4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS.bibing.us.es/proyectos/abreproy/4579/fichero/Volumen+1%2F4... · RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS 18 (4.4) A continuación se muestra una

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS

17

4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS.

Se aplicará la teoría desarrollada a problemas estáticos concretos,

empleando para cada uno de ellos los dos sistemas clásicos de referencia,

sistema biapoyado y sistema tangencial, comparando los resultados obtenidos

al aplicar una u otra referencia. Dichos problemas estáticos son: viga

empotrada con carga en el extremo, viga empotrada con momento en el

extremo, viga biapoyada con carga aplicada en el centro y viga biapoyada con

momento aplicado en el extremo.

Para la resolución genérica de problemas aplicamos las ecuaciones de

Lagrange, dependiendo del problema que vayamos a resolver habría que

aplicar unas u otras condiciones de contorno para particularizar la resolución

del sistema en concreto.

Las ecuaciones de Lagrange se plantean de la forma siguiente:

eTq QλC

qq=⋅+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL

dtd

&

(4.1) UTL −=

donde T y U representan respectivamente la energía cinética y potencial del

sólido, TqC es la matriz jacobiana traspuesta de las restricciones del problema,

λ son los multiplicadores de Lagrange y eQ son las fuerzas generalizadas.

Sustituyendo la segunda ecuación representada anteriormente en la

primera obenemos:

(4.2)

para problemas estáticos, 0qq=

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ TT

dtd

& con lo que se simplifica la

expresión anterior de la forma:

(4.3)

siendo eFq=

∂∂

−U la definición de las fuerzas elásticas, luego:

eTq QλC

qqq=⋅+

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ UTT

dtd

&

qQλC e

Tq ∂

∂−=⋅

U


18

(4.4)

A continuación se muestra una tabla donde se representan las

propiedades físicas de la viga a estudiar.

Longitud, )(mL 8

Densidad, )/( 3mkgρ 310767,2 × Área de sección transversal, )( 2mA 510299,7 −×

Momento de inercia, )( 4mI 910214,8 −× Masa, )(kgm 615,1

Módulo de Young, )(PaE 1010895,6 ×

4.1 Tabla Estas propiedades se han usado en diversos estudios donde se ha

aplicado ANCF, por ello la elección de las mismas para la resolución de los

distintos problemas que se plantean a lo largo de este trabajo.

4.1. Viga empotrada con carga vertical en el extremo.

4.1 Fig.

Basándonos en la resolución genérica del problema, programamos una

subrutina empleando el programa Mathemática por el cual resolvemos la

posición del elemento. Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones a

resolver, utilizamos un método numérico (Newton-Raphson) para obtener la

posición de la viga como consecuencia de la aplicación de la carga.

Mediante la formulación en coordenadas nodales absolutas se irá

discretizando progresivamente la viga, analizando y comparando los resultados

obtenidos según discreticemos en uno, dos, tres ó n elementos.

eeTq FQλC +=⋅

F

O


19

Para el cálculo del problema para más de un elemento hay que introducir

las denominadas matrices de conectividad (B) para asegurar la continuidad en

toda la viga cuando discretizamos ésta en más de un elemento.

4.1.1. Discretización en un elemento.

4.2 Fig.

Para un elemento, la longitud del mismo y de la viga completa coinciden.

Las restricciones del problema son 0421 === eee . La matriz Jacobiana

particularizada para la viga empotrada tiene la forma:

(4.5)

Si el vector de multiplicadores de Lagrange es ( )321 ,, λλλ=λ , obtenemos:

(4.6)

F

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

8

7

6

5

eeee

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

4

3

2

1

eeee

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000010000000001000000001

eC

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⋅

0000

0

3

2

1

λ

λλ

λCTe


20

Teniendo F el valor de 1 Newton, el vector de fuerzas generalizadas

particularizado para este problema es el siguiente:

(4.7)

A continuación obtendremos las expresiones que definen las fuerzas

elásticas del elemento. Para el cálculo de las mismas usamos la función de

forma global definida en (2.5). Seleccionando el punto O (origen de la viga)

como referencia, las componentes de un desplazamiento relativo de un punto

arbitrario con respecto a O puede definirse según (2.9).

Definimos ahora un vector unitario i cuya orientación nos servirá para

evaluar los desplazamientos longitudinales y transversales que obtendremos

durante el desarrollo de este trabajo. Dependiendo del sistema de referencia

donde definamos dicho vector unitario podríamos obtener resultados diferentes,

ya que cada problema puede ajustarse mejor a un sistema u otro.

