Algebra Linear e Aplicacoes Solutions Manual - Gilbert Strang

8/6/2019 Algebra Linear e Aplicacoes Solutions Manual - Gilbert Strang

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Solues para osexerccios selecionados

Conjunto de problemas 1.2

3. As retas intersectam-se em (x, y) = (3, 1). Ento, 3 (coluna 1) + 1 (coluna 2) = (4, 4).4. Os dois pontos no plano so (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 0, 0).

5. Esses planos intersectam-se em um espao tetradimensional. O quarto plano normal-mente intersecta essa reta em um ponto. Uma equao inconsistente, como u + w= 5, noresulta em soluo alguma (nenhuma interseo).

6. Tanto a= 2 quanto a= 2 fornecem uma linha de solues. Todos os outros as fornecemx= 0,y= 0.

10. Solvel para (3, 5, 8) e (1, 2, 3); no solvel para b= (3, 5, 7) ou b= (1, 2, 2).11. Coluna 3 = 2 (coluna 2) coluna 1. Se b = (0, 0, 0), ento (u, v, w) = (c,2c, c).

14. A interpretao por linhas mostra quatro retas. A interpretao por colunas est em umespao tetradimensional. Nenhuma soluo, exceto o lado direito, uma combinao dasduas colunas.

15. A interpretao por linhas tem duas retas que se encontram em (4, 2). A interpretao porcolunas tem 4(1, 1) + 2(2, 1) = 4(coluna 1) + 2(coluna 2) = lado direito (0, 6).

17. Coluna 3 = coluna 1; solues (x, y, z) = (1, 1, 0) ou (0, 1, 1) e voc pode somar qualquermltiplo de (1, 0, 1); b = (4, 6, c) precisa de c= 10 para solubilidade.

18. u= 0, v= 0, w= 1, porque 1 (coluna 3) =b.20. O segundo plano, a linha 2 da matriz e todas as colunas da matriz sero alterados. A soluo

no alterada.22. Sex, y, zsatisfazem as primeiras duas equaes, tambm satisfazem a terceira equao.

A linha L das solues contm v= (1, 1, 0), w = ( 12 , 1,12 ), e u=

12 v+

12 w, e todas as com-

binaes cv + dw com c + d= 1.


1. 6x+ 4y 2 vezes 3x+ 2y. No h nenhuma soluo, a menos que o lado direito seja 2 10 = 20.Ento, todos os pontos na reta 3x+ 2y= 10 sero solues, incluindo (0, 5) e (4, 1).

2. Subtraia 12 vezes a equao 1 (ou some12 vezes a equao 1). A nova segunda equao

3y= 3. Ento,y= 1 ex= 5. Se o lado direito muda de sinal, a soluo tambm muda: (x,y) = (5, 1).

4. Multiplique por 102 5= = e subtraia para encontrar 2x+ 3y= 1 e 6y = 6. Pivs 2, 6.

7. 6x 4y 2 vezes (3x 2y). Portanto, precisamos de b2= 2b1. Ento, haver infinitamentemuitas solues. As colunas (3, 6) e (2, 4) esto na mesma linha.


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2 lgebra linear e suas aplicaes

8. Se a= 2, a eliminao deve falhar. As equaes no tm soluo. Se a= 0, a eliminao interrompida para uma troca de linhas. Ento 3y = 3 fornecey= 1 e 4x + 6y= 6 resultaemx= 3.

10. A segunda posio de piv conter 2 b. Se b= 2, trocamos com a linha 3. Se b= 1(caso singular), a segunda equao y z= 0. Uma soluo (1, 1, 1).

13. 2 3 3 2 3 3 3 Subtraia 2 linha 1 da linha 21 fornece 1 e 1 Subtraia 1 linha 1 da linha 3

2 3 2 5 0 0 Subtraia 2 linha 2 da linha 3.

x y x y x

y z y z y

y z z z

- = - = =+ = + = =- = - = =

14. A linha 2 torna-se 3y 4z= 5, ento a linha 3 torna-se (q+ 4)z=t 5. Se q= 4, o siste-ma singular sem terceiro piv. Ento, se t= 5, a terceira equao 0 = 0. Escolhendoz= 1, a equao 3y 4z= 5 fornecey= 3 e a equao 1 fornece x= 9.

16. Se a linha 1 = linha 2, ento a linha 2 nula aps o primeiro passo; troque a linha nula coma linha 3 e no haver terceiro piv. Se a coluna 1 = coluna 2, h umsegundo piv.

18. O sistema singular se a linha 3 for uma combinao de linhas 1 e 2. A partir da vistaposterior, os trs planos formam um tringulo. Isto acontece se as linhas 1 + 2 = linha 3 esquerda, mas no direita: por exemplo,x + y + z= 0,x 2y z= 1, 2x y= 9. No hdois planos paralelos, ainda assim no h nenhuma soluo.

20. O quinto piv 65. O n-simo piv ( 1).n

n

+

24. a = 0 exige uma troca de linhas, mas o sistema no singular: a =2 torna-o singular (umpiv, infinidade de solues); a =2 torna-o singular (um piv, sem soluo).

27.2 3

Sistema triangular 2 2 2 Soluo 2.2 2 1

u v w u

v w v

w w

+ + = = + = - = - = =

28. (u, v, w) = (3/2, 1/2, 3). Alterar para +1 tornaria o sistema singular (duas colunas iguais).30. A eliminao falha em a = 2 (colunas iguais), a= 4 (linhas iguais), a= 0 (coluna nula).31. O segundo termo bc + ad (a + b)(c + d) ac bd(somente uma multiplicao adicional).


2. Os produtos escalares 54 e 0, coluna multiplicada por linha resulta em3 5 16 10 2 .

21 35 7

- - -

4. Exemplos:1 0 00 2 0 ,0 0 7

diagonal,1 3 43 2 0 ,4 0 7

simtrica,1 3 40 2 0 ,0 0 7

triangular,

0 3 43 0 04 0 0

-

-

antissimtrica.

5.

17 5

24 , 2 , .417 3

- Com laterais para (2, 1) e (0, 3), o paralelogramo vai at (2, 4).

6.Ax= (0, 0, 0), portanto,x= (2, 1, 1) uma soluo; outras solues so cx= (2c, c, c).10.AB1=B1A fornece b =c = 0.AB2=B2A fornece a =d. EntoA =aI.


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Solues para os exerccios selecionados 3

13. A(A + B)+ B(A + B), (A +B)(B + A),A2+AB+BA+B2sempre se iguala a(A+ B)2.

14. (a) a11 (b) i1=ai1/a11 (c) o novo aij 1

111

iij j

aa a

a-

(d) o segundo piv 2122 1211

.a

a aa-

15.0 1 0 1 0 1 1 1

, , , , .1 0 0 0 1 0 1 1

A B C D A E F -

= = = = = = - -

16. Os coeficientes das linhas deB so 2, 1, 4 deA. A primeira linha deAB [6 3].

18.[ ] [ ]

.a b p q a p q b r s ap br aq bs

c d r s c d cp dr cq ds

+ += + =

+ +

19.1 0 0 0

, , matriz nula.0 ( 1) 0 0

n n

nA A B C

= = = =

- 22. Alterara33 de 7 para 11 mudar o terceiro piv de 5 para 9. Alterara33 de 7 para 2 mudar

o piv de 5 para nenhum piv.

23. Para reverterE31,some sete vezes a linha 1 linha 3. A matriz 31

1 0 00 1 0 .7 0 1

R

=

25.E32 E21b = (1, 5, 35), masE21E32b= (1, 5, 0). Ento, a linha 3 no sente efeito algumda linha 1.

28.E21

tem21

= 12,E

32tem

32= 2

3,E

43tem

43= 3

4. Caso contrrio, osEs equivalem aI.

30. 13 31 13

1 0 1 1 0 1 2 0 10 1 0 ; 0 1 0 ; 0 1 0 .0 0 1 1 0 1 1 0 1

E E E

= =

Teste na matriz identidade!

32.BA = 3I 5 por 5,AB= 5I 3 por 3,ABD= 5D 3 por 1,ABD: No,A(B + C): No.

34. (linha 3) x Sa3jxj e (A2)11= (linha 1) (coluna 1) =Sa1jaj1.

35.4 2

2 4 8 resulta em 1 .

3 9 14 1

a b c a

a b c b

a b c c

+ + = =+ + = =

+ + = =38. (a) Cada coluna Evezes uma coluna deB.

(b)1 0 1 2 4 1 2 4

.1 1 1 2 4 2 4 8

EB

= =

As linhas deEB so combinaes de linhas deB, portanto, so mltiplas de [1 2 4].

41. (a) mn (cada elemento). (b) mnp. (c) n3 (isto n2 produtos escalares).

44. (a) B = 4I. (b) B = 0. (c)0 0 10 1 0 .1 0 0

B

=

(d) Cada linha deB 1,0,0.

46. [ ] [ ]1 0 3 3 0 0 0 0 3 3 02 3 3 0 4 1 2 1 6 6 0 4 8 4 10 14 4 .2 1 6 6 0 1 2 1 7 8 1

+ = + =


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47.A vezesB , , , .A B

50. 2x + 3y +z+ 5t= 8 Ax =b com a matriz 1 por 4,A= [2 3 1 5]. As soluesx

preenchem um plano 3D em quatro dimenses.

51. O produto escalar [1 4 5]x

y

z

=

(1 por 3)(3 por 1) nulo para os pontos (x, y, z)em um

planox +4y + 5z= 0 em trs dimenses. As colunas deA so vetores unidimensionais.

52. O bloco (2,2) S=D CA1B o complemento de Schur: blocos em d (cb/a).

56. est de acordo com quando e .a b a b a c b d

b c a d c d c d a c b d

+ + + += =

+ + + +

58.A multiplicada porX= [x1 x2 x3] ser a matriz identidadeI= [Ax1 Ax2 Ax3].

59.8 3 4 5 5 51 5 9 5 5 5 ;6 7 2 5 5 5

u u v v

M u v u v

v u v u

+ - + -

= = - - + + + + - -

M3(1,1,1) = (15,15,15); M4(1,1,1,1) = (34,34,34,34)porque os nmeros 1 a 16 sesomam a 136, que 4(34).

60. A * v=[3 4 5] e v * v=50; v * A d uma mensagem de erro.


1.1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 2 1 0 0 1 0 ; 2 1 0 2 1 0 tambm.1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1

I

- = - = - - - - - -

(E1F1G1)(GFE)=E1F1FE= E1E= I; tambm (GFE)(E1F1G1) =I. 2. U no singular quando nenhum valor na diagonal principal for zero.

4.

1 0 0 0 1 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0

; .0 2 1 0 4 2 1 00 0 2 1 8 4 2 1

FGH HGF

= =

5. (a) No singular quando d1d2d3 0. (b) Suponha que d3 0: resolvaLc =b no sentido

decrescente: Lc = b fornece1 1

2 2

3

00 00 . Ento, 0 01 10 0

d d u

c d d v

wd

- = - =

resulta em

3

3

3

1/

1/ .

1/

d

x d

d

=

7.1 0 0 2 3 3 2 3 3 20 1 0 0 5 7 ; aps a eliminao, 0 5 7 2 .3 0 1 0 0 1 0 0 1 1

u

LU v

w

= = - - -


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14. L torna-se1 0 01 1 0 .2 0 1

MATLAB e outros cdigos usamPA =LU.

16. a = 4 leva a uma troca de linha; 3b + 10a = 40 leva a uma matriz singular; c = 0 leva auma troca de linha; c = 3 leva a uma matriz singular.

17.1 0 0 2

Permutao0 0 1 , 3 ;

inhas 2 e 30 1 0 4

0 1 0 1permutao

1 0 0 , 1 .inhas 1 e 2

0 0 0 1

u

v

w

u

v

w

= -

= -

18.Lc =b no sentido decrescente fornece 22 ;0

c = -

Ux =c no sentido crescente fornece

52 .0

x

= -

19.

0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 ;

0 0 1 2 3 4 2 3 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 4 2 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 2 0 1

PA LDU

PA LDU

= = -

= = -

1 2 11 0 0 1 0 .

