ระบบจ ำนวนจริง - RATH Center · 2 ระบบจ านวนจริง ตัวอย่าง ก าหนดให้ = + − 3 จงพิจารณาว่าข้อใดผิด

ระบบจ ำนวนจริง

2 Sep 2019

สารบัญ

การสรา้งเครือ่งหมายใหม ่........................................................................................................................................................ 1

ทบทวนพหนุาม ........................................................................................................................................................................ 8

การหารสงัเคราะห ์.................................................................................................................................................................... 9

ทฤษฎีเศษ.............................................................................................................................................................................. 11

การแยกตวัประกอบดว้ยทฤษฎีเศษ ...................................................................................................................................... 13

สมการดกีรสีงู ........................................................................................................................................................................ 16

ทบทวนอสมการ .................................................................................................................................................................... 21

ทบทวนคา่สมับรูณ ์................................................................................................................................................................ 25

การแบง่กรณีคา่สมับรูณ ์....................................................................................................................................................... 30

สมบตัิความบรบิรูณ ์.............................................................................................................................................................. 35

ระบบจ านวนจรงิ 1

การสรา้งเครือ่งหมายใหม ่ ในเรือ่งนี ้โจทยจ์ะสรา้ง “เครือ่งหมายใหม่” เพิ่มเติมจากเครือ่งหมาย + − × ÷ ที่เราใชป้ระจ า โดยโจทยจ์ะให ้“วิธีใช”้ เครือ่งหมายที่สรา้งใหมน่ัน้มา แลว้ใหห้าผลลพัธ ์หรอืตรวจสมบตัิตา่งๆของเครือ่งหมายใหมน่ัน้

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 = 𝑎 + 𝑎𝑏 จงหาคา่ของ 2 3

วิธีท า แทน 𝑎 = 2 , 𝑏 = 3 จะได ้ 2 3 = 2 + (2)(3)

= 8 #

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้ 𝑚 𝑛 = 𝑚+𝑛

𝑛 จงหาคา่ของ ((4 2) 3) − (5 1)

วิธีท า ((4 2) 3) − (5 1) = ( 4+2

2 3) − (5 1)

= (3 3) − (5 1)

= 3+3

3−

5+1

1

= 2 − 6 = −4 #

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้ 𝑥 𝑦 = { 𝑥2 เมื่อ 𝑥 ≥ 𝑦

𝑦 − 𝑥 เมื่อ 𝑥 < 𝑦 จงหาคา่ของ (1 5) (2 0)

วิธีท า ขอ้นี ้ 𝑥 𝑦 มีสองสตูร เราตอ้งเลอืกใชส้ตูร ตามเง่ือนไขวา่ 𝑥 ≥ 𝑦 หรอื 𝑥 < 𝑦 เช่น ถา้จะหา 1 5 ตอ้งแทน 𝑥 = 1 และ 𝑦 = 5 จะเห็นวา่ 𝑥 < 𝑦 ดงันัน้ ตอ้งใชส้ตูร 𝑦 − 𝑥

จะได ้1 5 = 5 − 1 = 4

และ ถา้จะหา 2 0 ตอ้งแทน 𝑥 = 2 และ 𝑦 = 0 จะเห็นวา่ 𝑥 ≥ 𝑦 ดงันัน้ ตอ้งใชส้ตูร 𝑥2

จะได ้2 0 = 22 = 4

ดงันัน้ (1 5) (2 0) = 4 4

= 42 (ใชส้ตูร 𝑥2 เพราะ 4 ≥ 4) = 16 #

ตวัอยา่ง ส าหรบั 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนเตม็บวกใดๆ ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 เป็นจ านวนจรงิทีม่ีสมบตัิดงัตอ่ไปนี ้

1. 1 1 = 1

2. 𝑎 1 = ((𝑎 − 1) 1) + 1

3. 𝑎 𝑏 = (𝑎 (𝑏 − 1)) + 2

จงหาคา่ของ (3 3)

วิธีท า

ดงันัน้ 3 3 = 7 #

3 3 = (3 (3 − 1)) + 2 (ใชข้อ้ 3.) = (3 2) + 2

= (3 (2 − 1)) + 2 + 2 (ใชข้อ้ 3.) = (3 1) + 4

= ((3 − 1) 1) +1 + 4 (ใชข้อ้ 2.)

= (2 1) + 5

= ((2 − 1) 1) + 1 + 5 (ใชข้อ้ 2.) = (1 1) + 6

= 1 + 6 (ใชข้อ้ 1.) = 7

2 ระบบจ านวนจรงิ

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้ 𝑚 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 − 3 จงพิจารณาวา่ขอ้ใดผิด

1. 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑚 2. (𝑎 𝑏) 𝑐 = 𝑎 (𝑏 𝑐)

3. 𝑎 −𝑎 = −3 เสมอ 4. 𝑥(𝑦 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑥𝑧

วิธีท า 1. จากโจทย ์จะได ้ 𝑚 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 − 3

𝑛 𝑚 = 𝑛 + 𝑚 − 3 จะเห็นวา่ 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑚 ดงันัน้ ขอ้ 1. ถกูตอ้ง 2.

จะเห็นวา่ (𝑎 𝑏) 𝑐 = 𝑎 (𝑏 𝑐) ดงันัน้ ขอ้ 2. ถกูตอ้ง 3. 𝑎 −𝑎 = 𝑎 + −𝑎 − 3 = −3 ดงันัน้ ขอ้ 3. ถกูตอ้ง 4.

จะเห็นวา่ ฝ่ังซา้ยเป็น −3𝑥 แตฝ่ั่งขวาเป็น −3 เฉยๆ จึงไมเ่ทา่กนั ดงันัน้ ขอ้ 4. ผิด #

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 = 𝑎+𝑏

2 จงพิจารณาวา่ขอ้ใดถกูตอ้ง

1. มีสมบตัิการสลบัท่ี 2. มีสมบตัิการเปลีย่นกลุม่ได ้

3. มีสมบตัิปิดบนจ านวนคู ่ 4. 𝑎 𝑎 = 2𝑎 0 เสมอ วิธีท า 1. สมบตัิการสลบัท่ี จะเป็นจรงิได ้ตอ้งดวูา่ 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 หรอืไม ่

จากโจทย ์จะได ้ 𝑎 𝑏 = 𝑎+𝑏

2

𝑏 𝑎 = 𝑏+𝑎

2 จะเห็นวา่ 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 ดงันัน้ ขอ้ 1. ถกูตอ้ง

2. สมบตัิการเปลีย่นกลุม่ได ้จะเป็นจรงิ ตอ้งดวูา่ (𝑎 𝑏) 𝑐 = 𝑎 (𝑏 𝑐) หรอืไม่

จากโจทย ์จะได ้ (𝑎 𝑏) 𝑐 = (𝑎+𝑏

2) 𝑐

= 𝑎+𝑏

2+𝑐

2 =

𝑎+𝑏+2𝑐

4

𝑎 (𝑏 𝑐) = 𝑎 (𝑏+𝑐

2)

= 𝑎+

𝑏+𝑐

2

2 =

2𝑎+𝑏+𝑐

4

จะเห็นวา่ (𝑎 𝑏) 𝑐 ≠ 𝑎 (𝑏 𝑐) ดงันัน้ ขอ้ 2. ผิด

3. สมบตัิปิดบนจ านวนคู ่ตอ้งดวูา่ ถา้น าจ านวนคูม่า กนั จะไดผ้ลลพัธเ์ป็นจ านวนคูเ่สมอ หรอืไม่ จะเห็นวา่การค านวณ จะมีการหารดว้ย 2 อยู ่ท าใหอ้าจไดผ้ลลพัธเ์ป็นจ านวนคี่ได ้

เช่น 2 4 = 2+4

2 = 3 ดงันัน้ ขอ้ 3. ผิด

4. 𝑎 𝑎 = 𝑎+𝑎

2 = 𝑎

2𝑎 0 = 2𝑎+0

2 = 𝑎 เทา่กนั ดงันัน้ ขอ้ 4. ถกูตอ้ง #

แบบฝึกหดั

1. ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 จงเติมประโยคตอ่ไปนีใ้หส้มบรูณ ์ 1. 2 3 = 2. (3 −1) 1 =

3. 0 𝑎 = 4. 𝑎 1

2 =

(𝑎 𝑏) 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 − 3) 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 − 3) + 𝑐 − 3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 6

𝑎 (𝑏 𝑐) = 𝑎 (𝑏 + 𝑐 − 3) = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 3) − 3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 6

