2.2 Distribución Normal

Una variable aleatoria X que toma valores reales, -oo < X < oo, tiene distribución normal si su función de densidad es de la forma:

g x (x) = - = J = e"(x"^2 / 2°2 - oo < p < -oo, a 2 > O con p = E(X) y a 2 = V ( X ) V2Tca2

En la figura de la derecha se han dibujado algunos miembros de la familia normal. " y _ ,. .

i i Parámetros (media, desv. est) 0.6 i —0,1 (Normalestandar)

i , — Q2 PROPIEDADES

0.2

1. La curva que describe la función es simétrica alrededor de p, y sus ramas se alejan o se o acercan según la desviación estándar que posea la -í -4 -3 -2 -i o i 2 3 4 5 x variable aleatoria.

2. p = Md = P50 = Mc Md: Moda,

P50: Percentil 50, Me: Mediana

3. Tiene dos puntos de inflexión que están en p - a y (i + o

NOTACIÓN X ~ n ,a2) Esto quiere decir que la variable aleatoria X tiene una distribución Normal con media (i y varianza a 2

(]>u a2 (X)= Función de densidad (ó g x (x))

< 1 > a,(X) = Función de distribución (ó Fx(x))

4. Si X ~ n (p,, a2) ^ Z - ——— ~ n(0,1) a

Se lee diciendo, Z tiene distribución normal estándar (ó Típica) con parámetros media cero y varianza uno.

96

5. M x ( t ) = - j J = H dx, haciendo Z = - ^ = > d z = — , \ X = az + n V 2r ~ ~ ¿na

M x ( t ) = —¿= f e t ^ ) e - z 2 / 2 d z = ^ L e t ^ í e ^ "2t(Jz)/2 dz V27t v2;r

= — = e ^ r e-l ( z- t o ) 2-°2 t 2J/ 2 dz J"°° con y = z - ta => dy = dz

6. M'(t) = e^+ < j 2 t 2 / 2 + M'(t = 0) = |! = E(X)

7. M"(t) = \i e ^ 2 * 2 ' 2 + a 2 t ) + a V ^ 2 / 2 => M"(t = 0) = + a 2

V(X) = n2 + a 2 - (i2 = a 2

9. F z ( -z ) = l - F z ( z )

Ejemplo 14

Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con parámetros (i y 2. Encontrar:

a. P(X < (i - a)

b. P(X > (i +2 a)

c. P(n - 3a < X < ii + 3a)

Solución:

a. P(X < (i - a) => P(X < (i - a) => P(X - | i < ( i - a - ( i ) = > P

P(Z<-1) = 0.15866

b. P(X > n + 2a) = 1 - P(X < n + 2a) => P(X - < 2a) => P

=> P(X > \i + 2a) = 1 - 0.97725 = 0.02275

a a a

P(Z< 2) = 0.97725

9<

C. P ( n - 3 a < X < j i + 3a) = P G i - 3 a - n < X - j i < j i + 3 a - j O = P(— < — — < — ) = a a a

= P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3) = 0.99865 - 0.00135 = 0.9973

NOTA 1. Los valores de probabilidad son leídos en una tabla de probabilidad normal estándar.

Ejemplo 15

La estatura de una población es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 172.2 cm y desviación estándar 6.35 cm. Se desea seleccionar una muestra al azar de 200 personas. Cuantas de ellas se espera que midan:

a. Entre 170 y 172 cm b. Más de 177.8 cm c. Menos de 150 cm d. Al menos 120 cm e. Más de 200 o menos de 120 cm

Solución:

a. P(170 < X < 172) = P(X < 172) - P(X < 170) = 0.48803 - 0.36693 = 0.1211

172-172 2 P(X < 172) = P(Z < = -0.0314) = 0.48803 6.35

170-172 2 P(X < 170) = P(Z < — = -0.3464) - 0.36693 6.35

b. P(X > 178) = 1 - P(X < 178) = 1 - 0.81859 = 0.18141

178 — 1111 P(X < 178) = P(Z < — = 0.913385 = 0.81859

6.35

150-172 2 c. P(X < 150) = P(Z < — — = -3.4960) = 0.00029

6.35

d. P(X > 120) = 1 - P(X < 120) = 1

120-172 2 P(X < 120) = P(Z < — = -8.2204) = 0.0000 6.35

98

e. P{(X < 145)|J(X > 180)} = 1 -P(145 < X < 180) = 1-0.88877 = 0.11123

P(145 < X < 180) = P(X < 180) - P(X < 145) =

P(Z < 1.228) - P(Z < -4.283) = 0.88877 - 0.0 = 0.88877

La interpretación de estos resultados se acostumbra a hacer tal como se ha efectuado con una medida de probabilidad, así se tiene:

a. El 12.1% de la población tiene estaturas entre 170 y 172 centímetros. b. La probabilidad de que una persona tenga estatura mayor a 177.8 centímetros es 0.81859. c. El porcentaje de personas con estaturas menores a 150 centímetros tiende a cero. d. Toda la población ohjeto de estudio supera los 120 centímetros de estatura. e. El 11.1% de los elementos de la población tienen estaturas de máximo 145 centímetros, ó al

menos de 180 centímetros.

