Analiza matematica - 2

Functii de mai multe variabile reale

1 Structura spatiului Rn

Spatiul vectorial Rn

Reamintim ca Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, n }.Pe Rn definim operatiile:

∀ x = (x1, . . . , xn) ∀ y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn);

∀ x = (x1, . . . , xn) ∀α ∈ K α · x = (αx1, . . . , αxn).

Atunci (V,+, ·) este spatiu vectorial real.

Spatiul metric Rn

Notiunea de spatiu metric generalizeaza proprietatile lui R asociate cu distanta data

de functia (x, y) 7→ |x− y|. O distanta sau o metrica pe multimea nevida X este

o functie d : X ×X → R, care satisface urmatoarele proprietati:

1) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X si d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (inegalitatea triunghiului).

In acest caz spunem ca perechea (X, d) este un spatiu metric sau, mai putin

formal, ca X este un spatiu metric relativ la distanta d.

Exemplul standard de spatiu metric este multimea numerelor reale prevazuta cu

distanta definita de d(x, y) = |x − y|. Urmatoarele trei exemple de distante pe Rn

sunt generalizari ale acesteia, ın sensul ca pentru n = 1 se regaseste distanta d de

mai sus.

1. d1(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2, ∀x = (x1, x2, . . . , xn), ∀y = (y1, y2, . . . , yn).

2. d2(x, y) =n

maxi=1

|xi − yi|, ∀x = (x1, x2, . . . , xn), ∀y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.

3. d3(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|, ∀x = (x1, x2, . . . , xn), ∀y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.

Prima distanta este cunoscuta sub numele de distanta euclidiana. Identi-

ficand R2 cu planul, d1(x, y) reprezinta lungimea segmentului cu extremitatile de

coordonate (x1, x2), respectiv (y1, y2).

1

Spatiul normat Rn

Se numeste norma pe Rn o aplicatie ∥ · ∥ : Rn → R cu proprietatile:

1) ∥x∥ ≥ 0 ∀x ∈ Rn; ∥x∥ = 0 ⇔ x = θ;

2) ∥αx∥ = |α|∥x∥, ∀α ∈ R, ∀x ∈ Rn;

3) ∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥, ∀x, y ∈ Rn.

Exemplu. Norma euclidiana: ∥x∥ =

√n∑

i=1

x2i , ∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

Observatie. Orice norma defineste o distanta: d(x, y) = ∥x− y∥.

2 Siruri de elemente din Rp

Notiunile de baza referitoare la sirurile de numere reale se extind la cazul p-dimensional.

Vom presupune cunoscute definitiile si rezultatele privind sirurile, studiate ın liceu.

In cele ce urmeaza, vom considera drept spatiu metric, daca nu se precizeaza

altfel, multimea Rp prevazuta cu distanta euclidiana. Bila deschisa de centru a si

raza r este multimea

B(a, r) = {x ∈ X | ∥x− a∥ < r}.

Se numeste sir din Rp o functie f : N → Rp. Un sir se numeste marginit daca

multimea termenilor sai este marginita. Vom nota ca de obicei sirurile prin (xn)n,

(yn)n etc.

Sirul se numeste convergent daca exista a ∈ Rp astfel ıncat pentru orice

vecinatate V a lui a exista nV ∈ N astfel ca xn ∈ V , ∀n ≥ nV . In acest caz, ele-

mentul a este unic si se numeste limita sirului. Tinand cont de definitia vecinatatii

ıntr-un spatiu metric si de cea a bilei deschise din Rp, conditia de convergenta catre

a a sirului (xn)n este echivalenta cu:

∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∥xn − a∥ < ε ∀n ≥ nε.

Notiunea de convergenta ın Rp este echivalenta cu convergenta pe componente

ın R.

Propozitia 1 Fie (xn)n un sir din Rp cu xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn) si a = (a1, a2, . . . , ap),

un element din Rp. Atunci

limn→∞

xn = a ⇔ (∀i = 1, p limn→∞

xin = ai).

