24027829 RICA FISICA Jaime Alberto Huacani Luque

FSICA FSICA FSICA FSICA LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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FSICA Primera Edicin: 2009

JAIME A. HUACANI LUQUE Reservado todo los derechos.

J y E Ediciones

Diagramacin y Composicin J y E


3333

NDICE

o La Fsica Pg. 4

o Anlisis Dimensional Pg. 9

o Anlisis Vectorial Pg. 18

o Cinemtica Pg. 27

o Esttica Pg. 57

o Dinmica Pg. 67

o Trabajo, Potencia y Energa Pg. 77

o Hidrosttica Pg. 89

o Dilatacin Pg. 95

o Proyecto de Investigacin Pg. 103


4444

LA FSICA EN LA ANTIGEDAD

Recuerdo haber visto un libro de catecismo de la dcada de los noventa que realizaba una enseanza confusa y poco acertada: mediante un breve texto y una ilustracin sencilla explicaba cmo el hombre habitaba una superficie plana, delimitada por los bordes del fin del mundo suponemos que uno de ellos podra ser el ocano atlntico-, situada sobre el terrorfico y hoy da negado infierno y sobre la que se apoyaban las columnas que sostenan sobre nuestras cabezas la bveda estrellada del cielo. Una idea as deban tener nuestros antepasados de hace unos tres mil aos.

La primera actividad del hombre englobable dentro de la fsica fue mirar al cielo. Las grandes civilizaciones de la antigedad (chinos, babilonios, egipcios) estudiaron los astros llegando incluso a predecir eclipses pero sin xito a la hora de explicar los movimientos planetarios. En ste punto de inflexin del conocimiento humano, antes de hacerse y responder- ciertas preguntas sobre la naturaleza, el cielo era un misterioso techo plano en el que unas luces lejanas brillaban por alguna causa ms mstica que astronmica. Unos cuatrocientos aos antes del nacimiento de Cristo los griegos ya empezaban a desarrollar teoras, an inexactas pero no del todo equivocadas, sobre la composicin del universo. Leucipo conceba el atomismo

ms tarde desarrollado por Demcrito, que afirmaba que todo estaba formado por microscpicas partculas llamadas tomos, y que contradeca a la Teora de los elementos, del siglo anterior.

Durante el periodo helenstico, Alejandra se convirti en el ncleo cientfico de occidente. Desde Sicilia, Arqumedes, entre otros inventos como el tornillo infinito o la polea, descubra las leyes de la palanca y de la hidrosttica, principio el de sta ltima que llevara su nombre y que enunciaba que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desalojado, razn por la cual se puede explicar que flote un barco o vuele un globo aerosttico. En la astronoma tambin se realizaron grandes descubrimientos: Aristarco de Samo desarroll un mtodo para medir las distancias relativas entre la tierra y el sol y la tierra y la luna, intil finalmente por falta de medios aunque bien encaminado, y tambin, segn se cree a travs de los escritos de Arqumedes, fue el primero en afirmar que la tierra gira alrededor del sol; Erasttenes midi la circunferencia de la tierra y elabor un catlogo de estrellas; Hiparlo de Nicea descubri la sucesin de equinoccios; y Tolomeo, ya en el s. II d.C., elabor su sistema para explicar el movimiento de los planetas, en el que la


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Tierra permaneca en el centro de las rbitas circulares del resto de astros.

QU ES LA FSICA?

Es una ciencia encargada de estudiar los fenmenos fsicos que ocurren en la naturaleza, cuantificndola mediante leyes fsicas determinadas, donde el hombre es precisamente la fuente inagotable de las diversas propiedades que pose la materia.

Los principales campos de la fsica son:

Acstica. Estudia las propiedades del sonido.

Fsica atmica. Estudia la estructura y las propiedades del tomo.

Criogenia. Estudia el comportamiento de la materia a temperaturas extremadamente bajas.

Electromagnetismo. Estudia los campos elctrico y magntico, y las cargas elctricas que los generan.

Fsica de partculas. Se dedica a la investigacin de las partculas elementales.

Dinmica de fluidos. Examina el comportamiento de los lquidos y gases en movimiento.

Geofsica. Aplicacin de la fsica al estudio de la Tierra. Incluye los campos de la hidrologa, la meteorologa, la oceanografa, la sismologa y la vulcanologa.

Fsica matemtica. Estudia las matemticas en relacin con los fenmenos naturales.

Mecnica. Estudia el movimiento de los objetos materiales sometidos a la accin de fuerzas.

Fsica molecular. Estudia las propiedades y estructura de las molculas.

Fsica nuclear. Analiza las propiedades y estructura del ncleo atmico, las reacciones nucleares y su aplicacin.

ptica. Estudia la propagacin y el comportamiento de la luz.

Fsica del plasma. Estudia el comportamiento de los gases altamente ionizados (con carga elctrica).

Fsica cuntica. Estudia el comportamiento de sistemas extremadamente pequeos y la cuantizacin de la energa.

Fsica de la materia condensada. Estudia las propiedades fsicas de los slidos y los lquidos.

Mecnica estadstica. Aplica principios estadsticos para predecir y describir el comportamiento de sistemas compuestos de mltiples partculas.

Termodinmica. Estudia el calor y la conversin de la energa de una forma a otra.

La grandeza est reservada para aquellos que adquieren un ferviente deseo de alcanzar altos objetivos.


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HISTORIA DE LA FSICA

FSICA CLSICA Hacia 1880 la fsica presentaba

un panorama de calma: la mayora de los fenmenos podan explicarse mediante la mecnica de Newton, la teora electromagntica de Maxwell, la termodinmica y la mecnica estadstica de Boltzmann. Pareca que slo quedaban por resolver unos pocos problemas, como la determinacin de las propiedades del ter y la explicacin de los espectros de emisin y absorcin de slidos y gases.

Sin embargo, estos fenmenos contenan las semillas de una revolucin cuyo estallido se vio acelerado por una serie de asombrosos descubrimientos realizados en la ltima dcada del siglo XIX: en 1895, Wilhelm Conrad Roentgen descubri los rayos X; ese mismo ao, Joseph John Thomson descubri el electrn; en 1896, Antoine Henri Becquerel descubri la radiactividad; entre 1887 y 1899, Heinrich Hertz, Wilhelm Hallwachs y Philipp Lenard descubrieron diversos fenmenos relacionados con el efecto fotoelctrico.

Los datos experimentales de la fsica, unidos a los inquietantes resultados del experimento de MichelsonMorley y al descubrimiento de los rayos catdicos, formados por chorros de electrones, desafiaban a todas las teoras disponibles. FISICA MODERNA

Dos importantes avances producidos durante el primer tercio del siglo XX la teora cuntica y la teora de la relatividad explicaron estos hallazgos, llevaron a nuevos

descubrimientos y cambiaron el modo de comprender la fsica. FISICA NUCLEAR

En 1931 el fsico estadounidense Harold Clayton Urey descubri el istopo del hidrgeno denominado deuterio y lo emple para obtener agua pesada. El ncleo de deuterio o deutern (formado por un protn y un neutrn) constituye un excelente proyectil para inducir reacciones nucleares. Los fsicos franceses Irne y Frdric JoliotCurie produjeron el primer ncleo radiactivo artificial en 19331934, con lo que comenz la produccin de radioistopos para su empleo en arqueologa, biologa, medicina, qumica y otras ciencias.

Fermi y numerosos colaboradores emprendieron una serie de experimentos para producir elementos ms pesados que el uranio bombardeando ste con neutrones. Tuvieron xito, y en la actualidad se han creado artificialmente al menos una docena de estos elementos transurnicos. A medida que continuaba su trabajo se produjo un descubrimiento an ms importante.

Irne JoliotCurie, los fsicos alemanes Otto Hahn y Fritz Strassmann, la fsica austriaca Lise Meitner y el fsico britnico Otto Robert Frisch comprobaron que algunos ncleos de uranio se dividan en dos partes, fenmeno denominado fisin nuclear. La fisin liberaba una cantidad enorme de energa debida a la prdida de masa, adems de algunos neutrones. Estos resultados sugeran la posibilidad de una reaccin en cadena automantenida, algo que lograron Fermi y su grupo en 1942,


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cuando hicieron funcionar el primer reactor nuclear. Los avances tecnolgicos fueron rpidos; la primera bomba atmica se fabric en 1945 como resultado de un ingente programa de investigacin dirigido por el fsico estadounidense J. Robert Oppenheimer, y el primer reactor nuclear destinado a la produccin de electricidad entr en funcionamiento en Gran Bretaa en 1956, con una potencia de 78 megavatios.

