342

98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����������� � ������ ��� �� �������� � ���� �!���"�

#!$&%('*)+)�'-, .0/1'-,324'*,356%

7 /98;:<5"=38156)�>?5�@BA*C&C&D

Page 2: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©
Page 3: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� �����������

� �� ������������������� � "!$# %'&�(*),+-&/.102+$3�4�(54�67),+8&�.�9;:=<>&/)?+8@A6CB !D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D! G

"!$#�!$# 02+H3I4J(?4�67)?+-&�.�@AK�4J(,&/)?@A(?BML>B5<CKN4�(?KN@AB5+$),+$@A6OKC(?+$6CP�+$KC.84Q!D!D!E!D!R#S "!$#�!UT VW@�XY4M4J:Z<C&/),+$@A6CB[@�\�X]&/)?^C4�XY&/)?+8P�&/.�KC^7_ZB?+$P�B`!E!D!E!D!D!E!D!R#Sa

"!UT bF4J6C4�(?&�.8+$c�4�de\�<C6"PJ),+$@A6CBe!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fT�a "!UTZ!$# gh^C4Eij4�&�kW+$B?+$dC4MB5)?4�Kl\�<"6CPJ)?+8@A6 !D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fT/m "!UTZ!UT gh^C4DnoXpKC<C.8B542\�<C6CPq),+8@�6CB`!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fT�r "!UTZ!sa tu<C.$42@�\'+867),4JvA(,&/)?+8@A6Y\�@A([ij4�&SkZ+$B?+8d"4Ewx\�<C6"PJ),+$@A6CBD!E!D!D!E!D!ya7z "!UTZ!{m t[<C.84JBh@�\|+$67),4�v�(,&/)?+8@A6]\�@�(}),^C4D02+8(?&�PF~E\�<C6"PJ),+$@A6CBJ!f!D!D!E!D!ya7G

� ���C�����>�A�������> ������������"�����N �I�#A!$# gh^C4D��&/KC.-&�PJ4Mg�(?&�6CB*\�@A(?X !D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!Qm7a

#A!$#�!$# 024q�>6C+$)?+8@A6 !D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!Qm7a#A!$#�!UT 9'�W+8B*),4�6"P�4 !D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!Qm=z#A!$#�!sa bM4�6C4J(,&�.�%;(5@AK�4J(5)?+84�Bh@/\'),^"4E��&�K".-&�PJ4Mg�(?&�6CB5\�@�(?X !E!D!D!E!D!Qm7�#A!$#�!{m g�&��C.$4M@�\|��&�K".-&�PJ4Mg�(?&�6CB5\�@�(?XpB�!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fzW#

#A!UT gh^C4Fno6=k�4�(5B?4x��&�K".-&�PJ4Mg�(?&�6CB5\�@�(?X !D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fz�a#A!UTZ!$# �l4q),^C@Zd�@�\|%�&�(5)?+-&�.���(?&�PJ)?+8@A6"B�!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fzAz

#A!sa ��KCKC.$+8P�&/),+$@A6CB}@�\'��&�KC.8&�P�4Mg�(,&�6"B5\�@A(5XYB�!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fz�r#A!saW!$# no6C+H),+8&�.���&�.$<C4F%;(?@A�".84�XpB�!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fz�r#A!saW!UT no67),4JvA(,&/.�9�:=<>&�),+8@�6CB !D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!y�"#

�  ��=���C���"������ ¡���[¢C�C�����C£��¤�Z� ¥N¦TW!$# gh^C4F^C4�&/)u4J:Z<C&/),+$@A6�§�02+8(5+8P¨^C.$4J)hK"(?@A�C.$4�X !E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!y�7zTW!UT gh^C4F^C4�&/)u4J:Z<C&/),+$@A6�§�©j4J<CXY&�6C6�KC(?@A�".84�X !D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fGW#TW!sa gh^C4F^C4�&/)uPJ@A6CdC<CPq),+$6CvYK"(?@A�C.$4�X !D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fG�aTW!{m gh^C4Mª}&�kA4E4�:=<>&/)?+8@A6 !E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!fGAz

a

Page 4: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

m �������������

� �1�������¤�=�]���=�/���Z� ����� T� �� �;�=���¤�1���¤�O���� ��������� �� ���a"!H# %�4J(?+$@WdC+$PF�><C6CPJ)?+8@A6"B !D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!frA a"!sT �>@A<C(5+84�(hB54�(5+84�B !D!E!D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!frA a"!{a 9|kA4J6�&�6CdO@ZdCd�\�<"6CPJ)?+8@A6CB !E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!fr7za"! m ��4JB?B?4J.�� Bjno6"4�:=<>&�.$+$),+$4�B !D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!frAra"!sz %;(?@Z@�\�@�\�)?^C4FP�@A67k�4�(?v�4�6CPJ4 ),^C4J@A(?4JX !D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!��"#a"!{� 024�(5+$k/&/)?+$kA4JB�LCK"(?+8Xp+$)?+$k�4�\�<C6CPq),+8@�6CB !F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!��Ara"!sG �>@A<C(5+84�(hB54�(5+84�B[@A6e)?^C4F+867),4J(5k/&�.����� ��� ! �!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#S Aaa"!{r �>@A<C(5+84�(hB54�(5+84�B[@A6lT#"�$�+867),4J(5k/&�.8Bu!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#S 7z

� �&%��'�1�N�������Z�Y�����> ���������� �����mC!H# no67),(5@WdC<"PJ),+$@A6 !F!D!E!D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#A#A#mC!sT �}&�B5+8PFKC(5@AK�4J(5)?+84�Bh@/\�)?^C4D��@�<C(?+$4�(}),(?&�6CB*\�@A(?X !D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#A#SamC!{a (�@A67kA@�.8<")?+8@A6CB !D!E!D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#A#�zmC! m VW@AXp4*)�4q_O4q�"&�XpKC.84JB !D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#A#S�mC!sz gh^C4E�>@A<C(?+$4�(}no67k�4�(?B5+8@A6lgh^C4�@�(?4�X !F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�T� mC!{� %;.-&�6"P¨^C4�(54�.�gh^C4�@�(?4�X !D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�TATmC!sG gh^C4DB5_ZXpXY4q),(5_ (?<C.$4 !D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�T�amC!{r ��K"KC.8+$P�&/)?+8@A6CB�@�\|�>@A<"(?+84J(}),(?&�6CB5\�@�(?X !D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�TAGmC!+� VZ)?<C(?X$ �1+8@�<"kZ+8.8.$4jK"(?@A�C.$4�XpBh@A6,� -�/.10q! !E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#SaA mC!H#S bM4�6C4J(,&�.$+8c�4Jde\�<C6CPJ)?+8@A6"Be!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#Sa�mmC!H#A# 0�_Z6>&�Xp+8PMB*_WB*),4JXYB !D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#Sa2�mC!H#�T gh^C4DdC+8B5P�(54J),4D�>@A<C(5+84J(}),(,&/6CB5\�@A(5X !E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�m7r

¦ 3 �S�4%��65��N ��>�}���7��� ���u���� ��������� �� �Z¦��zW!H# �><C6CPq),+8@�6�B5K>&�PJ4�B !E!D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�z�azW!sT (�@A67kA4J(?vA4J6CP�4x&�6Cd7(�@AXpKC.84q),4�6"4�B?B !F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�zAzzW!{a t[4�vA<C.8&�(uVZ)?<C(?X$ �1+8@�<"kZ+8.8.$4jK"(?@A�C.$4�XpB!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#S�7T

¥ 8x�N�� ����"�49 ¢C�C� ��� ������£��¤�Z�� �Z¥:��"!H# �>@A<C(5+84�(})?4�P¨^C6"+8:=<C4�B[\�@A(h+$6C^C@AXp@AvA4J6C4�@A<"B[%�0M9 !D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#S�2��"!sT no6C^C@�XY@Av�4�6C4J@A<CBjVZ),<"(?X$ �1+8@A<WkW+$.8.$4jKC(5@A�C.$4�XpBp!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�GAT�"!{a gh^C4E02+8(5+8P¨^C.$4J)}K"(?@A�C.$4�X !D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�GAz�"! m iu4�&/)<;>@Sª !E!F!D!E!D!D!E!D!E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#�G�r

� 8x�Z�����Z���o�� ����S�¤�N �� �>=��GW!H# VW@A.$<"),+$@A6CBh@�\���4JB?B?4J.�� Bjd"+$3�4�(?4J67),+-&/.I4�:=<>&�),+8@�6 !D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#SrArGW!sT gh^C4Etu4JP�<C(5(?4J6CP�4E�>@A(?Xx<".-&�B !D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!�#?�7T

Page 5: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�������������� z

GW!sa �M(*),^C@�vA@A6>&�.IB?4J)?B[@�\���4JB?B54�.1\�<C6CPq),+8@�6CB !D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D! # �7G= 3 �S�4%��:5��N ��C�}�;��� 9� ��N��¤�C� � �>��¦

r"!$# ��4JvA4�6"dC(?4FKN@A.$_Z6C@AXp+-&/.8B2!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T/ 7zr"!UT ij4�(5XY+H),[email protected]_W6"@AXY+8&�.8B !F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|TZ#S�r"!sa ��&/vA<C4�(5(?4FKN@A.$_Z6C@AXp+-&/.8B !F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|TZ#�G

� ���¤�J�S����£'�1�����N �4%��=���49 �1�-��"!$# g�4JB5)[\�<C6CPq),+8@�6CB !E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|TZ#?��"!UT 024�.$),& \�<C6CPq),+8@�6CB`!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T�T/m�"!sa 02+8B5)?(?+$�C<"),+$@A6CB !E!D!D!E!F!D!E!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T�T#�

�=���O�=��� ¢C�"�����N ��x���M ��N���������M� ���6�#S "!H# VW@AXp4M+8XpK�@A(*)¨&�67)h4J:=<>&/),+$@A6CBQ!D!E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T/a2�#S "!sT gh^C4Fno6CP�@AXpKC(54�B?B5+8�C.$4D©�&�kZ+84�( $*VZ)?@2)�4JB !E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T�m7

#S "!sTW!$# gh^C4Fª 4�&#)]\�@�(?Xx<C.8&/),+$@A6 @�\�),^"4E©j&�kW+$4�( $*VZ)?@2)�4JB�!D!E!D!D!E!D!|T�m=G#S "!{a ��<"(5),^"4�(h(?4�&�.�ª @A(?.$d�4J:=<>&/),+$@A6CB !E!D!D!E!D!E!D!F!E!D!D!E!D!E!D!D!E!D!|T�m �

Page 6: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� �������������

Page 7: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ����� �

� ������ � �¡�� ����

����� ��������������� �!�"�$#&%'�)(+*-,.#/������#0�213�4*5%6� 78%9�5�3� : ;-�<� �=� �-(�%>78: �-#07.(!#0�4?���,.�=@9� #&�A�5?5?5:B� C,D�$#/���4�-�E�"�F�G��: H��I�-JK:B�"�-7D�8%L?3�8%M#/�N�5:4(4� OP73%'78�$#/��� :�7RQ+*3�$#/�����-�=SGTVUXW��/Y<Z[�"�$#07RJ4%'� :)7.Q+*3�-#/� �4�-��3�=@\78:B:V�3�]�&��J��3� :\?3%'�4�5: 78^_�R`bac�A#&�����F,8�3�5?$#078%X@d7e�"�$#&%'�)(+*-,R7f�g�4^_7h�3�-�&��,hTVUXW��]��i^E�$#&�-78^j�$#/��,D�5:P?5�$;-�&��,.�R`9kh7]�5: �g�l�I�$#&%>��(+*-,.7�#&�-7]�0#078?��5�-(m�I^=?5*5: �g7nio*5�-,p#/���4�-�X@�����,8��8%'7q,3%r*-,3��� :s�"�](57R�g,8%t�I���"�-J�#&�-7q,R���$#/�I�5*-�4*-�X#/�I^_7q�<� J4�3�5: �.`

uAv$w xzy]{d|d}Ry]~���}p����{\����|\}Ryn~b���f�!y�|d}R���e�� 4�B?^>&�.$."<CB54}),^C4�P�@AXpXY@�6 6C@�),&/),+$@A6n���x\�@A(�),^C4�(?4�&/.C9;<CP�.$+8dC4�&�6 B?KC&�P�4JB;@�\�dC+8Xp4�6>$B?+$@A6f� ª[+$)?^ ),^C424J.84JXY4J6=)?B��K������� ����� �D�R�D� ��� � 0��m����!;no6 )?^C4MXY@�B5)[&�K"KC.8+$P�&/)?+8@A6CB� ª[+8.$.��N4 #2� T-�¨a�@A( m &�6Cd ),^"4 k�&/(?+-&/�C.84JB���� L_����&�6"d��� �dC4J6C@�),4�PJ@W@�(?dC+$6>&/),4JB+86 @A6"4�L;)oª�@"L @A(E),^C(54�4edC+$XY4J6CB?+$@A6CB�L|ª[^"4�(?4�&�BF�s¡p(?4�K"(?4�B54�67),B ),^"4 ),+8Xp4]k/&�(5+-&��C.$4�!no6�)?^C+8BMP�&�B?4pª�4p<CB?<C&�.8.H_ (?4JKC.-&/P�4l�¢��� �����?�G��  ���s¡ 02�7_ &�Xp@AB5)FPJ@AXpXY@A6 6C@/)¨&/)?+8@A6�§�¢� �/£6�&¤ �G¥�0q!���<"(5),^"4�(�ª�4 B?^>&�.$.7<CB?4�),^C4�P�@�XYXp@A6DB?<C�CB5P�(5+8K")�6C@�),&/),+$@A6D\�@�(�)?^C4�K>&�(5)?+-&�.dC4�(5+$k/&/)?+$kA4JB�LCkZ+8c/§

¦s§<¨ � © ¦© �sª

� «¦ � ¦s¬ ��© ¦© ¥� ¦s§&­ � ©

� ¦© � © £

� ¦s§&§ ��©� ¦

© � �� 4q),P/!

��Xp@A(?4lvA4�6"4�(,&/.�6C@�),&/),+$@A6 \�@�(]&�KC&�(5)?+-&�.[dC4J(?+$k/&/)?+$k�4l\�@A(]&�B?<4®pPJ+84�67)?.$_ B?Xp@W@�)?^\�<C6CPq),+8@�6 ¦ �¤B54�4DdC4J�>6"+$),+$@A6e�N4�.8@Sª 0}+8Bhv�+$kA4J6l�7_

©°¯ ±5¯ ¦© � ±�²� �D�D� © � ±$³�

§"� ©s± ²© � ±�²�µ´ ©�±-¶

© � ± ¶��D�D� ´ ©�± ³

© � ±$³�¦ �

G

Page 8: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

r ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

ª[^C4J(?4���� ¨� § � ¨¨ �1#������ �'L�dC4J6C@�),4JBj)?^C4EKC&�(5)?+-&�.1dC4J(?+Hk�&�),+$k�4F@�\;@A(5dC4�(���ª[+H),^�(?4JB?KN4�PJ)),@�),^C4pk/&�(?+8&��C.84F�sªoL����µ� �\� ���[� �D�R�D� ��� � 0F+$B & X <C.$)?+ $o+$6CdC4 ��@�\h+$67),4�v�4�(?B!�[ª#" &�6Cd%$ ��$8�&�d�('��D�D�)'*� � !�e��+| ����S�¤�N �-,/.*021436587 9;:<3>=*:?0@:<36A#BCAEDGFIH<DGB89 D�JKFLA�9LM�MKDG9 NO7P:OJ8AQ:?0R58FSD<M�M�T�UWV�X�:<3DG3Y9Z3-7?A8B2H<DGF\[]9 0Q9Z7^MON_A8B29ZH<DG7`9ZHGA�M#=ba �D�D�D� � =cUWV�X@Aedf9LM87gDG3bNhDGBCAi5�:<3-7 9Z3-1-:<1jMk:<3l[[email protected]_36587`9;:<3n=o:?0 � BCAEDGF�H<DGB29 D�JKFLA�MO9LMpMKDG9 Nl7P:qJ8A>:?0r58FSD<M�M�T UWV�X :<3%DhM)A87ts � ��� 9 0DGFZFu:?0!9Z7ZM�vwDGB27 9 DGF�N_A8B29ZH<DG7 9ZHGA�Mi:?0O:<BeN_A8B �yx 9 m AKm ©°¯ ±5¯ =(z � © � ±�²� �D�D� © � ± ³� 0!{ 9Z7^|}7^|-A~ 1_F�7`9Z�P9Z3bN_Aed $ ��$8���\��'��D�R�)'*� � ��x\� Aedf9LM87�DG3bN>DGBCAp5�:<3-7`9Z3-1-:<1�M�:<3hsgm

� )�4J_ d"4J�>6C+$6Cv�KC(?@AKN4�(*)o_ @�\�&OKC&�(5)?+-&�.|d"+$3�4�(?4J67),+-&/.|4�:=<>&/)?+8@A6 � %�0M9�0�+8BM)?^>&/)),^"4�(?4[+$B|XY@�(?4}),^C&�6 @A6C4h+86"dC4�KN4�6Cd"4�67) k/&�(5+-&��".84}&/6Cdp&D%�0M9�+$B;&M(?4J.-&/)?+8@A6x�N4J)oª 4�4J6&�6O<C6�)=6C@Sª[6 \�<"6CPJ)?+8@A6�&�6CdO+H),BhK>&�(*),+8&�.�dC4J(?+$k/&/)?+$k�4�B�§

� �¢���/�R�D�D� �G� � � ¦ � ¦s§ ²� ¦s§ ¶

�D�R�D� � ¦s§ ² § ²�D�D�D� � © ¯ ±5¯ ¦ z © � ±�²� �D�D� © � ±)�� �D�R�D�+0L� 4� � "!H#A!H#40

�&%��e�������=� �����> �4�I���"�S�¤�N +8B�dC4J�>6"4�d ),@ ��4u),^C42@�(?dC4J(�@�\�)?^C42^C+$vA^C4JB5)}d"4�(?+Hk/&�$),+HkA4 +$6 ),^C4 4J:Z<C&/),+$@A6�!xgh^C4 Xp@AB5)2vA4�6C4J(,&�.�%�0M9 @�\�),^C4 �>(5B5)F@A(5dC4�(M+$6 )oª @O+86Cd"4 $KN4�6CdC4J67)jk/&�(5+-&��C.$4�B}P�&�6���4Mª[(?+H)?)?4�6�&�B

� ��� �/£6� ¦ �¢� �/£ 0 � ¦s§ �¢� ��£�0/� ¦s­ �¢� �/£ 0 0\� � ��� �/£ � ¦ � ¦�§ � ¦s­ 0\� 4� � "!H#A!sT20�1+ )/4Jª[+8B54j)?^C42Xp@AB5)�vA4�6C4J(,&�.�%�0M9 @/\�),^C4�B?4�PJ@A6Cde@A(5dC4�(�+86Y)oª @ +86"dC4�KN4�6Cd"4�67)}k/&�(?+ $&��C.$4�Bh+$Bh@�\�)?^C4M\�@A(?X

� ��� �/£ � ¦ � ¦�§ � ¦s­ � ¦s§&§ � ¦s§&­ � ¦�­g­ 0\� 4� � "!H#A!{a 0n�)1),<"(?6CB1@A<W)1),^>&/)�L�ª[^C4�6F),^"4;4�:=<>&/)?+8@A6CBL�¤ "!H#A!$#?0 $p�¤ "!H#A!sa20�&�(54;P�@A6CB5+8dC4J(?4JdE+$6M��@A<"6CdC4�ddC@AXY&�+$6CB���� ����L=+$6p@�(?dC4J(�)?@E@��")¨&�+$6p&k����� �w�_���8���;���`�^���A�¤B54�4j��4J.8@Sª 0'@A6C4uB?^C@�<C.8dKC(5@�kZ+$dC4MP�@A6"dC+$)?+8@A6CB}&/)h),^C4M�N@A<C6"d>&�(5_ @�\�),^C4FdC@AXY&�+$6�� P�&�.8.$4�dY�w�_�G�I�_���?�q�K���I������`�^�����JL7dC4�6C@/),4�dILZ4/!{v"!|�7_O f� ¦ 0\� = @A(� �� ¦ 0\� �� &�B|ª 4�.$.�&�B;P�@�6CdC+$)?+8@A6"B|\�@A( ¥�� "L�L�w�¡�`�������¢���I�j�;�`�^�����K£�dC4�6"@�),4Jd�L|4�! vC! �7_ [ � ¦ 0q�¥¤�@A( [ � ¦ 0q� 0 L|&�BFª 4]@�\ )?4�6 B?4�4+86O),^"4E),^"4�@A(*_l@/\;@A(?d"+86>&�(*_OdC+$3�4�(54�67),+8&�.14�:=<>&�),+8@�6CB�!�  &�6"d [ &�(54 4q�WKC(54�B5B?+8@�6CB2@A6¦ &�6Cdl+$)?BjK>&/(5),+8&�.1dC4J(?+$k/&/)?+$k�4�B�LNB5),&/),4Jd @A6 )?^C4Eª[^"@A.84D@A(j&YK>&�(*)�@/\|),^C4E��@�<C6Cd>&�(*_@�\�� �¤@�(�L>+86�P�&/B?4D@�\ [ LC\�@A(X¥L� 20qL�&�6Cd &�(?4D&�B5B?@ZP�+8&/),4Jd�)?@p)?^C4E<"6CdC4�(5.$_Z+86"vY%�0M9h!��4J.8@Sª¡ª 42B?^>&/.8.NdC+8B5P�<CB5B ),^"42P¨^C@A+$P�4�@/\1(?4J.84Jk/&�67)�+86C+H),+-&/.>&�6CdY��@A<"6Cd>&�(*_YPJ@A6CdC+H),+$@A6CB\�@A([& %�0M9h!

�¦�2���¡��� � ���F\�@A(�&2%�0M9�@�\C)o_ZK�4�� "!H#A!H#40 $<� "!H#A!{a 01+8B�&j\�<C6CPq),+8@�6 ¦ ),^C&/)|+$dC4�67),+$P�&�.$.$_B,&�),+8B*�>4�BY),^C4 PJ@A(?(54�B5K�@A6"dC+86Cv %�0M9hL &�6Cd¡),^"4�&�B?B5@WPJ+-&/)?4�d +$6C+$)?+-&�.h&/6Cd ��@�<C6Cd>&�(*_P�@�6CdC+$)?+8@A6"B�L�+$6 B?@AXp4�(?4JvA+8@A6 @�\E),^C4�k/&�(5+-&��C.$4�B����/�s���?�D�R�D� �G� � �¤@A(f� �/£ 0q!y©u@�),4

Page 9: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� �

),^>&�)�& B?@�.8<")?+8@A6e@�\|&�6�4�:=<>&/)?+8@A6�@�\|@�(?dC4J(�xe^>&�B[),@ �N4�x ),+$XY4JBhdC+$3�4�(54�67),+8&��C.$4�!��\�<C6CPq),+8@�6p+$6 T UWV�X )?^>&/)�B,&�),+8B*�>4�B�&M%�0M9�@�\N@A(5dC4�(�xx+$B;P�&�.$.84�d &MPJ.-&�B5B?+8P�&�.°��@A(;B5)?(?@A6"v 0B?@A.$<"),+$@A6]@/\�),^C4�%�0M9[! � 4jB?@AXp4J)?+8Xp4�B &�.8B5@ ^>&�k�4�),@xd"4�&�.�ª[+$)?^]B?@�.8<")?+8@A6CB�),^C&/)h&�(546C@�)jP�.8&�B?B5+8P�&/. !hVZ<CP¨^ B?@�.8<")?+8@A6CBu&�(54EP�&�.8.$4�dOª�4�&#)�B?@A.$<"),+$@A6CB�! � 4EB?^>&/.8.1dC+$B?P�<"B?B�)?^C4ª�4�&#)eB?@�.8<")?+8@A6CBh+$6 ),^C4FdC+$B5)?(?+8�"<"),+$@A6eP¨^>&�K")?4�(J!�e�j+' ��������N �(,�. vbBC:GJKFLA ~ 5�:<3wM89LM87`9Z3�&:?0 D ����� D<M�M):)589 DG7?AEN { 9Z7Z| J8:<1_3bN�DGB��DG3bN���:<BO9Z3-9Z7`9 DGF�5�:<3bNG9Z7 9;:<3wMO9LM�5EDGFZFLAEN { A8FZF��Lv-:)M)AENl9 0O9Z7�0214F ��FZFWMk7Z|-A�0 :<FZFL: { 9Z3�l7^|_BCA�A58B29Z7?A8B29 D��� m �����¤�J�S�Z ��A� �(|-AtvbBC:GJKFLA ~ |wD<MQDkM):<F�1_7`9;:<3bm� m��O �� �����W ��Z�����(|-A8BCAR9LM@36: ~ :<BCA@7Z|wDG3]:<36A#M):<F�1_7`9;:<3bm� mD I���C£'�¤�¤���/9 .M ~ DGFZFu5�|wDG3�_AQ9Z3n7Z|-AkA! K1wDG7 9;:<3 :<BR9Z3 7Z|-A@M89 N_AO5�:<3bNG9Z7`9;:<3wM�G9ZHGA�MB29LM)AR7?:rDOM ~ DGFZF�5�|wDG3�_A@9Z3 7^|-A M):<F�1_7 9;:<3bm

n�\I@A6"4h@A(|Xp@A(?4}@/\N)?^C4hP�@�6CdC+$)?+8@A6"B;&��N@�k�4hdC@Z4�B;6C@�)�^"@A.8d�L/),^C4J6 ª 4[B,&�_ )?^>&/);)?^C4KC(?@��C.84JX +8B�� �L���#"u�)�8�K�>!1gh^C4�\�<"6Cd>&�Xp4�67)¨&/.A),^C4J@A(?4q),+8P�&�.A:=<C4JB5),+$@A6 @/\C%�0M9 +$B�ª[^"4J),^"4�(),^C4 K"(?@A�C.$4�X�P�@A6CB5+8B*),+86"v @�\�),^C4 4J:Z<C&/),+$@A6 &�6Cd +$)?BM&�B5B?@ZP�+-&�),4�d�B5+8dC4 PJ@A6CdC+H),+$@A6CB�+$Bª�4J.8. $oKN@AB?4Jd�!|no6 ),^"+8B�(54�v7&/(?d�LZ@A6C42P�&�6]\¤&�+$(?.H_ B,&�_Y)?^>&/) ),^C4u\�<C6Cd>&�Xp4�67),&�.IKC(5@A�C.$4�XpB@�\�XY&/),^C4JX]&�),+8P�&�.1KC^7_ZB?+$P�BM&�(54x&�.$.1ª�4J.8. $�K�@�B?4�dI!2ij@Sª 4Jk�4�(�L1+$6 PJ4�(5),&�+86 4�6CvA+$6C4�4J(?+$6Cv&�KCKC.$+8P�&/),+$@A6CBxª 4 Xp+8vA^7) 4�6"P�@A<C67)?4�(]K"(?@A�C.$4�XpB ),^>&/)]&�(54�+$.8. $oKN@AB?4Jd�! no6 KC(,&/PJ),+$P�4/LB?<CP¨^]KC(?@A�".84�XpB�&�(?4[<C6"[email protected]�&/�C.84/!|gh^C4�(54J\�@A(54�L=ª[^C4�6Yª�4[\¤&�P�4j&�6p+8.$. $oKN@AB54�d KC(5@A�C.84JXlL),^C42�C(?B5)[B*),4JK�B5^C@A<C.$dO��4�)?@ XY@ZdC+$\ _ +H)[&�KCK"(?@AKC(5+-&/)?4�.H_Y+$6e@A(?d"4�(�)?@ (?4�6"dC4�([+$) ª�4J.8. $K�@�B?4�dI!�e�j+' ��������N ��(,�.�3�A! K1�DG7 9;:<3k9LM�5EDGFZFLAEN F�9Z36AEDGB�9 0/9Z3 � "!H#A!H#40�� � 9LM�D F�9Z36AEDGBI021_36587`9;:<3:?0@7^|-AR1_3%$<36: { 3!021_36587`9;:<3 ¦ DG3bNk9Z7^M!N_A8B29ZH<DG7 9ZHGA�MKm

gh^Z<"B�L�\�@A( 4 �C&/XYKC.$4�L')?^C4 4J:Z<C&/),+$@A6'& § ¶ ­ ¦�§ 'b�)( ¦�­ ' P�@�B-�¢� � ' £ � 0 ¦ � £   +$B& .8+$6C4�&/(D4J:=<>&/),+$@A6�L'ª[^"+8.84 ¦ �§ ' ¦ �­ � #Y+8BE6C@A6C.$+86C4�&�(F4�:=<>&/)?+8@A6�!lgh^C4]6"@A6C.8+$6C4�&/(4�:=<>&/)?+8@A6"Bh&�(?4j@�\ ),4J6]\�<C(*),^C4J(}P�.8&�B?B5+$�>4Jd +867),@EB?<C�NP�.8&�B?B54�B[&�PJP�@A(5dC+86"v ),@ )?^C4j)o_ZKN42@�\),^C4J+8(D6C@A6C.$+86C4�&�(?+H)o_A! bF4J6C4�(?&�.8.H_AL�),^C4Y6C@A6C.$+86C4�&�(?+H)o_ +8BDXp@A(?4 KC(5@A6C@A<C6"P�4�dª[^"4�6+H)&�KCKN4�&�(5B�+86 ^C+8v�^C4�(�@A(5dC4�(;dC4J(?+Hk�&�),+$k�4�BJ!;�>@A(;4q�"&�XpKC.84/L7),^C4h\�@A.$.8@Sª[+86Cv�4�:=<>&/)?+8@A6CB�&�(54��@/),^O6C@A6C.$+86C4�&�(

¦s§&§ ' ¦s­g­ � ¦   ' ¦ � �¤ "!H#A!{m 0¦s§&§ ' ¦s­g­ � $+* ¦ $ � ¦ � �¤ "!H#A!Uz#0

ij4J(?4�$,* ¦ $AdC4�6C@/),4�Bh)?^C4M6C@A(5X @�\�),^C4FvA(?&�dC+$4�67)h@�\ ¦ ! � ^C+8.$4 � W!$#A!sz20�+$B}6C@A6C.$+86C4�&�(�L+$)�+8B}B*),+8.$.�.$+86C4�&�( &�B[& \�<C6CPq),+8@�6 @�\�^C+8v�^C4�B*)�$o@�(?dC4J(}dC4�(5+$k/&/)?+$kA4/!�VW<CP¨^l&x6C@A6".8+86"4�&�(5+$)o_+8B}P�&�.8.$4�d����f���E� �L�L�b�8���J! �26 ),^C42@/),^C4J(}^>&�6Cde+$6h� W!$#A! m 0;),^C4M6C@�6C.8+$6C4�&�(5+$)o_ +$B�@A6C.H_]+$6),^C4F<C6 )Z6"@�ª[6lB?@A.$<"),+$@A6 ¦ !�VW<CP¨^l4�:=<>&/)?+8@A6CBu&�(54FP�&�.$.84�d��2�.-k�L� �L�I�2����!

Page 10: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#S ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

��������� ������ ������������������� ������� ��! "��#$���� %�������&�������'�( %�)�(*��)�$�)�� 4 (?4�P�&�.8.�),^>&�)2ª�4 dC4J6C@�)?4x),^C4 B54J)F@�\�P�@�6=)?+86=<C@A<"B2\�<C6CPJ)?+8@A6"BM+86 & dC@AXY&�+$6,+ � &B?<"�CB?4q) @�\9�L� 0E�7_ T.- �/+ 0F@A( T �0+ 0q! �><C(*),^C4J(�L;�7_ T U V�X �/+ 0Dª�4eXp4�&/6),^C4 B54J) @�\&�.$.�\�<C6CPq),+8@�6CB ),^>&/)p&/(?4qx )?+8Xp4�B P�@�6=)?+86=<C@A<"B?.$_dC+$3�4�(54�67),+8&��C.84e+$61+ !¡�l&�KCKC+$6CvAB�N4J)oª 4�4�6 \�<"6CPJ)?+8@A6�P�.8&�B?B54�B2&/B T U V�X &/(?4DP�&�.$.84�d �j�32c�C�8���b� �Z������"����C�w�?�)�E��! � 4DdC4�6"@�),4�7_54*� ¦ �),^C4F@AKN4�(?&/),+$@A6e@�\|& XY&�KCK"+86CvA��@AK�4J(,&/)?@A( 0�4 @A6�& \�<C6CPq),+8@�6 ¦ !�e��+| ����S�¤�N �c,t.�3 :�v-A8BeDG7?:<B 4 7Z|wDG7�MKDG7 9LM �tA�M

4*�76P� ¦ ��'86s� ¦ � �96P��4 � ¦ � _'86s�:4*� ¦ �� �� ;<6P�/�=6s���m��� � "!H#A!{� 0{ |-A8BCA ¦ � DG3bN ¦ � DGBCA!DGBKJK9Z7 BeDGB���021_36587`9;:<3wMR9LMp5EDGFZFLAEN�DrF�9Z36AEDGB�:�v-A8BeDG7P:<BKm5>qA ~ D �_A836A8BeDGF�9@?<A � "!H#A!{� 0 D<M

4*�76P� ¦ ��'��D�D� '16 V ¦ V �96P��4*� ¦ � _'��D�D��'86 V 4*� ¦ V � ;<6P� �D�R�D� �A6 V �l� ��� "!H#A!sG209 m AKm 4 7¡D $�A�MQDG3 �OF�9Z36AEDGB!5�: ~ JK9Z3bDG7 9;:<3n:?0 ¦CBED M@7P:�5�:<B2BCA�MPv-:<3bNG9Z3�OF�9Z36AEDGB!5�: ~ JK9Z3bDG�7 9;:<3 :?0 4*� ¦CB D MKm

�>@A( +$6CB5),&�6CPJ4�),^C4j+867),4JvA(,&/.�@AKN4�(?&/),@�(�4*� = �9F�GH = ��� 0�I5� dC4J�>6"4�dO@A6])?^C4�B5K>&�P�4@�\�P�@�6=)?+86=<C@A<"B}\�<C6CPJ)?+8@A6"B}@A6 �KJ:�=L �dC4J�>6"4�Bu&x.8+$6C4�&�( @AKN4�(,&�),@A(�\�(5@AX T �KJ:�=L �+867),@]�[§B,&�),+8B*�>4�B[�N@�),^ �¤ "!$#�!s� 0}&/6Cd2�¤ "!H#A!UG#0 !

� �L� �I�8�<��"��<� �`�������j�M2����2���b�`�����g��"u�C���w�P����4 )?^>&/) )?(,&�6"B5\�@A(5XYB &�\�<C6CPJ)?+8@A6 ¦ @�\),^"4Fk/&�(5+-&��".84�B � � �¢��� �����?�D�R�D� ��� � 0�+867)?@Y&/6C@�),^"4�(h\�<C6CPq),+8@�6N4 +$BhvA+$k�4�6��=_

"��PO �QJ � � 0�'�RªTS � L/ªg� � 0 ©

O© �sª

'�R

ªMU B S �WVª B � � 0 ©

� O© �sª © � B

'��D�D� � "!H#A!{r 0

ª[^C4J(?4�O[(54�KC(54�B?4J67),B;&�67_2\�<"6CPJ)?+8@A6 ¦ +$6�L�B,&�_ T UWV�X L�&�6"dD)?^C4�dC@�),B�&/)�)?^C4�4�6CdE+86CdC+$P�&/)?4^C+$vA^C4�( $o@A(5dC4�(hd"4�(?+Hk/&/),+HkA4�BJLC�C<")[)?^C4FB?<CXRPJ@A67)¨&�[email protected]_YX����;�?�C� �OXY&�67_ )?4�(?XpB�!

gh^C4e),4J(?X � �L�I�2���x+86 )?^C4OKC^C(,&/B?4��L� �I�8����"���� � �Z���g�j�M2����2���b�`��������"����C�w�?�)� (?4J\�4J(?B),@p),^C4E\�@A.8.$@�ª[+$6Cv \�<C6Cd>&/XY4J6=),&�.'K"(?@AKN4�(*)o_�§[+H\Z4 +8BuvA+HkA4�6 �=_ � "!H#A!{r 0u&/6Cd ¦[B �E#O�\ � x�LM&�(54�&/6=_ B54J)l@�\ \�<"6CPJ)?+8@A6CBOKN@AB?B54�B5B?+86"v ),^"4�(54�:=<C+8B5+$)?4 d"4�(?+Hk/&/),+HkA4�BJLM&�6Cd6 B ��#��!\ � xNL�&/(?4p&�67_ P�@A6"B5)¨&/6=)?BD)?^C4�6 ),^"4Y(54�.-&�),+8@�6 � "!H#A!sG20�+8B2\�<C.H�>.8.$4�d�! gh^C+8B+8B�&�6 +$XYXp4�dC+8&/),4[PJ@A6CB?4J:=<C4�6CPJ4F@�\1),^C4j\¤&�PJ) ),^>&/)�� "!H#A!{� 0 &/6Cdh� W!$#A!sG20�&�(?4�k/&�.$+8d \�@A(4 (54�KC.8&�P�4Jd ª[+$)?^Y),^"42dC4�(5+$k/&/)?+$kA4/!|� .$+86C4�&�(�dC+$3�4�(54�67),+8&�.�4�:=<>&/)?+8@A6 d"4J�>6C4JBh& .$+86C4�&�(dC+H3I4J(?4�67)?+-&�.|@�K�4J(,&/)?@A(�§F),^C4p4�:=<>&�),+8@�6�P�&/6��N4Y4 �WKC(?4JB?B?4Jd &�B"4*� ¦ � � L�ª[^C4�(54�4+8B]&.8+$6C4�&�(p@AKN4�(?&/),@A( &�6Cd � +8Be&�v�+$kA4J6 \�<C6CPJ)?+8@A6I!�gh^C4�dC+$3�4�(54�67),+8&�.u4�:=<>&/)?+8@A6

Page 11: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� #A#

4*� ¦ �� D+$B�P�&�.$.84�dY&��I� -����w���b�K�_�G���K�w���4�`� �)��!;�>@A(�4q�"&�XpKC.84/L=dC4J�>6"4j),^"4j@AKN4�(?&/),@�(4 � ©

� z © �� � ©

� z © £� !�gh^"4�6

4*� ¦ � ¦s§&§ � ¦s­G­ � �+8B[& ^C@AXp@AvA4J6C4�@A<"Bh4�:=<>&/)?+8@A6�LCª[^"+8.84j),^C4F4�:=<>&�),+8@�6

4*� ¦ �� ¦s§&§ � ¦s­G­ ��� �+8B'&�6 4q�"&�XpKC.84 @�\N&��I�)���I� -����w�C�I�K�_���/�K�w���w� � ���I!'no6 &�B5+8Xp+8.-&/(�ª�&�_ ª 4}XY&S_EdC4q�>6C4&�6C@�)?^C4�(h)o_ZKN4 @�\�P�@A6"B5),(?&�+867)[\�@A(h),^"4 %�0M9;Bu)?^>&/)j&�KCKN4�&/(?B[+86�X]&/6=_e&�KCKC.$+8P�&�),+8@�6CB�§���I�k���_���I�4���P�]�¢���I�j�;�`� �)����!2no6 )?^C+8Bj(?4Jv7&�(?dl),^C4x.$+86C4�&�(u��@A<"6Cd>&�(*_ PJ@A6CdC+H),+8@�6CB2&�(54dC4J�C6C4�d &�B[@AK�4J(,&/)?@A(?Bg yB,&�),+8B*\ _Z+86Cv

� � 6P� ¦ �('86s� ¦ � 0\�96P�  f� ¦ � 0�'16s�2 f� ¦ � 0 � ;<6P� �=6s�9�!�<� �¤ "!H#A! �20&/)h),^"4D�N@A<C6"d>&�(5_ @�\|& vA+HkA4�6OdC@�X]&�+$6��2!�&%��  ����;�=���;�N��� ���¤�N �����¤ ��7���'���\, ��6 +8XpKN@A(5),&�67)EK"(?@AKN4�(*)o_@�\h)?^C4 .8+$6C4�&/(E@AK>$4�(?&/),@A(5BE+$BM),^>&/)D+H\ )?^C4p\�<"6CPJ)?+8@A6CB ¦[B ��#h� \ �¥x�L�B?&/),+$B5\ _ )?^C4p.8+86"4�&�(MdC+H3I4J(?4J6=)?+-&�.4�:=<>&/)?+8@A6 4*� ¦ �� � ªM&�6Cd ),^C4 �N@A<C6"d>&�(5_ PJ@A6CdC+H),+8@�6CB!��.8+$6C4�&�( 0p f� ¦[B 0l� = B \�@A(\F� ##� T-�D�D�R� �2xNL/),^"4�6 )?^C4�.$+86C4�&�(�P�@AXx�"+86>&/)?+8@A6��Y§I�� �ª S � 6+ª ¦ ª�L�B?&/),+$B5�>4JB�)?^C4�4J:Z<C&�$),+$@A6 4*�� V� � �ªTS � 6+ª � ª�&�B�ª 4�.8.'&�B�)?^C4x�N@A<C6Cd>&/(5_ PJ@A6CdC+H),+$@A6} f���-0�� � �ªTS � 6+ª = ª !no6 K>&�(*),+8PJ<C.-&/(�L�+$\>4�&�P¨^ @�\>),^"4 \�<C6CPq),+$@A6CB ¦ ª ��#@� ���b�'L�B,&/)?+8B5�C4�B')?^C4}^C@AXp@AvA4J6C4�@�<CB4�:=<>&/)?+8@A654 � ¦ � &�6Cd ),^"4M^C@AXp@AvA4�6"4�@A<CB���@A<"6Cd>&�(*_]PJ@A6CdC+H),+8@�6> f� ¦ 0�� "LW)?^C4�64Jk�4�(5_l.8+$6C4�&/(uPJ@AXx�C+$6>&/)?+8@A6O@�\|)?^C4�X B?&/),+$B5�>4JBj),^C&/)�4J:=<>&/),+$@A6 &/6Cd �N@A<C6CdC&�(5_�P�@�6-$dC+$)?+8@A6l),@Z@C!Fgh^C+8BMKC(5@AKN4�(5)o_ +8B2P�&�.8.$4�d )?^C4p� � "���� "u�)�E�¡� � ��� "6�E� �I��� "6� ��!Dn�)D&/.8.8@Sª[Bu),@P�@A6"B5),(5<CPJ)�PJ@AXYK".84q� B?@�.8<")?+8@A6CB�),^C(5@A<CvA^ PJ@AXx�C+$6C+86Cv�B?+8XpKC.$4�B?@�.8<")?+8@A6CBJ§�B?<CKCKN@AB54[ª 4ª}&/6=)E),@�dC4J)?4�(5XY+$6C4]&/.8.|[email protected]<")?+8@A6"BD@/\h&ld"+$3�4�(?4J67),+-&/.;4�:=<>&/)?+8@A6�&�B?B5@WPJ+-&/)?4�d ª[+$),^�&��@�<C6Cd>&�(*_eP�@�6CdC+$)?+8@A6 kZ+$c�L

4*� ¦ � � �  f� ¦ 0\� = � �¤ "!$#�!$#S 20� 4FPJ@A6CB?+$dC4�(h)?^C4FP�@A(5(?4�B5K�@�6CdC+86"vCL-�E�#- "6�^�����b� -�� �w���I�¢�_�G��"6�2�4���^�.-�§

4 � ¦ � �  f� ¦ 0\� 4� �¤ "!$#�!$#A#?0©j@Sª +$)�B?<�®YPJ4�B')?@��>6Cd��5<CB5)'@A6C4�[email protected]<W),+8@�6�L�B,&�_��M@/\C),^C4 @A(?+$vA+86C&�.AKC(5@A�C.84JX�� "!H#A!H#S 0¨!gh^C4�6ILu\�@A(]&�67_ [email protected]<W),+8@�6 ¦ @�\!� "!H#A!H#S 0¨L��� ¦ ��� B,&/)?+8B*�>4�Bh�¤ "!H#A!$#�#40 !�VW+86CPJ44*�� L� 4*� ¦ � 4*�� L� � � � �f l&/6Cd] ���� 0��¥ f� ¦ 0��  f��� 0�� = � = � W!ij4J6CP�4[ª�4u@A�"),&�+86p&MvA4J6C4�(?&�.�B?@A.$<"),+$@A6 @�\��¤ "!$#�!$#S 20'�=_p&/dCdC+86"vF)?^C4[vA4�6"4�(,&/.>B?@A.$<"),+$@A6��@�\=�¤ "!$#�!$#A#?0 ),@p&�67_eK>&�(*),+$P�<C.8&�(}B?@�.8<")?+8@A6e@�\q� "!H#A!H#S 0¨!

Page 12: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�T ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

�>@A.8.$@�ª[+$6Cvx),^"4DB?&�Xp4E+$dC4�& @A6C4FXY&S_�&/KCKC.$_ B?<CKN4�(5K�@AB5+$)?+8@A6e),@pB?K".8+$)j& KC(?@��C.84JX+867k�@A.$kZ+86"v]B?4qkA4J(,&�.;+$6C^C@AXp@AvA4J6C4�@A<"Bj),4J(?XpB�+$6=)?@ B?+$XYK".84�(j@A6C4JB24�&�P¨^�ª[+H),^�& B5+86CvA.$4+86"^C@AXp@AvA4�6"4�@A<CB})?4�(5Xl!��>@A(}+$6CB5),&�6CPJ4Fª 4DX]&�_ B5KC.8+H)�� "!H#A!H#S 0�&/B

4 � ¦ � � � �  f� ¦ � 0\� �4*� ¦ �� � �  f� ¦ � 0\� = �

&�6Cde)?^C4�6�)¨&#)/4 ¦ � ¦ �(' ¦ ��!gh^C4pXY@AB*)D+8XpK�@A(*)¨&�67)F&/KCKC.8+$P�&/)?+8@A6�@/\�),^"4YB5<CK�4J(?KN@AB?+H),+$@A6 KC(?+$6CP�+$KC.84 +$BD+$6�),^C4

P�&/B?4 @�\ .$+86C4�&�( ^C@�XY@Av�4�6C4J@A<CB dC+H3I4J(?4J6=)?+-&�.D4�:=<>&�),+8@�6CB B,&�),+8B*\ _Z+86Cv¡^"@AXY@�vA4�6C4J@A<CB�N@A<C6Cd>&/(5_�P�@A6Cd"+$),+$@A6CBJ§i���@���I���?���I��� � ����� ¦CB �1#n� \*� x����C�w�`� ��� ���¤ "!$#�!$#A#?0��h���I��L� �I�8�<�i�j�M2����2���b�`�������¢�w���w�`�^���84*� ¦ j� ���I�¦���b� �w�_�G�b�4���?� �K���I���¡�`�^������ �L� �I�8���� f� ¦CB 0=� ��;��� \h��#2� T>�D�D�D� �2x �����I�C� ���I���L� �I�8�����¢� -���� �\�w�`�^��� � §I� � �ªTS � 6+ª ¦ ª�����4�`�L��XI���R���I����� -�� �K�w���w� � ���q���I�}�w�_�G�I�_���?� �¢���I�j�;�`�^������� "!H#A!H#A#402

�'+86C&�.8.H_AL1B?<"K�4J(?KN@AB?+H),+8@�6 K"(?+86"P�+8K".84 +8BD<CB54�d�)?@ KC(5@SkA4Y)?^C4p<C6C+8:=<C4J6C4�B5B @�\}B?@A.$<-$),+$@A6CB})?@p.$+86C4�&�(h%�0M9;B�!���1�=���7�¤���Z�#A! (�@A6"B?+8d"4�(h),^C4FKC(5@A�C.$4�X

¦s§&§ ' ¦ � � �!� �¤ ��� 08£ ¦ � 0\� ¦ ��� 0\� 4�(�.$4�&�B5.$_ ),^C4Y\�<C6CPJ)?+8@A6 ¦ ��� 0��� l+8Bx&lB?@A.$<"),+$@A6�! noBE),^C+$B B?@�.8<")?+8@A6�<C6C+8:=<C4��02@Z4�B})?^C4D&�6CB5ª 4�(udC4JK�4J6Cd @A6����

TW! (�@A6"B?+8d"4�(h),^C4FKC(5@A�C.$4�X

¦s§&§ ' ¦s§ � = ��� 0 � �e� �¤ ��� 08£ ¦ �¤ 0\� ¦ a � 0\� #T � ¦ a ��� 0�' ¦ ��� 0 r�

& 0�noBh)?^C4FB?@A.$<"),+$@A6e<C6C+$:Z<"4���� = +$B[&pvA+HkA4J6O\�<"6CPJ)?+8@A6:0 !�:0��u6CdC4J(uª[^>&�)[P�@A6Cd"+$),+$@A6O@A6 = &[email protected]<")?+8@A6e4 �W+8B5)?B��

a"!jVW<"KCK�@�B?4 ¦ ª��-��� ##� T-�D�D�R� ��� &�(54�� B?@A.$<"),+$@A6CB @�\j),^C4�.8+$6C4�&/( dC+$3�4�(54�67),+8&�.4J:Z<C&/),+$@A6 4*� ¦ \� � L�ª[^C4�(54 � ��f W!!�u6CdC4J(Fª[^C&/)DP�@A6Cd"+$),+$@A6�@A6 ),^C4 PJ@A6-$B*)¨&�67)hPJ@W4p®YPJ+84J6=)?B V ª��-� � #2� T-�D�R�D� �"��+8B�)?^C4M.8+$6C4�&/( PJ@AXx�C+$6>&/),+$@A6 �$#ªTS � V ª ¦ ª&�.$B?@ & B?@A.$<"),+$@A6e@�\�),^C+$Bh4�:=<>&/)?+8@A6��

Page 13: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� #Sa

mC! (�@A6CB5+8dC4J(h),^C4F6C@A6".8+86"4�&�(}@�(?dC+$6>&�(5_]dC+$3�4�(54�67),+8&�.�4J:Z<C&/),+$@A6 ¦�§ � ¦ � #�� ¦ 0 !& 0uVW^C@Sª ),^>&�) ¦ U � 0�� # &�6Cd ¦ �-��� 0��y#�� # z � #t' & § 0h�N@�),^ &�(?4EB?@A.$<"),+$@A6CB�L�C<") ¦ �(' ¦ �[+8B[6C@�)u& [email protected]<")?+8@A6I!�:0h�>@A(�ª[^C+$P¨^lk/&�.$<C4M@�\ V ��+8B V � ¦ �h& [email protected]<")?+8@A6�� � ^>&/)u&/��@A<W) V � ¦ � �

zW!jVW^C@SªQ)?^>&/)E4�&�P¨^�@�\}),^"4p\�@A.$.8@Sª[+86"v�4J:=<>&/),+$@A6CBD^>&�BE&[email protected]<")?+8@A6 @�\�),^C4 \�@A(?X¦ �¢� �/£ 0]� = �/J��h'QL&£ 0D\�@A(x&�KC(5@AKN4�(xP¨^C@�+8P�4e@/\jPJ@A6CB*)¨&�67),B J �%LS!�'+$6C4])?^C4P�@�6CB5),&�67),B[\�@A(h4�&�P¨^�4q�"&�XpKC.$4�!& 0 ¦s§ ' a ¦s­ � 4� �:0}a ¦s§ � ¦s­ � �� P 0uT ¦�§ ' & ¦s­ � 4�

�"!u& 0�(�@A6CB5+8dC4J(j),^"4 4�:=<>&�),+8@�6 ¦s§&§ '¡T ¦�§&­ ' ¦s­G­ � "! � (?+H),4D4�:=<>&/)?+8@A6 +$6l)?^C4P�@Z@A(5dC+86>&�),4�B � ��� �s¥��b� ��£N!�:0h�'+$6Cd ),^C4FvA4J6C4�(?&�.1B?@�.8<")?+8@A6e@�\�),^"4D4J:=<>&/),+$@A6�!P?0�(�@A6CB5+8dC4J('),^C4�4�:=<>&/)?+8@A6 ¦�§&§ � T ¦�§&­ ']z ¦�­g­ � "! � (?+H),4�+H)�)?^C4�PJ@W@�(?dC+$6>&/),4JB� �b�O' £]&�6CdK¥�� T-��!

GW!u& 0hVW^"@�ª ),^>&/)h\�@�(X�m� #2� T-�¨a-�D�D�D�/� � �¢� �/£ 0\� B5+86[�¢� �� 0"B5+86C^°�t� �£�0�B?&/),+$B5�>4JB¦s§&§ ' ¦s­g­ � � ¦ � ��£�0d� ¦ �*#2�/£ 0d� ¦ ��� �¨ 0\� ��

�:0���+86Cd &].8+$6C4�&�(uP�@�Xx�C+86C&/),+$@A6 @�\ ¦ � � B�),^>&�)2B,&�),+8B*�>4�B ¦ ��� ��#40�� B5+86uT� P� �B?+$6[a ���!P?0[VW@�.$kA4M)?^C4D02+8(?+$P¨^C.84q)}KC(5@A�C.$4�X

¦s§&§ ' ¦s­g­ � � ¦ �¤ �/£ 0d� ¦ �*##�/£�0 � �¦ ��� �¨ 0\� T;B5+86 �� � ¦ ��� ��#40\� B5+86jT� �� � � �r�Ia ��[�

� �)����� ����� � ����#(�����)���(� ��� ��� �(��� �����)* ���5����������* �no6 )?^C+8B B5<C�CB54�PJ)?+8@A6 ª�4�B?^C&�.8.}+$67),(?@ZdC<CPJ4eB?@AXp4O@�\u),^C4O�>&�B5+8PeK>&/(5),+8&�.}dC+H3I4J(?4J6=)?+-&�.4�:=<>&/)?+8@A6"BY@�\2X]&/)?^C4�XY&/)?+8P�&/.}KC^7_ZB?+8PJB]),^C&/) ª[+8.8.h�N4O),^C4lB?<C� �54JPJ)e@/\2@A<C(pB5)?<CdC+$4�B),^C(5@A<CvA^"@A<")h),^"4D�N@Z@2)�!;gh^C4�B54E4J:Z<C&/),+$@A6CBu&�.8.�+867kA@�.$kA4D&x\�<C6CdC&�XY4J67)¨&�.1dC+H3I4J(?4J6=)?+-&�.@AKN4�(,&�),@A(x@/\[@A(?dC4J( )oª @CL�P�&�.$.84�d ��� "6�Z�j�C�Z���IL;&�PJ)?+86Cv @A6 T�U � X ��� � 0 &�6"d dC4J�>6"4�d &�B\�@A.8.$@Sª[B�§

* � ¦ � ©� ¦

© �� � ' ©

� ¦© �

�� '��D�D�)' ©� ¦

© � ��� ¦ � T U � X ��� � 0p� �¤ "!$#�!$#�T#0

Page 14: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�m ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

�}&�B5+8P�&�.8.H_AL�),^"4�(?4�&�(?4�),^"(?4�4�)o_ZK�4JB|@�\W\�<C6Cd>&�Xp4�67),&�.=KC^7_WB5+8P�&�.WK"^C4�6C@�XY4J6>&jdC4JB?PJ(?+8�N4�d�7_edC+H3I4J(?4�67)?+-&�.�4J:=<>&/),+$@A6CB[+867k�@A.$kZ+86"vx),^C4D��&�KC.8&�P�+8&�6�§

* � ¦ � � � � ��¥�0/� � �I����� "6�Z���K� �K�w���4�`� �)�¦s¬ � x%* � ¦ � � � � ��¥�0/� � �I� �I�8�4�t�¢�w���w�`�^���

¦s¬c¬ � V� * � ¦ � � � � ��¥�0/� � �I�������)�Q�¢���f�w�`�^����

� "!H#A!H#Sa 0

ij4J(?4 � +8B & vA+HkA4�6 \�<C6"PJ),+$@A6�! n�\ � ��� "L;),^C4J6 ),^C4e4J:Z<C&/),+$@A6CBA� W!$#A!H#Sa 0E&�(?4�� �-��I� -����w�C�I�K�j�G��! no6)?^C4 B5K�4JP�+-&/. P�&�B?4/L�ª[^"4�6 � �� l),^C4]4�:=<>&/)?+8@A6CBf� "!H#A!H#Sa 0E&/(?4�I� -����w�C�I�K�j�G��!

ij4J(?4M),^C42�C(?B5)[4J:=<>&/),+$@A6�LC�N4�+$6Cvx),+$XY4�+86CdC4JK�4J6CdC4J6=)�L>^>&�B[& K>&�(*),+$P�<C.8&�(�6>&�),<C(54�§�N4�B?+$dC4�B�),^C4�\¤&�PJ)�),^C&/)|+H)�d"4�B?PJ(?+$��4JB'),^C4 B5)?4�&�d"_ $�B5)¨&�),4�^"4�&/)�),(,&/6CB5\�4J(|&�6CdE),^C4�B5),&�6Cd-$+86"vOª�&�kA4p4�:=<>&/)?+8@A6"B���.8@Z@AB?4J.$_ B?KN4�&#)=+86"vCL1),^C4 ),+$XY4 +$6CdC4JK�4J6CdC4�67)DkA4J(?B?+$@A6CBD@�\�),^C4@�)?^C4�(�)oª�@�4�:=<>&/)?+8@A6CB 0qL�),^C4 ��&�KC.-&/P�4#� 4�4�:=<>&/)?+8@A6 &�(?+$B?4�B�+86EdC4�B5P�(5+8�C+$6Cv�B54JkA4J(,&�.Z@�)?^C4�(KC^7_ZB?+$P�&�.>KC^"4�6C@AXp4�6C&FB5<CP¨^Y&�B����^�K��� �8���K�¡�w� � � "��_�P���b�`�����"+$6 (?4�v�+8@A6CB|ª[+H),^ [email protected]�Pq),(5+8PP¨^>&�(5vA4�L���� �¢��� �8� -r� ���I�)�`�^� "��_�?�C�b�`�Z�<� LN+86 )?^C4xdC@AXY&�+$6CB�.8&�P )=+86Cv v�(,&�kZ+$)o_l&�B�ª 4�.$.|&�BKC(5@A�C.84JXYBh+$6q������� � � ���;�S�ILC4J)?P�!� �I� �I�8�4���¢���f�w�`�^���Ed"4�B?PJ(?+$��4JB�),^"4 dC+H3I<"B?+8@�6D@/\"),^"4�(?XY&�.74J6C4�(5v�_D+86D&u^"@AXY@�vA4�6C4J@A<CBXY&/),4J(?+-&/."ª[^C4�(54 ¦ � ¦ � � �G¥�0;+$B;),^C4[),4JXYKN4�(?&/),<C(54�&�)�&FKN@AB?+H),+8@�6 � &/)�),+$XY4�¥�&/6Cd�x+8B[& PJ@A6CB5),&�67)�P�&�.8.$4�dn���I��� ->�����j�M2��G�E���)�¡�S�O@�(��I�8�w���¢���I�b�_�)�`�����;�S��@�\�),^C4FXY&/),4J(?+8&�. !� �Z���C��� gh^C4O^C4�&/) 4�:=<>&�),+8@�6 P�&�6 ��4O<CB54�d ),@ Xp@WdC4J. )?^C4e^C4�&�) ;C@�ª +86 [email protected]+$dCB&�6Cd,;><C+8d"B�L;+86�),^C4 .8&/),4J(EP�&�B?4/L�^C@Sª�4qkA4�(JL +H) d"@AB?4��I�j�u)¨& )�4e&�67_&�P�PJ@A<C67)x),@l),^C4P�@�6=k�4�Pq),+8@�6YKC^"4�6C@AXp4�6"@A6(£Z&�6CdpKC(?@SkZ+8d"4�B�&M(?4�&�B?@A6C&��C.84hXp@ZdC4�.C@�6C.$_E+$\NKC^C4J6C@AXp4�6>&B?<"P¨^ &�B�X]&/P�(?@�B?P�@�KC+8P�PJ<C(?(54�67),Bl+86 ),^C4';><"+8d &�(?4 6C@�)�KC(54�B54�67) ��@A(O6C4�vA.$+8vA+$�C.84 0q!�><C(5)?^C4�(JLN)?^C4x^C4�&/)24J:=<>&/),+$@A6 +$B�6C@/)M&p\�<"6Cd>&�Xp4�67)¨&/.�.8&Sª @/\;KC^7_ZB?+8PJB�L1&/6Cd +$)jdC@Z4�B6C@�)[v�+$kA4F(54�.8+8&��C.$42&�6CB*ª�4J(?B�&/)hkA4J(5_O.8@Sª @A(}kA4J(5_O^C+$vA^e),4JXYKN4�(?&/),<C(54�BJ!

VW+86"P�42),4JXYKN4�(?&/),<"(?42+$B}(?4J.-&/)?4�d ),@ ^"4�&/)�L"ª[^C+8P¨^e+$Bh& \�@A(5X @�\�4J6C4�(5v�_ALC)?^C4M�>&�B5+8P+8d"4�&M+86pdC4�(5+$kZ+86"vF)?^C4u^C4�&/)�4J:Z<C&/),+$@A6Y+$B;),@F<CB?4u),^C4g����� � ���¢�����2�����8�w� � ����� �����I�C� ��� ��1�N�������Z�H�}��������� %��Z�W���A�N ������������N ��> ��l�4%��E���=����¢"�"�����N ���� %��Z�W�j�_�����"�����N �14J)O� � � �-�%I�� #2�¨T-�¨a �N4e& �"�W4�d B5K>&/),+8&�.�d"@AX]&/+86�ª[+H),^)?^C4e��@�<C6Cd>&�(*_ © �2!gh^C4x(?&/),4 @�\�P¨^>&�6Cv�4 @�\;),^C4J(?XY&�.'4J6C4�(5v�_�ª[+$),^�(54�B5K�4JPJ)M),@Y),+8Xp4 +$6,+�+$B�4�:=<>&/.'),@),^"4M6C4J)<;>@Sª @/\'4J6C4�(5v�_O&�PJ(?@AB5B[)?^C4F��@�<C6Cd>&�(*_e@�\ +RKC.8<"B[)?^C4M(,&�),4D&/)hª[^C+$P¨^�^"4�&/)+8Bhv�4�6C4J(,&/)?4�dOª[+$),^"+86N+ !

�14J)j6C@Sª ¦ dC4�6"@�),4D),^C4F),4JXYKN4�(?&/),<C(54 &�)j)?^C4EKN@AB5+$),+$@A6 � � �¢� �/£6�&¤ 0X� + &�6Cd&/) ),+8Xp49¥ ! � 4�&�B?B5<CXY4j),^>&/) ),^C4�B?@A.$+8d]+$B�@A6](?4�B*)[&�6Cd]+$)}+$B (5+8vA+$d]B5@ ),^>&�)�),^"[email protected]_4�6"4�(?v/_OKC(?4JB?4�67)�+8Bh),^C4J(?XY&�.14�6"4�(?v/_�&�6CdO),^C4DdC4�6"B?+$)o_�� ��� 0[+$B[+86CdC4JK�4J6CdC4J6=)j@�\�),^C4

Page 15: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� #�z

),+$XY4n¥�&�6Cd�)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4 ¦ ! �14J)��¡dC4�6C@/),4 ),^C4 B5K�4JP�+H�>P +867),4J(?6>&�.'4�6C4J(?v�_�@/\ )?^C4B?@A.$+8d�L=),^C&/)h+8BJLW)?^C424�6"4�(?v/_ KN4�(h<C6C+H)}XY&�B?BJ!;gh^C4�6e)?^C4M&�Xp@A<C67)h@�\1)?^C4�(5X]&/.I4�6"4�(?v/_+86h� +$BhvA+$k�4�6��7_ ���

��� I � �&�6CdO),^C4M)?+8Xp42(,&/)?4 ��),+$XY4�dC4�(5+$k/&/),+HkA4 0�@�\'P¨^C&�6CvA4F@�\�),^C4J(?XY&�.�4J6C4�(5v�_O+86h� +$B�§

II5¥���

����I � � ������ ¬ I � �

�14J)��m�µ��3�/��R�?���. /0Fd"4�6C@�)?4Y)?^C4]^C4�&/) ;><W� kA4JPJ),@�(x&�6Cd �µ�t� � �/�P�?�/�  /0MdC4�6C@/),4),^C4 @�<")oª}&/(?d <C6C+H)M6C@A(5X]&�. L�)?@ ),^C4 �N@A<C6CdC&�(5_ © �2L�&/)�),^C4 KN@A+867) � � © �2! gh^C4�6� ´ (?4�K"(?4�B54�67),BE),^C4;>@Sª @/\}^C4�&/)DK�4J(D<"6C+$)FPJ(?@AB5B $oB54�Pq),+8@�6>&�.�&�(54�&OK�4J(D<"6C+$)M)?+8Xp4P�(5@AB?B5+86CvY& B?<C(*\¤&�P�4F4�.$4�Xp4�67)�!�gh^=<CB

� ��� � ´ I s

+8B')?^C4[&�Xp@A<C67);@�\�^"4�&/)�KN4�(|<"6C+$)|)?+8Xp4 ;>@Sª[+$6CvF&�P�(5@AB?B|)?^C4h�N@A<C6Cd>&/(5_ © �2!;iu4�(54 I s(?4JKC(?4JB?4�67)?Bj),^"4E4J.84�Xp4�67)u@�\�B?<C(*\¤&�P�4E&�(54�&"!�gh^C4DXY+$6=<CBhB?+$vA6l(54 ;>4JPJ)?Bu)?^C4M\¤&�PJ)[),^C&/)+$\;Xp@A(54E^C4�&/) ;C@�ª[B�@A<")j@�\;),^C4EdC@AXY&�+86 +�)?^>&�6 +$6�L�),^C4E4�6C4J(?v�_l+86 +�dC4�PJ(?4�&�B?4JB�!�'+86C&�.8.H_AL�+$6Dv�4�6C4J(,&�. L�)?^C4�^C4�&�)�K"(?@ZdC<CPJ)?+8@A6M+$B�dC4J)?4�(?Xp+86"4�dF�7_M4q�Z),4J(?6>&/.ZB5@A<C(5P�4�B�),^C&/)&�(?4�+86"dC4�KN4�6Cd"4�67)|@�\"),^C4�),4JXYKN4�(?&/),<C(54�!�no6 B?@�XY4�P�&�B54�B��¤B?<"P¨^ &�B|&/6 &�+$(�P�@A6Cd"+$),+$@A6C4J(P�@A67)?(?@A.$.84�d �7_ & )?^C4�(5XY@�B5)¨&�)/0 +$)OdC4JK�4J6CdCBl@A6 )?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4 +$)?B?4J.$\E�C<")l6C@�)�@A6+$)?BxdC4�(5+$k/&/)?+$kA4JB�!�ij4J6CP�4O+86�),^C4eKC(54�B54�6CPJ4l@�\j& B5@A<C(?PJ4 �¤@A( B?+86 ) 0Eª 4edC4J6C@�),4e)?^C4P�@A(5(?4JB?KN@A6CdC+$6CvM(,&/)?4}&/)'ª[^C+8P¨^ ^C4�&/);+$B'(?4JdC<CPJ4�d K�4J(|<C6C+H)'k�@A.8<CXp4}�7_ = � = � � �G¥/� ¦ 0B?@ ),^>&�)h),^C4FB?@�<C(?PJ4D)?4�(?X ��4JP�@AXp4�B� � = � � ��¥/� ¦ 0�I � �©j@Sª )?^C4F.-&�ª @�\|PJ@A6CB?4J(5k/&/)?+8@A6O@�\�4�6C4J(?v�_e),&#)�4JBu)?^C4M\�@A(?X� �

��� ¬ I � � ��� � ´ I s � � � = � � ��¥/� ¦ 0�I � � �¤ "!$#�!$#�m 0

��KCK".$_Z+86Cv )?^C4EbD&�<"B?B[dC+$k�4�(5vA4�67)[),^C4J@A(?4JX ),@ ),^"4D+$67),4�v�(,&�.�@Sk�4�( © � ª�4DvA4q)��� � ��� ¬ ' * ´ � � = 0�I � � � �¤ "!$#�!$#�z#0ª[^C4�(54 * ´ dC4�6C@/),4�BY),^C4 d"+$kA4J(?vA4J67)O@AK�4J(,&/)?@A(�! no6¡),^C4lB?4J:Z<"4�.2ª 4 B?^>&/.8.u<CB?4 )?^C4\�@A.8.$@Sª[+86CvxB5+8XpKC.84�(?4�B5<C.$)�§

Page 16: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#S� ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

���W����� �-,��cA87��%J8AQD�5�:<3-7 9Z3-1\:<1�M �t587 9;:<3lMKDG7`9LM^0��<9Z3��F�� � � I � 0\� 0 :<B!A8HGA8B��

N_: ~ DG9Z3 ��� � � m �(|-A83�� � m�/BC:):?0¢m �14J)h<"Bh&�B?B5<CXp4�),@ )?^C42PJ@A67),(,&/(5_p),^>&/) ),^C4J(?424 �W+8B5)?Bh& KN@A+867) ��� �n� ª[^"4�(?4� � ��� 0 �� "! ��B5B?<CXp4]ª[+H),^C@A<W) .8@AB5Bx@�\[vA4J6C4�(?&�.8+H)o_ ),^>&/) � � ��� 0�� W! VW+86CPJ4 � +8BP�@�6=)?+86=<C@A<"B�L|),^"4�(?4e4 �W+8B5)?B & dC@�X]&�+$6b��X]&�_Z��4YkA4�(*_B5X]&�.$. 0 � - � �2L;P�@A67),&�+86C+$6Cv��� &�6Cd�� "L�B5<CP¨^ ),^>&/) � � � 0�� ZLu\�@�(O&�.8. � � � - ! gh^C4�(54J\�@A(54�ª�4 ^>&�kA4F�� � � 0�I � �����@�. � � - 0�� "L"ª[^C+$P¨^lPJ@A67),(?&�dC+8Pq),Bh),^"4D.$4�XpX]&-�{Bh&/B?B?<"XYK")?+8@A6I!�>(?@AX � "!H#A!H#�z20¨L><CB?+$6Cv ),^C4D&��[email protected]�XpXY&"LZª 4DP�@A6CPJ.8<Cd"4F)?^>&/)

��� ¬ � ��* ´ �g' = � � "!H#A!H#S� 0gh^C+$BE+$BD)?^C4]�>&/B?+8P \�@A(5X @�\h@A<C(D^C4�&/)xPJ@A6CdC<CPq),+$@A6�.8&SªF!Ogh^C4p\�<C6CPq),+8@�6CB � &�6"d �&�(54M<C6�)=6C@Sª[6 &/6Cd�&�dCdC+H),+8@�6>&�.N+86"\�@A(5X]&�),+8@�6Y@�\'&�6e4JXYKC+$(?+$P�&�.N6>&/)?<C(?4M+$Bh6C4�4JdC4�dO),@dC4q),4�(5XY+$6C4 ),^"4�4J:=<>&/),+$@A6 \�@A(x),^"4O)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4 ¦ ! ��+8(?B*)�L;\�@A( XY&�67_ XY&/),4J(?+-&/.8B�L@SkA4J([\¤&/+8(?.H_Yª[+$dC4F�C<")u6C@�)[)?@W@ .8&�(?vA42)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4F(?&�6CvA4/L"),^C4M\�<C6"PJ),+$@A6 � � ��� ¦ 0dC4JK�4J6CdCBu6C4�&�(5.$_].8+86"4�&�(5.$_Y@A6 ¦ L"B?@ ),^>&/)

� ¬ ��� ¦s¬ � � "!H#A!H#�G20ij4J(?4��1L1P�&�.$.84�d )?^C4p� "��K�C�MXI� �I�2�w�5L�+$BM&�B?B5<CXp4�d ),@O��4 PJ@A6CB*)¨&�67)�! ©u4q�Z)Fª�4 (54�.-&�),4),^"4�),4JXYKN4�(?&/),<C(54 ¦ ),@E),^C42^"4�&/) ;C<W� �Z!;iu4�(?4jª�4M<CB54 �6�_�G�e� ����� �/�Z� � �C<")�LW�>(5B5)�L"),@�N4DB5K�4JP�+H�>P�LCª 4FdC4�B5P�(?+$��4F),^"4DB5+8XpKC.84j\¤&�PJ)?BuB5<CKCKN@A(5)?+86Cvp�>@A<C(5+84J( � B}.-&�ªF§�¤+ 0 ),^C4 ^"4�&/) ;>@Sª[B]\�(?@�X (54�vA+$@A6CBp@�\M^C+$vA^ )?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4�),@ ),^C4l(?4�v�+8@A6CBY@�\M.$@�ª),4JXYKN4�(?&/),<"(?4�!�¤+$+ 0�gh^C4M(,&/)?4M@�\�^C4�&�)�;>@Sª +8B�B?XY&�.8.N@A(h.-&/(?vA4�&�P�PJ@A(?dC+$6Cvp&�B�)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4MP¨^>&/6CvA4�B�N4J)oª 4�4�6E6C4�+$vA^=��@�(?+86"v}(?4JvA+8@A6"B1&�(?4;B5X]&/.8.�@�(�.-&�(5vA4�!�g�@[dC4�B5P�(?+$��4;)?^C4�B54�:=<>&/6=)?+$),&/),+HkA4KC(5@AK�4J(5)?+84�B;@/\�^C4�&/)�;>@SªFL=ª 4uK�@AB*),<C.8&/),4[&F.8+$6C4�&/(|(?4J.-&/)?+8@A6CB5^C+8K �N4J)oª 4�4J6]),^"4u(?&/),4[@�\^C4�&/) ;C@�ª &/6Cd ),^"4 (,&�),4D@�\|),4JXYKN4�(?&/),<"(?4DP¨^>&�6CvA4/!�t[4�P�&�.8.1)?^>&/)j+$\ � +8Bj&YKN@A+867)u+86),^"4M^C4�&/)[PJ@A6CdC<"PJ),+$6Cv XY4JdC+8<"X &�6"d +8B[&x<C6C+H)}kA4JPJ)?@A([B?KN4�P�+H\ _Z+86Cvp&xdC+$(?4�Pq),+$@A6O&/)� L�)?^C4�6x)?^C4}(?&/),4 ^C4�&/)�;>@Sª &�) � +$6 ),^C4�dC+8(54�PJ)?+8@A6 +$B � ´ &�6Cd )?^C4}(,&�),4}@�\�P¨^C&�6CvA4@�\�)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4j+8B © ¦ z © � * ¦ ´ LW)?^C4�dC+$(?4JPJ),+$@A6>&�.�dC4J(?+Hk�&�),+$k�4�@�\1)?4�XpK�4J(,&/)?<C(?4/!VW+$6CP�4 � ´ � �(54�:=<C+8(54�B * ¦ ´ �� "L�&�6"d kZ+8PJ4 kA4�(5B,&"L���\�(5@AX�)?^C4YP�&�.8PJ<C.8<"B2),^C4dC+$(?4�Pq),+$@A6 @�\�X]&��W+$X]&�.WvA(?@Sªh)?^Y@�\I&2\�<C6CPq),+8@�6p+$B;vA+$k�4�6p�7_ +$),B;v�(,&�dC+$4�67)/0 L7@A<C(;.$+86C4�&�((?4J.-&/)?+8@A6E)¨&#)/4�B;),^C4}\�@�(?X � ´ � ��� * ¦ ´ LAª[+$)?^������[� � 0��¡ "!;VW+$6CP�4 B?KN4�P�+H�>4�B&�67_edC+$(?4JPJ),+$@A6 \�(?@�X � LC),^"+8Bh+8Bh4J:=<C+$k/&�.$4�67)h),@ ),^"4E&/B?B?<"XYK")?+8@A6

�=� ��x * ¦ � � "!H#A!H#Sr 0

Page 17: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� #�G

ª[^C+8P¨^ +8BuP�@A6CPJ(?4q),4xB*)¨&/)?4�Xp4�67)2@�\;)?^C4 �6�_���E� �C� � ����� �h!ugh^"4xK�@�B?+$)?+$k�4D\�<C6"PJ),+$@A6 � +$BP�&�.$.84Jd )?^C4 �I�8�4�#�¢���I�b�j���`�^��� � ��� �6�_�G�e� ������K�_� � �C� ���b�e]�14J)D6C@Sª�� � � z � � &�6Cd� � =(z � � &�6"d +86CB54�(*)q� W!$#A!H#S� 0�&�6Cdh�¤ "!H#A!$#SG20�+$6h� W!$#A!H#Sr 0|),@ vA4J) ),^C4��C6>&�.�\�@A(?Xy@�\),^C4F^C4�&/)u4�:=<>&/)?+8@A6I!

¦s¬ � * ´ ��� * ¦ 0�' � � �¤ "!$#�!$#?�20gh^C4 :=<>&�67)?+$)o_�� +$BE(54J\�4�(5(?4Jd�),@ &�BE)?^C4}���I��� ->���t�j�32����E� �)�;�S� � ���p�j�32��G�e� ��� k�¢�4�"�^�XI���^���b�E n�\Mª 4 &�B5B?<CXp4 ),^C&/)�� +$B]PJ@A6CB5),&�67)�L[),^C4J6¡),^C4l�>6>&�.u\�@A(?X @�\M)?^C4 ^C4�&/)4�:=<>&/)?+8@A6eª @A<C.$dl�N4

¦�¬ ��� * � ¦ ' � � @A( ¦s¬ ���� ¦ ' � � �¤ "!$#�!UT� 20ij4J(?4� � dC+$k%* � * � � � ¶� § ¶ ' � ¶� ­ ¶ ' � ¶��� ¶ dC4�6C@/),4�BY),^C4 ��&/KC.-&�PJ4#� B]@AKN4�(?&/),@�(+86 )?^C(?4J4pd"+8Xp4�6CB5+8@A6CBF�¤+$)?B2vA4J6C4�(?&�.'\�@A(5X�+8B�+867),(5@WdC<"P�4�d +$6 ),^C4 �N4�vA+$6C6C+86"v @�\�),^C+$BB?<C�"B?4�Pq),+$@A6:0q!

gh^C4}),^C+$(?dx4J:=<>&/),+$@A6x+$6K� "!H#A!H#Sa 01+8B�),^C4�ª�&�kA4h4J:Z<C&/),+$@A6�§ ¦�¬c¬ � V *� ¦ � � !'ij4J(?4

¦ (?4JKC(?4JB?4J6=)?Be&�ª}&�kA4l),(,&�k�4�.8+$6Cv ),^C(5@A<CvA^ &�6 �:$odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. XY4JdC+8<"Xl£ V +$Bp)?^C4B?KN4�4Jd @�\|K"(?@AK>&/v7&/),+$@A6O@�\'ª�&�kA4x+$6�)?^C4DXY4JdC+8<CX &�6Cd ¦ � � ��¥�0h+8Bh),^"4 &�XpKC.$+$),<"dC42@�\),^C4}ª�&�kA4u&/);KN@AB5+$),+$@A6 � &�6"dx),+8Xp4 ¥ !'gh^C4}ª}&�k�4u4J:=<>&/),+$@A6 KC(5@�kZ+$dC4�B;XY&/),^"4�XY&/),+$P�&�.XY@ZdC4J.�\�@�(�&D6Z<"Xx��4J(�@�\�KC(?@A�".84�XpB�[email protected]+86CvDdC+$3�4�(54�67) KC^7_WB5+8PJB}KC(?@ZP�4JB?B54�BhB?<"P¨^O&�B+86e),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6Cvx4q�"&�XpKC.$4�B�§� � 0}��+8�C(?&/),+$@A6 @�\|& B5),(54J)?P¨^C4�dlB5),(5+86Cv"LCB?<CP¨^ &�B[vA<C+H)¨&�(}B*),(5+86Cvl�*# $odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. 0q!� �`� 0��2+$�C(,&/)?+8@A6e@/\|& P�@�.8<CXp6O@�\|&/+8(�LWB?<CP¨^ &�Bu& P�.-&/(?+86"4J)=� # $odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. 0q!� �`�;� 0I��+8�C(?&/),+$@A6M@�\"&uB*),(?4q),P¨^C4JdxXp4�Xx�C(?&�6C4/L�B5<CP¨^x&/B�&hdC(5<CXp^C4�&�d�� T?$odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. 0q!� ��� 0 � &�kA4�Bu+86�&�6O+$6CP�@AXpKC(54�B?B5+8�C.$4 ;><C+$d�LCB?<"P¨^ &�Bhª�&/),4J(n� T4$od"+8Xp4�6CB5+8@A6>&/. 0q!���-0hVW@A<"6Cd�ª�&�kA4JB�+86�&�+$(}@A([@�)?^C4�(h4J.-&�B*),+8PMXp4�d"+-&K� a4$odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. 0q!���j� 0h9;.84JPJ)?(?@AXY&�vA6C4q),+$P�L"B5<CP¨^ &/Bu.$+8vA^7) ª}&�kA4JB2&�6"dl(?&�dC+8@xª�&�kA4JBF� a4$odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�. 0q!

©j@�)?4E),^C&/)u+86��^� 0 L �^�;�`� 0j&/6Cd��^� �-0qL ¦ (?4JKC(?4JB?4J6=)?B2),^C4F),(?&�6CB*kA4�(5B?4xd"+8B?K".-&�PJ4�Xp4�67)@�\h),^"4 B5)?(?+86"vCL'Xp4�Xx�"(,&�6C4/L|@A( ;><C+8d�B?<C(*\¤&�P�4�£ +$6b� �`� 0 &/6Cd����-0 L ¦ (?4�K"(?4�B54�67),B )?^C4.8@A6"vA+$)?<CdC+86C&�.�dC+8B5KC.-&�PJ4�Xp4�67)h@�\1)?^C4F&�+$(K£W&�6CdO+86h���j� 0qL ¦ +$Bh&�67_ @/\�)?^C42PJ@AXYKN@A6C4J67),B@�\�),^C4F4�.$4�Pq),(?@�X]&�v�6C4J)?+8Pj�C4�.8dI!���@�(hdC4J),&�+8.$4�dedC+$B?P�<"B?B?+$@A6CBu&�6Cd�& dC4J(?+$k/&/)?+8@A6e@/\�)?^C44�:=<>&/)?+8@A6"BYXp@Wd"4�.8+$6Cv �^� 0 $����_� 0qL B?4�4/L}4�! vCLh�>@A.$.-&�6"d � LhbM<C4�67)?^C4�(Y&�6Cd ��4J4�L}bF<CB $)¨&�kZB?B5@A6 � L � L�no6Cv7&/(?d � h%�+$6CP¨^C@SkA4J(]&/6Cd tu<C�"+86CB*),4�+$6 � L}V=),(,&/<CB?B7� [&�6Cd g�&S_Z.$@A(� ! � 4DB?^C@A<".8d�K�@A+$67)[@A<")�L�^C@Sª 4Jk�4�(�LN),^>&�)j+$6OXY@AB*)uP�&�B54�Bj)?^C4FdC4�(5+$k/&/)?+8@A6O+867k�@A.$k�4�BX]& )Z+$6CvpB?@AXp4FB?+8XpKC.$+$\ _Z+86Cv &/B?B?<"XYK")?+8@A6"B�!hiu4�6CPJ4�L�)?^C4Eª�&�kA4E4�:=<>&/)?+8@A6lvA+$k�4�Bu@A6C.$_&�6�&�KCKC(5@S�W+$X]&/)?4xdC4JB?P�(5+8K")?+8@A6 @�\�),^C4p&�Pq),<>&/.|KC^7_ZB?+8P�&�.�KC(?@ZP�4JB?BJL'&�6"d )?^C4 k�&/.8+8d"+$)o_@�\1),^"4M&�KCKC(5@��"+$X]&�),+8@�6pª[+$.8.NdC4�KN4�6Cde@�6 ª[^C4J)?^C4�(hPJ4�(5),&�+86]KC^7_WB5+8P�&�.IPJ@A6CdC+H),+8@�6CB}&�(54B,&/)?+8B*�>4�d�![�>@A([+$6CB5),&�6CP�4/L�+86 4 �"&�XYK".84 � � 0h)?^C4DkZ+$�C(,&/)?+8@A6OB5^C@A<C.$d �N4EB5X]&�.$.14�6C@�<CvA^

Page 18: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#Sr ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

B?@�),^>&�)D)?^C4pB5),(5+86Cv�+8BF6C@/) B*),(?4q),P¨^C4Jd�N4J_A@�6Cd+$)?BF.8+8Xp+$)?B2@�\�4�.-&/B5),+$P�+H)o_A!pno6�4q�"&�X$KC.$4A���j� 0 L1+$)2\�@A.$.8@Sª[B�\�(5@AX � &��Wª 4�.$.�� BF4�:=<>&/)?+8@A6CBJL1),^C4x\�<C6"d>&�Xp4�67)¨&�.;4J:=<>&/),+$@A6CBM@�\4�.$4�Pq),(?@�X]&�v�6C4J)?+8B?X�L7),^>&�)}),^C42ª�&�kA4F4�:=<>&�),+8@�6e+8B�B?&/),+$B5�>4Jd}�����j��� � �e+86 (54�vA+$@A6CB}PJ@A6-$)¨&/+86C+$6Cvj6"@24�.$4�PJ)?(?+$P�&�.=P¨^>&�(5vA4�B;@�('P�<"(?(?4J67)�L�ª[^C+$P¨^ @�\�P�@�<C(?B54}P�&�6"6C@�)|�N4}vA<C&�(,&�67)?4�4�d<C6Cd"4�(|6C@�(?XY&�.=KC^7_WB5+8P�&�.CP�+$(?PJ<CXYB*)¨&�6"P�4�B|&�6CdxP�&�6 @A6C.H_E�N4}&/KCKC(?@��W+8XY&/)?4�.$_ �5<"B5),+H�>4�d+86e)?^C4E(54�&�.�ª @A(5.8d�!}VW@]&/6 &/)5),4JXYK")[)?@YdC4J(?+HkA4F),^C4Mª�&Sk�4x4�:=<>&�),+8@�6lPJ@A(?(54�B?KN@A6Cd"+86Cv),@ @�6C4M&�6CdO4�&�P¨^O@�\�),^C4JB?4M4q�"&�XpKC.$4�B}\�(?@�Xf)?^C42KC^7_ZB?+$P�&�.1KC(5+86CPJ+8KC.$4�B +8B�\¤&�( ��4q_A@A6"d),^"4lB5P�@AKN4l@/\�),^"+8B ��@Z@2)�! ©u4JkA4J(5)?^C4�.$4�B?BJL}),@�vA+$k�4l&/6 +8d"4�&"L���4J.8@Sª ª 4lB5^>&�.$.ud"4 $(?+HkA4F),^C4Fª�&Sk�4 4J:Z<C&/),+$@A6l\�@A(u& kW+$�C(,&�),+86"vpB*),(5+86Cv ª[^C+8P¨^l+8BJLN�7_O),^"4Dª�&�_AL�),^C4DXY@�B5)P�@�6CB?+$dC4�(54�dOª}&�kA4E4�:=<>&/)?+8@A6OXp@Wd"4�.�+$6O)?^C+8Bh�N@Z@2)�!�&%��l¢1�¤£����"���¤ 5��J�S��� 5��'���=����¢"�"������ ���j� �x�7¢N� �_�����"�����N � � +(�@A6CB5+8dC4J(D&�KN4�(*\�4�PJ)?.$_�4J.-&�B*),+$P &�6Cd ;>4q�W+8�".84 B5)?(?+86"v�B*),(54J),P¨^"4�d &�.$@A6Cve),^"4pB54�vAXp4�67)� � " h@�\[),^"4K��$o&��W+8BJL�Xp@SkZ+86Cv�KN4�(5K�4J6CdC+8PJ<C.-&/( ),@ +$)?Bx4�:=<C+$.8+$�C(?+$<CX K�@AB5+$)?+8@A6�!��14J)� - ��� 0�dC4�6C@/),4M),^C4Md"4�6CB5+$)o_ @/\�)?^C4MB5)?(?+$6Cv +86 )?^C4M4�:=<C+$.8+8�"(?+8<"XfKN@AB5+$),+$@A6 &/6Cd�� �¢� ��¥�0),^"4�dC4J6CB?+H)o_]&�) )?+8Xp49¥ !;no6 &�6 &�(5�C+$)?(,&�(*_ B?XY&�.8.>+$67),4�(*k/&�.���� ����' �]� �)?^C4�XY&�B?B�ª[+8.$.B,&�),+8B*\ _ � §����P§

§ � - �¢� 0�I��K�� � � §����P§§ � �¢� ��¥�0� #/' ¦ �§ I��[� � "!H#A!sTW#40

� ��' �]�

� �¢� 0�����p' �F� 0

O

O

#¦s§

#�' ¦ �§� �¢� ��¥�0

� �¢��' �]� ��¥�0

gh^=<CB�L�<CB5+86Cvp.84JXYXY&]#AL[� TW! mC!$#?0�vA+$k�4�Bh),^C4FPJ@A6CB?4J(5k/&/)?+8@A6�@�\�X]&�B5B}kZ+8c�§� - ��� 0L� � �¢� ��¥�0 #�' ¦ �§ � � "!H#A!sTAT20

©j@Sªyª 4e<CB?4 )?^C4]),4J6CB?+$@A6CB � �¢� �G¥�0 &�6Cd � �¢��'��]� ��¥�0 L &�)x),^C4]4�6CdCKN@A+$6=)?Bx@�\j&�64�.$4�Xp4�67)�@�\=),^"4�B*),(5+86Cv[&�6"dEdC4q),4J(?Xp+86C4')?^C4;\�@A(?PJ4�&�PJ)?+86Cvh@�6F)?^C4�+867),4J(5k/&�.:� � ���6'�F� !

Page 19: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� #?�

VW+86"P�4xª 4 &�B?B5<CXY4Jd )?^>&/)2)?^C4 B5)?(?+$6CveXY@Sk�4�[email protected]_lk�4�(*),+8P�&�.8.H_AL�^"4�6CPJ4 )?^C4x\�@A(5P�4�BM+$6),^C4F^C@�(?+8cJ@A67)¨&�.IdC+8(54�PJ)?+8@A6OB5^C@A<C.$d��N4F+86O�>&�.8&�6CPJ4�§;+ ! 4�!HL

� ���O' �F� �G¥�0"P�@AB\� �¢��' �]� 0 � � ��� ��¥�0"P�@�B-����� 0L� 4� �¤ "!$#�!UT�a2002+$kZ+8d"+86CvA� TW!{m"!sa 0��7_ �]��&/6Cdl.$4J)5),+86"v �F��� WLCª�4M),^=<CBu@A�"),&�+86

©© �� � ��� ��¥�0"P�@AB\� �¢� 0��m� -� �¤ "!$#�!UT/m 0

^C4�6"P�4� �¢� �G¥�0"P�@AB\� �¢� 0����°�¢¥�0 � �¤ "!$#�!UTAz#0

ª[^C4�(54��[�¢¥�0 � e��4JP�&�<CB54 +$)2+$B�),^"4 X]&�v�6C+$)?<CdC4x@�\�)?^C4 ^C@A(5+8c�@�6=),&�.'PJ@AXpK�@A6"4�67)M@�\),^C4M)?4�6CB5+8@A6�!�M6Y),^C42@/),^C4J(�^>&�6"d]),^C4jkA4�(*),+$P�&�.NXY@/),+8@�6Y+$B�dC4q),4�(5XY+$6C4�d]�=_ )?^C4�\¤&�Pq)�),^C&/)�)?^C4

),+$XY4p(,&/)?4]@�\}P¨^>&�6CvA4]@�\[.8+$6C4�&�(FXp@AXp4�67),<CX +$BEvA+HkA4J6�7_�)?^C4]B5<CX`@/\h),^C4p\�@A(?PJ4�B&�PJ)?+86CvY+86 )?^C4 k�4�(5)?+8P�&�.�d"+8(?4JPJ)?+8@A6�!jij4J6CP�4/L1<CB?+$6Cv � TZ!{mC!sT20¨L�)?^C4xXp@AXY4J67),<CX @�\;)?^C4B?XY&�.8.�4�.$4�Xp4�67)&��� ���p' �]� �+8Bhv�+$kA4J6l�7_

� §���� §§ � - �¢� 0 ¦s¬ I��K� � §����P§

§ � �¢� ��¥�0 #/' ¦ �§ ¦s¬ I�� � �¤ "!$#�!UT��20ª[+$)?^O)?^C4M),+$XY4M(?&/),4M@�\�P¨^>&�6"vA4�§

II�¥� §���� §§ � - ¦�¬ I��f� � §����P§

§ � - ¦s¬c¬ I��[� �¤ "!$#�!UTAG#0gh^C4�(54D&�(?4�)oª @ )Z+$6Cde@�\�\�@A(5P�4�B[&/PJ),+$6Cv @A6 )?^C4MB?4JvAXY4J67) � � ���Q' �]� 1@�\�),^C4�B5),(5+86Cv"§�¤+ 0h)?^C4E\�@A(5P�4JB�dC<C4E),@Y)?4�6CB5+8@A6l),^>&/) )�4J4�K )?^C4 B*),(?+$6CvY),&�<")2&�6Cd ª[^C@�B?4x^C@�(?+8cJ@A67)¨&�.P�@AXpKN@A6C4�67)?B}&�(54�+86Y�>&�.8&�6CP�4/L"&/6Cdh�¤+$+ 0'),^"4j\�@A(5P�4�B�&�PJ)?+86Cv & &�.$@A6CvDª[^[email protected]�)?^]@�\),^C4 B*),(?+$6CvCL1B5<CP¨^&�BMª 4�+$vA^7)�! gh^=<CB�L�<CB?+$6Cv�� TW! mC!sz20 L1)?^C4 6C4J)F\�@A(5P�4p&�PJ)?+86Cve@�6 )?^C44�6Cd"Bj@�\�),^"4DB*),(5+86Cv 4�.$4�Xp4�67) � � ���O' �F� �+$B

� �¢��' �]� ��¥�0"B?+$6g�����O' �]� 0/� � �¢� ��¥�0"B5+86g� �¢� 0\���� � B5+86������p' �F� 0

PJ@AB\�����p' �F� 0 �B5+86g����� 0PJ@AB\����� 0 �

��� � )¨&�6g� �¢��' �]� 0 �)¨&�6g� �¢� 0 ���� � ¦s§ ���O' �F� �G¥�0�� ¦�§ �¢� ��¥�0�� �

�¤ "!$#�!UT�r20

Page 20: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

T� ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

�><C(5)?^C4�(JL"),^"4Fª 4�+$vA^7)u@�\�)?^C4FB5)?(?+86"vY&/PJ),+$6Cv dC@Sª[67ª}&�(5d +$B

� ���¤�I s � � � §����P§

§ ��¤ #/' ¦ �§ I��K� � � §����P§§ � - ¤�I��[� � "!H#A!sT#� 0

©j4 �Z)�L7\�@A(�&�6 4q�Z)?4�(?6C&�.>.8@7&/d�L�ª[+$)?^ ),^C4hdC4J6CB?+H)o_ = �¢� �G¥�0qL=&�Pq),+86"vM@A6 ),^C4[B5)?(?+$6Cv��¤4/!{vC!HL&xkZ+8@A.$+86 B*),(?+$6Cv +8Bh�N@Sª�4Jd:0qL>ª 4E^>&�k�4�

� = I s � � §����P§§ � - = ��� ��¥�0�I��[� � "!H#A!{aA 0

�'+$6>&�.8.H_AL�@A6C4YB?^C@�<C.8dXp@ZdC4�.;),^"4]\�(?+$PJ),+$@A6 \�@A(?PJ4�Bx&/PJ),+$6Cv @�6�),^C4]B5),(5+86CvlB?4JvAXY4J67)�!� 4DB5^>&�.$.1&�B?B5<CXp4E& .$+86C4�&�(}.-&�ª @�\�\�(?+8Pq),+$@A6e@�\�),^C4M\�@A(5Xl§� �

� � ¦s¬ I s � � � §����P§§ � � #/' ¦ �§ ¦s¬ I��f� � � §����P§

§ � � - ¦s¬ I��[��� "!H#A!{a"#40©j@Sª &�KCKC.H_W+$6Cvx),^"4E©u4Jªh)?@A6!� BjB54�P�@�6Cd .8&Sª _Z+84J.8dCB

� � §����P§§ � - ¦s¬c¬ I��f��� � ¦s§ �¢�p' �]� ��¥�0�� ¦s§ ��� ��¥�0

� � §����P§§ � � - ¦s¬ I���' � §����P§

§ � - � = � ¤ 0�I5�[�� "!H#A!{a7T20

02+$kZ+$dC+86CvA� TW! mC!$#ST20��7_ �]��&�6Cd�.84q)?)?+86Cv �]� � xª�4D@A�"),&�+86 )?^C4F4�:=<>&/)?+8@A6� - ¦s¬c¬ ��� ¦s§&§ � � � - ¦s¬ ' � - � = � ¤�0<� � "!H#A!{aAa 0

�14J)5),+86"v V� ��� z � - &�6Cd � � = � ¤6�"ª 4F4�6Cdl<CKeª�4F),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6CvxP�@�6CP�+$B?4M\�@A(?X�§

¦s¬c¬ ' � ¦�¬ � V� ¦s§&§ ' � � � "!H#A!{a�m 0

9;:=<>&/),+$@A6�� TZ!{mC!H#�m 0 dC4�B5P�(5+8�N4�B ),^"4 kZ+8�C(?&/),+$@A6¡@�\M)?^C4�P�@A6"B?+8d"4�(?4Jd B5),(5+86Cv�@A6CP�4�+H)+8BjB?4q)M+867),@]XY@�)?+8@A6I!�gh^C4p� ->��� �L�I�C�E�j&�B?B5<CXpK"),+$@A6 ^C4J(?4 (?4JB?<C.H),B�)?@e& B?+$6CvA.$4E.$+86C4�&�(4�:=<>&�),+8@�6E\�@A( ¦ !|02<C4�),@�)?^C4�K"(?4�B54�6CPJ4}@�\>)?^C4 \�(5+8PJ)?+8@A6M)?4�(?X � ¦s¬ L/4�:=<>&/)?+8@A6�� TW! mC!H#�m 0+8B @�\ ),4J6e(?4q\�4�(?(54�dO&�B ),^C4!�4� - "��K�>�)�I�2�P�j� -������e� ���-��� �������@�¢���f�w�`�^����!|n�\�\�(?+$PJ)?+8@A6Y+8B6C4JvA.8+$vA+8�C.$4�L7),^"4�6lª 4FP�&�6�.84q) �!� &�6Cd�vA4J)[),^"4R� ���I� -����w�C�I�K�j�G� �����)�Q�¢���f�w�`�^���

¦s¬c¬ � V� ¦s§&§ ' � � � "!H#A!{a7z20

no6),^"4e&��CB54�6CPJ4�@/\h),^C4e4 �W)?4�(56>&�.�\�@A(5P�4JB &�6Cdª[^C4J6 ),^C4 ª 4�+$vA^7) @�\h),^"4eB5),(5+86Cv +8B6C4JvA.8+$vA+8�C.$4�L7ª 4EXY&�_])¨& )�4 � � )?@ vA4J)h)?^C4����I�2�P�j� -����w�E� �)�\��� �������Q�K�w���w� � ����§

¦s¬c¬ � V� ¦�§&§ � � "!H#A!{aA� 0

Page 21: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����f¦�b�#�����P��� �#����� ����������P��� ��O��� ��� ��� TW#

©j@�)?4p)?^>&/)EB?+$6CP�4 ¦ ^>&�BD),^C4Y<C6C+$)D@�\}.84�6"v�),^ �/L ¦s¬c¬ ^>&�BF),^"4]<C6C+H)D@�\[&�PJP�4�.$4�(?&/),+$@A6&�6Cd ¦s§&§ ),^C4F<C6C+H)[@�\ � � � L"^C4�6CPJ4 V ^C&�Bh),^C4F<C6C+H)[@�\�kA4�.$@WPJ+$)o_�!� �Z���C��� no6E��KCKN4�6"dC+H�E� ª�4}+$6CP�.$<CdC4�&jd"+8B?PJ<CB?B5+8@A6 @A6 dC4J(?+Hk�&�),+8@�6CB�@�\>B?@�XY4�@�\C)?^C4K>&�(*),+-&/.7dC+$3�4�(54�67),+8&�.=4�:=<>&/)?+8@A6CBJL/ª[^C+$P¨^ &�(54�@�\>+$67),4�(54�B*)|+86E�'.$<C+8dE&�6CdxvA&�B�dW_W6C&�XY+$P�BJL\�(?@AXf),^C4F<C6"dC4�(5.$_Z+86CvpKC^7_ZB?+$P�&�.1.8&Sª[BJ!���1�=���7� �J�W�#A!jVW^C@Sª ),^>&�) ¦ ��� �/£ 0d� .$@Av��¢� � '2£ � 0�B?&/),+$B5�>4JB}),^C4F��&�KC.8&�P�4 �{B�4�:=<>&/)?+8@A6 ¦s§&§ '

¦s­G­ � \�@A(=�¢� �/£ 0 �� �¤ �¨ 0 !TW! ¦ �¢� �/£6��� 0]���¢� � ' £ � '�� � 0 � � � � B,&/)?+8B5�C4�Bx),^"4e��&�KC.-&/P�4#� Bx4J:Z<C&/),+$@A6 ¦s§&§ '

¦s­G­ ' ¦ � � � \�@�(=�¢� �/£6�&¤ 0 ����¤ �¨ �, 0q!a"!jVW^C@Sª ),^>&�) ¦ ���4�¨w20\�� ��-�;B?+$6[�t�Iw20 B?&/),+$B5�>4JB}),^C4M��&�K".-&�PJ4�4�:=<>&�),+8@�[email protected]&�(P�@Z@A(5dC+86>&�),4�BJ§

¦���� ' #� ¦�� ' #

� � ¦� � 4�mC!h��4�(5+$\ _Y),^>&/)

¦ � �2T8£� � ' £ � ' T3�p' # � �]� � � ' £ � �¡#

� � ' £ � ' T3�O' #�N@�),^OB,&�),+8B*\ _ ),^"4E��&�K".-&�PJ4D4J:=<>&/),+$@A6�L>&/6CdlB�)�4q),P¨^ )?^C4FP�<C(*kA4�B ¦ � PJ@A6CB*)¨&�67)&�6Cd �F� P�@A6"B5)¨&/6=)�!}VZ^C@Sª ),^C&/)

¦ ' � �]� �&�t¤ � #40¤�' # � ª[^C4J(?4 ¤n���p' �r£ �

zW!jVW^C@Sª ),^>&/) ¦ ��� ��¥�0���¥ � � � � 4q�WK � �9� � z mjx)¥�0|B?&/),+$B5�>4JB�)?^C4[^C4�&�)�4�:=<>&/)?+8@A6 ¦s¬ �x ¦s§&§ \�@A(�¥ � "!

�"!jVW^C@Sª�),^>&/) ¦ ��� �/£ �G¥�0d��¥ � � 4q�WK ���]��� � '�£ � 0 z m�x)¥ 7B,&�),+8B*�>4�B1)?^C4�^C4�&/)�4J:=<>&/),+$@A6¦s¬ ��x�� ¦s§&§ ' ¦s­g­ 0 \�@A(�¥ � W!

GW![gh^C4DB?KC^"4�(?+$P�&�.$.$_YB5_ZXpXY4q),(?+$P2\�@A(?X @�\�),^C4F^C4�&/)uP�@A6Cd"<CPJ)?+8@A6�4�:=<>&/)?+8@A6O+$B�§

¦���� ' T� ¦�� �

#� ¦s¬ �

VW^C@Sª ),^>&�) �F� � ¦ B,&/)?+8B*�>4�B|)?^C4hB5),&�6Cd>&�(5d @A6C4/$odC+$XY4J6CB?+$@A6>&�.Z^C4�&�);4�:=<>&/)?+8@A6I!

Page 22: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

TAT ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

r"!jVW^"@�ª ),^>&�)h),^C4F4�:=<>&�),+8@�6w ¬ ����w §&§ � � � w � w - 0

P�&�6�N4](?4JdC<CPJ4�d),@l),^C4YB5)¨&/6Cd>&�(5d^C4�&�)xP�@�6CdC<CPq),+8@�64�:=<>&/)?+8@A6��7_�ª[(5+$),+$6Cv¦ � &�� ¬ � w � w - 0 !�ij@Sª dC@ _A@�<l+$6=)?4�(5KC(?4q)u)?^C4M),4J(?X � � w � w - 0��

�"! �uB?4 )?^C4�B?<C�CB*),+H),<")?+8@A6�������� �5¥/��� ��¥�)?@j),(?&�6CB*\�@A(?X�),^"4 @A6"4 $od"+8Xp4�6CB5+8@A6>&/.PJ@A67kA4�Pq),+$@A6-$od"+$3�<CB?+$@A6O4�:=<>&/)?+8@A6

¦s¬ � x ¦�§&§ � � ¦s§ �+$6=)?@ &p^"4�&/)[4J:Z<C&/),+$@A6�\�@�(��¦ �������0\� ¦ ���' ���6��� 0q!

#S "![n�\ = �� � ��# LC.$4J) ¦ �¢� ��¥�0�B?&/),+$B5\ _���� ¦s¬ � ¦�§&§ � � � � #2� ¥ �¡ -�¦ � ��¥�0 � ¦ �*#2��¥�0\� ��¥t" -�¦ �¢� �¨ 0\� = �¢� 0/� O� �}��#��

024J(?+$k�42),^C4F+$dC4�67),+H)o_�T ¦ � ¦s¬ � ¦s§&§ 0\� � ¦ � 0 ¬ ��� T ¦�¦�§ 0 § ' T ¦ �§ �#A#A!u�'+$6CdO),^C4EK�@AB5B?+$�C.84Fk/&�.8<C4JB�@�\ZJ�&/6Cd LM+86�),^C4E4q�WKC(54�B?B5+8@A6 ¦ ��P�@AB%J�¥WB?+86�L/� �

B5<CP¨^l)?^>&/)[+$)[B?&/),+$B5�>4JBh),^C4Mª�&Sk�4E4J:=<>&/),+$@A6 ¦�¬c¬ � V� ¦s§&§ �

#�TW![g�&#)=+86Cv ¦ � = ����'�� ¥�0 L'ª[^C4�(54 = +$Bx&�67_ \�<C6CPJ)?+8@A6IL��>6Cd)?^C4Yk/&�.$<C4�BE@�\��)?^>&/)hª[+8.$.I4J6CB?<C(54 ¦ B,&/)?+8B*�>4�B[),^C4Mª�&�kA4D4�:=<>&/)?+8@A6 ¦s¬c¬ � V

� ¦s§&§ �#Sa"![gh^C4�B?K"^C4�(5+8P�&/.8.$_�B5_ZXpXY4q),(?+$PekA4�(5B?+$@A6 @�\j),^C4Oª�&Sk�4 4J:Z<C&/),+$@A6 ¦s¬c¬ � V

� ¦s§&§),&#)�4JB[)?^C4M\�@A(?X¦s¬c¬ � V

� � ¦���� ' T ¦�� z �#0p�VW^"@�ªFL>�7_OKC<W)?),+$6Cv � � � ¦ ),^>&/)[+H)[^>&�Bu& B?@A.$<"),+$@A6e@�\�),^C4M\�@A(5X

�F� = � V ¥�� �#0�' ¤P� V ¥(' �#0p�#�mC!u�14J)������ � V ¥h&�6"d�� ���p' V ¥ ! �jB54M),^C4FP¨^>&�+$6l(5<C.842)?@ B?^C@Sª )?^>&/)

¦s¬c¬ � V� ¦s§&§ � �um ¦���� �

#�zW!jVW^"@�ª ),^>&�)h),^C4FB?@�.8<")?+8@A6 \�@A(})?^C4F+86C+H),+8&�.Nk/&�.$<C4MKC(5@A�C.84JX¦s¬c¬ � V

� ¦s§&§ � ¦ ��� �¨ 0\� = �¢� 0 � ¦s¬ �¢� �¨ 0\� ¤���� 0 �B?&/),+$B5�>4JB[)?^C4�� � ��� � -��w��� � � � �;��� -��G��� �

¦ ��� ��¥�0\� #T�� = ��� � V ¥�0c' = ���p' V ¥�0���' #

T V� §�����¬§ � ��¬ ¤��¢£�0�I5£ �

Page 23: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� T�auAv�� � ���!��{\y]~R}_��� 5�e���X|\}R���e�� 73%'7�Zd: �����G73: ; �<?�7D�5�-�I�-J+Z �.; �w�C�I���C���L���<�K� �?�G�I��� � ���w� @\7F�<�3�5:":P^_7D�5� ��,3:��-�G�_��iX%'7R� : CH3� :B*-7R( io*5�-,.#/�����-�K�3�$H��I�-J��/*5^�?m(4���g,R�4�$#/�"�5*�� #/� 7R� �-#�� ��� #07l�5%_,R�4*5�$#g�5�5: 7h�5*5^���78%���i?����"�$#0�.Z � �-(l#&�-73�I% (578%t� H3�$#/� H-7.� St#&�-7 ,.�4�-,R73?$#q��iX(578%t� H3�$#/� H-7������ J�73�-78%'� : ���p7R(��m#0�l(4���oC,R�4�$#/�"�5*�� #t; ?����"�$#0�K�"� #&�-7m,R�4�$#07��3# �8i��6@\7R� �li¢� %6^�*5: �-#/� �4� �)Yp` �9�-7l#&�5%'��*-J4� �g#&*-(�;��iLJ�78�-73%��5:B� �.7.(lio*5�-,.#/� �4�-��� �j#&�-7 �p*5���o7R,p#j�8iL#&�-7 (4� �g#&%t�I�5*$#/����� #&�-7.� %M;mSti¢�5%L�A�3%6��7pi��"�DC#&%'�)(+*-,.#/� �4�K�G7.7"! ?5?�78�-(4� ��#[Y.`La ^=?5*5: �g7��5�-(e�0#078?fio*5�-,.#/� �4�-���8%'7 7����5^�?5: 7R�=��iE^_���g#,R�4^=^_�4�5: ; *-�g7R(�J�78�-73%��5:B���p7R( io*5�-,.#/� �4�-� @9� #&��^j� �$;=�5?5?5:B� ,D�$#/���4�-�pZ+7�`NJs` �-7R�-# ,R�4�-(+*-,<C#/���4� Z5@��$H-7�?3%'��?3�3J5�$#/����� Z��&��J4�3�5:�� �3�5: ;-�&��� � �-(n���5^�?5: �I�-J]�&��J��3� : �.Zs�I�q�5%'(573%P#0�](57.�G,3%6�"��7#&�-7_( �$#g���5�-(]�G��:"*$#/�����E��i #&�-7�*5�-(578%6: ;��"�-J�(4� OP73%'78�$#/��� :87RQ+*3�$#/�����-�R`%$ � J4�3�5: ���8%>7_,.78%>#g���I�#6;5?�7E��i J�73�-78%��5:B� �.7.(�io*5�-,p#/���4�-� (57&� �-7R(���H-78%°��,R���$#/�I�5*-�4*-�j%'� �-J�7E��i �5� �"�-(578?�78�-(578�$#H3�8%6��� �5: 7q�p*-,3�F�-��#/�I^_7�`9W'���5^�?5: 7R�X��iV�p*-,3�F�&��J4�3�5: �j�"�-,8:"*-(57�H-�4: #g�3J�7�Zs,8*5%6%'73�$#<Z[?��D@\78%rZ?8%>7R�g�p*5%>7�Z)(��D@_Z[H-��:"*5^_7�ZV� �-J4: 7�Z[(4���<?5:��-,R73^j73�$#<Z �-,R,.78: 78%��$#/����� Zd�5�-(l�g�Ai¢�5%M#&�)`lac� #&��� ��G7.,.#/� �4�f@\7�(573%6� H-7 #&�-7��0#078?A�5�-( �"^�?5*5: �G7�io*5�-,.#/�����-�=#&�5%>�4*-J4�K(4� O 78%>78�$#/���-#/�"�-J!73� #&�-78%#&�-7 ��� - " �?�G�I��� � ��� �"�$#&%'�)(+*-,R7R(���73: �D@_Z)�5%s#&�-7 �����2���¡�w�?� �8���¡�j� �?�G�I��� � ��� `V�9�-7=U �"%��-,~ Crio*5�-,.#/� �4�����_(578%6� H-7R(sZ 7�`NJs`E�-�j�*� J�73�-78%��5:B� �.7.(��f(578%t� H3�$#/� H-7nio%>�4^�#&�-7n�0#078?�io*5�-,.#/�����)`kh7 �<�3�5:":R� : �G�=*-�G78Z�i¢�5%r^j� :"Z�(578%t� H3�$#/� H-7.�V��i ~ Crio*5�-,.#/� �4�-�.Z3@_��� ,8���8%>7�Z)%6��J�� %>�4*-�<: ;.Z�(57&� �-7R(�I��#&�-7=(4� �g#&%t�I�5*$#/� �4�]�g78�-�g7�`��,'�&%�� ���>���¡���� ��������� �C���������>� %,+ gh^C4D(,&�XpK \�<C6CPq),+8@�6 �4�¢¥�0}+$BhdC4J�>6"4�d �7_

�+��¥�0\� §.- � \�@�( ¥ � ¥/��\�@�( ¥�" � �¤ "!sTW!$#?0

�4�¢¥�0

¥

�h� 5N�������/+ gh^C4D(,&�XpKe\�<C6CPJ)?+8@A6 �4�¢¥�0 !

gh^C42\�<C6CPq),+$@A6 �+��¥�0�+$B}4Jk�4�(5_=ª[^C4J(?4DdC+$3�4�(54�67),+8&��C.$4�4q�WPJ4�K")u&/)�),^C4M@A(5+8vA+$6�¥\� "! � 4dC4J�C6C4E)?^C4FB5),4JKl\�<C6"PJ),+$@A6O),@p��4M),^"4DXp@ZdC+$�>4JdOdC4�(5+$k/&/),+HkA4 � a �¢¥�0}@�\ �+��¥�0}�=_O.$4J)5),+86"v� a � 0�§"� #A!

Page 24: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

T/m ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

����� ��� � �(���!����� �������$� � ����� #$�(*E���)���no6 X]&/6=_�4�6Cv�+86C4J4�(?+$6Cv &�KCK".8+8P�&/),+$@A6CBD),^C4e<C6"dC4�(5.$_Z+86Cv dC+H3I4J(?4J6=)?+-&�. 4�:=<>&/)?+8@A6 XY&�_\�(?4J:=<C4�67),.H_ ^>&�kA4 &�dC+8B5P�@A67)?+86=<C4�BD\�@A(?PJ+86CvO\�<C6CPq),+$@A6�L�\�@A(F4q�"&�XpKC.84Y&�B5:=<>&�(?4Yª}&�kA4(?4JB?<C.H),+$6Cv}\�(?@AX &�6F@A6��/@/3xB5ª[+H),P¨^�!�no6F@A(?dC4J(1),@[&�PJP�@AXpXY@Zd>&/)?4|B?<"P¨^ dC+$B?P�@�6=)?+86=<C+H),+84JBª 4 <CB54�)?^C4/�@�8���)�L�e� �����K�?��" �?�G�I�)�`� �)����¥�0qL�ª[^C+8P¨^Dª�4/L�PJ<CB5)?@AX]&/(5_AL�dC4J6C@�),4��7_Dw+��¥�0q!��B2\�@�(j),^"4 B?+8v�6>&�.'K"(?@A�C.$4�XpB�§[),@eB?&S_l),^>&�)F& B?+$vA6>&�.�+8BM& PJ@A67),+86=<C@�<CB $ ),+8Xp4 B5+8vA6C&�.+8BM6"@�)F),^C4pB,&�Xp4 ),^>&�)E+H)F+8BF&OP�@A67)?+86=<C@A<CBF\�<C6CPq),+$@A6�@/\ )?+8Xp4�L1�C<")[email protected]_ )?^C4p)?+8Xp4¥2+$BD&�PJ@A67),+86=<C@�<CBDk/&�(5+-&��".84�! �j6�+$XYKN@A(5),&�67)M4q�"&�XpKC.$4 @�\�)?^C+8BFdC+$B5),+$6CPJ)?+8@A6�+$BM),^C4�@�2����� �E�^����� �?� " �?���I��� � ����w+��¥�0q§�e��+| ����S�¤�N ¡¦(, �(|-A��QAEDGH)9LM89 N_A � �?� " �?���I��� � ����w4�¢¥�0 9LMQN_A ��36AEN>J � �

w+��¥�0�� § � a ��¥�0\� - 0 :<B ¥ � # 0 :<B ¥t" 4� � "!sTW!sT20

w+��¥�0¥

# O

�h� 5N����� � + gh^"4 iu4�&�kZ+8B?+$dC42\�<C6CPq),+$@A6 w4�¢¥�0 !gh^C4Oiu4�&�kZ+8B?+$dC4eB5)?4�K \�<C6CPq),+8@�6 +8B &�.$B?@ \�(54�:=<C4�67)?.$_ (54J\�4�(5(?4Jd )?@ &�Bx),^C4n�����¡�#�K�?��"�?�G�I�)�`�^��� @A( B?+$XYKC.H_�)?^C4�� �P��" �?�G�I��� � ���I! ��B ª�4�Xp4�67),+$@A6C4�d &��N@SkA4 � a �¢¥�0x+$B 6C@�)dC4q�>6C4�dp\�@A(\¥�� E&�6"d]w4�¢¥�0;+8B�dC+8B5P�@A67)?+86=<C@A<CB�&/)�¥\� "!;iu4�(54uª 4jd"4J�>6C4�w+�¤ 0�§I� #AL<C6C.$4�B5B @�)?^C4�(*ª[+8B?4p),^C4pKN@A+867)=¥=� l+$BE4 �"K".8+8PJ+$)?.$_ 4 �WP�.8<"dC4�d\�(5@AX ),^C4pdC@AXY&�+$6�@�\dC4q�>6C+$)?+8@A6I!|��\�<C6CPJ)?+8@A6e(54�KC(54�B54�67),+$6Cv & <C6C+H)[B5)?4�Kl&/)X¥�� � XY&S_]��4F@A�W)¨&�+$6C4�dO�7_& ^C@A(5+8c�@�6=),&�.I)?(,&�6CB5.-&/)?+8@A6e@/\'dC<"(,&/)?+8@A6 � !�gh^C+8BhB5^C+$\ )h\�<"6CPJ)?+8@A6O+8B[dC4q�>6C4Jd �7_

�*#40 w4�¢¥�� � 0\� - � \�@A(µ¥ � �#2� \�@A(µ¥�" � � � T20 �+��¥�0�� � ¬

���w+� � 0�I �+� � "!sTW!{a 0

gh^C4FKC(5@WdC<"PJ) = �¢¥�0*w+��¥�� � 0 )¨& )�4�B[k/&�.8<"4�B= �¢¥�05w4�¢¥�� � 0L� - � \�@A(µ¥ � �

= �¢¥�0/� \�@A(µ¥t" � � � "!sTW! m 0

Page 25: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� TAz

w4�¢¥�� � 0

¥# �

O

�h� 5N������� + gh^"4 iu4�&�kZ+8B?+$dC4M\�<C6CPq),+8@�6lw4�¢¥�� � 0q!

VW@ ),^C4F\�<C6CPq),+$@A6 w4�¢¥�� � 0}XY&�_e��4D+867)?4�(?K"(?4J)?4�d &�B�& dC4qkW+$P�4F\�@A(��5B5ª[+H),P¨^C+$6Cvp@A6��

= �¢¥�05w4�¢¥�� � 0

¥= � � 0 �

O

�h� 5N�����l� + gh^C4M\�<C6CPJ)?+8@A6 = ��¥�05w4�¢¥ � � 0 !

),^C4h\�<C6"PJ),+$@A6 = �¢¥�0|&/)�¥\� � !|no6 ),^C+$B�ª�&�_ ),^C4[<C6"+$)�B5)?4�Kp\�<C6CPJ)?+8@A6pXY&S_ ��4[<CB54�dp),@ª[(?+H),4 & P�@�6CP�+$B?4x\�@A(5Xx<C.-&�),+8@�6 @�\�KC+$4�P�4qª[+8B54pPJ@A67),+$6Z<"@A<CB2\�<C6CPq),+$@A6CB�!Eg�@O+$.8.8<"B5),(?&/),4),^C+$B�L�P�@�6CB?+$dC4�( ),^"4�K"+84�PJ4Jª[+$B?4 $�P�@A67)?+86=<C@A<CB \�<C6"PJ),+$@A6 = ��¥�0 +8.8.$<CB5)?(,&/)?4�d+$6 ),^C4O�'+$v��4J.8@Sª�&/6CdOdC4J�>6"4�d �7_

�*#40 = ��¥�0\����� = �R��¥�0 � \�@A( O� ¥ � ¥/�

= �3��¥�0 � \�@A( ¥/�t� ¥ � ¥0�=  3��¥�0 � \�@A( ¥�" ¥0�$�

�¤ "!sTW!Uz#0

g�@pP�@�6CB5)?(?<CPq)u)?^C+8Bh\�<C6"PJ),+$@A6 = �¢¥�0 ª 4D<CB?4M),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6CvxB5ª[+H),P¨^C+$6Cv @AKN4�(,&�),+8@�6CB�§�¤+ 0�B5ª[+$)?P¨^l@�6O)?^C4M\�<C6CPq),+8@�6 = �.�¢¥�0h&/)X¥\� w£�¤+$+ 0MB5ª[+$)?P¨^ @A6�)?^C4]\�<C6CPq),+$@A6 = �$�¢¥�0E&�)n¥]� ¥/�E&�) ),^"4 B,&�Xp4Y)?+8Xp4YB*ª[+$)?P¨^ @/3 )?^C4\�<C6CPq),+8@�6 = �R�¢¥�02£�¤+$+8+ 0[B5ª[+H),P¨^ @A6 )?^C4 \�<C6CPq),+8@�6 =  -�¢¥�0M&/)�¥j��¥0�x&�6"d�&�)M),^C4 B,&/XY4 ),+$XY4 B5ª[+$)?P¨^�@/3),^C4D\�<C6CPq),+8@�6 = �-�¢¥�0 !hno6l),4J(?XpBj@/\|),^C4D<C6C+H)uB5),4JK \�<C6CPq),+$@A6l)?^C4D\�<"6CPJ)?+8@A6 = �¢¥�0hXY&S_

Page 26: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

T�� ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

),^=<CB[�N4F4q�WKC(?4JB?B54�d�&�B= �¢¥�0�� = �R�¢¥�05w4�¢¥�0�' � = �3�¢¥�0�� = �p�¢¥�0 8w+��¥ �2¥/��0c' � =  -�¢¥�0�� = �3�¢¥�0 8w+��¥��2¥0� 0p� � "!sTW!{� 0

= �.�¢¥�0= �¢¥�0

¥

= �-�¢¥�0=  $�¢¥�0

¥/� ¥0�O

O

O

�h� 5N������¦ + gh^C4F\�<C6CPq),+8@�6 = �¢¥�05w4�¢¥�� � 0q!

��4J.8@Sª &/(?4FB?@AXp4M@�)?^C4�([+8.$.8<CB*),(?&/),+HkA4�4 �"&�XYK".84�BJ§���1�Z���;�Z�j�\, �(|-A �8�w���<�8��"��G�L�2� �?�G�I��� � ��� { 9Z7^|qD G9ZHGA83nD ~ vbF�9Z7`1wN_A�� �

= �¢¥�0�� - � � 0 :<B ¥����/J �:L 0 -� 0 :<B ¥ z���/J �:L 0 � "!sTW!sG20

5EDG3�J8A�BCAPvbBCA�M)A83-7¡DG7 9;:<3�J �Q7^|-A :<36AgF�9Z36A Aed¢vbBCA�M�M89;:<3)��= ��¥�0\� � � w+��¥-��J>0-� w4�¢¥>�YL 0 6�

= �¢¥�0

¥

� �

J LO O

�h� 5N����� ¥.+ gh^"4DB5:=<>&�(?4DKC<C.$B?4M\�<C6CPq),+$@A6 = �¢¥�0 !

���1�Z���;�Z����,���M89Z3�rDh5�: ~ JK9Z3bDG7`9;:<3n:?0��QAEDGH)9LM89 N_Au021_36587 9;:<3wM �(|-A �\�w� �?�G�b���`�^��� �

� �¢¥�0\����� #/' ¬

�0 :<B � � � ¥t�

#<� ¬�

0 :<B p� ¥t� � 0 :<B ¥ z� � � � � � �

� "!sTW!{r 0

Page 27: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� TAG

� �¢¥�0

¥� � �

#

�h� 5N����� � + gh^"4E^>&�)h\�<C6CPJ)?+8@A6 � ��¥�0q!5EDG3nJ8ApAed¢vbBCA�M�M)AENi9Z3nDh5�:<36589LM)Au0 :<B ~ D<M

¤P��¥�0\� � #/' ¥� � � w+��¥c' � 0�� w4�¢¥�0 4' � #<� ¥

� � � w+�¢¥�0 � w4�¢¥�� � 0 � � #/' ¥

� � w4�¢¥c' � 0�� T3¥� w+��¥�0 �

� #<� ¥� � w+��¥ � � 0p�

���1�Z���;�Z�}�(,��^0 9Z3 7Z|-A ��djD ~ vbFLA �i{ ARFLA87 � � B?+$6[�¢¥�0/� JF� DG3bN LX� �� 9 m AKm �

= �¢¥�0\� - B5+86�¥/� 0 :<B ¥ � � -� ! -� 0 :<B ¥ z� � �� 0 �¤ "!sTW! �20

7^|-A83 �#{ A _A87�7^|-Ah5�:<3-7 9Z3-1\:<1�MiM89Z3-1�MOM89�G3bDGF��i= �¢¥�0]� � w+�¢¥�0 � w4�¢¥ � 0 �B?+86°�¢¥�0p� .58147 �E:��%02BC: ~ M89Z3-1�M�021436587 9;:<3nD<M M�|-: { 3}9Z3}7Z|-A���9��m#J8A8FL: {

B?+86°�¢¥�0

¥# �

�h� 5N�����'= + � B?+86=<CB[B5+8vA6>&/.�B?+$6[�¢¥�0 !

���1�Z���;�Z� �c,��/:<3wM89 N_A8B 36: { 7^|-A � vb1_BCA8F � � 5�:<3-7 9Z3-1-:<1jM M89�G3bDGF w � �¢¥�0 G9ZHGA83nJ �

w � �¢¥�0������ 0 :<B ¥ � �¬� 0 :<B p�b¥/��� �# 0 :<B � � ¥<�

�¤ "!UTZ!$#S 20

Page 28: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

T�r ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

�(|-A83 ��w � �¢¥�0 |wD<M 7^|-A�0 :<FZFL: { 9Z3��:<36A F�9Z36A�Aed¢vbBCA�M�M89;:<3!0 :<B ~ �

¥# �

O

�h� 5N�����'� + gh^C4DB?+$vA6>&�.Iw � �¢¥�0 L

w � �¢¥�0�� ¥� � w+��¥�0�� w+�¢¥�� � 0 � ' w+��¥ � � 0�� ¥

�w+��¥�0�' � #<� ¥

���w+��¥ � � 0p�

����� ��� � �(��� � �$#$�)�C� #$�(*E���)���(�� 4DB*)¨&�(*)hª[+$)?^O)?^C4M\�<C6CPq),+8@�6�\�@A(})?^C4M\�@A.8.$@Sª[+86Cv \�w�����8��"��G� �8��§

~��$��¥�0}§I� - �� k� ¥�� ¥ z� � � 4 � "!sTW!H#A#40

~��$��¥�0

¥

# z

O O

�h� 5�������=�.+ gh^C4DB?:=<>&�(54EK"<C.8B542\�<C6CPJ)?+8@A6l~��R��¥�0q!©j@/),42),^C&/)j~��hB?&/),+$B5�>4JB � �

���~��D�¢¥�0�I�¥\� #��

Page 29: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� T#�

�e�j+' ��������N ¥(, �(|-A �#�L�C�j� � �[~ �?�G�I�)�`� �)� 9LM�N_A ��36AEN>D<MQ7^|-A �L�#-i�;� "����L�8� �?�G�I�)�`�^��� �~4��¥�0�� .8+$X��

� - ~��D�¢¥�0 m �(|_9LMu021436587 9;:<3q|wD<M@7Z|-A�0 :<FZFL: { 9Z3� vbBC:�v-A8B27`9;A�M �� #40 ~��¢¥�0�� 0 :<B ¥ �� -� � T#0 ~��¢¥�0 9LMR143bN_A ��36AEN�0 :<B ¥�� -��¤a 0 � ¬ ¶¬ ²

~��¢¥�0�I�¥\� - # 9 0 ¥/� � � ¥0�?� � :<7Z|-A8B { 9LM)A � 9Z3rvwDGB27 9;5814FSDGB � �

���~4��¥�0�I�¥\� #��

� 4MXY&�_]<"B?42),^"42\�@A.8.$@�ª[+$6CvDvA4�@AXp4J)?(?+$P2&�KCK"(?@7&�P¨^O@�\�)?^C4MdC4J�C6C+$)?+8@A6]\�@�(�),^C4202+8(,&/PdC4�.H)¨&l\�<"6CPJ)?+8@A6�§p<CB5+86Cv )?^C4�L�KC<C(54�.H_AL;P�@�6=)?+86=<C@A<"B B?+8v�6>&�.�@�\u9'�C&/XYKC.$4 m ª 4e^>&�kA4@A�7kZ+8@A<CB5.$_

w+��¥�0L� .8+$X� � - w � �¢¥�0/� �¤ "!UTZ!$#�T#0&�6CdO),^C4FB5:Z<C&�(?4DKC<C.$B?4

~ � ��¥�0�� I=w � �¢¥�0I�¥ � �¤ "!UTZ!$#Sa20

(�@AXpK>&�(?+$6Cvl� "!sTW!H#�T20}&�6"d2�¤ "!UTZ!$#Sa20 ª�4FvA4q)~4��¥�0L� .8+$X� � - ~ � ��¥�0L�

I=w+�¢¥�0I�¥ � �¤ "!UTZ!$#�m 0

(�@A6CB54�:=<C4�67)?.$_lw+��¥�0hP�&�6���4M4 �"K"(?4�B5B?4Jd &�B}),^C4@�K�G����� � �r� �b�?� �f�����

w+��¥�0�� � ¬���

~4� �:0�I ��� �¤ "!UTZ!$#�z#0ª[^C+8P¨^]+8B�PJ@A6CB5+8B5)?4�67)}ª[+H),^Y)?^C4�@�(?+8v�+86>&�.>d"4J�>6C+H),+$@A6]@�\1~4��¥�0qL=\�@A(?Xx<".-&/)?4�d]+$6](54�.-&�),+8@�6� a 0h@�\;)?^C4 dC4q�>6C+H),+8@�6�![gh^C4x+8XpKC<C.$B?4M\�<C6CPq),+$@A6 +$B�dC4JKC+8Pq),4�d vA(,&�K"^C+8P�&�.8.H_O&�B�+$6l)?^C4�'+8v"!h��4J.8@SªFLNª[^"4�(?4 �J# �p��4JB?+8d"4E),^"4x&�(5(?@Sª +86Cd"+8P�&�),4�B[),^C&/)j)?^C4 �8���;�_�R� �����b�R���2�8�� ��� - "��G�L�2�[+8B[<C6"+$)o_A!

~��¢¥�0�� �� ¬ w+��¥�0

¥#

�h� 5N��������� + gh^"4Dd"4�.$),&x\�<C6CPJ)?+8@A6�~��¢¥�0�� w a �¢¥�0 !

