Seminararbeit zum Seminar aus Finanz- undVersicherungsmathematik

A Simple Model Of Capital MarketEquilibrium With Incomplete

Information

Birgit Alesko1426841

Betreuer: Dr. Stefan Gerhold

29.07.2017

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Grundlegendes 32.1 Effizientes Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Informationen und Verhaltensannahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Portfoliowahl 8

4 Beziehung zur Wertpapierlinie 134.1 Die Wertpapierlinie im Allgemeinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Die Wertpapierlinie im Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Alpha-Faktor 165.1 Der Alpha-Faktor Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Der Alpha-Faktor im Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Firmenverhalten und die Bestimmung der Investorenbasis 17

7 Ausstehende Fragen und Erweiterung des Modells 207.1 Alpha-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2 Shadow Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.3 Ausweitung auf Finanzintermediare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.4 Passive Investoren im Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Anhang 228.1 Homogeneous Belief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.2 Prinzipal-Agent-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.3 Beispiel zu sunk costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9 Literaturverzeichnis 24

1

1 Einleitung

Diese Seminararbeit behandelt inhaltlich das Paper A Simple Model of Capital Market Equili-brium With Incomplete Infornation von Robert C. Merton, welches im The Journal of Financeim Jahre 1987 publiziert worden ist.

Da die ganze Arbeit den Rahmen dieser Seminararbeit sprengen wurde, wird im Folgenden derFokus auf den Aufbau des Modells gelegt.

Im Zuge des Modellaufbaues wird auch naher auf die Annahmen, die im Modell getroffen wer-den, sowie auf das Verhalten der Investoren und auf die Kostenstrukturen eingegangen und eswerden zudem Vergleiche zu dem beruhmten Capital Asset Pricing Model (kurz CAPM) vonSharpe und Lindtner gezogen.

Weiters wird noch betrachtet welche Auswirkungen das Verhalten der Firma auf die Bestim-mung der Investoren hat.

Abschließend widmet sich dieser Arbeit noch der Frage wie dieses vorliegenden Modell erweitertwerden kann.

2

2 Grundlegendes

In dem Paper von Robert C. Merton wird ein Zweiperiodenmodell bei Kapitalmarktgleich-gewicht entwickelt in einer Umgebung, in der jeder Investor nur uber eine Teilmenge derverfugbaren Aktien informiert ist. Im Folgenden soll erforscht werden welchen Einfluss aufdie Struktur der Assetpreise jene Art von unvollstandiger Information hat.

Zunachst wird erst mal allgemein festgesetzt:Es gibt n Unternehmen in der Wirtschaft und die Marktkapitalisierung der Firma k am Endeeiner Periode kann beschrieben werden durch:

Ck = Ik[µk + akY + sk εk] (1)

wobei Y eine gemeinsame Zufallsvariable mit E(Y ) = 0 und E(Y 2) = 1 beschreibt und fur εgilt E(εk) = E(εk|ε1, ε2, ..., εk−1, εk+1, ..., εn, Y ) = 0, k = 1, ..., n.

Ik bezeichnet die Gesamtzahl in die Firma k und [µk + akY + sk εk] den Aktienkurs von Unter-nehmen k. Vk sei der Wert von Firma k bei Marktgleichgewicht am Beginn der Periode.Wenn Rk die Rendite pro Dollar durch Investition in das Unternehmen uber die Periode be-

schreibt, dann entspricht Rk ≡ Ck

Vkund

Rk = Rk + bkY + σk εk (2)

wobei aus (1) folgt Rk = E(Rk) = IkµkVk

, bk = akIkVk

und σk = skIkVk

, k = 1, ..., n. Bei naherer

Betrachtung von (2) bemerkt man Ahnlichkeit zum ”The Diagonal Model von Sharpe aus demJahr 1964.

Zusatzlich zu den Anteilen am Unternehmen, existieren zwei weitere gehandelte Aktien. Einerisikolose Sicherheit mit sicherer Rendite R pro Dollar und eine Aktie, die die risikolose Aktiemit einem Forward Kontrakt verbindet. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit wird angenom-men, dass der Preis des Forwards derart ist, dass die Standardabweichung der Rendite derSicherheit bei Marktgleichgewicht 1 betragt. Damit kann die Rendite geschrieben werden als:

Rn+1 = Rn+1 + Y (3)

Fur die letzten beiden Wertpapiere wird angenommen, dass es sich um inside securities handeltund daher die gesamtwirtschaftliche Nachfrage jeweils gleich 0 sei, wenn Marktgleichgewichtherrscht.

3

Das Modell nimmt standardmaßig reibungslose Modellbedingungen an. Das bedeutet

• keine Steuern

• keine Uberweisungsgebuhren

• Leerverkauf sowie Kreditaufnahmen ohne Beschrankungen

2.1 Effizientes Portfolio

Es gibt N Investoren,wobei N hinreichend groß ist und alle N Investoren agieren als Abnehmer.Jeder Investor ist risikoscheu und wahlt sein Portfolio nach dem mean-variance-Kriterium derPortfoliotheorie von Markowitz und Tobin.

Dieser Ansatz besagt:Ein Portfolio P dominiert ein anderes Portfolio P ′, wenn

EP = EP ′ und VP < VP ′

oder

EP > EP ′ und VP = VP ′

Dabei wird der Fall P = P ′ ausgeschlossen.Ein Portfolio P wird in Folge effizient genannt, wenn es von keinem anderen Portfolio P ′ domi-niert wird. Ein Portfolio kann also nur effizient sein, wenn bei gegebenem Erwartungswert derRendite kein anderes Portfolio mit einem geringeren Risiko (gemessen an der Standardabwei-chung) existiert bzw. bei gegebenem Risiko kein Portfolio mit einer hoheren Rendite moglichist. Trifft eine der beiden Eigenschaften nicht zu handelt es sich nicht um ein effizientes Portfolio.

Sind mehrere effiziente Portfolios identifiziert muss jenes gefunden werden, das mit der personlichenRisikobereitschaft des Anlegers am besten ubereinstimmt. Es handelt sich um eine individuelleEntscheidung bzw. Optimierung eines Zielkonflikts.

