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84
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of Corporate Spreads. Bank of Canada Working Paper 2008-
29. Setembro 2008.
87
Apêndice A
Preços da Estrutura a Termo
Nesta seção derivaremos os preços dos títulos de renda fixa que os agentes
dos dois países vão selecionar para seus portfólios. Os preços dos títulos são os
definidos nas equações [45], [54] e [55], na sua forma geral. Mas, antes da
derivação, precisamos conhecer duas propriedades importantes das matrizes.
i) Dado que x e y são vetores, M é uma matriz e que o produto Tx My é um
escalar, então:
T T T T Tx My traço x My traço yx M vec xy vec M [A-1]
ii) Logo, seja t definida em [47] que cumpre
t tvec x [A-2]
onde
2
1
1
0
0
k k x
e
2
1
0
0
T
T
k k xk
. No caso que t kI , então kvec I e
20k xk
.
As equações dos preços dos títulos serão resolvidas, em seguida, com base
nessas duas propriedades.
88
A.1. Títulos do Tesouro americano
Da equação fundamental de precificação dos títulos americanos [37],
, 1 1, 1 1 1, 1
1
2
US US US US USt t t t t t tv E m v V m v
[A-3]
Calcularemos, inicialmente, a esperança condicional e, em seguida, a variância
condicional de [A-3]. Substituindo o fator de desconto estocástico estadunidense
[49] e a equação de precificação [53] na equação da esperança condicional [A-3]
obteremos:
1 1, 1
1 1 11
1 21 11
1
1
2
1
2
1
2
TT TT
TT T
T
US USt t t
US US US USUS USUSt t t t tt t
US US US USUS USt t t k t t tt
US USUStt
E m v
E x A xB
x A E I xB
A
1 1
T TTUS US US US
k tI xB B
[A-4]
Da mesma forma a variância condicional do preço do título é desenvolvida:
1 1, 1
1 1 11
1 21 11
1 211
1
2
TT TT
TT
T
US USt t t
US US US USUS USUSt t t t tt t
USUSt t k t t tt
US USt tt t
V m v
V x A xB
V I xB
V B
1 21 211
1 21 11
1 11
11
2
2
2
T
TT T
TT T
TT
US USUS USt tt t
US US USUSUS USt t tt t
US US USUSUS USt t tt
US USUS USUSt tt
BB
B BB
B BB
BB
89
Utilizando as propriedades (i) e (ii) na equação anterior, tem-se:
1 1, 1 1 1
12
2
TT
TUS US US US US USUSt t t t tt
V m v vec B xB
[A-5]
Substituindo [A-4] e [A-5] na equação de precificação [A-3], obtém-se o
preço dos títulos americanos:
, 1 1 1
1 1
1 11 1
1
2
1 1 + 2
2 2
1
2
T TT
T
TT
T
T TT
US US US US US US USUSt t k tt
US US US USUSt tt
US US US USUS Uk
v A I xB B
vec B xB
A I vec BB B
1 1 1
1
2
T
TT T
S
US US US US UStB vec B xB
[A-6]
E, de acordo com a hipótese de precificação [82],
1 1 1
1
2
TT TUS US US US US USB B vec B B
[A-7]
1 11 1
1
2
T TTUS US US US USUS US
kA A I vec BB B
[A-8]
Sabendo que a taxa curta de 1 mês do título americano é equivalente ao
negativo do seu preço (pois 1 ), 1, 1,US USr , então a mesma pode ser expressa
através da equação:
1, 1 1
T TUS US USUS USt tr A x xB [A-9]
A.2. Títulos do mercado emergente em dólares
Nesta secção encontraremos a equação de precificação dos títulos do
mercado emergente em dólares, com base no mesmo procedimento anterior,
adicionando nesta dedução se o recovery intensity. Comecemos com a
precificação [36],
90
$ $ $, 1 1 1, 1 1 1 1, 1
1
2
em US US US em US US US em USt t t t t t t t tv E m v V m v
[A-10]
Substituindo o fator de desconto estocástico estadunidense [49], o recovery
intensity [51], e a hipótese da equação de precificação [54] na esperança
condicional [A-10], obtem-se:
$1 1 1, 1
1
$ $1 1 11
1 1
2 2
1 1
2 2
T T TT
TTT
T T
US US em USt t t t
US US USUS USUSt t t t t tt t t
em US em USt t tt
USUSt tt
E m v
E x
x A xB
$1
1 2$11
$1
$ $1 1
1 1
2 2
T
T
T T
T TT
US US em US USt
em USt k t t t
US US US em USUSt tt
em US US em USk