2.3 Aproximación Binomial a la Normal

La distribución normal es para la distribución Binomial un límite al cual tiende cuando n es grande y se va normalizando mas rápidamente cuando P, probabilidad del resultado A, es cercano a 0.5, facilitando enormemente el trabajo del cálculo de probabilidades para una variable aleatoria discreta con distribución Binomial al tomarse como si tal característica fuera continua. Para hacer esta aplicación es necesario corregir el cálculo del resultado probabilístico que se debe hallar por ser precisamente discreta la variable, así tenemos:

Sea X~B(n, P ) => Lim P(X < a) = P(Y < a + 0.5) = P(Z < ( V ° ' 5 ) " = z) ó también n —» oo V n p ( 1 ~ p )

Lim P(X > a) = P(Y > a — 0.5) = P(Z > ( a " °'S) ~ ^ = z)

=> Lim P(a<X<b) = P(a-0.5<Y<b + 0.5) = P( ( a , ° -5 ) = z, < Z < ° " 5 ) " P = z0) n —>oo V ^ - P ) 1 V n p ( 1 - p )

siendo Y«n(f i , a 2 ) ^ Z = -=L=SE= « n(0,1) Vnp(l-p)

Ejemplo 16

Sea una variable X con distribución Binomial de parámetros n=5 y P=0.4. A pesar de que n es pequeño se evidencia ya la aproximación normal. Observen las gráficas y la corrección por continuidad que se debe hacer.

99

X P(X=x) 0 0,08 1 0,26 2 0,35 3 0,23 4 0,08 5 0,01

TOTAL 1,00

a - 0,5<Y<b+ 0,5 P(a- 0,5 < Y < b+ 0,5) - 0,5 - 0,5 7,5 0,5 - 1,5 24,1 1,5 - 2,5 35,6 2,5 - 3,5 24,1 3,5 - 4,5 7,5 4,5 - 5,5 1,1 TOTAL 100,0

DISTRIBUCION BINOMIAL n=5 , P=0.4

40,0

- 30,0 fi X d. 20,0 -o o

10,0 -

0,0 -

40,0

- 30,0 fi X d. 20,0 -o o

10,0 -

0,0 -

40,0

- 30,0 fi X d. 20,0 -o o

10,0 -

0,0 -

40,0

- 30,0 fi X d. 20,0 -o o

10,0 -

0,0 -r l 1

VALORES DE X

APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL n= 5, P = 0 . 4

40,0

ll ' X B. 20 ,0 -

2 io,o

0,0 ' •0,5 • 0,5 0,5 - 1,5 1,5 - 2,5 2,5 • 3,5 3,5 • 4,5 4,5 - 5,5

VALORES DE Y

2.4 Distribución Beta

Sea v|/ un fenómeno aleatorio y X una variable aleatoria que puede representar una característica física cuyos valores se encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita. Tales como:

- Proporción de impurezas en un producto químico. La fracción de tiempo que una máquina está en reparación.

- La proporción vendida de un lote durante un tiempo t. - La humedad relativa medida en cierto lugar. - Porcentaje del costo total destinado a reparación de maquinaria. - Porcentaje de costo adicional destinado a reparación de maquinaria. - La distribución del tiempo necesario para completar una fase del proyecto PERT. - Evaluación de programas y técnicas de revisión. - Tasas de participación de la fuerza laboral.

La función de densidad de X está dada por:

g x ( x ) = ^ 7 ^ T x a " 1 a - x ) P " 1 0 < X < 1 a , p > 0 B(a,P)

B(a ,P)= j¡ x a - 1 ( l -x)P- 1 dx = r ( q ) r ( P ) r ( a + P)

R<T) = F , t - l „-x e dx t > 0

100

E(X) = a

a + p V(X) = -

ap (a + P)2(a + P + l)

= ct

00

AYUDA. r ( a ) = ¡ xa~lexdx ; r ( 1 / 2 ) = V Ñ o

sí a es un número entero positivo r(g)=(a-l)!;r(a+l)^ar(a);r(a+l/2)=(a-l/2Xa-3/2><..„..x(l/2)N/ r7t

NOTACION X~B(a,P)

La variable aleatoria X sigue el modelo jrobabilístico Beta con parámetros a y p.

