A. Một số kiến thức cơ bản

I. Phương trình mặt phẳng

1. Viết phương trình mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

Dạng 1: Cho mặt phẳng đi qua

0 0 0; ;M x y z và chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương) có vectơ chỉ phương lần lượt là a

và b

,n a b

là vectơ pháp tuyến của .

Dạng 2: Cho mặt phẳng đi qua

0 0 0; ;M x y z và song song với mặt

phẳng : 0.ax by cz d

0 0 0: 0a x x b y y c z z .

Dạng 3: Cho mặt phẳng đi qua ba điểm A; B; C không thẳng hàng.

,n AB AC

là vectơ pháp tuyến của .

Dạng 4: Cho mặt phẳng đi qua điểm M và một đường thẳng d không chứa M.

Trên d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là ,u n AM u

là một vectơ pháp tuyến của

Dạng 5: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến của .

Dạng 6: Cho mặt phẳng đi qua 2

đường thẳng cắt nhau 1 2;d d .

- Xác định các vtcp ;a b

của 1 2;d d .

- vtpt của là , .n a b

- Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng trên từ đó viết phương trình mặt phẳng

Dạng 7: Cho mặt phẳng chứa 1d và

song song với 2d (hai đường thẳng này

- Xác định các vtcp ;a b

của 1 2;d d .

chéo nhau). - vtpt của là ,n a b

.

- Lấy một điểm 1M d (Vì 2d không nằm trong

).

Dạng 8: Cho mặt phẳng song song

với hai đường thẳng 1 2;d d chéo nhau và đi qua điểm M.

- Xác định các vtcp ;a b

của 1 2;d d .

- vtpt của là ,n a b

.

- Viết phương trình đi qua M và có vtpt n

.

Dạng 9: Cho mặt phẳng song song

với hai đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng .

- Xác định vtcp u

của d và vtpt n

của .

- Một vtpt của là , .n u n

- Lấy M d và viết phương trình mặt phẳng .

Dạng 10: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ; .

- Xác định ctpt của và lần lượt là ;n n

.

- Một vtpt của là ;n n n

.

Dạng 11: Cho mặt phẳng đi qua đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k.

- Giả sử có phương trình

2 2 20, 0 .ax by cz d a b c

- Lấy hai điểm ; ;A B d A B ta được hai phương trình (1);(2). - Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3). - Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.

Dạng 12: Cho mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

;S I R tại điểm A.

Vtpt của : .n IA

2.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng 1 2;P P lần lượt có phương trình

1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0P a x b y c z d P a x b y c z d ,

với 2 2 21 1 1 0 1;2 a b c i . Khi đó

1 1 1 2 2 21 21 2

1 2 1 2

; ; ; ;//

a b c k a b cn knP P

d kd d kd

1 1 1 2 2 21 21 2

1 2 1 2

; ; ; ;a b c k a b cn knP P

d kd d kd

1P cắt 2 1 2 1 1 1 2 2 2; ; ; ;P n kn a b c k a b c

2 1 2 1 2 1 2 0P P a a b b c c

3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng : 0P ax by cz d , với 2 2 2 0a b c và điểm

0 0 0; ;M x y z . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng P là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn

thẳng vuông góc với P tại H (hình 7.6).

Độ dài MH được tính bằng công thức

0 0 0

2 2 2;

ax by cz dd M P MH

a b c

Hệ quả

Với : 0P ax by cz d và

2 2 2' : ' 0 0; ' P ax by cz d a b c d d là hai mặt phẳng song song thì khoảng cách

giữa P và 'P được tính bằng công thức: 2 2 2

'; '

d dd P P

a b c

4. Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng P và Q , kí hiệu ,P Q là góc giữa hai đường thẳng a và b mà

a P và b Q .

Từ đó suy ra 0 , .2

P Q

Từ đây ta có

.cos ; cos ,

.P Q

P QP Q

n nP Q n n

n n

II. Phương trình đường thẳng

1. Viết phương trình mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B.

- Vtcp của d là u AB

Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua 0 0 0; ;M x y z và song song với

- Vì //d nên vtco của cũng là vtcp của d.

Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua 0 0 0; ;M x y z và vuông góc với mặt phẳng

cho trước.

- Vì d nên vtpt của P cũng là vtcp của d.

Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ; .P Q

- Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp + Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ

phương trình P

Q

+ Tìm 1 vtcp của d: , .P Qu n n

- Cách 2: Tìm hai điểm ;A B d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.

Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0; ;M x y z và vuông góc với 2 đường

thẳng 1 2; .d d

- Vì 1 2;d d d d nên một vtcp của d là

1 2, .d du u u

Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0; ;M x y z , vuông góc và cắt đường

thẳng 1.d

- Gọi H là hình chiếu của M trên 1.d

Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H.

Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0; ;M x y z và cắt 2 đường thẳng 1 2; .d d

- Cách 1: Gọi 1 1 2 2; .M d M d Từ điều kiện

1 2; ;M M M thẳng hàng ta tìm được 1 2;M M phương trình d.

- Cách 2: Gọi 1 2, ; ;P M d Q M d .

Khi đó .d P Q Do đó , .d P Qu n n

Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P và cắt hai đường thẳng

1 2; .d d

1 2;A d P B d P d đi qua A;B.

Dạng 9: Cho đường thẳng //d và cắt hai đường thẳng 1 2; .d d (Biết luôn cắt 1 2;d d)

Viết phương trình mặt phẳng P chứa và

1d , mặt phẳng Q chứa và 2d . Khi đó

.d P Q

Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 2; .d d

Cách 1: Gọi 1 1 2 2;M d M d . Từ điều kiện

1 2 1

1 2 2

M M dM M d

ta tìm được 1 2; .M M Khi đó d là

đường thẳng 1 2.M M

Cách 2: - Vì 1 2;d d d d nên có một vtcp là

1 2, .d du u u

- Lập phương trình mặt phẳng P chứa d và

1d :

+ Lấy một điểm A trên 1d .

