ACE-08-01-FEM-Fundamentos_FEM

Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 11

O MO Méétodo dos todo dos Elementos Elementos

FinitosFinitosAplicado a AnAplicado a Anáálise de lise de

EstruturasEstruturasFundamentosFundamentos


Fund

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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFEsta parte do Curso terEsta parte do Curso teráá como bibliografia como bibliografia bbáásica:sica:–– ZienkiewiczZienkiewicz, O.C, , O.C, ElEl MMéétodo de todo de loslos Elementos Elementos

FinitosFinitos. Ed. . Ed. RevertRevertéé. 1980.. 1980.–– AssanAssan, A.E., , A.E., MMéétodo dos Elementos Finitos todo dos Elementos Finitos ––

Primeiros PassosPrimeiros Passos. Ed. Unicamp. 2003.. Ed. Unicamp. 2003.–– BrebbiaBrebbia, C.A. e , C.A. e FerranteFerrante, A.J., , A.J., TheThe FiniteFinite

ElementElement TechniqueTechnique. Ed. UFRS. 1975.. Ed. UFRS. 1975.–– Smith, I.M. e Smith, I.M. e GriffithsGriffiths, D.V., , D.V., ProgrammingProgramming thethe

FiniteFinite elementelement MethodMethod. John . John WileyWiley & Sons. & Sons. 1998.1998.

–– BurnettBurnett, David S., , David S., FiniteFinite ElementElement AnalysisAnalysis: : fromfromConceptsConcepts to to ApplicationsApplications. . AddisonAddison--WesleyWesley Pub. Pub. 1987.1987.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEF–– SorianoSoriano, H.L. , H.L. MMéétodo de todo de ElemetosElemetos Finitos em Finitos em

AnAnáálise de Estruturaslise de Estruturas. . EdUSPEdUSP, 2002., 2002.–– Alves Filho, Avelino, Alves Filho, Avelino, Elementos Finitos Elementos Finitos –– A A

Base da Tecnologia CAE Base da Tecnologia CAE –– AnAnáálise Dinâmicalise Dinâmica..Ed. Ed. ÉÉrica. 2005.rica. 2005.

–– CookCook, Robert D., , Robert D., MalkusMalkus, David S. e , David S. e PleshaPlesha, , Michael E., Michael E., ConceptsConcepts andand ApplicationsApplications ofof FiniteFiniteElementElement AnalysisAnalysis. John . John WileyWiley & Sons& Sons. 1989.. 1989.

–– BatheBathe, Klaus , Klaus JJüürgenrgen., ., FiniteFinite ElementElementProceduresProcedures in in EngineeringEngineering AnalysisAnalysis. . PrenticePrentice--HallHall. 1992.. 1992.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEF

O O MMéétodo dos Elementos Finitostodo dos Elementos Finitos ––MEF MEF -- como jcomo jáá citado citado éé um mum méétodo de todo de ananáálise de modelos matemlise de modelos matemááticos de ticos de

problemas fproblemas fíísicos em meios contsicos em meios contíínuos. nuos. Essa modelagem Essa modelagem éé normalmente feita normalmente feita atravatravéés de equas de equaçções diferenciais ou ões diferenciais ou

equaequaçções integrais com suas ões integrais com suas respectivas respectivas condicondiçções de contornoões de contorno. .


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Assim, MAssim, Méétodo dos elementos Finitos todo dos elementos Finitos consiste na divisão do domconsiste na divisão do domíínio de nio de integraintegraçção em um não em um núúmero finito de mero finito de pequenas regiões denominadas de pequenas regiões denominadas de ‘‘elementos finitos’’, transformando o , transformando o

contcontíínuo em discreto, como mostram nuo em discreto, como mostram os exemplos a seguir:os exemplos a seguir:


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA essa divisão do domA essa divisão do domíínio se dnio se dáá o o nome de nome de ““malhamalha”” ((gridgrid em inglês). em inglês). A malha ou A malha ou gridgrid, , éé composto de composto de elementos compostos de arestas elementos compostos de arestas (faces) e n(faces) e nóós (pontos de interses (pontos de interseçção das ão das arestas):arestas):


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAgora, ao invAgora, ao invéés de se buscar uma s de se buscar uma funfunçção admissão admissíível que satisfavel que satisfaçça as a as condicondiçções de contorno para todo o ões de contorno para todo o domdomíínio, essas funnio, essas funçções agora devem ões agora devem ser definidas em cada elemento.ser definidas em cada elemento.Assim, para cada elemento Assim, para cada elemento éé montado montado um funcional um funcional ΠΠii, cuja soma, sobre todo , cuja soma, sobre todo a malha produz o funcional do doma malha produz o funcional do domíínio nio completo:completo:

1

n

ii=

Π= Π∑


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFEm cada elemento a funEm cada elemento a funçção de ão de aproximaaproximaçção ão éé formada por variformada por variááveis veis ααjjreferido aos nreferido aos nóós (denominadas de s (denominadas de parâmetros nodaisparâmetros nodais) e por fun) e por funçções ões denominadas de denominadas de funfunçções de forma ões de forma φφjj..Dessa maneira, a funDessa maneira, a funçção aproximadora ão aproximadora uu tem a seguinte forma:tem a seguinte forma:

1

m

j jj

u α φ=

=∑


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAssim, o funcional do todo fica:Assim, o funcional do todo fica:

A condiA condiçção de ão de estacionariedadeestacionariedade gera, gera, como no mcomo no méétodo de todo de RayleighRayleigh--RitzRitz, um , um sistema de equasistema de equaçções algões algéébricas bricas lineares:lineares:

( ) ( )1

n

j i ji

α α=

Π = Π∑

( ) ( ) ( )1 1 1

0n n m

i jj i j

i i j i

αδ α δ α

α= = =

∂ΠΠ = Π = =

∂∑ ∑∑


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFO sistema de equaO sistema de equaçções anterior, ões anterior, reproduzido abaixo:reproduzido abaixo:

fornece os valores dos parâmetros fornece os valores dos parâmetros nodais nodais ααj j que podem ser que podem ser deslocamentos, fordeslocamentos, forçças internas, ou as internas, ou ambos, dependendo da formulaambos, dependendo da formulaçção do ão do mméétodo dos elementos finitos utilizado.todo dos elementos finitos utilizado.

( ) ( ) ( )1 1 1

0n n m

i jj i j

i i j i

αδ α δ α

α= = =

∂ΠΠ = Π = =

∂∑ ∑∑



FinitosFinitosModelosModelos


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFMMéétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos –– modelo modelo dos deslocamentos ou da rigidezdos deslocamentos ou da rigidez::–– CampoCampo: deslocamentos descritos por fun: deslocamentos descritos por funçções ões

aproximadas;aproximadas;–– Entre os elementos se impões compatibilidade Entre os elementos se impões compatibilidade

de deslocamentos e eventualmente de alguma de deslocamentos e eventualmente de alguma de suas derivadas;de suas derivadas;

–– PrincPrincíípio Variacionalpio Variacional: princ: princíípio da energia pio da energia potencial mpotencial míínima;nima;

–– IncIncóógnitasgnitas: componentes dos deslocamentos : componentes dos deslocamentos nodais;nodais;

–– ResultadosResultados obtidos são sempre limites mobtidos são sempre limites míínimos nimos dos resultados exatos.dos resultados exatos.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFMMéétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos –– modelo modelo das fordas forçças ou da flexibilidadeas ou da flexibilidade::–– CampoCampo: tensões ou esfor: tensões ou esforçços internos descritos os internos descritos

por funpor funçções aproximadas;ões aproximadas;–– Entre os elementos se impões equilEntre os elementos se impões equilííbrio de brio de

tensões;tensões;–– PrincPrincíípio Variacionalpio Variacional: princ: princíípio da energia pio da energia

complementar mcomplementar míínima;nima;–– IncIncóógnitasgnitas: as tensões ou esfor: as tensões ou esforçços internos os internos

nodais;nodais;–– ResultadosResultados obtidos são sempre limites mobtidos são sempre limites mááximos ximos

dos resultados exatos.dos resultados exatos.–– Este modelo raramente Este modelo raramente éé utilizado na prutilizado na práática.tica.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFMMéétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos –– modelo modelo hhííbrido brido –– tipo 1tipo 1::–– CampoCampo: internamente são tensões em equil: internamente são tensões em equilííbrio; brio;

externamente ou nas bordas são deslocamentos externamente ou nas bordas são deslocamentos descritos por fundescritos por funçções aproximadas;ões aproximadas;

–– Entre os elementos se impões compatibilidade de Entre os elementos se impões compatibilidade de deslocamentos;deslocamentos;

–– PrincPrincíípio Variacionalpio Variacional: princ: princíípio da energia pio da energia complementar mcomplementar míínima modificada;nima modificada;

–– IncIncóógnitasgnitas: os deslocamentos nodais;: os deslocamentos nodais;–– Este modelo Este modelo éé utilizado na prutilizado na práática para problemas tica para problemas

de estado plano e flexão de placas.de estado plano e flexão de placas.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFMMéétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos –– modelo modelo hhííbrido brido –– tipo 2tipo 2::–– CampoCampo: internamente são deslocamentos; : internamente são deslocamentos;

externamente ou nas bordas são tensões externamente ou nas bordas são tensões descritos por fundescritos por funçções aproximadas;ões aproximadas;

–– Entre os elementos se impões equilEntre os elementos se impões equilííbrio de brio de tensões.tensões.