La investigacin de la fuente de energa de las estrellas llev a nuevos avances. El fsico estadounidense de origen alemn Hans Bethe demostr que las estrellas obtienen su energa de una serie de reacciones nucleares que tienen lugar a temperaturas de millones de grados. En estas reacciones, cuatro ncleos de hidrgeno se convierten en un ncleo de helio, a la vez que liberan dos positrones y cantidades inmensas de energa. Este proceso de fusin nuclear se adopt con algunas modificaciones en gran medida a partir de ideas desarrolladas por el fsico estadounidense de origen hngaro Edward Teller como base de la bomba de fusin, o bomba de hidrgeno. Esta arma, que se deton por primera vez en 1952, era mucho ms potente que la bomba de fisin o atmica. En la bomba de hidrgeno, una pequea bomba de fisin aporta las altas temperaturas necesarias para desencadenar la fusin, tambin llamada reaccin termonuclear.

Gran parte de las investigaciones actuales se dedican a la produccin de un dispositivo de fusin controlada, no explosiva, que sera menos radiactivo que un reactor de fisin y

proporcionara una fuente casi ilimitada de energa. En diciembre de 1993 se logr un avance significativo en esa direccin cuando los investigadores de la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, usaron el Reactor Experimental de Fusin Tokamak para producir una reaccin de fusin controlada que proporcion durante un breve tiempo una potencia de 5,6 megavatios. Sin embargo el reactor consumi ms energa de la que produjo. FSICA DEL ESTADO SLIDO

En los slidos, los tomos estn densamente empaquetados, lo que lleva a la existencia de fuerzas de interaccin muy intensas y numerosos efectos relacionados con este tipo de fuerzas que no se observan en los gases, donde las molculas actan en gran medida de forma independiente. Los efectos de interaccin son responsables de las propiedades mecnicas, trmicas, elctricas, magnticas y pticas de los slidos, un campo que resulta difcil de tratar desde el punto de vista terico, aunque se han realizado muchos progresos.

Una caracterstica importante de la mayora de los slidos es su estructura cristalina, en la que los tomos estn distribuidos en posiciones regulares que se repiten de forma geomtrica. La distribucin especfica de los tomos puede deberse a una variada gama de fuerzas. Por ejemplo, algunos slidos como el cloruro de sodio o sal comn se mantienen unidos por enlaces inicos debidos a la atraccin elctrica entre los iones que componen el material.


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En otros, como el diamante, los tomos comparten electrones, lo que da lugar a los llamados enlaces covalentes.

Las sustancias inertes, como el nen, no presentan ninguno de esos enlaces. Su existencia es el resultado de las llamadas fuerzas de van der Waals, as llamadas en honor al fsico holands Johannes Diderik van der Waals. Estas fuerzas aparecen entre molculas o tomos neutros como resultado de la polarizacin elctrica. Los metales, por su parte, se mantienen unidos por lo que se conoce como gas electrnico, formado por electrones libres de la capa atmica externa compartidos por todos los tomos del metal y que definen la mayora de sus propiedades.

Los niveles de energa definidos y discretos permitidos a los electrones de tomos individuales se ensanchan hasta convertirse en bandas de energa cuando los tomos se agrupan densamente en un slido. La anchura y separacin de esas bandas definen muchas de las propiedades del material. Por ejemplo, las llamadas bandas prohibidas, en las que no pueden existir electrones, restringen el movimiento de stos y hacen que el material sea un buen aislante trmico y elctrico. Cuando las bandas de energa se solapan, como ocurre en los metales, los electrones pueden moverse con facilidad, lo que hace que el material sea un buen conductor de la electricidad y el calor. Si la banda prohibida es estrecha, algunos de los electrones ms rpidos pueden saltar a la banda de energa superior: es lo que ocurre en un semiconductor como el silicio. En ese caso, el espacio entre

las bandas de energa puede verse muy afectado por cantidades minsculas de impurezas, como arsnico. Cuando la impureza provoca el descenso de una banda de energa alta, se dice que es un donante de electrones, y el semiconductor resultante se llama de tipo n. Cuando la impureza provoca el ascenso de una banda de energa baja, como ocurre con el galio, se dice que es un aceptor de electrones. Los vacos o 'huecos' de la estructura electrnica actan como si fueran cargas positivas mviles, y se dice que el semiconductor es de tipo p. Numerosos dispositivos electrnicos modernos, en particular el transistor, desarrollado por los fsicos estadounidenses John Bardeen, Walter Houser Brattain y William Bradford Shockley, estn basados en estas propiedades de los semiconductores.

Las propiedades magnticas de los slidos se deben a que los electrones actan como minsculos dipolos magnticos. Casi todas las propiedades de los slidos dependen de la temperatura.

La resistencia elctrica suele decrecer al disminuir la temperatura, y en algunos materiales denominados superconductores desaparece por completo en las proximidades del cero absoluto. ste y muchos otros fenmenos observados en los slidos dependen de la cuantizacin de la energa, y la mejor forma de describirlos es a travs de 'partculas' efectivas con nombres como fonn, polarn o magnn.


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1.-DEFINICON Es la parte de la fsica que estudia la relacin entre las diversas magnitudes y las operaciones matemticas que se producen entre ellas. 2.-MAGNITUD FSICA Se denomina as a todo aquello que podamos MEDIR, cuantificar y por lo tanto podemos expresar mediante un nmero y una unidad respectiva. Ejem: 2 metros, 4 kilogramos, 3 newton.

Clasificacin de las Magnitudes Segn su origen: (*) Magnitudes Fundamentales (*) Magnitudes Derivadas Segn su naturaleza: (* ) Magnitudes Escalares (*) Magnitudes Vectoriales a) MAGNITUDES FUNDAMENTALES Llamados tambin magnitudes base y reconocidas por el Sistema Internacional de Unidades (S.I) sirven para formar todas las magnitudes existentes, se reconocen siete magnitudes fundamentales a saber:

MAGNITUD UNIDAD DIMENSION Longitud Metro (m) L

Masa Kilogramo (kg) M

Tiempo Segundo (s) T

Temperatura Termodinmica

Kelvin (K)

Intensidad de Corriente Elctrica

Ampere (A) I

Intensidad Luminosa Candela (Cd) J

Cantidad de Sustancia Mol (Mol) N


10101010

b) MAGNITUDES DERIVADAS

Son aquellas que se forman al asociar dos o ms magnitudes fundamentales mediante una multiplicacin divisin.

Ejem:

RAPIDEZ = -1LONGITUD (L) L= =LTTIEMPO (T) T

Formula dimensional

Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad, mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. As, si x es una magnitud derivada:

|x| = La. Mb.Tc. Od. Ie. Jr. Ng

MAGNITUD DERIVADA

FRMULA FORMULA

DIMENSIONAL

REA (A) A = (longitud)2 [A] =L2

VOLUMEN (Vol) Vol = (longitud)3 [Vol] =L3

VELOCIDAD (

V )

=

longitudVtiempo

[

V ] =LT-1

ACELERACIN(

a )

=

velocidadatiempo

[

a ] =LT-2

FUERZA (

F )

= F masa aceleracin [

F ] =MLT-2

TRABAJO (W) W=fuerza distancia [W] =ML2T-2

ENERGA (E) E = W [E] =ML2T-2

POTENCIA (Pot) Pot=trabajotiempo

[Pot] =ML2T-3

CAUDAL (Q) volumenQ=tiempo

[Q] =L3T-1

DENSIDAD (D) masaD=

volumen [D] =ML-3

GRAVEDAD (

g )

=g aceleracin [

g ] =LT-2

PESO (

P ) Peso = (masa). g [

P ] =MLT-2


11111111

Peso Especfico () =

pesovolumen

[] =ML-2T-2

Presin (

P )

=

fuerzaPrea [

P ] =ML-1T-2

Torque (T) T= Fuerza . distancia [T] =ML2T-2

Calor (Q) Q=Energa [Q] =ML2T-2

Periodo (T) T = tiempo [T] =T

Frecuencia (f) f= 1

tiempo [f] =T-1

Velocidad angular (

)

= frecuencia angular [

] =T-1

Aceleracin Angular(

)

= tiempo

[

] =T-2

Impulso (

I ) (rI ) = fuerza . tiempo [

I ] =MLT-1

Carga Elctrica (q) q = I . tiempo [q] =I.T

Intensidad de Carga Elctrica (

E )

E =Fq [

E ] =MLT-3I-1

Potencial Elctrico (V) trabajoV=carga

[V] =ML2T-3I-1

Resistencia Elctrica (R) R =Potencial

I [R] =ML2T-3I-1

CARACTERSTICAS

Todo nmero, ngulo o funcin trigonomtrica que se encuentra como coeficiente, tiene como ecuacin dimensional igual a la unidad.

Ejemplo: Ec. Dimensional 1) 20kg [20kg] = 1 2) Sen30 [Sen30]=1 3) pi/5 [pi/5] = 1


12121212

Todo nmero o funcin trigonomtrica que se encuentra como componente conserva su valor.

