Upload
dinhdang
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
1
KANAT PROFİLLERİ ETRAFINDA SIKIŞTIRILAMAZ AKIM
Of the many problems now engaging attention, the following are considered of immediate importance and will be considered by the
committee as rapidly as funds can be secured for the purpose.... The evolution of more efficient wing sections of practical form, embodying suitable dimensions for an economical structure, with moderate travel of the center-of-pressure and still affording a large range of angle-of-attack combined with efficient action.
From the first Annual Report of the NACA, 1915
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
2
Kanat profillerinin gelişimi
Süpersonik profiller
Kritiküstü profil
NACA laminer profilleri
II. Dünya savaşı öncesi düşük hızlı profiller
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
3
Kanat kesit profilinin şekli neden önemlidir?
Bir uçak kanadının
- Sıfır taşıma hücum açısı,
- Taşıma eğrisi eğimi,- Tutunma kaybı (stall) bölgesindeki tabiatı,- Aerodinamik merkezi, (ac) etrafındaki yunuslama momenti- Parazit sürükleme
vb gibi 3-boyutlu karakteristiklerini, önemli ölçüde kesit profilinin şekli belirler.
Kesit profili karakteristiklerini kullanarak bir kanadın 3-Boyutlu karakteristikleri elde edilebilir.
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
4
Kanat profili nedir?
V∞
∞
∞ Dik kesitdüzlemi
∞
∞
Đki-boyutlu akım
kanat profili
b=1
- Bütün kesit profilleri aynı olan,- dikdörtgensel üst görünümlü,- sonsuz açıklıklı bir kanattır.
Öyle ki;Bu kanat etrafındaki akım2-boyutludur
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
5
Kanat profili geometrisi
c - veter uzunluğu
Firar kenarı
Hücumkenarı
V∞
α
Hücum açısı
veter çizgisi
y
x
kamburluk eğrisi kalınlık
t
Maksimum kalınlık
tmax
Maksimum kamburluk
emax
Kalınlık oranıc
tmax=δδ < %10 ince profil (yüksek hızlarda)
δ ∼ %10-14 orta kalınlıkta profilδ > %14 kalın profil (düşük hızlarda)
Kamburluk oranıc
emax=γ γ < % 4-5 küçük kamburluk (uçaklarda)
γ > % 4-5 büyük kamburluk (kompresör-türbin pallerinde)
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
6
NACA profilleri – 4 rakamlı seri
Kamburluk oranı
m = 2 / 100 = 0.02
N A C A 2 4 1 2
Maksimum kamburluk noktası konumu
p = 2 × (c/10) = 0.2c
Kalınlık oranı
t = 12 / 100 = 0.12
Jacobs EN, Ward KE, Pinkerton RM,The characteristics of 78 related airfoil sections from tests in the variable density wind tunnel,NACA TR-460, 1933
O u(xU, yU)
0.10
θ
Veter sonundaki eğrilik yarıçapı
(Kamburluk eğrisinin yüzde 0.5 veterdeki eğimi)
y
x
p(x, yc)
OL(xL, yL)
-0.10
yt
yt
xU = x - yt sin θ yU = yc + yt cosθ
xL = x + yt sin θ yL = yc - yt cosθ 1.0
veter çizgisi
kamburluk eğrisi
)10150.028430.035160.012600.029690.0(20.0
432 xxxxxt
yt −+−−=±
≥−+−−
γ
≤−
=
mxxpxpp
mxxpxp
m
yc
)2)21[()1(
)2(
2
2
2
2
Kalınlık dağılımı
Kamburluk eğrisi
m → γp → x γ
t → δ
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
7
NACA profilleri – 5 rakamlı seri
Tasarım taşıma katsayısı
2 × (3/2)/10 = 0.3
N A C A 2 3 0 1 2
Maksimum kamburluk
noktası konumu
30 /2 × (c/100) = 0.15c
Kalınlık oranı
12 / 100 = 0.12
Abbott IH, Doenhoff AE, Stivers LS,Summary of airfoil data,NACA TR-824, 1946
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
8
NACA profilleri – 6 rakamlı seri – Laminer profiller
Tasarım taşıma katsayısı
2 /10 = 0.2
N A C A 6 5 - 2 1 8
Minimum basınç
noktası konumu
5 × (c/10) = 0.5c
Kalınlık oranı
18 / 100 = 0.18
Bu serinin etiket
numarası
Abbott IH, Doenhoff AE, Stivers LS,Summary of airfoil data,NACA TR-824, 1946
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
9
Kanat profillerinin performans karakteristikleri
),,,(Re,)2/1(
2α=
ρ=
∞
yxMCcV
LC LL
),,,(Re,)2/1( 2
α=ρ
=∞
yxMCcV
DC DD
),,,(Re,)2/1( 22
α=ρ
=∞
yxMCcV
MC
yy M
y
M
Taşıma katsayısı
Sürükleme katsayısı
Yunusma katsayısı
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
10
Kanat profilinin performansı nasıl belirlenebilir?