Page 30: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

aA ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

gh^C4 B?P�&�.84Jd�+8XpKC<C.$B?4F\�<C6CPJ)?+8@A6 D~��¢¥�0u+$B2B?+$XYK".$_e),^"4xdC4�(5+$k/&/)?+$kA4 @�\;),^C4 B?P�&/.84�dB5)?4�K \�<"6CPJ)?+8@A6 Ew4�¢¥�0qL Q+8Bj&]P�@A6"B5)¨&/6=)�!�iu4�6CPJ4 ),^"4Ek/&�.8<"4E@�\'),^C4EB?P�&/.84�d +8XpKC<C.8B54+8B ! D~4��¥�0

¥

� � 0 D~��¢¥�0

¥

� � 20

�h� 5N�������W� + VWP�&�.84JdO<C6C+$)[+$XYK"<C.8B54�\�<C6CPq),+8@�6CBh\�@A( �¡ p&�6Cd � W!� 4�ª[+8.$.A@�\ )?4�6D4�6CPJ@A<C67),4J(�),^"4 KC(5@Wd"<CPJ)�@�\"<C6C+$) $o+$XYKC<".8B?4�\�<C6CPJ)?+8@A6Fª[+$)?^D&�6C@�)?^C4�(

\�<C6CPq),+$@A6 = �¢¥�0 L"),^>&�)j+$B¤P�¢¥�0\� = �¢¥�0*~4��¥�� � 0/� � "!sTW!H#S� 0

ª[^C4J(?4 ª 4x^>&�kA4 +86CPJ.8<CdC4Jd ),^"4 KN@AB?B5+8�C+$.8+$)o_]),^>&/)�~��¢¥�0uXY&�_���4EdC4�.8&S_�4�d�+$6l),+$XY4D�7_B?@�XY4F&�Xp@A<") � �¤@�([&�d"k/&�6CPJ4�d�+86e),+$XY42+H\ � � 0 )?@ KC(?@ZdC<CPJ4E~��¢¥�� � 0q!;�j6C@�)?^C4�(+867)?4�(?K"(?4J),&/),+$@A6e@�\'~4��¥ � � 0�+$BhB?+8XpKC.H_]),^C&/)

~��¢¥�� � 0\� I=w+��¥�� � 0I�¥ � � "!sTW!H#�G20

g�@�+867)?4�(?K"(?4J)�),^"4 KC(5@Wd"<CPJ)'B?+8v�6>&�.f¤P�¢¥�0�+86������ 0�ª�4�&�v7&�+$6EXY&#)/4 <CB54�@�\C&�KCKC(5@��"+$X]&�),4+8XpKC<C.$B?4�\�<"6CPJ)?+8@A6�~ � �¢¥�0�),@ dC4q�>6C4F),^C4FB5+8vA6>&/.

¤ � ��¥�0L� = �¢¥�0*~ � �¢¥ � � 0/� � "!sTW!H#Sr 0&�B2+$.8.$<CB5)?(,&/)?4�d +$6 ),^"4 �'+8v"!2��4J.8@SªF!M��B5B?<CXp+86"v ),^>&/) = �¢¥�0u+8B2PJ@A67),+86=<C@�<CB2@SkA4J(2),^C4+867)?4�(5k/&�. � �z¥�� � ' �eL�ª�4xXY&�_�&�KCKC(5@��"+$X]&�),4@¤ � �¢¥�0}\�@A( � B5<4®pP�+84J67),.$_lB?XY&�.$.&�B[B?+$XYK".$_

¤ � �¢¥�0�� = � � 05~ � �¢¥�� � 0 � � "!sTW!H#?� 0�N4�P�&/<CB?4 = ��¥�0j+8B2&�KCKC(5@S�W+$X]&/)?4�.H_lPJ@A6CB*)¨&�67)F@SkA4J(2),^C+$B2+867),4J(5k/&�. !DVW+86CPJ4 ~��¢¥�� � 0u+8B),^"4D.$+8Xp+$) @�\'~ � ��¥�� � 0�B?& � � "L>+H)}\�@A.8.$@Sª[B�),^>&�)

¤P�¢¥�0\� = �¢¥�05~��¢¥�� � 0�� = � � 05~��¢¥�� � 0p� � "!sTW!sT� 0

Page 31: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� a"#= �¢¥�0

¥� � ' �

~ � �¢¥�� � 0

¤P�¢¥�0

¥� � ' �

� U � X�

�h� 5N����� �Z�.+ no.8.8<"B5),(?&/),+$@A6 @�\|&�KCKC(5@��"+$X]&�),42KC(5@Wd"<CPJ)g¤ � �¢¥�0\� = �¢¥�0*~ � ��¥�� � 0 !

gh^>&/)u+8B})?^C4F+8XpKC<C.$B?4M~��¢¥�� � 0�+8BhB5+8XpKC.$_]B?P�&/.84�dO�7_e),^"4Fk/&�.$<C42@�\ = ��¥�0[&�)X¥�� �),@ K"(?@ZdC<CP�4i¤���¥�0E&�BE+8.$.8<CB*),(,&�),4�d�+86��'+8vC!l&��N@SkA4�!�gh^"+8B +$B B5@AXY4q),+$XY4JBEP�&�.8.$4�d�)?^C44�:=<C+Hk�&/.84�6"P�4FKC(?@�K�4J(5)o_e@�\�),^"4D<"6C+$)[+$XYKC<".8B?4/!

� B?+$XYK".84�L��7_�KC&�(5)?+8P�<".-&�(5.$_�+$XYKN@A(5),&�67)D4q�Z),4J6CB?+$@A6@�\})?^C+8BE(?4JB?<C.H)x+8BF),^C&/) )?^C4+867),4JvA(,&/.1@�\�¤P�¢¥�0}@SkA4J(2&�.$.�¥h4�:=<>&�.$B�L�\�(?@AX )?^C4DKC(?@AKN4�(*)o_�� a 0}@�\|)?^C4DdC4J�>6"+$),+$@A6l&�6Cd� "!sTW!sT� 0¨L � �

���= �¢¥�05~��¢¥�� � 0�I�¥\� = � � 0 � �¤ "!UTZ!UTW#?0

ª[^C+8P¨^l+8B<)=6C@Sª[6 &�B�� �w� �?�`� � � "6�8��"u�C� �S�l@�\�),^C4D<C6C+H)u+8XpKC<C.8B54�!�gh^>&/)j+8BJL>6C@pX]&/)5),4J(^C@Sª�P�@�XYKC.$+8P�&/),4JdO)?^C4F\�<C6CPJ)?+8@A6 = ��¥�0hXY&�_e�7_AL�),^C4D+867)?4�vA(?&�.1@�\ = �¢¥�05~��¢¥�� � 0h@Sk�4�(&�.8. ¥�4J:Z<C&�.8B[B?+$XYK".$_p),^C4Mk/&�.8<"4M@�\ = ��¥�0}&/)h),^"4DKN@A+$6=)X¥\� � !���1�Z���;�Z�}¦(,Y>}A { 9ZFZF�A8365�:<1_3-7PA8BR7Z|-AR9Z3-7PA GBEDGF

� �3\�� 0\� � �

���& � B��8¬ ~4��¥�� � 0�I�¥<� �¤ "!UTZ!UTAT#0

.�7 ��BCM87�GFSDG365�A � 7^|_9LM�D8v�v-AEDGBCMQ7?:�J8A�D}5�: ~ vbF�9;5EDG7PAENr9Z3-7PA GBEDGFc1_3-7`9ZF { AQ36:<7`9;5�A!7Z|wDG79Z7!5�:<3-7¡DG9Z3wM�DG3 9 ~ vb14FWM)A �t587`9;:<3bm �(|-AhA8H<DGF�1�DG7 9;:<3 :?0i7Z|-A>9Z3-7PA GBeDGF/9LM>7^|-Ar7`B29ZH)9 DGF02BC: ~ �¤ "!UTZ!UTW#?0 DG3bNi9LM�G9ZHGA83 J �

� �@\�� 0 � & � B�� � � P�@AB�� � ' \�B?+$6�� � �

Page 32: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

a7T ������� ������� � ����� ����� ����� �<�= ��¥�0

¥�

~��¢¥�� � 0

¤P��¥�0\� = ��¥�05~��¢¥ � � 0

¥�

= � � 0

�h� 5N�������=� + no.$.8<CB*),(?&/),+$@A6e@�\�KC(?@ZdC<CPq)jB5+8vA6C&�.6¤P�¢¥�0\� = �¢¥�0*~4��¥�� � 0q!

gh^C402+$(,&�P ~\�<C6CPq),+$@A6 +$B�)?^C4 XY@AB*)Oª[+8dC4J.$_ )=6C@Sª[6��w�C�I���C���L���<�K� �?�G�I�)�`� �)��!� +$)?^C+86 )?^C42),(?&�dC+H),+8@�6>&�.N(?4�&/.8Xf@�\�\�<"6CPJ)?+8@A6CBJL"),^"4E02+$(,&�Pu\�<C6CPq),+8@�6�d"@W4JBh6C@�)[XY&#)�4B?4J6CB?4/!;©j4qkA4J(5),^"4�.84JB?BJLA+$)�+8B1@�6C4 @/\W)?^C4 Xp@AB*)�+8XpK�@A(*)¨&�67)1)?@W@A.$B1+86M),^"4 B*),<Cd"_F@/\CXY&�67_KC(5@A�C.84JXYB�+86YKC<C(542&�6Cd &�KCKC.$+84�dpXY&/),^C4JX]&�),+8PJB�L=KC^7_ZB?+$P�B�L"4�6CvA+$6C4�4J(?+$6CvCLZX]&/)?^C4�XY&/) $+8P�&�.�B5)¨&�),+8B*),+$P�B�L�&/6Cd B?@�\�@A(*),^�! �26C4 XY&�_�)?^C+86�) @�\ L;4/!{vC! V ~4��� 0 &�Bx(54�KC(54�B?4J67),+86"v),^"4EP¨^>&/(?vA4EdC4�6CB5+$)o_�@�\|&YK>&�(*),+$P�.84F@�\'P¨^>&�(5vA4 V @A6�),^C4q��$ &��W+$Bu)?^>&/)j@WPJP�<CKC+$4�[email protected]_),^"4pB5+86Cv�.84 KN@A+867)q���f "§M),^C4J(?4p+8BF6C@�P¨^>&�(5vA4Y4 �WP�4�KW)x&/)F)?^C4Y@�(?+8v�+86 &�6Cd ),^"4 )?@ $)¨&/.|P¨^>&�(5vA4 +8B V ! no6 )?^C4 B?4�:=<C4J. L1ª 4p)?(?4�&�)M),^C4p~Y\�<C6"PJ),+$@A6CBD&�BM6C@�(?XY&�.'\�<C6CPq),+$@A6CB�N4�&�(5+86Cv +$6�XY+$6Cd )?^>&/)2)?^C4�+$(M&�KCKC.$+8P�&/),+$@A6CBu(?4�:=<C+$(?4 P�&�(?4q\�<C.'+$6=)?4�(5KC(?4q)¨&/)?+8@A6��>&/B?4�d@A6OKC(5@AK�4J(5)?+84�B�� #40 $<� a 0�&/��@SkA4/!� �Z���C����, �j6 &�.H),4�(56>&/)?+$kA4Y&�KCK"(?@7&�P¨^�\�@A(D)?^C4]d"4J�>6C+H),+$@A6�@�\�),^C4YdC4�.H)¨&�\�<"6CPJ)?+8@A6+8BM�7_�(54�KC.8&�P�+$6Cv ),^"4p6"@A6CB?Xp@Z@�),^ ~��$��¥�0�@�\ )?^C4 dC4J�C6C+$)?+8@A6 &��N@SkA4 �7_ &�6 +86"�C6C+$)?4�.$_B?Xp@Z@�),^e@A6"4Dv�+$kA4J6l�7_ )?^C4EbD&/<CB?B $oKC<C.$B?4/§

~��$��¥�0L� T� T� & �

¬ ¶ � � � ¶ � � � "!sTW!sT�a 0ª[^C4J(?4E&�B[&��N@�k�4

~4��¥�0L� .$+8X�� - ~��D�¢¥�0p�

Page 33: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� aAa

#�E#

4�sz#��{

��(54�& � # ¥

bF&�<CB5B[KC<C.8B54

�h� 5N������Z¦ + gh^C4 bD&�<"B?B[KC<C.$B?4D~��D�¢¥�0\� T z & � ¬ ¶ � U � � ¶ X �

 ��N���l�������;�=�S���¤�Z� ���u�?%�� �������>�O�o�� ��������N ��4�.$@Sªª�4�v7&/),^"4�(�B?@AXp4 @/\C),^C4 XY@�B5)�+8XpK�@�(5)¨&/6=)�KC(5@AKN4�(5)?+84JB�@�\"),^C4 02+8(?&�P;\�<C6CPJ)?+8@A6I§�*#40 �jB5<>&�.$.$_e~E+8B[&�6�4Jk�4�6l\�<"6CPJ)?+8@A6�&�6CdOª 4D^C&Sk�4

~4� ��¥�0�� ~4��¥�0 � gh^=<CB ~�� � ��¥�0�� ~4��¥�� � 0<�

� T20et[4�P�&/.8.I)?^>&/) � ¬���

~�� � 0�I ��� w+��¥�0 � ¥ �� 4�� a 0 � 4E&/.8B?@ (54�P�&/.8.I)?^>&/)[<CB5+86Cv ),^"4Dd"4J�>6C+H),+$@A6O@�\|~��$��¥�0qLCª 4F^>&�kA4

~��¢¥�0�� .8+$X�� - ~��$��¥�0L� .$+8X�

� -w+�¢¥�0�� w4�¢¥���#0

��� ~��¢¥�0\� I

I�¥ w4�¢¥�0p��¤m 0e�>@A(e&�6 &/(?�C+H),(,&/(5_ P�@A67),+$6=<C@A<CB \�<C6"PJ),+$@A6 = @A6C4�P�&�6 KC(?@Sk�4 )?^C4 \�@A.$.8@Sª[+86Cv

���8���;���w� � ��� �;��� -��G��� �

= ��¥�05~��¢¥�� � 0L� = � � 0*~4��¥�� � 0 � �¤ "!UTZ!UT/m 0�¤m 0���ª[^C4J(?4F\�@A( � � xª 4Ev�4J) = ��¥�05~��¢¥�0�� = �¤ 05~��¢¥�0<���m 0 a �>@A(]PJ@A67),+$6Z<"@A<CB?.H_ dC+$3�4�(54�67),+8&��C.84�\�<C6CPq),+8@�6CB = ª 4�P�&/6�Lh\�@A(?XY&�.8.H_AL�dC4�d"<CP�4

),^C&/)= �¢¥�05~ a ��¥�� � 0\� = � � 05~ a ��¥�� � 0�� = a � � 0*~4��¥�� � 0p� �¤ "!UTZ!UTAz#0

��m 0 a +8B'&�P�@�6CB?4J:Z<"4�6CPJ4j@�\N&/KCKC.$_Z+$6Cvj)?^C4}KC(5@WdC<"PJ);(5<C.84 +86xdC+H3I4J(?4J6=)?+-&/)?+86CvF� "!sTW!sT/m 0¨§� = ��¥�05~��¢¥�� � 0 a � � = � � 05~��¢¥ � � 0 a ��� �¤ "!UTZ!UT��20

Page 34: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

a�m ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

= a ��¥�05~��¢¥�� � 0(' = ��¥�05~ a ��¥ � � 0�� = � � 05~ a �¢¥�� � 0p� � "!sTW!sTAG20�

� �Z���C����, � _eKC(5@AK�4J(5)o_ �¤a 0qLW\�@A(?XY&�.8.H_AL=ª�4D^>&�kA4F),^C&/)~4��¥�0�� I=w+��¥�0

I5¥ � I � �+��¥�0I�¥ � � � "!sTW!sT�r 0

ª[^C4J(?4 �+��¥�0�+8B}),^"4R�C� - " �?���I��� � ����!��4J.8@Sªª 4 \�@A(5Xx<C.-&�),4�&�6x&/.$),4J(?6>&�),+$k�4�&�KCKC(5@7&�P¨^ \�@A(�dC4J(?+$kZ+$6Cvu)?^C4�B5),4JK &�6CdE+8XpKC<C.8B54\�<C6CPq),+$@A6CB�S�<,|�&%�� �C£����N�¤���S��¢C�>�¤��� �o�� ����S�¤�N �C���������>��%�, t[4�P�&�.8.�),^>&/)

$ ¥)$8� - ¥/� \�@A(X¥t" ��¥/� \�@A(X¥ � �

$ ¥)$

¥�h� 5�������Z¥ + gh^C4E&��[email protected]<")?42k/&�.8<C42\�<"6CPJ)?+8@A6%$ ¥)$s!

��B[),^"4D(?&�XpK�\�<C6"PJ),+$@A6�L")?^C4E&��CB?@�.8<")?4 $�k/&�.$<C42\�<C6CPq),+$@A6 $ ¥)$Z+8B[&�.$B?@p4JkA4J(5_=ª[^C4J(?4xdC+H\ $\�4�(54�67),+8&��C.$4h4q�WP�4JK")h&/);)?^C4u@A(?+$vA+86]¥d� "!|gh^"4 �w�C�I���C���L���<�¢�k�w���E���8�w�`������\�@A(#$ ¥)$�+$B|),^C4�E� ���b� - �?�G�b���`�^����§

B5+8vA6[��¥�0\�x§ I ��$ ¥)$ 0I�¥ � - �E#2� \�@�(9¥ � #2� \�@�(9¥�" 4� � "!sTW!sT#� 0

VZ+8Xp+8.-&/(?.$_ )?^C4 B?+8v�6Z<"X \�<C6CPq),+8@�6 +$Be4JkA4J(5_=ª[^C4J(?4 dC+H3I4J(?4�67)?+-&��C.$4�4q�WP�4JK") &/)O),^C4@A(5+8vA+$6 ¥�� "!;��w���b�����<�L� ���K�����C�E���¢�4�`� �)�[@�\�),^"4MB?+8v�6Z<"X!��¥�0�+8B[T�~��¢¥�0 !;gh^C4M\¤&�PJ)?@A([T+8B})?^C4FX]&/vA6C+$)?<CdC42@/\�)?^C4 �5<CXYK�&/)X¥\� "!;gh^>&�)j+$B�§

~��¢¥�0�� #TI B?+$vA6°��¥�0

I�¥ � #TI � ��$ ¥)$ 0I�¥ � � "!sTW!{aA 0

Page 35: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� a7z

� � ¤)�\�¢¥�0¥

#

�E#

O

�h� 5N�������C� + gh^C4FB5+8vA6=<CX \�<"6CPJ)?+8@A6OB?+$vA6[��¥�0q!

[email protected]+$6CvxKC(5@A�C.$4�XpB ª 4�\�(?4J:Z<"4�67),.H_ 4�6"P�@A<C67)?4�(h+867)?4�vA(?&/),+$@A6CB�[email protected]+$6Cvxw &�6Cd~�\�<C6CPq),+8@�6CB�!�� 4�.8@SªFL=ª�4uB?^C&�.8.C\�@A(5Xx<C.8&/),4hB5@AXY4[@�\�),^C4uXp@AB5)�P�@�XYXp@A6 +867),4JvA(,&�),+8@�6(?<C.$4�BJ§

� � � ��� � #$�)� � N�)�������� ���������� �� �!����� �)� � �$��� #$�(*E���)���(�no67),4�v�(,&/)?+86Cv &xP�&�<CB,&/.�(?4JB5),(5+8Pq),+8@�6e@�\ = �¢¥�0 LC4�! vC!g���b� �����/� 2��?�G�I�)�`� �)� = �¢¥�0*w+�¢¥ � � 0

= ��¥�0¥

w+�¢¥�� � 0 = ��¥�0¥

�h� 5N�������-= + ��P�&�<CB,&/.�(54�B*),(?+$PJ)?+8@A6e@�\�),^"4F\�<"6CPJ)?+8@A6 = ��¥�0q!

Page 36: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

aA� ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

ª�4DvA4q)h),^C4F(?<".84� = �¢¥�0*w+�¢¥�� � 0�I�¥d� � � �¢¥�0�� � � � 0 -w4�¢¥�� � 0�' � "!sTW!{a"#40ª[^C4J(?4�� �¢¥�0�� � �¢¥�06� � � � 0|+8B &EKC(5+8Xp+$),+HkA4}\�<C6"PJ),+$@A6Y)?@ = ��¥�0;ª[+H),^�� � � 0\� &�6Cd �+$B[&pPJ@A6CB5),&�67)�!���1�Z���;�Z��¥(,���:<B AedjD ~ vbFLA { |-A83 { AR5�: ~ vb1_7?A#7^|-A�9Z3-7?A GBeDGF F ��¥�� � 0��Sw+��¥!� � 0)I5¥{ A#|wDGHGA�= �¢¥�0�� ��¥ � � 0 � DG3bNk7^|-A83

� �¢¥�� � 0 � w4�¢¥�� � 0)I�¥\� ��¥�� � 0 � � �� ' # w+��¥ � � 0�' *� � � �D#��

���1�Z���;�Z�I�I,��cA8761�M�36: { A8H<DGF�1wDG7PA�7^|-A/9Z3-7PA GBEDGF F ��� � w+��¥C'Fa 0 �2T3¥*w+��¥ � #40 1�M89Z3�#7^|-A

B214FLA :?0�9Z3-7PA GBeDG7`9;:<3 � "!sTW!{a"#40 m �(|-A 5�:)A�� 589;A83-7�:?0 w4�¢¥�' a 0 9LM # DG3bN!7Z|-A 5�:)A�� 589;A83-7:?0 w4�¢¥ � #40 9LM T3¥ m���A87/36: { = ��¥�0\� # DG3bN ¤P�¢¥�0\� T3¥ m �(|-A83 { A |wDGHGA

� ��� � w4�¢¥�' a 0�� T-¥*w+�¢¥��¡#40 I�¥}§"� � �

�� = ��¥�05w+��¥�' a 0�I�¥�� � �

�� ¤���¥�05w4�¢¥ � #40�I�¥<�

�I:�5�: ~ vb1_7?A!7Z|-A ��BCM87t9Z3-7PA GBeDGF�:<3Y7^|-A!B29�<|_7/|wDG3bNrM89 N_A { A!1�M)A�7Z|-ApB21_FLAi:?0Q9Z3-7?A8�GBeDG7`9;:<3 � = ��¥�05w+��¥�� � ��0)I5¥\� � � ��¥�0�� � � � � 0 8w+�¢¥�� � � 0�' *�{ |-A8BCA�= ��¥�0\� # � � �¢¥�0\��¥ DG3bN � �\� ��a � � � � ��0�� � � �ja 0\� �ja_� 7Z|_1jM� = �¢¥�0*w+�¢¥�� � ��0�I�¥�� ��¥�' a 8w+��¥�' a 0�' q�� 9 ~ 9ZFSDGB2F �R0 :<BO7Z|-AOM)A�5�:<3bNq9Z3-7?A GBeDGF { Ap|wDGHGA ¤P�¢¥�0q�RT3¥ � � �¢¥�0=� ¥ � DG3bN � �]�# � � � � � 0���� �*#40\� #�� �RA8365�A

� ��� = �¢¥�0*w+��¥�' a 0�I�¥�� � �

�� ¤P��¥�05w+��¥�� #40�I�¥�� � ��¥c' a 05w4�¢¥(' a 0�����¥ � � #?05w+��¥�� #?0 � �

��

� z�w+� z20�� aAw4�*#40�� w4�;'x#40�' aAw+� ��a 0\� z � a � #/' �� #�����1�Z���;�Z� =�,��/: ~ vb147PA@7Z|-A�0 :<FZFL: { 9Z3�k9Z3-7PA GBeDGF� w+� #<�2¥�0

#/'�¥ � I�¥<�

Page 37: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� a7G

�QA8BCA { AQ36:<7?AQ7Z|wDG7 w4�*#�� ¥�0 � # � w4�¢¥ � #40C� |-A8365�A { Ak5EDG3 BCA { B29Z7PA!7Z|-AQ9Z3-7?A GBeDGFD<M � w4�*#<��¥�0

#/' ¥ � I5¥\� � #<� w+��¥ �¡#40#/' ¥ � I�¥�� � I�¥

#/' ¥ � �� w+��¥�� #40

#/' ¥ � I�¥<�>}A |wDGHGA 36: {

= ��¥�0\� ##/' ¥ � � � �¢¥�0�� &/(?PJ),&�6[��¥�0

DG3bN� � # � � �*#40\� &/(?PJ),&�6[� #40\�

m �� 1 ~p~ 9Z3�k1�v { A _A87� I�¥

#/' ¥ � �� w+��¥�� #40

#/' ¥ � I�¥\� &/(?PJ),&�6[��¥�0�� � &�(5PJ),&�6[�¢¥�0�� m -w4�¢¥�� #40(' q�

� � � ��� � #$�)��� �N����� � �� ������)��� �� � �(� �Q�) ��Z*�� #$�(*E�������(�E�� 4FB5^>&�.8. L"+$6=)?<C+$)?+$k�4�.$_�L"<CB54D)?^C4M\�@A.8.$@Sª[+86Cvx�C&�B?+$PM(?<C.$4�B�§��j6l+$6=)?4�vA(?&�.�@�\�),^"4F\�@�(?X

� � ����

~4��¥�� � 0�I�¥ +$Bh6C@�)hª 4�.8. $odC4q�>6C4Jd � �¤ "!UTZ!sa"#?0ª[^C4�(54�&�BJL}&�kA@�+8dC+$6Cv�),^C4��K� " "���� � "����L�b��\�@A( ~l+86 +867),4JvA(,&�),+8@�6 .8+8Xp+$)?BDª 4OvA4J) )?^C4(?<C.$4�BJ§� � ���� � ±

~��¢¥�� � 0�I�¥d� � � � ���� � ±

~4��¥�� � 0�I�¥d� #2� 6 � ���¡ �� �¤ "!UTZ!sa7T#0

���1�Z���;�Z� �(, ��M)A�vbBC:�v-A8B27 �����O7P:�A8H<DGF�1�DG7PAR7Z|-AR9Z3-7?A GBeDGF � �� ��¥ � ' T205~��¢¥�0)I�¥ m

�cA87b= �¢¥�0\����¥ � 'YT#0�� 7Z|-A83 { A�|wDGHGAu= � 0\� T m �(|_1�M�1jM89Z3� 7^|-A�A8H<DGF�1�DG7 9;:<3�0 :<B ~ 14FSD��� � �<9;A8FSN<M � �

� �¢¥ � ' T205~��¢¥�0)I5¥\� � �� T�~��¢¥�0)I5¥<�

� 1_7�M89Z365�A@7Z|-A M81)v�v-:<B87�:?0 ~��¢¥�0}§7 z� � ##�/. �{ A#|wDGHGA � �� ~4��¥�0�I�¥\� _� DG3bNk|-A8365�A

� �� T�~��¢¥�0�I�¥d� 4�

Page 38: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

aAr ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

�^0#9Z3wM87?AED�N { ApA8H<DGF�1wDG7PA F ��� ��¥ � ' T20*~4��¥�0�I�¥ 7^|-A83 { A_A87/7Z|-AR9Z3-7?A GBeDGF

� �

�� ��¥

� ' T205~��¢¥�0)I�¥\� � �

�� T�~��¢¥�0)I�¥<�

� : { M89Z365�A F� � �D#2�/. ^��{ A#|wDGHGA F ��� ~4��¥�0�I�¥�� # DG3bNi7Z|_1jM

� �

�� �¢¥

� ' T#05~��¢¥�0�I�¥\� T��

� �Z���C��� ©u@�),4 )?^>&/)2)?^C4 +867)?4�vA(?&�. � �

-�¢¥ � ' T20*~4��¥�0�I�¥u+8B26"@�)2ª 4�.8. $odC4q�>6C4Jd�!Eno6

),^"4jKC(54�B54�6CPJ4�@�\�~4��¥ � � 0|+$6p)?^C4[+867),4JvA(,&�6"d�LZ)?^C4[+867),4JvA(,&�),+86"vD+$67),4�(*k/&�.>Xx<CB*)�4J+$),^"4�(P�@�6=),&�+86�),^C4eKN@A+867) � �¤ +86�)?^C+8Bx4 �"&�XYK".84?0E&�B &�6 +$6=)?4�(5+8@A(EK�@A+$67)x@A(xB*)¨&�(*)x\�(?@�X¥�� � �¢¥]� J�� 0 L;&�.H),4�(56>&/)?+$kA4J.$_�L|4�6Cd &�) & .8+$XY+H)�¥ � � �¢¥]� L � +86�),^C4P�<"(?(?4J67)jP�&�B?4 0q!�gh^C4�6 � �

H~4��¥�0�I�¥�� p&/6Cd�ª 4F^>&�kA4F\�@A(h+86"B5)¨&/6CP�4

� �

-���¢¥ � ' T20*~4��¥�0�I�¥\� .8+$X

± � - �� �

±��¥ � ' T205~��¢¥�0)I5¥d� 4�

n�\2)?^C4 +$6=)?4�vA(?&/),+$@A6 +867),4J(5k/&�.[^>&�BYc�4J(?@ &�BY&�6¡+$67),4�(5+8@A( KN@A+867)�L ),^"4�6 ª 4 ^>&�k�4 \�@A(4q�"&�XpKC.$4 � �

-����¥ � ' T205~��¢¥�0)I5¥\� .$+8X

± � - �� �

� ±��¥ � ' T205~��¢¥�0)I�¥\� T)�

���1�Z���;�Z�j�Z��, ��H<DGF�1wDG7PAR7^|-A@9Z3-7PA GBeDGF � GH~ a �¢¥�0�I�¥

.�027?A8B@9Z3-7PA GBEDG7 9;:<3 { A#|wDGHGA� GH~ a ��¥�0�I�¥�� � ~��¢¥�0 GH � ~4�0L 0 � ~��/J>0<�

� 1_7 ~��¢¥�0�� 9 0 ¥ �� m �(|_1�M { A |wDGHGA

� GH~ a �¢¥�0)I5¥d� � ~4��¥�0 GH � ~��/L 0�� ~��/J>0�� � =� 9 0 J �� DG3bN L �� 4�

�^0QA89Z7^|-A8B J :<B LX� _� 7Z|-A83 7Z|-A@9Z3-7?A GBeDGF�9LM@36:<7�N_A ��36AEN�m

Page 39: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� a2�

���1�Z���;�Z�u�N�-, ��M)A�vwDGB87 9 DGF(9Z3-7PA GBeDG7`9;:<3lB81_FLA@7P:>A8H<DGF�1wDG7?A@7Z|-Au0 :<FZFL: { 9Z3�O9Z3-7?A GBeDGF��� �

���¥ � ~ a �¢¥(' a20�I�¥

�tDGB87 9 DGF�9Z3-7PA GBEDG7 9;:<3 �<9;A8FSN<M� �

���¥ � ~ a �¢¥(' a 0)I�¥�� � ¥ � ~��¢¥(' a 0 �

��� �� �

���T3¥*~��¢¥(' a 0)I5¥<�

� 9Z365�A ~���.10\� ~�� ��T20�� m �(|_1�M { A |wDGHGA� �

���¥ � ~ a �¢¥(' a20�I�¥�� � � �

���T3¥*~4��¥�' a 0�I�¥<�

��9Z3bDGFZF � � 1�M89Z3�@= �¢¥�0*~4��¥:� � 0\� = � � 05~��¢¥:� � 0�{ A�_A87 T3¥*~��¢¥4'�a 0\� T+� �ja 0*~4��¥4' a20 m�QA8365�AR1�M89Z3� � �

���~��¢¥(' a 0�� #<��{ A _A87

� �

���¥ � ~ a ��¥�' a 0�I�¥\� � �

���T3¥*~��¢¥c' a 0�I�¥d� � �

���T+� ��a 0*~4��¥�' a 0\� �j�4�

���1�Z���;�Z���Z�(, � :<F�HGA 7^|-A!NG9 �#A8BCA83-7 9 DGF�A! K1�DG7 9;:<3)�

£ a a ' £]� M89�G3 �¢� 02£ M89�G3 ��� 0L� - �D# � � # �}"

� � T�w+��� 0 �¡# ��N�¤���S�¤�N ,+ �(|-A�|-: ~ :!_A83YM):<F�1_7 9;:<3 £ � M):<F�HGA�Mp7^|-A>A! K1wDG7 9;:<3 £ a a� 'b£ � �y m �(|_9LMA! K1�DG7 9;:<3�|wD<M�7Z|-A!5�|wDGBeD_587PA8B29LM87`9;5@A! K1wDG7`9;:<3 �

� ' #_� �{ 9Z7^|r7Z|-A#BC:):<7ZM �q���@� DG3bN{ A |wDGHGA

£ � �¢� 0�� _� & ª § ' ���& � ª § � £ � �¢� 0�� � B5+86[��� 0�'*  P�@AB$�¢� 0p�. vwDGB27`9;581_FSDGB�M):<F�1_7 9;:<3 £

�0 :<B�7Z|-A#B29�<|_7c|wDG3bN!M89 N_A � M89�G3 ��� 0L� T�w+��� 06� #�� 5�:<3wM89LM87ZM

:?0�7^|-AgM81 ~ :?0�7 { :gvwDGB27`9;581_FSDGBtM):<F�147 9;:<3wM £� ²�� £

� ¶� MKDG7`9LM^0��<9Z3� £ a a

� ²'l£� ²

� �E# DG3bN£ a a� ¶

' £� ¶

� T�w4�¢� 0C� BCA�MPv-A�587 9ZHGA8F �fm >qA@|wDGHGA@7^|wDG7 £� ²

� 5�:<3wM87¡DG3-7 � �D# m �(1_B27^|-A8B �£� ¶

9LM}:?0�7^|-A#0 :<B ~ £� ¶

� ¦ �¢� 0*w+�¢� 0C��{ |_9;5�|%9Z3wM)A8B87 9Z3�Y9Z3¦7^|-A A! K1wDG7`9;:<3l0 :<B £� ¶��9;A8FSN<M

£ a a� ¶

' £� ¶

� � ¦ a ��� 05w4�¢� 0c' ¦ �¢� 0*~4��� 0 � a ' ¦ ��� 05w4�¢� 0�� T�w4�¢� 0��� ¦ a ��� 05w4�¢� 0c' ¦ � 205~��¢� 0 � a ' ¦ �¢� 0*w+�¢� 0�� T/w+�¢� 0��¦ a a ��� 05w4�¢� 0�' ¦ a � 0*~4��� 0�' ¦ � 0*~ a �¢� 0�' ¦ ��� 05w4�¢� 0�� T�w4�¢� 0� � ¦ a a ' ¦ 05w+��� 0�' ¦ a � 0*~4��� 0�' ¦ � 0*~ a �¢� 0�� T/w+�¢� 0<�

Page 40: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

m7 ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

.�027?A8B@9 N_A83-7 9 0���9Z3�i7Z|-Ap5�:)A�� 589;A83-7^M { ApA83bNi1�v { 9Z7Z|h7Z|-AR9Z3-9Z7`9 DGF(H<DGF�1-A�vbBC:GJKFLA ~

- ¦ a a ' ¦ � T¦ a � 0�� ¦ �¤ 0\�

{ 9Z7Z|�7^|-A M):<F�1_7 9;:<3 ¦ ��� 0\� T � T|P�@ABD�¢� 0 m� 1 ~p~ 9Z3�>DGFZF�5�:<3-7 B89 JK1_7 9;:<3wM { :<14FSN G9ZHGA 7^|-A���3bDGFIM):<F�1_7 9;:<3YD<M �

£ ��£�

'�£ � ��£� ²

' £� ¶

' £ � � �D#u' � T���T|P�@ABD�¢� 0 0*w+��� 0I' � B5+86°��� 0I'   PJ@AB$��� 0p�

Page 41: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����w��<��� �����������!��� � � � ����� ��� mC#

���1�=���7� ���Z�G,

#A!u02(,&�ª ),^C4FvA(?&�KC^CBh\�@A(})?^C4M\�@A.8.$@Sª[+86Cv \�<"6CPJ)?+8@A6CBJ!& 0hT�w4�¢¥�� #40 �:0[T�w4�*#<��¥�0 P?0 ¥*w+��¥ �¡#40d:0 ¥ � w+��¥�0�� w4�¢¥�� #40 4 0 & � ¬ w4�¢¥�0 \ 0 ¥.��¥c' #?0 � w+�¢¥(' #?0�� w+� T-¥�0 6�

TW!ut[4Jª[(?+H),42)?^C4M\�@A.8.$@�ª[+$6Cv \�<C6"PJ),+$@A6CB[<CB5+86Cv B5)?4�K�\�<C6CPJ)?+8@A6"B& 0 = �R�¢¥�0\��¥)$ ¥�� #w$sL � 0 = �3�¢� 0�� & � ¯ § ¯P?0 =  -�¢¥�0�� - �D# ¥ �

# ¥�� 4� d 0 = ¡8�¢¥�0\� - � ¥ � J  ¥ � J��

4?0 = � �¢¥�0�� - P�@�B � $ � $ � $ � $j" \ 0 =�� ��¥�0��

�� � # � ¥ � #T # � ¥ � T 4�.8B54��

a"! �jB54M),^C4F+867)?4�vA(?&/),+$@A6e(?<C.$4F&�6Cd�[email protected]),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6CvxdC+H3I4J(?4�67)?+-&�.�4J:=<>&/),+$@A6CBJ§& 0 £ a ��¥*w+��¥�� #?0 �:0�£ a a �¥$ ¥)$�P 0X£ a ' £ �¥$ ¥)$

d:0 - T3��£ a ' £ � T3�Nw4�¢� � m 0£�� #40\� a4�

mC! (}&�.$P�<C.8&/),4 = ��¥�05~ a a ��¥�� � 0 L ª[^C4J6 = �¢¥�0�^>&�Bu& P�@A67)?+86=<C@A<CB[B54�P�@�6Cd dC4J(?+Hk�&�),+$k�4�!zW! (�@AXpKC<")?4F)?^C4FdC4�(5+$k/&/)?+$kA4JB�LC@/\|vA+HkA4�6O@A(5dC4�(JL>+86e),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6CvxP�&/B?4�BJ!

& 0�gh^C+$(?dOdC4J(?+$k/&/)?+$k�4D@/\ = ��¥�0L� �¢¥��¡#405w4�¢¥��¡#40�:0hVW4JP�@A6"d dC4J(?+$k/&/)?+$k�4M@�\ = ��¥�0L����.86°��¥ � ' #40���w+�¢¥�0P?0�\�@A<"(5),^OdC4J(?+Hk�&�),+$k�4M@�\ = ��¥�0L� - ¥ � ¥��

¥�" 4��"! (�@AXpKC<")?4=�:$�)?^�d"4�(?+Hk/&/),+HkA4M@�\�\�@A(}),^"4F\�@�.8.8@Sª[+$6CvxB?+$vA6>&�.$B�§

& 0 = �¢¥�0\� - x)¥ p� ¥ � � 4�.8B54

�:0 = �¢¥�0�� w4�¢¥ � #?05w+� T �2¥�0 P 0 = �¢¥�0�� & ¬ w4�¢¥�0p�

Page 42: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

m=T ������� ������� � ����� ����� ����� �<�

GW! (}&�.$P�<C.8&/),4j),^C4M\�@A.$.8@Sª[+86Cv +867),4JvA(,&�.$B

J>0 � �

���� & � � ¬ ' B?+$69¥�0*~4��¥�0�I�¥/� L 0 � �

���� ~4��¥ �¡#40�� ~��¢¥(' #?0 & � ª � ¬ I�¥/�

V 0� �

�����B5+86 �!' T &�� ��~4��¥�� �:0�I � �:I>0 � �

H& � � ¬ ~ a �¢¥�0)I5¥/� JF� 'x#2�:Jn� �D#2�

&40 � �

-& ��� ¬ ~��¢¥ � � 0)I�¥/�

= 0 � �

H& ��� ¬ ~��¢¥�0)I5¥/� J�� � �!J � � � JF� 4�

r"!jVW@�.$kA42)?^C4M\�@A.8.$@Sª[+86Cvxd"+$3�4�(?4J67),+-&/.�4�:=<>&/)?+8@A6"B�!&20X£ a � T-¥�' ~4��¥�0 �!£P�*#40 � �E##� �:0�£ a a ��¥*~4��¥�� � 0 �P 0�£ a '1J £F� ~��¢¥ � � 0/�d 0X£ a ' T3£F����¥�' T205~��¢¥(' a 0/� £�� �E#40\� #AL4 0�£ a a ' £ a � w+�¢� 0�' ~4��� 0qL \ 0 £ a a ��£F� ~ a a �¢� 0 !

�"!u024q),4�(5XY+$6C4�)?^C4FvA4�6C4J(,&�[email protected]<W),+8@�6e@�\�)?^C4FdC+$3�4�(54�67),+8&�.�4J:Z<C&/),+$@A6£ a ' T3¥0£ � ~4��¥ � � 0p�

Page 43: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ����� �� � � � � � � ����� ��� ��� ���������

�������������! #"$��%�&('*)�",+-�. 0/�)1%2/�&3�4�5)768�9":'<;��1 =�>�@?�%5/ AB;��C'*)�"D&()1� E5/F%�G4H1/ IJ�9"K�9%. 0/L���1�>AB;9�� 0/ )1%�&6M/ #?N��)1%�&= (��%. !��)O�>PQ��/��@%. =&>RTSU":�7��&V)�'M�������W/ �7�. 0/�)1%N�9"K�X6M/ H���&Y�@":�7��H�Z�;. [ #"K�9H1/ 0/�)1%9���\ �9� H�&-/F%��9�];�H��Q+3���@?9��%5/��>&>^_�9� ���` #"K)1%5/ ��&`^a�b%�H4�b;. =)1+c�. 0/��[��)d%. #"K)1�O�@%�GO/F%����9",/]%�GeRfg�>'*)�"K�X #?��h�9H5E��9%. [)�'��>)1+i��;. =�@"K&j/ -68�9&C�k =�>H1/�)1;�&! (��&`lX =)m+i;�� 0/F��� nT%�;�+iZ5�@":&&`;��9?T��&po5qsrBo7r�tu�b%�Hv1qwo7rBo7xBRzy{?��9"K�>'*)�":�T� )5G��9",/ #?�+3&i6|�@":�};�&(��H} =)T #"$��%�&='*)b",+~ #?����)1+i���W/ �7�. =��H�)d�5�@"K�� 0/ )1%�)�'C+i;�� 0/]���W/ �7�. 0/�)1%/F%. =)z #?��k&Y/]+C��� �@"3)1�5�9"$�. 0/�)1%�)�'c�9H�H1/ 0/�)1%E5/L�C #?��['*)�"�+i;�����:���_�(o5qsrBo7r�tc��v1q�o�rBo.x��8���:�5�_�=o5qsrBo7rBo��J���:���_�,v1qwo7rBo7x��`q

fJnX��)1%�&Y;�� 0/]%�Gk (��Z�� �>&-)�'M�9"K���>)1+i��;. =��H�� )5G��@"�/ #?�+3&[��%�H��#�O�5)1%��9%. 0/L��� &c)d%��Q)1Z. (��/]%���H #?��2":��&Y;�� {rBqsr5rbt��BR[�a)1;�G1?�� nQ&`���7��l9/]%�GB^��������������! #"$��%�&('*)�"�+c�. 0/�)1%�6|)b",l�&c�b%9��� )�G5)1;�&Y� n�b%�H}"K�>HB;����>&X�9"K)1Z�� �@+3&[)�'��7��� �@;��W;�&V/F%. =)N&Y/]+C��� �X�b� G5�@Z9"$�5/��h�9"K)1Z�� �@+3&-E5/L�2 (��Z�� �>&!�b%�HG5�@%��9"$���_�@":)1�5�9": 0/��>&M)�'� #?��[ #"K�b%�&='*)�"�+VRwj�$w ���T� �����z�>���M� ���8���z�D �¡2�£¢¤�¥(¤¦¥§¤ ¨ª©¬«i­[®<¯B®=°U­±¬²>³c´ �*µ§�U¶ ²i·�¸*¹BºB»>³½¼ � ºk¾B²`¿eºB²>¾�¸ �5À · ���JµÂÁ�ÃdÄ8Å ¸D³0Æ1²i¼�Ç2È À½� Èa² À ¼�º�³0² ��À · �

É ��Ê��8�ÌËÎÍÏ ´ �$µ§�§Ð@ÑdÒ�Ó9Ô5µYÕ �=o5Äwo5Ä�o.�» � º�Ö�² À½� ²�×3¸ ��À ·�º�Ø Ê5Ù ³0ÆB²>ºuÉ ��Ê�� ¼:×�×½·�¼:¾h³ �X¶ ²[³0ÆB²�ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9á`æhç � ¸8´ �*µ§�`Äè=éaêWë§ì,ì�ë|í.êWîÂï`ð-ñ.ë£òdóYô�õFó`ö(ëÂ÷�ø0ù#ú>û#üýø§þ�ÿ>ù�����ì�ë(ð9ö��cî�ó�����ë(î�ó���ê]ö(ê]ó`ð

r�v

Page 44: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

r5r ����������� ������������������������������������! "�#�$ ��%'&)(*%'+�,.-0/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä!à65eß�7Cß½Û98 2 ã 2 3Oßcã`à=ß<Üjä;:OâJÞ`à 2 å9â�<

= �*µ§�£� > o5Õ µ@?ÎÃ1ÕÃ1Õ µ@AÎÃ1q �(o5Äwo5Ä]t5�B å9ÝC:dà 2 å9â4D#E#FXà65eßG3OßIH£â 2 à 2 å9â �(o�Ä�o5Äwo��KJ ß�LOß`àI<É ��Ê��8�ÌË ÍÏ = �*µ§�§Ð ÑdÒ*Ó Ô�µ8�ªË ÍÏ Ð ÑdÒ�Ó Ô5µ£�NMPO oÊ Ð ÑdÒ�ÓRQ ÍÏ � oÊ Õ Ê�? Ã1q �(o5Äwo5ÄWv��S�ÆB²k¹B×½¹B· �UT ·.Ø � ¸{¾B²�º � ³0¼:º � ³0ÆB²k± ·�È � ·�»�²2³ À ·@ºBק¸ �5À Ç � ¸3·u¸*¹Bº1»>³0¼ � º�´ �*µ§� ¼:ײ�¼w³0ÆB² À É �,Ê��U�5À�VKW ´ �*µ§�YX�Ä�Ze�5À ²;[B·@Ç2È � ² Ù�T ²iÆe·7Ö5² VKW = �*µ§�YX � çÒ Ä\ ¼:º1»�²C³½ÆB²�¼�ºb³½² �5À · ���(o5Äwo5Äwo�� ÆB·�×3³½ÆB² � ¼�Ç2¼w³0× Ã ·�ºB¾^] Ù ¼�³{¸ �5�:���_T ×M³0ÆB·@³-É ��Ê�� ¼:׺ � ³¦¼�º�`e¹B²>ºB»�²>¾ ¶ Øp´ �*µ§��T ÆB²�º µUA Ã1Äba ×· À ²>×½¹ � ³ Ù ¼�¸¬´ ç ·@ºB¾h´_c· À ²{³ T�� ¸*¹BºB»`³0¼ � ºB××½¹1»#Æ�³0ÆB·@³4´ ç � ´dcX¸ �5À�µNÁ�ÃdÙ ³½ÆB²�º�³0ÆB²>×½²k¸*¹BºB»>³½¼ � º1×XÆB·.Ö�²N³½ÆB²k×0·�ÇX²N± ·�È � ·@»�²³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç Ù ²`Ö5²>º¼w¸8³0ÆB²`Øu¾1¼�¸$¸*² À ¸ �5ÀMµ�A Ã1Ä�e ²�»�·�¹B×½² � ¸8³0ÆB¼�×-·�Ç ¶ ¼ � ¹B¼w³<Ø ÙfT ²Q×½Æe· ���ÆB²>ºB»�²`¸ �5À ³½Æh· �gT ·7ØO×�·�׽ק¹BÇX²3³0ÆB·@³�´ �*µ§� ¼�×!Þ½Û9:�ã�Û�Ý ÙhT ÆB¼:»#Æh¼�צ³ � ×½·.Ø Ù ´ �$µ§�£� à ¸ �5À · ���µ@AÎÃ1ÄÅ ¸�´ �*µ§� ¼:×[º � ³!»7·�¹1×0· � ³ �N¶ ² � ¼:º T ¼�³½Æ Ù0T ²j»�·�ºm· �gT ·.ØO×-¸ �5À »�²j¼�³c³ �k¶ ²>» � ÇX²Q× �¶ Ø4ÇV¹ � ³½¼:È � Ød¼�º � ¼�³ T ¼w³0Æ4³½ÆB²i7iß½Û98 2 ã 2 3Oß3ã`à<ß<ÜQä;:OâJÞ`à 2 å9â = �$µ§�-�(o�Ä�o5Ä]t5�YÄ�j ²-¼ �:� ¹Bק³ À ·@³½²×½¹1»#ÆT·Q»7·�ק² ¶ ² ���kT!Ä

t rOctO3ro

Oio´ �*µ§�

t rOctO3ro

Oio= �$µ§� ´ �$µ§�

l�mon4prq %s,f/o,ut a »�·�¹B×½· � À ²�×(³ À ¼:»>³½¼ � º � ¸�³½ÆB²[¸*¹BºB»>³½¼ � º�´ �$µ§�`Ä

Page 45: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���������������������������� r �$ ��%'&)(*%'+!,��r/1*2 â43càI5eß8ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ߦà�á½Û�â1ã*ä7å9áYæ å=äD´ �$µ§�8�ªÐ�� Ó < J 5eß`á#ß�� 2 ãUÛiÞ#å9â1ã`à�Û�âeà D

B å9ÝC:dà 2 å9â4D� L�Û 2 â�<� F �=o5Äwo5Ä�o.�KJ ß�LOß`àÉ ��Ê��8� Ë ÍÏ Ð � Ó�Ð@ÑdÒ�Ó@Ô5µ|� M O oÊ�O � Ð@Ñ � Ò<Ñ ��� Ó Q ÍÏ � oÊ#O � q �=o5Äwo5ÄWr��

�Cå9à<ßià651Û�àI<aä7å9á[à65eßVÛ�`åd8�ß 2 âeà=ß L�á§Û�ݬà<åhÞ#å9âf8�ß`á LOß < J ßiæ :�ã`àÂÛ9ã#ã":Oæ4ß Êi? �9D¤�¥(¤¦¥�� ���c®��b¯B© ­��¬©� � ³[·�º�Øu¸*¹BºB»`³0¼ � º´ �*µ§� Æe·7Ö5²X·h± ·�È � ·@»�²V³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç VKW ´ �*µ§�YX�ÄiZe�5À ²;[1·�Ç2È � ² Ù ¼�³-¼�ײ7·�×(Ø2³ � ק²�²c³½Æe·@³ VKWsÐ Ó�� X ¾ � ²�×�º � ³U²"[d¼:×(³ Ù ×½¼:º1»�²-¼w³0×�·�×½× � »>¼K·@³½²�¾4¼�º�³0² ��À · � ¾B¼wÖ5² À§� ²�×·�×µ�� ] Ä a ×i· À ¹ � ² Ù ³ � Æe·7Ö�²4·k± ·�È � ·�»�²�³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç Ù ¼�³[ק¹! X»�²>× � º � ³iºB²�»>²�×½×½· À Ø �³0Æe·9³i³½ÆB²j¸*¹BºB»>³½¼ � ºm´ �$µ§� ¼�× � ¸Cß#">Üeå9âJß`âeà 2 Û�Ý�å9á 3Oß`á Ä e Øz³½ÆB¼:× T ²2ÇX²7·�º}³0ÆB·@³!³0ÆB² À ²Ç�¹B×(³3²;[d¼:ק³3·Q» � ºBק³0·�º�³ Ù%$ ×½·.Ø Ù ×½¹B»#ÆN³0Æe·@³

� ¼:ÇÓ�& Í ' ´ �$µ§�§Ð@Ñ)(=Ó ' �ªÃ1q �=o5Äwo5Ä � �Å ¸|³0Æ1¼:×M¼:ºB¾1²�²�¾N¼:×�³½ÆB²C»�·�×½² Ù ³½ÆB²�º ¶ Øk»#Æ �d� ×½¼:º �pÊG?*$eÙfT ²C×½²>²i³½Æe·@³M³0ÆB²i¼:º�³½² �5À ·�ºB¾´ �*µ§�(Ð ÑdÒ�Ó � ¸ �=o5Ä�o�Ä�o����5� ²�×{³ �,+ ² À½� ·@× µ ³0²>ºB¾T³ � ¼:º1¿BºB¼�³<Ø�·�ºB¾ Ù ÆB²>ºB»�² Ù ³0ÆB²V¼:º�³0² �5À · �¸ �5ÀGV W ´ �$µ§� X » � º�Ö�² À½� ²�×X· ¶ × �5� ¹1³½² � ظ ��ÀQÊ ?-$eÄ ±¬²>³V¹B×V¸ �5À Ç4· � ¼ + ²j³½ÆB¼:× À ²�ק¹ � ³ ¶ Øק³0·@³0¼�º � ¼�³M·�×{·�³0Æ1² �5À ²�Ç Ä.0/ %�1 q %'& ,f/32 ä´ �*µ§� 2 ãiÛ-Ü 2 ß#Þ#ß J 2 ã.ßCÞ#å9âeà 2 âf:_åd:�ã c ä;:dâJÞ`à 2 å9âCä7å9á!Û�Ý$Ý µÂÁ�à <£Û�â43 2 ä

' ´ �*µ§� '�465 Ð ((Ó Õ �=o5Äwo5Ä]x5�ä7å9á-ã.å9æ4ß�Þ#å9â1ã`àýÛ�âeà$ã $ Û�â4387 <£àI5eß`âzà65eß[ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á½Û�â1ã*ä7å9áYæ�É ��Ê�� å=ä{´ ��Ê�� ß#" 2 ã`à D9Tß2ã 51Û�Ý$ÝÂÛ�Ý]ã.åuá0ß*ä7ß`á4à<åÛ4Ü 2 ß#Þ#ß J 2 ã.ß�Þ#å9âeà 2 âf:eåd:bã3ä;:dâJÞ`à 2 å9âm´ J 2 à65�à65eßVÜaá0å#Üeß`áYàoF�(o5Äwo5ÄWx�� Û9ã:`ß 2 â'L 2 â àI5eßzÞ`ÝwÛ9ã#ã0; Û�â43ã 2 æcÜaÝCF}á0ß<ÜaÝwÛOÞ#ßkàI5eß J 5eå9Ý:ßuß#">Üaá#ß#ã#ã 2 å9â< F´>=�;�D

?Uá0å.å=ä D 2 ä ' ´ �$µ§� '�465 Ð (=Ó Û�â43 Ê�?<$ <¦à65eß`â' É �,Ê9� '�4 Ë ÍÏ ' ´ �$µ§� ' Ð ÑdÒ*Ó Ô5µ 4 Ë ÍÏ 5 Ð Ñ �FÒ=Ñ)( � Ó Ô�µ|� 5Ê#O@$ q �=o5Äwo5ÄBA��

7Cß`âJÞ#ß < 2 ä Êi?C$ àI5eß 2 âeà=ß L�á§Û�Ý �(o�Ä�o5Äwo�� Þ#å9âf8�ß`á LOß#ã DD#EGFIH�ð9ö ��êWï>ðXêBJKJ�óYêFñ ��ïML�ë3ô�ê]ë§ö(ë�N¬êBJ�ëcö=ï>ð ��êWð�H�ïOHPJ£êQF ê ��êBJÂñ.êRJ�ö=ï>ð �,ê]ðSH9ïTHPJ¦ï`ð�õRUQó���êBJ,ï`õFó��,ë½ñô�ï`ê]ð �VJ#W9óYð9ñ3ê �VJ¬õ]ëXF � ó`ð9ñcì,êRY�� �¬õWê]îÂê �ZJ óYì�ë|ñ.ëX[9ð9ë§ñ-ó�� ë½ó`ö��3ñ�êRJ�ö=ï>ð ��êWð�H�ê �\U�

Page 46: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

r�x ����������� ������������������������������������! "�#�¤¦¥§¤¦¥�� � ©�­-©��������e° �V©��1¯B®(© � °��p¯��-©��������� �¬©������£­����Y° ���

.0/ %�1 q %'& �0/ Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ßQà,á§Û�â1ã*ä7å9áYæXÛ�à 2 å9â 2 ã4ÛuÝ 2 âJß½Û�á4å#Üeß`á½Û�à 2 å9â�<{à651Û�à 2 ã < ä7å9á2Û�âfFä;:OâJÞ`à 2 å9â1ãV´ �$µ§� Û�â43�� �$µ§� J 5eå.ã.ß�ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ßXà�á½Û�â1ã*ä7å9áYæ ß#" 2 ã`àcÛ�â43TÛ�âfFÞ#å9â1ã`à�Û�âeà$ã $Û�â43�� < J ß 51Û98�ßVKW $ ´ �*µ§�¬� � � �*µ§�YX � $hVKW ´ �*µ§�YXO� � VKW � �*µ§�YX�q �(o5Äwo5Ä"!��

?�á#å.å=ä D�E�F 3OßIH£â 2 à 2 å9â�< 2 à*5eå9Ý 39ã!à651Û�àVKW ´ �*µ§�¬� � �$µ§� Xa�ªË ÍÏ ��$ ´ �$µ§�¬� � � �*µ§�½�(Ð@ÑdÒ�Ó@Ô5µ

� $ÂËÎÍÏ ´ �*µ§�(Ð@ÑdÒ�Ó9Ô5µ � � ËÎÍÏ � �*µ§�(Ð@ÑdÒ�Ó9Ô5µ� $ V W ´ �$µ§� XO� � VKW � �$µ§� X,q �(o5Äwo5ÄW���

$ ��%'&)(*%'+�,�#0/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæVã�å=ä�ק¼:ºBÆ µ£� çc �,Ð Ó O�Ð ÑbÓ � DB å9ÝC:dà 2 å9â4D#E#FXà65eßiÝ 2 âJß½Û�á 2 àoFhå=ä!àI5eß-ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæG< J ß�LOß`àVKW ×½¼:º1Æ µYX � VKW çc �,Ð Ó O�Ð ÑbÓ � X � çc VKWsÐ Ó X O çc VKWsÐ ÑbÓ X_� çc � çÒ<Ñ ç O çÒ%$ ç �`q �(o5Äwo5Äwo.Ã��

$ ��%'&)(*%'+�,�&0/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæVã�å=ä�ק¼:º(' µ Û�â43C» � ×)' µ DB å9ÝC:dà 2 å9â4D 2 ä J ß-ã.ß`à � �+* ' 2 â �(o5Äwo5Äsrb� àI5eß`â J ß�51Û98�ß

VKWLÐ-,/. Ó X � oÊ#O0* '� Ê��1* '��Ê#O2* ' �>��ʦ�1* ' �

� ÊU�3* 'Ê c � ' c � ÊÊ c � ' c �1*'Ê c � ' c q �(o5Äwo5Äwo5o��

4 âTà65eßQå9àI5eß`á�51Û�â43 J ßiÛ�Ý]ã.å 51Û98�ßVKWLÐ-,/. Ó X � V W » � ×5' µJ�6* ×½¼�º7' µYXa� VKW » � ×5' µYX��1* VKW ק¼:º(' µYX,q �(o5Äwo5Äwo�t5�

8(9 :BÛ�à 2 â'L4à65eß!á0ß½Û�Ý Û�â43 2 æXÛkL 2 âaÛ�á;F[Ü1Û�áYà$ãQå=ä!àI5eß#ã.ß[à J åhß:9 :1Û�à 2 å9â1ã < J ß�LOß`àVKW » � ×5' µYX_� ÊÊ c � ' c Õ �(o5Äwo5Äwo.v��VKW ×½¼:º7' µYX_� 'Ê c � ' c q �(o5Äwo5Äwo7rb�

Page 47: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���������������������������� r�Aa ×j³0ÆB² � ·�×(³j²"[1·�ÇXÈ � ²>×j×½Æ �kT!Ù ³½ÆB²�¾1²>¿eºB¼w³0¼ � º �(o5Äwo5Äwo�� ¼:× À · À ² � Øm³½ÆB²�×(³#· À ³0¼�º �È � ¼:º�³[¸ �5À ¾B² À ¼�ÖO¼:º � ± ·@È � ·�»>²Q³ À ·@ºBק¸ �5À Ç2× ÄjÅ ºBק³½²7·�¾ Ù � ºB²j¹Bק¹e· ��� ØT¿ À ק³i» � ºB×½¹ � ³0×i·³#· ¶1� ² � ¸cק³#·@ºB¾e· À ¾�³ À ·�ºB×(¸ �5À ÇX× Ù ·�ºB¾ ³0ÆB²>º�³ À ¼�²�×Q³ � ·�¾e·�Èd³X·�º�Ø � ¸c³½ÆB²�ק²N³ � ³½ÆB²È À½��¶B� ²>Ç ·@³iÆe·�ºB¾�¹B×½¼�º � ·k×½²`³ � ¸ � ²�ºB² À · � È À§� Èa² À ³½¼:²>× Ù ×§¹B»#Æ�·�×!³0Æ1² � ¼:ºB²�· À ¼w³<Ø Ù¬� ¸³0ÆB²V± ·�È � ·@»�²C³ À ·�º1ק¸ �5À Ç Ä�e ² �:�kT!Ù T ²�¾B² À ¼�Ö�²�·4ºb¹BÇ ¶ ² Àc� ¸ � ³½ÆB² À ×½¹B»#ÆzÈ À½� Èa² À ³0¼:²>×·�ºB¾N¼ ��� ¹B×(³ À ·9³0²3³½ÆB²�¼ À ¹B×½² Ä

.0/ %�1 q %'& -�� , Ò*Ó�� / m����_m��rn p +o%��_/ 2 ä[´ �*µ§� 51Û9ãQà65eßjà�á½Û�â1ã*ä7å9áYæ É �,Ê�� à65eß`â2ä7å9áÛ�âfFkÞ#å9â1ã`à�Û�âeà �k< J ß 51Û98�ßVKWLÐ � Ó ´ �*µ§�YX � É ��Ê�O � �Yq �=o5Ä�o�Ä�o � �

?Uá0å.å=ä D 2 â1ã.ß`áYà 2 â'L Ð�� Ó ´ �*µ§� 3 2 á0ß#Þ`à,ÝCF 2 âeà<å àI5eß 3OßIH£â 2 à 2 å9â �(o�Ä�o5Äwo�� L 2 8�ß#ã < J 2 àI5Êi? � <V WsÐ � Ó ´ �$µ§� Xa� Ë ÍÏ Ð � Ó ´ �$µ§�§Ð ÑdÒ*Ó Ô5µ|� Ë ÍÏ ´ �*µ§�(Ð Ñ � Ò<Ñ � � Ó Ô5µ£� É �,Ê�O � �`q �=o5Ä�o�Ä�o.x5�

$ ��%'&)(*%'+�,� /�1*2 â432àI5eß[ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä v5Ð Ñ c Ó » � × � µ DB å9ÝC:dà 2 å9â4D�E#FXàI5eß�Üaá0ß"8 2 åd:�ã�ß#"bÛ�æcÜaÝ:ß < J ß 51Û98�ß

VKW » � × � µYX � ÊÊ c �Ît � q �=o5Ä�o�Ä�o A���ÂÜ�ÜaÝCF 2 â'L4âJå J à65eß � Ò�Ó B 5 2 äYà 2 â'L��#:OÝ:ß < J ß�LOß`à

V Wsv5Ð@Ñ c Ó » � × � µYX � vB��ÊU��t5��,ÊU�Ît�� c �Ît � � v�Ê���xÊ c ��r@µ¬��t�� q �=o5Ä�o�Ä�o !5�.0/ %�1 q %'& ��� ����� � / m����_m��!n� p +I%��k/ �-ã#ã":Oæ4ß2àI51Û�à�� ?�à Û�â43h´ �*µ�O � � 2 ã4Ûä;:dâJÞ`à 2 å9âzà651Û�à 2 ã��9ß`á0å :Oâeà 2 Ý µ8� � <£à65eß`â

VKW ´ �*µO � � Xa� Ð@Ñ��BÒ É ��Ê��`q �=o5Ä�o�Ä�o.�5�?Uá0å.å=ä D{Ú ß`à � ��µbO � <£à65eß`â

VKW ´ �*µO � � Xa�ªË ÍÏ ´ �*µO � �§Ð@ÑdÒ�Ó@Ô5µ£� Ë ÍÑ Í´ �*µO � �§Ð@ÑdÒ�Ó@Ô5µ

�ªË ÍÑ Í´ � � �(Ð@ÑdÒX�"! $#� � Ô � �ªÐ@Ñ��1ÒBË ÍÏ ´ � � �§Ð@ÑdÒ��$! � Ô �

� Ð Ñ��BÒ É ��Ê��`q �=o5Ä�o�ÄFt�Ã5�

Page 48: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

r ! ����������� ������������������������������������! "�#�Å º�³ À½� ¾B¹B»>¼:º � · � ²�º1² À · � ¼ + ²�¾h¸ �5À Ç � ¸ ³0ÆB²��{²7·7ÖO¼:×½¼�¾B²!ק³½²�Èk¸*¹BºB»>³½¼ � º Ù

= �$µbO � �8� > o5Õ µ ? � ÕÃ1Õ µ A � Õ �(o5Äwo5Ä]tdo��T ²i»�·�ºNק³#·9³0²[³0ÆB² t ��� B 5 2 äYà 2 â'L��#:OÝ:ß �(o5Äwo5Äwo.��� ¸ ��À Ç2· �:� Ø4·@×

V W = �*µO � � ´ �*µ!O � � X � Ð@Ñ��1Ò É ��Ê��`q �(o5Äwo5Ä]t5t5�.0/ %�1 q %'& #0/ 2 ä3´ �*µ§� ã�Û�à 2 ãIHÂß#ã �(o�Ä�o5ÄWx�� ä7å9á-ã.å9æ4ß�Þ#å9â1ã`àýÛ�âeà$ã 5 Û�â43 $ <¦à65eß`â

VKW µ ´ �*µ§�YX � O É�� �,Ê��`q �(o5Äwo5Ä]t�v��?�á#å.å=ä D�� 2 � ß`á#ß`âeà 2 Û�à 2 â'L :Oâ43Oß`áià65eß 2 âeà<ß L�á½Û�Ýaã 2 L�â J ß�LOß`à

É � ��Ê��8� ÔÔOÊ Ë ÍÏ ´ �*µ§�§Ð@ÑdÒ*Ó@Ô�µ|�ÌË ÍÏ ´ �$µ§��� Ð ÑdÒ�Ó� Ê Ô5µ

� Ë ÍÏ OMµ ´ �*µ§�(Ð ÑdÒ�Ó Ô5µ£� O�VKW µ ´ �*µ§�YX�q �(o5Äwo5Ä]t@rb�$ ��%'&)(*%'+�,0/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä µ ×½¼:º1Æ µ D

B å9ÝC:dà 2 å9â4D �Mß#Þ½Û�Ý$ݬà651Û�à VKW ק¼:ºBÆ µYX � oÊ c O o q �(o5Äwo5Ä]t � �E#FXàI5eß[ÝwÛ9ã`à�à65eß#å9á0ß`æG< J ß�LOß`à

V W�µ ×½¼�ºBÆ µYX � ÔÔOÊ oÊ c O o � O t5Ê��Ê c O o�� c q �(o5Äwo5Ä]t�x��.0/ %�1 q %'& &0/�2 äj´ �$µ§� ã�Û�à 2 ãIHÂß#ã �(o5Äwo5ÄWx�� ä7å9á2ã.å9æ4ßuÞ#å9â1ã`à�Û�âeà*ã 5 Û�â43 $ <�Û�â43 2 ä� ¼�Ç Ó�& Ï ç Ó ´ �*µ§� ß#" 2 ã`à*ã <¦à65eß`â VKW ç Ó ´ �*µ§�YX �ªË ÍÒ É � ' � ' q �(o5Äwo5Ä]t A5�

?�á#å.å=ä D ? :dà�� �$µ§�!� çÓ ´ �*µ§� < 2 D�ß D <�´ �*µ§�i� µ � �*µ§� D��05eß[Üaá0ß"8 2 åd:�ãXàI5eß#å9á0ß`æ àI5eß`âL 2 8�ß#ãcÉ �,Ê���� O� � �,Ê�� DGE#FhàI5eß�ä;:Oâ43�Û�æ4ß`âeàýÛ�Ý àI5eß#å9á0ß`æ å=äXÞ½Û�Ý:Þ":OÝC:�ã <MÛ�â43hàI5eßUä>ÛOÞ`àà651Û�à 2��Ê�� � à Û9ã Ê�� ] < J ß 51Û98�ß 2��Ê��£� Ë ÍÒ É � ' �BÔ ' q �(o5Äwo5Ä]t !��

Page 49: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���������������������������� r��$ ��%'&)(*%'+�,��0/�1*2 â432àI5eß[ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä ×½¼�º µµ D

B å9ÝC:dà 2 å9â4D �Mß#Þ½Û�Ý$ÝgàI51Û�à VKW ×½¼�º µYX � ��Ê c � o�� Ñ ç D B 2 âJÞ#ß� ¼�ÇÓ�& Ï ×½¼:º µµ � o5Õ �=o5Ä�o�ÄFt��5�

àI5eßVÛ9ã#ã":OæcÜaà 2 å9â1ã�å=ä!àI5eß[ÝwÛ9ã`à�à65eß#å9á0ß`æ Û�á#ßcã�Û�à 2 ãIHÂß 3pÛ�â434à65':�ã J ß�51Û98�ßVKW ç Ó ×½¼:º µYX � Ë ÍÒ

Ô '' c ��o � W · À »>³0·�º(' X ÍÒ ��� t O · À »>³#·@º Ê�q �=o5Ä�o�Ä]v5Ã5�

a ¸*¹BºB¾e·@Ç2²>ºb³0· � È À½� Èa² À ³<Ø � ¸e³0ÆB²Â± ·@È � ·�»>²¦³ À ·�º1ק¸ �5À Ç ¼�×�³½ÆB²�¸�·�»`³D³½Æe·@³ Ù�À½� ¹ � Æ � Ø×½Èa²7·��b¼�º �BÙ ³#·��b¼:º � ³½ÆB²j¾B² À ¼�Ö@·@³½¼�Ö5² � ¸¦³0Æ1² �5À ¼ � ¼�ºe· � ¸*¹BºB»>³½¼ � º�´ �$µ§� » �5À§À ²�×§È � ºB¾B×!³ �Ç�¹ � ³0¼:È � ØO¼:º � ¼�³½×³ À ·@ºBק¸ �5À Ç�É ��Ê��U¶ Ø Ê�Ä.0/ %�1 q %'& / B :.Ü�Üeå.ã.ßj´ �$µ§� Û�â43�´ � �*µ§� Û�á0ßuÞ#å9âeà 2 âf:_åd:�ãkÛ�â43pÜ 2 ß#Þ#ß J 2 ã.ß2ã`æ4å.å9à65ä7å9á µU? à Û�â43 $ 2 ã{ã":���Þ 2 ß`âeà�ÝCF�ÝwÛ�á LOß{ã.å�à651Û�à ' ´ �$µ§� '�465 Ð (=Ó Û�â43 ' ´ � �*µ§� ')465 Ð ((Ó D�05eß`â�< 2 à_ä7å9Ý$Ý:å J ã!àI51Û�à V W ´ � �*µ§�YX �ªÊ É �,Ê��bO ´ �,Ã��Yq �=o5Ä�o�Ä]v1o.�

?Uá0å.å=ä D 2 âeà=ß L�á§Û�à 2 â'L, F!Ü1Û�áYà$ã < J ß�51Û98�ßV W ´ � �*µ§�YX � Ë ÍÏ ´ � �$µ§�§Ð@ÑdÒ*Ó�Ô5µ

�� ´ �*µ§�(Ð@ÑdÒ�Ó� ÍÏ �ÎÊ Ë ÍÏ ´ �$µ§�§Ð@ÑdÒ*Ó9Ô�µ8��O ´ �,Ã��¬��Ê É �,Ê9�Yq �=o5Ä�o�Ä]v�t��a ÈBÈ � ØO¼:º � ³0Æ1¼:× À ²>×½¹ � ³M³ � ´ � � �*µ§� ØO¼:² � ¾B×

V W ´ � � �*µ§�YX �ÌÊ VKW ´ � �$µ§� XuO ´ � �,Ã5�¦� Ê c É �,Ê9�!O�Ê ´ �,Ã��O ´ � �,Ã5�`q �=o5Ä�o�Ä]v5v5�\ ¼:ÇX¼ � · À½� Ø Ù

VKW ´ � � � �*µ§� X � Ê � É �,Ê��bO�Ê c ´ �,Ã��bO�Ê ´ � �,Ã5�bO ´ � � ��Ã��`q �=o5Ä�o�Ä]v�r��e Øk¼:ºB¾1¹B»>³½¼ � º Ù'T ² �5¶ ³0·�¼:ºp³½ÆB²[³ À ·�ºBק¸ ��À Ç � ¸ ³0Æ1²����ý³½ÆN¾1² À ¼wÖ@·@³0¼wÖ5² Ù ÖO¼ +�ÄwÙVKW ´ � � � �*µ§�YX �ÌÊ � É �,Ê9�bO�Ê � Ñ ç ´ �,Ã5�O�Ê � Ñ c ´ � �,Ã��bOÎq7q7q�O ´ � � Ñ ç � ��Ã��`q �=o5Ä�o�Ä]v � �

Page 50: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� à ����������� ������������������������������������! "�#�.0/ %�1 q %'& 0/ �05eß[ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä

Ë ÓÏ ´ � � �BÔ � Õ �(o5Äwo5ÄWv5x��

2 ã�L 2 8�ß`â> F çÒ É �,Ê�� D?�á#å.å=ä DCÚ ß`à�� �*µ§����� ÓÏ ´ � � �BÔ �rDiE#FNÞ#å9â1ã`à,á;:eÞ`à 2 å9â J ß�à65eß`â 51Û98�ß�� � �*µ§��� ´ �*µ§�Û�â43�� ��Ã��8�ªÃ D��¬ã 2 â'LQâJå J à651Û�à VKW ´ � �$µ§� X � ÊkV W ´ � �*µ§�YX O ´ �,Ã5��J ß 2 æQæ4ß 3 2 Û�à<ß`ÝCFKLOß`àÉ ��Ê��8�ªÊ���,Ê9�bO � ��Ã�� D#7iß`âJÞ#ß < ���,Ê9�8� çÒ É �,Ê�� D�q 1��+o%'& ,f/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä!à65eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'LMä;:OâJÞ`à 2 å9â1ã D

ÛhD µ kD µ c Þ D µ � 3hD µ �ß D µ ��o ä D �$µbO o�� c LhD �(o�� µ§�� 5�D ç Ó2 D Ð ÑbÓ � D Ð �ýÓ $ � D µ(Ð Ó Ý D Ð Ó �æ D�» � ×½Æ µ â4DU» � × µ å9DU×½¼:º t�µ Ü D�×½¼�ºBÆ c µ�q 1��+o%'& �0/#1�2 â432à65eß[Ú¬Û`ÜaÝwÛOÞ#ß[à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä!à65eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'LMä;:OâJÞ`à 2 å9â1ã D

ÛhD Ð (=Ó » � ×�� µ kD = �*µbO o�� Þ D Ð ÑbÓ = �$µ�O o.�3hD µ c ×½¼:º1Æ µ ß D µ � Ð Ó ä D µ(Ð ÑbÓ » � × µLhD�×½¼�º � ' µg���D� 5�D µ ×½¼�º Óc 2 D � º µ� D ç Ó �(o�O » � × µ§� � DU» � ×½Æ µ » � × µ Ý DU» � × c µ

Page 51: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���������������������������� � o¤�¥(¤¦¥�� �������=© °�� �������� �¬©������£­����`°���� �

´ �$µ§� É ��Ê��$ ´ �*µ§� � � � �$µ§� $ É �,Ê��¬� � 4�,Ê��µ ´ �$µ§� O É � ��Ê��µ � ´ �*µ§� �POio�� � É � � �½�,Ê��Ð Ñ)(=Ó ´ �*µ§� É ��ÊU� $O�´ �$µbO � � = �*µO � � Ð Ñ��1Ò É ��Ê��´ � �*µ§� Ê É �,Ê��O ´ �,Ã5�´ � � �*µ§� Ê c É ��Ê��bO�Ê ´ �,Ã��!O ´ � ��Ã��´ � � � �*µ§� Ê � É ��Ê��O �� �

� ç Ê � Ñ�´ ��Ñ ç � �,Ã��

Ë ÓÏ ´ � � �BÔ � É ��Ê��Ê.�� �+I%s,f/o,ut Èa² À ·@³0¼ � ºe· � È À½� Èa² À ³0¼�²�× � ¸ ³0ÆB²i± ·�È � ·�»�²-³ À ·�º1ק¸ �5À Ç Ä

Page 52: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� t ����������� ������������������������������������! "�#�= �*µ§� oʵ ����

oÊ � $ çÐ Ñ)(=Ó oÊU� $

» � ×½Æ $5µ ÊÊ c OG$ cק¼:ºBÆ $5µ $Ê c OG$ c» � ×�� µ ÊÊ c � � cק¼:º � µ �Ê c � � cµt � ×½¼�º � µ Ê�,Ê c � � c � cot � � � ×½¼:º � µbO � µ » � × � µ§� o�,Ê c � � c � c$

� r � µ � Ð Ñ)( ��� Ó Ð Ñ)(�� Ò.�� �+I%s,f/ ��t \ ³#·�ºB¾B· À ¾k³ À ·�ºBק¸ ��À Ç ÈB·�¼ À × Ä

Page 53: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���� ���b������ ���������������#�����.� ���� � v�j��� ���T� � ��X�[�£�D� �����z���V�{� ���8���z�D 5¡X�£¢Z ¼:º1¾B¼:º � ³½ÆB² 2 âf8�ß`á0ã.ß[ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ßià�á½Û�â1ã*ä7å9áYæ � ¸|·X¸*¹Bº1»>³0¼ � ºu´ �*µ§� ¼:×�³½ÆB² � È ² À ·@³½¼ � º � ¸À ²>» � Ö5² À ¼:º � ´ �*µ§� ¸ À½� Ç ¼�³0×C± ·�È � ·�»�²Q³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç É ��Ê��`Ä ºB²X¹B×½¹B· �:� Ø}¾B²�º � ³0²�×i³0ÆB¼�׶ Ø ´ �*µ§�£� V3Ñ ç W É ��Ê�� X,q �=o5Ä]tdÄ�o.� %'& � q� / S�Æ1²!± ·@È � ·�»>²-³ À ·�ºBק¸ ��À Ç � ¸�·Q¸*¹1ºB»>³½¼ � ºN´ = ;¼�×¾B²>¿BºB²�¾k¸ �5À » � Ç2È � ²"[Ê ¸ �5À �[Ð�Êi? $eÙ Öd¼ + V ´ ��Ê��8� Ë ÍÏ ´ �*µ§�§Ð@ÑdÒ*Ó*Ô5µYq �=o5Ä]tdÄFt��Å ºÎ³0Æ1¼:× T ·7Ø � ºB²TÇ2·.Ø ¹1×½²u³½ÆB²T¼:º�Ö�² À ק¼ � º Z_��À Ç�¹ � ·}¸ ��À Ze� ¹ À ¼:² À ³ À ·�ºB×(¸ �5À ÇX×j³ ��5¶ ³0·�¼:ºh³0Æ1²i× � �<»�· �:� ²�¾ 2 âf8�ß`á0ã 2 å9âVä7å9áYæ :dÝwÛ Ù.T ÆB¼:»#Æ � ¼�Ö�²�×{·X» �:� ק²�¾k¸ �5À Ç ²"[dÈ À ²>׽ק¼ � º¸ �5ÀrV Ñ ç W É �,Ê�� X,Ä S�ÆB¼�×�Æ �_T ²>Ö�² À>Ù ºB²�²>¾B× ³½ÆB² Z_� ¹ À ¼�² À ³ À ·�ºBק¸ ��À Ǫ¸ �5À Ç4· � ¼:×§Ç T Æ1¼:»#Æ T ²×½Æe· �:� ¼:º�³ À§� ¾B¹1»�²c¼�ºh· � ·@³0² À »#Æe·@È1³0² À�Ä �3²`Ö5² À ³0ÆB² � ²>×½× Ù T ²-»�·�ºp¸ �5À ÇV¹ � ·@³½²{·V» À ¼�³0² À ¼ � º�IT ¼w³0Æ � ¹d³MÈ À½�O� ¸ � ·�×�¸ �5�:���_T ×��� %'&s& � ��/32 ä�´ÎÛ�â43��Û�á0ß 2 â ; Û�â43 V ´ � V �u<|àI5eß{´ � �0D�����å9á0ß-ã<Üeß#Þ 2 HÂÞ½Û�Ý$ÝCFk<´ �*µ§�£� � �$µ§� Û�àUÛ�Ý$Ý1Üeå 2 âeà$ã µKJ 5eß`á0ß0`å9àI52´ÎÛ�â43 ��Û�á0ßQÞ#å9âeà 2 âf:eåd:bã

e Øp³0Æ1¼:×�±¬²�ÇXÇ2· Ù ·�¸*¹BºB»`³0¼ � ºh¼:×{´ = ;¼�×�¹BºB¼��b¹B² � Ø4¾B²>³½² À ÇX¼:º1²�¾ � ¹BÈh³ � Ç � ¾B¼ �¿e»7·9³0¼ � ºB×{·@³{¼�³0×�¾1¼:×½» � º�³0¼�ºO¹1¼�³0¼�²�× �U¶ Øk¼w³0×{± ·�È � ·�»�²[³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç�É Ù ·�ºB¾ T ²CקÆe· �:� ×½·7س0Æe·9³3´}¼�׳0ÆB²����������! �� �#"%$'&("*) �,+�� " �- !.0/��21 � ¸|É ·�ºB¾ TMÀ ¼�³0²C´ �$µ§�8� V Ñ ç W É ��Ê�� X �´ � V{Ñ ç É4365 É � V ´ q

�c·7ÖO¼:º � ¼:º Ç2¼�ºB¾ ³0ÆB²�· ¶a� Ö5²m» À ¼w³0² À ¼ � º T ²mקÆe· �:�[¶ ²» � º�³0²>º�³ T ¼�³½Æ ³½ÆB²×½¼:ÇXÈ � ²Ç2¼�ºB¾B²>¾�·�ÈBÈ À½� ·�»#Æ � ¸Â¿eº1¾B¼:º � ¼:º�Ö�² À ק²h± ·�È � ·�»�²j³ À ·�ºBק¸ ��À ÇX× ¶ عBק¼:º � ·N³#· ¶B� ² � ¸×§³0·�ºB¾e· À ¾u± ·�È � ·�»>²-³ À ·@ºBק¸ �5À Ç2× ÄÅ ºB¾B²�²>¾ Ù ¼�³{³0¹ À ºB× � ¹1³c³½Æe·@³ T ¼�³0ÆN³0ÆB²�·�¼:¾ � ¸£·2³0· ¶B� ²C·�ºB¾T· � ¼w³½³ � ²!· �:� ² ¶BÀ · Ù4T ²· À ²i· ¶1� ²-³ � ¿eº1¾ V Ñ ç W É ��Ê�� X ¸ �5À · � · À½� ²-ºb¹BÇ ¶ ² ÀM� ¸ ¸*¹BºB»>³½¼ � º1×c´ �*µ§�`Ä7-¹B²Q³ � ³0Æ1²j¸�·@»>³[³0ÆB·@³[³0ÆB²X± ·�È � ·�»�²C³ À ·@ºBק¸ �5À Ç ¼:× � ¼:º1²7· À ¼w³-¸ �5���:�kT ×c³0ÆB·@³i· � × �³0ÆB²3¼:º�Ö5² À ק²!± ·@È � ·�»>²{³ À ·�º1ק¸ �5À Ç ¼�× � ¼:ºB²�· À�Ä �3²�º1»�² Ù ¼�¸ $ ·�º1¾ �3· À ²{» � ºB×(³#·�º�³½× Ù ³½ÆB²�ºT ²iÆe·7Ö5² V3Ñ ç W $ É �,Ê��¬� � 4�,Ê�� X � $hV3Ñ ç W É ��Ê�� XO� � V3Ñ ç W 4�,Ê9�YX�Õ �=o5Ä]tdÄ]v5�

$98 %'&)(*%'+(�;:�/�1*2 â432àI5eß 2 âf8�ß`á0ã.ß-ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ ´ �*µ§�£� V Ñ ç W É �,Ê9�YX å=äÉ ��Ê��8� Ð ÑdÒÊ c O Ð Ñ c ÓÊ q �=o5Ä]tdÄWr��

Page 54: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� r ����������� ������������������������������������! "�#�B å9ÝC:dà 2 å9â4D 1 á0å9æ Û4àýÛ��Ý:ßVå=ä-ã`àýÛ�â43�Û�á 32à�á§Û�â1ã*ä7å9á`æVã < J ß 51Û98�ß

V3Ñ ç W çÒ � X � µYÕ V3Ñ ç W çÒ�� X � ç�µ �.Õ �(o5Ä]tdÄ � �

ã.å FXàI5eßiÝ 2 âJß½Û�á 2 àoFkå=ä V Ñ ç < J ßQå �à�Û 2 âV3Ñ ç W������Ò � O��� � �Ò� X � V3Ñ ç W������Ò � XfO V3Ñ ç W���� � �Ò� X,q �(o5Ä]tdÄWx��

�gã 2 â'L2âJå J àI5eß� ��� B 5 2 äYà 2 â'L �#:dÝ:ß < J ß*H£â43V3Ñ ç W������Ò � X � = �$µ�O o��>�*µO o��`Õ V3Ñ ç W���� � �Ò�� X � ç

�= �*µO�t5���$µbO o�� �7q �(o5Ä]tdÄRA5�

7iß`âJÞ#ß <£àI5eß 2 âf8�ß`á0ã.ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=ä{É �,Ê�� 2 ã´ �*µ§�£� V3Ñ ç W É ��Ê�� X � = �$µ�O o��>�*µO o��bO ç

�= �$µbO�t����*µO o�� �.q �(o5Ä]tdÄ"!��

Page 55: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���� ���b������ ���������������#�����.� ���� � �

¤�¥Z�Â¥§¤ � ©g¯��-°�� °�� � �1¯B®������ ��� �J¯e®=°�­��a » � ÇXÇ � ºh×½¼�³½¹e·@³½¼ � ºh¼�× T ÆB²�ºuÉ �,Ê9� ÆB·�×�³0ÆB²[¸ �5À Ç

É �,Ê9�8��� �,Ê9�� �,Ê9� Õ �=o5Ä]tdÄ]�5�T ÆB² À ² � �,Ê9� ·�ºB¾�� �,Ê�� · À ² À ²7· � È �5� ØOº � ÇX¼K· � ×3·�ºB¾T³0Æ1²Q¾B² �5À ²�² � ¸ � ¼�× � ²>×½×-³½Æe·�º³0ÆB²M¾B² �5À ²>² � ¸� ÄDÅ ³¦¼�×|³0ÆB²>º2ºB²>»�²>×½×0· À ØQ³ � ¾B²>» � ÇXÈ � ×½²{É ��Ê�� ¼:º�³ � Ü1Û�áYà 2 Û�Ý7äYá½ÛOÞ`à 2 å9â1ã³ �j�5¶ ³0·�¼:º V Ñ ç W É ��Ê�� X,Äj ²!¾B²>Ç � º1ק³ À ·@³0²[³½ÆB¼:׳½²�»#ÆBºB¼ �b¹B²i¸ ��À ³0Æ À ²�²i»7·�ק²�× � ¸D¾1²�º � ÇX¼:ºB·@³ �5À ×� ��Ê��`Ä,f/ � ��Ê�� m�� �� p ��� q � �_m���� m � / q % � + 1 1 ��� /�� � º1×½¼:¾1² À�Ù ¸ ��À ¼:ºB×(³#·�ºB»>² Ù

É �,Ê��8� t5Ê#O2!Ê c O � ÊU��x Õ �=o5ÄFtOÄ�o.Ã5� ¶ ÖO¼ � ¹B× � Ø Ù É ��Ê�� »7·�ºBº � ³ ¶ ²i¼:º�Ö5² À ³½²�¾ ¶ Øk¼:º1×½Èa²�»>³½¼ � º�·�ºB¾�ºB²�¼w³0ÆB² À ¾ � T ²CÆB·.Ö�²V¼w³³#· ¶ ¹ � ·@³½²�¾ Ä � �_T ²>Ö�² À>Ù ×½¼�ºB»�²Q³½ÆB²j¾B²�º � Ç2¼�ºe·@³ ��À!Ê c O � ÊM� x Æe·@×!³ T��NÀ ²7· �8À½�O� ³0× ÙÊ-�ªt ·@ºB¾ Ê-� v1Ù ¼�³�¼�×ÂÈ � ׽ק¼ ¶B� ²3³ � ¾1²�» � Ç2È � ×½²!É ��Ê�� ¼�º�³ � Èe· À ³0¼:· � ¸ À ·�»>³½¼ � º1× Ù ÖO¼ +�ÄwÙ

É ��Ê��£� �Ê#O�t O �Ê�O v q �=o5ÄFtOÄ�o5o.�T ÆB² À ² � ·�ºB¾ � · À ²3ºb¹BÇ ¶ ² À × Ä ¹ À¦�5� · � ¼�×8³ � ¾1²>³0² À ÇX¼:ºB²�³½ÆB²�ק² Ù1¶ ²�»�·�¹Bק²3³0Æ1²�ºp¼w³¼:× ²7·@קØ[³ �{�5¶ ³0·�¼:º[³½ÆB²�¼�º�Ö5² À ×½²£³ À ·�ºBק¸ ��À Ç � ¸BÉ �,Ê��`Äe Ø!² � ²�ÇX²�º�³#· À Ø[Ç2·�ºB¼:È1¹ � ·@³½¼ � º1× ÙT ² � ²`³�Ê�O�t � �Ê�O�v � � ��Ê�O�v5�¬� � �,Ê�O�t5���Ê#O t5���,Ê�O v�� � � � � � �§ÊU� �PO3v � O�t � �Ê c O � Ê���x Õ��=o5ÄFtOÄ�o�t��

T ÆB¼:»#ÆN¼:ÇXÈ � ¼:²�× t5Ê#O2!Ê c O � ÊU��x � � � � � �§ÊU� �PO3v � O t � �Ê c O � Ê���x q �=o5ÄFtOÄ�o.v5�� � ÇXÈe· À ¼�º � ³0Æ1² À ¼ � Æ�³{·�º1¾ � ²>¸$³�Æe·@ºB¾�ק¼:¾B² Ù ¼�³�¼�× �5¶ Öd¼ � ¹B׳½Æe·@³

t!� � � � Õ O !V� Ocv � O�t � Õ �=o5ÄFtOÄ�o7r��T ÆB¼:»#ÆN¼:×M·jקØO×(³0²�Ç � ¸D²��O¹B·@³0¼ � ºB×�¸ �5À � ·�ºB¾ � Ù ¼ Ä ² Ä�Ù� � � � �ÌtOÕv � �Ît � � !dq �=o5ÄFtOÄ�o � �

Page 56: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� x ����������� ������������������������������������! "�#�\ �5� ÖO¼:º �BÙ'T ² �5¶ ³0·�¼:º � ��r ·�º1¾ � ��OctdÄ �3²>ºB»�² Ù

É ��Ê��8� rÊ#O t O tÊ�O v q �(o5Ä]tdÄwo.x��e Ø À ²�» �5� ºB¼ + ¼:º � çÒ=Ñ c ·�×�³0ÆB²[³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç � ¸ Ð c Ó ·�ºB¾ çÒ=Ñ c ·�׳0Æe·9³ � ¸ Ð �ýÓ Ù T ² �5¶ ³#·@¼:º´ �*µ§�£� V Ñ ç W É �,Ê9�YX � r�Ð c Ó O�t�Ð �ýÓ q �(o5Ä]tdÄwo A5��0/ � �,Ê9� m � � p � � q � �_m�� � m � / � � 1 p �+I% 1 1 � / ± ²`³

É ��Ê��8� Ê�� o��Ê��Ît5� c Õ �(o5Ä]tdÄwo !��S�ÆB²�¾B²>º � ÇX¼:ºe·9³ �5À Æe·�×£·c¾ � ¹ ¶B� ² À½�O� ³ Oct ·�ºB¾�³½ÆB²�Èe· À ³0¼:· � ¸ À ·�»>³½¼ � º1×|· À ²U³0ÆB² À ²`¸ �5À ²Ê�� o��Ê��Ît5� c � �ÊU�Ît � ���ÊU��t5� c � � ÊU� ��t � � � ���Ê��Ît5� c q �(o5Ä]tdÄwo.���� � ÇXÈe· À ¼:º � ³0Æ1² � ²>¸$³�·�ºB¾ À ¼ � Æ�³�ÆB·�ºB¾Vק¼:¾B² � ¸d³0ÆB²�· ¶a� Ö�²U²;[1È À ²�ק׽¼ � º Ù9T ²¦¿BºB¾ � � o·�ºB¾ � � OctdÄ�� ²>»7· ��� ¼:º � ³0Æe·@³ VKW çÒ $ c Xg�ÌÐ Ñ c Ó ÙfT ²C»�·�ºN¹B×½² VKW�µ ´ �*µ§� XJ��O É � ��Ê�� ³ �¾B²>¾B¹B»�²C³0Æe·@³3³0ÆB²C¼:º�Ö5² À ק²V³ À ·�ºBק¸ ��À Ç � ¸ �,ÊÂ� t5� Ñ c ¼:× µ(Ð c Ó Ä �{²�ºB»>² Ù ³½ÆB²V¼�ºbÖ�² À ×½² � ¸É ��Ê�� ¼:× ´ �*µ§�8�ªÐ c Ó O�t9µ(Ð c Ó=q �(o5Ä]tdÄ]t�Ã��-0/ � �,Ê9� m � � p � � q � �_m�� � � �*/ � ��� 14&)(+I% 8�� 1 ��� p!n � � % � 1 1 ��� / Å ¸

É �,Ê��8� Ê�� oÊ c � rbÊU� � Õ �(o5Ä]tdÄ]tdo��³0Æ1²�ºk³0ÆB²!¾B²>º � ÇX¼:ºe·@³ �5À Æe·@×M³½ÆB² À½�O� ³0× Oct *½Ä � � ÇXÈ � ²`³0¼�º � ³0ÆB²!×2�O¹B· À ² Ù T ² � ²>³Ê c � rbÊU� � � Ê c � rbÊU� r{� oc� ��Ê��Ît5� c ��o5Õ �(o5Ä]tdÄ]t5t5�¼ Ä ² ÄwÙ É �,Ê��8� Ê�� o��Ê��Ît5� c ��o q �(o5Ä]tdÄ]t�v��e Ø À ² TMÀ ¼�³0¼�º � Ê�� o��Ê��Ît5� c ��o � Ê��Ît��Ê��Ît5� c ��o � OCo��Ê��Ît5� c ��o Õ �(o5Ä]tdÄ]t@rb�·�ºB¾ À ²�»7· �:� ¼�º � ³0Æ1²!³ À ·�º1ק¸ �5À Ç2× � ¸�×½¼�º µ ·�º1¾�» � × µ ¼w³�¼:×�» � ²7· À ³0Æe·@³

´ �*µ§�8� V Ñ ç W É ��Ê��YXa�ªÐ Ñ c Ó » � × µbO�Ð Ñ c Ó ×½¼:º µYq �(o5Ä]tdÄ]t � �

Page 57: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���� ���b������ ���������������#�����.� ���� � A

$98 %'&)(*%'+(��,f/�1*2 â432àI5eß 2 âf8�ß`á0ã.ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ å=äÉ �,Ê9�8� Ê��ÎtÊ � O�Ê c �ÎÊ�OÎo q �=o5ÄFtOÄFt�x5�

B å9ÝC:dà 2 å9â4D��£Û�Ý:Þ":OÝwÛ�à 2 â'LVà65eß3á0å.å9à*ã!å=äMà65eß 3Oß`âJå9æ 2 âaÛ�à<å9á Ê � ONÊ c �TÊOzo < J ß!H£â43Ê ç � o < Ê c � * <UÛ�â43 Ê � < 2 D�ß D <É ��Ê��8� ÊU��t��Ê#O o��>��ÊU�3*<�>��Ê�O2*ý� � Ê��Ît��Ê#O o����,Ê c ��o�� q �=o5ÄFtOÄFt A��7Cß`á0ß <¦à65eßVÛ`Ü�Üaá0å#Üaá 2 Û�à<ßi3Oß#Þ#å9æcÜeå.ã 2 à 2 å9â 2 âeà<å[Ü1Û�áYà 2 Û�Ý5äYá§ÛOÞ`à 2 å9â1ã 2 ã�L 2 8�ß`â> F

É ��Ê��£� �Ê#O o � � Ê�� 7Ê c � o � Ê c � � � � �¬��ÊO� 7 O � � � � � O 7 �Ê � O Ê c ��Ê�O o q �=o5ÄFtOÄFt !5�2 3Oß`âeà 2 ä;F 2 â'LhÞ#å.ß*ä6HÂÞ 2 ß`âeà*ã 2 à 2 ã�Þ`Ý:ß½Û�á!à651Û�à

Ê c � � � � �£� Ã1Õ Êb� 7 O � �£� Ê�Õ � O 7 �ÌtdÕ �=o5ÄFtOÄFt��5�J 5 2 Þ 5 2 æcÜaÝ 2 ß#ã < � � �c < � � O �c <UÛ�â4307 � O çc D�7Cß`âJÞ#ß <

É �,Ê9�£� � cÊ�O o O �c ÊÊ c ��o O çcÊ c ��o q �=o5ÄFtOÄ]v5Ã5���å9â1ã":dÝ à 2 â'LpÛ4à�Û��Ý:ßQå=ä[à�á½Û�â1ã*ä7å9áYæVã < J ßiá0ß#Þ#å L�â 2 �9ß�É �,Ê9� Û9ã!à65eßià,á§Û�â1ã*ä7å9áYæ�å=ä

´ �$µ§�¦� � c Ð Ó O �c » � × µ�O çc ×½¼�º µYq �=o5ÄFtOÄ]v1o.�iq 1��+o%'& -0/�1�2 â43jàI5eß 2 âf8�ß`á0ã.ß-ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ�å=ä[àI5eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'LMä;:dâJÞ`à 2 å9â1ã D

ÛhD oÊU� o kD oÊ c � r Þ D Ê�� oÊ c � o 3hD oÊ c O oß D ÊU��o�tÊ c � rbÊ ä D Ê��Ê��Ît5� c LhD ÊU� o�,Ê�O v�� 5�D Ð ÑdÒÊ

iq 1��+o%'& �r/�1�2 â43jàI5eß 2 âf8�ß`á0ã.ß-ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à�á§Û�â1ã*ä7å9áYæ�å=ä[àI5eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'LMä;:dâJÞ`à 2 å9â1ã DÛhD ÊÊ c O�t5Ê#O�v kD ÊU�ÎtÊ c � rbÊU� � Þ D o��Ê#O t5� c ���3hD Ê�� oÊ � ��Ê c O�x�Ê ß D v�ÊÊ c ��t5Ê�O2!

ä D oÊb��ÊU��o����,ÊU��t5�

Page 58: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ! ����������� ������������������������������������! "�#��j��� � �z�z�����{������¡X�z��¡j  �����z�>���M� ���8���z�� 5¡X�¦¢ �¤¦¥���¥§¤ �b­[®<¯B® ��� �����-©� �e°����=© � � 8º � ¹ � Æ T ¼�³0Æp³½ÆB² ��À Ø Ùd� ²`³�¹B×U¿eº1¾k³½ÆB²-× �5� ¹1³½¼ � º�� �$µ§�¦� ¸ ³½ÆB²-¼:º1¼�³0¼:· � Ö@· � ¹1²-È À½��¶B� ²>Ç

� � �$µ§�¬�Ît � �*µ§�8� o�t�Ð �ýÓ<Õ � ��Ã��|�ªvdq �(o5ÄWv1Äwo��e Øz³#· �O¼�º � ³0ÆB²2± ·�È � ·@»�²Q³ À ·�ºBק¸ ��À Ç � ¸U²>Ö5² À س0² À Ç ¼:º}³0Æ1² � ¼wÖ5²>ºm¾B¼w¸$¸*² À ²>º�³0¼K· �²%�b¹e·9³0¼ � º Ù�T ² � ²`³ V W � � �$µ§� Xd� VKWWt � �$µ§� X_� VKW o.t�Ð �ýÓ X,q �(o5ÄWv1Ä]t5�

�8¹1³�� �,Ê9�£� VKW � �*µ§�YX�Ä � �kT!ÙVKW � � �$µ§� Xa�ªÊ � ��Ê��bO � �,Ã��|�ªÊ � ��Ê��bO v1Õ �(o5ÄWv1ÄWv��VKWWt � �$µ§� X_�ªt � �,Ê9�YÕ �(o5ÄWv1Äsrb�VKW o�t�Ð �ýÓ6Xa� o�tÊ�O v q �(o5ÄWv1Ä � �

Å ºBק² À ³½¼:º � ³½ÆB²�ק²i¸ �5À Ç�¹ � ·�×¼:º�³ �u�=o5ÄWv1ÄFt�� · ¶ � Ö�² ÙfT ² � ²`³M³0ÆB²�ã":!`ã 2 3 2 Û�á"Fpß:9 :1Û�à 2 å9âÊ � �,Ê��bO�v{�Ît � ��Ê��£� o�tÊ�O v q �(o5ÄWv1ÄWx��

� ²7· À§À ·�º � ¼:º �BÙ'T ² �5¶ ³0·�¼:º�,ÊU�Ît�� � �,Ê��¦� o�tÊ�O v ��vi� v{��v�ÊÊ�O v Õ �(o5ÄWv1ÄRA5�

�5À� ��Ê��£� v�Ê���v�,ÊU�Ît�����Ê#O v�� q �(o5ÄWv1Ä"!��

a ³M³0ÆB¼�×�È � ¼�º�³ Ù�T ²C¾1²�» � Ç2È � ×½²�� ��Ê�� ¼:º�³ � Èe· À ³0¼:· � ¸ À ·�»>³½¼ � º1× Ù ÖO¼ +@Ä�Ùv�Ê���v��Ê��Ît5�>��Ê�O v�� � �ÊU��t � �Ê�O�v � � � � � �§Ê�O�v � �Ît ��,ÊU�Ît�����Ê#O�v�� Õ �(o5ÄWv1ÄW���

T ÆB¼�»#Æ � ¼wÖ5²>× À ¼:ק²-³ � ·X×(ØOק³0²>Ç � ¸�²%�b¹e·@³½¼ � ºB×�¸ �5À � ·�º1¾ � Ù ºe·�ÇX² � Ø Ù� � � � � v1ÕOcv � ��t � � v1q �(o5ÄWv1Äwo.Ã��

Page 59: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����'���������� "�b���! "�����s��� ���������������������������� � � �\ �5� Öd¼�º � ³0Æ1¼:× Ù T ²[¿eºB¾ � � �� ·@ºB¾ � � ç c� Ä �{²�ºB»>² Ù

� �,Ê��¦� ��ÊÂ�Ît � ç c�Ê�O v q �=o5Ä]vdÄ�o5o.�� � ºBק¹ � ³½¼:º � ·�³#· ¶1� ² � ¸�ק³0·�ºB¾e· À ¾u± ·�È � ·�»>²-³ À ·@ºBק¸ �5À Ç2× Ù�T ²i¿eºB· �:� Ø4Æe·7Ö�²

� �*µ§�8� V Ñ ç W � ��Ê�� X� �� V3Ñ ç W çÒ%$ c XO� ç c� V3Ñ ç W çÒ=Ñ�� X� v� Ð@Ñ c ÓB� o�t

� Ð �ýÓ(q �=o5Ä]vdÄ�o�t��� p &s& � q�� 1 � � 14+ p �_m 1 � �q 1 � % � � / � � ³½²}³½ÆB²}³0Æ À ²�²×§³0²>ÈB× � ¸V³½ÆB²}× �5� ¹1³0¼ � ºÈ À½� »�²>×½×��o5Ä S�·���²h³0Æ1²k± ·@È � ·�»>²4³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç � ¸ ¶ � ³½Æ�×½¼�¾B²�× � ¸{³0Æ1² � ¼�Ö�²�º�Æe· À ¾ È À½�5¶1� ²�Ǹ �5À � �$µ§�`Ä a ×!· À ²�ק¹ � ³!·2×½¼:ÇXÈ � ²�· ��� ² ¶BÀ ·�¼:»i²%�b¹e·9³0¼ � ºT¸ �5À � �,Ê��{� VKW � �*µ§�YX ¼�×�5¶ ³0·�¼:º1²�¾ ÄtdÄ \ �5� Ö5²[³0Æ1¼:×�× � �<»7· �:� ²>¾uã": `ã 2 3 2 Û�á;Fhß:9 :BÛ�à 2 å9âu¸ �5À � ��Ê��`Äv1Ä�� ק²QÈe· À ³0¼K· � ¸ À ·�»>³½¼ � ºB×-·�ºB¾}·4³#· ¶B� ² � ¸£² � ²>Ç2²>º�³#· À Øz± ·�È � ·�»�²i³ À ·@ºBק¸ �5À Ç2×3³ �¼:º�Ö�² À ³�� ��Ê�� ·�ºB¾k× � È À½� ¾B¹B»>²[³0ÆB² À ²��b¹B¼ À ²�¾N× �5� ¹1³0¼ � º � �$µ§�|� V Ñ ç W � �,Ê�� X,Ä

$98 %'&)(*%'+(���0/ B å9ÝC8�ß[àI5eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'L 2 â 2 à 2 Û�Ý089Û�ÝC:eß�Üaá0å �Ý:ß`æ ä7å9á µ@? Ã� � � �*µ§�¬� r � � �$µ§� ��v � �*µ§�|�ªÃdÕ �=o5Ä]vdÄ�o.v5�� ��Ã��8� v1Õ � � �,Ã��8� o5q �=o5Ä]vdÄ�o7r��

B å9ÝC:dà 2 å9â4D 9Tß 51Û98�ßVKW � � �$µ§� X �ªÊ � �,Ê��bO�v1Õ V W � � � �*µ§� X �ªÊ c � ��Ê��bO v�Ê#O o5Õ �=o5Ä]vdÄ�o � �

ÚgÛ`ÜaÝwÛOÞ#ß!à,á§Û�â1ã*ä7å9áYæXÛ�à 2 å9â�å=ä �(o5ÄWv1Äwo.v�� F 2 ß`Ý 39ã!à65eß[ã":!`ã 2 3 2 Û�á"Fhß:9 :1Û�à 2 å9âÊ c � �,Ê9�¬� rbÊ � �,Ê9�¬��v � �,Ê��8�ªv�ÊU��o.v1Õ �=o5Ä]vdÄ�o.x5�

å9á �,ÊU��v5����Ê�� o�� � �,Ê9�8� v�ÊU��o.v1q �=o5Ä]vdÄ�o A��

Page 60: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

x5à ����������� ������������������������������������! "�#�B å9ÝC8 2 â'LMä7å9á � ��Ê�� Û�â43 :�ã 2 â'LhÛ 3Oß#Þ#å9æcÜeå.ã 2 à 2 å9â 2 âeà<å[Ü1Û�á`à 2 Û�Ý�äYá§ÛOÞ`à 2 å9â1ã < J ß�LOß`à

� ��Ê��8� v�ÊU��o.v�,ÊU��v����,ÊU� o.� � �ÊU��v � �ÊÂ��o� � ��Ê�� o��¬� � ��Ê���v���,ÊU��v5����Ê�� o�� � � � � � �§ÊU� � ��v ���Ê���v��>��Ê�� o�� Õ �(o5ÄWv1Äwo !��

äYá0å9æ J 5 2 Þ 5 J ßQå �à�Û 2 â � � Oct <UÛ�â43 � � � D �05':�ã <� �,Ê9�£� O tÊÂ��v � �ÊU��o q �(o5ÄWv1Äwo.���

�Mß#Þ½Û�Ý$Ý 2 â'L �=o5Äwo5ÄWr�� 2 à 2 ã�å 8 2 åd:bã[àI51Û�àV Ñ ç � çÒ%$ � �ªÐ Ñ��ýÓ Õ V Ñ ç � çÒ%$ ç � Ð Ó q �(o5ÄWv1Ä]t�Ã��

7iß`âJÞ#ß <£àI5eß[ã.å9ÝC:Oà 2 å9â 2 ã�L 2 8�ß`â> F� �*µ§�8� O-t�Ð Ñ��ýÓ � � Ð ÑbÓ q �(o5ÄWv1Ä]tdo��

a ×½¼�Ç2È � ² T ·7Øm³ � »#ÆB²�» � T Æ1²>³0Æ1² À ³0Æ1²h» �5À§À ²�»`³Q× ��� ¹1³½¼ � º�ÆB·�× ¶ ²�²�º �5¶ ³#·�¼�ºB²�¾¼:×M³ � ×½²>²�¼�¸�³0ÆB²C¼:ºB¼w³0¼K· � » � º1¾B¼�³½¼ � ºN¼:×3×0·@³½¼:ק¿B²�¾ ¶ Øk³0ÆB²i¸ � ¹BºB¾�¸*¹BºB»>³½¼ � º � �$µ§�`Ä �3² À ²T ²NÆB·.Ö�² � ��Ã��j� � � � ç c� � v ·�ºB¾ Ù ×½¼�ºB»�² � � �$µ§�2� x�Ð Ñ��ýÓ O � Ð ÑbÓ Ù�T ²N· � × � Æe·7Ö5²� � ��Ã��8�ªx*O � � o5Ä �{²�ºB»>² Ù ³0ÆB² À ²%�b¹B¼ À ²�ÇX²�º�³0× � �,Ã��8� v ·�ºB¾� � �,Ã��£� o · À ²�¼:ºB¾1²�²�¾×0·9³0¼:×(¿e²�¾ ¶ Ø �(o5ÄWv1Ä]tdo��#Ä�q 1��+o%'& #0/ B å9ÝC8�ß!àI5eߣä7å9Ý$Ý:å J 2 â'L 3 2 ä$ä7ß`á0ß`âeà 2 Û�Ý�ß:9 :1Û�à 2 å9â1ã£ä7å9á µ@? ÃÛhD�� � �Ît � �ªÐ Ñ��ýÓ Õ � ��Ã��8� r DkD�� � O � � Ð c Ó Õ � �,Ã��8� OCo DÞ D�� � � ��t � � � � �ªÐ ÑbÓ Õ � ��Ã��|�ªÃdÕ � � ��Ã��£� o D3hD�� � � � r � � � o.v � �ªt�Ð ÑbÓ Õ � ��Ã��8� Ã1Õ � � �,Ã��8� OCo Dß D�� � � � r � � !�Ð c Ó Õ � �,Ã��8� Ã1Õ � � ��Ã��8�ªv Dä D�� � � O�t � � ��t � � » � × µYÕ � �,Ã��D� o5Õ � � �,Ã��£� à DLhD�� � � � r � � � v5Ð Ó Õ � �,Ã5�8�ªtdÕ � � �,Ã��8� o D5�D�� � � ��t � � �Ît � � tdÕ � �,Ã��D�ªÃ ä7å9á µ@AÎà D

Page 61: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����'���������� "�b���! "�����s��� ���������������������������� � x1o¤�¥ ��¥�� �b­Â¯1©�� ����� ��� � �D¯e®=°�­��a Èe· À ³V¸ À§� Ç × ��� ÖO¼:º � ¾B¼�¸$¸*² À ²>ºb³½¼K· � ²��b¹e·@³0¼ � ºB× Ù ³0ÆB²p± ·@È � ·�»>²X³ À ·�º1ק¸ �5À Ç ³½²�»#ÆBº1¼��b¹B²Ç4·7Ø4· � × �Q¶ ²c¹B×½²>¾N³ � × �5� Ö5²[¼:º�³½² �5À · � ²��O¹B·@³0¼ � ºB× Ä�Ze�5À ¼:ºB×(³#·�ºB»>² Ù » � ºBק¼:¾B² À ³0ÆB²�` �_T� ¸a² � ²�»>³ À ¼�»�»�¹ À§À ²�º�³�· À§� ¹BºB¾j·[»�¼ À »>¹B¼�³D» � ºBק¼:×(³0¼:º �i� ¸J· À ²�ק¼:ק³ �5À�Ù ·[»�·�Èe·�»>¼�³#·@ºB»�² Ù ·�ºB¾· ¶ ·@³½³½² À Ø Ä

� �*µ§� 7*#�*µ§�

l�mIn prq %s,f/ �0t � ²�»`³ À ¼:» � � �ý»�¼ À »�¹B¼w³ ÄÅ ³{¸ ���:�:�kT × � ³½Æe·@³�³½ÆB²!»�¹ À§À ²�º�³ *#�$µ§� ×½·@³0¼�ק¿e²>×�³0ÆB²!¼:º�³½² �5À · � ²%�b¹e·9³0¼ � º

� *0�*µ§�¬� o7 Ë Ó

Ï *0� � �BÔ � � � �$µ§�`Õ �=o5Ä]vdÄFt5t��T ÆB² À ² � ·�ºB¾87 · À ² À ²�×§È ²>»>³0¼wÖ5² � Øi³0ÆB² À ²�ק¼:×(³#·�ºB»>²�·�ºB¾V»7·�Èe·@»�¼�³<Ø � ¸1³0ÆB²�»�¼ À »�¹B¼w³ Ù ·�ºB¾� �*µ§� ¼:×-³½ÆB²2² � ²>»>³ À§� Ç � ³0¼wÖ5²�¸ �5À »�² � ¸U³½ÆB² ¶ ·@³§³0² À Ø Ä Ze�5À ×½¼:ÇXÈ � ¼:»�¼w³<Ø Ù � ²>³i¹B×i·�ק׽¹BÇX²³0Æe·9³�7 � � � o5Ù ·�ºB¾u³½Æe·@³ � �$µ§� Æe·@×c³0ÆB²i¸ �5À Ç � ¸8·4×!�b¹e· À ²�ÈB¹ � ×½² � ¸¦·�ÇXÈ � ¼w³0¹B¾B²o5Ù ·�ÈBÈ � ¼:²>¾ ¶ ²`³ T ²>²�º µ8� o ·�ºB¾ µ£� tdÙ ¼ Ä ² ÄwÙ

� �*µ§�£� = �*µbO o��bO = �$µbO�t��8� ��� ��Ã1Õ µUAªo5Õo5Õ oKAεUA tdÕÃ1Õ µU? tdq �=o5Ä]vdÄFt�v5�

S�ÆB²V± ·�È � ·�»>²-³ À ·@ºBק¸ �5À Ç �,Ê���� ¸ � �*µ§� ¼�× � ¼�Ö�²�º ¶ Ø ��Ê��£� Ë ÍÏ � �*µ§�(Ð@ÑdÒ�Ó@Ô5µ£� Ë c

ç Ð@ÑdÒ*Ó@Ô�µ|� M O Ð ÑdÒ*ÓÊ Q c ç ��O Ð Ñ c ÒÊ � Ð ÑdÒÊ q��=o5Ä]vdÄFt@r��a ׽ק¹BÇX¼:º � ³0Æe·9³ *#�,Ã5�¦� Ã1Ù T ²iÇ2·7Ø4³ À ·�ºB×(¸ �5À Ç �(o5ÄWv1Ä]t5t5� ³ �j�5¶ ³#·�¼�º

��� ��Ê��¬� � �,Ê9�7 Ê � ��Ê��`Õ �=o5Ä]vdÄFt � � �9ì,ï>î � ��ë��|ê]ìýö���ï F F��`ï`õ ��óTY`ë�õ]ó N

Page 62: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

x�t ����������� ������������������������������������! "�#��5À>Ù ×½¼�ºB»�² �Ì� 7 � o5Ù

� ��Ê��¬� �J�,Ê��Ê � oÊ ��Ð@ÑdÒbO Ð@Ñ c Ò½�Yq �(o5ÄWv1Ä]t�x��\ �5� ÖO¼:º � ¸ �5À � �,Ê9� T ² �5¶ ³#·@¼:º Ù ·@¸$³0² À ² � ²>Ç2²>ºb³0· À Ø4Ç4·@ºB¼:ÈB¹ � ·@³½¼ � ºB× Ù

� �,Ê9�£� oÊU� o �,Ð@ÑdÒ¬��Ð@Ñ c Ò½�Yq �(o5ÄWv1Ä]t A5�� � ³0¼:º � ³0Æe·@³ V Ñ ç W çÒ%$ ç X �ªÐ ÑbÓ Ù T ²i³½ÆB²�ºN¹Bק²!³½ÆB² t � � B 5 2 äYà 2 â'L �#:dÝ:ß Ù ³ �X�5¶ ³#·@¼:º

*#�*µ§�£� Ð@Ñ �]ÓKÑ ç � = �*µbO o��bO Ð@Ñ �WÓKÑ c � = �*µO�t5�`q �(o5ÄWv1Ä]t !���3²>ºB»�² Ù

*#�$µ§�£� ��� ��Ã1Õ µ@Aªo5ÕÐ ç Ð ÑbÓ Õ o�A�µ@A tdÕ��Ð ç O�Ð c �(Ð ÑbÓ Õ�µ@? tdq �(o5ÄWv1Ä]t����

o t v rÃÃ1q �o5qWÃ

OcÃ1q �OCo5qWÃ

l�mon4prq %s,f/g-�t � À ·@ÈBÆ � ¸ *0�*µ§� ¸ �5ÀMà AεUAÎrBÄ�q 1��+o%'& &0/ B å9ÝC8�ß!àI5eß 2 âeà<ß L�á§Û�Ý�ß:9 :1Û�à 2 å9â�ä7å9á µ@?ÎÃ

Ë ÓÏ � � � �BÔ � �Ît � �$µ§�8� rBq

Page 63: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����'���������� "�b���! "�����s��� ���������������������������� � x5viq 1��+o%'& / B å9ÝC8�ß!à65eß8ä7å9Ý$Ý:å J 2 â'L 2 âeà<ß L�á§Û�Ý�ß:9 :1Û�à 2 å9â1ã£ä7å9á µU? ÃÛhD�� � �$µ§�¬�Ît � �*µ§�g� Ë Ó

Ï � � � �BÔ � � » � × µYÕ � ��Ã��|� o DkD�� �$�$µ§�¬�Ît � �*µ§�g��t Ë Ó

Ï � � � �BÔ � � o���Ð ÑbÓ Õ � ��Ã��8� o DÞ D�� � � �$µ§�bO A � �*µ§�g��x�Ë Ó

Ï � � � �BÔ � � o5Õ � �,Ã5�8� AdÕ � � �,Ã��8� OCo�t D

Page 64: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

x�r ����������� ������������������������������������! "�#�

Page 65: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ��� � �

���� � ��� ������� � � ���D��� �� �

y{?��u&§�9�9�@"$�. 0/�)1%�)�'[E9�@"�/L��Z�� �>&�/�&4�}6M/�H��9� n ;�&§�>H� =�>�@?�%5/ AB;��T #?9�� j #"$��%�&='*)b",+c&T�s/F%����@"�9�@": 0/��b�OH1/ IJ�9"K�@%. 0/��b�O�>AB;9�� 0/ )1%�& =)j)b":H1/F%9�@"�n�H1/ IJ�9"K�@%. 0/��b�O�>AB;9�� 0/ )1%�&c/F%C #?��!E9�9",/L��Z�� �>&Â)�' #?��Q�5H��5Rj ²!¼ �:� ¹1ק³ À ·@³0²3³0ÆB²!ÇX²>³0Æ � ¾p³½Æ À½� ¹ � Æ�× � ÇX²[²"[1·�ÇXÈ � ²>× Ä�h��� ���T� �T�c� � �����T� � ��¡X����� �7� �7�U�z����� �z�8¡��z���[¢� � ºBק¼:¾B² À ³½ÆB² o �ý¾B¼:ÇX²�º1×½¼ � ºe· � Æ1²7·@³U²%�b¹e·@³½¼ � ºj¸ �5À · À§� ¾ WsÃ1Õ��*X,ÙhT ¼�³½Æ4Æ � Ç �5� ²>ºB² � ¹B×7-¼ À ¼:»#Æ � ²>³ ¶a� ¹BºB¾B· À Ø4» � ºB¾1¼�³0¼ � ºB×��

�� ��� Ó ���� �!�

Õ " = WsÃ1Õ��*X,Õ µU? Ã1Õ � � 7 ����Ã1Õ½µ§�8�

��#�MÕ§µ§�¦� Ã1Õ µU? Ã1Õ � e � �

��$" Õ#Ã��8� ´ �$" �`Õ " = WsÃ1Õ��*X,q ��Å � � �,tdÄwo5Ä�o.�

j ² À ²�»7· �:� ³½ÆB² � ²�ºB² À · � ¸ ��À Ç � ¸D·Qק³0·�ºB¾e· À ¾�Èa¾B²!¼:ºh³ T�� Ö@· À ¼K· ¶1� ²�× " ·�ºB¾ µ �� � �!�

� � � � Ó � 7� Ó Ó �&%

� ���'

� Ó � É � Ã1Õ �,tdÄwo5ÄFt��T ¼�³½Æk³½ÆB²)(*�� ) �2��1 ��� " ��+D¾1²>¿eºB²>¾ ¶ Ø

Ô � � � 7 O � c q �,tdÄwo5Ä]v5�Å º �,tdÄwo5Ä�o.�Y٠ק¼:ºB»>² � � o5Õ � �ªÃ ·@ºB¾:7 �ªÃ1Ä�T ²CÆe·7Ö�² ÔV�ªÃ ·�ºB¾NÆB²�ºB»>² �,tdÄwo5Ä�o.�¼:×3· $ " � "+* / & � ) �-,/. " + � /�� Ä�Z ¹ À ³0ÆB² ÀQ��tOÄ�o5Äwo�� ¼:×{¾B²�ק» À ¼ ¶ ²�¾ ¶ Øk³ � ³0· �:� Øp³0Æ À ²�²CÈe· À ³½¼K· �

x �

Page 66: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

x5x ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���¾B² À ¼�Ö@·@³½¼�Ö�²�× � ¸a³0ÆB²�¸*¹Bº1»>³0¼ � º

�Ù�� ºB² T ¼�³½Æ À ²�×§È ²>»>³¦³ �[µ ¼�º

� Ó ·�ºB¾j³ T���T ¼w³0Æ À ²>×½Èa²�»>³³ � " ¼:º� �!�

ÄS � × �5� Ö�²¦·M¾1¼�� ² À ²>º�³0¼K· � ²%�b¹e·@³½¼ � º Ù ² ÄW�1Ä�Ù1��tdÄwo5Äwo�� » ��À½À ²>×½È � ºB¾B׬³ � ¿eº1¾B¼:º � ·�ºi·�ºB· � Øb³0¼�»²"[dÈ À ²�ק׽¼ � º4¸ �5À ³0ÆB²{¸*¹BºB»`³0¼ � º

�Ù ¼ Ä ² ÄwÙO���d� ×½² � ØQ×½Èa²7· �O¼�º �BÙ ³0Æ À§� ¹ � Æ2¼:º�³0² �5À ·9³0¼:º �KT ¼w³0ÆÀ ²>×½Èa²�»`³V³ � ³0Æ1²2¾B¼��J² À ²>ºb³½¼K·@³½²�¾}Ö@· À ¼:· ¶B� ² Ä \ ¼:ºB»>²X³½ÆB² À ²4· À ²X³½Æ À ²>²2¾1¼�� ² À ²>º�³0¼K·9³0¼ � ºB×¼:º�Ö �5� Ö�²�¾�¼:º ³0ÆB²NÆB²7·9³2²��b¹e·@³0¼ � º ��tdÄwo5Äwo��`Ù ³ �À ² � ·�¼:º

�� ºB²�º1²�²�¾1×2³ � Èa² À ¸ ��À Ç v¼:º�³½² �5À ·@³0¼ � ºB×c²�·�»#Æ}» À ²7·@³½¼:º � ·p¾B² �5À ²>² � ¸£¸ À ²>²�¾ � Ç Ä S�ÆB² À ²>¸ �5À ²Q¼�³-¼�×-ºB²>»�²�ק×0· À Øz³ �×½¹1ÈBÈ � ØV³ � ³0· �:� Ø vX� ¼:ºB¼w³0¼K· � ·@ºB¾ ¶ � ¹1ºB¾e· À Ø � » � ºB¾B¼w³0¼ � ºB×D³ � ¾B²`³0² À ÇX¼:ºB²Â³½ÆB²�ק²{¾1² �5À ²�²�×� ¸ ¸ À ²>²�¾ � Ç Ä

S � » � º�Ö�² À ³M³½ÆB²[· ¶a� Ö5²-Èa¾B²c³ ��� ¾1²�× Ù ¼:º " ·�ºB¾ µYÙ'T ² � ²>³��$" Õ½µ§�8�����$" � � �*µ§���� Ã1Ä� 1 � %�� ³0Æe·9³

�� à ¾ � ²�×Qº � ³ TU�5À ��¼�¸3´ ���Ã1Ä)Ze�5À ´ Ã1Ù��$" Õ½µ§� à ¼:×Q·× ��� ¹1³½¼ � º Ä �3² À ² T ²i×½²>² � �'/����!+��2� ��� " & �/ & .-+ � /�� �`Ä

Å ºBק² À ³½¼:º ��� " Õ§µ§�¦����� " � � �*µ§� ¼:ºh³0Æ1²iÈa¾B²!¼:º �,tdÄwo5Ä�o.� T ² � ²>³

� � " � � � �*µ§�£����� � � �$" � � �*µ§�Yq7-¼�ÖO¼�¾B¼:º �V¶ � ³½Æk×½¼:¾1²�× ¶ Ø ����� " � � �*µ§����ªÃ T ²i³½ÆO¹1× ��¶ ³#·�¼�º

� � �*µ§�� � �*µ§� � � � � � " ����$" � ��� Õ ��tdÄwo5Äsrb�

T ÆB² À ²}³0ÆB² � ²`¸$³kÆe·�ºB¾ ×½¼:¾1²¾1²�Èa²�ºB¾B× � º � º � Ø µ T ÆB² À ²7·@×�³0Æ1² À ¼ � Æ�³kÆe·�º1¾ ק¼:¾B²¾B²>È ²>ºB¾B× � º � º � Ø " Ä S�ÆB¼:×h¼�ºB¾B¼:»�·@³0²>×p³0Æe·9³ � Ç�¹B×(³ ¶ ²T·�º · ¶ × ��� ¹1³½²z» � ºB×(³#·�º�³¼:º1¾B²�Èa²�ºB¾1²�º�³ � ¸ " ·�ºB¾ µYÄ.0/ % � m�� % q % � �_m � +�%�� p � �km 1 � � 1 q � / % �Yp � � �_m 1 � . � � � m ��� 1 � t

� � �*µ§�� � �*µ§� ��� �5À � � �*µ§�bO�� � � �*µ§�£� Ã1q ��tdÄwo5Ä � �

�3² À ²V³½ÆB²�¼�ºb³½² �5À ·@³0¼�º � ¸�·@»>³ ��À ¼:× Ð Ñ��������� Ò � Ð Ñ �

�Ó Ä S�Æb¹B×[ÇV¹ � ³½¼:È � Ød¼�º �j¶ � ³0ÆTק¼:¾B²¶ Ø Ð Ñ �

�Ó T ²iÆe·7Ö5² Ù

� � �*µ§�(Ð@Ñ ��Ó O � � � �*µ§�(Ð@Ñ �

�Ó¬� à ��À ÔÔ�µ"! � �$µ§�§Ð@Ñ �

�Ó$#��ªÃ1Õ

Å º�³0² �5À ·@³½¼:º �j� Ö5² ÀC�,Ã1Õ½µ§� T ² � ²>³Ë ÓÏÔÔOÊ%! � ��Ê��(Ð@Ñ �

�Ò # Ô5µ8� � �*µ§�(Ð@Ñ �

�Ó O � ��Ã��§Ð@Ñ �

� Ï �ªÃ1q

Page 67: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���*��� �����!���! "�������� # "�����r��� �� � �@�r��� x�AT ÆB¼:»#Æ � ¼wÖ5²�×

� �*µ§�£� � ��Ã��§Ð�� Ó<q �,tdÄwo5Ä]x5�

.0/ % � m$� % q % � �_m � + %�� p � �_m 1 � � 1 q � / % �Yp � � �_m 1 �� � 8 � m � t>� � � �WÓ � � � �

� �¬Õ ¼ Ä ² ÄwÙ � � � �$" �£������� " �YÕ¶a� ¹BºB¾e· À Øh» � ºB¾B¼w³0¼ � º � e � �£� 5 ���,Ã��8����� �¦�£�ªÃ1q �,tdÄwo5ÄBA��S�ÆB²{»#Æe· À ·@»>³0² À ¼�ק³0¼�»M²%�b¹e·@³½¼ � ºj¼:×8º �_T�� c ���¬Ä S�Æb¹Bצ¼�¸ �uÁ�Ã1Ù ³0ÆB²>º �!� � � ·�ºB¾¸ �5À � A à T ²iÆB·.Ö�² �[� * � O�� Ä*j ²!³½ÆB² À ²>¸ �5À ²!ºB²�²>¾N³ � » � ºB×½¼�¾B² À +��-� ��� )�" � Ä� / �h�ªÃ Õ ³0ÆB²>º � � � � " �M� Ã1Õ T ÆB¼�»#Æ � ¼�Ö�²�× ��� " �M� � "2� � Ä e ¹d³ ���,Ã5��� Ã� ¼�Ö�²�× � � à ·�ºB¾T³½ÆO¹1× ��� " �{� � " Ä�Z ¹ À ³½ÆB² À ��� �¦�{� Ãp� ¼�Ö�²�× � ��� Ã1Ù T ÆB² À ²� �� à ·�ºB¾ T ² � ²>³ � � Ã1Ä � � ºBק²%�b¹B²>ºb³ � Ø Ù-� ×½¼:º1»�² � � � � Ã��`Ù

��$" Õ½µ§� ÷�ºB¾ T ²i¾ � º � ³ � ²`³3·Xº � º �ý³ À ¼�ÖO¼:· � × �5� ¹d³0¼ � ºN¼�ºh³0ÆB¼�×�»7·�ק² Ä S�ÆB² À ²>¸ �5À ² �h�ªÃ ¼:×�º � ³·�»�»>²�È1³0· ¶B� ² Ä

��� / � ? Ã Õ ³0Æ1²�º T ²!Æe·7Ö5²C·Q× �5� ¹1³0¼ � º � ¸�³½ÆB²[¸ �5À Ç� � " �£� � Ð � � � � � Ð Ñ � � � ÕT ÆB² À ² � �,Ã��¦�ªÃj� ¼�Ö�²�× � � � �ÌÃdÙ ¼ Ä ² ÄwÙ � � O � ÄUZ ¹ À ³0Æ1² À ��� �¦�£�Ìà ³ �5� ²`³0ÆB² ÀT ¼�³½Æ � ��O � � ¼�Ö�²�×�³0Æe·9³

���#�¦�8� � ! Ð � ��� O Ð Ñ � ��� #��ªÃ1qe ¹1³c×½¼:º1»�² � �� à ·�ºB¾ ���� Ã1Ù ÆB²>ºB»�² T ²�Æe·7Ö�² ! Ð � ��� O�Ð Ñ � ��� # �� à ·�ºB¾T» � ºBק² ��b¹B²�º�³ � Ø � ��Ã1Ä S�Æb¹B× � � O � � Ãh� ¼wÖ5²>×!¿Bºe· �:� Ø

��$" Õ½µ§� Ã1Ä S�ÆB¼�×[¼:×!· � × � ·³ À ¼�ÖO¼K· � × �5� ¹1³0¼ � º Ù ¼ Ä ² ÄwÙ � ? à ¼:×�º � ³{·�»�»>²�È1³0· ¶B� ² Ä

����� / � A Ã Õ ØO¼:² � ¾B×{·Q× �5� ¹1³0¼ � º � ¸ ³0ÆB²[¸ �5À Ç� � " �£� � » � × � O�� "Q� � ×½¼�º � O�� " Õ

T ÆB² À ² ����Ã��U� Ã2� ¼�Ö5²>× � � à ·�ºB¾u³½ÆO¹1× ���$" �Â� � ק¼:º � O��+" Ä � �kT ��� �¦�Â� Ã� ¼�Ö�²�× � ק¼:º � O�� � ��Ã1ÄNÅ ¸ � ��Ã�T ²pÆe·7Ö�² ��� " � Ã1Ù�� ²�·�¾B¼:º � · � ·@¼:º}³ � ³½ÆB²³ À ¼�ÖO¼K· �,Ù ·@ºB¾z³0Æb¹B×[º � ³i·@»�»�²>È1³#· ¶B� ² Ù × �5� ¹1³0¼ � º�� " Õ½µ§� Ã1Ä � �_T ²>Ö�² À>Ù ¼�ºz» � º�³ À · À س � ³0ÆB²j»�·�×½²>×�� / ·�º1¾���� / Ù ÆB² À ² T ²XÆe·7Ö5² � ³0Æ1² À »#Æ � ¼�»�²�×[³½Æe·�º � � Ã1ÄjÅ ¸ � �� Ã