0 0 0 0 0 0

22. 2 por 2: d= 0 no permitido;

1 1 0 1 1, 1, ento 11 1 2 1 0 no permitido1 2 1 1 .nenhum piv na linha 2

d e g d e

f h f

m n i

= = =

= =

24. 31= 1 e 32= 2 (33= 1): passos reversos para recuperarx + 3y + 6z= 11 de

Ux =c: 1 vezes (x +y +z=5)+ 2 vezes (y +2z= 2) + 1 vezes (z= 2)fornecex + 3y ++ 6z= 11.

25.

1 121 32

1 1 1 1 10 1 2 1 0 2 3 .0 2 1 0 0 1 0 0 6

1 0 02 1 0 .0 2 1

A U

A U E E U LU - -

- = = - -

= = =

27.

1 01 1

. Precisa de1 1 11 1 1 1 .

a a a a a a a a a

a b b b b a b a b a b a

a b c c c b c b c b

a b c d d c d c

- - - = - -

-


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28.

1 1 1 0 01 1 1 1 ; (mesmo ) (mesmo ).0 1 1 1 0

a a a

LIU a a b b L b U

b b c c

= + = +

29.1 0 0 4 4 1 1 1 4 31 1 0 5 fornece 1 0 1 1 1 fornece 0 .1 1 1 6 1 0 0 1 1 1

c c x x = = = = A =LU.

32.

2 4 80 3 90 0 7

A

=

tem L =Ie2

3 ;7

D

=

A =LU tem U=A (pivs na diagonal);

A =LDUtem 11 2 40 1 30 0 1

U D A-

= =

com os dgitos 1 na diagonal.

35. Cada novo lado direito custa apenas n2 passos comparados aos n3/3 passos necessrios paraa eliminao totalA\b.

36.

Tringulo de Pascal em L e U.O cdigo lu do MATLAB rompero padro. O chol no faz nenhumaalterao de linhas para matrizessimtricas com pivs positivos.

1 1 1 1 11 2 3 4 51 3 6 10 151 4 10 20 351 5 15 35 70

1 1 1 1 1 11 1 1 2 3 4

.1 2 1 1 3 61 3 3 1 1 41 4 6 4 1 1

=

39. A submatrizB superior2 por 2 tem os primeiros dois pivs 2,7. Razo: eliminao emAcomea no canto superior esquerdo com a eliminao emB.

40.1 2

0 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1 ; 0 0 1 e 0 1 01 0 0 0 1 0 1 0 0

P P P

= = =

(P2 fornece uma troca de coluna).

44. 2 muda; 3 muda; 50 muda e, a seguir, 51 muda.

46. A soluo x = (1, 1, . . . , 1). Ento,x =Px.48. H n! matrizes de permutao de ordem n. Por fim, duas foras de P devem ser as mesmas:

sePr=Ps,entoPr s=I. Certamente rs n!

2 62 3

3

0 1 00 1

5 por 5, com , 0 0 1 e .1 0

1 0 0

PP P P P I

P

= = = =


1. Se a linha 3 deA1 fosse (a, b, c, d), entoA1A =Iresultaria em 2a = 0, a + 3b = 0, 4a+ 8b = 1. Isto no tem soluo.


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2.A(AB) = (mova os parnteses) = (A2)(B) =I.

3. 3/2 1/2 3/2 1/2 0 1, ,1 01/2 3/2 1/2 3/2

- - todas tmA2=I.

8.A

1=BC

1;A

1=U

1L

1P.

9.1 13 21 1 1

1 2 31122

0 0 cos sen; ; .

sen cos10A A A

q q

q q- - -

= = = - -

12.

T2

1 0 0 1 0 0 1 3 53 1 0 0 3 0 0 1 1 ;5 1 1 0 0 2 0 0 1

1 0 0 1 /.

/ 1 0 ( / ) 0 1a b a

LDLb a d b a

=

-

16.ATB = 8;BTA = 8; T T6 6 6 2

; .2 2 6 2

AB BA

= =

17.

1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0(a) . (b) .

0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1(c) ; ( ) ( ) .

0 0 1 0 1 1B A B A B A- - - -

-+ = + =

-

+ = + = +

- -

18. (a) elementos n(n + 1)/2 em e sobre a diagonal. (b) elementos (n 1)n/2 sobre a diagonal.

20. (a) A inversa de uma matriz triangular inferior (superior) ainda uma triangular inferior (supe-rior). Multiplicar as matrizes triangulares inferiores (superiores) fornece uma matriz triangularinferior (superior). (b) As principais diagonais deL1

1L2D2 e D1U1U21 so as mesmas

que as deD2 eD1, respectivamente.L11L2D2=D1U1U2

1, ento temosD1=D2. Ao com-parar os elementos fora das diagonais deL1

1L2D2=D1U1U21, as duas matrizes devem ser

diagonais.L11L2D2=D2,D1U1U2

1=D1,D1 invertvel, portanto,L11L2=I, U1U2

1=I.Ento,L1=L2, U1=U2.

21. (a) EmAx = (1,0,0), equao 1 + equao 2 equao 3 0 = 1. (b) Os lados direitadevem satisfazerb1+b2=b3. (c) A linha 3 torna-se uma linha de zeros sem terceiro piv.

22. SeB altera as linhas 1 e 2 deA, entoB1 altera as colunas 1 e 2 deA1.

23.1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 ;1 1 1 1 1 0 1 1

E

- = - =

- - -

ento11 11 1 1

L =E1, aps reverter a ordem dessas trs matrizes elementares

e alterar1 para +1.24. DeB(IAB) = (IBA)B,obtemos (IBA)1=B(IAB)1B1, uma inversa explcita,

contanto queB eIAB sejam invertveis. Segunda abordagem: seIBA no for invert-

vel, entoBAx =xpara algunsx no nulos. Portanto,ABAx =Ax, ouABy =y, eIAB nopoderiam ser invertveis. (Observe quey =Ax no nulo, a partir deBAx =x.)

29. 10,5 0,2 5 21

, , portanto, .0,2 0,1 2 110

x tA

y z- - -= = =

- -


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32. SeA tem uma coluna de zeros,BA tambm tem. Portanto,BA =I impossvel. No existeA1.34. A * ones (4, 1) fornece o vetor nulo, entoA no pode ser invertvel.

35.

1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 .0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

a b a b a ac b

c c c

- - -

- -

36. [ ]12 2 0 1 2 0 1 1 1 0 1/2 1/2

.0 2 1 0 0 2 1 0 0 1 1/2 0

I A- - -

=

38. [ ]

[ ]

1

1

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 7 3;

2 7 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1

1 3 1 0 1 0 8 3.

3 8 0 1 0 1 3 1

I A

I A

-

-

- =

- -

- =

-

42. No invertvel para c = 7 (colunas iguais), c = 2 (linhas iguais), c = 0 (coluna nula).

44. 1

1 1 0 00 1 1 0

.0 0 1 10 0 0 1

A-

=

A1 5 por 5 tambm apresenta valores 1 na diagonal e na superdiagonal.

46. Para Ax =b com A=ones (4, 4)= matriz singular e b=ones (4, 1), A\b selecionarx = (1,0,0,0) e a pinv(A) * b selecionar a soluo mais curtax = (1,1,1,1)/4.

48.1

1 1 1

0 0, , e .

0

I D I A

C I ID CA D

-

- - -

-

- - 49. ((AB)1)T = (B1A1)T= (A1)T(B1)T; (U1)T uma triangularinferior.

50. T 1 1 T T 1 T

1 1 T T 12

1 9 1 0 1 3, , ( ) ( ) ; e, ento,

0 3 3 1/3 0 1/3

01( ) ( ) .

1

A A A A A A

cA A A

cc

- - -

- - -

-= = = = =

-

= = =

-

53. (Px)T(Py)=xTPTPy =xTyporquePTP=I; normalmentePx y =x PTy x Py:

0 1 0 1 1 1 0 1 0 10 0 1 2 1 2 0 0 1 1 .1 0 0 3 2 3 1 0 0 2

54. (a)xTAy =a22= 5. (b)xTA = [4 5 6]. (c)

2.

5Ay

=

59.PAPT recupera a simetria.

60. (a) A transposta deRTAR RTATRTT=RTAR =n porn.(b) (RTR)

jj= (colunaj deR) (colunaj deR) = comprimento quadrado da colunaj.

62. As correntes totais soBC BC BS

TCS BC CS

BS CS BS

1 0 11 1 0 .0 1 1

y y y

A y y y y

y y y

+ = - = - + - - - - De qualquer modo, (Ax)Ty =xT(ATy)=xByBC+xByBSxCyBC+xCyCSxSyCSxSyBS.


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63. Reordenar as linhas e/ou colunas de a bc d

mover o elemento a, sem fornecer

.a cb d

64. Matrizes aleatrias so quase certamente invertveis.

65. A matriz 1, 2,1 na seo 1.7 temA =LDLT com 1, 1 1 .i i i- = -

66. Estes so os grupos: triangular inferior com nmeros 1 diagonais,D diagonal invertvel ePde permutaes. Mais duas: permutaes pares, todas as matrizes no singulares.

70.Ax y o custo de dados inseridos, ao passo quex ATy o valordos resultados.


2.

12

31 22 2 T3

2 4 33 3 4

3 54 4

2 11 2 1

1 2 11 2

21 11 1

det 5.1 1

1 1

LDL

- - -

- - -

- - - = = = - - -

3. (u1, u2, u3)= (p2/8,0,p2/8)em vez dos verdadeiros valores (1,0, 1).

4. 0 0

1 1 0

1 2 1 0. Cada linha se soma a 1, ento .1 2 1 0

1 2 1 01 1 0

c

cA A c

c

c

-

- - = =- - - - -

7. A matriz de Hilbert 10 por 10 muito mal condicionada.

8. 19 36 30

36 192 180 .30 180 180

H- -

= - - -

10. Um piv grande multiplicado por menos que 1 na eliminao de cada elemento abaixo dis-

so. Um caso extremo, com multiplicadores = 1 e pivs 1 12 2

1/2 1/2 1, , 4, 1/2 0 1 .

1/2 1 1A

= = - - -


1. (a) O conjunto de todos (u, v), em que u e v so as razesp/q dos nmeros inteiros.

(b) O conjunto de todos os (u, v), em que u = 0 ou v = 0.

4. (b), (d), (e) so subespaos. No podem se multiplicar por1 em (a) e (c). No podem se

somar em (f). 5. C(A) o eixox;N(A) a linha atravs de (1,1); C(B) R2;N(B) a linha atravs de (2,

1,0); C(C) o ponto (0,0)em R2; o espao nuloN(C) R3.

6. Regras corrompidas: (a) 7, 8; (b) 1; (c) 1, 2, 8.


10/45


9. (a) Uma possibilidade: as matrizes cA formam um subespao que no contmB.

(b) Sim: o subespao deve conterA B =I.(c) O subespao de matrizes cuja diagonal principal composta somente de zeros.

10. A soma de duas matrizes no singulares pode ser singular (A+ (

A)). A soma de duas ma-trizes singulares pode ser no singular.

14. (a) Os subespaos de R2 so os prprios R2, linhas atravs de (0,0), e o ponto (0, 0).

(b) Os subespaos de R4 so os prprios R4, planos tridimensionais n v = 0, subespaosbidimensionais (n1v = 0 e n2v = 0), linhas unidimensionais atravs de (0, 0, 0, 0) e(0, 0, 0, 0)isoladamente.

16. Se (f+g) (x) af(g(x))comum, ento (g+f)x g(f(x)), que diferente. Na regra 2,ambos os lados sof(g(h (x))). A regra 4 corrompida, porque no deve haver nenhumafuno inversaf1(x)de modo quef(f1(x))=x. Se a funo inversa existir, ser o vetorf.

17. A soma de (4,0,0)e (0,4,0)no est no plano; ela temx +y

2z= 8.20. O menor subespao contendo P e L P ou R3.