A x
E I xB
A
IB B
tx
[A-11]
Da mesma forma, a variância condicional:
91
$1 1 1, 1
1
$ $1 1 11
1 1
2 2
T T TT
TTT
T
US US em USt t t t
US US USUS USUSt t t t t tt t t
em US em USt t tt
USt tt
V m v
V x
x A xB
V
1 2$1 1 11
1 2 $11
1 2 $1 2 $11
$1
2
TT
T
T
TT T
em USt k t t tt
US em USt tt t t
US em USUS em USt t tt t t
US em USUS USt tt
I xB
V B
BB
B B
$$11
$$11
$ $1 1
2
1 1 2 2
2 2
1 2
2
TT
T
T T
T T
em USem USt
US em USUS em USUSt tt
US US US em US em USUSt t tt
US USUSt tt
B
BB
B B
$ $1 1
1 +2
2
TT US em US em US
tvec B xB
[A-12]
Substituindo a media e variância condicional, [A-11] e [A-12]
respectivamente, na equação de precificação [A-13]
$ $ $, 1 1
$ $1 1
$ $ $1 1 1
1 +
2
1
2
T
TT
T
TT T
em US US em US em USt k
US em US em US
US em US US em US em USt
v A IB
vec B B
B vec B xB
[A-14]
e de acordo com a hipótese de precificação [83]:
$ $ $ $1 1 1
1
2
TT Tem US US em US US em US em USB B vec B B
[A-15]
92
$ $ $1 1
$ $1 1
1 +
2
T
TT
em US US em US em USk
US em US em US
A A IB
vec B B
[A-16]
Da mesma maneira, a taxa curta de maturidade 1 dos títulos brasileiros
em dólares é,
$ $ $ $1, 1, 1 1
T Tem US em US em US USem US USt t t tr v A x xB [A-17]
A.3. Títulos do mercado emergente na moeda nacional
Vamos ver agora o caso dos títulos do país emergente na moeda local, de
onde partimos da equação de precificação [37]:
, 1 1 1, 1 1 1 1, 1
1
2
em mn em em em mn em em em mnt t t t t t t t tv E m v V m v
[A-18]
Substituímos na esperança condicional [A-17] o fator de desconto
estocástico do país emergente [42], o recovery intensity [51], e a hipótese da
equação de precificação [55].
1 1 1, 1
1
1 1 11
1 1
2 2
1 1
2 2
T T TT
TTT
T T
em em em mnt t t t
em em USem ememt t t t t tt t t
em mn em mnt t tt
ememt tt
E m v
E x
x A xB
$1 1
1
1
1
1 1 .
2 2
T
TT
T TT
T T
US em em mn em USk
em em mnt
em US em em mnemt tt
em mn emk
A IB
xB
vec x A
IB
1
1
11
1 1
2 2
1
2
T
T TT
T
TT TT
em mnt
em US em em mnemtt
em em mn USem mnk t
xB
vec A
I B vec xB
[A-19]
93
Igualmente, a variância condicional,
1 1 1, 1
1
1 1 11
1
1 1
2 2
T T TT
TTT
T
em em em mnt t t t
em em USem ememt t t t t tt t t
em mn em mnt t tt
emt tt
V m v
V x
x A xB
V
1 21 11
1 211
1 21 211
11
2
TT
T
T
TT
em mnt k t t tt
em em mnt tt t t
em em mnem em mnt t tt t t
em em mnem em mnemt tt
I xB
V B
BB
BB
1 1
1 1
1 1 2 2
2 2
1 1 2
2 2
1 2
2
T T
T
TT TT
T
T
em em em em mn em mnemt t tt
em em em em mn em mnemtt
em
B B
vec B B
vec
1 1
1
2
TT em em mn em mn
tB xB
[A-20]
Substituindo a media e variância condicional, [A-19] e [A-20]
respectivamente, na equação de precificação [A-21]
, 1 1
1 1
1 1 1
1 +
2
1
2
T
TTT
T
TT TT
em mn em em mn em mnt k
em US em em mn emem mn
em mn em US em em mn em m
v A IB
vec B B
B vec B B
n
tx
[A-22]
De acordo com a precificação [84]:
1
1 1
1
2
T
TT T
em mn em em mn
em US em em mn em mn
B B
vec B B
[A-23]
94
1 1
1 1
1
2
T
TTT
em mn em em mn em mnk
em US em em mn em mn
A A IB
vec B B
[A-24]
E a taxa curta dos títulos do país emergente na sua moeda local é
1, 1, 1 1
T
TTT TT
em mn em mn em mn em mnt t t
em em US em em USt
r v A xB
vec vec x
[A-25]
95
Apêndice B
Modelo da Taxa de Câmbio
O logaritmo natural da taxa bruta de variação cambial, ou a taxa de
depreciação da moeda do país emergente, 1t ts s , será a diferença dos fatores de
desconto estocásticos dos Estados Unidos e do país emergente, os quais são afins
aos fatores x . De acordo a equação [46],
1 1 1US em
t t t ts s m m
Substituindo os fatores de desconto [49] e [42], e utilizando (i) e (ii) do apêndice
A, tem-se:
1 1
1 21
1
1
2
1
2
1 .
