2

Mise en situationIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

3

Modèle DiscretActionZéro couponTaux d’intérêt

Modèle ContinuAlgorithmes

Différents algorithmesValidité des algorithmes

Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Modèle Binomial Discret

Payoff d’un Call

Valeur de l’option

4

Un modèle classiqueIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Processus semi-markoviens et changements de régime

Propriété

5

Une généralisationIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Valeur d’un call

6

Impossible de se couvrir!Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

7

Un autre type d’actif, le zéro coupon

Modèle de Ho & Lee

Condition de non arbitrage

Condition de neutralité

Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Mesure risque neutre

8

Le marché est toujours incomplet!Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

9

Un dernier type d’actif

Taux d’intérêt

Hypothèse: Intérêt simple

Payoff d’un Cap

Valeur de l’option

Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Modèle de Black & Scholes

Valeur de l’option

10

Une version continue ?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Limite du modèle discret:Problème:

Changement de régime instantané

Solution:

Changement de régime discretEvolution continue du sous-jacent

11

Peut on généraliser le modèle continu?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Un processus stochastique continu:

La mesure forward neutre:

Valeur de l’option:

12

Une nouvelle mesure pour les zéro couponIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Quatre types d’algorithmes

1.Approche par chemins Calculer le prix dans toutes les combinaisons de régime.

Le prix est donné par

2.Approche récursiveCalculer le prix à horizon 1.Le prix est donné par

13

Pas de formule de prix exacteIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Quatre types d’algorithmes

3.Approche régime constant Calculer le prix en considérant que le régime est constant.

Le prix est donné par

4.Approche de Janssen & MancaCalculer les taux moyensLe prix est donné par la formule classique

14

Algorithmes rapidesIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Modèle de Black & Scholes

Relation avec le modèle d’option sur zéro coupon

15

Comment actualiser la valeur d’un Call?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

16

Les algorithmes sont ils valides?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

17

Et pour les zéro coupon?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

Distinction des différentes mesuresModélisation continue généraliséeTarification de Produits plus complexes

18

Que reste il à faire?Introduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion

19

Le futur idéal de l’actuaireIntroduction - Modèle Discret – Modèle Continu - Algorithmes - Conclusion