Adaptaci'ón de maya en el analisis de dispersion en guias

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

Maestría en Ciencias

con Especialidad en Sistemas Digitales

“Adaptación de malla en el análisis de dispersión en guías de onda empleando el método de elemento finito (FEM)”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS PRESENTA:

Fernando Cervantes Leyva

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

Dr. Miguel A. Álvarez Cabanillas

OCTUBRE DE 2006 TIJUANA, B. C., MÉXICO

iii

A mi madre Marisela Leyva Camacho; la

persona con la vida más interesante que he

conocido.

A mi padre Miguel Cervantes Ojeda y a mis

hermanos Félix, Miguel, Elizabeth y

Constantino.

iv

Agradecimientos

Agradezco a mis ancestros por permitirme iniciar en el punto en el que lo hice. A mi madre por su gran ejemplo y consejos visionarios. A mis padres y hermanos por ser mi motivación, creer en mí y darme su amor incondicional. A YEL por su apoyo. A Emigdio Castro Leyva y Miguel Ángel Romero Leyva. Al Dr. Miguel A. Álvarez Cabanillas por sus consejos y permitirme realizar este trabajo de tesis. Agradezco de forma especial al M.C. Juan J. Tapia Armenta por fungir como co-director de este trabajo y creer en el proyecto desde el primer día. A los miembros de la comisión revisora: M.C. Ernesto E. Quiroz Morones, Dr. Luís Tupak Aguilar Bustos y M.C. José Abel Hernández Rueda. A los distintos autores citados en este trabajo. Al centro de investigación y desarrollo de tecnología digital (CITEDI-IPN). A mis compañeros de generación del CITEDI: Alfredo Solís, Noé Villezcas, Bonifacio García, Rodrigo Medina, Berenice Ramírez, Luís Vargas y Rogelio Rodríguez. Finalmente, agradezco al Instituto Politécnico Nacional por el apoyo económico proporcionado durante la realización de este trabajo.

v

Tabla de contenido

Agradecimientos........................................................................................ iv

Lista de figuras........................................................................................ viii

Lista de tablas .......................................................................................... xii

Lista de símbolos..................................................................................... xiii

Resumen................................................................................................... xv

Abstract .................................................................................................. xvi

Introducción ........................................................................................... xvii

Objetivo ................................................................................................... xx

I. Fundamentos de teoría electromagnética ............................................... 1

I.1. Ecuaciones de Maxwell ................................................................................. 2

I.2. Relaciones constitutivas ................................................................................ 3

I.3. Campos estáticos .......................................................................................... 5

I.3.1. Ecuaciones de Poisson y Laplace ........................................................... 6

I.4. Campos armónicos en el tiempo.................................................................... 7

I.5. Ecuación de onda de Helmholtz .................................................................... 8

I.6. Condiciones de frontera ................................................................................ 9

I.6.1. Interfase entre dos medios con conductividad finita .............................. 9

I.6.2. Conductor eléctrico perfecto .................................................................10

I.7. Guía de onda rectangular metálica ..............................................................11

I.7.1. Guía de onda de planos paralelos..........................................................12

I.7.2. Solución analítica de la ecuación de Helmholtz.....................................13

I.7.3. Modo transversal eléctrico ....................................................................15

I.7.4. Modo fundamental................................................................................24

vi

I.7.5. Gráficas de solución analítica para el modo 01TE ................................25

I.7.6. Modo transversal magnético .................................................................26

I.7.7. Gráficas de solución analítica para el modo 01TM ...............................30

II. Método de elemento finito en dos dimensiones ................................... 32

II.1. Solución numérica de la ecuación de Helmholtz...........................................34

II.2. Discretización del dominio ...........................................................................37

II.3. Selección de las funciones de interpolación...................................................38

II.4. Formulación del sistema de ecuaciones ........................................................42

II.4.1. Deducción de las matrices locales de elemento finito ............................42

II.4.2. Deducción de las matrices de la frontera virtual...................................45

II.4.3. Ensamblado del sistema de ecuaciones..................................................48

II.5. Aplicación de las condiciones de frontera.....................................................55

II.5.1. Condición de frontera Dirichlet-PEC....................................................56

II.5.2. Condición de frontera Neumann-PEC...................................................57

II.6. Diagrama de flujo de FEM ..........................................................................60

II.7. Resolución de la malla .................................................................................60

II.8. Determinación de la resolución de la malla..................................................64

III. Resultados numéricos empleando el método de elemento finito ........ 66

III.1. Amplitud de la onda.................................................................................67

III.2. Cálculo numérico de las características de dispersión...............................68

III.2.1. Guía de onda en forma de L .................................................................69

III.2.2. Guía de onda en forma de T.................................................................75

III.2.2.A. Puerto de entrada: puerto 1 .............................................................76 III.2.2.B. Puerto de entrada: puerto 3 .............................................................79

IV. Adaptación de malla .......................................................................... 82

IV.1. Lazo de retroalimentación de adaptación de malla...................................85

IV.2. Fundamentos de la técnica de equidistribución ........................................86

IV.2.1. Formulación del sistema de ecuaciones .................................................88

vii

IV.2.2. Solución del sistema de ecuaciones........................................................90

IV.2.3. Planteamiento en una dimensión ..........................................................91

IV.3. Equidistribución en dos dimensiones ........................................................96

IV.3.1. Sistema de ecuaciones en dos dimensiones ............................................98

IV.3.2. Suavizado de la malla .........................................................................104

IV.3.3. Implementación de equidistribución en dos dimensiones.....................106

IV.4. Resultados numéricos .............................................................................107

V. Conclusiones y trabajo futuro ............................................................112

V.1. Conclusiones ..............................................................................................112

V.2. Trabajo futuro ...........................................................................................114

Referencias ..............................................................................................115

A. Ecuaciones de Maxwell en forma integral ..........................................119

B. Deducción de la formulación débil......................................................120

C. Distribución del campo.......................................................................122

C.1. Guía de onda convencional ........................................................................122

C.2. Guía de onda en forma de L ......................................................................122

C.3. Guía de onda en forma de T......................................................................122

viii

Lista de figuras

Figura 1.1. Interfase entre dos medios........................................................................10

Figura 1.2. Guía de onda rectangular (a : ancho, b : grueso). ....................................11

Figura 1.3. Guía de onda de planos paralelos.............................................................12

Figura 1.4. Vista lateral de una guía de onda de planos paralelos. ............................13

Figura 1.5. Guía de onda de planos paralelos con componentes del campo para el

modo 0TE n . .................................................................................................................19

Figura 1.6. Aparición de modos TE en una guía de onda de planos paralelos con

4 cmb = . ....................................................................................................................24

Figura 1.7. Parte real de la componente zE (expresión (1.77)) para el modo 01TE . ......25

Figura 1.8. Parte real de la componente xH (expresión (1.78)) para el modo 01TE . .....26

Figura 1.9. Parte real de la componente yH (expresión (1.79)) para el modo 01TE . .....26

Figura 1.10. Guía de Onda de Planos Paralelos con componentes del campo para el

modo 0TM n .................................................................................................................27

Figura 1.11. Parte real de la componente xE (en (1.107)) para el modo 01TM ............30

Figura 1.12. Parte real de la componente yE (en (1.107)) para el modo 01TM . ..........31

Figura 1.13. Parte real de la componente zH (en (1.108)) para el modo 01TM . ..........31

Figura 2.1. Guía de onda de planos paralelos de dos puertos con fronteras virtuales

1Γ y 2Γ .......................................................................................................................34

Figura 2.2. Dominio bidimensional con interfase dΓ . .................................................36

Figura 2.3. (a) Dominio bidimensional discretizado en 8 elementos triangulares ((1),

(2)-(8)), con 9 nodos (1,2-9) y (b) Comparación entre numeración local y global......37

Figura 2.4. Elemento triangular: (a) lineal, (b) cuadrático y (c) cúbico [22]. .............38

Figura 2.5. Elemento triangular lineal con numeración local......................................40

ix

Figura 2.6. Funciones forma para un elemento triangular lineal: (a) 1eN , (b) 2

eN , (c)

3eN y (d) vista superior del elemento..........................................................................41

Figura 2.7. Guía de onda de planos paralelos discretizada en elementos triangulares:

(a) Elemento e con 1 3 1e ey y ∩ Γ , (b) Frontera virtual 1Γ , (c) Frontera virtual 2Γ y (d)

Elemento e con 1 2 2e ey y ∩ Γ . .........................................................................................45

Figura 2.8. Dominio bidimensional discretizado en cuatro elementos triangulares

( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 , 4 , con cinco nodos 1, 2, ..., 5 . ..............................................................48

Figura 2.9. Elementos con vectores unitarios normales a las regiones de integración:

(a) elemento 4, (b) elemento 1 y (c) elementos 1 y 4. ................................................54

Figura 2.10. Diagrama de flujo de FEM.....................................................................59

Figura 2.11. Resolución de malla res 4n = para dos diferentes longitudes de onda:

(a) 1λ , 1 4 elementos/( )h = Ω y (b) 2λ , 2 12 elementos/( )h = Ω . ..............................................61

Figura 2.12. Guía de onda rectangular discretizada en elementos triangulares lineales.

...................................................................................................................................62

Figura 2.13. Distribución de ( )zE y para una opf dentro de la banda del modo 01TE .

...................................................................................................................................62

Figura 2.14. Error entre las partes reales de la solución analítica y solución numérica

para zE con diferentes resoluciones: (a) norma L∞ y (b) norma 2L promediada sobre

el número de nodos totales. ........................................................................................64

Figura 3.1. Comportamiento de la amplitud de la parte real de zE en una guía de

onda de planos paralelos empleando FEM con resg 40n ≈ , 50 , 70 y 100 . ......................68

Figura 3.2. Guía de onda homogénea en forma de L con paredes PEC: (a)

Representación geométrica y (b) Ejemplo de discretización en elementos triangulares.

...................................................................................................................................70

Figura 3.3. Comportamiento del SWR en una guía de onda en forma de L para el

plano-H para 0l = , / 3.333l b≈ y / 1.251l b≈ en comparación con la Ref. [32]. .............71

Figura 3.4. Coeficientes de transmisión y reflexión en una guía de onda en forma de L

para el plano-H .........................................................................................................72

x

Figura 3.5. Guía de onda en forma de L con puntos de referencia 1 y2 ....................73

Figura 3.6. Guía de onda homogénea en forma de T con paredes PEC: (a)

Representación geométrica y (b) Ejemplo de discretización en elementos triangulares.

...................................................................................................................................75

Figura 3.7. Comportamiento del SWR en una guía de onda en forma de T para el

plano-H: para 0l = , / 5l b≈ y / 2.254l b≈ en comparación con la Ref. [32]. .................77

Figura 3.8. Comportamiento de los coeficientes de transmisión y reflexión en una guía

de onda en forma de T para el plano-H......................................................................78

Figura 3.9. Comportamiento de 2/ 3p pτ , / 3p1 pτ y 3pζ en una guía de onda en forma de

T para el plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparación con la Ref.

[35]. ............................................................................................................................80

Figura 3.10. Comportamiento de 2/ 3p pτ , / 3p1 pτ y 3pζ en una guía de onda en forma de

T para el plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparación con la Ref.

[34]. ............................................................................................................................81

Figura 4.1. Diagrama de flujo del método de elemento finito con adaptación de malla

[42]. ............................................................................................................................83

Figura 4.2. Lazo de retroalimentación de adaptación de malla. .................................85

Figura 4.3. Diagrama de flujo de la técnica de equidistribución.................................92

Figura 4.4. Diagrama a bloques general del proceso iterativo de la técnica de

equidistribución. .........................................................................................................94

Figura 4.5. Diagrama de flujo de la solución de un problema a través de FEM

empleando adaptación de malla. ................................................................................95

Figura 4.6. Dominio bidimensional físico 2f RΩ ∈ . .....................................................98

Figura 4.7. Nodos y enlaces internodales....................................................................99

Figura 4.8. Geometría de dominio Ω en forma de L. ...............................................108

Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM de ( ) ( )5 5NX NY= × = ) y malla de solución

interpolada ( 21 21× puntos) de la región III del dominio en la Fig. 4.8. ..................108

Figura 4.10. Error para el caso ( ) ( )10 10NX NY= × = : (a) L∞ y (b) 2 puntos de interp./L .109

Figura 4.11. Error para el caso ( ) ( )20 20NX NY= × = : (a) L∞ y (b) 2 puntos de interp./L .109

xi

Figura 4.12. Información caso ( ) ( )10 10NX NY= × = . .................................................110

Figura C.1. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda convencional con

4 cmb = .....................................................................................................................123

Figura C.2. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de L

con 0l = . ..................................................................................................................124


con / 5l b= . ...............................................................................................................125


con / 4l b= ................................................................................................................126


con / 3l b= . ...............................................................................................................127


con / 2l b= . ...............................................................................................................128


con l b= . ..................................................................................................................129

Figura C.8. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de T

con 0l = . ..................................................................................................................130


con / 5l b= . ...............................................................................................................131


con / 4l b= ................................................................................................................132


con / 3l b= . ...............................................................................................................133


con / 2l b= ................................................................................................................134


con puerto de entrada en puerto 3. ..........................................................................135

xii

Lista de tablas

Tabla 2.1. Relación entre nodos globales y nodos locales en el dominio mostrado en

la Fig. 2.8. ..................................................................................................................49

Tabla 2.2. Información de entrada del cálculo numérico de zE (con 4 cmb = ) a través

de FEM para diferentes frecuencias de operación con resg 100n ≈ . ..............................65

Tabla 3.1. Datos de entrada del cálculo numérico de zE (con 4 cmb = ) a través de

FEM para diferentes frecuencias de operación. ..........................................................67

Tabla 3.2. Frecuencias de corte en los puntos de referencia 1 y 2 de la guía de onda

en forma de L de la Fig. 3.5 con 4 cmb = . ..................................................................74

xiii

Lista de símbolos

eA Área del elemento e .

B Densidad de flujo magnético.

c Velocidad de la luz en un medio determinado.

0c Velocidad de la luz en el vacío.

D Densidad de flujo eléctrico.

e Elemento determinado.

0E Amplitud de E .

E Intensidad del campo eléctrico.

cf Frecuencia de corte.

opf Frecuencia de operación.

h Longitud de un elemento en una dimensión.

H Intensidad del campo magnético.

J Densidad de corriente.

k Número de onda o constante de propagación.

ck Número de onda de corte.

l Parámetro de modificación de las guías de onda en forma de L y T.

n Vector unitario normal a un punto de referencia determinado.

p1,p2,p3 Puertos 1, 2 y 3, respectivamente.

t Tiempo.

U Solución.

eU Solución numérica en el elemento e .

α Parámetro de continuación.

γ Parámetro suavizador.

eΓ Frontera del elemento e .

δ Variable de corrección del método Newton-Raphson.

xiv

ε Permitividad de un medio determinado.

0ε Permitividad del vacío.

rε Permitividad relativa de un medio determinado.

cλ Longitud de onda de corte.

gλ Longitud de onda en la guía.

opλ Longitud de onda de operación.

µ Permeabilidad de un medio determinado.

0µ Permeabilidad del vacío.

rµ Permeabilidad relativa de un medio determinado.

ρ Densidad de carga.

σ Conductividad de un medio determinado.

Φ Potencial escalar.

ψ Parámetro de relajación.

ω Frecuencia angular.

Ω Región de solución.

xv

Resumen

En este trabajo se obtienen numéricamente, a través del método de elemento finito de

Galerkin, las características de dispersión, para frecuencias dentro del modo

fundamental, de guías de onda de planos paralelos en forma de L y en forma de T en

el plano-H, en función de la modificación de la estructura de dichas guías en las

regiones de discontinuidad. La ecuación de Helmholtz tiene solución analítica, entre

otros casos, para guías de onda homogéneas con paredes PEC; sin embargo, en guías

de onda con discontinuidades, dicha solución es inexistente o su obtención es

impráctica. El método de elemento finito es adecuado para la solución de la ecuación

de Helmholtz en guías de onda con discontinuidades. Con el propósito de estudiar las

características de dispersión de tales dispositivos, se modifica la estructura de las

guías de onda en las regiones de discontinuidad. Los resultados obtenidos en este

trabajo muestran considerable similitud en comparación con información publicada

por otros autores (calculada con técnicas distintas). Finalmente, se presenta la

formulación de un método de adaptación de malla tipo-r que emplea el principio de

equidistribución, el cual se implementa al resolver la ecuación de Laplace en un

dominio en forma de L.

xvi

Abstract

The scattering characteristics, for several frequencies in the fundamental mode, of H-

plane L-shaped and T-junction parallel-plate waveguides, are obtained using

Galerkin’s finite element method as a function of the modification of the waveguide’s

structure in the discontinuity regions. The Helmholtz equation can be solved

analytically, among other cases, in a homogeneous PEC waveguide; however, in

waveguides with discontinuities, such solution can be inexistent or impractical to

obtain. The finite element method is suited for the solution of the Helmholtz equation

in waveguides with discontinuities. With the purpose of studying the scattering

characteristics of such devices, the structure of the waveguide in the discontinuity

regions is modified. The obtained results are considerable similar to the information

published by other authors (calculated with different techniques). Finally, an r-type

mesh adaptation method that employs the equidistribution principle is formulated

and implemented by solving the Laplace equation in an L-shaped domain.

xvii

Introducción

Las guías de onda son dispositivos que se emplean para la transmisión de información

en la banda de frecuencias conocida como microondas. Debido a que en este rango de

frecuencias no son válidas ni la aplicación de la teoría de circuitos (válida para RF) ni

la teoría de rayos (válida para frecuencias ópticas), en los casos donde se requiera

estudiar estos dispositivos se necesita emplear la teoría del campo, esto es, la solución

de las ecuaciones de Maxwell [12]. Para el estudio de microondas se utilizan diferentes

métodos numéricos, siendo tres de los principales el método de diferencias finitas en el

dominio del tiempo (FDTD) (ver [13], entre otros), el método de elemento finito

(FEM) (ver [15], [17], [23], entre otros) y el método de momentos (MoM) (ver [14],

entre otros).

En una guía de onda, una discontinuidad se conoce como cualquier característica

que posea dicha estructura la cual altere la libre propagación de la onda a través de

la guía. Las guías de onda en forma de L y en forma de T se pueden ver como

estructuras constituidas por la unión de guías de onda convencionales. En este tipo de

dispositivos, las regiones de discontinuidad son aquellas en donde se unen dichas

guías convencionales.

Las guías de onda rectangulares en forma de T (o unión-T) son un componente

pasivo básico en los sistemas de microondas. Éstos se utilizan en acopladores

direccionales, divisores/mezcladores de potencia, filtros y multiplexores para radares y

sistemas de comunicación [35], [36]. A través de los últimos años se han realizado

diferentes estudios de las características de dispersión de discontinuidades en guías de

onda homogéneas (por ejemplo [32], [34]-[36], entre otros).

El método de elemento finito es en la actualidad uno de los métodos numéricos

más usados en la solución de problemas de electromagnetismo. De una manera

resumida, FEM consiste en subdividir la región de solución de un problema

determinado en un número finito de subregiones más pequeñas conocidas como

elementos. En lugar de obtener una solución completa para todo el problema, la

xviii

solución aproximada se compone del ensamblado de las soluciones obtenidas dentro

de cada elemento. Los puntos que definen a un elemento se conocen como nodos,

mientras que el ensamble de estos nodos se conoce como malla.

El método de elemento finito es adecuado para la solución de problemas con

geometrías complejas, tales como las guías de onda en forma de L y en forma de T.

El estudio de las características de dispersión (comportamiento de los coeficientes de

transmisión y reflexión) en este tipo de guías de onda, en función de la variación de

su estructura en la región de discontinuidad, es uno de los casos en donde se

aprovecha las ventajas del empleo de FEM con elementos triangulares.

El objetivo principal de los métodos de adaptación de malla es el de mejorar el

desempeño de los métodos numéricos. Su funcionamiento, en términos generales,

consiste en solucionar un problema con una malla predeterminada, estimar el error de

aproximación y emplear esta información para generar mallas que permitan obtener

resultados más precisos.

Este trabajo se compone de cinco capítulos y tres apéndices.

En el capítulo I se presenta los conceptos básicos de la teoría electromagnética,

necesarios en la solución del problema de la propagación del campo electromagnético

dentro de guías de onda de planos paralelos homogéneas.

En el capítulo II se presenta la formulación del método de elemento finito en dos

dimensiones, se resuelve numéricamente la ecuación homogénea de Helmholtz en el

plano-H y se realiza un análisis de la resolución de la malla en función de la longitud

de onda en la guía de onda.

Un estudio de la amplitud de la onda incidente, en función de la resolución de la

malla y la frecuencia de operación, se presenta al inicio del capítulo III.

Posteriormente, en este mismo capítulo, se muestran las características de dispersión,

para diferentes frecuencias de operación dentro del modo fundamental, de guías de

onda en forma de L y en forma de T, en función de la modificación de la estructura

de dichas guías en las regiones de discontinuidad.

xix

El capítulo IV se dedica a la formulación de un método de adaptación de malla

tipo-r que emplea equidistribución el cual se implementa en la solución de la ecuación

de Laplace en un dominio bidimensional en forma de L.

En al capítulo V se presentan las conclusiones de este trabajo.

El apéndice A presenta las ecuaciones de Maxwell en forma integral. En el

apéndice B se desarrolla la formulación débil de la integral del residuo ponderado de

la ecuación de Helmholtz en dos dimensiones. Finalmente, en el apéndice C se

presentan las distribuciones del campo, dentro de guías de onda convencionales, en

forma de L y en forma de T, para los distintos casos analizados en el capítulo III.

xx

Objetivo

El objetivo general de este trabajo de tesis es la implementación del método de

elemento finito en la solución numérica de problemas del campo electromagnético en

guías de onda de planos paralelos. Además, la obtención de soluciones numéricas más

precisas, con respecto a las soluciones obtenidas con mallas preestablecidas, a través

del empleo de un método de adaptación de malla

Los objetivos particulares que se plantean son:

• La formulación del método de elemento finito en dos dimensiones.

• La solución numérica de la ecuación de Helmholtz en guías de onda de planos

paralelos y el análisis de su comportamiento, para diferentes frecuencias, en

función de la resolución de la malla en la dirección de propagación.

• El cálculo numérico de las características de dispersión (comportamiento de los

coeficientes de transmisión y reflexión) en guías de onda en forma de L y en

forma de T para diferentes frecuencias, en función de la modificación de la

estructura de dichas guías en las regiones de discontinuidad, empleando el

método de elemento finito.

• La formulación de un método de adaptación de malla tipo-r que emplea el

principio de equidistribución y su implementación en la solución de la ecuación

de Laplace en un dominio bidimensional en forma de L.

1

Capítulo I

Fundamentos de teoría electromagnética

Pocas tecnologías al inicio del siglo XXI tienen tanto impacto en la vida diaria como

aquellas que hacen uso de dispositivos desarrollados a partir de la comprensión del

comportamiento del campo electromagnético; desde los teléfonos celulares, hasta la

revolución del Internet (impulsada en gran parte por las redes de fibra óptica).

La solución de un problema en donde se involucra el campo electromagnético es,

en realidad, la solución de las ecuaciones de Maxwell sujetas a las condiciones de

frontera proporcionadas por dicho problema.

Una guía de onda es un dispositivo que se utiliza para transmitir ondas

electromagnéticas. Las diferentes configuraciones que puede tomar el campo, al

propagarse a través de una estructura de este tipo, se conocen como modos. Estos

modos dependen tanto de la geometría de la guía, como de la frecuencia de la onda

(frecuencia de operación).

La evolución de computadoras personales ha hecho posible la creciente aplicación

y desarrollo de sofisticados métodos numéricos en la solución de problemas de

electromagnetismo. Sin embargo, aunque lo anterior ha permitido que sin detallado

conocimiento de la teoría electromagnética sea posible diseñar filtros, mezcladores,

líneas de transmisión de bajas pérdidas, entre otros dispositivos, solo un verdadero

conocimiento de la teoría que rige el comportamiento del campo permite obtener el

mayor provecho del empleo de estas herramientas.

El objetivo de este capítulo es el de proporcionar, en forma general, conceptos de

la teoría electromagnética fundamentales en la obtención de soluciones prácticas a

problemas de distribución del campo en guías de onda.

2

I.1. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell describen los fenómenos que ocurren en situaciones donde

se encuentra involucrada la variación temporal de los campos eléctrico y magnético;

esto es: el campo electromagnético [2]. Estas ecuaciones, tal y como se conocen el día

de hoy, son un resumen de la teoría propuesta por James Clerk Maxwell (1831-1879)

en 1864 [1] realizado de manera independiente por Heinrich Hertz (1857-1894) y

Oliver Heaviside (1850-1925) [11].

Este conjunto de leyes físicas, comprobadas experimentalmente por Hertz [6],

relaciona y describe los campos vectoriales eléctrico y magnético, las densidades de

carga y las densidades de corriente en cualquier punto en el espacio y en cualquier

instante de tiempo que se desee [3].

Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial se expresan como

( ) Ley de Faraday , t

∂∇ × = −

∂BE (1.1)

( ) Ley de Ampere generalizada ,t

∂∇ × = +

∂DH J (1.2)

( ) Ley de Gauss, campo eléctrico , ρ∇ =Di (1.3)

( ) 0 Ley de Gauss, campo magnético ,∇ =Bi (1.4)

donde

=E Intensidad del campo eléctrico (volt/metro) , =H Intensidad del campo magnético (ampere/metro), =D Densidad de flujo eléctrico (coulomb/metro cuadrado), =B Densidad de flujo magnético (weber/metro cuadrado), =J Densidad de corriente (ampere/metro cuadrado), =ρ Densidad de carga (coulomb/ metro cúbico).

Las densidades de carga y de corriente se relacionan por la ecuación de continuidad:

+ 0tρ∂

∇ =∂

Ji . (1.5)

3

La expresión anterior, la cual satisface las ecuaciones de Maxwell, también se conoce

como ecuación de la conservación de la carga; ya que si no se cumpliera, significaría

que cargas se están creando (o destruyendo).

I.2. Relaciones constitutivas

Con el propósito de conocer la propagación del campo electromagnético en un medio

determinado, es necesario tomar en cuenta la forma en que las propiedades del medio

y el campo electromagnético se relacionan. Cuando una onda electromagnética entra

en contacto con un material, las partículas cargadas existentes en dicho material

interactúan con el campo electromagnético produciendo corrientes y modificando la

propagación de la onda en ese medio con respecto a la propagación en el espacio libre

[3].