NOTA 1. Obsérvese en el gráfico algunas ormas del modelo Beta con parámetros: a = 0.5 y 3=1, a = 2 y P = 3 , a= 3 y P=3, a= 5 y P=3, a=l i P=0.5, a = 1 y p=l.

E/emp/o 17

DISTRIBUCION BETA

0.2 0.4 0.6 0.8 1 X

La proporción de tramos de una autopista que requieren repararse anualmente, es una variable ileatoria con distribución Beta de parámetros a= 3 y P=2.

a. En promedio que porcentaje de tramos requieren anualmente y con qué variación.

|j. = —— = 0.6 V(X)=cr2 = ^ = —-— = 0.04 => a = 0.2 2 + 3 (3 + 2) (3 + 2 + 1) 25x6

b. Calcular la probabilidad de que a lo sumo la mitad de los tramos de la autopista requieren reparación, en un año cualquiera.

Tí 5) 4' i i Siendo g x (x) = — — — x2 (1 - x) = — x2(1 - x) = L2x2 (1 - x)

' T(3)r(2) V ' 2!1! V ; 0 < x < l

P(X<0.5) = J0°5 g x (x )DX = J0°'5 12x 2 ( l -x)dx = 0.3125

NOTA 2. Caracterización de la forma de la función de densidad del modelo Beta a, P le dan la

101

forma a la curva así:

a < 1, ß < 1 la forma es de U (u)

a < 1 , P > 1 la forma es de jota traspuesta

a > 1 , P < 1 la forma es de J (jota)

a > 1 , P > 1 existe un pico en X = (a - 1) / (a + p - 2)= Md

a = ß la distribución es simétrica

a = P = 1 corresponde a la distribución uniforme en el intervalo (0, 1)

a < ß la distribución tiene sesgo positivo

a > ß la distribución tiene sesgo negativo

NOTA 3. Si X = 1 - X se obtiene la relación de simetría g(x, a , P) = g(l- x, p, a) y F x (x, a , P) = 1 - F x (1 - x, p, a)

NOTA 4

Fx (x) = | " t a _ 1 (1 - t)p_1 dt 0 < x < 1 es llamada beta incompleta

Ejemplo 18

La competencia en el mercado de una compañía de computadores varía mensualmente de manera aleatoria de acuerdo con una distribución Beta (a = 10, p= 6)

a. Graficar la función de densidad.

b. Encontrar (j. y cr e interpretar.

c. Obtener la probabilidad de que la competencia en el mercado sea:

i. Menor que la media.

ii. Esté alejado en una desviación estándar del valor esperado de X.

iii. Esté a dos desviaciones estándar de la media.

102

Calcular

d. P(0.507<X< 0.7424

e. P(0.3902<X< 0.8598

Solución:

a. DISTRIBUCION B E T A

g(*)

AlfvBttk 10,6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

b. u = ——— = 0.625 10 + 6

V(X) = a 2

10x6 (10 + 6)2 (6 + 10+1)

= 0.01378 a = 0.1174

El porcentaje esperado del mercado de la competencia es de 62.5 % y la desviación respecto a éste valor es de 11.74 %.

c. P(X < p) = P(X < 0.625) = j0°-625 g x (x) dx

= r 2 5 3 0 0 30 x 9 ( l - x ) 5 dx JO

= 0.4826

8 x ( x ) = r ( 1 6 ) x 9 ( l - x ) 5 x F(10) F(6)

15! 9 ! 5!

x 9 ( l - x ) 5 = 30030 x 9 ( l - x ) 5

La probabilidad de que la competencia en el mercado posea un porcentaje menor que el promedio es de 0.4826.

Í0.7424 ru./4Z4 Q _ 3 507 g x ( x ) d x = J0 507 30030 *x 9 ( l - x ) 5 dx = 0.6691

0.7424

La probabilidad de que la competencia tenga entre el 50.76% y el 74.24% del mercado es de 0.6691.

(•0.8598 f0.8598 Q , P(0.3902<X <0.8598)= g x ( x ) d x = 30030 *x 9 ( l - x ) 5 dx = 0.9595 V 7 JO.3902 6 X V ^ JO.3902 V 7

103

2.5 Distribución Exponencial

Sea un fenómeno aleatorio con las siguientes características:

1. X es variable aleatoria que señala el tiempo transcurrido entre dos sucesos de la misma naturaleza, ó indica el tamaño de una región del espacio.