21. Uma combinao de colunas de C tambm uma combinao de colunas de A (mesmoespao-coluna;B tem um espao-coluna diferente).

22. A coluna extra b aumenta o espao-coluna, a menos que bj esteja nesse espao:

[ ]1 0 1 (espao-coluna maior)

0 0 1 (nenhuma soluo para ).

1 0 1 ( j no espao-coluna)

0 1 1 ( tem uma soluo).

A bAx b

b

Ax b

=

=

= 23. Espao-coluna =R8. Cada b uma combinao de colunas, desde queAx =b seja solvel.

26. O espao-coluna deA oeixox = todos os vetores (x,0,0). O espao-coluna deB o planox-y = todos os vetores (x, y,0). O espao-coluna C a linha de vetores (x,2x,0).

29. R2 contm vetores com dois componentes eles no pertencem a R3.

30.1 1 0 1 1 2 1 2 01 0 0 ou 1 0 1 ; 2 4 0 (colunas na linha 1).0 1 0 0 1 1 3 6 0

A A

= =


1. c = 7 permite u = 1, v = 1, w = 0. O espao-coluna um plano.

2. A forma escalonada0 1 0 3

;0 0 0 0

U

=

variveis livresx1, x3, x4; solues especiais (1,0,

0,0), (0,0,1,0), e (0, 3,0,1). Consistente quando b2= 2b1. Soluo completa (0, b1,0,0)mais qualquer combinao de solues especiais.

3.x +y +z= 1,x +y +z= 0. Alterando1 para 0, (x, y, z) =c (1,1,0) +d(1,0,1).

4.2 3 2 3

1 0 ; sem soluo!2 0 2

u

v v v

w

u - - - -

= = +


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11. Uma matriz de espao nuloF

NI

-=

nporn r.

13. (a) 2 4

2 2

1 0 ,0 20 1

x x x

- = + -

para qualquerx2, x4.R de linhas reduzidas

1 2 0 2

0 0 1 2 .0 0 0 0

- =

(b) Soluo completa 2 4

3 2 20 1 0

,0 2

0 0 1

a b

x x xb

- - = + + -

para qualquerx2,x4.

14. 1

2

1 1 1

1 1 0

x

x

=

tem espao nulo = linha atravs de (1,1),mas no tem soluo. Qual-

querc

bc

=

tem muitas solues particulares paraAx

p=b.

15.

1 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1 (a) 1.

0 1 0 10 0 0 0 ; ; 0 0 0 0 . (b) 2.

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 (c) 1.

0 0 0 0

r

R R R r

r

- - = = = = = =

20. (uvT) (wzT)=u (vTw)zT tem posto 1, a menos que vTw = 0.

21. ObtemosAB =I,que tem posto n. Ento, o posto (AB) posto (A)fora o posto (A)=n.

22. SeR =EA e o mesmo R =E*B, ento B = (E*)1EA. (Para obterB, reduzaAparaR e,ento, inverta os passos de volta para B.) B uma matriz invertvelmultiplicada porA,quando compartilham do mesmoR.

24. As rcolunas pivs deA formam uma submatriz m porrde posto r, de modo que a matrizA*tenha rlinhas pivs independentes, fornecendo uma submatriz invertvel rporrdeA. (Aslinhas pivs deA* eA so as mesmas, visto que a eliminao realizada na mesma ordem ns simplesmente no localizamos emA* as colunas livres dos zeros que aparecem paraA.)

25. Penso que verdade.

26. As solues especiais so as colunas de2 3 1 04 5

e 0 2 .1 0

0 10 1

N N - - - - = = -

31. ComoR comea com rlinhas independentes,RT comea com rcolunas independentes (e,

ento, zeros). Ento,sua forma reduzida escalonada0

0 0I

quandoI rporr.

32. Se c = 1,1 1 2 20 0 0 0

0 0 0 0

R

=

temx2, x3, x4 livres.

Se c 1,1 0 2 20 1 0 00 0 0 0

R

=

temx3, x4 livres.


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Solues especiais em

1 2 2 2 21 0 0 0 0

( 1) e ( 1).0 1 0 1 00 0 1 0 1

N c N c

- - - - - = = =

Se c = 1,

0 10 0

R

=

temx1 livre; se c = 2,1 20 0

R -

=

temx2 livre;R =I,se c 1,2.

Solues especiais em1 2

( 1) ou ( 2) ou 20 1

N c N c N

= = = = =

pormatriz vazia 0.

34. (a) Solvel se b2= 2b1 e 3b1 3b3+b4= 0. Ento,1 3

3 1

5 2

2

b bx

b b

- = -

(sem variveis livres).

(b) Solvel se b2= 2b1 e 3b1 3b3+b4= 0.

Ento,1 3

3 1 3

5 2 12 1 .

10

b bx b b x

- - = - + -

36. completo 2 completo 2 4

1/2 3 02 3

0 1 00 1 ; .

1/2 0 21 0

0 0 1

x x x x x

- - - = + = + + -

37. Multipliquexppor 2, mesmoxn; ,

0

p

p

xx

X

solues especiais tambm incluem as co-

lunas de ;I

I

-

xp

e as solues especiais no so alteradas.

39. Um sistema 1 por 3 tem pelo menos duas variveis livres.

41. (a) A soluo particularxp

sempre multiplicada por 1.

(b) Qualquer soluo pode serxp

.

(c)3 3 6

.3 3 6

x

y

=

Ento,

11

menor (comprimento 2) do que2

.0

(d) A soluo

homognea no espao nulo xn= 0 quandoA inversvel.43. (a) r< m, sempre rn. (b) r=m, r< n. (c) r< m, r=n. (d) r=m =n.

44. ParaA, q = 3 fornece posto 1, todos os outros q fornecem posto 2. ParaB, q = 6 forneceposto 1, todos os outros qsfornecem posto 2.

47.1 10 2 ;0 3

A

=

B no pode existir, pois duas equaes em trs incgnitas no podem ter

soluo.

50.1 0 0 0 1 0 00 0 1 e 1 ; 0 0 1 :0 0 0 0 0 0 0

0 1

0 2

0 5

-

nR x

= =

nenhuma soluo por causa da linha 3.


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52.

0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 10 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 ( no se origina

e0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 desse ).0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

RU R

U

= =

53.A tem posto 4 1 = 3; a soluo completa paraAx = 0 x = (2,3,1,0).

1 0 2 00 1 3 0 com 2, 3 na coluna livre.0 0 0 1

R

-

= - - -

54. (a) Falso. (b) Verdadeiro. (c) Verdadeiro (somente n colunas).

(d) Verdadeiro (somente m linhas).

57. A coluna 5 certamente no tem piv, pois uma combinao das colunas anteriores, e x5

est livre. Com quatro pivs nas outras colunas, a soluo especial (1,0,1,0,1). O espaonulo contm todos os mltiplos de (1,0,1,0,1)(uma reta em R5).

58. Se a coluna 1 = coluna 5, entox5 uma varivel livre. Sua soluo especial (1,0,0,0,1).

60.0 1

.0 0

A

=

62.R tem mais probabilidade de serI;R tem mais probabilidade de serIcom a quarta linhade zeros.

63. Qualquer linha nula vem depois destas linhas: [ ]1 0 0

1 2 3 , ,0 1 0

R R

= - - =

R =I.

67.1 0 0 40 1 0 3 .0 0 1 2

A -

= - -

69. Essa construo impossvel: duas colunas pivs, duas variveis livres, somente trs colunas.


2. Se a = 0, ento a coluna 1 = 0; se d= 0, ento b (coluna 1)a (coluna 2)= 0; sef= 0,ento todas as colunas acabam em zero (e so perpendiculares a (0,0,1), todas no planoxydevem ser dependentes).

3. (a)1 2 3 1 2 33 1 2 0 5 72 3 1 0 1 5

1 2 3invertvel colunas independentes

0 5 7 :(poderia ter utilizado linhas).

0 0 18/5

- -

- -

- - -

(b)1 2 3 1 2 3 1 0

colunas se somam a 03 1 2 0 7 7 ; 1 0 ,

(poderia utilizar linhas).2 3 1 0 0 0 1 0

A

- - - - +

-

4.1

2

3

1 1 10 1 1 00 0 1

c

c

c

=

fornece c3=c2=c1= 0. Mas v1+v2 4v3+v4= 0 (dependente).


14/45


5. A soma v1v2+v3= 0, porque (w2w3) (w1w3)+ (w1w2)= 0.

8. (a) Os quatro vetores so as colunas de uma matriz 3 por 4A com pelo menos uma varivellivre, entoAx = 0. (b) Dependente se [v1 v2] tiver posto 0 ou 1. (c) 0v1+c (0,0, 0)= 0 tem uma soluo no nula (tome qualquerc 0).

12. v = 12 (v +w)+12 (v w)e w =

12 (v +w)

12 (v w). Os dois paresgeram o mesmo

espao. So uma base quando v e w so independentes.

14. Se a eliminao gera uma ou mais linhas nulas, as linhas deA so linearmente dependentes;

por exemplo, no problema 16

1 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 1 1 00 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0

0 1 1 0 .0 0 1 10 0 0 0

-

-

15. Todas as dimenses so 2. Os espaos-linha deA e Uso os mesmos.

16. (a) Linha em R3. (b) Plano em R3. (c) Plano em R3. (d) Todos de R3.

20. Os vetores independentes n geram um espao de dimenso n. Eles so uma basepara esteespao. Se forem as colunas deA,ento m no nada menos que n (m n).

22. Colunas independentes posto n. As colunas abrangem Rm posto m. As colunas so a

base para Rm

posto =m =n.23. As colunas 1 e 2 so bases para os espaos-coluna (diferentes) deA e U; as linhas 1 e 2 sobases para os espaos-linha (iguais); (1, 1,1) uma base para os espaos nulos (iguais).

24. C(U): quaisquer bases para R2;N(U): (linha 1 e linha 2) ou (linha 1 e linha 1 + linha 2).26. (a) A nica soluo x = 0, porque ascolunas so independentes. (b)Ax =b solvel

porque as colunas geram R5.

28. Seja v1= (1, 0, 0, 0),. . . , v4= (0, 0, 0, 1)os vetores de coordenada. Se W for a linha atravsde (1,2,3,4), nenhum dos vs estaro em W.

30. (a) Se no fosse uma base, poderamos somar mais vetores independentes, que no exce-

deriam a kdimenso fornecida. (b) Se no fosse uma base, poderamos apagar algunsvetores, deixando menos que a dimenso fornecida k.

31. posto (A)= 2 se c = 0 e d= 2; posto (B)= 2, exceto quando c =dou c =d.32. (a) Falso, no deve haver nenhuma soluo. (b) Verdadeiro, 7 vetores emR5 so dependentes.

33. (a)1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 1

(b) Some0 1 0 0 0 1 0 0 01 0 0 , 0 0 0 , 0 0 1 .0 0 0 1 0 0 0 1 0

(c)0 1 0 0 0 1 0 0 01 0 0 , 0 0 0 , 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0

-

- -

so uma base para todas asA =AT.


15/45


38.y (0)= 0 exige queA +B +C= 0. Uma base cosx cos 2x e cosx cos 3x.

39. .1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

= - + + - Verifique o elemento (1,1), ento (3,2), ento (3,3), ento (1,2)para demonstrar queessesPs so independentes. Quatro condies nos nove elementos tornam todas as somasde linhas e colunas iguais: soma de linha 1 = soma de linha 2 = soma de linha 3 = somade coluna 1 = soma de coluna 2 (= soma de coluna 3 automtica por causa da soma detodas as linhas = soma de todas as colunas).

43.y1(x), y2(x), y3(x)pode serx,2x,3x (dim 1)oux,2x, x2 (dim 2)oux, x2, x3 (dim 3).

44. Se a matriz 5 por 5 [A b] for inversvel, b no ser uma combinao das colunas deA. Se[A b] for singular eA tiver colunas independentes, b ser uma combinao dessas colunas.


2. C(A): r= 2, (1, 0, 1) (0, 1, 0); N(A): n r= 2, (2, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1);C(AT): r= 2, (1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0); N(AT): m r= 1, (1, 0, 1);C(U): (1, 0, 0), (0, 1, 0); N(U): (2, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0);C(UT): (1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0); N(AT): (0, 0, 1).