Deneysel çalışmalarla:
- Taşıma ve yunuslama için basınç dağılımı ölçümü- Sürükleme için iz taraması
Teorik çalışmalarla:
- Potansiyel akım çözümleri- Potansiyel akım + sınır tabaka etkileşim yöntemleri- N/S çözümleri
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
11
Kanat profillerinin performans karakteristikleri
Akım ayrılması
kaynaklı tutunma
kaybı
cl
α
cl,max
a0 = ------ = Taşıma eğrisi eğimi dcl
dα
αL = 0
cl,max Vstall
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
12
Kanat profillerinin performans karakteristikleri
NACA 2412 profili
αL=0 = -2.1°
cl,max ≈ 1. 6
αstall ≈ 16°
)(4
124/, AAc cm −π
=
cl
cm,c/4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
-1.2
α (°)
Moment katsayısı
Re = 3.1 × 106
Re = 8.9 × 106
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-8 0 8 16 24
])1(cos1
[2
0
00∫π
θ−θπ
+απ= ddx
dzcl
Taşıma katsayısı cd
cm,ac
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
0
α (°)
Moment katsayısı
Re = 3.1 × 106
Re = 8.9 × 106
0
-0.05
-0.10
-0.15
-12 -8 -4 0 4 8 16 24
Sürükleme katsayısı
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
13
Örnek problem
Deniz seviyesinde standart koşullarda 70 m/s hızdaki serbest akımda yer alan 0.64 m
veter uzunluğuna sahip NACA 2412 profilinin birim açıklık başına taşıması 1254 N/mdir. Hücum açısını ve birim açıklık başına sürükleme kuvvetini hesaplayınız.
Çözüm
³/23.1 mkg=ρ
²/5.3013)70()23.1(½½ 22 mNVq =××=ρ= ∞∞∞
65.064.05.3013
1254
)1(
''=
×=
×==
∞∞ cq
L
Sq
Lcl
°=α 4
6
51008.3
10789.1
64.07023.1Re ×=
×
××=
µ
ρ=
−∞
∞∞ cV
mNccqcSqD dd /1.130068.064.05.3013)1(' =××=×== ∞∞
Deniz seviyesinde standart koşullarda
cl - α eğrisinden
Deniz seviyesinde standart koşullarda, µ=1.789×10-5 kg/(ms)
cd - α eğrisinden Re=3.1×106 için cd = 0.0068
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
14
Örnek problem
Deniz seviyesinde standart koşullarda 70 m/s hızdaki serbest akımda yer alan 0.64 m
veter uzunluğuna sahip NACA 2412 profilinin birim açıklık başına aerodinamik merkez etrafındaki momentini hesaplayınız.
Çözüm
²/5.3013)70()23.1(½½ 22mNVq =××=ρ= ∞∞∞
³/23.1 mkg=ρDeniz seviyesinde standart koşullarda
05.0, −=acmccm,ac - α eğrisinden
)05.0(64.0)1(64.05,3013' , −×××== ∞ acmac ccSqM
mNmM ac /7.61' −=
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
15
Örnek problem
NACA 2412 profili için 0°, 4°, 8°ve 12°hücum açılarındaki taşıma/sürükleme oranlarınıhesaplayınız.
Çözüm
cl - α ve cd - α eğrilerinden
d
l
d
l
c
c
cSq
cSq
D
L==
∞
∞
38.5939685
0.00650.00700.01120.017
0.250.651.081.44
04812
Cl/ C
dC
dC
lα
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
16
Kanat profillerinin performans karakteristikleriNACA 4412 profili (NACA TR-824)
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
17
Kanat profillerinin performans karakteristikleri
NACA 4412 profilinin basınç dağılımı, (Pinkerton, NACA TR-563)
0.0 0.5 1.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.00.0 0.5 1.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.00.0 0.5 1.0
-9.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=30° α=24° α=20°
0.0 0.5 1.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=18°
0.0 0.5 1.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=16°
0.0 0.5 1.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=12°
0.0 0.5 1.0
-2.0
-1.0
0.0
1.00.0 0.5 1.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=4°
0.0 0.5 1.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
α=8° α=2°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
0.0 0.5 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
α=30°
α=24°
α=20°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
α=18°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
α=16°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
α=12°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
1-Cp
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0α=4°
0.0 0.5 1.00.0
1.0
2.0
3.0
α=8°α=2°
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
18
İNCE PROFİL TEORİSİGirdap çizgisi – girdap yüzeyi
Girdap çizgisi
∞
O
∞
O’ Γ
y
∞
x
z
- ∞
Girdap yüzeyi
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
19
Girdap yüzeyinin indüklemesi
r
dsdV
π
γ−=
2
θπ
γ−=φ
2
)( dssd ∫ γθ
π−=φ
b
a
dszx2
1),( ∫ γ=Γ
b
a
ds
a
x
z
bs
ds
r
P(x,z)
θ
dV
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
20
Girdap yüzeyinin indüklemesi
)( 2112 dsudnvdsudnv +−−−=Γ
dnvvdsuu )()( 2121 −+−=Γ
dsγ=Γdnvvdsuuds )()( 2121 −+−=γ
dn → 0
21 uu −=γ
u1
v2
u2
v1
ds
dn
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
21
Bir kanat profilinin bir girdap yüzeyi ile simülasyon
Sınır koşulu: Yüzey bir akım çizgisi olmalı
∫ γ=Γ ds Γρ=′∞∞VL
Herhangi şekle ve kalınlığa sahip kanat profili
s
γ(s)
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
22
İnce profil yaklaşımı
Sınır koşulu: Yüzey bir akım çizgisi olmalı
∫ γ=Γ ds Γρ=′∞∞VL
s
İnce profil Kamburluk eğrisi boyunca girdap yüzeyi
γ(s)
V∞ V∞
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
23
Kutta koşulu – Sirkülasyona bağlı çözüm
Bir kanat profili etrafındaki potansiyel akımda, aynı hücum açısında farklısirkülasyonlar için farklı (matematiksel) çözümler elde etmek mümkündür.