Die Investoren im vorliegenden Modell, die dem Mean-Variance-Ansatz nach Markowitz folgen,versuchen folglich die zu erwartende Rendite zu gegebener Varianz zu maximieren oder dieVarianz bei gegebener erwarteter Rendite zu minimieren.

Die nachfolgenden Abbildung soll dies vereinfacht darstellen. Der Kreis stellt sehr vereinfachtdie erreichbaren (E,V)-Kombinationen dar.

Anschaulich kann das so betrachtet werden: Befindet man sich beispielsweise im Kreismit-telpunkt, so wird man immer moglich sein ein Portfolio mit hoherer Erwartung durch einehorizontale Verschiebung nach rechts zu finden oder mit einem niedrigeren Risiko durch ei-ne vertikale Verschiebung nach unten zu finden Es folgt, dass sich die Menge der effizientenPortfolios auf der starker eingezeichneten Kreislinie ansiedeln.

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Abbildung 1: (E,V)-Kombinationen

Als nachstes wird die Praferenz eines Investors definiert, Die Praferenz eines Investors wirddargestellt durch:

Uj = E(RjW j)− δj2W j

V ar(RjW j) (4)

wobei W j den Wert seiner anfanglichen Ausstattung mit Firmenanteilen an den Unternehmengeschatzt mit dem Marktgleichgewichtspreis beschreibt. Rj beschreibt die Rendite pro Dollarseines Portfolios und δj > 0, j = 1, ..., N .

2.2 Informationen und Verhaltensannahme

Zusatzlich zu seiner Ausstattung mit Anteilen, ist jeder Investor ausgestattet mit einer Mengean Informationen, die wie folgt beschrieben wird:

• die Rendite des risikolosen Wertpapieres

• die erwartete Rendite und die Varianz des Forward Kontraktes aus (3)

• den Aufbau der Rendite aus (2)

Jedoch gilt fur jedes Wertpapier k, dass es Investoren geben kann, die nicht uber die Parameteraus (2) informiert sind.

Eine wichtige Voraussetzung in unserem Modell ist: Man sagt ein Investor ist informiert uberein Wertpapier k, wenn er das Tripel (Rk, bk, σ

2k) kennt. Alle Investoren die uber das Wertpapier

k informiert sind akzeptieren genau diese Parameterwerte (Homogeneous Belief ).

Sei Jj eine Menge von ganzen Zahlen, sodass k ein Element von Jj ist, wenn Investor j infor-miert ist uber Wertpapier k, k = 1, ..n + 2, wobei n + 2 das risikolose Wertpapier bezeichnet.Es wird angenommen, dass n+ 1 und n+ 2 in Jj enthalten sind ∀ j = 1, ..., N .Wenn Jj alle ganzen Zahlen von k = 1, ..., n + 2 enthalt, dann ist das Informationsset desInvestors vollstandig. Dies wird nicht ausgeschlossen fur alle Investoren. Jedoch wenn alle In-vestoren vollstandige Informationen hatten, wurde sich das Modell vereinfachen zum CapitalAsset Pricing Model von Sharpe und Lintner. Deshalb, wird angenommen, dass die Investorenim Allgemeinen nur uber eine Teilmenge der erhaltlichen Wertpapiere informiert ist und dass

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sich diese Mengen unterscheiden.

Die Kernverhaltensannahme dieses Modells ist, dass ein Investor Wertpapier k zur Konstruk-tion seines optimalen Portfolios nur dann nutzt, wenn er uber Wertpapier k informiert ist.

Die wesentliche Motivation fur diese Annahme ist der einfache Grund, dass die Portfolios vonechten Investoren nur einen Bruchteil der von den erhaltlichen gehandelten Wertpapieren ent-halten. Es gibt naturlich auch andere Grunde wie beispielsweise

• Marktsegmentierung

• institutionelle Restriktionen wie Begrenzung von Leerverkaufen

• Steuern

• Uberweisungsgebuhren

welche mehr oder weniger zusatzlich zu unvollstandigen Informationen zu diesem beobachtenVerhalten beitragen konnten.

Dadurch, dass man voraussetzt, dass alle Investoren die Parameterwerte akzeptieren wird ga-rantiert, dass alle Investoren wirklich dieselben Informationen uber Wertpapier k haben. DieAnnahme, dass alle Investoren die Parameterwerte akzeptieren, wird auch im single-securitymodel of asymmetric-information trading von Grossman und Stiglitz aus dem Jahre 1976 ge-troffen.

Jedoch im Gegensatz zu dem vorliegenden Modell wird beim Modell von Grossman und Stig-litz ein Handel zwischen informierten und uninformierten Handlern nicht ausgeschlossen. Wievorhin bereits erwahnt konnten Bedenken ungleichmaßig verteilte Informationen unter denInvestoren konnte ein wichtiger Grund dafur sein warum manche institutionelle aber auchselbststandige Investoren nicht in bestimmte Wertpapiere wie beispielsweise Anteile in relativkleine Firmen mit wenig Aktieninhabern investieren. Jedoch wie aus dem Grossman-StiglitzModell hervorgeht, sind diese Bedenken allein nicht ausreichend um dieses Verhalten zu er-klaren.

2.3 Kosten

Deswegen wird die Struktur von Informationskosten genauer betrachtet, die zu der Verhaltens-annahme im vorgestellten Modell fuhrt. Fur diesen Zweck ist es sinnvoll, Informationskostenals zwei Teile zu betrachten:

• Die Kosten furs Sammeln und Aufarbeiten der Informationen

• Kosten der Ubermittlung der Informationen von einer Partei an die andere

Eine Hauptquelle an Informationen uber ein Unternehmen ist naturlich die Firma selbst. DieFirma ist jedoch nicht die einzige Informationsquelle der Investoren. Es gibt Beratungsstellen,Brockerhauser und professionelle Portfoliomanager.Im Artikel wird naher auf das Unternehmen eingegangen, weil das folgende auch fur die andereneben genannten Informationsquellen gilt.

