ð�Ñ Ò Ç Í;Ò Ó Ç É Å Ë Æ�É Ë Ò Ç Ò�Ô ÕÔ Ç Ð Ö�Å Ì Ë Ô Ç�Ò Õ Ö6Ç6Õ ×�Ô Ä Ç Å ÐZÒ Ç Ø Ñ Ç Ì É Ç Ò Ù Ô Ä Õ Ò Ç�É Å Ð É Ñ Ö�Ò Ô Ë Ì É Ç ÒË Ð Å Ò ÇZÒ Õ6Ð Ë Ð Ç Æ Ú�Ô Ä Ë Ô�Ô Ä Ç ÚÛ�Ç Ð Ç/Ì Õ Ô�Å Ö�Ó Æ Ç Ö6Ç Ì Ô Ç Í�Å Ì�Ô Ä Ç6É Õ Ö�Ó Ñ Ô Ç Ð Å Ü Ç Í�Ò Ç Ë Ð É ÄsÝÞ�Ä Ç6Ë Æ ß Õ Ð Å Ô Ä ÖàÉ Ë Ì"Ë Æ Ò Õ�á Ç6Í Ç Ò É Ð Å á Ç Í�Ë Ò�Ë�Í Ç É Å Ò Å Õ ÌÔ Ð Ç ÇZÓ Ð Õ É Ç Ò Ò Ý�â Å Ì É Ç6ãä å:Ù Ô Ä ÇZÇ æ Ç Ì�Ó Õ Û�Ç Ð Ò�Õ ×�ã

Ë Ð ÇZÔ Ä ÇZÐ Õ Õ Ô Ò�Õ ×�Ô Ä Ç6Í Å Ò Ô Å Ì É Ô/Í Ç É Å Ò Å Õ Ì�Ô Ð Ç Ç Ò Ý�ç ×�ã è6é�å:Ù Ô Ä Ç Ì;Ò Å Ì É Ç6ê�ë å"ì�íkã å:Ù ê�ë ã è ì�í£î ãä å:Ù Ë Ì Í�Ò ÕÔ Ä Ç�É Ä Å Æ Í Ð Ç Ì"Õ ×�Ô Ä Ç6Ð Õ Õ Ô/ã è6Ë Ð ÇZÆ Ë á Ç Æ Ç Í"Û�Å Ô Ä:Í Å ï Ç Ð Ç Ì Ô/Ç æ Ç Ì"Ó Õ Û�Ç Ð Ò�Õ ×�î ã"ë Å Ý Ç Ýî ã è Ù�î ã ð Ù�ñ ñ ñ ì ÝZò�Ë É Ä"Õ ×Ô Ä Ç Ò Ç�Ó Õ Ò Ò Å á Å Æ Å Ô Å Ç Ò�Æ Ç Ë Í ÒsÔ Õ/× Ñ Ð Ô Ä Ç Ð�ê�× Ë É Ô Õ Ð Å Ò Ë Ô Å Õ Ì ÒsË Ì ÍZ× Ñ Ð Ô Ä Ç Ð�Ò Ñ á Ô Ð Ç Ç Ò Ýsó�Ë æ Å Ì ß�Ô Ç Ð Ö�Å Ì Ë Ô Ç Í6Ë Æ Æ Õ × Ô Ä Ç Ò ÇÒ Ñ á Ô Ð Ç Ç Ò ÙHá Ú"Ö6Ç Ô Ä Õ Í Ò�Ô Õ�á Ç�Í Ç Ò É Ð Å á Ç ÍHÙHÛ�Ç6Ô Ä Ç Ì:Ë Ò Ò Ñ Ö6Ç�ã ð"é/å:ÙHá Ç ß Å Ì Ì Å Ì ß"ËÒ Ç É Õ Ì Í�Ô Ð Ç Ç�ë Û�Å Ô Ä:ã ð�Ë ÒÅ Ô Ò�Ð Õ Õ Ô ì Ý�Ã;Ç6É Õ Ì Ô Å Ì Ñ Ç/Å Ì�Ô Ä Å Ò�Ö�Ë Ì Ì Ç Ð�Ñ Ì Ô Å Æ�Ë Æ ÆsË Ó Ó Ð Õ Ó Ð Å Ë Ô Ç/Ó Õ Û�Ç Ð Ò�Õ ×�ã6Ä Ë æ Ç/á Ç Ç Ì�Å Ì æ Ç Ò Ô Å ß Ë Ô Ç ÍHÝ�ò�Ë É ÄÓ Ë Ô Ä:Å ÌCÔ Ä ÇÍ Ç É Å Ò Å Õ Ì:Ô Ð Ç Ç Ò/Å Ò/Ô Ç Ð Ö�Å Ì Ë Ô Ç Í;á Ú;Õ Ì Ç�Õ ×�Ô Ä ÇÔ Ä Ð Ç ÇÉ Õ Ì Í Å Ô Å Õ Ì Ò/Ö�Ç Ì Ô Å Õ Ì Ç Í;Å Ì:Ô Ä Ç�Ó Ð Ç É Ç Í Å Ì ßÓ Ë Ð Ë ß Ð Ë Ó ÄsÝâ Å Ì É Ç/ô�ë å"ì�õbî ö6Ë Ì Í�ß Å æ Ç ÌÔ Ä Ç/Æ Õ Û�Ç Ð�á Õ Ñ Ì Í Ò�Õ Ì�Ô Ä Ç�Ô Ä Ð Ç Ç/Æ Ë Ð ß Ç Ò Ô�Ó Ð Å Ö6Ç/× Ë É Ô Õ Ð Ò�Õ ×så:Ù Û�Ç/Ä Ë æ Ç�Ô Ä Ç

Û�Õ Ð Ò Ô�É Ë Ò Çã è ÷Zø ù è ú è î î è î ã è î ú è î û è ö ã è ö û è î ü î è î ü ü û è î ü ü î ü û è�ý î ü þ è ÿ

× Õ Ð�� ý û � Ý�ç Ô�Å Ò�Ò Ñ ��É Å Ç Ì Ô�Ô Õ�Ç � Ë Ö6Å Ì ÇZÒ Ç Ø Ñ Ç Ì É Ç Ò�× Õ Ð�Û�Ä Å É Ä;å��/íbã è ÷�� �;í(î � ö � ñ ñ ñ � û � Ý�ó�Õ Û�Ç æ Ç Ð Ù ß Å æ Ç ÌÔ Ä Ç/× Õ Æ Æ Õ Û�Å Ì ß�Æ Ç Ö6ÖË Ù Ë6á Ç Ô Ô Ç Ð�á Õ Ñ Ì ÍÕ Ì�Ô Ä Ç/Ì Ñ Ö6á Ç Ð�Õ ×�Ò Ç Ø Ñ Ç Ì É Ç Ò�É Ë Ì�á Ç6É Ë Æ É Ñ Æ Ë Ô Ç ÍHÝ

� � ����� ����� ��å�� ��� ��� � � � ! � " # ! � # $ �%� & ' ( # ! )�*+��, � - # ��( � & �.� ) /0".! � ' #�� ���1/ è 2�é�å�� 3 # �å ý *4� �5 � 61/87(î;ë Ö6Õ Í�ã ì9� ����: ý<; = >.? @ð ; = > A � ! 5 � � 61/87köCë Ö6Õ Í�ã ì9� !�/íkã0� ����: ýB; = > @ð ; = > A�CD%! � � � C�E Õ ÐZÉ Ë Ò Çë Å ì Ù Û�Ç6Ä Ë æ Ç ÙHê�ë / è 2 ìZä ã å0� á Õ Ô Ä8/ è 2 Ë Ì Í;ê�ë / è 2 ì/Í Å æ Å Í Ç�ã å Ë Ì Í"Ò Õ�ã å\õ / è 2 ê�ë / è 2 ì ý/ ð 2 ý ã *£Å ×�: ý ; = >.? @ð ; = > A ÝE Õ Ð�É Ë Ò Ç;ë Å Å ì Ù�Ò Å Ì É Ç /F7)öCë Ö6Õ Í�ã ìZÕ Ð�/bíàã Ù�ã8G/ê�ë / è 2 ì Ù�á Õ Ô Ä�/ è 2"Ë Ì ÍCê�ë / è 2 ì6Í Å æ Å Í Ç"å�Ë Ì Í:Ò Õå�õ�/ è 2 ê�ë / è 2 ì ý / ð 2 ý *£Å ×H: ýB; = >.@ð ; = > A ÝI�Ò Å Ì ß�Ô Ä Å Ò�Æ Ç Ö6ÖË Ù Û�Ç/Ä Ë æ Ç/Ô Ä Ë Ô Ù Å ×�ã è ÷�é�å:Ù å ý *£í(î ü þ è ÿ�× Õ Ð1�:õ J K ÝE Õ Ð�å9L M þ Û�Ç�Ä Ë æ Ç%/.L M þ ß Å æ Ç Ìá Ú"ë � Ý ö ì�Ë Ì Í�Ô Ä ÇZÉ Õ Ð Ð Ç Ò Ó Õ Ì Í Å Ì ß : L M þ Å Ò�Ð Ç Ò Ô Ð Å É Ô Ç ÍÒ Õ6Ô Ä Ë Ô�å9L ø / 2 N O PL M þRQî ü þ è ÿ ÝÈ�ÚZÉ Õ Ì Ò Å Í Ç Ð Å Ì ß�Ö�Õ Ð Ç�Ô Ä Ë ÌZÕ Ì Ç�Ê Ì Õ Û�ÌZ× Ë É Ô Õ Ð Ù Ô Ä Ç�á Õ Ñ Ì ÍZÉ Ë ÌZá Ç�Ô Ç Ò Ô Ç Í/× Õ ÐsÇ Ë Ð Æ Å Ç Ð Ý E Õ ÐsÇ � Ë Ö6Ó Æ Ç�ë È�Ç É ÊË Ì Í6Î�Ë Ï Ë Ð Ù É Ë Ò Ç�ö S î ù ì Ù ß Å æ Ç Ì�ã è î ã è J î ð6é�å)Ë Ì ÍZÔ Ä Ë Ô�ê�ë J î ð ì�í ù�ø î ã î ø ö î � û î � ê�ë ö î � û î è ì�íT� ö î ø î ü û ú î î ã �

ê�ë î ü û ú î î ã è ì�íkã ø ã ú�ø ù ú � ã ø î K K K î ú î�Ë Ì Í�Ì Õ Ô Å Ì ßZÔ Ä Ë Ô�Ç Ë É Ä�Õ × Ô Ä Ç Ò Ç�Å Ò�Ò Ø Ñ Ë Ð Ç × Ð Ç Ç�Ë Ì Í�Ô Ä Ç Ú�Ë Ð Ç�Ð Ç Æ Ë Ô Å æ Ç Æ ÚÓ Ð Å Ö6Ç ÙHÛ�Ç�É Ë Ì:Ò Ô Ë Ô Ç6Ô Ä Ë Ô0U ê�ë J î ð ì ê�ë ö î � û î è ì ê�ë î ü û ú î î ã è ì V è ä å\Ë Ì Í"Ä Ç Ì É Ç6Ô Ä Ë Ô/Ê Ì Õ Û�Ì"× Ë É Ô Õ Ð Ò�Å Ì É Æ Ñ Í ÇU ê�ë î ü û ú î î ã è ì V è ý î ü è ð W U ê�ë ö î � û î è ì V è ý î ü þ X W U ê�ë J î ð ì V è ý î ü þ ð W Û�Ä Õ Ò Ç/Ó Ð Õ Í Ñ É Ô�Ç � É Ç Ç Í Ò/î ü Y Y6ë á Ç Ú Õ Ì ÍÔ Ä ÇZÆ Å Ö6Å Ô/Ò Ç Ô�á Ú�È�Ç É Ê�Ë Ì Í�Î�Ë Ï Ë Ð ì�Ô Ä Ñ Ò�Ç Æ Å Ö6Å Ì Ë Ô Å Ì ßÔ Ä Å Ò�É Ë Ò Ç Ý%Z�Ç Ò Ó Å Ô ÇZÔ Ä Å Ò�á Ç Å Ì ßË Ì�Å Ö6Ó Ð Õ æ Ç Ö�Ç Ì Ô Ù Ô Ä ÇË Í Í Ç Í�É Õ Ö6Ó Æ Ç � Å Ô ÚÅ Ì�Ô Ç Ò Ô Å Ì ßË Ì ÍÔ Ä Ç/Å Ì × Ð Ç Ø Ñ Ç Ì É ÚÛ�Å Ô Ä�Û�Ä Å É Ä�Å Ô/É Ë Ì�á Ç6Ë Ó Ó Æ Å Ç ÍÆ Ç ÍÔ Õ�Ô Ä ÇZÇ � É Æ Ñ Ò Å Õ Ì�Õ ×Ô Ä Å Ò�Ô Ú Ó Ç/Õ ×sÇ � Ô Ç Ì Í Ç ÍÔ Ç Ò Ô Å Ì ß�Å Ì�Ô Ä Å Ò�Ò Ô Ñ Í Ú ÝÞ�Ä Ç�É Õ Ö�Ó Æ Ç Ô ÇÒ Ç Ë Ð É Ä;× Õ Ð6Õ Í Í"Ô Ð Å Ó Ç Ð × Ç É ÔZÌ Ñ ÖZá Ç Ð Ò Q î ü þ è ÿÉ Ë Ì:á Ç�× Õ Ñ Ì Í;Å Ì [�Ó Ó Ç Ì Í Å � E Ý�Î�Õ"Õ Í ÍÔ Ð Å Ó Ç Ð × Ç É Ô�Ì Ñ Ö6á Ç Ð Ò�Û�Ç Ð Ç/× Õ Ñ Ì ÍHÝ�Þ�Ä Ç6Í Ç Ô Ë Å Æ Ò�Õ ×�Ô Ä ÇZÒ Ç Ë Ð É Ä�É Õ Ì Ò Ô Å Ô Ñ Ô ÇZË6Ó Ð Õ Õ ×sÕ ×sÔ Ä ÇZ× Õ Æ Æ Õ Û�Å Ì ß6Ô Ä Ç Õ Ð Ç Ö�Ý

\�] ^ _ �a`���� ��åb� �9� ��� � � � ! � " # ! � # $ �%�.& ' ( # !�� 3 # ��å ý î ü þ è ÿ C[�Ò Ò Ñ Ö�Å Ì ß�Ô Ä Ë ÔZÔ Ä Ç�Æ Ë Ð ß Ç Ò Ô/Ó Ð Å Ö6Ç�× Ë É Ô Õ ÐZÕ ×�Ë Ì;Õ Í Í"Ô Ð Å Ó Ç Ð × Ç É Ô/Ì Ñ Ö6á Ç ÐZÇ � É Ç Ç Í Ò�î ü X ë Ë ÒZÉ Æ Ë Å Ö�Ç Í;á Ú

ç Ë Ì Ì Ñ É É Å ì Ù Ô Ä Ç/Ò Ç Ë Ð É Ä6Û�Ë Ò�Ë Æ Ò Õ6É Ë Ð Ð Å Ç ÍZÕ Ñ Ô�× Õ Ð�Ë/á Õ Ñ Ì Í6Õ ×�î ü þ ? è Ý�Î�ÕZÕ Í Í6Ô Ð Å Ó Ç Ð × Ç É Ô�Ì Ñ Ö6á Ç Ð Ò�Û�Ç Ð Ç�× Õ Ñ Ì ÍË Ì Í�Ò ÕÞ�Ä Ç Õ Ð Ç Ö ú Û�Õ Ñ Æ Íá ÇZË Ö�Ç Ì Í Ç Í�Ô Õ�á Ç6å ý î ü þ ? è Ý

Page 74: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

c d e dgf�h�i1j�k l8m i n�o p�q r s t r j�u tHv.n r lwi1p x u t o n s�o pHx j�o q q8t n r vHi n p i u tHj�k lwm i n y�z

{w| }�~��8�+�w�8�����1���9� ��� ����� �8�%���8��� �b�+� ���%�H�9�H����� �9�a� �0�a�H��� �0���H� �1�%��w�8�����1�

� �0� � � ��� � � � � � �8�%� � � � � �.� ��� �0� � �   � � � �8� �w� ¡9�   � ¢ � � £ � � �9¤ � � �1�8  � � � ¥ ��¦�§ ¨0©�ªg« ¬ ­�®%� �9� � ¢ � ¥ � � ¡9� � �� ¯�� � � � ¥ £ �   � � � ¡4� �.�8� � ��� � � �.�   � � � £w� � � �   °8¯ � ¥ ¥ � ���1� �.� ��� ¯1±�� � � � ² ¬ ³ ´�� �.�0� �1� ��� � � � �8� ��±�� � � ��� �.�µ �   ¥ ��² ¶ ¬ ´1¯ �  9� � �8� � � �.�   ¯ � � � � � ¡�·.�   � � � �8· � �9� �   �0� �.� � � � ¥ � � � ��¯ �  9� � �0� � ¡ � ¥ �  9�   � �.�   ¯ � � � � � � �0� �.�� ¸ � � �.� � �w� � �   � ¢ � � ��� � � � � � � �.� ¥��.� �%�   ¯ � ¥�� � � � � � � �8�   � � �   � � ­

¹1º »%º ¼¾½�¿�À�Á� À.Ã Ä Å�ÆHÇ9È�ÆHÅ.É%Ê� Á�Ë�Ì�Í� ��� � �9¯ � ¥ ¥ � �1� � £.Î Ï�Î�Ð Î�Ñ �1� ¥ ¥�� � � � � �9�   � ¡ � ��� �.�0ÒB�1� ¥ ¥�� � � � � � � � °8�.� � � � � ¢ �9� � � � £ �   ­�Ó�� � ÒÔ� � � � � � ��   � �.�  �� � ¢ � � �  1� ¯�Ò�§ � ¸ � � � �1� �.� � «�Õg« © ­� �1�1� ¥ ¥�·.��� � � ¢ � � � � � �%� �w� � �.� � � �  �¨4� � �.� ¢ ��� � ���   � ¡ ��� � � � ¡ �.� � � � � � �

¨4Õ×ÖØÙ Ú�ÛÏ.Ü ÝÙRÞ8ßØÙ ÚHÛ

Ð à ÝÙFÞ�áØÙ Ú�ÛÑ â ÝÙ ÕFã Þ ä0Þ å § æ.­ ¶ ©

�1� � � �w� ��� � � �   �   � � � �w� �%¯ � ¥ ¥ � ��� ç�� � � �9Ï Ü ÝÙ � �1��¤ � � �1�8� � ¡ �.� � � � �1� ¯�¨�Î � � � �8Ð Ù � �1��¤ � � �1�w�   � ¡ ��¯ � � � �  � ¯�¨B· � ��� � ��� ¸ �.� � � � ��è Ù � ��� � ¤ � � �1��Î.� �.�8� � � �0�   � ¡ ��¯ � � � �  �Ñ Ù � ¯�¨Ô� �.�8� ¸ �.� � � � ��é Ù �   ��� � ¤ � � �1��­ê�°Të ¤ � � �1�.ì Î �%��¡ � � �0� ¸ � ¥ � � � � ¥ °8�.� � � � ¥ � � � �8�  �� � �9� � �.� � í � � �.� ��� ¯�� �.� ��� �0� � � � ¡ � � � � ��­1î1� °8� ¯HïHÎ ð�Îñ ¡ � ° ·.��ò �   �.Î � �8�1� � � �8� � � ���%��� � ��ã�Î ä Î å Î   � � �.� � � � ¢ � ¥ ° Î � í �.� ¥�� �8« ­ó�ô õ õ�ö�÷ ø�ù�ú�û ü�ý þ.ÿwû � ��� ü � � � ü � � � �%þ� �� � ü1¨+ÕFã ä�å� ý �� � � � þ�� ÿ�� �� � � ��� ��� ý � �� § ã ä ©��T¶�� � § ã å ä � © ! § æ.­ æ ©"�û � ��� þ� # �.ý $ � � � � ý ü �� � ü � � �%� �%ð'&)( *+� � �,$ � � � - � ý þ.��� þ� # �.ý $ � � ÿ�� � � ü � � �+� � ñ &)(�/%ü û û � � µ � �.� � � § ¨0©%Õ � § ã ä�å ©%Õ � § ã.© � § ä © � § å ©1ÕF¶� �.�0� � � � � £8� �.� � � § ä ©�� � § ä ©�� �.� � § å ©9ª « Î��1� � � � �   � � ��� � � í �.� ¥ � � °0� ¯1ð0&1(8�   ñ &1( Î�  � � �.� � � � ¢ � ¥ ° Î� § ä ©�2 � § ä � ©%� ¯Hð'&)( Î �%���.� ¢ � � § ã ä ©%Õ � § ã.© � § ä ©� � § ã.© � § ä ©� � § ã.© � § ä © � § å ©1ÕT¶� � § ã.© � § å © � § ä � ©%Õ � § ã å ä � © !ó�ô õ õ�ö�÷ z�ù,3� � � û � ñ ªR« � ý þ.�wý � ��%Ñ Û 2 Ñ 4�2 Þ Þ Þ 2 Ñ

á��5.� � þ

¶¶�6 � § ã ä © 6 ¶�6 � § ã ä ©¶ 2 Ñ § æ.­ 7 ©� û ü1Ñ9Õ Ñ Û �1ú.� ü � � � ü � � � � § ã ä � ©�2T¶ � � � � þÑ�2 ¶�8 � § ã ä � © § ñ 6 « ©

¶�6 � § ã ä � © § æ.­ 9 ©� û ü1Ñ9Õ Ñ Û �

Page 75: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

: ; < ;>= ?.@�A.B C�D @ E�F G+H I J K I A.L KNME I C'@�G O L K F E J�F GNO APF H H�K E I MN@ E G @ L KNA.B C'D @ E QQR%S T T U V,W+X Y Z[ \ ] ^_ Y Z `�a b c b d ] e a f d�g e a h i jk d%lmb%n e a h i j o kk dh kqp a rc s dt \�uv w \ x l e a yzd%l e a {d e a | d e a f dg e a {d e a | d�} b%n e a h i j o kk dh k�~ l e a { | d n e a { |.h i j o kk dh k���%uv ��Y _ ] x g e a { | d n e a { |.h i j o kk dh kt u Y [ u���v �'�\�� \ v � � v Z ` \ ��� ��` Y w \ e a { | h i j o kk dx�� e a { | d�� h k a rc � dt Y � uz_ � � Y [ ��Y Z \ � ^v � Y � �'Y �N�'gmb�� ���1g0� c+X Y Z[ \,y�Y _�v�_ � ^v � \ ] � k g)��v Z�h k g e a { |.h i j o kk dx�� e a { | d g e a { |.h k dx�� e a { | d l e a { | dx�� e a { |Nd } b%n bh k ~� ��_ Y ��� � � e a { | dx�� e a { | d } b%n bh k ~ � h k ��%u Y _�Y Z \ � ^v � Y � �'[ v Z'�\,� \ � � ` v Z Y � \ ��� ��` Y w \e a { | dx�� e a { |Nd�� h �kh k n)b l)h k � b%n bh k n�b a rc � d_ ��� uv � xx�� e a { |Nd � bh k n�b�� h k ���v � u \ � � uv Z,_ � � w \+� u Y _N� ^v � � v � Y [ Y Z \ � ^v � Y � �,� Y � \ [ � � � ] ` Y w Y Z `�� Y _ \+� ��[ � Z[ \ � Z_.� � �N[ � ��� ^ � v � Y � Zv � � � \ [ Y _ Y � Z ]t \,[ v Z�\ _ � Y ��v � \�h k � Z'� u \,� \ � ��^_ Y Z `�� u \,_ � � Y [ ��Y Z \ � ^v � Y � �e a { | dx�� e a { | d�� h k� ��` Y w \ ]�v � � \ ��_ Y ��� � Y �[ v � Y � Z ]�a rc � d cm�%u Y _ t Y � ��� Z � �0Y Z w � � w \�� v � Y � Zv ��v � Y � u ��\ � Y [ cm��u Y � \0a rc � d�Y _�� \ _ _v [ [ ^ � v � \�� uv Z�a rc � d ] � u \,� Y  \ � \ Z[ \�Y _�Y Z_ Y ` Z Y �[ v Z ��Y Z�� � v [ � Y [ \ c�P\,Z � t � \ � Y w \�a rc ¡ d c+¢ � ��£+l�� p x p � � � p ��] t \�uv w \h ¤+¥0h ¤ o k n�b�¥0h ¤ o � n���¥m¦ ¦ ¦ ¥�h � nP£ � ��¥0h k n�£ � bv Z� h ¤h ¤ � b � h k nP£ � bh k nP£ � � ��%u \ Z e a f d � e a f §�d%l©¨ª¤ « k h ¤h ¤ � b

� ¨ª¤ « k h k n�£ � bh k n�£ � �l h kh k � b ¦ h k n�bh k ¦ h k n0�h k n�b ¦ ¦ ¦ h k n�� � bh k n�� � �l h k n�� � bh k � b l>b%n �h k � b

Page 76: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¬ ­ ® ­>¯ °.±�².³ ´�µ ± ¶�· ¸+¹ º » ¼ º ².½ ¼N¾¶ º ´'±�¸ ¿ ½ ¼ · ¶ »�· ¸N¿ ²P· ¹ ¹�¼ ¶ º ¾N± ¶ ¸ ± ½ ¼N².³ ´'µ ± ¶ À.Á Ã�Ä Å Æ�Ç È É Ê�Ë Ì Í�ÎmÏ%ÐÒÑÓ Ô%Õ Ï Ö Ë ×Ø Ï Ù ÍÚ%Û Ü Ã Ü Ý Â Ã Ü Þ ß,à Ê�Ë ázÍ à Ê�Ë âÍ Ê�Ë ã Í Ê�Ë Ì Í�Î0Ê�Ë â ã ä'Í�å.Ï%ÐqÑÓ Ô%Õ Ï æ�ÖÚ%Ûç è Å Ä ß Î)Ê�Ë â ã ä�Í�å Ï%ÐÒÑÓ Ô%Õ Ï æç éê Ë ×Ø ë Í Ý Â È È Â ì�Ä ç Ý è Ü Ã�Ã Ü ç à à ç é í Ü Æ Ü é è Øî�Û Ü é Ñ1ï ß Þ Ë ×Ø ë Í�ð ç é�ñÜ Å Æ�Ç Ã Â ò Ü ê Ø+ó  Ã�ô à Ï õ ö õ Ö Ö Ö õ Ñ Þ ì Ü�Ûç ò ÜÓ ÷ ï Ó ÷ ø Ô Ð0ö ï Ó ÷ ø.ù Ð�× ïmú ú ú ï Ó ù Ð0ö ô Õ × ï Ó Ô Ð0ö ô Õ öç éê Ó ÷Ó ÷.Õ öPû Ó Ô Ð0ö ô Õ öÓ Ô Ð0ö ô Õ ×+ÖÚ%Û Ü é Ë Ê�Ë Ì Í Í ù ÎmË Ê�Ë Ì ä�Í Í ù à©üý÷ þ Ô å Ó ÷Ó ÷.Õ Ï æ ùÎ üý÷ þ Ô å Ó ÷Ó ÷.Õ Ï ú Ó ÷.Õ ÏÓ ÷.Õ ö.æ à©üý÷ þNÔ Ó ÷Ó ÷.Õ öÎ üý÷ þ Ô Ó Ô

Ð�ö ô Õ öÓ Ô Ð�ö ô Õ ×à Ó ÔÓ Ô%Õ ö ú Ó Ô Ð�öÓ Ô ú Ó Ô ÐP×Ó Ô Ð�ö ú ú ú Ó Ô Ð�ö Ñ Õ öÓ Ô Ð�ö Ñ Õ ×à Ó Ô Ð0ö Ñ Õ öÓ Ô%Õ ö à Ï%Ð ö ÑÓ Ô%Õ ö Ã�Ä Å Æ�Ç È É Ë Ê�Ë Ì Í Í ù ÎmÏ%Ð ö ÑÓ Ô%Õ öNÖ Ë ×Ø Ï Ï ÍÚ%Û Ü Ã Ü Ý Â Ã Ü Þ ÿ�à Ë Ê�Ë ázÍ Í ù à Ë Ê�Ë âÍ Ê�Ë ã Í Ê�Ë Ì Í Í ù ÎmË Ê�Ë â ã ä�Í Í ù å Ï%Ð ö ÑÓ Ô%Õ ö.æ�ÖÚ%Ûç è Å Ä ÿ Î�Ë Ê�Ë â ã ä Í Í ù å Ï%Ð ö ÑÓ Ô%Õ ö.æç éê�ç Ý è Ü Ã�Ã Ü ç à à ç é í Ü Æ Ü é è ì Ü�Ûç ò Ü

Ó Ô Î ö�� ÿ Ð�Ë Ê�Ë â ã ä Í Í ù Ë Ñ Õ Ï Í �ÿ Õ Ë Ê�Ë â ã ä Í Í ù Ö Ë ×Ø Ï ö Í��� � ��� � � ��� ���� � � � � � Ñ1ï ö ��� ����� � � � ��� Ó Ô Î Ó ù Î ú ú ú Î Ó ü�� � ! " Ô�# ��$ % ��& � ' ( � � $�� ' # ��� Ó � � $ � # ) # � # � (â � '%ã��+* % # , %-� � $ # � .+� ��/ 0 � 1 2 � $ % � � ßß Õ Ê�Ë â ã " ùÔ Í Õ

ß Õ Ê�Ë â ã " ùÔ Íß Î Ó Ë ×Ø Ï ß Í

Page 77: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

3 4 5 47698�:�;�< =-> : ?A@ B C D E F D ;�G F�H�? D =I:�B J G F @ ? E�@ B�J ;K@ C C-F ? D H�: ? B : G F�;�< =I> : ? L�MN O PAQIRSQ T U�V�W P X Y Z P [�\ N�]�^ _ `9a�b a c�dAe7f [�g9Y Z P ZAb c \ h�X Y Z�h i�j k k Z h X l�P \ i�ZAQKm�O X�n \ o \ n \ m p-_qO P�`�[�g9Y \ r Yh j X \ h s+Z h�t u�U v w [+X Y Z m Q�e f�x�]�^ _ `9a�b a c d ^ yqz|{ df�z|]�^ _ ` a b a c�d ^ }�~ � } dN O P�Q�R�Q T U� P O O N U�� ����� � � �-�-� � � � � ��� � � � � � � � ��� �K� � ��� � � � � � � ����� � �-� ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � �A��� � �A� �+��� �����K� � �� �A��� � �A� � ��^ }�~ � f d ]�^ � d���]�^ Q � �c�Q �  T d Rq]�^ Q � �c�d�¡9�+x ]�^ Q �   ¢ cT dQ T¤£ ^ }�~ � � d¥ � � � � � � � � � f�Rq]�^ ¦�d Rq]�^ _�d ]�^ `9d ]�^ � d��]�^ _�d ]�^ `�d ]�^ Q � �c�d ¡ �+x ]�^ Q �   ¢ cT dQ T¤£ Rq]�^ _ `�Q � �c�d�x ]�^ _ `9Q � �c�Q �   ¢ cT dQ T¨§¥ ��� ��� � � f���]�^ _ `�Q � �c�d9x ]�^ _ `�Q � �cAQ �   ¢ cT dQ T� � � � �-��� �I©��A� � � � � � � � � ��� ��� � � � ]�^ _ `�Q � �cAQ �   ¢ cT dfAz|]�^ _ `�Q � �c�d«ª Q T §� � ��¬ c ��Q c � ­ c ��{ � ­ T���{�� ���-]�^ Q � �c�d+��]�^ Q Tc d+��]�^ ¬ Tc d � � � � �-� � � � �]�^ _ `�¬ Tc Q T dfAz|]�^ _ `9¬ Tc d R ]�^ _ `9¬ Tc dfAz|]�^ _ `9¬ Tc d ¡ �+x �Q T £ ª Q T §¥ � � ��� � � �+� � � ® ��� � � � �-� � �-©��A� � � � � � � � ¯ � ��� ��� � � �ffAzK]�^ _ `�¬ Tc d z �Q T+x�� ª Q T §° ��� � �I� � � � ��� � ��Q TA� �-� � �A� � � � ± ��� ���I� � � ����� � � �]�^ _ `9¬ Tc dfAzK]�^ _ `9¬ Tc d e�Q T� ����� � � �9� � � � � ��� � ����� � � � � � � � � ��� � � � � © � � � ��� � ��� � � � � � ~ ²�� ©�� � � � � � ��� � � ��� � ��� � � � �I� � ��^ }�~ � f d�� � � Q T � � � �� � � �I� � � � � � ��� � � � � ��� �9� � � � � ��� � � � ~¥ � ��� � � � ��� � �A^ }�~ � } d�� � � � � � � � � �A� � � � � � � ����� � ��� �I� � ��� � � � ��� ��� � �A� � � � ������� � � � �9��� ���I��� � ~ ¥ � ���]�^ � d�e�]�^ � a d R´³µ¶ · c ]�^ Q a¶ dRq]�^ Q ac d�³µ¶ · T ]�^ Q a¶ dRq]�^ Q ac�d ³µ¶ · T Q ¶Q ¶ z��ª ]�^ Q ac d�³µ¶ · T Q T+xK¸�zK{Q T+xK¸�zKfRq]�^ Q ac d�¡ Q TQ T�z���¹ Q T+xq�Q Tº¹ Q T+x�{Q T+xq�A¹ ¹ ¹ Q T+x|yqzK{Q T+x|yqz�� £Rq]�^ Q ac d�¡ Q T�xKyqz|{Q T�z��»£ Rq]�^ Q ac d�¡9�+x yqz��Q T�z�� £ §

Page 78: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¼ ½ ¾ ½7¿9À�Á�Â�à Ä-Å Á ÆAÇ È É Ê Ë Ì Ê Â�Í Ì�Î�Æ Ê ÄIÁ�È Ï Í Ì Ç Æ Ë�Ç È�Ï ÂKÇ É É-Ì Æ Ê Î�Á Æ È Á Í Ì�Â�à ÄIÅ Á Æ Ð�ÑÒ+Ó�Ô Õ�Ö × Ø Ù�Ú Û Ü�Ý�Ù�Ú Þ ßàIÜ�á�â+ãåäqæ âÞ ç æ â è|é Ú ê�ë â ì ÜÒ+Ó í î í ï ð î í Ø ñ�ò�Ù�Ú ó�Ü+òqÙ�Ú ô�Ü Ù�Ú õ9Ü Ù�Ú Û Ü�Ý�Ù�Ú ô�Ü Ù�Ú õ9ß�Ü Ù�Ú Þ ßàIÜ�á�â+ãåäqæ âÞ ç æ â èð î�× Ö ö�÷ ø ù ñ�Ý�Ù�Ú ô õ9ß�Þ ßàIÜ�á�â+ãåäqæ âÞ ç æ â èú Ó Ö û Ó�û Ô ü-ý�íAî í Ô î î Ô ü þ í ÿ�Õ ð�þ Ö � í Þ çAÝ ñ�ã|Ù�Ú ô õ ß Þ ßàIÜ Ú äqæ � Üñ æ Ù�Ú ô õ ß Þ ßà Ü é� ü-ð î ÿ í î+Õ ðIû ð ö�÷ ø í Õ íAÕ Ó í�÷ î ð ð ï ú í���× íAÕ Ó í�ï Ô û Õ�Õ Ó�Ô Õ Þ à ��� à × ð Ù�Ú Þ ßà�Ü � Ù�Ú � ß à�Ü ë� Õ ú Ô ×�ð ý�× í î � í ÿ-Õ Ó�Ô Õ ú Ó Ö ø í�ý�ð Õ ÓKý�ð � ü�ÿ ×�ð ü Þ à Ú Ô ×�þ Ö � í ü�ý ù�í ö�öIÔ â � Ô ü�ÿ�÷�ð × × Ö ý ø ù Ú ê�ë â � Ü Ü ú í î íö�ð ü ð Õ ð ü Ö ûAÿ í û î í Ô × Ö ü þ�Ø ú Ö Õ Ó-î í × ÷�í û Õ+Õ ðIÔ üIÖ ü�û î í Ô × Ö ü þ�� Ô ø � íAð ï9Õ Ó í�ö�ð × Õ+î í û í ü Õ ø ùI× í ø í û Õ í ÿI÷ î Ö ö�í�ÿ Ö � Ö × ð îð ï ó Ø Ô × ú Ô ×+Õ Ó í�ø ð ú í î�ý�ð � ü�ÿIð ü Þ ç�Ú Ô ×+þ Ö � í ü-ý ù Ú ê�ë â ñ Ü Ü Ø Õ Ó í�� ÷ ÷�í î�ý�ð � ü�ÿIð ü Þ ç�Ú Ô ×+þ Ö � í ü-ý ù Ú ê�ë â ê Ü ÜÓ�Ô ×�Ô ü-í î î Ô Õ Ö û�÷�Ô Õ Õ í î ü ú Ö Õ Ó�× ð ö�í Õ Ö ö�í ×�ø Ô î þ íAû Ó�Ô ü þ í ×+Ö ü � Ô ø � í ë� ð î ð ø ø Ô î ù � û Ô üIý�í�í � Õ í ü�ÿ í ÿIÖ ü�Ô üIÖ Õ í î Ô Õ Ö � í ú Ô ù�× ð�Õ Ó�Ô Õ Ø þ Ö � í üIý�ð � ü�ÿ ×+ð ü Þ à � Þ ç � é é é � Þ � � à Ø ú í�öIÔ ùý�íAÔ ý ø í�Õ ð�þ Ö � í�ý�ð � ü�ÿ × ð ü Þ � ë �qÓ í ü-Ô ÷ ÷ ø Ö û Ô ý ø í Ø Õ Ó Ö ×+÷ î ð � Ö ÿ í ×+ÔAö�ð î í�÷�ð ú í î ï � ø�ÿ í û Ö × Ö ð üIû î Ö Õ í î Ö ð ü Ú Õ Ó�Ô ÕÖ × Ø Ô�û ð ü Õ î Ô ÿ Ö û Õ Ö ð üIöIÔ ù�ý�í�ÿ í Õ í û Õ í ÿIí Ô î ø Ö í î�Ö ü�Ô�× í Ô î û ÓI÷�Ô Õ Ó Ü ë��� � ��� � � � ������ "! ! # $&% Þ à ÝSÞ çIÝ ' ' ' ÝSÞ (*) +-, . % /10 à � � à 2 % ) !&3 +�465 7 5 . . ) 7 89 :<;�) = %�> ò � � ñ � é é é 3 +/ # 7 +?) +�, ! # @ @ 5 ! % ä � > :&;�A % + ññ æ Ù�Ú ô õ 0 çà 0 çç ' ' ' 0 ç� � à Ü�æ ñ æ Ù�Ú ô õ 0 çà 0 çç ' ' ' 0 ç� � à Üñ Ý�Þ � Ú ê�ë â B ÜC 5 7 Þ�ò�Þ � D�E A % 7 %10 � � à 3 !F/ A % . ) 7 G % ! /�@ 7 3 $&% Þ +-5 / , 3 H 3 , 3 + G ô 5 7 õ DIE A 3 J A ! ) / 3 ! K1% !�L M : N O P C 5 7 >&Q â � � � é é é D7 % ! @ % J / 3 H % . 8 :"R # 7 / A % 7 D 3 C Ù�Ú ô õ ß � ß à � ßç é é é � ß� � à Ü�Ý�ñ D / A % +Þ�Ý ñ�ã|Ù�Ú ô õ ß � ß à � ßç é é é � ß� � à Ü Ú äSæ > Üñ æ Ù�Ú ô õ ß � ß à � ßç é é é � ß� � à Ü � Ú ê�ë â S ÜC 5 7 Þ Q Þ � D�E A % 7 % � � � à 3 ! / A %&! $ ) . . % ! /1@ 7 3 $&% Þ +-5 / , 3 H 3 , 3 + G ô 5 7 õ D�E A 3 J A ! ) / 3 ! K1% !L M : N T P C 5 7 ><Qâ � � � é é é D 7 % ! @ % J / 3 H % . 8 :1U�5 / % V10 W Ý 0 W X à ) +�, � W Ý � W X à C 5 7�) . . Y :Z 7 5 5 C : �Kí���× íAÖ ü�ÿ ��û Õ Ö ð üIð ü > ë Ò+Ó íAû Ô × í�>[Q � û ð Ö ü�û Ö ÿ í × ú Ö Õ Ó � ð î ð ø ø Ô î ù � ë \�ð ú^] �IÔ ü ù[> � ñ ë _ ù�Õ Ó íÔ ÷ ÷ î ð Ô û Ó[��× í ÿ�Ö ü-Õ Ó íA÷ î ð ð ï9ð ï � ð î ð ø ø Ô î ù � Ø ú íAÓ�Ô � íAï ð î Ú ê�ë â B ÜÙ�Ú Û Ü � Ù�Ú Þ ` aà é é é Þ ` b c a� � à Þ ` b� Ü Q Ù�Ú Þ ` aà é é é Þ ` b c a� � à Ü"d�â+ã Ù�Ú Þ ` b � à� ÜÞ �feú Ó Ö û Ó-ø í Ô ÿ ×+Õ ð Ù�Ú ô õ9Þ ` aà é é é Þ ` b c a� � à Þ ` b � à� Üñ æ Ù�Ú ô õ�Þ ` aà é é é Þ ` b c a� � à Ü � Þ � é_6� Õ"0 W � Þ W Ø�g W � � Ô ü�ÿ Ù�Ú Þ ` hW Ü � Ù�Ú Þ çW Ü � Ù�Ú 0 çW Ü ï ð î Y Ý > ú Ó Ö û Ó-þ Ö � í ×Ù�Ú ô õ 0 çà é é é 0 ç� � à Þ ` b � à� Üñ æ Ù�Ú ô õ 0 çà é é é 0 ç� � à Ü � Þ � é

Page 79: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

i j k j�l�m-nFo-p q r n s�t u6v w x y w o-z yI{�s w q[nFu | z y t s x"t uI| o?t v v y s w {In s u n z yIo-p q[r n s } ~� � ��� ��� �����&� ���&� �[� � � � �[� � � � �&� ����� � � �-�F� � ��� ��6� � � � �� � � ���� �F� � �I� �� � � � � �� � � �&� � �� � ��  � � � ¡ �F� �1¢ � � � � � � �-£¤ � ¥ � ¦F� � ��§ ¢   � ¨ £ © ª � ¦1����� « ��F� ¬ �F­¯® � � �°± ² � �F� � ³± � ´µ®·¶°± ² � � �"¸?¹ �?º� �"¸?¹ �?º&� © ´¼»½® � �

�°± ² � �F� � ³± � ´¿¾ ©1¸ÁÀ �?º ¸^©� � � ©Ã � � ¨ £ © Ä �Å � �   � § ¢   � Æ � ­ �F� � � ³&� ³� � ³� � � � � ³� � � �F¾ ©1¸�À �?º ¸^©� � � ©Ç¦F� � � �� � � ����  � �     � � � � ��� ¢&� � « �� � ­ � ¸ �F� � � ³ � ³� � ³� � � � � ³� � � � � À �?º ���� �F� � � ³ � ³� � ³� � � � � ³� � � � �È � �F� ± ��É ± � ��� �F� � ³± � � �F� É ³± � § ¢  F¹ ­ º � ���[¦1����� « ��� � ��  � � � ¡ � £¤ � ���[� © Ê[� ���Ë6¢   ¢ ¡ ¡ �   � � Æ � ¢ � � � � �  "¦F� � �� � ��¡ ¢ ¦1�  F��¢ � ��� �"¢ � � � ��� �   � ��¡ �   � � � �FÌ   � �&��§ � � � ¢   �F¢ §� �?¢ � � �   � Ì��   § � � ��� � �����   Æ-Ì   ¢ « � � �&�[� � ¦*Ì�¢ ¦1�   § � ¡I� � � � Æ-� ¢ ��¦F� � ��� � � ��� � � � � � ���     � � � ��� ��� � � � �F� �?� � �� Ì Ì��  "��¢ � ���[¢ �[� � Æ º ��� £Í"�1��� � �&¢ ��� �   � � � ¢ �[¢ §-� � �"� Î�� � � � « � � � � �6¢ §-� � � �6� Ï � � ��� � ��� � � � � � �&� Ì Ì   ¢ � � ��Æ ��Ì   ¢ ¢ §-� ��� �1Ð � Ñ � �Á© Ò� ��� �"§ ¢ ¡ ¡ ¢ ¦"� £�Í"� � � ��� � � � » © Æ � » � � � ��� À » ª � � ��� ��� � Æ � � �F� � ��¢ � ¡ � ¥ � ¢ ¦F�Ì   � �&��§ � � � ¢  �� � ��� � �� « � �[� Ï Ì�¢ � � � �F� �1� � ¥ � ¢ ¦F� � ���[Ð � Ñ �6» Ä � Æ ¦1��� � � � � ¡ � � ¡ � � �© � ¨ ­ � � ­^Ó � ¨�Ô © � ª ­ � � ­ © � � Ó Ô � � � ­ � Õ ­ © Ó � � Ô � � Ê ­ � Ö ­ � © � � Ô� � Ä ­ � × ­ � Ó � Ø Ô � � � ­ � Ù ­ � Ó � © Ô � Ú ­^Ó Ó � Ê �Å � ��¡ � � �F� � � Û ��� ¡ � � � Æ � Ú ­ÁÓ Ó � Ê Æ � �"�&� ¢ � �   � � � � � � ¢ �[¢ §I� � ��  � � � ¡ �"� ��� �F� � ��� � � ¢ ���[¡ �   � � � �1Ì   � �&��§ � � � ¢  F¢ §� �¢ � � �   � Ì��   § � � �"� � �����  "� Ï � � � � ��© Ò Ò Ò £"� � ��� ��� Ù ­ � Ó � ©�¦1�&� ¡ � ¢&��� « ���[� ¢ � �   � � � � � � ¢ � � ��� ��� � ��� � �   �¡ �   � � � �1Ì   � ����§ � � � ¢  F¢ §I� � ¢ � �&�   � Ì��   § � � �F� � �����  F� Ï � � � � ��© Ò Ò £IÜF� ��� ��Ð � Ñ � �^© Ò �ÝFÞ ß1Þ àâá�ã�ä å"æ ç ä·è é6ê<ë[ì í�î�ï¼ð ñò �1��� �I��� � � � � ¢ ¦F�&Ì   � « � ¢ ��� ¡ ��� ��� �1Ð � Ñ � �Á© �&ó ª � Æ Ø � ô £Iõ?�"� ¢ ¦�¡ ¢ ¢ ¥&� �1� Ì Ì ¡ � � � ��� � ��� � � ¢   �&� � « � ¡ ¢ Ì�� �� �?� � �&Ì   � « � ¢ ����� � � � � ¢ �?� ¢ � Ï � �&� � ��� � �[� � � ��¦F� �   �&� �¢ � ��   � Ì��   § � � ��� � �����  ���� �"� Ï � � � ¡ �<© �[� � � � � ��� �Ì   � ����§ � � � ¢   � £ È � ¤ � ���[�[© � Æ �&ö Ñ £Å � ��� Ì Ì   ¢ � � � ¦F� � �¡ � � � �F� � § ¢   �&� � � ¢ �� � � � ��� �1¢ � ¡ �[� ��� � � � ö Ñ £ Å � � � � » © Æ � » � � � ��� À » © © £õ?�[� � ¡ � � ¡ � � � © � ¨ ­ � � ­ Ä � ¨ ��� � � � � ¨ £ Ê � � ��� � ¨ £ © � � � ���-Æ-��� � � �?Ë6¢   ¢ ¡ ¡ �   ��[¦F� � �<É � » Ê � ��� � � »÷Ó Æ� ��� �&© � ª ­ � � ­ © Ó � Ó £&� � ��� � Û � � � � ¡ � Æ�¦1����� « � Æ���� � � �?Ë6¢   ¢ ¡ ¡ �   � � ÆI� � Ò ­ � Õ ­ � Ê � � � ¦F� � �<É � »÷Ó � ���� � » © Ó � Æ-� � � ­ � Ö ­ � � � Ê � ¦F� � �·É Õ » © ©&� ��� � Õ » � � � Æ-� � ¨ ­ � × ­ ¨ Ó � Ê � ¦F� � �·É Ö » © � � ��� � Ö » � © � Æ� � Ê ­ � Ù ­¯Ó � � � � ¦F� � �^É × » © Ó � ��� � × » ¨ Ó � � ���<� � Ø ­ � Ú ­ © Ä � � � � ¦F� � ��É Ù » © Ä?� ��� � Ù »½Ó � � £Ë6¢   ¢ ¡ ¡ �   � � � � � � ¢ �1����� Ì Ì ¡ � � �[� ¢&ø ���[��¢ � ��� �1¢ � � ù�� � ��� ��F� � � ³ É ³ �^� � � É ³Ú �1» �F� � ³ Ê ³ Ó ³ © © ³ © � ³ © Ó ³ © Ä ³ � � ³ �1ú � Ô

Page 80: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

û ü ý ü�þ�ÿ������ ��� � � � � � � � � ��� ����� � ����� � � � � �� ��� �� � ��� � � ��� � � � � ����� ��� � � ���

��� � � !�" # $ % & ' (�) *,+ - . / 0 . 1�& (�2 .�3 & 4�� (�& ) )65 4 7 8� 4 3 9 5�( ' :,�� 4�;=<�7 5 >�?�@ ;BA CD# EF G 2 HI2 JK2 LM2 N 2 O 2 P 2 Q# R J + S T U 1V+ U T # U 1V+ # # T E R 1W+ # R T R # 1X+ # U T ! U 1Y+ # Z T U R 1X+ E R T # Z # 1R J # R J + S T U 1V+ U T # U 1V+ # # T E R 1W+ # U T R # 1X+ # Z T ! U 1Y+ E R T U R 1X+ E Z T # Z Z 1R N # # J + S T U 1V+ U T # Z 1V+ # R T R # 1W+ # U T ! R 1X+ # Z T [ U 1X+ E R T # [ R 1R P # \ Z R J + S T U 1V+ U T # R 1V+ # # T # Z 1W+ # U T E Z 1X+ # Z T R U 1Y+ E R T [ # 1X+ E Z T # S # 1R ] # R J U S U J + S T U 1V+ U T # U 1V+ # # T E R 1W+ # U T !�# 1X+ # Z T [ # 1X+ E R T # S U 1R H ^ E R J R _ S # J + S T U 1V+ U T # R 1V+ # # T E R 1W+ # R T R # 1X+ # U T ! U 1X+ # Z T # \ Z 1R H J U Z U # [ # J + S T U 1V+ U T # R 1V+ # # T # Z 1W+ # R T E Z 1X+ # U T R U 1Y+ # Z T [ # 1X+ E R T # S # 1R H N # # J # R J ! S [ # J + S T U 1V+ U T # Z 1V+ # U T R U 1W+ # Z T [ # 1V+ E R T # S # 1R H P # _ U # J R ! S # # J + S T U 1V+ U T # R 1V+ # # T # Z 1W+ # R T E R 1X+ # U T R # 1Y+ # Z T ! U 1X+ E R T # # R 1R H ] # S Z U J R [ R _ _ Z J + S T U 1V+ U T # R 1V+ # # T # Z 1W+ # R T E R 1X+ # U T R # 1Y+ # Z T ! U 1X+ E R T # # R 1R J ^ # R J # \ Z R J R [ _ \ _ Z J + S T U 1V+ U T # # 1V+ # # T E R 1W+ # U T R # 1X+ # Z T ! U 1X+ E R T # # R 1# R J J + S T U 1V+ U T # U 1V+ # # T E R 1W+ # R T R # 1X+ # U T ! U 1Y+ # Z T U R 1X+ E R T # Z # 1

� � 5 > & ' ` >a<b B9 & ' � )a>�� c �3 & ' (�)d�B� & <b 4e��& ' (�)a3 & 4e2 ] "af�( � 7 g �5 > �* 7 5 '�� 5 7 & (a3 & 46?�@ ;BA�C=Z T 5 > 4 �7 *( &B9 & ( 5 4 � ) 7 9 5 7 & (�<�7 5 >�4 ` � 4 ) *�� ( hB& 3b5 > e� & <b 4��& ' (�) *& (�5 > e5 > 4 6� � 4 ` * 5�8 4 7 :6 e3 � 9 5 & 4 * "ei�& <b c 45 > 69 � � 9 ' � � 5 7 & (�*) &�* > & <D5 >�� 5 7 5 > 4eS6& 4eUe7 *�5 > �* 9 & (�)�* :�� � � * 5�8 4 7 :6 e3 � 9 5 & 4 "ej e5 > 6k 4 * 5�4 & <D& 3��� � � !�" # "��b> 7 *b4 * ' � 5�9 � (B� � * &6�� ,* > & <�(�) 7 4 9 5 � h6� h�9 & (�* 7 ) 4 7 ( `e?�@ ;BA CD# E T R�l ;mT S / Ubn�;=3 & 4�<�> 7 9 ><b >�� c 5 > ,9 & ( 5 4 � ) 7 9 5 7 & (�$

R,Cpo�@ ;BA�qdo�@ R r�# # r�# R r�# U r�# Z reE R r6E Z r6R # reR U r�# \ # r�# \ \ Z r�# \ \ # \ Z r,A�qdE s !�s%bhe� * * ' :67 ( `,� (6 t � 9 5 9 & :68�& ( ( 5bR J u6v ;mT & ( �& 4 :e& 4 �9 & (�* w ' ( 5�8 4 7 :e �3 � 9 5 & 4 *�& 3�;x� 4 �4 c � � )

� (�)�* &�5 > 6��& ' (�) *& (�2 .�9 � (��� 65 7 ` > 5 ( )�T�� ' 5,( & 5( 9 * * � 4 7 � h�5 > �9 & 4 4 * 8�& (�) 7 ( `�7 ( 5 4 c � � & 3 8 4 7 :6 *+ - . / 0 . 1 "�y & 4 t � :e8 � B@ * 65 > �* 9 & (�)B4 & <z& 3���� � � 6!�" # A T�7 3�R J�v ;mT�* &�5 >�� 5e{�@ R J AeC|# Rml�;mT�5 > (m<b 9 � � 9 ' � � 5 e# s [eqa2 HqdZ s S T & 4�Se}a2 H}dU " ~�& 5 �7 (�5 > 7 *�9 � * �2 P�<b& ' � )e�� �5 > � 7 ` > 5 >�* :�� � � * 5 8 4 7 :6 �3 � 9 5 & 4� (�)�2 PB}�U R T 9 & 4 4 * 8�& (�) 7 ( `�<�7 5 >a2 Q�}|# Z #�� * * ' :e7 ( `B& ( � hmR J l�;m"B�b> �4 * ' � 5 *3 & 4e��4 � ( ` 6& 3�* '�9 >� * * ' :e )B9 & :68�& ( ( 5 *� 4 ,` 7 c (B7 (���� � � e!�" # ",~�& ( e& 3 5 > * ,8�� 4 5 7 9 ' � � 4,9 � * *�� � ) *�5 &B��9 & ( 5 4 � ) 7 9 5 7 & (( & 4�� ( h63 ' 4 5 > 4�4 * 5 4 7 9 5 7 & (�& (�5 > ,* 9 & (�)�* :6� � � * 5b8 4 7 :6 �3 � 9 5 & 4b�6* 5 7 � ��:e& 4 � t � 9 5�9 & :68�& ( ( 5 * ( )�5 &�� ,� * * ' :6 )�3 & 4�3 ' 4 5 > 4�� 9 9 ' 4 � 9 h "��� 5 > 4e5 >�� (a5 4 � 5 7 ( `�* '�9 >a t � 9 5e9 & :e8�& ( ( 5 *e� *,3 ' 4 5 > 46* 8� 9 7 � ��9 � * * T � (d� � ` & 4 7 5 > :67 9�� 8 8 4 & � 9 >�T

* 7 :e7 � � 4�5 &�5 >�� 5�5 &��� e) * 9 4 7 �� )�7 (�j 9 5 7 & (BS " R " Ee3 & 4�5 > ,& ) )�8� 4 3 9 5�( ' :e�� 4�8 4 & � � :�T�9 � (��� 6� 8 8 � 7 )�"j 7 (�9 b� (& ) )5 4 7 8� 4 3 9 5�( ' :,�� 4 T 7 3 & ( t 7 * 5 * T :e'�* 5��� b��* w '�� 4 T 5 > ` ( 4 � 5 7 & (& 3 t 8�& ( ( 5 *�7 *�* 7 :68 � 7 k )� (�)�( &6� ) ) 7 5 7 & (�� ��� & ` 7 9�7 *b4 w ' 7 4 )�5 &e:�� (�� ` ,�e* 8� 9 7 � ��8 4 7 :6 "� 4 � 7 :e7 (�� 4 h�7 ( c * 5 7 ` � 5 7 & (�*�<�7 5 >m* '�9 >m��:e& ) 7 k )m� � ` & 4 7 5 > :x<�> (�?�@ ;BAC|# E6>�� c e( & 5' (�9 & c 4 )

� ( h4 * ' � 5 * * 7 ` ( 7 k�9 � ( 5 � h,�� h & (�),5 > & * �& 3���� � � b!�" # <�> 7 9 >e<b& ' � )4 * 5 4 7 9 5�3 ' 4 5 > 4 7 5 > 4 5 > b8 4 7 :6 b3 � 9 5 & 4 *& 3�;�& 45 > 6 t 8�& ( ( 5& 3b5 > �9 & :68�& ( ( 5eR J u & 3�� (�& ) )B5 4 7 8� 4 3 9 5( ' :e�� 4 "6�b> 7 *�<�� *( & 58 ' 4 * ' )�� *8 4 7 & 4 7 5 h6<�� *b` 7 c (�5 &65 > ,9 & 4 4 * 8�& (�) 7 ( `6� � ` & 4 7 5 > :�3 & 4�& ) )�8� 4 3 9 5�( ' :e�� 4 * "

Page 81: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

���W�����z�����

���D�����B����B�6���W�D�¡ z�B�,¢

£e¤ ¥§¦�¨e©�ª�«�¬B­�®b© ¯ «6¨°z±�² ³ ´ µ ´ ¶ ·e´ ¸ µ · ¹ · º,»�´ ³,³ ¼ ´ ½Bµ ²�¾�·6±�· º ¿ · À µ´ ¿�Á� »BÃ,Ä�Å »Æ ² ºeÇ� »BÃÄ�Å Ã,¼ ¸�½B´ ¸mµ È ´ ³,À È�¼ ± µ · ºe»�É�´ Ê Ê¼ Ê É�¼ Ë ³b½ · ¸ ² µ ·,¼ ¸�² ½ ½6±�· º ¿ · À µb¸ Ì Í,¾�· º�¼ ³ ³ Ì Í6´ ¸ ¹6³ Ì�À È�· Î ´ ³ µ Ï�ÐdÈ ´ Ê ·,Ñ Ò,· ¶ · ¸�±�· º ¿ · À µ�¸ Ì Í,¾�· º ³ È�¼ ¶ ·�¾�· · ¸¿ ² Ì ¸�½�Ó · ¼ À ÈeÀ ² º º · ³ ±�² ¸�½ ´ ¸ ¹�µ ²,¼Ô�· º ³ · ¸ ¸ ·b± º ´ Í6· Ó ´ µ�´ ³�¸ ² µ�Õ ¸ ² É�¸eÉ�È · µ È · º�² º�¸ ² µb¼ ¸,² ½ ½e±�· º ¿ · À µ�¸ Ì Íe¾�· º· Î ´ ³ µ ³ Ï�Ö ¿�¼ ¸�² ½ ½�±�· º ¿ · À µ�¸ Ì Íe¾�· º Ó »mÓ ½ ² · ³b· Î ´ ³ µ�µ È · ¸B´ µ�ÍeÌ�³ µ�³ ¼ µ ´ ³ ¿ Ë6µ È ·,¿ ² Ê Ê ² É�´ ¸ ¹6À ² ¸�½ ´ µ ´ ² ¸�³ × ´ Ã�»�´ ³�² ¿ µ È ·�¿ ² º ÍDØ�Ù Ú�Û Ó É�È · º ·bØ�´ ³�µ È ·�³ ±�· À ´ ¼ Ê ± º ´ Íe·�³ ¼ µ ´ ³ ¿ Ë ´ ¸ ¹µ È ·�À ² ¸�½ ´ µ ´ ² ¸�³�Ø�ÜpÝ�ÜDÞ� Í6² ½�ß Ã¼ ¸�½6Ø�à�Ú�á ß�Þ â Ï�Ð�·É�´ Ê Ê�À ¼ Ê Ê�Ø Ù µ È ·,³ ±�· À ´ ¼ Ê�À ² Íe±�² ¸ · ¸ µb² ¿ »mÏ

 ´ ´ Ã�ã� »BÃ�äaå�á Å ß Ó æ Ò â Ó ´ ´ ´ Ã�ç »BÃbädÑ è6á è ß â ´ ¶ Ã�»=éêÞ ë ì í í6á Þ æ â Ïî Ì º µ È · º�Éb·È�¼ ¶ ·�Ê ² Éb· º�¾�² Ì ¸�½ ³b² ¸�µ È ·µ È º · ·,Ê ¼ º ¹ · ³ µb± º ´ Íe·¿ ¼ À µ ² º ³�¼ ³b¹ ´ ¶ · ¸�¾ Ë�µ È ·¿ ² Ê Ê ² É�´ ¸ ¹�×ï ð ñañmòmó ôpõ ö�ð ÷�ø�ù ÷�úBû ü�ý þ ÿ ����� ��� � � � �� � � ����� � � � � �� ��� ��� � �� � � � � ����� ��� � �� � � � � � � Þ ë � �ï ð ñañmòmó üdõ ò ÷�÷"!�# ù,û ü�$ þ ÿ ���"� ��� � � � ���%� � � � �� � � ����� � � � � �� ��� �&� � �� � � � � ����� ��� � �� � � � � � � Þ ë ' �ï ð ñañmòmó (põ ò ÷�÷"!�# ù,û ü ) þ ÿ ���"� ��� � � ��� � � � �� � � ���*� � � � � �� ��� �&� � �� � � � � ��� � ��� � �� � � � � � � Þ ë ë��

£e¤ +-,/.10�©�«©32�4B¨�­1576&0�ªz«�8�9�ª ¯ 5:0;8 2,®b©�«,ª=<D«�8�2,¨Æ«6¬B¬>9�0�ª38 0�®b©�¨�­157?6&0�ª

@ È ·�A º ³ µ�³ ´ ¹ ¸ ´ A�À ¼ ¸ µ6º · ³ Ì Ê µ�À ² ¸�À · º ¸ ´ ¸ ¹a¼mÊ ² Éb· º6¾�² Ì ¸�½d² ¸pµ È ·Bµ ² µ ¼ ʸ Ì Í,¾�· º�² ¿± º ´ Í6·B¿ ¼ À µ ² º ³e² ¿e¼ ¸² ½ ½B±�· º ¿ · À µ¸ Ì Í,¾�· ºÉ�¼ ³�² ¾ µ ¼ ´ ¸ · ½B¾ Ë�B ² È · ¸dá Å æ â�´ ¸dÞ Ò å Å6É�È · ¸�È ·6± º ² ¶ · ½�µ È�¼ µ,ç C�ÃeäDÅ Ñ ÏeÖ ¸dÞ Ò å D ÓE ¼ Ë · º ³,á Þ ë D â�´ Í6± º ² ¶ · ½�µ È ´ ³�º · ³ Ì Ê µ�µ ²�² ¾ µ ¼ ´ ¸�ç C�Ã,äêÅ Ò Ï,°�³¼6º · ³ Ì Ê µ�² ¿�F ² ´ ¸ µ�Éb² º Õ�É�´ µ È�Ö ¼ ¸ ¸ Ì�À À ´ Ó�µ È ´ ³Ê ² Éb· ºb¾�² Ì ¸�½�É�¼ ³b´ Íe± º ² ¶ · ½6µ ²�Ñ è Ó ¼ ¸�½�´ ³�³ µ ¼ µ · ½�È · º · ×G�H ð I J ð ñK(dõ ò ÷�÷"!3# # ù�ò ÷3LNM�I J O ùû ü P þ ÿ ��Q � » � ��� ��� � �� � � � � ����� ��� � �� � � � ç »BÃbädÑ è �@ È ´ ³�³ · À µ ´ ² ¸B½ · µ ¼ ´ Ê ³bµ È ´ ³3F ² ´ ¸ µ�· R�² º µ Ï

è Å

Page 82: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

S T U TWV�X"Y�Z [ Z \ ]"^"_ `1a Y b�[ c�d�b e `%Y*c \ f Z [ b gh[ c3\ ^&[ i i�d3Y b c Y f Z3^"_ `%a Y b j k

l�m n�m oqp&r s"t u v/u whx3r u s�yz {*| }h~ � ��{ �%�3� � � � � � ��~���� � ��� � � �*��� { ��� {*����� }�{ � ��} ��� ����� | � � �1� �

�;������� � � �� � � � ���� � � � � � ��¡  ¢ £ ¤ ¥ ¦�*� � � ���=�"� � � ¤ ¤ ¤ ��� � � � ��~ | } { | ��§ {h� � | ¨�� } ��©�� ª � � ¤ ¤ ¤ � ª � � � ����� } | { | � ��| � { � � � � } � � ��~%��«¬©�« ¥�¢ ¨�� ~%­ ¦ ¤® � � ¨ ¢ £ ¤ ¥ ¦ � | {*¯ � � � � �h}={ ��� {*° ¢ � ¦ ��±�² ¥ � ��~%³ ¢ � ¦ �N©%²�´�µ �¶ · � ª ¶ ¤�¸ ���*| � ��� } } � ¨���{ ��� {�ª �h¹ ª � ¹� � � ¹ ª � ¤º�§ »h� � | � �3¼ ½ ¾ ¿�� � � � � ~�{ ��� {�| ¯"ª � �N´�¯ � ��� � � À�{ � � �1�Á��� }=� ��� � | ¨��h¯ � § { � ��� � } }={ ��� � ¥ ¾ ¥ ¤3 � | }=� � } � � {�*� }h� à { � ��~ � ~�� ��Ä=� � � ��¼ ´ Å ¿3�*� ��} � � ��� ~�{ ��� {��Æ��� }h� �1� � | ¨���¯ � § { � ��� � } }h{ ��� �ÈÇ É ½%� ��~ � ��{ � ��} � ¨��§ � ��~ | { | � � ¤ Ä=� � � ��Ê }h� � } � � {�| ¨�� � | � }�{ ��� {�{ � � ��° ¢ � ¦ ¹ ­ Ç É ´ Å ¤� � | }�¯ � � � � �h}h¯ � � ¨�{ � ��� � � ��� � { | � }h� ¯�{ � �| ��~ � Ã%¯ � ��§ { | � ��} | ��§ ��| ¯3° ¢ � ¦�Ë ­ Ç É ´ Å�{ � � �1������� � ��{ � ��§ � � { � � ~ | § { | � �

´��NÌ ¢ � ¦*Ë Ì ¢ Ç É ½ Í%Ç ­ É ÍNÎ Î Î £ Ç Ï É ¾ ½ Í ¦ �ÑÐÒ Ó Ô Õ�Ö Õ"× Ò Ø Ó Ù Ô

ÚÚ�Û ¥ Ë

´  �*� � � ��{ � ��� � � ~ ��§ {*| }*{ � � � �1� � � ��{ � ��­ Ç É ´ £ § � ��} � § � { | � ��� � | ¨�� }�| ��~ | § � { � ~ ¤ z {*¯ � � � � �h} ¢ ¯ � � ¨Áº�§ »h� � | � � Ê }� � } � � { � | �%¯ � § { ¦ { ��� { z ¯�ª ¶ � ¥ � �h´�¯ � �h� � ��À � { � � ��³ ¢ � ¦*Ü É £ Î ¢ £ ¤ ´ ¦º�� � �%} | ¨�| � � �*� � } � � { }=� � � � � ~ | � ��{ � ��� à ��� � � � { }�ª ¶ ��� � ��� � ��� � � � ~�| �1{ � ��� | { � � � { � � � ¤�¸ ���*| � ��� � � � �%} � ¨��� ¯�{ � � } ��� � } � � { }�{ ��� � � � �  � � � � � ¨ÁÏ ¤¸ ��Ý � } {�| � { � � ~ ��§ ��} � ¨���� � { � { | � �&¯ � ��{ � �%} � � ��� ¯�� � � � | { � ¤ ® � ��� � � � � � � { | � ��| � { � � � � }hÞ���À���ß à ¹ ¥

¢ ¥�áÈâ�á Þ;| ¯�Þ Ü ¾ ¦ � ��~%ã à ¹ ¥�¢ ¥�áÈâ�á Þ/²&À�| ¯�Þä²&À Ü ¾ ¦ � ����� � {*{ � ��� à � � � } } | � �ã � ¢ ß � ¦   ã � ¢ ß � ¦   Î Î Î   ã å ¢ ß å ¦   ã å�æ � ¢ ç ¦   Î Î Î   ã å*æ ¶ ¢ ç ¦

� � � � � } � � {�{ � ��¯ � � � � �*| � ��è=é*¯3{ � ��} � {�ê ª � � ª � � ¤ ¤ ¤ � ª � ë � ¯3~ � § � � � } | � ��� � ¨���� � } �

¢ | ¦ � {�¨�� } {hß à=§ � �1� ì ��� ��ã à � ¥�á�â�á Þ��

¢ | | ¦ � � ��� � � ¨�� � {3� � {�� ì ��� � { ��ã à � ¥�áÈâ=á Þ�� ¨���} {3��� � � � �h{ ��ê ã å*æ �   Î Î Î   ã å*æ ¶ ë ¯ � �3�*� | § ��� � § ��¨�� ¨���� �§ � �1� § § � �h� �%� � � � } { � | § { � ~�� � ¨���� �h� ¯�{ | ¨�� } ¤Â � � �1¯ � �*í1� ¥ � É � � � £ � ����� � {*{ � ��� à � � � } } | � �

¼ í�è ã � ¢ ß � ¦   ã � ¢ ß � ¦   Î Î Î   ã å ¢ ß å ¦   ã å�æ � ¢ ç ¦   Î Î Î   ã å�æ ¶ ¢ ç ¦ ¿ ¢ £ ¤ É ¦� � � � � } � � {�{ � ��¯ � � � � �*| � ��è

z ¯�í1� ¥ � { � � �1| { � ¨�} ¢ | ¦ � ��~ ¢ | | ¦ � ��� � ��� � ��| ¨���� } } | � � � ¤z ¯�í1�NÉ�� ��~ ¢ | ¦ � ��~ ¢ | | ¦ � � �h{ � � � � { � � ��Éhî"� ¤z ¯�í1� £ � ��~ ¢ | ¦ � ��~ ¢ | | ¦ � � �h{ � � � � { � � ��Éhî"��� ��~ £ î"� ¤ïh} | � ��{ � | }*� � { � { | � ��� } � ¨���� ¯3{ � ��� � } � � { }�����} ��� � ��� � � � �1� � ��� | � � �1� }�¯ � � � � �h} ¤º�§ »h� � | � �*¼ Ï ½ ¿3} � � ��� ~%| {h| }h| ¨���� } } | � � ��{ �%��� � ��ª ¶ « ¥&¢ ¨�� ~1É ¦ ¯ � ��� � ��À � ¥�á À á ± ¤h � | }*| ¨�� � | � } �} � ð%§ | � � {*¯ � �*� � �*� � � ��� } � } �

¼ ¥ è ¥ ¾ ¢ ç ¦   Ç ¢ ç ¦   ­ ¢ ç ¦   ¥ ¢ ç ¦ ¿   ¢ £ ¤ ­ ¦

Page 83: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ñ ò ó òWô�õ"ö�÷ ø ÷ ù ú"û"ü ý1þ ö ÿ�ø ����ÿ � ý%ö�� ù � ÷ ø ÿ �hø �3ù û&ø � ���3ö ÿ � ö � ÷3û"ü ý%þ ö ÿ

� �� ��� � � � � ��� � ��� � � � � ��� ��� � � � � � � ����� � � � �� !�� � � "#� ��$ � % & % ' (�% � ) * ��+ , � � - � . /� 021 ' ' ( 3 �� 04� . � 5 � � -�� 6� ! � � � � 071 '�8 ' + 9 : 3 � :<;=� � � �> ��0<?@� A2��1 B B 3�� � � /�� 0<� �#� ��� AC��� � � � ! ��� �2�� 5 �4���#DFEC� .#G2 ��0<� H4DI'J � .# �K�� �CLMK2L@N��=O�� � � �4. � � - � ��" � 5 �4-�� � . � � ��� � � � 5 � 6 �

1 '48 E + ' : % ' + 9 : 3 % + E � E :1 '48 G + ' : % ' + 9 : 3 P + E � G :

Q . - � .21 ' � 3=� � � /�� 0R� �� �4����DS� ����HCDT' J � .� �K ���RLFK>LUN���� �#� AC��� � � � ! � �� ��07V4 � � 0M1 W W 3=� � � /�� 0� �� ������DFB � � H#DI' J � .# �K�� �CLMK2L@N�� � ��� AC��� � � � ! � �=;=� � � �71 � E 3�� � � /�� 02� �� ������DFB � ��X#DF� � ��H#DI'J � .# �K�� BCLMK2L@N�� � ��� A2��� � � � ! � �=O�� � � �4� � . � ��. � � - � � � � � A�! � � � 0</�� � �R� �� ��� J , � � - � . /� 0�� " � 5 �4-��

1 '48 B + ' : % � + ' : % ' + 9 : 3 % + E � W :

, � � - � . /� 0�Y ��. � � - � � � � "C/�� � �>O�� � � . � AZ�C� �>, 6 � . �#1 ' ) G 3 � " � 5 � ��-��

1 '48 B + B : % ' + 9 : 3 P + E � & :

[�\ ]�\ ]_^7` a=b#c d�egf h4d�i�j k4i�l�m j a=n?7�4o . � �� � � - AC�4� �� ��p4+ q>:�DFB E ��O�� �4��� � � � ! � � � � � ��� rCL@p4+ q>:�L@B B�/�� �!��� - � � A< � � � 62� � � . � 0 J � . �O�� � �M+ E � � :=!�� � � A2� ��� s - � 5 � � ��� �

1 '48 � + 9 : % ' + 9 : 3 % + E � r : ��0<� � � � � � �R� � � t - ��� � � � �R/�� � �>O�� � � . � AZBC� �>, 6 � . �41 ' ) G 3 � � � � �R" � 5 � ��-��

1 '48 (�+ ' : % � + ( : % ' + 9 : 3 P + E � ' ) :

O�� � . �> . �R� � � � 6uG & G>��� � � � ! �>� � � � J � .2� � �R� � ��� � � � � �C� �U+ E � ' :�/�� � �Fp4+ q>:<DvB E w�� � � � �R. � " �J . � AyxzD{B B �=N@D|' �=���RD|' �=� �MxSD|' ��N@D|' W �����RD|} } }�DZ��� ~>D|' �uO�� �R� � ��0 � � � � �u��+ q>:R�Z&� � A2� �� � � �#� � � � 6R( B r2� J � � � � �2� � � � �C� J � � �C. � A< � � � � "R� ( W2� � � � � � � � � 6>& 'C . � J - . � � � .#� � AC� �� � � 0! 6R� � ��0 � � � � ���4+ E � ( :=� � . � - " �7+ E � ' ) : ��O�� � �� � 5 � �#' G GC� � � �=� �<� � ��� � 0 � . �O� ! �2E � 'C� � � /#�#� � �C� ��� . � � �C� �7� � �2� - A�!�� .4� J � � � �C+ ��0>� � �<0 � A2� � � � � � � "R� ��� � � � 5 � � � � �#� J � � ��0 � �

� � � ���4+ E � ( :=� � . � - " �>+ E � ' ) : := ��p4+ q>:=� ��� . � � � � ��O� ! �4E � �4� -�� � . � � �=� � �� � � � � � � � �<� J � � � � �4� � � � . 0 � � �� � � ���# ��0<� � AC�4� �2!���AC� � � � � � � 02� �R� � ��� � ��x7DI' B �� J � � �u' G G7� � � �C. � A< � � � � "7/�� � �u�#+ q>:RDvB E �=� � � � 6U' B G7� � � � J 6M�#+ q>:>L|' ) �F��� � � � "7� �� �

Page 84: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � �I������� � � � ����� �R� � �4� ����� � �<��� � � � � � �#� ��� �7� � ����� � � � � ����� �<� � � ���

��� � �  �¡ ¢ £ ¤=¥�¦ §���  ¨�© ª�«�© ¬ ¬ ­ � �  �® � ¬   ¬�ª © ¨4¯4° ±>²

¯4° ±>² ��© ³ � � ´�° ±>²�µ@¶ ·=© ¸�¹º £ ¶ º » ¼º ½ £ £ º £ ¾ £º ¡ £ ¡ » º ¶ ¡º ¾ º £ ½ ¿ ¾ £ ºº » º » ¿ ¾ ½ º »½ £ ½ ¶ » £ £ ½ ¡ ¾½ ½ ¡ º ¡ £ À ¶ » »½ ¡ À ¶ À º ¿ ¾ £ À À½ ¾ » £ ¼ ½ ¡ ¿ º ¡ »½ » £ £ ¾ À ¡ ¼ º ½ » ¼

��� � �  �¡ ¢ º ¤=Á�¸ ¦ §2  ¨ � ³ ­ © ¸<© ª�«�© ¬ ¬ ­ � �  �® � ¬   ¬�ª © ¨#¯4° ±>²= ½ ¡ à ´#° ±>²�µ@¶C� ¸�¹RÄ7ÂI£ ½Å Æ�Ç È É É É È Æ�Ê Á=Ë ® � ¦�¹   ¹<� Ì<�   §C§<�¾ Æ�Ç�ÂF¡ È Æ�Í�ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ï#ÂU£ ¡ ° £ ² à £ ° À ² ° ¡ ¢ ¶ ²Æ�Ç� ¿ È Æ�Í� º È Æ�Ð#ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ï#ÂI£ ¿ ° £ ² à º ° £ ² à £ ° ¡ ² ° ¡ ¢ £ ½ ²Æ�Ç�Â@Æ�Í# ½ È Æ�Ð#ÂIÎ Î Î ÂuÆ�Ï#ÂI£ ½ ° º ² à £ ° ¡ ² ° ¡ ¢ £ £ ²Æ�Ç� ½ È Æ�Í�Â@Æ�Ð# º È Æ�Ñ4ÂUÎ Î Î Â@Æ�Ï#ÂI£ ½ ° £ ² à º ° º ² à £ ° ¿ ²Æ�Ç�ÂIÎ Î Î ÂuÆ�Ñ4 º È Æ�Ò#ÂUÎ Î Î Â@Æ�Ï#ÂI£ º ° ¿ ² à £ ° ½ ² ° ¡ ¢ £ º ²

¶ Æ�Ç� ¿ È Æ�Í�ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ó#ÂU£ ¿ ° £ ² à £ ° ¾ ²Æ�Ç� ½ È Æ�Í� º È Æ�Ð#ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ó#ÂI£ ½ ° £ ² à º ° £ ² à £ ° À ² ° ¡ ¢ £ ¼ ²Æ�Ç�ÂIÎ Î Î ÂuÆ�Ð# º È Æ�Ñ4ÂUÎ Î Î Â@Æ�Ó#ÂI£ º ° ½ ² à £ ° ¡ ² ° ¡ ¢ £ º ²

» Æ�Ç� ½ È Æ�Í�ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ô#ÂU£ ½ ° £ ² à £ ° ¶ ² ° ¡ ¢ £ £ ²Æ�Ç�Â@Æ�Í# º È Æ�Ð#ÂIÎ Î Î ÂuÆ�Ô#ÂI£ º ° º ² à £ ° ¾ ² ° ¡ ¢ £ º ²

£ ¼ Æ�Ç� º È Æ�Í�ÂIÎ Î Î Â@Æ�Ç Õ4ÂI£ º ° £ ² à £ ° » ² ° ¡ ¢ £ º ²£ £ Æ�Ç�ÂIÎ Î Î ÂuÆ�Ç Ç#ÂU£ £ ° £ £ ² ° ¡ ¢ £ º ²

Page 85: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ö × Ø ×IÙ�Ú�Û�Ü Ý Ü Þ ß�à�á âRã Û ä4Ý å�æ�ä ç â<Û�å Þ è Ü Ý ä é#Ý å�Þ à7Ý ê ê�æ�Û ä å Û è Ü�à�á â<ã Û ä ë ì

í�î ï>ð�ñUò ò�ó ô�õ�ö�ïM÷�ò ø ù#ú ô�û ü ý þ ýCò õ ÿ�� � þ ý þ�� � ý�ý � ó �Có ��� û ý 2ú ��� ý��ý � � ú � ý�û ü ý#ô ú � � ú �ó � ��ô ú � � û ý ý ��� ý þ � � û þ �� õ�� õ î � ð � ò î � ð � � î � � ò ò ð� õ�� ��î ò ð � õ î õ ð � ø î ò ð � ò î � ð � � î � � ò ø ð� õ�� � î ø ð � õ î ò ð � ò î � ð � � î � � ò õ ð� õ�� � î ø ð � ø î ø ð � ò î � ð � � î � � ò � ð� õ�� � î ò ð � ��î ø ð � ò î � ð � � î � � ò � ð� õ�� � î ò ð � õ î õ ð � ø î ø ð � ò î � ð � � î � � ò ÿ ð� õ�� ÿ î ø ð � ò î � ð � � î � � ò � ð� õ�� ÿ î ò ð � � î ò ð � ��î ò ð � õ î ò ð � ø î � ð � ò î � ð � � î � � ò � ð� õ�� ÿ î ò ð � õ î ø ð � ø î ò ð � ò î � ð � � î � � ò � ð� õ�� � î ò ð � � î ò ð � ò î � ð � � î � � ø ù ð� õ�� � î ò ð � õ î ø ð � ò î � ð � � î � � ø ò ð� õ�� � î ò ð � õ î ò ð � ø î � ð � ò î � ð � � î � � ø ø ð� õ�� � î ò ð � õ î ò ð � ø î � ð � ò î � ð � � î � � ø õ ð� õ�� ò ò î ò ð � ò î � ð � � î � � ø � ð

î � ú ��ý � � � � � ý ÷�î � � ò ò ð�þ û � û ý þ �"! ô ÷ ó �Mî � � ò ð ÷ ø #%$'&)( ( ( &Fø #�*%&@ÿCô ú ��ò�+-,"+.��� ��<ø #�* /"$ &0( ( ( &Fø #21�&Fø ÷û ü ý �>õ#ö�ï3� ð4 ü ý5� ý �6� ó � ó � �Mþ ó � û ý ý �-� � þ ý þ<î ú ô#û ü ýuò õ ÿ7�Cý � û ó ú � ý .� 8�ú � ý ð � � ýRý � ó �2ó ��� û ý Mú ��� ý5�ý6� � ú � ý<û ü � ý ý

ô � � û ü ý ��� ý þ � � û þ ÷ ��� �2ý � 9� õ � ��î õ ð � ø î ò ð � ò î � ð � � î � � ø � ð� õ � � î ò ð � ��î ò ð � ø î ò ð � ò î � ð � � î � � ø ÿ ð� õ � ò ù î ò ð � ø î ò ð � ò î � ð � � î � � ø � ð

� ��<û ü ý þ ý:� � ý:� � ��þ ��ý � ó � �%� � þ ý þ�ú ô�û ü ý4ô ú � � ú �ó � ���;:<%= > ? = @BA%C�D E ïF&HG%I�J 1K L $2M N O PKRQ S�T UWV X X:Y Z [ E Z \ ] U ^ _�` Z [:T U2X # K�a ò7î �2ú Rõ ð V [ # K�a øuî �2ú 5� ðE V [ T b b c &Uò d�ø d'e e e d"f�d ] g Z U õ�ö�ï.e4 ü ó þ'� ý � � ý þ=ý � � � û � 9<õ ù�� � þ ý þ�û ú6� ú ��þ ó ý � �"! �Rý � � üRú ô�û ü ý þ ý�� ý �6� ó � ó � ��� � þ ý þ ÷ �ý�ü�� � ý#í#î ï>ð +Uò ���%! û

ô ú � � ú #þ�ô � ú �zû ü ý�� � ú ��ý � û ó ý þ�ú ô�û ü ý4ó �� ý �2ô � ��� û ó ú �<û ü�� û�í#î ï>ð�ñUò ��ó ô�õ#ö�ïF� ��6��ö�ïvþ ó ��� ý��ý4ü�� � ý#û ü ý� ú � û � � ó � û ó ú �

ø:&Hh�î ï>ð i-h�î � jRò ò jH� � � � � jCð'&lkm n�o n2p qr

r�s@ò i@ø �û ü ý�� � ú ��� û28�ý ó � ��ú � ý ��û ü ý#ò � � ú ��þ ý � � û ó � ý"� � ó �2ý þ�ó �� ó � � û ý 2� 4 ü ý�� ý ��� ó � ó � �#õ ù � � þ ý þ2� � ý�û ü ý �4ý � ó �Có ��� û ý

Page 86: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

t u v u)w%x2y:z { z | }2~2� �5� y ��{ �%��� � �6y � | � z { � ��{ �"| ~W{ � �:�"y � � y � z"~2� �6� y � ���

� ��� ���'�:� � � � ��� � �:� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � �� � � � �   ¡ ¢ £ � ¤ ¡ ¢ ¥ � ¤ ¡ ¦ ¢ � � § £ ¨ ¡� � �  �� £ ¡ ¢ � � £ ¡ ¢ £ � ¤ ¡ ¢ ¥ � ¤ ¡ ¦ ¢ � � § £ © ¡� � � ª � ¥ ¡ ¢ � � ¥ ¡ ¢  �� ¥ ¡ ¢ � � ¥ ¡ ¢ £ � ¤ ¡ ¢ ¥ � ¤ ¡ ¦ ¢ � � § � « ¡� � � ¬ � ¥ ¡ ¢ � � ¥ ¡ ¢ £ � ¤ ¡ ¢ ¥ � ¤ ¡ ¦ ¢ � � § � ¥ ¡� � � ¨ � ¥ ¡ ¢  �� ¥ ¡ ¢ ¥ � ¤ ¡ ¦ ­ � � § � £ ¡

® � � � � � �W� � §   ¡�� � � � � � �)� � § � £ ¡ � � � �:¯ � � �3� � � ° � ��¯ � �W� � � � ±.��� � � � ² � �3� ¯ � �7� � �5� � �7� ³ ��� � � � � �6� �´� � § ¥ ¡� �'�'��¯ � � � °�� � � � � � �:� �'µ�� ¶7¡�·¸£ © ¹2� ¥ ¹2� �:� � § º � � � � � � � � ¹�� � � ¯ � � � � �6� ��¯ ��� ��� ��» � � � �7� ��¯ �:µ�� ¶7¡ ¼)£ ©� ½ ¯ ± � � � � ¥ £ ¦ ¡ ¹ � �"� � ¾�� � � ¹ � � �%� � �'� � � � � � � º � � � � � °)¨ ¹ � ��� � � � ��� � �'� � � � � � �"� � ¯ � � ¿�� �6� � § ¥ ¥ ¡�� � � � � � �6� � § � £ ¡ À�'��� � � � � � ��� � � � �:� � � � � �'� �5� � ��� � � � � � � � �6� � � � � � � §º � ��� � � � � � ��� � § ¥ ¥ ¡"� � � � � � �7� � § � £ ¡�¯ � ��¯ � ��� ��¿ � ��� ��¿ � � � ¯ ��¿�Á � � � ��� ��� � � ��� � � �'� � �'� � � ��� � � � ¹ ¯ � � � � � � �

� � � ±W¯ � ��� � � � ¯ � �W� � °��:� � � � � ¯ � � � ±5� �3¯ � � � � � � �5¯ �7� � � � � � � � � � � ¿5� � ° ²�� ��� �"� ³ ��� � � � � ��� Á ��¯ �"� �5£ ¹2¯ ��¿5� �� � °��6� ¯ � � �:¯ �W� � � � � � � � � � � ¿7� � ° ²�� �:� �'� ³ ��� � � � � ��� Á ��¯ ��� �5  §5º � � � � � °Â© ¹%² ±7� � � � �3�'��� � � � �5� � § £ � ¡� � � � � � �3� � § £ ¬ ¡ ¹ �'� � � ¿���¯ � ��� � � ¯ � � � ¯ � � � � � ¯ ² � � � � ± §Ã'Ä Å'Ä ÆÈÇHÉËÊ"Ì Í�Î�Ï Ð Ñ Ò�ÓÕÔ Î�Ï.Ñ Ö2× Ñ Ð É�Í)Ñ Ò�Ö0Ì Î%Ø3Ö2Ï.Ù:Î�Ú�É�ÛÜÎ�ÉÜÝ7Þ ß)ຠ� � � � � °´©�¯ ��¿6� � § ¥ ¥ ¡%� � � � � � �6� � § £   ¡%¯ � �'¯ � � � � � � � ¿�² ± � � � � � ¯ ¿ � � � � � � §%á � �"� � � � � � �'� � § ¥ ¥ ¡2� � � � � � �6� � § £   ¡ ¹�'�5¯ � � � ° �5� � ��¯ � ¯ � � � ±W� �3� ¯ � �.� ¯ � �6� ��¯ ���.â%¶B¯ ��¿W� ² � ¯ � �.¯7� � � � � ¯ ¿ � � � � � �.¯ �:� � �6� ��¿3� ��¯7� ��¯ � �3� �� ¯ � � � � � � ¯ � � � ��� ¹ � �5°6¯ � � � � �'� � ²�� ¿ � � � � � ²�� ¿5� � � � � � ± §º � ��� ¯ � � � � � � ¯ � � � �5� ��¯ � ���'¯ � ��� � ��� � � ��� � � ¿6� ± � � � °6¯ � � � ¯ � � ± ¹ � � �:� � °���� � � � ��¯ � ¯:� � ° � ¹ ²�� � � � � � � ��� � � �

� ã ¹2� �:� ä ¹2� � § § § ¹2� � � �%¹2� �W� � ¯ � � � � � ¹2� ¯ � �W� � �¸� � ° ��� � � � ��� °�� � ± � � �7¯ ��� � ¯ � ��� � ��¯ ¿ ¿ � � � � ��¯ ��� ¯ ��¿ � ¿ ¯ � �� � � ° �5¿ � � � � � �6� � � ��� �5¯ �3� ¿ ¿3��� � � � � �:� � ° ²�� � � ¯ �:� � �:� � � ��¿2å ¡ §3á � � � ³ ¯ ° � � � ¹"� ��¶æ� � ¯ �3� ¿ ¿3��� � � � � �� � °:²�� �6¯ ��¿2¹'² ±-¯ � � � ° � � � � �%¹ � ã.ç7¶B� � � �)¥ �0â�¶è� � ��� �7é"� � ã ¡5·æ¥ �3¯ ��¿-ê � � ã:ë�¥ � ì ¡WíÜ£W� � �6¯ � ±��¯ � � � ¯ �%� � °:²�� ��î §'º � � �3¥ ��ç ¶æ� � � ��� �6¥ �:°6¯ ±6²���� � � � ��� � � ¯ �%� � � ° � ¡ � �6¬�â ¶Â� � ��� � é"� ¥ � ¡'·0£�ë ¬ ¯ ��¿ê � � ã�ë ¥ ��ë ¬ ì ¡:í0£ À2� ��¥ � ã�ç�¶æ� �7ª ¥6â ¶æ� � ��� ��é"� ¥ � ã ¡�·´�:ë ª ¥ ¯ ��¿Wê � � ã ë ¥ � ã�ë ª ¥ ì ¡:í)£ À�� ��¥ � ä5ç�¶� � § § § ïð � � � � � �5¯ � �6° � � ��� ��¯ �.� � �5� ¯ ��¿ � ¿ ¯ � �6� � � ° �5¿ � � � � � � � ¯ � ¯ � � ¯ ² � � ¹"� � � �-� � � � � � � �7� � �5� °�¯ � � � � � ¯ �� � ��²�¯ � � ��� � �:� � ��� � ³ �:� � ° ��� � � � ��� �'¶ñ� � � � � � ��� �W� � ��� � � ¯ � � � ��� ��� � � ¯ � � � �3ê � ¶7ò ¡�� ¯ ��¿7� � ��� � ��� ��¯ � � ±� � ��� � � � � � � � ��¯ � �7� �5¯6� � � � � ¯ ¿ � � � � � ��¡ ¹ � � � � � ¶7ò%� ��� � � � � � ¿ ��� ��� �"� � ��� � ° ��� � � � � ��� �6� ¯ ��¯ � � � ° � ¿5� �¯ � ± � ��� � � ³ � � � � � ¿3� ¯ ��¿7� �W� � � � ¯ � � � �:� ¯ � � ¹�� � ��� � � � � � ��� � � � �'� ¯ � � � � ¯ � � � �5ê � ¶7ò ¡ ¹�� � � ±7¯ � �:� � � � �7� � � � �� °6¯ � � � � ����� � � � ² � ��� ³ ��� � � � � ¡ §"á � ��� ¯ � ��� � � °���� � � � � ��� ��� � � � � � � ��¯ � ��¯ � �%¹ � ³ ��� � � � � �'¯ � � � � � � � � � � ¯ � � ¿ ¯ �¯ � � � �'� ¿5² ±7� � � � ³ ��� � � � ����¯ � � � � �7� � ��� � � � � °�°�¯6� ��¿ � �:� � ��� � ¿ � � ¯ � � � � § � ð �'� � ��� ¯ ��¿ � ¿ ¯ � � � � � °�� ° � � � �²��:� � � � ��� � � ¯ �2� � � °�� ¹ � � � �7� � � ±6� � �:� ³ ��� � � � �:¥�� � � � ��� � ¿ � � � ¿6� � � � � ¹�� � ��� �:ó6ôH¥�·Hé"� ó%¡�â é"� ó%õ�¡ ¹ � � � �óWö-÷3ö0¥3� ° � ¿6  ¡ § ¡ð ��ø ã ù�� � �"ó%õ�¡2� �%� � �'� � �.¯ ¿ ¿ � � � � ��¯ � ¯ � � � °�� ¿:� � ° ��� � � � �%� ��¶¸� � � � � � � � � �%� ��¯ � � � ° � ¿�� � � ° � ¿ � � � � � � �

� �%¶Ë� � � ¿ �"� � ²�� � �2¿ ¯ � � ¿ � � � ��� � ��� � � °���¿ � � � � � � �"� �2é"� ø ã ù ¡ � � ��� �%é"� ó%¡ ú £ ¡ §�û � ��¯ � ��� ��� � � � � � � � ¿ � � � � �ê � ¶7ò ¡:í0£ §�ü � �'� � � � ¹ � ��� ¯ �7²�� � ²�� � � � � ¿6� ��¯ ��� � � � ¯ � � � ��¯ � � � °�� ¿5� � � °�� ��°�¯ » � � � � � � �6� � � � � � ² � � � � �7� �� � � � ¯ � � � � �2ê � ¶7ò ¡ §%ý ��� ¯ � � ¯ » ��¯ ¿ � ¯ � � ¯ � � � ��� � � ��² ±:� � � ± � ��¿ � � �:� � ��þ � °�¯ � � ÿ�� � � °���¿ � � � � � � �%� �2é"� ø ã ù ¡� � � � ��é"� ó%¡ ú £ ¡ ¹���� � ��¯ ���'� � ¯ � � � �6¯�� � � � � �7þ ��¯ � ¿ ÿ�� � °���� � � � � § û � ±5� ��� �7� � ° ��� � � � � ��¯ � ��� ¯ � � � ±6� ¿ � � � � � � ¿¯ ��¿5� � � �W� ³ � � ��¿ � ¿5� � � °Ü� � ��� ¯ � � � � ¯ � � � �7� �'ê � ¶7ò ¡ § º � � ��� ��¿ � � � � � � °�¯ � � ��� � � � ¯ � � � � �'ê � ¶7ò ¡�¯ ��¿5°6¯ ±� � ¯ ¿5� �6� � � � � � � ±5� � � � � ��� ��¯ � ��� � �W� � ° ��� ¯ � � � ² � ��� � � � � � ° � � �:� ��¯ �7� �2� � ��² ±5� � � � � ²�� � ¯ � � � ¯ �%� � ¿ ��� � � � �

Page 87: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ������� � ��� ��� � ��� ����� � ����� � � � ��� �� � � ! !���� � � � � ��� ��� � � " #

$ %'& ( ) * + , $ - ( * $ + %�* $ .0/ 132 &�* 4 / , /�$ -5% +06 % / 7 8 9 + , / :�8 , $ .;/;( < ( $ 9 ( = 9 /�& , + .>/ ( , 9 $ / ,�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�-5?�$ * 4'?�4 $ ) 4* + ) + % * $ % 6 /�* 4 /�) 4�( $ %�@�* 4 / %A$ *�$ -�% / ) / - - ( , B'* +'& ( ) * + ,;+ % /�+ &5* 4 /�) ( , , $ / : & + , ?�( , :A) + .08�+ - $ * / -�C ( %�: $ %8 , ( ) * $ ) /�* 4 /�.0+ - *�, / ) / % * 9 B�( : : / :�) + .;8�+ - $ * /�?�( -56�- / : D 1E + ,�* 4 /58 , + + & -�+ &�* 4 /5, / - 6 9 * -5C F 1 G G D* 4 , + 6 H 4�C F 1 I J D @ ( %0( : : $ * $ + %�( 9 ) + %�- * , ( $ % * @ * 4�( *�/ ( ) 4�C % + % K - 8�/ ) $ ( 9 D

8 , $ .;/0& ( ) * + ,�L0+ &5MN+ ) ) 6 , , / :�* +�(�H $ < / %'/ 7 8�+ % / % *�I O5@- +�* 4�( *�L P0Q�R�C M'S D�& + ,�T0U�I O5@�?�( -�/ .;8 9 + B / :* +�( 9 9 + ?�( % + * 4 / ,�) + % * , ( : $ ) * $ + %'* 4�( *�) + 6 9 :�* / , .;$ %�( * /;(�) 4�( $ %�1�V�< $ + 9 ( * $ + %�+ &�* 4 $ -�) + %�- * , ( $ % *�C ?�4 / % - +.0( % B'8 , $ .;/ -�L�( , + - /�& , + .W& ( ) * + , $ - ( * $ + %�-�( -�* +�$ .08 9 B T0X�I O�D @?�( -�: / - ) , $ =�/ : ( -�- ( B $ % H�* 4 / , /;?�( -�( %/ 7 ) / - -5+ &�* 4 /�8 , $ .0/�L 1E + ,�* 4 /;8 , + + & -�+ &3/ ( ) 4'+ &�* 4 /0, / - 6 9 * -�C F 1 I Y D�* 4 , + 6 H 4ZC F 1 [ I D @�?5/�\ , - *�- 4 + ?5/ :�* 4�( *�[�]�MA@�( -�( =�+ < / @

( %�:�* 4 / %'( - - 6 .0/ :�* 4�( *�F0^ MA_ $ %'(;- $ .0$ 9 ( ,�.0( % % / , @ * 4 $ -5?�( -�( 9 - +0- 4 + ?�%�* +09 / ( :0* +�(0) + % * , ( : $ ) * $ + %�1` 4 /�8 , + + &�+ & ` 4 / + , / .>a�?�( -3( ) ) + .08 9 $ - 4 / :;= B0( - - 6 .;$ % H�[0^ MA@ $ H % + , $ % H�* 4 /�- / ) + %�:;8�+ - - $ = 9 /�) + % * , ( K

: $ ) * $ + % C + &�( %�/ 7 ) / - -�+ &8 , $ .0/ - D @ ( %�:;/ .;8 9 + B $ % H;* 4 /�& ( ) * -3* 4�( *�R�C L b D�^ R�C L b c�D�?�4 / %0OAdeGAC .;+ :�[ D5( %�:R�C L f D�^ R�C L b c�D�?�4 / % OZd�IZC .0+ :�F D 1�g�% 9 B�/ 7 8�+ % / % * -�?�$ * 4'OihjG�+ ,�I0?5/ , /;( - - 6 .0/ :AC + % % + % K - 8�/ ) $ ( 98 , $ .;/ - D @�( %�:0* 4 /�+ % 9 B�) + % * , ( : $ ) * $ + %�6�- / :0* +0* / , .0$ %�( * /�(0) 4�( $ %�?�( -�k�C M'S D5XiI 1

l5m n5m oqp rjs�t u�rjuv5w x�w y z3v

` 4 /�.;+ - *3% + < / 9 & / ( * 6 , /�+ &* 4 /�( 9 H + , $ * 4 .j$ -3* 4 /�/ {�/ ) * $ < /�6�- /�+ &$ %�) + .;8 9 / * /�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�- 1 ` 4 $ -3?�( -3$ .0K8 9 / .;/ % * / :�( -3& + 9 9 + ?�- 1�2 &�* 4 /�) + .;8�+ - $ * /�?�( -39 / - -3* 4�( %�(;) 4 + - / %0=�+ 6 %�:@ 6�- 6�( 9 9 B�G | } ~ @ * 4 / %�* 4 /�) + .;8 9 / * /& ( ) * + , $ - ( * $ + %�?�( -�) ( , , $ / :0+ 6 *�C ?�$ * 4�.0$ % $ .0( 9�/ {�+ , * D 1 E + ,�) + .08�+ - $ * / -�H , / ( * / ,�* 4�( %�* 4 /�=�+ 6 %�:@�(0- * + , / :9 $ - *5+ &�) + .;8 9 / * /�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�-�?�( -5- / ( , ) 4 / :1�2 &* 4 /�: / - $ , / :;& ( ) * + , $ - ( * $ + %0?�( -3% + *3& + 6 %�:0* 4 / %�( %0$ %�) + .0K8 9 / * /�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�?�( -�) ( , , $ / :�+ 6 *36�- $ % H�* 4 /�� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��+ 8 * $ + %;+ &�* 4 /�� � � � � �� � � � � � ��� �& 6 %�) * $ + %'+ &5� � � � � �0� � � � � 1�C � � ��� ��4�( -�(0- $ .;$ 9 ( ,0� � � � ����+ 8 * $ + %�& + ,�$ * -�� � � � � � �3  ¡�& 6 %�) * $ + %�1 D�2 % � � � � ¢� �0� � � � � @& + ,�$ %�) + .;8 9 / * /;& ( ) * + , $ - ( * $ + %�@�+ % 9 B'* 4 /;* , $ ( 9�: $ < $ - $ + %�@�£�+ 9 9 ( , :;¤�¥¦G @£�+ 9 9 ( , :�§'( %�:') + % * $ % 6 / :& , ( ) * $ + %;.0/ * 4 + : -3+ &�& ( ) * + , $ - ( * $ + %0( , /�( 8 8 9 $ / :;* +�\ %�: ¨ - .�( 9 9 ©�& ( ) * + , - @ $ %�- + .;/�) + .�= $ %�( * $ + %0% + *5: / * ( $ 9 / :$ %�* 4 /;( ) ) + .;8�( % B $ % H0: + ) 6 .0/ % * ( * $ + %�1` +�4 / 9 8 ) 9 ( , $ & B�* 4 /0( 9 H + , $ * 4 .'@�V�8 8�/ %�: $ 7 ª>- 4 + ?�-�* 4 /0) + .08 6 * ( * $ + %�( 9�8 , + + &3+ &�« [�¬�F C G D ­ I C G D ­ G C ® D ¯

C ?�4 $ ) 4A$ -�$ %Z& ( ) *;- 6 =�- 6 .;/ : = B¦C F 1 G J D D 1�2 %Z* 4 $ -�/ 7 ( .;8 9 / @�& 6 9 95& ( ) * + , $ - ( * $ + %�-�( , /�- 4 + ?�%Z( 9 * 4 + 6 H 4A* 4 /+ 8 8�+ , * 6 % $ * B0& + ,�8�( , * $ ( 9& ( ) * + , $ - ( * $ + %�$ -�% + * / :12 &�$ *5=�/ ) ( .0/�% / ) / - - ( , B;& + ,5* 4 /�) + % * $ % 6�( * $ + %0+ &�(�) 4�( $ %�* +�4�( < /�* 4 /�& 6 9 9& ( ) * + , $ - ( * $ + %0+ &�(;) + .08�+ - $ * / @

* 4 / %A* 4 $ -�?�( -�/ - * ( = 9 $ - 4 / : - / 8�( , ( * / 9 B�/ $ * 4 / ,�= B'9 + + ° $ % H'6 8 ° % + ?�%A* ( = 9 / -�+ ,�= BA) ( 9 ) 6 9 ( * $ + %�1�Vj9 $ - *�+ &% / / : / :@�) + .08 9 / * /�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�-3?5+ 6 9 :�* 4 / %�=�/�6 8: ( * / :�?�$ * 4 $ %�* 4 /�8 , + H , ( .�1` 4 /�.0+ - *�: $ ±0) 6 9 *�& ( ) * + , $ - ( * $ + %�, / ² 6 $ , / :�?�( -5* 4�( *�+ &3R�C R�C ³ G ´ D } ´ D @ * 4 /�8 , + : 6�) *�+ &3(�µ [ K : $ H $ *�8 , $ .;/

( %�:�(;G | | K : $ H $ *�8 , $ .;/5?�4 $ ) 4;+ ) ) 6 , , / :�$ %;* 4 /58 , + + & + &�C F 1 I F D 1 ` 4 /5& ( ) * + , $ - ( * $ + %�+ & * 4 $ -�¨ 4�( , : ©�) + .;8�+ - $ * /?�( -5, / ( 9 $ ¶ / :�* 4 , + 6 H 4�* 4 /;( - - $ - * ( %�) /�+ &3·�/ , .0( %�* /;¸�$ / 9 /;( %�:'£�/ * / ,�¹�+ % * H + .;/ , B�( *�* 4 /0º3/ % * , 6 .»< + + ,¼ $ - ° 6 %�: /�/ %�2 % & + , .�( * $ ) (�C º ¼ 2 D�$ %'V�.�- * / , : ( .'@ * +0?�4 + .>?5/�( , /�.0+ - *�H , ( * / & 6 9 1

l5m n5m l¾½�¿z3v�z3rjy À x�w y z3v

` 4 /38�( * * / , %�-�+ & / 7 8�+ % / % * -�, / 8 , / - / % * / :�= B0C F 1 G G D�* 4 , + 6 H 4�C F 1 I J D�( , /3* 4 /5, / - 6 9 *�+ & ( .�( 9 H ( .�( * $ + %�* 4 , + 6 H 4H / % / , ( 9 $ - ( * $ + %;+ &�* 4 /�8�( * * / , %�-�+ &�* 4 /�+ , $ H $ %�( 9�G ³ ³�) ( - / - 1�2 % $ * $ ( 9 9 B @ ?5/�/ 7 8�/ , $ .;/ % * / :;?�$ * 40H / % / , ( 9 $ - ( * $ + %�-+ &�* 4 /'& + , .Á« [¦¬�   ­ G C ® D ¯ @5* 4�( *;$ - @�( %Z6 % , / - * , $ ) * / :Z% 6 .�=�/ ,0+ &�) + .08�+ % / % * -;?�$ * 4¦( %Z/ 7 8�+ % / % *0+ &�I 1` 4 / %�8�( * * / , %�-39 $ ° /0« [;¬�   ­ I C ® D ­ G C ® D ¯�?5/ , /�- / 9 / ) * $ < / 9 B;* , $ / :1 ` 4 $ -3?�( -3& + 9 9 + ?5/ :;= B0H / % / , ( 9 $ - ( * $ + %�-3- 6�) 4

Page 88: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ã Ä Å Ä�Æ�ÇÈ�ÉÊ Ë�Ì È Í�Î Ï3Ð Ñ Ò Ó Ñ ÉÔ Ó�Õ�Í Ñ Ë�È�Ï Ö Ô Ó Î Í Ò�Î Ï�Ö É Î Ð Ð�Õ�È Í Ï È Ô Ó�ÉÊ Ë�Ì È Í × Ø

Ù�Ú Û Ü Ý�Þ ß à á�â3ã ä å;Ý æ Ú ç è é ã�é ê�ë�é ì ì è Û Ü Ý;í Ú ì Ý ì5ê é æ�î Þ ß ï ð ñ�ò à;á Þ î ó ñ ô ó î ó ñ ô ï î õ ñ öê é æ�÷�î ø'ñ5ù¦à Þú û�ü ô ý ý ý ô û�þï û�ü ù û�ÿ ù¦Þ ô û�� ù û � ù¦ó ô û�� ù�� � � ù û�� ù�ï Þ î ó ñ � ó î ó ñ � ï î à ñû�ü ù û�ÿ ù¦Þ ô û�� ù¦ó ô û�� ù�� � � ù û ù�ï Þ î ó ñ � ó î ï ñ � ï î Þ ñû�ü ù¦Þ ô ûÿ ù û� ù¦ó ô û�� ù�� � � ù û�ü ü ù�ï Þ î ï ñ � ó î ó ñ � ï î � ñû�ü ù¦Þ ô ûÿ ù¦ó ô û�� � � � ù û�ü ÿ ù�ï Þ î ï ñ � ó î ï ñ � ï î ï � ñ

Ú ì�ò àZá3à î ï ñ ô ó î õ ñ ô ï î õ ñ ö ��ß ß ß ��ò àZá3à î ð ñ ô ó î õ ñ ô ï î õ ñ ö ß� �ã é ç � Ý æ�ì Ý æ è Ý ì�é ê�� Ý ã Ý æ Ú Ü è ì Ú ç è é ã�ì�è ã � Ý ì ç è � Ú ç Ý ����Ú ìò à¦á5à î ï ñ ô ó î õ ñ ô ï î õ ñ ö ��ß ß ß ��ò à¦á�� î ï ñ ô Þ î ï ñ ô ð�î ï ñ ô à î ï ñ ô ó î õ ñ ô ï î õ ñ ö ßZÙ�� è ì;Ü Ú ì ç;ë�Ú ç ç Ý æ ã�î Þ ß ï � ñ�è ã � é Ü � Ý �Aç � Ý� Ý ã Ý æ Ú ç è é ã;é êÚ�í é å;ë ä ç Ú ç è é ã�Ú Ü ë æ é é ê é êÚ Ü å;é ì ç�ã è ã Ý�å;è Ü Ü è é ã0Ü è ã Ý ì ß�� ã0Ý Ú í �0í Ú ì Ý � ë æ Ú í ç è í Ú Ü�í é ã�ì è � Ý æ Ú ç è é ã�ì� Ý ç Ý æ å0è ã Ý ��� é �eí é å;ë æ Ý � Ý ã�ì è � Ý�ç � Ý�� Ý ã Ý æ Ú Ü è ì Ú ç è é ã�í é ä Ü ��Û�Ý�å�Ú � Ý ßÙ�Ú Û Ü Ý�Þ ß à�è Ü Ü ä�ì ç æ Ú ç Ý ì5ç � Ý�ë�é ì ì è Û Ü Ý�í Ú ì Ý ì5ê é æ�÷�î ø'ñ3ù¦à Þ;í é � Ý æ Ý �0Û � î Þ ß ï ð ñ ß

��� �! #"%$'&�(%)+*,$�-/.�021,3 4�563 &%7�598�-�3 ):$'0 ;<7�5=.�-=4/.�0>;�&?.�1%1@8A$B-=0 $�7�5&�(%)+*,$�-

� ã�ç � è ì�ì Ý í ç è é ãA�5Ý<��è Ü Ü�ê é í ä�ì�é ã�ç � Ý�ë æ é Û Ü Ý å>é ê3Ý C ç Ý ã�� è ã ��ç � Ý�Ü é �5Ý æ�Û�é ä ã���é ã�ç � Ý�ã ä å;Û�Ý æ�é ê6� è ì ç è ã�í çë æ è å;Ý�ê Ú í ç é æ ì�é ê�Ú ã0é � �;ë�Ý æ ê Ý í ç3ã ä å�Û�Ý æ3ç é�D�î ø'ñ�EGF ß�Ù�� Ý�ç � Ý é æ �H� Ý � Ý Ü é ë�Ý ��� Ý æ Ý�í Ü é ì Ý Ü �;ë�Ú æ Ú Ü Ü Ý Ü ì�ç ��Ú çê é æ3é � �;ç æ è ë�Ý æ ê Ý í ç3ã ä å;Û�Ý æ ì�î I Ý í ç è é ã0ð�ß à ñ=��� è í �0è ã0ç ä æ ãH��Ú ì�Û�Ú ì Ý ��é ã%J3é � Ý ã'ò ó K ö�Ú ã��;ä ë� Ú ç Ý �;è ã%J3é � Ý ãÚ ã��%I é æ Ü è3ò à ó ö ß6� ã�� Ý Ý �'ì Ý � Ý æ Ú Üé ê�ç � Ý�è ã ç Ý æ å;Ý � è Ú ç Ý�æ Ý ì ä Ü ç ì5é ê6I Ý í ç è é ã�ð�ß à0Ú æ Ý�ä�ì Ý ��� Ý æ Ý ß5Ù�� Ý;ì è å;è Ü Ú æ è ç �Û�Ý ç �5Ý Ý ã'ç � Ý�é � ��ç æ è ë�Ý æ ê Ý í ç�í Ú ì Ý;Ú ã���ç � Ý�ë æ Ý ì Ý ã ç�é � ��ë�Ý æ ê Ý í ç�í Ú ì Ý�è ã Ý � è ç Ú Û Ü ��Ü Ý Ú � ì�ç é�ì é å;Ý�æ Ý ë�Ý ç è ç è é ãè ã�ç � Ý�Ý C ë�é ì è ç è é ã�é ê�ç � Ý�ç � Ý é æ � ßL�M N�M OQP,RBS�T6U S�V W XY=Z�[BY=X�\�]6U T6^B_B`� ã�ç � Ý�ê é Ü Ü é ��è ã ����øa� Ý ã é ç Ý ì�Ú ã�é � ��ë�Ý æ ê Ý í ç�ã ä å�Û�Ý æ ��Ú ì ì ä å0è ã �0é ã Ý�Ý C è ì ç ì � ��è ç �'ç � Ý�ë æ è å0Ý�� Ý í é å;ë�é ì è bç è é ãAî ð�ß à ñ � Û ä ç�æ Ý ë�Ý Ú ç Ý ��� Ý æ Ý �

øWùdcef g ü h�i jf

�%kef g ü l m jf

��nef g ü o p jf

ùrq�� sA� t��� è í ��è ì3è ã ç Ý æ ë æ Ý ç Ý ��Ú ì5ê é Ü Ü é ��ì á�Ý Ú í � h�i jf è ì�Ú�u ã é ��ã�í é å0ë�é ã Ý ã ç�é ê�ø�� Ý Ú í � l f è ì�Ú�u ã é ��ã�ë æ è å0Ý�ê Ú í ç é æé ê3ø Û ä ç�ç � Ý�Ý C ë�é ã Ý ã ç<v f è ì�ä ã u ã é ��ã���Ú ã���Ý Ú í �'ë æ è å0Ý�ê Ú í ç é æ o f é ê3øNÚ ã���Ý C ë�é ã Ý ã ç<w f Ú æ Ý�ä ã u ã é ��ã�ßx6�Gy u ã é ��ã�z � �5Ý�å0Ý Ú ã'Ý C ë Ü è í è ç Ü ��ë�é ì ç ä Ü Ú ç Ý ��é æ�ç � Ý;í é ã�ì Ý { ä Ý ã�í Ý�é ê3ì ä�í � Ú ã'Ú ì ì ä å0ë ç è é ã�ß� �ã ��é ê=|=� }�~ å0Ú �;Û�ÝB� Ý æ é�� è ãH��� è í ��í Ú ì ÝB�5Ý�ì Ý ç�q�� s6� t� æ Ý ì ë�Ý í ç è � Ý Ü � � Ý { ä�Ú Ü ç é�ï ß�� ÝB��Ú � Ý�ë æ Ý � è é ä�ì Ü �;Ü Ý ç �>� Ý ã é ç ÝÚ�ë æ é ë�Ý æB� è � è ì é æ�é ê��Nî Ý C í Ý ë ç ï�ù�ï ñ ß�6� ������� Ø������ ��� ����� � �<� � � � � � ����� �H� � � ø ùrq s�t�� � �B� � � � ��� ��� � � � � ��� �<� � � �

� î q s�ñ� ió�  � î q�t s�¡�ñ ý î Þ ß à à ñ

¢ � � �%� ��� £ ��� ¤ � � � � �H� � �<� � � � � ��� � }�¥G� ¦ � � ��¤ � � � § � � ��H� ��� £ ��� ¤ � � �H� �<� � � � � �6� � ~ ¥G��¨© � � � � ¨�� Ý;ã Ý Ý ��é ã Ü ��ã é ç Ý�ç ��Ú ç � î s�ñ<  � î s�ñ�Ú ã�� � î t ñ�E ï ����è ç �Aì ç æ è í ç�è ã Ý { ä�Ú Ü è ç ��è ê6},¥��0é æ ~ ¥�� �æ Ý ì ë�Ý í ç è � Ý Ü � � � î s�ñ�ª � î s ¡ ñ5è ê=}�¥G� � Ú ã���ó�ù � î q s�t ñ5ù � î q�ñ � î s�ñ � î t ñ ß

Page 89: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

« ¬ ­ ¬�®�¯°�±² ³%´ ° µ<¶ ·6¸ ¹ º » ¹ ±¼ »=½�µ ¹ ³�°�· ¾ ¼ » ¶ µ ºB¶ ·=¾ ±,¶ ¸ ¸�½=° µ · ° ¼ »=±² ³�´ ° µ ¿�À

Á6 Ã�Ã�Ä,Å À�Æ�Ç�È É É Ê Ë Ì�Í�Î�Ï Ð�Ñ ÒÓ�Ñ Ë Ë È ÔHÌ�Õ ÖB×�Õ Ø<×�Ù Ù Ù ×�Õ Ú�ÛHÜÝ Ì ÒÞ�ß à á Õ â ã ä ÖÖæåç<è Þ�ß à á å#é Õ ß ê ë ì í å

î Ê ï�Õ�ð�Õ Ö Ð6ñ6ò ó Ý�Ë ó ï ò ô ó�ò Ò�Ì õ È�Ñ ö ò ó ÷Hò î�ø Î�Ï%Ê ï�ÍùÎGç�Û�úÈ ï ó Ý Ì ï Ð6ò î�Þ�ß à á�û å ×Gç Ð�ó Ý Ì ÒÕH× ç�ü Þ�ß à á�û å ß Í�è�Ï åç<è Þ�ß à á û å ß ê ë ì ê å

î Ê ï�Õ�ð�Õ Ö Ûý ï Ê Ê î ÛBþBÿ � � � ß í�ë � å � ����� � �

ç�ð Þ�ß å ð Þ�ß à å Þ�ß á å Þ�ß � åÎ Þ�ß à å Þ�ß á å�� Ï�ü Þ�ß Õ â ã ä ÖÖæåÕ Ö�� ð Þ�ß à á å ü Þ�ß à á Õ â ã ä ÖÖæåÕ Ö��� �� � � ÿ �

ç�Î Þ�ß à á å ü Þ�ß à á Õ â ã äÖÖæåÕ Ö��� � � ���� ������ � � � � � � � � ! � � � � ß ê ë ì í å ë � � �� � �� � " � ! ��� � � � � � �Hÿ � � � � � � � � # $� % � � � � ÿ�� % � � ë& � � ! �'� � � � � � ß ê ë ì ê å ë þBÿ � � � ß í�ë Ï ( å � ����� � �

ç�ð Þ�ß å ð Þ�ß à å Þ�ß á å Þ�ß � å × Þ�ß à á û å�� Ï�ü ÍÕ Ö�è�Ï � � � ß ê ë ì ê å*) ! % % ! � ÿ ) � � ��� � � � � � � ��� � � ë+ ��, � � � � � � � ���-� ! ÿ � % ���-$ ÿ �. ÿ ÿ $ � �-/ ÖBÎ�Ï � ��� � , % � � ß ê ë ì í å*� �

Þ�ß à á åç<è Þ�ß à á å é Õ Ö � ß ê ë ì 0 å& � � � � � � ÿ , � � � % , � � � � � ÿ " � ! � � � !�� � � � � � à � ��� � � ÿ ÿ $ � �-/ Ö<Î�ç � � ÿ !�) � ! � ß ê ë ì í å � ÿ�� � � � �� � � � � � � ! � ! ) ß í�ë ê å � ����� � � çç<è Þ�ß à á å è

ç<è Þ�ß à á åç ×�Õ Ö � ß ê ë ì � å��� � � ��! � % � � � � ! % � � ÿ � � � ! � %1 � � � � ��� � � � ë& � � �%ÍùÎ ì � ß ê ë ì ê å � � ��� � � , � ! � � ��� !

Õ ÖB× ç 2 í ü ß Þ�ß à á�û å å Ø ß ÍrèGÏ å 3í è ß Þ�ß à á û å å Ø � ß ê ë ì 4 å��� � � ��� � � � ! � ÿ � � � � � , � ! � � � � � � ß í�ë Ï ç å ë + �65 ç � � ì ç 78� ���� ÿ�� ��� ! � � � � � % � ÿ � � � ��� �� ��� � � � � � ÿ ��� � , � ! � � 9� � � �. % ÿ ! ��� � ��Í�ðrç ë:-; < ;�= = Ä < >@? Æ�Ç�È É É Ê Ë Ì�ÍùÎ�ç Ð�Ñ ÒÓ�Ñ Ë Ë È ÔHÌ�Õ ÖB×�Õ Ø<×�Ù Ù Ù ×�Õ Ú�Û�A î�Þ�ß à á8B Ö å ×Gç Ð6ñ�Ý Ì ï Ì B Ö�ò Ë�ó Ý Ì<ö Ñ ï C Ì Ë óÉ�ï ò ÔHÌ�ÕAÒ�Ê ó�Ó ò D ò Ó ò Ò C à Ê ï á Ð6ñ=Ý ò ô Ý%Ë Ñ ó ò Ë E6Ì Ë�F G Û H G I Ð�ó Ý Ì Ò

Þ�ß à áJB Ö åç<è Þ�ß à á8B Ö å ×�Õ ß ê ë ì K å

Page 90: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

L M N MPO8Q1R�S1T U�V R WX Y*Z [ \ ] [ S1^ ]J_�W [ U�R�Y ` ^ ] X W \.X YJ` SaX Z Z-_JR W Y R ^ ]JS1T U�V R W b8cd e fg�h'g i j�k1l f m n o f p�q d.r�s t u8v�w v x yzP{ p�|8n o f ow x q }�m n o-} ~�� � � o } m*��f q ~�oga��e m.� q � q � q � ��t�e f.uJp.|8n q � n} � m q } ��o }�� � j � � � p.e fq d�� e } } q � � o p.� � j � � � p�m n o �

g z {.��r�s t u8v�w v x y s ���6{ y{.�6r�s t u v w v x y s � � � � yd e f�g h�g i j� f e e d j.�*����� � � �  -� ¡ � � ¢ £�¤   ¥ �   £ � ¦ � ¦ ��£ ¢ §  ¨ ¨ ¥ ¦   © ¢ ��� § ª � ��£ ¢ §¨ ¥ ¦ ¦ «1¦ «1¬1§ ­ ­� �® � ¯ °�§.¢�  ¤ §�« ¦ ¥s � � ± ² y ¯��� � � ��s ��� ® � y

{-h�r�s ³´y*h�r�s t�y r�s u8y r�s µ y¶ r�s t�y r�s uJy r�s g · ¸x y�¹1®�� r�s g · º » xi yg i½¼ h�r�s t u1g · ¸x-yJ� r�s t u8g · ¸x-g · º » xi yg i¿¾À ¢�  £�� � ¯ { ¶ r�s t u1g · ¸x-y8� r�s t u1g · ¸xg · º » xi yg i°�¢ � © ¢�­�  ��Á�§¥ §   ¥ ¥   � � § ª £ ¦�� � ¤ § r�s t u1g · ¸xg · º » xi y{�6r�s t u1g · ¸x yàg i ¾�*� £.Ä x ¶ g x ¯ Å x ¶ ® ¯ Å i ¶ ®-  ��ª�r�s g · ¸x y ¶ r�s g x y ¶ r�s Ä x y�°�¢ � © ¢�� � ¤ § �*£ ¢ §-¥ § � � ¡ £ �À ¢ §¨ ¥ ¦ ¦ «8« ¦ ¥-s � � � � y�  ¡ � ¦�« ¦ ¡ ¡ ¦ °.��£ ¢ §-  ¨ ¨ ¥ ¦   © ¢���� § ª�� �´¬1§ ­�­� �{ � �JÆ.� � � �´s ��� ® � y�°�§¢�  ¤ §

{ h@r�s ³´y�h�r�s t�y r�s u8y r�s µ y�z@r�s t�y r�s u v y r�s g vx y�¹1®�� ���@®g i��@® ¼¦ ¥.� � ­ ¨ ¡ � { z@r�s t�y r�s u v g vx�y ¹ ®�� ���@®g i��@® ¼°�¢ � © ¢´©   ��Á�§¥ §   ¥ ¥   � � § ª £ ¦�� � ¤ §g iz {.�6r�s t�y r�s u8v�g vx�y s ���6{ y{�6r�s t�y r�s u v g vx�yǾ�*� £�g x ¶ w x � ¦�r�s g vx y  r�s w v x y�  ��ª�°�§¢�  ¤ §£ ¢ §¥ § � � ¡ £ �È ¢ § ��£ ¢ § � ¨�§ © �   ¡1¨ ¥ � ­ §-� ��É � ¦ °���£ ¦�ª � ¤ � ª § t8¯ °�§ ©   �´  � � � ­ §-Å x ¶ { ¯ Å i ¶ {�  ��ª�¦ Á £   � �{{�6r�s t u8Ä ix y � {�6r�s t u8Ä ix y{ z6g i ¾ s � � ��® y

°�¢ � © ¢�¨�  ¥   ¡ ¡ § ¡ �s ��� ® ± y�« ¦ ¥�£ ¢ §-¦ ª ª�£ ¥ � ¨�§ ¥ « § © £.©   � § �Ê*¦ ¥ ¦ ¡ ¡   ¥ �´�´©   �aÁ�§�� § � § ¥   ¡ � Ë § ª´� ��  �6� £ § ¥   £ � ¤ § °�  �6� ¦´£ ¢�  £ ¯8� � ¤ § �aÁ�¦ � ��ª �¦ �6g x Ì g i Ì ¾ ¾ ¾ Ì g Í » x ¯8°�§­�  � Á�§.  Á ¡ §�£ ¦� � ¤ §�Á�¦ � ��ª �J¦ � g Í.°�¢ � © ¢8¯ °�¢ § ��  ¨ ¨ ¡ � ©   Á ¡ § ¯ ¨ ¥ ¦ ¤ � ª § �J .­�¦ ¥ §�¨�¦ °�§ ¥ « � ¡�ª § © � � � ¦ ��© ¥ � £ § ¥ � ¦ �8�Î-Ï Ð Ï�Ñ Ñ Ò Ð ÓÕÔ1Ö × } } l ~�o.g x z'g i�zÃØ Ø ØJz'g ÙÕ� �1��� o m�Ä x Ì w x � o�� }�q �@Ú*e f e � � � f Û�Ü�j�Ý�� Þ o-ßahÕ{ Ì ± Ì ¾ ¾ ¾ q �m l f �a� ��� } l � � e } o�� ¶ ß8j�à d�r�s t uJÄ x Ä i*Ø Ø Ø Ä Í » x y�z@{ p*m n o �r�s t u8Ä x Ä iJØ Ø Ø Ä Í » x y{�6r�s t u8Ä x Ä iJØ Ø Ø Ä Í » x y z�g s � � � { y

Page 91: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

á â ã âPä8å1æ�ç1è é�ê æ ëì í*î ï ð ñ ï ç1ò ñJó�ë ï é�æ�í ô ò ñ ì ë ð.ì íJô çaì î î-óJæ ë í æ ò ñJç1è é�ê æ ë õ1ö÷ ø ùJú-û@ú ü ý8þ8ÿ � ù ��� ü ����� � ÿ ��� ù � � � ��ù � ���Jú ý���ø �� � � � � � � ���aø ù��Jý8þ8ÿ � � ÿ�� � � �� ��� � � � � *÷ ø ù�!�û#" $ % $ & & & ýù � � � � � � � � � ' ��(*) ù ÿ � ù ý� ÷�+�, � ��-�. - � . -/#& & & . -ü ��� 0�1 % ý� ÿ � �

ú 1 %�23+�, � ��-4. - � . -/5& & & . -ü ��� 0 , 6578! 0%973+�, � � - . - � . -/ & & & . -ü ��� 0 $ , : ; < = 0÷ ø ù-úaû ú ü ýþJÿ � ù ��. ü ���>� �? ÿ ��� �� � � � � ��ù � ���-ú@�1ø 9� � � � � � � �>�Õø ù9�Jý-þ8ÿ � � ÿ3� � � �� �>� � � � A �÷ ø ùB!�û" $ % $ & & & ý*ù � � � � � � � � � ' �C ø � D� E 1 � E F��4 �G��. E 1 . E F��.÷ ø ùB � � H �I ù ø ø ÷ ��JBKL8MGN O P Q>R>N S O Q T U9V R W O R U O X P3X P3U T Y4R Z Z W X R [ T8MGN Y \8O P3U T Y4Z W X X ]X ]9^�X W X S S R W L><G_�`Y�TGR V Y�] X W, : ; < % 0

+�, a 0�b +�, ú c d� & & & ú c e f dü ��� ú c eü40 ûg+�, ú c d� & & & ú c e f dü ����0�h "2 +�, ú c e ���ü 0ú üji`�T O [ T?S Y R \ NU X +�, � �8ú c d� & & & ú c e f dü ��� ú c e ���ük0%973+�, � �1ú c d� & & & ú c e f dü ����0ml ú ü &K�M U�� E b ú E _Gn E b "�R PG\4+�, ú c oE 0�b +�, ú E 0�b +�, � E 0 ] X W�H 1 !4`�T O [ T?Q O V Y N+�, � ��� ��& & & � ü ��� ú c e ���ü 0%973+�, � ��� ��& & & � ü ��� 0 l ú ü &p O PG[ Y�n ü b " _ Y N U O q�R U O P Q ú ü�MGN O P Q +�, � ��� ��& & & � ü ��� 0%973+�, � ��� ��& & & � ü ��� 0 l ú üR NrGY ] X W Y9U T Y�W Y N M S U�O NX r U R O P Y \*;s O t Y `�O N Y9] X WB, : ; < = 0 _ r L4MGN O P Q?, <G; " u 0 _ `Y9TGR V Y%-ûg+�, v 0 ûg+�, � 0 +�, � 0 +�, a 0�1 +�, � 0 +�, � - 0�h ü ���wE x�� +�, ú -E 0 imy "2 6g73!�2g"ú ü�7z"|{X W�N O qBZ S L % 1 +�, � 0 +�, � - ú -� ú -/ & & & ú -ü ��� 0 y "2 6g78!B2z"ú ü97@"}{`�T O [ T>[ R P?rGY9W Y R W W R P Q Y \BU X�Q O V Y

ú ü 1 %�2@+�, � 0 +�, ��- ú -� ú -/#& & & ú -ü ��� 0 , 6578! 0%978+�, � 0 +�, � - ú -� ú -/ & & & ú -ü ��� 0 &K�M U�ú E b . E�R PG\?+�, ú -E 0 l +�, . -E 0 ] X W�H 1 !?N XB`Y9TGR V Y9U T Y9W Y N M S U ;s Y qBq4RB% ~�R PG\?^�X W X S S R W L4: _ U X Q Y U T Y W�`�O U T s Y qBq4R N9" � _*" ��R PG\8" ��Z W X V O \ Y�RBZGX `Y W ] M S*U Y N U ;�� �� ���g����� ����� � � ����� ���@� �*� � � ���#� ���5� ���3�*�@���������������?� �#�  Y>R N N M qBY4U TGR U�v|O NBR P@X \ \3ZGY W ] Y [ UBP M q�rGY WB`�O U T@¡�, v 0 û�¢B\ O N U O PG[ UBZ W O q�Y4] R [ U X W N ;8£ P@r W O Y ] _�U T YR S Q X W O U T q�q�R L4rGYB\ Y N [ W O rGY \?R N�RBZ W X Q W Y N N O V Y�N O Y V Y _ X W�¤ [ X O P ¥ N X W U Y W ¦ _ O P>`�T O [ T?U T YBN O Y V Y�Q Y U N�§ P Y W9R PG\§ P Y W _ N X�U TGR U�Y V Y P U MGR S S L4P X U T O P Q�O N�R S S X `Y \�U T W X M Q T�;�¨T Y�Y N N Y PG[ Y�X ]�U T YBR S Q X W O U T qmO N�U T Y�] R [ U X W�[ TGR O P[ X q�qBX P3U X8q�R P L8Z W X r S Y q�NB[ X PG[ Y W P Y \8`�O U T@X \ \8ZGY W ] Y [ U�P M qBrGY W N ;   Y?N TGR S SMGN Y4U T Y4U Y W q�O P X S X Q L>X ]Q W R Z T>U T Y X W L>U X?\ Y N [ W O rGYBU T YBr W R PG[ T O P Q4Z W X [ Y N N ;�p O PG[ Y�=>© vªO ]¢ l " ~ _G] X W9X M W�Z W Y N Y P U9Z M W ZGX N Y N�U T Y