–– PrincPrincíípio Variacionalpio Variacional: princ: princíípio da energia pio da energia potencial mpotencial míínima modificada;nima modificada;

–– IncIncóógnitasgnitas: as tensões ou for: as tensões ou forçças nodais;as nodais;–– Este modelo Este modelo éé muito pouco utilizado na prmuito pouco utilizado na práática.tica.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFMMéétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos –– modelo modelo mistomisto::–– CampoCampo: simultânea e independentemente tensões e : simultânea e independentemente tensões e

deslocamentos descritos por fundeslocamentos descritos por funçções aproximadas;ões aproximadas;–– Entre os elementos se impões equilEntre os elementos se impões equilííbrio de tensões e brio de tensões e

compatibilidade de deslocamentos.compatibilidade de deslocamentos.–– PrincPrincíípio Variacionalpio Variacional: princ: princíípio da energia generalizado pio da energia generalizado

de de ReissnerReissner;;–– IncIncóógnitasgnitas: são tanto deslocamentos como tensões ou : são tanto deslocamentos como tensões ou

forforçças nodais;as nodais;–– ResultadosResultados obtidos não provêm limites mobtidos não provêm limites mááximos ou ximos ou

mmíínimos dos resultados exatos.nimos dos resultados exatos.–– Este modelo Este modelo éé utilizado na prutilizado na práática em problemas de tica em problemas de

flexão de placas e cascas.flexão de placas e cascas.



FinitosFinitosEsquema de AplicaEsquema de Aplicaççãoão


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FundaFunda--mentos mentos do MEFdo MEF

Esquema Esquema para para solusoluçção de ão de problemas problemas de meio de meio contcontíínuo nuo atravatravéés do s do mméétodo dos todo dos elementos elementos finitosfinitos


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFO O MEFMEF não se restringe não se restringe àà ananáálise lise estrutural, mas estendeestrutural, mas estende--se por todas se por todas as as ááreas da engenharia.reas da engenharia.Uma das Uma das ááreas mais crreas mais crííticas do ticas do mméétodo todo éé o processo de discretizao processo de discretizaçção ão por meio de por meio de ““elementos finitoselementos finitos””Esse processo deve incorporar no Esse processo deve incorporar no modelo elementos que tenham modelo elementos que tenham robustezrobustez e e eficiênciaeficiência. .


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFROBUSTEZROBUSTEZ -- se refere se refere àà capacidade capacidade do elemento fornecer bons resultados do elemento fornecer bons resultados em uma grande variedade de definiem uma grande variedade de definiçção ão de parâmetros de um mesmo modelo de parâmetros de um mesmo modelo matemmatemáático e de sua discretizatico e de sua discretizaçção ão como, por exemplo, propriedades como, por exemplo, propriedades diversas do material, condidiversas do material, condiçções de ões de contorno variadas, espessura fina e contorno variadas, espessura fina e semisemi--espessa em problemas de placa espessa em problemas de placa e casca, formas regulares e distorcidas e casca, formas regulares e distorcidas de elementos, etc.de elementos, etc.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFEFICIÊNCIAEFICIÊNCIA -- se refere se refere ààpotencialidade do elemento ser potencialidade do elemento ser utilizado em malhas que forneutilizado em malhas que forneççam am resultados, com precisão satisfatresultados, com precisão satisfatóória, ria, em processamentos computacionais em processamentos computacionais rráápidos comparativamente com outros pidos comparativamente com outros elementos considerados não eficientes. elementos considerados não eficientes. A A eficiênciaeficiência éé de fundamental de fundamental importância em animportância em anáálises nãolises não--lineares lineares ou transientes.ou transientes.



FinitosFinitosFundamentosFundamentos


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFNas aulas sobre Nas aulas sobre Fundamentos da Fundamentos da Teoria das EstruturasTeoria das Estruturas aprendeuaprendeu--se quese que

Onde se tem apenas um funcional Onde se tem apenas um funcional ΠΠ..

1

0

n

α

α

⎧ ⎫⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

α∂Π = + =∂

Kα f 0α

12Π= +T Tα Kα α f


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAqui se tem uma Aqui se tem uma rederede ou ou malhamalha de de elementos, onde os pontos de elementos, onde os pontos de interseinterseçção entre as linhas desses ão entre as linhas desses elementos se tem os elementos se tem os nnóóss..Para cada elemento finito Para cada elemento finito ii, , éé montado montado um funcional um funcional ΠΠii que, somados aos que, somados aos funcionais dos demais elementos funcionais dos demais elementos formam o funcional formam o funcional ΠΠ de domde domíínio nio ΩΩ::

1

n

ii=

Π= Π∑


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1

m

j jj

u a φ=

=∑

Para cada elemento Para cada elemento ii, a fun, a funçção de ão de aproximaaproximaçção ão éé formada por variformada por variááveis veis aaiireferidas aos referidas aos nnóóss do elemento, os do elemento, os parâmetros nodaisparâmetros nodais e por fune por funçções ões chamadas de chamadas de funfunçções de formaões de forma φφjj

Assim, uma funAssim, uma funçção de aproximaão de aproximaçção ão uutem a seguinte forma:tem a seguinte forma:


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFO funcional O funcional ΠΠ do domdo domíínio nio ΩΩ fica:fica:

A condiA condiçção de ão de estacionariedadeestacionariedade, gera , gera um sistema de equaum sistema de equaçções algões algéébricas bricas lineares, como no mlineares, como no méétodo de todo de RayleighRayleigh--RitzRitz::

( ) ( )1

n

j i ji

a a=

Π = Π∑

( ) ( ) ( )1 1 1

0n n m

i jj i j

i i j j

aa a

aδ δ

= = =

∂ΠΠ = Π = =

∂∑ ∑∑


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA soluA soluçção deão de

ddáá os valores dos parâmetros modais os valores dos parâmetros modais aajj que podem ser deslocamentos, que podem ser deslocamentos, forforçças internas, ou ambos, as internas, ou ambos, dependendo da formuladependendo da formulaçção ou mão ou méétodo todo adotado para o madotado para o méétodo dos elementos todo dos elementos finitos.

( ) ( ) ( )1 1 1

0n n m

i jj i j

i i j j

aa a

aδ δ

= = =

∂ΠΠ = Π = =

∂∑ ∑∑

finitos.


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Como visto, no caso do Como visto, no caso do modelo de modelo de deslocamentos ou de rigidezdeslocamentos ou de rigidez as as funfunçções aproximadoras descrevem ões aproximadoras descrevem o campo de deslocamentos e o o campo de deslocamentos e o princprincíípio da energia potencial pio da energia potencial mmíínimanima éé empregado, onde as empregado, onde as incincóógnitas são os componentes gnitas são os componentes dos deslocamentos nodais.dos deslocamentos nodais.


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No caso do No caso do modelo das formodelo das forçças ou da as ou da flexibilidadeflexibilidade o campo de tensões ou o campo de tensões ou esforesforçços internos os internos éé descrito pelas descrito pelas funfunçções aproximadoras e o ões aproximadoras e o princprincíípio da energia complementar pio da energia complementar mmíínimanima éé empregado, sendo as empregado, sendo as incincóógnitas as tensões ou esforgnitas as tensões ou esforçços os internos nodais.internos nodais.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFCondiCondiçções de Contornoões de Contorno–– NaturalNatural

São normalmente definidas por derivadas da São normalmente definidas por derivadas da funfunçção, e elas normalmente aparecem na ão, e elas normalmente aparecem na minimizaminimizaçção de um funcional;ão de um funcional;São ditas condiSão ditas condiçções de Neumannões de Neumann

–– EssenciaisEssenciaisSão condiSão condiçções de contorno geomões de contorno geoméétricas, que tricas, que precisam obrigatoriamente ser impostas;precisam obrigatoriamente ser impostas;São ditas condiSão ditas condiçções de ões de DirichletDirichlet



FinitosFinitosUm exemplo simplesUm exemplo simples


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFSeja a viga prismSeja a viga prismáática abaixo, da qual tica abaixo, da qual se quer se determinar a flecha e a se quer se determinar a flecha e a rotarotaçção na extremidade livre.ão na extremidade livre.


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFVamos resolvêVamos resolvê--la pelo mla pelo méétodo de todo de RayleighRayleigh--RitzRitz, adotando a seguinte , adotando a seguinte funfunçção aproximadora para representar ão aproximadora para representar as deflexões do eixo baricêntrico da as deflexões do eixo baricêntrico da viga:viga:

2 31 2 3 4( )v x a a x a x a x= + + +


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAs condiAs condiçções de contorno para esse ões de contorno para esse caso são:caso são:–– Deflexão nula no engaste:Deflexão nula no engaste:

–– Ângulo da deflexão no engaste Ângulo da deflexão no engaste éé nulo:

( )0 0v =nulo:

( )0 0v′ =


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAplicando essas condiAplicando essas condiçções de ões de contorno na funcontorno na funçção aproximadora, se ão aproximadora, se verifica que:verifica que:

Resultando:

( )( )

1

2

0 0 0

0 0 0

v a

v a

= ⇒ =′ = ⇒ =

Resultando:

( ) 2 33 4v x a x a x= +


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFO que se quer achar O que se quer achar éé a a flecha v(x)flecha v(x) e a e a rotarotaçção vão v´(x)(x) na extremidade livre, isto na extremidade livre, isto éé, em , em x = Lx = L. Assim sejam. Assim sejam

( )( )

v L f

v L θ=−

′ =−


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFLevando esse valores na expressão de Levando esse valores na expressão de v(x), se tem:v(x), se tem:

Resolvendo, se tem

2 33 4

23 42 3

a L a L f

a L a L θ+ =−+ =−

Resolvendo, se tem

3 42 3 2

3 2;f fa aL L L Lθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAssim, a funAssim, a funçção aproximadora ão aproximadora

Pode ser escrita da seguinte forma:

( ) 2 33 4v x a x a x= +

Pode ser escrita da seguinte forma:

( )3 2 2 3

3 2 2 2

2 3x x x xv x f LL L L L

θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= − + −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFIntroduzindo a coordenada Introduzindo a coordenada adimensionaladimensional

E levandoE levando--a na equaa na equaçção de ão de v(x)v(x), se , se tem: tem:

Agora dependente das incAgora dependente das incóógnitas do gnitas do problema, problema, ff e e θθ..

