เวกเตอร์ ใน 3 มิติcloud.se-ed.com/Storage/PDF/552284/001/5522840016959PDF.pdf · คณิตศาสตร์ 3 เรื่อง เวกเตอร์ใน

Example

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร

ส ำนกพมพ SCIENCE PUBLISHING

เวกเตอรใน 3 มต

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ

สงวนลขสทธ หำมคดลอก ท ำส ำเนำ ถำยเอกสำร (จ ำนวนมำก) โดยไมไดรบอนญำตเปนลำยลกษณอกษรจำกส ำนกพมพ

พมพและจดจ ำหนำยโดย

ส ำนกพมพ SCIENCE PUBLISHING

111/258 ต.พมลราช อ าเภอบางบวทอง จงหวดนนทบร11110 โทรศพท 084 - 0919310 แฟกซ 02 - 5493745 E - mail [email protected]

พมพท : บรษทฐานบณฑต จ ากด

เลขท 188/5 ซอยเพชรเกษม 51 เขตบางแค กรงเทพฯ 10160 โทรศพท 02 - 801 3934 - 8 แฟกซ 02 – 801 3933

Example


ค ำน ำ

หนงสออานเพมเตม วชาคณตศาสตร เรองเวกเตอรใน 3 มต เลมน เรยบเรยงขนตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน หนงสอเลมน และหนงสอเลมอนๆของกระผม เนนการสอความหมายดวยภาพ เพราะผมเชอวาถาผ เรยนไดเรยนรจากภาพ จะท าใหเกดความเขาใจไดงายขน หนงสอนจงเหมาะทจะใชในการศกษาเพมเตมดวยตนเอง หนงสอนอาจจะมราคาแพงไปบางเนองจากพมพออกมาเปนจ านวนนอย และมตนทนทสง หวงวานกเรยนหรอทานอาจารยคงจะเขาใจ (ไมมก าไร) หนงสอนส าเรจไดดวยความชวยเหลอ จาก ผศ.วฒนา เดชนะ มหาวทยาลยราชภฏสงขลา และอาจารยคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยหลายทานทไดใหค าแนะน าทมประโยชน โดยเฉพาะอยางยง ผศ.จรส บณยธรรมา ครวทยาศาสตรดเดนทชวยน าขอมลในหนงสอนเผยแพรเวบไซตของสาขาวชาฟสกสราชมงคล รวมผบรหารมหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร ทกระดบชน ทมนโยบายสนบสนนการท าผลงานวชาการ และสงเสรมการใหบรการทางวชาการแกชมชนและสงคม จงขอขอบพระคณทกทานมา ณ โอกาสน กระผมหวงเปนอยางยงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนแกนกเรยนทตองการศกษาเพมเตม หรอคร - อาจารย ทจะใชเปนหนงสอประกอบการเรยนการสอน หากมขอเสนอแนะใดทจะท าใหหนงสอนสมบรณขน ผ เรยบเรยงขอนอมรบดวยความยนดเปนอยางยง แนะน าไดท โทร 084-0919310 สชาต สภาพ

Example


สำรบญ หนำ

ท าไมตองเรยนเรองเวกเตอร 1 เวกเตอรคออะไร 5 ระบบพกด 7 เวกเตอรต าแหนง 11 ระยะทางระหวางจดสองจดในปรภม 3 มต 11 การบวกและการลบเวกเตอร 27 การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 42 ขนาดของเวกเตอรใน 2 มต และ 3 มต 70 โคไซนแสดงทศทาง 76 ปรมาณเวกเตอร 2 ปรมาณ คณกน 90 1) การคณเวกเตอรทใหผลลพธเปนปรมาณสเกลาร 91 2) การคณเวกเตอรทใหผลลพธเปนปรมาณเวกเตอร 121 การใชวธเวกเตอร ในการหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน 128 การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน 133

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Example


เวกเตอรใน 3 มต vectors in three dimension

ท ำไมตองเรยนเรองเวกเตอร

แนนอนวาถาเรายงเปนมนษยโบราณและยงอาศยอยในถ า เราคงไมมความจ าเปนตองเรยนเรองเวกเตอรอยางแนนอน เพราะวาเรองนคงไมจ าเปนส าหรบมนษยถ า แตเนองจากเราเกดมาในยคนการไมเรยนรอะไรเลย คงไมได เพราะวาวทยาการในปจจบนกาวหนาไปอยางมาก และการเรยนรเกยวกบเวกเตอรกมความจ าเปน เพราะวาปรมาณหลายปรมาณทเกยวของกบชวตประจ าวนของเราเปนปรมาณเวกเตอร เชน แรง ความเรว ฯลฯ

