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7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
1/37
Konrad-Zuse-Zentrum fr Informationstechnik Berlin
Takustr. 7, D-14195 Berlin - Dahlem
W o l f r a m K o e p f
D i e t e r S c h m e r s a u
A l g o r i t h m s f o r C l a s s i c a l O r t h o g o n a l
P o l y n o m i a l s
F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k u n d I n f o r m a t
i k d e r F r e i e n U n i v e r s i t
a t B e r l i n
P r e p r i n t S C 9 6 { 2 3 ( S e p t e m b e r 1 9 9 6 )
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Polynomials_1996
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A l g o r i t h m s f o r C l a s s i c a l O r t h o g o n a l
P o l y n o m i a l s
W o l f r a m K o e p f
D i e t e r S c h m e r s a u
k o e p f @ z i b . d e
A b s t r a c t :
I n t h i s a r t i c l e e x p l i c i t f o r m u l a s f o r
t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x )
a n d t h e d e r i v a t i v e r u l e s
( x ) p
0
n
( x ) =
n
p
n + 1
( x ) +
n
p
n
( x ) +
n
p
n 1
( x )
a n d
( x ) p
0
n
( x ) = ( ~
n
x +
~
n
) p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x )
r e s p e c t i v e l y w h i c h a r e v a l i d f o r t h e o
r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s o l u t i o n s p
n
( x ) o f t h e d i e r e n t i a l
e q u a t i o n
( x ) y
0 0
( x ) + ( x ) y
0
( x ) +
n
y ( x ) = 0
o f h y p e r g e o m e t r i c t y p e a r e d e v e l o p e d
t h a t d e p e n d o n l y o n t h e c o e c i e n t s ( x ) a n d
( x ) w h i c h
t h e m s e l v e s a r e p o l y n o m i a l s w . r . t . x o
f d e g r e e s n o t l a r g e r t h a n 2 a n d 1 , r e s p e c t
i v e l y .
P a r t i a l s o l u t i o n s o f t h i s p r o b l e m h a d
b e e n p r e v i o u s l y p u b l i s h e d b y T r i c o m i , a
n d r e c e n t l y b y
Y a ~n e z , D e h e s a a n d N i k i f o r o v .
O u r f o r m u l a s y i e l d a n a l g o r i t h m w i t h w
h i c h i t c a n b e d e c i d e d w h e t h e r a g i v e n h o l
o n o m i c r e c u r -
r e n c e e q u a t i o n ( i . e . o n e w i t h p o l y n o m
i a l c o e c i e n t s ) g e n e r a t e s a f a m i l y o f c l a
s s i c a l o r t h o g o n a l
p o l y n o m i a l s , a n d r e t u r n s t h e c o r r e s p
o n d i n g d a t a ( d e n s i t y f u n c t i o n , i n t e r v a
l ) i n c l u d i n g t h e s t a n -
d a r d i z a t i o n d a t a i n t h e a r m a t i v e c a s e
.
I n a s i m i l a r w a y , e x p l i c i t f o r m u l a s f o
r t h e c o e c i e n t s o f t h e r e c u r r e n c e e q u a t i
o n a n d t h e d i e r e n c e
r u l e
( x ) r p
n
( x ) =
n
p
n + 1
( x ) +
n
p
n
( x ) +
n
p
n 1
( x )
o f t h e c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i
a l s o f a d i s c r e t e v a r i a b l e a r e g i v e n t h a t
d e p e n d o n l y o n t h e
c o e c i e n t s ( x ) a n d ( x ) o f t h e i r d i e r e n c
e e q u a t i o n
( x ) r y ( x ) + ( x ) y ( x ) +
n
y ( x ) = 0 :
H e r e
y ( x ) = y ( x + 1 ) y ( x ) a n d r y ( x ) = y ( x ) y ( x 1
)
d e n o t e t h e f o r w a r d a n d b a c k w a r d d i e r e
n c e o p e r a t o r s , r e s p e c t i v e l y . I n p a r t i c
u l a r t h i s s o l v e s t h e
c o r r e s p o n d i n g i n v e r s e p r o b l e m t o n d t
h e c l a s s i c a l d i s c r e t e o r t h o g o n a l p o l y n
o m i a l s o l u t i o n s o f a
g i v e n h o l o n o m i c r e c u r r e n c e e q u a t i o n
.
1
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1 P o l y n o m i a l s o f t h e H y p e r g e o m e t r i c T
y p e
A l o n g - s t a n d i n g p r o b l e m i n t h e t h e o r y
o f s p e c i a l f u n c t i o n s w h o s e s o l u t i o n c a n
b e v e r y h e l p f u l
i n a p p l i e d m a t h e m a t i c s a s w e l l a s i n m a
n y q u a n t u m - m e c h a n i c a l p r o b l e m s o f p h y s
i c s 1 8 ] ,
i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e d i e r e n t i a
t i o n f o r m u l a s o f t h e h y p e r g e o m e t r i c - t y
p e o r t h o g o n a l
p o l y n o m i a l s p
n
( x ) o n l y f r o m t h e c o e c i e n t s o f t h e d i e r
e n t i a l e q u a t i o n
( x ) y
0 0
( x ) + ( x ) y
0
( x ) +
n
y ( x ) = 0 ( 1 )
w h i c h i s s a t i s e d b y t h e s e p o l y n o m i a l
s
y ( x ) = p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n
2N
0
: =
f0 ; 1 ; 2 ; : : :
g; k
n
6= 0 ) : ( 2 )
T h e c o e c i e n t s ( x ) , ( x ) a n d
n
t u r n o u t t o b e t h e m s e l v e s p o l y n o m i a l s
w . r . t . x o f d e g r e e s
n o t l a r g e r t h a n 2 , 1 a n d 0 , r e s p e c t i v e l
y .
T h i s p r o b l e m w a s p a r t i a l l y s o l v e d b y T
r i c o m i ( 2 1 ] , C h a p t e r I V ) i n t h e s e n s e t h a
t h e w a s a b l e
t o c a l c u l a t e t h e c o e c i e n t s ~
n
,
~
n
a n d ~
n
o f t h e d e r i v a t i v e r u l e
( x ) p
0
n
( x ) = ( ~
n
x +
~
n
) p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x ) : ( 3 )
H o w e v e r , h i s f o r m u l a f o r
~
n
w a s n o t o n l y i n t e r m s o f t h e c o e c i e n t s o
f ( 1 ) a n d k
n
, b u t
f u r t h e r m o r e t h e s e c o n d h i g h e s t c o e c i
e n t s o f p
n
( x ) w e r e i n v o l v e d , a n d t o e v a l u a t e ~
n
, h e
n e e d e d t o k n o w a l s o t h e c o e c i e n t s o f t h
e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x ) ( 4 )
a n o t h e r s t r u c t u r a l p r o p e r t y o f o r t h o
g o n a l p o l y n o m i a l s y s t e m s .
S i n c e t h e p o l y n o m i a l s p
n
( x ) g i v e n b y ( 2 ) a r e c o m p l e t e l y d e t e r m
i n e d b y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
a n d t h e i r l e a d i n g c o e c i e n t s k
n
( n 2 N
0
) , i t i s d e s i r a b l e t o o b t a i n t h e r e c u r r
e n c e e q u a t i o n ( 4 )
a n d t h e d e r i v a t i v e r u l e ( 3 ) f r o m t h e s e
i n f o r m a t i o n s a l o n e .
R e c e n t l y , Y a ~n e z , D e h e s a a n d N i k i f o r o
v 2 3 ] p r e s e n t e d s u c h f o r m u l a s w h i c h , h o w
e v e r , a r e a d -
d i t i o n a l l y i n t e r m s o f t h e c o n s t a n t
D
n
, g i v e n b y a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t y p
e
p
n
( x ) =
D
n
( x )
Z
C
n
( s ) ( s )
( s x )
n + 1
d s ( 5 )
f o r p
n
( x ) , ( x ) b e i n g s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o
n ( )
0
= , a n d C b e i n g a c o n t o u r s a t i s f y i n g
c e r t a i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e i r d
e v e l o p m e n t i s m o r e g e n e r a l i n t h e s e n s e t
h a t t h e y d i d n o t
a s s u m e t h a t n i s a n i n t e g e r . O n t h e o t h e
r h a n d , t h e a s s u m p t i o n t h a t n i s a n i n t e g e
r i m p l i e s
t h a t t h e c o n t o u r C i s c l o s e d , t h e i n t e g
r a l r e p r e s e n t a t i o n ( 5 ) b e i n g e q u i v a l e n
t t o t h e R o d r i g u e s
r e p r e s e n t a t i o n
p
n
( x ) =
E
n
( x )
d
n
d x
n
( x ) ( x )
n
( 6 )
w h e r e
D
n
=
n !
2 i
E
n
; ( 7 )
a n d t h e s o l u t i o n s a r e c l a s s i c a l o r t h o
g o n a l p o l y n o m i a l s w i t h d e n s i t y ( x ) .
I n t h i s a r t i c l e , w e r e p r e s e n t t h e c o e c
i e n t s o f b o t h ( 3 ) a n d ( 4 ) i n t e r m s o f ( x ) ; (
x ) a n d t h e
t e r m r a t i o k
n + 1
= k
n
a l o n e , h e n c e g i v i n g a c o m p l e t e s o l u t i
o n o f t h e p r o p o s e d p r o b l e m .
2
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I t i s c l e a r t h a t o u r f o r m u l a s s h o u l d d e
p e n d a d d i t i o n a l l y o n t h e l e a d i n g c o e c i e
n t s k
n
, s i n c e
s u c h a s t a n d a r d i z a t i o n c a n b e p r e s c r i
b e d a r b i t r a r i l y . I f o n e t a k e s t h e m o n i c s
t a n d a r d i z a t i o n ,
i . e . k
n
1 , t h e n t h e f o r m u l a s i n f a c t d e p e n d o n l
y o n t h e c o e c i e n t s o f t h e d i e r e n t i a l e q u a
t i o n .
F o r t h e c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m
i a l s o u r f o r m u l a s a r e s t r o n g e r t h a n Y a ~n
e z ' , D e h e s a ' s a n d
N i k i f o r o v ' s r e s u l t s i n c e k
n
i s i n t r i n s i c p a r t o f p
n
( x ) , w h e r e a s t h e c o n s t a n t s D
n
; E
n
a r e n o t .
M o r e o v e r , w e w i l l g i v e D
n
a n d E
n
i n t e r m s o f t h e c o e c i e n t s o f t h e d i e r e n
t i a l e q u a t i o n , t o o .
A l g e b r a i c a l l y t w o i d e n t i t i e s ( d i e r e
n t i a l e q u a t i o n a n d r e c u r r e n c e e q u a t i o n
, e . g . ) a r e n e e d e d t o
d e d u c e t h e t h i r d o n e ( d e r i v a t i v e r u l e
, e . g . ) , s e e 8 ] , w h e r e a s h e r e ( k i n d o f m a g
i c ) w e w o u l d l i k e
t o d e d u c e t w o f r o m o n e . T h a t t h i s i s p o s
s i b l e i s d u e t o t h e a n a l y t i c k n o w l e d g e t h
a t o r t h o g o n a l
p o l y n o m i a l s o l u t i o n s o f t h e d i e r e n t i
a l e q u a t i o n ( 1 ) s a t i s f y s o m e s t r u c t u r a l
p r o p e r t i e s , n a m e l y ,
t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n a n d d e r i v a t i
v e r u l e t a k e s p e c i a l f o r m s .
W e m a k e t h e g e n e r a l a s s u m p t i o n t h a t o u
r p o l y n o m i a l s p
n
( x ) a r e o r t h o g o n a l w . r . t . a m e a s u r e
, i . e .