2. gx(*) =

/.c > x x > 0

en otro caso

3. M x ( t ) = f V ^ e - ^ d x ^ r e x ( t ^ d x = X * - ^ = — t<X x w Jo Jo X-t X-t

4. M'x(t = 0) = l/A, = E(X)

5. M" (t = 0) = 2/A,2 =E(X 2 )

6. V(X) = 2 / A 2 - l / A 2 = l / A 2 = c 2

7. F x (x) = l - e " X x

8. Existe relación de éste fenómeno con el Poisson ya que los 2 sucesos mencionados en la variable exponencial son del tipo Poisson. Por lo tanto X es el mismo parámetro en las dos distribuciones.

9. La distribución exponencial no tiene memoria, es decir, los eventos precedentes o futuros no dependen de los ocurridos en el pasado: P(X > k + S/X > S) = P(X > k) S<k

10. Tiene utilidad en el modelamiento de la duración de componentes, teoría de colas, etc.

11. Para x > a, la función de densidad se presenta como: gx(x)= Á,e "X(x"a). Algunos autores la llaman exponencial trasladada.

Mas adelante se comparan gráficamente las dos funciones de densidad.

104

DISTRIBUCION EXPONENCIAL x>0

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01 0

20 40 60

X

SO 100

DISTRIBUCION EXPONENCIAL x>20

0.06

0.05

Lambda 17

0.04

0.03

0.02

0.01 0

•¡lili • 1

20 40 60 SO 100 120

X

NOTACION. X ~ Ex(k)

Léase la variable aleatoria X tiene distribución exponencial con parámetro X .

NOTA 1. Si X ~ P(A,), X es el valor esperado en un periodo de tiempo t y es proporcional al intervalo, entonces la variable aleatoria T indica el tiempo desde que empieza el proceso de observación hasta que ocurre un suceso Poisson. Por lo tanto, P(X = 0) = e Xt = P(T > t), es decir, la probabilidad de que no ocurra un suceso Poisson en el intervalo t es equivalente a la probabilidad de que el tiempo de observación requerido para que suceda un evento Poisson es mayor que t. Entonces,

P(T < t) = 1 -e~u = FT(t) t > 0 .

Por lo tanto, la primera derivada F'T (t)= gT(t) es la función de densidad de T, en la cual se tiene el mismo parámetro X de la distribución Poisson.

Ejemplo 19

Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran:

a. Por lo menos 3' después de la llegada del último cliente y el próximo. b. Entre 2 'y 4'. c. A lo más 2 '. d. Máximo 3', sabiendo que el penúltimo y el último llegaron con una diferencia de 2' cono

mínimo. e. Más de tres minutos, sabiendo que han transcurrido al menos dos minutos.

Solución: Se definen las variables aleatorias:

105

Y: indica el número de personas que llegan al supermercado por minuto. Y~P (X= ]) X: describe el tiempo (en minutos) transcurrido entre la llegada de dos clientes. X~Ex(A.= l)

a. P(X > 3) =1- Fx(3) = e"3 x 1 = n 049 = 0.05

b. P(2 < X < 4) = e"2 - e"4 = 0.117

c. P(X< 2)= l-e"2 = 0.865

d. P(X.3/X>2) = P ^ X ^ = ^ = 0 . 6 3 3 4 v ' P(X>2) 0.135

e. P(X > 3 / X > 2) = P(X > 1) = e"1 =0.368

2.6 Distribución G a m a

Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio tiene una distribución GAMMA si se caracteriza por las siguientes propiedades:

I .gx00 = 1 A<axa-le-^x x > 0 a A > 0

r (a ) o enotrocaso

Algunas alternativas de funciones de densidad se pueden ver en la gráfica del lado derecho. Siendo los parámetros de forma (a) y escala (A,) respectivamente: a = l , A,=l; a=2, A,=l; a=7, A,= l.

DISTRIBUCION GAMMA

g(x)

0.5

0.4 I 0.3

0.2

0.1

0

A / \ i ••

K i

I > r v

Fottìi a t Escala 1,1

— 2,1 — 7,1

12 15 X

En general, la forma de la distribución es:

-Si a < 1, jota transpuesta. -Si a > 1, tiene un pico en X = (a - 1) / A.=Md

2 . M Y ( t ) = í a e t x ' X JU r ( a )

A« ra í U ^

-À,ax e dx = Xa

r ( a )

u=x(À- t )

r ( a ) Jo U - t J ~ Ar-t du=dx(A-t)

| « x a - l e - x ( . - t ) d x

du

^ f u ^ e - d u = ( ^ - t ) a r ( a ) -0

f y, v x

X-t r ( a ) r ( a ) =

' X

106

=> M'(t=0)= —= E(x) a

4. M"(t) = -aAa [(a +1) {X - t)a (-1)] / (X - t)2(a+1) = a(a + \)Xa/(X-t) a ia+2

=> M"( t = 0) = a ( a +1) Xa / Xa+2 = a ( a + 1) / X2

5. V(X) =

NOTACION. X~G(a,X)

La variable aleatoria X tiene distribución Gamma con parámetros a y X.

