10
A new look at the heat balance integral method A.S. Wood * Department of Mechanical and Medical Engineering, University of Bradford, West Yorkshire BD7 1DP, Bradford, UK Received 1 August 2000; accepted 19 December 2000 Abstract The heat balance integral method is a familiar technique for treating transport problems, particularly phase-change scenarios. Here a number of dierences arising in the method's implementation are investigated that result in quan- titatively distinct solutions. As a consequence some guidance is provided for selecting the appropriate implementation of the method. Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. Keywords: Heat balance integral; Phase change 1. Introduction For solving transport problems including heat conduction) the basic heat balance integral HBI) method introduced by Goodman [1] converts the governing partial dierential equation to an ordinary dierential equation by: i) assuming a suitable approximating pro®le, ii) satisfying the available boundary conditions, iii) integrating the transport equation with respect to the space variable over a suitable interval to create a heat balance integral, and iv) solving the or- dinary dierential equation resulting from step iii). The acknowledged sensitivity of the method to the form of the approximating pro®le may be alleviated by a combination of domain de- composition and simple piecewise approximants [2]. What is perhaps less familiar is a measure of the dierences that can arise within the imple- mentation of the basic quadratic) method and the eect that this has upon the solution that is developed. When considering phase-change problems Goodman himself [3, pp. 72±74] used an `alternative' form of the Stefan condition to expedite the determination of parameters appearing in his chosen approximant. Here we highlight six alternative pathways to develop the original quadratic HBI solution and provide some guidance for selecting the appropriate alternative for given problem para- meters. The analysis and discussion are centred upon a dimensionless form of a simple melting problem. Applied Mathematical Modelling 25 2001) 815±824 www.elsevier.com/locate/apm * Tel.: +44-1274-234281; fax: +44-1274-234525. E-mail address: [email protected] A.S. Wood). 0307-904X/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII: S 0 3 0 7 - 9 0 4 X 0 1 ) 0 0 0 1 6 - 6

A new look at the heat balance integral method

  • Upload
    as-wood

  • View
    216

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: A new look at the heat balance integral method

� ��� ���� � � �� ������� ������ ����

���� ���� �

���������� ��� ������ ��� ������� ������������ ���������� ������� ���� ���� ��� ��� ���� ������� ��

���� ��� � ����� ����� ������� �� ������� ����

��������

!� �� ������� ������ ���� � � "�� � �� ��� #�� "�� ��� �� ������� ��������$ ��� ������% ����&�����

������ ��� '��� � ������ �" � (������� �� � �� � � ����)� �������� �� ��� ���� ���� � ����� � #���&

� ���% � � �� ���� ���� �� � �����#����� ���� �� ����� � ���� ��� "�� ����� �� � ������� �� �������� ��

�" � ����� � ���� *���� �� �� ���� +��� ��� � �� ���������

��� ���! '�� ������� ������� ,��� �����

� ���� ������

-�� ���� �� ������� �������� . ����� �� �� ������ ��/ � ��� � �� ������� ������.'0+/ ���� �������� �% 1������ 2�3 ������� � ������ �� ��� �� � (���� �� �#�� �� ��� ��� ���% � (���� �� �#�� �� �%4 . / ����� �� � �� ���� �����5 �� �� ���6��$ . / �� �"% ��� ��� ����� �������% ���� ���$ . / ����� �� � ������� �#�� �� � ������ � ������ ��� ���� ���� � �� ���� ������ � ����� � �� ������� ������$ ��� . �/ ���� �� � ��&� ���% � (���� �� �#�� �� ����� �� "��� ��� . /� !� ������������ ���� � % �" � ����� � "��� �" � �����5 �� �� ���6�� ��% �� ����� ��� �% � ���� �� �� �" ���� � ��&������ �� ��� � ���� � ���� �� �����5 ���� 2�3��� � ������ ���� "�� � �� � � ������� �" � � (������� � ��� �� �� � � � ����&

���� �� �" � ��� � .#����� �/ ���� ��� � �(�� � � �� ���� � ���� �� � ����������� ��� ���� ��� �� ����&����� �������� 1������ ����" 27$ ��� 8�98:3 ���� ��;������ ��) "��� �" � ��"�� ���� �� � �5��� � � ����� �� �� �" ��������� ������ �� � � ����� �����5 ����'��� �� �� � � 5 ������ �� ����%� � ������� � �� � ��� #����� � '0+ ���� ��

��� ���� �� ���� �� ����� "�� ����� �� � ������� �� ������ �� "�� � ��� ������� ����&������ !� ����%� � ��� � ����� �� ��� ������ ���� � � ���� ������ "��� �" � � ���� ��� ����������

���� �� <���� ��� <����� �� �= .����/ >�=9>�:

��������� ������?�����?���

�!���4 @::&��8:&�7:�>�� "�54 @::&��8:&�7:=�=�

�"���� �������! ��������A����"��������� .���� ����/�

�7�8&��:B?��?C & ��� "��� ���� � ���� *���� �� �� ���� +��� ��� � �� ���������

,++4 � � 7 � 8 & � � : B . � � / � � � � D & D

Page 2: A new look at the heat balance integral method

� ������������ �� ��

�� ���� ��� � � ����&���� ������� � ����� ��� � .� ���� ������/ ��� �� �" � ��� � ��� & �6� � ���� �� � ���% � � ��� ���������4

����

� ������

� � � � � �� � � �� ���

����

� ������

� � � ����� �� �� ���

� � �� � � �� � � �� �7�� � �� � � �� �� �� �:�� � �� � � ����� � � �� �=�

!� ������ �� "��� �" � ��"�� ���� �� .�/ ���� �% 1������ 273 � ��� ��� "��� � "�� �� ��� ��� �� �� �" � ��������� � � � ���� � E���$ ���$

�������� �� � �� ��

������

� ����

� ��

+�������� �� *#� .�/ �� ��� �

����

� � ����������

� � �������

������D�

��� ����

����

� ��� �

������

� � � ����� � � �� �8�

,������ .�/9.=/ �� � ����&����� ����% ��� ���� �� "�� � ��� � � ��� �% 2:$ ��� �� ����3

���� �� � ����" �

���

�� ���"��� � �� �� ����� �� �� �>�

���� � �� ���

�� �� �� ���

������������

�� � '0+ ���� �� �������� ��� ���� ��� ���������� '0+ �����5 �� �� � �# ����

$������ ��� "��� ��������� ��"�� ������

>�D %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 3: A new look at the heat balance integral method

���� � � � ���� �� �" � ������������ �#�� ������

��� ��"������ � �� ����

-�� ����� ������ �" �$ � ����� �" � � ����� ��� *#� .��/ ��� �� �� �� 2=$ -������ 8���D3

����

���

�����

� ���� �� �F��7����� � ��

+� ��� �����$ � ����� �" � ��������� ����������

�"�� ����� ��

� ���� ������� �������� ���������

1������)� 273 ��&�������� �� �� "�� � ��������� ���6�� ��� � "��� ���� �� ����� ��� � � ���� ���% �� �6�� ���� �� .=/� '������$ � "��� ������ � ���� ����������� � ��� 1 � ��� "��� ��� �" ��� +� � ������ ����%� � � "����� �� "��� "�� ������5 ��� � � ����4

���� �� � � ��

� ��

�� � �

�� �

��� ����

!� �����#����� �" � � � � ��� 1 ��� ��� ������� � � � ��� 6�� � ����%� �� !��������% ���� �� .=/ � ���� ���% �� �6�� ��� � �� �"% ���� �� .:/ ��#� ��� �� � �� �$ ���$ � � �� �$ ��� ����

���� �� � � ��

� ��

�� ��� �� �

�� �

��� ����

-�� ���� ��� �� ��� � "����� �� ��� ��� �5����� ���4

����

� � ��� ���� ��

��

�� �

�� ��7�

������

� ���� ����

� ��:�

����

� ����

�� ���� ���

���

�� �

�����

� ��=�

!� �� ������� ������ � ��� ��� �% ����� �� *#� .�/ ���� �� �� � ��� ������ �� � �% �� �� �� ��������% �������� ���� ��� � *#�� .�7/ ��� .�=/ % ���� � "����� �� ��� ���% � (��&�� �� �#�� �� .F */ "�� �4

�� �D

� ����

� ����

������

� �� ��

� ��D�

!� �� ���� � �� ���������$ � ��� �$ ��� ����� ��� "��� � ���� �� �� �" � �� *#� .�/ ��*#� .8/ ����� � � �� ������� ������ *#� .�D/�+ � � � �� � � � ���� �� ������� �������� ���� ��� �� % ��� �(��� ������� .� 5/

