Algebra

GHEORGHE PROCOPIUC

ALGEBRA LINIARASI

GEOMETRIE

IASI, 2002

Cuprins

1 MATRICE SI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 31.1 Matrice si determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Operatii cu matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Determinantul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Sisteme de ecuatii algebrice liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Sisteme Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Sisteme omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 SPATII VECTORIALE 132.1 Definitia spatiului vectorial. Consecinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Exemple de spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Exemple de subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Intersectii si sume de subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Subspatiul generat de un sistem de vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Dependenta si independenta liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Baza si coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9 Schimbari de baze si coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 APLICATII LINIARE PE SPATII VECTORIALE 273.1 Aplicatii liniare. Nucleu si imagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Operatii cu aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Aplicatii liniare pe spatii finit dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Matricea unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2 Rangul si defectul unei aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Legea de schimbare a matricei aplicatei liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Diagonalizarea transformarilor liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5.1 Valori proprii si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.2 Existenta matricei diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 FORME LINIARE, BILINIARE SI PATRATICE 404.1 Forme liniare. Spatiul vectorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

GHEORGHE PROCOPIUC - ALGEBRA LINIARA SI GEOMETRIE 3

4.3.1 Definitia unei forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2 Reducerea unei forme patratice la expresia canonica . . . . . . . . 454.3.3 Forme patratice reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 SPATII EUCLIDIENE 525.1 Spatiu euclidian. Produs scalar, norma, distanta, unghi . . . . . . . . . . 525.2 Baze ortonormate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 Subspatii ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Transformari liniare ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Transformari liniare simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Forme patratice pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 ALGEBRA VECTORIALA 676.1 Notiunea de vector ın geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Spatiul vectorial al vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Vectori coliniari si vectori coplanari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Baze ın spatiul vectorial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 Subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Orientarea spatiului vectorial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.7 Proiectia unui vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.8 Produse de vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.8.1 Produsul scalar. Structura euclidiana a lui V . . . . . . . . . . . . 796.8.2 Produsul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.8.3 Produsul mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.8.4 Produsul dublu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.9 Ecuatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 SPATIUL PUNCTUAL EUCLIDIAN 897.1 Spatiul punctual afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.1 Subspatii punctuale afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2 Repere carteziene. Coordonatele unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3 Aplicatii ale calculului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Distanta dintre doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3.2 Impartirea unui segment orientat ıntr-un raport dat . . . . . . . . 937.3.3 Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale . . . . . . . 937.3.4 Aria unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.5 Volumul unui tetraedru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Schimbarea reperelor carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.5 Schimbarea reperelor carteziene ortonormate . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.1 Schimbarea reperelor ortonormate ın plan . . . . . . . . . . . . . . 977.5.2 Schimbarea reperelor ortonormate ın spatiu . . . . . . . . . . . . . 98

7.6 Repere polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6.1 Repere polare ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6.2 Repere polare ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.7 Reprezentari analitice: curbe si suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.7.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


7.7.2 Suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.7.3 Curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 DREAPTA SI PLANUL 1078.1 Dreapta ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.1.1 Dreapta determinata de un punct si subspatiul ei director . . . . . 1078.1.2 Ecuatia normala a dreptei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.1.3 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.4 Probleme asupra dreptei ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.2.1 Planul determinat de un punct si subspatiul sau director . . . . . . 1138.2.2 Ecuatia normala a planului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.2.3 Planul determinat de trei puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.2.4 Probleme asupra planului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3 Dreapta ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.3.1 Dreapta determinata de un punct si subspatiul ei director . . . . . 1178.3.2 Dreapta ca intersectie a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.3 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.4 Probleme asupra dreptei ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.4 Probleme asupra dreptei si planului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4.1 Pozitiile relative a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4.2 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4.3 Pozitia relativa a unei drepte fata de un plan . . . . . . . . . . . . 1238.4.4 Proiectia unei drepte pe un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4.5 Perpendiculara comuna a doua drepte necoplanare . . . . . . . . . 125

8.5 Cilindri, conuri, conoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5.1 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5.2 Conuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.5.3 Conoizi cu plan director . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9 CERCUL SI SFERA 1329.1 Cercul ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.1 Definitia cercului. Caracterizari analitice . . . . . . . . . . . . . . . 1329.1.2 Cercul prin trei puncte necoliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.1.3 Intersectia unui cerc cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.1.4 Tangente la cerc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.2 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.2.1 Definitia sferei. Caracterizari analitice . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.2.2 Sfera prin patru puncte necoplanare . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.2.3 Intersectia unei sfere cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.2.4 Probleme de tangenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2.5 Intersectia unei sfere cu un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.3 Suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


10 CONICE SI CUADRICE 14610.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.1.1 Definitia comuna a conicelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.1.2 Forma conicelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.1.3 Reprezentari parametrice. Constructii prin puncte . . . . . . . . . 151

10.2 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.1 Cuadrice nedegenerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.2 Cuadrice degenerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.2.3 Generatoarele rectilinii ale cuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11 CURBE ALGEBRICE DE ORDINUL AL DOILEA 16211.1 Transformari liniare asociate unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2 Centrele unei curbe algebrice de ordinul al doilea . . . . . . . . . . . . . . 16311.3 Reducerea ecuatiei la expresia canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.4 Invariantii ortogonali ai unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.5 Clasificarea metrica a conicelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.6 Proprietati diametrale si asimptotice ale conicelor . . . . . . . . . . . . . . 170

11.6.1 Intersectia unei conice cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.6.2 Tangente la o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.6.3 Diametrii conjugati. Directii principale. Axele unei conice . . . . . 17311.6.4 Directii asimptotice. Asimptotele unei conice . . . . . . . . . . . . 176

12 SUPRAFETE ALGEBRICE DE ORDINUL AL DOILEA 17812.1 Transformari liniare asociate unei suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.2 Centrele unei suprafete algebrice de ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . 17912.3 Reducerea ecuatiei la expresia canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.4 Invariantii ortogonali ai unei cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.5 Clasificarea metrica a cuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.6 Proprietati diametrale si asimptotice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.6.1 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.6.2 Tangente la o cuadrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.6.3 Diametrii conjugati. Directii principale . . . . . . . . . . . . . . . 19212.6.4 Directii asimptotice. Asimptotele unei cuadrice . . . . . . . . . . . 194

13 ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA 19713.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

13.1.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19713.1.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . . 20013.1.3 Punctele multiple ale unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.1.4 Elementul de arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.1.5 Cerc osculator. Curbura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.1.6 Interpretarea geometrica a curburii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.1.7 Infasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . . . . . . . . 20713.1.8 Evoluta unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.1.9 Evolventa unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.1.10Formulele lui Frenet pentru o curba plana . . . . . . . . . . . . . . 210


13.1.11Ramuri infinite. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21113.1.12Trasarea graficului unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.2 Curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.2.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.2.2 Tangenta si planul normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.2.3 Elementul de arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21813.2.4 Planul osculator. Reperul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 21913.2.5 Curbura unei curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22213.2.6 Torsiunea unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.2.7 Formulele lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13.3 Suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.3.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.3.2 Curbe pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813.3.3 Planul tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . 22913.3.4 Linii si retele pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23113.3.5 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . . 23213.3.6 A doua forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . 23413.3.7 Curbura normala. Curburi principale . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Capitolul 1

MATRICE SI SISTEMEALGEBRICE LINIARE

1.1 Matrice si determinanti

1.1.1 Operatii cu matrice

Fie M = 1, 2, . . . ,m si N = 1, 2, . . . , n multimile primelor m, respectiv n numerenaturale si K un corp comutativ (R sau C).

Definitia 1.1 Se numeste matrice de tipul m× n peste K o aplicatie A : M ×N → K.

Daca A(i, j) = aij ∈ K, i ∈ M , j ∈ N , vom nota matricea A sub forma

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

,

adica printr-un tablou cu m linii si n coloane care contine valorile aplicatiei A sau subforma A = ||aij ||.

Vom nota cu Mm×n(K) multimea tuturor matricelor de tipul m × n peste K. Incazul m = n, se obtine multimea matricelor patratice de ordinul n, notata Mn(K).

Doua matrice A = ||aij ||, B = ||bij || ∈ Mm×n(K) sunt egale daca aij = bij , pentrutoti i = 1,m, j = 1, n.

Definitia 1.2 Numim suma a matricei A cu matricea B matricea

A + B = ||aij + bij || ∈ Mm×n(K).

7


Adunarea este asociativa, adica oricare ar fi matricele A,B,C ∈ Mm×n(K) avem(A + B) + C = A + (B + C), are ca element neutru matricea ale carei elemente sunttoate egale cu 0, notata 0 si se numeste matricea nula. Pentru orice A ∈ Mm×n(K)avem A + 0 = 0 + A = A si orice element din Mm×n(K) are un simetric, adica oricarear fi A ∈ Mm×n(K), exista o matrice notata −A, numita opusa matricei A, a.ı. A +(−A) = (−A) + A = 0. In plus adunarea este si comutativa, adica oricare ar fi matriceleA,B ∈Mm×n(K) avem A + B = B + A. In concluzie, multimea Mm×n(K) formeaza ınraport cu operatia de adunare un grup aditiv abelian.

Fie A ∈Mm×n(K) si B ∈Mn×p(K).

Definitia 1.3 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

AB = ||n

∑

j=1

aijbjk|| ∈ Mm×p(K).

Inmultirea este asociativa, adica oricare ar fi A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) siC ∈ Mp×q(K) avem (AB)C = A(BC), este distributiva la stanga fata de adunare,adica oricare ar fi A ∈ Mm×n(K) si B, C ∈ Mn×p(K) avem A(B + C) = AB + AC,este distributiva si la dreapta fata de adunare, adica oricare ar fi A, B ∈ Mm×n(K) siC ∈Mn×p(K) avem (A + B)C = AC + BC.

In multimea Mn(K) exista un element neutru fata de ınmultire si anume matricea

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

,

sau In = ||δij ||, unde

δij =

1, pentrui = j0, pentrui 6= j

sunt simbolurile lui Kronecker, care are proprietatea ca oricare ar fi A ∈Mn(K), AIn =InA = A. In se numeste matricea unitate de ordinul n.

Sa mai observam ca daca A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn×m(K), desi au sens produseleAB si BA, totusi, ın general, AB 6= BA, adica ınmultirea nu este comutativa.

Multimea Mn(K) formeaza un inel cu element unitate.Fie A = ||aij || ∈ Mm×n(K) si λ ∈ K.

Definitia 1.4 Numim produs al matricei A cu scalarul λ matricea

λA = ||λaij || ∈ Mm×n(K).

Inmultirea cu scalari are urmatoarele proprietati:

1. λ(A + B) = λA + λB, ∀λ ∈ K, ∀A, B ∈Mm×n(K);

2. (λ + µ)A = λA + µA, ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈Mm×n(K);

3. (λµ)A = λ(µA), ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈Mm×n(K);


4. 1A = A, ∀A ∈Mm×n(K).

Fie A = ||aij || ∈ Mm×n(K).

Definitia 1.5 Numim transpusa a matricei A matricea notata tA = ||aji|| ∈ Mn×m(K),care are drept linii, respectiv coloane, coloanele, respectiv liniile matricei A.

Operatia de transpunere a unei matrice are urmatoarele proprietati:

1. t(A + B) = tA + tB, ∀A,B ∈Mm×n(K);

2. t(AB) = tB tA, ∀A ∈Mm×n(K), ∀B ∈Mn×p(K);

3. t(λA) = λ tA, ∀λ ∈ K, ∀A ∈Mm×n(K).

Spunem ca matricea patratica A este simetrica daca tA = A si antisimetrica dacatA = −A.

1.1.2 Determinantul unei matrice

Fie A = ||aij || ∈ Mn(K) o matrice patratica.

Definitia 1.6 Numim determinant al matricei A elementul D(A) ∈ K dat de

D(A) =∑

σ∈Sn

ε(σ)a1i1a2i2 . . . anin ,

unde Sn este multimea permutarilor multimii 1, 2, . . . , n, iar ε(σ) este signatura per-mutarii σ.

Determinantul matricei A se noteaza

D(A) = det A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Proprietatile determinantilor

1. Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul acelei matrice:D(tA) = D(A).

Rezulta ca orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevarata sipentru coloane.

2. Daca elementele unei linii i sunt sume de cate doi termeni, aij = a′ij + a′′ij , j = 1, nsi A′ (respectiv A′′) este matricea care se obtine din A ınlocuind elementele linieii cu a′ij (respectiv a′′ij), atunci D(A) = D(A′) + D(A′′).

3. Daca elementele unei linii se ınmultesc cu un scalar λ, atunci determinantul seınmulteste cu λ.

4. Daca ıntr-un determinant se schimba ıntre ele doua linii, atunci se schimba semnuldeterminantului.


Consecinte

(i) Un determinant este nul daca: toate elementele unei linii sunt nule, are doua liniiegale, are doua linii proportionale, una dintre linii este o combinatie liniara de altelinii.

(ii) Valoarea unui determinant nu se schimba daca la elementele unei linii adaugamcombinatii liniare formate cu elementele celorlalte linii.

Calculul determinantilor

Fie A = ||aij || ∈ Mn(K) o matrice patratica si p ≤ n, un numar natural.

Definitia 1.7 Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei de or-dinul p formata cu elementele situate la intersectia a p linii si p coloane ale matriceiA.

Daca i1 < i2 < . . . < ip si j1 < j2 < . . . < jp sunt p linii si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunzator este

M =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ai1j1 ai1j2 . . . ai1jp

ai2j1 ai2j2 . . . ai2jp

. . . . . . . . . . . .aipj1 aipj2 . . . aipjp

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Definitia 1.8 Numim minor complementar minorului M de ordinul p al matricei Adeterminantul Mc de ordinul n−p al matricei extrase din A prin suprimarea celor p liniisi p coloane corespunzatoare lui M .

Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij . Minorii complementariai acestora sunt determinanti de ordinul n− 1.

Definitia 1.9 Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementul dinK dat de C = (−1)sMc, unde s = (i1 + i2 + . . . + ip) + ( j1 + j2 + . . . + jp), adica sumaindicilor liniilor si coloanelor matricei A utilizate ın M .

Determinantul matricei patratice de ordinul n−1 care se obtine din A prin suprimarealiniei i si coloanei j se numeste minorul complementar al elementului aij si se noteaza cuMij . Numarul Cij = (−1)i+jMij se numeste complementul algebric al elementului aij .

Teorema 1.1 (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu sumaproduselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane)fixate ale matricei A prin complementii lor algebrici.

In particular, pentru p = 1, rezulta ca oricare ar fi i ∈ 1, 2, . . . , n fixat, are locegalitatea

D(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin, (1.1)

numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa linia i. In mod asemana-tor, pentru orice j ∈ 1, 2, . . . , n fixat, are loc egalitatea

D(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj , (1.2)


numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa coloana j.Sa observam ca daca ın matricea A ınlocuim linia i cu linia k, matricea astfel obtinuta

avand doua linii identice, are determinantul nul. Aplicand acestui determinant formula(1.1), gasim ca

ak1Ci1 + ak2Ci2 + · · ·+ aknCin = δki D(A). (1.3)

Determinantul produsului a doua matrice

Teorema 1.2 Determinantul produsului a doua matrice A si B este egal cu produsuldeterminantilor celor doua matrice, adica D(AB) = D(A)D(B).

/ Fie A = ||aij ||, B = ||bjk||, C = AB = ||cik|| ∈ Mn(K), cu

cik =n

∑

j=1

aijbjk, i, k = 1, n. (1.4)

Construim matricea patratica de ordinul 2n

P =

a11 a12 . . . a1n 0 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 0−1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n

0 −1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . −1 bn1 bn2 . . . bnn

.

Dezvoltand determinantul matricei P , folosind Teorema lui Laplace, dupa primele n linii,obtinem D(P ) = D(A)D(B).

Pe de alta parte, matricea P poate fi transformata, fara a modifica valoarea deter-minantului ei, folosind proprietatile determinantilor, ıncat la intersectia ultimelor n liniisi n coloane sa obtinem zerouri. Pentru aceasta este suficient ca la elementele coloanein + k sa adunam elementele corespunzatoare ale primelor n coloane ınmultite respectivcu b1k, b2k, . . ., bnk, pentru k = 1, n. Tinand seama de (1.4), matricea P devine

Q =

a11 a12 . . . a1n c11 c12 . . . c1na21 a22 . . . a2n c21 c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann cn1 cn2 . . . cnn

−1 0 . . . 0 0 0 . . . 00 −1 . . . 0 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . −1 0 0 . . . 0

.

Dezvoltand determinantul matricei Q, folosind Teorema lui Laplace, dupa ultimele nlinii, obtinem D(Q) = (−1)2n(n+1)D(C) = D(C). Cum D(P ) = D(Q), deducem caD(AB) = D(A)D(B).


Matrice inversabile

O matrice patratica A al carei determinant este nenul se numeste nesingulara, iar dacaD(A) = 0 matricea se numeste singulara.

Spunem ca matricea A ∈Mn(K) este inversabila daca exista o matrice notata A−1 ∈Mn(K) a.ı.

A ·A−1 = A−1 ·A = In. (1.5)

Matricea A ∈ Mn(K) este inversabila d.d. este nesingulara, adica D(A) 6= 0. Ma-tricea A−1 se numeste inversa matricei A. Pentru calculul inversei matricei A se obtinemai ıntai matricea A∗ numita adjuncta sau reciproca matricei A, ınlocuind fiecare elemental matricei tA prin complementul sau algebric. Adica, A∗ = ||a∗ij ||, cu a∗ij = Cji. Atunci

A−1 =1

D(A)A∗.

Ca matricea A−1 astfel obtinuta verifica (1.5) rezulta imediat din (1.3). Operatia deinversare a matricelor are urmatoarele proprietati

(tA)−1 = t(A−1), (A−1)−1 = A,

(kA)−1 =1k

A−1, k 6= 0, (AB)−1 = B−1A−1.

Rangul unei matrice

Fie A ∈ Mm×n(K) si p ≤ min(m,n). Prin suprimarea ın matricea A a m − p linii si an− p coloane, se obtine o matrice patratica de ordinul p al carei determinant se numesteminor de ordinul p al matricei A.

Spunem ca matricea A are rangul r daca exista ın A cel putin un minor de ordinul rdiferit de zero si toti minorii de ordin mai mare decat r, daca exista, sunt egali cu zero.

Numim transformari elementare asupra liniilor (coloanelor) matricei A:

(1) schimbarea a doua linii (coloane) ıntre ele;

(2) ınmultirea elementelor unei linii (coloane) cu un scalar nenul;

(3) adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor corespunzatoare altei linii(coloane) ınmultite cu un scalar.

Matricele obtinute din matricea A prin transformari elementare au acelasi rang ca simatricea A.


1.2 Sisteme de ecuatii algebrice liniare

1.2.1 Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute

Prin sistem algebric liniar de m ecuatii cu n necunoscute ıntelegem un ansamblu de mrelatii de forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,· · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,

saun

∑

j=1

aijxj = bi, i = 1,m (1.6)

ın care aij , bi ∈ K, i = 1, m, j = 1, n, sunt date, iar xj , i = 1, n sunt necunoscutelesistemului.

Matricea A = ||aij || ∈ Mm×n(K) se numeste matricea coeficientilor, iar

B =

b1

b2

. . .bm

∈ Km

matricea coloana a termenilor liberi. Fie X = t(x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn matricea coloana anecunoscutelor, atunci sistemul se scrie sub forma matriceala

AX = B. (1.7)

Matricea [A,B] se numeste matricea extinsa a sistemului.Prin solutie a sistemului (1.6) ıntelegem orice n-upla (α1, α2, . . . , αn) ∈ Kn care

verifica toate cele m ecuatii ale sistemului, deci pentru care avem

n∑

j=1

aijαj = bi, i = 1,m.

Sistemul (1.6) se numeste compatibil daca are cel putin o solutie si incompatibil ın cazcontrar. Daca sistemul, compatibil fiind, are o singura solutie se numeste determinat, iardaca are mai multe solutii se numeste nedeterminat.

Doua sisteme care au aceleasi solutii se numesc echivalente.Aplicand transformari elementare liniilor matricei extinse a sistemului (1.6), se obtin

matrice extinse ale unor sisteme echivalente cu sistemul (1.6).Fie r = rg A. Presupunem ca det ||aαβ || 6= 0, α, β = 1, r. Prin transformari ele-


mentare asupra liniilor, matricea [A,B] poate fi adusa la forma

[P,Q] =

p11 p12 . . . p1r . . . p1n | q10 p22 . . . p2r . . . p2n | q2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . .0 0 . . . prr . . . prn | qr

0 0 . . . 0 . . . 0 | qr+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . .0 0 . . . 0 . . . 0 | qm

, (1.8)

ın care pαα 6= 0, α = 1, r. Sistemul care are drept matrice extinsa matricea [P, Q] esteechivalent cu sistemul (1.6).

Daca r = m sistemul este compatibil. Pentru r < m din (1.8) deducem urmatoareateorema de compatibilitate.

Teorema 1.3 Sistemul (1.6) este compatibil d.d. toti

qr+1 = qr+2 = . . . = qm = 0.

Daca sistemul este compatibil si r = n el are o singura solutie, adica este compatibildeterminat, iar daca r < n el admite ∞n−r solutii, adica este compatibil nedeterminat.

Teorema 1.4 (Teorema lui Kronecker-Capelli) Sistemul (1.6) este compatibil d.d.rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adica

rg A = rg[A,B].

Un minor nenul de ordinul r al matricei A se numeste minor principal. Ecuatiilesi necunoscutele ale caror coeficienti intra ın formarea acestui minor se numesc princi-pale. Minorii de ordinul r + 1 obtinuti prin bordarea minorului principal cu elementelecorespunzatoare ale coloanei termenilor liberi, precum si cu cele ale uneia dintre liniilecorespunzatoare unei ecuatii secundare se numesc minori caracteristici. Pentru un sistemde m ecuatii, cu rangul matricei sistemului egal cu r, exista minori caracteristici numaidaca m > r, iar numarul lor este m − r. Putem atunci formula teorema precedenta siastfel:

Teorema 1.5 (Teorema lui Rouche-Frobenius) Sistemul (1.6), cu r < m, este com-patibil d.d. toti minorii caracteristici sunt egali cu zero.

Analiza naturii unui sistem liniar se poate face ın conformitate cu urmatoarea schemalogica.


@@

@

@@

@

r = n

Sistem compatibil

-DA NU

? ?@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

r = m r = r′-NU NU

?

?

?

-

r = rgA

r′ = rg[A, B]

AX = B

A ∈Mm×n(K)

B ∈Mm×1(K)

DA DA

Sist. incomp.

Sist. comp. det. Sist. comp. nedet.

In fiecare caz de compatibilitate, rezolvarea sistemului se face plecand de la matriceaextinsa sub forma (1.8). Metoda aceasta se numeste metoda eliminarii (Gauss). Eapoate fi ımbunatatita, aplicand ın continuare transformari elementare liniilor matricei[P, Q] pana cand toate elementele nediagonale ale matricei P devin nule. In acest cazmetoda se numeste metoda eliminarii complete (Gauss-Jordan).

1.2.2 Sisteme Cramer

Un sistem liniar ın care r = m = n se numeste sistem Cramer. Un astfel de sistem sescrie:

n∑

j=1

aijxj = bi, i = 1, n,

cu D(A) 6= 0.Un sistem Cramer este totdeauna compatibil determinat. Solutia sa se poate obtine

cu formulele lui Cramer:

xj =D(Aj)D(A)

, j = 1, n,


ın care matricea Aj se obtine din matricea A prin ınlocuirea coloanei j cu coloana ter-menilor liberi.

Intr-adevar, deoarece det A 6= 0, matricea A este inversabila. Din (1.7), ınmultind lastanga cu A−1, gasim

X = A−1B =1

D(A)A∗B.

De unde, cu (1.2) pentru Aj , rezulta:

xj =1

D(A)(b1C1j + b2C2j + · · ·+ bnCnj) =

1D(A)

D(Aj), j = 1, n.

1.2.3 Sisteme omogene

Un sistem liniar cu toti bi = 0, i = 1,m, se numeste omogen. El are deci forma

n∑

j=1

aijxj = 0, i = 1,m.

Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel putin solutia banala:x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Un sistem omogen cu n necunoscute si rangul r admite si solutii diferite de solutiabanala d.d. r < n.

Un sistem omogen de n ecuatii cu n necunoscute admite si solutii diferite de solutiabanala d.d. D(A) = 0.

Capitolul 2

SPATII VECTORIALE

2.1 Definitia spatiului vectorial. Consecinte

Fie V o multime nevida ale carei elemente vor fi notate cu litere mici ale alfabetuluilatin a, b, c, . . . , x, y, z si (K, +, ·) un corp comutativ (camp), ale carui elemente vor finotate cu litere mici ale alfabetului grec sau latin: α, β, γ, . . . , a, b, c, . . . . Elementulnul din K este 0, elementul unitate 1. Elementele lui K vor fi numite scalari.Definitia 2.1 Doua legi de compozitie binare pe V , una interna σ : V ×V → V , numitaadunare σ(u,v) = u + v si una externa τ : V × K → V , numita ınmultire cu scalariτ(a,u) = au, determina pe V o structura algebrica de spatiu vectorial (liniar) pestecampul K, daca:

I. (V, +) este grup abelian, adica:1. Adunarea este asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), ∀u,v,w ∈ V ;2. Adunarea este comutativa: u + v = v + u, ∀u,v ∈ V ;3. Exista un element 0 ∈ V a.ı. u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V ;4. ∀u ∈ V exista −u ∈ V a.ı. u + (−u) = (−u) + u = 0.II. Inmultirea cu scalari satisface axiomele:1. a(u + v) = au + av, ∀a ∈ K, ∀u,v ∈ V ;2. (a + b)u = au + bu, ∀a, b ∈ K, ∀u ∈ V ;3. (ab)u = a(bu), ∀a, b ∈ K, ∀u ∈ V ;4. 1u = u, ∀u ∈ V .

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori. Elementul neutru al grupului(V, +), 0, se numeste vectorul nul. Vectorul −u se numeste opusul vectorului u.

Spunem ca V este un spatiu vectorial real sau complex dupa cum K = R sau K = C.Cateva consecinte ale definitiei precedente.

Consecinta 2.1 (Unicitatea elementului neutru) In orice spatiu vectorial, vectorul nul0 este unic.

17


/ Fie 01 si 02 a.ı. (a) u + 01 = u, (b) u + 02 = u, pentru orice u ∈ V . Luand ın (a)u = 02, iar ın (b) u = 01 si tinand seama de comutativitatea adunarii, avem:

02 = 02 + 01 = 01 + 02 = 01.

Deci, elementul nul din V este unic. .

Consecinta 2.2 (Unicitatea opusului unui vector) Pentru orice vector u ∈ V exista unsingur vector v ∈ V a.ı. u + v = 0.

/ Fie v1,v2 ∈ V a.ı. u + v1 = 0, u + v2 = 0. Folosind axiomele I.1.-I.3., avem

v1 = 0 + v1 = (u + v2) + v1 = u + (v2 + v1)

= u + (v1 + v2) = (u + v1) + v2 = v2.

Avand definit opusul unui vector, putem defini diferenta u− v a doi vectori din V prinu− v = u + (−v). .

Consecinta 2.3 Fie a ∈ K si u ∈ V . Atunci au = 0 d.d. a = 0 sau u = 0.

/ Avem u + 0u = 1u + 0u = (1 + 0)u = 1u = u. Tinand seama de unicitateaelementului neutru, deducem ca 0u = 0. In continuare, avem a0 + au = a(0 + u) = ausi ın baza aceluiasi argument gasim a0 = 0.

Reciproc, presupunem ca au = 0. Daca a 6= 0, atunci u = 1u = (a−1a)u =a−1(au) = a−10 = 0. Deci daca au = 0 atunci a = 0 sau u = 0. .

Consecinta 2.4 Pentru orice vector u ∈ V avem (−1)u = −u.

/ Pentru orice vector u ∈ V putem scrie: u + (−1)u = 1u + (−1)u = (1 − 1)u =0u = 0, ıncat (−1)u = −u. .

2.2 Exemple de spatii vectoriale

Exemplul 2.1 Orice corp comutativ K poate fi considerat ca spatiu vectorial peste elınsusi, fata de operatiile ce definesc structura sa de corp. Putem deci vorbi de spatiulvectorial real R al numerelor reale si de spatiul vectorial complex C al numerelor com-plexe. Multimea C a numerelor complexe poate fi organizata si ca spatiu vectorial real.

Exemplul 2.2 Spatiul vectorial artimetic Kn. Pe produsul cartezian

Kn = K ×K × . . .×K = x = (x1, x2, . . . , xn), xi ∈ K, i = 1, n,

se poate defini o structura de K-spatiu vectorial, numita structura canonica de spatiuvectorial a lui Kn, astfel:

- operatia interna pe Kn, adunarea se defineste prin:

∀x,y ∈ Kn, x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ∈ Kn;


- operatia externa se defineste prin:

∀a ∈ K, ∀x ∈ Kn, ax = (ax1, ax2, . . . , axn) ∈ Kn.

Elementul nul din Kn este 0 = (0, 0, . . . , 0), iar opusul unui element x este vectorul−x = (−x1,−x2, . . . ,−xn). Se verifica usor restul axiomelor. In particular Rn si Cn

sunt spatii vectoriale.

Exemplul 2.3 Spatiul vectorial V n. Fie V un spatiu vectorial peste campul K si

V n = V × V × . . .× V = u = (u1,u2, . . . ,un),ui ∈ V, i = 1, n.

Definim operatiile de adunare si ınmultire cu scalari din K, astfel:

∀u,v ∈ V n, u + v = (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn) ∈ V n,

∀a ∈ K, ∀u ∈ V n, au = (au1, au2, . . . , aun) ∈ V n.

V n formeaza un spatiu vectorial. Elementul nul este 0 = (0, 0, . . . , 0), iar opusul vectoru-lui u = (u1,u2, . . . ,un) este vectorul −u = (−u1,−u2, . . . ,−un). Se verifica usor restulaxiomelor.

Exemplul 2.4 Spatiul vectorial Mm×n(K). Notam cu Mm×n(K) multimea ma-tricelor dreptunghiulare cu m linii si n coloane, cu elemente din corpul comutativ K.

Daca A = ||aij ||, B = ||bij || ∈ Mm×n(K), definim suma prin:

A + B = ||aij + bij || ∈ Mm×n(K),

iar pentru λ ∈ K, definim produsul cu scalarul λ, prin

λA = ||λaij || ∈ Mm×n(K).

Elementul neutru la adunare este matricea nula 0, cu toate elementele zero, iar opusamatricii A = ||aij || este matricea −A = || − aij ||.

Daca m = n se obtine spatiul vectorial al matricelor patrate de ordinul n, notatMn(K).

Exemplul 2.5 Spatiul vectorial C[a, b]. Notam cu C[a, b] multimea functiilor con-tinue pe [a, b] cu valori reale. Definim cele doua operatii prin:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ [a, b], ∀f, g ∈ C[a, b],

∀a ∈ R, (af)(x) = a · f(x), ∀x ∈ [a, b], ∀f ∈ C[a, b].

Cum suma a doua functii continue si produsul cu un numar real al unei functii continuesunt functii continue, rezulta ca f + g, af ∈ C[a, b]. Se verifica usor axiomele spatiuluivectorial.

Exemplul 2.6 Spatiul vectorial Kn[x]. Multimea Kn[x] a polinoamelor de grad celmult n cu coeficienti din K formeaza un spatiu vectorial.


Exemplul 2.7 Spatiul vectorial V A. Fie A o multime oarecare nevida si V un spatiuvectorial. Notam cu V A = f |f : A → V multimea functiilor definite pe A cu valori ınV . Definim cele doua operatii prin:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ A, ∀f, g ∈ V A,

∀a ∈ K, (af)(x) = a · f(x), ∀x ∈ A], ∀f ∈ V A.

Functia f(x) = 0, ∀x ∈ A este elementul neutru la adunare. Opusul unui elementf ∈ V A este elementul −f ∈ V A, definit prin (−f)(x) = −f(x), ∀x ∈ A.

Exemplul 2.8 Complexificatul CV al unui spatiu vectorial real V . Fie V unspatiu vectorial real. Definim pe V 2 = V × V o structura complexa astfel:

- adunarea:

∀(u1,v1), (u2,v2) ∈ V 2, (u1,v1) + (u2,v2) = (u1 + u2,v1 + v2),

- ınmultirea cu scalari:

∀a + ib ∈ C, (u,v) ∈ V 2, (a + ib)(u,v) = (au− bv, av + bu).

Prin calcul direct se constata ca sunt satisfacute axiomele spatiului vectorial. V 2 custructura de spatiu vectorial complex se numeste complexificatul lui V .

2.3 Subspatii vectoriale

Definitia 2.2 O submultime nevida S ⊂ V se numeste subspatiu vectorial (liniar) al luiV daca cele doua operatii definite pe V induc pe S o structura de spatiu vectorial pesteK.

Teorema 2.1 Submultimea S ⊂ V este subspatiu vectorial al lui V d.d.

∀u,v ∈ S =⇒ u + v ∈ S, (2.1)

∀a ∈ K, ∀u ∈ S =⇒ au ∈ S. (2.2)

/ Necesitatea rezulta din definitiile subspatiului si spatiului vectorial, caci: σ :S × S → S, τ : S ×K → S.

Suficienta. Din (2.2) pentru a = −1 si Consecinta 2.4, rezulta ca pentru orice u ∈ S,avem −u ∈ S. Apoi, din (2.1) pentru v = −u, rezulta 0 = u + (−u) ∈ S. Celelalteaxiome din definitia spatiului vectorial fiind verificate pe V sunt verificate si pe S si deciS este subspatiu vectorial al lui V . .

Teorema 2.2 (de caracterizare a subspatiilor vectoriale) O conditie necesara si sufi-cienta ca submultimea nevida S a lui V sa fie subspatiu vectorial al lui V este ca

∀a, b ∈ K, ∀u,v ∈ S =⇒ au + bv ∈ S.


2.4 Exemple de subspatii

Sa observam mai ıntai ca ın orice spatiu vectorial V , submultimea S = 0, constandnumai din vectorul nul, este un subspatiu vectorial al lui V , deoarece pentru orice a, b ∈K, a0 + b0 ∈ S. Evident, V este subspatiu al lui V . Orice alt subspatiu al lui V , diferitde acestea doua, se numeste subspatiu propriu.Exemplul 2.9 Fie S ⊂ Kn, definita prin S = x = (0, x2, . . . , xn), xi ∈ K, i = 2, n.Pentru orice a, b ∈ K si orice x,y ∈ S, avem

ax + by = a(0, x2, . . . , xn) + b(0, y2, . . . , yn) = (0, ax2 + by2, . . . , axn + byn),

deci ax + by ∈ S si ca atare S este subspatiu vectorial al lui Kn.

Multimea S din exemplul precedent se mai poate scrie sub forma

S = x = (x1, x2, . . . , xn), x1 = 0.

Putem atunci generaliza acest exemplu.

Exemplul 2.10 Fie S ⊂ Kn, definita prin

S = x = (x1, x2, . . . , xn),n

∑

j=1

aijxj = 0, aij ∈ K, i = 1,m, j = 1, n,

adica, multimea solutiilor unui sistem omogen de m ecuatii liniare cu n necunoscute.Multimea S este nevida, caci orice sistem omogen admite cel putin solutia banala.Fie x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ S. Atunci

n∑

j=1

aijxj = 0,n

∑

j=1

aijyj = 0, i = 1,m.

Oricare ar fi a, b ∈ K, avem

n∑

j=1

aij(axj + byj) = an

∑

j=1

aijxj + bn

∑

j=1

aijyj = 0,

deci ax + by ∈ S si ca atare S este subspatiu vectorial al lui Kn.

Exemplul 2.11 Fie Msn(K) ⊂ Mn(K) multimea matricelor patratice de ordinul n,

simetrice, adicaMs

n(K) = A ∈Mn(K), tA = A.

Evident Msn(K) 6= ∅, deoarece 0 ∈ Ms

n(K). Folosind proprietatile operatiei de transpu-nere, pentru orice a, b ∈ K si orice A,B ∈Ms

n(K), avem

t(aA + bB) =t (aA) +t(bB) = a tA + b tB = aA + bB.

Rezulta ca Msn(K) este subspatiu vectorial al lui Mn(K).


Exemplul 2.12 Fie Masn (K) ⊂ Mn(K) multimea matricelor patratice de ordinul n,

antisimetrice, adicaMa

n(K) = A ∈Mn(K), tA = −A.

Ca si ın exemplul precedent se arata ca Man(K) este subspatiu vectorial al lui Mn(K).

Exemplul 2.13 Fie Mdn(K) ⊂ Mn(K) multimea matricelor patratice de ordinul n,

diagonale, adica

Mdn(K) = A ∈Mn(K), A = ||aiδij ||, ai ∈ K.

Pentru orice a, b ∈ K si orice A,B ∈Mdn(K), avem

aA + bB + ||aaiδij ||+ ||bbiδij || = ||(aai + bbi)δij || ∈ Mdn(K),

deci Mdn(K) este subspatiu vectorial al lui Mn(K).

Exemplul 2.14 Fie S = f ∈ C[a, b], f(a) = f(b), unde C[a, b] este spatiul vectorialreal al functiilor reale continue pe [a, b].

Multimea S este nevida, caci, de exemplu, orice functie constanta apartine lui S.Oricare ar fi α, β ∈ R si pentru orice f, g ∈ S avem

(αf + βg)(a) = αf(a) + βg(a) = αf(b) + βg(b) = (αf + βg)(b),

adica (αf + βg) ∈ S. Deci S este subspatiu vectorial al lui C[a, b].

2.5 Intersectii si sume de subspatii

Fie S1 si S2 doua subspatii ale spatiului vectorial V .Teorema 2.3 Intersectia S1 ∩ S2 a subspatiilor S1 si S2 este un subspatiu vectorial allui V .

/ Deoarece 0 ∈ S1 si 0 ∈ S2, rezulta ca 0 ∈ S1 ∩ S2, deci multimea S1 ∩ S2 estenevida.

Pentru orice u,v ∈ S1∩S2, rezulta u,v ∈ S1 si u,v ∈ S2. Cum S1 si S2 sunt subspatii,pentru orice α, β ∈ K, avem: αu+βv ∈ S1 si αu+βv ∈ S2 si deci αu+βv ∈ S1 ∩S2. .

Reuniunea a doua subspatii nu este subspatiu. De exemplu, submultimile

S1 = (x1, 0), x1 ∈ K, S2 = (0, x2), x2 ∈ K

ale lui K2 sunt subspatii si elementele (1, 0), (0, 1) apartin reuniunii S1 ∪ S2, dar sumalor (1, 1) nu apartine reuniunii.

Definitia 2.3 Se numeste suma a subspatiilor S1 si S2 ale lui V , multimea S1 + S2 =u = u1 + u2, u1 ∈ S1,u2 ∈ S2.

Teorema 2.4 Suma S1 + S2 a subspatiilor S1 si S2 este un subspatiu vectorial al lui V .


/ Deoarece 0 = 0 + 0 cu 0 ∈ S1 si 0 ∈ S2, rezulta ca 0 ∈ S1 + S2 si deci S1 + S2 6= ∅.Fie u,v ∈ S1 +S2. Atunci u = u1 +u2 cu u1 ∈ S1 si u2 ∈ S2, v = v1 +v2 cu v1 ∈ S1

si v2 ∈ S2. Pentru a, b ∈ K, arbitrare, avem

au + bv = a(u1 + u2) + b(v1 + v2) = (au1 + bv1) + (au2 + bv2).

Cum au1 + bv1 ∈ S1 si au2 + bv2 ∈ S2, urmeaza au + bv ∈ S1 + S2. .Rezultatele precedente se pot extinde la un numar finit oarecare de subspatii.

Definitia 2.4 Daca subspatiile S1 si S2 au intersectia formata numai din subspatiul nul,adica S1 ∩ S2 = 0, atunci suma subspatiilor se numeste suma directa si se noteaza cuS1 ⊕ S2.

Definitia 2.5 Doua subspatii S1, S2 ∈ V se numesc suplimentare ın V daca S1⊕S2 = V .

Exemplul 2.15 Subspatiile Msn(K) si Ma

n(K) sunt subspatii suplimentare ın Mn(K),deoarece

Msn(K)⊕Ma

n(K) = Mn(K),

caci orice matrice A ∈Mn(K) se scrie ca A = As + Aa, cu

As =12(A +tA) ∈Ms

n(K), Aa =12(A−tA) ∈Ma

n(K)

si Msn(K) ∩Ma

n(K) = 0.

Teorema 2.5 Conditia necesara si suficienta ca suma subspatiilor vectoriale S1 si S2

din V sa fie directa este ca descompunerea oricarui vector u ∈ S1 + S2 ın u = u1 + u2cu u1 ∈ S1 si u2 ∈ S2 sa fie unica.

/ Necesitatea. Presupunem ca suma subspatiilor S1 si S2 este directa. Deci S1∩S2 =0. Daca u = u1 + u2 si u = u′1 + u′2, cu u1,u′1 ∈ S1 si u2,u′2 ∈ S2, urmeaza,u1 − u′1 = u′2 − u2 ∈ S1 ∩ S2 = 0 si deci u′1 = u1, u′2 = u2.

Suficienta. Presupunem ca descompunerea oricarui vector din S1 + S2 este unica sifie u ∈ S1 ∩ S2. Atunci u = u + 0 cu u ∈ S1 si 0 ∈ S2 si u = 0 + u cu 0 ∈ S1 si u ∈ S2,de unde deducem ca u ∈ S1 + S2. Dar cum descompunerea oricarui vector este unica,rezulta ca u = 0, adica S1 ∩ S2 = 0. .

2.6 Subspatiul generat de un sistem de vectori

Fie Sp = u1,u2, . . . ,up, p ∈ N, un sistem finit de vectori din V .Definitia 2.6 Spunem ca vectorul a ∈ V este o combinatie liniara de vectorii sistemuluiSp, daca exista scalarii a1, a2, . . . , ap ∈ K a.ı.

a = a1u1 + a2u2 + · · ·+ apup =p

∑

k=1

akuk. (2.3)

Scalarii ak se numesc coeficientii combinatiei liniare.


Fie [Sp] multimea tuturor combinatiilor liniare de vectorii sistemului Sp, deci multi-mea tuturor vectorilor de forma (2.3) cand ak ∈ K, k = 1, p.

Teorema 2.6 Multimea [Sp] ⊂ V este un subspatiu vectorial al lui V .

/ Fie a,b ∈ [Sp], deci

a =p

∑

k=1

akuk, b =p

∑

k=1

bkuk.

Pentru orice α, β ∈ K, avem

αa + βb = αp

∑

k=1

akuk + βp

∑

k=1

bkuk =p

∑

k=1

(αak + βbk)uk,

adica αa + βb ∈ [Sp]. .

Definitia 2.7 Subspatiul [Sp] al tuturor combinatiilor liniare de vectorii sistemului Sp

se numeste subspatiul generat de sistemul Sp.

Fie S ⊂ V un subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 2.8 Un sistem Sp ⊂ V se numeste sistem de generatori al subspatiului S daca[Sp] = S. In acest caz, spunem ca Sp genereaza pe S.

Daca Sn este o multime finita si [Sn] = V , spunem ca V este finit generat.

Teorema 2.7 Fie Sp un sistem de generatori al subspatiului S. Daca unul din vectoriisistemului, de exemplu ui, i ∈ 1, 2, . . . , p, este o combinatie liniara de ceilalti vectoriai sistemului, atunci sistemul Sp−1 = Sp \ ui genereaza acelasi subspatiu S.

/ Avem ui =∑

k 6=iαkuk si cum [Sp] = S, pentru orice vector a ∈ S, exista ak ∈ K a.ı.

a =n∑

k=1akuk, de unde:

a =∑

k 6=i

akuk + aiui =∑

k 6=i

akuk + ai

∑

k 6=i

αkuk =∑

k 6=i

(ak + aiαk)uk,

de unde deducem ca [Sp−1] = S. .

2.7 Dependenta si independenta liniara

Definitia 2.9 Spunem ca sistemul de vectori Sp = u1,u2, . . . ,up din V este liniardependent daca exista scalarii a1, a2, . . . , ap ∈ K, nu toti nuli, a.ı.

a1u1 + a2u2 + · · ·+ apup = 0. (2.4)

In caz contrar, adica daca (2.4) are loc numai pentru a1 = 0, a2 = 0, . . . , ap = 0 sistemulSp se numeste liniar independent.


Sistemul format numai din vectorul nul, 0, este liniar dependent, deoarece 10 =0, iar sistemul format dintr-un singur vector v 6= 0 este liniar independent, deoareceegalitatea av = 0, cu v 6= 0 are loc numai pentru a = 0.

Daca sistemul Sp = u1,u2, . . . ,up este liniar dependent (liniar independent) spu-nem ca vectorii u1,u2, . . . ,up sunt liniar dependenti (liniar independenti).

Exemplul 2.16 Vectorii u1 = (0, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 1, 0) din R3 sunt liniarindependenti.

Egalitatea a1u1 + a2u2 + a3u3 = 0 revine la a2 + a3 = 0, a1 + a3 = 0, a1 + a2 = 0,de unde a1 = a2 = a3 = 0 este singura solutie a sistemului.

Exemplul 2.17 Vectorii din R3: u1 = (1, 0, 2), u2 = (0, 1,−3), u3 = (−1,−2, 4) suntliniar dependenti.

Egalitatea a1u1+a2u2+a3u3 = 0 revine la a1−a3 = 0, a2−2a3 = 0, 2a1−3a2+4a3 =0, cu solutia generala a1 = λ, a2 = 2λ, a3 = λ, λ ∈ R, de unde u1 +2u2 +u3 = 0, adicavectorii sunt liniar dependenti.

Teorema 2.8 Conditia necesara si suficienta ca sistemul Sp sa fie liniar dependent esteca cel putin unul dintre ei sa se exprime ca o combinatie liniara a celorlalti.

/ Necesitatea. Daca sistemul Sp este liniar dependent are loc (2.4). Cum nu totiscalarii sunt nuli, putem presupune ca, de exemplu, ap 6= 0. Punand bi = −ai/ap,i = 1, p− 1, din egalitatea (2.4) obtinem

up = b1u1 + b2u2 + · · ·+ bp−1up−1. (2.5)

Suficienta. Daca cel putin unul dintre vectorii sistemului se exprima ca o combinatieliniara a celorlalti, putem presupune ca are loc (2.5), care se mai poate scrie

b1u1 + b2u2 + · · ·+ bp−1up−1 + (−1)up = 0,

de unde deducem ca sistemul Sp este liniar dependent. .

Teorema 2.9 Fie V un spatiu vectorial peste corpul K. Atunci:(i) Orice sistem de vectori din V care contine un subsistem liniar dependent este

liniar dependent.(ii) Orice subsistem al unui sistem liniar independent este liniar independent.

/ (i) Fie dat sistemul Sp = u1,u2, . . . ,up si fie Sh = u1,u2, . . . ,uh, h < p, unsubsistem liniar dependent al sistemului Sp. Exista deci scalarii a1, a2, . . . , ah ∈ K, nutoti nuli, a.ı.

a1u1 + a2u2 + · · ·+ ahuh = 0.

Aceasta relatie se mai poate scrie

a1u1 + a2u2 + · · ·+ ahuh + 0uh+1 + · · ·+ 0up = 0,

care exprima faptul ca sistemul Sp este liniar dependent.(ii) Daca un sistem liniar independent ar avea un subsistem liniar dependent, atunci,

dupa (i), sistemul ar fi liniar dependent. Contradictie. .


2.8 Baza si coordonate

Fie V un spatiu vectorial finit generat.Definitia 2.10 Sistemul de vectori B = e1, e2, . . . , en ⊂ V se numeste baza a lui Vdaca:

(i) B este liniar independent;(ii) B formeaza un sistem de generatori pentru V .

Teorema 2.10 Conditia necesara si suficienta ca sistemul de vectori B ⊂ V sa fie obaza a spatiului vectorial V este ca orice vector u ∈ V sa se exprime ın mod unic ca ocombinatie liniara de vectorii sistemului B, adica, sa existe scalarii x1, x2, . . . , xn ∈ K,unic determinati a.ı.

u = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen =n

∑

i=1

xiei = e ·X, (2.6)

cu e = (e1, e2, . . . , en) ∈ V n si X =t (x1, x2, . . . , xn).

/ Necesitatea. Presupunem ca B este o baza. Fiind un sistem de generatori pentruV , orice vector u ∈ V se scrie sub forma (2.6). Sa aratam ca exprimarea (2.6) este unica.Presupunem ca vectorul u se scrie si sub forma u = y1e1 + y2e2 + · · · + ynen. Scazanddin (2.6) rezulta:

(x1 − y1)e1 + (x2 − y2)e2 + · · ·+ (xn − yn)en = 0.

Sistemul B fiind liniar indepndent, de aici deducem ca y1 = x1, y2 = x2,..., yn = xn sideci descompunerea este unica.

Suficienta. Daca orice vector u ∈ V se exprima sub forma (2.6), rezulta ca [B] = V ,adica conditia (ii) este satisfacuta. Demonstram ca B este un sistem liniar independent.Presupunem ca avem o relatie de forma

a1e1 + a2e2 + · · ·+ anen = 0. (2.7)

Dar vectorul nul se poate scrie sub forma

0 = 0e1 + 0e2 + · · ·+ 0en. (2.8)

Cum descompunerea oricarui vector din V , deci si a lui 0, este unica, din (2.7) si (2.8),deducem ca (2.7) are loc numai daca a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0. .

Definitia 2.11 Scalarii x1, x2, . . . , xn din descompunerea (2.6) se numesc coordo-natele vectorului u ın baza B.

Lema 2.1 Daca B = e1, e2, . . . , en este o baza a lui V si Sm = u1,u2, . . . ,um esteliniar independent, atunci m ≤ n.

/ Demonstram prin reducere la absurd. Presupunem m > n. Vom arata ca atuncisistemul Sm este liniar dependent. Consideram ın acest scop relatia

m∑

j=1

xjuj = 0. (2.9)


Deoarece uj ∈ V si B este o baza a lui V , avem

uj =n

∑

i=1

aijei, j = 1, m

si deci (2.9) este echivalenta cu

n∑

i=1

m∑

j=1

aijxj

ei = 0.

B fiind baza, deducem ca relatia vectoriala (2.9) este echivalenta cu sistemul algebricliniar de n ecuatii si m necunoscute

m∑

j=1

aijxj = 0, i = 1, n. (2.10)

Cum m > n, sistemul (2.10) admite si solutii diferite de solutia banala, deci egalitatea(2.9) are loc si pentru nu toti x1, x2, ..., xm nuli, adica sistemul Sm este liniar dependent.Aceasta concluzie este ınsa ın contradictie cu ipoteza. .

Teorema 2.11 Daca ın V exista o baza formata din n vectori, atunci orice alta bazadin V este formata din n vectori.

/ Fie B = e1, e2, . . . , en si B′ = e′1, e′2, . . . , e′m doua baze ale lui V . Deoarece B′este liniar independent si B este o baza, rezulta, dupa teorema precedenta, ca m ≤ n.Analog, deoarece B este liniar independent si B′ este o baza, rezulta ca n ≤ m. Deci,m = n. .

Definitia 2.12 Numim dimensiune a spatiului vectorial V numarul vectorilor unei bazea acestuia.

Dimensiunea spatiului vectorial V se noteaza dim V . Daca dim V este finita, spunemca V este finit dimensional. Daca dim V = n spunem ca V este n - dimensional. Dimen-siunea spatiului nul 0 este egala cu 0.

Exemplul 2.18 In spatiul vectorial aritmetic Kn, sistemul B = e1, e2, . . . , en, formatdin vectorii

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),. . . . . . . . .en = (0, 0, 0, . . . , 1),

formeaza o baza.Sistemul B este liniar independent. Intr-adevar, egalitatea a1e1+a2e2+· · ·+anen = 0

este echivalenta cu (a1, a2, . . . , an) = (0, 0, . . . , 0), adica a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0.B este si sistem de generatori pentru V . Intr-adevar, pentru orice vector x ∈ V putem

scrie x = (x1, x2, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.Aceasta baza a lui Kn se numeste baza canonica sau naturala. Deci dim Kn = n.


Exemplul 2.19 In spatiul vectorial Mm×n(K) al matricelor dreptunghiulare cu m liniisi n coloane, notam cu Eij, i = 1,m, j = 1, n, matricea cu toate elementele nule, cuexceptia elementului situat pe linia i si coloana j care ıl luam egal cu 1 si fie

B = Eij ∈Mm×n(K), i = 1,m, j = 1, n.

Ca si ın exemplul precedent se constata ca din egalitatea

m∑

i=1

n∑

j=1

xijEij = 0,

urmeaza xij = 0, i = 1,m, j = 1, n, deci sistemul B este liniar independent, iar din

A = ||aij || =m

∑

i=1

n∑

j=1

aijEij ,

pentru orice A ∈ Mm×n(K), urmeaza ca B este si sistem de generatori pentru spatiulMm×n(K). In concluzie B este o baza a spatiului Mm×n(K), iar dimMm×n(K) = mn.

Exemplul 2.20 In spatiul vectorial Kn[x] al polinoamelor de grad cel mult n cu coefi-cienti din K, sistemul B = 1, x, x2, . . . , xn formeaza o baza. Deci dim Kn[x] = n + 1.

Exemplul 2.21 In spatiul vectorial real C al numerelor complexe, sistemul B = 1, iformeaza o baza. Deci dim C = 2.

Dam ın continuare, fara demonstratie, cateva proprietati ale bazelor si dimensiuniiunui spatiu vectorial.

Teorema 2.12 Fie V un spatiu vectorial finit dimensional. Atunci:(i) Orice sistem de generatori pentru V contine o baza a lui V .(ii) Orice sistem liniar independent de vectori din V poate fi completat cu vectori

pana se obtine o baza a lui V .

Teorema 2.13 Fie V un spatiu vectorial finit dimensional. Atunci:(i) Dimensiunea lui V este egala cu numarul minim de generatori ai lui V .(ii) Dimensiunea lui V este egala cu numarul maxim de vectori liniar independenti

din V .

Teorema 2.14 Daca dim V = n, atunci:(i) Orice sistem format din n vectori care genereaza pe V este o baza a lui V .(ii) Orice sistem format din n vectori liniar independenti este o baza a lui V .

Teorema 2.15 Orice subspatiu S al spatiului finit dimensional V este finit dimensionalsi dim S ≤ dim V . Egalitatea are loc d.d. S = V .

Teorema 2.16 (Teorema lui Grassmann) Daca S1 si S2 sunt subspatii vectoriale alespatiului vectorial finit dimensional V , atunci

dim S1 + dim S2 = dim(S1 + S2) + dim(S1 ∩ S2).


Daca suma celor doua subspatii este directa, atunci

dim(S1 ⊕ S2) = dim S1 + dim S2.

Exemplul 2.22 Fie ın spatiul vectorial Mn(K) al matricelor patratice de ordinul n,subspatiile Ms

n(K) si Man(K) ale matricelor simetrice si respectiv, antisimetrice. Se

poate verifica imediat ca dimMsn(K) = n(n + 1)/2, iar dimMa

n(K) = n(n− 1)/2, ıncat

dim(Msn(K)⊕Ma

n(K)) = dimMsn(K) + dimMa

n(K).

2.9 Schimbari de baze si coordonate

Deoarece ıntr-un spatiu vectorial exista o infinitate de baze, se pune, ın mod normal,problema de a gasi modul ın care se face trecerea de la o baza la alta si legatura dintrecoordonatele unui vector ın doua baze.

Fie deci B = e1, e2, . . . , en o baza a spatiului vectorial V si B′ = e′1, e′2, . . . , e′nun sistem de n vectori din V . Deoarece vectorii e′j ∈ V , putem scrie

e′j =n

∑

i=1

cijei, j = 1, n. (2.11)

Daca notam: e = (e1, e2, . . . , en) ∈ V n, e′ = (e′1, e′2, . . . , e

′n) ∈ V n si C = ||cij || ∈

Mn(K), coloana j a matricei C avand drept elemente coordonatele vectorului e′j , relatiile(2.11) se mai scriu sub forma matriceala

e′ = e · C. (2.12)

Teorema 2.17 Conditia necesara si suficienta ca sistemul B′ sa fie o baza a lui V esteca matricea C sa fie nesingulara, adica det C 6= 0.

/ Sistemul B′ de vectori din spatiul vectorial V de dimensiune n formeaza o baza alui V d.d. este liniar independent, ceea ce se ıntampla d.d. egalitatea

n∑

j=1

xje′j = 0, (2.13)

are loc numai pentru toti xj = 0, j = 1, n. Tinand ınsa seama de (2.11), egalitatea (2.13)este echivalenta cu sistemul liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute

n∑

j=1

cijxj = 0, i = 1, n. (2.14)

Dar, sistemul (2.14) admite numai solutia banala d.d. este safisfacuta conditia det C 6= 0..


Daca B′ este o baza, atunci matricea C este inversabila, adica exista C−1 ∈ Mn(K)a.ı. C · C−1 = C−1 · C = In. In acest caz, din (2.12) obtinem

e = e′ · C−1. (2.15)

Daca B si B′ sunt baze ale lui V , formulele (2.11) se numesc formulele de trecere dela baza B la baza B′, iar matricea C se numeste matricea schimbarii de baze sau matriceade trecere de la baza B la baza B′. Trecerea inversa, de la baza B′ la baza B este data de(2.15), matricea de trecere fiind C−1.

Definitia 2.13 Spunem ca bazele B si B′ sunt la fel orientate daca determinantul ma-tricei de trecere de la baza B la baza B′ este pozitiv, det C > 0 si contrar orientate dacadetC < 0.

Orice spatiu vectorial finit dimensional poate fi orientat, adica poate fi aleasa o clasade baze la fel orientate ın spatiu.

Intr-adevar, se fixeaza o baza ın V si se considera apoi toate bazele care se obtin dinaceasta cu ajutorul unor matrici de trecere cu determinant pozitiv. Am construit astfelclasa bazelor orientate pozitiv ın V . Considerand celelalte baze care au proprietate cadeterminantul matricei de trecere este negativ, se obtine clasa bazelor orientate negativ.

Sa stabilim acum legatura ıntre coordonatele unui vector u ∈ V ın bazele B si B′.Fie X = t(x1, x2, . . . , xn)B si X ′ = t(x′1, x

′2, . . . , x

′n)B′ , matricele coloana ale coordo-

natelor vectorului u ın cele doua baze. Avem, atunci

u = e ·X = e′ ·X ′ = e · (CX ′),

de unde relatiileX = CX ′, X ′ = C−1X,

care dau legile de schimbare a coordonatelor unui vector la o schimbare de baze ın V .

Exemplul 2.23 Fie B = e1, e2, e3 cu e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) bazacanonica din R3 si fie B′ = e′1, e′2, e′3 ⊂ R3 un sistem de trei vectori dati prin

e′1 = 2e1 + e2 − 3e3, e′2 = 3e1 + 2e2 − 5e3, e′3 = e1 − e2 + e3.

Atunci

C =

2 3 11 2 −1

−3 −5 1

are D(C) = 1 6= 0, deci B′ este o noua baza a lui R3, C fiind matricea schimbarii debaze. Daca vectorul u are ın baza B coordonatele (6, 2,−7), adica u = 6e1 + 2e2 − 7e3,coordonatele sale ın baza B′ sunt date de:

X ′ = C−1X =

−3 −8 −52 5 31 1 1

62

−7

=

111

,

adica u = e′1 + e′2 + e′3.

Capitolul 3

APLICATII LINIARE PESPATII VECTORIALE

3.1 Aplicatii liniare. Nucleu si imagine

Fie V si W doua spatii vectoriale, peste acelasi corp comutativ K.Definitia 3.1 Aplicatia f : V → W se numeste aplicatie liniara daca pentru oriceu,v ∈ V si orice a ∈ K,

f(u + v) = f(u) + f(v), f(au) = af(u). (3.1)

O aplicatie liniara se mai numeste morfism de spatii vectoriale, operator liniar sauomomorfism liniar.

Daca W = V , aplicatia liniara T : V → V se numeste transformare liniara sauendomorfism liniar.

Teorema 3.1 Aplicatia f : V → W este liniara d.d. pentru orice u,v ∈ V si oricea, b ∈ K,

f(au + bv) = af(u) + bf(v). (3.2)

/ Daca f este liniara, sunt satisfacute conditiile (3.1) si deci

f(au + bv) = f(au) + f(av) = af(u) + bf(v).

Reciproc, daca are loc (3.2) pentru orice a, b ∈ K, luand a = b = 1 si respectiv, a arbitrariar b = 0, obtinem (3.1). .

Prin inductie matematica deducem ca daca f este liniara, oricare ar fi ui ∈ V sioricare ar fi ai ∈ K, i = 1, n, are loc relatia

f

(

n∑

i=1

aiui

)

=n

∑

i=1

aif(ui).

31


Lema 3.1 Pentru orice aplicatie liniara f : V → W avem:a) imaginea vectorului nul 0 ∈ V prin f , este f(0) = 0 ∈ W ,b) imaginea opusului vectorului u ∈ V este f(−u) = −f(u) ∈ W .

/ a) Din (3.1)2 pentru a = 0, obtinem f(0u) = 0f(u), de unde f(0) = 0.b) Deoarece u + (−u) = 0 urmeaza ca f(u) + f(−u) = 0, iar din unicitatea opusului

oricarui vector din W , deducem f(−u) = −f(u). .

Exemplul 3.1 Aplicatia f : R3 → R2, definita prin f(x1, x2, x3) = (x1 +2x3, x1 +x2−x3) este o aplicatie liniara.

Exemplul 3.2 Aplicatia f : R2 → R3, definita prin f(x1, x2) = (x1 + 1, x2, x3) nu esteo aplicatie liniara.

Exemplul 3.3 Aplicatia T : Kn[X] → Kn[X], definita prin T (P ) = P ′, care ducefiecare polinom de grad cel mult n ın derivata sa, este o transformare liniara pe Kn[X].

Exemplul 3.4 Fie P ∈ Mm(K), Q ∈ Mn(K) doua matrice patratice. AplicatiaT : Mm×n(K) → Mm×n(K), definita prin T (A) = PAQ, pentru orice matrice A ∈Mm×n(K), este o transformare liniara pe Mm×n(K).

Exemplul 3.5 Orice scalar a ∈ K defineste o transformare liniara pe spatiul vectorialV , prin T (u) = au, pentru orice u ∈ V . Aceasta transformare se numeste omotetie aspatiului vectorial V de raport a.

Definitia 3.2 Se numeste nucleu al aplicatiei liniare f : V → W submultimea lui V ,notata ker f , definita prin

ker f = u ∈ V | f(u) = 0.

Definitia 3.3 Se numeste imagine a aplicatiei liniare f : V → W submultimea lui W ,notata Im f , definita prin

Im f = v = f(u),u ∈ V = v ∈ W | ∃u ∈ V, a.i. f(u) = v.

Teorema 3.2 Submultimile ker f ∈ V si Im f ∈ W sunt subspatii vectoriale.

/ Deoarece f(0) = 0, multimile ker f si Im f nu sunt vide. Fie a1, a2 ∈ K si u1,u2 ∈ker f . Cum f(u1) = 0 si f(u2) = 0, urmeaza

f(a1u1 + a2u2) = a1f(u1) + a2f(u2) = 0.

Deci a1u1 + a2u2 ∈ ker f .Fie apoi v1,v2 ∈ Im f . Exista deci vectorii u1,u2 ∈ V a.ı. f(u1) = v1 si f(u2) = v2.

De unde a1f(u1) + a2f(u2) = a1v1 + a2v2, sau

f(a1u1 + a2u2) = a1v1 + a2v2,

ceea ce probeaza ca Im f este subspatiu. .


Teorema 3.3 Fie f : V → W o aplicatie liniara si S un subspatiu vectorial al lui V ,atunci imaginea sa prin f , adica

f(S) = v = f(u),u ∈ S

este un subspatiu vectorial al lui W .

/ Demonstratie asemanatoare celei de la teorema precedenta. .Reamintim ca o aplicatie f : V → W se numeste injectiva daca pentru orice u1,u2 ∈

V , cu u1 6= u2, urmeaza f(u1) 6= f(u2) sau echivalent, daca are loc implicatia f(u1) =f(u2) ⇒ u1 = u2 si surjectiva daca pentru orice v ∈ W exista cel putin un vector u ∈ Va.ı. f(u) = v. O aplicatie injectiva si surjectiva se numeste bijectiva.

O aplicatie liniara injectiva se numeste monomorfism.O aplicatie liniara surjectiva se numeste epimorfism.O aplicatie liniara bijectiva se numeste izomorfism. In acest caz spunem ca spatiile

liniare V si W sunt izomorfe.

Teorema 3.4 Fie f : V → W o aplicatie liniara. Atunci:a) f este injectiva d.d. ker f = 0,b) f este surjectiva d.d. Im f = W ,c) f este bijectiva d.d. ker f = 0 si Im f = W .

/ a) daca f este injectiva, din f(u) = 0 = f(0), urmeaza u = 0, deci ker f = 0.Reciproc, daca ker f = 0, din f(u1) = f(u2), adica f(u1−u2) = 0, urmeaza u1−u2 ∈ker f = 0 si deci u1 = u2 si prin urmare f este injectiva.

b) Daca f este surjectiva, pentru orice vector v ∈ W exista un vector u ∈ V a.ı.f(u) = v, deci W ⊂ f(V ) = Im f si cum totdeauna f(V ) ⊂ W , urmeaza Im f = W .Reciproc, daca Im f = W , orice element din W este imaginea a cel putin unui elementdin V prin f si deci f este surjectiva.

c) rezulta din a) si b) si definitia aplicatiilor bijective. .

Teorema 3.5 Fie f : V → W o aplicatie liniara si Sp = u1,u2, . . . ,up un sistem devectori din V .

i) Daca f este injectiva si Sp este liniar independent, atunci sistemul

f(Sp) = f(u1), f(u2), . . . , f(up)

este liniar independent.ii) Daca f este surjectiva si Sp este un sistem de generatori pentru V , adica [Sp] = V ,

atunci f(Sp) este un sistem de generatori pentru W , adica [f(Sp)] = W .iii) Daca f este bijectiva si B este o baza a lui V , atunci f(B) este o baza a lui W .

/ i) Relatia a1f(u1)+a2f(u2)+ · · ·+apf(up) = 0 este echivalenta cu f(a1u1+a2u2+· · ·+apup) = 0. Deoarece f este injectiva, de aici urmeaza a1u1 +a2u2 + · · ·+apup = 0,de unde, Sp fiind liniar independent, rezulta a1 = 0, a2 = 0, ..., ap = 0.

ii) Deoarece f este surjectiva, W = Im f . Rezulta ca pentru orice vector v ∈ Wexista un vector u ∈ V a.ı. v = f(u). Dar cum [Sp] = V , exista t1, t2, . . . , tp ∈ Ka.ı. u = t1u1 + t2u2 + · · · + tpup. Atunci v = f(u) = f(t1u1 + t2u2 + · · · + tpup) =t1f(u1) + t2f(u2) + · · ·+ tpf(up), de unde rezulta ca [f(Sp)] = W .


iii) Deoarece f este bijectiva si B este baza a lui V , din i) rezulta ca f(B) este liniarindependent, iar din ii) ca este sistem de generatori pentru W , deci este baza a lui W . .

