POLINOMIOS

Es una expresión algebraica cuyos exponentes de su(s)variable(s) pertenecen a los enteros no negativos (0; 1; 2; 3; … = Z0+)

Ejm.: E(x; y) 7x4y3

Variables Coeficiente

Como el exp. De x e y Z0+: (P(x; y) es un polinomio

POLINOMIO DE UNA VARIABLE

P(x) a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an;a0 0

Variable. x; coeficientes: a0; a1; a2; …; anCoef. Principal de P: C.P.(P) = a0Term.: independiente de P: T.I.(P) = anGrado de P: (Gdo(P) = n N

Ejem.:P(x) 2x + 7C.P.(P) = 2; T.I(P) = 7Gdo(P) = 1; Pol. lineal

Ejem.:Q(x) 3x2 + 5x + 4C.P.(Q) = 3; T.I(Q) = 4Gdo(P) = 2; Pol. cuadrático

Ejem.:R(x) 5x3 – 2x2 + 8x - 5-5 : Término independiente8x : Término lineal-2x² : Término cuadrático5x3 : Término cúbico

POLINOMIO DE DOS O MÁS VARIABLES

Ejem.:P(x; y) 7x2y + 9xy3 – 2zxy + 5Variables: x e yChef. (P): 7; 9; -2z; 5, T.I.(P) = 5

Ejem.:P(x; y; z) 2xy3 – 4axz2 + 3xyz - 1Variables: x; z e yChef. (Q): 2; -4a; 3; -1, T.I.(Q) = -1

ClasificaciónSegún el número de términos, un polinomio reducido se clasifica en:

Monomio : un términoBinomio : dos términosTrinomio : tres términos

Pol. del número: Número de términos > 3

Ejem: P(x; y) 5x2y – 2xy3 + 7x2y – 6Términos semejantes

Reduciendo: P(x; y) 12x2y – 2xy3 – 6Número de término = 3: Trinomio

VALOR NUMÉRICO (V.N.)

Es aquel valor que admite una expresión matemática para un determinado valor o valores de su(s) variabel(s).

Ejm.:E(x; y) 5x2

Para x = 3 y = 8: el V.N. será:E(3; 8) = 5.32 = 5.9.2 = 90

Ejm:P(x) 2x2 + 1Para x = 3: P(3) = 2.32 + 1 = 19Para x = -1: P(-1) = 2.(-1)2 + 1 = 3

Para x = : P + 1 = 2

PROPIEDAD

Sea el polinomio P(x), entonces:

Suma de chef. (P) = P(1) T.I(P) =

P(0)

Ejem :Sea P(x) (x+5) (x3-2) (x-3)i) coef.(P) = P(1) = 6(-1)(-2) = 12ii) T.I(P) = P(0) = 5(-2) (-3) = 30

1. GRADO DE UN POLINOMIOCaracterística de los polinomios relacionada con el(los) exponente(s) de su(s) variable(s)

2. CASOS QUE SE PRESENTANPara Expresiones MonomiosGrado Relativo (G.R.)

Es el exponente de la variable en referencia.Ejemplo:T(x; y) = 5x3y8

Se tiene G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 8

Grado Absoluto (G.A.)Está dado por la suma de los exponentes de sus variables Ejemplo:Q(x; y) = -5x3y4z5

Se tiene G.R.(Q) = 3 + 4 = 7

Para Expresiones dedos (02) o más términosGrado Relativo. Es el mayor exponente

de la variable en mención.

Ejemplo:R(x; y) 4x3y5 – 8xy6 + 13x2y9

Se tienen: G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 9

Grado Absoluto. Es el mayor de los grados absolutos de cada uno de los términosEjemplo:

M(x; y) = 3x3y7 – 6x4y2z3 + 11x5yz6

t1 t2 t3Calculamos el G.A. a cada términosG.A.(t1) = 10 (mayor)G.A.(t2) = 6 G.R.(M) = 10G.A.(t3) = 6

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En la siguiente adición de monomios:

calcular a + b + ca) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

2. Sea: F(x) 5x - 1El valor de:

F(3) + F(5) es:a) 36 b) 38 c) 40d) 42 e) 44

3. Si: P(x) 3x5 - 4x2 + 6x - 4Hallar:

E = P(1) - P(1) + P(0)a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

4. Sea:F(x) x² + 3Si:F = 8Hallar el valor de F(a)a) 22 b) 24 c) 26d) 28 e) 30

5. Sean:F(x) ; G(x) x² + x – 1

Hallar: a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

6. Si:F(x) 2x + 3G(x) 3x + 2

Hallar el valor de F(-2) + G(4)a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 15