Para el problema de la viga empotrada con carga vertical en el extremo, la

resistencia de materiales dictamina un desplazamiento de 0.301342 metros en

el punto de aplicación de la carga.

• Sistema biapoyado.

Para este sistema, la dirección del vector unitario que define el eje de

abscisas es la de una recta que pasa por los dos nodos del elemento, siendo el

otro vector perpendicular al anterior. El primero queda definido según las

expresiones (2.10) y (2.11). Las deformaciones longitudinales y transversales

de la viga aparecen en (2.14). La energía potencial U queda reflejada según

(2.15), con lo que las fuerzas elásticas se obtendrían derivando la expresión de

la energía potencial respecto las coordenadas nodales, quedando reflejado

este procedimiento en la ecuación (2.16).

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

001

00000

eQ


21

• Sistema tangente.

La diferencia respecto al sistema biapoyado radica en la definición del

vector i . Para este sistema concreto de coordenadas las componentes del

vector unitario de orientación aparecen reflejadas en las expresiones (2.12) y

(2.13).

• Sistema basado en la energía.

Como se explicó en el apartado 3 de este trabajo, el vector unitario i debe

de optimizar la energía de deformación del sistema. Una vez obtenido dicho

vector unitario se procedería a la obtención de las fuerzas elásticas según la

expresión (2.16).

4.1.2. Discretización en n elementos.

4.3 Fig.

Para más de un elemento hay que introducir el concepto de conectividad

entre los mismos para obtener continuidad en la viga. Mediante unas matrices

denominadas matrices de conectividad podemos desarrollar perfectamente el

problema para más de un elemento sin más que modificar levemente las

ecuaciones que definen el sistema.

Las matrices de conectividad las denominaremos nB , correspondiendo

el subíndice al elemento en concreto al que se refiere, así pues para el ejemplo

de dos elementos n podrá tomar los valores 1 y 2, es decir, tendremos dos

matrices; 1B y 2B . Dichas matrices tienen una dimensión v×8 , siendo v el

número de variables del problema, el cual depende de los elementos en los

que hayamos dividido el mismo. Así pues, )1(4 +⋅= nv siendo n el número de

F

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

4

3

2

1

eeee

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

−+

−+

)1(4

1)1(4

2)1(4

3)1(4

n

n

n

n

eeee


22

elementos en los que discreticemos la viga. La construcción de las matrices de

continuidad es muy simple siguiendo un patrón que desarrollaremos a

continuación. Dichas matrices están compuestas por una submatriz identidad

de dimensión 88× y el resto de la matriz se rellena de ceros, dependiendo de

la posición de la submatriz identidad dentro de la matriz global, tendremos la

matriz de continuidad correspondiente a un elemento concreto. Si cada

columna de la matriz nB se asocia a una variable del problema, la submatriz

identidad quedaría encajonada en las columnas de nB correspondientes a las

variables que conformarían el elemento n .

Con las matrices de continuidad redefinimos las ecuaciones de

movimiento que modelan el problema. De esta forma:

(4.8)

• Resolución de los modelos.

Sistema de referencia biapoyado

Representamos en el siguiente gráfico el desplazamiento vertical en el

extremo de la viga en voladizo para cada discretización.

4.4 Fig.

∑=

⋅−⋅=⋅n

jq

1

))(( eFBQBλC jTje

Tn

T


23

A continuación se representará gráficamente las iteraciones del método

de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema aplicado a las

n discretizaciones empleadas, así como el tiempo de ejecución del algoritmo.

4.5 Fig.

4.6 Fig.


24

Los valores exactos del desplazamiento vertical en el extremo de la viga

para cada discretización en los elementos descritos en la gráfica se visualizan

en la siguiente tabla de valores, junto con el número de iteraciones y tiempo de

ejecución del sistema de ecuaciones resuelto mediante el programa Matlab.

Número de elementos

Desplazamiento en el extremo

Número de iteraciones método de

Newton- Raphson

Tiempo de ejecución del

algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.3005 0.2866 0.2967 0.2997 0.3005 0.3007 0.3008 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009

5 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.2970 0.0790 0.1250 0.1090 0.1090 0.1410 0.1720 0.1870 0.2030 0.2350 0.2650 0.3130 0.3280 0.3440 0.3590 0.4060 0.4220 0.4690 0.4840 0.5320

4.2 Tabla Tanto en la gráfica como en la tabla puede observarse el salto

significativo ocurrido en el momento que evaluamos el desplazamiento vertical

para dos elementos tras obtenerse una solución muy aproximada a la exacta al

evaluar el problema con uno sólo. A partir de la evaluación para dos elementos,

las distintas soluciones tienden a la solución exacta a medida que se aumenta

el número de elementos que componen el problema. Llegados a la

discretización en ocho elementos, la solución del desplazamiento permanece

constante.