Z
I
p
n
( x ) p
m
( x ) d ( x ) =
8
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L e m m a 2 A n y s y s t e m o f p o l y n o m i a l s f p
n
( x ) j n 2 N
0
g , p
n
b e i n g o f e x a c t d e g r e e n , t h a t
a r e s o l u t i o n s o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t
i o n s ( 1 ) a n d f u r t h e r m o r e o r t h o g o n a l w i t
h r e s p e c t t o a
m e a s u r e ( x ) = ( x ) d x h a v i n g w e i g h t f u n c
t i o n ( x ) 0 , s a t i s e s a d e r i v a t i v e r u l e o f t
h e
f o r m ( 3 )
( x ) p
0
n
( x ) = ( ~
n
x +
~
n
) p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x ) ( n 2 N : = f 1 ; 2 ; 3 ; : : : g ) ;
~
n
;
~
n
a n d ~
n
n o t d e p e n d i n g o n x .
P r o o f : S u b s t i t u t i n g ( 2 ) a n d e q u a t i n g
t h e c o e c i e n t s o f x
n + 1
, o n e g e t s i m m e d i a t e l y t h a t
~
n
= a n : ( 1 0 )
I n 1 3 ] , x 5 i t i s s h o w n b y a n e l e m e n t a r y a
r g u m e n t t h a t u n d e r t h e g i v e n c o n d i t i o n s
t h e s o l u t i o n s
p
n
( x ) o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1 ) a r
e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o t h e w e i g h t f
u n c t i o n
( x ) : =
C
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
0 ; ( 1 1 )
g i v e n b y P e a r s o n ' s d i e r e n t i a l e q u a t i
o n
d
d x
( x ) ( x )
= ( x ) ( x )
f o r a s u i t a b l e c o n s t a n t C , i n a s u i t a b l
e i n t e r v a l I ( d e p e n d i n g o n t h e z e r o s o f ( x
) ) . H e n c e
m u l t i p l y i n g ( 1 ) b y ( x ) , t h e d i e r e n t i a
l e q u a t i o n t a k e s t h e s e l f a d j o i n t f o r m
d
d x
( x ) ( x ) y
0
( x )
+
n
( x ) y ( x ) = 0 :
U s i n g t h i s i d e n t i t y , T r i c o m i s h o w e d t
h a t ( 2 1 ] , I V ( 4 . 1 0 ) )
Z
I
( x ) ( x ) p
0
n
( x ) f ( x ) d x = 0 ( 1 2 )
f o r a n y p o l y n o m i a l f ( x ) o f d e g r e e n 2 . I
f ( 1 0 ) h o l d s , t h e n t h e d e g r e e o f ( x ) p
0
n
( x ) ~
n
x
i s n . H e n c e o n e c a n w r i t e
( x ) p
0
n
( x ) ~
n
x =
n
X
j = 0
e
j
p
n
( x ) :
A s a b o v e , f r o m ( 1 2 ) o n e c a n d e d u c e t h a t
e
j
= 0 f o r 0 j n 2 ( s e e 2 1 ] , C h a p t e r I V ) . 2
A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e i s t h e f o l l o
w i n g
C o r o l l a r y 1 A n y s y s t e m o f p o l y n o m i a l s
f p
n
( x ) j n 2 N
0
g , p
n
b e i n g o f e x a c t d e g r e e n , t h a t
a r e s o l u t i o n s o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t
i o n ( 1 ) a n d f u r t h e r m o r e o r t h o g o n a l w i t h
r e s p e c t t o a
m e a s u r e ( x ) = ( x ) d x h a v i n g w e i g h t f u n c
t i o n ( x ) 0 , s a t i s e s a d e r i v a t i v e r u l e o f t
h e f o r m
( x ) p
0
n
( x ) =
n
p
n + 1
( x ) +
n
p
n
( x ) +
n
p
n 1
( x ) ( n 2 N ) ; ( 1 3 )
n
;
n
a n d
n
n o t d e p e n d i n g o n x .
4
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P r o o f : S u b s t i t u t i n g ( 2 ) i n ( 1 3 ) , a n d e
q u a t i n g t h e c o e c i e n t s o f x
n + 1
, o n e g e t s i m m e d i a t e l y
t h a t
n
= a n
k
n
k
n + 1
: ( 1 4 )
S u b s t i t u t i n g ( 4 ) i n ( 3 ) o n e g e t s m o r e o
v e r
( x ) p
0
n
( x ) = ( ~
n
x +
~
n
) p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x )
=
~
n
A
n
p
n + 1
( x ) B
n
p
n
( x ) + C
n
p
n 1
( x )
+
~
n
p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x ) ;
h e n c e ( 1 3 ) i s v a l i d w i t h
n
=
~
n
A
n
;
n
=
~
n
~
n
B
n
A
n
;
n
= ~
n
+ ~
n
C
n
A
n
:
2
2 C l a s s i c a l O r t h o g o n a l P o l y n o m i a l s o
f a n I n t e r v a l
I n t h i s s e c t i o n w e g i v e t h e p r o p o s e d e x
p l i c i t r e c u r r e n c e e q u a t i o n a n d d e r i v a t
i v e r u l e f o r m u l a s .
A s s u m e a f a m i l y o f d i e r e n t i a l e q u a t i o
n s ( 1 ) i s g i v e n f o r n 2 N
0
, w i t h c o n t i n u o u s f u n c t i o n s
( x ) ; ( x ) , a n d c o n s t a n t s
n
, a n d w e s e a r c h f o r p o l y n o m i a l s o l u t i o
n s ( 2 ) o f d e g r e e n . T h e n
s i n c e p
1
( x ) i s l i n e a r , o n e d e d u c e s t h a t ( x ) m u s
t b e a n a t m o s t l i n e a r p o l y n o m i a l , a n d s i n
c e
p
2
( x ) i s q u a d r a t i c , o n e d e d u c e s t h a t ( x )
m u s t b e a n a t m o s t q u a d r a t i c p o l y n o m i a l 3
] . H e n c e
w e m a y a s s u m e t h a t
( x ) : = a x
2
+ b x + c ; ( x ) : = d x + e : ( 1 5 )
E q u a t i n g c o e c i e n t s o f t h e h i g h e s t p o w
e r s x
n
i n ( 1 ) f o r g e n e r i c p
n
( x ) , g i v e n b y ( 2 ) , o n e
d e d u c e s t h a t m o r e o v e r
a n ( n 1 ) + d n +
n
= 0 o r
n
= ( a n ( n 1 ) + d n ) : ( 1 6 )
H e n c e o n l y i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
t a k e s t h e s p e c i a l f o r m
( a x
2
+ b x + c ) y
0 0
( x ) + ( d x + e ) y
0
( x ) ( a n ( n 1 ) + d n ) y ( x ) = 0 ; ( 1 7 )
i t c a n h a v e p o l y n o m i a l s o l u t i o n s .
M o r e o v e r w e c a n a s s u m e t h a t
n
6= 0 f o r n 2 N , h e n c e a ( n 1 ) + d 6= 0 f o r n 2 N s i
n c e
o t h e r w i s e n o o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s
o l u t i o n s c a n e x i s t . T h i s i s d i s c u s s e d i n
d e t a i l i n 1 3 ] . I n
p a r t i c u l a r , d
6= 0 .
I n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w e g i v e e x p l
i c i t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d
i n g r e c u r r e n c e
e q u a t i o n a n d d e r i v a t i v e r u l e i n t e r m s
o f t h e g i v e n a ; b ; c ; d ; e a n d t h e t e r m r a t i o
k
n + 1
= k
n
.
T h e o r e m 1 L e t p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
) b e a f a m i l y o f p o l y n o m i a l s o l u t i o n s o
f t h e
s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1 7 ) t
h a t a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o a w e i g
h t f u n c t i o n
( x ) . T h e n t h e d e r i v a t i v e r u l e ( 1 3 )
( x ) p
0
n
( x ) =
n
p
n + 1
( x ) +
n
p
n
( x ) +
n
p
n 1
( x )
i s v a l i d w i t h
n
= a n
k
n
k
n + 1
5
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
8/37
n
=
n ( a ( n 1 ) + d ) ( b d 2 a e )
( 2 a ( n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
( 1 8 )
n
=
n ( a ( n 1 ) + d ) ( a ( n 2 ) + d ) ( n ( a n + d ) ( 4 a c
b
2
) + a e
2
+ c d
2
b d e )
( a ( 2 n
1 ) + d ) ( a ( 2 n
3 ) + d ) ( 2 a ( n
1 ) + d )
2
k
n
k
n 1
; ( 1 9 )
a n d t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n ( 4 )
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x )
i s v a l i d w i t h
A
n
=
k
n + 1
k
n
B
n
=
k
n + 1
k
n
2 b n ( a ( n 1 ) + d ) + e ( d 2 a )
( 2 a ( n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
( 2 0 )
a n d
C
n
=
k
n + 1
k
n
n
a ( n 1 ) + d
; ( 2 1 )
n
b e i n g g i v e n b y ( 1 9 ) .
P r o o f : T h e v a l u e s o f A
n
a n d
n
w e r e a l r e a d y o b t a i n e d i n L e m m a 1 a n d C o
r o l l a r y 1 .
B y L e m m a 1 t h e p o l y n o m i a l s s a t i s f y a r e
c u r r e n c e e q u a t i o n o f t y p e ( 4 ) :
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x ) : ( 2 2 )
N e x t , w e d i e r e n t i a t e ( 2 2 ) t w i c e a n d g e
t
p
0
n + 1
( x ) = A
n
p
n
( x ) + ( A
n
x + B
n
) p
0
n
( x ) C
n
p
0
n 1
( x ) ( 2 3 )
a n d
p
0 0
n + 1
( x ) = 2 A
n
p
0
n
( x ) + ( A
n
x + B
n
) p
0 0
n
( x ) C
n
p
0 0
n 1
( x ) :
W e m u l t i p l y t h e l a s t e q u a t i o n b y ( x )
( x ) p
0 0
n + 1
( x ) = 2 A
n
( x ) p
0
n
( x ) + ( A
n
x + B
n
) ( x ) p
0 0
n
( x ) C
n
( x ) p
0 0
n 1
( x )
a n d u s e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o r e p
l a c e t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s b y t h o s e o f l
o w e r o r d e r
( x ) p
0
n + 1
( x ) +
n + 1
p
n + 1
( x )
= 2 A
n
( x ) p
0
n
( x )
( A
n
x + B
n
)
( x ) p
0
n
( x ) +
n
p
n
( x )
+ C
n
( x ) p
0
n 1
( x ) +
n 1
p
n 1
( x )
:
A f t e r s u b s t i t u t i n g ( 2 3 ) o n t h e l e f t h a
n d s i d e , a n d s u b t r a c t i n g ( A x + B ) p
0
n
C
n
p
0
n 1
, w e
a r r i v e a t
( x ) A
n
p
n
( x )
n + 1
p
n + 1
( x ) = 2 A
n
( x ) p
0
n
( x ) ( A
n
x + B
n
)
n
p
n
( x ) + C
n
n 1
p
n 1
( x ) :
N e x t , o n t h e r i g h t h a n d s i d e , w e r e p l a c
e ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) b y p
n + 1
( x ) + C
n
p
n 1
( x ) a c c o r d i n g
t o ( 2 2 ) , a n d g e t
( x ) A
n
p
n
( x )
n + 1
p
n + 1
( x ) = 2 A
n
( x ) p
0
n
( x )
n
p
n + 1
( x ) + (
n 1
n
) C
n
p
n 1
( x ) ;
6
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
9/37
o r r e w r i t t e n
(
n
n + 1
) p
n + 1
( x ) = A
n
( 2 ( x ) p
0
n
( x ) + ( x ) p
n
( x ) ) + (
n 1
n
) C
n
p
n 1
( x ) :
N o w w e s u b s t i t u t e t h e r e p r e s e n t a t i o n
o f C o r o l l a r y 1
( x ) p
0
n
( x ) =
n
p
n + 1
( x ) +
n
p
n
( x ) +
n
p
n 1
( x )
t o d e d u c e
(
n
n + 1
) 2 A
n
n
p
n + 1
( x ) = A
n
( 2
n
+ ( x ) ) p
n
( x ) +
2 A
n
n
+ (
n 1
n
) C
n
p
n 1
( x )
a f t e r s u b t r a c t i n g 2 A
n
n
p
n + 1
( x ) . R e p l a c i n g p
n + 1
( x ) a c c o r d i n g t o ( 2 2 ) , w e a r r i v e a t t h
e
i d e n t i t y
A
n
( 2
n
+ ( x ) ) + ( 2 A
n
n
(
n
n + 1
) ) ( A
n
x + B
n
)
p
n
( x ) =
( (
n
n + 1
)
2 A
n
n
) C
n
+ 2 A
n
n
+ (
n 1
n
) C
n
p
n 1
( x ) :
S i n c e p
n
( x ) i s a p o l y n o m i a l o f e x a c t d e g r e e n , t
h i s r e l a t i o n c a n o n l y b e v a l i d i f t h e c o e c
i e n t s
o f b o t h p
n
( x ) a n d p
n 1
( x ) v a n i s h , s i n c e o t h e r w i s e t h e p o l y n
o m i a l o n t h e l e f t h a n d s i d e h a s
d e g r e e n w h e r e a s t h e p o l y n o m i a l o n t h e
r i g h t h a n d s i d e h a s d e g r e e n 1 , a c o n t r a d i
c t i o n .