Oysa bir kanat profili etrafındaki gerçek akımda, belli bir hücum açısında tek bir taşıma kuvveti elde edilir.
O halde matematiksel olarak elde edilenlerden hangisi doğru çözümdür ?
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
24
Kutta koşulu - Başlangıç girdabı (Prandtl ve Tiejens)
Bir kanat profili etrafındaki akımın ilk harekete geçme anında firar kenarında bir girdap oluşarak akımla birlikte geriye doğru gider.
Girdap uzağa gittiğinde firar kenarındaki akım artık yüzeyi düzgün biçimde terk etmektedir.
Bu girdabın şiddeti profil etrafındaki
sirkülasyona eşittir.
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
25
Kutta koşulu – Matematiksel uygulaması
Bir kanat profili etrafındaki akım profili firar kenarından düzgün biçimde terk eder.
Açılı firar kenarı
a
a noktasında V1=V2=0
V1
V2
Keskin firar kenarı
a
a noktasında V1=V2≠0
V1
V2
222
211 ½½ VpVp ρ+=ρ+
21 pp =
021 == VV 021 ≠= VV
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
26
İnce profil yaklaşımı için Kutta koşulu
21 uu −=γTETE
VVaTE 21)()( −=γ=γ
s
γ(s)
V∞
V1(s)
V2(s)V1TE
(s)
V2TE(s)
TE
Keskin firar kenarı halinde
Açılı firar kenarı halinde 021 == VV
021 ≠= VV0)( =γ TE
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
27
Kelvin sirkülasyon teoremi
Aynı akışkan elemanlarını içeren bir kapalı eğri etrafındaki sirkülasyon akış boyunca değişmez.
0=Γ
Dt
D
C2
Aynı akışkan elemanları daha sonraki bir t2 anında başka bir C2
eğrisi oluşturmakta
t anında C1 eğrisi boyunca yer alan akışkan elemanları
Γ1=Γ2
C1
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
28
Kelvin teoremi ve başlangıç girdabı
Bir kanat profilinin ilk harekete geçme anında, başlangıçta her yerde hız sıfırolup, C1 eğrisi etrafında sirkülasyon sıfırdır.
Profil harekete geçince akım önce firar kenarından yukarıya dönme eğiliminde olup, firar kenarında çok yüksek bir akım hızı oluşur.
Böylece firar kenarında çok büyük hız gradyantları ve bir vortisite bölgesi meydana gelir.
Bu yüksek vortisite bölgesindeki akışkan kitlesi genel akımla birlikte geriye doğru uzaklaşırken bir girdap oluşturur ki buna başlangıç girdabı adıverilir.
Γ1=0C1
V≈0
Firar kenarını çok büyük hızla dönen akım
Γ1=0C1
V=0
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
29
Kelvin teoremi ve başlangıç girdabı
Şimdi C2 eğrisi başlangıç girdabını çevreleyen bir C3 (abd) ve profili çevreleyen bir C4 (bcd) eğrisi olmak üzere iki eğriye bölünürse, bu eğriler üzerindeki sirkülasyonların toplamı C2
eğrisi üzerindeki Γ2 sirkülasyonuna eşit olacaktır.
Γ4
C2
V∞≠0
Γ2=Γ1=0Γ3=-Γ4
Γ3
a b
d
cBaşlangıçgirdabı
Profil etrafında harekete geçmeden önce C1 eğrisi üzerinde yer alan akışkan elemanları profilin hareket geçmesiyle birlikte başlangıç girdabı oluşup firar kenarını terk ettikten hemen sonra C2
eğrisi üzerinde yer alsın.
C2 etrafındaki Γ2 sirkülasyonu Kelvin
sirkülasyon teoremi gereği Γ1 ile aynı
olup Γ1 = Γ2= 0 dır.