Las relaciones constitutivas describen, en una escala macroscópica, la relación

entre el campo electromagnético y el medio bajo estudio. Estas relaciones están dadas

por

0 , rε ε ε= =D E E (1.6)

0 ,rµ µ µ= =B H H (1.7)

donde

ε = Permitividad del medio, (farad/metro),

0ε = Permitividad del vacío, -120 8.85 10ε = × (farad/metro)[5],

= rε Permitividad relativa del medio, 0/rε ε ε= (adimensional). µ = Permeabilidad del medio, (henry/metro),

0µ = Permeabilidad del vacío, -70 4 10µ π= × (henry/metro)[5],

= rµ Permeabilidad relativa del medio, 0/rµ µ µ= (adimensional),

La permeabilidad y permitividad de un medio determinado se relacionan entre sí a

partir de 1/c µε= , donde c es la velocidad de la luz en dicho medio. Para el caso

4

del espacio libre 1r rε µ= = , por lo tanto, la velocidad de la luz en el espacio libre

está dada por 80 0 01/ 3 10c µ ε= ≈ × metro/segundo [2].

Otra relación constitutiva es la que se cumple en un conductor de la siguiente

forma:

= σJ E , (1.8)

donde σ es la conductividad (siemens/metro).

Los parámetros ε , µ y σ son conocidos como parámetros constitutivos y

caracterizan las propiedades eléctricas de determinado material. Los materiales se

clasifican en función de los parámetros constitutivos, de acuerdo a [3], de la siguiente

forma:

• Materiales lineales o Materiales no lineales. Un material se conoce como lineal

cuando sus parámetros constitutivos no son función de la magnitud del campo

aplicado; por el contrario se conoce como no lineal cuando sí lo son.

• Materiales homogéneos o Materiales no homogéneos. Cuando los parámetros

constitutivos de un medio son función de la posición éste se conoce como un

medio no homogéneo; por su parte, en el caso de que no lo sean, se conoce

como un medio homogéneo.

• Materiales dispersivos o Materiales no dispersivos. Los materiales dispersivos

son aquellos en los que los parámetros constitutivos son función de la

frecuencia; a su vez, son materiales no dispersivos aquellos en los que los

parámetros constitutivos no son función de la frecuencia.

• Materiales isotrópicos o Materiales anisotrópicos. Sí los parámetros

constitutivos no son función de la dirección del campo aplicado estos son

escalares y el medio se conoce como un medio isotrópico; de manera contraria,

los parámetros son tensores cuando son función de la dirección del campo

aplicado y el medio entonces se conoce como anisotrópico.

5

Al aplicar las relaciones constitutivas a las ecuaciones de Maxwell, éstas dan

, t

µ ∂∇ × = −

∂HE (1.9)

,t

ε ∂∇ × = +∂EH J (1.10)

( ) , ε ρ∇ =Ei (1.11)

( ) 0. µ ∇ =Hi (1.12)

El conjunto de ecuaciones (1.9) a (1.12) muestra que, adicional a las cargas y a las

corrientes, la variación con respecto al tiempo de un campo funciona como fuente

para el otro.

I.3. Campos estáticos

Cuando los campos eléctrico y magnético no varían con respecto al tiempo las

expresiones (1.9) y (1.10) son reescritas, respectivamente, de la siguiente manera:

0∇ × =E , (1.13)

0∇ × =H . (1.14)

Cuando estos campos se encuentran estáticos no existe interacción entre ellos; por lo

tanto, cada uno es descrito, de forma independiente, por un conjunto de ecuaciones

respectivo. El comportamiento del campo electrostático se describe por (1.11) y (1.13)

mientras que las expresiones que gobiernan al campo magnetostático son a su vez

(1.12) y (1.14). En el caso estático la expresión (1.5) se escribe como

0∇ =Ji ; (1.15)

6

lo que implica que cuando los campos no varían con respecto al tiempo no existe flujo

de corriente en ningún sentido.

I.3.1. Ecuaciones de Poisson y Laplace

Analizando (1.13) y tomando en cuenta la operación vectorial = 0∇ × ∇Φ , se puede

establecer que

= − ∇ΦE , (1.16)

donde Φ es una función escalar conocida como potencial escalar [2]. Asumiendo un

medio homogéneo, al sustituir (1.16) en (1.11) se obtiene la ecuación de Poisson:

2 = = ρε

−∇ ∇ Φ −Ei . (1.17)

La expresión anterior relaciona la variación del potencial Φ en cualquier punto con la

densidad de carga ρ en cualquier punto de determinado dominio. La ecuación de

Laplace (caso particular de (1.17) cuando 0ρ = ) está dada por

2 = 0∇ Φ . (1.18)

La solución de (1.17) y (1.18) en una región determinada (y para una distribución de

carga específica, en el caso de la ecuación de Poisson) depende de las condiciones de

frontera del dominio bajo análisis. En otras palabras, es posible decir en forma

general que para el mismo dominio existen diferentes configuraciones de Φ que

satisfacen estas ecuaciones, sin embargo, en forma particular cada una de estas

soluciones es única en relación a una condición de frontera especificada.

7

I.4. Campos armónicos en el tiempo

En la literatura referente a electromagnetismo con enfoque a ingeniería ([2], [3], [5],

entre otros) es común encontrar que la variación con respecto al tiempo de los

campos magnético y eléctrico se considera como sinusoidal (o variación armónica).

Esto permite que el campo eléctrico, por ejemplo, se pueda presentar como

( ) ( ) ( )

espacio tiempo

, Re ,j ts t s e ω=E E (1.19)

donde

( ) ( )( )

( )

variación espacial de volts/metro ,2 = frecuencia angular, radianes/segundo ,

frecuencia de operación, hertz ,Re conjunto de los números reales.

op

op

sf

fω π

====

E E

Tomando en cuenta la anterior asunción en la variación temporal, las ecuaciones (1.5)

, (1.9) y (1.10) se reescriben respectivamente como

( ) , j tj s e jωωµ ωµ∇ × = − = −E H H (1.20)

( ) ( ) ,j t j ts e j s e jω ωωε ωε∇ × = + = +H J E J E (1.21)

( ) . j tj s e jωωρ ωρ∇ = − = −Ji (1.22)

A partir de este punto, en toda ocasión en donde la cantidad compleja j te ω se

emplee, se asumirá el hecho de que solo la parte real tiene significado físico aunque no

se incluya el acrónimo “ Re”. Por otra parte, el interés de este trabajo es el estudio de

la variación espacial del campo, por lo tanto, en aquellos desarrollos matemáticos en

donde con fines de simplificación se amerite, la parte correspondiente a la variación

temporal de éste se omitirá.

8

I.5. Ecuación de onda de Helmholtz

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones de primer orden en las

cuales los campos eléctrico y magnético se encuentran acoplados, estos es, ambos

campos se encuentran presentes tanto en la ley de Faraday como en la ley de

Ampere. Es necesario, sin embargo, desacoplar estos campos con el fin de conocer la

solución de un problema de valores en la frontera; por ejemplo: obtener la

distribución del campo eléctrico en una guía de onda.

Se consideran campos armónicos en el tiempo, la ausencia de cargas ( 0ρ = ) y se

limita a un medio sin pérdidas ( 0 0σ = → =J ), homogéneo, isotrópico y lineal

( 0µ µ= y 0ε ε= ). Se inicia aplicando el rotacional a la ley de Faraday representada

en (1.20), esto es,

( ) ( )2 = = jωµ∇ × ∇ × − ∇ + ∇ ∇ − ∇ ×E E E Hi . (1.23)

Las leyes de Ampere generalizada y Gauss para el campo eléctrico sin fuentes,

expresadas respectivamente como

jωε∇ × =H E , (1.24)

0, ∇ =Ei (1.25)

se sustituyen en (1.23) obteniéndose

2 2 = 0k∇ +E E , (1.26)

donde k ω µε= es un parámetro constante conocido como número de onda.

Realizando un procedimiento similar, iniciando con el rotacional de H en la ley de

Ampere generalizada, se obtiene

2 2 = 0k∇ +H H . (1.27)

9

Las ecuaciones (1.26) y (1.27) se conocen como las ecuaciones homogéneas de

Helmholtz1 para los campos eléctrico y magnético, respectivamente. Estas ecuaciones

diferenciales de segundo orden modelan la variación espacial de estos campos en la

ausencia de fuentes.

I.6. Condiciones de frontera

En dominios no homogéneos, los cuales contienen interfases entre medios con

características eléctricas distintas (cambios bruscos entre un medio y otro de µ , ε y

σ ), es posible que la magnitud y dirección de los campos se modifiquen al atravesar

dichas interfases [5]. Estos comportamientos, cuya inclusión en cualquier análisis es

obligatoria, se describen por un conjunto de relaciones derivadas de las ecuaciones de

Maxwell en forma integral (ver apéndice A) conocidas como condiciones (o relaciones)

de frontera [7]. Desde el punto de vista matemático, la solución de una ecuación

diferencial en un dominio determinado, como la ecuación de onda de Helmholtz

(expresión (1.26) para campo eléctrico y (1.27) para el campo magnético), no es única

a menos que se especifiquen condiciones de frontera [2].

I.6.1. Interfase entre dos medios con conductividad finita

Las relaciones de frontera que deben cumplir los campos en una interfase entre dos

medios con características eléctricas distintas (ver la Fig. 1.1), sin fuentes y sin

cargas, son, de acuerdo a [3], [8],

( )2 1 = 0× −n E E , (1.28)

( )2 1 = 0−n D Di , (1.29)

( )2 1 = 0× −n H H , (1.30)

( )2 1 = 0−n B Bi , (1.31)

1 Hermann Von Helmholtz (1821-1894), físico alemán.

10

donde 1σ y 2σ son finitas, n es el vector normal a la interfase y el sufijo en todos los

casos indica los diferentes medios. La expresiones (1.28) y (1.30) indican que las

componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético, respectivamente, son

continuas en la interfase. A su vez, (1.29) y (1.31) indican, respectivamente, que son

las componentes normales a la interfase de D y B las que deben ser continuas. Estas

relaciones son válidas tanto para campos estáticos como para campos variantes en el

tiempo [5] y su deducción puede ser consultada en [2], [5], [7] (entre otros).

Figura 1.1. Interfase entre dos medios.

I.6.2. Conductor eléctrico perfecto

Un conductor eléctrico perfecto (PEC) se define como un material en el cual no existe

campo eléctrico a ninguna frecuencia [4]. Observando la ley de Faraday (expresión

(1.1)) se puede deducir que en tales materiales tampoco existe campo magnético

variante en el tiempo. En la mayoría de los problemas prácticos en donde la

conductividad es alta (aunque no infinita), la configuración del campo, la longitud de

onda λ y la constante de propagación k , entre otros parámetros, se pueden calcular

con una alta precisión bajo la suposición de una conductividad infinita [5] (suposición

de un material PEC). Partiendo de lo analizado en sección I.6.1, sí se considera al

medio 1 como un PEC ( 1σ = ∞ ), las condiciones de frontera para dicha interfase son,

de acuerdo a [5] (tabla 10-1),

2 = 0×n E , (1.32)

2 = 0n Bi . (1.33)

2 2 2

medio 2, ,µ ε σ

1 1 1

medio 1, ,µ ε σ

n

11

I.7. Guía de onda rectangular metálica

Una guía de onda es una estructura que permite que una onda electromagnética se

propague a través de ésta en una dirección deseada [4].

En la práctica, es común encontrar problemas en los cuales las condiciones de

frontera se satisfacen por campos que no están conformados por todas sus

componentes vectoriales. Con base a esta ausencia (o presencia) de determinadas

componentes del campo, en relación a la dirección de propagación de éste, se puede

clasificar su solución en tres categorías principales [2]:

1. Modo Transversal Electromagnético (TEM ). En el modo TEM los vectores de

los campos eléctrico y magnético son transversales a la dirección de

propagación.

2. Modo Transversal Eléctrico (TE o H ). En el caso del modo TE el vector del

campo eléctrico es transversal a la dirección de propagación.

3. Modo Transversal Magnético (TM o E ). Los modos TM son aquellos en los

que el vector del campo magnético es transversal a la dirección de

propagación.

Figura 1.2. Guía de onda rectangular ( a : ancho, b : grueso).

Considerando una propagación en la dirección x y definiendo los campos eléctrico y

magnético respectivamente como

( )= , ,x y zE E EE , (1.34)

( ) = , ,x y zH H HH , (1.35)

b

z

yx

a

12

una onda TEM implica: 0x xE H= = . Una guía de onda hueca, como la que se

muestra en la Fig. 1.2, no puede propagar una onda TEM. Lo anterior, obedece a que

el rotacional de un campo transversal eléctrico requiere una componente axial del

campo magnético (ecuación (1.9)); de forma similar, el rotacional de un campo

transversal magnético requiere ya sea una corriente axial (la cual no puede existir en

dicha estructura, debido a la ausencia de un conductor axial) o una componente axial

del campo eléctrico (ecuación (1.10)). En resumen, una guía de onda hueca puede

propagar ondas TE y TM, pero no ondas TEM [2]. Para esta misma estructura, el

modo TE implica que la componente x del campo eléctrico sea cero ( 0xE = );

mientras que el modo TM que 0xH = .

Cuando un problema se resuelve al suponer que se propaga una onda TE, éste se

conoce como un problema del plano-H; de forma similar, cuando se supone que la

onda que se propaga es TM, éste se conoce como un problema del plano-E.

I.7.1. Guía de onda de planos paralelos

Una guía de onda de planos paralelos es una de las estructuras más sencillas para el

análisis del campo. Fundamentalmente, ésta se conforma de dos placas conductoras

separadas por un dieléctrico [4]. Se considera que los campos son los mismos a los que

existieran si las placas fueran de un ancho infinito (ver Fig. 1.3), lo que significa que

no se toman en cuenta las variaciones del campo en una dirección transversal.

b

z

yx

a →∞

b

z

yx

z

yx

a →∞

Figura 1.3. Guía de onda de planos paralelos.

13

El objetivo en esta sección es, primeramente, la obtención de la ecuación homogénea

de Helmholtz en dos dimensiones a partir de las ecuaciones de Maxwell y,

posteriormente, su solución analítica dentro de una guía de onda de planos paralelos

para los casos TE y TM. Con base en la geometría de una guía de onda de este tipo,

se utilizan coordenadas rectangulares para su análisis. El método de solución sigue al

que se utiliza en Balanis [3].

I.7.2. Solución analítica de la ecuación de Helmholtz

Se considera una guía de onda de planos paralelos PEC, separados por una distancia

b como la que se presenta en la Fig. 1.4. Esta guía se extiende desde −∞ hasta +∞

en las direcciones x y z . Se asume que el medio dentro de la guía es el espacio libre,

la ausencia de fuentes, que el campo varía de forma armónica con el tiempo y que

éste se propaga en la dirección x+ .

Figura 1.4. Vista lateral de una guía de onda de planos paralelos.

Debido a que la estructura es independiente de z , los campos deben serlo

también, por lo tanto

0z⎧ ⎫∂

=⎨ ⎬∂ ⎩ ⎭

EH

. (1.36)

La expresión (1.36) implica que E y H son únicamente funciones de x y y , esto es,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= , , = , , = , , = , , = , , = , .

x x y y z z

x x y y z z

E E x y E E x y E E x yH H x y H H x y H H x y

(1.37)

14

Se inicia con las ecuaciones de Maxwell correspondientes al rotacional de E y H :

jωµ∇ × = −E H , (1.38)

. jωε∇ × =H E (1.39)

Desarrollando (1.38) y (1.39), para cada una de las componentes de los campos, se

obtiene el conjunto de ecuaciones

yzx

EE j Hy z

ωµ∂∂

− = −∂ ∂

, (1.40)

x zy

E E j Hz x

ωµ∂ ∂− = −

∂ ∂, (1.41)

y xz

E E j Hx y

ωµ∂ ∂

− = −∂ ∂

, (1.42)

, yzx

HH j Ey z

ωε∂∂

− =∂ ∂

(1.43)

, x zy

H H j Ez x

ωε∂ ∂− =

∂ ∂ (1.44)

, y xz

H H j Ex y

ωε∂ ∂

− =∂ ∂

(1.45)

Las expresiones relacionadas a la divergencia del campo ((1.11) y (1.12)) se

expresan respectivamente, en coordenadas rectangulares tomando en cuenta la

ausencia de cargas en el medio ( 0ρ = ), como

0yx zEE Ex y z

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (1.46)

y

0yx zHH Hx y z

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂. (1.47)

15

Aplicando la restricción (1.36), las expresiones (1.40), (1.41), (1.43) y (1.44) se

reducen a

zx

E j Hy

ωµ∂= −

∂, (1.48)

, zy

E j Hx

ωµ∂=

∂ (1.49)

, zx

H j Ey

ωε∂=

∂ (1.50)

.zy

H j Ex

ωε∂= −

∂ (1.51)

Empleando la misma restricción, (1.46) y (1.47) se reescriben como

0yx EEx y

∂∂+ =

∂ ∂ (1.52)

y

0yx HHx y

∂∂+ =

∂ ∂. (1.53)

El conjunto de ecuaciones (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53) es el correspondiente a las

ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en coordenadas rectangulares, cuando se

han aplicado las restricciones referentes a las características eléctricas del medio y la

variación nula de los campos con respecto a la dirección z .

I.7.3. Modo transversal eléctrico

Para que una onda electromagnética se propague en el modo TE es necesario aplicar

en el conjunto de ecuaciones (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53) una restricción que asegure

que el vector del campo eléctrico sea transversal a la dirección de propagación. La

restricción para el modo TE implica que 0zE ≠ y 0x yE E= = . Aplicando lo anterior

a (1.42), (1.48) y (1.49) se obtiene respectivamente

16

0, zH = (1.54)

, zx

EjHyωµ

∂=

∂ (1.55)

.zy

EjHxωµ

∂= −

∂ (1.56)

Se puede observar que las expresiones (1.48) y (1.49) no son afectadas por la

restricción para el modo TE; sin embargo, éstas son reescritas respectivamente como

(1.55) y (1.56) con fines prácticos que se justifican a lo largo del análisis. La

restricción para el modo TE se aplica a (1.45), (1.50) y (1.51), esto es,

, y xz

H H j Ex y

ωε∂ ∂

− =∂ ∂

(1.57)

0, zHy

∂=

∂ (1.58)

0. zHx

∂=

∂ (1.59)

La ecuación del Helmholtz, para la componente zE del campo eléctrico, se obtiene

al sustituir la derivada con respecto a y de (1.55) y la derivada con respecto a x de

(1.56) en (1.57), obteniendo así

2 2

22 2 0z z

zE E k Ex y

∂ ∂+ + =

∂ ∂; (1.60)

donde k también se conoce como constante de propagación para la onda al viajar en

un medio sin fronteras. La solución de (1.60) se obtiene al aplicar la técnica de

separación de variables [9]. Se asume que la solución ( ),zE x y es igual al siguiente

producto:

( ) ( ) ( ),z z zE x y E x E y= , (1.61)

17

donde ( )zE x es la solución de (1.60) cuando zE varía respecto x . De la misma forma

( )zE y es la parte de zE que varía, solamente, con respecto a y . Sustituyendo (1.61)

en (1.60) y dividiendo el resultado por ( ) ( )z zE x E y se tiene

( )

( )( )

( )2 22

2 2

1 1 0z z

z z

E x E yk

E x x E y y∂ ∂

+ + =∂ ∂

, (1.62)

la cual se puede reescribir como

( )

( )( )

( )2 22

2 2

1 1z z

z z

E x E yk

E x x E y y∂ ∂

+ = −∂ ∂

. (1.63)

Analizando (1.63) se puede observar que el primer término de la parte izquierda es

solo función de x , mientras que el segundo es solo función de y ; por lo tanto,

tomando en cuenta que k es una constante, esta ecuación solo se puede satisfacer si

cada uno de los términos de la izquierda es igual a una constante, esto es,

( )

( )22

2

1 zx

z

E xk

E x x∂

= −∂

(1.64)

y

( )

( )22

2

1 zy

z

E yk

E y y∂

= −∂

, (1.65)

donde la condición para que (1.64) y (1.65) satisfagan (1.62) es

2 2 2x yk k k+ = . (1.66)

Las constantes de separación xk y yk se conocen como constantes de propagación en

la dirección x y en la dirección y , respectivamente.

18

Existen distintos tipos de solución que pueden satisfacer (1.64) y (1.65); sin

embargo, el objetivo principal de este análisis no es el de encontrar la solución a una

ecuación diferencial desde el punto de vista puramente matemático, sino el de

encontrar las soluciones a (1.64) y (1.65) que, desde el punto de vista físico, modelen

el comportamiento del campo electromagnético. De acuerdo a Balanis en [3], debido a

que la guía de onda tiene una longitud infinita, la variación del campo en la dirección

x debe representar una onda viajera dada por

( ) 1 1x xjk x jk x

zE x A e B e− += + . (1.67)

La expresión (1.67) representa ondas viajando en ambas direcciones de x , donde

1A y 1B son constantes arbitrarias. El primer exponencial de la parte derecha

representa ondas viajando hacia x+ , mientras que el segundo ondas viajando hacia

x− ([3], [5]). En este trabajo se considera que la fuente se coloca de tal forma que la

propagación es en la dirección x+ , por tanto, 1 0B = y (1.67) se reescribe como

( ) 1xjk x

zE x A e−= . (1.68)

Con respecto a ( )zE y Balanis establece en [3] que, debido a que la guía de onda

se encuentra delimitada en la dirección y , la forma más apropiada para ( )zE y debe

ser

( ) ( ) ( )1 1cos sinz y yE y C k y D k y= + , (1.69)

donde 1C y 1D son constantes arbitrarias. Al sustituir (1.68) y (1.69) en (1.61), se

tiene como resultado

( ) ( ) ( )1 1 1, cos sin xjk xz y yE x y C k y D k y A e−⎡ ⎤= +⎣ ⎦ . (1.70)

19

Hasta este punto del análisis se puede establecer lo siguiente:

• El campo electromagnético, para el modo TE en una guía de onda de planos

paralelos (como la especificada al inicio de esta sección y mostrada en la

Fig. 1.4) se conforma por la componente zE del campo eléctrico y las

componentes xH y yH del campo magnético (ver Fig. 1.5).

• La expresión (1.70) representa la solución de la ecuación de Helmholtz para

ondas que viajan en la dirección x+ y confinadas en y . Sin embargo, esta

solución continúa siendo general y se necesita, entonces, especificar que tipo de

medio es el que confina a la onda en la dirección de la coordenada y , esto es,

las condiciones de frontera en las paredes de la guía de onda.

Figura 1.5. Guía de onda de planos paralelos con componentes del campo para el modo 0TE n .

En base a (1.32), para una guía de onda de planos paralelos como la de la Fig. 1.5, la

condición de frontera necesaria y suficiente consiste en que la componente tangencial

a la frontera del campo eléctrico (en este caso zE ) sea igual a cero en la frontera

PEC.

Por lo tanto, para los planos inferior y superior, se debe cumplir

( ) ( ), 0 , 0z zE x y E x y b−∞ < < +∞ = = −∞ < < +∞ = = . (1.71)

z−∞ < < +∞

b

x−∞ < < +∞

z

yx

( ),zE x y

( ),yH x y

( ),xH x y

a

0 y b≤ ≤

0TE n

20

Evaluando (1.70) en 0y = se obtiene

( ) ( ) ( )1 1 1, 0 cos sin 0xjk xz y yE x y C k y D k y A e−⎡ ⎤= = + =⎣ ⎦ . (1.72)

La única forma (no trivial) de que se satisfaga (1.72) es que 1 0C = . Entonces, fijando

1 0C = , (1.73)

la expresión (1.70) se reduce a

( ) ( )1 1, sin 0xjk xz yE x y D k y A e−⎡ ⎤= =⎣ ⎦ . (1.74)

De forma similar, evaluando (1.74) en y b= se obtiene

( ) ( )1 1, sin 0xjk xz yE x y b D k y A e−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ , (1.75)

donde la única forma de que esta expresión se satisfaga es cuando ( )sin 0yk b = , lo cual

se obtiene para

, 0,1, 2, 3,...ynk nbπ

= = (1.76)

Al sustituir (1.76) en (1.75) se tiene como resultado la solución completa de (1.60),

dada por

( ) 0, sin xjk xz n

nE x y A y ebπ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.77)

donde 0nA es una constante arbitraria definida por ( ) ( )0 1 1nA D A= .

21

Una vez que se encuentra zE , al emplear las ecuaciones de Maxwell, y de forma más

específica a través de (1.55) y (1.56), se encuentra el resto de las componentes del

campo:

( ) 0, cos xjk xx n

j n nH x y A y eb bπ π

ωµ−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.78)

( ) 0, sin . xjk xxy n

k nH x y A y ebπ

ωµ−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.79)

Las expresiones (1.77)-(1.79) son equivalentes a las soluciones del campo presentadas

en Marcuvitz [10] para una guía de onda de planos paralelos en el modo 0TE n . El

sufijo “0n ”, de la misma forma que en dicha referencia, se emplea para definir los

modos en una guía de onda de planos paralelos. El sufijo “0” indica que los campos

no varían con respecto a la coordenada z ; mientras tanto, el parámetro n indica el

número de semiciclos en los que varían zE , xH y yH con respecto a y . En pocas

palabras, cada valor de n representa una configuración diferente del campo (o modo)

dentro de la guía de onda. En resumen, el conjunto de modos TE para una guía de

onda de planos paralelos se denota por 0TE n (con 1, 2, 3...n = ).