𝑥(𝑦 𝑧) = 𝑥(𝑦 + 𝑧 − 3) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 3𝑥

𝑥𝑦 𝑥𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 3


2. ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 = { 𝑎 เมื่อ 𝑎 > 𝑏

𝑏 เมื่อ 𝑎 < 𝑏

2𝑎 เมื่อ 𝑎 = 𝑏

และ 𝑎 𝑏 = {

𝑏 เมื่อ 𝑎 > 𝑏

𝑎 เมื่อ 𝑎 < 𝑏

𝑏/2 เมื่อ 𝑎 = 𝑏

จงหาคา่ของ 1. 2 3 = 2. (3 −1) 1 =

3. 2 3 = 4. (1 2) 1 =

5. (3 2) (1 2) = 6. (𝑎 𝑎) 2𝑎 =

3. ส าหรบั 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนเต็มบวกใดๆ ก าหนดให ้ 𝑥 𝑦 มีสมบตัิดงัตอ่ไปนี ้

1. 𝑥 𝑥 = 𝑥2

2. 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥

3. 𝑥 (𝑥 + 𝑦) = 2(𝑥 𝑦) จงหาคา่ของ 1. 1 1 2. 1 2

3. 2 1 4. 2 2

5. 4 2 6. 40 30

4. ก าหนดให ้ 𝑎 𝑏 = √𝑎𝑏 และ 𝑥, 𝑦, 𝑧 เป็นจ านวนจรงิบวก จงพจิารณาวา่ขอ้ใดถกูตอ้ง 1. 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥 2. (𝑥 𝑦) 𝑧 = 𝑥 (𝑦 𝑧)


3. 𝑥 0 = 0 4. 𝑥 1 = 𝑥

5. 𝑥 + (𝑦 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) (𝑥 + 𝑧) 6. 𝑥(𝑦 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑥𝑧

5. ให ้ 𝑁 แทนเซตของจ านวนนบั ก าหนดให ้ 𝑎 ∗ 𝑏 = √𝑎 + 𝑏 ส าหรบั 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁

ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้งบา้ง [PAT 1 (ต.ค. 53)/5]

1. (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) ส าหรบั 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁

2. 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) ส าหรบั 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁

6. ให ้𝑁 แทนเซตของจ านวนนบั ก าหนดให ้ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎𝑏 ส าหรบั 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁

ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้งบา้ง ส าหรบั 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 [PAT 1 (มี.ค. 53)/24]

ก. 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ข. (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)

ค. 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) ง. (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = (𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)


7. นิยาม 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎𝑏 ส าหรบั 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนจรงิบวกใดๆ

ถา้ 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เป็นจ านวนจรงิบวก แลว้ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง [PAT 1 (มี.ค. 55)/24] 1. 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑏 2. (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏𝑐)

3. 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 4. (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = (𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)

8. ก าหนดให ้ 𝑥 * 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑦 + 1) − 1 ขอ้ใดตอ่ไปนีผิ้ด [PAT 1 (ธ.ค. 54)/23]

1. (𝑥 − 1) * (𝑥 + 1) = (𝑥 * 𝑥) − 1 2. 𝑥 * (𝑦 + 2) = (𝑥 * 𝑦) + (𝑥 * 2)

3. 𝑥 * (𝑦 * 2) = (𝑥 * 𝑦) * 2 4. 𝑥 * (𝑥 * 𝑦) = (𝑥 + 1)(𝑥 * 𝑦) + 𝑥


9. ให ้ 𝑁 แทนเซตของจ านวนนบั ส าหรบั 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑁

𝑎 𝑏 = {𝑎 , 𝑎 > 𝑏𝑎 , 𝑎 = 𝑏𝑏 , 𝑎 < 𝑏

และ 𝑎 △ 𝑏 = {𝑏 , 𝑎 > 𝑏𝑎 , 𝑎 = 𝑏𝑎 , 𝑎 < 𝑏

ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้งบา้ง ส าหรบั 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 [PAT 1 (ต.ค. 53)/20]

1. 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

2. 𝑎 (𝑏 𝑐) = (𝑎 𝑏) 𝑐

3. 𝑎 △ (𝑏 c) = (𝑎 △ 𝑏) (𝑎 △ 𝑐)

10. ส าหรบั 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนเต็มบวกใดๆ ก าหนดให ้ 𝑎 ⨂ 𝑏 เป็นจ านวนจรงิที่มีสมบตัิดงัตอ่ไปนี ้ (ก) 𝑎 ⨂ 𝑎 = 𝑎 + 4

(ข) 𝑎 ⨂ 𝑏 = 𝑏 ⨂ 𝑎

(ค) 𝑎 ⨂(𝑎+𝑏)

𝑎 ⨂ 𝑏=

𝑎+𝑏

𝑏

คา่ของ (8 ⨂ 5) ⨂ 100 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/49]


11. ส าหรบั 𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวกใดๆ ก าหนดให ้ 𝑥 ∗ 𝑦 เป็นจ านวนจรงิบวก ท่ีมีสมบตัิตอ่ไปนี ้ (1) 𝑥 ∗ (𝑥𝑦) = (𝑥 ∗ 𝑥)𝑦

(2) 𝑥 ∗ (1 ∗ 𝑥) = 1 ∗ 𝑥

(3) 1 ∗ 1 = 1

คา่ของ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/49]


ทบทวนพหนุาม หวัขอ้ท่ีนิยมออกขอ้สอบในเรือ่งนี ้คือ การหารพหนุาม และการเทียบสมัประสทิธ์ิ

หารพหนุามโดยการตัง้หารยาว

เช่น (𝑥2 − 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 2)

โดยจะได ้ ตวัตัง้ = (ตวัหาร × ผลหาร) + เศษ

นั่นคือ 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) + 13

สงัเกตวา่ ดกีรขีองผลลพัธ ์จะเทา่กบั ดีกรตีวัตัง้ − ดีกรตีวัหาร เสมอ

การเทียบสมัประสทิธ์ิ ท าไดเ้มื่อ พหนุามมีคา่เทา่กนั ไมว่า่จะแทน 𝑥 ดว้ยอะไร เช่น ถา้ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 5 ส าหรบั ทกุๆ 𝑥

เราจะไดท้นัทีวา่ 𝑎 = 2 , 𝑏 = −3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 5


1. ให ้𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 10 เมื่อ 𝑎, 𝑏 เป็นจ านวนเต็ม และ 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 9

ถา้ 𝑄(𝑥) หาร 𝑃(𝑥) เหลอืเศษ 1 แลว้ 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) มีคา่เทา่ใด [A-NET 51/2-2]

2. ก าหนดให ้𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนจรงิ และให ้𝑓 เป็นฟังกช์นัพหนุาม โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

ถา้มีฟังกช์นัพหนุาม 𝑄(𝑥) โดยที่ 𝑓(𝑥) = (𝑄(𝑥))2 แลว้ จงหา 𝑎 + 𝑏 [PAT 1 (ต.ค. 53)/19*]

𝑥 − 4 𝑥 + 2 𝑥2 − 2𝑥 + 5

𝑥2 + 2𝑥 −4𝑥 + 5 −4𝑥 − 8

13


การหารสงัเคราะห ์ ปกติ เราจะหารพหนุามดว้ยวิธี “ตัง้หารยาว” ซึง่ใชแ้รงเยอะและเปลอืงกระดาษ ในกรณีที่ “ตวัหาร” อยูใ่นรูป 𝑥 + ? หรอื 𝑥 − ? เราจะมีวิธีหารอีกแบบซึง่รวดเรว็กวา่ เรยีกวา่ “หารสงัเคราะห”์ เช่น ถา้จะหา (2𝑥3 − 𝑥2 + 5) ÷ (𝑥 − 2) โดยวิธีหารยาว เทียบกบัวิธีหารสงัเคราะห ์จะเป็นดงันี ้

การหารสงัเคราะห ์จะมีขัน้ตอนดงันี ้1. เขียนตวัตัง้ โดยเขยีนเฉพาะตวัเลข ไมต่อ้งเขียน 𝑥

โดยใหเ้ขยีนเรยีงตามเลขชีก้ าลงัของ 𝑥

ถา้เลขชีก้ าลงัไหนไมม่ี ใหใ้ส ่0

2. เขียนตวัหาร ใหเ้อาตวัเลขหลงั 𝑥 มาเปลีย่นเครือ่งหมาย

เช่น ถา้ตวัหารเป็น 𝑥 + 2 ก็เขียน −2

ถา้ตวัหารเป็น 𝑥 − 3 ก็เขียน 3

หมายเหต:ุ ตวัหารตอ้งอยูใ่นรูป 𝑥 + ? หรอื 𝑥 − ? เทา่นัน้ ถึงจะหารสงัเคราะหไ์ด ้

3. เริม่จากตวัเลขแรกของตวัตัง้ ใหช้กัลงมา

4. เอาตวัหาร คณูกบัตวัที่ชกัลงมา ใสใ่นช่องกลางของแถวถดัไป

บวกตวัเลขแถวถดัไป ลงมาทางแถวลา่ง

5. ท าแบบขอ้ 4 ไปเรือ่ยๆ จนถึงแถวสดุทา้ย เป็นอนัเสรจ็ วิธีอา่นผลลพัธ ์คือ ขวาลา่งจะเป็นเศษ ที่เหลอืถดัมาทางซา้ย คือ ตวัเลขของผลหาร แบบเรยีงก าลงั

