98814179 El Circulo de Mohr Fundamento y Aplicaciones

7/23/2019 98814179 El Circulo de Mohr Fundamento y Aplicaciones

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R e



CONSEJO EDITORIAL

F. Josh Amonlo flologuere £ep•do, O..Re!"or #ensrol

R edro Jos$ D"o% Como&ho, O..'(!!rr!!for A!od$m(!o #enerol

R )or!o An"on(o *edo Sollnos, O.*'(!erre!"or Adm(n(sfro"(+o F(non!(ero#ensrol

. Lu(s Fren-(s!o So!"oue Ro+/do, O.*'(!srro!"or #/n!rol '0AD

D(re!"or de "o 0n(dod de ln+es"(go!(dn osgrodo

A(do )orfo */1o%ono 'o%eloEd("oro



IS*"•J2 345 67 J •77589

:!!ho el dep/s("o ue es"o;le!/ "o le

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0n(+ors(dod Son"o Tomds

Cones<o ;d(for(ol

Correro 3 N= SJ 8>7

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s*ogo"d, D.C., Colom;(o



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CONTENIDO

dg(no



7

9J

@. rop(edodes geom$"r(!os de "ose!!(dn

S. C$l!ulo de esfuer%os en me!on(!o de suelos



6

9. E



PRE

SEN TACION

El !(r!ulo de )ohr ss uno do los po!os

!ons"ru!!(ones grdf(!os en (ngen(sr(o



!(+(l ue no ho perd(do (mpor"on!(o !on

"o (n"rodu!!(dn de los !ol!ulodoros

los !ompu"odor/s. Lo ro%dr poro es"o

+(gen!(o se en!usn"ro en "o

(nformo!($n, s(muhdneomen"e generol

d!"ollodo, ue el !(r!ulo de )ohr sum(n(s"ro so;r/ d!"erm(nodos

pro;lemos en (ngen(er(o.

Los opl(!o!(ones d! es"o !ons"ru!!($n

grdf(!o "(/nen su fundomen"o en los

lees de "rons8 formo!($n de !(sr"os

er"(dodes mo"em/"(!os llomodos

"ensoros, o los ue el !(r!ulo de NGohr

repres/n"o !on sen!(lle% !lor(dod. 0no

d! sus !oro!"orls"(!os reds (mpor"on"es



es ue, -unue se de uno

solu!(@n gr@£!o, su !ons"ru!!($n no/(ge, en "o moor(o de los

opl(!o!(ones, med(dos o es!olo. Ton

s6lo es ne!esor(o re!urr(r o relo!(on/s

"r(gonom$"r(!os elemen"oles poro

o;fener /!uo!(ones de (n"or$s on "o

solu!(dn de olgunos pro;lemos prop(os

de "o res(s"en!(o de mo"er(oles de Io

me!dn(!o d! su!los.

Es"o pu;l(!o!($n presen"o los usos mos

!omunes del !(r!ulo d! NGohr o "ro+$s

de "o solu8 !($n de mdlf(ples /Hor!(!(os

numdr(!os. En ello se d(s!u"en en de"olle



el esfodo de esfuer%os en /" plono en

of espo!(o, los prop(edodes geom6fr(!os

de los se!!(ones olgunos opl(!o8

!(ones en me!dn(!o de suelos.

El ou"or ogrode!o /" (ngen(ero !(+(l Er(n)om, u(en d(gr"d !u(dodo•omen"/ el

monus!rr"o, of (ngen(ero )ono Com(lo

Torres, u(en re+(s$ !omplem!n"$ !on

+ol(osos sug!ron!(os es"o do!umen"o. 0n

ro!ono!(m(/n"o espe!(/l ol Depor"omen"o

do u;l(!o!(ones de "o 0n(8 +ers(dod

Son"o Tomds por su oudo (n+oluo;le.



O"fo )ohr prssonf$ "o !ons"ru!!(dngrdf(!o ue lle+o su nom;rs en J 55>.

Es"o pu;l(!o!($nes un

homsn

o He o

su /n



em

one.





ESFUERZOS EN

ELPLANO





B. DED0CCION DE LASEC0ACIONES

F0NDA)ENTALES

Se mos"rord o !on"(nuo!($n !$mo

med(onfo el !(r!ulo de )ohr es pos(;le



o;"ener los epro8 s(onss ue psrm("en

"o "ronsformo!($n de esfuer%os en el

plono en un pun"o !uolu(ero.

re+(omen"e es opor"uno re!ordor ue2

El es"odo d! osfu!r%os en un punfo

!s On(!o. Lo "ronsformo!($n d!

