จตรสกลกบยนตลานนา

โดย

นางสาววรรณษา อภยรตน

นกศกษาชนปท 3

ภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยสงขลานครนทร

ก

กตตกรรมประกาศ การท าวจยเรอง จตรสกลกบยนตโทน ประสบความส าเรจตามวตถประสงคดวยด เนองดวยความ

กรณา ของ ดร.อตชาต เกตตะพนธ อาจารยทปรกษาการท าวจยทางคณตศาสตร ซงไดใหความร ให

ค าปรกษา แนะน ามาโดยตลอด จนกระทงการวจยประสบผลส าเรจเปนอยางด ขาพเจาขอขอบคณเปนอยาง

สง มา ณ โอกาสน ขอขอบคณโครงการพฒนาก าลงคนดานวทยาศาสตร ทไดใหการสนบสนนในการท า

วจย รวมถงขอขอบคณครบาอาจารยทกทาน ทประสทธประสาทวชาความรใหแกขาพเจา ทายทสดนขาพเจา

ขอขอบคณ คณพอ คณแม และเพอนๆทกคนทคอยเปนก าลงใจและใหความชวยเหลอ ท าใหการท าวจยน

ประสบความส าเรจลลวงไดดวยด

วรรณษา อภยรตน

พฤษภาคม 2556

ข

หวของานวจย จตรสกลกบยนตโทน

ผจดท า นางสาววรรณษา อภยรตน

อาจารยทปรกษา ดร.อตชาต เกตตะพนธ

ภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยสงขลานครนทร

บทคดยอ การท าวจยเรองจตรสกลกบยนตโทน มวตถประสงคเพอศกษายนตโทนชนดหนงของลานนาในเชงคณตศาสตร ซงมลกษณะเปนจตรสกล ขนาด และมรปแบบทางคณตศาสตรทนาสนใจหลายประการ ซงยนตลกนเคยมผศกษามาบางแลว แตยงไมเคยมการระบถงระเบยบวธการลงตวเลข ซงผวจยเหนวาการลงตวเลขใหมความสมพนธทสวยงามทางคณตศาสตรดงเชนทพบในยนตโทนลกน จะตองมวธการทเปนแบบแผนอยางแนนอน ผวจยจงศกษาคนควาหาระเบยบวธการเขยนเลขลงในยนต โดยใชความรเรองจตรสกล (Magic Square) แบบตางๆ เนองจากจตรสกลบางชนดนนไดมการศกษาและระบไดถงวธการลงตวเลขไวอยางชดเจน[4] จากการศกษา ผวจยสามารถสรางระเบยบวธการลงตวเลขไดส าเรจ นอกจากนยงพบวาจตรสกลขนาด ทมสมบตแบบเหมอนกบยนตตนแบบนน ไมไดมเพยงแบบเดยว เพราะผวจยสามารถยกตวอยางจตรสกลขนาด รปแบบอนทมสมบตแบบเหมอนกบยนตตนแบบได

ค

สารบญ เรอง หนากตตกรรมประกาศ ก บทคดยอ ข สารบญ ค

บทท 1 บทน า 1 ทมาและความส าคญ 1 วตถประสงค 2 ขอบเขตการศกษา 2 ระยะเวลาการด าเนนงานวจย 2 วธการด าเนนงานวจย 2 ประโยชนทไดรบ 3

บทท 2 ความรเบองตนทเกยวของ 4 จตรสกล (Magic Square) 4 วธการสรางจตรสกล 5 ตวอยางจตรสกลอนดบสแบบตางๆ 7

ลกษณะยนตโทน 8

บทท 3 ผลการศกษา 18 พสจนสมบตบางประการ 18 วธการลงตวเลขในยนตโทน 27 จตรสกล (Magic Square) ทมสมบตคลายยนตโทนตนแบบ 30

บทท 4 สรปผลและขอเสนอแนะ 32 บรรณานกรม 33

1

บทท 1

บทน ำ ทมำและควำมส ำคญ

จตรสกลคอผลงานทางคณตศาสตรอยางหนง โดยเปนการบรรจตวเลขลงในตารางสเหลยมจตรสขนาด แลวท าใหผลรวมของตวเลขในแตละแถว เทากบผลรวมของตวเลขในแตละหลก และเทากบผลรวมของตวเลขในแตละแนวทแยงมม