+Một vtcp của P là 1

, .P dn u u

- Lập phương trình mặt phẳng Q và chứa 2.d

- Khi đó .d P Q

Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng P .

- Lập phương trình mặt phẳng Q chứa

và vuông góc với P .

+ Lấy .M

+ Vì Q chứa và vuông góc với P nên

, .Q Pn u u

- Khi đó .d P Q

Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông gó với 1d và cắt 2d .

- Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và 2d . Từ

điều kiện 1MN d , ta tìm được N. Khi đó d là đường thẳng MN. - Cách 2:

+ Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và

vuông góc với 1d

+ Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M và

2d . Khi đó d P Q .

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a. Cách 1

1. 1 2 khi và chỉ khi ba vectơ 1 2 1 2; ;u u M M

đôi một cùng phương, tức là

1 2 1 1 2, ,u u u M M

=0 (hình 7.7).

2. 1 2// khi và chỉ khi 1 2//u u

nhưng không cùng phương với 1 2M M

, tức là 1 2

1 1 2

, 0

, 0

u u

u M M

(hình 7.8)

3. 1 và 2 cắt nhau khi và chỉ khi 1u

không cùng phương với 2u

, đồng thời ba vectơ 1 2,u u

và

1 2M M

đồng phẳng, tức là 1 2

1 2 1 2

, 0

, . 0

u u

u u M M

(hình 7.9)

4. 1 và 2 chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ 1 2,u u

và 1 2M M

không đồng phẳng, tức là

1 2 1 2, . 0u u M M

(hình 7.10)

b. Cách 2 Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai ẩn như sau:

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

' ' '' '' ' '

x ta x t ay ta y t az ta z t a

(1)

1. Hai đường thẳng d và 'd cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm.

2. Hai đường thẳng d và 'd chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô nghiệm và 1u

không cùng phương với 2u

.

3. Hai đường thẳng d và 'd song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và 1u

cùng phương

với 2u

.

4. Hai đường thẳng d và 'd trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.

3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng

Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ phương u

. Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến (hình 7.11)

Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP u

. Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ M của tam

giác MNP. Vì 2 MNPSMHNP

nên .

;u NM

d Mu

Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.

b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

2

1 2

1

1

2

, .;

,

u ABud

u u

4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng a. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 2,d d được kí hiệu là 1 2,d d , được xác định bởi các trường hợp:

- Nếu 1d cùng phương với 2d thì 1 2, 0.d d

Nếu 1d và 2d cắt nhau tại I thì 1 2,d d bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo thành.

- Nếu 1d và 2d chéo nhua thì 1 2, ,d d a b trong đó 1 2,// //a d b d và 1 .a b (Hình 7.13)

Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.

Do vậy 1 20 , .2

d d Do vạy nếu đặt 1 2,d d thì ta có

1 21 2

1 2

,cos cos ,

.

u ud d

u u

b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

- Nếu d P thì , 90d P .

- Nếu d không vuông góc với P thì ,d P bằng góc giữa d và hình chiếu của d trên P

(hình 7.14).

Ta có 0 ,2

d P

Gọi ,u n

lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Khi đó nếu

đặt ,d P thì

,

sin cos ,.

u nu n

u n

Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1;2;1 , 3;0; 1A B và mặt phẳng

: 1 0.P x y z Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên .P Độ dài đoạn thẳng MN là

A. 2 3 B. 4 23

C. 23

D. 4

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;1A và mặt phẳng

: 2 2 1 0.P x y z

Gọi B là điểm đối xứng với A qua P . Độ dài đoạn thẳng AB là

A. 2 B. 43

C. 23

D. 4

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1;2;1a

, 2;3; 4b

, 0;1;2c

và

4;2;0d

. Biết d xa yb zc

. Tổng x y z là

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm 1;2;1A và đường thẳng 1 2:1 1 1

x y zd

.

Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d là A. 1 0x y z B. 1 0x y z

C. 0x y z D. 2 0x y z

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 2 1 0P x y z và

: 2 5 0Q x y z . Khi đó giao tuyến của P và Q có một vectơ chỉ phương là

A. 1;3;5u

B. 1;3; 5u

C. 2;1; 1u

D. 1; 2;1u

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;1 .M Mặt phẳng P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là A. 54 B. 6 C. 9 D. 18

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2:2 1 4

x y zd

và mặt cầu

2 2 2: 1 2 1 2S x y z . Hai mặt phẳng P và Q chứa d và tiếp xúc với S . Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là

A. 2 2 B. 43

C. 6 D. 4

Câu 8: Cho hai điểm 3;3;1 , 0;2;1A B và mặt phẳng : 7 0.P x y z Đường thẳng d

nằm trên P sao cho mọi điểm của d và cách đều hai điểm A,B có phương trình là

A. 7 32

x ty t tz t

B. 7 32

x ty t tz t

C. 7 32

x ty t tz t

D. 27 3

x ty t tz t

Câu 9: Cho bốn điểm ; 1;6 , 3; 1; 4 ,A a B 5; 1;0 , 1;2;1C D và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là: A. 1 B. 2 C. 2 hoặc 32 D. 32

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 5 0P x y z . Điểm nào

dưới đây thuộc P ?