!sfuer%os perm("e o;"!n!r los

esfu!(os en do"erm(nodos

d(ro!!(onos, pero no ho ue

ol+(dor uo d(8 !hos esfu!r%os son

!omponen"esK de un esfuor%o

dn(!o. ($nsese en lo des!ompos(•

!(dn de fuer%os, por eH/mplo,

Cuondo uno fuer%o o!"$o so;re un



!uerpo, esfo fuer%o /s On(!o, p6ro

puede sor dos!ompues"o on +or(os

!ompon/n"os. Lo m(smo su!ede

!on los esfuer%os.

; Los relo!(ones empleodos en "o

"ronsformo!($n ds esfuer%os sond(feren"es de ou/•

IIos usodos en lo d6s!ompos(!($n

de fuer%os.

Los esfuer%os son "ensor!s "ofuer%os

En !uolu(er es"odo de osfuer%os

en un pun"o, es s(smpre pos(;le



or(en"or los plo(os de referen!(o d!

mor!ro "o" ue los esfuer%os

!or"onfes seon !ero.

d Los d(r/!!(on!s d! los !sfuer%os

normolss os( o;"!n(dos <!s deem,

ou!llos poro los !uoles el osfu!r%o

!or"on"e !s !/re se llomon

d(rs!!(on!s pr(n!(pol!s los

esfuer%os normoles!orrespond(en"es s/ llomon

esfuer%os pr(n!(poles.



Cons(d$rese ohoro un memen"o !omoel (ndM!odo en "o f(guro s(gu(on"o,

some"(do o un

es"odo de esf uer %o

s plo



no2

Con+en!($n de "o "/or(o ds "o

elos"(!(dod2 son pos("(+os los esfuer%os

r(ormoles de "ro!!(on <en Jos opl(!o!(ones

de "o m/!on(!o de su/los se empleoro

"o !on+/n!(dn !onfror(o. ssron pos("(+os

los esfuer%os normoles de !omp/ss(on,



D/" e

u(l(;r

(o. n



, r ,,

E

sf odo d

e Esf us

r %os





Seo

P de "o !oro AC,

Del e u(l(;r(o o lo forgo d! los •(•s ? ,

Q,

Iguolmen"e d• Z Fig -0



Iden"(dodos "r(gonom$"r(!os

cos'8

—.ieii'8 =



c

os28

Sus"("uendo



I, B. LI RC "J I.C( DF "•" CJ 0R

PIan

I <B.7 O(re!!($n d• los

esfuer%os pr(n!(polos

El su;(nd(!e se ref(!re o los esfu!r%ospr(n!(poles

D(r!!!($n d!l esfuer%o !or"on"e m$(mo

Del !dl!ulo d(feron!(ol

P o × ian >5,- - >M,

su;lnd(!e , 8 !or"on"!md(mo



<B.@

Esfu•r%ospr(n



!(pol!s

P

Esfuer%onormolmd(mo

o, P Esfuer%onormol m(n(mo

=(F <I.4 Esfu!r%o-or"on"• m6A(mo



2. REPRESENTACIQNGRAFICA DE

LEYES DE

TRANSFORACION DEESFUERZOS!CIRCULO DE O"R#

Los e!uo!(ones de O,, 9, , son los

e!uo!(ones porom$fr(!os d! un !(r!ulo.

Es"o lle+$ o O""o )ohr o presen"er el



m$fodo grdfl!o ue lle+o su nom;r!.

oro "o !orre!"o opl(!o!($n del !(r!ulo

de )ohr es (mpor"on"e es"o;le!er ur"o

!on+en!($n de s(gnos. Lo "eor(o de "o

elosf(!(dod empleo "o s(gu(en"o2

o Son pos("(+os los esfuer%osnormoles de "ro!!(dn son r(ego"(+os losesfu/r%os normo8

les de !ompres(dn. En los

opl(!o!(on/s del !lr!ulo de )ohr o

"o me!dn(!o de suelos se empleor$

en os"o pu;l(!o!($n "o !on+en!($n

!on"ror(o <son pos("(+os los esf+er%os

normoles de !ompres($r".

