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El Arte de Resolver Problemas de MatematicaConcurso Provincial
de Matematica.Imperial Ca nete
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Consideraciones Previas
Esta conferencia versa sobre el desarrollo delArte de
resolverproblemas de matematica, para ello asumire tres cosas
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Esta conferencia versa sobre el desarrollo delArte de
resolverproblemas de matematica, para ello asumire tres cosas
Les gusta la MatematicaConocen la matematica de la secundaria y
que a mi parecer esla mas hermosa
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resolverproblemas de matematica, para ello asumire tres cosas
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que a mi parecer esla mas hermosaDesean aprender resolver problemas
de matematica ya sea porapetito academico o con nes de
ensenanza
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resolverproblemas de matematica, para ello asumire tres cosas
Les gusta la MatematicaConocen la matematica de la secundaria y
que a mi parecer esla mas hermosaDesean aprender resolver problemas
de matematica ya sea porapetito academico o con nes de ensenanzaLes
gusta discutir soluciones de problemas matematicos
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Consideraciones Previas
Esta conferencia versa sobre el desarrollo delArte de
resolverproblemas de matematica, para ello asumire tres cosas
Les gusta la MatematicaConocen la matematica de la secundaria y
que a mi parecer esla mas hermosaDesean aprender resolver problemas
de matematica ya sea porapetito academico o con nes de ensenanzaLes
gusta discutir soluciones de problemas matematicosSon muy
participativos...o no?
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Ejercicios vs Problemas
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Ejercicios vs Problemas
Que es un problema?
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Ejercicios vs Problemas
Que es un problema?Que diferencia hay entre Ejercicio y
Problema?
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Ejercicios vs Problemas
Que es un problema?Que diferencia hay entre Ejercicio y
Problema?EjercicioEs una pregunta que podemos
resolverinmediatamente.Dependiendo de cuan habiles somos deaplicar
una determinada tecnica, pero no necesitamos inventaro crear una
nueva tecnica para resolverlo.
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Ejercicios vs Problemas
Que es un problema?Que diferencia hay entre Ejercicio y
Problema?EjercicioEs una pregunta que podemos
resolverinmediatamente.Dependiendo de cuan habiles somos deaplicar
una determinada tecnica, pero no necesitamos inventaro crear una
nueva tecnica para resolverlo.Problema
Contrario a lo anterior, un problema demanda pensar unmomento y
buscar varias alternativas de solucion antes deencontrar la
correcta.
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Ejemplo de Ejercicio
1 Halle las races de la ecuacion
x 2 5x + 6 = 0
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Ejemplo de Ejercicio
1 Halle las races de la ecuacion
x 2 5x + 6 = 02 Las races son x = 2 , 3
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Ejemplo de Ejercicio
1 Halle las races de la ecuacion
x 2 5x + 6 = 02 Las races son x = 2 , 33 Se pudo hacer por
formula general
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Ejemplo de Ejercicio
1 Halle las races de la ecuacion
x 2 5x + 6 = 02 Las races son x = 2 , 33 Se pudo hacer por
formula general4 Se usa el metodo del aspa o factorizacion
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Ejemplo de Ejercicio
1 Halle las races de la ecuacion
x 2 5x + 6 = 02 Las races son x = 2 , 33 Se pudo hacer por
formula general4 Se usa el metodo del aspa o factorizacion5 No tuve
que pensar mucho, conoca las dos tecnicas anteriores
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Ejemplo de Problema
1 Resolver la ecuaci on
x 3 (x + 1) = 2 ( x + a ) (x + 2 a )
con a n umero real
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l d bl
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Ejemplo de Problema
1 Resolver la ecuaci on
x 3 (x + 1) = 2 ( x + a ) (x + 2 a )
con a n umero real
2 A primera vista si expandimos tendramos una ecuacion de
4togrado.
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Ej l d P bl
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Ejemplo de Problema
1 Resolver la ecuaci on
x 3 (x + 1) = 2 ( x + a ) (x + 2 a )
con a n umero real
2 A primera vista si expandimos tendramos una ecuacion de
4togrado.
3 No conozco una tecnica para resolver una ecuacion de
cuartogrado.
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Ejemplo de Problema
1 Resolver la ecuaci on
x 3 (x + 1) = 2 ( x + a ) (x + 2 a )
con a n umero real
2 A primera vista si expandimos tendramos una ecuacion de
4togrado.
3 No conozco una tecnica para resolver una ecuacion de
cuartogrado.
4
No hay formula general para una ecuacion de cuarto grado,eso lo
demostro Evariste Galois... no el colegiopreuniversitario... sino
el joven Matematico Frances.