Page 68: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

x ! ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���³0Æ1²�º×½¼:º � O�� �ª� Ã1Ù ¼ Ä ² ÄwÙ � O�� � � � � Õ � Á o�Ù ��À �m� O ! ���� #

c Ä S�Æb¹B×!¸ �5À²7·@»#Æ � � o5Õ#tdÕ7qwq�qwÕ�T ²iÆB·.Ö�²i³½ÆB²[¸ �5�:���kT ¼:º � � ��� � ��� " & . � " � ( ����� ���-. . � ) +�� /��- �

� � � O � c � c� c Õ ·@ºB¾ � � � " �£� ק¼:º � �� " q ��tdÄwo5Ä"!��\ ¼�ºB»�²

��$" Õ½µ§�8�����$" � � �*µ§� �� à ·@ºB¾ � �*µ§�£� � �,Ã5� �cÐ � � Ó � � ��Ã��§Ð Ñ

�� ��� �� � Ó T ²[Æe·7Ö5²¸ �5À ²�·�»#Æ �·Q× ��� ¹1³½¼ � º

� �� " Õ½µ§�Â� ¼wÖ5²�º ¶ Ø

� ��$" Õ½µ§�£��� � �$" � � � �$µ§�£� Ð Ñ

�� � � �� � Ó ×½¼�º � �� " q ��tdÄwo5ÄW���

\ ¼�ºB»�² � ¹ À Èa¾B²M¼:× � ¼�ºB²7· À ·�ºB¾XÆ � Ç �5� ²>ºB² � ¹1× Ù ³0Æb¹B× ¶ ØQ³½ÆB²M×½¹BÈa² À È � ×½¼�³½¼ � ºjÈ À ¼:ºB»>¼:È � ²¶ ² �:�kT!Ù ³0ÆB²i¿eºB¼w³0² � ¼:ºB²�· À » � Ç ¶ ¼:ºe·9³0¼ � º � ¸8· �:� × ��� ¹1³½¼ � ºB×� �� " Õ½µ§�YÕ � ��o5ÕYtdÕ�q�qwq ¼:×·Q× �5� ¹1³0¼ � ºk·�× T ² �:�,Ù ·�ºB¾h³½ÆB²�º�Èe·�׽ק¼:º � ³ � � ��-�-�0+ � � ¼:ºB²�· À » � Ç ¶ ¼:ºB·@³0¼ � º T ²CÆe·7Ö�²

�� " Õ§µ§�8� Í�

� � ç � � �$" Õ½µ§�8� Í�� � ç 7 � Ð Ñ

� ��� �� �

�Ó ×§¼:º � �� " q ��tdÄwo5Äwo.Ã��

S�ÆB² À ²�· À ²i× � ÇX² ��¶ ÖO¼ � ¹B× �O¹1²�ק³½¼ � º1×c» � ºB»�² À ºB¼�º � ³0Æ1²C» � º�Ö5² À§� ²�º1»�² � ¸D×½¹B»#Æzק² À ¼�²�×·�× T ² �:� ·�×2³½ÆB²�¼ À ³½² À ÇVÖO¼:×4¾1¼�� ² À ²>º�³0¼K· ¶ ¼ � ¼�³<Ø Ä j ²�È � ק³0È � ºB²�¼:º�Ö5²>ק³½¼ � ·@³½¼:º � ³0Æ1²�×½²ÈBÆB²>º � ÇX²�ºe·�·�ºB¾ ¸ �5À ³½ÆB²Ç � ÇX²�º�³hקÆe· ��� º � ³ T��5À½À Ø�· ¶a� ¹1³h³0Æ1²�Ç Ä e ² �:�kT T ²À ²>»7· ��� ³0Æ1² � . $ � � $ /� !�0+�� /�� � �!��� ) � $'& � T ÆB¼�»#Æu¼�×M· � × � ק³#·9³0²�¾N¼:ºk¼�ºb³ À½� ¾B¹B»`³0¼ � º Ä� %.&)& � - � .0/ % � p (*% q ( 1 � m��_m 1 � iqdm�� �hm (+o%��_/ 2 ä

� ç Õ � c Õ7qwq�qwÕ �� ã�Û�à 2 ã*ä;F�àI5eßÝ 2 âJß½Û�á#3 2 � ß`á0ß`âeà 2 Û�Ý ß:9 :BÛ�à 2 å9â1ã �{�� ��8� É � Û�â43iàI5eß `åd:Oâ43�Û�á;F�Þ#å9â43 2 à 2 å9â1ã � � � � �£�´ � ä7å9á� � o5Õ7qwq�qwÕ�� Û�â43�� ç Õ7qwqwq�Õ �

Û�á0ß[Û�áO 2 à,á§Û�á;F2Þ#å9â1ã`à�Û�âeà*ã <DàI5eß`â

�� � ç � ç ��qwq�q0��

��ã�Û�à 2 ãIHÂß#ã!àI5eß�Ü1Û�áYà 2 Û�Ý!3 2 � ß`á0ß`âeà 2 Û�Ý�ß:9 :1Û�à 2 å9â�{���8� � ç É ç � qwqwq9� �

� É � J 5eß`á0ß � � � �8� � ç ´ ç ��q�qwq�� �´q

4 :Oá�Üaá0å �Ý:ß`æ Þ#å9áYá0ß#ã<Üeå9â439ã[à<åCÉ � � à <_ä7å9á� � o5Õ7qwq�qwÕ�� D� �kT ¼w³ À ²�Ç2·�¼:º1×i³ � ¾B²`³0² À Ç2¼�ºB²j³0ÆB²2» � ²O X»�¼�²�º�³0× 7 � Ä S � ³0ÆB¼�×V·�È1È À½� ·@»#Æ T ²4¹B×½²³0Æ1²i¼�ºB¼�³½¼K· � » � ºB¾B¼�³½¼ � º �*Å � � �

�� " Õ0Ã��8� ´ �$" �`Ù T ÆB¼�»#Æ � ¼�Ö5²>×

��$" Õ#Ã��8� Í�

� � ç 7 � ×½¼:º� �� "k� ´ � " �Yq ��tdÄwo5Äwo5o��

Page 69: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� ���� ���*��� �����!���! "�������� # "�����r��� �� � �@�r��� x5�� � ³½² � 7 � ¼:×£³0ÆB²3× � »�· �:� ²�¾ � / . �!� ��� !��� . ) / ��� ) � ����+� U¸ ��À ´�¼�º2³½ÆB²c¼�ºb³½² À Ö�· ��WLÃ1Õ!��X,Ä� �kT T ²3ÇV¹ � ³½¼:È � Ø ��tOÄ�o5Äwo5o��|¶ Øj×½¼�º ! �� " # Ù ¼:º�³0² �5À ·@³½² � Ö�² À�WsÃdÕ!��X�Ù ·�ºB¾X»#Æe·�º � ²3³½ÆB²�5À ¾1² ÀM� ¸�¼:º�³0² �5À ·@³½¼ � ºk·@ºB¾�ק¹BÇXÇ4·@³½¼ � º2³ �j�5¶ ³0·�¼:º

Ë �Ï ´ � " � ×½¼�º � �� "-Ô "p� Í�� � ç 7 � Ë

�Ï ×½¼:º � �� " ק¼:º � �� "cÔ " q �,tdÄ�o�Ä�o�t��±¬²>³iº �kT � � � ק¼:º ���

�" ·@ºB¾ �

� ×½¼�º

��" ·�ºB¾¾B²>¿BºB²X³½ÆB²X×½»7· � · À È À§� ¾1¹B»>³ � ¸³ TU� ¸*¹BºB»`³0¼ � ºB×3´z·�ºB¾ � ¶ Ø

� ´ Õ ��� � Ë �Ï ´ �$" � � � " �(Ô " qS�Æb¹B× ���� ���

� ´ Õ �� �ÌË �Ï ´ � " � ק¼:º � �� "cÔ "

� � � Õ �� � Ë �Ï ×½¼:º � �� " ×½¼:º � �� "cÔ " q �,tdÄ�o�Ä�o.v5�

� ק¼:º � ×½¼�Ç2È � ²c³ À ¼ ��� º � ÇX²>³ À ¼:»{¸ �5À ÇV¹ � ·�× T ²iÆe·7Ö5²Ë �Ï ×§¼:º � �� " ×½¼�º � �� "cÔ "h� ot Ë �Ï � » � × � � O �N� �� " O » � × � � � �N� �� "���Ô " q

S�Æb¹B×3¼w¸ � �� � T ²CÆe·7Ö�²� � � Õ �

� � �t �

� o� O � ×½¼�º � � O �N� �� " O o

� � � ×½¼�º � � � �N� �� " � �Ï � Ã1Õ¼ Ä ² ÄwÙ � � ·�ºB¾ �

· À ² ��À ³0Æ �5�5� ºe· � ¸*¹BºB»`³0¼ � ºB× Ù T ÆB¼ � ²c¸ ��À � � � T ²iÆB·.Ö�²

Ë �Ï ×§¼:º � �� " ×½¼�º � �� "-Ô "k� ot Ë �Ï � o�O » � × t � �� " � Ô "� � t O � �t � � ×½¼�º t � �� " � �Ï � � t q

�,tdÄ�o�Ä�o7r���3²>ºB»�² T ²iÆe·7Ö5²

Í�� � ç 7 � Ë

�Ï ×§¼:º � �� " ×½¼�º � �� "cÔ "h� 7Ë �Ï ×½¼�º � �� " ק¼:º � �� "cÔ "k� 7

� � t

Page 70: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

A�à ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���× � ³0ÆB·@³ ��tdÄwo5Äwo�t5� ¼�× TMÀ ¼�³§³0²>º�·@×

Ë �Ï ´ � " � ק¼:º � �� "cÔ "k� 7� � t·�ºB¾h¿eºB· �:� Øp»#Æe·�º � ¼:º � � ³ � �

7 � � t� Ë �Ï ´ � " � ק¼:º � �� "-Ô " q ��tdÄwo5Äwo � �

±¬²>³[¹1×-º �kT � ¼�Ö5²�·�º}· ¶ ×(³ À ·@»>³-¸ �5À Ç ¸ ��À ´ �$" � ¹B×½¼�º � ×½»�· � · À È À§� ¾B¹1»>³0× ÄGZeÀ§� Ç�³0ÆB²· ¶a� Ö5²!º � ³0·@³0¼ � º T ²i»7·@º TMÀ ¼�³0² � ´ Õ �� � 7

� �

Õ �

� ·�º1¾k³½Æb¹B×

7� � ´ Õ �

� �Õ �

� � � ´ Õ �

' �' c q ��tdÄwo5Äwo.x��

±¬²>³Mº �kT ´� � 7

�Ù ³½ÆB²�º´ � � 7 � � � � � ´ Õ � � �� � � Õ � � � � � Õ ��tdÄwo5Äwo A5�

·�ºB¾ �,tdÄ�o�Ä�o5o.�U� ¼�Ö�²�×�³0Æe·9³´ � " �8� Í�

� � ç 7 � ×½¼:º� �� "k� Í�

� � ç 7 � � � � Í�� � ç ´ � q ��tdÄwo5Äwo !��

� � ³0²c³½Æe·@³�� � ��� Í ç · À ² �5À ³0Æ �5��� ºe· �a¶ ·�ק¼:×�¸*¹1ºB»>³½¼ � ºB×·�ºB¾N´ � Ù ³½ÆB²��§º��ý³0Æ���» � ÇXÈ � �ºB²>ºb³ � ¸|´z¼:׳0Æ1² ��À ³0Æ �5�5� ºe· � È À§�� ²�»`³0¼ � º � ¸|´ � � ´ ç Õ ´_c Õ7qwq�qwÕ ´ � Õ7qwq�q]�Â� º � � ÄS�Æb¹B×{¾B²�º � ³0¼:º � ³½ÆB²!¹BºB¼w³�Ö5²�»`³ �5À Èe· À · ��� ² � ³ � � � ¶ Ø � �� � � � Õ ¼�³Â¸ �5���:�kT ×U³½Æe·@³´ � � ' ´ � ' � � � ' ´ � ' � �' � � ' q ��tdÄwo5Äwo.���

·�ºB¾kק¼:ºB»>² ' ´ � ' � ' ´ ' ��� Ê = Ù.T ² � ²`³3¹1×½¼:º � ³½ÆB²!¾B²>¿BºB¼�³½¼ � º � ¸ ³0ÆB²!ק»7· � · À È À½� ¾B¹B»`³� ´ Õ � � � � ' � � ' ' ´ ' ��� Ê = � ' � � ' ' ´ � ' q ��tdÄwo5Ä]t�Ã��

�3²>ºB»�²' ´ � ' � � ´ Õ � � �' � � ' Õ ��tdÄwo5Ä]tdo��

S�Æb¹B× T ²!Æe·7Ö5²i×½Æ �_T º � ºB»>²C· � ·�¼:ºh³½Æe·@³´ � � ' ´ � ' � � �

� ´ Õ � � �' � � ' � � �' � � ' �� ´ Õ � � �' � � ' c � � � 7 � � � Õ ��tdÄwo5Ä]t5t5�

T ÆB² À ² T ²!Æe·7Ö5²i¹Bק²�¾ �,tdÄwo5Ä�o7x�� ·�ºB¾ ��tOÄ�o5Äwo !�� ¼�× � ¹Bק³½¼�¿e²>¾ � ² � ÇX²>³ À ¼:»�· �:� Ø2·�× T ² �:�,Ä

Page 71: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���� ���*��� �����!���! "�����f��� �b� ����� ���� �U�!��� Ado

� �´ �$" �

= ´ � � " �l�mIn4p!q % �0/o,ft S�ÆB² �5À ³½Æ �5�5� ºB· � È À§�� ²�»`³0¼ � º � ¸8´ �$" �`Ä

�h��� ���T� �T�c� � �����T� � ��¡X����� ���z¢ �V�z� �z�8¡��z���[¢Å ºN³½ÆB¼:×�ÈB· À ³ T ²i» � ºBק¼:¾B² À ³½ÆB²!ÆB²7·9³�` �_T T ¼�³½Æ �{²�¹BÇ2·�ºBº ¶a� ¹BºB¾e· À Øh» � ºB¾B¼w³0¼ � ºB×%�

�� ��� Ó � �� �!�

Õ " = WsÃdÕ!��X�Õ µ@? ÃdÕ � � 7 �� ���Ã1Õ½µ§�8�

� ��#��Õ½µ§�£� Ã1Õ µ@? ÃdÕ � e � �

�� " Õ0Ã��8� ´ �$" �`Õ " = WsÃdÕ!��X�Õ ��Å � � �,tdÄ]tdÄ�o.�

S�ÆB²i×0·�ÇX²[È À½� »�²>¾B¹ À ²V·�×�¼�ºh³0ÆB²�7-¼ À ¼:»#Æ � ²>³�»�·�×½²[ØO¼:² � ¾B×� � �*µ§�� � �*µ§� � � � � � " ����$" � � �h� » � ºBק³0·�º�³ Õ

T ¼�³½Æk³½ÆB² ¶ � ¹BºB¾e· À Øh» � ºB¾B¼�³½¼ � º1× � � ��Ã��8��� � � �¦�£� Ã1Ù ·�º1¾k³½ÆB²!×0·�ÇX²� m�� % q % � �_m � + %�� p � �_m 1 � � 1 q � / % �Yp � � �km 1 � . � � �_t � � �*µ§�£� � � � �*µ§�YÄ.0/ % � m�� % q % � �km � +@%�� p � �_m 1 � � 1 q � / % �Yp � � �_m 1 � � � 8 �_t � � � � � � � �

� � ¼�×cק³½¹B¾B¼�²�¾¼:ºN·Q×½¼�Ç2¼ � · À�T ·7Øk·�×M¼�ºk³½ÆB²!È À ²`ÖO¼ � ¹B×Mק²�»>³½¼ � º ���� / �4�ªÃ Ù ¼ Ä ² ÄwÙ ��� " �£� � "j� � ·@ºB¾h³0Æb¹B× � � �$" �¦� � ÄS�ÆB² ¶ � ¹1ºB¾e· À Øz» � º1¾B¼�³½¼ � ºB× � � ��Ã��c� � � � �¦�c��à ¼:ÇXÈ � Øk³½Æe·@³ � ��Ã1Ä �3²�º1»�²T ²QÆB·.Ö�² ��� " �M� � ·�ºB¾T¼w³c¸ �5���:�kT ×{³½Æe·@³

��$" Õ½µ§��� � � � �,Ã��(Ð � � Ó ¼:×{³0ÆB²V× �5� ¹1³0¼ � º¸ �5À ³0Æ1¼:×�»7·@×½² Ä

����� / ��? à ØO¼:² � ¾B× � � " �£� � Ð � � � � � Ð Ñ � � � q �,tdÄ]tdÄFt��S�Æb¹B× � � � " �Â� � � �4�@Ð � � � O � � �4�9Ð Ñ � � � ·�ºB¾TÆB²>ºB»�² � � ��Ã��U� � � � � O � �Â�Ã1Ù�T Æ1¼:»#Æ ¼:ÇXÈ � ¼�²�×2³½Æe·@³ � � � Ä Å ºBק² À ³½¼:º � � � � ¼:º ³0Æ1² � ³0ÆB² ÀN¶a� ¹Bº1¾e· À Ø

Page 72: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

A5t ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���» � ºB¾B¼�³½¼ � º � � � �#�¦��� Ã1Ù�T ² � ²`³ � � � ! Ð � � � OÌÐ Ñ � ��� # � Ã1Ù@T ÆB¼�»#Æγ ��� ²>³½ÆB² ÀT ¼�³½Æ ! Ð � ��� OÎÐ Ñ � ��� # �� Ã4� ¼wÖ5²�× � � Ã1Ä S�Æb¹B× � � � � à ·�ºB¾u» � ºBק²%�b¹B²>ºb³ � Ø���$" � à ·�º1¾ T ² � ²>³M³0Æ1²!³ À ¼wÖd¼:· ��Ù ¼ Ä ² ÄwÙ + ² À½� × ��� ¹1³½¼ � ºh¼�ºk³½ÆB¼:×�»�·�×½² Ä����� � / � A à � ¼wÖ5²�×�³½ÆB² T ² �:� � �bº �kT º�× �5� ¹1³½¼ � º

��� " �£� � » � × � O�� "�� � ק¼:º � O�� " q ��tdÄ]tdÄWv��T ¼�³½Æm³0Æ1²p¾B² À ¼�Ö@·@³½¼�Ö5² � � �$" �Q� O � � O�� ק¼:º � O�� "k� � � O�� » � × � O��+" Ù�T ÆB¼:»#Æ·�×§× � »�¼K·9³0²�¾ T ¼�³½ÆN³½ÆB² ¶ � ¹1ºB¾e· À Øh¾e·@³0· � � �,Ã��¦�ÌÃj� ¼�Ö�²�× � �Ìà ·�ºB¾k³0Æb¹B× � � " �¦�� » � × � � O��+" �`ÄS�ÆB²C×½²�» � ºB¾ ¶a� ¹BºB¾B· À ØN» � ºB¾B¼�³½¼ � º � � � � �¦�Â� à ØO¼:² � ¾B× � � O��p� ×½¼�º � � O�� �¦�Â� Ã1ÙT ÆB¼�»#Æ�·�ק׽¹BÇX¼:º � � �� Ã1Ù ØO¼:² � ¾B×i×½¼�º � O�� � � ÃdÙ ¼ Ä ² ÄwÙ � O�� � � � � Õ � Á o5Ù × �³0ÆB·@³p·@×p· ¶a� Ö5² T ² � ºB»>²T· � ·�¼:º ³0ÆB²u²�¼ � ²�º�Ö@· � ¹B²>× � � O ! � �� #

c Ä S�ÆO¹1×4¸ �5À ³0ÆB²�3²>¹BÇ2·�ºBºkÈ À½��¶B� ²>Ç T ²!Æe·7Ö�²i³½ÆB²[¸ �5�:���_T ¼�º � � ��� � �'� " & . �� " � ( � ��� � �-. . � ) +�� /��- %�

� � � O � c � c� c Õ ·�ºB¾ � � �$" �¦� » � × � �� " Õ � � Ã1Õ7o5ÕYtOÕ7q7q7q ��tdÄ]tdÄsrb�� � ³0²u³½Æe·@³p¼�ºÎ³0Æ1¼:×p»�·�×½²T¸ �5À � � Ã1Ù@T ² � ²>³p³½ÆB²T²>¼ � ²>ºbÖ@· � ¹B² � � Ã)T ¼�³0Æ�³0ÆB²» ��À½À ²>×½È � ºB¾B¼�º �BÙ º � º �ý³ À ¼�ÖO¼:· ��Ù ²�¼ � ²�º1¸*¹1ºB»>³½¼ � º � Ï �$" �Q� o5Ä S�ÆB¼�×�ÇX²7·�ºB×C³0Æe·@³V³0ÆB²»7·@×½² ������� / » � º�³#·@¼:ºB× � � / ·�× T ² �:�,ÄÅ ºN×½¹BÇXÇ4· À Ø T ² � ²>³

� �� " Õ½µ§�£��� � � " � � �$µ§�¦� 7 � Ð Ñ � � � �� �

�Ó » � × � �� " Õ � Á�Ã1q ��tdÄ]tdÄ � �

� ק¼:º � ק¹BÈ ² À È � ×½¼w³0¼ � º T ² � ²`³{³½ÆB²!× �5� ¹1³0¼ � º��$" Õ½µ§�8� Í�

� � Ï 7 � Ð Ñ� � � �� �

�Ó » � × � �� " Õ ��tdÄ]tdÄWx��

T ÆB² À ² ¶ Øh·jק¼:ÇX¼ � · À · À§� ¹BÇX²�º�³{·�×M¼:ºp³½ÆB²�7-¼ À ¼:»#Æ � ²>³�»�·�×½² T ²CÆe·7Ö�²7 � � t

� Ë �Ï ´ �$" � » � × � �� "-Ô " Õ � Á�Ã1q ��tdÄ]tdÄRA5�

Page 73: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����'� ���� ���*��� ����� � � ���! � � �� � �@�r��� A�v�h��� ���T� �T�c� � �{¡X��� �z� ���7��� �z�8¡ �z�>�[¢S � È À½� »�²>²�¾ ¶ ² ���kTsT ²�ק³½¹B¾1Øi³0ÆB²¦ÆB²7·9³|» � ºB¾B¹B»`³0¼:º � ¼:ºC·3»>¼ À »�¹ � · À À ¼:º �BÄ S�ÆB¼:×�Ç � ¾B² �Æe·�×3Ç4·�º�Øh¼�Ç2È �5À ³#·�º�³M¸*²7·@³½¹ À ²>× Ù ² Äs�BÄwÙ ·@×-· ¶ ØNÈ À§� ¾1¹B»>³ Ù4T ²V»�·�ºu¾B² À ¼wÖ5²C³½ÆB² ¶ ·�×½¼�»¸ �5À ÇV¹ � ·�×�¸ �5À ³0ÆB² Ze� ¹ À ¼:² À ×½² À ¼:²>×{²;[dÈe·�ºBק¼ � ºB× ÄZ_��À ³0ÆB²£ÆB²�·@³ » � º1¾B¹B»>³½¼:º � ¼�ºC·�»>¼ À »>¹ � · ÀgÀ ¼�º �BÙ T ²¦¾ � º � ³ Æe·7Ö5²¦·�ºe·@³0¹ À · �5¶a� ¹Bº1¾ �· À ØX» � ºB¾B¼w³0¼ � º Ù Æ �_T ²>Ö�² À>Ù T ²-»�·�ºp¹Bק²c³0Æ1² $ � �!� / (*� ) �0+��2·�ºB¾ TMÀ ¼�³½²3³0Æ1²-²%�b¹e·@³½¼ � ºp·�׸ �5�:���kT ×%�

= � Ã=

l�mIn4p!q % �0/ �0t S�ÆB²!»�¼ À »�¹ � · ÀÂÀ ¼:º �

�� ��� Ó � �����

Õ���Ã1Õ = �|� ´ � = �`Õ

��$µYÕ#Ã��|�

��$µYÕYt � �YÕ

�,tdÄWv1Ä�o.�a ÈBÈ � ØO¼:º � ³½ÆB²[È À ¼:ºB»>¼:È � ² � ¸ ³0Æ1²[×½²�ÈB· À ·@³½¼ � º � ¸ Ö@· À ¼K· ¶1� ²�× T ² � ²>³�º �_T ³0ÆB²c× �5� ¹1³0¼ � º��*µYÕ = �8� � �*µ§��j� = ����ªÃ ·�ºB¾ � ²`³�³0ÆB²[¸ �5���:�kT ¼:º � ²�¼ � ²�º�Ö@· � ¹B²[È À½�5¶B� ²�ÇX×%�

� � �*µ§�� � �$µ§� � � � � = �

j� = � ���¬q �,tdÄWv1ÄFt��S�ÆB² � ²�ºB² À · � × �5� ¹d³0¼ � ºp¸ �5À ³0ÆB²!²>¼ � ²>ºbÖ@· � ¹B²[È À§�5¶B� ²>Ç � � �$µ§�£� � � � �$µ§� ¼:× � ¼wÖ5²>º ¶ Ø

� �$µ§�¦� 7 Ï Ð ��Ó=Õ �,tdÄWv1Ä]v5�

Page 74: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

A@r ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���T ÆB² À ²7·@×V¸ �5À ³½ÆB² � ²�ºB² À · � × �5� ¹1³0¼ � º � ¸Â³0ÆB²4²�¼ � ²�º�Ö@· � ¹B²XÈ À§�5¶B� ²>Ç � � � = ��� � j� = �T ²iÆB·.Ö�²

j� = �8� � » � × � O�� = � � ק¼:º � O�� = q ��tdÄWv1Äsrb�Ze�5À ³0Æ1²�²��O¹B·@³0¼ � º �,tdÄ]vdÄWrb� T ²mÆB·.Ö�²mº � ºe·@³½¹ À · �i¶a� ¹Bº1¾e· À Ø » � ºB¾1¼�³0¼ � ºB× Ù�T ÆB¼:»#ÆÇX²7·�ºB×�³0Æe·@³ T ²[»7·@ºBº � ³�¿eº1¾kÖ@· � ¹B²�׸ ��À � ·�ºB¾ � ·�×�¼�º4³0ÆB²[È À ²>ÖO¼ � ¹B×�È À§� »>²�¾B¹ À ² Ä� �kT ²>Ö�² À�Ù ³½ÆB² t � È ² À ¼ � ¾B¼�»�¼w³<Ø�¼:º �,tdÄ]vdÄWrb�iT�� ¹ � ¾�ØO¼�² � ¾�¸ �5À j� = � �k¼ Ä ² Ä�Ù�T ²NÆe·7Ö5²j�,Ã��8� j��t � � ·@ºB¾�Æ1²�ºB»>²Cק¼:ºB»>²

� j�,Ã��8� � Õj��t � �8� � » � × � O��ct � � � ×½¼�º � O��-t � Õ ��tdÄWv1Ä � �j�,Ã��8� X�,t � �£� 5 � � � » � × � O��-t � � � ×½¼�º � O��-t � q ��tdÄWv1ÄWx��

� �kT ¼:¾B²>ºb³½¼�¸$ØO¼:º � ³0ÆB²!» � ²O X»>¼:²�º�³½× � � � ³½² �|³0ÆB·@³ � º1²�²�¾�º � ³ ¶ ² + ² À§�b�UT ² � ²`³» � × � O��-t � � o ·@ºB¾ ×½¼�º � O��-t � � Ã1Õ � �� Ã1q ��tdÄWv1ÄRA5�

S�Æb¹B× T ²{Æe·7Ö5² � O��h� � Ù T ÆB² À ² �k¼�×�·!¼:º�³½² � ² À�Ù ¼ Ä ² ÄwÙ �4��O � c Õ � � Ã1Õ7o5ÕYtOÕ7q�qwqwÄ\ ¹BÇXÇX¼:º � ¹1È T ²CÆB·.Ö�²� � � �*µ§�8� 7 Ï Ð Ñ � �

�Ó Õ

� � = �£� � � » � ×�� = � � � ק¼:º � = ��tdÄWv1Ä"!��±¬²>³Mº �kT $ � � 7 Ï � � Ù � � � 7 Ï � � ·�º1¾N¹1×½²i×½¹BÈa² À È � ק¼�³½¼ � ºhÈ À ¼:ºB»>¼:È � ²c³ � TMÀ ¼w³0²

��*µYÕ = �£� Í�

� � Ï Ð Ñ � ��Ó ! $ � » � × � = � � � ק¼:º � = #|q ��tdÄWv1ÄW���

Å ³ À ²�Ç2·�¼:º1×{³ � ¾B²>³½² À Ç2¼�ºB² $ � ·�ºB¾ � � Ù T ÆB² À ² Ù ·�× ¶ ²>¸ �5À ² Ù4T ²�¹1×½²V³½ÆB²V¼�ºB¼�³½¼K· � » � º �¾B¼w³0¼ � º���Ã1Õ = �|� ´ � = � ³ �j� ²`³

´ � = �8� Í�� � Ï � $ � » � × � = � � � ק¼:º � = �`q ��tdÄWv1Äwo.Ã��

S�ÆB¼�×c¼:×{³0ÆB² T ² �:� � �bº �kT º Z_� ¹ À ¼�² À ×½² À ¼:²>×[²"[dÈe·�ºBק¼ � ºT¸ ��À ´ Ù4T ÆB¼:»#Æ T ²�×½ÆB· �:� ק³½¹B¾1ؼ:ºk¾B²`³#·�¼ � ×¼�ºk»#Æe·�È1³½² ÀMrBÄ

Page 75: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� � � ������ � ��� �����!���! "��� A �

�h��� ���T� � �9�X� �����T� � ��¡X�Å ºz³0ÆB¼�×[×½²�»`³0¼ � º T ² T ·�º�³[³ � × �5� Ö5²�³½ÆB²Q¼:ºB¼w³0¼:· � ¶ � ¹1ºB¾e· À ØuÖ@· � ¹1²QÈ À½�5¶1� ²�Ç ¸ �5À ³½ÆB²T ·7Ö�²²��b¹e·@³0¼ � º�¹B×½¼�º � ×½²>Èe· À ·@³0¼ � º � ¸[Ö@· À ¼:· ¶B� ²�× Ä j ²z¼ ��� ¹B×(³ À ·9³0²k³0ÆB²zÈ À§� »>²�¾B¹ À ²×§³½¹B¾1ØO¼:º � ³0Æ1²!¸ ���:�:�kT ¼�º � ²"[1·�ÇXÈ � ² �

���� ��� � Ó Ó � � c� �!�

Õ " = WsÃ1Õ��*X,Õ µU? Ã1Õ � � 7 ����Ã1Õ½µ§�8�

��#�MÕ§µ§�¦� Ã1Õ µU? Ã1Õ � e � �

��$" Õ#Ã��8� ´ �$" �`Õ " = WsÃ1Õ��*X,Õ ��Å � o��

� Ó �$" Õ#Ã��£� � �$" � " = WsÃ1Õ��*X,Õ ��Å � t5�Yq�,tdÄsrBÄ�o.�

±¬²>³�� " Õ½µ§�8����� " � � �$µ§� �� Ã1Ä ¹ À£� � % 'V� »7·�º T ²£º �kTm¶ ² TMÀ ¼w³½³0²>ºi·�× � � � �$µ§� ���$" �¦�

� c � �$µ§� � � � � " �YÙ T ÆB¼:»#ÆkØO¼:² � ¾B×� � � �*µ§�� c � �*µ§� � � � � � " ����$" � � � Õ �,tdÄsrBÄFt��

T ÆB² À ²u¹Bק¼:º � ³0Æ1²�×½·�Ç2²�· À§� ¹BÇX²�º�³2·�×X¸ ��À ³½ÆB² 7-¼ À ¼�»#Æ � ²`³QÈ À§�5¶B� ²>Ç ¸ �5À ³0ÆB²NÆB²�·@³²%�b¹e·@³½¼ � º T ²QÆe·7Ö�² � A Ã1Ä Z ¹ À ³0ÆB² À�Ù ¾B¹B²V³ � ³0Æe·9³-¸�·�»>³3³0Æe·9³c³0Æ1² �5À ¾1¼:ºe· À ØN¾B¼�� ² À �²�º�³0¼:· � ²%�b¹e·@³½¼ � º � � � �*µ§��� � � �*µ§� Æe·�×{³0ÆB²C»#Æe· À ·@»>³0² À ¼�ק³0¼�»C²��b¹e·@³0¼ � º � c � � c � T ¼w³0Ƴ0ÆB² À§� ³0× �!� �* � � O�� Ä8Å ³M¸ �5���:�kT ×¹Bק¼:º � ³½ÆB²!È À ²>»�²�¾1¼:º � ²"[1·�ÇXÈ � ²>×�³0Æe·@³� �*µ§�£� � » � × � O�� � µ � � ×½¼�º � O�� � µYÕ �,tdÄsrBÄ]v5�\ ¼:ÇX¼ � · À½� ØQ¸ �5À%���$" � T ² � ²>³� � " �8� 7» � × � O�� "���% ×½¼�º � O�� " q �,tdÄsrBÄWr��

� �kT ³0ÆB² ¶a� ¹BºB¾e· À Ø-» � ºB¾B¼w³0¼ � º � ¼wÖ5² ����Ã��8� 7 �ªÃdÙ ÆB²�ºB»>² ��� " �£��% ק¼:º � � O�� " �`ÄZ ¹ À ³½ÆB² À ��� �¦�[� à ³ ��� ²>³½ÆB² ÀKT ¼�³½Æ % �� à ØO¼:² � ¾B× � O�� � � � � Ù � � o5ÕYtdÕ�q7q7q`qS�Æb¹B× T ²iÆe·7Ö5²i²�¼ � ²�º�Ö@· � ¹B²>×M·�ºB¾N²�¼ � ²�º1¸*¹1ºB»>³½¼ � ºB×�4��O � c � c� c Õ � � �$" �¦� ×½¼�º � �� Õ � � o�ÕYtdÕ7q7q�q �,tdÄsrBÄ � �

�3²>ºB»�² Ù� �� " Õ½µ§�£� ! $ � » � × � � � µ� � � � ×½¼�º � � � µ� # ×½¼�º � �� " �,tdÄsrBÄ]x5�

T ÆB² À ² T ²4Ç2·7Øz¼:º�³0² À È À ²>³ � � �$" �i��% � ×½¼:º ���� � º � ³ �pº �5À Ç4· � ¼ + ²�¾ �YÙ $ � � � � % �·�ºB¾ � � � � � % � T ¼�³½Æ ��¶ ÖO¼ � ¹B×Mº � ³0·@³0¼ � ºB×�¸ �5À � � ·�º1¾ � � Ä Z ¼:ºe· �:� Ø2¹Bק¼:º � ×½¹BÈa² À �È � ×½¼�³½¼ � º T ² � ²>³�� " Õ§µ§�¦� Í�

� � ç ! $ � » � ×� � � µ� � � � ק¼:º � � � µ� # ×½¼�º � �� " q �,tdÄsrBÄBA��

Page 76: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

A�x ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���� �kT ¼�³ À ²�Ç2·�¼:ºh³ � ¾B²`³0² À ÇX¼:ºB² $ � ·�ºB¾ � � Ä \ ¼:ºB»>² � �$" Õ#Ã��8� ´ �$" � T ² � ²`³

´ � " �£� Í�� � ç $ � ק¼:º

� �� " q ��tdÄsrBÄ"!����¹ � ³0¼�È � ØO¼:º �N��tdÄsrBÄ"!��U¶ Øk×½¼:º

��" ·�ºB¾N¼:º�³0² �5À ·9³0¼:º �Q� Ö�² ÀiWLÃ1Õ!��X ØO¼:² � ¾B×

$ � � t� Ë �Ï ´ � " � ק¼:º � �� "-Ô " Õ � Á o5q ��tdÄsrBÄW���

\ ¼�Ç2¼ � · À§� Ø� Ó �$" Õ½µ§�£� Í�

� � ç� $ � � � �� ×½¼�º � � � µ� � � � � � �� » � × � � � µ� �8×½¼�º � �� " ��tdÄsrBÄwo.Ã��

³ ��� ²>³½ÆB² À�T ¼�³½Æ� Ó � " Õ#Ã��8� � �$" � ØO¼:² � ¾B×

� �$" �8�� Ó � " Õ0Ã��8� Í�

� � ç� � � � �� ק¼:º � �� " q ��tdÄsrBÄwo5o��

��¹ � ³0¼�È � ØO¼:º �N��tdÄsrBÄwo5o��U¶ Øh×½¼�º��" ·�ºB¾N¼:º�³½² �5À ·@³0¼�º ��� Ö5² À WLÃ1Õ!��X ¼�³U¸ �5�:���_T ׳½Æe·@³

� � � t� � �

Ë �Ï � �$" � ×½¼�º � �� "cÔ " Õ � Á o5q ��tdÄsrBÄwo�t5�Å ºh³0ÆB¼�× T ·7Ø T ²!Æe·7Ö5²i·�ºk²"[dÈ À ²�ק׽¼ � º�¸ �5À

��$" Õ½µ§� ·�×M·�¸*¹BºB»`³0¼ � º � ¸8´ � " � ·�ºB¾ � � " � �

�� " Õ½µ§�£� Í�

� � ç ! $ � » � ×� � � µ� � � � ק¼:º � � � µ� # ×½¼�º � �� " q ��tdÄsrBÄwo.v��

� �kT T ² T ·�º�³c³ � È À ²�ק²�º�³�� " Õ½µ§�YÙ ·�×c·j¸*¹BºB»`³0¼ � º � ¸£´ � " � ·�ºB¾ � �$" �`Ù ¼:ºk³0Æ1²C¸ �5À Ç� ¸ � " ( " 1 " � (�� .0/��!1 . &("dÄ S � ³0Æ1¼:×M·�ÈBÈ À½� ·�»#Æ T ² TMÀ ¼�³0²

��$" Õ½µ§�8� Í�

� � ç $ � ק¼:º� � "� » � × � � � µ� � Í�

� � ç � � ×½¼:º� � "� ×½¼:º � � � µ� q ��tdÄsrBÄwo7rb�

� ק¼:º � ³0Æ1²3² � ²�ÇX²�º�³0· À ØQ³ À ¼ ��� º � ÇX²>³ À ¼:» À ² � ·@³0¼ � ºB×���ק¼:º �$" uµ§��� ק¼:º "[� » � × µ ק¼:º µe�» � × " ·�ºB¾N» � × � " �µ§�£� » � × "4� » � × µ�� ק¼:º "2� ×½¼:º µ�T ² À ² TMÀ ¼w³0² ��tdÄsrBÄwo.v�� ·@×�� " Õ½µ§�8� Í�

� � ç $ �ot � ק¼:º � �� � "j� � µ§�¬� ×½¼�º � �� �$" O � µ§� �

� Í�� � ç � �

ot � » � × � �� � " O � µ§��O » � × � �� �$"Q� � µ§� �1q ��tdÄsrBÄwo � �

Page 77: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� � � ������ � ��� �����!���! "��� A A

� �kT T ²i¹B×½¼�º �z�,tdÄWr1Ä/!��#Ù ³0ÆB·@³Í�� � ç $ �

ot � ×½¼�º � �� �$"j� � µ§�¬� ק¼:º � �� � " O � µ§� �� ot Í�

� � ç $ � ×½¼�º� �� �$"Q� � µ§�¬� ot Í�

� � ç $ � ק¼:º� �� � " O � µ§�

� ot � ´ �$"Q� � µ§� � ´ � " O � µ§� � q�,tdÄWr1Ä�o.x5�

Z ¹ À ³½ÆB² À ¹Bק¼:º � ³0Æ1²i¼�¾B²�º�³½¼�³<Ø� » � × � �� �$" O � µ§�bO � � Ê � �� �$"Q� � µ§� � � � �� Ë � $ � Ó

� Ñ � Óק¼:º � �� � Ô � Õ �,tdÄWr1Ä�o A��

T ²iÆe·7Ö5²!³0ÆB·@³Í�� � ç � �

ot � » � × � �� � " O � µ§�bO » � × � �� �$"j� � µ§� �� ot Í�

� � ç � �� �� Ë � $ � Ó

� Ñ � Óק¼:º � �� � Ô �

� ot Ë � $ � Ó� Ñ � Ó

Í�� � ç � �

� �� ק¼:º � �� � Ô � Õ�,tdÄWr1Ä�o !5�

T ÆB² À ² Ù ¼:º�³½ÆB² � ·�×(³�×(³0²�È Ù�T ²kÆe·7Ö5²h»#Æe·�º � ²�¾ ³0ÆB² ��À ¾B² ÀQ� ¸�³0ÆB²hק¹BÇXÇ4·@³½¼ � º�·�ºB¾¼:º�³0² �5À ·9³0¼ � º Ä � �kT ¹B×½¼�º �z�,tdÄWr1Ä�o5o.� ¼�³�¸ �5���:�kT ×U³½Æe·@³ot Ë � $ � Ó

� Ñ � ÓÍ�� � ç

o� � � � �� � � ×½¼�º � �� � Ô � � ot � Ë � $ � Ó

� Ñ � Ó� � � �BÔ � q �,tdÄWr1Ä�o.�5�

S�Æb¹B× T ²i» � ºB» � ¹B¾1²!³½ÆB² � " ( " 1 " � (�� .0/��!1 . &(" �

��$" Õ½µ§�8� ot � ´ �$"Q� � µ§�¬� ´ � " O � µ§� �{� ot � Ë � $ � Ó

� Ñ � Ó� � � �(Ô � q �,tdÄWr1ÄFt�Ã5�

Page 78: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

A ! ����������� ��� �����4��#���! "�#� ���4�.��� Y���@�r���

Page 79: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ��� � �

� ��� ����� � � � ����� � �� � ����� � � ����� ��� � � � ������� �

�B�@"�/�)OH1/��k��?��@%�)1+3�@%�)d%p)O���@;�"¦'<"K�>AB;��@%. #� n4 #?�"K)d;�G1?�)1;. V%9�. #;�"K�2��%�HN #?���/F"�&( #;�H5nN/�&[)�' #?��N;. #+3)5&= V/F+i�5)�"� (�b%��>�X'*)�"¦)1;�"M;�%�H��@":&( (��%�H1/F%�G�)�'3+c��%.nu"K���b� ��6|)b",� H�&(n�&= =�@+3&�R��@)�"�Y����+C��� ��^| #?��p&#/�Gd%9�b� &i'<":)1+�"K�9H1/ )m��;�� &§�@"K&V�b�W� )76 �9&= #"K)d%�)1+c�9"K&V =)u&( #;�H5nN&Y�9�9�>��^| #?��&§���9&()1%9�������@"�/�)OH1/��9/ ,nu)�'c #?��h68���� #?��9"-G5)@E��@"�%�&� #?��N�@":)1�z)�'c��)�"�%b^Â�b%�H #?��":��G1;�� �@"Z5���� =&k)�'��Î?��7�@"� T/�&z%����>��&(&½�@"�n�'*)�"i #?��&Y;�":E5/ E9���¦)�'��`E��@"�n +-��+i+-��� R��B�@"�/�)OH1/��9/ ,n�7��%}Z5�4'*)1;�%�H}�`E��@":n76{?��9"K�k��%�H�>)1%����9"�%u�b%.nN��Z�&()1�];. =�pE9�@"�/L��Z�� �@^U/ RL�5R ^| 0/F+3��^£&`�9�����@^E��@� )d��/ �n�^Â�` =�5R�� %u #?5/�&X�@?9���. =�@"36|�u&Y?9�b�W�UZ���Gd/]%T =)m&= #;�H5n��5�9",/�)OH1/��k'<;�%��> 0/ )1%�&`^M�b%�H��&Y�5�>�9/L���]� n�^- #?���/F"X"K�9�@":��&(�@%. (�. 0/�)1%���&N&Y;�+3&N)@'�&#/F%�����%�HÎ�>)5&#/F%���'<;�%��` 0/�)1%�&`^��9)1;�",/ �@"&§�9",/ ��&>R��@)d;�",/��9"|&(�@"�/���&C?9�9&[� )d%�Gu�@":)�E5/�H��>Hp)1%��C)�'8 #?��2�9",/]%��9/F�9���1 =)O)1� &{)@'¦�b%9��� n�&#/�&�'*)�"+-�. #?��@+c�. 0/��7��� ��?.n�&Y/ ��&`^��9%�Gd/F%��>�@"�/F%�GB^��b%�H�&Y/ G1%9��� �9"K)O���>&§&#/F%�GBR��� V?9��&[&`��;�","K�>H�+c�b%.nG5�@%��9"$���W/ ���. 0/�)1%�&`^���%�H!�b�����s/����� 0/ )1%�& #?9�. ��)d%. 0/F%�;��� =)cH��>E��@� )1�[",/ G1?. 8;��� =)c #?��{�@":��&(�@%. `R�Î?5/]� �� #?��M)�",/�GO/F%9���. #?���)�":n[)@'��9)1;�",/ �@" &§�9",/ ��&¦�b�����s/��>&| =)X���@",/ )dH1/ ��'<;�%��> 0/�)d%�&8H���&(�@",/]Z5/F%�G6£�.E��u+3)� 0/�)1%b^8&Y;��@?u��&i6M/ #?}�W/ G1?. C�b%�Hz&()1;�%�He^Â/ =&CG5�@%��9"$���W/ ���. 0/�)1%�&C)�'$ =�@%}":�@���. =�p =)6M/�H��@"3&(�> < 0/F%�G�&>^U'*)�"{�Y����+i��� ��^£ #?��k 0/F+3���ý'<":��AB;��9%��>n}��%9�b� n�&Y/ &4;�%�H��@",� n5/]%�G #?��}"K�>���@%. #?���)�",/ ��&M)�' 6£�.E��@� �> ���%9��� n�&#/�&M��%�HN� )d���b�� #"�/�G5)1%�)d+c�` #",/��i��%9�b� n�&Y/ &�R��z�i&Y?9���]�F^g?�)76|�>E��@"�^Z5�{��)1%. =�9%. 86{/ #?��9"K��&(�@%. 0/]%�G� #?��CZ9��&Y/ �{ #?��>)�":ni��%�H2/ =&¦�������W/����� 0/ )1%- =)i #?��c&()1�];. 0/ )1%[)�'�9�@": 0/��b�OH1/ IJ�9"K�@%. 0/��b�O�>AB;9�� 0/ )1%�&�R

A��

Page 80: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

!5à ����������� �'����� �!� �� �.��# ��� ���� t � � ����# "� �� "� � �� ���! "������k��� �Ì�-� �>¡ � �7� � �z�z� � ��¡X�z�a ¸*¹BºB»`³0¼ � º�´ � " � ¼:×�×½·�¼:¾h³ �X¶ ²!È ² À ¼ � ¾B¼�»-¼:ºh³½ÆB² À ²i¼�×M·X» � ºB×(³#·�º�³�� Ù ×½¹1»#Æ�³0ÆB·@³

´ �$"Q� � �£� ´ �$" �`Õ �,v1Äwo5Äwo��¸ �5À · ��� " Ä�a º�ØkÈ � ×½¼�³½¼�Ö�²[ºO¹1Ç ¶ ² À�T ¼�³0Æk³0Æ1¼:×�È À§� È ² À ³<Øk¼�×�»7· ��� ²�¾N·QÈa² À ¼ � ¾ � ¸|´ �$" �`ÄZe�5À ²"[1·�ÇXÈ � ² Ù ´ � " �V� ק¼:º " Æe·�×CÈ ² À ¼ � ¾B× t � Õer � Õ ²>³0» Ä � �kT ²>Ö�² À�Ù ³½ÆB²p×½Ç2· ��� ²�×(³ºb¹BÇ ¶ ² À � ? à T ¼�³0Æ}³0Æ1²2È À§� Èa² À ³<Ø ��v1Ä�o�Ä�o�� ¼�×i»�· �:� ²�¾z³0Æ1² $ �2��1 ��� $ ���2� / ( Ù ·�ºB¾m¼w³¼:× � ²>ºB² À · �:� Øh³0ÆB¼�×3Ö@· � ¹1²i³½Æe·@³-¼�×3ÇX²7·@ºb³ T ÆB²�º}·j¸*¹BºB»`³0¼ � ºT¼:× À ²`¸*² À½À ²�¾T³ � ·�× ¶ ²>¼:º �� �ýÈ ² À ¼ � ¾B¼�» ÙO�5À�Ùe� ¸�Èa² À ¼ � ¾�� ÄZ ¼ À ק³ T ²!ק³#·9³0²i·�ºB¾NÈ À½� Ö�²V·�¸ À ²��b¹B²�º�³ � Øk¹B×½²>¾ À ²�×½¹ � ³ Ù Öd¼ + �� %.&)& � �!/ B :�Ü�Üeå.ã.ß{´ � " � 2 ãÂÜeß`á 2 å 3 2 Þ J 2 àI5QÜeß`á 2 å 3�� <¦àI5eß`âTà65eß 2 âeà<ß L�á½Û�Ý

Ë ( $�(

É � " �§Ô " �,v1Äwo5Ä]t5�2 ã 2 â43Oß<Üeß`â43Oß`âeàÂå=ä[à65eß[ã`àýÛ�áYà 2 â'LiÜeå 2 âeà $ D?�á0å.å=ä D3±¬²>³

� � $d� � �ÌË ( $�(

´ � " �(Ô "h�ªË ( $�Ï ´ � " �bO Ë (

Ï ´ � " �(Ô " qe Ø�³0ÆB²V¸*¹1ºB¾e·�ÇX²�º�³#· � ³0ÆB² �5À ²>Ç � ¸¦»�· � »>¹ � ¹B× � � ��$O�3� ´ ��$!� � ��O ´ ��$O�3¶ ¹1³!×½¼�ºB»�²´ � � �<$O�c� ´ � $d��T ²QÆe·7Ö5²Q³½Æe·@³�� � � $O�c� Ã1Ä �3²�º1»�² Ù � ��$O� ¼�×-» � ºBק³0·�º�³i·�ºB¾}¼:ºB¾1² �Èa²�ºB¾B²>º�³ � ¸ $eÄ

�k��� �k¡��z� ���[� �D�[� ���-�ZeÀ½� Ç · ¶a� ¹1³ o !5Ã�ÃT� º T · À ¾B× Ù ³0ÆB² ZeÀ ²>ºB»#Æ�ק»�¼�²�º�³0¼�ק³ � � ×½²>ÈBÆ Z_� ¹ À ¼�² À ç T ·�× � ²7·�¾¶ Ø�È À§�5¶B� ²>Ç2× � ¸3Æ1²7·@³X» � ºB¾B¹B»`³0¼ � º ³ � » � ºBק¼:¾B² À ³0ÆB²hÈ � ׽ק¼ ¶ ¼ � ¼w³<Ø � ¸ À ²�È À ²�×½²>º�³0¼:º �·2Ç �5À ² �5À{� ²>×½×[· À§¶ ¼�³ À · À Ø t � �ýÈ ² À ¼ � ¾B¼�»-¸*¹BºB»>³½¼ � ºT·�×-· � ¼:º1²7· À » � Ç ¶ ¼:ºe·9³0¼ � º � ¸D³0ÆB²¸*¹BºB»`³0¼ � ºB× o�Õ » � × " Õ ×§¼:º " Õ » � × t " Õ ×§¼:º t " Õ » � × v " Õ ×½¼�º v " Õ7q7q7q �,v1Ä]tdÄwo��è��`ë½óYð��góYô ��êRJ �,ë ��ïOH�ì�êWë§ì£÷*ø0ù��`þYü�ø½þ���� ����ì�ë(ð@ö��3ô ��U J,ê]ö(êRJ � óYð9ñcî�ó�����ë(î�ó���ê]ö(ê]ó`ð

Page 81: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�'����� �����# �� ����� ��� !1oZe� ¹ À ¼�² À » � º � ²�»>³½¹ À ²>¾z³0Æe·@³-·�º�ØT¼�ºb³½² �5À · ¶B� ²CÈa² À ¼ � ¾B¼:»!¸*¹BºB»`³0¼ � º}´ � " �M� ¸£Èa² À ¼ � ¾ t �»7·�º ¶ ² TMÀ ¼w³½³0²>º Ù;" + " & 1 /� %+ �������� $ /�� ��+ "��IT ÆB¼�»#Æ T ²!×½Èa²�»>¼�¸$Ø � ·@³0² À#�YÙ ·�׳½ÆB²[×½¹1Ç� ¸D·j³ À ¼ ��� º � ÇX²>³ À ¼:»3×½² À ¼:²>× � ¸�³½ÆB²[¸ �5À Ç

´ � " �£� ot $ Ï � Í�� � ç ! $ � » � ×�� "Q� � � ק¼:º � "�#|q ��v1Ä]tdÄFt��

T ÆB² À ² $ � ·�º1¾ � � Ù � �ªÃ1Õ7o5Õ#tdÕ7q7q7qYÕ · À ² À ²7· � ºb¹BÇ ¶ ² À ×{¾B²`¿e²�¾ ¶ Ø$ � � o

�Ë �

Ñ � ´ � " � » � × � "cÔ " Õ ��v1Ä]tdÄ]v5�� � � o

�Ë �

Ñ � ´ � " � ק¼:º � "-Ô " q ��v1Ä]tdÄWr���3² À ²p³0Æ1²p³0² À Ç çc $ Ï ¼:×�¾1¹B²4³ � ³½ÆB²h» � ºBק³0·�º�³Q¸*¹BºB»>³½¼ � º�» � × Ã�� o5Ù ³½ÆB²p¸�·�»>³ �5À çc¶ ²>¼:º � ¼�ºB» � ¹B¾B²�¾}¸ �5À[À ²7·�× � ºB× � ¸ � ·@³0² À » � º�Ö�²�ºB¼�²�ºB»>² Ä Z ¹ À ³0ÆB² À�Ù � Ï ¾ � ²�×!º � ³i²;[1¼�ק³ Ù×½¼�ºB»�²!×½¼�º ÃC� Ã1qZ_� ¹ À ¼�² À Ç2·�º � ²>¾³ � × �5� Ö�²2ק²>Ö�² À · � È À§�5¶B� ²�ÇX× � ¸UÆ1²7·@³�` �kT ¹Bק¼:º � ×½¹1»#Æm×½² À ¼�²�×À ²>È À ²>×½²�º�³0·@³0¼ � ºB× Ù ·�ºB¾ Ù ·�×3· À ²�ק¹ � ³ ÙD��v1Ä]tdÄFt�� ¼�×�³ � ¾e·7Øk»7· ��� ²�¾k³0Æ1² � / . �2� � � ����2� �� � ¸´ � " �YÄ \ ¼�Ç2¼ � · À§� Ø Ù ³0Æ1²X» �5À½À ²�×§È � º1¾B¼:º � » � ²O X»�¼�²�º�³0× $ � ·�ºB¾�� � · À ²j»7· ��� ²�¾ � / . �2� � �) / ��� ) � ����+� � ¸|´ � " �YÄa × T ²!×(³#·@³½²�¾�· ¶ � Ö�²!³½ÆB² �-,/. " & � +�� �,vdÄFtdÄ]t5� ¼�×�º � ³{· � T ·7ØO׳ À ¹B² Ù ·@ºB¾h³0ÆB² À ²>¸ ��À ²T ² À ²>È � ·@»�²[³0ÆB¼�×�²%�b¹e· � ¼�³<Ø ¶ ØN· ��� �X×½¼ � ºN¼�ºB¾B¼�»7·@³½¼:º � ³½Æe·@³M³0Æ1² À ¼ � Æ�³MÆe·@ºB¾�ק¼:¾B²[¼�׳0ÆB² Ze� ¹ À ¼:² À ×½² À ¼:²>× � ¸�³½ÆB²[¸*¹BºB»>³½¼ � º�´ ÄS �¶ ²kÇ �5À ²h×§È ²>»�¼w¿e» Ù ×½¹BÈ1È � ק²N³½Æe·@³4´ � = � ¼:×j· t � �<Èa² À ¼ � ¾1¼:» � ¼:²>Ç4·@ºBº ¼:º�³0²���5À · ¶B� ²c¸*¹1ºB»>³½¼ � º Ù ² Äs�BÄwÙ ´ � = � ¼:×UÈB¼:²>»�² T ¼�×½²[» � º�³0¼:ºb¹ � ¹B×M·�ºB¾ t � �<Èa² À ¼ � ¾1¼:» Ä!j ²[ק¹BÇ �Ç4· À ¼ + ²D³0Æ1²£· ¶ � Ö�²¦¾1¼:×½»>¹B׽ק¼ � º!¼�º!³½ÆB²|¸ �5���:�kT ¼:º � ¾B²>¿BºB¼�³½¼ � º T ÆB¼�»#ÆV· � × ��À ²>¸ �5À Ç�¹ � ·@³0²>×��tdÄWv1Äwo.Ã�� ¼�º�·Q× � ¼ � Æb³ � Ø2Ç � ¾B¼w¿e²�¾p¸ �5À Ç� %�� �!m��_m 1 � / �05eß�á#ß½Û�Ý 1 åd:Oá 2 ß`áCã.ß`á 2 ß#ã4ß#">Ü1Û�â1ã 2 å9â�å=äjÛ t � Üeß`á 2 å 3 2 Þ � 2 ß`æXÛ�âeâ2 âeà=ß L�á§Û��Ý:ß8ä;:OâJÞ`à 2 å9âN´ � = � 2 ã�L 2 8�ß`â> F��

´ � = � � ot $ Ï � Í�� � ç ! $ � » � × � = � � � ×½¼�º � = # q ��v1Ä]tdÄ � �

7Cß`á0ß $ Ï < $ � Û�â43 � � Û�á0ßQÞ½Û�Ý$Ý:ß 32àI5eß 1 åd:dá 2 ß`áVÞ#å.ß � Þ 2 ß`âeà$ã8ä7å9á3´�D 9Tß[ã 51Û�Ý$ÝJá#ß`ào:Oá`âà=åXà65eßiá0ß½Û9ã.å9â J 5'F $ Ï 2 ã 2 ã.å9ÝwÛ�à=ß 3hD

Page 82: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

!�t ����������� �'����� �!� �� �.��# ��� ���� t � � ����# "� �� "� � �� ���! "�����Å ºBק² À ³½¼:º �

» � × � = � ot ��Ð , � � ��Ð@Ñ , � � � ·�ºB¾ ×½¼�º � = � ot * �,Ð , � � O Ð@Ñ , � � �¼:º ��v1ÄFtOÄ � ��T ² � ²>³

´ � = � � ot $ Ï � Í�� � ç !

ot $ � ��Ð , � � ��Ð Ñ , � � �bO *t � � �,Ð , � � O�Ð Ñ , � � � #� ot $ Ï � Í�

� � çot � $ � O2* � � �(Ð-, � � � Í�

� � çot ��$ � �1* � � �§Ð Ñ , � �

�,v1Ä]tdÄWx��

j ² À ² TMÀ ¼�³0² ��v1Ä]tdÄ]x5� ·�×�³0ÆB²[¸ �5���:�kT ¼:º � » � ÇXÈ � ²;[ Ze� ¹ À ¼:² À ×½² À ¼:²>×M²"[dÈe·�ºBק¼ � º � ¸|´ �´ � = � � Í� Ñ Í

7 � Ð , � � � 7 Ï � Í�� � ç 7 � Ð , � � � Í�

� � ç 7 Ñ � Ð@Ñ , � � q �,v1Ä]tdÄRA5�j ²V¼:¾1²�º�³0¼w¸$Øp³0ÆB²C» � ²O X»�¼�²�º�³0× � º�³½ÆB² À ¼ � Æ�³{Æe·�ºB¾u×½¼:¾1²�× � ¸ ��v1Ä]tdÄ]x5� ·�º1¾ �,vdÄFtdÄRA5� ³ ��5¶ ³0·�¼:º7 Ï � ot $ Ï Õ 7 � � ot ��$ � O * � � �YÕ 7 Ñ � � ot ��$ � ��* � � �`Õ � � o�ÕYtdÕ7q7q�q>ÕV�,v1Ä]tdÄ"!���5À ²��O¹1¼�Ö@· � ²>º�³ � Ø$ Ï � t 7 Ï Õ $ � � 7 � � 7 Ñ � Õ � � � *0� 7 � O 7 Ñ � �`Õ � � o�ÕYtdÕ7q7q�q>ÕV�,v1Ä]tdÄW��� ¶ Öd¼ � ¹B× � Ø T ²C»�·�ºu»�· � »>¹ � ·9³0²[» � Ç2È � ²"[ Ze� ¹ À ¼:² À » � ²O X»�¼�²�º�³0× 7 � ¼:ºk³0² À ÇX× � ¸£´ � = �¹Bק¼:º ���,v1Ä]tdÄ"!�� ·�ºB¾ �,v1Ä]tdÄ]t5� ·�ºB¾ �,v1Ä]tdÄWv��YÄ � �kT!Ù�� �'��� �,v1Ä]tdÄRA5� �� " � �-,/. " & � +�� Ù�T ²Ç2·.Ø4¹B×½²!³0Æ1¼:×�²%�b¹e· � ¼�³<Øh·�ºB¾h¿ À ×(³c»�· � »>¹ � ·9³0²c³½ÆB²!» � ÇXÈ � ²;[ Ze� ¹ À ¼:² À » � ²O X»�¼�²�º�³0× 7 �¼:º�³0² À Ç2× � ¸3´ � = � ·�º1¾m³0ÆB²h¹1×½¼:º ���,v1Ä]tdÄW���KT ² À ²>» � ÇXÈB¹1³½² $ � ·�ºB¾0� � Ä S�ÆB²p¼�¾B²7·¼:×3³ � ¹Bק²Q³0ÆB² ��À ³0Æ �5�5� ºe· � ¼�³<Ø � ¸8³½ÆB²Q×½²`³�� Ð , � ��� � ·�×c³½Æe·@³ � ¸¦×§¼:º � = ·@ºB¾z» � ×�� = ¼:º³0Æ1²-È À ²`ÖO¼ � ¹B×U»#Æe·�È1³½² À#�YÄ S � ³½ÆB¼:×U·�ÈBÈ À§� ·�»#Æ T ²[Ç�¹ � ³½¼:È � Ø ¶a� ³0Æpק¼:¾B²>×�¼:º ��v1Ä]tdÄBA��¦¶ ØÐ Ñ ,

�� ·�º1¾�¼�ºb³½² �5À ·@³0² � Ö�² ÀiW � Õ O � X ³ �j�5¶ ³0·�¼:º

Ë �

Ñ � ´ � = �§Ð Ñ ,�� Ô = � Í� Ñ Í

7 � Ë �

Ñ � Ð-, � � Ñ�� � Ô = Õ �,v1Ä]tdÄwo.Ã��

Page 83: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�'����� �����# �� ����� ��� !5vT ÆB² À ² T ²ÂÆe·7Ö5²Â»#ÆB·�º � ²>¾V³0ÆB² �5À ¾1² ÀD� ¸e¼:º�³0² �5À ·9³0¼ � ºV·�º1¾�×½¹BÇXÇ2·@³0¼ � º Ä�j ²�» � ÇXÈB¹1³½²¸ �5À � �� � ³0Æe·9³

Ë �

Ñ � Ð-, � � Ñ�� � Ô = � � o

*#� � O �1� Ð-, � � Ñ�� � �

� Ñ � � �POio�� � � Ñ � � O � OCo�� � � Ñ � �*#� � O&�1� �ªÃdÕ��v1ÄFtOÄ�o5o.�T ÆB² À ²7·�× � � � ØO¼:² � ¾B×

Ë �

Ñ � Ð-, � � Ñ�� � Ô = � Ë �

Ñ � Ô = � t � q ��v1ÄFtOÄ�o�t��S�Æb¹B×3¼�ºk» � ºB»>¼:ק²!¸ ��À Ç T ²!Æe·7Ö5²!³0ÆB² �5À ³0Æ �5��� ºe· � ¼�³<Ø À ² � ·@³0¼ � º4ÖO¼ +@Ù

Ë �

Ñ � Ð , � � Ñ�� � Ô = � � Ã1Õ ¸ �5À � �� � Õt � Õ ¸ �5À � � � q ��v1ÄFtOÄ�o.v5�

�3²>ºB»�² � º � Ø}¸ �5À � � � T ²h»7·�º � ²`³Q·T» � º�³ À ¼ ¶ ¹1³½¼ � º¸ À½� Ç ³0ÆB²4×½¹BÇ � º�³0Æ1² � ²`¸$³Æe·�ºB¾N×½¼�¾B²!¼:º ��v1ÄFtOÄ�o.Ã5�`Ù ¼ Ä ² ÄË �

Ñ � ´ � = �§Ð@Ñ ,�� Ô = �Ìt � 7

� q ��v1ÄFtOÄ�o7r��� ² � · ¶ ² � ¼:º � ³0ÆB²i¼:º�³0² � ² À × � ·�º1¾ � Ù T ²iÆe·7Ö5²i³0ÆB²[¸ �5���:�kT ¼:º � ¸ �5À Ç�¹ � ·V¸ �5À ³0Æ1²i» � Ç �È � ²;[ Ze� ¹ À ¼:² À » � ²O X»�¼�²�º�³0× 7 � �

7 � � ot � �

Ñ � ´ � = �§Ð@Ñ , � � Ô = q ��v1ÄFtOÄ�o � �j ²!º � ³0²[³0Æe·9³ ¶ Ø ��v1ÄFtOÄ�o � �YÙ

7 Ï � ot $ Ï � ot � Ë�

Ñ � ´ � = �§Ô = Õ ��v1ÄFtOÄ�o.x5�¼:×�·7Ö5² À · � ² ��À ÇX²7·�ºiÖ@· � ¹B² � ¸a´ � º " � ��¼:º�³½² À Ö@· �b� ¸ � ²�º � ³0Æ t � Ä S�ÆB² À ²�· � » � ²O X»�¼�²�º�³$ Ï ¼�× � ¼�Ö�²�º ¶ Ø

$ Ï �Ìt 7 Ï � tt � Ë�

Ñ � ´ � = �BÔ = �o�Ë �

Ñ � ´ � = �§Ô = q ��v1ÄFtOÄ�o A��Z ¹ À ³½ÆB² À ¸ �5À � � o�ÕYtdÕ7q7q�q>Õ T ²CÆB·.Ö�²!¹B×½¼�º �z��v1ÄFtOÄ/!�� ·@ºB¾ ��v1Ä]tdÄ�o � � ³0ÆB·@³$ � � 7 � � 7 Ñ � � ot � Ë

Ñ � ´ � = �>�,Ð@Ñ , � � ��Ð , � � �§Ô = � ot � Ë�

Ñ � ´ � = �½t » � × � = Ô = q

Page 84: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

!�r ����������� �'����� �!� �� �.��# ��� ���� t � � ����# "� �� "� � �� ���! "�����S�Æb¹B×

$ � � o�Ë �

�´ � = � » � × � = Ô = q �,v1Ä]tdÄwo !��

� � ³0²�³0ÆB·@³[³0ÆB²Q¸ �5À Ç�¹ � · �,v1Ä]tdÄwo !�� Æ ��� ¾B×-¸ �5À � � Ã1Ù ·@× T ² ����Ä S�Æ1¼:×[¼:×-³½ÆB² À ²�·�× � ºT Æ�Ø T ²[¹B×½²[³½ÆB²c¸�·�»`³ �5À çc ¼�ºp³0ÆB²c¸ ��À Ç�¹ � · �,vdÄFtdÄ � �#Ä*a ºe· �:�5�5� ¹B× � ØX³½ÆB² À ²7· ��Ze� ¹ À ¼:² À» � ²O X»>¼:²�º�³½× � � · À ²[³0ÆB²>º � ¼wÖ5²>º ¶ Ø� � � *0� 7 � O 7 Ñ � �£� *t � Ë

Ñ � ´ � = �>�,Ð@Ñ , � � OhÐ , � � �(Ô = �*t � Ë

Ñ � ´ � = �>�POct *<� ק¼:º � = Ô = Õ·�ºB¾kÆB²>ºB»�²� � � o

�Ë �

Ñ � ´ � = � ק¼:º � = Ô = q �,v1Ä]tdÄwo.���j ²iק¹BÇXÇ4· À ¼ + ²c³0ÆB² À ²�×½¹ � ³ � ¸ ³0ÆB¼�×�×½²�»`³0¼ � º�¼�ºp³0ÆB²[¸ �5���:�kT ¼:º � ¸ �5À Ç2· � ¾B²>¿eº1¼�³0¼ � º �� % � �!m��km 1 � 0/ B :.Ü�Üeå.ã.ß�´ � = � 2 ãhÛ t � Üeß`á 2 å 3 2 Þ�� 2 ß`æXÛ�âeâ 2 âeà<ß L�á½Û��Ý:ß{ä;:OâJÞ`à 2 å9â4D�05eß`âk´ � = � 51Û9ãVÛ ��å9æcÜaÝ:ß#" 1 åd:dá 2 ß`ácã.ß`á 2 ß#ã�ß#">Ü1Û�â1ã 2 å9â}Û9ã

´ � = � � Í� Ñ Í7 � Ð , � � q �,v1Ä]tdÄ]t�Ã��

�05eß�Þ#å9áYá0ß#ã<Üeå9â43 2 â'LXá0ß½Û�Ý 1 åd:dá 2 ß`ácã.ß`á 2 ß#ã!á0ß<Üaá0ß#ã.ß`âeàýÛ�à 2 å9â�å=ä3´ � = � 2 ã�L 2 8�ß`â> F´ � = � � ot $ Ï � Í� ç � $ � » � × � = � � � ק¼:º � =�� q �,v1Ä]tdÄ]tdo��

�05eß�Þ#å9æcÜaÝ:ß#" 1 åd:Oá 2 ß`áVÞ#å.ß � Þ 2 ß`âeà$ã 7 � å=ä3´ÎÛ�á0ß�L 2 8�ß`â> F7 � � ot � Ë

Ñ � ´ � = �(Ð@Ñ , � � Ô = q �,v1Ä]tdÄ]t5t5�8(9 : 2 89Û�Ý:ß`âeà�ÝCFXàI5eß!á0ß½Û�Ý 1 åd:dá 2 ß`áVÞ#å.ß � Þ 2 ß`âeà$ã $ � Û�â43�� � <eä7å9á3´ Û�á0ßi3OßIH£âJß 3pÛ9ã

$ � � o�Ë �

Ñ � ´ � = � » � × � = Ô = Õ � � Á Ã��`Õ �,v1Ä]tdÄ]t�v��� � � o

�Ë �

Ñ � ´ � = � ×½¼�º � = Ô = Õ � � Á o��`q �,v1Ä]tdÄ]t@rb�

Page 85: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�'���'� � ����� ��� � � � � � ��G���! "����� ! �

\ � ¸�· À ·�» À ¹B»>¼K· � �b¹B²�×(³0¼ � ºÌ¼:× T ÆB²>º T ²�»7·�º TMÀ ¼�³½²�²��b¹e· � ¼w³<Ø�¼:º �,v1Ä]tdÄ � �p�5À�,v1Ä]tdÄ]tdo����sa ºB¾T¾1²>¿eºB¼�º �,$ � ·�ºB¾ � � ·�×3¼:º ��v1Ä]tdÄ]x5� ·@ºB¾ �,vdÄFtdÄRA5�#Ù T Æe·9³c¼�×{³½ÆB² À ² � · �³0¼ � º ¶ ²`³ T ²>²�º2³½ÆB² À ¼ � Æ�³£Æe·�ºB¾j×½¼�¾B²M¼:º Ù ² ÄW�1Ä�Ù �,vdÄFtdÄ � � ·@ºB¾p´ � " ��� j ²MÈB¹d³8³0ÆB² T Æ �5� ²·�ºB× T ² À ¼�ºk³½ÆB² � / . �!� ��� ) /������ � � � � ) � +��'�%/�� ��1 ¶ ² �:�kT �.0/ %�1 q %'& ��� � 1 ��� % q_n % � � % . / %�1 q %'& �_/ 2 ä!´ 2 ã ��� Üeß`á 2 å 3 2 ÞjÛ�â43VÜ 2 ß#Þ#ß J 2 ã.ßã`æ4å.å9àI5uå9â��#<-Û�â43

�� � = �£� ot $ Ï � �� ç ! $ � » � × � = � � � ק¼:º � = #u� ��Ñ � 7 � Ð , � � ��v1ÄFtOÄFt � �

àI5eß`â � ¼:Ç� & Í �� � = �8�ot � ´ � = O-�¬� ´ � = �i� �

ä7å9á�ß"8�ß`á"F = Û�â43 2 â2Ü1Û�áYà 2 Þ":OÝwÛ�á <� ¼�Ç� & Í � � = �£� ´ � = �

ä7å9á�ß"8�ß`á"F = Û�à J 5 2 Þ 52´ 2 ãQÞ#å9âeà 2 âf:eåd:bã Dj ²XÈ � ק³0È � ºB²Q³½ÆB²jÈ À½�O� ¸ � ¸ Ze� ¹ À ¼:² À » � º�Ö5² À½� ²>ºB»�²X³0ÆB² �5À ²>Ç Ä � �kT ²>Ö�² À�Ù ¸ À½� Ǻ �kT � ºT·�×3× �O� ºz·�× T ²V»7·�º � ¹1ק³0¼w¸$Øh³0Æe·9³[·X¸*¹1ºB»>³½¼ � º}´}¼:×{» � º�³½¼:ºb¹ � ¹B×-·@³-·2È � ¼�º�³= Ù T ²C¹1×½²!²%�b¹e· � ¼�³<Ø ¶ ²`³ T ²>²�ºu³½ÆB² Z_� ¹ À ¼�² À ק² À ¼�²�×{²"[dÈe·�º1×½¼ � º � ¸|´z·�ºB¾u´ � = �`Ä

�k��� ����� ����� � ��� � ����� � ��������������! " #�$�&%('*),+�-.��/��*),�10./2�4350.�76.82�96:��82;�+<�4/=�>3?�`Ö9��-@'*-.AB� �C350.-(D4;E+��9-./��

FHG �98I'*-J�>Ö*��-B350.-.D4;�+<�9-LK,MON9P# #�1QR'7Ö9�SKTMUN9P�VWK,M�XYN9P&ZRQ.��-(D��[]\^ \ KTM`_�P2a9_JV"b []\

c K,M5_�P2a9_ed MUf(ghf(g�i!P

FHG �98I'*-J�jA.AB350(-.D4;�+<�9-BK,MON9P# #�$QR'7Ö9�$KTMkXlN*P�VmXlK,MON*PnZo'*-(ABQ(��-.D4�[ \^ \ K,M5_�P�a9_JVpX [ \

c K,M5_�P2a9_�q [ \c KTM`_�P2a9_JV"rsd MUf(ghf(gtb*P

Page 86: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�-Y�! /2+<-.D4�lD��*/ M/. N9P +�/�'>-��>Ö*��-�350.-.Dn;E+��9-�'*-(A�/�+�-eM/. N9P +�/�'>-T�jA.AT350.-.Dn;E+��9- Z ��)0*�4;

G �98 �>Ö*��-21 3�4SV b# [�5c 1 MUN9P(D4�9/6. N�a N '>-.A 784SV"r(d MOf(ghf(ghf P

G �98 �jA.A21 3941V"r '*-.A 7:4SV b# [ 5c 1 MON*P(/�+�-;. N�a Nsd MOf(ghf(g=< P>?A@�BDCE@�FHG6IKJML6N�OQP�RTS'U/VXW$RY1?MON9P#V[Z N\Z^]1X�#`_ N�_a#�bcVed b$#gf6N'hQVXWjikVXSjlmonpf\h:N:d:d1*VqRYr�W$P�h'VXN'hdsN'hQVXN:djl

1 MON*P�VtZ NuZ

NX�# #

#

v"w/x\y&z$@2{MI|G6}"~ Q.�Sb$# 6:��8�+��sA(+<Dl350.-(D4;E+��9-!1 MON*P�VtZ NuZtgJML6N�OQP�RTS'U/VXW$R�1?MON9P)Ved b$#E�ef6N'hQVXWjikVXSH�kR\i�N'�kN'R�boU�L�P9dH�cN�L��k�kN���S:S:W$h�ikVqR��,U�WLMOf(ghf(ghf P784SVWr��kR\i 3�4SV b# [ 5c 1 MUN9P(D4�9/�. N�a N� VqRTS:N�1 MUN9P�VtZ N\ZM�kR\i N�� r�W$R�UqL6N�VqR6U�N'h'�$�k�A� r�]�#M�c�cN���N'U\��h8d'UuO�W$h�.LV r�b

3 c V b# [ 5c N D��9/or�a N1V b# [ 5c N�ajN$V b#2� N$�b�� 5 c V�#E]�kR\iKUqL6N'R,O�W$h".�� r!�cNHL��k�kN�P9d'VqR���f��khQU|V/�k�TVqR6U�NX�kh��kU/VXW$R�U�L��kU3�4SV b# [*5c Z N\ZkD��*/�. N�a N$V b# [�5c N D4�9/6. N�a N

V b#2� N)� i. /�+�-". N � 5 c X b# [*5c i. /�+�-". N�a N$V b#A.�� D4�9/u. N. � 5 cV b#A. � � MkXSi P 4 X i � Vt� ^��5$� ��  ^6¡|¢¤£ ] O�W$h¥Wji9i¥.�¦ V"b�§�X ir�] O�W$h¥N'�kN'R�.�¦ V b�§�d

MOf(ghf(g^¨9P

Page 87: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� � � ��+��)+�( �"(H( �H��+¥����'�"+)� ���JML�P�d�UqL6NHr�W$P�hQVXN'hdsN'hQVXN:d,N�npf��kR�d'VXW$R O�W$h���P�� �

1 MUN9P�V ib 3 c q �� ¡� 3�4�D4�9/6. NIq*7:4 /�+<- . N

� VXN'� i$d Z N\Z>V # b X <# ��   � ¡iM bk§ X i!P � D��9/ M b�§�X i P�Nsd MUf(ghf(g � P

� W$U�N�UqL��kU��  �� ¡

iM bk§ X i!P � D��*/ M b�§�X i P�N�] MUf(ghf(g � PS:W$R6�kN'h|��N'RTS:N��jP��9ikh �kU/VXS �k�q� ��>?A@�BDCE@�F��MI JML6N�OQP�RTS'U/VXW$R�� MON9P�VWN�]$X�#D_ N _ #ob�VedYb$#��ef6N'h'VXWjikVXSjl"m�npf\h8N:d:d��VqRYr�W$P�hQVXN'hdsN'hQVXN:djl

� MON*P�V"N

NX�# #

#

X #v"w�x y&z @�{MI��A}c~ Q.��b # 6:��82+<�jA.+<DY350.-.D4;�+<�9-�� MON*P�V"Nsg

� N'h8N�� MON*P�V N Ved �kR Wji9i OQP�RTS'U|VXW$R�b�UqL�P�d�� � MOfsg f(g=< P �cN�L��k�kN 394LV rKO�W$h�.HVr�] i�]�d�d d��kR\i 784SV b# [�5c 1 MON*P(/�+�-". N�a N$V b# [*5c N)�!/2+<-". N�a N

Page 88: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+���W$� P�d'VqR���f��khQU/V/�k�AVqR6U�NX�kh��kU/VXW$R2�cN��N'U

784SV b# � N)� XSi. D��*/6. N � 5 c X b# [�5c X$i. D��9/6. N�ajNV b# ��#!� XSi. MkXSi P 4 V b)� M�X$i P 4�� ¡. d

MOf(ghf(g � P�kR\i L6N'RTS:N

� MUN9P � ib 3 c q �� ¡� 3�4�D4�9/6. N=q�784�/2+<-". N MOf(ghf(g�� P

� VXN'� i$d� MON*P�V"N$V"b �� 4 � ¡

M�X$i P 4�� ¡. /�+<-". Nsd MOf(ghf(g i!r P��W$U�N�UqL��kU

�� ¡M�X$i P 4�� ¡. /�+<- M/. N9P�� �� ¡

i. ] MOf(ghf(g i9i P�oL�VXS:L � N �kR�d�U�L��kU � MON*P�V"NKL��$d�f6WsW$h�S:W$R6�kN'h|��N'RTS:N�f\h8W:f6N'h'U/VXN:dU�L��kR�U�L6N�f\h8N'�sVXW$P�dN�n���f\�eN �c1?MON9P�V Z N\Z l��)N'�eW$� �cN�S:W � � N'R6U�UqL�Ved;f6L6N'RTW � N'RTW$R ��@�B��z ��I2-Y�*;���;�QR'>; Z D��9)�6R'*82+<-�0J;EQ(� 098�'*6.Q./$�*3�1]'*-.A �C #�T/2���T;�QR'>;,1]+�/ 'D��*- ;�+<- 0.�90(/�Z��<+�-.� '*84Z?�9/2D�+��<� ' ;E+<-�0B350.-(D4;E+��9-./4Z IQ.��82� '*/ � +</ A.+</2D��9- ;E+�- 0.�90./JM` IQ.+<D Q+</$'*��/��J;EQ.�,8���'*/��9-����4Q.+<-(A ;EQ(� � /�+¤09- +�- MUf(ghf(g��9P�8�'>;EQ(��81;EQR'*- '*- ��� 0R'*�<+ ;��9Ze ��/�Q.'*�<� A(+</�D40./�/=;EQ.+�/ � '>;���8 �9-B+<-J;EQ(+</ D QR'*6s;E��8EPngc-Y�! +�3 +<- MUf(g fsg � P '>-.A MUf(ghf(g�i*i P# ��; '��*� ;�Q.� /20.),),'>;�+<�9-B�9-.���J0.6C;E�K. '*-.ACA(��-.�*;�+<-�0�;EQ.� 8���/20.��;�+<-�0��R-.+ ;E�$/�0.)�/����1 4.MON*P '>-.A �$4RMUN9P&Zj;�Q.��- 1s4RMUN9PE09�j��/�3U'*/2;���8�;E�! '>8�A./;1 MON*P�;�QR'*- �$4.MON9PE09�j��/�;E�! �'*8�A./� MON*Png ~ Q.+</Y+</=A.0.�$;E�T/�;E82�9-�09�48lD��*- ;�+<- 0.+ ;��L6(8��96:��8�;��@+�-�1 ;�QR'*-C+�- �:g ~ Q 0./�Z�+�3�1+</ 82�j090(� '*8�;�Q.�1D��9-�Ö*��8 0*��-.D4���*3 ;EQ.� G �90.82+<��8�/���82+<�4/I35�*8�1 +�/ 3U'*/2;���8 ;E�! �'*8�A(/)1 g��� � !#"�� �$"&%('2�*),+-"&.0/C�1%�2�3425"��617 @(8uz$@�B G(9;: 617 @=<,@?>�>j@�FA@�>�B�C�@?DMy,6F/wFEHGIB�J ILKqO�1 MON*P�Ved¥� b$#E�of6N'hQVXWjikVXS�M VXN'����kR6R VqR6U�NX�kh ���j�eN�OQP�RTS'U|VXW$R2W$R!� X�#E]�#M���kR\i&Nc4 �kh8N�UqL6N�r�W$P�h'VXN'hHS:WsNFO S'VXN'R6U�dHW�Oc1&bUqL6N'R

��^ �

ZPNc4uZ �RQ ib$# [ 5^ 5 Z 1 MON*P Z � a Nsd MOf(g=<.g i P

Page 89: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

���������;����������� ����+��� �&��A�j������ � ��ch8WsW�Opl �YNHP9dsNHUqL6Ncf��khQU/V/�k�ud'P �¥bcW�O�W$h�i�N'h���bcW�OUqL6N¥S:W �f\�eN�n,r�W$P�hQVXN'h�dsN'hQVXN:dN�npf��kR�d'VXW$R O�W$h�1 MUN9P:b�V/l/Njl b

1��YMON9P�V ��^ �

Nc4���� 4�� ] MUf(g=<.gtb*P�kR\i S:W �f\P�U�N���1 MON*P?X ��

^ �Nc4�� � 4�� ��� � V � 1?MON9P?X ��

^ �Nc4�� � 4�� � 1 MUN9P?X ��

^ �NH4�� ^ � 4��

VtZ 1 MON*P Z � X ��^ � � Nc4 1?MON9P���� 4�� q Nc4�1?MON9P�� ^ � 4�� �

q ����� 4 � ^ � N � Nc4���� � � ^ 4 ¢ � d

MUf(g=<.g f9P

� W$� VqR6U�NX�kh��kU/VqR�� MUf(g <(g f PKW$�kN'h � X #E] #M��b�kR\i�S:L��kR��kVqR�� U�L6N W$h i�N'h�W�O¥d'P � ���kU/VXW$R�kR\iKVqR6U�NX�kh �kU/VXW$R�b�VqUuO�W$�q�eW$�od�U�L��kUib$# [�5^ 5

���1 MUN9P?X ��

^ �Nc4�� � 4�� ��� � a N1V ib$# [�5^ 5 Z 1 MON*P Z � ajN

X ib$#��^ � � Nc4 [ 5^ 5 1 MUN9P����

4�� a:MUN9P7q Nc4 [ 5^ 5 1 MUN9P�� ^ �4�� a N �

q ib #��

��� 4 � ^ �[*5^ 5 N � Nc4���� � � ^ 4 ¢ � ajNjd

MUf(g=<.g < P

M N:S �k�q�MU�L��kU ib$# [ 5^ 5 � � � � ^4 ¢ � a N1V � r�] O�W$h "!V .i�] O�W$h V .?d

rMP�hQU�L6N'hNc4SV ib$# [ 5^ 5 1 MON*P�� ^ �

4�� a N V �f\� VXN:d Nc41V ib$# [ 5^ 5 1 MUN9P����4�� a Njd

Page 90: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�9r ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+���N'RTS:N��cN�S �kR2h8N'�EhQVqU�N MOf(g=<.g=< P¥�$d

ib # [ 5^ 5���1 MUN9P?X ��

^ �Nc4���� 4�� ��� � a N$V ib$# [ 5^ 5 Z 1 MON*P Z � a N

X ��^ �

M Nc4 Nc4=q Nc4�Nc4 P7q ��^ �

Nc4 Nc4sd MOf(g=<.g^¨9PJML�P9d

r Q ib # [ 5^ 5���1 MUN9P?X ��

^ �Nc4���� 4�� ��� � a N$V ib$# [ 5^ 5 Z 1 MON*P Z � a N X

��^ �

ZPNc4uZ � ]�kR\iK�eN'U/U|VqR�� � � � �cN,W�jUX�kVqR�U�L6N���h8d'U �)N:d:dsN'��� dRKQRTN �jP��k� VqU � �

��^ �

ZPNc4uZ � Q ib$# [ 5^ 5 Z 1 MON*P Z � a Nsd�������! 0./2+<-�0 ;EQ(�,82��� ' ;E+<�*-./��:�4; #����- 8�� '>��'*-.A D��9)�6.�<�&% G �90.82+<�48 D��j����D�+���- ;E/ #�$A(��8�+wÖ9�1;EQ.�182� '*�JÖ*��82/�+<�*-L�*31MOf(g=<.g i P'¦

617 @(8uz$@�B GuG�: <,@?>�>j@�F @�>1B�C&@ DTy 6F/w E G B�B J I KqO�1 MON*P)Ved ��b$#E�&f6N'hQVXWjikVXS M VXN ���kR6RVqR6U�NX�kh ���j�eN�OQP�RTS'U|VXW$R�W$R2� X #E] #M� �kR\i�3�4�]6.LV"r�]�i�] d d d']&�kR\i�784�]�.@V i�]&b�]�d d d']��kh:NUqL6N�h:N �k�\r�W$P�hQVXN'h¥S:WsNFOaS'VXN'R6Uqd,W�O�1&bEU�L6N'Ri< Z 3 c Z � q ib �� ¡ MQZ 394uZ � q�Z 784 Z � P Q ib$# [�5^ 5 Z 1 MON*P Z � a N MOf(g=<.g � P

� h:WsW�Opl��d��cN�L��k�kN�dsN:N'R�N �khQ� VXN'h �cN�L��k�kN"O�W$h�. iYU�L��kUc394LV Nc41q N ^ 4�kR\i¥784SV��EM Nc4�X N ^ 49Pjl ��N'RTS:NZ 394\Z � q�Z 784TZ � V M Nc4=qIN ^ 49P4M Nc4=q N ^ 4 P7q � M Nc4�X N ^ 4*P�M�X�� P4M Nc41X N ^ 49PV"b Nc4 Nc4=qHb N ^ 4 N ^ 4$V buZPNc4uZ � qHbuZPN ^ 4uZ � dJML�P9d:b6O�W$h .� i$b��cNHL��k�kNib M:Z 3�4uZ � q Z 784\Z � P�V ZPNc4\Z � q Z N ^ 4\Z � ] MOf(g=<.g � P

�oL6N'h8N �$dEO�W$h".LV"r!�cN��N'UZ 3 c Z � V b N ^ c b N ^ c V <TZPN c Z � d MOf(g=<.g � P

Page 91: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �� H���"��� � ���� �"� + � �� �� ��+,��� �����" ���� �(i� W � �jVqR6VqR�� MUf(g=<.g � P �kR\i MUf(g <(g � P��kR\iKUqL6N&�)N:d:dsN'��� d�VqRTN �jP��k� VqU � K:bE�cN,W�jU �kVqR

i< Z 3 c Z � q ib �� ¡ MQZ 394\Z � q�Z 784 Z � P�V Z N c Z � q �� ¡� Z Nc4\Z � q ZPN ^ 4\Z �

V ��^ �

ZPNc4uZ � Q ib$# [ 5^ 5 Z 1 MUN9P Z � a NMUf(g=<.g��9P

�oL�VXS:L Ved�UqL6N ������ � ������������� ��������e���� �kR\iKUqL6N"f\h8WsW�O�Ved,S:W �f\�eN'U�Njl! /�'�D��9-(/��5� 0.�4-.D��=�*3o;EQ(��/�� ; #��;EQ.�4�98��4),/ #� D��9-(D��<0(A.� ;EQR' ; 35�98�b$##"I+<�4)T'>-.-+<- ;E�p098E'��.�<� 350.-(D4;E+��9-./4Z(;EQ.�1/2��8�+���/=� �(;E'*+<-.�4A 358��9) ;EQ.� G �90.82+<��8�D��j����D�+���- ;E/p¦

�� ¡ Z 394\Z � ] �� ¡ Z 7:4\Z � ] �� ¡ Z Nc4\Z � '>-.A ^ ��^6¡ ZPNc4uZ �

'*8�� '*���lD4�9-�Ö9��8�09��- ;�g ~ Q 0./4Z�Z 3�4 Z � ZKZ 784 Z � '>-.AtZ Nc4uZ � Z ���4+<-�0 ;EQ(� � % �%$ ;���8�)�/ �*3D��9-�Ö*��8 0*��- ;�/2��8�+���/4Z ;���-.A ;E�'&��48��L'*/�. � � MO'*��/��B'*/�. � X � +<-�;EQ(�,D�'*/�� �*3Nc4 P '>-.ALQ(��-.D4�S/2�,A.��3�4sZu7:4�'>-.A Nc4jg)( �$/20.)�)T'*82+�&4�l;EQ.�4/��$6.8��*6��482;E+���/4ZBÖs+*&*Z+�@�BgB�-,MIHr�W$hK�Jb$# f6N'hQVXWjikVXS:bRM"VXN ���kR6R`VqR6U�NX�kh����j�eN OQP�RTS'U|VXW$R 1&bU�L6N r�W$P�hQVXN'hS:WsNFO S'VXN'R6U�d;3�4�bA7:4!�kR\i Nc4��k�q�\U�N'R\i�U�W/.$N'h8W �$dH�$dc. � � ���k�^dsW,�$d;. � X � VqRU�L6N�S �$dsN¥W�ORNc410kl���32 465)787:9;7:9 3=<-" >?7�+A@ "B5DC "&+E>�" 3=<-"B7F5�"BG

[email protected].Ö�K�;�Q�KTD�H�L�Ö�K48 0�K�L.DMK ;EQNKMH98�KMO 3PH98S;�Q�K G H�Q(8JR�K48TS�KMU�R�KMSTVWKALNKMK�AYXJHCA�K �ZL�KXEQ�K1D�H�L.DMK�[NX\S^]_Sa` �P�MbM� � ��3�/b�cd�e�%�*���fcg�_ ]_L.AF` �h��bM� � ����iJj8cgcg�%$Ak Q�L(D�X\R*H�L�S4gl @ � C�wFE wF8 CnmMI � OQP�RTS'U/VXW$R�1aW$R�UqL6N�S'�eWsdsN i VqR6U�N'hQ�$�k�&� 36]:78�;VedHdj�kV/i U�W �'N�Cow�@go�@�pq w >j@ro 8 C E w CMy 8\y > W$R � 36]:7ts�V O� Vu0c1�Ved"S:W$R6U/VqR6PuW$P9d"W$R � 36]:7ts;N�n�S:N�f\U�f6N'h8L��'f6d �kU ��R6VqU�N'� � ���kR � f6W$VqR6U�de_ ¡ ]2_ � ] d d�d ]�_   l� VqVu0,�kU�N ��S:L W�O UqL6N�f6W$VqR6Uqd _ ¡ ]�_ � ] d d d¤]�_   b&1�L��$d �'W$UqL�UqL6N�eN�OQU/�XL��kR\i��kR\i,U�L6N�M V �$L�U/�L��kR\iK� V ��VqUqd:b�V/l/Njl b�1 M5_gv!XlP,�kR\i,1 M`_gv�q1P8bew Vpik] d d dp]Q§ub"N�n�Ved'UXll @ � C�wFE wF8 C G?9AI�� OQP�RTS'U|VXW$RY1&b"i�N���RTN i2W$R UqL6NKS'�eWsdsN i VqR6U�N'hQ�$�k�o�=36]:78� VedCow�@go�@�pq w >j@ >�B�8 8 E 7 W$R��=36]:78��V O 1 �kR\i�VqUqd ��h:d'U i�N'hQVq�$�kU|Vq�kN�1ex��kh8N �'W$UqLgf\VXN:S:N'�EVedsNS:W$R6U|VqR6P6W$P9d�W$R��=36]:78� l

Page 92: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� b ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�l @ � C�wFEsw 8 C GuG6I��&N'Uo1 �'N¥� b$#E�ef6N'hQVXWjikVXSa` �h�Mb�� � �*��^Jj8c cf�%$ OQP�RTS'U/VXW$R�UqL6N'R�buO�W$h����n�N i�N9b�U�L6N +T�%$ ` ���M�%� �1 �_j O�W$h�1�Ved i�N���RTN i � �

���� MON9P�V ib 3 c q��¡

� 394��MH�S�. NIq*7:4=SJR�L�. N CV ��^ �

Nc4���� 4�� MOf(g^¨sg i P�EVqUqL�3�4�b�784��kR\i Nc4 �'N'VqR��KUqL6N�P9d'P��k�Tr�W$P�hQVXN'h¥S:WsNFO S'VXN'R6Uqd:bE�sV�.

394SV i# [�5^ 5 1 M���P �MH_S!M/.�� P�a���] 7:4SV i# [*5^ 5 1 M���PNSJR*L7M�.���P2a���] �kR\iNc41V ib$# [ 5^ 5 1 M�� P�� ^ �

4�� a��Yd~IHF[�U�KM[Z]_U�K k H�U XEQ�K [�U�H H k H k XEQNK���H�L��K�U 0�K�L��MK/XEQ�K�H�UJK�O VWK/L�H_XJK�XEQZ]�X

���� MUN9P�V��^ �

Nc4�� � 4�� V ib$#��^ �

[ 5^ 5 1 M���P�� �

4 � � ^ � ¢ a��=dR�S�S �gOFO K�X\UJR��iH�L . ZNS�R�L���K). U\]�L�0�KMS k UJH�O X�� XJH � g���KML���K�UJKM[ � ]���R�L�0 .-���CX�.?Z� HgKMS?L�H_X�]�� K���X?XEQ�K/] �eH.Ö�K SJQNO ]_L � XEQfQ�S VWK�� ]�L#V?U�R*X\K

� �� MON*P V ib$#��^ �

[�5^ 5 1 M�� P�� �

4 � � ^ � ¢ a�� MOf(g^¨sg b9P K�X?L�H V"! V#� X NsZ�X�Q�KML$�]V"NIq%! ]_L � a�� V"a&! Z�S�HFX�QZ]�X

� �� MUN9P�V ib$#��^ �

[ 5 � �^ 5 � � 1 MONIq%! P�� � 4(' a&! d MOf(g^¨sghf P

)ZQ�U�X�Q�KMU SJR�L �MKL�eH_XEQK1A]_L � � � 4�� ]_U�KIb$#�*t[�K�UJR�H � R��*Z_QNSJR�L�0+ K�O O ]�bsZ R�X k H,����H V?S X�QZ]�X� �� MUN9P�V ib #

��^ �

[ 5^ 5 1 MONIq%! P���� 4(' a&! d MOf(g^¨sg=< P

-^H V VWK � K���L�K�XEQ�K + �h$Y(B���J�Pb $� h� �.-g�/�J���\ ���

0 �lM1! P�V ib$#��^ �

� � 4(' MOf(g^¨sg^¨9P

Page 93: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �� H���"��� � ���� �"� + � �� �� ��+,��� �����" ���� �9f]_L � UJK�V?UJR*XJK � �� MUN9PnZNR�L MOf(g^¨sg=< P ]_S

� �� MON*P�V [ 5^ 5 1 MUNIq !�P 0 �lM1! P�a !ed MUf(g^¨sg � P

� 8\BD@!C�z 8uCE@�z�E w/@?> 8��RE 7 @rl�w�z$w%o 7 F/@�E �u@�z C�@�F�}~ Q�K k Q�L���X\R�H_L 0 �YM !�P^R�S^XEQ�K S�Q�O H k ] �ZL�R�X\K,0_KMH�OFK�XJUJR � [�UJH�0_UJKMS�SJR*H�L Z VIQ�R�� Q k H�U! !VWr � ]_L �eK V?U�R*X�X\KML#]_S

0 �YM !�P�V ib$# � � ^ � �.' q � ^ � � �$� ¡|¢ ' q d d�d q � c q ��� � ' q d�d d q ��� �.' V ib$# � ^ � �.' � i#q � � ' q d d�d q � � � �.' V ib$# � ^ � � ' �

��c � � 4�'

V ib$# � � �� � ¡|¢ ' X � ^ � �.'� � ' X i d

MUf(g^¨sg � P

� Q���X\R�[ � � ��H_X�Q8XEQ�K LfQ�OFKMU\]1X\H�U�]_L � � K�L�H�OFR�LZ]1X\H�U ��� � ^ ��� £ VWK�0�K�X0 �YM !�P�V ib$# � � �

� ���£ ¢ ' X � ^ � � � ���£ ¢ '� � �£ ' X � ^ � �£ ' V ib$# SJR*LeM � q ¡� P !S�R�L ¡� ! MUf(g^¨sg � P

)ZUJH�O XEQ�R*S k H_UJO Q���]iVWK�� ]�L S �_K�X � Q XEQNK�0�UJ]_[.Q:H k 0 �YM !�PngtX�R*SDU\]_[�R � � �TH�S �MR ��� ]�XJR�L�0X\H:&MK�UJHjÖgR�&*g

( K+�MH_L����*Q � K�XEQ�R*S?[Z]_U�X����8X�Q�K k H,� �*HdV?R*L�0 �*KMOFO ]�¦+�@�BgB���MI r�W$h��kR � ��b��cN)L��k�kN�UqL��kU

[ c^ 5 0 �� 1!���a !��

[ 5c 0 �� 1!���a !�� ib

� h:WsW�O � �2N��kVq�kN U�L6Nf\h:WsW�O O�W$h�!��� Or�]�#��jlgJML6N S �$dsN+!��� �� #E] r���Ved)f\h8W$�kN i�VqRU�L6NHdj�� NH��� � l �YN�h8N'�Eh'VqU�N�UqL6N + �h$Y(B���J�hb $N h�d�.-g� ����� �$d0 �� !���� ib$#

��^ �

��� 4(' � ib$# q ib$#��¡

� ��� 4(' q � ^ � 4(' � ib$# q i#��¡ ��H�S�. ! d

K'R6U�NX�kh��kU|VqR�� W$�kN'h !�� Ur�] #�� � VXN'� i$d[ 5c 0 �� !!�2a&!"� [ 5

c� ib$# q i#

��¡ �MH�S�. ! a&!"� � #b$# q i#

��¡SJR*L�. !. � 5 c � ib ]

�kR\iKUqL6N"f\h:WsW�O�Ved¥S:W �f\�eN'U�Njl

Page 94: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�k< ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�0 ¡�� c 1!��

!

v"w�x\y�z @�{MI¤{M};~���K��BR�UJR�������K�X ��KMUJLNK�� 0 �� !!� k H�U � �mi ¨*rsg-^H V;V�K/UJK�XJQ�UJL'X\H X���K [�UJHgH k H k H_Q�U O ]�R�L8UJK�SJQ���X�¦

��z 8 8 � 8�� E 7 @ 8 C�� @�z xu@?CIo�@ 617 @�z @?8 C�}� R�L���K 1 R*S [�R*K��MK�V?R�S�K SJOFH H�X�� V�K��Z]7Ö�KX���]�X 1 # � � 1 # ��� k H�U # _ rE]_L � 1 # � � 1 # q � k H_U # � r(g )ZQ�U X���K�U Q�S�R�L�0��K�O O ]¥< V�K �M]_L#V?U�R*XJKib 1 # ����� 1 # ��� [ c

^ 5 0 �� !���a&!�]ib 1 # q � � 1 # q � [ 5c 0 �� 1!��2a&!ed Of(g^¨sg����

� � Uf(g ¨jg � �� �� # ���

[ c^ 5 1 # q !!� 0 �� !���a&!�q [ 5

c 1 # q%!�� 0 �� !!�2a&! d Of(g^¨sg i!r�� Q � X\U\]���X\R*L�0� Of(g^¨sg���� k UJH�O Of(g^¨sg i!r���V�K 0_K�X� �� # � �

ib�� 1 # ���eq�1 # q � � � [ c^ 5 � 1 # q !����*1 # ��� � 0 �� 1!���a !

q [ 5c � 1 # q !!� � 1 # q � � 0 �� 1!��2a&!

Of(g^¨sg i9i �

Page 95: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �� H���"��� � ���� �"� + � �� �� ��+,��� �����" ���� �9¨( KiL�H V V?R*S�� XJH S��NHdV-X��Z]�X k H_UWK ]���� � ?A@�� # X��NR�S ]�[�[�UJH�]�����KMS &�KMU�H ]_S � � � g"�K�� ]�����R*L�0 Of(g^¨sg � �aV�K��Z]7Ö_K

0 �� 1!�� � ib$# � � ��$� ¡|¢ ' � � ^ � �.'� � ' � i

( K L�H V � K��ZLNK��� !!� ����� !!� � � � � �A��' ¢`^ � � � ^�¢��� � ^6¡ k H�U �D#D_ !2_ r

� � �A��' ¢`^ � � �A� ¢� � � ^6¡ k H�U r�_ !Y_�#�] Uf(g ¨jg�i b �]_L � UJK�V?UJR*XJK Of(g^¨sg i9i � ]_S� �� # � �

ib � 1 # ���7q�1 # q � � � ib # [�5^ 5 �� !��� � � � �$� ¡|¢ ' � � ^ � � ' 7a&!ed Uf(g ¨jg�i!f �

( K � ]_L KM]_SJR�� � SJK�KAX��Z]1X �� !!� R*S ] V�K���� *��eK ��].Ö_K � k Q�L ��X\R*H�LYH�L � � #E] #M�Og �L k ]���X�� !��WR*S�]_S^S�O HgH_X�� ]�S1 # ��� K� �MK�[NXiLNK ]_U ! �Wr�ZV ��KMU�K � � ' � iiÖ�]_L�R*S���K�S�g��^SJR*L�0�� ���� [�R�X]��� S U�Q���K�R�X k H,� �*H V?SWX��Z]1X

�*R�O'�� c � �� !!� � �*R�O'�� c � 1 # q !!� �*1 # q �� � ' � i � ��R*O'�� c � 1ex # q !!�

� � � '� 1ex # q �

�d

R�OFR ��]_U ��� �� !�� ]�[�[�UJH�]�����KMS�X���K&�ZLNR*X\K+�*R�OFR*X � ^6¡ 1ex # ���?]_S ! � r �$g �^K�L��MK �� !!�R�S ]���X\Q�]�� ��� [�R*K���K�V?R�S�K �MH�L XJR�LfQ�H�Q�S?H�L � � #E] #M���Z]_L � ]_S?] ��H�L�SJK��fQ�KML���KTH k �WK�SJS�K��� SR�L�K��fQZ]���R�X�� � K�O O ] f��WR�X\S )ZH�Q�U�R�KMU �MHgK�� �MR*KML X\S

Nc4 � � � ib$# [�5^ 5 �� !!��� ^ �4�' a !�� � r ]_S . � � � d Uf(g ¨jg�i�<��

-^H V S�R�L���Kib$# [ 5^ 5 �� !!����� �

�$� ¡|¢ ' a&!"� N ^ � � � ¡|¢ � � ]�L � ib # [ 5^ 5 �� !���� ^ ��.' a&!"� N �� � �Q]

Q�SJR*L�0 Uf(g^¨sg�i f���R*X k H�� ��H V?SWX��Z]�X�*R�O����� �� # � �

ib � 1 # ���eq 1 # q � � �"r(d]_L � X���K [�U�H H k R*S �MH�OF[���K�X\K>g

�WK��*HdV6VWK�0�R�Ö_KF]_L ]��*X\K�UJLZ]1X\R�Ö_K:]_[�[�U�H ]���� X\H8X���KF[�U�H H k H k X���K��WH�L�Ö�K�U 0�K�L��MK~���KMH_UJKMOBg"~���R*Si]_[N[�UJH ]���� R�S��Z]_S�K � H_L X��NK k H,����H V?R�L�0 [�UJH�[eKMU X\R*KMS�H k X��NK )ZH�Q�U�R�K�U�MHgK�� �MR*KML X\Sp¦

Page 96: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�+�@�BDB���TI �&N'Uu1��kR\i � �'N�b #�f6N'h'VXWjikVXS�M VXN ���kR6R�VqR6U�NX�kh����j�eN �¤f\VXN:S:N'�EVedsNEd � WsW$U�L 0OQP�RTS'U|VXW$R\l�JML6N'RYU�L6NHr�W$P�hQVXN'h¥S:WsNFO S'VXN'R6U

Nc4 |1 � � Nc4 � ib # [*5^ 5 1 # ��� ^ �4�� a # ]

�$d �kRDW:f6N'h��kU�W$h:bEVed�� VqRTN �kh:bEV/l/Njl bNc4 ���1 q�� � � ��� Nc4 |1 �7q�� Nc4 � �Q] ��� ]� ��=d Of(g^¨sg i ¨ �

rTP�hQUqL6N'hH�cNHL��k�kN�U�L��kUNc4 �i � � ib$# [*5^ 5 � ^ �

4�� a # ���'4 c d Of(g^¨sg i � �JML�Ved�Ved� QP9d'U|V �;N i � � UqL6N�Op��S'U UqL��kUuO�W$h�. � rY�cN)L��k�kN

N c �i � � ib # [�5^ 5 a # �ib$# � # � 5 ^ 5 �mi�] Of(g^¨sg i � �

�oL�Vq�eN . !�Wr � VXN'� i$dNc4 �i ��� ib #2� � i

�X. � ^ � 4�� � 5 ^ 5 � � ib$# �X.Y� �MH�Su. # � � S�R�L". # � 5 ^ 5 �"r(d Of(g^¨sg i � �r�VqR\�k�q� �

Nc4 ���   � 1 � � ib # [�5^ 5 ���  � 1 # ��� ^ � 4�� a # ���Q4 ^   |1 � Of(g^¨sg i����

� z 8 8�� 8 � E 7 @ 8 C �\@�z$xu@?C o�@ 6 7 @(8uz @�B���� @�E 7 8 � B�B } QN[�[�H_SJKiX��Z]�X 1#R�S�MH_LfXJR�LfQ�H�QNS^]1X # c g K�X

|w � � # � � 1 # � �*1 # c �� � � � � � ��� �

� 1 # � � 1 # c � �� # � # c �� � � � � � � ��� � # � # c � Of(g^¨sg b*r��

( K �fL�H V X��Z]�X�*R�O� � ��� 1 # � �*1 # c �# � # c � 1 x # c � Of(g^¨sg bsi �

]_L ���R*O� � ��� � � � � � � ���# � # c � � ��� � x ��� � � ��� ��� ���

��� Of(g^¨sg b9b �

Page 97: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �� H���"��� � ���� �"� + � �� �� ��+,��� �����" ���� � �~��fQ�S^R�X k H,� �*H V?S k UJH�O Of(g^¨sg b*r�� *� Of(g^¨sg b9b �aX��Z]�X

��R*O� � ����� �� # � � ��R*O� � ����� 1ex # �� � � � x

� 1ex # c � �� � � ��� d Uf(g ¨jgtb*f �

R�L �MK�1 x # �:R*S [NR�K���K�V?R*SJK ��H�L X\R*LgQNH�Q�S�� �� # � R�S:[�R�K��MK�V?R�SJK �MH�L XJR�LfQ�H�Q�S4g )ZQ�U X���K�UQ�SJR*L�0 X���K Uf(g ¨jgtb*r ��VWK�0�K�X

1 # ��� 1 # c �7q ��� � �� # � � ��� ��� � # �~��fQ�S ��� �*R�L�KM]_UJR�X��iH k Nc4 X1���1]_L � X��NKaU�K���]�X\R*H�L�S� Uf(g ¨jg�i � � ]_L � Of(g^¨sg i���� PSJK�K K�O O ]¨ ��V�K��Z]7Ö_K

Nc4 |1 # � � � Nc4 � 1 # c �7q ��� � �� # � � ��� � � � # � �� 1 # c � Nc4 �i ��q�� Nc4 ^6¡ �� # � � � ��� � � Nc4 �� # � �� 1 # c � �Q4 c q Nc4 ^6¡ �� # � � � ��� ��� Nc4 �� # � �&d

Uf(g ¨jgtb <���^K�L��MK

� �� # c �����^ �

Nc4 X1 # � ����� 4�����

��^ � � 1 # c � �'4 c qINc4 ^6¡ �� # � �� ��� � � Nc4 �� # � � � ��� 4�� � d

Uf(g ¨jgtb�¨ �

�|Ö R � KML X � �AV�K���].Ö_K��^ �

1 # c � �'4 c � 1 # c � Uf(g ¨jgtb � �-^H V;XJH �M]�� ��Q�� ]1X\KiX���K UJK ]�O R*L�0 [Z]_U X?H k X���K SJQ�O R*L Of(g^¨sg b�¨ � ��V�K � K��ZL�K

� 4 � Nc4 ^6¡ � # � ��� � 4���� ] Uf(g ¨jgtb � �]_L � V?UJR�X\K

� Nc4 ^6¡ �� # � �� ��� ��� Nc4 �� # � � � ��� 4���� � Nc4 ^6¡ �� # � ����� 4���� � ��� � 4�� ¡|¢ ��� Nc4 �� # � �� � 4�� � 4�� ¡ Uf(g ¨jgtb � �

Page 98: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�~��fQ�S?VWK �Z]7�K

���� # � � 1 # c �7q ��^ �� � 4 � � 4�� ¡ �

� 1 # c �7q� � ^ � � � ^ �$� ¡ �7q d�d d q� � ��� � � � ¡ �� 1 # c �7q � ^ ��� � � � ¡

Of(g^¨sg b ���) R*LZ]�� ���FSJR�L �MK � R*S?[�R�K��MK�V?R*SJK+�MH_LfXJR�LfQ�H�QNS���X��NKML#Q�SJR*L�0 K�O O ] f�

Z � 4 Z �tZ Nc4 ^6¡ �� # � ��� � 4���� Z �tZPNc4 ^6¡ �� # � Z � r�] ]_S Z . Z � � d Of(g^¨sghf9r��� �� # � � 1 # c �'] ]_S � � � d

]_L � X���K [�UJHgH k R�S �MH_O [��*K�XJK*g����� � "�5�2�@�� 342�@�"�����E5�2 G 2�342�@�" 9�/=+E>L3 2M7�+�

~���K k Q�L � ]_O K�L X]�� X���KMH�U�KMO H k �M]�� ��Q���Q�Sp¦[��\ 1 x # �2a # � 1 /7 � �*1 |3 � Of(g � g i �

]_[�[ ��R�K�S X\H k Q�L ��X\R*H�L�So1FX���]�X=]�UJK ��H�L X\R*LgQNH�Q�S=]�L � [�R*K��MK�V?R�S�KWSJOFHgH_X�� �1K>Ö_KML X��NH�Q�0 �1exZR*SWQ�L � K��ZLNK � ]�X X��NK� �MH_UJL�K�UJS��(g )ZH�U�K�N]_OF[���K �NR k 1rR�S � R���KMUJK�L X\R ]�����K�K� �MK�[NX^]�XX��NK/[eH�R*LfX ��� |36]:7 ���V�K �Z]7Ö�K

[ �\ 1 x # ��a # �

[��\ 1 x # �2a # q

[ ��1 x # �2a #

� � 1 �� ��*1 |3 � � q � 1 |7 � �*1 �� � � � 1 |7 � �*1 /3 �nd-^H V V�K S���]�� �gS���H V ��H V�X\H^UJK���]�X\KDX��NK )ZH�Q�UJR*KMU �MHgK�� �MR*KML X\S H k ] k Q�L ��X\R*H�LTXJHiX��NH�SJKH k R*XJS � KMU�R�Ö�]�X\RwÖ�K�S�g617 @(8uz$@�B G �AI � Psf9f6WsdsN;1gVedIb$# � f6N'hQVXWjikVXS:b�S:W$R6U|VqR6P6W$P9d:b��kR\i�f\VXN:S:N'�EVedsN"d � WsW$U�L�l�&N'Uo3�4�]:784Y�kR\i1Nc4 �'NHU�L6N)r�W$P�h'VXN'h¥S:WsNFO S'VXN'R6Uqd,W�OHUqL6NEOQP�RTS'U|VXW$R�1&b��kR\iK�eN'U�3 x4 ]:7\x4�kR\i1N�x4 �'N�UqL6N�S:W$h'h8N:d�f6W$R\ikVqR��,r�W$P�hQVXN'h¥S:WsNFOaS'VXN'R6Uqd,W�O�UqL6N¥i�N'hQVq�$�kU|Vq�kN�1 x�lKJML6N'R

3 x4 � .M784�] 7 x4 � ��.M3�4�] �kR\i N x4 ���|. Nc4 Of(g � g b �� 8 Es@���3 x4 ]:7\x4 �kR\i N x4 �kh8N�RTW$Uci�N'hQVq�$�kU|Vq�kN:d,W�O"394�]:7842�kR\i Nc4�l

Page 99: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����9� (H�� � � ��� � � ���M�� � �!�j�� � � �)��+,����'�"+� � �

�ch8WsW�O ���Md'VqR�� VqR6U�NX�kh��kU/VXW$R � � f��kh'Uqd�VqUuO�W$�q�eW$�od�U�L��kU �3 x4 � i# [ 5^ 5 1 x # � �MH_S�. # a # �

i#Y� 1 # � �MH_S6. # � 5 ^ 5 �i# [*5^ 5 1 # � ���.�SJR�L". # �

�a. i# [ 5^ 5 1 # �NSJR*L". # a # � .T7:4�oL6N'h8N"�cNcP�dsN;U�L6NTOp��S'UAU�L��kUqb �'N:S �kP�dsN�W�O�b #E�ef6N'hQVXWjikVXS'VqU � 1 q#�� � 1 �� #��jl � V ��Vq� �kh'� �7 x4 � i# [�5^ 5 1 x # �NS�R�L". # a # �

i#Y� 1 # �NS�R�L". # � 5 ^ 5 �i# [�5^ 5 1 # � . ��H�S6. # a #

� ��. i# [�5^ 5 1 # � �MH�S�. # a # � ��.T3�4.d�)d;O�W$h&N x4 �cN�P9dsN�W$RTS:N��s�9�kVqR�1 ��#�� � 1 q#�� �kR\iY�k�^dsW � � 4 5 � � ^ � 4 5 � ��$i � 4U�W W�jUX�kVqRN x4 � ib$# [ 5^ 5 1 x # ��� ^ �

4�� a # � ib$#Y� 1 # ��� ^ � 4�� � 5 ^ 5 �ib$# [ 5^ 5 1 # � ����X. � ^ �

4�� �2a #�WrIq �X. ib$# [�5^ 5 1 # ��� ^ �

4�� a # ���|. Nc4�kR\iKUqL6N"f\h:WsW�O�Ved¥S:W �f\�eN'U�Njl�L X���K LNK�gX:X���K�H�UJK�O VWK � K�UJR�Ö_K#X���K$)ZH�Q�UJR*KMU S�KMU�R�KMSFK� [Z]�L�SJR*H�L H k 1 x # � R*L

X\K�UJOFSWH k X���K )ZH�QNUJR�K�U ��H K � �MR�K�L X\S H k 1r]_L � ]���SJH 0�R�Ö_K�X���K ��H�L�Ö�K�U 0�K�L��MK H k X���K�1exuS)ZH�Q�UJR*KMU S�KMU�R�KMS�K� [Z]�L�SJR*H�L ��MH�L�Ö_KMU 0_KML���KTX��NKMH�U�KMO k H�U�1 x �ng617 @(8\z @�B G�{MI � Psf9f6WsdsN;UqL��kU\1 # �cVed �=b$# �"f6N'hQVXWjikVXS:boS:W$R6U/VqR6PuW$P9d:b��kR\i f\VXN:S:N'�EVedsNd � WsW$U�L�OQP�RTS'U|VXW$R�b��kR\i,UqL��kU&1ex # ��Ved�f\VXN:S:N'�EVedsN"d � WsW$UqL�l JML6N'R UqL6N r�W$P�hQVXN'h dsN'hQVXN:dN�npf��kR�d'VXW$R W�O)1ex�Ved W�jUX�kVqRTN i � � U�L6N,U�N'h����EVedsN�i�N'hQVq�$�kU/VXW$R W�O UqL6N¥r�W$P�hQVXN'h dsN'hQVXN:dN�npf��kR�d'VXW$R O�W$h�1&b�V/l/Njl b�V O

1 # � � ��^ �

Nc4���� 4�� � ib 3 c q �� ¡ � 3�4��MH_S6. # q�784)S�R�L". #�� ]U�L6N'R 1 x # � � ��

^ ��X. Nc4�� � 4�� � �� ¡ � .T7:4��MH�Su. # �`.T3�4)SJR*L". # � Uf(g � g f �

Page 100: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!r9r ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�O�W$hY�k�q� # �kU,�oL�VXS:Lg1ex # � N�n�Ved'U�djl �U,UqL6N N�n�S:N�f\U|VXW$R\�k��f6W$VqR6UqdY�oL6N'h8N�1ex # ��L��$d QP �f6d:b�U�L6NHdsN'hQVXN:d" Of(g � ghf���S:W$R6�kN'h|��N:d)U�W

ib�� 1 x # ���7q 1 x # q � � d Of(g � g=< �� h8WsW�O � �YN��$RTW$� U�L��kU 1 # �8be1ex # �g�kR\i`1 x x # �`�kh8N S:W$R6U|VqR6P6W$P�dD�kR\i f\VXN:S:N'�EVedsNd � WsW$UqL�l �Md'VqR�� UqL6N:W$h8N �����,�cN�L��k�kN)UqL��kU&1 x # �)Ved�UqL6Nd'P � W�O�VqU�d�r�W$P�hQVXN'h"dsN'h'VXN:d�kU;N'�kN'h � f6W$VqR6U�� �EVqUqL!�'f9f\h8W:f\hQV/�kU�N � WjikV �;S �kU/VXW$R�dH�kU UqL6N QP �f6d�0kl�� � U�L6N:W$h8N ����UqL6N,S:WsNFO S'VXN'R6U�d,W�O � � 4�� ] �MH�S6. # �kR\iTS�R�L". # VqR2UqL�VedHdsN'h'VXN:d��kh:N �X. Nc4 b .M7842�kR\i¥3�4�b�kR\iK�cN���N'U�UqL6N¥i�N:d'Vqh:N i�h:N:d'P�� UXl

-^H VYV�K �*R�L ��X���K )ZH�Q�U�R�KMU ��H K � �MR�K�L X\S H k 1:]_L � X��Z]1XIH k R*XJS [�UJR*O R�X\R�Ö_K k Q�L���X\R*H�L�S g�-^H�X\KWX��Z]�XD]i[eKMU�R�H � R � k Q�L���X\R�H_L 1 # � �Z]_SD]^[�K�UJR�H � R��WR�L XJKj0�UJ]��� # �IR k ]�L � H�L����R k X��NK���H�L�S X]_L Xc3 c R�L:X��NK )ZH�QNUJR�K�U)SJK�UJR�K�SDK� [Z]_L�S�R�H�L k H�U�1 # �=R�S)R � KML X\R�� ]���� � r�fR g K*g �R k ]_L � H�L � �AR k 1� S�]7Ö�K�U\]k0_KiÖ�]_L�R*S���K�Sj¦

ib 3 c � ib$# [*5^ 5 1 # ��a # � r(d>?A@�BDCE@�F"{MI �2N��$RTW$� UqL��kU�1 # ��� i Ved"f6N'hQVXWjikVXS �jP�U # ����� 1 # ��a # Ved RTW$Uf6N'hQVXWjikVXSjl � W$�cN'�kN'h8b N�n�S:N�f\U)U�L6N�S:W$R�d'UX�kR6UU�N'h � 3 c bHUqL6N�VqR6U�NX�kh��k� W�O N'�kN'h � U�N'h �VqR*�!r�W$P�hQVXN'h,dsN'h'VXN:d N�npf��kR�d'VXW$RDVed�f6N'hQVXWjikVXSjlYrMh8W � UqL�VedK�cN�dsN:NKU�L��kU)� f6N'hQVXWjikVXSOQP�RTS'U|VXW$R¥L��$dc��f6N'hQVXWjikVXS�VqR6U�NX�kh��k�jf\h:N:S'VedsN'� � �oL6N'R�UqL6N"S:W$R�d'U �kR6U\U�N'h�� VqR�VqUqdEr�W$P�hQVXN'hdsN'hQVXN:d��$�kR6Ved:L6N:djl �YN�UqL6N'h:N�O�W$h8N¥�khQhQVq�kN �kU�U�L6N�O�W$�q�eW$�EVqR��Kh8N:d'P�� U l617 @(8uz$@�B G��&I � Psf9f6WsdsN�1 # �,Ved$b$# � f6N'hQVXWjikVXS��kR\i,f\VXN:S:N'�EVedsN�S:W$R6U|VqR6P6W$P9d:b �EVqU�Lr�W$P�hQVXN'h¥S:WsNFO S'VXN'R6U�d 394�]:784��kR\i Nc49bc�kR\i �eN'U�� # ��� � �c 1 !!�2a&!ol KqORN c � ¡� 3 c �r�b UqL6N'R � � U�N'h����EVedsN VqR6U�NX�kh��kU/VXW$RgW�O¥UqL6N�r�W$P�hQVXN'h N�npf��kR�d'VXW$R,O�W$h1 �cN�L��k�kN¥UqL��kUO�W$h��k�q� # # � � N c � �Rq ��

^ � � 4��� cNc4�|. ��� 4�� � ib�� c q �� ¡

� 394. SJR�L". # � 784. ��H�S6. # Of(g � g^¨ ��oL6N'h8N�UqL6N�S:W$R�d'U �kR6U�U�N'h �

N c � ��� ib � c � ib # [ 5^ 5 � # ��a #Ved�UqL6N�� N �kR2�$�k� P6N�W�O� W$R�� � #E] #M� l

Page 101: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����9� (H�� � � ��� � � ���M�� � �!�j�� � � �)��+,����'�"+� i r(i� �3c c���� � VqRTS:N 1 # �YVed f\VXN:S:N'�EVedsN�S:W$R6U/VqR6PuW$P9d:b�VqU;O�W$�q�eW$�od2UqL��kU� � � 1 VedS:W$R6U|VqR6P6W$P9djl N c � ¡� 3 c �Wr �kVq�kN:dHU�L��kU� Ved=b$# �"f6N'h'VXWjikVXSd'VqRTS:N � � �eN � ��� �

# qHb$#��� # � � [ �A� � 5�

1 1!���a ! � [*5^ 5 1 !!�2a&! � b #,N c �"r(d� N'RTS:N � � UqL6N�S:W$R6�kN'hX��N'RTS:N�UqL6N:W$h8N � ���� # ��Ved�U�L6N�d'P � W�O�VqUqd�r�W$P�h'VXN'h"dsN'hQVXN:d)�kUN'�kN'h � # lR� P�U�UqL6N:W$h:N � ����'f9f\� VXN iKU�W ,b � VXN'� i$d

� 4 � � 784. ] ��4 � 3�4. �kR\i �Nc4 ¦ � Nc4 � � Nc4�|. �. !�Wr�� Uf(g � g � �

�kR\iKUqL6N"f\h:WsW�O�Ved¥S:W �f\�eN'U�Njl� 8 Es@�� k N c !� r�)X���K#] �eH.Ö�K#]_U 0_Q�O K�L X � ]_LI�eK']_[�[��*R�K � XJHEX���K k Q�L ��X\R*H�L

� # � � N c # �ZSJR*L��MK�X��NKML k H�U X���K k Q�L ��X\R*H�L� # �;¦ � [ �

c� 1 !!� � N c a&!"� # � � N c # ]

X���K � KMU�R��]�XJR��K � x # �"� �� # � � N c �Z]�S�� R*L R*XJS ) H_Q�UJR*KMU:SJK�UJR�K�S K��N[�]_L�SJR*H�L � X���K�MH�LNS�X]�LfX�X\K�UJO N c � � �Wr(gE~��NKML

� # � � N c � �7q ��^ � � 4��� c

Nc4�|. ��� 4�� � ib � c q �� ¡

� 3�4. SJR*L". # � 784. �MH_S\. # V ��KMU�K

N c � � � ib � c � ib$# [ 5^ 5 � # �2a # d>?A@�BDCE@�F �&I�1 # �;Ved�b$# � f6N'hQVXWjikVXS;�kR\i;f\VXN:S:N'�EVedsN S:W$R6U/VqR6PuW$P9djl��;Vq�kN;UqL6Ncr�W$P�hQVXN'hdsN'hQVXN:d,N�npf��kR�d'VXW$R¥O�W$h� # �1 # � � � i r�_ # _�#

�Si � #D_ # _ r�]� �eN �kh'� � # � � Z # Z�O�W$h Z # Z Q #�l � VqRTS:N;O Ved Wji9iY�cN�L��k�kN�3�4 � r6l � W$R�dsN'��jPuN'R6U/� � N c � ¡� 3 c �"r6l �YN¥�k�^dsW�L��k�kN

1 Or � � ib�� 1 Or ���7q�1 Or q � � � ib�� �Hi�q i � �Wr�]

Page 102: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!r b ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�1 # �

##��#v"w�x y&z @�{MI �&};~���K/SJRe0_LgQNO k Q�L���X\R�H_LY1 # �&g

# � �tZ # Z

#��# #

#

b$#� b$#v"w�x\y�z @�{MI*,M}"~���K h[eKMU�R�H � R � ��[�UJR*O R�X\Rw�K k QNL���XJR�H�L � # �&g

�YN�S:W �f\P�U�N�784�]6. i��sV�.'b784 � i# [ 5^ 5 1 # �NS�R�L;. # a # �

b# [ 5c 1 # �NSJR*L;. # a # d� P�U�d'VqRTS:N�1 # � �miO�W$hIr _ # _ #a�kR\i �cN���N'U

784 � b# [ 5c SJR*L�. # a # � � b#2� i. �MH�S6. # � 5 c � � b.\# � ��$i � 4 � i �kR\i 784 � � �� ��  ^6¡|¢ 5 .��Wb�§ � ir .��Wb�§JML�P9d��cNHL��k�kN

1 # � � �� 4 � ¡ 784)S�R�L". # �<# �� 4 � ¡

ib$."� i SJR�L b ."� i � # d

Page 103: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����s� ��� �� ���� ����� ������ � +[���� ��+ ��� � ��� � � #E] #T� i r9f� VqRTS:N � # �Ved�S:W$R6U|VqR6P6W$P�d�cNRTW$� L��k�kN�UqL��kUEU�L6N�r�W$P�hQVXN'h dsN'hQVXN:d�O�W$h # � �tZ # Z bZ # Z Q #ob�Ved

� # � � [ �

c 1 1!���a !"� <# [�

c �� 4 � ¡i

b ."� i � SJR�L b ."� i � !�a&!� N c � <# �� 4 � ¡

�MH�S b . � i � # b ."�Hi � �

Uf(g � g � ��oL6N'h8N

N c � ib$# [�5^ 5 � # �2a # �ib # [�5^ 5 Z # Z a # �

i# [�5c # a # � i#2� # �b�� 5 c � # b d� W$U�N�UqL��kUcUqL�Ved N c Ved�UqL6N��eW$�cN'h��'W$P�R\i�W�OHUqL6N�VqR6U�NX�kh �k�AVqR Ofsg � g � � b�V/l/Njl b

N c � <# �� 4 � ¡i

Ob ."� i � � � # b ]�oL�VXS:L9b �$d¥��� � �ef\h8WjikPuS'Uqbo�kVq�kN:d�UqL6NHd'P � W�OHUqL6NHdsN'hQVXN:d ��� 4 � ¡

i b ."�Hi � � � #A�� d

����� �87 /E5�25"B5 �$"�5�25"�� 7�+ 3)<-" 2�+ 3$"�5=@ �1%������ ��)ZH�Q�UJR*KMU S�KMUJR*KMS�0�R�Ö_K K� [Z]_L�S�R�H�LNS^H k [�K�UJR*H � R�� k Q�L���X\R*H�L�S?H�L'X���K V ��H,�*K/U�K ]�� �*R�L�K�R*LX\K�UJOFSiH k XJUJR¤0�H�L�H�OFK�XJUJR�� k Q�L���XJR�H�LNS�g~��NK�� � ]_LE]���SJH ��KTQ�SJK � X\HK0�R�Ö_K K� [Z]�L�SJR*H�L�SH kWk QNL���XJR�H�L�S � K �ZL�K � H�L ]���L�R*XJKFR*L X\KMU(Ö�]��)R�LEX\K�UJOFS H k XJUJR¤0�H�L�H�OFK�XJUJR�� k Q�L���X\R�H_L�SH�L'X��Z]�X?R*L X\KMU(Ö�]�� g ( K S�X\]_U�X?V?R*X��8X���K SJR*O [ ��KMS X � ]�SJKk¦ Q�[�[eH�S�K/X��Z]�X�1 # �WR�S � K��ZL�K � H�LD� r�] #M���Z]_S?R�L8X���K�) Re0�QNUJK��eK��*HdV1g

( K V ]�LfX�X\HFK�gXJKML � 1 # �WXJHFX���K/V �NH,��K UJKM]�� ��R*L�K&���#UJK5�fQ�R*UJR*L�0:R*X X\H��eK�b$# �[�K�UJR*H � R��*g ( K �Z]7Ö�K X���K ���d�� ��� � �\��J�Pcd� ¦ 1 ��� � 4� # ����H k 1EXJHY� � #E] #M� R*S � K��ZLNK � ���1 ��� � 4 � # � � 1 # �'] # � � r�] #T�

]_L � X���K c���� ��� � ��NJ�hc � ¦ 1������ # ���H k 1rX\H!� � #E] #T�&¦ � K��ZLNK � ���1������ �� # ��� �1 # �'] # � Or�] #T�X] 1������ Or�� �"rsd

Page 104: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!rk< ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�1 # �

#

v"w�x\y�z @2{AI �M} ! k Q�L���X\R*H�L!1 # �'] # �`� r�]�#M� g)ZUJH�O ��KMOFO ] bsg b:R�X k H,� �*H V?SWX��Z]1X k H_U K>Ö�K�LrK�� XJKML�S�R�H�LNS�V�K���].Ö_K