4.A multiplicada por cada coluna deB igual a zero, portanto, C(B)est contido no espaonuloN(A).

5. Falso, somente sabemos que as dimenses so iguais. O espao nulo esquerdo tem umadim =m rmenor.

7. Com colunas independentes: posto n; espao nulo = {0}; o espao-linha Rn; inversa esquerda.

11.A = [1 1 0];B = [0 0 1].

12. A partir deAx = 0, o espao-linha e o espao nulo devem ser ortogonais. Veja o Captulo 3.

14. d=bc/a; o nico piv a.

16. Se Ax = 0 tem uma soluo no nula, ento r< n e C(AT)menor que Rn. Portanto,

ATy =fno solvel para algumasf. Exemplo:A = [1 1] ef= (1, 2).

18. [1 2 4];1 2 42 4 83 6 12

tem o mesmo espao nulo.

20. A inversaA: base do espao-linha = base do espao-coluna = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);as bases do espao nulo e do espao nulo esquerdo so vazias. B: base do espao-linha(1, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 1, 0), e (0, 0, 1, 0, 0, 1); base do espao-coluna (1, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 0, 1); base do espao nulo (1, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 1, 0), e (0, 0, 1, 0, 0, 1); a basedo espao nulo esquerdo vazia.

21. No por exemplo, todas as matrizes inversas nporn tm os mesmos quatro subespaos.

23. (a) Nenhuma soluo significa que r< m. Sempre rn. No se pode compararm e n.(b) Se m r>0, o espao nulo deAT contm um vetor diferente de zero.


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24. (a)1 01 0 .0 1

(b) Impossvel: dimenses 1 + 1 3. (c) [1 1].

(d) 9 3 .3 1 - - (e) Impossvel: espao-linha = o espao-coluna exigem =n.

Ento m r=n r.

25. (a) Os mesmos espao-linha e espao nulo. Portanto, o posto (dimenso do espao-linha) o mesmo. (b) Os mesmos espao-coluna e espao nulo esquerdo esquerda. O mesmoposto (dimenso do espao-coluna).

28. A base do espao-linha (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 2); base do espao nulo (0, 1, 2, 1);base do espao-coluna (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); o espao nulo esquerda tem base vazia.

30. A linha 3

2 (linha 2) + linha 1 = linha zero, ento os vetores c (1,

2, 1) esto no espaonulo esquerda. Os mesmos vetores esto no espao nulo.

32. (a) Verdadeiro (mesmo posto). (b) Falso (A = [1 0]). (c) Falso (Apode ser inversa etambm no simtrica). (d) Verdadeiro.

35. SeAv = 0 e v uma linha deA,ento v v = 0. Somente v = 0 est em ambos os espaos.

37. (a) u e w abrangem C(A). (b) v ezabrangem C(AT). (c) posto


17/45


12.

11

221

5323

4 14311

22

33

1 0 0 0 1 1 0 000 0 0 1 0 1 400 0 0 0 1 00

; ,0 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 0 00

1 0 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0

y

y

y

y x yfx

fx

fx

- - - -

= = = - - - - -

73

43

103

143

.

-

15. H 20 escolhas de 3 arestas de 6, porque 6 escolhem 36!

20.3!3!

= = Quatro escolhas

resultam em tringulos, deixando 16 rvores geradoras.

16.x = (1, 1, 1, 1)forneceAx = 0; entoATAx = 0; o posto novamente n 1.

17.0 1 1 11 0 1 1

e1 1 0 11 1 1 0

M

=

21 1

2

( )3 2 2 22 3 2 2 e obtemos 1 quando h um caminho de.2 2 3 2 duas etapas para para .2 2 2 3 Observe trs caminhos de um n para ele mesmo.

ij i j in nj

ik kj

M a a a a

a aM

i k j

= + + = =

21. Creio que j est integrado.


1. ete etso uma base para as solues de u=u.

2.

0 0 2 0Segunda

0 0 0 6matriz .

0 0 0 0derivada

0 0 0 0

O espao nulo gerado por (1, 0, 0, 0)e (0, 1, 0, 0), que forne-

ce aP1 linear. As segundas derivadas de funes lineares so zero. O espao-coluna , aci-

dentalmente, o mesmo que o espao nulo, pois as segundas derivadas de volumes cbicosso lineares.

6. Ax2= 1 sempre produz uma elipse.

7. 2cos sen cos sen 1 0

, ento .sen cos sen cos 0 1

H Iq q q q

q q q q

- -= =

9. Rotao0 1 0 0

; .0 0 0 0

-

12. Transformam-se em (1, 3), (2, 6), (1, 3). O eixo dex gira; as linhas verticais se deslocam

para cima/para baixo, mas permanecem verticais.13. (a) Sim. (b) Sim. No precisamos de parnteses (AB)CouA(BC)paraABC!

16. S(T(v))=S(v)=v.

17. (b) e (c) so lineares, (a) no atinge T(2v)= 2T(v), (d) no atinge T(v +w)=T(v) +T(w).


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18.

eA2=I; a transposta dupla de umamatriz resulta na prpria matriz.Observe queA23= 1, porque a transpostada matriz 2 a matriz 3.

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

A

=

19. Com w = 0, a linearidade fornece T(v + 0)=T(v)+T(0). Com isso, T(0)= 0. Comc =1, a linearidade fornece T(0)=T(0). Certamente, T(0)=T(0). Com isso,T(0)= 0.

23. (a) uma inversa com T1(y)=y1/3; (c) uma inversa com T1(y)=y 11.

24.

0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0; 0 0 1 0 ; ; 0 1 0 .

0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1

A B AB BA

= = = =

26. T(T(v))= (v3, v1, v2); T3(v)=v; T100(v)=T(T99(v))=T(v).

28. (a) T(1, 0)= 0. (b) (0, 0, 1)no est no intervalo. (c) T(0, 1)= 0.

31. Nenhuma matriz A fornece0 0 0 1

.1 0 0 0

A

=

Para os professores: o espao na matriz

tem dimenso 4. As transformaes lineares nesse espao devem provir das matrizes 4 por4 (16 parmetros). Essas multiplicaes porA nos problemas 31 e 32 eram transformaesespeciais com apenas 4 parmetros.

32. T(I) = 0, mas0

( )

0 0

bM T M

= =

; estes preenchem o intervalo.0a

M

c d

=

no ncleo.

33. A lei associativa forneceA(M1+M2);=AM1+AM2. A lei distributiva sobre os cs forneceA (cM)=c (AM).

38. A matriz de HadamardHpossui colunas ortogonais de comprimento 2. Portanto, a inversadeHHT/4 =H/4.

39.

2

2

2

1 41 5 ;1 6

a a A

b b B

c c C

=

o determinante de Vanderm onde = (b a) (c a) (c b); os pon-

tos a, b, c devem ser diferentes e, por isso, o determinante 0 (a interpolao possvel).

42. Reordene a base por meio da matriz de permutao; mude os comprimentos mdulos coma matriz diagonal positiva.

43. S(T(v))= (1,2)mas S(v)= (2, 1)e T(S(v))= (1, 2). Portanto, TSST.

44.1

(a) . (b) . (c) .r s a b

M N ad bct u c d

- = = =

47. Se Tno uma invertvel, ento T(v1), ... , T(vn)no ser uma base. Com isso, no pode-ramos escolherw

i=T(v

i)como base de resultados.

50. Falso: os vetores n no nulos teriam que ser independentes.


1. v1 e v3 so ortogonais, assim como v2 e v3.

2.x = (2,1, 0);y = (1, 1, 1); a linhaz= (1, 2, 1) ortogonal ao espao nulo.


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4. (x2/x1)(y2/y 1)=1 significa quex1y1+x2y2= 0, portanto,xTy = 0.

7. T21; 3 2; 0.x y x y= = =

8. (a) Se V e W so linhas em R3, V^ e W^ so planos de interseco. (b) V.

10. (1, 2, 1) perpendicular a P. 1 1 30 1 2

A =

temN(A)=P;B = [1 2 1] tem espao-

-linha =P.14. O complemento ortogonal a linha reta que passa por (1,1, 1)e (0, 0, 0).

16. A figura divide qualquery em Rmna parte do espao-coluna + parte do espao nulo es-querda.

19. SeATy = 0, entoyTb =yTAx = (yTA)x = 0, que contradizyTb 0.20. A matriz com a base para V como suas linhas. Ento, o espao nulo V^=W.21. Nenhuma matriz desse tipo, porque (1, 2, 1)T(1, 2, 1) 0.25. (a) SeAx =b tem uma soluo eATy = 0, ento bTy = (Ax)Ty = 0.

(b) b no se encontra no espao-coluna; portanto, no perpendicular a todos os y no es-pao nulo esquerda.

29.x =xr+x

n, em que x

rest no espao linha e x

nest no espao nulo. Ento, Ax

n= 0 e

Ax =Axr+Ax

n=Ax

r. Todos os vetoresAx so combinaes de colunas deA. Sex = (1,

0), entoxr= (1/2, 1/2).

30.1 12 2

A

=

tem subespaos = quatro linhas; (1, 1)ortogonal a (1, 1), (1, 2)ortogonal a

(2, 1). Sempre espao-linha ^ espao nulo.31.x divide-se emx

r+x

n= (1, 1)+ (1, 1)= (2, 0).

32.1 2 3 2 1 1

(a) 2 3 1 . (b) 3 no ortogonal a 1 . (c) 1 em ( )3 5 2 5 1 1

CA

-

- - - -

T1

1 1e 0 em ( ) impossvel: no perpendicular. (d)

1 10

NA A

-

= -

temA2= 0.

(e) (1, 1, 1)estar no espao nulo e no espao-linha; nenhuma matriz desse tipo.

33. (a) Para uma matriz simtrica, o espao-coluna e o espao-linha so os mesmos.(b) x est no espao nulo ezest no espao-coluna = espao-linha: ento, esses autove-tores tmxTz= 0.

34. Ax Bx= significa que

[ ] 0.xx

A B- =

Trs equaes homogneas em quatro incgnitas

sempre tm uma soluo no nula. Aqui,x = (3, 1)e x= (1, 0), eAx =B x= (5, 6, 5)estem ambos os espaos-coluna. Dois planos em R3 (passando por zero) devem se encon-trar em, pelo menos, uma reta!

36. S^ o espao nulo de1 5 1

.

2 2 2

A

=

Portanto, S^ umsubespao mesmo que S no seja.

39. (1, 1, 1, 1) uma base para P^.A = [1 1 1 1] tem o plano P como seu espao nulo.

40. Se V totalmente de R4, ento V^ contm somente o vetor nulo. Ento, (V^)^=R4 =V.

43.ATy = 0 fornece (Ax)Ty =xTATy = 0. Ento,y ^Ax eN(AT)^C(A).


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46.2 2 11 2 2 ,2 1 2

A

-

= - -

ATA = 9I diagonal: (ATA)ij= (coluna i deA) (colunaj).

47. Coluna 1 deA1 ortogonal ao espao gerado pela 2a, ... , n-simas linhas deA.

50. (a) (1, 1,0) est nos dois planos. Os vetores normais so perpendiculares, os planos aindase intersectam! (b) So necessrios trs vetores ortogonais para atravessar todo o com-plemento ortogonal em R5. (c) As linhas podem se encontrar sem ser ortogonais.

52. QuandoAB = 0, o espao-coluna deB est contido no espao nulo deA. Portanto, a dimen-so de C(B) dimenso deN(A). Isso significa que o posto (B) 4 posto (A).


1. (a) (x +y)/2 xy (mdia aritmtica mdia aritmtica dex ey).(b) x +y2 (x+y)2 significa que (x +y)T(x +y)x2+ 2xy+y2.O lado esquerdo xTx + 2xTy +yTy. Aps o cancelamento, este xTy xy.

2.T TT T T

2T T T T T

( ).