2
1
2
T TT T
T TT T
TT TT
TT
em US em US em US em USem USt t t t t tt tt t
em US em US em US em USem USt t t t t
em US em USem em US USt t t
em
s s x
x
vec x x
vec
1
1
2
T
T
T TT
em USem US US
em USem em US USt tvec x
[B-1]
onde 1 21 1
Tem US
t t t , sendo 1 0t tE e
1 .T
T em US em USt t tV xvec
.
96
Apêndice C
Momentos das Variáveis Latentes
Dada a representação do modelo afim da secção 3.2, estimada pelo método
dos momentos, é necessário conhecer os momentos das variáveis latentes descrita
pela equação [39], que é um caso geral do processo de raiz quadrada. Vamos
calcular os momentos de primeira e segunda ordem destas variáveis, para, em
seguida, obter outros momentos da suas transformações.
i) Média:
A média incondicional da variável latente x pode ser calculada utilizando as
propriedades das média condicional, ou seja,
1 1t t tEx E E x
mas, é fácil ver que 1t t k tE x I x , portanto sua esperança incondicional
é
1tEx [C-1]
ii) Variância:
Da mesma maneira, a variância incondicional do x será computada com as
propriedades das variâncias condicionais,
1 1 1t t t t tVx E V x V E x
a variância condicional de 1tx é t , portanto, seu esperado incondicional será ,
onde é uma matriz diagonal tal que seus elementos são T
i i i , para
1, ,i k . De outro lado, a variância incondicional de 1t tE x é T
tV x .
97
Substituindo na igualdade anterior, tem-se que 1T
t tVx V x , e com 1tVx
estacionário, obtém-se:
1
1t kvec Vx I vec
[C-2]
iii) Autocovariância:
Outro momento importante que será utilizado na estimação do modelo afim
é a autocovariância de ordem um das variáveis latentes, 1,t tCov x x , calculada da
seguinte forma:
1 21 1
1 21
1 2 1 21 1
, ,
,
T T
t t k t t t t
t t t t
t t t t t t t
Cov x x Cov I x x
V x Cov x
V x E x E E x
e dado que tx e 1t são independentes, então
1 1,t t tCov x x V x [C-3]
Pensemos num vetor aleatório ty que depende de tx , tal que
t t ty A Bx [C-4]
onde A e B são matrizes e 1
0NID ,
0
Tt
t
H G
G Q
.
A média incondicional de ty é
tEy A B [C-5]
e a variância incondicional de ty é
T
t tVy BV x B H [C-6]
Seja um vetor aleatório, t tw Fy , uma transformação linear de ty , no qual
desejamos achar a sua autocorrelação de ordem
98
1 2 1 21 1,t tCov w w D D [C-7]
onde
1 1
1
1 1
1 21 1
1 21 1
1 21
1
,
,
,
,
,
,
T
T
T
T
T T
T
t t
t t
t t t t
k t t t t t t
t t t t t t
t t t t
t t
Cov w w
FCov y y F
FCov A Bx A Bx F
FCov A B I x A Bx F
FCov B x B Bx F
F B V x B BCov F
F B V x B BE
21
1 2
T T
T T
t t
t t
F
FB V x B E G F
Sendo a expressão de 1 2tE complicada de calcular, assumiremos t é
constante. Então,
1
T
t
t
D matdiag V w
matdiag FV y F
99
Apêndice D
Nelson e Siegel – Títulos dos Estados Unidos
A base de dados das taxas de juros dos títulos americanos, no geral, tem
valores ausentes, e isso impede fazer as estimações com a metodologia MM,
porque necessitamos calcular os momentos observados das taxas em cada
maturidade e compará-los a seus momentos teóricos do modelo original. Aqui
vamos expor um arcabouço de preenchimento desses valores ausentes utilizando o
modelo de curva de juros de Nelson e Siegel que vai se resolver com o modelo
espaço estado utilizando o tratamento de valores ausentes.
