Algebra de Vectores

Facultad de Ciencias Informáticas

I. Algebra de Vectores

1. Vectores

1.1 Conceptos fundamentales

1.1.1 Vector

1.1.2 Escalar

1.1.3 Magnitudes vectoriales

1.1.4 Notación

1.1.5 Clases de vectores

1.1.6 Componentes de un vector

1.1.7 Representación grafica y analítica de un vector

1.2 Álgebra de Vectores

1.2.1 Suma de Vectores

1.2.1.1 Método del paralelogramo

1.2.1.2 Método del triangulo

1.2.1.3 Método analítico para la suma y diferencia de vectores

1.2.2 Producto de un vector y un escalar

1.2.3 Producto escalar

1.2.4 Producto vectorial

1.2.5 Ángulo de dos vectores

1.2.6 Descomposición de un vector

1.2.7 Producto escalar de dos vectores

1.2.8 Derivada ordinaria de un vector

1.2.9 Derivada covalente de un vector

1.3 Modulo de un vector

1.4 Vectores en R2 y R3

1Cálculo Vectorial


1. VECTORES1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1.1. VECTOREs una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el ímpetu, etc.Gráficamente, un vector se representa por un segmento orientado OP (Fig. 1); la longitud del segmento es el módulo del vector, la dirección de segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. El punto O se llama el origen o punto de aplicación y P el extremo del vector. La recta en la que se apoya el segmento se llama directriz del vector.Analíticamente, un vector se representa por una letra con una flecha encima, por ejemplo A⃗, en la Fig. 1, el módulo se escribe ¿ A⃗∨¿ o bien A. Otros autores prefieren emplear una letra negrilla, por ejemplo A, con lo que ¿ A⃗∨¿ o A indica su módulo. El vector OP también se puede escribir O⃗P, o bien OP; en este caso su módulo es OP, ¿ O⃗P∨¿ o bien |OP|

2Cálculo Vectorial

Fig.1


1.1.2. ESCALAREs una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número, su cantidad respecto de cierta unidad de medida de su misma especie. Ejemplos típicos de escalares son la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, el trabajo, la energía, etc., y cualquier número real. Los escalares se indican por una letra de tipo ordinario. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas reglas del álgebra elemental.

1.1.3. MAGNITUDES VECTORIALESA las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que actúan. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden.

3Cálculo Vectorial


1.1.4. NOTACIÓNLas magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).Ejemplos

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω,... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre

barras la notación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los

vectores y ... o ... para los módulos.Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente así:

Los vectores unitarios o versores, cuyo modulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

1.1.5. CLASES DE VECTORES

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

4Cálculo Vectorial


Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. No tienen ni dirección ni sentido.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios. En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Equipolente: Son los que tienen igual modulo la misma dirección y el mismo sentido. La equipolencia es una relación de equivalencia que establece una partición del conjunto de los vectores en clases de equivalencia

Iguales: los que tiene la misma magnitud, dirección y sentido.

Equivalente: son los que tienen el mismo efecto.

5Cálculo Vectorial


Polares: son los que representan magnitudes físicas relacionadas con una traslación, como la velocidad lineal.

Axiales: son los que representan magnitudes físicas ligadas a una rotación como el vector, velocidad angular.

1.1.6. COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIOUn vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. (Ver Fig. 2)

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. (ver Fig. 3)

6Cálculo Vectorial

Fig. 2


En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por:

, , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

7Cálculo Vectorial

i

j

k Fig. 3


Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

1.1.7. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTORPara representar un vector gráficamente, en el espacio, necesitamos sus tres coordenadas (x, y, z). (ver Fig. 4)Ejemplo: v (3, 4,1).

El vector se obtiene uniendo el origen de coordenadas, con el punto del espacio, que posee esas coordenadas. Sentido: desde el origen al punto en cuestión.

8Cálculo Vectorial

Fig. 4


Para representarlo analíticamente es necesario definir los llamados vectores unitarios. Un vector unitario (u) es un vector de módulo la unidad y cuya dirección, sentido y punto de aplicación, coinciden con el vector v, de tal manera que la relación entre ambos es:

v = v · u = |v| . u.

Para hallar un vector unitario u, en la dirección y sentido de otro vector v, basta dividir el vector por su módulo. (ver Fig.5)

En física hay tres vectores unitarios, asignados a los tres ejes de coordenadas, que son respectivamente: i, j y k. (ver Fig. 6)

Las coordenadas de los 3 vectores unitarios son:

i (1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1).Para representar analíticamente un vector, emplearemos los vectores unitarios anteriormente mencionados. Por ejemplo el vector anterior se designa como:

9Cálculo Vectorial

Fig. 5

Fig. 6


1.2. ÁLGEBRA VECTORIALLas operaciones de adición o suma, diferencia o resta, multiplicación o producto del álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores. Veamos las definiciones fundamentales.1) Dos vectores A y B son equipolentes, si tienen el mismo

módulo, la misma dirección e idéntico sentido. Si además tienen el mismo origen o punto de aplicación, son iguales. Tanto la equipolencia como la igualdad entre los vectores dados la representaremos por A = B (Fig. 7). Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes, si el polígono que resulta al unir sus orígenes por una parte, y sus extremos por otra es un paralelogramo.