3.2 Operatii cu aplicatii liniare

Notam cu L(V,W ) multimea aplicatiilor liniare definite pe V cu valori ın W .Definitia 3.4 Se numeste suma a aplicatiilor liniare f, g ∈ L(V, W ), aplicatia notataf + g : V → W , definita prin

(f + g)(u) = f(u) + g(u), ∀u ∈ V.

Definitia 3.5 Se numeste produs a aplicatiei liniare f ∈ L(V,W ) cu scalarul a ∈ K,aplicatia notata af : V → W , definita prin

(af)(u) = a · f(u), ∀u ∈ V.

Teorema 3.6 Aplicatiile f + g si af sunt liniare.

/ Intr-adevar,

(f + g)(αu + βv) = f(αu + βv) + g(αu + βv) =(αf(u) + βf(v)) + (αg(u) + βg(v)) = α(f + g)(u) + β(f + g)(v)

si (af)(αu + βv) = a · f(αu + βv) = a(αf(u) + βf(v)) = α(af)(u) + β(af)(v). .

Teorema 3.7 In raport cu operatiile de adunare si ınmultire cu scalari, L(V,W ) amultimea aplicatiilor liniare definite pe V cu valori ın W formeaza un spatiu vectorial.

/ Elementul neutru fata de adunare este aplicatia nula, definita prin 0(u) = 0, pen-tru orice u ∈ V , iar opusa aplicatiei f este aplicatia liniara notata −f , definita prin(−f)(u) = −f(u), pentru orice u ∈ V . Celelalte axiome ale spatiului vectorial se verificaprin calcul direct. .

L(V,W ) se numeste spatiul vectorial al aplicatiilor liniare sau homomorfismelor luiV ın W .

Din Teorema 3.7 rezulta ca multimea L(V ) = L(V, V ), a transformarilor liniare sauendomorfismelor pe V este de asemenea un spatiu vectorial.

Teorema 3.8 Daca f ∈ L(U, V ) si g ∈ L(V, W ), atunci aplicatia compusa gf : U → Weste liniara.

/ Intr-adevar,

(g f)(αu + βv) = g(f(αu + βv)) = g(αf(u) + βf(v)) = αg(f(u)) + βg(f(v))

= α(g f)(u) + β(g f)(v)..

Teorema 3.9 Operatiile de adunare si compunere (produs) a aplicatiilor liniare deter-mina pe L(V ) o structura de inel.


/ Intr-adevar, L(V ) fiind spatiu vectorial este grup abelian fata de operatia deadunare. Apoi, operatia de compunere este asociativa si distributiva fata de adunare.Elementul unitate este aplicatia identica i : V → V , i(u) = u, ∀u ∈ V , numita sitransformarea unitate. .

Teorema 3.10 Multimea transformarilor liniare bijective pe V formeaza un grup fatade operatia de compunere.

/ Intr-adevar, operatia de compunere definita pe L(V ) este asociativa si are elementneutru. Daca T : V → V este o transformare liniara bijectiva, atunci exista aplicatiainversa T−1 : V → V . Este usor de verificat ca aplicatia inversa este liniara. .

Grupul transformarilor liniare bijective pe V se mai numeste si grupul general liniaral lui V si se noteaza GL(V ).

3.3 Aplicatii liniare pe spatii finit dimensionale

3.3.1 Matricea unei aplicatii liniare

Fie V si W doua spatii vectoriale peste un acelasi corp K, finit dimensionale, n = dim Vsi m = dim W si B = e1, e2, . . . , en ⊂ V si B = e1, e2, . . . , em ⊂ W , cate o baza ıncele doua spatii.

O aplicatie liniara f ∈ L(V ) este cunoscuta daca se cunoaste vectorul f(u) ∈ Wpentru orice vector u ∈ V . Dar cum

u =n

∑

j=1

xjej = e ·X,

avem

f(u) = f(n

∑

j=1

xjej) =n

∑

j=1

xjf(ej) = f(e) ·X. (3.3)

Rezulta ca putem cunoaste imaginea f(u) a oricarui vector u ∈ V dat prin coor-donatele sale (x1, x2, . . . , xn) ın baza B, daca cunoastem imaginile prin f ale vectorilorbazei, adica

f(e) = (f(e1), f(e2), . . . , f(en)) ∈ Wn.

Fie deci

f(ej) =m

∑

i=1

aij ei, j = 1, n, (3.4)

imaginile vectorilor bazei B prin aplicatia liniara f .Matricea A = ||aij || ∈ Mm×n(K), ce are drept coloane coordonatele vectorilor f(ej),

j = 1, n, ın baza B din W , se numeste matricea aplicatiei liniare f ın bazele B si B.Notand e = (e1, e2, . . . , em) ∈ Wm, relatiile (3.4) se scriu sub forma vectoriala


f(e) = e ·A. (3.5)

Avem deci

f(u) =m

∑

i=1

n∑

j=1

aijxj

ei = e · (AX). (3.6)

Pe de alta parte, fie v = f(u) ∈ W si

v =m

∑

i=1

yiei = e · Y,

deducem ca

yi =n

∑

j=1

aijxj , sau Y = AX,

care se numesc ecuatiile aplicatiei liniare f ın bazele B si B.Daca W = V si T : V → V este o transformare liniara pe V , atunci se ia de obicei

B = B si (3.5) devine,T (e) = e ·A,

iar (3.6) se scrieT (u) = e · (AX), ∀u ∈ V,

cu A ∈Mn(K).

3.3.2 Rangul si defectul unei aplicatii liniare

Definitia 3.6 Se numeste rang al aplicatiei liniare f : V → W dimensiunea subspatiuluiimagine, r = rg f = dim Im f .

Definitia 3.7 Se numeste defect al aplicatiei liniare f : V → W dimensiunea subspa-tiului nucleu, d = def f = dimker f .

Din (3.3) rezulta ca f(e) formeaza un sistem de generatori pentru subspatiul Im f sideci, r = rg f ≤ dim V . Deoarece ker f ⊂ V , rezulta ca def f ≤ n.

Teorema 3.11 Pentru orice aplicatie liniara f : V → W are loc egalitatea:

def f + rg f = dim V.

/ Fie d = def f = dim ker f si e1, e2, . . . , ed ⊂ ker f o baza ın ker f ; atuncif(ei) = 0, i = 1, d. Fie B = e1, e2, . . . , ed, ed+1, . . . , en o baza a lui V obtinuta princompletarea sistemului liniar independent e1, e2, . . . , ed cu vectori din V . Sistemulf(ed+1), . . . , f(en) formeaza o baza ın Im f .

Intr-adevar, el genereaza pe Im f si este liniar independent deoarece relatia

αd+1f(ed+1) + · · ·+ αnf(en) = 0, (3.7)


care este echivalenta cu f(αd+1ed+1 + · · · + αnen) = 0, implica αd+1ed+1 + · · · +αnen∈ ker f , deci exista α1, . . . , αd∈K, a.ı. α1e1 + · · ·+ αded = αd+1ed+1 + · · ·+ αnen

sau α1e1 + · · · + αded − αd+1ed+1 − · · · − αnen = 0. Dar cum B este o baza, de-ducem ca α1 = . . . = αd = αd+1 = . . . = αn = 0, adica (3.7) are loc numai pentruαd+1 = . . . = αn = 0. Rezulta ca dim Im f = n− d, sau def f + rg f = dim V. .

Teorema 3.12 Daca dim V = dim W atunci orice aplicatie liniara f : V → W surjec-tiva sau injectiva este bijectiva.

/ Daca f este surjectiva, Im f = W si deci rg f = dim Im f = dim W = dim V si dinTeorema 3.11 rezulta ca def f = 0, adica ker f = 0 si prin urmare f este injectiva sideci bijectiva.

Daca f este injectiva, ker f = 0 si deci def f = 0. Rezulta rg f = dim V saudim Im f = dim W si cum Im f ⊂ W avem ca Im f = W , adica f este surjectiva si decibijectiva. .

Teorema 3.13 Daca dim V = n, dim W = m si f : V → W este o aplicatie liniara,atunci:

a) f este injectiva d.d. rg f = n,b) f este surjectiva d.d. rg f = m,c) f este bijectiva d.d. rg f = m = n.

/ Afirmatiile rezulta din Teorema 3.4. .Ca o consecinta, rezulta ca doua spatii vectoriale sunt izomorfe d.d. au aceeasi

dimensiune. Deci orice spatiu vectorial V n-dimensional este izomorf cu spatiul vectorialaritmetic Kn.

Aplicatia ϕ : L(V,W ) →Mm×n(K) ce asociaza fiecarei aplicatii liniare f ∈ L(V,W )matricea ei A ∈ Mm×n(K) ın doua baze date B ⊂ V si ˜B ⊂ W este un izomorfism.Rezulta ca dim L(V,W ) = dimMm×n(K) = mn.

3.4 Legea de schimbare a matricei aplicatei liniare

Fie A ∈Mm×n(K) matricea aplicatiei liniare f ∈ L(V, W ) ın perechea de baze B ⊂ Vsi ˜B ⊂ W , definita prin

f(e) =e ·A (3.8)

si A′ ∈ Mm×n(K) matricea aceleasi aplicatii liniare ın perechea de baze B′ ⊂ V si˜B′ ⊂ W , definita prin

f(e′) =˜e′ ·A′. (3.9)

Teorema 3.14 Daca e′ = e ·C si respectiv e′ = e · C sunt legile de schimbare a bazelorın cele doua spatii vectoriale, atunci legea de schimbare a matricei aplicatiei liniare feste

A′ = ˜C−1 ·A · C (3.10)


/ Intr-adevar, din (3.9) avem f(e · C) = (e · ˜C) · A′ sau f(e) · C = e · ( ˜C · A′ ) si cu(3.8), e · (AC) = e · ( ˜C ·A′ ), ceea ce implica AC = ˜CA′, de unde (3.10). .

In particular, daca W = V , luınd ˜B = B, ˜B′ = B′ si deci ˜C = C , din (3.10) obtinemlegea de schimbare a matricei unei transformari liniare T : V → V la o schimbare a bazeiın V . Anume, daca A ∈ Mn(K) si A′ ∈ Mn(K) sunt matricele transformarii ın celedoua baze B′ si B′ din V , definite prin T (e) = e ·A, T (e′) = e′·A′ si e′ = e · C, atunci

A′ = C−1 ·A · C. (3.11)

Definitia 3.8 Doua matrice A,A′ ∈ Mm×n(K) se numesc echivalente daca exista ma-tricele P ∈Mm(K) si Q ∈Mn(K), nesingulare, a.ı. A′ = PAQ.

Din (3.10) rezulta

Teorema 3.15 Matricele A si A′ ale unei aplicatii liniare ın doua perechi de baze suntechivalente.

Definitia 3.9 Doua matrice A, A′ ∈ Mn se numesc asemenea daca exista o matriceC ∈Mn(K), nesingulara, a.ı. A′ = C−1 ·A · C.

Din (3.11) rezulta

Teorema 3.16 Matricele A si A′ ale unei transformari liniare ın doua baze sunt aseme-nea.

Reciproc,

Teorema 3.17 Daca A,A′ ∈ Mn sunt doua matrice asemenea atunci ele reprezintaaceeasi transformare liniara T : V → V ın doua baze convenabil alese din V .

/ Deoarece A si A′ sunt doua matrce asemenea, exista matricea C ∈Mn, nesingulara,a.ı. A′ = C−1AC.

Fie T : V → V transformarea liniara a carei matrice ıntr-o baza B ⊂ V este A, adica

T (e) = e ·A (3.12)

si B′ baza din V data dee′ = e · C.

Avem atunci: e = e′ · C−1 si prin urmare, T (e′) = T (e · C) = T (e) · C = e · (AC) =(e′ · C−1)(AC) = e′ · A′, adica A′ este matricea aceleiasi transformari liniare T ın bazaB′. .


3.5 Diagonalizarea transformarilor liniare

Fie A ∈ Mn(K). In cele ce urmeaza vom studia urmatoarea problema: Exista omatrice diagonala A′ care sa fie asemenea cu matricea A ? Cu alte cuvinte, exista omatrice C ∈Mn(K), nesingulara, a.ı. matricea A′ = C−1 ·A · C sa fie diagonala ?

Avand ın vedere Teoremele 3.16 si 3.17, aceasta problema poate fi formulata si astfel:Fie V un spatiu n-dimensional si T : V → V o transformare liniara pe V . Exista o

baza ın V ın care matricea transformarii T sa aiba forma diagonala ?Daca exista o baza B′ = e′ ⊂ V ın care matricea transformarii T , A′ = ||a′ij || are

forma diagonala, adica

a′ij = λiδij , λi ∈ K, i, j = 1, n,

atunciT (e′j) = λje′j , j = ø1, n. (3.13)

Suntem astfel condusi la studiul urmatoarelor doua probleme:(i). Sa se gaseasca perechile (λ,u), λ ∈ K, u ∈ V , a.ı.

T (u) = λu. (3.14)

(ii). Sa se cerceteze conditiile ın care exista n scalari λj ∈ K, j = 1, n, a.ı. sa aibaloc (3.13).3.5.1 Valori proprii si vectori proprii

Definitia 3.10 Fie T : V → V o transformare liniara. Scalarul λ ∈ K se numestevaloare proprie a transformarii liniare T , daca exista vectorul u ∈ V , u 6= 0 a.ı. saaiba loc (3.14). In acest caz, vectorul u se numeste vector propriu al transformarii Tcorespunzator valorii proprii λ.

Deci problema I revine la determinarea valorilor proprii si vectorilor proprii core-spunzatori ai transformarii T .

Fie B = e ⊂ V o baza ın V si A = ||aij || ∈ Mm×n(K) matricea transformariiliniare T ın aceasta baza, deci

T (e) = eA.

Daca u = eX, cu X = t(x1, x2, . . . , xn), este un vector propriu corespunzator valoriiproprii λ ∈ K, atunci T (eX) =λeX sau T (e)X = e(λX), e(AX) = e(λX), adica

AX = λX

sau(A− λIn)X = 0,

care se scrie:

(a11 − λ)x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0,a21x1 + (a22 − λ)x2 + · · ·+ a2nxn = 0,. . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · ·+ (ann − λ)xn = 0.

(3.15)

Deci coordonatele (x1, x2, . . . , xn) ale unui vector propriu trebuie sa fie o solutienebanala a sistemului omogen de ecuatii liniare (3.15). Ori un astfel de sistem admitesolutii nebanale d.d. determinantul sau este egal cu zero. Avem deci teorema


Teorema 3.18 Scalarul λ ∈ K este valoare proprie a transformarii liniare T a careimatrice ın baza B este A, d.d.

det(A− λIn) = 0. (3.16)

Determinantul matricei A− λIn este un polinom de gradul n cu coeficienti din K:

p(λ) = det(A− λIn) = det ||aij − λδij ||.

Deoarece fiecare coloana a matricei A − λIn este suma a doua coloane, o coloana amatricei A si o coloana a matricei −λIn, putem descompune det(A − λIn) ıntr-o sumade 2n determinanti. Este evident ca termenul liber ın p(λ) este egal cu det A. Apoi,coeficientul lui (−λ)k este egal cu suma determinantilor ce se obtin prin ınlocuirea a kdintre coloanele matricei A cu coloanele corespunzatoare ale matricei In. Un asemeneadeterminant este egal cu un minor de ordinul n− k al matricei A, care are pe diagonalaprincipala n− k elemente ale diagonalei principale ale matricei A.

Prin urmare:

p(λ) =n

∑

k=0

δn−k(−λ)k =n

∑

k=0

(−1)n−kδkλn−k,

ın care, δ0 = 1, δ1 = a11 + a22 + · · ·+ ann,

δ2 =∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a11 a13

a31 a33

∣

∣

∣

∣

+ · · ·+∣

∣

∣

∣

an−1,n−1 an−1,nan,n−1 ann

∣

∣

∣

∣

, . . . ,

iar δn = det A.

Definitia 3.11 Polinomul p(λ) = det(A − λIn) se numeste polinomul caracteristic almatricei A.

Ecuatia p(λ) = 0 se numeste ecuatia caracteristica a matricei A.

Teorema 3.19 Polinomul caracteristic al unei transformarii liniare T este invariant laschimbarea bazei ın V .

/ Daca B′ = e′ este o noua baza ın V si C ∈Mn(K) este matricea de trecere, atuncimatricea transformarii liniare T ın baza B′ este A′ = C−1AC iar polinomul caracteristical transformarii liniare T ın baza B′ este det(A′ − λIn). Avem deci

det(A′ − λIn) = det(C−1AC − C−1(λIn)C) = det(C−1(A− λIn)C),

de unde det(A′ − λIn) = det(A− λIn). .In consecinta, doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic. In particular,

doua matrice asemenea au acelasi determinant.

Definitia 3.12 Radacinile polinomului caracteristic se numesc radacini caracteristiceale transformarii liniare T . Radacinile caracteristice formeaza spectrul transformariiliniare T .


Din Teorema 3.19 rezulta:a) spectrul unei transformarii liniare nu depinde de baza cu care se determina,b) doua matrice asemenea au acelasi spectru.Teorema 3.18 poate fi reformulata astfel:

Teorema 3.20 Conditia necesara si suficienta ca scalarul λ ∈ K sa fie o valoare propriepentru T este ca λ sa fie o radacina caracteristica pentru T .

Deoarece orice ecuatie algebrica de gradul n cu coeficienti ın C are n radacini ın C,avem:

Teorema 3.21 Daca V este un spatiu n-dimensional peste C si T ∈ L(V ), atunci T aren valori proprii (distincte sau nu).

3.5.2 Existenta matricei diagonale

Teoremele care urmeaza pun ın evidenta cateva proprietati ale multimii vectorilor propriiai unei transformari liniare, care ne vor permite sa precizam conditiile ın care exista obaza ın care matricea transformarii are forma diagonala.

Teorema 3.22 Daca λ0 ∈ K este o valoare proprie a lui T , atunci multimea

S(λ0) = u ∈ V | T (u) = λ0u,

a tuturor vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 ımpreuna cu vectorul nul este subspatiuvectorial al lui V .

/ Egalitatea T (u) = λ0u este echivalenta cu (T − λ0i)(u) = 0, unde i : V → Veste transformarea identica pe V , de unde rezulta ca S(λ0) = ker(T − λ0i) si deci estesubspatiu vectorial. .

Definitia 3.13 S(λ0) se numeste subspatiu propriu al transformarii liniare T core-spunzator valorii proprii λ0 ∈ K.

Teorema 3.23 Subspatiul propriu S(λ0) are dimensiunea cel mult egala cu ordinul demultiplicitate a radacinii λ0 a polinomului caracteristic p(λ0).

/ Fie m multiplicitatea radacinii caracteristice λ0 si k = dim S(λ0). Avem de stabilitinegalitatea k ≤ m.

Fie e1, e2, . . . , ek ⊂ S(λ0) o baza ın subspatiul propriu S(λ0). Din ei ∈ S(λ0),i = 1, k, rezulta: T (ei) = λ0ei, i = 1, k. Completam aceasta baza a lui S(λ0) pana lao baza B = e1, e2, . . . , en a lui V . Matricea transformarii T ın aceasta baza va aveaforma:

A =

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

λ0 0 · · · 0 a1,k+1 · · · a1n

0 λ0 · · · 0 a2,k+1 · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λ0 ak,k+1 · · · akn

0 0 · · · 0 ak+1,k+1 · · · ak+1,n· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 0 an,k+1 · · · ann

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥


Polinomul caracteristic ın aceasta baza se va scrie: p(λ) = (λ0−λ)k ·q(λ); deci λ = λ0

este radacina a ecuatiei p(λ) = 0 de ordin de multiplicitate cel putin k, adica m ≥ k. .Daca λ0 este radacina simpla, atunci dim S(λ0) = 1.Teoremele 3.18 - 3.22 dau raspuns la Problema I, ın sensul ca daca macar o radacina

a ecuatiei caracteristice se afla ın K, atunci exista o infinitate de vectori proprii ai lui T .O pereche (λ0,u), λ0 ∈ K, u ∈ V verifica relatia (3.14) d.d. λ0 este o radacina a ecuatiei(3.16) si u ∈ S(λ0).

Teorema 3.24 Fie T ∈ L(V ) si λ1, λ2, . . . , λp p valori proprii distincte, adica λi 6= λj,i 6= j, i, j = 1, p. Fie ınca ui ∈ S(λi), ui 6= 0, i = 1, p. Atunci sistemul de vectoriSp = u1,u2, . . . ,up este liniar independent.

/ Demonstratie prin inductie dupa p. Pentru p = 1 afirmatia este adevarata, deoareceu1 6= 0. Presupunem afirmatia adevarata pentru p− 1 valori proprii distincte. Daca λi

sunt p valori proprii distincte si ui ∈ S(λi), i = 1, p, atunci

T (ui) = λiui, i = 1, p. (3.17)

Consideram relatiaα1u1 + α2u2 + · · ·+ αpup = 0, (3.18)

care implica α1T (u1) + α2T (u2) + · · ·+ αpT (up) = 0 sau cu (3.17)

α1λ1u1 + α2λ2u2 + · · ·+ αp−1λp−1up−1 + αpλpup = 0. (3.19)

Inmultind (3.18) cu −λp si adunand-o la (3.19), gasim

α1(λ1 − λp)u1 + α2(λ2 − λp)u2 + · · ·+ αp−1(λp−1 − λp)up−1 = 0

si cum λi 6= λj , i 6= j, i, j = 1, p− 1, obtinem α1 = . . . = αp−1 = 0 si apoi din (3.18),cum up 6= 0, avem ca si αp = 0. Deci sistemul Sp este liniar independent. .

Teorema 3.25 Fie V un spatiu n-dimensional peste corpul K si T ∈ L(V ). Daca toateradacinile λ1, λ2, . . . , λn ale ecuatiei caracteristice a transformarii liniare T sunt simplesi apartin lui K, atunci exista o baza B′ ın V a.ı.

T (e′j) = λje′j , j = 1, n. (3.20)

Cu alte cuvinte, ın aceasta baza, matricea A′ a transformarii liniare are forma diagonalaA′ = diag(λ1, λ2, . . . , λn).

/ Construim baza B′ ın felul urmator: fie e′j un vector propriu corespunzator valoriiproprii λj , j = 1, n. Dupa Teorema 3.24 rezulta ca sistemul B′ = e′1, e′2, . . . , e′n esteliniar independent si cum dim V = n, B′ este o baza a lui V . Relatiile (3.20) exprimafaptul ca e′j este vector propriu corespunzator valorii proprii λj , j = 1, n. .

Daca A ∈ Mn(K) si toate radacinile ecuatiei caracteristice sunt distincte ıntre ele,atunci matricea A este asemenea cu o matrice diagonala.

Teorema 3.25 da raspuns la Problema II si deci la problema initial propusa, ıntr-uncaz particular. Rezolvarea generala este data de urmatoarea teorema, pe care o dam farademonstratie.


Teorema 3.26 Fie V un spatiu n-dimensional si T ∈ L(V ). Exista o baza B′ ınV ın care matricea transformarii liniare T are forma diagonala d.d. sunt satisfacuteurmatoarele conditii:

a) toate radacinile caracteristice ale lui T apartin lui K;b) dimensiunea subspatiului propriu corespunzatoar fiecarei valori proprii a lui T este

egala cu ordinul de multiplicitate a valorii proprii respective.

Exemplul 3.6 Sa se gaseasca o baza ın R3 ın care matricea Tranformarea liniara T :R3 → R3 este data ın baza canonica din R3 prin maricea

A =

0 0 10 1 01 0 0

.

Sa se gaseasca o baza ın R3 ın care matricea transtormarii sa aiba forma diagonala.Ecuatia caracteristica este: −λ3 + λ2 − 1 + λ = 0, valorile proprii sunt: −1, 1, 1, iar

matricea schimbarii de baze:

C =

1 0 −10 1 01 0 1

.

Capitolul 4

FORME LINIARE,BILINIARE SI PATRATICE

4.1 Forme liniare. Spatiul vectorial dual

Definitia 4.1 Se numeste forma (functionala) liniara pe spatiul vectorial V o aplicatieliniara f : V → K.

Spatiul vectorial L(V, K) = V ∗ al tuturor formelor liniare pe V se numeste spatiuldual spatiului vectorial V .

Daca V este un spatiu n-dimensional, cum dim K = 1, rezulta ca dim V ∗ = n.Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ın V si u = eX ∈ V . Fie ınca f ∈ V ∗ o forma liniara

pe V . Atunci

f(u) = f(eX) =n

∑

i=1

f(ei) · xi.

Notam f(ei) = ai ∈ K, i = 1, n, adica f(e) = A = (a1, a2, . . . , an); atunci

f(u) =n

∑

i=1

aixi = AX. (4.1)

Scalarii ai se numesc coeficientii formei liniare f ın baza B, A matricea formei liniaref ın baza B, iar (4.1) ecuatia sau expresia analitica a formei liniare f ın baza B.

Ne propunem acum sa gasim o baza ın V ∗ plecand de la o baza data ın V .Fie fi ∈ V ∗, i = 1, n, n forme liniare pe V , date ın baza B din V prin:

fi(ej) = δij , i, j = 1, n, sau f∗(e) = In, (4.2)

ın care am notat f∗ = t(f1, f2, . . . , fn) si

44


f∗(e) =

f1(e1) · · · f1(en)· · · · · · · · ·

fn(e1) · · · fn(en)

.

Pentru u = eX ∈ V avem, f∗(u) = f∗(eX) = f∗(e)X si deci

f∗(u) = X sau fi(u) = xi, i = 1, n. (4.3)

Teorema 4.1 Sistemul de forme liniare B∗ = f1, f2, . . . , fn ∈ V ∗ definite prin (4.2),formeaza o baza ın V ∗ si pentru orice f ∈ V ∗ data ın baza B prin (4.1), avem:

f =n

∑

i=1

aifi = Af∗. (4.4)

/ Sistemul B∗ este liniar independent. Intr-adevar, egalitatea

n∑

i=1

µifi = 0

are loc d.d.n∑

i=1µifi(u) = 0, pentru orice u ∈ V . Luand aici u = ej , j = 1, n, gasim

n∑

i=1µifi(ej) = 0 sau

n∑

i=1µiδij = 0, adica µj = 0, j = 1, n. Cum dim V ∗ = n, urmeaza ca

B∗ este o baza a lui V ∗. Fie acum f ∈ V ∗ data de (4.1). Avem, tinand seama de (4.3),f(u) = AX = Af∗(u) = (Af)∗(u), pentru orice u ∈ V , de unde (4.4).

Definitia 4.2 Baza B∗ a spatiului vectorial dual V ∗ corespunzatoare prin (4.2) bazei Ba lui V se numeste baza duala bazei B.

Incheiem acest paragraf stabilind legile de schimbare a matricei unei forme liniare sia bazei duale la o schimbare a bazei lui V .

Fie B = e1, e2, . . . , en si B′ = e′1, e′2, . . . , e′n doua baze a lui V , legate prin

e′ = e · C

si A = f(e), A′ = f(e′) matricele coeficientilor unei forme liniare f ∈ V ∗ ın cele douabaze. Atunci A′ = f(e′) = f(eC) = f(e)C = AC, deci

A′ = AC

este legea de schimbare a matricei formei liniare f .Fie apoi B∗ = f1, f2, . . . , fn si B′∗ = f ′1, f ′2, . . . , f ′n bazele din V ∗ duale bazelor B

si respectiv B′. Atunci pentru orice vector u = eX = e′X ′ ∈ V avem

f∗(u) = X, f ′∗(u) = X ′

si deci f ′∗(u) = X ′ = C−1X = C−1f∗(u) = (C−1f∗)(u), adica

f ′∗ = C−1f∗,


cu f∗ = t(f1, f2, . . . , fn) si f ′∗ = t(f ′1, f′2, . . . , f

′n), care da legea de schimbare a bazelor

duale.Elementele lui V se mai numesc vectori contravarianti, iar elementele lui V ∗ se numesc

vectori covarianti.

4.2 Forme biliniare

Fie V un spatiu vectorial peste corpul K.Definitia 4.3 O aplicatie g : V × V → K se numeste forma biliniara pe V daca esteliniara ın fiecare argument, adica:

1) g(u1 + u2,v) = g(u1,v) + g(u2,v), ∀u1,u2,v ∈ V,2) g(αu,v) = αg(u,v), ∀α ∈ K, ∀u,v ∈ V,3) g(u,v1 + v2) = g(u,v1) + g(u,v2), ∀u,v1,v2 ∈ V,4) g(u, βv) = βg(u,v,) ∀β ∈ K, ∀u,v ∈ V .

Exemplul 4.1 Aplicatia g : Kn ×Kn → K, data de

g(x,y) =n

∑

i=1

xiyi,

pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn este o forma biliniara peKn.

Notam cu L2(V, K) multimea formelor biliniare pe V . Multimea L2(V, K) are ostructura de spatiu vectorial ın raport cu operatiile de adunare si ınmulture cu scalaridefinite prin

(g1 + g2)(u,v) = g1(u,v) + g2(u,v), (ag)(u,v) = ag(u,v), ∀u,v ∈ V,

pentru orice g1, g2, g ∈ L2(V, K) si orice a ∈ K.Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional si B = e1, e2, . . . , en este o baza ın

V si

u =n

∑

i=1

xiei = eX, v =n

∑

j=1

yjej = eY,

atunci, datorita liniaritatii formei g ın cele doua argumente, avem

g(u,v) = g

n∑

i=1

xiei,n

∑

j=1

yjej

=n

∑

i,j=1

xiyjg(ei, ej),

de unde rezulta ca valoarea formei biliniare g pentru perechea de vectori u,v ∈ V estecunoscuta daca se cunosc valorile ei pentru perechile (ei, ej), i, j = 1, n, de vectori aibazei B. Fie deci

g(ei, ej) = gij , i, j = 1, n,


atunci:

g(u,v) =n

∑

i,j=1

gijxiyj , (4.5)

care se numeste ecuatia sau expresia analitica a formei biliniare g ın baza B. Scalarii gij

se numesc coeficientii formei g ın baza B.Matricea G = ||gij || ∈ Mn(K) se numeste matricea formei biliniare g ın baza B.Expresia (4.5) se mai scrie atunci

g(u,v) = tX ·G · Y. (4.6)

Aplicatia ϕ : L2(V, K) → Mn(K), definita prin ϕ(g) = G, care asociaza fiecareiforme biliniare g matricea sa G ıntr-o baza din V , prin (4.5), este un izomorfism. Inconsecinta, dim L2(V, K) = dimMn(K) = n2.

Daca B∗ = f1, . . . , fn ⊂ V ∗ este baza duala bazei B din V , atunci formele biliniarefij ∈ L2(V, K), i, j = 1, n, definite prin

fij(u,v) = fi(u)fj(v) = xiyj , i, j = 1, n,

formeaza o baza ın L2(V,K), iar din (4.5) avem

g =n

∑

i,j=1

gijfij .

Se obisnuieste ca L2(V, K) sa se mai noteze V ∗ ⊗ V ∗ si sa se numeasca produsultensorial al lui V ∗ cu el ınsusi. O forma biliniara pe V se mai numeste tensor covariantde ordinul doi pe V .

Fie ınca B′ = e′1, e′2, . . . , e′n o baza ın V , legata de baza B prin e′ = eC si fieG′ = ||g′ij || ∈ Mn(K), g′ij = g(e′i, e

′j), i, j = 1, n, matricea formei biliniare g ın baza B′.

Atuncig(u,v) = tX ′ ·G′ · Y ′, (4.7)

pentru orice u = e′X ′, v = e′Y ′ ∈ V . Cum X = CX ′ si Y = CY ′ din (4.6) si (4.7) avem

g(u,v) = tXGY = (tX ′ tC)G(CY ′) = tX ′(tCGC)X ′ = tX ′G′Y ′,

pentru orice u,v ∈ V , deciG′ = tC ·G · C.

Definitia 4.4 Forma biliniara g : V × V → K se numeste simetrica daca g(u,v) =g(v,u), pentru orice u,v ∈ V si antisimetrica daca g(u,v) = −g(v,u), pentru oriceu,v ∈ V .

Teorema 4.2 Forma biliniara g este simetrica (respectiv, antisimetrica) d.d. matriceasa ıntr-o baza din V este simetrica (respectiv, antisimetrica).


/ Daca g este simetrica, gij = g(ei, ej) = g(ej , ei) = gji, adica G = tG. Reciproc,daca G = tG, atunci

g(v,u) =n

∑

ij=1

gjiyjxi =n

∑

i,j=1

gijxiyj = g(u,v)..

Multimile Ls2(V, K) si La

2(V, K) ale tuturor formelor biliniare simetrice, respectiv,antisimetrice sunt subspatii vectoriale ale lui L2(V,K).

Teorema 4.3 Orice forma biliniara g ∈ L2(V, K) se scrie ın mod unic ca suma a douaforme biliniare, una simetrica si una antisimetrica.

/ Intr-adevar, putem scrie

g(u,v) = gs(u,v) + ga(u,v), ∀u,v ∈ V,

undegs(u,v) =

12[g(u,v) + g(v,u)], g(u,v) =

12[g(u,v)− g(v,u)].

Se constata usor ca gs este simetrica si ga este antisimetrica. .

4.3 Forme patratice

4.3.1 Definitia unei forme patratice

Definitia 4.5 O aplicatie h : V → K se numeste forma patratica pe V daca exista oforma biliniara simetrica g ∈ Ls

2(V, K) a.ı.

h(u) = g(u,u), ∀u ∈ V. (4.8)

Forma biliniara simetrica g se numeste forma polara sau forma dedublata a formeipatratice h.

Din (4.8) deducem

h(u + v) = g(u + v,u + v) = h(u) + 2g(u,v) + h(v)

si deci

g(u,v) =12

[h(u + v)− h(u)− h(v)] , ∀u,v ∈ V,

adica, oricarei forme patratice pe V ıi corespunde o forma biliniara simetrica pe V .In concluzie, multimea formelor patratice pe V formeaza un spatiu vectorial izomorfcu Ls

2(V, K). Deci studiul formelor patratice se bazeaza pe studiul formelor biliniaresimetrice.


Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional si B = e1, e2, . . . , en o baza ın V ,atunci expresia analitica a formei patratice h ın baza B se obtine din expresia analiticaa formei biliniare simetrice g asociata formei h luand Y = X:

h(u) = tXGX =n

∑

i,j=1

gijxixj , ∀u ∈ V.

Matricea simetrica G se numeste matricea formei patratice h ın baza B.Daca ın V trecem de la baza B la baza B′ prin e′ = eC, atunci matricea formei

patratice g ın baza B′ va fi data de

G′ = tC ·G · C.

Rezulta ca matricele unei forme patratice ın doua baze date din V sunt echivalente.Deci rangul matricei unei forme patratice pe V este invariant la schimbari de baze.

Definitia 4.6 Numim rang al formei patratice h, rangul matricei sale ıntr-o baza dinV , r = rg G.

Definitia 4.7 Forma patratica h pe V se numeste nedegenerata daca r = n si degene-rata daca r < n.

4.3.2 Reducerea unei forme patratice la expresia canonica

Expresia analitica a unei forme patratice depinde de baza considerata din V . Se puneproblema de a cerceta daca exista o baza B′ ⊂ V ın care forma patratica h sa aibaexpresia analitica

h(u) =n

∑

i=1

λi(x′i)2, (4.9)

adica sa contina numai termeni ın patratele coordonatelor vectorului u. Expresia (4.9)poarta numele de expresia canonica a formei patratice h. O baza ın care h are expresiacanonica se numeste baza canonica. Matricea formei patratice h ıntr-o astfel de baza areforma

G =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . λn

,

adica este o matrice diagonala.Daca r este rangul formei patratice h, atunci ın expresia (4.9) numai r dintre coefici-

entii λi sunt nenuli.

Teorema 4.4 (Teorema lui Gauss) Oricare ar fi forma patratica nenula h : V → Kexista o baza ın V ın care h are expresia canonica (4.9).


/ Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ın V ın care h are expresia analitica

h(u) =n

∑

i,j=1

gijxixj . (4.10)

Vom construi o baza ın V ın care h sa aiba expresia canonica plecand de la bazaB, tinand seama ca fiecarei schimbari de coordonate ale vectorului u ıi corespunde oschimbare de baze si reciproc, adica

e′ = eC ⇐⇒ X = CX ′.

Putem presupune ca ın (4.10) macar un gii 6= 0. In caz contrar, daca un gij 6= 0, cui 6= j, se considera o noua baza ın care coordonatele x′i ale vectorului u sunt legate decoordonatele xi prin

xi = x′i + x′j , xj = x′i − x′j , xk = x′k, k 6= i, j.

Termenul gijxixj = gij(x′i)2−gij(x′j)

2 are coeficientul g′ii = gij 6= 0. Pentru simplificareascrierii, presupunem ca g11 6= 0. Alcatuim un patrat perfect a.ı. sa includem toti termeniilui h(u) care contin pe x1. Se obtine

h(u) = g11x21 = 2g12x1x2 + · · ·+ 2ginx1xn +

n∑

i,j=2

gijxigj =

=1

g11(g11x1 + g12x2 + · · ·+ g1nxn)2 +

n∑

i,j=2

g′ijxixj .

Efectuam schimbarea de coordonate

x′1 = g11x1 + g12x2 + · · ·+ g1nxn, x′k = xk, k = 2, n,

saux1 =

1g11

(x′1 − g12x′2 − · · · − g1nx′n), xk = x′k, k = 2, n,

adica X = C ′X ′, cu

C ′ =

1g11

− g12g11

. . . − g1ng11

0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

,

care atrage dupa sine schimbarea de baze e′ = eC ′. In noua baza forma patratica h vaavea expresia analitica

h(u) = λ1(x′1)2 +

n∑

i,j=2

g′ijxixj , cu λ1 =1

g11.

Procedeul acesta de formare de patrate poate fi aplicat ın continuare formei patraticen

∑

i,j=2

g′ijx′ix′j ,


ın coordonatele x′2, x′3, ..., x′n s.a.m.d. pana se ajunge la expresia canonica.Daca pentru obtinerea expresiei canonice se efectueaza m schimbari de coordonate,

si ın consecinta, m schimbari de baze de forma

e(s) = e(s−1)C(s), s = 1, m, e(0) = e,

atunci baza canonica va fi B(m) = e(m), data de

e(m) = e(C ′C ′′ · · ·C(m)). .

Demonstratia precedenta constituie o metoda de reducere a unei forme patratice laexpresia canonica, numita metoda lui Gauss.

Exemplul 4.2 Aplicand metoda lui Gauss formei patratice

h(u) = 2x21 + 2x1x2 + 4x1x3 + x2

3,

se obtine, ın doua etape, expresia canonica

h(u) =12(x′′1)2 − 2(x′′2)2 + (x′′3)2,

cux′′1 = 2x1 + x2 + 2x3, x′′2 =

12x2 + x3, x′′3 = x3,

ın baza formata de vectorii: e′′1 = ( 12 , 0, 0), e′′2 = (1,−2, 0), e′′3 = (0,−2, 1).

Oricare ar fi baza canonica pentru h, numarul patratelor cu coeficienti nenuli esteacelasi si este egal cu rangul r al formei patratice.

O alta metoda de reducere a unei forme patratice la expresia canonica este metodalui Jacobi.

Fie h : V → K o forma patratica nenula a carei expresie analitica ın baza B este(4.10).

Definitia 4.8 Numim minor principal de ordinul p al matricei G a formei patratice hın baza B, minorul

∆p =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

g11 g12 . . . g1p

g21 g22 . . . g2p

. . . . . . . . . . . .gp1 gp2 . . . gpp

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, p = 1, n.

Teorema 4.5 Daca forma patratica h este nedegenerata exista baze ın V ın care totiminorii principali sunt nenuli.

/ Demonstratia se face prin metoda inductiei matematice. .

Teorema 4.6 (Teorema lui Jacobi) Daca forma patratica h este nedegenerata, existao baza B′ ın V ın care ea are expresia canonica

h(u) =∆0

∆1(x′1)

2 +∆1

∆2(x′2)

2 + · · ·+ ∆n−1

∆n(x′n)2, (4.11)

unde ∆p, p = 1, n, sunt minorii principali ai matricei G a formei patratice, iar ∆0 = 1.


/ Presupunem, ın baza Teoremei 4.5, ca ın baza B toti minorii principali ai matriceiG sunt nenuli. Fie B′ = e′1, e′2, . . . , e′n un sistem de n vectori din V , definiti prin

e′1 = c11e1, e′2 = c12e1 + c22e2, . . . , e′n = c1ne1 + c2ne2 + · · ·+ cnnen,

adica,

e′p =p

∑

j=1

cjpej , p = 1, n. (4.12)

care satisfac conditiileg(ei, e′p) = δip, i = 1, p, p = 1, n. (4.13)

Sistemul B′ constituie o baza ın V si forma patratica h are ın aceasta baza expresiacanonica (4.11).

Intr-adevar, ınlocuind (4.12) ın (4.13) gasimp

∑

j=1

gijcjp = δip, i = 1, p, p = 1, n.

Obtinem astfel pentru determinarea coordonatelor cjp, j = 1, p, ale vectorului e′p, p =1, n, un sistem de p ecuatii cu p necunoscute. Determinantul sistemului fiind ∆p 6= 0,sistemul este compatibil determinat, deci cjp sunt unic determinati. Regula lui Cramerda pentru cpp:

cpp =1

∆p

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

g11 . . . g1,p−1 0. . . . . . . . . 0gp−1 . . . gp−1,p−1 . . .gp1 . . . gp,p−1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=∆p−1

∆p, p = 1, n.

Cum det C = c11c22 · · · cnn 6= 0, sistemeul de vectori B′ este liniar independent si deciformeaza o baza ın V .

Sa gasim matricea G′ = ||g′pq|| a formei patratice h ın aceasta baza. Deoarece G′ estesimetrica va fi suficient sa calculam g′pq pentru p ≤ q. Avem

g′pq = g(e′p, e′q) = g(

p∑

i=1

cipei, e′q) =p

∑

i=1

cipg(ei, e′q) =p

∑

i=1

cipδiq.

Daca p < q, cum i ≤ p, urmeaza δiq = 0, i = 1, p si deci g′pq = 0 pentru p 6= q, p, q = 1, n.Pentru q = p,

g′pp =p

∑

i=1

cipδip = cpp =∆p−1

∆p, p = 1, n,

ca atare

G′ = diag(

∆0

∆1,∆1

∆2, . . . ,

∆n−1

∆n

)

.

Un rezultat asemanator se poate stabili si pentru forme patratice degenerate.

Teorema 4.7 Pentru orice forma patratica h, de rang r ≤ n, exista o baza ın V ın caretoti minorii principali ∆p, p = 1, r, sunt nenuli si ın care h are expresia canonica

h(u) =∆0

∆1(x′1)

2 +∆1

∆2(x′2)

2 + · · ·+ ∆r−1

∆r(x′r)

2.


4.3.3 Forme patratice reale

Fie V un spatiu vectorial real. Forma patratica h : V → R se numeste atunci formapatratica reala.

Teorema 4.8 Pentru orice forma patratica reala h, de rang r, exista o baza ın V ıncare aceasta are expresia canonica

h(u) = (x′1)2 + (x′2)

2 + · · ·+ (x′p)2 − (x′p+1)

2 − · · · − (x′r)2, (4.14)

pentru orice u = x′1e′1 + x′2e

′2 + · · ·+ x′ne′n ∈ V .

/ Fie B o baza ın care h are expresia canonica

h(u) = λ1x21 + λ2x2

2 + · · ·+ λrx2r, r ≤ n, (4.15)

cu λi 6= 0, i = 1, r. Putem presupune ca primii p coeficienti din (4.15) sunt pozitivi siurmatorii q = r − p sunt negativi. Efectuam schimbarea de coordonate

x′i = xi

√

|λi|, i = 1, r, x′j = xj , j = r + 1, n,

ceea ce implica schimbarea de baze

e′i =1

√

|λi|ei, i = 1, r, e′j = ej , j = r + 1, n.

In baza B′ = e′1, e′2, . . . , e′n coeficientii formei patratice h au valorile

g′ii = g(e′i, e′i) =

1|λi|

g(ei, ei) =λi

|λi|,

adica +1, pentru i = 1, p si −1, pentru i = p + 1, r, in rest g′ij = 0. Deci ın aceasta bazah are expresia canonica (4.14). .

Expesia canonica (4.14) se numeste si expresie normala a formei h.

Teorema 4.9 (Teorema lui Sylvester) Numarul termenilor pozitivi din expresia ca-nonica sau normala a unei forme patratice reale nu depinde de alegerea bazei canonice.

/ Fie B si B′ doua baze canonice pentru h ın care numarul termenilor pozitivi este p,respectiv p′ si fie r rangul formei h.

Presupunem ca p′ < p si consideram subspatiile vectoriale S+ si S− generate desubsisteme de vectori din cele doua baze, astfel

S+ = [e1, . . . , ep, er+1, . . . , en], S− = [e′p′+1, e′p′+2, . . . , e

′r].

Prin urmare, dim S+ = p + (n− r), dim S− = r − p′ si

h(u) ≥ 0, u ∈ S+, h(u) < 0, u ∈ S− \ 0, (4.16)

de unde se deduce ca S+ ∩ S− = 0, caci daca ar exista un vector nenul u ∈ S+ ∩ S−,ar ınsemna ca pentru el au loc simultan cele doua inegalitati (4.16), ceea ce este absurd.Din Teorema lui Grassmann, avem atunci

dim S+ ⊕ S− = dim S+ + dim S− = n + p− p′ > n.

Contradictie, deoarece dim S+ ⊕ S− ≤ n. Deci p′ ≥ p. La fel se arata ca p ≥ p′ si prinurmare p′ = p. .


Definitia 4.9 Numarul p (respectiv q = r−p) al termenilor pozitivi (respectiv, negativi)dintr-o expresie canonica a formei patratice h se numeste indice pozitiv (negativ) deinertie a lui h.

Definitia 4.10 Forma patratica reala h se numeste:a) pozitiv definita daca h(u) > 0, pentru orice u ∈ V \ 0,b) negativ definita daca h(u) < 0, pentru orice u ∈ V \ 0,c) pozitiv semidefinita daca h(u) ≥ 0, pentru orice u ∈ V , dar exista u0 6= 0, a.ı.

h(u0) = 0,d) negativ semidefinita daca h(u) ≤ 0, pentru orice u ∈ V , dar exista u0 6= 0, a.ı.

h(u0) = 0,e) nedefinita daca exista u1,u2 ∈ V a.ı. h(u1)h(u2) < 0.

Clasificarea unei forme patratice ın una din categoriile a) - e) se poate realiza cuajutorul urmatoarei teoreme de caracterizare

Teorema 4.10 Forma patratica h este:a) pozitiv definita d.d. p = r = n,b) negativ definita d.d. q = r = n,c) pozitiv semidefinita d.d. p = r < n,d) negativ semidefinita d.d. q = r < n,e) nedefinita d.d. pq 6= 0.

/ Fie h data ın baza B = e1, e2, . . . , en prin expresia normala

h(u) = x21 + x2

2 + · · ·+ x2p − x2

p+1 − · · · − x2r. (4.17)

a) Presupunem ca h este pozitiv definita. Cum totdeauna p ≤ r, daca p < r, luandu = er 6= 0, obtinem h(er) = −1 < 0, contrar ipotezei, prin urmare p = r. Tot astfel,deoarece r ≤ n, daca r < n, luand u = en 6= 0, obtinem h(en) = 0. Contradictie, decip = r = n.

Reciproc, daca p = r = n, expresia normala (4.17) se scrie

h(u) = x21 + x2

2 + · · ·+ x2n

si este clar ca pentru orice vector nenul u ∈ V , avem h(u) > 0.b) Analog ca la a).c) Presupunem ca h este pozitiv semidefinita. Ca la a) se arata ca p = r. Apoi, daca

r = n, ar rezulta, dupa a) ca h este pozitiv definita. Avem deci p = r < n.Reciproc, daca p = r < n, expresia normala (4.17) se scrie

h(u) = x21 + x2

2 + · · ·+ x2r,

deci h(u) ≥ 0, dar, de exemplu, pentru u0 = er+1 6= 0, avem h(u0) = 0.d) Analog ca la c).e) Presupunem ca h este nedefinita. Daca q = 0, ar rezulta p = r, adica h ar fi pozitiv

definita sau semidefinita, deci h(u) ≥ 0, pentru orice u ∈ V . Contradictie.Reciproc, daca pq 6= 0, expresia normala a lui h contine atat termeni pozitivi cat si

termeni negativi. .


Dam ın final, pentru forme patratice nedegenerate, o teorema de caracterizare aformelor pozitiv sau negativ definite, cu ajutorul minorilor principali.

Teorema 4.11 Forma patratica nedegenerata h este:a) pozitiv definita d.d. ∆p > 0, p = 1, n,b) negativ definita d.d. (−1)p∆p > 0, p = 1, n.

/ a) Daca h este pozitiv definita p = n, si din Teorema 4.6 a lui Jacobi rezulta:

∆p−1

∆p> 0, p = 1, n (4.18)

si cum ∆0 = 1 > 0, urmeaza ca ∆p > 0, p = 1, n.Reciproc, din ∆p > 0, p = 1, n, rezulta (4.18) si deci h este pozitiv definita.b) Analog ca la a).

Teorema 4.12 Forma patratica degenerata h este:a) pozitiv semidefinita d.d. ∆p > 0, p = 1, r,b) negativ semidefinita d.d. (−1)p∆p > 0, p = 1, r.

/ a) Daca h este pozitiv semidefinita p = r, si din Teorema 4.6 a lui Jacobi rezulta:

∆p−1

∆p> 0, p = 1, r (4.19)

si cum ∆0 = 1 > 0, urmeaza ca ∆p > 0, p = 1, r.Reciproc, din ∆p > 0, p = 1, r, rezulta (4.19) si deci h este pozitiv semidefinita.b) Analog ca la a).

Exemplul 4.3 Pentru forma patratica h : R3 → R, definita prin

h(x) = x21 + 2x1x2 − 2x1x3 + 4x2

3,

avem

G =

1 1 −11 3 0

−1 0 4

si deci ∆1 = 1, ∆2 = 2, ∆2 = 5. Forma patratica h este pozitiv definita.

Capitolul 5

SPATII EUCLIDIENE

5.1 Spatiu euclidian. Produs scalar, norma, distanta,unghi

Fie V un spatiu vectorial real si g ∈ Ls2(V, R) o forma biliniara simetrica pe V .

Definitia 5.1 Spunem ca g defineste pe V o structura de spatiu enclidian sau ca perechea(V, g) = E este un spatiu euclidian daca forma patratica h asociata lui g este pozitivdefinita. In acest caz, g se numeste produs scalar pe V .

Vom nota produsul scalar al vectorilor u si v din E prin u · v = g(u,v). Forma gcare determina structura spatiului se mai numeste si tensorul metric al spatiului.

Exemplul 5.1 Aplicatia g : Rn ×Rn → R definita prin

g(x,y) = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn, (5.1)

pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) din Rn, este un produs scalar peRn, deoarece g este simetrica si forma patratica asociata h(x) = x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n estepozitiv definita. Prin urmare, (Rn, g) este un spatiu euclidian. Vom spune ca g, data de(5.1), determina structura euclidiana canonica (naturala) a lui Rn.

Din Definitia 5.1, definitia formei biliniare simetrice g si definitia formei patraticepozitiv definite h rezulta urmatoarele proprietati ale produsului scalar:

i) u · v = v · u, ∀u,v ∈ E,ii) (u1 + u2)·v = u1 · v + u2 · v, ∀u1,u2,v ∈ E,iii) (au) · v = a(u · v), ∀ a ∈ R, ∀u,v ∈ E,iv) u · u ≥ 0, ∀u ∈ E, si u · u = 0 d.d. u = 0.Vom nota produsul scalar al unui vector cu el ınsusi prin u · u = u2 si-l vom numi

patratul scalar al vectorului u.

Definitia 5.2 Aplicatia || · || : E → R, definita prin

||u|| =√

u2, ∀u ∈ E, (5.2)

56


se numeste norma pe spatiul euclidian E. Numarul real ||u|| se numeste norma saulungimea vectorului u.

Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma se numeste spatiu vectorial normat.Un vector de lungime 1 se numeste versor sau vector unitar. Daca u 6= 0, vectorule = u/||u||, a carui lungime este egala cu 1, se numeste versor asociat vectorului u.

Din Definitia 5.2 rezulta ca||u||2 = u2. (5.3)

Teorema 5.1 (Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy) Oricare ar fi vectorii u,v ∈ E areloc inegalitatea

|u · v| ≤ ||u|| ||v||. (5.4)

/ Daca u = v = 0, inegalitatea (5.4) este evidenta. presupunem ca macar unul din ceidoi vectori este nenul, de exemplu u. Atunci dupa proprietatea iv) a produsului scalar,avem

(tu + v) · (tu + v) ≥ 0, ∀ t ∈ R, ∀u,v ∈ E, u 6= 0,

sau||u||2t2 + 2(u · v)t + ||v||2 ≥ 0, ∀ t ∈ R. (5.5)

Deoarece ||u||2 > 0, trinomul (5.5) ın t este nenegativ pe R d.d. discriminantul sau estenegativ sau nul, adica (u · v)2 − ||u||2||v||2 ≤ 0, de unde (5.4). .

Egalitatea ın (5.4) are loc d.d. vectorii u si v sunt liniar dependenti. Intr-adevar,daca u si v sunt liniar dependenti, exista t0 ∈ R a.ı. t0u + v = 0 sau (t0u + v)2 = 0.Deci ecuatia

||u||2t2 + 2(u · v)t + ||v||2 = 0

are radacina dubla t = t0 si ca atare discriminantul sau este nul. Reciproc, daca |u ·v| =||u|| ||v||, discriminantul trinomului este nul si atunci exista t = t0 pentru care (5.5) areloc ca egalitate, adica (t0u + v)2 = 0 sau t0u + v = 0 si deci vectorii u si v sunt liniardependenti.

Teorema 5.2 (Proprietatile normei) Oricare ar fi vectorii u,v ∈ E, avem1) ||u|| ≥ 0 si ||u|| = 0 d.d. u = 0,2) ||au|| = |a| ||u||, oricare ar fi a ∈ R,3) ||u + v|| ≤ ||u||+ ||v|| (inegalitatea lui Minkowski).

/ 1) rezulta din proprietatea iv) a produsului scalar.2) ||au|| =

√

(au)2 =√

a2u2 = |a|√

u2 = |a| ||u||,3) ||u + v||2 = (u + v)2 ≤ ||u||2 + ||v||2 + 2u · v, dar dupa inegalitatea lui Schwarz-

Cauchy, u · v ≤ |u · v| ≤ ||u|| ||v|| si deci

||u + v||2 ≤ ||u||2 + ||v||2 + 2||u|| ||v|| = (||u||+ ||v||)2. .

Exemplul 5.2 In Rn dotat cu structura euclidiana canonica, cu produsul scalar (5.1),norma vectorului x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn este data de

||x|| =√

x2 =

√

√

√

√

n∑

i=1

x2i =

√tXX. (5.6)


Pentru orice doi vectori nenuli u,v ∈ E inegalitatea lui Schwarz-Cauchy se mai scrie

− 1 ≤ u · v||u|| ||v||

≤ 1, (5.7)

inegalitate care permite definirea notiunii de unghi dintre doi vectori nenuli din E.

Definitia 5.3 Numim unghi dintre vectorii nenuli u,v ∈ E, numarul real α ∈ [0, π],solutia ecuatiei

cosα =u · v

||u|| ||v||. (5.8)

Egalitatea (5.8) se mai scrie

u · v = ||u|| ||v|| cos α, (5.9)

adica, produsul scalar a doi vectori este egal cu produsul lungimilor lor prin cosinusulunghiului dintre ei.

Definitia 5.4 Spunem ca vectorul u ∈ E este ortogonal (perpendicular) pe vectorulv ∈ E daca

u · v = 0. (5.10)

Deoarece produsul scalar este comutativ, rezulta ca daca u este ortogonal pe v, atuncisi v este ortogonal pe u. Cum 0 · u = g(0,u) = 0, oricare ar fi vectorul v, rezulta cavectorul nul este ortogonal pe orice vector din E. Vom scrie

u ⊥ v ⇐⇒ u · v = 0,

pentru orice doi vectori u si v din E.

Definitia 5.5 Aplicatia d : E ×E → R, definita prin

d(u,v) = ||u− v||, ∀u,v ∈ E, (5.11)

se numeste metrica sau distanta pe E.

Numarul real d(u,v) se numeste distanta dintre vectorii u si v, iar perechea (E, d) senumeste spatiu metric.

Exemplul 5.3 In Rn dotat cu structura euclidiana canonica, cu produsul scalar (5.1),distanta dintre vectorii x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn este data de

d(x,y) =

√

√

√

√

n∑

i=1

(xi − yi)2.

Teorema 5.3 Oricare ar fi vectorii u,v,w ∈ E, avem1. d(u,v) ≥ 0, si d(u,v) = 0 d.d. u = v,2. d(u,v) = d(v,u),3. d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v).


Sa presupunem acum ca E este n-dimensional si fie B = e1, e2, . . . , en o baza ın E.Daca u = eX, v = eY ∈ E, atunci expresia analitica a produsului scalar este

u · v = g(u,v) =n

∑

i,j=1

gijxiyj = tXGY, (5.12)

ın care gij = g(ei, ej) = ei · ej sunt componentele tensorului metric.Norma vectorului u va avea expresia

||u|| =

√

√

√

√

n∑

i,j=1

gijxixj . (5.13)

Unghiul dintre vectorii nenuli u,v ∈ E va fi dat de

cos α =

∑ni,j=1 gijxiyj

√

∑ni,j=1 gijxixj

√

∑ni,j=1 gijyiyj

. (5.14)

Distanta va avea expresia analitica

d(u,v) =

√

√

√

√

n∑

i,j=1

gij(xi − yi)(xj − yj). (5.15)

5.2 Baze ortonormate

Definitia 5.6 Sistemul de vectori nenuli Sp = u1,u2, . . . ,up ⊂ E se numeste ortogo-nal daca

ui · uj = 0, i, j = 1, p. (5.16)

Teorema 5.4 Orice sistem ortogonal Sp, care nu contine vectorul nul, este liniar inde-pendent.

/ Dinn

∑

i=1

λiui = 0, (5.17)

ınmultind scalar ambii membri cu uj , j = 1, p, tinand seama de (5.16), obtinem λj = 0,j = 1, p si deci Sp este liniar independent. .

Consecinta 5.1 Un sistem ortogonal ce consta din n vectori nenuli ai unui spatiu eu-clidian n-dimensional formeaza o baza ın E.

Definitia 5.7 Sistemul de vectori Sp = u1,u2, . . . ,up ⊂ E se numeste ortonormatdaca este ortogonal si orice vector al sau este unitar, adica

ui · uj = δij , i, j = 1, p. (5.18)


Definitia 5.8 Baza B = e1, e2, . . . , en a lui E se numeste ortonormata daca sistemulB este ortonormat:

ei · ej = δij , i, j = 1, n. (5.19)

Exemplul 5.4 Baza canonica din Rn este o baza ortonormata.

Teorema 5.5 In orice spatiu euclidian n-dimensional exista baze ortonormate.

/ (Procedeul de ortonormare al lui Gram-Schmidt) Fie B = e1, e2, . . . , en abaza a lui E. Plecand de la aceasta baza construim o baza ortogonala, adica o baza ıncare oricare doi vectori distincti sunt ortogonali.

Fie Sn = f1, f2, . . . , fn definit prin

f1 = e1, fk = ek −k−1∑

j=1

λjkfj , k = 2, n, (5.20)

ın care scalarii λjk, k = 2, n, ıi vom determina din conditiile:

fi · fj = 0, i 6= j, i, j = 1, k, k = 2, n. (5.21)

Sa observam mai ıntai ca vectorii fk, k = 1, n, fiind combinatii liniare nebanale devectori ai bazei B, sunt nenuli, caci ın caz contrar sistemul B ar fi liniar dependent.

Din (5.21) pentru j = k, avem

fi · fk = 0, i = 1, k − 1, k = 2, n (5.22)

si ınlocuind fk dat de (5.20) ın (5.22), gasim

fi · ek −k−1∑

j=1

λjkfi · fj = 0, i = 1, k − 1, k = 2, n

si cum fi · fj = 0, i 6= j, iar fi · fi = ||fi||2 6= 0, avem

λik =fi · ek

||fi||2, i = 1, k − 1, k = 2, n. (5.23)

Deci sistemul Sn este unic determinat prin conditiile (5.21). Fiind un sistem ortogonal,formeaza o baza ortogonala ın E.

Fie acum sistemul B′ = e′1, e′2, . . . , e′n ⊂ E ın care

e′k =1

||fk||fk, k = 1, n, (5.24)

sunt versorii vectorilor fk, k = 1, n. Sistemul B′ formeaza o baza ortonormata ın E.Intr-adevar

e′i · e′j =1||fi||

1||fj ||

fi · fj = δij , i, j = 1, n. .


Exemplul 5.5 Aplicand procedeul lui Gram-Schmidt bazei B = e1, e2, e3, e4 din R4,unde

e1 = (1, 1, 0, 0), e2 = (2, 0, 1, 1),

e3 = (0, 0, 1,−1), e4 = (1,−1,−1, 1),

se obtine: λ12 = 1, λ13 = λ23 = 0, λ14 = 0, λ24 = 1/2, λ34 = −1 si deci baza ortonormata

e′1 =1√2(1, 1, 0, 0), e′2 =

12(1,−1, 1, 1),

e′3 =1√2(0, 0, 1,−1), e′4 =

12(1,−1,−1,−1).

Daca B = e1, e2, . . . , en este o baza ortonormata a lui E, atunci ei · ej = δij ,i, j = 1, n, deci gij = δij , sau G = In. In acest caz, produsul scalar al vectorilor u = eX,v = eY , va avea expresia

u · v =n

∑

i,j=1

δijxiyj =n

∑

i=1

xiyi = tXY,

iar lungimea vectorului u

||u|| =

√

√

√

√

n∑

i=1

x2i =

√tXX.

Unghiul dintre vectorii u si v este dat de

cos α =

n∑

i=1xiyi

√

n∑

i=1x2

i

√

n∑

i=1y2

i

=tXY√

tXX√

tY Y.

Pentru distanta dintre vectorii u si v obtinem expresia

d(u,v) =

√

√

√

√

n∑

i=1

(xi − yi)2 =√

t(X − Y )(X − Y ).

Sa stabilim ın final legea de schimbare a bazelor ortonomate.Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ortonormata a lui E si B′ = e′1, e′2, . . . , e′n o a doua

baza legata de prima prin relatia

e′ = e · C, sau e′k =n

∑

i=1

cikei, i = 1, n. (5.25)


Teorema 5.6 Baza B′ este ortonormata d.d. matricea C = ||cij || este ortogonala, adica

tCC = In, saun

∑

i=1

cikcih = δkh, k, h = 1, n. (5.26)

/ Baza B fiind ortonormata, ei · ej = δij , i, j = 1, n, ıncat:

e′k · e′h = (n

∑

i=1

cikei) · (n

∑

j=1

cjhej) =n

∑

i,j=1

cihcjh(ei · ej) =n

∑

i=1

cikcih, (5.27)

pentru toti k, h = 1, n. Din relatia (5.27) rezulta nemijlocit echivalenta dintre (5.26) si

e′k · e′h = δkh, k, h = 1, n. . (5.28)

5.3 Subspatii ortogonale

Fie S ⊂ E o submultime a spatiului euclidian E.Definitia 5.9 Spunem ca vectorul v ∈ E este ortogonal pe submultimea S si notamv ⊥ S daca v este ortogonal pe fiecare vector din S,

v ⊥ u, ∀u ∈ S.

Fie Sp = u1,u2, . . . ,up ⊂ S un sistem de vectori din E.

Teorema 5.7 Conditia necesara si suficienta ca un vector v ∈ E sa fie ortogonal pesubspatiul [Sp] generat de sistemul Sp este ca el sa fie ortogonal pe Sp.

/ Necesitatea. Daca v ⊥ [Sp], atunci este ortogonal pe fiecare vector din [Sp] si decipe Sp.

Suficienta. Daca v ⊥ Sp, fie u ∈ [Sp]. Atunci exista α1, . . . , αp ∈ R a.ı. u =α1u1 + · · ·+ αpup. Avem

v · u = v · (α1u1 + · · ·+ αpup) = α1v · u1 + · · ·+ αpv · up = 0,

deci v ⊥ u, oricare ar fi u din [Sp], adica v ⊥ [Sp]. .

Consecinta 5.2 Un vector este perpendicular pe un subspatiu d.d. este ortogonal pe obaza a acestuia.

Fie S ⊂ E o multime de vectori din E si fie

S⊥ = v ∈ E, v ⊥ S,

multimea vectorilor din E ortogonali pe S.

Teorema 5.8 Multimea S⊥ este subspatiu al lui E.


/ Fie α1, α2 ∈ R si v1,v2 ∈ S⊥. Avem ca v1 ·u = 0 si v2 ·u = 0, pentru orice u ∈ S.De aici rezulta ca si (α1v1 + α2v2) · u = 0, ∀u ∈ S, adica α1v1 + α2v2 ∈ S⊥, ca atareS⊥ este subspatiu. .

Fie S′ si S′′ doua submultimi ale spatiului euclidian E.

Definitia 5.10 Spunem ca S′ este ortogonala pe S′′ si scriem S′ ⊥ S′′, daca orice vectordin S′ este ortogonal pe orice vector din S′′, adica ∀v′ ∈ S′ si ∀v′′ ∈ S′′, v′ ⊥ v′′.

Proprietati ale relatiei de ortogonalitate a doua multimi:1) Daca S′ ⊥ S′′, atunci S′′ ⊥ S′,2) Daca S′ ⊥ S′′ si 0 ∈ S′ ∩ S′′, atunci S′ ∩ S′′ = 0.Din Teorema 5.7 rezulta

Consecinta 5.3 Subspatiile generate de doua sisteme de vectori din E sunt ortogonaled.d. cele doua sisteme de vectori sunt ortogonale, adica [S′p] ⊥ [S′′p ] d.d. S′p ⊥ S′′p .

Consecinta 5.4 Doua subspatii vectoriale ale lui E sunt ortogonale d.d. o baza a unuiaeste ortogonala pe o baza a celui de al doilea.

Definitia 5.11 Subspatiul S⊥ ortogonal subspatiului S se numeste complementul ortog-onal (ın E) al lui S.

Deoarece S ⊥ S⊥, avem ca S ∩ S⊥ = 0.

Teorema 5.9 Daca S este un subspatiu de dimensiune finita al lui E, atunci E =S ⊕ S⊥, adica S si S⊥ sunt subspatii suplimentare ın E.

/ Fie p = dim S si B = e1, e2, . . . , ep o baza ortonormata a lui S. Pentru u arbitrardin E consideram vectorii:

v =p

∑

i=1

(u · ei)ei ∈ S, w = u− v.

Avem, pentru j = 1, p:

w · ej = u · ej − v · ej = u · ej −p

∑

i=1

(u · ei)ei · ej = u · ej − u · ej = 0,

deci w ⊥ S, adica w ∈ S⊥. Prin urmare, pentru orice u ∈ E, exista v ∈ S si w ∈ S⊥

a.ı. u = v + w. Cum S ∩ S⊥ = 0, conchidem ca E = S ⊕ S⊥. .