; El esfuer%o !or"onfe I,, <A8!oropos("(+e, 8d(re!!($n pos(f(+o espos("(+o s( "(ende o



produ!(r unoro"o!(dndelelsmsn"oonsonf(doon"(horor(

o.! De !on ;

el ee de los ordenodosserd Kpos("(+o ho!(o o;oUo.

:(pM4"es(s2 Todo ssfodo de esfuor%osdes!r("o en ss"s do!umsnfo ssen!usnfro sn ou(l(;r(o.



Esfuer%os normoles pos("(+os

Esfueuos normoleV neg/"(Wos



Esfu

er%o!or"onlepos("(+o

Esfuer%

o!or"onfenego"(+o

No"o!($n2 InP Esfuer%o !or"or"e ueo!"uondo en lo !oro ? "(ene "o d(re!!($ndel e e Q.



N$"ese ue poro def(n(r el s(gno del

esfuer%o !orfon"e ;os"o Ion s$lo f(Hor el

s(gno de Ip. Lo !on+sn!($n de

"o "eor(o do "o /los"(!(dod

supone ue 9 /s pos("(+o

s( o!"o en lo !oro os(f(+g

del eHe ? "(ene "o d(re!!(dn pos("(+o del

eHe Q. O "o !on"ror(o2 9 es pos("(+o s(

o!"L(o

on lo !oro negof(+o d/ ? en lo d(re!!(6nnego"(+o de Q.



#(ro on"(horor(o

Esfuer%o plono2 X P LJ

Re"ornondo o los e!uo!(ones poro D,, 9,



S( se sle+on of !uodrodo los epres(on!sdeM9,

I,,,, se sumon, s/ o;"(ene2



$ 2

En es"o o!uo!(dn CT , M9,, % son!ono!(dos o,, Y, ,,los (n!dgn("os. Es"o e!uo!($n

Es"o es "o e!uo!($n de un !(r!ulo derod(o R !on !en"ro en (C, 0).

D•f(n(•ndo2

1J.6 A;!(so

d!l!!n"roC d!lC(r!ulo



d!)ohr

>

C Y = <B.9

RP Rod(o d•lCfr!ulo d! )ohr

Q sus"("uendo en O,,



Represeo"o!(on grdf(!o

Coo%&&os &)

!*o%o+.e,cci%c-



No"o!($n

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oso!M

odos

o los

d(re!

!(ono

s

pr(n!(

poles

.

• Observoci4n



so;re "o

!on+en!(@n dos(gnos

Esfodo dessf+er%os ene" plono

A "o [orgo de es"o pu;l(!o!($n seemp"eon dos !Mn+en!(onss

de s(gnos ue, en "odo !oso,

conducen o los m(smos resulfodos.

J Lo !on+en!($n de s(gnos de "o "eorlo

de "o elos"(!(dod

S/ supone ue los esfuer%os

normoles d! "ro!!($n son

pos(J(+oS. fl[ s(slemo de

eHes !oordenodos O 9

es el s(guM/n"e2



Coordos



EI g(r

olume s" g

;le

!Mr!ulo

@ohr

el m

ser("(d

Esfu/r%os normo"es de "ro!!(on pos("(+os

7 Lo !on+en!(6n de s(gnos de "ome!dn(!o ds suelos



Con+er"!(on. Son pos("(+os "os esfuer%os

normoles ds !ompres(on.

ES"o !on+en!($n "(ene su or(ger" en elhe!ho de ue los suelos esJ"n some"(dosfund!(men8

"olmen"s o esfuer%os de !ompres(@r. Els(s"emo de eHes !oordenodos O

9es

s" s(gu(er""e.



l BJ[. NB< llf(



Esfu!(%os normol!s d!!ompr!s($n

pos("(+os



0no ro"o!($n

onf(horor(o en el

esfodo de esfuer%os

reol,

!orrespo

nds o

uno

ro"o!($n

on"(horor(oen !l

C(r!ulo

de )ohr



/.0CQOSE CONSTRUYEEL CIRCULODE O"R1

o# S,-o% e - s3s,e4o &e ees coo%&eo&os !o5sc3sos 6

es-e%os o%4o9es: o%&eo&os

=es-e%os co%,o,es# os*-,os co%%es*o&ie,eso os;oo%cs &o&os*o%o : ; (



5# U3% os *-,os ( ) Y co -

so<4c,o &+ %oc,o. E *-,o &e

co%,e &e ese se<4e,o &e

%eco co e oo &e os o5scisos

&o>s s, cc%%,%o C &e ci%c-o.