T h e c o e c i e n t s m u s t v a n i s h a s p o l y n o m i
a l s i n x , a n d e q u a t i n g c o e c i e n t s w e a r e l e
d t o t h e
t h r e e e q u a t i o n s
A
n
(
n + 1
n
+ d + 2
n
A
n
) = 0 :
A
n
e + 2 A
n
B
n
n
+ 2 A
n
n
B
n
n
+ B
n
n + 1
= 0
a n d
2 A
n
C
n
n
2 A
n
n
C
n
n 1
+ C
n
n + 1
= 0 :
W h e r e a s t h e r s t o f t h e s e e q u a t i o n d o e s
n o t c o n t a i n a n y n e w s b u t r e s t a t e s a r e l a t
i o n s h i p
b e t w e e n A
n
,
n
a n d
n
, t h e s e c o n d a n d t h i r d o f t h e s e e q u a t i o
n s ( u s i n g ( 9 ) , ( 1 4 ) a n d ( 1 6 ) )
c a n b e r e w r i t t e n a s
B
n
=
( e + 2
n
)
d
k
n + 1
k
n
( 2 4 )
a n d a s ( 2 1 ) . H e n c e B
n
a n d C
n
a r e k n o w n a s s o o n a s
n
a n d
n
a r e .
W e n a l l y n e e d t w o m o r e e q u a t i o n s t o n
d
n
a n d
n
. T o d e d u c e o n e o f t h e s e e q u a t i o n s , a n
d
t o n d
n
, a n d h e n c e B
n
, w e s u b s t i t u t e
p
n
( x ) = k
n
x
n
+ k
0
n
x
n 1
+ k
0 0
n
x
n 2
+ : : : ( 2 5 )
i n t h e t h r e e e q u a t i o n s c o n s i d e r e d , n a
m e l y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n , t h e r e c u r
r e n c e e q u a t i o n
a n d t h e d e r i v a t i v e r u l e . A s w e a l r e a d y
s a w , e q u a t i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e h i g h e
s t p o w e r s o f
x y i e l d s ( 1 6 ) , ( 9 ) a n d ( 1 4 ) . I f w e e q u a t
e t h e c o e c i e n t s o f t h e n e x t h i g h e s t p o w e r
s o f x , w e
g e t t h r e e m o r e e q u a t i o n s , i n v o l v i n g t
w o m o r e v a r i a b l e s t h o u g h , n a m e l y k
0
n
a n d k
0
n + 1
. T h e s e
a r e t h e e q u a t i o n s
b n k
n
e n k
n
b n
2
k
n
2 a k
0
n
+ d k
0
n
+ 2 a n k
0
n
= 0 ; ( 2 6 )
B
n
k
n
+ A
n
k
0
n
k
0
n + 1
= 0 ; ( 2 7 )
a n d
b n k
n
n
k
n
a k
0
n
+ a n k
0
n
n
k
0
n + 1
= 0 : ( 2 8 )
7
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
10/37
E q u a t i o n ( 2 6 ) i m m e d i a t e l y g i v e s
k
0
n
k
n
=
n ( b ( n 1 ) + e )
2 a ( n
1 ) + d
; ( 2 9 )
w h e r e a s f r o m ( 2 7 ) { ( 2 8 ) o n e c a n e l i m i n
a t e k
0
n + 1
. T h i s g i v e s a s e c o n d e q u a t i o n b e t w e e n
B
n
a n d
n
w h i c h t o g e t h e r w i t h ( 2 4 ) a n d ( 2 9 ) y i e l
d s ( 1 8 ) a n d ( 2 0 ) .
T o d e d u c e
n
, w e e q u a t e t h e c o e c i e n t s o f t h e n e x t h i
g h e s t p o w e r s i n t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
,
r e c u r r e n c e e q u a t i o n a n d d e r i v a t i v e r
u l e , i n t r o d u c i n g t w o m o r e a u x i l i a r y v a r
i a b l e s k
0 0
n
a n d k
0 0
n + 1
w h i c h c a n b e e l i m i n a t e d . T h i s p r o c e d u
r e g e n e r a t e s o n e m o r e e q u a t i o n b e t w e e n
C
n
a n d
n
n a l l y d e d u c i n g ( 1 9 ) . 2
N o t e t h a t t h e r e s u l t s g i v e n i n T h e o r e m
1 c a n a l s o b e d e d u c e d c o m p l e t e l y a u t o m a t
i c a l l y b y
e l i m i n a t i o n m e t h o d s b a s e d o n G r
o b n e r b a s i s c a l c u l a t i o n s . W i t h t h e c o
m p u t e r a l g e b r a s y s t e m s
M a p l e a n d R E D U C E w e w e r e s u c c e s s f u l d o
i n g s o . F o r t h e p u r p o s e o f n d i n g A
n
; B
n
; C
n
, w e
s u b s t i t u t e ( 2 5 ) i n t h e d i e r e n t i a l e q u
a t i o n s f o r p
n
( x ) a n d f o r p
n + 1
( x ) , a n d i n t h e r e c u r r e n c e
e q u a t i o n . E q u a t i n g t h e t h r e e h i g h e s t
c o e c i e n t s i n a n y o f t h e s e t h r e e e q u a t i o n
s y i e l d s n i n e
n o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e n i n e u n k n o
w n s
A
n
; B
n
; C
n
;
n
;
n + 1
; k
0
n
; k
0
n + 1
; k
0 0
n
; k
0 0
n + 1
:
B y a G r
o b n e r b a s i s c o m p u t a t i o n ( i n v o k e d b y t
h e s o l v e c o m m a n d o f t h e u t i l i z e d c o m p u t e
r
a l g e b r a s y s t e m ) i t t u r n s o u t t h a t t h e r
e i s a u n i q u e s o l u t i o n , g i v e n b y T h e o r e m 1
, s e e a l s o
C o r o l l a r y 4 a n d ( 3 3 ) . N o t e t h a t t h e r e f
o r e t h e f o r m u l a s f o r A
n
; B
n
, a n d C
n
o f T h e o r e m 1 a r e
v a l i d w i t h o u t t h e h y p o t h e s i s o f a w e i g
h t f u n c t i o n ( x ) .
S i m i l a r l y , t o n d
n
;
n
;
n
; w e s u b s t i t u t e ( 2 5 ) i n t h e d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s f o r p
n
( x ) a n d f o r
p
n + 1
( x ) , a n d i n t h e d e r i v a t i v e r u l e . E q u a t
i n g t h e t h r e e h i g h e s t c o e c i e n t s i n a n y o f
t h e s e
t h r e e e q u a t i o n s y i e l d s n i n e n o n l i n e a
r e q u a t i o n s i n t h e n i n e u n k n o w n s
n
;
n
;
n
;
n
;
n + 1
; k
0
n
; k
0
n + 1
; k
0 0
n
; k
0 0
n + 1
;
a n d a G r
o b n e r b a s i s c o m p u t a t i o n g e n e r a t e s t h
e u n i q u e s o l u t i o n , g i v e n b y T h e o r e m 1 . N o
t e
t h a t w e w e r e n o t a b l e t o s e p a r a t e t h e t w
o p r o b l e m s i n a s i m i l a r w a y b a s e d o n h a n d c
a l c u l a t i o n s .
O u r t h e o r e m h a s i m m e d i a t e c o n s e q u e n c
e s .
C o r o l l a r y 2 L e t p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
) b e a f a m i l y o f p o l y n o m i a l s o l u t i o n s o
f t h e
s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1 7 ) t
h a t a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o a w e i g
h t f u n c t i o n
( x ) . T h e n t h e d e r i v a t i v e r u l e ( 3 )
( x ) p
0
n
( x ) = ( ~
n
x +
~
n
) p
n
( x ) + ~
n
p
n 1
( x )
i s v a l i d w i t h
~
n
= a n
~
n
=
( a b ( n
1 )
a e + b d ) n
2 a ( n 1 ) + d
( 3 0 )
~
n
=
n
n
C
n
=
a ( 2 n
1 ) + d
a ( n 1 ) + d
n
; ( 3 1 )
n
,
n
a n d C
n
b e i n g g i v e n b y T h e o r e m 1 .
8
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
11/37
P r o o f : S u b s t i t u t i n g ( 4 ) i n ( 1 3 ) y i e l d
s ( 3 ) w i t h
~
n
=
n
A
n
;
~
n
=
n
B
n
+
n
; ~
n
=
n
n
C
n
:
T h i s y i e l d s t h e r e s u l t . 2
N o t e t h a t T h e o r e m 1 d e s c r i b e s t h e v a r i
e t y o f d i e r e n t r e c u r r e n c e e q u a t i o n f o r m
u l a s k n o w n
i n t h e l i t e r a t u r e ( 1 ] , 2 2 . 7 ) b y o n e s i n
g l e f o r m u l a . S i m i l a r l y a l l t h e d i e r e n t d
e r i v a t i v e r u l e
f o r m u l a s ( 1 ] , 2 2 . 8 ) a r e g o v e r n e d b y a s
i n g l e f o r m u l a t h r o u g h C o r o l l a r y 2 .
T h e o r e m 1 s h o w s i n p a r t i c u l a r t h a t t h e
r e c u r r e n c e e q u a t i o n a n d d e r i v a t i v e r u l
e c a n b e o b t a i n e d
b y p u r e l y r a t i o n a l a r i t h m e t i c w h e n e v
e r
k
n + 1
k
n
2 Q ( n ) ;
i . e . , i f k
n
i s a h y p e r g e o m e t r i c t e r m . T h i s i s o b v i
o u s l y t r u e i f k
n
1 , i . e . , i n t h e m o n i c c a s e .
B u t a l s o a l l o t h e r s t a n d a r d i z a t i o n s t
h a t a r e u s e d i n p r a c t i c e ( s e e e . g . 1 ] , C h a
p t e r 2 2 ) a r e o f
t h i s t y p e .
1
I n t h e c a s e o f t h e o r t h o n o r m a l s t a n d a r
d i z a t i o n g i v e n b y
h
n
1
i t i s n o t i n g e n e r a l t r u e t h a t k
n
i s a h y p e r g e o m e t r i c t e r m . O n t h e o t h e r
h a n d , i f k
n
i s a
h y p e r g e o m e t r i c t e r m , h
n
i n h e r i t s t h i s p r o p e r t y .
