224695011 Integral Parsial

8/17/2019 224695011 Integral Parsial

1/21

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal,

dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu

pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika

berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis

terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis

menjadi salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini,

matematika digunakan di seluruh duniasebagai alat penting di berbagai bidang,

termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis dan ilmu sosial seperti

ekonomi dan psikologi.

Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan

pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat

penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada

pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika

dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika

murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya

penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar

munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari ilmu matematika yang patut dipelajari adalah

ntegral. ntegraladalah lawan dari proses diferensial. ntegral terbagi atas

beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. Perbedaan antaraintegral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-

batasan,integral tak tentu tidak memiliki batasan-batasan. Penguasaan mata

pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga

berfungsi membentuk kompetensi program keahlian.

ntegral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian

fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. ntegral parsial

memiliki dua variabel pembantu yaitu !u" dan !v". #ariabel !u" dan !v" ini dapatmembantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan.


2/21

2

$ntuk lebih memahami pembelajaran mengenai integral parsial, perlu

disusun sebuah makalah yang mampu menjadi wahana bagi setiap individu untuk

memperoleh wawasan, pengetahuan yang berhubungan dengan integral parsial.

%leh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis sebuah makalah yang berjudul

&ntegral Parsial'.

B. Rumusan Masalah

(erdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah

sebagai berikut.

). (agaimana rumus integral parsial*+. (agaimana menghitung integral tak tentu dengan cara parsial*

C. Tujuan Makalah

Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan

tujuan untuk). mengetahui rumus integral parsial*+. menghitung integral tak tentu dengan cara parsial.

D. Manfaat Makalah

Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk

penulis maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah

pengetahuan tentang integral parsial.

E. Proseur Makalah

ata teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai

literatur yang berhubungan erat dengan tema makalah.

BAB II

PEMBAHA!AN


3/21

3

A. Lanasan Teor"t"s

ntegral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. ntegral ditemukan

menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan

harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan

solusi diferensiasi. ambang integral adalah ∫ .

ntegral parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan

dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat

menaikan pangkatnya !diintegralkan". ntegral parsial dihubungkan dengan fungsi

bilangan !u" dan !dv" yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai

dengan aturan rumus integral parsial.

ntegral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari !u"

dan !dv" akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari !u" atau biasa

disebut !du" dan mencari kenaikan pangkat !dv" atau biasa disebut !v". (ilangan

fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral

parsial

Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral

parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam

konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral

subtitusi. ntegral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang

akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru

yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

B. Pem#ahasan

$. Integral Pars"al

ntegral Parsial sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali.

isebut integral parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan

sebagian operasi integral. /ikakitatidakdapatmenyelesaikan integral

suatufungsidenganmetodesubstitusi,

makamungkindapatdiselesaikandenganmetodesubtitusigandaatau integral parsial.

Misalkan


4/21

4

u=u ( x ) , v=v ( x ) dan y=u . v

(erdasarkanrumusturunandiperoleh y'= u'.v+ u.v'

dy

dx=

du

dx v+u

dv

dx

dy= v du+ u dv

enganmengintegralkanmasing-masingruaspadapersamaan di atas, diperoleh

dy=¿∫ v.du+u.dv

∫ ¿

y=∫ v.du+u.dv

u . v=∫ v.du+u.dv

u.dv=u . v−¿∫ v.du∫¿

/adi,rumus integral parsialadalah

u.dv=u . v−¿∫ v.du∫¿ Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita

memiliki bilangan !u" dan !dv". (ilangan !u" akan diturunkan menjadi !du"

sedangkan !dv" akan diintegralkan menjadi bilangan !v". Sehingga akan

menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial

sehingga nilai dari integral !u" dikali !dv" sama dengan !u" dikalikan dengan !v"

dikurangi integral !v" dikali !du".

Syarat umum yang harus dipenuhi

a" pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai &u'.

b" bagian yang dipilih sebagai &dv' harus dapat di integralkan.

c" integral v.du tidak boleh lebih sulit daripada integral u.dv

%. !oal an Pem#ahasan


5/21

5

). 0asil dari ∫2 x (3 x−5) 1dx adalah2.