A. 2; 1; 5Q B. 0;0; 5P

C. 5;0;0N D. 1;1;6M

Câu 11: Cho hai đường thẳng 1

2 1: 1

2

xd y t t

z t

và 1

2 2: 3

x td y t

z t

. Mặt phẳng cách

đều hai đường thẳng 1d và 2d có phương trình là

A. 5 2 12 0x y z

B. 5 2 12 0x y z

C. 5 2 12 0x y z

D. 5 2 12 0x y z

Câu 12: Cho đường thẳng 1 1 2:2 1 1

x y zd . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng

Oxy là

A. 010

xy t tz

B. 1 2

10

x ty t tz

C. 1 2

10

x ty t tz

D. 1 21

0

x ty t tz

Câu 13: Cho 2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3A B C , điểm D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

A. 0; 7;0

B. 0; 7;0 hoặc 0;8;0

C. 0;8;0

D. 0;7;0 hoặc 0;8;0

Câu 14: Cho 5;1;3 ,A 5;1; 1 ,B 1; 3;0C , 3; 6;2D . Tọa độ của điểm A đối xứng với A

qua mặt phẳng BCD là

A. 1;7;5 B. 1;7;5

C. 1; 7; 5 D. 1; 7;5

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;6; 3M và ba mặt phẳng

: 2 0;P x : 6 0; : 3 0.Q y R z Trong các mệnh đề sau, mệnh đều sai là

A. P đi qua M B. //Q Oxz

C. //R Oz D. P Q

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng qua 1;2;3M và vuông

góc với : 4 3 7 1 0Q x y z . Phương trình tham số của d là

A. 1 42 33 7

x ty t tz t

B. 1 42 33 7

x ty t tz t

C. 43 27 3

x ty t tz t

D. Đáp số khác

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2; 3; 1 ; 4; 1;2A B . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là

A. 4 4 6 7 0x y z

B. 2 3 3 5 0x y z

C. 4 4 6 23 0x y z

D. 2 3 9 0x y z

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 3 3 0x y mz và

: 2 2 2 0.x ny z Giá trị của m và n để hai mặt phẳng và song song với nhau là

A. 23;3

m n

B. Không có giá trị của m và n

C. 23;3

m n

D. 23;3

m n

Câu 19: Cho điểm 1;0;0M và đường thẳng 1: .1 2 1

x y zd Gọi ' ; ;M a b c là điểm đối

xứng với M qua d. Giá trị của a b c là

A. 1 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 0P x y z và

: 2 1 0Q x y z . Góc giữa P và Q là

A. 45 B. 90 C. 30 D. 60

Câu 21: Cho điểm 3;2;4M , gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz.

Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC .

A. 6 4 3 12 0x y z

B. 3 6 4 12 0x y z

C. 4 6 3 12 0x y z

D. 4 6 3 12 0x y z

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 4; 2;4A và đường thẳng

3 1 1:2 1 4

x y zd

. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường

thẳng d.

A. 4 2 4:4 4 1

x y z

B. 4 2 4:1 2 1

x y z

C. 4 2 4:2 2 1

x y z

D. 4 2 4:3 2 1

x y z

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 1;0;0 , 0;3;0A B và 0;0; 4C .

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ABC ?

A. 13 1 4x y z

B. 1

1 4 3x y z

C. 11 3 4x y z

D. 1

4 3 1x y z

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm

2;1;1 . 3;2;2A B và vuông góc với mặt phẳng 2 5 3 0x y z .

A. : 7 6 7 0P x y z

B. : 7 6 7 0P x y z

C. : 3 2 0P x y z

D. : 3 5 0P x y z

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c với

a, b, c là những số dương thay đổi sao cho 2 2 24 16 49a b c . Tính tổng 2 2 2F a b c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC là lớn nhất.

A. 494

F B. 495

F

C. 514

F D. 515

F

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 3;5; 5 , 5; 3;7A B và mặt

phẳng : 0P x y z . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết rằng điểm M thuộc P sao cho 2 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất?

A. 3OM B. 1OM

C. 0OM D. 10OM

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

3; 4;1H và cắt các trục tọa độ tại các điểm M, N, P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP.

A. 3 4 26 0x y z

B. 2 1 0x y z

C. 4 3 1 0x y z

D. 2 6 0x y z

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ 5;7;2 , 3;0; 4 , 6;1; 1a b c

.

Tìm tọa độ của vectơ 3 2m a b c

.

A. 3;22; 3m

B. 3;22; 3m

C. 3;22;3m

D. 3; 22;3m

Câu 29: Cho điểm 3;2;1M . Mặt phẳng P đi qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox. Oy, Oz tại

A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng P là

A. 03 2 1x y z B. 6 0x y z

C. 3 2 14 0x y z D. 13 2 1x y z

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ;0;0 ,B 0;b;0 , 0;0;A a C c với a, b, c

dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho 2a b c . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng P cố định. Tính

khoảng cách từ 2016;0;0M tới mặt phẳng P .

A. 2017 B. 20143

C. 20163

D. 20153

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2

:2 3

x td y t t

z t

và

mặt phẳng : 2 2 0P x y z . Giao điểm M của d và P có tọa độ là

A. 3;1; 5M B. 2;1; 7M

C. 4;3;5M D. 1;0;0M

Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại

ba điểm. Phương trình của là

A. 04 2 6x y z

B. 12 1 3x y z

C. 3 6 2 12 0x y z

D. 3 6 2 1 0x y z

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 3 0P x y z và ba

điểm 0;1;2 ,A 1;1;1 ,B 2; 2;3C . Tọa độ điểm M thuộc P sao cho MA MB MC

nhỏ

nhất là

A. 4; 2; 4 B. 1;2;0

C. 3; 2; 8 D. 1;2; 2

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2

: 12

x td y mt t

z t

và

mặt cầu 2 2 2: 2 6 4 13 0S x y z x y z . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt S tại hai điểm phân biệt? A. 5 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 35: Viết phương trình đường thẳng d qua 1; 2;3M và vuông góc với hai đường thẳng

1 2

11 1: , : 2 .

1 1 31 3

x tx y zd d y t t

z t

A. 1

23

x ty t tz

B. 1 3

23

x ty t tz t

C. 11 23

x ty t tz t

D. 1

23

xy t tz t

Câu 36: Viết phương trình mặt phẳng Q chứa đường thẳng 2 3 4:2 3 1

x y zd và vuông

góc với mặt phẳng Oyz.