0 1xL

ξ ξ= ∴ ≤ ≤

( ) ( ) ( )3 2 2 32 3v f Lξ ξ ξ ξ ξ θ= − + −


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFComo jComo jáá foi visto, a energia potencial foi visto, a energia potencial total para uma viga engastada de total para uma viga engastada de comprimento comprimento LL, submetida a um , submetida a um carregamento uniforme carregamento uniforme qq, , éé

( )20 2

L EI v qv dx⎛ ⎞⎟⎜ ′′Π= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFFazendo a mudanFazendo a mudançça de varia de variáável, se vê vel, se vê queque

( ) ( )

( )

222

20 0

22 2 22

2 2 2

12

30

2 2

12

L L

x dxLd dx e LL d

EI EI d vv qv dx qv x dxdx

d v d dv d dx dv dx d v dx d v Ld d d dx d dx d dx d dx

EI v d L qvdL

ξ ξξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

= ⇒ = =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎜′′ ⎟Π= − = − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎜⎝ ⎠ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟∴ = = = =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′′⇒Π= −

∫ ∫

∫1

0

ξ∫


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFNa expressão da energia potencial Na expressão da energia potencial totaltotal

Substituindo as expressões de Substituindo as expressões de vv e e vv””se tem:se tem:

( )1 1

2

30 0

12

EI v d L qvdL

ξ ξ′′Π= −∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )( )

12

30

13 2 2 3

0

1 12 6 2 62

2 3

EI f L dL

qL f L d

ξ ξ θ ξ

ξ ξ ξ ξ θ ξ

Π= − + − −

− − + −

∫

∫


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Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA condiA condiçção de ão de estacionariedadeestacionariedade éé::

Cuja soluCuja soluçção ão é

( )

( )

3

22

16 12 0216 4 0

12

EI L f qLf L

EI f L qLL

θ

θθ

∂Π = − + =∂∂Π = − − =∂

é 4 3

;8 6qL qLfEI EI

θ=− =−


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o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAgora, admitindo que a deflexão e a Agora, admitindo que a deflexão e a rotarotaçção na extremidade engastada ão na extremidade engastada sejam representadas por sejam representadas por vv11 e e θθ11, , respectivamente, e na extremidade respectivamente, e na extremidade livre por livre por vv22 e e θθ22, a fun, a funçção aproximadora ão aproximadora por ser escrita da seguinte forma:por ser escrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 2 4 2v v vξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ= + + +


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFComparando Comparando

com com

VêVê--se que, como se que, como entãoentão

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 2 4 2v v vξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ= + + +

( ) ( ) ( )3 2 2 32 3v f Lξ ξ ξ ξ ξ θ= − + −

2 2f v e θ θ=− =−

( )( ) ( )

2 33

3 24

3 2

L

φ ξ ξ ξ

φ ξ ξ ξ

= −

= −


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAs demais funções de forma φ1 e φ2são indeterminadas, uma vez que, para o problema em análise, v1 = 0 e θ1 = 0, como pode ser visto na figura abaixo:

As demais funAs demais funçções de forma ões de forma φφ11 e e φφ22são indeterminadas, uma vez que, para são indeterminadas, uma vez que, para o problema em ano problema em anáálise, lise, vv11 = 0= 0 e e θθ11 = 0= 0, , como pode ser visto na figura abaixo:como pode ser visto na figura abaixo:


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFVêVê--se assim que a expressãose assim que a expressão

ÉÉ a expansão dea expansão de

Sendo Sendo φφ as funas funçções de forma e ões de forma e vvii e e θθios parâmetros nodais. Veja diagrama a os parâmetros nodais. Veja diagrama a seguir.seguir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 2 4 2v v vξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ= + + +

1

m

j jj

u α φ=

=∑


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFDeslocamentos e esforDeslocamentos e esforçços nodais os nodais positivos:positivos:



FinitosFinitosUm exemplo simplesUm exemplo simplesOutra forma de verOutra forma de ver


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAdmitindo, temporariamente, para Admitindo, temporariamente, para efeito didefeito didáático, que os valores de tico, que os valores de vv11 e e θθ11 sejam quaisquer, podesejam quaisquer, pode--se se determinar as fundeterminar as funçções ões de forma de forma φφ11 e e φφ22. . Assim, terAssim, ter--sese--ia:ia:

( )( )( )( )