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Die Informationen die Investoren benotigen uberschneiden sich zu einem betrachtlichen Teilmit jenen, die ein Manager benotigt um eine Firma zu leiten. Daher konnte man annehmen,dass die Kosten der Firma zum Sammeln und Aufbereiten der Informationen, die der Investorbenotigt, gering ausfallen wurden. Erfahrungsgemaß konnen aber die Kosten des Ubermittelnsder Information an die Investoren, sodass sie dieses Informationen effizient nutzen, jedoch sehrbeachtliche Betrage annehmen wie aus der Prinzipal-Agent-Theorie folgt.

In den Modellen von Bawa-Klein-Barry-Brown haben alle Investoren dieselben Informationenund es wird untersucht welche Auswirkung die unterschiedliche Qualitat der Informationen uberdie Wertpapiere haben. In unserem Modell hingegen wird angenommen, dass die Qualitat derInformationen - genauer gesagt die Parameterwerte (Rk, bk, σk) - gleich gut ist fur alle Wert-papiere und fokussiert sich auf die Auswirkung der Preise uber unterschiedliche Verteilungendieser Information auf die Investoren. In diesem Modell wird also der Fokus auf die variierendeInvestorenbasis gelegt.

Zu den bereits erwahnten Kosten gesellt sich noch eine weitere Art von Kosten hinzu: undzwar die Kosten um die Investoren auf die Firma aufmerksam zu machen. Das bedeutet, dieKosten von Partei A hilfreiche Informationen an Partei B zu ubermitteln. Das bedeutet nichtnur, dass Partei A einen Sender braucht und eine Nachricht sendet, sondern auch dass ParteiB einen Empfanger besitzt. Wenn ein Investor eine bestimmte Firma nicht verfolgt, ist es un-wahrscheinlich, dass eine Anzeige den Investor dazubewegt in die Firma zu investieren.Wenn Investoren fur jede Firma sogenannte set up oder receiver costs zahlen mussten, bevor sievon Zeit zu Zeit detaillierte Informationen uber die Firma erhalten, dann werden diese Fixkostenjeden Investor dazu veranlassen nur in eine Teilmenge der gehandelten Wertpapiere zu investie-ren.Weil diese Fixkosten fur bereits existierende Aktieninhabern sogenannte sunk costs, wird an-genommen, dass die effektiven Informationen die bereits existierende Aktieninhaber erhaltennicht gleich denen ist die andere Investoren erhalten, auch wenn die Informationen aus eineroffentlichen Mitteilung stammen.

Bevor sich das Modell mit der optimalen Portfoliowahl befasst, wird noch auf die Arbel-Carvell-Strebel-Theorie uber ”vernachlassigte” Aktien eingegangen. In deren Theorie sind solche ver-nachlassigten Aktien jene, die nicht von einer Großzahl an Analysten regelmaßig verfolgt wer-den. Sie nehmen an, dass wenn die Menge von Analysten die Aktie verfolgen relativ klein ist,dann ist die Qualitat der Information, die erhaltlich ist, niedrig. Aus dieser Annahme folgernsie, dass die erwarteten Renditen dieser vernachlassigten Aktien bei Kapitalmarktgleichgewichthoher sein wird als bei Aktien die von einer viel großeren Menge verfolgt wird.In dem Modell von Merton wird zwar vorausgesetzt dass die Informationensqualitat fur alleAktien gleich ist. Jedoch wenn eben die Anzahl an Investoren die uber Wertpapier k informiertsind, relativ gering ist, wurde dieses Wertpapier trotzdem die Definition des Arbel-Carvell-Strebel Modells erfullen.

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3 Portfoliowahl

Mit dem Aufbau des eingefuhrten Modells, wenden wir uns nun der Losung der Portfoliowahlfur Investor j zu. Wenn wir annehmen das wjk den Bruchteil des anfanglichen Vermogen welchesauf das Wertpapier k entfallt fur Investor j, dann folgt aus (2) und (3), dass die Rendite desPortfolios geschrieben werden kann als:

Rj = Rj + bjY + σj εj (5)

Wie wir erkennen ist der Aufbau gleich wie jener der Rendite fur ein Unternehmen k

bj ≡n∑1

wjkbk + wjn+1

σj ≡

√√√√ n∑1

(wjk)2σ2

k

εj ≡n∑1

wjkσk εkσj

Aus (2) wissen wir dass E(εj|Y ) = E(εj) = 0. Durch die Bedingung, dass wjn+2 = 1−∑n+1

1 wjk,

und durch Substituieren von wjn+1 durch bj −∑n+1

1 wjkbk, konnen wir die Varianz und dieerwartete Rendite schreiben als:

V ar(Rj) = (bj)2 +n∑1

(wjk)2σ2

k (6.a)

Rj = R + bj(Rn+1 −R) +n∑1

wjk∆k (6.b)

wobei

∆k ≡ Rk −R− bk(Rn+1 −R)

Aus (4) kann die optimale Portfoliowahl eines Investors formuliert werden als das die Losungdes Maximierungsproblems:

max{bj ,wj}

[Rj − δj2V ar(Rj)−

n∑1

λjkwjk] (7)

wobei λjk der Kuhn-Tucker Multiplikator ist, der die Einschrankung reflektiert, dass Investor jnur in Wertpapier k investieren kann, wenn er uber Wertpapier k informiert ist.