Ejemplo: Ec. Dimensional

1) 20Senx [20]senx = [1]senx = 1 2) P3 [P]3 = (ML-1T-2)3 = M3L-3T-6

Donde: P es presin.

Las ecuaciones dimensionales cumplen con todas las reglas del lgebra excepto la suma y la resta.

Ejemplo:

A B [A B] [A] [B] A + B [A + B] [A] + [B]

Donde A y B son magnitudes conocidas.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

En toda ecuacin dimensional para que se encuentre correctamente escrita, todos sus miembros deben tener las mismas dimensiones. Ejemplo: GENERAL

Si: A + B = C D [A] = [B] = [C] = [D]

Aplicacin:

d=V.t+2at

2 Ec. Dimensional Homognea

[d] = [v.t] =

2at1

L = LT -1 . T = LT 2 T2 L = L = L

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1.1.1.---- Determina la formula dimensional

de x. X= A. B

A: Masa B: rea

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin:

Si: x = A . B [ x] = [A . B] [ x] = [M . L2]

[x] = ML2

2.2.2.2.---- Determina la formula dimensional de Y.

Y = C. D

C : fuerza D : longitud


Y = C . D C = fuerza [C] = [F] [C] = M. LT -2 [D] = [L] Luego: [ Y ] = [C . D] [ Y ] = MLT - 2 . L

[Y] = ML2T - 2

3.3.3.3.---- Determina la formula dimensional

de x. x = A2. B

A: velocidad B: densidad


[x] = [A2 . B]... (1) [A] = LT -1 [A]2 = L2T -2

[B] = 3ML

= ML-3


13131313

Reemplazando en (1) [x] = L2T -2. ML-3

[x] = ML-1T-2 4.4.4.4.---- Determina la frmula dimensional

de x.

X = A . BC

A: rea B: impulso C: caudal


[x] =

A . BC

* [A] = L2 * [B] = [ F . t] = MLT-1

* [C]=caudal (Q)=

VolumenTiempo

= L3T -1

Reemplazando en (1)

[x] = 2 -1

3 -1L .MLTL T

[x] = 3

3L ML = M

5.5.5.5.---- Calcula la frmula dimensional de

W.

W = U . VR

U: volumen V: velocidad R: energa


[W] = U.V [U].[V]=R [R]

...... (1)

[U]=L3

[V]=LT -1

[R]=[Energa] [Trabajo] = ML2T-2

Reemplazando en (1)

[W] = 3 -1

2 -2L .LT =ML T

M-1L2T

6.6.6.6.---- Calcula la formula dimensional de x.

A . B . Dx=

P

A: altura B: fuerza P: presin D: densidad


[ x ] =

A.B.D [A].[B].[D]=P [P]

.... (1)

[A] = L

[B] MLT -2

[D] = ML-3 [P] = ML-1T 2

[x] = -2 -3 -1

-1 -2 -1L .MLT .ML ML=

ML T L

[x] = M

7.7.7.7.---- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de B.

235B +7Log4 x E 2A-7m-14x =

80.P 51L Donde: P = presin, l = Longitud M = Masa

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Por teora la Ec. dimensional de un nmero constante es igual a la unidad. Luego E; x; A son constantes tomando las expresiones dimensionales.

[ ] [ ]

2 25B B7M M= =

[P] [51L] [P] [L]

Reemplazando su valor dimensional.

Reemplaz. en (1)


14141414

P = Presin: ML1 T -2 M = Masa: M L = Long.: L

B2 =-1 -2P.M ML T .M= =

L L M2L -2T -2

Luego:

[B] = (M2L 2 T -2)1/2

[B] = ML-1T-1 8.8.8.8.---- Si la ecuacin esta correctamente

escrita halla las dimensiones de A.

F = 2(Sen30-A)

P.

Donde F = fuerza; P= presin


[F] = [ ][ ][ ]

[ ]pi pi

=

2 230 AP. P.

Sen

[F] = [ ][ ]2A .....(1)

P;

Sabemos que [pi] =1

[F] = MLT -2

[P] = ML -1T -2

Luego:

MLT -2 = 2

-1 -2[A]

ML T

M2LT -4 = [A]2

[A] = (M2T -4)1/2

[A] = MT -2

9.9.9.9.---- Si la ecuacin es homognea halla las dimensiones de x.

x = A.Q.tv

Donde: A = rea Q = caudal t = temperatura V = velocidad


[x] = [A].[Q].[t][v]

....(1)

[A] = L2

[Q] = L3T-1

[t] =

[V] = LT-1

[x] = 2 3 -1 2 3

-1L .L .T . L .L .=

LT L

[x] = L4 10.10.10.10.---- Si la Ec. esta correctamente

escrita halla las dimensiones de y. Vf2 = Vo2 + 2a .y

Donde: Vf = velocidad final a = aceleracin Vo = velocidad inicial

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: [Vf]2 = [V0]2 = [2ay] [2] = 1

(I)

[V] = LT-1

[a] = LT-2

(LT -1)2 = LT -2.[y]

L2T -2 = LT -2[y]

[y] = L

Reemplazando en (1)

en (I)


15151515

11.11.11.11.---- Si la ecuacin homognea est correctamente escrita halla las dimensiones de k.

k = Sen30(180+n.t)

A

Donde: n = # de moles t = temperatura A = amper.


[k] = [ ]Sen30Sen30 n.t[180] =

A A

[k] = 1/2([n].[ t])

[A]...... (I)

[n] = N

[t] =

[A] = I

[k] = 1/2(N.)

I

[k] = N1/2 1/2. I-1 12.12.12.12.---- Halla [x] si :

x = nV - A120 - Sen

Donde: V = velocidad

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: La Ec. es homognea.

Luego: n; A; Senpi y 120 son

constantes.

Nos quedar:

[x] = [v]

[x] = LT-1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.1.1.1.---- Calcula [K]

k = 2a .b

(c - 25)

a) L4 b) L4 c) L2 d) L e) L5

2.2.2.2.---- Hallar [K]

K =2nP2n P adimensional a) L b) L2 c) L3 d) 1 e) L-1

3.3.3.3.---- Halla [A]/[B] si la siguiente

ecuacin es dimensionalmente correcta :

A = v2 + BC

C fuerza a) MLT-2 b) MLT c) T-2 d) T-2L-2 e) Faltan datos

4.4.4.4.---- Calcula la ecuacin dimensional del

peso de un cuerpo. (m masa) a) M b) MLT c) MLT-2 d) L2 e) LT-2

5.5.5.5.---- Cuando un cuerpo es lanzado sobre una superficie horizontal rugosa experimenta una fuerza opuesta a su movimiento llamada rozamiento.

en (I)

a altura b rea


16161616

Calcula la ecuacin dimensional de rozamiento. a) F b) MLT-2 c) LT-2 d) M2 e) M

6.6.6.6.---- Halla : [A] si :

B = AC; C = 295v

2

v volumen B rea

a) L-4 b) L2 c) L6 d) L e) L-2

7.7.7.7.---- Si la siguiente expresin es

adimensional, halla [K]

2ABKC

A fuerza C masa B tiempo a) ML -1T b) MLT -2 c) LT-2 d) MLT e) LT-1

8.8.8.8.---- Halla : [k] k = xy z

x 4 Newtons y 15 litros a) ML4T-2 b) MLT-2 c) L4 d) MLT e) L3

9.9.9.9.---- De problema anterior hallar [z] :

a) ML4T-2 b) 1 c) L3 d) T-2 e) MLT-2

10.10.10.10.---- Hallar [a.b.c] si :

V= a h+b+t c

es dimensionalmente

correcta. v volumen t tiempo h altura a) LT b) L2T c) LT-1 d) T-1 e) T-2

11.11.11.11.---- Halla [k] si : a = k v ekt es dimensionalmente correcto.

a aceleracin e adimensional v velocidad

a) T-2 b) T-3 c) T-1 d) T e) T-4

12.12.12.12.---- Halla [x] si :

F = x k e2ka; F fuerza a rea e adimensional a) LT-2 b) MLT-2 c) LT-4 d) ML3T-2 e) LT-1

13.13.13.13.---- Calcula [y]

W = 2D(A - 2)y

D densidad W trabajo a) LT-2 b) LT c) L-5T2 d) LT-1 e) LT-3


17171717

14.14.14.14.---- Calcula : [z]

Z = PK + xp - y

y masa k aceleracin a) M b) MLT-2 c) LT-2 d) 1 e) LT

15.15.15.15.---- Halla [N] : N = Ke2(bc a2)

a dimetro e adimensional k presin a) LT-2 b) LT c) LT-1 d) L e) MLT-2

16.16.16.16.---- Del problema anterior si :

(c altura ) Halla [b] a) L b) L-1 c) L3 d) L2 e) L-2

17.17.17.17.---- En un movimiento circular un cuerpo

experimenta una fuerza resultante llamada fuerza centrpeta (fcp) que depende de la masa (m) de la velocidad (v) y del radio de giro (R). Halla las frmulas de la fcp.

a) MVR b) 2MV

R c) MR

d) MVR

e) MV2

18.18.18.18.---- Cuando un cuerpo adquiere

movimiento (velocidad) se dice que

posee energa cintica (Ek) que depende de la masa (M) y la velocidad (V). Halla la frmula de la EK.