Page 92: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

« ¬ ­ ¬#®�¯*°�±*² ³?´ ° µ9¶ ·�¸ ¹ º » ¹ ±*¼ »�½Gµ ¹ ³4°�· ¾ ¼ » ¶ µ º�¶ ·�¾ ±8¶ ¸ ¸�½�° µ · ° ¼ »�±*² ³4´ ° µ ¿GÀÁ  Á Ã8ÄGÅ ÆÁ Ç È�Å É�Ê?Ë Ç ÁBÌ Í Á�Ç Å Å Ì È�Å É�Ì Í Á�Ì Ç Á Á È Î�Ï É�Ê ÐBÑ È�Ë Ã>Á Ò Ë Ó Ì�Ô Ñ Â Ñ È Å Ç9Å ÉÕ3Ö*Ì Í Á Ã�Ö�È Ñ ÃGÓ Á�×�Ø Õ>Ù�ÚÜÛ Õ3Ö×�Ø Ê Ð ÙBÚÞÝ Ê4Ñ È�Ë8Ô Ñ Â Ñ È Å Ç�Å É�Õ3Ö�Ë ÃGÔ@È Å>Ì Í Á?Ó Í Ñ ß Ô Ç Á Ã3Å É�Ì Í Á4Ç Å Å Ì�Ê Ð4Ë Ç Á�ß Ë àGÁ ß ß Á Ô3Æ�Ñ Ì ÍzÔ Ñ áGÁ Ç Á à Ì�ÄGÅ ÆÁ Ç ÈÅ É�Ý Ê ÎâÍ Á�ã Ç È Ì�Å É�Ì Í Á È Á�Ñ È�Ý Ê ä Ö å�Á Ë Ã Ñ Ã æ�Ì ÍGË Ì�ÆÁBË È È ç åBÁ4Ý ÊBÑ È�Ë Ã?Á Ò Ë Ó Ì�Ô Ñ Â Ñ È Å Ç�Å É�ÕèØ Ë ÃGÔ?Í Á ÃGÓ Á9Ì ÍGË ÌÝ Ê9Ñ È�Ì Í Á�È ÄGÁ Ó Ñ Ë ßGÄ Ç Ñ åBÁ Ù Ö Ì Í Á9È Á Ó Å ÃGÔ?Ý Ê Ð Ö Ì Í Á Ã8Ý Ê é ÖGÝ Ê ê ÖGÎ Î Î Î�ëË Ó Í�Å É*Ì Í Á È Á�ÄGÅ È È Ñ à Ñ ß Ñ Ì Ñ Á È�ß Á Ë Ô È�Ì ÅBÉ ç Ç Ì Í Á ÇÉ Ë Ó Ì Å Ç Ñ È Ë Ì Ñ Å ÃGÈ�Ë ÃGÔBÉ ç Ç Ì Í Á Ç�È ç à Ì Ç Á Á È Î�ì�Ë Â Ñ Ã æ9Ì Á Ç å�Ñ ÃGË Ì Á Ô�Ë ß ßGÌ Í Á È Á Ö à íBå�Á Ì Í Å Ô È�Ì Å�àGÁ9Ô Á È Ó Ç Ñ àGÁ Ô*Ö ÆÁ�Ì Í Á ÃË È È ç åBÁ�Ì ÍGË Ì�Ê é9Ñ È�Ë Ã?Á Ò Ë Ó Ì�Ô Ñ Â Ñ È Å Ç Ö àGÁ æ Ñ Ã Ã Ñ Ã æ�Ì Í ÁBÈ Á Ó Å ÃGÔ4Ì Ç Á Á ÖGË ÃGÔ4ÆÁ�Ó Å Ã Ì Ñ Ã ç Á�Ñ Ã?Ì Í Ñ È�å�Ë Ã Ã Á Ç Î�î�Ã ß íÄ Ç Ñ åBÁ�ÄGÅ ÆÁ Ç È9Ë È�Ë ß ß Å ÆÁ Ô?Ñ Ã3ï Á Ó Ì Ñ Å ÃzØ ð Î Ý Ù9Ë Ç Á�Ó Å ÃGÈ Ñ Ô Á Ç Á Ô*Ö�Ë ÃGÔ>Ã Å Ì Ñ Ó Á�Ñ È9Ì Ë ñ Á Ã8Å ÉÆ�Í Á Ì Í Á Ç�Ì Í Á4È ÄGÁ Ó Ñ Ë ßÄ Ç Ñ åBÁ�ÍGË ÈàGÁ Á Ã>È ÄGÁ Ó Ñ ã Á Ô4Á Ë Ç ß Ñ Á ÇÑ Ã>Ë Ã í�ÄGË Ì Í�Î�âÍ Á È Á9ÄGÅ ÆÁ Ç È�Ë Ç Á�Ó Ë ß ß Á Ô?ë�ç ß Á Ç Ñ Ë Ã�Îò Á8Ô Ñ È Ì Ñ Ã æ ç Ñ È ÍzàGÁ Ì ÆÁ Á Ã#ó ô ó õ ó ö ÷9ø ù ú�û ù ô*ü ô õ ý ÖÆ�Í Ñ Ó Ígß Ë àGÁ ß�Ì Í Á>Ã Å Ô Á È�Ë ÃGÔzÓ Å åBÄ Ç Ñ È Á3ó ô ó õ ó ö ÷�ûGþ ó ú�ü ýË ÃGÔ@ó ô ó õ ó ö ÷�ü ÿ û ù ô*ü ô õ ý Ö�Ë ÃGÔzø ù ô ý ü � � ü ôGõ�ûGþ ó ú�ü ý Ö�Æ�Í Ñ Ó Í3Ë Ç Ñ È ÁBÆ�Ñ Ì Í Ñ Ã@Ë4Ì Ç Á Á�Ì Í Ç Å ç æ Í8É Ë Ó Ì Å Ç Ñ È Ë Ì Ñ Å Ã�ÎBÏ Ì�Ñ Èà Á Ó Á È È Ë Ç í?Ì Å4å4Ë Ñ Ã Ì Ë Ñ Ã8Ë4Ó Å ç à Ì�Å ÉÌ Í ÁBÌ Å Ì Ë ß�à ç å�àGÁ Ç9Å ÉÔ Ñ È Ì Ñ ÃGÓ Ì9Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ßË ÃGÔ>Ó Å ÃGÈ Á � ç Á à Ì�Ä Ç Ñ å�Á È9Ë È�Ì Í Á íË Ç Ñ È Á9Æ�Ñ Ì Í Ñ Ã>ËBÄGË Ì Í�Ö Ë ÃGÔ4ÆÁ9ß Á Ì��4àGÁ9Ì Í Ñ Èà ç åBàGÁ Ç Îî�É Ì Á Ã�Ö�å�Å Ç Á4Ì ÍGË Ã@Å Ã Á4à Á ÆmÄ Ç Ñ å�Á4Æ�Ñ ß ß�Ë Ç Ñ È Á�É Ç Å åªË8È Ñ Ã æ ß Á4É Ë Ó Ì Å Ç Ñ È Ë Ì Ñ Å Ã�Î���ß ß�Ë Ç Á4Ñ ÃGÓ ß çGÔ Á Ô3Ñ Ã@Ì Í ÁÓ Å ç Ã Ì Ö Æ�Ñ Ì Í Ñ Ã��*Ö Ë ÃGÔ*Ö Æ�Í Á à Á  Á ÇÉ ç Ç Ì Í Á Çà Ç Ë ÃGÓ Í Ñ Ã æ�Ñ ÈÇ Á � ç Ñ Ç Á Ô*Ö Ì Í Á9È å�Ë ß ß Á È Ì�Ë Â Ë Ñ ß Ë à ß Á�Ó Å ÃGÈ Á � ç Á à ÌÄ Ç Ñ åBÁÑ ÈBçGÈ Á Ô@Ë ÈBÌ Í Á?à Á Æ�Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ß�Ä Ç Ñ å�Á ÎzâÍ Ñ ÈBÄ Ç Á É Á Ç Ç Á Ô3È Ì Ç Ë Ì Á æ í3Æ�Ñ ß ßæ Ñ Â Á4Ì Í Á?æ Ç Á Ë Ì Á È ÌBÑ ÃGÓ Ç Á Ë È Á4Ñ Ã��Ø ��Ù Îî�Ã8Ì Í Á�Å Ì Í Á Ç9ÍGË ÃGÔ8Ë?È Ì Ç Ë Ì Á æ í>Å ÉÈ Á ß Á Ó Ì Ñ Ã æ?Ì Í ÁBß Ë Ç æ Á È Ì�Ë Â Ë Ñ ß Ë à ß ÁBÓ Å ÃGÈ Á � ç Á à Ì9Ä Ç Ñ åBÁ�Æ�Ñ ß ß�çGÈ çGË ß ß í?æ Ñ Â Á�ËÈ Ñ æ Ã Ñ ãGÓ Ë Ã ÌÑ ÃGÓ Ç Á Ë È Á�Ñ Ã��*Î��Ä ÄGÁ ÃGÔ Ñ Ó Á È?ìÞË ÃGÔ@Ï4È Í Å Æ�Ì Í Á8Ë Ä Ä ß Ñ Ó Ë Ì Ñ Å ÃgÅ É9Ì Í Á8Ë ß æ Å Ç Ñ Ì Í åèÌ Å@Ë3Ä Ç Å Å É9Ì ÍGË Ì� ����@Ë ÃGÔ� ����Ç Á È ÄGÁ Ó Ì Ñ Â Á ß í Î@Ï Ã@Ì Í Á È Á?Å Ã ß í Ö�Ì Í Á>Ä Ç Ñ åBÁ?É Ë Ó Ì Å Ç ÈBÅ É9Õ}Ë Ç Á4à ç åBàGÁ Ç Á ÔzË È�� ä Ö�� Ð Ö�Î Î Î Ö�� � ÖÔ Ñ È Ì Ñ ÃGÓ Ì�É Ç Å åÌ Í Á4çGÈ Á4Á ß È Á Æ�Í Á Ç Á�Å ÉÌ Í Ñ È�Ã Å Ì Ë Ì Ñ Å Ã@Ë ÃGÔ3È çGÓ Ó Á È È Ñ Â Á�Ñ ÃGÔ Á Ã Ì Ë Ì Ñ Å ÃGÈ9Ñ ÃGÔ Ñ Ó Ë Ì Á�Ì Í Á4Ã Å Ô Á È Î?Ï Ì�Ñ È9ÆÅ Ç Ì Í Æ�Í Ñ ß ÁÓ Å ÃGÈ Ñ Ô Á Ç Ñ Ã æBÌ Í Á È Á�Ë Ä ÄGÁ ÃGÔ Ñ Ó Á È�Ñ Ã>Ó Å Ã � ç ÃGÓ Ì Ñ Å Ã?Æ�Ñ Ì Í?Ì Í ÁBÔ Á È Ó Ç Ñ Ä Ì Ñ Å Ã4Å É�Ì Í Á�Ë ß æ Å Ç Ñ Ì Í å?Îâ�Å�È Í Å ÆgÌ ÍGË Ì� �����Ö È Ë í Ö ÆÁ9à ç Ñ ß Ô4Å Ã4Á Ë Ç ß Ñ Á ÇÇ Á È ç ß Ì ÈÆ�Í Ñ Ó Í4ÍGË Â Á�Ä Ç Á È ç å�Ë à ß í4È Í Å Æ�Ã4Ì ÍGË Ì� ������@Ý ÖË ÃGÔ3ÆÁ?È ç Ä ÄGÅ È Á?Ì ÍGË Ì� �Ú ��5Ý Î3Ï É Ö�Æ�Ñ Ì Í Ñ ÃzË Ã í3ÄGË Ì Í�Ö�ÆÁ4ÍGË Â Á��"!#��5Ý Ö�Ì Í Á Ã@Ì Í Á Ç Á?Ñ È�Ó ß Á Ë Ç ß í@ËÓ Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�Ö�Ë ÃGÔ?Ì ÍGË Ì9ÄGË Ì Í8Ñ È�Ì Á Ç åBÑ ÃGË Ì Á Ô*ÎBâÍ Ñ È�Ñ È�Å Ã ÁBÅ ÉË4à ç å�àGÁ Ç9Å É�ÄGÅ È È Ñ à ß Á�Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å ÃGÈ�Ì ÍGË Ìå�Ë í>Ë Ç Ñ È ÁBË ÃGÔ?Æ�Í Ñ Ó Í?Ì Á Ç å�Ñ ÃGË Ì Á�ËBÄGË Ì Í�Î�âÍ ÁBÇ Á È ç ß Ì�Æ�Ñ ß ß�àGÁ�Ä Ç Å Â Á Ô4Æ�Í Á Ã>Á  Á Ç í4ÄGË Ì Í>Ñ Ã>Á  Á Ç í4Ì Ç Á Á�ÍGË ÈàGÁ Á Ã>Ì Á Ç åBÑ ÃGË Ì Á Ô?Æ�Ñ Ì Í8Ë4Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã3Ø ç Ã ß Á È È�Ë Ã>Å Ô Ô?ÄGÁ Ç É Á Ó Ì�à ç å�àGÁ Ç�ÍGË È�àGÁ Á Ã>É Å ç ÃGÔ Ù Î�âÍ Á�Ô Ñ áGÁ Ç Á à ÌÄGÅ È È Ñ à ß Á�Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å ÃGÈ�Ë Ç Á�Ñ ÃGÔ Ñ Ó Ë Ì Á Ô4Æ�Ñ Ì Í?ç Ä ÄGÁ Ç9Ó Ë È Á�ß Á Ì Ì Á Ç È ÎÏ Ã>Ì Í Á�Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã$� çGÈ Ì�å�Á Ã Ì Ñ Å Ã Á Ô*ÖGÆÁBÍGË Â Á�Ì Å Å�%>Ë Ã í>Ô Ñ È Ì Ñ ÃGÓ Ì�Ä Ç Ñ åBÁBÉ Ë Ó Ì Å Ç È�Å É�Õ�&�Ì Í Ñ È�Ñ È('�Å Ã )Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�*�+ Î?Ï ÉÌ Í Á Ç Á?Ë Ç Á�Ì Å Å�%>Ë Ã í8Å Ó Ó ç Ç Ç Á ÃGÓ Á È9Å É�Ë>È Ñ Ã æ ß Á�Ä Ç Ñ å�Á�Ì Í Ñ È9Ñ È�'�Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�*�, -�Ì ÍGË ÌÑ È Ö�Æ�Ñ Ì Í Ñ ÃgË>ÄGË Ì ÍzË Ã@Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ß�Ä Ç Ñ åBÁ?ÍGË È�Å Ó Ó ç Ç Ç Á Ô@Ë ÈBË8Ó Å ÃGÈ Á � ç Á à Ì�Ä Ç Ñ å�Á4å�Å Ç Á?Ì Ñ å�Á ÈBÌ ÍGË Ã@Ì Í Á4Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ßÁ Ò ÄGÅ Ã Á Ã Ì Î@Ø ï Å3Ó Å ç Ã Ì È�åBçGÈ Ì�Ë ß È Å>àGÁ4å4Ë Ñ Ã Ì Ë Ñ Ã Á Ô3Æ�Ñ Ì Í Ñ Ã@Á Ë Ó Í3ÄGË Ì Í@Å É�Ì Í Á4Å Ó Ó ç Ç Ç Á ÃGÓ Á È9Å É�Á Ë Ó Í3Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ßÄ Ç Ñ åBÁBË È�ËBÓ Å ÃGÈ Á � ç Á à Ì�Ä Ç Ñ åBÁ Î ÙÏ É.�gÚ ��zÊ>à ç Ì�à Šà Á4Å É�Ì Í Á È Á��3Ä Ç Ñ å�Á ÈBÁ Ò Ó Á Á Ô È4Ý / / Ö�Ì Í Á Ã�0*Á åBå4Ë@Ý 1>å�çGÈ ÌBàGÁ3Ø Ë àGÅ ç Ì�Ì Å8àGÁ ÙÂ Ñ Å ß Ë Ì Á Ô�&�Ì Í Ñ È�Ñ È�'�Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�2�3 Î�Ï É4�4Ú����?Û�Ë ÃGÔBà Šà Á�Å ÉGÌ Í Á È Á�Ä Ç Ñ å�Á È�Á Ò Ó Á Á Ô È�Ý / é Ö Ì Í Á Ã�0*Á åBå4Ë�Ý �Ñ È�Â Ñ Å ß Ë Ì Á Ô�&$'�Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�2�, Î3î�Ç�Ñ É Ö�Ñ Ã3Ì Í Ñ ÈBÓ Ë È Á Ö�Å Ã Á4Á Ò Ó Á Á Ô È�Ý / é4à ç Ì�à Å>Å Ì Í Á Ç�Á Ò Ó Á Á Ô È4Ý / / Ö�Ì Í Á ÃÌ Í Ñ È�Ñ È�Ë Ã Å Ì Í Á Ç� Á Ç È Ñ Å Ã4Å É�'�Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�2�3 Î�Ï É5�4Ú���zÝ�Ë ÃGÔ4à Šà Á�Å É�Ì Í Á È Á�Ä Ç Ñ å�Á È�Á Ò Ó Á Á Ô È9Ý / 6 Ö Ì Í Á Ã0*Á å�å�Ë�Ý ��Ñ È�Â Ñ Å ß Ë Ì Á Ô�&5'�Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã�2�+ Î�Ï Ã�Ì Í Ñ È�Ó Ë È Á Ö Ì Í Á Ç Á�Ë Ç Á�Ì Í Á�É Å ß ß Å Æ�Ñ Ã æ9É ç Ç Ì Í Á Ç�ÄGÅ È È Ñ à Ñ ß Ñ Ì Ñ Á È &�Å Ã ÁÄ Ç Ñ åBÁ�Á Ò Ó Á Á Ô ÈBÝ / 6�à ç Ì9à Å?Å Ì Í Á Ç9Á Ò Ó Á Á Ô ÈBÝ / é Ö*Å Ç9Å Ã ÁBÁ Ò Ó Á Á Ô ÈBÝ / 6 Ö�Ë Ã Å Ì Í Á Ç9Á Ò Ó Á Á Ô ÈBÝ / é Ö*à ç Ì9à Å?Å Ì Í Á ÇÁ Ò Ó Á Á Ô È9Ý / / ÎâÍ Á È ÁBË Ç Á�Å Ì Í Á Ç� Á Ç È Ñ Å ÃGÈÅ É�Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å ÃGÈ�2�,BË ÃGÔ�2�3 Ö Ç Á È ÄGÁ Ó Ì Ñ Â Á ß í ÎâÍ Á È Á Ö Ë ÃGÔ>È Å å�Á9Å ÉÌ Í Á9Å Ì Í Á Ç�É Å Ç å�ÈÅ É�Ó Å Ã Ì Ç Ë Ô Ñ Ó Ì Ñ Å Ã4àGÁ ß Å Æ�Ö Ç Á � ç Ñ Ç Á9Å Ã ß í4Ó Å ç Ã Ì ÈÅ Ç�Ó Å å�ÄGË Ç Ñ È Å ÃGÈ Ö Ë ÃGÔ4à Å�Ó Ë ß Ó ç ß Ë Ì Ñ Å ÃGÈ Î�ÌÌ Í Á�Å ç Ì È Á Ì Ö Ë9à ç å�àGÁ Ç�7#Ñ ÈÓ Í Å È Á Ã�Ö Ë ÃGÔ�Ì Í Á Ã4Ì Í Á�à ç åBàGÁ ÇÅ É�È ç à Ì Ç Á Á È�Æ�Ñ Ì Í?Ë9æ Ñ Â Á Ã�Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ßGÄ Ç Ñ å�Á��Ñ È�àGÅ ç ÃGÔ Á ÔBà íBÌ Ë ñ Ñ Ã æ�Ë È�Ñ Ã Ñ Ì Ñ Ë ß*Ó Å åBÄGÅ Ã Á Ã Ì È�ë�ç ß Á Ç Ñ Ë ÃBÄGÅ ÆÁ Ç È��98�Æ�Ñ Ì Í(�98 :�ä�;�7�Î�Ï É*ÄGÅ È È Ñ à ß Á Ö Ì Í Á È Á�Ì Ç Á Á È

Page 93: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

< = > =@?4A�B�C�D E�F B G.H I5J K L M K C�N MPO9G K E�B�I Q N M H G L�H IPQ C�H J J(OPB G I B N MPC�D E�F B G R9ST U V�W X Y Z [ Y \ V ]�^ _�` T W Z X U [ a [ Y b�cPd e9f g h�i�j V Y�k�^9V W X l�V a�a X�m T U b V.Z j9T Z�e9f nPo.p"q$r9s�j [ W j�l$T _�X W W \ U�s�[ Z jk�tu r Z j V Y�s�V�s�U [ Z V�v w5` X U4e9f.T Y9]�s�V�j9T x V�X Y V�l�X U V�a \ ^ Z U V V�s�[ Z j$Z j [ a5[ Y [ Z [ T m9y U [ l�V z [ Z�[ a�] [ a Z [ Y b \ [ a j V ]^ _�s�U [ Z [ Y b�[ Z a.[ Y [ Z [ T m�W X l�y9X Y V Y Z(T a(v {�h�|�j [ a.Z U V V$l(\9a Z.^9V�W X Y Z [ Y \ V ]�] [ }9V U V Y Z m _ h�~ Y�Z j V$� U a Z(y m T W V rZ j V(a l$T m m V a Z�T x T [ m T ^ m V(W X Y9a V � \ V Y Z�y U [ l�V r s�j [ W j�[ a5Y X Z�T m U V T ] _�T Y�[ Y [ Z [ T m�y U [ l$V r [ a5\9a V ]�Z X�^9V b [ Y�T(Y V sa \ ^ Z U V V hP~ `4Y X�a \9W j�y U [ l$V a�T U V(T x T [ m T ^ m V r Z j V Y���V l$l$T$� u([ a�\9a V ]�r T a�] V a W U [ ^9V ]�^9V m X s(h|�j V�y U X ] \9W Z�X `5Z j V(��[ Y [ Z [ T m5W X l$y9X Y V Y Z a�e9f�s�[ Z j [ Y�T$y9T Z j�[ a�Z j V(Y \ l�^9V U(�4h.|�j X a V([ Y [ Z [ T m4y U [ l$V av(s�[ Z j�V � y9X Y V Y Z a.��r9T Y9]�T m mPW X Y9a V � \ V Y Z�y U [ l$V a�s�j [ W j�T U V(Y X Z�[ Y [ Z [ T m4y U [ l�V a r9T U V.Z j V���y U [ l�V(` T W Z X U aX `5�5h�~ `����@�����Z j V Y�Z j V U V�T U V�� t@���������U V l$T [ Y [ Y b�y U [ l�V$` T W Z X U a�X `��5r4a Z [ m m5Z X�^9V$` X \ Y9]�X Uy9X a Z \ m T Z V ]�h�|�j V a V�T U V(Z j V(y U [ l�V(` T W Z X U a���X `5��h�|�j V(Y \ l(^9V U a��Pr �9r �#T U V.Y X Z�� � V ]��5Z j V _�x T U _�T a�Z j Vy9T Z j�] V x V m X y9a r ` X U�V � T l�y m V r ^ _�Z T � [ Y b�T�W X Y9a V � \ V Y Z�y U [ l�V�T a�T Y X Z j V U�[ Y [ Z [ T m4y U [ l�V h~ `�` T W Z X U [ a T Z [ X Y$W T Y�Y X(m X Y b V U5^9V�\9a V ]�Z X.y U X x [ ] V�` \ U Z j V U5y U [ l$V�` T W Z X U aPX `���r a X9r [ Y$y9T U Z [ W \ m T U r Z j V U VT U V�Y X�W X Y9a V � \ V Y Z�y U [ l$V a�s�j [ W j�T U V�Y X Z�[ Y [ Z [ T mPy U [ l$V a r�Z j V Y�Z j V$[ Y V � \9T m [ Z [ V a�X `���V l�l�T�� u�T U V�\9a V ]�h~ Y�Z j9T Z�m V l�l�T r ��[ a�Z T � V Y�Z X$^9V(Z j V(y U X ] \9W Z�X `Py9X s�V U a�v ��r s�j V U V�v$� ��T Y9]���[ a�b [ x V Y�T a�` X m m X s�a h���V Z� � t�l�[ Y�� � � v w nPo�p�q$� h4~ ` � � tu r Z j V Y�s�V.y U X W V V ]$[ Y�T(l�T Y Y V U�Z X$^9V(] V a W U [ ^9V ]�m T Z V U h���Z j V U s�[ a V r m V Z

��t �� � � �   [ ` � � [ a�V x V Y�d � � p�u g  � ��¡ �   [ ` � � [ a�X ] ]  s�[ Z j�X Y V(y9X a a [ ^ m V�V � W V y Z [ X Y4h�~ `5¢�£P�4r�T Y9]�Z j V$a V Z.¤ o t¥� v�� v$¦ � � ¦#��d l$X ]�§ g �([ a�Y X Y V l�y Z _ r9Z j V YZ T � V���t � � ` X U�v.t�l$[ Y�¤ o h4¨�T m \ V aPX `4©�d e9f g5T Y9]$©�d v �9gPl�\9a Z�^9V�l�T [ Y Z T [ Y V ]�r T m X Y b.s�[ Z j$Z j V [ U�y U X ] \9W Z h|�j [ a�[ a�Z j V(x T m \ V.X `P©�d � �Pg�Z X�^9V(\9a V ]�[ Y���V l�l�T�� u h��V l�l�T�� u�[ aP\9a V ].Z X.y U X x [ ] V�T Y�[ Y Z V U x T m r Z j V�y U [ l$V aPs�[ Z j [ Y�s�j [ W j$T U V�W X Y9a [ ] V U V ].[ Y�Z \ U Y$T a4y9X a a [ ^ m V] [ x [ a X U aPX `���hP~ `�Z j V U V�T U V�ª�X(y U [ l$V a5s�[ Z j [ Y$Z j V�[ Y Z V U x T m Z j9T Z�j9T x V�Y X Z5^9V V Y$X Z j V U s�[ a V�W X Y9a [ ] V U V ]�r Z j V YZ j [ a$[ a�«5X Y Z U T ] [ W Z [ X Y�¬(h5ª�V s y U [ l�V a�s�[ Z j [ Y�Z j V�[ Y Z V U x T m�T U V�Z T � V Y�[ Y�[ Y9W U V T a [ Y b�X U ] V U rPb [ x [ Y b�a Z [ m m` \ U Z j V U�` T W Z X U a�X `4�­V [ Z j V U�Z j U X \ b j�` T W Z X U [ a T Z [ X Y$X U�Z j U X \ b j�` \ U Z j V U�T y y m [ W T Z [ X Y9a5X `P��V l$l$T�� u hP|�j V U Vs�[ m mP^9V�X W W T a [ X Y9a�s�j V Y�Y X�Y V s@y U [ l$V a.T U [ a V(Z j U X \ b j�` T W Z X U [ a T Z [ X Y4r�T m mP^9V [ Y b�\9a V ]�V T U m [ V U�[ Y�Z j V�a T l�Vy9T Z j4h�|�j V Y�T b T [ Y���V l�l�T$� u�[ a�\9a V ]�Z X$y U X x [ ] V.` \ U Z j V U�y9X a a [ ^ m V.y U [ l$V.` T W Z X U a�X `P�®d X U r [ `5��t������ rs�V�l�T _�j9T x V�` X \ Y9]�T Y�X ] ]�y9V U ` V W Z.Y \ l�^9V U g h$|�j [ a.m V l�l�T�a y9V W [ �9W T m m _�a \ y y m [ V a.Z j V$a l$T m m V a Z.y9X a a [ ^ m VW T Y9] [ ] T Z V�` X U.Z j V�U V l�T [ Y [ Y b�y U [ l�V a z4T�a Z [ m m5¯ l$T m m V U.y U [ l�V$a \ ^9a V � \ V Y Z m _�T U [ a [ Y b�Z j U X \ b j�` T W Z X U [ a T Z [ X Yb [ x V a�\9a�«5X Y Z U T ] [ W Z [ X Y�°�hi�V(T m a X$] V Y X Z V.^ _�v�T Y _�W X Y9a V � \ V Y Z�y U [ l�V.s�j [ W j�[ a�Y X Z�T Y�[ Y [ Z [ T m�y U [ l�V r T Y9]�r ` X U�a \9W j�y U [ l�V a r s�Vm V Z.¤(±.t@� v�� v�¦¥��d l�X ]�§ g � h�|�j V Y4r ` X U.a \9W j�y U [ l�V a r9s�V.m V Z���t"��s�[ Z j�Z j V�y9X a a [ ^ m V(V � W V y Z [ X Y�Z j9T Z rW X Y9a [ ] V U [ Y b�T m m�y U [ l�V a�v r s�V�m V Z���t � � X U�� r T a5U V m V x T Y Z r ` X U�v.t�l$[ Y4d ¤ o�² ¤(± g r [ `�Z j [ a�a V Z�[ a�Y X Y V l$y Z _ h³ b T [ Y4r�Z j V$x T m \ V$X `�©�d � �4g r4] V � Y V ]�T a�^9V ` X U V r�l�\9a Z(^9V$l$T [ Y Z T [ Y V ]�h�~ `�Z j [ a.x T m \ V$V � W V V ] a.� r�s�V$j9T x VT Y ³ ^ \ Y9] T Y Z(] [ x [ a X U�X `���r�T Y9]�Z j V�y9T Z j�[ a�Z V U l$[ Y9T Z V ]��.«5X Y Z U T ] [ W Z [ X Y�´.h�|�j [ a�l$T _�s�V m mPX W W \ U.s�[ Z j��������� h4¨�T m \ V a5X `4©�d v {$gPl�\9a Z�T m a X(^9V�l�T [ Y Z T [ Y V ]�hP|�j V a V r l�\ m Z [ y m [ V ]$s�[ Z j�Z j V�x T m \ V a5X `4©�d e9f g r b [ x Vx T m \ V a�X `P©�d � �4{$g hP~ `4Z j [ a�[ a�m V a a�Z j9T Y���T Y9]���t�������Z j V Y4r ` X U�T m m�y9X a a [ ^ m V�x T m \ V a�X `�Z j V(V � y9X Y V Y Z a � rZ j V.y9X a Z \ m T Z V ]�Y \ l(^9V U���[ a�µ�V �9W [ V Y Z ��«5X Y Z U T ] [ W Z [ X Y�¶�h«5X Y Z U T ] [ W Z [ X Y9a�´T Y9]�¶@T U V.[ Y�` T W Z�W X Y Z U T ] [ W Z [ X Y9a5X `P��V l�l�T�� · hP~ ` r X Y�Z j V(X Z j V U�j9T Y9]�r s�V.j9T x V(Ty9X a Z \ m T Z V ]�a V Z�X `�y U [ l$V�y9X s�V U a4e9f(T Y9]$v w r ` X U�s�j [ W j�©�d � �4g�¸���¸�©�d � �4{$g r Z j V Y�d ¹ h º º gP[ a�a T Z [ a � V ]�T Y9]s�V�j9T x V�W T Y9] [ ] T Z V a�` X U.T Y�X ] ]�y9V U ` V W Z.Y \ l�^9V U h�~ `5��t@�#t@u r�a X�Z j9T Z.s�V�T U V(Z T m � [ Y b�X Y m _�X `5� Y X s�Yy9X s�V U a4e9f r Z j V Y�Z j V [ U�y U X ] \9W Z.» ¼�T Y�X ] ]$y9V U ` V W Z�Y \ l(^9V U h���\ U�a [ V x [ Y b�y U [ Y9W [ y m V(T U [ a V a5s�j V Y���p�u h~ Y�V x V U _�a \9W j�W T a V(s�j V U V.s�V(j9T x V(T$a V Z�X `Py U [ l�V(y9X s�V U a�a T Z [ a ` _ [ Y b�d ¹ h º º g r s�[ Z j���p�u r s�V.[ Y9W U V T a V

Page 94: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

½ ¾ ¿ ¾@À4Á�Â�Ã�Ä Å�Æ Â Ç.È É5Ê Ë Ì Í Ë Ã�Î ÍPÏ9Ç Ë Å�Â�É Ð Î Í È Ç Ì�È ÉPÐ Ã�È Ê Ê(ÏPÂ Ç É Â Î ÍPÃ�Ä Å�Æ Â Ç Ñ�ÒÓ Ô Õ(Ö × Ø Ù Õ(Ú ÛPÜÝ× Þ9ß�à Þ Ö Õ á Ó à â × Ó Õ.Ó Ô9× Ó�á Õ Ó�ã$Ú ä Õ�å Ø Ú á Õ Ø æ ç5è�à Ó Ô�Ó Ô Õ(Ø × ä â Õ ä�Ö × Ø Ù Õ(Ú Û5Ü$é9á Ú ã�Õ(ê ä à ã�Õ(ê9Ú ë�Õ ä áá Ô à Û Ó.Û ä Ú ã­ì�Ó Ú�í4é4× Þ9ß�× Ø Ø Ú ë@Û Ù ä Ó Ô Õ ä.Û × å Ó Ú ä à á × Ó à Ú Þ4é9Ú Û Ó Õ Þ�ä Õ á Ù Ø Ó à Þ â�î Ù à å ï Ø æ�à Þ�ð5Ú Þ Ó ä × ß à å Ó à Ú Þ�ñ�ò(Ú ä�ó9çô Ô Õ�Ö × Ø Ù Õ�Ú Û(õ�ö ì4÷(à Þ9å ä Õ × á Õ á é�á Ú�Ó Ô Õ�à Þ Ó Õ ä Ö × Ø�â à Ö Õ Þ�ø æ�ù�Õ ã�ã�×�ú û�á Ô Ú ä Ó Õ Þ9á é�× Þ9ß�Ô Ú ê9Õ Û Ù Ø Ø æ�Ó Ô Õ�å × á Õë�Ô à å Ô�Ø Õ ß�Ó Ú�Ú Ù ä(à Þ9å ä Õ × á à Þ â�Ü­à á(Þ Ú�Ø Ú Þ â Õ ä(Õ ü å Õ ê Ó à Ú Þ9× Ø é4Ú ä$ð5Ú Þ Ó ä × ß à å Ó à Ú Þ�ý¥Ú ä$þ#ã�× æ�ø9Õ�Õ Þ Û Ú ä å Õ ß�çÿ Þ�Ó Ô9× Ó(å × á Õ é9ë�Õ�ä Õ Ö Õ ä Ó�Ó Ú�Ó Ô Õ�Õ × ä Ø à Õ ä�Ö × Ø Ù Õ�Ú Û�Ü × Þ9ß�å Ú Þ Ó à Þ Ù Õ�Û ä Ú ã­ë�Ô Õ ä Õ(ë�Õ�ë�Õ ä Õ ç���Ø Ó Õ ä Þ9× Ó à Ö Õ Ø æ é9à Óã$× æ�ø9Õ�Þ Õ å Õ á á × ä æ�Ó Ú�à Þ9å ä Õ × á Õ�Ü�á Ó à Ø Ø5Û Ù ä Ó Ô Õ ä é5× Þ9ß�Ø × Ó Õ ä�ê9Õ ä Ô9× ê9á.Û Ù ä Ó Ô Õ ä$× â × à Þ4ç�èÔ Õ Þ����Ýû é5á à Þ9å Õõ�ö ì4÷�� õ�ö ì�$÷�× á�Ü����é9á Ù9å Ô�å × á Õ á�ã(Ù9á Ó�Õ Ö Õ Þ Ó Ù9× Ø Ø æ�ø9Õ(ß à á ê9Õ Þ9á Õ ß�ë�à Ó Ô4é Ú Þ Õ.ë�× æ$Ú ä�Ó Ô Õ.Ú Ó Ô Õ ä çð5Ú Ô Õ Þ� ú � �4ê9Ú à Þ Ó á�Ú Ù Ó�Ó Ô9× Ó�à Û�� ���û�Ó Ô Õ Þ

ç ç ç ÜÝã�× æ�à ã�ã$Õ ß à × Ó Õ Ø æ�ø9Õ�à Þ9å ä Õ × á Õ ß�é�ø9Õ å × Ù9á Õ é9ã$Ú á Ó.Ú Û Ó Õ Þ4é�Ó Ô Õ�á à Ó Ù9× Ó à Ú Þ�Ú Û5Ó Ô Õ$ê ä Õ å Õ ß à Þ âê9× ä × â ä × ê Ô�ë�à Ø Ø ê ä Õ Ö × à Ø ç�� Ù ê ê9Ú á Õ5ë�Õ5Ô9× Ö Õ5×�Þ Ú ß Õ5Ø × ø9Õ Ø Ø Õ ß�� ��é ë�Ô Õ ä Õ�����Ü$ç ÿ Û ��� �Pö ��� ÷ é Ó Ô Õ Þ��� !"�#�Pö ��� ÷�$#����Ü$é9á Ú$Ó Ô à á�Þ Ú ß Õ(å Ú Ù Ø ß�Þ Ú Ó�× ä à á Õ�Û ä Ú ãÝà Ó á�ê9× ä Õ Þ Ó�Þ Ú ß Õ.ø æ�Û × å Ó Ú ä à á × Ó à Ú Þ4çô Ô Õ ä Õ Û Ú ä Õ é9ë�Õ(ã�Ù9á Ó.Ô9× Ö Õ��%�'& ! Û Ú Ø Ø Ú ë�à Þ â�× Þ�× ê ê Ø à å × Ó à Ú Þ�Ú Û�ù�Õ ã�ã�×�ú û ç���á á Ù ã�Õ$Ó Ô9× Ó é9à ÞÓ Ô9× Ó�× ê ê Ø à å × Ó à Ú Þ�Ú Û�ù�Õ ã�ã�×�ú û é4ë�Õ$Ô9× ß(���*) ç,+�Õ × ä ä × Þ â à Þ â�ö - ç . / ÷(× Þ9ß�ö - ç . - ÷ é�ë�Õ$Ô9× Ö Õ éä Õ á ê9Õ å Ó à Ö Õ Ø æ éõ�ö í ì4÷102)�3 )& ! 4'5 ú × Þ9ß ú�6�õ�ö í ì � ÷10 & !& !17 ) 498 ö - ç : : ÷

ô Ô Õ á Õ�á Ô Ú ë#Ó Ô9× Ó(ë�Õ�Þ Ú ë¥Ô9× Ö Õ�×�Þ Ù ã(ø9Õ ä éPÞ9× ã�Õ Ø æ�í ì;�ë�à Ó Ô�ì;��Ýì2& < =! é5á × Ó à á Û æ à Þ â�ö - ç . . ÷ éë�à Ó Ô�>��@û é4× Þ9ß�Ó Ô Õ á Õ$× ä Õ�Ó Ô Õ$å Ú Þ9ß à Ó à Ú Þ9á�Û Ú ä.à Þ9å ä Õ × á à Þ â�Ü$ç�ö ÿ Û5ë�Õ$× ä Õ�Õ Þ Ó à Ó Ø Õ ß�Ó Ú�× á á Ù ã$Õ× Þ�Õ ü ê9Ú Þ Õ Þ Ó�ú�Û Ú ä�& ! é�á Ú�Ó Ô9× Ó�ö - ç . � ÷�ã�× æ�ø9Õ�Ù9á Õ ß�à Þ9á Ó Õ × ß�Ú Û�ö - ç . / ÷ é�Ó Ô Õ Þë�Õ�Ú ø Ó × à Þ×å Ú ä ä Õ á ê9Ú Þ9ß à Þ â Ø æ�× ß ? Ù9á Ó Õ ß�Û Ú ä ã Û Ú ä�Ó Ô Õ�Ø Õ Û Ó @ Ô9× Þ9ß�à Þ Õ î Ù9× Ø à Ó æ�à Þ�ö - ç : : ÷ ç ÷,� Ù ê ê9Ú á Õ(Þ Ú ë@Ó Ô9× Ó éÛ Ú Ø Ø Ú ë�à Þ â.Ó Ô Õ�Õ × ä Ø à Õ ä�× ê ê Ø à å × Ó à Ú Þ$Ú Û4ù�Õ ã$ã$×�ú û é ë�Õ.á Ó à Ø Ø9Ô9× Ö Õ"�'$A) ç�BPÚ á á à ø Ø æ é õ�ö í ì��& �! ÷��õ�ö í ì; � ÷"�"ú é9á Ú$Ó Ô9× Ó�ë�Õ(ã�× æ�× ä â Ù Õ(× á�× ø9Ú Ö Õ ç"C�Ó Ô Õ ä ë�à á Õ é ë�Õ�ã$× æ�Ù9á Õ�ù�Õ ã�ã�×$ú û$Ó Ú%D Þ9ßø9Ú Ù Þ9ß á�Û Ú ä�& E�ö × á�ß Ú Þ Õ�à Þ"ð5Ú ä Ú Ø Ø × ä æ9:9é5à Þ�ê9× ä Ó ÷ çA� à Þ9å Õ,& E��­Ü�é�ë�Õ�ã�× æ�Ó Ô Õ Þ�Ù9á Õ�Ó Ô Õê ä Õ å Õ ß à Þ â(× ä â Ù ã�Õ Þ Ó é × Þ9ß�Ó Ô à áPà ß Õ ×.ã$× æ�ø9Õ�ä Õ ê9Õ × Ó Õ ß$× á4Þ Õ å Õ á á × ä æ ç ô Ô Ù9á é Ü@ã(Ù9á ÓPÕ Ö Õ Þ Ó Ù9× Ø Ø æø9Õ.à Þ9å ä Õ × á Õ ß�é × Þ9ß�Ó Ô Õ ä Õ.à á�Þ Ú�Ô9× ä ãÝà Þ�ß Ú à Þ â$á Ú�à ã�ã$Õ ß à × Ó Õ Ø æ çè�Õ�á Ù ã$ã$× ä à á Õ�Ó Ô Õ(Ö × ä à Ú Ù9á�å Ú Þ Ó ä × ß à å Ó à Ú Þ9á Fý ô Ô Õ ä Õ.à á�× Þ(��ø Ù Þ9ß × Þ Ó�ß à Ö à á Ú ä çþ ô Ô Õ(Þ Ù ã(ø9Õ ä�à á"G�Õ D9å à Õ Þ Ó çñ�ò ô Ô Õ ä Õ(× ä Õ.Ó Ú Ú�H�× Þ æ�ê ä à ã�Õ.Û × å Ó Ú ä á çñ(IJ�@á à Þ â Ø Õ.ê ä à ã�Õ(Ô9× á�Ú å å Ù ä ä Õ ß$Ó Ú Ú%H�× Þ æ$Ó à ã�Õ á.ö × Þ�Õ ü å Õ á á�Ú Û4Ó Ô9× Ó�ê ä à ã$Õ ÷ çK ô Ô Õ ä Õ.à á1L�Ú$Þ Õ ë"ê ä à ã$Õ.ë�à Ó Ô à Þ�Ó Ô Õ.â à Ö Õ Þ�à Þ Ó Õ ä Ö × Ø çM ò ô Ô Õ ä Õ.à á�Þ Ú%BPä à ã$Õ.Û × å Ó Ú ä�Õ ü å Õ Õ ß à Þ â,) û N çM I ô Ô Õ ä Õ.à á�× Ó�ã�Ú á Ó�Ú Þ Õ�BPä à ã$Õ.Û × å Ó Ú ä�Õ ü å Õ Õ ß à Þ â,) û O çM�P ô Ô Õ ä Õ(× ä Õ(× Ó�ã$Ú á Ó�Ó ë�Ú�B5ä à ã�Õ.Û × å Ó Ú ä á�Õ ü å Õ Õ ß à Þ â() û û çó ô Ô Õ ä Õ.à á�×�ê ä à ã�Õ�� ã�× Ø Ø Õ ä�Ó Ô9× Þ�Ó Ô Õ(ê Ù ä ê9Ú ä Ó Õ ß Ø æ�á ã$× Ø Ø Õ á Ó�ä Õ ã$× à Þ à Þ â$ê ä à ã�Õ çQ L�Ú Þ Õ(Ú Û4Ó Ô Õ.ê ä à ã$Õ á�å × Þ�ø9Õ(Ó Ô Õ(á ê9Õ å à × Ø4ê ä à ã�Õ çC�Þ Õ�Ú Û(Ó Ô Õ á Õ é(ð5Ú Þ Ó ä × ß à å Ó à Ú Þ Q é�ë�× á$Þ Ú Ó�ß à á å Ù9á á Õ ß�ê ä Õ Ö à Ú Ù9á Ø æ ç ÿ Ó�Ô9× á$Þ Ú Ó�ø9Õ Õ Þ"Ù9á Õ ß�à Þ"Õ à Ó Ô Õ ä��ê ê9Õ Þ9ß à å Õ á"R"Ú ä ÿ çPèà Ó Ô à Þ�× Þ æ�ê9× Ó Ô�ë�à Ó Ô�S��UT 7 ) é à ÛV�à á�Þ Ú Ó�à ã�ê Ø à å à Ó�à Þ�× Þ�à Þ à Ó à × Ø4å Ú ã�ê9Ú Þ Õ Þ Ó�× Þ9ßà ÛPÓ Ô Õ ä Õ.à á�Þ Ú$ê ä à ã�Õ���W')�ö ã�Ú ß%: ÷ é Ó Ô Õ Þ�ð5Ú Þ Ó ä × ß à å Ó à Ú Þ Q ã�× æ$ø9Õ(à Þ Ö Ú ï Õ ß�çèÔ à Ø Õ(à Ó�à á�ê9Ú á á à ø Ø Õ(Ó Ú$Ù9á Õ(Ó Ô Õ�å Ú Þ9á Ó ä × à Þ Ó"X.ö Y�÷1$U. ��× á�×�Ó Õ á Ó�ë�Ô Õ Þ,��"û é Ú Ó Ô Õ ä.å Ú Þ9ß à Ó à Ú Þ9á�á Ù9å Ô× á�þ(é9ñ�ò�Ú ä�Ú Þ Õ.Ú Û4Ó Ô Õ M × ä Õ�ã$Ú ä Õ.Õ × á à Ø æ�× ê ê Ø à Õ ß�ç�Z Ù ä Ó Ô Õ ä�à Ó�à á�Þ Ú Ó�× ê ê Ø à å × ø Ø Õ.ë�Ô Õ Þ�×�� �Ýà á�à Þ Ö Ú Ø Ö Õ ß�ç

Page 95: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

[ \ ] \'^_2`1a2b c,d ` e�f g�h i j k i a2l k�m�e i c%`1g n l k f e j"f g�n a�f h h�m�` e g ` l k�a2b c%d ` e o�pq r#s t u�v%t w1x y v%u�t z v�z v { v r x | }�~ v r v z � x v ��� z t t w s�x y v%r � u�v z � { � |���� s � s�w t z�x y v,{ t r x z � � � { x � t r9� s�� | s t~ � � v r�� w t z1v � � u�� | v�s v v��1� ��v r�� � �,�� r��%� x s�w t t x r t x v s � �� t y v r�� � � �y�� s�x y v�w t | | t �1� r ~�s � ~ ~ v s x � t r,z v ~ � z � � r ~�x y v�� u�� | v u�v r x � x � t r,t w � t r x z � � � { x � t r����q x1� s���t s s � � | v�x t%��s v�x y v�x � � | v s1t w� z � u�� x � � v�� � � r�� � r x1r � u���v z s1~ � � v r,� },�"� { � s t r9� � � � ��� r��{ t z z v { x v ��� }%� v z z � v z�� � � ��� r��%�1v z � t ~%� � � � � x t%{ z v � x v���| t t � � � �%� | v �1� ��y v�� � � r�� � r x�r � u���v z� � s�� z � u�� x � � v�� w�� | |�� z t ��v z1� � � � s t z s�t w � � z v�� v ��{ � v r x � �� #� x y � r(� r }���� x y� � wx y v"� z t � ��{ x"¡ ¢� s��"u�� | x � � | v1t w�t r v1t w x y v1r � u���v z s�� r�x y v"� | v � x y v r%£¤� s�� � � r�� � r x ¥ � t r x z � � � { x � t r%��� ��y v z v� z v�� ��t � x"¦ § §�r � u���v z s�� r,�"� { � s t r¨ s�x � � | v s � � � x1x y v s v"u%� }���v�� � © ��s x v ��ª � � �1� z � s «�x t�y�� � v¬�� | v z � � r({ t u���t r v r x s � � r(�1y � { y({ � s v�u�� r }%��t � | �,{ t � r�{ � � v%� x y t � ~ y,x y v }%u%� }�r t�| t r ~ v z1��v� z � u�� x � � v � ���1| |�t w2x y v s v"{ t r x � � r�x y z v v1t z�w t � z1{ t u���t r v r x s�t r | } ����y v"u�� { z t ��{ y v"s � � � | v u�v r xx t,­�� s y t z v%� ® § ��{ t r x � � r�s1x y t s v�� z � u�� x � � v�� � � r�� � r x�r � u���v z s�£¯�1� x y�� � v�{ t u���t r v r x s�� r��s � x � s w } � r ~,°1� £(�"±A��²#� ³ ´ § µ ¶ �2� r��({ t � | �,��v z y�� ��s1��v���s v �(s � u�� | � z | } ��·1x y v z�s ��{ y(r � u���v z s{ t � | �%��v�� � ��v r�� v �,x t%x y v�| � s x�� s1x y v }(� z v�w t � r��2�2s t�x y�� x�s � ��s v ¸ � v r x"z � r�s1t w�x y v�� z t ~ z � u��t � | �%��v�s ��v v � v �%� ��� t r�s � � v z � r ~9x y v�r � u���v z%t w�x � u�v s � t r x z � � � { x � t rA�*�1� s�� r � t � v ��� rUx y v�� � z � t ��s%� � � | � { � x � t r�s�t w�x y v� | ~ t z � x y u(� x y � s1� u�� z t � v u�v r x��1� s�r t x1� v v u�v �,{ t s x1v ¹�v { x � � v�� r��%y v r�{ v��1� s�r t x1� u�� | v u�v r x v �2���y v(� | ~ t z � x y u¯y�� s���v v r#� | u�t s x�w � | | }#� � x t u�� x v �9x t9s y t �¤x y�� x�º1� £(�,»¼� ���1� x yU{ t u�� | v x � t r#r t xz v ¸ � � z v �9� w"x y v(s � | � v r x�w v � x � z v s�t r | }�� z v,� v s � z v �2�9q x��1� s�� � ��� z v r x�x y�� x�x y v,��t � r��#½¼r v v � v ��x t���vv � x v r�� v ��x t9´ § ¾ µ%� � r�{ z v u�v r x � r ~,x y v�v � ��t r v r x�t r#´ §%w z t u¯��� r9s x v ��s�t w1� � �� #y � | v�x y v%{ t r�� � x � t r�s�w t z� r�{ z v � s � r ~%½¤� }(s t u�v%� � � v � �1� r�{ z v u�v r x�� z v�s x z � � ~ y x w t z �1� z ��� v � v r(x y t � ~ y(x y v�� u�� | v u�v r x � x � t r(t w�x y v� { x ��� | � z t { v s s�t w2y�� r�� | � r ~�x y v"r v �1| }�� r�{ t � v z v ��{ � s v s� s�r t x ��x y v"� � | � v1t w½Ax t�z v � v z x�x t��1y v r�x y � s�{ � s v� s1z v s t | � v ��y�� s1s v � v z � |2��t s s � � � | � x � v s ���y v9s x z � x v ~ }#��s v �#� rA�1� ��v r�� � �¿´(t w � t y v r¿� � � ���1� s�x t#z v � v z x%x t�x y vUÀ Á�À  À à Ä�� � | � v�t w�½��¤�{ t r�s v ¸ � v r�{ v�t w�x y � s ��y�� � � r ~�z v x � z r v �,w z t u*u�t z v�x y�� r,t r v�| v � v |t w�� r�{ z v u�v r x � x � t r� �1� s1x y v�| � � v | � y t t �t w�� ~ � � r(� u�u�v � � � x v | }(� r�{ z v u�v r x � r ~(½*x t,x y v�| v � v |���s v �(� r9x y v�� z v � � t ��s�{ � s v ����y � s"� z t � ��{ v s��%u���{ y| t r ~ v z"� z t t w1� � v ��v r�� � r ~,t r(x y v�� r � x � � |�½*� r��,� x s"� r�{ z v u�v r x �"� � v�x t%x y v�z v ��v � x v �,� r x v z u�v � � � x v�{ � s v s ��¿u�t z v%{ t r�s v z � � x � � v%s x z � x v ~ }(� s�x t(z v � v z x�x t(x y v%Å�Æ Ç È À É Ê Ë�� � | � v�t w"½¯� ��� { � � ��t r v%� r�{ z v u�v r x � �,��y v� z t t w1x y�� x�º1� £(��»¤�%� r��1� ��v r�� � �9q�y�� s���v v r9u%� r ��� | | }(t � x � u�� s v �9s t(x y�� x�x y v%� � | � v�t w"½*�1� s�t r | }� v { z v u�v r x v �,�1y v r(� x"�1� s1� r t �1r(x y�� x"x y v z v���t � | �,r t x1��v�� r(� u�u�v � � � x v�z v � � r�{ z v u�v r x � x � t r�1�1t ��v � v z� � x t u�� x � r ~�x y � s�ª t � x � u�� s � r ~ «�s x z � x v ~ }%��t � | �%r t x���v�s x z � � ~ y x w t z �1� z �2���y v z v�� z v�� r r t x � x � t r�s�� r(�1� ��v r�� � �%q � � v s � ~ r v �%x t�w � z x y v z1v � � | � � r,x y v�� | ~ t z � x y u¤� r��%x t�~ � � v�t x y v z��t � r x s1t w� r x v z v s x ��1r,� r�� � z � � ~ v �%{ t u�� � x � x � t r�� |2� z t t wx y�� x�º"� £(��»U� � ~ v r v z � x v ��� }�x y v�| � x v s x�� v z s � t r%t w2x y v�Ì�Ã Â Í Ç ÎÏ Ã Â À Ð Ã�{ t � v��1� x y(��s x � x � {���t � r��%t w�½Ñ'´ § ¾ µ"{ � r%��v�w t � r��%� r(�1� ��v r�� � �,Ò��

Page 96: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ó Ô Õ Ô'Ö×2Ø1Ù2Ú Û,Ü Ø Ý�Þ ß�à á â ã á Ù2ä ã�å�Ý á Û%Ø1ß æ ä ã Þ Ý â"Þ ß�æ Ù�Þ à à�å�Ø Ý ß Ø ä ã�Ù2Ú Û%Ü Ø Ý ç2èé�ê ë ì í�î ï ð�ñ�ò�ó ô õ�ö ÷�ø ù ú û ü ú ýó õ%þ ú�ÿ ó �"ê õ,ó ö ö���í � ÿ í � �1õ ô ��ë�í ����� � �� �� �������

� � þ � þ �� � � ø î � � � ý ø � � � � ý� � � � � � ø � � � ð � ý ø � � � � � î � ý� � � � � ø î � � � ý ø � � � � � ý� � � � ø î � � � ý

� ! � " � � î ð � � ø î � � � ý ø � � # � ý� ! � " � � � ø î � � � ý ø � � � � ý� $ � � � � � î � � ø � � � # � ý� $ � î � � � � � � ø � � � � � ý ø � � � î � ý� $ � � � � î � � ø î � � � ý� � % � � � � � î � � ø î � � � ý ø � � � � � ý

� � � � � � � # � � � � î � � � ø î � � � ý ø � � # � ý� � � � � � � # � � ø î � � � ý ø � � � � ý� � � � � � � � � ð î # � �� � ð î # � � � � � � � � � � � � ø � � � � � ý ø � � � � � ý� � � � � � � � ð î # � � ø � � � � � ý ø � � � î � ý� � ! � � � � � � ð î � � � ø î � � � ý ø � � # � ý� � $ � î � � � � � ð � � � # � � � � � ø � � � � ý ø � � � � � ý� � $ � # � � � � î � � î � � � � # � � � � ø � � � ð � ý ø � � � # � � ý� � $ � î � � � � # � � � � � ø î � � � ý ø � � # � ý� � % � � � � � " � � � � # � " � � � ø � � � ð � ý� � % � " � � � � � î ð � � � # � " � � � ø � � � � ý ø � � � � � ý� � % � # � " � � î � � � � � " � � � � # � " � �� � % � � � � " � � � � # � " � � � ø î � � � ý� � � � ø î � � � ý ø � � � � ý

&�' (�' (*),+.- /�0 1 -32 46587�9 :<;>=?@2í ��ô�÷A� ó õ�÷ ö í ��õ ó �3� � í"ê � � ì � ê � ó õ�ó ÿB� � í"ê ì C ó � � � �D� ó�÷ � ó �� õ C�� ��ê �6 �� ����E � ïé�� ÷A� í F ô � í ÷�÷ � ó �� õ C� ��ê �6� � í � í� ÷�õ ó�ó ö öG��í � ÿ í � ��õ ô ��ë�í ���� � ��í H ê � � ì I�í C � ��ö ÷ � õB� ��� � ��í"ÿ ê � � ó � ÷�÷ õB� í1í ê � ì í �6� í ÷ ô ì � ÷6��ê J í÷ � ó �1õ�� ��ê �� �� ����E,� ïK õB� í �ML �N ÿO �� ������ �6��í�� ê õ8 õ J í ÷ � C ê � í� õ � ê ì�� ó �G��ó õ í õ � ÷�ó ÿO� ó ÿ�� � í,ÿ ó � � � P ��Q�í J í õ.�ô�÷ õ CR@2í �G�%êG� " ê õ�ö�S�ó � ó ì ì ê � í ÷�ð�ê õ�ö,î ï�é�ê ë ì í�î ï ðGC J í ÷�ë�ó ô õ�ö ÷�ó õ,þ ��ê õ�ö�þ ����� í � íO��ó ÷ ÷ ë ì í ï.T�� í õ

U L V � � P ��� � íO� ê ë ì í> õB� ì ô�ö í ÷1÷ í ��ê � ê � í>� ê ÷ í ÷�� ó � � í ÷ ��ó õ�ö õ CG� óR��� í � � í � U ÷ � ó �� ÷�õ ó � � � � í�÷ ��í � ê ì.� � ��íW � � óR� � íO��ó ��í � � ó õ ì I � � ê õ�öR��� í õ U � W � � í õ�� � í�ö J ÷ ó � ÷�ó ÿ V � U � X �G��ê J í�ë�í í õ�� ê Y í õ� õ � ó%ê � � ó ô õ � ïZ � ó �� � ÷> õ ÿ ó � �%ê � ó õ9ê ì ó õ íG �> ÷�õ ó �>��ó ÷ ÷ ë ì íG� ó�÷ C õ [B� ê õ � ì I�� í ÷ � � � �O� � í,÷ í � ó õ�ö�÷ ��ê ì ì í ÷ �>� � ��íÿ ê � � ó � ïO� \ ê õ õ ôB� � A��ê ÷�� ì ê ��í ö�� � J ê � í ì I�� ��ê ��� � í�÷ í � ó õ�ö(÷ �%ê ì ì í ÷ ��� � ��í�ÿ ê � � ó �� ÷1í � � í ��î�ó �>� ï�\ ÿA� � ÷

÷�÷ óB� � � í õ�é�ê ë ì í�î ï ð,÷ � ó �"÷�� ��ê �� ÿ � � �] �^� � í õ W._ � � � ï ��é�� í�ê ì C ó � � � ��ö í ÷ � � ë�í ö� õ�� � íG� � í J ó ô�÷÷ í � � ó õ�� ê õ,ë�í�ô�÷ í ö�� ó�í õ ��ê õB� íO� � í ÷ íO� í ÷ ô ì � ÷ ï` ÷6� � í� �G� ì í ��í õ � ê � ó õ�ó ÿa� � í�ê ì C ó � � � �¤ö ó í ÷�õ ó ��� ô � � í õ � ì I> õB� ì ô�ö í�ê ö ê � � J í ì IR� ��ê õ C õ CGbR� ì �G � í öí H ��í � ��í õ � ÷>�� � �#÷ � ê � ��J ê ì ô í ÷�ó ÿ�b��í � í�� ê � � í ö�ó ô �G�� � �8� � í(ê �¯ó ÿ���� � � ì õ C�ö ó �1õ3� � í���ó ÷ ÷ ë ì í

� ó �R��ó õ í õ � ÷�ó ÿ6�9ïò�I(ê ÷ ÷ ô �R õ C � P�] ��ÿ ó �GQdc<# " �>�1ê ÷�÷ � ó �1õd� ��ê � �a õd�%ê õ Id� ê ÷ í ÷ �2ê ì ìA��ê � ��÷���í � íG� í � �R õ�ê � í ö� õêR� ó õ � � ê ö � � ó õ�� � ô�÷1í ì �G õ�ê � õ C�� � ÷ � P ê ÷1êG��ó ÷ ÷ ë ì íG� ó �G��ó õ í õ �1ó ÿ6�9ï�Z. C ô � í�î ï � C J í ÷1êG� � ó ó ÿ.� ��ê �� $�e �9ï ` ì ó õ C í ��� � ó ó ÿA� ��ê � � � !�e � ÷�C J í õ� õ ` � ��í õ�ö H�f�ï�é�� í�ë�ó ô õ�ö�bD�1ê ÷1÷ í �� õ � ê ì ì I�� ó � " � $

Page 97: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

g h i h<j.kal�man o�p l qOr s6t u v w u max wAyBq u o�l�s z x w r q v�r sAz mdr t t>yAl q s l x wAman o�p l q {B{

| } ~ ��� � ���� � |�� | } � �O� � } | �O� � � � �O� � | | � ��� | � | � | �� � | ~��^� ��� � � � �G�3| ���� � | ���^�O� | } |�� | � |�� � } � � � |��3| �>| |� � | ������� � | ��� | } � |�� � } � � } � } � | �>�3| �>| |� � | �| } � � ���^� � �G�O�G| � � } � � � } � � � � � � � } � � � | || } � � ~��^�O� � � � � � |O�O�G| � � } � } � � � } } | � � � � � � } � �| } � � ����| |�� � |�� �B| � � | � � � � |��3| �>| }| } � � ���^�O� � � ��� � � � � � |�� | | � � � � �O�3| �G| }| } � � ������� � �O� | � � � ��� � � � � � | | | � | � �O�3| �G| || } � � �� } | � ~��^� � ��� | � � � �G�3| ���� } | � ����| |�� | � |�� � } � |�� � � � |�� | } | � |��3| �G| �� } | � �� � � � ���^� �O� | � �G�3| ���� � � � ~��^�O� � } ��� � � � � �G�3| ���� � � � ����| |�� � � � |�� � � � � | | � � � � |��3| �>| }� � � � � �^�O� | �O� � �O� | � ��� � } �O� � � � � ��� � � | � � � �>�3| �G| �� � � � �� | | � � ���^� � � � �G�O�G| � � } � } � � � � � � � } � } � � � } }� | | � � ~��^�O� � } � |�� � � � � �G�3| ���� | | � � ����| � � � � � � |�� � � } � � | | � � � � |��3| �O�� | | � � �| � | � | � �6��| |�� � � � �>�3| ���| � | � | � ~ �^�O� � |�� | � � � � � � � |��3| �O�| � | � | � ��� � � } �R�d� � �8�B� } �R���� � �>�6� �G�   � � ¡

¢   £ ¤ ¥ �>� � | �A¦M§ ¥ � � ¨.© ªB« ©�� � �6¬G­®�ª � ��¯�° ­�±6���G© « ²   � £�³D�<| } ~ �

´ ¤ ©�  �Bµ ¥ � « ¡ � ¶R« ¡6¥ � · ¤   ¥ � ¶G© �G© ª �>¡ ¸�« � � � ¡ ©�¹�¡ ¤Bµ ª�© ªB« ©�� º ».���M| } ¼ ½ �6¦�¡�«O¥ � ¡ ¤ � © ¾ ³D�<| } ¼ ¿�®�« ¡6¤B¡ � ¶R¨ � ¥© ª �>� � ¿�¬G­§ ¥ � � ¨ �AÀ�ª �>¥ � ¡ ¤ � © ¡�� ¨.© ª � ¡ �>µ � ¸G§ ¤ © � ¥�¥ ¤ �B¡�µ « � ´ �>¡ ¤ ¸G¸�« ¥   ¡ � ¶�« ¡�¨ � � � � ®�¡ �Á>Â.Ã Ä Å Ã ÆÈÇ É.Ê>Ë ÌO­ÎÍ Ï�Ð Ñ,Ò Ó ÓRÔ Õ Ö Ì Õ × ØOÑ Ù ÚRÛ Õ ÖGÜ6Í Ø Ý�¯�° ­�±>�Þ�3Ø Ý Õ Ñd� º�ßG­�Ì Ò Ö>àd��� á �Bá � á | } á | �3Ò ÖàRâ,� }BãÀ�ª �>� äB� µ © ¡�� ��© ª �G� � � £ © ª�� ¨A© ª �G§ ¥ � � ¨A� ¨A  �Bµ ¥ � « ¡   � £Rå�¨ � ¥�¯�° ­�±���å�µ « � ´ �R¡ � � ��  �dÀ.« ´ � �G� � � ��À�ª �

´ � « � ²�� � © ¥   � ¡�  ��© ª �Gµ � � ¤ ¸R��¨ � ¥�å��M�G¥ � æ � µ ©�© ª �G¶   çRµ ¤ � © è�  ��£ � � � ¥ « ©   � £R«R§ ¥ � � ¨A®�  © ª   ��« ��« µ µ � § © « ´ � �©   ¸R�R�   ¸R  ©>¨ � ¥>© ª � ¡ �R§B« ¥ ©   µ ¤ � « ¥>µ « ¡ � ¡ ��À�ª ��µ � � ¤ ¸R�3®�  © ª3å>�é�R  �3ÀA« ´ � ��� � ��¶ ¤ § �   µ « © � ¡O© ª �R¥ � ¡ ¤ � © ¡O� ¨ê ª �   �3ë � � ì.« �B¶�í�« £   ¡Oë � � ì.© �G© ª �>� î © � � ©�© ªB« ©�  ¨A¯�° ­�±��M�O© ª � ��� ¼ �>ï ­3�À�ª �Rµ ª �   µ �>� ¨�³Þ¨ � ¥>«�¡ © « ©   µ ´ � ¤ �B¶�µ « ��ªB« ð �G«�¶ ¥ « ¸�« ©   µ>� äB� µ ©�� ��© ª �G� � � £ © ª�� ¨6© ª �G§ ¥ � � ¨ ��ñ�ª � �

µ � �B¡   ¶ � ¥   � £O� � �>ß�­3¾ ¯�° ­�±���� ¾ «�µ ª �   µ �6� ¨B³D�<| } � �6¥ � ¡ ¤ � © � ¶O  �G«�§ ¥ � � ¨ � ¨B� � | � ���   � � ¡ �AÀ�ª   ¡.¶ ¥ � § §B� ¶>© �� � | � �O« �B¶�| � � � }��   � � ¡�« ¡6³D®�« ¡A¥ � ¶ ¤Bµ � ¶R© ��| } � ��« �B¶�| } � ~ ¥ � ¡ §B� µ ©   ð � � è �Aí�� ®�� ð � ¥ ¾ ®�ª � ��³<®�« ¡6¥ � ¶ ¤Bµ � ¶© �,| } òR© ª ��§ ¥ � � ¨�¥ � · ¤   ¥ � ¶,| } � � � ���   � � ¡ �8À�ª   ¡ ´ � ªB« ð   � ¤ ¥ ¾A© � £ � © ª � ¥R®�  © ª,© ª ��ð « ¥   « ´   �   © è3¶   ¡ § � « è � ¶3  �À.« ´ � ��� � � ¾.  �B¶   µ « © � ¡G� � ©>� � � èd© ª ��¶ � ¡   ¥ « ´   �   © è3� ¨�« ¶ « § ©   ð � � è3µ ªB« � £   � £d³ ´ ¤ ©R« � ¡ �d© ª ��  ¸G§B� ¥ © « �Bµ ��� ¨µ ª � � ¡   � £R« ��« § § ¥ � § ¥   « © ��  �   ©   « �.³R�¦�¡O«R¡ © � §�  ��ª   ¡�§ ¥ � � ¨A© ªB« ©�  ¨6« ��� ¶ ¶�§B� ¥ ¨ � µ ©�� ¤ ¸ ´ � ¥O­^� î   ¡ © ¡�© ª � ��¯�° ­�±�óM� ¾Bí�« £   ¡>ë � � ìA¡ ª � ®�� ¶

© ªB« ©G° ôA¥ � §B� ¡   ©   � �d� � � ±�  ¨Aõ3�M�G© ª � �d��ß�­3��ñ,  © ª�© ª   ¡�« ¡�  �B¡ §   ¥ « ©   � �.¾B« � � © ª � ¥�¡ � ©�� ¨A� î §B� ¥   ¸G� � © ¡�®�« ¡

Page 98: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ö ÷ ø ÷<ù.úaû�üaý þ�ÿ û ��� ��� � � � � ü ��� � � þ�û�� � � � � ��� ��� ü�� � ���Aû � � û �Aüaý þ�ÿ û � � �

��� � � ��� � � ����� �� � !�" #�� $ % � &'" #�" � ( ) � (�# " !�) ! " " #�( * � (�+ ,'-/.10�* � %32�4 .65�798'( � : $ % ;=<>7@? A B C

8D E F GH H F + I F J A F II H � ? ? H J � E I ?E H I F ? E + A EG H + A J G E F ? H E G A? A G H E J E ?? H I E E I H I E F? I E � H A F ? H G E? E � J E F E H E ? H J? G ? A A F F A � H G ? GH A J E + G I H ? J IH H + + J ? I ? � ? I A EH I + I ? ? E ? F H FH E ? + H ? + �H G ? G ? F E H A + J+ A G G E E E F+ H H I ? A ? I H I+ I H A � G H G ?+ E J E ? � J H J J ? J E

$ % $ ( $ � ( � K6� � & � K6" %L� & & � /$ % ;6�3& ) � M $ � �'M " =) " % � % (�N�OL� &�( * �=$ % $ ( $ � ��M " /) " % � % ( �=�'* �/! � & � � ( &�" #�( * � & �� P ) � ! $ /� % ( &�� ! ��� P ) ! � & & � K3� &'# " � � " 0�& �Q�R�S T U S VXW W Y'Z [ .]\ ^�_ `ba c c�d e f [ e g h�` i j=k e f�l�\ h m�2�4 .65�7 G _ ` c�h m e'^ d e g \ _ ng a j�d a ` e ` h�\ ^�N�Oo NLpq? A r_ ` c�N�O s�B�pt? A u v o'h m e `=Nxw'.xyz %3 =" & (�& � M *bM � & � &'�/M " % ( ! � K $ M ( $ " %30�� &'{ � $ M : � |=" � ( � $ % � K64 " # ( � %6�/& $ % ; � ��� $ % ��& � }=M � K 5 ��~�) ) � % K $ Pb�

; $ � � &'�/) ! " " #�( * � ( E ? ��-/.L���'* ��� � ! ; � & (�& � � ! M *3( ! � �=4 � ) ) ! " P $ 3� ( � � | G ? I A A�� $ % � & 5'" M M � ! ! � K=# " !�( * �/M � & �N�O37@? F B ��w�.L���'* � " ! � 1? ?�& � ; ; � & ( & �� T � � S � � �U S6��Y�Z [ .X\ ^/_ `�a c c�d e f [ e g h�` i j=k e f�l�\ h m3^ d e g \ _ n d f \ j=e�Nqh m e `=Nxw'.xy� " * � %�� H F � � ! ; � � K3� &'# " � � " 0�& �z ('& � � 3&�� $ : � � |�( * � (�( * ��0'" ! & (�M � & � � ( * ��* � ! K � & (�( "/K $ & ) � % & ��0�$ ( *�� 0�$ � � � ��( * ��) � ( *=$ % � " � � $ % ;+ �b�� �b��? F �b� H � F �b��� � � ��# " !�( * �=! � � & " %6( * � (/� �� � v�� � � 4 � �� ? 5�7 H �0�* � ! � � � 7 H � ��� ?$ &�( * ��� ( *6� � ! =� (�% � �� � ! �'� $ % M � ��� p9+ � �/��? A � C � % � �� � ! &�� � ! ; � !�( * � %b( * $ &�& * " � � K3% " (�� �� % M " � % ( � ! � K��� % K�( * $ &�$ &�$ %x" � !�# � � " � ! �3~�� & "60'" ! : $ % ;b# " !�� &�$ &�( * �3# � M (�( * � ( � � � � r � % K��� � ! �=M " =) " & $ ( � �/~�&�& � ; ; � & ( � Kb� |�~�) ) � % K $ Px?/$ %9� � � �* " 0'� � � ! �� % K6� � & |b� % " � ; *�( "6& � �$ %L; � % � ! � � �( * � ! �=0�$ � �'� ! $ & �=� %L$ % � { � � � $ ( |6" #'( * �3� ) ) ! " P $ 3� ( �/# " ! � r pq� � p H � r �b�'* $ &$ % ( � ! � � �'$ % M � � K � &/� � " � ( B� � r6� ? A B  =" K K�% � /� � ! & �x¡�% � |L( * �3) ! $ /� &�$ %L( * $ &�$ % ( � ! � � ��� ! �! � { � $ ! � K� & "/( * � ('( * ��% � /� � !�" #�) " & & $ � $ � $ ( $ � &� 3� |=� ��! � K � M � K3& " =� 0�* � ('� |b� %3$ % M ! � /� % ( � �0�* � � � ��¢�� ! ��� % K=� � & � 0�* � ! � � $ ('0'" � � K=% " ('� ��% � M � & & � ! |=( "=M * � M :=� � M *3% � �� � !'# " !�) ! $ =� � $ ( | �� � ! ( � $ % � | � ) ! " � � � $ � $ & ( $ M�( � & ( &'0'" � � K=� �/& � }3M $ � % ( � 0�$ ( *6& � � & � { � � % (�( � & ( $ % ;/$ #�% � M � & & � ! | �

Page 99: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

£ ¤ ¥ ¤@¦�§¨�©ª «b¬ ¨ ­�® ¯�° ± ² ³ ± ©´ ³�µ ­ ± «3¨�¯ ¶ ´ ³ ® ­ ²�® ¯�¶ ©�® ° °�µ�¨ ­ ¯ ¨ ´ ³�©ª «3¬ ¨ ­ · ¸