รป 1 แอปเปลขนาดใหญ 3 ลก ขนาดเลก 2 ลก

ถาถามวามแอปเปลทงหมดกลก ทกคนกตอบได ในท านองเดยวกน ถาถามวารปทรงเรขาคณตในรปขางลางมกชน เรากตอบได

Example

คณตศาสตร 3 เรอง เวกเตอรใน 3 มต - 2


รป 2 การรวมจ านวนทงหมด

หรอถาถามวามลกทออย 5 ลก รบประทานไป แลว 2 ลก ตอนนเหลอลกทอกลก ทกคนกตอบได

รป 3 ลกทอ

แตถาถามวาเครองบน บนไปทางทศเหนอดวยความเรว 500 ไมลตอชวโมง ในขณะเดยวกนลมกพดไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 100 ไมลตอชวโมง อยากทราบวาในขณะนนเครองบนมความเรวเทาไร ? เมอเทยบกบพนดน และเครองบน เคลอนทไปในทศทางใด ? เราคงตอบไดล าบากแน ถาไมไดเรยนเรองเวกเตอร

รป 4 การเดนทางของเครองบน

Example



หรอถาถามวามเชอกคลองผานรอกและมน าหนกถวงดงรป 5 อยากทราบวาเกดแรงดงเทาไร ?

รป 5 แรง

อยากทราบวาเกดแรงดงเทาไร ? เรากคงตอบค าถามนไมไดถาไมไดเรยนเรองเวกเตอร เมอนกเรยนทราบประโยชนของการเรยนเรองเวกเตอรแลว กเรมเรยนไดเลย ดงน

ตวอยำงท 1 ถาเรมตนรถแลนไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนอ เปนระยะทาง 120 กโลเมตร จากนนแลนไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอเปนระยะทาง 100 กโลเมตร ดงรป จงหาระยะกระจด

2 2100 90 2(100)(90)cos(120 )oNet displacement

10,000 8100 18000( 0.5)

10,000 8,100 900

137.8Net displacement กโลเมตร ตอบ

Example



แบบทดสอบท 1

1) ถาเรมตน รถแลนไปทางทศตะวนตกเปนระยะทาง 50 กโลเมตร จากนนแลนไปทางทศตะวนตกเฉยงใตเปนระยะทาง 75 กโลเมตร ดงรป จงหาระยะกระจด

............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 2) ถารถแลนไปตามเสนทาง และทศทางดงรป จงหาระยะกระจด

.............................................................................................................................................. 3) ถารถแลนไปตามเสนทาง และทศทางดงรป จงหาระยะกระจด

..............................................................................................................................................

Example



เวกเตอรคออะไร

เนองจากปรมาณตางๆในโลกน มหลายปรมาณดวยกน เชน พนท มวล ระยะทาง การกระจด ความสง อณหภม แรง ความเรว ความเรง ความดน ฯลฯ ปรมาณเหลาน บางปรมาณบอกแตเพยงขนาดอยางเดยวกเขาใจความหมายไดชดเจน เชน ขณะนอณหภมเทากบ 30oC

รป 7 อณหภม เปนปรมาณทไมมทศทาง

แตปรมาณบางอยางเชนบอกวาบานนกเรยนอยหางจากโรงเรยน 2 กโลเมตร การบอกแบบน กยงไมมใครทราบวาบานของเรยนอยทางทศใดของโรงเรยน ดงนนการบอกระยะหาง (การกระจด) ตองบอกทศทางดวยจงจะเขาใจความหมายไดชดเจน

รป 8 ระยะหาง (การกระจด) ตองบอกทศทางดวย

Example



ปรมาณทตองบอกทศทางดวยจงจะเขาใจความหมายไดชดเจนเรยกวาปรมำณเวกเตอร ปรมาณหลายปรมาณในทางวทยาศาสตรเปนปรมาณเวกเตอร เชน แรง การกระจด ความเรว ความเรง ทอรก สนามโนมถวง สนามไฟฟา สนามแมเหลก ฯลฯ

