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MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Use the graph to evaluate the limit.
1)
f(x)
1)
_______ A)
B)
-1
C)
∞
D)
- 2)
f(x)
2)
_______ A)
-3
B)
0 C)
3
D)
Does not exist 3)
f(x)
3)
_______ A)
0
B)
-1 C)
Does not exist
D)
1 4)
f(x)
4)
_______ A)
Does not exist
B)
6 C)
-1
D)
0 5)
f(x)
5)
_______ A)
-1
B)
1 C)
∞
D)
Does not exist 6)
f(x)
6)
_______ A)
Does not exist
B)
-1 C)
∞
D)
1 7)
f(x)
7)
_______ A)
Does not exist
B)
1 C)
0
D)
-1 8)
f(x)
8)
_______ A)
0
B)
-1 C)
Does not exist
D)
1 9)
f(x)
9)
_______ A)
0
B)
Does not exist C)
1
D)
-1
10)
f(x)
10)
______ A)
Does not exist
B)
0 C)
-1
D)
1
Use the table to find the indicated limit. 11)
If f(x) = x2 + 8x - 2, find f(x).
11)
______ A)
; limit = 17.70 B)
; limit = ∞ C)
; limit = 18.0 D)
; limit = 5.40
12)
If f(x) = , find f(x).
12)
______ A)
; limit = 5.10 B)
; limit = 1.210 C)
; limit = 4.0 D)
; limit = ∞
13)
If f(x) = , find f(x).
13)
______ A)
; limit = 5.10 B)
; limit = 1.20 C)
; limit = 4.0 D)
; limit = ∞
14)
If f(x) = x2 - 5, find f(x).
14)
______ A)
; limit = -3.0 B)
; limit = -15.0 C)
; limit = -5.0 D)
; limit = ∞
15)
If f(x) = , find f(x).
15)
______ A)
; limit = ∞ B)
; limit = 2.13640 C)
; limit = 0.7071 D)
; limit = 0.21213
16)
If f(x) = - 2, find f(x).
16)
______ A)
; limit = 1.95 B)
; limit = ∞ C)
; limit = 0.0 D)
; limit = 1.50
17)
If f(x) = , find f(x).
17)
______ A)
-0.5762; -0.5975; -0.5998; -0.6003; -0.6025; -0.6263
limit = -0.6 B)
-0.3762; -0.3975; -0.3998; -0.4003; -0.4025; -0.4263
limit = -0.4 C)
-0.4762; -0.4975; -0.4998; -0.5003; -0.5025; -0.5263
limit = -0.5 D)
0.4762; 0.4975; 0.4998; 0.5003; 0.5025; 0.5263
limit = 0.5
18)
If f(x) = , find f(x).
18)
______ A)
0.5062; 0.5006; 0.5001; 0.4999; 0.4994; 0.4937limit = 0.5
B)
3.1053; 3.0101; 3.0010; 2.9990; 2.9900; 2.9048limit = 3
C)
3.2053; 3.1101; 3.1010; 3.0990; 3.0900; 3.0048limit = 3.1
D)
3.0053; 2.9101; 2.9010; 2.8990; 2.8900; 2.8048limit = 2.9
19)
If f(x) = , find f(x).
19)
______ A)
limit = 7.5
B)
limit = 0 C)
limit does not exist
D)
limit = 8
20)
If f(x) = , find f(x).
