12

1.3 O método da Decomposição LU 1.3.1 A Decomposição LU Teorema 1.3.1 ( Teorema da Decomposição LU)

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor principal, constituído das K primeiras linhas e colunas. Assumimos que det(Ak) ≠ 0 para k = 1, 2, ..., n – 1. Então existe uma única matriz triangular inferior L = ( lij), com l11 = l22= ...= lnn = 1, e uma única matriz triangular superior U= (uij) tal que LU= A. Além disso, det(A) = u11 u 22...unn.

Prova:

Para provar esse teorema usaremos indução sobre n. Se n=1, temos que: a11 = 1 . u11 unicamente, e det(A) = u11. Assumimos que o teorema é verdadeiro para n= k-1.

Para n = k partimos A em sub-matrizes:

A =

=

−−

kk

1k1k

u0PU

U;1m0L

Então:

LU =

+−

−−−

kk1k

1k1k1k

umpUmPLUL

Agora, pela hipótese de indução, Lk-1 e Uk-1 são unicamente determinados e Lk-1Uk-1 = Ak-1. Além disso, nem Lk-1 nem Uk-1 são singulares ( ou Ak-1 também seria singular, contrariando a hipótese). Assim LU = A é equivalente a Lk-1 p = x; m Uk-1 = y e mp + ukk = akk; ou seja: p = 1

11

1 ; −−

−− = kk yUmxL e ukk = akk – mp. Então p, m e ukk são

determinados univocamente nesta ordem, e L e U são determinados unicamente. Finalmente,

Det(A) = det(L) . det(U) = 1 . det(Uk-1) . ukk = u11u22 ......uk-1, k-1 . ukk .

Completando a prova de 1.1.

13

1.3.1.1– Decomposição da matriz A em LU (L:Least, U:Upper)

=

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

aaaa

aaaaaaaa

aaaa

u0000000

uu00

uuu0uuuu

100

00

lll

01ll001l0001

L

LLLLLLLLLLL

L

LLL

LL

LLLLL

1.u11 = a11 ⇒ u11 = a11 1.u12 = a12 ⇒ u12 = a12

M 1.u1n = a1n ⇒ u1n = a1n

l21 u11 = a21 11

2121 u

al =⇒

l31 u11 = a31 11

3131 u

al =⇒

M

ln1 u11 = an1 11

1n1n u

al =⇒

l21 u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 - l21 u12 l21 u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 - l21 u13

M l21 u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n - l21 u1n

l31 u12 + l32 u22 = a32 22

12313232 u

ulal

−=⇒

l41 u12 + l42 u22 = a42 22

12414242 u

ulal

−=⇒

M

M

ln1 u12 + ln2 u22 = an2 22

12n1n2n2 u

ulal

−=⇒

Se continuarmos calculando 3ª linha, 3ª coluna, 4ª linha, 4ª coluna, etc...., teremos as fórmulas gerais:

(1.1)

>−=

≤−=

∑

∑−

=

−

=1j

1kjjkjikijij

1i

1kkjikijij

jiu/)ula(l

jiulau

14

1.3.2– Aplicação à solução de sistemas Lineares.

Seja o sistema ( com dimensão n x n ), Ax = b, determinado, onde A satizfaz às condições da decomnposição LU.

Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b

Isto representa dois sistemas triangulares: Ly = b e Ux = y

os quais são facilmente resolvidos. De fato: as componentes da solução intermediária y podem ser obtidas diretamente do primeiro sistema, desde que a primeira equação envolve somente y1, a segunda somente y1 e y2 e assim por diante.; e as componentes de x podem ser obtidas semelhantemente do segundo sistema na seguinte ordem: xn , xn-1,....., x1 . Exemplo 1.3.2.1:

Seja A =

−

301110312

a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU. b) Decompor A em LU. c) Calcular o determinante de A.

d) Resolver o sistema Ax = b, onde b =

719

.

Solução: a) Para que A satisfaça as condições da decomposição LU devemos ter: det (A1) ≠

0 e det(A2) ≠ 0 . Temos: det (A1) = 2 ≠ 0 e det(A2) = -2 ≠ 0 .