1 1 1

1 2 1

2 32 2 1 1 3 4

22 2 1 3 4

0

0

2 3

se v v a v

se v a

se v L v v v L a L a L

se v L a L a L

θ θ

θ

θ θ θ

= ⇒ =′ = ⇒ =

= ⇒ = + + +′ = ⇒ = + +


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFResolvendo o sistema de equaResolvendo o sistema de equaçções ões anterior, se obtanterior, se obtéém:m:

( )

( )

1 1 2 1

2 1 2 13 2

1 2 1 24 3 2

;3 2

2

a v av v

aL L

v va

L L

θθ θ

θ θ

= =− −= −

− += +


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFLevando esses valores em:Levando esses valores em:

E fazendo a transformaE fazendo a transformaçção de varião de variáável vel se tem:se tem:

2 31 2 3 4( )v x a a x a x a x= + + +

( ) ( )( )( )( )

2 31

2 31

3 22

2 32

1 3 2

2

2 3

v v

L

v

L

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ θ

ξ ξ

ξ ξ θ

= − + +

+ − + +

+ − +

+ −


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFComparando com:Comparando com:

Se pode identificar( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 2 4 2v v vξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ= + + +

Se pode identificar( )( ) ( )( )( ) ( )

2 31

2 32

2 33

3 24

1 3 2

2

3 2

L

L

φ ξ ξ ξ

φ ξ ξ ξ ξ

φ ξ ξ ξ

φ ξ ξ ξ

= − +

= − +

= −

= −


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAssim, a expressão:Assim, a expressão:

Pode ser escrita na forma matricial da Pode ser escrita na forma matricial da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 2 4 2v v vξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ= + + +

seguinte maneira:

( )

1

11 2 3 4

2

2

v

vvθ

ξ φ φ φ φ φ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

v


Fund

amen

tos

do M

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o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFOnde Onde φφ éé a a matriz das funmatriz das funçções de ões de formaforma e e vv éé o o vetor das componentes vetor das componentes dos deslocamentos nodaisdos deslocamentos nodais ou ou incincóógnitas nodaisgnitas nodais::

( )

1

11 2 3 4

2

2

v

vvθ

ξ φ φ φ φ φ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

v


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFDerivando Derivando v(v(ξξ)) duas vezes se tem:duas vezes se tem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 1 3 2 4 2

2 31 1

2 32 2

2 33 3

3 24 4

1 1 2 2

1 3 2 6 12

2 4 6

3 2 6 12

6 2

6 12 4 6 6 12 6 2

v v v

L L

L L

v v L v L

v

ξ φ ξ φ ξ θ φ ξ φ ξ θ

φ ξ ξ ξ φ ξ ξ

φ ξ ξ ξ ξ φ ξ ξ



ξ ξ ξ θ ξ ξ θξ

= + + +

′′= − + ⇒ =− +

′′= − + ⇒ = − +

′′= − ⇒ = −

′′= − ⇒ = −

′′ = − + + − + + − + −′′ =Bv


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFLevando esses valores na expressão Levando esses valores na expressão do funcional da energia potencial total:do funcional da energia potencial total:

Se tem:Se tem:

( )1 1

2

30 0

12

EI v d L qvdL

ξ ξ′′Π= −∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

12

1 1 2 230

12 3 2 3 2 3 3 2

1 1 2 20

1 12 6 6 4 6 12 6 22

1 3 2 2 3 2

EI v L v L dL

qL v L v L d

ξ ξ θ ξ ξ θ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ θ ξ ξ ξ ξ θ ξ

Π= − + − + − + − −

− − + + − + + − + −

∫

∫


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFFazendo as operaFazendo as operaçções indicadas em:ões indicadas em:

Se tem:Se tem:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

12

1 1 2 230

12 3 2 3 2 3 3 2

1 1 2 20

1 12 6 6 4 6 12 6 22

1 3 2 2 3 2

EI v L v L dL

qL v L v L d

ξ ξ θ ξ ξ θ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ θ ξ ξ ξ ξ θ ξ

Π= − + − + − + − −

− − + + − + + − + −

∫

∫

2 2 21 1 1 1 2 1 2 1

3 2 2 21 2 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

6 6 12 6 2

6 2 6 6 2

1 1 1 12 12 2 12

v Lv v v Lv LEIL L v L v Lv L

ql v L v L

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ

⎛ ⎞+ − + + −⎟⎜ ⎟⎜Π= −⎟⎜ ⎟⎟⎜− + + − +⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜− + + − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFAs condiAs condiçções de ões de estacionariedadeestacionariedade são são determinadas pelas derivadas parciais determinadas pelas derivadas parciais de de ΠΠ em relaem relaçção ão ààs incs incóógnitas nodais gnitas nodais ou componentes dos deslocamentos ou componentes dos deslocamentos nodais. Assim:nodais. Assim:

( )

( )

( )

( )

