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8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
1/10
Conformally Symmetric Circle Packings:
A Generalization of Doyles SpiralsAlexander I. Bobenko and Tim Hoffmann
CONTENTS
1. Introduction
2. Geometry of Circle Flowers and Conformally Symmetric
Circle Packings
3. Analytic Description of Conformally Symmetric Circle
Packings
4. Doyle Spirals
5. Airy Functions as Continuous Limit
Acknowledgments
Electronic Availability
References
From the geometric study of the elementary cell of hexagonal
circle packings a flower of 7 circles the class of conformally
symmetric circle packings is defined. Up to Mobius transforma-
tions, this class is a three parameter family, that contains the
famous Doyle spirals as a special case. The solutions are given
explicitly. It is shown that these circle packings can be viewed
as discretization s of the quotient of two Airy functions.
The online version of this paper contains Java applets that let
you experiment with the circle packings directly. The applets
are found at http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/Publications/
online/cscpOnline/Applets.html
1. INTRODUCTION
C i r c l e p a c k i n g s ( a n d m o r e g e n e r a l l y p a t t e r n s ) a s d i s -
c r e t e a n a l o g s o f c o n f o r m a l m a p p i n g s i s a f a s t d e -
v e l o p i n g e l d o f r e s e a r c h o n t h e b o r d e r o f a n a l y -
s i s a n d g e o m e t r y . R e c e n t p r o g r e s s w a s i n i t i a t e d b y
T h u r s t o n ' s i d e a 1 9 8 5 ] a b o u t t h e a p p r o x i m a t i o n o f
t h e R i e m a n n m a p p i n g b y c i r c l e p a c k i n g s . T h e c o r -
r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c e w a s p r o v e d b y R o d i n a n d
S u l l i v a n 1 9 8 7 ] m a n y a d d i t i o n a l c o n n e c t i o n s w i t h
a n a l y t i c f u n c t i o n s , s u c h a s t h e d i s c r e t e m a x i m u m
p r i n c i p l e a n d S c h w a r z ' s l e m m a R o d i n 1 9 8 7 ] a n d
t h e d i s c r e t e u n i f o r m i z a t i o n t h e o r e m B e a r d o n a n d
S t e p h e n s o n 1 9 9 0 ] , h a v e e m e r g e d s i n c e t h e n .
C i r c l e p a c k i n g s c o n s t i t u t e a n a t u r a l t o p i c f o r c o m -
p u t e r e x p e r i m e n t a t i o n a n d v i s u a l i z a t i o n . C o m p u t e r
e x p e r i m e n t s d e m o n s t r a t e a s u r p r i s i n g l y c l o s e a n a l -
o g y o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y i n t h e e m e r g i n g \ d i s c r e t e
a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y " D u b e j k o a n d S t e p h e n s o n
1 9 9 5 ] . A l t h o u g h c o m p u t e r e x p e r i m e n t s g i v e c o n -
v i n c i n g e v i d e n c e f o r t h e e x i s t e n c e o f d i s c r e t e a n a l o g s
o f m a n y s t a n d a r d h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s , D o y l e s p i -
r a l s ( w h i c h a r e d i s c r e t e a n a l o g s o f t h e e x p o n e n t i a l
f u n c t i o n s e e S e c t i o n 4 ) a r e t h e o n l y c i r c l e p a c k i n g s
t h a t h a v e b e e n d e s c r i b e d e x p l i c i t l y .
c A K Peters, Ltd.
1058-6458/2001 $0.50 per pageExperimental Mathematics 10:1, page 141
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
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142 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1
C i r c l e p a c k i n g s a r e u s u a l l y d e s c r i b e d a n a l y t i c a l l y
i n t h e E u c l i d e a n s e t t i n g , t h a t i s , t h r o u g h t h e i r r a d i i
f u n c t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , c i r c l e s a n d t a n g e n -
c i e s a r e p r e s e r v e d b y t h e f r a c t i o n a l - l i n e a r t r a n s f o r -
m a t i o n s o f t h e R i e m a n n s p h e r e ( M o b i u s t r a n s f o r -
m a t i o n s ) . I t i s n a t u r a l t o s t u d y c i r c l e p a c k i n g s i n
t h i s s e t t i n g , i . e . , m o d u l o t h e g r o u p o f t h e M o b i u s
t r a n s f o r m a t i o n s . Z . - X . H e a n d O . S c h r a m m 1 9 9 8 ]
d e v e l o p e d a c o n f o r m a l d e s c r i p t i o n o f h e x a g o n a l c i r -
c l e p a c k i n g s , a n d u s e d i t t o s h o w t h a t T h u r s t o n ' s
c o n v e r g e n c e o f h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s t o t h e R i e -
m a n n m a p p i n g i s a c t u a l l y C
1
. T h e y d e s c r i b e c i r c l e
p a c k i n g s i n t e r m s o f t h e c r o s s - r a t i o s
q (a b c d ) : =
( a;
b) (
c;
d )
( b;
c) (
d;
a )
o f t h e i r t o u c h i n g p o i n t s .
S c h r a m m 1 9 9 7 ] i n t r o d u c e d c i r c l e p a t t e r n s w i t h
t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e s q u a r e g r i d ( S G p a t t e r n s ) .
I n m a n y a s p e c t s t h e S G t h e o r y i s a n a l o g o u s t o t h e
t h e o r y o f t h e h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . H o w e v e r ,
t h e S G t h e o r y i s a n a l y t i c a l l y s i m p l e r . T h e c o r r e -
s p o n d i n g d i s c r e t e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e S G p a t -
t e r n s , i n t h e E u c l i d e a n a s w e l l a s i n t h e c o n f o r -
m a l s e t t i n g , t u r n o u t t o b e i n t e g r a b l e B o b e n k o a n d
P i n k a l l 1 9 9 9 ] . M e t h o d s o f t h e t h e o r y o f i n t e g r a b l e
e q u a t i o n s m a d e i t p o s s i b l e t o n d S c h r a m m ' s c i r c l e
p a t t e r n s t h a t a r e a n a l o g s o f t h e h o l o m o r p h i c f u n c -
t i o n s z
a n d l o g z
A g a f o n o v a n d B o b e n k o 2 0 0 0 ] .
D i s c r e t e z
2
a n d l o g z
h a d b e e n c o n j e c t u r e d e a r l i e r
S c h r a m m 1 9 9 8 ] b y S c h r a m m a n d K e n y o n .
