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INVESTIGACIN DIDCTICA

285ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2000, 18 (2), 285-295

EL PROCESO DE DEFINIR EN MATEMTICAS.UN CASO: EL TRINGULOBARROSO CAMPOS, RICARDODepartamento de Didctica de las Matemticas. Universidad de Sevilla.

SUMMARY

Departing from two protocols that show the difficulties presented to define the triangle in primary school pupils, andthrough a theoretical framework based on Orton (1990), Herskhovits (1990), Tall and Vinner (1981) and Van Hiele(1981) to establish the meaning that the definition has in Mathematics, we accomplish a summary of definitions of theconcept of triangle in various original texts, as well as in material and computer programs.A short analysis of the definitions presented is accomplished and we offer certain theoretical evaluations to justify theanswers given by the students.

INTRODUCCINProtocolo 1

Entrevistador: Qu es un tringulo? M. Teresa (Alumna de 4 de primaria): Hum... (Sin saber qudecir.) Ent.: Si te digo que dibujes, en este papel, uno, sabeshacerlo? M.T.: Claro que s!

Protocolo 2

Ent.: (Sealando un tringulo rectngulo con los catetosparalelos a los lmites del papel, en una lmina con tringulosy figuras mixtas curvilneas de uno, dos o tres arcos) Es estoun tringulo? Estefana (Alumna de 3 de primaria): No... (Se quedapensando.) Ent.: Por qu...? Estefana: Le falta esta parte (Sealando con el dedo unatrayectoria geomtrica que completa un issceles.) para serlo.

Estos dos protocolos realizados con alumnas de uncolegio de primaria muestran:

El primero, las dificultades para expresar unadefinicin personal del concepto (personal conceptdefinition (Tall y Vinner, 1981)) de un polgonofundamental como es el tringulo, aunque se tengapor parte del alumno un determinado componente delesquema conceptual (Azcrate, 1992) (conceptimage, Tall y Vinner, 1981) y sea capaz de hacer undibujo. El segundo, que la imagen prototpica que la alum-na ha fijado en su mente le hace negar que la figurapresentada sea un tringulo (porque no se parece a loque se le ha enseado a identificar como tal), lo quesita a esta alumna en el nivel 1 de Van Hiele, dereconocimiento o visual (Hoffer, 1981; Clements yBattista, 1992). La misma alumna le da atributosirrelevantes como relevantes (ser issceles, en estecaso, como necesario para constituir tringulo) segnel esquema de Hershkowitz (1990).


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En este artculo presentamos un anlisis de la definicintanto formal como personal de conceptos matemticos,viendo determinadas implicaciones en el proceso deenseanza-aprendizaje y centrndonos en el caso deltringulo. Se muestran varias definiciones formales pre-sentadas en textos de diferente procedencia, clase y aode edicin, as como la manera en que se puede definiry construir con varios materiales y con tres programas deordenador.

En el momento actual, los recursos que el profesor dematemticas de cualquier nivel educativo puede tener encuenta para planificar sus acciones, llevarlas a cabo en elaula y reflexionar sobre los resultados (fases preactiva,activa y posactiva del proceso enseanza-aprendizaje)son los textos, materiales y programas de ordenador.

Debido a ello, los consideraremos para mostrar cmo lasdefiniciones formales de tringulo expuestas en los dife-rentes textos, las utilizaciones de los materiales para cons-truir tringulos y la manera cmo los programas de orde-nador (de simulacin geomtrica) trazan tringulos sobrela pantalla pueden influir tanto en las definiciones perso-nales como en los esquemas conceptuales de los alumnos.

LA DEFINICIN DE CONCEPTOS MATE-MTICOSSegn Orton (1990), no se puede esperar que los estu-diantes aprendan a travs de definiciones, siendo nece-sario utilizar ejemplos y contraejemplos para la defini-cin de un concepto matemtico. Para este autor, seaprende la triangularidad a travs de ejemplos de trin-gulos y del contraste con otras formas.

Probablemente, Estefana no haba recibido suficienteformacin en cuanto a ejemplos y contraejemplos deltringulo, llevando las propiedades de determinado tipo(issceles) a la categora de condicin necesaria para sertringulo.

Segn Tall y Vinner (1981) La mente humana no espuramente lgica; la forma compleja como funcionavara a menudo de la lgica matemtica. El comprendercmo ocurre este proceso, tanto con xitos como conerrores, nos lleva a formular una distincin entre elconcepto matemtico formalmente conocido y el proce-so cognitivo por el que se concibe [...] El esquemaconceptual (concept image) describe la estructuracognitiva completa que est asociada al concepto, coninclusin de todas las imgenes mentales, propiedades yprocesos asociados al mismo. Se construye a lo largo delos aos, mediante experiencias de todo tipo, cambiandocuando el individuo se encuentra con nuevos estmulosy hechos. (p. 151).Vinner (1991) seala que el esquema conceptual esalgo no verbal asociado en nuestra mente con el nombredel concepto. Puede ser una representacin visual delconcepto en el caso de que ste tenga representacionesvisuales [...]