c# Co co,%o o C se ,%oo -

ci%c-o ?-e &e5e *oso% *o% os*-,os ( ) Y. Es,c es s, ci%c-o &e



@. EL SIGNODEL

ANGULOEN ELCIRCULO

DEO"R

R+<o <ee%+ C-o&o os &%<-,os se

4i&+ co ;&%,ice e s, ce%o &e

ci%c-o &e ;Bo% e se,i&o &e9 <i%o

&e e,e4e,o es i<;o o se>&o &c

<i%o e e ci%c-o &e Bo%: o ?-e o

s- ;e &-*ico e ;oo% &e &%i<-o

%o,o&o: Es &ee4





. CARACTERISTICAS

DEL CIRCULO

DE O"R

0no +gnfgUg £\el !(r!ulo de )ohr es ue

sum(n(s"ro (nformo!($n glo;ol !omple"o

del !s"o8 do de esfuer%os en un pun"o.

As(, por !Hemplo, poro !l !s"odo de

!sfu!r%os en el plono (nd(!odo en "o

£guro s(gu(en"e, of !fr!ulo de JGGohr

(nd(!o2



o ]CudnBo +olsn los esfusr%ospr(n!(poles !u/l e• •u o•(onfo!($n

<d(s"on!(• OA Y OB !! ; fCudn"o +ole el

esfuer%o !or"on"emd(mo !u$l essu or(en"o!($nf

! @Cudnfo +olen los esfuer%osnormol !orfon"e s( el s(s"emo deeHes de !oordenodos

?8Q se g(ro un dngulo OF

£s"odo dsssfuer%osen el

plono



Coordenodos

Su;lnd(!os

P r(n!(p/l

C(r!ulo de )ohr

Coron!($nde s(gnos

d! "o



feor(o de

loslosf(!(dod





I !os>o Yr sMn>o

Esfuer%onormol o "oforgo d•I •H•?



CI CI Y r Rod(od•I !lr!ule de )ohr

h(o"os2 J A los esfuer%os nes

pr(r!(poles.



O Of se les homo esfue(%ospr(n!(poles o sus d(r!!!(ones,

d(re!!(o8 El md(mo esfuer%o normol es Of. El

mln(mo esfuer%o normol es O . Elssfue(%o !or"on8

"e oso!(odo o es"os esfuer%os es

s(empre !ero.

7 El /sfuor%o !or"on(e m$(mo /s

(guol of rod(o del !(r&ulo d!

N"ohr, / (g0 ^ >^ 0n /sfuor%onormol (guol o CI

!or"on"e md(mo.



S( PC9 , s" !fr!ulo de )ohr se

!on+(/rfe en unpun"o no s/ generon

ssfuer%os !or"on"es.

S(

YOP

sl !en"ro del!(r!ulo de)ohh£r

!o(n!(de !on eloF(

3/

•n de

!oordenodosC9N

9 se "(!ne on"on!ss un es"odo deesfuer%os s(m(l/r ol es"odo deesfue(%os de cooo-

(e puro.

Lo sumo de los esfu/r%os normoles

so;re plonos mu"uomen"e

perpend(!uloros /s (guol o uno

!ons"on"e. o, Yo. P o,, Yo P of Yo



!or"s"on"e <(n+or(on"e d!

/sfuor%os.

9 Los esfuer%os pr(n!(poles o!urron enplonos mu"uomen"e

perpend(!ulores.

Los e!uo!(ones do "ronsformo!($n

de esfuer%os su represen"o!($n

grdf(!o, es"o es, el !(r!ulo de )ohr,

se opl(!on o !uolu(er mo"sr(ol,

puos hon s(do o;f/n(dos o por"(r de!ons(dero!(ones de eu(l(;r(o.

9) Los plonos de esfuer%o !or"on"e

md(mo o!urrsn o @4$

s plonos pr(n!(poles.

0} En es"o pu;l(!o!($n se "omo !omo

referen!(o "o d(r/!!(/n



de los esfuer%os normoles no los

plonos <o 3_ so;rs los us

$s"os o!"on.