Pembahasan

∫2 x (3 x−5) 1u.dv=u . v−¿∫ v.du

∫¿

a" Pilih fungsi paling sederhana yang akan dipakai sebagai u. isini kita

memilih atau memakai +3 sebagai fungsi yang akan kita ganti atau

substitusi dengan u.

b" 4unakan fungsi yang lainnya sebagai dv.

c" Karena dalam rumus kita juga butuh nilai du dan v maka kita cari nilai

keduanya dengan

• turunkan u = 2x maka f(u) 5du

dx=2 du = 2x

• integralkan dv = !3x – 5"1 maka

v 5 ∫(3 x−5) 1dx 51

7 (3 x−5 ) 6

du

3

51

7 .1

3 (3 x−5 ) 6 7 8

51

21 (3 x−5 ) 6 7 8

d" Selesaikan rumus dengan menerapkan persamaan

∫2 x (3 x−5) &u.dv=u . v−¿∫ v.du

∫¿

∫2

x (3

x−5

) 1 5 2 x . 1

21 (3 x−5 ) 6 - ∫ 1

21 (3 x−5 ) 6. 2

dx

52

21 x (3 x−5) 6 -

2

21 .1

3. 1

8(3 x−5 ) 9 7 8

52

21 x (3 x−5) 6 -

2

504 (3 x−5 ) 9 7 8

u = 2x

dv = !3x – 5"1


6/21

6

52

21 x (3 x−5) 6 -

1

252 (3 x−5 ) 9 7 8

Selain dengan cara di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara

tan:ali. (erikut adalah pembahasannya

∫2 x (3 x−5) 1

;urunkan ntegralkan7 +3 !"1

-+

1

21 !"6

7?

1

504 !"9

∫2 x (3 x−5) 15 2 x . 1

21(3 x−5 ) 6 - 2.

1

504(3 x−5 ) 9 7 8

52

21 x (3 x−5) 6 -

2

504 (3 x−5 ) 9 7 8

52

21 x (3 x−5 ) 6 -

1

252 (3 x−5 ) 9 7 8

+. 0asil dari @ 13!


7/21

7

@ 13!B<

@ 13!


8/21

8

a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv=u . v−¿∫ v.du

∫¿

Misalu = x du =dx

dv = ( x+1) )B+ v =2

3 (x + 1)3/2dx

∫ x √ x+1dx dx = x . 2

3 = ∫2

3( x+1) B+ 7 8

52

3 x !3 7 )"


9/21

9

∫ x √ (1+ x ) dx 5 x . 2

3( x+1) B+7 8

52

3 x ( x+1) B+7 8

C. 0asil dari ∫ 4 x√ 3 x−2 dxadalah ..........Pembahasan

∫ 4 x√ 3 x−2dx=∫4 x (3 x−2) )B+d3

a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv

=u . v

−¿∫v.du

∫¿

Misal u = 4x du = 4dx

dv = (3 x−2) )B+v =

1

3 (12 +1)(3 x−2)


10/21

10

b" 8ara ;an:alin

∫ 4 x√ 3 x−2dx

;urunkan ntegralkan

7 C3 (3 x−2) )B+

- C2

9(3 x−2) B+

∫4

x√ 3

x−2

dx = 4 x .

2

9 (3 x−2) B+7 8

58

9 x (3 x−2) B+ 7 8

>. 0asil dari ∫ x cos x dx adalah .........Pembahasan

a" 8ara dengan rumus integral parsial

u.dv=u . v−¿∫ v.du

∫¿

Misal u = x du =dx

dv = cos3 v = sin x

xcos x dx=¿

∫ ¿ 3.sin 3 - @ sin 3 d3

5 3.sin 3 = !- cos 3" 7 8

5 3.sin 3 7 cos 3 7 8

b" 8ara ;an:alin

∫ x cos x dx

;urunkan ntegralkan7 3 cos 3- ) sin 3


11/21

11

7 ? -cos 3 xcos x dx=¿

∫ ¿ 3.sin 3 = ).!-cos 3"

5 3.sin 3 = !- cos 3" 7 8

5 3.sin 3 7 cos 3 7 8

1. 0asil dari ∫3 xcos 2 x dx adalah ..........Pembahasan

a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv=u . v−¿

∫v.du

∫¿

Misal u = 3x du = 3dx

dv = cos +3v =1

2 sin +3

∫3 xcos2 x dx 5 !


12/21

12

7 ?−14 cos +3

2 x dx=¿3 x . 1

2

∫3 xcos ¿sin +3 =

−14

3.¿ cos +3" 7 8

53

2 x sin +3 7

3

4 cos +3 7 8

6. 0asil dari @ !


13/21

13

@ !


14/21

14

(entuk suatu partisi dari P dari R dengan memakai sarana berupa garis-

garis sejajar sumbu 3 dan y !seperti gambar)". ni membagi R menjadi beberapa

persegi panjang kecil, semuanya n-buah, yang kita tunjukkan dengan Rk, dengan k

5),+,


15/21

15

ngat bahwa jika f !3,y" I ?, maka ∫a

b

f ( x ) dx menyatakan luas daerah dibawah

kurva y 5 f ( x ) antara a dan b. alam cara yang serupa, jika f !3,y" I ? maka

∬ R f ( x , y )dA menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan : 5 f !3,y"

dan diatas persegi panjang R !gambar C". Jyatakan integral ini sebagai definisi

volume benda pejal.