( )( )a a a aaa aa aa

P Pa aa a a a a a a a

= = = =

3. Escolha b = (1, ..., 1); igualdade se a1= =an(ento, a paralelo a b).

5.3 9 31

10 10 10 102 1 1 2 1 23 9 3 1

10 10 10 10

1 0 0 0(a) ; . (b) ; .

0 1 0 0P P I P P P P P

- = = - = + = = -

A soma de projees em duas linhas particulares fornece o prprio vetor. A projeo emuma linha e, em seguida, em uma linha perpendicular fornece o vetor nulo.

8.T

1 1T T T

Trao 1n na aa a a a

a a a a a a= + + = =

10. cos 1/ , ento arcos (1/ );

11

[1/ 1/ ] todos os valores elementos .1

n n

P n nn

q q= =

= =

11.p = (10/3, 10/3, 10/3); (5/9, 10/9, 10/9).14. Ax2 = (Ax)T(Ax) =x ATAx, ATx2 = (ATx)T(ATx) =xAATx. Se ATA =AAT, ento

Ax=ATx. (Essas matrizes so chamadas de normais.)

19. (a) aTb/aTa = 5/3;p = (5/3, 5/3, 5/3); e = (2/3, 1/3, 1/3)tem eTa = 0.(b) aTb/aTa =1;p = (1, 3, 1)=b e e = (0, 0, 0).

20. 21 1 1 2 2

1 1 1 5 1 3 1 11 1 1

1 1 1 e 5 . 3 9 3 e 3 .3 3 11

1 1 1 5 1 3 1 1P P Pb P P b

= = = = =

21. 1 2

1 2 2 4 4 21 12 4 4 , 4 4 2 .

9 92 4 4 2 2 1

P P - - -

= - = - - - -

P1P2= matriz nula, porque a1^a2.


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23. ComoA invertvel, P=A(ATA)1AT=AA1(AT)1AT=I: projeta-se completamenteem R2.

26. 1 2 3

1 2 2 4 4 2 4 2 41 1 1

2 4 4 4 4 2 2 1 2 .9 9 92 4 4 2 2 1 4 2 4

P P P I

- - - -

+ + = - + - + - - = - - - -


1.

1 23 31

3 1 23 31

3 2 23 3

; ;x p b p

= = - =

-

perpendicular s duas colunas.

4. b = 4, 5, 9 em t=1, 0, 1; a melhor reta 6 + (5/2) t;p = (7/2, 6, 17/2).

5. x= 2;E2

= (10

3x)2

+ (5

4x)2

minimizado; (4,

3)T

(3, 4)= 0. 8.H2= (I 2P)2=I 4P+ 4P2=I 4P+ 4P=I. Duas reflexes fornecemI.

9. A melhor reta 61/35 (36/35) t;p = (133/35, 95/35, 61/35, 11/35)de C+Dt.

10. (a)PT= (PTP)T=P. Ento,P=PTP=P2. (b)Pprojeta-se no espao Z= {0}.

12. T 1 T1 1 / 2 0

( ) 1 / 2 1 / 2 1 / 2 .0 1 / 2 1

P A A A A-

= = - -

13. Projeo emx +y = 0 = projeo em1 / 2 1 / 2

( 1, 1) .

1 / 2 1 / 2

-- =

- 17.P+Q =I,PQ = 0, transpe-se para QP= 0, ento (PQ) (PQ)=P 0 0+Q =I.

19. A melhor reta T T T

11 1 1 2 1T T T

21 2 2 2 2

2; .

1

xa a a a a bx

xa a a a a b

- = = - -

20. C= (ATA)1ATb,AT= [1 . . . 1], b = (y1, ... ,ym)T, ento

T

1T

.my yA b

CmA A

+ += =

21.

1 1 1 21 0 0 0

; ; .1 1 1 31 2 4 5

CA x D b

E

- = = = - -

25. A matriz de projeo para o espao-linha seriaAT(AAT)1A,se as linhas fossem independentes.

27. ( x x) ( x x)T= (ATA)1AT[(b Ax)(b Ax)T]A(ATA)1. Para erros independentes, subs-tituindo (b Ax) (b Ax)T=s2Ifornece a matriz de covariao (ATA)1ATs2A (ATA)1.Isso simplificado para s2(ATA)1: frmula perfeita para a matriz de covariao.

28. (a) aTa = m, aTb = b1 + . . . + bm. Portanto, x a mdia dos bs. (b) A variao

e2=2

1 ( ) .m

i ib x= -S (c)p = (3, 3, 3), e = (2, 1,3),pTe = 0.

1 1 11

1 1 1 .3

1 1 1P

=


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30. 10 9 1 101 1 ( ).

10 10b x b b

9

10+ = + +

32.2 21 1

2 2

1

.m m

m

w b w bxw

w w

+ +=

+ +

34.

1 0 01 1 8

.1 3 81 4 20

C

D

=

Mude o lado direito para

15 1

;13 417

p x

= =

resolveA x =p.

38. Parbola mais prxima:

1 0 0 01 1 1 8

.1 3 9 8

1 4 16 20

C

D

E

=

T

4 8 26 36 8 26 92 112 .26 92 338 400

C

A Ax D

E

= =

40. (a) A melhor reta x = 1 + 4t, que atravessa o ponto central ( , ) (2, 9).t b =

(b) A partir da primeira equao: Cm +DSti=Sb

i. Divida pormpara obter .C Dt b+ =

41. xW

= (1/21, 4/7);A xW

= (1/21, 13/21, 25/21),

b

A xW= (

1/21, 8/21,

4/21), (A xW)WT

W(b

A xW)= 0.


2. (a) 4 =C 2D, 3 =CD, 1 =C+D, 0 =C+ 2D. (b) A melhor linha reta2 +tpassa pelos 4 pontos;E2= 0. (c) b est no espao-coluna.

3. (I 2uuT)T(I 2uuT)=I 4uuT+ 4uuTuuT=I; Q =

1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

.

- - -

- 5. Projeo sobre a3: (2/3, 1/3, 2/3); a soma o prprio b; observe que a1a1

T, a2a2T, a3a3

Tso projees para trs direes ortogonais. Sua soma a projeo para o espao integral edeve ser a identidade.

7. Q triangular superior: a coluna 1 tem q11=1; pela ortogonalidade a coluna 2 deve ser(0, 1, 0, . . . ); pela ortogonalidade a coluna 3 (0, 0, 1, ...); e assim por diante.

9.0 0 1 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 1 .

1 1 1 1 0 0 0 0 1

A Q R

= = =

12. (x1q1+. . . +xnqn)

T (x1q1+. . . +xnqn)=x12+. . . +x

n2b2=bTb =x1

2 +. . . +xn2.

13. A combinao mais prxima a q3 0q1+ 0q2.


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16. 1 2 3

1 / 3 2 / 3 2 / 32 / 3 , 1 / 3 , 2 / 32 / 3 2 / 3 1 / 3

q q q

-

= = = -

est no espao nulo esquerda;

T1T2

1 .2q bxq b

= = 17. Pela ortogonalidade, as funes mais prximas so 0 sen 2x = 0 e 0 + 0x = 0.18. A reta mais prxima y = 1/3 (horizontal, desde que (x, x2)= 0).

23. T3 3 5 / 3 5 / 9

fornece e .0 00 2

Rx Q b x x

= = = 25. C* (q2

TC*) q2 c (q1Tc) q1 (q2

Tc) q2 porque q2T q1= 0.

26. a0=

1/2, a1=

0, b1=

2/p.

28. (a) Verdadeiro. (b) Verdadeiro. Qx =x1q1+x2q2. Qx2=x1

2+x22 porque q1

Tq2= 0.

30. (1/ 2, 1/ 2, 0, 0), (1/ 6, 1/ 6, 2/ 6, 0),

( 1/2 3, 1/2 3, 1/2 3, 1/ 3).

-

- - -

32.A =a = (1, 1, 0, 0); ( ) ( )1 1 1 1 12 2 3 3 3, , 1, 0 ; , , , 1 .A BB b p C c p p= - = - = - - = -

Observe o padro nesses vetores ortogonaisA,B, C. Em seguida, (1, 1, 1, 1)/4.


3. c = (1, 0, 1, 0).

4. par

mpar

1 1 2 20 1 0 0

.1 0 0 20 0 0 0

C yc y

C y

= = = = = =

5. (a)y =Fvezes (1, 0, 0, 0)= coluna zero nula deF= (1, 1, 1, 1).(b) c = (1, 1, 1, 1)/4.

8. A submatriz F3.

9. c0= (f0+f1+f2+f3)/4, c1= (f0i f1f2+i f3)/4, c2= (f0f1+f2f3)/4,c3= (f0+i f1f2i f3)/4;fmpar significaf0= 0,f2= 0,f3=f1. Ento, c0= 0,c2= 0, c3=c1, portanto, c tambm mpar.

10. 2 4 2

4 0 0 0 16 0 0 00 0 0 4 0 16 0 0

, 4 .0 0 4 0 0 0 16 00 4 0 0 0 0 0 16

F F I

= = =

12. 21 H

2

1 1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 .1 1 1 1 12 2 4

1 1

iF F

i i i

-

= = - -

13. eix=1, poisx = (2k+ 1)p, eiq=i, pois q= 2kp+p/2, k um nmero inteiro.


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18. Autovalores e0= 2 1 1 = 0, e1= 2 i i3= 2, e2= 2 (1) (1)= 4, e3= 2 i

3i9 = 2. Verifique o trao 0 + 2 + 4 + 2 = 8.

19.

2 /6 2 /3 4 /3

34 /6 4 /3 2 /3

1 1 1 1

e 1 .1

i i

i i i

D e F e e

e e e

p p p

p p p

= =

22. L= diag(1, i, i2, i3);0 1 00 0 11 0 0

P

=

ePT levam a l3 1 = 0.


1. As operaes da linha deixam detA inalterado pela Regra 5. Ento, a multiplicao de umalinha por1 (Regra 3) fornece a regra de alterao de linha: detB =detA.

2. det (2A)= 8 e det (A)= (1)4 detA = 12 e det (A2)= 14 e det (A

1)= 2. 5. detA = 0 (singular); detU= 16; det UT= 16; detU1= 1/16; det M= 16 (2 alteraes).

6. O novo determinante (1 m) (adbc).

7. Para a primeira matriz, duas alteraes de linha produziro a matriz identidade. A segundamatriz precisa de trs alteraes de linha para chegar aI.

10. Se det Q no for 1, ento det Qn= (det Q)n iria ser detonado se se expandisse ou se apro-ximasse de zero. Mas Qnpermaneceuma matriz ortogonal. Ento, det Q deve ser 1 ou 1.

13. det (A)= 10, det (A1)= 110 , det (A lI)=l2 7l+ 10 = 0 para l= 5 e l= 2.

14. Somar cada coluna deA primeira coluna torna-a uma coluna nula, ento detA = 0. Secada linha deA se somar a 1, ento cada linha deA Isoma-se a 0 e det (A I)= 0. Mas

detA no precisa ser 1:1 12 21 12 2

A =

tem det (A I)= 0, mas detA = 0 1.

15. (a) Regra 3 (fatorar1 de cada linha) fornece det (KT)= (1)3 detK. Ento, detK= detKT= detKfornece detK= 0.

(b)

0 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 0 0 0

- -

tem det = 1.

17. A obteno de determinantes fornece (det C) (detD)= (1)n (detD) (det C). Para n,at oraciocnio falha (porque (1)n=+1) e a concluso est errada.

20. 12

1det ( ) det .

( )

d bad bcad bc ad bcA

c a ad bcad bc

ad bc ad bc

-

- -- - = = = - -- - -

24. Linha 3 linha 2 = linha 2 linha 1, portanto,A singular.27. det (L)= 1, det (U)=6, det (A)=6, det (U1L1)= 1

6

, e det (U1L1A)= 1.28. Determinante = 36 e determinante = 5.29.A retangular, portanto, det (ATA) (detAT) (detA): estes no so definidos.31. Os maiores determinantes de matrizes 01 para n = 1, 2, ..., so 1, 1, 2, 3, 5, 9, 32, 56, 144,

320 podem ser encontrados nosite


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DeterminantProblem.html>e tambm na On-Line Encyclopedia of IntegerSequences [En-ciclopdia On-line de Sequncias de Nmeros Inteiros]: . Comvalores 1 e 1, o maior determinante 4 por 4 (consulte Hadamard no ndice remissivo) 16.