Spunem ca (xn)n este sir Cauchy (sau fundamental) daca:

∀ε > 0 ∃nε ∈ N d(xn, xn+m) < ε ∀n ≥ nε ∀m ∈ N.

Un rezultat similar teoremei anterioare poate fi stabilit pentru sirurile Cauchy.

2

Propozitia 2 Fie (xn)n un sir din Rp. Atunci (xn)n este sir Cauchy daca si numai

daca pentru orice i ∈ {1, . . . , p} sirul (xin)n este sir Cauchy.

Se arata usor ca orice sir convergent este sir Cauchy. Un spatiu metric este

complet daca orice sir Cauchy de elemente ale sale este convergent. Ca o consecinta

a celor doua teoreme de mai sus si a faptului ca R este complet se obtine ca orice

spatiu Rp este complet.

3 Functii definite pe submultimi din Rp

Se generalizeaza notiunile de limita si continuitate din cazul functiilor de o variabila

reala. Fie D ⊂ Rp, f : D → R si a ∈ Rp un punct de acumulare pentru D.

Elementul l ∈ R = R ∪ {±∞} se numeste limita functiei f ın punctul a daca

pentru orice vecinatate V a lui l exista U vecinatate a lui a astfel ıncat pentru orice

x ∈ U ∩D \ {a} sa avem f(x) ∈ V .

Ca si ın cazul functiilor de o variabila, se poate demonstra urmatorul rezultat.

Propozitia 3 (de caracterizare a limitei) Fie D ⊂ Rp, f : D → R, a ∈ Rp un

punct de acumulare pentru D si l ∈ R. Sunt echivalente:

(1) l = limx→a

f(x);

(2) ∀ε > 0 ∃δε > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D, x = a cu ∥x−a∥ < δε avem |f(x)− l| < ε;

(3) Pentru orice sir (xn)n de elemente din D, xn = a si limn→∞

xn = a, avem

limn→∞

f(xn) = l.

Afirmatiile (1)–(3) fiind echivalente, fiecare dintre ele poate fi luata ca definitie.

Daca limita exista, atunci ea este unica. Pentru a arata ca functia nu are limita

ın a, este suficient sa gasim doua siruri (x′n)n si (x′′

n)n de elemente din D \ {a},convergente la a, pentru care sirurile corespunzatoare (f(x′

n))n si respectiv (f(x′′n))n

au limite diferite sau sa gasim un sir (xn)n de elemente din D \ {a}, convergent laa, pentru care (f(xn))n este divergent.

Exemple.

1. Sa se arate ca functia f : R2 \ {(0, 0)} → R, f(x, y) =x2y

x4 + y2nu are limita

ın (0, 0).

3

Rezolvare. Sa luam sirurile x′n = (1/n, 1/n) si respectiv x′′

n = (1/n, 1/n2) si sa

observam ca ambele siruri sunt convergente la (0, 0). Obtinem ca f(x′n) =

n

1 + n2→

0, respectiv f(x′′n) =

1

2→ 1

2. Prin urmare f nu are limita ın (0, 0). 2

2. Sa se arate ca lim(x,y)→(0,0)

2x2y − 1

x2y= ln 2.

Rezolvare. Fie (xn, yn) un sir convergent la (0, 0). Atunci f(xn, yn) =2x

2nyn − 1

x2nyn

si cum xn → 0, yn → 0, folosind o limita cunoscuta de la functii de o variabila, avem

ca f(xn, yn) → ln 2. 2

Sa observam ca, ın cazul functiilor de mai multe variabile p, se pot demonstra

proprietati similare celor din cazul p = 1. De exemplu,

Propozitia 4 Fie D ⊂ Rp, f, g : D → R si a ∈ Rp un punct de acumulare pentru

D. Daca |f(x)| ≤ g(x) pentru orice x ∈ D si limx→a

g(x) = 0 atunci limx→a

f(x) = 0.

Exemplu. Fie f : R2 \ {(0, 0)} → R, f(x, y) = x sin1

y+ y sin

1

x. Cum |f(x, y)| ≤

|x| + |y|, iar g(x, y) = |x| + |y| tinde la zero cand (x, y) tinde la (0, 0), rezulta ca

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.

