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Prentazione del modulo di:

Elementi di Algebra d.p.d.v.s.

Libero Verardi

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REPETITA JUVANT

Sono Libero Verardi, professore associato di Algebra.

E.mail: libero.verardi@unibo.it Tel: 051 2094473 Studio: D10 Sito Internet: www.dm.unibo.it/~verardi Ricevimento: mercoledì ore 11-12 e

giovedì ore 11-12 o su appuntamento.

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CONTENUTI DEL MODULO

STRUTTURE ALGEBRICHE. INSIEMI NUMERICI. GEOMETRIA ANALITICA. POLINOMI E LORO RADICI. APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA. ….

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Domande a ruota libera:

Perché questi argomenti? C’è un filo conduttore? Quali sono gli obiettivi? Ci servirà tutto ciò per il futuro

insegnamento? Ci potrà servire il laboratorio? Quali sono le nozioni principali? Ci saranno i seminari?

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Provo a rispondere:

Il modulo si chiama “Elementi di Algebra da un punto di vista superiore”.

L’Algebra ha come scopi: generalizzare, unificare e risolvere.

Ossia, in altre parole:

Calcolo letterale, strutture algebriche, equazioni algebriche.

STRUTTURE ALGEBRICHE

Non sono quasi più oggetto

d’insegnamento scolastico, nonostante i

programmi le abbiano previste finora.

Però vorrei ripassarle insieme a voi

come premessa agli altri argomenti.

Inoltre, ricordo che sono nate per

studiare la risoluzione delle equazioni

algebriche.

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Un punto di vista globale

Le strutture algebriche si possono studiare

in modo unitario. Inoltre, si accompagnano

con relazioni compatibili con le operazioni.

Importante è poi vedere come una struttura

operi su un insieme o su un’altra struttura.

C’è quindi modo di rivedere da un altro

punto di vista argomenti già noti.

Insiemi numerici

Visti alle elementari, alle medie, alle

superiori, nel triennio, forse anche nel

corso di Storia della Matematica. Non

basta? Perché anche qui?

Perché vorrei presentarvi i numeri da

vari punti di vista: nei vari livelli scolastici

i numeri si insegnano via via in modi

concettualmente diversi.

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GEOMETRIA ANALITICA

Questo modulo si salda col precedente attraverso la Geometria Analitica.

Per questo serve il campo ordinato reale.

Sdoppieremo il punto di vista in cui collocarci: il piano cartesiano oppure lo spazio R2.

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Un argomento particolare: le coniche

Decideremo di esplorarle più o meno a fondo a

seconda delle conoscenze dei presenti.

Possiamo trattarle dal punto di vista della

Geometria Analitica, ma si comprendono più a

fondo dal punto di vista proiettivo o affine. Per questo però servirebbero le matrici, con le loro proprietà: operazioni, rango, autovalori, determinante…

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POLINOMI ED EQUAZIONI

Il calcolo letterale si può affrontare da vari punti di vista.

In particolare, i polinomi si possono presentare agli allievi con almeno una trentina di approcci diversi.

A me piace usare il punto di vista dell’Analisi Matematica: sono funzioni derivabili, dotate di operazioni, di grafico, di interpretazione geometrica delle radici.

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Risolvere le equazioni

L’uso del calcolo letterale consente di esprimere le incognite o altri dati con lettere, trovare formule risolutive generali o dimostrare che non esistono formule ed è meglio passare al calcolo numerico.

La Teoria di Galois ci consentirebbe di decidere se una equazione ha o no una formula risolutiva e anche di trovarla. Però è complessa e richiede molti prerequisiti su gruppi, reticoli e campi.

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Conclusione: Ognuno degli argomenti elencati

coinvolge strumenti tratti dai vari settori della Matematica.

Molti di essi sono difficili da comprendere, richiedono prerequisiti, collegamenti, apertura mentale.

Ma sono materia d’insegnamento nella scuola secondaria.

Ossia, in qualche forma li dovrete insegnare!

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Seminari:

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ELENCO DEI SEMINARI PROPOSTI NEL 2014/15

Simmetrie di una figura piana. Esercizi: il gruppo di un poligono regolare e di una retta.

Numeri primi e divisibilità. Esercizi: numeri primi particolari, MCD ed mcm.

I numeri razionali relativi ed i numeri decimali periodici. Esercizi: progressioni geometriche

Lo spazio R2 come modello del piano euclideo. Esercizi: area di un triangolo, angoli.

La parabola. Esercizi: le tangenti alla parabola da un punto, fasci di parabole.

L’iperbole e i suoi asintoti. Esercizi: funzioni il cui grafico è riconducibile ad una iperbole

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Seguito elenco seminari:

L’ellisse. Esercizi: eccentricità, diametri.

Generatori. Esercizi: il sottoanello ed il sottocampo generati da un elemento.

Estensioni algebriche di Q. Esercizi sui radicali.

Equazioni algebriche di grado superiore al secondo. Esercizi su qualche tipo di equazioni.

Disequazioni. Esercizi sulle disequazioni algebriche.

Applicazioni dei polinomi ad altre discipline. Esercizi

Il laboratorio di Matematica. Esercizi: costruzioni di coniche con Geogebra.

Spazio per domande

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Come sarà l’esame?

Due domande su argomenti del corso e dei seminari, ed un esercizio preliminare.

Mentre interrogo un candidato, il successivo svolge l’esercizio su un foglio, che poi controlleremo insieme durante l’esame.

Esempio d’esame

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NOTA FINALE:

Il voto di Elementi di Algebra, eventualmente

aumentato col punto di bonus del seminario,

farà media aritmetica col voto di Elementi

di Geometria, per ottenere il voto finale e i

12 crediti.

Ciò vale almeno fino all’appello di

settembre 2015.