Nelson e Siegel (1987) desenvolvem um modelo flexível para representar a
curvas de juros em termo de três fatores interpretados como nível, inclinação e
curvatura. Mas recentemente, Diebold e Li (2005) modificam o modelo de Nelson
e Siegel (1987) considerando uma forma paramétrica para a evolução da estrutura
a termo ao longo do tempo, em que os coeficientes são tratados como nível,
inclinação e curvatura. A curva de juros correspondente é,
1 2 3
1 1t t
t
t t t t tt t
e ey e
[D-1]
para uma maturidade . Os erros t são assumidos como independentes com
média zero e variância constante. O parâmetro t governa a taxa de decaimento
exponencial. Pequenos valores de t produzem um decaimento suave e ajustam
melhor às maturidades longas. Deste ponto em diante, vamos supor que t é
constante. Os parâmetros 1t , 2t e 3t são interpretados como os três fatores
latentes dinâmicos. O loading do 1t é 1, e é interpretado como nível da curva de
juros, que influencia igualmente as taxas de curto e de longo prazo. O loading do
2t é 1 t
t
e
começa em 1 e converge para zero monotonica e rapidamente,
sendo interpretado como a inclinação. Esse fator influencia muito as taxas de juros
100
de curto prazo. O loading do 3t , 1 t
t
t
ee
, é uma função côncava,
assumindo valor zero para a maturidade zero, cresce, depois converge
monotonicamente para zero nas maturidades mais longas. Assim, esse fator está
associado às taxas de juros de médio prazo, e tratado como curvatura da curva de
juros.
Os dados são coletados em cada ponto do tempo para um conjunto de taxas
de juros com maturidades 1 1, , , p . O modelo [D.1] pode ser representado em
espaço de estado,
1 1
1
1 11 1 1
2
3
1 11
1 11
p p
p
t t t
t
tt p t p
p p
e ee
y
y e ee
[D-2]
1, 1 1 1 1
2, 1 1 2 2
3, 1 1 3 3
0 0
0 0
0 0
t t t
t t t
t t t
[D-3]
onde
1 10 0
,
0 0
t
pt p
H
NID
H
, e
1 11
2 22
3 33
0 0 0
0 , 0 0
0 0 0
t
t
t
NID
A primeira equação, [D-2], é a equação de medidas que relaciona as taxas
de juros das p maturidades aos três componentes não observados; [D-3] é a
equação de estado, que governa a dinâmica do vetor de estados, pois a mesmas
segue um processo vetor autorregressivo de ordem um.
Para o preenchimento dos valores ausentes vamos seguir os seguintes
passos:
1. Dado uma coleção de taxas de juros de p maturidades em cada instante de
tempo t , estimamos os hiperparâmetros do modelo em espaço de estado,
incluídos nas equações [D-2] e [D-3], utilizando o filtro de Kalman com
101
tratamento univariado e valores ausentes, explicado no Apêndice F. Pode
acontecer que desejamos preencher alguma maturidade que não tem
nenhuma informação, no qual o filtro não tem problema no processo de
estimação.
2. Uma vez já conhecidos os hiperparâmetros, utilizamos o suavizador de
Kalman de Jong, explicado no Apêndice F, para a estimação dos fatores
(nível, inclinação e curvatura).
3. Dados os fatores latentes e o hiperparâmetro estimados, calculamos as
taxas de juros faltantes, com a seguinte equação,
ˆ ˆ
ˆ
1 2 3
1 1ˆ ˆ ˆˆˆ ˆt t t t
e ey e
[D-4]
Se tem alguma maturidade totalmente vazia, o passo 3 vai estimá-lo.
102
Apêndice E
Nelson e Siegel – Títulos do Brasil
Os dois tipos de títulos do mercado emergente, denominados em dólares e
na moeda local, apresentam valores ausentes nas taxas de juros em qualquer
instante de tempo t na maturidade . Mas os títulos, devido a que são do mesmo
país, eles têm uma forte relação que favoreceria sua modelagem de acordo a
Diebold, Li e Yue (2008), ou seja, fazer um modelo geral que combine as duas
curvas de juros.