5.4 Transformari liniare ortogonale

Definitia 5.12 O transformare liniara T : E → E se numeste transformare ortogonaladaca pastreaza produsul scalar pe E, adica

T (u) · T (v) = u · v, ∀u,v ∈ E. (5.29)


Exemplul 5.6 Transformarea identica pe E, i : E → E, i(u) = u, ∀u ∈ E, este otransformare ortogonala.

Exemplul 5.7 Transformarea T : E → E, T (u) = −u, ∀u ∈ E, este o transformareortogonala.

Teorema 5.10 Transformarea liniara T : E → E este ortogonala d.d. pastreaza lungi-mea (norma) oricarui vector, adica

||T (u)|| = ||u||, ∀u ∈ E. (5.30)

/ Necesitatea. Daca T este ortogonala, luand v = u ın (5.29) obtinem (5.30).Suficienta. Deoarece pentru orice u,v ∈ E,

2u · v = ||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2,

tinand seama de (5.30), avem

2T (u) · T (v)= ||T (u + v)||2 − ||T (u)||2 − ||T (v)||2 =

= ||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2 = 2u · v. .

In consecinta, o transformare liniara ortogonala pe E pastreaza unghiurile si distantelepe E (este o izometrie pe E).

Teorema 5.11 Orice transformare liniara ortogonala pe spatiul euclidian n-dimensionalE este bijectiva.

/ Din T (u) = 0 ⇐⇒ ||T (u)|| = 0 ⇐⇒ ||u|| = 0 ⇐⇒ u = 0, rezulta ker T = 0 sideci T este injectiva. Dar E fiind finit dimensional, T fiind injectiva este si surjectiva sideci bijectiva. .

In consecinta, matricea oricarei transformari liniare ortogonale este nesingulara.Imaginea printr-o transformare liniara ortogonala a unei baze ortonormate a lui E

este o baza ortonormata a lui E.

Teorema 5.12 Produsul (compusa) a doua transformari liniare ortogonale pe E este otransformare liniara ortogonala.

/ Pentru orice u,v ∈ E, avem

(T2 T1)(u) · (T2 T1)(v) = T2(T1(u)) · T2(T1(v)) =

= T1(u) · T1(v) = u · v. .

Teorema 5.13 Inversa unei transformari liniare ortogonale pe E este o transformareliniara ortogonala pe E.

/ Pentru orice u,v ∈ E, avem

T−1(u) = u′ ⇐⇒ T (u′) = u, T−1(v) = v′ ⇐⇒ T (v′) = v,

asa ıncatT (u′) · T (v′) = u′ · v′ ⇐⇒ u · v = T−1(u) · T−1(v). .


Teorema 5.14 Operatia de compunere (produs) determina pe multimea transformarilorliniare ortogonale pe spatiul finit dimensional E o structura de grup.

/ Operatia de compunere este asociativa. Elementul neutru este transformarea iden-tica. Orice transformare liniara ortogonala este inversabila. .

Definitia 5.13 Grupul transformarilor ortogonale pe E se numeste grupul ortogonal peE.

El se noteaza GO(E) si este un subgrup al grupului general liniar GL(E).

Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ortonormata a lui E, T : E → E o transformareliniara pe E si A ∈Mn(R) matricea transformarii T ın baza B.

Teorema 5.15 Transformarea liniara T este ortogonala d.d. matricea sa A ın bazaortonormata B este ortogonala, adica

tA ·A = In. (5.31)

/ Pentru orice u,v ∈ E, u = eX, v = eY , avem T (u) = e(AX), T (v) = e(AY ).Daca T este ortogonala, T (u) · T (v) = u · v, adica t(AX) · (AY ) = tX · Y , sau

tX · (tAA) · Y = tX · In · Y,

de unde tAA = In.Reciproc, daca A este ortogonala, tinand seama de (5.31), putem scrie

T (u) · T (v) = t(AX) · (AY ) = tX · (tAA) · Y = tX · Y = u · v. .

Multimea matricelor ortogonale cu elemente reale formeaza, ın raport cu operatia deınmultire, un grup multiplicativ, notat GO(n; R).

Aplicatia ϕ : GO(E) → GO(n;R), care asociaza fiecarei transformari liniare ortogo-nale pe E matricea sa ıntr-o baza ortonormata, prin ϕ(T ) = A ⇐⇒ T (e) = eA, este unizomorfism.

Ca urmare, determinantul matricei unei transformari liniare ortogonale ıntr-o bazaortonormata din E este egal cu ±1.

Submultimea transformarilor liniare ortogonale pe E al caror determinant este +1formeaza un subgrup al grupului GO(E) numit subgrupul rotatiilor si se noteaza cuSO(E) (special ortogonal), izomorf cu SO(n;R), subgrupul matricelor ortogonale cudeterminant egal cu +1.

5.5 Transformari liniare simetrice

Definitia 5.14 O transformare liniara T : E → E se numeste transformare simetricadaca pentru orice u,v ∈ E,

T (u) · v = u · T (v). (5.32)


Teorema 5.16 Transformarea liniara T : E → E este simetrica d.d. matricea sa ıntr-obaza ortonormata este simetrica.

/ Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ortonormata a lui E si A ∈ Mn(R) matriceatransformarii T ın aceasta baza, T (e) = eA.

Daca T este simetrica, din (5.32) avem t(AX)·Y = tX ·(AY ), sau tX ·tA·Y = tX ·A·Y ,de unde tA = A, adica A este simetrica.

Reciproc, daca A este simetrica, putem scrie

T (u) · v = t(AX) · Y = tX · tA · Y = tX ·A · Y = tX · (AY ) = u · T (v),

adica T este simetrica. .Multimea transformarilor liniare simetrice pe E formeaza un spatiu vectorial izomorf

cu spatiul vectorial Msn(R) al matricelor patratice simetrice.

Teorema 5.17 Valorile proprii ale unei transformari liniare simetrice pe E sunt reale.

/ Daca T ar admite o valoare proprie complexa λ = α+iβ, α, β ∈ R, atunci un vectorpropriu corespunzator ar fi de forma u = v + iw 6= 0, v,w ∈ E. Din T (u) = λu, avemT (v + iw) = (α + iβ)(v + iw), de unde

T (v) = αv − βw, T (w) = αw + βv.

si deci v·T (w)−w·T (v) = β(v2+w2); dar T este simetrica, de aici rezulta: β(v2+w2) =0. Insa v2 + w2 > 0, ıncat β = 0, adica λ ∈ R. .

Teorema 5.18 Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

/ Din T (u1) = λ1u1 si T (u2) = λ2u2, rezulta

T (u1) · u2 − u1 · T (u2) = (λ1 − λ2)(u1 · u2)

cum T este simetrica si λ1 6= λ2, deducem u1 · u2 = 0. .

Definitia 5.15 Un subspatiu S a lui E se numeste invariant ın raport cu transformareaT daca

∀u ∈ S =⇒ T (u) ∈ S. (5.33)

Daca S este un subspatiu invariant al lui E, restrictia T ′ : S → S a transformarii T laS, T ′(u) = T (u), pentru orice u ∈ S este tot o transformare liniara, numita transformarealiniara indusa de T pe S.

Restrictia T ′ : S → S a transformarii liniare simetrice T la un subspatiu invarianteste tot o transformare liniara simetrica ale carei radacini caracteristice sunt radacinicaracteristice pentru T .

Teorema 5.19 Complementul ortogonal S⊥ al unui subspatiu propriu S al transformariiliniare simetrice T este invariant ın raport cu transformarea T .


/ Fie λ ∈ R o valoare proprie si S = S(λ) = u ∈ E, T (u) = λu subspatiul propriucorespunzator valorii λ.

Fie S⊥ = v ∈ E, v · u = 0, ∀u ∈ S complementul ortogonal al lui S. Pentru oricevector v ∈ S⊥, T (v) · u = v · T (u) = λv · u = 0. Rezulta ca T (v) ∈ S⊥ si deci S⊥ esteinvariant ın raport cu transformarea liniara T . .

Teorema 5.20 (Ortodiagonalizarea transformarilor liniare simetrice) Oricare arfi o transformare liniara simetrica pe spatiul n-dimensional E, T : E → E, exista o bazaortonormata ın care matricea transformarii T are forma diagonala.

/ Sa observam mai ıntai ca orice transformare liniara simetrica pe E, avand radacinilecaracteristice reale, admite cel putin un vector propriu.

Fie e1 un vector propriu unitar al transformarii T si fie S1 = [e1] si S⊥1 comple-mentul ortogonal al lui S1. Deoarece S1 si S⊥1 sunt subspatii suplimentare, rezulta cadim S⊥1 = n− 1.

S⊥1 fiind invariant ın raport cu transformarea liniara simetrica T , restrictia T ′ : S⊥1 →S⊥1 a transformarii liniare T la S⊥1 este de asemenea o transformare liniara simetrica.

Fie e2 un vector propriu unitar al transformarii T ′. El este un vector propriu si pentruT si deoarece e2 ∈ S⊥1 este ortogonal pe e1. Fie apoi S2 = [e1, e2] si S⊥2 complementulortogonal al lui S2. Evident, dim S⊥2 = n− 2. El este de asemenea invariant.

Fie e3 un vector propriu unitar al restrictiei T ′′ a lui T la S⊥2 . Vectorul e3 este propriusi pentru T si ortogonal pe e1 si pe e2.

Continuand, dupa n pasi obtinem ın E o baza ortogonala B = e1, e2, . . . , en formatadin vectori proprii pentru transformarea liniara T . Dupa cum stim, ın raport cu o astfelde baza (formata din vectori proprii) matricea transformarii T va avea forma diagonala..

Daca T este o transformare liniara simetrica pe E si λ1, λ2, . . ., λp sunt radacinile salecaracteristice de ordinile de multiplicitate m1, m2, . . ., mp, cu m1 + m2 + · · ·+ mp = n,atunci:

1. dim S(λi) = mi, i = 1, p ;2. S(λi) ⊥ S(λj), i 6= j, i, j = 1, p .Pentru fiecare radacina λi putem determina mi vectori proprii, care sa constituie o

baza pentru S(λi). Prin procedeul de ortonormare al lui Gram-Schmidt putem obtinedin aceasta baza o baza ortonormata formata din vectori proprii. Fie aceasta B(λi),i = 1, p. Atunci B′ = B(λ1) ∪ B(λ2) ∪ · · · ∪ B(λp) va fi o baza ortonormata pentru E,formata numai din vectori proprii. Matricea transformarii liniare T ın aceasta baza vaavea forma diagonala.

Exemplul 5.8 Fie T : R4 → R4, transformarea liniara simetrica a carei matrice ınbaza canonica din R4 este

A =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 −1 11 −1 1 −1

.


Sa se determine valorile proprii, subspatiile proprii si o baza ortonormata ın care matriceatransformarii T sa fie diagonala.

Ecuatia caracteristica este (λ2 − 4)2 = 0, deci λ1 = 2, cu m1 = 2 si λ2 = −2, cum2 = 2.

O baza ın S(λ1) este formata din vectorii proprii f1 = (1, 1, 0, 0), f2 = (2, 0, 1, 1).Din aceasta baza, prin procedeul de ortonormare a lui Gram-Schmidt, se obtine bazaortonormata B(λ1) = e′1, e′2, unde e′1 = 1√

2(1, 1, 0, 0), e′2 = 1

2 (1,−1, 1, 1).O baza ın S(λ2) este formata din vectorii proprii

f3 = (0, 0, 1,−1), f4 = (1,−1,−1,−1).

Din aceasta baza obtinem, prin ortonormare, baza B(λ2) = e′3, e′4, unde

e′3 =1√2(0, 0, 1,−1), e′4 =

12(1,−1,−1,−1).

In raport cu baza ortonormata B′ = e′1, e′2, e′3, e′4, matricea transformarii liniare Tare forma diagonala A′ = diag2, 2,−2,−2.

5.6 Forme patratice pe spatii euclidiene

Fie E un spatiu euclidian n-dimensional, g : E × E → R o forma biliniara simetricape E si h : E → R forma patratica asociata formei g, adica a.ı. h(u) = g(u,u), pentruorice u ∈ E.

Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ortonormata ın E si G = ||gij || ∈ Mn(R), cu gij =g(ei, ej), i, j = 1, n, matricea formei biliniare g (deci si a formei patratice h) ın aceastabaza. Deoarece g este simetrica, tG = G.

Pentru orice vectori u,v ∈ E, u = eX, v = eY , avem

g(u,v) = tX ·G · Y. (5.34)

Fie ınca T : E → E transformarea liniara pe E a carei matrice ın baza B este A = G.Transformarea T este simetrica deoarece matricea sa ın baza B este simetrica, deci pentruorice u,v ∈ E,

u · T (v) = T (u) · v.

Daca schimbam baza ortonormata B cu baza ortonormata B′, prin e′ = eC, matriceade trecere este ortogonala, deci C−1 = tC. In noua baza matricea formei biliniare va fiG′ = tCGC, iar matricea transformarii liniare T ,

A′ = C−1AC = C−1GC = tCGC = G′,

deci si ın noua baza T are aceeasi matrice ca si g. Prin urmare, aplicatia care asociazaformei biliniare simetrice g transformarea liniara simetrica T nu depinde de alegereabazei.


Avemg(u,v) = tX · (GY ) = u · T (v), ∀u,v ∈ E, (5.35)

de unde, pentru forma patratica h asociata formei g,

h(u) = u · T (u). (5.36)

Conform Teoremei 5.20 de ortodiagonalizare a transformarilor liniare simetrice existao baza B ortonormata ın spatiul euclidian E ın care matricea transformarii T are formadiagonala A = diag (λ1, λ2, . . . , λn). In aceasta baza h are expresia

h(u) = tXAX = (x1, . . . , xn)

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . λn

x1

x2

. . .xn

,

adicah(u) = λ1x2

1 + λ2x22 + · · ·+ λnx2

n. (5.37)

Am stabilit astfel:Teorema 5.21 Pentru orice forma patratica h pe E exista o baza ortonormata ın careforma h are expresia canonica (5.37).

Deoarece matricea G a formei patratice h ın orice baza ortonormata din E este simatricea transformarii liniare simetrice T asociate ei, rezulta ca unei forme patratice peE i se poate asocia polinomul caracteristic,

p(λ) = det(G− λIn) =n

∑

k=0

(−1)n−kδkλn−k, (5.38)

care este invariant la schimbari de baze ortonormate. Invarianti la astfel de schimbari suntsi coeficientii δk ai acestui polinom si radacinile λ1, λ2, . . . , λn ale ecuatiei caracteristicep(λ) = 0. Ei se numesc invarianti ortogonali ai formei patratice h.

Coeficientii expresiei canonice (5.37) sunt tocmai radacinile ecuatiei caracteristice.Baza ın care h are expresia canonica (5.37) se obtine ca reuniune a bazelor ortonormateale subspatiilor proprii corespunzatoare valorilor proprii distincte.

Exemplul 5.9 Sa se aduca la expresia canonica printr-o schimbare ortogonala de baze,forma patratica h : R3 → R, care ın baza canonica din R3 are expresia

h(x) = 2x21 + x2

2 − 4x1x2 − 4x2x3.

Matricea formei patratice h ın baza canonica din R3 este

G =

2 −2 0−2 1 −2

0 −2 0

.


Asociem formei patratice h transformarea liniara simetrica T : R3 → R3, prin h(x) =x ·T (x). Ecuatia caracteristica este λ3−3λ2−6λ+8 = 0, cu radacinile λ1 = −2, λ2 = 4,λ3 = 1. Vectorii proprii corespunzatori

e′1 =13(1, 2, 2), e′2 =

13(2,−2, 1), e′3 =

13(2, 1,−2).

In baza ortonormata B′ = e′1, e′2, e′3 forma patratica h are expresia canonica

h(x) = −2(x′1)2 + 4(x′2)

2 + (x′3)2.

Capitolul 6

ALGEBRA VECTORIALA

6.1 Notiunea de vector ın geometrie

Geometria analitica studiaza proprietatile figurilor geometrice folosind mijloacele al-gebrei si analizei matematice.

Reamintim ca prin figura geometrica se ıntelege orice multime de puncte din spatiu.Cele mai simple figuri geometrice sunt: punctele, dreptele, planele, semidreptele, semi-planele, segmentele de dreapta.

Doua drepte se numesc paralele daca sunt situate ıntr-un plan si nu au nici un punctcomun sau coincid.

O dreapta se numeste paralela cu un plan daca nu are nici un punct comun cu planulsau apartine planului.

Multimea tuturor dreptelor cu proprietatea ca orice doua drepte ale multimii suntparalele definesc o directie.

Semidreptele [AB si [A′B′, nesituate pe aceeasi dreapta, avand aceeasi directie, senumesc la fel orientate daca apartin aceluiasi semiplan determinat de dreapta AA′.Semidreptele [AB si [A′B′, situate pe aceeasi dreapta, se numesc la fel orientate dacauna din ele o contine pe cealalta.

Multimea tuturor semidreptelor cu proprietatea ca orice doua semidrepte ale multimiisunt la fel orientate definesc o orientare sau sens (pe dreapta, ın plan sau ın spatiu).

Orice dreapta determina o singura directie dar doua orientari sau sensuri. O dreaptape care s-a ales unul din cele doua sensuri ca pozitiv se numeste orientata.

Un segment de dreapta se numeste orientat daca apartine unei drepte orientate. Fie[AB] un segment situat pe dreapta orientata D. Daca sensul pozitiv pe dreapta D estede la A la B, atunci A se numeste origine, iar B extremitate ale segmentului orientat, pecare ıl vom nota AB.

Dreapta D se numeste dreapta suport a segmentului orientat AB, iar directia si sensulsau definesc directia si sensul segmentului orientat.

Orice doua puncte distincte A si B din spatiu determina doua segmente orientate ABsi BA care au aceeasi directie dar sensuri opuse. Daca A coincide cu B, segmentul AAıl vom numi segmentul orientat nul. El are directia si sensul nedeterminate.

71


Se numeste lungime a segmentului orientat AB, notata ||AB||, distanta dintre punc-tele A si B. Lungimea segmentului orientat nul este egala cu zero.

Fie W multimea tuturor segmentelor orientate din spatiu.Definitia 6.1 Segmentele orientate AB, A′B′ ∈ W se numesc echipolente daca auaceeasi directie, acelasi sens si lungimi egale. In acest caz scriem

AB ∼ A′B′.

Teorema 6.1 Oricare ar fi AB, A′B′, A′′B′′ ∈ W trei segmente orientate avem:1. AB ∼ AB (reflexivitate),2. AB ∼ A′B′ (simetrie),3. AB ∼ A′B′ si A′B′ ∼ A′′B′′ =⇒ AB ∼ A′′B′′ (tranzitivitate).

Din Teorema (6.1) rezulta ca relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pemultimea W a segmentelor orientate din spatiu.

Definitia 6.2 Numim vector liber o clasa de echivalenta ın raport cu relatia de echipo-lenta pe W .

Asadar, un vector este un element al multimii factor V = W/ ∼, adica submultimeatuturor segmentelor orientate din spatiu cu proprietatea ca oricare doua segmente alesubmultimii sunt echipolente.

Un sistem de reprezentanti ai multimii V este format din toate segmentele orientatecu originea ıntr-un punct fixat din spatiu.

Vom nota vectorii prin a, b, c, . . ., u, v, . . ..Fie u ∈ V un vector, adica o clasa de echivalenta a relatiei de echipolenta ∼. Daca

AB este un reprezentant al acestei clase, adica AB ∈ u, atunci AB determina ıntreagaclasa de echivalenta, deci vectorul u. Din aceasta cauza, vectorul u se mai noteaza prin−−→AB si ın desen va fi redat prin segmentul orientat AB. Deci

u = −−→AB = MN ∈ W | MN ∼ AB.

Directia, sensul si lungimea, comune tuturor reprezentantilor vectorului u, se numescdirectia, sensul si respectiv lungimea vectorului u. Notam lungimea vectorului u prin||u||.

Clasa de echivalenta a segmentului orientat nul se numeste vectorul nul, notat cu 0.El are directia si sensul nedeterminate, iar lungimea egala cu zero.

Un vector de lungime egala cu unitatea se numeste vector unitar sau versor.Spunem ca vectorul u este egal cu vectorul v si scriem u = v daca clasele de

echivalenta ale celor doi vectori coincid. Daca AB ∈ u si CD ∈ v, vectorii u si vsunt egali d.d. AB ∼ CD.

Teorema 6.2 Pentru orice vector u ∈ V si orice punct O din spatiu exista un punct Msi numai unul a.ı. −−→OM = u.

/ Existenta. Daca AB ∈ u, fie M a.ı. patrulaterul ABMO sa fie un paralelogram.Atunci, OM ∼ AB si deci segmentele orientate OM si AB genereaza aceeasi clasa deechivalenta, adica −−→OM = u.


Unicitatea. Fie ınca M ′ a.ı.−−−→OM ′ = u, atunci

−−−→OM ′ = −−→OM . Dar −−→OM +

−−−→MM ′ =−−−→

OM ′, de unde−−−→MM ′ = 0, adica M ′ = M . .

OM se numeste reprezentantul prin punctul O al vectorului u.Spunem ca vectorul u este paralel cu dreapta D si scriem u ‖ D, daca reprezentantul

sau printr-un punct al dreptei apartine dreptei. Vectorul nul este paralel cu orice dreapta.Vectorii u si v se numesc coliniari si scriem u ‖ v, daca sunt paraleli cu o aceeasi

dreapta. Daca cel putin unul din cei doi vectori este vectorul nul, ei sunt coliniari.Fie u un vector oarecare si −−→AB = u. Vectorul −−→BA se numeste opusul vectorului u si

se noteaza −u. Opusul vectorului nul este vectorul nul.

6.2 Spatiul vectorial al vectorilor liberi

Fie u,v ∈ V doi vectori si fie −−→AB = u, A fiind un punct arbitrar din spatiu, si−−→BC = v.

-1

A B

C

u

vu + v

Figura 6.1: Suma a doi vectori

Definitia 6.3 Numim suma a vectorilor u si v vectorul notat u+v al carui reprezentantprin punctul A este AC, adica a.ı.

u + v = −→AC.

Vectorul u+v astfel definit nu depinde de punctul A, din care s-a construit reprezen-tantul vectorului u.

Regula de adunare a doi vectori data prin Definitia 6.3 se numeste regula triunghiului.(Fig. 6.1). Aceasta regula poate fi formulata si astfel: pentru orice trei puncte A, B, Care loc egalitatea −−→AB +−−→BC = −→AC,

numita relatia lui Chasles.Aplicand aceasta relatie punctelor A, B, B, respectiv A, A, B, obtinem: −−→AB +−−→BB =−−→AB, −→AA +−−→AB = −−→AB, de unde rezulta ca pentru orice vector u ∈ V , avem

u + 0 = 0 + u = u.


Analog, pentru punctele A, B, A, respectiv B, A, B, relatia lui Chasles conduce la:−−→AB +−−→BA = −→AA, −−→BA+−−→AB = −−→BB. Deci, pentru orice vector u ∈ V , opusul sau −u ∈ V ,satisface relatia

u + (−u) = (−u) + u = 0.

Teorema 6.3 Pentru orice vectori u, v, w ∈ V au loc egalitatile:1. u + v = v + u (comutativitate);2. (u + v) + w = u + (v + w) (asociativitate).

-

-

1

A B

CD

u

u

v v

-

1

A B

C

u

v

HHHHHHHHHHHHY

AA

AA

AA

AA

AA

AAK

D

w

Figura 6.2: Asociativitatea si distributivitatea adunarii

/ 1. Din punctul arbitrar A construim vectorii −−→AB = u, −−→AD = v (Fig. 6.2). Deoarece−−→AD = −−→BC, rezulta ca −−→AB = −−→DC, adica −−→DC = u. Dupa regula triunghiului, −−→AB +−−→BC =−→AC si −−→AD +−−→DC = −→AC, de unde deducem u + v = v + u.

2. Din punctul arbitrar A construim vectorii −−→AB = u, apoi −−→BC = v, −−→CD = w (Fig.6.2). Dupa regula triunghiului, avem: −−→AB + −−→BC = −→AC, −→AC + −−→CD = −−→AD. Pe de altaparte, −−→BC +−−→CD = −−→BD si −−→AB +−−→BD = −−→AD. Deci (u + v) + w = u + (v + w). .

Deoarece, dupa proprietatea 1., u + v = −−→AB +−−→AD = −→AC, obtinem o noua regula deadunare a vectorilor, numita regula paralelogramului.

Din proprietatea 2. rezulta ca putem scrie suma a trei vectori

u + v + w = −−→AB +−−→BC +−−→CD = −−→AD

si deci putem extinde regula triunghiului la suma a n vectori. Daca −−−−→Ai−1Ai = ui, i = 1, n,atunci

n∑

i=1

ui =n

∑

i=1

−−−−→Ai−1Ai = −−−→A0An,

numita regula poligonului.Din cele de mai sus rezulta ca multimea V a vectorilor liberi formeaza ın raport cu

operatia de adunare a vectorilor un grup abelian.Numim diferenta a vectorilor u si v vectorul u− v = u + (−v).


Definitia 6.4 Numim produs al vectorului nenul u cu numarul real a 6= 0 vectorul notatau care are directia vectorului u, sensul lui u daca a > 0 sau sens contrar sensului lui udaca a < 0 si lungimea ||au|| = |a| ||u||. Daca u = 0 sau a = 0, atunci au = 0.

Din definitia precedenta rezulta ca au = 0 d.d. a = 0 sau u = 0.

Lema 6.1 Fie O,A, B trei puncte necoliniare si a 6= 0 si fie−−→OA′ = a−→OA si

−−→OB′ = a−−→OB.

Atunci−−−→A′B′ = a−−→AB.

/ Din ||−−→OA′|| = |a| ||−→OA|| si ||

−−→OB′|| = |a| ||−−→OB|| rezulta ca triunghiurile OAB si OA′B′

sunt asemenea si deci ||−−−→A′B′|| = |a| ||−−→AB|| si

−−−→A′B′ || −−→AB. Daca a > 0, cei doi vectori au

acelasi sens, iar daca a < 0 au sensuri contrare. In concluzie−−−→A′B′ = a−−→AB. .

Relatia−−→OA′ = a−→OA realizeaza o transformare punctuala care duce fiecare punct A al

spatiului ın punctul A′. Ea se numeste omotetie de centru O si raport a.

Teorema 6.4 Pentru orice vectori u,v ∈ V si oricare ar fi numerele reale a si b, au locegalitatile:

1o. 1u = u;2o. a(bu) = (ab)u;3o. a(u + v) = au + av;4o. (a + b)u = au + bu.

/ 1o. rezulta nemijlocit din Definitia 6.4 a produsului unui vector cu un scalar.Daca cel putin unul din numerele a sau b este egal cu zero sau daca cel putin unul

din vectorii u sau v este vectorul nul, egalitatile 2o, 3o, 4o sunt evidente. Analizam ıncontinuare cazul cand a 6= 0, b 6= 0, u 6= 0, v 6= 0.

2o. Fie p = a(bu), q = (ab)u. Dupa Definitia 6.4, avem:

||p|| = |a| ||bu|| = |a| |b| ||u||, ||q|| = |ab| ||u|| = |a| |b| ||u||,

deci ||p|| = ||q||. Vectorii p si q au aceeasi directie. Sa aratam ca au si acelasi sens.Distingem doua cazuri: ab > 0 sau ab < 0. In primul caz, numerele a si b avand acelasisemn, vectorii p = a(bu) si u au acelasi sens. Dar si vectorii q = (ab)u si u au acelasisens. In consecinta p si q au acelasi sens. Analog se arata ca si ın cazul ab < 0, vectoriip si q au acelasi sens. In concluzie, a(bu) = (ab)u.

3o. Din punctul arbitrar A construim vectorul −−→AB = u, iar din B, vectorul −−→BC = v.Dupa regula triunghiului −→AC = u + v. Fie A′, B′, C ′ imaginile punctelor A, B,C prinomotetia de centru O si raport a. Atunci:

−−−→A′B′ = a−−→AB = au,

−−−→B′C ′ = a−−→BC = av,−−→

A′C ′ = a−→AC = a(u + v). Dar−−→A′C ′ =

−−−→A′B′ +

−−−→B′C ′, de unde a(u + v) = au + av.

4o. Sunt posibile doua cazuri: ab > 0 sau ab < 0.a). Daca ab > 0, din punctul arbitrar A construim vectorii coliniari, avand acelasi

sens, −−→AB = au si −−→BC = bu. Deci, ||−→AC|| = ||−−→AB|| + ||−−→BC|| = |a| ||u|| + |b| ||u|| =|a + b| ||u||. Vectorii −→AC si u au acelasi sens daca a, b > 0 si sensuri opuse daca a, b < 0.In concluzie −→AC = (a+b)u. Pe de alta parte, −→AC = −−→AB+−−→BC, de unde (a+b)u = au+bu.


b). Daca ab < 0, sau a+ b = 0 si atunci (a+ b)u = 0, au+ bu = au+(−a)u = 0, saua + b 6= 0 si cum a si b au semne contrare, −a si a + b sau −b si a + b au acelasi semn.Fie −a si a + b de acelasi semn. Atunci

(−a)u + (a + b)u = ((−a) + (a + b))u = bu,

de unde (a + b)u = au + bu. .Din cele de mai sus rezulta ca adunarea vectorilor si ınmultirea unui vector cu un

scalar, determina pe multimea V a vectorilor liberi o structura de spatiu vectorial real.

6.3 Vectori coliniari si vectori coplanari

Reamintim ca vectorii u si v se numesc coliniari daca sunt paraleli cu o aceeasidreapta.Teorema 6.5 Fie u un vector nenul. Vectorul v este coliniar cu vectorul u daca existaun numar real a, unic determinat, a.ı.

v = au. (6.1)

/ Existenta. Deoarece u ‖ v, ei pot avea acelasi sens sau sensuri opuse. In primulcaz, alegem a = ||v||/||u||, iar ın al doilea a = −||v||/||u||. Dupa definitia produlului unuivector cu un scalar, rezulta ca atat ın primul caz, cat si ın al doilea, obtinem v = au.

Unicitatea. Presupunem ca ar mai exista un numar a′ a.ı. v = a′u. De aici si din(6.1), urmeaza a′u = au sau (a′ − a)u = 0 si cum u 6= 0, rezulta a′ = a. .

Teorema 6.6 Vectorii u si v sunt coliniari d.d. sunt liniar dependenti.

/ Necesitatea. Presupunem ca vectorii u si v sunt coliniari. Daca u = 0, sistemulu,v este liniar dependent. Daca u este nenul, dupa teorema precedenta, are loc (6.1),care se mai poate scrie sub forma au + (−1)v = 0. Deci sistemul u,v este liniardependent.

Suficienta. Presupunem ca sistemul u,v este liniar dependent. Atunci, existanumerele reale α, β, nu simultan nule, a.ı. αu + βv = 0. Presupunem ca, de exempluβ 6= 0. Impartind prin β si notand cu a = −α/β, obtinem v = au, vectorii u si v suntcoliniari. .

Consecinta 6.1 Doi vectori sunt necoliniari d.d. sunt liniar independenti.

Spunem ca vectorul u este paralel cu planul P si scriem u ‖ P daca reprezentantulsau printr-un punct al planului apartine planului. Vectorul nul este paralel cu orice plan.

Vectori u, v, w se numesc coplanari daca sunt paraleli cu acelasi plan. Daca cel putinunul dintre ei este vectorul nul sau doi dintre ei sunt coliniari, ei sunt coplanari.

Teorema 6.7 Fie u si v doi vectori necoliniari. Vectorul w este coplanar cu vectorii usi v daca exista numerele reale a si b, unic determinate, a.ı.

w = au + bv. (6.2)


/ Existenta. Fie −→OA = u, −−→OB = v, −−→OC = w (Fig. 6.3, a). Fie P planul determinatde reprezentantii −→OA si −−→OB, ai vectorilor necoliniari u si v. Deoarece w este coplanar cuvectorii u si v, reprezentantul sau −−→OC prin O apartine planului P . Ducem prin C paralelela OB si OA. Fie A′ si B′ punctele unde acestea ıntalnesc dreptele OA si respectiv OB.

-

3

O AA′

B′ C

B

-@

@@

@@R

O

A

B

> M

C

M ′

(a) (b)

Figura 6.3: Vectori coplanari si vectori necoplanari

Dupa regula paralelogramului, −−→OC =−−→OA′ +

−−→OB′. Insa

−−→OA′ ‖ −→OA si

−−→OB′ ‖ −−→OB.

Exista deci numerele a si b a.ı.−−→OA′ = a−→OA si

−−→OB′ = b−−→OB. In consecinta, −−→OC =

a−→OA + b−−→OB, adica are loc (6.2).Unicitatea. Presupunem ca ar exista ınca doua numere a′ si b′ pantru care w =

a′u + b′v. De aici si din (6.2) deducem (a′ − a)u + (b′ − b)v = 0. Vectorii u si v fiindnecoliniari sunt liniar independenti si egalitatea precedenta are loc numai daca a′ = a sib′ = b. .

Teorema 6.8 Vectorii u, v, w sunt coplanari d.d. sunt liniar dependenti.

/ Necesitatea. Presupunem ca vectorii u, v, w sunt coplanari. Daca u si v suntcoliniari, dupa Teorema 6.6, ei sunt liniar dependenti si deci sistemul u,v,w este liniardependent. Daca u si v sunt necoliniari, dupa Teorema 6.7, are loc (6.2), care se maiscrie au + bv + (−1)w = 0. Deci sistemul u,v,w este liniar dependent.

Suficienta. Presupunem ca sistemul u,v,w este liniar dependent. Exista atuncinumerele reale α, β, γ, nu toate nule, a.ı. αu+βv+γw = 0. Presupunem ca, de exemplu,γ 6= 0. Notand cu a = −α/γ, b = −β/γ, relatia precedenta ia forma w = au + bv. Dacau si v sunt coliniari, atunci si w este coliniar cu u si deci, vectorii u, v, w sunt coplanari.Daca u si v sunt necoliniari, dupa teorema precedenta, rezulta ca vectorii u, v, w suntcoplanari. .

Consecinta 6.2 Trei vectori sunt necoplanari d.d. sunt liniar independenti.

Teorema 6.9 Fie u, v, w trei vectori necoplanari. Pentru orice vector r ∈ V existanumerele a, b, c, unic determinate, a.ı.

r = au + bv + cw. (6.3)


/ Existenta. Fie −→OA = u, −−→OB = v, −−→OC = w si −−→OM = r (Fig. 6.3, b). Deoarecevectorii u, v, w sunt necoplanari, dreptele OA si OB determina un plan si dreapta OCnu apartine acestui plan. Ducem prin M paralela la OC care ıntalneste planul (OAB)ın punctul M ′. Dupa regula triunghiului, −−→OM =

−−−→OM ′ +

−−−→M ′M . Cum vectorii

−−−→OM ′, u si

v sunt coplanari, u si v fiind necoliniari, exista numerele a si b a.ı.−−−→OM ′ = au + bv. Pe

de alta parte, vectorii−−−→M ′M si w sunt coliniari, deci exista scalarul c a.ı.

−−−→M ′M = cw.

Incat, r = au + bv + cw.Unicitatea. Presupunem ca ar exista ınca numerele a′, b′, c′ a.ı. r = a′u+b′v+c′w.

De aici si din egalitatea (6.3) deducem

(a′ − a)u + (b′ − b)v + (c′ − c)w = 0.

Vectorii u, v, w fiind necoplanari, sunt liniar independenti, de unde a′ = a, b′ = b, c′ = c..

Consecinta 6.3 Orice sistem care contine mai mult de trei vectori din V este liniardependent.

6.4 Baze ın spatiul vectorial V

Teorema 6.10 Orice sistem ordonat de trei vectori necoplanari din V , B = e1, e2, e3,formeaza o baza a spatiului vectorial V al vectorilor liberi.

/ Intr-adevar, dupa Consecinta 6.2, sistemul B este liniar independent, iar dupaTeorema 6.9 este si un sistem de generatori pentru V , adica oricare ar fi vectorul r ∈ V ,exista numerele x1, x2, x3 ∈ R a.ı.

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 = eX, (6.4)

ın care X este matricea coloana a coordonatelor vectorului r ın baza B. .

Consecinta 6.4 Dimensiunea spatiului vectorial V al vectorilor liberi este egala cu trei.

Numerele reale x1, x2, x3 din (6.4) sunt coordonatele vectorului r ın baza B.Daca vectorii u si v sunt dati prin coordonatele lor ıntr-o baza B = e1, e2, e3, adica

u = u1e1 + u2e2 + u3e3, v = v1e1 + v2e2 + v3e3, oricare ar fi numarul real a, avem

u + v = (u1 + v1)e1 + (u2 + v2)e2 + (u3 + v3)e3, au = au1e1 + au2e2 + au3e3.

Teorema 6.11 Vectorii u(u1, u2, u3) si v(v1, v2, v3), dati prin coordonatele lor ın bazaB sunt coliniari d.d. coordonatele lor sunt proportionale

u1

v1=

u2

v2=

u3

v3. (6.5)


/ Intr-adevar, dupa Teorema 6.6, u si v sunt coliniari d.d. sunt liniar dependenti,adica egalitatea αu + βv = 0 are loc si pentru α, β nu simultan nuli, ceea ce esteechivalent cu a spune ca sistemul

u1α + v1β = 0, u2α + v2β = 0, u3α + v3β = 0,

admite si solutii nebanale, ceea ce se ıntampla d.d. are loc (6.5). .

Teorema 6.12 Vectorii u(u1, u2, u3), v(v1, v2, v3) si w(w1, w2, w3) dati prin coordo-natele lor ın baza B sunt coplanari d.d.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (6.6)

/ In adevar, dupa Teorema 6.8, vectorii u, v, w sunt coplanari d.d. sunt liniardependenti, adica egalitatea αu + βv + γw = 0 are loc si pentru α, β, γ nu toti nuli,ceea ce este echivalent cu a spune ca sistemul

u1α + v1β + w1γ = 0, u2α + v2β + w2γ = 0, u3α + v3β + w3γ = 0,

admite si solutii nebanale, ceea ce se ıntampla d.d. are loc (6.6). .

6.5 Subspatii

Definitia 6.5 Se numeste dreapta vectoriala ın V orice subspatiu vectorial al lui V dedimensiune unu.

Teorema 6.13 Pentru orice vector nenul e ∈ V exista o dreapta vectoriala si numaiuna pentru care e este o baza.

/ Fie e 6= 0 si fie V1 subspatiul vectorial al lui V generat de e, V1 = u ∈ V, u =xe, x ∈ R. Vectorul e fiind nenul este liniar independent si generand pe V1 este o bazaa lui V1, deci dim V1 = 1. Rezulta ca V1 este o dreapta vectoriala. Pe de alta parte, oricedreapta vectoriala care contine vectorul nenul e admite pe e ca baza si deci coincide cuV1. .

Definitia 6.6 Se numeste plan vectorial ın V orice subspatiu al lui V de dimensiunedoi.

Teorema 6.14 Pentru orice doi vectori necoliniari e1, e2 ∈ V exista un plan vectorialsi numai unul pentru care e1, e2 este o baza.

/ Fie e1, e2 ∈ V , necoliniari si V2 subspatiul vectorial generat de sistemul de vectorie1, e2, V2 = u ∈ V, u = x1e1+x2e2, (x1, x2) ∈ R2. Vectorii e1 si e2 fiind necoliniari,sistemul e1, e2 este liniar independent si generand pe V2, formeaza o baza a lui V2, decidim V2 = 2. Rezulta ca V2 este un plan vectorial. Pe de alta parte, orice plan vectorialcare contine vectorii necoliniari e1 si e2 admite sistemul e1, e2 ca baza si deci coincidecu V2. .


6.6 Orientarea spatiului vectorial V

Deoarece orice trei vectori necoplanari formeaza o baza ın V , exista o multime debaze ın spatiul vectorial tridimensional V . Notam cu B multimea tuturor bazelor din Vsi fie B = e1, e2, e3 si B′ = e′1, e′2, e′3 ∈ B. Atunci

e′j =3

∑

i=1

cijei, j = 1, 2, 3, sau e′ = eC,

unde C = ||cij || este matricea de trecere de la baza B la baza B′. Fie D : B ×B → R,definita prin D(B,B′) = det C. Sa observam ca D(B,B′) 6= 0.Teorema 6.15 Oricare ar fi bazele B,B′,B′′ ∈ B au loc egalitatile:

1. D(B,B) = 1,2. D(B,B′) ·D(B′,B) = 1,3. D(B,B′) ·D(B′,B′′) = D(B,B′′).

/ 1. D(B,B) = det I3 = 1. 2. Deoarece e = e′C−1, avem: D(B,B′) · D(B′,B) =detC · detC−1 = 1. 3. Din e′ = eC si e′′ = e′C ′, rezulta ca e′′ = e(CC ′). Incat,D(B,B′′) = det(CC ′) = det C · det C ′ = D(B,B′) ·D(B′,B′′). .

-

@

@@

@@R

CCCCCCCO

O

E1

E2

E3

O

E1

E2

E3

(a) (b)

Figura 6.4: Baza dreapta (a) si baza stanga (b) ın V

Vom spune ca bazele B,B′ ∈ B sunt ın relatia ∆ (sunt la fel orientate) daca D(B,B′) >0 si scriem B∆B′. Din teorema precedenta rezulta ca relatia ∆ este reflexiva, simetricasi tranzitiva si deci este o relatie de echivalenta pe multimea B.

Multimea factor B/∆ a claselor de echivalenta consta din doua elemente.Intr-adevar, fie B1 = e1, e2, e3 o baza si C1 clasa sa de echivalenta. Fie apoi B2 =

e2, e1, e3 baza obtinuta din B1 prin schimbarea lui e1 cu e2. Deoarece D(B1,B2) = −1,clasa C2 de echivalenta a bazei B2 nu coincide cu C1. Pe de alta parte, oricare ar fi bazaB ∈ B, avem

D(B1,B) = D(B1,B2) ·D(B2,B) = −D(B2,B).

De aici deducem ca:- daca D(B1,B) > 0, atunci D(B2,B) < 0 si deci B ∈ C1,


- daca D(B1,B) < 0, atunci D(B2,B) > 0 si deci B ∈ C2.Fiecare din cele doua elemente ale multimii B/∆ se numeste o orientare a spatiului

vectorial V . Alegem una dintre aceste orientari, pe care o numim pozitiva (iar pe cealaltanegativa). Spatiul vectorial V ın care s-a ales o orientare pozitiva se numeste orientat.Bazele orientate pozitiv se numesc baze drepte, iar cele orientate negativ, baze stangi.De obicei, o baza B = e1, e2, e3 se considera orientata pozitiv (negativ) daca vectoriie1 = −−→OE1, e2 = −−→OE2, e3 = −−→OE3 sunt orientati ın lungul degetelor mare, indicator, sirespectiv, mijlociu ale mainii drepte (stangi) (Fig. 6.4).

-

OE1

E2

BB

BB

BBBM

OE1

E2

(a) (b)

Figura 6.5: Baza dreapta (a) si baza stanga (b) ın V2

Consideratiile precedente ın legatura cu orientarea bazelor ın spatiul vectorial V seaplica si bazelor B = e1, e2 ale subspatiului V2. In acest caz, baza B se consideraorientata pozitiv (negativ) daca vectorii e1 = −−→OE1, e2 = −−→OE2 sunt orientati ın lunguldegetelor mare, si respectiv, indicator ale mainii drepte (stangi) (Fig. 6.5).

6.7 Proiectia unui vector

Fie u ∈ V un vector nenul, D dreapta sa suport printr-un punct O din spatiu, v = −→OAun vector oarecare si A′ proiectia ortogonala a punctului A pe dreapta D.Definitia 6.7 Numim proiectie ortogonala a vectorului v pe vectorul nenul u sau pedreapta D vectorul

pruv =−−→OA′. (6.7)

Fie ınca P un plan, O un punct al planului, v = −→OA un vector oarecare si A′ proiectiaortogonala a punctului A pe planul P .

Definitia 6.8 Numim proiectie ortogonala a vectorului v pe planul P vectorul

prP v =−−→OA′.

Teorema 6.16 Pentru orice vectori v1,v2,v ∈ V si orice numar real a, au loc egalitatile

pru(v1 + v2) = pruv1 + pruv2, pru(av) = a pruv. (6.8)


-**

- -O

u

A′ B′

A

B

v

Figura 6.6: Proiectia ortogonala

/ Fie v1 = −−→OA1, v2 = −−−→A1A2 si v1 + v2 = −−→OA2. Daca A′1 si A′2 sunt proiectiileortogonale ale punctelor A1 si A2 pe dreapta D, atunci pruv1 =

−−→OA′1, pruv2 =

−−−→A′1A

′2,

pru(v1 + v2) =−−→OA′2. Dar

−−→OA′1 +

−−−→A′1A

′2 =

−−→OA′2, de unde (6.8)1. Fie apoi v = −→OA,

av = a−→OA = −−→OB si A′, B′ proiectiile ortogonale ale punctelor A si B pe dreapta D.Atunci pruv =

−−→OA′, pru(av) =

−−→OB′. Dar triunghiul OAA′ este asemenea cu triunghiul

OBB′ si deci−−→OB′ = a

−−→OA′, de unde (6.8)2. .

Vectorul pruv nu depinde de lungimea vectorului u. Putem deci ınlocui ın (6.7) peu cu versorul sau u0 = u/||u||. Avem

pru0v =pruv.

Deoarece vectorii pruv si u0 sunt coliniari, exista numarul real x a.ı.

pruv = xu0. (6.9)

Definitia 6.9 Numarul real x din (6.9) se numeste marimea algebrica a proiectiei or-togonale a vectorului v pe directia determinata de vectorul nenul u (sau de versorul u0)si se noteaza mrpr uv.

Avem decipruv = (mrpr uv)u0,

iar din (6.8) urmeaza ca

mrpru(v1 + v2) = mrpruv1 + mrpruv2, mrpru(av) = a mrpruv. (6.10)

Fie u = −→OA si v = −−→OB doi vectori nenuli.

Definitia 6.10 Numim unghi dintre vectorii u si v unghiul propriu dintre semidreptele[OA si [OB.

Notam cu α unghiul dintre vectorii u si v. Daca semidreptele [OA si [OB coincid,atunci α = 0, iar daca sunt suplimentare, α = π. Deci, pentru orice u si v ∈ V , α ∈ [0, π].Unghiul dintre vectorii u si v nu depinde de alegerea punctului O.

Doi vectori nenuli u si v sunt ortogonali si scriem u ⊥ v daca unghiul dintre ei esteegal cu π/2. Vectorul nul este ortogonal pe orice vector din spatiu.

Deoarece ın Definitia 6.10, ordinea vectorilor u si v nu este esentiala, unghiul astfeldefinit se mai numeste si unghi neorientat.


Definitia 6.11 Numim unghi orientat dintre vectorii necoliniari u si v, luati ın aceastaordine, unghiul α daca baza u,v este orientata pozitiv sau unghiul −α daca baza u,veste orientata negativ.

Daca vectorii sunt coliniari, atunci unghiul dintre ei este 0 daca au acelasi sens sauπ daca au sensuri opuse.

Deci, pentru orice doi vectori, unghiul orientat dintre ei apartine intervalului (−π, π],sau [0, 2π).

Daca unghiul dintre vectorii u si v este α (Fig. 6.6), atunci

mrpr uv = ||v|| cos α. (6.11)

6.8 Produse de vectori

6.8.1 Produsul scalar. Structura euclidiana a lui V

Deoarece ın spatiul vectorial V al vectorilor liberi sunt cunoscute notiunile de lungime aunui vector si de unghi dintre doi vectori, putem defini un produs scalar pe V plecandde la aceste notiuni.

Definitia 6.12 Numim produs scalar al vectorului u cu vectorul v scalarul u ·v egal cuprodusul lungimilor vectorilor u si v prin cosinusul unghiului dintre ei, adica

u · v = ||u|| ||v|| cos α. (6.12)

Sa observam apoi ca, tinand seama de (6.11), expresia (6.12) se mai scrie

u · v = ||u||mrpr uv,

sau, daca u 6= 0, luand u0 = u/||u||,

u0 · v = mrpr u0v. (6.13)

Teorema 6.17 (Proprietatile produsului scalar) Oricare ar fi vectorii u,v,v1,v2 ∈V si pentru orice numar real a, au loc egalitatile:

1. u · v = v · u;2. u · (av) = a(u · v);3. u · (v1 + v2) = u · v1 + u · v2;4. u · u ≥ 0 si u · u = 0 d.d. u = 0.

/ Proprietatea 1. rezulta nemijlocit din (6.12). Proprietatile 2. si 3. rezulta atuncidin (6.10). Intr-adevar,

u · (av) = ||u||mrpr u(av) = a ||u||mrpr uv = a(u · v)

si respectiv

u · (v1 + v2) = ||u||mrpr u(v1 + v2) = ||u|| (mrpruv1 + mrpruv2) = u · v1 + u · v2.


Pentru 4., sa observam ca din (6.12) pentru v = u, rezulta u · u = ||u||2 si evident||u||2 ≥ 0 si ||u|| = 0 d.d. u = 0. .

Din 2. si 3. rezulta ca produsul scalar este liniar ın cel de-al doilea factor. Tinandseama si de 1. rezulta liniaritatea si ın primul factor.

Din Teorema 6.17 deducem ca aplicatia g : V × V → R, definita prin g(u,v) = u · v,este o forma biliniara simetrica a carei forma patratica asociata este pozitiv definita,adica este un produs scalar pe V ın sensul definitiei date la capitolul Spatii euclidiene.In consecinta (V, g) = E este un spatiu euclidian.

Scalarul u · u = u2 se numeste patratul scalar al vectorului u. Asadar, aplicatia|| · || : V → R,

||u|| =√

u2

este o norma pe E.In cele ce urmeaza, vom nota o baza ortonormata ın E prin B = i, j,k, iar coordo-

natele unui vector u ın aceasta baza prin (x, y, z) si le vom numi coordonate ortogonale.Deci:

||i|| = ||j|| = ||k|| = 1, i · j = i · k = j · k = 0

siu = xi + yj + zk. (6.14)

Daca u1 = x1i+y1j+z1k1, u2 = x2i+y2j+z2k sunt doi vectori dati prin coordonatelelor ın baza ortonormata B, produsul lor scalar are expresia analitica

u1 · u2 = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Lungimea sau norma vectorului u are expresia analitica

||u|| =√

x2 + y2 + z2,

distanta dintre vectorii u1 si u2 este data de

d(u1,u2) = ||u1 − u2|| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2,

iar cosinusul unghiului dintre vectorii u1 si u2 este

cos α =u1 · u2

||u1|| ||u2||=

x1x2 + y1y2 + z1z2√

x21 + y2

1 + z21

√

x22 + y2

2 + z22

.

De aici se deduce ca vectorii u1 si u2 sunt ortogonali d.d.

u1 · u2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

Inmultind scalar (6.14) pe rand cu vesorii i, j, k ai bazei ortonormate B si tinandseama de (6.13), obtinem urmatoarea interpretare geometrica a coordonatelor ortogonaleale vectorului u:

x = mrpr iu, y = mrpr ju, z = mrpr ku,

adica, ele reprezinta marimile algebrice ale proiectiilor ortogonale ale vectorului u pedirectiile determinate de versorii bazei.


6.8.2 Produsul vectorial

Fie u = −→OA si v = −−→OB doi vectori necoliniari si fie OACB (Fig. 6.7, a) paralelogramulale carui doua laturi adiacente sunt segmentele orientate OA si OB, pe care ıl vom numiparalelogramul construit pe vectorii −→OA si −−→OB ca laturi. Prin fiecare punct O din spatiuputem construi, pentru doi vectori u si v dati, cate un astfel de paralelogram. Toateaceste paralelograme au ınsa aceeasi arie

A = ||u|| ||v|| sin α, (6.15)

ın care α ∈ (0, π) este unghiul dintre vectorii u si v.

-O

6

6

A

B

u

v

u× v

n

-

6

Ou0

A0

B

B′

π/2 v

u0 × v

C(a) (b)

Figura 6.7: Produsul vectorial

Daca vectorii sunt coliniari, atunci α = 0 sau π si A = 0.

Definitia 6.13 Numim produs vectorial al vectorilor necoliniari u si v, luati ın aceastaordine, vectorul

u× v = An, (6.16)

unde n este vectorul unitar (||n|| = 1) perpendicular pe vectorii u si v si a.ı. bazau,v,n sa fie orientata pozitiv.

Produsul vectorial al doi vectori coliniari este egal cu vectorul nul, u× v = 0.

Din (6.16) rezulta ca||u× v|| = A, (6.17)

adica, lungimea vectorului u × v este numeric egala cu aria paralelogramului construitpe vectorii u si v ca laturi. Din (6.15) si (6.17), rezulta

||u× v|| = ||u|| ||v|| sin α. (6.18)

Lema 6.2 Fie u0 un vector unitar si v ⊥ u0. Daca −−→OA0 = u0 si −−→OB = v, atuncivectorul u0×v =

−−→OB′ se obtine printr-o rotatie a vectorului v ın jurul dreptei orientate

OA0 ın sens direct de unghi egal cu π/2. (Fig. 6.7, b)


/ Intr-adevar, ||u0 × v|| = ||v|| si din v ⊥ u0 si u0 × v ⊥ u0 rezulta ca vectorii−−→OB si

−−→OB′ sunt situati ıntr-un plan perpendicular pe dreapta OA0, iar din u0 × v ⊥ v

rezulta ca (v,u0 × v) = π/2. Rotatia este ın sens direct deoarece baza u0,v,u0 × veste orientata pozitiv. .

Lema 6.3 Oricare ar fi vectorii u si v si pentru orice a ∈ R, are loc egalitatea

u× v = u× (v + au). (6.19)

/ Intr-adevar, daca u si v sunt coliniari, egalitatea este evidenta. Daca u si v suntnecoliniari, construim din punctul arbitrar O, vectorii −→OA = u,

−−→OA′ = au, −−→OB = v,−−→

OB′ = v + au. (Fig. 6.8).

- -

6

*

O u A′ A

B B′

C C ′

au

vv′

(P )

Figura 6.8: Proprietatile produsului vectorial

Deoarece vectorii u, v si v + au sunt coplanari, vectorii u × v si u × (v + au)sunt coliniari (fiind perpendiculari pe u si pe v). Pentru orice a, vectorii −−→OB = v si−−→OB′ = v + au sunt de aceeasi parte a dreptei OA, deci bazele u,v,u × v si u,v +au,u× (v+ au) sunt la fel orientate. In fine paralelogramele OACB si OAC ′B′ au ariiegale, adica vectorii u×v si u× (v+au) au lungimi egale. Conchidem ca cei doi vectorisunt egali. .

Consecinta 6.5 Fie u un vector nenul, P un plan perpendicular pe u, si v un vectoroarecare. Atunci

u× v = u× prP v, (6.20)

adica, produsul vectorial nu se modifica daca unul dintre vectori se ınlocuieste cu proiectiasa pe un plan perpendicular pe celalalt.

/ Daca u si v sunt coliniari, egalitatea (6.20) este evidenta. Sa presupunem ca u si vsunt necoliniari. Vectorii u, v si v′ = prP v sunt coplanari, exista a ∈ R a.ı. v′ = v+au.Intr-adevar, cum v′ · u = 0, urmeaza u · v + au2 = 0 si deci a = −(u · v)/||u||2. Din(6.19) rezulta atunci (6.20). .


Teorema 6.18 (Proprietatile produsului vectorial) Oricare ar fi vectorii u, v, wsi pentru orice a ∈ R, au loc egalitatile:

1o. u× v = −v × u (anticomutativitate);2o. u× (av) = a(u× v);3o. u× (v + w) = u× v + u×w (distributivitate).

/ 1o. Daca u si v sunt coliniari, proprietatea este imediata. Daca u si v sunt necol-iniari, vectorii u×v si v×u au aceeasi directie, paralelogramele construite pe vectorii usi v, respectiv pe v si u ca laturi, au aceeasi arie A, iar baza v,u,v×u este orientatapozitiv daca vectorii v × u si u × v au sensuri opuse. Adica, v × u = −An si deciu× v = −v × u.

2o. Daca u si v sunt coliniari sau a = 0, proprietatea este imediata. Sa presupunemca u si v sunt necoliniari si a 6= 0. Vectorii u× (av) si a(u× v) sunt coliniari cu u× v,au acelasi sens (sensul lui u× v daca a > 0 si sens contrar daca a < 0) si

||u× (av)|| = ||u|| ||av|| sin α = |a| ||u|| ||v|| sin α, ||a(u× v)|| = |a| ||u× v||,

deci ||u× (av)|| = ||a(u× v)||, ıncat u× (av) = a(u× v).3o. Daca u = 0, proprietatea este imediata. Daca u 6= 0 si macar unul din vectorii

v, w, v + w este coliniar cu u, folosind (6.19), proprietatea rezulta prin calcul direct.Presupunem ca u 6= 0 si ca nici unul dintre vectorii v, w, v + w nu este este co-

liniar cu u. Fie P un plan perpendicular pe u si fie v′ = prP v, w′ = prP w. CumprP (v + w) = v′+w′, folosind Consecinta 6.5, egalitatea de demonstrat este echivalentacu

u× (v′ + w′) = u× v′ + u×w′, (6.21)

ın care ınsa v′ ⊥ u, w′ ⊥ u. Vectorul u fiind nenul, fie u0 = u/||u||, adica u = ||u||u0.Folosind proprietatea 2o, rezulta ca (6.21) este echivalenta cu

u0 × (v′ + w′) = u0 × v′ + u0 ×w′. (6.22)

Este deci suficient sa stabilim egalitatea (6.22).Din punctul arbitrar O al spatiului construim vectorii −−→OA0 = u0,

−−→OB = v′, −−→OC = w′,−−→OD = v′ + w′ (Fig. 6.9).Dupa Lema 6.2, vectorii

−−→OB′ = u0 × v′,

−−→OC ′ = u0 × w′,

−−→OD′ = u0 × (v′ + w′) se

obtin, respectiv, din vectorii v′, w′, v′ + w′ prin rotatii de unghi egal cu π/2, ın sensdirect, ın jurul dreptei OA0. Cum OBDC este un paralelogram, rezulta ca patrulaterulOB′D′C ′ este tot un paralelogram, obtinut din primul prin rotatia de unghi π/2, deci−−→OD′ =

−−→OB′ +

−−→OC ′, adica are loc (6.22). .

Teorema 6.19 Conditia necesara si suficienta ca vectorii u si v sa fie coliniari este ca

u× v = 0. (6.23)

/ Necesitatea. Daca u si v sunt coliniari, din Definitia 6.13 rezulta (6.23).Suficienta. Fie u× v = 0. Daca u si v ar fi necoliniari, pe vectorii u si v ca laturi

am putea construi un paralelogram de arie A > 0. Din (6.16) avem ınsa An = 0, sauA = 0. Contradictie. Rezulta ca u si v sunt coliniari. .


-

6

PPPPPPP

*

AA

AAAK

PPPPPPPqA

AA

AA

A0

u0B

D

C

B′

D′

C ′

O

Figura 6.9: Distributivitatea produsului vectorial

Consecinta 6.6 Oricare ar fi vectorul u avem: u× 0 = 0, u× u = 0.

Teorema 6.20 (Identitatea lui Lagrange) Oricare ar fi vectorii u si v are loc egali-tatea

(u× v)2 = u2 v2 − (u · v)2.

/ Folosind (6.18) si definitia produsului scalar (6.12), avem succesiv

(u× v)2 = ||u× v||2 = ||u||2||v||2 sin2 α = ||u||2||v||2 (1− cos2 α) = u2 v2 − (u · v)2. .

Fie B = i, j,k o baza ortonormata a spatiului. Din definitia produsului vectorialrezulta ca

i× j = k, j× k = i, k× i = j.

Daca u1 = x1i + y1j + z1k si u2 = x2i + y2j + z2k, atunci

u1 × u2 = (y1z2 − y2z1)i− (x1z2 − x2z1)j + (x1y2 − x2y1)k,

de unde rezulta urmatoarea expresie analitica a produsului vectorial

u1 × u2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

6.8.3 Produsul mixt

Definitia 6.14 Numim produs mixt al vectorilor u, v, w, luati ın aceasta ordine, pro-dusul scalar al vectorului u× v cu vectorul w, adica scalarul

(u,v,w) = (u× v) ·w.


-

6

!!

O

A C ′

B

C A′

DB′

H

u

v

w

n

Figura 6.10: Produsul mixt

Fie u = −→OA, v = −−→OB si w = −−→OC trei vectori necoplanari si fie OAC ′BCB′DA′ (Fig.6.10) paralelipipedul ale carui trei muchii adiacente sunt segmentele orientate OA, OB siOC, pe care ıl vom numi paralelipipedul construit pe vectorii −→OA, −−→OB si −−→OC ca muchii.Prin fiecare punct O din spatiu putem construi, pentru trei vectori u, v si w dati, cateun astfel de paralelipiped. Toate aceste paralelipipede au ınsa acelasi volum

V = Ah,

ın care A este aria bazei si h ınaltimea corespunzatoare.

Teorema 6.21 Produsul mixt al vectorilor u, v, w este egal, ın valoare absoluta, cuvolumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori ca muchii, adica

|(u,v,w)| = V.

/ Fie H proiectia ortogonala a punctului C pe versorul n al directiei produsuluivectorial al vectorilor u si v. Atunci h = ||−−→OH|| = |mrprnw| = ||w|| | cos(n,w)|. Deci,|(u,v,w)| = |(u× v) ·w| =||u× v|| ||w|| | cos(n,w)| = Ah = V. .

Teorema 6.22 Conditia necesara si suficienta ca vectorii u, v, w sa fie coplanari esteca

(u,v,w) = 0.

/ Necesitatea. Fie u,v,w vectori coplanari. Daca u si v sunt coliniari, atunciu× v = 0 si deci (u,v,w) = 0 ·w = 0. Daca u si v sunt necoliniari, atunci u× v ⊥ wsi deci (u,v,w) = (u× v) ·w =0.

Suficienta. Presupunem ca (u,v,w) = 0. Daca vectorii u, v, w ar fi necoplanari,putem construi un paralelipiped pe cei trei vectori ca muchii, de volum V > 0. Dar,dupa Teorema 6.21, V = |(u,v,w)| = 0. Contradictie. Rezulta ca vectorii u, v, w suntcoplanari. .


Teorema 6.23 (Proprietatile produsului mixt) Oricare ar fi vectorii u, v, w, u1,u2 si pentru orice a real au loc egalitatile:

1o. (u,v,w) = (v,w,u) = (w,u,v);2o. (u,v,w) = −(v,u,w);3o. (au,v,w) = a (u,v,w);4o. (u1 + u2,v,w) = (u1,v,w) + (u2,v,w).

/ 1o. Daca vectorii sunt coplanari, proprietatea este imediata. Daca sunt necoplanari,

|(u,v,w)| = |(v,w,u)| = |(w,u,v)| = V

si bazele u,v,w, v,w,u, w,u,v, care se obtin una din alta prin permutari circu-lare, au aceeasi orientare.

Proprietatile 2o, 3o, 4o rezulta din proprietatile corespunzatoare ale produselor vec-torial si scalar.

2o. (u,v,w) = (u× v) ·w = −(v × u) ·w =− (v,u,w).3o. (au,v,w) = [(au)× v] ·w = [a(u× v)] ·w = a (u,v,w);4o. (u1 + u2,v,w) = (v ×w) · (u1 + u2) = (v ×w) · u1 + (v ×w) · u2=(u1,v,w) +

(u2,v,w). .Din 1o rezulta ca proprietatile 3o si 4o au loc si relativ la ceilalti factori, iar din 1o si

2o deducem ca prin schimbarea ordinii a oricaror doi factori produsul mixt ısi schimbasemnul.

Consecinta 6.7 Pentru orice vectori u, v, w avem:1o. u · (v ×w) = (u× v) ·w = (u,v,w);2o. (u,u,w) = 0.

Fie B = i, j,k o baza ortonormata a spatiului. Daca u1 = x1i + y1j + z1k, u2 =x2i + y2j + z2k, u3 = x3i + y3j + z3k, atunci

(u1,u2,u3) = (u1 × u2) · u3 = (y1z2 − y2z1)x3 − (x1z2 − x2z1)y3 + (x1y2 − x2y1)z3,

care conduce la urmatoarea expresie analitica a produsului mixt

(u1,u2,u3) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

6.8.4 Produsul dublu vectorial

In rezolvarea unor probleme de geometrie analitica, utilizand calculul vectorial, se ın-talnesc produse de forma: (u× v)×w, u× (v ×w), numite produse dublu vectoriale.Dam ın continuare o formula de calcul al acestor produse cu ajutorul numai a produsuluiscalar.

Teorema 6.24 Oricare ar fi vectorii u, v, w are loc egalitatea

(u× v)×w = (u ·w)v − (v ·w)u. (6.24)


/ Daca u si v sunt coliniari, din u× v = 0, rezulta (u× v)×w = 0, iar din v = αu,obtinem (u ·w)v − (v ·w)u = α(u ·w)u−α(u ·w)u = 0. Deci egalitatea (6.24) esteadevarata.

Daca u si v nu sunt coliniari, alegem baza ortonormata B = i, j,k a.ı. i sa fie coliniarcu u, iar j sa fie coplanar cu u,v. Atunci u = u1i, v = v1i+v2j, w = w1i+w2j+w3k,si deci u×v = u1v2k, (u×v)×w = −u1v2w2i+u1v2w1j. Pe de alta parte, u ·w = u1w1,v ·w = v1w1 + v2w2 si deci

(u ·w)v − (v ·w)u = u1w1(v1i + v2j)− u1(v1w1 + v2w2)i = −u1v2w2i + u1v2w1j.

In consecinta, (u× v)×w = (u ·w)v − (v ·w)u. .Pentru cel de-al doilea produs dublu vectorial avem o exprimare asemanatoare

u× (v ×w) = (u ·w)v − (u · v)w. (6.25)

Intr-adevar, avem succesiv

u× (v ×w) = −[(v ×w)× u] = −[(v · u)w − (w · u)v] =(u ·w)v − (u · v)w.

6.9 Ecuatii vectoriale

Definitia 6.15 Se numeste ecuatie vectoriala orice ecuatie ın care necunoscuta este unvector.

Din multimea ecuatiilor vectoriale consideram urmatoarele trei tipuri:

mx = a, cu m 6= 0, (6.26)

a · x = m, cu a 6= 0, (6.27)

x× a = b, cu a 6= 0, a · b = 0. (6.28)

Ecuatia (6.26) are solutia unica x = 1ma.

Pentru rezolvarea ecuatiilor (6.27) si (6.28) sa observam ca, tinand seama de (6.25),putem scrie a× (x× a) = a2 x− (a · x)a.

Daca x este o solutie a ecuatiei (6.27), atunci x = ma2 a + a×x×a

a2 . Cu 1a2 (x× a) = α

(vector arbitrar, perpendicular pe a). Obtinem astfel solutia generala a ecuatiei (6.27)sub forma x = m

a2 a + a× α, α · a = 0.Daca x este o solutie a ecuatiei (6.28), atunci x = 1

a2 (a× b) + a·xa2 a. Cu 1

a2 (x · a) =λ(scalar arbitrar). Obtinem astfel solutia generala a ecuatiei (6.28) sub forma

x =1a2 (a× b) + λa, λ ∈ R. (6.29)

Ecuatia (6.28) admite o infinitate simpla de solutii, depinzand de parametrul λ. Ana-log, deoarece cele trei coordonate ale vectorului α ıntr-o baza din E satisfac singura


conditie a · α = 0, rezulta ca ecuatia (6.27) admite o infinitate dubla de solutii. Inschimb sistemul

a · x = m, x× a = b, cu a 6= 0, a · b = 0, (6.30)

admite solutie unica.Intr-adevar, solutia generala (6.29) a celei de a doua ecuatii a sistemului va satisface

si prima ecuatie d.d. λa2 = m, de unde λ = m/a2, ıncat solutia generala a sistemului(6.30) este x = 1

a2 (a× b) + ma2 a.