Tall y Vinner (1981) establecen la definicin de unconcepto o concepto definicin (concept definition)como las palabras usadas para especificarlo. Puede serpersonal o formal, siendo esta ltima la que es aceptadapor la comunidad matemtica (p. 152).M. Teresa careca del concepto definicin del tringu-lo, aunque tena un componente del esquema conceptualdel mismo (una representacin mediante un dibujo).

Hershkowitz, 1990, p. 82.

Definicin del concepto

Clasificacin

Un conjuntomnimo

Atributosrelevantes

Ejemplos(positivos) del

concepto

TodosAlgunos

Atributosirrelevantes

Algunos

Ejemplosnegativos del

concepto

Algunos

Para Hershkowitz (1990), las relaciones entre los atribu-tos del concepto quedan reflejadas en el esquema ante-rior. Seala que el prototipo es la base para el juicioprototpico. Para cada concepto, los individuos usan elejemplo prototpico como un modelo en su juicio deotros casos.

En el protocolo 2 se puede observar claramente que laalumna ha establecido un determinado prototipo (eltringulo issceles o el equiltero) para sus juicios;es decir, ha atribuido lo que es un atributo irrelevante,el tener dos lados iguales, que poseen algunos trin-gulos (los issceles) como relevante y necesario para sertringulo.

Para determinados anlisis se utilizarn los niveles derazonamiento geomtrico de van Hiele, el cual consta decinco niveles (Hoffer, 1981).Nivel 1: Reconocimiento. El estudiante aprende algo devocabulario y aprende la forma como un todo.

Nivel 2: Anlisis. El estudiante analiza las propiedadesde las figuras.

Nivel 3: Ordenacin. El estudiante ordena lgicamentelas figuras y comprende las interrelaciones y la impor-tancia de definiciones precisas.


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APROXIMACIN MEDIANTE DIVERSOSTEXTOS DE LA DEFINICIN DE TRIN-GULOCmo se define el tringulo en los textos? Revisaremosvarios, que tienen diversas aplicaciones y usos, haciendodeterminados anlisis.

Debido a su carcter excepcional, comenzaremos estarevisin por un libro antolgico. El Euclidis Elemento-rum en la traduccin de Federici Commandini en laversin latina de Simson, conservado en la bibliotecauniversitaria de la universidad hispalense. Segn Puer-tas (1991), sta seal un paso a una fase superior delproceso de depuracin y rigor de las versiones de losElementos. Se utiliz sabiamente por Commandini elmaterial que tena a su disposicin: teoninos y escoliosque se conservaban en el Vaticano. Fue una versininfluyente hasta que apareci la versin de Peyrard(1814-1818).En su pgina 4, dice:

Nivel 4: Deduccin. El estudiante comprende el signifi-cado de deduccin y del papel de los postulados, teore-mas y demostraciones.

Nivel 5: Rigor. El estudiante comprende la importanciade precisin en el trato de la fundamentacin e interre-laciones entre estructuras.

Estefana haba aprendido vocabulario y consideraba laforma como un todo, lo que la situaba en el nivel 1.

Los cuatro marcos tericos referenciados, consideramosque estn relacionados entre s. La relacin entre losejemplos y contraejemplos propuestos por Orton y losatributos relevantes e irrelevantes indicados porHerskhovitz, entendemos que pueden dan lugar a un entra-mado para la construccin del concepto, logrando que seforje en el alumno un esquema conceptual adecuado.Tambin se podra alcanzar con dicho entramado el nivel2 de van Hiele, de manera que el alumno fuese capaz deestablecer y aplicar definiciones mediante el anlisis de laspropiedades de la figura, en este caso del tringulo.

Reproduccn de la portada y de la pgina 4 del Euclidis Elementorum (1756),autorizada por la Biblioteca Universitaria de la Universidad Hispalense.



XX. Rectilinae figurae sunt, quae rectis conteniturlineis.

XXI. Trilaterae quidem, quae tribus.

Obras generales sin implicaciones matemticas

Comenzamos la revisin desde una perspectiva cultural.

La Enciclopedia Universal Ilustrada Europeo America-na, de Espasa Calpe (1966), dice: Tringulo, la, F., In.,y C. Triangle, It. Triangolo, A. Dreleck, P. y E. Tringu-lo. (Etim. del latn triangulus), n. Geom. Figura forma-da por tres lneas que se cortan mutuamente. Esta obradedica 31 pginas a considerar mltiples propiedadesy teoremas. La expresin matemtica lneas es im-precisa.