¹ º » ¼]½ ¾�¿X¹ ½=ÀÁ Á Á Á Á Á½  Ã�¿Ä¹ ¹ ¾ ¹ ½�Å Æ º ¹'Å Ç È Æ ¹'Å É Ê È ¹'Å Ê Æ º ¹'Å ½ Ê ¹ ¹ È ¹'Å Ë º Ê É ½ º ½ É ¹ Ë Æ º ¹�ÌL¹ Í�ʽ ÎÐÏ ½ Ñ Ò È�Ó�Ô ¾ Ó9Ë º Ñ º ºÈ Õ�¿Ö½/Ï Ê Ñ Ê º/Ó6Ô » Ó9È ½ Ñ ¹ Æ=ÀÁ Á Á Á Á ÁÈ × Ø�¿Ö½ ¹�Å Ç º Ê�Å Ê º Ë Ò ¹'Å ½ ¹ Ò Ò ½ ¹'Å Ç Æ Æ ½ Ç Ç Ç º Ê�Å Æ È Ç Æ È Ë ¹ Æ É º Ë ¹�Ù�Í�¹ Á Ê Ç Ë Ë ¹ ¹ ¹ É Ë Ç Ê ¹ Æ Æ Æ È Ê Ç ½È ÎÐÏ ¹ È Ñ Ê ½/Ó6Ô » Ó9É Ê Ñ ¹ º¹ Ò Õ ¿Ö½ ¾ Ï ¹ ½ È Ñ Ê Ê/Ó�Ô Ã ÓxÆ Ò Ç Ñ È ¹�ÀÁ Á Á Á Á Á¹ Ò ¾ Ú�¿]È Ê�Å Ò ¹ Ê ½�Å Æ º É É º É Ò�Å ¹ ¹ Æ È É É È Ë Ò º º Æ É È Ê Ç Ë º Ë Ê É Ç Ê�À¹ Ò ÎÐÏ Ë È È Ñ Ê Ê�Ó�Ô Ã Ót¹ Ë Ò Ç Ñ È ¹Ë È Ò Õ'¿Ö½�Å Ç ½/Û Í�Ç ½Á Á Á Á Á ÁË È Ò Õ »�¿Ö½�Å Ë Ê�Å Ç ½�Å É É ½�Å Æ Ë Ë Ò ½�Å ¹ Æ º ¹ Ò Ç Ò Ò ¹�Å ½ Ë È º È º Ê Æ º È Ò ¹�ÌL¹ Í/¹ ºË È Ò ÎÐÏ Æ È È ½ È Ñ Ê Ê�Ó�Ô × Ó9Ë Æ Ë ¹ Ç º Ñ º ¹Æ È È ½ Ò Õ'¿Ö½ ¾ ¹ ¹�Å ½ ½ ¹�Û Í�¹ ¹Á Á Á Á Á ÁÆ È È ½ Ò ¼�¿]Ò Ê Ë ½ Æ Æ Ë È ½ É Ë ½ Ê ½ ¹ ¹ Ò ½ Ë º ¹ Ò Ò È É Ë º É Ò�ÀÆ È È ½ Ò ÎÜÏ Ç Ë Ê Ç Ê Æ Ò Ë Ê È�Ó6Ô ¼ Ót¹ Ë É É Ç Ê º ¹ É É ÆÇ Ë Ê Ç Ê Æ Ò ½ ¹ ¹ ¾'¿Ö½�Å Ë º É ½�Å ¹ º É ½ Ò�Å É É º Ê ½�Å ½ º Ê Ë ¹ ½ Ò�ÌL¹ Í/¹ ºÇ Ë Ê Ç Ê Æ Ò ½ ¹ ¹ ÎÜÏ ¹ Ë Ë Ê Ò É Ë Ê Ç Ë Ë È È Ê ½ Ê È É º�Ó�Ô Â Ó9Ë Ç È Ê È Æ È É É Ç È ¹ ¹ É Ò Ê ¹ Æ Ò¹ Ë Ë Ê Ò É Ë Ê Ç Ë Ë È È Ê ½ Ê Æ º ¹ Õ�¿Ö½�Å É Ç ¹ ¹ Ç Ò�Å Ë Ç ½ Æ Ò ¹ É Ë ½ Ê Æ ¹�ÌL¹ Í�ÊÁ Á Á Á Á Á¹ É Ç Ç Æ Ò Ç Ç º Ò ½ Ò º Ê È È ¹ Æ Ë Ê Î Ï ¹ ½ ¹ Ò Æ Ë Ç È É ¹ Ë Ê È Ë Ê º º Ò Ë�Ó�Ô Ú Ót¹ ½ ¹ Ò Æ Ë Ç È É ¹ Ë Ê È Ë Ê º º Ò Æ�ÝÁ Á Á Á Á Á

Þ�ß à á â ã È Á Ë Ï�ä�å æ â ç è æ�é â ê ëÜç�ì ã è ß í ß ê î æ â ã ã é ê â'ï�ð ½ Î=È Îb¹ Ò ÎqÑ Ñ Ñ ñ�ò ß æ ó3ô>Í@¹ º » ¼ ð À ß î ì ß è ç æ ã í'è ê î æ ß î á ç æ ß ê îî ê æ í ó ê ò î ñ

õ ó ã�ã ö ã è æ í'ê î æ ó ã�ß î æ ã â ÷ ç ø é ê â'ù Õ ê é è ó ç î à ß î à ô ç î ì æ ó ã æ ç â à ã æ'ú ð û ñ'Íxü è ç î3ý ã�í ã ã î3ß îbõ�ç ý ø ã È Á Æ Áð þ�ÿ× ç î ìxþ�ÿ¼ ç â ã æ ó ã3î ã å æ ø ç â à ã í æ�� â ß ë=ã í/ç é æ ã â æ ó ã6è ê ë � ê í ß æ ãbþ × ç î ìLþ ¼ â ã í � ã è æ ß ÷ ã ø � Á ñ���ó ç î à ß î à ôß ë � ç è æ í�ê î æ ó ã=ø ê ò ã â�ý ê á î ì6ê é ù Õ ý á æ�ó ç í�î ê3ã ö ã è æ ê î6ß æ í�á � � ã â�ý ê á î ì Á õ ó ã=è ê î ÷ ã â í ã/ß í æ â á ã ò�ó ã îè ó ç î à ß î à æ ó ã æ ç â à ã æ�ú ð û ñ Áõ ó ã � ç æ ó ß î ÷ ê ø ÷ ß î à ½ Î���È Î���¹ Ò Î�� Á Á Á ß í æ ó ã ó ç â ì ã í æ�æ êbâ ã í ê ø ÷ ã/î ê æ ê î ø �6ý ã è ç á í ã=ß æ�ò ß ø ø�â ã � á ß â ã=çø ç â à ã=÷ ç ø á ã3ê é�ô ý á æ ç ø í ê6ý ã è ç á í ã3ê é�æ ó ã æ ê æ ç ø'î á ë�ý ã â�ê é�� ç æ ó í ò ß æ óx½ Î ç í æ ó ã ß â/ê â ß à ß î ò�ó ß è óLò ß ø øî ã ã ì æ êbý ã=è ê î í ß ì ã â ã ì Á Þ�ß à á â ã È Á Ë ß ø ø á í æ â ç æ ã í æ ó ß í�ý �6í ó ê ò ß î àbç î�ã å æ â ç è æ�é â ê ë æ ó ã=ì ã è ß í ß ê î æ â ã ã ò ß æ óô>Í@¹ º » ¼ ð ò�ó ß è ó ç � � ã ç â í æ ê=ý ã�í á =è ß ã î æ'æ ê=â ã í ê ø ÷ ã æ ó ã � ç æ ó ß î ÷ ê ø ÷ ß î à ½ Î� È Î��¹ Ò Î�� Á Á Á ñ Á� ê ó ã î ó ç í�ç ø í ê3ç â à á ã ì æ ó ç æ

Û ß î è ã ò ã/ë/á í æ�ó ç ÷ ã=û�� ¹ º » Ø Ø � ß é'ú ð û ñ�ÍÐÉ3æ ó ã î æ ó ã â ã=ß í�ç6è ê ë � ê î ã î æ ê é ûÄã å è ã ã ì ß î ๠º » Ø Ø Ú�Íܹ º »  � × Á õ ó ß í�í á à à ã í æ í æ ó ç æ�ô ë3ç � ó ç ÷ ã æ ê3ý ã æ ç � ã î æ êbç ý ê á æ�æ ó ß í�í ß � ã � ý á æ�æ ó ß íß í�ç/÷ ã â �=â ê á à ó ç â à á ë=ã î æ Á

õ�ç ý ø ã È Á Æ ë/ê â ã�ì ß â ã è æ ø �bí á � � ê â æ í æ ó ß í�è ê î è ø á í ß ê î Á

Page 100: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � ����������� ��� � � � !#" $ % & $ ��' &)(*� $ ���! + ' & � � %,� !)+ �-� " "�()� � ! � ' &)��� �� � � .�/

0�1 2 3 465 7 8 9�:<; = >*? @,; >BA C D ; E F�G H IJ5 I�K L INM M M O,P�Q 4 E 46R�ST�U ; E E 4 @ V*; >*? @�W ;W Q 46> 4 X W,V E Y Z646[ E 4 1 W 4 E,W Q*1 >R T\]�K ^`_B]aR�Ib R IC R�Ic ]dH IJ5 I�K L Ie A C,f g�G hBO A C,iK j k l 5 m*7 n L m l 5 8K j o l 5 m*7 p p 5 5 K K8 L 8 8L K j l Kn K l L 8

\�]�K ^�_-]aR Ib R�IC R Ic R Iq ]dH IJ5 I�K L IJl 5 L Ie A C,f g�G hBO A C,iK j k 5 n r l L j 7 j K 5 8 5 r 5 H 8K j o 8 5 r 5 l 8 7 K n 8 K H K r j L KK j C c 8 5 r 5 H m*7 p p L K p 8 r 8 j 8n l 8 l r K m*K\�]NK ^`_-]dR�Ib R�IC R Ic R�Iq R Ise A C,f g�G hBO A C,iK j k 5 l 5 r 5 K H 7 H K 8 m*r l p m*r p 8 L r l p 8K j o H p L r K 8 L r n l 8 7 L m L n r 5 n p r p H m*r 5 p KK j C c m*r l 5 L r 5 H m*r m 8 8 7 p 5 n K l r n n m*r p j K r n n 8K j C t m*r l p m*r p m L r m p j 7 m 5K j C u m*r l p m*r p 8 L r l 8 j 7 5 5K j c C m*r l p m*r p 8 L r l p m*7 p nK j c s m*r l p m*r p 8 L r l p m*7 p p

\]�K ^`_B]aR�Ib R IC R�Ic R�Iq R Is R�St Ie A C,f g�G hBO A C,iK j k 5 l 5 r 5 L L 7 8 K L K M l l p L n l p m l vwK j C uK j o m H L r 8 H L r m j j 7 H H n l M m 5 p 5 8 5 n n m�vwK j C uK j C c m*M n n 5 j j L H 5 8 v-K j C CK j C t p M H j L H j m p L L,v-K j C sK j C u H M L H j m L p m 8 l v-K j C xK j c C K M l l n 5 l p 5 K n v-K j C uK j c s K M l l p L L n n p m�v-K j C uK j c x K M l l p L n l p H p v-K j C uK j q b K M l l p L n l p m l v-K j C u\�]�K ^`_B]aR Ib R IC R�Ic R Iq R�Is R�St I R Sk Ie A C,f g�G hBO A C,iK j k 5 l 5 r 5 L L 7 8 K n K M H K L 8 l m 5 n K�vwK j C uK j o m H L r 8 H L r m j j 7 H HK j C c m*M n n 5 j j L m n 5 v-K j C CK j C t p M H j L L L m 8 j K�v-K j C sK j C u H M n j L m L L p L m�v-K j C xK j c C K M H K 8 K n 5 n j 8 v-K j C uK j c s K M H K L 8 K p p H m�v-K j C uK j c x K M H K L 8 l m 5 L L,v-K j C uK j q b K M H K L 8 l m 5 n K�v-K j C uK j q q K M H K L 8 l m 5 n K�v-K j C u

Page 101: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

y{z}|`~��������

���w� �w� � �B���w� �w�d��� � �����

�J� �����6�)�)��B �¡<�#¢ �J�£<¤ ¥¦ ¥ § ¥ ¨ ¦ © ¤wª ¥ § © ¦ « ¬*¥ ª-« ­w® ¦ ¥ ¯ « ° ±*§�© ¤*¨ ® ² ¥ ¦ § ¤*¨ §�³ ° ° ´ ¥ ªw¨ ²6¨ ³ µ ° ¦ « ² ¤ ¶J§ · ° ¦�® ¦ ° ¬ ³ ¥ ¶J§6© ° ­*© ¥ ¦ ­ ¥ ª-¸�« ² ¤¤*¨ ¦ ¶J° ­ « © ¹ ¶�± ³ ² « ®*¥ ¦ · ¥ © ² ¹ ² ¦ « ®*¥ ¦ · ¥ © ²,¨ ­*ª�° ª ª®*¥ ¦ · ¥ © ²�­ ± ¶6¬*¥ ¦ §,¨ ­*ª² ¤ ¥ « ¦ ¨ ® ® ³ « © ¨ ² « ° ­�² °« ¶J® ¦ ° ¯ « ­ µJ§ ° ¶6¥´ ­ ° ¸�­¦ ¥ § ± ³ ² § º)» ­B§ ¥ ¯ ¥ ¦ ¨ ³�© ¨ § ¥ §<² ¤ ¥�« ¶J® ¦ ° ¯ ¥ ¶6¥ ­ ² §#° ¬ ² ¨ « ­ ¥ ª¸<¥ ¦ ¥ ­ ° ²�³ « ¶6« ² ¥ ª�¬ ¼² ¤ ¥�¨ ³ µ ° ¦ « ² ¤ ¶½¬ ± ²�¬ ¼® ¦ ¨ © ² « © ¨ ³ © ° ¶J® ± ² « ­ µ,¦ ¥ § ° ± ¦ © ¥ § º*» ­�² ¤ « §�© ¤*¨ ® ² ¥ ¦�¸<¥<³ ° ° ´�¨ ²�² ¤ ¥#¦ ¥ § ° ± ¦ © ¥)¦ ¥ ¾ ± « ¦ ¥ ¶6¥ ­ ² §�° · ² ¤ ° § ¥<¨ ³ µ ° ¦ « ² ¤ ¶§¨ ­*ª�ª « § © ±*§ §�¨ ³ ² ¥ ¦ ­*¨ ² « ¯ ¥ §<· ° ¦�² ¤ ¥ « ¦�« ¶6® ³ ¥ ¶J¥ ­ ² ¨ ² « ° ­�±*§ « ­ µ6¤ « µ ¤�®*¥ ¦ · ° ¦ ¶J¨ ­*© ¥ © ° ¶6® ± ² « ­ µJ² ¥ © ¤ ­ « ¾ ± ¥ § º

�J� ¿ÁÀ�¢ ÂJÃÅÄBÆ,�)Ç ���<ÈÊÉ���¡�ÆË¡��6È�ÄB J�#¢ �£<¤ ¥ ¦ ¥6« § ¨J­ ¥ ¯ ¥ ¦ ¥ ­*ª « ­ µ�¾ ± ¥ § ² « ­w§ © « ¥ ­ ² « Ì*©6© ° ¶6® ± ² « ­ µ² °�¬*¥J¨ ¬ ³ ¥6² °�¸<° ¦ ´�¸�« ² ¤-³ ¨ ¦ µ ¥ ¦ ¹*¶6° ¦ ¥6¨ © © ± ¦ ¨ ² ¥¶J¨ ² ¤ ¥ ¶J¨ ² « © ¨ ³�¶J° ª ¥ ³ § º�Í<²,² ¤ ¥6¨ ® ® ³ « ¥ ª³ ¥ ¯ ¥ ³ ¹ ² ¤ ¥ ¦ ¥�« §,¨Jª ¥ § « ¦ ¥�² °J±*§ ¥�¥ Î « § ² « ­ µJ¶6° ª ¥ ³ §�« ­B¨J¶6° ¦ ¥ ² « ¶6¥ ³ ¼· ¨ § ¤ « ° ­�º½ÍÏ®*° § § « ¬ ³ ¥w§ ° ³ ± ² « ° ­a² °d¬*° ² ¤a­ ¥ ¥ ª §�© ¨ ­a¬*¥w· ° ± ­*ªa« ­N¤ « µ ¤a®*¥ ¦ · ° ¦ ¶¨ ­*© ¥w© ° ¶J® ± ² « ­ µ*ºÐ£<¤ « §© ° ¯ ¥ ¦ §)² ¤ ¥ § ®*¥ © « Ì*© ¨ ² « ° ­�¹ « ¶6® ³ ¥ ¶J¥ ­ ² ¨ ² « ° ­¨ ­*ª6¥ Î ¥ © ± ² « ° ­J° ·�² ¤ ¥,¦ ¥ ³ ¥ ¯ ¨ ­ ²<¨ ³ µ ° ¦ « ² ¤ ¶§)Ñ�¬*° ² ¤§ ° · ² ¸�¨ ¦ ¥,¨ ­*ª¤*¨ ¦ ª ¸�¨ ¦ ¥ º£<¤ ¥ ¦ ¥�¨ ¦ ¥�§ ¥ ¯ ¥ ¦ ¨ ³ ®*° § § « ¬ « ³ « ² « ¥ §�· ° ¦#© ° ¶6® ³ ¥ ² « ­ µ�© ¨ ³ © ± ³ ¨ ² « ° ­*§�« ­J¨,¶6° ¦ ¥<² « ¶J¥ ³ ¼�· ¨ § ¤ « ° ­�º�Í<²#² ¤ ¥�§ ° · ² ¸�¨ ¦ ¥

³ ¥ ¯ ¥ ³<¸<¥© ° ± ³ ªaÒ « Ó�° ® ² « ¶J« Ô ¥J² ¤ ¥¸�¨ ¼-² ¤ ¥�© ¨ ³ © ± ³ ¨ ² « ° ­*§6¨ ¦ ¥J¥ Î ¥ © ± ² ¥ ª-° ­d¨�®*¨ ¦ ² « © ± ³ ¨ ¦6© ° ¶J® ± ² ¥ ¦J§ ¼ § ² ¥ ¶Ò « « Ó�±*§ ¥6¨J¬*¥ ² ² ¥ ¦ ¨ ³ µ ° ¦ « ² ¤ ¶�º�Í<²,² ¤ ¥�¤*¨ ¦ ª ¸�¨ ¦ ¥ ³ ¥ ¯ ¥ ³�¸<¥6© ° ± ³ ª-Ò « Ó�±*§ ¥6¨J· ¨ § ² ¥ ¦,¶J¨ © ¤ « ­ ¥Ò « « Ó�±*§ ¥�¶�± ³ ² « ® ³ ¥¶J¨ © ¤ « ­ ¥ §�° ­-² ¤ ¥J§ ¨ ¶J¥6® ¦ ° ¬ ³ ¥ ¶Bº,» ­-² ¤ « § ¦ ¥ § ¥ ¨ ¦ © ¤�¹*¨ ³ ³)° ·#² ¤ ¥ § ¥6®*° § § « ¬ « ³ « ² « ¥ §,¤*¨ ¯ ¥�¬*¥ ¥ ­-±*§ ¥ ªB« ­-¯ ¨ ¦ ¼ « ­ µ© « ¦ © ± ¶J§ ² ¨ ­*© ¥ § ºÕ<¥ · ° ¦ ¥<ª « § © ±*§ § « ­ µ�² ¤ ¥<±*§ ¥#° · § ±*© ¤�² ¥ © ¤ ­ « ¾ ± ¥ §�· ° ¦�¥ ¨ © ¤�® ¦ ° ¬ ³ ¥ ¶�¨ ¦ ¥ ¨ ¹ ² ¤ ¥ ¦ ¥<¨ ¦ ¥<© ° ¶J¶6° ­�« ¶J® ¦ ° ¯ ¥ ¶6¥ ­ ² §

¨ © ¦ ° § §<¨ ³ ³�¨ ® ® ³ « © ¨ ² « ° ­*§ º<Ö#° ¶6® ± ² « ­ µ6¤*¨ ¦ ª ¸�¨ ¦ ¥,² ¥ © ¤ ­ ° ³ ° µ ¼© ° ­ ² « ­ ± ¥ §<² °¨ ª ¯ ¨ ­*© ¥ ¨ ²,¨ ­�¨ § ² ° ­ « § ¤ « ­ µ6¦ ¨ ² ¥ ¹« ­d®*¨ ¦ ² « © ± ³ ¨ ¦6· ° ¦J² ¤ ¥± ¬ « ¾ ± « ² ° ±*§6®*¥ ¦ § ° ­*¨ ³�© ° ¶J® ± ² ¥ ¦ ºw£<¤ « §J© ° ± ® ³ ¥ ªw¸�« ² ¤d§ ² ¨ ­*ª ¨ ¦ ª « Ô ¥ ª-® ¦ ° µ ¦ ¨ ¶J¶6« ­ µ³ ¨ ­ µ ±*¨ µ ¥ § ¹*§ ±*© ¤B¨ § Ö,¹ ¤*¨ §,¨ ³ ³ ° ¸<¥ ª² ¤ ¥6¨ ® ® ³ « © ¨ ² « ° ­B§ ° · ² ¸�¨ ¦ ¥�ª ¥ ¯ ¥ ³ ° ®*¥ ª· ° ¦,² ¤ « §�¦ ¥ § ¥ ¨ ¦ © ¤�² °J¥ ¯ ° ³ ¯ ¥�° ¯ ¥ ¦² « ¶J¥ ¸�¤ « ³ ¥�¬*¥ « ­ µ¨ ¬ ³ ¥ ² °J² ¨ ´ ¥�¨ ª ¯ ¨ ­ ² ¨ µ ¥ ° ·�² ¤ ¥�³ ¨ ² ¥ § ²�Ò · ¨ § ² ¥ § ² Ó�¨ ¯ ¨ « ³ ¨ ¬ ³ ¥ ¤*¨ ¦ ª ¸�¨ ¦ ¥ ¨ ­*ª�§ ° · ² ¸�¨ ¦ ¥ º£<¤ ¥µ ¦ ¥ ¨ ² ¥ § ²�« ­*© ¦ ¥ ¨ § ¥J« ­d¨ ¯ ¨ « ³ ¨ ¬ ³ ¥© ° ¶6® ± ² « ­ µB¦ ¥ § ° ± ¦ © ¥J¤*¨ §�° © © ± ¦ ¦ ¥ ª-² ¤ ¦ ° ± µ ¤×®*¨ ¦ ¨ ³ ³ ¥ ³<© ° ¶6® ± ² « ­ µ

ÑB¨ ® ® ³ ¼ « ­ µ¶6± ³ ² « ® ³ ¥© ° ¶J® ± ² ¥ ¦ §,² °�² ¤ ¥6® ¦ ° ¬ ³ ¥ ¶Ï¨ ² ¤*¨ ­*ª�º6Ø ±*© ¤w§ ¼ § ² ¥ ¶§,¦ ¨ ­ µ ¥6· ¦ ° ¶�¤ « µ ¤ ³ ¼B« ­ ² ¥ µ ¦ ¨ ² ¥ ªÙB¨ § § « ¯ ¥ ³ ¼dÚ#¨ ¦ ¨ ³ ³ ¥ ³�Ú#¦ ° © ¥ § § ° ¦ §Ò ÙBÚ<Ú#ÓJ² °w³ ° ° § ¥ ³ ¼d© ° ± ® ³ ¥ ªaÛ�¥ ² ¸<° ¦ ´ §6° · Ü-° ¦ ´ § ² ¨ ² « ° ­*§�Ò Û Ý�ÜaÓ º<£�¥ © ¤ Þ­ « ¾ ± ¥ §�· ° ¦6¤*¨ ¦ ­ ¥ § § « ­ µB³ ¨ ¦ µ ¥­ ± ¶�¬*¥ ¦ §�° · © ° ¶J¶6° ª « ² ¼-° ß*Þ ² ¤ ¥ Þ § ¤ ¥ ³ · © ° ¶J® ± ² ¥ ¦ §Ò Ö�Ý,£�Ø Ó�¤*¨ ¯ ¥ ¹�« ­×¦ ¥ © ¥ ­ ²¼ ¥ ¨ ¦ § ¹�¨ ³ ³ ° ¸<¥ ª×² ¤ ¥-© ° ­*§ ² ¦ ±*© ² « ° ­d° ·�© ° ¤ ¥ ¦ ¥ ­ ²§ © ¨ ³ ¨ ¬ ³ ¥�­ ¥ ² ¸<° ¦ ´ ¥ ª×§ ± ®*¥ ¦ © ° ¶J® ± ² ¥ ¦ § ¹�§ °×© ¨ ³ ³ ¥ ªdÕ#¥ ° ¸�± ³ ·© ³ ±*§ ² ¥ ¦J§ ¼ § ² ¥ ¶J§à á á â ã ºwØ ² ¨ ­*ª ¨ ¦ ªw§ ° · ² ¸�¨ ¦ ¥�§ ±*© ¤×¨ §6² ¤ ¥�ä�« ­ ± Îw° ®*¥ ¦ ¨ ² « ­ µw§ ¼ § ² ¥ ¶B¹)² ¤ ¥Bå Û,æ�© ° ¶J® « ³ ¥ ¦ §¨ ­*ª® ¦ ° µ ¦ ¨ ¶6¶J« ­ µ6² ° ° ³ §�¨ ­*ª² ¤ ¥6Ú)ç Ù�à è é ã)¨ ­*ª�ÙBÚ)» à ê ê ã�¶6¥ § § ¨ µ ¥,®*¨ § § « ­ µ6³ « ¬ ¦ ¨ ¦ « ¥ §�¨ ¦ ¥ « ­ ² ¥ µ ¦ ¨ ³�² °J² ¤ ¥

ë ì

Page 102: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

í î ï îdð�ñ ò ó ô õ ö ÷ øù ú*û

ü ý þ ÿ � þ � � þ ��� � � � ý � � � � � ý þ-ý � �*ü � � � � �� ���� � � � ü � � � ý þ��� � � � � ý þ � � � ��� ý � þ�� � � � ý þ��� � ��� � ý���� ü ý ��� þ ��6ý � �6ü ý ���6ý þ���� þ�� � � � � � � � ü �� ��� � � � � � �)ü ý ��� � � � þ �"!� ��� � ��� þ��Jÿ � � �" � ��� � ��� � �� � � � ��ÿ � � �"� #�� ü � � ÿ �!� ���� � þ ��� � ��$�%&'� � ü � � � � ü � � � � �& ��!� � � þ ý !×ü ý þ� � � � ��� � ü ��� � ý � � � �(� � � �� þ�� � � þ� � ý ý ) � þ ��� ��� � �<ý � �*ý � � � þ � � � � �� ý �*��� � � � � � � ü ý ��� � � � þ �

� !�� � �+� �ý � � � ��!� � �ý �+� ��� � ý ÿ � þ �"� � ��� ,ü � � þ*ü � -� þ���� � þ*ü ��� � � �*ü � þ �"� � �Jü ý ��� � � � � � ý þ�� ��� � ���6ý �+� � �!<ý � )-�

.�/ 02143 5�6�7+8 9+:�;=<>�? @�? ACB"D�E�F*G�H I J K�LMH L-F*N O�EQP R+NSE�F*N TUR+V�J OMV�G�T(W�L�N HX � �� � ��� � � ��� � � ý � � � � �Y� � � � � � �"� þ�� � � � ��� ��!� �� ý ��� þ�� � ��� �� � � ÿ �� � � � ü �"� ý ���� � �6ý þ � ü�þ � ����� � �� � � ��� þZ� � � ÿ � þS�*ý � þ��Z[��\���� � �� � � � ü �S��� 6þ ý ��� � � ÿ � ý �� � �]��� � þZ� � ü �� � �- � þ��S� �� þS� þ � � ý � �*ü � ý � �� � � ��� � ��� ý ����� � � � � � �-� � ý ü � � þ �� � � ÿ � � � ��ÿ � � � � � � ý þ�<ý �*� � �� � � � ü �"!� � �����6ü ý þ� � � � � � �-������� � �Jý ���� � ü� � ��� � � ý � � � � �Ðü � þ������ � ü � � ��� �"� � ��

� ý �^�_\` a b a c�a d d d+!� � � ��^]eS[f� ý� �*g]h ^�ij�k\� � � þ^�� ���� � �6ý þ � ü

� þ�� � �� þ�� � ý �

� � � � ��� þ � ��ý � !<ý � )�� -� � �<ü � � ü � � � � � ý þ ý � g]h ^�i-� � � þ�� � ��� ý � � � � �Jý � þ ��ý � !<ý � )� *l�h [�i � X � �<ü � � ü � � � � � ý þý ��g]h ^�i�� ��� � � � �� � ��� � ü � ý � � m � � � ý þ-ý �+^+��n ý ���" ��� � �*�*ý � þ��][� � �*ü �]� �o p q r -� � � � ��� � ÿ � � ý þ�� ��� � � ��� sft ^Z� �� þS� ü ü � � � � � � �ü � ý � ü �"� ý ����� � ü � ý � � m � � � ý þS� � � ý � � � � ���"� ��� �� � ��� � � � þ ��� ý�� þ � � � � � � �wü ý þ� � � �*ü ���� � � � �6ý �+� � � ��� �� � �� ��� þ t [f� �� � � ÿ � þ �������� ý þ ��� �� ÿ � � � � � � �� ý � � !� � ��ý � � � ��� m � � � ý þ��� � ���� � �- � �*ü �� b ` u � � ��þ�� � � ÿ ��� � � � � ��� � � ü � � � � ��� � ��� � �� ý������ � !Ný � �*ý � � � þ � � � � �� ý ��� þ �" � � þ � v*ü � þ �� ��� � ý ÿ � ��� þ � �w � þ*ü ��� � �,ü � � ü � � � � � ý þ-x � � � � þ � ý ��� � ü �"g]h ^�i*� *� � þ � � � � � ��� þ�� � ��� þ�� � þ � � � � � �� +� þ�� � � � � � ��� � � � � � � � �

� þ"� � ��� � � � ý � ü ����� �-� � � � ��� � ��^ y z { |� � � þ � � ü � �*h � ý �Jý � � þ � ý �� i*� � ý ü � ý � +� ÿ � � � � � � �� � � þ��� � ��� � ��^ y z { | u!� ��� þ � � ý � �f��� � � � � � ý þJý ��� � ��[�ü � þ�� � � � � � +� ý ��^ eZ[}!� � �-� � � ��� ý���^ y z { | u � ý � ��� � � �*ü � � ý þ�� þ�� � � ý ÿ � � � � �� � ����� ýü ý ��� � � � ��� � �6ü � � ü � � � � � ý þ� � X � � ���� � � � � � ��ÿ � � � ý þ�ü � þ������ � ü � � ��� ��� �� ý � � ý !� �

~ �-{ � ��_Z[�� ^ y z { |� ý �+y"_}o a ` a d d d a ^ y z { |�� ý�� þ���� � � � � � �� ý ����_}o a ` a b a d d d !� � � ��� s ~ �-{ � ��� ý^�_\���\h y��So i*� ~ �-{ � �� �+g]h ^�i�j�k\� � � þ^ � ���� � �6ý þ � ü

� þ�� � �� þ�� � ý �

� þ�� � ý ���� � � � � � �

Page 103: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � � �Z�� � � � � � � �"� ���

��� � ��� � � � � � �� � ���   � � � ��¡ � ¢�£   � ¡ ¤ � � � ��� ��¤ ��¤ � � � � �¥� � � ¦ § ¨ © ª«*¬Y¤ ��­�¤ � � ® ¢�� �� ��¤ ��� � ��� � ¢���� ¤ ¯ � ��� �¡ ¤   ¡ ®   ¤ � ��°]± ¦�²�� ��� ��­ � £�� ��­ � � ��� ³�¦+´µ\� � �\� � � ¡ � ¢�£ ® � � � �S� � � � ® � ¡ � ��¤ � ��� � � � � � � � � � � ®���� � � �\� � � � ��� �"¤]� � � ¤ � � � � ³ � � ¥¤ � ­]¢�� ­ � ¶�¡ ¤ � � � �

� ��� � ��¤ ·�� ¸ ��¤   � � � � � � ¢�´�¹-� ��º »�·��"� � �"� �   ¤ � � ¸ �"� £�� � ­ � ³£ � � ¡ � � � � ��¼ ½*� � � ¤ ·   � � � � ­ ®�� � � � ¡ � ¢�£�¤ � ¤ � � ¸ �·�� ��¡ � ¢�¤ � ¯ � � ��´�¾ ³�� � � � ��� �   ¤ � � ¸ ��� £�� � ­ ��¤ � ��� � � ¢"¤   � ¿ � ­�� �"� ��¤ ��º »�ÀfÁ�³ � ��� � ���   � ¥�� � ��£ � � ¡ � � � � ��� � � �� � �� ® � � ¤ � ³�¥�� � ¯]³ � ��� ¤ ¡ �Z£ � � ¡ � � � � ��­ � £�� ��­ ��� �Z� � ��� �   ¤ � � ¸ ��� £�� � ­-´\��� ��³ ¤ � � � ��� � ��£ � � ¡ � � � � ��� � �¢�� � ��¡ ¤ ��­ � ­ ¤ � � ��� ��¡ ¤ ��£ � � ¡ � � �+� ��¤�� � ¸ � ��� � ¢���¥� � ��� � ��� ¸ � � ¤    �� � ¢���·�� � � ��­ � � � � ¢�� � � ­"· Ã"� � ��� � ¢���� �� ¤ ¯ � ��� � ���   � ¥�� � ��£ � � ¡ � � � � ��� ��¡ � ¢�£   � � ��� � ��� � � �   �� ® � � ¤ ´���� ��¢�� ­ � ¶ � ­S± � � � � � � � � � � � ®�� ²�¤   � � � � � � ¢Q� �¤ ��³ �     � ¥��

Ä © Ä Å Æ º §�Ç Ç È�À\É\Ê Ë Ì Í Î» Ï�Ð º »³ � �+§"À}Á Ñ Ò Ñ Ó Ó Ó Ñ ¦ § ¨ © ª�­ �Ô Õ © Ä Å Ë À\¬}Ö º Ë × Ä © Ä Å Æ º §�Ç Ç È� ��­ ³ � �

º Ä Å ¨ Ä Ð�ÀZس � �+§"À\Ò Ñ Ù Ñ Ó Ó Ó Ñ ¦ § ¨ © ª�­ �º Ä Å ¨ Ä Ë ÀMÉZË Ú

л Ï�Ð Ô Õ © Ä Å »� ��­ ³ � �³ � �+§"À}Á Ñ Ò Ñ Ó Ó Ó Ñ ¦ § ¨ © ª�­ ��� ��£�¤ � ¤     �  ³ � ��Û�À}Á Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ó Ó ¥� �   ��Û�Ü Ô Õ © Ä Å Ë ­ �¦�À\Û�ÝSº Ä Å ¨ Ä Ë� ³+°]± ¦�²�Þ�ß\� � � �

¦ � ����¤ � ¢�� � � ¡� ��­ � ³

� ��­ ³ � �� ��­ ³ � �£�¤ � ¤     �  

à �+¤�� � � � � ¤   � ·�� � � ¸ ¤ � � � ��½ � � ��¤ ¢�� ® � �+� ³�¥�� � ¯�� �  ® � � � ­�� ��³ ¤ ¡ � � �+¦+½ ¤ �*� �  ® � � � ­�� ��� � ­ � �*� ��¡ ¤   ¡ ®   ¤ � �°]± ¦�² ½�� ��¡ � � ¤ � � �"¤ ��� � �]� � ¿ ��� ³�¦+´}���]�  ®�¤   � ¿ ��� � � ­ � � � � � · ® � � � �\� ³�� ¢"¤    �± � ¤ � à ²"¤ ��­S  ¤ � � �]± ��¤ � ­ � � ²³ ¤ ¡ � � � � ¿ ¤ � � � ��� ½ ¤�� � ® ��­ á � � · � ��¤ £ £ � � ¤ ¡ ��� ��� � ��­ � � � � � · ® � � � ��� ³�� � ��¡ ¤ ��­ � ­ ¤ � � �*� �*£ � � ³ � � � � ­-´*��� � �*¥�    �� � �    ¤ ¡ � � � ¸ ��¤ �"¦ § ¨ © ª á ³ �   ­�� � ­ ®�¡ � � � �"� �"� � ��� ¸ � � ¤     � � ¢���� ��¡ � ¢�£   � � ��� � ��¡ ¤   ¡ ®   ¤ � � � ��� ´*��� � ��± � � ¢�� � � � � � ®�� ²� � ® ��­ á � � · � ��¤   � � � � � � ¢f� �­ � � ¡ � � ·�� ­"� � ®��

³ � �+§"À}Á Ñ Ò Ñ Ó Ó Ó Ñ ¦ § ¨ © ª�­ ��� ��£�¤ � ¤     �  ³ � ��Û�À\Ø Ñ Á Ñ Ò Ñ Ó Ó Ó ¥� �   ��Û�Ö ¦ § ¨ © ª�ÜS¬f­ �¦�À]§�Ý]Û�Ö ¦ § ¨ © ª� ³+°]± ¦�²�Þ�ß\� � � �¦ � ����¤ � ¢�� � � ¡

� ��­ � ³� ��­ ³ � �

� ��­ ³ � �£�¤ � ¤     �  

Page 104: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

â ã ä ãZåæ ç è é ê ë ì í"î ï-ð

ñòSó ô õ ö ÷ ò�ó õ ø ù ö ú-û ø ü û ô ý ò þ ò ÿ � ò ø � þ ÷ ����ó ÷ õ ø õ ø þ ò ø ò ü�� � û ö ��ö�ø ���ó � ö �þ ò õ û ö�� þ ÷ ���� �� ��� �]ú��û ö ÷ ö����� � � ��� ó ò� � � � ��!" $#�� ø % ö %"�Qø ��þ &��þ � ø õ ø ù ö ! %"'�û ö(� þ ÷ ÷ ö � ��þ ò� ø ò ü&� û þ ��þ ü ö ò ö þ ��� !�ó ô ü þ ÷ ø õ û �fø �ü ø ù ö ò�ó �

� þ ÷ � � � # � ) ) ) �û ø ô ö�� ��*�+, þ�ø ò&��ó ÷ ó ô ô ö ô� þ ÷-�. � � / � 0 � ) ) ) �û ø ô ö�� �1� ��*�+� þ�� �� �1� �ø �"23� �4!65&7\õ û ö ò� ø ��û�ó ÷ ��þ ò ø �

ö ò� ø �ö ò� � þ ÷

ö ò� � þ ÷-��ó ÷ ó ô ô ö ô

ñò�þ � ù ø þ ����þ � õ ø ��ø 8 ó õ ø þ ò�ø ò�õ û ø �ó ô ü þ ÷ ø õ û �fø �õ þ�� ó ô � � ô ó õ ö�23� � � !�þ ò�� ö�þ ò ô ý�ó ò�"û ö ò�� ö�õ ö � õ23� � � !"�23� �&!�÷ ó õ û ö ÷-õ û�ó ò�23� �4!4 ø ÷ ö � õ ô ý %4'�û ø ��ó ô � þ1��ö ó ò��-õ û�ó õ�þ ò ô ý�õ û ö-� ��ó ô ô ö ÷6� ö ó � ø ö ÷ !��(ò ö ö ��õ þ1��ö"� ó � õ þ ÷ ö �%ñ�9 ò ö ÷&��ó ÷ õ ø õ ø þ ò ø ò ü:��þ � ô ���ö ��ó � ö \þ òMõ û ö � þ ÷ �;�. <� � � = � � ú1�û ö ÷ ö ��� >��?� � � �?/ ó ò�

� @ � ��!6 A#�� ø % ö %"�4ø �þ ���þ � ø õ ø ù ö�ó ò� �1B ��! %6Cö ÷ ö�. / � 0 � # # � # � � # 0 � # D � � � � ) ) ) %6'�û ö(� þ ÷ ÷ ö � ��þ ò� ø ò ü� û þ ��þ ü ö ò ö þ ��� !�ó ô ü þ ÷ ø õ û �Uø ��ü ø ù ö ò�ó �

� þ ÷ � � � # � ) ) ) �û ø ô ö�� ��*�+, þ�ø ò&��ó ÷ ó ô ô ö ô� þ ÷ > � � # � ) ) ) �û ø ô ö�� � � = *�+� þ�ø ò&��ó ÷ ó ô ô ö ôE �23� � � � = !� þ ÷-�. / � 0 � # # � ) ) ) �û ø ô ö�� � � = � ��*�+� þø � E � 23� �&!-5&7\õ û ö ò� ø ��û�ó ÷ ��þ ò ø �

ö ò� ø �ö ò� � þ ÷

ö ò� � þ ÷1��ó ÷ ó ô ô ö ôö ò� � þ ÷-��ó ÷ ó ô ô ö ô

F+þ ò õ ø ò � ø ò ü�ø ò�õ û ø �6� ó � û ø þ ò�ú õ û ö�ò ö G õ-9 ò ö ÷-��ó ÷ õ ø õ ø þ ò ø ò ü(��þ � ô ���ö��ó � ö �þ ò"õ û ö� þ ÷ ���� �� � � = / H � � ú�û ö ÷ ö ��� > � I1��� � � ��0 ó ò�(� � � � �&!" A#+ó ò��õ û ö ò�õ û ö"� þ ÷ �J�� �� � � = / H 0 K � � ú �û ö ÷ ö ��� > � I � L(��� � � � # #ó ò� � � # � � �&!6 $# %-'�û ö�ù ó ô � ö �þ �M�4ó ÷ ö�ö G ó � õ ô ý"õ û þ � ö�ü ö ò ö ÷ ó õ ö "ø ò�õ û ö(� ô ó � � ø � ó ô�� ÷ ø ��ö(� ø ö ù ø ò ü�� ÷ þ � ö � ��ø õ û�ó�� ÿ ú @ ÿ ú � � ÿ+ó ò�&� # � ÿ �û ö ö ô�÷ ö � ��ö � õ ø ù ö ô ý %N õ6�ó �*õ û ø �+ô ó � õ�õ ý ��ö�þ �-ø ��� ô ö ��ö ò õ ó õ ø þ ò"õ û�ó õ6�ó �M��� ö �õ þ(9 ò��ó ô ô�û�ó ÷ ��þ ò ø �ò � ����ö ÷ �+ô ö � �+õ û�ó ò�# � O P %

N ò ø õ ø ó ô ô ý�ø õ�ó ��ó � � � ��ö �õ û�ó õ� ��QR3%�S�ö � ÷ ö ó � ø ò ü�ù ó ô � ö ��þ � � � ÷ ó õ û ö ÷�õ û�ó ò � � � # � ) ) ) ó �� � ü ü ö � õ ö ó ��þ ù ö !1��ö ÷ ö(��� ö õ þ�ó ô ô þ �Uó&� û þ ÷ õ ö � õ ÿ 9 ÷ � õ1��ö û�ó ù ø þ � ÷ %('�û ö � ö�� ó � ö �1��ö ÷ ö(�"ó ò ��ó ô ô ý� ø � õ ÷ ø � � õ ö �þ ù ö ÷�ó� ö õþ �MT-F�� ô ó � �6��þ ÷ U � õ ó õ ø þ ò�� %+ñ1��õ û ö�ø ò� ø ù ø ��ó ôM� ó � ö �6��ö ÷ ö�� þ �(� ô ö õ ö "õ û ö�ò ö G õ1� ��ó ô ô ö ÷ö G ��þ ò ö ò õ1� ó � ö�ó �"��ö ü � ò"þ ò"õ û�ó õ6��ó � û ø ò ö %4V\û ö ò�ó ò"ø ò� ø ù ø ��ó ô4� ó � ö1��ö � ó ��ö�õ þ þ�õ ø ��ö ÿ � þ ò�� � ��ø ò ü�� õ þ þ U���þ ÷ ö�õ û�ó ò�ó

Page 105: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

W X Y X�Z-[ \ ] ^ _ ` a b�c d�e

f g h i-j k l m�j k l(m l n j1o m l p1q�g p j r j r s m r m t�u-g v-w�v l f&x s pg y yMv w z�v l { w l m j| g v l v }1~6k l�o m l v j1q�g p j r j r s m r m t�w�v l fu-g v-� � � � � � � � }� m�| l&g�| g v l�u-g vz�l t w m3r j(u-g vp w m3j r y y-| s ��q y l j r s m4}&��r j k�g&y g p t l�v l j�s x-u6s p � v j g j r s m�v �4g&t p g f w�g y

r m�| p l g v l-r m�j k l-m w �(z�l p"s x�u6s p � v j g j r s m�v4r m r j r g y y h(g y y s | g j l f�| g v l vMu6s w y f(g y y s u�g m�g q q p s n r ��g j l6q p l f r | j r s mg v1j s&k s u$y s m t&j k l(m l n j�| g v l(��r t k j�j g � l�g m�f v s�u-k l j k l p�j k l�m l n j�o m l p�q�g p j r j r s m r m t�v k s w y f�z�l�w�v l fj k w�v-g � s r f r m t(k�g � r m t(j s�g z�s p j-� l p h�y s m t�p w m m r m t�| g v l v� p l v w y j r m t�r m�g(u-g v j ls x4l ��s p j i }� � l p g y y4g�v l j-s x"� ���4l m j r w ��� � �-� � � ���-�u6s p � v j g j r s m�v"u-g v-w�v l f&| s m j r m w s w�v y h�x s p1g y �(s v j1�(�(s m j k�v

s m j k l�l n k�g w�v j r � l�v l g p | k�x s p(g y y"k�g p ��s m r |(m w ��z�l p vy l v vj k�g m�� � � � }�~6k r vl { w�g j l vj s�s � l p��&h l g p v1s mg�v r m t y l(u6s p � v j g j r s m�s xMj k�g jj h q�l�g m�f&u6s w y f&m s j1z�l(q p g | j r | g yMx s pp l y r g z r y r j h&p l g v s m�v-r x"m s j1j r �(l y r m l v v }��k l p l�q�s v v r z y l �Mg y t s p r j k ��v�u-k r | k:g p l�l n q�l | j l f j s z�l�y s m t�p w m m r m t�� g m�f3f s m4� j(g ��s p f3g m h s q q�s p j w �m r j h�x s p�q�g p g y y l y r v ��i�v k s w y f�k�g � l�| k l | � q�s r m j v�g m�f:q p s t p g �?p l v j g p j�| g q�g z r y r j r l v�f l v r t m l f:r m j s3j k l r pr ��q y l �(l m j g j r s m4}

�6� �6� ���1 M¡�¢ £"¤:¡�¥1 M¦ §�¨1 M© ª4«. M¬ ­"£"¤ ¦ ¢ ¥1®�©�&s v j6s x4j k l�v l g p | k�g y t s p r j k ��v"w�v l f�r m�j k r v6p l v l g p | k�k�g � l1j k lx g | j s p-| k�g r m���l j k s f�g v6j k l r p6z�g v r v }M¯ w�| kg y t s p r j k ��v4u6l p l6w�v l f�x s p-� g i4o m�f r m tk�g p ��s m r |-v l l f v � � z�i"v k s u-r m tj k�g jMj k l p l-g p l6m ss f f�k�g p �(s m r |6v l l f vy l v vj k�g m�� � � ° �"� | io m�f r m t�l � l m��(w y j r q�l p x l | j�m w ��z�l p v �"� f iv k s u-r m t&j k�g j ��x s p�g m s f f�q�l p x l | jm w �(z�l p±3��²� ±�i1³J� �(g m�f3� l i1v k s u-r m t�j k�g j ��x s pg m�s f f&q�l p x l | j1m w ��z�l p1j k l p l(g p lp l v j p r | j r s m�v6s m�j k l(v q�l | r g y| s ��q�s m l m j-´4µ�g m�f�j k l(� �(| s ��q�s m l m j }¶1r ��l p l m�| l vMs | | w p6u-k l m�v q�l | r x h r m t(j l p �(r m�g j r s m�| s m�f r j r s m�� g m�g q q p s q p r g j l1| s m j p g f r | j r s m�i"g m�f(u-k r | k

q p r �(l�s p6l n q�s m l m j-j s�| s m�v r f l p-m l n j-z�g v l f�s m�j k l(g q q p s q p r g j l&· r m�f l n ¸�� v w�| k�g v-¹3� º4i � »-� º4i6s p1¼M� º4i i }~6k l�x s y y s u-r m t�q�v l w�f s | s f l�r y y w�v j p g j l v(g�v r ��q y r o l f:v j p w�| j w p l�s x1g&p l | w p v r � l�g y t s p r j k ��x s p�j k l&s f f

q�l p x l | jm w �(z�l p�q p s z y l ��} � m y h��(r m s p�(s f r o�| g j r s m�vg p l(m l l f l f�u-k l m3| s m�v r f l p r m t�j k l�| s p p l v q�s m�f r m tq p s z y l �½x s p(s f f j p r q�l p x l | j�m w ��z�l p v }�~�s�r m r j r g j l�j k l&g y t s p r j k ��x s p(g�| s �(q y l j l�q p s z y l �&�4u6l&g v v w �(l��¾ ±�g m�f�v s(u6s w y f�w�v l¶1s �-� ¿4À � À � i � u-k l p lj k l�� � v"p l q p l v l m j-Á&g m�f�Â"� j k l� m s u-m&| s ��q�s m l m j v-g m�f�j k l� m s u-m&| s m�v l { w l m j-q p r �(l v� s j k l p-j k�g m�� i6p l v q�l | j r � l y h }~6k l1| g q�g z r y r j hs x�| s m � l m r l m j y h�v q�l | r x h r m t�g1t l m l p g y r m r j r g y�v l jMs x�| s m�f r j r s m�v6� ¿4À Á4À Â4iMq p s � l fl v v l m j r g y

u-k l m&r m � l v j r t g j r m t(q�g p j r | w y g p6� m s u-m�| s ��q�s m l m j v-g v6r m&j k lq p s s x v6s xM~6k l s p l ��v� ��g m�f½� � }��r j k�j k l1w�v l1s x�j g z y l v"s x�x g | j s p r v g j r s m�v"g m�f�r m�f r � r f w�g y�k r m j v � g m h�f r Ã�| w y j"x g | j s p r v g j r s m�v"u6l p l-s m�| l �

s m y h�q p s z y l ��v1g m�f&v s�j k l�s � l p g y y4| s ��q w j g j r s m�g y4j r ��l�x s p1g(q p s s x4u-g v-q p s q�s p j r s m�g y�j s�j k l�y l m t j k:� j k lm w ��z�l p�s x6y r m l vs x6s w j q w j is x6j k l�q p s s x }�Ä"l | g w�v l(s x6j k l�t p l g j� g p r g z r y r j h�r m3j k l�o m�g y"y l m t j k�vs x6j k lq p s s x v � x s p ��w y g j r m t1g m�l ��l | j r � l"u6s p � y s g f1v k�g p r m t1v j p g j l t h1x s pMg-v l j4s x q�g p g y y l y p l v s w p | l v�g q q�l g p v�f r Ã�| w y j� w m y r � l�x s p �(w y g j r m t�g�v j p g j l t h&x s p1j k l(k�g p ��s m r |m w �(z�l p1l n k�g w�v j r � l(v l g p | k�g y t s p r j k ��r m�j k l�q p l � r s w�vv l | j r s m�i }4� m�q p g | j r | l6j k lg | j w�g y�| s ��q w j g j r s m�g y j r �(l-x s p"j k l-� g p r s w�vMq p s s x vM� g p r l f�x p s ��· r m�v j g m j g m l s w�v ¸j s&g(x l u$f g h v-r m v s ��l�l n j p l ��l(| g v l v }-� j1r v1k s q�l f&j k�g j1u-r j k g m g f g q j r � l�z�s w m�f�Å,j k l v l�x l uAl n j p l �(l| g v l v6u6s w y f�z�l(f l g y j6u-r j k&l n q�l f r j r s w�v y h }

Page 106: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Æ Ç È Ç�É-Ê Ë Ì Í Î Ï Ð Ñ�Ò Ó�Ô

Õ1Ö ×-Ø Ù4Ú Û4Ú Ü4ÝÞ�ß à á âã Ö ä-ß å æ ç&è�é"å ê ê Ö ë-å Þ ê ßì"í ê ß ä á å â�ß î ï�Ö â ß â ð1å â�ñ�Ù�ò óMô1õ�ö�ñ Ö�á â&ï�å ä å ê ê ß êÕ-Ö ×�÷�Ø Ù4Ú è�Ú Û4Ú Ü4Ý

ß â�ñ ã Ö ä1ï�å ä å ê ê ß êÕ1Ö ×Mø â ã Ø Ù4Ú è�Ú Û4Ú Ü4Ý

ß â�ñ

Õ1Ö ×�÷�Ø Ù4Ú è�Ú Û4Ú Ü4ÝÞ�ß à á âùú�û Ø Ù�ò ÝÛ�ü ú ÛÙ�òÜ4ü ú Ü$ý&þ�ÿ � � ���þ ���þ � þ � � � �

��� í ï�ñ å ð ß�Ü ë-á ð ç&â ß ëJæ Ö â�� ß � í ß â ð-ï ä á �(ß ���á ã â Ö�æ Ö â ð ä å ñ á æ ð á Ö â�ë-á ð ç3Ø Û�ü Ü4ü Ý6ð ç ß âá ã Ü����ð ç ß âÙ�ü ú �(á â4Ø � é ��� Ü4ü ÝÜ4ü ú Ü4ü � Ù�üÕ-Ö ×1Ø Ù�ü Ú Û�ü Ú Ü4ü Ý

ß ê � ßæ å ê æ í ê å ð ß � ! Ú " ! �1Ö â$# ôá ã â Ö�æ Ö â ð ä å ñ á æ ð á Ö â�ë-á ð ç3Ø Û Ü4ü Ú � ! Ú " ! � Ý"ð ç ß âã Ö ä1ß å æ ç%#&é !�& # & " ! å â�ñ'#�(MØ Û Ü4ü Ý-ñ Ö(á â&ï�å ä å ê ê ß êÕ1Ö ×-Ø # Ú Û4Ú Ü4ü Ý

ß â�ñ ã Ö ä-ï�å ä å ê ê ß êß ê � ßð ç á �1æ å � ßá �-ð ß ä �(á â�å ð ß ñ

ß â�ñ á ãß â�ñ á ã

ß ê � ßð ç á �1æ å � ß1á �6ð ß ä ��á â�å ð ß ñ

ß â�ñ á ãß â�ñ

) æ Ö â ð á â í ß ñ�* * * +

Page 107: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

, - . -0/�1 2 3 4 5 6 7 8%9 :�;

<�= >�? @ A B CED F�D GED HEIJ�K L M @M AEHON�P�Q R K @C�S�TVU'M @�B WYX W�Z HES IHES�T0H�[ C�S<�= >�B C�S D GED HES IK \ ] K^ _ \ ^ ` \ _ Q Kba c d D e�d f�= @$g hM A�@ = ^ = @ Q i _ j M ^ Q M = @%k�M Q ROB G HES D a c d D e�d f IlQ R K @A = i�K _ ^ R$g%Xlc d�mVgbmVe�d _ @ j g�n�B G HES I j =bM @$o _ i _ \ \ K \<�= >�B g D GED HES IK @ j A = i�o _ i _ \ \ K \K \ ] K Q R M ] ^ _ ] KpM ]YQ K i U'M @ _ Q K jK @ j M AK @ j M AK @ j

Page 108: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

qsrtrvuxwzyt{�|}q

~��O�����V��� �����$������� ���p���p���O�����b� �

��� � �'� � � �p  ¡ ¡ ¢  Y£�¤ ¡    Y¥ ¦�� ��§ ¨ © ª�«�� ¥ ¦$� � � ¥ � � ¤E  ¬ ­�� � ¡ ® � ¡ ¡��b­ ¤ ¥ � ¯ ¤ � ¡ �   °�± ©   ­�� ¦$¥ ¦�� ¥�£E± © �  Y¦�� � �b� � � � ° ¥ ¦ ¡� ­ ��²�¡ ��� ®�  ¬ ­�� � ¡ ® � ¡ ¡�¦�� � �b� � � ���b­ ¤ ¥ � ¯ ¤ ¡   °�³p´ ° � ��¢%¥ ¦ ¡p� ­ ��²�¡ ��� ®E� � ¡ µ � � �'¯�� � ¡ � ¥ µ � ¥ µ � µ ¥ � �b¡�¦�� � �b� � � ���­ ¤ ¥ � ¯ ¤ ¡   ° ³p´ ¶ ·¸�� ¥ ¡Y¥ ¦�� ¥�¤ � �'� ¥ � ¥ � � �� E«�� ¥ ¦ � �%¹�º » ¼ ½ ¾'º » ¿ À ºY¯ � ¡ Á ¡ � ¥ ¡ ¢p¥ ¦ ¡Y ¡ � ¡ � � ¥ � � ��� ® ¥ ¦ ¡�� � �'¯ ¤ ¡ ¥ ¡�  ¡ ¥E� ® �b­ ¤ ¥ � ¯ ¤ ¡  ® � ��¥ ¦ ¡�¦�� � �'� � � �p  ¡ ¡ ¢%à § Ä § Å Æ Ç Å È ¨ È Ã ¨ ¨ ¨ ·É ¡ ¡'ÊE� ² ¤ ¡'Ä · §�® � ��¢ ¡ ¥ � � ¤  �� ®Y� ¤ ¤�¦�� � �'� � � ��� ­ ��²�¡ �  �«�¦ � � ¦O� � ¡'  ¬ ­�� � ¡ ® � ¡ ¡���­ ¤ ¥ � ¯ ¤ ¡  p� ®YÄ È Ë Ç ¨ ¨ ¨'� ��¢  ¡ ¡�ÌE�  ­ � ¡�Ä · Äb® � ���'� � �'¯ ¤ ¡ ¥ ¡p¡ ¤ � ²�� � � ¥ � � �%� ®�¥ ¦ ¡p¦�� � �b� � � ���b­ ¤ ¥ � ¯ ¤ ¡  Y® � ��¥ ¦ ¡p¦�� � �b� � � �p  ¡ ¡ ¢�§ Ã Í Ä ¨ ·

Å Å

Page 109: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Î Ï�Ï

Ð

ÑÒ ÐÓ

Ô Õ

Ö ×

Ö ×Ø

Ù

Ù

Ù

Ù

ÚÛ ÜÝ

ÛÛ

Ù

Ù

ÛÞÛß à

ÝÝ

á

Û

Û

Ûà âÛ ÜÝã á

ÚÛ ÜÝ

ÙÙ

Û

Û

ä åÚÛæ ÝÙ

áá

Ù

Ù

Úà ÛÛç Ý Üà

ÞÛã

Ù

Ù

ÙÚÝÞÛ ÜÝß à ÜÙÝ

åÝß

á èÙà

ä

ä

ÚÛââÛã áß ÝÙ

ÙâÛ Üá

Ý èÙå

ÚÛÙÒÝÓ

ÞÙÛÞÛé ÙÛà

àà

ÙÝ

Û

ÙÙÒ ÙÓ

ÙÞÚÛâÛß á Üàß Ùå

Ùä Û Üà

Ý èÙÝ

áÙÞÒ ÙÓ

ÝâÛä âÛç Ýã á Üà

Ûä Ûã Ý

ÙÙ èÛÝ èäà

á

á

ÝÛàÚâÛã Ýß á Üà ÜÙÝ

Ûä Ûã Ý

ÙÙ èÛÝ èäà

á

á

Ùà ÝÚââÛç áß à ÜÝÙ

Ûááß

Ù

Ù

ÙâÞåÛà âÛ ÜÝß á Üàß ÙÝÜÙå

ä ÛÛ ÜÝÜàÙÙ èäÙ èÞÝ

á

á

ÛÛÛåáââÛß áã àã ÙÝ

ÝááÜà

Ù

Ù

Ûä áà âââÛã Ýã áã à ÜÙÝ

ÚâÛß Ý ÜáÙÙ èÙåèÛÝ èÛå èáå

ÙÞ

ÙÞ

äà ÙÝåÞä Ûê Ýã ÙÙ ÜÝÙ

äÞÛæ Ý

á èà èÛÝ èäà

Ýà

ÚÙÒ ÛÓ

ÚâáÙáââÛß áã àß ÙÝ ÜÙå

áâÛ Üáß

Ý

äÙàÒ ÙÓ

ÞáâÚä ââÛç áß àã ÝÙ

ä åàß

ÙÝ èåà

áÙÙÒ ÙÓ

Ùàä ÛÞÝÛâÛç Ýß á Üàß ÙÝÜÙå

åÚÛç Ý

ÙÙ èÛÝ èÝÙ èäà èÙåÙ

ÙÛ

ÙäÒ ÙÓ

ÛÝâÞÞÞââÛç áß àß Ùå ÜÝÙ

à âÛ ÜáÜàÝ èÙÝ èÙÝå

ÙÙÚÞÒ ÝÓ

Ûåä ÙâÛåâÛ ÜÝç á Üàß ÙÝÜÙå

ÞÙÝæ

Ùà èáÝ

á

á

ÝÝááâÝÝÚÛÕß ÞÙåÙ

ÙÝÙÝ

ÙÙâÒ ÙÓ

ä ááÝÛÞââÛë Ýã áß Ùà ÜÝÙ

åÚÛç Ý

à èÙÙ èÛÝ èäà èÙåÙ

Ýå

Ýå

áÛÙä ÙÝÛâÛã Ýæ á Üà ÜÙÙß Ùå

ÙâÞÛß Ýã

Ùà èÛÝ èáÝ èàÙ èÙâà

ÙäÙä

ÞÙÚåáÛáâÛ ÜÝã áã àß ÙÝ ÜÙå

ÙâáÝÜáÜàÛå èäÙ

ä

ä

ÙÙáâäÞää âÛã Ýß á ÜÙÝß ÝÙ ÜÚÙ

à ÞÛ ÜÝÜÙÝÙÙ

Û

Û

Page 110: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ì íEì

î

ïð îñ

ò ó

ô õ

ô õö

÷ø ùúúûüø üùý þÿ � �÷÷ �÷þ �þ÷

÷ùûù� þ��

� �÷ú �ùþ �ùú�ø� ��ú �� ú�ùþú

ø ÷ø ÷

ù��ø ùüûú�ùý ��÷÷ÿ ÷ú �þ÷

üüù� ÷÷þ �ø þ

÷�÷�

þù�� ü÷ûûûù� þ� �� �ÿ ÷þ �÷ú

÷�üù� þ��

÷÷ �ùþ�ø ÷ �ø� �üþ �÷��

֟

þøð ùñ

ø �úü÷üùø ûù� ��� �÷ú �þ� �� þ

ú�ù� þ

þ �÷÷ �ùþ �þ÷ �ø� �÷ú÷

ø �ù÷üð ÷÷ñ

ø ü÷�� ùûûûù� þ� �� �� ÷þ

÷�üù� þ��

÷÷ �ùþ�ø ÷ �ø� �üþ �÷��

֟

þøð ùñ

�øø ù�÷ù�øù� þÿ � �÷þÿ þ÷ ��÷

÷÷�þÿ ÷þ

� �÷� �ùþþ

÷ûð ÷ñ

÷þû�÷ùø ûûûù� þ� �� �ÿ ÷þ �÷ú

ùø ûù� þ��

÷÷ �ùþ�ùú �þ÷ �ø� ��ú �� ú�ùþú�ø� ú

þ�þ�

÷þü÷÷�÷�ûûù þÿ �ÿ ��÷þ�÷��þ÷

ùø ûù� þ��

÷÷ �÷ú�ùþ �ùú�ø� ��ú �� ú�ùþú�ø� ú

�þ

�þ

÷�þûú�ø üûüù� þ� ÷÷� þ÷ ��÷

úúþÿ ÷÷

� �÷� �÷ú�

ü

ü

÷ü�� ��ûûø üùó þ� ÷÷ �ùþ �üú

÷ùüù

� �þ÷ �÷ù�

÷�ø ûüð ÷�ñ

ùü� �ù÷÷ûûûù� þÿ �� ÷þÿ þ÷ ��÷

÷�ûù �þ��ÿ÷÷ �÷ú�ùú ��ú �÷ø ú

÷�ùúð þñ

üø ÷ûúû� ùþùù� þÿ �ÿ ÷þ�÷úÿ ÷ù�

÷� ÷þÿ ÷ú

� �÷� �þ� �÷÷þ

֟

֟

ü�üúü�úû��ùó�÷þ÷û�÷

÷�÷�

÷

÷

ü�ùü�þþûûûù� þ� ��÷þÿ þ÷ ��÷

÷ú�þ �� �÷þùú �þüú

þ

þ

ü�úüø �ú�÷�ù� �ÿ ÷÷ÿ÷úÿ÷ù�

÷ù÷÷÷ÿ

ùø ÷

ù

�úð þñ

÷ûùûûùþ�ûþùùó� ��÷ú�þ÷�÷�÷

ú�ù� þ

þ �� �÷÷ �ùþ�ø� �÷ú÷

� ÷÷�üð þñ

÷ø ÷üùø þúûø ûù þ� � ���÷÷ÿ ÷� �÷ú

þüø ù þ

ùþ �þ÷ �ø� �÷ù� �÷ú÷ �þüþ

þ÷��ð þñ

÷úû÷�� üù� üø ùý þÿ �ÿ ÷÷ �÷þ �÷ú �þ÷

þþ�ù� þ��

� �ùþ �ø ÷ �ø��üþ �÷�� �ùùþ

ùþùúð ÷ñ

÷úùûúüü÷�ûûùóó�ÿ �ÿ÷þ �÷ú �þ÷

ù��ù�

þ �÷ù�

ùùùù

þ�ûþù� ��� �ûùý þÿ � ��� ÷÷ �÷þ �þ÷

þúùù� �ÿú�

ø

ø

ø þü�÷ø� üø ûûùó þ� �ÿ ùþ�þ÷�üú

ù�øù� þ�÷÷� �÷÷ �ø þ�ø� �÷þ÷ �ù�þ

ø þ

�þð ÷ñ

�� ���üúûúøø ùó� þÿ ÷÷ �÷þ �ø þ �÷ù�

÷úùù� þ

� �� �ùþ�þ÷ �ø� �÷ú÷ �þüþ

üþ�� ùð þúñ

�� �ø ü÷ü÷�ûûùÿ þÿ �� �� ÷þ�÷�

ù� þþ ���÷þø ÷ �÷ü÷

þ

þ

��ø þþ� ùûþùûùó� þ� � �÷÷ �ø þ �÷ù�

ùùøù� �

� �÷þ �þ÷ �ùùþ

ù÷ù�ð ÷ñ

� ÷ù�÷üù� ùûûù� �ÿ � �÷ú �þ÷ �þ��� þ

ù� ûù �þ� �

þ �÷÷ �÷� �ùú ��þ ��ú�üú�÷û��÷� ú�ù�ú

� þúûð �ñ

� þúùø þø üø ûûù� �ÿ � �þ÷ÿ üþ �þþ÷

÷ù���

÷

÷

�� úùø� ûûûûûù� þ� �� �ÿ ÷ú �þ÷

þ� �þ ���

ùú �÷ø ú

ø

ø

Page 111: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ��

�� ��

� �

� �

� ��

��� ��� ����� ! " #�$ � #��$ �� #�% #"�

� �� $ ��$

� " & � � &%��

��� ��� ���� ' "$ �( �$ �" #�% #"�

"� �" #�'

% &�� %

��%���%���� � ) "! � #�� #"� #� �

" � $ "*

� &�� & " &�" &� � &��� &���

������

������� ��� ' " #�$ � #"�$ �" #""�

���� #"�

��

�� ��

� "��� �% ��� ( " #�' �' ��$ �" #�%

� �� $ ��$

� " & � � &%��

� �� �������� ( "$ �( �' �" #"�

"� �" #�'

% &�� %

�"�� "��%�" � �+ � � ��

�%�%

"�

"

�� �

����� "�"���� $ "$ �' �$ �"' �� #�%

"%� #" #� #�"�� & % &�% &"�%

%

%

��"�%�� % ��� ! "$ �$ �$ �" #�� #�% #"�

�� ( " #�

�� & " &� � &�� &�" &��� &�%� & "

%

%

��������� �� �� "$ � #� #�"$ "� #��

"�� ! "

�� & " &�� &� � &�%� &"�"

"�� �

�%�� � � � +� #�%$ "� #� " #� �

�� �"$ �%

� &�� &��"

%

%

� �"�%% � �� #"! �' �$ �" #�% #� �

� ��"* �

�� & % &�" &�% & �% &��%

"�� ��

� ��� �"%���� ( "$ � #�$ �"$ �% #"� #��

�� � #" #� #�"�� &� � &�" &��� &��%�

�� "� � ��� � ! "* ��' �� #"� #��

"� ( ��

� &� "

�%

�%

� �%� �%����� $ "' �' �$ �"' �� #�%

��� " #�"$

""� &���"

��"����"���� ) "( �$ �� #�" #�% #"�

�� � ' "*

� &�� & " &�� &�" &� � &��� &� "� &���

"�� ��

���� ��� �" �� ! �$ � #�� #��$ "� #"��

"� � $ � #��" &�%&��

%

��� "�

�"�"��� ���� ' "* �' �' ��$ �" #�%

� �� $ "' �

�� & " &� � &�" &� � &�" &��� &��� & �� &��" &����

�%

� � "�

%� ����� �%� � ) "( � #�' �� #�" #"�

� �� $ "' �

�� & " &� � &�" &� � &�" &��� &��� & �� &��" &����

�%

��� ��

%%� %� �� �"� �� ' "' �$ � #"�$ �" #""�

� %"$ "�

�� &�� &���

��� �

������������� ! "! �$ � #�� #"� #� �

�� � ' "*

�� & " &�� &�" &� � &��� &� "� &���

��

��

���� "%� ����� ' "! �' �$ �" #�% #� �

�� � ' "*

�� &�� & " &�� &�" &� � &��� &� "� &���

�� �

�� �

���� �"� %�� �� �' " #�$ �� #"� #� " #� �

"�� #�$ �

�" &�% &�"% &"� %

�� "�

��� %�" ���� �� * " #�$ �% #"�$ �" #""�

��� #"�

�" &�� &� ""

%� "�

�""���� ��� ��� �, "$ �$ � #�" # " #"� #�%

��� $ " #�#���� &�% & % &� " &�%&��% &�"� & �" &� "% &��% &�"�%

��

��

������"�%�� �� ! " #�$ � #�� # "$ "� #� %

� % "$

���� "�%� �%��� ' " #�' �$ �" #�% # "$� %

� % "$

Page 112: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

- .0/

1

23 14

5 6

7 8

7 89

:;< => ?@A:A?=B=6C? D;D::E:F D< ? D:=>

?;==G::

>0H?:

:;

< A3 ?4

:;;??;> F> @?A@=I>E :FE ?> D> ? D:=>

=;==E ?E >

? H;H::H:?H:>0H=?H< :H> :H@?H:A>0H=;: H;B?