Ecuatiamx + x× a = b, cu m 6= 0, (6.31)

are, de asemenea, solutie unica.Intr-adevar, ınmultind ecuatia (6.31) vectorial la stanga cu a, avem m(a× x) +

a× (x× a) = a× b, sau m(a× x) + a2x − (a · x)a = a× b; dar din (6.31) avem cax× a = b−mx, m(a · x) = a · b si deci (m2 + a2)x =a·b

m a + mb + a× b, de unde

x =1

m2 + a2

(

a · bm

a + mb + a× b)

.

Toate ecuatiile vectoriale studiate ın acest paragraf por fi reduse, exprimand vectoriiprin coordonatele lor ıntr-o baza, la sisteme de ecuatii algebrice liniare. Astfel, ecuatiavectoriala (6.28) este echivalenta cu sistemul

a3y − a2z = b1, −a3x + a1z = b2, a2x− a1y = b3,

al carui determinant este nul. Sistemul este compatibil simplu nedeterminat d.d.

a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

Capitolul 7

SPATIUL PUNCTUALEUCLIDIAN

7.1 Spatiul punctual afin

Fie V spatiul vectorilor liberi si S multimea punctelor spatiului fizic.Definitia 7.1 Spunem ca multimea S are o structura de spatiu punctual afin asociatspatiului vectorial V daca exista o aplicatie ϕ : S × S → V cu proprietatile:

1o. ϕ(A,B) + ϕ(B, C) = ϕ(A, C), ∀A, B,C ∈ S;2o. Oricare ar fi O ∈ S, fixat si oricare ar fi u ∈ V , exista un singur punct M ∈ S

a.ı. ϕ(O, M) = u.V se numeste atunci spatiul vectorial director al spatiului punctual afin S.

Definitia 7.2 Numim dimensiune a spatiului S dimensiunea spatiului sau vectorial di-rector: dimS = dim V = 3.

Teorema 7.1 Aplicatia ϕ : S × S → V , definita prin

ϕ(A,B) = −−→AB, ∀A,B ∈ S,

determina pe S o structura de spatiu punctual afin.

/ Intr-adevar, pentru orice trei puncte A,B, C ∈ S, dupa regula triunghiului deadunare a vectorilor, avem −−→AB +−−→BC = −→AC,

adica proprietatea 1o. Proprietatea 2o rezulta din faptul ca un vector liber are prin oricepunct din spatiu un reprezentant si numai unul. .

Definitia 7.3 Spunem ca spatiul punctual afin S are o structura de spatiu punctualeuclidian daca spatiul sau director este euclidian.

93


Definitia 7.4 Numim vector de pozitie al punctului M ın raport cu punctul fix O (numitorigine) vectorul

r = −−→OM.

Fie M0,M1 ∈ S si u = −−−−→M0M1 ∈ V . Daca r0 = −−−→OM0 si r1 = −−−→OM1 sunt vectoriide pozitie ai celor doua puncte, atunci u = r1 − r0, adica, vectorul u determinat desegmentul orientat M0M1 este egal cu diferenta dintre vectorul de pozitie al extremitatiiM1 si vectorul de pozitie al extremitatii M0.

Aplicatia d : S × S → R, definita prin d(M0, M1) = ||−−−−→M0M1||, oricare ar fi puncteleM0, M1 ∈ S se numeste metrica sau distanta pe S. Ea determina pe S o structura despatiu metric.

7.1.1 Subspatii punctuale afine

Definitia 7.5 Spunem ca multimea nevida S′ ⊂ S este subspatiu punctual afin al lui Sdaca exista un punct M0 ∈ S′ a.ı. multimea

V ′ = u = −−−→M0M, M ∈ S′ ⊂ V

este subspatiu vectorial al lui V .Subspatiul V ′ se numeste subspatiul director al subspatiului punctual afin S′.

Deci un subspatiu punctual afin S′ este determinat de un punct M0 si de un subspatiuvectorial V ′ al lui V .

Definitia 7.6 Numim dimensiune a subspatiului punctual afin S′ dimensiunea subspa-tiului sau director V ′.

Daca S′ se reduce la un punct, atunci subspatiul sau director este subspatiul nul 0si dimensiunea sa este egala cu 0.

Definitia 7.7 Un subspatiu punctual afin de dimensiune egala cu 1 se numeste dreaptaafina.

O dreapta afina D este determinata de un punct M0 si de un subspatiu director V1.

Definitia 7.8 Un subspatiu punctual afin de dimensiune egala cu 2 se numeste plan afin.

Un plan afin P este deci determinat de un punct M0 si de un subspatiu director V2.Un subspatiul punctual afin al lui S are o structura de subspatiu punctual euclidian

daca subspatiul sau director este euclidian.

7.2 Repere carteziene. Coordonatele unui punct

Fie S′ un subspatiu punctual, dim S′ = k ≤ 3 si V ′ subspatiul sau director.Definitia 7.9 Numim reper cartezian al subspatiului S′ ansamblul R = O,B formatdintr-un punct fix O ∈ S′, numit origine a reperului si o baza B a subspatiului sau directorV ′.


Definitia 7.10 Spunem ca reperul cartezian R = O,B este orientat daca baza B esteorientata.

Definitia 7.11 Un reper cartezian se numeste ortonormat daca baza B este ortonor-mata.

Fata de punctul fix O, originea reperului, fiecarui punct M ∈ S′ ıi corespunde vectorulsau de pozitie

r = −−→OM ∈ V ′.

Pe de alta parte, B = e1, e2, . . . , ek fiind o baza a lui V ′, vectorul r se poate exprimaın mod unic ca o combinatie liniara de vectorii bazei,

r =k

∑

i=1

xiei = eX,

ın care X este matricea coloana a coordonatelor vectorului r ın baza B.

Definitia 7.12 Numim coordonate ale punctului M ın reperul R coordonatele ın bazaB ale vectorului sau de pozitie r ın raport cu originea O.

Definitia 7.13 Coordonatele unui punct ıntr-un reper cartezian ortonormat se numesccoordonate ortogonale.

Un reper cartezian ortonormat al dreptei D determinata de punctul fix O si subspatiuldirector V1 consta din punctul O si o baza ortonormata a lui V1, B = i, deci R = O, i(Fig. 7.1, a).

O dreapta pe care s-a definit un reper cartezian se numeste axa.

>

-

6

-

6

O i

r

x

y

M

(b)

j

>

6

-

6

O j

r

z

M

k

HHHHHH

HHHHHH

-y

x

i

(c)

--O i

-r M x

(a)

Figura 7.1: Repere carteziene ortonormate

Vectorul de pozitie r = −−→OM al unui punct M ∈ D se exprima ın baza B prin r = xi.Scalarul x ∈ R se numeste abscisa punctului M ın reperul R si scriem M(x).

Un reper cartezian ortonormat al planului P determinat de punctul fix O si subspatiulvectorial director V2 consta din punctul O si o baza ortonormata a lui V2, B = i, j,


deci R = O, i, j (Fig. 7.1, b). Dreptele suport ale reprezentantilor prin O ai versorilori si j se numesc axele reperului: dreapta O, i - axa absciselor, iar dreapta O, j - axaordonatelor.

Vectorul de pozitie r = −−→OM al unui punct M ∈ P se exprima ın baza B prin r = xi+yj. Perechea de numere reale (x, y) ∈ R2 reprezinta coordonatele ortogonale ale punctuluiM ın reperul R si scriem M(x, y), x se numeste abscisa, iar y ordonata punctului M .

Un reper cartezian ortonormat al spatiului S avand ca spatiu director pe V constadintr-un punct fix O si o baza ortonormata a lui V , B = i, j,k, deci R = O, i, j,k(Fig. 7.1, c). Dreptele suport ale reprezentantilor prin O ai versorilor i, j si k se numescaxele reperului: dreapta O, i - axa absciselor, dreapta O, j - axa ordonatelor, iarO,k - axa cotelor.

Vectorul de pozitie r = −−→OM al unui punct M ∈ S se exprima ın baza B prin r =xi + yj+zk. Tripletul de numere reale (x, y, z) ∈ R3 reprezinta coordonatele ortogonaleale punctului M ın reperul R si scriem M(x, y, z), x se numeste abscisa, y ordonata, iarz cota punctului M .

Interpretarea geometrica a coordonatelor ortogonale ale unui punct este data derelatiile

x = r · i = mrpri r, y = r · j = mrprj r, z = r · k = mrprk r.

7.3 Aplicatii ale calculului vectorial

7.3.1 Distanta dintre doua puncte

Fie M0,M1 ∈ S si u = −−−−→M0M1 ∈ V . Daca punctele M0 si M1 sunt date prin coordonatelelor ın reperul ortonormat R, M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1), atunci r0 = x0i + y0j+z0k,r1 = x1i + y1j+z1k si ın consecinta

u = r1 − r0 = (x1 − x0)i + (y1 − y0)j + (z1 − z0)k.

Distanta dintre punctele M0 si M1 este atunci data de

d(M0,M1) = ||−−−−→M0M1|| = ||r1 − r0|| =√

(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 + (z1 − z0)2.

De aici deducem ca distanta de la originea O(0, 0, 0) reperului la punctul M(x, y, z)este data de

d(O,M) = ||−−→OM || = ||r|| =√

x2 + y2 + z2.

In particular, daca punctele apartin planului Oxy: O(0, 0), M(x, y), M0(x0, y0),M1(x1, y1), formulele precedente devin

d(M0,M1) =√

(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2, d(O, M) =√

x2 + y2 + z2.


7.3.2 Impartirea unui segment orientat ıntr-un raport dat

Definitia 7.14 Fie M1 si M2 doua puncte ın spatiu. Spunem ca punctul M ımpartesegmentul orientat M1M2 ın raportul k daca

−−−→M1M = k−−−→MM2. (7.1)

Teorema 7.2 Oricare ar fi punctele M1 si M2 si numarul real k 6= −1 exista un singurpunct M care ımparte segmentul orientat M1M2 ın raportul k.

/ Fie O un punct fixat ın spatiu si −−→OMi = ri, i = 1, 2, −−→OM = r. Avem: −−−→M1M =r− r1,

−−−→MM2 = r2−r, cu care, din (7.1), obtinem pentru k 6= −1,

r =r1 + kr2

1 + k, (7.2)

relatie care determina ın mod unic vectorul de pozitie al punctului M ın raport cu punctulO si deci punctul M . .

Daca, ın reperul ortonormat cu originea ın punctul O, R = i, j,k punctele M1 siM2 au coordonatele: Mi(xi, yi, zi), i = 1, 2, iar M(x, y, z), din (7.2) deducem:

x =x1 + kx2

1 + k, y =

y1 + ky2

1 + k, z =

z1 + kz2

1 + k.

In particular, pentru k = 1, obtinem coordonatele mijlocului segmentului M1M2:

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2, z =

z1 + z2

2.

7.3.3 Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

Definitia 7.15 Fie Mi, i = 1, n un sistem de n puncte din spatiu de mase (ponderi)mi. Spunem ca punctul G este centrul de greutate al sistemului de puncte materiale Mi

daca are loc relatian

∑

i=1

mi−−→GMi = 0.

Teorema 7.3 Oricare ar fi punctele materiale Mi, i = 1, n, de mase mi cu∑

mi 6= 0,punctul G exista si este unic determinat.

/ Fie O un punct fixat ın spatiu si −−→OMi = ri, i = 1, n, −−→OG = r. Avem: −−→GMi = r− ri

si ınlocuind ın relatia de definitie a lui G, obtinem pentru∑

mi 6= 0,

r =∑

miri∑

mi,

deci, G exista si este unic determinat. .In particular, pentru n = 3 si m1 = m2 = m3, rezulta ca centrul de greutate al unui

triunghi cu varfurile ın punctele M1, M2, M3 este dat de

r =r1 + r2 + r3

3.


Daca, ın reperul ortonormat cu originea ın punctul O, R = i, j,k punctele Mi aucoordonatele: Mi(xi, yi, zi), i = 1, n, iar G(x, y, z), atunci:

x =∑

mixi∑

mi, y =

∑

miyi∑

mi, z =

∑

mizi∑

mi.

7.3.4 Aria unui triunghi

Fie Mi(xi, yi, zi), i = 0, 1, 2, trei puncte ın spatiu date prin coordonatele lor ın reperulortonormat R = i, j,k si fie ri = −−→OMi, i = 0, 1, 2. Notam uj = −−−−→M0Mj = rj − r0,j = 1, 2 (Fig. 7.2, a).

-

cc

cc

cc

cc

-

\\

\\

\\

\\\

(a) (b)

M0 M1

M2

u1

u2 M0

M1

M2

M3

u1

u2

u3

Figura 7.2: Aria triunghului si volumul tetraedrului

Aria triunghiului M0M1M2 este jumatate din aria paralelogramului construit pe vec-torii u1 si u2 ca laturi:

At =12||u1 × u2|| =

12||r1 × r2 − r0 × r2 + r0 × r1||.

Dar cum ri = xii + yij + zik, i = 0, 1, 2, urmeaza, avand ın vedere expresia analitica aprodusului vectorial,

r1 × r2 − r0 × r2 + r0 × r1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k 0x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(7.3)

si deci

At =12

√

√

√

√

√

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y0 z0 1y1 z1 1y2 z2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z0 x0 1z1 x1 1z2 x2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x0 y0 1x1 y1 1x2 y2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

.

Consecinta 7.1 Conditia necesara si suficienta ca trei puncte Mi(xi, yi, zi), i = 0, 1, 2,


sa fie coliniare este ca∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k 0x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, (7.4)

sau echivalentx1 − x0

x2 − x0=

y1 − y0

y2 − y0=

z1 − z0

z2 − z0.

/ Intr-adevar, punctele M0, M1, M2 sunt coliniare d.d. vectorii u1 si u2 sunt coliniari,ceea ce este echivalent cu u1 × u2 = 0, sau

r1 × r2 − r0 × r2 + r0 × r1 = 0,

care, cu (7.3), este echivalenta cu (7.4). .In particular, daca triunghiul este situat ın planul Oxy si Mi(xi, yi), i = 0, 1, 2, cum

zi = 0, deducem

At =12

mod

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x0 y0 1x1 y1 1x2 y2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Consecinta 7.2 Punctele M0, M1, M2 sunt coliniare d.d.∣

∣

∣

∣

∣

∣

x0 y0 1x1 y1 1x2 y2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

7.3.5 Volumul unui tetraedru

Fie Mi(xi, yi, zi), i = 0, 1, 2, 3, patru puncte ın spatiu date prin coordonatele lor ın reperulortonormat R = i, j,k si fie ri = −−→OMi, i = 0, 1, 2, 3. Notam uj = −−−−→M0Mj = rj − r0,j = 1, 2, 3 (Fig. 7.2, b).

Fie Vt volumul, At aria bazei si h ınaltimea tetraedrului cu varfurile ın puncteleM0, M1, M2, M3 si V, A, h marimile corespunzatoare ale paralelipipedului construit pevectorii u1, u2, u3 ca muchii. Atunci

Vt =13At h, At =

12A, V = Ah.

DeciVt =

16V =

16|(u1,u2,u3)|.

Dar (u1,u2,u3) = (r1, r2, r3)−(r0, r2, r3)+(r0, r1, r3)−(r0, r1, r2) si ri = xii+yij+zik,i = 0, 3, ıncat avem

Vt =16

mod

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


Consecinta 7.3 Conditia necesara si suficienta ca patru puncte Mi(xi, yi, zi), i = 0, 3,sa fie coplanare este ca

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (7.5)

/ Intr-adevar, punctele M0, M1, M2, M3 sunt coplanare d.d. vectorii u1, u2 si u3

sunt coplanari, ceea ce este echivalent cu (u1,u2,u3) = 0, de unde (7.5). .

7.4 Schimbarea reperelor carteziene

In unele probleme se cere ca reperul la care sunt raportate punctele spatiului sauplanului sa fie ınlocuit cu un alt reper cartezian. Se impune deci sa cercetam legaturadintre coordonatele unui punct ın reperul dat si coordonatele aceluiasi punct ıntr-un altreper a carui pozitie este cunoscuta.

Fie R = O,B si R′ = O′,B′ doua repere carteziene ale planului sau spatiului.Vom cunoaste pozitia reperului R′ ın raport cu reperul R daca se dau pozitia originii O′

a reperului R′ ın raport cu reperul R si schimbarea de baze de la B la B′:−−→OO′ = r0, e′ = eC, (7.6)

ın care r0 este vectorul de pozitie al originii O′ ın raport cu originea O, iar C este matriceade trecere de la baza B la baza B′.

Fie M un punct oarecare si r = −−→OM , r′ =−−−→O′M vectorii de pozitie ai punctului M

ın raport cu originile O si respectiv O′ ale celor doua repere. Atunci r = eX, r′ = e′X ′,r0 = eX0, iar din triunghiul OO′M avem r = r0 + r′. De aici, ınlocuind r, r′ si r0

si tinand seama de (7.6), obtinem legile de schimbare a coordonatelor carteziene la oschimbare de reper

X = X0 + CX ′, X ′ = C−1(X −X0). (7.7)

O schimbare de reper ın care se modifica numai originea,−−→OO′ = r0, e′ = e, se numeste

translatie a reperului de vector r0. In acest caz C = In si relatiile (7.7) devin

X = X0 + X ′, X ′ = X −X0.

O schimbare de reper ın care se modifica numai baza, adica numai directiile axelor,−−→OO′ = 0, e′ = eC, se numeste schimbare centro-afina de reper. In acest caz X0 = 0 sirelatiile (7.7) devin

X = CX ′, X ′ = C−1X.

O schimbare oarecare a reperului cartezian se obtine prin efectuarea succesiva a uneitranslatii si a unei schimbari centro-afine (ın orice ordine).


7.5 Schimbarea reperelor carteziene ortonormate

7.5.1 Schimbarea reperelor ortonormate ın plan

Fie R = O, i, j un reper ortonormat drept si R′ = O′, i′, j′ un al doilea reper ortonor-mat (drept sau stang). Trecerea de la reperul R la reperul R′ este data, dupa (7.6), detranslatia −−→

OO′ = r0 = x0i + y0j

si de schimbarea centro-afina

i′ = c11i + c21j, j′ = c12i + c22j, (7.8)

care, ın cazul reperelor ortonormate este numita centro-izometrie. Matricea C = ||cij || ∈M2(R) a schimbarii de baze ortonormate este o matrice ortogonala, deci tCC = I2,adica:

c211 + c2

21 = 1, c11c12 + c21c22 = 0, c212 + c2

22 = 1,

care arata ca elementele matricei C se pot exprima ın functie de un singur parametrureal.

Fie α = ( i, i′) ∈ [0, 2π) unghiul orientat dintre versorii i si i′ (Fig. 7.3, a).

-

6

-

6

O ix

y

(a)

j @@I

:CCCCCCCO

@@

@@

@@I

O′

M x′y′

i′j′

r0

rr′

-

6

O i

j

@@I

i′j′

(b)

α -

6

O i

j

@@R

i′

j′

(c)

α

Figura 7.3: Schimbarea reperelor carteziene ortonormate plane

Sa presupunem mai ıntai ca reperul R′ este drept (Fig. 7.3, b). Atunci ( i, j′) = α+ π2 ,

( j, i′) = α− π2 , ( j, j′) = α si din (7.8) gasim

c11 = i · i′ = cos α, c12 = i · j′ = − sin α,c21 = j · i′ = sin α, c22 = j · j′ = cos α.

Deci

C(α) =(

cos α − sin αsin α cosα

)

,

cu det C = +1, sii′ = i cos α + j sin α, j′ = −i sin α + j cos α. (7.9)


In acest caz, reperul R′ se obtine din reperul R printr-o translatie de vector r0 si o rotatiede unghi α.

Daca un punct M al planului are ın reperul R coordonatele (x, y), iar ın reperul R′coordonatele (x′, y′), atunci din relatiile (7.7), obtinem pentru schimbarea coordonatelorortogonale ın plan:

x = x0 + x′ cos α− y′ sinα, y = y0 + x′ sin α + y′ cosα.

Sa presupunem acum ca reperul R′ este stang (Fig. 7.3, c). Atunci ( i, j′) = −π2 + α,

( j, i′) = −π2 + α, ( j, j′) = π + α si din (7.8) gasim

c11 = i · i′ = cos α, c12 = i · j′ = sin α,c21 = j · i′ = sin α, c22 = j · j′ = − cos α.

Deci

C ′(α) =(

cos α sin αsin α − cosα

)

,

cu det C = −1, si

i′ = i cos α + j sin α, j′ = −(−i sin α + j cos α).

Sa observam ca, ın acest caz, pentru α = 0 obtinem centro-izometria i′ = i, j′ =−j, care consta ın a schimba sensul axei ordonatelor, adica ıntr-o simetrie fata de axaabsciselor. Cum ınsa,

C ′(α) = C(α) · C(0), ∀α ∈ [0, 2π),

rezulta ca trecerea de la reperul drept R la reperul stang R′ consta dintr-o translatie devector r0, o rotatie de unghi α, urmata de o simetrie fata de axa absciselor.

7.5.2 Schimbarea reperelor ortonormate ın spatiu

Fie R = O, i, j,k un reper cartezian ortonormat drept si R′ = O′, i′, j′,k′ un aldoilea reper ortonormat (drept sau stang). Trecerea de la reperul R la reperul R′ estedata, dupa (7.6), de translatia

−−→OO′ = r0 = x0i + y0j+z0k

si centro-izometria (Fig. 7.4):

i′ = c11i + c21j + c31k,j′ = c12i + c22j + c32k,k′ = c13i + c23j + c33k.

(7.10)

Matricea C = ||cij || ∈ M3(R) a schimbarii de baze ortonormate este o matriceortogonala, deci tCC = I, adica:

c211 + c2

21 + c231 = 1, c11c12 + c21c22 + c31c32 = 0,

c212 + c2

22 + c232 = 1, c11c13 + c21c23 + c31c33 = 0,

c213 + c2

23 + c233 = 1, c12c13 + c22c23 + c32c33 = 0.


-

6

-

6

O jy

z

k @@I

:CCCCCCCO

O′

My′

z′

j′k′

r0

rr′

AAUAAAAU

x′x

i

i′

@@

@@I

Figura 7.4: Schimbarea reperelor carteziene ortonormate ın spatiu

care arata ca elementele matricei C se pot exprima ın functie de trei parametri reali.Deoarece C−1 = tC, din (7.10) avem pentru trecerea inversa, de la B′ la B:

i = c11i′ + c12j′ + c13k′,j = c21i′ + c22j′ + c23k′,k = c31i′ + c32j′ + c33k′.

(7.11)

Daca axele Oz si Oz′ au aceeasi directie, deci k′ = ±k, din (7.10) si (7.11), deducem

c13 = c23 = c31 = c32 = 0, c33 = ±1.

In acest caz, centro-izometria ın spatiu se reduce la o centro-izometrie ın planul Oxy.Daca axele Oz si Oz′ au aceeasi directie, atunci k′ 6= ±k. Matricea C fiind ortogonala,

detC = ±1.

6

-

6

O jy

z

k

@@I

y′z′

j′k′

AAUAAAAU

x′

x

i i′

@@

@@I

-

n

N

k′ × n1

ϕ ψ

θ

Figura 7.5: Rotatia ın spatiu

Sa presupunem mai ıntai ca reperul R′ este drept, atunci det C = +1. In acest cazcentro-izometria se numeste rotatie ın spatiu. Vom arata ca orice rotatie ın spatiu sepoate exprima cu ajutorul a trei unghiuri convenabil alese.


Presupunem ca cele doua repere au aceeasi origine O, deci facem abstractie detranslatie (Fig. 7.5). Planele Oxy si Ox′y′ se intersecteaza dupa o dreapta ON nu-mita linia nodurilor.

Fie θ = ( k,k′) ∈ (0, π) unghiul neorientat dintre axele Oz si Oz′. Deoarece o dreaptaperpendiculara pe un plan este perpendiculara pe orice dreapta din acel plan, rezulta caprodusul vectorial k× k′ are directia dreptei ON . Fie n versorul liniei nodurilor alesastfel ıncat baza k,k′,n sa fie orientata pozitiv. Avem atunci

k× k′ = n sin θ. (7.12)

Fie ınca ϕ = ( i,n) ∈ [0, 2π) unghiul orientat pe care linia nodurilor ıl face cu axa Ox

(masurat ın planul Oxy) si ψ = (n, i′) ∈ [0, 2π) unghiul orientat pe care axa Ox′ ıl facecu linia nodurilor (masurat ın planul Ox′y′). Unghiurile ϕ, ψ, θ se numesc unghiurilelui Euler. Ele determina o rotatie ın spatiu. Sa analizam ın continuare modul ın careelementele matricei C se pot exprima ın functie de aceste trei unghiuri.

Deoarece n este un versor ın planul Oxy ın care O, i, j formeaza o baza ortonormata,putem scrie

n = i cos ϕ + j sin ϕ. (7.13)

Apoi

k× k′ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k0 0 1

c13 c23 c33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −c23i + c13j,

care ınlocuite ın (7.12) ne dau: c13 = sin ϕ sin θ, c23 = − cos ϕ sin θ, iar din k · k′ = cos θ,urmeaza c33 = cos θ, a.ı.

k′ = i sin ϕ sin θ − j cosϕ sin θ + k cos θ. (7.14)

Sa observam apoi ca O,n,k′ × n este un reper ortonormat drept ın planul Ox′y′.

Cum (n, i′) = ψ, legatura dintre reperele ortonormate drepte O,n,k′ × n si O, i′, j′este data de formule de tipul (7.9):

i′ = n cos ψ + (k′ × n) sin ψ, j′ = −n sin ψ + (k′ × n) cos ψ. (7.15)

Dar, din (7.13) si (7.14) avem

k′ × n = −i sin ϕ cos θ + j cosϕ cos θ + k sin θ. (7.16)

Cu n si k′ × n dati de (7.13) si (7.16), din (7.15) si (7.14) obtinem:

i′ = i(cos ϕ cosψ − sinϕ sin ψ cos θ) + j(sin ϕ cosψ + cos ϕ sin ψ cos θ) + k sin θ sin ψ,j′ = −i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ cos θ)− j(sin ϕ sin ψ − cosϕ cos ψ cos θ) + k sin θ cos ψ,k′ = i sin ϕ sin θ − j cosϕ sin θ + k cos θ.

In consecinta, matricea C are elementele

C =

cosϕ cosψ − sinϕ sin ψ cos θ − cosϕ sin ψ − sin ϕ cos ψ cos θ sin ϕ sin θsin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ cos θ − sinϕ sinψ + cos ϕ cosψ cos θ − cosϕ sin θ

sin θ sin ψ sin θ cos ψ cos θ

.


Deci, reperul ortonormat drept R′ se obtine din reperul ortonormat drept R printr-otranslatie de vector r0 si o rotatie ın spatiu de unghiuri ϕ, ψ, θ.

O rotatie ın spatiu de unghiuri ϕ, ψ, θ se poate obtine prin efectuarea succesiva atrei rotatii plane ın jurul a trei axe, dupa cum urmeaza: o rotatie de unghi ϕ ın jurulaxei Oz, o rotatie de unghi θ ın jurul axei liniei nodurilor, si o rotatie de unghi ψ ın jurulaxei Oz′.

Legatura ıntre coordonatele unui punct M ın cele doua repere este data de formula(7.7) ın care

X =

xyz

, X0 =

x0y0

z0

, X ′ =

x′

y′

z′

,

matricea C avand expresia de mai sus.Daca reperul R′ este stang, det C = −1. Prin schimbarea sensului unei axe se poate

obtine un reper drept. De exemplu, reperul R′ = O′, i′,−j′,k′ este ın acest caz unreper drept.

Deci, reperul ortonormat stang R′ se obtine din reperul ortonormat drept R printr-otranslatie de vector r0, o rotatie ın spatiu de unghiuri ϕ, ψ, θ, urmata de o simetrie fatade unul dintre planele de coordonate (de exemplu, O′x′z′).

7.6 Repere polare

7.6.1 Repere polare ın plan

Definitia 7.16 Numim reper polar ın plan figura formata dintr-un punct fix O, numitpol si o axa Ox, de versor i, numita axa polara, situate ın plan.

Fie M un punct oarecare al planului, diferit de polul O si fie (Fig. 7.6)

r = ||r|| = ||−−→OM || ∈ (0,∞), ϕ = (i, r) ∈ [0, 2π).

Aceste relatii stabilesc o corespondenta biunivoca ıntre multimea punctelor planului,diferite de O, si multimea perechilor ordonate de numere reale (r, ϕ). Numerele (r, ϕ),astfel definite, se numesc coordonate polare ale punctului M si scriem M(r, ϕ). Pentrupolul O, r = 0, iar unghiul ϕ este nedeterminat.

Sa presupunem ca planul este ın acelasi timp raportat si la un reper cartezian ortonor-mat drept R = O, i, j, cu originea ın polul O, i versorul axei polare si j astfel ales ıncatbaza i, j sa fie o baza ortonormata orientata pozitiv. Daca punctul M are ın acest repercoordonatele (x, y), legatura ıntre coordonatele sale polare si coordonatele carteziene estedata de

x = r cosϕ, y = r sin ϕ. (7.17)

Legatura inversa se obtine rezolvand sistemul (7.17) ın necunoscutele r si ϕ:

r =√

x2 + y2, tg ϕ =yx

.

Dintre cele doua solutii ale ecuatiei trigonometrice din intervalul [0, 2π) se alege aceeapentru care sin ϕ are acelasi semn cu y.


- -

3

O ix

M

r

ϕ

*

HHHHHH

(a) (b)

O

x

i

z

M

M ′

z′

r

ϕ

θ6

6

k

r′

(P )

Figura 7.6: Repere polare ın plan si ın spatiu

7.6.2 Repere polare ın spatiu

Definitia 7.17 Numim reper polar ın spatiu figura formata dintr-un plan (P ), numitplan baza, ın care s-a ales un reper polar (cu polul O si axa polara Ox, de versor i) si oaxa z′Oz, de versor k, perpendiculara pe planul (P ).

Fie M un punct oarecare al spatiului, nesituat pe axa z′Oz, M ′ proiectia sa ortogonalaın planul baza (P ) si r′ =

−−−→OM ′. Notam

r = ||r|| = ||−−→OM || ∈ (0,∞), ϕ = (i, r′) ∈ [0, 2π), θ = (k, r) ∈ (0, π).

Aceste relatii stabilesc o corespondenta biunivoca ıntre multimea punctelor spatiului,nesituate pe axa z′Oz, si multimea tripleteor ordonate de numere reale (r, ϕ, θ). Numerele(r, ϕ, θ), astfel definite, se numesc coordonate polare ın spatiu ale punctului M si scriemM(r, ϕ, θ).

Polul O este caracterizat prin r = 0, iar ϕ si θ sunt nedeterminate. Daca M 6= O,apartine axei z′Oz, ϕ este ınca nedeterminat, iar θ ∈ 0, π.

In locul unghiului θ se utilizeaza uneori complementul sau ψ = π2 − θ = (r′, r)

∈ (−π2 , π

2 ).Deoarece multimea punctelor din spatiu pentru care r = const formeaza o sfera,

coordonatele (r, ϕ, θ) se numesc si coordonate sferice sau geografice: ϕ - longitudine, ψ -latitudine, respectiv θ - colatitudine.

Sa presupunem ca spatiul este ın acelasi timp raportat si la un reper cartezian ortonor-mat drept R = O, i, j,k, cu originea ın polul O, i versorul axei polare, k versorul axeiz′Oz si j astfel ales ıncat baza i, j,k sa fie o baza ortonormata orientata pozitiv. Dacapunctul M are ın acest reper coordonatele (x, y, z), legatura ıntre coordonatele sale sfericesi coordonatele carteziene se obtine astfel: deoarece r′ = prP r, rezulta ca ||r′|| = r sin θ,apoi

x = i · r = i · r′ = ||r′|| cos ϕ, y = j · r = j · r′ = ||r′|| sin ϕ, z = k · r = r cos θ,

ıncatx = r cosϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ. (7.18)


Invers, din (7.18) obtinem pentru r, ϕ, θ:

r =√

x2 + y2 + z2, tg ϕ =yx

, cos θ =x

√

x2 + y2 + z2.

Pentru ϕ se alege determinarea din intervalul [0, 2π) a carei sinus are acelasi semn cu y,iar pentru θ determinarea din intervalul [0, π].

Pozitia unui punct M din spatiu, nesituat pe axa z′Oz, poate fi precizata ın raportcu reperul polar ın spatiu si prin

r′ = ||r′|| ∈ (0,∞), ϕ = (i, r′) ∈ [0, 2π), z = mrprk r ∈ (−∞,+∞).

Aceste relatii stabilesc o corespondenta biunivoca ıntre multimea punctelor spatiului,nesituat pe axa z′Oz, si multimea tripleteor ordonate de numere reale (r′, ϕ, z). Numerele(r′, ϕ, z), astfel definite, se numesc coordonate semipolare ın spatiu ale punctului M siscriem M(r′, ϕ, z).

Polul O este caracterizat prin r′ = 0, z = 0, iar ϕ este nedeterminat. Punctele axeiz′Oz sunt caracterizate prin r′ = 0 si ϕ nedeterminat. Pozitia unui punct de pe axa z′Ozeste precizata prin cota sa z.

Deoarece multimea punctelor din spatiu pentru care r′ = const formeaza un cilindru,coordonatele (r′, ϕ, z) se numesc si coordonate cilindrice.

Legatura dintre coordonatele cilindrice si coordonatele carteziene ale unui punct Mse obtine imediat daca tinem seama ca (r′, ϕ) sunt coordonatele polare ın planul (P ) alepunctului M ′. Avem deci

x = r′ cos ϕ, y = r′ sin ϕ, z = z

si inversr′ =

√

x2 + y2, tg ϕ =yx

, z = z.

7.7 Reprezentari analitice: curbe si suprafete

Dam ın continuare reprezentarile analitice ale curbelor plane, suprafetelor si curbelorın spatiu. Reprezentarea acestora prin ecuatii si studierea proprietatilor lor cu ajutorulacestor ecuatii folosind mijloacele algebrei liniare si calculului vectorial fiind obiectivulprincipal al geometriei analitice. Presupunem planul, respectiv spatiul euclidian, rapor-tate la repere carteziene ortonormate.7.7.1 Curbe plane

Fie ecuatiay = f(x), (7.19)

unde f este o functie continua si cu derivata continua pe un interval I ⊂ R. Multimeapunctelor M din plan ale caror coordonate (x, y) ıntr-un un reper cartezian ortonormatR verifica ecuatia (7.19) formeaza o curba plana C — graficul functiei f . Ecuatia (7.19)se numeste ecuatia carteziana explicita a curbei C.


In afara de reprezentarea carteziana explicita a curbelor plane, exista si alte repre-zentari. Ele tin de modul de generare a curbelor. Daca privim curba ca fiind descrisade un punct ın miscare, fiecarui moment t ∈ [a, b] ıi corespunde o pozitie a punctului Mpe curba C, deci fiecarei valori a parametrului t ıi corespunde o pereche de numere reale(x(t), y(t)), corespondenta care poate fi scrisa sub forma

x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], (7.20)

ın care functiile x si y sunt continue si cu derivate continue pe intervalul [a, b]. Ecuatiile(7.20) constituie o reprezentare parametrica a curbei plane C, iar t se numeste parametrulcurbei, care nu este obligatoriu sa fie timpul. Notand cu r(t) = x(t)i + y(t)j, ecuatiile(7.20) se pot scrie ınca sub forma vectoriala

r = r(t), t ∈ [a, b].

Reprezentarea (7.19) este un caz particular al reprezentarii (7.20). In adevar, eapoate fi scrisa sub forma x = t, y = f(t), cu t ∈ I.

In unele probleme o curba plana este privita ca un loc geometric. Ea este considerataca totalitatea punctelor M din plan care satisfac unei conditii date. Daca ın raport cuun reper cartezian plan R punctul M are coordonatele (x, y), conditia pe care o satisfacpunctele curbei se exprima analitic printr-o relatie de forma

F (x, y) = 0, (7.21)

ın care F este o functie continua si cu derivate partiale continue. Ecuatia (7.21) senumeste ecuatia carteziana implicita a curbei plane C.

Exemplul 7.1 a). Ecuatia y = ax + b este reprezentarea carteziana explicita a uneidrepte ın plan.

b). Ecuatiile x = x0 + `t, y = y0 + mt, t ∈ R, dau o reprezentare parametrica adreptei ın plan.

c). Ecuatia Ax + By + C = 0 este reprezentarea carteziana implicita a dreptei ınplan.

Definitia 7.18 O curba plana se numeste algebrica daca ıntr-un reper cartezian planpoate fi caracterizata analitic printr-o ecuatie implicita de forma:

F (x, y) =n

∑

k=0

Pk(x, y) = 0,

ın care Pk(x, y) sunt polinoame omogene de gradul k, k = 0, n, cu coeficienti reali

Pk(x, y) =∑

p+q=k

apqxpyq, k = 0, n.

Numarul n, gradul polinomului F (x, y), se numeste ordinul curbei.

Exemplul 7.2 Dreapta este o curba algebrica de ordinul ıntai.


O curba care nu este algebrica se numeste transcendenta.Caracterul algebric al unei curbe plane, precum si ordinul sau, nu depind de alegerea

reperului cartezian.O curba algebrica plana de ordinul n are cel mult n puncte de intersectie cu o dreapta

arbitrara din planul ei, care nu apartine curbei.Curbele plane pot fi reprezentate si fata de un reper polar plan. Daca (r, ϕ) sunt

coordonatele polare ale unui punct M al curbei, atunci r = f(ϕ) este ecuatia polaraexplicita, r = r(t), ϕ = ϕ(t) constituie o reprezentare polara parametrica, iar F (r, ϕ) = 0este ecuatia polara implicita a curbei.

7.7.2 Suprafete

Fie ecuatiaz = f(x, y), (7.22)

unde f este o functie continua si cu derivate partiale continue ıntr-un domeniu D ⊂ R2.Multimea punctelor M din spatiu ale caror coordonate (x, y, z) ıntr-un un reper cartezianortonormat R verifica ecuatia (7.22) formeaza o suprafata S. Ecuatia (7.22) se numesteecuatia carteziana explicita a suprafatei S.

O suprafata poate fi descrisa prin miscarea unei curbe care ın cursul miscarii se poatesi deforma. O curba fixa poate fi reprezentata dand x, y, z ca functii de un parametru pecare ıl vom nota cu u. Pentru a reprezenta curba ın miscare, functiile precedente trebuiesa depinda ınca de un parametru pe care ıl vom nota cu v. Prin urmare, o reprezentareparametrica a suprafetei are forma

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ ∆ ⊂ R2, (7.23)

ın care functiile x, y si z sunt continue si cu derivate partiale continue pe ∆. Notand cu

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,

ecuatiile (7.23) se pot scrie ınca sub forma vectoriala

r = r(u, v), (u, v) ∈ ∆ ⊂ R2.

Reprezentarea (7.22) este un caz particular al reprezentarii (7.23). In adevar, eapoate fi scrisa sub forma x = u, y = v, z = f(u, v).

Si o suprafata poate fi privita ca un loc geometric. Ea este considerata ca totalitateapunctelor M din spatiu care satisfac unei conditii date. Daca ın raport cu un repercartezian R punctul M are coordonatele (x, y, z), conditia pe care o satisfac punctelesuprafetei se exprima analitic printr-o relatie de forma

F (x, y, z) = 0, (7.24)

ın care F este o functie continua si cu derivate partiale continue. Ecuatia (7.24) senumeste ecuatia carteziana implicita a suprafetei S.

Exemplul 7.3 Asa cum vom vedea, ecuatia Ax + By + Cz + D = 0 este reprezentareacarteziana implicita a unui plan.


Definitia 7.19 O suprafata se numeste algebrica daca ıntr-un reper cartezian poate ficaracterizata analitic printr-o ecuatie implicita de forma:

F (x, y, z) =n

∑

k=0

Pk(x, y, z) = 0,

ın care Pk(x, y, z) sunt polinoame omogene de gradul k, k = 0, n, cu coeficienti reali

Pk(x, y, z) =∑

p+q+r=k

apqrxpyqzr, k = 0, n.

Numarul n, gradul polinomului F (x, y, z), se numeste ordinul suprafetei.

Exemplul 7.4 Planul este o suprafata algebrica de ordinul ıntai.

Caracterul algebric al unei suprafete, precum si ordinul sau, nu depind de alegereareperului cartezian.

O suprafata algebrica de ordinul n are cel mult n puncte de intersectie cu o dreaptaarbitrara care nu apartine suprafatei.

O suprafata poate fi reprezentata analitic si raportand spatiul la un reper polar.

7.7.3 Curbe ın spatiu

O curba C ın spatiu poate fi privita ca intersectia a doua suprafete, deci formata dinmultimea tuturor punctelor M din spatiu ale caror coordonate (x, y, z) satisfac douaecuatii de forma

F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. (7.25)

ın care F si G sunt functii continue si cu derivate partiale continue. Ecuatiile (7.25) senumesc ecuatiile carteziane implicite ale cubei C. Daca sistemul (7.25) poate fi rezolvatın privinta necunoscutelor y si z, solutia sa este de forma

y = f(x), z = g(x), x ∈ I ⊂ R. (7.26)

Ecuatiile (7.26) sunt numite ecuatiile carteziane explicite ale cubei C.Ca si ın plan, o curba ın spatiu poate fi considerata ca traiectoria unui punct M ın

miscare. Fiecarei valori a unui parametru t (de exemplu timpul) ıi corespunde o pozitiea punctului M pe curba, deci

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b], (7.27)

ın care functiile x, y si z sunt continue si cu derivate continue pe intervalul [a, b], constituieo reprezentare parametrica a unei curbe ın spatiu. Notand cu r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k,ecuatiile (7.27) se pot scrie ınca sub forma vectoriala

r = r(t), t ∈ [a, b].

Reprezentarea (7.26) este un caz particular al reprezentarii (7.27). In adevar, eapoate fi scrisa sub forma x = t, y = f(t), z = g(t), cu t ∈ I.

O curba ın spatiu poate fi reprezentata analitic si raportand spatiul la un reper polar.

Capitolul 8

DREAPTA SI PLANUL

In acest capitol vom studia curbele si suprafetele de ordinul I: dreapta si planul. Vomda reprezentari analitice ale dreptei ın plan, ale planului si ale dreptei ın spatiu si vomanaliza echivalenta acestor reprezentari. Vom studia probleme de distanta, unghi, pozitiirelative, fascicule de drepte ın plan si de plane. Vom cerceta suprafetele generate de odreapta variabila: cilindri, conuri, conoizi cu plan director.

8.1 Dreapta ın plan

8.1.1 Dreapta determinata de un punct si subspatiul ei director

O dreapta ın plan este un subspatiu afin de dimensiune unu al planului afin, determinatde un punct M0 si un subspatiu director V1. Deoarece o baza ın V1 este formata din oricevector nenul v ∈ V1, rezulta ca o dreapta D ın plan este determinata de un punct al eiM0 si un vector nenul v, coliniar cu dreapta, numit vector director al dreptei. Un punctM din plan apartine dreptei D d.d. −−−→M0M ∈ V1, deci d.d. exista t ∈ R a.ı.

−−−→M0M = tv. (8.1)

1

3

O

M0v

M

r0r

(D)

AA

AA

AAK

M0

N

(D)

(a) (b)

Figura 8.1: Dreapta ın plan

Fie −−−→OM0 = r0 vectorul de pozitie al punctului M0 ın raport cu punctul fix O din

111


planul dreptei, −−→OM = r vectorul de pozitie al punctului M ∈ D. (Fig. 8.1, a). Cum−−−→M0M = −−→OM −−−−→OM0 = r− r0, din (8.1) obtinem:

r = r0 + tv, t ∈ R. (8.2)

Ecuatia (8.2), verificata de vectorii de pozitie ai punctelor M ale dreptei D si numai deacestea, se numeste ecuatia vectoriala a dreptei D, iar t se numeste parametru.

Fie R = O, i, j un reper cartezian ortonormat al planului si (x0, y0) coordonatelepunctului M0, (x, y) coordonatele punctului M , (`,m) coordonatele vectorului v ın bazai, j. Atunci r0 = x0i + y0j, r = xi + yj, v = ì + mj. Inlocuind ın (8.2), obtinem

x = x0 + `t, y = y0 + mt, t ∈ R, (8.3)

care constituie o reprezentare parametrica a dreptei D, avand pe t ca parametru. Coor-donatele (`,m) ale vectorului v se numesc parametri directori ai dreptei D.

Eliminand parametrul t ıntre cele doua ecuatii (8.3), gasim

x− x0

`=

y − y0

m, (8.4)

numita si ecuatia canonica a dreptei care trece prin punctul M0(x0, y0) de vector directorv(`,m). Ea poate fi scrisa si sub forma

∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0

` m

∣

∣

∣

∣

= 0.

Deoarece v 6= 0, parametrii directori ` si m nu sunt simultan nuli. Daca ` = 0, ecuatia(8.4) este echivalenta cu x = x0, iar daca m = 0, cu y = y0.

Daca dreapta D nu este paralela cu axa Oy, deci ` 6= 0, putem lua ` = 1 si ecuatia(8.4) se scrie y − y0 = m(x − x0). Numarul m se numeste panta dreptei. Notand cun = y0 −mx0, ecuatia precedenta devine y = mx + n, care reprezinta ecuatia cartezianaexplicita a drepei D. Numarul n se numeste ordonata la origine.

Teorema 8.1 Dreapta este o curba algebrica de ordinul ıntai.

/ Intr-adevar, din (8.4), notand: A = m, B = −`, C = −(mx0− y0), obtinem pentrudreapta D reprezentarea carteziana implicita

Ax + By + C = 0, (8.5)

cu A2 + B2 = `2 + m2 > 0. .Ecuatia (8.5) este numita si ecuatia generala a dreptei.Este adevarata si reciproca Teoremei 8.1.

Teorema 8.2 Orice curba algebrica plana de ordinul ıntai este o dreapta.

/ Intr-adevar, orice curba algebrica plana de ordinul ıntai admite ın reperul R o re-prezentare carteziana implicita de forma (8.5), cu A2 + B2 > 0. Deoarece ecuatia (8.5)admite o infinitate de solutii, fie (x0, y0) una dintre acestea. Deci

Ax0 + By0 + C = 0. (8.6)


Scazand (8.6) din (8.5), obtinem

A(x− x0) + B(y − y0) = 0. (8.7)

Fie N = Ai + Bj si M0(x0, y0). Ecuatia (8.7) se mai scrie

N · (r− r0) = 0,

sau N·−−−→M0M = 0, de unde deducem ca −−−→M0M ⊥ N. Deci multimea punctelor M(x, y)din plan ale caror cooadonate satisfac ecuatia (8.5) formeaza o dreapta care trece prinpunctul M0 si este perpendiculara pe vectorul nenul N. .

Din cele de mai sus rezulta ca vectorul director v poate fi ınlocuit prin vectorul N,normal dreptei (Fig. 8.1, b). Ecuatia (8.5) poate fi scrisa si sub forma vectoriala

N · r + C = 0.

8.1.2 Ecuatia normala a dreptei

O dreapta poate fi determinata si prin distanta p de la originea O a reperului la dreaptasi printr-un vector unitar n perpendicular pe dreapta (Fig. 8.2).

- -6

6

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@

:

O i

j x

y

O′

M

n

r

Figura 8.2: Dreapta sub forma normala

Fie O′ proiectia ortogonala a punctului O pe dreapta D. Alegem versorul n a.ı.−−→OO′

si n sa aiba acelasi sens. Atunci:−−→OO′ = pn. Pentru orice punct M al dreptei, vectorii−−−→

O′M si n sunt ortogonali, ıncat n·−−−→O′M = 0. Fie −−→OM = r. Atunci

−−−→O′M = r− pn si cum

n2 = 1, obtinemn · r− p = 0. (8.8)

care reprezinta ecuatia normala vectoriala a dreptei D.Fie α = (i,n) ∈ [0, 2π), unghiul orientat pe care versorul n al normalei la dreapta

D ıl face cu versorul i al reperului ortonormat R. Atunci n = i cos α + j sin α si ecuatia(8.8) devine

x cos α + y sin α− p = 0, (8.9)


care reprezinta ecuatia normala adreptei D.Ecuatia (8.9) este ınca o ecuatie carteziana implicita a dreptei D, ca si ecuatia (8.5).

Cele doua reprezentari sunt echivalente, adica reprezinta analitic aceeasi dreapta d.d. auaceleasi solutii, ceea ce se ıntampla d.d.

Acos α

=B

sinα=

C−p

.

Prin urmare, putem trece de la ecuatia generala la ecuatia normala luand

cos α =A

±√

A2 + B2, sin α =

B±√

A2 + B2, p =

C∓√

A2 + B2,

alegand semnele a.ı. p > 0.

8.1.3 Dreapta determinata de doua puncte

O dreapta poate fi determinata si prin doua puncte M0 si M1 distincte ale ei. In acestcaz, putem lua ca vector director al dreptei vectorul v = −−−−→M0M1.

Fie −−−→OM0 = r0,−−−→OM1 = r1. Rezulta ca v = r1 − r0 si din (8.2) obtinem ecuatia

vectoriala a dreptei prin doua puncte:

r = r0 + t(r1 − r0), t ∈ R. (8.10)

Daca t ∈ [0, 1], ecutia (8.10) reprezinta ecuatia segmentului de dreapta [M0M1].In reperul R = O, i, j, ın care M0(x0, y0), M1(x1, y1), din (8.10) obtinem reprezen-

tarea parametrica

x = x0 + t(x1 − x0), y = y0 + t(y1 − y0), t ∈ R.

Eliminand parametrul t ıntre cele doua ecuatii, obtinem

x−x0x1−x0

= y−y0y1−y0

, sau∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0

x1 − x0 y1 − y0

∣

∣

∣

∣

= 0,

sau ınca∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y 1x0 y0 1x1 y1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (8.11)

Daca dreapta D intersecteaza axele reperului R, fara a trece prin originea O, ea poatefi determinata de punctele ei de intersectie cu axele de coordonate A(a, 0), B(0, b). Inacest caz, din (8.11) se obtine

xa

+yb− 1 = 0. (8.12)

Numerele nenule a si b se numesc taieturile dreptei D pe axe, iar ecuatia (8.12), ecuatiadreptei prin taieturi.


8.1.4 Probleme asupra dreptei ın plan

Distanta de la un punct la o dreapta

Definitia 8.1 Numim distanta de la punctul M∗ la dreapta D minimul distantelord(M∗,M) cand M parcurge dreapta D, adica

d(M∗, D) = minM∈D

d(M∗,M).

Acest minim se atinge pentru punctul M ′, proiectia ortogonala a punctului M∗ pedreapta D. Deci

d(M∗, D) = d(M∗,M ′) = ||−−−−→M ′M∗||. (8.13)

Teorema 8.3 Fie dreapta D data prin ecuatia generala Ax + By + C = 0. Atunci,distanta de la punctul M∗(x∗, y∗) la dreapta D este data de formula

d(M∗, D) =|Ax∗ + By∗ + C|√

A2 + B2.

/ Fie N(A,B) un vector normal dreptei D. Vectorii−−−−→M ′M∗ si N fiind coliniari, tinand

seama de (8.13), avem−−−−→M ′M∗ = ±d(M∗, D)

N||N||

,

sau, ınmultind scalar cu N,

N · (r∗ − r′) = ±d(M∗, D) ||N||.

Dar M ′ ∈ D si deci N · r′ + C = 0, ıncat N · r∗ + C = ±d(M∗, D) ||N||, de unde

d(M∗, D) =|N · r∗ + C|

||N||=|Ax∗ + By∗ + C|√

A2 + B2. .

Unghiul a doua drepte ın plan

Fie dreptele D si D′ determinate de punctele M0 si M ′0 si vectorii directori v si v′.

Definitia 8.2 Numim unghi dintre dreptele D si D′ unghiul ϕ dintre vectorii lor direc-tori v si v′.

Fie dreptele D si D′ date prin ecuatiile canonice

(D)x− x0

`=

y − y0

m, (D′)

x− x′0`′

=y − y′0

m′ ,

atunci unghiul ϕ dintre ele este solutia ecuatiei

cosϕ =v · v′

||v|| ||v′||=

``′ + mm′√

`2 + m2√

`′2 + m′2.

Consecinta 8.1 Dreptele D si D′ sunt perpendiculare d.d. v · v′ = 0, sau ``′+mm′ = 0.


Daca dreptele D si D′ sunt date prin ecuatiile generale

(D) Ax + By + C = 0, (D′) A′x + B′y + C ′ = 0,

atunci, N(A,B), N′(A′, B′) fiind vectori normali dreptelor D si respectiv D′, unghiulϕ = (v,v′) = (N,N′) sau π − (N,N′). Deci

cos ϕ = ± cos(N,N′) = ± N ·N′

||N|| ||N′||= ± AA′ + BB′

√A2 + B2

√A′2 + B′2

.

Consecinta 8.2 Dreptele D si D′ sunt perpendiculare d.d. N ·N′ = 0, sau echivalentAA′ + BB′ = 0.

Pozitiile relative a doua drepte

Geometric, doua drepte ın plan pot fi: secante, paralele sau confundate.

Teorema 8.4 Fie dreptele D si D′, date prin ecuatiile generale

(D) Ax + By + C = 0, (D′) A′x + B′y + C ′ = 0 (8.14)

si fie

r = rg(

A BA′ B′

)

, r′ =(

A B CA′ B′ C ′

)

.

Dreptele D si D′ sunta) secante d.d. r = 2,b) paralele d.d. r = 1, r′ = 2,c) confundate d.d. r = 1, r′ = 1.

/ Coordonatele unui punct comun celor doua drepte constituie o solutie a sistemului(8.14).

Sistemul (8.14) are solutie unica, adica dreptele sunt secante, d.d. r = 2, este imposi-bil, adica dreptele sunt paralele, d.d. r = 1, r′ = 2 si este compatibil simplu nedeterminat,adica dreptele sunt confundate, d.d. r = 1, r′ = 1. .

Teorema 8.5 Dreptele D si D′, date prin ecuatiile

(D) F (r) = N · r + C = 0, (D′) r = r0 + tv, t ∈ R, (8.15)

sunt:a) secante d.d. N · v 6= 0,b) paralele d.d. N · v = 0 si F (r0) 6= 0,c) confundate d.d. N · v = 0 si F (r0) = 0.

/ Valorile lui t corespunzatoare punctelor comune celor doua drepte sunt solutiileecuatiei obtinute prin eliminarea lui r ıntre cele doua ecuatii (8.15):

(N · v)t + F (r0) = 0. (8.16)

Ecuatia (8.16) are solutie unica, adica dreptele sunt secante, d.d. N · v 6= 0. In acestcaz, vectorul de pozitie al punctului de intersectie este r = r0 − F (r0)

N·v v. Ecuatia (8.16)este imposibila, adica dreptele sunt secante, d.d. N · v = 0 si F (r0) 6= 0 si are o infinitatede solutii, adica dreptele sunt confundate, d.d. N · v = 0 si F (r0) = 0. .


Fascicule de drepte ın plan

Definitia 8.3 Numim fascicul de drepte ın plan multimea tuturor dreptelor planului caretrec printr-un punct fix M0 al planului. Punctul M0 se numeste centrul fasciculului.

Fie(D) Ax + By + C = 0, (D′) A′x + B′y + C ′ = 0,

doua drepte concurente ın M0. Fasciculul cu centrul ın M0 este caracterizat analitic prinecuatia

α(Ax + By + C) + α′(A′x + B′y + C ′) = 0, α, α′ ∈ R.

Dreptele D si D′ se numesc drepte baza ale fasciculului. Coordonatele centrului fascicu-lului se obtin rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptelor baza.

Pentru α′ 6= 0, notand λ = −α/α′, ecuatia fasciculului se poate scrie si sub forma

A′x + B′y + C ′ = λ(Ax + By + C), λ ∈ R.

In unele probleme intervin si familii de drepte paralele cu o dreapta data. Dacadreapta D are ecuatia

(D) Ax + By + C = 0,

atunci, familia de drepte paralele cu dreapta D este caracterizata analitic prin ecuatia

Ax + By + C = λ, λ ∈ R.

8.2 Planul

8.2.1 Planul determinat de un punct si subspatiul sau director

Un plan este un subspatiu punctual afin de dimensiune doi, determinat de un punct M0si un subspatiu director V2. Deoarece o baza ın V2 este formata din orice doi vectoriv1,v2 ∈ V2, necoliniari, rezulta ca planul P este determinat de punctul sau M0 si doivectori v1 si v2, necoliniari, paraleli cu planul (Fig. 8.3, a).

Un punct M din spatiu apartine planului d.d. −−−→M0M ∈ V2, deci d.d. exista t1, t2 ∈ R,a.ı. −−−→M0M = t1v1 + t2v2. (8.17)

Fie −−−→OM0 = r0 vectorul de pozitie al punctului M0 ın raport cu un punct fix O si−−→OM = r vectorul de pozitie al punctului M . Atunci, din (8.17), obtinem

r = r0 + t1v1 + t2v2, t1, t2 ∈ R, (8.18)

care reprezinta ecuatia vectoriala a planului P . Numerele t1 si t2 se numesc parametri.Fie ın reperul R, M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), v1(`1,m1, n1), v2(`2,m2, n2), adica r0 =

x0i + y0j + z0k, r = xi + yj + zk, v1 = `1i + m1j + n1k, v2 = `2i + m2j + n2k. Ecuatia(8.18) este atunci echivalenta cu ecuatiile

x = x0 + `1t1 + `2t2, y = y0 + m1t1 + m2t2, z = z0 + n1t1 + n2t2, t1, t2 ∈ R2,


1

-

O

M0

M

rr0

v2

v1

- -

6

6

3

HHHHHHHHH

HHHHHHHHH

@@

@R

Oi

x

j y

k

z

O′

M

n

r

(a) (b)

Figura 8.3: Planul

care constituie o reprezentare parametrica a planului P , avand pe t1 si t2 ca parametri.Conditia (8.17) care exprima coplanarietatea vectorilor −−−→M0M , v1 si v2 se poate ex-

prima si sub forma (−−−→M0M,v1,v2) = 0, sau

(r− r0,v1,v2) = 0, (8.19)

care reprezinta o alta forma a ecuatiei vectoriale a planului P . In reperul R, ecuatia(8.19) se scrie

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0 z − z0

`1 m1 n1

`2 m2 n2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Tinand seama de definitia produsului mixt, ecuatia (8.19) se poate pune sub forma

N · (r− r0) = 0, (8.20)

unde am notat cu N = v1×v2, care este un vector nenul (vectorii v1 si v2 fiind necoliniari)normal planului P , ale carui coordonate ın reperul R sunt

A =∣

∣

∣

∣

m1 n1

m2 n2

∣

∣

∣

∣

, B =∣

∣

∣

∣

n1 `1n2 `2

∣

∣

∣

∣

, C =∣

∣

∣

∣

`1 m1

`2 m2

∣

∣

∣

∣

.

Notand cu D = −N · r0, ecuatia (8.20) se mai scrie N · r + D = 0, sau

Ax + By + Cz + D = 0, (8.21)

care reprezinta ecuatia generala a planului P .

Teorema 8.6 Planul este o suprafata algebrica de ordinul ıntai.

/ Intr-adevar, din rationamentul precedent, rezulta ca planul P admite reprezentareacarteziana implicita (8.21), cu A2 + B2 + C2 > 0, deci o ecuatie algebrica de ordinulıntai. .

Este adevarata si reciproca teoremei precedente.


Teorema 8.7 Orice suprafata algebrica de ordinul ıntai este un plan.

/ Intr-adevar, orice suprafata algebrica de ordinul ıntai este caracterizata printr-oecuatie de forma (8.21), cu A2 + B2 + C2 > 0. Deoarece ecuatia (8.21) are o infinitatedubla de solutii, fie (x0, y0, z0) una dintre acestea. Deci

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (8.22)

Scazand (8.22) din (8.21), obtinem

A(x− x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. (8.23)

Luand N(A, B,C), M0(x0, y0, z0), ecuatia (8.23) ia forma (8.20), sau N·−−−→M0M = 0.Fie V2 complementul ortogonal al subspatiului generat de vectorul nenul N. Conditia−−−→M0M ⊥ N exprima faptul ca −−−→M0M ∈ V2, deci multimea punctelor M(x, y, z) ale carorcoordonate satisfac ecuatia (8.21) formeaza un plan. .

Din cele de mai sus rezulta ca planul P poate fi determinat si de un punct M0 al sausi un vector nenul N normal planului. Ecuatia acestui plan este (8.23).

8.2.2 Ecuatia normala a planului

Planul poate fi determinat si prin distanta p de la originea reperului la planul P si unvector unitar n perpendicular pe plan (Fig. 8.3, b).

Fie O′ proiectia ortogonala a punctului O pe planul P . Alegem versorul n astfel ıncat−−→OO′ si n sa aiba acelasi sens. Atunci

−−→OO′ = pn. Daca M este un punct oarecare al

planului P , vectorii−−−→O′M si n sunt ortogonali, deci n·

−−−→O′M = 0. Fie −−→OM = r, atunci−−−→

O′M = r − pn. Cum n2 = 1, obtinem n · r − p = 0, care reprezinta ecuatia normalavectoriala a planului P .

Fie α = (i,n), β = (j,n), γ = (k,n) unghiurile orientate pe care vectorul n le facecu versorii reperului ortonormat R. Atunci n = i cos α + j cos β + k cos γ si din n2 = 1,avem

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. (8.24)

Ecuatia normala a dreptei devine, ın reperul R:

x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0, (8.25)

care reprezinta ecuatia normala carteziana a planului P .Trecerea de la ecuatia generala (8.21) a planului P la ecuatia sa normala (8.25) se

face observand ca ecuatiile (8.21) si (8.25) reprezinta acelasi plan, adica cele doua ecuatiiau aceleasi solutii, daca au coeficientii proportionali:

Acos α

=B

cos β=

Ccos γ

=D−p

,

de unde deducem, tinand seama de (8.24):

cos α =A

±√

A2 + B2 + C2, cos β =

B±√

A2 + B2 + C2,

cos γ =C

±√

A2 + B2 + C2, p =

D∓√

A2 + B2 + C2,

alegand astfel semnele ıncat p > 0.


8.2.3 Planul determinat de trei puncte

Un plan poate fi determinat si prin trei puncte M0, M1, M2 necoliniare ale sale. In acestcaz, putem lua ca baza ın subspatiul director al planului vectorii necoliniari v1 = −−−−→M0M1,v2 = −−−−→M0M2.

Fie −−−→OM0 = r0,−−−→OM1 = r1,

−−−→OM2 = r2; atunci: v1 = r1− r0, v2 = r2− r0 si din (8.18)obtinem ecuatia vectoriala a planului prin trei puncte

r = r0 + t1(r1 − r0) + t2(r2 − r0), t1, t2 ∈ R2

sau, ın reperul R, ın care M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M(x, y, z):

x = x0 + t1(x1 − x0) + t2(x2 − x1),y = y0 + t1(y1 − y0) + t2(y2 − y1), t1, t2 ∈ R2,

z = z0 + t1(z1 − z0) + t2(z2 − z1).

Conditia (8.19), ın acest caz, devine (r− r0, r1 − r0, r2 − r0) = 0 sau, ın reperul R,∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0,

care se mai scrie∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z 1x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, (8.26)

care reprezinta ecuatia carteziana a planului prin trei puncte.Daca planul P intersecteaza axele reperului fara a trece prin originea sa, el poate fi

determinat prin punctele sale de intersectie cu axele de coordonate: A(a, 0, 0), B(0, b, 0),C(0, 0, c). In acest caz, din (8.26), se obtine

xa

+yb

+zc− 1 = 0. (8.27)

Numerele a, b, c se numesc taieturile planului P pe axe, iar ecuatie (8.27), ecuatia planuluiprin taieturi.

8.2.4 Probleme asupra planului

Distanta de la un punct la un plan

Definitia 8.4 Numim distanta de la punctul M∗ la planul P minimul distantelor dintrepunctele M∗ si M , cand M parcurge planul P , adica

d(M∗, P ) = minM∈P

d(M∗, M).

Acest minim se atinge pentru punctul M ′, proiectia ortogonala a punctului M∗ ınplanul P . Deci

d(M∗, P ) = d(M∗,M ′) = ||−−−−→M ′M∗||. (8.28)


Teorema 8.8 Fie planul P dat prin ecuatia generala

(D) Ax + By + Cz + D = 0,

atunci, distanta de la punctul M∗(x∗, y∗, z∗) la planul P este data de formula

d(M∗, P ) =|Ax∗ + By∗ + Cz∗ + D|√

A2 + B2 + C2.

/ Fie N(A,B, C) un vector normal planului P . Vectorii−−−−→M ′M∗ si N fiind coliniari,

tinand seama de (8.28), avem

−−−−→M ′M∗ = ±d(M∗, P )

N||N||

,

sau, ınmultind scalar cu N, N · (r∗− r′) = ±d(M∗, P ) ||N||. Dar M ′ ∈ P si deci N · r′+D = 0, ıncat N · r∗ + D = ±d(M∗, P ) ||N||, de unde

d(M∗, P ) =|N · r∗ + D|

||N||=|Ax∗ + By∗ + Cz∗ + D|√

A2 + B2 + C2. .

Unghiul dintre doua plane

Masura unghiului diedru dintre doua plane P si P ′ este egala cu masura unghiului dintrenormalele N si N′ la cele doua plane.

Fie planele P si P ′ date prin ecuatiile lor generale

(P ) Ax + By + Cz + D = 0, (P ′) A′x + B′y + C ′z + D′ = 0,

atunci, unghiul ϕ ∈ [0, π] dintre ele este solutia ecuatiei

cos ϕ =N ·N′

||N|| ||N′||=

AA′ + BB′ + CC ′√A2 + B2 + C2

√A′2 + B′2 + C ′2

.

Consecinta 8.3 Planele P si P ′ sunt perpendiculare d.d. AA′ + BB′ + CC ′ = 0.

8.3 Dreapta ın spatiu

8.3.1 Dreapta determinata de un punct si subspatiul ei director

O dreapta ın spatiu este un subspatiu afin de dimensiune unu al spatiului afin, determinatde un punct M0 si un subspatiu director V1. Deoarece o baza ın V1 este formata din oricevector nenul v ∈ V1, rezulta ca o dreapta D ın spatiu este determinata de un punct al eiM0 si un vector nenul v, coliniar cu dreapta, numit vector director al dreptei. Un punctM din spatiu apartine dreptei D d.d. −−−→M0M ∈ V1, deci d.d. exista t ∈ R a.ı.

−−−→M0M = tv. (8.29)


Fie −−−→OM0 = r0 vectorul de pozitie al punctului M0 ın raport cu punctul fix O dinspatiu, −−→OM = r vectorul de pozitie al punctului M ∈ D. Atunci, din (8.29), avem

r = r0 + tv, t ∈ R, (8.30)

Ecuatia (8.30), verificata de vectorii de pozitie ai tuturor punctelor M ale dreptei Dse numeste ecuatia vectoriala a dreptei D, iar t se numeste parametru.