จตรสกลมมายาวนาน ปรากฏหลกฐานในหลายสถานททวทกมมโลก เชนจตรส Lo Shu บนกระดองเตาของจน พบในหนงสอจอง (Yih King) เปนตน ซงนอกจากจตรสกลจะเปนงานทางคณตศาสตรแลว หลายชนชาตยงถอเปนเครองราง ของขลง เชน ชาวลานนาโบราณไดใชความมหศจรรยของตวเลขนในยนต นนคอยนตโทนชนดหนงของลานนา ซงมความเชอวาจะท าใหเดนทางปลอดภย โดยยนตลานนาจะมอกขระลานนาโบราณเขยนอยบนแผนยนต ทงทเปนตวอกษรและทเปนตวเลข เชน พบโหรายนต วดธาตค า ต าบลหายยา อ าเภอเมอง จงหวดเชยงใหม พบคาถายนต วดดอกเออง ต าบลสรภม อ าเภอเมอง จงหวดเชยงใหม เปนตน แมแตในก าแพงเมองเชยงใหม ในสวนของจารกประตทาแพกปรากฏเปนตวเลขทเรยกวาเลขในธมม ซงสลกไวอยางพศดาร ทงนตวเลขทอยบนพบยนตทงหลายลวนแฝงไวดวยความหมายและความสมพนธซงกน โดยในแตละยนตจะมรปแบบการลงตวเลขแตกตางกนไป ซงตวเลขมความสมพนธกนในเชงคณตศาสตรและมสมบตทนาสนใจหลายประการ ดงบทความเรอง จตรสมหศจรรยของลานนา ผลงานของอาจารยยทธพร นาคสข ในวารสารสภาวฒนธรรม จงหวดเชยงใหม ฉบบท 7 ประจ าเดอน พฤษภาคม-กรกฏาคม พ.ศ. 2543 ซงยนตโทนลกนไดรบการคดลอกสบตอกนมาจนถงปจจบน แตยงไมมการระบระเบยบวธการเขยนตวเลขลงในยนตน

งานวจยนเปนการศกษายนตโทนชนดนในเชงคณตศาสตรจงตองการคนควาระเบยบวธการเขยนตวเลขลงในยนตดงกลาว โดยใชความรเรองจตรสกล (Magic Square) ตางๆเปนแนวทาง เชน Albrecht Dürer's magic square Sagrada Família magic square เปนตน ซงหากเราคนพบระเบยบวธการลงเลขในยนตไดกจะเปนประโยชนตอการจ าและน าไปใชมากขน รวมถงสามารถเปนแนวทางและแรงบนดาลใจใหผทสนใจไดศกษาความมหศจรรยของยนตลานนาแบบอนๆตอไป

2

วตถประสงค

1) เพอศกษายนตโทนชนดหนงของลานนา และสามารถน าความองครทางคณตศาสตรมา

ประยกตใชได

2) เพอศกษาคนควา หาระบบวธการ การเขยนตวเลขลงในยนตโทน

3) เพอพฒนาทกษะกระบวนการคดอยางเปนระบบ และ ฝกประสบการณการท าวจยใหมาก

ยงขน

ขอบเขตกำรศกษำ

ศกษายนตโทนชนดหนงของลานนา และคนควาหาวธการเขยนตวเลขลงในยนตดงกลาว โดย

ใชความร เรองจตรสกล (Magic Square) และองคความรคณตศาสตร

ระยะเวลำกำรด ำเนนงำนวจย

25 มนาคม 2556 – 25 พฤษภาคม 2556

วธกำรด ำเนนงำนวจย

1) เลอกงานวจยทสนใจ และเปนประโยชนตอการศกษา

2) ตดตออาจารยทปรกษาวจย

3) คนหา รวบรวมขอมล จากแหลงความรตางๆ

4) ท าความเขาใจกบเนอหา และขอมลทไดมา พรอมทงปรกษาอาจารยเมอเกดขอสงสย

5) สรปผลทไดรบจากการท าวจย

6) จดท ารายงานการวจย

3

ประโยชนทไดรบ

1) ไดเรยนรเกยวกบเลขลานนา และยนตโทนของลานนา รวมถงการน าองคความรทาง

คณตศาสตรและความรเกยวกบ จตรสกล ( Magic Square) มาประยกตใช

2) ไดฝกทกษะกระบวนการคดและแกปญหาทางคณตศาสตร

3) ไดพฒนาทกษะกระบวนการวางแผนการท างาน

4) ไดเรยนรการท าวจย และสามารถน าไปปรบใชในการศกษาในระดบสงขนได

4

บทท 2

ควำมรเบองตนทเกยวของ

1. จตรสกล (Magic Square)