O n e b i g q u e s t i o n i s w h i c h r e s u l t s o n t h e S c h r a m m ' s
c i r c l e p a t t e r n s c a r r y o v e r t o t h e h e x a g o n a l s e t t i n g ,
i n p a r t i c u l a r w h e t h e r s o m e d i s c r e t e s t a n d a r d f u n c -
t i o n s c a n b e d e s c r i b e d e x p l i c i t l y . T h i s i s c l o s e l y
r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f i n t e g r a b i l i t y o f t h e b a -
s i c d i s c r e t e e q u a t i o n s f o r h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s
( t h e H e { S c h r a m m e q u a t i o n s e e S e c t i o n 3 ) . I n t h e
p r e s e n t p a p e r t h e r s t s i m p l e s t e p i n t h i s d i r e c t i o n
i s m a d e . W e s t u d y ( s u r p r i s i n g l y n o n t r i v i a l ) c o n f o r -
m a l g e o m e t r y o f h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . I n t e r m s
o f t h i s a p p r o a c h , a s p e c i a l c l a s s o f c o n f o r m a l l y s y m -
m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s , w h i c h a r e g e n e r a l i z a t i o n s o f
D o y l e s p i r a l s , i s i n t r o d u c e d a n d a l l s u c h p a c k i n g s
a r e d e s c r i b e d e x p l i c i t l y .
S i n c e t h i s a r t i c l e d e a l s w i t h f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k -
i n g s i t s e e m s n a t u r a l t o s h o w n o t o n l y a r b i t r a r -
i l y c h o s e n m e m b e r s i n t h e g u r e s , b u t t o p r o v i d e
z
6
z
2
z
4
z
3
z
5
z
1
FIGURE 1.A c i r c l e o w e r ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .
a p o s s i b i l i t y t o p r e s e n t t h e m a l l . T h e r e f o r e t h e r e
i s a n i n t e r a c t i v e v e r s i o n o f t h i s p a p e r a v a i l a b l e o n -
l i n e . I t h a s s o m e o f t h e g u r e s r e p l a c e d b y a p p l e t s ,
w h i c h a l l o w o n e t o e x p l o r e t h e f a m i l i e s d i r e c t l y . S e e
t h e s e c t i o n o n E l e c t r o n i c A v a i l a b i l i t y a t t h e e n d f o r
m o r e i n f o r m a t i o n o n t h i s v e r s i o n .
2. GEOMETRY OF CIRCLE FLOWERS ANDCONFORMALLY SYMMETRIC CIRCLE PACKINGS
T h i s p a p e r c o n c e r n s p a t t e r n s o f c i r c l e s i n t h e p l a n e
c a l l e d h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . T h e i r b a s i c u n i t i s
t h e o w e r , c o n s i s t i n g o f a c e n t e r c i r c l e t a n g e n t t o
a n d s u r r o u n d e d b y p e t a l s . A h e x a g o n a l o w e r i s i l -
l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 t h e s i x p e t a l s f o r m a c l o s e d
c h a i n w h i c h w r a p s o n c e i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n
( c o u n t e r c l o c k w i s e ) a b o u t t h e c e n t e r . W h e r e a s n e i g h -
b o r i n g p e t a l s t o u c h , t h e c i r c l e s o f n o n - n e i g h b o r i n g
p e t a l s o f a o w e r m a y i n t e r s e c t . W e c a l l a o w e r i m -
m e r s e d i f n o n e o f i t s c i r c l e s d e g e n e r a t e s t o a p o i n t .
A h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g i s a c o l l e c t i o n o f o r i e n t e d
c i r c l e s w h e r e e a c h o f i t s i n t e r n a l c i r c l e s i s t h e c e n -
t e r o f a h e x a g o n a l o w e r . O r i e n t a t i o n s o f t h e c i r c l e s
s h o u l d a g r e e : a t t h e t o u c h i n g p o i n t s t h e o r i e n t a t i o n s
o f t h e t o u c h i n g c i r c l e s m u s t b e o p p o s i t e . A h e x a g -
o n a l c i r c l e p a c k i n g c a n b e l a b e l e d b y t h e t r i a n g u l a r
( h e x a g o n a l ) l a t t i c e
H L= n +
m e
i = 3
2C
f o r n m 2Z :
o r b y o n e o f i t s s u b s e t s . A c i r c l e p a c k i n g i s c a l l e d
i m m e r s e d i f a l l i t s o w e r s a r e i m m e r s e d . I m m e r -
s i o n s o f t h e w h o l e H L a r e c a l l e d e n t i r e . F r a c t i o n a l -
l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e c o m p l e x p l a n e ( M o b i u s
t r a n s f o r m a t i o n s ) p r e s e r v e c i r c l e s , t h e i r o r i e n t a t i o n
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Bobenko and Hoffmann: Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals 143
a n d t h e i r t a n g e n c i e s . I n t h i s p a p e r w e s t u d y c i r c l e
p a c k i n g s m o d u l o t h e g r o u p o f M o b i u s t r a n s f o r m a -
t i o n s .
T h e c e n t e r c i r c l e o f a o w e r c o n t a i n s 6 p o i n t s
z
1
: : : z
6
( s e e F i g u r e 1 ) w h e r e i t t o u c h e s t h e p e t a l s .
W e c a l l t h e m c e n t e r t o u c h i n g p o i n t s o f a c i r c l e o w e r .
Proposition 2.1.L e t
z
1
: : : z
6
b e p o i n t s o r d e r e d c o u n -
t e r c l o c k w i s e o n a c i r c l e C .
T h e f o l l o w i n g t h r e e s t a t e -
m e n t s a r e e q u i v a l e n t :
( i) T h e r e e x i s t s a o w e r w i t h t h e c e n t e r C a n d c e n t e r
t o u c h i n g p o i n t s z
1
: : : z
6
.
( ii) T h e m u l t i r a t i o m o f z1
: : : z
6
i s e q u a l t o ; 1 ,
t h a t i s ,
m ( z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
) : =
( z
1
;z
2
) (z
3
;z
4
) (z
5
;z
6
)
( z
2
;z
3
) (z
4
;z
5
) (z
6
;z
1
)
=;
1 : (21)
( iii)T h e r e e x i s t s a n i n v o l u t i v e M o b i u s t r a n s f o r m a -
t i o n M (
M o b i u s i n v o l u t i o n )
s u c h t h a t
M ( z
k
) =z
k + 3
( km o d 6 )
:
z
2
z
5
r
5
r
1
z
1
z
3
z
4
r
2
r
4
r
3
FIGURE 2. A o w e r w i t h o n e c e n t r a l t o u c h i n g p o i n t a t i n n i t y .
Proof.M a p p i n g t h e p o i n t
z
6
t o i n n i t y b y a M o b i u s
t r a n s f o r m a t i o n o n e o b t a i n s t w o p a r a l l e l l i n e s a n d
v e t o u c h i n g c i r c l e s a s i n F i g u r e 2 . A n e l e m e n t a r y
c o m p u t a t i o n y i e l d s
z
k + 1
;z
k
= 2
p
r
k + 1
r
k
f o r
k= 1
: : : 4 (22)
w h e r e r
k
a r e t h e r a d i i o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e s .