สรป

- ปรมาณสเกลาร เปนปรมาณทมทงขนาดแตเพยงอยางเดยว - ปรมาณเวกเตอร เปนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง

รป 9 สญญลกษณแทนปรมาณเวกเตอร

ตวอยำง ปรมาณเวกเตอรทมขนาดและทศทางตางๆกน

รป 10 เวกเตอรทมทศทางและขนาดทตางๆกน

รป 11 เวกเตอรทเทากน

Example



ระบบพกด (coordinate systems)

การศกษาในทางวทยาศาสตรในหลายเรอง เชน การศกษาเกยวกบการเคลอนทของวตถ จ าเปนตองทราบต าแหนงของวตถทเวลาตางๆ ระบบพกดทน ามาใชในการบอกต าแหนงของวตถทใชกนมากในทางวทยาศาสตรม 2 ระบบ คอ

1) ระบบพกดฉากสามมต หรอระบบคารทเซยน (rectangular or cartesian coordinate)

2) ระบบพกดเชงขว (polar coordinate )

ในทนจะกลาวถงเฉพาะระบบพกดฉากสามมตหรอระบบคารทเซยน

ระบบพกดฉำกสำมมต หรอระบบคำรทเซยน (rectangular or cartesian coordinate)

ระบบนใน 2 มต จะมสองแกน คอ แกน x และแกน y ดงรป 12

รป 12 ระบบพกดฉาก 2 มต

จดตดของแกนทงสองคอจด (0,0) เรยกวาจดก ำเนด(origin) ในระบบพกดฉาก 3 มต จะม 3 แกน คอ แกน x แกน y และแกน z ดงรป 13

รป 13 ระบบพกดฉาก 3 มต

Example



จดตดของแกนทงสาม คอจด (0,0,0) เรยกวาจดก ำเนด (origin) การก าหนดทศของแกนทงสาม ม 2 ระบบ คอ ระบบมอขวา และระบบมอซาย ในหนงสอนและหนงสอสวนใหญจะใชระบบมอขวา ดงรป 14

รป 14 ระบบมอขวา

การก าหนดทศของแกนตางๆในระบบระบบมอขวา ท าไดโดยแบมอออกใหนวทงสของมอขวาชไปทางแกน x แลวก ามอโดยใหนวทงสวนไปทางแกน y นวหวแมมอจะชทศของแกน z ดงนนแกน x , y และ z ในระบบมอขวา จงเขยนได 3 แบบ ดงน

รป 15 การก าหนดแกนตางๆในระบบมอขวา

ส าหรบระนาบในระบบพกดฉาก 3 มต ม 3 ระนาบ คอ 1) ระนาบ xy 2) ระนาบ yz 3) ระนาบ xz ดงรป 16

รป 16 ระนาบในระบบพกดฉาก

Example



ตวอยำง 2 จงเขยนกราฟของ 3x ในระบบ 1 มต 2 มต และ 3 มต

รป 17 กราฟของ 3x ในกราฟ 1 มต



การบอกต าแหนงของจดในระบบพกดฉาก 2 มต จะบอกดวยคล าดบ ( , )x y เชนจด (2,3) , ( 3,1) และ ( 1.5, 2.5) ดงรป 20

Example



รป 20 พกดของจดตางๆในระบบพกดฉาก 2 มต

การบอกต าแหนงของจดในระบบพกดฉาก 3 มต จะบอกดวยพกด ( , , )x y z เชนจด (4,3,2)และ (4,3,2)ดงรป 21

รป 21 พกดของจดตางๆในระบบพกดฉาก 3 มต

รป 22 พกดของจด P คอ ( , , )x y z

Example



รป 23 พกดของจดตางๆทอยตามมมของสเหลยมลกบาศก

เวกเตอรต ำแหนง (Position Vector)

เวกเตอรต ำแหนง หมำยถง เวกเตอรทบอกต ำแหนงของวตถเทยบกบจดใดจดหนง เรยกวำ จดอำงองจดใดจดหนง

รป 24 เวกเตอรต ำแหนง

ระยะทำงระหวำงจดสองจดในปรภม 3 มต

รป 25 จด 1 1 1( , , )x y z จด 2 2 2( , , )x y z

Example



ระยะระหวาง จด 2 จด 2 2 2

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z

ตวอยำง 3 จงหาระยะทางระหวางจด (0,0,0)O และจด (1,1,1)A ดงรป

วธท ำ จากสตร

2 2 2

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )OA x x y y z z 2 2 2(1 0) (1 0) (1 0)OA 3 1.732OA ตอบ

ตวอยำง 4 จงหาระยะทางระหวางจด (4,3)A และจด (15,8)B ดงรปขางลาง

วธท ำ จากสตร 2 2

2 1 2 1( ) ( )AB x x y y

2 2(15 4) (8 3)AB 12.1AB ตอบ

A

O

Example



แบบทดสอบท 2

1) จงหาระยะหางระหวาง วตถ A กบวตถ B

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) ดาว(star) อยหางจากจดก าเนดเทาใด ?