O modelo que propõe Diebold, Li e Yue (2008) é uma generalização do
modelo de Nelson e Siegel, abordado no apêndice D. Denotando a curva
observada para o mercado i em função de um vetor de maturidades i por
,i ty , temos que neste modelo a dinâmica das taxas de juros é dada por uma
versão restrita da curva de Nelson e Siegel, com apenas os fatores de Nível e
Inclinação
, , , ,
1 i
i t i t i t i ti
ey l s
[E-1]
onde ,i tl representa o componente de nível no período t para a curva i , ,i ts o
componente de inclinação para esta mesma curva em cada período t , e ,i t é um
componente de choques para a equação de observação das taxas. Para especificar
a dinâmica completa do modelo é necessário especificar a evolução dos fatores
latentes de nível e inclinação para cada país. Vamos especificar os fatores globais
determinados por uma curva não observada tY na forma
1
t t t t
eY L S
[E-2]
e a dinâmica dos fatores latentes globais tL e tS é dada pela seguinte dinâmica
autoregressiva
103
1 11 12
1 21 22
lt t t
st t t
L L U
S S U
[E-3]
Para determinar os componentes de nível e inclinação é assumido que a cada
curva de juros é uma modificação linear da curva global mais um componente
idiossincrático. As curvas locais são dadas por:
, ,
, ,
l l li t i i t i t
s s si t i i t i t
l L
s S
[E-4]
e os componentes idiossincráticos são dados por processos autoregressivos de
primeira ordem
, 1 ,11 12
21 22, 1 ,
l l li t i t t
s s si t i t t
u
u
[E-5]
A estimação deste modelo poderia ser realizada, em principio, utilizando
máxima verossimilhança a través do filtro de Kalman via representação global em
modelo espaço de estado, onde a equação de medida é dada por
1, 1 1, 11 1
1, 2 1, 21 1
, ,
l lt t
s st tt
t
s sN t p N t pN N
y
y LA B
S
y
[E-6]
onde
1
2
1
2
11 0 0
11 0 0
10 0 1
p
p
e
e
A
e
,
1
2
1 11
1 12
1
1
1 p
l l
s s
s sN N
p
e
e
B
e
e a matriz de estado é dado por [E-3] e [E-5].
104
Mas, devido à dimensão do problema para o caso multicurvas e os
problemas usuais de estimação, como os problemas de identificação e a
possibilidade de máximos locais, a estimação do modelo é realizada em duas
etapas.
1. Etapa I:
Neste primeiro estágio estimamos os parâmetros em cada uma das curvas de
juros com o método de máxima verossimilhança do modelo espaço estados
individual. A equação de medida é:
1
1, 1 , 1,
,
, ,
11
11
i
i pi
i i
i
ii t i ti t
i t
i t p i t p
i p
e
yl
sy e
[E-7]
E a equação de transição:
, 1 1, , ,
, 1 1, , ,
0
0
li t i i t i t
si t i i t i t
l l
s s
[E-8]
onde
, 1 1
,
0 0
,
0 0i
i
i t
pi t p
H
NID
H
, e , 11, 12,
21, 22,,
0,
0
li t i i
si ii t
NID
.
A estimação é realizada via o filtro do Kalman com tratamento univariado e
valores ausentes dado no apêndice F.
2. Etapa II:
Na segunda etapa, dado que se estimaram os fatores de nível e inclinação
em cada curva, estimamos um modelo geral para obter os fatores globais de nível
e inclinação das curvas. O modelo está em espaço de estado, e sua equação de
medida para duas curvas é dada por
105
1 11,
1,1, 1 1
2, 1,2 2
2, 2,2 2
2,
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
t
l lt
tls stt
sl lt t
ls st t
st
L
Sl
s
l
s
[E-9]
A equação de estado é
11
11
1, 1 1,1
1, 1 1,1
12, 1 2,
12, 1 2,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
t t
t t
l lt t
s st t
l lt t
s st t
L L
S S
[E-10]
onde 3
4
5
6
1 0 0 0 0 00
0 1 0 0 0 00
0 0 0 0 00,
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
NID
.
Uma vez que se estimaram os parâmetros do modelo, estimamos os fatores
de nível e inclinação global, tL e tS , com os quais estimamos os fatores de nível é
inclinação de cada um das curvas originais, ,i tl e ,i ts . Desta maneira estimamos
as duas curvas de juros originais, preenchendo os valores ausentes.
106
Apêndice F
Modelo Espaço Estado
O arcabouço do modelo espaço estado deste Apêndice tem como referência
das obras de Durbin e Koopman (2001) e de Lemke (2006). Aqui calcularemos a
estrutura dos modelos espaço estado e as técnicas estatísticas de filtragem,
suavizador, previsão e estimação dos parâmetros num contexto de estimação para
modelos de estrutura a termo.
F.1. Modelos Espaço Estado Linear Gaussiano
O modelo espaço é uma representação de uma evolução dinâmica conjunta
de uma variável aleatória observável ty e um vetor de estado não observável t .
Este arcabouço abarca um conjunto grande de modelos dinâmicos que são usados
em econometria. O modelo espaço estado contém uma equação de medida e uma
equação de estado. A equação de estado governa a evolução do vetor de estado, ao
passo que a equação de medida especifica como o estado interatua com o vetor de
observações.