En la Gran Enciclopedia Larousse (1977), se dedica altrmino casi una pgina, indicando su etimologa, dellatn triangulum, y siendo su segunda acepcin: n.m.Figura formada por tres puntos no alineados, y por tressegmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son losvrtices, y los tres segmentos, los lados). Esta defini-cin no considera tringulo al degenerado (Es trin-gulo la figura formada por tres segmentos sobre trespuntos alineados?...).En la Encyclopdia Britannica de Benton Publisher(1982), se encuentra: Triangle, geometrical figure for-med by three points that are not on a line. (Tringulo,figura geomtrica formada por tres puntos que no estnalineados). Se hace inmediatamente distincin entre eltringulo plano y el esfrico. Es la nica obra consultadaque hace esta distincin en la definicin. Al igual que laanterior obra, excluye el tringulo degenerado.

El Diccionario de la Lengua Espaola Cumbre deEverest (1990), indica: Tringulo: m. Figura forma-da por tres lneas que se cortan. Esta obra es de usoescolar.

En el Diccionario de la Lengua Espaola, de la RealAcademia Espaola (1992), el tringulo tiene tresacepciones. La segunda es la que nos interesa 2. m.Geom. Figura formada por tres rectas que se cortanmutuamente formando tres ngulos.

Esta definicin es casi la nica que incluye el hecho deformar tres ngulos, el cual subyace en la etimologa dela palabra (tri-ngulo). Es significativo que al polgonode cuatro lados en lugar de denominarlo cuadrngulo ledenominemos cuadriltero quiz por considerarse quecuadrngulo es una cacofona.

Obras que son especficas para consulta de matem-ticas sin ser libros de texto

En este apartado, revisamos cinco diccionarios o formu-larios de matemticas, que pueden formar parte de labiblioteca matemtica de un profesor.

En el Formulario Matemtico del Bachiller, de SM(1949), en Manuale Sintetico di Matematica, de Bvesi(1989) y en el Diccionario Oxford de Matemticas, deClapham (1992) no aparece ningn epgrafe dedicadoexpresamente al concepto, aunque s a algunas de suspropiedades; as, por ejemplo, expresiones de las medi-das de lados y otros elementos en los tringulos [...] enel primero de ellos.

Interpretamos que la falta de una definicin se debe aque, por ser una figura muy elemental, los autores no lahan considerado necesaria, dando por supuesto que ellector a quien se dirige el libro conoce el conceptoy su definicin, comenzando directamente por suspropiedades.

En el Diccionario Bsico de Matemticas, de Daz (1980),se define como polgono de tres lados o ngulos.

En Geometra sin esfuerzo, de Snchez (1983), se tienecomo definicin y caractersticas de un tringulo: Seentiende por tringulo una porcin de plano limitada portres rectas que se cortan dos a dos. Se representa por elsmbolo .

En esta definicin se hace una consideracin acerca delsmbolo que puede hacer comprender la respuesta dadaen el protocolo 2 por la alumna de 3 de primaria, alvisualizar de manera prototpica el tringulo, identifi-cndolo con la imagen que se le muestra.

Obras de texto

En este apartado consideramos imprescindible haceruna divisin temporal, debido a que en los aos sesentase produjo un movimiento estructuralista formal en loque se llam matemtica moderna y que se reflej, comoveremos, en los libros de texto. En primer lugar, revisa-remos textos hasta 1960. En segundo lugar, se agruparntextos que se publicaron desde 1961 hasta 1973 y, entercer lugar, desde 1974 hasta nuestros das.

Desde una perspectiva didctica, las definiciones quepresentan estos textos son un referente de suma impor-tancia para este artculo. A veces, en el desarrollo de lalabor del profesor y en el estudio realizado por losalumnos, el libro de texto ha sido el nico gua en elproceso de enseanza-aprendizaje.a) Obras de texto en el perodo 1884 a 1960En el Tratado de Geometra Elemental, de Cortzar(1884), en cuya pgina 2 hay una indicacin acerca de lascopias que en aquellos tiempos quiz se prodigasen,se indica: Habindose impreso subrepticiamente enPars las obras de Juan Cortzar, se hace presente quetodos los ejemplares de dicha procedencia estn plaga-dos de errores tan perjudiciales para los que se propon-gan estudiar en ellos como lo ha sido la falsificacin paralos intereses del legtimo propietario, que hace la publi-cacin solamente en Madrid. En ella se define: Sellama tringulo al polgono que tiene tres lados.