394 � i# [�5^ 5 1 ��� � 4� # � ��H�S�. # a # �b# [�5c 1 # � �MH�S6. # a #

]_L � 784 � i# [ 5^ 5 1 ��� � 4 # �NSJR*L". # a # �"r(d~���K�SJK�0�R�Ö_K X���K k H,� �*H V?R�L�0 � cg���J�h�/�ibMcd������^3� �J�P� H k 1���R k 1 R�S?]_L#K>Ö_KML R*L X\Kj0_U\] ���*Kk Q�L���X\R*H�L'H�L � r�]�#M� g1 ��� � 4 # � � ib 3 c q �� 4 � ¡ 394��MH�S6. # ] V ��KMU�K 3�4 � b# [*5c 1 # � �MH�S6. # a # d Of(g � g i ��L'X���K S\]�O KBVW]��8VWK �Z]7Ö�K k H�U X���K H ��� K�gXJKML�S�R�H�L k Q�L���X\R�H_L�S

3�4 � i# [*5^ 5 1������ # � ��H�S6. # a # �"r]_L � 784 � i# [*5^ 5 1�� � � # �NSJR*L". # a # �

b# [�5c 1 # �NS�R�L". # a #~���K�SJK 0�R�Ö_K X��NK k H,� �*HdV?R*L�0 � cg���J�h�/� ������:3� ���h� H k 1 �)R k 1 R�S ]_L H � � R*L X\Kj0_U\] ���*Kk Q�L���X\R*H�L'H�L � r�]�#M� g

1������ # � � �� 4 � ¡ 784)S�R�L . # ] V �NKMUJK 784 � b# [ 5c 1 # �NS�R�L". # a # d Of(g � g b �

Page 105: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ��� �� ���� ����� ������ � + b���% ��+ ��� � ����� i r9¨1 ��� � 4� # �

#� #

v"w/x\y&z$@2{MI � }"~���K/K>Ö_KML K�gX\K�L�SJR*H�L H k 1 # �;¦u1 ��� � 4 # �Q] # �*� � #E] #M�Og����� �87 /E5�25"B5 �$"�5�25"�� 7�+ ��� 2�+ 34"�5=@�� % �

Q�[�[eH�S�K/X��Z]�X�1 `_!� R*S=b�� *�[eKMU�R�H � R �>g �r] �fR*L�0FX���K+���Z]_L�0_K/H k Ö�]_U�R ] ���*KMSp¦_ � � ## ]

VWK�0�K�X 1 5_!��� 1 � � ## �� � # �&d� �bÖgR*H�Q�S ������ # ��R�SYb$# ��[eKMUJR*H � R � � SJR*L��MK

�� # qHb$#�� � 1 � � # q b$#��# � 1 � � ## q b�� � 1 � � ## � �� # �&d k �� # ��R�S?[�R*K���K�V?R�S�K SJOFH H_X��8VWK+� ]�L K��N[�]_L � R�X R�LLb$#�*�[eKMUJR*H � R � )ZH�QNUJR�K�U SJK�UJR�K�Sj¦

�� # � � ��4 � ^ ��:4���� 4�� ] V ��K�UJK Nc4 � ib$# [ 5^ 5 �� # ��� ^ �

4�� a # d-^H V;X���K SJQ �NS�X\R�X\QNXJR�H�L

# � # _� ] a # � #� a9_&] ]�L � # � � # � _"� � �Id

�gR�K�� � S1 5_!� � ��4 � ^ �

�:4�� �������� ]

Page 106: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!r � ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�1������ # �

#� #

v"w�x\y�z @�{MI��M};~���K/H � � K��gX\KMLNSJR�H_LrH k 1 # �'¦�1������ # �Q] # � � ��#�] #M�OgV ��K�UJK

Nc4 � ib # [��^ � 1 5_!��� ^ � � �� �#� a9_"� ib�� [��^ � 1 5_!��� ^ � � �� � a9_ed~��fQ�S?VWK H �NX\]_R�L8V?R�X�� # � 5 �

1 5_!� � ib 3 c q �� 4 � ¡� 3�4��MH�S .\#� _�q�784DSJR*L . #� _ Of(g � g i �

V ��K�UJK

3�4 � i�[ �^ � 1 5_!� ��H�S

. #� _la9_ ]_L � 784 � i

�[ �^ � 1 `_!�NSJR�L

.\#� _la _ed Of(g � g b �

~��fQ�S=R�X k H,����H V?S X��Z]�XIX���K � cf���J�P� �)bMcd���������� ` ������hcd� H k ]_L K>Ö_KML:[�R*K��MK�V?R�S�KWSJOFHgH_X��k Q�L���X\R*H�L!1EH_L#X���K R�L X\K�U§Ö�]���� r�]���� R*S

1 `_!� � ib 3 c q �� 4 � ¡ 3�4���H�S. #� _ Of(g � ghf��

V ��K�UJK 3�4 � b�[��c 1 5_!� ��H�S .\#� _ a9_ ]_L � 7:4 �Wr(d Of(g � g=< �

Page 107: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ��� �� ���� ����� ������ � + b���% ��+ ��� � ����� i r �! LZ]���H�0�H_Q�S ��� ��X��NK � cg���J�h�/�)J�*���?��� ` ������hcd� H k ]_L H ��� [�R�K��MK�V?R�SJK?S�O HgH_X�� k Q�L ��X\R*H�L1 H�L#X���K R�L X\K�U§Ö�]���� r�]���� R*S

1 `_!� � _ �ib 3 c q �� 4 � ¡ 3�4)S�R�L

. #� _&] Uf(g � g ¨ �

V ��KMU�K 394 � r ]_L � 7:4 � b�[ �c 1 5_!�NSJR*L . #� _la9_ed Uf(g � g � �

>?A@�BDCE@�F ,MI r�VqR\iKUqL6N � cf���J�P� �^b�cdJ�*��� ��� ` ������hcd� W�O�1 5_!��� _ W$R�� r�]���� l

_� b��

v"w/x\y&z$@�{AI*mM};~���K k Q�L���X\R*H�L!1 5_!��� _&]I_ � � r�]����Og�2NKN�npf��kR\i�U�L6N OQP�RTS'U/VXW$RY1 5_!� � _ U�W��kR`N'�kN'R����o�ef6N'hQVXWjikVXS�OQP�RTS'U|VXW$R�b�1 ��� � 4 �Z _EZ=buO�W$h _ �*� � �"]���� �

_� � �

�lb�� b��v"w�x\y�z @2{AI/G(9A}"~���KSb�� [eKMU�R�H � R �BK`�K�L k Q�L���X\R*H�L!1 ��� � 4� 5_!��� Z _EZ ]I_ �`� � �"]���� g� VqRTS:N�UqL6N N�npf��kR\i�N iOQP�RTS'U/VXW$RDVed�N'�kN'R�b"�cN L��k�kN,UqL��kU�784�� r6l �d"O�W$h)3�4��cNL��k�kN 394 � b

�[��c 1 5_!� ��H�S . # _� a9_&]

Page 108: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!r � ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+��kR\iK�EVqUqL 1 5_!� � _ W$R � r�] �E��b��cN���N'U

3 c � b�[ �c _ �MH�Sor�a9_"� b

�[ �c _la9_ � b

� � _u�b¥� �c � �"] Of(g � g � ��kR\i

3�4 � b�[ �c 1 5_!� ��H�S . #� _la9_"� b

�`� _ �. # S�R�L . #� _ � �c� b�[��c

�. # SJR*L . # _� a9_"� b�� �.\# � � �MH�S . #� _ � �c

� b��. � # � � ��$i � 4 � i Of(g � g � �

JML�P9d��cNHL��k�kN 394 � � ^�� �� ��  ^6¡|¢ £ 5 £ . � b�§ � ir . � b�§�d Of(g � g������W$U�N UqL��kU"d'VqRTS:N 1 ��� � 4 � Z _EZ�Ved�S:W$R6U/VqR6PuW$P9dK�kR\i f\VXN:S:N'�EVedsN ikV �)N'h8N'R6U|V/���j�eNKW$R "bVqUuO�W$�q�eW$�od�U�L��kU

1 5_!��� 1 ��� � 4 5_!��� ib 3 c q �� 4 � ¡ 3�4���H�S. # _� _ Of(g � g i!r��

�kR\iKUqL�P�d1 5_!� �tZ _EZ � � b � < �# � �� 4 � ¡

i b ."� i � � �MH_S Ob ."� i ��#� _&] _���Id Of(g � g i9i �

K'R�f��kh'U/VXS'P�� �kh1 `_!� � _ � � b � < �# � �� 4 � ¡

i Ob ."� i � � �MH�S Ob . � i ��#� _&] _ �`� r�] �E�Od Of(g � g i b �

Page 109: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ��� �� ���� ����� ������ � + b���% ��+ ��� � ����� i r �>?A@�BDCE@�F �MIcmonpf��kR\i,U�L6N�OQP�RTS'U/VXW$R 1 5_!� � _ U�W � �����ef6N'hQVXWjikVXS�Wji9icOQP�RTS'U|VXW$R2W$R� � �"]�����l

_� b��

v"w�x\y�z @�{MI/GuGu}c~���K k QNL���XJR�H�L!1 `_!� � _&]=_ � � r�]���� g�2N N�npf��kR\iKUqL6N�OQP�RTS'U|VXW$R�1 `_!���W_ U�W��kRDWji9i �����ef6N'h'VXWjikVXS�OQP�RTS'U/VXW$RYb�1������ �W_MbO�W$h _ � � � �"]���� �

_� � �

�lb�� b��

v"w�x y&z @�{MI/G �A}"~��NK b � [�K�UJR*H � R��BH ��� k Q�L���XJR�H�L!1������ `_!��� _&]=_�� � � �"]����Og� VqRTS:N�UqL6N�N�npf��kR\i�OQP�RTS'U/VXW$R2Ved�Wji9i$b��cNHL��k�kN 394 � r�bc�kR\i

7:4 � b�[��c 1 5_!�NSJR*L . # _� a9_&]

Page 110: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i9i!r ��������� ����������� ����� ����� �����!���" b$#&% ���� �'�"()�'�*�)��+,����'�"+�K'R�dsN'hQU/VqR��,1 `_!� � _ W$R � r�]����"�kR\iKP9d'VqR���f��khQU/V/�k�AVqR6U�NX�kh��kU/VXW$R2VqU O�W$�q�eW$�od)U�L��kU784 � b

�[ �c _^SJR�L .\#� _la _"� b

�g� _ � �. # ��H�S . #� _ � �c � b�[ �c� �.\# �MH�S .\#� _la _

� b� �� �.\# �MH�S /. # �7q b

�� �. # � ��� �X. . #� _ � �c � b��.\# ��$i � 4�� ¡ d� VqRTS:N�1 Ved�S:W$R6U|VqR6P6W$P�d�W$R Or�]�� ���cN���N'U

1 5_!��� _"� �� 4 � ¡ 784)SJR*L. #� _"� b��# �� 4 � ¡

�Si � 4�� ¡. S�R�L . #� _ed Of(g � g i!f��JML�P9dEO�W$h _ � Ur�]�� ���cN)L��k�kNHP�d'VqR�� Uf(g � g�i f�� �kR\i� Of(g � g i9i �HU�L��kU

_ � b��# �� 4 � ¡ �Si � 4�� ¡. SJR*L . #� _"� � b � < �# � �� 4 � ¡

i b$. �Hi � � �MH_S b ."� i ��#� _ed

JML�Ved,N �jP��k� VqU � Ved��$�k� V/i�O�W$h _ � r��$d��cN'�q� l�JML�P9d��cN)L��k�kNb��# �� 4 � ¡

�Si � 4�� ¡. SJR*LIr � r���� � b � < �# � �� 4 � ¡i

Ob ."� i � � �MH�Sor(d�oL�VXS:LK�kVq�kN:d�� 4 � ¡

i Ob ."� i � � � #M�� ]�oL�VXS:L �cN�h8N:S:W �kR6V�.$N �k�^dsW;OQh:W ��f\h8N'�sVXW$P9d,S:W �f\P�U �kU/VXW$R�djl

Page 111: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ����

� � � �� �� ������� � ����� ���� ����

� �"!$#&%(')#+*,#.-0/21435�$#768-2*9% �:/;% 1<*,=2'>6?�@14*BA@�DCE' #F3G!$HI*4'KJ)=$/@%(LM!2'�35�$#+1N�:H O@%P/2Q>R:% ST' #F' /U*9%V-$H'KLM!)-U*9%(�:/21W�X3TR:% ST' #F' /U*Y*[Z$A@'\- #[%(1,%P/2Q]%P/^1NJ)% ' /2J_'^-$/2R`' /2Qa%P/2'K')#&%b/2QdcEe\=2')#.'\- #F'8-8O)- #[%('f*&Z�X3hg@�X*,=i-$/)-0H ZU*9%(JD-$Hj-$/2R>/$!$6?' #[%(JK-0H�-$A$A #F�$-)J)=2'K1<#F' H Zi�:/�� �"!$#&%(')#�*,#k-$/21N35�$#76?1_cl�d�$em � -)14*n� �"!$#&%(')#oep#.-0/21435�$#76^q<% 1irs'XctQdcurv*,=2'wg)-2J x)g@�:/2'i�X3y/$!$6?' #[%(JD-$HY-$A$A)#.�$-2J =2'_1z35�$#A #F�:g$H ')681y%b/{1,%(Q:/)-$H|-$/)-0H Z21}% 1Kc�~�'_1}% R$'K1�-$HbHd*,=2']*,#k-2R:% *9% �:/)-0H|-$A$A$H�% JD-U*9%(�:/21^*,=2'�6?�"R$')#7/*4'KJ)=$/@%(LM!2'^�X3�CY-2O2')H 'f*Y*,#k-$/21N35�$#76%(1�g)-)1N'KR]�"/ m -2J_*,!)-$HbH Zy%(1�-0/o1}A@'_J)%(-0H O2' #.1,%(�"/��X3,qE*,=2'� �"!$#&%(')#�*,#.-0/21435�$#76`c

c�c�c�c�c

�-�U� ),+ 3)5)7��=/E>L3 2M7�+

( KFL�H V X\QNUJL XJH#X���KFS�X\Q � � H k )ZH�Q�U�R�K�U XJU\]_LNS k H�U�O V ��R ��� R�S/]_L R*L X\Kj0_U\]��=XJU\]_L�S *k H�UJO �=]�S ]_[�� ]��MK XJU\]_LNS k H�U�O � � K��ZL�K � H�L X��NK V ��H,�*K UJKM]�� �*R�L�K ��]_L � k H&�MQ�S�K �H�LE]_L�]�� �g&MR*L�0 k Q�L���XJR�H�LNSB]_L � � KMU�R�ÖgR�L�0 UJK���K>Ö�]_L X�X\K�����L�R �fQ�K�SBX\HAS�H,��Ö_K � R � K�UJK�LfXJR ]��K5�fQZ]�XJR�H�LNS�g)( K S X]_U X V?R*X�� ]_L#]_LZ]���H�0 � V?R*X�� )ZH�QNUJR�K�U SJK�UJR*KMS�ÖgR�&k¦

Q�[�[eH�SJK X��Z]�X�1 R*SB] k Q�L���X\R*H�LEH�L�=g )ZH�UB]_L�� ��� r V�K � ]_L K��N[�]_L � 1 H�LX���K R*LfXJKMU(Ö_]���� � �"]���� R�L#] ) H_Q�UJR*KMU S�KMUJR*KMS��

1 5_!� � ib�� ��^ �

�Q4 � � ��� ���� � ] V �NKMUJK Nc4 � � � [��^ � 1 5� ��� ^ � ������ a0�:d �<.g i9g�i �

K�X #� ���]� ]_L �$� K��ZL�K �j4,¦ � #M.� �a.��y�.d

i9i9i

Page 112: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i9i b ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�~���K�L#X���K k H�UJO Q � ]_S R*L /<.g i9g i � ��K��MH�OFK

1 5_!��� ib$# ��^ �

�:4 � � ����� � � �y��] V ��KMU�K Nc4 � � � [��^ �1 5� ��� ^ ��� � � a$�:d /<.g i9g b �

Q�[N[�H�S�KiX���]�X 1 `_!�£Ö�]_L�R*S���K�S U\]�[�R � ���:]_S�_ � � � � X���KML k H_U�S�Q � �MR�K�L X/� � � ]�U 0�K �V�K�0_K�X

Nc4 � � � [��^ �1 5� ��� ^ ��� � � a$��� [ �^ �

1 5� ��� ^ ��� � � a$�:d /<.g i9ghf���L X\U�H � Q �MR�L�0:X���K L�H_X\]�X\R*H�L

�1 k�j4 �;¦ � [ �^ �1 5� ��� ^ ��� � � a$�\] /<.g i9g=< �

V�K ��].Ö_K 1 5_!��� ib$# ��^ �

�1 5�p4 ��� ��� � � �]��] V ��KMU�K Z _EZ�_ � d /<.g i9g^¨ � K�X � � � �)S�H X��Z]�X]�]� � rE]_L � X���K8SJQNO R�L /<.g i9g^¨ �TS��NH�Q�� � XJQ�UJL R*L X\H ]_LR�L XJKj0�UJ]����gX��fQ�Sj¦

1 `_!� � ib$# [ �^ ��1 5����� ��� � a@��] V ��K�UJK �1 5��� � [ �^ �

1 5_!��� ^ ��� � a9_&] /<.g i9g � ��1 R*S � ]�����K � X��NK � cg�����h� �/������� ��c �Jj H k 1 ]�L � X���K k H�U�O Q���] �<.g i9g � �?R*S?X���K � cg���J�h�/���� � � �J��hcd� �h$��Mc �3�j gl @ � C�wFEsw 8 C G �MI KqO�1 Ved2�kRaVqR6U�NX�kh����j�eN�OQP�RTS'U|VXW$R�W$R b!V/l/Njl b 1 � � ¡ �:b�VqUqd� cg�����h� �B�1��1�� ��c ��j Ved�U�L6N�OQP�RTS'U|VXW$R �1aW$R "b)i�N���RTN i�� �

�1 5���c¦ � [ �^ �1 5_!��� ^ ��� � a9_2¦ ��� � 1 5_!� � 5���c¦ ��� � 1 `_!� � d /<.g i9g � �

+�@�BDB� �AI JML6N)r�W$P�hQVXN'hHU/h��kR�d�O�W$h � �1 5����Ved � Vu0 �'W$P�R\i�N i$b �kR\i � VqVu0 S:W$R6U|VqR6P6W$P�djl� h8WsW�Opl hR � R*L��MK �1 k� �^R*S � K �ZL�K � k H�U�1 � � ¡ ����a]_L � Z � ^ ��� � Z � i � X���K R�L XJKj0�UJ]���MH_LbÖ_KMU�0�KMSi] ��SJH���QNXJK�� � k H�U?]���� � �

Z �1 k� �sZ � [ �^ �1 5_!��� ^ ��� � a9_ Q [ �^ �

1 `_!�2a9_!_ � V �NKMUJK 1 � � ¡ �nd

Page 113: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

���������c�)���'���� H�"���� �������g�"� ��� ��� �� ���� � ��+)�����" i� i*i!f hR�R � K�X�� � � c g)( K VW]_L X?X\H:S��NHdV;X��Z]�X �1 5� � � �1 k� c �&g R�L���KZ 1 5_!������� � Z � Z 1 `_!� Z ��� ]�L � 1 � � ¡ �Q] �2d �9d ] [ �^ �

1 5_!�2a9_Y_ � ]X���K ��c j �*� �N�%�*��� b�cd� �d� ���N��ebM�:�h$��Mc ���j 0_R��K�QNS

��R*O���� �1 k� � � [ �^ �

��R�O���� 1 5_!��� ^ ��� � a9_"� [ �^ �

1 5_!��� ^ ��� � � a9_ � �1 5� c �']]_L � X���K [�U�H H k R*S �MH�OF[���K�X\K>g�-��� ! � �42 > �E5D7 ��"B5 3425"��67:9�3=<-" �87 /E5�25"B5 3=5 � +� 9�7F5DG

H�OFK?H k X��NK �Z]�SJR ��[�U�H�[�K�U�XJR�KMSDH k X���K )ZH�Q�UJR*KMU=XJU\]_L�S k H�UJO ]�UJK�0�R�Ö_KML R*LFX���K k H,� �*HdV *R�L�0 X���KMH�U�KMOBg617 @(8\z @�B Gg,AI � P f9f6WsdsN�1 �� ¡ b�UqL6N'R: J,r�W$h��kR � 3�� "b��cNHL��k�kN FAG � � � `_�� 3 � � � � ^ � \ � �1 k� � �kR\i ��� � � ��� \ �Q1 `_!� � � �1 k� � 3 �nd

:�� J K�O � � r�b�UqL6N'R��cN)L��k�kN�UqL6NHdsS �k� VqR�� O�W$h���P�� � �� � 1 �� _!� � k� � � i

� �1 � � � d:Jo J KqO�1�Ved,S:W$R6U/VqR6P6W$P�d¥�kR\i�f\VXN:S:N'�EVedsNd � WsW$U�L!�kR\i¥1ex � � ¡ b�U�L6N'R

ho6G � �2� 1 x `_!��� 5� ��� �&� �1 5� �&d R�U�L6N¥W$U�L6N'h)L��kR\i$b�V O _ 1 `_!��Ved�VqR6U�NX�kh����j�eN:b�U�L6N'R

%o ��� � � _ 1 `_!� � ��� �1 x k� �nd� h:WsW�Opl1: AG J ) U�H�O X���K � K���L�R*XJR�H�LAV�K���].Ö_K

� � `_ � 3 � � � [ �^ �1 5_��`3 ��� ^ ��� � a _ed

Page 114: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i9i�< ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i� Q �NS�X\R�X\QNXJR�L�0�_�� 3 ���A]_L � X��fQ�SYa9_ �Wa$� V�K�0�K�X� � 5_��`3 � � � [ �^ �

1 5� ��� ^ ��� � � � \ ¢ a$� � � ^ ��� \ [ �^ �1 [� ��� ^ ��� � a$� � � ^ ��� \ �1 k� �nd

: � J �^S�R�L�0 X���K � K��ZLNR*X\R*H�L'R*X k H�� ��H V?S X��Z]�X� � ���t\ � 1 `_!� � � [ �^ �

���t\ � 1 `_!��� ^ ��� � a9_"� [ �^ �1 `_!��� ^ � � � ^ \ ¢ � a9_"� �1 5��� 3 �&d

:�� J�~���K�) H_Q�UJR*KMU X\UJ]_L�S k H�UJO k H�UJO Q � ],0�Rw�KMS� � 1 �� _!� � � [ �^ �

1 �� _!��� ^ ��� � a9_ed Q �NS�X\R�X\QNXJR�L�0 �!_ � �8]_L � X��fQ�SYa9_ � � ^6¡ a$� V�K/H �NX]�R�L

� � 1 ��!_!� � � [ �^ �1 5� ��� ^ ���� � i� a$� � i

� �1 � � � d:Jo6G J �^S�R�L�0:[Z]�U�X\R�]�� R*LfXJKj0�UJ]�X\R*H�L8R*X k H,� �*HdV?S X��Z]�X���=1 x 5_!��� 5��� � [ �^ �

1 x `_!��� ^ ��� � a9_ � � 1 5_!��� ^ ��� � � � ^ �� [ �^ �

1 5_!� ����&� ��� ^ ��� � a9_ed�WQNX?S�R�L���K 1 � � ¡ �NX���K+��R*O R�X

��R*O� � �

1 `_!� � 1 Or �7q [ �c 1 x `_!�2a9_K� R*S�X\SW]_L � S�R�L���K�1ex�� � ¡ X���R�S ��R�OFR*X=O Q�S�X ��K^&MK�UJH.g R ��K�V?R*SJK �*R�O � � ^ � 1 `_!� �Wr(g~��fQ�S?VWK �Z]7Ö�K

� 1 5_!��� ^ ��� � � � ^ ��Wr ]�L � �2�=1 x `_!��� 5��� � �[� � �1 5� �&d

:Jo � J R*L��MK ���� ^ ��� � � ����O_!��� ^ ��� � � VWKFO ]�� V?UJR�X\K _ � ^ ��� � � � ��

�� ^ ��� � g¥~���KML VWK

�Z]7Ö�K� � _ 1 5_!� � � [ �^ �

_ 1 5_!��� ^ ��� � a9_"��� aa@� [ �^ �1 `_!��� ^ ��� � a _"�� �1 x k� �nd

Page 115: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ��� �"�"+ � � ���"��'�"+� i*i ¨�-� � � 7�+8@F7�%�/ 342M7�+�

�L X��NR�S [�]_U�X VWK � KMU�R�Ö�KWH�L�KWH k X���K�O H_S�X=[eH VWK�U k Q���� ��)ZH�Q�U�R�K�U XJU\]_L�S k H�UJO k H_UJO Q���]_Sj¦ k��K�)ZH�Q�UJR*KMU XJU\]_L�S k H�UJO H k X���K bMc � � cd t�N�%�hc � ` ��c��e�gbd� H k X�V�H k Q�L ��X\R*H�L�S4gl @ � C�wFE wF8 C G�{MI K�Oc1`�kR\i ���kh8N�OQP�RTS'U/VXW$R�d�W$R b;U�L6N'Vqh bMcd� � cd t���h�hcd� Ved�UqL6N�OQP�RTS'�U|VXW$R�1�� � i�N���RTN i�� �

1�� �� 5_!��� [ �^ �1 `_���� � �� 5� ��a0�\] �C_ ��Id �<.ghf(g�i �

(-R*X��#] ���Z]_L�0_K/H k Ö�]_U�R ] ���*KMS V�K �Z]7Ö�K/K>ÖgR � K�L X/� �[ �^ �

1 5_ ��� � �� [� �.a0� � [ �^ �1 5� � �� 5_ ��� �.a0�:d �<.ghf(gtb �

( K+�M]_L#X���R�L � H k X���K+��H�L�Ö�H,�*QNX\R*H�L'R�L X\Kp0�U\]�� ]_S�] �*R�OFR*XWH k X���K/"�R*KMO ]_L�L8S�Q�O!¦[ �^ �

1 `_ � � � �� 5� ��a0� � ��v � ^ �

1 `_����Mv � �� [�Mv � �]� v!d~���K k Q�L���X\R�H_LY1�v 5_!�;¦ � 1 5_ � �Mv �WR*S ] X\UJ]_L�S ��]�X\R*H�LAH k 1E]���H_L�0 X��NK1_�*�] � R�SL���AX���K]_OFH�Q�L X8�Mv � SJH X���KTSJQ�O H�LrX���K "?Re0 �fX^R�S^] �*R�L�KM]_U �MH�O �NR�LZ]�XJR�H�L#H k XJU\]_LNS � ]1X\KMS�H k1#V?R*X�� �MHgK�� ��R�KML XJS � 5� v �N� �Mv gI( K �M]_LAX��NKMUJK k H�UJK^X���R*L �:H k 1�� �F]_S ] ��H�L X\R*LgQNH�Q�SSJQ�[eKMU�[�H_SJR*XJR�H�L'H k X\UJ]_L�S � ]�XJKMS H k 1 g

~���K/V�KMR¤0 � X\K � ]7Ö�K�U\]k0_KTH k 1 H�L �=36]:78� V?R�X��#UJKMS�[�K���X?X\H ] L�H�L�LNKj0 ]�XJR�Ö_K V�KMR¤0 � Xk Q�L���X\R�H_L � R�S

� �\ 1 [� � �� [� �2a$�� �\ �� [� �2a$�

d Q�[�[eH�S�K�LNHdV X��Z]1X � �\ �� [� �2a$� �mi9g k V�K?L�H V Q�S�K X���K R � KML X\R�X�� /<(g f(g b � ]�L � V?UJR*XJK1�� � `_!�W]_S � �^ � 1 [� � �� 5_ ��� ��a$� �fVWK S�KMK�X��Z]1X�1�� �� `_!��R�S X���KBVWK�Re0 � XJK � ].Ö_KMUJ]k0�KH k 1 V?R�X��#UJK�SJ[eK���X�X\H X���K�VWK�Re0 � X k Q�L���X\R�H_L �� `_�� � �ng�L X���K LNK�gXBX�V�HAX���K�H�UJK�O S�VWK S X]�XJK PV?R�X���H_QNXi[NUJHgH k �?SJH�OFK1��]_SJR�� ]��¤0�K5��UJ]_R �

]_L � ]_LZ]����fX\R �i[�UJH�[eKMU X\R*KMS?H k �MH�L�Ö�H���QNXJR�H�L�S4g617 @(8\z @�B G �AI � W$R6�kW$� P�U/VXW$R*W�'N � d�UqL6N¥dj�� N��k�=��N �jh��kVXS�� �k�od��$d W$h�ikVqR\�kh � ��P�� �U|V^f\� VXS �kU/VXW$R �� Vu0 JML6N"�$d:dsWsS'V/�kU/Vq�kN;� �k� � 1�� /3�� q 7���� � 3 |1�� � � q 7 X1������'] O�W$h�3u]87�S:W$R�d'U �kR6Uqdjl� VqVu0�JML6N�S:W � ��P�U �kU/Vq�kN�� �k� � 1�� � � �� 1od� VqVqVu0�JML6N¥ikVed'U/h'V �jP�U/Vq�kN�� �k� � 1�� ������� X1�� � ����� d

Page 116: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i9i � ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�617 @(8uz$@�B G � I � Psf9f6WsdsN�UqL��kU�1a�kR\i �D�kh8N�ikV �)N'h:N'R6U/V/���j�eN¥�kR\i�U�L6N�S:W$R6�kW$� P�U|VXW$R�d1�� �6b�1 x � � �kR\i,1�� �fx��kh8N��cN'�q� � i�N���RTN i9l JML6N'R 1 � ��Ved¥ikV �)N'h8N'R6U|V/���j�eN��kR\i

|1�� � � x 5_!��� |1 x � � � 5_!��� |1�� � x � 5_!�&d-^H V;V�K�� ]_L�0�R�Ö_KBX���K [�U�H H kIk H�U X���K+�MH�L�Ö_H,��QNXJR�H�L8X���KMH�U�KMO�¦

617 @(8uz$@�B G � : 6 7 @ o 8 C�� 8\F/y,Esw 8 C E 7 @(8uz @�BIJ I � P f9f6WsdsN�UqL��kUo1\] � � � ¡ b�UqL6N'R���=1�� ����� X1�� � � � � �1 ��:d

� h8WsW�Opl � �AX���K � K���L�R*XJR�H�L

X1�� � � � 5��� � [ �^ � |1�� � � `_!��� ^ ��� � a9_ � [ �^ �

[ �^ �1 5_ � � � �� [� ��� ^ ��� � a0�sa9_ed

R*L��MK 1\] � �� ¡ V�K �M]_LrQNSJK )ZQ �NR�L�R� S X���KMH�U�KMO XJH ���Z]_L�0�K/X���K/H�U � K�U^H k R�L XJKj0�UJ]�*X\R*H�L g gQ ��S�XJR*XJQNX\R*L�0F]���S�H _ ��� � � � R*X k H,����H V-X��Z]1X

X1�� � � � 5� � � [ �^ �[ �^ �

1 `_���� � �� 5� ��� ^ ��� � a9_:a0�� [ �^ �

� 5� ��� [ �^ �1 � ��� ^ ��� � � ��� ¢ a ��� a$�

� � [ �^ ��� 5� � ��� ^ ��� � a$� � [ �^ �

1 � ��� ^ ��� � a � � �1 k� � ��! 5� �]_L � X��gQNS�V�K���].Ö_K

|1 � � � � k� � � �1 5��� ��! 5���]_L � X���K [�UJHgH k R�S �MH_O [��*K�XJK*g�-� � �87 G " "� " � � G �=%5"��

>?A@�BDCE@�F � I��,N'U�N'h���VqRTN�U�L6N�r�W$P�hQVXN'h�U|h��kR�d�O�W$h�� O�W$h�UqL6NoOQP�RTS'U/VXW$R 1 5_!��� � ^�� � � l� W$� P�U|VXW$R � �Md'VqR�� UqL6N¥i�N���R6VqU|VXW$R W�O)U�L6NHr�W$P�hQVXN'hHU/h��kR�d�O�W$h �[VqU O�W$�q�eW$�odHUqL��kU� � � ^�� � � � k� � � [ �^ �

� ^�� � � � ^ ��� � a9_ � [ c^ �

� � ¡ ^ ��� ¢ � a9_ q [ �c � ^ � ¡ � ��� ¢ � a9_� � � � ¡ ^ ��� ¢ �i � �&� � c ^ �

q � � ^ � ¡� ��� ¢ �

� ki q �&���s� �c � ii � �[� q ii#q �&� � bi#q>� � d

Page 117: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �M�?�Y�����������)�B�Y������� i*i �

1 `_!� � � ^�� � �_

�1 k� � � �¡ � � £�

v"w/x\y&z @ ��I/G6}�~���K k Q�L ��X\R*H�L 1 �� ��� � ^�� � � ]_L � R*XJS�)ZH�Q�U�R�KMU X\UJ]_L�S k H�UJO �1 k� � � �¡ � � £ g-^H_XJK X��Z]�X�� ]���X���H_Q�0 �rX���K�0�U\]�[ ��S k H�UH1 ]_L � �1 �Z]7Ö_KFS�R�OFR ��]_U [�UJH�� ��K�S�� Q�L ��R ��K1�� �1ER�S � R � K�UJK�LfXJR ] � ��K�]�X?&�KMU�H.g

-^H V QNSJR�L�0FX���K �b��1 ���� � ��c �Jj8�� � PX���KMH_UJKMO i ¨����Q¦� � 1 �� _!� � k� � � i

� �1 � � � �]V?R*X�� � ��3 V�K 0�K�X

� � � ^ \ � � � � � i3 � bi#q� 5� � 3 � � � bk3� � q�3 � ] k H�U 3 �Hr(d

-^K�gX )ZH�Q�U�R�KMU X\UJ]_L�S k H_UJO6R*S=Q�S�K � � KMU�R�ÖgR�L�0�S�K>Ö_KMU\]�� �_K�� k H�UJO Q � ]_S ]_L � � KMS�KMU(Ö�KMS] SJ[eK��MR�]�� ]�X�X\KML XJR�H�LM¦

Page 118: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i9i � ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�+�@�BDB� mAI �&N'U�1 `_!� �

�� ��. `_!�o� � ^ \ � � � b�U�L6N'R �1 5� � � ^ � ���\ £ � � £ l

� h8WsW�Opl ! S�XJU\]_R¤0 � X k H�U V ]_U � � ]����MQ���]�X\R*H�L �gR�K�� � S

� � � � ��. 5_!�o� � ^ \ � � � � � [ �^ ��� ��. 5_!�o� � ^ \ � � � � ^ ��� � a _

� [ c^ ��� � \ ^ ��� ¢ � a9_ q [ �c � ^ � \ � ��� ¢ � a9_

� � � � \ ^ ��� ¢ �3 � �&�¥� c ^ �q � � ^ � \

� ��� ¢ �� /3�q �[� ��� �c

� �Si3 � �&� q i3 q �&� � �lb �&�3 � q>� � d /<.g=<.g i �

>?A@�BDCE@�F �AI r�VqR\iKUqL6NHr�W$P�hQVXN'hHU|h��kR�d�O�W$h�� O�W$h�UqL6NEOQP�RTS'U/VXW$R�1 `_!� � � ^ � £ l� W$� P�U|VXW$R � � � UqL6N�i�N���R6VqU|VXW$R �cN L��k�kN�UqL��kU)U�L6N r�W$P�hQVXN'h U/h �kR�d�O�W$h�� O�W$h¥1 5_!� �� ^ � £ Ved

�1 k� � � [ �^ �� ^ � £ � ^ ��� � a9_ed

K'U��EVq�q� �'NHN �$d'VXN'h V O �cN&��h8d'U�S:W �f\P�U�N� �1 � x 5���jl JML6N'R �1 5�����EVq�q�jO�W$�q�eW$� N �$d'Vq� � P�d'VqR��UqL6N:W$h:N � ��� ��S�0�� �1�� x 5��� � [ �^ �

� �U_!��� ^ � £ � ^ ��� � a9_� � �b � ^ � £ � ^ ��� � � � ^ �

� [ �^ ��b � ^ � £ ����&� ��� ^ ��� � a9_

� � � b [ �^ �� ^ � £ � ^ ��� � a9_ � � � b �1 5���']

/<.g=<.g b �

�oL6N'h8N;�cN;P�dsN i"f��kh'U/V/�k��VqR6U�NX�kh��kU|VXW$R��kR\i�UqL6NAOp��S'UAUqL��kU � �� � ^ � £ � ^ ��� � � � ^ �� r6l � W$R6�dsN �jP6N'R6U|� � �cN)L��k�kN�UqL6N ikV �)N'h8N'R6U/V/�k��N �jP��kU/VXW$R �1 x 5��� q �� �1 5��� �"r�b��oL6N'h8N)dsW$� P�U|VXW$RVed �1 k� � � N � ^ � £� b��EVqUqL N � �1 Or��pl

� W$U�N�UqL��kU O�W$hv� �"r�b�1 Or � � [ �^ �

� ^ � £ a9_ ��� # UqL�P�d N ��� #E]

Page 119: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �M�?�Y�����������)�B�Y������� i*i���kR\i L6N'RTS:N

�1 k� � � � � � ^ � £ � k� � � � # � ^ � £� d �<.g=<.g f �

1 5_!��� � ^ � £_

�1 5��� � � # � ^ � £�� ��

v"w�x y&z @ �&I��M}�1 5_!��� � ^ � £ ]_L � R�X\S )ZH�Q�U�R�KMU�X\U\]�L�S k H�U�O �1 k� � � � # � ^ � £ � � gJML�Ved�� N �kR�d U�L��kUEO�W$h � � �kP�d:d'V/�kR ikVed'U|hQV �jP�U|VXW$R 1�VqUqd r�W$P�hQVXN'h�U/h��kR�d�O�W$h � �1VedYN �jP�Vq�$�k�eN'R6U)U�W ��dsS �k� VqR��DW�O�1 f\h8N:dsN'hQ�sVqR�� �'W$UqL`VqUqd d:L��'f6N �kR\i h8NX�kP�� �kh'VqU � l K'Rf��khQU|VXS'P�� �kh8b��$dH�cN�d:L��k�q�udsN:N �'N'�eW$�obEUqL6Nr�W$P�h'VXN'h�U|h��kR�d�O�W$h�� W�O � ^ � £�� � VedHUqL6Ndj�� NOQP�RTS'U/VXW$R ��P�� U|V^f\� VXN i�� � � b #�l! SI]���H�L�SJK��fQ�KML���K H k X���R*S K��N]_O [ ��K)VWK��Z]7Ö�KDX���K k H,����H V?R�L�0WR�OF[�H�U X]_L X k H�U�O Q���]

k H�U X��NK )ZH�QNUJR�K�U X\UJ]_L�S k H_UJO H k ] 0�KMLNKMU\]����/]_QNSJSJR�]_L k Q�L���X\R�H_LM¦+�@�BgB��G(9AI

� � � ^���� ££ � k� � � � b$#3 � ^ � ££ � d �<.g=<.g <��

Page 120: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i b*r ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�� h8WsW�Opl�~���K/[�UJHgH k R�S S�XJU\]_R¤0 � X k H�U V ]�U � Q�SJR*L�0FX���K S �M]���R*L�0 k H�UJO Q � ] V?R*X�� � ��� \ � �ÖgR�& �

� � � ^ ��� ££ � 5� � � � b3 � # � ^��� £� £� �

� b$#3 � ^ � ££ � d ]�X\K�UTH_L V�K S �Z]�� �DQ�S�K X���K ]���H.Ö�K k H�UJO Q�� ]AV?R*X�� X���KFSJQ ��S X\R�X\QNXJR�L�0�¦$_�� � ]_L �� � `_ ��� �'¦

� � � ^ � � ££ � 5_�� � � � � b$#3 � ^�� ������ ££ � d /<.g=<.g^¨ ��-�32 <-" �'7�/E5�25"�5 ),+A@�"�5 �42M7�+ <-"B7F5 "�G

� �#X���K )ZH�Q�UJR*KMU^R�L�Ö�K�UJSJR*H�LrX���KMH�U�KMO VWK OFK ]�L ]A[�U�H ��K � Q�U�K X���]�X���Q�S X\R��ZKMSBU�K���H�Ö�*KMU�R�L�0K1 k UJH_O �1 g617 @(8uz$@�B Ggm : 617 @*v 8 y&z$w/@�z B�C �\@�z >�wF8 C 6 7 @(8uz @�B J I � P f9f6WsdsN,1�� � ¡ �8b1&b;f\VXN:S:N'�EVedsN S:W$R6U/VqR6P6W$P�d:b �kR\i i�N���RTN i��kUHVqU�d�f6W$VqR6Uqd!W�O�ikVedsS:W$R6U|VqR6P�VqU � dsW��$d U�Wdj�kU/Ved�O � 1 `_!� � ¡� � 1 5_ ���eq 1 `_�q � � O�W$h��k�q�._�� lYJML6N'R

1 `_!��� ��R�O � c ib$# [ �^ �

�1 5��������� � � ^�� £ � ££ a@�(d /<.g^¨sg i �� W$h:N:W$�kN'h8b�d'VqRTS:N �1 � � ¡ ��:b�U�L6N1*Ved,S:W$R6U|VqR6P6W$P9d¥�kR\i

1 5_!��� ib$# [ �^ ��1 k� ������� � a@�.d /<.g^¨sg b �

� h8WsW�Opl�-^H�X\K X��Z]�X X���K b ��� c�� � �_��b �%�hc � � ^ £ � £ � �:R�L �<.g^¨sg�i �/R�S���Q�S�X X\H O ] �_K X���KR�L XJKj0�UJ]���S ��H�L�Ö�KMU�0�K ��X���KMLT[Z]_S�SJR�L�0^X\H?X��NK ��R*O R�X X���K ��QNX\H�� R*S UJKMOFH.Ö�K � g ! S�X\UJ]_Re0 �fX *k H�U V ]_U � � ]����MQ���]�X\R*H�L �gR�K�� � Sib$# [ �^ �

�1 5��������� � � ^ � £ � ££ a@� � ib$# [ �^ �[ �^ �

1 5� ��� ^ ��� � ����� � � ^ � £ � ££ a$�sa@�� ib$# [ �^ �

1 [� � � [ �^ �� ^ � £ � ££ � ^ ��� � � ^ � ¢ a@� � a$�

� ib$# [ �^ �1 [� � � � � ^�� £ � ££ � [� � _!�2a$��d

/<.g^¨sghf��

Page 121: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���� ������ ����� ��+ � �� ���'� +[������" ��a� i!bsi-^H V;V�KT]_[�[���� /<.g=<.g^¨ �W] �eH.Ö�K V?R*X���3 ���$��XJH�0_K�X

� � � ^ � £ � ££ � [� � _!� � � b$#� � ^�� ��� �� ££ � £ d"�K�[�� ]��MR�L�0 R�L /<.g^¨sghf��WR*X k H�� ��H V?SWX��Z]�X

ib$# [ �^ ��1 5��������� � � ^�� £ � ££ a@� � i

� b$# [ �^ �1 [� � i

�� ^ � � � �� £ � £ a$�:d �<.g^¨sg <��

Q ��S X\R�X\QNXJR�L�0 � ^ �� � � � 0�Rw�KMS�� � _ q � b�� � ]_L � a0� � � b��>a � g�~��fQ�Sib$# [ �^ �

�1 k� ������� � � ^�� £ � ££ a@� � i� # [ �^ �

1 `_ q � b�� � ��� ^ � £ a � d �<.g^¨sg ¨ �-^H V S�R�L���K 1 R*SL��H�QNL � K � V�K��Z]7Ö_K

���1 `_ q � b�� � ��� ^ � £ ��� Q�� � ^ � £ ]_L � ���

�1 5� ������� � � ^ � £ � ££ ���Q ���

�1 5� � ��� � � ¡ d~ ]��gR*L�0 ��R*O R�X R*LI�eH_X�� S�R � K�S:H k /<(g ¨sg^¨ � � ��� K���K�S 0�Q�K � H�OFR�L�]�X\K � �MH�L�Ö�K�U 0�K�L��MKX���K�H�UJK�O ��V�K+� ]_L#[Z]_S�S X���K+��R*O R�X\S�R�L�S�R � K�R*LfXJKj0�UJ]���S�X\H�0�K�X

ib$# [ �^ ��1 k� ��� ��� � � �*R�O

� c � ^�� £ � ££ � a$� � i� # [ �^ �

�*R�O � c 1 5_�q � b�� � ��� ^ � £ a � d

�^K�L��MK ���8X���K+�MH_LfXJR�LfQ�R�X��AH k 1 R�X k H,����H V?SWX���]�Xib # [ �^ �

�1 k� ��� ��� � a@� � i� # [ �^ �

1 5_!��� ^ � £ a � � 1 5_!� i� # [ �^ �� ^ � £ a � � 1 `_!�']

]_L � X���K [�U�H H k R*S �MH�OF[���K�X\K>g~���K )ZH�Q�U�R�KMU/R�L�Ö_KMUJS�R�H�L k H�UJO Q � ] � ]_LYS�R�OF[�� �-��K R�L X\K�UJ[�U�K�X\K � ]_S ] R�OF[�UJH�[eKMU

R�L X\Kp0�U\]�� R k 1YR*SBR�L X\Kp0�U\]�����K ]_L � [�R�K��MK�V?R�SJK S�O HgH_X��EH�L�=g �WK���H V � VWK S X]�XJK X���R*S]_S�] X���K�H�UJK�O PV?R*X���H�QNX?[NUJHgH k �'¦617 @(8\z @�B � 9&I K�O�1*Ved�VqR6U�NX�kh����j�eN¥�kR\i�f\VXN:S:N'�EVedsN�d � WsW$U�L�W$R b�UqL6N'R

��R*O��[ ^ �

��� � �1 k� ��a$� � ib � 1 5_ ���eq 1 `_�q � � ] �<.g^¨sg � �O�W$h,N'�kN'h � _ � )l

Page 122: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i b9b ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i��-��� 4 % � +E>�<-"�5 "&% <-"B7F5 "�G

�WK���H V V�K:S���H V X��Z]�X�X���K )ZH�Q�UJR*KMUiXJU\]_LNS k H�U�O [�UJK�SJK�U§Ö�K�STX���K R�L�LNKMU�[�U�H � Q ��X\S Q�[X\HF] k ]���X\H�U H k b$#�g617 @(8uz$@�B �AG6I � Psf9f6WsdsN�U�L��kUo1&b �1Mb � �kR\i �� �kh:NHVqR � ¡ l JML6N'R

b #�� 1\] ��� ��� �1�] ����nd /<.g � g i �� h8WsW�Opl �^S�R�L�0 X���K�) H_Q�UJR*KMU R�L�Ö_KMUJS�R�H�L8X���KMH�U�KMO k H�U �\¦

� `_!� � ib$# [ �^ ���! 5����� ��� � a@��]

]_L � X���K � K��ZLNR*X\R*H�L'H k X���K R�LNL�KMU [�U�H � Q���X��gR�K�� � S

b #�� 1\] ��� �"b$# [ �^ �1 5_!� �� `_!��a9_ � [ �^ �

1 5_!� [ �^ ���! 5� ��� ^ ��� � a$�

� [ �^ ���! k� � � [ �^ �

1 5_!��� ^ ��� � a9_ � a@� � [ �^ ��1 5��� �� k� �ka$� ��� �1�] ����']

V ��K�UJK VWK Q�S�K � X���K k ]���X X��Z]�X�SJR*L��MK 1u] �� � � ¡ �Z]�L � X���K [�UJHgH k R�S ��H�O [ ��K�XJK*g�@�B��z ��Ic~���K � K���L�R*XJR�H�L8H k X��NK+) H_Q�UJR*KMUWXJU\]_L�S k H�UJO � ]_L��eK � K>Ö_K���H_[�K � XJHF]_U ��R *X\UJ]_U � � � * k Q�L���X\R*H�L�S�g k 1\] � ] �1Y]_L � �� ]_U�K:R�L� ¡ � X���K�Lg1u] �\] �1Y]_L � �� ]�UJKF]���S�H8R�L� � g

�WK��M]_Q�S�KTH k H�Q�U?R*LfXJKMU�KMS�X�R*L � � SJ[Z]��MKMS?V�K k H�U�O Q���]�X\KiX���K k H,� �*H V?R�L�0 U�KMS�Q��*Xj¦617 @(8uz$@�B � ��: 6 7 @ � F C o 7 @�z @�F 6 7 @(8uz @�BIJ IJML6N�r�W$P�h'VXN'hEU/h��kR�d�O�W$h��¥b&i�N���RTN iW$hQV �kVqR\�k�q� � W$R � ¡�� � � b;N�n�U�N'R\i$d�P�R6V �jPuN'� � U�W � ���'f`W$R � � dj�kU|Ved�O � VqR��

b$#�� 1u] ��� �� �1&] ���� O�W$h �k�q� 1u] � � � � d! S�] �MH_L�SJK��gQNKML���K H k X���K��� ]_L ����KMU�K�� X��NKMH�U�KMO V�K ��].Ö_K617 @ � �z >j@ � 6F > � 8\z$B�y�F M} )ZH�U�1 � � � � � VWK �Z]7Ö�K X���]�X

b # [ �^ �Z 1 5_!�sZ � a9_ � [ �^ �

Z �1 k� � Z � a@��]H�U b # �p1 5_!��� �

� £ ��� �1 5� ��� �� £ d /<.g � g b �

Page 123: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����s� ���� � �D�r�Y�� � ,� �&� i!b*f�-��� <-" � #G G " 3)5 5 /=%�"

�L#X���R�S?[Z]�U�X?VWK � K�UJR�Ö_K�X���K/S �gOFO K�X\U �AUJQ��*KBV ��R ��� ��R�L �gS���R�L#]:O H_S�X?SJR*O [ ��KBVW]�� �] k QNL���XJR�H�L!1 V?R*X��'R�X\S�)ZH�Q�UJR*KMUWXJU\]_LNS k H�U�O �1 S�HFX��Z]�XR�fL�H V?R�L�0FH�L�K H k 1 H�U �1EX���KH_X��NKMU?H�L�K�V?R ��� k H,����H V Q�SJR*L�0 X���R*S UJQ��*Kk¦617 @(8\z @�B �u{AI�JML6N r�W$P�hQVXN'h,VqR6�kN'h8d'VXW$RDUqL6N:W$h8N � S �kR �'N;O�W$h ��P�� �kU�N iY�$dK��d � ���� N'U|h � VqR�U�L6N�O�W$�q�eW$�EVqR�� ��� � �LKqO�� k� � � �1 5� �b��oL6N'h8N �� `_!� � ��1 5_!�8b��cN)L��k�kN

�� �=_!��� b$#&1 5_!� W$h �� 5_!� � b #�1 ��I_!�nd �<.g � g�i �� h:WsW�Opl �L'X���K�)ZH�Q�UJR*KMU R*LbÖ_KMU�SJR�H_L k H�U�O Q���]

1 `_!� � ib$# [ �^ ��1 5����� ��� � a@�.d

VWK/SJQ ��S�XJR*X\Q X\K�_ � � �&g�~���KML#VWK�0�K�X1 �� � � � ib$# [ �^ �

�1 5����� ^ ����� a@� � ib$# [ �^ �� 5����� ^ �����5a@� � �� �� �nd

~��fQ�S��ZV?R*X�� ��� _ �ZVWK �Z]7�K1 ��I_!��� ib$# �� 5_!� R g K*g � �� `_!� �Wb$#�1 �=_!�&d

~���K k H�UJO Q � ]_S R*L /<.g � g i � ]_UJK�H k X\KML�0�RwÖ�KML'R*L'XJU\]_LNS k H�U�O Ö�]_UJR�] ����K?� �1ÖgR�&�� k� � �Wb$#�1 �\���nd

�@�B��z ��I ! ��� X���K k H�U�O Q���]_Si]�L � UJQ ��KMS�� R*L����*Q � R�L�0 �h$�� �NjFj'� �1��� �M�_ h� ]_UJK ]���S�H�]���R � k H�U X���K �E��� ]_S�K*g� C�C�F/w%o Esw 8 C >18��RE 7 @-> G&BgBD@�Esz�G*z$y�F�@>?A@�BDCE@�F)mMI�KQR�UqL�Ved�N�n���f\�eN �cN)i�N'hQVq�kN�U�L6N�O�W$�q�eW$�EVqR���O�W$h���P�� �cO�W$h�U�L6N r�W$P�hQVXN'hU|h��kR�d�O�W$h�� W�O�UqL6N�S'P�U/� W �`OQP�RTS'U|VXW$R �

� \ `_!��� # `_ q�3 � � # 5_ � 3 � ��� �� \ 5� � � b=SJR�L |3@� �� d �<.g � gtb �

Page 124: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i b < ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�� W$� P�U|VXW$R � �YNHL��k�kN�UqL��kU

�� \ k� � � [ �^ �� \ 5_!� ��� ^ ��� � a$�(d

� VqRTS:N � \ 5_!� �"r O�W$h,Z _EZ�� 3 �kR\i � \ `_!���miO�W$h,Z _EZ�_ 3��cN��N'U�� \ k� � � [ \

^ \ � ^��� � a@� � � i

���&� � ^ ��� � � \ ^ \ � i�[�� � ��� � � � ^ ��� � � b=SJR*L |3@���

� d�^S�R�L�0 X��NK/S �gO OFK�XJU �8U�Q���KBV�K 0_K�X X��NK k H�� ��H V?R*L�0 k H�U�O Q�� ]�Sj¦

� � b=S�R�L /39_!�_ � 5� � �"b$# � \ ���� �]_L � S�R�L���K � \ ���� ��� � \ 5����X��fQ�S

� � SJR*L |39_!�_ � k� � ��# � \ 5���nd /<.g � ghf��>?A@�BDCE@�F�G?9AI�M�N:S �k�q� VqR���dsW � W�O¥W$P�h �9N � N�n���f\�eN:d �

� � � ^�� � � � � bi#q�� � �kR\i � � � ^ \ � � � � � bk3� � q*3 � dJML6N)d � � � N'U|h � hQP��eN�kVq�kN�P9d

� � bi�q _ � � � b$# � ^�� ^ � � � b$# � ^�� � � � � � � ii�q _ � � �a# � ^�� � � d /<.g � g=< �� V ��Vq� �khQ� � b � � UqL6NHd � � � N'U/h � hQP��eN

� � bk3_ � q�3 � � �Wb$# � ^ \ � � � � � � � i_ � q*3 � � � � # 3 � ^ \ � � � d /<.g � g^¨ �>?A@�BDCE@�F�G\G6I � VqRTS:N

� � � ^ ��� ££ � 5��� � � b$#3 � ^ � ££ � d� � U�L6NHd � � � N'U|h � hQP��eN

� � � b$#3 � ^ � ££ � � 5��� �"b$# � ^ � � ££ /<.g � g � �

Page 125: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����s� ���� � �D�r�Y�� � ,� �&� i!b�¨617 @=>�G&BDBD@�Esz�G z y�F�@2w C�xu@?C�@�z 6F k �1 k� �WR�S?] )ZH�Q�U�R�K�UWX\UJ]_L�S k H_UJO H k 1 `_!��\1 `_!����� �1 5� �c¦ � �� 5����gX���K�L

�� 5����� � b #�1 ��I_!��� ��! `_!� ROg K>g �� 5_!��� � b$#�1 �\��� � ��� 5���nd>?A@�BDCE@�FG �MIRM N:S �k�q� VqR��KUqL6N�O�W$h���P�� �� \ 5_!��� � b=SJR�L |3@� �

� ]� � UqL6NHr�W$P�hQVXN'hHVqR6�kN'h8d'VXW$R2UqL6N:W$h:N �[�cNHL��k�kN

� \ `_!��� ib$# [ �^ �b=SJR�L |3@� �

� ����� � a@� � i# [ �^ �S�R�L /3$���

� ����� � a@�.d

� \ 5_!�_��3 3

��� � \ � ¢�

�5 \ � 5\v"w�x\y�z @ �&I¤{M} 1 `_!� � � \ `_!�?]�L � R�X\S )ZH�Q�U�R�K�UWX\UJ]_L�S k H_UJO �1 k� � � ��� � \ � ¢

�g

�&N'Uo3 �pi �kR\iS_ � r6lKJML6N'R2�cN���N'U�UqL6N�O�W$�q�eW$�EVqR��KV �f6W$hQU �kR6U�h8N:d'P�� U �[ �^ �

S�R�L k� �� a@� � #�d �<.g � g � �

~���K )ZH�Q�U�R�KMU R*LbÖ_KMU�SJR�H_L k H�UJO Q�� ] � ]_L���K R�L X\K�UJ[�U�K�X\K � ]_S ] h[NUJR�L �MR�[�]��8Ö_]���Q�K �R�OF[�UJH_[�K�U R�L X\Kp0�U\]���� X��Z]�X�R�Sp¦

1 `_!��� ��R*O��[ ^ ����� �

�1 5� ��a@��]V ��R ����0�Rw�K Q�S X���K k H,����H V?R�L�0 X���K�H�UJK�OLg

Page 126: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i b � ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�617 @(8uz$@�B � �&I � Psf9f6WsdsN�1 � � ¡ �:b¥Ved�S:W$R6U/VqR6PuW$P9dK�kU�_ c b)�kR\i L��$d �'W$UqL hQV �$L�U�kR\iK�eN�OQUci�N'hQVq�$�kU|Vq�kN:d:b�1 x 5_ �c �¥�kR\i,1ex 5_ ^c �pl�JML6N'R

1 5_ c � � ��R*O��[ ^

�1 5� ��� ��� � � a@�.d� h8WsW�Opl K�X

� `_!� � 1 `_!� � 1 5_ c ��� ^ �£ � � ^ � � ¢ £_ � _ c d /<.g � g � �� �AX���K� � �H�[�R*X\]��� S U�Q���K

��R*O� � ���� �� 5_!��� 1 x 5_

�c �7q �*R�O� � ���� 1 5_ c � `_�� _ c ��� ^

�£ � � ^ � � ¢ £ � 1 x 5_ �c �&d R*O R�� ]_U � � ��R�O

� � � �� �� 5_!� � 1 x 5_ ^c �nd�~��gQNS � `_!�DR*S �eH�Q�L � K � R*L8]TL�K�Re0 �(�eH�U��NH H � H k_ c ]�L � �eH_X�� �� 5_!��]_L � _ � `_!� � _ c �� 5_!� q�1 5_!� �a1 5_ c � 5_ �H_ c ��� ^ �£ � � ^ � � ¢ £ � �� ¡ ��&g )ZQ�U X���K�U�� ��� /<.g � g � �

1 5_!� � 1 5_ c ��� ^ �£ � � ^ � � ¢ £ q _ �� 5_!� � _ c �� `_!�nd /<.g � g���� K�X � 5_!� � � ^ �£ � � ^ � � ¢ £ X��NKML ���-X���K )ZH�Q�UJR*KMU8X\UJ]_L�S k H�UJO UJQ ��KMSp¦ �� 5� � 3 � ��� 5����� ^ � � � � g )ZQ�U X���K�U � � _ �� 5_!� � � � ��fx k� �ngD-^H V UJK��M]�� �*R�L�0 � ^ � ££ � � � b$# � ^ � ££ �X��NK )ZH�QNUJR�K�UWX\UJ]_L�S k H�UJO H k 1 `_!���S�KMK� /<.g � g�����NR�S

�1 k� � � 1 `_ c � � b$# � ^ � ££ � ^ � � � � q � �� x 5���� _ c ��! 5���nd /<.g � g i!r��� Q���X\R*[�� �gR�L�0 /<.g � g i!r�� ��� � ��� � � ]_L � R*LfXJKj0�UJ]�X\R*L�0 H.Ö�K�U¥� � � ] � � V�K 0_K�X

ib # [ ^ �1 5��������� � � a@� � 1 `_ c � i� b$# [ ^ � ^ � ££ a@�

q �b # [ ^ �� x 5����� ��� �� a@� � _ cb$# [ ^ ��� 5����� ��� �

� a@�.d /<.g � g i9i � ]�U�X\R�]�� R*LfXJKj0�UJ]�X\R*H�LAR*L'X���K SJK��MH�L � X\K�UJO H�L'X��NK/U�Re0 � X���]_L � SJR � K �gR*K�� � Sib$# [ ^ �1 k� ������� � � a@� � 1 5_ c � i

� b$# [ ^ � ^ � ££ a@�Yq �b$#Y� ��� 5� ������� � � � ^ � �b$# [ ^ ��! k� � �O_ c ������� �

� a$��� _ cb$# [ ^ ��! 5��������� �� a@��] /<.g � g i b �

Page 127: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��������������A�'�o���'�"+)�g�"� ��� �� ���� � ��+)�����" i� i!b �V ��KMU�K/X���K+� ]_S X X�VWH:X\K�UJOFS�]_UJK�R � KML X\R�� ]�����]_L � ��K�L��MKib$# [ ^ �1 5� ������� � � a$� � 1 5_ c � i

� b # [ ^ � ^ � ££ a@�=q ib$#Y� ��! � ����� � � � ��! �� � ��� ^ � � � � d ��P�j ����� % � ���N���Z�g� � ? h�jFj � 0�R�Ö_KBX��Z]1X k H�U � � � ¡ � ��! k� � � r�Z]_Ss� � � � ]_L �SJR*L��MK � ^ � ^ � ££ a@� � � b # ��V�K �ZL�]�� ��� 0�K�X

��R*O��

ib$# [ ^ �1 k� ��� ��� � � a@� � 1 5_ c �']]_L � X���K [�U�H H k R*S �MH�OF[���K�X\K>g�-��� � ��=%�2 > � 342M7�+� 7:9 �87 /E5�25"B5 3)5 � +� 9_7 5DG

���z�E wF6F���w���@�z @?C E wF6F�@?DMy E w 8 C >( K L�H V Q�SJKFX���K )ZH�Q�U�R�KMU�XJU\]_L�S k H�UJO XJHrS�H,��Ö_K [�U�H ���*KMOFS/H_L Q�L(�eH�Q�L � K � UJK *0�R�H_L�S�gE~���K+)ZH�QNUJR�K�U�XJU\]_L�S k H�UJO �MH�L�Ö_KMU�XJS � R���KMU�KML X\R�]�X\R*H�LAR�L XJH:] SJR�OF[��*KB]��¤0�K5��UJ]_R �

H�[eKMU\]1X\R�H_Lr]_L � VWK � ]_L UJK � Q��MK [�]_U�XJR ]�� � R � K�UJKML XJR ]�� K��gQ�]�X\R*H�L�S^XJH KM]_SJR�� �'SJH����] ���*KH�U � R�LZ]_U � � R � K�UJK�LfXJR ]�� K5�fQZ]�XJR�H�L�S4g>?A@�BDCE@�F�G�{MI � W$R�d'V/i�N'hKU�L6NKL6N �kU�� W$��VqR �kR*VqR���R6VqU�N'� � �eW$R���h8Wj�9i$b�kVq�kN'R*U�L6NVqR6VqU|V/�k�AU�N �f6N'h��kU|P�h8N�� 5_&] r�� � 1 5_!� �

��� §� ��� ] �;� r�] � � _ _Y_ � d �<.g � g�i �

� cd t�N�%�hc � � J W���R\i`U�L6NYU�N �f6N'h��kU/P�h8N� 5_&] � �8b��eN'U �� 5��] � � � � � � � `_&] � � � 5���jlJML6N'R�2���

��� k� ��� [ �^ �

� �� �� ^ ��� � a9_"� �

� �[ �^ �

� `_&] � ��� ^ ��� � a9_"� � ��� �d

rMP�hQU�L6N'h ��� � � � 5����� �[� ��� k� �2�kVq�kN:d UqL��kU ��� � ��� � 5����� �&��� � ��� k� � � �\�k� �� 5���jl� N'RTS:N�UqL6NHr�W$P�hQVXN'hHU/h �kR�d�O�W$h�� W�O �<.g � g�i � � VXN'� i$d� ��� �� �§a� � �� k� �'] �<.g � gtb �

�EVqU�L�UqL6N��N'RTN'h��k� dsW$� P�U|VXW$R�� 5��] � � � N � ^   � £ �kd �<.g � g f �

Page 128: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i b � ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�r�W$P�hQVXN'hYU/h��kR�d�O�W$h�� W�O�UqL6N�UqL6N�VqR6VqU/V/�k�Hi9�kUX� � 5��] r�� � 1 5� � � ��� k��] r � � �1 k� �:bVqR�dsN'hQU�N i�VqR �<.g � g f����kVq�kN ��� 5��] r�� � N � �1 k� �jl JML�P�d��cN)L��k�kN

�� 5��] � � � �1 k� ��� ^   � £ � d /<.g � g=< �J WYh8N:S:W$�kN'h�UqL6N�dsW$� P�U/VXW$R � �cN h8N:S �k�q�cUqL��kU � � � ^ ��� ££ � k� � � � � 5\ � ^ � ££ � l ��N'U/U/VqR��¡� \ � § ��UqL�P9d�3 � ¡��  � b��cN�UqL6N'RYL��k�kN

� � � ^ � £����� � 5��� � � <k#�§ ��� � ^   � £ � ] L6N'RTS:N � ^   � £ � � i� <k#�§ � � � � ^ � £����� � 5���nd

K'R�dsN'hQU/VqR��KVqR /<.g � g=< ���cN���N'U��� k��] � � � i

� <k#�§ � �1 5� � � � � ^ � £����� � k� �c¦ � i� <k#�§ � ��� 5��� �1 5� �Q] /<.g � g^¨ �

�oL6N'h8N ��! k� �)¦ � � � � ^ � £����� � 5���jl �Ad'VqR�� U�L6NKS:W$R6�kW$� P�U/VXW$RDUqL6N:W$h8N � � �1 �� � |1 ��� ���MVqUO�W$�q�eW$�od�UqL��kU� `_&] � ��� i

� < #�§ � X1�� � � 5_!� � i� <k#�§ � [ �^ �

� ^�� ������ £����� 1 [� �2a$��d /<.g � g � �>?A@�BDCE@�F�G��&I � W$� �kN�U�L6N � W$Ved:dsW$R � d N �jP��kU/VXW$R�b

� ��� q � � � �Wr�] � � _]_2_ � ] ��� r�] /<.g � g � ��oL6N'h8N�UqL6N �'W$P�R\i9�kh � S:W$R\ikVqU|VXW$R�b � `_&] r�� � 1 5_!�:b�Ved��'W$P�R\i�N i9l� cd ����%�Pcd� � �d�VqR�UqL6N�f\h8N'�sVXW$P9d�N�n���f\�eN UqL6N r�W$P�h'VXN'h�U/h �kR�d�O�W$h�� W�O U�L6N�N �jP��k�U/VXW$R �kR\igUqL6N �'W$P�R\i9�kh � b��EVqU�L�h8N:d�f6N:S'U,U�WL_Mb � VXN'� i$d!U�WDUqL6N¥O�W$�q�eW$�EVqR��*W$h�ikVqR\�kh �ikV �)N'h8N'R6U|V/�k��N �jP��kU/VXW$R2VqR��

�\� � �� 5��] � ��q � � �� 5��] � �� � � � r �kR\i ��� k��] r�� � �1 5���'] /<.g � g � �

�EVqUqL U�L6N��N'RTN'h��k� dsW$� P�U/VXW$R��kVq�kN'R � ��� k��]9� � � N ¡ 5� ��� � � � � q N � k� ��� ^�� � � � d /<.g � g����

� � UqL6N �'W$P�R\i�N ikRTN:d:d�h8N �jP�Vqh8N � N'R6U��cN�L��k�kNU�L��kU,N ¡ k� � �"r�l�� W$h:N:W$�kN'h�P�d'VqR�� U�L6Nr�W$P�hQVXN'h;U/h��kR�d�O�W$h � W�O;UqL6N �'W$P�R\i9�kh � i9�kUX��OQh8W � /<(g � g � �;�cN���N'U �� 5��] r�� � N � 5��� ��1 k� �pl�JML�P�d

��� 5��]9� � � �1 k� ��� ^�� � � � d /<.g � g i!r��

Page 129: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��������������A�'�o���'�"+)�g�"� ��� �� ���� � ��+)�����" i� i!b �J WU � �9NcUqL6N;VqR6�kN'h8dsNcU|h��kR�d�O�W$h��¥bAVqR�U�L�Ved�S �$dsN:bAUqL6N��'f9f\h8W:f\hQV/�kU�N�r�W$P�h'VXN'h U|h��kR�d�O�W$h��O�W$h���P�� � Ved �

� � i_ � q�3 � � � # 3 � ^ \ � � � ] �oL6N'h8N 3 � rsd �<.g � g�i9i �� L6WsWsd'VqR��¥3 ��� VqR /<(g � g i9i �H�cN��N'U

� � �# � i_ � q>� � � � # � � � ^�� � � � d �<.g � g�i b �JML�P�d�UqL6N�VqR6�kN'h8dsN�U/h �kR�d�O�W$h�� W�O �<.g � g�i!r ��Ved

� `_&]9� � � 1 5_!��� �# � i_ � q�� � � �# [ �^ �1 `_��

��

�� q>� � a

�] �<.g � g�i!f �

�oL�VXS:L Ved�UqL6N �Dcd�*J�c � �*����� ���\�� ��c ��j8�_ � O�W$hHUqL6NHdsW$� P�U/VXW$R�UqL6N�kVq�kN'RKf\h8W�j�eN ��l�@�B��z ��I�~���R�S/SJH���QNXJR�H�L O ] �_KFSJK�L�SJK SJR�L �MK:X���K IH�R*SJS�H�L���KMUJLNK�� �5 � � £ � � £ ¢ � � ¡]_L � 1 5_!�WR*SL��H_Q�L � K � �EZ 1 `_!� Z Q�� g�~��fQ�S?VWK �Z]7Ö�K

Z � 5_&]9� � Z Q�� � i# [ �^ ��

�� q>� � a � � � # ]_U ��X]_L � �� � ^ �

� � d>?A@�BDCE@�FGg,MI � W$� �kNHU�L6N ��VqhQVXS:L��eN'UMf\h8W�j�eN �

� ��� q � � � �Wr�] _Y� r � � r�] �oL6N'h8N �<.g � g�i�<��� Ur�]9� � �"r�] � `_&] r�� � __ � q i �kR\i � 5_&]9� � Ved �'W$P�R\i�N i9l �<.g � g�i ¨ �

� cd ����%�Pcd� � r�Vqh8d'U��cN)dsW$� �kN�U�L6N�O�W$�q�eW$�EVqR���OQP��q�Ah��kR���N � VqR,_�0�f\h8W�j�eN � �

� ��� q � �N� �"r�] _ � �] ��� r�] �oL6N'h:N �<.g � g�i � �� 5_&] r � � __ � q i �kR\i � `_&]9� � Ved �'W$P�R\i�N i9l �<.g � g�i � �

K'R2UqL�Ved�S �$dsNHd'VqRTS:N �� £ � ¡ Ved�Wji9i�U�L6N'R � 5_&] � �HVed,Wji9i VqRT_ �kR\iK�cNHL��k�kN �kP�U�W ���kU|�VXS �k�q� � UqL6N�S:W$R\ikVqU/VXW$R� Or�] � � �Wr6l���W$� �cN�h:N:S �k�q�TU�L6N�O�W$h���P�� ��� ��.:_ � � ^ \ � � � � � �lb �[�3 � q>� � d

Page 130: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

i!f9r ������)��� ������� ��� �� ���� � ��+)�����" i�� � U�L6Nd � � � N'U/h � hQP��eN��cN��N'U

_3 � q _ � � � � # �&� � � ��. 5����� � ^ \ � � � d /<.g � g i � �JML�P9dEO�W$h�3 �pi��cNHL��k�kN

_i#q _ � � � � # �&� � � ��. k� ��� � ^�� � � dL6N'RTS:N� 5_&] r �c¦ � 1 5_!��� � ��# ���

�� ��. 5����� � ^ \ � � � d

��W$� U�L6NHr�W$P�h'VXN'hHU/h��kR�d�O�W$h�� W�OHUqL6NHdsW$� P�U/VXW$R �� 5��]9� � � �1 k� ��� ^�� � � � b��|dsN:N;f\h8N'�sVXW$P�dN�n���f\�eN�0sbcS �kR �'N��Eh'VqU/U�N'R �$d�� k��]9� � � ��# �&� � � ��. 5� ��� � ^�� � � � ^ � � � � � � # �&� � � ��. k� ��� � ^ � ¡ � � ¢ � � � dJML�P9d��EVqU�LK3 �pi#q���VqR /<.g � g i � �H�cN���R\�k�q� � ��N'U

� 5_&] � � � __ � q� �i#q�� � � d /<.g � g i�����-��� � 3 /E5DG �� 2M7�/r@ 2�%�%5" �E5)7��=%5"�G � 7�+ ��� �� �

H,�wÖgR�L�0 � �)S ��� X���KFSJK�[Z]_UJ]�X\R*H�L H k Ö�]_UJR�] ����K�SBX\K�����L�R �fQ�KFVWK KML���H�Q�L X\K�UJK � X���K gXJQ�UJO * R�H_Q1ÖgR � �*K=[�U�H ����K�O S4g���KMUJK�VWK S X\Q � � �^������Z�_ ��� gXJQ�UJO * R�H_Q1ÖgR � �*K)[�UJH ����K�OR�L ¦

� x x `_!� q�� � �� 5_!���"r�] � � _H_2_ � ] V ��KMU�K+� � �] /<.g��(g i �V ��K�UJKAX��NK 0�KML�K�U\]��WSJH,�*QNX\R*H�L��� `_!� � � ¡ � ��� � q�� � � ^ ��� � �� � � �A]_L � X���K�UJK k H�UJKV�K � H L�H_X �Z]7Ö_Kr]_L H�U X���H�0_H�LZ]�� ��]_SJR*SFH k KMR¤0�KML k Q�L���XJR�H�LNS�g �L�S�XJK ] � ] k QNL���XJR�H�L1 � � � � �M]_L0��KiK� [Z]_L � K � ��R*L X\K�UJOFSWH k X���KMS�K�KMR¤0�KML k QNL���XJR�H�L�S�� ���FX���K )ZH�QNUJR�K�UR�L�Ö_KMUJS�R�H�L k H�U�O Q���]

1 5_!��� ib$# [ �^ ��1 k� ������� � a@� � ib$# � �1 k� ������� � q �1 ���� ��� ^ ��� � � a@�(d /<.g��(g b �

R*O R�� ]_U � � k H�U X���K �Z]�� k * ��R*L�Ki[NUJH ���*KMOFSj¦� x x 5_!�7q>� � �� `_!� � r�] r�_H_Y_ � ] � x Ur�� �Wr� /<.g��(ghf��

Page 131: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� �&�� i� % �A�'� � � ��� �&� �� H� ���&�a�2�D�"+ � r�] � � � i f(i]_L �

� x x 5_!�7q�� � � 5_!���Wr�] r�_]_2_ � ] �� Ur�� �Wr�] �<.g��(g <��X���K �MH�U�UJK�SJ[eH�L � R*L�0 O Q���X\R*[���R*KMUJS ��H�SM�*_ ]�L � SJR*Ls�*_ � U�KMS�[�K���X\RwÖ�K�� � �D]�UJK LNH_X k H�U�O *R�L�0EH_U�X��NH�0�H�LZ]�� �Z]�SJR�S R*L � � Or�] � �ng H ]k0 ]_R*L � k H�U ]_L ]_U ��R�X\UJ]_U � k Q�L���X\R*H�L*1 �� � Or�] � ���NV�K/S�KMK�� ) H_Q�UJR*KMU X��g[�K K��N[�]_L�SJR*H�L k H�UJO Q � ]_SUÖgR*& �

1 `_!�������� �� �� �����:�����@��� � � �������� ��� �� � �"!v�����@��#$&%�' %)(+*�%,�"-�%/.0�1�2( �3%�435 61�879%;:�%<!=.�!�->�?- ->%A@B(+%<! � �1��!��&�DCE�=(+�0FHGIJ!�-�%<%�-LKM�"CN�PORQTS � FU.�!�-V�R�1��W8XYW[Z\K]( *�%<!

^� �`_ E�a� �b �� � � � ����� _ �3cedf� �"! _ �����g��h�� �� � � � �<��� _ ���f�i#

j 61%<.�' 6k7 ^�P�1�l%;:�%<!=.�!�-m(+*�%,�"!�:�%<'n� �1��!>C`��'n4po�61.rq��":�%,o��� � �E� sh�t � �b �

^� �u_ n � ����� _ �pvwdf�n�1! _ ��� _ �xst � �� ^� �`_ �<��� _ �y� _ #z �14{�161.�' 6k7|�"CN�P�1��}B~�~�� �{�1� ^��K].D!�-V* %<!���%

^� �`_ E�UcyhDd ���� � � � � �"! _ ���f�i� � � ��� dt ���� ^� �u_ n � �1! _ ��� _ #�g� �N���`�Y�`�M���f�i�)�i�;� ��O�QTS ��� �A��<���L� �;�e� � �0�����B�;���;���[�8�;�u�\�p���n��� �` /���A¡¢���M£�¤���B�A���;�T�;�u�\�l�¥�n��� �` /���;¡¦�§  � ���+�¨� � �i A�?�\�;�¥����� �ª©&«;¬ �M­ �u_ ���M£H©�®;¬ �M­ �`_ ���g¬ � �[��£B�`¯��\� £9°<±©�«A¬ �M­ �`_ E� ���� � � � ����� _ ����� ���M£ ©�®�¬ �M­ �`_ E� ���� � � � �n�1! _ �y���i# �`² G´³ G¶µ�·l*Bo �<K��"CT��¸¥¹n¸¥ºm.�!�-»��¼�½¾½r.�' %p( *�%0%�:�%<!».�!�-¿�?- -À%A@B(+%<! � �1��!��,��Cl�Á( �gF&KE( *�%<!©�«[¬ �M­ �`_ 2.�!�- ©y®;¬ �M­ �`_ 2.D' %,' %��n(+'n�1�;(+�1��!��2(+� ¬ � �A��T��C S ^��¸¥¹n¸¥º{.�!�-Äà^��¼Å½§½8KÆ�n�1!���%

^��¸�¹¾¸¥º �u_ E��h ���� ��¸¥¹¾¸�º � � �<��� _ �y���9��h ©&«A¬ �M­ �u_ A�^��¼Å½§½ �`_ E�Uc�hDd � �� ��¼Å½§½ � � �n�1! _ �y���m�Çcyh�d ©�®<¬ �M­ �`_ E� h d ©�®<¬ �M­ �`_ A#

Page 132: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s�� h ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#·l*�%%$1ZMX8W'&)(*$¥}YZ,+�}-&*.0/21435(T(+*�%�' %;C`��' %%6M%<�<��43%

� � ��� ht � �� ©�«[¬ �M­ �`_ �<��� _ ��� _ � ht � �� ©y®�¬ �]­ �u_ � �"! _ ��� _ #798;: �=<?> �A@Y�B8DC > � � @Y��E F � @ ©&«A¬ �]­G: �=H�©y®�¬ �]­ �I&�n�1!�q9( *�%|.26M�Y:�%0' %�6 .D( �1��!��&�"(yC`��6161��J¨�H(+*Æ.D(�(+*�%0!���' 4 ��C ©�«;¬ �M­ �`_ ¨��! ¬ � �A���1�lq��":�%�!K6f7

L ©&«A¬ �]­ L ÂM2NPORQ �)S ��TUT � � �� VVV sh ^��¸�¹¾¸¥º �u_ VVV � _ � s

² Wsh � �b �

X ^��¸¥¹¾¸�º �`_ X  � _ ���G %�GkKL ©�«;¬ �M­ L ÂM N Q �)S ��T � sY L ^��¸¥¹¾¸�º �`_ L ÂM N O b � S ��T # �¥² G´³ G[Zf\¨%<�/.D6161�"!�qP(+* %^]¤.�' �n%�:D.�61�|C`��'n4po�6 .B_ L ^� �`_ L ÂM N O b � S ��T �xh�t L � � � L ÂM N O b � S ��T K (+*�%' %�6 .D( �1��! �¥² G´³ G[ZfT�1�`J¨'n�"( ( %<!V.��

L ©�«[¬ �M­ L ÂMaNPQ �)S ��T �t²

���b �X ��¸¥¹¾¸�º � � X  �f�g� t h L �Y¸�¹¾¸�º L  # �¥² G´³ Gcb�z �"43�"6 .�'n6"7�K

L ©�®;¬ �]­ L  � t h � �� X �Y¼Å½§½ � � X  ���g� t h L �Y¼Å½§½ L  # �¥² G´³ G Y dÁ% �no�4{4�.�'n�Re�%�(+*�%,'n%<6 .�(+�1��! �¥² G´³ Gcb�2.�!�- �¥² G ³ G Y T�"!m( *�%2_C > � � @���Egfih^jk7l8;: ��<5> ��@Y��8mC > � � @Y��EnF � @ <��mo : �=Hpo/�¥�>� @-: �=o F � @5E o5qY�L©&«;¬ �M­���M£ ©�®;¬ �M­ �*r��J�;�M£��§�{¡{�tsÆ�E A�+��¡ Q  �¥� �A�� ���Æ�§�|�u�u�8�tu  ,� � �����<���¥�1�` A±

L ©�«[¬ �M­ L  � L ©y®;¬ �M­ L  � t h L � L  #v�w ��EyxE��8 ��zL�|{ �8�¿� � � �\}�/2&*$¥W}&~()$"ZWy��&'3�Z�()+�}-&*. �§�9¯��M£���°;���B�M£B� £��8�5u��B�������� � �i�}�  /���,� � �"sM�+��°�u1�;¡��

�i�'� v ���*� � � � �^� � � �~� � � �¥² G´³ G´³f� �u� � � � �r°;���B�M£f���A±m�[���M£��u�¥����� �

� �¥� �}� N� � � ���M£ � � �i� � E� ��  v s #

Page 133: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����A�� ��= �#���� �t�����k���� ���� ���� ��#p y�"� ¬ � �A�� � s �a� ]}-1 /���$`}YZ� r�L� �)�����?�A���;���;�u�\�p�*r s ��� �;�����¿�§  � � �i�}� �� �u� � �1���

� � �i�)��ª� ht � �� � �u_ �}� � �"! _ ��� _ � � � �;�+� �`² G ³?G s � � �u_ �}� N� ©y®;¬ � � �i�}� §­ �`_ N�a� �� � � �i�}� � �"! _ �����i#

� � �y�;�+�;�Æ���¥���¥�u��� �`² G´³ G s � � �u� � �+�[� sÆ�[�;� �§� � ±����tuk£���i� � ��f� � ht � �� � �`_ �}� � �1! _ ��� _�� � ht � �� � �`_ �)�� _ ����� _ ��� _���M£ � �;�\�[�

���'� � ht ���� � �`_ �}�� � c _  � �"! _ ��� _ # �`² G ³?G s�s �L� ��� � � �0���<� ��������� �¥² G´³ G´³f � ���¿°;� � �A�u���J�;�À������'� v �i�P� � ht � �� � �5�P� �`_ �)��ic _  � �`_ �}� ���� �"! _ �y� _ � � #� �,� � ��� � ���B�;�¤� � �&£�� �y�;�+�;�Æ���¥�2u]���<�����¥����� �-�*� c _  � � � � �u� � � � ���B�;�\�;�n�2uB�8�5u��B�������

� �u_ �}� ª�! S �`_ #"%$ &�$ � v'  �u_ (" b $ &�$ � #� �u�\�[� � �{�8�[��)R�Á°;���B�M£B� £P�8�5u��B�¥����� � � �i�)�� � � ��� � �`_ �}�� ¡0���;� °;�g°;���?�M£B� £À���M£� �;�\�[� S � � � �\�?�A� � �;� �� �u_ � � N� ©y®;¬ � � �i� � J­ �u_ ª� ©y® � ��  v s � �u_ E�*  �`_ A#+ � � �;�u�\�[� ^� ® � S d ^�� �u�] /�5u4u1� � �,� � ���

©y® � ��  v s � �`_ E� dh © � ��  v s � �u_ ;# �`² G ³?G s h�, ���+�[�.-��;� � �f�;�u���m���?�`sM�+�/-8�����f�tu�±0)��\� � �P�¥�n��� �` /���A¡r���dh © � ��  v � Â� �u_ E� dh � cHd�t�#18d32�4 �`_ #" b�5 $ &�$D� t h 1/d3264 �`_ #" b�5 $ &�$ � �`² G ³?G s��  /��� � � s � �7�B�;� � �f�;�u��� �¥² G´³ G s h� ���M£ �¥² G´³ G s�� �� � � ���  �`_ p�98  1/d:2�4 �u_ #" b $ &;$ ����M£m�[��� �8���<�Æ�;�Æ��u�±

� �`_ �)��ª� t h 1/d:2�4 �u_ (" b $ &�$ " b $ &;$ � � t h 1/d3264 �`_ #" b O S:< � T $ &�$D� ©�® � � � �i�}� � �u_ A#

Page 134: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s�� ² ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#���u�M�2u4u�± � °<± �¥² G ³ G s�� � �u� � � � �)v s � � � � � -��,� � �)�8�5u��B�������

� � �i�)��ª� ��  v � s v �  #�L� �1� �1� � � � �+�[�;�¥�;���;�¥�����»���Á¬ � �A�� �§  � � �{�<£f£>�*r s ��� �;�����»�§ ,� � �,�8�5u��?�¥����� � � �i�}� ��� F ��� � � ��� ������ �������������������� ������ "!���#$��%j ��!��n�1-�%�'l(+*�%,q�%�!�%<' .�61� e<%<-gC`o�! ��(+�"��!

� � �`_¶�*18d32�4 � �E�'& s � C`��' �p� � �c s � C`��' ��( � #

1/d3264 � ��s

c s

)*

+ �-,/. @Y� �i� �10 ·l* % �n�1q�!�o�4 C`o�!���( �1��!m�n�1q�! � �;G2Æ��' 43.�6"6"7|� �"!��<% ���b �

X 1/d:2�4 � � X ���9� ���b � s �f�g�a�a�(+*�o�� 1/d3264 � ���O Q S .D!�-¿*�%<!���%�Ki.95�'n�1��'n��K](+*�%32Æ��o ' �1%�'&( '+.�!��¾C`��' 4 �1��!���()-�%54Æ!�%�-C`��'�� � �p_ � 1/d:2�4 � �;G�$&��J %�:�%�'<K¨(+�e- %64Æ!�%=.87 W+ZW'&}3?1R$:9�W<~ �\}�/2&)$`W'&,��&}3DZ�(*+�}-&).>KJ %R4po�6"( �15�6k7'1/d:2�4 � � 6�7 (+*�%R����!f:�%�' q�%�!��<%ÀC¥.���( ��' " b<; $ � $ J¨*�%<'n%>= � � G@?H��J2 � � _ �*" b<; $ � $ 1/d:2�4 � �2ORQ S K].�!�-0JT% *Æ./:�%

^2 � �BA"C{���b �" b<; $ � $ 18d32�4 � �(" b à & � �f�g������ " b<; � " b à & � ���3cw� �

b �" ; � " b à & � ���

� � c s=2vwd _" b O ; < à & T � � �� c � s=&c�d _

" O ;¾b à & T � � � b � � cyh�d _=  v _ Â#

Page 135: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���������� �� � ��� �� � �=� ��=�t�"� s � µ·l*�o���.D� =� � J % q�%;(

1/d3264 � � A"C�� cyhDd __ � hd _

# �`² G s � G s

�sc s

)*

+ � , . @Y� �i� h 0 ·l*�%,� �1q�!Bo 4 C`o�!��;(+�1��!�" b<; $ � $ 1/d:2�4 � �;G�9��Ey:�@� �� 79( *�%,�n7B434{%�( 'n7g'no�61%)�k(lC`��616"��J¨�T(+*Æ.�(

cyh�d��=  v �  A C h�t" b<; $ b &;$ 1/d:2�4 � c _ E� c�h�t" b<; $ &�$ 1/d:2�4 �`_ A� �`² G s � G¶h���'<K�= � � K dh ��  v �  A C t h " b�5 $ &�$ 18d32�4 �`_ ;# �`² G s � G �

� 8 � ��@ � : �Y��� �B8��EKf(+�r� *���J ©R¬ 1/d:2�4 � �§­M� Âà & K o � �1! q|$&%/./:B�1�n�1-�%��´� C`o�!���( �1��!�� � ��J %4�./7 J¨' �"( % 1/d3264 � �E��� � � v � c s � s c�� � �n �ah�� � �Nc s #?&��J JT%0�¾([.D( %�K J¨�k(+*���o (y5�'n�?�DC§K(+* % 2Æ��o�' �"%<'¨(+' .�!��nC`��' 4{����CE( J �g�14{5��'n([.D!�(&q�%�!��%<' .�61� e<%<-gC`o�! ��(+�"��!�� _ ©P¬ s ­M��h�t�� �u_ �`² G s � G ² .�!�- ©P¬ � � �J­� t�� �`_ Lv sd _# �`² G s � G¶µ�

� 7 �¥² G s � G µ�T.D!�- � ! DJT% *Æ./:�%,(+*Æ.�(©P¬ 18d32�4 � �J­�ah�t�� �u_ Lv hd _

cwh�t�� �`_ ª� hd _#

Page 136: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s�� Z ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#

h�� � �ªc s

h�� � �Ec s�s

c s

)*

+ �-,/. @Y� �i� z 0 ·l* % �n�1q�!�o�4 C`o�!���( �1��!m�n�1q�! � �;G������������� ���������������������������������� �!����"$#����%���

'&W �$R&}3)(�* (�~�W}1 � 3 +�/�Z+(-��$`}YZm�1�¨.�!>%�:�%<!>C`o�!���( �1��!m-�%54Æ!�%�-^6f7� � � � � � C`��' �-,� � � �¥² G s � G[Zf.�!�- � 5

b�5 � � �¾�f�g� s C`��'¨.D616 � � � # �¥² G s � Gcb��;º � �

�. � s s � 4

+ � , . @Y� �i�0/ 0 ·l*�%21y�1'+.D�yC`o�!���( �1��! �Aº � �;G2Æ��'T�>��3ªc54�(+*��"�¨-�%64Æ! �"(+�"��!gq��k:�%� � 3¤c-4yE�a� �b �

� � 3Nc54�n���m� s # �¥² G s � G Y ·��0-�%<'n�":�%y( *�%�2Æ��o�'n�1%�' (+' .�!��¾C`��' 4 ��C � � 3ic64�AKBJ %)' %<�<.�616M(+*Æ.�("6f7�(+* %y%�:D.�6"oÆ.D(+�"��!C`��'n4po�6 .B_� � 3n�� � 3Nc-4�E��� � 4� � � 3�c-4� JT% *Æ./:�% " b87�9;: � � 3¤c-4�E�*" b87�9=< � � 3¤c54�

Page 137: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

������� ���������� �� � ��� �� � �=� ��=�t�"� s � b�Aº � 3ªc54�

34

+ � , . @Y� �i��� 0 ·l*�% 1y�"'+.��&C`o�!���( �1��! � O: b < T G

.�!�-m(+*�o��"J % *Æ./:�%� � 3¤c-4� A C � �b �

� � 3¤c-4�#" b87�9;: � 3E� " b87�� < � �b �� � 3Nc54�n� 3ª�*" b87�9=< # �`² G s � G ³�

·l*�%<! C`��' 4 � � _�� � 3n A C � " � � s G I&�n�1!�qÀ�n7B4{43%;(+'n7 'no�61%>.�! - (+* %>C¥.��;((+*Æ.�( �m�1� .�!e%�:�%<!eC`o�! ��(+�"��!yJ %9*Æ./:�%3(+*�%{C`��616"�-J¨�"!�q��¾C`��' 43.�6E'n%<6 .�(+�1��!�����_ s A Ch�t�� � c�TE��h�t�� � �TAK ��G´%DG"K!J % *Æ./:�%� � 3nBA"CE� s � .�! - s A"CÁh�t�� � �T;# �¥² G s � G s �

�9��Ey:�@� ?&��( %g(+*Æ.D( s �O QTS;G�·l*�%�' %;C`��' %m(+*�%gC`��'n4po�61.��p�1! �`² G s � G s � p.�'n%g��!�6"7C`��' 43.�6 � (+* %�7>.�'n%y:�.D61�1-g�"!m-��1�¾(+' � 6�o ( �1��!g�n%<!��n%8;G ��������� ������� � � ���

� %�(H� � 3n 'n%<5�'n%<� %�!f(l(+*�%).D435�6"�"( o�-�%¨��C�.r�n�1q�!Æ.D6\.D( (+�"43% 3AGE·l*�% 2Æ��o�'n�1%�' 'n%<5�'n%<� %�!��([.D( �1��!� � 3n�� sh�t ���b �

^� � �T#" à 98: ���H� ^� � �TE� ���b �� � 3n (" b à 9;: � 3A�

%;@?*�� 6��"( �H�P.��¨.p�<��!f( �1!�o���o��¨�no�5%�' 5M��� �k(+�"��!9��C�(+*�%)�n�14{5�61%&5%�' �"�?-��"��JT./:�%<� " à 9;: .����' .�!�q�%��T�8:�%�'2.�6"6�5��� � � 6�61%¨C`' %���o�%<!����1%��<GE·l*��"� 'n%<5�'n%<� %�!f([.D( �1��!9�"� ( *�%��a3?()$ (2��!�%&�"!(+*�% .�!�.�6"7B� �"�l��C¤� �1q�!Æ.�61�l�"!g%<6"%<��( ' �"�/.�6L%�!�q��"!�%<%�' �1! q�_

Page 138: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s�� Y ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#� %�( � � 3nE��� � 3�c 4y=6% � &W�� $R.gW�$ .���/?1R(;Wk+�/�Z (���$`}YZLGN·l* %<!|�"( � 2Æ��o�'n�1%<'i(+' .�!��¾C`��' 4,_^� � �TE�*" b87�9=< K��"�2(+*�%�� &W�+4&;W��!/BW+Z (��^+�/�Z+(-��$`}YZLG

·l*�%�5M��JT%�' �DC .,� �1q�!Æ.�6M� � 3n��"� 5 ' ��5M��'n( �1��!�.�6?( � (+* %&� �Bo�.�' %H��C\( *�%&.�435 61�"( o�-�%DKX � � 3n X  K��n��(+* %T(+��(+.�6B%<!�%�' q�7 ��CÆ(+* %T� �"q�!Æ.�6B�1�¤5�' ��5��'¾(+�"��!Æ.�6�( ��� �b � X � � 3n X  � 3AGN·l*�o��(+* % ����!�-��k(+�"��!9C`��'2(+* % 4Æ!��"( %<!�%�� �H��C�(+*�%)(+�D([.�6L%�!�%<'nq�7g����' 'n%<� 5M��!�- �H( ��� � 3n2ORQ  G

·l*�% �14{5�o�61�n%y%<! %<' qD7g�1!g(+* %,C`'n% ��o�%�!���7,6Æ.�! -ÁK ¬ �H� �Pv � ��­�K��1�lq��":�%�!K6f7X ^� � 3n X Â

���h�t � X " b87�9=< X  ���h�t �a��?#·l*�o��9(+* %R%<!�%�' q�7��1�9o�! �"C`��'n436k7 -��1�¾(+' � 6�o ( %<-��8:�%�'9(+*�%pJ¨*���61%=C`'n% ��o�%<! ��7 6Æ.D!�-LKc�� ( � (Ä�aK!J¨* �1�[*>43%<.�!��l(+*Æ.�( _

: � ·l*�%,(+��(+.�6L%�!�%<'nq�7g�1�H�aG � ·l* % %A@ .���(&�14{5�o�6"� %�� � 3¤c-4�T�1�lo�!�5 *�7B�n�1�/.D6�G<��

� � 3n�� sh�t � �b �^� � �T� �� �� S

" 7�9;: � � � sh�t � �b �" 7�9;: � � �1�l-��k:�%�' q�%�!�(/#

� %�(3o��96"�?���e.D(3( *�%VC`'n% ��o�%�!��<�"%<� X � X (��yK`J¨*�%<'n%�� �"�361.�' q�%DGÄ·l*�%<! J %P43./7.�5�5 ' �/@?�143.D(+%�( *�%,-�%<6k([.pC`o�!��;(+�"��!>.���_� � 3n�� � shYt ���b �

" 7 98: � �e� sh�t � s� 3 " 7�9;: � � b � � st 3 � �1! � �%3n;#$&%�!��<%%J % *�.8:�%� � 3nE� 6"�14

��¨��n�1! � �%3nt 3 # �`² G s � G s�s

Page 139: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� �a� ���G��� #K�t� ��� ��D#^ s � ³� � 3n

3

s�

����� O � : T8 :

38�

8�

_�� ¸ � 5 � 3n3c � �

���$ ��� ����� �� %�� % ! ��� %d»%�6M%<q��"!�6�7|q��":B�1!�qy( *�%H-�%64Æ! �"(+�"��!|��C\.,6"�1!�%<.�'E� 5�.��<%H��CMC`o�!���( �1��! ��C`��'�. - 7B!Æ.D43�"��n7B�n( %<4 .�!�-g( *�%,-�%64Æ! �"(+�"��!gC`��'2(+* % �"435 o�61�n%y' %�� 5M��!�� %DG�g��� ���`�Y�`�M� � h ��� u��u�\� ���3�;±Y�;�J�;¡ Q �1�V� u��u�\� ���g¡{�tsP A�+��¡ �|u��u�\� ���3� s �B�[�=�§ �u�2sM�?�E�;� ���M�2u � � � à � 3n�� �J��� u��u�\� ����� s �B�[�p�§ p���B� sM�B� �;� ���M�2u � � Q ¬ � à ­ � � � �;�+�Q ¬�� S � S � 3niv �  �  � 3nJ­� � S Q ¬ � S � 3nJ­Bv �  Q ¬ �  � 3n§­ �`² G s�s G s Q � �� º � S � ºD�ƺ � � �� º � S � º�Q ¬ �ƺ�­ �`² G s�s G¶h�

Q � ���5 � � � � 3nn��� �a���5 Q � � ��� � 3n � �

�# �`² G s�s G � �i�;� � � 3nE�aQ ¬ � � 3nJ­J���L� �;�P� � � u��u�\� �����;±Y�;�J�;¡ Q �1�,�¥�u¡�� �u� -����;�¥���Æ���  

Q ¬ � � 3ªc-4�§­M� � � 3¤c-4�  /��� �2u4u 4�O �=# �`² G s�s G ²

Page 140: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ²f� ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#�g� � ���`�8�¥�M� �BzL� �L� � $ .���/?1R(;W &;W}( �ª}YZ�(AW ��� � 3n;� �1�V� � � }�/�� ��/�� ()$:7�Zi3?1  /���V� � �� �u�n�B��� ���  A�?�\�;�¥������� $"Z ��/���(*$:7fZi351J�C > � � @���E f zL�u  Q �1�m�|u��u�\� ���3���u¡����u� -����A�¥���Æ�&�;±Y�;�J�;¡ � �u� � � � �g�u¡�sM��u �8���[� �� sÆ��� �8� � � � � �;�

Q ¬ � � 3nJ­\� � �����P � 3n ��� � Q ¬ � � 3nJ­u� D��� ^�¤� �¥² G s�s G µ�� � �;�+� � �1�0� �2u4u1� £3� � � ( �!( �JW'. +�/�Z (���$`}YZi�

Q ¬ " à 98: ­� ^� � �T(" à 9;:  /���r�/-��;�A± ��O=F �¥² G s�s G[Zf`  � � 3n �1�,�+� �2u � � � �;� � � � � -��ª /��� � � � � � ���

Q ¬ �<��� � ��3nJ­M��� " ¬ ^� � �T(" à 9;: ­�# �¥² G s�s Gcb�� �+�8�§  ��dÁ% ��!���J�( *Æ.D(

� � 3n������b �^� ��� �� � 3Nc

�n��#

� 7 �`² G s�s G � DJT%,*Æ./:�%Q ¬ � � 3n§­\�aQ � ���b �

^� ��� � � 3¤c�n��� � ���b �

Q ¬ ^� ��� � � 3ªc�§­1���

J¨*�%�' % o�� �"!�q �`² G s�s G s 7B�1%<6"-��Q ¬ � � 3n§­\�����b �

^� ��� ¾Q ¬ � � 3Nc�J­ ���

.�!�- 4Æ!�.�616k7 �¥² G s�s G s Tq��k:�%��¨( *�%�4Æ' �¾(&.�� �n%<'n( �1��!m��C¤(+*�%)( *�%<��'n%<4,_Q ¬ � � 3nJ­��� �b �

^� ��� �� � 3¤c�J­ ��

� � �����R � 3n;#·��{5 ' �8:�% �¥² G s�s G[ZfDJ %,61%�(l� � 3n �!" à 9;: �"! �`² G s�s G µ�AK?(+*�%�!Q ¬ � � 3n§­� ���b �

� ��� (" à 9 O : b�� T � � � " à 9;: ���b �� ��� #" b à 9�� � � � " à 9;: ^� � �TA#

Page 141: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� �a� ���G��� #K�t� ��� ��D#^ s ² s2N�1!�.�616k7�J % 61%�(l� � 3n�� �<��� � ��3nAK��1! �¥² G s�s G¶µ�[K�(+* %<!Q ¬ � � 3n§­\�aQ ¬ �<��� � ��3n§­M�a���b �� ��� ����� ¬ � � 3¤c

�J­ ��

��� "¤���b �� ��� #" à 9 O : b�� T � � #·l*�o�� Q ¬ �<��� � ��3n§­M� � " � ^� � �T#" à 98: � #

�g��� ���`�Y�`�M����/\� �L� � u��u�\� ��� �;±8�;�§�;¡ Q �1��� �2u4u1� £ (t3!/2(}3?1 �  2� � �����B� sM�?�L�;� ���M�2u�-��2u��]���� � � � �¥�u¡�� 3 ����u�±9£B� sÆ�;�M£�� ���R� � � �u�2sM�B���;� ���M�2u -��2u��]� ��� � � � ���u¡��[� � 3��C > � � @Y��E f /� � ��s sÆ�8�8� Q �1�p�~u��u�\� ���p���M£9�¥�u¡��r�u� -����A�¥���Æ���;±Y�;�J�;¡ �V�L� �;� Q �1�� �����<�2u �  ,���M£m����u�±3�   � � 3nE� �  /��� 3 � � ��g��� ���`�Y�`�M� � �L� � u��u�\� ���g�¥�u¡��>�u� -����;�¥���Æ�)�;±8�;�§�;¡ � �u� � � � �>�u¡�sM��u �8�m�+�[� sÆ��� �8�� � 3n �1�p� �2u4u1� £ (�� 3 �?1`W �   � �b �

X � � 3n X � 3 (Ä�a#v�w ��EyxE��8 ��/� �����P� u��u�\� ���>���u¡��V�u� -����A�¥���Æ� �;±8�;�J�;¡ � � � � -��>� � ���p� � �=�u�2sM�B��;� ���M�2u � � � 3n(" b  : � ��� -��{�f��� � �>���?� sM�?�H�;� ���M�2u ��3  � � 3n(" b�� : ���9� ��� � �4u4u�� � �m���B� sM�B��;� ���M�2u � � � 3n;� °;�R�  R� � �À�u�2sM�B�p�;� ���M�2u �r� � 3n�� �1� h�t � sÆ�;�A���<£����À���M£ � � 3n»� 3  /���� ( 3 ( h�t�� � -��3� � �g��� � � �;�|�u��� � �H /���;¡ �§ 9�[��¡�smu1�*rP�¥�A� �B���\��¡��;���A���0�����?�A���;��8�;�A���[� �

]}-1 /!��$¥}8Z� �i�;�y���>����u�±>�;�¥� £�±R� � ���u�Æ�§�;� -��2u ¬ � �A�� �;�u�\�[� � � 3np� � �   3$( � ��L� �;�P� � �)�¤���B�A���;�)���n��� �` /���A¡ �§  � � 3n#" b<; : �1�� �� " b<; : " b à & : � 3ª��� �� " b O ; < à & T : � 3�� � c " bO ; < à & T :=¨v d _

� �� � s=2vwd _#

�L� �;� � �0� �2u1�;��uk���§�,� � � u��u¡0�u� -��2u��]� � � � �;� = � �61�14; �¨� s=lvwd _

� 61�"4; �¨�=�c�d _=  v _ Â

�¢6"�14; �¨�==  v _ Â

v 61�"4; �¨� _d � =  v _  � t�� �`_ Lv sd _

#���;�\�\� � =)��h � � � �;� � � � � -�� � � ���\� � �������?�A���;� ���n��� �` /���A¡ �§  � S � 3n���� � 3n#" b  :�1� ^� S �`_ E� S < à & ���M£{� � �)�����?�A���;�)�¥�n��� �` /���;¡ �§  � S � 3n ��3  � � 3n#" b�� : �1�^� S �u_ E�Çc � Â� _ Â

� s� v d _ � � h

� � vwd _ �#

Page 142: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ² h ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#

;; N < & N_

&; N < & N_

+ � ,/. @Y� �i��� 0 � �`_ ª� ;; N < & N .�!�- 2 �`_ E� &; N < & N G�L� �;�P� � �)�¤���B�A���;�)���n��� �` /���A¡ �§ ,� � � �u¡�sM�Bu �8�)�[�[� sÆ��� �8� � � 3n � �4u4ui°;�

^� �`_ E� ^� S �`_ ^� S �`_ � h � h¨vwd _ � � v d _ �

#� � �B�;� �u¡0¡�� £��¥���J�tu�±|� � ���] /��� _ � � � � �B�;�

^� �¥� E� ²hab #�\�?�A� � �;� � � � �0�[��¡�smu1�*r{�����B�;���;���8�;�A���[�E /��� h�t sÆ�;�A���<£������ 4Ä��hYt � � � � 3n �1�

� � 3n � 3�� ��º � b � Tº " à º � : � � �u� � ��� h�t

4� s #

� �;�\�[� � � � �)�����B�;���;�r�[�8�����;���;�Æ�u�E /��� 4 ,� � ���+� Tº � sh�t �  8

� 3(" b à º : � 3�� sh�t � 3(" b ú:cHd�4 �  8� c �  8

� scHd�4 " b à º : � 3� sh�t W h�t" b à  8 ºcHd�4 �Uc sd�4 # �¥² G s�s G Y

����� 4=� � � � � � -�� � � sh�t �  8

� 3(" � � 3ª� sh�t � 3 Âh �  8� � tE#

Page 143: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� �a� ���G��� #K�t� ��� ��D#^ s ² ��¤��� _ �!4 ���M£ � �u� � " à & : ¡{�ts sÆ� £g��� ^� �`_ #" à & : � � � � -��,� � ���� � 3n�� ��º � b �

Tº%" à º : � �4u4u�°;�,¡{�ts sÆ� £m��� ��º � b � Tº ^� � 4 #" à º : � � � 3n;#

�L� ��� � ���B�;� � � �0���?�E�;� ���M�2u -8��� �� � 3nE� � ^� ��� Lv ��º � b � S º��� �

Tº ^� � 4 (" à º : � ²hab t9v ��º � b � S º��� �h � h¨vwd:4 � � vwd:4 � " à º : #

��� � % � � ������� ��� � #$�����d»%,�n(+.�'n(�J¨�k(+*g(+*�%,-�%54Æ!��k(+�1��!>�DCª. 6Æ.�! -��J6"�14{�"(+%�-9� �"q�!Æ.�6 � � 3nAG�g��� ���`�Y�`�M�x� �L� �L� �P�;� ���M�2u � � 3n �1�»� �2u4u1� £ �a3DZ~ ��1R$ . $ �§W�~ �  ¿�u�3�u� -��5u�-��[�Á����u�± A�+���<�]�;�\�;���[�0�;¡{�2u4u1�;�|� � ���»�8��¡��g�[��� �;�Å���Æ� �,���L� ���&�1� � ^� -����Æ�1� � �[�����?�u�;�¥£B�3� � �¯��Æ�u�§� �u�Æ�J�;� -��2ui¬ c �y� �T­Å�

C > � � @Y��Egf � j*C > ��� :�Eyx�8 �¥� , C > � � @Y��E qY� � ��s sÆ�8�8� � � ��� � �1�T� �a3DZ~�� 1R$ . $ �§W<~ A�?�\�;�¥����� �L�PORQ  ���M£ ^� � �TE� �  /��� X � X� �,�|�L� �;� � �1�)�[��¡�smu1�;�J�tu�± £B�;�§�;�A¡0�u�\� £°<±3�u�u� -��2u��Æ�[�r��� � � �"sÆ���u�Æ�`� 3Jº �!4t � � � � � �;�+� 4=� � ��� s ��� h?�/#k#"#1� ;�  ��B�;�� � 3nE� ��

b �� � 4t� � �n�1! � �%3ªc 4Mt�

�%3ªc 4Mt� �[�8�§  ���ª@?5Æ.D!�- ^�R�1!>.$2]��o�' �"%<'l� %�' �"%<�H��!>( *�% �1!f(+%�'n:D.�6 ¬ c �y� �T­�G z �1!���% ^�R�1�l%;:�%<!�1! 4 JT%,*Æ./:�% ( *Æ.D(

^� � �TE� ��b �

Tº%"��������� � ��b �

b º "�� �������� � J¨*�%<'n% X � X � �y# �`² G s�s G ³�·l*�% 2]��o�' �"%<'2���?%��3���1%�!�( � b º0.�' %)q��k:�%�!K6f7

b º � sh � � �b �^� � �T#" �������� ��� �¥² G s�s G s � .�!�-V� �1! �<% ^� � �T � � C`��' X � X� �a*�%�!��<%po � �1! q3(+* %�2Æ��o�'n�1%�'H�"!f:�%<'n� �"��!=C`��'n4po�6 .0�k(C`��616"��J¨�T(+*Æ.�(

b º � sh � ���b �^� � �T#"��������� � �e� t

� � � 4t� � # �¥² G s�s G s�s

Page 144: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ²�² ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#� 79( *�%%6��o�!�-��Å61�14{�"( �<��!�-��"( �1��! ^�m� � C`��' X � X � � K ��G %�GkK�JT%,43.87 J¨' �"( %

� � 3nE� shYt � �b �^� � �T#" à 9;: � ��� sh�t � �b �

^� � �T#" à 9;: � �H# �`² G s�s G s h�2Æo�'n( *�%<'"6f7 �¥² G s�s G s�s ^� � �TE� ��b �

b º " � � ������ � ��b �

t� � � 4t� � " � � ������ � �`² G s�s G s �

J¨*��"�[*LKÆ�1!��n%<'¾(+�1! q{�"! �¥² G s�s G s�� 7B�"%<61- �� � 3nE� sh�t � �b �

��b �

t� � � 4t

� � " � � ������ " à 9;: � ��� sh � ��b � � � � 4t� � � �b �

" b à O º 8 b � : T � � � � � #�ª:D.�61oÆ.�(+�1! qp(+*�%,�1!f( %<q�' .�6 _

� �b �" b à O º 8 b � : T �� � �e� " à O � : b º 8 T c " b à O � : b º 8 Td � �%3ªc 4Mt� S

� hE�n�1! � 4t>c �%3n� �%3¤c 4ti S

�J % q�%�(¨(+*�%,-�%�� �"' %<->' %�� o�6k(

� � 3n � ��b �

� � 4t� � � �1! � 4Mt=c �%3n� �%3¤c 4t�

.�!�-g( *�%,5�' �B��C¤�1�l�<��435�6"%�( %�GC > � � @���E f � j)C > �wQ������ o :�Eyx�8 �¥� , C > � � @Y��E qY� � �-s sÆ�8�8�{� � �g°[���M£ � u��u¡0�u�§� £�;� ���M�2u � � 3n �1�p�>�[���Æ���u�Æ�Æ���f�  A�B�\�;�¥�����»���M£ ^� � �T�� �  /��� X � X � � `  � �,�<��¡�smu1�� � �1� �;� ���M�2uN°<±g� � �  A�+���<�]�;�\�;���[� S

< �8 �Å� � � � � � �u� � � � �{��������uk���  A�+���<�Æ�;�\�;���[� ��� 8

< h

�� � � � �;� � ��� �����+���f���u� � � 3n  A�+��¡ � � �l�<��¡�smu1� £)�;� ���M�2u?� � �+��� � � �lu1� � � s ���[�¯�u��J�;�;�u����°<±3� � �0�;�?�J��� �����B�tu� A�+���<�Æ�;�\�;±

�� Q���� � ¯�u��J�;�;�u��� � ¡0�Bu��¥�csmu���� £9°<± 4p�

� �+�8�§  � 2Æ��'l(+*�%)( �14{%)-��1�n�<' %;(+% � �"q�!Æ.�6 � � � 4 4� � �º � b � ( *�% �+.�4{5�61%�-m� �1q�!Æ.�6�KÆ�"!g(+*�%(+�"43%��<��!f(+�"!�o���o��lC`��'n4VK��"��_��º � b �

� � 4 4� � � 3¤c 4 4�E��� � 3n ��º � b �� � 3¤c 4 4�E��� � 3n�� < � 3nA# �`² G s�s G s ²

Page 145: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� �a� ���G��� #K�t� ��� ��D#^ s ² µ·l*�% 2]��o�' �"%<'2�n%<' �"%<�¨%;@?5Æ.D!�� �"��!V�DC �< � 3nl�"�

�< � 3n�� ��º � b �

Tº%" Ã º � : � J¨* %<' % Tº � s4

� � Nb � N � � 3n#" b à º � : � 3�� s

4# �¥² G s�s G s µ�

·l*�%<!,JT%,*Æ./:�% ( *�%,�+.�4{5�61%�-m� �1q�!Æ.�6� � 3n�� < � 3n � ��º � b �

s4" Ã º � : � � 3n A C s

4��º � b �

^� � �ec 4 �¨;# �¥² G s�s G s Z�Q������ 4�6"(+%�' �"!�q 43%<.�!��P.w�<��!f:���61o ( �1��!���Cp( *�%»�n�1q�!Æ.D6 6f7 (+*�%ÀC`o�!��;(+�1��! � � � 3n��� �"! � � 3n ��t 3AG j ��!�� %��Bo %<!f(+6k7�JT%R4ro�6"( �15�6k7e(+*�%�2]��o�' �"%<'3( '+.�! �nC`��'n4 ��C � � 3n�� < � 3n6f7 ^� � � �T;KBJ¨*�%<'n% ^� � � �TE� & s � C`��' X � X �

�� � C`��' X � X ��# �¥² G s�s G s b�·l*�o���J % *Æ./:�%

Q � � � � � 3n�� < � 3n � A C s4

^� � � �T W ��º � b �^� � �Ác 4 �¨A# �¥² G s�s G s Y

·l*�%{��!�6"7=!���!���:D.�!��1�n*��1! q9(+%<'n4 ��C (+*�%|� o 4 .26M�Y:�%�K��<��'n' %�� 5M��!�-��,(+� 4 � � Ki��G %�GkKC`��'�4 ,� � JT% *Æ./:�% ^� � �ec 4 �¨�� � GE·l*�o��^� � � �Tª� ��º � b �

^� � �»c 4 �¨ � ^� � �T �¥² G s�s G s ³�.�!�->*�%<! �<%

4&Q���� � � � 3n�� < � 3n � �a� � 3n;# �¥² G s�s G¶h �

v�w ��EyxE��8 � � j�� :�Eyxk8 �¥�1, � w :�Eyx�8`� q8� �i�;� ^� � � �T °;� ��� -��;�>���H�u� �¥² G s�s G s b� � �)��\� � � � ��� � �8�[� �¥² Gcb?G � �� ^� � � �T�� C st 3 � �"! � � 3n;# �¥² G s�s G¶h s �L� ��� � � � � -�� ^� � �TE� ^� � � �T W ��º � b �^� � �ec 4 �¨;� �¥² G s�s G¶h�h�

Page 146: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ² Z ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#

^� � �T

c� �

� ��h �

^� � �ec �¨

+ � , . @Y� �i�¥��� 0 ^� � �TT.�! - ^� � �Ác �¨;G� � ��� � ��� -��,�f� � �u� � ���ahYt��;4 �

� � 3n���� � � 3n ��4�� � 3n�� < � 3nA# �`² G s�s G¶h � � �;�u /���;¡0�u���{� � �1�p�[��� -��5u��B�¥����� � �u� � �+�[� sÆ�[�;� �§� 3 �u�] /�5u4u1� � �,� � ���� � 3nE� 4 � �"! � � 3nt 3 � ��º � b �

� � 4 4��� � 3Nc 4+4�� ��º � b �

� � 4 4� 4V� �"! ¬�2� 3¤c 4 4�J­t � 3¤c 4 4� � � � 3n�� ��º � b �

� � 4+4y 4=�n�1! ¬�2� 3Nc 4 4�§­t � 3¤c 4 4� #

v�w ��EyxE��8 � � j)C > � 4 ��� :�E xk8`� H�o/� ,� :�8 qY�l���;�� ® � 3n�� 4 ��º � b �

� � 4+4� � � 3�c 4 4��� 4�� � 3n ��º � b �� � 3Nc 4+4�;# �`² G s�s G¶h ²

�L� �;� � � � � -�� °<± � ! 4�� � 3n � < � 3nBA C ��º � b �

^� � �ec 4 �¨;#�L� �"u1� � s ���L¯�u��J�;�A�u��� �1���[��� -��5u��B�������9°<± � � � � � �;�[� ^� � � �TE��� � � v

��c � � �0c

���

� � ��� ���u� �;�+� � �[���u�\�;�¥£B�[� � �u� � ^� � �T<�;�] /�5u4u1� � �,� � ���

2 � 3nE� � � � 3n �l� ® � 3n ���M£�� � �f� ^2 � �TE� ^� � � �T ��º � b �^� � �»c 4 �¨A#

Page 147: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� �a� ���G��� #K�t� ��� ��D#^ s ² b

^� � �T�c

� �

� ��¡�s ���+� °<±�� � �"sM�+�8�§ p�§ ,� � �)�<��¡�smu��u���3� � �[���+�;¡ ��+ � � � �0� ��� � � -��r���\�0�§ ,� � � /�5u4u1� � �u���m� ���8�[���� : o � �Æ� `  � � h

� � �p����u�± � � -�� ^� � �Ác 4 �¨ ,� �  /��� 4V� � � � � ��� � ¡�� ��� �� � ��� � c� ��

^� � �T^� � �Pv �¨ ^� � �»c �¨c � �c �wc

��ev

�c �ev

�� c

��c

� �

� �u�\�[� ^� � �Tr� s  /��� X � X �� � �7�B�;� ^2 � �Tp� ^2 � �T ���M£¿� � �f� 2 � 3nr� � � 3n<��L� ��� � �r�[���Buk£ � � -��y�8�[�;�R£��u�[�[�;� u�±¨ A�[��¡ � � �)�<��¡�smu��u���3� � �[���+�;¡ �

� : o �|f � u �( � � h

��u�¨�8�[�;�?�+�p�.-��;� uk�ts sM�u��� � �L�+��¡ �f°;�.-�� � � � � -��

^2 � �TE� ^� � � �T ��º � b �^� � �Ác 4 �¨;# �¥² G s�s G¶h�µ�

;� �B�;�\�;�n�2uL� � � � uk���\� � �;�n�2u� � �[���+�;¡ � ����uk£ ��� -��� �b �

X � � 3nNc 2 � 3n X  � 3�� sh�t � �b �X ^� � �T�cU^2 � �T X  � ���¢st � �� X ^� � �T¤cU^2 � �T X  � �

� st � �

� X ^� � �TNcÇ^2 � �T X  � ���'& � � � h�S8 � �� b � s � ���  � b �8 �

�(�� � h

�#

Page 148: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ² Y ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#

^2 � �Tc � �c ��c

��»v

�c �ev

�� c

��c

� �

����� � � � ����% �� � ! � � #$��� ����� !�������% � #$� �·l*�%H-��1�n�<'n%�(+% 2Æ��o�' �"%<'ª( '+.�!��¾C`��' 4 �"�T.,61�"!�%/.D'E4�.�5 5��1!�q,(+*�.D( ��5%�'+.D( %<� ��!�����4{5�61%A@���Å-��14{%<! � �1��!Æ.�6:�%<�;(+��'n���1!g( *�% � .�4{%%JT./7g(+*Æ.�(H( *�% 2Æ��o�' �"%<'2( '+.�!��¾C`��' 4 ��5%�'+.D( %<���!gC`o�!��;(+�"��!��¨��!gFHG � %�(Ho��¨����!�� �"-�%<'l( *�%,5�' �a6 61%<4 ��Cª!�o�4{%<'n�1�<.�6 .�5�5 ' �/@?�143.D(+�"��!��C 2Æ��o�' �"%<'y( '+.�!��¾C`��' 4{�<K ( *Bo �lJ %34po �n( .�5�5�'n�/@ �"4�.�(+%p(+* % 2Æ��o�'n�1%�'�(+' .�!��nC`��' 4 6f7� ��43%;(+*��"!�q>( *Æ.D( �1!f:���6":�%��p��!�6k7À. 4Æ! �"(+%{!�o�4 6M%<' ��C¨.�6"q�%�6�' .��1�0�<.�61��o�6 .�(+�1��!��,5%�'��C`��'n43%�-À��!». 4Æ!��k(+%0� %;(r�DCT-Æ.�([. G 2N�1'n�n( J %3'n%<5�61.��<%0( *�%|�1!f(+%�q�'+.�6N�Y:�%<' � c��a�A��6f7m(+*�%p�"!f(+%<q�'+.�6i�8:�%�').$4Æ! �"(+% �1!f(+%�'n:D.�6 ¬ � � �T­�_`d»% 4�./7V.�� �no�4{% (+*�.D(,�R:�.D!��1�n*�%<���o ( � �"-�%y(+*�%%6M��o�!�- %<-=�"!f(+%<'¾:D.�6 ¬ � � �T­�GE·l*Bo �

^� �`_ E�a���b �� � �#" b à � &[���m������ � � �#" b à � & ���i#

I&�n�1!�q (+*�%y� .�4{5�61�"!�qr5M���1!f( � �m� � ��� J %).�5�5�'n�/@ �"4�.�(+% ^�^6f7{(+*�%\H�"%<43.�!�!9�no�4^� �u_ ���� b S� º � � � � 4 �� � " b à º � & W �� # �¥² G s h?G s ·l*�%,� o 4 �1�l5M%<' �"�?- �1�y�"! _ J¨�k(+*g(+* % 5M%<'n�1�B-  8

��G

?&��J J % �/.�6"�<o�61.D(+% ^� �`_ T�"!g(+*�%,5M���1!f(+� _ �  8 �

�� � � � s �/#"#k#k��� c s _^� � h�t � � � � �

� � b S� º � � "��N��� ��� � � 4 �� � � �¥² G s h?G h�

.�!�-m6"%�( � º ��� � º �� � K�(+*�%�!,J % q�%�(

^� � h�t � � � � �� ^� � J¨*�%�' % X X ( (�� .�!�- ^� ��� b S� º � � " b Ã

N����� � º #

Page 149: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�������!� ���� ��P �� ����� �D���= ����� � ���� !���� �# s ² ³d»%r*Æ./:�%r( *�%<'n%�C`��'n%0.�' 'n�":�%<-R.D(�.�43.�5�5��"!�q|(+*Æ.D(&(+' .�!��nC`��' 4{�y.�q��k:�%�! �

�:�%<��( ��'

:�� �¥� � � � S �/#"#k#k� � � b S 0�1!f(+�À.�! ��(+*�%�' ��

:�%���( ��' ^:�� � ^� � �D^� S �/#k#k#"��^� � b S ;K�J¨*��1�[*q��":�%<�¨' �"� %)(+�0( *�%)C`��616"�-J¨�"!�qp-�%54Æ!��k(+�1��! _�g��� ���`�Y�`�M� f � � �L� ��� � � sÆ���u�Æ�2£��1�8�;�+�;�J�y�¤���B�A���;�,���n��� �` /���A¡��2©

�_ �� �

��� � ��� ¡{�tsÆ� :9� ��� � � � S �<#"#k#"� � � b S 2O �

��J� ^: � �1� � � � u��u�\� ��� £B�`¯��\� £9°<±

©�:9� ^:L� ���M£ ^� � � b S� º � � " b Ã

N����� � º � � �;�+� � � ( �># �`² G s h?G �

·l*�%V- �1� ��' %;(+% 2Æ��o�' �"%<'r( '+.�! �nC`��'n4 *Æ./:�%m(+* %g!��1��%>5 ' ��5M%<'¾(J7e(+*Æ.�(|�"(0����!f:�%<'¾(+�-��1�n�<'n%�(+%,����!f:���6"o (+�"��!m�1!f(+�|��'n-��1!Æ.D'n794ro�6"( �15�6"�1�/.�(+�1��! _©� � : � �� � ^� � ^� � �<#"#k#"��^� � b S ^� � b S A� �`² G s h?G ²

J¨*�%<'n% ( *�%,-��1�n�<'n%�(+%,����!f:���6"o (+�"��! : � �1�l-�%54Æ!�%�-^6f7� : � §º ��� b S�

� � � � � � Q º b ��� � �`² G s h?G¶µ�J¨*�%<'n% ¬ 4gcB­� 4>c�m�kC 4 g.�!�- ¬ 4gc�­�!4mc�,v � �"C 4>(�G

��� � � ��% ���� ! � � #$��� ������ ���$��� % � � #$� � �����d»%,�/.D!V'n%<�n(+.D(+%,(+* % - %64Æ!��k(+�"��!g��C�(+*�%,-��"� �<'n%�( % 2Æ��o ' �1%�'2(+' .�!��nC`��' 4 :B� e�K

�g��� ���`�Y�`�M� f ����i�;��� � "  8<�����:9� ��� � � � S �/#k#"#k� � � b S lO �

�� � � �;�|� � �l£��1�8�;�+�;�§��¤���B�A���;�)���n��� �` /���A¡ �§  : �1� ^:��pO �

� � �u� � �tu1�;¡��;�Æ�u�^� � � b S� º � � � b º � º�� � � �/#<#/#<��� c s # �`² G s h?GcZ�

� ��E E : �]��H����� � � � s �<#"#k#"� � c s u1�;��

� � s � � � �  �/#k#"#k� � O � b S T ;� � � �;�+� � � "  8<�� � #�L� �;� � " �� � b S

� � �1� ���»���A� � ���B���M�2ui°[���;�1�E /��� ��� ���M£ L �

L  � �  /��� �2u4u À�

Page 150: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s µ � ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#

� �+�8�§  � z �"!��<%���

� " b  8�à º ��

� � "  8<��� � b

º � � b º JT% q�%�(HC`��'�� ,�� ( *Æ.D((+* % �"!�!�%�'l5�' �B-�o��;(� ���`�+�

�� � � b S� º � � � � � º � �� º ��� b S� º � � � � � º � � b º� � b S� º � � �

O � b T º � �O � b T � c s� � b c s � � � �¥² G s h?Gcb�

� �"!��<% ��

� � "  8���� � � � "  8<à � s q��k:�% � O � b T � � � � � � b � s � b � s K.�!�-

� � b ,� s J¨* %<!�%,� RG2Æ��'� � JT% *Æ./:�% � O � b T º � � � � s .�! -

� ��+��� � L �

L Â � � b S� º � � �

� � � b S� º � � s � � �¥² G s h?G Y .�!�-g( *�%,5�' �B��C¤�1�l�<��435�6"%�( %�G

?&��J J % -�%<'n�":�%)( *�%,�1!f:�%�' � �"��!mC`��' 4po 6 . C`��'2( *�% -��1�n�<' %;(+% 2Æ��o�'n�1%<' (+'+.D!��nC`��'n4VGC > � � @���E � � � �L� �,�u� -��;�+�;�����  /���A¡0��uk�& /���,� � � £��1�8�;�+�;�J�)�¤���B�A���;�)���n��� �` /���A¡ �1�

:�� s� � b S� � �

^� �� �Å�u� -��;�+�8�E /���A¡0��uk� �

� º � s� � b S� � �

� º ^� � 4V� � � s �/#/#<#��># �¥² G s h?G´³f

� b S� � �

X ^� X  � � � b S� º � � X � º X  � � � ���+�8�/-��2u� �ª /���A¡0��uk� � �`² G s h?G s � � �+�8�§  �������<��'n-��1! q|( � � %�4343. � s�s AK].�!f70:>O �

��/.D!K6M% J¨' �"(n(+%�!V.D�

:9� � b S� � �

� :L�+��� � L �L  ��� b S�

� �s� � :L�+�

�� � � �`² G s h?G s�s

Page 151: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�������!� ���� ��P �� ����� �D���= ����� � ���� !���� �# s µ sJ¨*�%<'n%l6f79( *�%,-�%64�!��"( �1��!m��C�(+*�%,-��"� ��' %�( % 2]��o�' �"%<'2(+' .�!��¾C`��' 4

� :L�+� � � � b S� º � � � º��� º

��� b S� º � � � º � b º �¦^� �¥² G s hBG s h�.�!�-m(+*�o��"J % *Æ./:�%

� º � s� � b S� � �

� º ^� � s� � b S�

� �" Â 8<Ã º �

� ^� # �¥² G s hBG s�� ?&��J ]ª7B( *Æ.�q���'+.��T( *�%<��' %<4¦C`��'T��'n(+* ��q���!Æ.D6M:�%<��( ��' �lq��":�%HC`��' :9:B� e �¥² G s h?G s h�ª(+*�.D(L : L  � s�  � b S�

� �X ^� X Â W � � s� Â � b S�

� �X ^� X  �¥² G s hBG s ²

��'l% ��o��k:D.�61%�!�( 6"7� � b S� º � � X � º X

 � � b S� � �

X ^� X  �¥² G s hBG s µ�.�!�-m(+*�%,5�'n�?�DCN�"�l�<��4{5�61%;(+%DG� � %1! � # ��� ��� � � ��� ��% � #$� � � � � ���

·¤�{5�' �B�<%�%<- JT% !�%�%<-V( *�%)C`��616"��J¨�1!�qp- %64Æ!��k(+�"��! _�g��� ���`�Y�`�M� fif ����� �Å�tu1�;¡��;�Æ�����A± �'sÆ�;�n����������� �1�l�,¡0��u��¥�csmu���� ���������9�§  � � � �[��¡�smu1�*r�Æ�?¡{°;�;�+�E /�5u4u1� � � £�°<±9���À�f£f£��u�¥�����Á�§ )� � �g�[��¡�smu1�*r��Æ�B¡{°;�;�[� �

2]'n��4Ç(+*�%l-�%54Æ!��k(+�1��!p��C�^� J %¨*Æ./:�%2(+*�.D(ª(+* %l�/.�6"�<o�61.D(+�"��! �DC%<.��[*R^� ' %���o��1'n%<�� %�61%�43%�!�(+.�'n7P��5%�'+.D( �1��! �<G �To (,(+*�%�' %3.�' % � ^� � �r.D!�-Á* %<!���%3(+* %{�<.�61��o�6 .�(+�1��!��C|^� 'n% ��o��1'n%<�|.=( ��([.�6 ��C �  %�61%�43%�!�(+.�'n7Á��5M%<' .D(+�"��!��r�n�P(+*�%g- �1� ��' %;(+% 2Æ��o�'n�1%�'(+' .�!��nC`��' 4 4�./7 6M%<����43%{�<��435�o?([.D( �1��!Æ.D616"7Vo�!�43.�!Æ.Dq�%/.26 61%|C`��',6 .�'nq�% �ÀG0dÄ*�%<!� �1� 5�' �"43%DKª!���(04ro��[*��/.�! 6M%9-���! %g.26M��o (p( *��1��G �To ( J¨*�%�! � �1�r����4{5���n�"( %JT% �/.�! J¨' �k(+%�� ��� S �  .�!�-m(+*�% �1! -�%;@?%<�� .�! - 4¿�1!m(+*�%,-�%54Æ!��k(+�1��!V��C&^� .��4po�6k(+�15 61%<�T��C � S .�!�- �  5�6"o��¨' %<43.��"!�-�%<'n�<G � %�(¨o ��.��n� o�4{%)(+*Æ.�( � �� � S v �� �u� J¨*�%�' % � � �� � � � S c s .�! - � � �� � �  c s4=� 4�� �  v 4�� �u� J¨*�%<'n% � � 4�� � � �  c s .�!�- � � 4�� � � S c s #

Page 152: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s µ�h ���������� ���������������� ����� �� ���� !���" �#·l*�%�!V�k(lC`��616"�-J¨� (+*Æ.D(" b à N ����� �*" b  8�à � ��� ��� �� N < ��� ��� � �� < ��� � ��� N < ��� � ��� � � �*" b  8�à � ��� ��� � N < ��� � ����� < ��� � ��� � � #

·l*�o���JT%,*Æ./:�%^� ���

N b S�º� � � �

� �� � �;4�� ��#" b  8�Ã���� ��� � N < ��� � ��� � � �`² G s h?G s Zf

J¨*�%�' % � �� � �;4�� ������

� b S�º� � �

" b  8�à ��� � ����� W � º � � N < º � � � �� b S�º� � �

" b  8<à ��� � ����� W � º?# �`² G s h?G s b���.��[* � � � �;4 � � T'n% ��o��"' %<� � S %<61%�43%�!f([.�'¾79��5M%<' .D(+�"��!��l.�! -m( *�%<'n%,.�' % � S �  ���-����\%�' %<!f( � � � �;4 � � � �<KÆ�n� � � S %�61%<4{%<!f(+.�'n73��5M%<'+.�(+�1��!��l.�'n%y!�%<%�-�%<->(+�0�<.�61��o�6 .D( %(+* %<4 .�6"6�G ·l*�%<! �  %<61%�43%�!f([.�'¾7���5M%<'+.�(+�1��!��g.�'n%À'n% ��o��"' %<-Ä(+� �<.�61��o�6 .D( %R%/.��[*^� K � ^� � �

N b Sº� � � � #/#<#[;KT.�!�- (+*�%�' %>.�'n% � ��CH(+*���� %�K *�%<! �<% � �  %<61%�43%�!f([.�'¾7��5M%<' .D(+�"��!��<G ·l*�%R(+��(+.�6y!�o�4 6M%<'m��C %�61%<4{%<!f(+.�'n7���5%�'+.D( �1��!��9.�' %P( *Bo � � � S v

� �  ��� � � S v �  AG�g� � ���`�8�¥�M� f � � �L� �3�+�[�;�Bu��¥�u���¿�2u �B���A�u� � ¡� /���g� �2u1�;�Buk���¥�u���¿£��1�8�;�+�;�§�{�¥�n��� �` /���;¡r��1�p� �2u4u1� £3� � � + : o�� + � . @ � �A@ C @-: ��o F � @?E � +"+"C9�z o�5�5M���n% � S �<.�!K6M%yC¥.��;(+��'n%<-mC`o�'n( *�%<'�KÆ� o��[*>(+*Æ.D( � S � � SJS � S  G 2Æ��'¨. 4 @?%�-4 � � K � � � �;4 � � T�1�l.0-��"� ��' %�( % 2Æ��o�' �"%<'T( '+.�! �nC`��'n4 �1! � � GE·l*�%<!V.�6"6 � � � �;4 � � �/.�!

