26. 対称三相交流回路（2）26. Symmetrical Three-phase AC Circuit (2)

講義内容

1. ベクトルオペレータ2. 三相負荷インピーダンスのY-Δ変換3. Y-Y,結線, Y-Δ結線, Δ-Y結線, Δ-Δ結線

三相電圧（起電力）の記号式 2

( )U

V

W

cos 0 sin 0

2 2 1 3cos sin

3 3 2 2

4 4 1 3cos sin

3 3 2 2

E j E E

π πE j E j E

π πE j E j E

= − =

= − = − −

= − = − +

直交座標表示 (rectangular form)

極座標表示 (polar form)

0

2

3

4

3

0

120

240

j

πj

πj

Ee E

Ee E

Ee E

−

−

−

= =

= = −

= = −

UE

VE

WE

N

三相交流回路では更に簡単にするためにベクトルオペレータ を用いる場合もある

UVE

VWE

WUE

ベクトルオペレータ a 3

2

3

2

2 2 1 3cos sin

3 3 2 2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2

πj π π

a e j j

a j j j

= = + = − +

= − + − + = − −

の代わりにベクトルオペレータa を用いる

2

3

πj

e

ベクトルオペレータ を用いると対称三相電圧は次式で表される

0

U

2

23V

4

3W

0

2

3

2

3

j

πj

πj

E Ee E E

πE Ee E a E

πE Ee E aE

−

−

−

= = =

= = − =

= = =

※ 符号 に注意！( + 120deg進ませるのがa )

ベクトルオペレータ には次のような関係がある

3

2 22 1

3

2

1

1

1 0

a

a aa a

a

a a

−

=

= = =+ + =

( )2 2

U V W 1 0E E E E a E aE a a E+ + = + + = + + =

∴対称三相電圧の和は

ベクトルオペレータの関係式の考え方 4

Re

Im

UE

WE

VE

a

a

a

2 1 1a a

a

−= =

21 0a a+ + =

3 1a =

120 120 120 360 0 + + = =

240 120 = −

乗算 (×)は角度計算では 加算 (+)

除算 (÷)は角度計算では 減算 (－)

2 3 2 21 (1 )a a a a a a a a+ + = + + = + +

より，この式を満たすには合計が ゼロ⇒ 合成ベクトルが ゼロ となる

三相負荷インピーダンスのY-Δ変換 5

Y 結線 Δ 結線

等価 に変形

U – V ⇔ U’ – V’ ， V – W ⇔ V’ – W’ ， W – U ⇔W’ – U’

各 端子 間の インピーダンス が 等価 になるように変形を行う

U

VW

UZ

VZ

WZ

U’

V’W’

UVZ

UVZ

WUZ

Y-Δ 変換の手順（詳細は第3回講義資料） 6

U

VW U’

V’W’

U

VW

U’

V’W’

Y ⇒ Δ

変換

W 端子開放

V - W 端子間短絡

Δ ⇒Y

変換UZ

VZ

WZ

UVZ

VWZ

WUZ

UVZ

VWZ

WUZ

UZ

VZ

WZ

Y-Δ 変換のまとめ 7

Y ⇒ Δ変換Δ ⇒Y変換

UV WUU

UV VW WU

VW UVV

UV VW WU

WU VWW

UV VW WU

Z ZZ

Z Z Z

Z ZZ

Z Z Z

Z ZZ

Z Z Z

=

+ +

=+ +

=

+ +

U V V W W UUV

W

U V V W W UVW

U

U V V W W UWU

V

Z Z Z Z Z ZZ

Z

Z Z Z Z Z ZZ

Z

Z Z Z Z Z ZZ

Z

+ +=

+ +

= + + =

各相のインピーダンスが等しい（平衡負荷）の場合

U V W

UV VW WU r

Z Z Z Z

Z Z Z Z

= = =

= = =または r 3Z Z=

分母 が共通 分子 が共通

r

3

ZZ =

各種結線（対称三相交流電源及び対象三相負荷） 8

Y-Y 結線 Y-Δ 結線

Δ-Y 結線 Δ-Δ 結線

回路計算を行う場合は Y-Y 結線又は Δ-Δ 結線に変換する！

対称三相Y-Y結線交流回路 9

UE

VE

WE

N N'

Z

Z Z

UI

VI

WI

平衡 負荷に 対称 三相交流電圧を印加した場合，負荷にも対称 三相交流電圧が発生中性線

等電位 であれば電流は 流れない ため中性点 同士を繋げても問題ない

電源と負荷の 中性点 の電圧は ゼロ となる

U V W 0I I I+ + =

対称三相Y-Y結線交流回路 10

UE Z

UI

VE ZVI

WEN N'

Z

WI

U V W 0I I I+ + =

UU

Z

Z Z

VV

Z

Z

WW

Z

Z

0

120

( 120 )

120

(120 )

E EI

Z Z θ

Eθ I θ

Z

E EI

Z Z θ

Eθ

Z

E EI

Z Z θ

Eθ

Z

= =

= − = − −

= =

= − −

= =

= −

基準

対称三相Δ-Δ結線交流回路 11

UVE

UI

VI

WIVWE

WUErZ

rZ

rZ

UVI

VWIWUI

対称 三相交流電圧の場合環状 電流は ゼロ となる

平衡 負荷に流れる環状 電流も ゼロ となる

環状 電流が流れないためそれぞれ 独立 した回路に分離 することができる

UVI

VWIWUI

対称三相Δ-Δ結線交流回路 12

UVErZWUE

rZ

rZ

VWE

UV rUV

r r Zr

Zr

VW rVW

r r Zr

Z

WU rWU

r r Zr

Zr

U UV WU

V VW UV

W WU VW

30

(30 )

90

( 90 )

150

(150 )

E EI

Z Z θ

I θ

E EI

Z Z θ

I θ

E EI

Z Z θ

I θ

I I I

I I I

I I I

= =

= −

− = =

= − −

= =

= −

= −

= − = −

UVI

VWIWUI