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EnAt'anza Revista Mexicana de Fsica 33 No. "(1988) 659-669

El mtodo variacional dependiente del tiempo enmecnica cuntica

G.F. Torres del CastilloDepartamento de Fsica Matemtica,

Instituto de Ciencias de la Universidad Autnoma dc Puebla,72000 Puebla, Pue. y Mathematical Institute, University of Oxford,

Oxford OXI 9B, U.K.(recibido el 4 de junio de 1987; .cept.do ellO de 'gosto de 1987)

Resumen. Utilizando el hecho de que las soluciones de laecuacin de Schrodinger dependiente del tiempo pueden obtenersea partir de un principio variacional, restringiendo la evolucin delvector de estado a alguna superficie en el espacio de Hilbert co-rrespondiente, se pueden obtener aproximaciones a las solucionesexactas, las cuales estn determinadas por ecuaciones similaresa las ecuaciones de Hamilton. Se muestra que, para que en unasuperficie la evolucin aproximada est bien definida, la parteimaginaria del producto interior restringida a la superficie debeser no singular.

Abstract. Using the faet th.t the solutions to the time-depend-ent Schodinger equation can be obtained froID a variational princi~pie, by restricting the evolution of the state vector to sorne surfacein the corresponding Hilbert space, approximations to the exactsolutions can be obtained, which are determined by equationssimilar to Hamilton's equations. It is shown that, in order for theapproximate evolution to be well defined on a given surface, theimaginary part of the inner product restricted to the surface mustbe non-singular.

PACS: 03.65.-w; 02.40.-k

1. Introduccin

Es bien conocido el hecho de que para muchos sistemas fsicos, lasecuaciones que describen su comportamiento pueden obtenerse a

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partir de un principio variacional; es decir, el comportamiento se-guido por tales sistemas es tal que cierta funcin definida en unaclase apropiada, D, de posibles comportamientos, toma un valor ex-tremo (local) o, en forma ms general, un valor estacionario. Algunosejemplos son los siguientes:

(i) En la mecnica estadstica (clsica) un ensemble est descritopor una funcin de distribucin (no negativa) p, cuyo dominio es elespacio fase del sistema considerado y tal que su integral sobre elespacio fase es igual a uno. La distribucin p que describe al ensemblepuede obtenerse requiriendo que la funcin S (p) == - J p In p dv,donde dv es el elemento de volumen cannico en el espacio fase y laintegral se extiende a todo el espacio fase, tome un valor estacionario.

La clase D est formada por las distribuciones p, normalizadas,sobre las cuales puede imponerse alguna condicin adicional (e.g.,con la restriccin J pH dv = const., donde H es el hamiltoniano delsistema, se obtiene la distribucin cannica).

(ii) En la mecnica clsica la evolucin de un sistema se describepor una curva, G(t), en el espacio de configuracin correspondiente.La evolucin que sigue el sistema, suponiendo que en los instantesti Y t2 se encuentra en las configuraciones A y B, respectivamente,es aquella curva para la cual Jtt: L(G(t),G'(t),t) dt tiene un valorestacionario, donde L es cierta funcin (ellagrangiano del sistema).El conjunto D, en este caso, est formado por las curvas (diferencia-bies) G: [tl,t21- (espacio de configuracin), tales que G(tl) = A,G(t2) = B (vase, por ejemplo, la Ref. 1).

(iii) En la mecnica cuntica, para el caso independiente deltiempo, los estados estacionarios estn descritos por funciones deonda, t/J, tales que, suponiendo (t/J,t/J) = 1, (t/J,Ht/J) tiene un va-lor estacionario, donde H es el hamiltoniano del sistema (vase laseccin 2). En el caso dependiente del tiempo, la evolucin del sis-tema est dada por una funcin de onda t/J(t) tal que, suponiendoque en los instantes tI y t2 el sistema se encuentra en los estados t/JI

Un mtodo variacional en mecnica cuntica 655

y ,p2, respectivamente,

dt,

tiene un valor estacionario. En este caso el conjunto D est formadopor las funciones de onda dependientes del tiempo, ,p(t), tales que,p (t ) = ,pl, ,p (t2) = ,p2 (vase la seccin 3). Otros ejemplos deformulaciones variacionales se encuentran en ptica, en el principiode Fermat y dentro de la teora de campos.