32. det (I+M)= 1 +a +b +c +d. Subtraia a linha 4 das linhas 1, 2 e 3. Em seguida, subtraiaa (linha 1) +b (linha 2) +c (linha 3)da linha 4. Isto resultar em uma matriz triangular com1, 1, 1 e 1 +a +b +c +dem sua diagonal.

35. Os determinantes de Hilbert so 1, 8 102, 4,6 104, 1,6 107, 3,7 1012, 5,4 1018,4,8 1025, 2,7 1033, 9,7 1043, 2,2 1053. Pivs e razes de determinantes, portan-to, o dcimo piv est prximo de 1053/1043= 1010: muito pequeno.


1. (a) Verdadeiro (regra do produto). (b) Falso (todos os nmeros 1).(c) Falso (det [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1] = 2).

2. O cofator 1, 1 Fn 1. O cofator 1, 2 tem um valor 1 na coluna 1, com cofatorFn 2. Multi-plique por (1)1 + 2 e tambm por1 para encontrarF

n=F

n 1+Fn 2. Portanto, os deter-minantes so nmeros de Fibonacci, exceto seF

nfor oF

n 1 comum.

3. (a) a12a21a34a43= 1;par, portanto, detA = 1.(b) b13b22b31b14= 18; mpar, portanto, detB =18.

8. (a) (n 1)n! (cada termo n 1). (b)1 1

1 !.2! ( 1)!

nn

+ + + -

(c) 31

( 2 3).3

n n+ -

11. Expanso de cofatores: det = 4(3) 4(1)+ 4(4) 4(1)=12.

12.

[ ]

[ ]

0 0 0 0, det 1 det

0

1 0det det ( ). Teste 1 2 , , det 5

0 2

1 0det ( ); , 1 2 , det

2

A I AB A I A

B I B I I B I B I

AB A AAB A B

I B I

AAB A B

B I

= = =

- -

= = = = = -

= =

- 0 det ( ).AB= =

Singular: posto (AB) posto (A)n


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27. T3 2 1 4 0 02 4 2 e 0 4 0 4 .1 2 3 0 0 4

C AC I

= = =

Consequentemente,A1= 14 CT.

28. Devemos escolher os valores 1 das colunas 2 e 1, das colunas 4 e 3, e assim por diante.Portanto, n deve ser par para ter detAn 0. O nmero de trocas 12 n, ento Cn= (1)

n/2.

31. Alterar 3 para 2 no canto reduz o determinante F2n + 2 por 1 vez o cofator dessa entrada.Esse cofator o determinante de S

n 1 (um tamanho menor), que F2n. Portanto, trocar 3por 2 altera o determinante paraF2n + 2F2n, que F2n + 1.

32. S1= 3, S2= 8, S3= 21. A regra parece com cada segundo nmero na sequncia de Fibo-nacci . . . , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . ,ento, a hiptese S4= 55. Os cinco termos no nulosna grande frmula para S4 so (com valores 3 onde o problema 39 tem valores 2) 81 + 1 9 9 9 = 55.

36. (a) Cada detL = 1; det Uk

= detAk

= 2, 6, 6 para k= 1, 2, 3.

(b) Pivs 6 75 65, , .

37. Os seis termos so corretos. Linha 1 2 linha 2 + linha 3 = 0, ento a matriz singular.38. Com a11= 1, a matriz 1, 2, 1 tem det = 1 e inversa (A

1)i j=n + 1 mx (i,j).

40. Os cinco termos diferentes de zero em detA = 5 so(2)(2)(2)(2) + (1)(1)(1)(1) (1)(1)(2)(2) (2)(2)(1)(1)

(2)(1)(1)(2).

41. Subtrair 1 do valor elemento n, n subtrai seu cofatorCnn

do determinante.Esse cofator C

nn= 1 (a menor matriz de Pascal). Subtrair 1 de 1 resulta em 0.


1. T T 120 10 12 20 10 12

1det 20; 0 5 0 ; 20 ; 0 5 0 .

200 0 4 0 0 4

A C AC I A- - - - -

= = = =

2. (a) A rea desse paralelogramo 2 2

det ,1 3

-

ento, o tringuloABCtem rea 12 4 = 2.

(b) O tringuloAB C tem a mesma rea; ele apenas foi para a origem.

3. Os pivs deA so 2, 3, 6 dos determinantes 2, 6, 36; os pivs deB so 2, 3, 0.6. (a) P2 leva (1, 2, 3, 4, 5) para (3, 2, 5, 4, 1).

(b) P1 leva (1, 2, 3, 4, 5) para (3, 4, 5, 2, 1).

7. (x,y) = (d/(adbc), c/(adbc)); (x,y,z) = (3, 1, 2).

10. As potncias de Pso todas matrizes de permutao, ento, eventualmente, uma dessasmatrizes deve ser repetida. SePrfor o mesmo quePs, entoPrs=I.

14. (a) detA = 3, detB1=6, detB2= 3, portanto,x1=6/3 =2 ex2= 3/3 = 1.(b) A= 4, B1= 3, B2=2, B3= 1. Entox1=

34 ex2=

12 ex3=

14 .

15. Se a primeira coluna emA tambm for o lado direito b,ento detA = detB1. TantoB2 comoB3 so singulares, desde que uma coluna seja repetida. Consequentemente,x1=B1/A= 1ex2=x3= 0.

16. (a) 3 21 20 0e :x x-= = nenhuma soluo (b) 0 01 20 0e :x x= = no determinado.


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18. Se todos os cofatores = 0 (mesmo em uma nica linha ou coluna), ento, detA = 0 (nenhu-

ma inversa).1 11 1

A

=

no tem nenhum cofator zero, mas no uma inversa.

23. Se detA = 1 e se conhecemos os cofatores, ento CT=A1, assim como detA1= 1. ComoA a inversa deA1,A deve ser a matriz de cofatores para C.

25. Conhecendo C, o problema 22 fornece det1

1(det ) nA C -= com n = 4. Ento, podemosconstruirA1=CT/detA usando os cofatores conhecidos. Inverta para encontrarA.

26. (a) Cofatores C21=C31=C32= 0.(b) C12=C21, C31=C13, C32=C23 torna S

1 simtrico.

31.

x1y2x2y1= retngulosA +B +D (no C).

reas do retnguloA = 2 (tringulo a)

mesmas bases que o retnguloB = 2 (tringulo b)mesma altura que o retnguloD = 2 (tringulo d).

Ento, os tringulos a +b +d= 12 (x1y2x2y1).

a b

d

A

D

B

C

y2

y1

x1

x2

Verifique um exemplo com (a, b)= (3, 2), (c, d)= (1, 4), e rea = 10. A linha de (0, e)nopasso 3 tem inclinao c/a e equaoy =e +cx/a. O passo 3 funciona porque (b, d)estnessa linha! d=e +cb/a verdadeiro, desde que adbc = rea ae no passo 2.

32. (a) rea2 1 1

1 3 4 12

0 5 15.= (b) 5 + rea do novo tringulo

2 1 11 0 5 12

1 0 15 7 12.

-= + =

33. (a) rea 3 21 4

10.= (b) rea do tringulo = 5. (c) rea do tringulo = 5.

34. As arestas do hipercubo tm comprimento 1 1 1 1 2.+ + + = O volume det H 24= 16 (H/2 tem colunas ortonormais. Ento, det(H/2)= 1 leva novamente a detH= 16).

36. O cubo n-dimensional tem ngulos 2n, arestas n2n 1 e faces 2n de dimenso n 1. O cubo,cujas arestas so as linhas de 2I,tem volume 2n.

37./ / cos sen 1

./ / ( )/ (cos )/

r x r y

x y sen r r r

q q

q q q q

= =

-

40. J=r. As colunas so ortogonais e seus comprimentos mdulos so 1 e r.42. VISA tem cinco reverses VI, VS, VA, IA, SA. E AVIS tem duas reverses VI e VS. Como

5 2 mpar, VISA e AVIS tm paridade oposta.

43. S= (2, 1, 1)fornece um paralelogramo, cuja rea o comprimento mdulo de um produtovetorial: PQ PS=(2, 2, 1)= 3. Isto tambm surge a partir de um determinante!Os outros quatro vrtices poderiam ser (0, 0, 0), (0, 0, 2), (1, 2, 2), (1, 1, 0). O volume dacaixa inclinada det = 1.

44. det 3 2 1 0 7 5 ;1 2 3

x y z

x y z

= = - +

o plano contm dois vetores.


1. l= 2 e l= 3, trao 5, determinante = 6.3. l=5 e l=4; ambos os ls so reduzidos por 7, com autovetores inalterados.


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7. l= 3, l= 1, l= 0, com autovetores (1, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 2, 1); trao = 4, det = 0.l= 2, l= 2, l=2, com autovetores (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1); trao = 2, det =8.

8. Ax =lx fornece (A 7I)x = (l 7)x;Ax =lx fornecex =lA 1x, entoA1x = (1/l)x.

9. TransponhaA lI: det (A lI)= det (A lI)T

= det (AT

lI).10. O coeficiente de (l)n 1 em (l1l) . . . (lnl) l1+. . . +ln. Em det (A lI), um termo

que inclui um ai j fora da diagonal exclui a

i ile a

j jl. Um termo assim no envolve

(l)n 1. Portanto, o coeficiente de (l)n 1 em det (A lI)deve se originar do produtoabaixo da diagonal principal. Esse coeficiente a11+. . . +ann=l1+. . . +ln.

12. Os autovalores deA so 1, 2, 3, 7, 8, 9.

13. A terceira linha contm 6, 5, 4.

14. posto (A)= 1, l= 0, . .. , 0, n (trao n); posto (C)= 2, l= 0, ... , n/2, n/2 (trao 0).

17. A eA2

eA

tm os mesmos autovetores. Os autovalores so 1 e 0,5 paraA, 1 e 0,25 paraA2, 1 e 0 paraA. Portanto,A2 est a meio caminho entreA eA.

21. (a) MultipliqueAxpara constatarlx, que revela l. (b) Resolva (A lI)x = 0 para en-contrarx.

22. l1= 4 e l2=1 (verifique o trao e o determinante) comx1= (1, 2)ex2= (2, 1).A1

possui os mesmo autovetores queA, com autovalores 1/l1= 1/4 e 1/l2=1.

23. (a)Pu = (uuT)u =u(uTu)=u, ento l= 1. (b)Pv = (uuT)v =u(uTv)= 0, portanto, l= 0.(c)x1= (1, 1, 0, 0), x2= (3, 0, 1, 0), x3= (5, 0, 0, 1)so ortogonais a u, ento soautovetores dePcom l= 0.

24. l3 1 = 0 fornece l= 1 e 12 ( 1 3);il = - os trs autovalores so 1, 1, 1.29. (a) posto = 2. (b) det (BTB)= 0. (c)No. (d) (B +I)1 tem (l+ 1)1= 1, 12 ,

13 .

32. a = 0, b = 9, c = 0 multiplique 1, l, l2 em det (A lI)= 9ll3:A =matriz companheira.

36.0 0 0 1 1 1

, , .1 0 0 0 1 1

-

- Sempre A2 = matriz nula se l = 0, 0 (teorema de Cayley-

-Hamilton).

37. Precisamos de l3= 1, mas no l= 1 (para evitarI). Com l1=e2pi/3 e l2=e

2pi/3, o de-

terminante ser l1l2= 1 e o trao l1+l2= cos23p +i sen 23

p + cos 23p i sen 23

p = 1.

Uma matriz com este trao 1 e determinante 1 1 11 0

.A --

= 38. Ax =c1l1x1+ . . . +cnlnxnse iguala a Bx =c1l1x1+ . . . +cnlnxnpara todos osx.

Ento,A =B.

39.1 1

( ) ;1 1

a b a ba b

c d c d

+= = +

+ l2=dbpara produzir o trao =a +d.