Las seis componentes del campo para el modo 01TE ( 0TE n para 1n = ) están

dadas por

( )

( )

( ) 01

, 0,

, 0,

, sin ,x

x

y

jk xz y

b

E x y

E x y

E x y A eπ −

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.80)

( )

( )

( )

01

01

, cos ,

, sin ,

, 0.

x

x

jk xx

jk xxy

z

yb

yb

jH x y A eb

kH x y A e

H x y

π

π

πωµ

ωµ

−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(1.81)

22

Las expresiones (1.77)-(1.79) indican que cuando la constante de propagación xk es

igual a cero no existe propagación de la onda; lo anterior permite establecer un caso

particular de (1.66) como

0 ykx

k k== . (1.82)

Sustituyendo (1.76) en (1.82) se establece

2

0 0c ykx kx

n nk k kb bπ πω µε

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, (1.83)

o simplemente

( )TE

0c yn

nk kbπ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠; (1.84)

donde ck se conoce como número de onda de corte y el superíndice indica el modo

TE. Partiendo de (1.84), recordando que 2 opfω π= , se define a la frecuencia de corte

del modo 0n , para una guía de onda de planos paralelos, como

( )TE

0

12c n

nfbµε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1.85)

Con base en (1.85) y definiendo a la longitud de onda de operación como /op opc fλ = ,

la longitud de onda de corte se escribe como

( )TE

0

2c n

bn

λ = . (1.86)

Los parámetros de corte ((1.84)-(1.86)) establecen, para un modo determinado, una

frontera entre la propagación o la no propagación de una onda a través una guía de

onda. Lo anterior se puede explicar de la siguiente forma:

23

Definiendo la constante de propagación ( )0x nk en términos del número de onda de

corte se tiene,

( ) ( )2 2 2 2 2

0 0 x c x cn n

k k k k k k= − → = ± − . (1.87)

Tomando la raíz positiva, en orden de tener propagación en la dirección x+ , la

constante de propagación se escribe en términos de ( )0c nλ y ( )0c n

f como

( ) ( )( )

2 2

00

0

1 1 c nx n

c n

fk k k

fλλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. (1.88)

Analizando (1.88) se deducen tres posibles casos en función de cf :

a) La frecuencia de operación es superior a la frecuencia de corte ( copf f> ); para

este caso, la constante ( )0x nk es real y al sustituir este valor en (1.77)-(1.79) el

argumento del exponencial continua siendo imaginario por lo tanto las ondas

viajan sin ser atenuadas en el modo 0TE n .

b) La frecuencia de operación es igual a la frecuencia de corte ( op cf f= ); este caso

da como resultado ( )00x n

k = y, aplicando esto en (1.77)-(1.79), se obtienen

ondas estacionarias (no existe propagación).

c) La frecuencia de operación es menor a la frecuencia de corte ( copf f< ); en este

último caso el parámetro ( )0x nk es un número imaginario. Al sustituir este

valor en el exponencial de (1.77)-(1.79) el argumento se convierte en real

negativo, lo cual da como resultado ondas evanescentes. Los campos

evanescentes son campos que decaen exponencialmente y carecen de potencia

real [3].

24

La aparición de los modos en una guía de onda de planos paralelos (con 4 cmb = ) se

muestra en la Fig. 1.6 en función de la frecuencia de operación.

Figura 1.6. Aparición de modos TE en una guía de onda de planos paralelos con 4 cmb = .

Otro parámetro que depende de la dimensión de la sección transversal de la guía de

onda es la longitud de onda en la guía ( gλ ), dada para el modo 0n , según [3], por

( ) ( )( )

00 2

01

opg x nn

c n

op

ff

λλ λ= =

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1.89)

Analizando (1.89) se puede deducir que, para un modo determinado, a frecuencias de

operación mucho más altas que la frecuencia de corte ( )0g opn

λ λ≈ . A su vez, a medida

que la frecuencia de operación se aproxime a la frecuencia de corte ( ( )0op c nf f→ ) la

longitud de onda en la guía tenderá a infinito ( ( )0g n

λ → ∞ ).

I.7.4. Modo fundamental

El modo fundamental en una guía de onda determinada se define como aquel cuya

frecuencia de corte es la más baja [8]. En el caso de una guía de onda de planos

paralelos el modo fundamental es el 01TE y su frecuencia de corte se define como

( )01

12cf b µε

= . (1.90)

(GHz)opf0 3.75 7.5 11.25 15

01TE 02TE 03TE 04TE

25

El ancho de banda ( BW ) para el modo 01TE se obtiene a través de

( ) ( ) ( )01 02 01BW c cf f= − . (1.91)

La expresión (1.91) indica el ancho de la banda de frecuencias en la cual solo se

transmite el modo fundamental. En la gran mayoría de los casos, las guías de onda

empleadas en la práctica están restringidas a operar en el modo fundamental debido a

las dificultades de acoplamiento que surgen cuando más de un modo es transmitido a

través de ésta [2].

I.7.5. Gráficas de solución analítica para el modo 01TE

Se presentan las gráficas de la distribución de las componentes del campo, en una

guía de onda de planos paralelos, para una frecuencia determinada dentro del modo

01TE . Se considera una guía de onda de planos paralelos con 4 cmb = y 1r rµ ε= = .

Las frecuencias de corte para los modos 01TE y 02TE , calculadas a partir de (1.85),

están dadas respectivamente por ( )013.75 GHzcf = y ( )02

7.5 GHzcf = . Las figuras

1.7-1.9 muestran las gráficas de las soluciones analíticas (1.77)-(1.79) para una

frecuencia de operación de 6.32 GHzopf = ( 5.90 cmgλ ≈ ).

Figura 1.7. Parte real de la componente zE (expresión (1.77)) para el modo 01TE .

26

Figura 1.8. Parte real de la componente xH (expresión (1.78)) para el modo 01TE .

Figura 1.9. Parte real de la componente yH (expresión (1.79)) para el modo 01TE .

I.7.6. Modo transversal magnético

Con el fin de obtener la ecuación de Helmholtz para el modo TM en una guía como la

mostrada en la Fig. 1.4, se necesita realizar un procedimiento similar al seguido en el

caso TE. Primeramente se debe asegurar que el campo magnético sea transversal a la

dirección de propagación, por lo tanto, se fija la restricción para el modo TM como

0zH ≠ y 0x yH H= = . Aplicando la anterior restricción a (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53)

se obtiene

0, zEy

∂=

∂ (1.92)

0, zEx

∂=

∂ (1.93)

27

, y xz

E E j Hx y

ωµ∂ ∂

− = −∂ ∂

(1.94)

,zx

HjEyωε

∂= −

∂ (1.95)

,zy

HjExωε

∂=

∂ (1.96)

0. zE = (1.97)

Del conjunto de ecuaciones (1.92)-(1.97) se puede observar que el campo para el

caso TM se conforma por la componente zH del campo magnético y las componentes

xE y yE del campo eléctrico (ver Fig. 1.10).

Figura 1.10. Guía de Onda de Planos Paralelos con componentes del campo para el modo 0TM n .

La ecuación de Helmholtz para zH en el caso TM (obtenida al sustituir la

derivada de (1.95) con respecto a y y la derivada de (1.96) con respecto a x en

(1.94)) está dada por

2 2

22 2 0z z

zH H k Hx y

∂ ∂+ + =

∂ ∂. (1.98)

La solución a esta ecuación es

( ) ( ) ( )2 2 2, cos sin xjk xz y yH x y C k y D k y A e−⎡ ⎤= +⎣ ⎦ . (1.99)

z−∞ < < +∞

b

x−∞ < < +∞

z

yx

( ),zH x y

( ),yE x y

( ),xE x y

a

0 y b≤ ≤

0TM n

28

La expresión (1.98) se soluciona de la misma forma que en el caso TE : utilizando la

técnica de separación de variables y empleando los mismos criterios en la elección del

tipo de solución (una onda confinada en la coordenada y y una onda viajera en la

dirección x+ ).

La condición de frontera PEC indica que la componente tangencial a la frontera

del campo eléctrico es cero, esto es,

( ) ( ), 0 , 0x xE x y E x y b−∞ < < +∞ = = −∞ < < +∞ = = . (1.100)

A través de (1.95) y (1.99) se obtiene

( ) ( ) ( )2 2 2, sin cos xy jk xx y y

jkE x y C k y D k y A e

ωε−⎡ ⎤= −⎣ ⎦ . (1.101)

Evaluando (1.101) en 0y =

( ) ( ) ( )2 2 2, 0 sin cos 0xy jk xx y y

jkE x y C k y D k y A e

ωε−⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦ . (1.102)

La única forma, no trivial, en que se pueda satisfacer (1.102) es definiendo

2 0D = . (1.103)

Aplicando (1.103) a (1.101), ésta se reduce a

( ) ( )2 2, sin xy jk xx y

jkE x y C k y A e

ωε−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . (1.104)

Evaluando (1.104) en y b= se obtiene

29

( ) ( )2 2, sin 0xy jk xx y

jkE x y b C k y A e

ωε−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ . (1.105)

Esta última expresión solo se puede satisfacer cuando yk se define como

0,1,2,...ynk nbπ

= = (1.106)

Aplicando (1.103) y (1.106) a (1.99) y (1.101), y obteniendo yE a partir de (1.96), las

componentes que conforman el campo en el modo 0TM n se pueden escribir como

( )

( )

( )

0

0

, sin ,

, cos ,

, 0,

x

x

jk xx n

jk xxy n

z

j n nE x y B y eb b

k nE x y B y eb

E x y

π πωε

πωε

−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(1.107)

( )

( )

( ) 0

, 0,

, 0,

, cos ; x

x

y

jk xz n

H x y

H x y

nH x y B y ebπ −

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.108)

donde 0 2 2nB C A= es una constante arbitraria. Las expresiones (1.107) representan las

componentes correspondientes al campo eléctrico, mientras que (1.108) las del campo

magnético. Estas soluciones concuerdan con las presentadas en Marcuvitz [10].

Para el caso TM, de acuerdo a [4], [10], los parámetros ck , cf y cλ están dados

por las mismas expresiones que para el caso TE, esto es

( )TM

c ynk kbπ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.109)

30

( )TM

0

12c n

nfbµε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (1.110)

( )TM

0

2c n

bn

λ = , (1.111)

por lo tanto, la frecuencia de corte del modo 01TM es exactamente la misma a la del

modo 01TE , esto es, ( ) ( )TM TE

01 01c cf f= .

I.7.7. Gráficas de solución analítica para el modo 01TM

Se presentan las gráficas de la distribución de las componentes del campo, en una

guía de onda de planos paralelos, para una frecuencia determinada dentro del modo

01TM . Se considera la misma guía de onda que en la sección I.7.5 ( 4 cmb = y

1r rµ ε= = ), donde de acuerdo a (1.110) las frecuencias de corte para los modos 01TM

y 02TM , están dadas respectivamente por ( )013.75 GHzcf = y ( )02

7.5 GHzcf = .

Las figuras 1.11-1.13 muestran, respectivamente, las gráficas de las soluciones

analíticas de xE , yE y zH (de (1.107) y (1.108)) para una frecuencia de operación de

6.32 GHzopf = ( 5.90 cmgλ ≈ ).

Figura 1.11. Parte real de la componente xE (en (1.107)) para el modo 01TM .

31

Figura 1.12. Parte real de la componente yE (en (1.107)) para el modo 01TM .

Figura 1.13. Parte real de la componente zH (en (1.108)) para el modo 01TM .

32

Capítulo II

Método de elemento finito en dos dimensiones

En el capítulo I se presenta una introducción general a los conceptos de teoría

electromagnética necesarios en el entendimiento del problema de la propagación del

campo en guías de onda. La ecuación de Helmholtz en una guía de onda tiene

solución analítica, entre otros posibles casos, para dominios rectangulares homogéneos

con paredes PEC (tal como se muestra en el capítulo anterior). Sin embargo, los

problemas con geometrías complicadas y/o medios no homogéneos frecuentemente

carecen de solución analítica, o en su defecto, la obtención de dicha solución es

complicada y, por lo tanto, de poco interés práctico.

Gracias al desarrollo que las computadoras personales han tenido en la segunda

mitad del siglo XX y al inicio del siglo XXI, el empleo de métodos numéricos en la

solución de este tipo de problemas se ha convertido en una de las herramientas más

importantes en el campo de electromagnetismo aplicado [16].

El método de elemento finito es una técnica numérica utilizada en la obtención

aproximada de la solución a problemas de valores en la frontera [15]. En términos

generales, FEM consiste en discretizar el dominio de solución en un número finito de

subdominios conocidos como elementos. Dichos elementos se definen por puntos

conocidos como nodos cuyo ensamble se conoce como malla. La solución en cada uno

de estos subdominios se aproxima por un polinomio y, posteriormente, la solución

completa del sistema se obtiene al ensamblar las soluciones individuales de cada uno

de los elementos.

33

El desarrollo del método se le acredita a Courant [18] (propuesto en 1943) [16],

[17], [28]. Por otra parte, de acuerdo a [28], el primer libro dedicado completamente a

FEM es Zienkiewicz-Cheung [26] (publicado en 1967); dicho texto se enfoca

principalmente al área de análisis estructural. Dos de las primeras aplicaciones de

FEM al área de electromagnetismo son S. Ahmed [20] (en [19]) publicado en 1968 y

P. P. Silvester [21] en 1969. En su documento de 1969 Silvester, entre otras cosas,

aplica el método a la obtención de modos de propagación de órdenes superiores en

guías de onda huecas homogéneas y hace una comparación con el método de

diferencias finitas.

Existen dos formulaciones generales de FEM [15], [22], [23], [27]: FEM de

Rayleigh-Ritz, relacionado con métodos variacionales, y FEM de Galerkin (empleado

en este trabajo), el cual es una variante de los métodos de residuos ponderados en

donde la función de ponderación es igual a la función de prueba [15], [28]. Otra

clasificación importante de FEM, tal como se explica en [15], se divide en: FEM de

elementos vectoriales (donde la solución del problema se encuentra en los lados de los

elementos) y FEM basado en nodos (donde la solución del problema se encuentra en

los nodos de la malla). El método de elemento finito en dos dimensiones se puede

utilizar para estudiar el comportamiento del campo en guías de onda de planos

paralelos.

En este capítulo se presenta la formulación de FEM de Galerkin basado en nodos

para dos dimensiones a partir de la solución de la ecuación de Helmholtz en una guía

de onda de planos paralelos homogénea.

A partir de este punto se entiende de forma indistinta, a menos que se indique lo

contrario, a:

• “guía de onda” y “guía de onda de planos paralelos homogénea”,

• “FEM” y “FEM de Galerkin basado en nodos”.

34

II.1. Solución numérica de la ecuación de

Helmholtz

El análisis de un problema de electromagnetismo utilizando FEM se compone por los

siguientes pasos básicos [15], [17]:

1. Discretización o subdivisión del dominio,

2. Selección de las funciones de prueba o interpolación,

3. Formulación del sistema de ecuaciones,

4. Solución del sistema de ecuaciones.

Se considera una guía de onda de planos paralelos homogénea de dos puertos como la

que se muestra en la Fig. 2.1.

Figura 2.1. Guía de onda de planos paralelos de dos puertos con fronteras virtuales 1Γ y 2Γ .

La región de solución bidimensional Ω está limitada en la coordenada y por una

frontera PEC mΓ ; al mismo tiempo, el dominio es acotado en x por las fronteras

virtuales 1Γ y 2Γ , las cuales corresponden, respectivamente, al puerto 1 (entrada) y

al puerto 2 (salida). El medio dentro de la guía de onda es el espacio libre. En dicho

dominio se resolverá la ecuación homogénea de Helmholtz

2 2

22 2 0, en , U U k U

x y∂ ∂

+ + = Ω∂ ∂

(2.1)

donde U (igual a zE para el caso TE o a zH para el TM) debe satisfacer las

siguientes condiciones de frontera:

35

1. Frontera PEC:

a) para el caso TE se debe satisfacer la condición de frontera de Dirichlet-

PEC

m0, en ΓE = , (2.2)

b) para el caso TM se debe satisfacer la condición de frontera de Neumann-

PEC

m0, en ∂Γ

∂H =n

, (2.3)

donde n es la dirección normal a la pared PEC.

2. Fronteras virtuales. Las fronteras virtuales simulan, en un dominio

computacional finito, la extensión teórica hacia infinito del dominio físico. Sí la

frontera virtual se localiza a una distancia de por lo menos una longitud de

onda de la discontinuidad más cercana, el campo se puede expresar, de

acuerdo a [15], de la siguiente forma:

a) En la entrada (frontera virtual 1Γ ), el campo se expresa como la suma de

las ondas incidente y reflejada. Para la estructura de la Fig. 2.1 esto es

0 0inc ref x xjk jkx xU U U U e RU e−= + = + , (2.4)

donde 0U representa la amplitud de la onda y el término xjk xe indica la

asunción que la variación de U con respecto a la dirección de propagación,

en 1Γ , es la de una onda viajera.

b) En la salida (frontera virtual 2Γ ), el campo se expresa como la onda

transmitida. Para la estructura de la Fig. 2.1 esto es

0trans xjk xU U TU e−= = , (2.5)

36

Los parámetros R y T denotan, respectivamente, los coeficientes de reflexión

y transmisión, mientras que la constante de propagación se define, a partir de

(1.66), por 2 2x yk k k= − . La constante de propagación se determina en función

a la dirección en la que se propaga la onda. Para la guía de onda de la

Fig. 2.1 dicha constante se expresa por xk tanto para 1Γ como para 2Γ (ya

que en ambas fronteras la onda se propaga de forma paralela al eje x ).

La condición para las fronteras virtuales que establece Jin en [15] es

presentada para un caso particular en donde existe una discontinuidad dentro

de la guía de onda. Sin embargo, en estructuras sin discontinuidades como en

la Fig. 2.1, esta condición también es efectiva para los valores teóricos de

0R = y 1T = . En tal caso se establecen puntos de referencia AB y CD (ver

Fig. 2.1), a una distancia de por lo menos una longitud de onda de las

fronteras de entrada y salida, respectivamente.

dΓ

+−

−Ω +Ω

dΓ

+−

−Ω +Ω

Figura 2.2. Dominio bidimensional con interfase dΓ .

3. Discontinuidad en una Interfase. En casos donde existan cambios bruscos en

las propiedades eléctricas de la región de solución y no exista una fuente de

corriente superficial de ningún tipo en la interfase (lo que se representa en la

Fig. 2.2), se necesita que U satisfaga las siguientes condiciones de continuidad

[15]:

, en ,dU U− += Γ (2.6)

y

37

, en ,dx y x yU U U Ux y x y

α α α α− − + +

− − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = + Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y n x y ni i (2.7)

donde dΓ denota la interfase de la discontinuidad, n es el vector unitario

normal a la interfase y los superíndices “+ ” y “− ” indican uno de los dos

extremos del dominio mostrado en Fig. 2.2. La información referente a las

propiedades eléctricas de ambos lados de la interfase se encuentra contenida en

los parámetros xα y yα .

(a) (b)

Figura 2.3. (a) Dominio bidimensional discretizado en 8 elementos triangulares ((1), (2)-(8)), con 9

nodos (1,2-9) y (b) Comparación entre numeración local y global.

II.2. Discretización del dominio

La figura 2.3 muestra un dominio bidimensional discretizado en elementos

triangulares basados en nodos. La numeración global de los nodos del sistema, así

como el número asignado a cada elemento se presentan en la figura 2.3(a). En la

figura 2.3(b) se puede observar una comparación entre las numeraciones local y global

para un dominio discretizado en elementos triangulares. En dicha figura se muestra

como el nodo global 5 es el nodo local 3 del elemento (1) y el nodo local 1 del

elemento (8). Una de las principales ventajas de los elementos triangulares, sobre los

x

y

( )1 ( )2

( )3 ( )4

( )7 ( )8

( )5 ( )6

1

4 6

7

5

32

8 9

x

y

( )1

( )8

( ) ( )( )( )

1 11 1

1 1

,

,

x y

x y

( ) ( )( )( )

8 81 1

5 5

,

,

x y

x y

⎧⎪⎨⎪⎩

( ) ( )( )( )

8 82 2

9 9

,

,

x y

x y

local

global

( ) ( )( )( )

1 13 3

5 5

,

,

x y

x y

⎫⎪⎬⎪⎭

( ) ( )( )( )

1 12 2

2 2

,

,

x y

x y

( ) ( )( )( )

8 83 3

8 8

,

,

x y

x y

local

global

38

rectangulares o cuadrados, es que estos pueden generar mallas más precisas en

superficies irregulares.

(a) (b) (c)

Figura 2.4. Elemento triangular: (a) lineal, (b) cuadrático y (c) cúbico [22].

II.3. Selección de las funciones de interpolación

La solución dentro de un elemento triangular se puede aproximar por polinomios de

distinto orden; cada uno dando como resultado un tipo de solución respectiva al

polinomio empleado. La figura 2.4 muestra una aproximación de algunos tipos de

soluciones obtenidas con distintos polinomios. La solución dentro de un elemento

triangular cuadrático (ver Fig. 2.4(b)) se aproxima a través de un polinomio de 2do

orden, requiriéndose 6 nodos por cada elemento para su cálculo. De forma similar, con

el propósito de evaluar la función de interpolación de 3er orden relacionada al

elemento triangular cúbico mostrado en Fig. 2.4(c), se necesita utilizar 9 nodos por

elemento.

Para un número de elementos determinado, los elementos de orden mayor proveen

soluciones más precisas que sus contrapartes de primer orden; sin embargo, esto

implica un mayor costo computacional y códigos más complejos. En este estudio se

utilizan elementos triangulares lineales.

Algunos de los parámetros para la descripción de un elemento, de acuerdo a [22], son:

• La forma del elemento (en este caso triangular, mostrado en la Fig. 2.5).

• Las coordenadas de sus nodos.

• El número de incógnitas (o grados de libertad). El elemento que se presenta en

la Fig. 2.5 tiene tres nodos, y por lo tanto, tres incógnitas.

6 nodos3 nodos 9 nodos

Lineal Cuadrático Cúbico

39

• La variable nodal (U a través de esta explicación, la cual puede representar

zE o zH según sea el caso).

• El polinomio que aproxima la solución dentro del elemento. La solución dentro

del elemento mostrado en la Fig. 2.5 se aproxima por la función de

interpolación de primer orden [15], [22], [23]

( , )e e e eU x y a b x c y= + + , (2.8)

en donde ea , eb y ec son coeficientes constantes desconocidos a ser

determinados, e es el número del elemento dentro del cual se aproxima la

solución.

Al evaluar (2.8) en cada uno de los nodos del elemento que se muestra en la Fig. 2.5

se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

11 1 1 1

22 2 2 2

33 3 3 3

( , ) ,

( , ) ,

( , ) ,

e ee e e e e e e

e ee e e e e e e

e ee e e e e e e

U x y a b x c y U

U x y a b x c y U

U x y a b x c y U

= + + =

= + + =

= + + =

(2.9)

donde 1e

U , 2e

U y 3e

U son las soluciones en cada uno de los nodos del triangulo. El

sistema (2.9) se escribe en forma matricial como

1

1 1

2 2 2

3 33

111

ee e e

e e e e

e e ee

U x y aU x y b

x y cU

⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

. (2.10)

40

Posteriormente, los coeficientes constantes se pueden determinar a partir de

1 11 1

22 2

3 3 3

111

ee e e

ee e e

e e e e

Ua x yb x y Uc x y U

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

, (2.11)

lo que resulta en

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 32 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 32 3 3 1 1 2

1 2 33 2 1 3 2 1

1 ,2

1 , 2

1 , 2

e e ee e e e e e e e e e e e ee

e e ee e e e e e ee

e e ee e e e e e ee

a U x y x y U x y x y U x y x yA

b U y y U y y U y yA

c U x x U x x U x xA

= − + − + −

= − + − + −

= − + − + −

(2.12)

Figura 2.5. Elemento triangular lineal con numeración local.

donde eA es el área del elemento e y se define por la fórmula para la obtención del

área de un triangulo con vértices en ( )1 1,e ex y , ( )2 2,e ex y y ( )3 3,e ex y [29],

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 1 3 1 2 11 2

e e e e e e e e eA x x y y x x y y⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠. (2.13)

Finalmente, la solución dentro del elemento e en términos de las soluciones en los

nodos se obtiene al sustituir (2.12) en (2.8) y está dada por

( )3

1

,e ee

jjj

U x y N U=

= ∑ . (2.14)

1 1( , )e ex y 2e

U

2 2( , )e ex y

3 3( , )e ex y3e

U

1e

UeΓ

eΩ

y

x

12

3

41

nodo 2

N e1

nodo 3

nodo 11

0

N e2

0

1

nodo 1

nodo 2

nodo 3

(a) (b)

N e3

1

0

nodo 1

nodo 2

nodo 3

nodo 2 nodo 3

nodo 1

(c) (d)

Figura 2.6. Funciones forma para un elemento triangular lineal: (a) 1eN , (b) 2

eN , (c) 3eN y (d) vista

superior del elemento.

Donde las funcione forma 1eN , 2

eN y 3eN (mostradas en la Fig. 2.6) se definen por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 3 2 2 3 3 2

2 3 1 1 3 3 1 1 3

3 1 2 2 1 1 2 2 1

1, ,2

1, ,2

1, .2

e e e e e e e e ee

e e e e e e e e ee

e e e e e e e e ee

N x y x y x y y y x x x yA



= − + − + −

= − + − + −

= − + − + −

(2.15)

Las funciones forma tienen dos propiedades importantes [23]:

1. El valor de la función en los nodos del elemento e se da por

1 ,( , ) , 1, 2,3

0 ,e e ej i i

i jN x y i j

i j=⎧

= =⎨ ≠⎩. (2.16)

42

2. La suma de las funciones forma es igual a la unidad, esto es,

3

1

( , ) 1ej

j

N x y=

=∑ . (2.17)

II.4. Formulación del sistema de ecuaciones

Una vez que se han seleccionado las funciones de interpolación, se deduce el sistema

de ecuaciones a través del cual se obtiene la solución numérica del problema.

II.4.1. Deducción de las matrices locales de elemento finito

El residuo para la ecuación diferencial (2.1) se define por

( )2 2

22 2,

e eee U Ur x y k U

x y∂ ∂

= + +∂ ∂

. (2.18)

Empleando el método de Galerkin, donde la función de ponderación es igual a la

función de prueba (ver [15], [23], [27], entre otros), se establece la expresión

correspondiente a la integral del residuo ponderado para el elemento e como

, 1, 2, 3.e e ei iR N r d i

Ω= Ω =∫ ∫ (2.19)

Al sustituir (2.18) en (2.19) se obtiene

2 2

22 2 , 1, 2,3

e

e eee e e

i iU UR N k U d ix yΩ

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= + + Ω =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ . (2.20)

La formulación débil de (2.20), cuya deducción puede consultarse en el apéndice B, se

escribe como

43

2

, 1, 2,3,

e e

e

e ee e ee e e ei ii i

e eee e

i

N NU UR d k N U dx x y y

U UN d ix y

Ω Ω

Γ

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎜ ⎟= − + Ω + Ω⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ + Γ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ x y ni

(2.21)

donde x y y son vectores unitarios en la dirección x y y respectivamente, y e

n es

un vector unitario normal a la línea de integración, esto es, normal a la frontera eΓ

del elemento e .

