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Quatre satellites terrestres Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth

TS Physique Quatre satellites terrestres Exercice

rsolu

Enonc

Passionn d'astronomie, un lve a collect sur le rseau Internet de nombreuses informations

concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en oeuvre ses connaissances de physique

pour les vrifier et les approfondir.

I. Premire partie : le premier satellite artificiel

Si la possibilit thorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signale en

1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier

satellite artificiel, Spoutnik 1, par les sovitiques.

1. Exprimer vectoriellement la force exerce F par la Terre (de centre dinertie O, de masse MT et de rayon RT) sur Spoutnik 1 (de centre dinertie S et de masse m), suppos ponctuel, et la reprsenter sur un schma (la constante de gravitation universelle sera note G).

2. L'tude se fait dans un rfrentiel gocentrique considr comme galilen. En appliquant la

deuxime loi de Newton tablir l'expression vectorielle Sa de l'acclration du centre dinertie

du satellite.

II. Deuxime partie : les satellites artificiels orbites circulaires

1. Le tlescope spatial Hubble (de centre dinertie S), qui a permis de nombreuses dcouvertes

en astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire laltitude h = 600 km et il

effectue un tour complet de la Terre en une dure T = 100 min.

a) En reprenant les rsultats de la premire partie, tablir que le mouvement circulaire du centre dinertie de Hubble est uniforme.

b) tablir lexpression littrale de la valeur v du vecteur vitesse du centre dinertie de Hubble en fonction des grandeurs MT, RT, h et G.

c) tablir lexpression littrale de la priode T de son mouvement en fonction des grandeurs prcdentes puis retrouver la troisime loi de Kepler applique ce mouvement circulaire.

2. Les satellites

gostationnaires

comme Mtosat

sont des appareils

dobservation

gostationnaires. On

propose ci-contre

trois trajectoires

hypothtiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre.

a) Montrer que seule lune de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mcanique. b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite gostationnaire ?

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III. Troisime partie : les satellites artificiels orbites elliptiques

Les satellites peuvent tre placs sur diffrentes orbites, en fonction de leur mission. Un

incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prvue. Hipparcos, un

satellite d'astromtrie lanc par la fuse Ariane le 8 aot 1989, n'a jamais atteint lorbite

prvue : un moteur n'ayant pas fonctionn, il est rest sur une orbite elliptique entre 500 km et

36000 km d'altitude.

1. Les satellites artificiels obissent aux lois de Kepler. La deuxime loi de Kepler, dite loi des

aires , prcise que des aires balayes par le rayon reliant le satellite l' astre attracteur

pendant des dures gales, sont gales . noncer les deux autres lois dans le cas gnral d'une

orbite elliptique.

2. a) Sans souci d'chelle ni d'exactitude de la courbe mathmatique, dessiner l'allure de l'orbite du centre dinertie S du satellite Hipparcos. Placer sur ce schma le centre d'inertie O

de la Terre et les points P et A correspondant respectivement aux valeurs 500 km et 36000 km

daltitude.

b) En appliquant la loi des aires au schma prcdent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.

c) Prciser en quels points de lorbite la vitesse dHipparcos est maximale puis minimale.

IV. Quatrime partie : les missions des satellites artificiels Aujourd'hui, plus de 2600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de

nombreux domaines : tlphonie, tlvision, localisation, godsie, tldtection, mtorologie,

astronomie ... Leur spectre d'observation est vaste : optique, radar, infrarouge, ultraviolet,

coute de signaux radiolectriques ...

1. Sachant que le spectre optique correspond la lumire visible, donner les valeurs limites min et max des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.

2. La clrit de la lumire dans le vide est c = 3,0 108 m.s-1. En dduire les valeurs limites min

et max en frquence de la lumire visible.

3. Pourquoi doit-on prciser dans le vide pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?

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Corrig

I. Premire partie : le premier satellite artificiel

1. Exprimer vectoriellement la force exerce F par la Terre (de centre dinertie O, de masse MT et de rayon RT) sur Spoutnik 1 (de centre dinertie S et de masse m), suppos ponctuel, et la reprsenter sur un schma (la

constante de gravitation universelle sera note G).

T

2

M .mF G. .u

d

2. L'tude se fait dans un rfrentiel gocentrique considr comme galilen. En appliquant la deuxime loi de

Newton tablir l'expression vectorielle Sa de l'acclration du centre dinertie du satellite.