En Nociones y Ejercicios de Aritmtica y Geometra, deRuiz (1926), Tratado de Geometra de Tercer Grado, deBruo (1950) y Matemticas del Primer Curso de Ba-chillerato, de Baratech-Estevan (1958), se indica quetringulo es el polgono de tres lados.

En Matemticas. Revlida Elemental, 4, de Marcos yMartnez (1960), obra en cuya portada se observa a dosalumnos que estn haciendo un cono con una cartulina,se tiene en la leccin 14. Tringulos 157. Definicionesy clasificacin. Tringulo es una porcin de superficieplana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.Junto a la obra Geometra sin esfuerzo, de Snchez(1983) son las nicas consultadas en las que aparece enla definicin la palabra porcin.

En Geometra. Curso Superior, de Bruo (1960), seseala: Captulo II: Tringulos. 1- Generalidades. 57.Definicin. Tringulo es la figura plana formada poruna poligonal cerrada de tres lados. O de otro modo, unpolgono convexo de tres lados y tres ngulos. O tam-bin, la figura formada por tres rectas que se cortan dosa dos.

ste es el nico texto de esta seleccin en el que el autorhace referencia de tres definiciones. Es de resear elnfasis colocado en la segunda definicin al indicar queel polgono debe ser convexo, por dos motivos.

En primer lugar, es la nica vez que aparece el conceptopolgono convexo en esta revisin de definiciones.

En segundo lugar, habiendo dado el autor previamente ladefinicin de polgono convexo, Un polgono se llamaconvexo cuando todos sus puntos estn en el mismosemiplano respecto a uno cualquiera de sus lados, esuna redundancia incluir dicha caracterstica en la defi-nicin.

b) Obras de texto desde 1961 hasta 1973En El mundo de los nmeros. 5 curso, de Osuna y otros(1967), se indica: Los tringulos y sus propiedades: Eltrozo de plano limitado por 3 segmentos de recta se llamatringulo.

En Fundamentos de geometra, de Coexeter (1971) sededica el primer captulo al tringulo, pero sin dar unadefinicin del mismo. Es un estudio esplndido de pro-piedades y teoremas.

En Matemticas 5 curso de educacin general bsica,de Prada y Cela (1971), se dice en al apartado deltringulo. 1 tringulo. 1.1 Dibuja un ngulo MBP y larecta b, que no pase por el vrtice B y que corte a loslados del ngulo como indica la figura 1 1.2 Colorea ennaranja la interseccin del ngulo MBP con el semiplanode borde b, que contiene al punto B. Esta interseccin sellama tringulo.

Haba hecho su irrupcin la denominada matemticamoderna. Los autores indican en la introduccin: Estelibro est concebido como un instrumento al servicio del

trabajo personal del alumno orientado por el maestro queasume as la noble funcin de gua y orientador.

Aunque no est en el objetivo de esta revisin de ladefinicin del tringulo, consideramos significativo delo que ocurra en la poca incluir la definicin de polgo-no realizada por estos autores: Al conjunto de tringu-los, cada uno consecutivo con el siguiente, como lo sonlos de la figura 1, le llamars polgono. (Sin comenta-rios...)

Figura 1Prada y Cela, 1971, p. 173.

En Matemtica moderna, primer curso de segunda ense-anza, de Vzquez y Ramos (1972), se indica sobretringulos: Definamos dos puntos sobre una recta ytomemos un tercer punto que no est contenido en ella y,uniendo los otros puntos con l, veremos que hemospodido definir tres segmentos. Los tres puntos no estnalineados. Entonces, podemos decir: si en un plano setienen tres puntos no alineados y stos se unen por mediode segmentos, la figura formada se llama tringulo. Launin del conjunto de puntos interiores y los del contor-no representan una regin triangular.

Estos autores son, con Jimnez y Gonzlez (1973), losnicos de todos los textos consultados que diferencianentre contorno (frontera en el caso que veremos a conti-nuacin de Jimnez y Gonzlez) del tringulo y la regininterior del mismo.

Adems, aparece el concepto matemtico conjunto, quede alguna manera aglutin y marc la denominada (comoel libro en cuestin) matemtica moderna. Explcita-mente descarta, de los tringulos, el tringulo degene-rado.

En Matemticas 6, Libro de Consulta del Alumno, deJimnez y Gonzlez (1973), de considera: Concepto detringulo: Un ngulo convexo es el conjunto de semi-rrectas contenidas dentro de la regin angular AOB y



que tengan como origen el punto de interseccin de AOy BO, al cual se le llama vrtice. Tracemos un nguloconvexo y una recta que los corte. Observa. Hemosobtenido una figura formada por tres rectas que se cortandos a dos. Vamos a rayar dicha figura y, la lnea que sirvede frontera, de rojo. Los puntos interiores a la lnea rojaforman una figura que llamaremos tringulo.