Das heißt λjk = 0 wenn k ∈ Jj, und wjk = 0 wenn k ∈ J cj , das Kompliment von Jj fur k = 1, ..n.Aus (6.a) und (6.b) konnen die Hauptbedingungen fur (7) geschrieben werden als:

0 = Rn+1 −R− δjbj (8.a)

0 = ∆k − δjwjkσ2k − λk, k = 1, ..., n. (8.b)

8

Aus (8.a) und (8.b), konnen das gemeinsame Risiko und die Portfoliogewichte dargestellt werdenals:

bj =Rn+1 −R

δj(9.a)

wjk =∆k

(δjσ2k), k ∈ Jj (9.b)

wjk = 0, k ∈ J cj (9.c)

wkn+1 = bj −n∑1

wjkbk (9.d)

wjn+2 = 1− bj −n∑1

wjk(bk − 1) (9.e)

bj folgt durch einfache Umformung aus der 1. Hauptbedingung. Fur die Portfoliogewichtemussen wir eine Fallunterscheidung machen: Namlich ob Investor j uber Wertpapier k in-formiert ist oder nicht.Wenn Investor j uber Wertpapier k informiert ist, dann folgt fur die 2. Hauptbedingung:

0 = ∆k − σkwjkσ2k

und wenn wir das nun nach wjk auflosen, erhalten wir

wjk =∆k

δjσ2k

Das Portfoliogewicht von fur den Forward und die risikolose Aktie erhalt man aus der Definitionvon bj und durch Umformen.

Wir haben λjk = 0 gesetzt fur k ∈ Jj. Wenn wir jetz (8.b) und (9.c) gleichsetzen, erhalten wirλjk fur k ∈ J cj , die sogennanten shadow costs des Nichtwissen bzw. Nichtinformiertsein uberWertpapier k fur alle Investoren gleich ist.

λjk = ∆k k ∈ J cj (10)

und λjk = 0 fur k ∈ Jj. Aus (10) folgt dass die sogenannten shadow costs des Nichtwissenuber Wertpapier k fur alle Investoren gleich sind.

Nun da man das alles fur einen einzelnen Investor bestimmt hat, kann man sich weiter den Aus-wirkungen der unvollstandigen Information auf den Marktwert und das Marktportfolio widmen.Zur Vereinfachung und zum Fokus der Aufmerksamkeit auf die Effekte von unvollstandiger In-formation nehmen wir weiters an, dass alle Investoren identische Praferenzen und das gleicheAnfangskapital zu Beginn haben.

Wir setzen also:

δj = δ

W j = W j = 1, ...N

9

Mit diesen Bedingungen folgt aus

bj =[Rn+1 −R]

δj

dass

bj =[Rn+1 −R]

δ

Somit ist bj konstant, also bj = b ∀ j = 1, ...N

Wenn wir das in die 1. Hauptbedingung einsetzen erhalten wir:

Rn+1 = R + δb (11)

Sei Dk(≡∑N

1 wjkW

j) die gesamtwirtschaftliche Nachfrage fur das Wertpapier k, dann folgt aus(9.b) und (9.c), dass:

Dk =N∑1

wjkWj =

N∑1

W∆k

δσ2k

1{k∈Jj} =NkW

δσ2k

(12)

wobei Nk die Anzahl an Investoren bezeichnet, die uber Wertpapier k Bescheid wissen (0,<Nk ≤ N), k = 1, ..., n. Aus (9.d) und (9.e) folgt:

Dn+1 = NWb−n∑1

Dkbk (13)

und

Dn+2 = NWb−n+1∑

1

Dk (14)

Sei M ≡∑N

1 Wj = NW das Volksvermogen bei Marktgleichgewicht. Wenn xk(≡ Vk

M) der

Bruchteil des Marktportfolio ist, welcher in Wertpapier k investiert wird, folgt aus der Gleich-gewichtsbedingung Vk = Dk und (12):

Vk = Dk

Mxk = NkWδσ2k

NWxk = NkWδσ2k

qk ≡ Nk

N

xk =qk∆k

δσ2k

(15)

wobei qk ≡ Nk

Nder Bruchteil aller Investoren ist, die uber Wertpapier k (0 < qk ≤ 1), k = 1, ..., n.

Weil das Marktportfolio ein gewichteter Durchschnitt der optimalen Portfolios der Investorenist und weil alle Investoren das gleiche Risiko b wahlen, folgt, dass das gemeinsame Risiko desMarktportfolios ebenfalls b ist. Außerdem ist nach Annahme die Nachfrage von n+ 1 und n+ 2gleich 0 und folglich gilt dann Vn+1 = xn+1 = 0 und Vn+2 = xn+2 = 0. Daraus folgt, dass

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b =∑n

1 xkbk und M =∑n

1 Vk.

Aus der Definition von ∆k in (6.b)

∆k = Rk −R− bk(Rn+1 −R)

konnen wir uns die Rendite Rk ausdrucken

Rk = R + bk(Rn+1 −R) + ∆k

Weil ja Rn+1 = R + δb erhalten wir

Rk = R + bk(R + δb−R) + ∆k

Rk = R + bkbδ + ∆k

Wenn wir uns jetzt aus xk = qk∆k/δσ2k ∆K ausdrucken, folgt, dass die erwartete Rendite fur

Wertpapier k geschrieben werden kann als:

Rk = R + bkbδk +δxkσ

2k

qk, k = 1, ..., n. (16)

Durch Substitution Rk, bk, σk wie definiert in (2) in die Gleichung (16), kann man den Zusam-menhang zwischen dem Marktwert der Firma k und den Parametern der Marktkapitalisierung,(Ik, µk, ak, sk) wie folgt ableiten.

Rk = R + bkbδk +δxkσ

2k

qkIkµkVk

= R +akIkbδ

Vk+δxkσ

2k

qkIkµkVk

= R +akIkbδ

Vk+δxks

2kI

2k

qkV 2k

Mit dem Wissen, dass xk = VkM

folgt

IkµkVk

= R +akIkbδ

Vk+

δs2kI

2k

qkVkM

Wenn man das ganze nun nach Vk umformt, erhalt man

Vk =Ik

[µk − δbak −

δs2kI2k

qkM

]R

(17)

Mit den letzten beiden Formeln kann man nun die Auswirkungen von unvollstandigen Infor-mationen auf die erwarteten Renditen und Assetpreise erforschen.

