9.3.Progresii .pdf

8/19/2019 9.3.Progresii .pdf

1/3

prof. Cialâcu Ionel

Progresii ari tmetice şi progresii geometrice

Progresi i ari tmetice

Definiţie. Şirul de numere reale (an)n N* se numeşte progresie aritmetică dacă există

un număr real “r ”, numit raţia progresiei, astfel încât

an+1 = an+ r , () n N*

adică dacă fiecare termen al şirului începând cu al doilea este egal cu precedentul adunat

cu acelaşi număr (raţia).

Elementul an se numeşte termen general al progresiei sau termen de rang n.

Progresiile aritmetice sunt şiruri de forma: a1 , a1 + r , a1 + 2r , ... , a1 + (n-1)r .......

iar an = a1 + (n - 1)r () n N* este formula termenului general al unei

progresii aritmetice cu raţia r .

Exemplu : 1, 4, 7,10, 13,..........este o progresie aritmetică cu raţia 3 .

Teoremă: Şirul (an)n N este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă fiecare termen

începând cu al doilea este media aritmetică a vecinilor săi,

1 1 , 22

n n

n

a a

a n

.

Pentru trei numere reale în ordinea a, b şi c condiţia devine :2

a cb

Suma primelor n numere dintr-o progresie artimetică finită se defineşte prin

1 2 .......n nS a a a şi se poate calcula astfel:

1( )2

n

na a nS sau

1(2 ( 1) )2

n

a n r nS

.

Progresi i geometr ice

Definiţie. Şirul de numere reale (bn)n N* se numeşte progresie geometrică, dacă există

un număr “q”, numit raţia progresiei, astfel încât

bn+1 = bn·q , () n N*

adică dacă fiecare termen al şirului începând cu al doilea este egal cu produsul dintretermenul precedent şi un acelaşi număr (raţia).

Elementul bn se numeşte termen general al progresiei sau termen de rang n.

Exemple de progresii geometrice: a) 1, 2, 4, 8, ..., 2n, ... cu b1 = 1 si q = 2,

b) 5, 15, 45, … cu b1 = 5 si q = 3.

Termenul de rang n al pr ogresiei geometrice se determină prin formula

bn = b1·qn-1

, ( ) n N* Teoremă : Şirul (bn)n N este o progresie geometrică dacă şi numai dacă fiecare termen

începând cu al doilea este media geometrică a vecinilor săi,2

1 1, 2

n n nb b b n


2/3


Numerele a, b, c formează o progresie geometrică (în ordinea indicată) dacă şi numai

dacă

b2 = ac.

Suma primilor n termeni S n ai unei progresii geometrice se determină prin formula

1 1 , 11

n

n qS b qq

unde b1 este primul termen şi q este raţia.

Aplicaţii.

1. Să se scrie primii patru termeni ai unei progresii aritmetice (an)n 1 dacă:

a) a1 =5 şi r=3 b) a1 =2 şi a2 =5 c) a2 =2 şi a3 =7

Soluţie. a) a2 = a1 + r = 5 + 3=8 ; a3 = a2 + r = 8 + 3=11; a4 = a3 + r =11+3=14

b) a2 = a1 + r r = a2 a1 r =52=3 ; a3 = a2 + r =5 + 3=8;

a4 = a3 + r =8+3=11;c) r = a3 a2 r =72=5 ; atunci a1 = a2 r =25=3; a4 = a3 + r

a4 = a3 + r =7 + 5=12.

2. Se dă progresia aritmetică (an)n≥1. Determinaţi în fiecare din cazuri elementele

cerute:

a) a1=3; r =2. Calculaţi a15 şi S 15

b) a1=2; a25=26. Calculaţi r şi S 15

c) Dacă a1+a2=45 şi a10+a5=21 Calculaţi a1 şi r .

Soluţie. a)15 1 (15 1) 2 31a a ; S15=

3 31 1517 15 255

2

,

b) 25 1 (25 1)a a r 26 2 24 r 1r ; 15 (2 2 14 1) 15 1352

S

,

c)11 1 1

11 1 1

2 4545 2 45

2 13 21 ( 1)9 4 21 2 13 21

a r a a r a r

a r a r a r a r

1

1

22 45

23,512 24

r a r

ar

.

3. Să se demonstreze că şirul (yn)n1 dat prin formula generală yn=3n + 5 formează o

progresie aritmetică şi apoi să i de determine primul termen şi raţia.

Soluţie. Arătăm că 1 1

2

n n

n

y y y

, ( ) n N* . Cum yn=3n + 5

yn1=3(n1) + 5=3n 3 + 5 = 3n+ 2 şi yn+1=3(n+1) + 5 yn+1=3n+3 + 5=3n+8.Prin înlocuire se obţine

2,532

)53(2

2

106

2

8323

2

11

n ynnnnn y y

n

nn

Se obţine uşor acum că y1= 8 , y2= 11 şi deci r = y2 y1=118=3 .


3/3


4. Să se calculeze suma S= 7+11+15+…+787.

Soluţie. Folosim formula2

)( 1 naaS

n

n

şi obţinem2

)7877( nS

, iar pe n îl

vom afla din relaţia an = a1 + (n - 1)r 787=7+(n-1)4 787 7 4 784

1964 4

n

. Aşadar 77812

2

196794

2

196)7877(

S .

5. Să se rezolve ecuaţia 5+13+21+...+ x =588. Soluţie. Termenii sumei formează o progresie aritmetică având r = 8 şi a1=5 .Ultimul

termen este1 ( 1) , 5 ( 1) 8, 8 3n x a a n r x n x n iar suma

termenilor este

(5 )588, (5 8 3) 2 588,

2

x n

n n

21

(8 2) 2 588 ( ), 4 588 0, 12, 932n n n n n x

.

6. Dacă (bn)n≥1 este o progresie geometrică cu 2480 2415 bb şibb Calculaţi

b1 şi q.

Soluţie. 4 35 1 4 1 2 1

, ,b b q b b q b b q

4 4

1 1 1

3 2

1 1 1

80 ( 1) 80

24 ( 1) 24

b q b b q

b q b q b q q

2 2

1 22

2

1

( 1)( 1) 80( 1) 24

, 80, 3 10 3 0.24( 1)

b q qq

q qb q q

q

Se obţine :

1 2

13,

3q q iar din 1 2

24

( 1)b

q q

se obţine1

1b respectiv1

81b .

7. Să se determine numerele reale în progresie geometrică crescătoare a, b, c dacă

suma lor este 21, iar numerele a+1, b+6, c+2 sunt în progresie aritmetică.

Soluţie. Din ipoteză avem ecuaţiile:

2 2 2 2

21 , 21 , 21 , 21 ,1 2 3 2 12 24 2 12 24 2 12

62

b ac b ac b ac b ac

a b c a c b a c b a c b

a c a c b b b b bb

2

16 121 , ,

17 164

ac bac a

a c ba c c

b

.

Documents

9.3.Progresii .pdf