Puede observarse la variación del número de iteraciones del método de

Newton-Raphson que también ocurre cuando discretizamos en dos elementos,

necesitándose, junto al cálculo con tres elementos, hasta dos iteraciones más

que las necesarias para llegar a la solución exacta.


25

Sistema de referencia tangente Al igual que en el caso biapoyado, se representará a continuación la

evolución que sufre el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al

número de elementos en el se discretiza la misma (Fig. 4.7).

4.7 Fig.

Junto a esta gráfica, se incluyen dos más que nos indican las iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los que se divide la viga (Fig. 4.8) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para cada discretización (Fig. 4.9).


26

4.8 Fig.

4.9 Fig.

En la siguiente tabla se exponen los diferentes resultados expuestos en

los gráficos anteriores.


27

4.3 Tabla

Al igual que para el sistema biapoyado, para dos elementos se produce

un salto significativo en la solución del problema. A diferencia que en el sistema

anterior, para el sistema de referencia tangente obtenemos la solución exacta

del problema para un solo elemento, sin embargo, para 202Κ=n se obtienen

peores soluciones que en el sistema de referencia biapoyado, donde son

necesarias menos iteraciones para llegar a una solución estable que en el caso

del sistema de referencia tangente.

La variación en el número de iteraciones que se obtienen para dos

elementos es más significativa en el caso del sistema tangente que en el

biapoyado. Además los tiempos de ejecución totales del algoritmo son

sensiblemente mayores para el sistema tangente que para el sistema de

referencia biapoyado.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.3013 0.1567 0.1941 0.2320 0.2584 0.2749 0.2847 0.2906 0.2941 0.2963 0.2976 0.2986 0.2992 0.2996 0.2999 0.3001 0.3003 0.3004 0.3005 0.3006

2 12 9 8 8 7 6 6 6 6 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4

0.1400 0.2660 0.2970 0.3440 0.4530 0.4690 0.4680 0.5630 0.6250 0.6870 0.6250 0.7030 0.6100 0.6560 0.7030 0.7660 0.8280 0.8910 0.9840 1.0160


28

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

La figura 4.10 representa el desplazamiento en el extremo de la viga

respecto al número de elementos en los que se divide la misma aplicando para

ello el nuevo sistema de referencia desarrollado.

4.10 Fig.

La siguiente figura refleja la evolución de las iteraciones del método de

cálculo empleado en cada problema, es decir, para los distintos elementos en

los que progresivamente se va dividiendo la viga (Fig. 4.11)


29

4.11 Fig.

La siguiente gráfica expone el tiempo necesario que necesita el

algoritmo de cálculo para resolver cada problema.

4.12 Fig.


30

En la siguiente tabla se listan los diferentes valores empleados en la

construcción de los diferentes gráficos anteriores.

4.4 Tabla Se puede comprobar como con el sistema de referencia de máxima

energía de deformación por flexión se obtienen resultados más exactos que

con los sistemas tradicionales. No sólo se alcanza con exactitud la solución

analítica del problema, sino que se cumple para 201Κ=n elementos. Además

se consigue un número de iteraciones y un tiempo de ejecución del algoritmo

más rápido y eficiente que con los sistemas tradicionales de referencia.

4.2. Viga empotrada con fuerza horizontal aplicada en el extremo.

4.13 Fig.

Se aplicarán los sistemas de referencia definidos para el problema de la

viga empotrada con una fuerza horizontal aplicada en el extremo. Las




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1720 0.0310 0.0310 0.0630 0.0470 0.0780 0.0930 0.1100 0.1250 0.1250 0.1400 0.1570 0.1720 0.1710 0.2040 0.2340 0.2340 0.2500 0.2660 0.2970

F


31

condiciones de contorno de este problema son las mismas que para la viga con

carga vertical en el extremo, pero cambian las fuerzas generalizadas que se

aplican al problema. De esta manera, dichas fuerzas quedan descritas como:

(4.9)

En este caso F tiene un valor de 10000 N para poder apreciar

deformación a lo largo de la viga debido a la gran rigidez que posee la misma

en sentido axial. Aplicando la resistencia de materiales a este problema

aparecerá una deformación axial de 0.159 metros a lo largo de la viga.