T o g e t h e r w i t h r
1
= r
5
a n d ( z
5
;z
6
) = ( z
6
;z
1
) = ;1
t h i s i m p l i e s ( 2 { 1 ) .
O n t h e o t h e r h a n d , g i v e n a r b i t r a r y r
1
>0 a n d
o r d e r e d z
1
: : : z
6
s a t i s f y i n g ( 2 { 1 ) , a f t e r n o r m a l i z i n g
z
6
=1 f o r m u l a ( 2 { 2 ) p r o v i d e s u s w i t h t h e r a d i i o f
t h e t o u c h i n g c i r c l e s a s i n F i g u r e 2 . T h i s p r o v e s t h e
e q u i v a l e n c e o f ( i ) a n d ( i i ) .
T o s h o w t h e e q u i v a l e n c e o f ( i i ) a n d ( i i i ) , d e n e
t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n M
t h r o u g h M ( z
1
) =z
4
,
M ( z
2
) =z
5
, M ( z
3
) =z
6
. C o n s i d e r z
= M ( z
4
) .
T h e i n v a r i a n c e o f t h e c r o s s - r a t i o s q ( z
1
z
2
z
3
z
4
) =
q ( z
4
z
5
z
6
z
) i m p l i e s t h e e q u i v a l e n c e o f ( 2 { 1 ) a n d
z
= z
1
. T h e s a m e p r o o f h o l d s f o r M ( z
5
) =z
2
a n d
M ( z
6
) =z
1
.
T o e a c h c e n t e r t o u c h i n g p o i n t z
k
o f a o w e r , o n e
c a n a s s o c i a t e a c i r c l e S
k
p a s s i n g t h r o u g h 4 t o u c h i n g
p o i n t s z
k ; 1
z
k + 1
w
k
w
k ; 1
o f t h e o w e r c o n t a i n i n g
z
k
( s e e F i g u r e 3 ) . H e r e w
k
i s t h e t o u c h i n g p o i n t
o f p e t a l s P
k + 1
a n dP
k
( t h e p e t a l s a r e l a b e l e d b y t h e
c o r r e s p o n d i n g t o u c h i n g p o i n t s z
k
) . I n d e e d , m a p p i n g
t h e p o i n t z
k
b y a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t o 1 , i t i s
e a s y t o s e e t h a t t h e p o i n t s z
k ; 1
, z
k + 1
, w
k
, w
k ; 1
a r e
m a p p e d t o v e r t i c e s o f a r e c t a n g l e , t h u s l i e o n a c i r c l e .
W e c a l l t h e s e c i r c l e s s - c i r c l e s o f a o w e r .
w
k ; 1
z
k ; 1
S
k
w
k
z
k
z
k + 1
P
FIGURE 3. A c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .
Theorem 2.2. T h e r e e x i s t a o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f
o w e r s w i t h t h e s a m e c e n t e r t o u c h i n g p o i n t s .
M o r e -
o v e r ,t h e r e e x i s t s a u n i q u e o w e r
Fi n t h i s f a m i l y
,
w h i c h s a t i s e s t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s :
( i) F i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o a M o b i u s i n v o l u t i o n
Mw i t h a x e d p o i n t
P ,
( ii )A l l s - c i r c l e s o f
Fi n t e r s e c t i n o n e p o i n t
P .
W e c a l l t h e o w e r F
o f t h e t h e o r e m c o n f o r m a l l y
s y m m e t r i c .
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144 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1
O n e c a n v i e w t h e w h o l e f a m i l y o f o w e r s u s i n g a n
a p p l e t ( s e e E l e c t r o n i c A v a i l a b i l i t y a t t h e e n d ) .
Proof.K e e p i n g t h e p o i n t s
z
1
: : : z
5
i n F i g u r e 2 x e d
a n d v a r y i n g r
1
o n e o b t a i n s a o n e p a r a m e t e r f a m -
i l y o f o w e r s w i t h t h e s a m e t o u c h i n g c e n t r a l p o i n t s .
L e t u s n o w c o n s t r u c t t h e o w e r F
. T h e M o b i u s
i n v o l u t i o n o f P r o p o s i t i o n 2 . 1 p r e s e r v e s t h e c e n t r a l
c i r c l e C
. C o n s i d e r t h e c i r c l e s C
k
, f o r k
= 1 2
3 ,
o r t h o g o n a l t o C
a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e p a i r s o f
p o i n t s fz
k
z
k + 3
g . A l l t h e s e t h r e e c i r c l e s i n t e r s e c t
i n 2 p o i n t s P
a n dP
0
, w h i c h a r e t h e x e d p o i n t s o f
Ml y i n g i n s i d e a n d o u t s i d e
C, r e s p e c t i v e l y . B y a
M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n , m a p t h e p o i n t P
t o i n n i t y .
T h e M o b i u s i n v o l u t i o n M
b e c o m e s M ( z
) = ;z
a n d
t h e c i r c l e s C
1
C
2
C
3
b e c o m e s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t -
i n g i n t h e c e n t e r o f C
. T o c o n s t r u c t t h e o w e r F ,
c o n n e c t t h e z
k
- p o i n t s w i t h e v e n ( r e s p e c t i v e l y , w i t h
o d d ) l a b e l s b y s t r a i g h t l i n e s a n d c o n s i d e r t h e i r i n -
t e r s e c t i o n p o i n t s w
k
( s e e F i g u r e 4 ) . T h e c i r c l e s C
k
p a s s i n g t h r o u g h t h e t r i p l e s w
k
, w
k ; 1
, z
k
t o u c h a t
t h e p o i n t s w
k
. L e t u s p r o v e t h i s f a c t f o r C
1
a n dC
2
.
I n d e e d , t h e t r i a n g l e s ( w
1
w
6
z
1
) a n d ( z
3
z
5
z
1
)
a r e s i m i l a r , t h e r e f o r e t h e t a n g e n t l i n e s t o t h e c i r c l e
C
1
a tw
1
a n d t o t h e c i r c l e C
a tz
3
a r e p a r a l l e l . T h e
t a n g e n t l i n e s t o C
2
a tw
1
a n d t o C
a tz
6
a r e a l s o
p a r a l l e l . S i n c e t h e p o i n t s z
3
a n dz
6
a r e o p p o s i t e o n
C, t h e c i r c l e s
C
1
a n dC
2
t o u c h a t w
1
. T h e c i r c l e s C
k
w
6
w
5
w
4
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
w
3
w
1
w
2
FIGURE 4.A n o r m a l i z e d c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r .
a r e t h e p e t a l s o f t h e d e s i r e d o w e r F
, w h i c h i s o b v i -
o u s l y M
- s y m m e t r i c . T h e s - c i r c l e s o f t h i s o w e r a r e
t h e s t r a i g h t l i n e s ( z
k
z
k + 2
) . T h e l a t t e r o b v i o u s l y i n -
t e r s e c t a t i n n i t y , t h u s a l l t h e s - c i r c l e s o f F
i n t e r s e c t
i n t h e x e d p o i n t P
o fM .