243 Γ=Γ+Γ
Γ2 = 0 olduğundan olacağı görülür.34 Γ−=Γ
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
30
Klasik ince profil teorisi
Kamburluk eğrisinin bir akım çizgisi olması için
Kamburluk eğrisi üzerinde girdap yüzeyi
V∞
z
w’
Kamburluk eğrisi, z=z(x)
xVeter çizgisi0 cα
s
0)(, =′+∞ swV n
nV ,∞
)(sw′ Girdap tabakasının oluşturduğu
dikey hız bileşeni
Serbest akım hızının kamburluk eğrisine dik bileşeni
z
V∞
Kamburluk eğrisi, z=z(x)
x
P
α
V∞,n
α
−−
dx
dz1tan
−−
dx
dz1tan
−+α= −
∞∞dx
dzVV n
1
, tansin
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
31
Klasik ince profil teorisi
Veter çizgisi üzerinde girdap yüzeyi
z
V∞
w’
Kamburluk eğrisi, z=z(x)
xVeter çizgisi0 cα
s
z
w
x, ξ
dξ
ξx
Çizgisel girdap parçasının indüklemesi r
dsdV
π
γ−=
2
)(2
)(
ξ−π
ξξγ=
x
ddw
Veter üzerindeki çizgisel girdap
parçasının indüklemesi
∫ ξ−π
ξξγ−=
c
x
dxw
0)(2
)()(
Veter boyunca girdap dağılımının indüklemesi
0)(2
)(
0
=ξ−π
ξξγ−
−α ∫∞
c
x
d
dx
dzV
Yüzey sınır koşulu uygulanarak
Düzenlenerek
−α=
ξ−
ξξγ
π∞∫ dx
dzV
x
dc
0
)(
2
1İnce profiller için integro-diferansiyel denklem
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
32
Düz levha için uygulama
değişken dönüşümüyle
α=ξ−π
ξξγ→= ∞∫ V
x
d
dx
dzc
0)(2
)(0
)cos1(2
0θ−=c
x
θθ=ξ→θ−=ξ dc
dc
sin2
)cos1(2
α=θ−θ
θθθγ
π∞
π
∫ Vd
0 0coscos
sin)(
2
1
z
w
x, ξ
dξ
ξ
x
c
V∞
α
θ
θ+α=θγ ∞
sin
cos12)( VÇözümün olduğu gösterilebilir
∫∫π
∞
π
θ−θ
θθ+
π
α=
θ−θ
θθθγ
π0 00 0 coscos
)cos1(
coscos
sin)(
2
1 dVd
0
0
0 0 sin
sin
coscos
cos
θ
θπ=
θ−θ
θθ= ∫
πndn
Gn
Glauertintegrali
α=π+π
α=
θ−θ
θθ+
θ−θ
θ
π
α=
θ−θ
θθ+
π
α∞
∞
ππ
∞
π
∞ ∫∫∫ VVddVdV
)0(coscos
cos
coscoscoscos
)cos1(
0 00 00 0
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
32
Düz levha için uygulama
değişken dönüşümüyle
α=ξ−π
ξξγ→= ∞∫ V
x
d
dx
dzc
0)(2
)(0
)cos1(2
0θ−=c
x
θθ=ξ→θ−=ξ dc
dc
sin2
)cos1(2
α=θ−θ
θθθγ
π∞
π
∫ Vd
0 0coscos
sin)(
2
1
z
w
x, ξ
dξ
ξ
x
c
V∞
α
θ
θ+α=θγ ∞
sin
cos12)( VÇözümün olduğu gösterilebilir
∫∫π
∞
π
θ−θ
θθ+
π
α=
θ−θ
θθθγ
π0 00 0 coscos
)cos1(
coscos
sin)(
2
1 dVd
0
0
0 0 sin
sin
coscos
cos
θ
θπ=
θ−θ
θθ= ∫
πndn
Gn
Glauertintegrali
α=π+π
α=
θ−θ
θθ+
θ−θ
θ
π
α=
θ−θ
θθ+
π
α∞
∞
ππ
∞
π
∞ ∫∫∫ VVddVdV
)0(coscos
cos
coscoscoscos
)cos1(
0 00 00 0
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
33
Düz levha için uygulama
Kutta şartı sağlanıyor mu ?
Profil etrafındaki sirkülasyon
θ
θ+α=θγ ∞
sin
cos12)( V
0
0)( =πγπ→θ
θ
θ−α=
θ
θ+α=πγ π→θ∞π→θ∞
cos
sinlim2
sin
cos1lim2)( VV
θθ+α=θθθγ=ξξγ=Γ ∫∫∫ ∞ dcVdc
d
ccc
)cos1(sin)(2
)(
000
∞πα=Γ cV
Profilin taşıma kuvveti 2
∞∞∞∞ ρπα=Γρ=′ VcVL
Profilin taşıma katsayısı)1(½ 2
2
cV
Vc
Sq
Lcl
∞∞
∞∞
∞ ρ
ρπα=
′=
Taşıma eğrisi eğimi 12 −π=α
radd
dcl
1802
ππ=
α
α
α=
α d
r
r
l
d
l
d
d
d
dc
d
dc
πα= 2lc
12
deg90
−π=
αd
l
d
dc
0)( =πγ
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
35
Düz levha için uygulama
04/, =cmc cm,c/4
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
-1.2
α (°)
Re = 3.0 × 106
Re = 9.0 × 106
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-24 -16 -8 0 8 16 24 32
πα= 2lc
NACA 0012 profili
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
36
Örnek problem
5 derece hücum açısındaki bir düz levha için: (a) taşıma katsayısını, (b) hücum kenarı etrafındaki yunuslama katsayısını, (c) çeyrek veter etrafındaki yunuslamakatsayısını ve (d) firar kenarı etrafındaki yunuslama katsayısını hesaplayınız.