( [ Ek ] = ML2T-2)

a) MV2

b) 2MV

2 c)

3MV2

d) M2 e)

2V2

CLAVES 1)a 2)d 3)a 4)c 5)b 6)a 7)a 8)a 9)a 10)a 11)c 12)b 13)c 14)b 15)e 16)a 17)b 18)b


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VECTOR Es un ente matemtico que grficamente se representa por un segmento de recta orientado.

La fsica utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales.

En general un vector se representa de la siguiente forma.

A = A

A = Mdulo del vector A = Direccin del vector A

MTODOS PARA CALCULAR LA

RESULTANTE

a) MTODO DEL PARALELOGRAMO

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Grficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza

uniendo el origen de los vectores con la intercepcin de las paralelas.

Mdulo de R:

Casos Particulares: a) Si =0(AB) R = A + B = Rmxima b) Si =180(AB) R = A B = Rmnima c) Si = 90 (A B) R = 2 2A +B

b) MTODO DEL TRINGULO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que estn uno a continuacin del otro. Grficamente se construye un tringulo, trazando el vector resultante desde el origen del primer vector hasta el extremo del segmento vector.

Donde = 180 - . Cos= -Cos Nota: En el tringulo vectorial tambin se cumple la ley de Senos.

Lnea de accin Direccin

Mdulo Ar

Mdulo de Origen Direccin

Ar

y

x

Vector resultante: R = A+B

r rr

Ar

Rr

Br

R2 = A2 + B2 + 2ABCos

Rr

Ar

Br

Vector resultante: Rr= B

r+Ar=Ar+Br

Mdulo de Rr

R2=A2+B22ABCos


19191919

c) MTODO DEL POLGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Es un mtodo grafico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuacin del otro manteniendo sus caractersticas. El vector resultante (R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del ltimo vector.

Ejem. Sean A,B y Crrr vectores

Construimos el polgono vectorial COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre s.

d) MTODO DE LAS COMPONENTES

RECTANGULARES Permite calcular el mdulo y la direccin de la resultante de un conjunto de vectores .Pasos a seguir. 1 Se halla las componentes rectangulares. 2 Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenadas (Rx, RY) 3 Se calcula el mdulo de la resultante aplicando Pitgoras y su direccin aplicando la funcin tangente.

VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector.

AAu =A

r

rr

xA=Aur r

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES: i=(1,0)r

, -i=(-1,0)r

, j = (0,1)r

y -j=(0,-1)r

x, y x yA=(A A )=A i+A jrr r

Rr

Ar

Br

A B C

Sen Sen Sen = =

Ar

Br

Cr

0 Polo

Br

Cr

Ar

Rr

y

x

Ar

yAr

xAr

Componentes rectan-gulares del vector A

Se cumple que:

x

y

AA

Ax = ACos

Ay = ASen

R = 2 2Rx +Ry Tg = y

x

RR


20202020

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1.1.1.---- La resultante mxima de dos vectores es 18 y la suma mnima de los mismos es 6. Calcula el mdulo de la resultante cuando forman los vectores 90.


Sean los vectores A y B

Smax =A + B = 18 Smin = A - B = 6 2A = 24

A = 12 B = 6

Luego : R2=(12)2+(6)2 R = 144 36+

R = 6 5 2.2.2.2.---- Calcula la resultante del sistema de

vectores mostrados.


Eje x: xR

= 8 +5 + 2 4 7 = 4

xR

= 4

Eje y: yR

= 7+3 + 2 5 4 = 3

yR

= 3

Luego:

R2 = (4)2 + (3)2 = 16 + 9

R = 25 =5 3.3.3.3.---- Calcula R : si :

R 3A 2B C

=

A

B

C

A = 5; B = 4; C = 3

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Reemplazando los mdulos con sus respectivos signos.

R

= 3(5) 2(4) (3)

R

= 15 8 3 = 15 11

R

= 4( )

R = 4 4.4.4.4.---- Si la suma mxima de dos vectores

es 28 y el cociente de sus mdulos es 4/3. Calcula el mdulo del mayor.



Smax = A B

+ = 28.... (1) A 4k=B 3k

A = 4k Reemplazando en (1) B = 3k

4k + 3k = 28 k = 4

El mayor es 4k = 16

B

A R Por el teorema de Pitgoras: R2 = A2 +B2

7 5 3

2 4

8 5

7 4

2

Rx

Ry R Por el teorema de Pitgoras: R2 = Rx2 + Ry2


21212121

5.5.5.5.---- Calcula la resultante en el siguiente sistema.


Eje x : (+) ; (-)

xR

= 3 3 = 0 Eje y : (+) ; (-)

yR

= 4 + 3 + 2 5 = 4

R = 4u () 6.6.6.6.---- En la figura calcula el valor de la

resultante :

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Ordenando el sistema Por el mtodo del paralelogramo

R = 2 2a +a +2(a)(a)Cos60

R =

2 2 212a +2a . = 3a2

R = a 3

7.7.7.7.---- Halla la resultante en :

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Descomponiendo el vector de mdulo 20u.

xR

= 20Cos37 - 4 = 20 x 4/5 4 = 12 ()

yR

= 20Sen37 = 20 x 3/5 = 12 ()

Por el teorema de Pitgoras.

R = 2 2(12) (12)+

R = 12 8.8.8.8.---- Halla el ngulo si la resultante

se encuentra sobre el ejex.

3u 2u 5u 4u

3u

3u

a

a

120

a R

a 60

R

Rx

Ry

20u

37 4

4

20Sen 37

20Cos37

20

15 3 30

45 15 2


22222222


Descomponiendo el vector de mdulo 30 y 15 2 .

Por dato: yR

= 0

Luego :

15 2 Cos45 = 30Sen

15 2 x 12 = 30Sen

1530

= Sen Sen = 1/2

= 30 9.9.9.9.---- Se tienen dos vectores coplanares y

concurrentes cuyos mdulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ngulo que ellos deben formar entre s para que su vector suma tenga por mdulo 7 N.


R2 = A2 + B2 + 2ABCos

72 = 32 + 52 + 2(3)(5) Cos

49 = 34 + 30Cos

15 = 30Cos

Cos = 12

= 60

10.10.10.10.---- La resultante mnima de dos

vectores es cero y u resultante mxima igual a 30. Cul debe ser el mdulo de su resultante cuando los citados vectores formen un ngulo entre si de 106?



Rmin = 0 = A -B A = 15

Rmax = 30 = A +B B = 15

R2 = A2 + B2 + 2ABCos106

R2 = 152+152+2(15)(15)(-Sen16)

R2 = 2(15)2 2(15)2x 725

R2 = 2x(15)2 2. 15.15.75.5

R = 450 126 324 =

R = 18

15 2 sen45

30 Sen

15 3

15 2 cos45

30Cos

3 7

5


23232323


1.1.1.1.---- Calcular el par ordenado que representa al vector A

r de modo

que la resultante del conjunto de vectores sea nula a) (-24, -2) b) (-1, -24) c) (-24, -1) d) (-12; -1) e) (6;-1)

2.2.2.2.---- Dado el conjunto de vectores,

hallar: c3ba2R += sabiendo que: | ar |=3; | b

r

|=7 | Cr

|=+4. a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3

3.3.3.3.---- Calcular 1F , si la fuerza resultante

del conjunto de fuerzas es cero. Si

2F =(4;3); 3F =(-3;4); 4F =(-8;-6), donde:

1 2 3 4R = F + F + F + F = 0r r r r r

. a) (7; -1) b) (-1, -7) c) (-7; -1) d) (-7; 1) e) N.A.

4.4.4.4.---- Hallar el mdulo de M . si dicho

vector se define as:

1 2 3 4M = F - F + F - F adems:

1F =(24;18), 2F =(+14+25), 3F =(6,8), 4F =(+12;5)

a) 4 b) 4 3 c) 4 d) 4 2 e) 2 2

5.5.5.5.---- Dado los vectores A

r=(4;2) y

Br=(2,6) Determinar el vector AB

a) 2 b) 2 c) 2 5 d) 2 5 e) N.A.