NOTA 1. La distribución Gamma es llamada Distribución de Erlang con parámetros a, X, siendo a un entero positivo. En éste caso la función es también conocida como Gamma Incompleta.

NOTA 2. La distribución Gamma también se denomina distribución PEARSON TIPO III.

NOTA 3. Sí X ~ G ( l , r ) - > X ~ E x (*-)

NOTA 4. Si X es un entero positivo existe una relación con la distribución Poisson, la función de distribución se expresa por

F t (t) = 1 - P(T > t) = 1 - P (menos de X ocurrencias de A suceden en (0, t)

l-P(X<?I) X: número de sucesos A en (0, t)

x > 0 x=0

T: Tiempo necesario para observar X ocurrencias de A.

NOTA 5. Otra presentación de la función de densidad del modelo Gamma es:

g x ( x ) = p a r ( a ) l _ x a - l £ - x / p x > 0 a > p > 0 • X a ' e x / P x>0 a,P> 0

0 en otro caso

E(X) = ap V(X) = ap 2 ; es decir X = p -i

107

El modelo Gamma se ha utilizado frecuentemente en variables tales como:

- El tiempo (ó espacio) requerido para observar a ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio), sucesos del tipo Poisson.

- Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900. - Flujos máximos, MARKOVIC, 1965. - Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965. - Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940. - Tiempo de falla de un sistema de a componentes, cada uno falla con frecuencia X. - Ingresos familiares. - Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez. - Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en a subestaciones a una

frecuencia X.

Ejemplo 20

Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo:

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Solución:

X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas. Y: Número de ciclos /100 horas Y ~ ?{X=2) E(Y) = 2 Y': Número de ciclos / hora Y' ~ P(A=0.02) E(Y') = 0.02 = X X ~ G(2, 0.02)

a. P(U-CT<X<U + CT) = P(29.29<X<170.71)=:"; ' ' — *x*e-° 0 2 x dx = 0.73752 ' J29.29

p = - = ̂ - = 100 o 2 — f———1 =5000 a = 70.71 X 0.02 v0.02 J

,0-

b. P (X > p + 2CT ) = P (X > 241.42) = 0.0466

Ejemplo 27 En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede

considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros a = 3 y X= 0.5.

108

La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora

¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a. Insuficiente en un día cualquiera?. b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c. Encuentre E(x) y V(x).

Solución:

a. P(X>10) = 1-P(X<10) = 1 — {o°(0.5)3x2e-°-5xdx = 0.124652 r(3)

3 b P(3 < X < 8) - — * r? x2e-°-5x dx = 0.571

T(3) J1

c. E(X)=— =6 V(X)=—^r=12=i>ü=3.46 0.5 0.5^

2.7 Distribución Weibull

Fue establecida por el físico suizo Weibull quien demostró que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modelarse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribución. También se ha usado para modelar situaciones del tipo tiempo- falla, ó bien puede indicar la vida útil de cierto artículo, planta o animal, confiabilidad de un componente.

Se dice que X es una variable aleatoria con distribución Weibull sí:

1. Su función de densidad es de la forma:

> 0 , c x - l e x > 0, a , X : gx(x) = aX~ x a : parámetro de forma X: parámetro de escala Si a < 1 la forma es de jota traspuesta. Si a > 1 la forma incluye un pico único, la moda, en:

DISTRIBUCION WEIBULL

x = a - 1 orX^

Q 3 < p 53 2

¡z; « , Q 1

o

:: A FORMA Y ESCALA : - / \

. . . . 1 1 - - 0,5 1 — 2,8 0,8 :

L — 5 0,5 :

Si a = 1 => X~ Ex (A) Obsérvense al lado las gráficas de algunas de las formas que adquiere la distribución.

109

2. Fx(x) = l - e ^ x ) a x > O

3. E(X)=A lr V ay

4 v(x)=\ Nr i+-1 v «.

. í ^ p - r 11+-

a

NOTACION. X ~ W(a, A,)

La variable aleatoria X tiene distribución Weibull con parámetros a y X.

NOTA 1. Otras presentaciones de la función de densidad del modelo Weibull son:

—— y

gY(y) = a - y a " ' e 9 y > 0 e

a, 0 > 0 Y ~ W (a, 0)

E(Y): 1 A

W n i+--

a J V(Y):

f . \~2/a i i 0 J

1 + H - r 2 [ 1 + i a J l a .