11

Um dies zu erleichtern, sei V ∗k und R∗k den Marktwert der Firma k und die erwartete Renditevon Wertpapier k, wenn alle Investoren uber die Firma k informiert waren (qk = 1). Setzt mandie Variablen δ, b, R und M fest, dann erhalt man:

Vk = V ∗k −δ(1− qk)s2

kI2k

qkMR(18)

Bei genauerer Betrachtung von (18) sieht man, dass der Marktwert von Firma k immer nied-riger sein wird bei unvollstandiger Information und je kleiner die Anzahl an Investoren, destogroßer ist die Differenz.

Um den Zusammenhang zwischen diesem Effekt auf den Marktpreis und den shadow costs durch

unvollstandige Verbreitung der Information unter den Investoren festzustellen, sei λ(=∑N

1

λjkN

)die gesamten Schattenkosten fur Wertpapier k. Aus (21) wissen wir fur k = 1, ...n :

λk =(N −Nk)∆k

N= (1− qk)∆k (19)

Aus (15) wissen wir,dass δk > 0 weil xk > 0. Mit (19) folgt λk ≥ 0, wobei die Gleichheit nurdann gilt, wenn alle Investoren uber Wertpapier k informiert sind, d.h. wenn qk = 1,

Durch die Definition von σ2k und xk, s

2kI

2k = σ2

kV2k und xk = Vk

M. Daraus folgt aus (15),(18) und

(19) dass:

Vk = V ∗k −δ(1− qk)s2

kI2k

qkMR

= V ∗k −δ(1− qk)σ2

kV2k

qkMR|xk =

VkM

= V ∗k −δ(1− qk)σ2

kVkxkqkR

|xk =qk∆k

δσ2k

= V ∗k −δ(1− qk)σ2

kVkqk∆k

qkδσ2R

= V ∗k −(1− qk)Vk∆k

R

Wie oben festgestellt ist λk = (1− qk)∆k, womit sich der Term weiter vereinfacht zu

= V ∗k −λkVkR

womit insgesamt folgt:

Vk =V ∗k

1 + λkR

(20)

12

Daher folgt aus (20), dass der Effekt der unvollstandigen Information auf den Preis ahnlich derAnwendung eines Diskontsatzes ist.Wie bereits erwahnt, im vollstandige Informationenfall (qk = 1, k = 1, ..., n) vereinfacht sichdas Modell zum Sharpe-Lintner-Mossin Capital Asset Pricing Modell.In diesem Modell halten alle Investoren perfekt korrelierte effiziente Portfolios nach dem mean-variance-Ansatz und daher ist auch das Marktportfolio effizient.

Da (18),(20),(21) die Effekte der unvollstandigen Information mit fixierten Großen b, R und Mbeschreiben, kann man diese nicht zum Vergleich mit dem Modell mit vollstandiger Informationverwenden.

4 Beziehung zur Wertpapierlinie

Man kann jedoch damit die Beziehung zur Security Market Line untersuchen.

4.1 Die Wertpapierlinie im Allgemeinen

Die Wertpapierlinie, auch Wertpapierkenngerade (kurz WPL) genannt, ist ein zentrales Ergeb-nis des Capital Asset Pricing Models von Sharpe und Lindtner.Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite und dem Risiko einzelnerWertpapiere, wobei angenommen wird, dass der Markt vollstandig ist.

Im Finanzmarktgleichgewicht passt sich der gegenwartige Preis eines Wertpapiers derart an,dass die erwartete Rendite die risikolose Verzinsung um eine Risikopramie ubersteigt, die pro-portional mit dem Wertpapier-Betafaktor ansteigt:

µi = rf + (µm − rf )βi, βi =Cov(rM , ri)

V ar(rM)

wobei:

• (µM − rf ): Marktrisikopramie

• rf : Rendite eines risikolosen Instrumentes

µi := E(Ri): Die erwartete Rendite von Wertpapier i

• µM := E(RM): Die erwartete Rendite des Marktes

• βi: Ein Maß fur das Risiko einzelner Aktien in Relation zum Marktrisiko

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Die relativierte Risikohohe βi wird als Beta-Faktor (Beta-Koeffizient) bezeichnet und bringtdas Risiko des Wertpapiers i im Verhaltnis zum Marktportfolio zum Ausdruck, gemessen alsQuotient aus der Kovarianz der Renditen des Marktportfolios und des Wertpapiers i und derVarianz der Rendite des Marktportfolios.Im Beta-Faktor ist nur das systematische Risiko (Marktrisiko) enthalten. Das unsystematische,auch unternehmensspezifische Risiko genannt, gilt als wegdiversifiziert. Die Wertpapierlinie istalso eine lineare Funktion des individuellen Betafaktors.

Die folgende Abbildung veranschaulicht, dass das Marktportfolio RM ein Beta von 1 aufweist,wohingegen die risikolose Kapitalanlage R ein Beta von Null hat.Weiters kann man daraus ableiten, dass eine Anlage die oberhalb der Wertpapierlinie liegt,mehr Rendite erwarteten lassen in Relation zu ihrem Beta. Diese Anlage ware unterbewertet,wurde also den Markt ubertreffen. Diese Unterbewertung fuhrt dazu, dass Investoren vermehrtdie Anlage kaufen, dadurch deren Preis erhohen und demnach die zukunftigen Renditen solan-ge reduzieren, bis der Gleichgewichtswert erreicht ist. Entsprechendes gilt fur uberbewerteteAnlagen unterhalb der Wertpapierkenngeraden.

Abbildung 2: Wertpapierlinie

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4.2 Die Wertpapierlinie im Modell

Wenn RM die Rendite des Marktportfolios, dann gilt RM =∑n

1 xkRk, da xn+1 = xn+2 = 0.Aus (2) und der Bedingung, dass

∑n1 xkb = b erhalten wir Var(RM) = b2 +

∑n1 x

2kσ

2k.