C o r o l l a r y 3 L e t p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
) b e a f a m i l y o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l
s o l u t i o n s
o f t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
( 1 7 ) . T h e n t h e r e l a t i o n
h
n + 1
h
n
=
( n + 1 ) ( a n + d ) ( a ( n
1 ) + d )
( a ( 2 n + 3 ) + d ) ( a ( 2 n + 1 ) + d )
c +
b ( n + 1 ) + e
( 2 a n + d )
2
( a e b d ) a b n
k
n + 1
k
n
2
( 3 2 )
i s v a l i d .
P r o o f : T r i c o m i ( 2 1 ] , I V ( 2 . 2 ) , s e e a l s
o 1 ] , ( 2 2 . 1 . 5 ) ) p r o v e d t h a t
C
n
=
A
n
A
n 1
h
n
h
n 1
:
A n a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 1 y i e l d s ( 3 2
) . 2
N e x t w e w o u l d l i k e t o g i v e a g e n e r a l f o r
m u l a f o r t h e t e r m r a t i o o f t h e c o e c i e n t s
k
0
n
i n t e r m s
o f t h e g i v e n t e r m r a t i o o f k
n
.
C o r o l l a r y 4 L e t p
n
( x ) = k
n
x
n
+ k
0
n
x
n 1
+ : : : ( n 2 N
0
) b e a f a m i l y o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a
l
s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s ( 1 7 ) . T h e n t h e r e l a t i o n
k
0
n + 1
k
0
n
=
n + 1
n
( b n + e ) ( 2 a ( n 1 ) + d )
( b ( n 1 ) + e ) ( 2 a n + d )
k
n + 1
k
n
i s v a l i d .
1
O n l y i n o n e i n s t a n c e , t h i s i s n o t s o : F o
r t h e C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s T
n
( x ) o n e h a s k
n + 1
= k
n
= 2 ( n 2 N ) ,
a n d k
1
= k
0
= 1 . I f o n e r e d e n e s T
0
( x ) : = 1 = 2 , t h e n k
n + 1
= k
n
2 2 Q ( n )
9
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
12/37
P r o o f : T h i s f o l l o w s f r o m
k
0
n + 1
k
0
n
=
k
0
n + 1
k
n + 1
k
n + 1
k
n
k
n
k
0
n
u s i n g ( 2 9 ) . 2
S i m i l a r l y , o n e g e t s
k
0 0
n
k
n
=
n ( n 1 ) ( n
2
b
2
3 n b
2
+ 2 n b e + 2 c n a 2 c a 3 b e + 2 b
2
+ e
2
+ c d )
2 ( 2 a n 2 a + d ) ( d 3 a + 2 a n )
; ( 3 3 )
a l s o d e d u c e d b y t h e a u t o m a t i c e l i m i n a
t i o n m e t h o d m e n t i o n e d b e f o r e , a n d a s i m i
l a r e q u a t i o n
f o r k
0 0
n + 1
= k
0 0
n
, s e e t h e A p p e n d i x .
W e f u r t h e r m o r e o b t a i n t h e t e r m r a t i o o
f t h e n u m b e r s D
n
o f a n i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f
t y p e ( 5 ) c o n s i d e r e d i n 2 3 ] . N o t e t h a t i
n t h e o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l c a s e t h e c o n
t o u r C i s
c l o s e d , a n d h e n c e b y C a u c h y ' s i n t e g r a
l f o r m u l a r e p r e s e n t a t i o n ( 5 ) i s e q u i v a l
e n t t o a R o d r i g u e s
r e p r e s e n t a t i o n ( 6 ) w i t h
D
n
=
n !
2 i
E
n
:
W e g e t f o r E
n
a n d D
n
, r e s p e c t i v e l y
C o r o l l a r y 5 L e t p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
) b e a f a m i l y o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l
s o l u t i o n s
o f t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
( 1 7 ) . T h e n p
n
( x ) h a v e a R o d r i g u e s r e p r e s e n t a t i o n (
6 )
a n d a n i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n ( 5 ) w i
t h c l o s e d c o n t o u r C s u r r o u n d i n g s = x , a n d
o n e h a s f o r
E
n
a n d D
n
t h e r e l a t i o n s
D
n + 1
D
n
=
( n + 1 ) ( a ( n 1 ) + d )
( a ( 2 n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
k
n + 1
k
n
;
a n d
E
n + 1
E
n
=
( a ( n 1 ) + d )
( a ( 2 n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
k
n + 1
k
n
:
P r o o f : I n ( 2 3 ] , ( 1 3 ) ) i t w a s s h o w n t h a
t
1
A
n
=
D
n
D
n + 1
( n + 1 ) ( a ( n 1 ) + d )
( a ( 2 n
1 ) + d ) ( 2 a n + d )
:
A n a p p l i c a t i o n o f ( 9 ) l e a d s t o t h e t e r m
r a t i o f o r D
n
. T h e t e r m r a t i o f o r E
n
f o l l o w s t h e n f r o m
( 7 ) . 2
N o t e t h a t C o r o l l a r y 5 a g a i n d e s c r i b e s
a l l t h e d i e r e n t R o d r i g u e s f o r m u l a s ( 1 ] ,
2 2 . 1 1 ) k n o w n
i n t h e l i t e r a t u r e b y o n e s i n g l e f o r m u l
a .
I t i s w e l l - k n o w n ( 3 ] , s e e a l s o 4 ] , 1 3 ] )
t h a t p o l y n o m i a l s o l u t i o n s o f ( 1 ) c a n b e c
l a s s i e d a c c o r d -
i n g t o t h e z e r o s o f ( x ) , l e a d i n g t o t h e n
o r m a l f o r m s o f T a b l e 1 b e s i d e s l i n e a r t r a
n s f o r m a t i o n s
x 7! A x + B . T h e t y p e o f d i e r e n t i a l e q u a t i
o n t h a t w e c o n s i d e r i s i n v a r i a n t u n d e r s u
c h a
t r a n s f o r m a t i o n . O r t h o g o n a l p o l y n o m
i a l s o l u t i o n s a c c o r d i n g t o t h i s c l a s s i c
a t i o n e x i s t i f a n d
o n l y i f t h e f u n c t i o n
( x ) =
C
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
g i v e n b y ( 1 1 ) y i e l d s a w e i g h t f u n c t i o n
i n t h e i n t e r v a l g i v e n b y t h e z e r o s o f ( x ) ,
i . e . t h e
c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a l s c o n v e r g e a n
d ( x ) 0 f o r s o m e C .
1 0
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
13/37
1 . a = b = c = e = 0 ; d = 1 = ) p
n
( x ) = x
n
,
2 . a = b = e = 0 ; c = 1 ; d =
2 =
)p
n
( x ) = H
n
( x ) , t h e H e r m i t e p o l y n o m i a l s ,
3 . a = c = 0 ; b = 1 ; d = 1 ; e = + 1 = ) p
n
( x ) = L
( )
n
( x ) , t h e L a g u e r r e p o l y n o m i a l s ,
4 a . a = 1 ; b = c = d = e = 0 ; = ) p
n
( x ) = x
n
,
4 b . a = 1 ; b = c = 0 ; d = + 2 ; e = 2 = ) p
n
( x ) = B
( )
n
( x ) , t h e B e s s e l p o l y n o m i a l s ,
5 . a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = + + 2 ; e = ) p
n
( x ) = P
( ; )
n
( x ) , t h e J a c o b i p o l y n o m i a l s .
T a b l e 1 : N o r m a l F o r m s o f P o l y n o m i a l S o
l u t i o n s
T h i s s h o w s t h a t t h e o n l y o r t h o g o n a l p o
l y n o m i a l s o l u t i o n s a r e l i n e a r t r a n s f o r
m s o f t h e H e r m i t e ,
L a g u e r r e , a n d J a c o b i p o l y n o m i a l s , h e
n c e u s i n g a m a t h e m a t i c a l d i c t i o n a r y o n e
c a n a l w a y s
d e d u c e t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n a n d d e
r i v a t i v e r u l e s . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h i
s a p p r o a c h ( i n
g e n e r a l ) r e q u i r e s t h e w o r k w i t h r a d i c
a l s , n a m e l y t h e z e r o s o f t h e q u a d r a t i c p o
l y n o m i a l ( x ) ,
w h e r e a s o u r a p p r o a c h i s c o m p l e t e l y r a
t i o n a l : G i v e n k
n + 1
= k
n
2 Q ( n ) , t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
a n d d e r i v a t i v e r u l e s a r e g i v e n r a t i o n
a l l y i n T h e o r e m 1 .
N o t e t h a t t h e f o r m u l a s o f T h e o r e m 1 a r e
a l s o v a l i d f o r t h e B e s s e l p o l y n o m i a l s ( 1
8 ] , p . 2 4 )
B
( )
n
( x ) =
( 2 n ) ! x
n
n ! 2
n
1
F
1
n
2 n
2
x
!
=
e
2 = x
2
n
d
n
d x
n
x
2 n
e
2 = x
:
T h i s i s s o s i n c e t h e B e s s e l p o l y n o m i a l
s d o s a t i s f y b o t h a r e c u r r e n c e e q u a t i o n a
n d a d e r i v a t i v e
r u l e o f t h e d e s i r e d t y p e ( s e e e . g . 2 3 ] )
, d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e c o r r e s p o n d i n
g f u n c t i o n
( x ) =
C
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
= C x
e
2 = x
d o e s n o t c o n s t i t u t e a w e i g h t f u n c t i o n
o n t h e r e a l a x i s . T h e v a l i d i t y o f b o t h a r e
c u r r e n c e
e q u a t i o n a n d a d e r i v a t i v e r u l e o f t h e g
i v e n t y p e s , h o w e v e r , w a s t h e o n l y a s s u m p
t i o n i n t h e
p r o o f o f T h e o r e m 1 .
A l t h o u g h t h e J a c o b i p o l y n o m i a l s P
( ; )
n
( x ) d o o n l y c o n s t i t u t e o r t h o g o n a l p o l
y n o m i a l s f o r
; > 1 , b y a s i m p l e a r g u m e n t i t c a n b e s h o
w n t h a t t h e s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s l i k e r
e c u r r e n c e
e q u a t i o n a n d d e r i v a t i v e r u l e r e m a i n v
a l i d f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f ; . A s i m i l a r
c o m m e n t
a p p l i e s t o t h e o t h e r p a r a m e t e r i z e d f a
m i l i e s o f T a b l e 1 . H e n c e T h e o r e m 1 i s v a l i
d a l s o i n t h e s e
c a s e s .
T h e o r e m 1 i s e v e n v a l i d i n t h e c a s e o f T a
b l e 1 : 4 a , a n d i t s r e c u r r e n c e e q u a t i o n p a
r t a l s o f o r
T a b l e 1 : 1 w i t h t h e t r i v i a l s o l u t i o n
p
n
( x ) = x
n
. I n b o t h c a s e s w e h a v e t h e r e c u r r e n c e e
q u a t i o n
p
n + 1
( x ) = x p
n
( x ) , a n d i n t h e r s t c a s e w e r e c e i v e t h e d
e r i v a t i v e r u l e x
2
p
0
n
( x ) = n p
n + 1
( x ) .
N o t e t h a t t h e r e i s a n o t h e r d e r i v a t i v e
r u l e x p
0
n
( x ) = n p
n
( x ) w h i c h c a n n o t b e d i s c o v e r e d b y
T h e o r e m 1 .
I n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l u s e t h e f a c t
t h a t t h e s e e q u a t i o n s a r e g i v e n e x p l i c i t
l y t o s o l v e a n
i n v e r s e p r o b l e m .