1 1 2 231

2 2 21 1 2 23

1

1 1 2 232

2 2 21 1 2 23

2

112 6 12 6 02

16 4 6 2 012112 6 12 6 0216 2 6 4 0

12

EI v L v L qLv L

EI Lv L Lv L qLLEI v L v L qL

v LEI Lv L Lv L qLL

θ θ

θ θθ

θ θ

θ θθ

∂Π = + − + − =∂∂Π = + − + − =∂∂Π = − − + − − =∂∂Π = + − + + =∂


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFEscrevendoEscrevendo--as na forma matricial, se as na forma matricial, se tem:tem:

12 2

13

22 2

2

12 6 12 6 1 26 4 6 2 1212 6 12 6 1 2

6 2 6 4 12

vL LL L L L LEI qL

vL LLL L L L L

θ

θ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟−⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜− − − ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜ − −⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFRetornando agora ao problema Retornando agora ao problema original, impõeoriginal, impõe--se as restrise as restriçções a ele ões a ele pertinente: o que produz pertinente: o que produz o seguinte sistema:o seguinte sistema:

1 1 0v θ= =

223

2

12 6 1 26 4 12

vLEI qLL L LL θ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎟ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFObservaObserva--se:se:1 1 –– A matriz dos coeficientes das A matriz dos coeficientes das incincóógnitas nodais gnitas nodais éé simsiméétrica: isso trica: isso éédevido ao fato dos teoremas da devido ao fato dos teoremas da reciprocidade de reciprocidade de BettiBetti ou de Maxwell ou de Maxwell ––jjáá vistos anteriormente.vistos anteriormente.2 2 –– O uso da notaO uso da notaçção matricial ão matricial éé muito muito mais vantajoso para a realizamais vantajoso para a realizaçção dos ão dos ccáálculos.lculos.


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFDiante dessas observaDiante dessas observaçções, deveões, deve--se se escrever as expressões de soluescrever as expressões de soluçção de ão de maneira mais adequada.maneira mais adequada.Assim, o funcional da energia potencial Assim, o funcional da energia potencial total fica:total fica: ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

30 0

1 1

30 0

1 1

30 0

12

12

12

T

T

T T

v EIv d L qvdL

v e v

EI d L q dL

EI d L q dL

ξ ξ

ξ φ ξ

ξ φ ξ

ξ φ ξ

′′ ′′Π= −

′′∴ = =

⇒Π= −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π= −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

v Bv

Bv Bv v

v B B v v


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFCalculando a primeira variaCalculando a primeira variaçção de ão de ΠΠ::

1 1

30 0

1 1

30 0

1 1

30 0

12

1 0

1 0

T T

T T T T

T

T T

EI d L q dL

EI d v L qdL

mas

EI d L qdL

ξ φ ξ

δ δ ξ δ φ ξ

δ

ξ φ ξ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π= −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π= − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∀⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

v B B v v

v B B v v

v

B B v v


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFNa expressão:Na expressão:

O termoO termo

éé uma matriz quadrada e uma matriz quadrada e éé igual a igual a matriz coeficiente das incmatriz coeficiente das incóógnitas gnitas nodais e nodais e éé denominada de denominada de matriz de matriz de rigidez rigidez kk..

1 1

30 0

1 0T TEI d L qdL

ξ φ ξ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫B B v v

1

30

1 T EI dL

ξ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ B B k


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFO termoO termo

éé denominado de denominado de vetor de cargas vetor de cargas nodais equivalentesnodais equivalentes..Assim a expressão da condiAssim a expressão da condiçção de ão de estacionariedadeestacionariedade pode ser escrita da pode ser escrita da seguinte forma:seguinte forma:

1

0

TL qdφ ξ =∫ r

kv = r



FinitosFinitosUm exemplo simplesUm exemplo simples

SoluSoluçção com 2 Elementosão com 2 Elementos


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFSeja o problema anteriormente em Seja o problema anteriormente em desenvolvimento, sendo que agora a desenvolvimento, sendo que agora a viga estviga estáá dividida em duas partes de dividida em duas partes de comprimentos comprimentos LL11 e e LL22::


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFCada parte em que foi dividida a viga, Cada parte em que foi dividida a viga, éé denominada de elemento.denominada de elemento.Assim, se tem dois elementos:Assim, se tem dois elementos:–– Elemento 1 Elemento 1 –– limitado pelos nlimitado pelos nóós 1 e 2;s 1 e 2;–– Elemento 2 Elemento 2 –– limitado pelos nlimitado pelos nóós 2 e 3;s 2 e 3;


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA cada elemento A cada elemento éé associado um associado um sistema de coordenadas prsistema de coordenadas próóprio, com prio, com origem no primeiro norigem no primeiro nóó..

x

x1 2

3

y

y

2

v1

v2v3

θ1

θ2θ3

θ2

v2


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFConsiderarConsiderar--sese--áá que a cada elemento que a cada elemento tem associado uma energia de tem associado uma energia de deformadeformaçção ão UUii e uma energia potencial e uma energia potencial da carga externa da carga externa MMii. Assim, a energia . Assim, a energia de deformade deformaçção total ão total éé::

