Statistical analysis on geotechnical and geosciences data

J.P. WangDept Civil, Hong Kong University of Science and Technology (HKUST)

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Introduction

• It is very interesting that some mathematical functions could fit our data nicely….

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

40

50

60

70

80

90

100

Mid

-term

gra

de

1st - 158th student

Mean = 70

SD = 10.5

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35~40 40~45 45~50 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 85~90 90~95 95~1000

5

10

15

20

25

30

35

Freq

uenc

y

Range

3

35~40 40~45 45~50 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 85~90 90~95 95~1000

5

10

15

20

25

30

35

Freq

uenc

y

Range

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Normal distribution

• Like the “mid‐term” example, several statistical studies on earthquake and debris‐flow data will be introduced in this presentation.

• In addition to those findings, some applications will be discussed on the use of the statistical inferences from samples. 

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a. Earthquake and Poisson?

• It is common to see such a sentence in textbooks: “Using the Poisson distribution (a function) to model earthquake probability in time….”

• Pr(x) = e‐v * vx / x!    ; v = mean rateex: v = 1 per year; Pr(one earthquake) = 37%  

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a. Earthquake and Poisson?

• Is it for real? 

• Let’s test it with earthquake data in Taiwan….

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M ≥ 5 M ≥ 5.5

M ≥ 6M ≥ 6.5

• It seems that the model and observation are in good agreement.  

• Next, we changed the “boundary condition” to examine the same hypothesis.

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10

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Summary (Wang et al., 2014)

• From earthquake data around Taiwan, the Poisson model and the observation are in good agreement, and the hypothesis was not rejected by Chi‐square tests, on some conditions

• A rule of thumb: mean rate = 0.1; if the mean rate < 0.1, earthquake temporal randomness could be modeled by the Poisson 

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b. Earthquake magnitude and Weibull

• Earthquake‐magnitude probability distribution is a key input to probabilistic seismic hazard analysis. 

• Currently, the McGuire‐Arabasz (1990) method/algorithm is commonly used for the modeling: 

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Let’s use data in Taiwan as an example:

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Mean = 3.49SD = 0.47

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• The Weibull distribution (a function) was discovered and proposed in the late 1930s:

• Many applications to biology, finance, and engineering (e.g., Weibull, 1939, 1951; Islam et al., 2013)

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17

(Weibull method)

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(Conventional method)

• Similarly, we performed more tests on the hypothesis on different conditions: 

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20

Summary (Wang, 2015)

• Earthquake magnitude should be a Weibull random variable, which is supported by earthquake data around Taiwan

• The Weibull approach provides a better modeling on magnitude probability distributions, than the conventional method

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c. Bi‐variate modeling• The examples above are focused on one single variable; but more often we deal with bi‐variate statistics and aim to develop their joint probability distribution:

1

2

3

0

2

4

6

8

10

12

3X

Y

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• 139 debris flows occurred in the Jiangjia Ravine, China since the 1960s

• Similar to those shown previously, a (uni‐variate) statistical study on the debris‐flow data was reported in Hong et al. (2015):

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• The flow’s maximum impact pressure, P:

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• The flow’s total sediment discharge, Q:

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• The correlation between P and Q: 

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• Since P and Q are not statistically independent, their (bi‐variate) joint probability function is not equal to the product of two (uni‐variate) marginal functions:  

*)(*)(*)*;Pr(

*)Pr(*)Pr(*)*;Pr(

qFpFqQpP

qQpPqQpP

QP

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• Therefore, in order to achieve a better modeling on the bi‐variate data, one logical approach is to adopt bi‐variate models, such as bi‐normal distribution, to fit the observation from scratch:  

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(observation data)

• From methodology to calibration, the difficulty and effort are much increased from uni‐variate to bi‐variate statistical works....

• The copula method is increasingly applied to bi‐variate or multi‐variate modeling, for the method being more “user‐friendly”

• Li and Tang (2014) applied the copula method to model the joint probability function of soil friction angle and cohesion (the two are dependent), among many others (e.g., Goda, 2010)

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What is copula?

• Based on Sklar’s theorem (1959), a joint function could be decomposed into: i) several marginal functions, ii) a copula function

• Let’s see an example in the next slice

);(),(),();Pr( , yFxFCyxFyYxX YXYX

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i)   X following uniform distribution between a and b:

ii)  Y following uniform distribution between a and b:

iii) X‐Y dependence structure can be modeled by the Clayton copula: 

Therefore, the X‐Y joint function could be modeled by:   

/11

YXClayton FFC

abaxxFxX X

)()Pr(

abayyFyY Y

)()Pr(

/1

, 1),(

abay

abaxyxF YX

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• Using the copula approach, here is our best bi‐variate model for P‐Q simulation:

2.31/1.62

( ) ( )1.62 1.62249.4 237, ( , ) (1 ) (1 ) 1

p q

P QF p q e e

(Weibull + Weibull + Clayton)

Observation                                                                         Model

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• We also applied the copula method to PGA and CAV, the two most parameters for earthquake‐resistant design

PGA

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CAV = cumulative absolute velocity= ∫ |a| dt

• With data from Taiwan, here is our best bi‐variate model for PGA‐CAV (Xu, 2015):

(Lognormal+ Lognormal + Gaussian)

Observation                                                                         Model

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ln * 4.44 ln * 2.84 2 2( ) ( )1 1 2 21.22 1.19

, 1 20 0

exp( 1.73 )( *, *)22.67

PGA CAV

PGA CAVr r r rF PGA CAV drdr

Summary and conclusion

• Some mathematical functions can well capture a variable’s randomness or distribution, such as using the Poisson distribution to model earthquake temporal randomness

• The copula method seems a good solution to multi‐variate statistical modeling      

35

Thank you

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