A continuación se resolverá el problema aplicando los distintos sistemas

de referencia descritos en este proyecto.

Sistema de referencia biapoyado Aplicando el sistema de referencia biapoyado obtendremos un gráfico

donde se refleja el desplazamiento axial que sufre la viga respecto a las

diferentes discretizaciones en las que se divide el problema.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

000

100000

4eQ


32

4.14 Fig.

La figura 4.15 representa las iteraciones necesarias realizadas por el

método de Newton-Raphson para la obtención de la solución más aproximada

a la exacta ó, ella misma, para cada número de iteraciones en los que se ha

planteado el problema.


33

4.15 Fig.

A continuación se muestra el tiempo de ejecución del algoritmo a medida

que la viga se va discretizando progresivamente.

4.16 Fig.


34

La tabla que se muestra a continuación reúne los datos con los que se

han construido los gráficos anteriores.

4.5 Tabla

Para el problema de la viga empotrada con carga horizontal aplicada en

el extremo, la elección de un sistema de referencia biapoyado tiene un buen

comportamiento ya que, como se puede observar, tomando la viga completa

como un único elemento, se alcanza el valor exacto que nos define la

resistencia de materiales, con un número de iteraciones pequeño para cada

discretización y unos tiempos de ejecución del algoritmo ínfimos.

Sistema de referencia tangente Se aplicará el sistema de referencia tangente al problema de la viga

empotrada, con carga axial en el extremo libre de la misma. La figura 4.17

representa la deformación horizontal que sufre la viga respecto a las diversas

discretizaciones con los que se resuelve el problema.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1250 0.0160 0.0310 0.0630 0.0620 0.0630 0.0780 0.0930 0.1100 0.1250 0.1250 0.1400 0.1570 0.1720 0.1870 0.2030 0.2030 0.2500 0.2350 0.2650


35

4.17 Fig. La gráfica que se muestra a continuación representa las iteraciones del

algoritmo de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema de la

viga empotrada, para cada una de las diferentes iteraciones planteadas.


36

4.18 Fig.

El tiempo necesario que emplea el algoritmo de Newton-Raphson en cada

resolución, se encuentra reflejado en la gráfica de la figura 4.19.

4.19 Fig.


37

La tabla de valores que se presenta a continuación muestra los datos

usado en las representaciones gráficas anteriores.

4.6 Tabla Como puede observarse, al comparar tanto las diversas gráficas

obtenidas mediante el sistema de referencia biapoyado junto con las obtenidas

aplicando el sistema de referencia tangente, así como las tablas 4.5 y 4.6, se

llega a la conclusión de que es indiferente aplicar cualquiera de los dos

sistemas de referencia mencionados anteriormente ya que se llegan a las

misma soluciones, tanto en lo referente al desplazamiento en el extremo de la

viga, como en el número de iteraciones del algoritmo de cálculo como en el

tiempo de ejecución del mismo. Se aplicará a continuación el sistema de

referencia de optimización de la energía para de esta manera comparar todos

los datos obtenidos.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión Se representa a continuación el desplazamiento en el extremo de la viga

respecto al número de elementos en los que se va discretizando la viga del

problema, aplicando para ello el sistema que optimiza la energía de

deformación.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.0780 0.0160 0.0310 0.0630 0.0620 0.0630 0.0780 0.0940 0.1090 0.1090 0.1410 0.1410 0.1560 0.1720 0.1720 0.2030 0.2030 0.2340 0.2660 0.2650


38

4.20 Fig.

La siguiente figura representa las iteraciones necesarias que ha de

realizar el algoritmo de Newton-Raphson para obtener las distintas soluciones

para cada número de elementos en los que se discretiza la viga del problema.

4.21 Fig.


39

A continuación, se muestra el tiempo empleado por el algoritmo de

cálculo para la resolución del problema, aplicado a cada una de las

discretizaciones realizadas.

4.22 Fig. Los datos usados en la construcción de los gráficos anteriores se

muestran en la tabla 4.7. Al comparar dicha tabla con las obtenidas al aplicar

los sistemas de referencia biapoyado y tangente se observa como para el

problema de la viga empotrada con fuerza horizontal aplicada en el extremo

libre es indiferente el uso de cualquier sistema de referencia, ya que con

cualquiera se obtienen excelentes resultados. Esto es debido a que en el

problema descrito no existe deformación a flexión en la viga, lo que no

condiciona los resultados finales dependiendo del sistema de referencia

empleado.