Wenn wir - wie es ublich ist- das Beta von Wertpapier k, βk, als Kovarianz der Rendite furWertpapier k mit der Rendite des Marktportfolios dividiert durch die Varianz der Marktrendite,dann erhalten wir fur k = 1, ...n:

µi = rf + (µm − rf )βi

Aus (19) und (22) konnen wir (16) umschreiben in:

Rk = R + bkbδ + ∆k = R + bkbδ + δxkσ2k + λk

= R + δV ar(RM)βk + λk (23)

Wenn wir (23) mit xk multiplizieren und von k = 1 bis n summieren erhalten wir:

RM −R = δV ar(RM) + λM (24)

wobei λM ≡∑n

1 xkλk die gewichteten durchschnittlichen shadow costs uber alle Wertpapiereist. Substituieren wir Var(RM) aus (24) in (23) und ordnen wir die Terme um, erhalten wirWenn wir jetzt uns aus der letzten Gleichung jetzt V ar(RM) ausdrucken:

V ar(RM) =Rk −R− λM

δ

konnen wir das nun in die Gleichung

R + δV ar(RM)βk + λk

einsetzen und erhalten

Rk −R = βk(RM −R) + λk − βkλM (25)

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5 Alpha-Faktor

5.1 Der Alpha-Faktor Allgemein

Der Alphafaktor α, auch Jensen-Alpha beziehungsweise Jensens Alpha genannt, bezeichnetin der Finanzmarkttheorie das Maß fur eine Uberrendite (positives Alpha) oder eine Minder-rendite (negatives Alpha) einer Anlage, gegenuber einem Vergleichswert, Benchmark genannt(ublicherweise ein Borsenindex oder ein bekannter Investmentfond). Der Alphafaktor entsprichtdamit dem Teil der Aktienrendite, der von der Marktrendite unabhangig ist. Es kann gezeigtwerde, dass in einem effizient Markt Der Erwartungswert des Alpha-Koeffizienten gleich 0 ist.

Ein positives Alpha heißt nicht, dass sich der Wert eines Fonds besser als sein Vergleichswertentwickelt hat. Gleichfalls bedeutet ein negatives Alpha nicht unbedingt, dass sich der Wertschlechter als seine Benchmark entwickelt hat.

Mathematisch wird das ensen-Alpha mit den Variablenbezeichnungen aus Kapitel 4.1 darge-stellt durch:

αJ = ri − µi = (ri − µrf )− βi · (µM − µrf )

5.2 Der Alpha-Faktor im Modell

Im Modell wird durch αk die Diskrepanz zwischen der erwarteten Rendite des Wertpapiers undder Wertpapierlinie bezeichnet.Somit erhalten wir:

αk = λk − βkλM (26)

Da eine notwendige und hinreichende Bedingung dafur, dass das Marktportfolio effizient, ist,dass αk = 0, k = 1, ...n, folgt aus (26), dass das Marktportfolio nicht effizient sein wird imModell mit unvollstandiger Information.

Tatsachlich die optimale Kombination von risikoreichen Assets fur einen vollstandig informier-ten Investor w∗k ist gegeben durch (9b), und folglich ist die Differenz zwischen dem Bestanddieses Portfolios und dem Marktportfolio sind gegeben durch:

w∗k − xk =λkδσ2

k

, k = 1, ..., n (27)

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6 Firmenverhalten und die Bestimmung der Investoren-

basis

Bei der Entwicklung des Modells werden die Informationsmengen der Investoren Jj als Teil vonderen anfanglichen Ausstattung betrachtet und daher ist die Verteilung der qk Werte bei denFirmen exogen festgelegt.In diesem Kapitel wird das Investmentverhalten einer einzelnen Firma und die Rolle der Firmabeim bestimmen der Große der Investorenbasis untersucht, Nk = qkN . Wahrend der Analysewird angenommen, dass das Management der Firma ihre Entscheidungen in den besten Inter-essen der aktuellen Aktieninhaber trifft und das dieses Interesse am besten bedient wird durchMaximierung des aktuellen Marktwert der Firma.

Im Kapitel uber den Aufbau des Modells von Merton war der Fokus der Diskussion uberKostenstrukturen auf den Fixkosten, die ein Investor bezahlen muss bevor die bedeutendeInformationen in eine Portfolioentscheidung umgemunzt wird. Investoren, die die Firma nichtkennen, werden nicht in die Aktien der Firma investieren.Wenn eine Vergroßerung der Investorenbasis in den besten Interesse der Aktieninhaber ist, dannsollte das Management Ressourcen aufwenden um neue Investoren anzuregen.Es wird die Ableitung dargestellt durch:

∂Rk

∂qk= −Rkδxkσ

2k

q2k

(28)

und aus der Identitat, Vk ≡ IkµkRk

erhalten wir:

∂Vk∂qk

=Vkδxkσ

2k

q2k

(29)

Aus (28) und (29) folgt, dass ein Wachstum der Investorenbasis der Firma die Kapitalkostender Firma reduzieren wird und den Marktwert der Firma erhohen wird.

Folglich haben die Manager der Firma im Modell einen Anreiz die Investorenbasis der Firmazu vergroßern.

Wie hervorgeht aus (28) und (29) ist die Große des Effekts am großten fur weniger bekannteFirmen, das bedeutet mit kleinem qk, und fur Firmen mit großen firmenspezifischen Varianzen.

Es ist naturlich moglich, dass sich die Investorenbasis vergroßert ohne Zutun der Firma selbst.Beispielsweise in Form eines Berichtes uber die Firma oder deren Industrie in einer Zeitungoder einem anderen Massenmedium, welche eine Großzahl an Investoren erreicht, die noch kei-ne Aktieninhaber der Firma sind. Das konnte einen Teil der Investoren dazu verleiten in dieFirma zu investieren. In diesem Fall wurden diese Investoren die wesentlichen Informationenuber die Firma bewerten , neue Aktieninhaber werden und der Wert der Firma wurde steigen.

Es sollte betont werden, dass die aktuellen Aktieninhaber moglicherweise schon alle Informatio-nen aus dem Bericht wissen. Nichtsdestotrotz, wenn die Form der fruheren Veroffentlichungenvon Informationen keine Aufmerksamkeit von Investoren erlangen und wenn die neue Form diestun, dann wird die Investorenbasis wachsen und der Aktienpreis wird steigen.Folglich ist unser Modell ubereinstimmend mit der Beobachtung, dass der Aktienpreis auf einenMedienbericht uber die Firma reagiert, auch wenn die ganzen wesentlichen Informationen schon

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vor dem Bericht bekannt waren.