1 - í t ; " gT(t) = a — t a 4 e{Qj t > 0; a , 0>O T ~ W ( a , 0 )

E(T) .-= ©r v a y

V(T) = 0/<¡r| 1 + - - r i a

L + I v ay

Ejemplo 22

Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con a= 0.5 y /.= 0.01. Calcular:

a. La vida media útil de ese artículo.

b. La variación de la vida útil.

/ c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.

110

Solución:

a E ( X ) = ^ r ( 3 ) = 200 0.01 V '

b. V(X) = 0.01

r ( 1 + 2/0.5) - r 2 (3)J = 200000 = a 2 => a = 447.21

c. P(X > 300) = 1 - P(X < 300) = 1 - 0.5 * 0.01o'5 x"0'5 e"(0 01 x r " =0.177

2.8 Distribución Logaritmo Normal (Lognormal)

Ocurre en la práctica cada vez que existe una variable aleatoria X tal que su logaritmo natural es una nueva variable aleatoria Y con distribución normal, entonces X sigue el modelo probabilístico llamado logaritmo normal.

Sea la variable aleatoria X * n (|ix, CTx2) => Y=ln X x>0 =>Y~n (|ix, CTy

2) X~Ln ((%, c>Y2)

La función de densidad de X se puede obtener teniendo en cuenta:

g x ( x ) = gY(H-1(x))

g x ( x ) : :

d(H (X) dX

(lnx-ny)

Haciendo Y=ln X => H(X)=eY = X H 1 (X)= lnX

Gy-J2 TI 2u y

(lnx-^y)

XCT • ,-j2n = e 2aY x > 0

ALGUNAS DISTRIBUCIONES LOGNORMAL

x u, 00

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2 0,1

0

r \ MEE ÍAYDESV. i i i v

-0, 3 * ' \ / i

/

á '.46, U./hj „2

i ¡ i » s

b 12

: • i 1 i — ^

k - - ....

12 15 18

Se puede demostrar que:

111

U v H

E(X) = e 2 = M x

V(X) = e^Y+CTY = 4

NOTACIÓN. Sea X ~ Ln (jix, aY2)

Se lee, la variable aleatoria X tiene distribución logaritmo normal (ó lognormal) con parámetros Hx Y °y2 •

NOTA 1. Las aplicaciones de la distribución logaritmo normal tienen que ver, entre otras con:

- Diámetro de partículas pequeñas después de un proceso de trituración. - Tamaño de un organismo bajo la acción de pequeños impulsos. - Duración de ciertos artículos. - Ciertas resistencias sometidas a esfuerzos. - Cuando la magnitud de las observaciones abarque varios ordenes de magnitud. - El grado de acidez, PH, de una sustancia. - Distribución del tamaño de las empresas en una industria - Distribución de la renta en un país

Ejemplo 23

La ganancia de corriente, X, en ciertos transistores se mide en unidades iguales al logaritmo de la relación de la corriente de salida con la de entrada (I0 /I¡ =X). Si este logaritmo, Y, es normalmente distribuido con parámetros ¡J.y=2, y aY

2= 0.01, calcule:

a. La probabilidad de que la razón de las corrientes de salida y entrada se encuentre entre 6.1 y 8.2. b. Valor esperado y varianza de la razón especificada.

Solución:

dx =0.8252

También es posible obtener el mismo resultado haciendo

P(6.1 < X < 8.2) = P(ln 6.1 < Y < ln8.2) = F z ^ l n 8 - 2 " 2 1 - F z í l n 6 - 2 " 2 ' V 0.1 J 0.1 )

= 0.85113 -0.027613=0.8252

f ln 6.2-2^1

b. E(X)=|^x=7.43, y V(X)= aY2= 0.56 => a x = 74833

112

2.9 Distribución de Rayleigh

Sí X es una variable aleatoria con distribución Weibull de parámetros a = 2; X = l/JlQ entonces X tiene distribución de RAYLEIGH cuyas características son:

x "

1. g x ( x ) = ^ e 2 0 2 x > 0 o

n 1 / 2 i 2. E(X)= - 0 nn2 - 0 2 0 X

e 2Ö

3. E(X2) = 202 => a

Describe por ejemplo:

-La amplitud de un campo electromagnético difundido por un gran numero de pequeños difusores.

-La amplitud del ruido en un receptor con modulación de amplitud cuando no hay señal.

NOTACION. X~R(0)

Se lee X tiene distribución Rayleigh con parámetro 0

Ejemplo 24

La amplitud de una señal de radar retrodifundida desde la superficie del mar sigue la distribución

R(0=l /V2 ). Encontrar el valor de la amplitud mínima x0 y que ocurre el 1% de las veces.

