7/30/2019 2013TRML.pdf http://slidepdf.com/reader/full/2013trmlpdf 1/3 TRML 團體賽-2013 1. 投擲一個公正骰子兩次，設出現點數分別是 m 和 n ，則 ) 5 ( 4 ) ( 2 n mx x x f 最大值不大於2 的機率為。 [ 解]： 16 ) 5 ( ) 8 ( 4 ) 5 ( 4 ) ( 2 2 2 m n m x n mx x x f ∴最大值為 2 5 16 2 n m , n m 16 48 2 , 滿足條件的 ) , ( n m 為 4 n 時, 4 ~ 1 m ; 5 n 時, 5 ~ 1 m ; 6 n 時, 6 ~ 1 m . ∴機率為 12 5 6 6 6 5 4 . 2. 滿足方程式 0 35 5 2 7 3 2 y x xy x 的正整數解( x, y ) 中， x + y 的最大值為。 [ 解]：方程式可表示成 5 7 35 2 3 2 x x x y , , x y 為正整數, 得 0 5 7 35 2 3 2 x x x , 0 x 0 ) 5 7 )( 35 2 3 ( 2 x x x , 0 x . 不等式的解為 3 106 1 7 5 x , ∴ x 僅可能為 3 , 2 , 1 . 代入方程式得 ) 1 , 3 ( ), 3 , 2 ( ), 17 , 1 ( ) , ( y x , 所以 y x 的最大值為 18. 3. 在一個廣大平坦的草原上，狐狸發現兔子在它正東方40公尺的地方，同時兔子也發現了狐狸，於是兔子往正東偏北60∘的方向，以5公尺/ 秒速率直線逃跑，聰明的狐狸知道沿著某條直線跑一定可以抓到兔子，於是狐狸同時開始以7公尺/ 秒沿著這條直線跑去追兔子，則狐狸最短需秒可抓到兔子。 [ 解]：如圖所示, 利用餘弦定理得： ) 2 1 ( 40 5 2 1600 25 49 2 2 t t t , 0 200 25 3 2 t t , 0 ) 40 3 )( 5 ( t t , 故 3 40 t . 4. 如圖，兩圓相交於 A 與 C 兩點， 6 AB 為小圓的直徑，過 C 點小圓的切線交大圓於點 E ，邊 BC 延長線交大圓於 D 點，若 BC CD 2 ，∠ ABC =30∘，則面積面積 ADE ABC = 。 [ 解]：(i) AB 為直徑, 所以 90 ACB ; 30 ACE ( 弦切角 ) ; 所以 60 30 90 ECD (ii) 由圓周角得 60 ECD EAD ,

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TRML-20131. m n )5(4)( 2 nmxxxf 2

[]16

)5()8

(4)5(4)(2

22 mn

mxnmxxxf 25

16

2

nm

,

nm 16482 , ),( nm 4n , 4~1m ; 5n , 5~1m ; 6n , 6~1m .

12

5

66

654

.

2. 0355273 2 yxxyx (x,y )x +y

[]57

3523 2

x

xxy , ,x y, 0

57

3523 2

x

xx, 0x

0)57)(3523( 2 xxx , 0x .3

1061

7

5 x , x 3,2,1 .

)1,3(),3,2(),17,1(),( yx , yx 18.

3.40605/7/

[],

)2

1(405216002549 22 ttt ,

0200253 2 tt ,

0)403)(5( tt ,3

40t .

4.A C 6AB CEBC

D BCCD 2 ABC=30

ADE

ABC

=

[](i) AB , 90ACB ;

30ACE () ; 603090ECD

(ii) 60ECDEAD ,
7/30/2019 2013TRML .pdf

2/3

45(3,0)

(1,0)

AO(0,0) B

P

90180 ACDAED , AED 906030 .

(iii) aAO , aAC , aBCCD 322 ,

aAD 13 . ADEABC ~ , 134

)13(2

2

2

ADEABC .

5.A=(1,0)B=(3,0)ABy = x P P P

[]

32

OBOAOP , 3OP .

45POA , )2

6,

2

6(P

6.

336

12

222

2

zyx

zyx

zxy

xyz =

[] zxyzxy = 962

336122

,

3

9612

zxyz

zxyzxy

zyx

,

zyx ,, 09612 323 zttt .z 09612 323 zzzz , 0z 8 .

0z

336

12

0

22

yx

yx

xy

, 8z , 512833 zxyz .

7. 1nna 21 nnn aaa n 3

50

1n

na =40

70

1n

na =50

101

1n

na

[]

3

321

21

)

nn

nnn

nnn

aa

aaa

aaa

, ,...,,,,,,, 21321321 aaaaaaaa

, 0.

402150

1

aaan

n , 5032

70

1

1321

aaaaaaan

n , 123 aaa ,
7/30/2019 2013TRML .pdf

3/3

101 a , 302 a , 203 a . 20321321101

1

aaaaaaan

n.

8.ABC P NAB CAMBC KPNAM

2

1

PB

AP 4

3

KM

Ak NC

AN

[] ANtAC . ACABAM2

1

2

1 , ANtAPAK

2

13

2

1

3

7 ;

NPK ,22

3

3

7 t ,

3

5t . .

2

3

NC

AN

9.33

253

253 a 27189

26 aaa

[] 332

53

2

53

a 33

2

53

2

533

2

53

a ( 33

2

53

2

53

)+

2

53

=3+ 34

)53)(53(3

a= a33 , 26 9189 aaa , aaa 189 26 =9

2718926

aaa 36279 .

10.[a] a[ 742 xx ]= 382 2 xx

[] 48274382 222 xxxxxx , 382 2 xx .

7282 x 8272 x .

82 x 382 2 xx ,

113)82(8)82(2 2 , 22282 .