4.4 Problemas de Optimizacion

5/28/2018 4.4 Problemas de Optimizacion

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Clculo Diferencial eIntegral de Una Variable

DERIVADA

Problemas de optimizacin.


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Habilidades

1.Identifica los tipos de problemas de optimizacin.

2.Reconoce y pone en prctica las etapas para lasolucin de los problemas de optimizacin.

3.Pone en prctica la prueba de la primera derivada

y resuelve problemas de optimizacin con la asesora

del profesor.


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Prueba de la primera derivada

Prueba de la primera derivada para valores extremosabsolutos

Sea cun punto crtico de una funcin continua fdefinida sobre un intervalo abierto.

b)Si f (x)< 0para todox < cy f (x) > 0paratodo c < x, entonces f (c)es el valor mnimoabsoluto de f.

a)Si f (x)> 0para todox < cy f (x) < 0para

todo c < x, entonces f (c)es el valor mximoabsoluto de f.


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Para hallar los extremos absolutos de unafuncin fcontinua en [a, b]:

1 Halle los valores de fen los puntoscrticos de fen .

2 Halle f (a)y f (b).

3 El mayor de los valores obtenidos en 1y

2es el mximo absoluto de fen [a, b]. Elms pequeo es el mnimo absoluto.

Teorema del valor extremo


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Problemas De Optimizacin De Una Variable

Una funcin

objetivo

Se tratan de problemas en lo cuales sedesea encontrar la solucin optima

Una o ms

ecuacionesde enlace

Un intervalo dedecisin


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Problema

1.Encuentre el rea del rectngulo ms grande que

se puede inscribir en un semicrculo de radio r.

x

y

O r-r

(x,y)

y

2x

rea

visualcalculus
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/


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Problema

1.Encuentre el rea del rectngulo ms grande que

se puede inscribir en un semicrculo de radio r.

O

r

rcos

rsen

rea


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Pasos para la solucin

1. Comprender el problema: cul es la incgnita? culesson las cantidades dadas? cules son las condicionesdadas?

2. Dibujar un diagrama e identificar en l las cantidades dadasy requeridas.

3. Introducir una notacin. Asignar smbolos a la cantidad quese va a maximizar o minimizar y a las cantidades descono-cidas.

4. Relacionar las cantidades conocidas y desconocidas median-ecuaciones.

5. Eliminar variables hasta expresar la cantidad requerida entrminos de una variable.

6. Aplicar los mtodos estudiados para hallar el mximo o elmnimo absoluto de la cantidad requerida.

Pasos para la solucin de problemas de optimizacin


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Problema

2.Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar

un campo rectangular que limita con un ro recto.No necesita cercar a o largo del ro. Cules son lasdimensiones del campo que tiene el rea msgrande?

rea x

y

x


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Problema

h

r

Costo

3. Se va a producir una lata cilndrica para que con

tenga 1000 cm3de aceite. Encuentre lasdimensiones que minimizan el costo total delmetal para producir la lata, si el costo por cm2esde S/. 0,50.


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Problema

4.Encuentre el punto sobre la parbola y2=2xms

cercano al punto (1; 4).

x

2

Distancia


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Problema

5. Un hombre est en un puntoAsobre una de las riberas de

un ro recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta elpunto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rpidocomo le sea posible. Podra remar en su bote, cruzar el rodirectamente hasta el punto Cy correr hasta B; podra remarhasta Bo, en ltima instancia, remar hasta algn punto D,entre Cy By luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h ycorrer a 8 km/h, dnde debe desembarcar para llegar a Btanpronto como sea posible?

A

C D B

8 km

3 km

Tiempo


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Problema

6. Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30pies. Hay que conectarlos mediante un cable queeste atado en algn punto del suelo entre ellos.En qu punto ha de amarrarse al suelo con elfin de utilizar la menor cantidad de cable

posible?


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Problema

7. Dos aviones A y B vuelan a la misma alturahorizontalmente tal como lo muestra la figura. Sila velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20km/min, determine en cuntos segundos losaviones estarn lo mas cerca posible y a qu

distancia. 20 km

20 km

B

A

N

E

S

W


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Problema

8. Un hotel cobra $ 80 por habitacin, y da preciosespeciales a grupos tursticos que reservenentre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan ms de30 cuartos, el precio por habitacin disminuyeen $ 1 por cada cuarto arriba de los 30. Cul es

el tamao del grupo que aporta al hotel unaganancia mxima si cada cuarto ocupado lecuesta al hotel $ 6 cada da por limpieza ymantenimiento?


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Problema

9. Para la construccin de una obra, hay que llevar

tramos de tuberas a travs de un pasillo cuyavista en planta se acompaa. Para minimizar elnmero de empates posteriores, se quiere quelos tramos de tubo sean los mayores posibles.

Qu longitud deben tener?

3 m

2 m


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Bibliografa

Clculo de una variableCuarta edicin

James Stewart

Seccin 4.7Ejercicios 4.7 pg 334:7, 8, 11, 12, 15, 17.

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