T h e p r o o f o f ( i i ) = ) ( i ) i s s i m i l a r . A f t e r m a p p i n g
t h e p o i n t P
t o i n n i t y t h e s - c i r c l e s b e c o m e s t r a i g h t
l i n e s a n d t h e o w e r i s a s i n F i g u r e 4 . S i n c e t h e
c i r c l e s i n t h i s g u r e t o u c h , t h e i r t a n g e n t l i n e s a t t h e
p o i n t s z
k
z
k + 3
a n dw
k + 1
a r e p a r a l l e l . T h i s i m p l i e s
t h a t z
k
a n dz
k + 3
a r e o p p o s i t e p o i n t s o n C
, a n d t h e
o w e r i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e
- r o t a t i o n
o fC .
Definition 2.3.A h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g i s c a l l e d
c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o r a n s - c i r c l e p a c k i n g i f i t
c o n s i s t s o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r s t h a t i s ,
i f t h e s - c i r c l e s o f e a c h o f i t s o w e r s i n t e r s e c t i n o n e
p o i n t .
3. ANALYTIC DESCRIPTION OF CONFORMALLYSYMMETRIC CIRCLE PACKINGS
I n t h i s s e c t i o n w e d e s c r i b e a l l c o n f o r m a l l y s y m m e t -
r i c c i r c l e p a c k i n g s u s i n g t h e c o n f o r m a l d e s c r i p t i o n o f
c i r c l e p a c k i n g s p r o p o s e d b y H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] .
T o e a c h c e n t r a l t o u c h i n g p o i n t z
k
o f a o w e r o n e
a s s o c i a t e s t h e c r o s s - r a t i o
s
k
: =q ( z
k
z
k ; 1
w
k ; 1
w
k
) =
( z
k
;z
k ; 1
) (w
k ; 1
;w
k
)
( z
k ; 1
;w
k ; 1
) (w
k
;z
k
)
:
(31)
( N o t e t h a t o u r n o r m a l i z a t i o n o f s
k
d i e r s f r o m t h e
o n e i n H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] . ) M a p p i n g z
k
t o
1 , o n e o b s e r v e s t h a t t r e e o t h e r p o i n t s i n ( 3 { 1 ) a r e
m a p p e d t o v e r t i c e s o f a r e c t a n g l e , w h i c h i m p l i e s t h a t
s
k
i s p u r e l y i m a g i n a r y . M o r e o v e r , t h e c r o s s - r a t i o s o f
a n i m m e r s e d o r i e n t e d o w e r a r e p o s i t i v e i m a g i n a r y ,
; i s
k
>0 . A l s o n o t e t h a t
s
k
=;
q ( z
k + 1
z
k ; 1
w
k ; 1
z
k
) =q ( z
k
w
k
z
k + 1
z
k ; 1
)
(32)
a n d t h a t s
2
k
= q ( z
k + 1
z
k ; 1
w
k ; 1
w
k
) i s t h e c r o s s -
r a t i o o f t h e f o u r t o u c h i n g p o i n t s l y i n g o n t h e s - c i r c l e
S
k
.
Lemma 3.1. T h e c r o s s - r a t i o s sk
o f a o w e r s a t i s f y t h e
H e { S c h r a m m e q u a t i o n
s
k
+ s
k + 2
+ s
k + 4
+ s
k
s
k + 1
s
k + 2
= 0 (33)
f o r a l l k
m o d 6 .
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
5/10
Bobenko and Hoffmann: Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals 145
Proof.L e t
m
k
b e t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t h a t
t a k e s z
k
z
k ; 1
w
k ; 1
t o t h e p o i n t s 1 0
1 , r e s p e c t i v e l y .
B y t h e d e n i t i o n o f s
k
w e h a v e
s
k
= q ( z
k
z
k ; 1
w
k ; 1
w
k
) =q (
1 0 1
m
k
( w
k
) )
;s
k
= q ( z
k + 1
z
k ; 1
w
k ; 1
z
k
) =q ( m
k
( z
k + 1
) 0 1 1 )
t h u s
m
k
( w
k
) = 1 ;s
k
a n d
m
k
( z
k + 1
) = ;s
k
:
F o rM
k
: =m
k + 1
m
; 1
1
t h i s y i e l d s M
k
(;
s
k
) = 1,
M
k
(1 ) = 0 ,
M
k
( 1 ;s
k
) = 1 a n d , n a l l y ,
M
k
=
0 1
1 s
k
i n t h e u s u a l m a t r i x n o t a t i o n f o r t h e M o b i u s t r a n s f o r -
m a t i o n s . T h e e q u a l i t y o f t h e c o r r e s p o n d i n g M o b i u s
t r a n s f o r m a t i o n s i m p l i e s
M
3
M
2
M
1
=
M
; 1
4
M
; 1
5
M
; 1
6
w h i c h i s
s
2
1 +s
1
s
2
1 +s
2
s
3
s
1
+ s
3
+ s
1
s
2
s
3
=
;s
4
;s
6
;s
4
s
5
s
6
1 +s
4
s
5
1 +s
5
s
6
;s
5
:
S i n c e t h e s e t o f i m m e r s e d o w e r s i s c o n n e c t e d a n d
s' s d o n o t v a n i s h t h e s i g n i n t h i s e q u a t i o n i s t h e
s a m e f o r a l l o w e r s . T a k i n g a l l t h e c i r c l e s w i t h t h e
s a m e r a d i u s o n e c h e c k s t h a t t h e c o r r e c t s i g n i s p l u s ,
w h i c h i m p l i e s t h e c l a i m .
I t i s c o n v e n i e n t t o a s s o c i a t e t h e t o u c h i n g p o i n t s o f a
h e x a g o n a l c i r c l e p a t t e r n ( a s w e l l a s t h e c r o s s - r a t i o s
s
k
) t o t h e e d g e s o f t h e h o n e y c o m b l a t t i c e . E q u a t i o n
( 3 { 3 ) i s a p a r t i a l d i e r e n c e e q u a t i o n o n t h e h o n e y -
c o m b l a t t i c e . T h e c r o s s - r a t i o s o n t h e e d g e s o f e a c h
h e x a g o n s a t i s f y ( 3 { 3 ) . M o r e o v e r , i t i s e a s y t o c h e c k
t h a t t h e H e { S c h r a m m e q u a t i o n i s s u c i e n t t o g u a r -
a n t e e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e p a c k -
i n g .