2) Dado un vector A, el vector opuesto –A, es el que tiene el mismo modulo y dirección, pero sentido contrario (Fig.8).

3) Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C obtenido trasladando el origen de B al extremo de A y uniendo el origen de A con el extremo B (Fig. 9). Analíticamente se expresa A+B=C.

10Cálculo Vectorial

-AB

A

A

Fig. 7 Fig. 8


Obsérvese que trasladando los 2 vectores a un origen común, el vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo con el origen en el origen común. Por ello se duce que la suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo.

La generalización a la suma de varios vectores es inmediata sin más que ir sumando de dos en dos sucesivamente.

4) La diferencia de los vectores A y B que se representa analíticamente por A – B, es otro vector C, tal que sumado a B produce el vector A. Dicho de otra manera, para restar dos vectores, se suma al vector minuendo el opuesto al vector sustraendo, es decir

C = A- B = A+(-B).La diferencia de vectores es un caso particular de la suma.En el caso que A = B, el vector A – B se llama vector nulo o cero y se representa por 0 o simplemente 0.

5) El producto de un escalar m por un vector A es otro vector mA, de la misma dirección que A, pero con un módulo |m| veces el de A y un sentido igual u opuesto al de A según qué el escalar m sea positivo o negativo. Si m = 0 mA es el vector nulo.

1.2.1. SUMA DE VECTORES1.2.1.1 METODO DEL PARALELOGRAMO


Fig. 9


Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver Fig. 10. El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

1.2.1.2 METODO DEL TRIANGULO O POLIGONALConsiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último. (ver Fig. 11)

1.2.1.3 METODO ANALÍTICO PARA LA SUMA Y RESTADados dos vectores libres,


Fig. 11

Fig. 10


El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

1.2.2. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAREl resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características:1.-Tiene la misma dirección que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. (Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo: Dado el vector v de componentes: vxi + vyj + vzk, el producto

3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. (ver Fig. 12)

Ejemplo:



PropiedadesEl producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:1.- Conmutativa: k • v = v • k.2.- Distributiva: k (v + u) = (k • v ) + (k • u).3.- Elemento Neutro: 1 • v = v.4.- Elemento Simétrico: -1 • v = - v.

1.2.3. PRODUCTO ESCALAREl producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

en que y corresponden a las longitudes de los

vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:


Fig. 12


es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

1.2.4. PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido.

El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el seno del ángulo que los separa.

La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos.

El sentido se calcula con la regla del tirabuzón, imaginando que gira por la recta ortogonal del origen entre uno y otro vector de tal forma que avance. Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se multiplican los vectores, ya que determina el sentido del vector resultado. (ver Fig. 13)



1.2.5. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORESEl ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

1.2.6. DESCOMPOSICIONES DE UN VECTORDado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a la velocidad y otra componente


Fig. 13


perpendicular a la misma. También la tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado integrable:

admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

1.2.7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESEs una magnitud escalar que nos informa de la tendencia de los vectores a apuntar hacia un mismo sentido y se obtiene multiplicando los módulos de los vectores por el coseno ángulo que forman. El producto escalar de dos vectores se denota por:

A B=ABcos .

De forma inmediata se deduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo (si A B = /2 y cos /2=0). Por otra parte el producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado (A A=A2).

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.



Ejemplo

1.2.8. DERIVADA ORDINARIA DE UN VECTORDado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería:



Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la Fig. 14

Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una

partícula y la función representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector


Fig. 14

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vector-valued_function.jpg


velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

1.2.9. DERIVADA COVARIANTE DE UN VECTORCuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no sólo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llamada derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen .

1.3. MÓDULO DE UN VECTOR



El módulo de un vector representa su longitud. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de sus componentes elevadas al cuadrado.

En R2 se calcula como:

En R3 se calcula como:

1.4. VECTORES EN R2 Y R3

Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

En R2:



1) La suma de dos vectores se define por:

Sean a y b vectores en R2, entonces:

a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

(ver Fig. 15)

Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores: a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

2) El producto escalar se define por:

Sea α Є R y a un vector en R2, entonces:

αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).

En R3 :


Fig. 15


La suma de vectores se define por: Sean a, b Є R3, entonces:

a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). El producto escalar se define por: Sea α Є R y a un vector en R3, entonces:

αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3). Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó <a, b>, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

a ∙ b= (a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + … + an · bn). Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

Definición: Sea a = (a1, a2, a3, …, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = <a, a>. Esto es:

Nota: El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.


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