Çözüm
(a) πα= 2lc rad0873.03.57
5==α =π= )0873.0(2lc 5485.0
04/, =cmc
=−=−=4
5485.0
4,
l
lem
cc 137.0−(b)
(c)
(d)
V∞
Mc/4
c
3c/4c/4
L’
TE5°
4/4
3cte ML
cM ′+′=′
2
4/
22,4
3
cq
M
cq
Lc
cq
Mc cte
tem
∞∞∞
′+
′=
′= ==+=+= 5485.0
4
30
4
3
4
34/,, lcmltem cccc 411.0
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
37
Kamburluklu profiller için uygulama
değişken dönüşümü ile
)cos1(2
0θ−=c
x
θθ=ξ→θ−=ξ dc
dc
sin2
)cos1(2
z
w
x, ξ
dξ
ξx
c
V∞
α
Kamburluk eğrisi, z=z(x)
−α=
ξ−
ξξγ
π∞∫ dx
dzV
x
dc
0
)(
2
1
İntegro-diferansiyel denklem
−α=
θ−θ
θθθγ
π∞
π
∫ dx
dzV
d
0 0coscos
sin)(
2
1
θ+
θ
θ+=θγ ∑
∞
=
∞
1
0 sinsin
cos12)(
n
n nAAV
Bu denklem için genel bir çözüm, düz levha için elde edilen çözüm bir Fourier serisi ile süperpoze edilerek aşağıdaki gibi önerilebilir
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
38
Kamburluklu profiller için uygulama
Önerilen çözüm dönüştürülmüş integro-diferansiyel denklemde yerleştirilerek
0
0
0 0 sin
sin
coscos
cos
θ
θπ=
θ−θ
θθ= ∫
πkdk
GkBurada Gk lar Glauert integralleri olup
dx
dzdnAdA
n
n −α=θ−θ
θθθ
π+
θ−θ
θθ+
π∑∫∫
∞
=
ππ
1 0 00 0
0
coscos
sinsin1
coscos
)cos1(1
dx
dzdndnAddA
n
n −α=
θ−θ
θθ+−
θ−θ
θθ−
π+
θ−θ
θθ+
θ−θ
θ
π∑ ∫∫∫∫
∞
=
ππππ
1 0 00 00 00 0
0
coscos
)1cos(
coscos
)1cos(
2
1
coscos
cos
coscos
])1cos()1[cos(2
1sinsin θ+−θ−=θθ nnn olmak üzere
( ) ( )dx
dzGG
AGG
A
n
nnn −α=−
π++
π∑
∞
=
+−
1
11100
2
1
olmak üzere
( )dx
dznnAA
n
n −α=
θ
θ+π−
θ
θ−π
π+π+
π∑
∞
=1
0
sin
)1sin(
sin
)1sin(
2
10
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
39
Kamburluklu profiller için uygulama
Bir Fourier analizi yapılarak katsayılar elde edilebilir:
veya olmak üzereθθ±θθ=θ± nnn cossincossin)1sin(
veyadx
dznAA
n
n −α=θ−∑∞
=1
0 cos ∑∞
=
θ+−α=1
0 cos)(n
n nAAdx
dz
{
∑ ∫∫∫∞
=
π
π
ππ
θθ+θ−α=θ1
0
00
0
0
cos)(n
n dnAdAddx
dz
43421
∫π
θπ
−α=0
0
1d
dx
dzA
∑ ∫∫∫∞
=
πππ
θθθ+θθ−α=θθ1 0
0
0
0
0
coscoscos)(cosn
n dknAdkAdkdx
dz
43421
olmak üzere
π=+
θ++
−
θ−=θθ ∑∫
∞
=
π
≠π=
π
2]
)sin()sin([
2cos
1
0
00
0
k
n
içinkniçinkn
n A
kn
kn
nk
knAdk
dx
dz
4342143421
∑ ∫∫∞
=
ππ
θθ++θ−=θθ1 00
])cos()[cos(2
cosn
n dknknA
dkdx
dz
∫π
θθπ
=0
cos2
dkdx
dzAk
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
40
Kamburluklu profiller için uygulama - Taşıma
Taşıma
∫∫π
θθθγ=ξξγ=Γ00
sin)(2
)( dc
d
c
θθθ+θθ+=Γ ∑ ∫∫
∞
=
ππ
∞
n
n dnAdAcV
00
0 sinsin)cos1(
θ+
θ
θ+=θγ ∑
∞
=
∞
n
n nAAV sinsin
cos12)( 0
olupπ=θθ+∫π
0
)cos1( d
≠
=π=θθθ∫
π
içinn
içinndn
10
12/sinsin
0
π+π=Γ ∞ 10
2AAcV
π+πρ=Γρ=′ ∞∞∞∞ 10
2
2AAcVVL
)1(½ 2cV
Lcl
∞∞ρ
′=
+π=
22 1
0
AAcl
θ−θ
π+απ= ∫
π
0
00 )1(cos1
2 ddx
dzcl
π=α
2d
dclTaşıma eğrisi eğimi
0=lc Sıfır taşıma açısı ∫π
= θ−θπ
−=α0
000 )1(cos1
ddx
dzL
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
41
Kamburluklu profiller için uygulama - Yunuslama
θ+
θ
θ+=θγ ∑
∞
=
∞
n
n nAAV sinsin
cos12)( 0
olup
ξξγξρ−=′ ∫∞∞ dVM
c
LE
0
)(
θθ
θ+
θ
θ+θ−ρ−=′ ∫ ∑
π ∞
=
∞∞∞ dc
nAAVc
VMn
nLE sin2
sinsin
cos12)cos1(
20 1
0
∫∑∫π∞
=
π
∞∞
θθθθ−−θθ−−=ρ
′
010
2022
sinsin)cos1()cos1(½
dnAdAcV
M
n
nLE
∑ ∫∫∫∞
=
πππ
θθθ−θθθ−θθ−=
1 000
20, 2sinsin
2
1sinsinsin
n
nlem dndnAdAc
≠
=π=θθθ∫
π
içinn
içinndn
10
12/sinsin
02
sin
0
2 π=θθ∫
c
d
≠
=π=θθθ∫
π
içinn
içinndn
20
22/2sinsin
0
π−
π−
π−=
2222
210,
AAAc lem
−+
π−=
22
210,
AAAc lem
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
42
Kamburluklu profiller için uygulama - Yunuslama
−++
π−=
−+
π−=
22222
2110
210,
AAAA
AAAc lem
+π=
22 1
0
AAcl
π
−+−=
44
21,
AAcc l
lem
Herhangi bir nokta etrafındaki yunuslama
Aerodinamik merkez (Çeyrek veter noktası) etrafındaki yunuslama π−
−=4
214/,
AAc cm
xcAAc
xccc ll
llemxm +
π
−+−=+=
44
21,, π
−−
−=
44
1 21,
AA
c
xcc lxm
Aerodinamik merkezi 04
1, =−=c
x
dc
dcac
l
xm
4
1=
c
xac
Basınç merkezi 044
1 21, =π
−−
−=
AAxcc cplxm
π−
+=l
cp
c
AA
c
x
44
1 21
Basınç merkezi daima çeyrek veter noktasının gerisinde taşıma ile değişen bir noktadır.