Con el propósito de completar la expresión que denota la integral del residuo

ponderado del elemento e se sustituye (2.14) en (2.21); lo anterior arroja como

resultado

3 32

1 1

, 1, 2, 3.

e e

e

e ee ee ej je e e e ei ij ji i j

j j

e eee e

i

N NN NR U d k U N N dx x y y

U UN d ix y

Ω Ω= =

Γ

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂= − + Ω + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ + Γ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∫ x y ni

(2.22)

Al definir

1 2 3, , , Te e e e

U U U U= (2.23)

, ,e

e ee ej je ei i

i j

N NN NK dx x y yΩ

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂= − − Ω⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ (2.24)

, , e

e e e ei j i jM N N d

Ω= Ω∫ ∫ (2.25)

,e

e eee e e

i iU Ug N dx yΓ

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= + Γ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ x y ni (2.26)

la expresión (2.22) se escribe en forma matricial como

2e ee e e eR K U k M U g⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.27)

44

El residuo y las matrices y vectores locales de coeficientes para el elemento e

(expresión (2.27)) se conforman, a partir de (2.24)-(2.26), como

1 1,1 1,2 1,3

2 2,1 2,2 2,3

3 3,1 3,2 3,3

1,1 1,2 1,3 1

2,1 2,2 2,3 2

3,1 3,2 3,3 3

, ,

, .

e e e e

e e e e e e

e e e e

e e e e

e e e e e e

e e e e

R K K KR R K K K K

R K K K

M M M gM M M M g g

M M M g

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤ = = ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(2.28)

Las matrices eK⎡ ⎤⎣ ⎦ y eM⎡ ⎤⎣ ⎦ (presentadas en las referencias [15], [17], [23]) están

dadas por

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

11 3 2 2 3

12 3 2 1 3 2 3 3 1

13 3 2 2 1 2 3 1 2

2 2

22 1 3 3 1

23 1 3 2 1 3 1 1 2

1 ,4

1 ,4

1 ,4

1 ,4

14

e e e e ee

e e e e e e e e ee

e e e e e e e e ee

e e e e ee

e e e e e e e e ee

K x x y yA

K x x x x y y y yA

K x x x x y y y yA

K x x y yA

K x x x x y y y yA

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 2

33 2 1 1 2

31 13 21 12 32 23

,

1 , 4

, , ,

e e e e ee

e e e e e e

K x x y yA

K K K K K K

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦= = =

(2.29)

y

2 1 11 2 1

121 1 2

ee AM

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (2.30)

Con fines de simplificación se define la matriz eI⎡ ⎤⎣ ⎦ como

2e e eI K k M⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.31)

45

II.4.2. Deducción de las matrices de la frontera virtual

Se considera la guía de onda de planos paralelos de la Fig. 2.1; cuyo dominio se

discretiza en elementos triangulares lineales tal como se presenta en la Fig. 2.7. En

esta figura se muestra como en los nodos donde se intersecan una frontera virtual y

una frontera PEC no se aplica la condición para frontera virtual; lo anterior obedece

a que en dichos nodos el valor predeterminado de la solución (a causa de mΓ ) es el

que predomina [15].

( )1 1,e ex y

( )3 3,e ex y

( )2 2,e ex y

eΓe1Γ e b

mΓ

mΓx

y

( )1 1,e ex y

( )3 3,e ex y

( )2 2,e ex y

eΓe

( )1 1,e ex y

( )3 3,e ex y

( )2 2,e ex y

eΓe1Γ e b

mΓ

mΓx

y

1Γ e b

mΓ

mΓx

y

(a) (b)

2Γb e

mΓ

mΓ

x

y ( )1 1,e ex y

( )3 3,e ex y ( )2 2,e ex yeΓe

2Γb e

mΓ

mΓ

x

y

2Γb e

mΓ

mΓ

x

y

x

y ( )1 1,e ex y

( )3 3,e ex y ( )2 2,e ex yeΓe

(c) (d)

Figura 2.7. Guía de onda de planos paralelos discretizada en elementos triangulares: (a) Elemento e

con 1 3 1e ey y ∩ Γ , (b) Frontera virtual 1Γ , (c) Frontera virtual 2Γ y (d) Elemento e con 1 2 2

e ey y ∩ Γ .

46

Sustituyendo la condición (2.4) en (2.26) para el elemento e cuyo lado 1 3e ey y se

encuentra en la frontera 1Γ se obtiene:

1

2 1 3 1

3

, para ,

e

e e e e

e

ee

e

NUg N d y yx

N

⎧ ⎫ ⎛ ⎞∂⎪ ⎪ ⎜ ⎟= Γ ∩ Γ⎨ ⎬⎜ ⎟∂⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎭Γ∫ (2.32)

donde

0 0

0 1

,

2 , en ,

x x

x

jk x jk xx x

jk xx x

U jk U e jk RU ex

jk U jk U e

−

−

∂= − +

∂= − Γ

(2.33)

y entonces, fijando que en 1Γ 0x = y aplicando ( ) ( )2 1 1 2 3 3, , 0e e e e e eN x y N x y= = , (2.32) se

replantea como

1

1 1

21 3

3 3 3

1

0 1 3 1

33

1

0 0

2 0 , para ,

eee

ee e ex

ee e

e

e ex

e

y

y

y

y

UNg jk N N U dy

N U

Njk U dy y y

N

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪− ∩ Γ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫ (2.34)

donde la solución de e

U en los nodos del elemento e se denota por 1 2 3, ,Te e e

U U U .

Debido a que el nodo 2 no participa en esta operación se puede observar con el

auxilio de la Fig. 2.7(a), que la integral cerrada se convierte en una integral abierta

desde 3ey hasta 1

ey . La primera parte del lado derecho de (2.34) es un caso particular

de (2.25), mientras que la segunda parte es una integral no complicada. Resolviendo

(2.34) se tiene como resultado

47

( )

( )

1

1 32

3

1 30 1 3 1

2 0 10 0 0

61 0 2

1 2 0 , para .

21

e

e ee

xe

e ex

e

e e

Uy y

g jk U

U

y yjk U y y

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫− ⎪ ⎪− ∩ Γ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.35)

Durante el proceso de ensamblado, la primera parte del lado derecho de (2.35) se

suma a la matriz eI⎡ ⎤⎣ ⎦ del elemento e , lo que resulta en

( )1 31 3 1

2 0 10 0 0 , para

61 0 2

e ee e e eb x

y yI I jk y y

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ∩ Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (2.36)

donde ebI⎡ ⎤⎣ ⎦ es la matriz eI⎡ ⎤⎣ ⎦ para el elemento e cuyo lado 1 3

e ey y se encuentra en la

frontera 1Γ . De forma similar, se define el vector

( )1 30 1 3 1

12 0 , para .

21

e e eb x

e ey yg jk U y y

⎧ ⎫− ⎪ ⎪= − ∩ Γ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.37)

Siguiendo un procedimiento similar, tomando en cuenta que a partir de (2.5)

2, en ,xU jk Ux

∂= − Γ

∂ (2.38)

se deduce el valor del vector eg , para el elemento e cuyo lado 1 2e ey y se encuentra

en la frontera 2Γ (ver Fig. 2.7(c)), como

( )1

2 12 1 2 2

3

2 1 01 2 0 , .

60 0 0

e ee e eb x

e

e

e

Uy y

g jk U y y

U

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎢ ⎥= − ∩ Γ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.39)

48

Las expresiones (2.35) y (2.39) se aplican exactamente igual tanto para el caso TE

con zU E= , como para el TM con zU H= .

II.4.3. Ensamblado del sistema de ecuaciones

Con la finalidad de explicar el proceso de ensamblado, se considera un dominio

demostrativo con valores predeterminados en la frontera (ver Fig. 2.8). Este dominio

cuadrilateral Ω se discretiza en cuatro subdominios triangulares lineales ( eΩ , con

1, 2,3, 4e = ).

Figura 2.8. Dominio bidimensional discretizado en cuatro elementos triangulares ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 , 4 ,

con cinco nodos 1, 2, ..., 5 .

En el caso de dominios bidimensionales no existe una regla general en la

numeración global de los nodos que constituyen la región de solución discreta. La

numeración local, por su parte, debe seguir el mismo orden en cada elemento; esto es,

el sentido de las manecillas del reloj o el sentido contrario a las manecillas del reloj.

En esta explicación se utiliza la numeración global que se presenta en la Fig. 2.8.

A su vez, como lo indican las flechas en dicha figura y la información en la Tabla 2.1,

cada elemento se enumera localmente en el sentido contrario a las manecillas del

reloj. El sentido en el que se numeran los elementos localmente indica la dirección en

la cual se realiza la integral cerrada de línea (2.26) alrededor de la frontera eΓ del

elemento e .

1U 2U

4U

( )4A( )1A

( )2A

( )3A

( )1

( )2( )3( )4

3

5

y

x

3U

21

4

5U

49

Tabla 2.1. Relación entre nodos globales y nodos locales en el dominio mostrado en la Fig. 2.8.

Elemento Nodo local Nodo global

1 1 1 2 2 3 5 1 2 2 2 3 3 5 1 3 3 2 4 3 5 1 4 4 2 1 3 5

A partir de (2.31) se redefine (2.27) como

ee e eR I U g⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , (2.40)

con

ng1 ng1,ng1 ng1,ng2 ng1,ng3



ng1ng1

ng2 ng2

ng3ng3

, ,

, ,

e e e e

e e e e e e

e e e e

ee

e e e e

ee

R I I IR R I I I I

R I I I

U gU U g g

gU

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.41)

donde el subíndice ngi , con 1, 2,3i = ., indica el nodo global que le corresponde al

nodo local i del elemento e . Por ejemplo, la numeración local-ng para ( ) 4R es:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

4 4ng1 4

4 4 4ng2 1

4 4ng3 5

R R

R R R

R R

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

50

Desde el punto de vista local, utilizando la información de un solo elemento, no es

posible determinar el residuo en cada nodo; esto es, para el nodo 1: ( )11 ?R = y ( )4

1 ?R = .

Sin embargo, de acuerdo a la teoría del método de residuos ponderados (ver [15], [23])

1 0R = ; por lo tanto, como ambos residuos están relacionados al nodo 1 se debe

cumplir ( ) ( )1 41 1 0R R+ = . Desarrollando ( )1

1R y ( )41R se obtiene respectivamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 11 2 51 1,1 1,2 1,5 1

4 4 4 4 41 4 51 1,1 1,4 1,5 1

R I U I U I U g

R I U I U I U g

= + + +

= + + +

realizando la suma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 2 4 51 1 1,1 1,1 1,2 1,4 1,5 1,5 1 1 0R R I I U I U I U I I U g g+ = + + + + + + + = (2.42)

La expresión (2.42) (una ecuación con cuatro incógnitas) incluye la solución en cada

uno de los nodos involucrados en los elementos 1 y 4. Al desarrollar la expresión del

residuo en cada uno de los cinco nodos, se puede conformar un sistema de cinco

ecuaciones con cinco incógnitas.

Con base en la información de la Tabla 2.1, el residuo ponderado R se puede

definir como

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 41 11

1 22 222 3

3 3 3

3 34 4 4

1 2 3 455 5 5 5

numeración numeración -ng

00

.000

global local

R RRR RR

R R R RR R RR R R R R

⎧ ⎫+⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =+⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ + + +⎩ ⎭

(2.43)

51

Con el propósito de construir (2.43), se desarrolla (2.40) para los cuatro elementos

que conforman el dominio de la Fig. 2.8 de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 11 2 51 1,1 1,2 1,5 1

1 1 1 1 11 2 52 2,1 2,2 2,5 2

1 1 1 1 11 2 55 5,1 5,2 5,5 5

R I U I U I U g

R I U I U I U g

R I U I U I U g

= + + +

= + + +

= + + +

, para 1e = , (2.44)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 22 3 52 2,2 2,3 2,5 2

2 2 2 2 22 3 53 3,2 3,3 3,5 3

2 2 2 2 22 3 55 5,2 5,3 5,5 5

R I U I U I U g

R I U I U I U g

R I U I U I U g

= + + +

= + + +

= + + +

, para 2e = , (2.45)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 33 4 53 3,3 3,4 3,5 3

3 3 3 3 33 4 54 4,3 4,4 4,5 4

3 3 3 3 33 4 55 5,3 5,4 5,5 5

R I U I U I U g

R I U I U I U g

R I U I U I U g

= + + +

= + + +

= + + +

, para 3e = , (2.46)

y finalmente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 4 41 4 51 1,1 1,4 1,5 1

4 4 4 4 41 4 54 4,1 4,4 4,5 4

4 4 4 4 41 4 55 5,1 5,4 5,5 5

R I U I U I U g

R I U I U I U g

R I U I U I U g

= + + +

= + + +

= + + +

, para 4e = . (2.47)

Al sustituir (2.44)-(2.47) en (2.43) se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1 4 1 4 1 4 1 41 2 4 51 1,1 1,1 1,2 1,4 1,5 1,5 1 1

1 1 2 2 1 2 1 21 2 3 52 2,1 2,2 2,2 2,3 2,5 2,5 2 2

2 2 3 3 2 3 2 32 3 4 53 3,2 3,3 3,3 3,4 3,5 3,5 3 3

4 3 31 34 4,1 4,3 4,4 4,4

0,

0,

0,

R I I U I U I U I I U g g

R I U I I U I U I I U g g

R I U I I U I U I I U g g

R I U I U I I

= + + + + + + + =

= + + + + + + + =

= + + + + + + + =

= + + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

4 3 4 3 44 54,5 4,5 4 4

1 4 1 2 2 3 3 41 2 3 45 5,1 5,1 5,2 5,2 5,3 5,3 5,4 5,4

1 2 3 4 1 2 3 455,5 5,5 5,5 5,5 5 5 5 5

0,

...

0,

U I I U g g

R I I U I I U I I U I I U

I I I I U g g g g

+ + + + =

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + =

(2.48)

52

el cual se puede escribir en forma matricial como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 4 1 4 1 41,1 1,1 1,2 1,4 1,5 1,5

1 1 2 2 1 22,1 2,2 2,2 2,3 2,5 2,5

2 2 3 3 2 33,2 3,3 3,3 3,4 3,5 3,5

4 3 3 4 3 44,1 4,3 4,4 4,4 4,5 4,5

1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 35,1 5,1 5,2 5,2 5,3 5,3 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,

0

0

0

0

I I I I I I

I I I I I I

R I I I I I I

I I I I I I

I I I I I I I I I I I I

+ +

+ +

= + +

+ +

+ + + + + + + + ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

3

445 5

1 41 1

1 22 2

2 33 3

3 44 4

1 2 3 45 5 5 5

00

. 000

U

U

U

U

U

g g

g g

g g

g g

g g g g

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫+ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭+ + +⎩ ⎭

(2.49)

Al definir

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 4 1 4 1 41,1 1,1 1,2 1,4 1,5 1,5

1 1 2 2 1 22,1 2,2 2,2 2,3 2,5 2,5

2 2 3 3 2 33,2 3,3 3,3 3,4 3,5 3,5

4 3 3 4 3 44,1 4,3 4,4 4,4 4,5 4,5

1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 35,1 5,1 5,2 5,2 5,3 5,3 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,

0

0

0

0

I I I I I I

I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I


+ +

+ +

= + +

+ +

+ + + + + + + + ( )45

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

, (2.50)

1 2 3 4 5, , , ,T

U U U U U U= , (2.51)

y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 41 111 2

2 222 3

3 3 3

3 44 4 4

1 2 3 455 5 5 5

g ggg gg

g g g gg g gg g g g g

⎧ ⎫+⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ + + +⎩ ⎭

, (2.52)

53

el sistema (2.49) se reescribe como

[ ] 0R I U g= + = , (2.53)

o lo que es equivalente

[ ] I U g= − . (2.54)

La dimensión de [ ]I , y por lo tanto de forma similar la de [ ]K y [ ]M , es de

[ ]T TN N× , mientras que U y g son vectores de [ ]TN 1× ; donde TN es igual al

número de nodos totales del sistema ( TN 5= para el dominio en la Fig. 2.8). Al

desarrollar 1g (con (2.26)) y aplicando la propiedad (2.16) se obtiene:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 4 4 4nodo 1 nodo 54 44 4 4 4

1 1 1nodo 4 nodo 1

1 1 1 1nodo 1 nodo 21 11 1 1 1

1 1nodo 5 nodo 1

,

U U U Ug N d N dx y x y

U U U UN d N dx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + Γ + + Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + Γ + + Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

x y n x y n

x y n x y n

i i

i i

(2.55)

donde, como lo indica la Fig. 2.8, la integración se realiza en el sentido contrario a las

manecillas del reloj.

Empleando la notación que se indica en la Fig. 2.9, donde los vectores unitarios

( )1an ,

( )1

bn , ( )4an y

( )4

bn son, respectivamente, normales a las regiones de integración ( )1aΓ ,

( )1bΓ , ( )4

aΓ y ( )4bΓ , se reescribe (2.55) como

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 4 4 4nodo 1 nodo 54 44 4 4 4

1 1 1nodo 4 nodo 1

1 1 1 1nodo 1 nodo 1 11 1 1 1

1 1nodo 5 nodo 1

a a b b

a a b b

.

U U U Ug N d N dx y x y

U U U UN d N dx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + Γ + + Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + Γ + + Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫

x y n x y n

x y n x y n

i i

i i2

∫

(2.56)

54

(a) (b)

(c)

Figura 2.9. Elementos con vectores unitarios normales a las regiones de integración: (a) elemento 4, (b)

elemento 1 y (c) elementos 1 y 4.

Con base en ( ) ( )4 11 1N N= ,

( ) ( )4 1ab = −n n y (2.7) se establece lo siguiente:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )4 4 1 1

nodo 5 nodo 14 14 4 1 11 1nodo 1 nodo 5

a ab b U U U UN d N dx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Γ = − + Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫x y n x y ni i .

(2.57)

Lo anterior indica que las integrales a lo largo del lado por el que están unidos los

elementos 1 y 4 se anulan mutuamente; por lo tanto, (2.56) se simplifica a

( )( )

( ) ( )( )

( )4 1


U Ug N d N dx y

∂ ∂= Γ + Γ

∂ ∂∫ ∫ . (2.58)

Empleando el mismo criterio, las expresiones para los nodos 2-5 están dadas,

respectivamente, por

55

( )( )

( ) ( )( )

( )1 2


U Ug N d N dy x

∂ ∂= Γ + Γ

∂ ∂∫ ∫ , (2.59)

( )( )

( ) ( )( )

( )2 2


U Ug N d N dx x

∂ ∂= Γ + Γ

∂ ∂∫ ∫ , (2.60)

( )( )

( ) ( )( )

( )3 4


U Ug N d N dy x

∂ ∂= Γ + Γ

∂ ∂∫ ∫ , (2.61)

5 0g = . (2.62)

Con base en (2.58)-(2.62) se puede deducir que los lados de los elementos que se

encuentren dentro de la región de solución (no en la frontera) no contribuyen al

vector g ; por lo tanto, el valor de este vector en los nodos donde se unen solo lados

internos, como lo indica (2.62), será igual a cero.

II.5. Aplicación de las condiciones de frontera

El último paso previo a la solución del sistema de ecuaciones es el de la aplicación de

las condiciones de frontera. Para el caso de guías de onda, tal como se muestra en la

sección II.4.2, la condición de las fronteras virtuales se aplica al mismo tiempo que se

evalúa la matriz local eI⎡ ⎤⎣ ⎦ y el vector local eg cuando uno de los lados del

elemento e se encuentra en una frontera virtual. En contraste, la condición de

frontera PEC se aplica una vez que las matrices locales eI⎡ ⎤⎣ ⎦ y los vectores locales

eg se han evaluado y ensamblado para todos los elementos del sistema.

A continuación se presenta el proceso de aplicación de las condiciones de frontera

PEC empleando el sistema ensamblado (2.54), desarrollado a partir del dominio en la

Fig. 2.8. Con este propósito, se considera a los nodos 1-4, de dicha figura, como

pertenecientes a una frontera Dirichlet-PEC para el caso TE y a una Neumann-PEC

para el caso TM.

56

II.5.1. Condición de frontera Dirichlet-PEC

En este caso se define zU E= y (2.49) se reescribe como

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

1 4 1 4 1 4 1 41,1 1,1 1 1,2 2 1,4 4 1,5 1,5 5 1 1

1 1 2 2 1 2 1 22,1 1 2,2 2,2 2 2,3 3 2,5 2,5 5 2 2

2 2 3 3 2 3 2 33,2 2 3,3 3,3 3 3,4 4 3,5 3,5 5 3 3

4 3 34,1 1 4,3 3 4,4

0

0

0

0

z z z z

z z z z

z z z z

z z

I I E I E I E I I E g g

I E I I E I E I I E g g


I E I E I

+ + + + + + = − +

+ + + + + + = − +

+ + + + + + = − +

+ + + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

4 3 4 3 44,4 4 4,5 4,5 5 4 4

1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 3 45,1 5,1 1 5,2 5,2 2 5,3 5,3 3 5,4 5,4 4 5,5 5,5 5,5 5,5 5 0,

z z

z z z z z

I E I I E g g

I I E I I E I I E I I E I I I I E

+ + = − +

+ + + + + + + + + + + =

(2.63)

donde 51 2 3 4, , , , Tz zz z z zE E E E E E= son las soluciones en los nodos del dominio

mostrado en la Fig. 2.8.

Con fines demostrativos se asume que los nodos correspondientes a la frontera de

Dirichlet tienen valores predefinidos 1 2 3 4, , , TDb Db Db Db Db= . Se sustituye 11zE Db=

en (2.63) y, entonces, ésta se modifica a

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

1 1

1 2 2 1 2 1 2 12,2 2,2 2 2,3 3 2,5 2,5 5 2 2 2,1 1

2 2 3 3 2 3 2 33,2 2 3,3 3,3 3 3,4 4 3,5 3,5 5 3 3

3 34,3 3 4,4 4

0 0 0 0

0 0

0

0 0

z

z z z

z z z z

z

E Db

I I E I E I I E g g I Db


I E I I

+ + + + =

+ + + + + + = − + −

+ + + + + + = − +

+ + + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 3 4 3 4 4,4 4 4,5 4,5 5 4 4 4,1 1

1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 1 45,2 5,2 2 5,3 5,3 3 5,4 5,4 4 5,5 5,5 5,5 5,5 5 5,1 5,1 1

0 .

z z

z z z z

E I I E g g I Db

I I E I I E I I E I I I I E I I Db

+ + = − + −

+ + + + + + + + + + = − +

(2.64)

De la misma forma se sustituye 2 2zE Db= , 3 3zE Db= , 4 4zE Db= y de esta manera

(2.63) se transforma a

1 1

2

3

4

2

3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

z

z

z

z

E DbE Db

E DbE Db

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 3 4 1 4 1 25,5 5,5 5,5 5,5 5 5,1 5,1 1 5,2 5,2

4

2

0 0 0 0 ( ) ...

zI I I I E I I Db I I Db+ + + + + + + = − + − +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 3 45,3 5,3 5,4 5,43 4 ... ,I I Db I I Db− + − +

(2.65)

57

y escrito en forma matricial

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 4 1 25,1 5,1 1 5,2 5,2

2 3 3 45,3 5,3 5,4 5,4

1

1

2

3

421 2 3 4

5,5 5,5 5,5 5,5 53 4

2

3

4

...

...

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0 . 0 0 0 1 0

0 0 0 0

z

z

z

z

z

I I Db I I Db

I I Db I I Db

DbE DbE DbE DbE

I I I I E− + − +

− + − +

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.66)

El sistema (2.66) expresa al sistema (2.54) una vez que las condiciones de frontera de

Dirichlet se han aplicado. Al imponer (2.2) en el sistema demostrativo (2.66), se

obtiene que todos los elementos del vector g son igual a cero, esto es

( ) ( ) ( ) ( )( )

1

2

3

41 2 3 4

5,5 5,5 5,5 5,5 5

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0

z

z

z

z

z

EEEE

I I I I E

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

; (2.67)

sin embargo, tal como se muestra en la sección II.4.2, en sistemas de ecuaciones

desarrollados a partir de dominios prácticos (como el de la Fig. 2.7), de forma

indistinta para los casos TE y TM, el vector g cuenta con valores diferentes de

cero en los nodos correspondientes a la frontera virtual de entrada (expresión (2.37)).

II.5.2. Condición de frontera Neumann-PEC

En este caso se define zU H= . La condición de Frontera de Neumann-PEC se

implementa al sustituir directamente en (2.52) (tomando en cuenta (2.58)-(2.62)) la

condición 0zH∂∂

=n

, esto es,

58

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

4 1nodo 1 nodo 24 4 1 11 1nodo 4 nodo 1


2 2nodo 3 no2 2 3 33 3nodo 2 nodo 3

0 0

0 0

0 0

z z

z z

z z

H HN d N dx y

H HN d N dy x

g H HN d N dx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= Γ + = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= Γ + = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= Γ + = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )( )

( ) ( )( )

( )

do 4


00

.000

0 0

0

z zH HN d N dy x

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪= Γ + = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫ ∫

(2.68)

Considerando lo anterior, el sistema (2.54) se expresa de la siguiente forma:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 4 1 4 1 41,1 1,1 1,2 1,4 1,5 1,5

1 1 2 2 1 22,1 2,2 2,2 2,3 2,5 2,5

2 2 3 3 2 33,2 3,3 3,3 3,4 3,5 3,5

4 3 3 4 3 44,1 4,3 4,4 4,4 4,5 4,5

1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 3 45,1 5,1 5,2 5,2 5,3 5,3 5,4 5,4 5,5 5,5 5,5 5,5

0

0

0

0

I I I I I I

I I I I I I

I I I I I I

I I I I I I


⎧ + +

+ +

+ +

+ +

+ + + + + + +

1

2

3

4

5

00

. 000

z

z

z

z

z

HHHHH

⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.69)

El sistema (2.69) expresa a (2.54) una vez que las condiciones de frontera de

Neumann-PEC se han aplicado. Como se menciona en el caso anterior, en sistemas

prácticos, el vector g cuenta con valores diferentes de cero en los nodos

correspondientes a la frontera virtual de entrada, independientemente del tipo de

condición de frontera PEC que se aplique en dicho sistema.

Al comparar ambas condiciones de frontera se puede concluir que, en la práctica,

la condición de frontera de Neumann se implementa con mayor simplicidad; en

contraste, el sistema con condiciones de frontera de Dirichtlet cuenta con un número

menor de incógnitas (debido a que la solución del sistema en los nodos en la frontera

es previamente conocida).

59

Redefiniendo respectivamente a [ ]bI y bg , como [ ]I y g después de la aplicación

de las condiciones de frontera de (Dirichlet, Neumann y/o virtual, según sea el caso),

los valores de U se pueden encontrar a través de

[ ] 1b bU I g−= . (2.70)

Figura 2.10. Diagrama de flujo de FEM.

Establecimiento del problema (2.1)

Discretización del dominio (definición de NTe ).

Selección de las funciones de interpolación (2.8).

Evaluación de eK⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.29) y

eM⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.30) para el elemento e .