1 1
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
14/37
3 T h e I n v e r s e C h a r a c t e r i z a t i o n P r o b l
e m
A s s u m e y o u h a v e a p o l y n o m i a l s y s t e m g i
v e n b y a d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 ) . T h e n b y
t h e
c l a s s i c a t i o n o f T a b l e 1 i t i s e a s y t o i d
e n t i f y t h e s y s t e m . O n t h e o t h e r h a n d , g i v
e n a n a r b i t r a r y
h o l o n o m i c t h r e e - t e r m r e c u r r e n c e e q u
a t i o n
q
n
( x ) P
n + 2
( x ) + r
n
( x ) P
n + 1
( x ) + s
n
( x ) P
n
( x ) = 0 ( q
n
( x ) ; r
n
( x ) ; s
n
( x ) 2 Q n ; x ] ) ; ( 3 4 )
i t i s l e s s o b v i o u s t o n d o u t w h e t h e r t h e
r e i s a p o l y n o m i a l s y s t e m
P
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
; k
n
6= 0 )
s a t i s f y i n g ( 3 4 ) , b e i n g a l i n e a r t r a n s
f o r m o f o n e o f t h e c l a s s i c a l s y s t e m s ( H e r
m i t e , L a g u e r r e ,
J a c o b i , B e s s e l ) , a n d t o i d e n t i f y t h e s
y s t e m i n t h e a r m a t i v e c a s e . I n t h i s s e c t i
o n w e p r e s e n t a n
a l g o r i t h m f o r t h i s p u r p o s e . N o t e t h a t
K o o r n w i n d e r a n d S w a r t t o u w h a v e a l s o c o n
s i d e r e d t h i s
q u e s t i o n a n d p r o p o s e a s o l u t i o n b a s e d
o n t h e c a r e f u l a d h o c a n a l y s i s o f t h e i n p u
t p o l y n o m i a l s
q
n
; r
n
; a n d s
n
. T h e i r M a p l e i m p l e m e n t a t i o n w o r k s f o
r a p a r t o f t h e s o - c a l l e d A s k e y - W i l s o n
s c h e m e ( 2 ] , s e e a l s o 1 2 ] ) .
L e t u s s t a r t w i t h a r e c u r r e n c e e q u a t i o
n o f t y p e ( 3 4 ) . W e a s s u m e t h a t n e i t h e r q
n 1
( x ) n o r
s
n
( x ) h a s a n o n n e g a t i v e i n t e g e r z e r o s i n
c e o t h e r w i s e t h i s r e c u r r e n c e e q u a t i o n c
a n n o t b e u s e d
t o d e t e r m i n e P
n
( x ) i t e r a t i v e l y f r o m P
0
( x ) ( w i t h P
1
( x )
0 ) f o r a l l n
1 o r i s w o r t h l e s s i n
t h e b a c k w a r d d i r e c t i o n . D e n e
N : =
(
0 ; i f n e i t h e r q
n 1
( x ) n o r s
n
( x ) h a v e a n o n n e g a t i v e i n t e g e r z e r o
m a x f n 2 N
0
j n i s a z e r o o f e i t h e r q
n 1
( x ) o r s
n
( x ) g + 1 ; o t h e r w i s e
:
T h e n w e c o n s i d e r p
n
( x ) : = P
n + N
( x ) i n s t e a d o f P
n
( x ) , s e e x 4 f o r a n e x a m p l e w i t h N > 0 . I
n
t h i s s i t u a t i o n w e r e w r i t e ( 3 4 ) b y s u b s
t i t u t i n g n b y n + N a n d r e p l a c i n g P
n
( x ) b y p
n N
( x ) .
F o r s i m p l i c i t y w e r e n a m e q
n
( x ) ; r
n
( x ) a n d s
n
( x ) , a n d a s s u m e i n t h e s e q u e l t h a t t h e r
e c u r r e n c e
e q u a t i o n
q
n
( x ) p
n + 2
( x ) + r
n
( x ) p
n + 1
( x ) + s
n
( x ) p
n
( x ) = 0 ( q
n
( x ) ; r
n
( x ) ; s
n
( x ) 2 Q n ; x ] ) ( 3 5 )
i s v a l i d , b u t n o w n e i t h e r q
n 1
( x ) n o r s
n
( x ) h a v e n o n n e g a t i v e i n t e g e r z e r o s . W
e s e a r c h f o r
s o l u t i o n s
p
n
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
; k
n
6= 0 ) ( 3 6 )
w h i c h r e a d s i n t e r m s o f t h e o r i g i n a l f a
m i l y P
n
( n = N ; N + 1 ; : : : )
P
n + N
( x ) = k
n
x
n
+ : : : ( n 2 N
0
) :
N e x t , w e d i v i d e ( 3 5 ) b y q
n
( x ) , a n d r e p l a c e n b y n 1 . T h i s b r i n g s ( 3
5 ) i n t o t h e f o r m
p
n + 1
( x ) = t
n
( x ) p
n
( x ) + u
n
( x ) p
n 1
( x ) ( t
n
( x ) ; u
n
( x ) 2 Q ( n ; x ) ) : ( 3 7 )
F o r p
n
( x ) b e i n g a l i n e a r t r a n s f o r m o f a c l a s s
i c a l o r t h o g o n a l s y s t e m , t h e r e i s a r e c u r
r e n c e
e q u a t i o n ( 4 )
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x ) ( A
n
; B
n
; C
n
2 Q ( n ) ; A
n
6= 0 ) ; ( 3 8 )
1 2
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
15/37
t h e r e f o r e ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) m u s t a g r e e . W e
w o u l d l i k e t o c o n c l u d e t h a t t
n
( x ) = A
n
x + B
n
, a n d
u
n
( x ) = C
n
w h i c h f o l l o w s i f w e c a n s h o w t h a t p
n
( x ) = p
n 1
( x ) 62 Q ( n ; x ) . T o p r o v e t h i s
a s s e r t i o n , w e a s s u m e t h a t
p
n
( x )
p
n 1
( x )
2 Q ( n ; x ) :
H e n c e t h e r e a r e P ( n ; x ) 2 Q n ] x ] a n d Q ( n ;
x ) 2 Q n ] x ] w i t h g c d
x
( P ( n ; x ) ; Q ( n ; x ) ) = 1 s u c h
t h a t t h e r e l a t i o n
Q ( n ; x ) p
n
( x ) = P ( n ; x ) p
n 1
( x ) ( 3 9 )
h o l d s . I t i s a c l a s s i c a l r e s u l t f o r o r t
h o g o n a l p o l y n o m i a l s t h a t g c d
x
( p
n
( x ) ; p
n 1
( x ) ) = 1 s i n c e
t h e i r z e r o s s e p a r a t e e a c h o t h e r ( s e e e
. g . 2 1 ] , I V . 6 ) . H e n c e f r o m ( 3 9 ) w e c o n c l u
d e t h a t
P ( n ; x ) = S
n
p
n
( x ) a n d Q ( n ; x ) = S
n
p
n 1
( x ) :
S i n c e b y a s s u m p t i o n P ( n ; x ) 2 Q n ] x ] s h o
u l d b e a p o l y n o m i a l o f x e d d e g r e e w i t h r e s
p e c t t o
x , a n d s i n c e p
n
( x ) h a s d e g r e e n , t h i s g i v e s a n o b v i o u s
c o n t r a d i c t i o n .
T h e r e f o r e w e c a n c o n c l u d e t h a t t
n
( x ) = A
n
x + B
n
, a n d u
n
( x ) = C
n
. H e n c e i f ( 3 7 ) d o e s n o t
h a v e t h i s f o r m , i . e . , i f e i t h e r t
n
( x ) i s n o t l i n e a r i n x o r u
n
( x ) i s n o t a c o n s t a n t w i t h r e s p e c t t o
x , w e s e e t h a t p
n
( x ) c a n n o t b e a l i n e a r t r a n s f o r m o f a c l
a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s y s t e m
.
I n t h e p o s i t i v e c a s e , w e c a n a s s u m e t h e
f o r m ( 3 8 ) .
S i n c e w e p r o p o s e s o l u t i o n s ( 3 6 ) , e q u a
t i n g t h e c o e c i e n t s o f x
n + 1
i n ( 3 8 ) w e g e t
k
n + 1
k
n
= A
n
=
v
n
w
n
( v
n
; w
n
2 Q n ] ) : ( 4 0 )
H e n c e t h e g i v e n A
n
= v
n
= w
n
2 Q ( n ) g e n e r a t e s t h e t e r m r a t i o k
n + 1
= k
n
, a n d i n p a r t i c u l a r
k
n
t u r n s o u t t o b e a h y p e r g e o m e t r i c t e r m w
h i c h i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y ( 4 0 ) u p t o
a
n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t k
0
= p
0
( x ) . S i n c e t h e z e r o s o f w
n
c o r r e s p o n d t o t h e z e r o s o f q
n 1
( x ) ,
k
n
i s d e n e d b y ( 4 0 ) f o r a l l n 2 N f r o m k
0
.
I n t h e n e x t s t e p w e c a n e l i m i n a t e t h e d e
p e n d e n c y o f k
n
b y g e n e r a t i n g a r e c u r r e n c e e q u a t i o
n
f o r t h e c o r r e s p o n d i n g m o n i c p o l y n o m i
a l s ~ p
n
( x ) = p
n
( x ) = k
n
. F o r ~ p
n
( x ) w e g e t b y ( 4 0 )
~p
n + 1
( x ) =
x +
B
n
A
n
~p
n
( x )
C
n
A
n
A
n 1
~p
n 1
( x ) =
x +
~
B
n
~p
n
( x )
~
C
n
~p
n 1
( x )
w i t h
~
B
n
=
B
n
A
n
2 Q ( n ) a n d
~
C
n
=
C
n
A
n
A
n 1
2 Q ( n ) :
T h e n o u r f o r m u l a s ( 2 0 ) { ( 2 1 ) r e a d i n t e
r m s o f
~
B
n
a n d
~
C
n
~
B
n
=
2 b n ( a ( n 1 ) + d ) + e ( d 2 a )
( 2 a ( n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
( 4 1 )
a n d
~
C
n
=
n ( a ( n 2 ) + d )
( a ( 2 n 1 ) + d ) ( a ( 2 n 3 ) + d )
c +
b ( n 1 ) + e
( 2 a ( n 1 ) + d )
2
( a e
b d )
a b ( n
1 )
; ( 4 2 )
a n d t h e s e a r e i n d e p e n d e n t o f k
n
b y c o n s t r u c t i o n .
N o w w e w o u l d l i k e t o d e d u c e a ; b ; c ; d a n d
e f r o m ( 4 1 ) { ( 4 2 ) . N o t e t h a t a s s o o n a s w e h
a v e
f o u n d t h e s e v e v a l u e s , w e c a n a p p l y a l i
n e a r t r a n s f o r m ( a c c o r d i n g t o t h e z e r o s o
f ( x ) ) t o
1 3
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
16/37
b r i n g t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n o n e o
f t h e f o r m s o f T a b l e 1 w h i c h n a l l y g i v e s u s
t h e d e s i r e d
i n f o r m a t i o n .
W e c a n a s s u m e t h a t
~
B
n
a n d
~
C
n
a r e i n l o w e s t t e r m s . I f t h e d e g r e e o f e i
t h e r t h e n u m e r a t o r o r
t h e d e n o m i n a t o r o f
~
B
n
i s l a r g e r t h a n 2 , t h e n b y ( 4 1 ) p
n
( x ) i s n o t a c l a s s i c a l s y s t e m . S i m i l a r
l y ,
i f t h e d e g r e e o f e i t h e r t h e n u m e r a t o r o
r t h e d e n o m i n a t o r o f
~
C
n
i s l a r g e r t h a n 4 , b y ( 4 2 ) t h e
s a m e c o n c l u s i o n f o l l o w s .