Obwohl nicht einander ausschließend sind die von der Firma verwendeten Techniken und auf-gewendeten Ressourcen zur Ausweitung der Investorenbasis logischerweise trennbar von denen,die verwendet werden, um wesentliche Informationen zu liefern, die bereits bestehende Aktien-inhaber dazu verwenden konnen,

Daher liefert dieses Modell eine Begrundung fur Ausgaben fur Werbung uber die Firma, die anInvestoren gerichtet ist, und Firmenwerbung, die gestaltet ist, um Berichte uber die Firma inder Finanzpresse zu erwirken.

In den Standardmodellen, welche Marktgleichgewicht annehmen, gibt es keinen Zweck fur Auf-wendungen um die Firma sichtbarer zu machen in der Investmentgemeinschaft ohne neue undbedeutende Informationen uber die Firma fur die Bewertung der Investoren zu liefern.Obwohl nicht direkt ein Problem der unvollstandigen Information - konnen sowohl die Existenzvon Gesetzen und Traditionen als auch andere Regulierungsbeschrankungen ein Investment ineine gewisse Firma fur einige Investoren ausschließen.

Der Effekt dieser Beschrankungen wird in diesem Modell erfasst, da diese Investoren handeln,als ob sie nicht uber die Firma informiert waren. Folglich kann die Firma ihre Investorenbasisausweiten, indem sie Geldmittel aufwendet um die Firma zu einem qualifiziertem Investmentfur jene Investoren zu machen. Beispielsweise kann die Firma sich von einer Ratingagenturbewerten lassen.

Wie dieses Beispiel nahelegt, ist der Prozess Investoren, die noch keine Aktieninhaber sind,dazu zu bringen, die Wertpapiere der Firma zu beachten, nicht jenem Prozess der Vermarktungder Produkte der Firma unahnlich. Daher ist es vernunftig anzunehmen, dass das Kostengefugeder Firma zur Ausweitung der Investorenbasis anderen Vermarktungskostenfunktionen ahnlichsein wird.

Wenn F (Nk) die Kosten der Firma k bezeichnet, die sie benotigt, um eine Investorenbasis auf-zubauen, die aus Nk Aktieninhabern besteht. Weiters setzen wir F (0) = 0 voraus. Wir nehmenauch an, dass die Grenzkosten, ∂F

∂Nk≡ F ′(Nk) strikt positiv sind und dass die Grenzkosten mit

der Anzahl der informierten Investoren zunimmt (sprich: F ′′(Nk) > 0).Da das Modell aus Kapitel 2 voraussetzt, dass der Investorenbestand, N , sehr groß ist, nehmenwir weiters der rechnerischen Einfachheit wegen an, dass F ′(N) =∞.

Gegenuber dieser Kostenfunktion werden die Manager der Firma k die Menge der Ressourcenzur Ausweitung der Investorenbasis derart wahlen sodass [Vk − F (Nk)] maximiert wird. Aus(17) folgt, dass das optimale Nk erfullt:

F ′(Nk) =δs2

kI2k

RN2kW

(30)

Wegen der strikten Konvexitat von F und da F ′(N) = ∞ hat (30) eine eindeutige Losung,wobei gilt, dass 0 < Nk < N . Aus der Konvexitat und (30) folgt, dass die optimale Große derInvestorenbasis eine wachsende Funktion der firmenspezifischen Komponenten der Varianz ist.

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Der erkennbare Effekt ist, dass Nk starker zunimmt, je großer die Risikoaversion der Investorenist, mit großerem Pro-Kopf-Vermogen aber auch mit dem Zinssatz abnimmt.

Aus den Formeln (30) und (31) folgt, dass wenn das Management der Firma sich entschließt zuexpandieren, sollte es auch die Investorenbasis vergroßern. Das Management sollte also Ik undNk so wahlen, dass [Vk− Ik−F (Nk)] maximiert wird. Aus (17) kann die Ik geschrieben werdenals:

Ik =NkW [µk −R− δbak]

2δs2k

(31)

wobei Ik = 0 gesetzt wird, wenn [µk −R− δbak] < 0.

Aus (31) folgt, dass die optimale Investition ist geringer als im Modell mit vollstandiger Infor-mation weil Nk < N . Das optimale Nk kann abgeleitet werden von der Formel aus (36) durchSubstitution von Ik aus der obigen Formel und kann wie folgend beschrieben werden:

F ′(Nk) =W [µk−R−δbak

sk]2

4δR(32)

Die gerade gezeigten Darstellungen von Ik und F ′(Nk) belegen, dass dass die Investorenbasisexogen festgelegt ist.

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7 Ausstehende Fragen und Erweiterung des Modells

Die sehr speziellen Annahmen dieses Modells setzten ein sehr spezielles Firmenverhalten vor-aus. Deswegen sollte die Robustheit dieser Annahmen untersucht werden bevor man diesemModell Bedeutung zumisst.

Wobei solche Untersuchungen die Arbeit von Merton ubersteigen, wird noch kurz darauf ein-gegangen, welche Auswirkungen die Verletzung der im Modell getatigten Annahmen haben.

7.1 Alpha-Faktor

Die wichtige Gleichung αk = λk−βkλM bleibt weiterhin erhalten, wenn man das Modell dahin-gehend erweitert als, dass man eine willkurliche Varianz-Kovarianz Struktur unter den Renditender Aktien annimmt.

7.2 Shadow Costs

Jedoch werden die shadow costs λjk davon abhangen, welche anderen Aktien sich im Portfoliodes Investors j befinden. Das bedeutet, die shadow costs werden nicht mehr gleich sein fur alleInvestoren. Es wird sogar fur λjk moglich negativ zu sein. Dies wurde implizieren, dass Investorj einen Leerverkauf tatigen wurde. Wenn jedoch λjk fallend von qk abhangen wurde, wurde dieim Modell getatigte Annahme bestehen bleiben.