0eg =Evaluación de (2.35) para puerto de entrada ó (2.39) puerto de salida.

si

no

Ensamblado de eK⎡ ⎤⎣ ⎦ , eM⎡ ⎤⎣ ⎦ , y

eg en [ ]I , y g .

NTe e< si no

Aplicación de:

Dirichlet (2.2) ó Neumann (2.3) .

Evaluación del sistema

[ ] b bI U g= .

Obtención de U .

Cálculo de solución aproximada en cualquier punto del dominio a

partir de (2.14).

1

1

Fin

Inicio

1e =

¿Pertenece e a la frontera virtual?

1e e= +

60

Recordando que el vector U provee los valores aproximados a la solución de (2.1)

en los nodos, la solución aproximada en cualquier punto dentro del dominio Ω se

puede obtener a través de la expresión (2.14).

II.6. Diagrama de flujo de FEM

El análisis de un problema de electromagnetismo, con variación armónica con

respecto al tiempo, empleando el método de elemento finito se describe a través del

diagrama de flujo mostrado en la Fig. 2.10.

II.7. Resolución de la malla

La resolución de la malla es un parámetro que indica el número de elementos por

longitud de onda empleados en la solución de un problema. Para casos

unidimensionales se define, según [30], como

res constantenhλ

= ≈ , (2.71)

donde λ es la longitud de onda de la solución y h es la longitud de los elementos en

los que se discretiza el dominio. Para problemas que se resuelven para n longitudes

de onda ( 1 2, , ..., nλ λ λ ) la expresión (2.71) es equivalente a

1 2res

1 2

... constanten

n

nh h h

λλ λ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ , (2.72)

donde 1 2, , ..., nh h h son las longitudes de los elementos necesarias para satisfacer (2.72)

con respecto a 1 2, , ..., nλ λ λ . De acuerdo a Babuska et al. [30], usualmente se

recomienda en la práctica res 10n = . La figura 2.11 muestra como un mismo dominio

61

unidimensional Ω , con el propósito de cumplir con la condición res 4n = , se discretiza

en dos cantidades de elementos distintas en relación a dos longitudes de onda

distintas.

El propósito del uso de una resolución de malla determinada es: que en los casos

en donde se pretenda solucionar problemas con diferentes valores de λ , el error por

discretización sea del mismo orden para cada uno de ellos.

Figura 2.11. Resolución de malla res 4n = para dos diferentes longitudes de onda: (a) 1λ ,

1 4 elementos/( )h = Ω y (b) 2λ , 2 12 elementos/( )h = Ω .

Para problemas bidimensionales de guías de onda, se define la resolución de la malla

en la dirección de propagación como

resg / constanteg gn hλ= ≈ , (2.73)

donde gλ es la longitud de onda en la guía (determinada a partir de (1.89)) y gh la

longitud de los elementos en la dirección de propagación (equivalente a la dirección x

en la Fig. 2.12).

1λ

1h 1h

2λ 2λ 2λ

2h 2h

2h2h

1h 1h

1res

1

4nhλ

= =

2res

2

4nhλ

= =

(a)

(b)

Ω

Ω

62

Figura 2.12. Guía de onda rectangular discretizada en elementos triangulares lineales.

En la sección I.7.3 se establece que la solución de la ecuación de Helmholtz en la

dirección perpendicular a la propagación, cuando la frecuencia de operación se

encuentra dentro del modo fundamental ( ( ) ( )01 02c op cf f f< < ), es igual a un semiciclo.

Esto se presenta en la Fig. 2.13, la cual muestra el comportamiento de zE con

respecto a y en una guía de onda como la de la Fig. 2.1, a una frecuencia de

operación dentro del ancho de banda del modo 01TE .

Figura 2.13. Distribución de ( )zE y para una opf dentro de la banda del modo 01TE .

Partiendo de lo anterior, con base en (2.73), se define la resolución de la malla en la

dirección perpendicular a la propagación como

resp2

p

bnh

= , (2.74)

b

yh = p

y

h

hz

y0

( )( )01zE y

resp2 16

p

bnh

= =

g xh h=

yph h=

yh

xh

y

xz

63

donde b es el ancho de la guía de onda (equivalente a la longitud de un semiciclo) y

ph es la longitud de los elementos en la dirección perpendicular a la propagación;

p yh h= para una guía de onda como la que se muestra discretizada en la Fig. 2.12.

Se supone un problema que se resuelve con n diferentes frecuencias de operación

( 1 2 ...op op opnf f f< < < ), y por lo tanto, respectivamente, con n diferentes longitudes de

onda de operación ( 1 2 ...op op opnλ λ λ> > > ); a partir de las cuales, también

respectivamente, se obtienen n diferentes longitudes de onda en la guía denotas por

1 2 ...g g gnλ λ λ> > > . (2.75)

Al fijar una resolución en la guía de resg constanten ≈ , con base en (2.73) se establece:

resg1 resg2 resgn... constanten n n≈ ≈ ≈ ≈ , (2.76)

donde resgin se relaciona a giλ para 1, 2,...,i n= . Con el propósito de satisfacer (2.76),

debido a que (2.75) es un dato fijo del problema, se debe cumplir:

1 2 ...g g gnh h h> > > , (2.77)

donde gih se relaciona a giλ para 1, 2,...,i n= . Tomando en cuenta que en este trabajo

se utilizan solamente mallas donde g ph h= , con base en (2.74)-(2.77) se deduce:

resp1 resp2 respn... , para g pn n n h h< < < = . (2.78)

La expresión (2.78) indica, en contraste con (2.76), que respn es menor a medida que

la frecuencia de operación disminuye. En la siguiente sección se analiza (2.78) en

función de la frecuencia de operación y de diferentes valores de resgn .

64

II.8. Determinación de la resolución de la malla

Se obtiene el error entre la solución analítica de zE (expresión (1.77)) y la solución

numérica calculada a través FEM en el modo TE, empleando mallas con diferentes

valores de resgn , para diferentes frecuencias de operación. Lo anterior se realiza en una

guía de planos paralelos con 4 cmb = , en la cual las frecuencias que delimitan la

banda del modo fundamental son ( )013.75 GHzcf = y ( )02

7.5 GHzcf = .

Para el caso del error norma L∞ [25], las mediciones se hacen a una distancia de

por lo menos una longitud de onda gλ de las fronteras virtuales (entrada y salida).

Para el caso del error norma 2L [25], se consideran todos los nodos dentro del

dominio.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

fop/(fc)01

||err

or|| L ∞

nresg ≈ 40

nresg ≈ 50

nresg ≈ 70

nresg ≈ 100

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-3

fop/(fc)01

||err

or|| L 2 /

Nod

osTo

tale

s

nresg ≈ 40

nresg ≈ 50

nresg ≈ 70

nresg ≈ 100

(a) (b)

Figura 2.14. Error entre las partes reales de la solución analítica y solución numérica para zE con

diferentes resoluciones: (a) norma L∞ y (b) norma 2L promediada sobre el número de nodos totales.

La figura 2.14 muestra que el comportamiento del error es similar en las normas L∞ y

2L . Para ambas normas, el error con respecto a las frecuencias disminuye a medida

resgn aumenta. Con respecto a los valores de resgn calculados, el error aumenta a

medida que la frecuencia de operación disminuye; sin embargo, para resg 100n ≈ la

65

magnitud del error con respecto a las frecuencias evaluadas es relativamente

uniforme. Adicional a lo anterior, la Tabla 2.2 muestra que para la frecuencia de

operación menor calculada ( 4.44 GHz 6.75 cmop opf λ≈ ⇒ = ), cuando se utiliza

resg 100n ≈ , el valor de la resolución en la dirección perpendicular a la propagación es

resp 64n ≈ , la cual es sustancialmente mayor que la recomendada por Babuska et al. en

[30] de res 10n = .

Tabla 2.2. Información de entrada del cálculo numérico de zE (con 4 cmb = ) a través de FEM para

diferentes frecuencias de operación con resg 100n ≈ .

(cm)opλ ( )GHzopf ( )01/op cf f (cm)gλ (cm)g ph h= resgn respn nodos

en p

6.75 ≈ 4.44 ≈ 1.19 ≈ 12.58 ≈ 0.1250 ≈ 100.6 ≈ 64 33

6.25 ≈ 4.80 ≈ 1.28 ≈ 10.01 ≈ 0.1000 ≈ 100.1 ≈ 80 41

5.75 ≈ 5.22 ≈ 1.39 ≈ 8.27 ≈ 0.0833 ≈ 99.2 ≈ 96 49 5.25 ≈ 5.71 ≈ 1.52 ≈ 6.96 ≈ 0.0690 ≈ 100.9 ≈ 116 59 4.75 ≈ 6.32 ≈ 1.68 ≈ 5.90 ≈ 0.0588 ≈ 100.4 ≈ 136 69 4.25 ≈ 7.06 ≈ 1.88 ≈ 5.02 ≈ 0.0500 ≈ 100.3 ≈ 160 81

66

Capítulo III

Resultados numéricos empleando el método de elemento finito

Hasta este punto se han presentado los fundamentos de la teoría electromagnética y

la formulación del método de elemento finito en dos dimensiones. Con base en dicha

información se desarrollan programas de computadora en MATLAB (ver [46]) para la

obtención de la distribución del campo eléctrico y del cálculo de los coeficientes de

transmisión y reflexión (características de dispersión), en el plano-H, de guías de onda

de planos paralelos.

En esta sección se presentan los resultados numéricos obtenidos al aplicar FEM en el

análisis de las características de dispersión para el plano-H de guías de onda

homogéneas en forma de L y en forma de T.

67

III.1. Amplitud de la onda

Se analiza la amplitud del campo eléctrico ( 0E ) al resolver la ecuación de Helmholtz

(ecuación (2.1)) para zU E= (plano-H), en una guía de onda de planos paralelos

como la que se muestra en la Fig. 2.1, empleando FEM. Este análisis se realiza con

diferentes frecuencias de operación ( ( )/ 2opf k c π= ) dentro del modo fundamental

(ver Tabla 3.1). Los cálculos numéricos en esta sección se realizan con las siguientes

consideraciones para todos los casos:

• Los cálculos se realizan para una onda incidente en el modo 01TE (plano-H,

dentro de la banda del modo fundamental).

• Se consideran guías de onda de planos paralelos, homogéneas, con un grueso

4 cmb = ( ( )( )013.75 GHzcf b = , ( )( )02

7.5 GHzcf b = ).

• Se utilizan mallas con g ph h= .

• Las mediciones en todos los casos se realizan a una distancia de por lo menos

una longitud de onda ( gλ ) tanto de la discontinuidad como de las fronteras

virtuales.

Los resultados para resg 40n ≈ , resg 50n ≈ , resg 70n ≈ y resg 100n ≈ , se presentan en la

Fig. 3.1.

Tabla 3.1. Datos de entrada del cálculo numérico de zE (con 4 cmb = ) a través de FEM para

diferentes frecuencias de operación.

(cm)opλ ( )GHzopf ( )01/op cf f (cm)gλ

6.75 ≈ 4.44 ≈ 1.19 ≈ 12.58

6.25 ≈ 4.80 ≈ 1.28 ≈ 10.01

5.75 ≈ 5.22 ≈ 1.39 ≈ 8.27 5.25 ≈ 5.71 ≈ 1.52 ≈ 6.96 4.75 ≈ 6.32 ≈ 1.68 ≈ 5.90 4.25 ≈ 7.06 ≈ 1.88 ≈ 5.02

La figura 3.1 muestra como a medida que el valor de resgn aumenta, la magnitud de la

amplitud de zE , en cada una de las frecuencias evaluadas, converge a un valor

68

determinado. Para el caso resg 100n ≈ , la diferencia entre 0E del problema evaluado

con el menor valor de respn ( resp4.44 GHz 64opf n= ⇒ ≈ en la Tabla 2.2) y 0E del

problema evaluado con el mayor valor de respn ( resp7.06 GHz 160opf n= ⇒ ≈ en la

Tabla 2.2) es del orden de 41 10−× .

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

fop/(fc)01

E0(n

resg

, f op

) / E

0(nre

sg ≈

100

, f op

=1.8

8(f c) 01

) nresg ≈ 40

nresg ≈ 50

nresg ≈ 70

nresg ≈ 100

Figura 3.1. Comportamiento de la amplitud de la parte real de zE en una guía de onda de planos

paralelos empleando FEM con resg 40n ≈ , 50 , 70 y 100 .

La distribución de zE del caso resg 100n ≈ , para cada una de las frecuencias calculadas

en esta sección, se muestra en el apéndice C.

III.2. Cálculo numérico de las características de

dispersión

En esta sección se obtienen numéricamente las características de dispersión en guías

de onda en forma de L y en forma de T. Los cálculos numéricos en esta sección se

realizan con las siguientes consideraciones para todos los casos:

• Los cálculos se realizan para una onda incidente en el modo 01TE (plano-H,

cuya frecuencia se encuentra dentro de la banda del modo fundamental).

69

• Se evalúan los casos que se presentan en la Tabla 3.1.

• Se consideran guías de onda de planos paralelos, homogéneas, con un grueso

1 2 3 4 cmb b b b= = = = ( ( )( )013.75 GHzcf b = , ( )( )02

7.5 GHzcf b = ).

• Se utilizan mallas con g ph h= .

• Se utiliza una resolución en la dirección de propagación resg 100n ≈ .

• Se considera como amplitud de la onda incidente ( 0incE ), a la información

obtenida en la sección III.1, para una guía de onda de planos paralelos

convencional, con resg 100n ≈ . Lo anterior es equivalente a colocar la frontera

virtual de salida en la línea que divide a RI y RIII en la Fig. 3.2(a); así como si

ésta se colocara en la línea que divide a RI y RIV (o a RIII y RIV) en la

Fig. 3.6(a)

• Las mediciones en todos los casos se realizan a una distancia de por lo menos

una longitud de onda ( gλ ) tanto de la discontinuidad como de las fronteras

virtuales.

III.2.1. Guía de onda en forma de L

Se obtienen numéricamente los coeficientes de transmisión (τ ) y reflexión (ζ ), así

como la relación de onda estacionaria (SWR ), de la guía de onda homogénea en

forma de L mostrada en la Fig. 3.2, para las frecuencias de la Tabla 3.1 en el plano-

H.

El ejemplo de una posible discretización de la malla de elemento finito se muestra

en la Fig. 3.2(b). El parámetro l , en dicha figura, se emplea para modificar la

estructura de la guía de onda con el objetivo de analizar el comportamiento de las

características de dispersión. Para el caso de 0l = , la estructura de la guía de onda es

la que se presenta en la Fig. 3.2(a). La región de discontinuidad de esta estructura se

denota por la región III (RIII).

70

(a) (b)

Figura 3.2. Guía de onda homogénea en forma de L con paredes PEC: (a) Representación geométrica y

(b) Ejemplo de discretización en elementos triangulares.

El coeficiente de transmisión en el puerto 2 ( p2τ ), denota la relación entre la

potencia de la señal transmitida a través del puerto 2 ( transp2P ) y la potencia de la señal

incidente que ingresa por el puerto 1 ( incp1P ). Dicho parámetro se calcula empleando la

siguiente expresión:

2transp2

p2 2incp1

0

0

RII

inc

EPP E

τ = = , (3.1)

donde 0RIIE indica la amplitud de la onda en RII (señal transmitida), mientras que

0incE la amplitud de la onda incidente. La relación (3.1) es válida para cálculos en los

cuales la solución del problema sea del tipo (1.77), la frecuencia de operación se

encuentre dentro del modo fundamental y la región de solución es homogénea.

Con base en la ley de la conservación de la energía ( 1ζ τ+ = ), el coeficiente de

reflexión en el puerto 1 ( p1ζ ) se calcula a partir de

p1 p21ζ τ= − . (3.2)

71

Por último, el SWR [31] se obtiene a partir de

p1

p1

11SWR=1 1

ζζζ ζ

++≡

− −. (3.3)

La figura 3.3 muestra una comparación entre los resultados obtenidos para el SWR

utilizando diferentes valores de l y la información presentada en la Ref. [32]. En esta

figura se observa que los datos obtenidos en este trabajo a través de FEM muestran

excelente similitud con los presentados en dicha referencia empleando “Boundary

Element Analysis”.

Figura 3.3. Comportamiento del SWR en una guía de onda en forma de L para el plano-H para 0l = ,

/ 3.333l b≈ y / 1.251l b≈ en comparación con la Ref. [32].

Al analizar la Fig. 3.3 se puede establecer que los mejores resultados se obtienen

cuando /1.251l b≈ , ya que no solo es este caso el que presenta los valores más bajos

de SWR sino que también este parámetro se comporta con mayor uniformidad en el

ancho de banda del modo fundamental. En la Fig. 3.4 se presenta el comportamiento

de los coeficientes de transmisión y reflexión para 0l = , / 5l b≈ , / 4l b≈ , / 3l b≈ ,

/ 2l b≈ , /1.251l b≈ y l b≈ .

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

1

2

3

4

5

fop/( fc)01

SW

R

l = 0 (FEM)l ≈ b / 3.333 (FEM)l ≈ b / 1.251 (FEM)l = 0 (Ref.[ ], Fig.4b) l ≈ b / 3.333 (Ref.[ ], Fig.4b) l ≈ b / 1.251 (Ref.[ ], Fig.4b) 32

32

32

72

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b / 5 )

ζp1

(a) (b)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b / 4 )

ζp1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b / 3 )

ζp1

(c) (d)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

fop/( fc)01

τp2 ( l = 0 )

τp2 ( l ≈ b / 5 )

τp2 ( l ≈ b / 4 )

τp2 ( l ≈ b / 3 )

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b / 2 )

ζp1

(e) (f)

Figura 3.4. Coeficientes de transmisión y reflexión en una guía de onda en forma de L para el plano-H:

(a) 0l = , (b) / 5l b≈ , (c) / 4l b≈ , (d) / 3l b≈ , (e) distintos casos, (f) / 2l b≈ . …

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc )01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 (FEM)

ζp1 (FEM)

τp2 (Ref.[ ], Fig.4.10)

ζp1 (Ref.[ ], Fig.4.10)

l = 0

33

33

73

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b / 1.251 )

ζp1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2 ( l ≈ b )

ζp1

(g) (h) Figura 3.4 (continuación). (g) / 1.251l b≈ , (h) l b≈ .

La figura 3.4(a) muestra una comparación entre los resultados obtenidos con FEM y

los presentados en la Fig. 4.10 de la Ref. [33].

A continuación, con la ayuda de la Fig. 3.5, se intenta explicar una posible causa

parcial del comportamiento de los coeficientes de transmisión y reflexión en distintos

casos.

Figura 3.5. Guía de onda en forma de L con puntos de referencia 1 y 2 .

La figura 3.5 muestra una guía de onda en forma de L con dos puntos de referencia

(1 , 2 ), en donde se calculan las frecuencias de corte para los modos 01TE y 02TE , con

base en las distancias 1d y 2d , respectivamente; esto es, ( )( )1 01cf d , ( )( )1 02cf d ,

1d2d

b

1

2l

l

b

90°

74

( )( )2 01cf d y ( )( )2 02cf d . La Tabla 3.2 muestra la información de las distancias y

frecuencias de corte para los diferentes valores de l calculados.

Tabla 3.2. Frecuencias de corte en los puntos de referencia 1 y 2 de la guía de onda en forma de L de

la Fig. 3.5 con 4 cmb = .

caso l 1d ( )( )1 01cf d 1 02( ( ))cf d 2d ( )( )2 01cf d ( )( )2 02cf d (cm) (cm) (GHz) (GHz) (cm) (GHz) (GHz)

0l = 0 5.66 2.65 5.30 5.66 2.65 5.30

/ 5l b≈ 0.80 5.12 2.93 5.86 5.09 2.95 5.90

/ 4l b≈ 1.00 5.00 3.00 6.00 4.95 3.03 6.06

/ 3l b≈ 1.33 4.81 3.12 6.24 4.71 3.18 6.36

/ 2l b≈ 2.00 4.47 3.35 6.70 4.24 3.54 7.07

/ 1.251l b≈ 3.20 4.08 3.68 7.35 3.40 4.42 8.84

l b≈ 4.00 4.00 3.75 7.50 2.83 5.30 10.60

La figura 3.4(e) muestra como a medida que el valor de l aumenta, desde 0l = hasta

/ 3l b≈ , la magnitud del coeficiente de transmisión aumenta ligeramente para todas

las frecuencias; sin embargo, para 7.06 GHzopf = ( ( )011.88op cf f≈ ) el coeficiente de

transmisión no supera el 15% de la energía total para ninguno de estos casos. Lo

anterior se podría explicar con base en que, a pesar que dicha frecuencia de operación

se encuentra dentro del modo fundamental RI y RII de la guía de onda, ésta se

encuentra fuera del modo fundamental de los puntos 1 y 2 para los casos

presentados en dicha figura (ver Tabla 3.2 para 0l ≈ , / 5l b≈ , / 4l b≈ y / 3b l≈ ); lo

que podría afectar la transmisión de la energía cuando la onda viaja través de la

discontinuidad.

De forma similar, se analizan las figuras 3.4(f) ( / 2l b= ) y 3.4(g) ( /1.251l b≈ ), en

donde la transmisión para todas las frecuencias mejora significativamente con relación

a los casos anteriores. De acuerdo a la información para / 2l b≈ en la Tabla 3.2,

para este caso la frecuencia de operación 7.06 GHzopf = ( ( )011.88op cf f≈ ) se

encuentra ligeramente fuera del modo fundamental del punto 1 y ligeramente dentro

del modo fundamental del punto 2 ; en contraste, para /1.251l b≈ , la Tabla 3.2

indica que 7.06 GHzopf = ( ( )011.88op cf f≈ ) se encuentra dentro del modo

75

fundamental de ambos puntos de referencia, lo que podría explicar su mejora con

respecto al caso de / 2l b≈ .

Finalmente, se analiza la Fig. 3.4(h) ( l b≈ ), donde se observa que el coeficiente de

transmisión disminuye a medida que la frecuencia de operación lo hace también. De

acuerdo a la Tabla 3.2, para l b≈ la frecuencia de corte ( )01cf para el punto 2 es de

5.30 GHz ( ( )011.41 cf≈ ), por lo tanto, a pesar de que todas las frecuencias evaluadas

se encuentran dentro del modo fundamental de RI y RII de la guía de onda (y del

punto 1 ya que para este caso 1b d= ), entre más baja sea la frecuencia de operación

con respecto a ( )( )2 01cf d , mayor será la reflexión que sufra la onda que viaje a través

de la discontinuidad.

Las distribuciones de zE dentro de una guía de onda en forma de L, para los

diferentes casos de opf y l analizados en esta sección, se presentan en el apéndice C.

III.2.2. Guía de onda en forma de T

De forma similar al caso anterior, se obtienen a través de FEM los parámetros τ , ζ

y SWR , para el plano-H, de la guía de onda homogénea en forma de T mostrada en

la Fig. 3.6.

(a) (b)

Figura 3.6. Guía de onda homogénea en forma de T con paredes PEC: (a) Representación geométrica

y (b) Ejemplo de discretización en elementos triangulares.

76

Para el problema de la guía de onda en forma de T se analizan dos situaciones:

A. El puerto de entrada es el puerto 1 y los puertos de salida son los puertos 2 y

3 (la onda incidente ingresa por el puerto 1).

B. El puerto de entrada es el puerto 3 y los puertos de salida son los puertos 1 y

2 (la onda incidente ingresa por el puerto 3).

El parámetro l tiene la misma función que en la guía de onda en forma de L. En una

guía de onda de este tipo la región de discontinuidad se denota por la región IV (RIV

en la Fig. 3.6(a)).

III.2.2.A. Puerto de entrada: puerto 1

Para este caso, la guía de onda en forma de T óptima es aquella que presenta la

mínima reflexión en el puerto 1 a lo largo del ancho de banda más amplio posible,

mientras que la potencia en los puertos 2 y 3 se divide equitativamente. Los

coeficientes de transmisión en el puerto 2 y 3, con respecto a la onda incidente a

través del puerto 1 (ver Fig. 3.6(a)), se calculan respectivamente por

2transp2

p2 / p1 2incp1

0

0

RII

inc

EPP E

τ = = (3.4)

y

2transp3

p3/ p1 2incp1

0

0

RIII

inc

EPP E

τ = = , (3.5)

donde (3.4) y (3.5) son válidas para problemas en los cuales la solución sea del tipo

(1.77), ( )01opf y la región de solución es homogénea.

El coeficiente de reflexión en el puerto 1 se obtiene a partir de

p1 p2 / p1 p3/ p11 ( )ζ τ τ= − + . (3.6)

77

Primeramente, se obtiene el comportamiento del SWR para diferentes frecuencias

dentro del modo fundamental. La figura 3.7 muestra los datos obtenidos comparados

con la información presentada en la Ref. [32].

Figura 3.7. Comportamiento del SWR en una guía de onda en forma de T para el plano-H: para 0l = ,

/ 5l b≈ y / 2.254l b≈ en comparación con la Ref. [32].

Como se observa en la Fig. 3.7 los datos obtenidos empleando FEM muestran una

considerable similitud con la información publicada por Yong-Yaogen en [32]. Puede

observarse también que, dentro de los casos analizados, el que arroja mejores

resultados es / 2.254l b≈ .

La Fig. 3.8 muestra el comportamiento de los coeficientes de transmisión y

reflexión, obtenidos empleando FEM, para 0l = , / 5l b≈ , / 4l b≈ , / 3l b≈ y / 2l b≈ .

La información para 0l = se compara en la Fig. 3.8(a) con los datos publicados por

Cho en la Ref. [36] (el cual emplea un procedimiento iterativo y funciones de Green).

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

2

4

6

8

10

fop/( fc)01

SW

R

l = 0 (FEM)l ≈ b / 5 (FEM)l ≈ b / 2.254 (FEM)l = 0 (Ref.[ ], Fig.5b)l ≈ b / 5 (Ref.[ ], Fig.5b)l ≈ b / 2.254 (Ref.[ ], Fig.5b)

3232

32

78

(a)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p1 ( l ≈ b / 5)

τp3/p1

ζp1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p1 ( l ≈ b / 4 )

τp3/p1

ζp1

(b) (c)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p1 ( l ≈ b / 3 )

τp3/p1

ζp1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p1 ( l ≈ b / 2 )

τp3/p1

ζp1

(d) (e)

Figura 3.8. Comportamiento de los coeficientes de transmisión y reflexión en una guía de onda en

forma de T para el plano-H : (a) 0l = , (b) / 5l b≈ , (c) / 4l b≈ , (d) / 3l b≈ y (e) / 2l b≈ .