20)
______ A)
limit does not exist
B)
limit = 4 C)
limit = 9.2106099
D)
limit = 0
Find the limit, if it exists. 21)
( 2x + 5)
21)
______ A)
5
B)
21
C)
7
D)
-11
22)
( + 8x - 2)
22)
______ A)
Does not exist
B)
18 C)
-18
D)
0
23)
( - 5)
23)
______ A)
-5
B)
5 C)
Does not exist
D)
0
24)
( - 2)
24)
______ A)
0
B)
2 C)
-2
D)
Does not exist
25)
( + 5 - 7x + 1)
25)
______ A)
0
B)
15 C)
Does not exist
D)
29
26)
( 3 - 2 - 4 + - 5)
26)
______ A)
47
B)
-33
C)
-97
D)
-161
27)
27)
______ A)
±7
B)
49 C)
Does not exist
D)
7
28)
28)
______ A)
Does not exist
B)
0 C)
-1/5
D)
1
29)
29)
______ A)
Does not exist
B)
π/2 C)
2/π
D)
1
30)
30)
______ A)
B)
0 C)
2/π
D)
Does not exist
Find the average rate of change of the function over the given interval. 31)
y = + 3x, [ 1, 7]
31)
______ A)
B)
C)
11
D)
10
32)
y = 1 + 8 + 4, [ 4, 8]
32)
______ A)
257
B)
104
C)
208
D)
33)
y = , [2, 8]
33)
______ A)
B)
-
C)
7
D)
2
34)
y = , [4, 7]
34)
______ A)
7
B)
-
C)
2
D)
35)
y = 4 ,
35)
______ A)
2
B)
-
C)
7
D)
36)
y = -3 - x, [5, 6]
36)
______ A)
-
B)
C)
-34
D)
-2
37)
h(t) = sin ( 2t),
37)
______ A)
B)
-
C)
D)
38)
g(t) = 4 + tan t,
38)
______ A)
-
B)
0
C)
-
D)
Use the slopes of UQ, UR, US, and UT to estimate the rate of change of y at the specified value of x.
39)
x = 5
39)
______ A)
1
B)
0
C)
2
D)
5
40)
x = 3
40)
______ A)
6
B)
0
C)
4
D)
2
41)
x = 5
41)
______ A)
B)
C)
0
D)
42)
x = 2
42)
______ A)
4
B)
3
C)
0
D)
6
43)
x = 2.5
43)
______ A)
3.75
B)
1.25
C)
0
D)
7.5
Use the table to estimate the rate of change of y at the specified value of x. 44)
x = 1
44)
______ A)
1.5
B)
1
C)
2
D)
0.5
45)
x = 1
45)
______ A)
1
B)
2
C)
0.5
D)
1.5
46)
x = 1
46)
______ A)
6
B)
8
C)
2
D)
4
47)
x = 2
47)
______ A)
4
B)
-8
C)
0
D)
8
48)
x = 1
48)
______ A)
0.5
B)
0
C)
1
D)
-0.5
Use a CAS to plot the function near the point being approached. From your plot guess the value of the limit.
49)
49)
______ A)
6
B)
C)
D)
0
50)
50)
______ A)
8
B)
0
C)
16
D)
51)
51)
______ A)
B)
C)
8
D)
0
52)
52)
______ A)
5
B)
C)
-
D)
10
53)
53)
______ A)
B)
C)
64
D)
54)
54)
______ A)
B)
C)
D)
0
55)
55)
______ A)
B)
18
C)
0
D)
56)
56)
______ A)
3
B)
C)
8
D)
4
57)
57)
______ A)
B)
2
C)
4
D)
1
Find the limit if it exists. 58)
58)
______ A)
2
B)
14
C)
D)
59)
( 4x - 3)
59)
______ A)
31
B)
-31
C)
-25
D)
25
60)
( 17 - 4x)
60)
______ A)
47
B)
-81
C)
81
D)
-47
61)
( 6 - 2x - 7)
61)
______ A)
613
B)
587
C)
627
D)
573
62)
10x(x + 10)(x - 4)
62)
______ A)
-960
B)
960
C)
-1440
D)
-320
63)
4x
63)
______ A)
B)
1
C)
D)
64)
64)
______ A)
16
B)
8
C)
D)
4
65)
65)
______ A)
1
B)
9
C)
-1125
D)
-125
66)
66)
______ A)
64
B)
-64
C)
8
D)
-8
67)
(x + 1042
67)
______ A)
256
B)
16
C)
64
D)
-64
Find the limit, if it exists. 68)
68)
______ A)
Does not exist
B)
3 C)
6
D)
0
69)
69)
______ A)
-4
B)
4 C)
Does not exist
D)
0
70)
70)
______ A)
-
B)
Does not exist C)
-
D)
-
71)
71)
______ A)
-
B)
0 C)
-
D)
Does not exist
72)
72)
______ A)
0
B)
Does not exist C)
-6
D)
6
73)
73)
______ A)
Does not exist
B)
5 C)
0
D)
-8
74)
74)
______ A)
1
B)
Does not exist C)
1/2
D)
2
75)
75)
______ A)
16x
B)
C)
D)
Does not exist
76)
76)
______ A)
1/2
B)
Does not exist C)
1/4
D)
0
77)
77)
______ A)
3
B)
1/3 C)
0
D)
Does not exist
78)
78)
______ A)
Does not exist
B)
-1 C)
0
D)
5
79)
79)
______ A)
Does not exist
B)
2 C)
4
D)
0
80)
80)
______ A)
Does not exist
B)
3 C)
6
D)
1
81)
81)
______ A)
Does not exist
B)
12 C)
-2
D)
168
82)
82)
______ A)
0
B)
11 C)
3
D)
Does not exist
83)
83)
______ A)
-
B)
C)
0
D)
Does not exist
84)
84)
______ A)
B)
Does not exist C)
0
D)
85)
85)
______ A)
-
B)
C)
Does not exist
D)
-
86)
86)
______ A)
3x2 + 3xh + h2
B)
0 C)
Does not exist
D)
3x2
87)
87)
______ A)
Does not exist
B)
-1 C)
0
D)
1
Give an appropriate answer. 88)
Suppose f(x) = 1 and g(x) = -3. Name the limit rules that are used to accomplish steps (a), (b), and (c) of the following calculation.