6.6.6.6.---- Determinar el mdulo de la

diferencia de los vectores mostrados: a) 2u b) 3u c) 4u d) 3.5u e) 6u

7.7.7.7.---- Calcular la resultante del conjunto

de vectores Si AB =4m y BC=10m; adems: ABCD es un rectngulo a) 5m b) 10m c) 15m d) 8m e) 20m

8.8.8.8.---- En el sistema de vectores, el vector

resultante tiene un mdulo de 15 y posee una direccin de 53 calcular A

ar cr

br

Ar

y

x

10

37

Cr

(+16, -5)

4u

5u

37

B

A

C

D

ar

br

y

x

Ar

(2;-5)

45

8 2 Br

Cr


24242424

a) (-15;-9) b) (9;12) c) (15;9) d) (3; 4) e) (5;3)

9.9.9.9.---- Dos fuerzas coplanares dan una resultante mxima de 22u y una resultante mnima de 8u. Calcular el mdulo del vector suma s forman un ngulo de 53 a) 10u b) 15u c) 20u d) 25u e) 30u

10.10.10.10.---- En el siguiente sistema de vectores

calcular 1Rr Si: 2R

r=20u.

a) 8 2 b) 8 c) 16 d) 16 2 e) F.D.

11.11.11.11.---- Sea A =(2;3); B =(4;-3) y C =(-6,+6)

Hallar: A+2B+C .

a) 5 b) 3 c) 7 d) 7 e) 9

12.12.12.12.---- Calcular el mdulo de la resultante,

si AB =3m y BC =7m; ABCD es un rectngulo

Adems: AM 5=MD 2

a) 1u b) 3u c) 5u d) 4u e) 2u

13.13.13.13.---- Calcular el mdulo de la resultante; se sabe que dicha resultante se encuentra a lo largo del eje X.

a) 8 3 -10 b) 8 3 +16 c) 16 3 -8 d) 16 3 -16 e) N.A.

14.14.14.14.---- Se tiene dos vectores coplanares de

mdulos 4u y 2u. Que ngulo deben formar entre si para que el mdulo de su vector suma sea 28 u. a) 45 b) 30 c) 53 d) 60 e) 37

15.15.15.15.---- Se tiene dos vectores de mdulo 5u

y 8u calcule la resultante cuando ambos vectores formen un ngulo de 120. a) 3u b) 5u c) 7u d) 9u e) 8u

16.16.16.16.---- La mnima resultante de dos

vectores es 3u. Cuando forman 60 entre s su resultante es 93 . Calcular el valor de los vectores a) 12 y 9 b) 8 y 5 c) 7 y 4 d) 6 y 3 e) N.A.

17.17.17.17.---- Hallar el valor del vector resultante

de los tres vectores mostrados

53 45

R2 R1

B

A M D

C

ar br

y

x

10

53

F 3

45

30

F 2


25252525

a) 8u b) 4u c) 4 2 u d) 8 2 u e) 6u

18.18.18.18.---- Si: 6CBA === .

Calcular: 15A-15B-15C

a) 100 b) 90 c) 180 d) 90 3 e) 12

19.19.19.19.---- Si de uno de los vrtices de un

cuadrado de lado a se trazan vectores a los otros vrtices. Hallar el mdulo de la resultante a) a 2 b) 2 c) a 3 d) 2a 3 e) 2a 2

20.20.20.20.---- Si ABCD es un paralelogramo y M

es punto medio de AB. Hallar x en funcin de los vectores a y b .

a) a - b3

b) a + 2b5

c) - a - 2b6

d) a - 3b7

e) 2a - b4

21.21.21.21.---- 21).- En la figura P+Q =(- 3 ;3), s

P =m y Q =n. Calcular: m+n

a) 3 b) - 3 +3 c) 3 +3 d) 3 3 e) - 3 +5

22.22.22.22.---- Dos vectores se encuentran

aplicados a un mismo punto. Si uno de ellos mide 15 u y el otro 7u Calcular el mdulo del vector suma, si el ngulo formado por ellos mide 53. a) 20 b) 15 c) 10 d) 25 e)N.A.

23.23.23.23.---- Se tienen dos vectores coplanares y

concurrentes cuyos mdulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ngulo que ellos deben formar entre s para que su vector suma tenga por mdulo 7 N. a) 60 b) 30 c) 45 d) 53 e) 74

24.24.24.24.---- La resultante de dos vectores es 20

u y forma con el vector de menor mdulo un ngulo de 37. Los vectores forman entre s 53. Calcular la medida de cada vector. a) 15 y 7 b) 16 y 12 c) 16 y 9 d) 12 y 7 e) 12 y 9

25.25.25.25.---- Determinar el ngulo que deben

formar dos vectores A y B, para que el mdulo de su resultante suma sea igual al de su resultante diferencia.

8u

120

8u

8u 30

A D

C B

M

b

a

x

Pr

(x) 60

(y)

30

Qr


26262626

a) 45 b) 60 c) 90 d) 75 e) 53

26.26.26.26.---- Hallar |R

r|, si R=A+B

r rr

|Ar| = 2 3u y |B

r| = 4u

a) 1u b) 2u c) 3u d) 4u e) 5u

27.27.27.27.---- En el siguiente sistema de fuerzas

calcular F1, si F2=80 3N y F3=F

a) 240N b) 120N c) 180N d) 360N e) F.D

28.28.28.28.---- El mdulo de la diferencia de dos

vectores A y B es igual al mdulo del menor de ellos. Hallar el ngulo que hacen los dos vectores, si:

A + B = 5

A - B

a) 30 b) 45 c) 60 d) 53 e) 74

29.29.29.29.---- La mnima resultante de dos vectores es 4 3 y cuando forman 60 entre si su resultante es: 93 cul ser el mdulo de la resultante cuando los vectores formen 90 entre si? a) 78 b) 80 c) 69 d) 8 e) 10

30.30.30.30.---- La resultante de dos vectores es

2 7 2 3u+ . Calcular el ngulo que forman entre s, siendo sus mdulos igual a: u3 y 5u. a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 82

CLAVES 1)c 2)a 3)a 4)d 5)d 6)b 7)e 8)c 9)c 10)d 11)a 12)c 13)b 14)d 15)c 16)c 17)d 18)b 19)e 20)a 21)c 22)a 23)a 24)a 25)c 26)b 27)a 28)b 29)a 30)b

B

r

Ar 30

F1 F3 30 210 F2


27272727

1. Definicin: Estudia el movimiento

mecnico sin considerar la causa de su movimiento.

2. El movimiento: Es la cualidad

principal de la materia, porque la materia est en constante cambio. Existen diversas formas de movimiento de la materia, desde los ms simples hasta los ms complejos, tales como: movimiento mecnico, movimiento trmico, movimiento electrnico. etc.

3. Movimiento Mecnico: Es el cambio de posicin que experimenta un cuerpo con respecto de otro cuerpo denominado cuerpo de referencia.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

r

AX = Vector posicin inicial r

BX = Vector posicin final Del grfico:

r

AX +r

d =r

BX r

d =r

BX - r

AX

r

d = rX

Donde: xrV =Cambio de posicin del

mvil. 1.-Mvil.- Es el cuerpo que describe el

movimiento mecnico. 2.-Trayectoria.- Es el lugar geomtrico

que describe el mvil al desplazarse respecto al sistema de referencia.

3.-Desplazamiento ( d

r

).- Es el vector que nos indica el cambio de posicin efectivo que experimenta el mvil.

4.-Distancia (d).- Es el mdulo del

vector desplazamiento. 5.-Recorrido.- Es la medida de la

longitud de la trayectoria entre dos puntos.

MOVIMIENTO RECTILNEO

UNIFORME (M.R.U) 1. Definicin: Es aquel movimiento en el

cual el mvil describe una trayectoria rectilnea y experimenta iguales recorridos en iguales intervalos de tiempo.

En todo M.R.U. la rapidez se mantiene constante en mdulo y direccin.

A

B

r

AX

r

BX

y

x

t = 0 Inicio

final : t = t observador

Reloj


28282828

2. Interpretacin Fsica:

* Tramo AB: ABAB

d 2m= =2m/st 1s

* Tramo AC: ACAC

d 4m= =2m/st 2s

* Tramo AD: ADAD

d 8m= =2m/st 4s

3. Rapidez (r

V ). Medida vectorial del movimiento mecnico. Mide la rapidez del cambio de posicin que experimenta un mvil.

* Ec. Vectorial * Ec. Escalar

r

r

mdV =t dV=

t

Donde: Unidades (S.I) v : Mdulo de la velocidad (m/s) d : Distancia (m) t : Intervalo de tiemp (s)

OBSERVACIN:

* Si la direccin del movimiento es la misma se cumple: d = Recorrido

totalm

total

dV =t

Donde: Vm : rapidez media rapidez sobre su

trayectoria.