=@==<:F3 :=;4

:;FF?BBA:=BBB=G ?J ;C>C :? D< :

A< @=C ?K

:: H:>0H=? H<>0H;? H> : H:B>0H< ?: HA<>

:< B

:< B

=::=?F< B> F=;B= D?G ;C>E :?C:> D:F

;@;?E ; D:?

=F H@F H=?? H?@F

>

>

=:F@=> @B;:=BB=J ?K ;E> D::E:> D:F D?:

:B@B=C ?C;

=? H=F H<>0H;? H;FH> :H> FH@FH:B>0H:> F H=?F H=AFH?;FH

::>

:=B3 :4

< ?: H> :F

==?A:;=@=@BBB=G ? D;C>C:? D=?E > F

;=F=?E

:

:

=@=> ;;?=B@< @B=G ?E ; D>G :: D:? D:F D< ?

A@A= D>C

F>

?

?

??=:< B=B@< BBB=G ?K ;C>C::E:? D:F

:B@B=C ?C;

:>0H=? H=FH<>0H;?H;FH> :H> FH@FH:B>0H:> F H=?F H=AFH?;FH:;F

:A=3 :4

< ?: H> :F

?A===F?B> :ABB=K ;E >C ?:E @? D??:

=< ;; D>E

:? HF>

;

?<3 :4

?F< A:A:< F=BBB=G ?E ;C>C:?E ?: DA:

> ?;? D;D>E=F H< : HF>0H=F?

:B

:?3 :4

< ?:<< ?;FAF;?A=L >E::E:FE ?: D:=>

?@;; D> D:::? H:BFH>AF

@

A<3 =4

<< BF< FFB@F=A@=E ?C>K :? D< A> D=@B:

:<>? D>E

; H< : HF>0H=F?

@

@

< F;F> ;:?B;ABB=J ?G ;E>E :? D:> D:F D?:

:=FA=K ?K

:: H=? H<>0H;? H> : H:B>0H< ?: HA<>0H@A? H=;F:

:< B

:< ?3 :4

;:::B;:FF> @> B= D?E ; D>E :?E :F DA:E F>

?AA= D?DA:::

=

<3 :4

;F:<<:B=B?;=B=J ?G ; D> D:?E:> D?: DA:

F?A=C ?E :?

:: H=? H<>0H> : H:B? H=?? H?:: H<A>0H:@> :

<<

<<

AB> ?>:=F<< FF==G ?K >E::C:F D?: DA:

AF??E> D::; H:? H:>0H< : H:F>0H<A:

< :

;A3 =4

A@<<<< ;B@B> B< =J ?K> D::E:> D:FE:=>

A@< =E ?E:F

; H=? H?>0H> :H::? H:;: H==> HA@? H:?A>

@B

@B

> ?==AB;<> =BBB=I ;C>C :? D:F D?> D> ?

A> ==G ? D>

? H:: H=?H?:H< :H<>0H@?H:A>0H:F: H==?

:@@

A;<3 :;4

@<< F;> A?:> BBB=C ?G ;C>E :?C:> D:F

F?A=C ?E :?

:: H=? H<>0H> : H:B? H=?? H?:: H<A>0H:@> :

<<

<<

F@?:F?@??> =BB=K ;E >E:F D?:E @? D??:

?;B= D;E >

? H:? H:?F H?< F

=?

:@:3 ;4

:B=F> ==AA< FABB=6C?C ;E :: D?: D< ? D:=>

A?B= D?E ; D>:? H:>0H:F H=F H< : H;FH@?H@FH:?FH:> F H=;: H< :F H:=;F

:B=

:;@3 ::4

:B< A:=:> ;?F;BB=E ;C>C :?EA:E F>

?B;; DA:

:

:

:B> ::BBF>A< BBB=G ?E ;C>E :?E :F D?: DA:

:B;B= D?D;E >:: H=F H< : H;FH@?H:?FH:< F H?< F H< :F H:B< F H=BFF

?B

?B

:B@@:@< ??@@< :A=6C?G> D:: D:? D< ? D:=>

A< @=C ?K

; H:>0H=? H<>0H;? H> : H:B>0H< ?: HA<>

??A??F3 :4

::< @<> :@=< ;BBB=C ?G ;K>E :: D:? D:F D> :

::=;?E ;C

:>0H=F H@F H:< F H<< F

:=

:=

Page 113: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

M N0O

P

QR PS

T U

V W

V WX

YYZ[\ ]^_Z` ZYa_ab cb Z d\e Yce Y^dcYd[Y

Y_ZccfYc

Y\0gZc gacc g\ _Y

Y_

Y_

Ya` Za__\ a_` ___ab cb Zh\h Ych Y\

^c[ah ceYc

YY gac g`\0g\ Y gY_c gacc gcYY g`[\0gY]\Y

``

``

Yc[[Y][_Y_YYa_aUi cf Z d\ dYYe Y^dacd]^

Y_Z[ab c dYYcY g` c g`\0gYcY gY^Y ga[c gaYYY

cY

[aR ZS

Y`\`\ ^_\ Z_Z]__ah cdZe\e Y^dcYe ]cdccY

` c`a d\ dcYYc g[Y g` cc

[

YYR YS

YZ`[aZY_cc[___aUU ch Zh\ dYce cYd[Y

^[_aj cdZ

YY gY^ gac ga^g`\0gZ^g\ ^gYa\0gY^Y gac^gc]cg`\ ^

Ya^

Y\ [R ]S

Y[^a` ]`\ ^` ____ab cb Zf\h YY dYc d\ Y

YYaZce Zh

Y\0ga^g]^gY` ^ g`` ^

Ya

Ya

a_[[a__Zca` ]__aUiZe\ dace cYd\ ^d]^

Z_[adYYdacc g` c

`

`

aYZ^_^Z^Y_`___aUh ch Zh YYdYcd` cdYa\

]__ab Ze

\ gY^gcYg\ ^gY^^

^\

Y]_R YaS

aY\ cc\ Z]` a^[__ab cdZe\h cYe ]cdccY

` c`a d\ dcYYc g[Y g` cc

[

YYR YS

aac]Z_a^` ]^Z[_ah cUi ZdacdY_\ dc]ZY

Y^]a dceYY

YY gY\0g` c gYcY gY^\

Yc

Yc

ac]]Z^\ Ya_____aUUch Zb \hYc dcY

^[_aj cdZ

YY gY^ gac ga^g`\0gZ^g\ ^gYa\0gY^Y gac^gc]cg`\ ^

Ya^

Y\ [R ]S

a`[YcY[^Z` ZaY[aUf \ dY^e cYdYa\ dYZY

a]Zc dZdY^

Z ga^gc\0gYYc gZ[^

Yc

Yc

a]Y_c_]_a]\\``ak ch \ dYY dcYe ]cdccY

` ^[af cY

[Y g^^Y

Z

Y\ YR aS

c_acca\ Zc]____ab ch Zf \hYYeY^d\ Y

YYZZc dZd\dYYYc ga^g` YgY_^ g` [Y g\ [^ gac_^

ac

ac

caYcc_a^a^a___ab ch Zh\e Yce Y^dcYd[Y

Yc[Zc dZd\dYca^ g` Y gY]Y gc]^ga\ a^

]

]

ca\ Za\ Y` ^^Z___ah ce Zf\h YYe YcdY^d\ Y

YYZZc dZd\dYYa^ g` Y gY_^ g` [Y g\ [^ gac_^

Y_

Y_

` cY]_` a\ ^YY`__ah Ze Yce Y^dcYh c\d[Y

` _cYc dcY

Y

[R YS

` c^`\` aY` _Y]]]ab cj acdYc\ dZ`\ dY_^c

aY[ah ch

Z g\0gYYgY\0g`\0gZcg\ YgY_\0g` cY

cZ^

][aR c]S

` [_Yc`\ Y`Y]_^[af ce\e YcdY^dcYe ]cdccY

ZZ]a dce cYZ gYY gY\0g[Y gZZ\

c_

Yc]R \S

` [cZc``` c__]__aUUZe\e YcdY^e cYdYa\

\ [_ah ZdY^

c gc\0g\ ^gYZY gc\ ^

Y__a^_R `S

`\ ^YYYYZZ[` ^a]al cf \eYYeY\ dY^e Ya\

Y__]af ce \

Z gYc gac gcY g`Y g`\0g\ Yg]cgY[\0gaac gaZY gZ_c

a^`Y[aaR Y_ZS

Zc_^a` [\_a_]]_af ch Z d\e Y^dcYe ]cdccY

[ZYc d\ dcYYc g` Y g[Y g` cc gYc_Y

Y_

a_R aS

Z` ^c` a\ [\ Zac[_ah cj Z dac dYc\dZ`\ dY_^c

aZaae ce \

\0gYYgYcgY\0g` Yg\ Yg]cgY[\0gaZY gZ_c

\`

Y_aR ZS

Z]^^Y[c__aca__ab c dZe \eY^dcYe ]cdccY

[a_ae ZdcY

[Y g[Y^

[

YYR YS

[Y_YZc][` ca___ak cdZh\h YYe YcdY^dcY

YZ`_ae Z d\ dYY` c gY_^ gYc^ gc_\0g` c^g\[^ gc_\ ^

aa

[YR YS

\ a]\` []_\ aY^a_ak cl Zd\eYY dY^dcYd` Y

YZYaah ch \

Yc gY\0gac g`\0gZcg\ Yg]cgY_\0gY[\ gaZY g` cY gZ_c g

Y]^

aa]R ZS

YZYY gc_ac

Page 114: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

m n�o

p

qr ps

t u

v w

v wx

y z{| {}{zz~�}z�~� {� � �y� ����{��} �| {

�{~{{� y�

�y0�| � ��{�}y0�~}{ ����

~�

~�

yy ~�~�~�{�}y z�~� {� � �y� �{��y ��}� �~y

�{z�~� {� �}�� �~{ �{y0�|y0�y ����{�����~~y0�z�{ �}�� ��{zy

��y��y

y �| ~}�}z�y z���~u�{���y ���� �}�~{�{���}�{{����

~| �

~

~

y }y ���z��| {~��~u� �� ��� �} �{��| {��~y

zz�~� {�����{ �y0�~{�~} ��} ���} ��{��~z{�| {} �z�} ��{�}

}~

~~{r ys

�|y z�z�y �y �|| �~� {� � �y� �{�{�� �{�{{�

z��{�y �{�

| � �z� �| {{��{��

y

y

}��{| {{| ���z��~� ��y� ����y� �} �{��{�y

}�~~� y ��y{ ��{ �zy0�~y �

�z

�y zr }s

���yy {~�| ��~�z�~u�{� � �y ����~{� y }��}

���| ~� {�~{

{��|y0��{y0�{zy0����{ �~~�y

��

~{r ~s

�~�{�z�z��| ��{z~� {u�y �~{���y �{���

~}y{� ��

� ��y0��{��}y0��}{

~{

~{

�{������}}�����~� {� ��y� ��� �{��} �y �

�z��~�{��� ��~} �| {��} ���} ��{���| } �z�} �{~}}

~�~�

�{| zz}~zy �| ����~� {���y �����} �{y �y � �y {�~��~���

| }} ��~| }

�|y �z�~��������~� {� ��y ��{� �y�{��z�

����~� {� ��

�� ��} �~{ �~} �|y0��} �y ��y} ��} ��| } ��y } ��}} �~{} �{�} �|y �

|yyr ~s

|| } ��}} �y �}

�y ~~}~��z��z��~~u� y� �}� {���~y ����

| ~�~� {���y{ �������{�~{�~} �| ���} ��{��{} ��zy0�| �} ��{}

~~y~|| ~r ��s

�y z}���~| {��| ��~u�{� ��y� �{��} �~{�{���}��| �~� {�y����� �| � �| { �|y0��{ ��{���zy �~z{�{�y0�| z���~{� ���|yz|�z�r {s

~�~�zz|}�z{z���~� {� ��y� ����{��} �| {

�y ��� �y�

}y

{

{

~~�z~z{����~y ~�~u� {� � ��� �| � �| {��~y

�z|~� {�

y ��y0�~{�{��|y0��{�y ����y0��}� �| {���z{

~}�

| }}r ~�s

~~����{| �y �~���~� {� ��y� ��� �{��y ��}

~z��~� {�y~{�{��| ��|y0��{��~y0��zy ��}� �~~{ �{�{ �~z�y

���

�~�r ~s

~~�| �}�}}z�����~� {� ��y� �{��y �{�

����~� {� ��

�� ��} �~{ �~} �|y0��} �y ��y} ��} ��| } ��y } ��}} �~{} �{�} �|y �

|yyr ~s

|| } ��}} �y �}

~y �| ��~�y {~| ���~� {� ��y ��y �{�� �{�{{�

}}~~� {�

z� �}}�

��r �s

~y| {��}}�y �z��z~� {� y ��{� {�� z���{�{{�

���{� � ��{

� ��y0�~} ��} �~{{�{�}

�y~~r ~s

~�}�}y ~z{z~����~� {� ��y� �{� �}�{��z�

~�~�{� ��

�y0�~} ��{��} ��| } �~z} �|| } ���} �| �| }

z|

��r ~s

~}�����}�zy ~���~� {� ��y� �{��y ��} �| �

~{�| ~� {�

�� �~{ �{� �|y0�y � ��~y0��}� �{�{ �����

~{�{~~r �s

{~�}�}{��������~� {� ��y� ����} �| � �y �

��y �{� ��y

�{ ��y0�~} ��} ��| } �{| } �|| } ���| }

{}

||r �s

{| �����~~���| z|~u� {�y��}� {y �y {��~y

��~~�

{�

z

���r |s

{| z�~|y ~{�~|| ��~� {� � �y� ��� �{��y ��}� �~y�}{z~� ���

{��| {�~| � �}zy

��

��

{�{{~��}}�| �~��~�{� ��y� �{� �}�z�� }y

}��{�� �z�~}

~

~

Page 115: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� �0�

�� ��

� �

� �

� ��

� ���� ���� ��¡ ���¢ £¤�¤¡¥ �¡ ¤�� ¤£¡¥ �¡ ¤¡£�� ��¦ £¡

£�

��� ��

� ����¡ �� ����£����§ £¥ �¤¡ ¤��¥ �£¤�� ¤� £ ¤��¡�� ��¨ £¥ ��

�¡0©�£ ©£� ©�¡0©¡� ©�£� ©��¡ ©��£ ©�� £ ©£��¡

��

��

� �¡ ££  ¡ ��£��� ��ª £¨ ��§�£ ¤£� ¤�� ¤ �

�� �§ ��¥

¡ ©� £ ©�� � ©��¡

��

� �� ��

� £��£��� ��������¢ �¦ ¡§ �� ¤£�¤£¡¤¡ £

����� ¤£¤�¥ ¡£ ©�� ©�£ ©�� ©� � ©�� © £ ©�£� ©��� ©£� � ©� �� ©��� � ©������

 ��� � �

�� £���  ������ ���« £¥ �¥ ¡¥ �£ ¤�¡¤��¥ £�¤��¡����£ ¤�¤¡¤���� ©£¡0©� � ©��£ ©��� ©¡�¡0©£� �

��

� £� ��

�  �� ������������¦ £« �¨ ¡§ �� ¤� � ¤¡ �

��¡ �£¥ �¥ ¡

�£ ©�¡0©�� © � ©�� � ©£� � ©�� � ©��� �

£�

��� ��

�£���� �¡���  ���¦ £§ �¥ ¡¥ �� ¤£�¥  £¤££�

�����¥ £¥ £�

�� ©�¡0©�£ ©�� ©¡� ©��¡0©¡� £

£��£�� �£�

�� ��£ �¡¡   ����¬ £§ �§ ¡§��¥ �£¤�� ¤£�

�¡¡��¥ £¥ ¡ ¤���¡0©�£ ©� � ©� £ ©¡� © £ ©�£� ©��¡ ©��¡0©��� ©��£ ©£�¡0©� �� ©���

� £� ��

��£ ©� �¡

�¡ ��� £��¡ ������§ £¥ �¥ ¡¥ �£ ¤��¤£�¥  £¤££������¥ £¥ £�

�� ©�¡0©�£ ©�� ©¡� ©��¡0©¡� £

£�

� �� ��

���� � ����� �����« £« �¨ ¡ ¤�� ¤�¡¤� �¤¡ �

�����¨ �§

�� ©£� ©¡ � ©��� ©� �� ©����

� ��� ��

� � ¡¡� �� ���� ��§ £¥ �¤¡¤�£¥ £�¥ ��¤ £¤££�

 ��� ¤�£¤£�

¡ � ����� �������¦ £§¡¥ ��¨ ��� ¤���

£��£¤¡ ¤��� ©�£ ©£¡0©� � ©��£ ©¡ �¡

�£

� �� ��

¡¡��¡ £� ���� £���� ¤£« �§¡¥ �£§ �¡ ¤�� ¤� �

����£¥ �£¥

�££ ©££¡0©���£ ©£�� �

¡

¡

 ���� ��¡��£����¬ £¤�¥ ¡ ¤��¤�£¤�� ¤£�§ £¡����� ¤�¥ £��� ©��� ©��� �

¡

¡

 ����£¡�� ��  �����¨ �§¡§ �£ ¤��¤£�¤���

�����¦ �¤¡

£ ©¡� ©�£� ©��£ ©��£�

���­����

 ����¡���  �� ��§ £¥ ¡¥ �£ ¤��¨ ���¤���

£��£¤¡ ¤��� ©£¡0©� � ©��£ ©¡ �¡

��

��� ��

 �¡ ����¡  ¡ ��� ���¦ £¥ �¥ ¡§ �£ ¤£�¥ £ ¤££�

�����¥ £¥ £�

�� ©�¡0©�£ ©�� ©¡� ©��¡0©¡� £

£�

� �� ��

Page 116: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

®°¯±¯³²µ´·¶±¸º¹¼»

½¿¾ÁÀÃÂÅÄÇÆÉÈ ÊËÆÍÌɱÎÐÏÑÀÃÒÔÓ ÏÑÒÕÒÔÖÕ×ؾÁÆÚÙºÛÝÜ Þ

ß à á

Page 117: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

â ã0ä

å æÁç åéè å æÁç åéèê ê ë ì ê í î ï ë¿ð ñ í ò ê êôó í ê ë ïõËðÕó í ð ë ì ö ë ï ï ÷øð ù í ú öÕó ê íÕó ê ð ì ë öð ï¿ð ú ì í ö ì ì ð ð ÷ ÷øð ò ö ú ì ú ê îÕó í ê ë îê ë ÷¿ð ú öÕó ì ö õ ÷ ö ê ö ÷ ÷øð ú ö ò ì ú ê íÕó ê î ö ÷ð ì ÷¿ðÕó í ò ö õ ï ö ÷ õ ë ÷ ÷øð û ö ú ì ò í ê ë îë î õ¿ð ü í ê ö ï ï ì ð ð ÷ ÷øð ò í ò ö ú í êºó ö í ö íõ ì ð¿ð û íÕó ì ï ê ê î ï ê î ì ÷øðÕó í ú öÕó ì ú ê êºó ê íýó ê î ì ìê õ í ï¿ðÕó í ú ìýó ê í î ê ë í ÷ í ö ð ÷øð û í ò öÕó ìýó ê êºó ë í ï õð î ì ÷¿ðÕó í ò öÕó ê ê ê ê ê ö ë î ö ë ï ÷øð ò í ú öÕó ìýó ê êºó ê íýó ë í ï õõ ð ÷ ÷¿ð ò ö ú í ê ê ÷ ê õ ê õ õ ö î ðøð ù í ú ê íýó ê ìýó ê ð ì ö êï ê ð ï¿ð ù ê ð ì ì ê ì ë ð ï í ð ÷øð û í ú öÕó ì ú ê íÕó ê î î õï ê î ÷¿ðÕó í ú öÕó ìýó ê í ê ö ê ï ê ö ë ö ÷ ÷øð ú íÕó ö ò ì ú ê íÕó ê î ì öê ï õ ÷ ÷¿ð ò íÕó ö ú í ê ê ö ð í ÷ ï ï ï ÷ ÷øð û ö ú ì ú ê îÕó í ê ì ÷ê ï õ ð ÷¿ð ú öÕó ì ú ê î ê ë ð í ö õ î î ð ÷øð ñ í ò öÕó ê êºó í ê ï ÷ð ì ï ë õ¿ðÕó í ú ìýó ê íýó ê ì ê ì ð í î õ í î ë ÷øð ú í ú öÕó ì ú ê êºó ê íÕó ê î î îí ÷ ð ë ÷¿ð û í ò öÕó ì ð ë ð ì ÷ ð ì ÷ ÷ ÷øð ò í ò ö ò ìýó ê êºó ê í ê ê ÷í ð ì õ ÷¿ð ò í ú öÕó ìýó ê í ð ë ð î ë0ê ÷ ð î ÷øðÕó í û öÕó ì ú ê íÕó ê î ï êö ö ï õ ÷¿ð ú íÕó öÕó ì ú ê î ð ê í ð î î ì ï ï ïøð ñ í ò ìýó ê êºó í ê ï ëê ÷ ö õ õ ë¿ð ù ê íÕó ê ð ì ê í í í ö ö ÷ í í õøð þ ú ï ê î ê ê íê ê ì ï ÷ ÷øð ò ö ú ê îÕó í ê ê î í ì ÷ í ö ê ï ÷øð ú í ú öÕó ì ú ê íÕó ê ìýó ê î ê ÷ ðê õ ì ë ÷ ÷øð ò í ò ö ú í ê ð ì ë ë õ õ ÷ ÷ ì ÷øðÕó í ú öÕó ì ú ê íÕó ê îýó ë0ê ï ðê ì í õ ÷ ÷øð û ö ú ìýó í ê ð ö ë ö ö í ð ï ÷ ÷øð ÿ í ò ö ú ê ìýó í ê î õð í ì ö ê ÷øðÕó í ú öÕó ìýó ê íÕó ð î ð î ë õ õ ï í ÷ ÷ ÷øð ò í ò ö ò ìýó ê íÕó ê î ê ê ëð ë ð ÷ õ ÷øð ú öÕó ì ú ê íÕó ê î ð õ ö ÷ ë ÷ ê ì ð ïøð ù í ú ê íýó ö íÕó ê ð ì ö íí í ð õ ë ÷øð û í ò öÕó ìýó ê ê ë ë ö ð ê ë0ê í ð ÷øð ò í ü öÕó ìýó ê ê ú ê î ê ÷ ïí õ ÷ í õ ÷øð ò í ú öÕó ìýó ê êºó ê í ë ë ö õ ö ê ê ÷ ÷ ÷øð ò í ò ö ò ìýó ê íÕó ð í ê ê öö í î ë ÷ ÷øð ò íÕó ö ú ð îÕó í ê ð î õ î ð õ õ ë ÷ ÷øð û íÕó ö ú ì ú ê îÕó í ê ê ÷ öõ î ö ö ð ÷øð û í ò öÕó ìýó ð í ë õ ì ê ð ö í ÷ ÷ ÷øð ò í ò ö ò ìýó ê íÕó ð î ê ê õì ð õ ê ï ÷øð ú íÕó öÕó ì ú ê íÕó ê î í î ì ö ÷ í ï õ ÷ ÷øð ò ö ú ì ú ê íÕó ê îýó í ê î êì ö í ë ï ÷øð ò í ú öÕó ìýó ê íÕó ð í ë õ ï ÷ ï í ð î õ ÷øð ù í ú öÕó ê íÕó ê ìýó ê ð ì ï öî ö ÷ î ì õøð ù í ú ê íÕó ê ð ì ð ì ï ê õ î ö ð ö ÷øðÕó í ò ö ò ì ú ê íÕó ê î ê ÷ öê ÷ ï î ð ì ÷øðÕó í ú öÕó ì ú ê íÕó ê î ë ð î ÷ ë ÷ î ë0ê ÷øðÕó í ú öÕó ì ú ê íÕó ê îýó ï í ï íê ë ð ê ð ï ÷øð û í ò öÕó ìýó ë ì ë ì ê ÷ ï ë ð ê õ í ð ð ñ í ò ê êôó ð íÕó í ê î ðê ö í î ì ð ÷øð ò í ú öÕó ìýó ê íÕó ë ì ë ì ê ê ÷ ö ï í ð ÷ ÷ ð û ö ú ì ò ê íÕó í ê î êð ê ì ï ö ë ÷øð ú í ú öÕó ì ú ê íýó ê î ö ë ê ê ö ÷ ë ï ë ë ÷ ð ò í ú öÕó ê í ú í êôó õ ê ì ïð ð ð î ö ÷ ÷øð ú ö ò ì ò ê í í ö ê ê ö ë õ ð õ ð ÷ ð ú í ú öÕó ì ú ê íÕó ê îÕó ö í ê ÷ õð ð î ÷ ð õ ÷øð ú íÕó öÕó ì ú ê îÕó ë0ê ë0ê ê í ì ï î ê ö ð ÷ ð ù í ú öÕó ê íÕó ð îÕó ê ð ì ï ìð ë ö ì ÷ ÷ ÷øð ò í ò ö ò ìýó ê í õ ÷ ê ë ð î î ÷ ï ë ï ð ñ í ú ìýó ê êºó ê íÕó í ê ê ð ÷ð ï ë ö ï ÷ ÷øð ò í ò ö ú ê ìýó í ê ö ê ê ë ë î õ í ÷ ÷ ÷ ð ò í ò ö ò ìýó ê íÕó ö î ê ê ïë í ö ï õ ÷ ÷øð ò ö ú ê îÕó í êºó í ì í ì ê õ í í î ÷ ö ÷ ÷ ð ú í ò ö ò ì ú ê íÕó ê î ê í ö

Page 118: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ���

� ��� � � ��� �� � � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� �� � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � � ��� � ��� � ��� � � � �� � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � ��� ! � � � ��� � � � � �� � � � � � � ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � ����� � � ��� � � � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � " � � � � ��� � � � �� � � � � � ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� # � � � ��� � ��� � � ��� � � � � � �� � � � � � � � $� ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� ! % � " � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � �� � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� # � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � $� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ����� � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � $� � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � " ��� ��� � � � � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � ��� �� � � �� � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � $� � � � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� ��� � � � � ��� � � � � �� � � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � $� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � $� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � � ��� � ��� ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � ��� � ��� �� � � �� � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � �� � � � � ��� � � " ��� ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � " ��� ��� � � � � ��� � � � � �� � � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� ��� � � � � ��� � � � � �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � �� � � � � ��� � � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � � ��� � � " ��� ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �

Page 119: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

&�& '

( )�* (+ ( )�* (+, - . . / 0 - 1 0 2�/ 3 4 . 4 - 5�6 2 - 7 - , - 2 - , 1 2 / 1 0 1 0�/ 8 . 9 ,�6 - - 8 . -�6 : - - : ,, / 5 , - 5 7 0 0 0�/ 8 . 8 , 8 5�6 - .�6 - 7�6 - - . / / : 2 / 1 . , 7 , . : 0�/ ; . 4 ,�6 5 4 - -�6 - .�6 - 7�6 1 . . 1 1, / 7 5 / 7 / 0 0 0�/ ; . 8 , 8 5 8 - -�6 - . . 0 2 2 1�- 0 7 0 5 / . /�/ ; . 4 5 4 - .�6 - 7 4 - / 5 - 5 -, , - 0 : 1 5 / 7 :�/ < . 8 5�6 - -�6 . -�6 - : 5 - : 5 2 1 . : 1 : 0 0 . /�/ < . 4 5�6 - -�6 - .�6 . -�6 , 7 / . :, , 5 7 - / - / 1 0�/ 8 . 9 ,�6 5�6 - - 4 - 7�6 - 0 5 / - 1 2 , 2 7 2 : 7 0 , :�/ 3 = - . - 0 5 - - 5, 7 1 . 0 , 5 - / 0�/ ; . 4 ,�6 5 4 - -�6 - .�6 - 7�6 . - . 1�- 2 : / 2 : . . 0 0 0�/ 8 . 8 , 8 - . 4 . -�6 : - - 7 ,: 5 / 0 , : 7 2 , :�/ < . 4 5�6 - -�6 - .�6 . -�6 1 5 / . , 2 : , 7 : 7 : , 0 0�/ 4 . 8 , 8 5 4 - .�6 - 7�6 , . / : ,5 / 5 7 , 7 - 1�- 0�/�6 . 4 ,�6 5 4 - .�6 - 7�6 1�-�6 - : . - : . 2 : 7 : 5 : 1 2 0 0�/ > . 8 , 4 - 5�6 . -�6 - 7 - - 7 -5 . . 0 5 2 0 2 0 0�/ > . 8 , 4 5�6 - 5�6 / .�6 . - . / / 2 : 7 2 1 , 7 : - :�/ ; 5 4 - - 4 - 7 4 - / 5 - / -5 , - , 7 : . 0 0 0�/ 8 . 8 , 8 5 4 - .�6 - 7�6 / . . / / 7 2 : : . : 2 , - /�/ < . 8 5�6 - -�6 - .�6 / .�6 . - / 7 72 - 0 1�- : 2 2 0 0�/ ; . 8 , 4 5 4 - .�6 - 7�6 . - . , -

Page 120: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

?�?�?

@ A�B @CD E F E E F G H E G F�F I J K�L D M�L G D�L D N D M HD E N K N O D M N F E�F P N�L K�L D M�L F G�L G K�L K G D O QD E N M K E Q�D E E E�F R G R N R K�L D G�L D M�L F F K F F KD E N M K K N M F E E�F S G R N T K T D K�L D M�L G D G N KD E M N F H D D Q O O�F S G T K�L D G T D K�L G D�L H D F F DD E M O G Q E O D F O�F U K�L D D T D M�L G D�L Q G D K FD D E K H D N H E E E�F S G R N R K R D G�L F G G F FD D F M H F K H M M F�F U G T K�L D D�L D G�L G D�L K M F G KD D Q O E M E N O E E�F R G T N T K T D G�L D K�L D M�L G D G N KD F M Q�D E D M E E E�F R G R N R K�L D G�L F G�L F F M F F MD G E H K M D G H E E�F V G R N T K�L D K�L G D�L Q�D G F OD G E K G N N E G G H�F I W G J K�L D D�L F G�L O M F F QD G G M O E F D E E E�F R G R N R K T D G�L D M�L Q�D G F OD G N O D M O H H E E�F R N T K T D G�L D M�L G D�L D O D D O DD G N O Q�D G E N H E�F U G T N�L K�L D D�L D G�L D M�L G D G O ED G H H E K K E F Q E�F X G T N�L D G R D K�L D F K D H MD Q�D O F Q G M E Q E�F V G J N�L K�L D D T D K�L D M G O QD Q F N Q G H N Q Q E�F P N�L K�L D M�L G D�L G K�L K G D O HD Q G K O G H Q E E E�F S G R N R K T D D�L D G�L D M Q Q ED Q N Q�D K N Q N E E�F T G R N R K T D G�L D M�L O M F H KD Q M O E F M D F E E�F V G R N T K�L D K�L G D�L Q K G F MD N D K Q E E D M F E�F P G�L N�L K�L D D�L D M�L G K�L K G F H QD N D M F K K K H E E�F V G T N T K�L D D�L D G�L D K�L G D Q Q ED N G N O K E K E E E�F R G R N R K T D G�L D M�L Q K G F MD H E E G N D E F K F�F I T G T N G�L O D M D N GD H N H M H N G K H E�F U G R N�L D D�L D M�L G D�L G K F M HD H M D M F F M H E E�F S G T N T K R D G�L D K�L G D G N KD K H F Q N G O H F Q$F U G�L K�L D D T D M�L F G�L G D F N GD O M M M M O D E E E�F R G R N R K�L D D�L D G�L D M�L G K Q E KD M E D K K O F K O Q$F U G T K T D D�L D G�L D M�L G D G G HD M F E M O O D H E E�F I I N T K T D G�L D M�L G D F N HD M K Q Q Q N F E E E�F S G R N R K R D G�L Q�D G F OF E E D N N N M F E E�F S N T K R D G�L G D�L D O D D O DF E G O K F N H D F E�F R G J N�L K�L D D T D K�L D M�L F G G M DF D N G K E D Q Q E E�F V G R N T D D�L D K�L G D�L Q G G Q QF D H D D Q N K F O E�F P N�L K�L D M�L G K�L Q K�L K G D O OF D M Q G N M N N F E�F U G R N�L K T D D�L D M�L G D G M FF F H G G O O Q E E E�F S G R N R K R D G�L Q K G F MF F M G G N G F D H E�F U G R N�L K�L D D�L G D�L D G M F K OF G Q N E K G E F Q E�F P G�L N�L K�L D K�L D M�L G K�L K G F K F

Page 121: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Y�Y Z

[ \�] [^_ ` a b b _ ` _ c d e�_ f ` g b�h i `�h _ c�h i _ j�h i j ` i j `_ k ` d _ d i _ a _ e�_ g ` g b�h j g i `�h i c�h b `�h _ i i _ i i_ b b b c ` e i d e e�_ l ` m b g j g i c�h ` i�h k�i ` d c_ b d d d e e j e k e�_ n g ` g b�h i j�h a i c i a b_ d i i ` k ` _ a e e�_ l `�h b g j g i `�h i c�h _ c�h ` i ` j j_ d _ k _ e j e k e e�_ o ` g b g j�h i `�h i j�h i c�h ` i k b d_ d k b k b b d a e e�_ o ` m b g j�h i j�h ` i�h a ` ` ` __ j i _ _ a _ ` e e e�_ m ` m b m j g i `�h i c�h a ` ` ` __ j d a c _ k ` k e e�_ m ` g b g j g i `�h i c�h ` i�h k�i ` d c_ j j _ d k e i j ` d�_ m ` p i i m i j�h ` i�h d i i a j_ c j i b _ a b d e e�_ l ` g b g j g i i�h i `�h i c�h ` i k c b` e e d ` a b _ e e e�_ l ` m b m j g i `�h i c�h _ ` k d e` e d e e j e a e c d�_ n p `�h j�h i c�h ` i�h i b i i k k` i d ` a ` _ i e e e�_ m ` g b m i i�h i ` g ` i�h d i _ j b` i j _ j k b a b d e�_ q `�h b�h j�h i c�h _ `�h ` j�h j ` _ j d` i j d d j i d a e e�_ o ` g b g j�h i `�h i j�h _ `�h ` i k d e` _ c b e _ _ k ` a k$_ r `�h j�h i i g i c�h ` i�h k ` _ b a` _ c b d c b ` i _ e�_ l ` g b�h j g i `�h i c�h ` i�h d i ` d d` ` e k e e j _ a e e�_ l ` m b g j g i c�h ` i�h b ` ` j i` k�i j k a i _ d j _�_ r ` g j�h i i�h i `�h ` i�h _ ` c _ ` c` k k a _ j c _ c d e�_ r ` m b�h j�h i i g i c�h ` i ` c d` b e ` _ j b j j d e�_ r ` g b�h j m i i�h i `�h ` i ` c _` b j c ` k�i _ _ e e�_ m ` g b g j g i `�h i c�h ` i�h b ` ` j i` j c e d b c d e e e�_ l ` m b m j g i `�h i c�h _ c k d k` c c j e k j d e e e�_ l ` m b m j m i `�h a ` ` ` _k e e b ` d a d k e e�_ o ` g b g j�h i `�h i j�h _ c�h ` i k d kk e b _ e a k k e e e�_ l ` m b m j g i `�h i c�h ` i k d bk e j b _ ` c i d a e�_ r ` m b�h j�h i i�h i `�h i c�h ` i k c kk e a e b _ e e a e e�_ l ` g b g j m i `�h ` i�h k�i ` d ck _ e b k b ` d i d e�_ l ` g b�h j g i `�h i c g i _ j _ a bk _ j d ` e c d ` _ e�_ q `�h b�h j�h i c�h ` i�h ` j�h j ` _ j ck ` j a ` i a a k a e�_ n g ` g b�h _ c�h a i c i a jk ` a d i k j a k e e�_ n s ` m b g _ `�h ` i�h a c _ d kk ` c b _ e k k b e e�_ g ` m b m j g i `�h i c�h _ d c _ d ck k�i a k�i j _ e ` _�_ r ` m j�h i i�h i `�h ` i�h i e ` ` e ck b b j a ` ` _ a e e�_ o ` m b g j�h i i�h i `�h i j�h ` i b j _k b c _ ` d _ ` _ e e�_ l ` g b g j g i `�h i j�h i c�h ` i b i eb e k c j k d j c ` e�_�h ` l b�h j g i `�h i j�h i c�h i e i ` e `b i e e i i a e i d e�_ n p b�h j�h i c�h ` i�h i b i i d eb _ j k a i a d k e e�_ l ` g b g j m i `�h ` i�h b ` ` j i

Page 122: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

t�t u

v w�x vyz { | | } ~ � { | � ��| � { � z � }�� � }�� { ��� � � } { { �z { � | � z � ~ � � ��| � { � z � }�� � ��� � {�� { � z � �z � z } | � | } � � ��| � { � z � } � � {�� � ��� � � } { { �z � � � ~ � � � � � ��| � { � z � � { � � ��� { ��� � � | ~ zz � � ~ � { ~ � � � ��| � { � z�� }�� � ��� � {�� { ��� } � { � zz } z } z ~ � � � � �$| � � { � � ��� � {�� � {�� � | } � � |z } � | � � � � ~ � ��| � � {�� z � } � � {�� � ��� { � { ~ �z } � � ~ � ~ � z � ��| � { � z � } � � { � � } | } {z } ~ � } � z � � ~ ~�| � � { � � ��� | {�� { ��� ~ � | � ~z � { ~ ~ � � { � ~ ��| � { � z�� }�� � � � � }�� � ��� � } � � |� � � { � ~ | ~ � � ��| � { � z � } � � {�� � ��� � } � } �� | � ~ } � � � z } ��| � { � }�� � ��� � {�� � ��� | {�� { � � { }� � ~ { � { } � ~ � ��| � {�� z�� }�� � ��� { }�� � }�� } { | ~ |� � � � � z � z | � ��| � { � z � }�� � {�� � }�� { ��� � } � } �� � � { { } | � { | ��| � � { � z�� � ��� � {�� � | } | | �� } � | | � � � � ~ ��| � { � z�� � ��� � ��� { ��� � z � { � |} � | } � ~ | } | � ��| � z � }�� � ��� { ��� { }�� } { | } �} { � | � { � ~ � � ��| � z � }�� { � � ~ {�� { { � � | z} } � | � { � � � � ��| � { � z � } � � {�� � ��� z � � } |} } � | � } � � � � ��| � { � z � } � � ��� { � { } z} ~ { � � | � ~ � � ��| � { � z � } � � {�� � ��� | ��� { � z | |~ � � | | z | � � � ��| � { � z � } � � {�� � � } { { �~ � z { { � � ~ � � ��| � { � z � }�� � { � { ��� � � { } z~ � z z � z � � z � ��| � { � z � } � � {�� � }�� � ��� | � � � {~ � ��� } } � z � � ��| � {�� z � }�� � � � � }�� � ��� { � � ~ �~ � � ~ ~ z { � � � ��| � { � z � }�� � {�� � }�� { ��� z � � } |~ { ��� � � � � � � ��| � { � z � � { � | ��� { ��� � � | � �~ � ��� ~ � | z � � ��| � { � z � } � � {�� � ��� { � { } z~ } ~ | z | ~ { ~ � ��| � z�� }�� � ��� { }�� } {�� � � � � � �~ � z | � � � � � � ��| � { � z�� }�� � � � � }�� � ��� � � � � � �� { ��� � { { { | ~ ��| � { � z�� }�� � { � | ��� { ��� � � { } }� z � ~ ~ � � { � | ��| � { � z�� } � � ��� � {�� � ��� { � z � �� z { � � � z � � � ��| � { � z � }�� � {�� � }�� | {�� { � z � ~� } � ��� | ~ z � | ��| � {�� z�� }�� � ��� { }�� } ��� } { | ~ �

Page 123: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

��� �

� ��� ��� � � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� � � � � ��� � ��� � � � �   �� � � ¡ � � ¡     � � ��� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � �   � � �   � � ��� ¢ � £ ¡ £ � � � ��� � ��� � � � � �� � � �   � � ¡   � � ��� £ ¡ � � � � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � � � � �     � � ��� ¤ � � ¡ � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � ¡ � ¡ � �   � � ��� � � ¤ ��� � ��� � ��� ��� � � �� � � � �   ¡ � �   � ��� £ ��� ¡ � ��� � � � � ��� � � � � ¡ ¡� � � � � � ¡ �   � ¡ ��� ¥ ¦ ��� � ��� � ��� � ��� � ¡ � � �  � � ¡ � � � ¡ �   � � ��� � � £ ¡�� ��� � ��� � ��� � ��� � � ¡ � �� � � � � � � � � � � ��� ¢ ��� ¡ £ � £ � � � � ��� � � � � �� � � � �   � � � � � ��� ¢ � � ¡ ¢ � £ � ��� � � � � ¡� �   � � � � � � � � ��� £ � £ ¡ £ ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � ��� � �   � � � ��� � � £ ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � �   � � � ¡   � ��� ¥ � � � ¡�� � ��� � � � � � �� � � � � �   � � � � ��� ¥ § ¡ � � � � � � �� � � � � � �   �   � ��� ¢ � £ ¡ � � � � ��� � ��� � ��� � �     �� � � � � ¡ � � � �   ��� � � � ¡�� ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � �� � � � � ¡ � � � � � ��� ¢ � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � �� � � � � �   � � � � ��� ¢ � � ¡ � � � � ��� � ��� � ��� ¡ � ¡ � �� � � � � � � � � � � ��� ¢ � � ¡�� � � � ��� � ��� � ��� �   � �   �� ¡ � � � ¡ � � � ¡ � ��� ¢ � � ��� � � � � ���   ��� � � � � � �� ¡ � � ¡ � � � � � � ��� ¤ � £ ¡ � ��� � ��� � ��� � ��� � �   � �� ¡ � � ¡ ¡ � � � ¡ � ��� � � � ¡�� � � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � �� ¡ � � � � ¡ � � � � ��� ¥ ¦ ��� ¡�� ��� � ��� � ��� � ¡ � � � �� ¡ � ¡   � ��� � � � ��� £ � £ ¡ £ � � � ��� � ��� � ��� � �   � �� ¡   � � �   � ¡ ¡ � ��� � � � ¡ £ � � � � £ � ��� � � � � �� ¡   � � � � � � � � ��� § ¡�� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � � ���� ¡ � � � � � � � � � ��� ¢ ¡ � � £ � ��� � ��� � � � � � �� ¡ � � � � � �   � � ��� ¢ � � ¡ � � � � ��� � ��� � ��� ¡ � ¡ � ��   � � � � � � � � � ��� £ � ¦ ¡�� ��� � � � � ��� � ��� � � � ��� ��   � � ¡ � � � � � � ��� � ��� ¡�� ��� � � � � ��� � ��� � � � � ��   �   �   � � � � � ��� £ � � ¡ £ � � � � ��� ¡ ���   � � � ¡�   � � ¡   � ¡ � �   ��� ¥ ¨ � ¦ ��� � ��� � ��� � ��� � � ���  � � �   � � � � � � � ��� ¤ � � ¡ � � � � ��� � ��� � ��� � �   � �� � � � � � � � ¡   � ��� ¤ � £ ¡ � ��� � ��� � ��� � ��� � �   � �� � � ¡ � � �   � � � ��� � ��� ��� � � � � ��� � ��� �   � �   �� �   �     � � � � � ��� ¥ ¥ � � ¡�� ��� � � � � ���   � � � �� � � � � ¡ � � �   � ��� § ��� ¡ � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � ¡� � � � � � � � � ¡ � ��� § ¡�� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � �� � � ¡ � � � � ¡ ¡ � ��� � � £ ��� � ��� � ��� ����� �   � � �  

Page 124: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

©�© ª

« ¬�­ «®¯ ¯ ° ± ¯ ° ² ³ ° ´ ³ °�¯ µ ¶ · ¸�¹ º�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ¶ ´�¹ ´ ° ¶ ¸ ´ ¸¯ ¯ ´ ± ° ² ¯ ² ¯ ³ ¯ »�¯ ¼ º�¹ ´ ± ½ ¶ º�¹ º ¶�¹ ´ ¯ º ´ º ´¯ ¯ º º ² ¶ ¸ ¸ ³ ° ° °�¯ ¾ ¶ · ¸ · º · ´ ´�¹ ´ ¶�¹ » ¶ ³ ° ¯¯ ¶ » ³ ° ¸ » ¯ ² º ¶ ³�¯ ¿ À º�¹ ´ ±�¹ ¯ ¶�¹ ¶ ´�¹ ´ ¸ ´ ´ ² »¯ ¶ ³ » ² ± ² ± º ´ ³ °�¯ · ¶ À ¸�¹ ´ ´ · ¯ ±�¹ ¶ ´�¹ ³ ´ ¶ ´ ±¯ ¶ º ´ ± ´ ¸ ¸ ³ ° ± ³�¯ ¿ Á ¶ À ´ ´�¹ ¯ ¶�¹ ² ±�¹ ´ ¯ º ¯ ¸ »¯ » ° » ¯ ¶ ³ º » » ° °�¯ ¾ ¶ ½ ¸ ½ º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ² ± ¸ ¶ »¯ ¸ ° ¯ ¶ ° ¶ ¸ º ° ° °�¯ · ¶ · ¸ · ´ ¶ ½ ¯ ±�¹ ¶ ´�¹ ³ ´ ¶ º º¯ º ´ ¶ ° ± ± ¯ ¸ ¯ ¸ °�¯�¹ ¶  ¸ · º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ »�´ » ° ¸¯ ² ° ¸ »�´ » ² ² ¸ ° °�¯ ½ ¶ · ¸ · º ½ ´ ¶�¹ ´ º�¹ ´ ±�¹ ´ ° ´ ¸ ° ¸¯ ² ¸ ¯ ³ ³ º »�´ º ³ °�¯ µ ¶ · ¸�¹ º ½ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´ º ¯ ²¯ ² º ² º ± » ¸ » º ¯ °�¯ ¿ · ¶ ½ ¸�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ » ¶�¹ ´ ¯ º ¶ ¯ °¯ ² ² ³ ³ ¯ º º » » ° °�¯  ¶ ½ ¸ ½ º�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ º�¹ ´ ±�¹ ¶ ´ ² ¶ ³¯ ² ± ° » ² ³ ² º ¯ ° °�¯ ¾ ¶ ½ ¸ ½ º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ´ ° º ¸ ¶ ¸¯ ± ¯ ¶ ¶ º º ´ º º ³ °�¯ µ ¶ · ¸�¹ ´ ´�¹ ¶ ´�¹ º ±�¹ ´ ¸ º ¶ ´ »¶ ° º ° ° ´ ¶ ¸ ° ³ ¸ ³�¯ µ ¶ ½ º�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ´ ´ ¶ » ¸ ¯¶ ° º ° ¶ ° ¶ » ² ² ° °�¯ ¿ Á ¶ · ¸ ½ º�¹ ¯ ¶�¹ ¶ ´�¹ ² ± » ³ ¯¶ ´ ´ ¯ ° ¶ ¸ ³ º ¸ ² »�¯ ¾ ¶ ½ º ½ ´ ¶�¹ ´ ± ½ ¶ º�¹ ´ ¯ º ¶ ¶ ¶¶ ´ ¯ » ° ¯ ³ ¶ ³ ° ° °�¯ ¾ ¶ · ¸ · º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¯ ¶ ± » º ²¶ ¯ ´ ¶ ° ° ° ³ º ´ º ³�¯ · ¶ À ´ ´ · ¶ ´�¹ ³ ´�¹ ´ ± º ´ ± º¶ ¯ ³ ´ ± ³ ° ± º ± ¯ °�¯  ¶ À ¸�¹ º�¹ ´ ´ ½ ´ º�¹ ´ ±�¹ ¯ ¶ º ¶ ³¶ ¶ ° ° ± º ³ ¯ ¯ » ° °�¯  ¶ ½ ¸ ½ º�¹ ´ ¶�¹ ´ º�¹ ¶ ´�¹ ¯ ¶ ± » º ²¶ ¶ ³ ³ ° º º ² ± ° ¸ ³�¯ ¿ À ¶�¹ º�¹ ´ ´�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ´ ¸ ´ ¯ ³ »¶ »�´ ¸ ´ ± ¯ ¸ ³ ° ° °�¯ à ¶ ½ ¸ · ´ ¶ · ´ º�¹ ´ ¯ º ¶ ¯ ¸¶ » ± ° ° ¯ ° » »�´ ³ °�¯ ¼ ¶�¹ ¸�¹ º�¹ ´ ´�¹ ´ ±�¹ ¯ ¶�¹ ¶ º�¹ º ¶ ¸ ° ³¶ ¸ ° ¯ ² ° ´ ² » ² ° °�¯ ¾ ¶�¹ ¸ ½ º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ¶ ² ± ¶ ² ±¶ ³ ¯ ¸ ¯ ³ » ² » ¶ ¯ °�¯ ¾ ¶ ½ ¸�¹ º ½ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ³ ´ ³ º ´¶ ² » ¶ » ¯ ¶ ³ » ² ° °�¯  ¶ · ¸ ½ ´ º�¹ ¯ ¶�¹ ¶ ´�¹ ¶ ³ º ¶ ³ º» ° ¶ ° ¶ ´ ¯ ¶ ³ ³ ° ²�¯ ¿ · ¶ ½ º�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ » ¶�¹ ´ ¯ º ¶ ¶ ³» ° ¸ ¯ ² ° ° ³ ° »�´ ³�¯ ¿ Á ¶ À º�¹ ´ ´�¹ ¯ ¶�¹ ¶ ´�¹ ² ± » ¶ »»�´ ° ¯ » ° º » ¯ ± ´ ¯�¯ µ ¶ ½ º�¹ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ´ ¸ ´ » ¸ ¶»�´ º ³ ¯ » ± ¶ ³ ± ³ °�¯ µ ¶�¹ ¸�¹ º�¹ ´ ´ ½ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ´ ° ± » ¶ ³» ¯ ³ º º ² ± ¶ » » ° °�¯  ¶ · ¸ ½ º�¹ ´ ¶�¹ ´ º�¹ ¶ ´�¹ ´ ° ¶ ³ ´ ²» ¯ ² » » ° ¶ ± ° ¸ ³ °�¯ ¾ ¶ ½ ¸�¹ º ½ ´ ¶ ½ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ³ ´ ¸ » ³» ¯ ² ¸ ¸ ¸ » ¶ ± ° ° °�¯ · ¶ ½ ¸ · ´ ¶ ½ ¶ ´�¹ ³ ´�¹ ´ » ± ¯ ± ²» ¯ ± ¸ ¯ ° ± » ³ » ° °�¯ ¾ ¶ · ¸ ½ º ½ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ ¸ ¶ ³ ² ±» ¶ » ¸ ° ² ´ ¯ º ¯ ° °�¯ ¾ ¶ · ¸ ½ º ½ ´ º�¹ ´ ±�¹ ¶ ´�¹ »�´ ³ ± º» ¶ º » ° ± ° ° » ° ¶ ¯�¯ µ ¶ ½ º ½ ´ ´�¹ ´ ¶�¹ ´ ±�¹ ¯ ¶�¹ ¶ ´ ³ » »» ¶ ± ³ ¸ ¸ ³ ´ ° ¯ » °�¯  ¶ À ¸�¹ º�¹ ´ ´ ½ ´ º�¹ ´ ±�¹ ¶ ´ º » »» » ¶ ³ ¯ ¯ » ¯ º º º ³�¯  ¶ À ´ ´ · ´ º�¹ ¶ ´�¹ ³ ´ ¶ ¸ ¯

Page 125: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ä�Ä Å

Æ Ç�È ÆÉÊ Ë Ì Í Î Ë Í Ê Ï Ï Ê Í�Ï Ð Ñ Î Ñ Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô�Ò Ê Î�Ò Ô Ï Ó Î Õ ÏÊ Ë Õ Ê Ï Í Õ Í Ë Ì Í Í�Ï Ö Î Ñ Ì Ñ Ó Ö Ô Î Ñ Ô Ó�Ò Ô Õ Ì Í ÓÊ Ó Í Ó Ô Ó Ô Î Ó × Í Í�Ï Ñ Î Ö Ì Ö Ó Ö Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ê�Ô Ë Õ ÓÊ Ó Õ Ê�Ô Ô Í Õ Î Ì Í Ê�Ï Ð Ø Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ê Ó�Ò Ô Ì Ô Ô × ×Ê × Ï Ê Ó Ë Ï Ë Ï Ê Í Í�Ï Ð Ù Î Ñ Ì Ö Ô Ô�Ò Ï Î�Ò Î Ô�Ò × Õ Ê × ÊÊ × Î Ì Ê × Ó Î × Ê Í Í�Ï Ú Î Ö Ì Ö Ó Ö Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ô Ó Õ Ì Î ÓÊ Õ Ê�Ô Ï Ï Ï × Ï Ï Õ Í�Ï�Ò Î Ú Ì�Ò Ó Ö Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Ì Î�Ò Î Ô Ó Î Ô ÓÌ Í Ï Ë Ô Ï × Î Í Ó Ï Í�Ï Û Î Ö Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Î Ó Ó Ê ÍÌ Í Ì Ô Ì Õ × Ì Ì Ï Í Í�Ï Ú Î Ö Ì Ö Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô Õ Î ÌÌ Ô Î Ê × Í Ô Î Ì Ô Ë ×�Ï Û Î Ú Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô Ë Ê ×Ì Ô × Ê Ì Î Î Ê Ï Ï Í ×�Ï Ð Ö Î Ö Ô Ó�Ò Ô Í Ô�Ò × Ô Õ Ô Ô Í ÔÌ Ï Í Ï Ô Ï Í Î Ó Ë Î Ï�Ï Ð Ø Î�Ò Ó�Ò Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ô Ì Ô Ï Ó ÏÌ Ê Ó Õ Ï Õ Õ Î Í Ï Ê Í�Ï Û Î Ü Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô�Ò Î Ô�Ò Ê�Ô Ì Ê ÍÌ × Î Í Õ Ë Î × Ô Ì Ë Í�Ï Ñ Î Ø Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô Ö Ô Õ�Ò Ì Î�Ò Ï Ô Ô Ê Ï ÏÌ × Ë Ï Í Ó Ê × Í Î Ï Í�Ï Û Î Ñ Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô Ö Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô Ó Ê ×Ë Í Î Ì Ë Ó Ë Ô Õ Ï Í Í�Ï Ü Î Ö Ì Ö Ó�Ò Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Ï Î�Ò Î Ô × Ó ÊË Ô Ë Ó Ô Õ Ì Ï Ó Ê Ï Ê�Ï Û Î Ö Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ï Ï Ó Ê Ì ÊË Ô × Ï Ë Õ Ë Ì Ï Í Í Í�Ï Ú Î Ñ Ì Ñ Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Ê Î × Ë ÍË Ï Ë Ô Ô Ï Î Õ Ë Í Í Í�Ï Ú Î Ñ Ì Ñ Ó Ö Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Ê Ó Õ Ê Ó ÕË Î Î Õ Ï Ë Í Õ Ï × Í Í�Ï Ð Ð Î�Ò Ì Ö Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô Ó Í ÊË Ì Ï Ê × Ï Í × Ï Ì Ë Í�Ï Ý Î�Ò Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Õ�Ò Î Ó�Ò Ê Î�Ò Ó Î Ì Ô ËË Ì Î Ï × Õ Ê Î Ë × Í Í�Ï Ü Î Ö Ì Ö Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Î Ô�Ò Ê Î × Ë ÍË Ë Ô Ì Ó Ë Ê Í Ë Ê Í Í�Ï Ü Î Ö Ì Ö Ó�Ò Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Î Ô�Ò Ê Ó Õ Ê Ó ÕË Ë Ë Ì Ó Ê Ë Î Ê × × Í�Ï Ü Î Ø Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô Ö Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Ê Ó Ó Ì ÏË Ó Ó Ó Í Ô Ó Ë Î Ï Í Í�Ï Ü Ì Ö Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Ó Ö Î Ô�Ò Î Í Ó Î Ê ÍË Õ Î Ë × × Ê�Ô Î Ë Í Í�Ï Ú Î Ö Ì Ö Ó Ñ Ô Î�Ò Ô Ó�Ò Î Ô�Ò Ê�Ô Ë Õ ÓÓ Í Î × Ô Ë Ï × Ë Ï Í ×�Ï Ð Ø Î�Ò Ó�Ò Ô Õ�Ò Ï Î�Ò Î Ô�Ò Ô Ì Ô Ï Ó ËÓ Í Ê Ì Ó Ì Ï Ï × × Õ Ë�Ï Ú Î Ø Ó Ö Ô Ô Ö Ô Õ Ö Ô Ï Ó Ê Í ÌÓ Ô Î Ô Ó × Í Õ Í Ï Ê Í�Ï Ý Î�Ò Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Õ�Ò Î Ó�Ò Ê Ó�Ò Ó Î Ì Ô ÓÓ Ï Ë Ë Ó Î × Í Ï Ê Í Í�Ï Ú Î Ö Ì Ö Ó Ö Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ï Ë Õ Ì Î ×Ó Ï Ë Õ Ó Ï Ë Î Ó Ê Ê Í�Ï Ý Î�Ò Ì�Ò Ó�Ò Ô Ó�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Î Ó�Ò Ó Î Ì Ï ÓÓ Ì Î Ô Î Ï Ó Õ Ë Ê�Ô Ë�Ï Û Î Ö Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ï Î�Ò Î Ô�Ò Ï Ï Õ Ê Ì ×Ó Ë Ì Ô × Ô Í Ì Î Í Í Í�Ï Ñ Î Ñ Ì Ñ Ó�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ó�Ò Ê Ê Î Ê Ê ÎÓ Ó Õ Ó Ï Õ Í Õ Ê�Ô Ê Ê�Ï Û Î Ö Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Ê�Ô Ë Ì ËÓ × Î Õ Õ Í Í Õ Õ Ï Í Í�Ï Ý Ì Ö Ó�Ò Ô Ô�Ò Ô Õ�Ò Î Ô�Ò Î Ó�Ò Ó Î Ê Õ ÌÓ Õ Î Ô Í Ê Ï Î × Í × Í�Ï Û Î Ñ Ì�Ò Ó�Ò Ô Ô Ö Ô Õ�Ò Ï Î�Ò Î Ô Ó Ì Õ× Ô Õ Ó Î Í Ô Î × Ì Í Í�Ï Ö Î Ñ Ì Ñ Ó Ö Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Ï Õ�Ò Ô Ó Î Ì Ô Õ× Î Í Î Ì Í Ì Ï Ô Í Í Í�Ï Ñ Î Ø Ì Ñ Ó Ñ Ô Ô Ö Ô Î�Ò Ô Õ Ó Ì Ë× Ë Ô Ó Ê Î Ï × Ï Ê Í Í�Ï Ú Î Ö Ì Ö Ó Ö Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ô Õ�Ò Ï Õ�Ò Î Ô Õ Ì Ó× Ë Î Ë Î × Î Ë Ê�Ô Ë Í�Ï Ð Ñ Î Ñ Ì�Ò Ô Ô�Ò Ô Î�Ò Ê Î�Ò Ô Ï Ó Ê�Ô Ë

Page 126: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Þ�Þ ß

à á�â àãä å æ ç è å é æ è ä ê ë�é ì ç�í î�í è æ�í ï è�í ï î�í å è�í î ï ï å åä ä ä ä î ç ä é ë ï å ë�é ð ï ñ ç�í è è ð ï è�í å è�í è ë æ ï é îä ä ä æ ä ä ë å å ê ë ë�é ò ç ó î ó è æ�í ï è�í è ï æ�í é î î é î îä æ ï ä ï ç î æ ë ä ê ä�é ô ï ó î ó è è�í è ï�í è æ�í ï è�í ê î å ç äæ ë å ç ç ë æ î î ë é ê�é ô ï ð î�í è è�í ï è�í ä ï�í ï ï è ï ï èæ ê ç ä ä ê ê ç æ ç é ë�é ô ï ò ç�í î ð è è�í è ï�í ï è î ç åæ ç ë ê ï é ç è î é è å�é ò ï ó î ó è ï�í è æ ó è è ï�í è é î ï ï ææ î ë æ ç å å ë ê ä ë ë�é õ ï ó ç ó î�í è ï�í è î�í è æ�í ï è�í ï î ä ä äæ æ ç ë é ê�è ä è ë å ë�é ó ï ó ç�í î ó è ï�í è î�í è æ�í å î�í ê ë è ê ë èæ æ î æ î ä î ë ï ê ë ë�é ð ï ð ç ó î�í ï è ó ä ï�í ï ï è é î æ

Page 127: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

öø÷ù÷ûúýüÿþ������

������ �������� ����������������� �� !�#" "%$'&$(�*)��#��+�,��� -.��$'$(���" $(�/�0�/)��#�21�354 6

7'8 9 :�;�<�=�>�?�@BAC9 8 D5E/F G 9 E 9�H E I F E J :K: L 8 9 E�M 8 N�O P5QKR(SCTVU#W XKG N E�E I J Y Z F Z : Y [\E Y Z D5Z ]^G : E _VG 9C: L E/N E 9 ` Y :K8 MD5E N a Z ] a5: L E�8 ` : J ` : 9KM N 8 D%9 E J^G N G : E/F G 9 E 9Cb�Z : L': L^G :�8 MB: L E�D\G Z ]'8 ` : J ` : c;KL EC: E I :B8 M : L Z 9�J N 8 8 M Z 9BG d G Z Y G e Y Ef8 ]/: L EKF 8 D\J^G ] Z 8 ]5gC8 D5J^G F :Bh�Z 9 FCG 9�: L EfE i ` Z d G Y E ] :�j Y E 9fk l m n o^n p q�r s o^k

t u vBw x y z zf{ s^n/G ]^_(k l | }^k t u vBw x y z zf{ s ~ �^c

� � �

Page 128: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

�����+�����������

���������������� �������������/���#��������,���C�V �� ���/�(��¡\�.�����¢�¢£��#���+�,��� ¡.�����+¤��(����¥ �(�/�0��£��#�§¦�¨5©^ª

«K¬ ­C® ­ ¯ ®B° ± ® ¬ ² ³�´ µ ° ° ± ² ³B¶ · ¶ ² ¸ ¶ ¹ ¸ ­C° º�® ¬ ­K» ° ¼5´^¶ º ² ° º5½C° ¼\´^¶ » ®f¾�² ³ »K¶ ³�® ¬ ­K­ ¿ À ² · ¶ ¸ ­ º ®BÁ ¸ ­ ³fÂ Ã Ä Å Æ^Å Ç È�É Ê Æ^ÂË Ì Ì�Í Î Ï Ð ÐfÑ Ê^Å/¶ º^Ò(Â Ã Ó Ô^Â Ë Ì Ì�Í Î Ï Ð ÐfÑ Ê Ì Õ^Ö

× × Ø

Page 129: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ù�Ú�Ú!Û�ÜÞÝ+ßKà�á

â�ã�ä�å æ ç�è'é#êìë�ê/í#î,ê/é#ï!ï�æ ç�î!ï!í�ð�è(åòñ�íê�ï�ó�å ô�æ ë�è(ê/ñ^è(õ\ôç�ó�ï�ö�è(ê�÷

øKù úKû^ü ý þ ÿ � � � ü ý�� � � þ ü ��ÿ �Bþ ù^ü þ��� ú �� �� �� ������� ü������ �^ü � ú �� ÿ � ú ü ýfû ý � � ý ü ���\ÿ � ��û^ü � � ü � ú !�" �5û^ü ý þ ÿ � � � ü ýþ ù ú�ÿ � ú # �^ü � ÿ þ ��� � � ÿ þ ÿ � �%$,ÿ �Cý ú û ý ú � ú � þ ú 5ü �'&�!føKù ú�� � � ÿ þ ÿ � �)('*�+ ,�� -. / � ú � � ü ý ú �fþ ù ú'0 ü ý ÿ ü � � ú1-�. /� � � ý ý ú � û� � ÿ � �5þ �\þ ù ú/û� � � ÿ � � ú�� � �5û� � ú � þ1. 2 Kþ ���^ú5ü�� ÿ �^ü ý � 3 � ý'4 56 3 0 ü ý ÿ ü � � ú !øKù ÿ ��� � � þ ü �/ÿ �70 ú ý ��� ÿ �\ÿ � ü ýfþ ��þ ù^ü þCü � � ú û þ ú �� ��8 9 : ; 8 < = 3 ü1> ý ú ú � ��ü 0 ü ÿ � ü � � ú 3 ü � ü ú �5ÿ ��� ÿ � ú ü ýBû ý � � ý ü ���

�5ÿ � �'û^ü � � ü � ú !�" � ú ú ?8 9 : ; 8 < =�@�ü ��þ ù ú\û ý ú > ú ý ý ú (û^ü � � ü � ú�@�ù ú �#þ ù ú�� û @�ü ý A� � ü � ü � ÿ � ÿ þ �)� >Kþ ù ú���� ú �@�ü ��B ý � þKþ ú � þ ú �3 û^ü ý þ ÿ � � � ü ý � �C� ÿ �� ú/ÿ þ�ù^ü ��ü �C� û þ ÿ � �A� D E Kþ �C ÿ � û � ü �Vÿ � þ ú ý �\ú ÿ ü þ ú�> ú ü � ÿ � � ú�� � � � þ ÿ � �� !øKù ú1� ù^ü � � ú ��ý ú # � ÿ ý ú /þ �'�� úCþ ù ú'� � �� þ ý ü ÿ � þ�� � � ÿ �Cû ý � � ý ü ���\ÿ � ��û^ü � � ü � ú�; 9�F G 9/ÿ � 0 � � 0 ú �þ ý ü �� > � ý �\ÿ � �

þ ù ú�> ú @#ý ú �\ü ÿ � ÿ � ��ÿ � þ ú � ú ý�0 ü ý ÿ ü � � ú � 3 H I H J73 ÿ � þ �'� ú þ ��� > � ÿ �^ü ý �'0 ü ý ÿ ü � � ú �Bü ��ú �� � ý ÿ � ��þ ù^ü þBþ ù ú�� � �� þ ý ü ÿ � þ �ù^ü )� � �� þ ü � þ ��� �'þ ù ú�ý ÿ � ù þKù^ü �)� ÿ ú !