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
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Ejemplo de Problema
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
2 Pensemos...he aqu lo interesante del problema, nos
hacepensar
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Ejemplo de Problema
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
2 Pensemos...he aqu lo interesante del problema, nos
hacepensar
3 Es cierto!! Obtengo una ecuacion de cuarto grado si mivariable
es x , pero si mi variable esa tengo una ecuacion desegundo grado,
y esa si la se resolver
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Ejemplo de Problema
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
2 Pensemos...he aqu lo interesante del problema, nos
hacepensar
3 Es cierto!! Obtengo una ecuacion de cuarto grado si mivariable
es x , pero si mi variable esa tengo una ecuacion desegundo grado,
y esa si la se resolver
4 As
4a 2
+ 6xa
x 4
x 3
+ 2x2
= 0una ecuacion cuya discriminante es: 4x2 (2x + 1) 2
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Ejemplo de Problema
1 Conozco como resolver una ecuacion de 2do grado.Como louso
aqu?
2 Pensemos...he aqu lo interesante del problema, nos
hacepensar
3 Es cierto!! Obtengo una ecuacion de cuarto grado si mi
variable es x , pero si mi variable esa tengo una ecuacion
desegundo grado, y esa si la se resolver
4 As
4a 2
+ 6xa
x 4
x 3
+ 2x2
= 0una ecuacion cuya discriminante es: 4x2 (2x + 1) 2
5 Sus races son a 1, 2 = 6x 2x (2 x +1)
8
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Ejemplo de Problema
1 Con esto nos queda
4a 2+6 xa x4x
3+2 x2 = 4 a +12
x2 + x a 12
x2 +12
x = 0
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Ejemplo de Problema
1 Con esto nos queda
4a 2+6 xa x4x
3+2 x2 = 4 a +12
x2 + x a 12
x2 +12
x = 0
2 Una vez mas otra ecuaci on cuadratica en x , no olvidemos
queesa en nuestra incognita
x 1, 2 =
1
1
2a, x 3, 4 =
1
2
1
2
1 + 8 a
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Ejemplo de Problema
1 Con esto nos queda
4a 2+6 xa x4x
3+2 x2 = 4 a +12
x2 + x a 12
x2 +12
x = 0
2 Una vez mas otra ecuaci on cuadratica en x , no olvidemos
queesa en nuestra incognita
x 1, 2 =
1
1
2a, x 3, 4 =
1
2
1
2
1 + 8 a3 La cuales son reales sia
18 , 12
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Muchas veces se piensa que la solucion de los problemas
aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
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Muchas veces se piensa que la solucion de los problemas
aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
Buscar un patr on
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
Buscar un patr onDibujar una gura
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
Buscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalente
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
Buscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectiva
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticados
Buscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetra
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casos
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casosTrabajar hacia atras
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casosTrabajar hacia
atrasArgumentar por contradicci on
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casosTrabajar hacia
atrasArgumentar por contradicci onPerseguir la paridad
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aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casosTrabajar hacia
atrasArgumentar por contradicci onPerseguir la paridadConsiderar
casos extremos
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Muchas veces se piensa que la solucion de los problemas
aparecende forma magica, pues no es as porque en muchos de los
casos
estos estan basados en principios que pueden ser aprendidos
ypracticadosBuscar un patr onDibujar una gura
Formular un problema equivalenteEscoger una notacion
efectivaExplotar la simetraDividir en casosTrabajar hacia
atrasArgumentar por contradicci onPerseguir la paridadConsiderar
casos extremosGeneralizar
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Sin trampas, sin calculadora y sin programasHallar la parte
entera del n umero
A =1
2 +1
3 + +1
10000
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Sin trampas, sin calculadora y sin programasHallar la parte
entera del n umero
A =1
2 +1
3 + +1
10000Una para factorizarSiendo a,b,c n umeros reales no nulos
tales que
(ab + bc + ca )3 = abc (a + b + c)3
demostrar que a,b,c son terminos de una progresi on
geometrica.
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Aritmetica
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Quien robo la otra ecuaci on?Hallar todas las soluciones enteras
a la ecuaci on
x 2 + 1 y2 + 1 + 2 ( x y) (1 xy ) = 4 (1 + xy )
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Quien robo la otra ecuaci on?Hallar todas las soluciones enteras
a la ecuaci on
x 2 + 1 y2 + 1 + 2 ( x y) (1 xy ) = 4 (1 + xy )
De parejasDeterminar todos los pares de enteros no negativos (x,
y ) para los cuales
(xy 7)2
= x2
+ y2
Olimpiada Matematica India
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Una de primos
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Una de primosProbar que para cualquier entero n el n umero
55n +1
+ 5 5n
+ 1
no es primo.
Olimpiada Matematica Korea
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Una de primosProbar que para cualquier entero n el n umero
55n +1
+ 5 5n
+ 1
no es primo.
Olimpiada Matematica Korea
Enteros y encima positivosHallar la suma de todos los enteros
positivos de dos dgitos que son divisibles por cada uno de sus
dgitos.