= =
88)
______ A)
(a) Quotient Rule(b) Difference Rule, Power Rule(c) Constant Multiple Rule and Sum Rule
B)
(a) Quotient Rule(b) Difference Rule, Sum Rule(c) Constant Multiple Rule and Power Rule
C)
(a) Difference Rule(b) Power Rule(c) Sum Rule
D)
(a) Quotient Rule(b) Difference Rule(c) Constant Multiple Rule
89)
Let f(x) = 4 and g(x) = 8. Find [f(x) - g(x)].
89)
______ A)
10
B)
12
C)
-4
D)
4
90)
Let f(x) = -4 and g(x) = 5. Find [f(x) ∙ g(x)].
90)
______ A)
1
B)
5
C)
-20
D)
-4
91)
Let f(x) = 3 and g(x) = 10. Find .
91)
______ A)
B)
8
C)
D)
-7
92)
Let f(x) = 8. Find f(x).
92)
______ A)
B)
7
C)
3
D)
9
93)
Let f(x) = 16. Find .
93)
______ A)
-2
B)
4
C)
16
D)
2.0000
94)
Let f(x) = -3 and g(x) = 1. Find .
94)
______ A)
-4
B)
10
C)
-2
D)
4
95)
Let f(x) = 4. Find .
95)
______ A)
4096
B)
256
C)
-4
D)
4
96)
Let f(x) = 81. Find .
96)
______ A)
3
B)
4
C)
81
D)
10
97)
Let f(x) = -3 and g(x) = 3. Find .
97)
______ A)
2
B)
7
C)
13
D)
-4
Evaluate for the given x and function f. 98)
f(x) = 3 for x = 9
98)
______ A)
243
B)
27 C)
54
D)
Does not exist
99)
f(x) = 5 + 3 for x = -1
99)
______ A)
-10
B)
-7 C)
5
D)
Does not exist
100)
f(x) = -4x + 7 for x = 5
100)
_____ A)
-4
B)
-20 C)
-13
D)
Does not exist
101)
f(x) = + 7 for x = 3
101)
_____ A)
B)
C)
D)
Does not exist
102)
f(x) = for x = -2
102)
_____ A)
- 1
B)
4 C)
-
D)
Does not exist
103)
f(x) = 2 for x = 16
103)
_____ A)
B)
4 C)
16
D)
Does not exist
104)
f(x) = for x = 11
104)
_____ A)
B)
C)
D)
Does not exist
105)
f(x) = 2 + 5 for x = 9
105)
_____ A)
9
B)
C)
3
D)
Does not exist
Provide an appropriate response. 106)
It can be shown that the inequality
-x ≤ x cos ≤ x
holds for all values of x ≥ 0. Find x cos if it exists.
106)
_____ A)
0.0007
B)
1 C)
0
D)
Does not exist
107)
The inequality
1- < < 1
holds when x is measured in radians and < 1. Find if it exists.