A. 2 4 0x y z B. 3 15 0y z

C. 4 7 0x y D. 3 2 0x y z

Câu 37: Cho mặt phẳng : 3 0P x y z và đường thẳng 1 1:3 1 1

x y zd

. Phương

trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt đường thẳng d và vuông góc với 1; 2;3u

là

A. 1 1 11 2 1

x y z

B. 8 2 31 2 1

x y z

C. 2 31 2 1x y z

D. 8 2 31 2 1

x y z

Câu 38: Cho mặt phẳng P đi qua các điểm 2;0;0 , 0;3;0 , 0;0; 3A B C . Mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

A. 1 0x y z B. 2 2 1 0x y z

C. 2 3 0x y z D. 2 3 1 0x y z

Câu 39: Cho tam giác ABC có 1;2;3A , 3;0;1 , 1; ;B C y z . Trọng tâm của tam giác ABC

thuộc trục Ox khi cặp ;y z là

A. 1;2 B. 2;4

C. 1; 2 D. 2; 4

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

phẳng đi qua điểm 3; 1;1M và vuông góc với đường thăng 1 2 3:3 2 1

x y z

?

A. 3 2 12 0x y z

B. 3 2 8 0x y z

C. 3 2 12 0x y z

D. 2 3 3 0x y z

Câu 41: Cho ABC có 3 đỉnh ;0;0A m , 2;1;2 , 0;2;1B C . Để 352ABCS thì

A. 1m B. 2m C. 3m `D. 4m

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ 1; ;2 ; 1; 2; 2 ; 0; 2;2a m b m c m

. Giá trị của m để , ,a b c

đồng phẳng là

A. 25

B. 25

C. 15

D. 1

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm 9;1;1M cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là

A. 816

B. 2432

C. 243 D. 812

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : 2 1 0P x y z ,

: 2 0Q x y z , : 5 0R x y . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Q R B. P Q

C. //P R D. P R

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P , cắt trục tọa độ tại 8;0;0M ,

0;2;0 , 0;0;4N P . Phương trình mặt phẳng P là:

A. 4 2 8 0x y z B. 4 2 8 0x y z

C. 14 1 2x y z D. 0

8 2 4x y z

Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ O và vuông

góc với hai mặt phẳng : 2 3 1 0Q x y z ; : x 2 y z 0R . Phương trình mặt phẳng P là

A. 7 5 0x y z B. 7 5 0x y z

C. 7 5 0x y z D. 7 5 0x y z

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1;1;2 , 3; 1;1A B và mặt phẳng

: 2 1 0P x y z . Mặt phẳng Q chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là

A. 4 3 2 0x y z

B. 2 2 4 0x y z

C. 4 3 2 11 0x y z

D. 4 3 2 11 0x y z

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm 1; 1;1 , 0;1; 2A B và điểm M

thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Giá trị lớn nhất của biểu thức T MA MB là

A. 6 B. 12 C. 14 D. 8

Câu 49: Cho ba điểm 1;6;2 , 5;1;3A B , 4;0;6C , khi đó phương trình mặt phẳng ABC là:

A. 14 13 9 110 0x y z

B. 14 13 9 110 0x y z

C. 14 13 9 110 0x y z

D. 14 13 9 110 0x y z

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng

1

1 2: 2 3

5 4

x td y t t

z t

và 2

7 32 2

1 2

x md y m m

z m

là:

A. Chéo nhau B. Cắt nhau C. Song song D. Trùng nhau

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 2;1;0 , 3;0;4 , 0;7;3A B C .

Khi đó cos ,AB BC

bằng

A. 14 118354

B. 7 118177

C. 79857

D. 79857

Câu 52: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có 2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7A B C ,

5; 4;8D . Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

A. 11 B. 457

C. 55

D. 4 33

Câu 53: Cho điểm 1;2; 1M . Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ 0;0;0O và cách M một khoảng lớn nhất.

A. 2 0x y z B. 11 2 1x y z

C. 0x y z D. 2 0x y z

Câu 54: Tìm điểm M trên đường thẳng 1

: 12

x td y t t

z t

sao cho 6AM , với 0;2; 2 .A

A. 1;1;0M hoặc 2;1; 1M

B. 1;1;0M hoặc 1;3; 4M

C. 1;3; 4M hoặc 2;1; 1M

D. Không có điểm M nào thỏa mãn.

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1;2; 1 , 0;4;0A B và mặt phẳng

P có phương trình 2 2 2015 0x y z . Gọi là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng Q đi qua

hai điểm A, B tạo với mặt phẳng P . Giá trị của cos là

A. 19

B. 16

C. 23

D. 13

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1:2 1 1

x y zd

và điểm

2;0; 1A . Mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. 2 5 0x y z B. 2 5 0x y z

C. 2 5 0x y z D. 2 5 0x y z

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 2:1 1 1

x y z

và mặt

phẳng : 2 3 4 0P x y z . Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P sao cho d cắt và vuông góc với có phương trình là

A. 3 1 11 1 2

x y z

B. 1 3 11 2 1

x y z

C. 3 1 11 1 2

x y z

D. 3 1 11 2 1

x y z

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình 1 1

2 2 1x y z

và mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng Q chứa

và tạo với P một góc nhỏ nhất.

A. 2 2 1 0x y z

B. 10 7 13 3 0x y z

C. 2 0x y z

D. 6 4 5 0x y z

Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng

11 1:

1 1 2x y zd

và 2

1 3:1 1 1

x y zd

.

A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P chứa đường

thẳng 1 1:2 1 3

x y zd và vuông góc với mặt phẳng : 2 0Q x y z .

A. 2 0x y z B. 2 1 0x y

C. 2 1 0x y D. 2 0x y z

Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

1 2 33 2 4

x y z

. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?