2 2 −1 0 5 4 6 12 2 3 6 17

ตวัหาร ตวัตัง้

ผลลพัธ ์ เศษ

หารสงัเคราะห ์หารยาวธรรมดา

ผลลพัธ ์ตวัหาร ตวัตัง้

เศษ

2𝑥2 + 3𝑥 + 6 𝑥 − 2 2𝑥3 − 𝑥2 + 0𝑥 + 5

2𝑥3 − 4𝑥2 3𝑥2 + 0𝑥 3𝑥2 − 6𝑥

6𝑥 + 5 6𝑥 − 12

17

2 −1 0 5

2𝑥3 − 𝑥2 + 5

2 2 −1 0 5

𝑥 − 2

2 2 −1 0 5 2

2 2 −1 0 5 4 2 3

× +

2 2 −1 0 5 4 6 2 3 6

× +

ผลหาร = 2𝑥2 + 3𝑥 + 6 , เศษ = 17

2 2 −1 0 5 4 6 12 2 3 6 17

× +


ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห ์เช่น

แบบฝึกหดั 1. จงหาผลหารและเศษโดยใชว้ธีิหารสงัเคราะห ์

1. (𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 2) ÷ (𝑥 + 1) 2. (−2𝑥3 + 𝑥2 + 10) ÷ (𝑥 − 2)

3. (3𝑥2 + 2𝑥 − 5) ÷ (𝑥 − 1) 4. (𝑥4 − 16) ÷ (𝑥 + 2)

(𝑥2 + 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 2)

−2 1 2 5 −2 0 1 0 5

ผลหาร = 𝑥 , เศษ = 5

(2𝑥5 + 3𝑥4 − 4𝑥3 + 10𝑥2 − 9𝑥 + 8) ÷ (𝑥 + 3)

−3 2 3 −4 10 −9 8 −6 9 −15 15 −18 2 −3 5 −5 6 −10

ผลหาร = 2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 − 5𝑥 +6 , เศษ = −10

(𝑥4 + 2𝑥2 − 3) ÷ (𝑥 − 1)

1 1 0 2 0 −3 1 1 3 3 1 1 3 3 0

ผลหาร = 𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 + 31

เศษ = 0 (หารลงตวั)

(2𝑥2 + 𝑥2 − 3) ÷ (𝑥 +3

2)

−3

2 2 1 −3

−3 3 2 −2 0

ผลหาร = 2𝑥 − 2 , เศษ = 0 (หารลงตวั)


ทฤษฎีเศษ

ในกรณีที่เรา “อยากรูแ้คเ่ศษ แตไ่มอ่ยากรูผ้ลหาร” เรามวีิธีที่งา่ยยิง่กวา่หารสงัเคราะหอ์ีก ซึง่เรยีกวา่ “ทฤษฎีเศษ” ถา้อยากรูว้า่เศษเทา่ไหร ่ใหเ้อา “ตวัเลขหลงั 𝑥 ของตวัหาร” มาเปลีย่นเครือ่งหมาย แทนลงไปในตวัตัง้ จะไดเ้ศษทนัทีเลย

เช่น ถา้ตวัหาร คือ 𝑥 + 2 ก็ใหเ้อา −2 แทนในตวัตัง้ ถา้ตวัหาร คือ 𝑥 − 3 ก็ใหเ้อา 3 แทนในตวัตัง้

ตวัอยา่ง จงหาเศษจากการหาร 𝑥2 + 3𝑥 + 5 ดว้ย 𝑥 + 2 วิธีท า ขอ้นี ้จะตัง้หารยาวก็ได ้ หรอืจะหารสงัเคราะหก็์ได ้ จะไดท้ัง้ผลหาร และเศษ

แตข่อ้นี ้โจทยไ์มไ่ดถ้ามผลหาร ดงันัน้ วิธีทีง่่ายที่สดุคือ ใชท้ฤษฎีเศษ

ตวัหาร คือ 𝑥 + 2 ดงันัน้ เอา −2 แทนในตวัตัง้ จะได ้ (−2)2 + 3(−2) + 5 = 3

ดงันัน้ การหารนี ้ไดเ้ศษ 3 #

ตวัอยา่ง จงหาวา่ 𝑥 − 1 หาร 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 ลงตวัหรอืไม ่วิธีท า “หารลงตวั” แปลวา่ “เศษเป็นศนูย”์

ดงันัน้ ถา้อยากรูว้า่หารลงตวัไหม ก็แคใ่ชท้ฤษฎีเศษเช็ควา่ไดเ้ศษเป็นศนูยห์รอืเปลา่

ตวัหารคือ 𝑥 − 1 ดงันัน้ เอา 1 ไปแทนตวัตัง้ จะได ้ (1)3 − 2(1)2 + 3(1) − 2 = 0 ดงันัน้ หารลงตวั #

ตวัอยา่ง ถา้ 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 4 หารดว้ย 𝑥 + 3 เหลอืเศษ 7 แลว้ จงหาคา่ 𝑘 วิธีท า หารดว้ย 𝑥 + 3 เหลอืเศษ 7 แสดงวา่ ถา้แทน −3 ลงในตวัตัง้ จะไดผ้ลลพัธเ์ทา่กบั 7

#

หมายเหต ุ: ทฤษฎีเศษ แบบเป็นทางการ คือ “พหนุาม 𝑃(𝑥) หารดว้ย 𝑥 − 𝑐 จะเหลอืเศษเทา่กบั 𝑃(𝑐)”


1. จงหาเศษจากการหารตอ่ไปนี ้

1. (𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 2) ÷ (𝑥 + 1) 2. (−2𝑥3 + 𝑥2 + 10) ÷ (𝑥 − 2)

3. (𝑥4 − 16) ÷ (𝑥 + 2)

(−3)2 + 𝑘(−3) + 4 = 7 9 − 3𝑘 + 4 = 7 −3𝑘 = −6 𝑘 = 2

ตวัตัง้ เปลี่ยนเครือ่งหมาย แทน 𝑐 ลงในตวัตัง้


2. จงหาคา่ 𝑐 ที่ท าให ้ 𝑥 + 1 หาร 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 4 ลงตวั

3. จงหาคา่ 𝑐 ทัง้หมด ที่ท าให ้ 𝑥 − 𝑐 หาร 𝑥2 − 2 เหลอืเศษ 2

4. ให ้𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนจรงิ ถา้ 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥 + 4 หารดว้ย (𝑥 − 1)2 ลงตวั

แลว้ 𝑎 − 𝑏 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/27]


การแยกตวัประกอบดว้ยทฤษฎีเศษ

วิธีนี ้จะใชใ้นการแยกตวัประกอบพหนุามที่ดีกรมีากกวา่ 2 ที่แยกดว้ยวธีิอื่นไมไ่ด ้ซึง่จะมีขัน้ตอนดงันี ้

1. สรา้งลสิของจ านวนในรูป ± ตวัประกอบของ พจนต์วัเลข ท่ีไมม่ี 𝑥ตวัประกอบของ สปส พจนก์ าลงัสงูสดุ

เช่น

2. น าแตล่ะตวัในลสิ แทนเป็นคา่ 𝑥 ในพหนุาม คิดเลขออกมา

แทนไปเรือ่ยๆ จนกวา่จะไดค้า่ 𝑐 ทีแ่ทนแลว้ไดผ้ลลพัธเ์ป็นศนูย ์

เช่น

จากทฤษฎีเศษ จะได ้ 𝑥 − 𝑐 เป็นตวัประกอบ (เศษเป็นศนูย ์= หารลงตวั = เป็นตวัประกอบ)

3. น าพหนุาม มาหารดว้ย 𝑥 − 𝑐 (นิยมใชก้ารหารสงัเคราะห)์ จะไดผ้ลการแยกตวัประกอบคือ (𝑥 − 𝑐)(ผลหาร)

เช่น

หมายเหต ุ: ถา้ผลหาร ยงัเป็นพหนุามดีกรมีากกวา่ 2 อยู ่ก็อาจตอ้งใชท้ฤษฎีเศษ แยกตวัประกอบตอ่ไปใหถ้งึทีส่ดุ

โดยตอนไลแ่ทน ถา้ตวัไหนแทนแลว้ไมไ่ดศ้นูยใ์นรอบก่อนหนา้ ก็ไมต่อ้งน ามาแทนอีกในรอบหลงั