FieR = O, i, j,k un reper cartezian ortonormat ın spatiu si (x0, y0, z0) coordonatelepunctului M0, (x, y, z) coordonatele punctului M , (`,m, n) coordonatele vectorului v ınbaza i, j,k. Atunci

r0 = x0i + y0j + z0k, r = xi + yj + zk, v = ì + mj + nk.

Inlocuind ın (8.30), obtinem

x = x0 + `t, x = y0 + mt, z = z0 + nt, t ∈ R,

care constituie o reprezentare parametrica a dreptei D, avand pe t ca parametru. Coor-donatele (`,m, n) ale vectorului v se numesc parametri directori ai dreptei D.

Conditia (8.29) care exprima coliniaritatea vectorilor −−−→M0M si v se poate scrie si subforma −−−→M0M × v = 0, sau

(r− r0)× v = 0,

care reprezinta o alta forma a ecuatiei vectoriale a dreptei D, echivalenta, ın reperul R,cu ecuatiile

x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

n, (8.31)

numite si ecuatiile canonice a dreptei care trece prin punctul M0(x0, y0, z0) avand dreptvector director v(`,m, n).

Deoarece v 6= 0, numerele `, m, n nu sunt simultan nule. Daca unul sau doua dintrenumerele `, m, n, ca numitori ai fractiilor din ecuatiile (8.31) sunt nule, vom conveni saconsideram nuli si numitorii corespunzatori.

Exemplul 8.1 O dreapta perpendiculara pe axa Oz are ecuatiile

x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

0,

cu `2 + m2 > 0, care sunt echivalente cu:

x− x0

`=

y − y0

m, z = z0.

Exemplul 8.2 O dreapta paralela cu axa Oz are ecuatiile

x− x0

0=

y − y0

0=

z − z0

n,

cu n 6= 0, care sunt echivalente cu

x = x0, y = y0.


Daca dreapta D nu este perpendiculara pe axa Ox, deci ` 6= 0, putem lua ` = 1. Inacest caz, ecuatiile (8.31) se mai scriu

y − y0 = m(x− x0), z − z0 = n(x− x0),

sau, notand cu p = y0 −mx0, q = z0 − nx0,

y = mx + p, z = nx + q,

care constituie ecuatiile carteziene explicite ale dreptei D.

8.3.2 Dreapta ca intersectie a doua plane

O dreapta ın spatiu se poate obtine si ca intersectia a doua plane neparalele. Fie

(P ) Ax + By + Cz + D = 0, (P ′) A′x + B′y + C ′z + D′ = 0

doua plane neparalele. Atunci vectorii N(A,B, C) si N′(A′, B′, C ′) sunt necoliniari, deciN×N′ 6= 0, sau

rg(


)

= 2.

Un punct M(x, y, z) apartine dreptei de intersectie a planelor P si P ′ d.d. coordonatelesale constituie o solutie a sistemului compatibil simplu nedeterminat format din ecuatiilecelor doua drepte

Ax + By + Cz + D = 0, A′x + B′y + C ′z + D′ = 0. (8.32)

Ecuatiile (8.32) se numesc ecuatiile generale ale dreptei sau ecuatiile carteziene im-plicite.

Exemplul 8.3 Ecuatiile carteziene implicite ale axelor reperului sunt:- ecuatiile axei Ox: y = 0, z = 0;- ecuatiile axei Oy: z = 0, x = 0;- ecuatiile axei Oz: x = 0, y = 0.

Exemplul 8.4 Ecuatiile carteziene implicite ale unei drepte din planul Oxy sunt

Ax + By + C = 0, z = 0.

8.3.3 Dreapta determinata de doua puncte

O dreapta ın spatiu poate fi determinata si prin doua puncte M0 si M1 ale ei. In acestcaz, putem lua drept vector director al dreptei vectorul v = −−−−→M0M1.

Fie −−−→OM0 = r0,−−−→OM1 = r1. Rezulta ca v = r1 − r0 si din (8.30) obtinem ecuatia

vectoriala a dreptei prin doua puncte:

r = r0 + t(r1 − r0), t ∈ R. (8.33)

Daca t ∈ [0, 1], ecutia (8.33) reprezinta ecuatia segmentului de dreapta [M0M1].


In reperul R = O, i, j,k, ın care M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1), din (8.33) obtinemreprezentarea parametrica

x = x0 + t(x1 − x0), y = y0 + t(y1 − y0), z = z0 + t(z1 − z0), t ∈ R.

Eliminand parametrul t ıntre cele doua ecuatii, obtinem

x− x0

x1 − x0=

y − y0

y1 − y0=

z − z0

z1 − z0.

8.3.4 Probleme asupra dreptei ın spatiu

Distanta de la un punct la o dreapta

Definitia 8.5 Numim distanta de la punctul M∗ la dreapta D minimul distantelord(M∗,M) cand M parcurge dreapta D, adica

d(M∗, D) = minM∈D

d(M∗,M).

Acest minim se atinge pentru punctul M ′, proiectia ortogonala a punctului M∗ pedreapta D (Fig. 8.4). Deci

d(M∗, D) = d(M∗,M ′) = ||−−−−→M ′M∗||. (8.34)

-

M0

M∗

M ′

v (D)

Figura 8.4: Distanta de la un punct la o dreapta

Teorema 8.9 Fie dreapta D data prin ecuatiile canonice

x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

n.

Atunci, distanta de la punctul M∗(x∗, y∗, z∗) la dreapta D este data de formula

d(M∗, D) =

√

∣

∣

∣

∣

y∗ − y0 z∗ − z0

m n

∣

∣

∣

∣

2

+∣

∣

∣

∣

z∗ − z0 x∗ − x0

n `

∣

∣

∣

∣

2

+∣

∣

∣

∣

x∗ − x0 y∗ − y0

` m

∣

∣

∣

∣

2

√`2 + m2 + n2

.

/ Fie M ′ proiectia punctului M∗ pe dreapta D. Evaluand aria paralelogramuluiconstruit pe vectorii

−−−−→M0M∗ = r∗ − r0 si v ın doua moduri, avem

||v|| ||−−−−→M ′M∗|| = ||−−−−→M0M∗ × v||,


de unde

d(M∗, D) =||(r∗ − r0)× v||

||v||.

Dar

(r∗ − r0)× v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kx∗ − x0 y∗ − y0 z∗ − z0

` m n

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, v = ì + mj + nk,

care ınlocuite ın expresia precedenta conduc la formula din enuntul teoremei. .

Unghiul dintre doua drepte ın spatiu

Fie dreptele D si D′ determinate de punctele M0 si M ′0 si vectorii directori v si v′.

Definitia 8.6 Numim unghi dintre dreptele D si D′ unghiul ϕ = (v,v′), dintre vectoriilor directori.

Fie dreptele D si D′ date prin ecuatiile canonice

(D)x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

n, (D′)

x− x′0`′

=y − y′0

m′ =z − z′0

n′,

atunci unghiul ϕ dintre ele este solutia ecuatiei

cos ϕ =v · v′

||v|| ||v′||=

``′ + mm′ + nn′√`2 + m2 + n2

√`′2 + m′2 + n′2

.

Consecinta 8.4 Dreptele D si D′ sunt perpendiculare d.d. v · v′ = 0, sau echivalent``′ + mm′ + nn′ = 0.

Pozitiile relative a doua drepte ın spatiu

Geometric, doua drepte ın spatiu pot fi coplanare sau necoplanare. Doua drepte coplanarepot fi: secante, paralele sau confundate.

Teorema 8.10 Dreptele D si D′, date prin ecuatiile

(D) (r− r0)× v = 0, (D′) (r− r′0)× v′ = 0, (8.35)

sunt coplanare d.d.(r′0 − r0,v,v′) = 0. (8.36)

/ Sa presupunem ca dreptele D si D′ sunt coplanare. Exista doua posibilitati:1) dreptele D si D′ sunt secante;2) dreptele D si D′ sunt paralele sau confundate.In primul caz v × v′ 6= 0 si cum

−−−−→M0M ′

0 = r′0 − r0 este coplanar cu v si v′, rezulta(8.36). In cel de-al doilea caz v × v′ = 0 si deci are loc (8.36).

Reciproc, daca are loc (8.36), vectorii r′0 − r0, v,v′ sunt coplanari. Fie P planul cecontine punctele M0 si M ′

0 si este paralel cu vectorii v si v′. Dreptele D si D′ sunt atuncicontinute ın planul P . .


Consecinta 8.5 Conditia necesara si suficienta ca dreptele D si D′, date prin ecuatiile(8.35), sa fie necoplanare este ca

(r′0 − r0,v,v′) 6= 0.

Dreptele coplanare D si D′, date prin ecuatiile (8.35), sunt:a) secante d.d. v × v′ 6= 0;b) paralele d.d. v × v′ = 0 si (r′0 − r0)× v 6= 0;c) confundate d.d. v × v′ = 0 si (r′0 − r0)× v = 0.Planul determinat de doua drepte secante poate fi considerat ca determinat de un

punct al lor, de exemplu M0, si paralel cu vectorii necoliniari v si v′. Deci ecuatia sa vafi

(r− r0,v,v′) = 0.

Planul determinat de doua drepte paralele poate fi considerat ca determinat de unpunct al lor, de exemplu M0, si paralel cu vectorii necoliniari

−−−−→M0M ′

0 si v. Deci ecuatiasa va fi

(r− r0, r′0 − r0,v) = 0.

8.4 Probleme asupra dreptei si planului

8.4.1 Pozitiile relative a doua plane

Geometric, doua plane pot fi: secante, paralele sau confundate.

Teorema 8.11 Fie planele P si P ′, date prin ecuatiile:

(P ) Ax + By + Cz + D = 0, (P ′) A′x + B′y + C ′z + D′ = 0 (8.37)

si fie

r = rg(


)

, r′ = rg(

A B C DA′ B′ C ′ D′

)

.

Planele P si P ′ sunt:a) secante d.d. r = 2;b) paralele d.d. r = 1 si r′ = 2;c) confundate d.d. r = r′ = 1.

/ Coordonatele unui punct comun planelor P si P ′ constituie o solutie a sistemuluiformat din ecuatiile celor doua plane (ecuatiile (8.37)). Sistemul este compatibil simplunedeterminat, adica planele sunt secante, d.d. r = 2, este incompatibil, adica planelesunt paralele, d.d. r = 1 si r′ = 2 si, este compatibil dublu nedeterminat, adica planelesunt confundate, d.d. r = r′ = 1. .

Daca planele sunt secante, intersectia lor este o dreapta. O reprezentare parametri-ca a dreptei de intersectie se obtine ca solutie generala a sistemului compatibil simplunedeterminat (8.37).


8.4.2 Fascicule de plane

Definitia 8.7 Numim fascicul de plane multimea tuturor planelor care trec printr-odreapta fixa D0. Dreapta D0 se numeste axa fasciculului.

Fie(P ) Ax + By + Cz + D = 0, (P ′) A′x + B′y + C ′z + D′ = 0,

doua plane a caror intersectie este dreapta D0. Fasciculul ce are dreapta D0 ca axa estecaracterizat analitic prin ecuatia

α(Ax + By + Cz + D) + α′(A′x + B′y + C ′z + D′) = 0, α, α′ ∈ R.

Planele P si P ′ se numesc plane baza ale fasciculului. Ecuatiile axei fasciculului se obtinrezolvand sistemul format din ecuatiile planelor baza.

Pentru α′ 6= 0, notand λ = −α/α′, ecuatia fasciculului se poate scrie si sub forma

A′x + B′y + C ′z + D′ = λ(Ax + By + Cz + D), λ ∈ R.

In unele probleme intervin si familii de plane paralele cu un plan dat. Daca planul Pare ecuatia

(P ) Ax + By + Cz + D = 0,

atunci, familia de plane paralele cu planul P este caracterizata analitic prin ecuatia

Ax + By + Cz + D = λ, λ ∈ R.

8.4.3 Pozitia relativa a unei drepte fata de un plan

Geometric, o dreapta poate fi secanta unui plan, paralela cu planul sau continuta ın plan.

Teorema 8.12 Fie dreapta D si planul P , date prin ecuatiile

(D) r = r0 + tv, t ∈ R, (P ) F (r) = N · r + D = 0. (8.38)

Dreapta D este:a) secanta planului P d.d. N · v 6= 0;b) paralela cu planul P d.d. N · v = 0 si F (r0) 6= 0;c) continuta ın planul P d.d. N · v = 0 si F (r0) = 0.

/ Valorile lui t corespunzatoare punctelor comune dreptei D si planului P sunt solutiileecuatiei obtinute prin eliminarea lui r ıntre cele doua ecuatii (8.38):

(N · v) t + F (r0) = 0. (8.39)

Ecuatia (8.39) are solutie unica, adica dreapta intersecteaza planul ıntr-un punct, d.d.N · v 6= 0. In acest caz, vectorul de pozitie al punctului de intersectie este

r = r0 −F (r0)N · v

v.

Ecuatia (8.39) este imposibila, adica dreapta este paralela cu planul, d.d. N · v = 0 siF (r0) 6= 0 si are o infinitate de solutii, adica dreapta este situata ın plan, d.d. N · v = 0si F (r0) = 0.

Dreapta D este perpendiculara pe planul P daca v ‖ N, adica v ×N = 0.


8.4.4 Proiectia unei drepte pe un plan

Sa presupunem ca dreapta D nu este perpendiculara pe planul P si fie M ′0 proiectia

ortogonala a punctului M0 si respectiv, si v′ proiectia ortogonala a vectorului v, peplanul P (Fig. 8.5).

Dreapta D′ determinata de punctul M ′0 si vectorul director v′ este proiectia ortogonala

a dreptei D pe planul P . Ecuatia sa se scrie

(D′) r = r′0 + tv′, t ∈ R.

:

6

M0

M ′0

v

v′A

(D)

(D′)

N

Figura 8.5: Proiectia unei drepte pe un plan

Punctul M ′0(r

′0) se poate obtine ca intersectia perpendicularei ın M0 pe planul P , de

ecuatier = r0 + τN, τ ∈ R,

cu planul P . Se obtine

r′0 = r0 −N · r0 + D||N||2

N.

Daca notam n = N/||N||, vectorul director al dreptei D′ este dat de

v′ = v − (mrprnv)n = v − (v · n)n.

Dreapta D′, proiectia ortogonala a dreptei D pe planul P , se poate obtine si caintersectia planului P cu planul Q ce contine dreapta D si este perpendicular pe planulP , numit plan proiectant al dreptei D:

(Q) (r− r0,v,N) = 0.

Deci, ecuatiile dreptei D′ vor fi

(D′) N · r + D = 0, (r− r0,v,N) = 0.

Prin unghi θ dintre dreapta D si planul P se ıntelege unghiul dintre dreapta D siproiectia sa ortogonala D′, ın planul P . Deci θ = (v,v′) = π

2 − (v,N), a.ı.

sin θ = cos(π2− θ) =

N · v||N|| ||v||

=A` + Bm + Cn√

A2 + B2 + C2√

`2 + m2 + n2.


8.4.5 Perpendiculara comuna a doua drepte necoplanare

Definitia 8.8 Numim perpendiculara comuna a doua drepte necoplanare D si D′ dreap-ta ∆ perpendiculara pe dreptele D si D′ si care intersecteaza ambele drepte.

Teorema 8.13 Fie dreptele D si D′ date prin ecuatiile

(D) (r− r0)× v = 0, (D′) (r− r′0)× v′ = 0,

cu (r′0− r0,v,v′) 6= 0. Atunci, perpendiculara comuna ∆ este caracterizata analitic prinecuatiile:

(∆) (r− r0,v,v × v′) = 0, (r− r′0,v′,v × v′) = 0. (8.40)

/ Dreapta ∆ (Fig. 8.6, a) are ca vector director vectorul v × v′ si poate fi considerataca intersectia planului P , care trece prin punctul M0(r0) si este paralel cu vectorii v siv × v′, cu planul P ′, care trece prin punctul M ′

0(r′0) si este paralel cu vectorii v′ si v × v′,

ale caror ecuatii sunt (8.40). .

6

:

-M0 v

M ′0

v′

(D)

(D′)

v × v′

(P )(P ′)

-

6

1

CCCCCCCCCCb

bb

A

A′

M0 v(D) M

M ′′

M ′0

v′M ′

v × v′

(D′)(∆)

(Q)

(a) (b)

Figura 8.6: Perpendiculara comuna

Definitia 8.9 Se numeste distanta dintre dreptele necoplanare D si D′ minimul distan-telor d(M, M ′) cand M ∈ D si M ′ ∈ D′, adica

d(D, D′) = minM∈D, M ′∈D′

d(M, M ′).

Fie Q planul ce contine dreapta D si este paralel cu dreapta D′ si M ′′ proiectiapunctului M ′ pe planul Q. Din triunghiul MM ′M ′′ (Fig. 8.6, b), dreptunghic ın M ′′,rezulta

d(D, D′) = d(M ′,M ′′) = d(M ′0, Q).

Ecuatia planului Q fiind

(v × v′) · (r− r0) = 0, sau (r− r0,v,v′) = 0,


rezulta ca

d(D,D′) =|(r′0 − r0,v,v′)|

||v × v′||.

8.5 Cilindri, conuri, conoizi

8.5.1 Cilindri

Definitia 8.10 Numim cilindru suprafata generata de o dreapta variabila G, paralela cuo directie fixa, care se sprijina pe o curba fixa C.

Dreapta G se numeste generatoare a cilindrului, iar curba C curba directoare.

Teorema 8.14 Fie curba directoare C data prin ecuatia

(C) r = r(t), t ∈ I ⊂ R. (8.41)

Cilindrul cu generatoarele de directie v si curba directoare C este caracterizat analiticprin ecuatia

r = r(t) + τv, (t, τ) ∈ I ×R. (8.42)

/ O generatoare a suprafetei (Fig. 8.7, a) este o dreapta prin punctul M(r(t)) ∈ Cde directie v, deci are ecuatia

(Gt) r = r(t) + τv, τ ∈ R.

Cand t parcurge I, deci M parcurge curba C, dreptele Gt genereaza suprafata cilindricaa carei ecuatie este deci (8.42). .

Intr-un reper cartezian ortonormat R, ecuatia (8.41) a curbei directoare este echiva-lenta cu reprezentarea parametrica

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I, (8.43)

iar ecuatia (8.42) a cilindrului este echivalenta cu reprezentarea parametrica

x = x(t) + `τ, y = y(t) + mτ, z = z(t) + nτ, t ∈ I ×R.

Prin eliminarea parametrilor t si τ ıntre aceste trei ecuatii se obtine ecuatia cartezianaimplicita a suprafetei cilindrice.

Teorema 8.15 Cilindrul cu generatoarele paralele cu dreapta

(D)

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,A2x + B2y + C2z + D2 = 0

si curba directoare C este caracterizat analitic printr-o ecuatie de forma

ϕ(A1x + B1y + C1z + D1, A2x + B2y + C2z + D2) = 0. (8.44)


v

(C)M(r(t))

(C)M(r(t))

TT

TT

TT

TT

TT

TT V (r0)

(a) (b)

Figura 8.7: Generarea suprafetelor cilindrice si conice

/ Multimea tuturor dreptelor din spatiu paralele cu dreapta D este caracterizataanalitic prin ecuatiile

(Dλ1λ2) A1x + B1y + C1z + D1 = λ1, A2x + B2y + C2z + D2 = λ2. (8.45)

Din multimea dreptelor Dλ1λ2 , generatoare ale suprafetei cilindrice sunt doar cele care ın-talnesc curba directoare C. Dreapta Dλ1λ2 ıntalneste curba ın punctul M(x(t), y(t), z(t))d.d.

A1x(t) + B1y(t) + C1z(t) + D1 = λ1,A2x(t) + B2y(t) + C2z(t) + D2 = λ2,

sau, eliminand parametrul t, d.d.

ϕ(λ1, λ2) = 0. (8.46)

Prin urmare, generatoarele cilindrului sunt caracterizate prin ecuatiile

(G)

A1x + B1y + C1z + D1 = λ1,A2x + B2y + C2z + D2 = λ2,ϕ(λ1, λ2) = 0.

Eliminand parametrii λ1 si λ2, obtinem ecuatia suprafetei cilindrice sub forma (8.44).Daca curba directoare este data prin ecuatiile

(C) F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, (8.47)

dreapta Dλ1λ2 ıntalneste curba directoare C d.d. sistemul format din ecuatiile (8.45) si(8.47) este compatibil.

Conditia de compatibilitate se obtine eliminand pe x, y, z ıntre cele patru ecuatii alesistemului. Se obtine ıntre λ1 si λ2 o relatie de forma (8.46).

Orice ecuatie de forma (8.44) cu

rg(

A1 B1 C1

A2 B2 C2

)

= 2,

reprezinta ecuatia unei suprafete cilindrice cu generatoarele paralele cu dreapta D.In particular, orice ecuatie de forma ϕ(x, y) = 0, reprezinta ecuatia unui cilindru cu

generatoarele paralele cu axa Oz.


8.5.2 Conuri

Definitia 8.11 Numim con suprafata generata de o dreapta variabila G, care treceprintr-un punct fix V si se sprijina pe o curba fixa C.

Drapta G se numeste generatoare a conului, punctul fix V varful conului, iar curbaC curba directoare.


(C) r = r(t), t ∈ I ⊂ R.

Conul cu varful ın punctul V (r0) si curba directoare C este caracterizat analitic prinecuatia

r = r0 + τ(r(t)− r0), (t, τ) ∈ I ×R. (8.48)

/ O generatoare a suprafetei (Fig. 8.7, b) este o dreapta prin punctele V (r0) siM(r(t)) ∈ C, deci va avea ecuatia

(Gt) r = r0 + τ(r(t)− r0), τ ∈ R.

Cand t parcurge I, deci M parcurge C, dreptele Gt genereaza suprafata conica a careiecuatie este deci (8.48). .

Intr-un reper cartezian ortonormat R ın care curba directoare are ecuatiile parame-trice (8.43), ecuatia (8.48) a conului cu varful ın punctul V (x0, y0, z0) este echivalenta cuecuatiile parametrice

x = x0 + τ(x(t)− x0), y = y0 + τ(y(t)− y0), z = z0 + τ(z(t)− z0), (t, τ) ∈ I ×R.

Prin eliminarea parametrilor t si τ ıntre aceste trei ecuatii se obtine ecuatia cartezianaimplicita a suprafetei conice.

Teorema 8.17 Conul cu varful ın punctul de intersectie a planelor

Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2, 3 (8.49)


ϕ(

A1x + B1y + C1z + D1

A3x + B3y + C3z + D3,A2x + B2y + C2z + D2

A3x + B3y + C3z + D3

)

= 0. (8.50)

/ Multimea tuturor dreptelor din spatiu care trec prin punctul de intersectie a planelorde ecuatii (8.49) este caracterizata analitic prin ecuatiile

(Dλ1λ2)

A1x + B1y + C1z + D1 = λ1(A3x + B3y + C3z + D3),A2x + B2y + C2z + D2 = λ2(A3x + B3y + C3z + D3).

(8.51)

Din multimea dreptelor Dλ1λ2 , generatoare ale suprafetei conice sunt doar cele careıntalnesc curba directoare C. Dreapta Dλ1λ2 ıntalneste curba directoare C ın punctulM(x(t), y(t), z(t)) d.d.

A1x(t) + B1y(t) + C1z(t) + D1 = λ1(A3x(t) + B3y(t) + C3z(t) + D3),A2x(t) + B2y(t) + C2z(t) + D2 = λ2(A3x(t) + B3y(t) + C3z(t) + D3),



ϕ(λ1, λ2) = 0. (8.52)

Prin urmare, generatoarele conului sunt caracterizate analitic prin ecuatiile

A1x(t) + B1y(t) + C1z(t) + D1 = λ1(A3x(t) + B3y(t) + C3z(t) + D3),A2x(t) + B2y(t) + C2z(t) + D2 = λ2(A3x(t) + B3y(t) + C3z(t) + D3),ϕ(λ1, λ2) = 0.

Eliminand parametrii λ1 si λ2, obtinem ecuatia suprafetei conice sub forma (8.50).Daca curba directoare este data prin ecuatiile (8.47), dreapta Dλ1λ2 ıntalneste curba

C d.d. sistemul format din ecuatiile (8.47) si (8.51) este compatibil.Conditia de compatibilitate se obtine eliminand pe x, y, z ıntre cele patru ecuatii ale

sistemului. Se obtine ıntre λ1 si λ2 o relatie de forma (8.52).Orice ecuatie de forma (8.50) cu conditia

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0,

reprezinta ecuatia unui con cu varful ın punctul de intersectie a planelor de ecuatii (8.49).In particular, orice ecuatie de forma

ϕ(

x− x0

z − z0,y − y0

z − z0

)

= 0

reprezinta ecuatia unui con cu varful ın punctul V (x0, y0, z0).

8.5.3 Conoizi cu plan director

Definitia 8.12 Numim conoid cu plan director suprafata generata de o dreapta variabilaG, paralela cu un plan fix P , care se sprijina pe o dreapta fixa D si pe o curba fixa C.

Dreapta G se numeste generatoare a conoidului, planul P plan director, dreapta Ddreapta directoare, curba C curba directoare.


(C) r = r(t), t ∈ I ⊂ R.

Conoidul cu plan director P , de normala N, dreapta directoare D de ecuatie

(D) r = r0 + λv, λ ∈ R

si curba directoare C este caracterizat analitic prin ecuatia

r = r(t) + τ(

N · (r(t)− r0)N · v

v + r0 − r(t))

, (t, τ) ∈ I ×R.


6

6

(P ) M0

v(C)

N

Mλ M(r(t))(D)

Figura 8.8: Generarea suprafetei conoide

/ O generatoare a suprafetei (Fig. 8.8) este o dreapta care trece printr-un punctM(r0 + λv) ∈ D si un punct M(r(t)) ∈ C, deci va avea o ecuatie de forma:

r = r(t) + τ(r0 + λv − r(t)), (8.53)

care trebuie sa fie paralela cu planul P , deci

N · (r0 + λv − r(t)) = 0,

de unde, presupunand ca dreapta D nu este paralela cu planul P , rezulta

λ(t) =N · (r(t)− r0)

N · v,

ıncat o generatoare a conoidului are ecuatia

(Gt) r = r(t) + τ(

N · (r(t)− r0)N · v

v + r0 − r(t))

, τ ∈ R.

Cand t parcurge I, deci M parcurge curba C, dreptele Gt genereaza suprafata conoidaa carei ecuatie este deci (8.53). .

Intr-un reper cartezian ortonormat R ın care curba directoare are ecuatiile para-metrice (8.43), N(A,B,C), M0(x0, y0, z0), v(`,m, n),ecuatia (8.53) a conoidului esteechivalenta cu ecuatiile parametrice

x = x(t) + τ (`λ(t) + x0 − x(t)) ,y = y(t) + τ (mλ(t) + y0 − y(t)) ,z = z(t) + τ (nλ(t) + z0 − z(t)) ,

(t, τ) ∈ I ×R,

unde

λ(t) =A (x(t)− x0) + B (y(t)− y0) + C (z(t)− z0)

A` + Bm + Cn.


Teorema 8.19 Conoidul cu plan director P de ecuatie

(P ) Ax + By + Cz + D = 0, (8.54)

dreapta directoare D de ecuatii

(D) A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (8.55)


ϕ(

Ax + By + Cz + D,A1x + B1y + C1z + D1

A2x + B2y + C2z + D2

)

= 0. (8.56)

/ Multimea dreptelor din spatiu paralele cu planul P care se sprijina pe dreapta Deste caracterizata analitic prin ecuatiile

(Dλ1λ2)

Ax + By + Cz + D = λ1,A1x + B1y + C1z + D1 = λ2(A2x + B2y + C2z + D2).

Din multimea dreptelor Dλ1λ2 , generatoare ale suprafetei conoide sunt doar cele careıntalnesc curba directoare C. Dreapta Dλ1λ2 ıntalneste curba directoare C ın punctulM(x(t), y(t), z(t)) d.d.

Ax(t) + By(t) + Cz(t) + D = λ1,A1x(t) + B1y(t) + C1z(t) + D1 = λ2(A2x(t) + B2y(t) + C2z(t) + D2),


ϕ(λ1, λ2) = 0. (8.57)

Prin urmare, generatoarele conoidului sunt caracterizate prin ecuatiile

Ax + By + Cz + D = λ1,A1x + B1y + C1z + D1 = λ2(A2x + B2y + C2z + D2),ϕ(λ1, λ2) = 0.

Eliminand parametrii λ1 si λ2, obtinem ecuatia suprafetei conoida sub forma (8.56). .Daca curba directoare este data prin ecuatiile implicite (8.47), dreapta Dλ1λ2 ıntal-

neste curba C d.d. sistemul format din ecuatiile (8.47) si ecuatiile dreptelor Dλ1λ2 estecompatibil.

Conditia de compatibilitate se obtine eliminand pe x, y, z ıntre cele patru ecuatii alesistemului. Se obtine ıntre λ1 si λ2 o relatie de forma (8.57).

Orice ecuatie de forma (8.56), cu conditiile

A2 + B2 + C2 > 0, rg(

A1 B1 C1

A2 B2 C2

)

= 2,

reprezinta ecuatia unui conoid cu plan director de ecuatie (8.54) si dreapta directoare(8.55).

In particular, orice ecuatie de forma ϕ(

x, yz

)

= 0, reprezinta ecuatia unui conoidavand drept plan director planul Oxy si drept dreapta directoare axa Oz.

Capitolul 9

CERCUL SI SFERA

9.1 Cercul ın plan

9.1.1 Definitia cercului. Caracterizari analitice

Definitia 9.1 Numim cerc locul geometric al punctelor din plan ale caror distante la unpunct fix C sunt egale cu un numar real pozitiv R.

Punctul C se numeste centrul cercului, iar numarul R raza cercului.

Fie O un punct fix din plan si a = −−→OC vectorul de pozitie a punctului C ın raport cupunctul O.

Teorema 9.1 Cercul de centru C(a) si raza R este caracterizat analitic prin ecuatia

(r− a)2 −R2 = 0. (9.1)

/ Puncul M(r) din plan apartine cercului d.d. d(C, M) = R, adica d.d. ||−−→CM || = Rsau ||r− a|| = R, de unde rezulta (9.1).

Invers, orice punct M din plan al carui vector de pozitie r verifica (9.1) are propri-etatea ca d(C, M) = R, deci apartine cercului.

Daca raportam planul la un reper ortonormat R = O, i, j ın care punctul C arecoordonatele (a, b), deci a = ai + bj, ecuatia (9.1) se poate scrie sub forma echivalenta

(x− a)2 + (y − b)2 −R2 = 0, (9.2)

care reprezinta ecuatia carteziana a cercului cu centrul C(a, b) si raza R.Ecuatiile (9.1) , respectiv (9.2), se pot scrie si astfel

r2 − 2a · r + a2 −R2 = 0, (9.3)

x2 + y2 − 2(ax + by) + a2 + b2 −R2 = 0, . (9.4)

Ecuatia (9.4) reprezinta ecuatia generala a cercului ın plan sau ecuatia carteziana im-plicita a cercului.

Din forma (9.4) a ecuatiei cercului, deducem urmatoarea teorema.

136


Teorema 9.2 Cercul este o curba algebrica plana de ordinul al doilea.

Teorema 9.3 Ecuatiax2 + y2 + Ax + By + C = 0, (9.5)

reprezinta:a). un cerc real d.d. A2 + B2 − 4C > 0;b). un cerc imaginar d.d. A2 + B2 − 4C < 0;c). o pereche de drepte secante imaginare d.d. A2 + B2 − 4C = 0.

/ Intr-adevar, pentru ca ecuatia (9.5) sa reprezinte un cerc real este necesar si suficientca date fiind numerele A, B, C sa putem determina coordonatele centrului si raza cercului.Comparand ecuatiile (9.4) si (9.5), deducem ca

a = −A2

, b = −B2

, R2 =A2

4+

B2

4− C,

de unde rezulta ca raza R este reala d.d. A2+B2−4C > 0, imaginaa d.d. A2+B2−4C < 0si nula d.d. A2 + B2 − 4C = 0. In ultimul caz ecuatia (9.5) devine

(

x +A2

)2

+(

y +B2

)2

= 0.

Cercul se reduce la un punct, centrul sau.Ecuatia cercului are o forma mai simpla daca raportam planul la un reper ortonormat

cu originea ın centrul cercului.Intr-adevar, efectuand translatia R → R′ = C, i, j, cu −−→OC = a, ın urma careia

r = a + r′, ecuatia cercului devine

r′2 −R2 = 0, sau x′2 + y′2 −R2 = 0,

numita si ecuatia redusa a cercului.Notand cu t = (i, r′) ∈ [0, 2π), avem

r′ = R(i cos t + j sin t),

saur = (a + R cos t)i + (b + R sin t)j,

de unde reprezentarea parametrica a cercului:

x = a + R cos t, y = b + R sin t, t ∈ [0, 2π).

9.1.2 Cercul prin trei puncte necoliniare

Teorema 9.4 Fie Mi(xi, yi), i = 1, 2, 3, trei puncte necoplanare din plan. Cercul prinpunctele M1, M2, M3 este caracterizat analitic prin ecuatia

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 x y 1x2

1 + y21 x1 y1 1

x22 + y2

2 x2 y2 1x2

3 + y23 x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (9.6)


/ Sa observam mai ıntai ca punctele Mi, date prin coordonatele lor ıntr-un repercartezian, sunt necoliniare d.d.

∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0.

Daca cercul de ecuatie generala

x2 + y2 + Ax + By + C = 0, (9.7)

trece prin punctele Mi(xi, yi), i = 1, 2, 3, coordonatele lor verifica ecuatia (9.7), adica

x2i + y2

i + Axi + Byi + C = 0, i = 1, 2, 3. (9.8)

Dar (9.8) este un sistem algebric liniar de trei ecuatii cu trei neconoscute: A, B, C,al carui determinant este ∆ 6= 0. Deci sistemul (9.8) determina ın mod unic coeficientiiecuatiei (9.7).

Cum coordonatele (x, y) ale oricarui punct M al cercului satisfac ecuatia (9.7), rezultaca (9.7) ımpreuna cu (9.8) formeaza un sistem de patru ecuatii cu trei necunoscute,compatibil determinat. Dupa teorema lui Rouche, acest sistem este compatibil d.d.determinantul caracteristic corespunzator ecuatiei secundare (9.7) este nul, adica d.d.are loc (9.6). .

9.1.3 Intersectia unui cerc cu o dreapta

Fie cercul Γ dat prin ecuatia

(Γ) F (x, y) = (x− a)2 + (y − b)2 −R2 = 0 (9.9)

si dreapta D de ecuatii

(D) x = x0 + `t, y = y0 + mt, t ∈ R, (9.10)

sau, sub forma vectoriala

(Γ) F (r) = (r− a)2 −R2 = 0, (D) r = r0 + tv, t ∈ R.

Daca punctul M(r) ∈ D ∩ Γ, atunci M(r) ∈ D, deci ∃t ∈ R a.ı. r = r0 + tv siM(r) ∈ Γ, deci F (r) = 0.

In consecinta, pentru a gasi punctele de intersectie ale dreptei cu cercul este necesarsa rezolvam sistemul de ecuatii format din ecuatiile (9.9) si (9.10). Eliminand pe r ıntrecele doua ecuatii, obtinem F (r0 + tv) = 0, sau

v2t2 + 2[v · (r0 − a)]t + F (r0) = 0. (9.11)

Cum v 6= 0, ecuatia (9.11) este de gradul doi ın t. Deci dreapta D intersecteazacercul Γ d.d. aceasta are radacini reale. Numarul radacinilor reale ale ecuatiei (9.11)depinde de semnul discriminantului acesteia

∆ = [v · (r0−a)]2 − v2F (r0).


Discriminantul ecuatiei (9.11) se mai poate scrie

∆ = v2

R2 − v2(r0 − a)2 − [v·(r0 − a)]2

v2

,

sau, folosind identitatea lui Lagrange,

∆ = v2[

R2 − ||(a− r0)× v||2

||v||2

]

,

dar, cum

d(C,D) =||(a− r0)× v||

||v||,

urmeaza:∆ = v2(R2 − d2).

Prin urmare, ecuatia (9.11) are:a). doua radacini reale si distincte d.d. ∆ > 0, adica d < R. In acest caz, dreapta D

este secanta cercului Γ. Daca t1 si t2 sunt radacinile ecuatiei (9.11), vectorii de pozitieai punctelor de intersectie a dreptei cu cercul, M1 si M2, sunt dati de

r1 = r0 + t1v, r2 = r0 + t2v;

b). radacini confundate d.d. ∆ = 0, adica d = R. Dreapta D este tangenta cerculuiΓ. Punctul de contact al dreptei cu cercul are vectorul de pozitie

rc = r0 −v · (r0 − a)

v2 v;

c). radacini complexe d.d. ∆ < 0, adica d > R. Dreapta D nu intersecteaza cercul Γ.

9.1.4 Tangente la cerc

Dupa cum rezulta din discutia precedenta, dreapta D este tangenta cercului Γ d.d. ∆ = 0,adica

[v · (r0−a)]2 − v2F (r0) = 0. (9.12)

Sa presupunem mai ıntai ca punctul M0(r0) al dreptei D apartine cercului Γ, decica F (r0) = 0. Atunci, dreapta D este tangenta cercului Γ d.d. vectorul sau director vsatisface conditia

v · (r0−a) = 0. (9.13)

Teorema 9.5 Tangenta ın punctul M0(r0) al cercului Γ este caracterizata analitic prinecuatia

(r− a) · (r0 − a)−R2 = 0, (9.14)

cu F (r0) = 0.


/ Intr-adevar, dreapta D prin M0 ∈ Γ este tangenta la Γ d.d. v satisface (9.13).Eliminand pe v ıntre ecuatia dreptei si conditia (9.13), obtinem

(r− r0) · (r0 − a) = 0, sau [(r− a)− (r0 − a)] · (r0 − a) = 0

si cum (r0 − a)2 = R2, rezulta (9.14). .Sub forma carteziana, ecuatia (9.14) se scrie

(x− a)(x0 − a) + (y − b)(y0 − b)−R2 = 0, (9.15)

sau, scriind (9.14) sub forma

r · r0 − a · (r + r0) + C = 0, (9.16)

deducemxx0 + yy0 − a(x + x0)− b(y + y0) + C = 0, (9.17)

cu C = a2 −R2.Spunem ca ecuatiile (9.14), (9.15), (9.16), (9.17) ale tangentei se obtin din ecuatiile

(9.1), (9.2), (9.3), (9.4), respectiv, prin dedublare (sau polarizare).Sa presupunem acum ca punctul M0(r0) al dreptei D nu apartine cercului Γ, deci

F (r0) 6= 0. Dreapta D este tangenta cercului Γ d.d. vectorul sau director v satisfaceconditia (9.12). Un calcul simplu arata ca discriminantul ecuatiei (9.12) se poate scriesub forma

δ = R2[d2(M0, C)−R2].

De aici rezulta ca exista doua directii reale si distincte d.d. d(M0, C) > R, adica punctulM0 este exterior cercului Γ.

Teorema 9.6 Tangentele prin punctul M0(r0), exterior cercului Γ, la cercul Γ sunt ca-racterizate analitic prin ecuatia

[(r− r0) · (r0 − a)]2 − (r− r0)2F (r0) = 0. (9.18)

/ Intr-adevar, dreapta D prin M0 este tangenta cercului daca v satisface conditia(9.12). Eliminand pe v ıntre ecuatia dreptei si aceasta conditie obtinem ecuatia (9.18),care, daca d(M0, C) > R, reprezinta o pereche de drepte secante reale.

Ecuatia (9.18) se numeste ecuatia patratica a tangentelor din M0 la cercul Γ. Eapoate fi scrisa si sub forma

[(r− a) · (r0 − a)−R2]2 − F (r)F (r0) = 0. (9.19)

Teorema 9.7 Punctele de contact ale tangentelor din punctul M0(r0) la cercul Γ cucercul se gasesc la intersectia cercului cu dreapta de ecuatie:

(D0) (r− a) · (r0 − a)−R2 = 0. (9.20)

/ Intr-adevar, sistemul format din ecuatia (9.19) si ecuatia F (r) =0 este echivalentcu sistemul format din ecuatia (9.20) si ecuatia F (r) =0. .

Dreapta D0 se numeste polara punctului M0 fata de cercul Γ.


Sa presupunem acum ca directia v este fixa. Dreapta D de directie v este tangentacercului Γ daca vectorul de pozitie r0 al punctului M0 al acestei drepte satisface conditiade tangenta (9.12). Deci tangentele la cercul Γ de directie v pot fi caracterizate ca loculgeometric al punctelor M0 din care dreptele de directie v sunt tangente la Γ. Ecuatia(9.12) ın care r0 se ınlocuieste cu r reprezinta conditia ca punctul M(r) sa apartinalocului geometric. Avem deci urmatoarea teorema.

Teorema 9.8 Tangentele la cercul Γ de directie v sunt caracterizate analitic prin ecuatia

[v · (r− a)]2 − v2F (r) = 0. (9.21)

Ecuatia (9.21) se numeste ecuatia patratica a tangentelor la cerc paralele cu directiav.

Teorema 9.9 Punctele de contact ale tangentelor paralele cu directia v la cercul Γ segasesc la intersectia cercului cu diametrul sau perpendicular pe directia v, de ecuatie

v · (r− a) = 0. (9.22)

/ Intr-adevar, sistemul format din ecuatia (9.21) si ecuatia F (r) = 0 este echivalentcu sistemul format din ecuatia (9.22) si ecuatia F (r) = 0. .

9.2 Sfera

9.2.1 Definitia sferei. Caracterizari analitice

Definitia 9.2 Numim sfera locul geometric al punctelor din spatiu ale caror distante laun punct fix C sunt egale cu un numar real pozitiv R.

Punctul C se numeste centrul sferei, iar numarul R raza sferei.

Fie O un punct fix din spatiu si a = −−→OC vectorul de pozitie a punctului C ın raportcu punctul O.

Teorema 9.10 Sfera de centru C(a) si raza R este caracterizata analitic prin ecuatia

(r− a)2 −R2 = 0. (9.23)

/ Puncul M(r) din plan apartine sferei d.d. d(C, M) = R, adica d.d. ||−−→CM || = R sau||r− a|| = R, de unde rezulta (9.23).

Invers, orice punct M din spatiu al carui vector de pozitie r verifica (9.23) are pro-prietatea ca d(C, M) = R, deci apartine sferei.

Daca raportam planul la un reper ortonormat R = O, i, j,k ın care punctul Care coordonatele (a, b, c), deci a = ai + bj + ck, ecuatia (9.23) se poate scrie sub formaechivalenta

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 −R2 = 0, (9.24)

care reprezinta ecuatia carteziana a sferei cu centrul C(a, b, c) si raza R.


Ecuatiile (9.23) , respectiv (9.24), se pot scrie si astfel

r2 − 2a · r + a2 −R2 = 0, (9.25)

x2 + y2 + z2 − 2(ax + by + cz) + a2 + b2 + c2 −R2 = 0, . (9.26)

Ecuatia (9.26) reprezinta ecuatia generala a sferei sau ecuatia carteziana implicita asferei.

Din forma (9.26) a ecuatiei sferei, deducem urmatoarea teorema.

Teorema 9.11 Sfera este o suprafata algebrica plana de ordinul al doilea.

Teorema 9.12 Ecuatia

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0, (9.27)

reprezinta:a). o sfera reala d.d. A2 + B2 + C2 − 4D > 0;b). o sfera imaginara d.d. A2 + B2 + C2 − 4D < 0;c). un con imaginar d.d. A2 + B2 + C2 − 4D = 0.

/ Intr-adevar, pentru ca ecuatia (9.27) sa reprezinte o sfera reala este necesar sisuficient ca date fiind numerele A, B, C, D sa putem determina coordonatele centruluisi raza sferei. Comparand ecuatiile (9.26) si (9.27), deducem ca

a = −A2

, b = −B2

, c = −C2

, R2 =A2

4+

B2

4+

C2

4−D,

de unde rezulta ca raza R este reala d.d. A2 + B2 + C2 − 4D > 0, imaginaa d.d.A2 + B2 + C2 − 4D < 0 si nula d.d. A2 + B2 + C2 − 4D = 0. In ultimul caz ecuatia(9.27) devine

(

x +A2

)2

+(

y +B2

)2

+(

z +C2

)2

= 0.

Sfera se reduce la un punct, centrul sau. Ecuatia fiind de forma:

ϕ(

x− az − c

,y − bz − c

)

= 0,

a ecuatiei unei suprafete conice, spunem ca ın acest caz ecuatia (9.27) reprezinta un conimaginar.

Ecuatia sferei are o forma mai simpla daca raportam spatiul la un reper ortonormatcu originea ın centrul sferei.

Intr-adevar, efectuand translatia R → R′ = C, i, j,k, cu −−→OC = a, ın urma careiar = a + r′, ecuatia sferei devine

r′2 −R2 = 0, sau x′2 + y′2 + z′2 −R2 = 0,

numita si ecuatia redusa a sferei.


Fie u unghiul pe care ıl face cu planul O′x′z′ planul care trece prin axa O′z′ si treceprin punctul M si v unghiul pe care ıl face cu planul O′x′y′ vectorul de pozitie r′ alpunctului M . Atunci:

r′ = R(i cos u cos v + j sin u cos v + k sin v),

saur = (a + R cos u cos v)i + (b + R sin u cos v)j + (c + R sin v)k,

de unde reprezentarea parametrica a sferei:

x = a + R cosu cos v,y = b + R sin u cos v,z = c + R sin v.

(u, v) ∈ [0, 2π)×[

−π2

,π2

]

.

9.2.2 Sfera prin patru puncte necoplanare

Teorema 9.13 Fie Mi(xi, yi, zi), i = 1, 4, patru puncte necoplanare din spatiu. Sferaprin punctele M1, M2, M3, M4 este caracterizata analitic prin ecuatia

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 + z2 x y z 1x2

1 + y21 + z2

1 x1 y1 z1 1x2

2 + y22 + z2

2 x2 y2 z2 1x2

3 + y23 + z2

3 x3 y3 z3 1x2

4 + y24 + z2

4 x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (9.28)

/ Sa observam mai ıntai ca punctele Mi, date prin coordonatele lor ıntr-un repercartezian, sunt necoplanare d.d.

∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0.

Daca sfera de ecuatie generala

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0, (9.29)

trece prin punctele Mi(xi, yi, zi), i = 1, 4, coordonatele lor verifica ecuatia (9.29), adica

x2i + y2

i + z2i + Axi + Byi + Czi + D = 0, i = 1, 4. (9.30)

Dar (9.30) este un sistem algebric liniar de patru ecuatii cu patru neconoscute: A,B, C, D, al carui determinant este ∆ 6= 0. Deci sistemul (9.30) determina ın mod uniccoeficientii ecuatiei (9.29).

Cum coordonatele (x, y, z) ale oricarui punct M al sferei satisfac ecuatia (9.29),rezulta ca (9.29) ımpreuna cu (9.30) formeaza un sistem de cinci ecuatii cu patru necunos-cute, compatibil determinat. Dupa teorema lui Rouche, acest sistem este compatibil d.d.determinantul caracteristic corespunzator ecuatiei secundare (9.29) este nul, adica d.d.are loc (9.28). .


9.2.3 Intersectia unei sfere cu o dreapta

Fie sfera S data prin ecuatia

(S) F (x, y, z) = (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 −R2 = 0 (9.31)

si dreapta D de ecuatii

(D) x = x0 + `t, y = y0 + mt, z = z0 + nt, t ∈ R, (9.32)

sau, sub forma vectoriala

(S) F (r) = (r− a)2 −R2 = 0, (D) r = r0 + tv, t ∈ R.

Daca punctul M(r) ∈ D ∩ S, atunci M(r) ∈ D, deci ∃t ∈ R a.ı. r = r0 + tv siM(r) ∈ S, deci F (r) = 0.

In consecinta, pentru a gasi punctele de intersectie ale dreptei cu sfera este necesar sarezolvam sistemul de ecuatii format din ecuatiile (9.31) si (9.32). Eliminand pe r ıntrecele doua ecuatii, obtinem F (r0 + tv) = 0, sau

v2t2 + 2[v · (r0 − a)]t + F (r0) = 0. (9.33)

Cum v 6= 0, ecuatia (9.33) este de gradul doi ın t. Deci dreapta D intersecteaza sferaS d.d. aceasta are radacini reale. Numarul radacinilor reale ale ecuatiei (9.33) depindede semnul discriminantului acesteia

∆ = [v · (r0−a)]2 − v2F (r0).

Discriminantul ecuatiei (9.33) se mai poate scrie

∆ = v2

R2 − v2(r0 − a)2 − [v·(r0 − a)]2

v2

,

sau, folosind identitatea lui Lagrange,

∆ = v2[

R2 − ||(a− r0)× v||2

||v||2

]

,

dar, cum

d(C,D) =||(a− r0)× v||

||v||,

urmeaza:∆ = v2(R2 − d2). (9.34)

Prin urmare, ecuatia (9.33) are:a). doua radacini reale si distincte d.d. ∆ > 0, adica d < R. In acest caz, dreapta D

este secanta sferei S. Daca t1 si t2 sunt radacinile ecuatiei (9.33), vectorii de pozitie aipunctelor de intersectie a dreptei cu sfera, M1 si M2, sunt dati de

r1 = r0 + t1v, r2 = r0 + t2v;

b). radacini confundate d.d. ∆ = 0, adica d = R. Dreapta D este tangenta sferei S.Punctul de contact al dreptei cu sfera are vectorul de pozitie

rc = r0 −v · (r0 − a)

v2 v;

c). radacini complexe d.d. ∆ < 0, adica d > R. Dreapta D nu intersecteaza sfera S.


9.2.4 Probleme de tangenta

Dupa cum rezulta din discutia precedenta, dreapta D este tangenta sferei S d.d. ∆ = 0,adica

[v · (r0−a)]2 − v2F (r0) = 0. (9.35)

Sa presupunem mai ıntai ca punctul M0(r0) al dreptei D apartine sferei S, deci caF (r0) = 0. Atunci, dreapta D este tangenta sferei S d.d. vectorul sau director v satisfaceconditia

v · (r0−a) = 0. (9.36)

Teorema 9.14 Tangenta ın punctul M0(r0) al sferei S este caracterizata analitic prinecuatia

(r− a) · (r0 − a)−R2 = 0, (9.37)

cu F (r0) = 0.

/ Intr-adevar, dreapta D prin M0 ∈ S este tangenta la S d.d. v satisface (9.36).Eliminand pe v ıntre ecuatia dreptei si conditia (9.36), obtinem

(r− r0) · (r0 − a) = 0, sau [(r− a)− (r0 − a)] · (r0 − a) = 0

si cum (r0 − a)2 = R2, rezulta (9.37). .Sub forma carteziana, ecuatia (9.37) se scrie

(x− a)(x0 − a) + (y − b)(y0 − b) + (z − c)(z0 − c)−R2 = 0, (9.38)

sau, scriind (9.37) sub forma

r · r0 − a · (r + r0) + C = 0, (9.39)

deducem

xx0 + yy0 + zz0 − a(x + x0)− b(y + y0)− c(z + z0) + D = 0, (9.40)

cu C = a2 −R2.Spunem ca ecuatiile (9.37), (9.38), (9.39), (9.40) ale tangentei se obtin din ecuatiile

(9.23), (9.24), (9.25), (9.26), respectiv, prin dedublare (sau polarizare).Sa presupunem acum ca punctul M0(r0) al dreptei D nu apartine sferei S, deci

F (r0) 6= 0. Dreapta D este tangenta sferei S d.d. vectorul sau director v satisfaceconditia (9.35) care se mai scrie sub forma

sin θ =R

d(M0, C).

De aici rezulta ca putem duce drepte prin M0 tangente la sfera d.d. d(M0, C) > R,adica punctul M0 este exterior sferei S. Multimea tangentelor la sfera prin punctul M0formeaza un con circular cu varful ın M0 si axa M0C.

Definitia 9.3 Numim con circumscris sferei, cu varful ın M0, locul geometric al tangen-telor la sfera prin punctul M0.


Teorema 9.15 Conul cu varful ın punctul M0(r0), circumscris sferei S este caracterizatanalitic prin ecuatia

[(r− r0) · (r0 − a)]2 − (r− r0)2F (r0) = 0. (9.41)

/ Intr-adevar, dreapta D prin M0 este tangenta sferei daca v satisface conditia (9.35).Eliminand pe v ıntre ecuatia dreptei si aceasta conditie obtinem ecuatia locului geometric,adica (9.41). Ea poate fi scrisa si sub forma

[(r− a) · (r0 − a)−R2]2 − F (r)F (r0) = 0. (9.42)

Teorema 9.16 Locul geometric al punctelor de contact ale conului cu varful ın M0(r0)circumscris sferei S cu sfera este cercul de intersectie al sferei cu planul de ecuatie:

(P0) (r− a) · (r0 − a)−R2 = 0. (9.43)

/ Intr-adevar, sistemul format din ecuatia (9.42) si ecuatia F (r) =0 este echivalentcu sistemul format din ecuatia (9.43) si ecuatia F (r) =0. .

Dreapta D0 se numeste planul polar punctului M0 fata de sfera S.Sa presupunem acum ca directia v este fixa. Dreapta D de directie v este tangenta

sferei S daca vectorul de pozitie r0 al punctului M0 al acestei drepte satisface conditiade tangenta (9.35), care se mai scrie

||(r0 − a)× v||||v||

= R,

care exprima faptul ca dreapta D de directie v este tangenta sferei d.d. d(D,D0) = R,unde D0 este dreapta prin centrul C(a) al sferei de directie v. Multimea dreptelor dinspatiu situate la o distanta constanta fata de dreapta D0 formeaza un cilindru circularde axa D0.

Definitia 9.4 Numim cilindru circumscris sferei, cu generatoarele de directie v, loculgeometric al tangentelor la sfera de directie v.

Teorema 9.17 Cilindrul cu generatoarele de directie v este caracterizat analitic prinecuatia

[v · (r− a)]2 − v2F (r) = 0. (9.44)

/ Intr-adevar, tangentele la sfera S de directie v pot fi caracterizate ca locul geometrical punctelor M0 din care dreptele de directie v sunt tangente la S. Ecuatia (9.35) ın carer0 se ınlocuieste cu r reprezinta conditia ca punctul M(r) sa apartina locului geometric.

Teorema 9.18 Locul geometric al punctelor de contact ale cilindrului circumscris sfereicu sfera este cercul de intersectie al sferei cu planul diametral sferai S perpendicular pegeneratoarele cilindrului, de ecuatie

v · (r− a) = 0. (9.45)

/ Intr-adevar, sistemul format din ecuatia (9.44) si ecuatia F (r) = 0 este echivalentcu sistemul format din ecuatia (9.45) si ecuatia F (r) = 0. .


9.2.5 Intersectia unei sfere cu un plan

Fie sfera S data prin ecuatia

(S) (r− a)2 −R2 = 0 (9.46)

si planul P de ecuatie(P ) N · r + D = 0. (9.47)

Un punct M(r) ∈ S ∩D daca r este o solutie a sistemului format din ecuatiile (9.46)si (9.47).

Fie (Dc), de ecuatie(Dc) (r− a)×N = 0, (9.48)

diametrul sferei S perpendicular pe planul P . Din identitatea lui Lagrange

[(r− a)×N]2 + [N·(r− a)]2 = N2(r− a)2,

tinand seama de ecuatiile (9.46) si (9.47), deducem ca sistemul precedent este echivalentcu sistemul format din ecuatia (9.47) si ecuatia

d2(M, Dc) = R2 − d2(C, P ), (9.49)

ın care

d(M, Dc) =||(r− a)×N||

||N||, d(C,P ) =

|N · a + D|||N||

.

Din ecuatia (9.49) rezulta ca sistemul este compatibil d.d. d(C, P ) ≤ R.Daca d(C, P ) = R, planul P este tangent sferei. Punctul de contact se obtine ca

intersectia planului cu diametrul sferei perpendicular pe plan, adica prin rezolvarea sis-temului

N · r + D = 0, (r− a)×N = 0.

Daca d(C, P ) < R, planul P este secant sferei. Fie

r =√

R2 − d2(C, P ).

Atunci, ecuatia (9.49) ia forma d(M,Dc) = r. Ori locul geometric al punctelor din spatiua caror distanta la o dreapta data este constanta este un cilindru circular avand dreaptaca axa. Deci, intersectia sferei S cu planul P este cercul de intersectie a planului cuacest cilindru. Raza sa este r, iar centrul este punctul Mc de intersectie a planului P cudiametrul Dc, de vector de pozitie

rc = a− N · a + D||N||

N.

Teorema 9.19 Pentru orice vector nenul N exista doua plane de normala N tangentesferei S, caracterizate analitic prin ecuatiile

N·(r− a) = ±R ||N||. (9.50)

/ Intr-adevar, planul P este tangent sferei S d.d. d(C,P ) = R, sau |N · a + D| =R ||N||. Inlocuind D dat de aceasta relatie ın ecuatia (9.47), obtinem ecuatiile (9.50). .


9.3 Suprafete de rotatie

Definitia 9.5 Numim suprafata de rotatie suprafata generata prin rotirea unei curbe Cın jurul unei drepte ∆. Dreapta ∆ se numeste axa de rotatie.

Deoarece fiecare punct al curbei C descrie un cerc cu centrul ıntr-un punct al axeide rotatie ∆, situat ıntr-un plan perpendicular pe axa ∆, putem considera suprafata derotatie ca fiind generata de multimea cercurilor cu centrele pe axa de rotatie, situate ınplane perpendiculare pe axa si care ıntalnesc curba C.

Teorema 9.20 Fie curba C data prin ecuatia

(C) r = r(t), t ∈ I ⊂ R (9.51)

si axa ∆ prin ecuatia(∆) r = r0 + λv, λ ∈ R. (9.52)

Ecuatia suprafetei de rotatie se obtine prin eliminarea parametrului t ıntre ecuatiile

(r− r0)2 − [r(t)− r0]2 = 0,

v · [r− r(t)] = 0. (9.53)

/ O generatoare a suprafetei este un cerc prin punctul M(r(t)) ∈ C cu centrul ıntr-un punct al axei ∆, situat ıntr-un plan perpendicular pe ∆, care se poate obtine caintersectia sferei cu centrul ın M(r0) si raza

R = ||−−−→M0M || = ||r(t)− r0)||2,

de ecuatie(r− r0)2 − [r(t)− r0]2 = 0,

cu planul prin M(r(t)) de normala v:

v·[r− r(t)] = 0.

Cand t parcurge I, deci M parcurge curba C, cercurile de ecuatii (9.53) genereazasuprafata. Deci, prin eliminarea parametrului t ıntre cele doua ecuatii (9.53) obtinemecuatia suprafetei de rotatie. .

In reperul cartezian R, ın care curba C are ecuatiile

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I,

sistemul (9.53) se scrie

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 − [(x(t)− x0)2 + (y(t)− y0)2 + (z(t)− z0)2] = 0,`(x− x(t)) + m(y − y(t)) + n(z − z(t)) = 0.

Teorema 9.21 Suprafata de rotatie generata prin rotirea curbei C ın jurul dreptei ∆,de ecuatii canonice

x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

n,

este caracterizata analitic printr-o ecuatie de forma

ϕ(

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, `x + my + nz)

= 0. (9.54)


/ Fie curba C data prin ecuatiile implicite

(C) F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. (9.55)

Multimea tuturor cercurilor din spatiu cu centrele ın puncte ale axei ∆, situate ınplane perpendiculare pe ∆ este caracterizata analitic prin ecuatiile

(Cλ1λ2) (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ1, `x + my + nz = λ2. (9.56)

Cercul Cλ1λ2 ıntalneste curba C d.d. sistemul format din ecuatiile (9.55) si (9.56)este compatibil. Conditia de compatibilitate se obtine eliminand pe x, y, z ıntre celepatru ecuatii ale sistemului si are forma

ϕ(λ1, λ2) = 0.

Prin urmare, generatoarele suprafetei de rotatie sunt caracterizate analitic prin ecu-atiile:

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ1,`x + my + nz = λ2,ϕ(λ1, λ2) = 0.

Eliminand parametrii λ1 si λ2 ıntre aceste ecuatii, obtinem ecuatia suprafetei de rotatiesub forma (9.54). .

Capitolul 10

CONICE SI CUADRICE

10.1 Conice

10.1.1 Definitia comuna a conicelor

Definitia 10.1 Numim conica Γ locul geometric al punctelor din plan pentru care ra-portul distantelor la un punct fix F si la o dreapta fixa D este o constanta e. Punctul Fse numeste focar, dreapta fixa D directoare, iar constanta e excentricitate.

Dupa definitia precedenta, punctul M ∈ Γ d.d.

d(M, F )d(M, D)

= e. (10.1)

- -

6

6

O i

jx

y

dF (c, 0)

M(x, y)

(D)

Figura 10.1: Definitia conicelor

Pentru a caracteriza analitic conica sa raportam planul la un reper ortonormat dreptR = O, i, j, care are ca axa Ox perpendiculara ın focar pe directoare, orientata astfelca −−→OF = ci, cu c > 0, iar axa Oy paralela cu directoarea, originea O fiind, deocamdata,

150


ıntr-un punct oarecare al axei Ox. Fie

(D) x = d, d ∈ R, (10.2)

ecuatia directoarei. Daca M are ın reperul R coordonatele (x, y), atunci (10.1) esteechivalenta cu

√

(x− c)2 + y2 = e |x− d|, (10.3)

sau cu:F (x, y) = (1− e2)x2 + y2 + 2(de2 − c)x + c2 − d2e2 = 0, (10.4)

care reprezinta ecuatia carteziana implicita a conicei Γ ın reperul R. Deoarece F (x, y)este un polinom de gradul doi ın x si y, rezulta teorema:

Teorema 10.1 Conicele sunt curbe algebrice de ordinul al doilea.

Axa Ox, perpendiculara ın focar pe directoare, este axa de simetrie a conicelorde ecuatie (10.4). Aceasta deoarece din (10.4) rezulta ca daca F (x, y) = 0, atunciF (x,−y) = 0, pentru orice punct M(x, y) ∈ Γ.

Definitia 10.2 Numim parametru focal p al conicei Γ jumatate din lungimea coardeifocale, adica a coardei determinata de Γ pe paralela prin focar la directoare.

Ecuatia coardei focale fiind x = c, din (10.3) avem:

p = e |c− d| = e d(F, D).

Definitia 10.3 Conica Γ se numeste:a) nedegenerata daca F /∈ D, adica d 6= c, sau p > 0;b) degenerata daca F ∈ D, adica d = c, sau p = 0.

10.1.2 Forma conicelor

Dupa cum rezulta din ecuatia (10.4), forma conicelor depinde de valorile constantelor c,d si e. Schimbari importante ın forma unei conice se produc atunci cand e 6= 1 sau e = 1.

Definitia 10.4 Conicele pentru care e 6= 1 se numesc conice cu centru de simetrie.

Pentru e 6= 1, conica Γ intersecteaza axa Ox ın doua puncte, numite varfurile conicei,abscisele carora sunt solutiile ecuatiei de gradul doi

(1− e2)x2 + 2(de2 − c)x + c2 − d2e2 = 0. (10.5)

Discriminantul acestei ecuatii este egal cu e2(d − c)2 ≥ 0, adica ecuatia (10.5) are tot-deauna radacini reale.

Daca d 6= c (conica este nedegenerata) radacinile ecuatiei (10.5) sunt distincte. Inacest caz, alegem originea reperului astfel ıncat cele doua puncte de intersectie a coniceicu axa Ox sa fie simetrice fata de origine, adica a.ı.

x1 + x2

2= −de2 − c

1− e2 = 0,


-

6

O

M

FF ′x

y

AA′

B

B′(D)(D′)

Figura 10.2: Elipsa

decid =

ce2 (10.6)

si ecuatia (10.4) devine

(1− e2)x2 + y2 − c2

e2 (1− e2) = 0, saux2

c2

e2

+y2

c2

e2 (1− e2)− 1 = 0.

Pentru e < 1, notand:

a2 =c2

e2 , b2 =c2

e2 (1− e2),

avem

(E)x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0, a, b > 0. (10.7)

O conica nedegenerata cu e < 1 (de tip eliptic) se numeste elipsa. Numerele pozitive asi b se numesc semiaxe.

Pentru e > 1, notand:

a2 =c2

e2 , b2 =c2

e2 (e2 − 1),

avem

(H)x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0, a, b > 0. (10.8)

O conica nedegenerata cu e < 1 (de tip hiperbolic) se numeste hiperbola. Numerelepozitive a si b se numesc si aici semiaxe.

Ecuatiile (10.7) si (10.8) se numesc ecuatii canonice sau reduse. Reperul R ın careelipsa si hiperbola au aceste ecuatii se numeste reper canonic sau natural al acestor conice.

Din (10.2) si (10.6) rezulta ca ın reperul canonic R, ecuatia directoarei D corespun-zatoare focarului F , este

(D) x =ce2 .

Punctul F ′(−c, 0), simetricul punctului F (c, 0) fata de centrul conicei, este de asemeneaun focar al conicei, directoarea corespunzatoare fiind dreapta D′, simetrica dreptei Dfata de axa Oy, de ecuatie

(D′) x = − ce2 .


-

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

OM

x

y

AA′

B

B′

FF ′

(D)(D′)

6

Figura 10.3: Hiperbola

Definitia 10.5 Numim varfuri ale unei conice punctele de intersectie ale conicei cu axelede ei de simetrie.

Elipsa are patru varfuri: A(a, 0), A′(−a, 0), B(0, b), B′(0,−b), iar hiperbola doua:A(a, 0), A′(−a, 0).

Daca d = c (conica este degenerata) discriminantul ecuatiei (10.5) este nul si ecuatiadevine

(x− c)2 = 0,

deci x1 = x2 = c. Alegand originea reperului R ın acest punct al axei Ox, vom aveac = 0, si ecuatia (10.4) cu d = c = 0, se scrie

(DS) (1− e2)x2 + y2 = 0.

Pentru e > 1, ecuatia precedenta se poate pune sub forma

(y − x√

e2 − 1)(y + x√

e2 − 1) = 0

si reprezinta o pereche de drepte secante reale.Pentru e < 1 spunem ca ecuatia DS reprezinta o pereche de drepte secante imaginare.Deoarece conicele E, H si DS sunt simetrice fata de originea O a reperului canonic,

punctul O se numeste centru de simetrie. Pentru aceste conice si axa Oy este axa desimetrie.

Daca ın ecuatia E a elipsei facem b = a, obtinem un cerc, de ecuatie: x2+y2−a2 = 0.

Definitia 10.6 Numim elipsa imaginara conica de ecuatie

(E′)x2

a2 +y2

b2 + 1 = 0.

Definitia 10.7 Numim hiperbola conjugata hiperbolei H conica de ecuatie

(H ′)x2

a2 −y2

b2 + 1 = 0.


Pentru e = 1, conica C nu mai are centru unic de simetrie. Ecuatia (10.4) devine

y2 + 2(d− c)x + c2 − d2 = 0. (10.9)

Daca d 6= c (conica nedegenerata), conica (C) intersecteaza axa Ox ın punctul deabscisa

x0 =d + c

2.

