2) Un corpo di massa 15 kg è posto su un piano inclinato di 20°. Una forza

orizzontale di 200 N fa risalire il corpo lungo il piano inclinato con

un’accelerazione di 0.25 m/s2. Qual è il coefficiente d’attrito fra il corpo e il

piano inclinato?

3) Un corpo di 0.60 kg scivola senza attrito su un lungo piano inclinato di 30°.

Sul corpo agisce la resistenza aerodinamica R=(-0.80 kg/s) v. Calcola la velocità

limite del corpo.

Lavoro ed Energia Il lavoro L svolto da una forza

costante è il prodotto scalare della

forza per lo spostamento del punto

di applicazione della forza

medesima

sFFssFL //cos

F = 0

L = 0 se: s = 0

= 90°

[L] = [ML2T-2]

N x m = J (S.I.)

dyne x cm = erg (C.G.S.)

1J = 107 erg

F//

esempio 1

Il lavoro svolto da F per sollevare il blocco di massa m è L = mgh

Il lavoro svolto da F durante lo spostamento d è nullo ( = 90°)

Il lavoro svolto dalla forza di gravità è Lg = -mgh

esercizio

Un uomo tira una cassa con una forza F =

90N e la sposta di 2.0 m. La fune forma un

angolo di 60° rispetto al pavimento. Calcolare

il lavoro svolto da F. Quale forza avrebbe

dovuto applicare, a parità di L, se la fune

fosse stata parallela al pavimento ( = 0°) ?

L = F x s = Fs cos = 90 J; F’ = L/(s cos ) = 45 N

θ

Lavoro svolto da una forza variabile

xFL

xFLL

xFL

jx

jj

jj

0lim

f

i

x

x

dxxFL

Lavoro svolto da una molla

kxF

2222

2

2

1

2

1

2

1

fiif

x

x

x

x

x

x

el

xxkxxk

kxkxdxFdxLf

i

f

i

f

i

legge di Hooke

Potenza la potenza è la rapidità con cui viene svolto un lavoro

o, più in generale, la rapidità con cui viene trasferita

dell’energia

potenza

media

potenza istantanea

t

LP

dt

dL

t

LP

t

0lim

[P] = [ML2T-3]

J/s = W (S.I.)

erg/s (C.G.S.)

h=146 m;

V= 2,3 x106 m3;

2,5 x106 blocchi;

20 anni;

rroccia=2700 Kg/ m3

PIRAMIDE DI CHEOPE…

Energia cinetica e teorema delle forze vive

2

2

1mvK energia cinetica

KL teorema delle forze vive

l’energia è la capacità di compiere un lavoro

Campi di Forza

esempio: campo

gravitazionale (radiale

attrattivo)

campo: regione dello spazio sotto l’azione di una forza.

Ad ogni punto dello spazio si può associare un vettore

che rappresenta la forza agente su un corpo sonda posto

in quel punto.

un campo viene rappresentato graficamente

mediante le linee di forza (tangenti al vettore

campo).

campo elettrico, +q

(radiale repulsivo)

Forze conservative e forze non conservative

B

A

dsFL

se L1 L2 L3 forza non conservativa

se L1 = L2 = L3 forza conservativa

se le forze sono conservative il lavoro lungo un

percorso chiuso è nullo

A

B

1

2

3

LAA = L1 + (-L2) = 0

BABBBAAAAB UUzyxUzyxUL ,,,,

zyxU ,,Energia Potenziale

ABAB LUUU

se UB = 0 LAB = UA B posizione di riferimento

U(x,y,z) è definita a meno di

una costante additiva

BAAB UUL

A C

B

LAC = UA – UC

LCB = UC – UB LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB

L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo

per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.

[U] = [ML2T-2] J (S.I)

erg (C.G.S)

Se prendiamo C come posizione di riferimento

esempio: il campo gravitazionale è conservativo

mghU

mghLL

mghdsenmgdmgdPL

LLL

ABCB

AC

CBACAB

0

cos

energia potenziale

gravitazionale

B

A

ymgmgdyLU

mghhPLAB

A

B C

P = mg

c

a

b h

d

y

O

esempio: il campo dovuto all’azione di una

forza elastica è conservativo kxF

22

2

1fi xxkL

2

2

1kxxU energia potenziale elastica

se xi = xf (ciclo) L = 0 Fel è conservativa

l’energia è la capacità di compiere un lavoro

)(2

1 22if xxkLU

se xi = 0

Principio di conservazione dell’energia meccanica

ipotesi: campo conservativo, sistema isolato

UUUL fi KmvmvL if 22

2

1

2

1

EUK

UKUK

KKUU

ffii

iffi

E = energia meccanica totale

in un sistema isolato in cui agiscano solo forze

conservative l’energia meccanica totale si conserva

esempio: moto di un grave

ffii mgymvmgymv 22

2

1

2

1

se U(yi) = 0 e vf = 0

g

vy

mgymv

if

fi

2

2

1

2

2

esempio: sistema massa molla

2222

2

1

2

1

2

1

2

1ffii kxmvkxmv

se U(xi) = 0 e vf = 0

k

mvx

kxmv

if

fi

22

22

2

1

2

1

Per rendere fertili le uova, lo sperma del granchio reale deve

penetrare attraverso due strati protettivi dello spessore di circa 40

mm. Per ottenere ciò un insieme lungo 60 mm di filamenti di

actina assemblati tra loro viene raddrizzato e spinge con una

forza di 1.9x10-9 N. Se i filamenti di actina hanno una massa

dell’ordine di 10-16 Kg, quale è il modulo della velocità di

filamenti alla fine di questo processo?

Un vagone di massa m=1000 Kg viene sparato da una molla di

costante k=1000 N/m sul punto iniziale di un percorso di

montagne russe (h=60m). Di quanto è stata accorciata la molla

durante il caricamento per raggiungere quel punto?

Una volta partito il vagone che velocità avrà nel punto 2=?

Se per attrito si perde un 30 % dell’energia nel punto 2 quanto

sarà l’altezza nel punto B?

2

h=?

Quantità di moto

Data una particella di massa m e velocità v si definisce

quantità di moto: p = mv [P] = [MLT-1] Kg m/s (S.I.)

Esempio: v = 10 m/s, m1 = 1 kg, m2 = 10 kg p1 = 10 kg m/s, p2 = 100 kg m/s

dt

pd

dt

vmd

dt

vdmamF

Relazione valida anche per sistemi a

massa variabile

dt

pdFF extris

Se il sistema è isolato la

risultante delle forze è nulla e

la q.m. si conserva

.cos00 tpdt

pdFris

II legge di Newton

esempi: il cannone e il biliardo m1, v1 m2, v2

ffii pppp 2121

se si conserva

anche l’energia

cinetica l’urto si

dice ELASTICO

URTI….

Completamente

ELASTICO: si conserva

anche l’energia cinetica

Completamente

ANELASTICO: le due

masse dopo l’urto restano

attaccate

2

22

2

11

2

22

2

11

22112211

2

1

2

1

2

1

2

1ffii

ffii

vmvmvmvm

vmvmvmvm

fii vmmvmvm

212211

Il centro di massa il centro di massa di un corpo o di

un insieme di corpi è quel punto

che si muove come se tutta la

massa fosse ivi concentrata e tutte

le forze esterne agissero in quel

punto

cmrisext aMFF

Esempio: i fuochi d’artificio