6 / 4

Page 130: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

K L�K

MCNO P QR O SO T UWV XY�Z [\P] U T R?S ] ^`_ aR b�O Q T ^ S T c b?d a P e T ^fhg _ [ i df j7kM�_ l N mnf Q T c O S o`S p c b ] ^fhg p f\c ] qf b p q bf j�S ] ^`pnc r ] f T q\st q�u)V v w qv w�Y x�kM�q w Vnc ] ^ ^ T f Q ] q U fAb ]`] U UWQ T ^ S T c b�kMCT�y z�y)st Y x\w`{�y |t s�y Y Y�y {�Y�y }7Y�kM st Y ~\w`{t {�y ~�y Y x�y ~ {�kMCp q Unf r ] � qWr T ^ T\S ] ^�kM st Y }`w`st {�y ~�y Y x�y {�Y\g p S b T ^nc r pO q�O q z�j7kMCZ p f bWP] UO SO T UWe o\��y _�y)N ] ^R O?] q`s {`� aR o`s V V�Y�k

P] U T R

Pp �`w| � b ] b� s � � � b ] b� { ��Y s � b ] b� | ��Y }� b ] b� ~ ��Y � � b ] b�Y Yk

� { �Y � � { � s � � { � { � � { � } � � { � | � � { � � � � { � ~ � � { � � � � { � x vYk� | �Y � � | � s � � | � { � � | � } � � | � | � � | � � vYk�� ~ �Y � � ~ � s � � ~ � { � � ~ � } � � ~ � | vY�k�7Y Y �Y � �7Y Y � s � �7Y Y � { vY�k��7Y { �Y � �7Y { � s � �7Y { � { vYk��7Y ~ �Y � �7Y ~ � s � �7Y ~ � { vYk�7Y x �Y � �7Y x � s � �7Y x � { vY�k�� s { �Y � � s { � s vY�k�� s x �Y � � s x � s � � s x � { vY�k� {�Y �Y � � {�Y � s � � {�Y � { � � {�Y � }vY�k�� { ~ �Y � � { ~ � s � � { ~ � { � � { ~ � } vY�k� }7Y �Y � � }7Y � s � � }7Y � { � � }7Y � }vY�k�� } { �Y � � } { � s � � } { � { � � } { � } vY�k� | { �Y � � | { � s vY�k�� ��Y �Y � � ��Y � s � � ��Y � { � � �Y � }vYk�� � ~ �Y � � � ~ � s � � � ~ � { vYk� ~ { �Y � � ~ { � s vY�k�� ~ x �Y � � ~ x � s vY�k�� � x �Y � � � x � s vY�k��7Y s ~ �Y � �7Y s ~ � s vYk�7Y {�Y �Y � �7Y {�Y � s vY�k��7Y { ~ �Y � �7Y { ~ � s vY�k�� s | ~ �Y � � s | ~ � s vY�k

b ] b� s\w\{ XY }� s � � { �Y � { � � { � { � s � � { � | � { � � { � � � }� � { � ~ � { � � { � � � s � � { � x� � | �Y � s � � | � { � { � � | � } � � | � | � s � � | � ��� { � � ~ �Y � }� � ~ � { � { � � ~ � } � { � � ~ � |� s � �7Y Y �Y � { � �7Y Y � {�� �7Y { �Y � s � �7Y { � {�� �7Y ~ �Y � s � �7Y ~ � s � s � ��Y ~ � {� s � �7Y x �Y � }� �7Y x � {�� { � � s { �Y�� � s x �Y � | � � s x � {� | � � {�Y �Y � }� � {�Y � s � � � � {�Y � { � }� � {�Y � }�� � { ~ �Y � s � � { ~ � { � }� � { ~ � }� � }7Y �Y � � � � }7Y � s � s � � }�Y � { � � }7Y � }�� s � � } { �Y � { � � } { � s � { � � } { � { ��Y V � � } { � }� � | { �Y � � | { � s�� � ��Y �Y � � ��Y � s � { � � ��Y � { � | � � ��Y � }� s � � � ~ �Y � }� � � ~ � {�� � ~ { �Y � � ~ { � s�� }� � ~ x �Y�� � � x �Y � ~ � � � x � s� ~ � �7Y s ~ �Y � � � �7Y s ~ � s�� s � �7Y {�Y �Y � � � �7Y {�Y � s�� �7Y { ~ �Y�� � s | ~ �Y � � � � s | ~ � s�k

b ] b� {\wX � { �Y X s � � { � s X { � � { � { X }� � { � }X | � � { � | X � � � { � � X ~ � � { � ~ X � � � { � � X x � � { � x� � | �Y � � | � { � s � � | � } � s � � | � |�� � ~ � s � { � � ~ � } � � ~ � |�� �7Y Y �Y � �7Y Y � {� �7Y { � s�� s � �7Y ~ �Y � s � �7Y ~ � {�� �7Y x � s�� � s { �Y�� � s x �Y � � s x � {� s � � {�Y � s � s � � {�Y � }�� � { ~ � s � � { ~ � }�� � }7Y �Y � { � � }7Y � s � � }7Y � { � � }7Y � }� � } { � s � s � � } { � }�� { � � | { �Y�� � ��Y � s � { � � ��Y � }�� � � ~ � s � s � � � ~ � {� � ~ { � s�� � ~ x � s�� s � � � x �Y � s � � � x � s�� �7Y s ~ � s�� �7Y {�Y �Y � �7Y {�Y � s� �7Y { ~ �Y�� � s | ~ �Y�k

Page 131: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ��

� � �� �\�� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � �   � � � �  ¡ � � � � ¡ � � � ¢ ¡ � � � £ ¡ � � � ¢ � � ¡ � � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � ¤ �� ¡ � � ¤ � �¡ � � ¤ �� ¡ � � ¤ � � ¡ � � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � � ¡ � � � � � � � ¡ � � � � � ¡ � � � � �¡ � � �   � � � ¡ � � �   ¢ � � ¡ � ¢ ¤ �� ¡ � £ ¤ �� ¡ � � � ¢ � ��¥

� � �� ¢\�h�� � ¢ �� � � � � ¢ � � � � � � ¢ � � � �� � ¢ � �� � � � ¢ � �¡ � � � � ¡ � � � � ¡ � � � � � ¡ � � � �� ¡ � � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � ¤ � � ¡ � � � � �¡ � � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � �� ¡ � � � � � ¡ � � � � � ¡ � � � � � ¡ � � �   � � � ¡ � � �   � � �¡ � � �   ¢ � � ¡ � � � ¢ ¤ � � ¡ � £ ¤ � � ¡ � � � ¢ � ��¥

� � ��� �A�� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �¡ � � � � � � ¡ � � � � � ¤ ¡ � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � � � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � �¡ � � � �� ¡ � � � � � ¡ � � � � � ¡ � � � � �� ¥

¦ �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �¡ � � � � ¡ � � � � ¡ � � � £ ¡ � � � � ¡ � ¢ � � ¡ � � ¤ � � ¡ � � ¤ � � ¡ � � � � � ¡ �   � � ��¥

¦ �� � � ¢ �� � � � � � ¢ � � � � � � � ¢ � �¡ � � � � � ¡ �   ¢ �� ¡ �   ¢ � � ¡ � ¢ � � � ¡ � � � ¢ � � ¡ � � � ¢ � ��¥

¦ �§�� � � ¤ �� � � � � � ¤ � � � � � � � ¤ � �¡ � � � £ ¡ � � �   ¡ � ¢ � � ¡ � ¢ � � ¡ � � � � � ¡ � � ¢ �� ¡ � � ¢ � � ¡ �   � � ��¥

¦ �� � � � �� � � � � � � � � ¡ � � � � � � ¡ � � � ¢ �� ¥

¦ �� � � ¤ �� � � � � � ¤ � � � � � � � ¤ � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � � � ��¥

¦ �§�� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ¡ � � � � ¡ � � � � ¡ �   � �� ¡ �   � � � ¡ �   ¢ � ��¥

¦ �� � � ¢ �� � � � � � ¢ � � � � � � � ¢ � � � �� � � ¢ � � ¡ � � � � � ¡ � � � � � ¡ � ¢ � �� ¡ � � � ¢ � ��¥

¦ �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ¡ � � � ¢ ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � ��¥

¦ �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ¡ � ¢ � � ¡ � ¢ ¤ � � ¡ � � � ¢ �� ¥

¦ �� � � � �� � � � � � � � � ¡ � � ¤ � � ¡ � ¢ � � ��¥

¦ �� �   � �� � � � �   � � � � � � �   � � � � �� �   � � � ¡ � � � ¤ ¡ � � � � � ¡ � � � � � ¡ � � � ¢ � ��¥

¦ �� �   ¢ �� � � � �   ¢ � � � � � �   ¢ � � ¡ � � ¤ � � ¡ � � ¢ � � ¡ � � � � ��¥

¦ �

Page 132: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¨ © ª

« ¬ ­ ® ¯° « ± ² ¬ ­ ® ¯ ±´³ ¬7° ® ­ ¯ ±�µ¶\·« ¬ ­ ¸ ¯° « ± ² ¬ ­ ¸ ¯ ±´³ ¬ ± ® ¯ ±�³ ¬ ¹ ® ¯ ±�µ

¶\·« ¬ º ¸ ¯° « ± ² ¬ º ¸ ¯ ±´³ ¬ ® ­ ¯ ¹�µ

¶\·« ¬7° ± ­ ¯° « ± ² ¬7° ± ­ ¯ ±�³ ¬7° ¸ ¯ ±�µ

¶\·« ¬7° ®�° ¯° « ± ² ¬7° ®�° ¯ ±�³ ¬ ¹7° ¯ ¹�³ ¬ »�° ¯ ¹�µ

¶\·« ¬7° ® ­ ¯° « ± ² ¬7° ® ­ ¯ ±�³ ¬ ® ¯ »�³ ¬ ® ­ ¯ ®�µ

¶\·« ¬ ± ¼ ­ ¯° « ± ² ¬ ± ¼ ­ ¯ ±�³ ¬ ¼ ¯ »�µ

½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ¹�Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ¼Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ »Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ­Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ºÂ7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ¯ ¸Â7µ

½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯ ¹�Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯ ¼Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ¯ »Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¯ ¹�Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¯ ¼Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ° ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ° ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ° ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ® ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ® ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ­ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ­ ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ¸ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ¸ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ¸ ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ® ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ¸ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ¸ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ¸ ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ®�° ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ®�° ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ®�° ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ®�° ¯ ¹�Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ­ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ­ ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ® ­ ¯ ¹�Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹7° ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹7° ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹7° ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹7° ¯ ¹�Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹ ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹ ® ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹ ® ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¹ ® ¯ ¹�Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ¼ ® ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ »�° ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ »�° ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ »�° ¯ ®Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ »�° ¯ ¹�Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ » ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ » ­ ¯ ±Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ » ­ ¯ ®Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ® ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ® ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¸ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ­ ¸ ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ º ¸ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ º ¸ ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ± ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ± ­ ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ®�° ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ®�° ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ® ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬7° ® ­ ¯ ±Â7µ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ¼ ­ ¯° Â7µ ½ ¾�¿ À�Á ¬ ± ¼ ­ ¯ ±Â7µÃ Ä Å

Page 133: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ÆÈÇ�ÇÊÉ�Ë�Ì�Í1ÎÐÏ

Ñ�Ò?ÓÕÔnÖ`×'ØA×�Ù Ò?ÚnÛÝÜ�Ò?Þ�ÔnÞ�Ò\Ò�ÜßÒ?ÜàÚ`ÒWÚ\á�âCã`Ù Û'×�â%Únä�â�Ò?ÜßÒ`ånå×�Þ�Ù Ôhâ%Þ�Ü�â%ä�×æÚ\ÖnÓÊçhâ%Þ�ÛÝè â%Û�Ûé×�ê`Ø�Úìë1í�îï ð

ñ�ò ó�ô ó õ ô7ö ÷ ô ò ø ù�ú û ö ö ÷ ø ù7ü ý ü ø þ ü ÿ þ ó�ö ��ô ò ó�� ö ��úü � ø ö ����ö ��úü � ô��1ø ù ��ü ù�ô ò ó�ó � ø ý ü þ ó � ô� þ ó ù�� � � ��� � ��� � ���� � ��� � � � � ��� ����ü ����� !�� � � ��� � � � � ��� � " #�$

% & '

Page 134: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

(*)+)-,/.1032�465

7/8:9;9=<>9=<@?�A@BDCFE�GIH�JLKFE�GIHLJ:G�E M�HONP<�9;8Q9SRTRVUXW�8:<�W�YDZQ[S\T]3^XW�8`_

a b c

Page 135: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

d e f

g hjilk gDmk g m�ion�hn hjipg:q k rk r hjipg:q k s nk s n hIipg:q t u�k r`v w x:g�yk s n zjips { s s | r s } ks { s s | r s } k h�ilk g:q k s g kIq u s r { g | k k t | | } k�zk s g k hIiogjq k g:q g nIq k | t kjv w xjgk s g k m ~jips g:q { nIq g g s gjq g } s g nIq u | } u s r k | s s s r { t u { { n n kI��xjs � | u t | n:�

s { s s | r s } k m ~Iips g:q { njq r u njq k t g g u s } s k { { t | u t t t t s { s r k r r s | n { } | } k q{ } { t g n r s | | r t t k g t g r k t s u g } u r { t | } g | n g n s } n { n { n u } t gj��x:s � | u u r |`�

k s n m ~:ips gjq u n } g u { u u g t u } g } k t { } g r:��x:s � | k s s {k r z:ilk t k�q r k kk t k hIipg:q njq k | r gr k k hIip} g | } g g��k | r g hIiogjq g r } t }`v w x:gk | r g m ~jips g:q { u r k�q s { | } g } n�q { s t u u s r | t } } t k | { s { n g:��x:s � | k u g }

r k k m ~:ip{ njq u n s g k rjq t | g r | s t } t t nLq s u n k n u { { k } | k{ n hjipg:q n h�q g kjv w xjg

k t k m ~:ips gjq k u } { u { | rIq k } k u t n | u t u�k } s g:��xjs � | k s s gk r m ~ji/k | u s } kLq { s | { | | s kk | u s } k h�ipg:q njq u g:q { njq k n r n u gu g hjipg:q { g kjv w xjgu g z:ipg t | | s | k{ n hjipg:q n h�q g kjv w xjg

k | u s } k zIipt:q u�kIq g k } k�q k } k g u t n t | t s | k u�kI��xjs � u s } u gn z:ips } | ks } | k hIipg njq u g:q u r g gg n hIipg:q njq { nu g hjipg:q { g k{ n hjipg:q n h�q g kjv w xjg{ n m ~:ilk k�q } r:q k } r | k u r n | s r s n { { gj��x:s � k t r u n

u g m ~:ip{ | g } k | r rIq g { { u u | t s | n{ n hjipg:q n h�q g k:��x:s � | | u | }

� ��� � � � � � � � ��� � � � � � � �:� � ��� � �j� � � �I��� � � � � � ��� � � � � � ����� � �� � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� �j� � �L� � � � �:� � ��� � � � � � � � �:� �I� � � � � � � � � � � �  � � �L� � � ¡ �:� �L� � ��� � � � � � ¡ � � � �I�  ¢ ��� � � � � � � � � � � � £�� �:� ¤ � � � ��� ��� ¥ �  ¦ § ¡ � � � � ¨ �`© ª © © « ¬ © ­ �L®��`� �I� �j¯ � ° � � �L� �j� ¡ ¡ � � ��� � � � � � ¡ �L� ¤ � � � � � ��� ��© °� � � � ��� ��� ��� � � � � � � ¡ �j� � ��� � � � � � ¡ � � � �I�  ± ��� � � � � � � � � � � � £�²�� � � � � � ³ � � ¬ � � © ³ ¦ © ª © © « ¬ © ­ � � � © � � � ´�µ © � � ª ³ ��¶ ¶ ¶ ��·O©  ¸ ¹�� �L� � � ¨ � � �=º�� � ¡ �j� � ��� � � �:� ��� � ¡ ¡ �I� � � � � � � � �L� � © ª © © « ¬ © ­ � � ´ � £� ��� ��� � »�� � � � ��� �I� � ¡ � � ¡ � � ��²�� � � � � � ³ � � ¬ � � © ³ ¦ © ª © © « ¬ © ­ � � ´Lµ © � � ª ³ � ¬ ¯ ³ � ��·O©  ¼ ¹�� �L� �j� ¡ ¡ � � ��� � � ¤ � ¡ � � � �:� � � �I� ° ¬ � ��� � � �L� � � � � ��� � � ��� « ¬ � ° � ��� � � �j� ��� � � � � � � ��� � ��� � � � �  

Page 136: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

½ ¾�¿

À Á Â Ã:ÄpÅ Æ Æ ÀjÇ È É Ê Ê É Æ Ë À Æ É Å Ë ÌÍ À ÎjÄpÀ:Ç Æ À ÈÆ À È ÎjÄpÀ:Ç À Ë ÁjÇ Í À ÀÀ Ë Á ÎIÄpÀ:Ç Í À:Ç Á À À`Ï Ð ÑjÀ

Å É Ë È Â ÃjÄpÅ À:Ç È À Á Å Ê À Á�Ç È Ë È Ì Æ Ê À ÌIÇ Í Ê Í À Á Á É ÌIÇ Å Ë À À È Å Ê Ì Ì É Ë Ì ÈÅ À ÎIÄoÁjÇ Á ÌÁ Ì ÎjÄpÀ:Ç Á ÎIÇ Í ÀÍ À ÎjÄpÀ:Ç Æ À ÈÆ À È ÎIÄpÀ:Ç À Ë ÁIÇ Í À À`Ï Ð ÑjÀ

Á  Ã:ÄlÈ È Å À:Ç Å Ì À Í Ê ÌÈ È Å À ÎIÄpÀ:Ç È Å ÁjÇ À À È ÀÈ Å Á ÎIÄpÀ:Ç Ê Í È ÌÀ À È À ÎIÄpÀ:Ç Á ÎIÇ È Ì:Ç À Ì À ÈjÏ Ð Ñ:ÀÀ À È À ÒjÄpÅ Ê Á Æ È È�Ç Í Æ Á Á Ì È Æ À ÈÊ Í È Ì ÎIÄoÀjÇ À ÈIÇ À È ÀjÇ È Ë Ë Ì`Ï Ð Ñ:À

È Å Á ÒjÄpÅ Æ Å Å Ë Ì Å É ÈÀ À È À ÎIÄpÀ:Ç Á ÎIÇ È Ì:Ç À Ì À ÈÈ Ì ÎjÄpÀ:Ç È Å Á:Ï Ð Ñ:À

È È Å À ÒjÄ Í ÈIÇ È Ì Ê Á È�Ç È Ì É À É Ê ÈÍ È Î ÄlÈ Á Å ÀÈ Á Å À ÎIÄpÀ:Ç Ì Ì Ë È Ê ÈÈ Ì Ê Á È ÎIÄ Í À:Ç Å É ÀjÇ À È Í Á ÁÍ À ÎIÄpÀ:Ç Æ À ÈÅ É À Î ÄpÀ:Ç Á À:Ç À Æ Á:Ï Ð Ñ:À

È À ÎIÄpÀ:Ç Æ ÈÆ È ÂIÄpÀ ÈÀ È ÎjÄpÀ:Ç À À ÈÀ À È ÎIÄpÀ:Ç ÁjÇ Ê Å À À:Ï Ð ÑjÀÀ À È ÒjÄpÊ:Ç À Á É Æ È�Ç Æ À Æ Ë ÈjÓ�Ñ:Å Ô Ë Í À È ÉÀ À È Â Ã:ÄlÈ È�Ç Å À:Ç É ÌjÇ Á Ë À Å Ë Á Í Ê È È Å È È Æ È È É Ë É À ÀÈ È ÎjÄoÁjÇ È ÌDÓ�ÑjÅ Ô À Ê Ë Á ÊÈ È Ò:ÄpÊ:Ç À Å Å È:Ó�Ñ:Å Ô À Á Æ Á É

À È Ò:ÄpÊ:Ç È È�Ç È Á À Ê È:Ó�ÑjÅ Ô Å À Ì È ÍÀ È Â ÃjÄoÅ ÀjÇ À Ì ÁIÇ Æ È ÁjÇ È Ê Ë À À Å É Í ÀÅ À ÎIÄoÁjÇ Á Ì�Ó�Ñ:Å Ô Ë À È Æ ÍÅ À ÒjÄpÅ Ì Å Ê Æ ÈÀ Ì Á ÎIÄpÀ:Ç À ÈIÇ È Æ Ì ÌÆ È Á ÎjÄpÌ ÁIÇ À Ì À ÈÌ Á ÎIÄpÀ:Ç À È Æ Ì`Ï Ð Ñ:À

Æ È ÎjÄpÀ:Ç È À:Ç Ì ÁÌ Á ÂIÄoÁ ÎÁ ÎjÄpÀ:Ç È Ì�Ï Ð Ñ:À

Page 137: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Õ Ö ×

Ø Ù:ÚpÛ Ü Ý ÞÛ Ü Ý Þ ßIÚpà Øjá â àjá â ã à àà Ø ßjÚpà:á Øjá ä Ø`å æ ç:àà Ø è é:ÚpÛ ä ä àjá Þ Ü ê ê Ü ä Ý à ä Ü Û Ý ãâ à ßIÚpà:á ä à Þjå æ çjà

Û Ü Ý Þ è é:ÚpÛ àjá Þ à Ø Û ê à ØIá Þ Ý Þ ã ä ê à ãjá â ê â à Ø Ø Ü ãjá Û Ý à à Þ Û ê ã ã Ü Ý ã ÞÛ à ßjÚoØjá Ø ãØ ã ßIÚpà:á Ø ßIá â à�å æ ç:à

Ø è é:ÚlÞ Þ Û àjá Û ã à â ê ãÞ Þ Û à ßIÚpà:á Þ Û ØIá à à Þ à`å æ çjàÞ Þ Û à ÙjÚ>â�ÞIá Þ ã ê Ø Þ�á Þ ã Ü à Ü ê Þâ�Þ ßjÚlÞ Ø Û àÞ Ø Û à ßIÚpà:á ã ã Ý Þ ê ÞIå æ ç:à

ã Ø ßjÚpà:á à Þ ä ã`å æ ç:àã Ø Ù:ÚlÞ ÞIá à ÞIá Û ä Û à Û ÞÞ Þ ßIÚoØjá Þ ã�ë�ç:Û ì Û â Ý â âÞ Þ è é:ÚlÞ ê Ø ã ØIá Þ Ü Ý ä Þ Þ àà Þ ßjÚpà:á à à Þjå æ çjà

ã Ø è éjÚoÜ ãjá Ü à Ø Þ ã Ø à à ê Ý Ø ê Ý Ý Ý â Ü àÜ ã è Úpà ß á ê`å æ çjãÜ ã ßIÚpÜ Ý Þ ÞÜ Ý Þ Þ ßIÚpà:á Þ à:á Þ ä â ê Ø â Ø:å æ ç:à ãÜ Ý Þ Þ ÙjÚpê:á Þ ÞIá â�ÞIá ä ÞIá Þ ê ÞIá à Þ Û Þ�á ä à ê â�Þjë�ç:Û ì Û Þ Û ê ã

Ü ã Ù ÚlÞ à ÞIá ä ã Þ�á Ø Ý ÞÞ à Þ ßIÚlÞ Ø Û ã àä ã Þ ßjÚpà:á Þ ã:á Ü à Ü ã`å æ ç:à

ä Þ Ù:Úpê:á Þ à ÞIá Û Þ â ã Þê èIÚpàÞ à Þ ßIÚlÞ Ø Û ã àÞ Ø Û ã à ßIÚpà:á Þ àjá Ø ä ä Ü à à Øjå æ çjàÞ Ø Û ã à è éjÚlÞ ÞIá Û ä Þ ê Ü Þ�á Û Û Ø ã Ø â ã ê Ü àIá à ä â ä Û Þ ä ã à Û Ø ã à â ä ã Ü Ü ä Û Þ Û à ä â à Þ�ë�ç:Û ì Þ Þ à Ü Þ

Þ à Þ è é:ÚpÛ àjá ä Øjá à ê àjá Þ â ê àjá Þ ê â Ý Þ�á Þ Û à Û Þ Ý Ü ä ã:ë�ç:Û ì Ý â Ü Ý Þê ßjÚpà Þ`ë�çjÛ ì Ý ê à Û âê è é:ÚlÞ Û Û Ý Ø Ý à Þjë�çjÛ ì Ý Ý à Þ Ý

ä Þ è é:ÚlÞ ã ã:á Ü ê ã:á â Û â Û ê Ü ä à ã Ý ê Ø ÞÞ ã ã ßjÚpà:á Þ à Û ä ØÜ ê ã ßIÚpà:á Û â ä Û â Øjå æ çjàÜ ê ã ÙjÚlÞ Ü ÞIá ä à ÞIá â Ø Ø Û Ø Ø ÞÞ Ü Þ è�ÚoØjá Þ àØ ßjÚpà:á Þ ã`å æ çjà

Þ Ü Þ ßIÚpà:á Ø ã:á Þ à ã`å æ ç:àÞ ã ã Ù:ÚoØ Þ�á Û Û Þ ã ã â à Þ

Page 138: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

í î ï

ð ñ òIópô ñ ñ õö ô ÷ òIópõ:ø ù ú û ù ú ðô ñ ñ õ ü�óoù ô ô ðù ô ô ð òIópõ:ø ðjø ñ õ òIø ñ ÷:ø ÷ ð:ý þ ÿjõ ÷

ô ñ ñ õ òIóoõjø ö ð ñ ô ÷ û ñIý þ ÿjõñ õ �jópõ � ÷ ú�ñõ � ÷ ú�ñ ü�ópõ �Iø ñ ÷ ñjý þ ÿj÷õ � ÷ ú�ñ òIólñ ô ðIø ú õ õ:ø ñ ú � ö õñ ô ð üIóoð ÷ð ÷ òIópõ:ø ð òIø ú õð òjópõ:ø ñ ÷���ÿjù � � � ÷ û �ð ü �:ólñ ñ ù õ:ø ù ÷ õ ú ô ÷ú õ òjópõ:ø û õ ñú õ õ òIópõ:ø õ ðjø ñ û ÷ õ`ý þ ÿjõ

ð ÷ ü �:ópô ú ð ÷jø ñ ð ô � ù ô ö ñ ñ ÷ û ú ú ô ñ ÷ú õ õ òIópõ:ø õ ðjø ñ û ÷ õõ ð òjópõ:ø ðjø û ðð òjópõ:ø ñ ÷�ý þ ÿ:õ

ñ ô ð òjópõ:ø ö ù û ÷ú õ õ ü óoðjø õ ñð òjópõ:ø ñ ÷���ÿjù � � � ù ÷ �ð ü �:ólñ ñ ù õ:ø ù ÷ õ ú ô ÷õ ñ òjópõ:ø õ õ ñõ õ ñ ò ópõ:ø ðjø ô ù õ õ:ý þ ÿjõ

ú õ õ òIópõ:ø õ ðjø ñ û ÷ õõ ð üIólñ ÷ñ ÷ òjópõ:ø ñ ù ð:ý þ ÿ:õñ ÷ ü �:ólñ � ú ù ö ñLø û ù � û � � ù ññ û ÷ õ òIópõ:ø ñ õjø ñ ô ñIø ú ö ð:ý þ ÿjõ

õ ð òjópõ:ø ðjø û ð:ý þ ÿjõõ ð ü �:ópù û û õjø ñ ö ô ô ö û � õ û ö ù � ÷ñ û ÷ õ ü�ólðIø ñ ñ ò���ÿ:ù � � ð û ö úñ û ÷ õ òIóoõjø ñ õ:ø ñ ô ñ�ø ú ö ð:ý þ ÿjõ

ú õ õ ü �:óp÷ ú ðIø ù ú ô ù � ð ñ ô ù ô � ú ÷ ÷ ú û ÷ ú õ � ð ñ ù ÷÷ ú ð òIóoðjø ù ð ðjø ú û õð òjópõ:ø ñ ÷ñ ÷ òIópõ:ø ñ ù ð:ý þ ÿjõ

ñ ô ð ü �jópù ö ú ú ðIø õ ù ñ ÷ ñ � ú ð ù õ ÷ � û û ö ú ö ñú õ õ ü�óoðjø õ ñð òjópõ:ø ñ ÷���ÿjù � � � ù ð ù

ú õ õ òIópõ:ø õ ðjø ñ û ÷ õõ ð üIólñ ÷

Page 139: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� �

� � ������ � � �� � � ������ � �� ��� � ���

� � ������ ��� � �� ������ � ��� � ���

� � � �� � ����� ��� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��!��� � �� ������ � �#"��� $ � � � � �

� � � ����� ��� �� ��� � ��� � � ��� � ��!��� � �� ������ � ��"��� $ � �� � �� %���� � �� � ������ � �� � �� � ������ � � ��� � ��&� ��� � � � � �� � � ������ � � ��� � � ��� � ���

� � %���� � � � � ��� � ��&� ��� � � � � � � � ������ � � � � � �� � � � � �'�!��� � � �� ����� � ��"��� $ � � � �

� � � � � ������ � � ��� � � � � �� � � ������ � ��� � � � ��� � ���

� %��&� � � � �!��� � ��"��� $ � � � �� � � ���&� � � � ��� � � � � � �� � � � � �'����� � � � �� � � � ��&� ��� � � � � � �� � ������ � � �� � � ������ � �� �� �� � ��!��� � ��� � � ��� � � � �� � ������ � � ��� � ���

� � � � � ���� � � � � � � � �� � � � � � �'����� � ��� � � � � �� � ���� � �� � � ������ � ��� � � �� � ������ � � �� � � ������ � � ��� � � �� � � ������ � ��� � � � ��� � ���

� � � � � � ��&� ��� � � � � � � � � � � �� � ������ � � �� � � ������ � �� �� �� � ��!��� � ��� � � ��� � � � �

Page 140: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

( )*(

+ , -�.�+�/ + + ,+ , + 0'.&, 1 2, 1 2 -�.�+�/ 3 4 5 6�7 8 9�+

+ , + -�.�+�/ , 3 , -�7 8 9�++ 0 :�.�4 +�/ + 3 1 ,

4 + -�.!2�/ 2 62 -�.�+�/ , 6, 6 -�.�+�/ , 4 22 6 -�.�+�/ 2 -�/ ; +#<9�4 = > , 4 1 12 6 ?�.�+ 6 ; ; 6 ; ;,, 4 2 -�.�+�/ 1 ;, 6+ 3 1 , -�.@, +�/ , , ;, > 3 ,�<9�4 = , , 2 + 3

, 6 ?�.&, 1 ,'/ 6 , ,2 6 -�.�+�/ 2 -�/ ; +#<9�4 = > , 4 1 ,

2 ?�.�4 3 > ,2 6 -�.�+�/ 2 -'/ ; +; + -�.�+�/ 5 + ,5 + , -�.�+�/ + > 2�/ ; + ++ > 2 -�.�+�/ ; +�/ 2 + +; + + 0 .!2�/ + ,+ , -�.�+�/ + + ,+ + , -�.�+�/ 2�/ 1 4 + +2 + + -�.�+�/ , 6�/ 6 ; + 6�<9�4 = > 6 ; 1 >

; + + - .�+�/ + 2�/ , 5 6 ++ 2 0�.&, 6�<9�4 = > 2 5 , 4+ 2 -�.�+�/ 2�/ 5 25 2 -�.�+�/ 2 -'/ + ,�<9�4 = > 5 ; 3 6

4 + ?�.�4 6 4 1 5 ,+ 3 1 , -�.&, +�/ , , ;, > 3 ,, + 0�.!22 -�.�+�/ , 6#<9�4 = > 2 + 6 ,

, + -�.�+�/ 5 ,5 , 0'.�+ ,+ , -�.�+�/ + + ,+ + , -�.�+�/ 2�/ 1 4 + +�<9�4 = > 3 , 2 6

5 , -�.�+�/ , +�/ 6 26 2 0�.!2 -�<9�4 = > 4 6 ; 26 2 -�.�+�/ + , 5 6+ , 5 6 0'.!1�/ + , 2�<9�4 = , 2 , , >+ , 5 6 -�.!+�/ + + ; 3 1 2 24 6 4 1 5 , 0A.&, 6�/ 2 5 6 6, 6 -�.�+�/ , 4 2

Page 141: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

B CED

F G H I�J�K�L M NF OM NF O I�J�K�L K F'L K F K�L F P P OK F I�J�K�L K K FK F K I�J�K�L F Q F IF Q F I�J�K�L H O�L F K OH O I�J�K�L H I'L N K�R S T�K

G O G M U F I'J�K�L F K I'L F U Q Q G P O U OF F NF P Q F VAJ�K K H�L F U O KK K H I�J�K�L N K�L Q Q KN K I�J�K�L U K FU K F I�J�K�L K P H�L N K KK P H I�J�K�L N K�L H K KN K K I�J�K�L K H�L F U O KK H I�J�K�L H�L U H�R S T�K

F F NF P Q F I'J�K�L H I�L M K G K K�L F U U K O K�WT�G X P K P K Q

YAZ[#\ ]_^ ` \ \ ] X

Page 142: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

acbdbfe@gihdj�kml

nporq�stsvuxw�y{z|w}z�~�s��r��o���q�uE���#w�~��r�d����q�y{z��}z|w�� ��z���w���� ��r� ��w�� ~r�#w�orq�� �f�iuz��#w�svq��

�'� ��� �� ��� � � � � �   ¡ � � ¡ � �¢A£¢ �  �� � � ��� � ��¤�¥ ¦E¤'§�� � �¤'¨ ¦� � �©�ªr« ¬ ­�¡ ¢�¢ £ ®#� ¡ � � ��� � � � £ ¯ � � £ � °±�� ¡ ² ��« ¬ ­_³�� ¢E£¢ �  �� ¢E� � �A² � ³'� �*´� £ � �� ��� � �'² � � ¯ � ¢ �Eµ � ¡ ¶��A· � � � � �'¸ � �� �*¡ ¢E· � �*� � ��¤�¥A� � � � � �   ¡ � � ¡ � �¹ ¦

� � ��� � � � � ��¡ ¶#µ � � º � ¶�� � �'� ��« ¬ »��� ¢'� ��� ¼� � ��� ��� � ¡ ¢�µ � � � · °

« ½ ½

Page 143: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¾ ¿À

Á  ÃÅÄ Æ�Ç@Á Ä#ÈÁ Ä È�Ç!É�Ê'Ä�ÆÁ Ä Æ�Ç�Ä Ë Ì Á�Ê'ÄÁ Ä Í�Ç�Ä Â Î ÏÁÄ Â Î ÏÁ ÐÒÑ Ó Í�ÔtÕ Ö × ÊAÄ�Ø

Á Ä ÐÒÑ Ó Ø�Ô Á Á Ö Õ ÊAÄÄ Í�Ç@Á Á ÆÁ Á Æ�Ç!É Ë Á Î�Ê × ÍÁ Á Í�Ç�Ù Ë Ä × × Á�Ê ×Á Á ÐÒÑ Ó Ø�Ô Á Ï Ö Î�ÊAÄÄ Ã Ç@Á  ΠÄÁ Â Î Ä ÐÒÑ Ä Ö Â Â Ù Ô Ó Ø�Ô Á Â Ö Á Ú Ó Í�Ô Ä Á Ö Ä�Ê ×�Û

Ä Ü�Ç@Á Ä Ë É Ù ÉÁ Ä È�Ç!É�Ê ×Á Ä Æ�Ç�Ä Ë Ì Á�Ê ×Á Ä Í�Ç�Ä Â Î ÏÁÉ Ù É È�Ç�Ä É Î�Ê�Á�ÃÉ Ù É ÐÄ Â Î ÏÁ ÐÝÑ Ó Û Ô Ù Ö Ï�Ê�ÁÁ Ä Ð

É Ù É È�Ç�Ä É Î�Ê ×É Ù É ÐÒÑ Ó Í�Ô Î Ö Õ Ê ×Ä È Þ�Ç × Ä Ë Ä Õ Ù Á× Ä Æ�Ç!É Ë É Î�Ê�Á× Ä Ð Ä Õ Ù Á ÐÒÑ Ó Í�ÔtÕ Ö Ä#Ê ×Ä ÐÒÑ × Ö Î Ô Ó Æ�Ô Á Ä Ú Ó Ø�Ô Ï Ì�Ê'Ä

ßAàá#â ã_ä å â â ã æ

ç èEé ê ë ì ê í ì ê î_ê é î ï î í é ê�ð é ñ*é ò ò�ó ñ í ô�ì*ð ï õ î é ñ ö*é ð ÷ ø ù ú ûü�ý ù þð ÿ ñ î � ì ñEð ï õ î é ñ í ö ï î í é ê ö*í ê�î � ìAõ � ï í ê�ï ñ ì_í ê ò í õ ï î ì ò�� ��í ê ò ì ê î ï î í é ê ö �ú ý ùAõ é ÿ � ò�� ìAî � ì_ö ó ì õ í ï � ó ñ í ô�ì þ ��ü�ù ú ý ù ���ü�� � ìAÿ ó ó ì ñ�� é ÿ ê ò�í ê�� ì ô�ô�ï�� �'ö � é ÿ � ò�� ìAõ ï � õ ÿ � ï î ì ò�� ñ ö î þî � ì ñ ìAô�ï ��� ì_ê é'ê ì ì ò�î é�õ ï � õ ÿ � ï î ìAî � ì�� é �ì ñ�� é ÿ ê ò þ ��ü�ù ú ý ù � ����ü�ù � � � ý� ��ü�ù � ý ý ú ���ü� � ý �� � ê�ì � ï ô�ó � ì_é ð î � ì_ÿ ö ì_é ð èEé ñ é � � ï ñ ��� þ ��ü�ù ����ü�ý � � ù ��! ç ü�" � # ç ü� � # ú ü�ù ý ��ü�ù $ ý ù � " ����ü�ù � � ù � � � ý

Page 144: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

%'&(&*),+.-0/�132

4'576�898;:=<?>A@B<C@EDF8HG7GI5KJ�6�:LJ�MN<ODHP7Q0RKJ�6O>A@EST@B<VU J�@ES�<S�J�WEJ�DFG7X S�<?X D7MN<O576?X Q*J.:@EMN<�896?S

Y�Z\[�] ^ _�`Ka7[?b cEb ] d e f g h i�j k jLl m?n o o oc�i�p�q r�[�^ c�Z�]�aKs^ `�^ t�^ i�uq v�q Z�p�rHa7wx�l y l�z { d |�{�}Ld j {L~ l�d {�m � e y y�f � e k y l m�� e g �Ny l ��r�n a?n � � � � � � h r�� a?n � � � � h r\� a�n � �� d { m e � ~ g � m g d {Ll������ {L~E��{ d m?{ y y ~ y ~b�Z\� m y {L~ y ~B� ��g { m y e � � f lN� � d e d f f � e �B� �?{ d m�l g k { g �L� � { m?� y e y b

t�� y�g ��� e d � y ~Nf d |�y e�}Ld j {L~�d ��n � ��� d e�����{ d m�� � � f g y ~�� y e y�} j m�� y |Ag {Ll m � {L� y l�� d j {L~�|�� y e y�g m�|�d j f ~�}Lyl g k { g �L� � { m bv�d j {L~����N� { jL� f f ��� ~ � jLl m y ~�� {L~�e y l j f m l�l � f g � y ~b[�y � � y � z y ~N|�g m �B�B�   ¡ ¢ £N�   ¤ ¥ �?� {L~�|�g m ��f d { kNl y ¦ j y {L� y l�� } } e y � g � m y ~h ] y � m y �?}Ly e�� � � �

n � �

Page 145: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

§ ¨L©

ª « ¬®­ ¯�°,ª ­N±ª ­ ±�°;²�¯² ¯�°;­�³ ª ´Nµ\­N¶² ·�°;¸ ¹ « ª¸ ¹ « ª º¼»½L¾�¿;¸ « À Á ²?µ\¸�·

² ¬�°;¸ ´�³  ² ­ ­�µ�¸² º=»½ · ¿9­ « À  «�µ�­ª ­ ¯�°E­�³ Á ªÁ ª ±�°E­ ª?µ\­Á ª ¯�°E­�³ ª ­�³ ´ ²?µ�­Á ª º=»½ · ¿Aª ¸ À Á Ã�µ\­ª ­ ·�°E­ « ´ ÂLª­ « ´ ÂLª º¼»\­ À à ´?¿B½ · ¿Aª ª À ² ´ Ä ½L¾�¿9´ « À « ²?µ�­ ¾ª ­ º¼»\­ À à ´�¿B½ ¶ ¿Hª à À ­ ´Ã ±�°;­�»½ · ¿; ² À ª «?µ�­Ã ¯�°;­ ª�µ�­Ã · °Hª ª�³ ² ª?µ\¸Ã ¾ °;­ ¯ ²�³ ­ ª�µ�¸Ã ¬�°Hª ´ à ­ ªª ´ à ­ ª ºÅ»½L¾�¿9´ « À ª ª�µ\­

à º »� ÂLÀ  ²?¿B½ · ¿Aª ­ ÂLÀ  ­ Ä ½L¾�¿9¸ ² ­ ´ À ´ ²�µ�¸² ¯�°;­�³ ª ´Nµ\­² ·�°;¸ ¹ « ª¸ ¹ « ª º¼»½L¾�¿;¸ ¸ À « ª�µ\¸

² ¬�°;¸ ´�³  ² ­ ­�µ�¸² º=»½ · ¿9­ ¸ À ÂLª�µ�­ª ª ¯�°;²�³ ª ´NÆ�¬ª ª ·�°EÃ�³ ­ ¸ ¸ ª�ƪ ª º=»½ · ¿Aª ´ À à ­�µ\­­ ·�°Hª ª ¯

ª ª ¯�°;²�³ ª ´�µ�­ª ª ·�°EÃ�³ ­ ¸ ¸ ªÃ ±�°;­�Ç­ ¸ ¸ ª º¼»�² ª À Á «�¿B½L¾�¿Hª  ÂLÀ ¸ ª Ä ½ ¬ ¿Aª ­ « ¹ ÂLÀ  ¹�µ�ª�Èà ¯�É7Ê

Ë ÌÍ Î Ï Ð Î Ñ Ð Î Ò�Î Í Ò Ó Ò Ñ Í Î�Ô Í Õ�Í Ö Ö�× Õ Ñ Ø�Ð�Ô Ó Ù Ò Í Õ Ú�Í Ô Û Ü Ý Þ ßLà�á Ý âÔ ã Õ Ò ä Ð ÕÔ Ó Ù Ò Í Õ Ñ Ú Ó Ò Ñ Í Î Ú�Ñ Î�Ò ä Ð\Ù ä Ó Ñ Î�Ó Õ Ð�Ñ Î Ö Ñ Ù Ó Ò Ð Ö�å æ�Ñ Î Ö Ð Î Ò Ó Ò Ñ Í Î Ú çÞ á Ý\Ù Í ã è Ö�å Ð\Ò ä Ð�Ú × Ð Ù Ñ Ó è × Õ Ñ Ø�Ð çé ê à�Ý Þ á Ý ë ì Þ íî àBá ïð ñ�ä Ð\ã × × Ð Õ�å Í ã Î Ö�Ñ Î�ò Ð Ø�Ø�Ó�ó ô�Ú ä Í ã è Ö�å Ð\Ù Ó è Ù ã è Ó Ò Ð Ö�õ Õ Ú Ò âÒ ä Ð Õ Ð\Ø�Ó æ�å Ð�Î Í�Î Ð Ð Ö�Ò Í�Ù Ó è Ù ã è Ó Ò Ð\Ò ä Ð�è Í öLÐ Õ�å Í ã Î Ö â ê à�Ý Þ á Ý ë ì ð íî à�ó ÷ ô áø ò Ð Ø�Ø�Ó\ó ô�Ó Î Ö?ÌLÍ Õ Í è è Ó Õ æ�ùú ñ�ä Ð\Ô Ó Ù Ò Í Õ�ì\Ñ Ú�Ú Ø�Ó è è Ð ÕÒ ä Ó Î�á á çû Î Í�Î Ð ö�× Õ Ñ Ø�Ð Ú ü ã Ú Ð\ò Ð Ø�Ø�Ó�ó ôý ê à�Ý ð á á ð þ í�î à�Ý ó ó áÿ ñ�ä Ð\Î ã Ø�å Ð Õ�Ý ð á á ð þ Þ Ñ Ú���å ã Î Ö Ó Î Ò ç

Page 146: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ���

� � ����� ����������� � � � � � ����� � � � ����� �! �� � � �� � � � ����� � � ���������"� � � � �# $! %�&��� � � '�(� ���)� * � � �� � +! )�-, � ��.� � � %#�, � � � �-�/�� � ������0��)� � * � # ���/�� � +! %��, ������ � � %� � � ��� � � �� ����� � �% � � � *��!�

� � ������0��)* � � ��/�� � +! %� � ������ � ������0��% # � � *��/�� � +! %��, � � ������ � ������0��)� � � � ��/�� � +! )�-, � ��.� � ������0��)� � � � ���/�

# +- %� �� � +! %��, � � ������ � � ����0��)# � � * ���/�

# � �� �/, � �����# 0 %� + �-, � ���/�# �- �� � # � �� � # � � � �!� # � � �-����0��)� � � � # � � � �)� � � � � ���-�

# �1�!� # � � ����� ���% � � �� ��0��)# � * � � ������ +- %��, � �� � +! %��, � � ������ � ������0��)� �� ���/�

� � %� * � �� * � � ������0���� # � � �����

� �- %� �-, � � ���/�� �1�/� � � ����� ���)� � � � * � ��0��)# � � � ���/�� � +- %�-, � �'.� � � 2#�, � � � ��.� � �1��� � ����� ���"� # � � * � ��0��"� � � � ������ � $! %��.� � +- 2��, � � $/ %� ���/� � +! %��, � �-, � ���/� � ������0��"� � � # ���/�

� � � 2� � � ��� � � �� �3��� � '����0��%� � � � � � ��� � � � *��!�

Page 147: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

4 5�6

7 8 91:;�< 8 ;'=�> ?�="7 ;�< @ ;�A >�B�=)8 C < C D�E�D8 F!G�7 8�H C I C7 8 J!G%CC K-G%8�H 7 L'E�DC ? G%D M @ 7�E�DC N-G%D L-H ; C 8 8�E-7C 9C I C 9�:�>�B�=)8 ;�< ;�7�E/D

7 8 K-G28�H O 7O 7 J!G28 7�E�DO 7 K-G28�H 7 8�H L C�E/DO 7 9C I C J/G%8 C L�E�DC I C 9�:�>�B�="7 @ < I I�E/D

7 8 ? G28 @ L ;�7C I C J!G28 C L8 C L 98 @ L ;�7 9�:�> N =)I < ; 8�E-7

C I C 98 @ L ;�7 9 :;�< 8 O�=�>�B�=%L < C 8 A > N =�7 L < O C�E!7

7 8 9C I C J!G28 C L8 C L 9�:�>�B�=)L < M O�E/D

C I C 9 :;�< 8 O�=�> ?�="7 ;�< @ L A >�B�=)8 M < 8 7�E�D8 J P�G%D 8-H 8 M I 7D 8 K-G%C-H C L�E/DD 8 98 M I 7 9�:�8 < O 8�=(> ?�="7 7 < L 7 A >�B�="7 @ @ < M I�E/D

8 9�:�D < L L�=(> K ="7 O < @ @I J!G28Q:�L < L @�=�>�R�=)8 C < @ @7 7 K-G%C-H 7 L'S7 7 ? G2I�H 8 D D 78 D D 7 9�:�>�B�=%D @ I < D D�E�D

7 7 91:�L L < L M�=�> ?�=)D L M < @ @7 @ 7 9�:�L M 8 C < C C�=�>�B�="7 L L L L < @ @L M 8 L 9TE�D

U U U U U J P

L L C 8 9TE�D7 @ @ @ C 9�:�I M 7 C @ 8 < D D�=�> N =�7 ; D L ; D M I < C DI M 7 C D L 9TE!7

U U U U UV W X Y Z�[ Z \ ]!^ _�` acb d e b/f�`-f&b b g e/h Y i j Z k l \ h j \ Y i�m�n/k [ [ o \ ^ _

Page 148: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

p q�r

s s s s t u vTw!xx y y y y y u v{z�|~} }

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �x y ��u vT� }�x x v�x y x v�x y y y � v�x y y y y y u��������"x � � s � � t � � � �

u } �-�)� s � x � x-�2xu } ����x x � x u-� � � � x��2xu } � ��x t � x/� u � � x x-�2xu v���� � s s��(� � �"x � � y y� }!�2uQ��s � t s��������)u � � y yx x � ��� u�� � � u x s��2xx x v1��s s � s t���� � �)� s t � y yx y x �!��x y u y u��2xx y x v���s s s s � t ���������"x s s s s � y yx y y y � v��!x � y x � � � � � y s��������"x � � s � � t � � � �x � y x � � � � v{z�|

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �x y } � u v � } x x v x y x v x y y y � v x � y x � � � ���(������x � � s � � t � � � �

u } �-��x � s �!� u � u t t s��2xu � ����x u-� x y s u-� u � t y t s��2xu � �-�2� �!� x y y x � � u x � s��2xu � � ��x x � t s � x/� u s x x � x-�2xu v���� � s s��(� � �"x � � y y� }!�2uQ��s � t s��������)u � � y yx x �-�%�-� x s�� x � � � t s u��x x } �-��x � � s �!� x t y � x x u��2xx x v1��s s � s t���� � �)� s t � y yx y x �-�%��� u x!� � s x/� x u t x��x y x v���s s s s � s s��������"x s s s s � y yx y y y � v��!x � � s � y � � � � y��������"x � � s � � t � � � �x � � s � y � x v{z�|

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �x y } � u vT� }�x x v�x y x v�x y y y � v�x � � s � y � x-�(������x � � s � � t � � � �

u � � ��x u-� x y s�� � u u�� � � �!� t � y s��2xu � �-�%� s-� � t � u �!� � y u t x y � ���2xu � ���%� t u-� x y � � � u-� � � y � y � ���2xu v���� � s s��(� � �"x � � y y� }!�2uQ��s � t s��������)u � � y yx x } �!��x y s u-� u x � t � � t x y x!�2xx x v1��s s � s t���� � �)� s t � y yx y x � �)� x/� x � x y y � s � s x �-�

� � �c� ��� � � � � �   � ¡ � � ¢�£ ¤ ¥ ¦ ¦ §c� ¨ �¢ � ¡ � ¢ © � ª�«�� ¡ ��¬(­(® ¯ ° ± ¢ ²!��³ © � � ¨ ´!¢ � � µ � ± «c� ¡ ��¬(­(® ¯ ¶ ± � ¢c¡ ¨ � � ª-¡ ²!ª � · � ª ��¡ � � ¢c· � ¢ � ¥¸ ² µ � ¹!� � ¡�¡ ²!�/© � � ¨c¢ � � µ �² ¨cº � · »-¡ ²-��¼ ¨ � µ � ² � ¢c² � �/� ¨ �� � ½ �   � ½ � ¡ � ª�«�� ¡ ��� ¨ ¨ ² «c¢c� � ª�ª ² ¡ ¢ ¥

Page 149: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¾ ¿�À

Á  Á Ã�Ä�Å Å Å Å Æ Å Å�Ç�È�É�Ç"Á Å Å Å Å Æ Â ÂÁ Â Â Â Ê Ë!Ì%Ê-Í Î Á!Í Ï Ð Á Ñ Ò Á-ÓÁ Â Â Â Ê Ã�Ä!Á Ï Ò Å Ï Ò Ô Ñ Æ Ð Ò�Ç�È�Õ�Ç"Á Ï Ò Å Ï Ò Ô Ñ Æ Ê Ò�ÖØ×'ÙØÚ Ë

Á    ŠË!Ì2Î�Í Ê Î�Í Ê Å-Í Ñ Ê Å Á�ÓÁ    ŠÃ�Ä!Á Á Á Á Å Å Å Æ Å Å�Ç(È�Õ�Ç"Á Á Á Ò Â Â Â Â Æ Â Â�ÖØ×&ÙÁ Â Â Î Ê Ë!Ì2Î Ê-Í Á  Î-Í Ò Ð Ï Î Ê�ÓÁ Â Â Î Ê Ã�Ä�Ò Ê Á Ò Ï Î Ò Æ Ï Ò�Ç(È�Õ�Ç)Ò Ê Á Ò Ï Î Ò Æ Ï Ï�ÖØ×&Ù

Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Ú Ü

Á Â Ú Ë Á   ΠŠÃ�Ä�Ò Ñ Ê Î Ô Î Ô Æ Ï Ô�Ç(È�Õ�Ç)Ò Ñ Ê Î Ô Ï Ð Æ Á Ð�ÖØ×&ÙÁ   РÁ Ã�Ä!Á Ð Ï Å Á Ê Ê Æ Ò Â�Ç(È�Õ�Ç"Á Ð Ï Å Á Ô Â Æ Î Î�ÖØ×&ÙÁ Â Â Ð Ê Ã�Ä!Á Ñ Â Ò Î Ô Ñ Æ Ï Ð�Ç(È�Õ�Ç"Á Ñ Â Ò Î Ô Ô Æ Â Ð�ÖØ×&ÙÁ   РŠÃ�Ä!Á Ï Ñ Å Á Ò Ê Æ Å Å�Ç(È�Õ�Ç"Á Ï Ñ Å Á Î Â Æ Ï Ï�ÖØ×&ÙÁ Â Â Ê Å Ã�Ä!Á Ò Ê Ñ Ð Å Ï�Æ Î Î�Ç(È�Õ�Ç"Á Ò Ê Ñ Ð Å Ð Æ Ò Á!ÖØ×&ÙÁ   ŠÁ à Ä!Á Á Â Ô Ê Ô Å Æ Ô Â�Ç(È�Õ�Ç"Á Á Â Ô Ê Å Á Æ Ò Á!ÖØ×&ÙÁ   ŠΠÃ�Ä!Á Â Ô Ñ Á Ñ Å Æ Å Ï�Ç(È�Õ�Ç"Á Â Ô Ñ Á Ð Á Æ Î Â�ÖØ×&ÙÁ   ŠŠÃ�Ä!Á  Á Å Å Å Ô Æ Ô Á-Ç(È�Õ�Ç"Á Â Ò Â Â Â Â Æ Â Â�ÖØ×&Ù

Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ÛÁ Â Õ Á  Á  Πà Ä�È�Õ�Ç)Å Ô Â Ê Ê Ð Æ Ê Â�Ý!Á

Û Û Û Û ÛÁ Å Å Å Ê Ã�Ä�È�Õ�Ç)Ò Â Â Â Ò Æ Â Á-Ý-Á

Á  ΠÃ�Ä�È�É�Ç)Ð Ê Å Å Æ Â Â�Ý�Ò

Û Û Û Û ÛÒ Å Î Ã�Ä�È�É�Ç)Î Â Á Æ Ñ Å�Ý�Ò

Á Î Ë-Ì2Î�Í Ð Á�Ý�ÎÁ Î Þ�Ì2Î Â Å Ï�ÁÎ Â Å Ï�Á Ã3Ä�È�É�Ç�Ê Å Æ Á Â�Ý�Î

Á Î Ã1Ä�Î Å Æ Å Ê�Ç�È Þ Ç"Á Á Ô Æ Â Â ß È�É�Ç)Î Á Å Å Æ Â Â�Ý�ÒÁ Ê Ë-Ì2Î Â ÊÎ Â Ê Ã�Ä�È�É�Ç%Ï Ô Æ Â Â�Ý/Ò

Á Ê Ã1Ä�È Þ Ç)Ð Ð Æ Ñ Ô�Ý�ÎÁ Å Ë-Ì2Î�Í Á Ò ÊÁ Ò Ê Ã�Ä�È�É�Ç%Ï Ñ Æ Å Ñ�Ý/Ò

Á Å Ã1Ä�È Þ Ç)Ñ Ô Æ Â Â�Ý�ÎÒ Î Ë-Ì%Ê-Í Ê Å'ÓÒ Î Ã1Ä�È Þ Ç%Ï Ô Æ Ê Ê�Ý�ÎÒ Å Ë-Ì)Á Î�Í Ð Ê�ÓÒ Å Ã1Ä�È Þ Ç%Ï Ò Æ Ò Ò�Ý�ÎÎ Á Ë-Ì2Î�Í Î Î ÁÎ Î Á Ã�Ä�È�É�Ç)Ò Ô Æ Ê Ð�Ý/Ò

à á â&ã ä å-ä å æ�ç è æ écê ã æ ë æ ì ä å ã êcí î ê æã êcè ï ðQë ï ã ñ ò�â�æñ æ ó î ô!é æ ë æ é ä ã è õ!ä ï-î è�æ î é ó ã æ écö ï ÷ è ñ-ê ã è í æ�ã è-ä å ã êcí î ê æã ä�ð�î êcø ï ÷ è ñ�ä å æä å æ�ö ï ÷ è ñ�ð�î êcã ù!ù!æ ñ ã î ä æ ó ô!ã è í é æ î ê æ ñ�î õ î ã è òà ú ûcï ð(é æ ë æ é ä ã è õ!ä ï-î è�æ î é ó ã æ écö ï ÷ è ñ�ð�ã ó ó í ï è ä ã è ÷ æ�ä ï/ö æ�î ü ü é ï ü é ã î ä æ ò

Page 150: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ý þcý

ÿ � ����� ��� � � ����ÿ� ���2ÿ �ÿ � ���2ÿ�� ÿ ÿ �ÿ ÿ � ����������� �� ÿ ����

ÿ � ����� ����� �� � ÿ���ÿ� � ��� � � � ���/ÿ� � �2ÿ � ��� ÿ ����ÿ� !���� � � ÿ �� � � ÿ � ��� � � � � ���"� ��� � � � ÿ� � #��%ÿ ��� � ÿ � � � ���"������ � � � � $ � ! ��� ÿ ÿ � � � ��� �� � � �%ÿ � �ÿ � � ����� ! �%� � � � � ÿ ��� �

� � ���&� � � ��"������� � � � � � $ � ! �%� � � � � � � �� �� � � �%ÿ�� � � �� � � ����� ! �)ÿ � �� � ����

� � ���&� � � ÿ ��"�����%� � � � � � $ � ! ��� � � ÿ � � ������ ÿ � ����� � ��'� ÿ ����������� � � � ���/ÿ� � #��%ÿ�� �(��ÿ ÿ � � ���"������� � � ÿ � $ � ! �)ÿ � ÿ � � )� �� � � ��� ÿ�� � ��'� � ����������� � � ���/ÿÿ � � �%ÿ�� ÿ ÿ �ÿ ÿ � ����� ! �)ÿ � � ÿ ÿ����

ÿ � � ��������� ÿ � � ��/ÿÿ � #���� ��'ÿ � � �%ÿ�� � � � ��'ÿ � ����������� ÿ � � ���/ÿ�� #��%ÿ�� ��'�� � ��� � � ÿ� � � ÿ ����� ! ��� � � � �����

�� ����������� � � � ���/ÿ ÿ � �%ÿ�� � ÿ �� ÿ � ����� ! ��� � � �����

ÿ ��������� � ÿ��/ÿ� ��� � �� � ���"��*��� � � � �� � # �2ÿ �)� � ÿ � � � ���"� ��� � � � � �� ÿ � ��� � � � � � � ���"�����)ÿ � � � � � � �� � � � �,+�-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .� � /�ÿ �0� ��� � #�� ÿ � ��� � � ��12�����)ÿ � � � � � � �

ÿ # ����� � � � � ��� �ÿ # � ��� � � � ÿ�� � � ��34�

Page 151: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

5 6�7

8 9 :�;�< = > <�? 8 @ A < <�B4<8 C�D&E F G G�H2I�J�H%< K F L LA M�;�< G�? 8 < ? = E G�B4<A N�;48�? < < ? > <�? A E <�B4<A 9 O�;�< E E L > L 8 << > 9 ;48 J D < 8 A F G G�H"I P�H@ L K F L L< 8 > J ;�>�? 8 >�? > 8�B4<< 8 > C< E E L > L 8 < CQD < = A < K F > 8�H"I : H%< = A < > F L A< = A < > CSR�T

U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U< L 9 J 8 C0A 9 O)< > 9�< 8 > C�< E E L > L 8 < CQ< = A < >�V2I : H�< = A < > F L A

8 9 M�;�< A G > ? 8 K 8 = = G�B4<8 J O�;�< 8�? < L G 8�? 8 K = L = G�B4<8 J J ;4@ > ? < L L < A E 8 < > G�B4<8 J P ;�< < J = G A <�? 8 G < < A <�B4<8 C�D&E F G G�H2I�J�H%< K F L LA 9 O�;�< E E L > L 8 << > 9 ;48 J D < 8 A F G G�H"I P�H@ L K F L L< 8 > P ;�< <�? < L < ? 8 < G @�< <�B4<< 8 > C< E E L > L 8 < CQD < = A < > F L @�H"I : H%< = A < > F L A�WYX)R

U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U< L N A C D < @�F G G�H"I�Z�HK < F L L

< > 9 ;48 J D < 8 A F G G�H"I P�H@ L K F L L< 8 > J ;�>�? 8 >�? > 8�B4<< 8 > C�D < = @ G A F @�<�H"I�[�H�8 K G G < F L L< = A L 8 C�D\@ A < 8 A 8 = 8 F L 8�H"I : H@ = = = > A > L F E G@ A < 8 A @ L 8 C,R�T

U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U< L 9 J 8 C0A C�< > 9�< 8 > C�< = A L 8 C]@ A < 8 A @ L 8�V2I : H4@ = = = > A > L F E G

8 9 M�;�< A G > ? 8 K 8 = = G�B4<8 J O�;�< 8�? < L G 8�? 8 K = L = G�B4<8 J J ;4@ > ? < L L < A E 8 < > G�B4<8 J P ;�< < J = G A <�? 8 G < < A <�B4<8 C�D&E F G G�H2I�J�H%< K F L LA 9 J ;8 L A < > A > = <�B4<A 9 Z ;8�? E G�? @ @ G�? < G A 8 <�B4<A 9 P ;�< < ? 8 < ? > < ? < = < ? < > @�<�B4<A 9 :�;4@ L G�? @ K K 8 @ @ @ L G�B4<A C�D < @�F G G�H"I�Z�HK < F L L< > 9 ;48 J D < 8 A F G G�H"I P�H@ L K F L L

Page 152: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

^ _�`

a b c d�e�a a�f a g a f b a h i�a a�j4aa b c k�l a m i h n o i�a�p"q�r�p�b s h h a o g ga m n g b k�l\i m m m s c n a o s n�p"q�t�pi m m m c n c g o u hi m m m s c n h k,v�w

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa g y r b k0n k�a c y�a b c k�a m n g b k]i m m m s c n h�z2q�t�p4i m m m c n c g o u h

b y {�e�a n h c f b s b m m h�j4ab | }�e�a b�f a g h b�f b s m g m h�j4ab | |�e4i c f a g g a n u b a c h�j4ab | d�e�a a | m h n a�f b h a a n a�j4ab k�l&u o h h�p2q | p%a s o g gn y ~�eb � c�f a h�f b a f m u h�f n a s c�j4an y {�e�a h a�f s u c a�f b h m a g c a�j4an | }�eb a f b c h�f a h n b a�f n a h i h h�j4an k�l a i�o h h�p"q � ps a o g ga c y e4b |)l a b n o h h�p"q d pi g s o g ga b c t em h b b�f c i n s g b a b h�j4aa b c k�l a m i h n o i�a�p"q�r�p�b s h h a o g ga m n g b | ec � i u a�f u b c a�j4aa m n g b k l\i m m m c n s h o s n�p"q�t�pi m m m c n c g o u h��Y�)va m n a c | e4b�f c�f a h�f m n h b h b�j4aa m n a c k�l a s b g m a m c o b n�p"q�t�p%a s b g m a m c o i b��Y�)va m n u a | e�a b�f s c�f b h b m n b�j4aa m n u a k l a b c g a m b s o c n�p"q�t�p%a b c g a m b s o m a �Y�)va m n u b | e4b�f a s b�f n i�a f a u h c�j4aa m n u b k�l a u s m m u n n o h n�p"q�t�p%a u s m m u n s o g a �Y�)va m n b h | e"i b�f c h h b b u c�j4aa m n b h k�l�c h c b h u s o s m�p2q�t�p�c h c b h u s o c g��Y�(va m n i�a | e4b�f a b�f c h�f u i�a f i s b�j4aa m n i�a k�l�c s u g b n a o h m�p2q�t�p�c s u g b n u o g a �Y�(v

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa g y | a m n n b k�l&s g a h h i m o m h�p2q�t�p�s g a h h s a o u c��Y�(v

a m n m b k�l&b h n g i m n o a s�p2q�t�p�b h n g i h g o i h��Y�(va m n m c k�l&b c c c s n g o c g�p2q�t�p�b c c c s n n o n c��Y�(va m n h b k�l&b n i n a u n o h n�p2q�t�p�b n i n a b g o u b��Y�(va m s a c k�l&u m i n s u h o c c�p2q�t�p�u m i n s b u o n bu m i n s b a k,v�w

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa g y r b k0n k�a c y�a b c k�a m s a c k0u m i n s b a�z"q�t�p�u m i n s b u o n b

b | t e�a b�f a g h�f i b b�f c n c f m u g h�j4ab | {�en h�f u m n b c f u g b m a g u c�j4ab � }�es m b�f a g u s c b�f i i g i g i c�j4a

Page 153: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ���

� ���&� � � ���2�����%� � � � �� � ���� � ��� � ��� � � � � � ��� � � � ���4�� � ����� � ��� � � � ��� � � � � � � ���4�� � � �� � � � � ��� � � � � ��� � � � � � ���4�� ��� � ��� � ���"� � �� � � � �� � � �4� � � � � � � � ���"� ���� � � � � �� � � � �� � � ��� � � � � � � � � ���4�� � � ��� � � � � � � �����"������� � � � � � � �� � � � � � ���� � � � � � � � ���4�� � � � � ���&� � � � � � � � � ���2� � ��� � � � � � � � � ���Y (¡

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢� � � � � � � � � ���&� � � � � � � � � ���2� � ��� � � � � � � � � ���Y (¡

� � � � � ���&� � � � � � � � � ���2� � ��� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � ��� � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � � � � � � ��� � � � � ���2� � �%� � � ��� � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � ��� � ���2� � �%� � � � � � ��� � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � � � � � � � � � ��� � ���2� � �%� � � � � � ��� � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � � � � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � ��� � ���2� � �%� � � � � � ��� � ���Y (¡� � � � � ��� � � � � � � � � � ���2� � �%� � � � � � ��� � ���Y (¡

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢� � � � � � � � ����� � ��� � � � � ��� � ��£ �

¢ ¢ ¢ ¢ ¢� � � � � ����� � ��� � � � ��� � ��£��

� � � ���&� � � � � � ���"�����%� � � � � � � �� � � � �0£&�

¢ ¢ ¢ ¢ ¢� � � � �0£&�� � � � � ����� � �%� � � � � � � ��£��

¢ ¢ ¢ ¢ ¢� � � � � ����� � �%� � � � � � � ��£��

� � � ����������� � � � � � ��£&�

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

Page 154: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

¤ ¥�¦

§ ¨ © ª�«�¬�­�®§ ¨ ¯ ° ± ²�³&´© ² µ�¶4· ¨ ²· ¨ ² ª�«�¬�­�®�´ · · ¯ ° ¸ ¯�³&´

© ² ª�«&´ ± §�° ¹ ²�®2¬ º�®�² ¸ ¸ ° ¨ ¨´ ± ² »�¶·�¼ § ·)½´ ± ² ª�«&± ¹ ´ ² ¨ ° ¨ ©�®"¬�­�®%© · © ¨ ² © ° ¨ ¨± ¹ ´ ² © ª,¾�¿

À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À© ¨ Á· ª0± ª�© ² ªQ´ ± ² ª0± ¹ ´ ² ©�Ã"¬�­�®%© · © ¨ ² © ° ¨ ¨

· » µ�¶�² ¯ ² © ¸ ©�³ ©· » º ¶�© © µ © ·�¼ § ± ¸ ©�Ä4©· » Å�¶�© ¹ ² ©�¼ · § ± © ©�Ä4©· ª�«&´ ° ¯ ¯�®2¬ µ ®%© ¸ ° ¨ ¨± Æ�¶�© ¯�¼ · © ¼ ¹ ´ ¯�Ä4©± Á�¶4·�¼ © © ¼ ² ©�¼ ± ´ ©�Ä4©± » Ç�¶�© ´ ´ ¨ ² ¨ · ©© ² º ¶4¹ ¹ ² §�©�È© ² ­ ¶4· É ²�¼ © ·�¼ · ¨ ²�Ä4©© ² Å�¶4´ ± ¸ § ¸ © ¸ ²�È© ² ª «&´ ± §�° ¯ ¯�®2¬ º�®�² ¸ ¸ ° ¨ ¨´ ± ² µ ¶¸ ©�¼ © ¨ ¹ ²�Ä4©´ ± ² ª© ´ ´ ¨ ² ¨ · © ªQ«&¸ ± ² ¯ ¸ ° © ¹�®"¬ Å ®�¸ ± ¹ ¨ ¨ ° ¯ ±�Ê

± ª « © §�° ¯ ¯�®"¬ É ®¸ © ° ¨ ¨© ² º ¶4¹ ¹ ² §�©´ ± ² µ ¶¸ ©�¼ © ¨ ¹ ²�Ä4©´ ± ² ª¹ ¹ ² §�© ª�«&´ © ´ ¯ § · ° § ¹�®"¬ Å ®´ © · ¨ ´ ¨ ° ² ´�³ ©

© ² ­ ¶4· É ²�¼ © ·�¼ · ¨ ²�Ä4©© ² Å�¶4´ ± ¸ § ¸ © ¸ ²´ ± ² µ ¶¸ ©�¼ © ¨ ¹ ²�Ä4©´ ± ² ª´ ± ¸ § ¸ © ¸ ² ªQ«&¸ ± ¸ ¯ ´ ° · ²�®"¬ Å ®�¸ ± ¸ ¯ · ° · ¹�Ê

© ² ª�«&´ ± §�° ¯ ¯�®2¬ º�®�² ¸ ¸ ° ¨ ¨´ ± ² µ ¶¸ ©�¼ © ¨ ¹ ²�Ä4©´ ± ² ª�«&¸ ± ± ´ ² ° ² §�®"¬�­�®%© · © ¨ ² © ° ¨ ¨¸ ± ± · ² »�¶4· µ © © ¼ · · ©�½¸ ± ± · ² ª�«&± ´ ¨ · ± ¹ ¯ ¸ ¸ ° ¹ ¹�®"¬ Å ®§ ´ ¯ § ¯ ¸ ² ´ ¯ ¸ ° ¨ ¨± ´ ¨ · ± ¹ ¯ ¹ · ª,¾�¿

À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À À© ¨ » µË· ª0± ª�© ² ªQ´ ± ² ª0¸ ± ± · ² ª0± ´ ¨ · ± ¹ ¯ ¹ ·�Ã"¬ Å ®§ ´ ¯ § ¯ ¸ ² ´ ¯ ¸ ° ¨ ¨

· » Æ�¶�© ± ¯ ² ¼ · ¸ · ¹ ¹ ¯�Ä4©

Page 155: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ì Í�Î

Ï Ð Ñ�Ò�Ó Ï�Ô Ó Õ Ö Ï�Ô Ï × Ø Õ Ø Ö�Ù4ÓÏ Ð Ð�Ò4Ú Û Ô Ó Õ Õ Ó Ü Ý Ï Ó Û Ö�Ù4ÓÏ Ð Þ�Ò�Ó Ó Ð Ø Ö Ü Ó�Ô Ï Ö Ó Ó Ü Ó�Ù4ÓÏ ß�à&Ý á Ö Ö�â2ã Ð â%Ó × á Õ ÕÜ ä Ð�ÒÏ Õ Ü Ó Û Ü Û Ø Ó�Ù4ÓÜ ä å�ÒÏ�Ô Ý Ö�Ô Ú Ú Ö�Ô Ó Ö Ü Ï Ó�Ù4ÓÜ ä Þ�Ò�Ó Ó Ô Ï Ó Ô Û Ó Ô Ó Ø Ó Ô Ó Û Ú�Ó�Ù4ÓÜ ä æ�Ò4Ú Õ Ö�Ô Ú × × Ï Ú Ú Ú Õ Ö�Ù4ÓÜ ß�à Ó Ú�á Ö Ö�â"ã å â× Ó á Õ ÕÓ Û ç�Ò�Ó Ö�Ô Ï Õ Û Ô Ó Ý Û Õ × Ü Û�Ù4ÓÓ Û ß�à&Ý Ü Ú�á Ö Ö�â2ã Þ â�Û × × á Õ ÕÝ Ü Û ß�à&× Ü Ü Ï Ú�á Ö Ö�â"ã�è�â%Ó Ï Ó Õ Û Ó á Õ Õ× Ü Ü Ï Û Ð Ò4Ï Û�Ô Ó Ó × Õ Ø Ü Ü Ó Ó�é× Ü Ü Ï Û ß�à\Ú Ý Û Ú × Ý Õ Ø Ý Ï á Ï Õ�â"ã æ âÚ Ý Ö Ú Ö × Û Ý Ö × á Õ ÕÚ Ý Û Ú × Ý Õ Ø Ý Ö ßëê�ì

í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í íÓ Õ ä è Ï ß0Ü ß�Ó Û ßQÝ Ü Û ß0× Ü Ü Ï Û ß]Ú Ý Û Ú × Ý Õ Ø Ý Ö�î"ã æ â4Ú Ý Ö Ú Ö × Û Ý Ö ×

Ï Ð æ�Ò�Ó Ï�Ô Ó Õ Ö�Ô Ú Ï Ï�Ô Û Ü Û Ô Ø Ý Õ Ö�Ù4ÓÏ Ð ç�ÒÜ Ö�Ô Ý Ø Ü Ï Û Ô Ý Õ Ï Ø Ó Õ Ý Û�Ù4ÓÏ å Ñ Ò× Ø Ï�Ô Ó Õ Ý × Û Ï�Ô Ú Ú Õ Ú Õ Ú Û�Ù4ÓÏ ß�à&Ý á Ö Ö�â2ã Ð â%Ó × á Õ ÕÜ ä ï�ÒÏ å Û�Ô Ó Ö�Ô Ï Ó Ô Ø Ý Ö�Ô Ü Ó × Û�Ù4ÓÜ ä ç�Ò�Ó Ö Ó�Ô × Ý Û Ó�Ô Ï Ö Ø Ó Õ Û Ó�Ù4ÓÜ Ð Ñ ÒÏ Ó Ô Ï Û Ö�Ô Ó Ö Ü Ï Ó�Ô Ü Ó Ö Ú Ö Ö�Ù4ÓÜ ß�à Ó Ú�á Ö Ö�â"ã å â× Ó á Õ ÕÓ Û ð�Ò4Ï Ð Ó Ó Ô Û Ó Ô Ó Õ Ó�Ô Ø Ø Û Ú�ÓÓ Û ä Ñ�ÒÝ Ó Ú�Ó Ö Ö Ï Ü Ó Ö Ý Ý Û�Ù4ÓÓ Û ß�à&Ý Ü Ú�á Ö Ö�â2ã Þ â�Û × × á Õ ÕÝ Ü Û Þ�Ò�Ó Ó�Ô Ï Ö Ø Ó Ï Û Ï Ö Ó�Ù4ÓÝ Ü Û è ÒÏ Ð Û�Ô Ó Ï�Ô Ú Ï�Ô × Ó�Ô Ý Ú�Ó Ô Ó Õ Ø Û�Ù4ÓÝ Ü Û ß�à&× Ü Ü Ï Ú�á Ö Ö�â"ã�è�â%Ó Ï Ó Õ Û Ó á Õ Õ× Ü Ü Ï Û ß�à\Ú Ý Ö Ú Ö × Õ Ï Ó Û á Û Ó â"ã æ âÚ Ý Ö Ú Ö × Û Ý Ö × á Õ ÕÚ Ý Ö Ú Ö × Õ Ï Ý Ó ßëê�ì

í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í íÓ Õ ä çËÏ ß0Ü ß�Ó Û ßQÝ Ü Û ß0× Ü Ü Ï Û ß]Ú Ý Ö Ú Ö × Õ Ï Ý Ó î"ã æ â4Ú Ý Ö Ú Ö × Û Ý Ö × á Õ Õ

Ï å Ð�Ò�Ó Ï�Ô Ý Ï�Ô Ï Ø Ü Ó�Ô Ý Ú�Ó Ï Ö Ú�Ó Ý Ø Ö�Ù4ÓÏ å Þ�Ò�Ó Ó Ð Û Ó�Ô Ó Õ Ö Ï�Ô Ý × × Ú Õ Ö Û Õ Ï Ó�Ù4ÓÏ å æ�Ò�Ó Ï Õ Ö Û Ö Ý Û�Ô Ó Û Ó Ø Ö Ó Ý Ø Û Õ Ï�Ù4ÓÏ ß�à&Ý á Ö Ö�â2ã Ð â%Ó × á Õ ÕÜ Ð ä ÒÏ�Ô Ý Ï�Ô × Û�Ô Ü Ý Ø Ó�Ô Ó Ý Ý Õ Û Õ Ï Ó Ù4ÓÜ Ð Ð�ÒØ Ö Û Ó�Ô Ï Ï Ý Ý Õ Û Ï × Ó Ï × Ó Ù4ÓÜ Ð Þ�Ò�Ó Ó Ô Û Ó Ô Ó Õ Ó�Ô Ý Ü Ó Ô Ú Õ Ó Ô Ö Ï Ø Ú Ý Ü Ó�Ù4Ó

Page 156: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ñ ò�ó

ô õ�ö ÷ ø�ù ú ú�û"ü�ý�ûþ ÷ ù ÿ ÿ÷ � � ����� ÷ � ÿ ô ��� � ú ÷ ú ÷ ú þ � ô �4÷÷ � � ý �� � � � � ú þ ô ú �� � ô þ ø þ ÷ þ � 4÷÷ � õ�ö�� ô ø�ù ú ú�û2ü ��û�� þ þ ù ÿ ÿ� ô � ����� ú�� þ � � � �� ÷ þ ÿ ÷ � ø � � ÷�4÷� ô � õ�ö&þ ô ô ø�ù ú ú�û"ü���û%÷ ÷ ÿ � ÷ ù ÿ ÿþ ô ô � õ�ö\ø � ú ø ú þ � � � ÷ ù ô ��û"ü � ûø � ú ø ú þ � � ú þ ù ÿ ÿø � ú ø ú þ � � ú ÷ õ����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �÷ ÿ � �� õ0ô õ�÷ � õ�� ô � õ0þ ô ô � õ]ø � ú ø ú þ � � ú ÷��"ü � û4ø � ú ø ú þ � � ú þ ù ÿ ÿ

ý � ��÷ � ÷ �� þ ô ô �� � �� � ú � ÷ þ ÷�4÷ � � ��� �� � ô � þ ú ÷ �� � þ ú ô ÿ þ ú þ þ ÷ ú 4÷ � ���4ø ÷�� � ÿ � ÿ � ô ø þ � þ ÷ ø�÷ ÷ ú � �4÷ õ�ö�� ù ú ú�û2ü � û%÷ þ ù ÿ ÿô � � �� � ô � � ��� � ú � �� ÿ ô ÷ � ô � � ÷�4÷ô � ����÷ ú � ÷�� ÷ ÿ ú�� � � ÷�� � � ú � ø�÷ ô ú�� ÷ ÿ ô ÷�4÷ô � � �ô ú � ô þ � ÷�� � � ÷ � ô ú ú þ ø ø ø � ú 4÷ô � ���� � ��� ÷ ÷�� ÷�� þ ÷�� � ÷�� ÷ � ÷�� ô � ÷�� ÷ � ø�÷�� � þ � ÷ 4÷ô õ�ö ÷ ø�ù ú ú�û"ü�ý�ûþ ÷ ù ÿ ÿ÷ � � � �� ÿ ��� � � � ø�÷�� þ ô þ þ � þ ÿ ÿ ÿ ÷�4÷÷ � � ����÷ ÿ ú ø ú�� ÷ � ø ú � �� � þ ú ú ô � � 4÷÷ � õ�ö�� ô ø�ù ú ú�û2ü ��û�� þ þ ù ÿ ÿ� ô � õ�ö&þ ô ô ø�ù ú ú�û"ü���û%÷ ÷ ÿ � ÷ ù ÿ ÿþ ô ô � � � ô � ÷�� � þ ú ø ô ÷�� ÷ � ÿ ô ô � ÿ ÷�!þ ô ô � õ�ö\ø � ú ø ú þ � � ú ø�ù ú ��û"ü � ûø � ú ø ú þ � � ú þ ù ÿ ÿ "$#%�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �÷ ÿ � � þ ô ô ú ��� � ÷�� ú ��� ÷ ÷ þ ø�÷�!