Alegand originea reperului R ın acest punct, vom avea d = −c. Ecuatia (10.9) devine

y2 − 4cx = 0,

sau, notand cu p = 2c,(P ) y2 = 2px. (10.10)

O conica nedegenerata fara centru (de tip parabolic) se numeste parabola. Numarulp se numeste parametrul focal al parabolei. Ecuatia (10.10) se numeste ecuatia canonicasau redusa a parabolei. Reperul R ın care parabola are ecuatia (10.10) se numeste repercanonic sau natural al acestei conice.

-

6

O F

M

x

y

(D)

Figura 10.4: Parabola

Ecuatia directoarei parabolei ın reperul canonic R, corespunzatoare focarului F (p2 , 0),

se scrie(D) x = −p

2.

Daca d = c, ecuatia (10.9) se reduce la

(DC) y2 = 0,

care reprezinta o pereche de drepte confundate.Prin urmare, conicele degenerate care nu au centru unic de simetrie sunt drepte

confundate.Vom numi conica degenerata si o pereche de drepte paralele (reale sau imaginare).Toate aceste conice ( cu e = 1 si d = c) sunt caracterizate printr-o dreapta de centre.


10.1.3 Reprezentari parametrice. Constructii prin puncte

Pentru elipsa

(E)x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0,

o reprezentare parametrica se obtine tinand seama de identitatea cos2 t + sin2 t− 1 = 0.Avem

x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π). (10.11)

Aceste ecuatii servesc la trasarea elipsei prin puncte. Pentru aceasta consideram douacercuri concentrice de raze a si b cu a > b (Fig. 10.5).

O

P

Q

x-

6y

M

Q′ P ′

u

Figura 10.5: Constructia elipsei

Daca O este originea reperului cartezian ortonormat plan ce are ca axe tocmai axelede simetrie ale elipsei E, fie Ou o semidreapta prin O care face cu versorul i al axei Oxunghiul t si fie P si Q punctele unde Ou ıntalneste cele doua cercuri. Paralela prin P laOy ınalneste paralela prin Q la Ox ın punctul M ∈ E si axa Ox ın P ′.

Intr-adevar, daca M(x, y), atunci: x = OP ′ = a cos t, y = P ′P = b sin t, prin urmare,coordonatele sale satisfac ecuatiile parametrice ale elipsei E si deci M ∈ E.

Atribuind diferite valori unghiului t ∈ [0, 2π), se obtin diferite puncte ale elipsei, ceeace permite trasarea ei prin puncte.

Daca ın ecuatiile parametrice (10.11) luam tg (t/2) = τ , obtinem

x =1− τ2

1 + τ2 , y =2τ

1 + τ2 , τ ∈ R,

care constituie o noua reprezentare parametrica a elipsei.Pentru hiperbola

(H)x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0,

o reprezentare parametrica se obtine tinand seama de identitatea identitatea

1cos2 t

− tg2t− 1 = 0.

Avemx =

acos t

, y = b tg t, t ∈ (−π, π]\±π2. (10.12)


Ecuatiile parametrice (10.12) sugereaza urmatoarea constructie prin puncte a hiper-bolei (Fig. 10.6).

O

P

Q

x-

6y

Q′ P ′

uM

JJJJ

SS

SS

S

Figura 10.6: Constructia hiperbolei

Se construiesc cercurile concentrice de raze a si b, cu a < b, cu centrele ın origineareperului. Fie Ou o semidreapta prin O care face cu versorul i al axei Ox unghiul t sifie P si Q punctele unde Ou ıntalneste cele doua cercuri. Tangentele ın P si Q la celedoua cercuri ıntalnesc axa Ox ın P ′, respectiv Q′. Pe perpendiculara ın Q′ la Ox luamsegmentul Q′M = PP ′. Punctul M ∈ H.

Intr-adevar, avem:

x = OQ′ =a

cos t, y = Q′M = PP ′ = b tg t.

Daca se identifica ecuatia carteziana a hiperbolei H cu identitatea ch2τ−sh2τ−1 = 0,obtinem o noua reprezentare a hiperbolei

x = ±a ch τ, y = b sh τ, τ ∈ R.

Tot astfel, observand ca pentru t 6= 0, ecuatia hiperbolei se poate scrie

(xa

+yb

)(xa− y

b

)

= 1, cuxa

+yb

= t,xa− y

b=

1t,

se obtine o a treia reprezentare parametrica a hiperbolei

x =a2

(

t +1t

)

, y =b2

(

t− 1t

)

, t 6= 0.

Pentru parabola(P ) y2 = 2px,

vom da mai ıntai o constructie prin puncte. In acest scop, sa observam ca deoarece p >0, atunci x ≥ 0 si din ecuatia parabolei rezulta ca y este media geometrica a numerelor2p si x, deci poate fi interpretat ca lungimea ınaltimii corespunzatoare ipotenuzei ıntr-untriunghi dreptunghic pentru care proiectiile catetelor pe ipotenuza au lungimile 2p si x.


-

Z

ZZ

ZZ

ZZZ

6

OA P

Qy M

x

Figura 10.7: Constructia parabolei

Prin punctul A(−2p, 0) ducem cercul cu centrul pe axa Ox de diametru 2p + x. FieP si Q punctele ın care cercul ıntalneste axele Ox si Oy. Prin P si Q ducem paralele laaxe. Punctul M de intersectie a acestor paralele apartin parabolei P .

Intr-adevar, ın triunghiul APQ, dreptunghic ın Q, ınaltimea OQ este medie propor-tionala ıntre segmentele determinate de ea pe ipotenuza: OQ2 = AO ·OP ; dar OP = x,OA = 2p, OQ = PM = y si deci, y2 = 2px, adica M ∈ P .

O reprezentare parametrica a parabolei se obtine luand ordonata y = 2pt, atunci:

(P ) x = 2pt2, y = 2pt, t ∈ R.

10.2 Cuadrice

10.2.1 Cuadrice nedegenerate

Numim cuadrice nedegenerate suprafetele: elipsoidul, hiperboloidul cu o panza, hiper-boloidul cu doua panze, paraboloidul eliptic si paraboloidul hiperbolic, care vor fi descriseın cele ce urmeaza.

Deoarece ele admit, ıntr-un reper cartezian ortonormat, reprezentari analitice prinecuatii algebrice de gradul doi, ele sunt suprafete algebrice de ordinul al doilea.

Elipsoidul

Definitia 10.8 Numim elipsoid suprafata algebrica de ordinul al doilea data ın reperulcanonic prin ecuatia

(E)x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 − 1 = 0, a, b, c > 0. (10.13)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului.

Sa cercetam forma acestei suprafete plecand de la ecuatia (10.13). deoarece x, y,z intra ın (10.13) numai prin patratele lor, rezulta ca daca punctul M(x, y, z) verifica(10.13), adica apartine elipsoidului E, atunci si punctele

M1(−x, y, z), M2(x,−y, z), M3(x, y,−z),


M4(x,−y,−z), M5(−x, y,−z), M6(−x,−y, z), M7(−x,−y,−z),

verifica aceasta ecuatie, adica apartin suprafetei. Deci, planele de coordonate sunt planede simetrie ale suprafetei, axele de coordonate sunt axe de simetrie si originea reperuluieste centru de simetrie.

Suprafata E intersecteaza axele sale de simetrie Ox, Oy, Oz, respectiv ın perechilede puncte: A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0), B(0, b, 0), B′(0,−b, 0), C(0, 0, c), C ′(0, 0,−c), numitevarfuri.

Elipsoidul este o suprafata marginita. Intr-adevar, din ecuatia (10.13) deducem:

−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c,

deci toate punctele elipsoidului sunt continute ın paralelipipedul marginit de planele:x = ±a, y = ±b, z = ±c.

+x

y

z

OBB′ A′

C

C ′

A

6

-

Figura 10.8: Elipsoidul

Pentru a ne da seama de forma acestei suprafete, o vom sectiona cu plane paralele cuplanele de coordonate. Astfel, planele z = h, intersecteaza suprafata dupa curbele

x2

a2 +y2

b2 = 1− h2

c2 , z = h.

Pentru h ∈ (−c, c) acestea sunt elipse reale, pentru |h| > c curbele sunt elipse imaginare,iar pentru h = ±c, sectiunile se reduc la varfurile C si C ′. Pentru h = 0, obtine elipsadin planul Oxy de ecuatie:

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0 z = 0,

cu semiaxele a si b. Pentru h ∈ (−c, c) \ 0 semiaxele elipselor obtinute se micsoreazacand |h| creste; raportul semiaxelor lor este a/b, independent de h.

Tot elipse se obtin daca sectionam suprafata cu plane paralele cu celelalte plane decoordonate.


Daca doua semiaxe ale elipsoidului sunt egale, de exemplu a = b, curbele de intersectiecu plane z = h sunt cercuri si suprafata se numeste elipsoid de rotatie. Daca a = b = cobtinem o sfera.

O reprezentare parametrica a elipsoidului E se poate obtine, cum |z| ≤ c, luandz = c sin v, atunci:

x = a cos u cos v, y = sin u cos v, z = c sin v, (u, v) ∈ [0, 2π)×[

−π2

,π2

]

.

Suprafata reprezentata prin ecuatia:

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 + 1 = 0,

o vom numi elipsoid imaginar.

Hiperboloidul cu o panza

Definitia 10.9 Numim hiperboloid cu o panza suprafata algebrica de ordinul al doileadata ın reperul canonic prin ecuatia

(H1)x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 − 1 = 0, a, b, c > 0. (10.14)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele hiperboloidului.

+

O

""""

""""

"""""

A

A′

BB′

x

6

-y

z

Figura 10.9: Hiperboloidul cu o panza

Hiperboloidul cu o panza are aceleasi simetrii ca si elipsoidul.Intersectiile cu axele de coordonate: A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0), B(0, b, 0), B′(0,−b, 0).

Pentru intersectia cu axa Oz, x = 0, y = 0, se obtine: z2 + c2 = 0, care nu are radacini


reale. Deci hiperboloidul cu o panza nu ıntalneste axa Oz. Pentru a preciza formasuprafetei vom considera sectiunile cu plane paralele cu planul Oxy, deci z = h. Obtinemcurbele

x2

a2 +y2

b2 = 1 +h2

c2 , z = h,

care reprezinta elipse reale pentru orice h. Rezulta ca hiperboloidul cu o panza este osuprafata nemarginita.

Pentru h = 0 se obtine elipsa cu cele mai mici semiaxe: a si b, numita elipsa de gatuiresau elipsa colier. Cand |h| creste si semiaxele acestor elipse cresc.

Intersectiile hiperboloidului cu o panza cu celelalte doua plane de coordonate sunthiperbole.

Daca a = b elipsele de intersectie a suprafetei cu plane paralele cu planul Oxy devincercuri si hiperboloidul se numeste de rotatie.

O reprezentare parametrica a hiperboloidului cu o panza se obtine luand z = c tg v,atunci:

x = acos ucos v

, y = bsin ucos v

, z = c tg v, (u, v) ∈ [0, 2π)×(

−π2

,π2

)

.

O a doua reprezentare parametrica a hiperboloidului cu o panza se obtine, tinandseama ca 1 + sh2v = ch2v, luand z = c sh v. Avem:

x = a cos u ch v, y = b sin u ch v, z = c sh v, (u, v) ∈ [0, 2π)×R.

Hiperboloidul cu doua panze

Definitia 10.10 Numim hiperboloid cu doua panze suprafata algebrica de ordinul aldoilea data ın reperul canonic prin ecuatia

(H2)x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 + 1 = 0, a, b, c > 0.

Numerele a, b, c se numesc semiaxele hiperboloidului.

Hiperboloidul cu doua panze are aceleasi simetrii ca si elipsoidul.Intersectiile cu axele de coordonate sunt: C(0, 0, c), C ′(0, 0,−c), deci are numai doua

varfuri.Intersectiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt curbele

x2

a2 +y2

b2 =h2

c2 − 1, z = h,

care reprezinta elipse reale pentru orice |h| > c si imaginare pentru |h| < c. Suprafataare doua panze infinite.

Intersectiile hiperboloidului cu doua panze cu celelalte doua plane de coordonate sunthiperbole.

Daca a = b elipsele de intersectie a suprafetei cu plane paralele cu planul Oxy devincercuri si hiperboloidul se numeste de rotatie.

O reprezentare parametrica a hipreboloidului cu doua panze se obtine, tinand seamaca ch2v − 1 = sh 2v, luand z = ±c ch v,

x = a cos u sh v, y = b sin u sh v, z = ±c ch v, (u, v) ∈ [0, 2π)×R.


+

O

x

-y

z

S

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

6

!!!!!!

!!!!!!

C

C ′

Figura 10.10: Hiperboloidul cu doua panze

Unui hiperboloid (cu una sau doua panze) i se poate asocia suprafata

x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 0,

numita conul asimptot al hiperboloidului. Aceasta suprafata are aceleasi simetrii ca sihiperboloidul si contine asimptotele hiperbolelor de sectiune cu planele Oyz si Oxz.

Paraboloidul eliptic

Definitia 10.11 Numim paraboloid eliptic suprafata algebrica de ordinul al doilea dataın reperul canonic prin ecuatia

(PE)x2

a2 +y2

b2 = 2z, a, b > 0. (10.15)

Planele de coordonate Oyz si Oxz sunt plane de simetrie, iar axa Oz este axa desimetrie a suprafetei.

Din (10.15) rezulta ca z ≥ 0, deci paraboloidul eliptic este situat deasupra planuluiOxy.

Intersectiile cu planele z = h, cu h ≥ 0 sunt curbele

x2

a2 +y2

b2 = 2h, z = h,


+

O

x

-y

z

6

Figura 10.11: Paraboloidul eliptic

care reprezinta pentru h > 0 elipse reale, ale caror semiaxe cresc odata cu h. Pentruh = 0 obtinem x = y = z = 0, adica originea reperului. Punctul O este singurul varf alsuprafetei.

Intersectiile cu celelalte plane de coordonate sunt parabole.Daca a = b elipsele de intersectie a suprafetei cu plane paralele cu planul Oxy devin

cercuri. In acest caz suprafata se numeste paraboloid de rotatie.O reprezentare parametrica a paraboloidului eliptic se obtine luand 2z = v2,

x = av cosu, y = bv sin u, z =12v2, (u, v) ∈ [0, 2π)× [0,∞).

Paraboloidul hiperbolic

Definitia 10.12 Numim paraboloid hiperbolic suprafata algebrica de ordinul al doileadata ın reperul canonic prin ecuatia

(PH)x2

a2 −y2

b2 = 2z, a, b > 0. (10.16)

Planele de coordonate Oyz si Oxz sunt plane de simetrie, iar axa Oz este axa desimetrie a suprafetei.

Intersectiile cu planele z = h sunt curbele

x2

a2 −y2

b2 = 2h, z = h,

care pentru h > 0 se mai scriu

x2

(a√

2h)2− y2

(b√

2h)2− 1 = 0, z = h,


+

x

y

6z

O

Figura 10.12: Paraboloidul hiperbolic

iar pentru h < 0x2

(a√−2h)2

− y2

(b√−2h)2

+ 1 = 0, z = h

si reprezinta hiperbole, iar pentru h = 0

x2

a2 −y2

b2 = 0, z = 0,

adica o pereche de drepte secante prin origine.Originea reperului este singurul varf al suprafetei.Intersectiile suprafetei cu plane paralele cu planul Oyz sunt parabolele

y2 = −2b2z +b2

a2 `2, x = `,

iar intersectiile suprafetei cu plane paralele cu planul Oxz sunt parabolele

x2 = 2a2z +a2

b2 m2, y = m.

O reprezentare parametrica a paraboloidului hiperbolic se obtine luand x = au, y =bv,

x = au, y = bv, z =12(u2 − v2), (u, v) ∈ R2.

Cuadricele precedente fiind generate de familii de conice nedegenerate se numesccuadrice nedegenerate.

10.2.2 Cuadrice degenerate

Numim cuadrice degenerate urmatoarele suprafete: suprafata determinata de o perechede plane, cilindrul patratic, conul patratic, care vor fi definite ın cele ce urmeaza.


Perechea de plane

Fie doua plane date prin ecuatiile:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Aceste ecuatii pot fi reunite ıntr-o singura ecuatie de gradul doi,

(A1x + B1y + C1z + D1) · (A2x + B2y + C2z + D2) = 0.

Deci, perechea de plane formeaza o suprafata algebrica de ordinul al doilea.

Cilindrii patratici

Cilindrii patratici sunt de trei tipuri:a) cilindrul eliptic dat prin ecuatia canonica

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0, a, b > 0.

Intersectand acesta suprafata cu plane paralele cu planul Oxy obtinem elipsele de semiaxea si b, pentru orice h ∈ R:

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0, z = h,

b) cilindrul hiperbolic dat prin ecuatia canonica

x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0, a, b > 0.

Intersectand acesta suprafata cu plane paralele cu planul Oxy obtinem hiperbolele desemiaxe a si b, pentru orice h ∈ R :

x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0, z = h,

c) cilindrul parabolic dat prin ecuatia canonica x2 = 2py. Intersectand acestasuprafata cu plane paralele cu planul Oxy obtinem parabolele x2 = 2py, z = h, pentruorice h ∈ R.

Conul patratic

Conul patratic este suprafata de ecuatie canonica

x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 0, a, b, c > 0.

Intersectand suprafata cu plane paralele cu planul Oxy obtinem pentru h 6= 0 elipsele deecuatii

x2

a2 +y2

b2 −h2

c2 = 0, z = h,

de semiaxe ah/c si bh/c. Pentru a = b elipsele devin cercuri, iar suprafata se numestecon de rotatie.


10.2.3 Generatoarele rectilinii ale cuadricelor

Cuadricele degenerate au proprietatea ca pot fi descrise de o dreapta ın miscare supusala anumite conditii.

Dintre cuadricele nedegenerate doar hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiper-bolic au aceeasi proprietate.

Intr-adevar, ecuatia (10.14) a hiperboloidului cu o panza se poate scrie:

x2

a2 −z2

c2 = 1− y2

b2 sau(x

a+

zc

)(xa− z

c

)

=(

1 +yb

)(

1− yb

)

,

ecuatie care poate fi considerata ca rezultand prin eliminarea parametrilor λ si µ dinecuatiile

(xa

+zc

)

= λ(

1 +yb

)

,(x

a− z

c

)

=1λ

(

1− yb

)

, (10.17)

(xa

+zc

)

= λ(

1− yb

)

,(x

a− z

c

)

=1λ

(

1 +yb

)

, (10.18)

Ecuatiile (10.17) si (10.18) reprezinta doua familii de drepte. Daca (x, y, z) suntcoordonatele unui punct M situat pe una din cele doua drepte, ele vor verifica si ecuatiahiperboloidului, deci punctul M se apartine hiperboloidului. Deci, pentru orice valori aleparametrilor λ si µ aceste drepte apartin cuadricei. Cand λ si µ variaza, cele doua familiide drepte genereaza suprafata. Spunem ca dreptele de ecuatii (10.17) si (10.18) formeazafamilii de generatoare rectilinii ale paraboloidului cu o panza de ecuatie (10.14).

Analog, ecuatia (10.16) a paraboloidului hiperbolic se poate scrie(x

a+

yb

)(xa− y

b

)

= 2z,

de unde rezulta ca si aceasta cuadrica poseda doua familii de generatoare rectilinii, deecuatii

(xa

+yb

)

= λ,(x

a− y

b

)

=2λ

z,(x

a− y

b

)

= µ,(x

a+

yb

)

=2µ

z.

In mod asemanator se pot gasi generatoarele rectilinii ale cuadricelor degenerate. E-lipsoidul, hiperboloidul cu doua panze si paraboloidul eliptic nu au generatoare rectilinii.Cuadricele care au generatoare rectilinii reale se mai numesc si cuadrice riglate.

Capitolul 11

CURBE ALGEBRICE DEORDINUL AL DOILEA

11.1 Transformari liniare asociate unei curbe

Fie R = O, i, j un reper cartezian ortonormat ın planul euclidian E2.Definitia 11.1 Numim curba algebrica de ordinul al doilea multimea punctelor M dinplan ale caror coordonate (x, y) satisfac ecuatia:

(Γ) F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2(b1x + b2y) + c = 0, (11.1)

ın care a11, a12 = a21, a22, b1, b2, c ∈ R si a211 + a2

12 + a222 > 0.

Fie r = −−→OM = xi + yj, vectorul de pozitie al punctului M ın raport cu origineareperului.

Asociem curbei Γ, de ecuatie (11.1), forma patratica

h : E2 → R, h(r) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 (11.2)

si forma liniaraf : E2 → R, f(r) = b1x + b2y. (11.3)

Fie ınca A matricea formei patratice h si tB matricea formei liniare f , ın baza B =i, j:

A =(

a11 a12

a21 a22

)

, B =(

b1

b2

)

,

a.ı.h(r) = tXAX, f(r) = tBX.

In concordanta cu notatiile utilizate pentru forme biliniare si transformari liniare, fieg : E2×E2 → R forma biliniara simetrica polara formei h si T : E2 → E2 transformarealiniara simetrica asociata acesteia. Atunci

h(r) = g(r, r), g(u,v) = u · T (v) = T (u) · v, ∀r,u,v ∈ E2.

166


In fine, vom nota ınca cu b = b1i + b2j, a.ı. f(r) = b · r.Cu aceste notatii, ecuatia (11.1) a curbei Γ se scrie

(Γ) F (r) = h(r) + 2f(r) + c = 0. (11.4)

11.2 Centrele unei curbe algebrice de ordinul al doilea

Definitia 11.2 Numim centru al unei curbe algebrice de ordinul al doilea un punct fatade care curba este simetrica.

Teorema 11.1 Punctul C este centru al curbei Γ de ecuatie (11.1) d.d. vectorul sau depozitie r0 = −−→OC este solutie a ecuatiei

T (r) + b = 0. (11.5)

/ Necesitatea. Fie C un centru al curbei si r0 = −−→OC, vectorul sau de pozitie.Efectuam translatia

R = O, i, j −→ R′ = C, i, j,de vector r0 = x0i + y0j.

Daca −−→CM = r′ = x′i+y′j este vectorul de pozitie al punctului M ın raport cu origineaC a reperului R′, atunci

r = r0 + r′, (11.6)

si ecuatia (11.4) devine F (r′ + r0) = h(r′ + r0) + 2f(r′ + r0) + c = 0, sau

F0(r′) = h(r′) + 2[g(r′, r0) + f(r′)] + F (r0) = 0.

Dar, g(r′, r0) + f(r′) = (T (r0) + b) · r′, a.ı.

F0(r′) = h(r′) + 2[T (r0) + b] · r′ + F (r0) = 0.

Originea C fiind centru al curbei Γ, avem

F0(r′) = 0 =⇒ F0(−r′) = 0, ∀ M(r′) ∈ Γ,

de unde rezulta ca T (r0) + b = 0, adica r0 este solutie a ecuatiei (11.5).Suficienta. Fie r0 o solutie a ecuatiei (11.5), deci pentru care T (r0) + b = 0.

Efectuand translatiaR = O, i, j −→ R′ = C, i, j,

ın care C este punctul de vector de pozitie −−→OC = r0, ın reperul R′ ecuatia curbei devine

F0(r′) = h(r′) + F (r0) = 0 (11.7)

si evident, F0(r′) = 0 =⇒ F0(−r′) = 0, ∀ M(r′) ∈ Γ, deci punctul C este centru alcurbei. .

In reperul R, ecuatia vectoriala (11.5) este echivalenta cu sistemul liniar:

a11x + a12y + b1 = 0,a21x + a22y + b2 = 0. (11.8)


Definitia 11.3 Curba Γ, de ecuatie (11.1), se numeste:a) cu centru daca sistemul (11.8) este compatibil determinat;b) cu dreapta de centre daca sistemul (11.8) este compatibil nedeterminat;c) fara centru daca sistemul (11.8) este incompatibil.

Fie r = rg h = rg A rangul formei patratice h, care este tocmai rangul sistemului(11.8),

(A/B) =(

a11 a12 | b1

a21 a22 | b2

)

,

matricea extinsa a sistemului si r′ = rg (A/B).Din teorema lui Cramer si teorema lui Kronecker-Cappelli, avem urmatoarea teorema.

Teorema 11.2 Curba Γ, de ecuatie (11.1), este:a) cu centru d.d. r = 2;b) cu dreapta de centre d.d. r = 1 si r′ = 1;c) fara centru d.d. r = 1 si r′ = 2.

Daca curba Γ are cel putin un centru, ecuatia sa ıntr-un reper cu originea ın centru areforma (11.7), numita ecuatia redusa la centru, cu particularitatea ca nu contine termenide gradul ıntai, iar F (r0) = f(r0) + c.

11.3 Reducerea ecuatiei la expresia canonica

Teorema 11.3 Pentru orice curba algebrica de ordinul al doilea exista un reper ortonor-mat R′ ın care ecuatia sa are una din urmatoarele expresii (numite expresii canonice):

(a) ρ1x′2 + ρ2y′

2 = ε;(b) ρ1x′

2 = ε;(c) ρ1x′

2 = 2y′,

cu ρ1, ρ2 ∈ R \ 0 si ε ∈ 0, 1.

/ Stim din capitolul Spatii euclidiene ca pentru orice forma patratica pe un spatiueuclidian finit dimensional exista o baza ortonormata ın care aceasta are o expresiecanonica.

Fie deci B∗ = i∗, j∗ o baza ortonormata ın E2 ın care forma patratica h are expresiacanonica:

h(r) = λ1x∗2 + λ2y∗

2, (11.9)

unde r = x∗i∗+y∗j∗ si λ1, λ2 sunt valorile proprii ale formei patratice h, adica radacinile(totdeauna reale) ale ecuatiei caracteristice a transformarii liniare simetrice T :

∣

∣

∣

∣

a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣

∣

∣

∣

= 0, (11.10)

iar i∗, j∗ sunt vectorii proprii corespunzatori. Vom numerota radacinile ecuatiei (11.10)a.ı. |λ1| ≥ |λ2|.


Fie ınca C matricea ortogonala de trecere de la baza B = i, j la baza B∗ = i∗, j∗.Atunci, e∗ = eC si B∗ = tCB, tB∗ fiind matricea formei liniare f ın baza B∗. In reperulR∗ ecuatia curbei Γ se va scrie:

(Γ) F ∗(r) = λ1x∗2 + λ2y∗

2 + 2(b∗1x∗ + b∗2y

∗) + c = 0. (11.11)

Matricea extinsa asociata ecuatiei (11.11) este:

(A∗/B∗) =(

λ1 0 | b∗10 λ2 | b∗2

)

.

a) Daca Γ este o curba cu centru, r = 2 si deci λ2 6= 0. Efectuand translatia

x∗ = x∗0 + x′,y∗ = y∗0 + y′, (11.12)

ın centrul C(x∗0, y∗0), cu (x∗0, y

∗0) solutia sistemului:

λ1x∗0 + b∗1 = 0,λ2y∗0 + b∗2 = 0, (11.13)

ın reperul R′ = C, i∗, j∗ ecuatia (11.11) devine:

(a) λ1x′2 + λ2y′

2 + F ∗(x∗0, y∗0) = 0. (11.14)

Daca F ∗(x∗0, y∗0) = 0, luand ρ1 = λ1, ρ2 = λ2, ecuatia (11.14) este de forma (a) cu ε = 0,

iar daca F ∗(x∗0, y∗0) 6= 0, luand ρ1 = −λ1/F ∗(x∗0, y

∗0), ρ2 = −λ2/F ∗(x∗0, y

∗0), ecuatia

(11.14) este de forma (a) cu ε = 1.

b) Daca Γ este o curba cu dreapta de centre, r = 1, r′ = 1 si deci λ2 = 0, b∗2 = 0.Efectuand translatia (11.12) ıntr-un centru C(x∗0, y

∗0), cu x∗0 dat de:

λ1x∗0 + b∗1 = 0,

si y∗0 arbitrar, ın reperul R′ = C, i∗, j∗ ecuatia (11.11) devine:

(b) λ1x′2 + F ∗(x∗0, y

∗0) = 0. (11.15)

Daca F ∗(x∗0, y∗0) = 0, luand ρ1 = λ1, ecuatia (11.14) este de forma (b) cu ε = 0, iar daca

F ∗(x∗0, y∗0) 6= 0, luand ρ1 = −λ1/F ∗(x∗0, y

∗0), ecuatia (11.14) este de forma (b) cu ε = 1.

c) Daca Γ este o curba fara centru, r = 1, r′ = 2 si deci λ2 = 0, b∗2 6= 0. Efectuand otranslatie de forma (11.12) ecuatia (11.11) devine:

λ1x′2 + 2(λ1x∗0 + b∗1)x

′ + 2b∗2y′ + F ∗(x∗0, y

∗0) = 0. (11.16)

Alegem translatia R∗ →R′ = O′, i∗, j∗ de vector r0 = x∗0i∗ + y∗0j

∗, a.ı. axa O′y′ sa fieaxa de simetrie a curbei si originea O′ sa apartina curbei, deci a.ı.

λ1x∗0 + b∗1 = 0,F ∗(x∗0, y

∗0) = 0.


Tabelul 11.1: Clasificarea curbelor algebrice de ordinul al doilea

r r′ tip ε Ecuatia canonica semn Conica++ elipsa reala

r′ = 2 1 ρ1x′2 + ρ2y′2 = 1 +− hiperbolar = 2 conica a −− elipsa imaginara

cu centru 0 ρ1x′2 + ρ2y′2 = 0 ++ per. de dr. sec. imag.+− per. de dr. sec. reale

r′ = 1 1 ρ1x′2 = 1 + per de dr. par. realecu dr. de b − per de dr. par. imag.

r = 1 centre 0 x′2 = 0 per. de dr. confundater′ = 2 c ρ1x′2 = 2y′ parabola

fara centru

In reperul R′, ecuatia (11.16) se reduce la

(c) λ1x′2 + 2b∗2y

′ = 0. (11.17)

Luand ρ1 = −λ1/b∗2, ecuatia (11.17) are forma (c). .

Reperul R′ ın care ecuatia curbei are o expresie canonica, numit reper canonic alcurbei, se obtine din reperul R printr-o schimbare de baze ortonormate si o translatie.Daca baza B∗ se alege la fel orientata cu baza B, schimbarea de baze este o rotatie ınplan.

Daca curba are cel putin un centru se poate efectua mai ıntai translatia ın centru siapoi rotatia.

Din teorema precedenta rezulta ca orice curba algebrica de ordinul al doilea este oconica (nedegenerata sau degenerata). Tot din teorema precedenta rezulta urmatoareaclasificare a curbelor algebrice de ordinul al doilea, data ın Tabelul 11.1.

Exemplul 11.1 Pentru conica Γ de ecuatie F (x, y) = 5x2−6xy+5y2−8x−8y+8 = 0,avem

(A/B) =(

5 −3 | −4−3 5 | −4

)

∼(

1 0 | −20 1 | −2

)

,

deci r = 2, conica este cu centru C(2, 2). Dupa translatia de vector r0 = 2i + 2j, ecuatiaconicei devine 5x′2 − 6x′y′ + 5y′2 − 8 = 0. Ecuatia caracteristica este λ2 − 10λ + 16 = 0,iar valorile proprii si vectorii proprii corespunzatori sunt:

λ1 = 2, i∗ =1√2(i + j), λ2 = 8, j∗ =

1√2(−i + j),

cu det C = +1. In reperul canonic R∗ = C, i∗, j∗ conica are ecuatia:

2x∗2 + 8y∗2 − 8 = 0, saux∗2

4+ y∗2 − 1 = 0

si este deci o elipsa de semiaxe a = 2, b = 1.


11.4 Invariantii ortogonali ai unei conice

Fie data conica Γ prin ecuatia sa ın reperul cartezian ortonormat R = O, i, j:

(Γ) F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2(b1x + b2y) + c = 0 (11.18)

si fie

(Γ) F ′(x′, y′) = a′11x′2 + 2a′12x

′y′ + a′22y′2 + 2(b′1x

′ + b′2y′) + c′ = 0, (11.19)

ecuatia conicei Γ ın reperul R′ = O′, i′, j′, obtinut din reperul R printr-o schimbareortogonala de reper ( translatie si rotatie, eventual simetrie fata de una din axe).Definitia 11.4 Numim invariant ortogonal sau metric al conicei Γ o functie Ω de coe-ficientii ecuatiei (11.18) care ısi pastreaza valoarea cand acesti coeficienti sunt ınlocuitiprin corespunzatorii lor din ecuatia (11.19), adica

Ω(a11, a12, a22, b1, b2, c) = Ω(a′11, a′12, a

′22, b

′1, b

′2, c

′),

oricare ar fi schimbarea ortogonala care duce reperul R ın reperul R′.

Din definitie rezulta ca Ω este un invariant ortogonal d.d. este invariant la translatiisi la schimbari ortogonale omogene (rotatii urmate eventual de simetrii).

Fie

A =(

a11 a12

a21 a22

)

,

matricea formei patratice h asociata curbei Γ si

A0 =

a11 a12 b1

a21 a22 b2

b1 b2 c

,

matricea coeficientilor ecuatiei (11.18) ın reperul R.Notam cu I, δ, K, ∆, suma minorilor principali de ordinele 1 si 2, respectiv 2 si 3 ai

matricelor A, A0:

I = a11 + a22, δ =∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

,

K =∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a11 b1b1 c

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a22 b2b2 c

∣

∣

∣

∣

, ∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 b1

a21 a22 b2

b1 b2 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Teorema 11.4 Functiile I, δ, K, ∆ sunt invariante la schimbari ortogonale omogenede repere.

/ Fie T : E2 → E2 si T0 : E3 → E3 transformarile liniare simetrice ale caror matriceın bazele canonice din E2, respectiv E3, sunt A, respectiv A0. O schimbare ortogonalade repere induce o schimbare de baze ın E2, de matrice ortogonala

C =(

c11 c12

c21 c22

)

, detC0 = ±1


si o schimbare de baze ın E3, de matrice ortogonala

C0 =

c11 c12 0c21 c22 00 0 1

, det C0 = ±1.

Dar, ecuatia caracteristica a unei transformari liniare este invarianta la schimbari debaze. Cum ecuatiile caracteristice ale transformarilor liniare simetrice T si T0 sunt:

λ2 − Iλ + δ = 0, λ3 − I∗λ2 + Kλ + ∆ = 0,

cu I∗ = I + c, rezulta ca I, δ, K, ∆ sunt invariante la schimbari ortogonale omogene. .

Teorema 11.5 Functiile I, δ, ∆ sunt invariante la translatii.

/ Efectuand translatia de vector r0 = x0i + y0j, r = r0 + r′, ın reperul R′ ecuatiaconicei Γ devine

F0(r′) = h(r′) + 2U(r0)r′ + F (r0) = 0,

unde s-a notat cuU(r) = T (r) + b = F1(x, y)i + F2(x, y)j.

Deci

∆′ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 F1(x0, y0)a21 a22 F2(x0, y0)F1(x0, y0) F2(x0, y0) F (x0, y0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Dar,

F1(x0, y0) = a11x0 + a12y0 + b1,

F2(x0, y0) = a21x0 + a22y0 + b2,

F (x0, y0) = x0F1(x0, y0) + y0F2(x0, y0) + b1x0 + b2y0 + c

si un calcul simplu arata ca ∆′ = ∆. .

Teorema 11.6 Functia K este invarianta la translatii pentru conicele cu dreapta decentre.

/ Din Teorema 11.3 rezulta ca pentru o conica cu dreapta de centre exista un reperortonormat ın care ecuatia curbei nu contine termeni ın y, adica este de forma

F (x, y) = a11x2 + 2b1x + c = 0.

In acest caz,

K =∣

∣

∣

∣

a11 b1

b1 c

∣

∣

∣

∣

.

Efectuand o translatie x = x0 + x′, y = y0 + y′, ecuatia conicei devine

a11x′2 + 2(a11x0 + b1)x′ + F (x0, y0) = 0

si avem

K ′ =∣

∣

∣

∣

a11 a11x0 + b1

a11x0 + b1 F (x0, y0)

∣

∣

∣

∣

= K..

In concluzie, functiile I, δ, ∆ sunt invarianti ortogonali ai oricarei conice, iar functiaK este invariant ortogonal numai pentru conicele cu dreapta de centre.


11.5 Clasificarea metrica a conicelor

Teorema 11.7 Conica Γ de ecuatie (11.18) este:

(I) cu centru d.d. δ 6= 0;(II) fara centru d.d. δ = 0 ∆ 6= 0;(III) cu dreapta de centre d.d. δ = 0 ∆ = 0 I 6= 0.

/ In reperul R∗ = O, i∗, j∗, cu i∗, j∗ versori proprii, matricele A, (A/B), A0 se scriu

A∗ =(

λ1 00 λ2

)

, (A∗/B∗) =(

λ1 0 | b∗10 λ2 | b∗2

)

, A∗0 =

λ1 0 b∗10 λ2 b∗2b∗1 b∗2 c

si avem I = λ1 + λ2, δ = λ1 · λ2. Presupunand |λ1| ≥ |λ2|, sa observam ca λ2 = 0 d.d.δ = 0 si ın acest caz

∆ = −I · (b∗2)2. (11.20)

I. Daca conica Γ este cu centru, din r = 2 urmeaza δ 6= 0 si reciproc.II. Daca conica Γ este fara centru, din r = 1 urmeaza λ2 = 0 si deci δ = 0, I = λ1 6= 0,

iar din r′ = 2 deducem b∗2 6= 0, care cu (11.20) implica ∆ 6= 0.Reciproc, din δ = 0 urmeaza λ2 = 0, iar din ∆ 6= 0, cu (11.20), deducem I 6= 0 si

b∗2 6= 0, ceea ce implica r = 1 si r′ = 2.III. Daca conica Γ este cu dreapta de centre, din r = 1 urmeaza λ2 = 0 si deci δ = 0,

I = λ1 6= 0, iar din r′ = 1 deducem b∗2 = 0, care cu (11.20) implica ∆ = 0.Reciproc, din δ = 0 urmeaza λ2 = 0, iar din ∆ = 0, cu I 6= 0 deducem b∗2 = 0, ceea

ce implica r = 1 si r′ = 1. .

Teorema 11.8 Pentru orice conica exista un reper ortonormat R′ ın care ecuatia ca-nonica a conicei are una din formele:

(I) λ1x′2 + λ2y′

2 + ∆δ = 0 (conica cu centru);

(II) x′2 ± 2√

−∆I3 y′ = 0 (conica fara centru);

(III) x′2 + KI2 = 0 (conica cu dreapta de centre).

/ I. Din Teorema 11.3 rezulta ca exista un reper ortonormat R′ = C, i∗, j∗ ın careecuatia conicei cu centru este (11.14):

(a) λ1x′2 + λ2y′

2 + F ∗(x∗0, y∗0) = 0. (11.21)

Matricea coeficientilor conicei Γ ın reperul R′ va fi:

A′0 =

λ1 0 00 λ2 00 0 F ∗(x∗0, y

∗0)

si deci δ = λ1λ2 6= 0, ∆ = λ1λ2 F ∗(x∗0, y∗0), de unde,

F ∗(x∗0, y∗0) =

∆δ

,


ıncat ecuatia (11.21) ia forma (I).II. Din aceeasi teorema rezulta ca exista un reper ortonormat R′ canonic pentru

conica fara centru Γ ın care ecuatia ei este (11.17):

(c) λ1x′2 + 2b∗2y

′ = 0 (11.22)

ıncat:

A′0 =

λ1 0 00 0 b∗20 b∗2 0

si deci I = λ1, ∆ = −λ1(b∗2)2, de unde,

b∗2 = ±2

√

−∆I

,

ıncat ecuatia (11.22) ia forma (II).III. Ecuatia conicei cu dreapta de centre Γ ın reperul canonic R′ este (11.15):

(b) λ1x′2 + F ∗(x∗0, y

∗0) = 0 (11.23)

si deci

A′0 =

λ1 0 00 0 00 0 F ∗(x∗0, y

∗0)

ıncat I = λ1. Pentru aceste conice K este un invariant si K = λ1 F ∗(x∗0, y∗0), de unde

F ∗(x∗0, y∗0) =

KI

si astfel din (11.23) obtinem (III).

11.6 Proprietati diametrale si asimptotice ale conice-lor

11.6.1 Intersectia unei conice cu o dreapta

Fie conica Γ data prin ecuatia:

(Γ) F (r) = h(r) + 2f(r) + c = 0 (11.24)

si dreapta D de ecuatie:

(D) r = r0 + tv, t ∈ R, v 6= 0. (11.25)

Daca punctul M(r) ∈ Γ ∩D, atunci exista t ∈ R a.ı.

r = r0 + tv, F (r) = 0.


Deci coordonatele punctelor de intersectie ale conicei cu dreapta si valoarea cores-punzatoare a parametrului t satisfac sistemul format din ecuatiile (11.24) si (11.25).Eliminand pe r ıntre cele doua ecuatii, obtinem:

h(v)t2 + 2[g(r0,v) + f(v)]t + F (r0) = 0, (11.26)

unde g este forma biliniara simetrica polara formei patratice h.Radacinile ecuatiei (11.26), daca exista, ınlocuite ın (11.25) dau vectorii de pozitie ai

punctelor de intersectie.

Teorema 11.9 Dreapta D, de ecuatie (11.25), apartine conicei Γ d.d.

h(v) = 0, g(r0,v) + f(v) = 0, F (r0) = 0. (11.27)

/ Intr-adevar, dreapta D apartine conicei Γ d.d. (11.26) are loc pentru orice t ∈ R,deci d.d. au loc (11.27). .

Sa presupunem ca h(v) 6= 0. Atunci ecuatia (11.26) este de gradul doi. Realitatearadacinilor sale este functie de semnul discriminantului:

D(r0,v) = [g(r0,v) + f(v)]2 − h(v)F (r0).

Prin urmare, ecuatia (11.26) are:a) doua radacini reale si distincte d.d. D(r0,v) > 0. In acest caz, dreapta D este

secanta conicei Γ. Daca t1 si t2 sunt radacinile ecuatiei (11.26), vectorii de pozitie aipunctelor M1 si M2 de intersectie a dreptei cu conica sunt dati de:

r1 = r0 + t1v, r2 = r0 + t2v.

b) doua radacini reale si egale d.d.

D(r0,v) = 0. (11.28)

In acest caz, dreapta D este tangenta conicei Γ. Punctul M0, de contact al dreptei cuconica are vectorul de pozitie

rc = r0 −g(r0,v) + f(v)

h(v)v.

c) radacini complexe d.d. D(r0,v) < 0. In acest caz, D ∩ Γ = ∅.

11.6.2 Tangente la o conica

Dupa cum rezulta din discutia precedenta, dreapta D este tangenta conicei Γ d.d. areloc (11.28), adica

[g(r0,v) + f(v)]2 − h(v)F (r0) = 0. (11.29)


Tangenta printr-un punct al conicei

Sa presupunem mai ıntai ca punctul M0(r0) al dreptei D apartine conicei Γ, deci F (r0) =0. Atunci, dreapta D este tangenta ın M0 conicei Γ d.d. directia sa v satisface conditia,

g(r0,v) + f(v) = 0, (11.30)

care se mai scrie:v · [T (r0) + b] = 0.

De aici rezulta ca dreapta D prin punctul M0(r0) ∈ Γ este tangenta conicei Γ d.d. directiasa v este perpendiculara pe vectorul

U(r0) = T (r0) + b.

Teorema 11.10 In orice punct M0(r0) ∈ Γ, pentru care U(r0) 6= 0, tangenta la conicaΓ este unic determinata si este caracterizata analitic prin ecuatia

g(r0, r) + [f(r) + f(r0)] + c = 0. (11.31)

/ Intr-adevar, ın conditia U(r0) 6= 0, putem elimina pe v ıntre ecuatiile (11.25) si(11.30) si tinand seama ca F (r0) = 0, rezulta (11.31). .

In reperul R ecuatia (11.31) se scrie:

a11xx0 + a12(xy0 + x0y) + a22yy0 + b1(x + x0) + b2(y + y0) + c = 0. (11.32)

Ecuatiile (11.31), (11.32) se obtin din ecuatiile corespunzatoare ale conicei prin dedublaresau polarizare.

Tangente dintr-un punct exterior conicei

Sa presupunem acum ca punctul M0(r0) al dreptei D nu apartine conicei Γ, deci F (r0) 6=0. Dreapta D prin M0 este tangenta conicei Γ d.d. directia sa v satisface conditia (11.29),care se mai scrie:

[`F1(x0, y0) + mF2(x0, y0)]2 − (a11`2 + 2a12`m + a22m)2F (x0, y0) = 0, (11.33)

care este o ecuatie omogena de gradul doi ın coordonatele (`, m) ale vectorului directorv al dreptei D.

Tangentele din punctul M0 vor fi reale, imaginare sau confundate, dupa cum ecuatia(11.33) ın `/m sau m/` are radacini reale, complexe sau egale.

Ecuatia patratica a tangentelor din M0(r0) la conica Γ se obtine eliminand pe v ıntreecuatiile (11.25) si (11.29):

[g(r0, r− r0) + f(r− r0)]2 − h(r− r0)F (r0) = 0. (11.34)


Tangente paralele cu o directie data

Sa presupunem acum ca directia v a dreptei D este fixa. Dreapta D de directie v estetangenta conicei Γ daca vectorul de pozitie r0 al unui punct M0 al acestei drepte satisfaceconditia de tangenta (11.29).

Prin calcul direct se arata ca daca r0 verifica ecuatia (11.29), atunci oricare ar fit ∈ R, vectorul r = r0 + tv verifica de asemenea ecuatia (11.29), adica,

[g(r,v) + f(v)]2 − h(v)F (r) = 0. (11.35)

Ecuatia (11.35) fiind de gradul doi ın r, rezulta ca locul geometric al punctelor dinplan din care se pot duce tangente paralele cu directia v este o pereche de drepte paralele,reale sau imaginare sau o pereche de drepte confundate.

Punctele de contact ale conicei cu tangentele la conica paralele cu directia v se obtinrezolvand sistemul:

F (r) = 0, [g(r,v) + f(v)]2 − h(v)F (r) = 0,

echvalent cu sistemul:F (r) = 0, g(r,v) + f(v) = 0.

deci, punctele de contact ale conicei cu tangentele la conica paralele cu directia v pot fiobtinute si ca intersectia conicei cu dreapta de ecuatie:

g(r,v) + f(v) = 0, (11.36)

sau:v · U(r) = `F1(x, y) + mF2(x, y) = 0, (11.37)

sau ınca:T (v) · r + f(v) = 0. (11.38)

Dreapta de ecuatie (11.38) este un diametru al conicei Γ conjugat cu directia v.

11.6.3 Diametrii conjugati. Directii principale. Axele unei con-ice

Definitia 11.5 Numim diametru al conicei Γ conjugat cu directia v locul geometric almijloacelor corzilor conicei de directie v.

Teorema 11.11 Diametrul conicei Γ, de ecuatie (11.24) conjugat cu directia v 6= 0 estecaracterizat analitic prin ecuatia (11.36).

/ O coarda [M1M2] de directie v a conicei Γ este caracterizata prin ecuatia:

r = r0 + tv, t ∈ [t1, t2],

ın care t1 si t2 sunt radacinile ecuatiei (11.26).Vectorul de pozitie al mijlocului corzii [M1M2] va fi dat de

r1 + r2

2= r0 +

t1 + t22

v = r0 −g(v, r0) + f(v)

h(v)v.


Punctul M0(r0) este mijlocul corzii [M1M2] d.d.

r0 =r1 + r2

2,

adica, d.d. g(r0,v) + f(v) = 0.In concluzie, punctul M0(r0) este un punct al locului geometric d.d. r0 satisface

ecuatia (11.36).

Exemplul 11.2 Diametrii conicei Γ conjugati cu directiile axelor de coordonate i(1, 0),j(0, 1) au ecuatiile:

F1(x, y) = a11x + a12y + b1 = 0,

F2(x, y) = a21x + a22y + b2 = 0.

Din (11.38) rezulta ca diametrul conicei Γ conjugat cu directia v este o dreapta dedirectie v′ ⊥ T (v), deci pentru care,

v′ · T (v) = g(v′,v) = 0.

Diametrul conicei Γ conjugat cu directia v′ este o dreapta de directie v, caci

v · T (v′) = g(v,v′) = g(v′,v) = v′ · T (v) = 0.

Definitia 11.6 Directiile v(`,m) si v′(`′,m′) pentru care

g(v,v′) = a11``′ + a12(`m′ + m`′) + a22mm′ = 0 (11.39)

se numesc directii conjugate ın raport cu conica Γ.O pereche de diametri ai caror directii sunt conjugate se numesc diametri conjugati.

Definitia 11.7 Directia v se numeste principala pentru conica Γ daca este ortogonaladirectiei v′ conjugate ei ın raport cu conica, adica

v · v′ = 0. (11.40)

Teorema 11.12 Directia v este principala pentru conica Γ d.d. v este vector propriu altransformarii liniare T , corespunzator unei valori proprii nenule.

/ Daca directia v este principala, atunci v si v′ sunt conjugate si ortogonale, deci

v′ · T (v) = 0, v′ · v = 0,

adicaT (v) ⊥ v′, v ⊥ v′ =⇒ T (v) ‖ v,

de unde rezulta ca exista λ 6= 0 a.ı. T (v) = λv, adica v este vector propriu.Reciproc, daca v este vector propriu corespunzator unei valori proprii nenule λ, atunci

T (v) = λv. Fie v′ directia conjugata directiei v, deci v′ ·T (v) = 0. Rezulta ca v′ ·v = 0,adica v ⊥ v′. In concluzie, directia v este principala. .


v

M1

M2

(D)

6

Figura 11.1: Axele unei conice

Teorema 11.13 Un diametru conjugat cu o directie principala este o axa a conicei.

/ Intr-adevar, diametrul D conjugat cu o directie principala este locul geometric almijloacelor corzilor [M1M2] ale conicei Γ perpendiculare pe el, deci fata de care M1 siM2 sunt simetrice. Rezulta ca D este o axa de simetrie a conicei. .

Teorema 11.14 O pereche de diametri conjugati ortogonali ai unei conice cu centruformeaza o pereche de axe ale conicei.

/ Fie D si D′ doi diametri conjugati cu directiile v si v′, conjugate si ortogonale.Atunci g(v,v′) = 0 si v · v′ = 0. Conica fiind cu centru, δ 6= 0, cele doua valori propriisunt nenule. Vectorii v si v′ sunt atunci vectori proprii corespunzatori la valori propriinenule si deci, dupa Teorema 11.12, directiile lor sunt principale, iar dupa Teorema 11.13,diametrii D si D′ sunt axe ale conicei, evident ortogonale. .

Dupa Teorema 11.13, o axa a conicei este un diametru de ecuatie

v · U(r) = T (v) · r + f(v) = 0,

conjugat cu o directie principala, adica T (v) ‖ v.In reperul R, axele conicei cu centru sunt caracterizate analitic prin ecuatiile:

`F1(x, y) + mF2(x, y) = 0,a11` + a12m

`=

a21` + a22mm

.

Eliminand parametrii ` si m ıntre aceste ecuatii obtinem ecuatia patratica a axelor uneiconice cu centru:

(a11 − a22)F1(x, y)F2(x, y)− a12[F 21 (x, y)− F 2

2 (x, y)] = 0.

O conica fara centru unic, avand o singura valoare proprie nenula, λ = I 6= 0, va aveao singura directie principala v, pentru care T (v) = Iv, sau

a11` + a12m = (a11 + a22)`,

a21` + a22m = (a11 + a22)m.


Putem lua ` = a11, m = a12 ca parametri directori ai directiei principale. Din Teorema11.13 rezulta ca aceste conice au o singura axa si anume, diametrul conjugat directieiprincipale. Deci ecuatia axei unei conice fara centru unic este:

a11F1(x, y) + a12F2(x, y) = 0.

Drept parametri directori ai axei unei conice fara centru putem lua ` = a12, m = −a11.Pentru conicele cu dreapta de centre, axa este dreapta centrelor.

11.6.4 Directii asimptotice. Asimptotele unei conice

Definitia 11.8 Directia v se numeste asimptotica pentru conica Γ daca orice dreaptade directie v intersecteaza conica ın cel mult un punct sau apartine conicei.

Teorema 11.15 Directia v(`,m) este asimptotica pentru conica Γ de ecuatie (11.24)d.d.

h(v) = a11`2 + 2a12`m + a22m2 = 0. (11.41)

/ Dreapta D de ecuatie (11.25) intersecteaza conica Γ de ecuatie (11.24) ın cel multun punct sau apartine conicei d.d. ecuatia (11.26) este cel mult de gradul ıntai si aresolutie unica sau este identic satisfacuta, adica d.d. coeficientul termenului de gradul doieste nul. .

Ecuatia (11.41), omogena ın (`, m), fiind de gradul doi, conica Γ poate admite celmult doua directii asimptotice. Discriminantul acestei ecuatii fiind egal cu −δ, rezulta:

a) Conicele pentru care δ < 0 (hiperbolele si perechile de drepte secante reale) audoua directii asimptotice distincte. Ele se numesc conice de gen hiperbolic;

b) Conicele pentru care δ > 0 (elipsele si perechile de drepte secante imaginare) nuau directii asimptotice. Ele se numesc conice de gen eliptic;

c) Conicele pentru care δ = 0 (parabolele si perechile de drepte paralele sau confun-date) au doua directii asimptotice confundate. Ele se numesc conice de gen parabolic.

In cazul conicelor de gen parabolic, directia asimptotica este data de ecuatia:

(a11` + a12m)2 = 0,

de unde ` = λa12, m = −λa11, λ ∈ R, adica directia asimptotica este tocmai directiaaxei conicei.

Definitia 11.9 Dreapta D, a carei directie v este asimptotica la conica Γ, se numesteasimptota a conicei daca nu are nici un punct comun cu conica sau apartine conicei.

Teorema 11.16 O asimptota a conicei Γ este un diametru conjugat cu o directie vasimptotica pentru Γ.

/ Dreapta D de directie v, asimptotica pentru Γ nu are nici un punct comun cuΓ sau apartine conicei Γ d.d. ecuatia (11.26) cu h(v) = 0, este imposibila sau identicsatisfacuta, deci d.d. si coeficientul lui t este nul. Dar, locul geometric al punctelorM0(r0) pentru care g(r0,v) + f(v) = 0 este diametrul conicei Γ conjugat cu directia v..


In concluzie, asimptotele conicei Γ de ecuatie (11.24) sunt caracterizate analitic princonditiile:

v · T (v) = a11`2 + 2a12`m + a22m2 = 0,

v · U(r) = `F1(x, y) + mF2(x, y) = 0. (11.42)

Consecinta 11.1 Daca δ 6= 0, asimptotele trec prin centrul conicei, iar daca δ = 0,asimptotele sunt paralele cu axa conicei.

Din cele de mai sus rezulta:a) Conicele de gen hiperbolic au doua asimptote distincte;b) Conicele de gen eliptic nu au asimptote;c) Conicele de gen parabolic nu au asimptote (cazul parabolelor) sau au o infinitate

de asimptote (cazul perechilor de drepte paralele sau confundate). In acest ultim caz,orice dreapta paralela cu axa conicei este o asimptota.

Eliminand parametrii ` si m ıntre cele doua ecuatii (11.42) obtinem ecuatia patraticaa asimptotelor unei conice:

a11F 22 (x, y)− 2a12F1(x, y)F2(x, y) + a22F 2

1 (x, y) = 0, (11.43)

care, pentru conicele cu centru (δ 6= 0) se mai scrie sub forma:

F (x, y)− ∆δ

= 0. (11.44)

Exemplul 11.3 Din (11.44) rezulta imediat ca ecuatia patratica a asimptotelor hiper-bolei de ecuatie

x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0

estex2

a2 −y2

b2 = 0.

Adica ecuatiile asimptotelor hiperbolei sunt

y = ± ba

x.

Capitolul 12

SUPRAFETE ALGEBRICEDE ORDINUL AL DOILEA

12.1 Transformari liniare asociate unei suprafete

Fie R = O, i, j,k un reper cartezian ortonormat ın spatiul euclidian E3.Definitia 12.1 Numim suprafata algebrica de ordinul al doilea multimea punctelor Mdin spatiu ale caror coordonate (x, y, z) satisfac ecuatia:

(S) F (x, y, z) = a11x2+a22y2+a33z2+2(a12xy+a23yz+a31zx)+2(b1x+b2y+b3z)+c = 0,(12.1)

ın care aij = aji, bi, c ∈ R, i, j = 1, 2, 3 si

3∑

i=1

a2ij > 0.

Fie r = −−→OM = xi + yj + zk, vectorul de pozitie al punctului M ın raport cu origineareperului.

Asociem suprafetei S, de ecuatie (12.1), forma patratica

h : E3 → R, h(r) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2(a12xy + a23yz + a31zx) (12.2)

si forma liniaraf : E3 → R, f(r) = b1x + b2y + b3z. (12.3)

Fie ınca A matricea formei patratice h si tB matricea formei liniare f , ın baza B =i, j,k:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

b1

b2

b3

,

a.ı.h(r) = tXAX, f(r) = tBX.

182


In concordanta cu notatiile utilizate pentru forme biliniare si transformari liniare, fieg : E3×E3 → R forma biliniara simetrica polara formei h si T : E3 → E3 transformarealiniara simetrica asociata acesteia. Atunci h(r) = g(r, r), g(u,v) = u · T (v) = T (u) ·v, ∀r,u,v ∈ E3. In fine, vom nota ınca cu b = b1i + b2j + b3k, a.ı. f(r) = b · r.

Cu aceste notatii, ecuatia (12.1) a suprafetei S se scrie

(S) F (r) = h(r) + 2f(r) + c = 0. (12.4)

12.2 Centrele unei suprafete algebrice de ordinul doi

Definitia 12.2 Numim centru al unei suprafete algebrice de ordinul al doilea un punctfata de care suprafata este simetrica.

Teorema 12.1 Punctul C este centru al suprafetei S de ecuatie (12.1) d.d. vectorul saude pozitie r0 = −−→OC este solutie a ecuatiei

T (r) + b = 0. (12.5)

/ Necesitatea. Fie C un centru al suprafetei si r0 = −−→OC, vectorul sau de pozitie.Efectuam translatia

R = O, i, j,k −→ R′ = C, i, j,k,de vector r0 = x0i + y0j + z0k.

Daca −−→CM = r′ = x′i + y′j + z′k este vectorul de pozitie al punctului M ın raport cuoriginea C a reperului R′, atunci

r = r0 + r′, (12.6)

si ecuatia (12.4) devine F (r′ + r0) = h(r′ + r0) + 2f(r′ + r0) + c = 0, sau

F0(r′) = h(r′) + 2[g(r′, r0) + f(r′)] + F (r0) = 0.

Dar, g(r′, r0) + f(r′) = (T (r0) +b) · r′, a.ı. F0(r′) = h(r′) + 2[T (r0) +b] · r′+ F (r0) = 0.Originea C fiind centru al suprafetei S, avem

F0(r′) = 0 =⇒ F0(−r′) = 0, ∀ M(r′) ∈ S,

de unde rezulta ca T (r0) + b = 0, adica r0 este solutie a ecuatiei (12.5).Suficienta. Fie r0 o solutie a ecuatiei (12.5), deci pentru care T (r0) + b = 0.

Efectuand translatia R = O, i, j,k −→ R′ = C, i, j,k, ın care C este punctul devector de pozitie −−→OC = r0, ın reperul R′ ecuatia suprafetei devine

F0(r′) = h(r′) + F (r0) = 0 (12.7)

si evident, F0(r′) = 0 =⇒ F0(−r′) = 0, ∀ M(r′) ∈ S, deci punctul C este centru alsuprafetei. .

In reperul R, ecuatia vectoriala (12.5) este echivalenta cu sistemul liniar:

a11x + a12y + a13z + b1 = 0,a21x + a22y + a23z + b2 = 0,a31x + a32y + a33z + b3 = 0.

(12.8)


Definitia 12.3 Suprafata S, de ecuatie (12.1), se numeste:a) cu centru daca sistemul (12.8) este compatibil determinat;b) cu dreapta de centre daca sistemul (12.8) este compatibil simplu nedeterminat;c) fara centru daca sistemul (12.8) este incompatibil avand rangul 2;d) cu plan de centre daca sistemul (12.8) este compatibil dublu nedeterminat;e) fara dreapta de centre daca sistemul (12.8) este incompatibil avand rangul 1.

Fie r = rg h = rg A rangul formei patratice h, care este tocmai rangul sistemului(12.8),

(A/B) =

a11 a12 a13 | b1

a21 a22 a23 | b2

a31 a32 a33 | b3

,

matricea extinsa a sistmului si r′ = rg (A/B).Din teorema lui Cramer si teorema lui Kronecker-Cappelli, avem urmatoarea teorema.

Teorema 12.2 Suprafata S, de ecuatie (12.1), este:a) cu centru d.d. r = 3;b) cu dreapta de centre d.d. r = 2 si r′ = 2;c) fara centru d.d. r = 2 si r′ = 3;d) cu plan de centre d.d. r = 1 si r′ = 1;e) fara dreapta de centre d.d. r = 1 si r′ = 2.

Daca suprafata S are cel putin un centru, ecuatia sa ıntr-un reper cu originea ıncentru are forma (12.7), numita ecuatia redusa la centru, cu particularitatea ca nu continetermeni de gradul ıntai, iar F (r0) = f(r0) + c.

12.3 Reducerea ecuatiei la expresia canonica

Teorema 12.3 Pentru orice suprafata algebrica de ordinul al doilea exista un reper orto-normat R′ ın care ecuatia sa are una din urmatoarele expresii (numite expresii canonice):

(a) ρ1x′2 + ρ2y′

2 + ρ3z′2 = ε;

(b) ρ1x′2 + ρ2y′

2 = ε;(c) ρ1x′

2 + ρ2y′2 = 2z′,

(d) ρ1x′2 = ε;

(e) ρ1x′2 = 2y′,

cu ρ1, ρ2, ρ3 ∈ R \ 0 si ε ∈ 0, 1.

/ Stim din capitolul Spatii euclidiene ca pentru orice forma patratica pe un spatiueuclidian finit dimensional exista o baza ortonormata ın care aceasta are o expresiecanonica.

Fie deci B∗ = i∗, j∗,k∗ o baza ortonormata ın E3 ın care forma patratica h areexpresia canonica:

h(r) = λ1x∗2 + λ2y∗

2 + λ3z∗2, (12.9)

unde r = x∗i∗+y∗j∗+z∗k∗ si λ1, λ2, λ3 sunt valorile proprii ale formei patratice h, adicaradacinile (totdeauna reale) ale ecuatiei caracteristice a transformarii liniare simetrice T :


∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 − λ a12 a13

a21 a22 − λ a23

a31 a32 a33 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, (12.10)

iar i∗, j∗,k∗ sunt vectorii proprii corespunzatori. Vom numerota radacinile ecuatiei(12.10) a.ı.

|λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3|.

Fie ınca C matricea ortogonala de trecere de la baza B = i, j,k la baza B∗ =i∗, j∗,k∗. Atunci, e∗ = eC si B∗ = tCB, tB∗ fiind matricea formei liniare f ın bazaB∗. In reperul R∗ ecuatia suprafetei S se va scrie:

(S) F ∗(r) = λ1x∗2 + λ2y∗

2 + λ3z∗2 + 2(b∗1x

∗ + b∗2y∗ + b∗3z

∗) + c = 0. (12.11)

Matricea extinsa asociata ecuatiei (12.11) este:

(A∗/B∗) =

λ1 0 0 | b∗10 λ2 0 | b∗20 0 λ3 | b∗3

.

a) Daca S este o suprafata cu centru, r = 3 si deci λ3 6= 0. Efectuand translatia

x∗ = x∗0 + x′, y∗ = y∗0 + y′, z∗ = z∗0 + z′, (12.12)

ın centrul C(x∗0, y∗0 , z∗0), cu (x∗0, y

∗0 , z∗0) solutia sistemului:

λ1x∗0 + b∗1 = 0,λ2y∗0 + b∗2 = 0,λ3z∗0 + b∗3 = 0,

(12.13)

ın reperul R′ = C, i∗, j∗,k∗ ecuatia (12.11) devine:

(a) λ1x′2 + λ2y′

2 + λ3z′2 + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.14)

Daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0, luand ρi = λi, i = 1, 2, 3, ecuatia (12.14) este de forma (a)

cu ε = 0, iar daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) 6= 0, luand ρi = −λi/F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0), i = 1, 2, 3, ecuatia

(12.14) este de forma (a) cu ε = 1.

b) Daca S este o suprafata cu dreapta de centre, r = 2, r′ = 2 si deci λ3 = 0, darλ2 6= 0 si b∗3 = 0. Efectuand translatia (12.12) ıntr-un centru C(x∗0, y

∗0 , z∗0), cu (x∗0, y

∗0)

dati de:λ1x∗0 + b∗1 = 0, λ2y∗0 + b∗2 = 0,

si z∗0 arbitrar, ın reperul R′ = C, i∗, j∗,k∗ ecuatia (12.11) devine:

(b) λ1x′2 + λ2y′

2 + F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0. (12.15)

Daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0, luand ρi = λi, i = 1, 2, ecuatia (12.14) este de forma (b) cu

ε = 0, iar daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) 6= 0, luand ρi = −λi/F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0), i = 1, 2, ecuatia (12.14)

este de forma (b) cu ε = 1.


c) Daca S este o suprafata fara centru, r = 2, r′ = 3 si deci λ3 = 0, λ2 6= 0, darb∗3 6= 0. Efectuand o translatie de forma (12.12) ecuatia (12.11) devine:

λ1x′2 + λ2y′

2 + 2(λ1x∗0 + b∗1)x′ + 2(λ2y∗0 + b∗2)y

′ + 2b∗3z′ + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.16)

Alegem translatia R∗ → R′ = O′, i∗, j∗,k∗ de vector r0 = x∗0i∗ + y∗0j

∗ + z∗0k∗, a.ı. axa

O′z′ sa fie axa de simetrie a suprafetei si originea O′ sa apartina suprafetei, deci a.ı.

λ1x∗0 + b∗1 = 0,λ2y∗0 + b∗2 = 0,F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0.

In reperul R′, ecuatia (12.16) se reduce la

(c) λ1x′2 + λ2y′

2 + 2b∗3z′ = 0. (12.17)

Luand ρi = −λi/b∗3, i = 1, 2, ecuatia (12.17) are forma (c).

d) Daca S este o suprafata cu plan de centre, r = 1, r′ = 1 si deci λ2 = λ3 = 0,b∗2 = b∗3 = 0. Efectuand translatia (12.12) ıntr-un centru C(x∗0, y

∗0 , z∗0), cu x∗0 dat de:

λ1x∗0 + b∗1 = 0,

si y∗0 , z∗0 arbitrari, ın reperul R′ = C, i∗, j∗,k∗ ecuatia (12.11) devine:

(d) λ1x′2 + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.18)

Daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0, luand ρ1 = λ1, ecuatia (12.18) este de forma (d) cu ε = 0, iar

daca F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) 6= 0, luand ρ1 = −λ1/F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0), ecuatia (12.18) este de forma

(d) cu ε = 1.

e) Daca S este o suprafata fara dreapta de centre, r = 1, r′ = 2 si deci λ2 = λ3 = 0,dar (b∗2)

2 +(b∗3)2 6= 0. Efectuand eventual o rotatie ın planul Oy∗z∗, am putea presupune

ca, de exemplu, b∗2 6= 0, b∗3 = 0. Efectuand o translatie de forma (12.12) ecuatia (12.11)devine:

λ1x′2 + 2(λ1x∗0 + b∗1)x

′ + 2b∗2y′ + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.19)

Alegem translatia R∗ → R′ = O′, i∗, j∗,k∗ a.ı. planul O′y′z′ sa fie plan de simetrie alsuprafetei si axa O′z′ sa apartina suprafetei, deci a.ı.