A. 4;0; 1N B. 1; 2;3M

C. 7;2;1P D. 2; 4;7Q

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm

1;2;0A và vuông góc với đường thẳng 1 1:2 1 1

x y zd

.

A. 2 5 0x y B. 2 4 0x y z

C. 2 4 0x y z D. 2 4 0x y z

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa 2 điểm 1;0;1A và 1;2;2B và song song với trục Ox có phương trình là

A. 0x y z B. 2 1 0y z

C. 2 2 0y z D. 2 3 0x z

Câu 64: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng 2 4: 12 3

y zd x và mặt

phẳng : 4 9 9 0P x y z . Giao điểm I của d và P là

A. 2;4; 1I B. 1;2;0I

C. 1;0;0I D. 0;0;1I

Câu 65: Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm 1;3; 2A và song song với

mặt phẳng : 2 3 4 0P x y z là

A. 2 3 7 0x y z

B. 2 3 7 0x y z

C. 2 3 7 0x y z

D. 2 3 7 0x y z

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2;0;0 ; 0;3;1 ; 3;6;4A B C . Gọi M là

điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2MC MB . Độ dài đoạn AM là:

A. 2 7 B. 29 C. 3 3 D. 30

Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với 1;2;1 , 0;0; 2 ,C 1;0;1A B , 2;1; 1D . Tính thể tích tứ diện ABCD.

A. 13

B. 23

C. 43

D. 83

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách đều 2 đường thẳng

12:

1 1 1x y zd

và 21 2:

2 1 1x y zd

.

A. : 2 2 1 0P x z

B. : 2 2 1 0P y z

C. : 2 2 1 0P x y

D. : 2 2 1 0P y z

Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có 1;2; 1A ,

B' 2; 1;3 , 3; 4;1C và ' 0;3;5D . Giả sử tọa độ ; ;D x y z thì giá trị của 2 3x y z là kết quả nào dưới đây? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 3 0P x y z và đường

thẳng 1 3:1 2 2

x y zd . Gọi A là giao điểm của d và P ; gọi M là điểm thuộc d thỏa

mãn điều kiện 2MA . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng P .

A. 49

B. 83

C. 89

D. 29

Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 2 2 1:3 1 2

x y zd

và

2 2' :6 2 4x y zd

. Mệnh đề nao sau đây là đúng?

A. '//d d B. 'd d

C. d và 'd cắt nhau D. d và 'd chéo nhau

Câu 72: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm 1;2;4 , 1;1;4 , 0;0;4A B C . Tìm

số đo của ABC .

A. 135 B. 45 C. 60 D. 120

Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2; 3;1M và đường thẳng

1 2:2 1 2

x y z

.

Tìm tọa độ điểm 'M đối xứng với M qua .

A. ' 3; 3;0M B. ' 1; 3;2M

C. ' 0; 3;3M D. ' 1; 2;0M

Câu 74: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu

2 2 2: 2 4 4 16 0S x y z x y z và đường thẳng 1 3:1 2 2

x y zd . Mặt phẳng nào

trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu S .

A. : 2 2 8 0P x y z

B. : 2 11 10 105 0P x y z

C. : 2 11 10 35 0P x y z

D. : 2 2 11 0P x y z

Câu 75: Trogn không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2; 2;1 , 1;2; 3M A và

đường thẳng 1 5:1 2 1

x y zd

. Tìm vectơ chỉ phương u

của đường thẳng đi qua M,

vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. 2;1;6u

B. 1;0; 2u

C. 3;4; 4u

D. 2;2; 1u

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 3 1 1:2 1 1

x y zd

. Viết

phương trình mặt phẳng qua điểm 3;1;0A và chứa đường thẳng d .

A. 2 4 1 0x y z B. 2 4 1 0x y z

C. 2 4 1 0x y z D. 2 4 1 0x y z

Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình:

4 1 2:2 1 1

x y zd

Xét mặt phẳng : 3 2 4 0P x y mz , với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d

song song với mặt phẳng P .

A. 12

m B. 13

m C. 1m D. 2m

Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1;1;0A và 3;1; 2B . Viết

phương trình mặt phẳng P đi qua trung điểm I của cạnh AB và vuông góc với đường thẳng AB.

A. 2 3 0x z B. 2 1 0x z

C. 2 3 0y z D. 2 3 0x z

Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1; 1;3A và hai đường thẳng:

1 24 2 1 2 1 1: , :

1 4 2 1 1 1x y z x y zd d

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng 1d và cắt đường

thẳng 2.d

A. 1 1 3:4 1 4

x y zd

B. 1 1 3:2 1 3

x y zd

C. 1 1 3:2 1 1

x y zd

,

D. 1 1 3:2 2 3

x y zd

Câu 81: Cho tọa độ các điểm 2;2;3 , 1;3;3A B , 1;2;4C . Chọn phát biểu đúng?

A. Tam giác ABC là tam giác đều B. Tam giác ABC là tam giác vuông C. Các điểm A, B, C thẳng hàng D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2:1 2 3x y zd và mặt

phẳng : 2 2 3 0P x y z . Tìm tọa độ điểm M có các tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng

cách từ M đến P bằng 2.

A. 2; 3; 1M B. 1; 3; 5M

C. 2; 5; 8M D. 1; 5; 7M

Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 1;3;5 , B 2;0;1 , 0;9;0A C . Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.

A. 3;12;6G B. 1;5;2G

C. 1;0;5G D. 1;4;2G

Câu 84: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1:1 1 4x y z

và điểm 0;3; 2M .

Phương trình của mặt phẳng P đi qua M và là

A. 5 1 0x y z B. 5 1 0x y z

C. 5 1 0x y z D. 5 1 0x y z

Câu 85: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1:1 1 4x y z

và điểm 0;3; 2M .