O t h e r w i s e w e c a n m u l t i p l y ( 4 1 ) a n d ( 4 2
) b y t h e i r c o m m o n d e n o m i n a t o r s , a n d b r i n
g t h e m
t h e r e f o r e i n p o l y n o m i a l f o r m . B o t h r e
s u l t i n g e q u a t i o n s m u s t b e p o l y n o m i a l i d
e n t i t i t e s i n
t h e v a r i a b l e n , h e n c e a l l o f t h e i r c o e c
i e n t s m u s t v a n i s h . T h i s g i v e s a n o n l i n e a
r s y s t e m o f
e q u a t i o n s f o r t h e u n k n o w n s a ; b ; c ; d a n
d e . A n y s o l u t i o n o f t h i s s y s t e m w i t h n o t b
o t h a a n d d
b e i n g z e r o y i e l d s a d i e r e n t i a l e q u a t i
o n ( 1 7 ) , a n d h e n c e g i v e n s u c h a s o l u t i o n o
n e c a n d e c i d e
w h e t h e r t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n s
p
n
( x ) a r e g e n e r a t e d b y a d e n s i t y ( 1 1 ) . T h
e r e f o r e o u r
q u e s t i o n c a n b e r e s o l v e d i n t h i s c a s e
.
I f t h e n o n l i n e a r s y s t e m d o e s n o t h a v e s
u c h a s o l u t i o n , w e d e d u c e t h a t n o s u c h v a l
u e s a ; b ; c ; d
a n d e e x i s t , h e n c e n o s u c h d i e r e n t i a l e
q u a t i o n i s s a t i s e d b y p
n
( x ) , i m p l y i n g t h a t t h e s y s t e m
i s n o t a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f a c l a
s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s y s t e m
.
H e n c e t h e w h o l e q u e s t i o n b o i l s d o w n t o
d e c i d e w h e t h e r t h e g i v e n n o n l i n e a r s y s t
e m h a s n o n -
t r i v i a l s o l u t i o n s , a n d t o n d t h e s e s o l
u t i o n s i n t h e a r m a t i v e c a s e . A s a m a t t e r o
f f a c t , w i t h
G r
o b n e r b a s e s m e t h o d s , t h i s q u e s t i o n c a
n b e d e c i d e d a l g o r i t h m i c a l l y 1 5 ] { 1 7 ] . S
u c h a n a l g o -
r i t h m i s i m p l e m e n t e d , e . g . , i n t h e c o m
p u t e r a l g e b r a s y s t e m R E D U C E 1 6 ] , a n d M a p
l e ' s s o l v e
c o m m a n d c a n a l s o s o l v e s u c h a s y s t e m
.
N o t e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a
r s y s t e m i s n o t n e c e s s a r i l y u n i q u e . F o r e
x a m p l e , t h e
C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s o f t h e r s t a n d s
e c o n d k i n d T
n
( x ) a n d U
n
( x ) s a t i s f y t h e s a m e r e c u r -
r e n c e e q u a t i o n , b u t a d i e r e n t d i e r e n t
i a l e q u a t i o n . W e w i l l c o n s i d e r t h i s e x a m
p l e i n m o r e
d e t a i l l a t e r .
I f w e a p p l y t h i s a l g o r i t h m t o t h e r e c u r
r e n c e e q u a t i o n p
n + 2
( x ) x p
n + 1
( x ) o f t h e p o w e r p
n
( x ) =
x
n
, i t g e n e r a t e s t h e c o m p l e t e s o l u t i o n s
e t , g i v e n b y T a b l e 1 : 1 a n d 1 : 4 a .
T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s u m m a r i z e s t
h e a b o v e c o n s i d e r a t i o n s .
A l g o r i t h m 1 T h i s a l g o r i t h m d e c i d e s w h
e t h e r a g i v e n h o l o n o m i c t h r e e - t e r m r e c u
r r e n c e e q u a -
t i o n h a s c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o
m i a l s o l u t i o n s , a n d r e t u r n s t h e i r d a t a i
f a p p l i c a b l e . T h e
a l g o r i t h m i s a p p l i c a b l e t o a l l e n t r i e
s o f T a b l e 1 i n d e p e n d e n t l y o f t h e o r t h o g o
n a l i t y o f t h e
s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n .
1 . I n p u t : a h o l o n o m i c t h r e e - t e r m r e c u
r r e n c e e q u a t i o n
q
n
( x ) p
n + 2
( x ) + r
n
( x ) p
n + 1
( x ) + s
n
( x ) p
n
( x ) = 0 ( q
n
( x ) ; r
n
( x ) ; s
n
( x ) 2 Q n ; x ] ) :
2 . S h i f t : S h i f t b y m a x
fn
2N
0
jn i s z e r o o f e i t h e r q
n 1
( x ) o r s
n
( x )
g+ 1 i f n e c e s s a r y .
3 . R e w r i t i n g : R e w r i t e t h e r e c u r r e n c e
e q u a t i o n i n t h e f o r m
p
n + 1
( x ) = t
n
( x ) p
n
( x ) + u
n
( x ) p
n 1
( x ) ( t
n
( x ) ; u
n
( x ) 2 Q ( n ; x ) ) :
I f e i t h e r t
n
( x ) i s n o t a p o l y n o m i a l o f d e g r e e o n e i n
x o r u
n
( x ) i s n o t c o n s t a n t w i t h r e s p e c t
t o x , t h e n r e t u r n " n o c l a s s i c a l o r t h o g
o n a l p o l y n o m i a l s o l u t i o n e x i s t s " ; e x i t
.
4 . S t a n d a r d i z a t i o n : G i v e n n o w A
n
; B
n
a n d C
n
b y
p
n + 1
( x ) = ( A
n
x + B
n
) p
n
( x ) C
n
p
n 1
( x ) ( A
n
; B
n
; C
n
2 Q ( n ) ; A
n
6= 0 ) ;
1 4
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
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d e n e
k
n + 1
k
n
: = A
n
=
v
n
w
n
( v
n
; w
n
2 Q n ] )
a c c o r d i n g t o ( 4 0 ) .
5 . M a k e m o n i c : S e t
~
B
n
: =
B
n
A
n
2 Q ( n ) a n d
~
C
n
: =
C
n
A
n
A
n 1
2 Q ( n )
a n d b r i n g t h e m i n l o w e s t t e r m s . I f t h e d
e g r e e o f e i t h e r t h e n u m e r a t o r o r t h e d e n o
m i n a t o r
o f
~
B
n
i s l a r g e r t h a n 2 , o r i f t h e d e g r e e o f e i t
h e r t h e n u m e r a t o r o r t h e d e n o m i n a t o r o
f
~
C
n
i s l a r g e r t h a n 4 , r e t u r n " n o c l a s s i c a l
o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s o l u t i o n e x i s t s
" ;
e x i t .
6 . P o l y n o m i a l I d e n t i t i e s : S e t
~
B
n
=
2 b n ( a ( n
1 ) + d ) + e ( d
2 a )
( 2 a ( n 1 ) + d ) ( 2 a n + d )
a n d
~
C
n
=
n ( a ( n 2 ) + d )
( a ( 2 n 1 ) + d ) ( a ( 2 n 3 ) + d )
c +
b ( n 1 ) + e
( 2 a ( n 1 ) + d )
2
( a e b d ) a b ( n 1 )
;
u s i n g t h e u n k n o w n s a ; b ; c ; d a n d e . M u l t
i p l y t h e s e i d e n t i t i e s b y t h e i r c o m m o n d e
n o m i -
n a t o r s , a n d b r i n g t h e m t h e r e f o r e i n p o
l y n o m i a l f o r m .
7 . E q u a t i n g C o e c i e n t s : E q u a t e t h e c o e
c i e n t s o f t h e p o w e r s o f n i n t h e t w o r e s u l t
i n g
e q u a t i o n s . T h i s r e s u l t s i n a n o n l i n e a
r s y s t e m i n t h e u n k n o w n s a ; b ; c ; d a n d e . S o
l v e
t h i s s y s t e m b y G r
o b n e r b a s e s m e t h o d s . I f t h e s y s t e m h a s
n o s o l u t i o n , t h e n r e t u r n
" n o c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l
s o l u t i o n e x i s t s " ; e x i t .
8 . O u t p u t : R e t u r n t h e c l a s s i c a l o r t h o
g o n a l p o l y n o m i a l s o l u t i o n s o f t h e d i e r e
n t i a l e q u a -
t i o n s ( 1 7 ) g i v e n b y t h e s o l u t i o n v e c t o
r s ( a ; b ; c ; d ; e ) o f t h e l a s t s t e p , a c c o r d i
n g t o t h e
c l a s s i c a t i o n o f T a b l e 1 , t o g e t h e r w i t
h t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t a n d a r d i z a
t i o n g i v e n
b y ( 4 0 ) . T h i s i n f o r m a t i o n i n c l u d e s t h
e d e n s i t y
( x )
C
=
1
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
g i v e n b y ( 1 1 ) , a n d t h e i n t e r v a l b y t h e z
e r o s o f ( x ) . 2
W e w o u l d l i k e t o g i v e t h e f o l l o w i n g c o m
m e n t s o n t h e a b o v e a l g o r i t h m :
1 . T h e u s e o f G r
o b n e r b a s e s i s n o t a l w a y s n e c e s s a r y . T
h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n y i e l d s a n
a d h o c m e t h o d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r s y
s t e m . O b s e r v e t h a t t h e c o e c i e n t s o f t h e p
o w e r s
o f n o f t h e p o l y n o m i a l i d e n t i t y c o n c e r
n i n g
~
B
n
o f s t e p 5 o f t h e a l g o r i t h m c a n b e w r i t t e
n
u s i n g t h e v a r i a b l e s
f a
2
; a d ; a e ; a b ; d
2
; d e ; d b g ( 4 3 )
T h e n a l l t h e d e r i v e d e q u a t i o n s a r e l i n
e a r i n t h e s e v e n v a r i a b l e s ( 4 3 ) .
1 5
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
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F u r t h e r m o r e t h e c o e c i e n t s o f t h e p o w e
r s o f n o f t h e p o l y n o m i a l i d e n t i t y c o n c e r
n i n g
~
C
n
o f s t e p 5 o f t h e a l g o r i t h m e s s e n t i a l l y
a r e p r o d u c t s o f e x a c t l y f o u r t e r m s o u t o f
a ; b ; c ; d ; e .
A n y o f t h e s e c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t
o f t w o o f t h e v a r i a b l e s
f d
1
= a
2
; d
2
= a d ; d
3
= a e ; d
4
= a b ; d
5
= d
2
; d
6
= d e ; d
7
= d b ; d
8
= a c ; d
9
= d c g : ( 4 4 )
T h i s i s t h e s e t o f v a r i a b l e s ( 4 3 ) p l u s t
h e t w o v a r i a b l e s d
8
; d
9
. A l l t h e s e e q u a t i o n s a r e o f
s e c o n d o r d e r i n t h e n i n e v a r i a b l e s ( 4 4
) .
O b v i o u s l y t h e r e s u l t i n g s y s t e m c a n b e
s o l v e d b y r s t n d i n g t h e s o l u t i o n s p a c e c o
r r e -
s p o n d i n g t o t h e l i n e a r s u b s y s t e m , w h i
c h t h e n c a n b e s u b s t i t u t e d i n t h e s e c o n d o
r d e r
s u b s y s t e m . T h e r e s u l t i n g s e c o n d o r d e
r s y s t e m c a n b e s o l v e d b y a d h o c e l i m i n a t i
o n ( a n d
p o s s i b l y r a t i o n a l f a c t o r i z a t i o n )
.
I f o n e h a s f o u n d t h e v a r i a b l e s g i v e n b y
( 4 4 ) , t h e n i t i s e a s y t o c a l c u l a t e a ; b ; c ;
d a n d e ,
o r o n e r e a l i z e s t h a t n o s u c h s o l u t i o n e
x i s t s .