6M% �<.�61��o�6 .�(+%<-~J¨�k(+*�  � S � � SJS v � S  E� � � � SJS v � S  ;�%<6"%<4{%<!f([.D'n7g��5M%<' .D(+�"��!���K�J¨*�%<'n% �  �1�l(+* % !�o�4 6M%<'H��C 4 � � .�!�- � S �1�l(+*�% !�o�4 6M%<'��C � � C`��'¨. 4 @?%<-�4 � � G

·¤�D([.�6"6"7p�k( ' % ��o��"' %�� � � � SJS v � S  Bv � �  ��� � � SJS v � S  v �  E%<61%�43%�!f([.�'¾7��5M%<' .D(+�"��!��<KBJ¨*�%<'n% � �  .�' % .�6"6 ^� _�1�GIÅC � � � S �  W #k#k# W � � K ( *�%<!>�"(l'n% ��o��"' %<� � � � S v �  v�#"#k#Yv � � T%<61%�43%�!f([.�'¾7��5M%<' .D(+�"��!��<G IJ! 5Æ.�'¾(+�"�<o�61.�'<KH�"C � �1�>.�5��J %<'>��C|h?K&�+./7 � � h � �"(m'n% ��o��1'n%<�h � ��h ��61��q  � %�61%<4{%<!f(+.�'n7g��5%�'+.D( �1��!���G

Page 153: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ���� � ��� � ������� ��� ������� ��� ��� � ��� � ��� �

!#"%$'&("*),+.-0/1)324252426 � � ���� ! ��#$� % ���� ���%j ��!��n�1-�%�'¨( *�%,� 5Æ.D�<%,��C¤�<��!f(+�"!�o���o��lC`o�!��;(+�"��!��&�P��!g(+*�%,�1!f( %<'n:D.�6 ¬ � � � ­�.�!�-g( *��1! ���C¨C`o�!��;(+�1��!��|��.��0�"! 4Æ!��k(+% �J-��"43%�!�� �"��!Æ.�6ª:�%<��( ��' � J¨* ��� % �n����4{5��! %<!f(+� �¿.�' %9( *�%:D.�61o�%��&� � �2.��l�='+.�!�q�%<�¨�8:�%<'¨(+* % �"!f(+%<'¾:D.�6 ¬ � � � ­�G·l*�%¨��5M%<'+.�(+�1��!��ª��C¤XYW (-�J}-& .�-�-��k(+�1��!p.�!�-|�n�/.�61.�'ª4po�6k(+�"5�61�"�/.D( �1��! .�'n% 7no��n(E( *�%lo�� o�.�6.�-�-��k(+�"��!g��C�+�/�Z (-� $¥}YZ!(&.D!�-m4po�6"( �15�6"�1�<.D(+�"��!3�DCk+�/�Z+(-��$`}YZ�(�6f7g�<��!��n(+.�!f(+�<Gd»%�4Æ'n�n(Hq��k:�%)(+*�%,-�%54Æ!��k(+�1��!g��C¤( *�%)C`o�!��;(+�1��!>�n5Æ.���%<�yQ98fG�g��� ���`�Y�`�M� f �i�%:2�R���>�u�Æ�J�;�/-��2u<; � �¥� � � � � � +�/DZ (-� $¥}YZ~( � 3)(�W'(yQ98f� s ��= (�����+�r£B�`¯��\� £9°<± Q>8 � ; _¶�@?L�p_B�BA X � � � X 8 ��� (Ä�DC�# � µ?G s G s �L� ���� /��� = � s � � �B�;�

Q98 � ; `_¶�E? �p_B� A X � � � X �f� (Ä�DC � µ?G s G¶h����M£H /��� = ��h � � � � -��Q  � ; _¶�@?L�p_B�BA X � � � X  �f� (Ä�DC�# � µ?G s G � �¤��� = �a� � � £B�`¯��\�Q � � ; `_ � ? � _f43.�@A X � � � X (Ä� C # � µ?G s G ²

s µ �

Page 154: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s µ ² ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� ?&��J JT% q��":�%y(+*�%,-�%54Æ!��k(+�1��!mC`��'2(+*�%,Z}-&*. �"!VQ98 = �Å� 5Æ.D�<%<��G�g� � ���`�8�¥�M� fih � �L� � Q>8 �¥Z}-&*. �1�r£B�`¯��\� £9���

L � L M�O AT_ � � �BA X � � � X 8 ��� � S �

8 � s ��= (Ä� � µ?G s G µ����M£3� � � Q98 ��. 3��?Z}-&). ���� � � �\���A¡ �|�1� £B�`¯��\� £����L � L M

�O AT_ ��4�.Y@A X � � � X # � µ?G s G[Zf

C > � � @���E � � j � � E �¥� : �8��� ,�<��M� � ��@ , � ��o-qY� � ��s sÆ�8�8� � � ��� 2Dº � �92 � � � � �;�4 �!�L�PO ;À���M£ X 2�º � � X �� � �  /��� �2u4u 4�i�PO ; � � � �;�+� � ORQ S � ; ��3�L� �;�� A 2�º � ����� c � A 2 � ���f� � � �;� 4 �a# � µ?G s Gcb�IJ! ( *�%E� %���o�%<6f(+* %�C`o !���( �1��!��L( *Æ.D( J %��<��!��n�1-�%�'�.�' %E�"!,Q  � J¨�k(+*,� ��43%E%A@ ��%<5 ( �1��!��CQ S C`o�!���( �1��! �[;G �T%�C`��'n% J %H�¾(+o�-?7p(+*�%¨Q  �Å� 5Æ.���%`JT%l'n%<�<.�616 ( *Æ.D(ªC`��'N(+*�%l����4{5�61%A@

�J-��"43%�!�� �"��!Æ.�6M:�%���(+��'H�n5Æ.���%�K � � K�(+*�%%$1Z ZW'& � &A}?~i/ (-�E�1�� :\� � � ��

7 � S : � � � � � µ?G s G Y .�!�-g( *�%,Z}-&). ��Cª.0:�%���( ��'¨�1�l-�%54Æ!�%<-K6f7

L : L � � ��7 � S X : � � X

 � S �  # � µ?G s G´³f·��3-�%54Æ!�%,(+*�%%$"Z�ZW'&�� &A}?~i/ (-��.�!�-m(+* % ZM}-&). C`��'2(+*�%,C`o�!��;(+�1��!��¨�1!g(+*�% Q  �J�n5Æ.���%�KJ %�� �"435 6"70'n%<5�61.��<%¨(+*�%&� o�4 ��C\:�%<�;(+��'n� 6f7|(+*�%&�1!f(+%�q�'+.D61����CL( *�%&C`o�! ��(+�"��!���Gª·l*�o���_�g� � ���`�8�¥�M� f zL� �L� � $1Z�ZW}& � &;}B~m/ (�� �u�R� � � Q  � � s �B�[�)�1�r£B�`¯��\� £9°<±

� �M��2 � � � �5 � � � 2 � �n��� � µ?G s G s � ���M£3� � � Z}-&*. �u�R� � � Q  � � s �B�[� °<±L � L � � �M�A� � �N � � ���5 X � � � X  �f� � S �  # � µ?G s G s�s

Page 155: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A� �!� �"�"� �k�� ������9������ ���"��#^��� �������D ! s µ�µ�T%<6"��J J %�-�%�!���(+%y6�7�Q  ��� � � >(+* %e� 5Æ.D�<%���C�( �!/ 35&;W � $1Zm�§W 7 &'3 �?1¥W=C`o�!���( �1��! �P��!¬ � � � ­�K¤( *Æ.D( �1��Ki( *�%{� %�( ��C2.�616NC`o !���( �1��!�� ��! ¬ � � � ­�J¨*����n%3� ��oÆ.�' %��p.�'n%�.?6�� ��6"o (+%�6"7� � %�6M%<�nq�o�% �¾P�1!f(+%�q�'+.?6�61%e�8:�%<' ¬ � � � ­�G �V���¾(+6"7a�"(R�"�R%<!���o�q�* (+��(+* �1! ����Cg� O� ��� � � AKaJ¨*��1�[*{�1�N( *�%¨� 5Æ.D�<%¨��CM5��1%��<%tJ¨�1� %¨����!f(+�1!�o���o��EC`o�!���( �1��! �E��!0(+*�%l�"!�( %<'¾:�.D6¬ � � � ­�Gd»%,' %��/.�6"6L(+*�%)C¥.�4{��o�� �G3!/ (& � � �(&��k3?& �-9 $1ZW ��/a3?1R$ � � _

VVV � �5 � � � 2 � �¾�f� VVV � � �5 X � � � X  ��� � �5 X 2 � � X  �f�i# � µ?G s G s h�6 � � �'#$� �$��� 3���� � � ��� � # � ����� ! ������% %� %�(Ho���6%�q��1!0J¨�k(+*m� ��4{%,�14{5��'n([.D!�(T-�%64�!��"( �1��!���G�g��� ���`�Y�`�M� f /� `  � �Yº � �º � S �1�>�R�8���<�Æ�;�\�[�=�§ � A�?�\�;�¥����� �g�u� � ��� � � �� � �3�<��±� � ��� �Yº|c � $1ZmZ}�&). � �   L �Yºycw� L c � ��g��� ���`�Y�`�M� f �L� �¢�8���<�]�;�\�[�¿�§   A�?�\�;�¥����� � � � �Yº � �º � S � �1�À� �2u4u1� £w� �G3!/ (& � (;W���!/BW[Z (�W � �   L � c � º L � ��� R�;4 � ��g��� ���`�Y�`�M� f �L��� � s �B�[� � �§ H A�B�\�;������� �{�1�m� �2u4u1� £ (<}-. � 1`W-�§W �  m�/-��;�A± �G3!/ (& �(;W ��/�W[Z (�W �u� � � ���r� u��u¡0�u� �u� �E�v�w ��EyxE��8�f �i� �L� �T A�B�\�;�¥�����R� s �B�[� Q  ��� � � �1� (<}�.�� 1`W-�JW � � � ��� � ¡�� ��� �r� � ���2�  � �Yº � �º � S �1��� �G3B/ (& � (;W��!/BW+Z (<W � � � �;�g� � �;�+�H�1���  A�B�\�;������� �PORQ  ��� � � �;�Æ� � � � ����Yº � $1ZmZ}�&).=�

� � � , >M� � H Q  h o x�: < � o�g��� ���`�Y�`�M� � �i�E�i�;� � � � °;�¨�0�[���Æ�¥�u�Æ�]���f�L A�B�\�;�������m���g¬ � � � ­3� �;�Æ� � � � ��� � � � ��  /��� �2u4u �PO ¬ � � � ­Å�3�L� �;� � �0� �2u4u�� � � � �EW'$ 7 &m��+�/�Z (-� $¥}YZ ���À¬ � � � ­J��g��� ���`�Y�`�M� � �]� �L� � ��W}$:7 &m�JW<~>Q  ��( � 3)(�W �ªQ �  ��� � � ;� �1� � � �,�8�;�H�§ r�2u4u �����<°;�[�����Æ�¡�� ���;�?�n�f°�u1� �l A�B�\�;�¥����� �p���À¬ � � � ­ �;�]� � � � ���

���5 X � � � X  � � �n��� (Ä�a# � µ?G h?G s

Page 156: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s µ2Z ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� �g� � ���`�8�¥�M� �if � �L� � Q �  ��� � � �u�Æ�\�;� sM�[�<£��Æ�;�T���M£3�\���A¡ ���[� £B�`¯��\� £9°<±

� �M�#2 � � � � �5 � � � 2 � � � � �n��� � µ?G h?G h����M£���M£ L � L

�� � �]�A� �

�N�

� � � �5 X � � � X  � � �¾��� � S �  # � µ?G h?G � � @ �->i�/,]�M� :�8 : �=H�� @ �->i�M��� @5Ey:�8 o � �-o

dÁ%0' %<�<.�616�(+*Æ.�()( JT� �J- �14{%<!��n�1��!Æ.D6�����4{5�61%A@P:�%���( ��' �%:À.�!�- O � � K � : ,� .�'n% }-&�� &}7?}YZi3?1]�"C � :L� � � � Gª·l*�%�' %y�"�T�n��43%�JT��' �0(+� 6M%�- ��!�%y�"!���'n-�%<' (+�r�n*���J(+*�.D(�J %H�<.�!{-�%64Æ! %H��'n(+* ��q���!Æ.D6�.�!�-|��'¾(+*���!���' 43.�6?� %�( �EC`��'NC`o�!��;(+�"��!��E�1!p( *�%¨�+.�4{%JT.87�G 2]��'l� �14{5�6"�1�<�k(J7�JT%,(+'no��n(H�1!9( *�%)C`��616"��J¨�1!�qp- %64Æ!��k(+�"��!���_�g� � ���`�8�¥�M� � � � �L� �L A�B�\�;������� � � � º � �º � S ���+� }-& � &}7 }8Zi3?1 �   � � º?� �

�� � � � � � �;�4 ,� À�3�L� �;� � �0� �2u4u � � º � �º � S ��� }-&�� &}�7 }YZi3?1 (;W-� ��g� � ���`�8�¥�M� � �i� u  � � º � �º � S �1����� }-&�� &}7?}YZi3?1�(AW-� ���M£ L � º L � s  /���&�2u4u 4 � � � �;�� � º � �º � S �1�r��� }-& � &}YZ}�&). 3?1 (;W��+�

�p� o�� :�x�x=@ � w � Ey: �8�¥�M���¥� Q  ��� � � IÅC � � º � �º � S �1�|.�! ��'¾(+*���!���' 43.�6�6Æ.��n�1�pC`��'|Q  ��� � � ( *�%<!�(+* % 2Æ��o ' �1%�'p� %�' �"%<�0%;@ �5Æ.�! � �1��!>�DCª�^J¨�k(+*m' %�� 5M%<��(H(+� � � º � �º � S �"�lq��":�%<! 6f7>�>� �º � S � �M� � º � � º K!J¨* %<' %� �]� � º � �"�2(+*�%,5�'n� 7n%<�;(+�"��!V�DCE�R��! � º?G � %<61��J JT% .�5�5�'n�/@ �"4�.�(+%y(+* % �"! 4Æ!��k(+%)�no�4.26M�8:�%%6f7>. 4�!��"( %)� o�4>K�:B�Re2_C > � � @���E �if|j)C > � x=@ ��� � <��Y�`�M�¿��> � � @Y�BE qY� �i�;� � � º � �º � S °;�����=���A� � ���\���A¡{�2u�8�;�9�§ À���M£ � � º � �º � S � � � º � �º � S °;�¿��� ���A� � ���\���A¡{�2uy°[���;�1�0 /���P� � �P�;��°;� s �B�[�� ��Q  ��� � � <�w�L� �;�»� � ��°;�[�;�&�ts sM�+� r��u¡{���������Á�§�=�, A�?�\�;�¥����� ��O�Q  �¥� � � °<±P� A�B�\�;�������P�u� � �1� ��� -��;�¿°<±

��m� �� º � S � �]� � º � � ºB� � µ?G h?G ²

Page 157: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A� �!� �"�"� �k�� ������9������ ���"��#^��� �������D ! s µab�u�R� � �)�8�;� �8�)� � ���

L �9c �� L ����� �gc �� º � S Tº � º ���  /��� �2u4u¤�[��� �;�Å���Æ�u� Tº?# � µ?G h?G¶µ��L�B�A� � �;�,� � �� A�?�\�;�¥����� � �gc �� �1�0���A� � ���B���M�2uL�§�{� � �)�;� °;� s �B�[� � ���M£

L ��c �� L  � L � L  c �� º � S X � �]� � º � X # � µ?G h?GcZ�

� �[�8�§  � 2]'n��4 ( *�%,61�"!�%/.�'2.�61q�% 6�'+.9J % �B! �-J�(+*Æ.�(HC`��'l%/.��[* ¿K s � � �ÁK� ��c ��¤� � � � � � �M� � � � c � ��i� � � � �.�!�->� �"!��<%� ��¤� � � � ��� �� º � S � �M� � º � � º � � ��� # � µ?G h?G b�IÅ(¨C`��616"�-J¨� (+*Æ.D(� ��i� � � � � �� º � S � �]� � º � � � ºB� � � � # � µ?G h?G Y 2Æo�'n( *�%<'�KÆ� �1! �<% � � º � �º � S �1�¨.�!>��'¾(+*���! ��' 43.�6\�n%�(H��C�C`o�!��;(+�1��!��<K�J %,*Æ./:�%,(+*Æ.D(� � º?� � � � � & s � �kC 4V� M�

� � �kC 4 ,� M� � µ?G h?G ³���G %�GkKDC`��' � ���� � � � � � �M� � � � .�!�-p*�%�!��<% � � c ��¤� � � � � � #Y·l*�o�� � � c ��\i�"�¤��'¾(+*���q���!Æ.�6(+�{.�6"6\61�"!�%/.D'2�<��496��1!Æ.�(+�1��!��T��C � � _´�"J¨*��"�[*V4{%/.D!��2(+*Æ.�( � ��c ��T�1�l��'¾(+*���q���!Æ.�6M(+�� G � %;(�2�ORQ  6M% .�!V.�')6��k(+' .�' �"6"70C`o�!��;(+�"��!>.�!�- J¨' �"( %

��c 2|� � ��c ��L v � ��9c 2 ;#I&�n�1!�q�]ª7�(+*Æ.�q���'+.��l( *�%<��'n%<4 � .��2C`��'2(+* % 4ro (+oÆ.D616"73��'¾(+*���q���!Æ.�6\:�%<�;(+��'n�[`JT% q�%�(

L �9c 2 L  � L � �9c ��\ v � ��9c 2 L  � L �9c �� L  v L ��gc 2 L � �� � �

L ��c �� L  #·l*�o��`JT%�*Æ./:�% L �pc 2 L L �pc �� L G z �14{�16 .D' 6"7 J¨' �k(+�"!�q0�>�a�pc �� v ��=.�! -9o�� �"!�q]ª7B( *Æ.�q���'+.��l(+* %<��'n%<4 � �n%<%)(+* % 2¤�1q�G r�"(lC`��6"61��J¨�T( *Æ.D(

L � L  � L ��c ��|v �� L  � L �gc �� L  v L �� L  #

Page 158: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s µ Y ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"��

� 2

���

�9c ��

+ � ,/. @Y� h �¥� 0·l*�o��

L ��c �� L  � L � L  c L �� L  # � µ?G h?G s � \¨%<�/.D616\( *Æ.D(��m� �� º � S � �]� � º � � ºB�·l*�o���6�7�(+*�%,��'¾(+*���q���!Æ.�6"�"(J7

L �� L  � ��� �� º � S � �]� � º � � º ���

 � �� º � S X � �]� � º � X L � º L  # � µ?G h?G s�s

$&%�!��<%y( *�%y��'¾(+*���!���' 43.�6"�"(+*f70�DC � � º � K ��G %�GkK L � º L � s K?.�!�- � µ?G¶hBG s � �14{5�6"�1%<�E( *Æ.D(L �9c �� L  � L � L  c �� º � S X � �M� � º � X  # � µ?G h?G s h�

��! ->( *�%,5�' �B��C��1�¨�<��435�6"%�( %�G?&��J��n�1!���% L �gc �� L  � J % *�.8:�% o � �1! q � µBG¶h?G s h��(+*Æ.D(

� � L � L  c �� º � S X � �]� � º � X �

.�!�-m�kC�J %,!���J 61%;( 4 � JT% q�%�(l( *�%)C`��616"��J¨�1!�q9J %<6"6�� �B! �-J¨!>' %�� o�6k( _

Page 159: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A� �!� �"�"� �k�� ������9������ ���"��#^��� �������D ! s µ�³�p� o o ��8�� o���� ��� . :�8 �u� � 0 IÅC � � º � �º � S �1�&.�!=��'n(+* ��!���'n4�.�6 �n%�()�"!PQ  �¥� � � H.�!�-¿�»OQ  ��� � � ;K�( *�%<! �� º � S X � �]� � º � X

 � L � L  # � µ?G¶hBG s�� ·¤�{5�'n�?��%<%<- J % �n*Æ.�616\!�%<%�-V(+* %,C`��6161��J¨�"!�qr6"%<4{4�.!_� ��E E : � f � u  �PORQ  ��� � � ���M£ � � º � �º � S �1�,���Ʊ����;� � ���\���A¡{�2u]�8�;�E�u� Q  ��� � � ��� � �;�R� � �)�8�;�A���[�

�� º � S � �M� � º � � º �[��� -��;�:�B�[�)�u�R�\���A¡ � ���M£ ����� º � S � �M� � º � � º ��� � L � L #

� �[�8�§  � �T%<�n� %<6 �´�E�"!�% ��oÆ.D61�"(J7 q��k:�%��N(+*Æ.�(ª(+*�%l�n%<'n�1%<� �º � S X � �]� � º � X  �<��!f:�%�' q�%��<G�I&� ��1!�q0( *�% ]E7�( *Æ.�q���'n%/.�!m(+* %<��'n%<4 C`��'l��'n(+* ��!���'n4�.�6M:�%���(+��' ��J %,�a6 (+.��1!���

º�� �

� �]� � � � � � ��� � º

�� �

X � �]� � � � X  � J¨*�%�! R��4 �a# � µ?G¶hBG s ² ·l*�o��2(+*�%&5Æ.�'¾(+� .D6M�no�4{�2��CL( *�%y� %�' �"%<� º � S � �]� � º � � º,C`��' 4¦. j .Do��[*f79� %���o�%<!���%�K.�!�-Á� �1! �<%9Q  �¥� � � �1�,����435 61%�( %�Ki(+*�%3� %�' �1%�� ����!f:�%�' q�%��<G � 7Á.�!���( *�%<' o�� %3��C2( *�%

]ª7B( *Æ.�q���' %/.D!>( *�%<��'n%<4 .�! - � %<� �n%<6 �´�H�1!�%���oÆ.�61�k(J7 J %,q�%�(���

�� º � S � �M� � º � � º ��� � 61�14

� �¨� ��� �� º � S � �]� � º � � º ���

 � 61�"4� �¨� �� º � S X � �M� � º � X

Â� �� º � S X � �]� � º � X

 � L � L  # � µ?G¶hBG s µ���!�-m(+* % 5 ' �B��CN�"�l�<��4{5�6"%�(+%DG?&��J J % .D' %,' %<.�- 79( �{5 ' �8:�%,C`��616"��J¨�1!�qp�"435M��'¾([.�!f(2( *�%<��'n%<4>GC > � � @Y��E � � �����;� � � º � �º � S °;�0���w���A� � ���\���;¡{�2u �8�;�l�u� Q  �¥� � � ;� � � �;�Á� � �l /�5u �u1� � �u���m�[���M£��u�¥����� � ���+�p���<�?� -��2u1�;�Æ� �j*: q u  � �]� � º � � �  /��� �2u4u 4 � � � �;� �m� � �j qV�����>�/-��;�A± �ÇO�Q  �¥� � � � � � � -�� � � �º � S � �M� � º � � º�� � � �;�+�9� � �9�8�;�A���[��[��� -��;�:�B�[�,�u�P�\���A¡ �j <Bqr�����r�/-��;�A± �PORQ  �¥� � � � � � � -�� 7:�@ o � � :�8�� o ��� . : �Y�`��D�

L � L  � �� º � S X � �]� � º � X  #

Page 160: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s Z � ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� � �+�8�§  �9j <Bq�� j*: q 0 IÅC � �]� � º � � � C`��'¨.�616 4¤KÆ.�!�-yj <Bq *���6"-��<KBJT% *Æ./:�%

L � L  � �� º � S X � �M� � º � X  � � .�!�- �>� � #j*: q�� j q 0�� �":�%<!p�ROPQ  �¥� � � ;K56�7 � %�4343. � s h�\( *�%�� %<'n�1%��ª�>� �º � S � �M� � º � � º�<��!�:�%<'nq�%<�H�1!g!���' 4 .D!�- ��� �º � S � �M� � º � � º ��� � L � L G�dÁ%)�/.�!m�n%<%)(+*Æ.�(l�"( �2� o�4 �1��p6f7g� *���J¨�"!�q{( *Æ.D(¨(+* % - � �%<' %�!��<% 20�a�9c �º � S � �M� � º � � ºp�1�"e<%�' ��G �To?(

� 2� � � � � �M� �

�� c �� º � S � �M� � �� � � ºB� � �� � � �M� ��� c � �M� �

�� � � �C`��',.�6"6 RK¤.�!�-¿�"Cj*: q *���61-��y( *�%<! 2R� � G0·l*�o��%JT%{*Æ./:�%���� �º � S � �]� � º � � ºB#j q�� j <Bq IÅCE�m� �º � S � �M� � º � � º K�( *�%<!,6f7 ]ª7B( *Æ.�q���' %/.D!>( *�%<��'n%<4>K

L � L  � 6"�14� �¨� ��� �

� º � S � �]� � º � � º ��� � 61�14

� �¨� �� º � S X � �M� � º � X  � �� º � S X � �]� � º � X  �� �"!��<% L �L � s .�!�-m(+*�o��9j <Bq *���6"-��<G �&!�-m(+*�%,5�'n�?��C¤�1�l����4{5�61%;(+%�G

�g� � ���`�8�¥�M� �ih � ���w���A� � ���\���A¡{�2uL�8�;� � � � º � �º � S � � � ���ksÆ�8�[�8�[�[�8�[�r� � ��sM�+�'sÆ�;�A�����[�j*: q ��j <Bq0�u� �L� �[���[�;¡ � �2� �1�r� �2u4u1� £9� (<}-. � 1`W-�§W)}�& � &M}YZ}-&*.~3?1 (;W�� ��� }-& � &}YZ}-&��. 3?1 �a35()$R(  /��� Q  �¥� � � <��g� � ���`�8�¥�M� � zL� `  � � º � �º � S �1����� ���A� � ���\���A¡{�2u °[���;�1���§  Q  �¥� � � ���M£ � OQ  ��� � � �� � � �r�Æ�B¡{°;�;�+� � �M� � º � ���+�{� �2u4u1� £g� � � � �B�;�\�;�n�2u������ £ � �L}A/2&)$`W'&�(<}BW�� ('$`W[Zm��(�§  � � �u� � �[�[� sÆ�[�;�N�§� � � º � �º � S �{�L� �¨�8�;�A���[� �º � S � �M� � º � � º �1� � �2u4u1� £|� � � � �B�;�\�;� ��2u������ £ � �\}�/2&*$¥W}&`(;W}&)$¥W}( �§  �ª�

� Cu(+%<!{�"(��"�E43��' %l�<��!�:�%<!��"%<!f( Z}��L(+� ' %��Bo �1' %l( *�%¨%<61%�43%�!f(+����C 6Æ.�� �"�E(+�%6% /�Z!$ �:�%���( ��' ��G z o 5�5��� % � º � �º � S �1�¨.�!>��'¾(+*���q���!Æ.�6� %�(<G � %;(� º � ºL º L �(+* %<! � � º � �º � S �"�ª.�!r��'n( *���!���'n4�.D6B�n%�( .�! -r(+*�%T�<��'n' %<�n5��!�-��1! qy%;@?5Æ.�! � �1��!pC`��' 4po 6 .C`��'H�PORQ  ��� � � l.�!�-m(+* %l]¤.�' �n%�:D.�6 'n%<6 .�(+�1��!9([. �D%,( *�%)C`��616"��J¨�1!�qrC`��' 4

�>� �� º � S� �]� º �L º L  º � L � L  � �� º � S

X � �]� º � X ÂL º L Â # � µ?G h?G s Zf

Page 161: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A� �!� �"�"� �k�� ������9������ ���"��#^��� �������D ! s Z s�g��� ���`�Y�`�M� � /� � º � �º � S �1��� (<}�.�� 1`W-�JWl}-& � &}7 }YZ�3?1!(AW-� ���&��� }-&�� &}7?}YZi3?1 �a3?()$ ( /��� Q  �¥� � � �   � � º � �º � S � � º � L º L � �º � S �1�r���Á���A� � ���\���A¡{�2ui°[���;�1�p�§  Q  ��� � � <��L� � �\}�/2&*$¥W}& (<}BW�� (}$¥W[Zm� (  /��� � � �u� � �[�[� sÆ�[�;�E�J�|� � �p���A� � ���B���M�2uL°[���;�1� � º � �º � S �1�

Tº � � �M� º �L º L  #?&��J J % �<.�!>' % J¨'n�"( %,( *�% ]N.�'n� %;:�.D6 % ��oÆ.D( �1��!>�1!9( *�%)C`��616"�-J¨�"!�q9JT./7

L � L  � �� º � SX � �M� º � X ÂL º L  � �� º � S L º L

 X Tº X  # � µ?G¶hBG s b�� @ �->�� ,]�M� :�8 : o � o F � @gQ  � c¨tE� ti �

C > � � @Y��E � ��� �L� �y�8�;�u�� " à º � � �º � b � ���M£ � �<��� � 4� � �º � ��� � �n�1! � 4� � �º � S���+�0���;� � ���B���M�2ui°[���8�[�E /��� Q  � cHtE�nt�<�3�L� �y�8�;�u�� �<��� � 4� � �º � � ���M£ � � �1! � 4� � �º � S���+�0���;� � ���B���M�2ui°[���8�[�E /��� Q  �¥� � t����i%;(Ho��¨!���J �/.�6"�<o�61.D(+%y.�]¤.�' �n%�:D.�6i% ��oÆ.�(+�1��!mC`��'¨Q  � cHtª� t�yK�o��n�1!�q � µ?G h?G s µ�'_L º L  � � 8

b 8 º � � º � �¾�f�g� � 8b 8 X º � � X  ���2Æ��' º � ���*" à º � JT% q�%�(

L º L  � � 8b 8 " à º � " b à º � ���m� � 8

b 8 " � �f�g��h�t C`��'¨.�6"6 4¤# � µ?G¶hBG s Y º � �r� " à º � ��4�� cy�a�<#/#/#<�[� C`��' 4g6Æ.D� �1� C`o�!��;(+�1��!��r.D!�-»(+* % 2Æ��o�' �"%<',� %�' �"%<�%;@?5Æ.�! � �1��!V��Cª��_

� � ��� ��b �

Tº%" à º � �<��!f:�%<' q�%<���"!m!���' 4>G Tº � � �]� º � XL º L  � sh�t � 8

b 8 � � � º � �n���g� sh�t � 8b 8 � � �#" b à º � ���i# � µ?G¶hBG s ³�·l*�o���J % q�%�(l( *�% ]N.�'n� %�:D.�6i%��Bo�.D(+�"��!m�1!>Q  � c¨tE� t� _

L � L  � ��º � b �L º L  X Tº X  �ah�t ��º � b �

X Tº X Â # � µ?G¶hBG¶h �

Page 162: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s Zfh ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� 6 ��� � � $����� ��� !���� � ��� ��#$� � �����6� ����#������� %·l*�%�' %{�1�,.g6 .�'nq�%p��6 .��n� �DC 6M��o�!�-�.�'n7P:D.�6"o�%05�'n�a6�61%�43�)��!Á.D!À�"!f(+%<'¾:D.�6 ¬ � � � ­E( *Æ.D(61%<.�-9(+�|��'¾(+*���q���!Æ.�6 6Æ.��n%<�lC`��'lQ  ��� � � AG ·l* %<� %,5�'n�a6�6"%<4{�¨.�' %�( *�%,� o�6 7n%<��(H��C�(+* �1�� %���( �1��!LGE·��{�n([.D'n(�JT%,5�'n�8:?�"-�%,� ��4{% 6Æ.��n�1�,-�%54Æ!��"( �1��! ��_�g� � ���`�8�¥�M� � �L� � u��u�\� ��� ���n��� �` /���A¡{��������� 4 _ � � � � �1�3� �2u4u1� £ (AW'1 + � 3�~�<}�$1Zm���� �,W}&).�$ ��$ 3DZ �  

� 4 ��� � ��� � ��� 4 � �  /��� �2u4u ��� � O � � # ��µ?G � G s���i�;� � ���M£ 4 °;�H� � � u��u�\� ���)�'sÆ�;�n���J���+�H� � ���ª���[��£B�`¯��\� £0���g� � �l�;� °;� s �B�[�[�����V���M£�<

�§  Q  ����� � � ���M£p¡{�tsV� � �;¡¦�u�Æ�§� Q  ����� � � � � �H�<��±p� � ��� � ���M£ 4 ���[� 3�~�<}�$1Zm��J�g� �B� � ��� � �;�,�  � ����� � ��2 ��� � ��� 4�� 2 � �  /��� �2u4u �PO ��� ���M£ 2�O �

<# ��µ?G � G h �

� �1�0� �2u4u1� £ (AW'1R+ � 3�~�<}-$"Zm� ��� �)W'&).�$ � $43DZ �  � ����� � ��2 ��� � ��� ��� 2 � �  /��� �2u4u ����2�O ��� # ��µ?G � G � �

C > � � @���E �ih|j ��: , @5: �1, � � o ����H � ��Y�u� � qY�ª�i�;� Q!��� � � �#"$� � � � v = � ���M£ Q � 2 � ��#" 2 � � � v = 2 � � � �;�+� "��&% ���M£ = ���+� �+� �2u� A�?�\�;�¥����� �0�§ 0�tuk���[� O  T ���»¬ ��� � ­3� � � �;� Q�1�(' +�}�&). 3?1R1 �*)"(;W'1 + � 3�~�<}-$1Zm� �� Q!��� � ��2 ��� � ���+Q � 2 � � v � "+����� �2rc,� �2 � � � �5 # ��µ?G � G ² �

� �+�8�§  �HIÅC�JT%GJ¨' �k(+%.-�o ( (+*�%E�"!f(+%<q�'+.�6D-�%64Æ! �1!�q � Q!��� � ��2 � K�J %0//.�!,4-8:�%ª(+* %E-�%<'n�":D.D(+%C`'1-�42�=(&-02 6f7m�"!�( %<q�' .D(+�3-�!06f7g5Æ.�'¾(&4�K�:?� e2_� Q!��� � ��2 ��� 5 �5 � �6"7��� � � �2)v = � �2 �987:;� � "$��� �2 � �5 c 5 �5 "$��� �2 � 87: v 5 �5 = � �2 87:

� � "7� � �2�� �5 c � �<" �2 � � �5 v 5 �5 � ���=�#" �2 � � �Dv = � �2 � 87:� � ">��� � �2pc,� �2 � � � �5 v 5 �5 � � �#" �2 � � � v = �2 � 87: #

2�-�'?"|.�! - = ' %<.�6 J % *�.8:�% ( *Æ.D(�6" �2 � � �Dv = �2 � �6".2 � � � v = 2 � Q!� 2 � � ��µ?G � G µ �

Page 163: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A����� �� � � � �� � ��= �# �:� �t��� �k���� � �� ���� �D#^ s Z �.�!�->*�%<!+/<%

5 �5 � � �#" �2 � � ��v = �2 � 87:;�5 �5 � Q!� 2 � 8 :;� � ���[Q!� 2 � � # ��µ?G � GcZ �

·l*�o>4�J % *Æ./:�%� Q!��� � ��2 ��� � ���[Q!� 2 � � v � ">��� � �2rc � �2 � � � �5 #.�!�-m(+*�%,5�' - -DCN�34 / -�4{5�61%;(+%DG

Q�� 4 -a6f:B� -�o>4 6k70(;W}1R+ � 3f~�<}-$1Zm�N�kC� ">����� �2 c,� �2 � � � �5 ��� � ��µ?G � G b �

J¨*�� /[*��34r-�%;(+%�' 4{�1!�%�- 6f7Á( *�%�%�!�-�5�-��1!f(&4��À.D!�- � GP·l*�o>4 J %9*Æ./:�%m.^6�-�o�! -Æ.�'n7:D.�61o�%)5 '1-a6�6"%<4>G�i%;(H!>-�Ja(+* % 6�-�o�! -Æ.�'n7 / -�!�- �"(+�3-�!>4"6M% -�C¤( *�%)C6-�' 4,_

��=��� � v �

� ��� ��� � ��� � �.� � � v � � ��� � � � ��� ��2��#� � v �

� 2 � ��� � ��� � 2�� � � v � � 2 � � � � ��� #J¨*�%<'n%���� � � � � � O=F!�;�

���� � ,� � � � � � .�!�- � � � � � � ,� � � � � � GIÅC

�� ��� (+*�%�!

�,��� .�!�- J %0*Æ./:�% �.�#� � � 2���� � ��� G,·l*�o>4 � � �2|c � �2 � ��� �"!

: � �ÆK�4n�1!>/�% �kC2 �#� � �a� JT% *Æ./:�% �2���� � �a� GIÅC�� ,�a� K!J % *�.8:�%

��.��� � � c

�� � � �#� � .D!�-

�2���� � � c

�� 2 � ��� � GE·l*�o>4

��� ��� � � c ����=��� � .�!�- 2 �6��� � � c �

��2���� � # ��µ?G � G Y �

� %�(H!>-�J � � c ���K�(+*�%�!

� � ��� � 2 �#� � c,�.��� � 2 �#� � � � � �.��� � 2 �#� � c,�.��� � � 2���� � � � ��µ?G � G ³ �IJ!>( *�% 4+.�4{%JT.870J % -a6 ([.D�1! � � � � � 2�� � � c �.� � � 2�� � � � � � G2�-�'H. 4 % / -�! -�� -�'n-�%<'!-�5M%<' .D(&-�'&Q J %r�14{5�-74 %y( J -9�1! -�%<5M%<!�- %<!f(6�-�o�!�-�.�'n7 / -�!�-�� �(+�3-�!>4 -�C�(+*�%)C6-�'n4� S ��� � � � S �.��� � v �

� S ��� ��� � v � S �.� � � v � �S � �6� � � �

Page 164: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s Z ² ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� �  ��� � � �  �.�#� � v �

� ���6�#� � v �  �.� � � v � � ���6� � � �J¨*�%�' %���� � � .�!�- � � .�' % / -�!>4n(+.�!f(&4�G

��6"4 -$4n(¨.�6"6( *�%%6<-�o !�-Æ.�'¾7;/ -�! -��"( � -�!>42( *Æ.D(H.�'n� 4n% �"!g5�'+. /�(+�3/<% .�'n% -�CN( *�%)C6-�' 4��.��� � v �

� � � ��� � ��� � �.� � � v � � � � � � � ���J¨*�%�' %

���� � � � � � OPF!� �

���� � ,� � � � � � .�!�- � � � � � � ,� � � � � � G·l*�% 4 % 6<-�o�!�-Æ.�'¾7 / -�!�-��k(+� -�!>40.�'n% //.�6"61%�- (;W � 3?&'3B�§W<~ÆK 4n�1!>/�%g%/.$/[*,-�!�%g�"!�:$-�6":�% 4|./ -�!�-��"( � -�!m.�(�-�!�6"7 -�!�%,%<! -�5<-��1!f(/G

? -�J JT% q��":�%y(+*�%,-�%54Æ!��k(+� -�!mC6-�'¨.|'n%<q�o 6 .�' z ( o�' 4 � � �3-�o :B�16"61%¨5�'1-26�61%�4VG�g� � ���`�8�¥�M� � �L��� &;W 7i/21435&9 �)/2&*. �:� $`}�/�X�$R1 1¥W � &;} �51¥W'. ����� � ���u�Æ�J�;� -��2u ¬ ��� � ­ �1�� sÆ�[�;� ¯2� £�°<±{� � �� /�5u4u1� � �u��� ��Å�����¤ /���A¡{�2u4u�±¨�8�tu   �f£��/���u�Æ�\£�� �y�;�+�;�Æ���¥�2u �'sÆ�;�n���J��� Q £B�`¯��\� £y°<± Q!��� � � �6"7� � � � v = ��� � �;�+� "��&" � ���M£ = ���+�,�+� �2u����M£m�[���Æ�¥�u�Æ�Æ�����0���¿¬ ��� � ­ ���M£ " � � ���¿¬ ��� � ­J��Å�u���9�3�8�;�H�§ )�8�tu   � �f£��/���u�Æ�2°;���B�M£f���A±>�[���M£��u�¥����� � � � S ��� � � � ���M£ �  ��� � � � �  /���� � �0�'sÆ�;� ���J��� QH��Å�u�u���3� sÆ�8�;�u�¥� -��p�[���Æ�¥�u�Æ�]���f�� A�?�\�;�¥������� ���À¬ ��� � ­Å�? -�J J %%J2.�!f(¨(&-34Æ!�-V.�6"6(+* % 4 -�61o?(+� -�!>4!� -�C¤( *�%%6<-�o�!�-Æ.�'¾79:D.�61o %)5�'1-a6 61%<4

Q ��� � v�� � � �a� � J¨* %<' % � S � �  ��� � ��µ?G � G s � ���G %�GkK& ¬ "+� : � � � � : � ­ � v = � : � �.� : � v�� � � : � �.� : � ��� � � ( : ( � ���.�#� � v �

� � � �#� � ��� � � �.� � � v � � � � � � � �a� ���µ?G � G s�s��

J¨*�%�' %��V� 4¨.�!V.�'*6��"( '+.�'¾7 / -�!>4n(+.�!f(/G2�-�'N4-74¾(ª:D.�61o�% 4.-�C�� K�(+*�% -�!�6"7 41-�61o ( � -�!�-DCM( *�� 4�6<-�o�!�-Æ.�'¾7p5�' -a6�6"%<4U� 4N( *�%T(+'n�":B� .D6-�!�%DK��.� : ��� � G�g� � ���`�8�¥�M��� � � ` 9� � � � �¥�B�;¡ � �¤������-8�4u4u1� sM�+��°�u1�;¡ � ���m�\���Æ�¥�A� -8�¥�2u �8�5u��B������� � ���1��� �2u4u1� £>��� W}$:7 W+ZMX 351 /BW ���M£>� � ���[���A�+�[� sÆ���M£��u���g�\���Æ���A� -8�¥�2u �8�5u��?�¥����� �{���+��� �2u4u1� £W'$ 7 W[Z!+�/�Z (-� $¥}YZ!(8�

Page 165: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A����� �� � � � �� � ��= �# �:� �t��� �k���� � �� ���� �D#^ s Zfµd»% 4no�4{4�.�'n�Re�%T(+*�%l5 '1-�5M%<'¾(+�1% 4�-�C%<�1q�%<!f:D.�61o�% 4�.�!�-|%<�"q�%<!?C`o�!>/�( � -�!+4ª�1!|.y(+* % -�'n%<4>KJ¨*�� /[* -��34 5�61./7 4 (+*�%9�"435�-�'¾([.�!>/�% -�C¨%��1q�%�! C`o�!>/;(+�3-�!>4rC`' -�4¢( *�%95�-��1!f( -DCl:?�"% J -�C}-& � &}7 }8Zi3?1 (;W���(�G \H% //.�6"6y(+*Æ.�(=�kC � � � �34V. J %<�1q�*�(>C`o�!>/;(+�3-�! -�! ¬ �����+­ ( *�%JT%��1q�*f( %<-�������%�'l5�'1-B-�o>/;(/K � ����2 � � �34l-�%64�� %<-P. 4

� ����2 � � �5 �5 �.� : � 2�� : � � � : � 8 :;� � � ����2 ��� � ��� � 2 �� ��µ?G � G s h �

C > � � @Y��E � z � � � -��;�3�)�[������uk��� � ���B�A¡ � �N������-8�4u4u1�=sM�[��°�u1�;¡U£B�`¯��\� £,��� �u� ��µ?G � G s�s �� � � � -��,� � ��� �j*: q ��u4u��;� �B�;� -��2u��]�[� ���+�,�+� �2u �j q� � �B�;�/ A�B�\�;������� �,�[���A�+�[� sÆ���M£��u���p�§�0£��1�;���u�\�;� �;� �B�;� -��2u��]�[�y���+� ���A� � ���B���M�2u � �u� ��+�[� sÆ�[�;�2�§�9� � � � �;� � � �\ A�B�\�;������� ���2� � ���l�1� � �   � ���M£ 2 ���+�{�;� �B�;�/ A�?�\�;�¥����� � � �u� ��;� �B�;� -��2u��]�[� � ���M£� � �-,� �� � �;�

� ����2 � � �5 �5 �.� : � 2 � : � � � : � 87: �a�� ��µ?G � G s��7�

j <Bq �L� �m�;� �B�;� � s �B�[�¨ /���9���Ʊ¿�;� �B�;� -��2u��]� � �1�m���&¡��8�;��� � £��u¡��;� �;�����M�2u � ��u {� � �°;���?�M£f���A±g�[���M£��u������� � ���[���8� s ��� ���J� £ � �u� �1�r�2u � ��±Y��� � £��u¡��;� �;�����M�2u � �� �[�8�§  � z o�5�5�-74 % (+*Æ.D(yQ!��� � v � � � � � .���-¿Q!� 2 � v � 2 � � K J¨*�%�' % ����2 ,� � GI 4�����q �i.�q�'+.���q�%�� 4rIJ-�%���(��"(J7|JT%g*�.8:�% � Q!��� � ��2 ��� � ���[Q!� 2 � � .���- 4����>/<%�Q!��� � �c � � �R.�� -=Q!� 2 � � c � 2 J % -26 ([.����Rc � � � ����2 ��� c � ��� � 2 � .���-g( *Bo+4

� � ����2 � � � � � ����2 � � ��µ?G � G s ² �j*: q �i%;(�2 � �m.���- � � GE·l*�%�� 4����>/<% � ����� � � � L � L Â

�K�J %�*Æ./:�%�(+*Æ.�( � L � L Â

� ��� L � L �

.���- 4����+/<% L � L Â�,��� �k(HC6-�616 -�J�42( *Æ.D( � � ��P.���-=*�%��>/<% (+*�% %��"q�%��f:D.�6"o�% �

� 4l'n%/.�6�Gj q 2Æ'1-�4 jP: q J %p*Æ./:�% (+*Æ.D( � � .���-V(+*�o>4 ��µ?G � G s ² � �34�J¨'��"( ( %��=.$4� � ���#2 � � � � ����2 � � G�·l*�%<'n%�C6-�'n%��kC�� ,� JT% -a6 (+.���� � ����2 � � ��� Gj <Bq ·l* %p5�'1- -�C��34&6"%�Cu(�C6-�'H( *�%p' %<.�-�%�'<K0�64 %<%DKL%�G q�GkK 2�-�6"6 .���-\K 2�-�o�'��"%<'&.��Æ.�6k7 4�� 4�.���-�"(14¨.�5�5�6�� //.�(�� -��>4<K?5Æ.�q�%,³ � � GIÅ(��34��>-D(T%;:��"-�%��f( (+*Æ.�(2. q��":�%�� z (+o�'n4 � ���3-�o : �16"61% 5�'1-a6 61%<4 *Æ.$42.���7|%��1q�%�� C`o��>/ �(��3-��>42.�(l.�6"6�G � o (/K�����C¥.$/;(/KB(+*�%�' %).�'n%y.$4T4�.��f73.$4l.���7$-���% / -�o�61- J!� 4 *3C6-�'<G � %�(To>44n( o�- 7g(+* % Q �  ������� � � 4 5Æ. /<%,o>4�����q|(+*�%)C6-�6"6 -�J!����q (+*�% -�' %�4K_

Page 166: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

s ZaZ ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"�� C > � � @���E � /�H����� �/-��;�A±3�+������uk��� � �¥�B�;¡ � �¤������-8�4u4u1�"sM�+��°�u1�;¡ ���À¬ �����[­ �

�#"$��� � �Dv = �{v�� � � ��� � � S ��� � � �  ��� � �a� � ��µ?G � G s µ �j*: q �L� �;�+�r�1�{���w���A� � ���\���A¡{�2uN°[���;�1� � � � �º � S �§  Q �  � �#����� � �[��� �;�1�;���u���=�§ 3�;� �B�;� � A�B�\�;������� � �j q0�   ��º �1� � � �0�;� �B�;� -��2u��Æ�E /��� � º � � � �;� 6��14rº

� ���º � v,� �

j <Bq u  �aO O  T ���M£V�<���¥�1�`¯2�[��� � �g°;���?�M£f���A±Á�[���M£��u�¥����� � � S ��� � � �  ��� � � � �� � �;�P� � �)�8�;�A���[��� º � S � ��� � º � � º ��µ?G � G s Z �

�[��� -��;�:�B�[�)�B�Æ�  /���A¡ u�±3�u�R�\���A¡ �J� �ª�v�w ��EyxE��80f �Æ� � �;�J�;�A¡0�u�\�P� � �»���A� � ���\���;¡{�2u�°[���8�[�  /���P� � �r /�5u4u1� � �u��� � ���B�A¡ ��¤�����6-8�4u4u1� sM�[��°�u1�;¡ & � � � v���� ��� � � ( : ( ��.� � � ��� � � � �#� � � �� ��µ?G � G s b �`  � �a� � �r��°<�Å���u� � � � ��� ���M£3� � � �B�;�\�;�n�2u�8�5u��B�������=�1� �.� : � � � S v �  : �3�L� �;��.� � � � � S ��� ���M£ � � ��� � � �  �a� � � �;�\�[� � � �;�+�r���+�,�\�g�;� �B�;�/ A�?�\�;�¥����� � �`  �-,��� � � � �B�;�\�;�n�2u�8�5u��?�¥����� �  /��� °;��� � �K� � ���M£ � ( � �|�1�

�.� : � � � S / -74 ��� � : � v �  4���� ��� � : � ��µ?G � G s Y ��L� �1� � �5uk£��y�2u �8�  /��� � ( � � �;�u�\�[� 4����9�`d � � � c S à 4������ � � � ���M£ / -74 �¥d � � � ��� 1 � � � � �L� �;� � � � : � � c � S � �!4���� ��� � : � v �  � ��/ -74���� � : ��L� � °;���B�M£f���A±m�[���M£��u�¥����� ����� -�� �f��.� � � � � S / -74 � � � � � S ��� ���M£ ��� ��� � � �  � � / -74 ��� ��� � � ��� �u�\�[� �  ,� � � � � � -�� / -74 � � ��� � � � ���M£w� � ��� � ��� � �34Áv S � t � � � �;�[�4 ��� � s � �{�L� �;�

�^_ � ��º � � �34{v sh � t � �  � ��µ?G � G s ³ ����M£ � � �B�;��Yº>� : � _ � � º>� : � � �  4���� � � 4{v sh � t � : � ��µ?G � G h � �

Page 167: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�A����� �� � � � �� � ��= �# �:� �t��� �k���� � �� ���� �D#^ s Z b� �B���;�u�\�[� � � � ���Æ� � � � �º � S �J�0°;�y���=���A� � ���\���;¡{�2uM°[���8�[� � � �H�+���<�B�u�[� L � º L  � s �� � � � �L � º L  � �  5 5� 4����  � � 4�v sh � t � : � 87: � �  � h � s �

���M£ � �;�\�[� �  � � Â5 � A� �8�;�;�¥�u�����  �u� ��µ�� � � h � � � �E¯��M�2u4u�± �B�;�� º>� : � ��� �� 4���� � �34��� � � � : � ��µ�� � � � �

� ��E E : � �|j*C > �� � @?E :�8 �����¥�1, � ��E Ey: qY� u  4���� � � � : � �a�  /��� :;� � � : � ����M£ � ,� � � � � �;�5 5�

4����  � � : � 87: �5 5�

/ -$4  � � : � 8 :;���� �� ��µ�� � � ��� �� �[�8�§  �

5 5�

4����  � � : � 87:;�5 5�

/ -$4 Â � � : � 8 : �5 5�

�,/ -74�� � � : �� 87:�

��� �� � � ² �

4���� � � � : � � �5 � ��� ��

� �Æ� ��������� �������! "���#��$��+/%���3-��>4 � º&"'(���+-"� �>-�'*)&"+��Re,�%-.� ��� 2�-�$�'��/�,' 4(�,'��/� 40�213�4�����4��3-�� �5&76��8� ���9�6-�'()� �

�� º �;: Tº � º+� Tº � L � º L Â�

� ��� � º � � � L � º L Â�

5 �5 �.� : � � º>� : � � � : � 87: �J ���,'(� � º � 4<'(�7&"+=&��#-

L � º L Â �5 �5 X � º X Â � � : � 87:�

Page 168: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Z Y ���������� ��A� �� ��� � �l�"��� � !��k |�"� ���� ��=�t�"��

Page 169: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ���� �� ��� � � ��� ��� �� � � ����� ���� �

�������! "$#%�'&)(*�,+%-/.�+0.1 3242657 89+0���)-:+;+0�,+<#%�)�! =?>9+<"1�,@A"B@C2 89+ED7��>)-GF1HJI) 3>*8! 3242 +K('-:@CL)2 +%FM"<NOQP*R SUTWVYX[Z<\]X_^`\0acbYdYZ<eUVf\0gih!TjXkZldYbfTjm TAnj\]df\]TjVYgporqtsucvxw%y{z{|~}���v����E���U�B�!�����A���Y���C�?�!�j�!�!�<�C�<�!�?���?���!�C���<���1�����Y�����j� �¡���?¢C�<�£�<�?¢?�;�)�¢��%���C¤?���;¢?�?¥;�E���j���?�¦�?�!�j�!�!�<�C�<�!�?�$¥<�����E�)§©¨��?¢C���?�j�A�B���<��¢C§)�ª�«���%���¦���!���C�����!��¬���A�������C�B�����%���­���?���®���;¥��?�?��¯6�?�¦�°���%�?�?��§±���®���²���?�0³´�!�����*�1���?��� µC���j�?���%¶[�²�?���!�C���<�¢?�<�B¥<�B���?���?�A�?�l�%�1·��*�¸�!�¹�%�º���)���<�«�%���¼»¾½7¿�À:ÁG¶ÂÃÅÄÇÆ­ÈÊÉÌË ¶ÎÍ É�ÏÌÐÒÑxÉÔÓ�Ó Í_Õ ½jÖÒÕfÖ_ÀÉ�È ½C¿B× Ë Í¸½C¿ É�Ó)È Àª¿�× Ë Í¸ØÉ�È Õ�¿�½ Ë ÍÚÙ!Û ÈÊÜ ¬ÝÙ!¬�Ù ËÞ �;� É�È Õ�¿�½ Ë Í ÉÔß9È Õ Ë ���'�����«³à§©���C�¦�����j�]���C¢?�<�£�<�?¢C�<�)�0á6���l�%¢C§)�ª�B���%���¦�?�B�!�?���<�â ÆMÈ´ÉÔßJË Í Ð�Ñ7É�ã ãß Í_Õ ×�Íä½É£ß*È ½ Ë Í¸½7¿ É�ãß È À Ë ÍåØ7Û ÈÊÜ ¬ÝÙ!¬3Ø Ë�$�?�<� Ð]ÑxÉ ã ãß ÍæÕf�!�Ý�!�0�?� É ã ãß Í Ð Ó ç ���C¢¹�%³à���<�®�ª�1��¥<�¦���)���;�!���'�������©�c�E�!�;�

É ã ß Í Ð ÕÔèØ ÑºéiêMë ���?¢ ÉÔß Í Ð ÕÔìÜ!ÑíéÒêMë Õ éÒê è Ûî �*�å���)�!�!ï6���C�A���?�E�Ì�!�C�?¢����«§±�%�����C�<�1�;�¸���l�!�ÉÔß9È ½ Ë Í ê è Íä½ �%�?¢ É ã ß È À Ë Í Ð À èØ ÑíéÒêMë ÍäØ�Í�ð êMë ÍåØ é À èØ Ñ ÛÙ Ü!ñ

Page 170: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù���½ ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)�$�6�?�1���?�¦�������C�����!�?�c���

ÉÔß9È Õ Ë Í Ð Õ ìÜ!Ñ é + Ø é À èØ Ñ�, Õ�Û È~Ü ¬ÝÙ!¬.- ËÞ �;�1�?�*�0/ È Õ�¿�× Ë Í É�È Õ�¿�× Ë`Рɣß*È Õ Ë ���?¢Q�c�E���l�!�/ Ï Í É�Ï ¿ / Ó�Ó Í É�Ó�Ó1Ð Ü ÕÜ!Ñ Í ÉÔÓ�Ó1Ð Õ Ñ Û�$�6�?���c�¼¥l���E��� �1���Ý��� ���C�¼���?�?�!�j�!�!�;�?�<���?�������B���:���%¢?�21Ì�<�B�<�)�������!�;¯x�?�%�����!�¦��� È~Ü ¬ÝÙ!¬ÝÙ Ë��� É�Ï£ÐÒÑ7É�Ó�Ó1Ð ÕQÍ3/ ÏÌÐÇÑ / Ó�Ó Ík½C¿ È~Ü ¬ÝÙ!¬54 Ë�1�?��¥��E�����®�?�!�j�!�!�;�?�<�!�C�/�����B���:���%¢?�21Ì�<�B�<�)���������;¯6���%�����!�0³´�!�6/Ô¬�7Ô�C�B���C�<� ���?�[�Ì�!�C�?¢7����«§±�%�����C�<�$³´�!�$/W�1�����£����ï%�E���?�0³´�!�����9�1���?� ³´�!�B�Â8à 8Ä / È ½C¿�× Ë Í É�È ½C¿�× Ë�Ð ÉÔß9È ½ Ë Í¸½C¿/ ÓxÈ Àª¿�× Ë Í É�Ó6È Àª¿�× Ë`Ð É�ãß È À Ë ÍäØ Ð Ø7¿/ È Õ�¿�½ Ë Í É�ÓxÈ Õ�¿�½ Ë�Ð ÉÔß9È Õ Ë Í Ù é ì Ó:9; ç Ð + Ø é=< 9è ç , ÕY¶3Í>/ ß'È Õ Ë È~Ü ¬ÝÙ!¬@? Ëá7�?�j�j���?�K�C�º�°���?�*���E���?�¦�?�!�j�!�!�;�?�<�!�C�$�?���!�C���<�³´�!�$/Ô¤C�x�BA�¤Â8à 8Ä / ÏÌÐÒÑ / Ó�Ó Í¸½ ½²ÖpÕ¹Ö�À/ È ½C¿�× Ë Í¸½ / ÓxÈ À,¿B× Ë Í¸½/ ß'È Õ Ë Í Ù é ì Ó 9; ç Ð + Ø éC< 9è ç , Õ ½²ÖpÕ¹Ö�Àª¿ È~Ü ¬ÝÙ!¬ Ü)Ë�1�?��¥��Ò��� �B�!�����<¢Ç�)§����?�±�W� ���?�x¢ ��³­���;�������'������� ��³$�%���������?���;�<¬EDª�?�B�<�B��/ È Õ�¿�× Ë ÍF È Õ ËHG È × Ë�I͸½7¤4���Q���?�¦¢?�21Ì�<�B�<�)������� �;¯6���%�����!�º��� È~Ü ¬�Ù!¬ Ü)Ë ���W�!� �F G ã Í Ñ F ã ã G �G¬¾��¬ F ã ãF Í GÑ G Í Ð�J ¿ ÈKJ*L ½ Ë Ûî �*�Ú�?�B���?�©���?�K�?�!�B�±�%���?�B�7¥;�<¢?�C���K��³[���?�K���;�������%�����!�f��³[�%���������?���<�1�c�²���l���K���?�³´�!�����*�1���?���ª�c�j�?�����?���;�W�;¶â F ã ã é J F Ík½ ½²ÖpÕfÖ�ÀF È ½ Ë Í F ã´È À Ë Í¸½ ���?¢ G ã Í ÐJ£Ñ G ¿ È~Ü ¬ÝÙ!¬@� Ë�1�?��¥��º�°���?�*�����B�!�����<¢º�l���B�����<�<¬�7��!�®���?�¦�<¯6���%�����!�Q³´�!� F �c�E�!� �$���?�E�<���!�<�)�%�����C�<����?¢Q�;���!�;�C³´�?�?¥ �������?�­���J Í JNM ÍPO +RQ é ÙØ ,(S ÀUT è ¿ F M?È Õ Ë Íä����� +RQ é ÙØ ,VS ÕÀ ¿ QEW ½C¿ È~Ü ¬ÝÙ!¬.X Ë

Page 171: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� ���V���� ��H�� �������������"�()�(�$ �H��� ��' �����V����� ��) ����� ÙR�7Ù�1�?�<�B�� F M����M��?ß ���B�¦���?�¦�!�B���?�!�!������� �?�������1³´��� Æ è È ½C¿�À Ë ¤7�1������� F M �Jè®ÍkÀ � Ø7¬�$�?���;¯6���%�����!�U³´�!� G ���%�1���?�¦���!���C�����!� G M�È × Ë Í���� ç���� Ï ¬7`�����%����§±á7�C�Ì�;�«�ª�£�!�B�������!�?���?�K�!�Ý�!�<�$�����%�

/ È Õ�¿B× Ë Í �� M��?ß ê M � �ç O + M! #"9 ,%$ & T 9 Ï ����� + Q é ÙØ , S ÕÀ ¿ ÈÊÜ ¬ÝÙ!¬ ñ!Ë

�1�?�<�B�E���?�¦���?�Ý�������Ì¥;�!�?¢?�Ý�����!��¶/ È Õ�¿�½ Ë Í �� M��?ß ê M �B��� + Q é ÙØ , S ÕÀ Í>/ ß'È Õ Ë ¿ ÈÊÜ ¬�Ù�¬�Ù*½ Ë

§x���<��¢?�®���?�%� ê M ¤?���?� 7��!�?�����<�®¥;�7��'j¥<���;�)���­��³ / ß'È Õ Ë Í Ù Ð ÉÔß9È Õ Ë ¤Ô���B�0�!�����<�º�)§ê M Í Ø À)( <ß / ß9È Õ Ë ����� + Q é ÙØ ,(S ÕÀ+* ÕÍ Ø À)( <ß-, Ù é ÕÔìÜ!Ñ Ð + Ø é À´èØ Ñ , Õ/.]����� È10 M Õ Ë * Õ�¿ ÈÊÜ ¬�Ù�¬�Ù!Ù Ë

�1�?�<�B� 0 M Í +RQ é ëè ,%2 < ¬43M�����?�A�����«���:�%�����)���;�!���'�������±�c�E�!� �ê M Í Ø À O Ù0 M Ð_È«Ð Ù Ë M Ø é < 9è ç0 èM ÐkÈ«Ð Ù Ë M ÙÑ5076M T Û ÈÊÜ ¬�Ù�¬�Ù9Ø Ë

8 a1Tjm m Tjd bf\:9E^<; T>= \]eUV?9�^�Z;TWd@ ¥;�!�j�W�!�U�C�l�%�1·��*�å�;¯6���%�����!�º���$��³{���?�0³´�!�B�A È Õ Ë«É�Ï Í + Ñ�È Õ Ë,ÉÔÓ , Ó éCB È Õ�¿B× Ë`Ð-D{È Õ Ë<ȴɱРÉÔßJË Û ÈÊÜ ¬�Ù�¬�ÙR- ËA È Õ Ë ¶����®���?�¦�?�l�'�M¥<������¥;���ª§�¤Ñ�È Õ Ë ¶?���®���?�0���?�;���W����¥;�!�?¢?�?¥ ���Ý�7�Ý�ª§!¤B È Õ�¿�× Ë ¶����®���?�¦�?���x¢?�?¥;�<¢í�?�l�%�<¤D{È Õ Ë<È´É©Ð�ÉÔßJË ¶?���®���?�¦�?�l�'�M���!���­�����!�?�K���?�¦�����<¬É£ß ¶����1�²�!�Ý�!�;�º���<�j�Ì�;���%���?���%¬

Page 172: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù��!Ø ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)�$�?�E¥<�!�B���<�B�Ì���?¢?���C�j�C�!�W���!�<�?�;�!�?�1¢?� 1 �;���<�)���:���Ì�<¯6���%�����!�º���

A É�Ï Í È~Ñ7É�Ó'Ë,Ó­Ð D?É Û È~Ü ¬ÝÙ!¬ÝÙ 4 Ë3M�B���?�A�B�<�������%�����!�Q��³{���%���:�%�?���;�<¤7�1�C�<��� É Í F G�I͸½7¤?�!�����<�A F G ã Í ÈGÑ F ã ËHGpÐ-D F G Í�ð G1ãG Í È~Ñ F ãÝ˪ã@GpÐ D FA F Í Ð�J Û È~Ü ¬ÝÙ!¬ÝÙ�? Ë�$�6�?�1�c�¦�!� ��¤¾��¬¾�?¬Ý¤?���?�;�º���?�¦�<���!�<�)�%�����C�0�?���!�C���<�È~Ñ F ã Ë ã Ð-D F é J A F Ík½C¿ é �£�!�?�C¢����B§©¥<�!�?¢C�������!�?�;¬ È~Ü ¬ÝÙ!¬ÝÙ Ü)Ë

� �¦¢?�;�W���?�B�����%����u°v7w'y{z�|Ê}���v����¹�%�?¢��í���U���C�E�C� µx�­���<¥ �����!��¶OQP� �dYbfTWm TAnA\0df\]TjVYg��©^�VYX[m �� Z<TjV��ºZ����;\��YX�T����<\0m g� �E¥;�!�?�B��¢?�;�1���?�¦�����?�l���c���?�?���W�!���<�?�;�!�?�$¢?� 1 �;���<�)���:���Ì�<¯6���%�����!��¶

Æ­È´É Ë Í ÉÔÏ£ÐÇÆ ë ÈÊÉÌË Í�� È Õ�¿�× Ë È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ Ë�1�?�;��� Æ ë ���$�K�����?�<���c¢?� 1 �;���;�6���:���£�!�£�<���%���!�c���±Õ�¬[�{�²���!�Ý�!�]���C���®�?�B�!�?���<� �c�]¨��B�B����l�!�¦���A�B�!�����¦���?�¦�?�!�j�!�!�;�?�<�!�C�­�C���!�?���<�É�Ï£ÐÇÆ ë ÈÊÉÌË Íä½7Û È~Ü ¬ÎØ7¬ÎØ Ëá7�;�������'�������U��³`�%���B�:���?���<�®�����!�0�C�­���?�¦�<�����<�)�%�����?�0�C���!�?���<�

Æ ë È F Ë é J F Ík½ é �£�!�?�C¢����B§©¥<�!�?¢C�������!�?�;¤ È~Ü ¬ÎØ7¬.- Ë�1�?�;���¦�c�¦¥l�%�í¥;�!�W�C�C���0���C�E�;���!�;�)���%���?�;� JNM ���C¢º�;���!�;�C³´�?�?¥ �����!�?� F M?È Õ Ë ¬î �*���c�Y�Jµ7�����?¢æ�;���<�«§x���?���C�Ò��� 7��!�?�B���<�j���;�����<�©�1���������;���£�<¥ �U��� ���?�Y�����B��� F MCÈ Õ Ë�� � ë ¶ � �¦�!�;�� È Õ�¿�× Ë Í �� M!� ë � M�È

× Ë F M?È Õ Ë ¿ � M�È × Ë Í Ù� F M � è� (�

�� È Õ�¿B× Ë F M�È Õ Ë A È Õ Ë * Õ�ÛÈ~Ü ¬ÎØ7¬54 ËÞ �;�

É�È Õ�¿B× Ë Í �� M�� ë ÉNM?È× Ë F MÔÈ Õ Ë È~Ü ¬ÎØ7¬@? Ë

Page 173: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����U�C�H��� ��' ��������������) )&�" '�� !7�:����� �H!&!&� �� ��$�%!&�V' ) ÙR� -���?�;�º�°�E���l�!�¦�����%� ÈÊÜ ¬ÎØ7¬�Ù Ë ���$�<¯6�?�Ý�%�����;�6�1����� M!� ë É ãM È

× Ë F M?È Õ Ë`Ð �� M!� ë ÉNM?È× ËBÆ ë È F M!Ë Í �� M!� ë � MÔÈ

× Ë F M?È Õ Ë ¿ ÈÊÜ ¬ÎØ7¬ Ü!Ë�1�?�<�B� Æ ë È F M!Ë Í Ð�J M F M?È Õ Ë ���C¢º���x�C��� M!� ë

» É ãM È × Ë é JNM%ÉNM?È × Ë Á F M�È Õ Ë Í �� M�� ë � M�È× Ë F M?È Õ Ë Û ÈÊÜ ¬ÎØ7¬ � Ë

î �*�¦¤x��¢?�;�6����³à§x���C�]���?�1¥<�x� 'j¥;���<�)���°��� ÈÊÜ ¬ÎØ7¬ � Ë �c�1���l�!�1���C�������`�ª�?�B�!�?���<� É ãM È × Ë éJNM%ÉNM�È × Ë Í � M ¬ucvxw%y{z�|Ê}���v �/�j�$�?�©áx���?�B�A� Þ ���!�C�x��������� µ7�����C�������?� �?�B�<¢ ���¹�B�!����� Æ­ÈÊÉÌË Í ½�1����� �?�!�j�!�!�;�?�!�?�{�£�!�?�?¢��%�B§E¥<�!�C¢?�������!�?� È´É Ë Ík½M¥<���²�������­�Ì�°�?���;¢K�����B�!�����°���?����?�C�!�W���!�<�?�;�!�?�¼�<¯6���%�����!� Æ­ÈÊÉÌË Í � È Õ�¿�× Ë �1�����j���?�M�����j�­�Ì�!�C�?¢����«§W¥;�!�?¢?�Ý�����!�?�<¬� � v�����v�� � ��������������� �!�"�#�%$'&)(+*-,.-��$��/.0�0�1�324&5��67�1�8(ÂÃ Ä É�Ï�ÏÌÐ:9 è É�Ó�Ó Íæ×ªÕ ½jÖÒÕfÖ_Àª¿ × L ½C¿É�È ½7¿�× Ë Íä½C¿ É�È Àª¿�× Ë Í¸½É�È Õ�¿�½ Ë ÍkÕÔèl¿ É�Ï«È Õ�¿�½ Ë Ík½CÛ ÈÊÜ ¬ÎØ7¬@X Ë; �<$>=/��=/�?2A@�&B@��C.-��DE�GF"��@�&8.%@>67�1�5=��G�+=/�������IHJ&5=8�K�0�!���!��(L�NM��8DO�5��$P=Q24&R��67�1�8(â / Ï�Ï Ð:9 è / Ó�Ó Í¸½/ È ½C¿�× Ë Í / È Àª¿�× Ë Í¸½CÛ ÈÊÜ ¬ÎØ7¬ ñ!ËS DA=/�8&)�"/ È Õ�¿�× Ë Í F È Õ ËHG È × Ë�IÍä½�.0D È~Ü ¬ÎØ7¬ ñ)Ë �?�TM��8�

F G ã ã Í 9è F ã ã G @�D4UV� ��$>= F ã ãF Í G ã ã

9 è G Í Ð�J Û ÈÊÜ ¬3Øx¬�Ù*½ ËW ��&��0�!�+�8.XM��8D!��@���$!�5=Q24&R��67�1�8(VYâ F ã ã é J F Íä½F È ½ Ë Í F È À Ë Í¸½C¿ ÈÊÜ ¬3Øx¬�Ù!Ù ËZ � M��8� [K@�=+�N@�&8��.-�8&R[J�0�!�+�8.XM��8D!��@���$!�5=\@�D4U]�8.XM��8D^F)$�DO_8�C.-��DA=5[I�/.X`8[

J Í JNM Í + Q SÀ , è ¿ F M?È Õ Ë Íä����� + Q S ÕÀ , ¿ QEW Ù!¿ ÈÊÜ ¬3Øx¬�Ù9Ø Ë

Page 174: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù�� 4 ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)Z �!�8&R�: F M?È Õ Ë����M!� ë .1="@�DE��&)� �!�NM���D4@���65@�=8.1=IF^��& Æ è È ½7¿�À Ë [ Z �!�8&R� � F M?È Õ Ë �Jè®ÍäÀ � Ø7Û

� �8�1� Z Z � ��� 2A@�D4U¦×ªÕ @�D4U¦Õ è .0D W ��$�&).-�8& =/�8&).-�5= Z .0� � &R�5=?2!�5_8�K�G� F M?È Õ Ë YתÕUÍ �� M�� ë � M����� + Q S ÕÀ , ¿ � M Í Ø À ( <ß È ×ªÕ Ë ����� + Q S ÕÀ , * Õ�¿ È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙR- Ë

2A@�&)�C.%@��O.0D!�G�-M�&B@��%.-��D M�.0���5=

� M Í_× È«Ð Ù Ë M � ë Ø�ÀQ SÍk× 0 M ¿ Z �!�8&R� È«Ð Ù Ë M � ë Ø�ÀQ S

Í 0 M Û È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ 4 Ë�#.0(+.0�X@�&)��� Z ���A@����

Õ è Í �� M�� ë � M����� + Q S ÕÀ , ¿ � M Í Ø À ( <ß Õ è ����� + Q S ÕÀ , * Õ�¿ È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ�? Ë

Z �!�8&R�Q2A@�&)�C.%@�� .0D!�?�-M�&B@��C.-��D�� .-�8�XU�=

� M Í 4!À èQ ì S ìO È,Ð Ù Ë M Ð Ù T Ð Ø�À èQ

S È«ÐÙ Ë M Û È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ Ü)Ë

, �8� DO� Z

É�È Õ�¿�× Ë Í �� M!� ë � MCÈ× Ë ����� + Q S ÕÀ , ¿ È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ�� Ë

�0�!�8DÂ888à 888Ä É�Ï�Ï Ð 9 è É�Ó�Ó Í �M!� ë O � ã ãM È × Ë é 9 è + M 2 Ó< , è � M?È × Ë T Í� �M�� ë 0 M ×7����� + M 2 Ó< , ÍæתÕÉ�È Õ�¿�½ Ë Í �M!� ë � M?È ½ Ë ����� + M 2 Ó< , Í �M!� ë � M ����� + M 2 Ó< , ÍæÕÔèÉ�Ï«È Õ�¿�½ Ë Í �M!� ë � ãM ����� + M 2 Ó< , Íä½7¿

� D4U Z �+M��8�0[".%U��8D!�%. F � .0D�M �0�!��_5�/��� _8.-�8D!�0=5[<@ =/���7$#�8DO_5� �GF�������������� � U�. !��8&R�8D!�C.%@�����7$A@��C.-��DA=5[J�/.X` " � ã ãM È × Ë é +$# M 2< , è � M�È × Ë Í 0 M ×� M?È ½ Ë Í � M � ãM È ½ Ë Ík½CÛ È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙRX Ë% � Z � �!�8&R� @�&R� � Z �\.0DA�!��(L�NM��8DO�5��$>=3�?�8&)(T= �G� U��N@�� Z .0�0�AY � ã ãM È × Ë é +&# M 2< , è � M�È × Ë Í0 M ×]@�D4U � M�È ½ Ë Í � M&' �#$ 2>2!�/=/� Z � _N@�D =/������� � Z � DO� Z 24&R��67�1�8(T=]��67� @�.0DO�NUE6(�&R�?24�X@�_8.0D�M ��DO�T6(� 0 M ×�Íä½ @�D4U ��DO�T6(� � M Ík½!Y"*)

ã ãM È × Ë é +&# M 2< , è � M?È × Ë Íä½)M?È ½ Ë Í � M ¿

)ãM È ½ Ë Íä½ È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙ ñ)Ë

Page 175: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � ����#�:�H �:����!&�� �V ���� !"�V' ÙR� ?@�D4U "

DCã ãM È × Ë é +&# M 2< , è DUM?È × Ë Í 0 M ×DUM?È ½ Ë Íä½7¿ )ãM È ½ Ë Í¸½CÛ ÈÊÜ ¬3Øx¬3Ø�½ Ë

S F)MCÈ × Ë @�D4U DUM�È × Ë @�&R�Q=/����$��C.-��DA=3�G�"�0�!�����7$A@��C.-��DA= È~Ü ¬3Ø7¬ÝÙ ñ)Ë @�D4U ÈÊÜ ¬ÎØ7¬3Ø%½ Ë [ &R�5=?2!�5_8*

�C.0���8���/[ �0�!�8D:6(� �0�!� =8$/2!�8&?2!�/=8.0�%.-��D 24&8.0DO_8. 24�1� � M Í)M é DUM Z .0�0� 68�+�0�!�T=/����$��C.-��D

�G�V�0�!�+���7$A@��C.-��D È~Ü ¬ÎØ7¬ÝÙRX Ë�' ; ����DO� Z � �A@��K� �!��=/����$��%.-��D)M?È × Ë Z .0�0� 68�)

M?È × Ë Í � M ¥;�!� 9QSÀ Û ÈÊÜ ¬3Øx¬3Ø7Ù Ë

� =8.0D�MV,�@824�X@�_5�"�%&B@�DA= F^��&)( Z �+_N@�D�=/������� DUM @�D4U � ��$>= @�� =/� � MCÈ × Ë 'ucvxw%y{z�|Ê}���v±��� � =/�K� �!�J=8$/2!�8&?2!�/=8.0�%.-��D�24&).0DO_8. 24�1�J�?��U��N@�� Z .0� �<.0DA�!��(L�NM��8DO�5��$>=�G�8&)(T=+��DO�\@��K�%.0(L� 'OQP�� �rbf\ q ZlX[Zlacb��<\M^ �YX�T����<\0m�$�?�\�]������¥��?��� �$�?�B�!�?���;� ���1���²¨��?¢í�j�B�!���C�����!�U�%³ Þ ���?����¥<��4�1�<¯6���'�������º���º�j�B�<�!���!� ���?�%�­�����B�?�j�<�1�!�����<�Q�%�����?�;�1�!�U���?�¦�£�!�?�?¢��%�B§�� ��³ ¶

è É`È�� ¿�� Ë Ík½C¿ ��� ¿ É�È Õ Ë Í�� È Õ Ë ³´�!� Õ���� Û ÈÊÜ ¬.-C¬�Ù Ë�$�?���]¥<��� �Ì� ���)���;���?�B�;���;¢ �?�)§7�B��¥<�����ݧ¹�%�]¨��?¢?���?�±���C�²�B���<��¢C§)�ª�«���%���K���;�W�£�<���%���?�B���� ¤C�1�?�;�í���C�¦���<�j�Ì�;���%���?���¦�!��� ���­ï6�?�*�1��¬Þ � �­�?�1�?�*� ���!�Ý�!�0���C�¦³´�������*�1���?�+�]���B��¥��?���;�c�?���!�C���<����Q�£�!�:���c¥<�x�!��¢?�����%���<�<¬Âà Ä��²É Í Aè É Í É���� é ë� É�� é ë� 9 É���� ͸½7¿ �lß Ö � Ö � ë ¿ ½ �!�"�äØ SÉ�È#� ë ¿�� Ë Í�� È � ËÉ�È#�lß ¿)Ë Í

)È � Ë3M�B���?�A���;�������%�����!�Q��³��%���B�:���C���<� É�È�� ¿$� Ë Í B È��!Ë&%AÈ � Ë ¤?�c�¦�!� �

B ã ã % é Ù� B ã % é Ù

� è B % ã ã ͸½ ���C¢ � è B ã ã é � B ãB Í Ð'% ã ã%

Í J Û�$�?�<�º�c�¦�B�!�����¦���?�0�<¯6���'������� %�ã ã é J(% ͸½C¤C�1�C�<��� % ���?¢ %]ã �%���EØ S Ð �£�<�����7¢C��¥�¬J Í ) è �!�����<�U�B�!���C�����!�C�±�!�����?�f³´�!��� %AÈ � Ë Í � �+*�, � ���?¢_�����?¥<�f���?�¹³´�?�C¥;�����!����jØ S Ð �£�<�B���x¢?��¥.-/)�Í Q � �?�B�A�£�Q���Ç���)���;�!�<�;¤[�G¬¾��¤ %M�È � Ë Í � * M0� ¬ î �*���B���?¥;�J Í�)7è®Í Q èM�°�E���;�1���?�¦�;¯x�?�%�����!�� è B ã ã é � B ã ã Ð Q è B ͸½C¿ ÈÊÜ ¬.-C¬3Ø Ë

Page 176: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù�� Ü ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)

Õ

�lß � ë� |��£���9v����Ê��� ���®���?�¦�����?�QÙ � � è ÍæÕ è é � è �kØxÛ

�1�?��¥��º���1��� ��� � ������� ��� � � �©�1�Ý���U���?�0�B�!���7�������?�®�!�U���C�¦³´����� B Í ��� ¬ Dª�?�B�<�B�����?�B Í ��� ��� ÈÊÜ ¬@-7¬3Ø Ë �Ý�®³´�!�����*�1�c���?�%�� è�� È � Ð Ù Ë � � � è é � � � � � ë Ð Q è � � Í � � È �?è Ð � é � Ð Q è Ë Íä½C¿

���?¢Q�B���?¥;� ��� I͸½C¤C�°���?�*��� � è®Í Q è��%�?¢ � Í - Q ¬[�$�6�?�1�c�¦���l���B M�È��!Ë Í � M� M é � M � � M ³´�!� Q IÍä½7Û È~Ü ¬.-C¬.- ËD¡³ Q Íä½²�°�E�!�;� � è B ã ã é � B ã Í �CÈ#� B ã ã éCB ã Ë Í¸½A���?¢Q���6�?���

� � È#� B ã Ë Íä½7¬� �;�?¥<� � B ã Í � ß ¤C�1�?��¥��í�!�����<� B ã Í � �� ���?¢º¥<�!�C���<¯6�?�;�)����§B ß Í � ß é � ß ��� � Û È~Ü ¬.-C¬54 Ëá7�?�j�j���?�K�C�

É�È#� ¿�� Ë Í � ß é � ß ��� � é � M���?ß + � M � M é � M� � M , � * M0� Û È~Ü ¬.-C¬@? Ë3M�B���?�A�£�!�?�?¢?���B§U¢?�%���K�°�����l���ÂÃÅÄ É�È#� ë ¿�� Ë Í � ß é � ß ��� � ë�é M���?ß + � M � M ë é � M� � Më , � * M � Í�� È � Ë Í� � � � � M � * M0� ¿É�È#�lß ¿�� Ë Í � ß é � ß ��� �lß é M���?ß + � M � Mß é � M� � Mß , � * M � Í

)È � Ë Í � � � 0 M � * M0� Û

Page 177: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � ����#�:�H �:����!&�� �V ���� !"�V' ÙR� �Dª¢?�<�)����³à§x���?�²���?�¦¥<�x� 'j¥<���<�)���1�c�E�!� �$���?�0³´�!�����*�1���?� �B§x�B���<����³��<¯6���%�����!�?�â � ß é � ß ��� � ë Í � ß� ß é � ß ��� �lß Í 0�ß ¿ ÈÊÜ ¬.-C¬ Ü!Ë���?¢ â � M� M ë é � M � � Më Í � M ¿ Q IÍk½

� M� Mß é � M � � Mß Í 0 M ¿ Q IÍk½CÛ ÈÊÜ ¬.-C¬ � ËD¡³1�c�©���;�����?�©���?�?�;� ���%¢?���?� �lß ���;�?¢���� A;�<�B�?¤ ���?�;�����?�W³´�?�?¥;�����!�C���1�����[�?���*� �?��%� � Í ½Ç�C�?���;���U���?�Y���<���j�U���)���!���x���C����� � ���U�?�<�)�'�������Y�Ì�*�°�<�B�í��³ � �%���C����� ¬� �;¯6�?���B���?�E¥<�!�)�����6�?���ª§A�%³����?�­�?�B�7¢?�C¥;�®�B�!���7�������?� É`È�� ¿�� Ë Í B % �'� � Ík½C¤6�c�­���6�?���� � � ß Íä½C¤ � M Ík½A³´�!� Q L ½j�%�?¢ � M Ík½A³´�!� Q Öp½C¬ D¡�1³´�!�����9�1�°�����%�É�È#� ¿�� Ë Í �� � � 9 M� � M � � * M0� È��lß Íä½ Ë Û ÈÊÜ ¬.-C¬@X Ë�$�6�?�

É�È�� ë ¿�� Ë Í �� � � 9 M� � M �ë � * M0� Í�� È � Ë Í �� � � � M � * M � ¿ ÈÊÜ ¬.-C¬ ñ!Ë�1�?��¥��º�j�l���?�®�����%�$���?�¦�x�C�K�Ì�;��� 9 M � � M � ���B�]���?� 7��!�?�B���;�®¥<�x� 'j¥<���<�)���1��³ � È � Ë ¬��{������W�?����³à§Y���?�U¥l����¥<�?���%�����!��¤`�°�Q�����%���°����ï�� � ë Í Ù!¬ � �U���<¥<�����°�����%� ���?� 7��!�?�B���;�¥<�x� 'j¥<���<�)���­��³ � È��`Ë �����¦�!�Ý�!�<�Q�)§9 M� � M �ë Í 9 M Í ÙØ S ( 2� 2

� È�� Ë � � * M�� * � Û ÈÊÜ ¬@-7¬�Ù*½ Ëá7�?�?�«���Ý���C�����?� È~Ü ¬.-C¬ÝÙ*½ Ë ���6���²���?�0³´�!�B�K�?�:� È~Ü ¬.-C¬.X Ë ³´�!� É�È#� ¿�� Ë �c�E�!�;�É�È�� ¿$� Ë Í �� � �

ÙØ S �� M � � * M � ( 2� 2

� È��`Ë � � * M�� * � Í ÙØ S ( 2� 2� È�� Ë �� � � �

� M � � * M��� � �� * � ÛÞ �;� �ÒÍ � Ð��¤?���?�<��� � � �

� M � � * M�� Í �� ß � M �* M�� é ��

ë �M � � * M�� Í �� ß +

� � * � , M é ��ë

+� � � * � , M Û7��!� � Ö¸Ù1���?�1�!�;�!�j�;���B��¥$�B�<�����<�[¥<���6���<�B�!�]���C¢j���?��� ³Ê��¥ ���B�?�B����¨��;�[���?�1���)���;��¥����%�?�!���³����)���;�!���%�����!�Q�%�?¢í�B�?�j�±�%�����!� ¬`�$�6�?�1�c�E���l�!��� � � �

� M � � * M�� Í ÙÙ Ð � � * � é � � � * �Ù Ð � � � * � Í Ù Ð � � � * � é È Ù Ð � � * � Ë � � � * �È Ù Ð � � * � Ë;È Ù Ð � � � * � ËÍ Ù Ð � èÙ é � è Ð �CÈ � * � é � � * � Ë ÍÙ Ð � èÙ é � è Ð Ø � ¥<�!��� ¶ÎÍ�� È#� ¿�� Ë ¿

Page 178: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù�� X ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)�1�?�;��� � È�� ¿ � Ë ���®���?� � � � ��� � ��� � ��� � G¬ î �*�¸�°�¦���l�!�

É`È�� ¿�� Ë Í ÙØ S ( 2� 2� È��`Ë �� � � �

� M � � * M�� * � Í ÙØ S ( 2� 2� È�� Ë � È�� ¿ � Ë * �

Í ÙØ S ( 2� 2Ù Ð � èÙ é � è Ð Ø � ¥<�����

� È�� Ë * � Û È~Ü ¬.-C¬ÝÙ!Ù Ë�1�?��¥��í���®���?� � ��� ��� � � � � � ��� � � �� � �� � ���1����� � ë Í Ù!¬OQP� �t\:9�^ ; T>=@ �!�;�?�<�����&-'�G� �?�<�%�$·��*� �<¯6���'�������º¥<���º�Ì�¦���;�?���;���;�6���<¢Y�%�

��?×4(<( (� �� *�� Í Ð (<(��� ������Q *�� é ( (<(� � *�� Û È~Ü ¬54?¬ÝÙ Ë

� �Q

� | �£� �'v ��� ���1�K�ª�°�W¢?���W�;�?�����!�����Ì¥<�B�!���,�ª���;¥;�����!�º��³ ¬3M�B���?�²���C�E¢C���!�;���!�;�?¥<�¦���C�<�!�B�<�º¶

( ( �� ������Q *�� Í (<(<( ��� * � ¿ È~Ü ¬54?¬ÎØ Ë

Page 179: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � �� �-��!V��� ÙR� ñ���?�¦�;¯x�?�%�����!� È~Ü ¬54?¬ÝÙ Ë ¥l���º�£�E�B�;�1�B�������<�í���( (<( + � ��?× é ��� Ð � , *�� Íä½C¿ ÈÊÜ ¬54?¬@- Ë�1�?�<�B�

� Í � È � ¿�× Ë ¿ ���®���C�E�;�?�<�B��§ È �?�l�%�­¥;�!�?¢?�;�?���%�����!� Ë »�� ���Uì Á� Í � È � ¿�× Ë ¿ ���®���C�E¢C�<�?�B���ª§ » Ñ

)�� ì�Á

9 Í 9%È � ¿�× Ë ¿ ���®���C�E�C�l�%�1¥<������¥;���ª§ »�� � Ñ) ÁÉ Í É`È � ¿�× Ë ¿ ���®���C�¦���<�j�Ì�;���%���?��� » Á

� Í � È � ¿�× Ë ¿ ���?�¦¢?�;�?���Ý�ª§U��³{���?�0·��*� »�� ���Uè � Á� Í � È � ¿�× Ë ¿ ���®���C�E�C�l�%�1�)�%��� »�� ���Uì � Á���� Ï é ��� Í �$¿ ���®���C�E¥;�!�)�����x�C���ª§©�;¯6���%�����!��¿� Í Ð � � É ¿ ����7��!�?�B���<� �4�$���l�0¿� Í �CÈ � ¿�× Ë ¿ ���?�¦�?�<�%�$�������?�B³´�;�����C�����Ý�ª§ »�� ��� � ÁGÛ7`���?�����ݧW�C�����C�A���?�¦���;�:�%�����!�?�

� � Í 9 � � É ���C¢ � ��?× Í 9 �� É�?× ¿ ÈÊÜ ¬54?¬.4 Ë�c�E�!� �$�����%�

9 �� É�?× Ð È#� � ÉÌË Í �$Û ÈÊÜ ¬54?¬ ? Ë

df\ ��YZlm \0dYg`Z<Tjd?9 �pbf\ 9�^<; T>=Þ �;� � È Õ�¿�× Ë �W�x¢?�;� ���?�E� 1Ì�<¥ �­��³ �B�!�W�¦�j�<¥����%�?���B� �����'���%¢?¢?�1�!�1���?�7�����%¥;���­�?�<�%�³´���!� ���?� ���x¢�¤]�£�<�B�����?�í� �6�?¥<���l���Q���<��¥;�����!�æ�1�����?���_���?� ���x¢k�Ý���B�<��³,¬á7�C�?�Ì����������'� �°�©���!�B�±�?�<�%� ³´�B�!� ���?�±�B§x�B���<�º¤ �1�?��¥�� ��� �?�B�!�Ì���B�����!����� ��� É�È Õ�¿�× Ë ¤`�1�?�;���� È Õ�¿�× Ë Í Ð � È Õ Ë,É�È Õ�¿�× Ë Û[á7�?�?�£�!�B�Q�����B�¹�����'�K���?�U¢C�<�?�B���ª§ ³´�C�?¥;�����!� ��� �!�Ý�!�<�Ç�£�9 � È Õ�¿�× Ë Í � È × Ë � È Õ Ë ���?¢Y���?�K�?�<�����������?�«³´�<���%�?�������ª§Q³´�?�?¥ �������f��� � Í �CÈ Õ Ë ¬¦�$�?�<��c�E���l�!� � È × Ë � È Õ Ë � É�?× Ð �

��Õ +�CÈ Õ Ë � É��Õ ,Wé � È Õ Ë«É Í¸½ ÈÊÜ ¬54?¬ Ü!ËÞ �;�­�?�*� É Í É�È Õ�¿�× Ë Í F È Õ ËHG È × Ë ¤C���?�<�º�c�¦���l�!�

� È × Ë � È Õ Ë F G ã Í ��?Õ +

�CÈ Õ Ë F ã , GiÐ � È Õ Ë F G ¿ ÈÊÜ ¬54?¬ � Ë

Page 180: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

ÙRX!½ ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)�$�6�?�

� G­ãG Í Ð+� F ã , ã Ð � F

� F Í Ð�J ¿ È~Ü ¬54?¬.X Ë���?¢U�°���?�*���E���?�0³´�!�����*�1���?�K�;¯6���%�����!�?�$³´�!� F ���?¢ G ¤" +� F ã , ã Ð � F é J � F Ík½C¿ ���¹áx���?�B�A� Þ ���!�C�x�������­�?�B�!�?���;�� G ã é J G ͸½7¿ ��� �"���Ò�?�����?���;�ºÛ È~Ü ¬54?¬ ñ)Ë

�$�?�¦�£�!�?�?¢��%�B§U¥;�!�?¢?�Ý�������©³´�!�®���?��áx���?���²� Þ ���!�C�x�������­�?���!�C���<����1�!�Ý�!�<�Q�)§�����

Q Í Ð �?È Õ Ë �� Q Í Ñ7É Í�ð Ñ7É é �CÈ Õ Ë � É� Q ͸½C¿ Ñ W ½ È~Ü ¬54?¬ÝÙ*½ Ëá7�?�C�Ì�!�B� � ��Õ�� � ¤Ô���?¢º���B���?�j�E���?�¦�?�!�j�!�!�;�?�<�!�C�$�Ì�!�C�?¢����«§U¥<�!�C¢?�������!�?�1�%�â � ß F È � Ë é � ë F ã È � Ë Íä½7¿0�ß F È � Ë é 0 ë F ãàÈ � Ë Íä½7¿ � ß ¿ � ë 0�ß ¿ 0 ë W ½CÛ È~Ü ¬54?¬ÝÙ!Ù Ë�$�?�E�<���!�<�)�%�����C�<�­����� J Í J M W ½j���B���x¥<�:�'���<¢Q�1�����U���?�E�<���!�<�C³´�C�?¥;�����!�?� F M?È Õ Ë Í�"M?È Õ Ë ¿Ì�1�?�;��� �"M ���M�� ë �%���K�!�«���?���!�!���������%�����M³´�!� Æ�� è È � ¿ � Ë ¤/�%�?¢f���?� ���!���C�����!�¹��³���C� á6���?�B�A� Þ ���!�C�x�������1�?�B�!�?���;�����$¥;�!�)�����x�C�<¢í���1�l���B�����;�<¬�$�?�\�����i³´�!� G ���®�1���Ý�����<�º���

G ã È × Ë Í Ð J M� È × Ë G È × Ë ¿ È~Ü ¬54?¬ÝÙ9Ø Ë�1�?��¥��í���%�1���?�¦�!�<�C�<���%�/���!���C�����!�U��³{���?�0³´�!�B�GKÈ × Ë Í G M�È × Ë Í ê M � � �������� "��� � � Ï ¿ ê M Í G M�È ½ Ë Û È~Ü ¬54?¬ÝÙR- Ëî �*�¸�����C¥<�

É�È Õ�¿�× Ë Í �� M�� ë G M?È× Ë F M?È Õ Ë Í �� M!� ë G M?È

× Ë �&M�È Õ Ë ¿ È~Ü ¬54?¬ÝÙ 4 Ë�°�E���;�1³´�!�®×[Ík½C¤É�È Õ�¿�½ Ë Í �� M�� ë G M?È

½ Ë �"MCÈ Õ Ë Í �� M!� ë ê M �"M?ÈÕ Ë Í�� È Õ Ë ¿ È~Ü ¬54?¬ÝÙ�? Ë

�1�?�;��� ê M �����]���?� 7��!�?�����<�$¥;�7��'W¥;���;�6���1��³ �¹�1�����Q���<�B�Ì�;¥;�­��� �"M?È Õ Ë Í F M?È Õ Ë ¶ê M Í Ù�

�"M � è (�

�� È Õ Ë �"MCÈ Õ Ë � È Õ Ë * Õ�Û È~Ü ¬54?¬ÝÙ Ü)Ë

Page 181: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � �� �-��!V��� Ù XCÙ�©^�VYX[m �� Z<TjVfT �ºZ ���<\ �YX�T����<\0m =�Z;^�b � \]X¼Z;T �YZla � TjVYd �� 9KX�� a1Tjd �YZ;^�Z<TjdYg� �!�?�B��¢?�;�����?��³´�!�����*�1���?�®áx���C���²� Þ ���!�C�9�x���������?�B�!�?���<�æ�1�����¦�£�<�B���x¢?��¥��Ì�!�C�?¢����«§]¥<���7�¢?�������!�C�<¶ â F ã ã´È Õ Ë é J F È Õ Ë Ík½C¿ Ð À ��Õ��æÀF È,Ð À Ë Í F È À Ë ¿ F ãàÈ«Ð À Ë Í F ã´È À Ë Û ÈÊÜ ¬.4C¬�Ù�� ËÞ �;�M���1�?���?��� J Í ) è ¤?���?�<�Q�°�Eï6�?�*�å�����%�F È Õ Ë Í êMë � *�, Ó éiê è � � * , Ó Û ÈÊÜ ¬.4C¬�ÙRX Ë�$�6�?�¼���?�1�Ì���?�?¢����«§²¥<���?¢?�������!�C� §7���<��¢A���?�$³´�!�����*�1���?�]�«§x�B���;�r��³��;¯6���%�����!�?� ³´�!�����?�¥<�x� 'j¥<���<�)��� êMë ���?¢ ê è ¶"

êMë � � * , < éiê è � * , < Í êMë � * , < éiê è � � *�, <� ) + êMë � � *�, < Ð ê è � *�, < , Í � ) + êMë � * , < Ð ê è � � * , < , ÈÊÜ ¬.4C¬�Ù ñ!Ë7����!� ���?���$�<¯6���%�����!�º�B§x�B���<���°�����;�â Ø êMë ��� * , < ÍåØ êMë � *�, <Ø ê è � � * , < ÍåØ ê è � *�, < Í�ð � è *�, < Í� � è * , < ÍÚÙ!Û ÈÊÜ ¬.4C¬3Ø�½ Ë�$�6�?�©�c�Y�?�*����Ø )CÀWÍ Ø Q S ¤$�1�?�;���Q ���U�������)���<���<�<¤1�?�;�?¥<� )åÍ M 2< ���?¢����?��<���!�<�C³´�C�?¥;�����!�?�1�%���¦�!�����<�º�)§

�®È Õ Ë Í��� � $ �& ¿ ³´��� Q Ík½CÛ -¸Ù!¿�-�Ø7¿<Û�ÛÝÛ ÈÊÜ ¬.4C¬3Ø7Ù Ë� �!�?�B�<¯6�?�<�)����§!¤Ô���±���?�0�£�<�B���x¢?��¥M¥l���B�]���?�M�������!�!�?���W� ������¥7��!�C�����;�c�B�<�����<�®³´�!� ��¤C�B�<�È~Ü ¬54?¬ÝÙ�? Ë ¤?�c���?��¢Q�£�

� È Õ Ë Í ��M�� � � ê M �"M�È Õ Ë Í��M�� � � ê M �

* M 2 Ó�� < ¿ ÈÊÜ ¬.4C¬3Ø!Ø Ë�1�����Q���?� 7��!�?�����<�$¥;�7��'W¥;���;�6���ê M Í Ù�

�"M � è �Ô¿ �"M�� ¿ ��&M � è Í ( <� <

�"MCÈ Õ Ë è * ÕQÍ ( <� <

� * M 2 Ó�� < è * ÕQÍäØ�ÀªÛ�$�6�?�­�°�E���l�!�

ê M Í ÙØ�À ( <� <� È Õ Ë �®È Õ Ë * ÕQÍ ÙØ�À ( <� <

� È Õ Ë � � * M 2 Ó�� < * Õ�Û ÈÊÜ ¬.4C¬3Ø - Ë

Page 182: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

ÙRX)Ø ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)� �E¥<���í�������<���?�%���Ý�!�<�ݧ±�C���0���?�¦�B�l���&7��!�?�B���;�®¥<�x� 'j¥<���<�)���;¤��7�2A�¤

� È Õ Ë Í ÙØ � ß é �� M!� ë+ � M ¥;�!� Q S ÕÀ é � M �B��� Q S ÕÀ , ¿ �1�?�;��� È~Ü ¬54?¬ÎØ 4 Ë

� M Í Ù À ( <� <� È Õ Ë ¥<�!� Q S ÕÀ * Õ�¿ Q ͸½C¿lÙ�¿JØ7¿lÛÝÛ�ÛÝ¿ È~Ü ¬54?¬ÎØ ? Ë

� M Í Ù À ( <� <� È Õ Ë �B��� Q S ÕÀ * Õ�¿ Q Í Ù!¿JØ7¿<Û�ÛÝÛ�Û È~Ü ¬54?¬ÎØ Ü)ËDª� �!�<�C�<���%����³ � � Æ è È«Ð À,¿�À Ë ���?�²���?��7��!�C�����;�]���;�����<�0³´�!� ��¤/�����!�;� �6§ ÈÊÜ ¬.4C¬3Ø!Ø Ë �!�È~Ü ¬.4?¬ÎØ 4 Ë ¤ ¥;�!�)�!�;���!�;�¦����� ���f�?�!�B�í¬�D¡³ � ���M�?���;¥<�;�1�����²�B�W�x�����º���?�;�f���?�;���²�B�<�����<��°�!�?��¢Q¥;�!�)�!�<�B�!����� ëè » � È Õ é Ë é � È Õ Ð]Ë ÁG¬D¡³)

�ç ���M!�?ß ���1���º�!�B���?�!�!�!�?��� ���%�����$���?�<�º�?�����?���`���B��� ���%� �¾�M�;¯x�?�%�����!�U�c�E���l�!�� �)� è Í �� � �

ê M è � �"M � è � ð ( <� < � È Õ Ë è * ÕQÍåØ%À �� � �

ê M è Û È~Ü ¬54?¬ÎØ � Ë7��?�B���?�<����³ �ç ���M��?ß ³´�!���Ú���K���B���C�!�?�!�B�±���6���%�����{���?�;�²�)§����?�®�?�B��B�<¥ ������� ���?�;�!���;����C�E�C����B�;¥;�����!�Q�<�B���!�;¶ � � Ð �� ç � ë �

ç�ç��9¿ È~Ü ¬54?¬ÎØ X Ë���$�j���C���W�����1�?�<�

� ç­Í ê ç­Í Ù��� è �Ô¿ � ç � ¿ È~Ü ¬54?¬ÎØ ñ)Ë���?¢U���?�¦�W���?���K�C� �%�����?� È ��³{���C�E�C����B�;¥;�����!�Q�<�B���!� Ë ���1�!�����<�Q�)§� �4� è Ð �� M!� ë

9 ç è � � ç�� è Û È~Ü ¬54?¬.-!½ Ë

�dYbfTjm TAnj\]df\]TjVYg�bf\:9�^<; T�= �YX�T����<\0m� �!�?�B��¢?�;�$���?�0³´�!�����*�1���?� ���?�?���W�!���<�?�;�!�?�$�?�<�%�$·��*� �?�B�!�?���;�í¶ÂÃÅÄ è É Í � 9��� Ó 9 é � 9����� 9 ÍkÕÔè � ¿ ½AÖiÕfÖ¸Ù!¿ ½AÖ � Ö_ØÉ�È ½C¿ � Ë Í � ¿ É�È Ù!¿ � Ë Í Ù Ð Ø � èÉ�È Õ�¿�½ Ë Í¸½C¿ É�È Õ�¿JØ Ë Í Ù!Û È~Ü ¬54?¬.-CÙ Ë

Page 183: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � �� �-��!V��� Ù X -� �K�1�B����� É Í / é � ���?¢ ¥<�!�C����¢C�<�]���C�²�����j�K�����«��������¢C�21Ì�<���;�)���:�%�`�<¯6���'�������f³´�!�/��1�����i�?���W�!���<�?�;�!�?�j¢��%��� ���ÒÕæ���?¢Ò���?�º���%�W�º¢��%������� � ���j���Ç���C�í�!�B���!��������?�����?���;��³´��� É ¬ @ �M³´�!� � �c�K�C��� ���?�K�?�!�j�!�!�;�?�<���?���!�;���B���!�Y��³����?�K¢?� 1 �;���;�6���:����<¯6���%�����!�C�1�1�Ý���º�?�!�j�!�!�;�?�<�!�C�­¢?�%���²��� � ���C¢º���?�¦¢��%���A��³{���?�E�!�B���!�������£�?���!�C���<����UÕ�¶

É Í Ù�

ÕÉ Í¸½É Í � É Í Ù Ð Ø � è

/K͸½�

Õ/K͸½/AÍ � /²Í Ù Ð Ø � è

� Í Ù�

Õ� Ík½� Íä½ � Íä½

� | �£� �9v���� �/�$�$�C���B�?���Ý�������?� É�È Õ�¿ É Ë Í>/ È Õ�¿ � Ë é � È Õ�¿ � Ë ¬�$�x�C�M�°�¦�1�B����� É`È Õ�¿ � Ë Í / È Õ�¿ � Ë é � È Õ�¿ � Ë ¤C�1�����ÂÃ Ä Aè /AÍ � 9��� Ó 9 é � 9����� 9 ÍkÕ è � ¿ ½AÖiÕ¹ÖåÙ!¿ ½AÖ � ÖæØ/ È ½7¿ � Ë Í � ¿ / È Ù�¿ � Ë Í Ù Ð Ø � è/ È Õ�¿�½ Ë Í¸½C¿ / È Õ�¿�Ø Ë Í¸½ ÈÊÜ ¬.4C¬@-)Ø Ë

���?¢ ÂÃÅÄ è � Í � 9 �� Ó 9 é � 9 ���� 9 Íä½C¿ ½AÖiÕ¹ÖåÙ!¿ ½²Ö � ÖæØ� È ½7¿ � Ë Í¸½C¿ � È Ù!¿ � Ë Ík½� È Õ�¿�½ Ë Íä½C¿ � È Õ�¿JØ Ë ÍÚÙ!Û ÈÊÜ ¬.4C¬@- - Ë� �[�«�����«���B�!���x���?�$���?�[�?�!�j�!�!�;�?�<���?���<¯6���%�����!�¦³´�!� � ¬ Þ �;� � È Õ�¿ � Ë Í F È Õ Ë � È � Ë�IͽC¤?�1�?��¥��í�!�Ý�!�0�?�

è � Í F ã ã � é F�� ã ã ¿ ���?¢ F ã ãF Í Ð � ã ã� Í ÐJ Û ÈÊÜ ¬.4C¬@- 4 Ë�$�?�<� ¤Ô³´��� F ¤C�°�����l���E���?�\�"���

â F ã ã é J F Íä½C¿ ½²ÖpÕfÖåÙF È ½ Ë Í F È Ù Ë Í¸½7¿ ÈÊÜ ¬.4C¬@-�? Ë

Page 184: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

ÙRX 4 ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)���l�x���?�¦���C���<���!�<�)�%�����?�<� J Í J M Í È Q S Ë è®���?¢j���?�­¥<�������;���£�!�?¢?���?� �;���!�;�C³´�?�?¥ �����!�?�F M�È Õ Ë Ík����� È Q S Õ Ë ³´�!�

QEW Ù!¬��$�?�;�í���C�T�����dz´�!� � �1�����Ì�Ì�â � ã ã ÐkÈ Q S Ë è � ͸½C¿ ½²Ö � Ö_Ø� È ½ Ë Íä½C¿ È~Ü ¬54?¬.- Ü)Ë

�1�����U���?�¦�<���!�<�7³´�?�?¥;�����!�C�$�!�����<�º�6§ � M?È � Ë Í ê M �B���?� È Q S � Ë ¬ �$�6�?�� È Õ�¿ � Ë Í �� M�� ë ê M�����?� È Q S � Ë ����� È

QS Õ Ë Û È~Ü ¬54?¬.-�� Ë

�{�j¢C�;���;���j���?�0���?�¦¥<�x� 'j¥<���<�)��� ê M �°�E�C���¦���?�¦�£�!�?�?¢��%�B§U¢��'���K�x�BA�¤� È Õ�¿JØ Ë Í �� M�� ë ê M�����?� È Ø Q S Ë �B��� È

QS Õ Ë Í Ù!Û È~Ü ¬54?¬.- X Ë

�$�?� 7��!�?�B���<�$¥;�7��'j¥<���;�)���­�����ê M �����?� È Ø Q S Ë Í

ÙÙ��!Ø ( ëß ����� È Q S Õ Ë * ÕQÍäØ O Ð ¥<��� È Q S Õ ËQS T ëß Í ØQ

S+ Ù ÐkÈ,Ð Ù Ë M , Û�$�?�®�C���!�?���<� È~Ü ¬.4?¬.- - Ë ³´�!� /¦���`�?�!�j�!�!�;�?�<���?�`��� � ¤����?¢ ���?�®¥;�!���B�<���£�!�?¢C���?�]�;���!�;�7�³´�?�?¥ �����!�?�1���B�E�B��� È Q S � �!Ø Ë ¬ Þ �;�­�?�*�/ È Õ�¿ � Ë Í ��

ë/ M?È Õ Ë �B��� + Q S �Ø , Û È~Ü ¬54?¬.- ñ)Ë

�$�?�;�º�°���?�*��� è /AÍ ��

ëO / ã ãM È Õ Ë`Ð + Q SØ , è / M?È Õ Ë T ����� + Q S �Ø , ÍæÕ è � Í_Õ è ��

ë� M ����� + Q S �Ø , Ûî �*�ä�c�E���)�!��ï��0���?�¦�£�!�?�?¢?���B§U¢?�%���²��� /Ô¶

/ È ½C¿ � Ë Í ��ë/ M�È ½ Ë ����� + Q S �Ø , Í � Í ��

ë� M ����� + Q S �Ø , Û/ È Ù!¿ � Ë Í ��

ë/ M�È Ù Ë ����� + Q S �Ø , Í Ù Ð Ø � è Í ��

ë� M ����� + Q S �Ø , Û È~Ü ¬54?¬54)½ Ë

Page 185: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

����� � �� �-��!V��� Ù X�?���©¨?�?¢ �!�C��/ M�È Õ Ë �°�²��¢?�;�6����³à§º���?� ¥<�x� 'j¥<���<�)���0���Y�Ì�����f����¢?�<�0�%³����?�²�����B�M���?�B�<�³´�!��� �?�:���;¬ �$�?�;�¹���c³´�!�����9�1�®�����%��/ M�È Õ Ë ���%�����B¨?�<�$���?�\�����$¶

Â8à 8Ä / ã ãM Ð_Ð + M 2è , è / M Í � M Õ è/ M?È ½ Ë Í � M/ M?È Ù Ë Í � M ÈÊÜ ¬.4C¬.4?Ù Ëá7�!�Ý�7���?� È~Ü ¬54?¬54?Ù Ë �°�E¨?�������ݧ±¥<���º�!�;� É�È Õ�¿ � Ë Í3/ È Õ�¿ � Ë é � È Õ�¿ � Ë ¬

Page 186: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

ÙRX Ü ���������� ���������������� ���� ��!��"�#�� ��$�%!&�('*)

Page 187: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �� � �� �

� � � �Y� �M� � ��������� �

�+<"«"B+'2�ª>)�9#;�� @C�9" &%-�+®"«@C2Î>*�� @C�9"�´@)-C���9+ �+<"«"B+'2��¾"��C �Ì+%-�+%�*�� Å&)2*+;=?>'&9�� @C�xN��1�! "{+<=?>'&*�� @C�&6���Y �,"]8'&'-~ Å&)�*�,"¦&%-Ê "«+U Î�¹F�&6���º('-:@CL)2 +%FM" 3�¹()���9"� #;"¦&6���º+%�95x 3�9+<+'-~ Î�95��¼('&'-��� #'>)2 &%-~2 �.­�9+%-:+E"«@CF�+¦"«@)-��®@�`#9 3-:#'>)2 &%-�"��)F�FM+;��-��W "� Î�*89@C2 89+��ÔN� �¦�B�����B�1�1�Ý���U���?�0�ª�°�%�ª¢C���j�<�?�B���!���%� �®�l�����;¯x�?�%�����!�Q���Q�Ì���:���®¥;�7����¢?�����%���;�<¶

É�Ï�Ï Í 9è è É�È#� ¿��x¿�× Ë Í 9

è + É���� é Ù� É�� é Ù

� è É ��� , Û È �7¬4½C¬�Ù Ë� §Q���?� ���<�?�����%�����!�í��³ �%���B�:���?���<�;¤ É�È�� ¿$� Ë Í B È#��Ë %AÈ � ËHG È × Ë IÍÚ½C¤£���?���M�;¯6���%�����!�¹������ �1�����B���;�¹��� G ã ã B % Í 9

è + G B ã ã % é Ù� G B ã % é Ù

� è G B % ã ã , ¿ È �7¬4½C¬3Ø Ë�1�?��¥�� ¤����U���?�¦�?�B�������c�l§!¤�§x���<��¢?�G1ã ã9 è G Í B ã ãB é Ù

� B ãB é Ù� è %�ã ã% Í Ð�� è Û È �7¬4½C¬@- Ë�$�6�?�­�°�E���l�!� � � �M�!��¢C�������«§©¢?� 1 �;���;�6���:���Ì�<¯6���%�����!�Q³´�!� G ¤C�x�BAG ã ã é 9

è � è G ͸½C¿ È �7¬4½C¬.4 Ë���?¢Q���?�¦�����?�<�1�;¯x�?�%�����!��¤?���6���!���x���?�²�Ì�%��� B ���C¢ % ���B ã ãB é B ã� B é %�ã ã

� è % Í Ð�� è ¿ È �7¬4½C¬ ? Ë�1�?��¥��±�K�?�������?�ݧx���?�]���?���!�C�!�±�)§ � è<¤7���¼�1�B�������<�W���A���?�­³´�!�����9�1���?�?¤!�B�<���%���%���<¢±³´�!�B�í¶� è B ã ãB é � B ãB é � è � è Í Ð % ã ã% Í�) è Û È �7¬4½C¬ Ü!ËÙRX��

Page 188: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

ÙRX X ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)î �*�ä�c�E���l�!�E���?�%���?�;�­����¢?�������B§±¢?�21Ì�<�B�<�)���������;¯x�?�%�����!�U³´�!� % ¤?�7�2A

% ã ã é ) è % Íä½C¿ È �7¬4½C¬@� Ë�$�?�¦��� ³à�1�����?¢º����¢?�0�!�Ý�!�<�$���?�0���?����¢Q�!��¢C�������«§©¢?� 1 �;���;�6���:��� �<¯6���%�����!�U³´�!� B ¶� è B ã ã é � Bié È � è � è Ð ) è Ë B ͸½CÛ È �7¬4½C¬.X Ëî �*� �°�²�����W�?����³à§W���?�K�;¯6���%�����!� È �7¬Î½7¬@X Ë �?�B���?�±���?�K¥����%�?�!�K��³��%���B�:���C��� � Í Õ � � ¤���?¢Q���6�����x¢?�?¥;���?�²���C�E�C�;�¸³´�C�?¥;�����!� � È Õ Ë ¶ÎÍ B È��!Ë ¤?�?�<�C¥<�

B È#��Ë Í � È � �!Ë ¿ B ã È#��Ë Í � � ã È � ��Ë ¿ B ã ã È��!Ë Í � è � ã ã È � ��Ë Û È �7¬4½C¬ ñ)Ë�$�6�?� È �7¬4½C¬.X Ë ���$�B�;�1���Ý�����<�í���+ Õ�$, è � è � ã ã È Õ Ë é Õ

� �� ã È Õ Ë é È Õ è Ð ) è Ë � È Õ Ë Ík½C¿ È �7¬4½C¬ÝÙ*½ Ë�!�$�;¯x�C���%�����;�)����§

Õ è � ã ã È Õ Ë é Õ(� ã È Õ Ë é È Õ è Ð ) è Ë � È Õ Ë Í¸½7Û È �7¬4½C¬ÝÙ!Ù Ë�$�?���M���1���?� � � ��� � �� � ����� � � � � � � � ����� � � � ��� � � � ��� � � )£¬$D¡�]���C¢í�Ý���1���%���:�%�6���­������������¹�±���)§¹�?���!�C���<�j�]���Y�?�)§7�B��¥;���%�?¢Y�<�?�����?�;�<�����?�?¤��?���B����¥<�C�:���B��§U�1�?�;���A���!�j�K�B�!�B���³�¥<����¥<�C�:���®�«§x�W�j�;���B§U���$���)�!�!�Ý�!�;¢�¬� P*R �UT �<V¹^�Z<TjdYgrTAh��\]g g`\ �Bg �YZ�� \0X�\0d©^�Z 9 ��\]eUV?9�^�Z;TWd�$�?� � �;�����;� �¾�M�;¯6���%�����!�Q�����­� ����� �� � � � � � � �� � �� � � � ���%�$ÕU͸½C¤?�B�j�°�¦� µ7�Ì�;¥;�­���¨��?¢º�������C�����!�?�c��³����?�0³´�!���

� È Õ Ë Í ��� �?ß � � Õ � � ¿ � ß I͸½C¿ È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ Ë

�1�?��¥��i�°�f���?�C�B���Ý���C���í���)��� � �<���B�<� �4�W�<¯6���%�����!�p���?¢�¤c�1�C�<� )i���W�C���©� �?�;�)�%���Ý�!����)���<�!�;�<¤C�°�����;�$���C�E�B�<���%�����!�U�!�Q���?�¦¥<�x� 'j¥;���<�)��� � çE���;¶� è ç­Í È«Ð Ù Ë ç � ßØ è ç Ñ��:È Ù é ) Ë;È Ø é ) Ë � ÛÝÛÝÛ � ÈGÑ é ) Ë ¿ � è ç ë Íä½CÛ È �7¬ÝÙ!¬ÎØ Ë

Page 189: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� �#)6�$!��$ �:�$�) � � �%�V) )U��! � ) �:� � ���� ��V� � ��! � ���"� �:�$� Ù X ñ�$�6�?�<¤Ô���Q�B�?�!�B�<¤�� µ7¥<�;�C�­�1�?�<��)Q���1�A�C�<�)�%�������E���)���<���<�$�c�¦���l���E���?�¦���!���C�����!�� È Õ Ë Í � ß �� ç �?ß È«Ð Ù Ë ç ÕÔè ç ,Ø è ç Ñ���È Ù é ) Ë<È Ø é ) Ë � Û�ÛÝÛ � ÈGÑ é ) Ë

Û È �7¬ÝÙ!¬@- Ë�$�?�E�B���%�?¢����B¢í¥��?����¥<�0³´�!� � ß ���

� ß Í ÙØ , � È ) é Ù Ë ¿ È �7¬ÝÙ!¬.4 Ë�1�?�<�B�$���?� � � � � � ��� � ��� ��¤ � È��)Ë ¤)����¢?� ¨��?�;¢W���K���?�$¥;�!�W�C��� µ �����ݳ:�ª�?�����?�%¤ B � � L½C¤��)§� È��)Ë Í ( �ß ×�� � ë � � Ï * ×JÛ È �7¬ÝÙ!¬ ? Ë7����!� ���?�Y¢?� ¨��?�Ý�������ä�%�Ì�*�!�%¤M�°� �Jµx�����%¥;�º���!�j�Y��³E���?�Y�j�!�«�Q���j�Ì�!�«�����)�±��������¥�?�����Ì�;�B�����<�1��³{���?�¦�)�%�W�W��³´�?�?¥ �����!��¶ � � ��� � � � � � ��� � � � �$� ���� � ��� ��� � �� È�� é Ù Ë Í �

� È��!Ë È �7¬ÝÙ!¬ Ü!Ë � � ��� � � � � � ��� � � � �$� ���� � ��� ��� � �� È��)Ë � È Ù Ð��)Ë Í S � ����� È S �)Ë Û È �7¬ÝÙ!¬ � ËÞ �;�

�ÍÚÙ!¬��$�?�<�º�c�¦�!� �

� È Ù Ë Í ( �ß × ß � � Ï * × Í O Ð � � Ï T �ß Í Ù�Û È �7¬ÝÙ!¬@X Ë�$�?�<�º���?�0¨��B�B�1³´�?�?¥ �����!�������;¯6���%�����!�Q���$�!�Ý�x���?�²�?�$³´�!��ÍÚÙ!¤

� È Q é Ù Ë ÍÚÙ � Ø � ÛÝÛÝÛ � Q � È Ù Ë Í Q� Û È �7¬ÝÙ!¬ ñ!Ë�$�?�¦¨����«�­³´�C�?¥;�����!���%���<¯6���%�����!�Q¥<���í�£�¦�����<���'���<¢º���C¢º¥;�!�?�B�<¯6�?�<�)����§Q�c�E�!� �

� È�� é Q Ë Í ��È�� é Ù Ë � Û�ÛÝÛ � È�� é Q Ð Ù Ë � È��!Ë Û È �7¬�Ù�¬�Ù*½ Ë�$�6�?� � È��)Ë ¤/���]���%���?�<� � È�� é Ù Ë ¤��C���*�x��¢?�;�¦�©���%���C������� µx���;�?�����!� �%³¼���?� ³Ê��¥ ���!�B�:���³´�?�?¥ �������Q���A�x�C�K�Ì�;���­�����C�<�$�����%�º���)���<���<���;¶� È��)Ë Í � È�� é Q Ë

�?È�� é Ù Ë � ÛÝÛ�Û � È�� é Q Ð Ù Ë Û È �7¬�Ù�¬�Ù!Ù Ë

Page 190: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù ñ ½ ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)@ �C�����?�;�1���j�Ì�!�«�����)�c���<�B�?���­���®�����%�

� +RQ é ÙØ , Í ÙØ + - Ø , � Û�ÛÝÛ � +RQ Ð ÙØ , � S Û È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ9Ø Ëî �*� �°�K��� ���?�B�f���©�B�!���C�����!� È �7¬ÝÙ!¬ÝÙR- Ë ¤ ��³����?� � �<���B�<� �4�0�;¯x�?�%�����!� È �x¬Î½C¬ÝÙ!Ù Ë ¤Ì�1�C�<���� ß ���¼�!�����<�U�)§ È �7¬ÝÙ!¬.4 Ë ¬ �$�?���®¥��?�!��¥<�]�%³ � ß �!�������?�c���?��³´�!�����*�1���C�E���?�<�!�B�<�º¤x�1�C�<���� È Õ Ë Í � , È Õ Ë ¶u y�v�� �'v�� ����� � =/����$��C.-��D]�?� � �5=5=/�8��� =�U�. !��8&R�8D!�C.%@��O���7$A@��C.-��D �GF���&BU��8& ) .1= M�.0���8D6(�

� , È Õ Ë Í �� ç �?ß È«Ð Ù Ë çÑ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë + Õ Ø , èç , Û È �7¬ÝÙ!¬ÝÙR- Ë

� , È Õ Ë .1=+_N@��0�1�NUV� �!��� � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � ) '� &R�/�GF ' �{�©���?�*�Ú�����'� � , È Õ Ë �����©�B�!���C�����!�Q���W���?� � �<���B�<� �4�0�;¯x�?�%�����!�f��³[�!�B¢?�<� )�È �x¬Î½C¬.X Ë �°�¦���;�

� È Õ Ë Í � , È Õ Ë Í �� ç �?ß È,Ð Ù Ë çÑ�� � È~Ñ é ) é Ù Ë + Õ Ø , èç , Í �� ç �?ß È,Ð Ù Ë ç Õ è ç ,Ñ�� � È~Ñ é ) é Ù Ë Ø è ç , Û7`�����B�­�°�A�����B�?�W�������%� )¹�����C���0�±�C�<�)�%�������K���)���;�!�<�;¶ ) IÍ Ð Ù!¿ Ð Ø7¿lÛÝÛ�Ûݬ]�$�?�;�Y���?����;�����<�1¥<�!�)���<�����<�M³´���1�����£Õ I͸½A���?¢Q�°�����l���¦�����%�

� ã È Õ Ë Í �� ç �?ß È«ÐÙ Ë ç È Ø Ñ é ) Ë Õ è ç , � ëÑ�� � È~Ñ é ) é Ù Ë Ø è ç , ¿ È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ 4 Ë

� ã ã È Õ Ë Í �� ç �?ß È«ÐÙ Ë ç È Ø Ñ é ) Ë<È Ø Ñ é ) Ð Ù Ë Õ è ç , � èÑ � � ÈGÑ é ) é Ù Ë Ø è ç , Û È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ�? Ë

�$�6�?�­���;�B�����?�� È Õ Ë ¶ÎÍkÕÔè � ã ãàÈ Õ Ë é Õ � ã´È Õ Ë Ð )7è � È Õ Ë �°���!� � È Õ Ë Í �� ç �?ß È,Ð

Ù Ë ç » È Ø Ñ é ) Ë<È Ø Ñ é ) Ð Ù Ë é Ø Ñ é ) Ð ) è ÁÑ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë Ø è ç , Õ è ç ,Í �� ç �?ß È«Ð Ù Ë ç 4 Ñ�È~Ñ é ) ËÑ � � ÈGÑ é ) é Ù Ë Ø è ç , Õ è ç , Û

Page 191: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� �#)6�$!��$ �:�$�) � � �%�V) )U��! � ) �:� � ���� ��V� � ��! � ���"� �:�$� Ù ñ Ùî �*�å�B���?¥;� ÈGÑ é ) Ë � ÈGÑ é ) Ë Í � ÈGÑ é ) é Ù Ë ���®³´�������*�1�c�����%� È Õ Ë Í �� ç �?ß È,Ð Ù Ë ç 4 Ñ�ÈGÑ é ) ËÑ �:È~Ñ é ) Ë � ÈGÑ é ) Ë Ø è ç , Õ è

ç , Í �� ç � ëÈ,Ð Ù Ë ç ÕÔè ç ,È~ѲР٠Ë�� � È~Ñ é ) Ë Ø è � ç � ë ,�� ç �?ß ÐKÈ,Ð Ù Ë ç ÕÔè ç è ,Ñ�� � ÈGÑ é Ù é ) Ë Ø è ç , Ð Õ è

�� ç �?ß È«Ð Ù Ë ç ÕÔè ç ,Ñ�� � ÈGÑ é Ù é ) Ë Ø è ç , Í Ð Õ è � ¿�1�?�<�B�����Q���?�0�:�%�B�1�����?�����?�0���?� ���®��� �1���Ý�����;�í�C�����C�A���?�0���C��³à�1�:�l�¦¶ È~Ñ Ð Ù Ë�� Ñ ¬�$�6�?�­�°�E���l�!�¦�����%� � È Õ Ë Í � , È Õ Ë ���%�����B¨��;�$���?� � �;�����;� �¾�M�;¯6���%�����!�Õ è � ã ã È Õ Ë é Õ � ã È Õ Ë é È Õ è Ð ) è Ë � È Õ Ë Í¸½7Û� v�� ���i��� � S F )jÍ Q .1=T@�D .0D!�?�-M��8& Z ���A@����

� � MCÈ Õ Ë Í È«Ð Ù Ë M � M?È Õ Ë Û È �7¬�Ù�¬�Ù Ü!Ë� &5�/�GF ' Þ � �')WÍ Ð Q ¤��1�?�;��� Q ÍÚÙ!¿JØ7¿lÛ<ÛlÛ�¬ 7��!� Ñ Í¸½C¿<Ù!¿lÛlÛlÛ ¿ È Q Ð Ù Ë �c�E���l�!�E�)§���?�¦���%����¥¦�?�B�!�£�<�B�����;�$��³`�!���W�W� ³´�?�?¥ �����!�?�®���?�%�Ù

� È~ÑKÐ Q é Ù Ë Í¸½7Û È �7¬�Ù�¬�Ù�� Ë�$�?���1�B���j�?��§j³´�!�����*�1�c³´���!� È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ!Ù Ë �1�Ý��� �Í ÑKÐ Q é Ù!¤?�G¬¾��¬Ý¤

� È��!Ë Í � È�� é Q Ë��È�� é Ù Ë � ÛÝÛÝÛ � È�� é Q Ð Ù Ë���j�?�����<�¼�����%�Ù

� ÈGÑKÐ Q é Ù Ë Í ÈGÑKÐ Q é Ù Ë<ÈGÑKÐ Q é Ø Ë ÛlÛlÛ Ñ� ÈGÑ é Ù Ë Íä½C¿ Ñ Í¸½C¿lÙ�¿lÛlÛlÛ ¿ Q Ð Ù!Û�$�6�?�<¤����C�¦¨?���B� Q ���;���j�1���©���C�E�B�<�B���<�

� � MCÈ Õ Ë Í �� ç �?ß È,Ð Ù Ë çÑ�� � ÈGѲРQ é Ù Ë + Õ Ø , èç � M ¿

�%���?���B��¬43M�B���?� � È�� é Ù Ë Í � � ¤����?¢Q���C�<�º���;�B�����?�MÍ ÑKÐ Q �c�¦¨��?¢Q���?�%�� � MCÈ Õ Ë Í �� ç �UM È«Ð Ù Ë çÑ���ÈGѲРQ Ë�� + Õ Ø , è

ç � M Í ��� �?ß È«Ð Ù Ë � ��È é Q Ë�� + Õ Ø , è � UM Í È«Ð Ù Ë M � M?È Õ Ë ¿���?¢Q���?�¦�?�B�7�%³`���$¥<�!�j�?��� ���%¬

Page 192: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù ñ Ø ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)D¡³�) ��� �?���j�Y���)���;�!�<�;¤ � , È Õ Ë �%�?¢ � � , È Õ Ë �%���U�����?�l�%�K���?¢C�<�£�<�?¢?�;�)�±�%�?¢ ���?��!�;�?�<�����/���!���C�����!�U���®���?�¦�����?�l���c¥<�!�K�C�����%�����!�

êMë � , È Õ Ë éiê è � � , È Õ Ë Û È �7¬ÝÙ!¬ÝÙRX Ë�$�6�?���°���c���)�]���j¨��?¢Y�W���!���C�����!��¤ � , È Õ Ë ¤£���±���C� � �;�����;� �¾�]�<¯6���'��������¤£�1�C��¥��f����������?�l�%�0¥<�!�K�C�����%�����!� ��³ � , È Õ Ë ���C¢ � � , È Õ Ë ¬U�$�?�W�B�����?¢����B¢��������C�����!� ���E�!�Ý�!�<� ������C�¦³´�������*�1���?�K¢?� ¨��?�������!� ¬ v�� z{|��*| �£z �{�!�����!� � ��� � � � � ��� � � ��� � , È Õ Ë [� Z ��.-_5� .1=]@�� =/� ��DO� Z D @�=�� � � � ���&� � � ��� � � ��� ��&�� � ��� � � ����� � � � � � � �� � � ���(��� � ��� � ��/[K.1=TU�� HJDO�NUL6(�

��, È Õ Ë Í ¥;�!� È ) S Ë � , È Õ Ë`Ð � � , È Õ Ë����� È ) S Ë¿ Z �!�8&R� ) IÍ .0D!�G�-M��8&J¿ È �7¬ÝÙ!¬ÝÙ ñ)Ë�����, � M ��, È Õ Ë Í � M?È Õ Ë Û È �7¬ÝÙ!¬ÎØ�½ Ë

� P� � bf\ ��\0aMVYX[X�\0dYa1\ SQTjX[m V�� 9Kg�$�?�;���¦���$�²�B�;�­��³��������<�?������¥]��¢?�<�)���������<�®�B�<���%�����?� ���C� � �<�B���<� �4�$³´�?�C¥;�����!� � , ���?¢Q�Ý���¢?�;�����%�%���­�������?�M³´�?�C¥;�����!�?� � , � ë ���?¢ � , ë ¬�Dª�±���?���¼���;�)����¢j�c�����l�!�M���?�M³´�������*�1���?���� � � ����� ����� � � �� �� � � ¶u y�v�� �'v�� ����� W ��&"@��0�?Õ @�D4U )#[ Z ���A@����» Õ � , � , È Õ Ë Á ã Í Ð Õ � , � , ë È Õ Ë ¿ È �7¬ÎØ7¬ÝÙ Ë» Õ , � , È Õ Ë ÁÌÍkÕ , � , � ë È Õ Ë ¿ È �7¬ÎØ7¬ÎØ ËÕ�»�� , � ë È Õ Ë é � , ë È Õ Ë ÁÌÍ¸Ø )�� , È Õ Ë ¿ È �7¬ÎØ7¬.- Ë

� , � ë È Õ Ë Ð � , ë È Õ Ë ÁÌÍ¸Ø � ã, È Õ Ë ¿ È �7¬ÎØ7¬54 ËÕ � ã, È Õ Ë`Ð )�� , È Õ Ë Í Ð Õ � , ë È Õ Ë ¿ È �7¬ÎØ7¬@? ËÕ � ã, È Õ Ë é ) � , È Õ Ë Í_Õ � , � ë È Õ Ë Û È �7¬ÎØ7¬ Ü)Ë� &R�/�GF ' � �;���*� �c�¹�!�����¹���?�í�?���x��³´�j³´�!� È �7¬ÎØ7¬3Ø Ë ¤ È �x¬3Ø7¬@? Ë ���?¢ È �7¬3Øx¬ Ü)Ë ¤1�����?¥<�º���?��?�B�7��³���³�³´�!���K�C�:��� È �7¬ÎØ7¬ÝÙ Ë �%�?¢ È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë �%�����C�l���®�B���j�������<¤6���C¢ È �7¬ÎØ7¬.- Ë �%�?¢ È �7¬ÎØ7¬54 ˳´�!�����*���)§©�B�?�C������¥ �����C�²���?¢U�%¢?¢?���C� È �7¬ÎØ7¬@? Ë ���C¢ È �7¬ÎØ7¬ Ü)Ë ¬��$�6�?�°�c�0�«�����«�c��� �?���*�!�³´�!�B�K�?�:� È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë �?�����?�A���?�¦�£�9�°�<�1�B�<�����<�

� , È Õ Ë Í �� ç �?ß È«Ð Ù Ë çÑ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë + Õ Ø , èç , Í �� ç �?ß È«Ð Ù Ë ç ÕÔè ç ,Ø è ç , Ñ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë Û

Page 193: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R���U� ����# ������" � ���� ��� �V�$ '#�"! ��) Ù ñ -� �?�Ý�����C��§x���?� �6§UÕ , ���C¢í¢?� 1 �;���;�6���:�%�����?� �!�����E�C�** Õ » Õ , � , È Õ Ë ÁÌÍ ** Õ �� ç �?ß È«Ð Ù Ë ç ÕÔè ç è ,Ø è ç , Ñ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë Í �� ç �?ß È«Ð

Ù Ë ç Ø ÈGÑ é ) Ë ÕÔè ç è , � ëØ è ç , Ñ�� � ÈGÑ é ) é Ù Ë Ûî �*�å�B���?¥;� � È~Ñ é ) é Ù Ë Í È~Ñ é ) Ë � È~Ñ é ) Ë ���®³´�������*�1�c�����%�** Õ » Õ , � , È Õ Ë ÁÌÍkÕ , �� ç �?ß È,Ð Ù Ë ç Õ è ç , � ëØ è ç , � ë Ñ�� � È~Ñ é ) Ë ÍæÕ , � , � ë È Õ Ë ¿���?¢Q���?�¦�?�B�7�%³`��³ È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë ���1¥;�!�W�C���;����¬���í�?���*�!� È �7¬ÎØ7¬@? Ë ¶��£�<�«³´�!���j���?�©���?�j���?¢?��¥l�%���<¢�¢?�21Ì�<�B�<�)�����%�����!�Y��� È �x¬3Ø7¬ÝÙ Ë ¤{�°��!�C������� ** Õ » Õ � , � , È Õ Ë ÁÌÍ Ð )xÕ � , � ë � , È Õ Ë é Õ � , � ã, È Õ Ë Û�$�6�?�M�)§U³´�!�B�K�?��� È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë �°�����l���

Ð )xÕ � , � ë � , È Õ Ë é Õ � , � ã, È Õ Ë Í Ð Õ � , � , ë È Õ Ë ¿���?¢º�K�?�Ý�����C��§x���?���)§UÕ , ë ¤?�°���!�7�������Õ � ã, È Õ Ë Ð )�� , È Õ Ë Í Ð Õ � , ë È Õ Ë ¿�1�?��¥��º���®���?�0³´�!��� �?�:� È �7¬3Øx¬ ? Ë ¬7Ô�����K�?��� È �x¬3Ø7¬ Ü)Ë ���®�?�B�*�!�<¢º�����W���:���B��§£¶ ���;�B³´�!�B�W���?� ���C�0���?¢?��¥l�%���<¢©¢C�21Ì�<���;�)���:�9������!�Q��� È �x¬3Ø7¬ÎØ Ë ¤C�c�E�!�C�������** Õ » Õ , � , È Õ Ë ÁÌÍ )xÕ , � ë � , È Õ Ë é Õ , � ã, È Õ Ë Û�$�6�?�M�C�����C�j³´�!�B�K�?��� È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë �°���!� �)6Õ , � ë � , È Õ Ë é Õ , � ã, È Õ Ë ÍkÕ , � , � ë È Õ Ë ¿�1�?��¥��º�K�?�Ý�����?��§x���C�K�)§©Õ � , ë ¤C§x���;��¢?�Õ � ã, È Õ Ë é ) � , È Õ Ë Í_Õ � , � ë È Õ Ë���?¢º�?�<�C¥<�¦���?�¦�?�B�7��³���³ È �7¬ÎØ7¬ Ü!Ë ���1¥<���W�?���;����¬

Page 194: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù ñ 4 ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)� v ���<v�� �`w �9| �Ìz � ����y �!������|~z �lv �Ôv�� � ����v �� �;�����;�M³´�?�C¥;�����!�?�W��³¦�����ݳ:�ª���)���<�!�;�j����¢?�;�±¥l�%���Ì�í� µ7�?�B�<���B�<¢k���i�`�l§x���!�j���;�����<�©��³¥<��� È Õ Ë ���C¢í�B��� È Õ Ë ¤

� � "9 È Õ Ë Í + ØS Õ ,

"9 ¥<�!� È Õ Ë ���?¢ � "9 È Õ Ë Í + ØS Õ ,

"9 ����� È Õ Ë Û È �7¬ÎØ7¬@� Ë3M�B���?�²���?�¦���<¥;�?���B�<�?¥;�E³´�����K�?��� È �7¬ÎØ7¬.- Ë ¤?�c�E�!�C��������� 9 È Õ Ë ÍkÕ � ë � "9 È Õ Ë`Ð � � "9 È Õ Ë Û È �7¬ÎØ7¬.X Ë

� v ���<v���ª�{z{w �9| �£z �����­|Êz �*v��Ôv�� � ���{v��� � ���;¥l�����{�����%����³ � M�� �M��?ß ���]�±�B�<¯6�?�<�C¥<�²��³[�6�?�K�£�<�B�<¤ ���?� ��� � � � ��� ����� � ����� � � � �³´�!� � M ���1���?�¦�Ì�*�°�<�1���;�����<� �M��?ß � M � M Ûu y�v�� �'v�� ��� � ���!��M��8DO�8&B@��%.0D�M F)$'DO_8�%.-��DTF^��& � M?È Õ Ë F^��&T@��0�7Õ @�D4UL@��0�

�*IÍk½ .1=

��M!� � � � M�È Õ Ë � M Í�� � 9 + � � " , Û È �7¬ÎØ7¬ ñ)Ë� &R�/�GF ' � �¦¨?���B�­�?�%���0�����'� � � 9 + � � " , Í � � 9 � � � � �9 Û È �7¬ÎØ7¬ÝÙ*½ Ë3M�B���?�²���?�¦�`�l§x���!�$�B�<�B���<�$³´�!��� Ó �!�Ý�!�¦�?�­���?�B�!���C���<�ݧ©¥<���6���<�B�!�<�)�M���<�B���;�­�x�BA%¤

� � 9 + � � " , Í ��� �?ß

Ù� �+ Õ �Ø , � � �� ç �?ß

ÙÑ � + Ð ÕØ � ,ç Í ��

� �?ß �� ç �?ß È«ÐÙ Ë ç

� �3Ñ�� + Õ Ø , � ç�� � ç Û

Þ �;�1�?�*� � Í Ñ é Q ¬ � �¦ï6�?�*� �������²�����'�ÙÈGÑ é Q Ë�� Í Ù� È~Ñ é Q é Ù Ë Íä½C¿ �1�?�<� Ñ é Q Ö�½CÛ

�$�?�;�� � 9 + � � " , Í ��M�� � � O �� ç �?ß È«Ð Ù Ë çÑ���ÈGÑ é Q Ë�� + Õ Ø , è

ç UM T � M Í ��M�� � � � M?È Õ Ë � M���?¢U���?�¦�?���x��³����$¥<���W�?���;����¬

Page 195: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R���U� ����# ������" � ���� ��� �V�$ '#�"! ��) Ù ñ ?� v ���<v���� ���;z �*v�� � � � � � ��� � � � �Dª�º���?�¦�!�<�C�<���'�����C�A³´�C�?¥;�����!�U³´�!� � M?È Õ Ë ³´�!�B�K�?���C¤ � ¥l���Q�£�E���)§U�?�!� A;�<�B�W¥;�!�W�C��� µ�6�?�K�£�<�<¬ Þ �;�

�Í� * � Ík¥;�!� � é � ����� �A���?¢

�� ë Í � � * � Íæ¥<�!� � Ð � �B��� �7¤7���?�;�

� � 9 + � � " , Í� * Ó����� � Û È �7¬3Øx¬�Ù!Ù Ë3M�B���?�²���C�¦���?�¦�!�<�C�<���'�����C�A³´�C�?¥;�����!� È �x¬3Ø7¬ ñ)Ë ³´�!� � M�È Õ Ë ¤?�°���!� �� * Ó���� � Í ��M�� � � � M?È Õ Ë � * M0� Û È �7¬3Øx¬�Ù9Ø Ë

� �;�?¥<� � M?È Õ Ë ¤Ô�%���0�!�Ý�!�<�º�)§U���?� 7��!�?�B���;�®¥<�x� 'j¥<���<�)���1³´�!��� * Ó����� � ¤� M?È Õ Ë Í ÙØ S ( 2� 2

� * Ó���� � � � � * M � * ��Í ÙØ S ( 2� 2� * �4Ó����� � � M0� * �7Û È �7¬3Øx¬�ÙR- Ë

� �<¥<���?�B����³��B§x�j�W� ���«§©�c�E���;�?�:�%¥<� �²�)§ Ð �x¤Ô��� È �7¬ÎØ7¬ÝÙR- Ë ¤C���C�<�� M?È Õ Ë Í ÙØ S ( 2� 2

� � * Ó���� � � � * M0� * �¦Í ÙØ S ( 2� 2� � * �ÎÓ���� � � M � * �xÛ È �7¬3Øx¬�Ù 4 Ë

�$�6�?���%¢?¢?���C�j�C�º�°�����;�Ø � MCÈ Õ Ë Í ÙØ S ( 2� 2

� * �ÎÓ���� � � M0� * � é ÙØ S ( 2� 2� � * �4Ó����� � � M0� * �7Û È �7¬3Øx¬�Ù�? Ë

î �*�å�C�����C�+� * �4Ó���� � � M0� Ík¥<��� È ÕM����� � Ð Q � Ë é � ����� È ÕM����� � Ð Q � Ë �°�E���;�� M?È Õ Ë Í ÙØ S ( 2� 2

¥<�!� È Õ��B��� � Ð Q � Ë * �x¿ È �7¬3Øx¬�Ù Ü!Ë���?¢º�����?¥<�0���C�E���)���<�������?¢Q��� È �7¬ÎØ7¬�Ù Ü)Ë ���$� �!�<�í�����K���$³´�������*�1�c�����%�

� M?È Õ Ë Í ÙS ( 2ß

¥;�!� È Õ��B��� � Ð Q � Ë * �x¿ È �7¬3Øx¬�Ù�� Ë�1�?��¥��º���$���?�¦��³��� ��� � �� � � � � � � � � � � �� �� � � �

Page 196: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù ñ!Ü ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)� D @����?�8&)D4@��C.0���324&R�/�GFT�GF � �5=5=/�8��� =�� �!�5��&R�8( ' � �<���9�¦¤9�?�B���?� � �;���B�<� �¾�����;¥<�?�B���<�C¥<��³´�!�«��K�?��� È �7¬ÎØ7¬ ? Ë ¤x�c�]�����!�M���©�<�������<�¼�®�l§j��� �C���*�!�����?�M���?�<�����<� ��³ � �<���B�<� �4�®¢C�21Ì�<���;�7�������� �;¯6���%�����!��¶ Õ è � ã ã é Õ � ã é È Õ è Ð ) è Ë � Íä½CÛ È �7¬ÎØ7¬ÝÙRX Ë� �¦�1�B�����Õ è � ã ã, é Õ � ã, Í_Õ È Õ � ã ã, é � ã, Ë ÍæÕ È Õ � ã, Ë ãÍ_Õ È )�� , Ð Õ � , ë Ë ã Í )6Õ � ã, Ð Õ � , ë Ð Õ è � ã, ë Û È �7¬ÎØ7¬ÝÙ ñ)Ë3M�B���?� È �x¬3Ø7¬@? Ë �!�C¥<�E���)�����U�c�¦�!� � )6Õ � ã, Í ) È ) � , Ð Õ � , ë Ë ���6�?�Õ è � ã ã, é Õ � ã, Í ) È )�� , Ð Õ � , ë ËJÐ Õ � , ë Ð Õ è � ã, ë Í ) è � , Ð )xÕ � , ë Ð Õ � , ë Ð Õ è � ã, ë Û� �;�?¥<�

Õ è � ã ã, é Õ � ã, Ð ) è � , Í Ð Õ È )�� , ë/é � , ë�é Õ � ã, ë Ë Û È �7¬ÎØ7¬ÎØ�½ Ë7��?�B���?�<�A�?�B���?�����;¥<�?�B���;�?¥<�º³´�!���K�C�:� È �x¬3Ø7¬ Ü)Ë �1����� )Ç���;�?�:��¥;�<¢Ò�)§ ) é Ùº�°�¹���;�Õ � ã, ë ÍkÕ � , ÐkÈ ) é Ù Ë � , ë ���?¢º¥<�!�?�B�<¯6�?�;�6����§Õ è � ã ã, é Õ � ã, Ð ) è � , Í Ð Õ È )�� , ë{é � , ë�é Õ � , ÐkÈ ) é Ù Ë � , ë ËÍ Ð Õ È�È ) é Ù Ë � , ë�é Õ � , ÐkÈ ) é Ù Ë � , ë ËÍ Ð Õ è � , ¿ È �7¬ÎØ7¬ÎØ7Ù Ë���A���?�%� Õ è � ã ã, é Õ � ã, é È Õ è Ð ) è Ë � , Íä½ È �7¬ÎØ7¬ÎØ!Ø Ë���?¢U���?�¦�?���x��³����$¥<���W�?���;����¬� � v�����v�� � ��� � �!� Z � �A@��

( Õ ì � ß'È Õ Ë * ÕQÍ È Õ ì Ð 4%Õ Ë � ë È Õ Ë é Ø'Õ è � ß*È Õ Ë éiê Û È �7¬ÎØ7¬ÎØ - Ë)�� �� � ��� � � ���!�"&R�5_8$�&)&5�8DO_5�JF^��&)(+$��X@ È �7¬ÎØ7¬�Ù Ë Z .0�0� )±Ík½���.-�8�XU�=

** Õ » Õ ß � ß'È Õ Ë ÁÌÍ Ð Õ ß � ë È Õ Ë ��& � ãß È Õ Ë Í Ð � ë È Õ Ë Û È �7¬ÎØ7¬ÎØ 4 Ë� �8DO_5� ( � ë È Õ Ë * ÕºÍ � ß9È Õ Ë éÒê Û È �7¬ÎØ7¬ÎØ ? Ë

Page 197: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� � �$ ��� �>� �$���! )U� ) � � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�) Ù ñ �; � Z &).0�?� ( Õ ì � ß'È Õ Ë * ÕQÍ ( Õ è � Õ � ß'È Õ Ë * Õ�¿ È �7¬3Øx¬3Ø Ü!Ë@�D4U $>=/�<� �!�<&R�5_8$�&8&R�8DO_5�JF^��&)(+$��X@ È �7¬3Øx¬3Ø Ë Z .0�0� )±Í Ù �G� ��67�-@�.0D

( Õ ì � ß'È Õ Ë * ÕQÍ ( O�Õ è � ** Õ » Õ � ë È Õ Ë Á T * Õ�Û È �7¬3Øx¬3Ø � ËS D!�?�-M�&B@��C.0D�M 6(��2A@�&)� = Z ���A@����

( O Õ è � ** Õ » Õ � ë È Õ Ë Á T * ÕQÍ_Õ ì � ë È Õ Ë Ð Ø ( Õ è � ë È Õ Ë * Õ�Û È �7¬3Øx¬3Ø X Ë���!�"&R�5_8$'&)&R�8DO_5�JF^��&)(+$'�X@ È �x¬3Ø7¬ÎØ Ë ��)W͸Ø�\M�.0���"DO� Z

( Õ ì � ß9È Õ Ë * ÕºÍæÕ ì � ë È Õ Ë7Ð Ø ( Õ è � ë È Õ Ë * ÕºÍ_Õ ì � ë È Õ Ë7Ð Ø'Õ è � è È Õ Ë éQê Û È �7¬3Øx¬3Ø ñ!ËW $�&)� �!�8&\6(� )WÍ Ù �0�!�<&5�5_8$�&)&R�8DO_5� F^��&)(+$'�X@ È �7¬ÎØ7¬ÎØ Ë ��)jÍÚÙ /[Õ � ß'È Õ Ë é Õ � è È Õ Ë ÍåØ � ë È Õ Ë ¿ È �7¬3Øx¬@-!½ Ë� ��$>= Ø'Õ � è È Õ Ë Í34 � ë È Õ Ë`Ð Ø'Õ � ß*È Õ Ë Û È �7¬3Øx¬@-CÙ Ë���!�8D�=8$�(+(+.0D�M $ 2 Z ���A@����

( Õ ì � ß'È Õ Ë * ÕQÍ_Õ ì � ë È Õ Ë Ð Õ È 4 � ë È Õ Ë`Ð Ø'Õ � ß'È Õ ËBË éiê È �7¬3Øx¬@-)Ø Ë@�D4U HJD4@��0���V� �!�TU��5=8.0&R�NU &R�5=8$���� È �7¬ÎØ7¬3Ø - Ë Y

( Õ ì � ß9È Õ Ë * ÕQÍ È Õ ì Ð 4�Õ Ë � ë È Õ Ë`Ð Ø'Õ è � ß'È Õ Ë éiê Û� P�� X ^�bfTAnATjd?9 �Òg`\�^�g�TAh �\]g g`\ �Çh)VYdYa$^�Z<TjdYg� �¦�B�;�1���Ý���0���C� � �<���B�<� �4�­¢?�21Ì�<�B�<�)������� �;¯6���%�����!� È �7¬4½C¬.X Ë ³´�!� B ¶

� è B ã ã é � Bié È � è � è Ð ) è Ë B ͸½C¿ È �7¬.-C¬�Ù Ë��� Õ è � ã ã È Õ Ë é Õ(� ã È Õ Ë é È � è Õ è Ð ) è Ë � È Õ Ë Íä½7¿ È �7¬.-C¬3Ø Ë

Page 198: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ù ñ X ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)�1�?�;���¦�c�E�?���;¢¹���C�E��¢?�<�)����¨�¥<�%�����!�?�®Õ�� � ���?¢ ��� B ¬ Þ �;� J Í � è��%�?¢¹�%�����C�W����?�%�$Õ I͸½7¤C���?�;�í� �?�������?�ݧ7���?�K�)§YÙ �9Õ¹§x���;��¢?�

** Õ È Õ(� ã È Õ Ë�Ë Ð ) èÕ � È Õ Ë é J Õ(� È Õ Ë Í¸½C¿ È �7¬.-C¬.- Ë�1�?��¥����%�����x¥<���%���;¢0�1�����¦�%�?�?�����?�����%��� �£�!�?�C¢����B§�¥<�!�C¢?�������!�?� �������/�­áx���?�B�A� Þ ���!�C�x��������<¯6���'�������Q�1�Ý����CÈ Õ Ë ÍkÕ�¿ � È Õ Ë Í Ð )7èÕ ���?¢ � È Õ Ë ÍæÕ�Û

�$�?���<¯6���%�����!� È ��� Ë ���]� � � � � ����áx���C���²� Þ ���!�7�7�������]�?�����?���;� �!�Y���f���)���<�«�%���°» � ¿ � Á��³�½AÖ � Ö � Ö��¸¬�]�f���º���)���;�B�%������³����?�¦³´�!��� »Å½C¿ � Á����?¢º�?�?¢C�<�M���?�������B�?�W�7��������) W ½j�°� ���;�� � � � � �� � �­áx���?�B�A� Þ ���!�C�x�������M�?�����?���;���1�?��¥���¤Ô�)§Q���?�¦�c�*§�¤Ì�����A�j�!���¦���)���<���;�B�����?�¥l�%����¬ � �;���*���°�©� µC���j���?�A���C���E¥l���B��¶²�$�?�W�!�<�?�;�����¼�������C�����!� ���º���?�W¢?�21Ì�<�B�<�)��������<¯6���'������� È ��� Ë ���®���?�<�Q���C�E�;���!�;�C³´�?�?¥ �����!�?�$��³����?�0³´�!�B�

� È Õ Ë Í êMë � , È � Õ Ë éiê è � , È � Õ Ë Û È �7¬.-C¬54 Ë�$�?�E�Ì���?�?¢����«§º¥<�!�?¢C�������!�º�%�1Õ¹Íå½W���1���6���<�B�?��� ���<¢f���­�����%�'� È ½ é Ë �Jµ7���B���<¤Ô�1�?��¥���j�l���?�0�����%� êMë IÍ ½í�%�?¢ ê è ͽ7¤��1�C�<���<�������?�j�Ì�!�C�?¢����«§Y¥<�!�C¢?�������!���%�¦ÕÇÍ �¥l�%�í�£�]����ï%�<�¹��� 0 � È � Ë é 0/ã � ã´È � Ë Í¸½7¤C�1�?��¥��º�j�l���?�$�����%�0 � , È � � Ë é 0 ã � � ã, È � � Ë Ík½CÛ È �7¬.-C¬@? ËÞ �;�1�?�*� � È Õ Ë Í � , È � � Õ Ë ���?¢

)È Õ Ë Í � , È � ç Õ Ë �£�¦���?�¦�<���!�<�C³´�C�?¥;�����!�?�;¤C���C�<�

Æ­È � Ë ¿)� Í �£¿ ÆMÈ

)Ë � ¿ �1�?�;��� Æ­È � Ë Í ** Õ È Õ(� ã Ë`Ð )7èÕ �ÔÛ È �7¬.-C¬ Ü)Ë@ �c���±���?� �J���Ò¥����%�C���;�<¤C�°�0�B�������Ô���l���E�B�l���Ì�<���!�<�)�%�����C�<�®�%�?¢©���?�0�;���!�;�C³´�?�?¥ �����!�?����B�0�!�B���?�!�!�!�?��� �1�����Q���<�B�Ì�;¥;�­���²���C�¦�°�<���!�)�1³´�?�?¥;�����!� � È Õ Ë ÍæÕ�¤Ý¬

Þ �;� 0 IÍ ½Ç���?¢ 0 ã IÍ ½7¤��1�?��¥��k���©���?���W�!�«�Q�?���?���0¥l���B��¬ �$�?�<�¸�����M���?��<���!�<�)�%�����?�<�1���B�¦�?�!�?�?�;�)�%�����!�E���C¢Q���6�?�­³´���J L ½C¿ J ç­Í � èç Í + � ç

� , ¿ È �7¬.-C¬@� Ë�1�?�;��� � ç W ½A���B�¦���?�¦���x�����$�%³����?�¦�<¯6���%�����!�0 � , È � Ë é 0 ã� � ã, È � Ë Íä½C¿ È �7¬.-C¬.X Ë

Page 199: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� � �$ ��� �>� �$���! )U� ) � � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�) Ù ñ!ñ�1�?�<�B� � � Í � ���?¢U���?�¦�<�����<�C³´�?�C¥;�����!�?�­���B��ç È Õ Ë Í � , + � ç Õ� , Û È �7¬.-C¬ ñ!Ë

� �W���?�j�W�����2A<�²���?�����B�<¥ ������� ³´�!�B�K�?�:�'�����C�U���!�j�W³´�?�C¢����j�<�)�����[�B�<���C����� È �1�Ý���?���C��?���x��³´� Ë� v�� ���p����� S F 0 Íå½ @�D4U")W͸½�[K�0�!�8D JÔß Í¸½ @�� =/�V.1=T@�D��8.XM��8D!��@���$!� Z .0�0� � �!��8.XM��8D^F)$'DO_8�%.-��D

��ß*È Õ Ë Í Ù '� v�� ���i� ��� S F � L ½�[ � L ½ @�D4U") W ½�[J�0�!�8D

( �ß � , È � Õ Ë è Õ * ÕUÍ � èØ � ã, È � � Ë è é � è � è Ð ) èØ � è � , È � � Ë è Û È �7¬@-7¬�Ù*½ Ëu y�v�� �9v�� �{�#�J�#$/2>2!�/=/� ) W ½�[ � L ½V@�D4U � È Õ Ë ÍkÕ ' , �8� J ç ��� ë 68�Q�0�!�2!�/=8.0�%.0���`��8&R�/=��GF � , È Õ Ë @�D4UT�1�8���£ç È Õ Ë Í � , È J ç Õ � � Ë ' ���!�8D+ ��Ôç ��� ë .1=�@�D ��&)�0�!�NM���D4@��#65@�=8.1=F^��& Æ è� È ½7¿ � @�D4U ���4� è

�Í � èØ � , ë È J ç Ë è Û È �7¬@-7¬�Ù!Ù Ë

� \ 9�^ ; T>= Zld 9 a � �lZld �f\0X� � v�����v�� � � � , �8�K$P=+_5��DA=8.%U��8&IF^���0�1� Z .0D�M+�!�N@���� � Z 24&R��67�1�8( .0DE@]_�����.0D4U��8& 'Â88à 88Ä É�Ï

Í Ñ jè É ¿ ½AÖ � � � ¿ ½jÖ � �kØ S ¿ � ë � ��� èÉ Í ¿ � Í � ¿É�ã � Ík½C¿

�Í� ë @�D4U

�Í� èÉ Í ±¿ ×�Íä½C¿ È �7¬@-7¬�Ù9Ø Ë

Z �!�8&R� É Í É�È#� ¿��7¿ � ¿�× Ë @�D4U è É Í É � � é ë� É�� é ë� 9 É ��� é É ��� ' ����.1= .1=<@��.0&8.-_5���1�8�24&R��67�1�8( .0D � �!�T_�� ��.0D4U��8&

Í È#� ¿��7¿ �)Ë ¶6½AÖ � � � ¿ ½jÖ � �kØ S ¿� ë � �

�� è � È �7¬@-7¬�ÙR- Ë

, �8� $P= @�=5=8$�(L��� �A@�� É`È�� ¿��7¿ � ¿�× Ë .1=�.0D4U��?2!�8D4U��8D!�I�GF � @�D4U�$' ���!�8D Z � M��8�� �!�

F^���0�1� Z .0D�M"24&R��67�1�8( F^��& É Í É`È�� ¿�× Ë YÂÃ Ä É�Ï Í Ñ�È´É���� é ë� É���ËÉ�È � ¿B× Ë Í �¿ É�È ½ é ¿�× Ë ��� .1=8�0=É�È�� ¿�½ Ë Í ±Û È �7¬@-7¬�Ù 4 Ë

Page 200: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø�½!½ ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)

� ë � ë

� | �£� �9v�� �Ê�Ô� � §x�����?¢?�B��¥<��� �B����¥<�E¢?�!�W������¬W ��&OF)$'&)�0�!�8&Q=8.0( 24��. HQ_N@��C.-��D HJ&5=8� Z �Q=8�%$ U �\� �!� � � � ��� � � � ��� � ��� � � [ Z �!�8&R� É�Ï Í½ ' �4� �0��.1=T@82>24&5�7@�_5� �1�8��� É{È��!Ë =7@��C.1= F � �0�!�TU�. !��8&5�8D!�%.%@�����7$A@��C.-��D

�É ã ã é Ù��É ã Íä½C¿ ��&+���7$�.0��@��1�8D!�%��� ** � È#� �É ã Ë Íä½7Û È �7¬.-C¬ÝÙ�? Ë

���!�8D Z ���A@���� � �É ã Í êMë [K. ' � ' [��É ã Í�� "� ' � F)�?�8&".0D!�G�-M�&B@��%.-��D Z ��M��8��É Í êMë ��� � éiê è Û È �7¬.-C¬ÝÙ Ü)Ë

���A@����É�È ½ é Ë ��� .1=8� =���.-�8�XU�= êMë Í ½�[�@�D4U �0�!� 68��$�D4U>@�&�� _5��D4U�.0�%.-��D��É�È � Ë Í F^��&M�.0���5="�0�A@���É�È��!Ë Í ', �8� DO� Z / È�� ¿�× Ë Í É�È#� ¿�× Ë`Ð � É{È��!Ë Í É�È�� ¿B× Ë`Ð ' ���!�8D / =7@��%.1= HQ�5="�0�!�324&5��67�1�8(VYÂÃÅÄ / Ï Í Ñ�È / ��� é ë� / ��Ë/ È � ¿B× Ë Í¸½C¿ / È ½ é ¿�× Ë ��� .1=8� =/ È�� ¿�½ Ë Í Ð È �7¬.-C¬ÝÙ�� Ë� =8.0D�M =/�?2A@�&B@��C.-��D �GF"��@�&).%@>67�1�5=�/ È�� ¿B× Ë Í B È#��ËHG È × Ë�IÍk½�[K.0�#F^���0�1� Z ="� �A@��

B G1ã Í Ñ + B ã ã é ë� B ã , G @�D4U �!�8DO_5�

B ã ã é ë� B ãB Í G1ãÑ G Í Ð � è Û È �7¬.-C¬ÝÙRX Ë���!�8D Z ���A@������G�+=/�������<�0�!� F^���0�1� Z .0D�M � Z ��24&R��67�1�8(T=7Y

È Ù Ë â B ã ã é ë� B ã é � è B ͸½B È � Ë Íä½C¿ B È ½ é Ë ��� .1=8� = ¿ È �7¬.-C¬ÝÙ ñ)Ë

Page 201: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� � �$ ��� �>� �$���! )U� ) � � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�) Ø%½CÙ@�D4U G ã Í Ð � è G Û È �7¬@-7¬3Ø�½ ËW ��&<�0�!� HJ&R=8�24&R��67�1�8(T[ Z ��.-_5� .1=+@ �#�%$�&8(+*-,.-��$��/.0�0�1� 24&5��67�1�8(T[ Z � ��DO� Z � �A@�� � �!��8.XM��8D^F)$'DO_8�%.-��DA= Z .0�0� 68�+�GF�� �!�JF^��&)(

B È#��Ë Í êMë � ß9È � ��Ë éiê è � ß9È � �!Ë Û È �7¬@-7¬3Ø7Ù Ë���A@�� B È ½ é Ë ��� .1=8� = ��.-�8�XU�= ê è Íä½ �C=/�5��U�� HJD!.0�C.-��D �GF � ß9È � ��Ë @�D4U B È � Ë Íä½VM�.0���5=� ß9È � � Ë Íä½ ' , �8� DO� Z � ë ¿ � è ¿lÛÝÛ�Û 68�"�0�!�32!�/=8.0�C.0����`��8&R�/=+�GF � ß'È Õ Ë(' ���!�8D Z ���A@����

� � Í � M @�D4U � Í � M Í � M� ¿ F^��& QEW Ù!Û È �7¬@-7¬3Ø!Ø Ë����$P=<�0�!�+�8.XM��8D^F)$�DO_8�C.-��DA="@�&5�

B M?È#��Ë Í � ß + � M�� , Û È �7¬@-7¬3Ø - Ë� ��&)&5�5=?2!��D4U�.0D�M����+�0�!��=/����$��C.-��D F^��&"�0�!�TU�. !��8&5�8D!�%.%@�� ���7$A@��%.-��D G­ã Í Ð � èM G .1=

G M?È × Ë Í ê M � � ç�� 9� Ï Û È �7¬@-7¬3Ø 4 Ë� �V� �!��=8$/2!�8& 2!�/=8.0�C.-��D Z � �A@����

/ È�� ¿B× Ë Í �� M�� ë ê M� � ç�� 9� Ï � ß + � M �� , Û È �7¬@-7¬3Ø ? Ë

W ��&®×�Íä½ Z � M��8�

/ È#� ¿�½ Ë Í �� M!� ë ê M� ß + � M�� , Í Ð �Û È �7¬@-7¬3Ø Ü!Ë

� �5_N@��0��.0D�M��0�A@�� B M?È#��Ë����M!� ë .1=3@�D ��&)� �!�NM���D4@��'65@�=8.1=4F^��& Æ�� è È ½C¿ � Ë [ Z �!�8&R� � È��!Ë Í � [� �!� W ��$�&8.-�8&T_5�/��� _8.-�8D!�0= ê M @�&5�

ê M Í Ù� B M � è� (�

ß È Ð Ë � ß + � M �� , � * � Û È �7¬@-7¬3Ø � Ë����$P=T6(�V�0�!�324&5�8�/.-��$>="�0�!�5��&R�8(

� B M � è� Í �JèØ � èë È � M!Ë Û È �7¬@-7¬3Ø X Ë

Page 202: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø�½)Ø ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)� @ ��.0D�M]�0�!�\=8$A68=8�%.0�C$��C.-��D �GFT��@�&).%@>67�1�MÕYÍ�� � �� [Q. ' � ' [ � Í � Ó

�� [ @�D4U .0D!�?�-M�&B@��C.0D�M .0�

F^���0�1� Z ="�0�A@��

( �ß � ß + � M�� , � * � Í + �� M , è ( ��

ß � ß9È Õ Ë Õ * Õ�Û È �7¬.-C¬ÎØ ñ)Ë���!��=/�5_5��D4U &R�5_8$�&)&5�8DO_5�IF^��&8(+$��X@>Y

( � �ß � ß'È Õ Ë Õ * ÕUÍ O Õ � ë È Õ Ë T ��ß Í � M � ë È � M!Ë ¿ È �7¬.-C¬.-!½ Ë

��.-�8�XU�="� �A@��

ê M Í Ø� è � èë È � M)Ë � È Ð Ë � è � èë È � M)Ë� M Í Ø È Ð Ë� M � ë È � M!Ë Û È �7¬.-C¬.-CÙ Ë

� D4U HJD4@��0��� Z ���A@����5[I=8.0DO_5� ÉÔß Í �É Í @�D4U � M�È � M!Ë Íä½�[K�0�A@��

É�È#� ¿�× Ë Í é Ø È Ð Ë �� M�� ëÙ� M � ë È � M!Ë � �

ç � 9� �� 9 � ß + � M �� , Û È �7¬.-C¬.-)Ø Ë

� � v�����v�� � ��� ���������"� �!�JF^���0�1� Z .0D�M �!�N@�� ���7$A@��%.-��D .0D � �!�324�X@�DO�7Yâ ÉÔÏ Í Ñ è É Í É � � é ë� É�� é ë� 9 É ��� ¿ ½AÖ � Ö � ¿ ½²Ö �²Ö�Ø SÉ`È � ¿��7¿�× Ë Íä½C¿ É�È#� ¿��x¿�½ Ë Í � È�� ¿�� Ë Û È �7¬.-C¬.- - Ë� =8.0D�M =/�?2A@�&B@��C.-��D �GF"��@�&).%@>67�1�5= É�È�� ¿$�7¿�× Ë Í B È#��Ë %AÈ � ËHG È × Ë�I͸½ Z ��M��8�

B %G ã Í È B ã ã é Ù� B ã Ë %G é Ù

� è B % ã ã G Û È �7¬.-C¬.- 4 Ë� $'���%. 24��� .0D�M È �7¬.-C¬.- 4 Ë 6(� � 9

����� Z � �A@����

� è G1ãG Ð � è B ã ã é � B ãB Í %�ã ã%

Í Ð ) è Û È �7¬.-C¬.-�? Ë����.1=3M�.0����$>=�� Z � U�. !��8&R�8D!�C.%@�� ���7$ @��%.-��DA= ' ���!�"U�. !��8&5�8D!�%.%@�� ���7$ @��%.-��D\F^��& % &5�N@>U�=

% ã ã é ) è % Íä½C¿ È �7¬.-C¬.- Ü)ËZ �!�8&R�]�0�!�±Ø S *12!�8&).-�7U�.-_8.0� � �GF %AÈ � Ë @�D4U %]ãàÈ � Ë .0( 24��.-�5=]�0�A@�� )_Í Q Í .0D!�?�-M��8& '����$>=

%M?È � Ë Í� * M � Û È �7¬.-C¬.-�� Ë

Page 203: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�R��� � �$ ��� �>� �$���! )U� ) � � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�) Ø%½ -���!� ���0�!�8&+���7$A@��%.-��D .1=

� è G1ãG Ð � è B ã ã é � B ãB Í Ð ) è Í Ð Q è ¿ È �7¬@-7¬@- X ËZ ��.-_5�].0D �%$'&)D�_N@�D 68��=/�?2A@�&B@��?�NU .0D!�G�V� Z �VDO� Z ���7$A@��C.-��DA=5[ �/.X`8[

G1ãG Í � è B ã ã é � B ã� è B Ð Q è� è Í Ð � è Û È �7¬@-7¬@- ñ!Ë

, �8�<$>="HJ&R=8��=/������� B YX= ���7$A@��C.-��DA[ Z ��.-_5�:.1= @ � �5=5=/�8��� =]U�. !��8&R�8D!�C.%@�� ���7$ @��%.-��D �GF��&BU��8& Q [ Z �!�8&R� �EL ½ 'â � è B ã ã é � B ã é È � è � è Ð Q è Ë B Íä½

B È#��Ë 68��$�D4U��NU @�= � � ½ é ¿ B È � Ë Íä½CÛ È �7¬@-7¬.4)½ Ë� =T68� F^��&R�"�0�!��=/����$��C.-��D �?�V� �!� � �5=5=/�8��� =T���7$A@��C.-��D��GF ��&BU��8& Q .1= M�.0���8D 6(�B È��!Ë Í êMë � M�È � ��Ë éiê è � MCÈ � ��Ë ¿ È �7¬@-7¬.4?Ù Ë

Z �!�8&R� =8.0DO_5� B È��!Ë .1=�68��$�D4U��NU�@�= � � ½ é [T.0�JF^���0�1� Z = � �A@�� ê è Í ½ ' W $�&)� �!�8&

B È � Ë Í¸½ ��.-�8�XU�= � M?È � � Ë Í¸½ ' , �8� DO� Z � M�� 68� � �!� 2!�/=8.0�%.0��� `��8&R�/= �G� � M?È Õ Ë ' ���!�8D

� � Í � M�� @�D4U � Í � M�� Í � M �� Û È �7¬@-7¬.46Ø Ë����$P= Z �T��67� @�.0DA[!F^��& êMë Í Ù

B M � È#��Ë Í � M + � M � �� , Û È �7¬@-7¬.4�- Ë���!� ���7$A@��C.-��D F^��& G Y G1ã Í Ð�� èM�� G [ �A@�="� �!��=/����$��%.-��D

G Í G M��!È × Ë Í ê M�� � � � 9� � Ï Û È �7¬@-7¬.4 4 Ë���!��=8$/2!�8&?2!�/=8.0�%.-��DV24&).0DO_8. 24�1� M�.0����$>="DO� Z �0�!��=/����$'�%.-��D �?� �0�!� ��&).XM�.0D4@�� ���7$A@��C.-��D.0D � �!�JF^��&)( �GF

É�È#� ¿��x¿�× Ë Í ��M!� � ��� ç � ë G M��%È

× Ë B M��%È#��Ë %M�È � Ë Í ��M!� � ��� ç � ë ê M��

� � � 9� � Ï � M + � M � �� , � * M �@�D4U

É�È#� ¿��x¿�½ Ë Í ��M!� � ��� ç � ë ê M �

� M + � M � �� , � * M0� Í � È�� ¿$� Ë ¿ È �7¬@-7¬.4 ? Ë

Page 204: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø�½ 4 ���������� �� � �%�V) )U��! ����� �� �:�$�)Z �!�8&R� ê M � @�&R� �0�!� W ��$�&).-�8&L_5�/��� _8.-�8D!�0= �GF � .0D � �!�V(+$����%. 24�1� ��&)� �!�NM���D4@��J65@�=8.1=� M + � � � �� , � * M � ' �4��_N@��1_8$��X@��G�]�0�!�5=/� _5�/��� _8.-�8D!�0= Z ��HJ&R=8�"DO�5�NU �G�:_N@��1_8$��X@��?�]� �!�F^���0�1� Z .0D�MVDO��&)(V@���.X`/@��%.-��DTF @�_8�?��&7Y

���� M + � M�� �� , � * M � ��� è Í (

ß � èM + � M�� �� , � * � ( è 2ß * �7¿ È �7¬.-C¬54 Ü)ËZ ��.-_5�]$>=8.0D�M �0�!�<&5�5_8$�&)&R�8DO_5�JF^��&8(+$��X@ ��.-�8�XU�=

���� M + � M � �� , � * M0� ��� è ÍåØ S

� èØ + � M� ë È � M��;Ë , è Û È �7¬.-C¬54 � Ë����$>="� �!� W ��$�&8.-�8&T_5�/��� _8.-�8D!�0=\@�&R�

ê M � Í ÙS � è O � M� ë È � M � Ë T

è%( è 2ß ( �ß � È#� ¿�� Ë � M + � M�� �� , � � * M0� � * � * �7Û È �7¬.-C¬54�X Ë� � �*v�� S F .1=�� �!�<_8.0&R_8$'�X@�&�U���(V@�.0DKÕ è é � è Ö ��è [ �0�!�8D Z �\_5��D!�%.0D!$#�"_5��( 24$��C.0D�M�GF ê M [K�/.X`8[

( è 2ß ( �ß � � * � * �0Í ( (� � * Õ * � Û

Page 205: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �� � �� �

� � � � ����� � � � �� / � ��� �`� �

�1�9+0@)-����9@!5!@7�'&62�(�@C2 �)�9@CF¦ Å&)2 "®&%-:+jNÝN�N�QP*R ��\]nA\0d �YX�\ � T�� �ºdfTjm Z 9 �<gá7�!�j�1��³Ì���?�­�W�!�«�¼�?��� ³´�?�Ô�!�B���?�!�!�!�?���?�����B�<�[³´�!� Æ è ���?��¥<�;�°¥;�!�?�����B�°��³��£�!�ݧ7�C�!�W�����³´�?�?¥ �������?�<¬ �]�?�¦��³{���?�;���¦�Ì����§x�?�!�j�:���£³´�?�?¥ �������?�$���®���?� ! ����� � ����� � � � � �� � ~¤ v �`z{|��9| �£z � ��� ���!� Q � � ! � � � � ��� � � �� � � �� � [ U��8DO���?�NU 6(� � M [K.1=TU�� HJDO�NU 6(�

� M�È Õ Ë Í ÙØ M Q � * M* Õ M È Õ è Ð Ù Ë M Û È XC¬ÝÙ!¬�Ù ËW ��&��0�!�JHJ&R=8� �0��&R�5�<��@���$#�5=T�GF Q Ík½C¿lÙ!¿�Ø Z ���A@����

� ß'È Õ Ë Í È Õ è Ð Ù Ë ß ÍÚÙ!¿ � ë È Õ Ë Í ÙØ ** Õ È Õ è Ð Ù Ë ÍæÕ�¿@�D4U

� è È Õ Ë Í ÙX * è* Õ è È Õ 6 Ð Ø9Õ è é Ù Ë Í ÙX ** Õ È 4�Õ ì Ð 4%Õ Ë Í ÙX 4 È -%Õ è Ð Ù Ë Í ÙØ È -%Õ è Ð Ù Ë Û� �W���l�!�±�����%� È Õ è Ð Ù Ë M ���E��³$¢C�<�!�B�<�UØ M �1�Ý��� ���l�%¢?���?�Q���;��� Õ è M ¬ @ ³à���<� Q¢?�<�B���%�%�����!�?�1���C� ���<��¢?���?�j���<�B� ���­Õ M ���?¢º���6�?� � M�È Õ Ë ���M�±�£�!��§x�?���W��������³�¢C�<�!�B�<�Q ¬[�$�?�¦���<��¢?���?�²¥<�x� 'j¥<���<�)�M��³ � M�È Õ Ë ���ÙØ M Q � È Ø Q Ë<È Ø Q Ð Ù Ë � ÛÝÛ�Û � È Q é Ù Ë Í È Ø Q Ë��Ø M È Q �ÎË è Û È XC¬ÝÙ!¬3Ø ËDª�º���?�¦���;¯x�C�<���c�¦�?�B�E³´�B�<¯6�?�<�)����§©���?�0³´�!�����9�1���?�?¶

Ø�½�?

Page 206: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø�½ Ü ��������V �� �3�$ ��� ��� ������! ���$!"��� ��'� �!�)� v'��� �p� � ���#$/2>2!�/=/�> � M ���ß .1=T@L=/���7$!�8DO_5�+�GF32!����� DO��(+.%@�� = =8$#_5���0�A@�� � M .1=V�GFU��-M�&R�5� Q F^��&L@��0� Q ' ���!�8D �8���8& � 2!����� DO��(+.%@�� �GF U��-M�&R�5� ѦÈGÑ Í ½C¿lÙ!¿�Ø7¿lÛlÛlÛ Ë .1= @��.0DO�N@�&T_5��(V67.0D4@��%.-��DE�GF � ß ¿�ÛlÛ<Û<¿ � ç 'u y�v�� �'v�� � ��� ���!�3, �-M��8D4U�&R� 2!����� DO��(+.%@�� = � M5���ß @�&R����&)�0�!�NM���D4@��!.0D Æ è È,Ð Ù�¿lÙ Ë@�D4U � � M � è Í ØØ Q é Ù Û È XC¬ÝÙ!¬.- Ë� &R�/�GF ' D¡³ �f���1���)§©³´�?�?¥ �������º�%³`¥;�:���B� ê �.M� �!�Q���C�E���)���<�«�%���[» Ð Ù!¿<Ù<ÁG¤?�°�¦���l�!�Ø M Q � �£¿�� M � Í ( ë� ë � È Õ Ë *

M* Õ M È Õ è Ð Ù Ë M * Õ�Û È XC¬ÝÙ!¬54 Ë3M�B���?�A���%�B������� ���)���<�����%�����!�©���?�¦�������6�1�?���?¢º����¢C�0��� È XC¬ÝÙ!¬54 Ë ���( ë� ë � È Õ Ë *

M* Õ M È Õ è Ð Ù Ë M * ÕUÍ O � È Õ Ë * M � ë* Õ M � ë È Õ è Ð Ù Ë M T ë� ë Ð ( ë� ë � ã È Õ Ë *M � ë* Õ M � ë È Õ è Ð Ù Ë M * Õ�Ûî �%����¤Ì�����%��� È Õ Ë � ��� "� Ó ��� " È Õ è Ð Ù Ë M Í ½7¤Ì³´�!�­Õ�Í -²Ù!¬ @ ³à���<� Q �¡³´�!��¢f���)���;�!���'�������¹�)§�����«���$�°�E���;�

Ø M Q � �£¿ � M � Í È,Ð Ù Ë M ( ë� ë � �.M� È Õ Ë<È Õ è Ð Ù Ë M * Õ�Û È XC¬ÝÙ!¬@? Ëî �*� ��³ � È Õ Ë ���E�Q�Ì����§x�?�!�j�:���{��³®�Q¢C�<�!�B�<� � Ö Q ¤��c�j���l�!�j�����%�/� �@M� È Õ Ë ��½C¤��� �Ô¿ � M � Íå½j���?¢º���6�?� ���­¿ � M � Íå½C¬ � §U���?�E�����j�¦���l�%���!�?���?�A�1����� � ���C¢ Q���)���<��¥��?���?�!�;¢�¤£�°�²�������j���l�!� � M ¿ ��� � Í ½j³´��� � L Q ¤£���W�°� �?�*���K�?�B�9���<¢f�����%����C� � M �¾�­�����0� �C�����%����§W�!�«���?�!���!�����~¬Þ �;�1�?�*� �QÍ � M ���?¢Q���C�<�Q�c�E���l�!�� � M � è Í ÙØ M Q � È,Ð Ù Ë M ( ë� ë � �@M�M È Õ Ë<È Õ è Ð Ù Ë M * Õ�Û È XC¬ÝÙ!¬ Ü)Ëá7���?¥<�]���?�¦���l�%¢?���?�K���<�B� ³´�!� � MCÈ Õ Ë ��� � è M���è � �.M�� 9 Õ M ¿?�°���?�*���0�����%�� �.M�M È Õ Ë Í È Ø Q Ë��Ø M È Q �ÎË è � Q � Û È XC¬ÝÙ!¬@� Ë�$�?�;�º�°�����;�

� � M � è Í È,Ð Ù Ë MØ M Q � � È Ø Q Ë��Ø M È Q �ÎË è � Q � ( ë� ë È Õ è Ð Ù Ë M * Õ�Û È XC¬ÝÙ!¬.X Ë

Page 207: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � !&� �������� �� ���$!&� � ��'� �!") Ø%½��î �����0�����%�( ë� ë È Õ è Ð Ù Ë M * ÕQÍ ( ë� ë È Õ é Ù Ë M È Õ Ð Ù Ë M * Õ

Í O È Õ é Ù Ë M� ëQ é Ù È Õ Ð Ù Ë M T ë� ë Ð ( ë� ë ÈÕ é Ù Ë M� ëQ é Ù Q È Õ Ð Ù Ë M � ë * Õ�¿�1�?�<�B�²���?� ¨?���B�0���<�B���!�f���?�²�����!�)�0�����?¢Y�B��¢?�²���]��¢C�<�)����¥l������§ A<�;���?¬ @ ³à���<� Q �¡³´�!��¢���)���;�!���'�������U�6§Q�?���B���®�c�E���l�!�

( ë� ë È Õè Ð Ù Ë M * ÕQÍ È,Ð Ù Ë M ( ë� ë È Õ é Ù Ë è MÈ Q é Ù Ë<È Q é Ø Ë � ÛÝÛÝÛ � È Ø Q Ë

Q È Q Ð Ù Ë � ÛÝÛ�Û � Ù * ÕÍ È,Ð Ù Ë M È Q �ÎË èÈ Ø Q Ë�� O È Õ é Ù Ë è M� ëØ Q é Ù T ë� ë Í È,Ð Ù Ë M È Q �ÎË èÈ Ø Q Ë�� � Ø è M� ëØ Q é Ù ÛDª�?���;�B�����?�j��� È X7¬�Ù!¬.X Ë �°�0¨���������§©���;�� � M � è Í È,Ð Ù Ë MØ M Q � � È Ø Q Ë��Ø M È Q �3Ë è � Q � � È«Ð Ù Ë M ÈQ�ÎË èÈ Ø Q Ë�� � Ø'è M� ëØ Q é Ù Í ØØ Q é Ù Û È XC¬ÝÙ!¬ ñ!Ë���?¢Q���?�¦�?�B�7�%³`���$¥<�!�j�?��� ���%¬

� �<���9�k�°�E�«���%��� È �1�Ý���?�!�7�$�?���x��³ Ë ���?�0�W���B�$���W�£�!�B�����)�®�?�B�!�£�<�B�ª§±��³����?� Þ �;�%��<�?¢C���E�Ì�!�ݧx�?�!�j�:�����<¶u y�v�� �9v�� � � � � M�� �ß .1=T@�D ��&)�0�!�NM���D4@�� 65@�=/� F^��& Æ è È«Ð Ù!¿lÙ Ë '�$�x�C���;�!�;�B§��Ì����§x�?�!�j�:������³�¢?�;�!���;� Ñ ¤�¥<���K�£�°�1�B�������<�²�%� �M�����?�<����¥<�!� �?�����'���������³ Þ �<�!�;�?¢?���1�£�!��§x�?���W������� � M ¿ Q Ík½C¿lÛlÛ<Û<¿ Ñ Û 7��!� ���C�B���%�?¥<�c���?�$�£�!��§x�?�!�j�:�%� -'ÕÔè Ð4�Õ é Ù¦¥<���í�£�]�1���Ý�����<�º���1�²�����?�l���°¥<�!� �?�����'�������©��³ � ß9È Õ Ë ¿ � ë È Õ Ë ���?¢ � è È Õ Ë ¤7�7�2AØ � è È Õ Ë`Ð 4 � ë È Õ Ë é Ø � ß9È Õ Ë Í -%Õ è Ð Ù Ð 4%Õ é Ø¦Í -'Õ è Ð 4%Õ é Ù!Û� ���?� µx�1¢?�;�������]���?��¢?�21Ì�<�B�<�)�������Ì�;¯6���%�����!�U���'�����«¨��<¢Q�)§j���?� Þ �<���<�?¢?�B�0�Ì����§x�?�!�j�Ý������;¬u y�v�� �9v�� � � � W ��&<@��0� Q W ½ Z ���A@����

O È Ù Ð Õ è Ë � ãM È Õ Ë T ã é Q È Q é Ù Ë�Ë � MCÈ Õ Ë Í¸½7Û È XC¬�Ù�¬�Ù*½ Ë

Page 208: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø�½ X ��������V �� �3�$ ��� ��� ������! ���$!"��� ��'� �!�)� &R�/�GF ' Þ �;�

)È Õ Ë ÍPO È Ù Ð ÕÔè Ë � ãM È Õ Ë T ã ¬[á7���?¥<�­ÕÔè � ãM È Õ Ë ���[��³/¢C�<�!�B�<� Q é ÙM�°�����l�!����?�%� )

È Õ Ë ���$�%³`¢?�;�!���;� Q ¬ î �*�å���<�j�±� Ü ¬�Ù¦�!�Ý�!�<�$�����%�)È Õ Ë Í M�

� �?ß ê � � � È Õ Ë ¿ �1�?�<�B� ê � Í Ù� � � � è ) ¿ � � � Û È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ!Ù Ë7��!� � Ö Q �c�E���l�!�

) ¿ � � � Í ( ë� ë O È Ù Ð Õ è Ë � ãM È Õ Ë T ã � � È Õ Ë * ÕÍ O È Ù Ð Õ è Ë � ãM È Õ Ë � � È Õ Ë T ë� ë Ð ( ë� ë È Ù Ð Õ

è Ë � ãM È Õ Ë � ã� È Õ Ë * ÕÍ O Ð � M?È Õ Ë;È Ù Ð Õ è Ë � ã� È Õ Ë T ë� ë é ( ë� ë � M�È Õ Ë » È Ù Ð Õ è Ë � ã� È Õ Ë Á ã * թ͸½CÛDª�A���?�­�:���«�[�B���<�±�°�M�C���<¢j���?�1³Ê��¥ �¼�����%� D � È Õ Ë Í » È Ù Ð ÕÔè Ë � ã� È Õ Ë Á ã ���¼�¦�Ì����§x�?�!�j�:�����³�¢?�<�����<� � �%�?¢U���?�¦�!�«���?�!���!���������ª§W�!�����E�C�

) ¿ � � � Í ( ë� ë � M�È Õ Ë D � È Õ Ë * ÕQÍk½CÛ È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ9Ø Ë

� �!�?�B�<¯6�?�;�6����§ê � Íä½ �1�?�;� � Ö Q Û È XC¬ÝÙ!¬ÝÙR- Ë�$�6�?�1�c�¦���l�!� )

È Õ Ë Í ê M � M�È Õ Ë Û È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ 4 ËÞ �;�W�?�*� � M Õ M �Ì�º���?�í���l�%¢?���?�Y���<��� ³´�!� � M?È Õ Ë ¬æ�$�?�<�����?�í���l��¢C���?� ���;��� ³´�!�)È Õ Ë Í O È Ù Ð ÕÔè Ë � ãM È Õ Ë T ã ���

Ð ** Õ » Õ è � M Q Õ M � ë ÁÌÍ Ð ** Õ È � M Q Õ M! ë Ë Í Ð � M Q È Q é Ù Ë Õ M Û È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ�? Ëá7���?¥<�]���?�¦���l�%¢?���?�K���<�B� ³´�!� )È Õ Ë Í ê M � M?È Õ Ë �������²��� ê M � M Õ M �°�E���l�!�Ð � M Q È Q é Ù Ë Õ M Í ê M � M Õ M ���?¢ ê M Í Ð Q È Q é Ù Ë Û È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ Ü)Ë�$�?�;� )

È Õ Ë Í Ð Q È Q é Ù Ë � M?È Õ Ë ���?¢U���x�C�O È Ù Ð Õ è Ë � ãM È Õ Ë T ã é Q È Q é Ù ËBË � M�È Õ Ë Ík½CÛ È XC¬ÝÙ!¬ÝÙ�� Ë���?¢U���?�¦�?���x��³����$¥<���W�?���;����¬

Page 209: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � !&� �������� �� ���$!&� � ��'� �!") Ø%½ ñ����������� �������������� ���������������������� ���"!#�%$'&(���%)*�+�,$�-� �<���*�¸�°�¦³´�����K�?���%���M���?�¦�!�;�?�<���%�����?�²³´�?�?¥;�����!�U³´�!�®���?� Þ �<�!�;�?¢?���E�£�!��§x�?�!�j�:�%���<¬u y�v�� �9v�� � ��� W ��& Ð Ù ��Õ � ÙE@�D4U

� Ö�Ù �C�!�8&R�

�(V@ � 68�]_5��( 24�1��� /[ � �!�

, �-M��8D4U�&5� 2!����� DO��(+.%@�� =�=7@��%.1= F ��� M!�?ß � M�È Õ Ë � M Í

Ù� Ù Ð Ø'Õ � é �

è Û È XC¬�Ù�¬�ÙRX ËÈ XC¬ÝÙ!¬ÝÙRX Ë ¥l���Y�£� ¢?�;���Ý�!�<¢ ¤ ��¬¾�?¬Ý¤ �)§º�W�<���?�M��³[¥<�!�)���!�?�����)���<���������<¤Ô���;� 7��!�������?¢�¬� �¦�B������� �?��� È XC¬ÝÙ!¬ÝÙRX Ë ���W� �%�������'���]���C�E���)���<�������

( ëß � è M! ë È Õ Ë * Õ�Û È XC¬�Ù�¬�Ù ñ!Ë���A���C���1���?�C���)��¥�� ¤?¨����«�­�°�E¥<�!�j�?�C��� � M?È ½ Ë �?�B���?�A���C�E���l§x���!�$�JµC�?���?�����!��¶�� M��?ß � MCÈ ½ Ë � M ÍÙ

� Ù é �è Í �� ç �?ß

. Ð ëèÑ0/ � è ç Û È XC¬�Ù�¬3Ø�½ Ë� �!�?�B�<¯6�?�<�)����§

� è ç ë È ½ Ë Í¸½C¿ È XC¬�Ù�¬3Ø7Ù Ë���?¢� è ç È ½ Ë Í . Ð ëèÑ / Í È«Ð ëè Ë<È«Ð ìè Ë � Û�ÛÝÛ � È,Ð ëè ÐÇÑ é Ù ËÑ��Í È«Ð Ù Ë ç � Ù � - � ÛÝÛ�Û � È Ø ÑKÐ Ù ËØ ç Ñ�� Í È«Ð Ù Ë ç È Ø ÑCË��Ø ç Ñ�� � Ø � 4 � ÛÝÛ�Û � È Ø Ñ?ËÍ È«Ð Ù Ë ç È Ø ÑCË��Ø è ç ÈGÑ��ÎË è Û È XC¬�Ù�¬3Ø!Ø Ë

î �*�¸�°�E���l�!�¦�����%��� M!�?ß , ( ëß ��ç È Õ Ë * Õ . � M Í ( ëß È Ù Ð Ø'Õ � é �

è Ë � "9 * ÕUÍ O ØÐ Ø � È Ù Ð Ø'Õ � é �è Ë "9 T ëßÍ Ð Ù

�È Ù Ð Ø'Õ � é �

è Ë "9 é Ù�È Ù é �

è Ë "9 Í Ð Ù�È Ù Ð �!Ë é Ù

�� ç �?ß. ëèÑ / � è çÍÚÙ Ð Ù

�±é Ù�±é �� ç � ë

. ëèÑ / � è ç � ë ÍÚÙ é �� ç � ë. ëèÑ / � è ç � ë Û

Page 210: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø7Ù*½ ��������V �� �3�$ ��� ��� ������! ���$!"��� ��'� �!�)�$�6�?�1�c�¦���l�!�

( ëß � ß9È Õ Ë * ÕQÍ Ù�¿ ( ëß � è ç È Õ Ë * ÕUÍä½C¿ È XC¬ÝÙ!¬ÎØ - Ë���?¢( ëß � è ç � ë È Õ Ë * ÕQÍ . ëèÑ / Í ëè È ëè Ð Ù Ë � ÛÝÛ�Û � È ëè ÐÇÑ é Ù ËÑ��Í È,Ð Ù Ë ç � ë Ù � Ù � - � ÛÝÛ�Û � È Ø ÑKÐ - ËØ ç Ñ�� Û È XC¬ÝÙ!¬ÎØ 4 Ë

î �*�ä�����%�?�B³´�;�������?� Ñ ��� Ñ é Ù!¤?�Ý�$³´�!�����9�1�°�����%�( ëß � è ç ë È Õ Ë * ÕQÍ È«Ð Ù Ë ç � Ù � Ù � - � Û�ÛÝÛ � È Ø ÑKÐ Ù ËØ ç ë ÈGÑ é Ù Ë��Í � è ç È ½ ËØ ÈGÑ é Ù Ë Í È,Ð Ù Ë ç È Ø Ñ?Ë��Ø ç ë È~Ñ��ÎË è È~Ñ é Ù Ë Û

È XC¬ÝÙ!¬ÎØ ? Ë� �K¥<�!�C¥<���C¢?�K���?���]���;¥;�����!�Y�1����� �±³´�!��� �?�:�j���<���%�����?�W���?� Þ �<�!�;�?¢?�B�j�£�!�ݧ7�C�!�W����������?¢U���?�<���$¢?�<�B���%�%���Ý�!�;�<¬u y�v�� �'v�� � ��� W ��&"@��0� QEW Ù Z ���A@����

� ãM! ë È Õ Ë`Ð � ãM � ë È Õ Ë Í È Ø Q é Ù Ë � M?È Õ Ë Û È XC¬ÝÙ!¬ÎØ Ü)Ë� &R�/�GF ' �$�?�E���;¥<�!�?¢í¢?�<�B���%�%�����!�0�%³ È ÕÔè Ð Ù Ë M� ë ���* è* Õ è È Õ è Ð Ù Ë M! ë Í ** Õ OàØ È Q é Ù Ë Õ È Õ è Ð Ù Ë M TÍäØ È Q é Ù Ë O È Õ è Ð Ù Ë M é Ø Q Õ è È Õ è Ð Ù Ë M � ë TÍäØ È Q é Ù Ë<È Ø Q é Ù Ë;È Õ è Ð Ù Ë M é 4 Q È Q é Ù Ë<È Õ è Ð Ù Ë M � ë ¿�1�?�;���U���?�Q�����B�²�«���;�i���²¢?�<�B���!�;¢Ò�1�B�������?�¹���?�U³Ê��¥;���!� ÕÔèW���²ÕÔèUÍ È ÕÔè Ð Ù Ë é Ù!¬î �*�_�)§A���C�M¢?� ¨��?�Ý�������W��³ Þ �;�!�<�C¢?���M�Ì�!�ݧx�?�!�j�:����� È X7¬�Ù!¬ÝÙ Ë ���?¢W�?�����?�E���?�­���<���%�����!����£�*�!�0�c�¦�1���Ý���

� M! ë È Õ Ë Í ÙØ M! ë È Q é Ù Ë�� * M! ë* Õ M� ë È Õ è Ð Ù Ë M! ëÍ ÙØ M! ë È Q é Ù Ë�� * M � ë* Õ M � ë � + *è* Õ è È Õ è Ð Ù Ë M� ë ,Í È Ø Q é Ù ËØ M Q � * M � ë* Õ M � ë È Õ è Ð Ù Ë M é ÙØ M � ë È Q Ð Ù Ë�� * M � ë* Õ M � ë È Õ è Ð Ù Ë M � ëÍ È Ø Q é Ù ËØ M Q � * M � ë* Õ M � ë È Õ è Ð Ù Ë M é � M � ë È Õ Ë Û

Page 211: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � !&� �������� �� ���$!&� � ��'� �!") ØxÙ!Ù7`���?�����ݧ!¤x¢?�21Ì�<�B�<�)�����%�����?�²�Ì�%���Q����¢?�<�$�°���!�7�������©���?�¦¢?�;�����B�<¢º���;���?�Ý�l¶

� ãM! ë È Õ Ë`Ð � ãM � ë È Õ Ë Í È Ø Q é Ù Ë ÙØ M Q � * M* Õ M È Õ è Ð Ù Ë M Í È Ø Q é Ù Ë � MCÈ Õ Ë ¿���?¢º¥<�!�j�?���;���]���?�¦�?���x��³,¬� !������ ��� �,$ � � ��� ������ ��- �,�� � ���%���� ��� � ���������%��-

� �;¥l�����������%�]���?�²���?�C�<����¥l���`¥<�x�!��¢?�����%���<�]��³°�U�£�!���)� � Í È Õ�¿ � ¿ �)Ë ���°ìW���B�²�!�����<��)§ ÕQÍ � ¥<�!� ���B��� �x¿ � Í � �B��� ������� �7¿ ���?¢�Í � ¥;�!� � È XC¬�Ù�¬3Ø � Ë���?¢Q�����'�$���?� Þ ���?����¥<�����U�!�£�<���'���!�$���Q���?�<�B�¦¥<�x�!��¢?�����%���<�1���$�!�Ý�!�;�º�)§

è É�È�� ¿ �{¿�� Ë Í É���� é Ø� É�� é Ù

� è ����� � ** � È �B��� � É ��Ë é Ù� è ����� è � É���� Û È XC¬�Ù�¬3Ø X Ë@ �[���j���C�?����¥l�%�����!����³ Þ �;�!�<�C¢?���1�£�!��§x�?�!�j�:�%�����c�$¥;�!�?����¢?�<�����?� �]���B��¥��?���;���?���!�C���<�³´�!�®���C�E�C�?���1���%���������¼ì)¤?�x�BA

è É�È#� ¿ ��¿�� Ë Íä½C¿ É`È Ù!¿ ��¿�� Ë Í�� È ��¿�� Ë ¿ È XC¬�Ù�¬3Ø ñ!Ë�1�?�<�B��lß Ö � Ö � ë ¿ ½ � � � S ¿ Ð S Ö ��� S Û È XC¬�Ù�¬@-!½ Ë@ �?�C��§x���?�º���?�±�W� ���?�x¢ ��³®���<�?�����%�����!� ��³®�%���������?���<�¦�c�±�1�B�����W���C�±�������C�����!� É ���É�È#� ¿ �{¿$� Ë Í B È��!Ë0È � Ë %AÈ � Ë IÍk½C¤!�%�?¢ ���?���;�B�������!�����?�c�B���!�)�{�����?¢ ����¢C�°��³ È XC¬�Ù�¬3Ø X Ë���A�!�C�������+ B ã ã é Ø

� B ã , %� é Ù� è �B��� � + �B��� � � % ã , ã B é Ù

� è ����� è � B %� ã ã Íä½CÛ È XC¬�Ù�¬@-CÙ Ë� �?�Ý�����C��§x���?� �6§ � 9 ���� 9 �

� � � �°�E�!�;�� è �B��� è � B ã ã é È Ø � �!Ë B ãB é ����� � È ����� � %�ã�Ë,ã%

Í Ð °ã ã Í � è Û È XC¬�Ù�¬@-)Ø Ë�$�6�?� ã ã é �Uè

͸½A���C¢í�?�;�?¥<�

0È � Ë Í � � * � � é � � � * � � Û È XC¬�Ù�¬@- - Ëá7���C¥<�0È � Ë ���°Ø S �¡�Ì�;�����7¢?��¥$�?�<�C¥<� � � �?�B�c�Ì�M���±���)���<���<�<¤6�1�?��¥��±�c�M�±�l§²����ï��­����Ì�¦�?���?�?�<�!�%���Ý�!��¬

Page 212: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

Ø7Ù9Ø ��������V �� �3�$ ��� ��� ������! ���$!"��� ��'� �!�)î �*�¸�°�E���<�?�����%��� % ���?¢ B �!�Q���?�¦���;³à�1����¢?�0��³ È XC¬ÝÙ!¬@-!Ø Ë ¤?�x�2A

� è B ã ã é Ø � B ãB Í � è�B��� è �©Ð È ����� � %�ã�Ë,ã����� � % Í J ¿ È XC¬ÝÙ!¬.- 4 Ë���?¢U�1�B�����0���?�¦�<¯6���%�����!�?�$³´�!� % ���?¢ B �%�Ù����� � È �B��� � % ã Ë ã Ð �Uè����� è � % é J(% ͸½C¿ È XC¬ÝÙ!¬.-�? Ë���?¢� è B ã ã é Ø � B ã Ð�J B Íä½CÛ È XC¬ÝÙ!¬.- Ü)Ëî �*� ���C� �<¯6���'�������¸³´�!� % ¥<���å�£� �������?�B³´�����j�<¢¸���)���_�p¥;���!�B� �B�<�:�'������� �%³²���?�Þ �<�!�;�?¢?�B�©�<¯6���%�����!� �6§����C�±���C�?�B�������7�������?� � Í�¥<�!� �f�%�?¢�� È � Ë Í %AÈ � Ë ¤`�1�C�<���Ð Ù/� � �ÚÙ�¬ � �;¥l���������C� ���?�¦¥����%���Q���?����¶** � Í **�� * �* � Í Ð ����� � **�� ¿ È XC¬ÝÙ!¬.-�� Ë���?¢Q�B���?¥;�E�B��� è �EÍ Ù Ð � è ¤?�Ý�$³´�!�����9�1�°�����%�**�� + È Ù Ð � è Ë � ã , Ð � èÙ Ð � è � é J � ͸½7¿ È XC¬ÝÙ!¬.- X Ë�1�?��¥��í���º���<�?�;�����/���$¥l�������<¢©���?� � ��� � � � ��� �(� ! � ��� � ����� ��� � ��� ��� �í�%³`�!�B¢?�<� � ¬

v�� z{|��*| �£z � ��� ���!�<@�=5=/�/_8.%@��G�NU , �-M��8D4U�&R� ���7$A@��C.-��DA=<@�&5�TU�� HJDO�NU 6(�� �M È � Ë Í È Ù Ð � è Ë � 9 * � � �M È � Ë* � � Û È XC¬ÝÙ!¬.- ñ)Ë

� �<���*�ä�°�0�B���%��� È �1�����C�!�C�$�?�B�7�%³ Ë �B�!�j�]�?�����Ì�;�B�����<�$��³����?�¦�����B�7¥;�:�%���<¢ Þ �<���<�7�¢?�B�E�;¯6���%�����!�?�;¶u y�v�� �'v�� � �O� W ��& J Í Q È Q é Ù Ë � �!� @�=5=/�/_8.%@��?�NU , �-M��8D4U�&R�+���7$ @��%.-��DA=��A@����<� �!�DO��D �%&).0�/.%@��O=/����$'�%.-��DA=�M�.0���8D 6(��Y

� È � Ë Í � �M È � Ë ¿ Z �!�8&R� QEW � Û È XC¬ÝÙ!¬54)½ Ëu y�v�� �'v�� ���� W ��&V�N@�_5�V2!�/=8.0�C.0���T.0D!�?�-M��8& � [ � �M ���M!� � .1= @�D ��&)�0�!�NM���D4@�� 65@�=8.1=F^��& Æ è È«Ð Ù!¿lÙ Ë @�D4U � � �M � è Í È Q é � Ë��È Q Ð � Ë�� � ØØ Q é Ù Û È XC¬ÝÙ!¬54?Ù Ë

Page 213: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � !&� �������� �� ���$!&� � ��'� �!") ØxÙR-î �*�å�°�E�B�;���?���Q���A���?�¦�;¯x�?�%�����!� È XC¬ÝÙ!¬.- Ü)Ë ���?¢Q���;� J Í Q È Q é Ù Ë ���A�!�;�

� è B ã ã é Ø � B ã Ð Q È Q é Ù Ë B ͸½CÛ È XC¬�Ù�¬.46Ø Ë�$�?���1���1��� �[�C���<�1�;¯x�?�%�����!�U�1�����U���?�¦���!���C�����!�?�$��³{���?�0³´�!�B� ��� ¤?�!�Ý�7���?�� è � È � Ð Ù Ë � � � è é Ø � � � � � ë Ð Q È Q Ð Ù Ë � � Ík½C¿ È XC¬�Ù�¬.4�- Ë�1�?��¥��º���$���®���?�¦�����W�¦�;¯x�?�%�����!�º���

È � è Ð � Ë � � é Ø � � � Ð Q È Q Ð Ù Ë � � ͸½CÛ È XC¬�Ù�¬.4 4 Ë@ ³à���<�1¢?���x��¢?���?� �6§ � � �c�¦�!� �� è Ð � é Ø � Ð Q È Q Ð Ù Ë Í¸½ � ð � è é � Ð Q È Q é Ù Ë Ík½ È XC¬�Ù�¬.4 ? Ë���?¢Q�c�¦���l���

� Í Ð ÙØ - � �������������

������ ���

�������������! #" �$�&%('�) � �� *�+ � %,'�).- ��/102/ ' /43 %,5 �76 5 � -98 6 ';: 623=< 8 ��0 8?> / '�@�A<CB �ED2� � B D B �F D�G B G " � �IHKJ � J �ML �N*/ '�O / - ��/QP 8 3 8RO � 5 / -�S 376 @�5 /UT �VHKJ � J � ��WYX �[Z �]\K^ 6 '_- ��/`� '�8?- � S ��/43a/b� % � %�a6 5 � -98 6 ' 6 :c- ��/ : 6237T

Z �IDedgfhd[i2� � jk Bml�nBk

o l G B �qp o BsrmtCB D B �F B D G B G "vu�wUx ozy �{ o {B � O 62� i2�gd �IHKJ � J ��| �} ��/U37/�~ o B �Vi�d[f��bW � w x ozy { o {B � O 62� i,� % 3a/ Om%,5?5 / )�- �K/Q�������[�a�E���(�*���(�7�+�e�K�I�[� J�� :Z �IDedgfcd9i2� � Z �ED�d[f�� 8 � 8?'�) / S / '�) / 'M- 6 : f&� 3a6 -9%(-98 6 '�%,5?5?A�8?'M>,% 3 8�%('�- � - ��/ '�- ��/��76 5 ���-98 6 ' � % 37/

Z �EDed[i2� � jk Bml�n r t*B D B �F B D�G B G " u cB � O 62� i2�g� �IHKJ � J � H2��*�����c �¡v¢¤£¦¥���£# �§©¨«ª�¡¬¢¤­

®.¯�°±c²E³e²E´�±qµ�µh¶;·�¸�¹ =?2 ¸�¹�ºg»½¼ @,¾ ¸ @ ºg¿�À�Á�»½¼ = À�º =?2 ¸�¹�ºg»½¼ @,¾ =� ºEà @ ¼[¹Äà  Á�¼�ÅI»½À�Á =V@ º9¹Æ ¹EǦÁ�¹ Æ 6UÈ~ o B �Ii�dgfÉ� � w x ozy { o {B �Vi,��d Ê ¸�¹�º[¹ �`�q\ d � d � dm�m�m� @ Á Æ Ë ÌÍË�Î � d+�IHKJ � J �MÏ �

Page 214: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ����������� ��������������������!����$!���������� �!!"�3a62T %,@ 6 > / 8 -¦: 6 5R5 6 } � - � %(-«- ��/ : � '�O4-a8 6 ' �Ä~ o B �Vi�d[f�� O 6 ' � 8R) /43a/ ).% � : � '�O4-a8 6 '6 '`- ��/ � '�8?- � S �K/U3a/$# 8?'�%�&�^�: 6,3aT %,' �e�('V�É�*)K�e���(�,+2���a�R�*6 :.- � � # � } 8?- � 3a/4� S / O4-- 6 - �K/��7��3 :I%(O /�T�/ % �a��37/0/21 �Ii�dgfÉ� � � 8?' i / i / fcJ43 6237/U6 > /43 - ��/ ' 623aT %,5?865m%�-98 6 'O 6 ' � -9%,'M- � % 3a/ 7 ~ o B 7 � � �98� ��� � � ��� Ë ÌÍË �;:� �. Ë ÌÍË �;: �VHKJ � J=< \ �

%,'�).- ��/ O 6�/?> OU8 / 'M- � p o B % 3a/�0 8 > / '�@MAp o B � @BA d ~ o BDC7 ~ o B 7 � � �VHKJ � J=< � �

E�F¤¯�GIH#¯�J�KML�¶�N�À ¾PO ¹ Å ¸�¹ÄÃmÀ ¾ ¾ À Ê » Á�QSR º @ Æ » @,¾ Æ ¹ 2 ¹�Á Æ ¹�Á�Å.T @82�¾X@ ¼[¹ ¹VU ÂA@ ÅV»½À�Á�» ÁYÅE¸�¹=?2 ¸�¹�ºg»½¼ @,¾ ¼[À À�º Æ » Á @ Å ¹ =(W

X X � Z � "Y d D[Z < dZ �$O 62� i ÍO 6,� & i�d�D � < � �VHKJ � J=< � �·�¸�» = » = ÃmÀ�ºg¿ @,¾ ¾ È\O�@,¾ » Æ = » Á�¼[¹�» à Z �ID,��] \ Ê ¸�¹�Á < ] ^ _ Á�À�ºg¿ @,¾ º[¹VU  » º9¹�¿�¹�Á�Å» =(W X � Z � "YB` R Ê ¸�¹�º9¹* Z � @ Á Æ ba�dcSe9f! �e�hgi'V�E�e� �\j » º = Å Ê ¹=ǦÁ Æ @V2A@ ºgÅI»½¼ Â�¾X@ º = À ¾  ÅV»½À�ÁlkZ �IDed \ d \ � R =7@ ÅI» = Ã È » Á�Q X � kZ � "Y f·�¸�» = » ¿ 2�¾ »½¹ = Å ¸ @ Å _ = ¹[¹ j À ¾ ¾X@ Á Æ R 2A@ Q�¹�mon2p e R

X � Z �IDed \ d \ � ��D �

// D �ID � kZrq � ��D Å ¸ Â>= // D �ED � kZrq � � De� �VHKJ � J=< c �

s�Á�Å ¹hQ,º @ ÅV» Á�Q Ê ¹�Q�¹�ÅD � kZ q � D �� ��p " ��tvu kZ q �

�� � p "D � � �VHKJ � J=< � �

s�Á�Å ¹hQ,º @ ÅV» Á�Q.À�Á�¼[¹ @ Q @ » Á Ê ¹�¸ @9O ¹kZ � D � p "D ��p � � �VHKJ � J=<D<2�

Th¹�Å«Á�À Ê p � � \ @ Á Æ ¼[¸�À À = ¹ p " =� ¼[¸�ÅE¸ @ Å�kZ � < � ��\rf ;`¹wQ�¹�Å�x � zy|{x ��\ @ Á ÆÅ ¸ ÂP= p " � x|}� f�~ ¹�Á�¼[¹ kZ �ED2� � D� < �� D � �VHKJ � J=< L �

Page 215: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�����D� ! �����.���w�� ���$! � ������� �!�! � � <� ´�³ ¯��qÅ ¸ @ Å = » Á�¼[¹ kZ �ED2� ] ^ R @�= D ] ^ Å ¸�¹�º9¹EÃmÀ�º X � Z � "Y ¸ @�= Á�À 2 ¸ È = »��¼ @,¾ ¿�¹ @ Á�» Á�Q f ThÀ À = ¹ ¾ ÈL=?2 ¹ @ » Á�QSR » Å!¼[À�ºgº9¹ =?2 À�Á Æ = ÅvÀ @ ÁÀ�Á�Q�À�» Á�Q`¼[¸ @ ºhQ�¹ Ê » Å ¸QÁ�À» Á�Åv¹�ºgº Â/2 ÅV»½À�Á @ Á Æ ¼[À�Á = ¹VU  ¹�Á�Å ¾ È Ê À Â�¾ Æ ¿�¹ @ Á  Á 6 À  Á Æ ¹ Æ 2 À�Åv¹�Á�ÅI» @,¾ fTh¹�Å«Á�À Ê�� � Z kZ _ Å ¸�» = º9¹�¿�À O ¹ = Å ¸�¹  Á 6 À  Á Æ ¹ Æ Á�¹ =5=<@�= D�] ^ e9f ·�¸�¹�ÁX X � � ��\ d D[Z < d

� � O 62� i ÍO 62� & i�d�D � < d �IHKJ � J < | �Ê » ÅE¸ @V= À ¾  ÅI»½À�Á Q,» O ¹�Á 6UÈ

�É�IDed[i,� � jk B l�n r t*B D B ��F B D G B G " u hB � O 62� i,��� �IHKJ � J <,H2� À Ê = » Á�¼[¹ � » =<6 À  Á Æ ¹ Æ @�= Dw] ^ Å ¸ ÂP= tCB ��\rf�~ ¹�Á�¼[¹¦ÃmÀ�º D � < Ê ¹�¸ @9O ¹

�É� < d[i,� � jk B l�n F B,< G B G " hB � O 62� i,� �qO 62� i O 62� & i�� �IHKJ � J < Ï �·�¸�¹ =�ÂA68= ÅV» Å Â ÅI»½À�Á�� �$O 62� i R Q,» O ¹ = ÅE¸ @ Å

��� < d[i2� � jk B l�n F B2< G B G " cB � � � � � � & � �IHKJ � J L \ ��=¹[¼ @,¾ ¾ » Á�Q�ÅE¸�¹wTh¹hQ�¹�Á Æ º9¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ = zn � � � � � d ¦" � � � � � d � � � � �

��s� c � � � ��d & � � � �

���h< � & c � ��d �?� �

Ê ¹ Ê ºg» Åv¹ R Â>= » Á�Q� & � � � @ Á Æ #" � � � � �;Å ¸ @ Å�� &Ä� � � & � &� � � � � & � &� #" � ·�¸ ÂP=

� � & � ¦" �< & c < #" �

�< ¦"

�< & � �IHKJ � J L � �

s�Á = ¹�ºgÅI» Á�Q �VH�J � J L � � » Á �VHKJ � J L \ � @ Á Æ » Æ ¹�Á�ÅV» Ã È » Á�Q�Å ¸�¹ ¼[À ¹�� ¼�»½¹�Á�Å = Ê ¹�Q�¹�ÅF "v< G � � �

< @ Á Æ F & < G�� �� �< d À�Å ¸�¹�º Ê » = ¹ F B,< G B G " �q\ �·�¸ ÂP= Ê ¹!¸ @9O ¹

F " � �< < � @ Á Æ F & � � < < � d À�Å ¸�¹�º Ê » = ¹ F B �q\ � �IHKJ � J L � �

Page 216: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � L ����������� ��������������������!����$!���������� �!!~ ¹�Á�¼[¹1» Å�ÃmÀ ¾ ¾ À Ê = ÅE¸ @ Å

���EDed[i2� � �< r<Du � ¦" � O 6,� i,� �

< r<Du � & � O 62� i2�

� �< r<Du � O 62� i �

< r<Du ��� �� �h< O 62� & i c#O 62� i,� �VHKJ � J L c �

@ Á Æ ¼[À�Á = ¹VU  ¹�Á�Å ¾ ÈZ �IDed[i,� � D � < �� D �

� �< r<Du � � c < r

<Du ��� O 62� i r < D

u � O 62� & i�� �VHKJ � J L,� ����� ��� �� ����� ������������� ��� �"!# ' 6 - ��/43���7/ : � 5 623 - ��62026 '�%,5�@�% � 8 � : 6,3 - � � % � %,'�) -�$ � � % � ^ } ��/U37/�% �'&� �

w G)( } ^�8 �- �K/ � �[�7���h'v� �s�e�+*K�É� �����(�R� J®.¯M°s±c²E³ ²I´�±�µ-,�¶�·�¸�¹ � Å ¸ � �[�7���h'v�«�s�e�+*K�É� �����(� R/.�B �'&É� R » = Æ ¹EǦÁ�¹ Æ 6UÈ.�B �0&É� � � � � B w ( } / B/ & B

w G)( } � �VHKJ � J � �·�¸�¹1º9¹[¼  º = »½À�Á ÃmÀ�º�¿ Â�¾X@ ÃmÀ�º ~ ¹�º�¿ » Å ¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ = » =

.�B �0&É� � � & . B G " �0&É� . qB G " �0&É�g� �VHKJ � J � �1 8 T S�5 / Om%,5?O � 5R%(-98 6 ' �«�a��6 } - � %(-. n �0&É� � � d .�" �'&É� � � &hd . � �0&É� � � & � � &hd %,'�) . & �0&É� � H2& & � � &h�"�623 - �K/ NC/U37T 8 - / S 6 5?A�' 6,T 8R%,5 � } /1� %m> / - �K/ : 6 5R5 6 } 8?' 0�623 - ��620,6 '�%,5?8?- A�S 3a6 S /U3 -98 /U�} � 8?O � } /1� -[%�- / } 8?- ��62� -CS 376�6 : W354 ¯�´76�¯�G µ-8�¶+·�¸�¹ ~ ¹�ºg¿ » Åv¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ =:9 .�B<; jn @ º9¹+À�º�Å ¸�ÀVQ�À�Á @,¾ À�Á % Ê » ÅE¸º9¹ =?2 ¹[¼�ŦÅvÀ�Å ¸�¹ Ê ¹�» Q�¸�Å�à  Á�¼�ÅI»½À�Á=% �'&É� � w G)( } @ Á Æ

7 .�B 7 � � � B � :+> 8 � �VHKJ � J c �354 ¯�´76�¯�G ,@?¤¶`·�¸�¹ = ¹�Å�Àvà ~ ¹�ºg¿ » Å ¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ = R 9 . BA; jn R�» = @ Á À�ºgÅE¸�ÀVQ�À�Á @,¾65@�= » = ÃmÀ�º - $ � �CB+� f

Page 217: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��������� ������.��� ��������������� ����! � � |354 ¯�´ 6e¯�G ,��¶ j À�º @ Á È &� % @ Á Æ � �� Ê ¹�¸ @9O ¹1Å ¸�¹�Q�¹�Á�¹�º @ ÅV» Á�QCà  Á�¼�ÅI»½À�Á

jk n .�B �'&�� B� : �

w � (��9G�� } � �IHKJ � J � �"�623ÄT %,'MA�S ��3 S 62�a/4� 8?-Ä8 � S 37/ : /43 %,@�5 / - 6 3a/ SK5�%,O / - ��/�N*/U37T 8 - S 6 5?A�' 6,T 8R%,5 � @MA�- ��/� �9�a���B'v��� g(�É� 'I�I�e��� ^�� B �0&É�gJ®.¯�°±c²E³e²E´�±�µ L�¶�·�¸�¹ � �[�7���h'v��� g,�É� 'V�E�e��� @ º9¹ Æ ¹EǦÁ�¹ Æ 6UÈ

� B �0&É� � w G � }} . B �'&É��� �IHKJ � J <,�®+²��¦¯)6e¯�±É³e²��rJ ¯������K³e²E´�±��! ����/�N*/U37T 8 - / S 6 5 A�' 62T 8R%,5 � ^ ~ �'&É� � . B �0&É� ^ } ��/U37/ &" %C^«% 3a/ / 8 02/ 'K: � '�O�-98 6 ' �- 6 - �K/ 1 - ��37T��$# 8 62� >�8R5?5 / S 3a6 @�5 /4T// & �

w G)( } ~ q � �"% w G)( } ~ ��\ � �IHKJ � J L �����/�N*/U37T 8 - / : � '�O�-98 6 ' � ^'& �0&� �(� B �0&� ^ } ��/43a/ &) %C^ % 3a/�/ 8 02/ '�: � '�O�-98 6 ' � - 6- ��/ 1 - ��3aT �*# 8 62� >�8R5?5 / S 3a6 @K5 /UT

& q q & � &���%+&��$\ d Om%,5?5 / ) NC/U3aT 8?--, �Ä/-.�� %(-a8 6 ' � � �IHKJ � J | ����0/ 1 � 2�3�� � � � ������� � � � �"!®.¯�°±c²E³e²E´�± µ�4ɶ Th¹�Å65 6 ¹ @ º9¹ @,¾ Á  ¿ 6 ¹�º =� ¼[¸_Å ¸ @ Å65 Z � R�ÅE¸�¹�Á$Å ¸�¹ � ÅE¸� �S)Mg��9�a���Ä�s�e�+*K�É� �����(� -87B ¼[À�ºgº[¹ =?2 À�Á Æ » Á�Q�ÅvÀ�Å ¸�¹ 2A@ º @ ¿�¹�Åv¹�º95$» = Æ ¹EǦÁ�¹ Æ 6UÈ

- 7B �0&� � & G 7w (� :

/ B/ & B �0& 7;:B2w G)( ��� �IHKJ c J � �

"�6,3 - ��/<# % 02��/43a37/ S 6 5 A�' 62T 8R%,5 } /Y0 8?> / - ��/ : 6 5?5 6 } 8R' 0 - ��/4623a/4T��>= 8 - ��62� -S 3a6�6 :354 ¯�´ 6e¯�G ,MK¤¶ ·�¸�¹�T @ Q  ¹�ºgº9¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ = 9 - 7B ; jB l�n @ º9¹ @ ¼[À�¿ 2�¾ ¹�Å ¹�À�º�Å ¸�ÀVQ�À�Á @,¾= ¹�Å=À�Á � \ d ^ ��Ê » Å ¸�º[¹ =?2 ¹[¼�Å Å À�ÅE¸�¹ Ê ¹�» Q�¸�Å�à  Á�¼�ÅV»½À�Á% �'&É� � & 7 w G)( d �IHKJ c J � �

Page 218: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � H ����������� ������������������������������������� � �!@ Á Æ Å ¸�¹�» º1Á�À�º�¿ =<@ º[¹�Q,» O ¹�Á 6UÈ

7 - 7B 7 �$ �� � ��� 5 � � �� : � �VHKJ c J c �

354 ¯�´76�¯�G ,���¶�·�¸�¹ T @ Q  ¹�º�º9¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ - 7B =7@ ÅI» = Ç ¹ = ÅE¸�¹ � �S)rg��[�7���1��� gM� 'I�I�e�// & �'& 7;:

"7w G)( & q � �� & 7 w G)( &��q\ d �VHKJ c J � �Ê ¸�»½¼[¸Q¼ @ Á 6 ¹ Ê ºg» ÅIÅv¹�Áb» Á`ÅE¸�¹¦ÃmÀ�ºg¿

& & q q � � 5 � � &É� & q �� & �q\ � �VHKJ c J=<2�354 ¯�´76�¯�G ,�µc¶1·�¸�¹�)��[�É�9�[� 'I�R� ) � g,�É� 'I�I�e�1ÃmÀ�º,T @ Q  ¹�º�º9¹ 2 À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ = » = ÃmÀ�º & Z \@ Á Æ�Ë �ÉË�� � Rjk n - 7B �0&É� � B �

w� ��{ � � � � � 7;: " � �VHKJ c J L �

Page 219: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ����

� �� ��� ��� � � ����� ��� � � ���

�������! #"$ #%&�'�)(*%,+- /.0�214365&(*1879 #:;(*"<�=.>�?%; #"@7$.A /B&5�79 :;(*"8C�DEDED

F���G H ��! �JI 3 �LK � � � � !#¤/ - ���NM�3a� -C8R'M- 376 ) � O / - ��/1�?� ��g(�R����'V�[���R� ^ } � 8RO � } / } 3 8 - / 8?'+- ��/ : 623aT

Z �PO7� � jko l G jQ �RO ÌTS ��� � Ï J � J � �

Q �RO7�Q �RO7� Q �PO S � Q �PO � S �Q �RO � S �Q �RO � � S �

O � S S SNU � \ SNU � S � SV�²PW � 6e¯ 8�¶ �+ # �a/ .��K/ '�O /�6 :z) / 5 -[%�: � '�O�-98 6 ' � Q �RO ÌTS �gd Ì �q\ dg� � dg� � J����/ 8 T S � 5 �a/ - 3 %(8R' � Ï J � J � � Om%,'Q: 6,3aT %,5R5 A.@ / } / } 3 8?-7- / '�% � % "�62��3 8 /U3C�a/43 8 /U�/8X S�%,' � 8 6 '

Z �PO7�ZY jkBml G jZ B �PO7� w$[ B�\&] d � Ï J � J � �

� � Ï

Page 220: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�2� \ ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������} ��/43a/ - ��/�"�62��3 8 /U3 O 6�/?> OU8 / 'M- � % 3a/�0 8?> / ' @MA

Z B �PO7� ��S����� �G ��� � Z �PO7�

w G [ B�\&] ��S���� �G ��� �

Q �RO7� w G [ B�\&] ��S � � Ï J � J c �

������� } /1� %m> /Z �PO7�ZY jkBml G j

�Sw [ B \&] � � Ï J � J � �

��� 8 ���a/U3 8 /4� 8 � )�8?> /U3702/ 'M-=: 623 %,5?5 OgJ = / O 62T S � - / ) 8 - � S�% 3 -98R%,5 �7��T 8?'� � %,SK- /43 <�W'V��� � �?�a�E�¬���I� ' ���9�a�É�9�#�� �RO7� �

�kB l G ��Sw [ B�\&] � � 8?' ��� � "

��� O7�S � 8R' � "��� O7� W ��� � �RO7��d � Ï J � J=<2��Ä/ 5 6 }q} / ) / M ' / �762T�/ @�% � 8?O O 6 '�O / SK- � W®.¯M°s±c²E³ ²I´�±�µ���¶�N�¿�À À�Å ¸ · ����¹�ºg»½À Æ »½¼sà  Á�¼�ÅI»½À�Á�� @ º[¹ ¼ @,¾ ¾ ¹ Æ 'v�9�*' � g,�É� 'I�I�e�K� f®.¯M°s±c²E³ ²I´�±�µ-8�¶�sEà A �PO7� »�� @ · ����¹�º�»½À Æ »½¼Äà  Á�¼�ÅI»½À�Á Ê » Å ¸�ÅE¸�¹ j À  º�»½¹�º�� ¹�ºg»½¹��;¹! �� @ Á���»½À�Á

A �RO7� Y jkBml G jp B w [ B�\&] d � Ï J � J L �

Å ¸�¹�Á R Ê ¹"� @,È Å ¸ @ Å R A W �#� @ ºgÅV» @,¾ �  ¿ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹��1Å À A Ê ¹ @�¾ È @ Á Æ Ê ºg» Åv¹#�� �PO7� �

�kBml G � pB w [ B�\&] ] A �PO7� Ê ¹ @�¾ È

» ÃsÃmÀ�º @,¾ ¾ Å ¹���Å�à  Á�¼�ÅV»½À�Á��%$ �PO7�5R8 T�'&j�)( : �( #�� �PO7� $ �PO7� / O � �)( : �(

A �RO7� $ �RO7� / Og� � Ï J � J | �·�¸�¹�Á Ê ¹1¿ @,È Ê ºg» Åv¹

A �PO7� � jkBml G jp B w$[ B \&] d Ê » Å ¸�ÅE¸�¹ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�¼[¹�» ÁQÅE¸�¹ Ê ¹ @ � ¹�Á�� ¹ � � Ï J � J HM�

Page 221: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ���D�z���! ������������;����! �,� �"�6,3 - ��/��?� ��g(�R��� 'V�9�(�R� } /�� %m> / - ��/ %(S�S 3a6�X 8 T %(-a8 6 ' � Ï J � J � �gJ ���K/U3a/ : 623 %>(% 3 8R%(-98 6 '�%,5�: 623aT 6 :8 - � S�% 3 -98R%,5 �7��T OU%,' @ / } 3 8 -a- / '�% � W

� ( : �( #�� �PO7� $ �PO7� / O ��kG �

�S��( : �( $ �PO7� w [ B \)] � � Ï J � J Ï �

#¤/ -*p B @ / - ��/�"�62��3 8 /U3 O 6�/;> OU8 / 'M- � : 623%$ �PO7� ^�- ��/ 'p B �

�S� ( : �( $ �PO7� w G [ B \)] � � Ï J � J � \ �

� @�>�8 62��� 5 A } / OU%,' } 3 8?- /�� �G � p G B � � �

G � p B J ����/ ' � 8R'�O / $ �PO7� 8 � �aT�6�6 - � } /� %m> / $ �RO7� � jkB l G jp B w [ B�\&] d � Ogd � Ï J � J �2� �

%,'�)�8R'+S�% 3 -98?O � 5R% 3 $ � \ � � jkBml G jp B � � Ï J � J � � �

� %���8?' 0 - ��/ 5?8 T 8?-«8R' � Ï J � J Ï � %,'�) ��� 8R' 0 � Ï J � J � � � } / 0,/ -5?8 T�'&j� ( : �( #�� �PO7� $ �PO7� / O � $ � \ ��� � Ï J � J � c �

� '�- ��/16 - ��/43�� %,'�) } / � %m> /� ( : �( Z �PO7� $ �PO7� / O � � � � �G � � �

Q �PO7� $ �PO7� / O � $ � \ ��� � Ï J � J � � �����/ ' } /1� %m> / O 62T @�8?'�8R' 0 � Ï J � J � c � %,'�) � Ï J � J � � � ^�- � %(-

5R8 T�'&j� ( : �( #�� �RO7� $ �RO7� / O � � ( : �( Z �PO7� $ �PO7� / Ogd � $ �PO7�g� � Ï J � J � <,�

������� } / � %m> /?M '�%,5?5?A2^ 3a/ Om%,5?5R8R' 0 - ��/13 8 02� - � %,'K) � 8R) /16 : � Ï J � J Ï �Z �RO7� � jkB l G j

�Sw$[ B \&] : 623 } / %��.O 6 'M> /U3702/ 'KO / J � Ï J � J � L �

Page 222: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�2�2� ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������E�F¤¯�GIH#¯�J�K 4ɶ�� � @ Á Æ ÅE¸�¹Cà  Á�¼�ÅV»½À�Á A �RO7� � � O ÃmÀ�º \ � O � � » Á_¼[À�¿ � ¾ ¹! j À  ºg»½¹�º � ¹�ºg»½¹�� f _ S � � e! �e�hgi'V�E�e�����.» ÅE¸�Å ¸�¹ Ê ¹ @ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�¼[¹ Ê ¹�¸ @9O ¹

A �RO7� � jkB l G jp B w [ B�\&] d Ê ¸�¹�º9¹ � � � 8

S � 8 � � Ï J � J � | �·�¸�¹�ÁQÅ ¸�¹ j À  ºg»½¹�º ¼[À ¹�� ¼�»½¹�Á�Å � p B @ º9¹

p B ��S���n A �RO7� w G [ B�\&] / O �

�� � �n � � O7� w G [ B�� ] / Og� � Ï J � J � HM�

j À�º � a�$\ @ Á Æ Â ��» Á�Q � @ ºgÅV» @,¾ » Á�Å ¹hQ,º @ ÅV»½À�Á Ê ¹�Q�¹�Åp B �

�� � � � O7�

w G [ B�� ] �M� 8 � �n �� � �n � � �

w G [ B� ] ��M� 8 / O��� r

w G � [ B� ���� 8 �

���� 8u �

�� �

w G [ B� ]� ��M� 8 � � � �n ��

�M� 8 d� Ï J � J � Ï �

Ê ¸�¹�º9¹ Ê ¹�¸ @9O ¹  � ¹ Æ w G � [ B� � � @ Á Æ � � ���������� G [ B��� } � �n �q\ � j À�º �`�$\ Ê ¹�¸ @9O ¹p n �

�� � �n � � O7� / O �

�� �

��s� � O7� � � �n �q\ � � Ï J � J � \ �

� À�Á�� ¹VU  ¹�Á�Å ¾ ÈA �PO7� � jkB l G j

���� 8

w [ B� ] d � a�q\ � � Ï J � J � � �

� � c � � � �c ��

A �RO7�

O

Page 223: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ���D�z���! ������������;����! �,� cE�F¤¯�GIH#¯�J K ��¶�Th¹�Å Z �PO7� � � O f ·�¸�¹�Á  ��» Á�Q�Å ¸�¹ ��º[¹ O »½À  ��¹! @ ¿ � ¾ ¹ Ê ¹�Q�¹�ÅZ �PO7� � jkB l G j

p B w [ B�\&] d � � 8 d @ Á Æ p B � X \ d ����\ d"[ B� d � a��\ � � Ï J � J �2� ��Q¹!¿ @,È+@ ���  ¿�¹ @ ÁQ¹ ¾ ¹[¼�ÅVºg»½¼ @,¾ ¼�» º9¼  » Å @ ��� À ¼�» @ Åv¹ Æ Å À Z �RO7� @ �*» Á+ÅE¸�¹zÇQ  º9¹���¹ ¾ À Ê W

Z �RO7� �

- < ��PO7�

V�²PW � 6e¯ 8�¶ K� # ' / 5 / O4- 3 8?Om%,5�O48 3 O � 8 - JÀ�º�» Á`Å ¸�¹ Æ È Á @ ¿ »½¼ÃmÀ�ºg¿ W ·�¸�¹�Á  ��» Á�Q�Å ¸�¹ �  ��¹�º ��À ��» ÅV»½À�Á ��º�» Á�¼�» � ¾ ¹ ¹ @ ¼[¸�Ãgº9¹ �

Z �PO7� �qp B �

���,- < �

V�² W � 6�¯�8�¶ �� �����/ )KA�'�% T 8?O�: 623aT OU8 3 O � 8 -U  ¹�Á�¼ È ¼ @ Á���¹�ÅIº[¹ @ Å ¹ Æ � ¹ � @ º @ Åv¹ ¾ È f ·�¸�¹Q¼[À�¿ ��À�Á�¹�Á�Å p B w [ B�\&] Q,» O ¹�� @ Á�À  Š�  Å

Page 224: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�2� � ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b�����������» Q,Á @,¾ Ê ¸�»½¼[¸Q¼ @ Á ��¹ ¼[À�¿ �  Š¹ Æ � È Å ¸�¹ ��� � ¿�¹�Å ¸�À Æ R Ê ¸�¹�º9¹ ���q� � f À Ê � È ÅE¸�¹Ê ¹ ¾ ¾ � Á�À Ê Á ÃmÀ�ºg¿ Â�¾X@ � W

Z � � � �,-`� < � � t u � � Z� �,-`� < d � Ï J � J � c �

@ Á Æ� � <�� � Z <

� �,-Q� < � p B2<��� �,-Q� < d � Ï J � J � � �Å ¸�¹ À  Š�  Š��» Q,Á @,¾ »��

Z B �PO7� W � p B(<�M� �,-Q� <

w$[ B \)] d � Ï J � J � <2�@ Á Æ Ç¦Á @,¾ ¾ È Ê ¹�¸ @9O ¹

Z �RO7� � jkB l G jp B,<

�M� � -b� <w$[ B�\&] � jkBml G j

��M� 8 �

<�M� 8 -b� <

w$[ B�� ] � � Ï J � J � L �F��� � � ��� � I 3 �LK � � � � !�c6.02/ - %�- /U� -�: � '�O4-a8 6 ' } / Om%,' ���7/ - ��/�P 8 3 %,O!, � ) / 5 -[%�: � '�O�-98 6 ' J �Ä/ 5 6 } } / 5R8 � -�a6,T�/�6 :c- �K/ S 3a6 S /U3 -98 /4�=6 :z- ��/ ) / 5 -[%�: � '�O�-98 6 ' � � �7/U/ %,5 �76 � %,SK- /U3a� � %,'�) <2�gW®.¯M°s±c²E³ ²I´�± ,@?¤¶���» º @ ¼�� � Æ ¹ ¾ Å @ à  Á�¼�ÅI»½À�Áb»�� Æ ¹EǦÁ�¹ Æ @ �

X Q �0&É� ��\ ÃmÀ�º & a��\ d� (G ( Q �0&É� / & �

� ÃmÀ�º @,¾ ¾ Z \ � � Ï J � J � �= 8?- � 8R'Í- ��/ - 3 %()�8?-a8 6 '�%(5 3a/ %,5 T 6 :C: � '�O4-a8 6 ' � ^¦- ��/�P 8 3 %,O�: � 'KO4-98 6 ') 6�/4� ' 6 -T %�� /+�a/ ' �a/ J �Ä� - } / } %('�-�- 6 5 6�6 �Í%�- Q �0&É� % � %Y8?) / %(5R865 / )�5R8 T 8 - / 5 /UT�/ 'M-�- 6�a/ .���/ '�O /U��6 :z- ��/ : 623aT Q B �0&É��W 623

Q �'&É� �$5R8 T� &�n Q � �'&É��� � Ï J � J � ��c6 ) 6 - � 8 � } / / X S�%,'�)+- ��/ O 6 '�O / SK-*8R'.- ��/ ) /8M '�8 -98 6 ' 6 :#%�: � '�O�-98 6 ' W� ' � - / %() 6 :É) /4� O 3 8R@ / %�: � 'KO4-98 6 '�@MA�- ��/ : � 'KO4-98 6 ' � >(%,5 �K/U� A �'&É� } /=0 8?> / - ��/ >(%,5 �K/U�6 :c- ��/ 8?'�- /U023 %,5 � � jG j

A �'&É� $ �'&É� / &hd � Ï J � J c �

Page 225: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � �w� � � � �6���������;��� ! �,� <Q B �0&�

&t � �

� U �V�²PW � 6e¯ 8�¶ µ� �����/ P 8 3 %(O�: � '�O4-a8 6 ' Q B �'&É�

: 623 % �a� > OU8 / 'M-95 A.5�% 3a02/ O45�% �7�C6 : )K�9�É�[�9�(�R������� � g(�É� 'I�I�e��� $ �'&É��J¦� : $ � $hB } /43a/ % �- ��/ %,@ 6 > / - ��/ Q B : � 'KO4-98 6 ' � ^c@ � - O / 'M- /43a/ ) %,@ 62� - & n ^¤- ��/ ' � A $cBD/ & } 8R5R5@ / %} / 8 02� - / ) T�/ %('+>(%,5 ��/�6 :c- ��/ : � 'KO4-98 6 '.>(%,5 ��/4� %,@ 62� - & n %('�)� jG jA �'&É� $cB �0&É� / & ] A �0& n ��d � ] ^�d � Ï J � J � �

8?: A �'&� 8 � � '�8?: 6,3aT 5?AYO 6 'M-a8R' ��62��� J�� 6 - / - � %(-�� $ � W � � A $/ & 8 � 5R8?' / % 3 5?A�) /g�S / '�)�8?' 0+6 ' $ �0&� %,'�)�- ����� ) /8M ' /4� % �R�?����(� � g,�� 'I�I�e���(� J ����/U37/ % 37/ %,5 �76+6 - ��/435R8?' / % 3 : � '�O4-a8 6 '�%,5 � J$cB �0&� W � Q B �0& & n �

&& nV�²PW � 6e¯ 8�¶ ,� �����/ P 8 3 %(O�: � '�O4-a8 6 '+O / 'M- /43a/ ) 6 ' & n W Q B �0& & n �

Page 226: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�2� L ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b����������Ä/ 5 6 }q} / 0 8?> /��a62T�/1T�6237/�/8X % T S�5 /4��6 :z) / 5 -[%�: � '�O�-98 6 ' � W354 ¯ � ����� 6e¯�H���J �U¯��$�c±��,³e²I´�±¦¶ # � } /�� %m> /��a/U/ '+8R'�- ��/ 8R'M- 3a6 ) � O4-a8 6 ' � %,SK- /U3- �K/ � .�� % 3a/ S � 5 �a/ : � 'KO4-98 6 '+8 � ) /8M ' / )Q% �

Q�� �0&É� � X � U�� : 623 \ Î & Î�\ 6 - �K/U3 } 8 �a/ ^ � Ï J � J=<2�

Q� �'&�&

� U��

� �

� �

V�²PW � 6e¯ 8�¶ L� �����/1� .�� % 37/ S � 5 �7/ : � '�O4-a8 6 ' Q�� �PO7�gJ354 ¯�� �+�'� �vH��J �U¯��$�z±��,³e²E´�±Í����/�� % �K�a� S � 5 �a/ : � '�O�-98 6 '�8 � ) / M ' / )`% �

Q�� �0&� ���

�> � 8

w G � }}�� } d � Ï J � J L �} � 8?O � } / 8R5R5 ��� - 3 %(- / 8R'.- ��/ : 6 5R5 6 } 8?' 0 M�0,��3a/ W

\ � �\ �=<� � \# 37/ % � � &

� % ���a� S � 5 �a/

V�² W � 6e¯ 8�¶ 4 ���K/�� % ���7� S � 5 �7/ Q� �0&É� � � � U 8 w G)( } � � � � } � �

Page 227: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��� � �w� � � � �6���������;��� ! �,� |354 ¯ ¯2F H#´�±h¯�±É³e²��rJ H��J �U¯ �$�c± �,³ ²I´�±�����/���X S 6 ' / 'M-98R%,5MS � 5 �a/ : � '�O�-98 6 ' 8 � ) / M ' / )% � Q�� �0&É� �

��w G � } � � Ï J � J | �

# 3a/ %M� �

Q�� �0&�

&V�² W � 6e¯ 8�¶ � Ä����/ / X S 6 ' / 'M-98R%,5¤S � 5 �a/ Q�� �0&É� � "� w G � } �

354 ¯�³ 6�²���± W ��J � 6 H��J �U¯ �$�z±��,³e²E´�±Q����/ - 3 8R%,' 02� 5R% 3 S � 5 �a/ : � 'KO4-98 6 '�8 � ) /8M ' / );% �Q� �'&É� � X "� � "� } & : 6,3 � � & Î \ d"� "� } & : 623 \ Î & � � � � Ï J � J H2�

Q�� �0&�

& � �

� U �

V�²PW � 6e¯ 8�¶ 8� �����/ - 3 8R%,' 0 5 / S � 5 �a/ : � '�O�-98 6 ' Q�� �0&É��J� 6 } } / ' /U/ )�- 6 8R'M- 3a6 ) � O /1�762T�/ - /U37T 8?' 6 5 6,0 A J®.¯�°±c²E³e²E´�± ,��¶�sEà A »�� @ à  Á�¼�ÅI»½À�ÁÀ�Á % B R�Å ¸�¹�Á » Å ���(gm���s�e�*'1»�� Å ¸�¹�¼ ¾ À �  º9¹�ÀvÃÅE¸�¹ � ¹�Å#Àvà @,¾ ¾ ��À�» Á�Å � F R �  ¼[¸�Å ¸ @ Å A � F � a��\ R» Á�À�ÅE¸�¹�º Ê À�º Æ � RzÅE¸�¹ ��¿ @,¾ ¾ ¹���Ås¼ ¾ À � ¹ Æ� ¹�Å=À  Š��» Æ ¹ ÀvÃ Ê ¸�»½¼[¸ A O�@ Á�»��[¸�¹��1» Æ ¹�Á�ÅI»½¼ @,¾ ¾ È f

Page 228: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

�2� H ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b����������`¹ ¾ ¹�Å p � j

�n � % B � Æ ¹�Á�À�Å ¹`ÅE¸�¹ � � @ ¼[¹&Àvà @,¾ ¾ à  Á�¼�ÅI»½À�Á�� À�Á % B Ê ¸�À � ¹ _ � @ ºgÅV» @,¾ eÆ ¹�ºg» O�@ ÅV» O ¹���Àvà @,¾ ¾ À�º Æ ¹�º ��¹! 2»���Å @ Á Æ @ º9¹;¼[À�Á�ÅI» Á  À  �;À�Á % B @ Á Æ Ê ¸�À � ¹ �  � ��À�ºgÅ»�� @ ��À  Á Æ ¹ Æ �  � � ¹�Å=Àvà % BE�F¤¯�GIH#¯�J K 8�¶�Tc¹�Å� �0&É� � X w G " � ( d ÃmÀ�º & Z \ d\ ÃmÀ�º & � \ � � Ï J � J Ï �

N�¸�À Ê Å ¸ @ Å $ �'&É� � � � � � � � &É�a� � � � � � � &É�a� p � j�n � � Ï J � J � \ �! �e�hgi'V�E�e��� N�» Á�¼[¹

/ B/ & B rw G " � ( u � 9 ��À ¾ È Á�À�¿ » @,¾ » Á

�& ; �

w G " � ( ] \ d @ � & ] \ : d � Ï J � J �2� �Å ¸�¹�º[¹EÃmÀ�º9¹ � �0&É� ¸ @9O ¹ Æ ¹�ºg» O�@ ÅV» O ¹�� Àvà @,¾ ¾ À�º Æ ¹�º � R @ Á Æ Ê ¹�¸ @9O ¹

$ �'&É� � w G {}�� {�� ��� � w G {}�� { � ��� � w G {{ � � } � � Ï J � J � � �j À�º Ë & Ë�� � Ê ¹C¸ @9O ¹ � � & � � � \ @ Á Æ ¸�¹�Á�¼[¹ $ �0&É� � � � � & � � �q\if s�Å�ÃmÀ ¾ ¾ À Ê �Å ¸ @ Å$ �0&É� � X w G " � � " G)( } � d ÃmÀ�º Ë & Ë�� � d\ d ÃmÀ�º Ë & Ë� � d � Ï J � J � c �

@ Á Æ ¸�¹�Á�¼[¹ $ �0&É� p � j�n f

& � �$ �0&�

V�²PW � 6e¯ 8�¶ �)? �����/ : � '�O4-a8 6 ' $ �'&É� � w G " � � " G)( } � d Ë & Ë � � d $ �'&É� �q\ d Ë & Ë Z � �

Page 229: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ����� � � ! ����� � ���;����! �,� ÏF��0/ � � ! � ��� 3 ��� � � !# O 6 'M-98R' ��6,��� : � 'KO4-98 6 ' A 6 ' % B 8 � � S / O48 M�/ )Í@MA 0 8 >�8R' 0 8?- � >(%,5 ��/U� A �0&É� %(- %,5R5S 6 8R'M- � F % B ^�@ � - A OU%,' / .�� %,5R5 A } / 5R5�@ /*� S / OU8 M�/ )�@MA 0 8 >�8?' 0 - ��/ >(%,5 �K/U�¦6 :�- ��/8R'M- /4023 %(5 � � jG j

A ���� $ ���s� / �«d } ��/U37/ $ p � j�n � � Ï J c J � �

"�623 % S�% 3 -a8RO � 5�% 3 $ p � j�n �a� O � - � %(-� jG j

$ ���� / � � � d � Ï J c J � �} / 02/ -�: 623 %,5R5 F %,'K) �

5?8 T� &�n � jG jA ���� $���� � ���� / � � A � F �gd � Ï J c J c �

%,'�)b- �K/U3a/ : 623 } / ��' 6 } A � F � : 623 %,5?5 F J.� 1 /U/ "�6 5R5R%,'�)�^ ����/4623a/4T | J | ��J � ' 6 - ��/43} 6,3 ) � } / OU%,' - � 8?' � 6 : A � F � % � %�5R8 T 8 - 6 : � jG jA ���� $�� � ���� / � %,'�) } / 8?'M- 3a6 ) � O /- ��/ : 6 5?5 6 } 8R' 0 ' 6 -9%(-98 6 ' W

A $ � � � jG jA ���� $ ���� / � d } ��/U37/ $ p � j

�n � � Ï J c J � �����/U37/ % 3a/ ��'I�É�[� 5?8R' / % 3 : � '�O�-98 6 '�%,5 � 6 '�p � j

�n - � %(-C% 3a/ ' 6 - 0 8?> / '+@MA+8R'M- /4023 %�-98 6 '% 0 %,8?' � -!%�: � 'KO4-98 6 ' A %('�)`- �K/U�a/ : � '�O4-a8 6 '�%,5 � } 8R5?5c@ / 6,��3�)K�9�É�[�9�(�R������� � g,�É� 'V�I� ���623 ���?�*'V�7� + g 'V�I� ��� - �K/ A�% 37/ O 62T�T�6 'K5?A�Om%,5?5 / ) J� 6 } } / OU%,' 0 8?> / - ��/ ) / M '�8?-a8 6 ' 6 :% ���R�('V�a�B+ gi'I�I�e� J®.¯�°±c²E³e²E´�± ,MK�¶�� ���R�('V�7� + gi'I�I�e�`»�� @ ���U�����?� ) � W p � j

�n ] � Å ¸ @ Å � @ ÅI»��EÇ ¹��*ÅE¸�¹ÃmÀ ¾ ¾ À Ê » Á�Q+¼[À�Á Æ » ÅI»½À�Á�� W_ » e � �R�É�g�(�a�h' * W � $¦" d $ � p � j

�n R @ Á Æ �� " d� � �� Ê ¹�¸ @9O ¹ Å ¸ @ Å�� "!$¦" � � $ � � � " �� $¦" � � � �� $ � � � � Ï J c J <,�

_ » » e � �e� 'V�?� g(�B' * W N  � ��À � ¹ 9 $��2;�»�� @ � ¹VU  ¹�Á�¼[¹�» Á p � j�n �  ¼[¸YÅ ¸ @ Å � Z���� � $�� � »��¼[À�Á�Å @ » Á�¹ Æ » Á @ Ç �¹ Æ ��À  Á Æ ¹ Æ � ¹�Å � ÃmÀ�º @,¾ ¾�� R @ Á Æ �  � ��À � ¹ ÅE¸ @ ÅÄÅE¸�¹ à  Á�¼�ÅV»½À�Á��$�� @ Á Æ @,¾ ¾ Æ ¹�º�» O�@ ÅI» O ¹���� 7 $��ͼ[À�Á O ¹�º Q�¹  Á�» ÃmÀ�ºg¿ ¾ È ÅvÀ���¹�º9À @ � � ] ^ f ·�¸�¹�Á

� $�� � ] \rf N�¸�À�º�Å ¾ È $�� ] \ � u �� $�� � ] \ � � Ï J c J L �

Page 230: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� c2\ ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������_ » » » e � � gM�(�?�B' * W

� " � � � tvu � " $ � � � � $ � d � $ � � Ï J c J | �� ´�³ ��³e²I´�±¦¶Ä����/1� S�%,O /16 :%,5?5�)�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � 6 ' % B 8 � ) / ' 6 - / )�@�A�� q � % B � 623 : 623�a�K623 -�� q J ����/ S 3 8 T�/ 8 � %,'+8?'�)�8ROU%(-98 6 '�- � %(-�� q 8 � % � S�%(O /16 :c5R8?' / % 3 : � '�O4-a8 6 '�%,5 � J# )�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � 8 � 5R8 � / %�: � '�O�-98 6 '�^�@ � -=8 - T % A�@ / - 6�6 � 8R' 0,� 5�% 3 : 623 - �K/ S 6 8?'�- �} 8 �7/ >(%,5 ��/4� � � F � - 6.T %�� /��7/ ' �7/ ^ } ��/U37/ % �16 'K5?A`- ��/ �aT�/ % 3a/ ) � 62� -�>(%,5 ��/U� �� $ �% 37/ } / 5R5 � ) / M ' / ) J "�623 O 6 'M> / 'K8 / 'KO / } / } 3 8 - /

� $ � � � jG j� � F � $ � F � /DF � � Ï J c J HM�

E�F�iGIH JE¯�´É±��c² �4³ 6�²����¤³e²I´�±'�E�F¤¯�GIH#¯�J �7?¤¶�Th¹�Å A �0&É� ��¹ @ ��»½¹[¼[¹ Ê »�� ¹�¼[À�Á�ÅI» Á  À  � à  Á�¼�ÅV»½À�Á @ Á Æ $ �'&É� @ Å ¹���Åà  Á�¼�ÅV»½À�Á f ·�¸�¹�Á

�� $ � � � jG jA �0&É� $ �0&É� / & � Ï J c J Ï �

»�� @ Æ »���ÅIºg» �  ÅI»½À�Á @ Á Æ � � q fE�F¤¯�GIH#¯�J ���¶�·�¸�¹"��» ¿ � ¾ ¹���Å�¹! @ ¿ � ¾ ¹�Àvà @ Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á�Å ¸ @ ÅÄ»�� Á�À�Å @ à  Á�¼�ÅV»½À�Á»��1Å ¸�¹*®+²C6;� ���c¯�J ³ �� �$�c± �,³e²E´�± Q R Ê ¸�»½¼[¸+»�� Æ ¹EǦÁ�¹ Æ � È

Q $ � � $ � \ ��� � Ï J c J � \ � H#¯)6;�K³e²E´�±�� ´�±��z² �4³ 6�²�� �¤³e²E´�±��� -.8 � S 6,�a� 8?@�5 / - 6 / X - / '�) - �K/Q6 S /U3 %�-98 6 ' 6 : )�8 � /U37/ 'M-98R%(-98 6 '�: 3762T : � '�O4-a8 6 ' � - 6)�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � 8R' �a� O � } %mA - � %(- / > /43 A`)�8 � - 3 8?@ � -a8 6 '+S 62�a�7/U�a�7/U� ) /43 8 >,%�-98?> /U�*6 :¦%,5?5623 ) /U37� - � %(-% 3a/ %,5 �76 )K8 � - 3 8?@ � -98 6 ' � J �c6 - � 8 � %,SKS 3a6 %(O � 5 / - A �0&É� @ / %CO 6 'M-98?' �K62��� 5 A)�8�� /43a/ 'M-a8�%,@�5 / : � '�O�-98 6 ' 6 ' %�%,'�) $ p � j

�n � % �gJ ����/ ' ��� 8?' 0 � Ï J c J Ï � } / � %m> /� q $ � � � jG j

A q �0&É� $ �0&É� / &h� � Ï J c J �2� �� 'M- /4023 %(-a8R' 0 @MA.S�% 3 - � } / 0,/ -

� q $ � � A �0&É� $ �0&É� � j G j � jG jA �'&É� $ q �0&É� / &hd � Ï J c J � � �

Page 231: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ����� � � ! ����� � ���;����! � c �%,'�) � 8?'�O / $ �'&É� �$\ } �K/ ' Ë & Ë 8 � 5R% 3a02/ ^K8 -�: 6 5R5 6 } � - � %(-

� q $ � �� � jG jA �0&É� $ q �0&É� / & � � $ q � � � Ï J c J � c �

N*/ '�O / } / � %m> / - �K/ : 6 5R5 6 } 8?' 0 ) /8M '�8 -98 6 ' W®.¯�°±c²E³e²E´�±�, ��¶ j À�º @ Á È Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á � À�Á % Ê ¹ Æ ¹EǦÁ�¹¦Å ¸�¹ Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á Æ ¹�ºg» O�@ �ÅV» O ¹ � q � È� q $ � �� � $ q � Ê ¸�¹�º9¹ � � q � % � @ Á Æ $ p � j

�n � % �g� � Ï J c J � � �E�F¤¯�GIH#¯�J �MK�¶�N�¸�À Ê ÅE¸ @ Å i q �'&É� � Q �0&É� R Ê ¸�¹�º9¹i��0&É� � X � d ÃmÀ�º & Z \\ d ÃmÀ�º & � \ � Ï J c J � <,�

@ Á Æ Q �0&É� »�����» º @ ¼�� � Æ ¹ ¾ Å @ à  Á�¼�ÅV»½À�Á f! �e�hgi'V�E�e�����`¹ Á�À Ê ÅE¸ @ Åi $ � � � jG j

iK�0&É� $ �0&É� / & � � jn $ �0&É� / &h� � Ï J c J � L �� ��» Á�Q�Å ¸�¹ Æ ¹EǦÁ�» ÅI»½À�Á @ Á Æ Å ¸�¹ ��º[¹ O »½À  ��¹! @ ¿ � ¾ ¹1» Å�ÃmÀ ¾ ¾ À Ê �1Å ¸ @ Å

i q $ � �� i $ q � � � jn $ q �0&É� / & � � $ �'&É� � jn � $ � \ � � Q $ � � � Ï J c J � | �~ ¹�Á�¼[¹ Ê ¹�Q�¹�Å i q $ � � Q $ � @ Á Æ Å ¸  �

i q �0&É� � Q �0&É�g� � Ï J c J � H2�����GIH��c² � �2´É±�³e²V± �z² ³e²E¯ �354 ¯�´ 6e¯�G ,7,�¶wN  � ��À � ¹ A »��"��»½¹[¼[¹ Ê »�� ¹���¿�À À�ÅE¸ À�Á B Ê » Å ¸ Æ »�� ¼[À�Á�ÅV» Á  » ÅI»½¹�� @ Å& " d & � dm� �?� d & B f Th¹�Å A � "�� Æ ¹�Á�À�Åv¹CÅ ¸�¹ ��À�» Á�Å Ê »�� ¹ ��¿�À À�Å ¸ Æ ¹�ºg» O�@ Å ¹�Àvà A R Ê ¸�»½¼[¸�¹! 2»���Å �@ Á Æ »���¼[À�Á�ÅI» Á  À  � ¹! �¼[¹ ��Å @ Å�ÅE¸�¹ & [ � � @ Á Æ ��¹�º9¸ @ � � � À�¿�¹ ��À�» Á�Å � Ê ¸�¹�º9¹�» Å!¸ @ �

�  ¿ � Æ »�� ¼[À�Á�ÅI» Á  » ÅI»½¹�� R @ Á Æ ¾ ¹�Å A q Æ ¹�Á�À�Åv¹ Å ¸�¹ ���?�*'I�a� +|gi'V�E�e� Æ ¹�ºg» O�@ Å ¹�Àvà A f ·�¸�¹�ÁÃmÀ�º @ Á È Å ¹���Å�à  Á�¼�ÅI»½À�Á $ Ê ¹�¸ @9O ¹A q $ � � � jG j

A � "�� $ �0&É� �Bk[ lÉ" � A �'& [ � � A �'& [ � � $ �'& [ �gd � Ï J c J � Ï �

Page 232: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� c � ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������» Á&À�Å ¸�¹�º Ê À�º Æ �

A q �'&É� � A � "�� �'&É� �Bk[ lÉ" � A �0& [ � � A �0& [ � � Q �'& & [ ��� � Ï J c J � \ �

�«º9À Àvà f ��X�/U3 O48 �7/ :E�F¤¯�GIH#¯�J ����¶ Tc¹�Å A ��¹ ��»½¹[¼[¹ Ê »�� ¹ ��¿�À À�ÅE¸+À�Á % Ê » ÅE¸ @ �  ¿ � Æ »�� ¼[À�Á�ÅV» Á  » Å È & n(RÅ ¸�¹�Á Ê ¹�¸ @9O ¹1Å ¸�¹ Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á Æ ¹�ºg» O�@ ÅI» O ¹A q �0&É� � A � "�� �0&É� � � A �'& n � � A �0& n � � Q �'& & n � � A � "�� �0&É� � 1 Q �'& & n �gd

Ê ¸�¹�º9¹ Q �0& & n � »����1» º @ ¼�� � Æ ¹ ¾ Å @ à  Á�¼�ÅV»½À�Á R Ê ¸�¹�º9¹ & � & n f

1

& n &

AA

V�²PW � 6e¯ 8�¶ � �+ �����/ : � '�O4-a8 6 ' A �'&É� } 8?- � %�� ��T S+)�8 � O 6 'M-98?' � 8?- A+%�- & n J� �J ³e² H JI² � �K³e²E´É± � � �*G&´�´�³ 4 �$�c± �,³ ²I´�±'�"�623 T�� 5?-98?S�5?A�8?' 0 )�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � @MA+% �aT�6�6 - � : � '�O�-98 6 ' } / 0 8?> / - ��/ ) / M '�8?-a8 6 ' W®.¯M°s±c²E³ ²I´�±�,�µh¶ N  � ��À � ¹��+»�� @ Á.» ÁmǦÁ�» Åv¹ ¾ È Æ » ��¹�º9¹�Á�ÅV» @ � ¾ ¹�à  Á�¼�ÅI»½À�Á`À�Á % B RzÅE¸�¹�Á��$$»�� @ ' �[�(' � g(�É� 'I�I�e� Ê ¸�¹�Á�¹ O ¹�º $q»�� R @ Á Æ »�� Æ ¹EǦÁ�¹ Æ @ �

� � � � $ � � �� ��$ � d � Ï J c J � � �@ Á Æ ��» Á�¼[¹���$ p � j

�n Ê ¹�¸ @9O ¹1Å ¸ @ Å�� � � q f�c6 OU%,5RO � 5�%�- / - �K/ ) /U3 8 >(%(-98 > /�6 :c- ��/ )�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � � } / � %m> / - ��/ - ��/4623a/4T W354 ¯�´76�¯�G ,ML�¶�sEÃ� p � j�n @ Á Æ � � q R ÅE¸�¹�Á� � � � q � � q � � � � q � � Ï J c J �2� �

Page 233: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ����� � � ! ����� � ���;����! � cDc�«º[À Àvà f�� � 8?' 0 - �K/ ) / M '�8 -98 6 ' 6 :¦- ��/ )�8 � - 3 8R@ � -98 6 'Q) /43 8?>(%(-a8?> / %,'�)b- �K/ ) / M '�8 -98 6 '%,@ 6 > / } /1� %m> / - � %�-

� � � � q $ � �� � � � � $ q � �� �� ��$ q � � � Ï J c J � c ��Ä� - � 8?'�O / � � $ � q � � q $ � ��$ q } / 6 @K-9%,8R'

�� ��$ q � � � � ��$ � q � q $ � �� �� � � $ � q � � �� � q $ �� � q � $ � � � � q � � $ � � � � � q � $ � � � � q � � $ � � � � � q � � q � �7� $ �- �����C��� 8?' 0 � Ï J c J � c � - �K/ S 3a6�6 :8 � O 62T S�5 / - / J� ´É±��ɯ)6*W�¯�± �2¯Q´ � �z² �4³ 6�²�� �¤³e²E´�±��= / 6 '�5 A 0 8 > / %�) / M '�8 -98 6 ' 6 :�� ������� *&�4�e���e�9� )K�9�É�U� : 6,3 )K8 � - 3 8?@ � -98 6 ' � %('�)Q% - ��/g�623a/4T : 623 )�8�� /43a/ '�-a8�%(-a8 6 ' 6 :)�8 � - 3 8R@ � -98 6 ' � } 8 - � } / %��.O 6 '�> /U3702/ '�O / J®.¯�°±c²E³e²E´�± , ,�¶ � � ¹VU  ¹�Á�¼[¹ 9 � BA; jn ÀvÃ Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á��.�4�e���e�9� )K�9� � �g�����+* ÅvÀ @Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á � _�Ê ¹ Ê ºg» Å ¹ � B ] � Ê ¹ @�¾ È e R¦» Ã