Es de resear lo enrevesado y exclusivo de ladefinicin ofrecida.

Para terminar este apartado dedicado al perodo 1961-73, indiquemos que en el prlogo de Matemtica 1, deRojo y otros (1973) se escribe lo siguiente:Hemos realizado este primer texto procurando cumplir,entre otros, los siguientes objetivos: 1. Desarrollar elprograma para el primer ao del ciclo bsico, instrumen-tando los llamados temas nuevos de matemtica mo-derna como enfoque integrador del mismo, ms quecomo tpicos o puntos a exponer por separado [...]Indican estos autores: 2.15. Concepto de tringulo.Sean A, B y C tres puntos no alineados de un plano o. Lainterseccin de los semiplanos S [AB, C], S [BC, A], yS [AC, B] se llama tringulo ABC.Es una definicin que se distingue por su formalismo yel utilizar el concepto de semiplano que en esta revisin

ya ha aparecido dos veces: en Bruo (1960) al definir elpolgono convexo y en Prada y Cela (1971).La definicin dada por Rojo y otros (1973) se apartaclaramente del resto de las definiciones que estn en esteartculo. Podra ser incluida en el nivel 4 (de deduccinformal) de van Hiele (Hoffer, 1981; Clements y Battista1992). Explcitamente los autores tambin excluyen eltringulo degenerado.

c) Obras de texto desde 1974En Matemticas 1 EGB Ciclo Inicial, de Ferrero y otros(1981), se dice: Tringulo: Polgono de 3 lados.En Matemticas 3 EGB Ciclo Medio, de Ramos y otros(1988), se dice: Clasificacin de los polgonos por suslados: Tringulo: El tringulo tiene 3 lados, 3 vrtices y3 ngulos. Aparece en esta definicin el concepto dengulo, que no es frecuente.

En Tro, Educacin Primaria (Primer Ciclo) de Batallay otros (1992), se expone: el tringulo tiene 3 lados y 3vrtices, ante una figura que es un tringulo escalenocon los tres lados inclinados respecto a los lmites de lahoja.Estos autores muestran una serie de dibujos, entre loscuales hay una percha y una seal de trfico (tringulos),

Educacin primaria. Primer ciclo. Batalla y otros (1992). Reproducido con autorizacin de la editorial Vives.



una cinta de casete (rectngulo), una funda de un disco(cuadrado), una pelota de tenis y una rueda de bicicleta(crculos), para que los alumnos contesten a la pregunta:A qu figura se parece?

Consideramos, dado que este texto se corresponde a 1de educacin primaria, que la visualizacin (que, segnHershkowitz [1990], es la habilidad de representar,transformar, generar, comunicar y reflexionar sobre lainformacin visual) de la figura es necesaria antes deofrecer una definicin.

El tener ante s ejemplos y contraejemplos, de acuerdocon Orton (1990), permite al alumno captar la esenciadel concepto.

Tambin es de resear en este texto el uso de atributosirrelevantes como tal, siguiendo el esquema deHershkowitz (1990). El presentar en la misma hoja trestringulos, uno equiltero (la seal de ceda el paso), otroissceles con la base (el lado mayor) inclinada respectoal borde de la hoja (la percha), y otro escaleno,dos crculos, etc., permite al alumno distinguir el trin-gulo (cualquiera en cualquier posicin) de otras figurasgeomtricas.

En Discovering Geometry. An Inductive Aproach, deSerra (1993), se comienza definiendo el polgono:A polygon is a closed geometric figure in a plan formedby connecting line segments endpoint to endpoint witheach segment interescting exactly two others. (Unpolgono es una figura geomtrica cerrada en un planoformada por segmentos conectados por sus extremos ycada uno unido exactamente a otros dos.)A continuacin, en una tabla, se indica: You classifypolygons by the number of sides they have. (Clasifi-que los polgonos por el nmero de lados que tienen.)En el prefacio de este libro, escrito por Shaughnessy, seseala: Michel Serra ha escrito un libro de geometragenuinamente emocionante. Este libro es nico y en llos estudiantes crean geometra realmente por s mis-mos [...] Los conceptos son en primer lugar introducidosvisualmente, despus analticamente, luego inductiva-mente y, al fin, deductivamente. El espritu del texto esconsistente con las investigaciones recientes sobre eldesarrollo del pensamiento geomtrico en los jvenes,particularmente los niveles de pensamiento de vanHiele [...] El autor hace excelente uso de aproximacionesde contraejemplos y ejemplos que alientan a los estu-diantes a construir sus propias definiciones.