Los principios variacionales, adems de constituir un mtodoelegante y sinttico para obtener las "ecuaciones de movimiento"de un sistema, sirven para derivar, en una forma simple, algunosresultados fundamentales y al mismo tiempo son la base de mtodosde aproximacin. El propsito de este artculo es mostrar que en elcaso de problemas dependientes del tiempo en la mecnica cuntica,pueden obtenerse soluciones aproximadas a partir del principio va-riacional indicado arriba; dichas aproximaciones estn determinadaspor sistemas de ecuaciones diferenciales similares a las ecuaciones deHamilton de la mecnica clsica.

Este artculo est organizado como sigue: en la seccin 2 setrata brevemente el mtodo variacional aplicado a la ecuacin deSchrodinger independiente del tiempo. En la seccin 3 se aplica elmtodo variacional a la ecuacin de Schrodinger dependiente deltiempo, sealando la relacin con el mtodo de perturbaciones ascomo algunas peculiaridades del mtodo.

2. El mtodo variacional independiente del tiempo

En el caso de la ecuacin de Schrodinger independiente deltiempo, adems del mtodo WKB y del mtodo de perturbaciones,un mtodo til para obtener en forma aproximada los niveles deenerga y los estados estacionarios es el llamado mtodo variacional.De hecho, poco despus del establecimiento de la mecnica cuntica,se obuvieron muchos resultados por este mtodo, determinando los

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niveles de energa de tomos y molculas (e.g., el tomo de helio y lamolcula de hidrgeno) as como polarizabilidades y susceptibilida-des magnticas. Posiblemente, el resultado ms conocido del mtodovariacional es el uso hecho por Fock en 1930 para mejorar el mtodode Hartree (llamado mtodo de campo autoconsistente), aplicable atomos complejos, tomando en cuenta la simetra de la funcin deonda (vase, por ejemplo, las Refs. 2 y 3).

La base del mtodo variacional, aplicado a la ecuacin de Schro.dinger independiente del tiempo, es la siguiente proposicin:

Sea H un operador hermtico que acta sobre un espacio conproductor interior ( , ) y sea D el conjunto de vectores t/J, tales que(t/J, t/J) = 1. Si la funcin (de valores reales, dado que H es hermtico)

E(t/J) == (t/J,Ht/J), (1)definida en D, tiene un valor estacionario en t/Jo, entonces t/Jo es unvector propio de H, es decir, H t/Jo = >.t/Jo.

La prueba que se da usualmente de esta proposicin es bsica-mente la siguiente: Suponiendo que E(t/J) tiene un valor estacionarioen t/J = t/Jo, restringiendo el dominio de E a D, a primer ordenen t/J se tiene O = E = E(t/Jo + t/J) - E(t/Jo) = (t/Jo,Ht/J) +(t/J, H t/Jo). Debido a que H es hermtico, esto equivale a (Ht/Jo, t/J) +(t/J,Ht/Jo) = O. Por otra parte, debido a que (t/Jo + t/J,t/Jo + t/J)debe ser igual a uno, a primer orden en t/J, (t/Jo,t/J) + (t/J,t/Jo) = O.Introduciendo un multiplicador de Lagrange >. (que se supondr real,aunque ello no es necesario) se tiene entonces: (Ht/Jo - >'t/Jo,t/J) +(t/J, Ht/Jo - >.t/Jo) = O, donde ahora se puede considerar que t/J esarbitraria. Esta ltima igualdad implica Ht/Jo - >.t/Jo = O, es decir,H t/Jo = >.t/Jo (lo cual se puede ver reemplazando t/J por it/J, usandoque el producto ( , ) es antilineal en el primer argumento y lineal enel segundo, y cancelando despus la i). Si se sustituye este resultadoen la Ec.. (1) se obtiene que E(t/Jo) = (t/Jo, >.t/Jo) = >..