4. Unidades

d m km cm t s h s V m/s km/h cm/s

5. Equivalencias

1 km = 1000m 1h = 60 min 1 m = 100cm 1min = 60 segundos 1 km = 105 cm 1h = 3600 segundos

6. Conversin de Rapidez

a) De: s

ma

hkm

18 km 5xh 18

= 5 m/s

36 km 5xh 18

= 10 m/s

* Convierte 90km/h a m/s.

b) De: m kmas h

20 m 18xs 5

= 72 km/s

30 m 18xh 5

= 108 km/s

* Convierte 50m/s a km/h

t=1s t=1s t=2s

D 2m 2m 4m B C A

V = 90 x

5 m/s18

V = 90x5 = 25m/s18

V = 50 x

18 Km/h5

V = 50x18 = 180Km/h5


29292929

RESUMEN

d = V . t

V = dt

t = dv

Adems :

Vmp=dtotalT.Total

; rapidez media promedio.

Vm = d

T.Total ; Vm = rapidez media.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1.1.1.---- Dos mviles van al encuentro desde

dos puntos distantes igual a 800m con rapideces constantes de mdulos: 30m/s y 40m/s. Halla el tiempo que demoran para estar separados 100 m por primera vez.


De la figura: e1 + e2 = 700

30t + 40t = 700

t = 10s

2.2.2.2.---- Un mvil debe recorrer 400km en

12 horas con M.R.U a la mitad del camino sufre un desperfecto que lo detiene 1 hora. Con que rapidez debe continuar su marcha, para llegar 1 hora antes de lo establecido?


Tramo AB

V = et V = 200

4h

kmV = 50h

3.3.3.3.---- Un bote navega en aguas tranquilas

durante 4s. Con rapidez constante de 5m/s en direccin norte. Seguidamente se dirigen en direccin este con una rapidez constante de 3m/s durante 5s. Determina el recorrido y la distancia durante el tiempo que fue observado el bote.


a) Calculo del recorrido (e) e = eAB + eBC

e = 5 x 4 + 3 x 5

e = 35m

b) Calculo de la distancia (d)

d = eAC d = +2 220 15

d = 25m

V t

d

30m/s 40m/s

1 2

800m 100m

t t

V1 1h

200km

4h 6h

A B A

v

12h

400km

C B

A

d

5s

4s

5 m/s

3 m/s


30303030

4.4.4.4.---- Una persona ubicada entre 2 montaas emite un sonido al cabo de 2s escucha el primer eco y luego de 1s, escucha el segundo eco. Determina la separacin entre las montaas.(Vsonido=340m/s en el aire)


De la figura :

i) t1 + t1 = 2s t1 = 1s

ii) t2 + t2 = 3s t2 =1,5s

d = e1 + e2

d = Vs. t1 + Vs. t2 = 340 (t1 + t2)

d = 340 (1 + 1,5)

d = 850m

5.5.5.5.---- Dos mviles parten separados inicialmente 900m con rapidez constante de 12m/s y 8m/s en direcciones contrarias uno al encuentro del otro simultneamente. Calcula el tiempo que transcurre hasta estar separados 300m por segunda vez.


De la figura :

d1 + d2 = 1200

12 . t + 8 . t = 1200

20t = 1200

t = 60s

6.6.6.6.---- Dos autos separados por una distancia de 500m parten con rapideces constantes de 30m/s y 40m/s en direcciones perpendiculares y dirigindose a un mismo punto. Luego de cuanto tiempo se cruzarn.


De la figura:

t1 = t2

d1 = 30t

d2 = 40t

Luego: por el teorema de

Pitgoras

(40t)2 + (30t)2 = (500)2

Resolviendo

t = 10s.

7.7.7.7.---- Un mvil recorre tramos iguales con rapideces constantes tal como se muestra en la figura. Determina la rapidez media del mvil durante todo su recorrido

t1

t1

t2

t2

e1 e2 d

V1=12m/s

V2=8m/s

1 2

900m 300

t t

2 1

1

2 O

30m/s

40m/s

d=500m

t

t


31313131


Sabemos que:

Vm = dt

Vm =AB BC CD

3dt +t +t

=n 2n 3n

3dd d d+ +V V V

Vm =3n

2n n3V

V +V +1

Vm =3n

n 2n3V

1+V +V

8.8.8.8.---- Dos puntos A y B distan entre si 100Km, de A sale un mvil que tardar dos horas en llegar a B, de B sale otro mvil hacia A, a donde llegar en 2,5 horas. Halla a qu distancia de A se cruzan.

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Segn el enunciado:

VA =50km/h ; VB=40km/h

d = ??

te = 100 10= h50 + 40 9

d = 50 x 10 500= km9 9

d = 55.6 km

9.9.9.9.---- Dos mviles M y N parten simultneamente desde una ciudad A hacia una ciudad B, en ese mismo instante sale otro mvil P desde la ciudad B. Se sabe que la distancia AB es 91Km y las rapideces constantes de los mviles son 6Km/h, 5Km/h y 9Km/h respectivamente. Calcula el tiempo en que N equidista de M y P.


De la figura :

i) dN + x = dM 5t + x = 6 t t=x ii) dN x + dP = 91 5t x + 9t = 91

13t = 91 t=7h

10.10.10.10.---- Si un tren pasa por un puente de 580m completamente en 35s con rapidez constante. y frente a una persona en 6s. Calcula la longitud del tren.

V n V 2n V 3n

A B C D

V n V 2n V 3n

A B C D

d d d

50km/h 40km/h t t

A B d

6km/h 9km/h t t

A

M P

5km/h t t

A B

N

91km x x


32323232

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: i)

Para el punto A : d = v.t 580 + L = v.35 (1) ii)

Para el punto B d = V.t L = V x 6 . (2) Reempl. (2) en (1) :

580 + 6V = 35V 580 = 29 V V = 20m/s.

L = 120m

11.11.11.11.---- Dos amigos parten desde un mismo punto y en la misma direccin con rapideces iguales a 5m/s y 36m/h. Luego de 2 minutos que distancia los separar.

Solucin:Solucin:Solucin:Solucin: Haciendo dos pistas paralelas para observar mejor lo que ocurrir.

De la figura: d2 d1 = d...(1) d = V.t 10 x120 5x120 = d 1200 600 = d

d =600m 12.12.12.12.---- Una persona se dirige hacia un muro

con rapidez constante de 5m/s si lanza un grito cuando pasa por el punto A. Calcula la distancia del punto A al muro si escucha el eco luego de 4s. (Vsonido = 340m/s)


Segn el enunciado el joven sigue su marcha hacia el muro con la misma rapidez hasta que escucha el eco. Entonces nos piden d

Para el sonido: tsonido (ida) + tsonido(vuelta) = 4s

Luego:

dM + (dAC + dCB) = 2d 5 x 4 + 340 x 4 = 2d 10 + 680 = d

d = 690m

V o

6s o

B o

L o

B o

V

Observador

L L

t = 35s V V A A

580 m

5m/s 120s

10m/s 120s

d

1

2

5m/s muro

A d

dsonido

5m/s muro

A C

d dM

t sonido (ida)

t sonido (vuelta)

5m/s 4s

B


33333333


1.1.1.1.---- En la figura calcula el tiempo que tarda el mvil en llegar al otro extremo si experimenta un M.R.U.

a) 10s b) 15s c) 20s d) 30s e) 12s

2.2.2.2.---- Un nio ubicado en la orilla de un

lago escucha una explosin a una distancia d de la orilla sobre el lago si el tiempo del sonido en el aire es 7s ms que el tiempo del sonido en el agua. Calcula a que distancia ocurri la explosin. Considera: (Vsonido(aire) = 340m/s) (Vsonido (agua) = 2720m/s) a) 2640m b) 1700m c) 850m d) 2720m e) 3225m

3.3.3.3.---- Calcula la distancia entre los puntos

P y Q si un mvil que viaja a 2m/s tarda 8 minutos ms que viajando a razn de 10m/s. a) 1100m b) 1200m c) 1330m d) 1400m e) 1500m

4.4.4.4.---- Una pelota de goma es lanzada hacia

una pared vertical con rapidez constante de 20m/s, si la pared se encuentra a 400m y la pelota rebota horizontalmente perdiendo el 25% de su rapidez inicial.