λ1x∗0 + b∗1 = 0, F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0,

cu z∗0 arbitrar, ın reperul R′, ecuatia (12.19) se reduce la

(e) λ1x′2 + 2b∗2y

′ = 0. (12.20)

Luand ρ1 = −λ1/b∗2, ecuatia (12.20) are forma (e). .

Reperul R′ ın care ecuatia suprafetei are o expresie canonica, numit reper canonic alsuprafetei, se obtine din reperul R printr-o schimbare de baze ortonormate si o translatie.


Tabelul 12.1: Clasificarea suprafetelor algebrice de ordinul al doilea

r r′ tip ε Ecuatia canonica semn Cuadrica+ + + elipsoid real

r′ = 3 1 ρ1x′2 + ρ2y′2 + ρ3z′2 = 1 + +− hiperboloid cu 1 p.cuadrica +−− hiperboloid cu 2 p.

3 cu centru a −−− elipsoid imaginar0 ρ1x′2 + ρ2y′2 + ρ3z′2 = 0 + + + con imaginar

+ +− con real++ cilindru eliptic real

r′ = 2 1 ρ1x′2 + ρ2y′2 = 1 +− cilindru hiperboliccu dr. de b −− cilindru eliptic imag.

2 centre 0 ρ1x′2 + ρ2y′2 = 0 ++ per. pl. sec. imag.+− per. pl. sec. reale

r′ = 3 c ρ1x′2 + ρ2y′2 = 2z′ ++ paraboloid elipticfara centru +− paraboloid hip.c

r′ = 1 1 ρ1x′2 = 1 + per. pl. par. realecu plan d − per. pl. par. imag.

1 de centre 0 x′2 = 0 per. de plane confundater′ = 2 e ρ1x′2 = 2y′ cilindru parabolic

f.dr.de c.

Daca baza B∗ se alege la fel orientata cu baza B, schimbarea de baze este o rotatie ınspatiu.

Daca suprafeta are cel putin un centru se poate efectua mai ıntai translatia ın centrusi apoi rotatia.

Din teorema precedenta rezulta ca orice suprafata algebrica de ordinul al doilea este ocuadrica (nedegenerata sau degenerata). Tot din teorema precedenta rezulta urmatoareaclasificare a suprafetelor algebrice de ordinul al doilea, data ın Tabelul 12.1.

Exemplul 12.1 Pentru cuadrica de ecuatie F (x, y, z) = x2+3y2+4yz−6x+8y+8 = 0,avem

(A/B) =

1 0 0 | −30 3 2 | 40 2 0 | 0

∼

1 0 0 | −30 1 0 | 00 0 1 | 2

,

deci r = 3, cuadrica este cu centru C(3, 0,−2). Dupa translatia de vector r0 = 3i− 2k,ecuatia cuadricei devine x′2 +3y′2 +4y′z′−1 = 0. Ecuatia caracteristica este λ3−4λ2−λ + 4 = 0, iar valorile proprii si vectorii proprii corespunzatori sunt:

λ1 = 1, i∗ = i, λ2 = 4, j∗ =1√5(2j + k), λ2 = −1, k∗ =

1√5(−j + 2k),

cu detC = +1. In reperul canonic R∗ = C, i∗, j∗,k∗ cuadrica are ecuatia:

x∗2 + 4y∗2 − z∗2 − 1 = 0

si este deci un hiperboloid cu o panza.


12.4 Invariantii ortogonali ai unei cuadrice

Fie data cuadrica S prin ecuatia sa ın reperul cartezian ortonormat R = O, i, j,k:

(S) F (x, y, z) =

= a11x2 +a22y2 +a33z2 +2(a12xy+a23yz+a31zx)+2(b1x+b2y+b3z)+c = 0, (12.21)

si fie(S) F ′(x′, y′, z′) =

= a′11x′2 +a′22y

′2 +a′33z′2 +2(a′12x

′y′+a′23y′z′+a′31z

′x′)+2(b′1x′+ b′2y

′+ b′3z′)+ c′ = 0,

(12.22)ecuatia cuadricei S ın reperul R′ = O′, i′, j′,k′, obtinut din reperul R printr-o schim-bare ortogonala de reper ( translatie si rotatie, eventual simetrie fata de unul dintreplanele de coordonate).Definitia 12.4 Numim invariant ortogonal sau metric al cuadricei S o functie Ω de co-eficientii ecuatiei (12.21) care ısi pastreaza valoarea cand acesti coeficienti sunt ınlocuitiprin corespunzatorii lor din ecuatia (12.22), adica

Ω(aij , bi, c) = Ω(a′ij , b′i, c

′),

oricare ar fi schimbarea ortogonala care duce reperul R ın reperul R′.

Din definitie rezulta ca Ω este un invariant ortogonal d.d. este invariant la translatiisi la schimbari ortogonale omogene (rotatii urmate eventual de simetrii).

Fie

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

matricea formei patratice h asociata suprafetei S si

A0 =

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2

a31 a32 a33 b3

b1 b2 b3 c

,

matricea coeficientilor ecuatiei (12.21) ın reperul R.Notam cu I, J , δ, L, K, ∆ suma minorilor principali de ordinele 1, 2 si 3, respectiv

2, 3 si 4 ai matricelor A, A0:

I =3

∑

i=1

aii, J =∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a11 a13a31 a33

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a22 a23

a32 a33

∣

∣

∣

∣

, δ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

respectiv:

L =∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a11 a13

a31 a33

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a11 b1

b1 c

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a22 a23

a21 a33

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a22 b2

b2 c

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a33 b3b3 c

∣

∣

∣

∣

,


K =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 b1a21 a22 b2

b1 b2 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a13 b1

a31 a33 b3b1 b3 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a22 a23 b2

a32 a33 b3

b2 b3 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2a31 a32 a33 b3

b1 b2 b3 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Teorema 12.4 Functiile I, J , δ, L, K, ∆ sunt invariante la schimbari ortogonale omo-gene de repere.

/ Fie T : E3 → E3 si T0 : E4 → E4 transformarile liniare simetrice ale caror matriceın bazele canonice din E3, respectiv E4, sunt A, respectiv A0. O schimbare ortogonalade repere induce o schimbare de baze ın E3, de matrice ortogonala

C =

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

, det C0 = ±1

si o schimbare de baze ın E4, de matrice ortogonala

C0 =

c11 c12 c13 0c21 c22 c23 0c31 c32 c33 00 0 0 1

, detC0 = ±1.

Dar, ecuatia caracteristica a unei transformari liniare este invarianta la schimbari debaze. Cum ecuatiile caracteristice ale transformarilor liniare simetrice T si T0 sunt:

λ3 − Iλ2 + Jλ− δ = 0, λ4 − I∗λ3 + Lλ2 −Kλ + ∆ = 0,

cu I∗ = I+c, rezulta ca I, J , δ, L, K, ∆ sunt invariante la schimbari ortogonale omogene..

Teorema 12.5 Functiile I, J , δ, ∆ sunt invariante la translatii.

/ Efectuand translatia de vector r0 = x0i + y0j + y0k, r = r0 + r′, ın reperul R′ecuatia cuadricei S devine

F0(r′) = h(r′) + 2U(r0)r′ + F (r0) = 0,

unde s-a notat cu U(r) = T (r) + b = F1(x, y, z)i + F2(x, y, z)j + F3(x, y, z)k. Deci

∆′ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13 F1(x0, y0, z0)a21 a22 a23 F2(x0, y0, z0)a31 a32 a33 F3(x0, y0, z0)F1(x0, y0, z0) F2(x0, y0, z0) F3(x0, y0, z0) F (x0, y0, z0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


Dar:

F1(x0, y0, z0) = a11x0 + a12y0 + a13z0 + b1,F2(x0, y0, z0) = a21x0 + a22y0 + a23z0 + b2,F3(x0, y0, z0) = a31x0 + a32y0 + a33z0 + b3,

F (x0, y0, z0) = x0F1(x0, y0, z0)+y0F2(x0, y0, z0)+z0F3(x0, y0, z0)+b1x0 +b2y0 +b3z0 +c

si un calcul simplu arata ca ∆′ = ∆. .

Teorema 12.6 Functia K este invarianta la translatii pentru cuadricele cu sau faradreapta de centre si cu plan de centre, iar functia L este invarianta la translatii pentrucuadricele cu plan de centre.

/ Din Teorema 12.3 rezulta ca pentru o cuadrica cu sau fara dreapta de centre sau cuplan de centre exista un reper ortonormat ın care ecuatia suprafetei nu contine termeniın z, adica este de forma

F (x, y, z) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2(b1x + b2y) + c = 0.

In acest caz,

K =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 b1

a21 a22 b2

b1 b2 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

si invarianta sa la translatii se stabileste la fel ca invarianta la translatii pentru conice.Din aceeasi teorema rezulta ca pentru o cuadrica cu plan de centre exista un reper

ortonormat ın care ecuatia suprafetei nu contine termeni ın y si ın z, adica este de forma:

F (x, y) = a11x2 + 2b1x + c = 0.

In acest caz,

L =∣

∣

∣

∣

a11 b1

b1 c

∣

∣

∣

∣

si invarianta sa la translatii se stabileste la fel ca invarianta la translatii a functiei Kpentru conice.

In concluzie, functiile I, J , δ, ∆ sunt invarianti ortogonali ai oricarei cuadrice, iarfunctia K este invariant ortogonal numai pentru cuadricele cu sau fara dreapta de centresi cu plan de centre. Functia L este invariant ortogonal pentru cuadricele cu plan decentre.

12.5 Clasificarea metrica a cuadricelor

Teorema 12.7 Cuadrica S de ecuatie (12.21) este:(I) cu centru d.d. δ 6= 0;(II) fara centru d.d. δ = 0 ∆ 6= 0;(III) cu dreapta de centre d.d. δ = 0 ∆ = 0 J 6= 0.(IV) fara dreapta de centre d.d. δ = 0 ∆ = 0 J = 0 K 6= 0(V) cu plan de centre d.d. δ = 0 ∆ = 0 J = 0 K = 0 I 6= 0


/ In reperul R∗ = O, i∗, j∗,k∗, cu i∗, j∗,k∗ versori proprii, matricele (A/B), A0 sescriu

(A∗/B∗) =

λ1 0 0 | b∗10 λ2 0 | b∗20 0 λ3 | b∗3

, A∗0 =

λ1 0 0 b∗10 λ2 0 b∗20 0 λ3 b∗3b∗1 b∗2 b∗3 c

si avem I = λ1 + λ2 + λ3, J = λ1 · λ2 + λ2 · λ3 + λ3 · λ1, δ = λ1 · λ2 · λ3. Presupunand|λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3|, sa observam ca λ3 = 0 d.d. δ = 0 si ın acest caz

∆ = −J · (b∗3)2, (12.23)

iar λ2 = λ3 = 0 d.d. δ = J = 0 si atunci

K = −I · [(b∗2)2 + (b∗3)2]. (12.24)

I. Daca cuadrica S este cu centru, din r = 3 urmeaza δ 6= 0 si reciproc.II. Daca cuadrica S este fara centru, din r = 2 urmeaza λ3 = 0 si deci δ = 0 si J 6= 0,

iar din r′ = 3 deducem b∗3 6= 0, care, cu (12.23) implica ∆ 6= 0.Reciproc, daca δ = 0 urmeaza λ3 = 0, iar din ∆ 6= 0, cu (12.23), deducem J 6= 0 si

b∗3 6= 0, ceea ce implica r = 2, r′ = 3.III. Daca cuadrica S este cu dreapta de centre, din r = 2 urmeaza λ3 = 0 si deci

δ = 0 si J 6= 0, iar din r′ = 2 deducem b∗3 = 0, care, cu (12.23) implica ∆ = 0.IV. Daca cuadrica S este fara dreapta de centre, din r = 1 urmeaza λ2 = λ3 = 0 si

deci δ = J = 0 si I 6= 0, iar cu (12.23), ∆ = 0. Din r′ = 2, deducem (b∗2)2 + (b∗3)

2 6= 0,ceea ce cu (12.24) implica K 6= 0.

Reciproc, din δ = 0 si J = 0 urmeaza r = 1, iar din K 6= 0, deducem I 6= 0 si(b∗2)

2 + (b∗3)2 6= 0, ceea ce implica r′ = 2.

V. Daca cuadrica S este cu plan de centre, din r = 1 urmeaza λ2 = λ3 = 0 si deciδ = J = 0 si I 6= 0, iar cu (12.23), ∆ = 0. Din r′ = 1, deducem (b∗2)

2 + (b∗3)2 = 0, ceea

ce cu (12.24) implica K = 0.Reciproc, din δ = 0 si J = 0 si I 6= 0 urmeaza r = 1, iar din K = 0, deducem si

(b∗2)2 + (b∗3)

2 = 0, ceea ce implica r′ = 1. .

Teorema 12.8 Pentru orice cuadrica exista un reper ortonormat R′ ın care ecuatiacanonica a cuadricei are una din formele:

(I) λ1x′2 + λ2y′

2 + λ3z′2 + ∆

δ = 0 (cuadrica cu centru;

(II) λ1x′2 + λ2y′

2 ± 2√

−∆J z′ = 0 (cuadrica fara centru);

(III) λ1x′2 + λ2y′

2 + KJ = 0 (cuadrica cu dreapta de centre);

(IV) x′2 ± 2√

−KI3 y′ = 0 (cuadrica fara dreapta de centre);

(V) x′2 + LI2 = 0 (cuadrica cu plan de centre).

/ I. Din Teorema 12.3 rezulta ca exista un reper ortonormat R′ = C, i∗, j∗,k∗ ıncare ecuatia cuadricei S cu centru are expresia (12.14):

(a) λ1x′2 + λ2y′

2 + λ3z′2 + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.25)


Matricea coeficientilor cuadricei S ın reperul R′ va fi:

A′0 =

λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 λ3 00 0 0 F ∗(x∗0, y

∗0)

si deci δ = λ1λ2λ3 6= 0, ∆ = λ1λ2λ3 F ∗(x∗0, y∗0), de unde,

F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) =

∆δ

,

ıncat ecuatia (12.25) ia forma (I).II. Din aceeasi teorema rezulta ca exista un reper ortonormat R′ canonic pentru

cuadrica fara centru S ın care ecuatia ei (12.17):

(c) λ1x′2 + λ2y′

2 + 2b∗3z′ = 0 (12.26)

ıncat:

A′0 =

λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 0 b∗30 0 b∗3 0

si deci J = λ1λ2, ∆ = −λ1λ2(b∗3)2, de unde,

b∗3 = ±2

√

−∆J

,

ıncat ecuatia (12.26) ia forma (II).III. Ecuatia cuadricei cu dreapta de centre S ın reperul canonic R′ este:

(b) λ1x′2 + λ2y′

2 + F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) = 0 (12.27)

si deci

A′0 =

λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 0 00 0 0 F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0)

ıncat J = λ1λ2. Pentru aceste cuadrice K este un invariant si K = λ1λ2 F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0),

de undeF ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) =

KJ

si astfel din (12.27) obtinem (III).IV. Ecuatia cuadricei fara dreapta de centre S ın reperul canonic R′ este 12.20):

(e) λ1x′2 + 2b∗2y

′ = 0 (12.28)


si deci

A′0 =

λ1 0 0 00 0 0 b∗20 0 0 00 b∗2 0 0

ıncat I = λ1. Pentru aceste cuadrice K este un invariant si K = −λ1(b∗2)2, de unde

b∗2 = ±√

−KI

si astfel din (12.28) obtinem (IV ).V. Ecuatia cuadricei cu plan de centre S ın reperul canonic R′ este (12.18):

(d) λ1x′2 + F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0) = 0. (12.29)

si deci

A′0 =

λ1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 F ∗(x∗0, y

∗0 , z∗0)

ıncat I = λ1. Pentru aceste cuadrice L este un invariant si L = λ1F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0), de unde

F ∗(x∗0, y∗0 , z∗0) =

LI

,

si astfel din (12.29) obtinem (V ).

12.6 Proprietati diametrale si asimptotice

12.6.1 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta

Fie cuadrica S data prin ecuatia:

(S) F (r) = h(r) + 2f(r) + c = 0 (12.30)

si dreapta D de ecuatie:

(D) r = r0 + tv, t ∈ R, v 6= 0. (12.31)

Daca punctul M(r) ∈ S ∩D, atunci exista t ∈ R a.ı.

r = r0 + tv, F (r) = 0.

Deci coordonatele punctelor de intersectie ale cuadricei cu dreapta si valoarea co-respunzatoare a parametrului t satisfac sistemul format din ecuatiile (12.30) si (12.31).Eliminand pe r ıntre cele doua ecuatii, obtinem:

h(v)t2 + 2[g(r0,v) + f(v)]t + F (r0) = 0, (12.32)


unde g este forma biliniara simetrica polara formei patratice h.Radacinile ecuatiei (12.32), daca exista, ınlocuite ın (12.31) dau vectorii de pozitie ai

punctelor de intersectie.

Teorema 12.9 Dreapta D, de ecuatie (12.31), apartine cuadricei S d.d.

h(v) = 0, g(r0,v) + f(v) = 0, F (r0) = 0. (12.33)

/ Intr-adevar, dreapta D apartine cuadricei S d.d. (12.32) are loc pentru orice t ∈ R,deci d.d. toti coeficientii ecuatiei (12.32) sunt nuli. .

Sa presupunem ca h(v) 6= 0. Atunci ecuatia (12.32) este de gradul doi. Realitatearadacinilor sale este functie de semnul discriminantului:

D(r0,v) = [g(r0,v) + f(v)]2 − h(v)F (r0).

Prin urmare, ecuatia (12.32) are:a) doua radacini reale si distincte d.d. D(r0,v) > 0. In acest caz, dreapta D este

secanta cuadricei S. Daca t1 si t2 sunt radacinile ecuatiei (12.32), vectorii de pozitie aipunctelor M1 si M2 de intersectie a dreptei cu cuadrica sunt dati de:

r1 = r0 + t1v, r2 = r0 + t2v.

b) doua radacini reale si egale d.d.

D(r0,v) = 0. (12.34)

In acest caz, dreapta D este tangenta cuadricei S. Punctul M0, de contact al dreptei cucuadrica are vectorul de pozitie

rc = r0 −g(r0,v) + f(v)

h(v)v.

c) radacini complexe d.d. D(r0,v) < 0. In acest caz, D ∩ S = ∅.

12.6.2 Tangente la o cuadrica

Dupa cum rezulta din discutia precedenta, dreapta D este tangenta cuadricei S d.d. areloc (12.34), adica

[g(r0,v) + f(v)]2 − h(v)F (r0) = 0. (12.35)

Tangente printr-un punct al cuadricei

Sa presupunem mai ıntai ca punctul M0(r0) al dreptei D apartine cuadricei S, deciF (r0) = 0. Atunci, dreapta D este tangenta ın M0 cuadricei S d.d. directia sa vsatisface conditia,

g(r0,v) + f(v) = 0, (12.36)

care se mai scrie:v · [T (r0) + b] = 0.


De aici rezulta ca orice dreapta D prin punctul M0(r0) ∈ S a carei directie v esteperpendiculara pe vectorul

U(r0) = T (r0) + b

este tangenta cuadricei S. Daca U(r0) 6= 0, multimea acestor tangente formeaza un plan.

Definitia 12.5 Numim plan tangent la cuadrica S ıntr-un punct M0 al acesteia loculgeometric al dreptelor D prin M0 tangente cuadricei.

Teorema 12.10 In orice punct M0(r0) ∈ S, pentru care U(r0) 6= 0, planul tangent lacuadrica S este unic determinat si este caracterizata analitic prin ecuatia

g(r0, r) + [f(r) + f(r0)] + c = 0. (12.37)

/ Intr-adevar, ın conditia U(r0) 6= 0, putem elimina pe v ıntre ecuatiile (12.31) si(12.36) si tinand seama ca F (r0) = 0, rezulta (12.37). .

In reperul R ecuatia (12.37) se scrie:

a11xx0 + a22yy0 + a33zz0 + a12(xy0 + x0y) + a23(yz0 + y0z) + a31(zx0 + z0x)++b1(x + x0) + b2(y + y0) + b3(z + z0) + c = 0.

(12.38)Ecuatiile (12.37), (12.38) se obtin din ecuatiile corespunzatoare ale cuadricei prin de-dublare sau polarizare.

Tangente dintr-un punct exterior cuadricei

Sa presupunem acum ca punctul M0(r0) al dreptei D nu apartine cuadricei S, deciF (r0) 6= 0. Dreapta D prin M0 este tangenta cuadricei S d.d. directia sa v satisfaceconditia (12.35), care este o ecuatie omogena de gradul doi ın coordonatele (`,m, n) alevectorului director v al dreptei D. Deci exista o infinitate simpla de drepte prin M0

tangente cuadricei S.

Definitia 12.6 Numim con circumscris din punctul M0 cuadricei S locul geometric altangentelor prin M0 la cuadrica S.

Ecuatia conului circumscris din M0(r0) la cuadrica S se obtine eliminand pe v ıntreecuatiile (12.31) si (12.35):

[g(r0, r− r0) + f(r− r0)]2 − h(r− r0)F (r0) = 0.

Tangente paralele cu o directie data

Sa presupunem acum ca directia v a dreptei D este fixa. Dreapta D de directie v estetangenta cuadricei S daca vectorul de pozitie r0 al unui punct M0 al acestei dreptesatisface conditia de tangenta (12.35).

Prin calcul direct se arata ca daca r0 verifica ecuatia (12.35), atunci oricare ar fit ∈ R, vectorul r = r0 + tv verifica de asemenea ecuatia (12.35), adica,

[g(r,v) + f(v)]2 − h(v)F (r) = 0. (12.39)


Definitia 12.7 Numim cilindru circumscris cuadricei S cu generatoarele de directie v,locul geometric al dreptelor de directie v tangente cuadricei S.

Din rationamentul precedent rezulta ca cilindrul circumscris cuadricei S cu genera-toarele de directie v este caracterizat analitic prin ecuatia (12.39).

Curba de contact ale cuadricei cu tangentele la cuadrica paralele cu directia v seobtin rezolvand sistemul:

F (r) = 0, [g(r,v) + f(v)]2 − h(v)F (r) = 0,

echvalent cu sistemul:F (r) = 0, g(r,v) + f(v) = 0.

deci, curba de intersectie a cuadricei cu cilindrul circumscris poate fi obtinuta si caintersectia cuadricei cu planul de ecuatie:

g(r,v) + f(v) = 0, (12.40)

sau:v · U(r) = `F1(x, y, z) + mF2(x, y, z) + nF3(x, y, z) = 0, (12.41)

sau ınca:T (v) · r + f(v) = 0. (12.42)

Planul de ecuatie (12.42) este un plan diametral al cuadricei S conjugat cu directia v.

12.6.3 Diametrii conjugati. Directii principale

Definitia 12.8 Numim plan diametral al cuadricei S conjugat cu directia v locul geo-metric al mijloacelor corzilor cuadricei de directie v.

Teorema 12.11 Planul diametral cuadricei S, de ecuatie (12.30), conjugat cu directiav 6= 0 este caracterizat analitic prin ecuatia (12.40).

/ Demonstratia este identica cu cea de la conice. .

Exemplul 12.2 Planele diametrale ale cuadricei S conjugate cu directiile axelor de co-ordonate i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) au ecuatiile:

F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1 = 0,

F2(x, y, z) = a21x + a22y + a23z + b2 = 0,

F3(x, y, z) = a31x + a32y + a33z + b3 = 0.

Fie v1 si v2 doi vectori necoliniari si v1,v2 directia planara determinata de ei, adicao baza ın subspatiul E2 = [v1,v2].

Definitia 12.9 Numim diametru al cuadricei S conjugat cu directia planara v1,v2dreapta de intersectie a planelor diametrale ale cuadricei S conjugate cu directiile v1siv2.


Daca S are centru, diametrul conjugat directiei v1,v2 trece prin centrul cuadricei.Fie S o cuadrica cu centru si D1, D2, D3 trei drepte prin centru, numite diametri ai

cuadricei.

Definitia 12.10 Spunem ca diametrii D1, D2, D3 sunt conjugati ın raport cu cuadricaS daca fiecare dintre ei este conjugat cu directia planara determinata de ceilalti doi.

Teorema 12.12 Diametrii Di, de directii vi, i = 1, 2, 3, sunt conjugati ın raport cucuadrica S, de ecuatie (12.30), nedegenerata cu centru, d.d.

g(vi,vj) = 0, i 6= j, i, j = 1, 2, 3. (12.43)

/ Diametrul de directie v3 este conjugat cu directia planara v1,v2 d.d. v3 esteparalel cu planele diametrale ale cuadricei S conjugate cu directiile v1 si v2, adica v3 ⊥T (v1) si v3 ⊥ T (v2), deci v3 · T (v1) = v3 · T (v2) = 0, sau

g(v1,v3) = g(v2,v3) = 0, etc. .

Definitia 12.11 Directia v se numeste principala pentru cuadrica S daca este ortogo-nala planului diametral conjugat cu v ın raport cu S.

Teorema 12.13 Directia v este principala pentru cuadrica S, de ecuatie (12.30), d.d.v este vector propriu pentru transformarea liniara T asociata.

/ Normala la planul diametral conjugat cu directia v are directia T (v), deci directiav este principala d.d. vectorii v si T (v) sunt coliniari, adica exista λ ∈ R a.i. T (v) = λv..

Definitia 12.12 Numim plan principal pentru cuadrica S un plan de simetrie al ei.

Teorema 12.14 Un plan diametral cuadricei S conjugat cu o directie principala este unplan principal pentru S.

/ Un plan diametral conjugat cu o directie principala este locul geometric al mijloa-celor corzilor cuadricei S perpendiculare pe el si deci este un plan principal. .

Din Teoremele 12.13) si (12.14) rezulta ca problema determinarii planelor principalepentru cuadrica S revine la problema determinarii vectorilor proprii ai transformarii Tasociate si a planelor diametrale conjugate directiilor vectorilor proprii.

Cuadricele cu centru, care nu sunt de rotatie, au trei plane principale unic determi-nate, ortogonale doua cate doua.

Cuadricele fara centru, daca nu sunt de rotatie, vor avea numai doua plane principaleunic determinate, ortogonale etc.

Definitia 12.13 Numim axa a cuadricei S o dreapta fata de care cuadrica este simetri-ca.

Teorema 12.15 Un diametru al cuadricei S, conjugat cu o directie planara, perpendi-cular acestei directii, este o axa a cuadricei.


/ Dreapta D3 de intersectie a planelor diametrale conjugate cu directia planarav1,v2 fiind perpendiculara acestei directii, sectiunile cuadricei cu plane de directiev1,v2 sunt conice simetrice fata de dreapta D3. Deci dreapta D3 este o axa. .

Teorema 12.16 Dreapta de intersectie a doua plane principale ale cuadricei S este oaxa a cuadricei.

/ Fie v1 si v2 doua directii principale. Planele diametral conjugate sunt plane princi-pale. Fiind si ortogonale, determina un diametru conjugat si ortogonal directiei planarev1,v2 si dupa Teorema (12.15) acest diametru este o axa. .

12.6.4 Directii asimptotice. Asimptotele unei cuadrice

Definitia 12.14 Directia v se numeste asimptotica pentru cuadrica S daca orice dreaptade directie v intersecteaza cuadrica ın cel mult un punct sau apartine cuadricei.

Teorema 12.17 Directia v(`,m, n) este asimptotica la cuadrica S de ecuatie (12.30)d.d.

h(v) = a11`2 + a22m2 + a33n2 + 2(a12`m + a23mn + a31m`) = 0. (12.44)

/ Dreapta D de ecuatie (12.31) intersecteaza cuadrica S de ecuatie (12.30) ın cel multun punct sau apartine cuadricei d.d. ecuatia (12.32) este cel mult de gradul ıntai si aresolutie unica sau este identic satisfacuta, adica d.d. coeficientul termenului de gradul doieste nul. .

Ecuatia (12.44), omogena ın (`,m, n), admite o infinitate de solutii.

Definitia 12.15 Numim con al directiilor asimptotice ale cuadricei S conul cu varfulıntr-un punct arbitrar fixat ale carui generatoare au directii asimptotice.

Teorema 12.18 Conul directiilor asimptotice cuadricei S cu varful ın origine are ecu-atia:

h(r) = 0. (12.45)

/ Intr-adevar, o dreapta prin origine de directie v are ecuatia r = tv. Locul geometrical acestor drepte, ale caror directii sunt asimptotice, se obtine prin eliminarea lui v ıntre(12.44) si ecuatia acestei drepte, de unde (12.45). .

Cuadrica de ecuatie (12.45) are aceeasi ecuatie caracteristica ca si cuadrica S, deecuatie (12.30), de unde concluziile urmatoare:

a) Conul directiilor asimptotice ale unui elipsoid este imaginar (se reduce la un punct).b) Conul directiilor asimptotice ale unui hiperboloid este real.c) Conul directiilor asimptotice ale unui paraboloid eliptic degenereaza ıntr-o pereche

de plane secante imaginare, dreapta lor de intersectie fiind reala si avand directia axei.d) Conul directiilor asimptotice ale unui paraboloid hiperbolic degenereaza ıntr-o

pereche de plane secante reale.Daca directia v este asimptotica pentru cuadrica S, ea este asimptotica si pentru

orice conica de sectiune a cuadricei cu un plan paralel cu v.


Definitia 12.16 Dreapta D, a carei directei este asimptotica cuadricei S, se numesteasimptota a cuadricei S daca nu are nici un punct comun cu cuadrica sau este o gene-ratoare a ei.

Un plan care trece printr-o asimptota a cuadricei sectioneaza cuadrica dupa o conicace admite aceasta dreapta ca asimptota.

Teorema 12.19 O asimptota a cuadricei S de directie v apartine planului diametralcuadricei S conjugat cu directia v.

/ Dreapta D de ecuatie (12.31) este o asimptota a cuadricei S, de ecuatie (12.30),d.d. coeficientii termenilor ın t2 si t din ecuatia (12.32) sunt nuli. Deci, coordonatelepunctelor dreptei D verifica ecuatia:

g(r,v) + f(v) = 0, (12.46)

a planului diametral cuadricei S conjugat directiei v.Planul de ecuatie (12.46) ın care v este o directie asimptotica se numeste plan asimptot

corespunzator directiei v. Dacaa cuadrica are centru, planul asimptot, fiind un plandiametral, trece prin centrul cuadricei.

Planul asimptot corespunzator unei directii asimptotice este:a) imaginar pentru elipsoizi;b) real pentru hiperboloizi;c) imaginar pentru paraboloizi eliptici, cu exceptia directiei axei cand planul asimptot

nu exista;d) real pentru paraboloizi hiperbolici, cu exceptia directiei axei cand planul asimptot

nu exista.Fie

h(x′, y′, z′) +∆δ

= 0, (12.47)

ecuatia redusa la centru a cuadricei S, presupusa cu centru (δ 6= 0).

Teorema 12.20 Generatoarele conului directiilor asimptotice cu varful ın centrul C alcuadricei sunt asimptote ale acesteia.

/ O generatoare a conului de ecuatie

h(x′, y′, z′) = 0, (12.48)

daca nu apartine cuadricei, nu poate intersecta suprafata, deoarece ar avea doua punctecomune cu aceasta, simetrice fata de C, ın contradictie cu definitia unei directii asimp-totice. Deci conul de ecuatie (12.48) este format numai din asimptote ale cuadricei..

Conul de ecuatie (12.48) se numeste conul asimptot al cuadricei.

Teorema 12.21 Planul tangent conului asimptot al cuadricei ın lungul unei generatoareeste planul asimptot corespunzator directiei acelei generatoare.


/ Fie v directia unei generatoare si M0 un punct al acestei generatoare. Atuncivectorul sau de pozitie ın raport cu punctul C se va scrie: r′0 = tv.

Planul tangent conului de ecuatie (12.48) ın punctul M0 va avea ecuatia g(r′0, r) = 0sau g(v, r) = 0, care este si ecuatia planului asimptot al cuadricei S corespunzatordirectiei v (coordonatele vectorului b ın reperul cu originea ın C fiind nule, f(v) =b · v = 0). .

Comparand (12.48) si (12.47) deducem ca ın reperul intial ecuatia conului asimptoteste

F (x, y, z)− ∆δ

= 0.

Pentru cuadricele cu centru acest con este real.

Capitolul 13

ELEMENTE DEGEOMETRIEDIFERENTIALA

Geometria analitica studiaza proprietatile anumitor curbe si suprafete cu ajutorulcalculului algebric. Sunt ınsa unele proprietati ale acestora care nu pot fi studiate cumijloacele puse la dispozitie de algebra si de aceea trebuie sa ne adresam analizei matem-atice, ın special calculului diferential.

Obiectul geometriei diferentiale ıl constituie studiul proprietatilor curbelor si supra-fetelor cu ajutorul analizei matematice.

13.1 Curbe plane

13.1.1 Reprezentari analitice regulate

Fie E2 planul afin euclidian si R = O, i, j un reper cartezian ortonormat ın E2.

Definitia 13.1 O submultime C ⊂ E2 se numeste curba plana daca exista o aplicatier : I → E2, I ⊂ R, a.ı. r(I) = C.

Daca M(r) ∈ C, atuncir = r(t), t ∈ I, (13.1)

este ecuatia vectoriala a curbei C. Valoarea lui t pentru care −−→OM = r(t) se numestecoordonata parametrica a punctului M de pe curba si scriem atunci M(t). In proiectiepe axele reperului ecuatia (13.1) este echivalenta cu

x = x(t), y = y(t), t ∈ I, (13.2)

numite ecuatiile parametrice ale curbei C.

201


Exemplul 13.1 Aplicatia r : [0, 2π] → E2, definita prin

r = R(i cos t + j sin t), t ∈ [0, 2π],

ın care R este o constanta pozitiva reala, este ecuatia vectoriala a unui cerc cu centrulın origine, de raza R. Ecuatiile parametrice ale acestui cerc se scriu

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π].

Ecuatiile parametrice ale unei curbe nu sunt unice. Daca α : J → I, I, J ⊂ R, este oaplicatie surjectiva, aplicatiile rα si r au aceeasi imagine C, deci definesc aceeasi curba.

Definitia 13.2 O curba C se numeste curba de clasa Ck, k ≥ 0, daca admite cel putino reprezentare de forma (13.1) cu r ∈ Ck(I).

Daca I este un interval deschis si r o aplicatie bijectiva continua cu inversa continuaatunci C se numeste arc elementar de curba.

Daca I este un interval ınchis [a, b] si r este de clasa C0(I) atunci curba C se numestedrum. Un drum se numeste ınchis daca r(a) = r(b).

Curba C se numeste curba simpla daca este un arc elementar de curba sau un drumınchis.

Definitia 13.3 Curba C, data prin reprezentarea (13.1) se numeste curba regulata declasa Ck, k ≥ 1, daca r ∈ Ck(I) si

r′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I. (13.3)

Definitia 13.4 Un punct M0 ∈ C se numeste punct ordinar (sau regulat) daca C admitecel putin o reprezentare de forma (13.1) regulata de clasa Ck, k ≥ 1, ın punctul M0. Incaz contrar, M0 se numeste punct singular.

Daca drept parametru se poate lua abscisa x a unui punct de pe curba, atuncireprezentarea (13.2) ia forma

y = f(x), x ∈ I, (13.4)

ın care f ∈ Ck(I), numita ecuatia carteziana explicita a curbei C. In acest caz toatepunctele curbei sunt ordinare deoarece r′ = i + f ′(x) j 6= 0, pentru orice x ∈ I.

O curba plana C de clasa Ck poate fi data si printr-o ecuatie de forma

F (x, y) = 0, (13.5)

ın care F este o functie de clasa Ck, numita ecuatia carteziana implicita a curbei.

Definitia 13.5 Un punct M0(x0, y0) ∈ C pentru care

grad F (x0, y0) 6= 0 (13.6)

se numeste punct ordinar. In caz contrar, M0 este un punct singular.


Deci daca M0(x0, y0) este punct singular al curbei, atunci

F (x0, y0) = 0,∂F∂x

(x0, y0) = 0,∂F∂x

(x0, y0) = 0. (13.7)

Reprezentarea carteziana explicita poate fi privita ca un caz particular de reprezentareimplicita, pentru care F (x, y) = y − f(x).

Exemplul 13.2 Curba descrisa de un punct M situat pe un cerc de raza R, care se ros-togoleste fara alunecare pe o dreapta fixa se numeste cicloida. O reprezentare parametricaa curbei este

x = R(t− sin t), y = R(1− cos t), t ∈ R.

Exemplul 13.3 Curba descrisa de un punct M situat pe un cerc de raza R, care serostogoleste fara alunecare pe un cerc fix de raza R0, cele doua cercuri fiind tangenteexterior, se numeste epicicloida. O reprezentare parametrica a curbei este

x = (R0 + R) cos t−R cosR0 + R

Rt, y = (R0 + R) sin t−R sin

R0 + RR

t.

In particular, daca R = R0, curba se numeste cardioida si are ecuatia carteziana

(x2 + y2 − 2Rx)2 = 4R2(x2 + y2).

Exemplul 13.4 Curba descrisa de un punct M situat pe un cerc de raza R, care serostogoleste fara alunecare pe un cerc fix de raza R0, cele doua cercuri fiind tangenteinterioroare, se numeste hipocicloida. O reprezentare parametrica a curbei este

x = (R0 −R) cos t + R cosR0 −R

Rt, y = (R0 −R) sin t−R sin

R0 −RR

t.

Pentru R0 = 3R curba se numeste hipocicloida lui Steiner, iar pentru R0 = 4R curbaobtinuta se numeste astroida si are ecuatia carteziana

x2/3 + y2/3 = R2/30 .

Exemplul 13.5 Curba plana cu proprietatea ca ın fiecare punct al ei, segmentul detangenta, cuprins ıntre punctul de tangenta si intersectia ei cu o dreapta fixa situataın planul curbei, are lungimea constanta se numeste tractrice si are ecuatia cartezianaexplicita

y = aa +

√a2 − x2

x−

√

a2 − x2, x ∈ [−a, a].

Exemplul 13.6 Figura de echilibru a unui fir greu si omogen, flexibil dar inextensibilale carui capete sunt fixate ın doua puncte se numeste lantisor. Ecuatia sa cartezianaeste

y = a chxa

.

O curba plana poate fi data si ın coordonate polare (r, θ).


Exemplul 13.7 Curba plana descrisa de un punct care se misca uniform pe o dreaptaın rotatie uniforma ın jurul unui punct fix al ei O, a carei ecuatie este r = aθ se numestespirala lui Archimede.

Exemplul 13.8 Curba plana descrisa de un punct care se misca cu viteza proportionalacu distanta parcursa pe o dreapta ın rotatie uniforma ın jurul unui punct fix al ei O, acarei ecuatie este r = kemθ se numeste spirala logaritmica.

13.1.2 Tangenta si normala la o curba plana

Fie C o curba plana de clasa Ck, k ≥ 1, data prin ecuatia (13.1), M0(t0) un punct ordinaral ei si M(t) un punct vecin lui M0 (Fig. 13.1).

-

6

1

AA

AA

AAK

AAA

AA

AA

A

6

O

M0

MC

y

xr(t0)

r(t)

r′(t0)

Figura 13.1: Tangenta la o curba

Pentru t 6= t0, deducem ca

−−−→M0Mt− t0

=r(t)− r(t0)

t− t0,

adica vectorul (r(t)− r(t0))/(t− t0) este coliniar cu −−−→M0M , vectorul director al secanteiM0M la curba C. Cum punctul M0 este ordinar, vectorul (r(t) − r(t0))/(t − t0) tinde,pentru M → M0 (adica t → t0), la o limita bine determinata, r′(t0) 6= 0.

Definitia 13.6 Numim tangenta la curba C pozitia limita a secantei M0M cand punctulM → M0, pe curba.

Din cele de mai sus rezulta ca tangenta la curba C ın punctul ei ordinar M0(t0) areecuatia vectoriala

r = r(t0) + λr′(t0), λ ∈ R, (13.8)

de unde ecuatiile parametrice

x = x(t0) + λx′(t0), y = y(t0) + λy′(t0), λ ∈ R.


Eliminand pe λ obtinem ecuatia canonica

x− x(t0)x′(t0)

=y − y(t0)

y′(t0). (13.9)

Daca curba este data prin ecuatia explicita (13.4), din (13.9) rezulta ca ecuatia tan-gentei la C ın punctul sau M0(x0, f(x0)) este

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0). (13.10)

Daca curba este data implicit prin (13.5) si M0(x0, y0) este un punct ordinar al ei, deciF (x0, y0) = 0 si, de exemplu, F ′y(x0, y0) 6= 0, curba admite ıntr-o vecinatate a punctuluiM0 o reprezentare explicita, obtinuta prin rezolvarea ecuatiei (13.5) ın privinta lui y. Fiey = f(x) solutia acestei ecuatii, deci F (x, f(x, y)) ≡ 0, de unde, prin derivare ın raportcu x, obtinem ın M0

f ′(x0) = −F ′x(x0, y0)F ′y(x0, y0)

,

cu y0 = f(x0). Din (13.10) rezulta ca ecuatia tangentei ın punctul M0(x0, y0) la curba Cse scrie

∂F∂x

(x0, y0)(x− x0) +∂F∂y

(x0, y0)(y − y0) = 0. (13.11)

Exemplul 13.9 Ecuatia tangentei la conica

F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2(b1x + b2y) + c = 0

ın punctul ei M0(x0, y0) este

a11x0x + a12(xy0 + x0y) + a22y0y + b1(x + x0) + b2(y + y0) + c = 0.

Definitia 13.7 Numim normala la curba C ın punctul M0 ∈ C, perpendiculara pe tan-genta la curba ın acest punct.

Daca curba este data prin ecuatia (13.1), cum v = r′(t0) este un vector director altangentei ın M0, vectorul r− r(t0), unde r este vectorul de pozitie al unui punct curental normalei ın M0, este perpendicular pe v, deci

r′(t0) · (r− r(t0)) = 0 (13.12)

reprezinta ecuatia vectoriala a normalei la C ın punctul M0.Intr-un reper cartezian ortonormat, ecuatia (13.12) ia forma

x′(t0)(x− x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0. (13.13)

Daca curba este data prin reprezentarea carteziana explicita (13.4), atunci ecuatianormalei ın punctul sau M0(x0, f(x0)) este

x− x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0.


In sfarsit, daca curba este data prin ecuatia implicita (13.5), din (13.11) rezultaca vectorul N(F ′x(x0, y0), F ′y(x0, y0)) este un vector normal pe tangenta si deci ecuatiavectoriala a normalei este

r = r0 + λN(r0), λ ∈ R,

saux− x0

F ′x(x0, y0)=

y − y0

F ′y(x0, y0), (13.14)

cu F (x0, y0) = 0.

13.1.3 Punctele multiple ale unei curbe plane

Fie data curba C prin ecuatia implicita

F (x, y) = 0. (13.15)

Definitia 13.8 Un punct M0 al curbei C se numeste punct multiplu de ordinul p demultiplicitate daca ın M0 functia F si toate derivatele sale partiale pana la ordinul p− 1inclusiv se anuleaza, fara ca toate derivatele de ordinul p sa fie nule.

Daca p = 2 punctul M0 este un punct dublu pentru curba C. In acest punct

F (x0, y0) = 0,∂F∂x

(x0, y0) = 0,∂F∂y

(x0, y0) = 0

si macar una dintre derivatele de ordinul al doilea este nenula. Deci un punct dublu esteun punct singular. Intr-un asemenea punct tangenta la curba nu este unic determinata.

Pentru a gasi ecuatia tangentelor ın punctul dublu M(x0, y0) la C, sa observam cadaca v(`,m) este vectorul director al unei tangente la C ın M0, atunci

m`

= limx→x0

f ′(x) = − limx→x0

F ′x(x, f(x))F ′y(x, f(x))

da o nederminare de forma 0/0, care se poate ridica cu regula lui L′Hospital:

m`

= − limx→x0

F ′′xx(x, f(x)) + F ′′xy(x, f(x)) · f ′(x)F ′′yx(x, f(x)) + F ′′yy(x, f(x)) · f ′(x)

= −F ′′xx(x0, y0) + F ′′xy(x0, y0) · m

`

F ′′yx(x0, y0) + F ′′yy(x0, y0) · m`

sauF ′′xx(x0, y0)`2 + 2F ′′xy(x0, y0)`m + F ′′yy(x0, y0)m2 = 0. (13.16)

Dacar = r0 + λv, (13.17)

cu v(`,m) dat de (13.16), este ecuatia unei tangente ın M0 la C, atunci, eliminand pe vıntre (13.16) si (13.17), obtinem

F ′′xx(x0, y0)(x− x0)2 + 2F ′′xy(x0, y0)(x− x0)(y − y0) + F ′′yy(x0, y0)(y − y0)2 = 0


reprezinta ecuatia patratica a tangentelor la C ın punctul dublu M0(x0, y0). Discrimi-nantul acestei ecuatii se scrie

∆(x0, y0) = [F ′′xy(x0, y0)]2 − F ′′xx(x0, y0) · F ′′yy(x0, y0).

Daca:a) ∆(x0, y0) > 0, exista doua tangente reale si distincte ın M0(x0, y0) la C. Punctul

M0 se numeste punct dublu real sau nod.b) ∆(x0, y0) = 0, tangentele ın M0 sunt confundate, cele doua ramuri ale curbei au

ın M0 un punct de ıntoarcere.c) ∆(x0, y0) < 0, punctul M0 este un punct dublu izolat.

13.1.4 Elementul de arc

Fie curba C data prin ecuatiar = r(t),

si M0(t0) un punct fix al ei. Sa notam cu s = s(t) lungimea arcului_

M0M . DacaM ′(t + ∆t) este un punct vecin pe curba punctului M(t), atunci putem considera ∆s =||−−−→MM ′||. Dar

−−−→MM ′ = r(t + ∆t)− r(t) si deci

∆s∆t

=∥

∥

∥

∥

r(t + ∆t)− r(t)∆t

∥

∥

∥

∥

.

Daca trecem la limita pentru ∆t → 0, avem

lim∆t→0

∆s∆t

=∥

∥

∥

∥

lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

∥

∥

∥

∥

,

de undeds = ||r′(t)|| dt = ||dr||. (13.18)

Diferentiala ds data de (13.18) se numeste element de arc al curbei C. Daca curba estedata prin ecuatiile parametrice (13.2), atunci din (13.18) avem

ds =√

x′2(t) + y′2(t) dt. (13.19)

In cazul reprezentarii explicite (13.4) aceasta revine la

ds =√

1 + f ′2(x) dx. (13.20)

Deoarece s′(t) = ||r′(t)|| > 0 ın orice punct ordinar al curbei, putem rezolva ecuatias = s(t) ın privinta lui t. Obtinem t = ϕ(s). Inlocuind aceasta valoare a parametrului tın ecuatia (13.1) obtinem

r = r(ϕ(s)). (13.21)

Deci, putem scrie ecuatiile parametrice ale curbei luand ca parametru arcul ei s, care semai numeste si parametru natural al curbei.


Daca curba este data parametric prin (13.21), ın care s este arcul pe curba, atuncidin (13.18) rezulta

∥

∥

∥

∥

drds

∥

∥

∥

∥

= 1. (13.22)

Din (13.19) deducem ca lungimea arcului_

M0M este

s(t) =∫ t

t0

√

x′2(t) + y′2(t) dt,

iar din (13.20)

s(x) =∫ x

x0

√

1 + f ′2(x) dx.

13.1.5 Cerc osculator. Curbura

Fie curba C data prin ecuatiile parametrice

x = x(t), y = y(t), (13.23)

functiile x(t), y(t) avand derivate de ordinul cel putin doi. Fie ınca M0(x(t0), y(t0)) ∈ C.

Definitia 13.9 Se numeste cerc osculator al curbei C ın punctul M0 ∈ C un cerc careare cu curba trei puncte confundate ın M0.

Fie cercul (r− a)2−R2 = 0. Valorile parametrului t pentru care curba C, de ecuatiar = r(t), ıntalneste cercul sunt solutii ale ecuatiei

φ(t) = (r(t)−a)2 −R2 = 0. (13.24)

Cercul va intersecta curba ın trei puncte confundate ın M0(t0) daca ecuatia (13.24)are radacina tripla t = t0, adica daca

φ(t0) = 0, φ′(t0) = 0, φ′′(t0) = 0.

Notam r(t0) = r0, r′(t0) = r′0, r′′(t0) = r′′0 . Conditiile precedente revin la:

(r0−a)2 −R2 = 0, r′0 · (r0−a) = 0, r′′0 · (r0−a) + r′20 = 0.

Ulimele doua conditii se mai scriu

x′0(a− x0) + y′0(b− y0) = 0, x′′0(a− x0) + y′′0 (b− y0) = x′20 + y′20 ,

care este un sistem Cramer, daca

∆ = x′0y′′0 − x′′0y′0 6= 0,

cu solutia:

a = x0 − y′0x′20 + y′20

x′0y′′0 − x′′0y′0

, b = y0 + x′0x′20 + y′20

x′0y′′0 − x′′0y′0

, (13.25)


care dau coordonatele cercului osculator.Prima conditie da atunci raza cercului osculator

R =(x′20 + y′20 )3/2

|x′0y′′0 − x′′0y′0|. (13.26)

Cercul osculator se mai numeste cercul de curbura al curbei ın punctul M0, iar razasa R raza de curbura a curbei ın punctul M0.

Daca A(a) este centrul cercului osculator, numit si centru de curbura al curbei ınpunctul M0, atunci din (13.25) avem

−−−→M0A = a− r0 =x′20 + y′20

x′0y′′0 − x′′0y′0

(−y′0i + x′0j).

De aici deducem ca r′0 ·−−−→M0A = 0, adica vectorul −−−→M0A are directia normalei ın M0 la

curba. Rezulta ca centrul de curbura A se afla pe normala la curba ın punctul M0. Totde aici rezulta ca ||−−−→M0A|| = R.

Daca curba este data prin ecuatia explicita y = f(x), coordonatele centrului decurbura si raza de curbura ın punctul M0(x0, f(x0)) sunt date de

a = x0 − f ′(x0)1 + f ′2(x0)

f ′′(x0), b = y0 +

1 + f ′2(x0)f ′′(x0)

, R =(1 + f ′2(x0))3/2

|f ′′(x0)|,

cu f ′′(x0) 6= 0.

Definitia 13.10 Numim curbura a curbei C ın punctul M0 inversul razei de curbura

κ =1R

=|x′0y′′0 − x′′0y′0|(x′20 + y′20 )3/2 . (13.27)

Sa presupunem acum ca parametrul pe curba C este arcul s, adica ecuatia curbei este

r = r(s).

Notanddrds

= r,

din (13.22) avem ||r|| = 1, sau x2 + y2 = 1 si derivand xy + xy = 0. In acest caz, curburaκ a curbei C ın punctul M(s) va fi

κ = |xy − xy|.

Ridicand ultimele doua egalitati la patrat, sumand si extragand radicalul, obtinem

κ = ||r|| =√

x2 + y2. (13.28)

Definitia 13.11 Un punct al curbei C ın care curbura se anuleaza se numeste punct deinflexiune.


13.1.6 Interpretarea geometrica a curburii

Fie τ versorul tangentei la curba C, adica

τ =drds

= r, ||τ || = 1, (13.29)

atunci din (13.28) deducem

κ = ||τ || =∥

∥

∥

∥

dτds

∥

∥

∥

∥

. (13.30)

- -

6

6

1

O i

jx

y

Mτ(s)

M ′τ(s + ∆s)

α

∆α

Figura 13.2: Interpretarea geometrica a curburii

Fie α = α(s) (Fig. 13.2) unghiul pe care versorul tangentei ın punctul M(s) ∈ C ılface cu axa Ox, α = (i, τ). Atunci τ = i cos α+ j sin α. Derivand ın raport cu s, obtinem

dτds

= (−i sin α + j cos α)dαds

,

de unde

κ =∣

∣

∣

∣

dαds

∣

∣

∣

∣

.

Fie M ′(s + ∆s) ∈ C, un punct vecin punctului M si fie ∆α unghiul dintre tangentelela C ın M si M ′, adica ∆α = (τ(s), τ(s + ∆s)), atunci

κ = lim∆s→0

∣

∣

∣

∣

∆α∆s

∣

∣

∣

∣

.

Unghiul ∆α se numeste unghi de contingenta a arcului de curba_

MM ′. Raportul dintre

unghiul de contingenta si lungimea ∆s a arcului_

MM ′ se numeste curbura medie a

arcului_

MM ′, adica κm = |∆α/∆s|. Curbura κ a curbei C ın punctul M este atunci

limita curburii medii κm a arcului_

MM ′ cand punctul M ′ tinde pe curba la punctul M .


Exemplul 13.10 Pentru orice segment MM ′ al unei drepte unghiul de contingenta∆α = 0, ıncat curbura medie κm = 0 si deci κ = 0 ın orice punct al dreptei.

Exemplul 13.11 Pentru un cerc de raza R, lungimea ∆s a unui arc_

MM ′ subıntins deunghiul la centru ∆α este ∆s = R∆α ıncat κm = 1/R si deci κ = 1/R ın orice punct alcercului.

13.1.7 Infasuratoarea unei familii de curbe plane

Fie ecuatiaF (x, y;α) = 0, (13.31)

ın care α este un parametru real, iar F admite derivate partiale continue ın raport cutoate argumentele, de ordin cel putin doi.

Pentru fiecare valoare a lui α, ecuatia (13.31) reprezinta o curba Cα. Cand α variazaın mod continuu, spunem ca ecuatia (13.31) reprezinta o familie de curbe plane.

Definitia 13.12 O curba Γ tangenta la toate curbele familiei de curbe Cα se numesteınfasuratoarea familiei Cα.

Fie Cα curba din familie corespunzatoare valorii α si M punctul de contact al acesteicurbe cu ınfasuratoarea Γ. Punctul M se numeste punct caracteristic al curbei Cα.

Pentru ınceput presupunem ca M este punct ordinar pentru curbele Cα si Γ. Coor-donatele sale sunt functii de parametrul α, deci

x = x(α), y = y(α). (13.32)

Cand α variaza punctul M descrie curba Γ, deci (13.32) sunt ecuatiile ınfasuratoareifamiliei de curbe de ecuatie (13.31).

Deoarece punctul M apartine si curbei Cα, avem

F (x(α), y(α); α) = 0. (13.33)

Vectorul director al tangentei la curba Γ ın punctul M are coordonatele (x′(α), y′(α)),iar al tangentei la curba Cα ın M are coordonatele

(

F ′y(x(α), y(α); α),−F ′x(x(α), y(α); α))

.

Cum cele doua curbe au aceeasi tangenta ın punctul M , cei doi vectori sunt coliniari,deci

x′(α)F ′y(x(α), y(α);α)

= − y′(α)F ′x(x(α), y(α); α)

,

saux′(α)F ′x(x(α), y(α);α) + y′(α)F ′y(x(α), y(α); α) = 0.

Pe de alta parte, derivand (13.33) ın raport cu α, avem

F ′x(x(α), y(α); α)x′(α) + F ′y(x(α), y(α);α)y′(α) + F ′α(x(α), y(α); α) = 0.


Din ultimele doua relatii rezulta

F ′α(x(α), y(α);α) = 0. (13.34)

Deci, daca curbele familiei (13.31) au numai puncte ordinare, ınfasuratoarea acesteifamilii este caracterizata prin ecuatiile:

F (x, y; α) = 0, F ′α(x, y;α) = 0. (13.35)

DacaD(F, F ′α)D(x, y)

(x, y;α) 6= 0,

prin rezolvarea sistemului (13.35) obtinem o reprezentare parametrica a ınfasuratoarei,iar daca F ′′αα(x, y; α) 6= 0, prin eliminarea parametrului α se obtine ecuatia cartezianaimplicita a ınfasuratoarei.

Presupunem acum ca Cα admite puncte singulare si sa aflam locul geometric al lorcand α variaza.

Fie M(x(α), y(α)) un punct singular al curbei Cα, deci ın care

F (x(α), y(α); α) = 0, F ′x(x(α), y(α); α) = 0, F ′y(x(α), y(α); α) = 0.

Derivand prima ecuatie ın raport cu α si tinand seama de celelalte doua ecuatii, obtinem

F ′α(x(α), y(α); α) = 0.

Deci si coordonatele punctelor singulare verifica (13.35). In concluzie, sistemul (13.35)reprezinta ınfasuratoarea familiei de curbe Cα si locul geometric al punctelor singulareale familiei.

13.1.8 Evoluta unei curbe plane

Fie curba plana C de ecuatii parametrice

x = x(t), y = y(t).

Definitia 13.13 Numim evoluta a curbei C locul geometric al centrelor ei de curbura.

Fie A(x, y) centrul de curbura al curbei C ıntr-un punct oarecare M(x(t), y(t)). Atuncidin formulele (13.25) obtinem

x = x(t)− y′(t)x′2(t) + y′2(t)

x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t), y = y(t) + x′(t)

x′2(t) + y′2(t)x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t)

. (13.36)

Cand t variaza, punctul M(x(t), y(t)) descrie curba C, iar punctul A(x, y) cu x, y dati de(13.36) descrie evoluta acestei curbe, deci (13.36) constituie o reprezintare parametricaale evolutei.

Teorema 13.1 Evoluta unei curbe este ınfasuratoarea normalelor la aceasta curba.


/ Ecuatia normalei la curba C ın punctul M(x(t), y(t)), dupa (13.13), este

x′(t)(x− x(t)) + y′(t)(y − y(t)) = 0, (13.37)

unde (x, y) reprezinta coordonatele unui punct curent al normalei.Pentru a obtine ınfasuratoarea familiei de drepte (13.37) care depinde de parametrul

t, derivam (13.37) ın raport cu t:

x′′(t)(x− x(t)) + y′′(t)(y − y(t)) = x′2(t) + y′2(t). (13.38)

Rezolvand sistemul format din ecuatiile (13.37) si (13.38) obtinem ecuatiile parametriceale ınfasuratoarei familiei de normale. Solutia acestui sistem este (13.36). .

13.1.9 Evolventa unei curbe plane

Fie curba C data prin ecuatiile parametrice

x = x(s), y = y(s),

unde s este parametrul natural.

Definitia 13.14 Numim evolventa a curbei C o curba Γ a carei evoluta este curba C.

Avem deci problema inversa celei de la paragraful precedent.Conform definitiei, daca M(x(s), y(s)) este un punct al curbei C, curba Γ va fi descrisa

de un punct A(X, Y ) situat pe tangenta ın M la C, astfel ıncat −−→MA sa aiba directianormalei ın A la Γ.

Fie τ(x, y) versorul tangentei ın M la C. Evident x2 + y2 = 1. Vectorul −−→MA estecoliniar cu τ , −−→MA = λ(s)τ , adica

X = x(s) + λ(s)x(s), Y = y(s) + λ(s)y(s), (13.39)

unde λ(s) se determina din conditia ca −−→MA sa aiba directia normalei ın A la Γ, adicasa fie perpendicular pe tangenta ın A la Γ. Tangenta ın A la Γ are parametrii directori(X, Y ) si deci conditia de ortogonalitate se scrie

xX + yY = 0.

Din (13.39) avem ınsa

X = x + λx + λx, Y = y + λy + λy

si deci (x2 + y2)(1 + λ) + λ(xx + yy) = 0. Dar x2 + y2 = 1 si prin derivare xx + yy = 0,ıncat λ = −1, de unde λ = −s + k, ın care k = const. Inlocuind λ astfel obtinut ın(13.39) obtinem ecuatiile evolventei curbei C:

X = x(s) + (k − s)x(s), Y = y(s) + (k − s)y(s).

Deoarece k este o constanta arbitrara, rezulta ca o curba plana are o infinitate de evol-vente.

Daca curba C este data prin ecuatiile x = x(t), y = y(t), ecuatiile evolventei se scriu

X = x(t) + (k − s(t))x′(t)

√

x′2(t) + y′2(t), Y = y(t) + (k − s(t))

y′(t)√

x′2(t) + y′2(t).


13.1.10 Formulele lui Frenet pentru o curba plana

Fie data curba C prin ecuatia r = r(s), unde s este parametrul natural. Atunci

drds

= τ (13.40)

este versorul tangentei la curba ıntr-un punct M(r(s)) al acesteia. Fie ınca ν versorulnormalei, orientat spre centrul de curbura al curbei C ın punctul M . Avem

τ · ν = 0, ν2 = 1. (13.41)


@@

@I

M

τν

Figura 13.3: Reperul lui Frenet

Versorii τ si ν formeaza o baza ortonomata si deci M, τ, ν constituie un reperortonormat cu originea ın punctul M numit reper mobil sau reperul lui Frenet asociatcurbei ın punctul M .

Din (13.40) si (13.41) rezulta

τ · τ = 0, τ · ν + τ · ν = 0, ν · ν = 0. (13.42)

De aici deducem ca τ ⊥ τ , deci τ este coliniar cu ν, adica τ = λν, λ > 0. Dar, deoarece||τ || = ||r|| = κ, urmeaza ca λ = κ si deci

dτds

= κν. (13.43)

Tot din (13.42) rezulta ca ν ⊥ ν si deci ν este coliniar cu τ , adica ν = µτ . Din (13.42)2,ınlocuind ν si τ obtinem µ = −κ si deci

dνds

= −κτ. (13.44)

Formulele (13.40), (13.43) si (13.44) care dau derivatele vectorilor r, τ , ν ın functie deversorii bazei din definitia reperului Frenet se numesc formulele lui Frenet pentru curbaC.

13.1.11 Ramuri infinite. Asimptote

Definitia 13.15 Spunem ca o curba C data prin ecuatia r = r(t) are o ramura infinitapentru t = t0, t0 fiind punct de acumulare al domeniului de definitie al functiei r(t), daca

limt→t0

||r(t)|| = ∞.

Curba C are ın t0 o ramura infinita d.d. este ındeplinita una din urmatoarele treiconditii:

(a) limt→t0

x(t) = ±∞, (b) limt→t0

y(t) = ±∞, (c) limt→t0

x(t) = ±∞, limt→t0

y(t) = ±∞.

Daca C are o ramura infinita ın t0, atunci punctul M(r(t)) ∈ C se deplaseaza catre∞ cand t → t0.


Definitia 13.16 Directia v(`, m) se numeste asimptotica la o ramura infinita ın t0 acurbei plane C daca

limt→t0

y(t)x(t)

=m`

.

Daca m = 0 directia asimptotica este paralela cu axa Ox, iar daca ` = 0 directiaasimptotica este paralela cu axa Oy.

Definitia 13.17 O dreapta D se numeste asimptota la o ramura infinita ın t0 a curbeiplane C daca

limt→t0

d(M(t), D) = 0. (13.45)

Teorema 13.2 Daca curba C are ın t0 o ramura infinita de forma (a) si exista si estefinita

limt→t0

y(t) = b,

atunci dreapta D de ecuatie y = b este asimptota orizontala la ramura infinita ın t0.

/ Intr-adevar, distanta de la punctul M(r(t)) la dreapta D este ın acest caz

d(M(r(t), D) = |y(t)− b|

si evident tinde la zero pentru t → t0. .

Teorema 13.3 Daca curba C are ın t0 o ramura infinita de forma (b) si exista si estefinita

limt→t0

x(t) = a,

atunci dreapta D de ecuatie x = a este asimptota verticala la ramura infinita ın t0.

/ Intr-adevar, distanta de la punctul M(r(t)) la dreapta D este ın acest caz

d(M(r(t), D) = |x(t)− a|

si evident tinde la zero pentru t → t0. .

Teorema 13.4 Daca curba C are ın t0 o ramura infinita de forma (c) si directia v(1,m)este asimptotica, adica

limt→t0

y(t)x(t)

= m,

dreapta D de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura infinita ın t0 d.d.exista si este finita:

limt→t0

[y(t)−mx(t)] = n. (13.46)


/ Necesitatea. Daca dreapta D este asimptota la curba C, atunci

limt→t0

d(M(r(t), D) = limt→t0

|mx(t)− y(t) + n|√m2 + 1

= 0,

saulimt→t0

[mx(t)− y(t) + n] = 0,

de unde rezulta (13.46).Suficienta. Daca exista si este finita limita (13.46), atunci distanta de la dreapta

D de ecuatie y = mx + n tinde la zero pentru t → t0 si deci dreapta D este asimptotaoblica la ramura infinita ın t0. .

13.1.12 Trasarea graficului unei curbe plane

Pentru trasarea graficului unei curbe plane data prin ecuatii parametrice se efectueazaun studiu parcurgand urmatoarele etape:

1. Se stabileste domeniul de definitie si punctele de acumulare ale acestuia. Sestabilesc ramurile infinite ale curbei.

2. Se determina intersectiile cu axele de coordonate.3. Se studiaza periodicitatea.4. Se studiaza simetriile.5. Se determina punctele ordinare, punctele singulare si de inflexiune.6. Se determina punctele multiple si tangentele ın aceste puncte.7. Se ıntocmeste tabloul de variatie a functiilor x(t) si y(t) dupa modelul:

tx′(t)y′(t)x(t)y(t)

8. Se determina asimptotele curbei.9. Se traseaza graficul.

13.2 Curbe ın spatiu


Fie R = O, i, j,k un reper cartezian ortonormat ın E.

Definitia 13.18 O submultime C ⊂ E se numeste curba ın spatiu daca exista o aplicatier : I → E, I ⊂ R, a.ı. r(I) = C.

Daca M(r) ∈ C, atuncir = r(t), t ∈ I, (13.47)


este ecuatia vectoriala a curbei C. Valoarea lui t pentru care −−→OM = r(t) se numestecoordonata parametrica a punctului M de pe curba si se noteaza M(t). In proiectie peaxele reperului ecuatia (13.1) este echivalenta cu

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I, (13.48)

numite ecuatiile parametrice ale curbei C.Ecuatiile parametrice ale unei curbe nu sunt unice. Daca α : J → I, cu I, J ⊂ R,

este o aplicatie surjectiva, aplicatiile r α si r au aceeasi imagine C, deci definesc aceeasicurba.

Definitia 13.19 O curba C se numeste curba de clasa Ck, k ≥ 0, daca admite cel putino reprezentare de forma (13.47) cu r ∈ Ck(I).

Daca I este un interval deschis si r o aplicatie bijectiva continua cu inversa continuaatunci C se numeste arc elementar de curba.

Daca I este un interval ınchis [a, b] si r este de clasa C0(I) atunci curba C se numestedrum. Un drum se numeste ınchis daca r(a) = r(b).

Curba C se numeste curba simpla daca este un arc elementar de curba sau un drumınchis.

Definitia 13.20 Curba C, data prin reprezentarea (13.47) se numeste curba regulata declasa Ck, k ≥ 1, daca r ∈ Ck(I) si

r′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I. (13.49)

Definitia 13.21 Un punct M0 ∈ C se numeste punct ordinar (sau regulat) daca C admitecel putin o reprezentare de forma (13.47) regulata de clasa Ck, k ≥ 1, ın punctul M0. Incaz contrar, M0 se numeste punct singular.