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
43
Örnek Problem
Kamburluk eğrisi aşağıdaki şekilde verilen bir NACA 23012 profilini için (a) sıfır taşıma hücum açısını, (b) α = 4° hücum açısındaki taşıma katsayısını, (c) çeyrek veter noktası etrafındaki yunuslama katsayısını ve (d) α = 4° hücum açısında basınç merkezinin yerini hesaplayınız. Sonuçları deneysel verilerle karşılaştırınız.
c
zz
c
xx
xx
xxxxz ==
≤≤−
≤≤+−= ,
0.12025.0)1(02208.0
2025.00)1147.06075.0(6595.2 23
Çözüm
olmak üzere)cos1(2
1θ−=x
θ+θ−= 2cos
2
1cos2
2
3
4
12x
Kamburluk eğrisinin eğimi
≤≤−
≤≤+−=
0.12025.002208.0
2025.00)1147.0215.13(6595.2 2
x
xxx
xd
zd
olup
elde edilir
π≤θ≤−
≤θ≤θ+θ−=
9335.002208.0
9335.00)2cos375.0cos8925.06322.0(6595.2
xd
zd
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
44
Buna göre
]04875.047693.090768.156949.1[1
)9335.0(02208.02
867.1sin9973.0)9335.0(sin3736.2)9335.0(6813.1
1
)02208.0()2cos9973.0cos3736.26813.1(1
11
9335.0
9335.0
0
9335.0
9335.0
00
0
−+−π
−α=
−π−+−
π−α=
θ−+θθ+θ−
π−α=
θ+θ
π−α=θ
π−α=
∫∫
∫∫∫π
ππ
dd
ddx
dzd
dx
dzd
dx
dzA
0286.00 −α=A
π≤θ≤−
≤θ≤θ+θ−=
9335.002208.0
9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1
xd
zd
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
45
[ ]01775.045637.06754.135127.12
01775.0)9335.0sin3
8005.2sin(49865.0)9335.0
2
867.1sin(1868.135127.1
2
)9335.0sin(02208.0
)cos3(cos2
19973.0)12(cos
2
13736.2)9335.0(sin6813.12
cos)02208.0()cos2cos9973.0cos3736.2cos6813.1(2
coscos2
cos2
9335.0
0
9335.0
0
9335.0
9335.0
0
2
9335.0
9335.0
00
1
++−π
=
++++−
π=
−−
θθ+θ+θ+θ−
π=
θθ−+θθθ+θ−θ
π=
θθ+θθ
π=θθ
π=
∫∫
∫∫
∫∫∫π
ππ
dd
dd
ddx
dzd
dx
dzd
dx
dzA
0955.01 =A
π≤θ≤−
≤θ≤θ+θ−=
9335.002208.0
9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1
xd
zd
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
46
[ ]01056.039588.008617.180404.02
01056.0)9335.04
734.3sin(49865.0)9335.0sin
3
8005.2sin(1868.180404.0
2
)2
867.1sin(02208.0
)14(cos2
19973.0)cos3(cos
2
13736.2)
2
867.1sin(6813.1
2
2cos)02208.0()2cos9973.02coscos3736.22cos6813.1(2
2cos2cos2
2cos2
9335.0
0
9335.0
0
9335.0
9335.0
0
2
9335.0
9335.0
00
2
++−π
=
++++−
π=
−−
θ+θ+θθ+θ−
π=
θθ−+θθ+θθ−θ
π=
θθ+θθ
π=θθ
π=
∫∫
∫∫
∫∫∫π
ππ
dd
dd
ddx
dzd
dx
dzd
dx
dzA
0791.02 =A
π≤θ≤−
≤θ≤θ+θ−=
9335.002208.0
9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1
xd
zd
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
47
0791.02 =A
(a) Sıfır taşıma hücum açısı
0955.01 =A0286.00 −α=A
+π=
22 1
0
AAcl ( )01915.02
2
0955.00286.02 +απ=
+−απ=lc
0=lc π×−=α /18001915.0 °−=α 097.1
(b) α=4° de Taşıma katsayısı ( )01915.0180/42 +π×π=lc 559.0=lc
)0955.00791.0(4
)(4
124/, −π
=−π
= AAc cm0129.04/, −=cmc
(c) Çeyrek veter etrafında yunuslama
(d) α=4° de basınç merkezinin konumu
π×
−+=π
−+=
559.04
0791.00955.0
4
1
44
1 21
l
cp
c
AA
c
x273.0=
c
xcp
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
48
Karşılaştırma
___________________________Hesap Deney
___________________________αL=0 -1.097 -1.1cl (α=4° de) 0.559 0.55cm,c/4 -0.0129 -0.01___________________________
NACA 23012 Deneysel sonuçlar
cm,c/4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
-1.2
-1.6
-2.0
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5-32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32
α (°)
cl
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
49
Aerodinamik Merkez – İlave bilgiler
Aerodinamik merkezde
4/)4/( cacac McxcLM ′+−′=′4/,, )25.0( cmaclacm cxcc +−=
0)25.0(4/,,
=α
+−α
=α d
dcx
d
dc
d
dc cm
aclacm
0
4/,
0 ; md
dca
d
dc cml ≡α
≡α
00 )25.0(0 mxa ac +−=
25.00
0 +−=a
mxac
xac
D’ M’ac ac
L’
c/4
M’c/4 ac
L’
cxac
0,
=αd
dc acm
olmak üzere
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
50
Örnek Problem
NACA 23012 profiline ait deneysel verilerden α = 4° hücum açısında, cl = 0.55 ve cm,c/4 = - 0.005olduğu görülmektedir. Ayrıca sıfır taşıma hücum açısı -1.1° olup α = - 4° hücum açısındacm,c/4 = - 0.0125 dir. Buna göre aerodinamik merkezinin konumunu hesaplayınız.