Continuitatea functiilor de mai multe variabile reale se defineste la fel ca ın cazul

unei singure variabile. Fie D ⊂ Rp, f : D → R si a ∈ D.

Functia f este continua ın punctul a daca pentru orice vecinatate V a lui f(a)

exista o vecinatate U a lui a astfel ıncat pentru orice x ∈ U ∩D sa avem f(x) ∈ V .

Functia f este continua pe multimea D daca este continua ın orice punct din D.

Si ın cazul continuitatii se poate demonstra o teorema de caracterizare, fiecare

dintre cele trei caracterizari echivalente ale continuitatii putand fi luata ca definitie.

Propozitia 5 Fie D ⊂ Rp, f : D → R, a ∈ D. Sunt echivalente:

(1) Functia f este continua ın a;

(2) ∀ε > 0 ∃δε > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D cu ∥x− a∥ < δε avem |f(x)− f(a)| < ε;

(3) Pentru orice sir (xn)n de elemente din D convergent la a, sirul valorilor f(xn)n

este convergent la f(a).

O functie este continua ın orice punct izolat al domeniului sau de definitie. Daca

ın plus, a este punct de acumulare al domeniului de definitie al functiei f , atunci f

este continua ın a daca si numai daca limx→a

f(x) = f(a).

4

Ca si ın cazul functiilor de o singura variabila reala, daca f si g sunt continue,

iar λ este un numar real, atunci functiile f + g, fg, λf sunt continue.

Fie f o functie definita pe D ⊂ Rp, a ∈ D. Daca f este continua ın a atunci

f este continua ın acest punct ın raport cu fiecare variabila ın parte. Reciproca nu

este ınsa adevarata, asa cum rezulta din urmatorul exemplu.

Exemplu. Fie f : R2 → R, definita prin

f(x, y) =x4 − 2x2y + y2

x4 + y2.

Exista limx→0

f(x, 0) = limy→0

f(0, y) = 1, dar nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

4 Derivate partiale

Vom extinde ıntr-un mod natural notiunea de derivata si diferentiala de la functii

de o variabila reala cu valori reale la functii definite pe Rn. Presupunem cunoscute

notiunile elementare de derivabilitate pentru functii reale de variabila reala.

Fie U o multime deschisa ın Rn, a ∈ U , a = (a1, a2, . . . , an), f : U → R. Functia

f este derivabila partial ın raport cu variabila xk ın punctul a daca functia

data de xk 7→ f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) este derivabila ın ak, mai precis

daca exista si este finita limita

∂f

∂xk

(a) = limxk→ak

f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an)− f(a1, a2, . . . , ak−1, ak, ak+1, . . . , an)

xk − ak.

De exemplu, ın cazul n = 2 functia f : R2 → R este derivabila partial ın raport

cu x ın (x0, y0) daca exista si este finita

∂f

∂x(x0, y0) = lim

x→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0

.

Analog pentru y:∂f

∂y(x0, y0) = lim

y→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

y − y0.

Exemplu. Fie f : R2 → R, f(x, y) = x2 + 3xy si (x0, y0) = (1, 2).

∂f

∂x(1, 2) = lim

x→1

f(x, 2)− f(1, 2)

x− 1= lim

x→1

x2 + 6x− 7

x− 1= lim

x→1

(x− 1)(x+ 7)

x− 1= 8.

∂f

∂y(1, 2) = lim

y→2

f(1, y)− f(1, 2)

y − 2= lim

y→2

1 + 3y − 7

y − 2= lim

y→2

3y − 6

y − 2= 3.

5

Fie U o multime deschisa din Rn. Functia f este derivabila partial ın raport

cu xk pe U daca f este derivabila partial ın raport cu xk ın a, pentru orice a ∈ U .

Functia f este derivabila partial pe U daca f este derivabila partial ın raport cu

xk, ∀k = 1, n. In acest caz, se pot defini n functii∂f

∂xk

: U → R (k = 1, n), numite

derivatele partiale de ordinul ıntai ale lui f pe U .