Num contexto mais simples deste modelo, explicaremos o modelo espaço
estado linear gaussiano, o qual se pode representar na seguinte forma
1
1 1 1
, 0,
, 0, 1, ,
,
t t t t t t t
t t t t t t t t
y d Z N H
c T R N Q t n
N a P
[F-1]
onde ty é o vetor px1 de observações e t é o vetor mx1 não observável
chamando o vetor de estado. A primeira equação de [F-1] é a equação de
observação e a segunda é a equação de estado. As matrizes td , tZ , tc , tT , tR , tH
e tQ são as matrizes do sistema e pelo geral são conhecidas. Os termos de erros
t e t são supostos serialmente independentes e independentes entre cada um em
cada instante no tempo.
107
As matrizes tZ e 1tT podem depender de 1 1, , ty y . O vetor de estado
inicial 1 , distribuídos normalmente, é independente de 1, , n e 1, , n , onde
1a e 1P são conhecidos num principio. É comum que todas ou quase todas as
matrizes do sistema dependam de parâmetros desconhecidos que serão estimados.
No caso em que as matrizes do sistema da equação de estado sejam não
variantes no tempo, tal que tc c , tT T , tR R e tQ Q ; então esta equação
vem a ser um processo autoregressivo multivariado de ordem um, onde a matriz
T tem autovalores com módulos menores a um, e a media e variância
incondicional do vetor de estado é igual aos pontos iniciais 1a e 1P ,
1
1 ma I T c
2
1
1T
mvec P I T T vec RQR
F.2. Filtro de Kalman
O modelo espaço estado envolve o problema de estimação dos estados não
observáveis usando um conjunto de observações. Denotemos tY como a seqüência
de observações 1, , ty y , e toda a informação amostral disponível como nY . Do
modelo [F-1], o objetivo do filtro de Kalman é obter a distribuição condicional de
1t dado tY para 1, ,t n . Observar que as funções de densidade do estado
1 |t tp e da medida |t tp y são normais, o que implica que as densidades
de previsão e filtro são normais
1 1 1| ,t t t ta Y N a P
| || ,t t t t t ta Y N a P
1| 0,t t tY N F
onde 1| ,t t t ty E y Y .
108
Portanto, as densidades normais são totalmente descritas por seus primeiros
momentos. Assim pode-se calcular as seqüências de medias condicionais 1ta e
|t ta , e as seqüências de variâncias condicionais 1tP , |t tP e tF .
Estas quantidades são calculadas iterativamente mediante o seguinte
algoritmo, chamado de filtro de Kalman:
Algoritmo 1 (Filtro de Kalman)
Passo 1, Inicialização
Estabelecer o valor de 1a e 1P .
Passo 2, para 1t até n
Atualização: t t t t ty Z a d
T
t t t t tF Z PZ H
1T
t t t tK PZ F
|t t t t ta a K
|t t t t t tP P K Z P
Previsão: 1 |t t t t ta T a c
1 |T T
t t t t t t t tP T P T R Q R .
No caso em que as matrizes do sistema são constantes, é evidente que a
seqüência de matrizes de variância 1tP , |t tP e tF depende das matrizes do sistema
e das condições inicias, mas não das observações nY . Então sob condições
regulares, estas matrizes convergem para alguns valores de estado constante. Se os
autovalores da matriz T estão dentro do circulo unitário, se Q e H são
semidefinidas positivas, e se ao menos alguma delas é estritamente definida
positiva, então, a seqüência tP converge para uma matriz constante P quando
n , onde P é a solução da equação de matriz
1T T TP TPT TPZ F ZPT RQR
E é conhecida como equação algébrica de Riccati, onde TF ZPZ H .
109
Agora pensemos no caso da estimação de t dado a serie inteira 1, , ny y .
Esta estimação é calculada pela média condicional ˆ |t t nE Y e também a
matriz variância do erro é encontrada através de |t t nV V Y para 1, ,t n . A
continuação se mostra o algoritmo do suavizador Kalman de Jong:
Algoritmo 2 (Suavizador Kalman de Jong)
Passo 1, Inicialização
Calcular o filtro de Kalman (Algoritmo 2.1) e armazenar ta , tP , t e 1tF .
Estabelecer 0nr e 0nN
Passo 2, para t n até 1
1T
t t t t tK T PZ F
t t t tL T K Z
11
T T
t t t t t tr Z F L r
1ˆt t t ta Pr
11
T T
t t t t t t tN Z F Z L N L
1t t t t tV P P N P .