ตวัอยา่ง จงแยกตวัประกอบ 2𝑥4 + 5𝑥3 − 11𝑥2 − 20𝑥 + 12

วิธีท า จ านวนทีต่อ้งน ามาไลแ่ทน คือ ± ตวัประกอบของ 12

ตวัประกอบของ 2 = ±1,2,3,4,6,12

1,2

ซึง่ไดแ้ก่ 1 , −1 , 2 , −2 , 3 , −3 , 4 , −4, 6 , −6 , 12 , −12 , 1

2 , −

1

2 ,

3

2 , −

3

2

−1 2 3 −5 −6 −2 −1 6 2 1 −6 0

1: 2(1)4 + 5(1)3 − 11(1)2 − 20(1) + 12 = −12 −1: 2(−1)4 + 5(−1)3 − 11(−1)2 − 20(−1) + 12 = 18 2: 2(2)4 + 5(2)3 − 11(2)2 − 20(2) + 12 = 0 → 𝑐 = 2

2 2 5 −11 −20 12 4 18 14 −12 2 9 7 −6 0

𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 3

→ ±ตวัประกอบของ 3ตวัประกอบของ 1 = ±

1,3

1

→ 1 , −1 , 3 , −3

𝑥4 − 2𝑥 − 12

→ ±ตวัประกอบของ −12

ตวัประกอบของ 1 = ±1,2,3,4,6,12

1

→ 1 , −1 , 2 , −2 , 3 , −3 , 4 , −4, 6 , −6 , 12 , −12

2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 6

→ ±ตวัประกอบของ −6

ตวัประกอบของ 2 = ±

1,2,3,6

1,2

→ 1 , −1 , 2 , −2 , 3 , −3 , 6 , −6 , 1

2 , −

1

2 ,

3

2 , −

3

2

2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 6 1: 2(1)3 + 3(1)2 − 5(1) − 6 = −6 2: 2(2)3 + 3(2) − 5(2) − 6 = 6 −1: 2(−1)3 + 3(−1)2 − 5(−1) − 6 = 0 → 𝑐 = −1

2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(2𝑥2 + 𝑥 − 6) = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

ยงัตอ้งใชท้ฤษฎีเศษ แยกตอ่

2𝑥4 + 5𝑥3 − 11𝑥2 − 20𝑥 + 12 = (𝑥 − 2)(2𝑥3 + 9𝑥2 + 7𝑥 − 6)


แยก 2𝑥3 + 9𝑥2 + 7𝑥 − 6 ตอ่ดว้ยทฤษฎีเศษ → จ านวนท่ีตอ้งไลแ่ทน คือ ± ตวัประกอบของ −6

ตวัประกอบของ 2 = ±1,2,3,6

1,2

ซึง่ไดแ้ก่ 1 , −1 , 2 , −2 , 3 , −3 , 6 , −6 , 1

2 , −

1

2 ,

3

2 , −

3

2

แต ่ 1 กบั −1 เคยแทนแลว้ไมไ่ดศ้นูย ์ก็ไมต่อ้งเอามาแทนอีก

ดงันัน้ 2𝑥4 + 5𝑥3 − 11𝑥2 − 20𝑥 + 12 = (𝑥 − 2)(2𝑥3 + 9𝑥2 + 7𝑥 − 6)

= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(2𝑥2 + 5𝑥 − 3)

= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) #


1. จงแยกตวัประกอบพหนุามตอ่ไปนี ้ 1. 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12

2. 2𝑥3 + 3𝑥2 − 11𝑥 − 6

2: 2(2)3 + 9(2)2 + 7(2) − 6 = 60 −2: 2(−2)3 + 9(−2)2 + 7(−2) − 6 = 0 → 𝑐 = −2

−2 2 9 7 −6 −4 −10 6 2 5 −3 0

2𝑥3 + 9𝑥2 + 7𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(2𝑥2 + 5𝑥 − 3)


3. 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

4. 𝑥4 + 2𝑥3 − 7𝑥2 − 8𝑥 + 12


สมการดกีรสีงู ในเรือ่งนี ้จะเรยีนเก่ียวกบัสมการที่มีดีกรสีงูกวา่ 2

เช่น 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 10𝑥 + 5 = 0 เป็นสมการดกีร ี4

ปกติ เราจะแทนสมการเหลา่นีด้ว้ยสญัลกัษณ ์ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥1 + 𝑎0 = 0

โดย 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 , 𝑎0 จะหมายถึง ตวัเลขที่คณูอยูห่นา้ 𝑥 (ถา้ตวัไหนเป็น 0 ก็ขา้มเลขชีก้ าลงันัน้ไป) เช่น 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0 จะมี 𝑎3 = 2 , 𝑎2 = 1 , 𝑎1 = −2 , 𝑎0 = 3

𝑥4 − 𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 จะมี 𝑎4 = 1 , 𝑎3 = 0 , 𝑎2 = −1 , 𝑎1 = 5 , 𝑎0 = −3 เป็นตน้ โดยวิธีแกส้มการ เราจะตอ้งจดัใหฝ่ั้งขวาเป็น 0 และแยกตวัประกอบฝ่ังซา้ย แลว้จบัใหต้วัประกอบแตล่ะตวัเป็น 0

ในหวัขอ้นี ้จะมี 3 เรือ่ง คือ “จ านวนค าตอบ” , “ผลบวก ผลคณู ค าตอบ” , และ “การสรา้งสมการจากค าตอบ”

จ านวนค าตอบ: สมการดกีร ี𝑛 จะมีค าตอบไดไ้มเ่กิน 𝑛 ค าตอบ

หรอื พดูอีกแบบไดว้า่ จ านวนค าตอบของสมการ จะมีไดไ้มเ่กินเลขชีก้ าลงัสงูสดุ

เพราะเลขชีก้ าลงัสงูสดุ จะเป็นตวับอกวา่พหนุามนัน้ๆ แยกตวัประกอบไดม้ากสดุ ก่ีวงเลบ็ เช่น 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 จะมีค าตอบไดไ้มเ่กิน 2 ค าตอบ (เพราะแยกไดอ้ยา่งมาก 2 วงเลบ็)

𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 จะมีค าตอบไดไ้มเ่กิน 3 ค าตอบ (เพราะแยกไดอ้ยา่งมาก 3 วงเลบ็)

ผลบวก ผลคณู ค าตอบ: ถา้สมการ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥1 + 𝑎0 = 0 มีค าตอบ 𝑛 ค าตอบแลว้

เช่น 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 8 = 0 ผลบวกค าตอบ = −−7

1 = 7 (= 1 + 2 + 4)

ผลบวกสองค าตอบคณูกนั = +14

1 = 14 (= 1×2 + 1×4 + 2×4)

ผลคณูค าตอบ = (−1)3 (−8

1) = 8 (= 1×2×4)

4𝑥4 − 5𝑥2 + 1 = 0 ผลบวกค าตอบ = −0

4 = 0 (= −1 + 1 −

1

2+

1

2)

ผลบวกสองค าตอบคณูกนั = +−5

4 = −

5

4

(= −1 ∙ 1 + −1 ∙ −1

2 + −1 ∙

1

2 + 1 ∙ −

1

2 + 1 ∙

1

2 + −

1

2∙

1

2 )

ผลบวกสามค าตอบคณูกนั = −0

4 = 0

(= −1 ∙ 1 ∙ −1

2 + −1 ∙ 1 ∙

1

2 + −1 ∙ −

1

2∙

1

2 + 1 ∙ −

1

2∙

1

2)

ผลคณูค าตอบ = (−1)4 (1

4) =

1

4 (= −1 ∙ 1 ∙ −

1

2∙

1

2)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 0

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)

เซตค าตอบ คือ {1, 2, 4}

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)

เซตค าตอบ คือ { −1 , 1 , −1

2 ,

1

2 }

ผลคณูของค าตอบทัง้หมด = (−1)𝑛 (𝑎0

𝑎𝑛)

ผลบวกของค าตอบทัง้หมด = −𝑎𝑛−1

𝑎𝑛

ผลบวกของสองค าตอบคณูกนั = +𝑎𝑛−2

𝑎𝑛

ผลบวกของสามค าตอบคณูกนั = −𝑎𝑛−3

𝑎𝑛

⋮

4𝑥4 − 0𝑥3 − 5𝑥2 + 0𝑥 + 1


ตวัอยา่ง ถา้สมการ 2𝑥3 + 𝑘𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 มีราก 3 ราก คือ 2, −1, และ 𝑎 แลว้ จงหาคา่ 𝑘

วิธีท า สมการนี ้จะมีผลคณูของค าตอบ = (−1)3 (2

2) = −1

ดงันัน้ (2)(−1)(𝑎) = −1 ซึง่จะได ้ 𝑎 = 1

2

แตจ่ากสตูรผลบวกราก สมการนี ้จะมีผลบวกของค าตอบ = −𝑘

2

ดงันัน้ −𝑘

2 = 2 + (−1) + 𝑎

−𝑘

2 = 2 + (−1) +

1

2

−𝑘

2 =

3

2

𝑘 = −3 #

สรา้งสมการจากค าตอบ: สมการดกีร ี𝑛 ที่มี 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 เป็นค าตอบ