P(X > x0) = 0.01 => P(X<x 0 ) = 0.99 = e"(x° ^ de donde x 0 = 0.0100503

2.10 Distribución de Cauchy

Una variable aleatoria X con función de densidad

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NOTACIÓN. X ~ C (a, p)

Se lee: La variable aleatoria X tiene distribución de Cauchy con parámetros a, p.

- Algunas formas de la distribución Cauchy aparecen en la figura anterior, con parámetros (a, P)=(-3, 1), (a, P)=(0, 1.5), (a, p)=(3, 1).

- Aunque es simétrica alrededor de a (Moda y Mediana a la vez), su valor esperado no existe, así como algunos momentos de orden alto.

La función de distribución se denota por Fx (x) = — + — are tan g 2 7T

Sí X ~ U(-7I, n) => X ~ C ( a = 0 , p = l )

f \ x - a

2.11 Distribuciones Truncadas

En algunas ocasiones las variables aleatorias, asociadas a los modelos probabilísticos que se han estudiado, toman valores que corresponden a una parte de los que usualmente se trabajan, ó bien se delimitan a la izquierda ó a la derecha de los acostumbrados, y entonces se conocen dichas variables como variables aleatorias truncadas y a sus distribuciones como truncadas.

Sea una variable aleatoria X con función de densidad g x (x) xeÁ, entonces:

• Si X es truncada a la izquierda la identificamos como Y, tal que

gY(y) = i ^ a: punto donde se da la truncación de X Y [k g x (x ) y > a

k: constante que debe hallarse a partir de j gx (x) dx — 1 a

ó P(Y > a) = P(X >a) = 1 - P(X<a)

114

Si X es truncada a la derecha la identificamos como Y, tal que

q y > b D: P u n t o donde se da la truncación üe A gv(y) =

k 8x ( x ) y ^ k: constante que debe hallarse a partir de [ gx[X) dx—\

NOTA 1. Si X es una variable aleatoria discreta, el valor de k se determina con base en:

X P(X = x) = 1. Vx

Ejemplo 25

Suponga que X representa la duración de un componente y se distribuye normalmente con parámetros valor esperado y varianza iguales a 4. Se entiende que la variable no toma valores menores de cero, por lo tanto Y tendrá distribución truncada a la izquierda. Para encontrar la densidad de Y se tiene: 00 00

| gx(x)dx=\=j kgx{x)dx=kF(X>Q)=l{\ /1A x)]=£(l-^Z<-l))=0.977£^/t=l/0.977

Por lo tanto

O y < O

g * ( X ) y > O 0.977

gv(y) :

Ejemplo 26

Un sistema esta formado por n componentes que funcionan independientemente, cada uno con igual probabilidad P de funcionar correctamente. Cada vez que el sistema funciona mal se inspecciona a fin de establecer cuantos y cuales son los componentes que fallan.

Si se define la variable aleatoria X como el número de componentes que no funcionan de los n, entonces X se distribuye probabilísticamente según el modelo Binomial con parámetros n y (1 - P=Q). Teniendo en cuenta que el sistema se inspecciona cuando funciona mal entonces se define la variable Y como el número de los componentes que fallaron en el ̂ ístema descompuesto, la función de probabilidad de Y, equivale a la de X pero truncada en cero, se encuentra:

ÍO y < 0 FY(y) = kf x (x ) 0 < y < n

115

Para determinar k se hace

I P(Y = y) = l = k y = l

X P(X = x ) - P ( X = 0) x=0 1 — P11

3. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un test de elección múltiple de cuatro respuestas, una de las cuales es buena, tiene 50 preguntas. Suponiendo que un estudiante conteste sin pensar y responda todas las preguntas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste 30 o más preguntas buenas? b. ¿Conteste las necesarias para pasar el examen? c. Sí el instructor decide que no considerará ninguna calificación como aprobado, al menos

que la probabilidad de alcanzar o sobrepasar dicha calificación contestando sin pensar sea menor que 0.01. ¿Cuál es esa calificación?

2. Un interruptor eléctrico tiene vida útil según la distribución exponencial, dura en promedio 2 años. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos 30 en el primer año, si se instalan en diferentes sistemas: a. 50 interruptores, b. 100 interruptores, c. 150 interruptores.

3. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote están defectuosos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 fusibles estén defectuosos en una muestra aleatoria de 400. b. Encuentre la mediana de la variable aleatoria. c. ¿Cuál es la función generadora de momentos, el valor esperado y la varianza de ésta

distribución.

4. El conmutador de una oficina recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto. Determine la probabilidad de que:

a. En un minuto cualquiera ocurra al menos una llamada b. En un intervalo de 15 minutos sucedan al menos 3 llamadas. c. Se observen entre 6 y 10 llamadas por hora.

