วิชา คณิตศาสตร์ม. ต้น ตอนที่ 03 - 04เรื่อง Algebra 3 - 4

โดย พี่ภูมิ สิทธิเดช เลนุกูล สถาบันกวดวิชา We By The Brain

เลขยกก าลัง

สมบัติเลขยกก าลังส าหรับ a และ b เป็นจ านวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์

m และ n เป็นจ านวนเต็มm

m n m n m n m nna

1. a a a 2. a a aa

สมบัติเลขยกก าลัง03. a 1 a 0เม่ือ

n nn5. ab a b

n n

na a

6.b b

n mm mn n4. a a a

สมบัติเลขยกก าลังn

n1

7. aa

1n n8. a a เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก

ตะลุยโจทย์ เรื่อง เลขยกก าลัง1. ผลส าเร็จของ เป็นจ านวนเต็มประกอบด้วยเลขกี่หลัก (MWIT)

910 625

4 9612

2. ก าหนดให้ A เป็นจ านวนเต็มบวก x และ y เป็นจ านวนจริงโดยที่6x + 13y = 2554 และ 13x + 6y = 4552

ค่า A จากสมการ เท่ากับเท่าใด (MWIT)

233

2x y A

11 17

3. ก าหนด a > b และ a, b สอดคล้องกับสมการแล้วค่าของ a-b เท่ากับเท่าใด

2x x243 9 27

4. ถ้า a และ b เป็นจ านวนจริงที่ และ

1 a b2 1 b12แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด

a60 3 b60 5

5. ก าหนดให้ และ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

60 45 45a 3 , b 5 , c 6 30d 7

1. d c b a

2. a c b d

3. d a b c

4. c b a d

6. ก าหนดให้ และ

จงหาค่าของ (MWIT)

1a

16 15

1b

16 15

2 2a ab b

7. จ านวนเต็มบวก n ที่ท าให้

เท่ากับเท่าใด

1 1 1... 24

1 2 2 3 n n 1

พหุนาม

สูตรการแยกตัวประกอบพหุนาม

2 2 2

2 2 2

a b a 2ab b

a b a 2ab b

ก าลังสองสมบูรณ์

3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b 3 3a b 3ab a b

3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b 3 3a b 3ab a b

ก าลังสามสมบูรณ์

สูตรการแยกตัวประกอบพหุนามผลต่างของก าลังสอง

ผลบวกและผลต่างของก าลังสาม

2 2a b a b a b

3 3 2 2

3 3 2 2

a b a b a ab b

a b a b a ab b

สูตรการแยกตัวประกอบพหุนามก าลังสองสมบูรณ์แบบ 3 พจน์

รูปแบบพิเศษ 2 2 2 2a b c a b c 2 ab bc ca

3 3 3a b c 3abc 2 2 2a b c a b c ab bc ca

ตะลุยโจทย์ เรื่อง พหุนาม1. ถ้า

แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด

51a 3a

202

2

1a 2

a

2. ถ้า x<0 และ แล้ว ค่าของ เท่ากับเท่าใด (MWIT)

2 23x x 3x x 8 16 0 2x x 5

3. ถ้า

แล้ว a - b เท่ากับเท่าใด (MWIT)

a b b a a b b aa b

a b b a a b b a

4. ถ้า a, b, c และ d เป็นจ านวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ

แล้ว ค่าของ เท่ากับเท่าใด 2 2 2 2a b c d 1 a b c d

3 3 3 3a b c d

5. ถ้า

แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด

3 32 2x 5x 6 2x 4x 2

323x x 4 12

2 2 2x 5x 6 2x 4x 2 3x x 4

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x-a โดยที่ a เป็นค่าคงตัวแล้ว เศษเหลือ(เศษจากการหาร) เป็น P(a)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)พหุนาม P(x) จะมี (x-a) เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ P(a) = 0

6. ถ้า หารด้วย ลงตัวแล้วค่าของ k เท่ากับเท่าใด (MWIT)

23x kx 2 27 75 x 3

7. ก าหนดให้ เมื่อ b, c และ d เป็นค่าคงตัว ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3 ลงตัวแล้ว b+c+d มีค่าเท่าใด

3 2P x x bx cx d

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติคือ อัตราส่วนของความยาวด้าน 2 ด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A

B

C

a

b

c

asin A

cb

cos Aca sin A

tan Ab cos A

a csin A csc A

c ab c

cos A sec Ac ba b

tan A cot Ab a

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30, 45, 60 องศา

o60

ตะลุยโจทย์ เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ1. ก าหนดให้ A และ B เป็นมุมแหลม ถ้า และแล้ว มีค่าเท่าไร

sin A cosB 1 3 sin A 3 cosB 1 2 29 cos A sin B

2. ถ้า

แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด (MWIT)

o o o

o o

tan 60 cos 60 csc 30cos A

cot 45 sec 60

26 tan A 8 sin 2A cos A

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

sin A cos A 1 sin A 1 cos A

sec A tan A 1 sec A 1 tan A

csc A cot A 1 csc A 1 cot A

3. ถ้า และ แล้ว k เท่ากับเท่าใด

2 2sin A 4 cos A 4 2 4sec A sec A k tan A

4. ก าหนดให้

ถ้า เมื่อ a และ b

เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว a+b เท่ากับเท่าใด

2 24 sec tan 7 sec 1

a 1sin cos tan

b

การประยุกต์อัตราส่วนตรโีกณมิติมุมก้มหรือมุมกดลง คือ มุมที่วัดจากแนวระดับสายตาลงมา

แนวระดับสายตามุมเงยมุมก้ม

มุมเงยหรือมุมยกขึ้น คือ มุมที่วัดจากแนวระดับสายตาขึ้นไป

5. กะลาสีเรืออยู่บนยอดเสากระโดงเรือ ซึ่งอยู่สูงจากระดับน้ าทะเลเมตร มองเห็นเรือ A อยู่ทางทิศเหนือเป็นมุมก้ม

และ มองเห็นเรือ B อยู่ทางทิศใต้เป็นมุมก้มเรือ A และ เรือ B อยู่ห่างกันกี่เมตร

7 3 o60o30

6. กล้องวงจรปิดซึ่ง ถูกติดตั้งอยู่สูงจากพื้นถนน 2 เมตรสามารถจับภาพได้ต่ าที่สุดที่มุมก้ม และสูงที่สุดที่มุมก้มระยะทางบนพื้นถนนในแนวกล้องที่กล้องนี้สามารถจับภาพได้เท่ากับเท่าใด

o45 o30