5 - Variogramas Experimentales

1Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consultor INTERCADEJunio 2008


VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESVARIOGRAMAS EXPERIMENTALES

) Generalidades. Variogramas experimentales en 1D.

Variogramas experimentales en 2D.


Representaciones grficas.


Definicin

Los momentos de una FASt, Z(x) :

O variograma terico:

Es posible una estimativa directa con los datos. Esta sirve para la modelizacin de la funcin variograma.

VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESGeneralidades


( )[ ] ( )[ ] ( )0222 CmxZEmxZE === ( )[ ]2)()(

21)( xZhxZEh +=


Las primeras fases de un estudio geoestadstico

Estadsticas elementales: visualizar y verificar los datos. Calculo e interpretacin de los variogramas

experimentales. Identificacin del modelo de FA: estacionara, casi -

estacionara, no estacionara. La seguir se trata de las FASt y FAI-0.




Las primeras fases ..

Para ej., consideramos un campo Consideramos un campo muestreado en una malla regular con datos de metales pesados (Cd, ).

Se pretende calcular el variograma experimental.




La Hiptesis Ergdica

Una FASt Z(x) es ergodica si las medas espaciales tienden a las medas probabilistas.

Lanzar 100 veces 1 dado o una vez 100 dados?



( )22*

2222*22

*

,

)]([)(1

)]([)(1

==

==

smmalloraVper

mxZEmdxxzV

s

xZEmdxxzV

m

V

V


La hiptesis ergdica en prctica

Se estima las medas probabilistas con las estadsticas de los dados disponibles.

El variograma terico es estimado con la meda experimental sobre el nmero de par, nh, para cada paso h, en la direccin en examen.



( )==

==ni

ini

i mxznsxz

nm

,1

2*2

,1

* )(1)(1

( )=

+= hn

iii

h

xzhxzn

h1

2* )()(21)(




Los parLos parmetros para el cmetros para el clculolculo

Numero discreto de:9Direcciones. 9Distancias.

Por ej., en 2D el espacio angular (2) puede ser dividido en 4 direcciones (0, , , ). Siendo una funcin par, (h)=(-h), las direcciones 0 y restituyen los mismos variogramas experimentales

Tambin para la distancia h, se considera slo mltiplos enteros de un paso elemental p:

h=i*p para i=1,np

Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

El declustering

Datos con densidad variable pueden consituir un problema.

Una elaboracin ciega, automtica, produce evidentemente nmeros que son poco representativos.

Tpicamente la informacin es mas densa donde las leyes son mas elevadas.

Tcnicas aplicables segn el caso reducen el n. de muestras (media mvil, seleccin random, ...).

VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESGeneralidads

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Generalidades.

) Variogramas experimentales en 1D. Variogramas experimentales en 2D.



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VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESVariogramas en 1D


Con paso regularCon paso regular

La variable con soporte regular l = 5 m, es conocida cada 5 m.

Vario 1D.xls

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5,7 11,6 21,223,4 27,2 34,1 42,6 49,852,2 58,6 68,0 72,2 77,7

-1

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90



Con paso variable Con paso variable

La variable tiene soporte regular, pero es muestreo con paso irregular:

Elegir un paso elemental, pConsiderar distancias mltiplas del paso: h = k * p

La distancia eficaz de dos puntos, z(xi) y z(xj) deriva por el calculo del k, relativo aparte verdadera, hij=xj-xi

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La clase de distanciaLa clase de distancia

Paso p=5 y tolerancia t = p/2 = 2.5 La distancia h12 = x2 - x1 = 11.6 - 5.7 = 5.9

A la clase k=1 pertenecen todas las distancias entre1 * 5 2.5 = (2.5 , 7.5], quindi anche h12

Calcolo della distanza efficace dal dato z(x=5.7), passo=5, tolleranza=+/- 2.5

5,7 11,6 21,2 23,4 27,2

-1

1

5,7 10,7 15,7 20,7 25,7 30,7 35,7

ubicazione dati estremi intervallo di tolleranza classe di distanza

VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESVariogramas a 1D


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La clase de distancia

Paso p=5 y tolerancia t = p/2 = 2.5 La distancia h13 = x3 - x1 = 21.2 - 5.7 = 15.5