PD;HJLHHJ K$/$HJ

Hpakah semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegi panjang

R yang diberikan***

/awabannya adalah &;idak semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan padasuatu persegi panjang R yang diberikan'. Hlasannya sama seperti kasus pada

integral satu peubah, dimana f terbatas pada Ea,bF. ungsi-fungsi yang dapat

terintegralkan pada setiap selang tertutup Ea,bF yaitu

). ungsi polinomial+. ungsi sinus dan kosinus


16/21

16

(erikut ini merupakan contoh suatu fungsi yang tidak dapat diintegralkan

g ( x , y )= x2 y−2 x y− x2

Penyelesaian

tidak akan dapat diintegralkan pada sebarang persegi panjang yang memotong

parabola y 5 3+

Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi biasa !asalkan mereka terbatas"

dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang. Misalnya,

x2

(¿ y)f ( x , y )=esin ( xy )− y3cos ¿

(uktinya

adalah dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang.

ungsi tangga dari gambar > dapat diintegralkan pada R karena

ketakkontinuannya terjadi sepanjang dua ruas garis.

!I)AT * !I)AT INTE+RAL LIPAT DUA

Teorema A

!;eorema keterintegralan". /ika f terbatas pada suatu persegi panjang

tertutup R dan jika f kontinu disana, kecuali pada sejumlah terhingga kurva

mulus, maka f dapat terintegralkan pada R. dalam hal khusus, jika f kontinu

pada selang R, maka f dapat diintegralkan disana.

Gambar 6Gambar 5


17/21

17

ntegral lipat dua hampir mewarisi semua sifat-sifat tunggal.

). ntegral lipat dua adalah linear, yaitu!a" ∬ R k f ( x , y ) dA=k ∬ R f ( x , y ) dA

(ukti

∬ R k f ( x , y ) dA= lim| P|→0

∑k =1

n

[ k f ( ´ xk , ´ yk ) ∆ Ak ]

¿k lim| P|→ 0

∑k =1

n

f ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k

¿k ∬ R f ( x , y ) dA (terbukti)

!b" ∬ R [ f ( x , y )+g( x , y )] dA=∬ R f ( x , y ) dA+∬ R g ( x , y ) dA

(ukti

∬ R [ f ( x , y )+g( x , y )] dA= lim| P|→0∑k =1n

[ f ( ´ xk , ´ yk )+g ( ´ xk , ´ y k ) ] ∆ A

k

¿ lim| P|→0 [∑k =1

n

f ( ´ xk , ´ yk ) ∆ Ak +∑k =1

n

g ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k ]

¿ lim| P|→0

∑k =1

n

f ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k + lim| P|→0

∑k =1

n

g ( ´ xk , ´ y k ) ∆ A k

¿∬ R f ( x , y ) dA+∬ R g ( x , y ) dA

+. ntegral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang !gambar 1" yang

saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis.


18/21

18

∬ R f ( x , y ) dA=∬ R1 f ( x , y ) dA+∬ R2 f ( x , y )dA

(ukti


19/21

19

untuk perhitungan integral lipat dua. ;etapi kita telah sanggup menghitung

beberapa integral dan kita dapat mengaproksimasi yang lainnya.

Pertama-tama perhatikan bahwa jika f !3,y" 5 ) pada R, maka integral lipat dua

merupakan luas R, sehingga

∬ R k dA=k ∬ R1dA=k A ( R)

8ontoh ).

Hndaikan f berupa fungsi dengan nilai f !3,y" yaitu sebagai berikut

f ( x , y )={21 ≤ x ≤3,0 ≤ y ≤111≤ x ≤3,1 ≤ y ≤2

33≤ x ≤4,0≤ y ≤2}0itunglah ∬ R f ( x , y ) dA dengan D 5 O!3,y" ) N 3 N C, ? N y N +.

Penyelesaian

ari suatu fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persegi panjang

D ), D +, dan D


20/21

20

BAB III

PENUTUP

A. !"m'ulan(erdasarkan uraian bab sebelumnya penulis dapat mengemukakan

simpulan sebagai berikut.

). Pengintegralan parsial !sebagian" dapat dilakukan jika pengintegralan dengan

teknik substitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa

pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

u dv=uv−¿∫ v du

∫¿

+. ntegral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian

integral dengan dua fungsi yang berbeda. ntegral Parsial menggunakan

fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk

menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus

ntegral Parsial.


21/21

21

B. !aran

Seharusnyauntukbelajarmatematikaitutidakdenganmenghapaltetapidenganbanyak

berlatih.

Documents

224695011 Integral Parsial