40

4.7 Tabla

4.3. Viga empotrada con momento aplicado en el extremo.

4.23 Fig.

Se analiza el problema de la viga en voladizo aplicando un momento en

el extremo libre de la misma. Las condiciones iniciales del problema son las

mismas para esta configuración que las descritas en el apartado 4.1, salvo la

definición de las fuerzas generalizadas del problema, que para éste quedan

descritas como:

(4.10)




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1400 0.0160 0.0310 0.0620 0.0630 0.0780 0.0780 0.1090 0.1250 0.1250 0.1570 0.1560 0.1870 0.2040 0.2180 0.2190 0.2500 0.2500 0.2810 0.2970

M

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅+

=

7

8

28

27

000000

ee

ee

MeQ


41

donde =M 1 N.m .

Para discretizar el problema en n elementos no hay más que aplicar la

expresión (4.8).

Si se aplica la resistencia de materiales a este problema aparecerá una

deformación de 0.0565 metros en el extremo de la viga.



Sistema de referencia biapoyado La siguiente gráfica compara los resultados obtenidos usando el sistema

de referencia biapoyado con la solución exacta del problema aplicando la

resistencia de materiales.

4.24 Fig.

Las gráficas 4.15 y 4.16 representan respectivamente las iteraciones

necesarias del método de Newton-Raphson para la resolución del problema en

cada una de las distintas discretizaciones en la que se ha resuelto la viga con

momento aplicado en el extremo; así como el tiempo empleado por el algoritmo

en la resolución de dicho problema.


42

4.25 Fig.

4.26 Fig.

La tabla 4.8 agrupa los datos con los que se han representado las

gráficas de las figuras 4.24, 4.25 y 4.26.


43

4.8 Tabla

Puede observarse como el sistema de referencia biapoyado proporciona

una solución exacta a la analítica, lo que implica una buena elección de

sistema de referencia para la resolución del problema.

Sistema de referencia tangente A continuación, como se ha hecho en los apartados previos, se analizará

el problema de la viga con momento aplicado en el extremo aplicando el

sistema de referencia tangente. La figura 4.27 representa la evolución que

sufre el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de

elementos en el se discretiza la misma.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.0930 0.0470 0.0630 0.0930 0.1100 0.1560 0.1560 0.1880 0.2190 0.2340 0.2660 0.2810 0.3120 0.3440 0.3750 0.4220 0.4220 0.5000 0.5000 0.5470


44

4.27 Fig.

Junto a la gráfica anterior, se incluyen dos más que nos indican las

iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los

que se divide la viga (Fig. 4.28) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para

cada discretización (Fig. 4.29).


45

4.28 Fig.

4.29 Fig.

La tabla 4.9 reúne los datos con los que se han construido los gráficos

anteriores.


46

4.9 Tabla

Si se observa la gráfica donde quedan representadas las distintas

soluciones, dicha representación sigue una evolución muy parecida a la

obtenida en el problema de la viga en voladizo con carga en el extremo, es

decir, de partir de una solución exacta para un elemento, salta a una solución

no exacta con una discretización superior y, progresivamente, a medida que

aumenta el número de elementos en los que dividimos la viga la solución va

tendiendo a la analítica. Destacar sin embargo que esta variación respecto la

solución exacta es muy pequeña como se muestra en la tabla de valores.

Tanto el número de iteraciones del algoritmo como los tiempos de

ejecución del mismo son muy parecidos para ambos casos, resaltar la

alteración en la columna donde aparece el número de iteraciones en los

primeros cuatro valores, que engloba el momento en el que el algoritmo vuelve

a tender a la solución exacta una vez alcanzada ésta tras evaluar el problema

para un elemento.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0565 0.0510 0.0544 0.0557 0.0561 0.0563 0.0564 0.0564 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565

3 6 6 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.0940 0.0780 0.0780 0.1090 0.1100 0.1400 0.1720 0.1720 0.2190 0.2340 0.2660 0.2810 0.3120 0.3440 0.3600 0.4060 0.4370 0.4530 0.5000 0.5470


47

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión La gráfica siguiente nos muestra el desplazamiento en el extremo de la

viga respecto al número de elementos en los que discretizamos el problema

usando el sistema de referencia que optimiza la energía.

4.30 Fig.

La siguiente figura muestra el número de iteraciones necesarias del

algoritmo de Newton-Raphson para la resolución del problema según el

número de elementos en los que discretizamos el mismo.