จะเขียนไดใ้นรูป 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛) = 0 เมื่อ 𝑎 เป็นตวัเลขอะไรก็ได ้

อนันีเ้ป็นการท ายอ้นกลบั คือมีค าตอบ แลว้จะยอ้นกลบัไปหาสมการ เช่น สมการท่ีมี 1 กบั −2 เป็นค าตอบ คือ 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 เป็นตน้ โดย 𝑎 เป็นตวัเลขอะไรก็ได ้กลา่วคอื ไมว่า่ 𝑎 เป็นตวัเลขอะไร สมการนีก็้จะยงัมี 1 กบั −2 เป็นค าตอบ อยู ่

อยา่งไรก็ตาม โจทยม์กัจะใหข้อ้มลูบางอยา่งเพิ่มเติม เพื่อใหเ้ราหาคา่ 𝑎 ที่แนช่ดัลงไปได ้

ตวัอยา่ง ก าหนดให ้𝑃(𝑥) เป็นพหนุามดีกร ี3 โดยที่สมการ 𝑃(𝑥) = 0 มีเซตค าตอบคือ {1, 2, 3} ถา้ 𝑃(4) = 12

แลว้ จงหา 𝑃(0) วิธีท า สมการท่ีมีค าตอบคือ 1, 2, 3 จะตอ้งมีสมการอยูใ่นรูป 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0

ดงันัน้จะได ้ 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

𝑃(4) คือ คา่ที่ไดจ้ากการแทน 𝑥 ดว้ย 4 ซึง่โจทยบ์อกวา่ 𝑃(4) = 12 ดงันัน้

ดงันัน้ 𝑃(0) = 2(0 − 1)(0 − 2)(0 − 3) = −12 #


1. ถา้สมการ 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12 = 0 มีค าตอบ 3 ค าตอบ คือ 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แลว้ จงหาคา่ของ 1. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2. 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐

3. 𝑎𝑏𝑐 4. 1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐

𝑎 = 1: (1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 → 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 𝑎 = 2: (2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 → 2𝑥2 + 2𝑥 − 4 = 0 𝑎 = −3: (−3)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 → −3𝑥2 − 3𝑥 + 6 = 0

ทกุสมการ มี 1 กบั −2 เป็นค าตอบ

𝑎(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) = 12 𝑎( 3 )( 2 )( 1 ) = 12 𝑎 = 2


2. ก าหนดให ้ 𝐴 เป็นเซตค าตอบของสมการ 𝑥3 + 𝑥2 − 27𝑥 − 27 = 0

และ 𝐵 เป็นเซตค าตอบของสมการ 𝑥3 + (1 − √3)𝑥2 − (36 + √3)𝑥 − 36 = 0

𝐴 ∩ 𝐵 เป็นสบัเซตของช่วงในขอ้ใดตอ่ไปนี ้ [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-4] 1. [−3√5, −0.9] 2. [−1.1, 0] 3. [0, 3√5] 4. [1, 5√3]

3. ก าหนดให ้𝑆 เป็นเซตค าตอบของสมการ 2𝑥3 − 7𝑥2 + 7𝑥 − 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทัง้หมดของ 𝑆 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/6]

4. ถา้ 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 เป็นรากของสมการ 𝑥3 + 𝑘𝑥2 − 18𝑥 + 2 = 0 เมื่อ 𝑘 เป็นจ านวนจรงิ แลว้ 1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐 เทา่กบัเทา่ไร [PAT 1 (ต.ค. 53)/10*]


5. จงหาค าตอบที่เหลอืของสมการ 2𝑥3 − 3𝑥2 − 11𝑥 + 6 = 0 เมื่อก าหนดใหส้องค าตอบแรก คือ 3 และ 12

6. ก าหนดให ้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุามดีกร ี3 โดยทีส่มการ 𝑃(𝑥) = 0 มีราก 3 ราก คือ −1 , 1 , 2 ถา้ 𝑃(3) = 16

จงหาคา่ของ 𝑃(0)

7. ก าหนดให ้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุามดีกร ี4 โดยที่สมการ 𝑃(𝑥) − 1 = 0 มีราก 4 ราก คือ 0 , 1 , −1 , 2 ถา้ 𝑃(3) = 9 แลว้ จงหา 𝑃(4)


8. ก าหนดให ้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุามดกีร ี3 โดยที่ 𝑃(1) = 𝑃(2) = 𝑃(3) = 0 ถา้ 𝑃(0) = 6 แลว้ จงหาคา่ของ 𝑃(−1)

9. ก าหนดให ้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุามดกีร ี3 โดยที่ 𝑃(1) = 𝑃(−2) = 𝑃(3) = 1 ถา้ 𝑃(0) = 4 แลว้ จงหาคา่ของ 𝑃(−1)

10. ก าหนดให ้𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นพหนุามดีกร ี2551 ซึง่สอดคลอ้งกบั 𝑃(𝑛) = 𝑄(𝑛) ส าหรบั 𝑛 = 1, 2, … , 2551 และ 𝑃(2552) = 𝑄(2552) + 1

คา่ของ 𝑃(0) − 𝑄(0) เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/48]


ทบทวนอสมการ

ช่วง คือ เซตของจ านวนทกุจ านวนท่ีมีคา่ ตัง้แต ่/ ระหวา่ง จ านวนที่ระบ ุ

เช่น [1, 5] ทกุจ านวนตัง้แต ่1 ถึง 5 (รวม 1 กบั 5 ดว้ย) { 𝑥 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 }

[−4 , 3) ทกุจ านวนตัง้แต ่−4 ถึง 3 (รวม −4 แตไ่มเ่อา 3) { 𝑥 | −4 ≤ 𝑥 < 3 }

(2, ∞) ทกุจ านวนท่ีมากกวา่ 2 (ไมร่วม 2) { 𝑥 | 2 < 𝑥 }

(−∞, −2] ทกุจ านวนตัง้แต ่−2 ลงไป (รวม −2 ดว้ย) { 𝑥 | 𝑥 ≤ −2 }

การแกอ้สมการดกีรสีงู ใหจ้ดัฝ่ังหนึง่เป็น 0 อีกฝ่ัง ใหแ้ยกตวัประกอบ ใหอ้ยูใ่นรูป “คณูหรอืหาร” ก็ได ้น าแตล่ะวงเลบ็ไปเขยีนบนเสน้จ านวน เพื่อใส ่+, −, + แลว้เลอืกช่วงค าตอบตามเครือ่งหมายอสมการ โดย → ไมต่อ้งสลบัตรงจดุที่มาจาก (วงเลบ็)ยกก าลงัคู่

→ ถา้ 𝑥 มีลบคณูอยู ่ใหจ้ดัเป็น + โดยคณู −1 ทัง้สองขา้ง แลว้กลบั > เป็น <


1. ก าหนดให ้ 𝐼𝑛 = (0, 1) ∩ (1

2, 2) ∩ (

2

3, 3) ∩ … ∩ (

𝑛−1

𝑛, 𝑛) เมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนนบั

คา่ของ 𝑛 ที่นอ้ยที่สดุที่ท าให ้ 𝐼𝑛 ⊆ ( 2551

2554,

2553

2552 ] เทา่กบัเทา่ไร [PAT 1 (ต.ค. 52)/23]

2. ก าหนดให ้ 𝐴 เป็นเซตค าตอบของอสมการ (2𝑥+1)(𝑥−1)

2−𝑥≥ 0

และ 𝐵 เป็นเซตค าตอบของอสมการ 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 < 0

ถา้ 𝐴 ∩ 𝐵 = [𝑐, 𝑑) แลว้ 6𝑐 − 𝑑 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/5]


3. ก าหนดให ้𝐴 = {𝑥 | (𝑥2 − 1)(𝑥2 − 3) ≤ 15}

ถา้ 𝑎 เป็นสมาชิกคา่นอ้ยสดุในเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นสมาชิกคา่มากสดุในเซต 𝐴

แลว้ (𝑏 − 𝑎)2 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/6]

4. ก าหนดให ้ 𝐴 = {𝑥 | (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) < 2} และ 𝐵 = {𝑥 | 16 − 9𝑥2 > 0}

เซต 𝐴 ∩ 𝐵 เป็นสบัเซตของชว่งในขอ้ใดตอ่ไปนี ้ [A-NET 50/1-1]

1. (−2

3,

7

3) 2. (−1,

5

3) 3. (−

4

3,

5

4) 4. (−

5

3, 1)

5. ก าหนดให ้𝑆 เป็นเซตค าตอบของอสมการ 𝑥4−13𝑥2+36

𝑥2+5𝑥+6≥ 0

ถา้ 𝑎 เป็นจ านวนที่มคีา่นอ้ยที่สดุในเซต 𝑆 ∩ (2, ∞) และ 𝑏 เป็นจ านวนลบท่ีมีคา่มากที่สดุซึง่ 𝑏 ∉ 𝑆 แลว้