�� ��� �" � ��� �� � � � � ��� ��� � ����%� �� !��� ��� �� "���� "�� � ��"�� ���&� ��$ *#� .�/ �� *#� .8/$ ��� � ��� ����� � � � ���� � *#� .�D/ ��� �� �������� � ��� �"��� ��%�4 . / �� �� *#� .�/$ . / �� �� *#� .8/$ �� . / �� �� � 6�� ��� �� ��� �� �� �" � "���*#� .�7/ �������� � � � ����$ ���$

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >�8

Page 4: A new look at the heat balance integral method

����

� � ��� � � ����� � � �� ��8�

!� � 5 ���� �� ���$ ������ ��� � !���� �$ ����� � �5����� ��� "�� �$ 1 ��� � ���� �������% � � "��� �� �" � ��"�� ������ �� +� � "����� �� ����%� � � � 5 ���� ��� ��� ��������� ��������� �" ���� ��� � % ��� ��� 6�� "�� ��� ���� �� � ���� �" � �

2&�& '���� �������

�� -�� �� ��� �97 � ���� �� �� �" *#�� .�/ ��� .�7/ � ���

�����

� ��

��>�

� ���� �� � � ��� ���

� � � � �� � ����������

�����

� �������� �� �� �����5 �� �� � � ���"��� �������� ��

�� -�� �� ��� :9D � ���� �� �� �" *#�� .8/$ .�7/ ��� .�:/ � ��� �� � ���� �� � � � ����& ��

� � ��������������������� � ��

�� ����

!� ��� �� �#����&��� � ����� �� � � � � ."�� � � �/ ��� ���� ���� �� � � �� ��#� ���"��� �%� ��� ���� ���� ���� +� "�� � � � ��� � � �� -����$

� � ��� � �

�� ��

����� ��� � �

�� ���F�����

�� ��F�����

��� ���� � ��� � � � .���6���� � - ��� � ��� �/�

2&)& 3��� 1������ ��������

�� � � � ���� *#� .�/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� ������

� ����

��� ���� ��� � � '0+ .�D/ � �5����� �� % ���� � F *

�����

� D��� ���� �� D� � ����

!���� �

� 5 ���� �� �� ���

F� �� ��"�� ���� �� '0+ ��� �� ��

� *#� .�/ *#� .�/

� *#� .�/ *#� .8/

7 *#� .�/ *#� .�8/

: *#� .8/ *#� .�/

= *#� .8/ *#� .8/

D *#� .8/ *#� .�8/

>�> %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 5: A new look at the heat balance integral method

�� � � � ���� *#� .8/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� ������������������������� ����

�� ����

- �� �� ,��6�� �������� � .�� �� �/�

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Stefan Constant, β

Pro

file

Par

amet

er, a

Option: 1,3 Option: 4,5,6

- �� �� ,��6�� �������� � .�� ��� � ��� 79D/�

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >��

Page 6: A new look at the heat balance integral method

� � ���� ��� � � '0+ .�D/ � % ��� � F *

�����

� D �� �� ������������������������ ����� �

�� � � ��7�

7� � � � ���� *#� .�8/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� � ��� ��:�

��� ���� ��� � � '0+ .�D/ � �5����� �� � ��� � F *

�����

� ����� ���� � � ��=�

2&2& '�# ��1�������

-�� �� ��� �97 � ��� �������� � �� � ���� ������ *#� .�>/ ���$ ������ ���%$ *#�� .��/$.�7/ ��� .�=/ � � �� �� ������� � �#�� �� "�� �4

�� � ��� ������ ��� � �� ��D�

�� � ��� D����������������������������8���� ���7

�� ��� � �� ��8�

�� � ��� ������ ��� � �� ��>�

!� 6�� ��� �� �#�� ��� .�� ��� � ��� 7/ ��� �� ������ ���� ���% � � ��

� � ��� D����������������������������������� �:�� 7D��

�.� ��� �� �#����&��� � ���� � ��� � ��� �� ��� ��

� ������ � ���� �� � �/� ��� � � � � ��� � � � ���$ � � ������ �" *#� .��/$ � ���& �% ���� � � ��� � � � � � ��� F������ - ����%$ � ��� "��� �������� � �� ����"���

�� ����������

�������������������������������������������������������������� D��

��������������������������������� �:�� 7D��

���

���� ����

��� �� ��������� � � �5�� ��%��� � ����� �" ����������

�� � ��� F������

-�� �� �� �$ *#� .�8/ ��� �� ������ ����� ����% "�� � .����$ G����9������ ��� ��/� !��� �� � ���% ��� � "�� ������ �" � �% �� � � ������ ��� � � ���$ ���� ��$ �������� ����� ��������5 .��� *#� .�7//� F��� � � ����� ��� �� � � ��� ��� "��� *#� .�>/

���� � ������������

� ��� ���

�� �7��

-�� �� ��� :9D$ � � �������� �% �5����� �� .��/ � ��� �" � F *� .��/$ .�7/ ��� .�=/ � � ����� ������ "�� � � � �� ���� � ��� ��

������

>�� %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 7: A new look at the heat balance integral method

�� �

������������������������D�7��7

��������������

���=��

��������������

�������������������������������������������������������������D�7��7

��������������

��7

���������������������������������

��������������

���

�����

��������������

��

�������������������������D�D��D

��������������

�����

��������������

�����������������

�7��

�"�� ���� ������� � ��� ���� �� ��� �� ���� � � ������ ��� �� �5����� ��� "�� ��

��� ��� ���� +� ���$ ���"���$ � � 5 ���� �� ��� �" ��"�� ���� �� ��� �� ������� �&����� ������� "��� � � �� �5����� ��� "�� � ��� "��� �������� �� ��� �� .��� ���� "��� ���6�� ��������� � ��� 1/�1������)� �������� �� 2�$73

� � ���� �� � ���� ���� � � �����7

�� � � ��

���7

���7��

� ����� ��� �% �� �� : � � � �� +� � ���� � � � ��� �% *#� .��/$ ���$ � � ���7

� � �$ ���� � �� � � �� ���

7�� '����$ "��� *#� .��/$

���� �� ����7

��� �

��

�� �

�� ��

����7

� ��

�� �

��� ��

���7

���� �� � ��

���7

����� ����

+� ��� �����$ � ������ ���� �� .�� �� :/ ����� ��� 1������)� �� � ��� ����%� �� '������$�� �� ���� ���$ 1������)� �������� �� � �� � ��� ������� "�� ��� ��� �� �������� �"� %��� .�/9.=/� +� "�� "�� � � ���= �� ��� � ��� 7 �(�� ������ �������%�

� ��������� ������� �� ���������

- ��� � ��� � ��� ����� �" � ���6�� �������� � � ��� �% � � 5 �� ��� �� � "��� �� �" ��!� �5����� ��%��� � ���� ��� .� �/ � �������� �� � �� � � ��� �� "�� � � � ."�� ����� ��� �5��� �/ ��� �� ���� �� � ���� ��$ �� ��#� ���� - �� � �� ���� � ����� � (������ ��&���� � ��� �" � �� ��"�� ���� ���$ *#� .�/ .�� ��� � ��� 7/ ��� *#� .8/ .�� ��� :9D/$� � ;����� ����) � � ������ � � � � ���� - �� � ���� � "�� �� �� � ��� � �� ������ �"������ �" � .�����5 ����% ��D9���/ "�� � � � �������� �� ����� ������� � ����� � � ���� ���� ����� ������� � ���� �� � � ��� �� ��������- ��� 7 ��� : ��� � ����� �" �� ����� � � �5�� ����� � ��� ��� "��� *#� .��/� -���

- �� : � �����#����� �" � ���� ���� ��� �5 � �� �% � .�� �� �/ � �� ��� 9 � �� ����� ���� �� ���� � ����% � ����� "�� ��D � � � ��� ��� ���"��� � �������� �� � H�����- �� 7 ������� � �� ��� = ��� D ��� � �� 6����% ����� �� �� ��� �$ 7 ��� : � � ���

������ #� � ����� � � ����% � ������ ! � � ����� ��� � - �� = � ���� � ������� ����� � �� "�� ��� �� �� �� � "��� �� �" �� - �� D � ���% ���� � ���� 6�� ���� �" � ���� ��� �"� ������ "�� ����� �� !� ������ �� � �" ������ �� �" � ��� ������ � � � ���=� -��������� � ����� � � �� ��� . � ������� �� ����� �" �������%/ ��� � ��� 7$ :$ = ��� D� !��$1������)� 2�3 �������� �� .�#� ����� � �� �� :/ � ���% �� � � ���� �� ����� "�� ���I�� % �" ��������� '������$ "�� � � � � ���= . �� �� �� � ��� � ����&����� �������/ �� �� �� � #� � ��� ��� *�� �������� �� � �� ��� "�� ��� �" � ������ � � �$ ��� � �"���� �� � ������ ��� � !���� �� + ������� � 1������)� �� � ��� �� �� �" �������&� �� � ���% � ��� ������� "�� �������� � � � � � �� � � ����� ������ ����==� ���8= �

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >��

Page 8: A new look at the heat balance integral method

! � ��������� � �% ���&�� .��� � ����&�����/ �" � ����� �" ��"�� ������� ���� ����� � � ����� F� ��� � ��� 7 �������� � ��� �������� ��� "�� ������� ��� ���$ ������% �1������)� ������ �� 2�3$ � ������&����� F * "�� � � �� ���������

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Stefan Constant, β

Mel

t Fro

nt P

aram

eter

, α

Exact Option: 2

- �� :� <�� "��� �������� �� .�� �� �/ ��� ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Stefan Constant, β

Mel

t Fro

nt P

aram

eter

, α

Exact Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� 7� <�� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/ ��� ��

>�� %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 9: A new look at the heat balance integral method

� �����������

+� � ����� � �� � ��� #����� � �� ������� ������ ���� �� �������� �% 1������ 2�3�� ���� ��&������ � � 5 ���� ��� ���� �� ��� �" � ��"����� ���� ���� + �� ���� ����

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Stefan Constant, β

Abs

olut

e E

rror

in α

*

Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� D� ������� ����� � ��� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/ "�� ����� ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Stefan Constant, β

Abs

olut

e E

rror

in α

*

Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� =� ������� ����� � ��� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/�

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >�7

Page 10: A new look at the heat balance integral method

� 1������)� ��� �" � ���� ��� ���� �� ���� � � �� ��� ���� ��$ ��� � ���"������ �� � �� � �� � ��� "��� �" � ��"�� ���� ��$ *#� .�/4 . / � ������� � �������% ���� �� ���. / � ������� � �� ������� ������� J �� ��� ���� �(�� � ��#� ���� !� ����� �������%���� ��� �% � ������� ��"�� ���� �� .8/ �� ��� "��� � "�� � � ������ �� ��������#�� ��$ *#� .�/$ ���� �� �� ��% ��� � � � ���� � ��� �� ������� �������% ���� �� ���"����� � � �� �� K����#����% � ���������� �" ����� � ������� � *#� .D/ � ���� ��% ��� ��

����������

2�3 !��� 1������$ !� �� ������� ������ ��� � ���� �� �� � �������� ����� �� � ����� �" ����$ !�����

��<* L� '�� !����"�� >� .��=>/ 77=97:��

2�3 0� G����$ '�� ������� ����� � ��� �� ��������$ �4 L��� F�������$ ���� '���� �� .*���/$ �4 <�� ��

0������% ,������� � '�� -��� ��� (�� ��$ K�������� ,����$ F5"���$ ��8:$ ��� ��>9����

273 !��� 1������$ ���� �� �� �" ������ ����� � ���� �� ���&� ���� �� ����"��$ �4 !�-� +�� ��$ L�,� '����

.*���/$ �������� � '�� !����"��$ ���� �$ ������ � ,����$ G�� M���$ ��D:$ ��� =�9����

2:3 '��� K������$ L�K� L�����$ K����� �� �" '�� � ��� ��$ ������ ���$ K�������� ,����$ F5"���$ ��=��

2=3 <� ������� E$ +��� �����$ '������� �" <���� ��� -��� ���$ ���� ,����$ G�� M���$ ��D=�

!���� �

0�� '0+ �������� �� �� � "��� �� �" �

+������ � 0�� ���� �� �� ���

- �� ������ ! ��

��� ���== � ��� 7 : = ��� D

����==� ���D: : � ��� 7 = ��� D

����D:� ���8= : = ��� D � ��� 7

����8=� ���= = ��� D : � ��� 7

����=��� � ��� 7 : = ��� D

>�: %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0