Na prática sempre acontece o problema de dados faltantes onde ty é
parcialmente observado. Neste caso, no instante t , só teríamos a informação
disponível *ty que é definida como *
t t ty w y , onde tw é uma matriz com aquelas
linhas da matriz de identidade de tamanho p correspondente } as coordenadas
observadas de ty . Então, no modelo espaço estado linear gaussiano [F-1] para
cada instante de tempo t , a equação de medida fica redefinida como
* * * * * *, 0,t t t t t t ty d Z N H [F-2]
onde *t t td w d , *
t t tZ w Z , *t t tw , * T
t t t tH w H w . Observe que há alteração de
dimensão das matrizes da equação medidas. A estimação do estado não apresenta
alteração no filtro de Kalman, a pesar que t , tF e tK mudem de dimensão.
110
F.3. Estimação de Máxima Verossimilhança
Nesta seção, descreveremos o problema de filtro e suavizador sob o suposto
de matrizes do sistema conhecidos. Agora assumiremos que as matrizes do
sistema contem elementos desconhecidos, os quais são coletados no vetor . A
estimação de máxima verossimilhança de pode ser calculado pela aplicação do
filtro de Kalman. Primeiro assumimos que o vetor de estado inicial com
distribuição 1 1,N a P , onde 1a e 1P são conhecidos. A verossimilhança é
1 1 1
2
, , |n
n t t
t
L p y y p y p y Y
[F-3]
onde 1, ,t tY y y . Na prática se utiliza o log-verossimilhança
1
1
log log |n
t t
t
L p y Y
[F-4]
onde 1 0 1|p y Y p y . Do modelo [F-1] sabemos que 1| ,t t t t t ty Y N d Z a F , e
substituindo-o em [F-5], obtemos
1
1
1log log2 log
2 2
T
n
t t t t
t
npL F F
[F-5]
As quantidades t e tF são calculadas pelo filtro de Kalman. Esta função é
maximizada com respeito à usando algum procedimento de otimização
numérica. Em seguida, continuamos com os passos de estimação:
i) Eleger um valor inicial 0
ii) Correr o filtro de Kalman e guardar as seqüências t e tF .
iii) Usar t e tF para calcular o log-verossimilhança em [F-5].
iv) Utilizar o otimizador que acha os passos i) - iii) até que o maximizado ̂ de
[F-5] é obtido.
111
F.4. Aspectos Computacionais
Nesta secção dedicaremos a explicar um tratamento que melhoraria o
processo de estimação dos hiperparâmetros do modelo. No modelo [F-1], a
matriz tF calculada no filtro de Kalman pode ser singular, gerando inconsistência
no processo de estimação. Para isto utilizaremos um tratamento de converter o
modelo multivariado num modelo univariado, o qual melhoraria em esforços
computacionais na filtragem. O arcabouço é dado por Durbin e Koopman (2001),
adicionando o tratamento de valores ausentes.
Seja o modelo [F-1], em que assumimos que tH é uma matriz diagonal.
Além disso, o modelo permite que a dimensão de ty varie no tempo, sendo de
dimensão 1tp para 1, ,t n e segundo, que não se requer que a matriz de
variância do erro de predição tF seja não singular.
Escrevemos os vetores de observação e o erro como
,1
, t
t
t
t p
y
y
y
, ,1
, t
t
t
t p
e as matrizes da equação de observação
,1
, t
t
t
t p
Z
Z
Z
,
2,1
2,
0
0t
t
t
t p
H
onde ,t iy , ,t i e 2,t i são escalares e ,t iZ é uma vetor linha 1m para 1, , ti p .
Na representação univariada do modelo, a equação de observação é
, , , , , , 1, , , 1, ,t i t i t i t i t i ty d Z i p t n [F-6]
onde ,t i t . E sua equação de estado é
, 1 ,
, 1 ,
, 1, , 1, 1, ,
,t
t i t i
tt i t t t p t t
i p t nc T R
[F-7]
112
onde o vetor de estado inicial é 1,1 1 1 1,N a P .
Durbin & Koopman (2001) fornece um algoritmo do Filtro de Kalman para
o tratamento univariado das series multivariadas.
Algoritmo 3 (Filtro de Kalman - Tratamento Univariado – Valores Ausentes)
Filtro de Kalman do Tratamento Univariado para Series Multivariadas:
Passo 1: assinar o valores inicial 1a e 1P .
Passo 2: Contador das observações 0j . O Filtro,
Para 1:t n
Para 1: ti p
1j j
, , ,j t i t i t i jy d Z a
2,, ,
T
t ij t i j t iZF Z P
1,
T
t ij j jZK P F
1j j j ja a K
1 ,j j j t i jP P K Z P
Fim Para.
1 1j t j ta T a c
1 1T T
j t j t t t tP T P T R Q R
Fim Para.
Outra situação é quando o modelo em espaço estado linear gaussiano [F-1]
tem seus erros de medida e estado correlatos serialmente, ou seja, cov , t t tG
para 1, ,t n e cov , 0t s para t s . Neste caso, o algoritmo do Filtro de
Kalman é redefinido de acordo a Harvey (1989).