จตรสกล (Magic Square) หมายถง ตารางทมจ านวนชองในแนวตง(หลก)และจ านวนชองในแนวนอน(แถว)เทากน ภายในแตละชองของตารางจะมตวเลขจ านวนเตมหนงจ านวนทไมซ ากบตวเลขในชองอนๆ โดยตวเลขจากทกชองจะเปนจ านวนนบทเรยงกน และผลบวกของตวเลขทงหมดในแตละแนวนอน(แถว)เทากน และเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวตง(หลก) และยงเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวทแยงมมดวย เชน

8 1 6 3 5 7 4 9 2

4 14 15 1

9 7 6 12

5 11 10 8

16 2 3 13

สงเกตวาตารางขนาด 3x3 ผลบวกของตวเลขทงหมดในแตละแถวคอ 15 เทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละหลก และยงเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวทแยงมมดวย ในท านองเดยวกน ตารางขนาด 4x4 ผลบวกของตวเลขทงหมดในแตละแถวคอ 34 เทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละหลก และยงเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวทแยงมมดวย

5

จตรสกล (Magic Square) อนดบ คอ การเรยงตวเลขซงมทงหมด จ านวน ลงในตารางรปสเหลยมจตรสขนาด ซงผลบวกของตวเลขทกตวในแตละแถว หลก และแนวทแยงจะเทากบคาคงตวคาหนง เรยกวา คาคงตวกล (magic constant) หรอ ผลบวกกล ซงขนอยกบคา และมคาเทากบ

( ) ( )

2.วธกำรสรำงจตรสกล

อนดบค

การสราง จตรสกล ( Magic Square ) อนดบค คอสรางจตรสกลในกรณท เปนจ านวนค ในทนจะยกตวอยางจตรส เนองจากเปนจตรสกลทท าความเขาใจไดงายทสด สวนในกรณ และอนดบคอนๆกสามารถท าไดในท านองเดยวกน โดยใชขนตอนตอไปน

1. เขยนเลข 1 ลงในชองตรงกลางแถวบนสด

1

2. เขยนเลขตอไปในชองแนวทแยงขนบน โดยจนตนาการถงการตอตารางจตรส

2 1

2

1

3 3

2

6

3. ถาในชองทจะใสเลขถดไปมเลขอนแลว ใหใสตวเลขถดไปลงในชองดานลางเลขเดม

1

3

4 2

4. ท าตามขนตอนท 1 2 และ 3 จนใสเลขครบทกชอง

8 1 6

3 5 7

4 9 2

อนดบค

การสราง จตรสกล ( Magic Square ) อนดบค คอสรางจตรสกลในกรณท เปนจ านวนคจตรสกลอบดบค มวธการสรางทหลากหลายส าหรบจตรสกลอนดบคขนาดใดขนาดหนงเปนการเฉพาะ ในทนจะยกตวอยางกรณท เนองจากเปนจตรสกลอนดบคทสามารถท าความเขาใจไดงายทสด และเกยวของโดยตรงกบงานวจยน สวนกรณอนดบคอนๆจะมความแตกตางไปเลกนอย ซงสามารถศกษาเพมเตมไดจากแหลงความรตางๆ

ขนตอนการสราง

1. เขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 1 ถง

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16

7

2. สลบตวเลขทอยในแนวทแยงมม ตามลกศร ดงรป

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16

3. จะได จตรสกลอนดบ 4 (Magic Square order 4)

4 14 15 1

9 7 6 12

5 11 10 8

16 2 3 13

3.ตวอยำงจตรสกลอนดบสแบบตำงๆ

7 12 1 14

2 13 8 11

16 3 10 5

9 6 15 4 อนเดย

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

Sagrada Família magic square

8

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Albrecht Dürer's magic square

4.ลกษณะยนตโทน

ภาพจากหนงสอยนตและคาถาของดเมองเหนอ ของอนสม ไชยชมภ หนา 130

แปลงเปนตวเลขอารบกไดดงน เลขในตารางชอง แถวทสามหลกทสอง ผวจยมความเหนวาควรเปน 20 ซงจากเหตผลหลายประการ คอ 1. มการคดลอกสบตอกนมายาวนานอาจเกดความช ารดเสยหายตอตนฉบบ ท าใหการคดลอกตอมา