Pentru calculul derivatelor partiale se folosesc regulile de derivare cunoscute de

la functii de o variabila si se deriveaza ın raport cu variabila care ne intereseaza,

gandind celelalte variabile ca fiind constante.

Exemple.

1. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = e3x+2y cos(z2).∂f

∂x(x, y, z) = 3e3x+2y cos(z2),

∂f

∂y(x, y, z) = 2e3x+2y cos(z2),

∂f

∂z(x, y, z) = e3x+2y(−2z sin(z2)).

2. Fie f : R2 → R, f(x, y) = x ln(x2 + y2 + 1).∂f

∂x(x, y) = ln(x2 + y2 + 1) +

2x2

x2 + y2 + 1,∂f

∂x(x, y) =

2xy

x2 + y2 + 1.

Fie U o multime deschisa ın Rn si f : U → R o functie de n variabile reale.

Functia f se numeste: de clasa C0 pe U daca f este continua pe U ; de clasa C1

pe U daca f este continua si derivabila partial pe U , iar functiile∂f

∂xk

: U → R,

k = 1, n, sunt continue pe U ; de clasa C2 pe U daca f este de clasa C1 pe U si

toate derivatele partiale∂f

∂xk

: U → R, k = 1, n, sunt functii de clasa C1 pe U ,

adica ∀k, j = 1, n exista∂

∂xj

(∂f

∂xk

)ın fiecare punct din U si acestea sunt functii

continue pe U .

Vom folosi urmatoarele notatii:∂2f

∂xj∂xk

=∂

∂xj

(∂f

∂xk

)(j = k),

∂2f

∂x2k

=∂

∂xk

(∂f

∂xk

).

Functiile∂2f

∂xj∂xk

,∂2f

∂x2k

se numesc derivatele partiale de ordinul 2 ale lui f .

Sa observam ca o functie de n variabile reale are n2 derivate partiale de ordinul 2.

Similar, se definesc derivate partiale de ordin p > 2.

In general, derivatele partiale mixte de un anumit ordin ın raport cu aceleasi

6

variabile nu sunt egale; de exemplu,∂2f

∂xj∂xk

= ∂2f

∂xj∂xk

. Pe de alta parte, multe

dintre functiile cu care se lucreaza ın practica ındeplinesc conditiile din teorema

urmatoare.

Propozitia 6 (Criteriul lui Schwarz) Fie U ⊂ Rn o multime deschisa, a ∈ U si

f : U → R, o functie de clasa C2 pe U . Atunci pentru orice indici j, k = 1, n

∂2f

∂xj∂xk

(a) =∂2f

∂xj∂xk

(a).

Acest rezultat se poate extinde si la derivate partiale de ordin p > 2.

5 Diferentiabilitatea functiilor reale de mai multe

variabile

Fie U ⊂ Rn o multime deschisa, a ∈ U , f : U → R. Functia f este diferentiabila

ın a daca exista o aplicatie liniara Ta : Rn → R (care depinde de a), cu proprietatea:

limx→a

f(x)− f(a)− Ta(x− a)

∥x− a∥= 0.

Functia f se numeste diferentiabila pe U daca este diferentiabila ın orice a ∈ U .

Sa observam ca daca definim φ : U\{a} → R, prin φ(x) =f(x)− f(a)− Ta(x− a)

∥x− a∥atunci lim

x→aφ(x) = 0 si pentru orice x din U are loc egalitatea

f(x) = f(a) + Ta(x− a) + ∥x− a∥φ(x).

Propozitia 7 Daca f este diferentiabila ın a atunci Ta este unic determinata.

Diferentiala lui f ın a este o aplicatie liniara unic determinata, care depinde de

f si de a si pe care o vom nota df(a).

Propozitia 8 Fie T : Rn → R o aplicatie liniara. Atunci T este diferentiabila pe

Rn si dT (a) = T , ∀a ∈ Rn. In particular, proiectiile priRn → R, pri(x) = xi,

i = 1, n sunt diferentiabile si dpri(a) = pri(a), ∀a ∈ Rn.