( ) ( )1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

U M U MU U M MU U M Mδ δ δ δ δ

Π=Π +Π= + + += + + +

Π= + + +


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA variaA variaçção da energia de deformaão da energia de deformaçção ão de cada elemento de cada elemento éé (com ):(com ):

11

11 1 1 2 2 1 1 1 13

21 0

2

1 T T

v

U v v EI dvLθ

δ δ δθ δ δθ ξ δ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ B B v k v

11

12 1 1 2 2 2 2 2 23

22 0

2

1 T T

v

U v v EI dvLθ

δ δ δθ δ δθ ξ δ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ B B v k v

1 21 2;x xL Lξ ξ= =


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA variaA variaçção da energia potencial da ão da energia potencial da carga externa em cada elemento carga externa em cada elemento éé::

1

1 1 1 1 1 2 3 4 1 10

1

2 2 2 2 3 4 5 6 2 20

TT T T

TT T T

M L qd q q q q

M L qd q q q q

δ δ φ ξ δ

δ δ φ ξ δ

=− =− =−

′ ′ ′ ′=− =− =−

∫

∫

v v r

v v r


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFVale lembrar que no problema em Vale lembrar que no problema em questão se tem seis incquestão se tem seis incóógnitas, duas gnitas, duas para cada npara cada nóó::

ReunindoReunindo--as em um as em um úúnico vetor, podenico vetor, pode--se escrevêse escrevê--las da seguinte forma:las da seguinte forma:

1 1

2 2

3 3

1:2 :3:

nó vnó vnó v

θθθ

1 1 2 2 3 3Tv v vθ θ θ=v


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos


Agora, representando matricialmente a Agora, representando matricialmente a variavariaçção da energia de deformaão da energia de deformaçção de ão de cada elemento, levando em cada elemento, levando em consideraconsideraçção o vetor ão o vetor vv total, lembrando total, lembrando que o superque o superííndice (ndice (superescritosuperescrito) ) representa o nrepresenta o núúmero do elemento, se mero do elemento, se tem:tem:


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos


2 2

1

12 2 2 2

211 12 13 142 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2

221 22 23 242 2 2 2

331 32 33 342 2 2 2

341 42 43 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 00 00 00 0

TU

v

vk k k kU v v v

k k k kvk k k k

k k k k

δ δ

θ

δ δ δθ δ δθ δ δθθ

θ

=⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

v k v

1 1

1 1 1 1111 12 13 14

1 1 1 1121 22 23 24

1 1 1 1231 32 33 34

1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1241 42 43 44

3

3

0 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

TU

vk k k kk k k k

vk k k kU v v v

k k k kv

δ δ

θ

δ δ δθ δ δθ δ δθθ

θ

=⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

v k v


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA variaA variaçção da energia potencial das ão da energia potencial das cargas, pode ser escrita assim:cargas, pode ser escrita assim:

1 1

1

2

31 1 1 2 2 3 3

4

2 2

32 1 1 2 2 3 3

4

5

6

00

00

T

T

Mqqq

M v v vq

M

qM v v v

qqq

δ δ

δ δ δθ δ δθ δ δθ

δ δ

δ δ δθ δ δθ δ δθ

=−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

v r

v r


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFA condiA condiçção de ão de estacionariedadeestacionariedade éé::

( )

1 2 1 2 0T T

T

i ii i

U U M Mδ δ δ δ δδ δ δ

δ

Π= + + + =Π= − =⇒ − =⇒∴ = =∑ ∑

v kv v r 0v kv r 0kv = rk k r r


Fund

amen

tos

do M

étod

o do

s El

emen

tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFLogoLogo

1 1 1 1111 12 13 14

1 1 1 1121 22 23 24

1 1 1 2 1 2 2 2231 32 33 11 34 12 13 14

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 1 2 2 2241 42 43 21 44 22 23 24

2 2 2 2331 32 33 34

2 2 2 241 42 43 44

0 00 0

0 00 0

vk k k kk k k k

vk k k k k k k kv v v

k k k k k k k kvk k k k

k k k k

θ

δ δθ δ δθ δ δθθ

− =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kv r 0

3

1

2

3 31 1 2 2 3 3

4 4

5

6

qq

q qv v v

q qqq

θ

δ δθ δ δθ δ δθ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′+⎪ ⎪⎪ ⎪− =⎨ ⎬⎪ ⎪′+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

0


Fund

amen

tos

do M

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tos

Fini

tos

Fundamentos do MEFFundamentos do MEFGeneralizando, para o caso de uma viga Generalizando, para o caso de uma viga dividida em dividida em nn elementoselementos, com numera, com numeraçção ão dos ndos nóós de forma seqs de forma seqüüencial, se tem:encial, se tem:

0

0


Fund

amen

tos

do M

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Fini

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Fund

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Documents

ACE-08-01-FEM-Fundamentos_FEM