Por consiguiente, las soluciones (exactas) de la ecuacin deSchrodinger independiente del tiempo se pueden obtener resolviendoun problema de mximos y mnimos para la funcin E dada en (1),con H siendo el hamiltoniano del sistema. La dificultad para obtener

Un mtodo vaTiacional en mecnica cuntica 657

los valores estacionarios de E estriba en que, regularmente, su do-minio tiene dimensin infinita. Sin embargo, restringiendo de algunamanera el dominio de E, de tal forma que sea factible determinarsus valores estacionarios, pueden obtenerse aproximaciones a las so-luciones exactas. En la prctica esto se hace proponiendo una funcinde onda dependiente de uno o varios parmetros, 1/;(al, ... , an) (ladependencia de la funcin de onda en las coordenadas no se estindicando explcitamente; en este sentido 1/; se considera como unvector de estado, elemento de algn espacio de Hilbert), la cual,sustituida en (1), hace que E sea una funcin real de las n variablesal, ... , an; los valores estacionarios se hallan entonces a partir de lasn ecuaCIones

(2)(i= 1, ... ,n).DE-- =0,Dai

(Si el dominio de las variables al, ... , an no es un conjunto abierto enRn, hay que determinar separadamente los puntos crticos de E enla frontera de dicho conjunto.) Al substituir cada punto (al, ... , an)donde se cumplen las ecuaciones (2) en 1/;(al, ... , an), se obtiene unaaproximacin a algn estado propio de H.

La principal dificultad que se enfrenta para aplicar este mtodoen un problema especfico es la carencia de una receta general paraproponer una "funcin de prueba", 1/;(a, ... , an), apropiada en cadacaso. A pesar de que, posiblemente, resolver las ecuaciones (2) seasencillo, no hay una forma general de saber qu tan buenas son lasaproximaciones obtenidas.

El mtodo de aproximacin que se encuentra ms comnmentees el mtodo de perturbaciones [2,4], el cual es aplicable si el hamil-toniano de inters, H, se puede expresar en la forma

H=Ha+AV, (3)

donde Ha es un operador cuyos vectores y valores propios se cono-cen y AV representa una perturbacin, en cierto sentido, pequea;los vectores y los valores propios de H estn dados entonces pordesarrollos en potencias del parmetro A, cuyos coeficientes estn

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determinados por ciertas expresiones generales. La aproximaclOnproviene de considerar exclusivamente los trminos de orden msbajo en tales desarrollos. A diferencia del mtodo variacional, en elmtodo de perturbaciones, bsicamente, la solucin aproximada estdeterminada por completo; sin embargo, su aplicacin se reduce aproblemas "cercanos" a otros con solucin conocida.

Es ilustrativo mostrar cmo se pueden obtener las expresionesusuales del mtodo de perturbaciones por medio del mtodo variacio-na!. Denotando por t/J? los vectores propios de Ha (que se supondrnortonormales) y por E? los valores propios correspondientes, se pro-pone la funcin de prueba

donde las a son nmeros complejos (claramente, eldenominador es para normalizar t/J). Sustituyendo (3)se obtiene

'"'a~a.E9 + '". 'a~a'>'v..E = L,,1. 1. 1.. LJI,) 1. 1 1)'" ' ,L...i ai ai

(4)

factor en ely (4) en (1)

(5)

donde Vij == (t/J?, V t/JJ). Dado que en este caso cada a es una variablecompleja, equivalente a dos variables reales, conviene considerar, enforma general, qu ocurre al reemplazar dos variables reales x e y,por z = x + iy. Debido a que x = (z + z')/2 e y = -i(z - z')/2 setiene

8 1(8 .8)-- - --1-8z - 2 8x 8y' 8 1(8 .8)8z' = 2 8x + 18y .En particular, 8z/8z' = O. Por lo tanto, (2) sigue siendo vlidacon a compleja si a y a se tratan como variables independientes.Equivalentemente, en lugar de (2) se tiene 8E / 8a = O, con a