Phương trình của mặt phẳng Q đi qua M , song song với và cách một khoảng bằng 3 là

A. 4 8 26 0x y z

B. 4 8 26 0x y z

C. 2 2 8 0x y z

D. 2 2 8 0x y z

Câu 86: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm 0;1;0 , 2;2;2A B và đường

thẳng 1 2 3:2 1 2

x y zd

. Tìm tọa độ điểm N d sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ

nhất.

A. 1;0; 4 B. 3; 1;4

C. 1;0;4 D. 3;0;1

Câu 87: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác BCD có 1;0;3 , 2; 2;0B C

, 3;2;1D . Tính diện tích tam giác BCD.

A. 26 B. 62 C. 234

D. 2 61

Câu 88: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm 1;0;2 , 3; 4;1 , 2;5;3M N P . Phương trình

mặt phẳng MNP là

A. 3 16 33 0x y z

B. 3 16 31 0x y z

C. 3 16 33 0x y z

D. 3 16 31 0x y z

Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z

đường thẳng 1:2 2x y z

. Mặt phẳng P vuông góc với và tiếp xúc với S có phương

trình là

A. 2 2 2 0x y z và 2 2 16 0x y z

B. 2 2 3 8 6 0x y và

2 2 3 8 6 0x y

C. 2 2 3 8 6 0x y và

2 2 3 8 6 0x y

D. 2 2 2 0x y z và 2 2 16 0x y z

Câu 90: Trong không gian Oxyz, cho 4; 2;3A , 2 341

x ty tz t

, đường thẳng d đ qua A

cắt và vuông góc có vectơ chỉ phương là

A. 2; 15;6 B. 3;0; 1

C. 2;15; 6 C. 3;0; 1

Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng : 4 2 0P x y z và

: 2 2 7 0Q x z . Góc giữa 2 mặt phẳng P và Q là

A. 60 B. 45 C. 30 D. 90

Câu 92: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm 1;2;0 , 2;3;1A B , đường thẳng 1 2:

3 2 1x y z

. Tọa độ điểm M trên sao cho MA MB là

A. 15 19 43; ;4 6 12

B. 15 19 43; ;4 6 12

C. 45;28;43 D. 45; 28; 43

Câu 93: Đường thẳng d đi qua 3; 1;0H và vuông góc với Oxz có phương trình là

A. 3

1xy tz t

B. 3

10

xy t tz

C. 3

10

x ty tz

D. 3

1xy t tz t

Câu 94: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1;1;0 , 2;3;0A B . Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục Oy sao cho MA MB nhỏ nhất.

A. 0;2;0M B. 0; 1;0M

C. 50; ;03

M

D. 0;1;0M

Câu 95: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 1;2;1 , B 1;1;0 , 1;0;2A C . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

A. 1;1;1 B. 1; 1;1

C. 1;1;3 D. 1; 2; 3

Câu 96: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 .A B C

A. 6 3 2 6 0x y z

B. 2 0x y z

C. 2 3 16 0x y z

D. 2 0x y z

Câu 97: Nếu mặt phẳng : 2 5 0P x y mz song song với mặt phẳng

: 2 3 3 0Q x ny z thì các giá trị của m và n là

A. 3 ; 42

m n B. 3 ; 42

m n

C. 3 ; 42

m n D. 34;2

m n

Câu 98: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 2;1;3M và vuông góc với mặt

phẳng : 2 2 1 0P x y z là

A. 2 1 31 2 2

x y z

B. 2 1 31 2 2

x y z

C. 1 2 22 1 3

x y z

D. 1 2 22 1 3

x y z

Câu 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm N thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ N đến 2;3;4M bằng khoảng cách từ N đến mặt phẳng : 2 x 3y z 17 0P ?

A. 0;0;3N B. 0;0;4N

C. 2;3;0N D. không tồn tại điểm N

Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1; 2;3A và hai mặt phẳng

: 1 0; : 2 0P x y z Q x y z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường

thẳng đi qua A, song song với P và Q ?

A. 1

23

x ty tz t

B. 1

23 2

xy tz t

C. 1 2

23 2

x ty tz t

D. 1

23

x ty tz t

Câu 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 3;3;2A và 5;1;4B . Tìm tọa độ trung bình I của đoạn thẳng AB.

A. 7 5;3;2 2

I

B. 4;2;3I

C. 32; ; 12

I

D. 1 51; :2 2

I

Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 24

x td y t t

z t

. Vectơ

nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A. 0; 2; 4du

B. 2; 1;0du

C. 1; 1;1du

D. 2;3;5du

Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 4;2;5 , 3;1;3 , 2;6;1A B C .

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ABC ?

A. 2 3 0x z B. 2 3 0x y z

C. 4 5 13 0x y z D. 9 16 0x y z

Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;2;1A và đường thẳng

11 2:

2 1 2x y zd . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với 1d và cắt 2d là

A. 2 2 1:1 3 5

x y zd

B. 1 2:2 3 4

x y zd

C. 2

: 21

x td y t

z t

D. 2 2 1:1 2 3

x y zd

Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2:1 1 1x y z

và mặt

phẳng : 2 2 4 0P x y z . Phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng là

A. 3

: 1 21

x td y t t

z t

B. 3

: 22 2

x td y t t

z t

C. 2 4

: 1 34

x td y t t

z t

D. 1

: 3 33 2

x td y t t

z t

Câu 106: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm 2;3;0A và vuông góc với mặt phẳng : 3 5 0P x y z ?

A. 1 331

x ty t tz t

B. 131

x ty t tz t

C. 11 31

x ty t tz t

D. 1 331

x ty t tz t

Câu 107: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng : 2 0Q x y z và cách 1;0;3D một

khoảng bằng 6 thì P có phương trình là:

A. 2 2 02 2 0

x y zx y z

B. 2 10 02 2 0

x y zx y z

C. 2 2 0

2 10 0x y z

x y z

D. 2 2 02 10 0

x y zx y z

Câu 108: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2;4;1 ; 1;1;3A B và mặt phẳng

: 3 2 5 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc

với mặt phẳng P .