48

4.31 Fig.

La figura 4.32 representa el tiempo de ejecución del algoritmo para cada

resolución del problema, es decir, para cada número de elementos en los que

se discretiza el mismo.

4.32 Fig.


49

La tabla de valores que se adjunta a continuación engloba los diferentes

datos usados en las representaciones gráficas anteriores, englobadas dentro

de la resolución del problema mediante el sistema de referencia de

optimización de la energía.

4.10 Tabla Como puede observarse en las gráficas y en la tabla de valores

adjuntas, el método de cálculo por el cual se maximiza la energía de

deformación a flexión proporciona valores exactos a los obtenidos aplicando la

resistencia de materiales, en cuanto a desplazamiento en el extremo de la viga

se refiere, al igual que cuando se aplica el sistema de referencia biapoyado. Sin

embargo, es en el número de iteraciones del método de Newton-Raphson,

donde el sistema que optimiza la energía de deformación mejora los resultados

obtenidos respecto a cuando se aplica el sistema de referencia biapoyado. Los

resultados obtenidos mediante el sistema de referencia tangente son peores

que los que se obtienen mediante los sistemas de referencia restantes, ya que

en éstos últimos las deformaciones medidas son menores que si se miden en

el sistema tangente.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1090 0.0310 0.0630 0.0780 0.0780 0.0780 0.0940 0.1090 0.1250 0.1570 0.1400 0.1880 0.1870 0.2030 0.2350 0.2340 0.2660 0.2810 0.3130 0.3120


50

4.4. Viga biapoyada con carga aplicada en el centro.

4.33 Fig.

La resolución del problema de la viga biapoyada con carga centrada se

enfoca de la misma manera que para el problema de la viga empotrada,

debiéndose tener en cuenta las condiciones particulares que demanda el

primero. Así pues, para el problema de la viga biapoyada con carga en el

centro se tendría en el caso de que se discretice la viga usando un solo

elemento:

(4.9)

Si el vector de multiplicadores de Lagrange es ( )321 ,, λλλ=λ ,

obtenemos:

(4.10)

Teniendo F el valor de 1 Newton, el vector de fuerzas generalizadas particularizado para este problema es el siguiente:

F

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001000000000001000000001

eC

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⋅

00

000

3

2

1

λ

λλ

λCTe


51

(4.11)

Definidas las condiciones iniciales del problema, debe resolverse el

mismo aplicando los distintos sistemas de referencia desarrollados. Para el

caso de discretizar el problema en n elementos no hay más que aplicar la

expresión (4.8).

Si se aplica la resistencia de materiales a este problema aparecerá una

deformación de 0.0188339 metros en el centro de la viga. A continuación se

resolverá este problema aplicando los distintos sistemas de referencia

descritos.

Sistema de referencia biapoyado Aplicando el sistema de referencia biapoyado, se representa el

desplazamiento en el centro de la viga respecto el número de elementos en los

que dividimos la misma, obteniéndose los resultados visibles en la figura 4.34.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

10

2101

021

0

eQ


52

4.34 Fig.

Las dos gráficas que se muestran a continuación representan,

respectivamente, las iteraciones del método de cálculo utilizado respecto al

número de elementos en los que se divide el problema (Fig. 4.35) y, el tiempo

de ejecución del algoritmo de cálculo para cada situación en el que se

discretiza la viga (Fig. 4.36).


53

4.35 Fig.

4.36 Fig.

Los datos que se enumeran en la siguiente tabla recogen con exactitud

los valores obtenidos durante la resolución de la viga biapoyada con carga

aplicada en el extremo, usándose el sistema de referencia biapoyado.


54

4.11 Tabla

Tanto en la gráfica, como en la tabla de resultados para los distintos

números de elementos, se observa una evolución de la solución final partiendo

de un valor inexacto para 1=n elemento hasta igualar la solución analítica del

problema a medida que aumentamos el número de elementos en los que

discretizamos la viga. Cuando 3=n existe una pequeña variación de la

solución que se corrige a medida que se va incrementando el valor de n . No

obstante, si se observa con atención la tabla de valores, la variación de la

solución es prácticamente despreciable aunque en la representación gráfica

parece más importante debido a los márgenes tan estrechos de valores en los

que se representa la solución del problema para los distintos números de

elementos en los que se discretiza la viga en cuestión.