เกดความผดเพยนไป

16 14 18 8 19 7 17 13 10 10 12 14 11 15 9 21

9

2. เลข 1 กบเลข 2 ในภาษาลานนา มความคลายคลงกนมาก อาจมการคดลอกมาผดพลาดได โดยตวเลขทใชในการเขยนอกษรลานนามอย 2 ระบบ คอ เลขโหรา ใชในการเขยนบอกจ านวนในเอกสารตางๆ ทวไป สวนเลขในธมมนยมใชเขยนกบเรองราวทางศาสนา ซงมกจะเปนเอกสารประเภทใบลาน ซงขอแสดงลกษณะตวเลขในภาษาลานนาไวดานลางน

ภาพจาก http://www.dek-d.com/board/view.php?id=2072298

3. ลกษณะความสมพนธของตวเลขในเชงคณตศาสตรท าใหคาดการณไดวา ตวเลขควรจะเปน 20

เนองจากจะท าใหผลบวกของตวเลขในแตละแถว เทากบผลบวกของตวเลขในแตละหลก และเทากบผลบวกของตวเลขในแตละแนวทแยงมม นนคอ 56 ซงจะท าใหยนตโทนลกนมสมบตเปนจตรสกล ขนาด 4x4 ดงนนตารางทถกตองควรเปนตารางน

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

10

ซงเมอน าตารางดานบนมาตอกนจะไดตารางขนาดใหญดงดานลาง โดยทสมบตตางๆทจะกลาวตอไป ยงเปนจรงและสอดคลองกน

16 14 18 8 16 14 18 8 16 14 18 8 19 7 17 13 19 7 17 13 19 7 17 13 10 20 12 14 10 20 12 14 10 20 12 14 11 15 9 21 11 15 9 21 11 15 9 21 16 14 18 8 16 14 18 8 16 14 18 8 19 7 17 13 19 7 17 13 19 7 17 13 10 20 12 14 10 20 12 14 10 20 12 14 11 15 9 21 11 15 9 21 11 15 9 21 16 14 18 8 16 14 18 8 16 14 18 8 19 7 17 13 19 7 17 13 19 7 17 13 10 20 12 14 10 20 12 14 10 20 12 14 11 15 9 21 11 15 9 21 11 15 9 21

สมบต ( จากบทความของอาจารยยทธพร นาคสข และการคนควาของ ดร.อตชาต เกตตะพนธ )

ผลบวก 1. ผลบวกของตวเลขในแถวเดยวกน แตละแถวใดๆมคาเทากบ 56 เสมอ (อาจารยยทธพร นาคสข) 16+14+18+8 = 56

19+7+17+13 = 56 10+20+12+14 = 56

11+15+9+21 = 56

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

11

2. ผลบวกของตวเลขในหลกเดยวกน แตละหลกใดๆมคาเทากบ 56 เสมอ (อาจารยยทธพร นาคสข)

16+19+10+11 = 56 14+7+20+15 = 56 18+17+12+9 = 56 8+13+14+21 = 56 3. ผลบวกของตวเลขในแนวทแยงมมเดยวกน แตละแนวใดๆมคาเทากบ 56 เสมอ(อาจารยยทธพร

นาคสข)

ซงเปนจรงส าหรบกรณของการตอตารางดวย (ตารางท 2 และ 3 มองในลกษณะของการตอตาราง)

(ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16+7+12+21 = 56 10+7+18+21 = 56 10+15+18+13 = 56

11+20+17+8 =56 16+15+12+13 = 56 19+14+9+14 = 56

4. ผลรวมของตวเลขในตาราง 2x2 ใดๆ จะได 56 เสมอ ดงตวอยาง (อาจารยยทธพร นาคสข)

16+14+19+7 = 56

18+8+17+13 = 56

10+20+11+15 = 56

12+14+9+21 = 56

16 14 18 8

19 7 17 13

10 20 12 14

11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

12

5. ผลบวกแตละคตดกนดงภาพมคาเทากน (อาจารยยทธพร นาคสข)

16+14 =17+13 = 10+20 = 9+21=30 16+19 = 20+15 = 18+17 = 14+21 =35

18+8 = 19+7 = 12+14 =11+15 =26 10+11 = 14+7 = 12+9 = 8+13 = 21

ในกรณของการตอตารางกเปนไปในท านองเดยวกน (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