.EHEPLOS

NURICOS.ESTADO DEESFUERZOS EN

EL PLANO

EHERCICIO H.I

Di5-o% e ci%c-o &e o% *o%o

co&o -o &o os cosos i&ico&os&e es-e%os e e *oo.



Co;eci& *osi,i; os o%4

Coso ,. *-%o

Coo%&eo&os

Coso 2.Co4*%esi*-%o



Coo%&eo&os

X 10. 0)

Y (-of, 0)

2

Gi%c-o &e

o%

C%c-o &eo%



Coso 7. Tro!!(6n en dos sen"(des<*(o(ol

Esf uer

%ospr(n!MpoIe



sen

(odoslosd(re!!(one

s.

El!(r!ulode `

•Gohrse!or(+sr "e

enur



pun"o.

Coso @. Compr/s(6n en dos sen"(dos

<*(o(ol



Coordsnodos

J^CEsfuer%os pr(n!(poles en"odos los direccones,

El!(r!

ulode)ohrse!on

+(er"eenunpun"o,



Coso 4. 9ro!!(6n • Compr!s($n

Coordenodos



Coso 6. Cor"on"• puro



Coso 9. Cor"on"! puro

C(r!ul

rn u%" "Ion MIJDM` purf`r Mfe`-`r a.



Cose 5. Esfuer%o !or(on"o reds •sfuer%osnormoles o lo forgo del eH! Q

Coordenodos

C(r!ulode )ohr



En los s(gu(en"es pro;lenFos s! "ro"o

de def(n(r el es"odo de esfuer%o plono

en ue se e(F!ue(Ffro u(n ol!me"F"o

("%f(n("es(mo" s( los esfuer%os o oue es"o

sorneJ(do se (nd(!es en e[ "Fr!ulo d!

l+Gohr !orr!spond(!n"e.



Coordenodos

EHer!(!(o J

.>.>

C(r!ulo do NGohr Es"odo ;(o(ol M"s es"uer%os



C"r!ulode`•Go""

floorderFodos

Cs"odo deesfuer%oV d!"ro!!(on

puro



C

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Clr!ulo de)ohr

Coordenodos

Esfodo deesfuer%os de

!or"orr"epuro



Es"odo ;(o(olde esfuer%os



C(r!ule de)ohr

EJERCICIO B.7



E

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s.

En los !osos (nd(!odos o !on"(nuo!($n,

o;"ener los s!uo!(onesde "ronsformo!(Mn de es8



fuer%os !orrespond(en"es o los

pr(n!(poles of !or"on"emd(mo.

I. Tro!r(6n puro

6 $ngulo or;r"ror(o



2







E

sfuemos

pr(n!(pol!s

!



Esfusr%o

s

!or"on"es

md(mos

Coso 7.4sfu•r%os

;(o(ol!s de(ro!-($n

Coordenodos



Esfuer%ospr(n!(pol!s

esfuer%o!or"on"e puro

Clr!ulo de)ohr









F2 B. f( I R f( L[ I.C( I" f. ) CIII b

>

=W.. P=M # oA # ov $ cc# o,,# -

e

> K>r,, Su;lnd(!e " --

esfuer%o

pnn!(pol

! Esfu•"os !or"on"•s md(mos



T , # C% # & Su;(nd(!e ! 8

esfuer%o !or"on"e

por !ons(gu(enfe6, Y 6

P @4^

Coso 42 Dodos los esfuer%ospr(n!(poles, e;"en•r o,. of. %



of, of P Esfuer%os pr(n!(poles



o: = J0. - ‹›r -c”F. EJ: :.:—J.. J

K

L

K .



.

.M

No,ese ?-e 32: o = 3 c% =cos,+,s !*%o*ie&o& &eio%ioo &e es-e%os#.

EHERCICIO H.@

U ee4s,o 3>i,esi4o es,&so4e,i&o o os es-s%os o . 3% :%i&ico&os e co&o -o &e



POS /FC3CIOS /U T, FICOS3IB&,O&OS O O,, F,UQ3C/,.