þ ô ô ú õ�ö ÷ ø ÷ þ ú ú ø ô ù ô ÿ�û"ü � û%÷ ø ÷ þ ú ú ø ô þ ù ÿ ÿ "$#%�þ ô ô ø ����� � þ ÷ ú ú�� ÷ ø�÷ ø �!þ ô ô ø õ�ö&þ ÷ þ � � ú � ú ù ÷ �û"ü � û�þ ÷ þ � � ú ÿ ù � ú "$#&�þ ô ô ô ÷ ��� � ÷ � ��� ÷ ÷ � � � � ÷ �!þ ô ô ô ÷ õ�ö�� � þ ú � ÷ � ù ú ø�û"ü � û'� � þ ú � � ÿ ù ÿ ÿ "$#&�þ ô ô ô � ��� � � � ú(!þ ô ô ô � ��� � ��� ÷ ú � ÷ ÿ � � ÷ ú �!þ ô ô ô � õ�ö�� ÿ ø ô � ø þ þ þ ù ú�û"ü � û'� ÿ ø ô � ø þ þ � ù ø � "$#&�þ ô ô þ ��� � þ ��� ÷ ú ú�� ÷ ÿ � ø þ � !þ ô ô þ õ�ö ÷ ô ú ÷ ô ú þ ÿ ù ú ��û"ü � û%÷ ô ú ÷ ô ú � ÷ ù ô þ÷ ô ú ÷ ô ú þ ÷ õ*)$#&�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �÷ ÿ � � þ ô ô � ú ��� � � ú � ô ÷ þ ø ú(!

þ ô ô � ú õ�ö&ú ú ú ø þ ú þ ø�ù ÷ ô�û"ü � û�ú ú ú ø þ ú � � ù � � "þ ô ô � ÷ ����÷ ÷ � � � ÷ !

Page 157: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

+ ,�-

. / / 0 1 2�3 4 5 1 4 5 6 4�5 6 4 4 5 / 7 8 4(9. / / 0 1 :<;�7 / / = > > 0 7 ? 0 8 @BA�C @'7 / / = > > 7 > ? 4 4 D. / / 0 > 2�3 4 5 >�5 8 = 6 0 6 4 0 1 >�9. / / 0 > :<;�0 6 8 > 7 8 0 7 ? 7 4 @BA�C @'0 6 8 > 7 8 7 . ? = = D. / / 7 7 2�3 4 5 >�5 1 7 5 / 6 >�5 1 7 > 1 > 9. / / 7 7 :<;�. 0 8 4 0 / > / ? 6 7 @BA�C @'. 0 8 4 0 / > 7 ? 0 1�D. / . = 7 E�3 4 F /(G. / . = 7 2�3 4 . >�5 1 1 > 8 7 1 > 4�9. / . = 7 :<;�/ 0 0 7 7 0 = 4 ? 8 1�@BA�C @'/ 0 0 7 7 0 = . ? . 0 D. / . 1 > E�3�>�5 6 4 5 1 = 7(9. / . 1 > 2�3 4 5 6 4 4 5 4 4 1 6 / 7 4�9. / . 1 > :<;�/ 4 = 0 7 = 1 1 ? / 1�@BA�C @'/ 4 = 0 7 = 1 6�? / 8 D. / . 8 7 E�3 / 5 . / . 4(9. / . 8 7 2�3 4 5 > 2 8 7 4 = = 0 7 4 9. / . 8 7 :<;H6 . 8 6 > 8 > 8 ? 0 4 @BA�C @�6 . 8 6 > 8 > / ? 4 / D. / . 4 4 E�3 4 5 1 = 7 4 7(9. / . 4 4 2�3'1 4 5 1 7 2 7 >�5 7 6 . 4�9. / . 4 4 :<;H6 6 4 6 8 0 > 1 ? 4 4 @BA�C @�6 6 4 6 8 0 > 4 ? > 4 D. / . 6 > 2�3 4 5 / . 6�1�5 8 / 6 . / 7�9. / . 6 > : ;�4 0 > / 0 4 6 8 ? / 0 @BA�C @'4 0 > / 0 4 6 6�? . / D. / . / 1 2�3B6 4 1 = 1 1 7 6 / 4�I$E J

. / . / 1 :<;�4 > 6�1 8 / = / ? 0 4 @BA�C @'4 > 6�1 8 / = > ? 0 4 D. / . / > E�3 4 5 4 1�5 4 / 4(9. / . / > 2�3�>�5 1 = 4 5 / 7 > 7 = . > 9. / . / > :<;�4 / / . = / 0 7 ? 7 >�@BA�C @'4 / / . = / 7 1 ? 0 >�D. / . > > E�3 4 8 0 4 7(9. / . > > 2�3 4 5 1 6 4 > 0 6 6 . . 7�I. / . > > :<;�4 = / 8 / 0 4 = ? / 1�@BA�C @'4 = / 8 / 0 4 8 ? 1 >�D. / . 0 > 2�3'1 / 7 = 1�5 8 > 1 4 / >�9. / . 0 > :<;�8 0 / = 0 / 7 8 ? 6 4 @BA�C @'8 0 / = 0 / 7 6�? = 18 0 / = 0 / 7 4 E�I8 0 / = 0 / 7 4 :*G

. / . 7 7 2 3�>�5 1 / 7 >�5 4 0 . 1 1 7�9. / . 7 7 :<;�8 . 6�1 6 . 8 / ? = / @BA�C @'8 . 6�1 6 . 8 . ? / / D. / > = 1 E�3�>�5 1 4 5 1 7 2 9. / > = 1 2�3 4 5 4 >�5 4 0 0 0 7 = > 4 9. / > = 1 : ;�8 . = 7 / 8 6 8 ? 1 / @BA�C @'8 . = 7 / 8 6 4 ? . 68 . = 7 / 8 6 4 :*G

. / > = > 2�3 4 5 8 / 4 7�5 / . . 0 8 1�9. / > = > :<;�8 / 1 0 1 7 1 7 ? 1 1�@BA�C @'8 / 1 0 1 7 8 = ? / . D. / > 1 4 E�3'1 1�5 8 7 5 1 = 4(9

K L MON P�Q R S�T P UOV W X Y Z [ \ ] X [ ^ _ X _ X Z ` a V Z b Z Z c a X V d�e fOgOP h i e P Q j k l m UHn o o p�q&V ] r sOqt] Z r uOqtZ ] r v�q&_ r w�q&] x

Page 158: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

y z�{

| } ~ � � ��� � � ~�� � � � � � � ~�� � � ��� �| } ~ � � �<��� � � � � } � | � � ~��B��� �'� � � � � } � ~ � | �� � � � � } � ~ ���

| } ~ � ~ ��� � � � � � ~��| } ~ � ~ ���'� } ��� � � | � � � } ~ �| } ~ � ~ �<��� � ~ � � � ~ � � | � �B��� �'� � ~ � � � ~ } � � ���| } ~ � � ��� � � � � � ��� � � � | � ~ ���| } ~ � � �<��� � } � � � � � � � � �B��� �'� � } � � � � ��� } � �| } ~ � � ��� � � } � ~�� � � �(�| } ~ � � ���B��� ~ ~�� � � � � � � �(�| } ~ � � �<��� � � � � � � � � | ���B��� �'� � � � � � � � � � � �| } ~ � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � } ���| } ~ � � �<��� � � � � | ~ � � � � �B��� �'� � � � � | ~ � � � � �| } ~ | � ���'� � ��� � } � �| } ~ | � ��� � � � � ��� } � � � | ���| } ~ | � �<��� � � } � � � ~ � � � �B��� ��� � � } � � � � � � ~��| } ~ ~ ~ ��� � � � � � } ~ ~��| } ~ ~ ~ ��� � ����� � ~ � ��� � � � | ���| } ~ ~ ~ �<��� ~ � � | ~ � � � � � �B��� ��� ~ � � | ~ � } � � � �| } ~ � � � � � � } � � ~�� � �(�| } ~ � � ���'� � � � � � � � � � � � | � | ~ �| } ~ � � �<��� ~ � ��� � � � � � � �B��� ��� ~ � ��� � � � � � � �| } � � � ��� } � | } � � �| } � � � � � � � ~�� � � � � ~ ~�� } ~ � ~ ���| } � � � �<��� } ~ � ~ ~ ~ } � ~ � �B��� ��� } ~ � ~ ~ ~ | � � � �| } � � ~ ��� � � � � � � ~�� ~ � � ~ � ���| } � � ~ �<��� � � � � | � ~ � � � �B��� ��� � � � � | � � � } � �| } � � � ��� | ~�� ~ } ~�� � } � � ~��| } � � � �<��� � | � � } � � � � | �B��� ��� � | � � } � } � � � �| } � � ~ ��� � � � � � ~ �(�| } � � ~ ����~ � ~ � � � � ��� } � �(�| } � � ~ �<��� � � � � � � � � � | �B��� ��� � � � � � � � � | ���| } � � � ��� � � ~�� � � � � � � � � � ~ �| } � � � �<��� � � � � � � � � � � �B��� ��� � � � � � � � � � ~��| } � � � ���'� � � � � � ~�� � � } } ���| } � � � �<��� � � } } � � � � � ~��B��� ��� � � } } � � ��� � ���| } � } � ��� � � ~�� � � | � � | � � � �| } � } � �<��� � ~ � � � � � � | � �B��� ��� � ~ � � � � ��� ~ | �| } � | ~ ����~�� � � � � � ~�� � � � � � ���| } � | ~ �<��� � � ��� � | � � � � �B��� ��� � � ��� � ~ � � � � �| } � � � ��� � � � ��� �| } � � � ��� � � ~�� � � ��� � ~ ��� | � � ~��

Page 159: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � �

� � � � � �<��� � � �   � � � ¡ � ¢ £B¤�¥ £�� � � �   � � � ¡ � ��¦� � � § § ¨�© ª « � § « � ¢ §�« � § � § ¬ ¬ ­� � � § § �<��� � � § ¬ � � ¢ ¡ � § £B¤�¥ £�� � � § ¬ � � � ¡ � § ¦� � § � � ®�© ª « � ¢ § � ¬�­� � § � � ¨�©�¬�« � § ª « ª � � � � � ª�­� � § � � �<��� � � � � � � ª ¡ § ¢ £B¤�¥ £�� � � � � � �  �¡ § § ¦� � § � ¬ ¨�© � ��« ¬ ª « � � ¬�« � � � ¬ ­� � § � ¬ �<��� � ¢   § § ª � ¡ ª § £B¤�¥ £�� � ¢   § § ª § ¡   � ¦� � § � § ®�© � « � § « ª   ¬�­� � § � § ¨�© ª « �     � � § § � � ¬ ¯� � § � § �<��� ¢ § §   ¢ ª � ¡ � � £B¤�¥ £�� ¢ § §   ¢ ª § ¡ � ��¦� � § � � ¨�©�¬�« � � � � §�« ª § � � ��­� � § � � �<��� ¢  ��   � § � ¡ ¬ § £B¤�¥ £�� ¢  ��   � § � ¡ � ¬�¦� � § � ¬ ®�© ª « � ¢ § § ª(­� � § � ¬ ¨�© � ¬�« �   § ª � � � ��­� � § � ¬ �<��� ¢ � � ¬ � ¢ � ¡ � ��£B¤�¥ £�� ¢ � � ¬ � ¢ � ¡ � § ¦� � § � ª ¨�©�¬�« ª � § ��« � � �   ¢ §�­� � § � ª �<��� ¢ � � ª � � � ¡ � ¬�£B¤�¥ £�� ¢ � � ª � � ª ¡ §  �¦� � § � � ®�© ª « ¬�« � � ¬ � ­� � § � � ¨ © ª ¬�« � ¢ � §�« � ¬ § § ��­� � § � � �<��§ ¬ � � § § § ¡ � ��£°¤�¥ £'§ ¬ � ¬ ¢ ¢ ¢ ¡ � ª ¦� � § � ª ¨�© ª « ¬ ª « � � ª�« ¬ ¢ �   §�­� � § � ª �<��§ � ¬ ª � � � ¡ � ��£°¤�¥ £'§ � ¬ ª � � ¬ ¡ ª  �¦� � § § ª ® © ª « � ¬�« �   ¬�­� � § § ª ¨�©�¬�« ª ��« � ¢ ¢ � § ¬ ¬ § ­� � § § ª �<��§   � ª � � § ¡   ��£°¤�¥ £'§   � ª � ¬ ¢ ¡   § ¦

± ± ± ± ± ® ²

¬ ¢ � � � ¨�© ª « � ¬�« � � � ¬�« � ª ¢ § §�­¬ ¢ � � � � ��� ¢ ¢   ª � � ¡ ª  (£°¤�¥ £�� ¢ ¢   ª � � ¡ ª  �¦¬ ¢ � � ¬ ®�© ª � ¢ � §(­¬ ¢ � � ¬ ¨�© ª « � § « � § � ��« � � ª § ��­¬ ¢ � � ¬ �<��� ¢ ¢ ª ¢ � � ¡ ¬ ¬ £°¤�¥ £�� ¢ ¢ ª ¢ � � ¡ ¬ ¬�¦¬ ¢ � � � ®�© ª « � ª « � §�« ª � ­¬ ¢ � � � ¨�©�¬�« � § « ª � § ¬ ¢ � � ��­¬ ¢ � � � �<��� ¢ ¢ � � � ª ¡ � ��£°¤�¥ £�� ¢ ¢ � � �  �¡ � � ¦¬ ¢ � � ª ¨�© ª « ¬�« � � ¬�« � ¬ ��« ª � � §(­¬ ¢ � � ª �<��� ¢ ¢ � � � � ¡   ��£°¤�¥ £�� ¢ ¢ � � � � ¡   � ¦¬ ¢ � ª § ¨�©B  ª « � � ª�«   ¢   � � §�­¬ ¢ � ª § �<��¤�¥ £'§ § � � ¢ � ¡ ¬ ¬ ³��¬ ¢ �  �� ®�©'� ¬�« � ¢ � ª(­¬ ¢ �  �� ¨�© ª « ª ¬�«     ª � � ¬ § ª ­

´ µ ¶H· · ¸ ¹ º » ¼ ½ ¹ ¾ ¿ À ¸�Á À  º ¹  » ¹  Á ¹ ÃOÄ�À  ½ ¸ ¼ ¾ » Á ½ » À Â�Å°¼ Æ Æ Ç » ¹ ÈO¿ À ¸O¼ Ç Ç É Ê Ë Ì Í Í Î�Ï(É�Ï&Ð Ñ Ò Ò Ò

Page 160: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ó Ô�Ó

Õ Ö × Ø�× Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ Þ ß × Þ à á â ã�ä�×Õ Ö × â Õ å�æ ã ç × ×�ç × Ö à ã�èÕ Ö × â Õ é�æ'× ã é ê Þ × ê Ø Õ Ö ã èÕ Ö × â Õ Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ Þ Ø Þ à Õ á ê Ø(ä�×Õ Ö × à ã é�æ�Õ�ç à ×�ç × × â ê Þ Ö Õ Þ èÕ Ö × à ã Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ Þ ã Õ à ê á Ö ×�ä�×Õ Ö × Õ Õ å�æ ã â Ö ß Þ(èÕ Ö × Õ Õ é�æ ã ç Õ�ç × ã ç ß â Þ ç ê × Ö Ö ×�èÕ Ö × Õ Õ Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ Þ Ö Þ à × á Þ ã�ä�×Õ Ö × ß × å�æ ã é Õ�ç â â Õ�èÕ Ö × ß × é�æBØ Þ ê â Ø Ø ê Þ Ø ã�ëÕ Ö × ß × Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ Þ Ö × à â á Ö ×�ä�×Õ Ö × ß ã é�æ ã ç × ã ç × ê à ã Ö Ö à Ö Õ�èÕ Ö × ß ã Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ ß Þ Õ à Õ á Ö Õ ä�×Õ Ö × Þ Þ é�æ ã Õ�ç × Ö ã�ç à × Þ ç ê Ö ß Þ(èÕ Ö × Þ Þ Ù<Ú�Û�Ü Ý'Þ ß à â Þ â á Õ ß�ä�×

ì ì ì ì ì× ã × Ö Ö Þ å�æ ã ç â ç × ×�ç ã Þ Õ�è× ã × Ö Ö Þ é�æ�Õ�ç ê Ø â × Þ ê Õ Ö × ã è× ã × Ö Ö Þ Ù Ú�Û�Ü�Ý�× ã × × ã Ø�á Ö à�ä�×× ã × Ö × × é�æ ã ç ã ×�ç Þ Õ�ç ã Õ ã�ç â × Ö × è× ã × Ö × × Ù�Ú�Û�Ü�Ý�× ã × × ã ê á Ö à�ä�×× ã × Ö ê ã é�æ ã ç Õ�ç × ã�ç à ê ß ß ã ã à ×�è× ã × Ö ê ã Ù Ú�Û�Ü�Ý�× ã × × ê Ö á Ö Ø(ä�×× ã × Ö Ø�× å�æ à â â ê × è× ã × Ö Ø�× é�æ ã ç à ×�ç × ß Õ Þ ç Ø Þ Þ ã Þ(è× ã × Ö Ø�× Ù�Ú�Û�Ü�Ý�× ã × × Ö ê á Ö ×�ä�×× ã × Ö â Þ é�æ ã ç Ø Þ ã ã�ç × × à Ö à â Þ�è× ã × Ö â Þ Ù�Ú�Û�Ü�Ý�× ã × Ö ß Ø�á Ö Ö�ä�×× ã × Ö à ã é�æ�Õ�ç × Ö Þ�ç ê ê â × ã ê Þ ×�è× ã × Ö à ã Ù�Ú�Û�Ü�Ý�× ã × Ö ß Ö á Ö Ö�ä�×

ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì× Ö Ü ê à ã Ù<Ú�Þ Ø Ö Þ á â Ø(ÝBÛ�í Ý�× Þ × à ê á Ø ã

Þ Ø�× ã Ùîä�ê

ì ì ì ì ìÞ Þ Þ Õ Ùîä�ê× Ö Ö Ö Õ Ù<Ú�Û�Ü Ý'ê ê â Ø ã â á ß ê�ä�×

ì ì ì ì ì× Þ × â Õ Ù<Ú�Û�Ü Ý�× Þ × à ß á ß Õ ä�×

ê à Þ å�æ�ã ï âtÚ�Û�í�Ý�Þ ß ã à á Õ ê�ä�êê à Þ Ù<Ú�â ê ê Ø�á ê Þ�ÝBÛ�í Ý�× Ö â â Ø�á Ö ßâ ê ê Õ Ùîä�ê

Page 161: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ð ñ�ò

ó ó ó ó óô ô ô õ öî÷�øù ú ú ú õ ö<û�ü�ý þ�ù ù ù ÿ � � � ÿ�÷�ùó ó ó ó óù ú � � ù ö<û�ü�ý þ�ù ú � õ � � ø ÿ�÷�ù

ø õ ù ö<û�ü�� þ'ô ø ù � � ú ú(÷�øø õ õ ����ù � ôø õ õ ö<û�ü�� þ'ÿ õ ø � � ù �(÷�øø � ù ����� � � õø � ù ö<û�ü�� þ�� õ � � � � ú(÷�øø � � ö<û�ü�� þ�� � � ÿ � � ÿ(÷�øø ô � ����� � õ � ø ô � ö<û�ü�� þ�� ú � ô � ÿ �(÷�ø� ú õ ö<û�ü�� þ�� ú õ ù � ú ú(÷�ø� ù ù ö<û�ü�� þ'ø � � ��� � ø(÷�ø� ù � ����ù � õ�� ù � ö<û�ü�� þ'ø � ú ù � � �(÷�ø� ù õ ����� � � ��� ù õ ö<û�ü�� þ'ø ÿ � ù � � �(÷�ø� � ù ö û�ü�� þ'ø ø � ù � � ú(÷�ø� � õ ����ù � � � � õ ö<û�ü�� þ'ø ù ø ø � � ÿ(÷�ø� � õ ö<û�ü�� þ�ù ô � � � õ �(÷�ø� � ô � ��� � õ� � ô ö<û�ü�� þ�ù ô ù ��� � �(÷�ø� � � ����� � � ô�� � � ö<û�ü�� þ�ù � � ÿ � ô �(÷�ø� � ô ö<û�ü�� þ�ù õ õ � � � �(÷�ø� ÿ õ ö<û�ü�� þ�ù ÿ � õ � ø ø(÷�ø� õ � ����ù ù�� ù õ�� õ � ö<û�ü�� þ�ù ÿ ø ÿ � ô ú(÷�ø� õ ô ö<û�ü�� þ�ù � õ ø � � õ�÷�ø� � � ö<û�ü�� þ�ù � � ô � ú �%÷�ø� � ô ����� � � � ù �� � ô ö<û�ü�� þ�ù � ô ø � ÿ ÿ(÷�ø� ô õ ����ù ô ô� ô õ ö<û�ü�� þ�ù � � ÿ � ô ÿ(÷�ø� ú ù ����� � ÿ õ� ú ù ö<û�ü�� þ�ù ��ù ù � � ø(÷�ø� ú ô ����� � ��ù�� ú ô ö<û�ü�� þ�ù � ÿ ��� � �%÷�ø��ù ô ö<û�ü�� þ�ù � ù ù � ô ô(÷�ø

Page 162: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � �

� � � ����� � � �� � � ��� ��! "#� $ % � & � '()�� $ � ��� ��! "#� � * + & % ,()�� $ $ ����+.- $ ���� $ $ ��� ��! "#� � � ' & , $()�� $ / ��� ��! "#� � � ��& � *()�� � $ ��� ��! "#� � % / & � /()�� � / ����$ 0 * 0� ��! "#� � ' $ & / /()�� � / ��� ��! "#� � ' + & � '()�� * + ����� � /�� * + ��� ��! "#� � , % & * ,()�� , � ����$ - +.- � � �� , � ��� ��! "#� � � + & ' '()�� , $ ��� ��! "#� � ��� & + $()�� , + ��� ��! "#� � � / & + +�()�� + / ��� ��! "#� % / , & � '()�� ' + ��� ��! "#� % + , & � %()�� / � ��� ��! "#� % , , & * '()�� / / ��� ��! "#� % � ' & � /()�* % $ � � ��! "#� % $ / & * /()�* % / ����$ - * - � +�� ��! "#� % � * & % ��(��* % / ��� ��! "#� % � + & % *()�* � � ����$ 0 � /�* � � � � ��! "#� % % $ & , '()�* � $ ��� ��! "�/ / / & / /()�* ��� ����� + � �* ��� ��� ��! "�/ , / & � � ()�* � + ��� ��! "�/ * / & , ,()�* * + ����$ 0 $ � �* * + ��� ��! "�/ � ��& + ,()�* , $ ��� ��! "�/ $ , & � '()�* , / ����$ - * - � /�* , / ��� ��! "�/ � ' & � $()�* + � ��� ��! "�/ � * & � '()�* + + ���1� + 0����!�"�/ � , & � + (��* + + ��� ��! "�/ � + & + $()�* ' + ��� ��! "�/ % * & � *()�* / $ ����$ 2 � � �* / $ ��� ��! "�' / ' & � �()�* / / ��� ��! "�' / � & , *()�, % � ����+.- � $��, % � ��� ��! "�' ' / & � ��()�

Page 163: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

3 4 5

6 7 8 9�: ;�< =�> > ? @ A 8�B)?6 C D E�F�D 7 8�G6 C D 9�: ;�< =�> 8 6 @ 8 ?B)?6 C 8 E�F�D H C 7 DG6 C 8 9�: ;�< =�> 8 ? @ 6 8�B)?6 C A 9�: ;�< =�> 8 7 @ 6 8�B)?6 D C 9�: ;�< =�> I A @ C 6B)?6 J�C E�F�D H C 7 8�G6 J�C 9�: ;�< =�> I 7 @ C ?B)?6 J D 9�: ;�< =�> J > @ D 8�B)?6 J 8 9�: ;�< =�> J J�@ A ?B)?6 I D E�F�D H C 7 AG6 I D 9�: ;�< =�> D A @ > 8�B)?6 I A 9�: ;�< =�> D J�@ A >B)?6 6 C E�F�D D C G6 6 C 9�: ;�< =�> D D @ D >B)?6 8 D E�F�D D 8�G6 8 D 9�: ;�< =�> ? J�@ C 7B)?6 8 8 E�F�D H C C DG6 8 8 9 : ;�< =�> ? C @ C ?B)?6 > D 9�: ;�< =�> C 6 @ 8 8�B)?6 A C 9�: ;�< =�> C C @ C J�B)?8 7 C E�F�D K C DG8 7 C 9 : ;�< =�> 7 J�@ J 7B)?8 7 A E�F�I H 8 C�G8 7 A 9�: ;�< =18 A A @ ? ?B)?8 C A 9�: ;�< =18 A ? @ A AB)?8 ? 8 9�: ;�< =18 > > @ ? 7B)?8 D D E�F�D 6 8�G8 D D 9�: ;�< =18 > J�@ 8 ?B)?8 D A 9�: ;�< =18 > C @ D ?B)?8 J D 9�: ;�< =18 8 A @ C 7B)?8 I C 9�: ;�< =18 8 J�@ 8 6B)?8 I 8 E�F�D 8 AG8 I 8 9�: ;�< =18 8 C @ 6 7B)?8 6 C E�F�D H C ? 8�G8 6 C 9�: ;�< =18 6 A @ I J�B)?

C A L.FMD H C ? 8C ? 8 9�: ;�< =18 D 8 @ J AB)?

C A 9N:)A I @ A >=O; P�=�? > 6 @ 7 7A 8 E�F�8 L GA 8 LQF�D H D C 6 A�B�?

Page 164: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

R S�S

T U V�W X�Y Z#[ \ ] ^ [ _ ` `a)^[ ` [ b�c�^ d [ Ue[ ` [ V�W X�Y Z�^ \ ^ T _ ` `a)f[ ` ^ V�W X�Y Z�f U T g _ U fa)f[ ` U V�W X�Y Z#[ \ ] T _ [ Ta)f[ ` T b�c�h d [ [�e[ ` T V�W X�Y Z#[ h T ]�_ ` \a)f[ [ ^ b�c�^ d [ TiW X�Y Z1[ f ` ]�_ ^ ]a�f[ [ ^ V�W X�Y Z#[ f g ^ _ T ha)f[ f U V�W X�Y Z1U U T _ ^ Ta)f[ ^ [ V�W X�Y Z1U [ f _ [ ha)f[ ^ U b�c�^ d f ^�e[ ^ U V�W X�Y Z�g ^ h _ \ \a)f[ ^ T V�W X�Y Z�g [ h _ [ Ta)f[ ] T b�c�^ d h jW X�Y Z�h f \ _ U \�a�f[ ] T V�W X�Y Z�h ^ h _ [ ga)f[ h [ V�W X�Y Z�h f f _ g ]�a)f[ h U b�c�U Te[ h U V�W X�Y Z�] T ` _ ` fa)f[ g ^ V W X�Y Z�] g ^ _ f ]�a)f[ g U V�W X�Y Z�] ] U _ T [ a)f[ U ^ b�c�^ d f T�e[ U ^ V�W X�Y Z�] f U _ \ Ta)f[ U T V W X�Y Z�]�[ ` _ U ga)f[ \ [ b�c�U.d [ ^�e[ \ [ V�W X�Y Z�] ` h _ h Ta)f[ T [ V�W X�Y Z�^ \ ^ _ ` `a)f[ T ^ b�c�T U�e[ T ^ V�W X�Y Z�^ U T _ ` ha)f[ T U b�c�^ j [ [ e[ T U V�W X�Y Z�^ U [ _ g `a)f[ T T V�W X�Y Z�^ g \ _ ` Ta)ff [ [ V�W X�Y Z�^ ] T _ g [ a)ff f ^ V�W X�Y Z�^ ^ ]�_ g ^a)ff f U V�W X�Y Z�^ ^ ` _ f ]�a)ff f T b�c�h d f ^�ef f T V�W X�Y Z�^ f \ _ [ ha)ff ^ ^ b�c�^ j [ ^ef ^ ^ V�W X�Y Z�^ f ]�_ [ ]�a)ff ^ T V�W X�Y Z�^ [ \ _ h ga)ff ]�[ b�c1[ [ j ef ]�[ V�W X�Y Z�^ [ g _ \ `a)f

Page 165: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

k l m

n o p q�r s�t u�v w x y z x{)nn o | }�~�v � � v��n o | q�r s�t u�v w ��y v w{)nn z v q�r s�t u�v w w y n v{)nn z � }�~�v � oir�s�t�u�n � o y x v�{�nn z � q�r s�t u�n � z y � ��{)nn | p q�r s�t u�n � o y n v{)nn | | }�~1p v ��n | | q�r s�t u�n � p y | x{)nn x p }�~�v � � |�n x p q�r s�t u�n x � y z w{)nn x v q�r s�t u�n x x y o o{)n

n v �.~�|.� | ���n v qNr�� � y n xuOs ��u#p � x y x z � s�t u#p � n o y | �{)nn � }Q~Mv � oir)v v y p p uOs ��u�� | y � v � s�t u�z p | y z | {�nn � �.~�p v � z |��n � qNr)v v y � zuOs ��u#p w p y v � � s�t u�� | z y � z�{�nv p �.~Mv � v v p

v v p q�r s�t u�z � y o z{�nv p q r s ��u�� ��y w w{)vv | }Q~�p ���v | �.~Mv � |.� z |��v | qNr s ��u�x w y n �{)v��p } ~Mv � |���p �.~�p | n v

p | n v q�r s�t u�o w y � v{)n��p qNr s ��u1| ��y x w{)v� v �.~Mv � z v p

z v p q�r s�t u�o w y | v{�n� v qNr s ��u1| n y z |�{)v� | �.~Mv |.� z p �� | qNr s ��u�z � y n v{)vo v }Q~Mv ��r)n n y n |�uOs ��u�z ��y � o � s�t u�z � y o |�{)no v �.~�|.� � w ��o v qNr s ��u�z o y � z{)vo � �.~Mv o ��p

v o ��p q�r s�t uM� n y � n{)no � qNr s ��u�z n y | o{)v

| �.~Mv � p �p � �.~Mv � p n |

p n | q�r s�t u�n z y x n{�np � qNr s ��u�v o y � ��{)v

Page 166: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ���

� � �M� � � �� � � � ����� � � � ��� � ��� � � � � � ��� ��� � � � �����

� �.�M� � �   � ¡ ¡� � ¢Q�M¡ � ��£� � ¤.��� ¡ � � ���.�� � �

  � ¡ ¡ ��� ��� ��� � � ¡ ��)�� �N�)� � � ��O��¥ ��� � � � � � � � ��� � � � ��)¡� � ¤.���.� � �£� � � �M� � ¡ � � � £� � ���� �� � � �O��¥ �1� � � � � � � � ��� � � �  ��)¡� ¡ ¢Q���£� ¡ ¤.�M¡ � � �

� � ¢Q�M¡ ���)¡� � ¤.�M¡ � � ¡ � � ����¡� � �N� � � �#� � � � � �)¡

� ¡ � �M¡ � �  ��¡ � �  �� ���� �� ¡ ¡��O� � �#�  �� � � � ��� �#� ¡ � �  ���¡

� ¡ ���� �� ¡ ¡�O��¥ �1� � � ¡  �� � � �#� � � � ��)¡

¦)§�¨�© ª�« ¬ © © ª ­

Page 167: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

®°¯±¯³²µ´·¶±¸Q¹»º

¼¾½À¿MÁ Â.Ã�Ä�½#¿OÂ�Å ÆMóÇÈÄ É�É�ÊN Ë#¿OÂÌ¿M½ÀÉ1ÍÈÍÎÇÏÃ�Ä Ê�Ã�Ð�Â̽1ÑÈÒ³ÓÏÃ�ÄË#¿MÔÕ¿OÂÌÁ Ãi¿MÔ.ÂÖÔ.ÃiÆMÃ�½ÀÍÈÅ Ô.Â�Å ½ÈÐ�ÂÌÇÈÄ�Å Ò×ÃØÊ ¿MÐ�Â.É�Ä�Ô

Ù�Ú Û Ü.Ý Þ ß ß à)á ß â�Ü Û Ü ã ÜQß à�ã Ú äß å ã Ý å ã.Ý Þ ß æ å�á ä æiç èéã Ú äê ë ã ä Ü ã.ì ä Þ Ü Û ß âiß à�ã Ú äéíOî ï ð ñ ò�î ï ó ô îá ß æ ä�ë â�æiÜ ë ì ä æë Ü õ Ý ê ë Û â�öQã ä ÷ ã ø�ù ãQå�Ü ä Ü.ë�Ü ã ë ã Û á ç�ß å â�æéß à)úüûÏý þ ÿ � ë â�æOý þ �.à ß ÞQã Ú ä�ê ß ��ä ÞQç�ß å â�æiß âiã Ú ä�ê ë Þ � ä Ü ãQÝ Þ Û �äà ë á ã ß Þ�õ à ß ÞQã Ú ä���� á ß â ã Þ ë æ Û á ã Û ß â�ö ø

Ù�Ú Û Ü)ß å ã Ý å ã�Ú�ë Ü�ç�ä ä âéä æ Û ã ä æéß â ê è�ã ßã Ú ä ä ÷ ã ä â ã�ã Ú�ë ã ù â ì Û Ü Û ç ê ä � Ý�ë á ä ��Ú�ë Ü)ç�ä ä âéÞ ä ��ß ì ä æ�ë â�æéÜ ßÛ ã Üë Ý Ý�ä ë Þ ë â�á ä��éë ã á Ú ä Ü)ã Ú�ë ã)ß à�íOî ï ð ñ ò�î ï ó ô î.Û ã Ü ä ê à ø � ß �ä.ß à ã Ú ä.â å ��ä Þ Û áQì ë ê å ä Ü�ë Þ ä.ä ÷ Ý Þ ä Ü Ü ä æÛ âiÜ á Û ä â ã Û ��áà ß Þ ��ë ã ø�ù âiã Ú Û Ü�ã ä ÷ ãQß å ã Ý å ãQâ ßéë ã ã ä ��Ý ãQÚ�ë Ü�ç�ä ä â���ë æ ä�ã ßéÜ Ú ß �1ã Ú ä�ä ÷ Ý�ß â ä â ã.ë ÜQë�Ü å Ý�ä Þ Ü á Þ Û Ý ã�õ ç å ãQÛ ãÛ ÜQä ë Ü Û ê è�Û â à ä Þ Þ ä æ ö ø����������� ��������� �!� �"�����!� #����$ ��%��"&�'Ù�Ú ä�ã ä ÷ ã ß à�ã Ú Û Ü�Ý Þ ß ß à�Û Ü�ë ì ë Û ê ë ç ê äß âOã Ú äiá ß ��Ý�ë â Û ß â)()ß ��Ý�ë á ã�*.Û Ü á�ë Ü.ã Ú ä�Ý ê ë Û â)+���()ù ù.ã ä ÷ ã�� ê ä

, - . / 0�, 1 2 3 4 5 6�7�8 0 / 0�ø

ý 9 :

Page 168: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

;=<><@?BADC>E�FHG

I=JLK�M M)NPO�QSRTOVU�W XSY[Z]\VQS^`_badc ZfeLgihVO�Rkjml _Snpoqgsr�tu v

w x y

Page 169: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

z {�|

} ~ � ��� � ����} ��� } ~ ��� � � ��� � � ��� � � ~ ���} � ������ ���d��� } ������ � ~ ~ � } � ~ � � � � ��} � � � � � � ~��� ���d� � ~ }�����} � � ~ � � � } ~ � � � � ~ � � � � � � ���� ���d� ��� � � � ��k} ������ ���d� ��� } ��� � ��� } ~ � ���k} �} ~� � ����} } � ��� � � � � � ���k} ���� � ����} � } � � } � � � ~ }����} � � ~ � � � � � } � ~ � ~ � ~ � � � � �� � ���d��� } ��� � }�� � � ~ }�� } � � � � }��k} ��} }� � ����} � ~ ~ ��� � � � � � � } � � ���k} ���� � ���P��} ��� � � � ��} � � � � ~ � ~ ���k} ���� � ���d��� } ��� � ��� � � � ��� } } � � � � � � � � ���k} ��} }� �} ~ � ���d��� ��� � � }����} � � } � � � ~ � � � � � � � � � � � } �} ~ � � �d� }�� } � }!� � � ~ � }��k} �} ~} ~ � ����} } ��� � � }�� � � � ~ � } ~ ���k} �} ~} ~ � �� � � ���d��� � ��� } � � ���k} ���� � � � ��} }�� } � } }!� } � � � � � }��k} �} ~� � � �� � � ���d��� } ��� } � � } ��`� ��} �� � � ����} }!� } � }�� � � � }�� � � ~ � }��k} �} }� � � �� � ~ � ���d��� � } �!� � ��� � ��}��k} �} ~� � ~ � ��� � ��� � � � ~ ��� ���

} � ���d��� � }� } ���d� }�����} � � � � } � } � � � � � � � � � } � } �� } ���d��� } ��� � ����} � � � ~ � } } � � � � � � � � � � � � �� } ���d��� } � }!� � } � � }��k} ��} ~� } ���d��� ��� } ��� � }�� � ��� � � ��k} �} }� } ���d� � � � � ~ � � � � ������} � � � � � � � � ~ � � � � } � � � � � �� } ���d� ��� } ��� } ��� � ��� � ~ � � � ~ } � ���k} �} ~� } ���d��� } }!� � }�� } � }!� � } � � }!� } � � � ��} }��k} ��} �� } �} ~ � �!�d��� } }��k} ���} ~ � ���d��� ��� � � }��k} ���

�  �¡ ¢ £ ¤ ¢ ¥ ¤ ¢ ¦"¢ ¡ ¦ § ¦ ¥ ¡ ¢�¨ ¡ ©�¡ ª ª�« © ¥ ¬�¤�¨ § ­ ¦ ¡ © ®�¡ ¨ ¯ ° ± ² ³ ´ µ`¶ ±"· ¶ ¸ ¹"· º ± ±�· » ¼ »"· ½ ¾ ¸ ¹ ¿¨ À © ¦ Á ¤ ©�¨ § ­ ¦ ¡ © ¥ ® § ¦ ¥ ¡ ¢ ®�¥ ¢�¦ Á ¤ ­ Á § ¥ ¢�§ © ¤"¥ ¢ ª ¥ ­ § ¦ ¤ ª� Ã�¥ ¢ ª ¤ ¢ ¦ § ¦ ¥ ¡ ¢ ® IJ Å Á ¤ ¢ À ¬! ¤ ©�± ² ³ ¶ ±"· » ² · ¶ ¹ ² ¶ ¸ ¹ ² º ± ± ² » ¼ » ² ½ ¾ ¸ ¹ ² ¥ ®�Æ" À ¢ ª § ¢ ¦ ÄÇ Å Á ¤ ¢ À ¬! ¤ ©�± ² ³ ¶ ±"· » È�· ¶ ¸ ¹ É�º ± ± É�» ¼ » É�¾ ½ ¸ ¶ É�½ ¾ ¸ ¹ ÉS¥ ®�Ê�¤ Ë ­ ¥ ¤ ¢ ¦ ÄÈ Å Á ¤ © ¤ § © ¤"¦ ¡ ¡�Ì�§ ¢ Ã�° ¹ ´�« © ¥ ¬�¤"¨ § ­ ¦ ¡ © ® ÄÍ Î�µ�± ² ³ ¶ ± Ï"»�· ¶ ¸ ¹"· º ± ±"· » ¼ »"· ½ ¾ ¸ ¹�Ð Ñ

Page 170: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ò Ó�Ò

Ô Õ Ö ×�ØdÙ Ô�Ú Ô Ö Ô!Ú Û Ü Õ Ý Ô�ÞkÔ ßÔ ÕÔ Õ Ö à�ØdÙ�Ú á�Ú â�Ú Ô Ô�Ú Ý Ô!Ú Ô Ö Ù�Ú á â Ô�ÞkÔ ß�Ô ÛÔ Õ Ö ã�Ø�Ô Ô Ù�Ú Û ä Ô�Ú á Ù Ù Õ Ý Ô Õ â�ÞkÔ ßÔ ÕÔ Õ Ö åÜ Ù Ù æ!Ø�â�Ú Ù Ô�ÞkÔ ß�ÖÜ Ù Ù ç�ØdÙ�Ú Ù â�Ú Ô Ý Ö Ù�ÞkÔ ß�ÖÜ Ù Ù ×�Ø�Ô Ô�Ú Ô ä Ô Ô!Ú Ô â Ý ä Ý Ý Ô�ÞkÔ ßÔ ÕÜ Ù Ù à�ØdÙ�Ú â�Ú Ô Ù�Ú Ù Ô�Ú Ù â�Ú Ô Ý Ö Ù�Ú Ô Ü Ù ä ÖÞkÔ ß�Ô ÛÜ Ù Ù åâ á â æ�ØdÙ â Öè�ßÔ é Ý â â Ù Ô á á Ô â Ö Ö Ü ä Û Û Õ Ö á Ôâ á â ç�ØdÙ�Ú Ô Ù�Ú Ô Ü â Ô Ùè�ßÔ é Ý â Ù Õ Õ Ý á Õ ä Û Ô â á Ý Ù Ü Õ Ü Ýâ á â ×�Ø�Ô Ô!Ú Ô Ö Ô�Ú Û á Û Ô�Ú Ý Û Õ ä Ô�ÞkÔ ßÔ Ôâ á â à�ØdÙ�Ú Ô Ù�Ú Ô Ý Ù�Ú Ù â Ö�Ú Ù á Ô Ô�Ú Ô Ü â Ô ÙÞkÔ ßÔ Ôâ á â åä Û Õ Ö æ!Ødá�Ú ä Û Ô�ÞkÔ ß�Öä Û Õ Ö ç�ØdÙ�Ú Ù Ô ç!Ú Ö â�Ú Û Ü�Ô�ÞkÔ ßÔ Õä Û Õ Ö å�ê ë�ì�í Ý î Ô Ûï Û

Ô Ù ×�ØdÙ Õ Ö Ü�ÔÔ Õ Ö æ�Ødá�Ú Ô Ô�ÞkÔ ß�ÖÔ Õ Ö ç ØdÙ�Ú â�Ú á â Ô�ÞkÔ ß�ÖÔ Õ Ö ×�ØdÙ Ô!Ú Ô Ö Ô�Ú Û Ü Õ Ý Ô�ÞkÔ ßÔ ÕÔ Õ Ö à�ØdÙ�Ú á�Ú â�Ú Ô Ô�Ú Ý Ô�Ú Ô Ö Ù�Ú á â Ô�ÞkÔ ßÔ ÙÔ Õ Ö ã�Ø�Ô Ô Ù�Ú Û ä Ô!Ú á Ù Ù Õ Ý Ô Õ â�ÞkÔ ßÔ ÕÔ Õ Ö åÜ Ù Ù æ!Ø�â�Ú Ù Ô�ÞkÔ ß�ÖÜ Ù Ù ç�ØdÙ�Ú Ù â�Ú Ô Ý Ö ÙÞkÔ ß�ÖÜ Ù Ù ×�Ø�Ô Ô�Ú Ô ä Ô Ô!Ú Ô â Ý ä Ý Ý Ô�ÞkÔ ß�Ô ÕÜ Ù Ù à�ØdÙ�Ú â�Ú Ô Ù�Ú Ù Ô�Ú Ù â�Ú Ô Ý Ö Ù�Ú Ô Ü Ù ä ÖÞkÔ ß�Ô ÛÜ Ù Ù åâ á â æ!ØdÙ â Ö�è�ßÔ é Ý á Õ Ý Ô ä â Û â Ý Ô Û Ô Ô ä â Ý á áâ á â ç�ØdÙ�Ú Ô Ù�Ú Ô Ü â Ô Ù�è�ß�Ô é Ý Ü Ý Ù â ä Ù Õ Ô Ý Ý Ö ä Ö Õ â Ô ä Õâ á â ×�Ø�Ô Ô�Ú Ô Ö Ô!Ú Û á Û Ô!Ú Ý Û Õ ä Ô�ÞkÔ ß�Ô Ôâ á â à�ØdÙ�Ú Ô Ù�Ú Ô Ý Ù�Ú Ù â Ö�Ú Ù á Ô Ô!Ú Ô Ü â Ô ÙÞkÔ ß�Ô Ôâ á â åä Û Õ Ö æ!Ø�á�Ú ä Û Ô�ÞkÔ ß�Öä Û Õ Ö ç�Ø�Ù�Ú Ù Ô ç�Ú Ö â�Ú Û Ü�Ô�ÞkÔ ß�Ô Õä Û Õ Ö åÙ Õ Ö Ü�Ô æ!ØdÙ ×�Ú Ô Ö Ô�è�ß�Ô é Ý á Ü Ö Ù Õ Ö Ý Ü Û Õ Û Ô á â ä Ô Ù ÖÙ Õ Ö Ü�Ô ç�Ø�Ô á â�Ú Ü Ù Ù�Ú Ô Ü Õ ä ÙÞkÔ ß�ÖÙ Õ Ö Ü�Ô å�ê ë�ì�í á î Ý Ýï�Ô�ã

Ô Ù à�ØdÙ�Ú â�Ú Ý Ô�Ú Ô á â�ÞkÔ ß�Öð ñ�ò�ó ô ð õ ó ö ÷"õ ø ù"ú û ó ó�ú ü ý ü"ú þ ÿ ø ù"ú ó ø ù û õ�� �

Page 171: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� ���

� � � � � � � � � �� � � �� ��� � ����� ���� � � �� ��� ��� � � ����� ���� � � �� � ��� � � ��� � � � � ����� ��� �� � � �� ��� ��� ��� � ��� � ��� � � ��� � � ����� ��� �� � � � � � ��� � ! ��� � � � � � � � ����� ��� �� � � "� � � ��#��� � ����� ���� � � �� ��� � ��� � � � ����� ���� � � �� � ��� � ! � ��� � � � ! � � ����� ��� �� � � �� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � � � ��� � � � ! ����� ��� �� � � "� � � �� � � �%$���� & � � � � � � � � � � � � � � ! � � � �� � � �� ��� � ��� � � � � ��$���� & � � � � � � ! � � � � � ! � � ! � ! �� � � �� � ��� � � ��� � � � ��� � � � ! ����� ��� �� � � �� ��� � ��� � � ��� � � ��� � � � ��� � � � � ����� ��� �� � � "! � � � ��#��� ! � ����� ���! � � � ��#��� � � ��� � ��� � �'����� ��� �! � � � "� � � � � � � ")( *'+�,-� . � ��/���0

� � + � ��� � ��� � � � � � � ��$���� & � � � � � � � � � � � � � ! � � ! � �� � 1�#��� � ��� � �'� ��� � � � �'����� ��� �� � � 2� � ��� �'� ��� ! � ��� � ! � �'����� ��� �� � � � � ��� � � � � � �3� � ! � � � � ����� ���� � � 4�#� ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � ����� ��� �� � � �� ��� � ��� � � � ��� � � � �'��� � � � � � ����� ��� �� � "� � � � ��� � ��5���� & � � � � � � � � � � � ! � � � � � � �� � � �� ��� ��� � � ��$���� & � � � � � � � � �'� � � � � � � � ! �� � � �� � ��� � � ��� � � � � ����� ���� � � �� ��� ��� ��� � ��� � ��� � � ��� � � ����� ��� �� � � � � � ��� � ! ��� � � � � � � � ����� ���� � � "� � � ��#��� � ��$���� & � ! � � � � � � � � � ! � � � � � � �� � � �� ��� � ��� � � � ��$���� & � � � � � � ! � � � � � � � � � ! � �� � � �� � ��� � ! � ��� � � � ! � � ����� ���� � � �� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � � � ��� � � � ! ����� ��� �� � � "� � � �� � � �� � � �� ��� � ��� � ! ����� ���

6 7 8 9 83: ; 6�< = >@?BA@C = 7 D E

Page 172: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

F G'H

I J K L�M N N�O P'N�O P Q R S K R K N�T�N U�N VI J K WR X V K Y�M I�O I N Y�O K J�O X P'N�T�N U�N VR X V K W)Z ['\�]-Q ^ J I�_3X

J Q J Y�M I�O N I�O N P J N IR X V K `�M#Q�O R X N�T�N U�KR X V K Y�M#I�O I N Y�O K J�O X P'N�T�N U�N VR X V K WN P J N I `�M#J�O N V Q N�T�N U�KN P J N I Y�M I�O N K�O I J K R V N K�T�N U�KN P J N I W)Z ['\�]-Q ^ S S�_�N

J Q J L�M N N�O N K N�O X Q X N�O S X V R N�T�N U�N VJ Q J a�M I�O N I�O N S I�O I J K�O I Q N N�O N P J N I�T�N U�N VJ Q J WR X V K `�M#Q�O R X N�b�U�X c V P I J K K X I I N R P R J J X X P PR X V K Y�M#I�O I N Y�O K J�O X P'N�T�N U�KR X V K WdZ ['e�]fN V ^ I N�_�X

g�h i j�k N I Q�l m i j n

Page 173: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

oqprptsvuxwry�z|{

}�~�������� ���f�����������������f����� � ��������������� �f ¢¡£�¤��¥�¦'§

¨ © ª

Page 174: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

« ¬�­

® ¯ ° ± ² ® ³�´ µ�¶ ·�¶ ® µ�¶ µ ®�¶ ¸ ·�¶ ¹ º µ%»µ ¼�´ ® µ· ¼�´ µ�¶ ® ¸�½�¾�º ¿ ¯ À º ® ¸ ² ¯ À ² º À ¸ ¹ ¸ µ Á ¯ º ¸�¼· °�´ º Á ¯ ®�Â�¾�® ¿ ¸ À º ® Á ¯ ¸ µ º ¸ Á ¸ ¸ ® ® ¹ µ ¹ º�÷ Ä�´ º ¸�¶ À · µ µ�Å�® ¾�¸ °· Æ�´ µ ¼ ¶ ® ¸�¶ µ ·�¶ ® ¯ ² µ�Å�® ¾�® ¯· » ±�´ ® ® º µ�¶ º ¸ µ À ¹ ¸�Å�® ¾�¸· » ¼�´ ® ² ® À Á ® ² Á À ¯ ®�Â�¾�® ¿ ¸ À'® ² ¯ µ ¯ ² Á ® ¹ · · À'® ¸ ¯ º Á· » °�´ µ�¶ ® ¸�¶ µ ®�¶ º Á ¯ ®�¶ ® ¹ ¸ Á · ®�Å�® ¾�® ¯· » Ä�´ ® À ¯ ¯ ¸�¶ º · ² · ² µ ® ² Á ¸�Å�® ¾�¸· » Æ ´ÇÀ'® ¸�¶ À ¹ µ À'® ² ² · À ¯ À ¯ µ�Å�® ¾�¸· ¼ ±�´ µ�¶ ® ¸�¶ º ¸�¶ À · µ µ�¶ ® ® Á ¸ Á ² ² À Á À ¸�Å�® ¾�® ®· ¼ ¼�´ÇÀ ·�¶ µ ¯ Á µ�¶ µ ® À · ¸ Á º µ µ ¸ ² · ¹ ·�Å�® ¾�® ¯· ¼ ° ´ º ¹ ¹ ®�¶ º Á ¯ ®�¶ µ ® º Á ¯ ² · ¸ · Á Á ¸ ¹ ®�Å�® ¾�® ¯· ¼ Ä ´ µ Ã�¶ ® ¸�¶ µ ·�¶ ® ¯ ¸�¶ Á ® ®�¶ ® ¯ ² µ�¶ º µ · ·�¶ º ¹ Á µ º ¹ µ�Å�® ¾�® À· ¼ Æ ´ ¹ ¸�¶ ® º · ¹ À ¯ º ² ®3¶ · ® µ ® ² ¸ º º ¸ Á À ¸ ¸ ¸�Å�® ¾�® ¯· à ±�´ µ ® ®�¶ º ® ® À µ�¶ µ ¸ ¸ ¸ ¯ Á Á º · ¸ µ ¸ ¸ À ² À À ¯ ¸�Å�® ¾�® ¯· à ¼�´ µ�¶ ® ¸�¶ ® ® º µ�¶ µ ² µ ®�¶ º ¸ µ À ¹ ¸�¶ ® ¹ µ º ¸ ® ·�¶ ® º µ º µ ¹ Á ·�Å�® ¾�® µ· à °�´ º ¸�¶ º Á ¯ ®�¶ À · µ µ�¶ º ® º · À µ ® ¯ À'®3¶ · · ® ¸ º Á À À ¸ ² ®�Å�® ¾�® º· Ã Ä ´ º º µ�¶ º Á Á ·�¶ À Á ¯ ¹ µ À ¹ ® ¯ ¸ À ¸ º µ ® ¹ · ² · ¸ Á ® À ¯ ®�Å�® ¾�® ¯· Ã Æ ´ µ�¶ ® ¸�¶ À Á ² ² À µ�¶ · ¹ º À · µ ¸�¶ À À ¸ · ¹ ® ® µ�¶ ® ² ® À Á ® ² Á À ¯ ®�Å�® ¾�® º· ° ±�´ Á µ�¶ º ¯ ¹ ® ¹ ¸ ¯ ¸�¶ À µ ² º ® µ ¸ µ µ ² º º ¸ ¯ ² Á ² ¹ ² ¯ ¸ À · Á µ�Å�® ¾�® ¯· ° ¼�´ ® ² ² ¯ ¯ µ ² ¯ · Á À º À À Á · · ·3¶ º ® ¸ º ¹ µ · ¯ ² º º · ® ® · Á ² À'®�Å�® ¾�¸· ° °�´ µ ¼�¶ ® ¸�¶ µ ®�¶ µ ·�¶ ® ¯ ² µ�¶ º Á ¯ ®�¶ ® ¹ ¸ Á · ®3¶ ® ¹ º · ¯ ¯ · À'® ®3¶ ® º ¹ ¯ ¸ ² ® ® º ¯ ¸ ®�Å�® ¾�® À· ° Ä ´ ® µ · º º Á ® ² · À ¸ ¹ º º · ® ®@¶ ² µ ² Á ® ¹ ® ® ¸ ¸ ² À'® Á ¹ ¹ ¯ À ¹ ¸ À Á ·�Å�® ¾�¸· È® µ ¼�´ µ�¶ ² ®µ ® ¼�´ µ�¶ µ µ ®�Â�¾�® ¿ ¸ À ² ¹ µ À ¸ À'® Á º ¹ µ µ º ² ² ¯ ¸µ ® °�´ ¹�¶ ® ®�¶ ® · µ ¹ ®�Å�® ¾�® ¯µ ® Ä ´ ¸ ® · ¯ Á · ® µ ·�Â�¾�® ¿ ¸ À ¯ · ® ¸ µ ® Á ® µ · · À ¸ À ² Á ¯µ ® Æ ´ µ ¼�¶ µ µ ®�¶ µ ² µ ·�¶ Á ® µ À µ�Å�® ¾�® ¯µ ® » ±�´ º µ�¶ µ ¸ ·�¶ ² ® ·�¶ ® ¹ ¯ µ µ º Á À µ�Å�® ¾�® ®µ ® » ¼�´ÇÀ º À ¯ ·�¶ º À º ² · Á ¸�¶ · ¸ ¯ Á Á ® ®�Å�® ¾�® ¯µ ® » °�´ µ�¶ ¹�¶ ® ®�¶ µ µ ®�¶ º ¹ º ®�¶ ® · µ ¹ ®�¶ µ º · À'® º º ¯ ®�Å�® ¾�® µµ ® » Ä ´#· ¹ ® ² · ¯ ¹ ¹ ¸ ® µ Á · ¹ Á ® ¯ ¹ ¸ ¹ ² ¯ ¸ ·�Â�¾�® ¿ ¸ À ¯ · ® ¸ µ ® ² ¯ ¸ º ® ® ® ¯ ¹ ² µµ ® » Æ ´ ¹ · ®�¶ ® À º ¹ ®�¶ Á Á · · ¯ ² ² ² µ µ º ² ® ¯ · ² º ® ² ¸�Å�® ¾�® ¯µ ® ¼ ±�´ µ�¶ À µ�¶ µ µ ®�¶ ² µ ¯ ®�¶ ¸ ® · ¯ Á · ® µ ·�¶ º Á ® µ À µ º ² ¸ À µ ² ·�Å�® ¾�® º

É Ê�Ë Ì Í Î Ì Ï Î Ì Ð@Ì Ë Ð Ñ Ð Ï Ë Ì�Ò Ë ÓBË Ô Ô�Õ Ó Ï Ö�ÎBÒ Ñ × Ð Ë Ó ØBË Ò Ù Ú Û Ü Ý Þ'ßáàBâ ãBâ Ü àBâ à ÜBâ ä ã@â å æ à çÒ è Ó Ð é Î Ó�Ò Ñ × Ð Ë Ó Ï Ø Ñ Ð Ï Ë Ì ØBÏ Ì�Ð é Î3× é Ñ Ï Ì�Ñ Ó Î@Ï Ì Ô Ï × Ñ Ð Î Ô�ê ë�Ï Ì Ô Î Ì Ð Ñ Ð Ï Ë Ì Ø ìí îBé Î3Ì è Ö�ê Î ÓBÛ Ü Ý à í ã í@â Ü à í Ü ä í à Ü í ä ã í å æ à í�Ï Ø�ï@ê è Ì Ô Ñ Ì Ð ìð îBé Î3Ì è Ö�ê Î ÓBÛ Ü Ý à í ã ñ@â Ü à ò�à Ü ò�ä ã ò�å æ à ò�æ ó ô Ü òfÏ ØBõBÎ ö × Ï Î Ì Ð ìñ îBé Î Ó Î3Ñ Ó Î@Ð Ë Ë�÷�Ñ Ì ë�Ú ä Þ�Õ Ó Ï Ö�Î@Ò Ñ × Ð Ë Ó Ø ì

Page 175: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ø ù'ù

ú û ü ü�ý û þ ÿ � � � ��� � û þ � � þ ú ��� � û � � ú � � � � û ú � ú � ú ú û û ����û �û ÿú û ü �ý þ ü�� û û�� û ÿ û�� � � þ û�� û � ú þ û�� û ú � � � � ÿ û � � ÿ � ú þ � � � � � û ÿ ÿ � � þ û���û �û �ú û �� � ü�ý ú�� ú û � �����û � � �'û ú � � � � � � ÿ � þ � û � û � �� � �ý û û�� ú û�� � � � ú � û���û ��� � ��ý�� ú�� � � ��� � ÿ � �'û û � ����û �û ÿ� � ��ý ú ü�� û û þ ú�� ú û � ��� � � ÿ � û ú � û ����û �û ÿ� � � ��ý�� ��� � ú � û � � ú ú þ ÿ � þ ÿ ÿ ÿ � � ú���û ��� � � ü�ý þ ú�� � ��� � ÿ ú þ ��� � � � � ú þ � û þ þ ú �'û � þ ����û �û û� � � �ý ú�� û û�� ú û�� ú û � ��� � � � � � û�� � � � ú � û�� ú û � � � � � � � ú û���û �û �� � � ��ý�� � ÿ � þ � û � � ÿ û � þ � � � � ÿ þ þ ÿ û � ú � � � � � � �'û����û � � � ÿ � û � ú û � ÿ � � û û û ÿ þ � ú� � � ��ý�� û � ú ú�� � � ÿ ú û � � � ú�� � � û � � û þ � ú � þ � � û � û û ÿ � � � � ú���û �û ÿ� � �þ � ú ü�ý ú�� û ú�� � ÿ � �����û � � � ÿ � � þ þ � � û � û � þ � � ÿ � �þ � ú �ý ú � � û�� � û � � � � � û���û ��þ � ú ��ý�� ÿ þ ÿ �'û � � � � þ � � � � � ú����û � � � ÿ � û � ú û � ÿ � � û û û û þ ÿ �þ � ú ��ý ú ü�� û ú�� � ÿ � ��� � � � û � �'û ú ú � � � ú þ û ����û ��þ � ú � ��ý�� ��� û � ��� ú � ��� � ÿ ÿ ú�� û ÿ � � � � � � � þ � � þ � � � ú ú���û �û �þ � ú � ü�ý þ ú�� � � û � � � � ú û ú ÿ þ ú � ÿ � � � � � � � þ û � þ û � � � ����û ��þ � ú ��� � ��� ú ú � � � � � !