6+8 = 7+17 = 10+14 =15+9 = 24 16+11 = 7+20 = 18+9 = 13+14 =27

14+18 = 19+13 = 20+12 = 11+21 = 32 19+10 = 14+15 = 18+9 = 8+21 =29

ถามองในลกษณะของการตอตาราง ตวเลขในหลกท 1 กบหลกท 4 เปนตวเลขทตดกน และ

ตวเลขในแถวท 1 กบหลกท 4 กเปนตวเลขทตดกนเชนกน

6. ผลรวมตวเลขแตละสดงภาพมคาเปน 56 เสมอ ดงตวอยาง (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

13

7. เมอระบายสเปนตารางหมากฮอส จะไดวาผลรวมของตวเลขในชองสขาว เทากบผลรวมของตวเลข

ในชองสด า คอ 112 (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

8. ทกจตรส ขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวมของเลขทมม มคาเทากบ 56 เสมอ ดงตวอยาง

(ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

14

9. มองแบบการเดนมาหรอรปตว L ดงรป แตละทอนจะไดผลบวกเปน 61 ดงตวอยาง

(ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

ผลตำง 1. ผลตางของเลขหลกเดยวกนในแถวทตางกนสองแถว จะมคาเทากนเสมอ ดงตวอยาง

(ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

|16-10|=|14-20|=|18-12|=|8-14|=6

ในท านองเดยวกน ผลตางของเลขแถวเดยวกนในหลกทตางกนสองหลกจะมคาเทากนเสมอดงตวอยาง

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

|16-18| = |19-17| = |10-12| = |11-9| = 2

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

15

2. ไมวาเลอกจดใดเปนจดกงกลางของตาราง จะไดเลขแตละคจากศนยกลางไปทแยงมมจะม

ผลตางเทากนเสมอ ในลกษณะของการตอตารางกเปนเชนเดยวกน ดงตวอยาง

(ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

|16-7|=|8-17|=|21-12|=|11-20|=9 |16-7|=|8-17|=|21-12|=|11-20|=9

3. ผลตางของตวเลขแตละคทอยตดกน ดงรป จะมคาเทากนเสมอดงรป (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

|16-14| = 2 = |12-14| |19-7| = 12 = |9-21| |10-20| = 10 = |18-8| |11-15|= 4 = |17-3| 4. ผลตางของผลตาง ของตวเลขทตดกน ในแถวเดยวกน จะมคาเทากบผลตางของผลตาง ของตวเลขท

ตดกน ในแถวทอยหางกนสองแถว (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

||16-14|-|18-8|| = 8 = ||10-20|-|12-14|| ||19-7|-|17-13|| = 8 = ||11-15|-|9-21||

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

8 16 14 18 8 13 19 7 17 13 14 10 20 12 14 21 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16

ในท านองเดยวกนผลตางของผลตาง ของตวเลขทตดกน ในหลกเดยวกน จะมคาเทากบ ผลตางของผลตาง ของตวเลขทตดกน ในหลกทอยหางกนสองหลกดวย ||16-19|-|10-11|| = 2 = ||18-17|-|12-9|| ||14-7|-|20-15|| = 2 = ||8-13|-|14-21||

ก ำลงสอง 1. ผลบวกเลขยกก าลงสองของแตละหลกจะเทากบหลกทตงหางออกไปสองหลกดงรป

(อาจารยยทธพร นาคสข)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

ในท านองเดยวกน ผลบวกเลขยกก าลงสองของแตละแถวจะเทากบแถวทตงหางออกไปสองแถว ดงรป

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

17

2. ผลบวกก าลงสองของจตรสขนาด 2x2 ดงรป มคาเทากน ดงตวอยาง (ดร.อตชาต เกตตะพนธ)

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

18

บทท 3

ผลกำรศกษำ

พสจนสมบตบำงประกำร

สงเกตวา จตรสกลรปแบบนมเลขซ า คอ 14 จงไมเหมอนกบจตรสกลอนดบ เมอ คอจ านวนนบแตมสมบตตางๆสอดคลองกบจตรสกลอนดบ และมความมหศจรรยเชงคณตศาสตร ดงนน จงตองการแสดงวาหาก น าคาคงทไป บวกเพม ลบออก หรอ คณเขากบตวเลขทกตวในตางราง สมบตตางๆ จะยงเหมอนเดมหรอไม ในทนจะแสดงเพยงสมบตทส าคญ บางประการคอ ก. ผลรวมของตวเลขในแตละแถว ข. ผลรวมของตวเลขในแตละหลกและแตละแนวทแยงมม ค. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละแถว ง. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละหลก

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

19

บวกเพมดวยคำคงท k เมอ k คอจ ำนวนเตมใดๆ

ก. ผลรวมของตวเลขในแตละแถว แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละแถว เทากบ หมดทกแถว ดงนน สรปไดวาเมอบวกเพมดวยคาคงท ทกตวเลขในตาราง ผลรวมของแตละแถวจะเทากน

ข. ผลรวมของตวเลขในแตละหลก แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละหลก เทากบ หมดทกหลก ดงนนสรปไดวาเมอบวกเพม

ดวยคาคงท ทกตวเลขในตาราง ผลรวมของแตละหลกจะเทากน ทก ทเปนจ านวนเตมใดๆ ผลรวมของตวเลขในแตละแนวทแยงมมกแสดงไดในท านองเดยวกน

ค. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละแถว

แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

16+k 14+k 18+k 8+k 19+k 7+k 17+k 13+k 10+k 20+k 12+k 14+k 11+k 15+k 9+k 21+k

20

แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของแถวท 1 กบแถวท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของแถวท 2 กบแถวท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ ง. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละหลก แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

21

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของหลกท 1 กบหลกท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของหลกท 2 กบหลกท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ

คณดวยคำคงท a เมอ a เปนจ ำนวนเตมใดๆ ก. ผลรวมของตวเลขในแตละแถว แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละแถว เทากบ หมดทกแถว ดงนน เมอคณดวยคาคงท ทกตวเลขในตาราง ผลรวมของแตละแถวจะเทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ ข. ผลรวมของตวเลขในแตละหลกและแตละแนวทแยงมม

แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละหลก เทากบ หมดทกหลก ดงนนเมอคณดวยคาคงท ทก

ตวเลขในตาราง ผลรวมของแตละหลกจะเทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ ผลรวมของตวเลขในแตละแนวทแยงมมกแสดงไดในท านองเดยวกน

16a 14a 18a 8a 19a 7a 17a 13a 10a 20a 12a 14a 11a 15a 9a 21a

22

ค. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละแถว แสดง

แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของแถวท 1 กบแถวท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของแถวท 2 กบแถวท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ ง. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละหลก แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

23

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของหลกท 1 กบหลกท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของหลกท 2 กบหลกท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม ใดๆ

คณดวยคาคงท และ บวกเพมดวยคาคงท เมอ a และ เปนจ านวนเตมใดๆ

ก. ผลรวมของตวเลขในแตละแถว แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละแถว เทากบ หมดทกแถว

ดงนน เมอคณดวยคาคงท a และ บวกเพมดวยคาคงท ทกตวเลขในตาราง จะไดวาผลรวมของแตละแถวจะเทากน

16a+k 14a+k 18a+k 8a+k 19a+k 7a+k 17a+k 13a+k 10a+k 20a+k 12a+k 14a+k 11a+k 15a+k 9a+k 21a+k

24

ข. ผลรวมของตวเลขในแตละหลกและแตละแนวทแยงมม แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวาผลบวกของแตละหลก เทากบ หมดทกหลก

ดงนน เมอคณดวยคาคงท a และ บวกเพมดวยคาคงท ทกตวเลขในตาราง ผลรวมของแตละหลกจะเทากนผลรวมของตวเลขในแตละแนวทแยงมมกแสดงไดในท านองเดยวกน ค. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละแถว แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 2 : ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของแถวท 1 กบแถวท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของแถวท 2 กบแถวท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม และ ใดๆ

25

ง. ผลรวมก าลงสองของตวเลขในแตละหลก แสดง หลกท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