2me loi de Newton : SF m.a => T

S2

M .mm.a G. .u

d et

TS

2

Ma G. .u

d

II. Deuxime partie : les satellites artificiels orbites circulaires

1. a) En reprenant les rsultats de la premire partie, tablir que le mouvement circulaire du centre dinertie de Hubble est uniforme.

u est un vecteur radial centrifuge. Lexpression trouve en I.2 montre que Sa et u ont la mme

direction et des sens contraires. On en dduit que Sa est un vecteur radial centripte et que le

mouvement est circulaire uniforme. b) tablir lexpression littrale de la valeur v du vecteur vitesse du centre dinertie de Hubble en fonction des grandeurs MT, RT, h et G.

Dans une base de Frenet (S, ,n ) : Sa = 2dv v

. .ndt r

Or, le mouvement est uniforme : dv

dt= 0 et Sa =

2v.n

r= T

2

MG. .n

r

=> v = T

T

MG.

(R h) avec r = RT + h

c) tablir lexpression littrale de la priode T de son mouvement en fonction des grandeurs prcdentes puis retrouver la troisime loi de Kepler applique ce mouvement circulaire.

T = 2

avec :

T

v

R h=> T = T

2 .(R h)

v

et T = 2.

3

T

T

R h

G.M

Il sensuit : T2 = 42.

3

T

T

R h

G.M

=>

2 2

3

TT

T 4

G.MR h

= Cte (troisime loi de Kepler)

2. a) Montrer que seule lune de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mcanique.

La figure 2 est incompatible avec la 2me loi de Newton. En effet, le vecteur acclration est

dans le plan orbital. Or, daprs la 2me loi de Newton, la direction du vecteur acclration doit

tre la mme que celle de la force de gravitation, c'est--dire la droite (OS), ce qui nest pas le

cas ici (on peut dire aussi que le point O doit tre au centre de lorbite).

b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite gostationnaire ?

La trajectoire de la figure 1 est la seule qui puisse correspondre au satellite gostationnaire. Le

plan contenant l'orbite du satellite est le plan quatorial. Ainsi, le satellite peut rester la

verticale d'un mme lieu si sa priode de rvolution est gale la priode de rotation de la

Terre.

S F u

(m)

(MT)

O

d

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III. Troisime partie : les satellites artificiels orbites elliptiques

1. noncer les deux autres lois dans le cas gnral d'une orbite elliptique.

1re loi de Kepler : les satellites dcrivent des orbites elliptiques dont lastre attracteur est lun

des foyers.

3me loi de Kepler : le rapport du carr de la priode de rvolution dune plante sur son orbite

elliptique et du cube du demi-grand axe de lellipse est constant.

2. a) Sans souci d'chelle ni d'exactitude de la courbe mathmatique, dessiner l'allure de l'orbite du centre dinertie S du satellite Hipparcos. Placer sur ce schma le centre d'inertie O de la Terre et les points P et A

correspondant respectivement aux valeurs 500 km et 36000 km daltitude. b) En appliquant la loi des aires au schma prcdent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.

Daprs la loi des aires, les aires des triangles MON et MON sont gales, et les distances MN et

MN, ingales, sont parcourues pendant des dures gales : il nest donc pas possible que le

satellite se dplace toujours sur son orbite avec la mme vitesse. c) Prciser en quels points de lorbite la vitesse dHipparcos est maximale puis minimale. La vitesse est maximale au point P (prige) et minimale au point A (apoge).

IV. Quatrime partie : les missions des satellites artificiels

1. Sachant que le spectre optique correspond la lumire visible, donner les valeurs limites min et max des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.

min = 400 nm (limite entre le violet et lultra-violet).

max = 800 nm (limite entre le rouge et linfra-rouge). 2. La clrit de la lumire dans le vide est c = 3,0 108 m.s-1. En dduire les valeurs limites min et max en frquence de la lumire visible.

c

=>

c

Soit : min = 8

9

3, 0 10

800 10

= 3,8 x 1014 Hz et max =

8

9

3, 0 10

400 10

= 7,5 x 1014 Hz

3. Pourquoi doit on prciser dans le vide pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?

Dans le vide, la lumire se dplace la clrit c = 3,0 x 108 m.s-1. Dans les autres milieux, elle se

dplace avec une clrit v < c : la frquence dune radiation tant constante, la longueur donde

dpend du milieu de propagation.

P A

O

S

2 a

P A

O

N

M

M

N