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop/( fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p1 = τp3/p1 (FEM)

ζp1 (FEM)

τp2/p1 = τp3/p1 (Ref.[ ], Fig.4)

ζp1 (Ref.[ ], Fig.4)l = 0

36

36

79

A partir de los resultados presentados en la Fig. 3.8(a) se puede establecer para el

caso 0l = que:

• Las frecuencias recomendadas para la máxima transmisión se encuentran

aproximadamente entre ( )01(1.3) cf y ( )01

(1.5) cf .

• Una vez superada dicha banda de transmisión “recomendada”, el coeficiente de

transmisión disminuye a medida que la frecuencia de operación aumenta.

Por otra parte, comparando los cinco casos calculados se puede concluir que cuando

/ 2l b≈ (Fig. 3.8(e)) no solo se consigue el coeficiente de transmisión más alto sino

que además el comportamiento de éste en las diferentes frecuencias del modo

fundamental es prácticamente uniforme.

Las distribuciones de zE dentro de una guía de onda en forma de T, para los

diferentes casos de opf y l analizados en esta sección, se presentan en el apéndice C.

III.2.2.B. Puerto de entrada: puerto 3

En esta sección se analiza, para 0l = , la segunda situación respecto a la propagación

dentro de la guía de onda en forma de T: cuando el puerto de entrada es el puerto 3

y los puertos de salida son los puertos 1 y 2 (ver Fig. 3.6). Para este caso los

coeficientes de transmisión en los puertos 1 y 2 se calculan respectivamente por

2transp1

p1/ p3 2incp3

0

0

RI

inc

EPP E

τ = = (3.7)

y

2transp2

p2 / p3 2incp3

0

0

RII

inc

EPP E

τ = = , (3.8)

80

donde, de igual forma a los casos anteriores, (3.7) y (3.8) son válidas para problemas

cuya solución sea del tipo (1.77), ( )01opf y la región de solución es homogénea.

Mientras tanto, el coeficiente de reflexión en el puerto 3 se obtiene de forma similar a

(3.6) al emplear

p3 p1/ p3 p2 / p31 ( )ζ τ τ= − + . (3.9)

El comportamiento de los coeficientes de transmisión y reflexión para este caso

( 0l = ), se compara en las Figs. 3.9 y 3.10, con la información presentada en Liang et

al. [35] y Park-Eom [34], respectivamente. En estas figuras se puede confirmar la

similitud de la información obtenida en este trabajo a través de FEM con la calculada

a través de la técnica “Mode Matching” en la Ref. [35] y con la presentada

empleando una serie analítica en la Ref. [34].

A diferencia del caso anterior, en donde la onda ingresa por el puerto 1 y se divide en

igual proporción entre los puertos de salida 2 y 3, en este caso la energía que ingresa

por el puerto 3 se transmite en proporciones distintas a través del puerto 1 y 2 (ver

Figs. 3.9 y 3.10).

Figura 3.9. Comportamiento de 2/ 3p pτ , / 3p1 pτ y 3pζ en una guía de onda en forma de T para el

plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparación con la Ref. [35].

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop / (fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p3 (FEM)

τp1/p3 (FEM)

ζp3 (FEM)

τp2/p3 (Ref.[ ], Fig.4)

τp1/p3 (Ref.[ ], Fig.4)

ζp3 (Ref.[ ], Fig.4)

35

35

35

81

Figura 3.10. Comportamiento de 2/ 3p pτ , / 3p1 pτ y 3pζ en una guía de onda en forma de T para el

plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparación con la Ref. [34].

Con base en los datos presentados se puede concluir que:

• Con el propósito de obtener la máxima transmisión en ambos puertos de salida

se recomienda utilizar este dispositivo en la banda aproximada de ( )01(1.3) cf a

( )01(1.5) cf .

• En las Figs. 3.9 y 3.10 se observa que a medida que la frecuencia de operación

se aproxima a la frecuencia de corte del siguiente modo

( ( ) ( )01 02(2)op c cf f f→ = ) el coeficiente de transmisión en el puerto 2 se

aproxima a la unidad, y en forma inversa 1/ 3p pτ se aproxima a cero.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fop / (fc)01

Pot

enci

a N

orm

aliz

ada

τp2/p3 (FEM)

τp1/p3 (FEM)

ζp3 (FEM)

τp2/p3 (Ref.[ ], Fig.2)

τp1/p3 (Ref.[ ], Fig.2)

ζp3 (Ref.[ ], Fig.2)

34

34

34

82

Capítulo IV

Adaptación de malla

La solución de un problema de electromagnetismo a través de FEM resulta en valores

aproximados del campo dentro del dominio bajo consideración. La precisión de dicha

solución y el costo computacional empleado en su obtención, dependen de la malla en

la que el dominio es discretizado. En términos generales, mallas uniformes más finas

producen soluciones más precisas que mallas uniformes menos finas.

Una de las características de FEM es que la solución aproximada de un problema

en determinado dominio se compone de las soluciones aproximadas dentro de cada

uno de los elementos en los que se divide dicho dominio. La solución dentro de un

elemento, por lo tanto, es independiente de la solución dentro de sus elementos

vecinos. Esta característica es aprovechada por los métodos de adaptación de malla,

los cuales producen mallas con mayor concentración de nodos en áreas donde la

solución del problema varía relativamente de forma brusca y con menor concentración

en las regiones donde la solución es relativamente más suave.

El desarrollo y la implementación de los métodos de adaptación de malla cuenta

con dos motivaciones principales: a) la obtención de una precisión determinada a

priori empleando el menor costo computacional posible y b) la obtención de la mayor

precisión posible empleando un costo computacional previamente determinado.

El proceso genérico de los métodos de adaptación de malla, mostrado en la

Fig. 4.1, consiste en solucionar, con una malla inicial, un problema con un

determinado método numérico (en este caso FEM), después se realiza una estimación

del error de aproximación y a partir de esta información se ajusta la malla;

posteriormente se soluciona el problema con dicha malla nueva esperando obtener

una solución más precisa. El proceso continúa de forma iterativa hasta que la solución

83

alcance un nivel de precisión deseado o se agote el trabajo computacional

previamente dedicado a la tarea de adaptación.

.

Figura 4.1. Diagrama de flujo del método de elemento finito con adaptación de malla [42].

Los métodos de adaptación de malla se diferencian entre sí, principalmente, por la

forma en que estiman el error de aproximación y la técnica que emplean para ajustar

la malla.

En términos de la forma en que estiman el error de aproximación, se tienen los

métodos que estiman el error elemento por elemento (Golias-Tsiboukis [42] y

Fernades-Girdinio [43], entre otros) y los que se basan en el principio de

equidistribución, el cual busca distribuir el error de toda la solución de forma

equitativa en cada uno de los elementos en los que se divide el dominio (por ejemplo

Thompson et. al [37], Huang-Sloan [39], Chen [38] y Mackenzie [41], entre otros).

En términos de la técnica que se emplea para ajustar la malla, los métodos de

adaptación de malla se dividen, de acuerdo a [44], en: tipo-r, tipo-h, tipo-p y tipo-hp.

En pocas palabras:

Inicio

Generación de malla inicial

Proceso de ensamblado

Solución del sistema de ecuaciones

si

no

Estimación del error

Ajuste de lamalla

Fin ¿Convergencia?

FEM Adaptación de malla

84

• Los métodos tipo-r redistribuyen los nodos de la malla (cantidad de nodos fija)

generando una mayor concentración en lugares con relativa alta variación de la

solución y una menor concentración en donde la solución es relativamente

suave.

• Los métodos tipo-h aumentan el número de elementos en las regiones donde la

solución varía relativamente de forma rápida.

• Los tipo-p aumentan el orden del polinomio (con el que se aproxima la

solución dentro de un elemento) en las regiones de relativa alta variación en la

solución.

• Finalmente, los métodos tipo-hp combinan las características de los métodos

tipo-h y tipo-p.

La precisión de la solución al emplear los métodos tipo-h, p, o hp puede ser tan

alta como lo determine el usuario (y lo permita la capacidad computacional

disponible), aunque su implementación involucra un nivel de complejidad

considerable. En contraste, a pesar de que los métodos tipo-r se implementan con

mayor simplicidad (“cantidad de nodos fija” equivale a “estructuras de datos sin

modificaciones”), la precisión que se puede alcanzar con una malla con una cantidad

de nodos fija está acotada por la distribución óptima de sus nodos (malla óptima).

Una malla óptima, en términos de adaptación de malla tipo-r, es aquella cuya

distribución de nodos permite obtener la máxima precisión en la solución de un

problema determinado.

En este capítulo se presenta la formulación de un método de adaptación de malla

tipo-r, el cual utiliza el principio de equidistribución como estimador (o detector) del

error de aproximación. Para este propósito, se considera al método numérico como un

bloque, cuya información de entrada es una malla y cuya información de salida es la

solución numérica de determinado problema. Este desarrollo pretende,

principalmente, explicar con cierto detalle la información presentada en el texto de

Thompson et. al [37] y las publicaciones de Huang-Sloan [39] y Mackenzie [41].

Finalmente se implementa el método en la solución de la ecuación de Laplace en un

dominio bidimensional en forma de L.

85

El “proceso de adaptación de malla tipo-r empleando equidistribución” será

referido a partir de este punto como “proceso de adaptación de malla”.

IV.1. Lazo de retroalimentación de adaptación de

malla

La figura 4.2 muestra el diagrama de flujo general de la solución de un problema a

través de FEM empleando un número predeterminado de iteraciones del proceso de

adaptación de malla.

Figura 4.2. Lazo de retroalimentación de adaptación de malla.

Idealmente, el número de ciclos en el lazo de retroalimentación de adaptación de

malla debe ser el necesario para obtener la malla óptima correspondiente al problema

bajo análisis. Sin embargo, debido a que la principal motivación del uso de

adaptación de malla es, precisamente, la optimización del trabajo computacional

empleado en el proceso de FEM, en este trabajo se utiliza únicamente una iteración

Inicio

FEM

Fin si

no

Malla inicial

PROCESO DE ADAPTACIÓN DE MALLA

Malla nueva

¿Iteraciones

del proceso de adaptación

completadas?

86

del proceso de adaptación de malla, esto es: 1) el problema se resuelve a través de

FEM utilizando la malla inicial, 2) a partir de estos resultados se obtiene una malla

nueva a través del proceso de adaptación, y, finalmente, 3) se resuelve nuevamente

el problema a través de FEM empleando la malla nueva.

IV.2. Fundamentos de la técnica de

equidistribución

De acuerdo a lo establecido por Thompson et al. en [37] y confirmado por Mackenzie

en [41], se ha demostrado que es posible reducir el error en la solución numérica de

problemas de valores en la frontera, en una dimensión, al distribuir los nodos de la

malla de tal forma que una función monitor positiva ( )( )M U x , la cual es un

indicador del error o de variaciones en la solución ( )U x del problema, se distribuya

equitativamente a lo largo del dominio. Lo anterior se puede expresar, al considerar

una malla de N elementos ( 1N + nodos), 0 2 ...a N bx x x x x x= = < < < = ,

perteneciente a un dominio unidimensional [ ],f a bx xΩ = , como

( )( ) ( )( )1 1Constantei

i

x x

x x

b

aM U x dx M U x dx

N+

= ≡∫ ∫ . (4.1)

La expresión (4.1), la cual representa el principio de equidistribución, se puede

escribir en forma discreta utilizando cuadratura de punto medio como

1 12 2

11 10

1Constante Ni iii i

h M h MN

−

+ +=+ += ≡ ∑ , (4.2)

donde

1 1 , para 0,1,..., 1i i ih x x i N+ += − = − , (4.3)

y

87

12

1 , para 0,1,..., 12

i ii

x xM M i N++

−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.4)

Analizando (4.2) se puede establecer, en términos prácticos, que para que una

malla se considere equidistribuida en los elementos en donde la magnitud de 12

iM

+ sea

relativamente alta la distancia entre los nodos de dicho elemento deberá ser

relativamente pequeña, de forma similar, en los elementos en donde la magnitud de la

función monitor sea relativamente baja la dimensión de 1ih + deberá ser relativamente

alta, y así sucesivamente.

Una de las funciones monitor más empleadas se desarrolla a partir de la longitud

de arco ( ds ), de la variación de ( )U x a lo largo del elemento que va de x hasta

x dx+ , esto es, ( ) ( )( )( )1/ 222ds dx dU x= + , la cual se conoce como longitud de arco

escalonada y se define en Thompson et al. [37] por

( ) ( )1/ 22

21dU x

M xdx

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

. (4.5)

El parámetro real 2 0α ≥ controla el nivel de la influencia del gradiente de ( )U x al

evaluar la función monitor. Cuando 0α = , o cuando la solución es constante

( ( ) / 0dU x dx = ), la función monitor (4.5) genera mallas con espaciamiento uniforme.

En términos generales, el uso de funciones monitor basadas en la longitud de arco

hace énfasis en la detección del error en las regiones donde existen variaciones

relativamente rápidas de la solución, o, en otras palabras, nos permite obtener

resultados más exactos cerca de las partes no suaves de ( )U x Chen [40].

88

IV.2.1. Formulación del sistema de ecuaciones

Citando literalmente a Thompson et al. [37]: “Es posible demostrar que la

distribución de los nodos en una malla es asintóticamente óptima sí un indicador del

error es distribuido equitativamente, y que este error óptimo es suficientemente

estable ante perturbaciones en dicha malla. Por lo tanto no es necesario localizar los

nodos con excesiva exactitud.” Tomando en cuenta lo anterior, en este capítulo se

presenta una implementación de la técnica de equidistribución línea por línea, la cual

emplea diferencias finitas [17] y el método de Newton-Raphson [45].

Introduciendo el vector de soluciones en los nodos 0 , .., TNU U U= , la función

monitor (4.5) se escribe en forma discreta, al utilizar diferencias centradas, como

12

1/ 222 1

1

1 , 0,1,..., 1i ii

i

U UM i Nh

α ++

+

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟= + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

. (4.6)

Al evaluar la parte izquierda de (4.2) en cada uno de los N elementos en los que se

discretiza el dominio, se obtiene

12

12

12

1

2 1

,

,

... ...,N N

h M C

h M C

h M C

+

−

=

=

==

(4.7)

donde C es una constante.

Con el propósito de eliminar C , se sustraen expresiones adyacentes en (4.7), lo

que da como resultado el siguiente sistema de N ecuaciones, con N incógnitas

( 1, ...,T

Nh h h= ):

89

1 12 2

1 12 2

1 12 2

1 2 1

2 31 2

1 ( 1)

1 2 3 1

... 0

... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... 0

... 1

N NN N

N N

h M h M

h M h M

h M h M

h h h h h

+

+ +

− − − −

−

− =

− =

=− =

+ + + + + =

(4.8)

La ecuación número N del sistema (4.8) tiene como propósito asegurar que,

independientemente de las modificaciones que puedan sufrir las dimensiones de los

distintos elementos en el intento de satisfacer (4.2), la longitud del dominio

( [ ],f a bx xΩ = ) permanezca fija, esto es,

( )1

10

N

i b ai

h x x−

+=

= −∑ . (4.9)

Con el fin de considerar válida la solución del sistema (4.8), se debe cumplir 1 0ih + >

para 0,1,... 1i N= − .

El conjunto de expresiones (4.8), escrito en forma matricial como

1 12 2

1 12 2

1 12 2

11

1 2 2

1( 1)

0 ... 0 00

0 ... 0 0 0... ...... ... ... ... 0 0

00 0 0 ...1

1 1 1 ... 1 1

NN N

N

M Mh

M M h

hM Mh

+

+ +

−− − −

−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎣ ⎦

, (4.10)

constituye un sistema no lineal de N ecuaciones simultáneas. Una forma de

solucionar este sistema es empleando el método de Newton-Raphson [45].

90

IV.2.2. Solución del sistema de ecuaciones

En esta sección se resuelve el sistema de ecuaciones de la técnica de equidistribución

empleando el método de Newton-Raphson. Reescribiendo (4.8) como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 12 2

1 12 2

1 2 1 1 21

1 1 1( 1)

1 2 1

... ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ,

... 1

n n n n n n n

n n n n n n nN N N N NN N

n n n nN N

h M h M f h h

h M h M f h h

h h h h

+

− − −− − −

−

− =

=

− =

+ + + + =

(4.11)

donde el superíndice n indica la iteración de Newton-Raphson a la que pertenece la

información; por ejemplo, el estimado inicial de la malla se representa por ( ) 0h

(donde 0n = ). Al linealizar este sistema a través de la expansión de la serie de

Taylor [45], se obtiene

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 1 1

1

1 11 1

1

1

...

... ...... ... ...

...

01 ... 1

n n

N

n nN NN N

Nn

N

nN

n nN N

nh h

h h

f f fh h

ff fh h

δ

δ

δ

− −− −

⎡ ⎤∂ ∂ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.12)

donde 1, ...,T

Nδ δ δ= se conoce como variable de corrección.

La ecuación número N en (4.12) garantiza que, independientemente de la

corrección que pueda sufrir la dimensión de cada elemento con el propósito de

satisfacer (4.12) (y finalmente (4.11)), la longitud del dominio debe permanecer fija,

esto es,

1

10

0N

ii

δ−

+=

=∑ . (4.13)

91

Una vez que se obtiene δ se calcula el nuevo estimado ( ( ) 1nh + ) como

( )

( )

( )

( )

( )

( )

11 1 1

1

... ... ...

n n n

n n nN N N

h h

h h

δψ

δ

+

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

, (4.14)

donde el propósito de ψ , conocido como parámetro de relajación, es el de auxiliar a

la convergencia del proceso. El superíndice 1n + índica que el estimado nuevo se

obtiene a partir de la información en n . Tal y como se propone en Mackenzie [41], en

este trabajo se utiliza únicamente una iteración del proceso de Newton-Raphson.

IV.2.3. Planteamiento en una dimensión

Considerando un proceso que involucra diferentes etapas, se definen los vectores

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1

2 2 2

1 2

0 2

1

, , ..., : Elementos en ,

, , ..., : Soluciones obtenidas empleando ,

, , ..., : Funcs. monitor obtenidas empleando , y ,

T

N

T

N

T

N

h h h h

U U U U h

M M M M h U

κ κ κ κ

κ κ κ κ κ

κ κ κ κ κ κ

κ

+ −

=

=

=

(4.15)

donde el superíndice κ indica la etapa a la que se relaciona la información.

Partiendo de la notación especificada en (4.15) y asumiendo que κ , en este caso,

represente la etapa inicial, es posible ejemplificar la situación más probable de la

información que ingresa al proceso de adaptación de malla como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

1 2 1... N N

h M h M h Mκ κ κ κ κ κ

+ −≠ ≠ ≠ . (4.16)

92

La expresión (4.16) indica que la malla ( ) h κ no está equidistribuida con respecto a

( ) M κ . Sin embargo, una vez que se implementa la técnica de equidistribución, tal

como se muestra en la Fig. 4.3, se obtiene la malla nueva

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 2, , ..., Nh h h hκ κ κ κ+ + + += , (4.17)

donde 1κ + indica que la malla es adaptada con respecto a la información en κ .

Figura 4.3. Diagrama de flujo de la técnica de equidistribución.

Con base en que (4.17) se obtiene a través de un método numérico se establece

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

1 1 11 2 1

... N Nh M h M h Mκ κ κ κ κ κ+ + +

+ −≈ ≈ ≈ ; (4.18)

lo que indica que la malla ( ) 1h κ + está aproximadamente equidistribuida con respecto

a ( ) M κ . Sin embargo, sí a partir de la malla nueva ( ) 1h κ + se obtuviera ( ) 1U κ + , y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

1 2 1... N N

h M h M h Mκ κ κ κ κ κ

+ −≠ ≠ ≠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

1 1 11 2 1

... N Nh M h M h Mκ κ κ κ κ κ+ + +

+ −≈ ≈ ≈

PROCESO DE ADAPTACION DE MALLA

Método deNewton-Raphson

( ) 1h κ+ : Malla nueva

Construcción del sistema de ecuaciones simultaneas

EQUIDISTRIBUCIÓN

93

posteriormente ( ) 1M κ + , finalmente se repetiría lo establecido en (4.16) (ya que (4.18)

se sostiene para ( ) M κ y no para ( ) 1M κ+ ). A pesar de lo anterior, la ecuación (4.18)

garantiza que la malla ( ) 1h κ+ tome en cuenta el comportamiento de ( ) U κ ; en otras

palabras, donde ( ) M κ tenga una magnitud alta (una variación mayor de ( ) U κ ) los

elementos nuevos correspondientes en ( ) 1h κ + deberán ser más pequeños (nodos más

cercanos) y donde ( ) M κ tenga una magnitud baja (una variación menor de ( ) U κ )

los elementos en ( ) 1h κ + deberán ser más largos (nodos más alejados). Por lo tanto, sí

esta malla nueva se utiliza en el cálculo de ( ) 1U κ + , considerando que ( ) ( )U U xκ ≈

(donde ( )U x es la solución exacta del problema), se espera obtener

( ) ( ) 1 ( ) ( )U U x U U xκ κ+ − < − , (4.19)

esto es, que la solución ( ) 1U κ + sea más precisa que ( ) U κ . Los siguientes pasos explican el

razonamiento anterior en forma detallada:

• %% Comentario: La malla inicial ( ) h κ no toma en cuenta el comportamiento

de la solución del problema ( )U x .

• Paso 1: Se calcula ( ) U κ empleando la malla inicial ( ) h κ .

• Paso 2: Se obtiene ( ) 1h κ + a partir de ( ) U κ .

• %% Comentario: La malla ( ) 1h κ+ toma en cuenta el comportamiento de

( ) U κ (donde ( ) ( )U U xκ ≈ ).

• Paso 3: Se calcula ( ) 1U κ + empleando la malla ( ) 1h κ + .

• %% Comentario: Se espera obtener ( ) ( ) 1 ( ) ( )U U x U U xκ κ+ − < − .

94

Partiendo de lo anterior, con el propósito de obtener mallas más eficientes a través de

las cuales se puedan realizar cálculos con resultados más precisos, se puede

implementar el proceso de adaptación de malla como un proceso iterativo de la

técnica de equidistribución (ver Fig. 4.4).

Figura 4.4. Diagrama a bloques general del proceso iterativo de la técnica de equidistribución.

La figura 4.4 presenta el planteamiento en el cual empleando una solución nueva

( ) 1U κ + se puede obtener una malla nueva más eficiente ( ) 2h κ + , a través de la cual

se puede calcular un resultado todavía más preciso ( ) 2U κ + , de tal forma que,

sucesivamente, se forme un ciclo virtuoso en el cual la precisión de los resultados

aumente a la par del número de iteraciones.

Con el propósito de obtener resultados más precisos, el cálculo sucesivo de la

solución nueva dentro del proceso de adaptación ( ( ) 1U κ + en la Fig. 4.4) podría

realizarse empleando FEM; sin embargo, ya que este cálculo forma parte del proceso

de adaptación de malla (ver Fig. 4.5), y que, desde el punto de vista práctico (de

acuerdo a Mackenzie [41]) y desde el punto de vista del comportamiento asintótico

del error (como se menciona en Thompson et al. [37]), no existe la necesidad de

utilizar trabajo computacional del mismo orden en la solución del problema y en el

proceso de adaptación de malla, entonces la solución nueva ( ) 1U κ + se obtiene a

través de interpolación lineal empleando ( ) h κ , ( ) U κ y ( ) 1h κ + .

( )h κ

( ) ( )( )U hκ κ

( ) ( )( )1h Uκ κ+

( ) ( )( )1 1U hκ κ+ +

Malla Inicial

Cálculo de ( )U κ con ( )h κ

Cálculo de ( )1U κ + con ( )1h κ +

Obtención de ( )1h κ + con ( )U κ

(Equidistribución) 1κ κ= +

95

La figura 4.5 muestra el diagrama de flujo de la solución de un problema a través

de FEM, empleando adaptación de malla.

Figura 4.5. Diagrama de flujo de la solución de un problema a través de FEM empleando adaptación

de malla.

En dicho diagrama se observa, delimitado por un cuadrilátero punteado, el

proceso de adaptación de malla descrito por el siguiente algoritmo:

Inicio

( ) Malla Inicial ( 0): .m mh =

FEM

¿Procesos de Adaptación

completados?

Fin

Construcción del Sistema de Ecuaciones Simultaneas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1interp , ,U h U hκ κ κ κ+ +=

PROCESO DE ADAPTACIÓN DE MALLA - - - - - - -

EQUIDISTRIBUCIÓN

( ) ( ) mh hκ =

( ) Solución FEM (Malla actual): .mU

Método de Newton-Raphson

¿Iteraciones de equidistribución completadas?

( ) 1 Malla Nueva:h κ +

(reinicia)0 κ =

no

si

si

no

( ) ( ) mU Uκ =

rocesos de Adaptación,

teraciones de Equidistribución.

: P

: I

m

κ

( )actualiza1 m m= +

( )actualiza1 κ κ= +

( ) ( ) mh h κ=

96

INICIO ( 0κ = )

A. Acción: Se construye el sistema de ecuaciones simultaneas (4.8) (cálculo de

1 1 12 2 2

1, , ...,

NM M M M

+ −= a través de (4.6) con ( ) h κ y ( ) U κ ).

B. Acción: Se obtiene una malla nueva ( ) 1h κ + (solución de (4.8) empleando el

Método de Newton-Raphson).

C. Toma de Decisión: ¿Iteraciones de equidistribución completadas?

si: DETENER.

no: CONTINUAR al paso D.

D. Acción: Se calcula una solución nueva ( ) 1U κ + (empleo de interpolación de

primer orden con ( ) h κ , ( ) U κ y ( ) 1h κ+ ).

( 1κ κ= + )

REGRESAR al paso A.

El número de iteraciones de la técnica de equidistribución depende del tipo de

estudio que se pretenda realizar; éste número se puede fijar a priori o determinar a

través de algún mecanismo de medición de eficiencia de la malla adaptada o de la

solución del problema (durante la ejecución del proceso de adaptación).

IV.3. Equidistribución en dos dimensiones

En esta sección se implementa la técnica de equidistribución, línea por línea, para dos

dimensiones. Sí se considera un dominio bidimensional donde se define el problema

físico 2f RΩ ∈ , las coordenadas espaciales , , ,,

T

i j i j i jx y=x y las líneas de coordenadas

, 0,1,..., ,i i i NXξ = = (4.20)

y

, 0,1,..., ,j j j NYη = = (4.21)

97

donde NX y NY son, respectivamente, el número de subdivisiones en la direcciones

x y y (ver Fig. 4.6), y donde las coordenadas en los nodos están dadas por

( ) ( ), ,, y ,i j i j i j i jx x y yξ η ξ η= = , (4.22)

entonces, según [39], [41], una malla localmente equidistribuida es aquella que

( ) ( ) ( )1, ,1

, 0,

1i j NX jj

i j jM ds M ds c

NXη+ = =∫ ∫

x x

x xx x , (4.23)

para 0,1,..., 1i NX= − y 0,...,j NY= y

( ) ( ) ( ), 1 ,2

, ,0

1i j i NYj

i j iM ds M ds c

NYξ+ = =∫ ∫

x x

x xx x , (4.24)

para 0,1,..., 1j NY= − y 0,1,...,i NX= .