3.

1

1

1 1 1 1 2 0 1 1;1 1 1 1 0 0 1 1

2 1 1 1 2 0 1 1.

0 0 0 2 0 0 0 2

-

-

= - -

= - -


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4.1 1100

100

100 100

100 100

3 1 5 0 3 1 3 1 3 15 0fornece

1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 1

3 5 1 3 5 31.

4 5 1 5 3

A A- -

= = - - - -

+ -=

- +

6. l= 0, 0, 3; a terceira coluna de S um mltiplo de111

e as outras colunas esto no plano

ortogonal a ela.

8. A1 eA3 no podem ser diagonalizadas. Elas tm apenas uma linha de autovetores.

11.11 1 9 0 1 1 2 1; ;

1 1 0 1 1 1 1 2A

- =

- - quatro razes quadradas.

12. (a) Verdadeiro; detA = 2 0. (b) Falso;1 1 1

0 1 1 .0 0 2

(c) Falso;

1 0 0

0 1 00 0 2

diagonal!

13. trao(AB)= trao(BA)=aq +bs +cr+dt. Ento, trao(AB BA)= 0 (sempre).Portanto,AB BA =Iimpossvel para matrizes, poisIno tem trao zero.

15.1 1 2 0 1 1 2 3

.0 1 0 5 0 1 0 5

A -

= =

16.2 13 31 1

3 3

1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0; .

0 3 0 1 0 3 0 1 2 2 1 2 0 3

- - = =

- 17. (a) Falso: no conhecemos os ls. (b) Verdadeiro. (c) Verdadeiro. (d) Falso: preci-

samos dos autovetores de S!

23. As colunas de Sso mltiplos de (2, 1)e (0, 1)em qualquer ordem. O mesmo vale paraA1.

24. A eB tm l1= 1 e l2= 1.A +B tem l1= 1, l2= 3. Os autovalores deA +B no soiguais aos autovalores deA mais os autovalores deB.

27. (a) Verdadeiro. (b) Falso. (c) Falso (A deve apresentar 2 ou 3 autovetores indepen-dentes).

28. 8 3 9 4 10 5(ou outro), , ;3 2 4 1 5 0A A A = = = - - - somente os autovetores so (c,c).

30. SLkS1 se aproxima de zero se, e somente se, cada l


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39. traoAB = (aq +bs) + (cr+dt)= (qa +rc) + (sb +td)= traoBA. Prova para o casodiagonalizvel: o trao de SLS1 o trao de (LS1)S=L, que a soma dos ls.

40. Dois problemas: o espao nulo e o espao-coluna podem se sobrepor, portanto,xpoderiaestar em ambos. No poder haverrautovetores independentes no espao-coluna.

41. OsAs formam um subespao, pois cA eA1+A2 tm o mesmo S. Quando S=I, osAs for-necem o subespao de matrizes diagonais. Dimenso 4.

43. Por5F,B tem os mesmos autovetores (1, 0)e (0, 1)comoA, entoB tambm diagonal.

As equaes2 0 0

2 2 2 0 0a b a b

AB BAc d c d

- = - =

so b = 0 e c = 0: posto 2.

44. A tem l1= 1 e l2= ,4 comx1= (1, 2)ex2= (1, 1).A tem l1= 1 e l2= 0 (mesmos

autovetores).A100 tem l1= 1 e l2= (0,4)100, que se aproxima de zero. Ento, A100 est

muito perto deA.


2. 2 3 4 202 1 3 2 5 3

, , ; 6765.1 1 2 1 3 2

A A A F

= = = =

3. Os nmeros de Fibonacci comeam com par, mpar, mpar. Ento, mpar+ mpar=par.Os dois prximos so mpares (de mpar+ par e par+ mpar). Ento, repete-se mpar+mpar=par.

4.1 21 21 1

2 11 2

211 21

1 2 1 211 2 2

0 11 1 1

(observe ).1 0 0 11 1

10 11.

( )/( )1 001 1

kk

k kk

A S S S

S S

l ll l

l ll l

lll l

l l l lll l l

- -

-

-

= L = = -- - - - - - - L = = - - --

8. A soma diretaLk+L

k+ 1 forneceL0, ... , L10 como 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. Mi-nha calculadora d o resultado l1

10= (1,618 .. .)10= 122,991 ..., que arredondado paraL10= 123.

10. A matriz de transio de Markov

7 112 61 16 2

1 14 3

0

0 .

1

As fraes 7 112 2, , 1 no se deslocam.

12. Os componentes deAx somam-se ax1+x2+x3 (cada coluna soma-se a 1 e ningum se perde).Os componentes de lx somam-se a l(x1+x2+x3). Se l 1,x1+x2+x3 deve ser zero.

14. (a) l= 0, (1, 1, 2). (b) l= 1 e 0,2. (c) limite (3, 4, 4)= autovetor para l= 1.

16. (a)0 a 10 b 1.

(b)1/(1 ) 1 /(1 ) 1 11 0

1 1 1 1 10 ( )2 1( )

1 1 .2(1 ) 1

( )1 1

k

k k

k

k

b a b au

a bb a b

a bb a b a

a a ba b

b a b a

- - -=

- -- - -- - - + - + = - - - - - - + - +


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(c)

2 1/31 se 1; 1/3

2(1 )no de Markov.

1

k

ba

b au a b b

a

b a

= - + - < = - - - +

17. 2 3 1 20 0 2 1 1 20 0 0 e 0. Portanto, ( ) 0 1 1 .0 0 0 0 0 1

A A I A I A A-

= = - = + + =

18. SeA aumentar, ento mais mercadorias sero consumidas na produo e a expanso deveser mais lenta. Matematicamente,Ax txpermanece verdadeiro seA aumentar; tmx sobe.

19.a a

a a instvel para a>1/2 e estvel para a instvel. (b) 1 2 17, 7, Re 0,l l l= = - >

instvel (c) 1 13 1 131 22 2,l l- + - -= = , Re l1>0, instvel (d) l1= 0, l2=2, neutra-

mente estvel.

8.1 4 3

; (0) .0 1 4

At t t t

e I At e uL +

= + = =

10. (a) eA(t+T)=SeL(t+T)S1=SeLteLTS1=SeLtS1SeLTS1=eAteAT.

(b) 1 0 1 1 0 1, ,1 1 0 1 1 0A Be I A e I B A B - -= + = = + = + =

fornece

cos 1 sen 1sen 1 cos 1

A Be + -

=

a partir do Exemplo 3 no texto, em t= 1. Essa matriz diferente

de eAeB.


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13. Ax =lFx +l2x ou (A lFl2I)x = 0.

18. Autovalores so reais quando (trao)2 4 det 0 4(a2b2+c2) 0 a2+b2c2.

19. (a) u1 = cu2 bu3, u2=cu1 +au3, u3 =bu1 au2 fornece u1u1 + u2u2 +u3u3 = 0.

(b) Porque eAt uma matriz ortogonal, u(t)2 = eAtu(0)2 = u(0)2 constante.(c) l= 0 e 2 2 2( ) .a b c i + + Matrizes antissimtricas tm ls puros imaginrios.

20. ( ) 1 12 21 1

cos 2 cos 6 .1 1

u t t t

= + -

22. ( )4 41 21 1 1 1

, . Se (0) (5, 2), ent o 3 2 .0 1 0 1

t t t t u e u e u u t e e

= = = - = + - -

24.0 19 6

A

= -

tem trao 6, det 9, l= 3 e 3, com apenas um autovetor independente (1, 3).

Isso fornecey =ce3t,y = 3e3t. Alm disso, te3tresolvey = 6y 9y.

25. 120 1

. Ento, (5 41).4 5

yy

yyl

= =

27. l1= 0 e l2= 2. Agora, v(t)= 20 + 10e2t como t.

29. Substituiru =ectv fornece cectv =Aectv ectb, ou (A cI)v =b, ou v = (A cI)1b =soluo particular. Se c um autovalor, entoA cIno invertvel: este v no funciona.

32. y (t)= cos tcomea emy (0)= 1 e y (0)= 0. A equao vetorial tem u = (y,y )= (cost, sen t).

33. A soluo no tempo t+Ttambm eA(t+T)

u(0). Com isso, eAt

vezes eAT

igual a eA(t+T)

.

36.1 1 32 21 32

0 ( )1 1 1 1 3 0, ento em 0.

0 3 2 0 0 1 1 0

t t tAt

t

e e eA e I t

e

- = = = = = - 38. deAt/dt=A +A2t+ 12 A

3t2+ 16 A4t3+. . . =A(I+At+ 12 A

2t2+ 16 A3t3+. . . )=AeAt.

39. SeA2=A, ento eAt=I+At+ 12 At2+ 16 At3+. . . =I+ (et 1)A

1 0 1 1 1.

0 1 0 0 0 1

t t t t e e e e - - -= + =

42. l= 2 e 5 com autovetores 12 1 1 6

e . Ento, .1 1 3 8

A S S - -

= L = -

43. (a) A inversa de eAt eAt. (b) SeAx =lx,ento eAtx =eltx e elt 0.


1. (b) soma = 4 + 3i; produto = 7 + i. (c) 3 4 3 4 ; 1 1 ; 3 4 5;i i i i i+ = - - = + + =

1 2.i- = Ambos os nmeros permanecemfora do crculo trigonomtrico unitrio.

2. H1 2

1 00 1 0 ,

0 10 1 0 1

i i ii

C i i C C

i i

- -

= - = - =

porque (AHA)H=AHA.

3. (a) 22 2 2 1 1, (1 / ) , ; fornece 1 :i i ix r e x r e x re x x xq q q- - -= = = - = = no crculo trigo-nomtrico unitrio.


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4.1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1/ 2 1/ 2: 0, 1, , ;

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2: 1, 1, , ;

1/ 2 1/ 22/ 2 1/ 2

: 5, 5, , .1/ 2 2/ 2

P x x

Q x x

R x x

l l

l l

l l

= = = = -

= = - = =

- = = - = = -

7. (a) detAT= detA, mas det H det .A A= (b) H fornece det det real.A A A A= = =

8. x = 2 i,xx = 5,xy =1 + 7i, 1/x = 2/5 (1/5)i ,x/y = 1/2 (1/2)i ; verifique se xy== 50=xy e 1/x= 1/ 5= 1/x.

14. (a) u, v, w so ortogonais entre si. (b) O espao nulo gerado poru; o espao nulo es-querdo o mesmo que o espao nulo; o espao-linha gerado porv e w; o espao-coluna o

mesmo que o espao-linha. (c)x =v +12 w; no exclusivo, podemos adicionar qualquermltiplo de u ax. (d) Precisamos de bTu = 0. (e) S1=ST; S1AS= diag(0, 1, 2).

15. (UV)H(UV)=VHUHUV=VHI V=I. Portanto, UV uma matriz unitria.

16. A terceira coluna de Upode ser(1, 2, )/ 6,i- multiplicada por qualquer nmero eiq.

19. A dimenso de S n(n + 1)/2, no n. Cada matriz simtricaA uma combinao de npro-jees, mas as projees mudam medida queA muda. No h nenhuma base de n matrizesde projeo fixa no espao S de matrizes simtricas.

21. As colunas da matriz de FourierUso autovetores deP,porquePU= diag (1, w, w2, w3)U(e w =i).

22. H H

H H H HH H

2 0 13 1

0 2 1 e so matrizes hermitianas.1 3

1 1 2

( ) novamente.

i

A A i AA

i i

A A A A A A

+

= + = - -

= =

23. n2 passos para Cdireto vezesx; somente (n log n)passos paraFeF1 por FFT (e npara L).

24. 20 0 11 0 0 ,0 1 0

P

=

P3=I,P100=P99P=P; l= razes cbicas de 1 = 1, e2pi/3, e4pi/3.

25. cA ainda hermitiano para c real; (i A)H=i AH=i A anti-hermitiano.

26. A tem +1 ou 1 em cada valor elemento diagonal; oito possibilidades.

33.

T

1 1 2 0 1 11 1.

