8/17/2019 [2004-2] final 2 [A]

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Semestre 2004-2  15 de junio de 2004 TIPO 'A'

1)  Sean las funciones de regla de correspondencia f x x 

( ) =1

  y g x x 

( ) =+

1

12 , obtener la

función g f   o , así como su dominio y su recorrido. Trazar su gráfica.

SOLUCIÓN 

g f x x 

x  ( ( ))   =

+

2

21  { }D x x 

g f   o = ≠/ 0   ( ){ }R y y g f   o = ∈/ ,0 1  

20 PUNTOS

2) Sin emplear la regla de L’Hôpital calcular los límites

a) l i m x 

x x  →

−

−0

1

1

cos

cos 

b) l i m x 

x x  →

−

−22

2 2

4 

c) l i m  x x x  → −∞   −

4

41 2

 

SOLUCIÓN 

a) l im x 

x x  →

−

−  = −

0

1

11

cos

cos 

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASCÁLCULO I

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

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2004-2-C 1  EF2 A -2

b) l im x 

x x  →

−

−  =

22

2 2

4

1

8 

c) l im x 

x x  → −∞   −  = −

4

41 2

1

2 

15 PUNTOS

3) Por efecto de la temperatura un cubo se contrae, pasando la longitud de sus aristas de 10.2 cm   a

10 cm . Obtener por medio de diferenciales el valor aproximado de la disminución en el volumen de

cubo.

SOLUCIÓN

dV cm  = −  62 424 3.  

15 PUNTOS

4)  Obtener la o las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y x x 

  = −

3 2

3 2  que

sean paralelas a la recta 2 2 0x y  − − =  

SOLUCION

R x y 1 12 6 7 0:   − + =  

R x y 2 6 3 10 0:   − + =  

10 PUNTOS

5) Determinar si la función y x  = − cos 2   satisface la hipótesis del Teorema de Rolle yobtener el o los valores de ( )c   ∈ 0 ,   π , tal que se cumpla el teorema para el intervalo [ ]0 π .

SOLUCIÓN

se cumple para c   =  π

2 

10 PUNTOS

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2004-2-C 1  EF2 A -3

6) Un punto se mueve sobre la parábola 4 2 y x = , de tal modo que cuando x   = 6  , la

abscisa crece con una rapidez de 2cm

seg. Calcular con qué rapidez crece la ordenada en ese

instante.SOLUCIÓN

d y 

d t 

m 

seg = 6

2

 

15 PUNTOS

7) Obtener la representación en serie de Maclaurin de la función y x  1

3

 = sen 3  

SOLUCIÓN 

( )f x x x x  = − + +1

1

9

3

81

5

3 5

! ! !  K  

( )  ( ) ( )

( )f x 

x 

k 

k k  k 

k 

=  −

+

+   +

=

∞

∑1 9

2 1

2 2 1

0

 

! 

15 PUNTOS