Calcula luego de cuanto tiempo estar a 250m del punto de lanzamiento. a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

5.5.5.5.---- Un buque se traslada hacia el Este

con una rapidez de 20Km/h. En un instante determinado, un segundo buque que se dirige al norte con una rapidez de 15Km/h, se halla a 125km al sur del primero. Determina la menor distancia de separacin entre los buques. Considera MRU para ambos buques. a) 80Km b) 90km c) 100km d) 120km e) 125km

6.6.6.6.---- Dos mviles van en la misma

direccin. El mvil de adelante viaja con una rapidez (d/4)m/s y el mvil de atrs con (d/2)m/s; si inicialmente estaban separados dKm. Qu tiempo emplearn en distanciarse nuevamente dKm.? a) 8000s b) 7000s c) 6000s d) 5000s e) 4000s

7.7.7.7.---- Si la rapidez del sonido en el agua

es de 1700m/s y en el aire 340m/s. Determina a que distancia de la orilla y sobre la superficie del agua explot una bomba, si la diferencia de tiempos entre el sonido transmitido por el aire y el agua es de 80 segundos. a) 30Km b) 31Km c) 32Km d) 33Km e) 34Km

8.8.8.8.---- Dos mviles X e Y se mueven con

movimientos uniforme,

3m/s 2m/s

faja transportadora

60m


34343434

observndose en cualquier momento que la distancia entre ellos es el triple de la distancia del mvil Y al punto de partida. Halla la relacin de rapideces entre X e Y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9.9.9.9.---- Un carro que se dirige a la rapidez

de 20m/s toca la bocina en un instante determinado oyendo el chofer el eco despus de 5 segundos. Determina la distancia del carro al obstculo en el instante que se toc la bocina, si la rapidez total del sonido es 340m/s. a) 1500m b) 1600m c) 1700m d) 900m e) 1900m

10.10.10.10.---- Dos mviles parten

simultneamente de un mismo punto en sentido opuesto con rapideces constantes de 9m/s y 6m/s. Si despus de recorrer 80m y 160m respectivamente ambos retornan. A que distancia del punto de partida se vuelven a encontrar? a) 124m b) 125m c) 128m d) 127m e) 126m

11.11.11.11.---- Dos nadadores parten

simultneamente de uno de los extremos y en la misma direccin de una piscina de 90m de longitud con rapideces constantes de 3m/s y 2m/s. Considerando que no pierden tiempo en voltear. Despus de que tiempo se cruzan por segunda vez? a) 52s b) 53s c) 72s d) 55s e) 56s

12.12.12.12.---- En la figura el muchacho se desplaza a 5m/s y los mviles A y B a 20m/s y 10m/s respectivamente. Al cabo de qu tiempo el muchacho escucha el choque entre A y B? (V sonido =340m/s)

a) 13s b) 14s c) 15s d) 16s e) 17s

13.13.13.13.---- Dos partculas A y B se encuentran separados 200m, si parten una hacia la otra con rapideces constantes de 20m/s y 50m/s. qu distancia separa a las partculas cuando B pasa por el punto de partida A? a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

14.14.14.14.---- Dos mviles A y B parten

simultneamente de un mismo punto. El mvil A se desplaza a 2m/s en direccin este, mientras que B se desplaza a 1m/s en direccin norte 30 este. Determina la distancia que los separa luego de 10s. a) 8 3m b) 9 4 m c) 10 3m d) 11 3m e) 12 3m

15.15.15.15.---- Dos trenes de 50 y 100m de

longitud se encuentran uno frente al otro, siendo la distancia entre sus partes delanteras de 1350m. Si parten simultneamente uno hacia el otro con rapideces constantes de 50m/s y 25m/s. Determina despus

A B

120m 450m


35353535

de que tiempo logran cruzarse completamente. a) 17s b) 18s c) 19s d) 20s e) 21s

16.16.16.16.---- Dos trenes con rapideces opuestas

V1 y V2 demoran 6s en cruzarse completamente, pero slo 5s si las rapideces son V1 y 3V2/2. Cunto demorar uno en sobrepasar al otro si ambos viajan en el mismo sentido con las rapideces V1 y V2? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

17.17.17.17.---- Una carreta es llevada por un caballo que mantiene en todo momento una rapidez constante. En cierto instante se rompen las riendas y la carreta queda libre detenindose al cabo de 10s, instante en el cual se encuentra a 80m del caballo. Hallar la rapidez del caballo. a) 14m/s b) 15m/s c) 16m/s d) 17m/s e) 18m/s

18.18.18.18.---- En el siguiente grfico las

plataformas miden 30m. Si se mueven con rapideces constantes de 20 y 40m/s respectivamente, Determina que distancia recorre el hombre cuando las plataformas choquen si parte con rapidez constante de 5m/s desde el punto O y en el mismo instante en que las plataformas inician su movimiento.

a) 1,5m b) 2,5m c) 3,5m d) 4,5m e) 5,5m

19.19.19.19.---- Un mvil recorre tramos de 1m, 2m, 3m,... nm; Determina su rapidez promedio, sabiendo que cada tramo lo recorri en igual tiempo t adems t-n=1. a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

20.20.20.20.---- Un soldado prende la mecha de un

explosivo y corre alejndose de l a rapidez constante de 8m/s durante 17s hasta or la explosin. Si la rapidez del sonido es 340m/s. Cunto tard en consumirse la mecha? a) 12,6s b) 13,6s c) 14,6s d) 15,6s e) 16,6s

CLAVES

1) e 2) d 3) b 4) c 5) c 6) a 7) e 8) d 9) d 10)c 11)c 12)d 13)d 14)c 15)d 16)c 17)c 18)b 19)e 20)e

V=5m/s V2=40m/s

V1=20m/s

e e e

O


36363636

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

(M.R.U.V)

1. DEFINICIN Es aquel movimiento que realiza un mvil al deslazarse sobre una trayectoria rectilnea con rapidez variable y aceleracin constante.

1.1. MOVIMIENTO ACELERADO

Luego: V2 > V1 La rapidez aumenta:

V1 : Rapidez inicial. V2 : Rapidez final. a : Aceleracin. t : Tiempo.

1.2. MOVIMIENTO DESACELERADO

Luego V1 > V2 El mvil se detiene.

La aceleracin est en contra del movimiento.

2. ACELERACIN (a) Es el causante del aumento o disminucin de la rapidez.

3. ECUACIONES DEL M.R.UV.

a) Vf = Vi at

b) Vf 2 = Vi 2 2ad

c) d = Vi.t

2a t2

d) d =

i fV + V t2

Importante:

PROBLEMAS RESUELTOS 1.1.1.1.---- Un mvil parte con una rapidez

inicial de 2m/s y desarrolla un M. R. U. V. Con una aceleracin de 4m/s2. Calcula el tiempo que tarda en recorrer los primeros 40m.


e = v.t + 12at2

40 = 2.t + 21 (4) t2

2t2 + 2t 40 = 0

t2 + t 20 = 0

t=4s

V1

t V2

a t

V2=0

V a Mov.

acelerado a(+)

V a Mov.

desac. a(-)

2m/s

a=4m/s2

40m

t

t -4 t 5


37373737

2.2.2.2.---- Una partcula parte del reposo y experimenta una aceleracin constante igual a 4 m/s2. Qu distancia recorrer en el sexto segundo de su movimiento?


d = Vot + 12at2

De la figura:

d6to seg = d6s - d5s

d = 12(4)(6)2 - 1

2(4)(5)2

e6to seg = 2 x 11

e6to seg = 22m

3.3.3.3.---- Un mvil aumenta su rapidez en 8

m/s durante 2s, recorriendo 20 m. Halla su velocidad inicial y final es m/s.

SSSSolucin:olucin:olucin:olucin: Recuerda que

a = ifV -VDV 8m/s= =

t t 2s = 4m/s2

i) d =

i tV+V t2

Vi + Vf = 2 20 =202

. (1)

ii) Vf = Vi + at Vf Vi = 8 (2)

De (1) y (2) sumando: Vf = 14m/s En (1)

Vi = 6m/s 4.4.4.4.---- En los primeros dos segundos de

movimiento un mvil recorre 8m en una pista horizontal, y un los siguientes 2 segundos recorre 16 m. Halla la aceleracin del mvil.


aAB = aBC = aAC Tramo AB:

d = Vit + 12at2

8 = V.2 + 12a.4 (1)

Tramo AC

24 = V.4 + 12a.16 (2)

Efectuando: Ec(2)2xEc(1)

8 = 82a

a = 2m/s2

V0 =0 a=4m/s2

e6to seg

5s 6s

Vi

a

20m

2s Vf

Vi

8m

2s 2s a

B C 16m

A


38383838

5.5.5.5.---- Un auto pasa por un punto A con cierta rapidez luego de 4s pasa por otro punto B con una rapidez igual a tres veces su rapidez inicial. Si la distancia entre A y B es 112m. Calcula su aceleracin.


Sabemos que:

d =

i fV+V .t2

112 =

V+3V .42

V = 14m/s

Luego:

a = ifV -Vt

a = 3V-V V=4 2

a = 7m/s2

6.6.6.6.---- Si dos autos parten desde el reposo con direcciones contrarias uno al encuentro del otro con aceleracin constantes de 3m/s2 y 5m/s2. Calcula luego de cuanto tiempo se cruzarn.


Nos piden el tiempo de encuentro en el M.R.U.V. De la figura: d1 + d2 = 64m... (1)

Sabemos que: d = V.t + 2a.t

2

En (1):

Vi.t + 2

1a .t2

+ Vi.t + 2

2a .t2

= 64

2 2

1 2a .t + a .t2

= 64

3t2 + 5t2 = 2(64) t2 = 16

t = 4s 7.7.7.7.---- Dos mviles A y B parten del

reposo simultneamente de un punto P, y se desplazan en un mismo sentido con aceleraciones de 6m/s2 y 4m/s2. Halla el tiempo que debe pasar para que equidisten de un punto Q distante a 1000m del punto de partida.