Se considera localmente equidistribuida, ya en lugar de pretender que la malla

satisfaga el principio de equidistribución en todo el dominio bidimensional de forma

simultánea, esto es,

( )1 Constantef

M dsNXNY Ω

=∫ x , (4.25)

cada una de las expresiones (4.23) y (4.24) corresponde a un problema unidimensional

cuya solución representa, respectivamente, una distribución de nodos a lo largo de

cada una de las líneas de coordenadas (4.21) y (4.20) (ver Fig. 4.6).

Partiendo de la longitud de arco escalonada de la variación de U , a lo largo del

elemento cuya superficie va de , Tx y=x hasta , Td x dx y dy+ = + +x x , esto es,

( ) ( ) [ ] ( )1/ 2 1/ 222 , , , ,T Tds dU dx dy dx dy dx dy M dx dyα= + = , (4.26)

98

Figura 4.6. Dominio bidimensional físico 2f RΩ ∈ .

la función monitor unidimensional (4.5) se define, de acuerdo a [39], [41], para dos

dimensiones como

[ ]

2

22

1 00 1

U U Ux x y

MU U Ux y y

α

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

. (4.27)

IV.3.1. Sistema de ecuaciones en dos dimensiones

En esta sección se presenta la formulación del sistema de ecuaciones para la

implementación del método de adaptación de malla en dos dimensiones línea por

línea.

0ξ 1ξ 1NXξ − NXξ0η

1η

1NYη −

NYη

: Número de subdivisiones en ,: Número de subdivisiones en ,

NX xNY y

( ) ( ) ( )( )( )

1,1 1,1 1 1 1 1, , , ,

nodo: 1,1NX NX NX NXx y x y

NX

ξ η ξ η− − − −=

−

( ) ( ) ( )( )( )

0,0 0,0 0 0 0 0, , , ,

nodo: 0,0

x y x yξ η ξ η=

99

Se define como enlace internodal, al punto medio entre dos nodos consecutivos;

por ejemplo, el enlace internodal ( )12 , i j+ representa el punto medio entre los nodos

( ) ( ), ,, ,i j i ji j x y= y ( ) ( )1, 1,1, ,i j i ji j x y+ ++ = , (ver Fig. 4.7).

Figura 4.7. Nodos y enlaces internodales

Se discretizan las ecuaciones (4.23) y (4.24) en los enlaces internodales ( )12 , i j+ y

( )12, i j + , respectivamente, como

( )12

1/ 2

1, , 1, ,1,

1, , 1, ,

Ti j i j i j i j

ji ji j i j i j i j

x x x xM c

y y y yη+ +

++ +

⎛ ⎞− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎜ ⎟ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

, (4.28)

para 0,1,..., 1i NX= − , 0,1,...,j NY= , donde ( )12

1/ 2, ,i j jiM M ξ η+ +

= , y

( )12

1/ 2

, 1 , , 1 ,2,

, 1 , , 1 ,

Ti j i j i j i j

ii ji j i j i j i j

x x x xM c

y y y yξ+ +

++ +

⎛ ⎞− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎜ ⎟ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

, (4.29)

( ),i j ( )1,i j+

( ), 1i j + ( )1, 1i j+ +

( )1 12 2,i j+ +

( )12 ,i j+

( )12,i j +

Nodo

Enlace internodal

100

para 0,1,...,i NX= , 0,1,..., 1j NY= − , donde ( )1 12 2

,,ii j j

M M ξ η+ += . Al definir

( ) 1, ,1,x i j i ji jhx x x++

= − , (4.30)

( ) 1, ,1,x i j i ji jhy y y++

= − , (4.31)

( ) , 1 ,, 1y i j i ji jhx x x++

= − , (4.32)

( ) , 1 ,, 1y i j i ji jhy y y++

= − , (4.33)

las ecuaciones (4.28) y (4.29) se pueden reescribir, respectivamente, como

( )( )

( )( ) ( )1

2

1/ 2

1, 1,1,

1, 1,

,

para 0,1,..., 1, 0,1,..., ,

Tx xi j i j

ji jx xi j i j

hx hxM c

hy hy

i NX j NY

η+ +

++ +

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤⎜ ⎟ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠= − =

(4.34)

y

( )( )

( )( )

( )12

1/ 2

, 1 , 12,

, 1 , 1

,

para 0,1,..., , 0,1,..., 1.

T

y yi j i jii j

y yi j i j

hx hxM c

hy hy

i NX j NY

ξ+ +

+

+ +

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎡ ⎤ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

= = −

(4.35)

donde para un dominio bidimensional cuadrilateral

[ ] [ ]( , ), ( , ) ( , ), ( , )a a b b a a c cx y x y x y x y× ,

se debe cumplir

( ) ( )1

1,0

NX

x b ai ji

hx x x−

+=

= −∑ , para 0,1,...,j NY= , (4.36)

( ) ( )1

1,0

NX

x b ai ji

hy y y−

+=

= −∑ , para 0,1,...,j NY= , (4.37)

101

( ) ( )1

, 10

NY

y c ai jj

hx x x−

+=

= −∑ , para 0,1,...,i NX= , (4.38)

( ) ( )1

, 10

NY

y c ai jj

hy y y−

+=

= −∑ , para 0,1,...,i NX= . (4.39)

Eliminado las constantes ( )1 jc η y ( )2 ic ξ , las ecuaciones (4.34) y (4.35) se reescriben,

respectivamente, como

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )1 1

2 2

1/ 2 1/ 2

, , 1, 1,

, ,, , 1, 1,

0,

T Tx x x xi j i j i j i j

i j i jx x x xi j i j i j i j

hx hx hx hxM M

hy hy hy hy+ +

− ++ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.40)

para 1,..., 1i NX= − , 0,1,...,j NY= y

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )1 1

2 2

1/ 2 1/ 2

, , , 1 , 1

, ,

, , , 1 , 1

0,

T T

y y y yi j i j i j i j

i j i jy y y yi j i j i j i j

hx hx hx hxM M

hy hy hy hy+ +

− +

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.41)

para 0,1,...,i NX= , 1,..., 1j NY= − .

Con el propósito de resolver los sistemas (4.40) y (4.41) empleando el método de

Newton-Raphson, éstos se reescriben, respectivamente, como

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1/ 2 1/ 2

, 1,, ,0x xi j i ji j i j

hx MX hx MX+− +

− = , (4.42)

para 1,..., 1i NX= − , 0,1,...,j NY= y

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1/ 2 1/ 2

, ,, , 10y yi j i ji j i j

hy MY hy MY− ++

− = , (4.43)

102

para 0,1,...,i NX= , 1,..., 1j NY= − , donde

( ) ( ) ( )( )

( )( )1 1

2 2

1/ 21/ 2

1, 1,

1, , ,1, 1,

para 0,1,..., 1, 0,1,..., ,

Tx xi j i j

x i j i j i jx xi j i j

hx hxhx MX M

hy hy

i NX j NY

+ +

+ + ++ +

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤⎜ ⎟= ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠= − =

, (4.44)

y

( ) ( ) ( )( )

( )( )1 1

2 2

1/ 2

1/ 2, 1 , 1

, ,, 1

, 1 , 1

para 0,1,..., , 0,1,..., 1.

T

y yi j i jy i j i ji j

y yi j i j

hx hxhy MY M

hy hy

i NX j NY

+ +

+ ++

+ +

⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎡ ⎤= ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠

= = −

, (4.45)

La expresión (4.42) es similar a 1NY + sistemas (4.8); mientras que de la misma

forma, la expresión (4.43) es similar a 1NX + sistemas (4.8).

Con la intención de que las funciones monitor registren con mayor eficiencia la

variación de la solución, éstas se definen de la siguiente manera [39]:

( )1 1 1 1 12 2 2 2 2, , ,

12i j i j i j

MX MX MX+ + + + −

= + , (4.46)

( )1 1 1 1 12 2 2 2 2

, , ,

12i j i j i j

MY MY MY+ + + − += + , (4.47)

donde

( )( )

( )( )

( )( )

1 11 12 2 1 12 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

2221,2

,, , 1,

1, 1,

, , 1, 1,

...

2

x i j

i ji j xi j i j

x xi j i j

i j x xi j i j i j

hyU UMXx y hx

hy hyU Ux y hx hx

α +

+ ++ + + + +

+ +

+ + + + + +

⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎜= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠⎝⎝

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

1/ 22

1 ,⎞⎞⎟+⎟

⎟ ⎟⎠ ⎠

(4.48)

103

( )( )

( )( )

( )( )

1 11 12 2 1 12 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

2221,2

,, , 1,

1, 1,

, , 1, 1,

...

2

x i j

i ji j xi j i j

x xi j i j

i j x xi j i j i j

hyU UMXx y hx

hy hyU Ux y hx hx

α +

+ −+ − + − +

+ +

+ − + − + +

⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎜= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠⎝⎝

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

1/ 22

1 ,⎞⎞⎟+⎟

⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎠

(4.49)

( )( )

( )( )

( )( )

1 11 12 2 1 12 22 2

1 1 1 12 2 2 2

22 2

, 12,

,, , 1

, 1 , 1

, , , 1 , 1

...

2

y i j

i ji j yi j i j

y yi j i j

i j y yi j i j i j

hxU UMYy x hy

hx hxU Ux y hy hy

α +

+ ++ ++ + +

+ +

+ + + + + +

⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜⎜ ⎝ ⎠⎝⎝

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

1/ 22

1 ,⎞⎞⎟⎟ + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎠

(4.50)

y

( )( )

( )( )

( )( )

1 11 12 2 1 12 22 2

1 1 1 12 2 2 2

22 2

, 12,

,, , 1

, 1 , 1

, , , 1 , 1

...

2

y i j

i ji j yi j i j

y yi j i j

i j y yi j i j i j

hxU UMYy x hy

hx hxU Ux y hy hy

α +

− +− +− + +

+ +

− + − + + +

⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜⎜ ⎝ ⎠⎝⎝

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

1/ 22

1 ;⎞⎞⎟⎟ + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎠

(4.51)

a su vez,

( ) ( )1 1

2 2

1, 1 , 1 1, ,

, 1, 1 1,

12

i j i j i j i j

i j x xi j i j

U U U UUx hx hx

+ + + +

+ + + + +

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

, (4.52)

y

( ) ( )1 1

2 2

1, 1 1, , 1 ,

, 1, 1 , 1

12

i j i j i j i j

y yi j i j i j

U U U UUy hy hy

+ + + +

+ + + + +

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞∂ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

. (4.53)

Las derivadas 1 12 2,i j

Ux + −

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

y 1 12 2,i j

Ux − +

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

se obtienen de forma similar a (4.52), lo mismo

que 1 12 2,i j

Uy + −

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

y 1 12 2,i j

Uy − +

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

con respecto a (4.53).

104

IV.3.2. Suavizado de la malla

Una de las consideraciones propuestas por Thompson et al. [37] para ser tomadas en

cuenta al momento de implementar efectivamente alguna técnica de adaptación de

malla, es la suavidad en la distribución de los nodos, esto es, que la concentración de

nodos entre regiones con alta y baja variación en la solución sea gradual y no brusca.

La ausencia de esta característica en alguna malla puede reducir el grado de exactitud

en los resultados numéricos [37], [39], [41].

De acuerdo con Mackenzie [41], el uso de la técnica de equidistribución en dos

dimensiones línea por línea puede generar mallas no suaves. Con base en lo mostrado

en las secciones anteriores, y tal como lo resaltan Huang-Sloan en [39], se puede

observar que la técnica de equidistribución no cuenta con ningún mecanismo para el

control de la calidad de la malla. Por tal razón, en esta sección se emplea la

estrategia de suavizado mostrada en la referencia [39]. Dicha técnica está basada en lo

propuesto por Dorfi-Drury en [38] y consiste en suavizar la función monitor de la

siguiente manera:

1122

11

,,

1 1

19 1

k i l jji

i jk l

k i l j

MX MX γγ

− + −++

++

= − = −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ , (4.54)

para 1,..., 2i NX= − , 1,..., 1j NY= − y

1122

11

,,

1 1

19 1

k i l jji

i jk l

k i l j

MY MY γγ

− + −++

++

= − = −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ , (4.55)

para 1,..., 1i NX= − , 1,..., 2j NY= − ; donde nueve es el número de elementos que

participan en las sumatorias, y γ , conocido como parámetro suavizador, es una

constante positiva. Las expresiones (4.54) y (4.55) suavizan la función monitor con los

elementos adyacentes en su misma línea de coordenadas y con los elementos en las

líneas de coordenadas adyacentes; por ejemplo, la implementación de (4.54) para

suavizar 12,i j

MX+

con 2γ = es

105

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

2 1 2, 1 1 3, 1 , 1 , 1

2 2 2

1 0 11 1 3, , ,2 2 2

2 1 21 1 3, 1 , 1 , 12 2 2

1 0.666 0.666 0.666 ...9

0.666 0.666 0.666 ...

0.666 0.666 0.666 .

i ji j i j i j

i j i j i j

i j i j i j

MX MX MX MX

MX MX MX

MX MX MX

+− + + + + +

− + +

− − + − + −

⎛= + + +⎜

⎝

+ + +

⎞+ + ⎟

⎠

(4.56)

La expresión (4.56) muestra como la función 12,i j

MX+

se promedia ponderadamente

(suaviza) con las funciones monitor de los elementos que la rodean y como la

influencia de dichas funciones monitor circundantes disminuye a medida que éstas se

encuentran más alejadas del enlace internodal ( )12 ,i j+ . Los límites de las sumatorias

en las expresiones (4.54) y (4.55) están fijados de tal modo que éstas solo se pueden

aplicar en elementos que no se encuentren en la frontera; sin embargo, modificando

apropiadamente dichos límites y el número de elementos involucrados en el

suavizado, estas expresiones se pueden aplicar en cualquier punto del dominio; esto

es, 0,1,..., 1i NX= − , 0,1,...,j NY= para (4.54), y 0,1,...,i NX= , 0,1,..., 1j NY= − para

(4.55).

Utilizando las ecuaciones (4.54) y (4.55), y considerando lo mencionado en el

párrafo anterior en relación a su implementación en todo el dominio, (4.42) y (4.43)

se pueden reescribir, respectivamente, como

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1/ 2 1/ 2, ,, 1,

0i j i jx xi j i jhx MX hx MX− ++

− = , (4.57)

para 1,..., 1i NX= − , 0,1,...j NY= y

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

1/ 2 1/ 2, ,

, , 10i j i jy yi j i j

hy MY hy MY− ++

− = , (4.58)

para 0,1,...i NX= , 1,..., 1j NY= − .

106

IV.3.3. Implementación de equidistribución en dos

dimensiones

En esta sección se presenta un algoritmo para la implementación de la técnica de

equidistribución en dos dimensiones, línea por línea, basado en el propuesto por

Mackenzie en [41].

Se define

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0,0 0, 0,0 0,

, ,

,0 , ,0 ,

... ...... ... ... , ... ... ...

... ...

NY NY

i j i j

NX NX NY NX NX NY

x x y y

x x y y

κ κ κ κ

κ κ

κ κ κ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x y , (4.59)

como la información de la malla en la etapa κ de un proceso de diferentes etapas.

Tomando en cuenta la notación en (4.59) la técnica de adaptación de malla se

implementa en dos dimensiones al seguir los siguientes pasos:

1. Se fija 0m = . Los valores iniciales de ( )mx y ( )my son los de una malla uniforme

de NX NY× elementos.

2. Se obtiene ( ) ( ) ( )( ),m m m=U U x y a través de FEM.

3. ¿Es 1m = ?

si: DETENER, ( )mx , ( )my es la malla adaptada, ( )mU es la solución final.

no: ( ) ( )mκ =U U , ( ) ( )mκ =x x , ( ) ( )mκ =y y , CONTINUAR al paso 4.

4. Se fija 0κ = . (Inicio de proceso de adaptación de malla)

5. Se calcula

( ) ( )( )

( )

( )

( )12, , , , 0,1,..., 1, 0,1,...,i jMX MX i NX j NY

κ κκ κ

κ κ+⎛ ⎞∂ ∂

= = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

U Ux yx y

a través de (4.54).

6. Se soluciona (4.57) para ( )1κ +x con ( )κx y MX en cada una de las j líneas de

coordenadas 1,..., 1j NY= + (empleando (4.11), (4.12) y (4.14)).

107

7. Se calcula

( ) ( )( )

( )

( )

( )12

1, , , , 0,1,..., , 0,1,..., 1i jMY MY i NX j NY

κ κκ κ

κ κ+

+⎛ ⎞∂ ∂

= = = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

U Ux yx y

a través de (4.55).

8. Se soluciona (4.58) para ( )1κ +y y MY en cada una de las i líneas de

coordenadas 1,..., 1i NX= + (empleando (4.11), (4.12) y (4.14)).

9. ¿Es ( )valor predeterminadoκ = ?

si: ( ) ( )m κ=x x , ( ) ( )m κ=y y ; avanza índice a 1m = , REGRESAR al paso 2.

no: CONTINUAR al paso 10.

10. Se calcula ( )1κ +U a través de interpolación lineal empleando ( )κx , ( )κy , ( )κU ,

( )1κ +x , ( )1κ +y . Actualiza índice 1κ κ= + . REGRESAR al paso 5

IV.4. Resultados numéricos

En esta sección se aplica la técnica de adaptación de malla a un problema de prueba

con solución analítica conocida. La ventaja de este tipo de problemas es que el error

entre la solución analítica y numérica se puede calcular exactamente en todo el

dominio. En este cálculo se emplea 2 1α = en la función monitor, 0.5ψ = en el

método de Newton-Raphson y 2γ = al evaluar la función monitor suavizada.

Ejemplo 6.1. Empleando FEM y adaptación de malla, se soluciona la ecuación

bidimensional de Laplace

2 2

2 2 0U Ux y

∂ ∂+ =

∂ ∂, para ,x y∈Ω , (4.60)

con condición de frontera

( ) ( )( )1/10, sin , /10 / 3U r x y x yθ π= + , para ,x y d∈ Ω , (4.61)

108

en el dominio en forma de L mostrado en la Fig. 4.8. En (4.61) ( ),r x y y ( ),x yθ son

las coordenadas polares.

Figura 4.8. Geometría de dominio Ω en forma de L.

La solución analítica para este problema es

( ) ( )( )1/10, sin , /10 / 3U r x y x yθ π= + , para ,x y∈Ω . (4.62)

Se calcula la solución del problema en una malla uniforme de ( ) ( )1 1N N+ × + puntos

en cada región ( RI , RII y RIII ) a través de la interpolación lineal de la solución

obtenida con FEM (ver Fig. 4.9).

Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM de ( ) ( )5 5NX NY= × = ) y malla de solución interpolada

( 21 21× puntos) de la región III del dominio en la Fig. 4.8.

109

La figuras 4.10 y 4.11 muestran los errores norma L∞ y 2L contra el número de

iteraciones de la técnica de equidistribución (κ ) para los casos en donde el número de

elementos en cada una de las regiones es ( 10) ( 10)NX NX= × = y

( 20) ( 20)NX NX= × = . Ambas normas se evalúan tomando en cuenta la solución

interpolada con mallas de 101 101× puntos en cada región.

0 1 2 3 4 5 7 9 10 12 1516

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Iteraciones Equidist. ( κ )

||err

or||

L ∞

L∞, Malla Uniforme

L∞, Malla Adaptada ( α2=1)

0 1 2 3 4 5 7 9 10 12 1516

1

1.21.41.61.8

22.22.42.62.8 x 10-4


||err

or||

L 2 / (P

unto

s de

Inte

rp.) L2, Malla Uniforme

L2, Malla Adaptada( α2=1)

(a) (b)

Figura 4.10. Error para el caso ( ) ( )10 10NX NY= × = : (a) L∞ y (b) 2 puntos de interp./L

0 1 2 3 4 5 7 9 10 12 15160.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


||err

or||

L ∞

L∞, Malla Uniforme

L∞, Malla Adaptada( α2=1)

0 1 2 3 4 5 7 9 10 12 1516

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 10-4

Iteraciones Equidist. ( κ)

||err

or||

L 2 / (P

unto

s de

Inte

rp.) L2, Malla Uniforme

L2, Malla Adaptada( α2=1)

(a) (b)

Figura 4.11. Error para el caso ( ) ( )20 20NX NY= × = : (a) L∞ y (b) 2 puntos de interp./L

La figura 4.10 presenta la reducción y convergencia del error a la vez que el

número de iteraciones aumenta. Sin embargo, en la Fig. 4.11 se observa que una vez

110

que el error alcanza un punto mínimo, éste aumenta de nuevo y entra en un

comportamiento oscilatorio.

Con base en la información obtenida, con el propósito de obtener una malla que

permita realizar cálculos más precisos en la solución del problema analizado, se

recomienda un número de siete iteraciones en la técnica de equidistribución.

Comparando los resultados de los dos casos analizados, se observa que el error

obtenido con la malla adaptada para 7κ = en el caso ( 10) ( 10)NX NX= × =

(Fig. 4.10) es del mismo orden que el que se obtiene con la malla uniforme

( 20) ( 20)NX NX= × = (Fig. 4.11).

La solución del Ej. 6.1, en el caso ( 10) ( 10)NX NX= × = , a través de FEM con

adaptación de malla, se presenta en la Fig. 4.12, para antes y después del proceso de

adaptación. En la figura 4.12(d) se observa como los nodos de la malla se mueven

hacia el centro del dominio (donde existe una mayor variación de la solución).

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(a) (b)

Figura 4.12. Información caso ( ) ( )10 10NX NY= × = . Sol. FEM malla inicial: (a) malla FEM inicial,

(b) vista superior,...

111

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

U

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

(c) (d)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

U

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(e) (f)

Figura 4.12 (continuación). (c) vista lateral. Sol. FEM malla adaptada: (d) malla FEM adaptada

( 7κ = ), (e) vista superior y (f) vista lateral.

112

Capítulo V

Conclusiones y trabajo futuro

V.1. Conclusiones

Las conclusiones que se desprenden a partir de la realización de este trabajo son:

• El estudio de las características de dispersión de guías de onda en forma de L y

en forma de T contribuye a la compresión del comportamiento del campo

electromagnético, lo que permite el diseño de dispositivos más eficientes así

como la mejor operación de dispositivos ya existentes.

• El empleo de elementos triangulares facilita la discretización de dominios

irregulares; como en el caso de guías de onda en forma de L y en forma de T

con modificaciones en su estructura.

• Con base en el análisis de la resolución de malla realizado se concluye que, al

estudiar diferentes frecuencias, el empleo de mallas con p gh h= genera

resultados más precisos a medida que la frecuencia de operación se incrementa.

• Los comportamientos de las características de dispersión en guías de onda en

forma de L y en forma de T obtenidos en este trabajo (empleando el método

de elemento finito de Galerkin basado en nodos) presentan considerable

similitud con los obtenidos (y reportados) por otros autores mediante el

empleo de técnicas distintas. En la mayor parte de los casos analizados, las

modificaciones a la estructura en las regiones de discontinuidad de las guías de

onda en forma de L y en forma de T, resultan en mejoras a las características

de dispersión (mejora tanto en la magnitud del coeficiente de transmisión como

en el ancho de la banda de frecuencias recomendado para transmisión). Sin

embargo, es posible que aun cuando las modificaciones en la estructura de la

113

guía de onda no generen mejoras sustanciales en la magnitud de la

transmisión, éstas puedan modificar las frecuencias de máxima transmisión del

dispositivo.

• Una de los efectos negativos que posiblemente afecta a la propagación de una

onda a través de las regiones de discontinuidad en guías de onda en forma de

L y en forma de T, es la modificación de la frecuencia de corte en dichas

regiones de discontinuidad; lo anterior a causa de la variación del grueso de la

estructura en tales puntos.

• El método de adaptación de malla tipo-r, empleando equidistribución, es

conceptualmente complejo, aunque una vez comprendido su implementación es

relativamente sencilla. Sin embargo, una de las principales desventajas de este

método de adaptación de malla, proviene, precisamente, de su planteamiento

teórico; esto es, que debido a que la malla de FEM tiene un número fijo de

nodos, el error mínimo que se puede obtener para dicha malla está acotado por

la malla óptima; en otras palabras, para un determinado problema, solo se

puede reducir el error hasta un determinado orden.

• Una desventaja desde el punto de vista de implementación es la determinación

de los parámetros α , γ y ψ ; esto es, los valores óptimos de dichos parámetros

(aquellos que generan la malla óptima) son específicos al problema bajo

solución, lo que se contradice ampliamente con el carácter general de FEM (el

cual se puede implementar en diferentes campos, prácticamente, sin

modificaciones).

• El método de adaptación de malla tipo-r es relativamente fácil de implementar

y auxilia en la comprensión del concepto general de adaptación de malla; sin

embargo, debido a la relativa suavidad de la soluciones de los problemas de

electromagnetismo, la reducción del error no es necesariamente significativa,

por lo que existe el riego de que su empleo en la solución de problemas del

campo electromagnético sea injustificado.

114

V.2. Trabajo futuro

Se propone el siguiente trabajo futuro:

• La solución de problemas con dominios no homogéneos.

• Análisis de la resolución de la malla en la dirección perpendicular a la

propagación.

• El empleo de FEM de elementos vectoriales.

• La implementación de los métodos de adaptación de malla tipo-h y tipo-p.

• Finalmente, se propone la implementación de estimadores de error, con el

propósito de realizar estudios cuantitativos de la precisión de la aproximación

numérica en problemas sin solución analítica o, en su defecto, no práctica.

115

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[46] Matlab, http://www.mathworks.com.

119

Apéndice A

Ecuaciones de Maxwell en forma integral

En este apéndice se presentan las ecuaciones de Maxwell en forma integral.

sC S

ddl ddt

⋅ = − ⋅∫ ∫∫E B (Ley de Faraday) (A.1)

s sC S S

ddl d ddt

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫∫ ∫∫H D J (Ley de Ampere generalizada) (A.2)

sS V

d dvρ⋅ =∫∫ ∫∫∫D (Ley de Gauss) (A.3)

s 0S

d⋅ =∫∫ B (Ley de Gauss - C. Magnético) (A.4)

donde

=E Intensidad del campo eléctrico (volt/metro) , =H Intensidad del campo magnético (ampere/metro), =D Densidad de flujo eléctrico (coulomb/metro cuadrado), =B Densidad de flujo magnético (weber/metro cuadrado), =J Densidad de corriente (ampere/metro cuadrado), =ρ Densidad de carga (coulomb/ metro cúbico).