Terminamos esta revisin con el Cuaderno de Activida-des 1, de Fraile y otros (1996), en el que se puede ver enuna lmina: Busca los tringulos, varias copas de rbo-les, un frontal de una casa, varios tejados triangulares,una seal de ceda el paso, entre otras figuras geomtri-cas, como rectngulos, valos y elipses (aproximada-mente).A esta lmina, que est dirigida a una actividad dealumnos de 1 de primaria y que, en principio, est bien

estructurada, por ser visual, se le pueden hacer dosobjeciones desde la perspectiva de los prototipos: En primer lugar, todos los tringulos presentados sono equilteros, o issceles, por lo que la respuesta dada enel protocolo 2 por Estefana es coherente con lo quepuede haber entendido respecto al tringulo,

En segundo lugar, todos los tringulos de la lminatienen la base paralela a la base del papel, con lo que sepuede generar el conocimiento de que un atributo que esirrelevante segn el esquema de Hershkowitz (1990)anteriormente indicado, pase a ser relevante.

Resumen de las definiciones revisadas en los textos

a) Definicin de tringuloSalvo el perodo 1960-74, se puede decir que la defini-cin formal dada por los textos revisados de los aos1884-1996 es (lgicamente) similar, siendo un polgonode tres lados.

Es reseable cmo la denominada matemtica modernalleg a afectar a la definicin de un concepto matemticoelemental como el que nos ocupa.

Consideramos que el ejemplo de Batalla y otros (1992)es una magnfica muestra de definicin de un conceptomatemtico en el nivel correspondiente y que puedellevar a mejorar el proceso de enseanza-aprendizaje delas matemticas.

b) El tringulo como polgonoEn las obras citadas en los apartados anteriores sloaparece el concepto de polgono en una de las sietedefiniciones. Quiz el ser obras de consulta general hayainfluido en los autores de dichos textos a no incluir estetrmino matemtico en la definicin para que los lecto-res no versados en matemticas, que posiblemente seanmayoritarios, no tengan que recurrir a buscarlo. Puedeapoyar esta hiptesis el hecho de que no aparezca en lasobras del apartado sobre obras generales.

En los libros de texto hasta 1960, de seis definiciones,aparece el concepto de polgono en cinco; slo Marcosy Martnez (1960) no lo contiene. Sin embargo, estetexto, cuando define el polgono, seala: He aqu losnombres de varios polgonos, presentando una tablasegn el nmero de lados y nombre: 3 lados, tringulo.

En los cinco libros de texto realizados en la denominadamatemtica moderna, entre 1961 y 1973, el concepto depolgono est ausente en casi todos, pero creemos queahora el motivo es bien distinto del comentado sobre lasobras de consulta. Es de resaltar en este perodo ladefinicin hecha de polgono por Prada y Cela (1971)anteriormente citada, al considerarlo como conjunto detringulos consecutivos. Quiz el formalismo imperan-te en la poca hizo borrar de la definicin el hecho deser un polgono.



En los cinco libros de texto consultados desde 1974hasta nuestros das, el concepto de polgono vuelve aestar presente en tres de ellos y, en aqullos en los que noaparece, est, a nuestro juicio, justificado. Las dos obrasen cuestin son Tro, de Batalla y otros (1992) y Cuader-nos de Actividades, de Fraile y otros (1996), que estndirigidas a alumnos de primero de primaria, y en estecurso debe primar la visualizacin en el proceso deenseanza-aprendizaje de la geometra, con lo que ob-viar, decir, que un tringulo es un polgono a talesalumnos es necesario desde un punto de vista didctico.

c) Atributos de los tringulosEn casi todas las figuras presentadas, los tringulostienen un lado horizontal. Ello lleva a los alumnos aconsiderar como atributo relevante lo que es un atributoirrelevante. Una de las pocas excepciones se encuentraen Batalla y otros (1992), que se ha reproducido.Tambin es frecuente presentar tringulos issceles obien en algunos casos equilteros, como ocurre en Frailey otros (1996), con lo que en estos casos el prototipopuede llegar a ser considerado como exclusivo para losjuicios.d) Pueden estar los vrtices situados en lnea recta?La gran mayora no descarta explcitamente que losvrtices puedan estar situados en lnea recta, por lo queentiendo que se puede considerar el tringulo degene-rado, con sus vrtices en lnea recta.

TRINGULO Y MATERIALESA continuacin se realiza un breve anlisis de la utiliza-cin de materiales para presentar y construir el tringulo.Su utilizacin en clase, creo que puede permitir alalumno avanzar del nivel de reconocimiento en el queel estudiante aprende algo de vocabulario y aprende laforma como un todo al nivel 2 de anlisis en que elestudiante analiza las propiedades de las figuras (Hoffer,1981; van Hiele, 1999).