A. 2 3 11 0x z B. 2 1 0y z

C. 2 3 11 0y z D. 2 3 11 0x y

Câu 109: Trong không gian Oxyz, cho các điểm 3; 4;0 ; 0;2;4 ; 4;2;1A B C . Tọa độ điểm

D trên trục Ox sao cho AD BC là

A. 0;0;0

6;0;0

D

D

B. 0;0;2

8;0;0

D

D

C. 2;0;0

6;0;0

D

D

D. 0;0;0

6;0;0

D

D

Câu 110: Trong không gian Oxyz, cho 0;1;0A , 2;2;2 , 2;3;1B C và đường thẳng

1 2 3:2 1 2

x y zd

. Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.

A. 3 3 1 15 9 11; ; ; ; ;2 4 2 2 4 2

M M

B. 3 3 1 15 9 11; ; ; ; ;5 4 2 2 4 2

M M

C. 3 3 1 15 9 11; ; ; ; ;2 4 2 2 4 2

M M

D. 3 3 1 15 9 11; ; ; ; ;5 4 2 2 4 2

M M

Câu 111: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3;0;1 , 6; 2;1 .A B Viết phương trình mặt

phẳng P đi qua A, B và P tạo với mặt phẳng Oyz góc thỏa mãn 2cos7

?

A. 2 3 6 12 02 3 6 0

x y zx y z

B. 2 3 6 12 02 3 6 1 0

x y zx y z

C. 2 3 6 12 02 3 6 0

x y zx y z

D. 2 3 6 12 02 3 6 1 0

x y zx y z

Câu 112: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z và hai điểm

1; 2;3A ; 3;2; 1B . Phương trình mặt phẳng Q qua A,B và vuông góc với P là

A. : 2 2 3 7 0Q x y z

B. : 2 2 3 7 0Q x y z

C. : 2 2 3 9 0Q x y z

D. : 2 3 7 0Q x y z

Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;1;3M và hai đường thẳng

1 3 1 1: ; :3 2 1 1 3 2

x y z x y z

. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường

thẳng đi qua M, vuông góc với và '

A. 1

11 3

x ty t tz t

B. 13

x ty t tz t

C. 1

13

x ty t tz t

D. 1

13

x ty t tz t

Câu 114: Cho hai đường thẳng

12 2 3:

2 1 1x y zd

; 2

1: 1 2

1

x td y t t

z t

và điểm 1;2;3A . Đường thẳng đi qua A, vuông góc với 1d và cắt 2d có phương trình là

A. 1 2 31 3 5

x y z

B. 1 12 1 1x y z

C. 1 2 31 3 5

x y z

D. 1 2 31 3 5

x y z

Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1

1 32

2

x td y t t

z

,

21 2:

2 1 2x y zd

và mặt phẳng : 2 2 3 0P x y z . Phương trình nào dưới đây là phương

tình mặt phẳng đi qua giao điểm của 1d và P , đồng thời vuông góc với đường thẳng d?

A. 2 2 22 0x y z

B. 2 2 13 0x y z

C. 2 2 13 0x y z

D. 2 2 22 0x y z

Câu 116: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1; 2;1 , 2;2;1 , 1; 2;2A B C . Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng Oyz tại điểm nào trong các điểm sau đây?

A. 4 20; ;3 3

B. 2 40; ;3 3

C. 2 80; ;3 3

D. 2 80; ;3 3

Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 1;0;2 , 1;1;1 , 2;3;0A B C . Viết

phương trình mặt phẳng ABC .

A. 1 0x y z B. 1 0x y z

C. 2 3 0x y z D. 3 0x y z

Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 1;2;0 , 3; 1;1 , 1;1;1A B C . Tính diện tích S của tam giác ABC.

A. 3S B. 2S

C. 12

S D. 1S

Câu 119: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 1;2;1M . Viết phương trình mặt

phẳng P qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho 2 2 2

1 1 1OA OB OC

đạt giá

trị nhỏ nhất. A. 2 3 8 0x y z B. 4 0x y z

C. 2 6 0x y z D. 11 2 1x y z

Câu 120: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 1;2;3G . Viết phương trình mặt

phẳng P đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

A. 13 6 9x y z B. 3

2 3y zx

C. 6 0x y z D. 2 3 14 0x y z

Câu 121: Cho ba điểm 1;1;0 , 3; 1;2A B , 1;6;7C . Tìm điểm M Oxz sao cho 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất?

A. 3;0; 1M B. 1;0;0M

C. 1;0;3M D. 1;1;3M

Câu 122: Cho mặt phẳng : 3 2 5 0x y z và đường thẳng 1 7 3:2 1 4

x y zd . Gọi

là mặt phẳng chứa d và song song với . Khoảng cách giữa và là

A. 914

B. 314

C. 914

D. 314

Câu 123: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2:2 1 2

x y zd , điểm

2;5;3A . Phương trình mặt phẳng P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất là

A. 2 2 10 0x y z

B. 2 2 12 0x y z

C. 2 1 0x y z

D. 4 3 0x y z

Câu 124: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 4;6;2 ; 2; 2;0A B và mặt phẳng

: 0P x y z . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.

A. 6R B. 2R C. 1R D. 3R

Câu 125: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm 4;0;1A và 2;2;3B . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB? A. 3 0x y z B. 3 6 0x y z

C. 3 1 0x y z D. 6 2 2 1 0x y z

Câu 1: Đáp án B Cách 1: Ta có

22

/ /A P B PMN AB d d

A, 22 2

1 2 1 1 131 1 1

Pd

, 22 2

3 0 1 1 331 1 1

B Pd

, ,

1 3 23 3 3A P B Pd d

2 2 23 1 0 2 1 1 2 3AB

22

, ,

4 4 2123 3A P B PMN AB d d Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Gọi 1d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng P . Lúc này

1M d P .