2 . N o t e m o r e o v e r t h a t , a l t h o u g h G r
o b n e r b a s e s t e c h n i q u e s a p p l y o n l y r a t
i o n a l a r i t h m e t i c ,
h e n c e g i v e r a t i o n a l s o l u t i o n s o n l y , t
h e t e c h n i q u e d e s c r i b e d s h o w s t h a t s o l u t
i o n s a r e a l s o
d e t e c t e d i f t h e y i n v o l v e r a d i c a l s .
3 . I f t h e i n p u t r e c u r r e n c e e q u a t i o n h a
s f u r t h e r p a r a m e t e r s , i n s t e p 6 o f t h e a l g
o r i t h m o n e
s h o u l d s o l v e f o r a l l v a r i a b l e s i n c l u d
i n g t h e s e a d d i t i o n a l o n e s , s e e E x a m p l e 2
.
E x a m p l e 1 A s a r s t e x a m p l e , w e c o n s i d e r
t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
( n + 2 ) P
n + 2
( x ) x ( n + 1 ) P
n + 1
( x ) + n P
n
( x ) = 0 :
S i n c e s
0
( x ) 0 , w e s e e t h a t t h e s h i f t p
n
( x ) : = P
n + 1
( x ) i s n e c e s s a r y . F o r p
n
( x ) , w e h a v e t h e
r e c u r r e n c e e q u a t i o n
( n + 3 ) p
n + 2
( x )
x ( n + 2 ) p
n + 1
( x ) + ( n + 1 ) p
n
( x ) = 0 : ( 4 5 )
I n t h e r s t s t e p s t h i s r e c u r r e n c e e q u a t
i o n i s b r o u g h t i n t o t h e f o r m
p
n + 1
( x ) =
n + 1
n + 2
x p
n
( x )
n
n + 2
p
n 1
( x ) ;
h e n c e
A
n
=
k
n + 1
k
n
=
n + 1
n + 2
=
v
n
w
n
;
a n d t h e r e f o r e
k
n
=
1
n + 1
k
0
:
M o r e o v e r , f o r m o n i c ~ p
n
( x ) = p
n
( x ) = k
n
w e g e t
~p
n + 1
( x ) = x ~p
n
( x ) + ~p
n 1
( x ) ;
h e n c e
~
B
n
= 0 a n d
~
C
n
= 1 . I n s t e p 5 o f t h e a l g o r i t h m , t h e p o l y
n o m i a l i d e n t i t y c o n c e r n i n g
~
B
n
t h e n r e a d s a s
2 a b n
2
+ ( 2 a b 2 d b ) n d e + 2 a e = 0 ;
1 6
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
19/37
l e a d i n g t o t h e l i n e a r s y s t e m
a b = 0 ; 2 a b 2 d b = 0 ; d e 2 a e = 0
f o r t h e v a r i a b l e s a b ; d b ; d e ; a e , w i t h t
h e s o l u t i o n
f d e = 2 a e ; a b = 0 ; d b = 0 g ; ( 4 6 )
a e b e i n g a r b i t r a r y . A f t e r s u b s t i t u t i
n g t h e c o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n s
f d
6
= 2 d
3
; d
4
= 0 ; d
7
= 0 g ( 4 7 )
i n t o t h e p o l y n o m i a l i d e n t i t y c o n c e r n
i n g
~
C
n
, w e e q u a t e t h e c o e c i e n t s a n d r e c e i v e t
h e s e c o n d
o r d e r e q u a t i o n s
4 d
1
( 4 d
1
+ d
8
) = 0 ; ( 4 8 )
2 3 d
1
d
5
2 8 d
1
d
2
+ 1 2 d
1
2
8 d
2
d
5
+ d
5
2
= 0 ; ( 4 9 )
9 2 d
1
2
9 6 d
1
d
2
+ 2 4 d
1
d
5
+ 5 d
2
d
9
2 0 d
1
d
9
+ 2 0 d
1
d
8
+ d
3
2
= 0 ; ( 5 0 )
9 2 d
1
d
2
5 6 d
1
2
4 8 d
1
d
5
+ 8 d
2
d
5
6 d
2
d
9
+ d
5
d
9
+ 1 2 d
1
d
9
8 d
1
d
8
= 0 ; ( 5 1 )
8 d
1
( 8 d
1
4 d
2
d
9
+ 2 d
8
) = 0 ( 5 2 )
i n t e r m s o f t h e v a r i a b l e s ( 4 4 ) . T h e r s t
o f t h e s e e q u a t i o n s l e a d s t o t w o p o s s i b i l
i t i e s : e i t h e r
d
1
= 0 o r d
8
= 4 d
1
. O n e r e a l i z e s q u i c k l y t h a t t h e r s t o f t
h e s e p o s s i b i l i t i e s i m p l i e s a = d = 0
w h i c h i s n o t a l l o w e d . H e n c e w e m u s t h a v
e
d
8
= 4 d
1
; o r c = 4 a ; ( 5 3 )
a n d d
1
6= 0 , i . e . a 6= 0 . A t t h i s p o i n t w e h a v e a l r
e a d y d e t e r m i n e d ( x ) s i n c e b y ( 4 6 ) o n e h a
s
a b = 0 , h e n c e b = 0 a n d t h e r e f o r e
( x ) = a x
2
+ b x + c = a ( x
2
4 ) :
H e n c e p o s s i b l e o r t h o g o n a l p o l y n o m i a
l s o l u t i o n s o f ( 4 5 ) a r e d e n e d i n t h e i n t e r
v a l 2 ; 2 ] .
W e s u b s t i t u t e n o w ( 5 3 ) i n ( 4 9 ) { ( 5 2 ) . T
h e n t h e l a s t e q u a t i o n r e a d s a s
8 d
1
( 4 d
2
d
9
) = 0 :
S i n c e d
1
6= 0 , w e c o n c l u d e t h a t
d
9
= 4 d
2
o r c = 4 a : ( 5 4 )
I n t e r m s o f a ; b ; c ; d a n d e t h i s y i e l d s n o
t h i n g n e w , b u t i t s h o w s t h e c o m p a t i b i l i t
y o f ( 5 2 ) w i t h
( 4 8 ) .
S u b s t i t u t i n g ( 5 4 ) i n ( 4 8 ) { ( 5 2 ) g i v e s
t w o t r i v i a l i d e n t i t i e s , a n d t h r e e c o m p l
i c a t e d o n e s . I n t h e s e
t h r e e e q u a t i o n s , w e n a l l y r e s u b s t i t u
t e t h e o r i g i n a l v a r i a b l e s b y ( 4 4 ) , a n d a f
t e r a r a t i o n a l
f a c t o r i z a t i o n w e g e t
( 3 a
d ) ( a
d ) ( 2 a
d )
2
= 0 ;
4 a ( 3 a d ) ( a d ) ( 2 a d ) = 0 ;
a
2
1 2 a
2
1 6 a d + 4 d
2
+ e
2
= 0 :
1 7
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
20/37
H e n c e e i t h e r
d = a ; o r d = 2 a ; o r d = 3 a :
I n t h e r s t o f t h e s e c a s e s , o n e g e t s e = 0 a
n d t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
( x
2
4 ) y
0 0
( x ) + x y
0
( x ) n ( n 2 ) y ( x ) = 0 ( 5 5 )
c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e n s i t y
( x ) =
1
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
=
1
p
4 x
2
:
T h e c o r r e s p o n d i n g o r t h o g o n a l p o l y n o
m i a l s a r e m u l t i p l e s o f t r a n s l a t e d C h e b y
s h e v p o l y n o m i a l s
o f t h e r s t k i n d
p
n
( x ) = k
n
C
n
( x ) =
p
0
n + 1
C
n
( x ) =
2 p
0
n + 1
T
n
( x = 2 ) ( n 0 ) ( 5 6 )
( s e e e . g . 1 ] , T a b l e 2 2 . 2 , a n d ( 2 2 . 5 . 1 1
) ; C
n
( x ) a r e m o n i c , b u t C
0
= 2 , s e e a l s o T a b l e 2 2 . 7 ) ,
h e n c e n a l l y
P
n
( x ) = p
n 1
( x ) =
2 P
1
n
T
n 1
( x = 2 ) ( n 1 ) :
I n t h e s e c o n d o f t h e a b o v e c a s e s , i . e . f
o r d = 2 a , o n e g e t s t h e e q u a t i o n
a
2
( e 2 a ) ( e + 2 a ) = 0
w i t h t w o p o s s i b l e s o l u t i o n s e = 2 a t h a t
g i v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
( x
2
4 ) y
0 0
( x ) + 2 ( x + 1 ) y
0
( x ) n ( n 3 ) y ( x ) = 0 ; ( 5 7 )
a n d
( x
2
4 ) y
0 0
( x ) + 2 ( x 1 ) y
0
( x ) n ( n 3 ) y ( x ) = 0 : ( 5 8 )
T h e y c o r r e s p o n d t o t h e d e n s i t i e s
( x ) =
s
4 + x
4 x
a n d ( x ) =
s
4 x
4 + x
;
r e s p e c t i v e l y , h e n c e t h e o r t h o g o n a l p
o l y n o m i a l s a r e m u l t i p l e s o f t h e J a c o b i p
o l y n o m i a l s
P
( 1 = 2 ; 1 = 2 )
n
( x = 2 ) a n d P
( 1 = 2 ; 1 = 2 )
n
( x = 2 ) .
F i n a l l y , i n t h e t h i r d o f t h e a b o v e c a s e
s , i . e . f o r d = 3 a , w e g e t a g a i n e = 0 a n d
( x
2
4 ) y
0 0
( x ) + 3 x y
0
( x ) n ( n 4 ) y ( x ) = 0 ( 5 9 )
c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e n s i t y
( x ) =
1
( x )
e
R
( x )
( x )
d x
=
p
4 x
2
:
T h e c o r r e s p o n d i n g o r t h o g o n a l p o l y n o
m i a l s a r e m u l t i p l e s o f t r a n s l a t e d C h e b y
s h e v p o l y n o m i a l s
o f t h e s e c o n d k i n d
p
n
( x ) = k
n
S
n
( x ) =
p
0
n + 1
S
n
( x ) =
p
0
n + 1
U
n
( x = 2 ) ( n 0 ) ( 6 0 )
1 8
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
21/37
( s e e e . g . 1 ] , T a b l e 2 2 . 2 , a n d ( 2 2 . 5 . 1 3
) ; S
n
( x ) a r e m o n i c , s e e a l s o T a b l e 2 2 . 8 ) , h e
n c e
P
n
( x ) = p
n 1
( x ) =
P
1
n
U
n 1
( x = 2 ) ( n 1 ) :
W e s e e t h a t t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n ( 4
5 ) h a s f o u r d i e r e n t c l a s s i c a l o r t h o g o n a
l p o l y n o m i a l
s o l u t i o n s !
E x a m p l e 2 A s a s e c o n d e x a m p l e , w e c o n s i
d e r t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
p
n + 2
( x )
( x
n
1 ) p
n + 1
( x ) + ( n + 1 )
2
p
n
( x ) = 0 ( 6 1 )
d e p e n d i n g o n t h e p a r a m e t e r 2 R . H e r e o b
v i o u s l y t h e q u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r o r n
o t t h e r e a r e
a n y i n s t a n c e s o f t h i s p a r a m e t e r f o r w h
i c h t h e r e a r e c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y
n o m i a l s o l u t i o n s .