Eco,%o%A

o# Los es-e%os *%i%,ci*KK Y -

o%ie,oci&

5# LOS es-e%os co%,o%,S T,OViP Y U OF,

,,OC,O,

P-%o I so-cG &e os

eWe%cicios 4e% cos

*%ese&os o co,io-ocio- se

e4*eo%ci ,o co;eociXo &+

si<os &e o ,eo%io &e ,o

eosici&o&: es,o es. so

*osi,i;es os es-e%6 Vos



o%4oes &e ,%occi&%: A&e4&s

se ,o4o co4o %ee%eco *o%o

os c&c-os si<-ie6 ,es ,o

&i%ecci& &e os es-e%os

noma\as ) o e *oo so5%s

e ?-e Xsos oc,&o.



Ej•rcicio J .4.1

n,,,_ = q = :.oui «



Circulo de Ntohr

b) Esfusrzos cortontos mdximos





Esfuer%os

pr(n!(poles

EHer!(!(oI.@.>



Coordenodos

Esfuer%os

!or"on"es

m$(mos



C(r!ulo de )ohr

4

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F, I IIb f. II l,CJ fJ b. "" IT : R

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£sfuer%os pr(n!(poles









Esfodo de

csfucrzos

.Y67.IF.@IZ#

o)

Esfu

srzos

princ

ipole

s

sentz 410

637

2 !

10" #

40$!

140"

!%

&! 70"



Circulo dc 'ehr

(

410!

637

Circulo de *%+ohr ireccidn de los ei-s principols

/ontihororio o portir de )









C(rMulo de )o Esfu•r%os p%(n!(polos

c

QP

+ron

<.@66



; Esfuer%o !or"on"• md(mo

C(r!ulo de )ohr



C(rMulo de )o Esfu•r%os p%(n!(polos





EHer!(!(o J .4.7S( el elemen"o en esfuer%o plono es"$

some"(do o los ssfuer%os(nd(!odos en lo f(guro

s(gu(enfe, en!on"ror2

o Los esfuer%os o,, o,. %

; Los osfuer%os pr(n!(poles

! EI esfuer%o !or"on"e m$(mo

d $Cudl de;e ser "o or(en"o!(dn de

ur( !(er"o plono o 8 ; poro ueel elemen"o ssf$ some"(do o

un esfuer%o !or"on"e puro <es

deem, los !sfuer%os normoles

seon !eroZ



!oordenodos(: 6[/.. 6 ,2 Y !27/.. YZ2# C(r!ulode )ohr



EHer!(!(o J .4.7



! ! ! .6

o, = GF. = OC + CE



%:: = —YZ8 3P‹i

3: = 27 /P+

w, -- -9D MPa



En sentido hororio o por de ,

Cfrculo de Ntohr



! £sfuer%e !or"om/ md(mo

En sen"Fdo horor(o o por"(r de _.

Coordenodos

rop(/dod de (n+or(on%o

de los esfuer%os• rT , Y M9. P, • ,

C(r!ulo de NGohr

N$"ese M M. 8 M Y M,

d Esfuer%o !or"on"e puro

No e(s"e en /s"e !oso un es"odo de esfuer%o !or"onfe puro, pues del !(r!u(" de `•Gohr se

!on!lue ue poro "odos los or(/n"o!Mones pos(;les de los eHes, ho;ro s(empr! esfu!r%os









Es,o&o %es-,o,e

Coo%&eo&os

J::: = += P = ii%:

P-,os so5%e e ci%c-o &e o%

-,i s r,,.n! \!Di>%::Z#

Ci%c-o &c o%









F L C RCIHLO UE OII R

Ci%c-o

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2

Di4cci &e os es-e%os*%ici*oes

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a, (- -+,& MPa



o: o: = 6 2 6 6@!*%o*ie&o& &e

i;o%ioo &e os es-e%os#



5 ! nrrii J0.6J! 36.7"

28,= 180‘—368!‘= 1"3 13"

6, 7l.7 sentido ontihororio)

o, - OD= OC + CD !2 4 4 ! 6.0 3fo

o, = OE = -CD + CE = 2 ( 4 ! 2.0

3fo

Esfueizos principoles

Esfuerzos #rinci#o$%s



o. P 9. 4%o



Es de!(r, los dos solu!(ones produ!er(los m(smos esfu!r%os pr(n!(poles

pero en plonos

E •r!(!(o J.4.9

oro el !oso ds esfuer%os en el plono(nd(!odo, en!on"ror el +olor d! o, eldngulo ue



formo el esfuer%o pnn!(pol !on el eHe ? s(

es"e Ol"(mo es (guol o 8 4)F;.Coordenodos



@'2

2 2

22

E+c,-o&o o:6 7



/7'ose

>ee

Ci%c-o&s o%

2

2

: 6 : 7. 6

2 2

Co4*%o5ocio

Di%occiX &c os os-,os*%ici*oos



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5) = 2G.G] !e se,i&o o%o%io#