Daca drept parametru se poate lua abscisa x a unui punct de pe curba, atuncireprezentarea (13.48) ia forma

y = f(x), z = g(x), x ∈ I, (13.50)

ın care f, g ∈ Ck(I), numita reprezentarea carteziana explicita a curbei C. In acest caztoate punctele curbei sunt ordinare deoarece r′ = i + f ′(x)j + g′(x)k 6= 0, pentru oricex ∈ I.

O curba ın spatiu C de clasa Ck poate fi data si prin ecuatii de forma

F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, (13.51)

ın care F si G sunt functii de clasa Ck, numit ecuatiile carteziane implicite ale curbei.Daca curba C este data prin reprezentarile (13.48) si (13.51), simultan, atunci pentru

orice t ∈ I,F (x(t), y(t), z(t)) = 0, G(x(t), y(t), z(t)) = 0.

Derivand aceste identitati ın raport cu t, obtinem:

r′ (t) · grad F (x(t), y(t), z(t)) = 0, r′ (t) · gradG(x(t), y(t), z(t)) = 0,

de unde rezulta ca r′ (t) ⊥ grad F , r′ (t) ⊥ grad G, adica

r′ (t) = λ(t) grad F (x(t), y(t), z(t))× grad G(x(t), y(t), z(t)), ∀ t ∈ I. (13.52)


Definitia 13.22 Un punct M0(x0, y0, z0) ∈ C se numeste punct ordinar daca

gradF (x0, y0, z0)× grad G(x0, y0, z0) 6= 0 (13.53)

In caz contrar, M0 se numeste punct singular.

Reprezentarea carteziana explicita poate fi privita ca un caz particular de reprezentareimplicita, pentru care F (x, y, z) = y − f(x), G(x, y, z) = z − g(x).

Exemplul 13.12 Curba descrisa de un punct de pe cilindrul x2 + y2 = a2 a caruiproiectie ın planul Oxy se deplaseaza cu viteza unghiulara ω constanta si a carui proiectiepe axa Oz se deplaseaza cu viteza constanta se numeste elice circulara. O reprezentareparametrica a elicei este

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ R.

Exemplul 13.13 Curba descrisa de un punct care se deplaseaza cu viteza constanta pe odreapta care se roteste ın jurul unei axe fixe cu viteza unghiulara ω constanta si care facecu aceasta un unghi constant θ, diferit de π/2, se numeste elice conica. O reprezentareparametrica a elicei este

x = at cosωt, y = at sin ωt, z = bt, t ∈ R.

Exemplul 13.14 Curba descrisa de un punct care se deplaseaza cu viteza proportionalacu distanta parcursa pe o dreapta care se roteste cu viteza unghiulara ω constanta ınjurul unei axe fixe si care face cu aceasta un unghi constant θ, diferit de π/2, se numestespirala conica. O reprezentare parametrica a elicei este

x = aekt cos t, y = aekt sin ωt, z = bekt, t ∈ R.

Exemplul 13.15 Curbele de intersectie a doi cilindri circulari de raze a si b care se taiesub un unghi drept se numesc bicilindrice. Ecuatiile carteziene implicite ale lor sunt

x2 + z2 = a2, y2 + z2 = b2.

Daca a = b bicilindricele sunt doua elipse.

13.2.2 Tangenta si planul normal

Fie C o curba ın spatiu de clasa Ck, k ≥ 1, data prin ecuatia (13.47), M0(t0) un punctordinar al ei si M(t) un punct vecin lui M0.

Pentru t 6= t0, deducem ca

−−−→M0Mt− t0

=r(t)− r(t0)

t− t0,

adica vectorul (r(t)− r(t0))/(t− t0) este coliniar cu −−−→M0M , vectorul director al secanteiM0M la curba C. Cum punctul M0 este ordinar, vectorul (r(t) − r(t0))/(t − t0) tinde,pentru M → M0 (adica t → t0), la o limita bine determinata, r′(t0) 6= 0.


Definitia 13.23 Numim tangenta la curba C pozitia limita a secantei M0M cand punctulM → M0, pe curba.

Din cele de mai sus rezulta ca tangenta la curba C ın punctul ei ordinar M0(t0) areecuatia vectoriala

r = r(t0) + λr′(t0), λ ∈ R,

de unde ecuatiile parametrice

x = x(t0) + λx′(t0), y = y(t0) + λy′(t0), z = z(t0) + λz′(t0), λ ∈ R,

saur′(t0)× (r− r(t0)) = 0,

sau sub forma carteziana

x− x(t0)x′(t0)

=y − y(t0)

y′(t0)=

z − z(t0)z′(t0)

,

care reprezinta ecuatiile canonice ale tangentei la curba C.Vom nota cu

t =r′

||r′||(13.54)

versorul tangentei ıntr-un punct M(t) ∈ C.Daca curba C este data prin ecuatiile explicite (13.50), atunci toate punctele curbei

sunt ordinare si ecuatiile tangentei la curba ın punctul M0(x0, f(x0), g(x0)) se scriu

x− x0

1=

y − f(x0)f ′(x0)

=z − g(x0)

g′(x0).

Daca curba C este data implicit prin ecuatii de forma (13.51), din (13.52) rezulta cavectorii r′(t0) si

v = grad F (x0, y0, z0)× gradG(x0, y0, z0)

sunt coliniari si deci v este un vector director al tangentei la curba ın punctul ei ordinarM0(x0, y0, z0), ıncat, ecuatia tangentei se scrie

v × (r− r0) = 0,

care conduce la ecuatiile canonice

x− x0

`=

y − y0

m=

z − z0

n,

ın care

` =∣

∣

∣

∣

F ′y F ′zG′y G′z

∣

∣

∣

∣

M0

, m =∣

∣

∣

∣

F ′z F ′xG′z G′x

∣

∣

∣

∣

M0

, n =∣

∣

∣

∣

F ′x F ′yG′x G′y

∣

∣

∣

∣

M0

. (13.55)

Definitia 13.24 Numim plan normal la curba C ın punctul M0 ∈ C, planul perpendicularpe tangenta ın M0 la curba.


Planul normal este definit de punctul M0 si de vectorul sau normal care este coliniarcu vectorul director al tangentei la curba ın M0, deci are ecuatia

r′(t0) · (r− r(t0) = 0,

care ın reperul cartezian R se scrie

x′(t0)(x− x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) + z′(t0)(z − z(t0)) = 0. (13.56)

Daca curba este data explicit prin ecuatiile (13.50), din ecuatia (13.56) deducem caplanul tangent ın punctul M0(x0, f(x0), g(x0)) este caracterizat prin ecuatia

(x− x0) + f ′(x0)(y − f(x0)) + g′(x0)(z − g(x0)) = 0.

Daca curba este data implicit, vectorul v este un vector perpendicular pe planulnormal la C ın punctul M0(x0, y0, z0), ıncat, ecuatia sa se scrie

v · (r− r0) = 0,

sau, ın reperul R`(x− x0) + m(y − y0) + n(z − z0) = 0,

cu `, m, n dati de (13.55) si F (x0, y0, z0) = 0, G(x0, y0, z0) = 0.

Exemplul 13.16 Se dau curba:

r = a(sin t + cos t)i + a(sin t− cos t)j + be−tk

si punctul ei M0(0). Deoarece

r(0) = a(i− j) + bk, r′(0) = a(i + j)− bk,

ecuatiile tangentei ın M0 la curba se scriu

x− aa

=y + a

a=

z − b−b

,

iar ecuatia planului normal va fi a(x− a) + a(y + a)− b(z − b) = 0.

Exemplul 13.17 Se dau curba: y = 2ex, z = 3 ln(x + 1) si punctul M0(0, 2, 0) situat pecurba. Deoarece f ′(0) = 2, g′(0) = 3, ecuatiile tangentei ın M0 vor fi

x1

=y − 2

2=

z3,

iar ecuatia planului normal: x + 2(y − 2) + 3z = 0.

Exemplul 13.18 Se dau curba:

F (x, y, z) = x2 + y2 − 10 = 0,

G(x, y, z) = y2 + z2 − 25 = 0


si punctul M0(1, 3, 4). Deoarece grad F (x, y, z) = 2xi + 2yj, grad G(x, y, z) = 2yj + 2zksi deci

v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k2 6 00 6 8

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 4(12i− 4j + 3k),

ecuatiile tangentei se scriux− 112

=y − 3−4

=z − 4

3,

iar ecuatia planului normal: 12(x− 1)− 4(y − 3) + 3(z − 4) = 0.

13.2.3 Elementul de arc

Fie curba C data prin ecuatiar = r(t),

si M0(t0) un punct fix al sau. Sa notam cu s = s(t) lungimea arcului_

M0M . DacaM ′(t + ∆t) este un punct vecin pe curba punctului M(t), atunci putem considera ∆s =||−−−→MM ′||. Dar

−−−→MM ′ = r(t + ∆t)− r(t) si deci

∆s∆t

=∥

∥

∥

∥

r(t + ∆t)− r(t)∆t

∥

∥

∥

∥

.

Daca trecem la limita pentru ∆t → 0, avem

lim∆t→0

∆s∆t

=∥

∥

∥

∥

lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

∥

∥

∥

∥

,

de undeds = ||r′(t)|| dt = ||dr||. (13.57)

Diferentiala ds data de (13.57) se numeste element de arc al curbei C. Daca curba estedata prin ecuatiile parametrice (13.48), atunci din (13.57) avem

ds =√

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt. (13.58)

In cazul reprezentarii explicite (13.50) aceasta revine la

ds =√

1 + f ′2(x) + g′2(x) dx.

Deoarece s′(t) = ||r′(t)|| > 0 ın orice punct ordinar al curbei, putem rezolva ecuatias = s(t) ın privinta lui t. Obtinem t = ϕ(s). Inlocuind aceasta valoare a parametrului tın ecuatia (13.47) obtinem

r = r(ϕ(s)). (13.59)

Deci, putem scrie ecuatiile parametrice ale curbei luand la parametru arcul ei s, carese mai numeste si parametru natural al curbei.

Daca curba este data parametric prin (13.59), ın care s este arcul pe curba, atuncidin (13.57) rezulta

∥

∥

∥

∥

drds

∥

∥

∥

∥

= 1,


deci vectorul

t = r =drds

=r′

||r′||(13.60)

este un vector unitar, adica t2 = 1.

Din (13.58) deducem ca lungimea arcului_

M0M este

s = s(t) =∫ t

t0

√

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt,

respectiv

s = s(x) =∫ x

x0

√

1 + f ′2(x) + g′2(x) dx.

13.2.4 Planul osculator. Reperul lui Frenet

Definitia 13.25 Numim plan osculator la curba C ın punctul M0 ∈ C, un plan careintersecteaza curba ın trei puncte confundate ın M0.

Fie curba C data prin ecuatia r = r(t) si fie M0(r(t0)) un punct ordinar al ei. Unplan oarecare prin M0 are ecuatia

N · (r− r(t0)) = 0. (13.61)

Coordonatele parametrice ale punctelor de intersectie ale acestui plan cu curba suntradacinile ecuatiei

Φ(t) = N · (r(t)− r(t0)) = 0. (13.62)

Pentru ca planul (13.61) sa fie plan osculator la curba ın punctul M0(t0) este necesar cat = t0 sa fie radacina tripla a ecuatiei Φ(t) = 0. Deoarece Φ(t0) = 0, va trebui sa avemınca

Φ′(t0) = N · r′(t0) = 0, Φ′′(t0) = N · r′′(t0) = 0.

De aici rezulta ca vectorul N trebuie sa fie coliniar cu produsul vectorial r′(t0)× r′′(t0),adica putem lua

N = r′(t0)× r′′(t0).

Deci, dacar′(t0)× r′′(t0) 6= 0,

ecuatia planului osculator la curba C ın punctul M0 este

(r′(t0)× r′′(t0)) · (r− r(t0)) = 0,

sau(r− r(t0), r′(t0), r′′(t0)) = 0.

In reperul cartezian R aceasta devine∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x(t0) y − y(t0) z − z(t0)x′(t0) y′(t0) z′(t0)x′′(t0) y′′(t0) z′′(t0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.


Definitia 13.26 Un punct M0(t0) ∈ C ın care

r′(t0)× r′′(t0) = 0 (13.63)

se numeste punct de inflexiune al curbei C.

Deci, ın orice punct ordinar si neinflexianar al curbei planul osculator este unic de-terminat.

Fie M0 un punct ordinar si neinflexianar al curbei C.

Definitia 13.27 Numim normala principala la curba C ın punctul M0 intersectia plan-ului normal cu planul osculator la curba C ın M0.

Vectorul director al normalei principale este deci un vector coliniar cu produsul dubluvectorial

(r′(t0)× r′′(t0))× r′(t0).

Ecuatia normalei principale se scrie atunci

(r− r(t0))× [(r′(t0)× r′′(t0))× r′(t0)] = 0.

Vom nota versorul normalei principale ıntr-un punct M(t) ∈ C cu

n =(r′ × r′′)× r′

||(r′ × r′′)× r′||. (13.64)

Definitia 13.28 Numim binormala la curba C ın punctul M0, perpendiculara pe planulosculator ın punctul M0 la curba.

Vectorul director al binormalei ın M0 la curba este coliniar deci cu vectorul r′(t0)×r′′(t0). Ecuatia binormalei se va scrie

(r− r(t0))× [r′(t0)× r′′(t0)] = 0.

Vom nota versorul binormalei ıntr-un punct M(t) ∈ C cu

b =r′ × r′′

||r′ × r′′||. (13.65)

Definitia 13.29 Numim plan rectificator (rectifiant) la curba C ın punctul M0, planuldeterminat de tangenta si binormala la C ın M0.

Ecuatia planului rectificator este

(r− r(t0), r′(t0), r′(t0)× r′′(t0)) = 0.

Versorii t, n, b dati de (13.54), (13.64) si (13.65) satisfac relatiile

t2 = n2 = b2 = 1, t · n = n · b = b · t = 0.


- -

6

6

r′ (r′ × r′′)× r′

r′ × r′′

planul osculator

planul normal

planul rectificator

tangenta

normala principala

binormala

M


Reperul cartezian ortonormat M, t,n,b cu originea ıntr-un punct M , ordinar sineinflexionar al curbei se numeste reper mobil sau reperul lui Frenet atasat curbei ınpunctul M .

Sa gasim ın ıncheiere expresiile versorilor reperului Frenet cand curba este data prinecuatia r = r(s), unde s este parametrul natural. Deoarece r2 = 1, deci r · r = 0,deducem ca r ⊥ r si

(r× r)× r = r2r− (r · r)r = r.

Rezulta ca ||r× r|| = ||r||. Din (13.60), (13.64) si (13.65) obtinem atunci

t = r, n =r||r||

, b =r× r||r||

= t× n. (13.66)

In acest caz, ecuatiile axelor si planelor reperului Frenet ın punctul M(r(s)) ∈ C sescriu:

(r− r(s))× t(s) = 0 − ecuatiatangentei,

(r− r(s))× n(s) = 0 − ecuatianormaleiprincipale,

(r− r(s))× b(s) = 0 − ecuatiabinormalei,

t(s)·(r− r(s)) = 0 − ecuatiaplanuluinormal,

n(s)·(r− r(s)) = 0 − ecuatiaplanuluirectificator,

b(s)·(r− r(s)) = 0 − ecuatiaplanuluiosculator.


Exemplul 13.19 Se da curba r =3 cos t i + 3 sin t j + 4tk (elicea circulara). Sa scriemecuatiile axelor si planelor reperului Frenet atasat curbei ıntr-un punct M(t) al acesteia.

Deoarece r′ = −3 sin t i = 3 cos t j + 4k, ds = ||r′(t)|| dt = 5 dt. Deducem ca t = s/5.Avem deci

r = 3 coss5

i+3 sins5

j+45sk, r = −3

5sin

s5

i+35

sins5

j+45

k, r = − 325

coss5

i− 325

sins5

j,

ıncat

t =15(−3 sin t i + 3 cos t j + 4k), n = − cos t i− sin t j, b =

15(4 sin t i− 4 cos t j + 3k).

Ecuatiile axelor sunt

x− 3 cos t−3 sin t

=y − 3 sin t

3 cos t=

z − 4t4

− ecuatiiletangentei,

x− 3 cos tcot s

=y − 3 sin t

sin t=

z − 4t0

− ecuatiilenormaleiprincipale,

x− 3 cos t4 sin t

=y − 3 sin t−4 cos t

=z − 4t

3− ecuatiilebinormalei.

Ecuatiile planelor sunt

−3x sin t + 3y cos t + 4z − 16t = 0 − ecuatiaplanuluinormal,

x cos t + y sin t− 3 = 0 − ecuatiaplanuluirectificator,

4x sin t− 4y cos t + 3z − 12t = 0 − ecuatiaplanuluiosculator.

13.2.5 Curbura unei curbe ın spatiu

Fie M(s) si M ′(s + ∆s) doua puncte vecine pe curba C data prin ecuatia r = r(s) si ∆αunghiul dintre tangentele la C ın cele doua puncte.

Definitia 13.30 Numim curbura a curbei C ın punctul M ,

κ = lim∆s→0

∣

∣

∣

∣

∆α∆s

∣

∣

∣

∣

.

Daca t(s) si t(s + ∆s) sunt versorii tangentelor la curba ın punctele M si respectivM ′, atunci

||t(s + ∆s)− t(s)|| = 2∣

∣

∣

∣

sin∆α2

∣

∣

∣

∣

,

de unde∥

∥

∥

∥

t(s + ∆s)− t(s)∆s

∥

∥

∥

∥

=

∣

∣

∣

∣

∣

sin ∆α2

∆α2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∆α∆s

∣

∣

∣

∣

.

Trecand aici la limita pentru ∆s → 0, obtinem

lim∆s→0

∣

∣

∣

∣

∆α∆s

∣

∣

∣

∣

= lim∆s→0

∥

∥

∥

∥

t(s + ∆s)− t(s)∆s

∥

∥

∥

∥

=∥

∥

∥

∥

dtds

∥

∥

∥

∥

,


ıncatκ = ||t|| = ||r||. (13.67)

Cantitatea R = 1/κ se numeste raza de curbura a curbei C ın punctul M .Din (13.66) gasim imediat ca n = R r = Rt, de unde

t = κn. (13.68)

Daca curba C este data prin reprezentarea r = r(t), regulata de ordin cel putin doi,curbura ın punctul ordinar M(t) are expresia

κ =||r′ × r′′||||r′||3

(13.69)

Intr-adevar, presupunand t = t(s), avem

r =drds

=drdt

dtds

= r′dtds

,

r = r′′(

dtds

)2

+ r′d2tds2 ,

r× r = (r′ × r′′)(

dtds

)3

.

Dar, cu (13.57), ds/dt = ||r′||, ıncat

||r|| = ||r× r|| = ||r′ × r′′||||r′||3

.

Inlocuind ın (13.67) obtinem (13.69).Din (13.69) rezulta ca un punct ordinar al unei curbe este punct de inflexiune d.d. ın

acel punct curbura este nula.

Teorema 13.5 Conditia necesara si suficienta ca o curba sa fie o dreapta este ca ınorice punct al ei curbura sa fie nula.

/ Necesitatea. Daca curba C este o dreapta, atunci r = r0 + tv, r′ = v, r′′ = 0 sidin (13.69) deducem κ = 0, pentru orice t ∈ R.

Suficienta. Din κ = 0, tinand seama de (13.67), urmeaza t = 0 si deci t = v (vectorconstant), sau r = v, de unde r =sv + r0, deci curba este o dreapta. .

13.2.6 Torsiunea unei curbe

Fie din nou M(s) si M ′(s+∆s) doua puncte vecine pe curba C data prin ecuatia r = r(s)si ∆β unghiul dintre binormalele la C ın cele doua puncte.

Definitia 13.31 Numim torsiune absoluta a curbei C ın punctul M ,

|τ | = lim∆s→0

∣

∣

∣

∣

∆β∆s

∣

∣

∣

∣

.


Daca b(s) si b(s+∆s) sunt versorii binormalelor la curba ın punctele M si respectivM ′, atunci

||b(s + ∆s)− b(s)|| = 2∣

∣

∣

∣

sin∆β2

∣

∣

∣

∣

,

de unde∥

∥

∥

∥

b(s + ∆s)− b(s)∆s

∥

∥

∥

∥

=

∣

∣

∣

∣

∣

sin ∆β2

∆β2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∆β∆s

∣

∣

∣

∣

.

Trecand aici la limita pentru ∆s → 0, obtinem

lim∆s→0

∣

∣

∣

∣

∆β∆s

∣

∣

∣

∣

= lim∆s→0

∥

∥

∥

∥

b(s + ∆s)− b(s)∆s

∥

∥

∥

∥

=∥

∥

∥

∥

dbds

∥

∥

∥

∥

,

ıncat|τ | =

∥

∥

∥b∥

∥

∥ . (13.70)

Dar b = t× n si t =κn, ıncat b = t× n, deci b ⊥ t si din b2 = 1 rezulta b · b = 0,adica b ⊥ b. In concluzie, b este coliniar cu n, ıncat

|b · n| = ||b|| = |τ |.

Cum ınsa n =Rt, n = Rt + Rt, avem

b · n = (t× n)·n = (t, n,n) = (t,Rt+Rt,Rt) = −R2(t, t, t) = − 1

||r||2(r, r,

...r ),

ıncat

|τ | = |(r, r, ...r )|

||r||2. (13.71)

Definitia 13.32 Numim torsiune a curbei C ın punctul M(s), marimea

τ =(r, r,

...r )

||r||2= −b · n. (13.72)

Deoarece b este coliniar cu n, de aici urmeaza ca

b = −τ n.

Daca curba C este data prin reprezentarea r = r(t), regulata de ordin cel putin doi,torsiunea ın punctul ordinar si neinflexionar M(t) are expresia

τ =(r′, r′′, r′′′)||r′ × r′′||2

. (13.73)

Intr-adevar, presupunand t = t(s), avem

r = r′dtds

, r = r′′(

dtds

)2

+ r′d2tds2 ,

...r= r

′′′(

dtds

)3

+ 3r′′(

dtds

)2 d2tds2 + r′

d3tds3 ,


asa ıncat, cu ds/dt = ||r′||,

(r, r,...r ) =(r′, r′′, r′′′)

(

dtds

)6

=(r′, r′′, r′′′)1

||r′||6, ||r|| = ||r′ × r′′||

||r′||3,

care ınlocuite ın (13.72) dau (13.73).

Definitia 13.33 Un punct al curbei C ın care torsiunea este nula se numeste punctplanar.

Teorema 13.6 Conditia necesara si suficienta ca o curba sa fie o curba plana este caın orice punct al ei torsiunea sa fie nula.

/ Necesitatea. Daca curba este plana, planul osculator fiind planul curbei, rezultaca b este un vector constant, deci b = 0 si din (13.70) deducem ca τ = 0.

Suficienta. Daca τ = 0, urmeaza ca b = 0 si deci b = b0 (vector constant). Cumb · t = 0, rezulta ca b0 · r = 0, de unde, prin integrare, b0 · r(s)+D = 0, D fiind oconstanta de integrare. De aici deducem ca toate punctele curbei se gasesc ın planul deecuatie b0 · r+D = 0, adica este o curba plana. .

13.2.7 Formulele lui Frenet

Fie C un arc de curba regulat de ordinul cel putin trei, format din puncte ordinare sineinflexionare, dat prin ecuatia

r = r(s),

unde s este parametrul natural. Fie ınca R = M, t,n,b reperul Frenet (Fig. 13.5)atasat acestui arc ın punctul M(s), ın care

t = r, n =r||r||

, b =r× r||r||

(13.74)

si fieκ = ||r||, τ = −b · n,

curbura si torsiunea curbei ın punctul M(s).

-

6

Mt

n

b


Formulele lui Frenet exprima modul cum variaza reperul lui Frenet cand punctul Mparcurge arcul de curba, dau deci derivatele versorilor reperului ın functie de versoriireperului.


Prima dintre aceste formule se obtine imediat din (13.74)1, (13.74)2 si expresia cur-burii. Se gaseste

dtds

= κn. (13.75)

Tinand apoi seama ca b este coliniar cu n si de expresia torsiunii, obtinem

dbds

= −τ n. (13.76)

In fine, din n = b× t, prin derivare, avem n = b× t + b× t si tinand seama de prece-dentele doua formule, rezulta

dnds

= −κ t + τ b. (13.77)

Coordonatele vectorilor t, n, b sunt functii numai de curbura κ si torsiunea τ alecurbei ın punctul M . Rezulta de aici ca daca cunoastem curbura si torsiunea:

κ = κ(s), τ = τ(s), (13.78)

prin integrarea sistemului (13.75) - (13.77) se obtin versorii t = t(s), n = n(s), b = b(s),iar din

drds

= t,

obtinem r = r(s), adica ecuatia unui arc de curba de curbura si torsiune date. Doua arcede curba astfel obtinute coincid pana la o mi;scare ın spatiu. Din acest motiv ecuatiile(13.78) se numesc ecuatiile intrinseci ale curbei.

13.3 Suprafete


Fie R = O, i, j,k un reper cartezian ortonormat ın E.

Definitia 13.34 O submultime S ⊂ E se numeste suprafata daca exista o aplicatier : ∆ → E, ∆ ⊂ R2, a.ı. r(∆) = S.

Daca M(r) ∈ S, atuncir = r(u, v), (u, v) ∈ ∆, (13.79)

este ecuatia vectoriala a suprafetei S, iar u si v pentru care −−→OM = r(u, v) se numesccoordonate parametrice sau curbilinii ale punctului M de pe suprafata si se noteazaM(u, v). In proiectie pe axele reperului ecuatia (13.79) este echivalenta cu

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ ∆, (13.80)

numite ecuatiile parametrice ale suprafetei S.


Exemplul 13.20 Aplicatia r : ∆ → E, ∆ = [0, 2π]× [−π/2, π/2], definita prin

r = R(i cos u + j sin u) cos v + Rk sin v, (u, v) ∈ ∆,

R fiind o constanta reala pozitiva, reprezinta o sfera cu centrul ın origine si raza R.Ecuatiile parametrice ale acestei sfere se scriu

x = R cos u cos v, y = R sin u cos v, z = R sin v, (u, v) ∈ ∆.

Ecuatiile parametrice ale unei suprafete nu sunt unice. Daca α : ∆′ → ∆, cu ∆, ∆′ ⊂R2, este o aplicatie surjectiva, aplicatiile r α si r au aceeasi imagine S, deci definescaceeasi suprafata.

Definitia 13.35 O suprafata S se numeste suprafata de clasa Ck, k ≥ 0, daca admitecel putin o reprezentare de forma (13.79) cu r ∈ Ck(∆).

Daca ∆ este o multime deschisa si r o aplicatie bijectiva continua cu inversa continuaatunci S se numeste suprafata simpla.

Definitia 13.36 Suprafata S, data prin reprezentarea (13.79) se numeste suprafata reg-ulata de clasa Ck, k ≥ 1, daca r ∈ Ck(∆) si

ru(u, v)× rv(u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ ∆. (13.81)

In (13.81) am notat ru = ∂r/∂u, rv = ∂r/∂v.

Definitia 13.37 Un punct M0 ∈ S se numeste punct ordinar (sau regulat) daca Sadmite cel putin o reprezentare de forma (13.79) regulata ın punctul M0. In caz contrar,M0 se numeste punct singular.

Daca drept parametri se pot lua abscisa x si ordonata y ale unui punct de pe suprafata,atunci reprezentarea (13.80) ia forma

z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2, (13.82)

ın care f ∈ Ck(D), numita ecuatia carteziana explicita a suprafetei S. In acest caz toatepunctele suprafetei sunt ordinare deoarece

rx × ry = −p(x, y) i− q(x, y) j + k 6= 0, (13.83)

pentru orice (x, y) ∈ D, unde p = ∂f/∂x, q = ∂f/∂y (notatiile lui Monge).O suprafata S de clasa Ck poate fi data si printr-o ecuatie de forma

F (x, y, z) = 0, (13.84)

ın care F este o functie de clasa Ck, numita ecuatia carteziana implicita a suprafetei.Daca suprafata S este data prin reprezentarile (13.80) si (13.84), simultan, atunci

pentru orice (u, v) ∈ ∆,F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0.


Derivand partial aceasta identitate ın raport cu u si v, obtinem:

ru (u, v) · grad F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,rv (u, v) · grad F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

de unde rezulta ca ru (u, v) ⊥ grad F , rv (u, v) ⊥ gradF , adica

ru (u, v)× rv(u, v) = λ(u, v) grad F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), ∀ (u, v) ∈ ∆. (13.85)

Definitia 13.38 Un punct M0(x0, y0, z0) ∈ S se numeste punct ordinar daca

grad F (x0, y0, z0) 6= 0 (13.86)

In caz contrar, M0 se numeste punct singular.

Reprezentarea carteziana explicita poate fi privita ca un caz particular de reprezentareimplicita, pentru care F (x, y, z) = z − f(x, y).

Exemplul 13.21 Fie C o curba ın planul Oxz, de ecuatii: x = f(u), y = 0, z = g(u).Prin rotirea curbei C ın jurul axei Oz se obtine o suprafata de rotatie de ecuatii: x =f(u) cos v, y = f(u) sin v, z = g(u). Astfel:

(a) prin rotirea cercului: x = a + bcosu, y = 0, z = b sin u, cu a > b, se obtine torul:

x = (a + bcosu) cos v, y = (a + bcosu) sin v, z = b sin u;

(b) prin rotirea lantisorului: x = a ch (u/a), y = 0, z = u, se obtine catenoidul:

x = a ch (u/a) cos v, y = a ch (u/a) sin v, z = u;

(c) prin rotirea tractricei: x = a sin u, y = 0, z = a(ln tg (u/2) + cos u), se obtinepseudosfera:

x = a sin u cos v, y = a sin u sin v, z = a(ln tg (u/2) + cos u).

Exemplul 13.22 Suprafata generata de o curba C (numita profil) ın miscare de rotatieın jurul unei drepte si ın acelasi timp de translatie paralela cu aceasta dreapta, vitezeleacestor miscari fiind proportionale, se numeste elicoid. Daca se ia axa Oz drept axa derotatie, o reprezentare parametrica a elicoidului este

x = f(u) cos v, y = f(u) sin v, z = g(u) + av.

13.3.2 Curbe pe o suprafata

O curba C situata pe suprafata S poate fi data printr-o reprezentare curbilinie paramet-rica de forma

u = u(t), v = v(t), t ∈ I ⊂ R. (13.87)

Ecuatia vectoriala a curbei C se obtine ınlocuind pe u si v din reprezentarea (13.87) ın(13.79):

r = r(u(t), v(t)), t ∈ I, (13.88)

iar ecuatiile carteziene parametrice

x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), z = z(u(t), v(t)), t ∈ I. (13.89)

Curba C situata pe suprafata S poate fi data si printr-o ecuatie curbilinie implicitav = f(u) sau printr-o ecuatie curbilinie explicita F (u, v) = 0.


13.3.3 Planul tangent si normala la o suprafata

Fie suprafata S data prin ecuatia (13.79) si M0(u0, v0) un punct ordinar al suprafeei,deci pentru care

ru(u0, v0)× rv(u0, v0) 6= 0.

Prin punctul M0 se pot duce pe suprafata o infinitate de curbe. Fie C o curba oarecareprin M0 situata pe suprafata, data prin ecuatiile (13.87), a carei reprezentare cartezianaparametrica este (13.88). Daca t0 este valoarea parametrului t corespunzatoare punctuluiM0 ca punct pe curba C, a.ı. u(t0) = u0, v(t0) = v0, un vector director al tangentei ınM0(t0) la curba C este

r′(t0) = u′(t0)ru(u0, v0) + v′(t0)rv(u0, v0). (13.90)

Din (13.90) rezulta ca oricare ar fi curba C ⊂ S, care trece prin punctul M0, vectoruldirector al tangentei la curba ın M0 este o combinatie liniara a vectorilor necoliniariru(u0, v0) si rv(u0, v0). Deci tangenta prin M0 la oricare dintre aceste curbe apartineplanului determinat de punctul M0 si vectorii necoliniari ru(u0, v0) si rv(u0, v0) paralelicu planul.

Definitia 13.39 Numim plan tangent la suprafata S ın punctul ordinar M0 ∈ S, loculgeometric al tangentelor prin M0 al tuturor curbelor de pe suprafata care trec prin M0.

Daca r este vectorul de pozitie al unui punct curent al planului tangent, atunci ecuatiaplanului tangent este

(r− r(u0, v0), ru(u0, v0), rv(u0, v0)) = 0. (13.91)

Definitia 13.40 Vectorul h se numeste vector tangent la S ın M0 daca este vectordirector al tangentei la o curba C de pe S ce trece prin M0.

Definitia 13.41 Numim spatiu vectorial tangent la S ın punctul M0, TM0(S), spatiulvectorial director al planului tangent la S ın M0, adica multimea tuturor vectorilortangenti la S ın M0.

O baza a spatiului tangent o formeaza sistemul de vectori ru(u0, v0), rv(u0, v0).

Definitia 13.42 Numim normala ıntr-un punct ordinar M0 ∈ S dreapta prin M0 per-pendiculara pe planul tangent ın M0 la S.

Din definitia planului tangent rezulta ca putem lua ca vector director al normalei lasuprafata S ın punctul ei ordinar M , vectorul

N(u, v) = ru(u, v)× rv(u, v) = A(u, v)i + B(u, v)j + C(u, v)k, (13.92)

unde

A(u, v) =∣

∣

∣

∣

yu zu

yv zv

∣

∣

∣

∣

, B(u, v) =∣

∣

∣

∣

zu xu

zv xv

∣

∣

∣

∣

, C(u, v) =∣

∣

∣

∣

xu yuxv yv

∣

∣

∣

∣

.

Cu aceasta notatie, ecuatia planului tangent se mai poate scrie

N(u0, v0) · (r− r(u0, v0)) = 0,


de unde ecuatia carteziana

A(u0, v0)(x− x(u0, v0)) + B(u0, v0)(y − y(u0, v0)) + C(u0, v0)(z − z(u0, v0)) = 0.

Ecuatia vectoriala a normalei ın M0(u0, v0) ∈ S la suprafata va fi atunci

(r− r(u0, v0))×N(u0, v0) = 0,

iar ecuatiile canonice ale normalei se vor scrie

x− x(u0, v0)A(u0, v0)

=y − y(u0, v0)

B(u0, v0)=

z − z(u0, v0)C(u0, v0)

.

Daca suprafata S este reprezentata analitic prin ecuatia carteziana explicita (13.82),tinand seama de (13.83), un vector director al normalei este

N(x, y) = −p(x, y) i− q(x, y) j + k,

a.ı. ecuatia planului tangent ın punctul M0(x0, y0, f(x0, y0)) al suprafetei se scrie

−p(x0, y0)(x− x0)− q(x0, y0)(y − y0) + z − f(x0, y0) = 0,

iar ecuatiile canonice ale normalei

x− x0

−p(x0, y0)=

y − y0

−q(x0, y0)=

z − f(x0, y0)1

.

Daca suprafata S este reprezentata analitic prin ecuatia carteziana implicita (13.84),tinand seama de (13.85), un vector normal suprafetei ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈ S,pentru care F (x0, y0, z0) = 0, este

N(x0, y0, z0) = grad F (x0, y0, z0),

a.ı. ecuatia planului tangent se scrie

grad F (x0, y0, z0) · (r− r0) = 0,

sau, sub forma carteziana

F ′x(x0, y0, z0)(x− x0) + F ′y(x0, y0, z0)(y − y0) + F ′z(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.

Ecuatia normalei va fi(r− r0)× grad F (x0, y0, z0) = 0,

iar ecuatiile canonice ale normalei

x− x0

F ′x(x0, y0, z0)=

y − y0

F ′y(x0, y0, z0)=

z − z0

F ′z(x0, y0, z0).

Definitia 13.43 Numim plan normal la suprafata S ın punctul ei ordinar M0 orice plancare contine normala ın M0 la S.

Definitia 13.44 Numim sectiune normala a suprafetei S curba de intersectie a supra-fetei cu un plan normal.


13.3.4 Linii si retele pe o suprafata

Definitia 13.45 Numim familie simpla de linii pe o suprafata S o familie uniparametricade curbe situate pe suprafata cu proprietatea ca prin fiecare punct ordinar al ei trece ocurba a familiei si numai una.

Daca suprafata este data prin reprezenarea parametrica (13.80), o familie simpla delinii pe S poate fi data printr-o ecuatie de forma

ϕ(u, v) = c, (13.93)

unde c este o constanta arbitrara. Deoarece (13.93) poate fi privita ca solutia generala aunei ecuatii diferentiale de forma

P (u, v) du + Q(u, v) dv = 0, (13.94)

ın care P (u, v) si Q(u, v) sunt functii continue pe ∆, deducem ca o familie simpla de liniipe S poate fi data printr-o ecuatie diferentiala de forma (13.94).

Exemplul 13.23 Curbele v = const si u = const formeaza doua familii simple de liniipe suprafata S. Ecuatiile lor diferentiale sunt dv = 0 si respectiv du = 0. Prin fiecarepunct M0(u0, v0) ∈ S trece curba v = v0 din prima familie si curba u = u0 din cea de-adoua familie. Ecuatiile vectoriale ale acestor curbe sunt

r = r(u, v0), r = r(u0, v).

Aceste familii simple de linii se numesc liniile parametrice ale suprafetei.

Definitia 13.46 Numim retea pe suprafata S doua familii simple de linii de pe S cuproprietatea ca prin fiecare punct ordinar al ei trece cate o curba din fiecare familieavand ın acest punct tangente distincte.

O retea pe suprafata S poate fi data prin ecuatiile ϕ(u, v) = c1, ψ(u, v) = c2, cuconditia

D(ϕ,ψ)D(u, v)

6= 0,

sau printr-o ecuatie diferentiala de forma

A(u, v) du2 + 2B(u, v) du dv + C(u, v) dv2 = 0, (13.95)

cu conditia B2 −AC > 0 ın ∆.

Exemplul 13.24 Cele doua familii de linii parametrice ale suprafetei formeaza o reteape suprafata. Intr-adevar, vectorii directori ai tangentelor ın M0 sunt ru(u0, v0) si re-spectiv rv(u0, v0). Punctul M0 fiind ordinar, tangentele ın M0 sunt distincte. Vom numiaceasta retea, reteaua parametrica a suprafetei. Ecuatia sa diferentiala este du dv = 0.


13.3.5 Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie suprafata S, regulata de ordin cel putin unu, data prin ecuatia

r = r(u, v), (u, v) ∈ ∆.

In fiecare punct ordinar M(u, v) al suprafetei, sistemul de vectori ru, rv formeaza obaza ın spatiul vectorial TM (S) tangent la S ın M , a.ı. orice vector dr ∈ TM (S) se scriedr = rudu + rvdv.

Spatiul vectorial TM (S) poate fi organizat ca spatiu euclidian. Produsul scalar din Einduce pe TM (S) produsul scalar

φ(dr1, dr2) = dr1 · dr2, ∀ dr1, dr2 ∈ TM (S).

Daca ın baza ru, rv: dr1 = rudu1 + rvdv1, dr2 = rudu2 + rvdv2, notand (dupa Gauss)cu

E = r2u, F = ru · rv, G = r2

v,

expresia analitica a produsului scalar ın TM (S) va fi

φ(dr1, dr2) = Edu1du2 + F (du1dv2 + du2dv1) + Gdv1dv2.

Evident, forma biliniara φ este simetrica, iar forma patratica asociata

Φ(dr) = E du2 + 2F du dv + Gdv2, ∀ dr = rudu + rvdv ∈ TM (S), (13.96)

este pozitiv definita. Aceasta forma patratica se numeste prima forma fundamentala asuprafetei.

Desi ecuatia Φ(dr) = 0 este de forma (13.95), ea nu defineste pe S o retea realadeoarece F 2 −EG < 0.

Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), luand pe x si y dreptparametri, prima forma fundamentala a suprafetei se scrie:

Φ(dx, dy) = (1 + p2) dx2 + 2pq dx dy + (1 + q2) dy2,

unde s-a notat (dupa Monge) cu p = ∂f/∂x, q = ∂f/∂y.

Exemplul 13.25 Prima forma fundamentala a planului Oxy, de ecuatie z = 0, este

Φ(dx, dy) = dx2 + dy2.

Prima forma fundamentala defineste metrica suprafetei (indusa de metrica lui E),adica ne permite sa calculam lungimea unui arc de curba situat pe suprafata, unghiuldintre doua directii tangente ıntr-un punct al suprafetei cat si aria unui domeniu de pesuprafata.


Lungimea unui arc de curba de pe suprafata

Fie C =_

AB un arc de curba pe suprafata S, dat prin ecuatiile

u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b],

cu extremitatile ın punctele A(a), B(b). Ecuatia sa vectoriala este

r = r(u(t), v(t)), t ∈ [a, b],

prin urmare dr = r′(t) dt = (ruu′(t) + rvv′(t)) dt si ca atare elementul de arc va fi dat de

ds = ||dr|| =√

Φ(dr) =√

Φ(u′, v′) dt.

Lungimea arcului de curba_

AB se scrie atunci

LAB =∫

_AB

ds =∫ b

a

√

Φ(u′, v′) dt =∫ b

a

√

Eu′2 + 2Fu′v′ + Gv′2 dt,

ın care coeficientii E, F , G ai formei patratice Φ se calculeaza ın punctul M(u(t), v(t)).

Unghiul dintre doua directii tangente suprafetei

FieC1 : u = u1(t1), v = v1(t1), C2 : u = u2(t2), v = v2(t2),

doua arce de curba pe suprafata S, care se intersecteaza ın punctul M0 si fie t01 si respectivt02 valorile parametrilor pe cele doua curbe pentru care se obtine punctul M0. Prin unghidintre arcele C1 si C2 ın punctul M0, ıntelegem unghiul θ dintre vectorii directori aitangentelor la cele doua arce ın M0. Deoarece

C1 : r = r(u1(t1), v1(t1)) = r1(t1), C2 : r = r(u2(t2), v2(t2)) = r2(t2),

rezulta ca

cos θ =r′1(t

01) · r′2(t02)

||r′1(t01)|| ||r′2(t02)||=

dr1 · dr2√

dr21

√

dr22

∣

∣

∣

∣

∣

M0

=φ(dr1, dr2)

√

Φ(dr1)√

Φ(dr2)

∣

∣

∣

∣

∣

M0

,

sau

cos θ =E du1du2 + F (du1dv2 + du2dv1) + Gdv1dv2

√

E du21 + 2F du1dv1 + Gdv2

1

√

E du22 + 2F du2dv2 + Gdv2

2

∣

∣

∣

∣

∣

M0

.

Exemplul 13.26 Sa calculam unghiul dintre liniile parametrice ale suprafetei care trecprin punctul M0(u0, v0), ale caror ecuatii sunt: v = v0, u = u0. Avem

C1 : r = r(u, v0) = r1(u), C2 : r = r(u0, v) = r2(v)

si deci dr1 = ru du, dr2 = rv dv si cum dr1 · dr2 = F dudv, ||dr1|| =√

E du, ||dr2|| =√Gdv, gasim

cos θ =F√EG

.


Directiile dr1 si dr2 tangente ıntr-un punct M la suprafata sunt ortogonale dacadr1 · dr2 = 0, sau

φ(dr1, dr2) = E du1du2 + F (du1dv2 + du2dv1) + Gdv1dv2 = 0. (13.97)

Definitia 13.47 O retea pe S se numeste ortogonala daca directiile definite de ea ınfiecare punct sunt ortogonale.

Teorema 13.7 Reteaua

A(u, v) du2 + 2B(u, v) du dv + C(u, v) dv2 = 0 (13.98)

este ortogonala d.d.AG− 2BF + CE = 0. (13.99)

/ Intr-adevar, presupunand A 6= 0, ecuatia (13.98) se mai scrie

A(

dudv

)2

+ 2Bdudv

+ C = 0.

Daca dr1(du1, dv1), dr2(du2, dv2) sunt directiile definite de ecuatia (13.98), atunci

du1

dv1+

du2

dv2= −2B

A,

du1

dv1· du2

dv2=

CA

,

care ınlocuite ın conditia de ortogonalitate (13.97), conduc la conditia (13.99). .Reteaua parametrica pe S este ortogonala d.d. F = 0 ın fiecare punct de pe S.

Elementul de arie a unei suprafate

Fie v = v0, u = u0 liniile parametrice ale suprafetei prin punctul M0(u0, v0) si dr1 =ru du, dr2 = rv dv vectorii diferentiali ai directiilor tangentelor la cele doua linii. Vomnumi element de arie a suprafetei S aria paralelogramului construit pe vectorii dr1, dr2ca laturi

dS = ||dr1 × dr2|| = ||ru × rv|| dudv.

13.3.6 A doua forma fundamentala a unei suprafete

Fie data suprafata S, regulata de ordin cel putin doi

r = r(u, v), (u, v) ∈ ∆ (13.100)

si fie

N =ru × rv

||ru × rv||, (13.101)

versorul normalei la S ın punctul M(u, v). Deoarece N2 = 1, urmeaza ca N ·Nu = 0,N ·Nv = 0, adica Nu, Nv ∈ TM (S).

Aplicatia T : TM (S) → TM (S), definita prin

T (dr) = −dN =− (Nudu + Nvdv), ∀ dr = rudu + rvdv ∈ TM (S)


se numeste operatorul lui Weingarten.Prin calcul direct se arata ca:

T (α1dr1 + α2dr2) = α1T (dr1) + α2T (dr2),T (dr1) · dr2 = dr1 · T (dr2),

∀ dr1, dr2 ∈ TM (S),

adica T este o transformare liniara simetrica pe TM (S). Putem atunci asocia lui T formabiliniara ψ pe TM (S):

ψ(dr1, dr2) = T (dr1) · dr2, ∀ dr1, dr2 ∈ TM (S). (13.102)

Din N · ru = 0, N · rv = 0, prin derivare rezulta:

Nu · ru +N · ruu = 0, Nv · ru +N · ruv = 0, Nu · rv +N · rvu = 0, Nv · rv +N · rvv = 0.

Notand: L = N · ruu, M = N · ruv, N = N · rvv, obtinem expresia analitica a formei ψın baza ru, rv:

ψ(dr1, dr2) = Ldu1du2 + M(du1dv2 + du2dv1) + N dv1dv2. (13.103)

Forma patratica asociata formei biliniare simetrice ψ, a carei expresie analitica este

Ψ(dr) = T (dr)·dr = −dN·dr = N · d2r = Ldu2 + 2M dudv + N dv2,

se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei. Tinand seama de (13.101), coefici-entii formei Ψ vor avea expresiile:

L =1√∆

(ru, rv, ruu), M = (ru, rv, ruv), N = (ru, rv, rvv), ∆ = EG− F 2.

Daca suprafata este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), forma a doua fundamen-tala se scrie

Ψ(dx, dy) =1

√

1 + p2 + q2(r dx2 + 2s dxdy + t dy2),

unde p = ∂f/∂x, q = ∂f/∂y, r = ∂2f/∂x2, s = ∂2f/∂x∂y, t = ∂2f/∂y2.

Definitia 13.48 Directia dr(du, dv) tangenta ın M la S se numeste asimptotica daca

Ψ(dr) = Ldu2 + 2M dudv + N dv2 = 0. (13.104)

Daca L, M , N nu sunt simultan nuli, ecuatia (13.104) determina doua directii asimp-totice reale distincte, confundate sau imaginare, dupa cum M2 − LN este pozitiv, nulsau negativ.

Definitia 13.49 Punctul M(u, v) ∈ S se numeste:a) hiperbolic daca M2 − LN > 0,b) parabolic daca M2 − LN = 0,c) eliptic daca M2 − LN < 0.Un punct al suprafetei ın care L = M = N = 0 se numeste punct planar.


Exemplul 13.27 1. Toate punctele unui hiperboloid cu o panza si ale unui paraboloidhiperbolic sunt hiperbolice. Directiile asimptotice sunt directiile generatoarelor rectiliniiale acestor suprafete.

2. Toate punctele unui elipsoid, hiperboloid cu doua panze sau paraboloid eliptic sunteliptice.

3. Toate punctele unui plan sunt planare.

Definitia 13.50 Numim linii asimptotice pe suprafata S curbele de pe suprafata alecaror angente ın fiecare punct al lor au directii asimptotice.

Pe o suprafata formata din puncte hiperbolice, liniile asimptotice formeaza o reteareala numita reteaua asimptotica, a carei ecuatie diferentiala este (13.104).

Reteaua parametrica pe S este o retea asimptotica d.d. L = N = 0.O proprietate a liniilor asimptotice este pusa ın evidenta de teorema care urmeaza.

Teorema 13.8 Planul osculator ın fiecare punct ordinar al unei linii asimptotice coin-cide cu planul tangent la suprafata ın acel punct.

/ Fie u = u(t), v = v(t) o linie parametrica pe S, deci a carei directie a tangentei ınM(u(t), v(t)) este asimptotica: Ψ(dr) = 0 sau N · d2r = 0, adica N · r′′ = 0. Dar cumN · r′ = 0 pentru orice curba, deducem r′ × r′′ ‖ N, adica normala la planul osculatoreste coliniara cu normala la S ın M , deci planul osculator coincide cu planul tangent lasuprafata. .

Consecinta 13.1 Orice dreapta situata pe o suprafata regulata este linie asimptotica pesuprafata.

Exemplul 13.28 Generatoarele rectilinii ale hiperboloidului cu o panza si ale parabolo-idului hiperbolic sunt linii asimptotice pe aceste suprafete.

Definitia 13.51 Spunem ca doua directii dr1(du1, dv1), dr2(du2, dv2) tangente la S ıntr-un punct ordinar al ei sunt conjugate daca

ψ(dr1, dr2) = Ldu1du2 + M(du1dv2 + du2dv1) + N dv1dv2 = 0. (13.105)

Teorema 13.9 Reteaua

A(u, v) du2 + 2B(u, v) du dv + C(u, v) dv2 = 0

este o retea conjugata d.d. AN − 2BM + CL = 0.

/ Demonstratia este asemanatoare celei de la Teorema 13.7. .Reteaua parametrica pe S este conjugata d.d. M = 0.

Exemplul 13.29 Fie sfera de raza R cu centrul ın origine r = R(i cos v+ j sin v) cos u+Rk sinu. Avem

ru = −R(i cos v + j sin v) sin u + Rk cos u, rv = R(−i sin v + j cos v) cos u,


ru × rv = −[R2(i cos v + j sin v) cos2 u + R2k sin u cos u],

deci ||ru × rv|| = R2 cos v, N = −[(i cos v + j sin v) cos u + k sinu]. Apoi

ruu = −R(i cos v + j sin v) cos u−Rk sin u,ruv = R(i sin v − j cos v) sin u,rvv = −R(i cos v + j sin v) cos u,

de unde: L = N · ruu = R, M = N · ruv = 0, N = N · rvv = R cos2 u, deci

Ψ(dr) = R( du2 + cos2 u dv2), ψ(dr1, dr2) = R( du1du2 + cos2 u dv1dv2).

Ecuatia Ψ(dr) = 0 nu are radacini reale, deci sfera nu are directii asimptotice, toatepunctele sale sunt eliptice.

Doua directii dr1(du1, dv1), dr2(du2, dv2) tangente ıntr-un punct al sferei sunt conju-gate daca du1du2 + cos2 u dv1dv2 = 0.

13.3.7 Curbura normala. Curburi principale

Fie data suprafata S, regulata de ordin cel putin doi

r = r(u, v), (u, v) ∈ ∆ (13.106)

si fie Cn un arc al unei sectiuni normale la S ın punctul M(u, v), reprezentat analitic prinecuatiile

u = u(s), v = v(s), (13.107)

unde s este parametrul natural pe Cn. Cum planul osculator al curbei Cn ın M este planulsectiunii normale, rezulta ca N = ±nn sau |N · nn| = 1, unde am notat cu nn versorulnormalei principale la curba Cn. Fie κn curbura sectiunii normale Cn ın M(u(s), v(s)).Din prima formula a lui Frenet avem ca

d2rds2 = κn nn, (13.108)

de unde, cu |N · nn| = 1, deducem pentru curbura sectiunii normale expresia

κn =∣

∣

∣

∣

N · d2rds2

∣

∣

∣

∣

=∣

∣

∣

∣

Ψ(dr)Φ(dr)

∣

∣

∣

∣

. (13.109)

Deoarece raportul Ψ(dr)/Φ(dr) nu depinde decat de directia dr tangenta ın M la S,putem da urmatoarea definitie.

Definitia 13.52 Numim curbura normala a suprafetei S ın punctul ei ordinar M(u, v),ın directia dr(du, dv), raportul

Kn(dr) =Ψ(dr)Φ(dr)

. (13.110)


Din (13.109) deducem atunci: κn = |Kn|.Tinand seama de (13.104) si (13.110) rezulta ca directiile asimptotice ıntr-un punct

al suprafetei S se caracterizeaza prin conditia Kn(dr) = 0.

Definitia 13.53 Numim directie principala ıntr-un punct ordinar al suprafetei S directiatangenta la S pentru care curbura normala are o valoare extrema.

Valoarea curburii normale pentru o directie principala se numeste curbura principala.

Directiile principale sunt nedeterminate ın punctele planare (pentru care L = M =N = 0) si ın punctele ombilicale (pentru care coeficientii celor doua forma fundamentalesunt proportionali). In primul caz Kn = 0 pentru orice directie, iar ın cel de-al doileacaz Kn nu depinde de directie.

Teorema 13.10 Prin orice punct ordinar al unei suprafete, care nu este punct planarsau ombilical, trec doua directii principale reale si distincte.

/ Daca dr(du, dv) este o directie principala, deci pentru care Kn are o valoare extrema,atunci derivatele partiale ale lui Kn(du, dv) ın raport cu du si dv se anuleaza. CumΨ = KnΦ, din ∂Kn/∂(du) = 0, ∂Kn/∂(dv) = 0, deducem

∂Ψ/∂(du)∂Φ/∂(du)

=∂Ψ/∂(dv)∂Φ/∂(dv)

= Kn,

sauLdu + M dvE du + F dv

=M du + N dvF du + Gdv

= Kn. (13.111)

Deci directiile principale satisfac ecuatia diferentiala∣

∣

∣

∣

E du + F dv F du + GdvLdu + M dv M du + N dv

∣

∣

∣

∣

= 0 (13.112)

sau echivalent ∣

∣

∣

∣

∣

∣

dv2 −du dv du2

E F GL M N

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

sau ınca

(EM − FL) du2 + (EN −GL) du dv + (FN −GM) dv2 = 0. (13.113)

Discriminantul ecuatiei (13.113) D = (EN − GL)2 − 4(EM − FL)(FN − GM) sepoate pune sub forma

D =1

EG[E(FN −GM)−G(EM − FL)]2 +

EG− F 2

EG(EN −GL)2 > 0.

Cum D > 0 ın orice punct care un este planar sau ombilical, ecuatia (13.113) are douaradacini reale si distincte. .

Teorema 13.11 Doua directii dr1 si dr2 tangente ın punctul M la S sunt principaled.d. sunt ortogonale si conjugate.


/ Directiile dr1(du1, dv1), dr2(du2, dv2) sunt ortogonale si conjugate daca:

φ(dr1, dr2) = E du1du2 + F (du1dv2 + du2dv1) + Gdv1dv2 = 0,ψ(dr1, dr2) = Ldu1du2 + M(du1dv2 + du2dv1) + N dv1dv2 = 0. (13.114)

Necesitatea. Daca directiile dr1, dr2 sunt principale, atunci (du1, dv1) si (du2, dv2)sunt radacinile ecuatiei (13.113) si tinand seama de relatiile dintre radacinile si coeficientiiunei ecuatii de gradul al doilea, rezulta ca verifica (13.114), adica sunt ortogonale siconjugate.

Suficienta. Sistemul (13.114) ın necunoscutele (du2, dv2) admite solutii nebanaled.d. (du1, dv1) satisface (13.112), adica directia dr1 este principala. Schimband rolulcelor doua directii, rezulta ca si dr2 este principala. .

Definitia 13.54 Numim linii de curbura ale suprafetei S curbele de pe suprafata tan-gente ın fiecare punct al lor directiilor principale.

Ecuatia diferentiala a liniilor de curbura este ecuatia (13.112).In vecinatatea oricarui punct al suprafetei S, care nu este planar sau ombilical, liniile

de curbura formeaza o retea conjugata si ortogonala.Reteaua parametrica pe S este reteaua liniilor de curbura d.d. F = 0 (este ortogonala)

si M = 0 (este conjugata).Din (13.111) rezulta ca o directie principala dr(du, dv) este o solutie nebanala a

sistemului:

(L− EKn) du + (M − FKn) dv = 0,(M − FKn) du + (N −GKn) dv = 0.

Dar curbura normala ıntr-o directie principala este o curbura principala. Cum sis-temul precedent admite solutii nebanale d.d. determinantul sau este nul, rezulta cacurburile principale sunt radacinile ecuatiei

∣

∣

∣

∣

L−EKn M − FKn

M − FKn N −GKn

∣

∣

∣

∣

= 0 (13.115)

sau(EG− F 2)K2

n − (EN − 2FM + GL) Kn + LN −M2 = 0. (13.116)

Ecuatia (13.116) ne permite sa calculam direct (fara a determina directiile principale)curburile principale: K1 = Kn(dr1), K2 = Kn(dr2).

Produsul radacinilor ecuatiei (13.116) se mai numeste curbura totala (gaussiana) asuprafetei ın punctul M

K = K1 ·K2 =LN −M2

EG− F 2 ,

iar semisuma acestor radacini se mai numeste curbura medie a suprafetei ın punctul M

H =12(K1 + K2) =

EN − 2FM + GL2(EG− F 2)

.

Cu acestea ecuatia (13.116) se mai scrie K2n − 2HKn +K = 0.

Punctul M al suprafetei S este: a) hiperbolic daca K < 0, b) parabolic daca K = 0,c) eliptic daca K > 0.

Exemplul 13.30 Sfera de raza R are curbura totala constanta K = 1/R2.

Bibliografie

[1] Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Culegere de probleme de al-gebra liniara, geometrie analitica, diferentiala si ecuatii diferentiale, Editura ALL,Bucuresti, 1994.

[2] A. Bejancu, Matematici speciale I, Rotaprint IPI, 1982.

[3] V. T. Borcea, C. I. Davideanu, C. Forascu, Probleme de algebra liniara,Editura “Gh. Asachi” Iasi, 2000.

[4] I. Burdujan, Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, Rotaprint IPI,1982.

[5] A. Carausu, Linear Algebra, Editura MATRIX ROM, Bucuresti, 1999.

[6] S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si pedagogica,Bucuresti, 1989.

[7] Gh. Ciobanu, Gh. Slabu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala,Culegere de probleme, vol. I si II, Rotaprint IPI, 1983.

[8] M. Craioveanu, I. D. Albu, Geometrie afina si euclidiana, Exercitii, EdituraFacla Timisoara, 1982.

[9] I. Craciun, Gh. Procopiuc, Al. Neagu, C. Fetecau, Algebra liniara, geome-trie analitica si diferentiala si programare, Vol. I si II, Rotaprint IPI, 1984.

[10] V. Cruceanu, Elemente de algebra liniara si geometrie, Centrul de multiplicareUniv. Iasi, 1971.

[11] A. Fedenko, Recueil d ′exercices de geometrie differentielle, Mir Moscou, 1982.

[12] C. Fetecau, E. Sırbu, Probleme de geometrie analitica si diferentiala, RotaprintUTI, 1993.

[13] D. Kletenik, Problemes de geometrie analytique, Editions Mir, Moscou, 1981.

[14] C. Mihu, Sisteme de ecuatii liniare si forme patratice, Editura Tehnica, Bucuresti,1985.

[15] C. Mihu, I. P. Iambor, Curbe plane, Editura Tehnica, Bucuresti, 1989.

244


[16] R. Miron, Introducere vectoriala ın geometria analitica plana, Editura Didactica sipedagogica, Bucuresti, 1970.

[17] V. Murgescu, Georgeta Teodoru, Algebra liniara si geometrie analitica, Ro-taprint IPI, 1980.

[18] E. Murgulecsu, N. Donciu, V. Popescu, Geometrie analitica ın spatiu si ge-ometrie diferentiala, Culegere de probleme, Editura Didactica si pedagogica, Bu-curesti, 1974.

[19] Al. Neagu, Geometrie, Rotaprint UTI, 1996.

[20] Al. Neagu, Veronica Borcea, Probleme de algebra si ecuatii diferentiale, Ro-taprint UTI, 1993.

[21] V. Obadeanu, Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, Editura Facla,Timisoara, 1981.

[22] I. Pop, Curs de algebra, Rotaprint Univ. “Al. I. Cuza” Iasi, 1979.

[23] I. Pop, Culegere de probleme de algebra liniara, Rotaprint Univ. “Al. I. Cuza” Iasi,1982.

[24] I. P. Popescu, Geometrie afina si euclidiana, Editura Facla, Timisoara, 1984.

[25] M. Postnikov, Lecons de geometrie. Algebre lineaire et geometrie differentialle,Editions Mir, Moscou, 1981.

[26] Gh. Procopiuc, Geometrie analitica, Rotaprint UTI, 1995.

[27] Gh. Procopiuc, Matematica, Univ. Tehnica “Gh. Asachi” Iasi, 1999.

[28] Gh. Procopiuc, Gh. Slabu, M. Ispas, Matematica, teorie si aplicatii, Editura“Gh. Asachi” Iasi, 2001.

[29] M. Rosculet, Algebra liniara, geometrie analitica si geometrie diferentiala, Edi-tura Tehnica, Bucuresti, 1981.

[30] Gh. D. Simionescu, Notiuni de algebra vectoriala si aplicatii ın geometrie, EdituraTehnica, Bucuresti, 1982.

[31] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, Odetta Malancioiu, Probleme de algebra,geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si pedagogica, Bucuresti, 1981.

[32] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, Odetta Malancioiu, Algebra, geometrie siecuatii diferentiale, Editura Didactica si pedagogica, Bucuresti, 1982.

[33] Elena Vamanu, Nicoleta Negoescu, Culegere de probleme de algebra liniara,geometrie analitica si diferentiala, Rotaprint IPI, 1982.

Index

aplicatie liniara, 31asimptota, 216

baza, 26orientata, 30ortonormata, 60

binormala, 224

centro-izometrie, 101centru

al unei conice, 167al unei cuadrice, 183de curbura, 209

cerc, 136cerc de curbura, 209cerc osculator, 208cilindru circumscris sferei, 146clasificarea

conicelor, 170cuadricelor, 187

combinatie liniara, 23complement algebric, 10complementul ortogonal, 63con circumscris sferei, 145conica, 150

degenerata, 151nedegenerata, 151

conoid cu plan director, 133conul asimptot, 161conul directiilor asimptotice, 198coordonate

ale unui punct, 95cilindrice, 107ortogonale, 95polare ın plan, 105polare ın spatiu, 106semipolare ın spatiu, 107sferice, 106

coordonatele unui vector, 26cuadrice

degenerate, 163nedegenerate, 157

curbaın spatiu, 217plana, 201

curba algebrica, 108de ordinul doi, 166

curba plana transcendenta, 109curbura

a unei curbe ın spatiu, 226a unei curbe plane, 209medie, 243normala, 241principala, 242totala, 243

dedublare, 140, 145defect, 36determinant, 9diametri conjugati

ai unei conice, 178ai unei cuadrice, 197

diametrual unei conice, 177al unei cuadrice, 196

dimensiune, 27directie

asimptotica, 216principala, 242

directoare, 150distanta, 58dreapta ın plan, 111

ecuatia canonica, 112ecuatia generala, 112ecuatia vectoriala, 112

246


dreapta ın spatiu, 121ecuatia vectoriala, 122ecuatiile canonice, 122

drepte ın spatiucoplanare, 125necoplanare, 125

ecuatie caracteristica, 40ecuatie vectoriala, 91element de arc, 207, 222element de arie, 238elipsa, 152elipsoid, 157evoluta, 212evolventa, 213excentricitate, 150

fasciculde plane, 127

focar, 150forme biliniare, 46forme liniare, 44forme patratice, 48

expresie canonica, 49reale, 53

expresie normala, 53indice de inertie, 54negativ definite, 54pozitiv definite, 54

formulele lui Cramer, 15formulele lui Frenet, 215, 229

generatoare rectilinii, 165

hiperbola, 152hiperboloizi, 159, 160

identitatea lui Lagrange, 88imagine, 32inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, 57invariant ortogonal

al unei conice, 171al unei cuadrice, 188

izomorfism, 33

linia nodurilor, 104linii

asimptotice, 240parametrice, 235

marimea algebrica a proiectiei ortogo-nale, 82

matrice, 7a unei aplicatii liniare, 35a unei forme biliniare, 47a unei forme liniare, 44a unei forme patratice, 49asemenea, 38echivalente, 38inversabila, 12patratice, 21

antisimetrice, 22diagonale, 22simetrice, 21

singulara, 12transpusa, 9unitate, 8

metodalui Gauss, 51lui Jacobi, 51

metrica suprafetei, 236minor, 10

complementar, 10

normala, 233normala principala, 224normala la o curba plana, 205nucleu, 32

operator liniar, 31ordinul

unei curbe, 108unei suprafete, 110

parabola, 154paraboloizi, 161, 162parametru natural, 207perpendiculara comuna, 129plan

normal, 234osculator, 223tangent, 233

plan diametral al unei cuadrice, 196plan polar, 146


planul, 117ecuatia generala, 118ecuatia vectoriala, 117

polara, 140polinom caracteristic, 40procedeul de ortonormare al lui Gram-

Schmidt, 60produs

dublu vectorial, 90mixt, 88scalar, 56, 83vectorial, 85

proiectie ortogonala, 81punct

de inflexiune, 209dublu, 206multiplu, 206ordinar, 202, 218, 231planar, 229singular, 202, 231

radacini caracteristice, 40rangul

unei aplicatii liniare, 36unei matrice, 12

raza de curbura, 209retea

ortogonala, 238parametrica, 235

regula paralelogramului, 74regula triunghiului, 73relatia lui Chasles, 73reper

polar ın plan, 105polar ın spatiu, 106

reper cartezian, 94ortonormat, 95

reperul lui Frenet, 215, 225rotatie

ın plan, 102ın spatiu, 103

schimbare centro-afina, 100segment orientat, 71segmente echipolente, 72sfera, 141

simbolurile lui Kronecker, 8sistem algebric

Cramer, 15liniar, 13omogen, 16

spatiu, 17dual, 44euclidian, 56punctual afin, 93punctual euclidian, 93vectorial, 17

aritmetic, 18director, 93normat, 57

subspatii suplimentare, 63subspatiu, 20

generat, 24propriu, 41suma, 22vectorial, 20

suprafata, 230cilindrica, 130conica, 132conoida, 133de rotatie, 148

suprafata algebrica, 110de ordinul doi, 182

tangentala o curba ın spatiu, 220la o curba plana, 204

tangentela cerc, 139la sfera, 145

teoremalui Grassmann, 28lui Jacobi, 51lui Kronecker-Cappelli, 14lui Laplace, 10lui Rouche-Frobenius, 14lui Sylvester, 53

torsiune, 228transformari elementare, 12transformare liniara, 31

ortogonala, 63simetrica, 65


ortodiagonalizare, 67translatie, 100

unghi, 82neorientat, 82orientat, 83

unghiurile lui Euler, 104

valoare proprie, 39vector

de pozitie, 94liber, 72norma, 57propriu, 39unitar, 57

vectori, 17coliniari, 76coplanari, 76liniar dependenti, 25liniar independenti, 25ortogonali, 58, 82ortonormati, 59

versor, 57

Documents

Algebra