Un mtodo variacional en mecnica cuntica .659

independiente de ai, lo cual, usando (5), lleva a

(I>i.ak) (aiE? + 2;=aj>'Vij) = (:>i.akEg + I: ajak>'Vjk) ai'k } k },k

(6)Es claro que las soluciones, ai, de (6) dependen paramtricamente

de >..Si se considera una solucin de (6) tal que en el lmite cuando>. --> O (es decir, en ausencia de la perturbacin) corresponda a ,pp,entonces, suponiendo que las ai son funciones de >.bien comportadas,slo al es distinta de cero cuando>' = OY su valor puede tomarse(arbitrariamente) igual a uno. Se tiene, por tanto,

(7)(i#I).

Sustituyendo (7) en la Ec. (6) con i # 1, comparando los coeficientesde >.1se obtiene

(i # 1) (8)

(9)

(las al k) pueden tomarse iguales a cero). (Cuando el nivel de enrgaEp es degenerado, la consistencia de la Ec. (8) requiere que sediagonalice la matriz (Vil) rcstringida al subespacio de estados conenerga Ep.) Los coeficientes de las siguientes potencias de >.puedendeterminarse de una manera anloga, pero su clculo se vuelve muylaborioso. Es importante sealar, sin embargo, que al sustituir (7)en (5), usando (8), rcsulta

E = Ep + >.VII+ >.2 I: {la)1112(E? - Ep) + a)I)V; + a)I)'Vil}il

+ >.3 { I: a)I)' a~.I)Vij - VIII: la)l) 12} + ...i,NI il


Es decir, el clculo de E correcto a tercer orden en la perturbacinslo requiere del conocimiento de t/J a primer orden. (Similarmente, lacorreccin de E a primer orden, >.Vil, slo requiere del conocimientode t/J a orden cero.)

Para problemas de dispersin en mecnica cuntica existe unmtodo variacional aplicable para calcular corrimientos de fase yamplitudes de transicin, el cual es similar al mtodo para calcularniveles de energa, pero no se basa en la proposicin dada arriba(vase, por ejemplo, las refs. [2,3 Y5]).

3. El mtodo variacional dependiente del tiempo

En el caso de la ecuacin de Schriidinger dependiente del tiempo,el mtodo variacional se basa en la proposicin siguiente:

Sea H un operador hermtico que acta sobre un espacio conproducto interior ( , ) y sea D el conjunto de vectores dependientesdel tiempo, t/J(t), definidos en [tI, t2], tales que t/J(tl) = t/Jl, t/J(t2) =t/J2, con t/Jl y t/J2 fijos. Si la funcin

I(t/J) == t2 [~(t/J(t),ilidt/J(t))jt 2 dt

+Hihd~;t) ,t/J(t)) - (t/J(t), Ht/J(t))] dt,(10)

definida en D, tiene un valor estacionario en t/Jo(t), entonces t/Jo(t)satisface la ecuacin

(11)

Un mitodo vaTiacional en mecnica cuntica 661

(El integrando en (10) es real debido a que H es hermtico.) (Usual-mente, en la ecuacin de Schrodinger aparece a,pIat en 'lugar ded,p Idt debido a que, ordinariamente, la funcin de onda ,p se ex-presa como funcin de las coordenadas y del tiempo; en el presentecaso la dependencia de ,p en las coordenados no se est indicandoexplcitamente, considerando a ,p como un "vector de estado", in-dependientemente de una representacin especfica. El uso de di dttiene el propsito de evitar confusiones en la notacin ms adelante.)

En efecto, suponiendo que [ tiene un valor estacionario en ,po, aprimer orden en S,p se tiene,

0= I = [(,po + ,p) - [(,po)= [12 [~(." id,pa) ~(.,. id,p)

jt 2 ,+" dt + 2 ,+,0, dt1(. d,p ) 1(. #0 )+ - l- .1'0+ - l- S.I.. 2 dt' '+' 2 dt' '+'

-(,p,H,pa) - (,po, HS,p)] dt.

