8/20/2019 23281580-Www-educativ-ro-Puteri-Si-Radicali.doc

1/3

5. PUTERI ŞI RADICALI

 Puteri cu exponent natural:

an unde a∈|R, n∈|N;

a0=1;

a1=a;

an = orinde

a...aa   ⋅⋅⋅;

a – baza puterii; n – exponentul puterii;

(ab)n=an bn, ∀a,b∈|R, n∈|N*;

(am)n=amn, ∀a∈|R, m,n∈|N*;

am⋅an=am+n, ∀a∈|R, m,n∈|N*;

n

nn

b

a

b

a= 

  

  

, b≠0, ∀a,b∈|R, n∈|N*;

  nmn

m

aa

a  −= , ∀a∈|R *, m,n∈|N*, m>n.

 Puteri cu exponent întreg negativ: 

an=na

1 unde a∈|R *, n∈|N;

re!tul propriet"#ilor !e p"!treaz".

 Puteri cu exponent raţional pozitiv:

  n   mn

m

aa   = , a≥0, nm

∈ℚ+;

  q

 p

n

m

q

 p

n

m

aaa +=⋅ , a≥0, nm

, q

 p

∈ℚ+;

( )   nm

n

m

n

m

baab   ⋅= , a,b≥0, nm

∈ℚ+;

n

m

n

m

n

m

b

a

b

a= 

  

  

, a≥0, b>0,n

m∈ℚ+;

  ( )   q p

n

mq

 p

n

m

aa⋅

=   

  

  , a≥0,n

m,q

 p∈ℚ+;

  q

 p

n

m

q

 p

n

m

a

a

a   −= , a>0,

n

m,q

 p∈ℚ+,

n

m>q

 p.

 Puteri cu exponent raţional negativ:

n   m

n

m

n

m

aa

a  11

==−

, a>0,

n

m∈ℚ+;

re!tul propriet"#ilor !e p"!treaz".

Funcţia putere cu exponent natural nenul: 

$(x)=xn, $%|R →|R, n∈|N*;

monotonia%

R  pee&re!&atoar !tri&t$(x)imparn

)'0, pee&re!&atoar !tri&t$(x) parn

0,( peoarede!&re!&at!tri&t$(x) parn

⇒∞⇒∞⇒

;

 paritate%oriinede$ata!imetri&ra$i&ulimpara,$(x)imparn

*+de$ata!imetri&ra$i&ul para,$(x) parn

⇒

⇒

;

!emn%0)(impar ,0

0)( par ,0

0)(n N,n0,

⇒<

>⇒≥∈>

 x  f  n x

 x  f  n x

 x  f   x

.

Funcţia putere cu exponent întreg negativ: 

$(x)=xn, $%|R-0→|R, n∈|N*;

monotonia%

-0.R  peoarede!&re!&at!tri&t$(x)imparn

)(0, peoarede!&re!&at!tri&t$(x) parn

0),( pee&re!&atoar !tri&t$(x) parn

⇒

∞⇒

∞⇒

;

 paritate%oriinede$ata!imetri&ra$i&ulimpara,$(x)imparn

*+de$ata!imetri&ra$i&ul para,$(x) parn

⇒

⇒

;

!emn%

0)(impar ,0

0)( par ,0

0)(1n N,n0,

⇒<>⇒≥∈>

 x  f  n x

 x  f  n x

 x  f   x

.

8/20/2019 23281580-Www-educativ-ro-Puteri-Si-Radicali.doc

2/3

Funcţia putere cu exponent raţional:

$(x)=n

m

 x=  n   m x , $%(0, ∞) /(0, ∞),

n

m∈ℚ*;

da&"n

m>0 ⇒ $ !tri&t &re!&"toare;

 da&"n

m0 ⇒ $ !tri&t de!&re!&"toare.