หลกท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลรวมก าลงสองของหลกท 1 กบหลกท 3 เทากบ เทากน และผลรวมก าลงสองของหลกท 2 กบหลกท 4 เทากบ เทากน ทกจ านวนเตม และ ใดๆ สมบตทกลาวมาทงหมดในเบองตนนน สามารถอธบายไดอยางกระชบดวยตารางดานลางน

x+2 x x+4 x-6

x+5 x-7 x+3 x-1

x-4 x+6 x-2 x

x-3 x+1 x-5 x+7

โดยท คอ จ านวนเตมใดๆ ตวอยางเชน ถา กจะไดตารางทเหมอนกบจตรสกลในยนตโทนตนแบบ ถาคา เปลยนไปตารางกจะเปลยน แตสมบตทงหลายทพบกยงคงเปนจรง ไมวาจะเปน

26

ผลบวก ผลตาง หรอผลบวกก าลงสอง ซงสามารถแสดงไดโดยงาย ในทนจะขอยกตวอยาง กรณผลบวก และผลบวกก าลงสอง เพอเปนแนวทาง ในการท าความเขาใจ ผลบวก แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( ) แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( ) สงเกตวา ในแตละแถว และแตละหลก ผลบวกจะเทากบ นนคอ ถา จะไดวาตารางจตรสกลนจะเหมอนกบยนตโทนตนแบบ ซงผลรวมของแตละแถว จะมคาเทากบ และผลบวกแตละหลก ผลบวกแตละแนวทแยงมม กสามารถพสจนไดในท านองเดยวกน ผลบวกก ำลงสอง แสดง แถวท 1: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 2: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 3: ( ) ( ) ( ) ( )

แถวท 4: ( ) ( ) ( ) ( )

สงเกตวาผลบวกก าลงสองแถวท 1และแถวท 3 เทากบ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) นนคอ ถา จะไดวาตารางจตรสกลนจะเหมอนกบยนตโทนตนแบบ ซงผลรวมก าลงสองของแถวท 1และแถวท 3 จะมคาเทากบ ( ) ( ) แถวท 2 กบแถวท 4 และ กรณผลบวกก าลงสองตามหลกและตามแนวทแยงมมกแสดงไดในท านองเดยวกน

27

วธกำรลงตวเลขในยนตโทน แบบท 1

ขนท 1 เขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 7 ถง 14 ในแถวท 1 และ 2 จากนนเขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 14 ถง 21 ในแถวท 3 และ 4 ดงรป ขนท 2 สลบตวเลข ตามลกศร ดงรป จะไดตารางใหมคอ

7 20 19 10

17 12 13 14

14 15 16 11

18 9 8 21 ขนท 3 สลบหลกท 1 กบ หลกท 4 จะได

10 20 19 7

14 12 13 17

11 15 16 14

21 9 8 18

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

28

1

2 3

4

จากนนน าตวเลขทไดไปเขยนใหมตามแถว โดยวนตามลกศรตามล าดบ ดงรป

จะไดตวเลขทอยในยนตโทนตนแบบตามตองการ แบบท 2 ขนท 1 เขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 7 ถง 14 ในแถวท 1 และ 2 จากนนเขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 14 ถง 21 ในแถวท 3 และ 4 ดงรป ขนท 2 สลบตวเลขทอยในแนวทแยงมม ตามลกศร ดงรป

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

10 20 19 7

14 12 13 17 11 15 16 14

21 9 8 18

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

29

4 1

3 2

จะไดตารางใหมคอ

21 8 9 18

11 16 15 14

14 13 12 17

10 19 20 7 ขนท 3 สลบหลกท 2 กบ หลกท 3 จะได

21 9 8 18

11 15 16 14

14 12 12 17

10 20 19 7 จากนนน าตวเลขทไดไปเขยนใหมตามแถว โดยวนตามลกศรตามล าดบ ดงรป จะไดตวเลขทอยในยนตโทนตามตองการ

21 9 8 18

11 15 16 14 14 12 13 17

10 20 19 7

16 14 18 8 19 7 17 13 10 20 12 14 11 15 9 21

30

จตรสกล ( Magic Square ) ทมสมบตคลำยยนตโทนตนแบบ

12 17 13 14

20 7 19 10

15 14 16 11

9 18 8 21 วธการลงตวเลข ขนท 1 เขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 7 ถง 14 ในแถวท 1 และ 2 จากนนเขยนตวเลขเรยงตามล าดบตงแต 14 ถง 21 ในแถวท 3 และ 4 ดงรป

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

ขนท 2 สลบตวเลข ตามลกศร ดงรป จะไดตารางใหมคอ

7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21

7 20 19 10

17 12 13 14

14 15 16 11

18 9 8 21

31

ขนท 3 สลบ แถวท 1 กบแถวท 2 จะได

17 12 13 14

7 20 19 10

14 15 16 11

18 9 8 21 จากนนสลบหลกท 1 กบหลกท 2 จะได จตรสกลทมคณสมบตเหมอนกบตวเลขทพบในยนตโทน ดงรป