Integrando por partes el segundo y el tercer trmino, usando que,p(tl) = O = S,p(t2), lo cual es consecuencia de exigir que tanto,po como ,po + S,p pertenezcan a D, y debido a que (,pa,HS,p) =(H,pa, S,p),

{t2 [( #0 ) ( d,pa )]I = jt ,p,idt" - H,pa + idt" - H,pa,S,p dt = O,

de donde sigue que id,pal dt = H,pa (ef. Secc. 2). Puede notarse,sustituyendo (11) en (10), que [(,po) = O.

Si se integra por partes el segundo trmino en (10) se tiene

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Por consiguiente, dado que se exige que 6TjJ se anule en tI yen t2, lacondicin 6[ = Oequivale a 6[' = O,donde

As pues, las soluciones de la ecuacin de Schriidinger depen-diente del tiempo estn caracterizadas por la condicin 6[ = O o6[' = O; por tanto, una forma de obtener aproximaciones a dichassoluciones consiste en buscar soluciones de 6[ = Oo de 6[' = OconTjJ(t) dada por alguna expresin especfica en trminos de un conjuntode parmetros o En forma general, considerando una solucin aproxi-mada de la ecuacin de Schriidinger, dependiente de n parmetros,en este caso, dependientes del tiempo: xl (t), ... , xR(t), y, posible-mente, del tiempo en forma explcita: TjJ = TjJ(xI(t),. o., xR(t), t), laintegral (10) o (12) se convierte en una funcin de la curva repre-sentada por xI(t), o. o ,xR(t)o

En vista de que la funcin de prueba, TjJ, puede depender de texplcitamente y a travs de las xi, se tiene

(.'0 indTjJ) = (.10 in aTjJo) dx' + (.10 in aTjJ)'1', dt '1', ax' dt '1', at 'donde, al igual que en el resto de esta seccin, hay suma implcitasobre cada par de ndices repetidos; por lo tanto,

donde

y

{t2 (dxj ) rt2 o[' = Jt Yj-- - E dt = Jt (yjdx' - E dt)

Yj == (TjJ, i aTjJo)ax'

E == (TjJ, HTjJ) - (TjJ, in~~)

(13)

(14)

(15)

(16)


La integral en (13) es de la forma J(Pidqi - H dt), que apareceen la formulacin hamiltoniana de la mecnica clsica (vase, porejemplo, la ref. 1); sin embargo, en el caso presente las Yi no sonindependientes de las xi, lo cual es evidente en (14).

De la expresin (13) se tiene, considerando que las xi son reales,

1t2(aYj .dxj d6xj aE') 'lt261'= -.8x'-+Y,----.8x' dt=y,8x]ti ax' dt ] dt ax' ] ti1t2(aYj idxj aYj dxi . aYj . aE i)+ -.8x - - -, -8x] - -8x] - -,ax dtti ax' dt ax' dt at ax'

= y '8xjlt2 + t2 [(ay~ _ ayi,) dxj_ ae. _ ayi] 8xi dt,

] ti 1t1 ax' ax] dt ax' at

por lo que, con 8xj (t) = O= 8xj (t2), de 81' = Ose obtiene

dx] aE aYiWijdi' = axi + at '

dondeay, ay.

Wij == ax~ - ax;" (17)Si el determinante de la matrix (Wij) es distinto de cero, lo queequivale a que (Wij) tenga inversa, el sistema de ecuaciones (16)determina unvocamente el valor de dxi / dt. De hecho, en tal caso,denotando por (uij) la matriz inversa de (Wij) (es decir, UijWjk =81), de (16) se tiene

dxj= uji ( ae. ayi) .

dt ax' + at (18)

(19)

En el caso en que la funcin de prueba no depende explcitamentede t, en lugar de (18), se tiene

dxj .. aE- _(J]1_dt - axi'


con E = (1/J,H1/J).De la Ec. (17) se ve que (Wij) es antisimtrica,

Wij = -Wji,

y que satisface la condicin

8Wij 8wki 8wjk8xk + 8xj + 8xi = o.