Proposition 3.2. G i v e n a p o s i t i v e - i m a g i n a r y f u n c t i o n
s : E!
i R
+
o n t h e e d g e s E
o f t h e h o n e y c o m b l a t -
t i c e s a t i s f y i n g ( 3 { 3 ) o n e a c h h o n e y c o m b ,
t h e r e e x -
i s t s u n i q u e (
u p t o M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n )
i m m e r s e d
h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g w i t h t h e c r o s s - r a t i o s g i v e n
b y t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f s .
Theorem 3.3. A c i r c l e o w e r i s c o n f o r m a l l y s y m m e t -
r i c i f a n d o n l y i f i t s o p p o s i t e c r o s s - r a t i o s s
k
a r e e q u a l
s
k
= s
k + 3
( km o d 6 )
: (34)
Proof.T h e p r o p e r t y ( 3 { 4 ) f o r c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c
o w e r s f o l l o w s f r o m ( i ) o f T h e o r e m 2 . 2 . A s i m p l e
c o m p u t a t i o n w i t h t h e o w e r s i n F i g u r e 4 s h o w s t h a t
t h e m a p ( s
1
s
2
) o f i m m e r s e d c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c
o w e r s t o ( i R
+
)
2
3( s
1
s
2
) i s s u r j e c t i v e . S i n c e a
o w e r i s d e t e r m i n e d t h r o u g h t h e s
' s , t h e c o n v e r s e
s t a t e m e n t f o l l o w s .
T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f ( 3 { 3 , 3 { 4 ) o n t h e w h o l e H L
d e p e n d s o n t h r e e a r b i t r a r y c o n s t a n t s a n d c a n b e
g i v e n e x p l i c i t l y . T h e r e i s a J a v a a p p l e t t h a t l e t s y o u
e x p l o r e t h i s t h r e e p a r a m e t e r f a m i l y o f c i r c l e p a c k -
i n g s i n t e r a c t i v e l y ( s e e s e c t i o n o n E l e c t r o n i c A v a i l -
a b i l i t y a t t h e e n d . )
a
; n
c
1
a
0
b
0
a
1
b
1
b
; n
b
n
a
n
a
; 1
c
0
c
n
c
; n
a
; n
a
; n
b
n
b
n
c
n
c
n
a
n
a
n
b
; n
b
; n
c
0
a
0
FIGURE 5.C r o s s - r a t i o s o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r -
c l e p a t t e r n s .
Theorem 3.4.T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f ( 3 { 3 , 3 { 4 ) i s
g i v e n b y
a
n
= it a n (
n + )
b
n
= it a n (
n + )
c
n
= it a n (
n + )
(35)
w h e r e = ;
;
;
a n d t h e c r o s s - r a t i o s s
k
o n t h e
e d g e s o f t h e h e x a g o n a l l a t t i c e a r e l a b e l e d b y a
n
b
n
c
n
a s s h o w n i n F i g u r e 5 (n
v a r i e s o v e r t h e i n t e g e r s ) .
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
6/10
146 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1
d
3
d
6
d
1
b
c
a
b
d
5
d
2
d
4
a
c
FIGURE 6.C o n t i n u a t i o n o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c
s
a b o u t a h o n e y c o m b .
Proof.W e s t a r t w i t h a s i m p l e p r o o f o f t h e c o n s i s t e n c y
o f t h e f o l l o w i n g c o n t i n u a t i o n o f a s o l u t i o n o f ( 3 { 3 ) {
( 3 { 4 ) .
G i v e n s
s a t i s f y i n g ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 ) o n a h o n e y -
c o m b H
, t h a t i s , a b c i n F i g u r e 6 s a t i s f y i n g
a + b + c +a b c = 0
(36)
a n d a v a l u e o f s
o n o n e o f t h e e d g e s a t t a c h e d t o
t h e h o n e y c o m b ( f o r e x a m p l e , d
1
i n F i g u r e 6 ) , i t
c a n b e u n i q u e l y e x t e n d e d t o t h e f u l l s i x h o n e y c o m b s
H
1
: : : H
6
n e i g h b o r i n g H
. I n d e e d , ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 )
y i e l d
b + d
1
+ d
2
+b d
1
d
2
= 0
t h u s d
2
= M
1
( d
1
) i s a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n o f d
1
.
P a s s i n g o n c e a r o u n d t h e h o n e y c o m b H
i n t h i s w a y
o n e c a n c h e c k t h a t ( 3 { 6 ) i m p l i e s t h e m o n o d r o m y
M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n M = M
6
: : : M
1
i s t h e i d e n -
t i t y , t h u s t h i s c o n t i n u a t i o n i m p l i e s n o c o n s t r a i n t s o n
d
1
.
P r o c e e d i n g t h i s w a y , o n e r e c o n s t r u c t s s
o n t h e
w h o l e l a t t i c e H L f r o m i t s v a l u e s o n t h r e e a d j a c e n t
e d g e s ( a b d
1
a b o v e ) . T h e n ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 ) i m p l y
a
n
+ b
; n
+ c
1
+ a
n
b
; n
c
1
= 0
a
n + 1
+ b
; n
+ c
0
+ a
n + 1
b
; n
c
0
= 0
a n d s i m i l a r r e l a t i o n s f o r o t h e r a
n
b
n
c
n
. T h e s e i d e n -
t i t i e s b e c o m e j u s t t h e a d d i t i o n t h e o r e m f o r t h e t a n -
g e n t f u n c t i o n , i m p l y i n g t h e f o r m u l a s i n ( 3 { 5 ) , w h i c h
c a n b e c h e c k e d d i r e c t l y .
4. DOYLE SPIRALS
D e n o t e b y R
t h e r a d i u s o f t h e c e n t e r c i r c l e o f a o w e r
a n d b y R
1
: : : R
6
, t h e r a d i i o f i t s p e t a l s . D o y l e
s p i r a l s a r e c h a r a c t e r i z e d t h r o u g h t h e c o n s t r a i n t ( s e e
B e a r d o n e t a l . 1 9 9 4 C a l l a h a n a n d R o d i n 1 9 9 3 ] f o r
a c o m p l e t e a n a l y s i s o f D o y l e s p i r a l s )
R
k
R
k + 3
= R
2
R
k
R
k + 2
R
k + 4
= R
3 (41)
o n t h e r a d i i o f t h e c i r c l e s ( s e e F i g u r e 7 , w h e r e t h e
c e n t r a l r a d i u s i s n o r m a l i z e d t o b e R
= 1 ) . D o y l e
s p i r a l s h a v e t w o d e g r e e s o f f r e e d o m ( f o r e x a m p l e t h e
r a t i o s R
1
= R a n dR
2
= R , w h i c h a r e t h e s a m e f o r t h e
w h o l e s p i r a l ) u p t o s i m i l a r i t i e s . A g a i n , y o u c a n e x -
p e r i m e n t o n l i n e w i t h t h e t w o r a d i i i n a J a v a a p p l e t .