I n s t e p 6 o f A l g o r i t h m 1 w e t h e r e f o r e s o
l v e a l s o f o r t h i s u n k n o w n p a r a m e t e r . T h i
s g i v e s a
s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d n o n l i n e a r
s y s t e m , w i t h t h e u n i q u e s o l u t i o n
b = 2 c ; c = c ; d = 4 c ; e = 0 ; a = 0 ; =
1
4
:
H e n c e t h e o n l y p o s s i b l e v a l u e f o r w i t h
c l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s o l u t
i o n s i s = 1 = 4 ,
i n w h i c h c a s e o n e g e t s t h e d i e r e n t i a l e
q u a t i o n
x +
1
2
p
0 0
n
( x ) 2 x p
0
n
( x ) 2 n p
n
( x ) = 0
w i t h d e n s i t y
( x ) = 2 e
2 x
i n t h e i n t e r v a l 1 = 2 ; 1 ] , c o r r e s p o n d i n
g t o s h i f t e d L a g u e r r e p o l y n o m i a l s .
4 A p p l i c a t i o n : T h e L e g e n d r e A d d i t i o n
T h e o r e m
A s a n a p p l i c a t i o n o f A l g o r i t h m 1 i n t h i
s s e c t i o n w e s h o w h o w t h e p a r t i c u l a r c a s
e
P
n
( x
2
+ ( 1 x
2
) c o s ) = P
n
( x )
2
+ 2
n
X
k = 1
( n k ) !
( n + k ) !
P
k
n
( x )
2
c o s k : ( 6 2 )
o f t h e L e g e n d r e a d d i t i o n t h e o r e m ( 1 4 ]
, 5 . 4 . 4 , p . 2 3 9 , s e e a l s o 2 2 ] , 1 1 ] )
P
n
( x y +
p
1 x
2
q
1 y
2
c o s
= P
n
( x ) P
n
( y ) + 2
n
X
k = 1
( n k ) !
( n + k ) !
P
k
n
( x ) P
k
n
( y ) c o s k
c a n b e d e d u c e d b y l i n e a r a l g e b r a t e c h n
i q u e s . N o t e t h a t ( 6 2 ) p l a y e d a n e s s e n t i a
l r o l e i n
W e i n s t e i n ' s p r o o f o f t h e B i e b e r b a c h c
o n j e c t u r e 2 2 ] . H e r e P
n
( x ) = P
( 0 ; 0 )
n
( x ) a r e t h e L e g e n d r e
p o l y n o m i a l s , a n d P
k
n
( x ) a r e c a l l e d t h e a s s o c i a t e d L e g e n d r
e f u n c t i o n s . O u r g o a l w i l l b e t o
i d e n t i f y t h e s e f u n c t i o n s . I n o u r d e d u
c t i o n , w e p a r t i a l l y f o l l o w 6 ] , s e e a l s o t
h e r s t a u t h o r ' s
r e v i e w 9 ] . F o r t h e g i v e n p u r p o s e , w e w r
i t e
P
n
( x
2
+ ( 1
x
2
) c o s ) = B
0
n
( x ) + 2
n
X
k = 1
( n k ) !
( n + k ) !
( 1
x
2
)
k
B
k
n
( x ) c o s k ( 6 3 )
1 9
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
22/37
w i t h s t i l l u n k n o w n f u n c t i o n s B
k
n
( x ) . M u l t i p l y i n g b y z
n
, a n d s u m m i n g f o r n = 0 ; 1 ; : : : y i e l d s
t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n o f t h e L e g e n d
r e p o l y n o m i a l s , h e n c e ( 1 ] , ( 2 2 . 9 . 1 2 )
)
1
p
1 z ( 2 x
2
+ ( 1 x
2
) ( w + 1 = w ) ) + z
2
=
1
X
n = 0
n
X
k = n
( n
k ) !
( n + k ) !
( 1 x
2
)
k
B
k
n
( x ) w
k
z
n
( 6 4 )
w h e r e w e p u t w = e
i
a n d B
k
n
( x ) = B
k
n
( x ) . I n t h e s e q u e l w e c o n s i d e r t h i s e q u
a t i o n a s a
f o r m a l L a u r e n t s e r i e s e x p a n s i o n w . r .
t . t h e v a r i a b l e s w a n d z . T h e f u n c t i o n s
B
k
n
( x ) c a n b e
i t e r a t i v e l y c a l c u l a t e d b y s e r i e s a p p
r o x i m a t i o n s o f t h e l e f t h a n d f u n c t i o n ( e
. g . , u s i n g M a p l e ) ,
a n d i t t u r n s o u t t h a t , f o r 0 k n 1 0 , f o r e x
a m p l e , t h e s e f o r m p o l y n o m i a l s t h a t a r
e
s q u a r e s o f a n o t h e r s y s t e m o f p o l y n o m i
a l s
D
k
n
( x )
2
= B
k
n
( x ) : ( 6 5 )
W e n o r m a l i z e D
k
n
( x ) s u c h t h a t t h e h i g h e s t c o e c i e n t h a s
s i g n ( 1 )
k
( t o b e c o n s i s t e n t w i t h
t h e d e n i t i o n s g i v e n i n ( 1 ] , x 8 ) ) .
N o w , w e w o u l d l i k e t o n d a t h r e e t e r m r e c
u r r e n c e e q u a t i o n w . r . t . n v a l i d f o r t h e p
o l y n o m i a l s
D
k
n
( x ) .
F o r t h i s p u r p o s e , w e \ g u e s s " t h a t
( a k + b n + c ) D
k
n + 2
( x ) + ( d k + e n + f ) D
k
n + 1
( x ) + ( g k + h n + i ) D
k
n
( x ) = 0
w i t h u n k n o w n s a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i . S u
b s t i t u t i n g t h e g i v e n v a l u e s D
k
n
( x ) ( 0 k n 1 0 )
i n t o t h i s p r o p o s e d r e c u r r e n c e e q u a t i
o n y i e l d s a l i n e a r s y s t e m w h i c h t u r n s o u t
t o b e c o n s i s t e n t
( a l t h o u g h w e h a v e
9
2
= 3 6 e q u a t i o n s , b u t o n l y 9 u n k n o w n s ) , w
i t h t h e u n i q u e s o l u t i o n
( n k + 2 ) D
k
n + 2
( x ) ( 2 n + 3 ) x D
k
n + 1
( x ) + ( n + k + 1 ) D
k
n
( x ) = 0 : ( 6 6 )
C u r r e n t l y t h i s r e c u r r e n c e e q u a t i o n i
s n o t y e t p r o v e d , b u t t h i s w i l l b e d o n e s o o
n . A s s u m e f o r
t h e m o m e n t t h a t E
k
n
( x ) a r e s o l u t i o n s o f ( 6 6 ) . T h e n b y a n o t
h e r a p p l i c a t i o n o f l i n e a r a l g e b r a
( s e e e . g . 2 0 ] , 1 2 ] ) , t h i s r e c u r r e n c e e
q u a t i o n c a n b e \ s q u a r e d " , i . e . i t i s p o s s
i b l e t o c a l c u l a t e
t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n o f t h i r d o r d e
r v a l i d f o r E
k
n
( x )
2
. T h i s s t e p c a n b e a c c o m p l i s h e d , e . g .
,
b y t h e p r o c e d u r e r e c * r e c o f t h e g f u n p a
c k a c k e ( 2 0 ] , s e e a l s o 1 0 ] ) w i t h M a p l e , a n
d r e s u l t s
i n t h e r e c u r r e n c e e q u a t i o n
( 2 n + 5 ) ( k + n + 2 ) ( k + n + 1 )
2
S
k
n
( x )
( 2 n + 3 ) ( k + n + 2 ) ( k
2
n
2
+ 4 x
2
n
2
4 n + 1 6 x
2
n + 1 5 x
2
4 ) S
k
n + 1
( x )
( 2 n + 5 ) (
2 + k
n ) ( k
2
n
2
+ 4 x
2
n
2
4 n + 1 6 x
2
n + 1 5 x
2
4 ) S
k
n + 2
( x )
+ ( 2 n + 3 ) ( 2 + k n ) ( 3 + k n )
2
S
k
n + 3
( x ) = 0 ( 6 7 )
f o r t h e s q u a r e s S
k
n
( x ) = E
k
n
( x )
2
.
I f w e a r e a b l e t o p r o v e t h a t t h i s r e c u r r
e n c e e q u a t i o n i s v a l i d f o r o u r u n k n o w n f u
n c t i o n s B
k
n
( x ) ,
t h e n , b y a n a p o s t e r i o r i a r g u m e n t , w e h
a v e d e d u c e d ( 6 5 ) , s i n c e w e h a v e l u c k i l y f
o u n d t h e
\ s q u a r e r o o t " r e c u r r e n c e e q u a t i o n ( 6
6 ) o f ( 6 7 ) .
N e x t w e s h o w h o w i t c a n b e d i s c o v e r e d i n
d e p e n d e n t l y t h a t B
k
n
( x ) s a t i s f y ( 6 7 ) . W e c a n r e w r i t e
( 6 4 ) a s
F
k
n
( x ) =
( n k ) !
( n + k ) !
( 1 x
2
)
k
B
k
n
( x ) = C T
z ; w
G
k
n
( z ; w )
2 0
-
7/28/2019 Algorithms for Classical Orthogonal
Polynomials_1996
23/37
w i t h
G
k
n
( z ; w ) : =
1
p
1 z ( 2 x
2
+ ( 1 x
2
) ( w + 1 = w ) ) + z
2
1
z
n
w
k
w h e r e C T
z ; w
G
k
n
( z ; w ) d e n o t e s t h e c o n s t a n t t e r m o f t h e
d o u b l e L a u r e n t s e r i e s G
k
n
( z ; w ) . T o
o b t a i n a r e c u r r e n c e e q u a t i o n f o r F
k
n
( x ) , w e t r y t o n d p o l y n o m i a l s p
0
; p
1
; p
2
; p
3
i n t h e v a r i a b l e s
n ; k , a n d x , a n d p o l y n o m i a l s G
1
, a n d G
2
, b o t h o f d e g r e e 2 i n b o t h z a n d w , s u c h t h
a t
p
0
G
k
n
+ p
1
G
k
n + 1
+ p
2
G
k
n + 2
+ p
3
G
k
n + 3
z
@
@ z
G
1
G
k
n
z
3
w
!
w
@
@ w
( 1 + z ) G
2
G
k
n
z
3
w
!
= 0 :
S u b s t i t u t i n g G
1
a n d G
2
g e n e r i c a l l y , a n d d i v i d i n g b y G
k
n
, a p o l y n o m i a l i d e n t i t y i s d e r i v e d , a n
d
b y e q u a t i n g c o e c i e n t s w . r . t . z a n d w , w
e g e t a l i n e a r s y s t e m , a g a i n . S o l v i n g t h i
s s y s t e m
r e s u l t s i n t h e i d e n t i t y
( n + 3 ) ( k + n + 2 ) ( 2 + n
k ) G
k
n
( z ; w )
+ ( n + 2 ) ( 4 n
2
x
2
n
2
+ 2 2 n x
2
6 n
9 + 3 0 x
2
+ k
2
) G
k
n + 1
( z ; w )
( 4 n
2
x
2
n
2
+ 1 8 n x
2
4 n + 2 0 x
2
+ k
2
4 ) ( n + 3 ) G
k
n + 2
( z ; w )
+ ( n + 2 ) ( n + 3 + k ) ( n + 3 k ) G
k
n + 3
( z ; w ) =
z
@
@ z
G
1
( z ; w ) G
k
n
( z ; w )
z
3
w
!
+ w
@
@ w
( 1 + z ) G
2
( z ; w ) G
k
n
( z ; w )
z
3
w
!
( 6 8 )
f o r c e r t a i n p o l y n o m i a l s G
1
( z ; w ) a n d G
2
( z ; w ) w h i c h a r e r e p r o d u c e d i n t h e a p p e
n d i x .
S i n c e a n y f o r m a l L a u r e n t s e r i e s f ( z ) s
a t i s e s
z
@
@ z
f ( z ) = 0 ;