Adems, usando (14) y (17),

( 81/J . 81/J) (81/J. 81/J)Wjk = 8xj' th 8xk - 8xk' th 8xj= 2Re ( 81/J., ih 81/Jk) = 2h 1m( 81/Jk' 81/J.).8x] 8x 8x 8x]

(20)

(21)

(22)

Si det(wij) # Oentonces, en cada "punto" (xl, ... , xn), todos losvalores propios de (Wij) deben ser distintos de cero. Debido a que(Wij) es antisimtrica, sus valores propios son imaginarios o cero ydebido a que (Wij) es real, el complejo conjugado de cada uno de susvalores propios tambin es un valor propio; por lo que, si ningunode ellos es cero, debe haber un nmero par de valores propios. Porconsiguiente, para que det(wij) sea distinto de cero es necesario quen sea par (aunque no es suficiente).

Desde el punto de vista geomtrico, para cada conjunto de va-lores de los parmetros xl, ... , xn, el vector de estado 1/J(xl, ... , xn)representa un punto en un espacio de Hilbert; de tal manera que alvariar independientemente xl, x2, . , xn por todos sus valores posi-bles, tal punto describe una superficie de dimensin n en el espaciode Hilbert (suponiendo que los parmetros xl, ... , xn sean indepen-dientes). Los parmetros xl, ... ,xn forman un sistema (o carta) decoordenadas para dicha superficie. Esta carta de coordenadas hacede esta superficie una variedad diferenciable (las definiciones precisaspueden hallarse, por ejemplo, en las Refs. 6, 7, 8 Y 9) Y en el casoen que det(wij) # Ose dice que es una variedad simplctica ((Wij)


o equivalentemente (aij), define la estructura simplctica si es nosingular y se satisfacen (20) y (21)). El prototipo de una variedadsimplctica es el espacio fase asociado a un sistema en mecnicaclsica, el cual siempre es de dimensin par.

Las derivadas parciales ajJ/ axk son vectres tangentes a la su-perficie (de manera anloga a como dr / dt es tangente a la curvar = r(t)), por lo tanto, en vista de la Ec. (22), la superficie deter-minada por jJ(xi) es simplctica si la parte imaginaria del productointerior restringida al espacio tangente a la superficie no es singular.As, el que la superficie dada por jJ(xi) sea, o no, simplctica nodepende de la parametrizacin que se emplee sino slo de la formaen que la superficie est "sumergida" en el espacio de Hilbert. Enparticular, si la superficie en cuestin es un sub espacio (complejo)entonces es simplctica (claramente, su dimensin real es par).

Al igual que en un espacio fase, en cualquier variedad simplcticase puede definir el parntesis de Poisson: si f y 9 son funcionesde xl, ... ,xn, por lo tanto, funciones cuyo dominio es la variedadsimplctica, entonces

.. af agU,g} == a"-. -.. (23)

ax' ax'Debido a las Ecs. (20) y (21), el parntesis de Poisson (23) es anti-simtrico y satisface la identidad de Jacobi, respectivamente. De laEc. (23) es claro que aij = {xi,xj}, por lo que

_ i . af agU,g} - {x,x'}-. -.. (24)

ax' ax'La ecuacin (19) puede expresarse en la forma

dx' = { j E}dt x,. (25)

Usando la regla de la cadena y las Ecs. (19) y (23), si f es unafuncin de xl, ... ,xn que no depende explcitamente de t, entonces

dfdt = U, E}, (26)


lo que generaliza la expresin (25).En una variedad simplctica siempre existen (al menos local-

)" d d ,." 1 m tImente coor ena ascanomcas ,q , ... ,q ,Pl, ... ,Pm, aesque

. .{q"Pj} = i (27)

lo cual se deduce del teorema de Darboux [6, 7, 8]. En trminos decoordenadas cannicas, usando (24) y (27), se tiene

al ay al ayU,y} = aqi api - api aqi' (28)

(ef. Ref. 1).Cuando el determinante de (Wij) es cero, los resultados anteriores

son aplicables despus de eliminar uno o varios parmetros de lafuncin de prueba. Debido a (21) existen coordenadas (reales) en lasuperficie descrita por la funcin de prueba, respecto a las cuales lamatrix (Wij) se diagonaliza en bloques 2 x 2 de la forma

[~1~]y bloques 1 x 1 iguales a cero. Manteniendo constantes aquellascoordenadas que corresponden a los bloques 1 x 1 iguales a cero,la funcin de prueba depende de un nmero par de variables quedescriben una variedad simplctica.