� B $ � ] �� $ � d � $ p � j�n � � Ï J c J � � �

354 ¯�´ 6e¯�G , 4ɶ �1» ��¹�º9¹�Á�ÅV» @ ÅI»½À�Á�»���¼[À�Á�ÅI» Á  À  � Ê » ÅE¸ º9¹�� ��¹[¼�Å�ÅvÀ Ê ¹ @ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�¼[¹ W� B ] � Ê ¹ @�¾ È � u � qB ] � q Ê ¹ @�¾ È � � Ï J c J � <,�

�«º[À Àvà f "�6,3 %('�A$- /4� - : � '�O4-a8 6 ' $ } /Í� %m> / - � %(- � qB $ � � � B $ q � J "���3 - ��/43 � B $ q � ] �� $ q � %,'K)� � $ q � � � q $ � J ������� } /�� %m> / - � %(- � qB $ � ] � q $ �%,'�)+- ��/ S 376�6 :8 � O 62T S�5 / - / J��¯)6�²I´ �c² � �z² �4³ 6�²�� �¤³e²E´É±'�®.¯�°±c²E³e²E´�± ,ML¤¶ � Æ »���ÅIºg» �  ÅI»½À�Á � À�Á % »��Q¼ @,¾ ¾ ¹ Æ �#�9�a�I� ���E� Ê » Å ¸ ��¹�ºg»½À Æ » Ã� �'& � � � � �'&É� R Ê ¸�¹�º9¹

�� $ �'& � � � �

� $ �'&É� � d � $ p � j�n � � Ï J c J � L �

Page 234: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� c � ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������354 ¯�´76�¯�G , ��¶�s à � »�� @ Á È ��¹�ºg»½À Æ »½¼ Æ »���ÅVºg» �  ÅV»½À�Á RÄÅ ¸�¹�Á � ¼ @ Á ��¹�¹! � @ Á Æ ¹ Æ » Á@ Ê ¹ @�¾ È ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�Å j À  º�»½¹�º � ¹�ºg»½¹�� R O » �

� �'&É� � jk G j �wUx � ( d � Ï J c J � | �

Å ¸ @ Å«»�� R�� $ � � jk�[l G j

�� `G `$ �0&� w x � ( / &hd � $ p � j

�n d � Ï J c J � HM�Ê ¸�¹�º9¹1Å ¸�¹ ¼[À ¹�� ¼�»½¹�Á�Å � � � @ ÅI»��Eà È

� Î p r � � Ë � Ë u � d � Ï J c J � Ï �ÃmÀ�º � À�¿�¹ p d � � \rf � À�Á O ¹�º�� ¹ ¾ È R1» à 9 � ; j G j»�� @ Á È � ¹VU  ¹�Á�¼[¹ � @ ÅI»��EÃ È » Á�Q�ÅE¸�¹¹���ÅI» ¿ @ Åv¹ � Ï J c J � Ï � R�Å ¸�¹�Á ÅE¸�¹ � ¹�ºg»½¹�� � j�[l G j �

w x � ( ¼[À�Á O ¹�ºhQ�¹�� Ê ¹ @�¾ È Å À @ ��¹�ºg»½À Æ »½¼Æ »���ÅIº�» �  ÅI»½À�Á f����/�T�62� -Ä: � '�)�% T�/ 'M-[%,5 /8X % T S�5 /*6 :c% �#�9�a�E� ���E� �M�R�*'I�a�B+ gi'V�E�e� - � %(- 8 � ' 6 -�% : � 'KO �-98 6 '.8 � - ��/C�#�9�a�E� ���E� ���9�B'�� � g,��� 'V�E�e� WQ�� � Y �0&É� � jk G j

Q �0& � ��8 ��� � Ï J c J c2\ �E�F¤¯�GIH#¯�J ��µh¶ � @,¾ ¼ Â�¾X@ Å ¹ ÅE¸�¹«Ç¦º ��Å @ Á Æ � ¹[¼[À�Á Æ+Æ ¹�ºg» O�@ ÅI» O ¹��«ÃmÀ�º ÅE¸�¹ � 8 ����¹�ºg»½À Æ »½¼Æ »���ÅIº�» �  ÅI»½À�Á Q,» O ¹�Á � È

A �0&É� ��� 8 r(8 & & �� u d \ � & � � 8 � � Ï J c J c � �

! �e�hgi'V�E�e��� �Q¹�¸ @9O ¹�¹ @ º ¾ »½¹�º#� ¹[¹�Á;Å ¸ @ Å�ÃmÀ�º @ Á ¹ O ¹�Á j À  ºg»½¹�º � ¹�ºg»½¹���¹! � @ Á���»½À�Á @ Á ÆÊ ¹ @ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�¼[¹ Ê ¹�¸ @9O ¹

A �'&É� � n� jk �[lÉ" O62� � &8�� � � � Ï J c J c � �

·�¸�¹�Á Ê » Å ¸ Ê ¹ @ ¼[À�Á O ¹�º Q�¹�Á�¼[¹ Ê ¹�¸ @9O ¹1Å ¸�¹¦Ç¦º ��Å Æ ¹�ºg» O�@ ÅI» O ¹A q �0&É� � jk �[lÉ"

� 8?' � &8�� � � Ï J c J cDc �

Page 235: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ����� � � ! ����� � ���;����! � c <A �0&�

�c 8 � 8 8 c 8� 888 U �

V�²PW � 6e¯ 8�¶ ��K� �����/ : � '�O4-a8 6 ' A �'&É� � "� � r*8 & ( }�

u d Ë & Ë � c 8 �A q �0&É�

�c 8 � 8 8 c 8� 88 � U �

� U �

V�²PW � 6e¯ 8�¶ ��� ����K/ : � 'KO4-98 6 ' A q �'&É� � � j�[lÉ"������� (��� d Ë & Ë�� c 8 �

·�¸�¹"� ¹[¼[À�Á Æ;Æ ¹�ºg» O�@ ÅV» O ¹1»��A q q �0&É� ��

�� 8 � jk G j

Q �0& � ��8 �g� � Ï J c J c � �� Â Å Ê » Å ¸�ÅE¸�¹ Ê ¹ @ ¼[À�Á O ¹�ºhQ�¹�Á�¼[¹ Ê ¹�Q�¹�Å

Q � � Y �0&� � jk G jQ �0& � ��8 � �

�� 8 � jk �[lÉ" O

6,� � &8 � jk G j

�� 8 w x B (2d � Ï J c J c <,�

¸ @9O » Á�Q�Å ¸�¹ j À  ºg»½¹�º ¼[À ¹�� ¼�»½¹�Á�Å ��� 8 �

G �Q � � Y�� �0&� w G x B ( / & �

�� 8 �

G �Q �0&� w G x B ( / & �

�� 8 �

G �Q �0&� / & �

�� 8 �

·�¸  � Ê ¹!¸ @9O ¹ A q q �0&É� � jk �[lÉ" O6,� � &8 � � Ï J c J c L �

Page 236: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� c L ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������Q �0&� Q �0& � 8 �Q �PO � � 8 � A q q �0&�

�c 8 � 8 8 c 8� 88 � U � 8

V�² W � 6e¯ 8�¶ ��µ� �����/ : � 'KO4-98 6 ' � A q q �0&É� � � j�[lÉ"���� � � (� d Ë & Ë � c 8 JE�F¤¯�GIH#¯�J � ,�¶�N�À ¾PO ¹1ÅE¸�¹ Æ » ��¹�º9¹�Á�ÅI» @,¾ _�Ê @9O ¹ e ¹VU ÂA@ ÅI»½À�Á

X Z ] ] � �9Z (�( d O Z \ d &� % dZ �0&hd \ � � A �0&É�gd Z ] �0&hd \ � �$\ d &� % � � Ï J c J c | �! �e�hgi'V�E�e���,Th¹�Å

Z �'&hd O7� � �� � A �'& � O7� � A �0& O7� � � � Ï J c J c HM�·�¸�¹ Ê ¹ @ � À ¾  ÅI»½À�Áb»��1» Á p � @ Á Æ Ê ¹�¸ @9O ¹1Å ¸ @ Å � $ p � j�n r %�� � \ d ^ � u R

� Z ] ] � Z (�( � $ � �� jn � jG j

Z �0&hd O7�4� $ ] ] � $ (�( � / & / O ��\ � � Ï J c J c Ï ��`¹ » Á�ÅVº9À Æ Â ¼[¹1ÅE¸�¹ ¼[¸ @ Á�Q�¹ Àvà O�@ º�» @ � ¾ ¹�� O » ��� � & O @ Á Æ � & � $O f ·�¸�¹�ÁX & ��� :� � dO � G ���� d

@ Á Æ / �0&hd O7�/ � � d � �����"�

"� "

���"���

���� ��� d � Ï J c J�� \ �

»�� Å ¸�¹�� @ ¼[À �U» @ Á ÀvÃ�Å ¸�»�� ÅIº @ Á��EÃmÀ�º�¿ @ ÅI»½À�Á Ê ¸�»½¼[¸ È »½¹ ¾ Æ ��/ & / O�� "� � /�� f À Ê O Z\ t u � �� R @ Á Æ ¾ ¹�ÅIÅV» Á�Q�$�� &hd O���� � � � d � Rs» Å�ÃmÀ ¾ ¾ À Ê ��ÅE¸ @ Å� jn � jG j

A � &"! O�� � $ ] ] ! � $ (�( � / & / O#� ��� A � � � !��� � � � �

�$ /�� �%! $ � jG j

A � � �'& � j� �)(�* n �� � / ,+ / & �-! $ � jG j

A ��� � � � � � � d � � j � �)(�* n �/�� � \ d

Ê ¸�¹�º9¹ ÅE¸�¹ ¾X@ ��Å ��Å ¹ �&»�� Æ Â ¹ ÅvÀ�Å ¸�¹ ��À  Á Æ @ º È ¼[À�Á Æ » ÅI»½À�Á @ Á Æ ÅE¸�¹«Ã @ ¼�ÅÄÅ ¸ @ Å � ¸ @ �¼[À�¿ � @ ¼�Å �  � ��À�ºgÅ _ � ¹[¹ j » Q  º9¹�� ��¹ ¾ À Ê e9f·�¸�¹1Å ¹�º�¿ ¼[À�ºgº9¹�� ��À�Á Æ » Á�Q�Å À A � &/. $O�� »���ÅVº9¹ @ Å ¹ Æ @ Á @,¾ ÀVQ�À  � ¾ È f

Page 237: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ����� � � ! ����� � ���;����! $ c |

��� S�S $&

V�²PW � 6e¯ 8�¶ �A, ������ �� S�S� ����� $�� & � O� ����������������� ��� ���� �����

�� S�S �

� �

V�²PW � 6e¯�8¤¶ ��L� ������ ��� SKS� � ���� � � & � �!� ���#"�� �$� � ��% � ��&� ���#" ��� � � � �

Page 238: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

$ c�� ����� ����.��2� � � ! ����� � ���;���b���������

Page 239: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ���� ���

� �� ��� � � ����� ��� � �� � � �

� ( 7� ! " �����!�2(*%; ���Z� %; #" 1=5*" " " :�� � :=3Z7� *� ����!:&.>7 �&(�7��2�=.>79 #���;%; � �=.>�=(�79 ��� ��� 52�*79 :;(*"�)(*% %&�=.A �*� � 3P���: 3-7� *���JB2�2" � %L:;( 7� *� 365&(*%)��� �=(�7 ��� � �!� "':=3"�� $#*"$ #1 " D ���2.0�=C�7@:% �*� �)( 1 :;(*12 " �L: 5�7�� /(*� 3P:). ��%&�2.A �2��79 #: (&�=.>: 1 � % 5&.0�=C'��� 3P: 1=5*" : ( %&�=.A �2�*79 :;( : 37� *���2.A (*12 (��� � �)� 52��79 #:;(*" : 3+* 5! % %,#&(2���' 1 "�- 7� *��.����! #�=.0/21 7@:�3$� " �)� 52��79 #:;(*" D542:&. � :&.0�%; #" 1=5*" " :;(*" �&(*%4%&�=.A �2�*79 :;( : 3 : 7� *�=. �)� 52��79 #:;(*"��Z� .0�83P�=. 7� *� .>���*%&�=. 7@: 7� *� " � ���' ( % � #.A 16 7� 7@�2.R��7$5&.0� /(98�+;: DB ¯�G � 6=<�= �?> ������ � � � � � � � ���># � >�" �A@ �����CB � @ AD9D � � � � } ��� � � "�" ���� ��%

D � ���� �� � � @ " ��% � � � � > �6@ �AE � � � � � ��F � �HG % � ���� � � ����I!� ����� � " � ���� � � ����� � ������;J � � > �A@ � F � ��� �KB � � A � G � � B � � A � � G � � � "�" � � �L@����� � A � 3 � � $M � � F � ��� � " I " ��� � ��� %���� � � � � ��� � " >�� � � �� � � �� ��% � � Π$ } ��� � � � � � > �� >�� ��NI ��� � 5 B � .PO} ��� � � 5 ����% O ��� � @� � � ������� � �RQ � �L@ � F � ��� %���� � � � ����� � " �-. � � � ���� % � � @ ��TS����������I > ��@ � ��� � � � � � � � > � ��� � "�" I � IUDVD � � �W@ � � � � � F � � � � � @ � � %XS�I ��� ��� � " � ���� � ����%���� � � �� � � � � " � � � " I �� ����M " M � � ��� # � >�" �A@ �����YB � �G[Z ��G \ � � � �"� � � ���� �=� �[]>3�� � � � � !��� " } } � � � � "�" ����� �� % � @ � � ,D � ���� ��� �WD > � ������� �-. � � ���� � � D % ��"�" ����� >�� I � �W@ �� � � � � $M � �� F � � ��� F � ��� D ����� � �+^ � ��% � ����% ��� � � � � ����� � � � . � � � �� � � � � ��� " � � ��,D� ��� @ �� � � �_M � � �� � " � } � � ��%P@� � � ����� � � �0M � � � " � � �� � � S � � � % � � ,D � D �A@ � � @� > �W@� ��� � � � � � % � � @ ��TS � % F D ����� " I F S�I � ��� � "�" } ����� � > �6@ ��� � �WD � � � @ � �� � �)`� � ��� % � � � ���NI � � �L@����� �Ya � Fcb O��� � ��� M ��" U@ ���NI7M � @ � �ed � Ffb O��� � ����> � � ���� � � � � Ffb O�� �

$ c Ï

Page 240: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

$ ��� ����������� ���D� �w�.����|�����;��� ! � � !o����� � �w�,!G[Z��� H���� � �LK � � � � !�!�� � � � ����� � ��\=����� � !����� D � ���TD > ����� � � � . � � � �� � � �� � ��� ^ � ��% % I � �AD �T@ � � � � � ��� � �É�U� � ���g�[�7�a� +��I�� � � �I�9��� ! 'v�����[� ��� gM� 'I�I�e�K� � � 1 � � � 1 � . � � � �� � � @ � � � � � � ���� � I � � � D �� > ��� � � � "%���� � � � ����� � "��-. � � ���� � � % � � @����TS � % S�I� � � � ��� D AD � � � � . � � � �� � F � � } �� ��, � � � @ ���% " � }� $ � � ��� @ � � � ��� � ���NI � . � � � �� � F @� � � � �_M � ���� � �� D � ��� ������ M � � ��% � ���0M�� � ���� �� � 1 } � � � �WM � � � � $ $ S�I " � � % � � � M � � � � ����% " � � � � F � � �2< FS�I � � �� � 1 � �� � � � �� � ´�±É³ ²V±��c² ³ � ¯ � �'�K³ ²I´�±� � � ��% � � �?^ � ��% ��"�� D � ��� U@)@ � > I ����� ��� ��� S�� � �����_I F M;X � % %�,D ����� � M " � D � � � �= � @ ��� % � � @ ���WS � � ��� M�� ��� � � ���� ��&� ��� D � ��� ��� � � � � M� " IUD S�I

�� O�\ a /DF � �

\� a� O

/DF�� � � � � $ � � ������ ^ } �� D � ��� � � � >�� ����� � � � ����� � � � ��� �Pa � d ± F } ��� � � ± � � � ��� � � } ����%� ��� � �� � D � " � � � � � � �����9@ � � � � M � � �� � ��fD � �� � � ��� ���L@�� � � � � ��cD � �� ��� � ��% �

� � � ��% � ��� �T@ � " �� � � ^ } �� � ��� D � ��� � � � � � � � ��� S� � ��% ��� I � � � `�� O�\ a /DF � ! �

� \ a�d � ±�/�# � � � � � $ � $ �� � ����� � � ���� %��WM � ��� � ����� ��� �� � D F } � � � } ���� � � ��� �-. � � ���� � � � � � $ � $ � � ��

\ r � a� O . B � � a�d � u /DF ��� � � � � � $ � c �1 ���L@ � � � � ���_S������ ��� I F ��� ����� "�� DVD � � F � � � � I � ��" % � �U� � 'I�R� g,�h' *���� gM� 'I�I�e� � �� } �� � � ���v'I�[�(�K���s�e�*'«� �ig2� 'V�E�e� `

a ] . B � � a d � ��� � � � � � $ � � �� � a � � @� � � ������� � � ,D � � � � ��� D � %�� � � F � ��� � } � � � � � ��� � �WD >�"�� � �-. � � ���� �

B � d ��� � � � � � $ � < �E�F¤¯�GIH#¯�J �ML�¶ �`¹ �  ��ÅI» Ã È � � � � $ � � � ÃmÀ�º @ À�Á�¹ � Æ » ¿�¹�Á���»½À�Á @,¾ ¿�À Æ ¹ ¾ ��º9À � ¾ ¹�¿�ÃmÀ�ºÅIº @ � ¼��=À Ê�Ê ¸�¹�º9¹ Ê ¹ @ ���  ¿�¹�Å ¸ @ Å a � a � & b O�� R�ÅE¸�¹ Æ ¹�Á���» Å È ÀvÃ.¼ @ º�� R � @ ÅV»��EÇ ¹��� Î a Î � f j À�º @ ¸�» Q�¸ Ê @,È � @ Å ¸ � b�� � ÅE¸�¹ Æ » ��¹�º[¹�Á�¼[¹ ��¹�Å Ê ¹[¹�Á`ÅE¸�¹1ÅIº @ � ¼1» Á��CÀ Ê

Page 241: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

���2��� �z����4� �������0�.���!i!|��� � �l����� � �. � ! � ������! $ � �d � � a � � @ ÅÉÅ ¸�¹ _ ��À  Á Æ @ º È e ��À�» Á�Å & � @ Á Æ À  Š�CÀ Ê d � � � a � � � @ ÅÉÅE¸�¹ _ ��À  Á Æ @ º È e��À�» Á�Å & � � Q,» O ¹��1Å ¸�¹ Æ ¹�Á���» Å È O�@ ºg» @ ÅV»½À�Á À�Á`ÅE¸�¹ » Á�Å ¹�º O�@,¾ � b � �// O

���

( a � & b O�� / & � ���

( �a � & b O�� / & � d � � a � � ! d � � � a � � � � ! ���

( � d a � q / & bÀ�º�¹VU  » O�@,¾ ¹�Á�Å ¾ È � �

( 9��a . � d a � q ;S/ & ��� � � � � � $ ��� � À Ê ��» Á�¼[¹ @ Á Æ � @ º9¹�¼[¸�À À � ¹�Á @ º �U» ÅIº @,È R#¸�¹�Á�¼[¹ � È Å ¸�¹ @ ��À O ¹ ¾ ¹�¿ ¿ @ R

�a . � d a � q ��� b � � � � $ � | �Ê ¸�»½¼[¸+»�� �  ��Å«Å ¸�¹ � ! � O ¹�º ��»½À�Á&ÀvÃ1Å ¸�¹1ÅVº @ Á�� ��À�ºgÅ�¹VU  @ ÅI»½À�Á�� � � � $ � � � fE�F¤¯�GIH#¯�J � 4ɶ �`¹ ¿ @,È º9¹ ¾X@ Åv¹ Å ¸�¹ O ¹ ¾ À ¼�» Å ÈvO ¹[¼�ÅvÀ�º d @ Á Æ Å ¸�¹ Æ ¹�Á���» Å È Ã Â Á�¼�ÅV»½À�Áa » Á @ O�@ º�»½¹�Å È ÀvÃ Ê @,È � f j À�º*» Á���Å @ Á�¼[¹�» Ã Ê ¹ ¼[¸�À À � ¹ d � � ! a » Á � � � � $ � | � R#ÅE¸�¹�ÁÊ ¹�Q�¹�Å«Å ¸�¹=�É� ���R�?�É���(�!�4�e���e�4� 'V�E�e�b��� gM� 'I�I�e�

�a . � � ! $ a � a q ��� � � � � � $ � � �� Á�Å ¸�¹`À�Å ¸�¹�º�¸ @ Á Æ R ¼[¸�À À ��» Á�Q d � �! � � a q U a � R 0Z � b � Z � R�ÅE¸�¹�Á � � � � $ � | �È »½¹ ¾ Æ �

�a . r � ! � a qa � a u q ��� b � � � � $ � Ï �Ê ¸�»½¼[¸2R¦» Áb» Å �"��» ¿ � ¾ » Ç ¹ Æ ÃmÀ�ºg¿

�a . a q ! � a q q ��� b � � � � $ � � � �»�� @ À�Á�¹ Æ » ¿�¹�Á���»½À�Á @,¾ �4�e���e�4� 'V�E�e� � ���g,�7�I�e� ¹VU  @ ÅI»½À�Á f sEà Z � R ÅE¸�¹�Á � � � � $ � � � �»�� @ �U�e��� �U� 'I�I�e� � ���e���R��� 'v���$¼[À�Á O ¹[¼�ÅI»½À�Á � Æ » �  ��»½À�Á ¹VU ÂA@ ÅI»½À�Á f j » Á @,¾ ¾ È @ ¼[¸ @ Á�Q�¹ÀvÃ1Á�À�Å @ ÅI»½À�Á a�� d @ Á Æ � O Q,» O ¹���d .KO d q ! � d q q ��� � � � � � $ � � � �

� . � � � ���� � � � � $ � � � � @ � � S � @ ,D > ��� � % } ��� � � ��� � ,D � � �� � ��� � � � �I�[� �! 'v� ���[���-. � � � ���� � � � ���!���L@�,D > � � ��� �WS "�� ^� }�d . � O � B � d ! �� d . B � ��� b

B�d ��� � � � � � $ � �'$ �

Page 242: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

$ � $ ����������� ���D� �w�.����|�����;��� ! � � !o����� � �w�,!} ��� � � O�� d F d � � d�� b d � b d & � ` � � D � ��)F D ,D � ��� � D F � � � ��AI � � � � ��� M ��" U@ � �NIM � @��� � F � � � � ��� > � � ���� � � ����% � � � U�� w } � � � � w % � ���������� � ������� I �� " % , �� � D S � ��� ����� � � � . � � � �� � � ��� � ���� � � � � " I � " M��6S "�� F � � � Z � �7�;���R� F S � @ � ��� ��� � ��� � >L>�� ��� � �L@ � �� +K��g,� ����� *�����*K�[� ����% ' g,� + g(�I�[���U� � # �NI > �W@ � " ������� � � � �

w� � S � � } � � � � � � ����% � ��� � � % � ��WM � � ��� � � M � � � � 1 �� � � � � . � � � �� � � } � � � � "�" � " � � ��� %!� ������� gM�|'V�I� ���;�c�.�e�+�9� '��� E6�����K³e²E´É±�´ ��G ´ G ¯�±É³= � % � ���� � S�I� � O�� � ��� � ��� � � @ � � I ��&� ^ � ��% > � �� �W@ "���� ��� M � �_I � D � "�" > ��� �� ��� � ��� ^ � ��% } � �T@ � } � @ � "�" � ��� ^ � ��% > ������T@ "�� � F ��� # ��� ������� � @ ��%���� � � � ��F ��� � ������ M ��" U@ � �NI F d �

�� O�� b O�� F �� � � � � ^ � ��% > ������T@ "�� � � ���WM � � S�I

d ��

� O�� b O��#� /�

� O��/ O b

����%!� � � �A@�@ � "�� ��� � �� � � � � O�� b O�� F � � � � � � � ��� @ � � ���!� � "�� F S�I/ �/ O � � � O�� � // O d �

�� O�� b O��#� � d� O . &k x l

� d� & x d x � � d� O . � d � B � d � � � � � $ � � c �� � � � @ ��� ��,D ���_I��� % � �� � � � ��� ���� � � � ����% � ��% � S�I � ��� � �@ � "�"�� %�D � ��� % � ���0M � � �0M ��� d ` �7d U � O F M � 5/ �/ O � � � O���� // O d �

�� O�� b O��#� �7d

� O � d� O . � d � B � d � � � � � $ � � � �

����� � � ��� � � � � D S � � � %�� � � � � ��� � �� @ � � �A@ � ����� � �V^ � ��% > � �� �W@ "�� �� @ � � � � ������g�[�a�(g,��� F � �R���4�e�a�h' * �½� ���U�9�/� �� �R� ' �[�a���(� �½�e�g�U�9� � ����% �e�e�hg,� �½�e���4�[� �� @ � )M�[� � �B' * ������ > � � ���� � � � � � �6@�� ����� �� � ��� �� �� �6@ � �� � ��� ^ � ��% > ��� � �W@ "�� ��� � ��� %���� � @�� �� ���&� ��� ���� D � " � �� �� �A@ � � ����� M � � @� � � �NI � � � � ��F } � �T@ � ��� � % � ���� � % S�I � / � /D � � �� X 1 F ��� � � " � �A@�������� � � ��� ��� �� �A@ � �� � ��� ^ � ��% > ��� � �W@ "�� �)F S � � S��� � ���� ��� �� � D � " ����% � ��� ������� � ��� %���� � @ � �� � � �� ��� ��� �� �A@ � � ����� D � � ��� X$1 F } � �W@ � � �@ � "�"�� % � �����*'V�g�[�7��' �[���g�e� F D ��� �HS � ��D � ����� X � � � � � �)> � � � � ��� � � ��� � �_@ � � �6@�� ����� �� "�" ����% / %���� � @ � �� � � � ����� � � � �_@ � � � > >�� ���HS � @ � ��� � � � ��� D ����� � � ���g,�a�E�e� � ��� ��,D � } ��� � %���� � � � ��� � ��� � � �W@ � � � �AI!��� ����% � ���� � ��� ^ � ��% > ������T@ "�� � � � � D � I� � ��� � � � � � >���� ��,D � �� � � � � ��T@����� � � S � � } ��� � %�� � � � � ����^ � ��% > ������T@ "�� � D $M �����} ��� � %�� � � � � ��� M � " U@ � � � � � � ����� M " � D � �� @ � A � � � � �_@ � >�� � � ����� �� D � ��)F � � � ���� � @ � �A@����� � �!� ��� } � "�� M� " � D � ��&� ����> � �� �W@ "�� � = � ��� D � "�" � �� @ � � �A@�������� � � > ������T@ "�� F ����% ��� ��� � ���� � ��� �� � D F � ,S ��������

� \� ! � ± . 1 � ± � /|# . �

\ a A /DF � �\ � ! B � . B � 1 � . a A /DF�� � � � � $ � � < �

Page 243: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

���2��� �z����4� �������0�.���!i!|��� � �l����� � �. � ! � ������! $ � c��� � � D � ��� � � � � � � ��� �� D � � � @ � � �A@ � ����� � � ��� ^ � ��% >�� � � ����� M " � D � � � � �WM � �S�I ! B � . B � 1 . a A � � � � � $ � � � ���� ��� } � � � � . � � � �� � � � � � � $ � � � � ����% � � � � $ � � � � � ��� � � } � � � � @� ��% " � } F � �M " � D � � ����� ��� � ^ � ��% F S � @ ,D � �

a �7d� O � ! B � . B � 1 . a A � � � � � $ � � | �� � � � D � ��� � � M ��% ��� �8X�> � � �� ���� � �� � ��� � ��� � �� � � � � � 1 � ����� M � � @ � � � @ � �� >L>�� ��� � � � ��� ^ � ��% > ������T@ "�� � D $M � } ��� � %�� � � � � ���?M ��" U@ � � � � � � Q � �L@ � F � ��� � �� � @ � � D ��� ��% �)>�� ��% � � ��� � > � � ��� " % � ��WM � ���WM � � ��� ��� M ��" U@ ���NI M�� " % � � � � � � � � � "� � � � ��� M � " �@����NI � ����%�� � ����� � � ����� D � % � S � � D � "�" � � ��� � ����� � � ����� D � % � � � ��� ��� � �� � ��� � >L> �� X �TD � � �0M ��" ��� � � � � ��" � ���� � � � " � � ���� S � � } ��� � � ��� � � � � ��� � � � � �������% � ���M � � � % � ���WM � ���WM � � � � ��� M � " �@����NI�M � @��� � F M �65 1�x [�� � d x U � & [ � � �� � � � � � F } ��� � � � � �� ���� D > � �� � F � � d � � @� � � ������� F � ��� � 1 ��� � " � �� ��� � � � � � 1 � � � " % % ��>�� ��% �e���+* � M � � � % � ��WM � ���WM � � D � ��� � � � � ��� ��� � � } � "�" ���� S � ����I @ �������TS � � �� � � � ��,D � ���@ � � ��� � � � � " ��� � "�" I F 1 � � � " % M ����� � � � �� � ��� ^ � ��% � ����� � ����� } ��� � �P@� � � �������M ��" U@ ���NI � ����� � " ��� � � �-. � � �L@�I � ��� � � � >L>�� ��� � � � � � � ��� " ��� � ��� @ AD S������ � �� � ��� d x U � & [ . � d [ U � & x M ����� � ��� � � � � ��� M � " �@������ � � ���� ��� � �_D ����% � ��� � � � � � 1� � � " % @ ��� ����� ��� @ � � " ��� � ���"@ ,D S���� � ���� � � � ��� ����F } � � � M � � ��� � � � � � �� � � �� ��� � �_D �� � ��� � � � � ��� � � � � ��� �

1�x [ � �«r � d x� & [ . � d [� & xu b � � � � $ � � � �

} ��� � � � � � @ � "�"�� % � ��� � �R���4�e�a�h' * � Q � �L@ � F � ���� D ����� � � � � � � � @ �� � � ����� F � ���M � � @� ��� � � � D ��� � ��� �-. � � � ���� � � � � $ � � | � @ � � S � } ������ � � � �

B � 1 � � �� & [ r

� d x� & [ . � d [� & xu � � d � � � � � $ � � Ï �

� � � � �������� � � � � $ � � Ï � ��� � ��� �-. � � � ���� � � � � $ � � | � � ��� D ,D � ��� �-. � � � ���� S � @�,D � �

a �7d� O �%! B � . � d . a A � � � � � $ � $ � �� 3 4 ¯ �2´É±�³e²V± �G 4 � H 4 ´�³ ¯��m² ������ �AS�=M � � � � � ������� � � S�� � � % � � ��� � I > �� ��� � � � �� @ � � ��% � ������� � ��� ^ � ��% � � ��U�e� 'I�R� g,� � ��� � � � � � ��% � ��� ��� � I >�� �� ��� � � � � � � ��� ��� � � 5 � � M " � D � � �� � ��� ^ � ��%

Page 244: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

$ � � ����������� ���D� �w�.����|�����;��� ! � � !o����� � �w�,!� ��% � �5@� � � ��% � � � ���� � � � D � @ � " � ��� � � � � � � � ��� � �65 � ���� ��� ^ � ��% � � ,D ��� D "�� @ � " � ���� � � � � � ��� � V@ � "�"�� % �U� � 'I�R� g,� � *2���É� 'v�[�7�R� ���� ´ �c± �'� 6 � � �rJ �h¯ H 6e´ �JI¯�G ��± � � � �h²E¯)6 ���ɳ ´ <�¯���¯����'��³e²I´�±'�= � @ � � ��% � � �KS� � ��% � % � > � � � � " %�,D ����� � � � � O���� %� F � � �WD � ����� � � M � "� � � b S � F ����% � ���� D � � � � � � � ��% a ��� � @� � � ������� � � ����� � � ��� � . � � � �� � �� � � � $ � < � ����% � � � � $ � $ ��� � �0M � � ��� � "�" } ����� � �$M � � � � 1 � �� � � �-. � � � ���� �)`

d ] . � d � B � d !� d . �a B � � A b & � � O�� b O � bB�d ��� b & � � O�� b O � bd � d � b & � � O�� b O ��� bd � � b & �fb O � b

� � � � $ � $ � �

} ��� � � � � � � � � � ��� S� � ��% ��� I �� � F � � U a � � � ��� � ��� � � �W@ M � � @� � � �NI F d � � �� ��� ����� � � � " %�� ��� ����% � � � � ��� M � " U@ � �NI � ��� ��� S� � ��%����_I�� � �� � � � � � ��� � � � � � ���a�?� �l+K��g,� ���(� *��4�e� ���h'V�I� ��� F � � � � F � ��� ^ � ��% � � � ��� S� � ��%����_I � ��% � ��� S� � ��% ��� I��� � ��" � � � M � � ��� � �AD � M � " =M � �NI ���� HH 6��|F�� G ������� ��� � � � �����)6 ������� < ����� � �'���������'�! '����! #"$ �ig&% '('���)*" �

!+ d . �a B � � A b & � � O�� bB�d ��� & � � O�� b

� � � � $ � $ $ �,.-/ +01�324 �)�2�'5%7698/� � � !+ d �;: b &� � � O�� � � � � � $ � $7< �� � 4 �)6>=?� �.�!@ �� � M � � �BA 1 � � � � � ��% 1 �� � � � �-. � � ���� � � ��� � � ��� � 7A @ � "�"�� % @� ��� ��� � D D % ��" � �DC �@ �� ��� � � � �� � ��� � � � ��� � � ��� �7> ��� � �W@ "�� D % � " � � � � ��% � � @����TS � � �E � ���7> � �� �W@ "�� �� � � ,D �)F D "�� @ � " � � ��� � � ���A@������ ��D �W@ �� � @ > �T@ "�� M ��" � � ��6F2 �HGI%7)*)J ���KL%�2�'���) � � ����8X �AD >�"�� �� �$M %ONP2('�Q�6� �#RS%7"� �� D % � "�� . � � � �� �����T ��=?�!�'�P�����.@���� ���U� 6O= � �V� 4 �XW � �����)6 ���/��� <����������'�Y�������'�����" �EZE � � � � "�" % � ��WM � � ��� � � M � � �4A 1 �� � � � � . � � � �� � � ��� � ��� %��WD � � � �� � "�� ��� � �� D �� � � � � � >L> ���A@ � E � �������� % � @ � � @ � � � �A@ � � �� � � �T@ "�� ��� � �\[ F ����% � @ � �����A@�� � ��� � ���T@� >�� � %^] F � � ��� �DE � � � � �V@ � � � �A@ � � �� � � �T@ ���TD � S � [ U ] � � ����� @ � �W@ � ��_[ ����%

Page 245: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ������� ,������ �����X0���������� ��� ���� � ����������,�� � ��� $ � �] @ ���9S � S � � � % ���� � � D �� � M � � �����������"! � � @ � "�� � ��� � � M � � �4A$# �� � � � �&% � � � ���� ���� ����� � ��� � "�" �E ����� � @ � " ����� �� � ��� ����M " M � % > ��� �AD � � � � �)`

')(* � ' * U [ b d (* � d * U ] b O ( � O U2S b � ( � � U � a�] � � �� �E ��� ����� � � �_D�E � � � @ � ����� � � "�� ��� � ��� � � M � � �4A$# �� � � � �&% � � ���� � � � � � � $ � $ � � F ����%"�� ����� � I @ � " @ � " � � ���� � I � ��" %

� d� O � ]� d (� O (

� O (� O � ]S� d (� O (

b� d,+�B � d � d *

� d� ' * � ] � d * � d (� ' (*� ' (*� ' * � ] �

[ d (*� d (� ' (* � ] �

[� d ( +=B ( � d ( b

B � � a�] � � � (� ' (*� ' (*� ' * � a�] �

[� � (� ' (* � a�] �

[ B ( � ( b d � �

� ' *� d� ' * � ]

�� ' (*

� ' (*� ' *

� d (� ' (*� ' (*� ' * � ]

[ � �� ' (*

� d (� ' (* � ][ � ( d ( �

� � � � $ � $ ���

Q � � � B ( � ��% ( % � ���� � � ��� � ����%�� � ��� � ��%.- � >�" �A@ ����� ��� � ��� %��TD � � � ���� "�� ��� M�� ��� A�AS "�� � � � �E � � � �TD >�" �W@ � �NI�E � ��� > � � �� � ����/ � ����% � � � � ��� � "�" �E �����#%��TD � � � �� �YA"�� ��� � � M � � �BA � � � � � �&% � � ���� � �)`

d ] . � d,+�B � d ! ��10 d . B � �;: b '32 � � O�� b O 2 � b

BVd ��� b '32 � � O�� b O 2 � b� � � � $ � $ � �

E ��� � � �10 � [\] U � � � ��� � 9@ � "�"�� % � 54�)/��6 �I)�KSG R* #N ��,6�7 =���� 7�8 � 7 � �Z�:9 8 �;9.@��!�/�=<;9 ���"># " � � �� � � � � ��� � � M � � �4A$# �� � � � �?% � � � �� � � % �)>�� ��% �� � ��� � �A@ � �� � ��� � � I �� " %� � D S � � � ��% D � I " �C@�,D >�"�� � � " I %�� � � � � ��� � � %�� � � � � ��� ������� � � �� � ��� � �A@ ����� ��� � � �� " % � � D S � � �10 �CB � ��� � �����L@ � 65%7N$D� ,� 54�)/��6 � )/K7G R* #N "FE � � �103G� � � F @� ��� � � > ��% � � � � S � "�� ����^ � ��% � � � M ����� ����� � � � " ��� F @ � � �� �W@ FIH� ���@ � � � ���T@&J F� " � � �� � ��F E ��� � � � � � ��� " G>%76 6K� 54�)/��6 � )/K7G R* #N "FE � ��> � � � � � � 65%OG ' ) %7N�4Z89K7' �3" FE ��� � � � � � " ��� � " � ���� � � ��=L�M �N>����!� �&� 7 � �O9.�.�NPQ9��!�.�R>S>TPQ9���>��������">! ��> ������ � ��� � � � ��� � ��� @ � � � �� � ��� �/��� < �R> �&% � � � ���� � E � � �$M � � X � � � � �L@ � ��� ��� % � � � " � ���� � � �VU � � � � ���IW 7 ����� 8 ������� < �R> �?% � � � �� � � ��� � � - %7N � � !� �0M � �� �WD >�"�� ��� � E � � ��# � �E E E � @ " � IUD � � � � ��� �XW � "�"�� ����� � D Y ���T@ � Y ��,S "�� D � � � � � AND � "�" �� �.Z > �,S "�� D\[ � �

Page 246: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

$ � � � ���+0+,���� � �X� �1����� � �+,"� ��K� � � � ��� � 0��1� ���� � 9.� � 7�8 � � 7 @ 9���� 8 � � @��!= �F� 8 ���.��� 8 �R>S>S9 8 ������ > � � ���� � � � � % � � � � D ��� � % S�I � ��� M ��" U@ ���NI M ��" %�� ��� � � � � � ��� ��� M � % � � � � � ������ ����� � ��� %��WM � ��� � �L@ � � � ��� D ,D � ��� �&% � � ���� � ��� � � M � � �4A$# �� � � � �KU % � � ��� "�� %� � � D�A ����% � � �)> E � � � @ � " @ � " � � ����7I � � " % ����������� ���������

B +$d�� � ��� B +$d ��� B +$d ����� ��� b

B + d � � �� ' * � '�� B +$d ��� b

B +=B � � � bB + � � d,+�B � d � � �

� ' *�� d ��� d *� '���� � � d �� ' * � d *� '�� ���� � � $ � $ � �

����� D ,D � ��� �&% � � ���� �!���ERS � @�,D � �

�� � B + : ! � d �� ' * � d *� '�� � ��� � � $ � $�� �C � � ��� � )�� �(" 6 ' M @ � � ��� � ���� D �� "! � � E � @ ���!% � ��WM � � ��� S� � ��% � �_I?@� ��%�� � �� � �� � �� � � � � ��� � @ � " ��� > �� % � @ � �� � ��� D ,D � ��� �&% � � ���� ����� � ���$# � M � � �BA�# � &% � � E � � �� ��� �� � D � " M � @ � � � ��� ��� S� � ��% ���_I `������� ������

d'� + �(! �� � d + �*)+! � b

B � + �(! � �� � b� � dT+�B ) d � + �(! d � � d *� '�� � � ! � ���� � �-, �., � )

! � AS�������� � � � � � �� � ! �7:/. d � + � � ��� � �-, �.,0/ )1 % � � � �� � � ��� � �-, �-, � ) ����% �2� � �-, �-,�/ ) ���WM � � S� � ��% ��� I M � " � � > ��AS "�� D � � � ���> � � ���� � � E ��� � � ���3# � � D ����� S� � ��% ��� I @ ��%������� � ��� � �-, �.,0/ ) �

Page 247: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ������� ,������ �����X0������������ � ���� � ����������,�� � ��� ,�� ������ �� ����������������� �"!$#&%��('*)��,+-�.�/'*���10��324)��3�6587 '*�.� �39B(:<;>=>? E,@/=>ACBEDFD BG=H=HI DJ@K?HACBG?L:<MN?HA*@O@ % I*BG?P:FQRM �2� �TS , S , ��) F � BEM*U�:FMV?P;HQWU*IL@X@=HQ,DY@&Z[I*ML@\?P:<QEM]= > BA@X@^= S -_@X?` �ba � F Z[QR;c?HA*@&Z[I*ML@X?H:<QRMT= d b"e ` `gf a E @hU*@Xi*M*@

[kj � ` )�! � d `WlTm dGjon Mqpsr �8t[kju � ` )�! � d 2 [�j � ` ) v l m dwn M !yx �8tzq{ � ` )�! � eKv l m �}|�~�e3| j�� e j ) n Mqpsr �8tzq{u � ` )�! � e 2 zq{ � ` )cvVe_| � !yx �8�

�2��x S , S < x&)

!�@=HA*BED<DCI*=>@+[ ju � ` ) Z[QE;k?HA*@��*;H@X=H=>I*;H@ S.� AT@4�*;>@^=>=HI*;>@�:<M�?PAT@ # #Y:F=.:FM�U*@X?H@^;H�Y:<MT@^U�JQWU*I*DFQ��^QEM*=>?PBEMV?P= � :�Z � :F=�B�=HQRDFIT?P:FQRMOZ[QR;,?HA*@h�*;H@X=H=HIT;H@&?PA*@XM�BGD<=HQ � ������E�A*@^;>@��:<=&BO�XQRM*=�?}BEMV?��_:F=&BK=>QRD<IT?H:<QRM ) S&� A*@��XQRM*U*:�?PQR:FQRM v�� m dwn M !�xO� :F�E@^=hBOI*MT: % I*@^DFDF�U*@X?H@^;>�J:FM*@^UY�*;H@X=H=>I*;H@ S.� AT@�=H�*BE�^@ z {u � ` ) :F=.@X�J�TD<Q��R@X=.Z[QR;�?HA*@�E@^DFQ6�X:F?���iC@XD<U S B"QE;� 2 z {u � ` ) BEM*U � 2 [ ju � ` ) E @L�LI*DF?H:<�*D��J?HA*@ # B��W:F@^;BA�#W?PQ�%E@^=@ % ICB�?P:<QEM �2��x S , S , ��)� � e 2 z {u � ` ) BEM*U�?PA*@��^QRMV?P:FM8I*:F?���@ % ICBG?H:<QRM � � d 2 [ ju � ` ) BEMTU :<MV?P@ � ;PB�?P@LQ��E@^;` Sk� A*@�?H@^;>��E�:<=>@E�*=�?P@^�!A � �LA�=>?H@^�¡�o��BGD<�^ITD¢BG?H:<QRMK�W:F@^D<UT=l m � �� + e n M ! nn l m � + e n M t£ l m4¤ � + e n M ! ��¥h¦�� ! £ l � � � *� � e * n8§K� l m � � *� '�� �

e *� '�� n M t! � � *� '�� �e *� '�� n M t �¨e_| � !yx ) t

l m ~ � + e n M ! ��¥h¦�� ! l � � e + � nW§ £ l m � ~ + e n M! £ lCm � ~ + e �

�2��x S , S < ��)

# Q�E©?PA*@�iCM*BED�E @�B�%KZ[QE;H��I*D<BG?P:FQRMK:F= v iCMTU � � t � ) 2 �¨z {u � ` ) )�ª« [ ju � ` ) =HI*�}A¬?PA*BG?nn l m � + e n M � �­ 0 l m � � *� '�� �e *� '�� n M � l m � * � ���� ' * e � n M � l m � ~ + e n M ! l m : + e n M t

l m d ~ + � n M !®x t �2��x S , S < , )

Page 248: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

,G��� � ���+0+,���� ��� � �1���������+,"� ��K� ��� � ��� � 0��1� �Z[QR;�BEDFD �[e t d ) 2 �¨z {u � ` ) )�ª�« [ ju � ` ) S

BCI*;>?HA*@^;X�C:<MV?P;>Q6U*IT�^:<M � ?PA*@&Z[QRDFD<Q�E�:<M � M*QE?}B�?P:<QEM� � t e ) ! l m � + e n M t� � � t e ) ! l*m � � *� '�� �

e *� '�� n M t � � t e�)+! £ l*m � ~ + e n M t� � � t � t e�) ! l*m � * � ���� ' * e � n M

����x S , S <S< )

E @��JB�� E�;>:F?P@ ?PAT@�@ % ICB�?P:<QEM �2��x S , S < , ) :FMy?PAT@NZ[QRDFD<Q�E�:<M � �XQRM*�^:F=H@�Z[QE;H� v iCM*U� � t � ) 2 � z {u � ` ) )�ª�« [ ju � ` ) =>I*�}A�?HACBG?nn � � t e�) � �­ 0 � � � t e�) � � � � t � t e�) � � � t e )�! � :ot e ) � d t � ) !®x t ����x S , S < � )Z[QR;�BEDFD �[e t d ) 2 �¨z {u � ` ) )�ª�« [ ju � ` ) SL M �!= � �!@� ��������������������� ���"!�#$!��&%'��()#*!�%+� ���-,.��()� ��!�%/�0��#21�34!657��89()��:�%/�0;<��#=�'>�1��4?@A!����0��(�BDC %'��E��F:G�IHJ82!�%+�0��#2:JKMLN��(O!QPO��(R�O,.��%0!�� ���I,$,.��()� ��!�%+�0��#�!�#*,QPO��%/� ��!�%+�0��#S�4?% 57�<!�:F:�89PUT*�&%/�0��#2:U:��F�AVXW�YZ!�#*,[LX�&8.�/,\,�]�#*!�P6�0;F:"�&� %/%4��(^!�%/89(R�JK

@-���_����(R��%/89()#G%'�`%a57��%/(^!�#2:'T7��()%X�IHJ82!�%+�0��# �2��x S , S � )�K�b��IHJ8.� ()� #.�<%a52!�%N%a57�dce8.�/,:J!�%/��:afg�F:h% 57�[�i!��j�4?Gke��#2:���()��!�%+�0��#_�4?hPO��PO��#7%/8.PlKnm�57��#21�% 57��?o��(R;F�F:[!.;�%/� #.�$��#% 57��c�8.�/,p� # ` !�(F�q% 57�AT7��� #7%+�r��:��`��(I!���� %/] s!�#*,Q% 57�"T*(R�F:F:�89(R� � !�T�T*�&�0�I,p!�%t%a57�u ��8.#*,�!�(�] � ` Kv@-���w1O#=�0�����F;�%+� #.�_% 57�6?)()�0;�%+�0��#n?o��(F;F�F: u �����F��#xce89�/,�PO�����F;�89���F:F1@`���r%4��#=y :l�i!��z�4?[PO��%/�0��#{� PUT*�&�0�F:q!�#S�IHJ82!��&� %/] u ��%/���F��#{% 57�|;F52!�#.�.�6� #{%a57��ce8.�/,PO��PO��#7%/89P}!�#*,l%a57�`%'��%D!��~?o��(R;F�F:-!.;�%/� #.�|��#p% 57�Xc�8.�/,�K

�� l m�� � n M ! £ l�� m � � n.��� l mt� n M � ����x S , S < � )@`���w1X8�:�� #.� �2��x S , S � )A���t�.��%

lTmN���t�� � � � � + ~ � ) �7� n M ! lTm � £ ~ � � � ) n M t ����x S , S <�� )�w5.�0;F5�]��0���i,�:��VKS6/�#N��J��K���2/�/���d�

� �T� � � + ~ ) � ! £ �� ~ � � t ����x S , S <&� )

Page 249: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��� ���R� ����� ,������ ��� � ��� ��� � � �����"�"� ��K� ,�� /�w57��(R�" ��:|%a57�Q,.��#2:�� %/]x���F;�%'��(p�4?�%a57�\��(^!���� %0!�%+�0��#*!��=?o��(R;F�JK��d��%<#=���� u �|%a57�c�8.�/,Ny :G����:�;F��:�� %/] ;F����� ;��0��#7%a1`% 57��#S8�:�� #.�n% 57�G(R���i!�%/�0��# u ��%/���F��# !�#*, % 57�Ace89�/,����:�;F��:�� %+]

� !� ¤ � t �2��x S , S < � )!�#*,�!�:F:�89P6� #.�G! DLNR�����/�R��2����5N)�J��c���� 3[~ � !�x�>q���U�.��%g% 57� ������/��N�����2'���.���`� �*K~���2+�a��� �"! � � � �C� � � + ~�) � ) !� ¤ � £ � t~ � !®x � �2��x S , S < / )#%$'&)( *,+.-0/2143%-5-03�687:9<;=->7"? 3%@A+46B/2CD;=E.F

G=H �JI4KML � LNK 7PO >S9 8RQ 7PS I.IRPQ9 7UT LNV �>W 6�7 X 8:7 � X I.I�P 9 7YT LNV �-3B � ;PBGM � @�=HATQ�Z @^U�:<M � ��� x ?HACBG?&?PAT@Y=>I*;>Z¨BG�^@JBE;H@^B¬QGZ ?HA*@��J@X� � ;PBGM*@�:<=&=H�JBEDFD<@^;?PACBGM ?HA*@/=HI*;�Z¨BE�^@�BE;>@�B QEZ�BEMV� QE?PAT@^;�=HIT;>Z¨BE�X@]?HACBG?�:<=�B =>�KBEDFD,�o@^;�?PI*; � BG?P:FQRM QEZ:F? S #6I*�}A�=>��@X�^:<BED�=HI*;�Z¨BE�^@X=LBG;H@���BGD<D<@XU ?PA*@�[ ����� [ �]\^�D_�`��/��a �)� S -3B � ;HBEM � @�Z[I*;�?PA*@X;U*@^�YQRM*=�?P;HBG?P@XUy?PA*BG?�?HA*@ � ;PBE�TA®QEZ�B �Y:<M*:F�KBED=HIT;>Z¨BE�X@�=PB�?P:<=�iC@^=¬?PAT@NZ[QRDFD<QbZ�:<M �=H@X�^QRM*Udc�QR;>U*@^;M*QRM*DF:<M*@^BE;c�CBG;>?P:<BED UT:fe�@^;H@XMV?P:¢BGD¡@ % ICBG?H:<QRM v�2� � � jg ) �ih)h £ , �ih^� g �Ph g � �2� � � jh ) � gjg !yx � ����x SlkTS ��)BCQR;&�J:FM*:<�JBED3=HIT;>Z¨BE�X@^=%Z�:F?HAq=>�KBGD<D(=>D<QR�o@ � : S @ S �Ph t � g8m � ) �¡?HA*@^M ?PA*@�@ % ICBG?P:FQRM�2��x SnkTS � ) �^BEM � @hBE�*�T;HQ"o6:<�JBG?P@XU � �/?HA*@&?pZ,Q]c�U*:<�Y@^MT=H:<QEMCBEDQ-3BE�TD¢BE�X@&@ % ICBG?H:<QRM SG=H �JIrqsL � 7�8 KtV � L S IRPQ9 7YT L�V �� A*@�@ % I*:<DF: � ;>:<I*� =�?}BG?H@�QEZ�Bq?HA*:<M @^D¢BG=>?P:F���TD¢BG?H@]:F=J�T;HQ��W:<U*@XU � � :�?P=JBE�Y�*D<:�?PI*U*@� � ' t�u ) BEM*U]=PB�?P:<=�iC@^= ?HA*@wv �yx �R` [ �����NaU�J�Y_��Yz/�/���¡v

¤ j � ! ¤ � ¤ � ) ! �Ph)h)h)h � , �Ph)h g{g � � gjg{gjg !yx � ����x SlkTS , )� A*@YI*M�%8M*QbZ�MNZ[I*MT�X?P:FQRM � � ' t�u ) U*@^=>�^;>: � @^=h?PA*@�U*@\�6:<BG?P:FQRM QEZ.?PA*@Y�*D¢B�?P@�Z[;HQE� :F?H=A*QR;>:A@^QEM8?PBED_�oQR=H:�?P:<QEM S # QE?H@&?PACBG?:FM]�XQRMV?P;HBE=>??PQJBED<D :<�Y��QR;�?}BEMV? @ % ICBG?P:FQRM*=X� Z�A*:<�}ABE;H@&QGZ�i*;H=>?�QE; =H@^�XQRM*U]QR;HUT@^;^�6?PA*@ � :FACBE;>�JQRMT:<��@ % ICBG?P:FQRM/:<=�BVY>| 1 QEZ�QR;HU*@X;cZ[QRI*; S� A*@^;>@�BE;H@&QE?HA*@^; � :<ACBE;>�JQEM*:<�@ % ICBG?H:<QRMT=^�C@ S � S ?HA*@ ����x � � � �t�f\y\ � �]`}�q� � _~�Yz+�a��� � �6?PQ�J@XMV?P:<QEM]QEM*@ SG=H �JI�~ S � 8U�V��JL � X I 8 IRPQ9 7UT LNV �� M*@/QEZ ?PAT@OZ[I*M*UCBE�Y@^MV?PBED,@ % I*BG?P:FQRM*=�QEZ % ICBEMV?HI*� �Y@^�}ACBEMT:<�^=X��U*@^;>:F�E@^U�:<M � /&, �� � 1 ;{Z�:FM #6�}A*;"�QRU*:FM � @^;X� � Q��E@^;>M*= � �]?HA*@L@\�RQRDFIT?P:FQRM�QGZ�?PA*@�ZcB��R@�Z[I*M*�X?H:<QRM � QEZkB�CBE;�?P:<�XD<@�:FM]BY�oQE?P@XMV?P:¢BGD�iC@XD<Ur� v

Page 250: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

, � x � ����������� ��� �1���������"� ��K� ��� � ��� �����1� ��� � �� ! £ �,� ¤ � � � � t �2��x SlkTSlk )

Z�A*@X;H@� :<=c?HA*@��CBE;>?H:<�XD<@� = �JBE=H=X��� :F=B � :F�R@XM]Z[ITM*�X?H:<QRM¡�"BGM*U � !���� ,���� Z�:�?PA �� @^:<M � ?HA*@ Y�D¢BEM*� %� =��^QRM*=�?}BEMV? S

Page 251: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � ��� ���� ��� �������� � �� �� ����� �

� �"!PK�# O I%$7� � AT@hZ[ITM*�X?H:<QRM'& �)( ),� :F�E@^M � �'& �)( )�! �*( � � ) j Z[QE; £ � p ( p � �T:F=,�c��o@^;>:<QWU*:<� S 1 o6�CBEMTU'& �*( ) :<MY�^QR�Y�*DF@ o�?P;>: � QEM*QR�Y@X?P;>:<�,+CQRI*;>:<@X;.=>@^;>:<@^= S |�@X?H@^;H�Y:<MT@B ,�c��o@^;>:<QWU*:<��=>QRD<I6?P:<QEMO?PQ�?PA*@[email protected]*BG?P:FQRM, u0/ / £ u0/ £ u ! & �*( ) � ���&� S x S ��)1 ��\ _Yz+�/��� !�2 @\?3& �*( ) !5456798;: 6 � 7=<?> 7 m h SA@ :<MT�^@CB ! ,�Z @ � @X?.` ! ,�� � B ! � S� A8I*=%Z,@�ACB��E@D& �*( ) ! 4 67E8;: 6 � 7=<?> 7?F h � Z�A*@^;>@�?PA*@G+CQRIT;H:<@X;��XQ6@IHJ�X:<@XM8?H=KJ 7 BE;>@�^QR�Y�*IT?H@^U�BE= Z[QRD<DFQbZ�= v +CQR;MLON!yx �CI*=H:FM � ;H@^�o@�B�?P@^U]�CBE;�?P:<BED :FM8?H@ � ;HBG?P:FQRM� 7 ! �B l {: { & �*( ) < : > 7?F h n ( ! �, l {: { �)( � � ) j < : > 7?F h n (! �, P �*( � ��) j < : > 7.F h£ � L �RQ {: { £ �, l {: { , �*( � � ) < : > 7?F h£ � L ( n (! , � £ ��) 7£ � L � £ P �*( � � ) < : > 7?F h� £ � L � ) j Q {: { � l

{: { < : > 7?Fh� £ � L � )TS n (! , � � £ � ) 7L � £ , � £ � ) 7£ L j � j � x3! , � £ � ) 7 ��� � � L � )L j � j �

���&� S x S , )

+CQR;ML !yx Z,@ � @\?� u ! �, l {: { �*( � � ) j < u n ( ! P �, �)( � � ) S

k Q {: { ! �� ! �k �� A*@^M]?PA*@h�XQR�J�TD<@ oU+CQRI*;H:F@^;c=>@^;>:<@^=�@}oT�*BEM*=H:FQRM�Z[QE;c?PA*@&Z[I*M*�\?P:FQRMV& �*( ) :F= � :F�E@^M � �

& �*( )�! �k � ,

� j6W7E8;: 6 X 70Y8 u

� £ � ) 7 ��� � � L � )L j < > 7?F h �,[Z �

Page 252: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

,[Z&, ����� ��������� � 1�� ���� ��� � � ��� 1# QbZy?PQ�=HQRD��R@&?PAT@�@.-8ICBG?P:FQRM �2�&� S x S � ) Z @��JB��O;>@ Z�;H:�?P@h:F? BE=

, u0/ / £ u0/ £ u ! & �*( )�! 6W798;: 6 � 7=< > 7?F h t �2�&� S x Slk )BEM*UqU*@XM*QE?P@�?HA*@J�XQR�Y�*D<@}o +CQRI*;>:<@^;&=>@^;>:<@^=h@}oT�*BEM*=H:FQRM Z[QR;&?PA*@�=HQED<IT?H:<QRM u � � u !4567E8;: 6 u 7=<?> 7?F h S # Q�Z$QRI*;4?}BE= %�:<=4?PQ/U*@\?P@^;>�J:FM*@L?HA*@�I*M�%8M*QbZ�M�+"QEI*;H:F@^;��,[email protected] c�^:F@^MV?P= u 7 S(� Q&?PAT:<=�@^MTU=Z @�M*QE?P@ ?HACBG?��V�o@^;�Z[QR;H�Y:<M � U*@^;>:F�GBG?H:<QRM*=(QRM u � ���&� S x Snk ) ��BEM� @ Z�;>:F?>?P@^M]BE=, u0/ / £ u0/ £ u ! 6W798;: 6 � , � � L � ) j £ � � L � ) £ � � u 7[< > 7?F h ! 6W798;: 6 � 7=< > 7?F h t �2�&� S x S � )

Z�A*@X;H@�:<U*@XM8?H:FiC�^BG?P:FQRM/QEZ��^[email protected]�^:F@^MV?P= �W:<@XD<U*=� , � � L � ) j £ � � L � ) £ � � u 7 ! � 7 � L � �2�&� S x S Z )� A8I*=�Z[QR;ML !yx Z,@ � @\? £ u u ! � u BEM*U u u ! £ � u ! £�� S S� = Z[QR;MLON!©x Z @hACB��R@hZ[;HQR� �2�&� S x S Z ) ?PA*BG?

£ � , L�j �_j�� � L �w� � � u 7 ! ,� j

� £ � ) 7 �2� � � L � )L j ��� u 7 ! ,� j

� £ � ) 7 : { ��� � � L � )L j � , L j � j � � L �O� � ) �� A8I*=�?PA*@h=HQED<IT?H:<QRMO?HQ�?HA*@hQR;H: � :<M*BED�@.-8ICBG?P:FQRM �2�&� S x S � ) :F=

u �)( ) ! £ � k � ,� j

6W7E8;: 6 X 70Y8 u� £ � ) 7 : { ��� � � L � )L j � , L j � j � � L �O� � ) < > 7?F h � �2�&� S x S � )

� �"! K%# O I�� � � AT@hZ[ITM*�X?H:<QRMV& ��� ) :F= k c��o@^;>:<QWU*:<�G�dZ�AT@^;H@& ��� ) ! � "! � Z[QE; x�#$�%#��� Z[QE; � p � p ,

k £ � Z[QE; , #$�%# k|�@X?H@^;>�J:FM*@hBY�o@^;>:<QWU*:<�&=>QRD<I6?P:<QEM¬?HQY?HA*@�U*:fe�@^;>@^MV?P:<BED_@?-8ICBG?H:<QRM u / / � k�u / ! & ��� ) :<M?PAT@hZ[QE;H� QGZwB�?P;>: � QEM*QR�Y@X?P;>:<� +"QEI*;H:F@^; =H@X;H:F@^=1 ��\�_ z+�a��� !& @A*B��E@4?HACBG?�?PAT@Z[I*MT�X?P:FQRM & ��� ) :F=�@X�R@XM¡� � =H@X@�?HA*@ +(: � IT;H@ � @^D<QbZ ) S +CQR;B ! k Z @ � @X?` ! ,�� � B ! ,�� � kTS�� A8I*=:<M/?PA*@ +CQRI*;>:<@X;c=H@X;H:<@X=�@ o6�CBEM*=>:<QRM& ��� )�! � u, � 6W 7E8 { � 7 �^QE= L � � � 7 =H:FMML � � t Z @�ACB��E@ 7 !yx t � L � �2�&� S x S � )

Page 253: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

,=Z k

� , k �£ �£ ,£ k£ �� & ��� )

�� L X���� I�$ $7� $ W � A*@ k c��o@^;>:<QWU*:<�Z[I*M*�X?H:<QRMV& ��� ) S

� =KBEMbBE�T�*;HQR�T;H:¢B�?P@]:<MV?P@X;>�GBED Z,@��}A*QWQR=H@ ��� � £ B � , t B � , � ?PA*@XM¡� =H:FM*�^@ & ��� ) !� t ��� � x t � � BGM*U & ��� ) ! � t ��� � � t�k � , � �T:�? Z[QRD<DFQ�Z�= ?PACBG?^�*Z[QR;ML � �� 7 ! B , l

� �: � � & ��� ) �XQR= L¡` � n ��! ,

k , l� �u & ��� ) �^QR= L ` � n �

! �k� l {u � �XQR= L¡` � n � � l S�� j{ �XQR= L¡` � n ���

���k� P � =H:<MML ` �L ` Q {u £ l {u =H:FM L ` �L¡` n � � P =H:FM L ` �L¡` Q S�� j{ �

� �k� =H:FMML¡`L ` � P �^QR= L `� L¡`�� j Q {u � =>:<M,L¡` SjL¡` £ =H:FM L `L¡` �

� � k � �^QE= L¡` £��� L `�� j � =H:FM L ` SjL¡` � � k� j �^QR= j

7?FS £��L j Z[QR; L� � �

� ��� S x S ���

Z�A*@^;>@�:FM/?PA*@hD¢BG=>?�=>?H@^�,Z,@�=HI � =>?H:F?PI6?P@^U�` � j FS��� u � � k � l {u � n � � l S�� j{ n �"! � � k P � j# Q {u � k # £$� � � k � � ��� S x S&% �

� A*@�@ o6�CBEM*U]QEZ�?PA*@ � :��R@XM]Z[I*MT�X?P:FQRMV& � � �c:FM¬B +CQRI*;>:<@X;c=H@X;H:<@X=�:<=c?PA8I*=& � � � � #

k £ k� j

6W 798 { ��£ �XQR= j7?FSL j �XQR= # L � �k � � �'� S x S � x �

� QY=HQEDF�R@&?HA*@hU*:fe�@^;>@^MV?P:<BED¡@?-8ICB�?P:<QEM,Z @hD<@\? u � � � � u u � 4 6798 { u 7 �XQR= j 7?F)(S �*� A*@^Mu / / � k�u � k�u u � 6W 798 {�* £ � L j � j% � k�+ u 7 �XQR= # L � �k

� & � � � � � �'� S x S ��� �

Page 254: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z � ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1� U*@XM8?H:FiC�^BG?P:FQRM¬QEZ�?PA*@h�^[email protected]�X:<@^MV?H=4QEZ � ��� S x S � x �,BGM*U � ��� S x S ��� � Z @ � @X?

k]u u � # � k6t BGM*U * k £ � L j � j% + u 7 � £ k� j ��£ �XQR= j

7?FSL j �� A8I*=

u � � � � #% £ k� j

6W 7E8 { ��£ �^QR= j 7.FSL j * k £ � 7 � F �� + �^QR=# L � �k � � ��� S x S � # �

� �"! K%# O I ���� o6�CBEMTU�?PA*@�Z[I*M*�\?P:<QEM�� � ( � � �^QR= ( :FM +CQRIT;H:<@X;�=H:<MT@�=>@^;H:F@^=�BG?�?PA*@:<MV?H@^;>�GBED � x t � � # � S�� �������������������� � ��� � � ��� � ������������ �6W 798 { L��� � L � £ � � � � � ��� � x � � k �1 ��\�_ z+�a��� ! & �!� o6�"�$#�% � ���'&(� #*� ��)*� #+� � ( � � � � ( ��� � � #$, � ���pc�� �-� )�� % ) � �d� �&(� #*� ��)�� #V&.� ��������) # � ��� �/� � � £ � � # t � � # � � �-��� ���10 � ����� � �-�*� Z v

& � ( �(£ � � #

� � #�

� L X�� � I%$ $ � � W ����� � c�� ����)*� % ) � &(� #*� ��)*� # & � ( � �& ��2 # � Z � � � �

& � � � � � u# � 6W 7E8 { * � 7 � � L �(

, � 7 �) # L � (, ++3� u# � 6W 7E8 {�* � 7 � �$ L54 ( � 7 ) #,L�4 ( +w�

Page 255: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z[Z@ ) #T� � & � � � )* �$# � %�% &(� #*� ��)*� # Z �1� ��� � � 7 � x &(� � � ��� L� x � + ��� �����-� B � � �#$, � � 4 � # � � B � # � � � , � � � #*� � � 7 � #

, l {� & � ( � �) # L � (, n ( � ��l F � �u � �$ ( ) # L � (� � #Jn (� �

�l F � �u � � ( �) # # L ( n ( � �

� �# l F � �u � ) # � # LY� � � ( � �) # � # L £$� � ( � n (

t � #� * P £ �# LY� � � � � # LY� � � ( Q F � �u £ P �# L £$� � � � # L £ � � ( Q F � �u +� #� * �# LY� � � �# L £$� + � � L

� � � L � £ � � ���� �� Z � � ��� � �$# � o6�"�$# �)*� # �$& � ���'� %�% &(� #T� ��)�� # & � ( � ) # + � ����)*��� ) # ��� �-� )���� & � ( ��� �

6W 7E8 { L� L � £$� �) # # L ( t � �'� � x � � � ��$#�% ��� #T� �������1&(� #*� ��)�� # � � ( � � � �$ ( � � �$# � %�% � o6�"�$# �)*� # � # � x t � � # � � )�� �

� � ( � ��

6W 7E8 { L� L � £ � ) # # L ( � ( � � x t � � # � � � �'� � x � � Z'�� � � � �J� � ��� ������ � � � ��� � x � � k �BZ � � ����� ) � � � � ��� � - � � ��)�� # � ��� � x � � Z�� � ��� � (�$#�% ) # ��� � � � � ��� ��� ������������ � ��� ����� ) # ���-� �/� � � x t � � # � � ����� # � � �$# � ) # � ����� � � % �-��$& � � �$#�% ) # ��� � � � �5� # � ����� ) � � � �) % � Z � � �-�

l F � �u � �$ ( � � ( n ( � ��

6W 7E8 { L� L � £$� l F � �u �) # # L ( � �$ ( n ( � �'� � x � � � �� �$� � ��� � �������') # ��� � � � � � # � ���'� ) � � ��� �/#�% ) % �')* F � 7 Z ��) � � Z �!� ��� � � �*��� �$%T�� � � � ��� � ��� %�� � � � � v��l F � �u � �$ ( ) # # L ( n ( � �=L

� � � L � £$� � � � l F � �u � � ( ) # # L ( n ( � # L� L � £$� �� � # �� - ��� # � � � � ��� � x � � � �,���$# � � Z � ) � � � # �

l F � �u � �# � �# � � # ( + n ( � ��

6W 7E8 { L� L � £$� # L� L � £$� t � �'� � x � � �

Page 256: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z � ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1Z ��) � � � )*�-� %

� � � � ��

6W 798 { L �� � L � £ � � � t � � < � 6W 7E8 { L �� � L � £ � � � � � �� � � � ��� � x � � � �� �"! K%# O I��d� 2 � � & � � � � �"£ � � � � � # c�� �-� )*� % ) � &(� #*� � )*� # &(�$� | ��| # �$� | �-� ��� � ) # �� � �$� #�% � % �� �*��� )*� # &(�$� ����� �"� � ��) � � % ) e �-� � # � ) � �5� - � � ��)�� #� ���� ( � � � �� h � t (��gx t £ r p � p r� � x t � � � & � � � t £ r p � p r � ��� � x � � % �1 ��\�_ z+�a��� ! � o6�"�$#�% ������&(� #*� � )*� # & � � � � ��£ � � ) # ��� � �J� �*� o � � ) � � # � � �-� � ) �+ � ����)*��� ����)*�- � & � � � � 4 6 : 6 � 7=<?> 7�� ( �YZ ���-� ��&(� � B � # � ��� � 4 � # � � B � � �+ � � LON� x � �� ) # � ��� � � � � � %]�"� � ��) � ��) # � � � � � ��)�� #¡�UZ � � �-��� ��� + �$��� )���� � � � HY� )*� # � � 7 � �# l {: { � ��£ � � � < : > 7?F ( n � � �# P � ��£ � � � < : > 7?F (£ � L � Q {: { �� 8 u £ �# l {: { � £ # � � < : > 7.F (£ � L � n �� P � < : > 7?F)(� £ � L ��� � Q {: { £ l {: { < : > 7.F (� £ � L � � � n � � £ �L � � � � < : > 7?F � < > 7.F � £ P < : > 7?F (� £ � L ��� S Q {: { �� 8 u� £ # � £ � � 7L � � � �

+ � � L � x Z � � � �� u � �# l {: { � ��£ � � �*n � � l {

u � �£ � � �*n � � #k �

��� �� ����� � � �J� ��� o ��� ) � � # � � � ��� ) � � oT���$# )�� # �$& � ���1&(� #*� ��)*� # & � � � )*& � � � � #

k £#� �

6W: 6�� 70Y8 u� £ � � 7L � < > 7?F ( � � ��� � x � # x �

2 �-� # � Z � � ( t � � � 6W7E8;: 6 � 7 � ( � < > 7?F ( t � ��� � x � # � �

Page 257: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z � � �4� �-� )*� % ) � �$�*��� )*� # &(�$� � �'� � x � � % �JZ )�� � � �$� #�% � % + � ��� )*�-� � � � HJ� )*� # � � 7 � ( � �{�� {: { � � ( t � � < : > 7?F)( � ����� # ����� � � #�% ) ��)*� # � � x t � � � & � � � � )*�-� %

� � x t � � � 6W : 6 � 7 � x � < > 7?F ( � & � � � �6W : 6 � 7[< > 7.F ( t � �'� � x � #�# �

�$#�% ��� �� � 7 � x � � � 7 &(� � � ��� L � � � Z Z � � ��� � � Z � )�� ������� � % � v ���� ( � � � �� h � � 6W7E8;: 6 � 7 � ( � � � L ��� < > 7.F ( �6W7E8;: 6 � / /7 � ( � < > 7.F ( t � �'� � x � # k �

Z ������� � ) % � # ��) & � ) # � ����� � � � HY� )*� # �� � ) � ���������� � % ) #�� � � % ) e ����� # ��) � ��� - � � ��)�� # �� � � L ��� � 7 � ( � � � / /7 t� 7 � x � � � 7 t � L t � LON� x � � � �'� � x � # � ������ � � � � �G� ���-� )����) � � - � � � )*� # &(� � � ��� � x � # � ��� � � � L � � � �� ����� � �$��� � � � { ��� {�

�� � � � ��� L � L � x

� � � { ��� {��� � £ � �� | L | � L p x t � �'� � x � # Z'�

Z ��) � � Z � ) % � # ��) & � � �� { �$#�%�� � �Z )�� � ­ < � { p x �/#�% ­ < � � � x ��� � ��� � � � )�0 ��� �*� �R�� { � £ �

� # � � � �� � � L L � � | L | � �$#�% � � � �� # � � � �� � � L L � � | L | � � � �'� � x � #�� �

� �$� �1��� � � � � � � {��� � � � � �) #*� � � � � {

�� � � � � � � {

�� � � � � � #�� � ��� � ������ � � # �-� � � �� �*� ��)*� # �$& � ����� % � � ��� � x � # � � )� ����� # � ) � � # � �� 7 � ( � ��� 7[<���� h ��� 7=<�� � h � � �'� � x � # �

@ ) #T� � ­ < � � �gx t | < � � h |�� r �/� (�� r � ��� �� � ) #*� � ����� � ������)�� # )* � �$� #�% � %¡�Z ��� ��� � � 7 � x �� 1&(� � L � x � � ��� � % � v � / /7 � x � � 1� ���! � ������)�� # � u ��� u ��� u ( � � � � � � � �� �$� #�% � % �� �*��� )*� #/� )*�-� % ��� u � x � � � #*� � Z ��� ��� �� � 7 � ( � �� 7=< : �� ��� {! >#" >%$ 7 7'& � ( 7 ( F h t� 7 � x � �)� 7 � � 7 t L �+* t � �'� � x � # ���

Page 258: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z�� ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1Z ��) � � � )*�-� % � 7 � ( � � � 7 < :�� � ��� �� � {! > " >%$ 7 7'& h � � ��� � x � # % ������ � ��� )�� % ) � �� �*��� )*� # � �!����� � % ��)* # � Z

� � ( t � � � 6W7E8;: 6 � 7=< :�� � ��� �� � {! >#"*> $ 7 7'& h < > 7?F)(� � u � 6W 798 { � � 7=< : � ���� < > � 7.F ( : � ���� h & � � :07=< : � ���� < > � :07?F ( � ���� h & �� � u � 6W 798 { � � 7=< : � ���� # � � � L � � £ � L � � # ( �

� � � � �*�*) # � � � � � � 7 � : � � : { & �7 � F � � �� : { & �� �7 � F � �/#�%L� u � �S Z � 0 #"� ��� � � ��� � � ��� � � � #�% � %

�$�*��� )*� # &(� � � ��� � % � � ��� � x � � % � � ) � � # � �� � ( t � � � #

k �6W 7E8 { �

� £ � � 7 �{L � � � < : � ���� � �$ � L � � £ � L � � # ( � � � ��� � x � k x �� �"! K%# O I��� @ �$� � �!� ���!&(� �*��� Z ) # �U2 �E� � �E� �!� - � � ��)�� # � # ����� � )�� � ��� � � � ) # � % � c � � ) � � % � � � p � p # ) #¬� � � � � � � � � % ) #�� ���- v� ! ¤ � � � � � � {� � � � {� � � ��� � x t � p � p #� � � t�� � � x� � # t�� � � & � � � � ��£ � �F � t | � | # � �

� ��� � x � k � �Z ���-� �������1&(� #*� ��)�� #V& � � � )* # � c�� �-� )�� % ) � �1 ��\�_ z+�a��� ! + � � � 0 o � % � � ���� � ������)�� #¡� � � � t�� �\� )* # � c�� �-� )�� % ) � ) # � � ��� #*� � Z � � ���Z � ) ��� � � � t�� � � 6W : 6 � 7 � ��� < > 7 � � � ��� � x � k # �� # ������ ) # � ) # � ��� % ) e ����� # ��) � �5� - � � ��)�� #/� )���� % 6W : 6

P � � / /7 � �� � /7 � < > 7 � £ �

� � L � � 7 < > 7 � Q � x � � ��� � x � k�k �

Page 259: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z %��� �� Z ��� ��� �� / /7 � �

� � /7 £ �� � L � � 7 � x � � � � � / /7 � � � /7 £ L � � 7 � x � � �'� � x � k � �

����)*�)* � ��� � ���*����� - � � ��)*� # �$& � � % ��� L(��Z ��) � � � � � � ������)�� # �$& �����.&(� � �� 7 � ��� � ���V� ) � � � � � ��� � � £$� � � � : � � � � � � : { £ L � � � � x � � �'� � x � k Z'�� � #*� � Z � � ��� � � � £ � � � £ L � � x � � � �� � � � L �/#�%¡� &(� � L N� x �^Z � � ��� ������ �$�*��� )*� # � 7 � ��� � � 7 � 7 � 7 � :07 � + � � L � x � ��� � - � � � )*� # Z �$��� % � � � � � �� / /7 � {� � /7 � x �YZ ��) � ��� � � �$�*��� )*� # �$& �����1&(� � � � u � ��� � � u � u � # � � ��� ��� � � t�� � � 6W : 6 � 7 � ��� < > 7 � � � u � u � # ��� 6W: 6�� 70Y8 u � � 7 � 7 � 7 � :07 � < > 7 � t � �'� � x � k � �

�$#�% ��� #T� � � ) #8� � 2 ) # � � ��� � � � #�%"� � �/� � #�% )�� )*� # Z � � �-������� �����

!� � � t�� � � � u � 6W: 6 � 7 Y8 u � � 7 � 7 � < > 7 � � x t� � # t�� � � � u � u � # # � 6W: 6�� 70Y8 u � � 7 # 7 � 7 # :07 � < > 7 � � & � � � � 6W : 6 � 7[< > 7 � �

� � Z�Z ��) % � # � )�& � ����� � � � HY� )*� # � � � � �-�� � u � x � 7 � 7 � x t &(� � LON� x �� u � u � # # � � u t � 7 # 7 � 7 # :07 � � 7 t &(� � LON� x � � �'� � x � k �����)* ) �J� ��)*�- ��� � �

� u � x t u � � u� L # t � 7 � � 7# 7 £ # :07 t 7 � £ � 7 t &(�$� L N� x � � �'� � x � k ���

� � Z�Z � % �-� ��� � ) # � � � �Y� �*� o + � ����)*�-� � � � HY� )�� # �� � 7 &(� � �����1&(� #T� ��)�� #V& � � � v� 7 � �# � l F:0F * � £ � �

� � + < : > 7 � n �6� � �'� � x � k�% �����)* � )*�-� % � &(� � L � x �

� u � ��l Fu * �£ � �

� � + < : > 7 � n � � #k t � �'� � x � � x �

Page 260: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�� x ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1�$#�% &(� � LON� x Z � � �-�

� 7 � �# � P * ��£ � �� � + < : > 7

�£ � LVQ F :0F � �# � l F:0F # �� � < : > 7

�£ � L n �

� �# � P # �� � < : > 7�� £ � L � � Q F :0F £ �# � l F:0F #

� � < : > 7 �£ L � n �� �# � # �

� � < : > 7.F£ L � # � # � £ � � 7 �{

� � L � �� ��� � x � � � �

+ ) #"� �*� ��Z ��� ��� ���������� �*� ��)*� # ���!����� � ) � � # 2 �E� � �E� �1� - � � ��)�� #� � � t�� � � #

k � # # � # ��� #� �

6W798;: 6�� 70Y8 u� £ � � 7 �{L � � # 7 £ # :07 � � � 7 £ � :07 � < > 7 � � � ��� � x � � # �

� �"! K%# O I�� � � � �J� � ���1����� + � ����)*�-� ��� �$# �&(�$� � �$& ������&(�$�*�*� Z ) # � � � ��)*� #"� ��&(� #T� c��)�� # v L � (� ( � �� � & � t LNL � {� ( � �� � & � tLNL�L � (� ( � �{ & � ( � � ( �� & t L�� � < : � ( ( ( ) # � t � �gx t � x � � ��� � x � � k �1 ��\�_ z+�a��� !JL�� & �� � � � � &(��� � ����� + � ��� )*�-� � � �$# &(� � �

P {( � �� � Q � F� �< : � ( � ( �dZ ��) � �

Z � � ��� � �� � % � # �$�������) # � ����� # �$� � � )*� #�� � � � �� � �# � < : � ( � ( � � ��� � x � �'� �

| ) e ����� # ��) � ��) # � � ��� �*�-& �5 ) % � �/& � ���$� x � ��� �iZ )��������� � � � � � � � �$#�% ���) # � ����� + � ��� )*�-���� �$# &(� � � &(� � � ��� � &(� � � ��� % ����) �/� ��) � �- Z � � �-� � � � �£ # �� � � � � � � � � � � ��� � � � < : � ( � ( � � �� � � � � � � � � � £ � �# � � < : � ( � ( � � ��� � x � � Z��LNL���� � ����� % � 0 # ) ��)*� # �/& � ��� + �$��� )���� � � �$# &(� � � Z ��� ��� �l 6: 6 �� � � � � < : > � ( n � � � � < : � ( � ( � � ��� � x � � � �| ) e ����� # ��) � ��) # � � �$��� �) % �- ) # � ��� � x � � � � Z ) ����� �- � � � � � � � � � ) � �-l 6: 6 £ # �� � � � � � � � < : > � ( n � � £ # � l 6: 6 �� � � � � � � � < : > � ( n � � £ �� � < : � ( � ( £ � � | � | < : � ( � ( �

Page 261: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � �� � #*� � � � #*� � � � � ) #¡� � � � ��� % �-0 # )�� )*� # �$& ����� + � ����)*�-� ��� �$# �&(�$� � Z � � �-�P �� � � � � � � � Q � �# � S < : � ( � ( � �# � � | � | < : � ( � ( � �# � S � � � � | � | � < : � ( � ( � � �'� � x � � �

L�LNL � + � � ����)* � o6� ���� �)*� #,Z � ���� ��� ��� ) � � &(� �E� ��)*� # ��� Z � ) ����� � � � � � � � � � # � � Z�� � � ��� �� � � � � Js� ���� � � # � � Z v � & � � � � � �'� � x � � ���� � % � ���-� � ) # �'� ��� � � # � �$# � � t � t J �$#�% � � Z � �*�-�10�� �� � � x �$#�% � �-� x �� � J � Z6� ��� �� J � £ Z � � � �'� � x � � % �+ ����� ����� � ��� ��) � � � ) # � � �$��� ) % �� �$& � ���$� x � � � � � � � �$#�% �*� � � ) # � � � r � ) �&(� �*��� Z ��� � � �©� � � x � � �'� � x � Z x �� � o � Z � � ����� ) � � � � �$� � �) % �- �/& � ���$� x � � � � � � � � �w� � � �$#�% ���-� � � � � ��� � � �

�£ � � #�� � Z ��� � � � � � � � � � � �# � # � � � � � � # £ � �# � # � � � � # £ � � � �� x � #�� � � � tZ ������� � ) % � # � )�& � ) # � � ��� � � � HY� )�� # �� � ) � �� ��� {{ u �$#�% � � {� � ��� �� Z � � ��� �J � £ Z � � £ {

� �$#�% � � £ � � £ {� � �$#�%wZ � � �$# � � Z ��)�� ������� &(� #T� ��)�� #U& � � � � & � � � � {{ u � {� �� � � � £ {

� � {� �� � � # � � Z � �� x � � # �� � � � £ S{ u � {� � � � � �� � � � � � � � � � �'� � x � Z � �� �-� � Z �������� ���1&(� �*��� Z ) # � � � � ) # �$& 2 # � Z # + � ��� )���� � � �$# �&(� � � v�� � � � � � �# � < : ( � ( � � �'� � x � Z # �� � � ���� �W�J� �-� � � �����*� Z ��� ��� ����� � �

< : ( ( ( � � L � � � £ #�� �� � � �< : ( � ( � �� � � � � � �# # � < : ( � ( � � L � £ � � � £ � < : ( � ( � � L � � � �

+ ����� ������������ � � ��) # � Z � ��� % � ) � �� � #� � � � � # � � � # �� � � � � � £ #�� � < : � ( � ( � � L � # � � � ��� � � � � � £ � � < : � ( � ( � � L � � � t

Page 262: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�� # ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1Z ��) � � � � � ���� � � ��) ����� )*� #�� � � � � � �T� )*��� % � � �� � � � � � � � � � £ � � < > � < : � ( � ( � � L � � � � � ��� � x � Z k �@ ) � )�� � ��� �R� � � � ���! �E� � � � �$# � �!�$& �$� � ) � � �*� v � � � � � � ) # � �'� � x � � � � &(� � � � # �Z ��� ��� � �� � � � � � � # < : � ( � ( � � �� � � � � � � � � � � # < > � < : � ( � ( � ��� � x � Z � �@ � �Y� ) # � � � � ��� + �$��� )��-��� �$# &(� � � �& � � � �/& � ���1&(� #*� � )*� #V& � � � )*�& � � � � �� x < : ( � ( * �£ #��� � � L � � � + £ �� x < : � ( � ( < > � * k # £ #��� � � L � � � +3� � ��� � x � Z=Z��

L�� � ������� � � � � ��� % ���� �$& ����� + � ��� )*�-� ��� �$# &(� � �< : � ( ( ( � � # �

� � � � � t � ��� � x � Z � ��$#�% � ����� ��� � ��)�� # ) # � � * < >�� ( £ < : >�� ( + � #�� � � ) � �- � � � �< : � ( ( ( ) # � � < : � ( ( ( �#�� * < >�� ( £ < : >�� ( + � � �#�� *

# �� � £ � � � � � £# �� � � � � � � � +� � � * �

� � � # � � � � � � £ �� � £ # � � � � � � + ���� �� Z ��� ��� �

< : � ( ( ( �) # � � � £ � � � �� � � � # � � � � � � � � � � £ # � � � � � � � � � ��� � x � Z �� �"! K%# O I��=� ����� + � ��� )*�-� ��� �$# �&(�$� � �/& � ���1&(� #*� � )*� #V& � � � )* � ) � � # �

�& � � � � �� � � � � � ��� � x � Z � �� � �Y� ��� �������1&(� ���*� Z ) # � - � �$# ��)�� )*�- v

� � l 6: 6 � & � � �*n � t � � & / � x � � � ��� � x � Z % �

Page 263: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � k1 ��\�_ z+�a��� ! � � ���) # � ����� &(� � � ��� � �$#�% ����� % � 0 # ) ��)*� # �$& ����� + � ����)*���1� � �$# &(� � �&(� � ������&(� #*� � )*� # � & � � � Z ��� ��� ����� � �

� & � � � � � � �& / � � � ��� � �& / � � � � l 6: 6 � & � � � < : > � ( n � � � �'� � x � � x �& � �*� � � � x ) # � ��� � x � � x ��� �/#�% � �/� ��� � � ��� ��� % �-� ) �$� ��) � � �/&

�& � � ��� � ) � � # � �� ���$� x � Z�� �}� � � � � x ��� � � �l 6: 6 � & � � �*n � � � �& / � x � � � P nn � *

�� � � � + Q �=8 u � � P � � � � £ � � �� � � � � � � Q �=8 u � � �� � @ ) � )*� � � ��� �"� ��� ��� Z � � � # ) % ��� # � Z ����� &(� � � ��� � �$#�% � ��� % � 0 # ) ��)*� # �$& � ���+ � ��� )���� � � �$# �&(� � � &(� � ������&(� #*� � )*� #V& / � � �,� ) � �

& / � � � � � ��� �& � � � ��� & / � � � � �# � l 6: 6 ��� �& � � � < > � ( n � � � �'� � x � � � �� � Z � �/� �*� � ��) # � � ��� � x � � � � � � � � x � )���� %

& / � x � � �# � l 6: 6 ��� �& � � �*n � � �# � l 6: 6 � �� � � � n � � � �'� � x � � # �& � � � �Y� ��� � � ��� ) # ��� � � � � � # ����� � ) � � � � �$#�% ) % � �/& � ��� � x � � # � �� ) # � � ��� �����) % � � �� � � � ������ � ) � v ������&(� #*� � )*� # � ��� � � �

�{! ��� � � � � �*�) # � ��� � � � � �� � x ! � ) � � � �� �� � £ � � < > F � � � �{ & � � ��� � < > � � � �{ & F � � t � � x t � t # t)kT� � �'� � x � � k �+ � � � �����- � � � �*�- � u � <?> F � � {�

�� � � � � �$#�% � { � <?> S F � � � {�

�� £ � � � � � ���1) # � ���

� �*� ��� � � � & � � �$# � �/#�% �����-)*��� �- ) % � � �� � � �­ < � 8 �� � ��� � � P � �� � S Q� 8 �� � �� � u � �� u� � �� � # � �£ � � � � �'� � x � � � �

@ ) � )*� � � � � ­ < � 8 � � � ��� � � �� � { � �� � # � £ �£ � � � � �'� � x � � Z'�� � Z�Z � � �$#]� � � � ��� � ����������) # � � � � � �l 6: 6 ( �� � ( � n ( � # � � * ­ < � 8 ��� � ��� �P� ­ < � 8 � � � ��� � + �

# � �� � # � �V£ � £ �V£ � � � �� # �

Page 264: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�� � ����� ��������� � 1�� ���� ��� �� � ��� 1� # ������ ) # � ) # � ��� � x � � # � Z ��0 #"� �*� � � � �

& / � x � � �# � �� # � �# � # � � ��� � x � ��� �� �"! K%# O IQ� � ������&(� #*� � )*� #V& � � � � � ������ + � ����)*��� ��� �/# �&(� � �

�& � � � � ��£ ���� � ��� ) # �� � � ��� � x � � �� � �Y� ��� �������1&(� ���*� Z ) # � ) # ��� � � � �

l 6: 6 | & � � � | � n � � � ��� � x � � � �1 ��\�_ z+�a��� ! � � ������� � � �� �/� � � �-� � � )*� # Z ��� ��� ����� � �

l 6: 6 | & � � � | � n � � �# � l 6: 6 | �& � � � | � n � � �# � l 6: 6 �����£ ���� � ��� ��� � ) # �

�� � n �

� �# � l 6: 6 * ) #�

� + � n � t � ��� � x � � % �Z ���-� � Z ������ %

��� { : > �{! > � ��� � � � + ��� �����-� ) #*� ��� { � � � � � � � � � � £ � � � £ � � � � #���� �� ���� ��� { � � �

��

£ � �� L X���� I�$ $7� W ������&(� #*� � )*� # � { � � � � � � � � � � £ � � � £$� � �

�# � l 6: 6 * �) #�

� + � n � � l 6: 6 � �# P � � � � � � £ � � � £$� � Q � � n � � �� l{: { n � � �#��

Page 265: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � Z� � # �� - ��� # � � � l 6: 6 | & � � � | � n � � �# � � �'� � x � x �� �"!PK�# O I���� � ������� + � ����)*��� ��� �/# �&(� � � ��� � � �J� ������� ����) # ��� � � � �

l 6: 6 �) # (( � ( # � � � n ( � �'� � x � � �1 ��\�_ z+�a��� !�& ��� ��� ������� + � ����)*��� ��� �/# �&(� � � �$& ��������� � � �$# � ��� � � � ���* �1&(� #T� ��)�� #

� � � ( � � � � ( � � � £ � � ( £ � � � ��� � � � � ��� � � # ) # � �� � � �'� � x � # ���� �� � � � ���� �W�J� �-� � � �����*�# ) # � (( � � # � � � � £ � � � # � � � ��� � � # � P � ��� � � � £ � ��� £ � � Q t � �'� � x � k �Z ��������&(�$� � � � Z � � � �

) # (( � � �P� ��� � � � £ � ��� £ � � Q � � �'� � x � � �

+ ����� ����� � Z ��� ��� ��������&(�$�*�*� Z ) # � + � ����)*��� � � �$# �&(� � � v�( � � � � � � < : ( ��( � � �'� � x � Z'���� �� � � � ����� � �$#*� ���-� �-�_������� ��� � ) ��&(� �*��� Z ��� � �l 6: 6 �) # (( �( � � � n ( � �# � l 6: 6 � P � ��� � � � £ � ��� £ � � Q � < : ( ��( n �� � # l {: { < : ( ��( n � � � l {u < : ( � ( n � � P £ < : � Q {u � � � ��£ < : { � �� �"!PK�# O I $�d� ����� &(� #*� � )*� #�& � � � � � �� ��� + � ��� )*�-�1��� �/# �&(� � � �& � � � � {( � ( �{ �� � �Y� ����� � 6: 6 � &��M& / � ��� ��� � �'� ��� � � �

Page 266: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#��~� ����� ��������� � 1���� �� ��� �� � ��� 1Z ���-� � & �,& / )� ��������� #�� � �*� ��)*� #�� �-� Z ��� # ������&(� # �-� )*� # & �$#�% & / �1� \�_ z� � � ! & ��� ��� � ��� � � & � � � � � �& � � � � � & / � � � � � � � � � �& � � � � �& / � � � ��� � �����) #�� � � � � �/� �*�&(� ���'��� �!�/#�% � &��,& / � � ( � � � �& ��� � �� ��� � )�� &(� ���*� Z � � � �� 6: 6 � & �,& / � � � � � �# �

� 6: 6 � � & �,& / � � � � � � � �# �� 6: 6 �

�& �& / � ��� �� �# �� 6: 6 * �

� � � S�� � ���

� � � S�� � + * �� � � S�� � ���

� � � S�� � + � �� �# �� 6: 6 � �� � � � S � � � � � � � �

� 6�

� �� � S � � � � � �� � � S � � � k � ��� � � � � ! � �k �

� 6�

���� � � � � � �� P�� �% � ��� � � � : S Q 6� � �% ���� �"! K%# O I�$ $�� | � ������� ) # � � ��� + �$��� )���� ��� �$# &(� ��� �$& � ���1&(� # � ��)*� #

& � � � � ��� � �� � � < > � ( � � � � ��� � ��� �

�$#�% � ��� # �����! ���� ��������) # � � � � � �*� � � 6: 6 & � � � ��� � � ��� � � � 6: 6 � & � � � � � � � � � ��� � ��� #" �

1� \�_ z� � �%$ & ��) % � # ��) &'& � ��� � ��� � �/#�% � ��� + � ��� )���� � #(� ��� �)*� # &(� ��� ��� �*)& � � � � �# �

� 6: 6 �& � � � < > � ( � � � ��� � �� � � < > � ( � � � � ��� � ��� % �

��� � � ��& � � � � � � F � �+ � � &(� � �!, � , #

� � �$������� Z )� � �� ��� � ���-" � �

� � � ) #*� � ��� % �-0 # )�� )*� # �$& ����� + � ����)*�-� � � �$# &(� ����& � � � � � 6: 6 & � � � < : > � ( � ��� � ��� � ���-" � �

Page 267: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�� &(� � � � � Z ��� � Z � )�� ��������) # � � � � � �5) # ��� � � 6: 6 & � � � ��� � � � �

� 6: 6 & � � � �# � < > ( � < : > ( � � � � �#�� �& � � � � � �& � � ��� � � �'� ��� �-" # �� � Z � & � �'� ��� �-" � � �& � � � � � � �$#�%

�& � � � � # � � # � ��� � � ��� 6: 6 & � � � �-� � � � � � # � � �'� ��� �-" k �� � � �-� � ��� & � ����� � �� � �/� ���&(� ���'��� �� 6: 6 � & � � � � � � � � �# �

� 6: 6 ��& � � � � � � � � �# �

���

� # ��� � �� � � � � � � �� � � � � � u ! � # � � S+ u� �u � � u � # � � S+ * �u � �

u � + � u� # � P � # u � �u Q S + � # � � � # k � �

k� � � � � � # � � � # k � #

k � �� �"!PK�# O I�$ ���M2 �-� & � � � � � +

� � � < � � ��� � � � � � � ���! ������� 6: 6 � & / � � � � � � � �1� \�_ z� � �%$ � �$� �1��� � � � � # � ����) # ���-� �/� � � � � � ��� Z � � �$# Z � ) ��� � � � � � � � ��� � ��� ���

) # ��� � � �/#�% ) #G& � � � � �$# � � Z � ) � � � #!� �$# � � � # &(� # � ��)�� # � � � � < ���-� � � � � � � � ��

& � � � � � +� � � < � � ��� � � � � � � +

� � � � � < �����$ � � � �

� �# � +: + � � � � < �

� � ��� � � � � �) # � � � � � � �# � +: + � � � � < �

� < > � ( � � �Z ������� Z �1�� � % � ��� & � � � ��� � � �) # � � )* �$# � %�% &(� # � ��)�� # � � # �������$������� � �/#�% � &������) #�� ���� � + �$��� )���� � � �$# &(� ��� )

& � � � � �# �� 6: 6 �& � � � < > � ( � � 3

�# � +: + � � � � < �

� < > � ( � � � � �'� ��� �-" � �� � # ��� � ) % � # � )�&'& ) #�� � ����) # ��� � � �/#�% )�� &(�$�*�*� Z � � � �

�& � � � � ���� � � � < �

�&(� � � � � # �� � &(� � � � � � � � �'� ��� �-" Z'�

Page 268: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � " ����� ����������� � 1���� �� ��� �� � ��� 1� �/��� � � � � � �& )* # �/� ��� # ��) # ��� �� �� � Z � & �����1&(� ���'��� � & / � � � � � ��� �& � � � �$#�% � ����� � �$# � ���-� �-�*������-� � � � �� 6: 6 � & / � � � � � � � � �# �

� 6: 6 � ����& � � � � ��� � � �# �

� +: + � � � � � � � < � �

� � �� � # # � +

� � S < � � � � � � P # � � ��� � � � � � � � � Q� ��

��� # <�� �� � � � � "

��� � <�� � �

� � "� P� < � Q �� �

��� < � � � � � � "

� # < � � � < � � � � � �

� ��� � ���-" � �

� �"! K%# O I $���� � ���! ���� � � � ������)�� # ����������) # ��� � � � c % ) e ����� # ��) � ��� - � � ��)�� # � ����� Z / � � � � # � � � � < : � ( � (: 6 < �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ���-" �

1� \�_ z� � �%$ � �1 � � � � � ��� ���� � �*� � Z �� � � �*� � � �� & � ��� + � ����)*��� ��� �$# �&(�$��� �� �-� � � � ���� � �$���. ) % ���) # ����� � - � � ��)�� # � ��� � ��� " � �JZ ����� � &(� �1����� ) # ��� � � � �� ����� Z � �� ������ �-� #(� � ������)�� # � � �� �- � # � � ��)�� #�)� (: 6 < � � : ( & ��� � � � �

� 6: 6 � � � � � � < : � � ( : & � � � � � � � � � � � < : � ( ! � � � � � ! �� ��� + � ����)*��� � � �$# �&(� ��� �$& �����10"���� ���-��� � # � ����� ) � � � � �$#�% ) % � ) � � � � < : � ( )*� 6: 6 � � � � < : � ( < : > � ( � � � � 6

� < : > � � > � & ( � � � P � < : > � � > � & (# � � � Q 6� � �# � � � �� ��� � ���-" " �� � �� ����� + � ����)*�-���� �/# �&(� ��� �$& ����� ) # ��� � � � c % ) e ����� # ��) � � � - � � ��)�� # � ���$����� " � � �$#�%��� # � - ��� # ��� & ������ �$�*��� )*� # &(� # � ��)�� # � )* Z � ) � � � #�� � � � � � ��� � � # � ��� � � �# � � � � ��� � � � ��� � � � � �# � � � � # � � ��� � � �

��� � � � � � � � � Z# � � � � ��� � � � ��� � ��� � � # � � �� �� � � � � � Z�� � ��� � ���-" % �

Page 269: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

#�� %& ���� � �� )�� ����� � � � �$#�%AZ � ) ��� ��� � ) # � �'� ��� �-" % � ) # ������� � ��)�� #"� � &(� ��� )# � � � � � Z �

# � � � # � � � � � # � � � � � � # � � � � � # � � � � �'� ��� � % � �Z ������� � ���) #�� ) � ��*� � ����) � ��&(� � �-� )*� #"� � ��� � � # ) - ���� �PZ � � �-�

� � �#�� � �# �$#�% � � � �� #�� � �# � � �'� ��� � % � �� � �� � � � �� )���� ��) #*�!��� � 2 � � � � � �YZ � � � � �

� ��� � � �# �# � � ��� � � � � �# �# � � ��� � � � � � �'� ��� � % # �+ ����� ����� � � ��� � ��� "�" � ) � ��*)*�- � � � ��# � � ��� � � � � � < : � ( � � �# � � ��� � � � � � < � > ( � � � � < : � ( � � �'� ��� � % k �� � # ��� � 0 #"� �*� & Z ��� ��� �������� �$�*��� )*� # �$& ������� - � � ��)�� # � ��� � ��� " � � � � � � �# < > ( � � � � < : � ( � �# < : > ( � � � � < : � ( � � � � � < : � ( � < > ( � < : > ( � � � � � � < : � ( �-� � �� �"!PK�# O I�$ � � @ � � � �1������) # ��� � � � c % ) e ����� # ��) � ��� - � � ��)�� #� 6

� < : � � � � � � � � � �: 6 < � � � � � � � � � k � � � � < : ( ( ( � � �'� ��� � % � �

1� \�_ z� � �%$ � ) #*� � ��� � � L � ������� - � � ��)�� # � �$# � �*�� � � Z � ) � � � #�� )� 6: 6 < : ( ( � � L � � � � � � � � � � k � � � � < : ( ( ( � � �'� ��� � % Z'�� ��) # � ������� #(� �$�*��� )*� # &(� ��� �

� < : ( ( ( � � L �"! � � � � � ! � � k � � � � < : ( ( ( � � �'� ��� � % � �+ � ��� )���� � � �$# �&(� ��� ) #�� � ��� � ��� % � � & )*�-� % � #����� � � �� � � � � � k � � � � � #� � � �

� � �'� ��� � % �

Page 270: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � ����� ����������� � 1���� �� ��� �� � ��� 1�$#�% � ) � �-� � � � * � k �

#�� �� � � � + � #� � � �� � � � � � � #

� k � � � � � � � #���� � � ��� � ��� % " �@ � � ���) ����� ) #�� � � � � Z � � �-� � & �������� � � �% � ��� ) � � &(� � � ��)*� # � � � � � #

� k� � � �� S � � � � #

� k�� � +� S � � � � k � � �# � � +� S � �# � � � k �

Z ��) � � � � � ���) ����� ) #�� �"� � 2 � & )*�-� % � � � � � �# �+� S � ��� � �# �

� k � � � � � ��� � ��� %'% �� � Z Z � # ��� % ��� �-��� ������ �����!&(� # �-��)�� # � Z ��) � � � � 1� ��� + � ��� )*�-����� �$# �&(�$��� �$&������&(�$��� � � ��� � ��� � � � � ����)* � � �� � � � � Z � # �$���1��� � �� 6: 6 < : � ( � � � � < : > � ( � � �

� 6� < : � �# > � & ( � � � P < : � �# > � & (� ��� � � � � Q 6( 8 � � �

� � � � �� � �� Z ��� ��� � < : � ( � � � � � � �

� � ��� �� �'� ��� � � � � �

+ ����� ����� ��� & � � �$#�� ) #�� � � � � �iZ � � �-� � �� �< � ( � � � � � � � � � < � ( � � � � � � � �

� � � � �� �'� ��� � � � � �

� � # ��� � ����� � ) # ) #�� � ��� � ��� � � � � �$#�% � ��� � ��� � � � � �YZ � � �-������� % �� )�� � % ���� ����� ) � � � � �# < : �� ( � � � � � �# < � S ( � � � � � � � � � +

�< ���� � � �+�< � S ( � � , � �

� �'� ��� � � � # �� �"! K%# O I�$ �� � ���! ���� � � �� �*� ��)*� # ���!������� - � � ��)�� #

� � � � � (: 6 < : ( � � � � � � < : � ( ( ( � � �'� ��� � � � k �

Page 271: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# �1� \�_ z� � �%$ ���) #�� ����� % � 0 # )�� )*� # �$& � � � � )� ) % ��&(� # �-��)�� # � � � � � � �$#�% ����� ��� #�� � c�*��� )*� # Z ��� ��� �� (: 6 < : ( � � � � � �

� 6: 6 < : � ( : & � � � � � � ��� � � � � � < : ( � � � � ! � � � � � ! �� ���$����� � � � �� � Z + � ��� )*�-� ��� �$# �&(�$��� �/& � ����� - � � � )*� # � ��� � ��� � � k � & )���� % � ��� � � �� � � � � ��� � � ��

� � � � � � ��� � * � � �� � � � + � ��� � � � �

� ��� � � � � � � � � �� � � � # � ��� � � � � � � *� � � #� � � � # � ��� � � � � � �� � � � # � ��� � � � � + �

� � Z�Z � � � �� & � � ��) � ��&(� � �-��)�� # ) #�� ��� Z ��)������ � � � # � ��� � � � � � �� # � � � � � # � � � � � � �# � � � � �# � � � � J� # � � � � � �� ���$����� � � Z'�� ��� ��� � H ��)�� # �� � �$#�%VJ � � � % � ���-��� ) # � % � � )�� & � ) � � � � � � �$#�%VJ � � � � �� � �� Z ��� ��� � �� � � � # � ��� � � � � �++�� � # � � � � � � � � � � � � � � +� � # � � � �� � � � # � ��� � � � � �

� ���$����� � � � �� % � # � )�&'& ) #�� � ��� ��� � H ��)�� # � &(� � ����� � �{c � ����� ) # � �$��� # ��� ��� � ��� �� Z � � #�% �� Z ) ���� � � � � � � � � � ) � � ��� � � � � � � � � ��

� ��� � � ��� � � � �� �# � � � � �� �# � � � � �� # � � � � �� ��� � � � �� ��

� � � � �� � *�# � � � +� k� ��

� � � � �� � *�# � � � +

� ���$����� � � ����) #��D+ � ����)*��� � � �$# �&(� ��� &(� ���'��� � Z � � � � � ���� � ������)�� # �$& � ��� � ��� � � k � �

� � � � k� < : � ( ( ( � � < : � ( � � � � � � ���$����� � ��" �� �"!PK�# O IR$ � � ��� ) # ���� �$#�% � ��� �) � #"� �*5&(� � � �*) # � � � � ��) � � ) #(�/� ��) �$# � �& ��� � � ���� ) � � # � & �� � � � �$#�%

�� � � � � � � � � ��� � �-� ) � �-� & � � ���! ���� � ����� ) �! ����� ��� �-� � # �� �� � � ���$#�% ����������� � # ���&(�$� ������) # ���� ���$ � � � � � ��)*�� � �� � �*� & �� � � ��� �

Page 272: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# # ����� ����������� � 1���� �� ��� �� � ��� 11� \�_ z� � �%$ & ��� ��� ����� � ��� � � � � �� � � � � � � � � �# �� � * �� � � � + � � �'� ��� � � � % �� � � � �*����� � � ����� + � ��� )���� ��� �$# &(� ��� �$& � ���� ���� ) �$#"� �1)* � ��� �� � % ���-� �$& �����+ � ����)*��� ��� �/# �&(� ��� ��$& � ��� ���$� � �-� � #�% ) #�� ) # ���� ) � #"� � �$#�% ����� ) � ����* � � ��� � #�% �� � �� � & ���-� + �$��� )���� ��� �$# &(� ��� ) #�� ) # � ���$����� � � % � Z � � � �

� �# � � � � � # < : � ( � ( � �� � � � � < : ( � ( � � �'� ��� � ��� � �� � # ��� Z ��� � � ��� � � � � � ���� < : ( � ( � � �� � � ��� �� < : ( � ( � � � �� � �� � * �� � � � + � � � � � � � �'� ��� � ���'� �

Z ��) � � � ) � ��� ����) �! ����*��1� �-� � # �� � � � � �# � �� � � � � � � � � �'� ��� � ��� # �

� �/������� � � )�& � � � � )*���� � � �/� ����� % ����� #� � ��� � � � ��� < � �� � � � < > � ( � � � �'� ��� � ��� k �

� � # ���1� ����� ��� ���� ) �$#"� � �-� � ����� � #�% ) #�� ���!� ����) # �� �� ) � #"� ���-� � � )* � ) � � #�� &���$ � � � � < P � ���� < : ( � ( � ��� � � � � �) # � � � Q � �

� < : ( � ( ) # � � � � �'� ��� � ��� � �+ ) #"� �*� & �RZ � � � ���� � ��� � � � � � � � � �# � �� � � � � � � N� � &(� � � , � � ��� # �-� � ��� �& �� � �)* # �$� � � �� � � � � � Z � � �-� � ) # ���� 6: 6 � � � � � � � �# �

� 6: 6 �� � � � � � � � � �� � P �� � � � Q 6 : 6 � � ,�� � �'� ��� � ��� Z����� ���� �����& �� � � )* � �� � � ��� �� �"! K%# O I $ � � � �*) # � � � ��) � � ) #(�/� � ) �$# � �& ��� � � � ����� ) �! ����*��+����� � # �� �� � � � � < : � ( � � 2 � �'u � � � � � ����� � �-� � # �� � � � ��� ) # ���� �) � #�� � ( � � � � < : ( � �� ���! ���� ��������) # � � � � � � � 6: 6 < > ( � � � � u � � � � � � � �'� ��� � ��� � �

Page 273: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# k1� \�_ z� � �%$ & ���� �1����� + � ��� )*�-� ��� �$# �&(�$��� &(�$� < : � ( � � � ) ) � � �< : � ( � � � � � � # �

� < : � � � � � � � ���$����� ��� �� ��� # &(� � � � # � � � � � " Z � � �-�

< : � ( � � � � # �" < : � � � +�� � � �# < : � � � +�� � �� � � � � � ���$����� ��� " ����) #�� � ��� � ��� ��� �>Z )���� � � # � � � � � # Z ��� ��� �( � � � � < : ( � � � � � < : � � � � � �( � � � � � ���$����� ��� % ��$#�% �������-� � ����� � #�% ) #�� � ���� ���� � �-� � # ��Bu � � � � ) � �u � � � � � � � � � ( � � � � � �� � � � �( � � � � � �# < : � � � +�� � � < : � � � � � � �# � � < : � � � � +�� �� � Z �� ) #*� � ��� � ��� �'� � � # ��� � � � ) # � � ��)*�� ) � � Z ) ��� +

� �� �+�� � ) � � � � � � " � Z �$#�%� � � # � # � Z � )�� &(�$�*�*� Z � � � �

�u � � � � � �# � � # � # �� < : � � � � +�� � � �

� Z < : � � (� � u � � � � � ���$����� � # � �

� � Z � � �-���! ������ Z � Z � )�� �� 6: 6 < > ( � � � � u � � � � � ��� Z� 6: 6 < : � (

� < : � � ( � < > ( � �� �

� Z� 6: 6 < :

��� ( � < > ( � � � �

� Z � < : � �� ( � � � � � � �� ���$����� � # � �

� �-� � Z �1� ��� �1) # � ���$����� ��� � � � # � # � � Z � �$#�% ��� �� � � � " � Z �$#�% � � # � � Z � % � �� � # �� - ��� # � � &� 6: 6 < > ( � � � � u � � � � � � P � � Z� � � �� " < : ���� � � Q �=8;: + � �# � � < : ����

�� ���$����� � #�# �

� �"!PK�# O IR$���� + �$� � �*) # � � � � ��) � � ) #��/� ��) �$# � & ��� � � ��� ) # �� � �) � #�� � ( � � � � +� ( �& )*��� % � ��� � ���� ���� �) � #"� �Uu � � � � < : � ( � � � ���! ������ ����� ) � ����*�� � �-� � # �� �/#�% � �*��

Page 274: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � ����� ����������� � 1���� �� ��� �� � ��� 1����� � � � ���� ) � #"� � � ) # ������&(� ��� �$& � ��� � ���� o'+ � ��� )*�-� ����)*�- � �-� � ����� � #�% ) #�� ���������) # ���� �) � #�� � � ) � � #�� & ������&(�$�*�*� Z ) #�� ) �! ����� �������)*�� )6W798;: 6 � # � � � � # L � � � � � � # L � � ��� � � �'� ��� � � # k �1� \�_ z� � �%$ � � � � ������� � � ( � � � � �� � � � � � � # < : � ( � ( � �( � � � � � �'� ��� � � # � �+ ����� ����� � � � � � ���*) #�� � ��� � ��� ��� �>Z )���� � � � � )���&(�$�*�*� Z � � � �< : � ( � � � � � � # �

� < : � � � � � ��� u � � � � < : � ( � � � �� # < : � � ��� � �u � � � � � �'� ��� � � # Z��

� � �� � ���) #�� �u � � � � �� � � � �( � � � Z � � � ��� � � � � �u � � �

�( � � � �� #�< : � � ��� � ( � ( � � �'� ��� � � #�� �

� � Z�Z � ��� # ) % ��� ������) # ����� �� �-� )��� ) � #"� �( � � � � 6W7E8;: 6 � # � � � � # L � � � � � � # L � � � � � � �'� ��� � � # �

� � Z Z � � o �/#�% ( � � � ) # ����� ��� � ���� o � � ) � � # ��� �-� � ) � + �$��� )���� �-� )*�- Z ) ��� ����� ��� )�� %UB � # �$#�%+4 � # � � B � � � ( � � � � 6W7E8;: 6 � 7=< > 7?F)( � Z ������� � ��� �-���! ��*� o+ � ����)*��� ��� � H ��)�� # �� � � � � ) � � # � &

� 7 � �B� S�� �: + � � ( � � � < : > 7�� ( � � �

�# � S�� �: + � � � # � � � ��� � � � � ��� � < : > 7.F ( � �

� �# � # < � � < : > 7.F � � � � �# � � � � 7 �� �'� ��� � � # " �

� � Z �����1&(� ���'��� � < > 7�� ( � �� � � � < > 7�� ( � � �'� ��� � � # % �

Page 275: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# Z# � � � � # � � � � # � # � � � � � �# � � � � # �# � � � � � �

�� � � � k � �

� � � � � � �� � � � � � �

� � � � k ��� � � # � ��

k k� � # �� L X�� � I�$ $�� � W � ����&(� # � ��)*� # ( � � � � 4 6798;: 6 � # � � � � # L � � � � � � # L � � ��� �

Z )�� � � � L � ) � ���)*�- ��� � �< > 7.F ( � �� � L ��� < > 7.F ( � � ���$����� � k � �

� # �/�����-� Z � � % � � ����) # �� � ) �$#"� � <?> � ( � ) � ����������$��� �� ���) � #�� � �� � � � <?> � ( � � � # ���( � � � � 6W7E8;: 6 � 7 �� � L ��� < > 7.F ( � � ���$����� � k � �

) � � � �u � � � � � #

6W7E8;: 6 * � � �# � � � � 7 + � < : � � � �� � ( 7 ( F < > 7?F)( � � ���$����� � k # �� �"!PK�# O I�$ ���M2 �-� � � L � � � ���Ac ��� )�� % ) � &(� # �-��)�� # % �-0 # � % � &

� � L � � � � � &(�$� � # L # � � �� � &(�$� � # L # �� � � � ���$����� � k k �

� ���! ������������ % )���-� �-� � + � ��� )*�-����� �/# �&(� ��� ��� ��� � � &(� � � � L � �$#�% ���� � � � �� �/� �

&(� ��� ��� � � � � �/� �*� � ��������������� : +W�?8 + �

��-� � F�� ��� � �-� � F��� �

� ���$����� � k � �

Page 276: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# � ����� ����������� � 1���� �� ��� �� � ��� 11� \�_ z� � �%$ � & ����� % �-0 # ) ��)�� # �$& ����� % )�������-� � + � ��� )*�-� ��� �$# &(� ��� � � � ��) ����� ) #��< : > � �� ��� �YZ � � �-�

�� � � � � � : +W 7E8 � � � L � � �.7 � � �'� ��� � � k Z��� # ������ ) #�� � � L � &(� � � � �'� ��� � � k�k � & )*�-� %

�� ��� � � � : +W 798 � � � � � 7 �� � � &(� � � � ������ : +� � : + � &(� � � � � � # � ����� � � � � � � �'� ��� � � k � �

+ ����� ����� � & � ����� � �� � �/� � �� ����� ��� � &(�$� % )*���� � ��� + � ��� )���� � � �$# �&(� ���� : +W 7E8 � * � � L � + � � �

� : +W�?8 � ��� �� ��� � ��� � � � �'� ��� � � k �

� � �� � ���) #�� � ���$����� � k � � � Z ) ��� � � < : > � �� � )���&(�$�*�*� Z � � � �� : +W�98 � ��� �� � � � ��� � � � � �

� : +W�98 +

��� < : > � � ���� � � ��� ���� < : > � � �� � � ��� �

� � � �� : +W�98 + * ��� �

F � �� � � + � � �) # � � F � ��* ���$ � F �� � � + � � �) # � � F ��

� � � �� : +W�98 +

# * � � ���$ � F�� �� +# * � � �-� � F��� + � �� : +W 7E8 � � � � L � � � � � �

�� �'� ��� � � k " �Z ���-� � ) # ����� � � �� � Z � ��� � Z ���� ������� � � � � �/� � � ��� � ��)�� # � �'� ��� � � k � � &(�$�*�*� Z � %� & ����� % �-0 # ) ��)�� # �$& � � L � � )�� � ��� � ��� � k k � � � � # �� - ��� # � � & �

� : +W�?8 +

# * � � �-� � F�� �� +# * � � ��� � F �� + � � � � � � � � � � � � � � � �'� ��� � � k'% �� �"!�%#� � � �%� � ��� ������������ % )*������-��� + � ��� )�������� �$# &(� ��� &(� � ����� � ��� ����)*� % ) � � ) � #"� � � � - ��� # �-� � � ) � � #�� &

� � L � � ) # L �� � L � � � ��� � � �� � � � �'� ��� � � � � �

Page 277: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# 1������� � �%$ � ��� ��� )�� %�B � � & )���� % 4 � � F� � � F� � 2 �-����) #�� � � < � ���� � � ���% )*������-��� + � ����)*�-� ��� �/# �&(� ��� �$& � � L � )* ��)�� � � #��

�� ��� � � � : +W 7E8 � � � L � < : �I7 � �#�� � : +W 798 � * < � ���� � < : � � ���� + < : > � � � �� �� ���$����� � � � �2 �-� # �� � � < : > �� � � ��� #

�� ��� � � �#�� � : +W 7E8 � * � :07 � � 7 + � � �I7 � �#�� � : +W 7E8 � P � � � � : + & 7 � � � � � + & 7 Q � � ���$����� � � # �� �$� � � � � � �

� � � < : > �� � � � < : > F � � � �/#�% �) # �-� # � � � )� �$# � %�% ) # ��� � ��� ���� # ��� � � � : + � < : > � � � : + & F � � N� � � � � �� � ���) #�� ������&(� ��� ��� � &(� � ����� ��� �$&� ��� � � ��� ) �1 �-� )*�- � ) � &(� �*���� ��� � �

� : +W 798 � � � � � : + & 7 �� : +W 7E8 � � � � � : + � 7 �

� � � � : + � � � �� � � : + � � � � #

� � � : + � � � � ���$����� � � � �� ���� � � ��) ����� )*� # � � � � � ) # � ��� � ��� � � � � � ) � �-

� : +W 798 � � � � � + & 7 �� #

� � � + � � � � ���$����� � ��� �� # �-��� ) #�� � ��� � ��� � � � � �$#�% � ��� � ��� � ��� � ) # � ���$����� � � # � ��� ��� ����� � ��� ��� � � �#�� � � # � * �

� � � : + � � �� #

� � � + � � + � � ��

� � � + � � � � : +� � � � � � � � � � + � � � � : + �� � �

���� : +

� � � � � : � � � � � � � : + � � � ��

< : > F � � � <?> F � �< : > � �IF � � � < > � �IF � � � � < : > F � � � < > F � � � ��$#�% 0 #"� ��� &

�� ��� � � ) # � � ���� # � � � � �

�-� � � � �� ���$����� � � Z'�

� �"! �#� � �"$� @ ���� � � � � � ��� &(� # �-� )*� # � 7 � ( � � ����� � �F � < > 7 � � � � �'��� � � ��� &� ��� ��� � � #"� �5) # ,

���� � � � ��� �������� ������� � H ��)�� # �� � 7 � ) # ) � ) ��) #�� ������) # � � � � � � )� 6: 6 ���

�� � ( � ��W7E8;: � � 7 � ( � ��� � � ( � � ���$����� � � � �

Page 278: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 11������� � �%$ � � � � ��������� + � ����)*�-� ��� �/# �&(� ��� �$& ��� � �� )�) # � (( � ��� � � ��� � � �'� ��� � � � �

�$#�% ���-� � � � # ��� � �-� ) # ( #� ( � � � + � � ��� � � � � � &(� �

� �� # , � , �� #� � &(� � � � � � �� # � � �'� ��� � � � " �� ��� # ���) #�� � ��) & � + � ��� )���� � � �$# �&(� ��� &(� ��� ��� � � � �-�

7 � ( � � ) # ( #� ( < > 7 � � � � + � � ��� � L � � � �'� ��� � � � % � ���-� �

� + � � ��� � L � � � � � � �� # # � � L # �� # � � L � �� # , � , L � �� #� � �-�*�� �

� 7 ��� � �

� ��� �L � � # L L � �� # � �

����� � � ��$ $�� �� � ����&(� # �-��)�� # � 7 ��� � �$#�% �

�� ��� � �� � # ��� � � �-��0 � ��� � �� 6: 6 �

7 ��� � � �� ��� � � � � � � � &(� � � � L� � &(� � � N� L � � �'� ��� � � Z � �� � �� � & ������� � �$# � ����������� �&(� ��� ��� � � � � � �� 6: 6 7 � ( � �� � ( � � ( � �# � � 6: 6 �

7 ��� � � � ��� � � � � � � # � � � � L� � � N� L �

Page 279: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# %� � # ��� � 7 ! 6 : 6 )� �$# � ��� ��� � � #�� �5 � � �2 �-� # �� & � ( � � �� � ( � � � � � ) � � � �& ��� � � � < : ( ��( � � ��� # � ������) # � � � � � �� 6: 6 ��� & � ( � � �W7E8;: � � 7 � ( � ��� � � ( � ���$����� � Z � � )*��� � � � ) # ) � � ��) & �$#�% � # � & ) & � 7 � ����� ��� + � ����)*�-� �-� � H �-)*� # � �$& & � # � ��� �"� �� 7 ! 6 : 6 )

� 7 � �� 7 � � � & � 7�� � # � � & � 7�� � � �& � � 7�� � � 6: 6 �& ��� � � 7 ��� � � �

� � 7 + � �7 : + � ��& ��� � � � � � 7 + � �7 : + � � � < : ( ��( � � � �

� ���$����� � Z # �� � �� � &(� � L� � ��� ��� � L � �� # � � �$#�%

� 7 � � 7 + � �7 : + � � � < : � � � � � P�� < : � Q 7 + � �7 : + � � � � * < :07 + � � � < :07 : + � � +� � < :07 * < + � � � < : + � � + �� ���$����� � Z � �

� �&(� � L # � � � ) � � � L � � # , � )� 7 � � 7 + � �7 : + � � � < � � � � � * < 7 + � � � < 7 : + � � + � � < 7 * < + � � � < : + � � + � � ���$����� � Z � �

+ ) #�� �*� & � &(� � L � � ��� ��� �� � � � + � �: + � � � < : ( ��( � � � # � + � �

� � < : � � � � # � * � � < : + � � + � � ���$����� � Z[Z'�@ ���!� ) #�� �� ��� ��� �

� 7 � � "! � < 7 * < + � � � < : + � � + < : ( 7 ( � &(� � LON� �# � * � � < : + � � + � &(� � L � � �� ���$����� � Z � �

� �"! �#� � � ��� � ���! ������������ �� �*��� )*� #�� � ( � &(� � ����� % )�� ����� # ��) � � � - � � ��)*� #� / / �� � � � ��� � � � ) # ) � ) ��� �����1&(� ���*�� ) #*� ) # � � � � � � �� +

: + � P � � ( � � � ( � ��� � � ( � � ���$����� � Z �

Page 280: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 11������� � �%$ � ��� % )�� ��� � # ��) � �5� - � � � )*� # � / / � � � � � � ������ � � # ��� � � � ������)�� #� � ( � � � + ���$ � ( � �

� ) # �(�

� �'� ��� � � Z " �@ ) # ��� �-� � ( �) # � ( )* �$# � %�% &(� # �-� )*� # �!� ��� � � � � ����� ���!�& �!� � ����) � ) # ����� �/� ��� � � � � � ��� � � � +

: + �-� � ( �) # � ( � ( � � � � �'� ��� � � Z % �� � �� + � ( � � �-� � ( �$#�% �

� ( � � �) # � ( &(� ��� �$# � � ����� � � #"� � �"� � &(� � ����� �$�*��� )*� # � � ��� � )*� � % � � � � � � ��� �/& , �

� � � � � � � � ���-� �-&(�$� �� +: + P � � � ( � � * � + + � ( � � �

� �� ( � + Q � � ( � �'� ��� � � � � �

)*�� ) # ) � � � ��� #� � � �

� � ��� � � ( � � � � � � � � # � � �'� ��� � � � � �

� & ��� � ) � � ��&(� �� � � % �-��� ���� � � )*� # � � �-�� + � � � � +

: + ���$ � � ( � ( � # � +�� � ���$ � # (# � ( � � � �# ) # � # �

� �� � � � +

: + ) # � � ( � ( � # � +� ���$ � # ( � �# � ( � �# �) # � # � � �

�$#�%� +: + � � � ( � ��� �� ( � ( � # � +

� �-� � ( � ( � # P ) # � ( Q +� � # ) # � � �� +: + � � � ( � ) # � ( � ( � # � +

� ( ) # � ( � ( � # P ( �-� � ( Q +� � # � +� � ���$ � ( � (� # � �-� � � � ) # � � � � # < : + �

� # ������ ) #�� ) # � �'� ��� � � � � � � � � � � ��� �-� � H ��)*� # �� � � � � � � � # � + ) #"� �*� & � ���) #��� �'� ��� � � Z " � � )���&(� ���*�� ��� � �� � ( � � # ) # � �+

� �) # �# � � �-� � ( � # < : ++

� ) # �# � � �) # � ( � � �'� ��� � � ��# �

Page 281: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " �� �"! �#� � � ��� � � � �� ��� � ��� �-) � � #��/� ������ �/#�% � � ����)�� ���$� � �-� � #�% ) #�� � �-) � � # &(� # � ���)�� # ���!� ��� @ ������� � 2 )*��� � )*���*� �� � � �*� �� & / / ��� & � � � � , ( , �& � � � � & / � � � � � � & ��� � � # & / ��� � � � �

� ���$����� � � � �1������� � �%$�� !�� ��� � � � � � ����� # & / / � � �$#�% & � ( � � � + ( � �

� �� # �-����) #�� � ���

� �$� #�%"� � & � ) # �� & )���� % � & � � � � & / � � � � �

��

� + � � �& ��� � � # & / ��� � � � + � � � ��� � �

� ���$����� � � � �� � �� � &(� � � N� � � � ��� ��� � � + � �

�� � �$#�% ��� # �-� & 3 ��� � # �$������� � � % �

� �-� � ����) � ) � �� �$�*��� )*� # �$#�% � �������-&(� ��� � � � )* # �$� �$# �-) � � #��/� ����� �� !�� ����� � � N� ��� 2 � � � � � �$#�% ��-� � � � � � � )�& � � � �$#�% � � � � ��� �)�& � , � � ��� � � � �� & � , � � ����� # �� ) #�� � ��� � � # ��� � � � ������)�� # &(� ���

& � ( � � � + �-� ( � �

� �) # ( � � & / � ( � � � � � �-� ( � � + ) # ( � �

)���&(� ���*�� � � � �& � � � � & / � � � � � + � ��� � � � � � + � �

�� �$#�%& ��� � � # & / ��� � � � + ��� � � �

� ) # � � # � �

� �-� � �

� + ) # � �� �

� * � �-� � � � � � # � � �) # � + � � �� ���$����� � � Z'�

� �� ) & �

� N� � � � ��� # ��� ��� �� ��� � � � # � � � � ) # � � � � �$# � � � # � � � � � ���$����� � � � �

+ � � � � � � �*� � + � � � S � ����� � � ��� ��� � �)���) � ��� �$� � � � - � � ��)�� # � ��� � ��� � � � � � �-��0 � ��� � � ���*�� ) � & ��� � � � � � � ����� - � � � )*� #

� � �$# � � � � � � �� # � � � � � � � �$# � � � � � � �# � � � � � � ���$����� � � � ��) � � � � # � �$ )�� ) � � ��� �$� � � � % ��� ���+� ��� & � �-����� � � ����� # ����� �*� & � � �$#�% ) % � � � ����� �� � ) ��) � � �$#�% ��������) � � � � �/#�% �) % ��)� # � � � ��) � � �

Page 282: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1

S��� �� : + � �$# �

+ �

S

��� � � � ��$ $�� � � � ����&(� # �-� )*� # S��� �� : + � � �*��� � �$#�% � �$# �� � � % � �

� �� ) # ��� � + � �� � � �$# ��� � ) ���1�������� �*� ��)*� #'& � ( ���

& � ( � � � + ��� ( � �

� ) # ( � �

�� �-� ( � ) # ( � � � �'� ��� � � � " �

@ ���!� ) #�� �� � ��� �-) � � #(�$� �*���- ) � � � � � � # � ����� � � � ����� � �)�� ) � � � � �$� �$& ������ - � � ��)*� # � �$# � � S��

� �� : + )�� � ����� ��� ��� �-� � #�% ) #�� ��) � � # &(� # �-� )*� # � �-) #�� & � � ( � �

� ��� � ( � ) # � ( �� �"!�%#� ��� � � ����� ��� ������ � �����-) � � #��/� ������ �/#�% ��) � � # &(� # �-��)�� # � �!����� @ � ����� �2 )*��� � )*���*� �� � � �*� �� � < : � ���� � * < � ����� � + � � � � , ( , �

� � � � � � / � � � � � �� �'� ��� � � � % �

� � ��� �/#�% ����� &(� # �-� )*� # < : � � ) # � + � ����)*�-� ���� )��� ) ��� ����� � �-�!��� ����� �-) � � # �&(� # � ��)�� # �

Page 283: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " �1������� � �%$ � � � � & ����� � ) ����� ��� % )�� ����� # ��) � �5� - � � ��)*� # �

< : � � * < � � / + / � � � < : � � * � < � � / � < � � / / + � � � / / � � / � � � � � � ���$����� � � �� - � � ��)�� # � ��� � ��� � � � � � ����� � � � � � �-� ��� )��� ) � � - � � � )*� # �/� � � � � � � � � )�� � � ���� � �$�� � + � � � � # � � � � � �� !�� � � �A2 � � � , � �/#�% ��-� � � � � � � � � ��� # � ��� � � # �-� � � �� �*� ��)*� # � � � ���� - � � � )*� # � � � ���1&(� ���

� < : � � � � + ��� �� � ( � �

� �) # �� ( � � � ���$����� � � �

� ��� # �'� ��� � � � � � � + � � �$#�% / � � � � �

� < : � � ��� �� � � # < : � � � ) # � � � � �� & # �� �

� N� � � � ��� # � �/# � � ��� � �!� ��)*1� - � � ��)�� # � � �� # � & � # � � ) ��) � �!� � �$� )� + � � � � ����������10 � ��� � � ���*�� � )

� � �/# � �

� + �

� #

����� � � �%$ $� � � � ���1&(� # � ��)�� # � # � � ����� ���$#�% � �$# � � � ��� % � �� ������) � � #(�/� �*���1)� � + � � � � �+ )�� ��� ������) � � # &(� # �-��)�� # + � ( � � < : � �) # � � + ( �� !�� � ��� � � � � � + � � � � � � � � � � + � � � � � # �/#�% ������� � &(� � � ����� � ������)�� # � ( � � � � + � �

�( � < : � � � � �-� �!����� %"� � � � � � � � � ) � �- � + � � �$#�% / � � � � �

& )*��� % ��

� < : � � � � ��� �� � � ��� � �

�� � � @ ) # ��� � + � �

�� � �����-� � � ��� # �

��) � � # &(� # �-� )*� # ��-� � ����� � #�% ) #�� ��� � � � �� !�� � ����� � � � � � � ��� # � � � � � � � ��� � ��� # � ��� � � # �-� � � �� ��� )*� # )*

� ( � � < : � � � � + ��� � ( � �

� �) #� ( � � � ���$����� � # �

� � # ��� � � � � � + � � � ��) � � � ) � � �� � ( � � �

� < : � � ) # � ( � & � � �*� �!��� � ��

� N� � ����� # � ���.��) � � # &(� # �-� )*� # � � � 7 � ( � � < : � � �) # � ( � L # � � �� �

Page 284: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1) #(� � 2 ) #�� ����� %�� � � / � � � � � � � � ��������� - � � ��)*� #

/ � � � � �

�� < : � � �-� � � # < : � ) # � � � � � �'� ��� � � � �

)�� � �$�*��� )*� # � � � )* &'& ) #�� � �/# � � � # � � � � � # �$��� ��� � � �

� N� � � � 2 �-� # ����� �

����� � � �'����� � ) ��) � � ���$��1�/& � ���'� - � � ��)�� # � ���$����� � � � � � + 3 � � � �-� 0 � �

� ���*�� ��� ��� �-) � � #(�$� �*���- � ��� � 7 � � � � �7 � L # � ) ��� � ��� �-� � ����� � #�% ) #����) � � # &(� # �-� )*� # ) 7 � ( � � < : � � ) # � 7 ( �� �/��� � � � � � ) # � � �� � � � � � � � ����� � � � % � + � � � � + �/#�% + � �-� � ����� � #�% ) #�� ��� � , � �

� #� �$# �

��

� S �� # �

��� � ��� �%$ $�� ��� � ����&(� # � ��)*� # � # � � ����� � �$#�% � �$# � � ��� % � �1������� � �%$ � # � � � ��� �����-) � � # &(� # � ��)*� # � 7 ! 67E8 + &(� ��� � �-���! ��*� ��� � ��� ��� � � #�� � �& ���� � �$&&(� # � ��)�� # � ��� ��� ) # ����� �/� � � � � � � � )�� � ����� ��) � � ��&(� # � ��)*� # � � ( � � < � � �& ��� � �$#�% & � ( � ) # � ����� ��$& 7 � � )�� �

& � ( � � 6W 798 + � 7 7 � ( � � ) ��� � 7 � �� 7

� +� & � ( � 7 � ( � < � � � ( � � �'� ��� � � � �

���-� �� 7 ) � � 7 � �� � � +

� �7 � ( � < � � � ( � � �'� ��� � � Z��

Page 285: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " Z& �1� � �� �-��� ������

� + ) � � +� �) # � � � + ( � ( � � +

��# * �-� � # � + ( � � + � ( � �� � + �) # � # � + � �#

� �� � + # ) # � � + �-� � � +�-� � � � +

� ) # � � � +

� �# � �# � + � �$# � � +� � � �$# � � � +� �#

� �# � + � + #� � � �+ � � �# � �� � � �+ � �# � �� +

� �# � # � � +# � + �� �&(� � L� # � � � �� 7 ) � � 7 � �� � � +

� ) # � � 7 ( � ( � � +��# * � � �-� # � 7 ( + � ( � �# � �� � 7 ) # # � 7� �# � �� � 7

# ) # � 7 ��� � 7���$ � � 7 � �) # � � 7 � �# � �# � 7 � �/# � 7� � � �/# � � 7� �# � �# � 7 � 7 #� � � �7 � � �# � �� � � �7 � �# � �

� 7 � � 7� ## � 7 �

+ � � L � � �$#�%V& � ( � � < : � � � � � � �� + � + � � +

� & � ( � + � ( � � � ( � � ( � � +� ) # � � + ( � ( � �

� + � ��� �� � + � � � �� ���$����� � � �� �� � � � � ����� � ��� �-� � � + ��� ) � ���� �� � � + � ��� �� � � +

�-� � � � +� ) # � � � +

� �� � � �$# � � � +� �� � � �+ �� �� � � �+ � �� + � � ���$ � � + � #

� � � + �� ���$����� � �

��������� # � &!�-� � � + � # � � + )� � � �-� �� � � ��� � � # ������ ) #�� � �'� ��� � � � ) # � ���$����� � � � � � � �

� + � + � �� + � #

� � +� � � � # � � � +

� + � � + � � ���$����� � " � ��) � � � � � � � �*��) #�� � + � & )���� %

� + � # � � � +� + � � + # � +# � � + � # � + � # � � � + �

� + � # � � + � �� ���$����� � % �

Page 286: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1+ � � L� # � � ���� � � �� �� � ��� % ����� & )*�-� %

� 7 � 7 � � +� & � ( � 7 � ( � � � ( � � ( � � +

� ) # � 7 ( � ( � �� 7 � � � �-� � 7 � � � �'� ��� � � " � �

� �!� � � �-��� � �������$ � 7 ������

�-� � � 7 � �� � � �$# � � 7 � �� � � �7 � � �� � � �7 � �� 7 � ��) � � � ) � �

�-� � 7 ��� #� � 7 � � � � � 7 : + #

� � 7 � � �'� ��� � � " � � ���-� � � ) # �����!� � ������� � �!�� �!�����'& � �-��� � � ���-� � � , � �$#�% ����� � ��� ��� #�� ��) #�� ) � # � � # ���� ��) #*� � �'� ��� � � " � � ) # � ��� � ��� � " � ) ��&(� �*���� ��� � �

� 7 � 7 � �� 7 * � � � � � � 7 : + #

� � 7 + � � � 7 � # � � � � 7� 7 � � 7 �

��) � � � ) � �- � � � �� 7 � � � � 7 � # � � � � 7 � � # � � 7 �

� 7 � � 7 � � 7 � # � � # � 7 � � � 7 � # � � � � 7 �� 7 � � � 7 � # � � �'� ��� � � " # �

� �/������� � � &(� ���'��� � � ��� � ��� ��" # � & )*�-� % &(� � L � � � ����� ��� ) � ) #�� � ��� �/� �*���1�/& � + �@ ���!� ) #�� �* � � � � � ��� ����� � �$#�% �$& �����1&(� # �-��)�� # < : � � ) #�� + �$��� )����� �-� )��� � < : � � � 6W 7E8 +

# � 7 � � � 7 � # � � � � 7 �� 7 � � � 7 � # � 7 � ( � � � �'� ��� � � " � �

� �"!�%#� ������ @ �$� � �1� ���1&(� �*���� ) #�� � � � #�%"� ��& �$� �*���� ���� � ��� � )� "! �� �

� �� � �

� ����� � � � � , ( , # � � , � , �

� ( � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � �

�� S � � # � � � � �

� �'� ��� � � " � �1������� � �%$ � � � � ��� � ���+����� � � � # )�� � � )*� # ���� �-� % ��� � ) & � �$# � ��� % �-� ����� ) # � �&(� # � ��)�� # � � � � � ���� � ��� � � � / / � � � � � � ��� ) #�� ������ � � � � � � #�%"� ��& ��� #�% )�� )*� # � � � ( � � � � ) � � � � � � � � ��� � � � � ���� / / � � � � � � � � / � � � � �# � � � � � � � � � � � �

� � S � � � � � � � �'� ��� � � " Z��

Page 287: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " � ��� # �� ) #�� ����� � � � #�%�� ��& �-� #�% ) ��)�� # � � �-�

� � � � � � � � � � � �$#�% � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

� �� � �� ��� ��� �

� � � � � �� � � S � � � � � ���$����� � " � �2 �-� # �� � � ( � � � � � ( � � � � � � � � � ����� #

� � �� ( � � � � � ( � �$#�%� � �� � �

� � � � � ��� �

� ���$����� � " ��$#�% �

� �

! � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���S � �

� � � � �S � �

� � � � �S � �

� � # � � � � � # � � � � � � � � � �� � � � �

S � � ���$����� � "�" �� �� ) # ��� ��) #�� � �'� ��� � � " � �/#�% � ��� � ��� ��"�" � ) # � ��� � ��� � " � � ��� � � � ) # ����������� � � � �# ���$�� � � � #�%"� ��& �$� �*���� ���� � ��� � &(�$� � � ) � �� "! �

��� �� � �

������ � � � �!, ( , # � �!, � , �

� � ( � � � � � � � � ( � � � � �� � � � � � ���� � � � � S � � � � # � � � � +

� � � � S � �� ���$����� � " % �

���) #�� � � � � ��)�� # �$& �$� � ) �#� �*�- ) ���-� � � ( � � � � � � � ( � � ��� � ( � � � N� � � ����� # � ���% )�� ����� # ��) � �5� - � � ��)�� # � ��� � ��� � " % � & )���� %

� / / � � �� / / � � � � � / /� � � � / /

�� � � � ���$����� � % � �

� � �� ��� #�% �� )���� � ���1� � ��) � � #(�/� �*���� �� � � ��� � )� �� / / � � �

�� � � � � � � � � � � �$#�%

� � / / � � �� � � � � � � # � � � �� ���$����� � % � �

� ��� @ ������� � 2 )*� � � )��*�*� ���� � ��� � &(� � � � � � ������) � � #(�/� �*���� �$#�% ��) � � # &(� # �-� )*� # � � � 7 � � L � � � � � � � 7 � � � � ) #,L � � � L� � � � ���$����� � % # �

Page 288: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# "�" ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� ��� � � # ��� � � � ������)�� # &(� � � ����� - � � � )*� # &(� � � � ) ��� � � � 7 � � �$#�� � ��)�� � � #��

� 7 � ( � �)� 7 ) # � L � ( � � � 7 �) # � L � � # � ( � ( � � �'� ��� � � % � �� �� � � � & � )�� � � � ( � � � � � �� ���� � �)�� )*� # �$& � 7 � ( ��� 7 � � � )

� � ( � � � � 6W 7E8 + P � 7 �) # � L � ( � � 7 �) # � L � � # � ( � Q �) # � L � � � � �'� ��� � � % � � ���-� � � � ��� � � � #�%"� � & ��� #�% )�� )*� # � � � � ) � � #�� &

� � � � � � � 6W 798 + � 7 ) # � # L � �) #,L � � � � � � � �

S � �� � # � � � � 6W 798 + � 7 ) # � # L � �) #,L � � � �

� � � � �S � �

� �'� ��� � � % Z��& �1� � �$#�% ������&(� # �-� )*� # +

� � � � S � ) #V+ � ��� )*�-� �-� )��� )�� � � ��� � �-� ���!� ��������� � ����-���1�$������� # � ��� � � �& �� � � � ) #ML � � ! 67E8 + )�

� � � � �S � � 6W 7E8 + J 7 ) #ML � � � )�� � J 7 � ��� # � +

��� � � � �

S � �) #ML � � � � �� % � # � )�&'& ) #*� ����� ��� � H ��)�� # �� J 7 )�� � ����� � �/& � - � � � )*� # � ��� � ��� � % Z�� � )���&(� ���*�� ��� � � � 7 �) # � # L � � J 7 �$#�% � 7 � � 7 � � 7

�) # � # L � � � �'� ��� � � % � �& � �-���! ������ J 7 � & ��� � � � � % �� ���$&� � � ��) � ��) # � � � � � ��)�� # � � )��

J 7 � ��P � � � �

S � � ���$ L � �L � Q +� � ��� +�� � � � � � � ��� L � �L � � �

� ��P � � � � � � � ) #ML � �� L � � � Q +� � �

�� +�� � � � � �) #ML � �� L � � � � �

� � # P � ��� L � �� L � � S Q +� � # � +� �-� L � �� L � � S � � � � # ��� L �� L � � S� # � � � � 7 : +� L � � S �

� �'� ��� � � % �

Page 289: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# " %� � �� � & � �'� ��� � � % � � � � ��� �

� 7 � # � � � � 7 : +� L � � S ) # � # L � �$#�% � 7 � � � � � � � 7 : +� L � � S ) # � # L � � � ���$����� � % " �� � # ��� � � ���� � ������)�� # ���!� ����� � ) � ) #"� � ���� � �*� � � ��� � ��� ��" � � )� � ) � � #�� & � ( � � � � �

� � � S � � � � #� S 6W 798 +

� � � � 7 : +L S �) # � # L � P �) # � L � ( � ) # � L � � # � ( � Q ) #,L � � �� ��� ����������� � �� �'1������� � � ��� � � ����� ������� � & �+ � � � �+� ��� ���� � �*� � � & �� ) #��+ � ��� )���� �����)*�� ) # ���� % ���-��&(� ��� ) 2 � �

� � ( � � � � � ( � � � � � ( � � � � � ���$����� � %�% �

� ��� � � � ( � � � )* � �$� & # ��� ) � � ) # ( �/#�% � )���� � � � � � � � ��� � � � �$#�% � ��)��0"�-������ � � � #�%"� ��& �-� #�% ) ��)*� # � � ��)*�& )*��� %

� ( � � � � ��� ( ��� � � � � S ��� � � � � � � � � � ���$����� # � � �

� ��� #��� ��

! � ( � � � � ��� ( ��� � � � � ( � � � � �

� ( � � � � ��� ( ��� � � � ����� �'� � � � � ( � � �

��� � � � � � � � � � � � � �

� � S ��� � � � � � � � ��� S � � � � � +

�� � � � � � � +

��

� # � � � � � � �� � � � � � � S � � � � � � � � � � � � # �

�� � �� ��� ��� � � ( � � � � ��� ( ��� � � � � S ��� � � � � � � � � ��� ( � # � � � � � � � S � � � � �# � # � ( � � � � � S � �

� �������-&(� ��� � � � � � � � � +�� # � ( � � � � � � � � � � � � ( � ���/#�% ��� # �-�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ( � � � � � � � ( � � � ���$����� # � � �� � # �� - ��� # � � & ��� ��� �1� ���1&(� �*���� ) #�� � � � #�%�� ��& �/� ������ ���� � �*� � &(� � � )� "! � � � � � � � � � � � � ( � � � , ( , � � � , � , #

� � ( � � � � � � ( � � � � � � � , ( , � �� � � � � � � � � # � � � � � � � , � , #

�� ���$����� # � # �

Page 290: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1���) #�� �� � � � ��)�� # �$& �$� � ) �#� �*�- ��� ) � � � ( � � � � � � ( � � ��� � ( � � �RN� � � � � � � � &(� ������������ � � � # �-� �� % ) ���-� � # � ) � ��� - � � � )*� # � � � � �� / /� � � � / /

�� � � � � � / / � � � � � �$#�% � / / � � � � � � � �'� ��� � # � � �

@ �!��� � � ��� ��� ��� � @ � ����� � 2 )�� � � )*���*� �� � � �*� � )� � / / � � � � �� � � � � � � # � � � � � � � � *� �# + � � � � � ( � � �) #

� �# ( � � � �� �'� ��� � # � � ��$#�% �

� / / � � � � ��� � � � � � � � � � � � � 7 � � � � � 7 �) #,L � � � L� � � � �'� ��� � # � Z��

� �� �'���� �'������) ��*� + �$��� )���� ) # �� �-� )��� � ��� � � # ) - ��� � � &(�$� � ��� ����� � � � # �-� ��� � � #�%"� ��& �-� #�% ) ��)*� # � � � � )�� �

� � ( � � � � 6W� 8 +

6W 7E8 + � � 7 �) #� � (# ) #,L � � � � �'� ��� � # � � �

� � ��� � � � � � � � 6W

� 8 +6W 798 + � � 7 * �

� � � �� � L � � � + �� � 8 ��� � �) #

� � (# ) #ML � � � � � � � ( � �� �-� � � � 7 � ��� � ��� + � ����)*������� � H �-)*� # � &(� � � � � � ( � � ) ���'����� � �-� ��������� � ����� ) �����"� �)*��) # � F �� ) #,L � � � ��) � �� ���-��� ������ � ���*�� )� � 7 � ��� # � +

� � ) #ML � � � � � ��� � � ( � �) # � � (# � (

� # P � � ��� � �L � ���+�� � +

����� L � �L � � � �� 8 � Q

P � � � ( � � #� � ���$� � (# ��� ��

� ���� � � � � #� � �-�

� � (# � ( �� 8 � Q� � #L � �-� L � � #� � * � � � # � ��� � � �

+ � � � � � � 7L � � � * � � � � � � + �

Page 291: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % �� ��)*�& )*�-� %

� � 7 � � � 7 * �� � � �� � L � � � + 3 � � � � � 7L � � � * � � � � � �

+ � � ���$����� # � �� ) � ) #�� ����� + � ����)*�-� ��� � H ��)�� # �� � � 7 �"�

� � 7 � � � � � � 7 * � � � � � � +L � * ��� � L � + � � �

� ���$����� # ��" �+ ) #�� �*� & � ) # ������ ) #�� � � 7 &(����� � ��� � ��� # ��" � ) # � ��� � ��� # � � ���$#�% ��� � � �*��) #�� ����� �-��� � ���� � % � � �� �- )�� # &(� � � � �-� � ���� � ������)�� # �$& ������� ��) � ) #"� � �� � � �*� � �

� ( � � � � �# � # � ( � � � � �S � � 6W

� 8 +6W 798 + �

� � � � 7 * � � � � � � +L � * ��� � L � + � � ) #

� � (# �) #ML � � �� �"! �#� � � ��� @ � � � �1&(� ���*�� ) #�� ) # ) ��) � � � � � � #�%"� ��& �/� ������ ���� � �*� � )� "! � � � � � � �

� �� � �

�� ( � � , ( , � � � � � ��� / /� � � +� + ( /( �

� � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � � � � ( � � ���$����� # � % �1������� � �%$�� � ���� � � � � � �+� ������� )� �$# ) # ��� � � � � # �-� �� � � � #�%"� � & �/� ����� � & �

� ��� � � � � � & # ��� ) � ��� � ( � ) # ( ��� �!��� � ��� / / � ( � � � �$#�% � � ��)��0"�-����� � � � #�% �� ��& ��� #�% )�� )*� # ) # ( ) � � � � � � �$#�% � � � � � ��� � ��� # � � ( � � � ( � � � ���-� �� � ( � �$#�% � � � � � � � � � � � ������� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �$�� � ���� � ( � � � � ( �� �� ���-� � � ( � � � � � ( � � � � � � ( � � � ��� # � ��� ) # ) ��) � � � � � � #�%"� ��& �/� ����� �� � � �*� �&(� � � )� � ) � � # � & )� ! � � � � +� + ( � ( � � , ( , � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ( � � � � ( � ( � � � , ( , � �

� ���$����� # � � ����) #�� � � � � ��)�� # �$& �/� ��) � � �*�� � � ( � � � � � � ( � B � � � N� � � � �-�

� / / B � �� � � � � B / � � / /� � �

� � � � B /B � � � , � � �

Page 292: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� ��� @ � ����� � 2 )�� � � )*���*� ���� � �*� � &(�$� � )�� �!)�� ��) � � #(�/� ������ �$#�% ��) � � #(� � �-���$� � ��� )� � / / � � �� � � � � � � � � � � �

� � 7 � � � L � � �� 7 � ( � � ) #ML � ( � L� � �� � % �-���-��� ) # � �������-� � ����� � #�% ) #�� B 7 ) � ) # � � � � � ��� � ��� � � % � � #�% � # � �-) � � #��/� ����� ���� � �*� � �

� #CB � � � � � � � � � � � #,J � � # BJ � #�� � � � � � � � B � � � � J < � � � + ( & � �

� # ������ ) #�� � 7 � � � L � � � &(� � �������-) � � #��/� ������ � � � � �B 7 � � � � J 7 < : � F � 7 � � + ( & � � � �'� ��� � # �'� �

� � �� �� & ��� �-�� � ) ��)�� # �����-� � � � � ��� ��� ����� � �

� � ( � � � � 6W 7E8 + J 7=< :� � � + ( & � �) #ML � ( � � �'� ��� � # � # �

� �� � # ��� % � � �����! ���� � J 7 � � � � ��)* � * �� � � � �� � �� �1������) # )�� ) � � %"� � � �*� ) �� � ( � � � � 6W 798 + J 7=< :

� � �) #ML � ( � ( � ( � � � � � �'� ��� � # � � �

�$#�% ��� � �� ��������� + � ����)*��� �-� � H ��)*� # �� � � 7 ) � J 7[< : � � � &(� � � ��� &(� # �-� )*� # ( � ( � � �� � �/#�% � % ) # �������$������� � � #"� � �"� �)* � ) #ML � ( ! 6798 + )� 7 � ��� # � +

� ( � � � ( � ) #ML � ( � ( � # P ( � � � ( � � �-� L � (L � Q +� �� 8 �� # � +

�� � � # ( � �-� L � (L � � ( � # P � � � # ( � ) # L � (� L � � � Q +� �� 8 �

� # � +�� � # � ) #,L � (� L � � � � (

� � P � �-� L � (� L � � S Q +� � �� L � � S � � � �-� L � � � � �F � � � + & � L � # ��� �� � L � # ��� � # �� - ��� # � � &�) # ��� ��) #�� J 7 � < � � � � 7 ) # � ���$����� # � # � ��� ��� �

� � ( � � � � "� S 6W � 8 � �� # ��� � � S < :

� � � � � + ( & � : +�� �) # � # ��� � � � ( � �'� ��� � # � � �

Page 293: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % ��$#�% 0 #"� ��� & � ��� �� �*��� )*� # &(� � ����� � ��) � ) #"� �5� - � � ��)�� # � � ( � � � � � � ( � � � � ( � � � � )�� ) � � #�� &

� ( � � � � � � ( � "� S 6W � 8 � �� # ��� � � S < :

� � � � + &

� F � � � + ( & � : +�� ) # � # ��� � � � ( �� �"! �#� � � � � @ � � � �1����������� � � � # �-� �� � � � #�%"� ��& �/� ������ �� � � �*� � )� ! / /� � � / /� � � # � � � � , ( , � � � , � , �

� � � � � � � � � � � � � � � � � , � , � � ( � � � � � � � ( � � � � ( � � ( � ���$����� # � Z'�

1������� � �%$ � ) #�� @ � ��� �/# �$& �/� ��) � � ���� ) � ( � � � � � � ( ��� � � � N� � � � � �-��&(� �������� % ) ���-� � # � ) � ��� - � � � )*� # ��� � �� / / � � �

� / / � # � � � � � � � � / /� � � � / /�

� # � � � � � ���$����� # � � �� #(� � 2 ) #*�!� �*�� � ��� � � � #�%�� ��&!��� #�% )�� )*� # � ��������) � � #(�/� �*��� ���� � ��� � &(� � � �$#�% )�� � ������)�� # � ��� � ) � � # � �-�*��� � / / � � �� � � � � � � � � � � ) ���

� � 7 � � � L � � �� 7 � ( � � ) #ML � ( � L� � � � ���$����� # � �� �&(� � � ����� - � � � )*� # &(� � � )�

� / / � � � # � � � ��� � * � L � � � � # � + ��� � � � � � � ���$����� # � " �

� # �$��� � � � � � &(� � L � � ��� ��� � � L � � � � # � � � �� # � , � � �$#�% � L � � � � # � � � �

��� #VL� # � � �������-&(� ��� �1����� � � ����� � � � L � � � � � � ���-� & )+ � � L � � � ��� ��)���� � ��� � - � � � )*� # &(� � � � � / /+ � � � �+ � + ) ��� � + � � # � � � � �� ��� � � # �-� � � �� �*� ��)*� # ���!����)��� - � � � )*� # )* � ) � � # � &� + � � � �� + ��� � + � � � + �) # � + � � � ���$����� # � % �

��������� ��� � �$� #�%"� � & ��� #�% )�� )*� # � + � � � � � & )*��� % � + � � � �� + � ��� � � ��� + � � � � � + �) # � + � � � ���$����� #�# � �

Page 294: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1+ � � L # �!� ��� �'�����'� - � � � )*� # � / /7 � � � �7 � 7 )�� � � 7 � � � L � � � � # � �5�$#�%����� � � # �-� � � �� �*��� )*� #

� 7 � � � ��� 7 ��� �� � 7 � � � 7 �) # � � 7 � � � �'� ��� � #�# � � ���-� � � 7 � � � � � � ) � �� � 7 � � � ��� 7 � � �/#�% ��� # �-�

� 7 � � � � � 7 ) # � � + � � � �'� ��� � #�#'# �� �� � & ������ �* �-�� � ) ��)*� # ��� ��� � � ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � ( ��� 7 � � � � � + ) # � ( �) # � + � �

6W 7E8 � � 7 �) #,L �( ) # � � 7 � �

� � � � � � ) # � �!�-���! ������ � 7 � �*� � ��� � �

� ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � � � � 7 � ( � � ( � � ( � � �'� ��� � #�# � �� � � � �*� ��� � � � � 7 � ( � ! 67E8 + )* � �-���! ��*� ��� � ��� ��� � � #"� � �& ��� � � # ����� ) # � ��� �/� � � � � � � � )�� �

� 7 ) � � +� � �7 � ( � � ( � � +

� ) # � L � ( � ( � �# � � �'� ��� � #�# � �� ��� # ����� + � ����)*�����-� � H ��)*� # �� � � 7 � � � � &(� ��������&(� # �-��)�� # ( � � ( ) # � �'� ��� � #�# � � ) #� + � ��� )���� �) # ������ )��� � � �/# )�� #+� � �

� 7 � � � � �� 7

� +�� ( � � ( � � 7 � ( � � ( � # � +

�� ( � � ( � ) #ML � ( � (

� # P � ( � � ( � � ��� L � (L � Q +� �� 8 �� # � +

�� # ( � � � ��� L � (L � � (

� # P � # ( � � � ) #ML � (� L � � � Q +� �� 8 �� # � +

� # ) #ML � (� L � � � � (� � P �-� L � (� L � � S Q +� � � � � � � 7 � �� L � � S �

� �'� ��� � #�# Z��

� ��� # &(�$� L � � �1� ��� � � + � � � � � "� � S �$#�% � � �� � + � � � � J + ) # � + �*� ) � � � � � �� + � � "

� S �) # � + � � �'� ��� � #�#�� �

Page 295: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % Z� �&(� � L� # ��� ��� � � 7 � � � � � � � � � 7 � �� L � � S � � 7 ) # � � 7 �$#�% ��� ��

� � � � � � &(� � � � � � � � ������ � � + � ���

�� + & F ����� � � � � &(� � � � � � # � ����� � ���$����� #�# �

@ ���!� ) #�� �� �������� �*��� )*� # � �!������� - � � ��)*� # )� � ) � � #�� & � ( � � � � � "

� S ) # � ( ) # � � # � � � � � ��) # � # � � � �� "

� S 6W � 8 + ) #� # ��� � � � (� # ��� � � S ) # � � � # ��� � � � � � � # � �

�) # � � � # ��� � � � � � � # � �� ���$����� #�# " �

� �"! �#� � � ��� @ � � � �1������&(�$�*�*�� ) #�� ) # ����� � � � # ��� ������ � � � - � � ��)*� #�)� "! �

�� ( � �

� ���� � � ) # ( � � , ( , � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � � �) # # � ( �

� ���$����� #�# % �1������� � �%$ � � �� & ) #�� � � � � ��)�� # �/& �/� � ) � � ����1��� � � # ) - ��� &(� �1�����!���$� � �-� � #�% ) #������� � � � # ��� �� ��� � � � - � � ��)*� #�)

� � � � � � � � ( � � � � ���$����� # � � �

)�� � � ( � � � � � � ( � B � � � N� � � & )���� % � � ( � B / � � � � � / / � ( � B � � � � � � � B / � � �B � � � � � / / � ( �� � ( � � � � � ���$����� # � � �

� ������) � � #(�/� �*���- �$#�% ��) � � # &(� # �-� )*� # � �!��������) � � #(�/� ������ �� � � �*� � )� � / / � � �� � � � � � � � � � � � ���� � 7 � � � L � � �� 7 � ( � � ) #ML � ( � L� � � � ���$����� # � # �

������� � ) #,L � ( ! 6798 + )* � �����! ����-��� � � ����� � � #"� � �& ��� � � # � ��� ) # � ��� �/� � � � � � � � )�� �

� 7 � � +� ) # � L � ( � ( � �# � � ���$����� # � � �

Page 296: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1& � � � �$#�% � �$��� � ( � � �5�$#�% � �) # ( � + � ����)*��� ) # � �-� )*�- ) # � ��� �"� � � �) #ML � ( ! 67E8 + �� ) � �

���� ����

! � ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � � � ) #ML � ( �� �) # ( � 6W 7E8 + � � 7 �) #ML � ( * � ) # ( � 6W 7E8 + � 7 ) #ML � ( + �

� �'� ��� � # � � �� ����� � �$# �)*� # �$& � ( � � � � ) � �- ����� + �$��� )���� � � �$# �)*� # &(�$� ����� �*� & � � �/#�% ) % � �$&����� % )�� ��� � # ��) � ��� - � � ��)*� # � ��� � ��� #'# % � )

� � � � � � �

� ( �6W 7E8 + * � /7 � � � � � L � � � � 7 � � � + �) #,L � ( � � �'� ��� � # � Z��

� � �� ����� % ) ���-� � # � ) � �5� - � � ��)�� # � ���$����� #�# % � � �$#�� � ��)������ #�� 6W 798 + * � /7 � � � � � L � � � � 7 � � � + ) #ML � ( � 6W 798 + � � 7 ) #ML � ( � � �'� ��� � # � � �+ � ��� � ��� �� �-� #�% � � �/# )�� # ) # � ���$����� # � � � � �-��� ������ ����� + �$��� )���� ��� � H ��)�� # ��� 7 �

� 7 � ��� # � +� �) # ( ) #,L � ( � # � +

� * ���$ � � � L � � ( � ��� � � � L � � ( + � (� ) # � � � L � �� � L � � ) # � � � L � �� � L � � � � � � 7 �) # �� � L � � � � � � 7 ) # �� � L �� � � � � 7 # L �� � L � � � �) # � �

� �� � ) % � # ��) &'& ) #�� ����� �-� � H ��)*� # ��') # � ���$����� # � � � � � �-� ����� &(� �*���� ) #�� � % � &(� �� 7 � � � ) � /7 � � � � � L � � � � 7 � � � � � � 7 � � �'� ��� � # � �� ��� ��) �� & ) #*� � ��� � ��� # � � � & � ����) # ��� � � � ��) #*� & � �-� � � < � 7.F'& � ( & )���� % < � 7?F'& � ( � /7 � � � � � L � � � < � 7?F& � ( � 7 � � � � < � 7.F'& � ( � � 7 � �� � * < � 7.F'&

� ( � 7 � � � + � < � 7?F'& � ( � � 7 �

Page 297: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % � ��� # � � & ) # ��� � � � � ) #�� � )���&(� ���*�� � � � � )< � 7?F'& � ( � 7 � � � � � 7 � � < � 7.F'& � ( � � � � 7 * � <

� 7.F'& � (� L � � � � � < � 7?F'& � (� L � � � � � + � J 7� � 7 � < � 7.F'& � (� L � � � � � 7 < � 7.F'& � (� L � � � � J 7 �� ���$����� # � " �

� � �� ��� ��� �� 7 � � � � J 7 < : � 7?F'& � ( � �� L � � � � 7 � � �� L � � � � 7 � � ���$����� # � % �

� �� ��) #(� � 2/��� ����) # ) ��) � � %�� � �

� ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � � � �) #CL � ( � ) # # � (��� � � � 6W 7E8 + * J 7 � �� L � � � � 7 +1 ) # L � ( � ) # # � ( � � ���$����� # � � � ��������&(�$� L � # ��� ��� �

* J � � �� # � � � � � +1 ) # # � ( � �) # # � ( � * J � � �� # � � � � � + � � � ���$����� # � � � ������� � � &(�$� LON� # ��� � � � J 7 � �� L � � � � 7 � � � �� � & � ��� � ��� # � % � ��� ��� �

��� ��

! � � � � � � < : � F'&� ( � P �� # � � � < : � F'&

� ( � �� # � � � � � �� # � � � Q � �� 7 � � � � P �� L � � � < : � 7.F'&

� ( � �� L � � � � � �� L � � � Q � 7 � L N� # � ���$����� # � # �� �$� � � � � � � ���'� � �� ��� )�� # &(� � � 7 � � � ) # � ��� � ��� # � # � � ) � �- ����� � � ����� �)*� # &(� � � �� �-�*� � )* �/� �*) % � �� �!&(� � L � # � �+ ) #�� �*� & ��� ��� �������� �$�*��� )*� # &(� � � ��� % )�� ����� # ��) � ��� - � � ��)�� # � ��� � ��� # � # � )

� ( � � � � < : � F � ( ) # # � (� � # � ) # � ��� 6W 7E8 + L

� � � � 7 : +L � � � � � P �L � � � � � � < :07 � F � (L � � � Q ) #ML � ( �

Page 298: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# % " ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� �"!�%#� ��� ��� @ �$� � �1� ���1&(� �*���� ) #�� �� � � ��� � )� "! �

�� ( � # � � �

� �� � � , ( , � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � � � � ( � � , ( , � �

� �'� ��� � # � � �1������� � �%$ � ��� �$ � � &(� # �-� )*� # � ��) � � � � )* 0"�� � ��� � ) � � # � � � #�%"� ��&���� #�% )�� )*� # )+ � � � � � � ���� � � � ( � � � � � � � � � � � � ( � � 2 � � � �

�� � � ��� # � � � )* 0"��

� �� � � # � � �� ( � � �

� � � # � � � ( � � *�

�� � � # � � �

� ( � + � � � � � � ( � � # � � ( � � �� � �� � ���) #�� � ��� %"� � � � �1&(� ���'��� � ��� � ���� �� � � �*� � &(� � � ��� ) �� ! �

�� ( � # � � �� �� � ( � � � � , ( , � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ( � � � � � � ( � � � � ( � � � � � , ( , � �

� �'� ��� � # �'� ����) #�� ����� �� � � � ��)�� # �$& �/� � ) � � ���� � � � ( � � � � � � ( � B � � ��N� � � &(� � ����� �-� � ��� �� � #�% ) #�� ����� � � � # ���$�� � - � � � )*� # &(� � � ��� ��� ����� � �

� � ( � B / � � � � # � / / � ( � B � � � � � � � B / � � �B � � � � # � / / � ( �� � ( � � � # ��

� ������) � � #(�/� ������ �$#�% � ������) � � # &(� # �-��)�� # �$& �������-) � � #��/� ������ ���� � �*� � &(� � � )� � / / � � � �� � � � � � � � � � � � ���

� � 7 � � L � � �� 7 � ( � � ) #ML � ( � L� � � ���-� � � �) #ML � ( ! 67E8 + )* � �-��� ��*�-� � � � ����� � � #"� � & ��� � � # � ��� ) # � ��� �$� � � � � � � � )�� �

� 7 � � +� �) # � L � ( � ( � �# � � �'� ��� � # � Z��

� �� ��� � �$#�% ( � � ) #��D+ � ��� )*�-� ) # �� �-� )*�- )���� ����� � � ��� � � ) #ML � ( ! 67E8 + )( � � � 6W 7E8 + J 7 ) #ML � ( � �'� ��� � # � � ��$#�% ���-�

� � ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � � � �) #ML � ( � � �'� ��� � # � �

Page 299: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

# %�%� # �-��� ) #�� � ��� � � �$# )�� # � ��� � ��� # � � � �$#�% � ��� � ��� # � � ) # ����� % )�� ��� � # ��) � � � - � � ��)�� #&(� � � � � �-� � ��� # � � �-� ����� + � ����)*�-� ��� � H ��)�� # �� � J 7 � &(�$� ( � � �

J 7 � �� � 7 � �

� +�� ( � � � � 7 � ( � � ( � ��� # � +

�� ( � � � ) #3L � ( � (

� # P � ( � � � � ���$ L � (L � Q +� � # � +� ��� L � (L � � (

� � #L � � # P ) #ML � (� L � � � Q +� �� 8 �� � #L � �

� ���$����� # � " �� # �-��� ) #�� � ��� � � �$# )�� # � ��� � ��� # � � � �$#�% � ��� � ��� # � � ) # ����� % )�� ��� � # ��) � � � - � � ��)�� #&(� � � ) ��&(� �*���� ��� � �� �� � � # � � �� ( � �

6W 7E8 + P � /7 � � � � # � L � � � � 7 � � � Q �) #ML � ( � ( � � � 6W 7E8 +� #L � �) #,L � ( �

+ ����� ������ � ( � � � � 6W 7E8 + � 7 � � � �) #ML � ( � � � � � 7 � � � � � � � ���$����� # � % �

� % � # � )�&'& ) #�� ����� ��� � H �-)*� # � �&(� �� ) #ML � ( �$#�% �� ) #*� � ���$����� # � % � � � �-������� � % �&(� � � 7 � � � /7 � � � � # � L � � � � 7 � � � � : �7?F �

� 7 � � � � � �� ���$����� # Z � �

� ��� ��) �� & ) #�� ������� - � � ��)*� # &(� � � 7 � & ������) # ��� � � � � ) #�� & � � ��� � < � 7 � F � ( � � � ��� � * < � 7

� F � ( � 7 � � � + � � #L � < � 7� F � (

�� ���$����� # Z � �

� �� ���-� � � ) # � ��� � ��� # Z � � �/#�% ) # ��� � � � � �1� � ��� ������) # � ��� �$� � � � � � � ��� � � �P < � 7 � F � " � 7 � � Q ( � � � #L �� (� < � 7 � F � " � � � � ���$����� # Z # �

< � 7 � F � ( � 7 � � � � � 7 � � � � � �L S � S < � 7� F � ( � �L S � S � � ���$����� # Z � �

� � �� ��� ��� �� 7 � � � � �L S � S * < : � 7

� F � ( � � + � � ���$����� # Z � �

Page 300: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1�$#�% � �������-&(� ���

� � ( � � � � 6W 7E8 + �L S � S * < : � 7� F � ( � � + ) #ML � ( � � �'� ��� � # Z=Z��

��) � � � ) � �- � ���� � ������)�� # ���!� ����� � ) � ) #"� � � - � � ��)�� # � ��� � ��� # � � � ��� ) � ) � ( � � � � � � � � � � � � ( � � 6W 798 + �L S � S * < : � 7

� F � ( � � + ) #ML � ( � � �'� ��� � # Z � �� �"!�%#� � � �%� @ � � � ��� ��� 2 � �� � �-�1� - � � � )*� # � � � � ) # ����� � � � ����� � � % ) #"� � ��� � � )*� # �!, � , F � � ��, � , # � )���� � ��� � � � #�%"� � & ��� #�% )�� )*� # � ) � � #�� )�� ��

� �

! � � +� �� � * � �

�� � + � +� � ���

� � � � � � � , � , # � � , � , F � � � � � � � � � �

�� � � # � � � � � �

� � � � � � � � � � � F � � � � � � �1������� � �%$ � ) #�� � � � � � )*� # �$& �/� � ) � � �*�- � � � � � � � � ����� � � �RN� � � � � � � ) �������� 2 � �� � �-�1� - � � � )*� #�� �� � � % �� )

�� * � � / + / � � �

� � � � / / � � � � � � * � � / + /�� � / /

�� � � � �'� ��� � # Z �� � � ��) � ��� % )�� � � ��� � � � #�%"� � & ��� #�% )���)�� # � � � �������R@ ������� � 2 )*� � � )��*��� ���� � �

�*� � &(� � � �$#�%�� )��� � � � � �� � * � ��� � + � � �� � � � � � � � / � # � � � ����� � �

� / / � � ��� � � � � �

� �'� ��� � # Z " �� ��� % ) ���-� � # � ) � �5� - � � ��)�� # � � � )

� � � / / � � � / � � � � � � � �'� ��� � # Z % �)*��/& � ������� � & � � 2 � � � � � # � � � ��� #�� & ������� � � ) # � �����

�� � � �� � � �� � � � �� � � � �'� ��� � # � � �

Page 301: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �� �� �) # �-� � � � # � ��� �� � � < ( �$#�% ��� # ����)�& � % � 0 # � B � � � ) � � � < ( � � ����� # �� ��� � B / � � � / � ��) � � � ) � ������������ � � �1� � )������-) � � #��/� ������ ���� � �*� � )� � B / / � � BB � � � � B / � � L # � � � � � ���$����� # � � � )�� � � ������) � � #(�/� �*����

� 7 � P * L � �# + �� # # Q � � � �7 � L � � � � � # � ����� � � ���$����� # � # �

�$#�% �������-) � � # &(� # � ��)*� # B 7 � � � � �) # � 7 � � � � # � - ��� # ��� & ��� ��� ����� � �

� 7 � �'� � ) # � � 7 � # �'� � � ���$����� # � � �� �� � ��� % )�� ����� # ��) � �� - � � ��)*� # � � � � � ��� % � � �-��� � � / / � � �7 � � ��) � � � � �� ���� � # ��� � � � ������)�� #

� 7 � � � � � 7 �-� � � 7 � ��� 7 ) # � � 7 � � � ���$����� # � � �� ��� � � � #�%"� ��&��-� #�% ) ��)*� #�� 7 � � � � � & )*��� % � 7 � ��� � � �������� ���/� � � � ������)�� #)* ��)�� � � # �

� � � � � � 6W 798 � � 7 � �'� � 7 � � � �6W 7E8 � � 7 ) # � � 7 � # �'� ) # � � 7 � � � ���$����� # � Z'�

���) #�� ����� � � � #�%"� ��& ��� #�% )���)�� # � � �=F � � � � � � � � � � � � � � � � �

6W 7E8 � � 7 ) # � � 7 � # �'� ) # � � 7 � � � � � � � � ���$����� # � � �@ ) # ��� � � � # �!�$#�% � � < ( � � � �/# ��� � ) ��� � ��� � ��� #�� � � �

� � � � � � �6W 7E8 � � 7 ) # � � 7 � � ) # � 7 � � < ( � � � � , � , � # # � � ���$����� # � �

� �!� � � � ) # ���� ��� � �� ��� � 7 � � � ����)* � � �� � � � � � ��� � � �*� ��� � � � ) # � 7 �"! 67E8 � )�� �����! ��*� ��� �$������� � � #"� � �& ��� � � # � ��� ) # � ��� �/� � � � � � # # � � � � �� ����� + � ����)*�-�

Page 302: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1��� � H �-)*� # � � J 7 � &(�$� �����1&(� # � ��)�� # < ( � � )* � ) � � #�� &J 7 � � 7 �) # � � 7 � � � �

� ��

� � ��

� < ( � � � ) # � 7 � � �� #

� # # P � < ( � � � � ���$ � � 7 �� 7 � Q � �� �� 8 � ) # ��� � � 8 � 7 + � � & �� � �

� #� # #

� � �� < ( ��� � 7 �� 7 � � � � � � & � � � ���*� ��� � �

� #� 7 � # # P < ( � �-� � 7 � � � 7 ) # � 7 � �� �7 � � Q � �� � #

� # # � 7 � � �7 � � � P # � 7 � � � � 7 � � Q �� �� ) # ��� � 7 � � �� ��� � � � F � � & ��� ��� �1�����1 � ������)�� # ���!�����1� � ) � ) #"� � 2 � �� � ��� � - � � ���)�� # � ) � � #�� & )

� � � � � � 6W 7E8 �# P # � L � +

� � F� �� � � � 7 � � Q� L � +

� � � P � L � +� � � � F� � � � � � Q

�) # � � L � +� � F �� �

) # � � L � +� � F �� � �

� ) # � * � L � �# � �� # # � # � + �� �"!�%#� � ��$���� � �$#�% ������&(� # �-� )*� # ) # � # �) # ( � ) # � ���1����) � � # ��� � ����) � + � ��� )*�-� �-� )��� � ) # � � � �5&(� ��� �1������� � �%$ & ��� � � � ���5����� � � # ��� � �*)���) #�� &(� # � ��)�� # &(� � ����� � �- ���� &(� # �-� )*� # � 7 � ( � )

< > � � � � � 6W7E8;: 6 � 7 � ( � < > 7 � � � �'� ��� � # � " �& �� � 2/� � ��� ) � � � ) #"� � & � ��� ) # � ��� � ��� # � " � � � # �/������ � � � 7 � ( �5� � � � � � � &(� # � ��)�� # � ���� � � � � ) #

) # � ( ) # � � � 6W798;: 6 � 7 � ( � ) #ML � � : +W7E8;: 6 � 7 � ( � ) #ML � � 6W 7E8 + � 7 � ( � �) #ML � �� � �$#*� ) #�� L � � L ) # � ���10"� ������ �$#�% ���) #�� � :07 � ( � � � � � � 7 � 7 � ( � & )*�-� % ) # � ( ) # � � � 6W 798 + � :07 � ( � ) # � � L � � � 6W 7E8 + � 7 � ( � �) #,L �

� 6W 798 + P � � � � � � 7 Q � 7 � ( � ) #ML � � # 6W� 8 � �

�� + � ( � �) # � # ��� � � � �

Page 303: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �2 �-� # �� ( � # �$#�% ����� # � � ��) ����� � � � & ( � � � �-��� ��� % �- )*��� % � � �/# )�� # &(� � ) # � # ) # ( � )

) # � # �) # ( � � # 6W� 8 � �

�� + � # � �) # � # ��� � � ( � � ���$����� # � % �

� �"! �#� � � ��� � �-)*������� � � � � � � � �$# � )�� � � ��� � �$% )��� � )* � � � � ��� % � & � �� # ) &(� ��� � & % )��� � ) � ����� % � ��� )�� % ) � � � ���-� #"� �5&(�$����� � ) # � � � � � # ������������� �/# � ��� � �� ) � � � ��)�� # �� � �� ����� - � � � )*� #�)

� � �� �

� � � � � � � �� ) # � ��� � � 8 � � � � � ���$����� # � �

� ���! ������ � ���.�� � ��)*� #"� ��& � ) � � � ��)�� # � � � � � � # � � ) � � � � � �� �*� ��)*� # �$& � ��� &(� ��� � � � � � � � � �'� ) # � � � & ��) � � � ���1������� �- � #��$# ��� �$#�� �*� &(��� - ��� # ��)*�-��1������� � �%$ � # �$� � � �-� �$� % ) #"� ���- �$#�% )�� � � � � � � � � � �-� ������� - � � ��)�� #���� � * �

� � � + � �

� �

� � � � � � � �� �) # � ��� � , � , � � ��� � � � � � � � ���$����� # � �2 �-� � � � � � ������� � � ��)* &'& ������� - � � ��)�� #�

��� � * �

��� � + � �

� �

� � �� � � � � �

�< > � ( � � ��� � � � � � � � ���$����� # # �

+ � � ����)� � - � � ��)�� #�) � ���$����� # # � � � ���-2 � � ������)�� # �$&�� ��� &(� ��� � � � � � � ��� � ��� <?> � ( ���� � � )* �

� �� � * � � �� � + < > � ( �� �� �� < > � ( � � �

�< > � ( � � ���$����� # � �

� � �� ��� ��� ������� % ) ���-� � # � ) � �5� - � � ��)�� # &(� � � �*� ) �� +� �� � * � � �� � + � � �� � � � ���� � �!, � , �

� ��� � � � � � � �'� )* � � � #�% � % � � � � �� ���$����� # � �

� ��)* � � � � � # � - � � ��)�� # � � � � ��� ) �-��� � � � ������)�� # �$& � ���!&(� ��� ����� � ��� # �

�� �$# � � ��) � � ) # ����) #�� ) # � ����� - � � � )*� # � ��� � ��� # � � & )*�-� % ���)� � � �

� * �

� + � � � ���$����� # Z'�

Page 304: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� ��������� � � � # ���$�� � - � � � )*� #�

� �� � * � � �� � + � *�� + � � � � � � �'� ��� � # � �

)* � � �- ���� % )�� ����� # ��) � �5� - � � ��)�� # �/& � � % ��� � )�� � ����� � � # ��� � � � ������)�� #��� � ��� � J + � � *

� �� + � J � � � *

� �� + � � �'� ��� � # �

@ ) # ����� ���� � ������)�� # )* � � � #�% � %+� � � � ��� �� � � � � � J � � � � �$#�% ��� # ���� � �'� � �

�� ��� � ��� � � �

� * �

� + � � J + � � *� �� + � � �'� ��� � # #" �

� ��� � � � #�%"� ��& �-� #�% ) ��)*� # � ��� � � � � ) � �-���� � �J + � � � �

� � � � � � � �� � � � �'� ��� � # % �� � ��� � �'� � � �

� * �

� + � � � � �� � � � � � � �� � � � *

� �� + � �

� * �

� + � P � � � � �� �� � � � �� � � � Q � � �'� ��� � # " � �

� # ������ ) #�� � � �'� ) # � ��� ��� ����� � �� � � � � � ��� � �'� < > � ( � � � �'� � ��� � � � � ) # � � � � � �'� ��� � # " � �

� �� ) # ��� � � � � � � � � � � �10 #"� �*� & � �-��� ���� � ������)�� #�) � � � � � � � � �'� ) # � � � �

� * �

� + � P � � � � �� �� � � � �� � � � Q �) # � � � � �'� ��� � # " # �

� �� � #"�$# �-� &(� � - ��� # �-)*�� � � ��� � � � ) # � % � � � ) #�� � � � � �

� � � ��� � � �� ����� � �- � #��$# ���&(� � - ��� # �-)*�- � ��� ) � � � 7 � ���� � � 7 � ������� � � � 7 � L � � � # � � ��� � � � ����� � ) ��) � ����-� � �&(� � � � �� �"!�%#� � � �%� @ �$� � ������� ��� � � � - � � ��)*� # ( ��� � ) # � � & ��) #�% �-� ) ��� ������ �/% )*�� � �� ��� � � ) � ��� �-� � � � �� � ��)*� # ����& � �-�� � � � )* �$� � � � % �$#�% ����� ��� & � ���� � � � � � & �*) #�% �����-� �$� % ) #"� ���- � � � � � & ������ �-� � ��) #�� � � � # /� � ��� + ��� �����-� �������) # )�� ) � � ��� � ��� � ����� �1)* � �*� � % � � � � � ( 8 � � �/� � ( � � � � �

Page 305: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � Z1������� � �%$ � ���� ���� � ��� � &(� � � � � � � � )� � ) � � # � &���� ���

! ( � � � � +� �

� � * � ��� � + � � , � , � � � � � �

� � � #�% � % � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � � �

� ���$����� # " � ����) #�� �������� � � � � )*� # �$& �/� � ) � � �*�- � � � � � � � � � �'� B � � � N� � � � � �-�

� B / � �� * � � / + / B � � +� * � � / + /�

� B /B � � � � � ���$����� # " � �� ��)*�& )*�-� % � �) #�� ��� � �,@ ������� � 2 )�� � )*���*� �� � � �*� � &(� � � ) ��� � � � )�

� �

! � +� * � � / + / � � � � � , � , � � � � � �� � �'� � � � #�% � %+� � � � �� � � � � # � / � � � � � �

� ���$����� # " Z'�2 �-� � � � � )���� � � ��� � ��� # ����� � � # �-� � � �� �*��� )*� # &(�$� � )�

� � ��� � J + � � � � ��� � J � � � � � ��� � � ���$����� # " � �@ ) # ��� � � ��� )* � � � #�% � % � � � � � � � � � � J � � � � � �� � � �'� � J + � � � � �'� �� � # �� - ��� # � � &� � � � � # � / � � � � J + � � � � � � � � # � � /� � � � ��� � � � � ���$����� # " �+ � � J + N� � � � �/#�% )���� � � 3 ( � � � )* � �-��� � �$& �����1&(� # �-��)�� #

� � � ( � � #�

� /� � ( � � � ���$����� # "�" �2 �-� # �� �� � � � � � � � ����� � � �!� ��� � �)�� ) � � ������� 1&(� �������'&(� # �-� )*� # � ��� � ��� # "�" � �� ��� # � � � � � � � � � � � � � # � ����� � � ��� ��) � � # &(� # �-� )*� # � � ���� �� � ��� �'� � � � � � � ��� ��

��� � 2$� J + � � � � � � � ��� � � � � � � �'� �� ��� �� ��� #�% � - � � ��)*� # ) # � �'� ��� � # " � � ) B / � � � B )� � � �� ��)�� � � # � B /� � � � �� � �� B ��� � � ) ��� ����� � ������)�� # B ��� � � � � � < : � �� ( � � � # �-� � ��� �� �*� ��)*� # &(�$��� ���� � ) � ) #�� � �� � � ��� � )� # ��

� � � � � � 6W� 8 � B ��� � � � � � ��� �

6W� 8 � � � < : � �� ( � � � � � �'� � � ���$����� # " % �

Page 306: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1 ���-� � � � ��� �'� ! 6� 8 + � � � � � � � �'� ! 6� 8 + )* � �-��� ��*�-� � � � ����� � � #"� � �& �� � � � ) � � � � �$#� � ����� � � #"� � �"� ��� # � � � � � ) ��� ����� ��) � � � &(� # �-� )*� #�� �

� �� � � � �$#�% � ����) # ) ��) � � �-� #�% ) ��)*� # � � � � � � �/� ) # � + � ��� )*�-�� �-� )*�- ) ���� �-� � � ��� � � ��)*� & ���� � � � ��� # � ��� + �$��� )�������� � H �-)*� # � � � �

� � � �� �

��� � � � � � � � �'� � � � � ���-� � � � � �

��

� �� � � � �'� � � � � � �'� ��� � # % � �� �!�-���! ������ � � � ������ � � � � � � ����� ��� L � � � ��� ( � � � � � � � � �-�

� � � �� ��

�� � � 8 �� � �� � ( � ( � ( � �

� �� � ��# * � / �� � � � � � � �� � � � � + � � �'� ��� � # % � �

� �� ) # ��� � � � � � � � # � � � /� � � � � � � ��� ��� � � /� � � � � � � � � � � � �# � � �$#�% � � ��

� � � � �# P � �� � � � � � � �� � � � �� � �� Q � � �# � � �� � �� � �� � �� � � � � � � �'� ��� � # % # �� �!�-���! ������ � �

� ������ ���10"� � � ��� � ��)�� # ) # � ��� � ��� # % � � �/#�% ��� ��)����

� � � � � ��� � S � � � � � ��� � � � � �'� ��� � # % � �

� � ��� � �� ��������� ) # ��� � � � � ) # � ��� � ��� # % � � � �� � � � ������� � # ��� &(� ���'��� � �&(� � � �� ����&(� # � ��)�� # � ����������10"���� # &(� ��� ��� � �) # �����-� � � � � % � �$#�% � ����) � ��) # ��� � � � � )*� # � ���� � �� ( S � � � ( � � ( � � ( � ( � � � ( � � ( � � ( � �� ( � ( � + � ( � + � (� ( � ( � + � ( � � � # ( ( � + � ( � � ( � ( S � + � ( � � � # ( � � /� � ( � � (� ( S � + � ( � � # ( � � � � ( � � � � ( � � � ( � � ( � � ( S � � ( � � + � ( � � # ( � � � � ( � �

Page 307: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � & �����-� ( � � � � ) # � ��� � ��� # % � � �/#�% �� ������� � � � � ��� �-� � � )*� # � � � )�� �

� � � � � �� ��

� ��

( S � � � ( � � ( � �� �� P � ( S � � ( � � + � ( � � # ( � � � � ( � Q ��� �

� �� P � � S� � � � � � � + � � � � � #� �� � � � � � � Q� �

� �� P � S�� � � �# � � � � � � � � � #

� �� � � � � � � Q� � � � � � �� �� P �# � � �� � � � � #

� ���� � � � � � � �� �� P * # �

�# + � �� � # � Q �� ���$����� # % � �

������� � � �* � ���� % � ����� ��� � ��)�� # � + � � � � � � � / � � � � � � � � � � � � � # � � � � # ���� � �) #�� � � � &(� ��� � ��� � ��� # % � � � ) # � - � � ��)�� # � ���$����� # % � � � ) ��&(� �*���� ��� � �� � � " � ��

� �� � � �� � � � � �� � � � � � � � � � �� �� P * # �

�# + � �� � # � Q� " � � # � �� � � �� � # � �

� � � ��� � � �� � � � � � � � � � �

� ���$����� # % Z'�� �� � � � � � � ) �! ��*)������� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � 0 #"� �*� & � � � �$# � ) ������������ �*� ��)*� # �

� � � � � � 6W� 8 + "

� � � � # � �� � � �� � # � �

� ��� � � �� ��� � � � � � � � � < : � � � � � & ( � � � � � � � � � � ���$����� # % � �

������� � � � � � � � � �� /� � � � � � ���� �"! �#� � � ��� ! ��� ) � � � � � � #�% � % �$�*��� )*� # � �$& ������&(�$��� � � � � � � � � �'� <?> � ( � ���

������� - � � ��)�� # � �� �� ( � � +� �

� � * � ��� � + � 7 �� � � � , � , � �

��� � � � � <?> � ( � � ���$����� # % � ������� L � )* �$# ) # � � � �-� � + � � ��) � � �$� �*���-��$& � � � � �������!)* � �� �*� ��)*� # �$&����)� &(� ��� �� ����� �M2 �-� � � � � ��� �� # ���� � � � �����-� ��� � )* �� � �� �*��� )*� # � � ���� � ��� � � ��� � ��� # % � �@ ���� ���� ��� �� ������)*� �$�*��� )*� # ) # � % �-� ��� � � � �1������&(�$�*�*�� ) #�� ���� � �*� � )�

� �

! �� �� ( � � +� �

� � * � ��� � + � 7 �� � � � � � , � , � � � � � �

��� � � � � ) # � � )� � � � #�% � % � � � � � � � � � ( � � � � � � � �

� ���$����� # % " �

Page 308: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ��" ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 11������� � ��� ��� $ 2 �-� � � � � � ��� � ��� <?> � ( ) # � ����� - � � � )*� # � �'� ��� � # % " � � ����� #� � �'� � � � � � < > � ( � �

� � ��� � � < > � ( � P �� �� � * � � �� � + � L �� � � � ��� Q < > � ( � � �'� ��� � # %'% �

�$#�% ��� # ����� �� � * � � �� � + � * � � � L �� � + � � � / / � �

� � / � * � � � L �� � + � � � � �'� ��� � � � � �� - � � ��)�� # � ���$����� � � � � )* � � �- ���� % ) ���-� � # � ) � �5� - � � ��)�� # �$& � � % ��� L � )���� � � # ��� � � �$�*��� )*� #

� � �'� �)� � 7 � � ��� � � � 7 � � ��� � � �'� ��� � � � � �@ ) # ��� � )� � � � #�% � % � )* � � � #�% � % � � � �� �!� � � � � 3 � �/#�% ��� # ��� � � �'� �� � 7 � � �'� � + ����� ���������) #�� � � � #�%�� ��& %�� � � ��� � � � � � ��� � <?> � ( � <?> � ( � ) � ��1� � � �� ��� � � � � ������� � � & � ��� � ��� � � � � � � # �$� � � � � � � � � ��� � � � � 7 � � � � � � � �� )�&� 7 � � � � N� � � ����� # � � �� � 7 � � � �1�$#�% ��� # ��� � � ��� � �����!&(� ���*�� ) #*� � ������)�� #&(� � � ����� - � � � )*� # �& ��� � � ��� � ��� # % �

� � � � � � � � �'� < > � ( � � 7 � � ���� 7 � � � � < > � ( � � �'� ��� � � � # �

1������� � ������� $ & ���� �������1&(� # � ��)�� # � % � 0 # � % ) # � ��� �$#�%�# �$����� � � �

� � � � � � � � � P� � ��� < > � ( Q ��� � �'� ) # � � � � 7 � � ���

� 7 � � � � �) # � � � �'� ��� � � � � �)* � �$�*��� )*� # ���'����� 0"� � # � - � � ��)�� # ) # � ���$����� # % " � � 2 � � # �� � �

�� � � ��� #

� � ��)* 0"���� ����) # ) ��) � � � � � � #�%"� ��& �/� ������ ���� � �*� � )����� ����

!���

� ( � � +� �� � * � � �� � + � 7 �� � �

� ��� � � � � ��� � � � � � ��� � � � � ) # � � ��� � � � � &� � � � � & ) # � � � � �� � � � � � � �� ( � � � � � � ( � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � � � &� � � � � & �

� �'� ��� � � � � ����) #�� �� � � � ��)�� # �$& �$� � ) �#� �*�- � � � � � � � � � � � ��� B � � � N� � � � � �-�� B / / � �

� �� � � � � / � B � L �� � � B � B / /B � +� � � � / � /�

� L �� � � � � � � �'� ��� � � � Z��

Page 309: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � % ��) � � & )*�-� % � ���1&(� �*���� ) #�� � � �-) � � #��/� ������ ���� � �*� � &(�$� � �$#�%'B )�

� / / � +� � / � * � � 7�� � + � � � �

� ��� � � � � � )* � � � #�% � % �� ���$����� � � � �

�$#�% � B / / � � � B �B � � � � � � ���$����� � � �� ��� � - � � � )*� # &(� � � � � �'� ��� � � � � � )* � � �- �-� ��) � � #(�/� �*���� �� � � ��� � �/&�� � % ��� L ) ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) � ��� � � # �-� � � � ������)�� # ��� � ��)* � - � � � )*� # )�� ) � � #�� &

� � �'� �)� � 7 ��� �'� � � � 7 ��� �'� � � ���$����� � ��" � ������� �"� ) � � � % ) � �����-� # �� - ��� # �����$& � � � #�% � %�# �- � ��� ��� � � � � �/#�% ������� � �&(� � � � � ��� � � � 7 � � ��� � + � � � # � # � � � ) � ) � � � ������)�� # � � ��� � � N� ��� � ��� # � ���� �$� #�%"� � & %"� � �

� ��� � �)� � 7 � � � � � � � � � 7 � � � � � � � � ���$����� � � % �2 �-� # �� � � � � � � � # � ����� � ������� � ) ��) � � �-����� &(� � � 7 � ( � � � ��� # � � � � � ���$#�%��� �� ��� � & � ) ��� � � � � � � � � �� �&(� � � ���� � ������)�� # &(� � � �'� ��� � � � � � � � �B � B ��� � � � � � ) # � � � ��� � �-� � � ��� � ���$����� � � � � ������� B ��� � � � � � � � � � � � � � � # � ����� � � � �� � � ��� � B ��� � � � � � ) # � � ��$#�% ��������� �-�� � ) ��)�� # & )*��� %

� � � � � � � 6W� 8 + � � ) # � � � � 7 ��� � �'� � � ���$����� � ��� �

+ � ��� � ��� � ��� � ��� � � � �-�� ( � � � � � � 6W

� 8 + � ��� �'� �-� � � � � � 7 ��� � ��� � � ���$����� � � # �� � # ��� � � & � ����) # ) ��) � � %�� � � ) # � ��� � ��� � � � � )�� &(� �*���� � � � �

� ( � � � � � � 6W� 8 + � � � � � 7 ��� � ��� � � � � 7 � � ���

� 7 � � � � � � ���$����� � � � �

Page 310: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� � 7 � � � �'� ! 6� 8 + )� �/# � � ����� � � #"� � �"� )*1&(� ������� &(� # �-��)�� # � � �-� , �

�� � � � � � ����� �

� � ��� � � � � � �� � � � � � ���'����� + � ��� )*�-� ��� � H �-)*� # ���$&� � � 7 � � �'�

� 7 � � � � )�� � � �-� � �-����!� ��� �"� )��&(� # �-� )*� # � � 7 ��� � ��� ! 6� 8 + � �/#�%�� � ����� � �� ��� % � ) � �

� � � � � �� � 7 � � � �'� � ��

� ��

� � � 7 � � ���� 7 � � � � � 7 ��� � �'� � � � � � �'� ��� � � � � �

+ � ��� �����-� � � � � � � � ��� �� � 7 ��� � ��� � �� � � �# P � 7 + � � � � Q � � � �'� ��� � � � Z��

��) � � ) # �-����) #�� ) # � ��� � ��� � � � � & )*�-� % � � � � # �

�� � �7 + � � � � � 7 � � � �

� �� � 7 � � ��� � 7 � � �� ����� � � � � �'� ��� � � � � �

� ���10 #"� � � ������)�� # )* # �� � ) � � #�� & ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7 � � �'�

� 7 � � � � ) # � � � 6W� 8 + � � �) # �

��� � 7 � � �� ��� �� �'� ��� � � � �� �"!�%#� � � �� @ � � � � ����� 2 � �� � �-� � - � � ��)*� # � � � � ) # ����� � & �*) #�% ��� )U& �� ( � � � � , � � � , � , , � ���-� � � � &(� � � � � �/#�% � � , ���$#�%

� ) # F �� � � � ���$ � F� � &(� � � � � �1������� � �%$ & � � �-&(�$���'��� � ��� ����� ���� � �*� � &(� � � � � � � ) # ����� � & �*) #�% ��) � � � ��� � � % ) �#"� � �� � � "! �

� �� � � � +� �

�� � � �

� �� �� � � � �!, � , � � � , � , , �

� � � � � � � � � � � , � � � � � � � � � � ) # F �� � � � �-� � F� � �

� �'� ��� � � ��" �@ � � � � ��)*� # �$& �/� ��) � � ���� ) � � � � � � � � ����� ��� �KN� � � ) � �-���� � �

* � / / � �� � / + � � � � / / � � � � / / � +� � /�

� � � / /�

� � � � �'� ��� � � � % �� ������) � � #(�/� ������ �$#�% �-) � � # &(� # � ��)*� # �&(� � ����� @ � ����� � 2 )�� � � )*���*� �� � � �*� � &(� � � )�

� / / � � ��

�� � � � �

� , � � � � � �� � � � 7 � � 7?F� � � � L � � � # � ������

��� � � � 7 ��� � � ) # 7.F� ��

Page 311: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� ���� �������-&(� ����� ��� % )�� ����� # ��) � �5� - � � ��)�� # &(� � � )� � )������ # � &(�$�*�*��

� / / � �� � / � * L �, + � � � � � � � � / / � � � / � * L � �, + � � � � � � ���$����� � # � �� ���$����� � # � � )* � � � % )�0"� % � �� ���� � % )�� ����� # ��) � ��� - � � ��)*� # � � � ���.�� � � � � �- ������

% )�� ����� # ��) � �5� - � � ��)�� # (�� � ( � � ) ��� ����� � � # ��� � � �$�*��� )*� #� � �'� � � � � * L � �, + ����� � * L � �, + � � ���$����� � # � �

�������� � � ( � � � : � � �

� � ( � �$#�% � �� ( � � � # � : � � ( � � � � � ( � ) # �

��� � � � ( � � � ���$����� � #�# �� � � � � � �'� )* � � � #�% � %+� � � � ) � ���)*�- � � � � � � �� � � � & ������ ��� �$# � � �

� � � � � � 6W 798 + � 7 � � * L � �, + �) # L � �, �� ���$����� � # � �

���) #�� ����� � � � #�%"� ��& %"� � � � � �-� � � � � � � 6W 798 + � 7 � � * L � �, + ) # L � �, � ) #

� �, * � � ��� �

�, + � �) #

� �,� �#� ) #

# � �, �

� % � # � )�&'& ) #�� � ������� � H ��)�� # �� �$& ) # 7.F �� &(� � L � � � # � ����� � )���&(� ���*�� � � � ����� ���

!� + � � * F �� +1 ) # F �� � ) # F �� � � + � � * F �� + � � ��

�� � * � F �� + ) # � F �� � � +

� ) # � F �� � �

�� � * � F �� + � � +

��

� 7 � � * 7?F �� + ) # 7.F �� � � � � 7 � � * 7.F �� + � � � L ��� ���$����� � # � �� � ��

� + � �� � � F �� � � �

�� � �# � � � � F �� � � � 7 � � � L� �

�� ���$����� � # Z'�

� # �-��� ) #�� ����� �/� �*���� �$& � > � � � � � # � ��� � ) # � �'� ��� � � # � � � � � � ����� % ���)*��� % � ������)�� #

� � � � � � � � � F �� �� � � F �� � �) # * ��, + � � � � � F �� �# � � � � F �� � �) # *

# � �, + � � ���$����� � # � �

Page 312: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� �"!�%#� � � ��� + ) #�% ����� � � & # ��� ) � ��� � ( � �$& � � � � �� % � � � �-� # ��� � � � ) # ) � )����-������) # ��� � � � � � 6

�P � ( � �

� ( � Q � < : � � ( � � �'� ��� � � # �1������� � �%$ & ���� � ����� 2 � � ������� � �$� & # ��� ) � �� � � , 7 ! 6� � ��) � � � ����� ��� ��� � � #�� ��� #� � � � � ) ���+� ��� �-) � � ��&(� # �-� )*� # � � ( � � ( < : � � ) # � ��� �� � � �*� � � � � � � � &����� �����! ��*� ��� # ��� � , 7 ! 6� � � ����& � � & # ��� ) � ��� � ( � �$& % � � ����� � � � � � � � � # � �����)* � ��) # � � � ��� � � ) #�� ��)�� # �$& , � � , + � ��� � � , � � � � �� �*� �

�� ( � � � � , � � ( � � � + , + � ( � � �

�,�� ( � � �W

� 8 � � � , � � ( � � � �'� ��� � � # " �� ��� # � ����) # ��� � � � ��)*� 6

�P � ( � �W

� 8 � � � , � � ( � Q � < : � � ( � � � ( � �W� 8 � J � , � � ( � � �� � � & � � �'� ��� � � # % �

)* � ) # ) � � ��� # � &!)�& J � � � � ����� 2 � � ���-� � � ��� � H �-)*� # � &(� � � ( ) ��� � �-� � �-� ��������� ��) � � � &(� # �-��)�� # � � ( � � < : � )

J � � �� �

� 6� � ( , ��� ( � < : � � ( � � 6

� � ( , � � ( � < : � � ( � � �'� ��� � � � � � ���-� � � &(� � � ��� � � �!� � &(� # � ��)*� # � ���� � % � ��� ����� ����� & ��� ��� � � � � ( � ��� � � ������ � �� ���

� � � �� , � �

��� L �

�� L � � � � � ��� 8 � L �

�� L � � � � L �L � � � � � �'� ��� � � � � �

& ����� � � �*� � &(� 0"���� 2 �=- ������� � � � & # ��� ) � �� &(� � � � � �, � � ( � � � � , + � ( � � � � ( �$#�% ,

�� ( � � � � # ( � ( �# �

� �'� ��� � � ��# �� � �� � � �!�-���! ������ J � � � � � � � � # � � # ��� % ��� �-��� ������1) # � � � � � �*��/& � ���1&(� ���� 7 � � 6

� ( �� ( 7 < : � � ( � � 6� ( 7 � : + < : � � ( � � �

� L � � # � � � L � �# ��� � L � �# � �

Page 313: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ��) � � � �-��� �������&(� � L � � � � � # ��� ) � �

� � � � 6� � ( < : � � ( � �# � � �# � � �# � � �

� + � � 6� � ( ( < : � � ( � � # � � � # � � � # �# � � �# � � �

� � � ���� � 6

� � ( ( � < : � � ( � Z# � � Z# � � Z# � # � � � # � � Z# �� � � � � Z" � � �� ������ ) # ��� � � � �� � ) � �1��

J � � � 6� � ( � < : � � ( � � � � �# � � �

J + � � 6� � ( � � � ( � < : � � ( � � � � � + � �# � � � � # � � � � �� � � �J � � � 6� � ( � � � # ( � ( �# � < : � � ( � � � � # � + � �# � �� � �# � �

� � � Z� � � � � � � �� � � � �

� ���$����� � � � �

+ ) #�� �*� & � ) # ������ ) #�� � ������ �/� ������ ) # � ��� � ��� � # " � � � �-��� ( � � � � P �# � � �� � � � ( � � �� � � � � # ( � ( �# � Q � � �� � � � � � ( � �# ( � � �

� �"! �#� � � � � + ) #�% ����� � � & # ��� ) � � � � ( � �/& � � � �$�� % � � � ��� # � � � � � ) # ) � ) �-��������) # � � � � � �

� � � 6: 6 P ( � � �� ( � Q � < : �

� � � � ( � � ���$����� � � � �1������� � �%$ � � � � � �1������ ���� � ��� � ���� � � �-��� )����� � � & # ��� ) � �*� 7 � ( � � � � � � 7 < � � � 7� ( 7 < : � � � � ���$����� � � Z'�

��) � � � � ��� � ����� � � #"� ��� # � ����� � � � �*) # � � � � � � � � + )�� �� �� � � ��) ����� � ���� �

��� � � �� � � 6: 6 P ( � � �

� ( � Q � < : �� � � � ( � � # � 6: 6 P � � ��� � � Q � < : "

� � � � ���$����� � � � �

Page 314: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1 ���-� �

� � � � �� � # � � � �� ) # ���!� ���!&(� # �-� )*� # � )*1� � � # �$#�% ����� � ����� ) ��

� � & # ��� ) � �* � � 7 ! 6� � � ��� ��� ��� � � #"� � � # � )�� � ����� � � � ��� ����� �-) � � � &(� # �-� )*� #

� � ( � � < : � � ��� � & � � �$#�%� � � ) # � � � # � ����� ) ��� � � & # � � ) � �* � ) � �

� � � � �� � # � � +W

� 8 � J � ����� � � � �'� ��� � � � �

� � �� ����� ) # � � � � � � � ��� � ��� � � � � �$��� % � � �-��� � � ) # ) �'��� � # � & )�& J � � � � � � � � � ������ � ����� ) ��� �-� � H �-)*� # � ��/& � � �

J � � �� �

� 6: 6 � � � � � � � < : "� � � �

� �� 6: 6 � � �'� � � < : "

� � � � �'� ��� � � � " � ���-� � � � � � # � � � # � � � � � � � # ��� � ��� )�����) #�� ����� % �-� � )*�* � � ������� � H ��)�� # �� � � �J � � �� �

� 6: 6 � � < : "� � � � �$#�% J + � �" � �

� 6: 6 # � < : "� � � �

�� # ������ ) #�� ) #VJ � �$#�%VJ + ) # � �'� ��� � � � � � � ��� ��� � � �

�� � # � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � # � � � � � � � � � � �

� ( � � � � # ( � � � � �� �/���1��� � � �-��� �����) #�� ����� � � � � � ) # ��� � � � �� &(� � J > � � � � � � # � ����� � ����������� % )*� �� �� # � �����-� #"� ��) � � � &')� ��� �� � ����� % ������� � � � � � ����� ) �� � �$# )�� # &(� � & � ( � � ( � � )

( � � � �W� 8 �

� # � � � � � ��� ( �# � � � # � � � � � � � � � � � �'� ��� � � � % �+ � � � ��� � � � & � ( � � ( � � ( � � & )���� % � � # � � � �� � � �-�

J � � � � �# � � � � � # � � � �$#�% J + � � � �# � � # � � � � � � � � �'� ��� � � � � � ��) � � � ���������� � � � � � � � � � �� �"!�%#� ��� ����� �-���-��� ) # � ����� �$� & # ��� ) � � � � ( � �$& � � � � � % � � ����� # � � � �� ) # ) � )����� ������) # � � � � � � � 6: 6 P < � � � � �

� ( � Q � ( < : � � ( � � �'� ��� � � � � �

Page 315: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � Z1������� � ��� $ � �'�� � � � ����� �� � � �*� � �1���� ����� 2 �#� ������� � � � & # ��� ) � �* , 7 � ��) � �� � ��� ��� ��� � � #"� �"� # � ��� ) # ����� �/� � � � � � � ) ��� � ��� ��) � � � &(� # �-��)�� # ( < : � � � � ��� � � )�� � � ��� �-) � � � &(� # � ��)�� # ( < : � � � � � � � � � � �

, � + &7 � ( � � ( : + < �L � � 7� ( 7 * ( 7 + < : � + � � ���$����� � � # �� ������ � �-���! ������1� ��� 2 �#� ������� �� � � & # ��� ) � �* �� �� � % � � ����� # )

, � + &� � ( � � ( : + < � ( < � � �, � + &+ � ( � � ( : + < � �� ( � ( � < : � � � ( : + < � � # ( < : � � ( � < : � � � # � (, � + &�� ( � � ( : + < �# � � �� ( � � ( S < : � � � �# ( : + < � � � ( � < : � � ( S < : � � /� �# ( : + < � � � ( � � ( � � � ( � � ( S � � � � � ( � �# ( � �

� ���$����� � � � �& � � �� � ��� � �� ��������� # � ��� �/& � ��� 2 �#� ������� �� � � & # ��� ) � �* ,

� + &7 � ( � �� , � + &7 � ( � � �� � � 6

�P , � + &7 � ( � Q � ( < : � � ( � �

� L � # �L � � � L � � � �L � � L � � � ������� ���� � % � ���-� � � � Z # )�� � � � � � � �� ���-�

�� ( � � �W 7E8 � J 7 , � + &7 � ( � � � ���$����� � ��� �

� ��� # ����� ) # ��� � � � � � �'� ��� � � � � � � ��� % � � � ) # ) � � ��)�& �$#�% � # � & )�& J 7 � � � � ���+ � ��� )���� ��� � H �-)*� # � +�$& < � � � � � � �$#�% � % ) ��� � ��� � �-� ��� � ��� 2 �#� ������� � �"� ���&(� # � ��)*� # , � + &7 � ( � � L � � � � � # �J 7 � �

� , � + &7 � ( � � ��� 6� < � � � , � + &7 � ( � ( < : � � ( � �L � � � 6� , � + &7 � ( � ( < : � � � ( �

� �$� �1��� � � ) ��� �������� � ��)�� ����)�� # � � S� ( ��� ��� �� � � � 6

� ( � < : � � � ( � � 6� * � � + � � � < : � � � � �� * � � + �

+�� � � � � � * � � + �

+ � � �� ���$����� � � Z'�

Page 316: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� �� &(� � L � � � � � # )�� &(� ���*�� � &(� ��� � ��� � ��� � � Z�� � � � � �

J � � �� � � � 6� ( < : � � � ( � � + � * � � + � � � � � �% �J + � �� � � � 6� � # � ( � ( < : � � � ( � �# � # � + � �� �� � �% � �# * � � + S � # � �� � �% � � �# � � � �# �J � � �# � � � 6� � � � � ( � �# ( � � ( < : � � � ( � �

� � � � +� � �

�� �# � S �� � + � �

�� �

� � S � � �% � * � � + S � # � � � �� * � � + � � � � � � � �

" � �� # ������ ) #�� � ������ �/� �������&(� � J > � � � � � � � # ) # � ��� � ��� � � Z�� )�� &(� ���*�� ��� � ��� ( � � J � , � + &� � ( � � J + , � + &+ � ( � � J � , � + &� � ( �� � �% � � � �# � # � ( � � � �

" � � � � � ( � �# ( � � � "" � � ( � � � # � �

� �'� ��� � � � � �1������� � � � � $ & ���-� ��� % �� � � ���-� � � � Z � �$#�% % �-� ) � ��������� � �$# )�� # �$& �����1&(� # � ���)�� # & � ( � � < : � � � � � � ) # � �����)*�� �$& 2 � � ������� �� � � & # ��� ) � �� )�� � � � � �� ) �

< : � � � * �� � � + + 6W 7E8 � , � &7 � ( � *

� � � + 7 � � �'� ��� � � � �� � ��� � �*� & � ��� � ��� � � � � �$# � � ���� � � % &(� � � � � # � � & � � ��� � ��� )������ % ����� % �-� � )*��) #.% �-� ) � ) #�� � ��� � ��� � � ���/#�% ���-&(�-��� ��� � � �$% ������� � ��� � � �����-)*�����$& � ��)*1�� �-� )*� # � �� # � ����� � � ��� ��� � � � � �� � �$#�% � � �$� � � ������) #�� � ���$����� � � � � � � �

< � � � � * �� +� � � + � 6W 7E8 � , � + &7 � ( � *� +�� +� � � + 7 � * � � + �

6W 7E8 � , � + &7 � ( � * � �� + 7 �

� ��)� � ��� % & )*�-� % �$# �� �� ) � � � � � �� � � ) � � ��)�� # �$& < � � � ) # , ��� � � � � � )���� � � ( � �( < : � � )�� � � � � & # ��� ) � � �$& % � � � �-��� � ��� # )����) #�� �$&������0"�������������� 2 �#� ������� �

Page 317: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �$� & # ��� ) � �� ) ) � � � �

�� ( � � * � � + � P , � + &� � ( � * � �

� + � � , � + &+ � ( � * � �� + + � , � + &

�� ( � * � �

� + � Q� � �% , � + &� � ( � � � �# , � + &+ � ( � � � �" � , � + &� � ( �� � �% � � � �# � # � ( � � � �

" � � � � � ( � �# ( � �� "" � � ( � � � # � �

� �"! �#� � ����� � � ������� ) # � � � � & # ��� ) � � �$&�� ����&(� ��� �� ( � � ( S � � ( � � � ( � � �

��) � ��� ) # ) � )����� ������) # � � � � � � � +� � � � ( ��� � � ( � � ���$����� � � " �

1������� � � � $ � ���') # ��� � � � � � �'� ��� � � � " � )* � � ��� �!� � � #�% � % ) # ����� �/� � ��� � �$� � ������)� �� � � �*� � ���� � 2 � � � #�% � � � � & # � � ) � �* � ��) � � � ��� � ��� ��� � � #"� � ) # ,

�� � � � � � �� �������-&(� ��� � � �! ��*� & ����� � � �� )���� ��)*� # � � # ( � � ��) � �.��� �$# &(��� ( � � � � � �

) # ��� ��� �� � � � � � � � �� � �) # �-� � � � ( ����� )* �$# � � � # &(� # �-� )*� # ) ��&(� �*���� ��� � �� +

� � � � ( ��� � � ( � �# � +: + � P �# � � � � � Q � � �� �# * �" + �

� +: + P � S � � � � � � � � � J � Q � � � ) � �� # " �

� ���$����� � � % �� ��� # � )*�� ) # ) � � � ��� #

� � � +: + P � S � � J � � � � � � � J + � + � � � � J � � � � � � ! Q � � ��� � ���$����� � Z � �

������� � � � � � � � � � + � � � � � �$#�% � �� � � � +

�� � � � � � ��� ��� 2 � � � #�% � �! �$� & # ��� ) �

� �* � �$#�% J � � � � � � � � # � � � � � ��� + �$��� )���� �-� � H �-)*� # � �$& � S � � � �$#�% � % � # � ���� ��� ��� � � #"� � �"� �� � � � � � � � � + � � � � � � � � � ! &(� �� � � & # ��� ) � �* �$& % � � ����� # # )J � � �

����� � � � �

� +: + � S � �'� � � � ��� � � � � � � # � ����� � �

�� � � � � � � ## ��� � �

Page 318: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � " ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� � �� ��� ��� ������� + � ��� )*�-����� � H ��)�� # ���

������ ������

!J � � �

�� � � � � � �

� +: + � S � � � � � � � � �# � +

: + � S � � � � � �J + � � # � +

: + � S � � � � �� +�� � � � � � Z �J � � Z# � +

: + � S �# � � � � � � � � � � � � � %�% &(� # � ��)*� # �� �'� ��� � � Z � �

� � �� � )��� ) # ) � � � ��� #

�P �# � � � � � Q � �

"P � S � � J � � � � � � � J + � + � � � � J � � � � � � ! Q � �

" * � S �� Z � + �� �'� ��� � � Z # �� � # �� - ��� # � � & � ) ��� � � # ( � � � �10 #"� �*� & � � �

�� ( � � �

P �# � � � � � Q � * �# � + S ��

" Z � � * �# � # ( � � � + S � �

� � � # ( � � �� ( S � � # ( � � � Z ( � �# � � � �'� ��� � � Z � �1������� � � � � $ � # � ��� ��� #�� ��) � � � & � � � � � �1����)�� �� � � �*� � )*�� � ���-�

�� ( � � ( S � � ( � ��� ( � � � ( S ��� � ( � � � �'� ��� � � Z � �

� ��� # � ���� � � ��) ����� )*� # � � # ( � � & )*�-� % � � � +

� � � � ( � � � � ( � � +� � ( S ��� � ( � � � � ( � �# � +

: + P *� � �# + S ��� *

� � �# + Q � � � �� �� ��� � � )�� ���������� ��� #�%+% � � � �-�� � � & # ��� ) � �

� * ( +� + � � *

� � �# + �)� � � � � � � � � + � + � � � � � � � � � � � � � �'� ��� � � Z=Z�� ���-� � � ��� � � � ��� 2 � � � #�% ��� �$� & # ��� ) � �� �%� ��� # ����� ) # ��� � � � � � � ��� % � � � ) # ) � � �)�& �$#�% � # � & )�& � � � � �'� ��� + �$��� )���� �-� � H ��)*� # ����$& � � � � � � # � S ) # � ��� 2 � � � #�% � �� � �/# )�� # &(�$�� � � & # ��� ) � �� �$& % � � � �-� # # )

� � � # ��� �# � +: + *

� � �# + S � ��� � � � � � � �'� ��� � � Z � �

Page 319: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � %@ � � ��) ����� ) #�� ( � ( +

� ��� � � � � � � # � ( �$#�% ��� # ���

� � � # � � �# # � +�( S���� # ( � � � � ( � � # ��� � � � +

�( S���� # ( � � � � ( �

� � �� � ��� + � ��� )������-� � H �-)*� # � �&(� � � � � � � � # � � �������� ������

!� � � � � +

�( S � � ( � ��� + � �

� +� ( S � # ( � � � � ( � �

� +�� # ( � � ( S � � ( � %# �

��� Z � +

� ( S �# � � # ( � � � � � � � � ( � Z# � +� ( S � � # ( � � � # ( � # � � ( � �� �

� � &(� �*���� ��� � �� � ( � �)� � � � � # ( � � � � � + � + � # ( � � � � � � � � � # ( � � �� �� � � %# � � # ( � � � � �� �# � � � # ( � � � � � � �� � # ( � � � Z ( � �# � �

� ���$����� � Z ��$#�% 0 #"� ��� & �����! �$� & # ��� ) � � � � ( � � ��) � � � ) # ) � )���� � ��� ) # ��� � � � � ) # � ���$����� � � " �)* )

�� ( � � ( S � � � ( � � ( S � � # ( � � � Z ( � �# � � � ���$����� � Z " �

� �"! �#� � � �%� @ ���� � � � �� +�(� � �

� ( � � ( � ��� � #� � ��� �

� ���$����� � Z % �1������� � �%$ � � � � �*��� ��� � � # ��� � ��) #*� &(�$���'��� � &(� � 2 � � � #�% ��� � � & # ��� ) � �* )6W 7E8 � � 7 � ( � � 7 � � � � # ( � � � � � : + � � � � � # ( # � � � � � , � � � ���$����� � � � �

Page 320: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� # � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� & � ��� � ��� � � � � �$#�% � ����) � ��) # ��� � � � � )*� # � � � � ��� � � �6W 7E8 � �

� +�(� 7 � ( � � ( � � 7 � � +

�(

� � � # ( � � ��� (

� P ( * � �� + � � � # ( � � � � � + � � Q +� 8 � � �

�� +� � � � # ( � � �

� � (� � �� � � � # ( � � �

� � ��P � �# � #� � � � # ( � � � � � S�� � Q +� 8 �� � �

� � � � � � � �� � �

� � � # � � � � � S�� � �� 8 � + : � & � �� � �

� � � � � � S�� �� � �

� � �� � � � � � � � � � � � � � � �� 8 + � � � � � �

� � �� � � � � � S�� � � � � ) # ) � ���-�*������� �) #�� ! �

� � �� � �

� � � � S � � �� � �

� � � � � � S�� � � ��� � �

� � �P � � � � � � S�� � � � Q �

� �� ) # ��� � � � ( � � 6W� 8 ��� � � ( � &(� �

� � , ( , � � )�� &(� ���*�� ��� � �6W 7E8 � �

� +� ( � 7 � ( � � ( � � 7 � �

�� � �

� � �P 6W� 8 �� � #

� � � �� � � Q� �

�� � �

� � �P � � #� � �� 8 +

� 6W 798 +� � #L � � � 7 � � Q

� ��� � �

� � �

6W 7E8 �� � #L � ��� � �

� 7 + &� �

�� � �

�6W 798 �� � #L � � � � � 7 �

� �'� ��� � � � � �

� % � # � )�&'& ) #*� � ������� � H ��)�� # � &(� � � � � � ) # � �'� ��� � � � � � � �-���! ��*� ���� � ���� �� � �$& )� +� ( � � � � ( � � ( � �

�� � #� � � � �

� �'� ��� � � ��# �� �"!�%#� � � $�� � ��� � � # �-� � � ) #�� &(� # � ��)*� # �$& ����� � �-��� )���� � � � & # ��� ) � � � 7 )*

Page 321: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��# �� ) � � #�� & 6W 7E8 � � 7 � ( �

� 7L � � < � � � : �� � ( � � � � � � � � ���$����� � � � �

���� � ��� � ��� � � � � � �!�-���! ������ � /7 � � � �1������� � �%$ � ) ���-� � # � ) � � ) #�� � ��� � ��� � � � � ) ����� ��� � �-� ��� ( & )���� % 6W 7E8 � � /7 � ( �� 7L � � # � < � � � : � � � � ���$����� � � � �

+ � � ( � � � � �-�6W 7E8 � � /7 � � �� 7L � � # � < : � � � # � 6W

� 8 �� � � �)� �� � � # 6W

� 8 � � � � �� � �

� +� � �

� ���$����� � � Z'�� % � # � )�&'& ) #�� � ������� � H ��)�� # �� ) �! �� & ��� � �

� /7 � � � �L � �� ! # � � � � �� � � L � # ��� � � � � � � � � ��� �� � L � # �

�� ���$����� � � � �

� � �� ��� ��� �� /7 � � � � � "! # � # ��� � � � � � � � �� � � L � # ��� � � � � � � � � ��� �� � L � # �

�� ���$����� � � �

� �"! �#� � � ��� � � � � �*��� ��� � � # �-� � � ) #�� &(� # �-��)�� # &(� � ����� 2 � � ������� �� �$� & # ��� ) � �� )6W 7E8 � , 7 + � ( � � 7 � < : � � � � + : � &� � � � � + � ( � � � � � � , � � � ���$����� � � " �@ ���� � � � � �� ( , 7 + � ( � � � , +7 � ( � � � ���$����� � � % �1������� � �%$ � ) ���-� � # � ) � � ) #�� � ��� � ��� � � " � ) ����� ��� � �-� ��� ( � � �-�6W 7E8 � �� ( , 7 � ( � � 7 � � �� � � < : � � � � + : � &� � � � � + � � ���$����� � � �

Page 322: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� #�# ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1 ��) � � � �$#+� �* � � � � ) � ��� # � &(� � � N� � ��� 6W 798 � �� ( , 7 � ( � � 7 : + � � < : � � � � + : � &� � � � � � � � �'� ��� � � � �� �� � � � & � � ��)�� ��������� - � � ��)*� # � ��� � ��� � � � �

� 6W 798 � , +7 � ( � � 7 � 6W 798 + �� ( , 7 � ( � � 7 : + � 6W 7E8 � �� ( , 7 + � ( � � 7 � � �'� ��� � � # �� % � # � )�&'& ) #*� � ������� � H ��)�� # �� &(� � � 7 � � �-� � ��� % ���)*� � % ����� � ��)�� #�) � ��� � ��� � � % � �� �"!�%#� � � ��� @ � � � � ����� 2 � �� � �-� � - � � � )*� # � � � ) # � � ����-� ) � � � % ��� � ) #( � � � � � � � , � � � �/#�% ����� � � � #�%"� ��& %"� � � � � � ( � � � � � � &(� � ( � � � � � � � � � � �1������� � �%$ � # � �������) � � �%��� � � % ) #"� � �� � ��� ��)����1� ��� 2 � �� � �-�1� - � � � )*� #�� � � � � � � , � �

� � � ( � � � � � � � S �-� � ) # � � � � � � � � �'� ��� � � � �� ���� ) #�� ���$� � � )*� #�� �*� & ) #(�/� � ) �$# � �$�*��� )*� # � � � & � � 2/� � ) #�% � � #�% � # ��$# � � � � ) � �

� � � � � � 6W 7E8 � * � 7 � 7 � � 7 � :07 : + + � 7 � ��� � � � � �'� ��� � � � � ���-� � � 7 � ��� 2 � � � #�% � � � � & # ��� ) � �* �@ ) # ��� )� � � � #�% � % &(� � � � � ��� ��� � � 7 � � � &(�$� L � � � � � ����� �/#�% � � ��

� � � � � � 6W 798 � � 7 � 7 � 7 � �-� � � ��� S �-� � ) # � � � � S � �-� � � ���$ S � � �2 �-� � � �-� � � � ��� # � � � � � � � S ��� � � S � � � �'� ��� � � Z��

� � � � �*� # �� ����� 2 � � � #�% ��� � � & # � � ) � �*

� + ��� � � � �$#�% � S ��� � � �# � Z � S � � � � � � �'� ��� � � � �

Page 323: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��# �

(�

��

� �) # ������ � � ��$ $�� ��� � ����� �������) � � �%��� � � % ) #"� � �� �

�$#�% �����! ���� � � S � )Z # � S � � # � + ��� � � � S ��� � � � S � � Z � + ��� � � #Z � S ��� � � � ���$����� � �� � �� ��� ��� �� � � S � � + ��� � � � Z � + ��� � � #Z � S ��� � � #Z � + ��� � � #Z � S ��� � � � ���$����� � " ��$#�% ��� # � - ��� # ��� &

� � � � � � 6W 798 � � 7 � 7 � 7 � �-� � � �#Z � S � + ��� � � #Z � S � S ��� � � � ���$����� � % �

� % � # � )�0�� � ��)�� # ��������� � H �-)*� # � �) ��&(� �*���� ��� � �� + � � # Z � S � � + � #Z � �� S � S � � # Z � S � � S � � #Z� 7 � � � LON� � � � �

� ���$����� � " � �

Page 324: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� # � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� � �� � ���) #�� � �� � � �-� � � � � ��0 #"� �*� & � � � � ) # ������ �$�*��� )*� # �

� � � � � �)� + � � + � �-� � � � � S � S � S � ��� � � # � �Z � � + � ���$ � � � # Z � S � S � ���$ � �� # � �Z � ��� �� � #Z � S Z ��� S �� � �-� �# � # � �Z � � �Z � Z � S � � � � � �� # � �Z � � � Z � ( � � � � � � � � � � � S

�� �"!�%#� � � � � @ � � � � ����� 2 � �� � �-� � - � � ��)*� # � � � � � � � � � � , � , � , � �� �� ) #*� � ����-� ) � � �%��� � � % ) #"� ���� � � ) ��� ����� � � � #�%"� ��& ��� #�% )���)�� # � ) � � # � &� � � � � � � � � ���$ � � &(� � � � �

� � � � � � ��� � # � � � &(� � � � �� �'� ��� � � " � �

1������� � �%$ � ) #�% � � #�% � # � � ������)�� # � �$#�� � ��)������ #��

� � � � � � 6W 7E8 � * � 7 � 7 � � 7 � :07 : + + � 7 � ��� � � � � �'� ��� � � " # � ���-� � � 7 � ��� 2 � � � #�% ��� � � & # ��� ) � �* � � # ��� ��) #�� � ��� � ��� � " # � ) # ����� � � �� �- �)*� # &(� � � ��� � � � #�%"� � & %"� � � & )���� % �

��� ���

! ��� � � � � 6W 7E8 � * � 7 � 7 � � 7 � :07 : + + � 7 � ��� � � � � � ���$ � � � � � � � 6W 798 � * � 7 � 7 � � 7 � :07 : + + � 7 � �-� � � � ��� � # � � � # �-� � � � � �& ����� � � �*��� ���1&(� 0"� � 2 � � � #�% � � � � & # ��� ) � �� �

� � � �-� � � � � � � + � �-� � � � ��� � �$#�% � �� �-� � � � �# � � ���$ � � � � � �

�$#�% ��� � ) ���1����� � � � #�%"� ��& ������� � � ��� � � � � � � ��� � � � � � ��� �� � � � + � ��� � � � � � � � � � # �-� � � � � � J � � � � �-� �� � � J � � � � ��� �� � � J � � J � +� � � �-� � � � � � �� % � # � )�&'& ) #*� � ������� � H ��)�� # �� �$& ������� � �������� � ��)�� # � � � � � � � �-�� J � �

���� � � � J � � � � � �

��� � � � �S � � +S �S

� J � � # � J � � � S � � �'� ��� � � " � �

Page 325: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��# Z� % � # � )�&'& ) #�� � ������� � H ��)�� # �� �$& ����� + � ����)*��� � 2 � � � #�% ��� � ����)*�-�)���&(� ���*�� ��� � �

L � � )�� �

! � � � � �� � � �

� � � � �� � � �

���� ��

! � � � � � � ���� � � � � � �

� � � � � �� � � � � � �� ���$����� � " � �

L � � )�� �

! � + � � � +��� � �

� + � � � +� �

� � ���� ��

! � + � � � �� S � � S �

� + � � � � S� S � � S �

� ���$����� � " Z'�L � # )

�� �

! ��� � � � �� S � � �

��� � � � �� S � � � �

��� ��

! ��� � � S� � � � � � � � �

� � � � � � � � S� � � � � � � � �� ���$����� � " � �

L� � )�� �

! � 7 � 7 � � 7� 7 + � � �

� 7 � 7 � � 7� 7 + � � � � 7 � � 7 � � � � ���$����� � " �

� # �-��� ) #�� �����- � ��� � H ��)�� # �� ) # � ��� � ��� � " # � � � �-� �������� �*� ��)*� # � � � � � � � * � � � � �� + � � � �-� �� � � * � + � � � +� � + � + � �-� � �� * � � � � � � �� � + � � � �-� � �� �

��

� � � * �� �

�� � � � � + � � �

� S � � S *� S� �

� � + ���$ �� #

�� S

� � � � � * � � �� �� S + � �-� � � � � � �

� ���$����� � "�" �

� �"! �#� � � �� + ) #�%�� �� �*� ��)*� # ���!������ ���� � ��� �� ( � � � � � �� , ( , � � � � �

� ( � � � � � � � # ( � � < : � � � �� , ( , � �

� ���$����� � " % �1������� � �%$ � � �� � � ��� ��)* ���� � �*� � � ���� + � ��� )*�-� ��� �$# �&(�$��� � )�� � ����� � � � � � (��� � � � � ) # � � ( � � � � � � � � � � � � � � � � ���$����� � % � �

Page 326: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� # � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� � # ��� � � ��� � � � � � ��� � � � < : � � � ( � � �'� ��� � � % � � ���-� � � ��� � � � � � � � � # ( � � < : � � ) � � � ( � � � �'� ��� � � % # �� � �� � � # ��� % ��� �-��� ������1����� + � ��� )*�-� ��� �$# &(� ��� �/& � � ( � � � � � � ������� � �

� < : � � � � � � ��� � � � # �� < : � �� � � ��� � # � � � � < : � � � ��� � � � � < : � � � � �+ ����� ����� � � �-��� ������

�� ( � < : � � � ��� � � � � � � ( � � < : � � � ��� � � * �� � + � � < : � � � ��� � � � � � < : � � � � � / /

� � � * �� # < : � � � � + / � � � *

� �� � �# + < : � � � � �� � �� � � ( � � � � � # ( � � < : � � � � � � < : � � � � � # P � � *

� �� � �# + < : � � � � Q � � �# � � < : � � � � ��$#�% ��� # ��� � �'� ��� � � % � � � �$# � ��� � ��)������ # �

� ��� � � � � � �# � � < : � � ( �� & � � � � �'� ��� � � % � �2 �-� # �� � � � +� � +� � �$#�% �� ������� + � ����)*��� ��� �/# �&(� ��� &(� � < : � � � � � � � � �-�

� ��� � � � � � �# � � < : � � � � � � �# � � # � � � # �� < : � � � � � � � � �# � � # * � �� ( + � * < : � �

� � � +� �# � � # * � � ( < : � � � � � + / � � �# � � # � � � � � � ( � � < : � � � � �� *

� # + S�� � � � � � ( � � < : � � � � � �� � �� � � ��) ����� ) #�� �"� � 2 ) +

� �� � � � +� � ) � � � � � � # � � � � � � � � )���&(�$�*�*�� � � � �

� ( � � � � * �� � � � � + S�� � * � �# ( �� � � � � + < :��

�� � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � # ( � � < : � �� � � � �

� �'� ��� � � % � �

Page 327: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��# � �"! �#� � � ��� @ � � � �1����� �� � � ��� �� � � � � � � ( � � , ( , � �

� , � , � � � � � � � � � � � � � � � � � � < : ( � ( � ���$����� � % Z'�

1������� � �%$ � � � � � �1����)� �� � � �*� � � # �-� % ��� ����� � � � # ) ����������� - � � ��)*� #�) 2 �-� � ( � � � � � � ( � � � � � � ( � � � ���$����� � % � �

�$#�% % �-� ����� ) # � � � ( � � � � � � � � / / � ( � � ( � � / � � � � � � � � � ��� � � &(� ���*�� ���� � �� / � ( � � ( � # � � � ������� � / � � � � � � � � � � ) � � � � � � ( � � ( S � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � ��� #�% �� )�� �

� � ( � � ( S�� �

� �� ���$����� � % �

+ � ��� ����)� � ����� �� � � ��� � &(� � � )� )� � � � � � � � � � � � , ( , � � �� , � ,�� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � < : ( � ( � � ���$����� � % " �� �� � + � ��� )���� ��� �$# &(� ��� ����� �& ��� � � �'� ��� � � % " � )���� � ��� � �-� ��� � � ��� � � � � ) #�

� �

! �� � �� � � �� � � �

�� � � � � � � � � ��� � � � � � ��� �� � * �+ � � + � � � > �� + � � & � �

� ���$����� � %�% � ������� � � ��� � �� � % � ��� + � ����)*�-� � � �$# �&(� ��� < : ( � ( � � �+ � � �$#�% ( & � ( � � �� � �& � / ��� � � � ��� � � # �-� � � �� �*� ��)*� # ���!����� % ) ���-� � # � ) � ��� - � � � )*� # &(� � �� )* � ) � � � # �

�� � ( � � � �� � � � �-� � � ( � � � � � ) # � � ( � � ���$����� � � � �� � �� �� � � ( � � � � � � � � � �) # � � ( � � � � � � �-� � � ( � � �/#�% �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ��� � � # �� - ��� # � � & �

�� � � � � � �)� � � � ���$ � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �-� � � �� # �-��� ) #�� � ��� �/� ��������$& � � � �1�$#�% � � � � ) # � ��� � ��� � � � �1�$#�% �� ) #�� � ��� + � ����)*�-�) #(� �-� �)*� # &(� ��� ��� � � � �-�� � ( � � � � � �# � � 6: 6 � � � �-� � � (� � � � � � � �-� � � < > � � � � � �� � 6� � ���$ � � ( �) # � �� � � � � � � �-� � � � � �

Page 328: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� # " ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1% ���1� �'�����1& � � ����� � ��� ����� � ����� �)*� # � > ����� � � � �� + � � & � ��� � � � ) # �����1) # ��� � � �$#�% )��� %�% ) # � �� � # ��� ��� � � ��� ���� � ������)�� # &(� � � ����� � ) � ) #"� � ���� � �*� � � ��� � ��� � % Z�� � ) � � #+� )

� ( � � � � ( S�� �

� � �� � 6� � ��� �� � ( �) # � �� � � � � � � ���$ � � � � � � �'� ��� � � � � �� �"!�%#� � � � �,2 �-� & � , � � � �1�$#�% 0 #�% � � ������)�� # ��� ����� �� � � ��� �� �

� �� �� � �

� ����� � � � � , ( , � � �!, � , � �

� ( � � � � � � � ( � � � � & � ( � � � �'� ��� � � � # �@ ���� ��� � � � 6: 6 � � ( � � � � � � (�#

� 6: 6 � & � ( � � ��� ( � � �'� ��� � � � � �1������� � � � $ & � + � ����)*��� � � �$# &(� ��� ) #*� ) ��� ����� � � � ��� ( ) � ��� � � � � �

P � ( � � � Q��� � � � ������� - � � ��)*� #� � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � �� � � � � � � � �'� ��� � � � � �� �'� ��� � � � � � � � �� ��� � � # �-� � � �� �*� ��)*� #

� ��� � � � � J + ��� � �) # � � � � J � ��� � ��� �� � � � � �'� ��� � � � Z��� ��� � � � #�%�� ��& %"� � � )* � � �$# �&(� ��� � % � ) � ��� � � � � � �$#�% � ��� � � � � �& ��� � � � � # ���� J � ��� � � � ��� � � � � � �$#�%

�& ��� � � � ��� � � � � J + ��� � ) # � � � � J + ��� � � �& ��� ��) # � � � � � �'� ��� � � � � �

� � �� ��� ��� �� ��� � � � � ) # � � �

) # � � ��& ��� � � � �'� ��� � � � �

���) #�� � ��� + �$��� )���� ) #�� ���� )*� # &(� ���'��� � � � � � � ���� � ������)�� # � ) � � � ( � � � � �# � � 6: 6 �) # � � �

�) # � � ��& ��� � < > � � � � � � �'� ��� � � � " �

Page 329: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

��# %1������� � � � � $ & ��� �$#�� �� � �� ������� + � ��� )*�-� ��� �$# &(� ��� ( P �) # � � �

�) # � � � Q � � � � � ) # F ��� ��� �� F �� ��� ���$ F �� � � , � , �

�� ���$����� � � % �2 �-� � � � �$#�% � � � �/#�% �� �1������ & �!� �-��� & � ���*����� � � �

P �# � � �) # F ��

��� �� F �� � ��� F �� Q � ) # � � � ) # � � � � � ���$����� � � � �

��� ����� � � ��� �$# � ) ����� ���� � ������)�� # � � ( � � � � �# � � 6: 6 � �) # F ��

��� �� F � � : ( &� � ��� F �� & � � � � � � � ���$����� � ��� �� �+ ���� � ��� � ��� � � � � � �� � � ��� � ��� � � �1�$#�% � � ) �-� � � � �$# � ���-� ��� � ������-� � � � � ���� �-� � 6: 6 � � ( � � � � � � ( � �# � � 6: 6 � � ��� � � � � � � � � �# � � 6: 6 * �) # �

� ��) # � � � ��

��++ � � �& ��� � � ��� �

# �# � � 6: 6 ��& ��� � � ��� � �

� 6: 6 � & � ( � � ��� ( �� �"! �#� � � ��� + ) #�%�� ����)*� % ) � � ������)�� # &(� � ������� - � � ��)�� #

� / / � � / � � � & / � � � � � ���$����� � � # � ������� & / � � � )� ����� % )������) � � ��)*� # % ����) �/� � ) � �1�/& ����� # � ��� )�� % ) ��&(� # �-� )*� #

& � � � � � � &(� � �!, � # � �� � � &(� � � , � , #�

� ���$����� � � � �1������� � �%$ @ ) # �-��� ����&(� # � ��)�� #'& )* # � �-� )�� % ) � ��� ��� � #$, � # �/#�% ��� �� , � �$�

� ��� # � &(� � � , � , # � � �����! ���� ������� % )������) � � ��)*� # % ����) �/� ��) � �1�$& & ��� ) �& / � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � # ��� � � ���$����� � � � �

���) #�� ����� # � ��� )�� % ) � + � ����)*�-� �-� )*�- � � �$# �)*� # �$& �����1&(� # �-��)�� #V&�)& � � � � : 6W 6 J 7 � & � < > 7 �� ( � : 6W 6 J 7 � & � < > 7?F ( � � ���$����� � � Z'�

Page 330: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1& � � �

� � �� � �

�� �� # # �

��

� � � � � � � � � � � # �

& / � � �

�� � � ��

� � � � # ���� � � � ��$ $�� $ � � � ���1&(� # �-��)�� #V& � � ���$#�% ) �� % )��� � ) � ����)�� # % ����) �/� � ) � � �

� ��� + � ����)*���������)*�� � � �$# )�� # &(� � ����� % )��� � ) � ����)�� # % ����) �/� � ) � � & / )* � ) � � #�� &

& / � � � � : 6W 6 � L � J 7 � & � < > 7?F)( �: 6W 6 J /7 � & � < > 7.F ( � � �'� ��� � � � � �

� � �� J /7 � � L � J 7 � � �'� ��� � � � �� � # ��� � ��� % �-� ����� ) # � J /7 � �� � �*� # ��� % ����� + � ��� )*�-� ��� � H �-)*� # � J 7 � ������ )

J 7 � �#$, � �

: � & � � � < : > 7?F ( � � � �# � �: + � � � � � < : > 7?F)( � � � � �'� ��� � � ��" �

L � � � � J � � �# � �: + � � � � � � � � �# P � � � � � �# Q � : + � �� � � J /� � � � � �'� ��� � � � % �

Page 331: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �+ � � LON� � ������ � ��� � ��� � � " � �$#�% � ����) � ��) # ��� � � � � )*� # � �!�-���! ������

J 7 � �# P � � � � � < : > 7?F)(�� L � Q � : + � �# � �

: + < : > 7?F)(�� L � � �

� �# ��� L � � �# P < : > 7.F (� � � L � � � Q � : + � � �# * �

� L � � �� � � L � � � �� � � � 7� � � L � � � +� �

� L � * � �# + * � � �� L � � � � � � 7

� L � + �� � �� � &(� � LON� � � ��� ��� �J /7 � � L � J 7 � � �# * � � �

� L � � � � � � 7� L � + � �# � L � * � � L � � � � � � � � 7 + �� ���$����� � # � �@ ���!� ) #�� �� ��� ��� �

LON� � � J /7 � �# � L � P � L � �� * � � � � 7 � � + Q �$#�% J /� � � � � ���$����� � # � �

� �� ���*�-� � � � � � � � # � ����)*� % ) � &(� # �-� )*� # ) ��� � � � # �-� � � + � ��� )*�-�� �-� )*�- � )��� � � � � 6W : 6 � 7=< > 7.F ( � � ���$����� � #�# �

� � ��� / � � � � 6W : 6 � L � � 7=< > 7.F ( �$#�% � / / � � � � 6W : 6 � L � � � � 7[< > 7?F ( � � ���$����� � # � �

� �� ) # ���� ��) #*� ����� � � �$# )*� # &(� � � � � / � � / / � �/#�%O& / ) # � ��� � ��� � � # � � )���&(� �*���� ��� � � 6W : 6 � 7 P � � � L � � L � � � Q L < > 7?F)( � 6W : 6 J /7 < > 7.F ( � � ���$����� � # � �� % � # � )�&'& ) #�� � ������� � H ��)�� # �� � � � �

� 7 � J /7� � � L � � L � � � � �# L � � L � �� * � � � � 7 � � +� � � L � � L � � � �$#�% � � � � �� � # �� - ��� # � � & � �������� �*� ��)*� # )* � ) � � #�� &

� � � � � 6W7E8;: 6 �# L � L � �� * � � � � � � 7 +L � � � � � � � L � < > 7.F ( � � ���$����� � # Z'�

Page 332: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� �"!�%#� � � �%� � � ���-��� ) # ������� % )��� � ) � ����)�� #+% �-� ) �$� ��) � � & / � � � �$& � ��� �� �-� )*� % ) �

&(� # � ��)�� # & � � � � � � � &(� � � , � , � �� &(� � ��, � , ��

� �'� ��� � � #�� �� � �$#�%�& / � � � ) # �-��� ��*� � ����) � � # ��� � ����) � + � ����)*�-�������)*�� �$#�% ���� ����� ����������������� � �� ��������� + � ��� )*�-�� �-� )*�- � � �$# �)*� # �$& & � � � ) �������& �1������� � �%$ � ��� �/# �����) # �����10 � ��� � & / � � � � �/# � � � )������ # � & � � �

& / � � �

� # � �

�� �� # # �

��

� � #

� # � � � �

# � � � � # � # � � � � � �

� # � � � � � ���� � � � ��$ $�� $ $ � � ���1&(� # �-��)�� #V& � � ���$#�% ) �� % )��� � ) � ����)�� # % ����) �/� � ) � � �

& / � � � � 6W798;: 6 # � � � � � L � � � � 6W7E8;: 6 # � � � � � L � � # 6W7E8;: 6 � � � � � � L � � � � � � � � � L ��� �@ ) # ��� B � � � � � ��� �+� � � � 4 � # � B � # � � � � ��� # � ��� + � ����)*�-� ���� )���

Page 333: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �

� � �$# )*� # �$& ������&(� # �-� )*� #V& / � � � )* )& / � � � � 6W : 6 J 7 < > 7

� � ( � � ���$����� � # � ��������� ��� + � ��� )���� �-� � H ��)*� # �� J 7 � � � � ) � � # � &

J 7 � ���

�: + & / � � � < : > 7 � � ( � � � ����: + � # � � � � � � � # � � � � � < : > 7 � � (� #

� * < : > 7� � ( � < � + � #

� * < : > 7� � ( � � + � J � � � �

� ���$����� � # " �� � �� � ���������! ���� � + � ��� )*�-�� �-� )*�- � � �$# �)*� # �$& & / ) # � ��� � ��� � # � )* � ) � � # � &

& / � � � � #�

6W: 6 � 7 Y8 � * < : > 7� � ( � � + < > 7 � � ( � � ���$����� � # % �

� �$� �1��� � � � �� � � � � � L � � � ��� % � ���-��� ) # �1����� �-� # �� �$# ��� ����� ) # ����� + � ����)*�-� �-� )*�- � � �$# �)*� # &(� � & ��� )��

& � � � � 6W: 6�� 70Y8 � J 7� L � FS < > 7� � ( � � � � ���$����� � � � �

� ��� ��� � H ��)�� # � � � ���$� � �-� � #�% ) #�� ��� L � � � )�������! ���� � % � � � �

�� S� & � � � < � � � � �

�� � � � # � � �

� �� ���$����� � � � �

� � # ��� � )��1&(�$�*�*�� �� � � �1����� �-��� ��*� � + � ��� )����1���� )����� � �$# )*� # �$& �����!&(� # �-��)�� #& � � � )� ) & � � � � ��� 6W: 6�� 7 Y8 � <

: > 7 � � ( � �� L � < > 7 � � ( � � ���$����� � � # �

� �"! �#� � �%� � ���! ���� �1����� �����! ���� � + � ����)*�-�� ����)*�-��$& ����� # � � �-� )�� % ) � &(� # � ���)�� #D& � ( � � ( � ( � � � � � � # ����� ) # ����� �/� � � � � � � � � & � � � )*����� ���� �$& ����)* �-� )���� ������� � ) # � # � �$#�% � � # �1������� � � � $ @ ) # ���'� ���!&(� # �-� )*� # & � ( � )* # � � ����)*� % ) � � � ��� � 4 � # � # � � � ��$#�% ��� �������� �-���! ��*� � + � ����)*���������)*�� � � �$# )�� # &(� � & � ( � )� � ) � � #�� &

& � ( � � ( � ( � � � � � � 6W : 6 J 7 < > 7 � � � ���$����� � � � �

Page 334: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1 )�� � ����� + � ����)*��� ��� � H ��)�� # ��

J 7 � �# � � F:0F & � ( � < : > 7 � � ( � �# � � F:0F ( � ( � � � � � < : > 7 � � ( � � �'� ��� � � � � �� � �� &(� � L � � � � � �

J � � �# � � F:0F ( � ( � � � � � � ( � � � � �'� ��� � � � Z���$#�% &(� � LON� � ���) #�� � ����) � �5) # � � � � � ��)�� # )�� &(� �*���� ��� � �

J 7 � �# � P ( � ( � � � � � ��� L < : > 7 � ��� F :0F �

� F:0F � � ( � � � � � ��� L < : > 7 � � ( Q� � �# � P � � ( � � � � � < : > 7 �� � � L � � ��� F :0F �

� F:0F � ( < : > 7 �� � � L � � � ( Q� � �# � � � � � P ( < : > 7 �� � � L � S ��� F :0F �� F:0F < : > 7 �� � � L � S � ( �� 8 � Q

� �� �� � � L � S P � < : > 7.F � � � � � < > 7?F Q � �� � � L � S # ��� L �� �� � � L � S � � � � 7 � � � � � � 7 +L S � �

� �'� ��� � � � � �

� � # ��� ��� � � ��� � � �

& � ( � � ( � ( � � � � ��� � �6W: 6�� 7 Y8 �

� � � � 7 +L S < > 7 � � � �'� ��� � � � �1������� � � � � $ @ ) # ��� & � ( � )� �$# � %�% &(� # �-��)�� # � � ��� � � ��� + � ��� )���� ��� � H ��)�� # ��

Page 335: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � Z� 7 � � �$#�%

� 7 � #�� F�( � ( � � � � � ) #ML ( � (

� #�P ( � ( � � � � � � ��� L (L Q F � �� 8 �

� #� L

� F�� � ( � � � � � ��� L ( � (

� #L � P � � ( � � � � � �) #ML (L Q F � �� 8 �� � #� L �

� F�( ) #,L ( � (

� � � #� L � P (

��-� L (L Q F � � � #

� L S� F� ��� L ( � ( �� 8 �� � # �

� L S ��� L � � � # � � � � 7L S �

� ���$����� � � " �

� � �� � ���������! ���� � + � ��� )*�-�� �-� )*�- ��� � H ��)�� # �� � � � � ) � � # � &J 7 � �# ��� 7 � � � 7 � � � # � � � � 7L S � � ���$����� � � % �

�$#�% � � �-� � ��� � � � �-��� ��*� � + � ��� )*�-� ����)*�-� � �$# )*� # &(� � ����� &(� # � ��)*� #G& � ( � �( � ( � � � � ��� ) # � ����� ������� � � � �#� � � � �+ ����� ����� � �) # �-��� ����&(� # �-� )*� # & � ( � )� # � � ��� )�� % ) � � ��� ���� �$& � ��� + �$��� )����� �-� )���) # ( � # � )* & � # � � � & � � � � � � � ���$����� ��� � �+ � � ( � � � # � �-��� ������1���������� � ) �

& *� �# + � & *

� �# + � � �# * � �� � � � + � � � S" �

� ���$����� ��� � �� �"! �#� � "$�� @ � � � �1������&(�$�*�*�� ) #�� ���� � �*� �� "! � � � � � +� ( ( � � , ( , # � � � � � � ��� �

� � � � � � � � � # � � � � � # � � � J � ( � ( � � � � � � � ( � � � � ( � ( � � �� J � � ���$����� ��� # �

1������� � �%$ � � � � 2/�1������ ���� � �*� � ����� � � � # ���$�� ���*� � � ( � � � � � � ( � � � � � � ( � � � ���$����� ��� � �

Page 336: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1 �*� � ��� � � �

� / / � ( � � � � �� � � � � � � � � # � � � #

�� �'� ��� � ���'� �@ � � � ) #�� � �'� ��� � ���'� � � � � �

� / / � ( � � � � � � � ( � � � ( �# � � ( � � �� � � � � � � � � �

� � # � � � # � � # � # � � � # � � � � �� � � ( � � � ( �# �

� �'� ��� � ��� Z��� �� � � �-� � ��� � � � � # �-� �� � - � � � )*� # &(� � � � ( � � � ��� ) �� ! � � � � +� � ( ( � � � � , ( , # � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � # � � � � � � � J �� ( � ( � � � � � � � � ( � � � � � ( � � � � � � ( � � ( � �

�� �

��� J � � �'� ��� � ��� � ����) #�� �� � � � ��)�� # �$& �$� � ) �#� �*�- � � � ( � � � � � � ( � B � � � N� � � � � �-�

� / /� � B / /� B � � � � �'� ��� � ��� �� � �� ��� � � � ) # @ ������� � 2 )�� � � )*���*� �� � � ��� � � )���� � ��� � �-� � � � �/��� ( �$#�% � � & ��� � ��� ) ��� ����� @ � ����� � 2 )�� � � )*���*� �� � � �*� � ) # ( )� � / / � � � �

� � � � � � � # � � � �� �'� ��� � ��� " �

+ � � � , � � ��� � � # �-� � � �� �*� ��)*� # �$& � ��)*� �� � � ��� � )� � ) � � # � &� � ( � �)� ��� � � � ( � � � ) # � � � (

�� �'� ��� � ��� % �

� ��� � � � #�%"� ��& %"� � � & )*��� % � � � � � �)� � � �� � # � � � ) # # � � � � � � # � � � � L � � � ��N� � � � � �'� ��� � � Z � �� � # �����������-) � � #(�$� �*���- �$#�% ��) � � # &(� # �-��)�� # &(� � � ��� � ��� ��� " � � � � � ) � � #�� &

� 7 � � L � � �� � �$#�% � 7 � ( � � �) # L �# ( � L � � � # � ����� � �'� ��� � � Z � �

Page 337: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� �

� �&(� � � ��� � % � � #�% � # � % )�� ����� # ��) � ��� - � � ��)�� # � � �-� � &(� ��� � ��� & L � ��� � �B / /7 � � � 7 B 7 � � � � ���$����� � Z # �

)�� � � ��� � � # ��� � � � ������)�� #B 7 � � � � J 7 ���$ L � � � � 7 �) #,L � � � � ���$����� � Z � �

� �!��� � �� ��������� �-� � H ��)*� # �� ���� �1� ��� % ����) �/� ���1�/& B 7 � � � )B /7 � � � � � L � J 7 ) #,L � � � L � � 7 �-� L � � � B /7 � � � � L � � 7 � � ���$����� � Z � �

��������� ����) # ) ��) � � %�� � �

� ( � ( � � � � � � B /7 � � � � L � � 7 � � � � 7 � � � � ���$����� � Z[Z'�@ ) # ��� # �� � �$��� ����� % )�� ��� � # ��) � � � - � � � )*� # �$#�% ����� � � � #�%"� ��& ��� #�% )���)�� # � �������� � � � # ��� �� &(�$� � � � � ��

� � ( � � � � � � ( � B � � � � 6W 7E8 + J 7 ���$ L � � ) # L �# ( � � ���$����� � Z � �)* � ��� � � # ��� � ���� �*��� )*� # &(� � � �'� ��� � ��� � � � � � ��� � �� ��� J 7 ������������1) # )�� ) � � %"� � ���� � � �

� � ( � � � � 6W 798 + J 7 ) # L �# ( � ( �( �# �

� ���$����� � Z �� ����� - � � � )*� # � �'� ��� � � Z � )* �/� ��) % � ��� � � � � � ��� � �) #�� J 7 � � ��� + � ��� )���� �-� � & �0���)�� # ��'&(�$� ����� &(� # �-� )*� # ( � ( � # )�� � � �-� � �-� � � ����� �-���! ��*� ��� � � ����� � � #"� ��& �� � � � 7 � ( � � � ) # 7?F� ( ! 67E8 + � � � ��

J 7 � �� 7

��� * ( �

( �# +1 ) # L �# ( � ( � � ���$����� � Z " � �������

� 7 � ��� ) # L �# ( � ( � � � � ���$����� � Z % �

Page 338: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � " ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� � # �������) #�� � � ��) � ��) # � � � � � ��)�� # � � � �J 7 � �

�� * ( �

( �# + ) # L �# ( � (� P � * ( �

( �# + �-� 7?F� (7?F� Q �� �� 8 �

� ���� � � ( � �-� 7?F� (7?F

�� (

� P�� � � � ( � �) # 7?F� (7 � F �� Q �� �� 8 �� �

��

�) # 7?F� (7 � F �� � P�� �7 F � ��� L �# ( Q ��� � � � � � 77 F � � �7 F � � � � � � � 7 � �

* 7?F� + S� � � � L � # �+��7 F � L � # ��� �

� �'� ��� � � � � �

� � �� ������ �$�*��� )*� # � � � ����� - � � � )*� # & ��� � � ��� � ��� � � # � )� � ) � � #�� &� � ( � � � � � �

� S 6W � 8 � �� # ��� � � S ��� * � # ��� � � � � + ) # *� # ��� � � �# ( + � � �'� ��� � � � � �

�$#�% 0 #�� �*� & ��� � � ��� ���� � ������)�� # &(� � � ����� � ) � ) #"� � ���� � �*� � � ��� � ��� � � # � �*� ) � � ( � � � � � ( �# � � �

� S 6W � 8 � �� # ��� � � S ��� * � # ��� � � � � + ) # *� # ��� � � �# ( + �

� �"!�%#� � ��� @ �$� � �1� ���1&(� �*���� ) #�� � )�� ) � ���*� �� �� � � �*� �� "! � � � � � � � � &(� � � � � ( � � � � , � � � � � � #�% � % � � � � � � ) � & � � � � �) # � � � ��� � � ) # �$� � � �-� �$� % ) #"� ���- )� � � � #�% � % � � � � � � �'� ��� � � ��# �1������� � �%$ 2 � � � � � � � � ) # ������� ����-� ) � � �%��� � � % ) #"� ���� � @ �-� � ���� � ������)�� #

� � � � � � 6W 7E8 � * � 7 � 7 � � 7 � :07 : + + � 7 � ��� � � � � �'� ��� � � � � �� � � � )* � � � #�% � % &(�$� � � � ) �! ��*)��� � 7 � ��� + ��� �����-� � � � � � � 6W 798 � � 7 � 7 � ��� � � � ) # � � � ���$ � � � � ��� �

��-� � � �

� �'� ��� � � � � �

Page 339: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � %� � �� ) ��� � �-� � ��� ��� �6W 798 � � 7 � 7 � � � � � � � � � � � � � � + � � � �

� * � � � � � # � � � � +� #� � � � � � � + � � � #

� � �� � �

� ���$����� � � Z'�� % � # � )�&'& ) #�� � ������� � H ��)�� # �� � � � �

� � � #�� � + � � � �

�� � #

�� � 7 � � � L � #

�� ���$����� � � � �

� � # �� - ��� # � � & �������� �*��� )*� # )� � � � � � ��� � � � � �-� � � � � + � � + � ��� � � � � � � � � � � �-� � �� #

�� � �-� � � #

� � � �# � � �-� � � � � �� ��� # � � � � � � �-� � � � � �-� � � �

� ���$����� � � �� �"! �#� � ��� � ��� &(� # � ��)�� #G& � ( � )���-� # ��) # ��� �� �/#�% � � ����� + � ����)*��� � � �$# &(� ���

�& ��� � � � # � � � � �"��� �

� ���$����� � � " �! � � �-���-��� ) # ��������� � �$& & ) � 6: 6 & � ( � � ( � � � ��� ������ & � � � �1������� � �%$ ! � � �$���1��� � ��& ��� � � � # � � � � � ��

�� �& � � � � ��) ���� � � #

� � � � �"���

� � � � ���$����� � � % ����) #�� ����� % �-0 # ) ��)�� # �$& � ��� + � ��� )���� � � �$# �&(� ��� �$#�% � ���$����� � � % � & )*��� %

�& ��� � � � 6: 6 & � ( � < : > � � � ( � �& � � � � � 6: 6 & � ( � � ( � � � � ���$����� � � �� � � � � � �*� � ����) #(� �-� �� + � ����)*�-� ��� �/# �&(� ���

& � ( � � �# � � 6: 6 �& ��� � < > � � � � � � ���$����� � � �

Page 340: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � � ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1� ��� # &(� � ( � � ��� ��� � � �� ) #�� � ��� ) � ��) # ��� � � � � )*� # � ��� � �

& � � � � �# � � 6: 6 �& ��� � � � � �# � � 6: 6 � # � � � � � ��� � � � �

�� 6� � # � � � � � ��

� � �� ��P � �� � # � � � � � � Q 6� � �

�� 6�

�� # �� � �� � �� �

�P��

�*) ���� 6 � # � � � � � �� �� 8 �� ��) ���� � � # � � � � � �� �� ���� � � &

Q � #�P� ��� � �$# � Q 6�

� �� ��) ���� � �

�& ��� � � #� � # � � �

� � �� ��� ��� � & � � � � � �� �"!�%#� � � � � � ������� ) # � � ���� � ������)�� #'& � � � � � � � � &(� � ������) # ��� � � � �5� - � � ��)�� #� "! & / / � � � � � & / � � � � & � � � � �� (� & � � � � � � # < ( �& � � : � � � � & / � � � � � �

� �'� ��� � � # �1������� � �%$ & � 2 � �� � ����� � �$# &(� ��� ������� - � � ��)*� # � � � �-� ��� � � � & � � : � � & / � � � � � � � � � � & � � : � � �

� � � � �� � � # � � � � �'� ��� � � � �

� ��� # ���) #�� ������) # )�� ) � � %"� � � & )���� %

* � � � � � � � Z + � � � � � � � # � � � � �'� ��� � � � �� � �� ��� ��� �

�� � � � � � �" : + � � � � � � �

�� � � # � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � Z � � �� � � � � � � Z � � � � � � � � � � � �� �# � � � � �# � � � �� �'� ��� � � Z��

� � # ��� � & ������) #(� ���� � 2 � �� � ������� �$# &(� ��� � � �-�& � � � � �# < ( � �# < : ( � ���$ � � � � � � � � � �'� ��� � � � �

Page 341: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � �� �"! �#� � ��M2 �-� � ( � � � � �1�������� �*��� )*� # &(�$� ������) # )���) � � �$� �*���� ���� � ��� �� "! ( ( � � � � � � � � � � � , ( , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J � � ( � � � � � � ( � ( � � � � � � ( � � �� J � �

� ���$����� � �@ ���� � � � ��&(� � � � � ��� ��� �� F

� � ( � ( � � � � � � ( #� F� � � � ( � � ��� ( � � ���$����� � " �

1������� � �%$ � &������!�� � � � ��)�� # �$& �/� ��) � � ���� � � ( � � � � � � ( � B � � �DN� � � ����� � �1� �& )*��� % � / /� � B / /

� � B � � � � � � � � � � � � ���$����� � % �� � � � ) � ���� � ) � ) � ���� �*��� )*� # � � � ��� @ ������� � 2 )�� � )*���*� �� � � �*� � &(� � � )*� � / / � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ���$����� � " � � )�� � ����� � � # ��� � ��� �*��� )*� # � � ( � � � ) # � ( � � �-� � ( � �� ) #�� ����� � � � #�%"� ��&%"� � � � � �-� � � � � � � � � �$#�% � � � � � � �) # � � � � � + � � � # � # � ��� ) � ) � � � ������)�� # � � ��� � � N� � �$#�% ��� �� � � � � # � ����� � ) � � � � � � L � ��� � � ��'� �����) � � #(�/� �*���� �$#�% ��) � � # &(� # �-� )*� # &(�$� ������ ���� � �*� � � ��� � ��� � " � � � ���

� 7 � � L � �$#�% � 7 � ( � � ) #ML ( � L � � � ���$����� � " � �@ ) � )*� � � � & � ����� @ ������� � 2 )���� � )*�*��� �� � � ��� � &(� � B � ��� % � �� B / / � � � � � B � �B � � � � � � B / � � � � � � ( � � � ���$����� � " # � )�� �+����� � � # ��� � � �$�*��� )*� # B 7 L � � � � � 7 ) #ML � � � � 7 ��� L � � � � ) #�� � ���') # )���) � �%"� � � � � �-� B 7 � � � � � 7 � ����� � �� B 7 � � � � � 7 ) #ML � � �$#�% � &1��� �-�� � ) ��)�� # ) #*� � ( � � � � 6W 7E8 + � 7 ) #,L � � ) #ML ( � ( � ( � � � � 6W 798 + L � � 7 ���$ L � � ) #ML ( �

� ��� # ) #(� �$2 ) #�� �������� ��� #�% ) # )�� ) � � ��� #�% )�� )*� # & )*�-� % ( � ( � � � � 6W 7E8 + L � � 7 �) #ML ( � � � ( � � � ���$����� � " � �

Page 342: 98;:?5 @BA*C&C&Dmohammad/teaching/Fourier/Lecture... · 2010-04-01 · c 4 - .` >$ #- ),^"4 _ ? ¢ /£ &¤ © ¦ © « ¦ © ¥ £ ¦ ©°¯ ¦ © d d §" ©

� � # ������� ����������� 1���� �� � � �� � ��� 1+ ) #"� �*� & �� ) #�� � � �� � �/� � � �&(� ���'��� �� F

� � ( � ( � � � � � � ( # 6W 798 + � L � � 7 � � ��� � L � � � # #6W 7E8 + � L � � 7 � � � #� � F

� � ( � ( � � � � � � ( �� F� � � � ( � � ��� ( �

� �'� ��� � � " � �