1

1 1 1 1 1

1

1: 2 1 ;2 ;1 .

1

x td y t M t t t

z t

Mà 1 1 11 2 1 1 0M P t t t

11 2 5 4; ;3 3 3 3

t M

.

Tương tự ta tìm được 2; 1;0N .

4 23

MN . Chọn B.

Câu 2: Đáp án B Ta có:

B là điểm đối xứng với A qua P nên:

, 22 2

1 2.2 2.1 1 2 42. 2. 2.3 31 2 2

A PAB d

Vậy đáp án đúng là B. Câu 3: Đáp án A

4;2;0 1;2;1 2;3;4 0;1;2

2 4 22 3 2 1 2

4 2 0 1

d xa yb zcx y z

x y xx y z y x y z

x y z z

Vậy đáp án đúng là A. Câu 4: Đáp án C

Ta có: 1; 1;1du

. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P nên: 1; 1;1P dn n

.

Dó đó P có dạng: : 0P x y z m . Vì P đi qua 1;2;1A nên:

1 2 1 0 0m m .

Do đó, đáp án đúng là C. Câu 5: Đáp án A

Cách 1: Giao tuyến của P và Q là nghiệm của hệ phương trình:

2 1 0 2 12 5 0 2 5

2 1 5 75 5

1 2 5 3 95 5

2 31 3 5

x y z x y zx y z x y z

z z zx

z z zy

x y z

Do đó, đáp án đúng là A.

Cách 2: , 1;3;5d p Qu n n

Câu 6: Đáp án C

Giả sử ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;A a B b C c . Do cắt các tia nên: ; ; 0a b c . Khi đó, phương trình mặt

phẳng P là : : 1x y zPa b c . P đi qua 1;2;1M nên: 1 2 1 1

a b c . Áp dụng bất đẳng

thức Cauchy ta có:

3 31 2 1 1 2 1 21 3. . . 3.

6a b c a b c V

9V

Dấu " " xảy ra khi: 1 2 1 13a b c

Vậy đáp án đúng là C. Câu 7: Đáp án B

Mặt cầu S có tâm là 1;2;1I và bán kính 2R

Gọi ; ;H H HH x y z là hình chiếu của I lên d . Khi đó, ta có:

2 2 2

22 1 4. 0

2 2; ;4 2 1; 2;4 1

2; 1;4

. 2 1 .2 2 . 1 4 1 .4 0

0 2;0;0

2 1 0 2 0 1 6

H H H

d

d

d

x y zH d kIH d IH u

H k k k IH k k k

u

IH u k k k

k H

IH

Gọi K là giao điểm của IH và MN. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MIH có: 2 2

2 2

. . .

.2. 2.

2. 6 2 42.6 3

MK IH MI MH MI IH IM

IM IH IMMN MKIH

MN

Vậy đáp án đúng là B. Câu 8: Đáp án A

Gọi K là điểm bất kì trên d . Theo giả thiết: KA KB tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ

xảy ra khi d nằm trên mặt phẳng Q là mặt phẳng trung trực của AB. Ta đi xác định Q :

Gọi M là trung điểm AB thì:

3 0 3 2 1 1 3 5; ; ; ;12 2 2 2 2

M M

Mặt phẳng Q đi qua M và vuông góc với AB tức là nhận 3; 1;0AB

là vectơ pháp tuyến. Dó đó:

3 5: 3 1 0 1 02 2

:3 7 0

Q x y z

Q x y

Do đó, d là giao tuyến của P và Q nên là nghiệm của hệ:

7 0

7 3 .3 7 0

2

x tx y z

y t tx y

z t

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 9: Đáp án C

3;0;10

8;0;4 ; 4;3;51 ;6

BA a

BC BD

V BA BC BD

1 . 3;0;10 . 12; 24;2461 12 3 10.24 2 346

30 2; 32

a

a a

V a a

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10: Đáp án D

Đặt ; ; 2 5f x y z x y z .

Với phương án A: Ta có

2; 1;5 2 2 1 5 5 4 0f nên điểm 2; 1;5Q không thuộc mặt phẳng P .

Với phương án B:

0;0; 5 0. 2.0 5 5 10 0f nên điểm 0;0; 5P không thuộc mặt phẳng P .

Với phương án C:

5;0;0 5 2.0 0 5 10 0f nên điểm 5;0;0N không thuộc mặt phẳng P .

Với phương án D: 1;1;6 1 2.1 6 5 0f nên điểm 1;1;6M nằm trên mặt phẳng P .

Câu 11: Đáp án D

Dễ dang nhận thấy hai đường thẳng 1 2;d d chéo nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm

1 1H d ; 2 2H d sao cho 1 2H H là đường vuông góc chung của 1 2;d d .

1 2

1

2

11 1 2 2

2

1 2

1 21 2 1

1 2 2 1 2

2 ;1 ;2;

2 2 ;3;

2 ; 2; 2

1; 1;2 ; 2;0;1

. 0

. 0

2 2 2 2 0

2. 2 0 2 2 0

6

d d

d

d

H a a aH d H d

H b b

H H b a a b a

u u

H H uH H dH H d H H u

b a a b a

b a a b a

a

1 2

12 03

5 0 05 4 2; ; ; 2;3;03 3 3

ab b

H H

Mặt phẳng cần tìm P đi qua trung điểm M của 1 2H H và vuông góc với 1 2H H nên:

1 2

11 13 1; ;6 6 3

1 5 2; ;3 3 3

: 5 2 12 0

P

M P

n H H

P x y z

Vậy đáp án đúng là D. Câu 12: Đáp án B

Giao điểm ; ;A A AA x y z của d với mặt phẳng Oxy là:

1 1 2

3; 3;02 1 10

A A A

A

x y zA

z