7. En el polinomio:P(x)

Se verifica que:P(1) = 3P(1)El valor de a + 1 es:a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

8. Sea:F(x) ax + bSi:F(2) = F(-2) + 24El valor de a² es:a) 16 b) 25 c) 36d) 49 e) 81

9. En el polinomio:P(x) 3x2 - 2nx + 1

Si la suma de coeficientes es 2, el valor de P (-1) es:a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10. En el polinomio:Si su término independiente es 7, el valor de P(n) es:a) 11 b) 22 c) 33d) 44 e) 55

11. Calcular “m2 + n2” del monomio:

M(x; y)

Sabiendo que su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4a) 23 b) 24 c) 25d) 26 e) 27

12. Hallar el valor de “n” para que la expresión sea de sexto grado:

P(x) a) m = 2 b) m = 4 c) m = 6d) m = 8 e) m = 10

13. Si el grado relativo de “x” es 9 en:P(x; y) 21x3yn - 8(xy)3n - xny5

Dar el grado relativo de “y”a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) 12

14. Cuál es el grado absoluto de:P(x; y) 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

15. En el siguiente polinomio:P(x; y) 5x4y3 - 7x2y6 + 9x5y4

Indicar correcto (C) o incorrecto (I)( ) El G.R.(x) = G.R.(y) -1( ) El G.A. de P(x; y) es 9( ) La suma de coeficientes de P(x; y) es 21a) CCI b) CCC c) ICCd) CIC e) ICI

16. Si el grado absoluto de:P(x; y) x2ayb+2 - 3xayb+1 + xayb

Es igual da la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables, calcular el grado relativo de “y”.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Dado el polinomio:P(x; y) 2xa+by2 – 2xa+1yb + 5xayb-1

Si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y” es 4, hallar el grado relativo a “x”.a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

18. Dado el polinomio:P(x; y) 2xaya+1+5x2aya+3-axa+6-aya+7+7x2aya+2

Si su grado absoluto es 33, hallar G.R.(x) + G.R.(y)a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

19. Se sabe que:P(x) ax2 + bP 8x4 + 24x2 + cHallar: a + b + ca) 26 b) 28 c) 32d) 30 e) 31

20. Si “x” N y se define:F(x) 4x - 1; ¿cuántas proposiciones son verdaderas?( ) F = F(12) - 4( ) F(0) + F(1) = 2( ) F(a+b) = F(a) + F(b) - 1( ) F = 27a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

TAREA

1. Si: P(x-2) x2 - 4x + 4Calcular:

E = a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Si: P(x) 4x + 3, calcular:P(x-1) + P(x+1)

a) 4x-1 b) 4x+7 c) 8x-6d) 8x+6 e) 8x+7

3. Si:P(x) x - 1Q(x) 3x + 2Calcular: a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. Si:P(x) = x + 1Q(x) = 2x + 4Calcular:

E = a) 1 b) x c) x - 1d) x + 1 e) 2x + 1

5. Si:P(x) (x - 2) (x + 1)x (x+1) (x+2)+1

Calcular su término independientea) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

6. En el polinomio:

P(x) (3x - 2)4 (x + 1)2 (x - 2) + 9Calcular la suma de sus coeficientesa) 13 b) 5 c) 2d) -1 e) 4

7. En el polinomio:P(x) (2x-3)2 (x + n) n Z

Si se sabe que la suma de coeficientes es 2/27 veces su término independiente, el valor de n es:a) 1 b) 2 c) -2d) 3 e) -3

8. Sea:F(x) ; x 1; c -1

El valor de: será:

a) c(x-1)-1 b) c c) 1d) x e) x(x - 1)-1

9. Sea F(x) 3x + 6Calcular el valor de:

R =

a) h/3 b) h/6 c) hd) h/4 e) h/7

10. Si:F(x) ax2 + bx + c; y además:F(x-1) x2 - x + 1El valor de ( a + b + c)-2

a) 3 b) 1/3 c) 9d) 1/9 e) 1