Aim: How do we integrate by partial fractions? (II) Do Now: Write the partial fraction decomposition of

2𝑥2−𝑥+4𝑥 (𝑥2+4)

¿𝐴𝑥

+𝐵𝑥+𝐶𝑥2+4

2 𝑥2−𝑥+4=𝐴 (𝑥2+4 )+ (𝐵𝑥+𝐶 ) 𝑥

𝐴+𝐵=2 ,𝐶=−1 ,4 𝐴=4 𝐴=1 ,𝐵=1,𝐶=−1

2𝑥2−𝑥+4𝑥3+4 𝑥

=1𝑥

+ 𝑥−1𝑥2+4

∫ 2 𝑥2−𝑥+4𝑥3+4 𝑥

𝑑𝑥¿∫(1𝑥

+𝑥−1

𝑥2+4)𝑑𝑥

¿∫ 1𝑥𝑑𝑥+∫ 𝑥−1

𝑥2+4𝑑𝑥

¿∫ 1𝑥𝑑𝑥+∫ 𝑥

𝑥2+4𝑑𝑥−∫ 1

𝑥2+4𝑑𝑥

𝒖=𝒙𝟐+𝟒

𝒅𝒖=𝟐 𝒙 𝒅𝒙¿ 𝑙𝑛|𝑥|+ 12𝑙𝑛|𝑥2+4|− 1

2𝑡𝑎𝑛− 1( 𝑥2 )+𝐶

∫ 𝒅𝒙𝒙𝟐+𝒂𝟐

=𝟏𝒂𝒕𝒂𝒏−𝟏( 𝒙𝒂 )+𝑪

∫ 4 𝑥2−3 𝑥+24 𝑥2−4 𝑥+3

𝑑𝑥¿∫1+𝑥−1

4 𝑥2−4 𝑥+3𝑑𝑥

¿∫1𝑑𝑥+∫ 𝑥−1

(2 𝑥−1 )2+2  𝑑𝑥

𝟒𝒙𝟐−𝟒 𝒙+𝟑=(𝟐 𝒙−𝟏 )𝟐+𝟐 𝒖=𝟐 𝒙−𝟏 ,𝒅𝒖=𝟐𝒅𝒙𝒙=

𝟏𝟐

(𝒖+𝟏)

¿∫1𝑑𝑥+12∫

12

(𝑢+1 )−1

𝑢2+2𝑑𝑢¿ 𝑥+

14∫

𝑢−1

𝑢2+2𝑑𝑢

=

¿ 𝑥+18𝑙𝑛|𝑢2+2|− 1

4∙

1

√2𝑡𝑎𝑛−1( 𝑢√𝑎 )

¿ 𝑥+18𝑙𝑛|4 𝑥2−4 𝑥+3|− 1

4 √2𝑡𝑎𝑛−1( 2 𝑥−1

√2 )+𝐶

∫ 1−𝑥+2𝑥2−𝑥3

𝑥 (𝑥2+1)2 |𝑑𝑥=

𝟏− 𝒙+𝟐 𝒙𝟐− 𝒙𝟑

𝒙 (𝒙𝟐+𝟏)𝟐

𝑨(𝒙𝟐+𝟏)𝟐+𝒙 ( 𝑩𝒙+𝑪 ) (𝒙𝟐+𝟏)+𝒙 (𝑫𝒙+𝑬 )=−𝒙𝟑+𝟐 𝒙𝟐− 𝒙+𝟏

¿,

𝑨=𝟏 ,𝑩=−𝟏 ,𝑪=−𝟏 ,𝑫=𝟏 ,𝑬=𝟎

¿∫ 1𝑥−𝑥+1

𝑥2+1+

𝑥(𝑥2+1)2 𝑑𝑥∫ 1−𝑥+2𝑥2−𝑥3

𝑥 (𝑥2+1)2 𝑑𝑥

¿∫ 1𝑥𝑑𝑥−∫ 𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥−∫ 1

𝑥2+1𝑑𝑥+∫ 𝑥

(𝑥2+1)2 𝑑𝑥

∫ 𝒙(𝒙𝟐+𝟏)𝟐

𝒅𝒙 , du = 2x dx

¿𝟏𝟐∫𝒖−𝟐𝒅𝒖=

−𝟏𝟐

𝒖−𝟏¿−𝟏

𝟐(𝒙𝟐+𝟏)

∫ 𝟏𝒙𝟐+𝟏

𝒅𝒙=𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙

∫ √𝑥+4𝑥

𝑑𝑥,

,

¿2∫ 𝑢2

𝑢2−4𝑑𝑢

¿2∫(1+4

𝑢2−4)𝑑𝑢

¿2∫1𝑑𝑢+8∫ 𝑑𝑢𝑢2−4

𝟏𝒖𝟐−𝟒

=𝟏

(𝒖−𝟐)(𝒖+𝟐)

¿𝑨

𝒖−𝟐+

𝑩𝒖+𝟐

𝑨𝒖+𝟐 𝑨+𝑩𝒖−𝟐𝑩=𝟏, ¿2𝑢+2∫ 1

𝑢−2𝑑𝑢−2∫ 1

𝑢+2𝑑𝑢

¿2√𝑥+4+2 𝑙𝑛|√𝑥+4−2|−2 𝑙𝑛|√𝑥+4+2|+𝐶¿2√𝑥+4+2 𝑙𝑛|√𝑥+4−2

√𝑥+4+2 |+𝐶