107)
_____ A)
0
B)
1 C)
0.0007
D)
Does not exist
108)
If ≤ f(x) ≤ x for x in [-1, 1], find f(x) if it exists.
108)
_____ A)
-1
B)
0 C)
1
D)
Does not exist
109)
If = 5, find f(x).
109)
_____ A)
11
B)
2 C)
-1
D)
Does not exist
110)
If = 3, find f(x).
110)
_____ A)
6
B)
2 C)
3
D)
Does not exist
111)
If = 4, find .
111)
_____ A)
2
B)
8
C)
16
D)
4
112)
If = 1, find f(x).
112)
_____ A)
1
B)
2 C)
0
D)
Does not exist
113)
If = 1, find .
113)
_____ A)
1
B)
2 C)
0
D)
Does not exist
114)
If = 2, find f(x).
114)
_____ A)
1
B)
3 C)
2
D)
Does not exist
SHORT ANSWER. Write the word or phrase that best completes each statement or answers the question.
115)
It can be shown that the inequalities 1 - < < 1 hold for all values of x close to zero. What, if
anything, does this tell you about Explain.
115)
____________
MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.
116)
Write the formal notation for the principle "the limit of a quotient is the quotient of the limits" and include a statement of any restrictions on the principle.
116)
_____ A)
= , provided that B)
If and then provided that C)
= . D)
If and then provided that
117)
What conditions, when present, are sufficient to conclude that a function f(x) has a limit as x approaches some value of a?
117)
_____ A)
The limit of as from the left exists, the limit of as from the right exists, and at least one of these limits is the same as f(a).
B)
Either the limit of as from the left exists or the limit of as from the right exists C)
f(a) exists, the limit of as from the left exists, and the limit of as from the right exists. D)
The limit of as from the left exists, the limit of as from the right exists, and these two limits are the same.
118)
Provide a short sentence that summarizes the general limit principle given by the formal notation
given that and
118)
_____ A)
The limit of a sum or a difference is the sum or the difference of the functions. B)
The sum or the difference of two functions is continuous. C)
The limit of a sum or a difference is the sum or the difference of the limits. D)
The sum or the difference of two functions is the sum of two limits.
119)
The statement "the limit of a constant times a function is the constant times the limit" follows from a combination of two fundamental limit principles. What are they?
119)
_____ A)
The limit of a function is a constant times a limit, and the limit of a constant is the constant. B)
The limit of a constant is the constant, and the limit of a product is the product of the limits. C)
The limit of a product is the product of the limits, and the limit of a quotient is the quotient of the limits. D)
The limit of a product is the product of the limits, and a constant is continuous.
1)
A 2)
D 3)
A 4)
D 5)
D 6)
A 7)
C 8)
A 9)
A 10)
D 11)
C 12)
C 13)
C 14)
C 15)
C 16)
C 17)
C 18)
B 19)
D 20)
A 21)
B 22)
B 23)
A 24)
C 25)
B 26)
C 27)
D 28)
D 29)
C 30)
B 31)
C 32)
C 33)
A 34)
B 35)
C 36)
C 37)
C 38)
D 39)
C 40)
C 41)
A 42)
D 43)
A 44)
B 45)
C 46)
A 47)
C 48)
A 49)
B 50)
D 51)
A 52)
C 53)
A 54)
B 55)
C 56)
C 57)
C 58)
C 59)
B 60)
D 61)
D 62)
B 63)
D 64)
D 65)
D 66)
C 67)
C 68)
A 69)
A 70)
A 71)
C 72)
B 73)
C 74)
C 75)
C 76)
A 77)
B 78)
B 79)
C 80)
C 81)
C 82)
B 83)
B 84)
A 85)
B 86)
D 87)
A 88)
A 89)
C 90)
C 91)
A 92)
C 93)
B 94)
D 95)
B 96)
A 97)
C 98)
C 99)
A 100)
A 101)
C 102)
C 103)
A 104)
C 105)
B 106)
C 107)
B 108)
B 109)
C 110)
A 111)
B 112)
C 113)
C 114)
B 115)
Answers may vary. One possibility: 1 - = 1 = 1. According to the squeeze theorem, the
function , which is squeezed between and 1, must also approach 1 as x approaches 0.
Thus, 116)
D 117)
D 118)
C 119)
B