AIME 2001
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Algo complejoSiendo a,b,c n umeros reales tales que
cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0
Demostrar que
cos2a + cos 2 b + cos 2 c = sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c = 0
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Algo complejoSiendo a,b,c n umeros reales tales que
cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0
Demostrar que
cos2a + cos 2 b + cos 2 c = sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c = 0
Por la igualdadProbar la igualdad
cos7
+ cos37
+ cos57
=12
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Trigonometra
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Trigonometra
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Pitag orico?En un triangulo ABC
3sin A + 4 cos B = 6 , 4sin B + 3 cos A = 1
Hallar la medidad del angulo C .
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Geometra
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Como si fuese necesario y ademas sucienteUn triangulo ABC tiene
lados de longitudes a,b,c .Hallar unacondici on necesaria y
suciente para los angulos de este triangulo tal que a 2, b2, c2
sean las longitudes de los lados de otro triangulo.
Revista Matematica Timisoara.Rumania
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Ya lo he visto antesSi las longitudes de los lados de un
cuadrilatero son 33, 47, 34 y 6como se muestra en la gura 1, probar
que sus diagonales sonperpendiculares .
Figure: Cuadrilatero
Euclid Contest.Estudiantes del grado 12.Canada
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Por un punto C arbitrario sobre el diametro AB de un crculo
concentro O como se muestra en la gura 2, trazamos una
perpendicular que encuentre al crculo en D .El crculo inscrito
en el triangulo curvilneo DCB interseca a AB en J .
1 Demostrar que AJ = AD .2 Demostrar que DJ biseca a CDB .
Figure: Graco para Problema 1
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Como han visto, hemos desarrollado una serie de problemas quenos
han resultado al principio muy difciles e incluso pensamos quese
desarrollaban con temas avanzados de matematica, pero grandefue
nuestra sorpresa cuando descubrimos que se podan resolver deforma
sencilla con lo aprendido en la secundaria. Estos problemas
motivan nuestran imaginaci on,desarrollan nuestra creatividad y
nosdan una verdadera libertad de pensamiento, muchos de ellos
sonpresentados en las Olimpiadas de Matematica Internacionales
ynacionales como la Olimpiada Nacional de Matematica pero no sonde
exclusividad de ellos, este Arte de resolver Problemas fue
desarrollado por George Polya y es un precedente para la
resolucionde problemas con nes practicos.
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No es necesario ser un experto en matematica para desarrollar
esteArte, la condicion necesaria y suciente es que
Les guste pensar y se diviertan resolviendo problemas de
matematica
Los invito a participar de este Arte, ya sea por apetito
academico o
con nes de enzenanza.Participen y publiquen en las revistas
Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana deMatematica
(Espana)
Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem(Canada).Seccion
Mayhem ProblemsEureka (Brasil)
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Donde puedo encontrar libros o material de olimpiadas?
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Librera Cientca MIR.Administrador Senor Luna .Jr. Ica 441Librera
Chancay.Administrador Senor Jaime Urquizo .Jr.ChancayAmbos quedan
cerca de la Iglesia de las Nazarenas en la Av.TacnaEditorial
Binaria.Administradores:Jorge Tipe, Carlomagno Rivera, Juan Neyra
.Contacto:....
Busquenlos en Facebook como BINARIA.
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Agradecimientos
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Direccion de Asuntos Academicos.Ocina de ApoyoAcademico.
Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
Peru
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Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
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Direccion de Asuntos Academicos.Ocina de ApoyoAcademico.
Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
PeruProfesores: Oscar Neyra, Carlos Miranda Rodriguez , Laura
,Mario Auqui Barrientos, Ruben Auqui Caceres, VictorPisconte , Jose
Caico.
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Direccion de Asuntos Academicos.Ocina de ApoyoAcademico.
Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
PeruProfesores: Oscar Neyra, Carlos Miranda Rodriguez , Laura
,Mario Auqui Barrientos, Ruben Auqui Caceres, VictorPisconte , Jose
Caico.
Hugo Luyo Sanchez Mathematicorum y yo h luyo@pucp edu peEl Arte
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Agradecimientos
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Direccion de Asuntos Academicos.Ocina de ApoyoAcademico.
Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
PeruProfesores: Oscar Neyra, Carlos Miranda Rodriguez , Laura
,Mario Auqui Barrientos, Ruben Auqui Caceres, VictorPisconte , Jose
Caico.Colegio CNI y comite organizador del Concurso Provincial
deMatematica.
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Agradecimientos
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Direccion de Asuntos Academicos.Ocina de ApoyoAcademico.
Jefe:Jorge Luis Quiroz GonzalesPonticia Universidad Catolica del
PeruProfesores: Oscar Neyra, Carlos Miranda Rodriguez , Laura
,Mario Auqui Barrientos, Ruben Auqui Caceres, VictorPisconte , Jose
Caico.Colegio CNI y comite organizador del Concurso Provincial
deMatematica.Titu Andreescu, entrenador del equipo de Rumania, por
sus
excelentes libros, por medio de los cuales me he desarrolladoen
este Arte .
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