De la figura:

e1 = 12a1t2 e1= 1000 + x

e2 = 12a2t2 e2= 1000 - x

V

a

112m

t = 4s 3V

A B

a1 t1

64m

t2 a2

1 2

64m

5m/s2

1 2

3m/s2

V1=0

a=4m/s2

t

1

2

x

x

V2=0

6m/s2

t P

P

Q


39393939

Luego:

1000 + x = 12(6) t2

1000 x = 12(4) t2

2000 = 5t2 t = 20s

8.8.8.8.---- Dos partculas se encuentran

separadas 400m; si se acercan una hacia la otra a partir del reposo y acelerando a razn de 1,5ms2 y 2,5m/s2. Qu tiempo debe transcurrir para que estn separados una distancia igual a la inicial?


(I)

(II) De la figura (II) e1 + e2 = 800m 12a1t2 +

12a2 t2 = 800

12x 32t2 + 1

2x 52t2 = 800

28 t4

= 800

t = 20s

9.9.9.9.---- Un muchacho caminando a 1,3m/s recorre cierta distancia y luego se detiene un cierto tiempo para descansar. Reinicia luego su recorrido acelerando a 4m/s2

durante 7s. Halla el tiempo que estuvo detenido si en total ha recorrido 150m al cabo de 80s de haber partido inicialmente.


De la figura:

t + tD + 7 = 80

t + tD = 73s (1)

dAB + dBC = 150m

MRU MRUV

d = 1,3t + 12a(7)2 = 150

1,3t + 98 = 150 1310

t = 52

t = 40s

Reemplazando en (1)

tD = 33s 10.10.10.10.---- Un mvil pasa por dos puntos A y B

de la carretera acelerando a 4m/s2 demorndose 12s si su rapidez al pasar por B es el triple de su rapidez al pasar por A. Halla la distancia AB

V1 =0 V2=0

400m

t

1 2 t

a1 a2

V2 V1

400m

2 1

1,3m/s t 7s

tD

B C A 150m

a=4m/s2


40404040


dAB=??

Por teora, sabemos: ifV -V

a =t

4= 3v- v12

v = 24m/s

dAB =

ifV +V2

t dAB =

3v+ v2

t

eAB = 576m

11.11.11.11.---- Si un auto partiendo del reposo

acelera a razn de 3m/s2, si como mximo puede experimentar una rapidez de 42m/s. Calcula el mnimo tiempo que tardar en recorrer 504m.


Tramo AB: (M.R.U.V)

Vf = Vo + a . t 42 = 0 + 3.t1

t1 = 14s

dAB = i f(V+V ) . t

2

dAB = 14x2)420( +

dAB = 294m

Tramo BC: (M.R.U)

d = V.T 210 = V.t2

Luego : t2 = =210 542

s

ttotal = t1 + t2 = 19s

12.12.12.12.---- Si un auto inicia su recorrido con

rapidez inicial de 20m/s y pisa los frenos el conductor detenindose al cabo de 5 segundos. Calcula el recorrido total.


Sabemos que: d = ( )i fV+V .t2

Reemplazando:

d = ( )+20 0 52

x

d = 50m


1.1.1.1.---- Un auto parte del reposo y acelera a 2m/s2 durante 2s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la friccin, a razn de 4cm/s2 durante 10s. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene en 4s ms. Calcula la distancia total recorrida del automvil. a) 39,2m b) 49,2m c) 19,2m d) 39,2m e) 49,3m

V 12s

a=4m/s2

B A

3V

V0=0 t1 t2

B C A 504m

a=3m/s

42m/s 42m/s

20m/s 5s

a Vf = 0

d


41414141

2.2.2.2.---- Un mvil se mueve sobre una recta con movimiento rectilneo uniformemente variado, en el primer segundo recorri 70m y en le tercero 100m. Cunto recorri en los dos primeros segundos de su movimiento? a) 155m b) 255m c) 125m d) 115m e) 135m

3.3.3.3.---- Una motociclista se encuentra a

36m de un auto. Si ambos parten simultneamente en igual sentido, donde la motociclista lo hace con una rapidez constante de 16m/s y el auto con una aceleracin constante de 8m/s2. Halla la mnima distancia que pudo acercarse la moto al auto. a) 16m b) 17m c) 18m d) 19m e) 20m

4.4.4.4.---- Un mvil inicia su movimiento retardado con una rapidez inicial de 60m/s. Si la diferencia de distancias que recorri en el primer segundo y el ltimo segundo de su movimiento es de 48m. Qu tiempo se tard en detenerse? a) 1s b) 5s c) 3s d) 2s e) 4s

5.5.5.5.---- Un mvil recorre la distancia AB a

una rapidez constante de 20m/s en 10 s. Si inicia el retorno con la misma rapidez desacelerando uniformemente y llegando con rapidez nula al punto A. Calcula su rapidez promedio para todo el recorrido. a) 28km/h b) 38 km/h c) 48 km/h d) 58 km/h e) 68 km/h

6.6.6.6.---- Un auto se pone en marcha con una aceleracin constante de 3m/s2 hasta alcanzar la rapidez de 8m/s, corre a esta rapidez durante cierto tiempo y luego empieza a detenerse con una aceleracin negativa constante de 6m/s2, hasta que se detiene. Halla su rapidez promedio si recorri en total 40m. a) 5,6m/s b) 5,7 m/s c) 5,8 m/s d) 5,9 m/s e) 5,5 m/s

7.7.7.7.---- Un mvil que parte del reposo recorre 30m durante los dos primeros segundos. Cunto recorrer en los dos segundos siguientes? a) 70m b) 80m c) 90m d) 60m e) 50m

8.8.8.8.---- Un mvil parte del reposo, acelerando a razn de 5m/s2 y luego frena con una desaceleracin constante de 2m/s2, si el mvil estuvo en movimiento durante 28 segundos. Cul es la rapidez mxima que alcanza? a) 40m/s b) 30m/s c) 20m/s d) 10m/s e) 50m/s

9.9.9.9.---- Dos motociclistas van al encuentro uno del otro, partiendo simultneamente del reposo de dos ciudades A y B con las aceleraciones constantes de 3m/s2 y 7m/s2. Si la distancia AB es de 80m. En que tiempo se encontrar? a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s


42424242

10.10.10.10.---- Un auto parte del reposo con una aceleracin de 760m/s2. En el instante de la partida, se suelta un globo del coche que asciende verticalmente a razn de 5m/s. Qu distancia separa el globo del auto cuando ste alcanz una rapidez de 24m/s? a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

11.11.11.11.---- Un mvil entre el 4 y 6 segundo de su movimiento uniformemente acelerado recorre 20m ms que entre el 2 y 4 segundo. Determina su aceleracin. a) 1m/s2 b) 2 m/s2 c) 33m/s2 d) 4m/s2 e) 5 m/s2

12.12.12.12.---- Dos mviles que estn detenidos y separados por una distancia de 500m parten al mismo tiempo con aceleracin constante de 2m/s2 y 3m/s2 desplazndose en el mismo sentido. Qu tiempo emplea el segundo en adelantar 300m al primero? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

13.13.13.13.---- De un mismo punto parten del reposo dos autos A y B, siguiendo trayectorias rectilneas que forman entre s un ngulo de 90. Si sus aceleraciones son de 2m/s2 y 2,8m/s2 respectivamente, halla la distancia que los separa al cabo de 15s. a) 287m b) 387m c) 277m d) 377m e) 487m

14.14.14.14.---- Un automvil viaja tras un ciclista, a la rapidez de 36km/h. Cuando el ciclista se encuentra a 300m por delante, el automvil acelera a razn de 1,2 m/s2. Determina en cuanto tiempo lo alcanzar si el ciclista viaja a rapidez constante de 7m/s. a) 20s b) 30s c) 10s d) 40s e) 50s

15.15.15.15.---- Un automvil parte del reposo y acelera uniformemente a razn de 0,5m/s2 durante un minuto, al trmino del cual deja de acelerar por espacio de un minuto ms. Finalmente frena detenindose en 10 segundos. Determina la distancia total recorrida. a) 1850m b) 1950m c) 2950m d) 2750m e) 2850m

16.16.16.16.---- Un automvil parte del reposo y con

aceleracin constante de 0,3m/s2, conserva este movimiento acelerado durante 2 minutos, al trmino de los cuales deja de acelerar, manteniendo constante su rapidez alcanzada. Qu distancia recorrer en los 5 primeros minutos del movimiento? a) 8240m b) 8640m c) 8540m d) 8440m e) 8340m

17.17.17.17.---- Un auto inicia su movimiento en A

acelerando a razn constante de 4m/s2 hasta llegar a B en 3s cuando pasa por B se accionan los frenos y el auto se detiene 2s

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