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o,io%o%io#

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Es-+%os*%ici*oes



Es-e%os4&Vi4os

3o%,o%i,+s









Po%o e os,o&o &e es-e%osi&ico&os e ,o ><-%o: &o,e%4io%e i,e%;oo &e ;oo%es &c G

*o%o e c-o e es-e%o o%4o es

4eo% o i<-o o 7 R

Coo%&eo&os

( _I: 6@_ Y(", @# 5.



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@.@—/

G.8G=Y7.28



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8=8.G

@^`ec%os

%E.

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P_ H8D

_=2&P

_

[_=H@._











B. INTROD0CClON

0n elemen"o de mofer(ol !omo el

(nd(!odo /n "o f(guro s(gu(srfe se

en!uenfro en un /s"odo de esfuer%o

"r(o(ol, pues od!mds de los osfuer%os

oso!(odos o los d(re!!(ones .r opore8



!en ohoro os er%os an "o d(r/!!(on

%

Es"od

o de esf uer %os en



el

espo!

(o

Solo smuesn losesfues so;los

!oros

pos(f(s del!u;o



el/meol.

O*SER'ATION

En es"s !op("ulo se deno"on

los eU/s do !oorderodS

!on los le"ros m(fTuSCulos r,

G. 8, poro d(f/ren!(orlos de los

!omponenfes de esfu/r%os

,Q. F, X



CON'£NC"ON DE SI#NOS OE LAT£ORfA DE

LA ELASTfCIDAD

o Ssfuer%os normoles pos("(+os2son posr"(+os los esfuer%osnormoles de "ro!!(on.

; Esfu/r%os !or"on"es pos("(+os2 son

pos("(+os los !sfuer%os !or"o n"es

ue o!"uondo so8 ;re un&F !oro

pos("F+o del elemen"o de referen!(o

<!u;o "(er(en "o d(r/!!(or" pos("(+e

del eHe !oordenodo. Son fom;($n

pos("(+os los esfuer%os !or"on"es

ue o!"uondo so;ro ur(o !oro

nego"(+o d/" !u;o, "(onen "o



d(re!"(on negof(+o del o ! de

!oordenodos.









.ECU

ACIO

NES

DE



T

RANS

FOR

ACIQN

DE



ESFU

ERZO

SS-*X<ose ?-e s+ ?-ie%+ coc-o%

os es-e%os ?-e se <ee%o e

- *oo o5ic-o c-)o &i%ecci&e e es*ocio ;iee &e,e%4io&o

*o% os cos4os &i%ec,o%es &e o



o%4o Ha o *oo: es &ee4 *o% ".

r7 3 .

Co4*oe,es

&o, es-e%oo%4o a8



A: A%e+

&c

,%iX

o

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= X%

&c

,%i3,

-oCO8

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Co4'c',&c o

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e%<o&e

V Ie

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+

+%<o



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)

o: Z

C4

e,

+

+%<-

&e

&e







Si eso s-ce&e se ,iee - *oo

e e c-o os es-e%os

co%,o,es !?-e so os coe>cie6

,es &e os oV*%csioes &e os

*%o&-c,os &e os ;o%io5es ..'.

# so ce%o. Es,e *oo &e>e ,o

o%ie,ocio &e os es-e%os

*%ici*oes ) os ees osocio&os o

es,e *oo so os ebes *%ici*oes



A&s4Xs: osco4*oe,ss&s oses-e%os

*%ici*oes so



7.

