8/17/2019 [2004-2] final 1 [A]

1/3

  E F1 - ‘A’ 1

1)  Para la función dada por ( )   ( )F x y y x x  = = + − + ≥

 , / ,22

3 3 9 32

  obtener su

función inversa, así como el dominio y el recorrido de ambas funciones, además trazar la

gráfica de las dos funciones.

SOLUCIÓN 

{ }D x x F 

  = ≥  / 3   { }R y y F   = ≥  / 4  

Para la inversa

( )y x   3 +− = − −1 23

2 2 4  

20 PUNTOS

2)  Sin utilizar la regla de L´Hôpital, calcular:

a) l i m x 

x x  → ∞

+

−

1

3

23

2 

b) l im x 

x x   36 

→

−

−

36

2 12 

c)( )

l im θ π

θ

θ π θ →   −

cos

cot 

SOLUCIÓN 

a) l im x 

x x  → ∞

+

−=

1

30

23

2 

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASEXAMEN COLEGIADO DE

CÁLCULO IPRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

SEMESTRE 04 - 2 TIPO “A”

8/17/2019 [2004-2] final 1 [A]

2/3

  E F1 - ‘A’ 2

b) l im x 

x x   36  6

→

−

−  = −

36

2 12 

c)( )

l im θ π

θ

θ π θ →   −  = −

cos

cot1 

15 PUNTOS

3) Por medio de la regla de la cadena calculardy 

dx x   = 0

  de y x = − − +5 2 1  

SOLUCIÓN:

d y d x 

x  ==

0116  

10 PUNTOS

4) Obtener d x d y 

x  = 1

 para y x = −4 2  

SOLUCIÓN:d x 

d y x  =

= −1

1

2  

10 PUNTOS 

5)  Calcular el o los ángulos de intersección entre las gráficas de ecuación y x = −2 2   yy x = 2  

SOLUCIÓN:

θA

  = 71 30o  

en el punto B es el mismo por ser las dos funciones pares.

15 PUNTOS 

8/17/2019 [2004-2] final 1 [A]

3/3

  E F1 - ‘A’ 3

6)  Se requiere fabricar con lámina de aluminio un envase cilíndrico con tapa que debe tener 3  decímetros cúbicos de capacidad, obtener las dimensiones del envase tal que se emplee la menor

cantidad de aluminio.

SOLUCIÓN:

Las dimensiones son:

r dm =3

23

π  , h dm =

123

π  ó r cm h cm  = =7 816 15 6. .  

15 PUNTOS 

7) Obtener el intervalo de convergencia de la serie( )

( ) x 

n 

n 

n 

n −

+  −

=

∞

∑1

31

1

 

SOLUCIÓN 

El intervalo es 0 2< ≤x   

15 PUNTOS