113
Algoritmo 4 (Filtro de Kalman – erros correlatados)
Passo 1, Inicialização
Estabelecer o valor de 1a e 1P .
Passo 2, para 1t até n
Atualização: t t t t ty Z a d
T T T T
t t t t t t t t t t tF Z PZ Z R G G R Z H
T
t t t t tM PZ R G
1|
t t t t t ta a M F
1|
T
t t t t t tP P M F M
Previsão: 1 |t t t t ta T a c
1 |T T
t t t t t t t tP T P T R Q R .
No caso de valores ausentes para os erros correlatos, o procedimento é o
mesmo que o [F.2], considerando adicionalmente que * T
t t tG G w . Por outro lado, a
previsão de n jy , n jy , para 1,...,j dadas as observações 1,..., ny y é calculada
com o seguinte algoritmo.
Algoritmo 5 (Previsão – erros correlatos)
Para 1j até τ
n j n j n jn jy Z a d
T T T T
n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n jF Z P Z Z R G G R Z H
1 n j n j n j n ja T a c
1 T T
n j n j n j n j n j n j n jP T P T R Q R .
114
Apêndice G
Condições de Fama
Em um contexto sem risco de default, suponha que a economia 2 dispõe de
um contrato forward através do qual as partes envolvidas se comprometem a
transacionar 1 unidade da moeda que circula no país 1 por expt tF f unidades
da moeda que circula no país 2 depois de 1 período. De acordo com os termos
desse contrato, o fluxo de caixa líquido do agente que se compromete a entregar a
moeda do país 1 para a outra parte em troca da cotação acordada é 1t tF S ; como
o agente não desembolsou nada no momento do fechamento do contrato, a
equação fundamental de apreçamento de ativos financeiros determina que:
2
1 10 t t t tE M F S [G-1]
Dividindo o resultado acima por tS e aplicando [36] chega-se a
2 2 2 111 1 1 1
t t tt t t t t t t t
t t t
F S FE M E M E M E M
S S S
. A log-linearização desse
resultado leva à seguinte expressão para o prêmio forward:
1 2
1 1log logt t t t t tf s E M E M [G-2]
Da equação [46], o valor esperado do logaritmo natural da taxa bruta de
variação cambial é:
1 2
1 1 1t t t t t t t tq E s s E m E m [G-3]
A equação [72] diz que o prêmio de risco tp é dado por
1 1t t t t t t t t tp f E s f s E s s . Substituindo [G-2] e [G-3] nesse
resultado chega-se a:
1 2 1 2
1 1 1 1log logt t t t t t t t tp E M E M E m E m
1 1 2 2
1 1 1 1log logt t t t t t t tE M E m E M E m [G-4]
115
O primeiro termo do lado esquerdo de [G-5] pode ser reescrito se fizermos
as seguintes manipulações:
1 1 1
, 1 1, 1t t t tV E M V
1 1 1 1 1 1
1, 1 1, 1, 1 1
1
2t t t t t t t t tV E M v r E m V m
1 1 1 1 1 1
1 1 1, 1 1 1
1 1log
2 2t t t t t t t t t t tE m V m r E m V m E M
pois já vimos que 1 1
1, 1logt t tr E M . Logo:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1log log log
2 2t t t t t t t t t t t tE M E m E M V m E M V m
O mesmo pode ser feito com relação ao segundo termo. Segue que:
2 2 2
1 1 1
1log
2t t t t t tE M E m V m
Em conseqüência do que vimos acima é possível escrever:
1 2
1 1
1 1
2 2t t t t tp V m V m
[G-6]
É de [G-3] e [G-6] que emanam as condições discutidas por Backus, Foresi
e Telmer para o atendimento das condições de Fama, que colocamos a seguir:
• O valor esperado do logaritmo natural da taxa bruta de variação cambial
1 21 1t t t t tq E m E m
e o prêmio de risco 1 21 1
1 1
2 2t t t t tp V m V m
devem ser
negativamente correlacionados. Isso significa que deve haver uma correlação
negativa entre a diferença entre as médias condicionais dos logaritmos naturais
dos fatores de desconto estocásticos dos países 1 e 2 e a diferença entre as
variâncias condicionais dos logaritmos naturais dos fatores de desconto
estocásticos desses mesmos países.
• A variância condicional de tp deve ser maior do que a de tq . Isso quer
dizer que a variância condicional da metade da diferença entre as variâncias
116
condicionais dos logaritmos naturais dos fatores de desconto estocásticos dos dois
países deve ser suficientemente elevada.