A la clase k=3 pertenecen todas las distancias entre 3 * 5 2.5 = (12.5 , 17.5], quindi anche h13


5.7 11.6 2 1.2 2 3 .4 2 7.2

-1

1

5.7 10.7 15.7 20.7 25.7 30.7 35.7


h13



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5,7 11,6 21,2 23,4 27,2

-1

1

5,7 10,7 15,7 20,7 25,7 30,7 35,7




EjemplosEjemplos de de calculocalculo

A la clase k pertenecen las distancias del intervalo k * 5 2.5

h13 = 21.2 5.7 =15.5 k=3; h14 = 23.4 5.7 = 17.7 k=4; h15 = 27.2 5.7 = 21.5 k=4;

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El numero de pares

El variograma experimental para cada distancia eficaz considera todos los pares nk, que interviene en el clculo y que caen en el intervalo k*p p/2

Para cada k, necesita el n. de par tiles nk. Por ltimo tendr dos vectores,

de dimensin np, n. di pasos max



( ) ( ) ( )( ) +=

= += 2*;

2*

21 1

1 1

2* ppkppkxxzxzn

k jnd

i

nd

ijij

k

( ) ( )pkp nnn ,

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Los grficos

Los resultados son graficados en funcin de la clase de distancia, k, o de la distancia eficaz k*p



Variogramma sperimentale

0102030405060708090

100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

distanza h

n

k

0

10

20

30

40

50

60

(

h

)

n.coppie

variogrammasperimentale

Vario 1D.xls

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Generalidades.


) Variogramas experimentales en 2D. Variogramas experimentales en 3D.


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Muestreo regular

Se calcula el variograma segn las direcciones principales de malla de perfil l

Por ej. segn las direcciones 0 o 90 Pero tambin segn las diagonales 45 y 135. El paso elemental considerado vara con la direccin

, l ou 2l:h0, h90 = k*l

h45, h135 = k* 2 l

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Ejemplo

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DistanzaDistanza

Dos ejemplos diferentes

Clculo en las dos direcciones E-W e N-S, tolerancia 45



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Ciclo sople cada posible par z(xj)-z(xi) y calculo del vector traslacin:

Ciclo sople cada posible par z(xj)-z(xi) y calculo del vector traslacin:

ijh

Muestreo irregular



Eleccin de las direcciones, (tpicamente 0, 45, 90y135) y de la tolerancia angular.

Eleccin del paso elemental, p, y de la tolerancia.

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Variograma Variograma medio de las direcciones

Se consideran solamente las distancias reales convertidas en clases de distancia eficaz.

Clases de distancias

Tolerancia do paso

Parmetros

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Variogramas direccionales

Se consideran distancias y direcciones.

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Toleranciaangules

Clases angulares

Las tolerancias de angulares



Una direccin es una clase angular.

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en cada punto

Parmetros:Direccin y toleranciaPaso y tolerancia

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Generalidades.


) Variogramas experimentales en 2 D.) Variogramas experimentales en 3D. Representaciones grficas.

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Muestreo regular

Tpicamente es una malla de sondeos verticales. La malla puede ser regular o irregular. La escala de malla es diferente de la escala vertical,

identificada por el tamao de los testimonios. Es correcto aislar la direccin particular, esto porque la

escala es diferente y frecuentemente el muestreo vertical es regular.

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Proceso de clculo

El proceso es siempre lo mismo:

Eleccin de paso elemental y direcciones. Anlisis de todos los pares con clculo de la distancia

vectorial.

La plusvala contribuir a la direccin ms cercana al versorde h y al paso ms cercano al modulo de h.



ijij xxh =

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Generalidades.


Variogramas experimentales en 2 D.


) Representaciones grficas.

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VARIOGRAMAS EXPERIMENTALESRepresentaciones grficas


Variografia

Sea en caso de malla regular o irregular es posible estimar el variograma experimental y*(h) para diferentes distancias h

El variograma tiene que ser graficado (variografia).

El movimiento expresa el estilo de variabilidad de la VR.

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Variografia y n.de pares

Es oportuno graficar variograma experimental y n. de pares *(h) para cada distancia h

Varianza de los datos

Numero de pares

Variograma

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Nube variogrfica y variograma experimental

distncia

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Superficie variogrfica

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Clculos experimentales con EXCEL

Vario 3D.xls

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