Sistema de referencia tangente Empleándose el sistema de referencia tangente, se resuelve el problema

de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro de la misma. La figura

4.37 representa el desplazamiento que sufre la viga respecto a las diferentes

discretizaciones que se aplican al problema.


Desplazamiento en el centro de la viga


Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0141 0.0188 0.0186 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188

2 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.0780 0.0310 0.0630 0.0940 0.1090 0.1250 0.1250 0.1250 0.1560 0.1720 0.2030 0.2030 0.2340 0.2810 0.2970 0.2970 0.3280 0.3600 0.3750 0.4060


55

4.37 Fig.

La gráfica que se muestra a continuación, muestra las iteraciones del

método de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema en

cada una de las diferentes discretizaciones empleadas.

4.38 Fig.


56

En la siguiente figura, se muestra el tiempo necesario de ejecución del

algoritmo de resolución para cada discretización empleada en el problema.

4.39 Fig.

La tabla 4.12 refleja los diferentes resultados obtenidos en la resolución

de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro de la misma.

4.12 Tabla




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0141 0.0179 0.0175 0.0183 0.0185 0.0187 0.0187 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188

4 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.0940 0.0620 0.0790 0.0930 0.1100 0.1250 0.1560 0.1870 0.2040 0.2340 0.2660 0.3120 0.3130 0.3430 0.3750 0.3910 0.4370 0.4690 0.5000 0.5310


57

Con el sistema de referencia tangente, al igual que con el sistema

biapoyado, existe una evolución de la solución aproximándose ésta a la

solución analítica a medida que incrementamos el número de elementos en los

que discretizamos la viga del problema. Sin embargo, puede observarse como

es necesaria una mayor discretización de la viga para alcanzar la solución

exacta respecto a la solución que aparece cuando se aplica el sistema de

referencia biapoyado. Además, tanto el número de iteraciones realizadas por el

algoritmo de cálculo como los tiempos de ejecución del mismo son mayores

aplicando el sistema de referencia tangente que cuando se aplica el sistema

biapoyado.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión Se aplicará finalmente el método de optimización de la energía,

representándose a continuación los diferentes resultados obtenidos. En primer

lugar, se muestra la evolución del desplazamiento en el centro de la viga

respecto al número de elementos en los que se discretiza el problema.

4.40 Fig.


58

En segundo lugar, la figura 4.41 representa las iteraciones del método

de Newton-Raphson necesarias para obtener la solución en cada una de las

diferentes discretizaciones en las que se divide el problema.

4.41 Fig.

En último lugar, se representa el tiempo necesario de ejecución del

algoritmo para la resolución del problema de la viga biapoyada para cada una

de las discretizaciones que conforman el mismo.


59

4.42 Fig.

La tabla que se adjunta incorpora los datos empleados en las diferentes

gráficas expuestas con anterioridad. En dicha tabla puede apreciarse con

exactitud los valores obtenidos para la resolución del problema de la viga

biapoyada con carga aplicada en el centro de la barra, usándose el sistema de

referencia de optimización de la energía.


60

4.13 Tabla

Los resultados obtenidos para el sistema de referencia que optimiza la

energía son prácticamente exactos a los que se obtienen al aplicar el sistema

biapoyado. En este caso, el vector unitario i que maximiza la energía de

deformación a flexión coincide con el obtenido en el sistema de referencia

biapoyado. No obstante, si se compara el número de iteraciones del algoritmo y

los tiempos de ejecución del mismo, se observa que son menores para la

configuración que optimiza la energía de deformación respecto a si se toma el

sistema de referencia biapoyado.

Para el problema de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro

se obtiene un resultado parecido al desarrollado en el apartado 4.1 en lo

referente a la eficiencia del método utilizado. Con el sistema de referencia de

máxima energía de deformación a flexión se obtienen mejores resultados

respecto a los sistemas de referencia tradicionales.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0141 0.0188 0.0187 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1410 0.0150 0.0470 0.0470 0.0630 0.0780 0.0940 0.0930 0.1250 0.1250 0.1410 0.1560 0.1720 0.1880 0.1870 0.2030 0.2340 0.2660 0.2650 0.2970


61

4.5. Viga biapoyada con momento aplicado en el extremo.

4.43 Fig.

Para este problema concreto, las condiciones iniciales y de contorno

coinciden con los desarrollados para la viga biapoyada con carga centrada. Es

el vector que define las fuerzas generalizadas del problema lo que cambia

respecto al problema descrito en el apartado 4.4. En este caso, el vector eQ se

define igual que el que aparece en la expresión (4.10), donde también se

considera que 1=M N.m.