Çözüm
Taşıma eğrisi eğimi 10 1078.0
)1.1(4
055.0 −=−−
−= derecea
140 10375.9
)4(4
)0125.0(005.0 −−×=−−
−−−= derecem
Moment eğrisi eğimi
25.01078.0
10375.925.0
4
0
0 +×
−=+−=−
a
mxac 241.0=acx
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
51
Kalın profiller için girdap panel yöntemi
Yüzeye dik hız bileşeni
s
γ(s)
V∞
α
ds
C Θ
P noktası yüzey üzerinde olmak üzere
P noktasında potansiyel ∫ Θπ
γ−φ=φ ∞ sCCC
dss
2
)(
sP
sPsC
xx
yy
−
−=Θ −1tan
P noktasında hız vektörü ∫ Θ∇γπ
−φ∇=φ∇= ∞ dssV sCC )(2
1r
∫ ∂
Θ∂γ
π−⋅=⋅φ∇= ∞ ds
nsnVnV sC
CCCCn )(2
1rrrr
Yüzeye teğet hız bileşeni ∫ ∂
Θ∂γ
π−⋅=⋅φ∇= ∞ ds
tstVtV sC
CCCCt )(2
1rrrr
?)( =γ s
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
52
Kalın profiller için girdap panel yöntemiYüzey sınır koşulunun uygulanması - Panellerin oluşturulması
γ(s) ‘yi hesaplamak için yüzey üzerindeki sınır koşullarından yararlanılır
γ(s)
V∞
α P1 P2 P3
Pj
Pj+1 Pi Pi+1
PN
PN+1
Ci Vti
Vni= 0
Bilinmeyen γ(s) büyüklüğü integral içinde olduğu için analitik çözüm mümkün değil
CsC nVdsn
srr
⋅=∂
Θ∂γ
π∞∫ )(
2
10=
CnVr
∑ ∫=
∞∂
Θ∂γ
π−⋅=
N
j j i
is
iit dst
stVV1
)(2
1rrrYüzey N adet panele ayrılarak
),...,2,1()(2
1
1
NinVdsn
s i
N
j j i
is =⋅=∂
Θ∂γ
π∞
=∑ ∫
rr
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
53
Kalın profiller için girdap panel yöntemiDoğrusal paneller üzerinde sabit şiddette girdap dağılımı
γ(s)
V∞
α P1 P2 P3
Pj
Pj+1
Pi Pi+1
PN
PN+1
Ci Aij
Bij
Paneller doğrusal ve her bir panel boyunca girdap şiddetleri sabit alınarak ∑
∑
=
∞
∞
=
γ−⋅=
=⋅=γ
N
j
jijiit
i
N
j
jij
AtVV
NinVB
1
1
),...,2,1(
rrr
rr
∫
∫
∂
Θ∂
π=
∂
Θ∂
π=
j i
isij
j i
isij
dst
A
dsn
B
2
1
2
1
Burada
Yukarıdaki denklem sistemi sadece yüzey üzerindeki sınır koşulu uygulanarak elde edilmiştir.Ayrıca Kutta koşulunun sağlanması gerekir.
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
54
Kalın profiller için girdap panel yöntemiKutta koşulu
γN
Q1 Q2
Q3
QN
QN+1
QN-1
PN
P1
γ1
0
),...,2,1(
1
1
=γ+γ
=⋅=γ ∞
=
∑
N
i
N
j
jij NinVBr
Girdap şiddeti firar kenarında sıfır olmalı.
0=γTE 01 =γ+γ N
Böylece denklem sistemi:
şekline gelir. Burada Bilinmeyen sayısı: N (γ1, γ1,…,γN)Denklem sayısı : N+1
Denklem sayısı bilinmeyen sayısından 1 fazla olup, 1 adet denklemin atılması gerekir.