El geoplano, segn Dickson y otros (1991), facilita lacomprensin de las propiedades de las figuras. Billsteiny otros (1990) consideran que el geoplano es un recursopara las actividades que se realizan al nivel 1 visual deVan Hiele, precediendo con actividades intuitivas a laenseanza de frmulas de rea. As mismo, la NCTM(1989) lo recomienda para evaluar las destrezas deexpresin y comprensin oral de los alumnos.

Las distintas trazas geomtricas que pueden presentarlos geoplanos (cuadradas, triangulares...) son muy tilespara construir y trabajar distintos tipos de tringulos,ya que a travs de ellos se pueden estudiar sus propie-dades.

El tangram es otro recurso que, segn Canals (1994), estil para ordenar figuras, componer, descomponer y

transformar una figura en otra. Permite construir muydiversos tipos de tringulos.

El mecano, con varillas de distinta longitud que seenlazan con pequeas tuercas, permite construir trin-gulos de diversos tipos.

La simple hoja de papel, mediante los cortes pertinentespermite construir un tringulo que se puede manipu-lar y, haciendo las dobleces oportunas, por ejemplo,trazar las rectas notables del mismo, con lo que sepueden analizar propiedades.

M. Teresa, a propuesta del entrevistador, se ofreci arepresentar mediante un dibujo con lpiz y papel eltringulo.

TRINGULO Y ORDENADORCmo definen (construyen sobre la pantalla) los pro-gramas de ordenador el tringulo? Veamos tres casos:Win-Logo, Cabri-Gomtre y Cabri II nos servirn parael propsito.

a) Win-Logo (1995) de LongmanAbelson y diSessa (1980) sealan que lo ms importan-te a tener en cuenta acerca de la geometra de la tortugaes ser una matemtica diseada para la exploracin, noslo para presentar teoremas y demostraciones.

Estas palabras del primer captulo parecen premonito-rias de las consideraciones actuales acerca del procesode enseanza-aprendizaje de la geometra (van Hiele,1999).Serra (1993) incorpora este programa a sus Computeractivity, en sus Regular Polygons and Star Polygonswith Logo.

El siguiente procedimiento de Win-Logo nos da comoresultado un tringulo:

to triangulo: a: ang: b; vamos a crear un procedimientocon tres variables

fd: a; le indicamos a la tortuga que avance :art: ang ; la tortuga gira un ngulo de (:ang), con lo queel correspondiente ngulo del tringulo tendr (180 - :ang)fd: b; la tortuga avanza: bhome; la tortuga recorre el camino hasta el punto departida, con lo que el tringulo queda construido

ht; la tortuga desaparece para que en la zona de graphicsslo est el tringulo

end; finalizamos el correspondiente procedimiento.



Tringulo construido por Win-Logo en el procedimiento tringulocon las variables 30 140 50.

El programa nos indicar en la zona de text: You havedefined tringulo. As pues, una vez que el procedi-miento ha sido preparado, mediante la orden: tringulo30 140 50, por ejemplo, el programa construir untringulo.

Las posibilidades que dan las variables introducidaspermiten que, por ejemplo, si tenemos un laboratorio dematemticas, cada alumno construya en su ordenador untringulo diferente al resto. Es de notar que, si el ngulode giro es justo de 180o, el tringulo es el degenerado.Dependiendo de las caractersticas de los alumnos, lasesin de trabajo puede continuar de muy distintas for-mas: Cunto mide el tercer lado? Cunto miden losotros dos ngulos?...

b) Cabri-Gomtre (Versin 1.7) (1988-92)Este programa de simulacin geomtrica Cabri (Cahierde Brouillon Interactive (Cuaderno de trabajo interacti-vo) fue desarrollado en el Laboratorie de StructuresDiscrtes et de Didactique del Institut dInformatique etMathmatiques Appliques de la Universit Joseph Fourierde Grenoble, por Jean Marie Laborde y Frank Belle-main. Permite, mediante el men Creacin, comandoTringulo, construir un tringulo, bien en puntos crea-dos sobre la marcha, bien en puntos previamenteconstruidos, ya sea aislados, ya sea sobre un objetoprevio. Permite construir un tringulo degenerado?La respuesta es que s.

Permite tambin, una vez construido, medir las longitudesde sus lados, marcar sus ngulos y medir sus amplitudes.

Desde una perspectiva que se puede denominar geome-tra dinmica, permite, arrastrando cualquier vrtice,modificar el tringulo inicial, con la caracterstica deque todos los elementos, relaciones y propiedades semodifican versus el nuevo tringulo obtenido.

c) Cabri-Gomtre II1 (Versin 1.1) (1988-96)Para construirlo, podemos ir seleccionando los vrticessobre cualquier figura que tengamos dibujada o bienhacerlo sobre la marcha.

