Algebra de lie

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  • 1. Algebras de Lie Miguel A. Rodr guezDepartamento de F sica Terica II, Facultad de F osicas Universidad Complutense Madrid, Espaan1 de octubre de 2007

2. 2MAR. Algebras de Lie. Versin 4. o 3. Indice general1. Introduccino 7 1.1. Objetos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2. Morsmos . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Grupos y lgebras de Lie . . a. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Operaciones con lgebras . . a. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Algunos resultados en lgebra alineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Algebras nilpotentes, resolubles ysemisimples 17 2.1. Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Algebras resolubles . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Algebras semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Introduccin a la teor de representacionesoa27 3.1. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Reducibilidad de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 4. Algebras envolventes33 4.1. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 4.2. El teorema PBW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355. Algunos complementos39 5.1. Cohomolog de lgebras a ade Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. Graduaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Extensiones centrales . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. El lgebra de Virasoro . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5. El lgebra de Heisenberg a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6. Casimires . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506. Estructura de las lgebras de Lie semisimples a 51 6.1. Sublgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2. Algebras semisimples: races . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. Representaciones de dimensin nita de sl(2, C) . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4. Propiedades de las ra ces de un lgebra semisimplea. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.5. Sistemas fundamentales de races y -sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.6. Clasicacin de -sistemas . . . . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.7. Clasicacin de lgebras de Lie simples . . . . . .o a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.8. Algebras de Lie simples clsicas . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.8.1. sl(l + 1, K), l 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.8.2. o(2l + 1, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.8.3. sp(2l, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 4. 4MAR. Algebras de Lie. Versin 4. o 6.8.4. o(2l, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757. Automorsmos de lgebras de Lie semisimplesa77 7.1. Reexiones en el sistema de races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 7.2. El grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.3. Grupo de automorsmos de un algebra de Lie semisimple compleja . . . . . . . . . 808. Teor de representacionesa 83 8.1. Representaciones en lgebras de Lie triangulares a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 8.2. Mdulos de peso mximo . . . . . . . . . . . . . o a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 8.3. Mdulos de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . o. . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 8.4. El lgebra sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 8.5. Representaciones de dimensin nita de sl(2, C) . o. . . . . . . . . . . . . . . . . . .919. Representaciones de lgebras de Lie semisimplesa93 9.1. Pesos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 9.2. Construccin de los sistemas de pesos . . . . . . . .o . . . . . . . . . . . . . . . . .94 9.3. Diagramas de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .97 9.4. Accin del grupo de Weyl en los diagramas de pesoso . . . . . . . . . . . . . . . . .9710.Bases en espacios de representacin o101 10.1. Frmulas de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o 101 10.2. Bases de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3. Dimensiones de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.Productos tensoriales de representaciones 111 11.1. Clases de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.2. Indices de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.3. Cadenas minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.Sublgebras de lgebras de Liea a simples 119 12.1. Ejemplos de sublgebras . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.2. Sublgebras conjugadas . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.3. Pesos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 12.4. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.Sublgebras regularesa 129 13.1. Denicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o. . . . . . . . . . . 129 13.2. Sublgebras regulares maximales no semisimples . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . 130 13.3. Sublgebras regulares maximales reductivas . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . 131 13.4. Determinacin de los P-sistemas de un lgebra semisimple . . . oa . . . . . . . . . . . 133 13.5. Clculo de las sublgebras reductivas maximales de las lgebrasa a a de Liesimples . . 134 13.5.1. An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.5.2. Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.5.3. Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.5.4. Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.Sublgebras singulares de lgebras de Lieaasimples 137 14.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 14.2. Formas bilineales invariantes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.3. Matrices de Proyeccin . . . . . . . . . . .o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. MAR. Algebras de Lie. Versin 4. o515. Algebras de Kac-Moody 14515.1. Matrices de Cartan generalizadas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 15.2. El lgebra g(A) . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14715.3. El lgebra g(A) . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14715.4. Clasicacin de matrices de Cartano generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14815.5. Forma bilineal invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.Representacin de lgebras de Lie anesoa 153 16.1. Algebras anes no giradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 16.2. Ejemplo de lgebras de Lie anes no giradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156a17. Algebras anes giradas 15917.1. Automorsmos de orden nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15917.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6. 6MAR. Algebras de Lie. Versin 4. o 7. Cap tulo 1IntroduccinoLos conceptos de lgebras de Lie (objetos) y homomorsmos entre lgebras de Lie (morsmos)a ase desarrollan en las prximas secciones.o1.1. Objetos El ejemplo ms sencillo de un lgebra de Lie es el siguiente. a a Ejemplo 1.1Sea Mn (K) el espacio vectorial de las matrices de orden n n sobre un cuerpo K. Adems deaesta estructura de espacio vectorial, existe una operacin de multiplicacin en este conjunto cono olas siguientes propiedades. Si A, B, C Mn (K):1. Distributiva: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC2. Asociativa: A(BC) = (AB)C3. En general, AB = BA4. La matriz identidad verica: AI = IA = A Se dice que Mn (K) es un lgebra asociativa no conmutativa con elemento unidad. En este aconjunto denimos una nueva operacin de la forma siguiente: o[ ] : Mn (K) Mn (K) Mn (K)(1.1) (A, B) [A, B] = AB BAque tiene las siguientes propiedades:1. Antisimtrica: [A, B] = [B, A]e2. Jacobi: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Se dice que Mn (K) es un lgebra de Lie con esta operacin (conmutador de dos matrices). aoComo veremos, toda lgebra de Lie de dimensin nita se obtiene esencialmente de esta forma.a o Un lgebra sobre un cuerpo K (que siempre consideraremos de caracter astica cero, y ms aconcretamente en estas notas R o C) se dene de la siguiente forma:Denicin 1.1 Un lgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial A, sobre K, en el que seoadene una operacin (producto): oA A A(1.2)(x, y) xyque tiene las siguientes propiedades: 7 8. 8 MAR. Algebras de Lie. Versin 4.o1. x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, x, y, z A2. (xy) = (x)y = x(y), K, x, y A La dimensin del lgebra es la dimensin de A como espacio vectorial sobre K. Uno de las casosoa oms interesantes de lgebras lo constituyen las lgebras asocia