Merton fuhrt weiters an, dass es Sinn macht anzunehmen, dass die Kosten des Informie-ren uber Wertpapier k geringer sind fur einen Investor der bereits uber andere Wertpapiere(moglicherweise sogar aus der selben Branche) informiert ist, deren Renditen stark mit derRendite des Wertpapiers k korrelieren. Jedoch bußt ein solcher Investor Diversifikationsvorteileein.

7.3 Ausweitung auf Finanzintermediare

Gleichfalls wie im Capital Asset Pricing Modell nimmt das vorliegende Modell an dass in-dividiuelle Investoren ihre Portfolios durch direkte Transaktionen in die Wertpapiere von ei-genstandigen Firmen bilden. Das bedeutet das institutionellen Investoren keine Bedeutungbeigemessen wird.Wenn K individuelle Investoren ihre Geldmittel unter einem gemeinsamen Portfoliomanagerzusammenfassen, konnen sie in der Folge die Kosten (pro Investor) proportional zu K

K−1redu-

zieren.Um das Modell auf Finanzintermediare auszuweiten, muss man voraussetzen, dass fur jedesinstitutionelle Portfolio der Manager uber ein paar Aktien informiert ist und in jene, die ernicht kennt, nicht investiert. Im Gegenzug dazu wurde ein individueller Investor uber ein paarAktien und ein paar institutionelle Portfolios informiert sein und beschrankt sich ausschließlichauf diese.

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7.4 Passive Investoren im Modell

Im Modell agieren nach Annahme ausschließlich aktive Investoren, die ein effizientes Portfoliowahlen. Das Modell kann aber auf passive Investoren ohne nennenswerte Anderungen ausge-weitet werden.Ein ”market indexer” ist ein Investor der den Aktienmarkt nicht beurteilt und passiv dasMarktportfolio halt. Diese Investoren wissen definitionsgemaß die zu erwartende Rendite desMarktportfolios nicht. Jedoch konnte ein solcher Investor die durschnittliche Marktrendite ausder Vergangenheit kennen.

Wenn ∆N diese Art von Investoren bezeichnet, kann die gesamtwirtschaftliche Nachfrage fur diemarket indexer beschrieben werden durch xk∆NW . Aus (9.b) und (9.c) folgt dass die Nachfragenach Wertpapier k fur diese Investoren dargestellt wird durch Dk = NkW∆k

δσ2k

+ xk∆NW . Im

Gleichgewichtszustand gilt xk = Dk

NW. Daraus folgt direkt dass xk gegeben ist durch (15), wobei

qk = Nk

N−∆Nder Bruchteil den aktive Investoren bezeichnet, die uber Wertpapier k informiert

sind.

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8 Anhang

8.1 Homogeneous Belief

Unter Homogeneous Belief versteht man eine Annahme vom Okonom Harry Max Markowitz,bei der alle Investoren die gleichen Erwartungen haben und die gleichen Entscheidungen treffenunter bestimmten Bedingungen.

Bei dieser Annahme haben also alle Investoren die gleichen Erwartungen betreffend der Inputszur Bildung von effizienten Portfolios einschließlich Asset Renditen, Varianzen und Kovarianzen.

BeispielWenn den Investoren unterschiedliche Investmentplane mit unterschiedlichen Renditen abergleichem Risiko vorgelegt werden, werden sich die Investoren fur jenen Plan mit der hochstenRendite entscheiden. Gleichfalls wenn man den Investoren Plane mit unterschiedlichen Risikenaber gleichen Renditen vorlagt, werden sie sich fur den Plan mit dem geringsten Risiko ent-scheiden.

8.2 Prinzipal-Agent-Theorie

Abbildung 3: Prinzipal-Agent-Theorie

In der Prinzipal Agent Theorie wird angenommen, dass man praktisch jede Vertrags- undGeschaftsbeziehung so beschreiben kann, dass es auf der einen Seite einen Auftraggeber (Prin-zipal) und auf der anderen Seite einen Ausfuhrenden (Agenten) gibt. Beide Seite betreiben dabeijeweils fur sich Nutzenmaximierung, wobei die Zielsetzungen im Regelfall nicht deckungsgleichsind. Der Agent besitzt ublicherweise bei der Auftragsausfuhrung einen Wissensvorsprung, dener zu Gunsten oder zu Lasten des Prinzipals ausnutzen kann. Diese ungleiche Verteilung desWissens nennt man asymmetrische Informationsverteilung.

In diesem Modell waren die Aktieninhaber, also die Prinzipale, deren Interessen in der Share-holder Value Maximierung liegen. Die Interessen der Agenten, der Manager, die Entscheidungentreffen und eine bessere Informationsbasis besitzen.

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8.3 Beispiel zu sunk costs

Zwei Unternehmen A und B der Telekommunikation kampfen um einen nationalen Festnetz-markt; Anbieter A besitzt bereits ein Telefonnetz, wahrend Anbieter B ein solches erst nocherrichten musste. Fur B sind die Kosten fur den Aufbau des Netzes im Gegensatz zu A demnachentscheidungsrelevant. Daher wird B den Markt mit großerer Wahrscheinlichkeit verlassen als A.

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9 Literaturverzeichnis

[1] Robert C. Merton: A Simple Model Of Market Equilibrium With Incomplete Information.The journal of finance, 1987.

[2] Harry M. Markowitz: Portfolio selection. The journal of finance, 1952.

[3] http://www.investopedia.com/terms/h/homogeneous-expectations.asp

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Wertpapierlinie

[5] http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/prinzipal-agent-theorie.html

[6] https://de.wikipedia.org/wiki/Alphafaktor

[7] https://www.wienerborse.at/wissen/boersenlexikon/buchstabe-a/alpha-faktor/

[8] https://de.wikipedia.org/wiki/Portfoliotheorie

[9] http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/beta-koeffizient.html

[10] https://de.wikipedia.org/wiki/Sunk-costs

[11] http://www.investopedia.com/terms/e/efficientfrontier.asp

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