 Radicalul unui număr pozitiv:

e&ua#ia xna=0 (n∈|N, n≥, a∈|R, a>0) are o !inur"

r"d"&in" real" poziti";

da&" a>0, n∈|N, n≥ !e nume2te radical de ordin n din a,num"rul poziti a &"rui putere a na e!te a;

nota#ie x=  n a ;

nota#ie a =   a ;

  n 0 =0;

==

0x,

0x0, 

0x, 

||

 x

 x

 x x ;

 Radicalul de ordin impar al unui număr negativ:

e&ua#ia xna=0 (n∈|N, n≥, n impar, a∈|R, a0) are o !inur" r"d"&in" real" neati";

da&" a0, n∈|N, n≥, n impar, !e nume2te radical de ordin n din a, num"rul neati a &"rui putere a na e!te a;

nota#ie x=  n a =   n a−− ;

 Proprietăţile radicalilor: ∀ m, n, 3 ∈ℕ*, m, n, 3 ≥

41) nnn baab   ⋅= , ∀a,b≥0;

4)n

n

n

b

a

b

a=   , ∀ a≥0, b>0;

45) mn   mn aa   = , ∀ a≥0;

46) (  n a )m =  n   ma ,∀ a≥0;

47) n   ma = nk    mk 

a ,∀ a≥0;

48) nmn   m aa   = ,∀ a≥0.

Operaţii cu radicali:1.  scoaterea unui factor de sub semnul radical % !e de!&ompune num"rul de !ub radi&al 9n $a&tori, !e apli&" propriet"#ile 1, 5 2i 7;. introducerea unui factor sub semnul radical % !e utilizeaz" propriet"#ile 1, 5 2i 7;5. înmulţirea radicalilor  de a&ela2i ordin !au ordine di$erite% !e utilizeaz" proprietatea 1 2i 7;

  n

k n

k nn

aaaaaa   ⋅⋅=⋅⋅⋅ ...... 11 , a1, a, :, a3 ≥0;     nm   nmnm   nnm   mmn

bababa   ⋅=⋅=⋅ , a, b≥0;6. împărţirea radicalilor  de a&ela2i ordin !au ordine di$erite% !e utilizeaz" propriet"#ile 2i 7;

  nn

n

b

a

b

a= , ∀ a≥0, b>0;   nm

n

m

nm   n

nm   m

m

n

b

a

b

a

b

a== , ∀ a≥0, b>0;

7. raţionalizarea numitorilor % opera#ia de eliminare a radi&alilor de la numitorul $raiilor;

expre!ii &onuate% expre!ii &u radi&ali &are prin 9nmul#ire dau o expre!ie $"r" radi&ali;

-   ( )( )   bababa   −=−+ , a, b≥0;-

  ( )   babababa   ±=   

   +±   5   ,55   ,55 , a,

 b≥0;

-  ( )   bababbaaba   n   nn   nn   nn   nnn −= 

  

   ++++−   −−−−   1,,1 ... , a, b≥0;

-  ( )   bababbaaba   n   nn   nn   nn   nnn += 

  

   +−+−+   −−−−   1,,1 ... , a, b≥0, n

impar;

Funcţia radical: $(x)= n  x , $%'0, ∞)→'0, ∞), n∈|N, n≥;

monotonia% $ !tri&t &re!&"toare pe '0, ∞);

$(x)≥0 ∀x∈'0, ∞);

$unia e!te bie&ti";

iner!a ei e!te $unia putere.

$(x)= n  x , $%|R →|R, n∈|N, n≥, n impar;

 Ecuaţii iraţionale: e&ua#ii &are &on#in ne&uno!&uta !ub !emnul radi&al;

rezolarea &on!t" 9n eliminarea radi&alilor prin di$erite tran!$orm"ri (ridi&"ri la putere = &u ordinul radi&alului, 9nmul#ire &u

expre!ia &onuat"), redu&

8/20/2019 23281580-Www-educativ-ro-Puteri-Si-Radicali.doc

3/3