Urmatoarele doua teoreme se refera la legatura dintre diferentiabilitate si derivate

partiale.

7

Propozitia 9 Fie U ⊂ Rn o multime deschisa, a ∈ U , f : U → R, f diferentiabila

ın a. Atunci:

(i) Functia f este continua ın a.

(ii) Exista derivatele partiale de ordinul ıntai ale lui f ın a.

Reciproca propozitiei 9 nu este adevarata. Daca ınsa f admite derivate partiale

continue pe U atunci f este diferentiabila pe U si

df(a)(h) =n∑

i=1

hi∂f

∂xi

(a), ∀h ∈ Rn.

Proiectiile pri : Rn → R, pri(x) = xi, ∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn sunt functii

diferentiabile si dpri(a) = pri, ∀a ∈ Rn. Notand cu dxi = dpri(a) = pri, se obtine

expresia diferentialei de ordinul ıntai ın a:

df(a) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(a)pri =n∑

i=1

∂f

∂xi

(a)dxi.

Exemplu. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = e3x+2y cos(z2). Atunci

df(x, y, z) = 3e3x+2y cos(z2)dx+ 2e3x+2y cos(z2)dy + e3x+2y(−2z sin(z2))dz.

df(1, 0, 0) = 3e3dx+ 2e3dy

df(1, 0, 0) : R3 → R este aplicatie liniara definita prin:

df(1, 0, 0)(h1, h2, h3) = 3e3h1 + 2e3h2.

Diferentiale de ordin superior

Fie U ⊂ Rn o multime deschisa, f : U → R, f de clasa C2 pe U . Pentru orice

punct a ∈ U are sens diferentiala de ordinul ıntai a lui f ın a, adica aplicatia liniara

df(a) : Rn → R,

df(a)(h) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(a)hi, ∀h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn.

De asemenea se poate considera forma patratica d2f(a) : Rn → R,

d2f(a)(h) =n∑

1≤i,j≤n

∂2f

∂xi∂xj

(a)hihj, ∀h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn,

numita diferentiala de ordinul doi a lui f ın a. Folosind aceleasi notatii ca la

diferentiala de ordinul ıntai obtinem:

d2f(a) =n∑

1≤i,j≤n

∂2f

∂xi∂xj

(a)dxidxj.

8

Formei patratice d2f(a) i se poate asocia o matrice simetrica

Hf (a) =

(∂2f

∂xi∂xj

(a)

)1≤i,j≤n

numita matricea hessiana a lui f ın a.

Exemplu. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = x2 + xy − xz2, a = (1, 1, 0).

df(x, y, z) = (2x+ y − z2)dx+ xdy − 2xzdz, df(1, 1, 0) = 3dx+ dy

d2f(x, y, z) = 2dx2+2dxdy−4zdxdz−2xdz2, d2f(1, 1, 0) = 2dx2+2dxdy−2dz2,

d2f(1, 1, 0)(h1, h2, h3) = 2h21 + 2h1h2 − 2h2

3

Hf (x, y, z) =

2 1 −2z

1 0 0

−2z 0 −2x

, iar Hf (1, 1, 0) =

2 1 0

1 0 0

0 0 −2

.

6 Extremele functiilor de mai multe variabile

Fie D ⊂ Rn o multime deschisa si f : D → R.

Un punct a ∈ D se numeste punct de maxim local (respectiv minim local)

pentru functia f daca exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat f(x) ≤ f(a) (respectiv

f(x) ≥ f(a)) ∀x ∈ V ∩D.

Un punct a ∈ D se numeste punct de extrem local pentru functia f daca este

punct de minim local sau de maxim local pentru f .

Un punct a ∈ D se numeste punct critic sau stationar pentru functia f daca

f este diferentiabila ın a si df(a) = 0.

Se poate demonstra un rezultat analog teoremei lui Fermat din cazul functiilor

de o variabila reala.

Propozitia 10 (Teorema lui Fermat) Fie D ⊂ Rn o multime deschisa, f : D → R.