12 17 13 14

20 7 19 10

15 14 16 11

9 18 8 21

32

บทท 4

สรปผลและขอเสนอแนะ

สรปผล

งานวจยเรองจตรสกลกบยนตโทนแบงเปน 4 บท คอ บทน า บทความรเบองตนทเกยวของ บทผลการศกษาและบทสรปผล ในบทความรเบองตน ประกอบดวย ความรเกยวกบจตรสกล วธการสรางจตรสกลทงอนดบคและอนดบค และตวอยางจตรสกลขนาด 4x4 แบบตางๆ รวมถงลกษณะของยนตโทนทศกษา พรอมดวยสมบตทนาสนใจ ทงสมบตในสวนของผลบวก ผลตาง และผลบวกก าลงสอง สวนในบททสาม ผวจยไดพสจนสมบตทวไปของจตรสกลทพบบนยนตโทนในเชงคณตศาสตร นอกจากน ยงไดสรางระเบยบวธการเขยนตวเลขลงในจตรสกลดงกลาว แตเนองจากยงไมมการคนพบบนทกใดๆทกลาวถงระเบยบวธการลงยนตลกน จงยงไมสามารถสรปไดวาวธนเปนวธเดยวกบทผ คดคนยนตใชหรอไม อยางไรกตามงานวจยนกสามารถสรางระเบยบวธการลงเลขในยนตทคาดวาเปนวธทเปนไปไดมากทสด ณ ขณะน อกทงยงสามารถใชวธการนสรางจตรสกลทมสมบตเหมอนกบทพบในยนตโทนตนแบบ ดวยตวเลขชดอนๆ ได พรอมทงยกตวอยางการสรางจตรสกลทตางกน แตมสมบตเหมอนกบทพบในยนตโทนตนแบบ เพอประกอบการท าความเขาใจมากยงขน

ขอเสนอแนะ

1. ควรศกษาเพมเตมวามวธใดอกบางทสามารถสรางจตรสกลในลกษณะน เพอศกษาความเปนไปไดมากทสด และควรคนควาขอมลในหลายแขนงทเกยวของ และศกษาใหลกซงมากขน

2. คนควาเพมเตมวาสามารถสรางจตรสกลอนดบอนๆทมเลขซ าแบบเดยวกบยนตโทนตนแบบโดยองจากวธดงกลาว แลวสมบตตางๆ จะยงคงครบถวนหรอไม

3. ควรมการศกษาสมบตของยนตหลายๆแบบ ในเชงคณตศาสตร เพอเปนประโยชนตอการประมวลขอมลส าหรบการสรางวธการลงยนต ทเปนไปไดมากทสด

4. จตรสกลทมเลขซ ามากกวาหนงตว จะสามารถสรางใหมสมบตในลกษณะเดยวกบยนตโทนตนแบบไดหรอไม

33

บรรณำนกรม [1] สนต ท. โกมลบตร (2552). จดหมายเหต ลา ลแบร ราชอาณาจกรสยาม .พมพครงท 3. นนทบร

:ส านกพมพศรปญญา [2] อนสม ไชยชมภ (ไมปรากฎปทพมพ). ยนตและคาถาของดเมองเหนอ . ล าพน :รานภญโญ.หนา 130 [3] ยทธพร นาคสข.(2543).วารสารสภาวฒนธรรม จงหวดเชยงใหม ฉบบท 7. เชยงใหม [4] สนต อทธพลนาวกล. Magic Square. สบคนเมอ 10 พฤษภาคม 2556 จาก http://mathematics.satitpatumwan.ac.th/7_innovation/Magic%20Square.pdf [5] สรศกด พงศพนธสข กลมวจยและพฒนานวเคลยร สถาบนเทคโนโลยนวเคลยรแหงชาต

(องคการ มหาชน).จตรสกลและเลขกล. สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2556 จาก http://www0.tint.or.th/nkc/nkc54/content-01/nstkc54-022.html

[6] Magic Square. สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2556 จาก http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square [7]เลขลานนา. สบคนเมอ 15 พฤษภาคม 2556 จาก http://www.dekd.com/board/view.php?id=2072298