𝑎2 − 𝑏2 เทา่กบัเทา่ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/7]


6. ก าหนดให ้ 𝑆 = {𝑥 |𝑥

𝑥2−3𝑥+2≥

𝑥+2

𝑥2−1} ช่วงในขอ้ใดตอ่ไปนีเ้ป็นสบัเซตของ 𝑆 [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-5]

1. (−∞, −3) 2. (−1, 0.5) 3. (−0.5, 2) 4. (1, ∞)

7. ให ้ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 และ 𝑥 เป็นจ านวนเต็มบวกใดๆ ขอ้ใดถกูตอ้งบา้ง [PAT 1 (พ.ย. 57)/15] 1. ถา้ 𝑎

𝑏 <

𝑐

𝑑 แลว้ 𝑎+𝑥

𝑏 <

𝑐+𝑥

𝑑

2. 𝑎

𝑏 < 𝑎+𝑥

𝑏+𝑥


8. ก าหนดให ้𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เป็นจ านวนจรงิบวก โดยที่ 𝑎 < 𝑏 ขอ้ใดถกูตอ้งบา้ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/29]

1. 2𝑎+3𝑏+4𝑐

3𝑎+2𝑏+3𝑐 >

2𝑎+3𝑏

3𝑎+2𝑏 2. 3𝑎+2𝑏+𝑐

2𝑎+3𝑏+𝑐 >

3𝑎+2𝑏

2𝑎+3𝑏

9. ในกลอ่งใบหนึง่บรรจลุกูบอลสขีาว ลกูบอลสแีดง และลกูบอลสเีหลอืง โดยที่จ านวนลกูบอลสขีาวมจี านวนไมน่อ้ยกวา่จ านวนลกูบอลสแีดง แตไ่มม่ากกวา่หนึง่ในสามเทา่ของจ านวนลกูบอลสเีหลอืง และผลรวมของจ านวนลกูบอลสขีาวและสแีดงไมน่อ้ยกวา่ 76 ลกู อยากทราบวา่ผลรวมของจ านวนลกูบอลสขีาวและลกูบอลสเีหลอืงมอียา่งนอ้ยก่ีลกู

[PAT 1 (มี.ค. 57)/45]


ทบทวนคา่สมับรูณ ์

สตูรส าหรบัหา |𝑥| จะมีดงันี ้

โดยรูปแบบการแก ้สมการ / อสมการ คา่สมับรูณ ์จะมีดงันี ้


1. ให ้𝑅 แทนเซตของจ านวนจรงิ ถา้ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 | |1−𝑥|−2

𝑥+|𝑥|−3> 1} แลว้ 𝐴 ∩ [0, 1) เทา่กบัขอ้ใดตอ่ไปนี ้

[PAT 1 (ก.ค. 53)/4]

1. {𝑥 | 1

3< 𝑥 <

2

3} 2. {𝑥 |

1

3< 𝑥 < 1}

3. {𝑥 | 2

3< 𝑥 < 1} 4. {𝑥 |

2

3< 𝑥 <

3

2}

2. ก าหนดให ้I เป็นเซตของจ านวนเต็ม ถา้ 𝑆 = {𝑥 ∈ I | 2𝑥2 − 9𝑥 − 26 ≤ 0 และ |1 − 2𝑥| ≥ 3} แลว้ ผลบวกของสมาชิกของ 𝑆 เทา่กบัเทา่ใด [A-NET 49/2-6]

|𝑥| = { 𝑥 เมื่อ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 เมื่อ 𝑥 < 0

ถา้ 𝑥 เป็นบวกอยูแ่ลว้ |𝑥| จะไดเ้ทา่เดิม

ถา้ 𝑥 เป็นลบอยู ่จะถกูท าใหเ้ป็นบวกโดยคณูลบเขา้ไป (ใชห้ลกัวา่ลบคณูลบไดบ้วก)

เปลี่ยนเป็นรูปที่ไมมี่คา่สมับรูณ ์ หมายเหต ุ

| | = = หรอื = − ค าตอบ ตอ้งท าให ้ ≥ 0

| | < − < < ค าตอบ ตอ้งท าให ้ > 0

| | > > หรอื < −

| | = | | | | < | | | | > | |

ยกก าลงัสองทัง้สองขา้ง เพื่อก าจดัคา่สมับรูณ ์

โดยใชห้ลกั |𝑥|2 = 𝑥2


3* ให ้𝐴 เป็นเอกภพสมัพทัธท์ีใ่หญ่ที่สดุ ที่ท าใหป้ระพจน ์ ∀𝑥[ 2𝑥2 + 𝑥 − 3 ≤ 0 และ |𝑥 − 2| ≤ 3 ] มีคา่ความจรงิเป็นจรงิ และให ้𝐵 เป็นเซตค าตอบของอสมการ 6𝑥−2 − 5𝑥−1 − 1 > 0 ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง

[PAT 1 (พ.ย. 57)/13] 1. 𝐴 ⊂ 𝐵 2. 𝐴 − 𝐵 มีสมาชิก 2 ตวั 3. (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (−6, 1) 4. (−6, 0) ⊂ (𝐵 − 𝐴)

4. ก าหนดให ้𝑆 = {𝑥 | |𝑥|3 = 1} เซตในขอ้ใดตอ่ไปนีเ้ทา่กบัเซต 𝑆 [PAT 1 (มี.ค. 52)/5]

1. {𝑥 | 𝑥3 = 1} 2. {𝑥 | 𝑥2 = 1} 3. {𝑥 | 𝑥3 = −1} 4. {𝑥 | 𝑥4 = 𝑥}

5. ก าหนดให ้ 𝐼 แทนเซตของจ านวนเต็ม และ 𝑃(𝑆) แทนเพาเวอรเ์ซตของเซต 𝑆

ให ้ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐼 | |𝑥2 − 1| < 8} และ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐼 | 3𝑥2 + 𝑥 − 2 ≥ 0}

ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง [PAT 1 (ต.ค. 53)/3]

1. จ านวนสมาชิกของ 𝑃(𝐴 − 𝐵) เทา่กบั 4 2. จ านวนสมาชิกของ 𝑃(𝐼 − (𝐴 ∪ 𝐵)) เทา่กบั 2

3. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 4. 𝑃(𝐴 − 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = {{0}}


6. ก าหนดให ้ I แทนเซตของจ านวนเต็ม

ให ้ 𝐴 = { 𝑥 ∈ I | |2𝑥 + 7| ≤ 9} และ 𝐵 = { 𝑥 ∈ I | |𝑥2 − 𝑥 − 1| > 1}

ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้งบา้ง [PAT 1 (ต.ค. 55)/4]

1. จ านวนสมาชิกของเซต 𝐴 ∩ 𝐵 เทา่กบั 7

2. 𝐴 − 𝐵 เป็นเซตวา่ง

7. ก าหนดให ้ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 | √𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≤ 4} เมื่อ 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรงิ ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง [PAT 1 (มี.ค. 53)/4] 1. 𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑅 | |3 − 𝑥| > 4} 2. 𝐴′ ⊂ (−1, ∞)

3. 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≤ 7} 4. 𝐴 ⊂ {𝑥 ∈ 𝑅 | |2𝑥 − 3| < 7}

8. ให ้𝐴 แทนเซตของจ านวนจรงิ 𝑥 ทัง้หมดที่สอดคลอ้งกบัสมการ 4𝑥

4𝑥2−8𝑥+7+

3𝑥

4𝑥2−10𝑥+7 = 1

และให ้𝐵 แทนเซตของจ านวนจรงิ 𝑥 ทัง้หมดที่สอดคลอ้งกบัอสมการ |𝑥2 − 2𝑥| + 𝑥2 > 4

ขอ้ใดถกูตอ้งบา้ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/5]

1. 𝐴 ⊂ 𝐵

2. จ านวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ซตของเซต 𝐴 ∩ 𝐵 เทา่กบั 2


9. ก าหนดให ้𝐴 เป็นเซตค าตอบของอสมการ |𝑥2 + 𝑥 − 2| ≤ |𝑥2 − 4𝑥 + 3| และ 𝐵 = 𝐴 − {1}

ถา้ 𝑎 เป็นสมาชิกของ 𝐵 ซึง่ 𝑎 − 𝑏 ≥ 0 ทกุ 𝑏 ∈ 𝐵 แลว้ ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้งบา้ง [A-NET 51/1-3]

1. 4

3𝑎 เป็นจ านวนคู ่ 2. 5

𝑎 เป็นจ านวนคู ่

10. ก าหนดให ้𝐴 = {𝑥 | |𝑥 − 1| ≤ 3 − 𝑥} และ 𝑎 เป็นสมาชิกคา่มากที่สดุของ 𝐴

คา่ของ 𝑎 อยูใ่นชว่งใดตอ่ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/7]