Evaluando la deformación en el centro de la viga, la resistencia de

materiales dictamina un desplazamiento de 0.007063 metros.



Sistema de referencia biapoyado

Se representará a continuación la evolución que sufre el desplazamiento

en el centro de la viga respecto al número de elementos en el se discretiza la

misma (Fig. 4.44).

M


62

4.44 Fig.

Junto a la gráfica anterior, se incluyen dos gráficas más que representan

las iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los

que se divide la viga (Fig. 4.45) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para

cada discretización (Fig. 4.46).

4.45 Fig.


63

4.46 Fig.

La tabla 4.14 agrupa los datos obtenidos en la resolución de la viga

biapoyada con momento aplicado en el extremo cuando se usa el sistema de

referencia biapoyado.

4.14 Tabla




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071

2 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.2030 0.0470 0.0620 0.0790 0.1090 0.1560 0.1560 0.1880 0.2030 0.2340 0.2500 0.2970 0.3130 0.3440 0.3750 0.3900 0.4690 0.4690 0.5000 0.5310


64

Puede observarse como el sistema de referencia biapoyado proporciona

una solución exacta a la analítica, lo que implica una buena elección de

sistema de referencia para la resolución del problema. A medida que se

desarrollen las demás soluciones se podrán comparar dichos resultados con la

proporcionada aplicando el sistema biapoyado de referencia en cuestión de

iteraciones del algoritmo y tiempos de ejecución del mismo, ya que como

puede observarse, se obtienen unos resultados en términos de desplazamiento

exactos a la solución analítica.

Sistema de referencia tangente A continuación se representa, para el sistema de referencia tangente, el

desplazamiento en el centro de la viga respecto al número de elementos en los

que se discretiza el problema.

4.47 Fig.

Las dos gráficas que se muestran a continuación representan,

respectivamente, las iteraciones del método de cálculo utilizado respecto al

número de elementos en los que se divide el problema (Fig. 4.48) y, el tiempo

de ejecución del algoritmo de cálculo para cada situación en el que se

discretiza la viga (Fig. 4.49).


65

4.48 Fig.

4.49 Fig.


66

Para finalizar, se representa la tabla con los datos exactos expuestos en

las gráficas anteriores, dentro de la resolución del problema aplicando el

sistema de referencia tangente.

4.15 Tabla

La aplicación del sistema de referencia tangente aporta unas soluciones

muy parecidas a las logradas con la referencia biapoyada, es en el número de

iteraciones del algoritmo y en los tiempos de ejecución del mismo donde se

puede observar diferencia pero casi despreciable como se ha ido obteniendo

durante la resolución de los demás problemas planteados.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

La gráfica siguiente nos muestra el desplazamiento en el centro de la

viga respecto al número de elementos en los que discretizamos el problema

usando el sistema de referencia que optimiza la energía.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0071 0.0070 0.0070 0.0070 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071

3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

0.1090 0.0470 0.0630 0.0930 0.1100 0.1400 0.1570 0.1710 0.2040 0.2340 0.1870 0.2190 0.2350 0.2500 0.2960 0.3910 0.4220 0.4690 0.4840 0.5310


67

4.50 Fig.

La siguiente figura muestra el número de iteraciones necesarias del

algoritmo de Newton-Raphson para la resolución del problema según el

número de elementos en los que discretizamos el mismo.

4.51 Fig.


68

La figura 4.52 representa el tiempo de ejecución del algoritmo para cada

resolución del problema, es decir, para cada número de elementos en los que

se discretiza el mismo.

4.52 Fig.

La tabla de valores que se adjunta a continuación incluye los diferentes

datos usados en las representaciones gráficas anteriores, englobadas dentro

de la resolución del problema mediante el sistema de referencia de

optimización de la energía.


69

4.16 Tabla

Puede observarse que ante igualdad en el desplazamiento en el centro

de la viga, es en el número de iteraciones y en el tiempo de ejecución de las

mismas donde este sistema de referencia supera a los restantes.




Newton- Raphson


algoritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0.1250 0.0150 0.0320 0.0470 0.0620 0.0630 0.0780 0.0940 0.1090 0.1250 0.1410 0.1560 0.1720 0.1720 0.2030 0.2190 0.2340 0.2500 0.2660 0.2810

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4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS.bibing.us.es/proyectos/abreproy/4579/fichero/Volumen+1%2F4... · RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS 18 (4.4) A continuación se muestra una