B
1
B
B
A
1
B
A
1
A
A
FIGURE 7.R a d i i o f a D o y l e s p i r a l w i t h t h e n o r m a l -
i z e d c e n t r a l r a d i u s R
= 1 ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .
Proposition 4.1. D o y l e s p i r a l s a r e c o n f o r m a l l y s y m -
m e t r i c .
Proof.T h e c o n g u r a t i o n s o f f o u r t o u c h i n g c i r c l e s
w i t h t h e r a d i i R , R
k ; 1
, R
k
, R
k + 1
a n d w i t h t h e r a d i i
R
k + 3
, R
k + 4
, R , R
k + 2
d i e r b y s c a l i n g . T h i s i m p l i e s
s
k
= s
k + 3
( u s e b o t h ( 3 { 1 ) a n d t h e s e c o n d r e p r e -
s e n t a t i o n o f s
k
i n ( 3 { 2 ) ) a n d t h e c l a i m f o l l o w s b y
T h e o r e m 3 . 3 .
Theorem 4.2.D o y l e s p i r a l s a n d t h e i r M o b i u s t r a n s -
f o r m a t i o n s c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g t w o
e q u i v a l e n t p r o p e r t i e s :
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
7/10
Bobenko and Hoffmann: Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals 147
( i) T h e c i r c l e p a c k i n g i s c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c , a n d
t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n o f ( 3 { 3 ) i s \ c o n s t a n t " .
I t i s o f t h e f o r m ( 3 { 5 ) w i t h 2 ( 0 = 2 ) a n d
+ + = 0 ( m o d
)o r
,e q u i v a l e n t l y
,
a
n
= a
0
b
n
= b
0
c
n
= c
0
a
0
b
0
c
0
2i R
+
a
0
+ b
0
+ c
0
+ a
0
b
0
c
0
= 0:
( ii) T h e w h o l e c i r c l e p a c k i n g i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t
t o t h e M o b i u s i n v o l u t i o n o f e a c h o f i t s o w e r s .
Proof.A l l t h e o w e r s o f a D o y l e s p i r a l d i e r b y s c a l -
i n g , w h i c h i m p l i e s ( i ) . C o n s i d e r t h e D o y l e s p i r a l a s
i n F i g u r e 7 . C o m p u t i n g t h e c r o s s - r a t i o s t h r o u g h t h e
r a d i i , o n e s h o w s t h a t t h e m a p
(A B
)2
R
2
+
!
(a b c
)2
( i R
+
)
3
: a + b + c +a b c = 0
:
i s s u r j e c t i v e t h u s ( i ) c h a r a c t e r i z e s D o y l e s p i r a l s a n d
t h e i r M o b i u s t r a n s f o r m s . T h e p r o o f o f t h e e q u i v -
a l e n c e ( i ) ( ) ( i i ) i s e l e m e n t a r y a n d i s l e f t t o t h e
r e a d e r .
I t i s a n o p e n p r o b l e m w h e t h e r D o y l e s p i r a l s a r e t h e
o n l y e n t i r e c i r c l e p a c k i n g s . F o r m u l a s ( 3 { 5 ) i m p l y
t h a t i t i s p o s s i b l e t o h a v e a l l c r o s s - r a t i o s b e i n g p o s -
i t i v e i m a g i n a r y ( n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r e n t i r e n e s s )
o n l y w h e n = 0 .
Corollary 4.3. D o y l e s p i r a l s a r e t h e o n l y e n t i r e c o n -
f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s .
5. AIRY FUNCTIONS AS CONTINUOUS LIMIT
B e c a u s e o f t h e p r o p e r t y ( 4 { 1 ) , D o y l e s p i r a l s a r e i n -
t e r p r e t e d a s a d i s c r e t e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n .
I n t h e c o n f o r m a l s e t t i n g t h i s i n t e r p r e t a t i o n c a n
a l s o b e e a s i l y o b s e r v e d . I n d e e d , l e t P
"
b e a f a m i l y o f
c i r c l e p a c k i n g s a p p r o x i m a t i n g a h o l o m o r p h i c m a p -
p i n g i n t h e l i m i t "
! 0 . H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ]
i n v e s t i g a t e d t h e b e h a v i o r o f t h e c r o s s - r a t i o s s
k
i n
t h i s l i m i t :
s
k
= i
p
3 ( 1 + "
2
h
"
k
)
w h e r e h
k
i s c a l l e d t h e d i s c r e t e S c h w a r z i a n d e r i v a -
t i v e ( S c h w a r z i a n ) o f P
"
a t t h e c o r r e s p o n d i n g e d g e
o f t h e h e x a g o n a l l a t t i c e . T h e d i s c r e t e S c h w a r z i a n s
c o n v e r g e t o t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e
S ( f) : =
f
0 0
f
0
0
;
1
2
f
0 0
f
0
2
(51)
o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o l o m o r p h i c m a p p i n g . M o r e
p r e c i s e l y , t h e r e e x i s t c o n t i n u o u s l i m i t s
a= l i m
" ! 0
h
"
1
b = l i m
" ! 0
h
"
2
c = l i m
" ! 0
h
"
3
f o r t h e s m o o t h f u n c t i o n s a b c . ( N o t e t h a t w e h a v e
l i m
" ! 0
h
"
k
= l i m
" ! 0
h
"
k + 3
. ) B e c a u s e o f ( 3 { 3 ) t h e s e
f u n c t i o n s s a t i s f y
a + b + c= 0
(52)
a t e a c h p o i n t . T h e S c h w a r z i a n e q u a l s
S ( f) = 4 (
a + !
2
b +! c
) w i t h
! = e
2 i = 3
a n d , u s i n g ( 5 { 2 ) , t h i s a l s o y i e l d s
6 a= R e
S ( f )
6 b= R e ( ! S
( f) )
6 c= R e (
!
2
S ( f) )
:
9
>
=
>
(53)
W e s e e t h a t , b e c a u s e o f T h e o r e m 4 . 2 , D o y l e s p i r a l s
c o r r e s p o n d t o h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s w i t h c o n s t a n t
S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e S ( f
) = c o n s t . T h e g e n e r a l
s o l u t i o n o f t h e l a s t e q u a t i o n i s t h e e x p o n e n t i a l f u n c -
t i o n a n d i t s M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s .