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
55
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
- i panelinin teğetidoğrultusundaki bileşeni
- i panelinin normalidoğrultusundaki bileşeni
j paneli üzerindeki sabit birimşiddetli girdap dağılımının
i panelinin kontrol noktasında indüklediği hızın
Pj
Pj+1
Pi
Pi+1
Ci
x
y
tj
nj
ni
ti
θj
θirij
Cj
γ = 1
∫
∫
∂
Θ∂
π=
∂
Θ∂
π=
j i
isij
j i
isij
dst
A
dsn
B
2
1
2
1
Θi
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
56
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması- Panel özellikleri
Panel orta noktaları
iiyiixiyixi
iiyiixiyixi
nnjninn
ttjtitt
θ=θ−=+=
θ=θ=+=
cos,sin,
sin,cos,rrr
rrr
Teğet ve normal birim vektörleri
22
1
1
)()(
cos,sin
yxs
yyy
xxx
s
x
s
y
iPiP
iPiP
ii
∆+∆=∆
−=∆
−=∆
∆
∆=θ
∆
∆=θ
+
+
Ci
x
y
θi
θi
θi
ni
txi= cosθi
nyi= cosθi
nxi= -sinθi
∆xi
∆yi
∆si
Pi
Pi+1ti
2,
2
11 +++
=+
= iPiP
iCiPiP
iC
yyy
xxx
tyi= sinθi
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
57
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
∫ ∂
Θ∂
π=
j i
isij ds
nB
2
1
∫ ∂
Θ∂
π=
j i
is
ij dst
A2
1
1) j paneli üzerindeki sabit birim şiddetli girdap dağılımınıni panelinin kontrol noktasında indüklediği hız bileşenlerinij paneline bağlı eksen takımında hesapla
Pj
Pj+1
Ci
x
y
tj
nj
θjCj
γ = 1
te
nerij
ue
ve
jyyixxrjCiCjCiCij
rrr)()( −+−=
)(])()[( jtitjyyixxtrtjyjxjCiCjCiCjije
rrrrrr+⋅−+−=⋅= jyjCiCjxjCiCe tyytxxt )()( −+−=
)(])()[( jninjyyixxnrnjyjxjCiCjCiCjije
rrrrrr+⋅−+−=⋅= jyjCiCjxjCiCe nyynxxn )()( −+−=
∫+
∂
Θ∂
π=
1
2
1j
j
P
P
ise dt
tu
∫+
∂
Θ∂
π=
1
2
1j
j
P
P
ise dt
nv
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
58
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
[ ] 2
1
1
2
1
2
1 ββΘ
π=
∂
Θ∂
π= ∫
+j
j
P
P
e dtt
u
1) Hız bileşenlerini j paneline bağlı eksen takımında hesapla
1
2ln2
1
R
Rve
π=
222
221
)2/(
)2/(
eje
eje
ntR
ntR
+∆−=
+∆+=
( )∫∫++
+−π=
∂
Θ∂
π=
11
222
1
2
1j
j
j
j
P
P ee
e
P
P
e dtntt
ndt
nv
)(2
112 β−β
π=eu
Ci
t
n
Θ
te
ne
ue
ve
Pj+1
Cj
Pj
∆ j /2 ∆ j /2
r
dt
R1
R2
β1β2
t
222
112
)2/(tan
jee
je
nt
n
∆−+
∆=β−β −
2/tan
2/tan
12
11
je
e
je
e
t
n
t
n
∆−=β
∆+=β
−
−
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
59
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
1) Hız bileşenlerini j paneline bağlı eksen takımında hesaplaPanelin kendi kontrol noktasındaki etkisi ( i = j hali )
Ci
t
n
ue
ve
Pj+1CjPj
∆ j /2 ∆ j /2
R1
R2
β1
β2
ji CC →
0=ev
0ln12/
2/
1
2
1
2
2
1→⇒→⇒
∆→
∆→
R
R
R
R
R
R
j
j
2
1=eu
π→β−β⇒
→β
π→β12
2
1
0
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
60
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
2) Hız bileşenlerini cisim eksenlerine aktar
jeje nvtuVrrr
+=
ijninvjtituinvtuiVujyjxejyjxejeje
rrrrrrrrrr
⋅+++=⋅+=⋅= ))()([)(
Ci
x
y
tj
nj
θjCj
v
u
V
ue
ve
jxejxe nvtuu +=
jjninvjtitujnvtujVvjyjxejyjxejeje
rrrrrrrrrr
⋅+++=⋅+=⋅= )]()([)( jyejye nvtuv +=
jninn
jtitt
jyjxj
jyjxj
rrr
rrr
+=
+=
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
61
Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması
3) Hız bileşenlerini i paneline bağlı teğet-normal eksen takımına aktar
jviuVrrr
+=
)()( jtitjviutVviyixit
rrrrrr
+⋅+=⋅= ijiyixit Atvtuv =+=
jninn
jtitt
iyixi
iyixi
rrr
rrr
+=
+=
x
y
ti
ni
Ci
v
u
V
vtvn
)()( jninjviunVviyixin
rrrrrr
+⋅+=⋅= ijiyixin Bnvnuv =+=
UCK351 Aerodinamik ders notları
- MAY
62
Kalın profiller için girdap panel yöntemiDenklem sistemi
=
γ
γ
γ
γ
⋅
0100001
0
0
0
0
3
2
1
3
2
1
321
33231
22321
11312
Nn
n
n
n
NNNN
N
N
N
V
V
V
V
BBB
BBB
BBB
BBB
LL
LL
LLLLLL
LL
LL
LL
Girdap şiddeti firar kenarında sıfır olmalı.
şekline gelir. Burada Bilinmeyen sayısı: N (γ1, γ1,…,γN)Denklem sayısı : N+1
Denklem sayısı bilinmeyen sayısından 1 fazla olup, 1 adet denklemin atılması gerekir.