û ú �ý ú ÿ � �'û����û � � �'û � � ÿ þ � � � ÿ � � � � � � þ �û ú ��ý þ � � � ÿ � ú����û � � �'û � ÿ ú � ÿ � � � � ú þ � � û � úû ú ��ý ú ü�� � û�� û � ÿ � � � �����û � � �'û � ÿ � � � � ÿ � � � � þ ú þ ú �û ú � ��ý�� ú�� �'û ��� � þ ��� û � ÿ �'û���û �û ûû ú � ü ý þ ú�� � � � ÿ ú û�� û � ÿ ú � � ����û �û ÿû ú � �ý ú�� � û�� � � þ û�� ú ÿ � �'û�� û � û � � û���û �û ÿû ú � ��ý û ÿ ú�� � � ú�� û þ � � � � � û ú þ � þ ÿ ����û �û ÿû ú � ��ý û � � � þ � � ��� � � � � � � ÿ ÿ ÿ � � � ����û ��û ú ü � ý ú�� � ú�� � û�� ú ú ��� þ � ��� � � û � ú � ��� þ � � � ÿ � ú���û �û �û ú ü ü�ý û ú � û�� � þ û � þ � þ ú � � ú � � ú ú û û � ú û � ú���û ��û ú ü �ý"� ÿ û�� � � þ û�� ú ÿ � �'û�� � � þ � û ú þ � � ÿ � � � � þ û���û �û ûû ú ü ��ý ú #�� � û�� � þ ÿ � � û � û � ÿ � � � ��� þ � þ � ú �'û � � � � � ú û���û �û ÿû ú ü ��ý û � � ú�� � � � ú�� ú þ ú ��� � � � ÿ �'û û ÿ ú � � � � � � � � � � � û���û �û ûû ú # ��ý ú û û�� û û û ��� � û � ÿ þ ÿ � ÿ û û � ú û ú � ú � ÿ � þ � � û þ ÿ ú � ����û �û ÿû ú # ü�ý ú�� � ú�� � û�� �'û ��� � þ ��� û � ÿ �'û�� û � þ þ û ÿ ú � û û � � � û � � � ÿ � � � � ����û �û �û ú # �ý�� û û�� ú ÿ � �'û�� þ � � � ÿ � ú�� ú ú þ � � � � � � û � � ÿ � û � � ú þ � û � û ú � û���û �û �û ú �ú û ü�ý ú�� ú ú û����û � � � � � � û ú � � ÿ � � ÿ � þ þ ÿ � �ú û �ý þ�� û û�� û � ú þ û���û �û ÿú û ��ý�� û � ÿ � � û ú �����û � � �'û � ÿ ú ÿ � ÿ û ÿ �'û û � þ � ú úú û ��ý ú ü�� ú ú û�� ú � ú ��� � û ú � ú���û �û ÿ

$ %�&(' ) $ * + ) * + ,.-0/ * )0/ 1 -./ 2 3 *�4 5

Page 176: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

6 798

: ; < =�>�? :�@ : A B�@ C ; B�@ ; D E : : ? F G :�HI; J�; ;: ; < K�>�G ? G E B�@ ? G ? C B F A�@ B A E F F ; ;�HI; J�; E: ; < L�>�:�@ D�@ ; ;�@ : : ;�@ ? D ? ;�@ ; B : D ;�@ : ? B GM; ? ? E ;�HI; J�; :: ; < N�>"B D ; C B E D D A ; : F B D F ; E D A D C E A B�O�J�; P A GM; C E : E C F E D B D G G C ? ? G: ; < Q�>�D B ;�@ ; G ? D ;�@ F F B B E C C C : : ? C ; E B C ? ; C A�HI; J�; E: ; K =�>�:�@ G :�@ : : ;�@ C : E ;�@ A ; B E F B ; : B�@ ? F ; : G : ? C A G : C B�HI; J�; ?: ; K K�>R; D E A A A B�@ C ; D C ? D : B�@ B ; B C : B G B C ; : ? : B : : ; ; B�HI; J�; E: ; K L�>�D K�@ ; ;�@ ; E ;�@ G A D ;�@ ; B : D ;�@ ; : ? B B F E ; @ ? E ? : D A G ? ? F ; E E ? A D ;�HI; J�; G: ; SA B K�>�:�@ : ; C A�O�J�; P A G ? ? ; : F ; A B C ; G A F ; E B ;A B L�>R; ;�@ : ;�@ ? C ? : ? ;�HI; J�AA B N�>�G :�@ A C B�@ ? E ? GM; ; F B�HI; J�; EA B Q�>�: K�@ ; ; D :�@ : ; C A�@ ? G E F ; : ? ; B�HI; J�; EA B < =�>�F A�@ F : B ; A B : : D E B D E E E G F :�HI; J�AA B < K�>�D :�@ B A�@ ? E : D A�@ F ? ? G : D C ; D D : GM; G D B�HI; J�; ;A B < L�>�:�@ ; ;�@ : ;�@ : ; C A�@ ? G G G B ;�@ ? C ? : ? ;�@ : ; B ? F ? B B F : ;�HI; J�; ?A B < N�>�C ? E C D ? ; ? A E ; A D F F C F E D D E ; ? : ? B C B G C GM;�O�J�; P A GM; C E : E C F E D B D G G C ? ? GA B < Q�>�? ; G : :�@ ? F E : ; G A G :�@ A B ; A A ; D F : G D G F ; C ; ; E ? A G A :�HI; J�; EA B SD ? : K >�:�@ ; :�@ B E ? B�O�J�; P A GM; F B A : A A A ? GM; A G : C C ED ? : L�>�: G A ;�@ ? ; G B ? B B ;�HI; J�AD ? : N�>�? E D E GM; ? F C A D B A B ? A :�O�J�; P A GM; C E : E C F E D B D G G B ; C AD ? : Q�>�: K�@ ; :�@ B E ? B�@ C F ? ; C GM; : : G C ? : D ; A�HI; J�AD ? : < = >�F A�@ ; A A�@ : A B�@ ? E E :�@ ; E F A ? C G A C D G ? D F G B : :�HI; J�; ?D ? : < K�>�D :�@ B A ; B ? B ? : ; : E D : C E A ? F C A ? C D ; C D ; G C B B�HI; J�AD ? : S�T U Q�V : GMW ? D�X ?: L YZJ[? W E E ; ; G B F E E : D E D A D B D : D�N

O�\ ] ^�_�; E D�` a ] ^ b

c d0e f g h i�j f k0l m n o p.q r s m o s o m s t r s u v o s w x9y.j h g z { g | }

Page 177: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

~��9���.�9�����I�������

� � ��� ���I����� � � � � �0�������0� � � � � �M� � ��� �M�[ ���¡9�� �¢ ��� � £ �¥¤��[� ¦ § ¨ ¦ � © ¢ ¦ § ª ¦ � ©¬« � ¦ ���­� ¢ ��®M� � §�¯ � � �� � � «M� § ¦ ¨ ��� ¢ ��®M� � § ��°�± ±9² ³ ´�µ ¶�·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ´ �0� � ¿ À Á  à � ¿ Ä Å Á Æ Ç � � È É Ä �

� Á ��Ê�� Ë�� ���M� � � § � �Ì� �M��Í � Ë�� ���M� � � § � �0�M�.� � § � � Î ¦ � ©�¦ � � ¦ � � � � « � � © � � ��� ¦ � ©M�9·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ² ³ Ï�Ð µ Ñ Ð ² ¼�Ò¼�½ ± Ñ �M¿ � À Á  à Á Á � Å Á Ó Ô � Ë�� � � ��®M� ��� È È Ô �

� Ä ��ÕÖ�.¡9�0��� © � ¦ �0�Ì·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ´ × °�Ø�µ ±M¾ ½ ´ »�Ù�½ ´ ¹ µ Ð Ú¸² ±MÛ(Ï º ½ ³ µ ´ µ Ü º Ú �(¡ « � ¦ � © � � Ý Þ � � � � ©M�9ß�� à¥á � � â9�� È È ÓM�

� Ó ���I� �I� ��� ¨ ¢ ª � Î9� ¤���¨ ª � « � � ® � � �Z� ¯ � � ��º Ý ¯ � � ��«M� � ¯ � � ¨0� ¢ ��®M� � § � °�¾ ¹ ²�°�Ð ½ ¹ º ¼ » ¹ ½ ¾ ² � Á Ä À Ä Â Ã Á Ó È Å Á Ô Ô �� È ¿ Ä �

� Ô ��Ê�� ã�� � � § �9���(� � � ¦ ¨ ¦ Î ��� � © � � ¦ ¨ ª ��¯ � ��§ � � Î ¦ � ©�� ¦ � � � � « � � © � � �̧.à�¦ ¨ ªÌä � � � Ý � � ��Î � � ¦ � ® � � § ��å.Ü » Ð ² ¹ ½ µ ± ´æ » ´ » ² Ð ¾ º �9� Ä À Ó Â Ã Ô � ¿ Å Ô Ó Ô � ç ¢ � £¸� È Ç Ô �

� Ç ���.�9ã�� � ¨ ª0����Ë�� Î ¦ § Ý � ¢ ¨ �M� ��®M� § � �­� � © � � ¦ ¨ ª ��¯ � ��� ¦ � � � ��«M§ � ¢M� � Ý ®M� � � � � �­� « ¨ ¦ ��¦ ä � ¨ ¦ � �0�� �� § � � � � ª �� «M� � ¨��­� è Ý è Ý È Ô Ý Á Ý Æ Æ Ä � �­� é Ý �.� � �M� â Ý è �M§ ¨ ¦ ¨ ¢ ¨�¯ ê¢ ��è � ¯ � � �Ì� ¨ ¦ â9� ¡ � � � ® � ê¢M� â � �0� ç � � ¢M� � £­� È È Ô �

� ¿ ���.� ã�� � ¨ ª0��ë0µ Ñ ½ ¾ Ò ì�² ´ » Û(í î ï(Ø�µ ± ´ ¹ Ð ² ½ ±M¹ Ï�Ð µ Ñ Ð ² ¼�¼�½ ± Ñ � Í�� ¢ à�� � �9� È È Ç �� É ��ç ������ã�� � �0�Ö���0� � © � � � © ¦ � �ð� � © � � ¦ ¨ ª �R¯ � �̨ ª �­��¢ � ¨ ¦ « � �¸� ª � ¦ � �­¦ � ¨ � © � �Ì« � � © � � �(��å.Ü » Ð ² ¹ ½ µ ± ´æ » ´ » ² Ð ¾ º � Ä Á À Ô Â Ã � � É Ô ÅM� � È Ä � ¡ � « ¨ � ��®M� ��� È É ÓM�

� È ��ç �MÊ�� ã�� � § � � £ ��°�Û ñ ² ±M¾ » ´�½ ±(ë.½ ±M» ² Ð�² ±MÛ�ò ±M¹ » Ñ » Ð�Ï�Ð µ Ñ Ð ² ¼�¼�½ ± Ñ ��¤�é ¯ � � �Ìó�� ¦ Î � � § ¦ ¨ £Ì�.� � § § �9� È È Ç �� � Æ ��ÕÖ��ã�� � âð� �M�[ ���ß�� ô � � �Ö�õ� � à�� �Ì®M� ¢ �M�ð¯ � �Ì� � �ð¨ � ¦ «M� � ¯ � � ¨ § ��·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ´Iµ ¶IØ µ ¼�ÜMö ¹ ² ¹ ½ µ ±M�

Ä É À � Ô ¿  à Á Ó È Å Á Ô � � ç � � ¢M� � £­� È É Á �� � � ��ÕÖ�Mã�� � ª �Ì� �M�(÷��M÷�� øM� � � �0��ã � � � � ¦ � ©Ì� ��¦ � � ® � ��� ¢ ��®M� � §�¦ �­� ® ¢ �M� � �M� � ��·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ´ µ ¶�Ø µ ¼�Ò

ÜMö ¹ ² ¹ ½ µ ± � Ó Ç À � ¿ Ä Â Ã Á É � Å Á È Ä � ç � � ¢M� � £­� È É Ç �� � Á ����� ã � � ¢ � � �.¤��̨ ª ��� � � Ý � é ¦ § ¨ � �M� ��� ¯0� � � «M� � ¯ � � ¨�� ¢ ��®M� � § � ¯0¨ ª ��¯ � � �ÖùMúMû üý û üü�þ þ þ û üÿ �0ý û �ÿ � ì�ö ³ ³ » ¹ ½ ±µ ¶�¹ º »�°�¼ » Ð ½ ¾ ² ±(·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ² ³��0µ ¾ ½ » ¹ Ú � Ó È Ã ¿ � Á Å ¿ � É � ¤�� ¨ � ®M� ��� È Ó Ä �� � Ä �� ����.��ã�� � � ¨ ���M� � ¨ � � ¦ ä � ¨ ¦ � ��� ¯(¨ ª �[¨ � � ¨ ª�� � � �Ì� ¨I� ¢ ��®M� � � ·¸² ¹ º » ¼ ² ¹ ½ ¾ ´Zµ ¶ZØ µ ¼�ÜMö ¹ ² ¹ ½ µ ±M�

Ç É À Á Á Ô Â Ã Ó Á È Å Ó Ô � � ç � � ¢M� � £­� È È È �� � Ó �� ��M�.� ã�� � � ¨ �  �� � � � ¨�« � � © � � § §�� �M�Ì« � � § «M� � ¨ §�¯ � ��¦ � ¨ � © � ��¯ � � ¨ � � ¦ § � ¨ ¦ � �(� � © � � ¦ ¨ ª �̧ �.è �¸Ï�Ð µ ¾ » » Û ½ ± Ñ ´

µ ¶�¹ º »��M½ � ¹ º(°�± ±Mö ² ³Mò ±M¹ » Ð ±9² ¹ ½ µ ±9² ³ Ø µ ¼�ÜMö ¹ ½ ± Ñ­² ±9Û­Ø µ ¼ ½ ±M² ¹ µ Ð ½ ¾ ´(Ø µ ± ¶ » Ð » ±M¾ » ��Ø�å�Ø�å�å ��� í í í �� ¢ ��®M� �Ì� É Ô É ¦ �I�9� � ¨ ¢ � � ß�� ¨ � §�¦ �ð� � ��« ¢ ¨ � ��¡ � ¦ � �M� � �0«M� © � §�Ä Å Á Á �0ã�� � � ¦ �0�0ç ¢ � £¸Á Æ Æ Æ �9¡ « � ¦ � © � � ÝÞ.� � � � ©M�

� Ç É

Page 178: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

� � ����� ������������� � �!

" # $ %�&(' )*' +�, - . / 0 1' 2 ' 3 4 5 - .60�7 .!8:9�' ; ' ;!'6/ -<&�= - > - '@? AB , 4 C - 8D/ - E 5 . = F G - H�I 4 ,> 4 J�- ,�K!4 G .!8 H�I 4 ,4 8 8DB!- , I - E /�. G A�K!- , H 'MLDN O P Q RN O S T UMV WMX�V R�Y!Z O N O S V [ 0 $ \ ] # ^ _ ` a b $ \ c b _ b 06d�E / 4 K!- ,e# ^ ^ # 'Mf�> H 4<7 Hf�G!H / , 7 > = 7 .eg�7 / = 4 .!7 >�h�. = C - , H = / i 0 3 - . / , -�I 4 ,�j<7 / 5 - Ae7 / = E 7 >!f�.!7 > i H = H 0 &�- H - 7 , E 5e&�- B!4 , /�3�j<f�k &�$ l kb ^ 0!d�E / 4 K!- , 0�# ^ b ^ '

" # _ %�; ' +�, = > > 5!7 , / 0 m�' 9�' 2�- 5 A- , 0 ; ' 2 ' n - > I , = 8 o - 0 +(' p6G!E q - , Ae7 .60 7 .!8n�' n�' r@7 o H / 7 s*0 ; , '6t6N T O V u S v N O S V [ UV W*w x6yM# z!w�{}| ~ � ~ $ ~ _ ~ \ ~ # l ~ # # ~ # | z!Z YeO V���S � P���V ��Q u U 0 C 4 > G A-�| |�4 I X�V [ O Q R�Y V u N u �(LDN O P Q RN O S T U 'f�A�- , = E 7 .<j<7 / 5 - A7 / = E 7 >6n 4 E = - / i 0 ) , 4 C = 8 - .!E - 0 &(' ? ' 0!H - E 4 .!8e- 8 = / = 4 .606# ^ b b '

" # \ %�f�'6+ , 4 G!H H - 7 G6'���Z R� Q u<�!P Q V u �:�!N � � Q U 'e�6= K!4 .!7 E E =�f�H H 4 E = 7 / = 4 .606n 7 .@; 4 H -n / 7 / -eh�. = C - , H = / i 06n 7 .; 4 H - 0�# ^ \ � '

" # b %�f�' 2 '!+ , 4 J�.6'*jMG > / = B!- , I - E /�. G A�K!- , H ' �6T u S Y!O N�LDN O P Q RN O S T N 0!| l ] # ` a # l � c!# l _ 0 j<7 , E 5D# ^ $ �!'

" # ^ %�m�'*3�7 > > 7 .6'n 4 > G / = 4 .@/ 4<)*, 4 K > - A�_ _ # _ '��RQ u S T N [@LDN O P Q RN O S T N �*LDV [!O P � � 0*^ ^ a \ b � c \ b ^ 0�d(E / 4 K!- ,# ^ ^ | '

" | l %�&('6m�'*3�7 , A�= E 5!7 - > '�jMG > / = B > i<B!- , I - E /(4 8 8<. G A�K!- , H�J�= / 5D/ 5 , - -B , = A�-�I 7 E / 4 , H '��RQ u S T N [DLDN O P Q �RN O S T N ��LDV [!O P � � 06# � ] # ` a � $ c � _ 0 ; 7 . G!7 , i<# ^ l _ '

" | # %�&(' m�'!3�7 , A= E 5!7 - > '�f}/ 7 K > -(4 I�A�G > / = B > iB!- , I - E /�. G A�K!- , H '*��Z � � Q O S [<V W�O P Q���RQ u S T N [MLDN O P Q RN O S T N ���V T S Q O � 06# � a � b � c � b _ 0 j<7 iD# ^ l \ '

" | | %�&('*m�' 3�7 , A�= E 5!7 - >�7 .!8@p('*��'*j<7 H 4 .6'<g�4 / -e4 .@A�G > / = B > i@B!- , I - E /�. G A�K!- , H 06= .!E > G!8 = . o@7M/ 7 K > -e4 I| l �e. - J�4 . - H(7 .!8</ 5 -� \�4 / 5 - , H�B , - C = 4 G!H > iMB G K > = H 5 - 8�'��u V T Q Q � S [ � UeV W�O P Q�� [!� S N [!Ne��T N � Q R��DV W��T S Q [!T Q 06# a | $ \ c | \ l 0!# ^ # # '

" | � %(��'�3 5!7 .!8 , GD7 .!8M;!'!g�'�9�4 4 q - , '��*Y!O S R�S v N O S V [DLDQ O P V � U�t6V u(�6V � S T N ��� [ W Q u Q [�T Q '�; 4 5 .<r�= > - i 0�g�- J� 4 , q�0�# ^ ^ ^ '

" | � %�; ' ��' �6' 3 5 - = .6'6��[<��� �(��Q u W Q T O���Z R� Q u�P N U(N O6�6Q N U O*����u S RQ�t6N T O V u U '!) 5!m�/ 5 - H = H 0 )*- . .!H i > C 7 . = 7n / 7 / -�h�. = C - , H = / i 0 g�4 C - A�K!- ,(# ^ \ ^ '

" | $ %�1�'*2 ' 3 4 5 - .6'���Q [�Q u N � S U Q �:��Z N U S Y Q u W Q T O���Z R� Q u Ue�*S O P:N [:��Y Y Q [!� S �@V [���� �M��Q u W Q T O���Z R� Q u U ')*5!m�/ 5 - H = H 0 h�. = C - , H = / i4 I*g�- J�n 4 G / 5Mr@7 > - H 0 n i 8 . - i 06# ^ b | '

" | _ %�1�'62 '63 4 5 - .6'�d�.</ 5 -�> 7 , o - H /(E 4 A�B!4 . - . /�4 I�7 .D4 8 8MB!- , I - E /�. G A�K!- , '  V Z u [!N � V W�O P Q���Z U O u N � S N [LDN O P Q RN O S T N �6��V T S Q O �M¡ ��Q u S Q U���¢ 0 � | a | b l c | b _ 0 # ^ b \ '

" | \ %�1�'�2 '�3 4 5 - .6'�d�.�/ 5 -M. G A�K!- ,4 I(8 = H / = .!E /B , = A-MI 7 E / 4 , H�4 I(7 .�4 8 8@B!- , I - E /. G A�K!- , ':? . / - , .!7 >&�- B!4 , /| �!0*h�. = C - , H = / iD4 I�p�- E 5 . 4 > 4 o i 0*n i 8 . - i 0 n E 5 4 4 >�4 I�j<7 / 5 - A7 / = E 7 >�n E = - .!E - H 0*n i 8 . - i 0 j<7 i# ^ ^ # '

" | b %�1�' 2 '!3 4 5 - .6'*n / - B 5 - .M1(, - / / 4 .M7 .!85 = H�A�G > / = B!- , I - E /�. G A�K!- , H '6? . / - , .!7 >6&�- B!4 , /�| b 0 h�. = C - , H = / i4 Ip�- E 5 . 4 > 4 o i 0 n i 8 . - i 0 n E 5 4 4 >�4 I*j<7 / 5 - A7 / = E 7 >6n E = - .!E - H 0 n i 8 . - i 0�d�E / 4 K!- ,�# ^ ^ # '

" | ^ %�1�' 2 '�3 4 5 - .6':g�G A�K!- , H�J�5 4 H -MB!4 H = / = C -<8 = C = H 4 , H�5!7 C -<H Ae7 > >�5!7 , A4 . = EeA�- 7 .6'�LDN O P Q RN O S T UDV WX V R�Y!Z O N O S V [!0 _ b ] | | $ ` a b $ \ c b _ b 0 ; 7 . G!7 , ie# ^ ^ \ '!f�> H 4�7 H�h�. = C - , H = / i�4 I6p6- E 5 . 4 > 4 o i 0 n i 8 . - i 0 n E 5 4 4 >4 I*j<7 / 5 - A7 / = E 7 >6n E = - .!E - H�&�- H - 7 , E 5M&�- B!4 , /�&�^ � k b 0 ; G . - 0�# ^ ^ �!'

Page 179: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

£ ¤ £�¥�¤ ¦�§�¨�©�ª�«�¬ ­ ® ¯

° ± ² ³�´�µ6¶ µ*· ¸ ¹ º »@¼ »!½D¾*µ6¿�¼ À Á  Ã6Ä Å µeÆ�º Â Ç È É Â(Ê ¸ »!Ê º Å » Á » ÀM¸ ½ ½<Ë�Ç È É Á Ì!º Å Í º Ê É�» Ç Ë�Î!º Å Â µeÏ�Ð Ñ Ñ Ò Ó Ô Õ�Ö ×�Ó Ø ÒÙDÚ Ñ Ú Û Ü Ô Ú Õ ÙDÚ Ó Ø Ò Ý Ú Ó Ô Þ Ú Ñ�ß6Ö Þ Ô Ò Ó Û Ã!à á â ã ä å ± æ å ç à â è à é µ

° ± â ³�´�µ�¶ µ�· ¸ ¹ º »<¼ »!½<Æ(µ�ê@µ!ë ¸ Å È Á µ�¿�¼ Š˸ » Á Ê� º º ½  µ(ì Ô í Ö Õ Ú Þ Þ Ô�î�Ð Ú ï Ó Ò ï Ñ Û Ã!± ç á é ã ä ± à ç æ ± è ² à ð�¸ ñ º Ë�Î!º Åâ è è à µ*¼ »!½Mò*Å Å ¼ É Ç Ë<µ

° ± å ³�´�µ ¶ µ · ¸ ¹ º »¼ »!½Æ(µ ê@µ ë ¸ Å È Á µ�ó�»É ¹ º�» Ç Ë�Î!º Å ¸ Í�½ Á Â É Á »!Ê É*Ì Å Á ˺�Í ¼ Ê É ¸ Å Â*¸ Í�¼ »�¸ ½ ½�Ì!º Å Í º Ê É » Ç Ë�Î!º Å µô »Dõ ï Ö Þ Ò Ò ö Ô Õ ÷ Ü Ö ×(Ó Ø Ò�ø ù Ó Øeú�Ð Ü Ó ï Ú Ñ Ú Ü Ô Ú Õ�ûMÖ ï ü Ü Ø Ö ý:Ö Õ@þ�Ö Ýí Ô Õ Ú Ó Ö ï Ô Ú Ñ6ú�Ñ ÷ Ö ï Ô Ó Ø Ý Ü Ã Ì!¼ À º Â�è â æ!â ² ç þ6º Å É ¹6à ÿ���Ã���Ç À Ç! É�â è è è µ���È Â ¸eÄ µ���Á Â Ê Å º É º���È À!µ6á É ¸¼ Ì Ì!º ¼ Å ã µ

° ± ± ³�´�µ6¶ µ�· ¸ ¹ º »D¼ »!½DÆ(µ�Ä!µ ÿ}Á È È Á ¼ Ë µ�ò�� É º »! Á ¸ »!Â�¸ Í� ¸ Ë�º�Å º Â Ç È É Â�Ê ¸ »!Ê º Å » Á » Àe¸ ½ ½MÌ!º Å Í º Ê É�» Ç Ë�Î!º Å Â µì Ô í Ö Õ!Õ Ú Þ Ô�î�Ð Ú ï Ó Ò ï Ñ Û Ã å ± á â ã ä � ² æ � ç à � º Î Å Ç!¼ Å <â è à é µ

° ± ³�¿�µ!· ¸ ¹ º »M¼ »!½���µ ��µ ¶�º »!Â É Å ¼ µ ô Ë�Ì È º ˺ » É ¼ É Á ¸ »e¸ Í*¼�» º �Ì Å Á ˼ È Á É É º Â É µ ÙDÚ Ó Ø Ò Ý Ú Ó Ô Þ Ü Ö ×�þ�Ö Ý�ý!Ð �Ó Ú Ó Ô Ö Õ!à à á â à � ã ä â ² ± æ!â å â Ã Ä Ç È <â è à � µ

° ± é ³�Æ(µ Ä µ · ¸ ¸ ��µ�� ¸ Ç »!½ Â*Í ¸ Å*¸ ½ ½�Ì!º Å Í º Ê É*» Ç Ë�Î!º Å Â µ ô »Mì Ô × Ó ØMþ�Ö Õ × Ò ï Ò Õ�Þ Ò(Ö ×�Ó Ø Ò�þ Ú Õ Ú ö Ô Ú Õ���Ð Ýí Ò ï�� Ø Ò �Ö ï Û ú Ü Ü Ö Þ Ô Ú Ó Ô Ö Õ!Ã�» Ç Ë�Î!º Å�â èÁ »@· º » É Å º½ ºÆ�º Ê ¹ º Å Ê ¹ º Â�ê<¼ É ¹��º ˼ É Á � Ç º Â�¾ Å ¸ Ê º º ½ Á » À Â�¼ »!½D¶�º Ê É Ç Å ºð�¸ É º  à Ì!¼ À º Â�ç � æ � â Ã!·�¼ Å È º É ¸ »���» Á ñ º Å Â Á É Ã!ó�É É ¼ �¼ à ó�» É ¼ Å Á ¸!à ·�¼ »!¼ ½ ¼ Ã�â è è è µ

° ± ç ³�¿�µ6· Å ¸ �½ º Å Ã!ò�µ!¶ µ!Ä ¸ ¹ »! ¸ »6Ã!¼ »!½<ê@µ�¾*¼ ½ Î!º Å À!µ�ë ¸ È ñ Á » ÀÈ ¼ Å À º � Â Ê ¼ È º�� º Å ¸ � ¸ » º�È Á » º ¼ Å�Ì Å ¸ À Å ¼ ËË�Á » ÀÌ Å ¸ Î È º Ëe µ��*ý Ò ï Ú Ó Ô Ö Õ Ü�� Ò Ü Ò Ú ï Þ Ø Ã!± â á é ã ä à ² ± æ à ± !Ã ë º Ì É º Ë�Î!º Å�â è à ± µ

° ± � ³�¶ µ�ò�µ���Á Ê �  ¸ »6µ��6Á » Á É º » º  Â�¸ Í É ¹ º¸ ½ ½MÌ!º Å Í º Ê É�¼ »!½MÌ Å Á ËÁ É Á ñ º¼ Î Ç »!½ ¼ » É(» Ç Ë�Î!º Å Â� �Á É ¹� :½ Á Â É Á »!Ê ÉÌ Å Á Ë�º�Í ¼ Ê É ¸ Å Â µ ú�ÝÒ ï Ô Þ Ú Õ"! Ö Ð ï Õ Ú Ñ6Ö × ÙDÚ Ó Ø Ò Ý Ú Ó Ô Þ Ü Ã!± é ä !â ± æ å å à â è â ± µ

° ± à ³�¶ µ ò�µ ��Á Ê �  ¸ »6µ�#�Ô Ü Ó Ö ï Û Ö ×�Ó Ø Ò � Ø Ò Ö ï Û Ö ×���Ð Ýí Ò ï Ü Ã ñ ¸ È Ç Ëºâ µ · ¹ º È Â º ¼ à ð�º %$*¸ Å ��Ã�â è � â µ

° ± è ³�Ä µ ò Ê � Â É º Á »6µ ¾*¼ Å ¼ È È º È Î Å ¼ »!Ê ¹ � ¼ »!½ � Î!¸ Ç »!½(¼ È À ¸ Å Á É ¹ ËeÂ!Í ¸ Å6À º » º Å ¼ È Ë�Á � º ½(Á » É º À º Å6Ì Å ¸ À Å ¼ ËË�Á » À�¸ »�É ¹ º·�ê�� é µ�&�º Ê ¹ » Á Ê ¼ È6Æ�º Ì!¸ Å É�&�êD·'� å é � à &�¹ Á » � Á » Àê<¼ Ê ¹ Á » º Â�· ¸ Å Ì!¸ Å ¼ É Á ¸ »6à ·�¼ Ë�Î Å Á ½ À º à ê"��Ã ë º Ì É º Ë��Î!º Å�â è è ± µ

° ² ³�ò*Ç!Ê È Á ½�µ � Ø Ò � Ø Ô ï Ó Ò Ò ÕeÏ�Ö Ö ü Ü Ö ×)(�Ð Þ Ñ Ô ö�* Ü (�Ñ Ò ÝÒ Õ!Ó Ü µ���¸ ñ º Å Ã ð�º +$*¸ Å ��à  º Ê ¸ »!½�º ½ Á É Á ¸ »6Ã!â è é ç µ�� ¸ ¸ �ô , Á »Mñ ¸ È Ç Ë�º�å Ã Ì Ì å â � å ç - É Å ¼ »!Â È ¼ É º ½eÎ .&(µ!¶ µ ¿�º ¼ É ¹MÍ Å ¸ Ë�É ¹ º�É º � É�¸ Í ¿�º Á Î!º Å À!µ

° !â ³�¶ µ*ò Ç È º Å µ}þ Ö Ý�ÝÒ Õ!Ó Ú Ó Ô Ö Õ�Ò Ü ú ï Ô Ó Ø ÝÒ Ó Ô Þ Ú ÒDþ Ö Ñ Ñ Ò Þ Ó Ú Ò µ/��Ê ¼ ½ º ËÁ ¼ º ô ËÌ!º Å Á ¼ È Á Â�ë Ê Á º » É Á ¼ Å Ç ËMÃ�â à è µò ½ Á É º ½eÎ M¾*µ ¿�µ�� Ç! Â�¼ »!½Mð�µ � Ç!  µ

° å ³���µ � º Å Å º Á Å ¼�¼ »!½¾*µ ¾*¼ Å ½ ¼ È ¸  µ�ß�Ö Ñ 0 Ô Õ ÷eþ�Ö Ýí Ô Õ Ú Ó Ö ï Ô Ú Ñ��*ý!Ó Ô Ý�Ô 1 Ú Ó Ô Ö Õeõ ï Ö í Ñ Ò Ý Ü Ô Õeõ Ú ï Ú Ñ Ñ Ò Ñ µ6ð�Ç Ë�Î!º Åâ ² é �Á »<¶�º Ê É Ç Å º�ð�¸ É º Â�Á »D· ¸ Ë�Ì Ç É º Å�ë Ê Á º »!Ê º µ ë Ì Å Á » À º Å � 2*º Å È ¼ À!à � º Å È Á »6Ã6â è è ç µ

° ± ³���µ � º Å Å Á º Å µ�&*¼ Î È º(º Å Å ¼ É ¼eâ � ç µ Ù�3 �43 ú 3 þ 3 Ã�!ä å å å Ã�â è é ² µ

° ³���µ"�6È ¼ Ë�˺ » � ¼ Ë�Ì6µ êMÇ È É Á Ì!º Å Í º Ê É�» Ç Ë�Î!º Å5 �º Î Â Á É º µ76 8 8 9): ; ; < < <)= > ?�@ A B�@ C D C E C D F'= F C ; G HI @ J�G K L 6�@ J�; J 9 ?)= 6 8 J�D Ã å ² ² å µ

° é ³���µ�� Å ¼ »�� Ç Á�¼ »!½�ê@µ�´�¼ Å Ê Á ¼ µ�ë ¸ ˺D» º Ë�Ç È É Á Ì È }Ì!º Å Í º Ê ÉM» Ç Ë�Î!º Å Â µ ú�ÝÒ ï Ô Þ Ú Õ ÙDÚ Ó Ø Ò Ý Ú Ó Ô Þ Ú ÑÙ Ö Õ Ó Ø Ñ Û Ã!ç ² ä é è æ ç å Ã ë º Ì É º Ë�Î!º Å�â è é ± µ

Page 180: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

M'N M�O�N P�Q�R�S�T)U�V W X�W

Y Z [ \�]�^�_ ` a b�c d e4a b�f�g/^ h�a ` i e a ^'j k�b l m%n�d o p e q o r.q�l ` s l i p�b d n�t�l ` u ^)v�w x y z�{ |�}�| { ~ � ��| { y w | ��� � � � � � � [ � �� k � � � l q p l n�t�l `�� � j Z�^

Y Z k \�g/^ h�a ` i e a ^4��b�b d n�t�l ` u'm�e p ��e b p l � ` a o ��a ` n�� b e i)n�l a b4^������ x y w | �.}�| { ~ � ��| { y w | ��}�� ��{ ~ � � � [ � � � � �� [ � _ l t ` d�a ` r"� � j Z�^

Y Z � \���^�h�l e u p �4��^�])l � d l o e b4����� b � a ` ` a�������^�� e a b ������^�g"a b�i � l ����a b�f"��^�� d b�f l ` a n"^�����}� '��| x | � � � ��4y x { ¡ | ��}�| w ~ y �����£¢4¤ � x ¥ ¤�¦�¡ y § �.| ��§©¨ ¡ { � x y | ��ª � x�«�� { ¬)� x ­ � §���| x | � � �"®'� ��z�¡ { y � ¯ ^�g�° ±�²'` l u u �³ a n�t ` e f � l ��� � � Z�^

Y Z � \�]�^�h�l b�f ` � b©a b�f�±�^�]�^ ³ ` a e b e i ^.²'a ` a o o l o�t ` a b�i � ´ a b�f ´ t�� d b�f�a o � � ` e p � n.u ��u d ` µ l r�a b�f/u r b p � l u e u ^¶ z � x | { y � � ¤�·�� ¤ � | x w ~ � Z � � [ � � � � Z � ��� � [ [ � ¸�� µ l n�t�l `�� � � Z�^

Y j � \���^)g/^)h�l � ¹�` e � b4^º° b p l � l `�q ` � � ` a n�n�e b �/t r©e n�q o e i e p.l b d n�l ` a p e � bºa b�f+])a o a u »'n�l p � � f�^5v ¼ ��}·�� ½ y � ¬���� � � � � � k � ��� � � � g"a ` i ��� � [ k ^

Y j � \���^ g/^ h�l � ¹�` e � b4^4��b�e n�q ` � µ l f�e n�q o e i e p)l b d n�l ` a p e � b�a q q ` � a i ��s � `�e b p l � l `�q ` � � ` a n�n�e b ��^ ¶ z � x | ¾{ y � � ¤�·�� ¤ � | x w ~ ��� k � � � � Z � k � Z j Z�� g"a r"� � [ � ^

Y j � \�� ^ ��^ ¿'^ h�o a e u � l ` ^ «�¡ ��À � x ¾ Á�y ½ y ¤ � x�¨�| À � � ¤ ^ ¸�d n�t�l `'��e b�])` e p e u ����u u � i e a p e � b�s � `4p � l���f µ a b�i l n�l b p� s�� i e l b�i l � g"a p � l n�a p e i a o4±�a t o l u ^ ³ a n�t ` e f � l�Â�b e µ l ` u e p r.²'` l u u � ³ a n�t ` e f � l ��� � Z � ^

Y j � \�±�^�h�� p ��a b�f"��^�� � e t�a p a ^���o o�b d n�t�l ` u�m�� � u l�q�� u e p e µ l�f e µ e u � ` u���a µ l�e b p l � ` a o4��a ` n�� b e i�n�l a b�d qp �.� � � ^'}�| { ~ � ��| { y w ¤�� ª�®'� ��z�¡ { | { y � ��^�� p �.a q q�l a ` � ^

Y j Z \���^ h�` l p p � b4^'g�d o p e q�l ` s l i p�b d n�t�l `�m)� ` � t�� � ��^�²'` e µ a p l�i � n�n�d b e i a p e � b4��� � � � ^

Y j j \��5^�h�` � q q4��Ã�^)¿�d�u ����a b�fº��^)� � Ä l o o d n"^Å¢4¤ y � ¯/}���¼"��� x { | À � �"��| x | � � � ���)x � ¯ x | ����y � ¯+¬�y { ~+{ ~ �}�� ¤ ¤ | ¯ � ¾ ��| ¤ ¤ y � ¯�¼ � { � x ª | w � ^'g�° ±%²'` l u u � ³ a n�t ` e f � l � u l i � b�f�l f e p e � b4��� � � � ^

Y j [ \�g/^�h�d e � b�a ` f�a b�f"Æ�^�� q e l o t�l ` ��^�¿�� � e i a o4` l f d�i p e � b�n�l p � � f u�e b"Ç l ` � ´ � b l�q ` � � ` a n�n�e b ���'n�e b e n.a oq ` l s l ` ` l f.µ a ` e a t o l u ^ ¶ z � x | { y � � ¤�·�� ¤ � | x w ~ ��� � � � � � Z � � k Z�� � a b d�a ` r"� � � � ^

Y j k \���^�Æ�^ h�d r ^.¢�� ¤ � � ½ � §��)x � À � � ��¤�y ��«�¡ ��À � x.¨�~ � � x � ^�� q ` e b � l ` ´ �'l ` o a ��� ¸�l m5È�� ` ��� u l i � b�f.l f e p e � b4�� � � Z�^

Y j � \�²�^�É�a � e u � � ` ^)�%o � m)l `�t�� d b�f�s � `�p � l�u l p�� s�� f f.q�l ` s l i p�b d n�t�l ` u ^�}�| { ~ � ��| { y w ¤�� ª�®'� ��z�¡ { | { y � ���� k � � � Z � � � j � � � j � � ��i p � t�l `�� � k � ^

Y j � \�²�^ É�a � e u � � ` ^'��d p o e b l�� s�a�q ` � � s�p ��a p�l µ l ` r�� f f.q�l ` s l i p�b d n�t�l `���a u�a p)o l a u p)l e � � p)q ` e n�l�s a i p � ` u ^}�| { ~ � ��| { y w ¤�� ª�®'� ��z�¡ { | { y � ����� j � � j � � � � � � k ��� � � � � � d o r�� � � � ^

Y [ � \�²�^ É�a � e u � � ` ^���b�p � l�u l i � b�f�o a ` � l u p'q ` e n�l�f e µ e u � `'� s�a b�� f f�q�l ` s l i p'b d n�t�l ` ^�° b�����| � � { y w)«�¡ ��À � x¨�~ � � x � ��b d n�t�l `�� � ��e b�¿�l i p d ` l�¸�� p l u�e b�g"a p � l n.a p e i u � q�a � l u�� j Z � � [ � ^ � q ` e b � l ` ´ ��l ` o a ��� ]'l ` o e b4�� � � � ^

Y [ � \�²�^�É�a � e u �4� ` ^�� � l p i ��� s)a.q ` � � s'p ��a p�a b�� f f"q�l ` s l i p�b d n�t�l `�` l o a p e µ l o r"q ` e n�l�p �"�.��a u�a p�o l a u pl o l µ l b.q ` e n�l�s a i p � ` u ^)}�| { ~ � ��| { y w ¤�� ª�®'� ��z�¡ { | { y � ��� Z � � � [ � � � � � � � Z � Z�� � a b d�a ` r�� � � � ^

Page 181: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

Ê'Ë Ê�Ì�Ë Í�Î�Ï�Ð�Ñ)Ò�Ó Ô Õ�Ö

× Ø Ù Ú�Û�Ü Ý�Þ ß à á â ã ä Ü�å)æ ç�è æ à ä é�ê Þ ä ß ç á è4ë ä à ì�ç�í Þ î è ï ä'ï í�Þ ð�ï é é�ì�ñ ê è à ë�ç ä í ç î è'ð ñ ì�ò�ç ä'ç ó î ç ç é á)ô õ õ Ü�ö�÷ ø ø ù ú û üý þ ú ÿ ù���� ø � � � û � ü���� ú ÿ ù ��� ú û � ø� ý û ù ú � â � � Ù � � � � � � � â�ô � � Ø Ü

× Ø � Ú�Û�Ü�Ý�Þ ß à á â�ã ä Ü��5ð ç �5ë ä ï ï í'è æ�Þ è�ç � ç ä ��ï é é�è ä à ë�ç ä í ç î è�ð ñ ì�ò�ç ä�æ�Þ á�Þ è�ê ç Þ á è�è �)ç ê � ç�ë ä à ì�ç�í Þ î è ï ä á Ü� ý ü�ú ù ��� ý � � � ����� ú ÿ ù ��� ú û � â4ô � � � � � � � � � õ â ô � � � Ü

× Ø � Ú�Û�Ü Ý�Þ ß à á â ã ä Ü Þ ð�é� �Ü !'Ü "'ï æ ç ð4Ü�#$� ç ä ��ï é é�ë�ç ä í ç î è)ð ñ ì�ò�ç ä)æ�Þ á'Þ�ë ä à ì�ç�í Þ î è ï ä$��æ à î æ�ç ó î ç ç é á�ô õ % Ü��� ú ÿ ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü â�Ø & � Ù Ù � � � ô � Ù � ��ô � � õ â ã ñ ê ��ô � � � Ü$��ê á ï.Þ á('�ð à � ç ä á à è �.ï í�å4ç î æ ð ï ê ï ß � â) � é ð ç � â ) î æ ï ï ê�ï í+*"Þ è æ ç ì�Þ è à î Þ ê ) î à ç ð�î ç á(,)ç á ç Þ ä î æ-,)ç ë�ï ä è â ,(� � . � â ã ñ ê � â�ô � � � Ü

× Ø � Ú�Û�Ü Ý�Þ ß à á â ã ä Ü Þ ð�é�/�Ü !'Ü *"î 0�Þ ð à ç ê Ü �©ð ç �©ä ç á ñ ê è�î ï ð�î ç ä ð à ð ß�è æ ç�á è ä ñ�î è ñ ä ç)ï í ï é é�ë�ç ä í ç î è4ð ñ ì�ò�ç ä á Ü1 � ý ý ù ù 2 û ü 3 � ý þ ú ÿ ù�4���ù � û � ü-��� ú ÿ ù ��� ú û � ø5 ý û ù ú � â � Ù � ô � ��ô � â�ô � & Ù Ü

× Ø Ø Ú�0�Ü�,�Ü�Ý�ç Þ è æ . 6'ä ï ��ð4Ü(7�é é.ë�ç ä í ç î è�ð ñ ì�ò�ç ä á Ü(��� ú ÿ ù ��� ú û � ø 1 � ý ù ù 2 û ü 3 � ý þ ú ÿ ù � � ��8 � û 2 3 ù 1 ÿ û ø ý 9� ý � ÿ û � ø5 ý û ù ú � â4ô ô � � Ù � � ô � ô ��ô � Ø â *"Þ ä î æ�ô � � ��Ü

× Ø & Ú�:)Ü Ý�ç ä ; ï ß�Ü�å�Þ ò ê ç�ç ä ä Þ è Þ�� & ô Ü$��� ú ÿ ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü�â � � � Ø � Ù â�ô � � õ Ü

× Ø � Ú�<�Ü+!'Ü4Ý�ï =�ì�Þ ð©Þ ð�é>*/Ü4Û'Þ é ò�ç ä ß�Ü�å4ç î æ ð à ? ñ ç á�í ï ä�à ì�ë ä ï � à ð ß�è æ ç-!4Û+. ä ç ë ä ç á ç ð è Þ è à ï ð"ï í(; ç ä ï . ï ð çê à ð ç Þ ä�ë ä ï ß ä Þ ì�ì�à ð ß�ë ä ï ò ê ç ì.á Ü�@$A� 4CB ý ÷ � ü � ø ý þ � ý ����÷ ú û ü 3 â � � ô Ù ô ��ô � ��â ô � � ô Ü

× Ø � Ú�<�Ü5!'Ü�Ý�ï =�ì�Þ ð/Þ ð�é�*/Ü�Û'Þ é ò�ç ä ß�Ü ) ï ê � à ð ß�Þ à ä ê à ð ç�î ä ç � á î æ ç é ñ ê à ð ß�ë ä ï ò ê ç ì.á�ò ��ò ä Þ ð�î æ . Þ ð�é . î ñ è Ü��� ü � 3 ù ��ù ü�ú$5 û ù ü� ù â � � � � � � Ø � & � Ø � Ù â ã ñ ð ç.ô � � � Ü

× & õ Ú�0�Ü5#�Ü D Þ ð ð ñ�î î à Ü�@�ü/ú ÿ ù�E�ÿ û � 2-F5� � 3 ù � ú 1 � û ��ù�G�û H û � ý �.ý þ � üI@�2 2 1 ù � þ ù úKJ�÷ ��8 ù � Ü�Û'æ 0�è æ ç á à á âå�ç ì�ë ê ç�'�ð à � ç ä á à è � â�ô � � � Ü

× & ô Ú�0�Ü$#�Ü5D Þ ð ð ñ�î î à Ü�å)æ ç.ê Þ ä ß ç á è�ë ä à ì�ç�é à � à á ï ä�ï í�Þ ð/ï é é/è ä à ë�ç ä í ç î è�ð ñ ì�ò�ç ä�ç ó î ç ç é á.ô õ L Ü/Û�ä à � Þ è çî ï ì�ì�ñ ð à î Þ è à ï ð4â�ô � � � Ü

× & Ù Ú�0�Ü #�Ü D Þ ð ð ñ�î î à Ü å)æ ç�á ç î ï ð�é�ê Þ ä ß ç á è4ë ä à ì�ç�é à � à á ï ä�ï í�Þ ð�ï é é�ë�ç ä í ç î è�ð ñ ì�ò�ç ä�ç ó î ç ç é á�è ç ð�è æ ï ñ�á Þ ð�é�Ü��� ú ÿ ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü�â�Ø � � Ù Ù � � � ô & � � ��ô & Ø õ â 7�î è ï ò�ç ä�ô � � � Ü

× & � Ú�0�Ü #�Ü D Þ ð ð ñ�î î à Ü�å)æ ç�è æ à ä é.ê Þ ä ß ç á è'ë ä à ì�ç�é à � à á ï ä�ï í4Þ ð�ï é é�ë�ç ä í ç î è)ð ñ ì�ò�ç ä�ç ó î ç ç é á'ï ð ç�æ ñ ð�é ä ç é�Ü��� ú ÿ ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü�â�Ø � � Ù � õ � � � Ø & � � & � â ��ë ä à ê4Ù õ õ õ Ü

× & � Ú�0�Ü #�Ü D Þ ð ð ñ�î î à�Þ ð�é�,�Ü */Ü ) ï ä ê à Ü57�ð�è æ ç�è ï è Þ ê ð ñ ì�ò�ç ä)ï í�ë ä à ì�ç�í Þ î è ï ä á�ï í4Þ ð�ï é é�ë�ç ä í ç î è)ð ñ ì�ò�ç ä Ü��� ú ÿ ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü�Ü(� è ï.Þ ë ë�ç Þ ä � Ü

× & � Ú�Û�Ü */Ü�ã ç ð M à ð�á Ü)å)æ ç�ê Þ ä ß ç á è)ë ä à ì�ç�é à � à á ï ä�ï í�Þ ð�ï é é�ë�ç ä í ç î è�ð ñ ì�ò�ç ä�ç ó î ç ç é á�ô õ N õ õ õ N õ õ õ Ü$��� ú ÿ 9ù ��� ú û � ý þ � ý ����÷ ú � ú û ý ü Ü�� è ï.Þ ë ë�ç Þ ä � Ü

× & Ø Ú�#�Ü+!'Ü4ã ï æ ð�á ï ð4â5*/Ü+*/Ü5<�ï á è ä ç � Þ â�Þ ð�é�'�Ü�Ý�Ü ) ñ æ ê Ü ) ï ê � à ð ß"õ ��ô�à ð è ç ß ç ä�ë ä ï ß ä Þ ì�ì�à ð ß.ë ä ï ò ê ç ì�áÞ ä à á à ð ß�í ä ï ì ê Þ ä ß ç�á î Þ ê ç�ë ê Þ ð ð à ð ß�ì�ï é ç ê á Ü�@+� ù � � ú û ý ü ��A�ù � ù � � ÿ â � � � � � � � õ � � � ô � â ã ñ ê ��ô � � � Ü

× & & Ú�Ý�Ü'ã Ü$<�Þ ð ï ê é�Ü )�OÞ è ; ç Oñ ò�ç ä�M ä ç à á è ç à ê ñ ð ß á ë�ï ê � ð ï ì�ç.ñ ð�é/à æ ä ç"Þ ð�é �)ç ð�é ñ ð ß ç ð©Þ ñ í�ç à ð à ß ç ä�; Þ æ ê ç ð .è æ ç ï ä ç è à á î æ ç.ë ä ï ò ê ç ìPD D ÜQB ý ÷ � ü � ø þ R÷ � 2 û ù � ù û ü�ù�÷ ü�2�� ü 3 ù S$� ü�2 ú ùT��� ú ÿ ù ��� ú û � ÿ ù â�ô � � � ô Ù � ��ô � Ø âô � � õ Ü

Page 182: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

U$V U(W�V X�Y�Z([�\K]�^ _ ` a

b c d e�f�g�h g�i�j k l m n�g�op(q r s�t�r u s v j w u�x l m m y l t�t�r k r k>z j u m r k�{ { g�| } ~ � � � � � �~ ��� � ��� � � � ��~ ���-� � � � �K� � � � �� � � � � ��� � � � � � � �+� � c � � � � d � � � � � � � � c g

b c � e��>g5i�� � u l s r gT��n n�� r s v r w ��k   t�q r s ��k l ��n � x � � � q m rTq ¡ � u s r r j s r n � x � � � q m r�q ¡ j ��m r j � ��� r k¢n � � � � k w �� s � t�r � g � � � � � ��� � � � ��} ��£K} ��¤ ~ � � � � } � � ¥ c � � ¥ c � � � c ¦ � � c � � h j k   j s ¡ � � c c g

b d § e��>g5i�� � u l s r gT��n n�� k � r ¨ r s ��©¢ª(� � u�« x r n � � � � k w ��� s � t�r�v j w � l s � v l s ª u � w u ��¬Q� § ­5® ¯T°C±+� ©5� ² ©Q°��³I� § ­5® ¯ g � � � � � ��� � � � ��} ��£$} ��¤ ~ � � � � } � � ¥ � � � ¦ � � � ¥ § ¥ � ¥ § � � h j k   j s ¡ � � c d g

b d � e��>g�i�� � u l s r g´��n nC� r s v r w �>k   t�q r s �>k l �¢n � x � � � q m rIq ¡ ¥µ{ { g � � � � � ��� � � � �µ} �µ£$} ��¤ ~ � � � � } � �¦ § � � � � � � ¦ § � � ¦ � � � h j k   j s ¡ � � d ¥ g

b d � e��>g�i�� � u l s r g���n n-� s � � r s v r w ��k   t�q r s ��j s r n � x � � � q m r�q ¡ � ª r m x r n � � � � k w ��� s � t�r�v j w � l s � g�| } ~ � ��� �$} �� � ��¶�~ � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � ��·�} � � � � ¸-¹ ·5� � � � ��¶Kº � ¦ � � � c ¥ � � d � � � � d c g

b d ¥ e�»�g i�g ¼ r k � � s j � f�g ½¾g ¼ r k � � s j � h s g � �>g ¿�g ��j k j � � r � j k n-h g �>g�À5l m m j s n�g$Á u r�v j w � l s �  j � � l k-l v � u rk � k � u�Ã5r s t j �(k   t�q r s g � � � � � ��� � � � ��} ��£$} ��¤ ~ � � � � } � � � � � � § ¥ � � ¥ � � � ¥ ¦ � � h   m ¡ � � � ¥ g

b d ¦ e�¿�g5��j s � r m m l �5Ä�g5À$� � � k ¨ r s �5j k n�À+g�Á5l � u g�Ä ¡ k j t � w�� s l ¨ s j t�t � k ¨ j k n�� � s l k ¨-q l   k n � v l s � u r § � �y k j � � j w y�� s l q m r t g � � � � � � ��� � �$·�� � � � � � � ¦ � � ¥ � � ¦ � ¦ � ¦ � ¦ � ��j s w u � � � � g

b d � e�¿�g ��j s � r m m l�j k nTÀ+g Á5l � u g5»Ik r ªµj m ¨ l s � � u tÅv l s � u r § � �(y k j � � j w y�� s l q m r t g � � ��� � � ��� � �+·5� � � ��� � �¥ ¦ � � ¥ ¥ � � ¦ ¦ � � � d d g

b d � e�À+gKh gK��w ÆKj s � u ¡ g¾Ç(l � r l kI� r s v r w �-j k n t   m � � � m ¡ � r s v r w ��k   t�q r s � gCÈ(} � � ~ � � � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � c g

b d c e�À+g h g ��w ÆKj s � u ¡ gK��n nT� r s v r w �(k   t�q r s � gK·5� � � ¤ � � � � � � � ��� � � � � ��� ¥ � ¦ ¥ � ¦ c � � � � c g

b d d e�À+gKh gK��w ÆKj s � u ¡ gµÉ r t j s y �Tw l k w r s k � k ¨ � u r k l k Ê r Ë � � � r k w r l v l n nI� r s v r w �Tk   t�q r s � g¾¶���� � � � � �� � � � � ��� � � � � � � } � � � � ¸ � � ¦ � � � c � � � d � »(� s � mK� � � c g

b d � e�½¾g(¼$g$��w Ä�j k � r m gµÁ u r k l k Ê r Ë � � � r k w r l v l n nI� r s v r w �Tk   t�q r s ��l v j¢w r s � j � k v l s t g¾¶�� � � � Ì¢� � �� � � � � ��� � � Í ��� � � � � � � � � � ¥ � � � c § g

b � § e�½¾g5¼$g ��w Ä�j k � r m g��(k�� u r n � x � � � q � m � � ¡ l v j k�l n n�� r s v r w ��k   t�q r s�q ¡ � u r � � Ë � u � l ª r s l v j�� s � t�r g� � � � � ��� � � � ��} ��£$} ��¤ ~ � � � � } � � � � � � � ¦ � � ¥ d ¥ � ¥ d � � »(� s � m$� � c � g

b � � e�½¾g$¼$g+��w Ä�j k � r m(j k n>À+g+f�j ¨ � � �$h s g�¿ l t�rTs r �   m � ��w l k w r s k � k ¨ � u r k l k Ê r Ë � � � r k w r l v l n n>� r s v r w �k   t�q r s �Kl v � u r�v l s tCÎ Ï Ð ¯ Ñ5gKÒ$� Ó } � � � � �(Ô(~ � � � � � � ¸ �5� ¥ � � � � � d � � � c � g

b � � e�½¾g5f�g��-� m m � g��(k>jTw l k Õ r w �   s r l v � s r g�{ k¢ÈK� } � � � � � � � �T} ��� � ��Ö × Ø Ù-Ú�~ ��Ó � ��Û � � } � ¸�£K} � � � � � ��� � �� j ¨ r ��� ¦ � � � ¦ � � Ü$l   m n r s � Æ$l ��� � c � g

b � ¥ e��>g »�g �-l s s � � l k�j k n�h g Ü s � m m u j s � g » t�r � u l n�l v v j w � l s � k ¨ j k n�� u r(v j w � l s �  j � � l k�l v Ý+Þ g � � � � � ��� � � � �} ��£$} ��¤ ~ � � � � } � � � � � � � � � � � d ¥ � � § � � h j k   j s ¡ � � c � g

b � ¦ e���g�� s r gß��k¾� u r j x r s j ¨ r �Tl v � u r n � x � � l s �-l v jIk   t�q r s g߶���� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � } � � � � ¸ �� � � � § � � � � � � � � � � Ä r w r t�q r s � � ¦ d g

b � � e���g�� s r g$Ú�~ ��Ó � �TÛ�� � } � ¸-� � ��à � ��á�� � � } � ¸ g$Ä�l x r s � Ç r ªµâ+l s y���� � d d g

Page 183: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

ã$ä ã(å�ä æ�ç�è(é�êKë�ì í î ï

ð ñ ò ó�ô(õ ö$÷ ø ù ú ú ÷ õ�ö5û ù ü$ý þ ÿ ÷ � ú û ÷ ü ��� � ��� � � ú�� ü � ��÷ � ü ��� û � ü � ��� � ü � � ÷ ú � õ ��� � � � � � ����� � � � ��� � � � � � ò ! " # $ " % & % ò � '(� )( ñ * ñ õ

ð ñ + ó,�õ ö+û �� ü � � ø � õ�-��.�� ü û ý � � û �/-(ü � $+ÿ � ü ��û � ÷ ø�� ù �� � ü � õ+ù � � ù ý ÷ � ÿ � �0��� � ù � ø ü ÷ � ú �1 ñ + % õ

ð ñ * ó,�õ(ö5û ��� ü � � ø � õ2-�� �3� � ü � � ø ú0� ù � � ü �0� ü ��� ÷ 4 ÷ � ÷ ý �� )5� úTý � � � ú.� � 4 � �6� ÷ � ú ÷ � ø ú.� ü ÷ �� � õ87�� � �7�� � � � ��� � � � � � " 9 $ " ò 9 & % : : � ñ + ; õ

ð ñ ñ ó,�õ$ö+û �� ü � � ø � õ=<Kÿ �(� � ø û � �¢ý � ü > � � ú� ü ÷ ��.� � ø ú û ü�û ��� �¢û � �=� � ü � � ø ú�� ù �� � ü õ5��� � � � ��� � � � ��� ?@ � ��A B � � � � � C � " ñ ! % # $ ñ ; & ñ " � D ù ý )� ñ + 9 õ

ð : : ó,�õ ö5û ��� ü � � ø � õ�'-ù ý ú ÷ � ý ).� � ü � � ø ú�� ù �� � ü � � '.� ü � � � � ��� ü ÷ �� �E� � �0� F � ø ú ÷ 4 ��ø û �� ù ú � ÷ ý ÷ ú ) õE��� � � G� ��� � � � � � ��7�C C1� H � C � " " ò ! % # $ ñ 9 & " : ò � ñ + + õ

ð : ó�ö+õ ö+û ù ý � ú õ�I��0� � � � � �� B J0C1� ��K � � � � 4 û ý ù ��� õ�LKü ù � � ý � � � ñ " ñ õ

ð : " ó�ö+õ M(÷ � � û ÷ ��õN � ��I�� � � H ��O�� � P0� ?�OE� Q0R/� � ��� � õ�S � ü ÷ � > � ü T U�� ü ý � > � VE� W6X+û ü Y1�1 ñ ñ õ

ð : % ó�V�õ MKû ÷ � � õ�N1� �EC � C G � J � � � � C � �E� ?/� Z Z/A � � ? � � �1C B ��K � � �/[�� � ��H � � �/� � � C� � \ � C0Z � � � � C � � A � � ����? � � � � � � õö+ÿ ]¾ú ÿ � � ÷ � � ö+û ý ) ú � ø ÿ � ÷ øE^ � � ú ÷ ú ù ú ��û ��LKü û û Y ý ) ��� VE� W6X+û ü Y1� D ù � �� ñ + " õ

ð : ; ó�_�õ '>õ S � ý Y ÷ �.� � �.`�õ '(� ú ÿ ù ü õ�a�� B C1Z � � � � C �� ?/b C � � Q � ��R/� � Q � � ��� C Q õ�V(û ü ú ÿ T _(û ý ý � � �1� VE� W5X$û ü Y1� ñ * ñ õ

ð : 9 ó�'>õ1cCõ5ö+õ�S � 4 � ý � � ü > ÿ5õ�ö+ü � � ü û ø � � � ÷ � >(� � �(� ü û ÷ � >-ú � ø ÿ � ÷ d ù � ��� û ü���÷ e � ��÷ � ú � > � ü�� ü û > ü � ����÷ � >� ü û ý � �0� õ�f�g�h 7ji � B � C1� H�� C @ � ��A B � � C Q � ò ! ; # $ ; ; 9 & ; 9 ; � ñ ñ ; õ

ð : ò ó�'>õ ]�õ S � ) � ü � õ1kE�T÷ ��� ü û 4 � ��ý û W/� ü� û ù � ��� û üKú ÿ ��ú û ú � ý � ù �� � üKû �1� ü ÷ ���� � ø ú û ü �+û ��� ��û � ��� � ü � � ø ú� ù �� � ü õ�'(� � ú � ü þ �Kú ÿ � � ÷ � � VE� WlS û ù ú ÿ.cm� ý � �/^ � � ú ÷ ú ù ú ��û ��<1� ø ÿ � û ý û > ) � S ) � � � ) �1 ñ * ò õ

ð : + ó�M�õ S ø ÿ ü û � � � � ý õ�n�÷ � ú(û ��� ù � ú ÷ ú ù ú ÷ û � �E� û üE��ù ý ú ÷ � � ü � � ø úE� ù � � ü � õ$ö$ü ÷ 4 � ú ��ø û ����ù � ÷ ø � ú ÷ û ���1 ñ ñ 9 õ

ð : * ó�M�õ S ø ÿ ü û � � � � ý õ '-ù ý ú ÷ � � ü � � ø ú�� ù �� � ü+ý ÷ � ú � ]E� ø � �� � ü$ñ 9 � " : ñ ;�� ù �� � ü � õ o p q/r s s o p q/t u v�t w x1y z { | w�t} ~ � s � s � � } x | } � s x u v s � q o |�t � p �5õ k(ý � û�ú ÿ ����� � �.�0� ÷ ý ÷ � >�ý ÷ � ú õ � " : : " õ

ð : ñ ó�]�õES ÿ � � Y � õ2h1� H \ � Z=� C1Z6��C � � H \ � ZmR/� � K H � ����� C3��B ��K � �=N1� � � � � õ2,$ÿ � ý � � � ��VE� W�X$û ü Y1�E� � ø û � �� � ÷ ú ÷ û ���� ñ + * õ

ð : ó�M�õ cCõ S ÿ û � �0� Y � ü õ RE� � ? � � �1��B ��K � � � õ V�� ú ÷ û � � ý1,$û ù � ø ÷ ý û �1<�� � ø ÿ � ü �5û �1'(� ú ÿ � �0� ú ÷ ø � � cm� � ÿ ÷ � > ú û ���]�õ ,�õ � ME� � ú û ��� U�� õ �1 ñ + % õ

ð ó�ö+õ S ÿ û ü õ5ö5û ý ) � û ��÷ � ý T ú ÷ ���� ý > û ü ÷ ú ÿ �0��� û ü/� ü ÷ ���� � ø ú û ü ÷ � � ú ÷ û �0� � ��� ÷ � ø ü � ú ��ý û > � ü ÷ ú ÿ ���$û �0�d ù � � Tú ù � ø û ��� ù ú � ü õ�h b 7���i � B � C � H�� ? @ � ��A B � � C Q � ; * ! + + # $ ; * ; & ; : ñ � D � � ù � ü ). ñ ñ + õ

ð " ó�M�õ/'>õ�S û ü ý ÷ õ3'-ù ý ú ÷ � � ü � � ø ú�� ù � � ü�W/� 3� ÷ ú � õ=� p p q/r s s � � � � v p w o o�t � w p � v�t � p v�t } ~ � t w � s � x { | v s� q o | s � q o |/t � p ��� ñ ñ ñ õ

ð % ó�<�õ n$õ1S ú � ü ý ÷ � > �1D õ S � ý ��û ���1]�õ1D õ L/� ø Y � ü � � � �.]�õ1�Kõ S � 4 � ü � � � õE�� [6� ��OEB � H Z(��O�� � [�B H ?�7��EB � Z �� ��� � ��b ��A H � ��� C � � � � � Cm� C Z�7/A A H � � � � � � Cm� ?�R @l@ H B � � � � � õ�'.^ <µö+ü � � � � ,/� �� ü ÷ � > � � ñ ñ ñ õ

Page 184: Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers · 2015-12-10 · ÒÔÓ ÕÖ × ØÔÙxÚ*ÛÝÜÞÚ ßàÚ ÖÞá`â ãxä å æ ç è'ç é ê ëì å4í î ë

��� �E�1� �����E���/�� � � �

� � � �  �¡�¢/£ ¤ ¥ ¦ ¥ § ¨E© ª «1¢6¬�¥ § ­ ® ¯�°© § ± ¦ ² ³m¥ ´ ² ¥ §0² µ ¤ ¨/¥ ² « ´ ³ ¥ ²3¶ ¥ « ´ ² ³ ¦ ² ³=± °¦ §.« ´ ¥(¥ · ´ ­ ¤ ¥ ² ¸.¥ ´ ² ¥ §0¦ ² ³ ¥ § © « ¥ ²¹ µ ª ª º µ »»�¥ ² ¥ ²0¸ © ¯ ª ¢/¼1½ ¾ ¿�½�À�Á  à ½ ¾ ÄÁ  ½�Å�Æ Â ½1¿�Á Ç È É ½�ÅEÊ Á Ë ½�Ì0Í Î Î ½ Ï Ð © ³ ¥ ­/Ñ Ò Ó Ô Õ Ï1� Ö Õ Ô ¢

� � � ×  �Ø ¢ Ø ¢ £ Ù ª ¹ ¥ ­ ¤ ¥ § ¢�£ ¦ §/ª Ú ´ »Ð µ ­ ­ ´ ¶ ´ ª ´ ¤ Û¥�« ¥�ª Ú ¥ · ´ ­ ¤ ¥ ² ® ¥�«1Ú ¦ ²0² µ »¶ § ¥�Ð © § ± © ´ ¤�´ »Ð © ´ §EÜ ¦ ´1² ¥�® µ ² ¤ ´ ¥ ² ¤�Ð © ­© ¦m»�µ ´ ² ­×(« ´ ¹ ´ ­ ¥ ¦ § ­�Ð § ¥ »�´ ¥ § ­« ´ ­ ¤ ´ ² ® ¤ ­ ¢3Ý/Þ ß�à Â È Îá�È â Ë ã Î0Ë È.ä å Å�æ Á Ë/çÈ ßÍ È(Ë È Î�¼�æ Í È â1æ È Î è�éEÁ É Í Î Ï� ê Ñ ë Õ ì í × î î Ó × î Ñ Ï�� Ò Ò Ò ¢�ïEª ­ µ0´ ²=ð�µ ª ª ¥ ® ¤ ¥ «�ñ(© ¤ ¯ ¥ »0© ¤ ´ ® © ª�ò�© Ð ¥ § ­�µ ±/Ø © »¥ ­�Ø µ ­ ¥ Ð ¯�£ Ù ª ¹ ¥ ­ ¤ ¥ § Ï ¹ µ ª ¢� Ï ð/© »¶ § ´ « ³ ¥�óE² ´ ¹ ¥ § ­ ´ ¤ Ù0ò�§ ¥ ­ ­ Ï � Ö � î ¢

� � � Ñ  �ô�¢ Ø ¢ Ø ¢ ¤ ¥�¡E´ ¥ ª ¥ ¢�õ1´ ­ ¤Eµ ±�­ ¦ ¶ ­ ¤ ´ ¤ ¦ ¤ ´ µ ² ­/± µ §�© »´ ® © ¶ ª ¥�² ¦ »�¶ ¥ § ­ ¢�ò�§ ´ ¹ © ¤ ¥�® µ »»¦ ² ´ ® © ¤ ´ µ ²�Ï1� Ö Ö × ¢

� � � Ô  �ö¢�ð�¢ ÷�¥ ¶ ¶ ¥ § ¢�øEµ ² ù ¥ · ´ ­ ¤ ¥ ² ® ¥�µ ±�µ « «.Ð ¥ § ± ¥ ® ¤�² ¦ »¶ ¥ § ­Eµ ±�¤ ¯ ¥�± µ § »úÕ û ü�ý þ ÿ�ý � û ü �� � û ü �û � û ü �� ¢���ã Ê ÈÀ�Á Â Ã È ß�Á Â Í æ Î� Þ ã É â1Á ä Ï1� Ò í Ô � � Ó Ô � Ö Ï � Ö × � ¢

� � � Ò  �ï�¢ ÷�¥ ´ ª ¢�Ä�ã ß�Æ È É� Ã È Þ É Ç ¢ �/´ § º ¯�°© ¦ ­ ¥ § Ï ��µ ­ ¤ µ ²�Ï1� Ö Ò � ¢

� � � Ö  �ö¢ ÷�µ ª ¤ »0© ²�¢�ö�� ñ(ò�í ö�§ ¥ © ¤�� ² ¤ ¥ § ² ¥ ¤Eñ.¥ § ­ ¥ ² ² ¥�ò�§ ´ »¥�­ ¥ © § ® ¯�¢�¯ ¤ ¤ Ð�í � � ¨E¨E¨�¢ »�¥ § ­ ¥ ² ² ¥ ¢ µ § ³ Ï î ê ê î ¢

� � î ê  �£1¢ � ´ µ ² ¤ ­ ¢ ö�¥ ² ¥ § © ª ´ ¸ ¥ «�´ »Ð ª ´ ® ´ ¤�¥ ² ¦ »¥ § © ¤ ´ µ ²�¦ ­ ´ ² ³E¶ µ ¦ ² « ­1µ ² ¹ © § ´ © ¶ ª ¥ ­1± µ §�­ µ ª ¹ ´ ² ³Eª ´ ² ¥ © §�Ð § µ ³ § © »�­¨E´ ¤ ¯.¸ ¥ § µ ù µ ² ¥ ¹ © § ´ © ¶ ª ¥ ­ ¢�ÄÁ � Á ä á�È Î È Á É æ Ã���Þ � Í Î Â Í æ Î��Eã Á É Â È É ä Ç Ï1� Ö í � Ñ × Ó � Ò � Ï � Ö Ô î ¢

� � î �  �£1¢�� ´ µ ² ¤ ­ ¢ ��Í â È Á ÉÁ â1Ë�� â Â È � È É�é/É Þ � É Á ßßÍ â � ¢/ò�§ ¥ ² ¤ ´ ® ¥ ù ô�© ª ª Ï ��² ³ ª ¥ ¨/µ µ «1Ï � Ö Ô � ¢