I t i s n a t u r a l t o a s k w h i c h h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s
c o r r e s p o n d t o g e n e r a l c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e
p a c k i n g s . I n F i g u r e 5 o n e o b s e r v e s t h a t e a c h o f t h e
c r o s s - r a t i o s a
n
b
n
c
n
i s c o n s t a n t a l o n g o n e l a t t i c e
d i r e c t i o n . F o r t h e f u n c t i o n s a b c a b o v e , t h i s i m p l i e s
a = a( R e
z )
b = b( R e ( ! z ) )
c = c( R e (
!
2
z) )
w h e r e z
i s t h e c o m p l e x c o o r d i n a t e . C o m p a r i n g t h e s e
e q u a t i o n s w i t h ( 5 { 3 ) w e s e e t h a t t h e S c h w a r z i a n i s
a l i n e a r f u n c t i o n o f z :
S ( f) = A z
+B A 2
R B 2
C : (54)
E q u a t i o n ( 5 { 4 ) c a n b e e a s i l y s o l v e d b y s t a n d a r d
m e t h o d s . T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f S ( f
) =u ( z
) w i t h
h o l o m o r p h i c u ( z
) i s g i v e n b y
f ( z) : =
1
=
2
w h e r e
1
( z) a n d
2
( z) a r e t w o i n d e p e n d e n t s o l u -
t i o n s o f t h e l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n
0 0
= u ( z ) .
B y a s h i f t a n d s c a l i n g o f t h e v a r i a b l e z
, e q u a t i o n
( 5 { 4 ) w i t h A
6= 0 c a n b e b r o u g h t t o t h e f o r m
S ( f) = z :
(55)
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
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148 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1
A s s o l u t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g l i n e a r e q u a t i o n
0 0
=z
w e h a v e t h e A i r y f u n c t i o n s A i ( z
) a n d B i ( z
) . O n t h e
r e a l l i n e t h e r s t o f t h e s e i s g i v e n b y
A i (x
) =
1
Z
1
0
c o s
x t+
t
3
3
d t
S p a n i e r a n d O l d h a m 1 9 8 7 ] , w h i l e t h e s e c o n d i s r e -
l a t e d t o i t b y
B i (z
) = i q
2
A i (!
2
z ); i q A i ( ! z
) :
I n t h e c o r r e s p o n d i n g M o b i u s c l a s s o f s o l u t i o n s o f
( 5 { 5 ) i t i s n a t u r a l t o c h o o s e
f ( z) : =
B i (z )
;
p
3 A i ( z )
B i (z
) +
p
3 A i ( z )
(56)
w h i c h i s t h e m o s t s y m m e t r i c o n e , f (
q z ) = q f( z
) .
T h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e p a c k i n g , s y m m e t r i c w i t h
r e s p e c t t o t h e r o t a t i o n z
! q z , i s s h o w n i n F i g u r e 8 .
Remark.O n e o b s e r v e s t h a t t h e a p p r o x i m a t i o n i n F i g -
u r e 8 i s e x c e l l e n t . O n t h e o t h e r h a n d t h e r e s u l t s
o f S e c t i o n s 3 a n d 4 i m p l y t h a t t h i s a p p r o x i m a t i o n
h o l d s i n n i t e d o m a i n s o n l y . F o r s o m e l a r g e n
2N ,
s o m e c r o s s - r a t i o s b e c o m e n e g a t i v e i m a g i n a r y , w h i c h
o n e c a n i n t e r p r e t a s p a s s i n g t h r o u g h i n n i t y . T h u s ,
t h e c i r c l e p a c k i n g a r r i v e s a t i n n i t y f o r n i t e n .
B y r e n i n g t h e d i s c r e t i z a t i o n | t a k i n g ! 0 i n
( 3 { 5 ) | o n e c a n a p p r o x i m a t e t h e a b o v e - m e n t i o n e d
r a t i o o f t w o A i r y f u n c t i o n s i n a n a r b i t r a r y n i t e d o -
m a i n .
A s m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , i n c o n n e c t i o n
w i t h e x p l i c i t e x a m p l e s , S c h r a m m ' s S G - p a t t e r n s a r e
r i c h e r t h a n t h e p a c k i n g s w i t h h e x a g o n a l c o m b i n a -
t o r i c s . S G - p a t t e r n s c o r r e s p o n d i n g t o r a t i o s o f t w o
A i r y f u n c t i o n s w e r e c o n s t r u c t e d i n S c h r a m m 1 9 9 7 ]
( c o m p a r e F i g u r e 8 . 1 . a o f t h a t p a p e r w i t h F i g u r e 8 ) .
I n c o n t r a s t w i t h o u r c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e
p a c k i n g s , t h e S c h r a m m c i r c l e p a t t e r n s c o r r e s p o n d -
i n g t o t h e m a r e e n t i r e , t h a t i s , t h e y h a v e r e g u l a r
b e h a v i o r f o r a l l ( n m)
2Z
2
.
ACKNOWLEDGMENTS
T h e a u t h o r s t h a n k U . H e r t r i c h - J e r o m i n , U . P i n k a l l ,
Y u . S u r i s a n d E . T j a d e n f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s .
ELECTRONIC AVAILABILITY
S i n c e t h e f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k i n g s d i s c u s s e d i n t h i s
p a p e r h a v e a n i t e ( a n d e v e n s m a l l ) n u m b e r o f p a -
r a m e t e r s , i t s e e m e d n a t u r a l t o l o o k f o r a w a y t o
v i s u a l i z e w h o l e f a m i l i e s a n d e x p e r i m e n t d i r e c t l y .
J a v a a p p l e t s h a v e b e e n p r o v i d e d t o i l l u s t r a t e t h e
f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k i n g o w e r s , t h e w h o l e c l a s s o f
c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s , a n d t h e s p e -
c i a l c a s e o f D o y l e s p i r a l s . T h e y a l s o l e t t h e v i e w e r
w e a r \ M o b i u s g l a s s e s " , a l l o w i n g t h e a p p l i c a t i o n o f
a r b i t r a r y M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h c a n h e l p
g a i n i n t u i t i o n . ( E x c e p t f o r D o y l e s p i r a l s , t h e f a m -
i l i e s a r e o n l y d e n e d m o d u l o a n a r b i t r a r y M o b i u s
t r a n s f o r m a t i o n . ) T h e s e a p p l e t s c a n b e f o u n d a t
h t t p : / / w w w - s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e / P u b l i c a t i o n s /
o n l i n e / c s c p O n l i n e / A p p l e t s . h t m l .