Usando el cuadro de herramientas Medir, podemosmedir su permetro y su rea, lo que la versin anteriorno permita (meda las longitudes de cada uno de loslados, y el rea no tena presencia en los mens).En segundo lugar, podemos modificar el tringulo devarias maneras:

Arrastrando los vrtices. Si los vrtices estn aisla-dos, podremos movernos libremente por toda la zona dedibujo (que mediante Control y Clic del ratn si-multneo podremos ir vindola). Si estn ligados a unadeterminada figura, sta restringir el movimiento delvrtice, a no ser que tomemos Fijar/Liberar del cuadrode herramientas Ver, en cuyo caso no podremos arras-trarlo. Si hemos pedido el permetro y el rea, irncambiando de valor en funcin de los tringulos sucesivos.

Trasladando, girando, o realizando semejanzas.Consideramos que estas posibilidades indican que esteprograma de simulacin geomtrica toma el tringulocomo un objeto matemtico al poder operar geomtri-camente con l.

Construccin de un tringulo con Cabri II. Se ha seleccionado unvrtice en la zona de dibujo independiente, otro sobre un objeto(el segmento) y el tercero nos pregunta si se desea que est sobre

otro objeto (la circunferencia).

El tringulo es una fuente inagotable de propiedades yteoremas. El teorema de Morley (Coexeter, 1971), quese descubri a principios del siglo XX, indica que, dadocualquier tringulo, si trazamos las trisectrices de lostres ngulos y buscamos los tres puntos de interseccinms cercanos a los lados, estos puntos construyen untringulo equiltero. El programa Cabri II incorpora pordefecto una macro (Trisecta.mac) para la triseccin dengulos y una figura presentando el teorema (Trisec.fig).Con relacin a los protocolos que han sido hilo conduc-tor de este artculo, las alumnas de 3 y 4 de primaria no



haban realizado ninguna sesin de laboratorio inform-tico de matemticas, lo que es lgico en cuanto a Cabri,en sus dos versiones.

Consideramos que Cabri es para alumnos de 6 de prima-ria en adelante, debido a las implicaciones geomtricasque tienen sus mens y comandos (bisectriz, mediatriz,lugar geomtrico...).En cuanto a Win-Logo, segn Abelson y diSessa (1980)es un lenguaje que puede servir para trabajar a multitudde estudiantes, desde preescolar hasta alumnos de pos-doctorado. As, pues, consideramos que s podan habertenido experiencias con l, pero tampoco haban tenidoposibilidades de utilizarlo.

CONCLUSIONESHemos realizado un estudio del tringulo desde la pers-pectiva de la definicin ofrecida del concepto en diver-sos textos, construccin con diversos materiales y porprogramas de ordenador.

Los textos presentan definiciones en funcin del lector ydel momento en que se escriben, habiendo un parntesistemporal en la poca de la denominada matemticamoderna.

Los materiales analizados (tangram, mecano, papel ygeoplano) no tienen las mismas caractersticas, y cadauno tiene posibilidades didcticas diferentes, siendo elprofesor el que, teniendo en cuenta el contexto escolar,delimite aquellas caractersticas que desee resaltar paraobtener un fin adecuado.

En cuanto a los programas informticos, considero queson un estmulo y que un aula convenientemente adecua-da puede convertirse en un laboratorio de matemticas,donde el alumno experimente, haga conjeturas, explore,se equivoque, aclare sus ideas, verifique sus aciertos,aprenda conceptos, compruebe teoremas.

La correcta integracin en el aula de los textos, materia-les y programas de ordenador puede permitir unas defi-niciones matemticas que superen las dificultades de:

considerar atributos exclusivos de determinados con-ceptos especficos (como el tener dos lados iguales)como atributos de un concepto como, por ejemplo, eltringulo,

tener un esquema conceptual muy limitado y podertenerlo lo ms completo posible.

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AGRADECIMIENTOSDeseo agradecer al profesor Jos Mara Gaviln Izquierdo sussugerencias durante la redaccin del artculo, as como lasrecomendaciones de los dos asesores de la revista.

NOTA1 Deseo agradecer al ICE de la Universidad de Sevilla la ayuda

prestada el curso 1997-98 al Proyecto Software en el aprendi-zaje de las matemticas, dirigido por J.M. Gaviln y que contcon la participacin de A. Ariza, A. Snchez, y R. Barroso,para la licencia del programa.



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[Artculo recibido en marzo de 1999 y aceptado en febrero de 2000.]

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21672-21596-1-PB