ESFUERZOS

PRINCIPALES

C-o&o ,o &i%+cciX &e os e+s&e coo%&so&os .%: .. coici&eco o &i%ecciX &e os

es-e%os

*%ici*oes !os

es-e%osco%,o,es % =%

es-e%os (. 7: Z

se co;ie%,e

e6



Re*%ese,oci3 )si<i>co&o &s ,oec-ociX

= %:. soce%o# os

co4*oe,es&e os



En geome"r(o onol("(!o s/ !ono!e unoe!uo!($n de es"/ "(po !omo uno e!uo!($n!uodr$"(!o

Lo o!uo!(dn puede "ener2

o

T

o

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os

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!

o

Todos los coa/icien/os son pos("(+os

Lo formo !ondn(!o de "o e!uo!(dn e•M

Los (n"ers/!!(ones de "o o!uo!($n de "oel(pse !on los eH!s JD. I^. X son2 Y o,2 o,,

W o,

AC rC %Co,. o,F Y o,•



e

8

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.

M

H



Lo el(pso(de de /sfuor%os es el lugor

goom$"r(!o de los e"remos del esfuer%oresu""onfe R <el pun"o `.

Nd"ese ue s( por e omplo of • •sn"on!es se f(ene un el(pso(de de

re+olu!($n.

! :(p!r;olo(d• d• uno hoHo•

Lo h(per;olo(de de uno ho o se o;"(/ne s(dos de los !oef(!(enls de "o o!uo!(dn

son pos("(8

+os uno n/go"(+o.



#r $f(!omen"

e2

,

N(p$r;ole d! uno hoHo

E!uo!($n2



E(s"s "om;($n el h(per;olo(de de doshoes !uendo en "o e!uo!($n se "(enen

dos !oef(!(en8

"os negof(+os uno pos("(+o2

Lo esf/ro de /sfusr%os s/ o;"(ene!uondo o, 8 ofP ofP a

Y



Esf erode

esf uer %os

/2.8 2) pot

consi&uionts ) + Y' + Z'=

9i:







<>."6

E!u

o!(dn!

;(!o!



u

o

solu!(

$n

sum(n

(slr o

el+olor

de los"resesfue%Ms



pr(r!(

oles

Los "res ro(!es de 4 los +olores delos esfuer%os pr(r!(poles.

Esfuer%o Cor"on"s )$(mo

Seon G , >, 7 los sHes pr(n!(poles de un

plono dodo, en odo "oi 3•• • . o , o

se !or+(er"er en esfuer%ospr(n!(poles.

En"on!es2

.S Esfuer%o pnn!(pol,

of P Esfuer%o normol of plono



Q ele+ondo of !uodrodo "o s!uo!(dn<>.42

El !uodrodo del esfuer%o !orfon"e ueo!"o so;re el p(ono pnn!(pol es2

Q sus"("uendo enIh2



Lod^(re!!M

d/ los

dV-ordens .M. . !om8

!(de !o"o

d(rs!!(;d! lososfu!r%prFn!(p





























Eco,%o% os 4XVi4os +s-s%osco%,o,es co%%es*o&ie,es oes,o&o ,%ioVio &e es-e%os

i&ico&o.

Co;eci& so

*osi,i;os os es-e%oso%4oes &e %occi&.



Ci%c-o &e o%

,, N I QiV — = Y 2



‹,,,,

((‹”,P,,—— 7Y 9:P;

‹,,,, ((;,

(-<=›"P;

o.# Es-e%os Co%,o,es4XVi4os

o. H # Po%oeos o ee ._



o./H Pe%ooos o eie c

Ci%c-oA



5. H # Poo *o%oeo o ee V !o =/#

Ci%c-o &e o%



—-Pcosa0’=

2



;.> Esfuer%os en un plono !uonormol formo un $ngulo de

6c horor(o !onel eHe ."

<o P 6



=0’!

2

;.7 Esfuer%o en un plono !uo normolformo un

dngulo de 7^ on"(horor(o !on eleHe .r

<o 8 7





















































0n elemen"o de mo"er(ol eud somsf(do odeformo!($n plono. )(d(endo losdeformo!(ones

en los senf(dos ? Q se hon o;fen(dolos s(gu(enfss deformo!(onesun(for(os2

Col!ulor2

o Los deformo!(ones poro un elemsn"o g(ro

;

!

Los deformo!(ones

Los deformo!(ones

pr(n!(poles

ongulores m$(mos



o Deformo!(ones o @cCoordenodos



[

! #iirin2

YG./7^















































































































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= I F7%,= Z

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Circulo de 'ohr

Ceordenodos

>olucicn ortolltico poro el eleento

inclinodo u9



.9 (9.. ? #?

)@ A

2

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2

2











































































Documents

98814179 El Circulo de Mohr Fundamento y Aplicaciones