T h e p a g e h t t p : / / w w w - s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e /
P u b l i c a t i o n s / o n l i n e / c s c p O n l i n e / i n d e x . h t m l i n c l u d e s
t h e s e a p p l e t s a n d t h e t e x t o f t h i s p a p e r , w i t h i n -
s t r u c t i o n s f o r t h e i n t e r a c t i v e g u r e s . T h i s o n l i n e
v e r s i o n r e n d e r s a d v i l e i n s i d e a J a v a a p p l e t . I t
r e q u i r e s a w e b b r o w s e r t h a t i n c l u d e s a J a v a v i r t u a l
m a c h i n e ( a n y r e c e n t b r o w s e r d o e s ) . N o t e , h o w e v e r ,
t h a t r e n d e r i n g t h e p a g e s i s s l o w o n o l d e r m a c h i n e s
t h a t ' s w h y w e a l s o p r o v i d e t h e a p p l e t s s e p a r a t e l y .
REFERENCES
A g a f o n o v a n d B o b e n k o 2 0 0 0 ] S . I . A g a f o n o v a n d
A . I . B o b e n k o , \ D i s c r e t e z
a n d P a i n l e v e e q u a t i o n s " ,
I n t e r n a t . M a t h . R e s . N o t i c e s 2 0 0 0 : 4 ( 2 0 0 0 ) , 1 6 5 { 1 9 3 .
B e a r d o n a n d S t e p h e n s o n 1 9 9 0 ] A . F . B e a r d o n a n d K .
S t e p h e n s o n , \ T h e u n i f o r m i z a t i o n t h e o r e m f o r c i r c l e
p a c k i n g s " , I n d i a n a U n i v . M a t h . J . 3 9 : 4 ( 1 9 9 0 ) , 1 3 8 3 {
1 4 2 5 .
B e a r d o n e t a l . 1 9 9 4 ] A . F . B e a r d o n , T . D u b e j k o , a n d
K . S t e p h e n s o n , \ S p i r a l h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s i n
t h e p l a n e " , G e o m . D e d i c a t a 4 9 : 1 ( 1 9 9 4 ) , 3 9 { 7 0 .
B o b e n k o a n d P i n k a l l 1 9 9 9 ] A . I . B o b e n k o a n d U .
P i n k a l l , \ D i s c r e t i z a t i o n o f s u r f a c e s a n d i n t e g r a b l e
s y s t e m s " , p p . 3 { 5 8 i n D i s c r e t e i n t e g r a b l e g e o m e t r y a n d
p h y s i c s , e d i t e d b y A . I . B o b e n k o a n d R . S e i l e r , O x f o r d
L e c t u r e S e r . M a t h . A p p l . 1 6 , O x f o r d U n i v . P r e s s ,
O x f o r d , 1 9 9 9 .
C a l l a h a n a n d R o d i n 1 9 9 3 ] K . C a l l a h a n a n d B . R o d i n ,
\ C i r c l e p a c k i n g i m m e r s i o n s f o r m r e g u l a r l y e x h a u s t i b l e
s u r f a c e s " , C o m p l e x V a r i a b l e s T h e o r y A p p l . 2 1 : 3 - 4
( 1 9 9 3 ) , 1 7 1 { 1 7 7 .
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
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Bobenko and Hoffmann: Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals 149
FIGURE 8. A c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g ( w i t h = = i n ( 3 { 5 ) ) a n d i t s s m o o t h c o u n t e r p a r t . T h e v e r t i c e s o f t h e h e x a g o n s a r e t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s o f a s t a n d a r d h e x a g o n a l g r i d u n d e r t h e m a p
ff r o m ( 5 { 6 ) .
D u b e j k o a n d S t e p h e n s o n 1 9 9 5 ] T . D u b e j k o a n d K .
S t e p h e n s o n , \ C i r c l e p a c k i n g : e x p e r i m e n t s i n d i s c r e t e
a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y " , E x p e r i m e n t . M a t h . 4 : 4
( 1 9 9 5 ) , 3 0 7 { 3 4 8 .
H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] Z . - X . H e a n d O . S c h r a m m ,
\ T h e C
1
- c o n v e r g e n c e o f h e x a g o n a l d i s k p a c k i n g s t o
t h e R i e m a n n m a p " , A c t a M a t h . 1 8 0 : 2 ( 1 9 9 8 ) , 2 1 9 {
2 4 5 .
R o d i n 1 9 8 7 ] B . R o d i n , \ S c h w a r z ' s l e m m a f o r c i r c l e
p a c k i n g s " , I n v e n t . M a t h . 8 9 : 2 ( 1 9 8 7 ) , 2 7 1 { 2 8 9 .
R o d i n a n d S u l l i v a n 1 9 8 7 ] B . R o d i n a n d D . S u l l i v a n ,
\ T h e c o n v e r g e n c e o f c i r c l e p a c k i n g s t o t h e R i e m a n n
m a p p i n g " , J . D i e r e n t i a l G e o m . 2 6 : 2 ( 1 9 8 7 ) , 3 4 9 { 3 6 0 .
S c h r a m m 1 9 9 7 ] O . S c h r a m m , \ C i r c l e p a t t e r n s w i t h t h e
c o m b i n a t o r i c s o f t h e s q u a r e g r i d " , D u k e M a t h . J . 8 6 : 2
( 1 9 9 7 ) , 3 4 7 { 3 8 9 .
S c h r a m m 1 9 9 8 ] O . S c h r a m m , \ C i r c l e p a c k i n g s a n d c o n -
f o r m a l g e o m e t r y , a s u r v e y o f s e l e c t e d t o p i c s " , 1 9 9 8 . S e e
h t t p : / / w w w . m a t h . w e i z m a n n . a c . i l /
~
s c h r a m m / t a l k s .
S p a n i e r a n d O l d h a m 1 9 8 7 ] J . S p a n i e r a n d K . B .
O l d h a m , A n a t l a s o f f u n c t i o n s , H e m i s p h e r e P u b .
C o r p . , W a s h i n g t o n , 1 9 8 7 .
T h u r s t o n 1 9 8 5 ] W . P . T h u r s t o n , \ T h e n i t e R i e m a n n
m a p p i n g t h e o r e m " , 1 9 8 5 . I n v i t e d a d d r e s s , I n t e r n a -
t i o n a l S y m p o s i u m i n C e l e b r a t i o n o f t h e P r o o f o f t h e
B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e , P u r d u e U n i v e r s i t y .
8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals
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150 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1
A l e x a n d e r I . B o b e n k o , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r . 1 7 J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3 B e r l i n ,
G e r m a n y ( b o b e n k o @ m a t h . t u - b e r l i n . d e )
T i m H o m a n n , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r . 1 7 J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3 B e r l i n , G e r m a n y
( t i m h @ s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e )
R e c e i v e d J u l y 1 1 , 2 0 0 0 a c c e p t e d i n r e v i s e d f o r m S e p t e m b e r 9 , 2 0 0 0