1 1 0 1 1 13 31 1 2 0 1 11 1

( ) .1 1 0 1 13 3

i iA

i i

i i iK iA

i i i

- + -=

+ - - - - - +

= = - - - +

38. ObtemosA +iB = (A +iB)H=ATiBT. Ento,A =AT eB =BT.

39. (I2uuH)H=I2uuH; (I2uuH)2=I4uuH+4u(uHu)uH=I; a matriz uuH projeta-se nalinha atravs de u.

40. ( )2 2 /3 4 /34 /3 8 /3

2 5 4 2 5 44 2 5 2 5 4 tem 2 5 4 .5 4 2 2 5 4

i i

i i

C P P C e e

e e

p p

p p

l

+ + = = + + = + + + +


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41. 11 1 1 0 2 2 21

.1 2 0 4 1 26i i i

A S S i

- - - + -= = L - +

Autovalores reais 1 e 4.

42. 21 3 1 1 0 1 3 11 1

com 6 2 3.

0 11 1 3 1 1 3

i iV L

L Li i

+ - + + - = = + - + + - - +

V=VH fornece lreal, a unitria fornece l= 1 e, ento, o trao zero fornece l= 1, 1.

45. No multiplique ei xporeix; una o primeiro, ento 02p

e2ix dx = [e2ix/2i]02p= 0.

48. [1] e [1];a b ic

b ic a

+

- - com a2+ b2+c2= 1.

49. R +iS= (R +iS)H=RTiST;R simtrica, porm S antissimtrica.


1. SeB inversvel, entoBA =B(AB)B1

similar aAB.2. Se l1, . . . ,lnso autovalores deA, ento l1 + 1, ... ,ln+ 1 so autovalores deA +I. Por-

tanto,A eA +Inunca apresentam os mesmos autovalores e no podem ser similares.

4. C=N1BN=N1M1AMN= (MN)1A(MN); somente M1I M=I similar aI.

5. O valor elemento (3, 1)de M1AMgcos q+h sen q, que zero se tan q=g/h.

9. Os coeficientes so c1= 1, c2= 2, d1= 1, d2= 1; verifique Mc =d.

11. A matriz de reflexo com base v1 e v2 0 1

.1 0

A

=

As bases V1 e V2 (mesma reflexo!)

fornecem 1 0 1 1. Se0 1 1 1B M = = - - , entoA =MBM

1.

13. Os autovalores so 1, 1, 1, 1. Matrizes de autovalores1 0 0 1 0 0 0 1

, , , .0 0 1 0 0 1 1 0

-

16. (a)0 1 00 0 2 .0 0 0

D

=

(b) 30 0 00 0 00 0 0

D

= =

terceira matriz derivada. As terceiras deri-

vadas de 1, x e x2 so nulas, ento D3= 0. (c) l= 0 (triplo); somente um autovetorindependente (1, 0, 0).

18. (a) TTH =U1AUUHAH(U

1)H=I. (b) Se T triangular e unitria, ento seus valoresdiagonais (os autovalores) devem ter valor absoluto 1. Desse modo, todos os valores forada diagonal so nulos, pois as colunas devem ser vetores unitrios.

19. SeN=ULU1, entoNNH=ULU1(U1)HLHUH igual a ULLHUH.Isto o mesmo que ULHLUH= (ULU1)H(ULU1)=NHN. Ento,N normal.

21. Os valores 1, 1 de THT=TTH fornecem t112=t11

2+t122+t13

2, portanto, t12=t13= 0.Ao comparar os valores 2, 2 de THT=TTH fornece t23= 0. Portanto, Tdeve ser diagonal.

22. Os autovalores deA (A I) (A 2I)so 0, 0, 0.

24. Sempre

2

2 1 0 0 0( ) ( ) !0 1 0 0a ba bc ab bd a d ad bcc dac cd bc d

+ + - + + - = + + 30. M1J3M= 0, de modo que as duas ltimas desigualdades sejam fceis. Tentar estabelecer

a condio MJ1=J2Mfaz com que a primeira coluna de Mseja zero, ento Mno pode serinvertvel. No pode terJ1=M

1J2M.


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31. 10 10 261 45 13 9

2 ; e .80 59 16 11

AA e

= = - - - -

32. (a) (M1AM)(M1x)=M1(Ax)=M10 = 0. (b) Os espaos nulos deA e de M1AM

tm a mesma dimenso. Diferentes vetores e diferentes bases.

34.1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1

, , , , so similares; por si prpria e por0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0

si prpria.

35. (a) Escolha Mi= matriz diagonal reversa para obterM

i1 J

iM

i=M

iTem cada bloco

(b) M0 tem esses blocos Miem sua diagonal para obterM01JM0=J

T.(c) AT= (M1)TJTMT (M1)TM0

1JM0MT= (MM0M

T)1A(MM0MT) eAT similar aA.

38.2 3 2 1 1 2

2 3 0 1

2 3 1

2 3, , ; , .

0 0 0 0

k kk

k

c c c c c kc c cJ J J J I J

c c c c

- - --

-

-= = = = =

39. ( ) 1 12 3 52 6( (0) (0) (0) (0)) .tw t w tx t y t z e= + + +

42. Diagonais 6 por 6 e 4 por 4;AB tem todos os mesmos autovalores queBA mais zeros 6 4.

43. (a) Verdadeiro: um tem l= 0, o outro no. (b) Falso. Diagonalize uma matriz no sim-

trica e L simtrico. (c) Falso:0 1 0 1

e1 0 1 0

- -

so similares. (d) Verdadeiro:

todos os autovalores deA +Iaumentam em 1, portanto, so diferentes dos autovalores deA.


2. det (A lI)=l2 (a +c)l +ac b2= 0 fornece l1= ((a +c)+2 2( ) ) / 2 ea c b- +

2 22 1(( ) ( ) 4 ) /2); 0a c a c bl l= + - - + > uma soma de nmeros positivos; l2>0

porque (a +c)2>(a c)2+ 4b2 reduzida para ac > b2.Uma forma melhor: produto l1l2=ac b

2.

3. (a) 1 2

1 1 1 1 1 11 1 1 e 1 2 2 .

1 1 1 1 2 11

A A

- - - -

= - = - -

- - - (b) f1= (x1x2x3)2= 0, quandox1x2x3= 0.

(c) 2 2 22 1 2 3 2 3 3

1 0 0( ) ( 3 ) ; 1 1 0 .

1 3 1f x x x x x x L

= - - + - + = - - -

5. ac b2= 2 4 =2


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(c) O mnimo 21

2(9 )b-

-quando

1 0,

9 1b x

b y

=

que 2

1.

19x b

y b

-=

- (d) Nenhum mnimo, sejay,x =3y, entox y aproxima-se de .

9. (a) Os pivs so a e c b2/a e detA =ac b2. (b) Multiplique x22 por (c b2/a).

(c) AgoraxHAx uma soma de quadrados. (d) det =1 (indefinida) e det =+1 (defi-nida positiva).

12. a >1 e (a 1)(c 1)> b2. Isso significa queA I definida positiva.14. xTATAx = (Ax)T(Ax)= comprimento elevado ao quadrado = 0 somente seAx = 0. Como

A tem colunas independentes, isto acontece apenas quandox = 0.18. f(x,y)=x2+ 4xy + 9y2= (x + 2y)2+ 5y2;f(x,y)=x2+ 6xy + 9y2 = (x + 3y)2.19. ax2+ 2bxy +cy2 tem um ponto de sela em (0, 0)se ac < b2. A matriz indefinida (l0).

21. 4 4 84 4 88 8 16

A - = - - -

tem apenas um piv = 4, posto = 1, autovalores 24, 0, 0, detA = 0.


2. A definida positiva para a >2.B nunca definida positiva: observe1 4

.4 7

3. SexTAx >0 exTBx >0 para qualquerx 0, entoxT(A +B)x >0; condio (I).4. detA =2b3 3b2+ 1 negativa em (e prximo de) b = 23 .

5. ls positivos porqueR simtrica e3 1 3 10. ; .1 3 1 3

R R -L > = =

-

8.3 2

2 2A

- = -

tem l= 1 e 4, eixos1 1 21 e

22 1

-

ao longo dos autovetores.

10. As matrizes definidas negativas: (I)xTAx


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25.

2 1 0 2 1 13 4

1 2 1 tem pivs 2, , ; 1 2 1 singular;2 3

0 1 2 1 1 2

1 01 0 .1 0

A A

A

- - -

= - - = - - - - -

=

26. T9 3 3 0 3 1 2 0 4 8

; tem .3 5 1 2 0 2 4 3 8 25

A C CC

= = = =

28. ( )2 31 1T 2 T 2

1 2 3 2 3 1 2 32 2 22 ( ) ; ( ) .x Ax x x x x x x Bx x x x= + - = + + B tem um piv.

29. A e CTACtem l1>0, l2= 0. C(t)=tQ + (1 t)QR,1 0

,0 1

Q

= -

2 0

;0 1

R

=

Cum

autovalor positivo e um negativo, masItem dois autovalores positivos.

31.22 2 2 2 2 2 2 22 ( y) ; 2 8 10 2( 2 ) 2 .b ac b

a aax bxy cy a x y x xy y x y y-+ + = + + + + = + +

36. posto ( CTAC) postoA, mas tambm posto (CTAC) posto ((CT)1CTACC1)= postoA.

38. Grupos: matrizes ortogonais; etApara todos os t; todas as matrizes com det = 1. SeA defi-nida positiva, o grupo de todas as potnciasAkcontm somente matrizes definidas positivas.

39. Os pivs deA 12 Iso 2,5, 5,9, 0,81, ento um autovalor deA12 I negativo. EntoA

tem um autovalor menor que 12 .

40. No. Se Cno quadrada, CTACno uma matriz da mesma dimenso queA.

43. 1 26 4 /18 3 /18 54

det 0 fornece 54, .3 /18 6 4 /18 5

1 1Autovetores , .

1 1

l ll l

l l

- - -= = =

- - - -


2. T 21 1 25 20 1/ 17 4/ 17

tem apenas 85 com , ento .20 80 4/ 17 1/ 17

A A v vs = = = = -

3. T 2 21 1 2 2

T 2 21 1 2 2

2 1 1/ 2 1/ 2tem 3, com , e 1, com .1 2 1/ 2 1/ 2

1/ 61 1 0 1/ 21 2 1 tem 3, com 2/ 6 , 1, com 0 ,0 1 1 1/ 6 1/ 2

AA u u

A A v v

s s

s s

= = = = = - = = = = = -

3

1/ 3

e vetor nulo 1/ 3 .

1/ 3

v

= -

Ento [ ] [ ]T1 2 1 2 31 1 0 3 0 0 .0 1 1 0 1 0u u v v v =

4. T 2 21 22 1 3 5 3 5

tem autovalores e .1 1 2 2

A A s s + -= = =


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ComoA =AT, os autovetores deATA so os mesmos paraA. Como 12 2 (1 5)l = - nega-tiva, s1=l1, mas s2=l2. Os autovetores unitrios so os mesmos que na seo 6.2 paraA, exceto para o efeito deste sinal de subtrao (porque precisamos deAv2=s2u2):

2 2

1 1 2 21 1 2 22 21 2

/ 1 / 1e .1/ 1 1/ 1u v u v

l l l l

l l

+ + = = = - = + +

7. Multiplique USVT utilizando as colunas (de U) multiplicadas pelas linhas (de SVT).

8. A = 12 uvT tem um valor singulars1= 12.

12. Os valores singulares deA +Ino so sj+ 1. Eles surgem dos autovalores de (A +I)T

(A +I).

13. Para tornarA singular, a menor alterao define seu menor valor singulars2 para zero.

14.

14

1 14 21 14 214

1 0 0 0 1 00 1 1 0 0, 0 1 0 , 1 0 , .1 0 0 1 0 00 0 1 0 0

A B B C + + +

= = = =

A+ a inversa direita deA;B+ a inversa esquerda deB.

15. Tome1 1 0 0 1 1

e . Ento, .0 0 1 1 0 0

A B AB

= = =

A partir de C+ no problem

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Algebra Linear e Aplicacoes Solutions Manual - Gilbert Strang