Daca a ∈ D este punct de extrem local pentru f si functia f este diferentiabila ın a,

atunci df(a) = 0.

Din teorema lui Fermat, rezulta ca daca f este o functie de clasa C1 pe o multime

deschisa D ⊂ Rn, atunci extremele locale ale lui f se afla printre solutiile situate ın

D ale sistemului:∂f

∂xi

(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , n.

Sa observam ca reciproca teoremei nu este adevarata. Sa consideram de exemplu

f : R2 → R, f(x, y) = xy si a = 0. Se verifica usor ca∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0 (deci

9

(0,0) este punct critic), dar diferenta f(x, y)− f(0, 0) = xy nu are semn constant ın

nici o bila cu centrul ın origine; adica (0, 0) nu este punct de extrem local.

Avem nevoie de un criteriu pentru a decide care dintre punctele critice ale unei

functii sunt si puncte de extrem.

Tinand cont de matricea hessiana Hf (a) si de un rezultat cunoscut din algebra

liniara (Teorema lui Sylvester), obtinem:

a) Daca toti minorii principali ∆i ai lui Hf (a) sunt strict pozitivi atunci d2f(a)

este pozitiv definita, deci a este punct de minim local pentru f .

b) Daca (−1)i∆i > 0, ∀i = 1, n, atunci d2f(a) este negativ definita, deci a este

punct de maxim local pentru f .

c) Daca ∆i sunt nenuli dar semnele variaza dupa alta regula, atunci a nu este

punct de extrem.

Daca cel putin unul dintre minorii ∆i se anuleaza atunci se evalueaza direct

f(x)− f(a).

Exemple. Sa se determine extremele functiilor:

1. f : R2 → R, f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y.

Rezolvare. Se determina punctele critice ale lui f ca solutii ale sistemului:∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

⇔

{3x2 + 3y2 − 15 = 0

6xy − 12 = 0⇔

{x2 + y2 = 5

xy = 2

Se obtin patru puncte critice: P1(1, 2), P2(2, 1), P3(−2,−1), P4(−1,−2).

Se calculeaza matricea hessiana ın fiecare dintre cele patru puncte critice:

Hf (x, y) =

∂2f

∂x2(x, y)

∂2f

∂y∂x(x, y)

∂2f

∂x∂y(x, y)

∂2f

∂y2(x, y)

=

(6x 6y

6y 6x

);

Hf (1, 2) =

(6 12

12 6

); △1 = 6 > 0, △2 = 36− 144 < 0;

Hf (2, 1) =

(12 6

6 12

); △1 = 12 > 0, △2 = 144− 36 > 0;

10

Hf (−2,−1) =

(−12 −6

−6 −12

); △1 = −12 < 0, △2 = 144− 36 > 0;

Hf (−1,−2) =

(−6 −12

−12 −6

); △1 = −6 < 0, △2 = 36− 144 < 0.

Rezulta ca (2, 1) este punct de minim, (−2,−1) este punct de maxim, iar punctele

(1, 2) si respectiv (−1,−2) nu sunt puncte de extrem. 2

2. f : R3 → R, f(x, y, z) = x2 + y2 + z3 + 2x+ 12yz + 2.

Rezolvare. Se determina punctele critice ca solutii ale sistemului:

∂f

∂x(x, y, z) = 2x+ 2 = 0

∂f

∂y(x, y, z) = 2y + 12z = 0

∂f

∂z(x, y, z) = 3z2 + 12y = 0

Se obtin doua puncte critice: P1(−1, 0, 0) si P2(−1,−144, 24).

Se calculeaza matricea hessiana: Hf (x, y, z) =

2 0 0

0 2 12

0 12 6z

;

Hf (1, 0, 0) =

2 0 0

0 2 12

0 12 0

; Hf (−1,−144, 24) =

2 0 0

0 2 12

0 12 144

;

Pentru P1: ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = −288 < 0, deci P1 nu este punct de

extrem. Pentru P2: ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = 288 > 0, deci P2 este punct de

minim local. 2

11