En (A.1) y (A.2) S es una superficie abierta delimitada por un contorno C ; así

mismo, en (A.3) y (A.4) S es una superficie cerrada que delimita un volumen V .

120

Apéndice B

Deducción de la formulación débil

En este apéndice se presenta la deducción de la formulación débil de la integral del

residuo ponderado de la ecuación de Helmholtz.

Al sustituir el operador

2 2

22 2x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂ (B.5)

en la formulación fuerte

2 2

22 2 , 1, 2,3

e

e eee e e

i iU UR N k U d ix yΩ

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= + + Ω =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ (B.6)

se obtiene

2 2 , 1, 2,3.e e

e ee e e e ei i iR N U d k N U d i

Ω Ω= ∇ Ω + Ω =∫∫ ∫∫ (B.7)

Sí se define eiN A= y

eU B= , se puede reescribir la identidad vectorial

( ) ( ) ( )

2A B A B A B∇⋅ ∇ = ∇ + ∇ ⋅ ∇ (B.8)

como

( ) ( ) ( )2 e e ee e e

i i iN U N U N U∇ = ∇⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇ . (B.9)

121

La aplicación de (B.9) en (B.7) da como resultado

( ) ( ) ( )

2

, 1,2,3

e

e

e ee e e ei i i

ee ei

R N U N U d

k N U d i

Ω

Ω

= ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇ Ω

+ Ω =

∫∫

∫∫ (B.10)

Aplicando el teorema de la divergencia:

ls

F ds F dl∇ ⋅ = ⋅∫ ∫ n , (B.11)

en (B.10) para

, y ,ee e e

iN U F s l∇ = Ω = Γ = (B.12)

se tiene

( ) ( )( )

2

, 1,2,3.,

e e

e

e ee e e e ei i i

ee ei

R N U d k N U d

N U d i

Ω Ω

Γ

= − ∇ ⋅ ∇ Ω + Ω

+ ∇ ⋅ Γ =

∫∫ ∫∫

∫ n (B.13)

donde n es un vector unitario normal a eΓ . Finalmente, al sustituir el operador

x y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

x y (B.14)

en (B.13) se obtiene la formulación débil como

2

1,2,3.

e e

e

e ee e ee e e ei ii i

e eee e

i

N U N UR d k N U dx x y y

U UN d ix y

Ω Ω

Γ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟= − + Ω + Ω⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ + ⋅ Γ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ x y n

(B.15)

122

Apéndice C

Distribución del campo

En este apéndice se presentan las distribuciones del campo para los diferentes casos

analizados en el capítulo III.

C.1. Guía de onda convencional

La figura C.1 muestra la distribución del campo en una guía de onda convencional

para las diferentes frecuencias analizadas en la sección III.1 con resg 100n ≈ .

C.2. Guía de onda en forma de L

Las figuras C.2-C.7 muestran la distribución del campo en una guía de onda en forma

de L para las diferentes frecuencias y valores de l analizados en la sección III.2.1.

C.3. Guía de onda en forma de T

Finalmente, la distribución del campo en una guía de onda en forma de T, para las

diferentes frecuencias y valores de l analizados en la sección III.2.2, se muestra para

el caso “puerto de entrada: puerto 1” en las Figs. C.8-C.12 y para el caso “puerto de

entrada: puerto 3” en la Fig. C.13.

123

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.1. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda convencional con 4 cmb = :

(a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01TE →

x

y

zE

x

y

zE

01TE →

x

y

zE

01TE →

x

y

zE

01TE→

x

y

zE

01TE→

x

y

zE

01TE→

124

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.2. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de L con 0l =

( 1 2 4 cmb b= = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

125

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.3. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de L con / 5l b=

( 1 2 4 cmb b b= = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

126

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 4 cmb b b= = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

127

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 4 cmb b b= = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

128

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 4 cmb b b= = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

129

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.7. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de L con l b=

( 1 2 4 cmb b b= = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE

01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE

130

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.8. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de T con 0l =

( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zEx

y

zE01

TE↑

131

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.9. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de T con / 5l b=

( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

132

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

133

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE

134

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ , (b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ ,

(c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ , (d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ ,

(e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y (f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

x

y

zE01

TE↑

135

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura C.13. Distribución de la parte real de zE en una guía de onda en forma de T con puerto de

entrada en puerto 3, ( 1 2 3 4 cmb b b b= = = = ): (a) ( )01

4.44 GHz ( 1.19 )op op cf f f≈ ≈ ,

(b) ( )01

4.80 GHz ( 1.28 )op op cf f f≈ ≈ , (c) ( )01

5.22 GHz ( 1.39 )op op cf f f≈ ≈ ,

(d) ( )01

5.71GHz ( 1.52 )op op cf f f≈ ≈ , (e) ( )01

6.32 GHz ( 1.68 )op op cf f f≈ ≈ y

(f) ( )01

7.06 GHz ( 1.88 )op op cf f f≈ ≈ .

x

y

zE

01TE →

x

y

zE

01TE →

x

y

zE

01TE →01TE →

x

y

zE

x

y

zE

01TE →

x

y

zE

01TE →

1Encuentro de Investigación en IE, 5 — 7 de Abril, 2005

Equation Chapter 1 Section 1

Encuentro de Investigación en Ingeniería Eléctrica Zacatecas, Zac, Abril 5 — 7, 2006

Análisis de la Propagación Electromagnética en una Guía de Onda tipo-L utilizando FEM Fernando Cervantes Leyva, Miguel A. Álvarez Cabanillas, Juan José Tapia Armenta

Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología Digital

Av. del parque 1310, Mesa de Otay, Tijuana, B.C., México, 22510.

Teléfono 01 (664) 623 13 44

[email protected], [email protected], [email protected]

Resumen — Se presenta la solución de la ecuación de Helmholtz dentro de una guía de onda utilizando el Método de Elemento Finito (FEM). Se investiga la distribución del campo electromagnético en una guía de onda de planos paralelos tipo-L. La ecuación de Helmholtz tiene solución analítica para algunos problemas de electromagnetismo, sin embargo, cuando la estructura bajo estudio presenta geometrías irregulares, o materiales no homogéneos, es posible que una solución de este tipo no exista, o en su defecto, sea complicada de obtener. FEM es adecuado para la solución de problemas con estas características. Abstract — The solution of the Helmholtz equation in a waveguide is found using the Finite Element Method (FEM). The field distribution in an L-type parallel plate waveguide is investigated. The Helmholtz equation can be solved analytically for certain problems, although, when the structure under study has an irregular geometry, or is non homogeneous, solutions of this type can be inexistent or difficult to find. FEM is efficient to handle problems with these characteristics.

Palabras clave — Electromagnetismo, Guías de Onda, Método de Elemento Finito, Métodos Numéricos.

I. INTRODUCCIÓN L desarrollo de computadoras de alta velocidad ha hecho posible la eficiente utilización de métodos numéricos para el estudio de problemas

de electromagnetismo con solución analítica inexistente o complicada de obtener.

Una guía de onda es una estructura metálica, cerrada, y hueca la cual mantiene una misma sección transversal durante una determinada longitud. Esta tiene la capacidad de transportar el campo electromagnético [1].

Una guía de onda de planos paralelos está formada por placas planas paralelas conductoras, separadas por un material dieléctrico. Su forma más simple puede observarse en la Figura 1. Se asume que los campos dentro de la estructura son los mismos a los que se presentarían si los planos fueran de un ancho infinito ( , en la Figura 2); lo que significa que para su estudio las variaciones en la dirección no son tomadas en cuenta [2].

a →∞z

Las guías de onda tipo-L (ver Figuras 2 y 3) se utilizan para la modificación de la dirección del campo transmitido.

Figura 1. Guía de Onda de Planos Paralelos Sencilla.

En un problema de electromagnetismo de valores en

la frontera, todas las soluciones (o configuraciones) del campo, las cuales satisfacen las ecuaciones de

E

Encuentro de Investigación en IE, 5 — 7 de Abril, 2005 2

onda, las ecuaciones de Maxwell, y las condiciones de frontera, son referidas como modos [3]. Las características de estos modos dependen, principalmente, de la dimensión de la sección transversal de la guía de onda, el tipo de material dieléctrico dentro de esta, y la frecuencia de operación [4].

En una guía de onda homogénea los modos se clasifican como: (Transversal Magnético), donde el vector del campo magnético es transversal a la dirección de propagación, y TE (Transversal Eléctrico), donde el vector del campo eléctrico es transversal a la dirección de propagación.

TMH

E

Para el estudio de microondas se utilizan diferentes métodos numéricos, siendo los principales el Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD), el Método de Elemento Finito (FEM), y el Método de Momentos (MoM). Un par de comparaciones de distintos métodos numéricos aplicados a microondas puede consultarse en [5], [6].

El Método de Elemento Finito es actualmente uno de los métodos numéricos más importantes y usados en la solución de problemas de Electromagnetismo. De una manera resumida, FEM consiste en subdividir la región de solución de un problema determinado en un número finito de subregiones más pequeñas, conocidas como elementos. En lugar de obtener una solución completa para todo el problema la solución aproximada se compone del ensamblado de las soluciones obtenidas dentro de cada elemento. Los puntos que definen al elemento son conocidos como nodos, y el ensamble de estos elementos es conocido como malla.

FEM es adecuado para la solución de problemas los cuales presenten geometrías irregulares y medios no homogéneos.

Figura 2. Guía de Onda tipo-L.

En 1996 Coccioli, Itoh, Pelosi, y Silvestre presentaron una selección de bibliografía referente a FEM en microondas [7].

Este documento está estructurado de la siguiente manera: la solución analítica del campo dentro de una guía de onda para el modo TE , así como el modelo el

problema, son presentados en la sección II; en la sección III se muestra una introducción a FEM; finalmente en IV se muestran los resultados numéricos obtenidos.

IIII.. EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE HHEELLMMHHOOLLTTZZ EENN UUNNAA GGUUÍÍAA DDEE OONNDDAA DDEE PPLLAANNOOSS PPAARRAALLEELLOOSS

La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial parcial de segundo orden la cual describe la variación espacial del campo electromagnético.

A. Problema tipo TE Antes de resolver numéricamente la guía de onda tipo-L se presenta la solución analítica del campo, en el modo TE , para la propagación dentro de la estructura mostrada en la Figura 1.

Se considera una guía de onda de planos paralelos de dos dimensiones, con fronteras conductoras perfectas (PEC). Un material referido como PEC es aquel en el cual no existe campo eléctrico a ninguna frecuencia. Estos planos tienen separación b . La guía se extiende desde −∞ hasta en las direcciones

y . La dirección de propagación es en la coordenada , y se asume que el medio entre los planos es el espacio libre,

+∞x z

x0 0µ ε . Debido a que la

estructura es independiente de , los campos deben serlo también, por lo tanto

z

0.EHz⎧ ⎫∂

=⎨ ⎬∂ ⎩ ⎭ (1)

Esto implica que los campos Eléctrico, , y Magnético, , son funciones de

EH ( ),x y .

En este análisis se considera que los campos son armónicos con el tiempo, ( )exp j tω . Esta variación es suprimida con fines de simplificación.

El campo electromagnético es descrito por las siguientes ecuaciones 0jωµ∇× = −E H

J (2)

0 + .H Ejωε∇× = (3) Donde la densidad de corriente , y los campos , y

, son cantidades vectoriales. Así mismo J E

H ω es la frecuencia angular, y 0 y 0µ ε son la permeabilidad y permitividad del espacio libre respectivamente.

Aplicando (1), considerando la ausencia de corriente ( 0=J ), y el modo de propagación TE las expresiones (2) y (3) pueden reducirse a


x 0/zE y j Hωµ∂ ∂ = − (4)

0/z yE x j Hωµ∂ ∂ = (5)

0/ / y xH x H y j E .zωε∂ ∂ −∂ ∂ = (6)

La ecuación de Helmholtz para el modo TE , se obtiene a partir de (4), (5), y (6), y está dada por, (7) 2 2 2 2 2

0/ /z zE x E y k E∂ ∂ + ∂ ∂ + = 0z

donde, 0 2 /k 0 0π λ ω µ ε= = es el número de

onda, y λ es la longitud de onda. Una vez resuelta (7), habiéndose impuesto las

correspondientes condiciones de frontera (analizado a fondo en la sección II.B), se encuentra la componente

. zEDebido a que la guía es de longitud infinita, las variaciones de los campos en la dirección deben de representar ondas viajeras [3].

x

0( ) .jk xz

xE x E e−= (8) A partir de este punto se referirá a una guía de onda

de planos paralelos simplemente como guía de onda. A su vez se considerará, en todos los casos, que el material que constituye a los planos es un PEC, y el material entre las placas es el espacio libre.

B. Solución del Campo En orden de resolver (7) es necesario imponer condiciones de frontera.

Como se menciona en la sección II.A, se considera que el material del cual se componen los planos de la guía es un PEC. Aplicando lo anterior, a la guía de onda de la Figura 1, significa: Para el modo , TE (9) 0, en 0, .zE y= = bLa cual es conocida como condición de frontera de Dirichlet.

Si el espacio entre los planos del sistema bajo análisis es mucho mayor que la profundidad de penetración (skin depth), la asunción del conductor perfecto de es suficientemente buena para encontrar las distribuciones del campo [2, Sección 13.4].

0=E

Aplicando la condición de frontera (9) a la solución de (7) se obtiene , y a partir de (4) y (5) el resto de las componentes del campo del modo , [9],

zETE

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

, / / cos /

, / sin /

, sin /n

x

nxjk x

jk xn

jk xx

x

y x

z

H x y C j n b n b y e

H x y C k n b y e

E x y C n b y e

ωµ π π

ωµ π

π

−

−

−

=

= −

=

(10)

donde es una constante, y nC /yk n bπ= , (con

1, 2, 3,...n = ). La condición /n bπ asegura que la solución del campo con respecto a y sea la de una onda estacionaria.

La solución en detalle de la ecuación de Helmholtz en una guía de onda puede consultarse en [3], [8]. Al implementar métodos numéricos, debido a que se cuenta con una memoria computacional finita, el problema de una guía de longitud infinita debe ser reducido al de una longitud finita, por lo tanto es necesario imponer fronteras virtuales que simulen estas condiciones. La condición de frontera que simula la propagación del campo hacia infinito, para la entrada y salida de la guía de la Figura 1, se obtiene al aplicar a (8) la derivada con respecto a la dirección de propagación, / z xE x jk E .z∂ ∂ = − (11)

Donde 2 20

2x yk k k= + , por lo tanto, 2 2

0x yk k k= − .

Los parámetros , y x yk k denotan las constantes de

propagación en las direcciones , y x y . La necesidad de (11) es justificada en la sección III.C.

C. Guía de Onda de Planos Paralelos tipo-L Se considera una guía de onda homogénea de dos puertos como la mostrada en la Figura 3. La región de solución Ω está limitada por una frontera de metal

mΓ y por las fronteras virtuales , y 1Γ 2Γ las cuales corresponden al puerto 1 (entrada) y al puerto 2 (salida), respectivamente. En este estudio se supone que la guía de onda transmite en el modo fundamental

, y que la componente del campo eléctrico satisface la ecuación de Helmholtz en dos dimensiones:

01TE zE

( )2 2 2 2 20/ / zx y k E 0 .∂ ∂ + ∂ ∂ + = (12)

Al mismo tiempo que las siguientes condiciones de frontera, 1. La frontera de metal no produce pérdidas (PEC),

por lo tanto, se impone la condición de frontera de Dirichlet,

m0 en .E = Γ (13) 2. De acuerdo a [11, Sección 4.6.1], si la frontera

virtual correspondiente a la entrada de la guía se encuentra localizada a una distancia de por lo menos una longitud de onda de la discontinuidad,


el campo en ese punto puede expresarse como la suma de las ondas incidente y reflejada,

0 0inc ref x xjk jkx x

z z zE E E E e RE e−= + = + (14)

donde es la amplitud de la onda incidente y 0ER denota el coeficiente de reflexión. Partiendo de (11) el campo se puede expresar por,

(15) 0 1/ 2 en .x xxxjk

z zE x jk E jk E e−∂ ∂ = − ΓDe forma similar, para la salida en el puerto 2 puede ser expresado como,

0trans y yjk

z zE E TE e−= = (16) donde es el coeficiente de transmisión y entonces el campo puede ser escrito como,

T

(17) 2/ en y zzE y jk E∂ ∂ = − Γ .

Figura 3. Guía de Onda de Planos Paralelos tipo-L.

IIIIII.. MMÉÉTTOODDOO DDEE EELLEEMMEENNTTOO FFIINNIITTOO ((FFEEMM)) Cuando la geometría de una estructura es irregular, la solución analítica de (12) puede no existir o tornarse complicada. Una alternativa para resolver este tipo de problemas es la implementación de métodos numéricos. En este trabajo se soluciona la ec. de Helmholtz utilizando FEM de residuos ponderados de Galerkin.

El análisis de un problema de Electromagnetismo utilizando FEM está compuesto por los siguientes pasos básicos [11]: a) Discretización o subdivisión del dominio. b) Selección de los polinomios de interpolación. c) Formulación del sistema de ecuaciones. d) Solución del sistema de ecuaciones. En [12], se propone un conjunto de pasos muy similares.

A. Discretización del Dominio La discretización del dominio consiste en subdividir la región de solución, Ω , en un determinado número finito de subregiones, eΩ . Para este trabajo se utilizan elementos triangulares lineales basados en nodos (ver Figura 4).

Figura 4. Elemento Triangular Lineal.

Una de las principales ventajas de los elementos triangulares, sobre los rectangulares o cuadrados, es que estos pueden generar mallas más precisas en superficies irregulares.

B. Selección de los Polinomios de Interpolación Para un elemento triangular lineal, el cual cuenta con 3 nodos, la solución de la función desconocida u (campo eléctrico o magnético ) es aproximada por el siguiente polinomio de interpolación [11], [12],

E H

( ) 1 2 3, e e eu x y a a x a y= + + .e

, ej

3e

(18)

Donde , , y son coeficientes constantes

desconocidos a ser determinados, y es la solución aproximada dentro del elemento .

1ea 2

ea 3ea

eue

Al evaluar (18) en cada uno de los nodos del elemento se obtiene un sistema líneal de 3 ecuaciones. Este sistema es resuelto para los coeficientes constantes , , y y, al sustituir sus respectivos valores en (18), se obtiene la solución aproximada dentro del elemento e ,

1ea 2

ea 3ea

(19) ( ) ( )3

1

,e ej

j

u x y H x y u=

= ∑donde es el valor de la solución del nodo del

elemento , mientras que

eju j

e 1 2, , y e eH H H son las funciones base,


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

21 2 3 3 2 2 3 3

2 3 1 1 3 3 1 1 3

3 1 2 2 1 1 2 2 1

12

121

2

e

e

e )

H x y x y y y x x x yA



⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦

(20)

las cuales también son conocidas como funciones forma. Donde A es el área del elemento triangular.

Cada función forma es un plano triangular, y presenta la siguiente propiedad,

(21) ( ) 1, .

0e e ei j j ij

i jH x y

i jδ

=⎧= = ⎨ ≠⎩

C. Formulación del Sistema de Ecuaciones El sistema de ecuaciones es derivado utilizando el método de residuos ponderados de Galerkin. En este método la función de ponderación es igual a la función base. El residuo correspondiente a (12) es

2 2

202 2

u urx y∂ ∂

= + +∂ ∂

k u

=

(22)

entonces, el residuo ponderado para el elemento e es (23) ( , ) = 0 1,2,3.

e

e e ei iR H x y r d i

Ω= Ω∫∫

En orden de un mejor aprovechamiento de espacio, a partir de este punto ( , )e e

i iH H x y= . Sustituyendo (22) en (23) da como resultado

2 2

202 2 .

e

e ei i

u uR H k u dx yΩ

⎡∂ ∂= + +⎢∂ ∂⎣ ⎦∫∫ e⎤

Ω⎥ (24)

Utilizando la identidad ( ) ( ) ( )2A B A B A B∇ ∇ = ∇ + ∇ ∇i i ,

y el teorema de la divergencia,

s lF ds F n dl∇ =∫ ∫i i , la expresión (24) puede ser

escrita como

20

e

e

e

e ee ei ii

e ei

ei

H Hu u

e

R dx x x x

k H u d

u uH x y n dx y

Ω

Ω

Γ

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂= − + Ω⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+ Ω

⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫

∫∫

∫ i Γ

(25)

donde denota el contorno que encierra eΓ eΩ , y e

n denota el vector normal saliente a eΓ . La expresión (25) es conocida como la formulación débil del problema. Sustituyendo (19) en (25) nos lleva a

3

1

20

.

e

e

e ee ej je i i

ij

e e e ei j j

ee ei

H HH HR

x x y y

k H H u d

u uH x y n dx y

Ω=

Γ

⎡ ∂∂ ∂= − −⎢

∂ ∂ ∂ ∂⎢⎣⎤

+ Ω⎥⎦

⎛ ⎞∂ ∂+ + Γ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑∫∫

∫ i

(26)

Definiendo,

,

,

, 1, 2,3

e e

j j

e

e

e

e ee ei ii j

e ei j i j

ee e ei i

e e

H HH HK d

x x y y

M H H d

u ug H x y n d i jx y

Ω

Ω

Γ

⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂= − −⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= Ω⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂= + Γ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫ i

Ω

(27)

la expresión (26) puede escribirse en forma matricial como 2

0e e e e e eR K u k M u g⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (28)

La expresión (28) es evaluada para cada uno de los elementos en los que está dividido el dominio y, con base al criterio de discretización, es ensamblada para obtener una ecuación matricial global correspondiente a todo el sistema [10], [11]. Esta matriz está dada por [ ] [ ]( ) 2

0K k M u g+ = − (29)

donde [ ]K y [ ]M son matrices de n n× , y los

vectores u y g son del orden de 1n × , donde el número de nodos totales del sistema. n

D. Solución del Sistema de Ecuaciones Antes de resolver (29) es necesario imponer las condiciones de frontera correspondientes al problema. Estas condiciones de frontera particularizan la solución de la ecuación de Helmholtz.

De acuerdo a (13) , para el caso , TE 0u = en mΓ , lo que significa que el valor de , en los nodos correspondientes a la frontera, es fijo.

zE

En el caso de las condiciones de frontera para los puertos de entrada y de salida, (15) y (17) se sustituyen, según sea el caso, en la última expresión de (27).

Finalmente, el sistema de ecuaciones puede ser resuelto como

[ ] [ ]( ) ( )120u K k M g

−= + − (30)

El vector u provee el valor del campo en los nodos. En orden de conocer el valor del campo en cualquier punto dentro del dominio es necesario sustituir la solución de (30) en (19).


Para una explicación más amplia sobre el método de elemento finito se recomienda consultar [10],[11], y [12].

IV. RESULTADOS NUMÉRICOS Se implementó FEM a través de un programa desarrollado en MATLAB. Para validar nuestro código se encontró la distribución del campo eléctrico en una guía de onda sencilla con los siguientes parámetros: sección transversal , tomándose una sección longitudinal finita . Una estructura con estas dimensiones tiene una frecuencia de corte para el modo fundamental de

, y de para el siguiente modo. El campo con el que se alimenta la guía varía a una frecuencia de por

lo que solo se transmite en el modo .

4.0 cmb =0 16.0 cmL =

( )013.75 GHzcf = ( )02

7.5 GHzcf =

6.25 GHzopf =

01TE

Figura 5. Magnitud del campo eléctrico en una guía

de onda de planos paralelos sencilla. La Figura 5 muestra la comparación entre el campo eléctrico , obtenido a través de FEM, y la solución analítica de esta guía. Estos valores corresponden a la región del punto medio de la sección transversal de la guía . El error de la solución numérica con respecto a la analítica es del orden de 0.1%

zE

( 00 , x L y b≤ ≤ = )/ 2

En orden de conocer la distribución del campo en una guía de onda tipo-L aplicamos nuestro programa a una guía con los siguientes parámetros: sección transversal y consideramos una longitud finita de cada sección . Al igual que en el caso anterior la frecuencia del campo con el que se alimenta la guía es .

La distribución de en esta guía obtenida a través de FEM es mostrada en la Figura 6.

zE

4.0 cmb =1 2= 16.0 cm L L =

6.25 GHzopf =

zE

Una guía con estas dimensiones, transmitiendo el

campo a dicha frecuencia, presenta un coeficiente de transmisión a la salida de . 0.79T ≈

V. CONCLUSIONES Se presentaron las soluciones analíticas del campo dentro de una guía de onda para el modo . Así mismo, se mostró una introducción al Método de Elemento Finito.

TE

Finalmente, se determinó la distribución de la componente del campo electromagnético dentro de una guía de onda sencilla, y una tipo-L, utilizando FEM.

zE

El análisis de este tipo de sistemas auxilia en el entendimiento del comportamiento del campo antes de estudiar sistemas con fronteras más complicadas.

Figura 6. Distribución del campo en una guía de

onda tipo-L . zE

REFERENCIAS [1] White, J.F., High Frequency Techniques, New York, IEEE Press,

Wiley Interscience, pp.240, 2004. [2] Ramo, S., Whinnery, J.R., Van Duzer T., Fields and Waves in

communication Electronics, 2ed, John Wiley & Sons, 1984. [3] Balanis, C. A., Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley

& Sons, 1989. [4] Sadiku, M. N. Demarest, K., Wave Propagation, The Electrical

Engineering Handbook, CRC Press, 2000. [5] Sorrentino, R., “Numerical Methods for Passive Components”, IEEE

MTT-S Digest, 1988. [6] Sadiku, M. N., “A Comparison of Numerical Methods for

Computing Electromagnetic Fields”, IEEE Proc., 1990. [7] Coccioli, R., Itoh, T., Pelosi, G., Silvestre, P.P., “Finite Element

Methods in Microwaves: A Selected Bibliography”, IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 38, No. 6, pp. 34-48, December 1996.

[8] Dudley, D.G., Mathematical Foundations of Electromagnetic Theory, New York, IEEE Press, 1994.

[9] Marcuvitz N., Wave Guide Handbook, McGraw-Hill, New York, 1951.

[10] Kwon, Y. W. Bang, H., The Finite Element Method using Matlab. CRC Press, 2000.

[11] Jin, J., The Finite Element Method in Electromagnetics, John Wiley & Sons, 2002.

[12] Sadiku, M.N., Numerical techniques in electromagnetics, CRC Press, 2001.

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