5. En la antigüedad, al perforar cada uno de los 80 caracteres de una tarjeta de un computador se podía cometer un error con probabilidad P, calcular la probabilidad de que al perforar todos los caracteres.

a. La tarjeta quede mal perforada. b. La tarjeta quede bien perforada. c. Se cometan entre 5 y 9 errores en 25 perforaciones realizadas. d. Ocurra el primer error en la perforación 12.

116

6. La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es 18 por 1.000.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad de un grupo de 500? b. Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable. c. Encuentre la probabilidad de que mueran 10 de un grupo de 1.000. d. Encuentre el número de muertes que pueden ocurrir como máximo en el 95% de los casos.

7. Un fabricante de bombillas eléctricas ha encontrado que en promedio, un 2% son deíectuosas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 bombillas seleccionadas al azar se encuentren 15 o más defectuosas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren entre 15 y 25 deíectuosas'/ c. ¿Cuál es la desviación estándar y el coeficiente de variación?

8. General Equipement Manufacturing asume que una de sus laminadoras están produciendo láminas de aluminio de varios gruesos. La máquina por lo general produce láminas de entre 75 y 150 milímetros de grueso. Se sabe que esta variable aleatoria tiene una distribución uniforme. Las láminas de menos de 100 milímetros de grueso no son aceptables para los compradores y se desperdician.

a. Encuentre el grosor promedio de las láminas de aluminio que produce esta máquina. b. ¿Cuál es la variación estándar en el grosor de las láminas que produce esta máquina? c. Averigüe la probabilidad de que una lámina producida por esta máquina tenga que

desperdiciarse.

9. El operario de una estación de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras horas de la tarde tiene aproximadamente una distribución exponencial con una media de 100 pies cúbicos por segundo (pcs).

a. Calcule la probabilidad de que la demanda exceda los 200 pcs durante las primeras horas déla tarde para un día seleccionado al azar.

b. ¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la estación durante las primeras horas de la tarde a fin de que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo con una probabilidad de solamente 0.01?

10. Los tiempos de respuesta en una terminal en línea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribución gamma, con una media de 4 segundos, y varianza de 8

a. Obtenga la función de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta. b. Utilice el teorema de Tchebycheff para obtener un intervalo que contiene por lo menos 75% de

los tiempos de respuesta. c. Repita b. Usando la distribución Gamma.

11. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenamiento que contiene una cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo interés para el distribuidor, mediante observaciones durante muchas

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semanas encontró que podría representar el modelo de esta proporción mediante una distribución beta con a=4 y p=2.

a. Encuentre la probabilidad de que el mayorista venda al menos 90% de su reserva durante una semana dada.

b. Determine la media, la mediana, la moda y la varianza de la variable aleatoria. c. Debe garantizar su abastecimiento en el momento de tener no menos del 5% de su reserva,

¿Con que probabilidad pondrá en peligro su negocio?

12. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tienen un entrenamiento avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes.

a. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista.

b. ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el primero con un entrenamiento avanzado?

c. Sí se toma una muestra aleatoria de 20 aspirantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 12 no tengan entrenamiento avanzado en programación computacional?.

13. El 10% de las máquinas producidas en una línea de montaje resultan defectuosas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la primera máquina defectuosa en la segunda prueba, si se seleccionan las máquinas aleatoriamente, una por una para probarlas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la tercera máquina en buen estado en: i. La quinta prueba? ii. La quinta prueba o antes?

c. Obtenga la varianza y la media del número de pruebas en la cual se encuentra: i. La primera máquina en buenas condiciones. ii. La tercera en buen estado.

14. Las resistencias que se utilizan en la construcción del sistema guía de un avión, tienen una duración que sigue una distribución Weibull con a=2 y A=0.1, medidos en miles de horas.

a. Encontrar la probabilidad de que una resistencia de este tipo seleccionada aleatoriamente tenga una duración mayor que 5000 horas.

b. Determine las duraciones entre las cuales esta el 90% de resistencias, con la restricción de que sean no mayores al 3% de las duraciones más altas.

c. Sí tres resistencias de este tipo operan independientemente, calcular la probabilidad de que exactamente una de las tres se queme antes de 5000 horas de uso.

15. Un dispositivo electrónico de conmutación ocasionalmente funciona mal con probabilidad 0.05 y puede ser necesario reemplazarlo. Se elabora un plan de chequeo que consiste en: Seleccionar 10 períodos de tiempo de longitud T aleatoriamente.

Reemplazar el dispositivo si se observan exactamente 3 periodos en los cuales falla.

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