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1/5

+ +

C S 4 6 6 L e c t u r e N o t e s , S p r i n g 1 9 9 5 . L e c t u r e 2 5

S U B S E T - S U M i s N P - c o m p l e t e . R e f e r e n c e : S e c -

t i o n 3 6 . 5 . 3 o f C L R .

D e n i t i o n . T h e S U B S E T - S U M p r o b l e m i s

t h e f o l l o w i n g : y o u a r e g i v e n a s e t o f p o s i t i v e

i n t e g e r s S a n d a \ t a r g e t " t . Q u e s t i o n :

I s t h e r e a s u b s e t S

0

o f S s u c h t h a t t h e s u m

o f t h e e l e m e n t s o f S

0

i s e q u a l t o t ?

T h e o r e m . T h e S U B S E T - S U M p r o b l e m i s N P -

c o m p l e t e .

T o p r o v e t h i s , w e f o l l o w t h e \ v e - s t e p s " .

1 . S U B S E T - S U M i s i n N P . T o p r o v e t h i s , o b s e r v e t h a t

i f s o m e o n e g i v e s u s t h e s e t S

0

, w e c a n i n p o l y n o m i a l

t i m e d e t e r m i n e t h e s u m o f t h e e l e m e n t s i n S

0

, a n d s e e

i f t h a t i s e q u a l t o t

+ 1

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2/5

+ +

2 . W e w i l l s h o w V E R T E X - C O V E R

p

S U B S E T - S U M .

3 . W e n e e d t o s h o w h o w t o t r a n s f o r m a n i n s t a n c e o f

V E R T E X - C O V E R t o a n i n s t a n c e o f S U B S E T - S U M .

A V E R T E X - C O V E R i n s t a n c e i s a p a i r < G ; k > . O u r

c o n s t r u c t i o n w i l l b e b a s e d o n t h e i n c i d e n c e m a t r i x o f

t h e g r a p h G = ( V ; E ) . T h e i n c i d e n c e m a t r i x M

i j

i s a

j V j j E j m a t r i x t h a t i s d e n e d a s f o l l o w s :

M

i j

=

1 i f e d g e e

j

i s i n c i d e n t o n v e r t e x v

i

0 o t h e r w i s e .

( 1 )

S e e F i g u r e 3 6 . 1 4 , p a g e 9 5 2 o f C L R .

N o t i c e t h a t e a c h r o w o f t h e i n c i d e n c e m a t r i x c o r r e -

s p o n d s t o t h e e d g e s t o u c h i n g a g i v e n v e r t e x .

W e n o w c o n s t r u c t a s e t S o f n u m b e r s a n d a t a r g e t t

s u c h t h a t t h e r e i s a s o l u t i o n t o t h e s u b s e t - s u m p r o b l e m

< S ; t > i t h e o r i g i n a l g r a p h G h a s a v e r t e x - c o v e r o f

s i z e k

+ 2

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3/5

+ +

W e d o t h i s a s f o l l o w s :

S = f x

0

; : : : ; x

j V j 1

g f y

0

; : : : ; y

j E j 1

g ;

w h e r e

x

i

= 4

j E j

+

j E j 1

X

j = 0

M

i j

4

j

f o r 0 i

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4/5

+ +

W e c l a i m t h i s s u b s e t S

0

s u m s t o t . T o p r o v e t h i s ,

c o n v i n c e y o u r s e l f t h a t w e c a n c h e c k t h i s c l a i m o n e a c h

d i g i t o f t h e e l e m e n t s o f S . ( T h e c a r r i e s d o n o t i n t e r f e r e

s i n c e a t m o s t 3 e l e m e n t s o f S h a v e a 1 i n d i g i t p o s i t i o n

j , f o r a l l j l e s s t h a n j E j . ) S i n c e t h e o r i g i n a l g r a p h G h a s

a v e r t e x c o v e r o f s i z e k , t h e m o s t s i g n i c a n t d i g i t ( s )

o f t h e s u m s a r e k , a n d t h i s m a t c h e s t h e t a r g e t . S i n c e

s i n c e V

0

i s a v e r t e x c o v e r , e a c h e d g e ( i . e . c o l u m n ) h a s

a t l e a s t o n e v e r t e x i n V

0

( i . e . r o w s u m ) t h a t t o u c h e s

i t ( i . e . h a s a 1 i n t h a t d i g i t p o s i t i o n ) . I t m i g h t h a v e

t w o , i n w h i c h c a s e n o n e o f t h e y

j

' s i n S

0

h a v e a 1 i n

t h a t p o s i t i o n , b y o u r d e n i t i o n o f S

0

. I f i t i s h a s o n l y

o n e 1 , t h e n a n o t h e r 1 i s a d d e d b y t h e a p p r o p r i a t e y

j

T h u s f o r a l l d i g i t p o s i t i o n s e x c e p t t h e m o s t s i g n i c a n t

o n e ( s ) , t h e c o l u m n s u m i s 2 . T h i s m a t c h e s t h e t a r g e t .

T o p r o v e t h e o t h e r d i r e c t i o n , a s s u m e t h a t t h e r e i s a

s u b s e t S

0

t h a t m a t c h e s t h e t a r g e t . D e n e

V

0

= f v

i

: n u m b e r x

i

2 S

0

g

T h e n V

0

i s a v e r t e x c o v e r . S i n c e t h e t a r g e t h a s a \ k " i n

t h e m o s t s i g n i c a n t d i g i t , t h i s c o r r e s p o n d s t o p i c k i n g

e x a c t l y k o f t h e x

i

. T h u s V

0

h a s e x a c t l y k e l e m e n t s .

T o s e e t h a t V

0

i s a v e r t e x c o v e r , l e t e

j

b e a n e d g e i n

G . T h e n t h e r e i s a 2 i n e v e r y o t h e r d i g i t p o s i t i o n o f

t h e t a r g e t e x c e p t t h e m o s t s i g n i c a n t o n e ( s ) . S i n c e

t h e r e a r e o n l y t h r e e e l e m e n t s o f S t h a t h a v e a 1 i n

d i g i t p o s i t i o n j ( n a m e l y , x

r

a n d x

s

, w h e r e e

j

= ( r ; s ) ,

a n d y

j

) , a t l e a s t 1 o f t h e t o t a l c o n t r i b u t i o n o f 2 m u s t

c o m e f r o m a n x

i

2 S

0

. H e n c e e

j

t o u c h e s v

i

, a n d v

i

i s i n

V

0

. T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f t h a t V

0

i s a v e r t e x c o v e r .

2

+ 4

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5/5

5 . C o n v i n c e y o u r s e l f t h a t t h i s t r a n s f o r m a t i o n ( f r o m

a n i n s t a n c e o f V E R T E X - C O V E R t o a n i n s t a n c e o f

S U B S E T - S U M ) c a n b e d o n e i n p o l y n o m i a l t i m e . 2

T h u s , S U B S E T - S U M i s N P - c o m p l e t e . T h i s i s r a t h e r

r e m a r k a b l e , w h e n o n e c o n s i d e r s t h a t t h e s u b s e t - s u m

p r o b l e m d e a l s w i t h s u m s o f n u m b e r s , a n d i s q u i t e f a r

a w a y f r o m o u r o r i g i n a l N P - c o m p l e t e p r o b l e m o f c i r c u i t

s a t i s a b i l i t y !