……………………………………………………………………………………………………… 3) จดทง 4 อยหางจากจดก าเนดเทาใด และจดใดอยหางกนมากทสด ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Example



ตวอยำง

1. จากรปขางลาง จงหาพกดของจด B, C, D, E, G, H

ตอบ พกดของจด B คอ (3,5,0) พกดของจด C คอ (1,5,0) พกดของจด D คอ (1,2,0) พกดของจด E คอ (3,5,3) พกดของจด G คอ (1,2,3) พกดของจด H คอ (3,2,3)

2. จากรป จงหาพกดซงเปนภาพฉายของจด C (3, 3, 1) บนแกนหรอระนาบทก าหนดให ตอไปน 1) บนแกน X 2) บนแกน Y 3) บนแกน Z 4) บนระนาบ XY 5) บนระนาบ YZ 6) บนระนาบ XZ

ตอบ 1) ภาพฉายของจด C บนแกน X จะปรากฏทจด (3,0,0)E

2) ภาพฉายของจด C บนแกน Y จะปรากฏทจด (0,3,0)G

Example



3) ภาพฉายของจด C บนแกน Z จะปรากฏทจด (0,0,1)A

4) ภาพฉายของจด C บนระนาบ XY จะปรากฏทจด (3,3,0)F

5) ภาพฉายของจด C บนระนาบ YZ จะปรากฏทจด (0,3,1)B

6) ภาพฉายของจด C บนระนาบ XZ จะปรากฏทจด (3,0,1)E

3. จงหารปทวไปของพกด ของจดทอยบนแกน หรอระนาบทก าหนดใหตอไปน 1) บนแกน X 2) บนแกน Y 3) บนแกน Z 4) บนระนาบ XY 5) บนระนาบ YZ 6) บนระนาบ XZ ตอบ 1) รปทวไปของพกดของจดทอยบนแกน X คอ (x, 0, 0) 2) รปทวไปของพกดของจดทอยบนแกน Y คอ (0, y, 0) 3) รปทวไปของพกดของจดทอยบนแกน Z คอ (0, 0, z)

ระนาบ ,XY YZ และ XZ

4) รปทวไปของพกดของจด ทอยบนระนาบ XY คอ (x, y, 0) 5) รปทวไปของพกดของจด ทอยบนระนาบ YZ คอ (0, y, z) 6) รปทวไปของพกดของจด ทอยบนระนาบ XZ คอ (x, 0, z)

Example



4. จงเขยนจดตอไปน ในระบบพกดฉาก 3 มต A (1, 1, 1) B(1, -1, 2) C(3, 2, -1) D (-1, -1, -2)

5. จงหาภาพฉายของจด (2,2,4)A และ (4,3,2)B บนระนาบ XY, YZ และ XZ ตามล าดบ ดงรปขางลาง

ตอบ

ภาพฉายของจด A (2, 2, 4) บนระนาบ XY คอ จด (2, 2, 0) ภาพฉายของจด A (2, 2, 4) บนระนาบ YZ คอ จด (0, 2, 4) ภาพฉายของจด A (2, 2, 4) บนระนาบ XZ คอ จด (2, 0, 4) ภาพฉายของจด B (4, 3, 2) บนระนาบ XY คอ จด (4, 3, 0) ภาพฉายของจด B (4, 3, 2) บนระนาบ YZ คอ จด (0, 3, 2) ภาพฉายของจด B (4, 3, 2) บนระนาบ XZ คอ จด (4, 0, 2)

Example

Documents

เวกเตอร์ ใน 3 มิติcloud.se-ed.com/Storage/PDF/552284/001/5522840016959PDF.pdf · คณิตศาสตร์ 3 เรื่อง เวกเตอร์ใน