1. (0, 0.5] 2. (0.5, 1] 3. (1, 1.5] 4. (1.5, 2]

11. ก าหนดให ้𝐴 = {𝑥 | 𝑥2 + 2𝑥 − 3 < 0} และ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 + 1 ≥ 2|𝑥|}

ถา้ 𝐴 − 𝐵 = (𝑎, 𝑏) แลว้ 3|𝑎 + 𝑏| มีคา่เทา่ใด [A-NET 51/2-1]


12. ถา้เซตค าตอบของอสมการ |𝑥2 + 𝑥 − 2| < (𝑥 + 2) คือช่วง (𝑎, 𝑏)

แลว้ 𝑎 + 𝑏 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด [A-NET 50/2-6]

13. ก าหนดให ้𝑃(𝑥) แทน |𝑥−2

𝑥+2| < 2 และให ้𝑄(𝑥) แทน |2𝑥 + 1| > 𝑥 − 1

เอกภพสมัพทัธใ์นขอ้ใดตอ่ไปนีท้ี่ท าให ้ 𝑄(𝑥) เป็นจรงิเสมอ แตท่ าให ้𝑃(𝑥) เป็นเท็จเสมอ

[PAT 1 (มี.ค. 56)/3*] 1. (−∞, −4) 2. (−5, −1) 3. (−3, 2) 4. (−1, ∞)


การแบง่กรณีคา่สมับรูณ ์

ในเรือ่งนี ้เราจะเรยีนอีกหนึง่วิธี ท่ีสามารถแก ้สมการ / อสมการ คา่สมับรูณ์ ที่ซบัซอ้นกวา่หวัขอ้ที่แลว้ได ้

โดยเราจะใชส้ตูร |𝑥| = { 𝑥 เมื่อ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 เมื่อ 𝑥 < 0 มาก าจดัเครือ่งหมายคา่สมับรูณ ์

เช่น ถา้เราเจอ |𝑥 − 2| ในสมการ เราจะเปลีย่นมนัดว้ยสตูร |𝑥 − 2| = {𝑥 − 2 เมื่อ 𝑥 − 2 ≥ 0

−(𝑥 − 2) เมื่อ 𝑥 − 2 < 0

นั่นคือ ในกรณีที่ 𝑥 ≥ 2 เราจะไดว้า่ |𝑥 − 2| = 𝑥 − 2

และ ในกรณีที่ 𝑥 < 2 เราจะไดว้า่ |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2)

ดงันัน้ เวลาแกส้มการ เราจะแบง่คิดเป็น 2 กรณี คือ กรณี 𝑥 ≥ 2 และ กรณี 𝑥 < 2

จากนัน้ จงึเอาค าตอบจากทัง้สองกรณีมารวมกนั (∪)

ตวัอยา่ง จงแกอ้สมการ |𝑥 − 4| ≤ 2𝑥 + 7

วิธีท า เนื่องจาก |𝑥 − 4| = {𝑥 − 4 เมื่อ 𝑥 − 4 ≥ 0

−(𝑥 − 4) เมื่อ 𝑥 − 4 < 0 ดงันัน้ เราจะแบง่เป็นกรณี 𝑥 ≥ 4 กบั กรณี 𝑥 < 4

รวม (∪) ค าตอบจากทัง้ 2 กรณี จะไดค้ าตอบ คือ (4, ∞) ∪ [−1, 4) = [−1, ∞) #

ตวัอยา่ง จงแกอ้สมการ |𝑥 − 2| + |𝑥 − 1| ≤ 𝑥 + 9 วิธีท า ขอ้นี ้มีคา่สมับรูณ ์2 กอ้น

|𝑥 − 2| = {𝑥 − 2 เม่ือ 𝑥 − 2 ≥ 0

−(𝑥 − 2) เม่ือ 𝑥 − 2 < 0

𝑥 ≥ 2

𝑥 < 2

|𝑥 − 1| = {𝑥 − 1 เม่ือ 𝑥 − 1 ≥ 0

−(𝑥 − 1) เม่ือ 𝑥 − 1 < 0

𝑥 ≥ 1

𝑥 < 1

𝑥 ≥ 2

𝑥 < 2

2

𝑥 ≥ 2 𝑥 < 2

กรณี 𝑥 < 2 เปลี่ยน |𝑥 − 2| เป็น −(𝑥 − 2) แลว้แกห้าค าตอบ กรอง (∩) เหลือเฉพาะที่ 𝑥 < 2

กรณี 𝑥 ≥ 2 เปลี่ยน |𝑥 − 2| เป็น 𝑥 − 2 แลว้แกห้าค าตอบ กรอง (∩) เหลือเฉพาะที่ 𝑥 ≥ 2

𝑥 ≥ 4

𝑥 < 4 กรณี 𝑥 < 4:

เปลี่ยน |𝑥 − 4| เป็น −(𝑥 − 4) −(𝑥 − 4) ≤ 2𝑥 + 7 −𝑥 + 4 ≤ 2𝑥 + 7 −3 ≤ 3𝑥 −1 ≤ 𝑥

กรอง (∩) เหลือเฉพาะที่ 𝑥 < 4

เซตค าตอบ คือ [−1, 4)

4 −1

𝑥 ≥ −1 𝑥 < 4

ตอบ

กรณี 𝑥 ≥ 4:

เปลี่ยน |𝑥 − 4| เป็น 𝑥 − 4 𝑥 − 4 ≤ 2𝑥 + 7 −11 ≤ 𝑥

กรอง (∩) เหลือเฉพาะที่ 𝑥 ≥ 4

เหลือค าตอบ คือ [4, ∞)

ตอบ

𝑥 ≥ −11 𝑥 ≥ 4

4 −11


จะมีจดุแบง่ 2 จดุ คือ ท่ี 1 และ 2

จึงตอ้งแบง่เป็น 3 กรณี ดงันี ้

กรณี 𝑥 < 1: กรณี 1 ≤ 𝑥 < 2: กรณี 𝑥 ≥ 2

รวมค าตอบจากทกุกรณี จะไดเ้ซตค าตอบ คือ [−2, 1) ∪ [1, 2) ∪ [2, 12] = [−2, 12] #


1. จงแกส้มการ / อสมการ ตอ่ไปนีด้ว้ยวธีิแบง่กรณี

1. 2𝑥 + 5 < |𝑥 − 2|

2. |𝑥 + 3| = 𝑥2 + 6𝑥 + 3

|𝑥 − 2| + |𝑥 − 1| ≤ 𝑥 + 9 −(𝑥 − 2) − (𝑥 − 1) ≤ 𝑥 + 9 −𝑥 + 2 − 𝑥 + 1 ≤ 𝑥 + 9 −6 ≤ 3𝑥 −2 ≤ 𝑥

|𝑥 − 2| + |𝑥 − 1| ≤ 𝑥 + 9 −(𝑥 − 2) + (𝑥 − 1) ≤ 𝑥 + 9 −𝑥 + 2 + 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 9 −8 ≤ 𝑥

𝑥 < 1

กรองค าตอบ เอาเฉพาะที่ 𝑥 < 1 𝑥 ≥ −2

ตอบ [−2, 1)

1 −2

กรองค าตอบ เอาเฉพาะที่ 1 ≤ 𝑥 < 2 𝑥 ≥ −8

ตอบ [1, 2)

1 −8 2

1 ≤ 𝑥 < 2

|𝑥 − 2| + |𝑥 − 1| ≤ 𝑥 + 9 (𝑥 − 2) + (𝑥 − 1) ≤ 𝑥 + 9 𝑥 − 2 + 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 9 𝑥 ≤ 12

ตอบ [2, 12]

กรองค าตอบ เอาเฉพาะที่ 𝑥 ≥ 2 𝑥 ≥ 2

𝑥 ≤ 12

12 2

|𝑥 − 2|: 𝑥 − 2 −(𝑥 − 2)

2

เม่ือ 1 ≤ 𝑥 < 2 จะได ้|𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2) |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1

เม่ือ 𝑥 < 1 จะได ้|𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2) |𝑥 − 1| = −(𝑥 − 1)

เม่ือ 𝑥 ≥ 2 จะได ้|𝑥 − 2| = 𝑥 − 2 |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1

1

|𝑥 − 1|: 𝑥 − 1 −(𝑥 − 1)


3. |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1| > 4

4. |𝑥 + 2| + |𝑥 + 3| < 𝑥 + 1

2. ถา้ 𝐴 แทนเซตของจ านวนเตม็ทัง้หมด ท่ีสอดคลอ้งกบัอสมการ 3|𝑥 − 1| − 2𝑥 > 2|3𝑥 + 1|

และ 𝐵 แทนเซตค าตอบของอสมการ 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2 < 0 แลว้ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง [PAT 1 (มี.ค. 55)/3]

1. เซต 𝐴 − 𝐵 มีสมาชิก 5 ตวั 2. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴

3. เซต 𝐴 ∩ 𝐵 มีสมาชิก 1 ตวั 4. (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐵


3. ก าหนดให ้R แทนเซตของจ านวนจรงิ ให ้ 𝐴 = { 𝑥 ∈ R | |2𝑥 − 5| + |𝑥| ≤ 7 } และ 𝐵 = { 𝑥 ∈ R | 𝑥2 < 12 + |𝑥| } ขอ้ใดถกูตอ้งบา้ง [PAT 1 (มี.ค. 56)/4]

1. 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ { 𝑥 ∈ R | 1 ≤ 𝑥 < 4 }

2. 𝐴 − 𝐵 เป็นเซตจ ากดั (finite set)

4. ถา้ 𝐴 แทนเซตค าตอบของสมการ |2 − 2𝑥| + |𝑥 + 2| = 4 − 𝑥 แลว้ เซต 𝐴 เป็นสบัเซตของขอ้ใดตอ่ไปนี ้

[PAT 1 (เม.ย. 57)/4] 1. (−4, 0) 2. (−1, 1) 3. (0, 4) 4. (−3, 2)


5. ก าหนดให ้𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนจรงิบวก และ 𝑎 < 𝑏

เซตค าตอบของสมการ |𝑥 − 𝑎| − |𝑥 − 𝑏| = 𝑏 − 𝑎 เทา่กบัเทา่ใด (ตอบในรูป 𝑎, 𝑏) [PAT 1 (มี.ค. 57)/5]

6. ก าหนดใหเ้อกภพสมัพทัธค์ือเซตของจ านวนจรงิบวก ขอ้ใดถกูตอ้งบา้ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/2]

1. ประพจน ์ ∀𝑥[|𝑥2 − 5𝑥 + 4| < 𝑥2 + 6𝑥 + 5] มีคา่ความจรงิเป็นจรงิ

2. ประพจน ์ ∀𝑥[|𝑥2 − 1| ≥ 2𝑥 − 2] มีคา่ความจรงิเป็นเทจ็


สมบตัิความบรบิรูณ ์

“ขอบเขตบนของเซต 𝐴” หมายถงึ คา่ที่ ≥ ทกุๆตวัใน 𝐴

เซตหนึง่ๆ อาจมีขอบเขตบนไดม้ากมาย ตราบใดทีต่วัเลขนัน้ ≥ ทกุตวัในเซต เช่น 1 เป็นขอบเขตบนของ {−1, 0, 1} เพราะ 1 ≥ ทกุตวัใน {−1, 0, 1} 2 ก็เป็นขอบเขตบนของ {−1, 0, 1} เพราะ 2 ≥ ทกุตวัใน {−1, 0, 1}

9 ก็เป็นขอบเขตบนของ {−1, 0, 1} เพราะ 9 ≥ ทกุตวัใน {−1, 0, 1}

3 เป็นขอบเขตบนของ (−∞, 3) เพราะ 3 ≥ ทกุตวัใน (−∞, 3)

−1 เป็นขอบเขตบนของ [−5, −1] เพราะ −1 ≥ ทกุตวัใน [−5, −1]

3 เป็นขอบเขตบนของ ∅ เพราะ เราถือวา่ ไมม่ีตวัไหนใน ∅ ที่มีคา่มากกวา่ 3

หมายเหต:ุ ∅ เป็นเซตพเิศษเพียงเซตเดยีวที่ “ขอบเขตบนเป็นอะไรก็ได”้

แต ่ 0 ไมใ่ช่ขอบเขตบนของ {−1, 0, 1} เพราะมี 1 ที่มากกวา่ 0 อยู ่ 3 ไมใ่ช่ขอบเขตบนของ (−∞, 4) เพราะมี 3.5 ที่มากกวา่ 3 อยู ่ {1, 2, 3, …} ไมม่ีขอบเขตบน เพราะสมาชิกในเซต มากไดอ้ยา่งไมม่ีขีดจ ากดั

(0, ∞) ไมม่ีขอบเขตบน เพราะสมาชิกในเซต มากไดอ้ยา่งไมม่ีขีดจ ากดั

“ขอบเขตบนนอ้ยสดุของเซต 𝐴” หมายถึง คา่ที่นอ้ยที่สดุ ในบรรดาขอบเขตบนทัง้หลายของ 𝐴

เช่น ขอบเขตบนนอ้ยสดุของ {−1, 0, 1} คือ 1

ขอบเขตบนนอ้ยสดุของ (−∞, 3) คือ 3

ขอบเขตบนนอ้ยสดุของ [−5, −1] คือ −1

{1, 2, 3, …} ไมม่ีขอบเขตบนนอ้ยสดุ (เพราะแคข่อบเขตบนเฉยๆมนัยงัไมม่ีเลย) หมายเหต:ุ ∅ เป็นเซตพเิศษเซตเดียว ท่ีมีขอบเขตบน แตก่ลบัไมม่ีขอบเขตบนนอ้ยสดุ

และจะเห็นวา่ ขอบเขตบนนอ้ยสดุของเซต 𝐴 อาจจะอยูห่รอืไมอ่ยูใ่น 𝐴 ก็ได ้

“สมบตัิความบรบิรูณ”์ กลา่ววา่ ถา้ 𝐴 ⊂ 𝑅 และ 𝐴 ≠ ∅ และ 𝐴 มีขอบเขตบน แลว้ 𝐴 จะมีขอบเขตบนนอ้ยสดุเสมอ สรุปเป็นภาษาง่ายๆ คือ เซตอะไรก็ตามที่มีขอบเขตบน จะตอ้งมีขอบเขตบนนอ้ยสดุเสมอ

ยกเวน้ ∅ เป็นเพียงเซตเดียวที่มีขอบเขตบน แตไ่มม่ขีอบเขตบนนอ้ยสดุ


1. จงพิจารณาวา่เซตตอ่ไปนี ้มีขอบเขตบนหรอืไม ่ ถา้มี จงหาขอบเขตบนนอ้ยสดุ

1. {1, 2, 3, … , 1000} 2. {−1, −2, −3, … , −1000}

3. (4, 5) 4. (0, 10]


5. (1, ∞) 6. { 1

2 ,

2

3 ,

3

4 , … ,

99

100 }

7. { 1

2 ,

2

3 ,

3

4 , … } 8. R

9. {𝑥 | 𝑥2 < 1} 10. {𝑥 | |𝑥 + 1| = −1}


การสรา้งเครือ่งหมายใหม ่

1. 1. 12 2. −12 3. 0 4. 𝑎

2. 1. 3 2. 3 3. 2 4. 2

5. 2 6. 𝑎 3. 1. 1 2. 2 3. 2 4. 4

5. 8 6. 800

4. 1, 3, 6 5. - 6. - 7. 2

8. 2 9. 1, 2, 3 10. 208 11. 6

ทบทวนพหนุาม

1. 922 2. −1

การหารสงัเคราะห ์

1. 1. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 เศษ 1 2. −2𝑥2 − 3𝑥 − 6 เศษ −2

3. 3𝑥 + 5 (ลงตวั) 4. 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8 (ลงตวั)

ทฤษฎีเศษ

1. 1. 1 2. −2 3. 0 2. 2 3. −2, 2 4. 6

การแยกตวัประกอบดว้ยทฤษฎีเศษ

1. 1. (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 2. (𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

3. (𝑥 + 2)3 4. (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

สมการดกีรสีงู

1. 1. 1 2. −8 3. −12 4. 2

3

2. 1 3. 3.5 4 9 5. −2

6. 4 7. 41 8. 24 9. 5

10. −1

ทบทวนอสมการ

1. 852 2. 4 3. 24 4. 2

5. 5 6. 2 7. - 8. 2


9. 152

ทบทวนคา่สมับรูณ ์

1. 3 2. 17 3. 2 4. 2

5. 4 6. 1 7. 1 8. 2

9. 2 10. 4 11. 10 12. 2

13. 2

การแบง่กรณีคา่สมับรูณ ์

1. 1. (−∞, −1) 2. {−6, 0} 3. (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

4. ∅

2. 1 3. 2 4. 4 5. [𝑏, ∞)

6. 1

สมบตัิความบรบิรูณ ์

1. 1. 1000 2. −1 3. 5 4. 10

5. ไมม่ี 6. 99

100 7. 1 8. ไมม่ี

9. 1 10. ขอบเขตบนเป็นอะไรก็ได ้แตไ่มม่ขีอบเขตบนนอ้ยสดุ

เครดิต

ขอบคณุ คณุ Peera Modie

และ คณุ ช.ป. ชอ

และ คณุ Theerat Piyaanangul ที่ช่วยตรวจสอบความถกูตอ้งของเอกสาร

Documents

ระบบจ ำนวนจริง - RATH Center · 2 ระบบจ านวนจริง ตัวอย่าง ก าหนดให้ = + − 3 จงพิจารณาว่าข้อใดผิด