Logo A satisfaz as condições.

b) u11 = a11 ⇒ u11 = 2 u12 = a12 ⇒ u12 = 1 u13 = a13 ⇒ u13 = 3

15

l21 = 11

21

ua

⇒ l21 = 0

l31 = 11

31

ua

⇒ l31 = 21

u22 = a22 - l21u12 ⇒ u22 = -1 u23 = a23 - l21 u13 ⇒ u23 = 1

l32 = 22

123132

uula −

⇒ l32 = 21

u33 = a33 – l31u13 – l32 u23 ⇒ u33 = 1

Então:

L =

12/12/1010001

; U =

−

100110312

c) det(A) = u12 u22 u33 det(A) = -2.

d) Devemos resolver dois sistemas, d . 1) Ly = b

12/12/1010001

3

2

1

yyy

=

719

Portanto: y1 = 9; y2 = 1

21 y1 +

21 y2 + y3 = 7 → y3 = 2; ∴ y =

219

d. 2) Ux = y

−

100110312

3

2

1

xxx

=

219

16

Portanto: x3 = 2 -x2 + x3 = 1 → x2 = 1 2x1 + x2 + 3 x3 = 9 → x1 = 1

Assim, a solução de :

−

301110312

3

2

1

xxx

=

719

é x =

211

1.3.3- Exercícios

1.3.3.1) Considere o sistema:

=−−

=++−−=++

31032

20241225

321

321

321

xxx

xxxxxx

Pede-se :

a) Resolver usando decomposição LU b) Calcular det. A pelo mesmo.

1.3.3.2) Considere a matriz A, n x n, com todas as sub-matrizes principais não singulares. Exiba as fórmulas da decomposição LU, onde L é matriz triangular inferior e U é matriz triangular superior com 1 na diagonal.

1.3.3.3) Resolver o sistema Ax = b, onde

A =

−

−

130201132

e b =

234

usando decomposição LU. 1.3.3.4) Seja a matriz A, n x n, decomponível em LU. Sejam Ai, i = 1, 2, ..., n, os menores principais de ordem i. Mostrar que:

uii = 1i

i

−∆∆

, i = 1 , 2 ,..., n

Onde i∆ = det Ai , .1eAdet on =∆=∆

17

1.4- O Método de Gauss Compacto

Simplificação da resolução do método de decomposição LU através da resolução de um único sistema triangular a ser visto.

Construção do método:

Ax = b é resolvido através da tabela,

44444 344444 21 K

MKK

K

MKK

44444 344444 21 K

MMMKK

*U

1nnnn

1n2n222

1n1n11211

2n1n

21

*A

nnn2n1n

2n22221

1n11211

uu00

uuu0uuuu

1ll

01l001

baaa

baaabaaa

=

+

+

+

Fazendo-se

=

+

+

+

1nn

1n2

1n1

n

2

1

a

aa

b

bb

MM

Valem as mesmas expressões encontradas para a primeira decomposição LU feita, ou

seja,

>−=

≤−=

∑

∑−

=

−

=1j

1kjjkjikijij

1i

1kkjikijij

jiu/)ula(l

jiulau

Considerando-se:

+==

1n,n,...,1jn,...,1i

Aplicação de Gauss Compacto ao sistema:

=

−−

336

xxx

113124321

3

2

1

18

Neste caso:

=

=

34

24

14

3

2

1

aaa

336

bbb

Considerando-se os cálculos já efetuados:

6au

3u2u

1u

1414

13

12

11

==

==

=

A 1ª linha de U* é a mesma da 1ª linha de A* 1ª coluna da L: l21 = 4 l31 = 3 2ª linha da U: u22 = -10 u23 = -11 u24 = a24 – l21 . u14 = 3- (4.6) = - 21 ⇒ u24 = - 21 2ª coluna da L: l32 = 1/2 3ª linha da U: u33 = - 9/2 u34 = a34 – (l31.u14 + l32.u24) ⇒ u34 = - 9/2 Note que, para a resolução do sistema Ax = b tem-se A = LU e b = Ly,

onde

=

34

24

14

uuu

y , então

yUxLyLUxbAx =⇔=⇔=

Assim, para a resolução do sistema considerado basta efetuar:

−−=

−−−

29216

x

xx

2900

11100321

3

2

1

19

Cuja solução é

=

111

*x .

Observação: No caso em que y é determinado pelo Gauss Compacto, não é necessário

resolver-se o sistema Ly = b, basta resolver diretamente Ux = y

onde

+

= +

+

1unn

uu

y 2n2

1n1

M.

1.4.1- Exercícios

1.4.1.1) Usando o método de Gauss-Compacto resolver o sistema:

=−+−

−=−++

=+−−

−=+++

6x4xx2x4

2xx3xx2

4x2xx3x

8xx6x4x2

4321

4321

4321

4321

1.4.1.2) Resolver o sistema matricial composto usando o método de Gauss-Compacto:

−

−−

=

−

20211

667424

zyx

zyxzyx

1001

214312

333

222

111

1.4.1.3) Fazer os exercícios 1.3.3.1) a 1.3.3.3) da seção anterior.