Si t/J, en lugar de depender de parmetros reales, depende deparmetros complejos, z', las expresiones anteriores se ven modi-ficadas. Una forma simple de obtener las expresiones apropiadaspara este caso es partir nuevamente de (12). Suponiendo que t/J esuna funcin analtica de i (lo cual implica que at/J/azi = O), lacondicin I' = Olleva a

ih ( at/J., at/J) dzk = (at/J., H t/J) _ (at/J., ih at/J) (29)azJ azk dt azJ azJ at

Un mtodo vaTiacional en mecnica cuntica 667

(ef. (16)). A diferencia de (Wij) dada en la Ec. (17), la matriz

(aij) == ((a1/J., a1/J.))az' az'

(30)

no es antisimtrica sino hermtica. La evolucin de la solucin apro-ximada 1/J(zi,t) est bien determinada si det(ai') of O.

En este caso, la superficie determinada por (a funcin de pruebatiene la estructura de una variedad compleja y debido a que la matriz(aij) satisface la condicin

aa.. aa'k-'-' - -'- - O (31)azk azj-

(e/. (21)), cuando (aij) no es singular, esta variedad es Kiihleria-na [10). Puede notarse adems que

a aaij = azi azj (1/J, 1/J), (32)

(ef., por ejemplo, la Ref. 11).Nuevamente, las ecuaciones bsicas del mtodo de perturbacio-

nes resultan fcilmente de las del mtodo variacional. Con la no-tacin de la Secc. 2, proponiendo

1/J(zk, t) = : zke-iwkt1/J~,k

(33)

(ef. (4)) se tiene ajk = jk>por lo que, usando (3) y (29) resulta

(34)

de donde se obtienen directamente las amplitudes de transicin aprimer orden en la perturbacin (vase, por ejemplo, la Ref. 4).


Vale la pena sealar que en este caso las eculldones (34), deriva-das de (29), son exactas y equivalen a la ecuacin de Schrodinger;la aproximacin se introduce al resolver estas ecuaciones mediantedesarrollos similares a los dados en la Ec. (7).

Excepto por las complicaciones que aparecen al tratar con espa-cios de dimensin infinita, la discusin anterior muestra que la evo-lucin exacta de un vector de estado est dada por las ecuaciones (16)o (29), si se emplea una funcin de prueba que pueda recorrer todoel espacio de los vectores de estado; es decir, si la superficie descritapor la funcin de prueba coincide con todo el espacio. La estructurasimplctica est definida entonces por la parte imaginaria del pro-ducto anterior (vase tambin la Ref. 12). Las ecuaciones (16) y (29)llevan a sistemas de ecuaciones similares a (34) lo cual, en general,no representa una mejora con respecto a la expresin usual de laecuacin de Schrodinger, desde el punto de vista computacional; sinembargo, revelan una estructura adicional implcita en la ecuacinde Schrodinger.

4. Conclusiones

En el caso de la ecuacin de Schrodinger dependiente del tiempo,al igual que en el caso independiente del tiempo, la aplicacin delmtodo variacional para hallar las soluciones aproximadas en unproblema especfico no es algo directo, debido a que es necesarioproponer, de alguna manera, la forma general de la aproximacin,sin que se tenga un criterio para saber qu tan buena puede ser sta.Por otra parte, el mtodo revela una estructura geomtrica, presenteen la misma ecuacin de Schrodinger, la cual es comn en muchasotras reas de la fsica matemtica.

Agradecimientos

El autor agradece al Mathematical Institute, University of Ox-ford, especialmente al Profesor R. Pemose, la hospitalidad brindada


as como a la Foreign and Commonwealth OfRce y al Sistema Na-cional de Investigadores por su apoyo.

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